JEODEZİ I Doç.Dr. Doç.Dr. Ersoy ARSLAN
2.3- JEODEZİDE
KOORDİNAT SİSTEMLERİ
2.3.1- Genel Bilgiler
Dünyanın uzayda farklı iki peryodik hareketi vardır, birincisi kendi ekseni etrafında dönmesi, ikincisi güneşin etrafında dolaşmasıdır. Ayrıca bir doğal uydu olan Ay‟ın ve çok sayıda yapay uydunun dünya etrafındaki yörüngesel hareketleri de üçüncü tür peryodik hareketlerdir.. Koordinat ve zaman sistemlerini hareketlerdir s istemlerini tanımlamak için bu peryodik hareketler temel teşkil ederler. Jeodezik problemlerin çözülebilmesi için, problemlerin yapılarına uygun olan çok çeşitli koordinat sistemleri kullanılır. Temel koordinat sistemlerini üç ana grupta toplayabiliriz.
Yersel Koordinat Sistemleri dünyaya göre sabittir
ve dünya ile birlikte dönerler. dönerler. Bunlar yeryüzü üzerindeki noktaların koordinatlarını belirlemek için kullanılırlar.. Jeosentrik ve toposentrik sistem olarak kullanılırlar adlandırılan iki çeşit yersel sistem vardır vardır.. Göksel Koordinat Sistemleri Güneş ve yıldızlar gibi gök cisimlerinin koordinatlarını belirlemek için kullanılır.. Ekliptik, Rektasansiyon, Saat Açısı ve Ufuk kullanılır Sistemi olarak adlandırılan dört ayrı göksel koordinat sistemi vardır. Yörüngesel Sistem, dünya etrafında yörüngelendirilmiş olan uyduların koordinatlarını belirlemek için kullanılır
2.3.2- Kartezyen (Dik) Koordinat Sistemleri ve Koordinat Dönüşümleri Ortagonal Transformasyonlar:
Y=AX (2.1)) (2.1 matris eşitliğine bir lineer Transformasyon Transformasyon olarak bakılabilir bakılabilir.. Burada A bir matris, X ve Y sütun sütun vektörlerdir. vektörlerdir. A matrisi “ Transformasyon Matrisi” olarak adlandırı adlandırılır lır.. Eğer X ve Y vektörle vektörleri ri aynı boyuta sahipse transformasyonun ve matrisin ortagonal olduğu söylenebilir söylenebilir.. Ortagonal matrisler, matrisler, matrisin ve transpozesinin çarpımı (veya tersi) Birim Matris olma özelliğine sahiptir. Yani (2.2) T T AbirAortagonal gonal I matrisin determinantının +1 veya -1 dir.. Bu A dir özellAikten özellikten orta olduğu bulunur. Refleksiyon (Yansıma) ve Rotasyon (Dönme) olarak adlandırılan iki tür ortagonal transformasyon vardır. vardır. Refleksiyon matrisinin determinantı -1 ve rotasyon matrisinin determinantı +1 dir. Yukardaki transformasyon iki koordinat sistemi arasındaki bağıntıyı belirlemektedir. Burada X ve Y aynı vektörlerdir, ancak onların
3 Boyutlu Dik Koordinat Sistemi
Üçüncü Eksen Z, X 3 veya 3.eksen
Birinci Eksen Y , X 2 veya 2. eksen
Birinci kutup Dünyanın dönme ekseni
İkinci Düzlem Greenwich meridyen düzlemi
Birinci Düzlem Dünyanın Ekvator Düzlemi
Birinci Eksen X, X 1 veya 1.eksen
İkinci kutup
Birinci Eksen (Sol El sistemi için) Y , X 2 veya 2. eksen
Dik koordinat sistemi, birbirine dik üç eksenden oluşur.. Başka bir deyişle, üç eksenden ikisinin oluşur oluşturduğu düzlem üçüncü eksene diktir diktir.. Üç boyulu koordinat sisteminde bir nokta üç elemanla tanımlanır. tanımlanır. Her nokta için tanımlanan konum vektörünün birinci, ikinci ve üçüncü elemanları sırası ile 1. eksen, 2. eksen , 3. eksene göre (eksenler sırasıyla X1, X2, X3 veya X, Y, Z ile gösterilebilir) tanımlanabilir tanımlanabilir.. Dik koordinat sistemi eksen değerlerinin büyüme yönlerine göre sağ el sistemi veya sol el sistemi olarak ikiye ayrılır. ayrılır. Değerlerin büyüme yönleri eksenlerin pozitif (+) yönleridir.
Bu eksenlere X,Y X,Y,Z ,Z eksenleri denirse, + Z ekseni doğrultusuna bakışta, + X eksenini + Y ekseni ile çakıştırmak için saat ibresi doğrultusunda 90 döndürmek gerekiyorsa, bu sistem sağ sistemdir (Şekil 4.1). Sağ sistem için “sağ el kuralı” geçerlidir. Eğer sağ elin parmakları herhangi bir eksen etrafında baş parmak pozitif doğrultuyu gösterecek biçimde bükülürse, parmaklar çevrim tarzında numaralanmış ikinci eksenden üçüncü eksene yönelecektir.. Ayrıca yönelecektir Ayrıca parmakların yönü “pozitif dönme yönü”nü de gösterir. Bunun karşıtı sol sistem olur Sol sistemler için ise “sol el kuralı” geçerlidir (Şekil 4.1).
