DINAMIKA
Analisis respon gempa pada bangunan:
Analisis statik ekivalen Beban gempa dimodelkan sebagai beban terpusat pada masingmasing tingkat/lantai struktur gedung, dimana beban bekerja secara statis. Hanya meninjau respon maksimum gempa. Digunakan untuk sistem struktur sederhana
Analisis dinamis Didasarkan pada teori mekanika vibrasi yang memperhitungkan faktor simpangan, kecepatan dan percepatan massa bangunan sebagai fungsi waktu. Keseimbangan gaya elastis, gaya inersia dan gaya redaman berubah dari waktu ke waktu
Analisis respon gempa pada bangunan:
Analisis statik ekivalen Beban gempa dimodelkan sebagai beban terpusat pada masingmasing tingkat/lantai struktur gedung, dimana beban bekerja secara statis. Hanya meninjau respon maksimum gempa. Digunakan untuk sistem struktur sederhana
Analisis dinamis Didasarkan pada teori mekanika vibrasi yang memperhitungkan faktor simpangan, kecepatan dan percepatan massa bangunan sebagai fungsi waktu. Keseimbangan gaya elastis, gaya inersia dan gaya redaman berubah dari waktu ke waktu
STATIS
DINAMIS
P
P(t)
MODEL BANDUL SEDERHANA m K
K
EI
m
x m
P(t)
P(t)
K m
K1
K2
Model Struktur
K
Model SDOF
P(t)
Model Matematis
Digunakan untuk memodelkan getaran pada struktur sederhana dan bangunan tidak bertingkat.
Pegas Paralel
Pegas Seri
K1
K1
K2
K2
y
m
y P k e
k 1
k 2
1
1
1
k e
k 1
k 2
Gerakan Harmonis Bentuk kurva gerak harmonis
PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN Gaya yang bekerja dan berada pada keseimbangan dinamis yaitu: Gaya
pegas akibat deformasi (P)
P
k . x
……(1)
k = kekakuan pegas x = perpindahan Gaya
inersia akibat perubahan kecepatan (F) 2
F
m.a
m.
d x
……(2)
2
dt
K
K.x
m = massa a = percepatan
m.a
m
x 2
m.
d x 2
dt
k . x
0
……(3)
SOLUSI PERSAMAAN DIFFERENSIAL GERAK Solusi Umum: A cos t
x
……(4)
= frekuensi natural (radian/detik) t = waktu (detik) ω
……(5)
x
A sin t
x
A Sin t B Cos
t ……(6)
Mencari besarnya frekuensi natural (ω) A cos t
x dx
.
A sin t
x
dt 2
d x
..
x
2
dt
A
2
cos t
Substitusikan ke pers. (3) ..
m. x k . x m
A. m
2
2
0 Cos t
k A Cos t
k A Cos t 0
0
k
……(7)
Mencari besarnya konstanta A dan B :
Jika dimasukkan masalah kondisi awal (t = 0) yaitu: Perpindahan: x t .
Kecepatan:
x t
x 0
0
……(8)
V
……(9)
.
x 0
Maka:
x
A Sin t B Cos
t
0 A Sin (0) B Cos (0) B 0 ……(10) dx V A Cos t B Sin t t 0 dt 0 V A Cos (0) B Sin (0) Sin 0 A
V
……(11)
KEKAKUAN KOLOM Kolom bermassa seragam dengan kedua ujung terjepit /tak berotasi, kekakuan pegasnya adalah: k
12 EI 3
L
P
k
P
……(12)
Δ
PL3 12 EI
……(13)
L
Kolom bermassa seragam dengan satu ujung terjepit dan ujung lain berengsel/bebas, kekakuan pegasnya adalah: k
3 EI 3
L
P
k
Δ
3
PL
3 EI
……(14)
P
……(15)
k
P
Deformasi lentur
Deformasi geser
12 E I 1
I 2
3
L
3 EI 3
L
GA L
CONTOH KASUS Contoh 1 m = 1000 kg
EI=400 KN/cm2
Tentukan besarnya frekuensi natural struktur pada gambar di samping.
K = 2 N/cm L=100 cm
Jawab
Kekakuan balok:
k
3 EI
3 400 1000 N
3
cm
3
100
L
Kekakuan balok dan pegas:
K paralel
k balok k pega s
2 1,2
Frekuensi natural:
k
320
m
1000
1,2 N/cm
0,56 rad
3,2 N/cm
detik
320kg/dt
2
Contoh 2
Jawab
0,56 rad
Frekuensi natural:
detik
Persamaan gerak:
x
A sin
x dx dt d 2 x
5 0,56
t
V
A
sin 0,56t
.
x
A
cos t V cos t
..
x
A
2
sin
t
5 cos 0,56t
V sin
t
2 8 sin 0 56t
Contoh 3 SDOF 200 lb/ft m F(t)
F(t)
W8x24
• •
15 ft
Data yang diketahui: E = 30.106 psi I = 82,5 in4 W = 200 x 25 = 5000 lb g = 386 ft/dt2
Jawab
K m
F(t)
m
fs
F(t)
I
(Freebody Diagram)
(Model matematis) Persamaan kesetimbangan: ..
I fs
F t
m. x k . x
F t
Frekuensi natural: K
12 E 2 I
12 . 30 .106 2 .82,5
3
L
15.12
k
10185 . 386
m
5000
3
10185 lb / in
28,041rad / dt
atau
m
f
2
W
5000
g
386
1
10185 . 386
2
5000
4.46 sps
Contoh 4 k = 2000 lb/in
EI=108 lb/in2
W = 3000 lb/in k = 2000 lb/in L=100 in
Jawab
Kekakuan balok:
k balok
3 EI 3
L
8
3 10 3
100
Kekakuan pegas: k pegas
2k 2 2000
Kekakuan total:
k balok k pega s
K total
300 4000
300 lb/in
4000 lb/in
4300 lb/in
Frekuensi natural:
x
k
4300 386
m
3000
A Sin t B Cos
20 23,52
1 detik)
V
t
Sin(23,52t )
085Sin(23,52t ) x(t
23,52 rad
detik
Sin t x0Cos
t
(1)Cos (23,52t )
Cos (23,52t )
0,89 in
.
x
19,992Cos (23,52t )
.
x (t
1 detik)
22,66 in/detik
23,52Sin(23,52t )
REDAMAN •
•
•
•
•
•
Redaman adalah jumlah energi yang terhambur atau lenyap ketika terjadi satu siklus gerak bolak balik Redaman timbul karena ada gesekan internal dalam bahan ketika mengalami gerakan. Redaman bisa juga berasal dari bantalan eksternal yang sengaja dipasang seperti pada rel kereta api Redaman internal dapat berasal dari gesekan mikro bahan, dapat pula dari gesekan dalam sambungan tidak rigid. Model redaman yang paling sering dipakai adalah model dashpot . Selain model dashpot , dapat juga dipakai model Coulomb, yaitu redaman yang berasal dari friksi dan berbanding lurus dengan simpangan dan arah gerakan
MODEL REDAMAN DASHPOT Model redaman dashpot menghasilkan penurunan simpangan mengikuti fungsi eksponen
Getaran bebas redaman viscous
MODEL REDAMAN COULOUMB Struktur dengan redaman couloumb mempunyai persamaan gerakan diferensial linier sehingga menjadi lebih mudah diselesaikan untuk kasus respon getaran bebas ataupun respon akibat adanya gaya luar
Dalam praktek, redaman ini biasanya terjadi akibat hilangnya sambungan, gesekan antar komponen dan redaman dari material yang semuanya menyebabkan perilaku struktur menjadi nonlinier.
