TEKNIK INTEGRASI
Integral adalah lawan diferensiasi. Penulisan simbol integral:
∫ f ( x)dx = F ( x) + C
Rumus – rumus dasar integrasi
∫
ax dx = n
ax
n +1
n +1
+ C , n ≠ −1
Integral Parsial Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak dapat dibawa ke bentuk dasar. Salah satu cara penyelesaiannya dengan metode integral parsial. Dengan pemisalan: u f!"# dan $ g!"#.
Jika u dan v masing-masing fungsi terhadap x serta merupakan dua buah fungsi yang diferensiabe! maka dari" d #u v $ % u dv & v du u dv % d # uv $ ' v du ( u dv % ( d # uv $ - ( v du
)engan pemisaan" u % f#x$ dan v % g#x$* +et,de integra parsia memiiki bentuk"
∫
∫
udv = uv − vdu
%eterangan: u f!"# $ g!"#
& du turunan dari u & d$ turunan $
)aam integra parsia yang peru diperhatikan adaah sebagai berikut:
'.Dalam pemilihan ( pengambilan u) sedemikian sehingga * $ du harus lebih mudah diker+akan daripada * u d$)
,. -mumnya metode integral parsial ini dipergunakan pada integral yang mengandung fungsi logaritma atau perkalian polinom " n dengan fungsi trigonometri seperti " cos ") atau "n sin ") +uga perkalian fungsi eksponensial " n ea") atau perkalian fungsi eksponensial dengan fungsi trigonometri seperti e ," sin ". Selain itu fungsi&fungsi yang tidak terdapat pada rumus dasar seperti fungsi siklometri.
Contoh soal: 1. ∫ x e dx = Misalkan: u = x ⇒ du = dx dv = e dx ⇒ ∫dv = ∫ e dx ⇒ v=e (konstanta Sembarang C sebaiknya tidak usah kita berikan dulu, nanti setelah hasil integral diperoleh, tinggal ditambahkan !adi ∫ x e dx = u v " ∫ v du = x e " ∫ e dx = x e " e # C
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2.
∫ ln x dx = Misalkan : u = ln x ⇒ du = 1/x dx dv = dx ⇒ ∫ dv = ∫ dx ⇒ v = x Jadi: ∫ ln x dx = u v - ∫ v du ∫ ln x dx = x ln x - ∫ x . 1/x dx = x ln x - ∫ dx = x ln x - x + C.
3. ∫ x sin x dx =
Misalkan : u = x ⇒ du = d x dv = sin x dx ⇒ ∫ dv = ∫ sin x d x v = - cos x
∫ x sin x dx = - x cos x - ∫- cos x dx = - x cos x+∫ cos x dx
= - x cos x+sin x+C.
,nt,h ."
1 . ∫ arc tg x dx = Misalkan: u = arc tg x ⇒ du = 1 + x dx dv = dx ⇒ ∫ dv = ∫ dx ⇒ v = x 2
x
. ∫ arc tg x dx = x arc tg x - ∫ x
1 + x2
untuk ∫ 1
misalkan: p = 1 + x dp = 2x dx ⇒ dx =
+ x2
dx
dx = 2
x
∫
dp
2 x x dp 1 dp 1 1 = = ln p + C = ln 1 + x 2 + C . p . 2 x 2 p 2 2
∫
maka: ∫ 1 + x dx =
Jadi : ∫ arc tg x dx = x arc tg x – ½ ln ( 1 + x ) + .