Z
O
Z
Y Y
X
Şekil : 4.1a- Sağ el koordinat sistemi sistemi
O
X
Şekil : 4.1b- Sol el koordinat
Bir koordinat sistemini tanımlamak için Başlangıç noktasının yeri Koordinat eksenlerinin yönleri Koordinat sistemine ait bir noktanın yerini belirleyen parametreler kesinlikle belirtilmelidir belirtilmelidir.. Uzayda bir noktanın yeri kartezyen (dik) koordinatlarla gösterilebileceği gibi kutupsal koordinatlarla da gösterilebilir gösterilebilir..
Bir nokta uzayda herhangi bir koordinat sistemindeki koordinatları ile belirlenir. Koordinat sistemleri genel olarak 1- Dik koordinat sistemi 2- Kutupsal koordinat sistemi olmak üzere iki özelliktedir. Ancak bir noktanın noktanın koordinat koordinat değerleri değerleri bu sistemlerden birinde verilmişse, aynı noktanın diğer sistemdeki değerleri hesaplanabilir.
Z
Şekil 4.2 de A noktasının dik koordinatları X,Y,Z dir. Kutupsal koordinatları ise r, , dır.
A
r Z
O
X
Y
X A
Şekil : 4.2 – Kutupsal ve Dik Koordinatlar
Y
Kutupsal koordinatlar ile dik (kartezyen) koordinatlar arasındaki bağıntılar Şekil 4.2 yardımı ile; X = OA cos = OA cos cos Y = OA sin = OA cos sin Z= = OA sin veya X = r cos cos Y = r cos sin Z = r sin olarak yazılır. Ters dönüşüm formülleri de r X Y Z 2
tan tan
tan tan
2
2
2
Z X Y 2
Y X
2
şeklindedir.
2.3.3 dünyanın dönmesi ve Kutup Hareket İ İ
Dünya sabit bir eksen etrafında dönmediği, dönme ekeseni sürekli değiştiği için kutup noktaları da katı yeryuvarına göre sürekli yer değiştirir . Bu olay kutup hareketi veya kutup gezinmesi olarak adlandırılır . Değişmez bir yeryuvarı-sabit koordinat sisteminin yani Konvansiyonel Yersel Sistem ‟in (Convantional Terrestrial System - CTS ) tanımlanabilmesi için değişmez bir kutup Yersel Kutup noktasına ihtiyaç vardır . Bu Ortalama Yersel (Convantional Terrestrial Pole, CTP ) ve ekvator üzerinde bir sıfır boylamı sıfır boylamı (Greenwich Ortalama Gözlemevi - Greenwich Mean Observatory - GMO ) yardımı ile Konvansiyonel Yersel Sistem = Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemi tanımlanır .
Tablo 2.1 Uluslarası Kutup Hareketi Servisi’nin (IPMS) Enlem Gözlemevleri
İstasyon
Carloforte, İtalya
Boylam
Enlem
8 18 44 39 08 08.941 -77 11 57 39 08 13.202
Gaitehersburg, MarylandABD Kitab, Özbekistan, (eski USSR) Mizusawa, Japonya
141 07 51 39 08 03.602
Ukiah, California- ABD
-123 12 35 39 08 12.096
66 52 51 39 08 01.850
Z
ZAnlık
90o batı boylamı Y
90o batı boylamı Y
CIO Ortalama Kutup
X
CIO
XP
o
0 boylamı Greenwich O
YAnlık P
Y
YP
T anındaki gerçek kutup
X 0o boylamı
X
XAnlık
Greenwich
Tablo 2.3 Kasım- Aralık Aralık 1990 için kutup hareketi parametreleri parametreleri POLE COORDINATES, COORDINATES, UT1-UTC, AND GPS-UTC FROM BIH, CIRCULAR B ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------MJD X-POLE Y-POLE UT1-UTC GPS-UTC GPS-UT C DA DATE TE REMARKS (") (") (S) (S) 48199. 0.2260 0.1371 -0.25656 6. 90 11 4 DEF 48204. 0.2073 0.1253 -0.26741 6. 90 11 9 DEF 48209. 0.1928 0.1 0.1138 138 -0.27872 6. 90 11 14 DEF 48214. 0.1777 0.1044 -0.28971 6. 90 11 19 DEF 48219. 0.1623 0.0963 -0.30094 6. 90 11 24 DEF 48224. 0.1436 0.0900 -0.31241 6. 90 11 29 DEF 48229. 0.1251 0.0845 -0.32413 6. 90 12 4 DEF 48234. 0.1073 0.0799 -0.33518 6. 90 12 9 DEF 48239. 0.0904 0.0747 -0.34529 6. 90 12 14 DEF 48244. 0.0737 0.0698 -0.35502 6. 90 12 19 DEF 48249. 0.0550 0.0678 -0.36508 6. 90 12 24 DEF 48254. 0.0346 0.0681 -0.37551 6. 90 12 29 DEF
Yukarıda da ayrıntılı olarak açıklandığı gibi, kutup hareketini ve yer dönme paramtrelerini belirlemek için kurulan uluslararası kuruluşlar çeşitli isimler altında faaliyet göstermişlerdir . Günümüzde bu faaliyetler 1 Ocak 1988‟den beri Uluslararası Y Uluslararası Yeryuvarı eryuvarı Dönme Servisi (International Earth Rotation Service- IERS) tarafından kısaca ITRF olarak adlandırılan
(IERS Terrestrial Reference Frame) referans ağına dayalı olarak sürdürülmektedir sürdürülmektedir..
