Kalkulus lanjut Semester : V lima
Materi UTS Fungsi Vektor dan Fungsi Dua Peubah atau Lebih
A. Fung Fungsi si Vekt Vektor or 1. Defini Definisi si Fung Fungsi si Vekto Vektorr
Fungsi vektor adalah fungsi yang daerah asalnya asalnya berupa himpunan himpunan bilangan bilangan real dan daerah hasilnya berupa himpunan vektor. Jika f(t), g(t), dan h(t) adalah komponen dari vektor r(t), maka f,g dan h adalah fungsi bernilai bernilai real yang disebut fungsi komponen dari r dan dapat ditulis r (t) = (f(t), g(t), h(t)) = f(t)i, g(t)j, h(t)k Contoh : Tentukan Df (daerah asal), 1.
r (t) =
+ (t - 3 )-1 j
Jawab : Misalkan f 1 (t) =
dan f 2 (t) =
Diperoleh Df 1 = [2, ∞ ) dan Df 2 = R -{ 3} Sehingga Df = { t ∈ R │t ∈ Df 2 ∩ Df 2 } {t ∈ R │ t ∈ [2, ∞ ) ∩ R -{ 3}} t ∈ [2, ∞ ) -{ 3}} = [2, 3) U (3, ∞ ]
2. Gr Graf afik ik Fung Fungsi si Ber Bernil nilai ai Vekt Vektor or
Misalkan f (t) = f 1 (t)i + f 2 (t)j Df = [a,b]
C F(a) F(t) F(b)
[
]
a≤t≤b
Jika t berubah berubah sepanjang sepanjang [a,b] ujung-ujung ujung-ujung f (t),menje (t),menjelajah lajah lengkungan lengkungan (kurva) (kurva) C dengan arah tertentu f (a) disebut titik pangkal lengkungan C f (b) disebut titik ujung lengkungan C Jika f (a) = f (b)_ kurva C disebut kurva tertutup Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R 2(3) dengan arah tertentu1 • Cara menggambar grafik fungsi vektor 1) Tentuk Tentukan an persam persamaan aan param paramete eterr dari dari lengku lengkunga ngann C 2) Kemudian Kemudian eliminas eliminasii parameter parameter t dan gambark gambarkan an (Gambar (Gambar kartes kartesius ius kurva) kurva) 3) Tent Tentuk ukan an arah arahny nyaa
1
Contoh : Gambarkan grafik fungsi dibawah ini: 1. F (t ) = (t - 4)i + t j ; 0 ≤ t ≤ 4 Persamaan parameter : x = t – 4 t = x+4 y = t y= x = y2 – 4 (parabola) arahnya f (0) = -4i = (-4, 0) f (4) = 2j = (0, 2)
3.
2 C 4
Turunan dan Integral dari Fungsi Vektor
a. Turunan Turunan r’ dari suatu fungsi vektor r didefinisikan dengan cara yang sama seperti untuk fungsi bernilai real:
= r’(t) =
Jika limit ini ada. Jika titik P dan Q mempunyai vektor posisi r(t) dan r(t + h), maka
menyatakan vector r (t + h) – r(t), yang dengan demikian dapat dipandang
sebagai suatu vektor tali busur. Jika h > 0, kelipatan skalar (1/h) (r(t +h) – r(t)) mempunyai arah sama seperti r (t + h) – r(t). Pada saat h → 0, tampak bahwa vektor ini mendekati suatu vektor yang terletak pada garis singgungnya. Oleh karena itu, vektor r’(t) disebut vektor singgung terhadap kurva yang didefinisikan oleh r di titik
P, asalkan r’(t) ada dan r’(t) ≠ 0. Garis singgung terhadap C di P didefinisikan sebagai garis melalui P yang sejajar terhadap vektor singgung r’(t). Vektor singgung satuan adalah T(t) =
Teorema: Jika r(t) = (f(t), g(t), h(t)) = f(t)i + g(t)j + h(t)k, dengan f, g, dan h adalah fungsi yang terdiferensiasi, maka r’(t) = (f’(t), g’(t), h’(t)) = f’(t)i + g’(t)j + h’(t)k Bukti:
