JEDINICE I VEKTORI
1)
Svje Svjets tski ki rek rekor ord d u trča trčanj nju u na 100 100 m post postav avio io je Hus Husei ein n Bolt Bolt,, istr istrča čavš všii 100 metara za 9.58 sekundi. Kolikom se brzinom u kilometrima na čaš kretao Bolt? Koliko puta je sporiji od brzine zvuka, koja iznosi 1236 km/h. Prosječnu brzinu u m/s računamo: 100
m
9.56 s
=10 .46
m s
S obzirom da brzinu treba pretvoriti u km/h, prvo ćemo metre pretvoriti u kilometre: 0.01046
km s
jedan čas sadrži 60 minuta, a jedan minut 60 sekundi, što znači da jedan čas sadrži ukupno 3600 sekundi: 1h
= 60 min = 3600 s
tj da jedna sekunda predstavlja 3600 dio jednog časa. S toga pišemo: 0.01046
km 1 3600
= 3600 ⋅ 0.01046 h
km h
= 37.6
km h
Poređenjem ove dvije vrijednosti dobija se: 1236 37 .6
km h km
= 32.9 ≈ 33
h
Što znači da je brzina zvuka 33 puta veća. Dodatno:
a) Pretvorit Pretvoritii brzinu brzinu zvuka zvuka iz km/h u m/s. m/s. b) Brzina Brzina svjetlosti svjetlosti u vakuumu vakuumu iznosi iznosi 0.3 Gm/s. Kolika je brzina brzina svjetlos svjetlosti ti u km/h?
2)
Pomoću mikromoetarskog zavrtnja izmjerena dužina strane kocke iznosi 19.32 mm. Izraziti zapreminu kocke u kubnim milietrima, kubnim centimetrima I kubnim metrima? Ako je dužina strane kocke iznosi: a
= 19 .32
mm
Onda će zapremina kockeu kubnim milimetrima iznositi: V = a 3
= 19.32 mm ⋅19.32mm ⋅ 19.32 mm = 19.32
3
mm 3
= 7211 .43mm
3
Dobijeni rezultat ćemo direktno pretvoriti u kubne centimetre: 1cm
= 10
⋅
mm
⋅
1cm 1cm 1cm 1m
= 1000
⋅
⋅
1m 1m 1m
= 10mm ⋅10mm ⋅10mm ⇒ 1cm = 1000 mm 3
3
mm
= 1000 mm ⋅1000 mm ⋅1000 mm ⇒ 1m = 1⋅10 3
V = 7211 .43mm
3
V = 7211 .43mm
3
7211 .43 =
1000
cm
7211 .43 =
1000000000
3
=
m
7.21143 m
3
=
9
mm 3
3
0.0000072114 3m
3
=
7.21143 ⋅10
−6
m
3
Dodatno:
a) Masa kocke je izmjerena na terazijama i iznosi 56 grama I 250 miligrama. Kolika je gustina kocke u g/cm 3 I u kg/m3? b) Od kojeg je materijala kocka napravljena, ako se zna da je gustina: 1) Gvožđa ( 7800 kg/m3) 2) Žive (13600 kg/m3) 3) Zlata (19300 kg/m3)
3)
Brzina nekog talasa se određuje prema relaciji: c = λ ⋅ν
Gdje je λ talasna dužina, a ν frekvencija. Ako talasna dužina iznosi 495 nm, a frekvencija talasa 606 THz, odrediti brzinu talasa u m/s. λ = 495 nm
=
ν = 606 THz
495 ⋅10
=
−9
606 ⋅10
m
12
Hz
Prema SI sistemu Herz je izvedena jedinica i jednaka je: Hz = ν
c
1
s
= 606 ⋅10
12
1
s
= λ ν = 495 ⋅ 10−
9
m ⋅ 606 ⋅ 10
12
1
s
= 299970 ⋅ 10
3
m s
≈ 3 ⋅ 10
8
m s
Dodatno:
a) Prema dobijenom rezultatu zaključiti koji tip talasa je u pitanju? 1) Svjetlost 2) Zvuk b) Svjetlosna godina prema definiciji predstavlja rastojanje koje svjetlost u vakuumu pređe za godinu dana. Izračunati koliko je rastojanje u pitanju i rezultat izraziti u km (kilometar) i Pm (petametar=1*1015m).
4)
Auto se kreće 10 km sjeverno a zatim skreće i nastavlja put 20 km istočno. Koliko se daleko nalazi i u kojem smjeru u odnosu na početnu tačku?