Model persamaan kesetimbangan: 2
m
d x
f s
2
dt f s f D
0
f D
……(39)
kx N
k
mg
k
……(40)
MODEL BANDUL DENGAN REDAMAN •
•
P(t)
m P(t)
m
x
K1
K2
f s
K,c K
m I
c
P(t)
f d
I
P(t)
PERSAMAAN GERAK DAN KESETIMBANGAN Persamaan kesetimbangan dapat ditulis: 0
H
I f d ..
I
.
m x
..
.
m x
c x
P (t )
f s
f d kx
c x
P (t )
f s
kx
……(16)
Solusi persamaan difensial:
Ae pt
x dx dt
d 2 x 2
dt
pAe pt p 2 Ae pt
……(17)
……(18)
……(19)
Substitusi pers. (17, 18, 19) ke dalam pers. (16) 2
pt
m p Ae mp
2
cp
pt
pt
c pAe pt
k Ae
0
k Ae
0
……(20)
Solusi nontrivial: mp
2
cp
k Ae
pt
0
……(21)
Akar-akar dari persamaan tsb. adalah:
p1,2
c
c
2m
2m
2
k m
(22)
Karena ada 2 nilai p, maka solusi persamaan differensial menjadi:
x
p1t
Ae
p2t
Be
……(23)
Nilai p bisa bersifat riil atau imaginer, tergantung dari faktor dibawah akar apakah positif atau negatif. p riil persamaan gerak berupa fungsi eksponen p imaginer persamaan gerak berupa fungsi berulang
FAKTOR REDAMAN Kasus Redaman Kritis…… Berdasarkan pers. 22, jika nilai variabel didalam tanda akar = 0
p1,2
c
c
2m
2m
2
k
c
m
2m
2
k m
0
Maka, 2
c
2m c
2m
2
k m k m
0
c
2m
k m
2 mk ccr
Ccr disebut dengan faktor redaman kritis
Keadaan redaman kritis adalah batas antara redaman berlebih (over damped) dan redaman kurang (under damped)
Pada kondisi redaman kritis, p1, 2
c
c
2m
2m
c
p
2
k
c
m
2m
2
k m
0
……(24)
2m
Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah: c
x
pt
e
t
2m
e
……(25)
Kasus Redaman Kurang (Under-damped)…… Jika nilai koefisien redaman lebih kecil dari koefisien redaman kritis (c < c cr) p1, 2
p1, 2
c
c
2m
2m
c
2m
i
2
k
c
m
2m
k
c
m
2m
2
2
……(26)
k m
Untuk menyelesaikan persamaan dengan bilangan imaginer, maka digunakan persamaan Euler: e
it
e
Cos t i Sin t
it
……(27)
Cos t i Sin t
……(28)
Sehingga, solusi persamaan gerak adalah: c
x
e
2m
t
D
A Cos
D
k
c
m
2m
t B Sin
D
t
……(29)
2
……(30)
Persamaan 30 dapat juga ditulis dalam bentuk: D
D
1
1
c
2
……(31)
4mk c
2 2
ccr
2
1 c
ccr
……(32)
……(33)
Kasus Redaman Berlebih (Over-damped)…… Pada sistem redaman superkritis, koefisien redamannya lebih besar dari koefisien redaman kritis yaitu:
c ccr
1
c
ccr
……(34)
Sehingga solusi persamaan geraknya menggunakan solusi dasar untuk getaran bebas teredam, yaitu menggunakan persamaan (23) .. …
x
p1t
Ae
p2t
Be
Kurva hubungan perpindahan-waktu untuk kondisi redaman yang berbeda
MENENTUKAN FAKTOR RASIO REDAMAN Terdapat dua metode untuk menentukan besarnya faktor rasio redaman, yaitu: Metode setengah amplitudo Metode pengurangan logaritmik
METODE SETENGAH AMPLITUDO
xP
e
xQ T D
T D
2
……(35)
……(36) D
Dimana: xP = perpindahan awal xQ = perpindahan setelah 1 siklus ξ = faktor rasio redaman ω = frekuensi natural TD = periode teredam
METODE PENGURANGAN LOGARITMIK
ln
T D
xP
T D
xQ 2
……(37)
2 D
T D
1
2
2 1
……(38) 2
Dimana: xP = perpindahan awal xQ = perpindahan setelah 1 siklus ξ = faktor rasio redaman ω = frekuensi natural TD = periode teredam δ = pengurangan logaritmik ωD = frekuensi teredam
Kurva hubungan antara jumlah putaran (N) dan faktor rasio redaman:
Contoh 5
Frekuensi natural dari balok kantilever dengan massa terpusat bergerak dinamis. Massa bergerak dengan amplitudo A = 1 in kemudian dilepaskan. Gerakan yang terjadi ditunjukkan gambar di bawah yang mengindikasikan bahwa redaman pada struktur sangat kecil. Hitung frekuensi natural pada titik a dalam radian/detik dan hertz. Hitung pula periodennya.
Jawab
Pada titik a, massa telah bergetar sepanjang 1,25 putaran.
f n
n
T n
1.25 putaran 0.4 s
2 f n
3.125 Hz
(6.28)(3.125) 19.6 rad/s
1
1
f n
3.125
0.32 s
Contoh 6 Sebuah sistem bergetar terdiri dari berat W = 10 lb dan pegas dengan kekakuan K = 20 lb/in. Akibat redaman viskous (liat) sehingga terjadi amplitudo puncak 1,0 dan 0,85. Tentukan: Frekuensi natural Pengurangan logaritmik Faktor rasio redaman Faktor redaman Frekuensi teredam • • • • •
Jawab
Frekuensi natural:
f
k
20
m
10 / 386
27,78 2
2
27,78 rad
4,42 SPS
detik
Pengurangan logaritmik:
ln
x1
ln
x2
1 0,85
0,165
Faktor rasio redaman:
2
0,165 2
2
1
2 3,14
0,165
Faktor redaman: c
ccr
0,256 2 2010
386
0,037 lb
dtk in
Frekuensi teredam: D
1
2
27,78 1 0,0256
27,422 rad
dtk
0,0256
Contoh 7 Sebuah lantai seberat W = 4000 lb ditunjang oleh 4 buah kolom yang sama dan diikat pada pondasi, demikian pula pada lantai. Secara eksperimental telah ditentukan gaya statis sebesar P = 1000 lb bekerja horizontal pada lantai itu dan mengakibatkan perpindahan x sebesar 0,1 in. Diperkirakan redaman struktur sebesar 5% dari redaman kritis. Tentukan: Frekuensi natural tak teredam Koefisien redaman absolut dan redaman kritis Jumlah siklus dan waktu yang diperlukan supaya amplitudo gerakan berkurang dari harga awal 0,1 in menjadi 0,01 in. • • •
Jawab
Frekuensi natural:
P
k . x
k
1000 0,1
k
10000
m
4000 / 386
10000 lb / in 31,06 rad
detik
Faktor redaman kritis:
ccr
2 mk
2 10000.4000 / 386
643,8
lb.dt in
Faktor redaman absolut: c
ccr
0,05 643,8 32,19 lb
dtk in
Pengurangan logaritmik: 2
2 3,14 0,05 2
1
ln
xP xQ
1
0,05
0,314
2
xP xQ
0,314
1,37
Frekuensi teredam: D
1
2
2
31,06 1 0,05
31,02 rad
dtk
xP x1 xQ 1 . ... x1 x2 xQ
xP xQ
ln
ln
xP xQ
0,1 0,01
k
...