r’(t) =
[r(t +
) – r(t)]
=
[(f(t +
), g(t +
=
,
=(
,
), h(t +
)) – (f(t), g(t), h(t))] ) )
= (f’(t), g’(t), h’(t)) Contoh : a. Carilah turunan dari r(t) = (1 + t3)i + te-t j + sin 2t k b.Carilah vektor singgung satuan pada titik dimana t = 0 Jawab:
a. Menurut teorema 2, kita dapat mendiferensialkan masing-masing komponen dari r : r’(t) = 3t2i + (1 - t)e-t j + 2 cos 2t k b. Karena r(0) = i dan r’(0) = j + 2k, vektor singgung satuan di titik (1, 0, 0) adalah T(0) =
=
=
j+
k
b. Aturan Diferensiasi Teorema: Andaikan u dan v adalah fungsi vektor yang terdiferensialkan, c adalah suatu skalar, dan f adalah fungsi bernilai real. Maka: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
[u(t) + v(t)] = u’(t) + v’(t) [cu(t)] = cu’(t) [f(t)u(t)] = f’(t)u(t) + f(t)u’(t) [u(t) . v(t)] = u’(t) . v(t) + u(t) . v’(t) [u(t) v(t)] = u’(t) v(t) + u(t) v’(t) [u(f(t))] = f’(t)u’(f(t))
Bukti: u(t) = (f 1(t), f 2(t), f 3(t)) v(t) = (g1(t), g2(t), g3(t))
maka u(t) . v(t) = f 1(t) g1(t) + f 2(t) g2(t) + f 3(t) g3(t) =
(t)
sehingga dengan menggunakan aturan hasil kali yang biasa diperoleh
[u(t) . v(t)] =
(t) =
[f i(t) gi(t)]
=
(t) gi(t) + f i(t) g’i(t)]
=
(t) gi(t) +
(t) g’i(t)
= u’(t) . v(t) + u(t) . v’(t)
c. Integral Integral tentu dari suatu fungsi vektor kontinu r(t) dapat didefinisikan dengan cara yang sama seperti untuk fungsi bernilai real, kecuali bahwa integralnya berupa vektor. Tetapi kita dapat menyatakan integral dari r dalam bentuk integral fungsifungsi komponennya f, g dan h, sehingga: =(
) i +(
)j+(
)k
Teorema dasar kalkulus ke fungsi vektor kontinu: dt = R(t)
= R(b) – R(a)
Untuk R adalah anti turunan dari r, yakni R’(t) = r(t) Contoh Jika r(t) = 2 cos t i + sin t j + 2t k, maka (
)i+(
)j+(
2 sin t i – cos t j + t2k + C Dengan C adalah konstanta pengintegralan vektor,
)k
B. Fungsi Dua Peubah
Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y) Notasi : f : A (x,y)
R ( A C R 2)
z = f (x,y)
contoh 1 f(x,y) = x2 + 4 y2 2. f(x,y) =
3. f(x,y) = Daerah asal (Df ) dan Daerah nilai (R f) Df = {(x, y) ∈ R 2 | f (x, y) ∈ R} R f = {f (x, y) (x, y) ∈ Df } Tentukan dan gambarkan Df dari : 1. f(x,y) = x2 + 4 y2 2.
f(x,y) =
3.
f(x,y) =
jawaban 1. Df ={(x,y) є R 2 | x2 + 4 y2 є R} = {(x,y) є R 2}
y
x
y 2.
Df = {(x,y) є R 2 |
є R}
= {(x,y) є R 2 |
3
≥ 0}
= {(x,y) є R 2 |
2
≤ 36 }
=
3.
Df = {(x,y) є R 2 |
≥0}
= {(x,y) є R 2 |
≥0}
= {(x,y) є R 2 | x ≥ 0 dan atau x ≤ 0
}
Grafik Fungsi Dua Peubah y
Z=f(x, y)
z Df
x
x
(Grafiknya berupa permukaan di ruang) Karena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengan tepat satu z = f (x,y), maka setiap garis yang sejajar sumbuh z akan memotong grafik tepat di satu titik. Contoh: Gambarkan grafik, z
1. f (x,y) = 2x2 + 3y2 z = 2x2 + 3y2 z=
y
x
z
2. f (x,y) = 3 – x2 – y2 z – 3 = – x2 – y2
3
y
x
z 3.