Fizičke veličine dijelimo na skalare i vektore. Skalare definiše samo brojna vrijednost, dok za vektore pored brojne
vrijednosti treba se definisati pravac I smjer djelovanja.Primjer skalara su masa, dužina (ili npr. pređeni put) itd… Primjer vektora su ubrzanje, brzina, sila i pomjeraj. Zadatak se rješava vektorskom analizom. Ovdje se uvodi pojam vektora pomjeraja. Vektori pomjeraja formiraju trougao, gdje je rastojanje od početne do krajnje tačke jednako dužini hipotenuze. Vektor pomjeraja čiji intenzitet iznosi 10 km, označićemo sa A , a vektor pomjeraja čiji intenzitet iznosi 20 km označićemo sa B . Sabiranjem ova dva vektora pomjeraja dobijamo, rezultantni vektor pomjeraja C : C = A + B
čiji intenzitet se može odrediti na osnovu pitagorine teoreme: C
=
C =
A
2
B
+
2
=
(10 km )
2
( 20 km )
+
2
= 22 .36
km
što znači da je tijelo udaljeno 22.36 km od početnog položaja. Ostaje da se odredi smjer rezultantnog vektora, tj potrebno je odrediti ugao između vektora C i A : tg ϕ =
naspramna _ kateta nalegla _ kateta
ϕ = arctg ( 2)
=
63 .43
=
20km =2 10km
0
Što znači da se tijelo nalazi 63.43 0 istočno od sjevera. Dodatno:
a) Da li je pređeni put auta jednak intenzitetu vektora pomjeraja u slučaju vektora A ? Za koliko se razlikuje pređeni put auta u odnosu na intenzitet vektora pomjeraja C ? Iz navedenog zaključiti u kojem slučaju je pređeni put jedank intenzitetu vektora pomjeraja: 1) kod krivolinijskog kretanja 2) kod pravolinijskog kretanja b) Ako posmatramo opet iste vektore pomjeraja A i B , koliko će iznositi intenzitet rezultantnog vektora pomjeraja C i kako će on biti usmjeren, ako je: C = A − B
5) Odrediti x i y komponentu vektora? Intenzitet vektora iznosi D=3.00 m, a smjer vektora je određen uglom između vektora i pozitivnog dijela x ose koji iznosi 3150? Ugao se dobije rotiranjem vektora ka pozitivnom djelu y ose.
Na osnovu ugla se može zaključiti da je vector smješten u četvrtom kvadrantu. Komponente vektora D , D x I D y, možemo izračunati preko relacija: D x D y
= D cos α = 3.00m ⋅ cos (315 ) = 2.12m = D sin α = 3.00m sin (315 ) = −2.12m 0
0
Moguć je i drugi način definisanja ugla, ako se ugao dobije rotiranjem vektora ka negativnom dijelu y ose. U tom slučaju ugao će iznositi -45 0, a dobijeni rezultat će biti identičan. Dodatno:
a) Odrediti x i y komponentu vektora čiji intenzitet iznosi 4.50m a ugao između vektora i pozitivnog dijela y osa iznosi 37 0. Vektor je smješten u prvom kvadrantu. 6) Nakon uzletanja avion putuje 10.4 km istočno, zatim 8.7 km sjeverno i 2.1 km vertikalno na više. Koliko se daleko nalazi od početne tačke? Prvo se orijentiše koordinatni sistem. Pozitivan smjer x ose pokazuje ka istoku, a pozitivan smjer y ose pokazuje ka sjeveru. Pozitivan smjer z ose pokazuje vertikalno na više. Intenzitet rezultujućeg vektora jednak je : A
=
(10 .4km )
2
+
(8.7km )
2
+
(2.1km )
2
=
188 .26 km
2
=13 .7
km
Dodatno:
a) Nacrtati odgovarajući dijagram b) Dva vektora A i B leže u x, y ravni. Da li je moguće da vector A ima isti intenzitet kao I vektor B , a da imaju različite komponente? Da li je moguće da vektori A i B imaju identične komponente, a različite intenzitete?