0,314k
k
ln 10 0,314
7,33
Periode teredam: T D
2
2 3,14 D
31,02
0,2025 det
Waktu untuk 8 siklus:
t 8 siklus
8T D
8 0,2025 det
1,62 det
8 siklus
Contoh 8 EI=400 KN/cm
2
Tentukan solusi persamaan gerak dari struktur pada gambar disamping.
m = 1000 kg
c = 200 kg/dtk
K = 2 N/cm
L=100 cm
Jawab
Kekakuan balok: k
3 EI 3
L
Kekakuan balok dan pegas:
3 400 KN cm 3 100 K paralel
0,0012 KN/cm 1,2 N/cm
k balok k peg as
1,2 2
Frekuensi natural:
k
320
m
1000
0,56 rad
3,2 N/cm
detik
320 kg/dt
2
p1, 2
c
c
2m
2m
0,1
0,01
2
k m
0,32
0,1 0,55i
Keadaan redaman kurang (under-damped)
1
D
c
2
4mk
0,56 1
200
2
0,55
4 1000 320
Persamaan solusi getaran beban dengan redaman untuk kondisi redaman kurang (under-damped) adalah: c
x
e
2m
e
0 ,1 t
t
A Cos
D
t B Sin
D
t
A Cos 0,55 t B Sin 0,55 t
Misalkan syarat awal getaran pada t = 0 adalah x = 0,3 dan dx/dt = 0 Maka didapatkan nilai konstanta A = 0,3 dan B = 0
x
e
0,1 t
0,3 Cos 0,55t
Pengurangan simpangan setelah 10 detik adalah 0,369 kali simpangan awal.
GETARAN PAKSA STRUKTUR TANPA REDAMAN Getaran paksa adalah getaran yang disebabkan beban luar yang bergetar Getaran bebas adalah getaran yang diakibatkan beban luar pada keadaan awal saja. Selanjutnya struktur bergetar bebas tanpa beban.
m
P
P
K K2
K1
m
x Model persamaan kesetimbangan: 2
m.
d x 2
dt
k . x
P Sin t
……(41)
Persamaan (34) merupakan persamaan diferensial non-homogin. Sehingga solusi persamaan geraknya terdiri dari: Solusi homogin (solusi umum) yaitu solusi yang menghasilkan persamaan gerak getaran bebas Solusi khusus (disesuaikan dengan bentuk beban) •
•
Bentuk solusi umum:
x
A Sin t B Cos
x
A Sin
k m
t
t B Cos
k m
t
……(42)
Bentuk solusi khusus:
x
X Sin t
dx dt d 2 x 2
……(43)
X C os t X
2
Sin t
……(44)
……(45)
Substitusi persamaan solusi khusus kesetimbangan, menghasilkan persamaan: P
X
P 2
k 1
ke
dalam
persamaan
……(46)
2
k 1 r
2
……(47)
r
Dimana X adalah amplitudo getaran dan r adalah rasio antara frekuensi beban luar dan frekuensi alami Sehingga, solusi persamaan gerak secara lengkap yang terdiri dari solusi umum dan solusi khus adalah
x
A Sin t B Cos t
P 2
k 1 r
Sin t
……(48)
RESONANSI DAN PEMBESARAN DINAMIS Persamaan (41) menunjukkan bahwa bentuk solusi persamaan gerak adalah superposisi dari getaran bebas dan getaran akibat beban luar. x
A Sin t B Cos t
Getaran bebas
P 2
k 1 r
Sin t
Getaran beban luar
Pada suku ketiga (akibat getaran beban luar), bila frekuensi getaran luar mendekati frekuensi alami struktur, (r mendekati 1) maka nilai suku ketiga tersebut akan mendekati tak hingga. Keadaan ini disebut resonansi.
x
P 2
k 1 r
Sin t
P
P
k 1 0,9999....
k 0,00...1
Nilai x maksimum akan terjadi bila:
Sin
xmax
t
1
P
P 2
k 1 r
k
1 2
……(47)
1 r
Simpangan statis (xst ) Faktor pembesar dinamis D
1 2
1 r
……(48)
Kurva hubungan antara rasio frekuensi dan faktor pembesar dinamis
Contoh 9 Suatu sistem mempunyai k = 40 lb/in dan berat benda 38,6 lb. Jika x 0 = dx0/dt = 0 dan gaya luar P(t) = 10 cos (10)t, tentukan persamaan geraknya dan sketsa hasilnya.
Jawab
Dari persamaan (41) P
x .
x
k cos 2 1 r P / k 2
1 r
sin
t A sin t B cos t
t A cos
t B sin
t
k
Frekuensi natural:
Simpangan statis:
Rasio frekuensi:
xmax
P / k
n
X st
1 r
r
1 (0.5)
2
m
kg
P
10
k
40
20
2
40(386) (38.6)
0.25 in.
0.5
0.25 2
1
W
10
0.25
2
1
1 0.25
0.33 in
Gunakan kondisi awal untuk menentukan A dan B .
x(0)
0 A
x(0) 0
0
P / k 2
1 r
A 0
B
B
P / k 2
1 r
0,33 in
20 rad/s
P
x
k cos 2 1 r
t A sin t B cos t
x
0,33 cos10 t 0,33 cos 20t
x
0,33 cos10 t cos 20t
GETARAN PAKSA STRUKTUR DENGAN REDAMAN
Model persamaan kesetimbangan: 2
m.
d x 2
dt
c
dx dt
kx
P Sin t ……(49)
Solusi dari persamaan kesetimbangan tersebut terdiri dari solusi umum dan solusi khusus.
Solusi umum (solusi persamaan getaran bebas teredam) c
x
e
2m
t
A Cos
D
t B Sin
D
t
……(50)
Solusi khusus (tergantung pada bentuk beban luar) bisa berbentuk fungsi trigonometri atau fungsi eksponen.
x
C 1Sin t C 2Cos t Atau…
x
Ce
dx
i t
……(52) i t
i Ce
dt
……(53)
2
d x
2
i t
Ce
2
dt
……(54)
Substitusi pers. (51) ke pers. (49)……
m. C
2
C i cC kC P
k m
2
i c
P ……(55)
……(51)
Sehingga, solusi khusus dapat ditulis:
x
Ce
i t
P
x
k m.
i t
2
i c
e
……(56)
Untuk menghilangkan bilangan imaginer pada ruas penyebut, maka digunakan bantuan persamaan trigonometri dan Euler.Didapatkan hasil akhir: i
Pe
x
k m.
2 2
……(57)
c
2
Persamaan (57) dapat juga ditulis dalam bentuk:
ccr 2
2 mk k m
x
P 2 2
k 1 r
i
e
2r
x statis
2
……(57)
RESONANSI PADA GETARAN PAKSA Dari persamaan (57)… i
Simpangan statis xst
Pe
x
2 2
k 1 r
2r
2
i
Nilai maksimum e
Sehingga didapatkan:
1
D
2 2
1 r
2r
2
……(58)
Pada keadaan resonansi (r = 1)
D
1 2
……(59)
P
k 1
Tabel Nilai Rasio Redaman pada berbagai jenis struktur berdasarkan SNI-1726-2002
Tipe Bangunan
Rasio Redaman
Rangka baja terbuka, sambungan las, dinding lentur Rangka baja, sambungan las, memakai lantai dan dinding sekat Rangka baja, sambungan baut, memakai lantai dan dinding sekat Rangka beton dengan dinding lentur Rangka beton dengan dinding sekat Rangka beton dengan dinding bata Dinding geser beton Rangka kayu dan dinding geser
0,02 0,05 0,1 0,05 0,07 0,1 0,1 0,15
Contoh 10 Sebuah balok pada tengah bentangnya memikul sebuah mesin dengan berat W = 1000 lb. Balok ini terbuat dari 2 profil standard S8 x 23 dengan bentang bersih L = 12 ft dan dengan momen inersia penampang total I = 2 x 64,2 = 128,4 in4. Motor berotasi pada 300 rpm (putaran per menit), dengan ketidakseimbangan rotornya sebesar W’=40 lb pada jari-jari e 0 = 10 in. Berapa besar perpindahan statis jika redaman liat (redaman viskous) dianggap ekivalen dengan 10% redaman kritis.