f (x,y) = 2
9z2 = 9x2 + 4y2 + 9z2 = 36
3
2 x
4.
f (x,y) = z2 =
≥0
z
2
2 x
2
y
y
A.Limit dan Kontinuitas 1. Limit Definisi
Misalkan f adalah fungsi dua variabel yang daerah asalnya D mencakup titik-tiik yang sengaja dipilih dekat dengan (a,b). maka kita katakan bahwa limit dari f ( x,y ) seraya ( x,y ) mendekati (a,b) adalah L dan kita tulis f ( x , y ) = L
jika untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan yang berpadanan δ > 0 sedemikian sehingga |f(x,y) − L| ε < bilamana ( x,y ) ∈ D dan 0<
( x − a) 2
lim
( x , y ) → ( a ,b )
+
( y
−
b) 2 < δ
f ( x , y ) = L
untuk menunjukkan bahwa nilai f ( x,y ) mendekati
bilamgan L ketika titik ( x,y ) mendekati titik (a,b) sepanjang lintasan yang tetap berada di dalam daerah asal f . Dengan perkataan lain, kiya dapat membuat nilai f ( x,y ) sedekat mungkin ke L sesuka kita dengan mengambil titik ( x,y ) cukup dekat ke itik (a,b). teapi tidak sama dengan (a,b).
Ilustrasi lain dari Definisi 1 diberikan dengan permukaan S adalah grafik f . jika diberikan ε >0, kita dapat mencari δ>0 sedemikian sehingga jika ( x,y) diharuskan terletak didalam cakram Dδ dan ( x,y) ≠ (a,b), maka bagian S terkaitnya terletak di antara bidang bidang horisontal z = L – ε dan z = L + ε
z L+ L L-
Dδ ( a,b )
x
y
Definisi 1 mengatakan bahwa jarak antara f ( x,y) dan L dapat sengaja dibuat kecil dengan cara membuat jarak dari ( x,y) ke (a,b) cukup kecil (tetapi tidak 0). Definisi ini hanya mengacu ke arah pendekatan. Karena itu, jika limit ada, maka f ( x,y) haruslah mendekati limit yang sama tiidak peduli bagaimana ( x,y)mendekati (a,b). jadi jika kita dapa menemukan dua lintasan pendekatan yang berlainan di mana di sepanjang lintasanlintasan itu f ( x,y) mempunyai limit berlainan, maka lim(x,y)→(a,b) f ( x,y) tidak ada. Jika f ( x,y ) →L1seraya ( x,y ) → (a,b) di sepanjang lintasan C 1 dan f ( x,y ) →L2seraya ( x,y ) → (a,b) di sepanjang lintasan C2
CONTOH 1:
Perlihatikan bahwa
tidak ada
PENYELESAIAN:
Misalkan
.
• Pertama, kita dekati (0,0) sepanjang sumbu- .
Maka Sehingga
memberikan seraya
untuk semua sepanjang sumbu –
• Selanjutnya kita mendekat di sepanjang sumbu-
Maka
Sehingga
dengan meletakkan
untuk semua
seraya
sepanjang sumbu –
• Gambar:
• Karena
mempunyai dua limit yang berlainan sepanjang dua garis yang
berlainan, maka limit yang diberikan tidak ada. CONTOH 2:
Jika
Apakah
ada?
PENYELESAIAN:
• Jika
, maka
Karena itu • Jika
seraya
sepanjang sumbu-
seraya
sepanjang sumbu-
, maka
Karena itu
• Meski kita sudah mendapatkan limit-limit yang idenitik di sepanjang sumbu, tidak
terlihat bahwa limit yang diberikan adalah 0. • Untuk itu kita mendekati (0,0) sepanjang garis lain, misalnya
Karena itu seraya
sepanjang
. Untuk semua
• Gambar
• Karena kita telah memperoleh limit yang berlainan sepanjang lintasan yang
berlainan, maka limit yang diberikan tidak ada. CONTOH 3:
Jika
, apakah
ada ?
