Jacobiano Saltar a navegación, búsqueda En cálculo vectorial, se llama Jacobiano o determinanteJacobiano al determinante de la matriz jacobiana . Tanto Tanto la matriz jacobiana como eldeterminante Jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl ustav Jacobo.En geometr!a algebraica, el Jacobiano de una curva hace re"erencia a la variedad jacobiana, un gru#o $ variedad algebraica asociada a la curva, donde la curva #uede ser embebid embebida. a. %atriz jacobiana &a matriz jacobiana es una matriz "ormada #or las derivadas #arciales de #rimer orden deuna "unción. 'na de las a#licaciones más interesantes de esta matriz es la #osibilidad dea#ro(imar linealmente a la "unción en un #unto. En este sentido, el Jacobiano re#resenta laderivada de una "unción multivariable.)ro#iamente deber!amos hablar más que de matriz jacobiana de di"erencial jacobiana o a#licación lineal jacobiana $a que la "orma de la matriz de#enderá de la base ocoordenadas elegidas. Es decir, dadas dos bases di"erentes la a#licación lineal jacobianatendrá com#onentes di"erentes aún tratándose del mismo objeto matemático. &a #ro#iedad básica de la *matriz* jacobiana es la siguiente, dada una a#licación c ualquieracontinua es decir se dirá que es di"erenciable sie(iste una a#licación lineal tal que+ unción escalar Em#ecemos con el caso más sencillo de una "unción escalar en este caso la matriz jacobiana será una matriz "ormada #or un vector "ila que coincide con el gradiente. Si la"unción admite derivadas #arciales #ara cada variable #ude verse que basta de"inir la*matriz* jacobiana como+-a que entonces se cum#lirá la relación /0 automáticamente, #or lo que en este caso la*matriz jacobiana* es #recisamente el gradiente. unción vectorial
Su#ongamos es una "unción que va del es#acio eucl!deo n 1dimensional a otroes#acio eucl!deo m 1dimensional. Esta "unción está determinada #or m "unciones escalaresreales+Cuando la "unción anterior es di"erenciable, entonces las derivadas #arciales de estas m "unciones #ueden ser organizadas en una matriz m #or n , la matriz jacobiana de +Esta matriz es notada de diversas maneras+ 2ótese que la "ila, i13sima "ila coincidirá dada con el gradiente de la "unción $ i , #ara i 4/,..., m .Si
# es un #unto de 5 n $ es di"erenciable en # , entonces s u derivada está dada #or J # 0.En este c aso, la a#li cación lineal descrita #or J # 0 es la mejor a#ro(imación lineal de cerca del #unto # , de esta manera+)ara ( cerca de # . 6 con ma$or #recisión+ Ejem#los Ejem#lo /. &a matriz jacobiana de la "unción + 5 7
5 7 de"inida como+Es+
2o siem#re la matriz jacobiana es cuadrada. 83ase el si guiente ejem#lo. Ejem#lo 9. Su#óngase la "unción + 5 7
5 : , cu$as com#onentes son+;#licando la de"inición de matriz jacobiana+
es una "unción que va de un es#acio n1dimensional a otro. En es tecaso la matriz jacobiana es cuadrada $ #odemos calcular su determinante, conocido como eldeterminante Jacobiano o sim#lemente Jacobiano.El determinante Jacobiano en un #unto dado nos da in"ormación im#ortante sobre elcom#ortamiento de cerca de ese #unto. ) ara em#ezar, una "unción es invertible cercade # si el determinante Jacobiano en # es no nulo. %ás aún, el valor absoluto deldeterminante en # nos da el "actor con el cual e(#ande o contrae su volumen cerca de # . Ejem#los Ejem#lo /. El determinante Jacobiano de la "unción + 5 7