Jawab k
48 EI
6
48 30 10
3
L
144
128,4
61920 lb/in
3
k
Frekuensi natural:
n
1
2
kg
m
1
2
61920(386) (16000)
W
38,65 rad/s
Frekuensi beban = 300 rotasi per menit, maka
300 2
31,41 rad/s
60 Rasio frekuensi: Gaya luar:
P
31,41
r
0,813
38,65 2
40 10 31,41 / 386 1022 lb
Perpindahan statis:
x
P 2 2
k 1 r
2r
2
1022 / 61920 2 2
1 0,813
2 0,813 0,1
0,044 in 2
9
GETARAN AKIBAT BEBAN IMPULS Beban dinamik tidak selalu bergetar periodik seperti fungsi sinus atau cosinus, tetapi dapat juga berubah secara tak tentu. Salah satu bentuk beban dinamis adalah beban impuls, yaitu beban yang bekerja sesaat tetapi dapat menimbulkan getaran setelah beban tesebut dihilangkan. Contoh bentuk-bentuk beban impuls: P(t)
P o
t r
t
Percepatan yang timbul akibat beban impuls: 2
d x
Fdt
2
dt
……(60)
m
Getaran yang dihasilkan akibat beban impuls adalah getaran bebas teredam. Sehingga, solusi persamaan geraknya adalah: c
x
e
dx
t
2m
A Cos c
c 2m
dt 2
d x 2
dt
c
e
c
2
4m
dengan
2m
2
e
D
2m
D
t B Sin
D
t
……(61)
t
A
D
Sin
t
A k
c
m
2m
2
D
2
D
Cos
t B
D
D t B
Cos 2
D
D
Sin
t
D
……(62)
t
……(63)
Masukkan syarat batas:
x(0)
2
dx
0
0
dt
A
Didapatkan:
d x
Fdt
2
dt
0
B
m
Fdt m
D
Sehingga, solusi pers. Gerak akibat beban impuls untuk sistem dengan redaman adalah: c
x
e
2m
t
Fdt m
F
Sin
D
t
……(64)
D
t Dan solusi persamaan gerak untuk sistem tanpa redaman:
x
x
Fdt m
Sin t
……(65)
t
GETARAN AKIBAT BEBAN DINAMIS KOMPLEKS Beban dinamis kompleks adalah jumlah dari beban impuls, sehingga pengaruhnya adalah superposisi dari sejumlah besar beban impuls.
Digunakan variabel waktu beban (τ) dan waktu getaran (t) untuk menjabarkan pembebanan dinamis kompleks.
Solusi persamaan gerak akibat beban impuls satuan adalah:
x
Fd
Sin
m
t
……(66)
Sehingga superposisi/gabungan dari sejumlah beban impuls satuan menghasilkan solusi persamaan gerak:
x
1
m
t
FSin
t
d
……(67)
0
Bentuk persamaan integral diatas disebut dengan integral duhamel/integral konvolusi
BEBAN MERATA YANG BEKERJA TIBA-TIBA DARI t = O P(t)
x P o
1
m
xst
F 0 Sin
t
d
0
F 0 t
t
m F 0
Cos
t
F 0 0
k
1
Cos t (68)
k
Nilai maksimum dari (1-cos ωt) = 2. Sehingga nilai pembesaran simpangan adalah 2 kali simpangan statis (xst)
Grafik hubungan pembesaran simpangan dan waktu untuk sistem SDOF teredam………
BEBAN SEGI EMPAT YANG BEKERJA DENGAN INTERVAL WAKTU TERBATAS
Misal: Daerah pada saat impuls masih bekerja (0 < t < t d),maka td = 5/4 Tn Daerah pada saat impuls masih bekerja (t > t d),maka td = 1/8 Tn
Getaran paksa terjadi sampai interval waktu t d . Setelah waktu t d, terjadi getaran bebas dengan syarat awal posisi pada t d. Solusi persamaan gerak pada waktu sebelum t d (0 < t < t d),
x
t
1
F 0 Sin
m
t
t d dt d
0
F 0 m
Cos
t
t d
t d 0
F 0 1 k
Solusi persamaan gerak pada saat t d (t = td),
x
F 0
1
dx
k F 0
dt
k
Cos t d
…(70)
Sin
…(71)
t d
Cos t
…(69)
Solusi persamaan gerak setelah waktu t 1 (t > t1) mempunyai bentuk getaran bebas:
x x
ACos t BSin t F 0 k
1
Cos t 1 Cos
Faktor Pembesaran Dinamis:
F 0
t t 1
Sin t 1Sin
k
FBD
x xst
…(73)
Untuk (0 < t < t 1),
FBD 1 Cos t 1 Cos 2
t
…(74)
T
Untuk (t > t1),
FBD
Cos 2
t
t 1
T
T
Cos 2
t T
…(75)
t t 1
…(72)
Kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak teredam yang dibebani dengan beban merata segi empat untuk waktu terbatas:
BEBAN IMPULS SEGITIGA Solusi persamaan geraknya menggunakan persamaan (66) t 1
x
Sehingga, untuk interval waktu
x
F k
t
1
t 1
Cos t
Untuk interval waktu
x
F k
1 t 1
FSin
m
d
0
F
F 0 1
F
0
0
t
t t 1
untuk 0 untuk t
t
t 1 .…(76) t 1
t t 1
1 t 1
Sin t
.…(77) …(76)
.…(78)
t t 1
Sin t 1 Cos t 1
Cos t
t 1
Sin t 1
.…(79)
Kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak teredam yang dibebani dengan beban merata segi tiga:
Contoh 11 Sebuah kerangka baja dipengaruhi gaya horizontal pada balok. Gaya brkurang secara linier dari 5 kip pada saat t = 0 menjadi nol pada saat t = 0,6 detik.Tentukan lendutan horizontal pada saat t = 0,5 detik dan lendutan horizontal maksimum (dengan anggapan bahwa kolom tidak bermassa, balok sangat kaku dan redaman diabaikan.