Üç boyutlu jeodezide kullandığımız koordinat sistemleri yersel koordinat sistemleridir sistemleridir.. Bunlar Jeosentrik (yer merkezli) sistemler Toposentrik (nokta merkezli) sistemler olarak iki ana grupta incelenebileceği gibi, Gözleme ve ölçmelerin dayandığı doğal sistemler, Hesapların dayandığı referans sistemler olarak da ikiye ayrılabilirler . Yersel Koordinat Sistemleri yeryüzü üzerindeki konumların ve hareketlerin belirlenmesi için kullanılan koordinat sistemleridir ve genelde coğrafik koordinat sistemleri olarak adlandırılırlar . Konumlar kutupsal veya kartezyen koordinatlarla belirlenebilir. belirlenebilir.
2.3.4.1- Jeosentrik Sistemler Jeosentrik sistemler Ortalama ve Anlık Yersel Yersel Sistemler, Jeodezik (Elipsoidal) sistemler olarak ikiye ayrılır.
Yukarda açıklandığı gibi temel yersel koordinat sistemi Konvansiyonel Yersel Koordinat Sistemi veya diğer adıyla Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemi‟dir. Ortalama Sistem bir ideal sistemdir. İdeal dünya dik koordinat sistemi olarak kabul edilen “Konvansiyonel Yersel Sistem ”in orijini yerin ağırlık merkezidir. Sistemin Z ekseni yeryuvarının ortalama dönme ekseni ile çakışıktır ve pozitif yönü kısaca CIO (Conventional International Origin) olarak gösterilen Ortalama Kutup‟a doğru yönelmiştir. Sistemin X ekseni Greenwich ortalama astronomik meridyen düzlemi ile ortalama ekvator düzleminin arakesitinde uzanır ve Z eksenine diktir, pozitif yönü 0 astronomik boylamı gösterir. Y ekseni, sistem bir sağ el sistemi olacak şekilde seçilmiştir seçilmiştir ve pozitif yönü ekvator düzlemi içerisinde 90 doğu
Bir yer noktasının konumu Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemi‟nde X,Y,Z dik koordinatları ile veya , ,W veya , ,H eğri koordinatları ile tanımlanabilir. astronomik enlemi ve astronomik boylamı, g gerçek gravite vektör vektörünün ünün X,Y X,Y,Z ,Z eksenler eksenlerine ine göre doğrultusunu belirler, belirler, üçüncü koordinat olarak W jeopotansiyeli veya H ortotmetrik yüksekliği alınır,
Şekil 2.8 - Ortalama Dünya Dünya Dik Koordinat Koordinat Sistemi Sistemi
Yerin katı yapısına göre yerin dönme ekseninin değiştiği (Kutup hareketi) bilinmektedir. bilinmektedir. Bu nedenle CIO kutbu bir tanımdır. Her bir T anı için yerin gerçek kutbu değişmektedir. Gerçek kutup ile tanımlanan kutup arasındaki bağıntının sağlanması gerekir. Yer üzerinde yapılan gözlemeler (örneğin astronomik gözlemeler, uydu ölçmeleri) yeryuvarının gözlem anındaki gerçek dönme eksenine göredir. Dönme ekseninin konumu katı yeryuvarına göre zamanla değiştiğinden her gözlem anında bir dönme ekseni ve bu eksene ve yerin ağırlık merkezine göre bir koordinat sistemi oluşur. oluşur. Bu sistemlerin her biri “Anlık Yersel Koordinat Sistemi” olarak adlandırılı adlandırılır r (Şekil 2.6).
Anlık Yersel Yersel Koordinat Sistemi Sistemi aşağıdaki gibi tanımlanır: tanımlanır: Başlangıcı dünyanın ağırlık merkezindedir (ortalama sistemle aynı). Z ekseni dünyanın anlık dönme ekseni ile çakışıktır ve pozitif yönü anlık kutup noktasına yönelir X ekseni dünyanın gerçek dönme eksenini ve ortalama Greenwich gözlemevini içerisine alan düzlemle anlık ekvator düzleminin arakesitinde yer alır. Y ekseni sistem bir sağ el koordinat sistemi olacak şekilde anlık ekvator düzleminde yer alır Bu sistemde bir noktanın konumu anlık X, Y, Z dik koordinatları ile veya anlık astronomik enlemi ve anlık astronomik boylamı ve W jeopotansiyeli veya H ortometrik yüksekliği ile belirlenir.
Bu iki sistemin temel özelliği başlangıç noktalarının aynı olması ve dünyanın ağırlık merkezinde bulunması ve Z eksenlerinin dünyanın anlık ve ortalama dönme eksenleri olmasıdır. Bir noktanın anlık yersel sistemdeki koordinatları Gözlem anındaki kutup hareketi parametreleri XP, YP bilindiğine göre rotasyon matrisleri yardımıyla X X Y R2 ( X P ) R1(Y P ) Y Z Ortalama Z Anl Anl
(2.31)
ın
eşitliği ile ortalama sisteme dönüştürülür (Şekil 2.5 – 2.6).