PENYELESAIAN:
Bermodalkan contoh 2,kita menghemat waktu dengan memisalkan sepanjang sebarang garis tak vertical yang melalui titik asal. Maka
di , dengan
adalah kemiringan, dan
Sehingga Jadi,
seraya
sepanjang
mempunyai nilai pembatas yang sama sepanjang setiap garis tak vertical
yang melalui titik asal. Tetapi itu tidak memperlihatkan bahwa limit yang diberikan
adalah 0, karena jika sekarang kita memisalkan parabola
sepanjang sumbu
, kita mempunyai
Sehingga
seraya
sepanjang
Karena lintasan yang berlainan menuju ke nilai pembatas yang berlainan, mka limit yang diberikan tidak ada. 2. Kontinuitas
Definisi : Fungsi dua variabel f disebut kontinu di (a,b) jika :
Demikian pula f dikatakan kontinu pada D jika f kontinu di setiap titik (a,b) dalam D.
Makna kontinuitas adalah jika titik (x,y) berubah sedikit maka nilai f (x,y) berubah sedikit pula, ini juga berarti bahwa permukaan dari grafik suatu fungsi kontinu tidak memilki lubang atau putus. Dengan menggunakan sifat limit, dapat dilihat bahwa jumlah, selisih, hasilkali, dan hasilbagi fungsi kontinu adalah kontinu di daerah asalnya. Fungsi polinom dua variabel adalah jumlah suku-suku berbentuk
,
dengan c sebagai konstanta serta m dan n bilangan bulat taknegatif. Fungsi
rasioanal
adalah
rasio
polinom,
misalnya
=
, adalah sebuah polinom sedangkan g (x,y) =
adalah fungsi rasional.
Sebarang polinom dapat dibentuk dari fungsi sederhana f, g, dan h dengan cara perkalian dan penambahan, maka semua polinom adalah kontinu di R 2. Dengan cara yang sama, dapat diketahui sebarang fungsi rasional adalah kontinu pada daerah asalnya karena fungsi ini merupakan hasil bagi fungsi kontinu. CONTOH 1:
Hitung PENYELESAIAN:
Fungsi tersebut adalah polinom, maka fungsi ini kontinu di semua bagian, sehingga nilai limit dapat dicari melalui subtitusi langsung: = 12. 23
13.22 + 3.1 +2.2 = 11
CONTOH 2:
Apakah fungsi f (x,y) =
kontinu?
PENYELESAIAN:
Fungsi f takkontinu di (0,0) karena fungsi tidak terdefinisi disana. Karena f adalah fungsi rasional, fungsi f kontinu pada daerah asalnya yang berupa himpunan D={ }
Fungsi Tiga Variabel atau Lebih Notasi :
Artinya bahwa nilai f ( x,y,z ) mendekati bilangan L sedangkan titik (x,y,z) mendekati titik ( a,b,c ) di sepeanjang sebarang lintasan dalam daerah asal f
Karena jarak antara dua titik ( x,y,z ) dan ( a,b,c ) di R 3 diberikan oleh , maka dapat ditulikan definisi sebagai berikut: Untuk setiap bilangan sedemikian
rupa
terdapat sebuah bilangan terkait
sehingga
bilamana dan
berada dalam daerah
asal .
Fungsi
kontinyu di
jika
Persamaan 5 Jika f didefinisikan pada himpunan bagian D dari maka bermakna bahwa untuk setiap bilangan terdapat sebuah bilangan terkait sedemikian rua sehingga bilamana dan
Artinya: jika n=1 maka
dan
, dan persamaan 5 adalah definisi limit
untuk fungsi variabel tunggal. Untuk kasus n=2 maka dan Jika
,
, dan
, sehingga persamaan 5 menjadi definisi 1. , maka
dan persamaan 5 menjadi definisi limit
untuk fungsi tiga variabel. Kasus definisi kontinuitas dapat dituliskan sebagai:
B.Turunan Parsial
Umumnya jika f adalah fungsi dua variabel x dan y, andaikan kita misalkan hanya x saja yang berubah-ubah sedangkan y dibuat tetap, katakan y = b, dengan b konstanta. Baru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi variabel tunggal x, yaitu g (x) = f (x,b). jika g mempunyai turunan di a,maka kita menamakannya turunan parsial dari f terhadap x di (a,b) dan menyatakannya dengan f x (a,b). Jadi 1.
