I.O.II.principal

MANUAL DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II

CATEDRÁTICO: m. c. RAÚL LEONEL GUZMÁN SAMPAYO. REALIADO POR: CASTRO OCHOA AGUSTIN. ELIZALDE RAMIREZ FERNANDO. RODRIGUEZ MARTINEZ JOAQUIN C. SONI SANTOS IRIS ABRIL. ESPECIALIDAD: INGENIERÍA INDUSTRIAL PERIODO: AGOSTO-DICIEMBRE 2008 CERRO AZUL, VER.

ÍNDICE UNIDAD I: PROGRAMACIÓN DINÁMICA 1.1 Características de la programación dinámica: etapas, estados, fórmula recursiva, programación en avance y retroceso…….. .........................4 1.2 Algunos modelos de ejemplos de Programación Dinámica………………...6 1.3 Programación dinámica determinística……………………………………..…7 1.4 Programación dinámica probabilística………………………………….……..8 1.5 Problema de dimensionalidad de Programación Dinámica…………………8 Ejercicios resueltos……………………………………………………………..…..10 Ejercicios propuestos……………………………………………………………..…21 UNIDAD II: TEORÍA DE COLAS 2.1 Introducción y casos de aplicación……………………………………………24 2.2 Definiciones características y suposiciones………………………………….24 2.3 Terminología y notación. …………………………………………………..…..26 2.4 Proceso de nacimiento y muerte Modelos Poisson. ……………………………………………………………....27 2.5 Un servidor, fuente finita, cola finita. ……………….…………………………28 2.6 Un servidor, cola infinita, fuente infinita…………………………………….…30 2.7 Servidores múltiples, cola infinita, fuente infinita. ……………………………32 2.8 Servidores múltiples, cola finita, fuente finita. ……………………………..…34 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………..36 Ejercicios propuestos……………………………………………………………..…40 UNIDAD III: TEORÍA DE DECISIÓN 3.1 Características generales de la teoría de decisiones. ……………………..43 3.2 Criterios de decisión determinísticos y probabilísticos……………………..44 3.3 Valor de la información perfecta. ……………………………………………..45 3.4 Árboles de decisión. …………………………………………………………...46 3.5 Teoría de dualidad. ………………………………………………………….…47 3.6 Decisiones secuenciales. ………………………………………………….…..49 3.7 Análisis de sensibilidad. …………………………………………………...…..49 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………..51 Ejercicios propuestos………………………………………………………………..55 UNIDAD IV: CADENAS DE MARKOV 4.1 Introducción. …………………………………………………………………….58 4.2 Formulación de las cadenas de Markov. ……………………………….……58

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4.3 Procesos estocásticos. …………………………………………………….…60 4.4 Propiedad Markoviana de primer orden. ……………………………………60 4.5 Probabilidades de transición estacionarias de un solo paso……………...61 4.6 Probabilidades de transición estacionarias de n pasos…………………...63 4.7 Estados absorbentes. …………………………………………………………64 4.8 Probabilidades de transición estacionarias de estados estables. Tiempos de primer paso. ………………………………………………….65 Ejercicios resueltos…………………………………………………………………66 Ejercicios propuestos………………………………………………………………72 UNIDAD V: OPTIMIZACIÓN DE REDES 5.1 Terminología……………………………………………………………………75 5.2 Problema de la ruta más corta. Redes cíclicas y acíclicas. ………………77 5.3 Problema del árbol de mínima expansión. …………………………………80 5.4 Problema de flujo máximo. …………………………………………………...81 5.5 Problema de flujo de costo mínimo. ………………………………………...83 5.6 Programación lineal en teoría de redes. ……………………………………86 5.7 Uso de programas de computación. ……………………………………..…88 Ejercicios resueltos……………………………………………………………..….95 Ejercicios propuestos……………………………………………………………..103 Bibiliografía………………………..………………………………………………..105

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UNIDAD I:

PROGRAMACIÓN DINÁMICA 1.1 CARACTERÍSTICAS DE LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA: ETAPAS, ESTADOS, FÓRMULA RECURSIVA, PROGRAMACIÓN EN AVANCE Y EN RETROCESO La programación dinámica es una técnica matemática que se utiliza para la solución de problemas matemáticos seleccionados, en los cuales se toma una serie de decisiones en forma secuencial. Proporciona un procedimiento sistemático para encontrar la combinación de decisiones que maximice la efectividad total, al descomponer el problema en etapas, las que pueden ser completadas por una o más formas (estados), y enlazando cada etapa a través de cálculos recursivos. La programación dinámica es un enfoque general para la solución de problemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Las decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolución futura del sistema, afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrará en el futuro (denominadas estados), y a las decisiones que se plantearán en el futuro. La programación dinámica parte de una pequeña porción del problema y llega a la solución óptima para esa pequeña parte del problema, entonces gradualmente se agranda el problema hallando la solución óptima en curso a partir de la anterior. Este proceso se repite hasta obtener la solución óptima del problema original. El problema de la diligencia es un prototipo literal de los problemas de programación dinámica. Por tanto una manera de reconocer una situación que se puede formular como un problema de programación dinámica es poder identificar una estructura análoga a la del problema de la diligencia.

Características básicas. 1.- El problema se puede dividir en etapas que requieren una política de decisión en cada una de ellas. 2.- Cada etapa tiene cierto número de estados asociados con su inicio. Los estados son las distintas condiciones posibles en las que se puede encontrar el sistema en cada etapa del problema. 3.- El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa. 4.- El procedimiento de solución está diseñado para encontrar una política óptima para el problema completo.

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5.- Dado el estado actual, una política óptima para las etapas restantes es independiente de la política adoptada en etapas anteriores. Este es el principio de optimalidad para programación dinámica. 6.- El procedimiento de solución se inicia al encontrar la política óptima para la última etapa. 7.- Se dispone de una relación recursiva que identifica la política óptima para la etapa n, dada la política óptima para la etapa n+1. La forma precisa de relación recursiva difiere de un problema a otro de programación dinámica, pero usaremos una notación análoga a la siguiente: N = número de etapas. n = etiqueta para la etapa actual ( n = 1,2,...,N) sn = estado actual para la etapa n xn = variable de decisión para la etapa n xn* = valor óptimo de xn (dado sn) fn(sn,xn) = contribución a la función objetivo de las etapas n, n+1,...,N, si el sistema se encuentra en el estado sn en la etapa n, la decisión inmediata es xn y en adelante se toman decisiones óptimas. fn*(sn) = fn(sn,xn*) La relación recursiva siempre tendrá la forma: fn*(sn) = mín fn(sn,xn) ó fn*(sn) = max fn(sn,xn) 8.- Cuando se usa esta relación recursiva, el procedimiento de solución comienza al final y se mueve hacia atrás etapa por etapa, hasta que encuentra la política óptima desde la etapa inicial.

Procedimiento de solución. 1. Se construye una relación recursiva que identifica la política óptima para cada estado en la etapa n, dada la solución óptima para cada estado en la etapa n + l. 2. Se encuentra la decisión óptima en la última etapa de acuerdo a la política de decisión establecida. Comúnmente la solución de esta última etapa es trivial, es decir, sin ningún método establecido, tomando en cuenta solamente la "contribución" de la última etapa. 3. La idea básica detrás de la relación recursiva es trabajar "hacia atrás", preguntándose en cada etapa: ¿qué efecto total tendría en el problema si tomo una decisión particular en esta etapa y actúo óptimamente en todas las etapas siguientes?

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Si se resolviera el problema "hacia adelante", es decir, de la primera etapa hacia la sería necesario realizar una enumeración exhaustiva de todas las alternativas, que resolviéndolo "hacia atrás" reducimos el número de alternativas a analizar, simplificando la solución del problema. Cuando se llega a la etapa inicial se encuentra la solución óptima.