Kutup hareketi parametreleri XP, YP derece saniyesi biriminde verilmektedir. verilmektedir. Rrotasyon matrisleri daha önce verilen genel eşitliklerle, X ekseni etrafına saat ibresi yönünde (negatif) YP kadar bir dönme için 0 0 1 sin( y P ) R1 ( y P ) 0 cos( y P ) 0 sin( y P ) cos( y P )
(2.32)
ve Y ekseni etrafına etrafına saat ibresi yönünde yönünde (negatif) XP kadar bir dönme için cos( xP ) 0 sin( x P ) 0 1 0 R2 ( x P ) sin( x P ) 0 cos( xP )
(2.33)
şeklinde elde edilir. Kutup noktasının koordinatları X P, YP derece saniyesi biriminde küçük değerlerdir . Bu nedenle dönüşüm diferansiyel dönüşüm olarak düşünülebilir.
Bu durumda dönüşüm matrislerinin çarpımı yukarıda (2.30) eşitliğinde verildiği gibidir, yan i 1 R2 ( x P ) R1 ( y P ) 0 x P
dir.
0 x P 1 1 0
0
0 1 1 0 y P 0
0
1 y P 0 1 x P
0 1
y P
x P
y P 1
(2.34)
Ortala ma Yersel Sistemden Anlık Yersel Ortalama Yersel Sisteme dönüşüm (invers dönüşüm) x x 1 y R2 ( x P ) R1 ( y P ) y z Anl z Ortalama
(2.35)
ın
eşitliği ile yapılır yapılır.. Rotasyon matrislerinin ortagonal olmaları nedeniyle R-1() = RT() = R(-) dir ve yukarıdaki eşitlik x x y R1 ( y P ) R2 ( x P ) y z Anl z Ortalama ın
şeklinde yazılabilir.
(2-36)
Astronomik gözlemlerle bulunan bulunan kutupsal anlık koordinatlar astronomik enlem, astronomik boylam ve astronomik azimut yine kutup hareketi parametrelerine göre düzeltilerek ortalama kutuba indiregenmi indiregenmişş koordinatlar elde edilir edilir.. Bu indirgemeler sin y P cos cos ) sec P T ( xP sin
P T y P sin sin x P cos cos P T ( x P sin sin y P cos cos ) tan tan eşitlikleri ile hesaplanır. Eşitliklerde T (T ölçme anındaki) anlık kutba göre yapılan astronomik gözlemelerle belirlenmiş anlık astronomik azimut, T anlık astronomik enlem, T anlık astronomik boylam, ortalama kutba (CIO) indirgenmiş astronomik azimut, indirgenmiş astronomik enlem ve indirgenmiş astronomik boylamdır.
Yukarıdaki eşitliklerle hesaplanmış indirgeme değerleri ile bu indirgenmiş büyüklükler
T P T P
T P eşitlikleri ile hesaplanır.
2.3.4.1.2- Jeodezik (Elipsoidal) Sistemler
Jeodezik (Elipsoidal) Sistemin başlangıcı elipsoidin merkezindedir, z ekseni elipsoidin küçük ekseni ile çakışıktır, x ekseni Greenwich jeodezik meridyen düzlemi ile ekvator düzleminin arakesitindedir ve y ekseni bir sağ el sistemi oluşturacak şekilde seçilmiştir seçilmiştir.. Bu sistemde bir P yer noktasının konumu x, y, z dik koordinatları ile veya , , h elipsoidal eğri koordinatları ile belirlenir. elipsoidal (jeodezik) enlem, elipsoidal boylam ve h elipsoidal yükseklik olarak adlandırılır (Şekil 2.9).
Şekil 2.9 Elipsoidal Dik ve Eğri Koordinatlar.
Elipsoidal eğri koordinatlardan elipsoidal dik koordinatlara geçiş, x ( N h) cos cos (2.37a) y ( N h) cos sin (2.37b) b z N h sin (1 e ) N h sin a (2.37c) eşitlikleri ile gerçekleştirilir . Eşitliklerde N meridyene dik doğrultudaki normal kesit eğrilik yarıçapı, a ve b sırasıyla elipsoidin büyük ve küçük yarı eksen uzunluklarıdır . 2
2
2
c
a2
a b 2
e 2
b
a
2
2
a b 2
e 2
b
(2.38)
2
2
olmak üzere meridyene dik doğrultudaki normal kesit eğrilik yarıçapı N a a c c N veya (2.39) N W V
1 e cos 2
2
eşitliği ile hesaplanır.
1 e sin sin 2
2
Elipsoidal dik koordinatlardan elipsoidal eğri koordinatlara dönüşüm için değişik yollar vardır. Bunlar 1- İtersyon yöntemi 2- Doğrudan çözüm yöntemleri şeklinde sınıflandırılabilir.