7)
Data su dva vektora:
B = ( 4i + 5 j + 8k ) m i Naći intenzitet rezultujućeg vektora:
A = ( 6i + 3 j
−
k ) m
C = 2 A − B
Prvo množimo vektor A sa skalarom, tj. sa brojem 2, a zatim vektorski oduzimamo vektor B . I,j i k predstavljaju jedinične vektore čiji intenzitet jednak jedinici, a smjer je ka pozitivnom dijelu x ose. C = 2 ⋅ ( 6i + 3 j C = (12 i + 6 j
k ) m − ( 4i + 5 j
+8
k ) m − ( 4i + 5 j
+8
−
−2
k ) m
k ) m
C = [(12
)i + ( 6 + 5) j + ( − 2 −8) k ]m C = ( 8i +11 j −10 k ) m −4
C
=
C =
(8m )
2
(11 m )
+
2
(
+ −10
m
)
2
=16
.9m
Dodatno:
a) Poredaj sledeće vektore prema prema njihovom intenzitetu, od najvećeg ka najmanjem. 1) A = ( 3i + 5 j − 2k ) m 2) B ( 3i 5 j 2k ) m 3) C = ( 3i − 5 j − 2k ) m 4) D = ( 3i + 5 j + 2k ) m = −
+
−
8) Pronaći skalarni proizvod dva vektora čiji je intenzitet 4 i 5. Ako je ugao između njih: a) 530 b) 1300
c)
900
Skalarni proizvod dva vektora može se izračunati na sledeći način: A ⋅ B = AB cos θ = BA cos θ gdje θ predstavlja ugao između ta dva vektora. a) A ⋅ B = 4 ⋅ 5 cos (53 ) = 12.03 b) A ⋅ B = 4 ⋅ 5 cos (130 ) = −12.86 c) A ⋅ B = 4 ⋅ 5 cos (90 ) = 0 Skalarni proizvod dva vektora uvjek daje skalar. Drugi način pronalaska skalarnog proizvoda vektora je preko njegovih komponenata. Sa slike se može zaključiti da dva vektora se nalaze u x, y ravni. 0
0
0
= 4 ⋅ cos 0 = 4 A y = 4 ⋅ sin 0 = 0 A z = 0 B x = 5 ⋅ cos 53 = 3.01 B y = 5 ⋅ sin 53 = 3.99 B z = 0 Ugao između A vektora i x ose je 00 stepeni, jer se vektor pruža duž x ose. Ugao između B vektora i x ose iznosi 530. 0
A x
0
0
0
A ⋅ B
=
( A i
A ⋅ B
=
A x B x i ⋅ i + A x B y i ⋅ j
x
A y B x j ⋅ i
+
A y j
+
A z k ) ⋅ ( B x i + B y j + B z k )
A y B y j ⋅ j
+
A z B x k ⋅ i + A z B y k ⋅ j
+
+
+
+
+
A x B z i ⋅ k
A y B z j ⋅ k
A z B z k ⋅ k
I, j i k su jedinični vektori I oni
podliježu pravilima skalarnog proizvoda dva
vektora. S toga će uvjek biti: i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 ⋅1 ⋅ cos 0 = 1 i ⋅ j = i ⋅ k = j ⋅ k = 1 ⋅1 ⋅ cos 90 = 0 1 stoji jer je intenzitet jediničnog vektora jednak jedinici, a 90 0, zato što je ugao između dva različita jedinična vektora uvjek jednak 90 0. Jedinični vektor i se pruža duž x ose, jedinični vektor j duž y ose, a jedinični vektor k , duž z ose. Stoga se gornja formula može skratiti na oblik: 0
0
A ⋅ B
=
A x B x
A y B y
+
A z B z
+
Što predstavlja univerzalnu jednačinu za računanje skalarnog proizvoda preko njegovih komponenti. Ako uvrstimo u ovu jednačinu komponente vektora, koje smo prethodno izračunali, dobićemo: A ⋅ B = A x B x + A y B y + A z ⋅ B z = 4 ⋅ 3.01 + 0 ⋅ 3.19 + 0 ⋅ 0 A ⋅ B = 12.03
Dodatno:
a) Odrediti koliko iznosi skalarni proizvod dva vektora preko njegovih komponenti za ugao od 1300 i za ugao od 900 između dva vektora i provjeriti da li se slaže sa prethodno dobijenim rezultatom.
9)
Naći ugao između dva vektora: A = ( 2i + 3 j
+
k )
B
(
j − k )
= −4 +2
i
S jedne strane skalarni proizvod dva vektora je: A ⋅ B = A ⋅ B cos θ S druge strane, proizvod je takođe jednak: A ⋅ B = A x B x + A y B y + A z B z ¸ A x B x
cos θ
=
A x
=
2
B z
= −1
A y
2
A =
A x
B
B x
2
=
cosθ θ
=
+ A y B y + A z B z A ⋅ B
+
2
A y
2
B y
+
2
+
A z
+
B z
2
=3
A z
2
=
2
+3
=
( − 4)
2
2
2
+1
+2
2
=
14
(
)
+ −1
2
B x
=1
=
3.74
=
21
=
= −4
B y
=2
4.58
= 2 ⋅ ( − 4) + 3 ⋅ 2 + 1⋅ ( − 1) = −0.175 3.74 ⋅ 4.58
arccos
( − 0.175 ) = 100
0
Dodatno:
a) Provjeriti da li slažu uglovi između dva vektora koji su dati u 8 zadatku. Ugao izračunati preko formule iz prethodnog zadatka.