1.2 EJEMPLOS DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA El problema de la diligencia. Un cazafortunas desea ir de Missouri a California en una diligencia, y quiere viajar de la forma más segura posible. Tiene los puntos de salida y destino conocidos, pero tiene múltiples opciones para viajar a través del territorio. Se entera de la posibilidad de adquirir seguro de vida como pasajero de la diligencia. El costo de la póliza estándar (cij ) se muestra en la tabla siguiente.

El problema de las monedas. Para el problema de las monedas con programación dinámica se necesita crear un algoritmo que permita a una máquina expendedora devolver el cambio mediante el menor número de monedas posible. Mediante la programación dinámica se solucionará el caso en el que el número de monedas de cada tipo es ilimitado. En el problema de las monedas mediante el algoritmo voraz el que el número de monedas es ilimitado.

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El problema de la mochila. Sean n objetos no fraccionables de pesos pi y beneficios bi. El peso máximo que puede llevar la mochila es C. Queremos llenar la mochila con objetos, tal que se maximice el beneficio. Los pasos que vamos a seguir son los siguientes: • • •

Ver que se cumple el principio de optimalidad de Bellman. Buscar ecuaciones recurrentes para el problema. Construir una tabla de valores a partir de las ecuaciones.

1.3 PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINÍSTICA Los problemas determinísticos de programación dinámica son aquellos en los cuales el estado asociado en la etapa siguiente está totalmente determinado por el estado y la política de decisión de la etapa actual. La siguiente figura describe el funcionamiento de la programación dinámica determinística.

Sn

Sn+1 Contribución al objetivo

fn (Sn,Xn)

Cn (Xn)

fn+1* (Sn+1* )

Los problemas de programación dinámica determinística son aquéllos en los que el estado en la etapa siguiente queda completamente determinado por el estado y la política en la etapa actual. Una manera de catalogar los problemas de programación dinámica determinística es por la forma de la función objetivo. Por ejemplo, el objetivo podría ser minimizar la suma de contribuciones de las etapas individuales, o bien minimizar un producto de tales términos y así sucesivamente. En un problema de programación dinámica, las temporadas deben ser las etapas.

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1.4 PROGRAMACIÓN DINÁMICA PROBABILÍSTICA La programación dinámica probabilística difiere de la programación dinámica determinística en que el estado de la etapa siguiente no queda completamente determinado por el estado y la decisión de la política en el estado actual. En lugar de ello existe una distribución de probabilidad para lo que será el estado siguiente. Sin embargo, esta distribución de probabilidad todavía esta completamente determinada por el estado y la decisión de la política del estado actual. En la siguiente figura se describe diagramáticamente la estructura básica que resulta para la programación dinámica probabilística, en donde N denota el número de estados posibles en la etapa n+1. Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estados y decisiones posibles en todas las etapas, a veces recibe el nombre de árbol de decisión. Si el árbol de decisión no es demasiado grande, proporciona una manera útil de resumir las diversas posibilidades que pueden ocurrir.

1.5 PROBLEMA DE DIMENSIONALIDAD EN PROGRAMACIÓN DINÁMICA La programación dinámica tradicional permite obtener las trayectorias óptimas de control para procesos no lineales, variantes, con cualquier tipo de funcional o índice de desempeño y con restricciones en las variables. Los algoritmos pueden ser programados en cualquier sistema de cómputo digital ampliamente disponibles en la actualidad. La aplicación de estos algoritmos a sistemas continuos exige la discretización de las ecuaciones diferenciales que modelan el proceso o sistema, así como la cuantificación de las variables de estado, de las variables de decisión o control y del tiempo. Para obtener resultados útiles se debe construir una rejilla de estados suficientemente fina. En cada punto de la rejilla, en cada etapa de tiempo, se deben integrar las ecuaciones de estado con cada valor admisible de las variables de decisión cuantificadas, para seleccionar aquella que minimiza el índice de desempeño. Se generan requisitos adicionales de cálculo cuando la trayectoria, calculada a partir de un punto de la rejilla no alcanza un estado cuantificado en la etapa siguiente. Para ello es necesario realizar interpolaciones para encontrar los valores de la variable de decisión o control óptima y del índice de costo. Con un número del orden de cinco variables de estado, los algoritmos tradicionales de programación dinámica exigen elevados requisitos de memoria y de tiempo de cálculo a los sistemas de procesamiento digital. Esta característica de la metodología fue denominada “maldición de dimensionalidad” por el propio Bellman, lo cual desalentó el empleo de la programación dinámica tradicional durante más de veinte años.

