Diseño por Lugar de Raíces para el Control de Posición Digital de un Motor de CC
Características Físicas El motor de CC es un actuador común en el control sistemas. Provee movimiento rotatorio direct directame amente nte y, acop acoplad lado o con con rueda ruedas s dent dentad adas as o polea poleas s y cable cables, s, pued puede e provee proveer r movimiento transicional. El circuito eléctrico de la armadura y el diagrama de cuerpo libre del rotor se muestran en la siguiente figura:
Ecuaciones del Sistema El torq torque ue del del moto motorr, T, se relaci relacion ona a con la corrie corrient nte e de armad armadura ura,, i, por por un fact factor or constant constante e Kt. Kt. La fuerza contra electromotriz emf !, !, e, se relaciona con la velocidad de rotaci"n mediante las siguientes ecuaciones
T
Kt i
e
K e
En unidades unidades del sistema sistema internacio internacional nal #$, Kt cons constan tante te de armad armadura ura!! es igual igual a Ke constante del motor!. %e la figura de arriba podemos escribir las siguientes ecuaciones basadas en la ley de &e'ton combinado con la ley de (irc))off:
J b K i L
d dt
i Ri
V K
Función de Transferencia *tilizando +ransformadas de Laplace las ecuaciones del modelo de arriba pueden epresarse en términos de s.
s ( Js b ) (s )
KI (s )
( Ls R) I ( s ) V
K S (s )
Eliminando I s! podemos obtener la siguiente funci"n de transferencia, donde la velocidad de rotaci"n es la salida y la tensi"n es una entrada.
V
K
( Js b)( Ls R) K 2
#in embargo como durante este e-emplo estamos mirando a la posici"n, como que es la salida. Podemos obtener la posici"n integrando Por lo tanto solo necesitamos dividir la funci"n de transferencia por s. ( s) V ( s)
K s ( Js b)( Ls R) K
2
Diseño del Controlador Digital continuaci"n desarrollaremos el Control de un /otor de CC, especificado por la funci"n de transferencia en tiempo discreto:
( s) V (s)
K s ( Js b)( Ls R) K
2
%onde:
0esistencia eléctrica 0! 1 2 o)m $nductancia eléctrica L! 1 3.45E67 8 Constante de fuerza electromotriz (1(e1(t! 1 9.9342 &mmp /omento de inercia del rotor ;! 1 <.33=2E67 >g?m@3s@3 Coeficiente de amortiguamiento del sistema mecAnico b! 1 <.5944E67 &ms Entrada B!: uente de +ensi"n #alida D!: Belocidad de rotaci"n #e asume que el rotor y el e-e son rgidos
0eemplazando los valores en la ecuaci"n y utilizando /+LF para convertir el sistema continuo en un sistema discreto:
R=4 L=2.75E-6 K=0.0274 J=3.2284E-6 b=3.5077E-6 num = K den = [(J*L) (J*R)+(L*b) (R*b)+(K^2) 0] T = 0.0 [numd!dend] = "2dm(num!den!T!#$%&# '=(numd!dend!T)
Tn,e un"%n 0.0003/ $^2 + 0.0002 $ + /.454e-00 -------------------------------------$^3 - ./42 $^2 + 0./425 $
%espreciando los valores cercanos a 9, podemos epresarla como:
Tn,e un"%n 0.0003/ $ + 0.0002 ----------------------$^2 - ./42 $ + 0./425
Luego, observamos la respuesta del sistema realimentado unitariamente, como un trivial control inicial, que nos proporcionara un panorama del controlador a diseGar. *tilizaremos /+LF para observar la respuesta en el tiempo discreto:
'$"=eedb"1('!!-) [numd!dend]=d('$"!##) =00 1=0- 1=d,e(numd!dend!) ,,(1*T!1) d be(#Tem% (,eund%,)#) be(#9%,":n (d)#) e(#Re,ue, de m%% "%n emen":n un un end e,"%n#) Respuesta del motor con realimentación unitaria a una entrada escalon 1.4
1.2
1
) d a 0.8 r ( n ó i c i s 0.6 o P 0.4
0.2
0 0
0.05
0.1
0.15
0.2 0.25 0.3 Tiempo (segundos)
0.35
0.4
0.45
0.5
demAs, graficaremos el L.H.0, utilizando /+LF:
%"u,('$") e(#Lu 'e%me"% de , R"e, ,n "%n%d%#) , e;u
!ugar "eometrico de las Raices sin controlador 2 1.5 1
s 0.5 i $ # & r a 0 n i g a m0.5 % 1 1.5 2 5
4
3
2
1
0
1
Real #$is