1- İtersyon yöntemi Elipsoidal boylam , (2.37b) eşitliğinin (2.37a) eşitliğine bölünmesi ile doğrudan elde edilir. y (2.40) arctan x
Elipsoidal enlem ve elipsoidal yükseklik h‟nın hesaplanması için aşağıdaki iterasyon eşitlikleri 2 2 (2.41) p x y 1 z N 2 arctan 1 e p N h
h
p
N
(2.42)
(2.43) çıkarılır. Eşitliklerde de görüldüğü gibi nin hesabında h, h nın hesabında geçmektedir.Hesaplarda bu eşitliklerin kullanılması durumunda arka arkaya iterasyon yapmak gerekir. cos
2- Doğrudan çözüm yöntemi Elipsoidal boylam , (2.37b) eşitliğinin (2.37a) eşitliğine bölünmesi ile doğrudan elde edilir. y (2.40) arctan x indirgenmiş enlemi tan
a z b p
(2.47)
eşitliği ile hesaplanır. Elipsoidal enlem aşağıdaki eşitlikle doğrudan hesaplanabilir, 2 3 sin z e b sin tan 2 3 (2.46) p e a c os Eşitliklerde geçen a ve b sırasıyla elipsoidin büyük ve küçük yarı eksen uzunlukları, e2 ve sırasıyla birinci ve ikinci eksentrisite değerleridir değerleridir.. Hesaplanan elipsoidal enleme bağlı olarak N eğrilik yarıçapı hesaplanır ve Elipsoidal yükseklik yukarıda verilen h
p cos
N
(2.43) eşitliği ile hesaplanır hesaplanır..
2.3.4.2 Jeodezik Datum ve Jeodezik Datum Belirleme
ülke nirengi ağı noktalarının koordinatlarının hesaplanabilmesi için bir referans elipsoidinin belirlenmesi ve jeoide göre konumlandırılması gerekir.. Referans elipsoidinin jeoide göre gerekir yerleştirilmesi ve yöneltilmesi işlemi Jeodezik Datum Belirleme, bu işlemin yapılabilmesi için gereken parametre grubuna Jeodezik Datum Parametreleri denir. Diğer bir deyişle, Jeodezik Datum terimi, alışılageldiği şekliyle ,,h ile veya x,y,z dik koordinatlarıyla ifade edilen Elipsoidal Sistemin, Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemine ve böylece yeryuvarına (jeoide) göre konumlandırılması ve yönlendirilmesini ifade eder (T (Torge, orge, 1991).
Herhangi iki elemanı (a,b eksenleri veya a ve f basıklığı ) ile belirlenen elipsoidin boyutları eğer dünyanın boyutlarına eşit ise bu elipsoide ortalama yer elipsoidi denir. Eğer,, referans elipsoidinin boyutları ortalama yer Eğer elipsoidinin boyutlarına eşit ve elipsoidin eksenleri mutlak koordinat sisteminin eksenleri ile çakışık ise bu referans elipsoidi mutlak yönlendirilmiş referans elipsoidi olarak adlandırılmıştır.. Orijini yerin ağırlık merkezi adlandırılmıştır dışında, bağıl bir koordinat sistemine göre yönlendirilen referans elipsoidi ise bağıl referans elipsoidi olarak adlandırılır. adlandırılır. Mutlak referans elipsoidinin datum parametrelerine mutlak jeodezik datum parametreleri bağıl referans elipsoidinin parametrelerine bağıl jeodezik
Mutlak jeodezik datum
Mutlak ve Rölatif jeodezik datumlar
Rölatif jeodezik datumlar ülkenin bulunduğu bölgede elipsoid yüzeyi jeoid yüzeyine en iyi şekilde uyacak
Şekil 2.20 - Jeodezik Datum ve eksenlerin paralelliği
Şekil 2.22 - Başlangıç noktası ve Jeodezik Datum parametreleri
(X,Y,Z) ,Z) ile Şekil 2.10 - Ortalama Yersel Dik Koordinatlar (X,Y Elipsoidal Dik Koordinat Koordinatlar lar (x,y (x,y,z) ,z) arasındaki ilişki.
Eksenlerin paralel olması durumu ise genellikle bir relatif jeodezik sistemi tanımlar. Ayrıca eksenlerin paralelliği de tam olarak sağlanamayabilir, bu durumda eksen dönüklükleri söz konusudur konusudur.. Bu en en genel genel durumda elipsoid dik koordinat koordinatları ları x, y, z ile Ortal Ortalama ama Yersel Sistem arasındaki bağıntı vektörel olarak (Şekil 2.10), (2.48) A C R(1 f 0 )G X A Y Z
şeklindedir.
,
X 0 C Y 0 Z 0
x G y , z
(2.49)
Eşitlikteki fo ölçek faktör faktörüdür. üdür. R dönüşüm matrisi olup x, y, z eksenleri etrafındaki eksen dönüklükleri sırasıyla x, y, z olmak üzere, yukarıda (2.6) da verilen rotasyon (Dönme) matrislerinde , , yerine sırasıyla x, y, z alınarak R = R1(x) R2(y) R3(z) (2.50) 0 1 R 0 cos x 0 sin x
cos y sin x 0 cos x sin y 0
sin y cos z 1 0 sin z 0 cos y 0 0
sin z cos z 0
0
1 0
(2.51)
şeklindedir. Eksen dönüklüklerinin küçük oldukları kabul edilir ve şeklindedir. bazı küçük terimler ihmal edilir ve ölçek faktörü de dikkate alınırsa dönüşüm matrisi 1 f 0 y z R(1 f 0 ) z 1 f 0 x y x 1 f 0
(2.52)
olur. Ortalama yersel sistemden jeodezik sisteme dönüşüm (2 -48) 1 eşitliğinden eşitliği ile gerçekleştirilir. G R (1 f )( A C )
Tablo 2.4- Başlıca jeodezik datumlar
Şekil 2.24b Başlıca jeodezik datumlar
2.3.4.3 Toposentrik Sistemler
Yeryüzü üzerindeki her nokta için ayrı bir toposentrik sistem tanımlanır. tanımlanır. Bunların en belirgin özelliği başlangıç noktasının durulan noktada olmasıdır.. İki çeşit toposentrik sistem olmasıdır tanımlanabilir: Lokal astronomik sistem Lokal jeodezik sistem.