10) Vektor A se pruža duž pozitivnog dijela x ose i ima intenzitet 6. Vektor intenziteta 4 leži u x,y ravni i formira ugao od 30 0 sa vektorom A . Pronaći vektorski proizvod ova dva vektora. Kod skalarnog proizvoda dva vektora, rezultat je uvjek skalar. Kod vektoroskog proizvoda dva vektora rezultat je uvjek vektor.
B
C = A × B
A × B
=−
Intenzitet dobijenog vektora jednak je: C
=C = A ⋅ B ⋅sin
= A × B
θ
C = 6 ⋅ 4 ⋅ sin(300 ) = 12
Dobijeni vektor je normalan na ravan koji grade vektori A i B . Što znači da se pruža duž z ose. Smjer određujemo na osnovu dobijenog intenziteta. Ako je intenzitet vektora C pozitivan, vektor se pruža u pozitivnom smjeru z ose. Ukoliko je negativan pruža se duž negativnog dijela z ose. Dodatno:
a) Za vektore istih intenziteta, odrediti smjer i intenzitet rezultujućeg vektora, koji se dobije vektorskim proizvodom. Ugao koji formiraju ova dva vektora je 330 0. Vektor A se pruža duž pozitivnog dijela x ose. Ugao se može definisati I kao -300, ako se smjer obrtanja uzme od pozitivnog dijela x ose, ka negativnom dijelu y ose. b) Ugao koji formiraju dva vektora iznosi 2700. Ugao se može zapisati i kao: 1) -900 2) 900 3) 530 c) Ugao koji formiraju dva vektora iznosi 1800. Ugao se može zapisati i kao ugao od _____ 0 . Ugao koji formiraju dva vektora iznosi 45 0, ugao se može zapisati i kao ugao od ______ 0.
11) Odrediti vektorski proizvod dva vektora iz prethodnog zadatka na osnovu njegovih komponenti. C = A × B
=
( A x i + A y j + A z k ) × ( B x i + B y j + B z k )
C = ( A x B x )i × i + ( A x ⋅ B y )i × j + ( A x ⋅ B z )i × k
+ ( A y B x ) j × i + ( A y ⋅ B y ) j × j + ( A y ⋅ B z ) j × k + ( A z B x ) k × i + ( A z ⋅ B y )k × j + ( A z ⋅ B z ) k × k Vektorski proizvod jediničnih vektora jednak je: i ×i
=
j × j
=
k × k = 1⋅1⋅ sin 0
0
=
0
Jer je ugao između dva ista jedinična vektora 0 0, a njihov intenzitet je uvjek jednak jedinici. Prema definiciji vektorskog proizvoda:
= (1⋅1⋅ sin 90 k = k j × i = (1⋅ 1⋅ sin 270 )k = (1 ⋅1⋅ sin ( − 90 ) )k = −k Ugao između jediničnog vektora i i jedničnog vektora j iznosi 900. Ugao između jediničnog vektora j i jediničnog vektora i jednak je 2700. Vektorski proizvod dva vektora je uvjek vektor, čiji je pravac normalan na ravan koji formiraju ova dva vektora. Tako da će i X j=k, j X i=-k. Isto važi za bilo koja dva različita jedinična vektora koji se vektorski množe: i × j
0
0
j ×k = −k × j k ×i
i
=
0
i
k = j
=− ×
Pa se gornja jednačina može reformulisati: A × B = 0 + ( A x ⋅ B y )i × j + ( A x ⋅ B z )i × k + ( A y B x ) j × i + 0 + ( A y ⋅ B z ) j × k + ( A z B x ) k × i + ( A z ⋅ B y )k × j + 0
= A × B = 0 + ( A x ⋅ B y )k − ( A x ⋅ B z ) j − ( A y B x ) k + 0 + ( A y ⋅ B z )i + ( A z B x ) j − ( A z ⋅ B y )i + 0
A × B
( A y B z − A z B y )i + ( A z B x − A x B z ) j + ( A y B x − A x B y )k Što predstavlja konačnu jednačinu za računanje vektorskog proizvoda preko komponenti vektora. Potrebno je odrediti komponente vektora A i B . S obzirom da A se pruža duž x ose, sigurno se može zaključiti da y i z komponenta ovog vektora su jednake nuli, što se i računom može potvrditi: A × B
A x
=
= A cos( 0 ) = 6 0
= A sin ( 0 = 0 A z = A cos (90 ) = 0 Zato što su uglovi koji vektor zaklapa sa x, y i z osom, redom 0 0, 900 I 900. Vektor B leži u x,y ravni I formira ugao sa x osom (ili vektorom) od 30 0. Njegove komponente su jednake: A y