demAs graficamos el L.H. del sistema original, sin realimentaci"n unitaria, notando la necesidad de realimentar el sistema con el fin de cumplir las especificaciones propuestas :
%"u,(numd!dend) e(#Lu de R<"e, de ,em >n #)
!ugar de Races del istema *riginal 2.5
2
1.5
1
0.5
s i $ # & r a n i g a m %
0
0.5
1
1.5
2
2.5 '
6
5
4
3
2
1
0
1
2
Real #$is
En primer lugar, observaremos el L.H. al ingresarse un integrador al sistema, con el fin obtener un menor tiempo de respuesta del sistema:
num den numd dend
= = = =
[ -0./5] [ -] "%n(numd!num) "%n(dend!den)
ue() %"u,(numd!dend) e(#Lu de R<"e, de ,,em "%n "%n% ne#)
!ugar de Races del sistema con control integral 2.5
2
1.5
1
0.5 s i $ # & r a n i g a m %
0
0.5
1
1.5
2
2.5 '
6
5
4
3
2
1
0
1
Real#$is
Luego observamos la respuesta del sistema, l introducirse un compensador, de manera que nos permita reubicar los polos en el lugar geométrico:
num" = "%n([ -0.76]![ -0.76]) den" = "%n([ 0./8]![ -0.6]) num%" = "%n(numd!num") den%" = "%n(dend!den") ue() %"u,(num%"!den%") e(#Lu de R<"e, de ,em ?%men,d%#)
2
!ugarde Racesdelistema+ompensado 0.2
0.15
0.1
0.05
s i $ # & r a n i g a m %
0
0.05
0.1
0.15
0.2 3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
Real #$is
Ibservando los L.H. optamos por un controlador basado en un compensador. La respuesta del sitema compensado se muestra a continuaci"n:
num" = "%n([ -0.85]![ -0.85]) den" = "%n([ 0./8]![ -0.7]) ue() num"d = "%n(numd@"!"%n(den"!den)) den"d = "%n(dend@"!"%n(K*num"!num)) [4] = d,e(num"d!den"d!25) =00.00.25 ,,(!4) be(#Tem% (,eund%,)#) be(#9%,%n (d)#) e(#Re,ue, % e,"e de ,em ?%men,d%#) d
1.5
Respuesta tipo escalera del istema +ompensado
1.3
1.2
- 0.006 / 1.14'5
1.1 - 0.03 / 1.0005
1 ) d a r ( n 0., o i t i s o P 0.8
0.'
0.6
0.5
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025 Tiempo (segundos)
0.03
0.035
0.04
0.045
%e la grAfica observamos, un sobrepico de J2.45K ademAs de un tiempo de establecimiento de 9.9< s valor aceptable, puesto que para el diseGo se propuso un tiempo de establecimiento de 9.92 s!
El código Matlab ulizado fue: R=4 L=2.75E-6 K=0.0274 J=3.2284E-6 b=3.5077E-6 num = K den = [(J*L) (J*R)+(L*b) (R*b)+(K^2) 0] T = 0.00 [numd!dend] = "2dm(num!den!T!#$%&#) numd = numd(23) dend = dend(3) [numd@"!dend@"] = "%%(numd!dend) [] = d,e(numd@"!dend@"!50) =00.000.5 ,,(!) d be(#Tem% (,eund%,)#) be(#9%,":n (d)#) e(#Re,ue, % e,"e>n#) ue() %"u,(numd!dend) e(#Lu de R<"e, de ,em >n #)
num den numd dend
= = = =
[ -0./5] [ -] "%n(numd!num) "%n(dend!den)
ue() %"u,(numd!dend) e(#Lu de R<"e, de ,,em "%n "%n% ne#) num" = "%n([ -0.76]![ -0.76]) den" = "%n([ 0./8]![ -0.6]) num%" = "%n(numd!num") den%" = "%n(dend!den") ue() %"u,(num%"!den%") e(#Lu de R<"e, de ,em ?%men,d%#)
ue() K = 700 [numd@"!dend@"] = "%%(K*num%"!den%") [2] = d,e(numd@"!dend@"!25) =00.000.25 ,,(!2) be(#Tem% (,eund%,)#) be(#9%,%n (d)#) e(#Re,ue, % e,"e de ,em ?%men,d%#) d num" = "%n([ -0.85]![ -0.85]) den" = "%n([ 0./8]![ -0.7]) ue() num"d = "%n(numd@"!"%n(den"!den)) den"d = "%n(dend@"!"%n(K*num"!num)) [4] = d,e(num"d!den"d!25) =00.00.25 ,,(!4) be(#Tem% (,eund%,)#) be(#9%,%n (d)#) e(#Re,ue, % e,"e de ,em ?%men,d%#) d
Conclusiones
Los sistemas de control se pueden modelar mediante transformada , los anAlisis de estabilidad dan resultados muy parecidos al compararlos con los obtenidos mediante la transformada de Laplace.
El diseGo por el lugar geométrico de las races consiste en que los polos del sistema se encuentren dentro del crculo unitario en el espacio el cual es el anAlogo al semiplano izquierdo del dominio de Laplace.
Para el diseGo fue necesario agregar polos a la funci"n de transferencia original para poder modelarlo como un sistema de 3do Irden .