2.3.4.3.1 Lokal Astronomik Sistem Bir lokal astronomik astronomik sistemde başlangıç, fiziksel yeryüzü Z ekseni durulan noktadan üzerinde durulan noktadır. geçen eş potansiyelli yüzeyin normali (çekül eğrisinin teğeti, çekül doğrultusu) ile çakışır ve pozitif yönü X ekseni durulan astronomik başucuna yönelmiştir. noktadaki jeopotansiyel yüzeye teğet düzlem içerisindedir içerisinded ir ve ortalama kutup noktası CIO‟ya X ekseninin yönü astronomik kuzey olarak yönelmiştir. adlandırılır. Y ekseni bir sol el sistemi oluşuturacak şekilde teğet düzlem içerisinde doğuya yönelmiştir (Şekil 2.11).
Şekil 2.1 2.11 1- Lokal Astronomik ve Ortalama Yersel Yersel Koordinat Koordi nat
Yeryüzünde yapılan bütün ölçmeler bu sisteme göre yapılır. Örneğin bir P noktasına kurulan teodolit bu noktadan geçen geçen jeopotansiyel yüzeye göre tesviye edilir ve aletin asal ekseni çekül doğrultusu ile yani Z ekseni ile çakıştırılır. X ekseninin doğrultusu astronomik gözlemelerle belirlenir belirlenir.. astronomik azimutu, P noktasından K noktasına başucu açısı ve S uzaysal (eğik) kenarı ölçülebil ölçülebilir ir.. Bunlar K noktasının kutupsal koordinat koordinatlarıdır larıdır (Şekil 2.1 2.11). 1). , , S kutupsal koordinatları ile X, Y, Z lokal astronomik dik koordinatlar arasında X s in cos s in s in Y S Z cos K
ilişkisi vardır.
(2.53)
Açık olarak yazılacak olursa X K S PK s in PK cos PK
Y K S PK s in PK s in PK
(2.54)
Z K S PK cos PK
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerde geçen S noktalar arasındaki uzaysal kenar uzunluğu kutup hareketi nedeniyle düzeltilerek ortalama kutba indirgenmiş astronomik azimut düşey açısı (başucu açısı, zenit açısı) refraksiyon nedeniyle düzeltilmiş düşey açıdır.
Refraksiyon düzeltmesi PK, c c ; RPK N M 3 V
V
MN M N
2 PK
N cos APK M sin APK 2
2
S PK R PK
eşitliklerde S kenarın uzunluğu, A kenarın azimutu olmak üzere
PK PK k P
(2.55) eşitliği ile hesaplanır hesaplanır.. Eşitlikte geçen kP P noktasındaki refraksiyon (kırılma) katsayısıdır katsayısıdır.. Ölçülen * başucu açısına PK refraksiyon düzeltmesi eklenerek
* K
P
S hP
R
PK PK
(2.56) düzeltilmiş başucu açısı elde edilir(Şekil 2.12).
2
hK
Lokal astronomik sistemle ortalama yersel sistem arasındaki ilişki, lokal astronomik sistemin başlangıç noktası olan istasyonda gözlenen ve kutup hareketi nedeni ile düzeltilerek ortalama kutba indirgenen astronomik enlem P ve astronomik boylam P yardımı ile kurulur. (2.53) eşitliği ile P noktasındaki lokal astronomik sistemdeki dik koordinatları bulunan K noktasının, ortalama yersel sistemdeki koordinatları X X X Y Y R3 (180 P ) R2 ( 90 P ) P2 Y Z Z Z K P K
eşitliği ile elde edilir.
(2.57)
Bu eşitlikte, R2, R3 rotasyon matrisleri ve P2 yansıma matrisidir ve R R3 (180 P ) R2 (90 P ) P2
ile toplam rotasyon matrisi sin P c os P R sin P sin P c os P
sin P
c os P c os P
c os P
c os P sin P
0
sin P
şeklinde bulunur bulunur.. Bu matris ile (2.57) eşitliği açık olarak yazılırsa X K X P X K sin P cos P YK sin P Z K cosP cos P
YK YP X K sin P sin P YK cos P Z K cos P sin P
Z K Z P X K cos P Y K * 0 Z K s in P
olur.
(2.58)
Tersine dönüşüm R matrisin matrisinin in ortagonal olması nedeniyle X K X P X T Y R YK Y P Z Z K Z P K
(2.59)
şeklindedir. X= XK-XP , Y= YK-YP , Z=ZK-ZP denilir ve açık olarak yazılırsa X K X sin P cos P Y sin P sin P Z cosP
(2.60a)
YK X sin P Y cos P
(2.60b)
Z K X cosP cos P Y cosP sin P Z sin P
(2.60c)
bulunur.