2
2
Rumus-rumus reduksi untuk sinus dan cosinus
/engintegraan perpangkatan Sinus dan ,sinus
Dalam bagian ini akan dipela+ari metode untuk menyelesaikan integral bentuk:
∫ sin
m
n
x cos xdx
Dengan m dan n bilangan bulat tak negatif. Identitas trigonometri:
sin
2
x
cos
2
cos
2 x
x
=
=
=
1
2 1 2
(1 − cos 2 x ) (1 + cos 2 x )
1 − 2 sin 2
x
dan cos,",cos "&' ,
Jika m dan n biangan buat m n p,sitif! maka Integra" ∫ sin x cos xdx m gan+il) &pilahlah faktor dari sin " &gunakan kesamaan terkait) sin,"'&cos," &substitusi u cos " n gan+il) &pilahlah faktor dari cos " &gunakan kesamaan terkait) cos,"'&sin," &substitusi u sin " m dan n genap : gunakan kesamaan terkait untuk mereduksi pangkat sin " dan cos ": sin( m + n) x + sin( m − n) x = sin mx cos nx sin," !' & cos,"# 2 cos( m + n) x − cos( m − n) x /os," !' 0 cos,"# cos mx cos nx =
Integrasi perpangkatan se0an dan tangen "1tan mx se0nx dx 1 Bila m dan n bilangan bulat tak negatif : − x tan x n −2 sec n
n
sec xdx
∫ ∫ tan 1 1 1 1 1 1 1
m
=
xdx
2
n
=
tan
m
−1
m −1
x
−1
+
∫ n −1
− ∫ tan m −
sec
2
n−2
xdx
xdx
m gan+il) &pilahlah faktor pembagi sec , " &gunakan kesamaan terkait) sec ,"tan,"0' &substitusi u tan " n genap) &pilahlah faktor pembagidari sec " tan" &gunakan kesamaan terkait) tan,"sec,"&' &substitusi u sec " m genap dan n gan+il : gunakan kesamaan terkait untuk mereduksi pangkat sec " sendiri.: %emudian gunakan rumus reduksi untuk pangkat sec ":
Integra fungsi rasi,na2pe0ahan parsia 2ungsi rasional pada umumnya susah diintegralkan. 3akt,r-fakt,r inear2
3ika semua faktor 4!"# linear) maka dekomposisi pecahan parsial P ( x) dapat ditentukan dengan aturan Q( x) berikut:
Aturan fakt,r inear2
-ntuk setiap faktor dalam bentuk !a"0b# m) dekomposisi pecahan rasional mengandung +umlahan dari m pecahan parsial: A1 A2 Am ax + b
+
(ax + b)
2
+
..... +
Dengan ) 5') 5,) 6.5m) konstantan yg dicari
(ax + b)
m
2aktor&faktor kuadratik
3ika 4!"# mempunyai faktor kuadratik yang tidak dapat disederhanakan) maka dekomposisi pecahan parsial P!"#(4!"# dapat ditentukan dengan aturan sbb: Aturan fakt,r kuadratik" -ntuk setiap faktor berbentuk !a" ,0b"0c#m) dekomposisi parsialnya sbb:
A1 x + B1
+
A2 x + B2
ax + bx + c (ax + bx + c) 2
2
2
+ ... +
Am x + Bm (ax + +bx + c) 2
m
Dengan 5') 5,) 665m) B') B,) 6..Bm konstantan yang dicari
Substitusi Trig,n,metri 1 Bagaimana menyelesaikan integral yang memuat ekspresi berbentuk7 1 dan 1 !a89# dengan membuat substitusi yang mencakup fungsi&fungsi trigonometri 1 5kan ditun+ukkan pula bagaimana metode kuadrat sempurna kadang dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan integral yang memuat ekspresi&ekspresi berbentuk a" ,0b"0c
Integra yang men0akup" ax4 & bx & 0
Integrasi&integrasi yang mengandung a" ,0b"0c) dengan a9 dan b9) dapat dilakukan pertama dengan membuat kuadrat sempurna) selan+utnya dengan melakukan substitusi yang sesuai. x /ontoh : Selesaikan dx ∫
x
2
− 4 x + 8
Dengan menyempurnakan kuadrat diperoleh7 ;,&<"0= !",&<"0<#0=&< !"&,# , 0 < 3adi dengan substitusi: u"&,) du d" Diperoleh7
Diperoleh 7
+2 ∫ x 2 − 4 x + 8 dx = ∫ ( x − 2)2 + 4 dx = ∫ u 2 + 4 du x
x
=∫ 1
u u +4 2
u
+ 2∫
du
u +4 2
1
= ln(u + 4) + 2( ) tan 2
2
2
−1
u
2
+ C
x − 2 = ln{( x − 2) + 4} + tan ( ) + C 2 2
1
2
−1