f x (a,b) = g’ (a) dengan g (x) Menurut definisi turunan, kita mempunyai g’ (a) = sehingga persamaan 1 menjadi f x (a,b) = Dengan cara serupa, turunan parsial dari f terhadap y di (a,b), dinyakan dengan f y (a,y), diperoleh dengan membuat x tetap (x=a) dan mencari turunan biasa di b dari fungsi G(y) = f (a,y) : 2. Fy (a,b) = Dengan notasi untuk turunan parsial ini, kita dapat menuliskan laju perubahan indeks panas I terhadap suhu sebenarnya T dan kelembapan relatif H ketika T = 96 dan H = 70% sebagai berikut : f T ( 96,70 ) = 3,75
fH ( 96,70 ) = 0,9
Jika sekarang kita memisalkan titik
berubah-ubah dalam Persamaan 2 dan
3, f x dan f y menjadi fungsi dua variabel. 3.
Jika f adalah fungsi dua variabel, turunan parsialnya adalah fungsi f x dan f f x y yang didefinisikan oleh (x,y) =
Untuk
menghitung turunan
parsial, yang harus
kita lakukan
adalah
mengingat dari persamaan 1 bahwa turunan parsial terhadap x tidak lain adalah
turunan biasa dari fungsi g dari variabel tunggal yang kita peroleh dengan membuat y tetap. Jadi kita mempunyai aturan berikut:
Aturan untuk pencarian turunan Parsial dari z = f (x,y)Untuk mencari f x , pandang y sebagai konstanta dan deferensialkan f (x,y) terhadap x 1. Untuk mencari f y, pandang x sebagai konstanta dan deferensialkan f (x,y) terhadap CONTOH :
Jika
, carilah
dan
PENYELESAIAN:
Dengan membuat y konstan dan dengan mendiferensialakan terhadap x, kita perolah Sehingga Dengan membuat x
konstan dan dengan mendiferensialkan terhadap y, kita
peroleh
Fungsi Lebih dari Dua Variabel Misalnya jika f adalah fungsi tiga variabel x,y, dan z makaturunan parsialnya terhadap x didefinisikan sebagai
Dan ditemukan dengan cara memandang y dan z sebagai konstanta serta
dan mendiferensialkan
terhadap x . Jika
maka
dapat ditafsiraka sebagai laju perubahan w terhadap x ketika x dan z dianggap tetap.
Umumnya, jika
u adalah fungsi n variabel,
parsialnya terhadap variabel
turunan
ke-i adalah
CONTOH :
Carilah f x,f y, dan f z jika f ( x,y,z ) = e xy ln z
PENYELESAIAN:
Dengan menganggap y dan z konstan dan mendiferensialkn terhadap x, kita mempunyai f x = yexy ln z secara serupa
f y = xexy ln z dan f z =
Turunan-turunan yang Lebih Tinggi Jika f adalah fungsi dua variabel, maka turunan parsialnya f x dan f y juga fungsi dua variabel, sehingga kita dapat meninjau turunan parsial mereka ( f x )x’, ( f x )y’, ( f y )x’, dan ( f y )y’ yang disebut turunan parsial kedua dari f. jika z = f (x,y), kita gunakan notasi berikut :
( f x )x = f xx = f 11 =
=
( f x )y = f xy = f 12 =
=
=
=
Teorema Clairaut Andaikan f terdefinisi pada cakram D yang memuat titik ( a,b ). Jika fungsi f xy dan f yx keduanya kontinu pada D, maka f xy ( a,b ) = f yx ( a,b )
Turunan parsial orde 3 atau lebih tinggi dapat juga didefinisikan. Misal : f xyy = ( f xy )y = =
CONTOH :
Hitung f xxyz jika f ( x,y,z ) = sin (3x+yz) PENYELESAIAN:
f x = 3 cos (3x+yz) f xx = -9 sin (3x+yz) f xxy = -9z cos (3x+yz) f xxyz =-9 cos (3x+yz) + 9yz sin (3x+yz)
Persamaan Diferensial Parsial +
=0
CONTOH :
Perlihatkan bahwa fungsi u(x,y) = e x dan sin y adalah penyelesaian persamaan Laplace.