0
0
B x
= B cos(30 ) = 4 ⋅ 0
3 2
=2
= B sin (30 ) = 4 ⋅ 0.5 = 2 B z = B cos(90 ) = 4 ⋅ 0 = 0 U ovom slučaju će biti B y
0
0
3
C = A × B
C = A × B C
=
=
( 0 ⋅ 0 − 0 ⋅ 2)i + (0 ⋅ 2
3
) j (6
−6 ⋅ 0
+
⋅ 2 −0 ⋅ 2
3
)k
C x2
=0
i + 0 j
+
C y2
+
C z 2
+12
k
=
0
2
+0
2
+12
2
=
244
= 12
Čime se potvršuje rezultat iz prethodnog zadatka. Smjer je duž z ose, jer su komponente vektora duž x i y ose jednake nuli. Vektor je usmjeren ka pozitvnom dijelu z ose, jer stoji pozitivan predznak ispred jediničnog vektora k . Dodatno:
a) Vektor A je intenziteta 2, i vektor B intenziteta 3. Skalarni proizvod ova dva vektora iznosi A ⋅ B = 0 . Koliki ugao zaklapaju ova dva vektora: 1) 00 2) 900 3) 1800 Vektorski proizvod ova dva vektora iznosi A × B = 0 . Koliki ugao zaklapaju ova dva vektora: 1) 00 2) 900 3) 1800 Skalarni proizvod ova dva vektora iznosi A ⋅ B = 6 . Koliki ugao zaklapaju ova dva vektora: 1) 00 2) 900 3) 1800 Skalarni proizvod ova dva vektora iznosi A ⋅ B = −6 . Koliki ugao zaklapaju ova dva vektora: 1) 00 2) 900 3) 1800 Intenzitet vektoroskog proizvoda ova dva vektora iznosi A B C C 6 . Koliki ugao zaklapaju ova dva vektora: 1) 00 2) 900 3) 1800 ×
=
=
=
PRAVOLINIJSKO KRETANJE
1)
Tijelo se kreće pravolinijski. U toku prve dvije sekunde x koordinata se mjenja sa vremenom prema relaciji:
x =
20m
m + 5 t s
2
2
Pronaći: a) b) c)
pređeni put tijela između prve i druge sekunde srednju brzinu u istom vremenskom intervalu i trenutnu brzinu u prvoj sekundi i drugoj sekundi
a) Koordinatni sistem je orijentisan tako da tijelo 'putuje' duž x ose, jer se kreće pravolinijski. m m = 20m + 5 t = 20m + 5 (1 s ) = 25m s s m m x = 20m + 5 t = 20m + 5 ( 2 s ) = 40m s s ∆ x = x − x = 40m − 25m = 15m 2
2
x1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1
U prvoj sekundi tijelo je preslo 25 metara u drugoj sekundi 40 metara, u vremenskom intervalu između prve i druge sekunde, tijelo je preslo 15m. b) Prosječna brzina u datom vremenskom intervalu iznosi: υ x
= ∆ x = ∆t
x 2 t 2
− x 15m = = 15 m − t s 1 s 1
1
Na osnovu dobijenog rezultata mi ne možemo zaključiti kako se tijelo kretalo u ovom vremenskom intervalu, da li je npr. prvo ubrzalo, zatim usporilo i stalo, pa opet ubrzalo itd... c) Šta se dešavalo sa tijelom u određenom trenutku određujemo na osnovu trenutne brzine, koja predstavlja prvi izvod vektora pomjeraja po vremenu. Tj posmatramo pomjeraj ili promjenu položaja tijela u veoma kratkom vremenskom intervalu, koji je gotovo jednak 0. U matematici se to zove infinitezimalan interval (beskrajno mali, neograničeno mali). v x
= dx = dt
d ( x ) dt
=
d 20m + 5 m2 t 2 = 10 m2 t dt s s
= 10 m2 1 s = 10 m s s m m v x 2 = 10 2 2 s = 20 s s v x1
2) Pretpostavimo da se auto kreće pravolinijski i da mu se brzina mjenja sa vremenom prema: v
m = 60 m + 0.5 t s s
2
3
Pronaći: a) promjenu brzine u vremenskom intervalu od prve do treće sekunde b) prosječno ubrzanje u ovom vremenskom intervalu c) trenutno ubrzanje u prvoj i trećoj sekundi a) Koordinatni sistem je orijentisan tako da tijelo 'putuje' duž x ose, jer se kreće pravolinijski. Tako eliminišemo y i z komponentu brzine i pojednostavljujemo račun.