Bu yerel astronomik dik koordinatlardan (2.53) eşitliklerinin de dikkate alınması ile PK arctan
Y K X K
S PK
X
2
Y
2
Z
2
Z K
PK arccos
(2.61)
S PK
eşitlikleri elde edilir. X K , YK , Z K yerine (2.60a,b,c) eşitliklerinden karşılıkları konulursa X sin P Y cos P PK arctan X sin P cos P Y sin P sin P Z cosP
(2.62a)
S PK
(2.62b)
X 2 Y 2 Z 2
PK arccos
X cosP cos P Y cosP sin P Z sin P
bağıntıları elde edilir.
S
(2.62c)
2.3.4.3.2 Lokal Jeodezik Sistem Bir lokal jeodezik sistemde başlangıç gözleme istasyonundan geçen elipsoid normali üstündedir. üstündedir. Prensip olarak başlangıç noktasının elipsoid normali boyunca herhangi bir yerde olabileceğine dikkat etmek gerekir. Uygulamada başlangıç noktası gözleme istasyonunda, elipsoid yüzünde veya elipsoid normali ile jeoidin kesiştiği yerde seçilir. z ekseni elipsoid elipsoid normali ile çakışır çakışır ve pozitif yönü jeodezik başucuna yönelmiştir yönelmiştir.. x ekseni başlangıç noktasında elipsoid normaline dik olan (teğet) düzlem içerisindedir ve elipsoidin dönme eksenine yani jeodezik kuzeye yönelmiştir. y ekseni bir bir sol el sistemi sistemi oluşturacak oluşturacak şekilde doğuya
Şekil 5- Jeodezik ve Lokal Jeodezik Koordinat Sistemleri.
Lokal jeodezik sistemde dik koordinatlarla kutupsal koordinatlar arasıdaki ilişkiler lokal astronomik sistemdekine benzer olarak x sin cos A y S sin sin A z cos K
(2.63) şeklinde yazılabil yazılabilir ir.. Bu eşitlik eşitliklerde lerde A elipsoidal azimut, elipsoidal (refraksiyon düzeltmesi getirildikten sonra elipsoid normaline indidrgenm indidrgenmiş) iş) düşey açı ve S uzaysal (eğik) kenardır. Bu eşitlik eşitlikler ler açık olarak cos sin PK cos APK x K S PK sin (2.64) sin y K S PK sin sin PK sin APK cos PK z K S PK cos şeklinde yazılabilir.
çekül doğrultusuna göre ölçülen ve refraksiyon
düzeltemesi getirilmiş zenit açısı, ve durulan noktadaki (P noktası) çekül sapması bileşenleri, A, P noktasından K noktasına elipsoidal azimut olmak üzere, elipsoid normaline indirgenmiş zenit açısı ,
PK ( P cos APK P sin sin APK ) (2.65) PK eşitliği ile hesaplanır.
Lokal jeodezik sistemle elipsoidal sistem arasındaki ilişki, lokal jeodezik sistemin başlangıç noktası olan istasyonun elipsoidal enlemi P ve elipsoidal boylamı P yardımı ile kurulur.. (2.63) veya kurulur veya (2.64) eşitlikleri ile P noktasındaki lokal jeodezik sistemdeki dik dik koordinatları bulunan K noktasının, elipsoidal sistemdeki koordinatları (2.66) matris eşitliği ile x x x y y R3 (180 P ) R2 (90 P ) P2 y z z z K P K
(2.66)
veya açık olarak yazılacak olursa
x K x P x K s in P cos P y K s in P z K cos P cos P
(2.67a)
y K y P x K sin sin P sin sin P y K cos cos P z K cos cos P sin sin P
(2.67b)
cos P y K 0 z K sin sin P z K z P x K cos
(2.67c)
eşitlikleri ile bulunur.
Yine lokal astronomik sistemdekine benzer olarak, lokal jeodezik sistemdeki dik koordinatlar ile elipsoidal koordinatlar arasında x = xK-xP , y= yK-yP , z=zK-zP olmak üzere x K x sin sin P cos P y sin sin P sin sin P z cos cos P
(2.68a)
y K x s in P y cos cos P
(2.68b)
z K x cos P cos cos P y cos cos P sin sin P z sin sin P
(2.68c)
bulunur.
Lokal jeodezik sistemdeki kutupsal koordinatlar ile dik arasında APK arctan
y K
arccos PK
z K
, S x y z , (2.69) S bağıntıları geçerlidir. Bu eşitliklerde x , y , z yerine (2.68a,b,c) eşitliklerinden karşılıkları konulursa x K
2
2
2
PK
PK
K
APK arctan
K
K
x sin P y cos P x s in P cos P y s in P sin P z cos P
S PK x y z 2
arccos PK
2
(2.70a) (2.70b)
2
x cos P cos P y cos P sin P z sin P
(2.70c) lokal jeodezik jeodezik sistemdeki sistemdeki kutupsal koordinatlar A, ‟ ve S ‟nin, noktaların elipsoidal koordinatlarına göre ifade edildiği bağıntılar elde edilir. S PK
Lokal jeodezik ve lokal astronomik sistemler arasındaki ana fark z eksenlerinin sırasıyla birincisinde gözleme istasyonundan geçen elipsoid normali ve diğerinde jeopotansiyel yüzeyin normali normali (çekül doğrultusu) ile çakışmasıdır. Bu iki sistem arasındaki ilişki noktadaki çekül sapması ve astronomik azimut ve jeodezik azimut A arasındaki fark yardımıyla kurulur. ve çekül sapması bileşenleri olmak üzere lokal astronomik sistemden lokal jeodezik sisteme geçiş geçiş X x y R ( ) R ( ) R ( A) Y 1 2 3 Z z
(2.71)
eşitliği ile sağlanır. Çekül sapması bileşenleri , ve (-A) çok küçük değerler olduğu için rotasyon matrislerinin komutatif özelliğe sahip oldukları varsayılabilir, varsayılabilir, bu nedenle rotasyonun gerçekleştirilmesi sırasında çarpım sıraları önemli değildir
Çekül sapması bileşenleri ( ) c os ( A) c ot
(2.72)
eşitlikleri ile verilmektedir. verilmektedir. Şekil 2.16„da lokal astronomik ve lokal jeodezik sistemlerin z eksenleri ile Ortalama Yersel Sistem ve Elipsoidal Sistemin eksenl eksenleri eri arasındaki ilişkiler ve birim küre üzerinde çekül sapması bileşenleri gösterilmektedir. Çekül sapması bileşenleri Astronomik-jeodezik yöntemlerle Gravimetrik yöntemlerle Topoğrafik-izostatik yöntemlerle belirlenir.