PENYELESAIAN:
ux = ex sin y uxx = ex sin y
uy = ey cos y uyy = -ex sin y
uxx + uyy = ex sin y - ex sin y Karena itu u, memenuhi persamaan Laplace
C. KETERDIFERENSIALAN
Untuk sebuah fungsi satu peubah, keterdeferensialan (differentiability) dari f di x berarti adanya turunan f’(x). pada gilirannya, keterdeferensialan ini akan ekuivalen dengan grafik dari f yang mempunyai garis singgung tak vertikal di x. Untuk sebuah fungsi dua peubah. Keterdeferensialan dari f di x tidak cukup dengan menggunakan turunan parsial, karena terdapat dua peubah dalam fungsi tersebut. Untuk menyelesaikan keterdeferensialan kita mulai dengan menetralisasi perbedaan. Antara titik (x,y) dan vektor { x,y}, Jadi kita dapat menuliskan f(p) f(x, y) . Ingat kembali bahwa
p
( x, y )
=
=
x, y
dan
=
(1)
f ' ( a)
=
lim
f ( x ) − f (a)
x →a
x − a
=
lim
f (a + h) − f (a ) h
h →0
Analogi dari fungsi di atas akan terlihat seperti berikut (2)
f ' ( p 0 )
=
lim
p → p 0
f ( p ) − f ( p 0 ) p - p 0
=
lim
f ( p 0
+ h) − f ( p 0 )
h
h →0
Tetapi sayangnya, pembagian dengan sebuah vektor tidak masuk akal. Meskipun demikian, kita tidak boleh menyerah terlalu cepat. Cara lain untuk melihat keterdeferensialan sebuah fungsi dengan peubah tunggal adalah sebagai berikut. Jika f dapat dideferensialkan di a, maka terdapat sebuah garis singgung yang melalui (a,f(a) yang mendekati fungsi tersebut untuk nilai x dekat a. Dengan kata lain, f hampir mendekati linear dekat a. Gambar 2 mengilustrasikan hal ini untuk fungsi satu peubah; ketika kita y memperbesar grafik y = f(x), kita dapat melihat bahwa garis singgung dan fungsi tersebut 2, 6 hampir tidak dapat dibedakan. 2, 4
2, 3
2, 2 2 2, 6
2, 8
2,2 8 3 2,26 3, 2
y
x 3, 4
2,2 4 2, 2 2,9
x 2,9
3
3,0
y 5
2
x -2
Untuk lebih tepatnya, kita dapat mengatakan bahwa sebuah fungsi f disebut linear setempat (locally linear ) di a jika terdapat sebuah konstanta m sedemikian rupa sehingga 4
2
6
-2
f ( a + h )
Di mana
(h) akan
ε
(h) adalah
ε
= f ( a ) + hm + hε ( h)
sebuah fungsi yang memenuhi
lim ε (h) = 0 . h →0
Dengan menyelesaikan
menghasilkan (h)
ε
=
f ( a + h) − f ( a ) h
−m
Fungsi (h) adalah perbedaan antara kemiringan garis potong ( secant line) yang melalui titik (a, f(a)) dan titik (a + h, f (a + h)) dengan kemiringan garis singgung (tangent line) yang melalui (a, f(a)). Jika f bersifat linear setempat di a, maka ε
lim ε (h) h→0
f (a + b) − f (a ) = lim − m = 0 h →0 h
yang berarti bahwa lim = h→0
f ( a + h) − f (a) h
=m
Kita dapat menyimpulkan bahwa f pasti dapat dideferensialkan di a dan bahwa m pasti sama dengan f’(a). sebaliknya, jika f dapat dideferensialkan di a, maka lim
f (a + h) − f (a)
h →0
h
= f ' ( a ) =
m;
sehingga f linear setempat. Dengan demikian, pada kasus
satu peubah, f akan linear setempat di a jika dan hanya jika f dapat dideferensialkan di a. Definisi
Kita mengatakan bahwa f adalah linear setempat di (a,b) jika
f ( a
+
h1 , b + h2 )
=
f ( a , b) + h1 f x ( a, b) + h2 f y ( a, b ) + h1ε 1( h1 , h2 ) + h2 ε 2 ( h1 , h2 )
Di mana ε 1( h1 , h2 ) → 0 ketika
(h1 , h2 )
→ 0 dengan ε 2 (h1 , h2 ) → 0 ketika
(h1 , h2 )
→ 0.
Sama seperti h adalah kenaikan kecil dalam x untuk kasus satu peubah, kita dapat memandang h1 sebagai kenaikan kecil dalam x dan h2 sebagai kenaikan kecil dalam y untuk kasus dua peubah.