v1 v2
m m m m = 60 m + 0.5 t = 60 + 0.5 (1 s ) = 60.5 s s s s s m m m m = 60 m + 0.5 t = 60 + 0.5 ( 3 s ) = 64.5 s s s s s 2
2
1
3
3
2
2
2
3
3
∆v = v − v = 4 m 2
1
s
U prvoj sekundi tijelo ima trenutnu brzinu 60.5 m/s, u trećoj sekundi 64.5 m/s. Promjena brzine će predstavljati razliku ove dvije vrijednosti i iznosi 4 m/s b) Prosječna brzina u datom vremenskom intervalu iznosi:
= ∆v = ∆t
a x
v2 t 2
−v = − t
4
1
1
m
s 2 s
=2m s
2
Opet na osnovu ovog rezultat ne možemo odgovoriti da li je tijelo mijenjalo svoje ubrzanje ili se kretalo ravnomjerno ubrzano. c) Trenutno ubrzanje je jednako trenutnoj promjeni brzine sa vremenom i predstavlja prvi izvod vektora brzine sa vremenom: a x a x1 a x 2
=
dv dt
d
=
dt
2
( v) =
d x 2
dt
=
d
m
60 dt s
m m + = 1 t 0.5 t s s 2
3
3
m m = 1 (1 s) = 1 s s m m = 1 ( 3 s ) = 3 s s 3
2
3
2
Dodatno:
a) Za prethodni zadatak (zadatak br. 1) odrediti koliko je trenutno ubrzanje u prvoj i drugoj sekundi, kao i koliko je prosječno ubrzanje u tom vremenskom intervalu.
3) Auto se kreće sa konstantnim ubrzanjem 4.0 m/s 2. U početnom trenutku(t=0), tijelom ima početnu brzinu 15 m/s. Pronaći: a) Njegovu udaljenost I brzinu u drugoj sekundi b) Gdje će se nalaziti auto kada njegova brzina iznosi 25 m/s a) Ako posmatramo tijelo koje se kreće pravolinijski sa konstantnim ubrzanjem, orijentišemo koordinatni sistem tako se pravac kojim se tijelo kreće pruža duž jedne od osa koordinatnog sistema, time eliminišemo dvije komponente vektora I pojednostavljujemo račun. U ovom slučaju auto se kreće u smjeru pozitvnog dijela x ose. Početnu poziciju tijela u početnom trenutku (t=0) smještamo u centar koordinatnog sistema (0), kako bismo eliminisali x0. Jednačine koje opisuju ubrzano kretanje u ovom slučaju su: υ x = υ x + a x t 0
= υ 0 x
x
t +
1 2
2
a x t
Iz ove dvije jednačine se može eliminisati vrijeme i prikazati brzina u zavisnosti samo od ubrzanja, pozicije i početne brzine: 2
υ x
= υ x + 2a x x 2
0
Ili pozicija u zavisnosti ubrzanja, početne i krajnje brzine:
υ x + υ x t 2
x =
0
Udaljenost i brzinu u drugoj sekundi nalazimo preko prve dvije relacije: υ x
= υ 0 x + a x t = 15 m + 4 m2 2 s = 23 m s
x = υ 0 x t +
1 2
2
a x t
s
s
= 15 m 2 s + 1 4 m 2 s = 38m 2
s
s
2
Nakon dvije sekunde tijelo se nalazi 38 metara od koordinatnog početka, tj početne pozicije i ima brzinu 23 m/s. b) Treću relaciju koristimo da bi odredili udaljenost tijela od početne pozicije u trenutku kada ima brzinu 25 m/s, čime eliminišemo vrijeme iz proračuna: 2
2 υ x
=
2 υ 0 x
+ 2a x x ⇒ x = 2
υ x
− υ 02 x
2a x
2
25 m − 15 m s s = 55m x = m 2⋅ 4 2 s
Dodatno:
a) Odrediti rastojanje od početnog položaja u trenutku kada tijelo ima brzinu 25 m/s, koristeći relacije: υ x = υ x + a x t 0
x
= υ 0 x
t +
1 2
2
a x t
i provjeriti da li se slaže sa dobijenim rješenjem. b) Jedinica za brzinu je _______. Jedinica za ubrzanje je _______.