Jawab
k
k 1
k 2
12 EI 2
2
L1
L2
6
12 30 10
15 12 k m
1
2
3 EI
82,8
6
3 30 10
3
20 12
5650,2 386 20000
82,8
5650,2 lb
3
10,44 rad/s
F F=5 kips Data beban:
t1=0,6 s
t
in
Dari pers. (78) untuk t = 0,5 detik:
F
x
x
k
t
1
t 1
5000 5650,2
Cos t 0,5
1
0,6
1 t 1
Sin t
Cos 10,44 0,5
1 10,44 0,6
Sin 10,44 0,5
- 0,4072 in
Perpindahan maksimum: Dari kurva hubungan Faktor Pembesaran Dinamis maksimum untuk osilator tak teredam yang dibebani dengan beban merata segi tiga,
T
2
2 10,44
t 1
0,6
T
0,602
xma x xst
1,55
0,602 s
0,9972 xma x
dr kurva didapatkan (FBD)max 1,55 1,55 xst
1,55
F k
1,55
5000 5650,2
1,37 in
Contoh 12 Sebuah gedung yang ditujukan untuk mendapatkan gaya ledak dibuat model dengan sistem SDOF. Tentukan gaya ledak maksimum yang dapat ditahan bila perpindahan dibatasi sampai 5 mm dan apabila : (1) t 1 = 0.4 s, (2) t 1 = 0.04 s
Jawab
k
Frekuensi natural:
m
T
2
1
2
9
9 10
6
6 10 0,21s
30 rad/s
Berdasar kurva Faktor Pembesaran Dinamis (FBD) untuk beban segitiga: Untuk t1 = 0,4 s dan x = 5 mm = 0,005 m
t 1
T
1,905 x
FBD xst
FBD
1,75
xst P
0,00286
k
1,75
max
0,005 xst P 9
9.10
xst P
0,00286 6
25,7 10 N
Untuk t1 = 0,04 s dan x = 5 mm = 0,005 m
t 1 T
0,19 x
FBD xst
xst P k
FBD
0,19 0,0263
0,58
max
0,005 xst P 9
9.10
xst P
0,0263 6
77,6 10 N
10
SISTEM BANYAK DERAJAT KEBEBASAN
PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN DUA DERAJAT KEBEBASAN Persamaan Kesetimbangan Massa 1: 2
m1
d x1 2
dt
c1
d x1 x2 dt
k 1 x1
x2
0 .…(85)
Persamaan Kesetimbangan Massa 2: 2
m2
d x2 2
dt
c2
dx2 dt
k 2 x2
c1
d x1 x2 dt
k 1 x1
x2
0 (86)
Kedua persamaan tersebut disusun dalam bentuk matriks: 2
m1
0
0
m2
d x1
k 1
dt 2 2 d x2
k 1
k 1 k 1
k 2
x1
c1
x2
c1
c1 c1
c2
dt 2
M
dx1 dt dx2 dt
d 2 x
K x
2
dt
C
dx dt
0
(88)
Untuk redaman = 0 2
M
d x 2
dt
K x
0
(89)
0 0 (87)
2
Solusi persamaan homogen tersebut adalah:
d x 2
dt
2
x (90)
Dengan ω adalah frekuensi alami getaran. Substitusi persamaan (90) ke dalam persamaan (89): 2
Atau:
2
M x 1
K x
K M x 1
K M
0
I x
D dan
Maka diperoleh persamaan homogen:
(91)
0
1 2
D
(92) [D] adalah matriks dinamis
I x
0
(93)
Yang menghasilkan nilai eigen λ dan eigen vektor (x) melalui persamaan penentu: Det D I 0 (94)
Contoh 15
Tentukan bentuk ragam (modeshape) dari struktur disamping
Jawab
Matriks kekakuan:
Matriks massa: M
k
K
k
m
0
0
m
k
4k
K
1
4
1
3k 1
3k 1
3k
3k
Matriks dinamik:
D
4m D
3k
3k
3k
3k
3k
3k
m 3k
15mk 0 833
m
3k
m
m
2
3k
m
m
4m
3k m
4m
4m
4m 3k
3k m
3k
0
I
M
m
3k m
3k Det D
1
m
3k m
I
K
4m
2
9k
m 2
0 51
m
2
m
2
0 0
2
0
3k
2
0
1
2
1,343
m
2
k m 0,323 k
2
0,744 3,090
k m k
m
Ragam getaran diperoleh dengan memasukkan nilai frekuensi alami ke dalam persamaan gerak: 2
1
K M x
2
Ragam 1
0,744
k m
0
I x
0,744
K
1
k m
4m
m
3k m
3k x1 m x2 3k
3k
D
1
0 x1
0
0
1 x2
0
M
4m
m
3k m
3k m
3k
3k
0,992
0,248 x1
1
0
x1
0
x1
3,07
0,248
0,248 x2
0
1 x2
0
x2
1,00
2
Ragam 2
3,090
k m
4m
m
3k m
3k x1 m x2 3k
3k
4,12 1,03 1,03
3,090
k m 1
0 x1
0
0
1 x2
0
x1
1
0
x1
0
x1
1,03 x2
0
1
x2
0
x2
0,33 1,00
Contoh 16 Model bangunan penahan geser digunakan untuk kerangka seperti gambar . Tenukan frekuensi natural dan bentuk ragamnya.
Jawab
K1
m1
K2
m2
K 1 K 1
m1
m2
M
K
3 E (2 I ) 3
3
L1
W 1 g W 2 g
3
6
18 EI
18 10
3
L1
12 E (2 I ) L2
12 EI
12 12 in
L1
6
12 2 10 10 12 in
2 40 ft 386 in 2 dt 3 20 ft 386 in 2 dt
13,889
3
2
0,2073
0
0
m2
0
0,1554
k 2
k 2 k 2
in
in
0,1554 K dt
0
k 2
kips
2
0,2073 K dt
m1
k 1
3
19,97 13,889
in
13,889 13,889
6,028
kips in
Dengan cara yang sama seperti contoh 15, didapatkan hasil:
D
K
1
2
0
I
2
15,27 (ragam 1)
2
170,21 (ragam 2)
1 2 2
dan
M
Det D
1
1
K M x
Ragam 1
Ragam 1
I x
x1 x2 x1 x2
1,00 1,206 1,00 1,107
0
11
PERSAMAAN GERAK SISTEM DENGAN TIGA DERAJAT KEBEBASAN
Gaya inersia:
F i 1 F i
2
F i 3
m1
Gaya elastis:
2
x1
m2
2
m3
2
(95)
x2 (96)
x3 (97)
F E 1
k 1 X 1 X 2 (98)
F E
k 2 X 2
2
F i 3
k 3 X 3
X 3 (99) (100)
Persamaan kesetimbangan untuk masing-masing tingkat: 2
m1
d x1
c1
2
dt
d x1 x2 dt
2
m1
d x2 2
dt
d x2 x3
c2
m3
2
dt
k 2 x2 x3
dt
2
d x3
dx3
c3
dt
0
k 1 x1 x2
k 3 x3 c2
d x2 x3 dt
c1
(101)
d x1 x2 dt
k 1 x1 x2
0 (102)
0 (103)
k 21 x2 x3
Dalam bentuk matriks: 2
d x1 m1
0
0
0
m2
0
0
0
m3
dx1
2
dt 2 d x2
k 1 k 1
2
dt 2 d x3
k 1 k 1
0
k 2 k 2
k 2
0
x1
c1
k 2
x2
c1
k 3 x3
0
c1
c2 c2
dt dx2
0
c1
c2 c2
c3
2
dt dx3
0 0 0
dt
dt
2
M
d x 2
dt
K x
C
dx dt
0
(105)
(104)
Untuk redaman nol: 2
M
d x 2
dt
d 2 x dt 2
K x 2
x
(106)
0 (107)
Dengan cara yang sama dengan sistem 2 derajat kebebasan, didapatkan nilai eigen dan vektor eigen (λ):
Det D
I
0
(108)
Perhitungan ragam struktur dengan mencari matriks D atau invers matriks K untuk struktur dengan banyak derajat kebebasan, sangat susah untuk dilakukan. Oleh karena itu, digunakan metode iterasi untuk mempermudah perhitungan. Metode iterasi yang biasa dipakai adalah metode STODOLA dan HOLZER.
METODE ALTERNATIF: 2
d x
M
0
K x
2
dt
2
d x
2
2
dt 2
M x
K Nilai eigen:
K
2
M
2
x
K x M x
0
0 0
(109)
(110)
Bentuk ragam perpindahan struktur menggunakan persamaan (109)
dapat
diperoleh
Contoh 17 Suatu struktur yang dimodelisasikan sebagai sistem berderajat kebebasan tiga dengan data-data seperti pada gambar. Tentukan frekuensi natural dan bentuk ragamnya.