Jika kita memperbesar grafik tersebut lebih jauh, maka permukaan berdimensi tiga akan menyerupai sebuah bidang, dan plot konturnya akan membentuk garis-garis sejajar. Kita dapat menyederhanakan definisi di atas dengan mendefinisikan p ε (h) = (ε 1 ( h1 h 2 ), ε 2 (h1 h2 ))
. (Fungsi
(h) adalah
ε
0 =
( a, b), h
=
(h1 h2 ) ,
dan
sebuah fungsi berenilai vektor dari
sebuah peubah vektor) jadi, f ( p0
+
h)
fp0 ( f x( p0 ), f y ( p0 )).h +ε ( h).h
=
peubah(atau lebih).
Contoh Tunjukkan bahwa f(x,y) = xey + x2y dapat didiferensialkan dimanapun dan hitung gradiennya. Kemudian tentukan persamaan z = T(x,y) pada bidang singgung (2,0).
Penyelesaian
Persamaan garis singgung Z = T(x,y) Z = f(2,0) +
. (x-2, y-0)
Z = 2 + (1,6). (x – 2, y – 0) Z = 2 + x-2 + 6y Z = x + 6y D. Fungsi Skalar R m
Fungsi skalar didefinisikan sebagai aturan pengkaitan unsur dari himpunan D ⊆ R m ke R yang memenuhi syarat tertentu. Definisi
Fungsi skalar adalah suatu aturan yang memasangkan setiap unsur x ∈ D tepat satu unsur u ∈ R.
⊆
Bila fungsi skalar ini disebut f , maka lambang untuk fungsi adalah f : D → R, X → f ( x)
Atau dalam bentuk aturan u
=
f ( x ), X
=
( x1 , x 2 ,..., xm ) ∈ D ⊆ R
Pada kasus ini daerah definisi dan daerah nilai fungsinya adalah R f
=
{ f ( x ) ∈ R X ∈D}.
m
Df = D
dan
R m dengan
Lambang u = f ( x) menyatakan aturan fungsi, yang seringkali diberikan terlebih dahulu. Setelah daerah definisi fungsi skalar ditentukan, barulah pemetaan yang sesuai dengan definisi di atas dibentuk. Pada situasi ini daerah definisi fungsi f adalah D f
= { X ∈ R
m
z = f ( x ) ∈ R}
Dalam kasus m = 2 fungsi sekalar dikenal sebagai fungsi dua peubah, dan untuk kasus m = 3 fungsi tiga peubah dan seterusnya. Secara umum fungsi sekalar dikenal sebagai fungsi peubah banyak. Contoh soal 1. Tentukan Daerah definisi fungsi skalar z = f ( x, y ) =
16 − x
2
y 2
−
1n(x + y)
Penyelesaian : Agar z = f ( x) ∈ R syaratnya adalah besaran di bawah tanda akar pada pembilang harus tak negatif, besaran yang diambil logaritma naturalnya positif dan penyebutnya tidak nol, maka : 16 – x2 – y2 ≥ 0, x + y > 0 dan x + y ≠ 1 Jadi daerah definisi fungsi f adalah
Df = {( x y, ) x 2 + y 2 ≤ 16,
x > − x
, dan y ≠1- x}
C. Operasi pada Fungsi Skalar
Jika diketahui dua fungsi sekalar, maka pada irisan kedua daerah definisi tersebut dapat dilakukan operasi aljabar terhadap kedua fungsi itu. Definisi
Misalkan D1 , D2 ⊆ R m , f : D1 → R, u = f ( x), dan g : D2 → R, v = g ( x) adalah fungsi sekalar, maka operasi aljabar dari f ke g pada himpunan D = D1 ∩ D2 di definisikan sebagai berikut, 1. Penjumlahan ( f + g )( X )
= f ( X ) + g ( X )
( f − g )( X )
= f ( X ) − g ( X )
2. Pengurangan
3. Perkalian ( f . g )( X )
= f ( X ). g ( X )
4. Perkalian dengan sekalar (cf )( X )
=
cf ( X )
5. Pembagian ( f / g )( X )
=
f ( X ) g ( X )
, g ( X )
≠
0
.