. 4) Motor se kreće pravolinijski sa konstantnom brzinom od 15 m/s i prolazi kraj znaka na kome je definisana maksimalna dopuštena brzina od 10 m/s. Policijska kola koje se nalaze kraj znaka u istom trenutku započinju kretanje iz stanja mirovanja sa konstantnim ubrzanjem od 3 m/s 2. a) Nakon koliko vremena će policijska kola sustići motorciklistu b) Kolika je brzina policijskih kola u tom trenutku c) Koliko je pređeno rastojanje u tom trenutku oba vozila i da li su rastojanja ista a) Opet koordinatni sistem definišemo tako da se putanja policijskih kola i motorcikliste pruža duž pozitivnog dijela x ose, kako bi pojednostavili račun. Mjesto odakle su policijska kola krenula iz stanja mirovanja (tj znak) postavljamo u koordinatni početak. Policijska kola će sustići motor kada se budu nalazili u istoj poziciji:
xm
= υ m x t + 0
1 2
2
amxt
m 1 = υ m x t + 0 t = υ m x t 2 s 2
0
0
2
Jer je ubrzanje motora jednako nuli. 1 1 m 1 x p = υ p x t + a px t = 0 t + a px t = a px t 2 2 s 2 Jer je početna brzina policijskih kola bila jednaka nuli. Izjednačavanjem ove dvije relacije dobija se: 2
2
2
0
υ m 0 x t
=
⋅
1 2
2 15
t =
3
⇒ t =
2υ m0 x
a px
m
s m
s
2
a px t
= 10 s
2
b) Brzinu policijskih kola u 10 sekundi dobijamo: υ px
= υ p 0 x + a x t = 0 + 3 m2 ⋅ 10 s = 30 m s s
c) A pređeno rastojanje preko relacija: xm
= υ m x t +
x p
= υ p x t +
0
0
1 2 1 2
2
amx t
2
a px t
1 m m = υ m x t + 0 t = υ m x t = 15 ⋅ 10 s = 150m 2 s s 1 1 m m 1 = 0 t + a px t = a px t = 3 ⋅ (10 s ) = 150m 2 2 s s 2 2
0
0
2
2
2
2
2
Kako se i očekivalo, od koordinatnog početka (tj znaka) kao referentne tačke oba vozila su prešla identična rastojanja. Dodatno:
a) Odrediti koliko puta je manja brzina motora u odnosu na brzinu policijskih kola u trenutku kada policijska kola sustignu motor (t=10s) b) Nacrtati grafik brzine v x u zavisnosti od vremena t za motor (kreće se pravolinijski sa konstantnom brzinom a x =0). c) Nacrtati grafik brzine v x u zavisnosti od vremena t za policijska kola (kreću se pravolinijski sa konstantnim ubrzanjem, bez početne brzine) d) Nacrtati grafik ubrzanja a x u zavisnosti od vremena t za motor (kreće se pravolinijski sa konstantnom brzinom a x =0). e) Nacrtati grafik ubrzanja a x u zavisnosti od vremena t za policijska kola (kreću se pravolinijski sa konstantnim ubrzanjem, bez početne brzine) f) Nacrtati grafik pređenog rastojanja x u zavisnosti od vremena t za motor (kreće se pravolinijski sa konstantnom brzinom a x =0). 5) Novčić je pušten da slobodno pada (bez početne brzine) sa solitera. Izračunati njegovu poziciju i brzinu u 1 sekundi. Slobodan pad i hitac u vis i hitac na niže su takođe tri tipa kretanja koja se mogu smatrati u posebnim uslovima kao pravolinijsko kretanje sa konstantnim ubrzanjem. Ovdje ulogu klasičnog ubrzanja preuzima gravitaciono ubrzanje koje iznosi 9.81 m/s2. Pod posebnim uslovima se smatra, ako se zanemaruje otpor vazduha, koji se javlja ako su dimenzije tijela veće. Za novčić, čije se dimenzije mogu smatrati male, otpor vazduha se može zanemariti. Da bi pojednostavili račun, centar koordinatnog sistema smještamo u tačku odakle počinje slobodan pad novčića, a pozitivan smjer y ose usmjeravamo ka zemlji. Y osu smo izabrali zato što se tijelo kreće vertikalno, mada smo mogli izabrati i x osu, i dobili bi isti
rezultat. Razlika između hica na niže i slobodnog pada je u tome što kod slobodnog pada tijelo je pušteno da pada, tj nije mu saopštena početna brzina. m m 1 = υ t + 1 a y t = 0 1 s + 9.81 (1 s ) = 4.9m 2 s 2 s m m + 9.81 m 1 s υ y = υ y + a y t = 0 = 9.81 s s s y
2
2
0
2
0
2
Dodatno:
a) Odrediti poziciju, tj udaljenost od koordinatnog početka i brzinu u drugoj i trećoj sekundi b) Napisati koliko iznosi srednja vrjednost gravitacionog ubrzanja izmjerena na laboratorijskim vježbama. Da li je izmjerena vrjednost zadovoljavajuća? c) Nacrtati grafik funkcije pređenog rastojanja y u zavisnosti od vremena t . Zašto kriva liči na parabolu. Uporediti i zapisati jednačinu parabole sa jednačinom za pređeno rastojanje (poziciju). Koji članovi se poklapaju?