Şekil 2.14 - Jeoid, elipsoid ve çekül sapması
Şekil 2.15- Helmert ve Pizetti İzdüşümleri ve çekül sapmaları
Astronomik- jeodezik jeodezik yöntemlerle yöntemlerle belirlenen çekül sapmaları Astro jeodezik çekül sapması olarak adlandırılır adlandırılır.. Bir P noktasının noktasının astronomik enlem, boylam ve azimutu astronomik gözlemelerle belirlenir.. Bu noktanın belirlenir noktanın elipsoidal enlem ve boylamı yeryüzünde yapılan açı ve kenar ölçmeleri ile nirengi ağları kurularak hesaplanır. Astronomik yöntemlerle bulunan enlem, boylam ve azimut ile jeodezik ölçülerle elipsoid üzerinde üzerinde yapılan hesaplarla hesaplarla bulunan elipsoidal enlem, boylam ve azimutun farkları ile elde edilen çekül jeodezik çekül sapması bileşenleri ” sapması bileşenleri “Astro- jeodezik olarak adlandırılır. adlandırılır. Hesapların yapıldığı referans elipsoidinin Ortalama Dünya Dik Koordinat Sistemine göre konumuna göre astro-jeodezik çekül sapması bileşenleri rölatif çekül sapmaları veya mutlak çekül sapmaları olarak elde edilir. Eğer referans elipsoidinin merkezi yeryuvarının ağırlık merkezinde ve elipsoidal dik koordinat sisteminin x. y, y, z eksenle eksenleriri Ortalama Dünya Dik Koordin Koordinat at Sistemin Sisteminin in X, Y, Z eksenleri ile çakışık ise bu elipsoide göre hesaplanan çekül sapmaları “Mutlak Çekül Sapmaları ” adını alır. Eğer referans elipsoidinin merkezi yeryuvarının ağırlık merkezinin dışında ise bu elipsoide göre hesaplanan çekül sapmaları “ Rölatif Çekül Sapmaları” adını alır.
Şekil 2.16- Ortalama Yersel Sistem, Elipsoidal Sistem, Lokal Astronomik Sistem ve Lokal Jeodezik Sistemin z
Çekül sapması bileşenlerinden astronomik boylam ve elipsoidal boylam arasındaki farktan veya astronomik azimut ile elipsoida elipsoidall azimut A arasındaki farktan yukarıda verilen eşitliklerle iki ayrı şekilde ş ekilde hesaplanır. Bir nokta için hesaplanan bu değerlerin teorik olarak eşit olması gerekir. gerekir. Ancak ölçü hataları nedeniyle bu pratikt pratikte e sağlanama sağlanamaz. z. Yukarıda (2.72) de için verilen iki eşitliğin farkının sıfıra eşitlenmesi ile ( A) c ot ( ) c os 0
ve
( A) ( ) s in 0
(2.73)
eşitliği elde edilir. Bu eşitlik Laplace Denklemi olarak adlandırılır.
UYGULAMA
Elipsoidal dik ve eğri koordinatlar arasında dönüşüm
Elipsoidal dik koordinatla koordinatlardan rdan azimut, zenit uzaklığı ve uzaysal kenar hesabı
Soru : Ülke nirengi ağının iki noktasının WGS -84
sistemindeki üç boyutlu dik koordinatları ve ortometrik yükseklikleri aşağıda verilmektedir; Nokta No
X (m)
Y (m)
Z (m)
H (m)
1
4218844.8895
2233766.9953
4216285.6830
383.265
2
4210381.0556
2238170.1280
4222203.0762
276.385
2 numaralı noktanın astronomik enlemi 41 42 44.1235, astronomik boylamı 27 59 47.5378 ve 2 numaralı noktadan 1 numaralı noktaya astronomik azimut 224 26 42.1979 verildiğine göre; a) 2 numaralı noktanın elipsoidal enlemini, boylamını ve elipsoidal yüksekliğini hesaplayını hesaplayınız, z, b) 2 numaralı noktadaki çekül sapması bileşenlerini ve jeoid yüksekliğini yüksekliğini hesaplayınız, c) 2 numaralı noktadan 1 numaralı noktaya olan azimutu, zenit uzaklığını ve uzaysal kenarı hesaplayınız.