Jawab
K 1
50000 lb/in
W 1
10 kips
K 2
40000 lb/in
W 2
K 3
30000 lb/in
W 3
2
m1
25,91 lb.dt / in
6 kips
m2
15,54 lb.dt / in
4 kips
m3
10,36 lb.dt / in
2
2
Dalam bentuk matriks:
k 1
k 2
0
k 2
k 2
k 2
k 3
0
90000
k 3
k 3
k 3
40000
40000
70000
0
0
0
25,91
0
0
0
m2
0
0
15,54
0
0
0
m3
0
0
10,36
2
Det
40000 0
30000
0
M
90000 25,91
30000
30000
m1
Det K
0
2
40000 70000 15,54 30000
0 2
30000 30000 10,36
0 2
(90000 25,81
2
)[(70000 15,54
( 30000)(30000) 6
4169,641
4
11
1,2173 10
2 1
633,78
2 2
3244
2
56,96 rad/dtk
2 3
6996
3
83,64 rad/dtk
K
2
M x
2
)(30000 10,36
40000( 40000(30000 10,36
45346360 1
2
2
2
)
)]
13
0
6 10
0
x11
0
x21
0
x31
0
25,17 rad/dtk
0
Ragam 1:
90000 25,91 40000 0
2 1
40000 70000 15,54 30000
0 2 1
30000 30000 10,36
2 1
Ragam 2: 90000 25,91
2
40000
2
40000
70000 15,54
0
0 2
30000
2
30000
30000 10,36
2 2
x12
0
x22
0
x32
0
x13
0
x23
0
x33
0
Ragam 3: 90000 25,91 40000
2
40000
2
70000 15,54
0
0 2
30000
2
30000
30000 10,36
x12
x13
1
1
x21 x22
x23
1,8396
0,1490
x31
x33
2,3551
x11
x32
1,2362
2 2
1 2,2804 1,6102
12
METODE STODOLA Digunakan untuk sistem MDOF tanpa redaman. Jika sistem bergetar tanpa redaman, maka terjadi keseimbangan antara gaya inersia dan gaya elastis. 2
d x
M
2
dt 2
M x
2
M x
1 2
x
0
K x K x
0
K x K
1
D
M x
(111)
(112) (113)
(114)
Matriks dinamis
Analisa mode-mode batas: 1
Mode terendah:
2
Mode tertinggi:
2
Mode antara
Dn S 0
1
x
x
D x
E x
S n
S n D
(115)
E
I
M
1
K
(116)
(118)
S 0
(117)
Didapat dari ragam yang setingkat lebih rendah. Misal: matriks S0 untuk mode 2 didapat dari bentuk ragam mode 1
Misal, untuk gedung 4 lantai: S 0
m4 . x4
m3 . x3
m2 . x2
m1. x1
0
0
0
0
0
0
0
0
(119)
METODE HOLZER Perbedaan pokok metode Stodola dan Holzer: Cara Holzer memakai perumpamaan pada natural frequency Cara Holzer dapat menentukan mode ke-n yang dikehendaki tanpa harus mengetahui mode ke-(n-1) terlebih dahulu. •
•
Persamaan dasar cara Holzer:
2
M x
K x
(120)
Contoh 18 Suatu bangunan dengan 3 buah massa satuan = m dan kekakuan = k seperti pada gambar dianggap bergetar horizontal. Tentukan bentuk ragam struktur tersebut.
Menyusun matriks kekakuan:
k 3 K
k
k 3
0
0
k 3 k 3
k 2 k 2
1
k 2 k 2
k 1
1 0
1 3 2
0 2 5
Matriks Fleksibilitas:
F
K
1
1
11 5
2
5
5
2
2
2
2
6K
Matriks massa:
m1 M
0
1
0
0
m 0
m2
0
0 1,5 0
0
0
m3
0
Matriks dnamis:
D
0
m
6k
D
0
M
2
1
1
6m
6 0 0 0 4 0 0 0 3
F M
11 5
2 1
0
5
5
2 0 1,5
0
2
2
2 0
2
0
0
m
6k
11 7,5
4
5
7,5
4
2
3
4
Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 1:
1 2
x
D x 1
Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya: x
0,5
Iterasi-1:
0,3
m
6k
11 7,5
4
1
5
7,5
4
0,5
2
3
4
0,3
m
6k
15,95 9,95
15,95m
4,7
6k
1 0,6238 0,2947
Iterasi-2:
m
6k
11 7,5
4
1
5
7,5
4
0,6238
2
3
4
0,2947
dst .....!
m
6k
16,8573 10,8573 5,0502
16,8573m 6k
1 0,6441 0,2996
Pada iterasi ke-7 didapatkan:
11 7,5
m
6k
4
1
5
7,5
4
0,6485
2
3
4
0,3019
17,0714
m
11,0714
6k
17,0714m 6k
5,1531
1 0,6485 0,3019 Bentuk ragam
1 2
Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode 3: 2
E
x
E x
k
6m
E
6 0 0 0 4 0 0 0 3
M
1 1 0
1
K
1 3 2
0 2 5
k
6m
6 4 0
6 12
0 8
6 15
1 Ambil harga sembarang untuk permulaan x, misalnya:
x
1 1
Iterasi-1:
k
6m
6 4 0
6
0
12
8
6
15
6
0
1 1 1
k
12
6m
24 21
1
2k m
2 1,75
Iterasi-2:
k
6m
6 4 0
1
12
8
2
6
15
1,75
k
6m
dst .....!
sampai dengan nilai x konvergen.
18 42 38,25
3k m
1 2,33 2,13
Pada iterasi ke-10 didapatkan:
k
6m
6
6
4 0
Iterasi-1:
0
12
1
8
6 15
21,25
k
2,54
6m
2,44
54 51,82
1
21,25k
2,54
6m
2,44
2
Bentuk ragam
Bentuk ragam dan frekuensi natural dari mode antara/mode 2 (menggunakan nilai x dari mode 1):
S 0
m3 x3
m2 x2
m1 x1
m3 x3
m3 x3
m3 x3
0
0
0
0
0
0
m2 x2
m1 x1
m3 x3
m3 x3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 0,87 0,5
S 1
D2
I
S 0
D S 1
m
6k
1 0 0
1 0,87 0,5
0
0,87
0,5
0 1 0
0
0
0
0
1
0
0 0 1
0
0
0
0
0
1
11 7,5
m
6k
0
0,87
0,5
5
7,5
4 0
1
0
2
3
4 0
0
1
2,07
1,5
0
3,15
1,5
0
1,26
3
Persamaan iterasi:
4 0
D2 x
1 2
x
Iterasi 1:
m
6k
0
2,07
1,5 1
0
3,15
1,5
1
0
1,26
3
1
1,5
1
3,57
m
6k
3,57m
4,65
6k
4,26
1 1,3 1,19
Iterasi 2:
m
6k
0
2,07
0
3,15
1,5
1,3
0
1,26
3
1,19
3,57
m
4,48m
4,65
6k
6k
4,26
Dst… Sampai nilai (x) konvergen.
1
1 2 2
4,48m 6k
2 2
6k 4,48m
1,3453
k m
x2
1,32 1,15
1 1,31 1,16
Note: Mode antara (mode 3) untuk gedung 4 lantai (gunakan nilai (x) dari mode 2)
S 1 '
m4 x4
m3 x3
m2 x2 m1 x1
m4 x4
m4 x4
m4 x4 m4 x4
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
S 2
S 1
D3
S 2 D2
D3 x
S 1 ' 1 2
x
1
m3 x3
m2 x2 m1 x1
m4 x4
m4 x4 m4 x4
METODE HOLZER Mode 1
Mode 2
Mode 3
13
PERSAMAAN GERAK DENGAN METODE ENERGI Selain dengan persamaan keseimbangan, persamaan gerak getaran juga dapat diturunkan dengan metode energi. Berdasarkan hukum kekekalan energi maka energi gerak timbul akibat perubahan dari energi regangan, energi kinetik dan energi redaman. Untuk kasus getaran bebas tanpa redaman, energi yang terlibat adalah energi regangan dan energi kinetik dari massa yang mendapat percepatan. Energi regangan pada pegas yang berdeformasi dari posisi seimbang adalah:
E
1 2
kx
2
(121)
P = kx
Energi kinetik dari massa yang mendapat percepatan :
dv dt
E
1 2
kx
2
V
1 2
m
dv
2
1 2
dt
2
m
d x 2
dt
2
(122)
x
1
Energi total:
kx
2
1
2
m
d x
2
(123)
2 2 2 dt karena variasi energi sama dengan nol, maka didapat persamaan 2
0
kx
m
d x 2
dt
0
(123)
Energi regangan pada balok atau tiang kantilever dengan perpindahan ujung tempat massa terpusat X adalah:
X x
x=
X
y L
E 0
1 2
2
EI
d x dy
2
l
dy 0
1 EI ( 2
//
2
X ) dy
1 2
KX
2
(124)
2
L
K
2
EI
//
dy
(125)
0
K = konstanta pegas balok dinyatakan dalam fungsi ragam
Besar energi kinetik jika massa terpusat diujung adalah: V
dengan prinsip keseimbangan:
1 2
m
dv
2
1 2
dt
kekekalan
2
m
d X
2
(126)
2
dt
energi,
didapat
2
KX
m
d X 2
dt
0
(127)
persamaan
MODEL GERAK BENDA KAKU DAN TUMPUAN ELASTIS
y x
X(t)
L
y
x
L
X
(128)
Gerakan struktur, selain disebabkan sifat elastis struktur, juga disebabkan sifat elastis tumpuannya. Bila struktur dianggap kaku, maka simpangan salah satu titik dapat digunakan untuk menghitung simpangan di titik lain.