6) Tijelo je bačeno sa zemlje vertikalno u vis sa početnom brzinom 15 m/s (hitac naviše). Nakon što je dostiglo maksimalnu visinu nastavlja slobodno da pada. Naći: a) Poziciju i brzinu tijela u prvoj i četvrtoj sekundi. b) Brzinu kada se nalazi na visini od pet metara c) Maksimalnu visinu, ubrzanje i trenutak u kojem se to desilo a) Kretanje tijela se može podijeliti u dva dijela. Hitac naviše od trenutka kada je tijelo bačeno u vis do trenutka kada dostiže svoju maksimalnu
visinu i slobodan pad koji traje od trenutka kada tijelo dostiže svoju maksimalnu visinu do trenutka kada udara u zemlju. Centar koordinatnog sistema smještamo u tačku odakle je tijelo bačeno (tj. tačku u koju će ponovo tijelo udariti kada padne na zemlju). Pozitivan dio y ose usmjeravamo vertikalno, ka tački u kojoj tijelo dostiže svoju maksimalnu visinu. m m 1 = υ t + 1 gt = 15 ⋅ 1 s + − 9.81 (1 s ) = 10.1m 2 s s 2 m m + − 9.81 m υ y = υ y + gt = 15 ⋅ 1 s = 5.2 s s s 2
2
y
0
2
0
2
Što znači da se tijelo u prvoj sekundi nalazi na na visini od 10.1 metar i ima brzinu 5.2 m/s. U četvrtoj sekundi tijelo će biti u sledećoj poziciji i imaće brzinu: m 1 m = υ t + 1 gt = 15 ⋅ 4 s + − 9.81 ( 4 s ) = −18.5m 2 s s 2 m m + − 9.81 m υ y = υ y + gt = 15 ⋅ 4 s = −24.2 s s s 2
2
y
0
2
0
2
Ako se pogleda rješenje pažljivije, primjećuje se da nije realno, jer će tijelo i prije četvrte sekunde udariti u tlo, pa se zbog toga dobije negativno rješenje. b) Brzina tijela na visini od pet metara se može dobiti na osnovu relacije: 2
υ y
= υ y + 2a y y 2
0
2
2
υ y
m m = 15 + 2 ⋅ − 9.81 ⋅ 5m s s 2
2
2
υ y
= 127 m ⇒ υ y = 2
s 2
127
m2 s 2
= ±11.3 m s
Dobiju se dva rješenja, od kojih pozitvno rješenje se odnosi na brzinu tijela kada ono putuje u vis, a negativno kada tijelo pada na zemlju. Zasto predznak -? I kako brzina može biti negativna? Brzina je vektorska veličina i kao takva ima svoje usmjerenje. Kada je smjer kretanja tijela usmjeren ka pozitivnom dijelu ose, brzina je pozitivna, kada je smjer kretanja tijela usmjeren ka negativnom dijelu ose, brzina je negativno. Ono što nikada nije negativno, to je intenzitet brzine. c) Ono što se sigurno može pretpostaviti je da je brzina tijela u trenutku kada ono dostiže maksimalnu visinu jednaka nuli: 2
υ y
= υ y + 2a y y 2
0
225
2
m
2
m m s = 11.5m 0 = 15 + 2 − 9.81 y ⇒ y = m s s 2 ⋅ 9.81 2
2
s
2
Ako se želi odredi trenutak u kojem se to desilo, može se iskoristiti jednačina:
υ y
= υ y + gt 0
15
0
m
m s = 1.53 s = 15 m + − 9.81 ⋅ t ⇒ t = m s s 9.81 2
s
2
Gdje se opet pretpostavilo da je brzina u najvišoj tački jednaka nuli. d) Ubrzanje je uvjek 9.81 m/s2, čak i u trenutku kada je brzina tijela jednaka nuli. Ako bi u o tom trenutku ubrzanje bilo jednako nuli, tijelo bi ostali vječno da visi u vazduhu. Dodatno:
a) Ako se lopta baci u vis sa određenom početnom brzinom v0, dosegnuće maksimalnu visinu h nakon određenog perioda t. Ako se ista lopta baci u vis sa duplo većom početnom brzinom, 1) Kolika će nova maksimalna visina iznositi: a) h 2 b) 2h c) 4h d) 8h e) 16 h 2) Koliko će lopti vremena trebati da je dostigne: a) t / 2 b) t / 2 d) t d) t ⋅ 2 e) 2t