Jika pusat massa pada posisi y, maka percepatan massa adalah: 2
d x 2
dt
2
d
2
dt
y L
2
X
y d X 2
L dt
(129)
Sehingga, persamaan kesetimbangan menjadi: 2
m m
y d X 2
L dt y L
2
y
KXL
0 (130) X
2
d X 2
dt
KX
0 (131)
A sin t B cos t L y
Contoh 19 Scan Teknik gempa hal 77
k m
(132)
Sebuah balok kaku terdiri dari tumpuan sendi dan pegas, dua massa dan satu redaman. Jika koordinat umum diwakili oleh simpangan X, maka simpangan dari massa 1 adalah (-0,25X), simpangan massa 2 adalah (0,25X) dan simpangan redaman sebesar (0,5X), maka didapat persamaan gerak: 2 2 0,25 a m1
d X
d X
0,25 a m2
2
dt
2
dt
0,5 2a c
dX dt
4a kX
……(133)
Atau: 0, 25 a m1
Atau:
M
m2 *
d 2 X dt 2
d 2 X dt 2
ac *
C
dX dt
dX dt
4 ak X
K * X
0
0 ……(134) ……(135)
Dimana M* adalah massa umum, C* adalah redaman umum dan K* adalah kekakuan bersama.
0
SISTEM MASSA TERDISTRIBUSI Tidak semua bangunan dapat dimodelkan dengan sistem massa terpusat pada beberapa titik. Beberapa bangunan (seperti menara), memiliki masa yang terdistribusi pada seluruh bangunan. Namun sistem ini tetap dapat bergetar dengan beberapa ragam getar Pada sistem massa terdistribusi ini, fungsi ragam getar dinyatakan dalam rasio terhadap salah satu titik patokan yaitu:
X(y,t) = f(y).X0(t)
(136)
f(y) adalah fungsi ragam, X(y,t) adalah fungsi getaran atau perpindahan pada titik y, X0(t) adalah fungsi getaran atau perpindahan pada titik patokan yang mewakili getaran bersama
Simpangan pada titik patokan X0, kemudian dinyatakan dalam persamaan gerak harmonis yaitu:
X 0
A sin t B cos t ……(137)
jika fungsi ragam diketahui dan ini tidak dipengaruhi oleh variabel-t, maka persamaan gerak dapat dinyatakan dalam koordinat umum yaitu X0. Untuk mencari massa umum, redaman umum dan kekakuan umum, digunakan metode emergi
contoh 20 sebuah kolom kantilever prismatis dengan massa dan redaman terdistribusi
Gerakan selama getaran adalah:
X(y,t) = f(y)X0(t)
……(138)
Energi regangan akibat simpangan elastis adalah: H
V
1
2 0
2
EI
d x dy 2
2
dy
1 2
2
EI
d f dy 2
2
dy X 0
2
……(139)
Energi ini harus sama dengan energi regangan kekakuan umum K* yaitu: 1
V
*
2
K X 0
2
……(140)
Dari persamaan energi ini dapat diperoleh nilai kekakuan 2 umum: H 2 d f * ……(141) K EI dy 2 dy 0 Dengan cara yang sama didapat nilai redaman umum C* dan massa umum M* H
*
C
c 0
df dy
H
2
dy
……(142)
M
*
2
mf dy
……(143)
0
Persamaan getaran bebas sistim massa dan redaman terdistribusi sekarang dapat dinyatakan dalam persamaan gerak satu derajat 2 kebebasan yaitu d X 0 * * dX 0 * ……(144) M C K X 0 0 2 dt dt Berdasarkan fungsi ragam yang dipilih, persamaan ini berlaku untuk ragam pertama atau ragam yang lebih tinggi.
dipilih fungsi ragam pertama……
f y
1 cos
y
df
2 H
dy 2
2
d f dy
2
cos
2 H
H
Massa umum:
*
m 1 cos
M
0
Kekakuan umum:
K
EI 0
2 H
*
C
c 0
cos
2
H
Redaman umum:
mH
2
4
H *
2 H dy
2 H
2 H
sin
2
2 H
y
2
y
2 H
sin
y
2
y
2 H
y 2 H
3
8 4
EI
dy
32H 2
dy
c
8 H
3
Selanjutnya persamaan gerak akan memiliki model sama dengan model bandul satu derajat kebebasan dengan redaman. M*, K*, dan C* adalah massa umum, kekakuan-umum dan redaman umum dari sistem
Besaran umum:
Massa umum ini nilainya bergantung pada fungsi ragam dan fungsi massa. Jadi ada perbedaan antara massa umum pada ragam pertama dan ragam kedua.
Dengan memakai hasil dari sistem bandul sederhana untuk getaran bebas, maka akan diperoleh nilai frekuensi alami sistim terdistribusi *
K
M
*
*
……(145)
Tanpa redaman
K D
*
2
*
C
*
M 2 M Dengan redaman
……(146)
Ragam pertama tanpa redaman H
*
m 1 cos
M
0
K
EI 0
2 H
4
H
*
y
2 H
cos
2
2
dy
y
2 H
mH
3
2 4
dy
EI
32H 3
8
14
Getara Geta ran n ak aktu tual al st stru rukt ktur ur me meru rupa paka kan n kom ombi bina nasi si be bebe berrap apa a ragam rag am geta getaran ran
Sala Sa lah h sa satu tu ca cara ra mengk mengkom ombi bina nasi sika kan n me mela lalu luii an anal alis isis is ra raga gam m
Analisis ragam didasarkan pada sifat ortogonal ragam yang meru me rupa paka kan n ei eige genn-ve vekt kto or da dari ri pe pers rsam amaa aan n ge gera rak k si simu mult ltan an sist si stim im de deng ngan an ba bany nyak ak de dera raja jatt keb ebeb ebas asan. an. Si Sifa fatt or orto togo gona nall antara ant ara dua rag ragam am din dinyat yataka akan n dal dalam am ben bentuk tuk:: (147)
sifat ortogonal ragam-i raga ra gamm-jj den denga gan n ma mass ssa a
dan
(148)
sifat ortogonal ragam-i raga ra gamm-jj den denga gan n kek ekak akua uan n
da n
Persa ersama maa an keset esetim imb bangan gan si sist stem em denga engan n ban banyak derajat derajat kebebasan: ebebasan: 2
M
d x 2
dt
K x
C
dx dt
0
……(149)
Dimana:
……(150)
……(151)
……(152)
……(153)
……(154)
……(155)
Percepatan Akibat Beban Gempa Gaya inersia = 2
m
d
2
dt
X g
X 1
……(156)
Merupakan variabel yang dipengaruhi oleh percepatan pondasi
Gaya elastis = K(X1 + Xg) – (X2 + Xg) = K(X1 - X2) (Merupakan variabel yang tidak dipengaruhi oleh simpangan pondasi)
Simpangan relatif dan simpangan absolut Jika percepatan terjadi akibat gempa atau pergerakan horizontal tanah maka (x) adalah nilai perpindahan relatif, dan (X) adalah nilai perpindahan absolut. Hubungan keduanya adalah:
X x xg
X
X x
……(157)
Perpindahan absolut mempengaruhi gaya dan perpindahan relatif inersia, mempengaruhi gaya elastis dan gaya redaman antar tingkat. xg
X
Matriks Persamaan Kesetimbangan: 2 2 d x g d x dx M K x C 2 2 dt dt dt M
d 2 x
K x
2
dt
dx
C
dt
Persamaan kesetimbangan massa 1: d 2 x1 d ( x1 x2 )
m1
c1
2
dt
k 1 x1
dt
M
x2
m
d 2 x g dt 2
0
……(158)
d 2 x g
……(159)
2
dt
……(160)
Dst…… Sehingga persamaan kesetimbangan massa total: 2
d x1 m1
0
0
0
m2
0
0
0
m3
2
dt 2 d x2 2
dt 2 d x3
k 1 k 1
0
k 1 k 1
k 2 k 2
k 2
0
x1
k 2
x2
k 3 x3
2
c1 c1
0
0
c1 c1 c2 c2
c2 c2
c3
dx1 dt dx2
dt 2 d xg
dt dx3 dt
dt
……(161)
2
d xg 2
m
2
dt 2 d xg 2
dt
PERCEPATAN GEMPA PADA SDOF…… Gaya gempa pada bangunan berasal dari gaya inersia karena massa bagunan mendapat persepatan tanah. Jika percepatan tanah yang dirambatkan oleh gempa berubah menurut fungsi waktu, maka gaya gempa juga berubah.
x
X x xg
x
2
Fi FD FE xg Persamaan kesetimbangan: 2
2
m
d x 2
dt
m
2
m
d x 2
dt
c
d xg 2
dt
dx dt
.…(80)
c
dx dt
F i
m
F D
c
F E
kx
d X 2
dt dx
dt kx
m
kx
m
2
dt
d x 2
dt
m
.…(82)
0
2
d xg
2
2
.…(84)
.…(83)
d xg 2
dt
.…(81)
Salah satu metode untuk mencari besarnya nilai x g adalah memakai kurva spektrum respon sistem elastis untuk gempa El Centro 1940 …..
Besarnya peerpindahan tanah juga dapat dicari dengan menggunakan spektrum dasar rencana yang dinormalisasi untuk 1,0 g
Contoh 21 Sebuah Sebuah struk struktur tur deng dengan model model sistem sistem massa massa-pe -pega gass sepert sepertii gamb gambar ar,, diangg dianggap ap dipeng dipengaru aruhi hi pada pada penyo penyoko kongn ngny ya oleh oleh gemp gempa a bumi bumi El Centro Centro 1940. Anggapl Anggaplah ah struktur ini bersifat elastis dan gunakan grafik spektrum respon yang tepat untuk mendapatkan perpindahan relatif maksimum antara massa dan penyokong. Juga hitung gaya gaya maksimum yang yang bekerja pada pegas. Abaikan redaman.
Jawab
k
Frekuensi natural:
1
2
8 38 386 6 400 40 0
m
f
2,77 778 8 2
2
2,77 778 8 rad/s
0,442 spd spd
Dari gambar respon spektrum, didapatkan S D = 11 in
F s
max
K S D
8 11 88 kips
Contoh 22 Sebuah struktur dengan model sistem berderajat kebebasan tunggal mempunyai frekuensi natural T = 0,5 s. Gunakan metode spektrum respon untuk menentukan percepatan absolut maksimum , perpindahan relatif maksimum dan kecepatan palsu maksimum pada daerah elastis untuk: a) Gerakan pondasi yang sama dengan gempa bumi El Centro 1940 b) Spektrum rencana dengan percepatan percepatan tanah maksimum maksimum sebesar sebesar 0,3g 0,3g (abaikan redaman). Jawab
a) Dari Dari kurv rva a res espo pon n sp spek ektr trum um gempa El Centro dengan f = 1/T = 1/0,5 = 2 spd
f 2 0
12,566 rad/s
SD
4 in
SV
50,3 in/det
Sa
1,63 g
b) Dari kurv rva a respon spektrum rencana dengan f = 2 spd, ξ = 0 dan percepa percepatan tan tanah maksimu maksimum m 0,3g
SD
16 0,3
SV
200 0,3
Sa
4,8 in 60 in/det
1,63 0,3 1,96 g
PERCEPATAN GEMPA PADA MDOF…… Contoh 23 W 2 = 50 lb/ft
W 10 x 21 W 1 = 100 lb/ft
W 10 x 45
30'
Jawab
Bangunan kerangka baja sederhana kaku. Berat lantai dan dinding dianggap termasuk berat struktur lainnya. Bangunan 10' dimodelkan sebagai bangunan penahan geser dengan spesifikasi struktur tertera pada gambar. Bila kerangka tersebut dipengaruhi secara tiba-tiba oleh 15' percepattan konstan sebesar 0,28g pada dasar pondasi. Hitung besarnya perpindahan maksimum yang terjadi pada masing-masing lantai.
Kekakuan kolom :
12 E 2 I
K
L3
12.30.10 6.248,6.2
K 1
15.12
30700 lb/in
3
12.30.10 6.106,3.2
K 2
10.12
44300 lb/in
3
Dengan cara yang sama seperti pada contoh 15 atau 16, didapatkan harga frekuensi natural dan bentuk ragam: 2 1 2 2
140 1082 11
1 21
11,8 rad / dtk
1 1
32,9 rad / dtk
1
12
1,263
1 22
1 1,629
Pola normal dari bentuk ragam: ij
a1
n
mk .
kj
k 1 n
mk .
mode 1
kj
136(1)
2
66(1,263)
2
241,31
k 1 n
mode 2
mk .
kj
136(1)
2
66( 1,629)
2
311,08
k 1
a11 a12
1 241,31 1 311,08
0,06437 0,06437
a21 a11
1,263 241,31 1,6287 311,08
0,0813 0,0924
Mendapat percepatan konstan sebesar 0,28 g paa dasar pondasi: 2
d xg 2
dt
0,28.386
108,47 in det
Faktor partisipasi: m a
1
11 2
1 m a
1
m a
1
m
a
2
m a
2
a
2
11
1
m
m
12 2
2
m
12
2
21 2
14,12
21
a a
22
1,613
2 22
Persamaan kesetimbangan: 2
2
m1
d x1 2
dt
k 1
k 2 x1
k 2 x2
2
2
m2
d x2 2
m1
k 2 x1
k 2 x2
m2
d xg 2
d xg 2
dt
..
g1
2 1
..
g2
2 2
..
g1
ys t ..
g2
ys t
..
g1 140 g1
Sehingga,
108,47
..
g2 1082 g 2
108,47
Masukkan kondisi batas dengan memisalkan perpindahan dan kecepatan pada awal gerakan = 0. Karena gaya impuls bersifat konstan, maka persamaan respon perpindahan adalah: P(t)
P o
y t
yst 1 cos t
t
g1 t g 2 t
108,47 140 108,47 1082
1 cos11,83t 1 cos 32,89t
Perpindahan maksimum yang terjadi:
u1 t
a g1 t
a g 2 t
1 11
0,7135
u1 t u2 t u2 t
2 12
0,704 cos11,83t 0,009 cos 32,89t
a21 g1 t
1
u1 t
2
a22 g 2 t
0,874
0,9 cos 11,83t 0,015 cos 32,89t
u1 max
1a11g1 max
u 2 max
1a21g1 max
g max
cos
u1 max
1,409 in
u 2 max
1,800 in
t
1
2
2
2 a12 g 2 max 2 a22 g 2 max
2
2