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Por otro lado, las ventajas significativas que ofrece la programación dinámica para la solución de problemas de control óptimo, tales como, la obtención de una solución óptima global, el tratamiento de sistemas no lineales y variantes, la utilización de cualquier índice de desempeño, y el hecho de que cuanto más restricciones se imponen a las variables mayor es el ahorro de tiempo de cómputo y memoria, promovieron el interés de muchos investigadores por encontrar métodos alternativos para superar los problemas que presenta la técnica tradicional

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EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio # 1 Considere la siguiente red en la que cada número junto a una ligadura representa la distancia real entre el par de nodos que conecta. El objetivo es encontrar la ruta mas corta del origen al destino. Utilice programación dinámica para resolver este problema construyendo manualmente las tablas usuales para n=3, n=2 y n=1.

Solución: n=3 S3 D D

f3*(s) X3* 6 T 7 T

n=2 sx2 A B C

D 5+6=11 7+6=13 ----------

E ---------8+7015 6+7=13

f2*(s) 11 13 13

X2* D D E

n=1 sx1 O

A 9+11=20

B 6+13=19

C 7+13=20

f1(s) 19

X1* B

Ruta: 0→B→D→T

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Ejercicio # 2 Una compañía esta planeando una estrategia de publicidad durante el año próximo para sus 3 productos mas importantes. Como los 3 son bastante diferentes, cada esfuerzo de publicidad estará dedicado a un solo producto. Se dispone de un total de 6 millones de dólares para esta campaña de publicidad y se supone que el gasto para cada producto deberá ser un número entero mayor o igual a uno. El vicepresidente de mercadotecnia ha establecido el objetivo como sigue: determinar cuanto gastar en cada producto con el fin de maximizar las ventas totales. La siguiente tabla da un incremento estimado en ventas (en las unidades apropiadas) para los diferentes gastos en publicidad: Gasto publicidad 1 2 3 4

en Producto 1 7 10 14 17

Producto 2

Producto 3

4 8 11 14

6 9 13 15

Utilice programación dinámica para resolver este problema.

Solución: n=3 S3 1 2 3 4

f3*(s) 6 9 13 15

X3* 1 2 3 4

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n=2

X2 = 1

f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 4+6 = 10

X2 = 1 X2 = 2

f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) = 4+9 = 13 f2(3,2) = P2(2) + f3*(3-2) = 8+6 = 14

X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3

f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 4+13 = 17 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 8+9 = 17 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-4) = 11+6 = 17

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X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4

f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 4+15 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 8+13 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 19+9 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 14+6 X2

S2 1 2 3 4

1 10 13 17 19

2 14 17 21

3

17 20

= 19 = 21 = 20 = 20

4

f2*(s2)

X2*

20

10 14 17 21

1 2 1,2,3 2

n=1

X1 = 1 X1 = 2 X1 = 3 X1 = 4

f1(6,1) = P1(1) + f2*(6-1) = 7+21 f1(6,2) = P1(2) + f2*(6-2) = 10+17 f1(6,3) = P1(3) + f2*(6-3) = 14+14 f1(6,4) = P1(4) + f2*(6-4) = 7+10 X2

S2 6

= 28 = 27 = 28 = 27

1

2

3

4

f2*(s2)

X2*

28

27

28

27

28

1,3

1→2→3 = 7+8+13 = 28 3→2→1 = 14+8+6 = 28

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Ejercicio # 3 El World Health Council, se dedica a mejorar la atención médica en los países subdesarrollados del mundo. Dispone de 5 brigadas médicas para asignarlas a 3 de estos países con el fin de mejora el cuidado de la salud, la educación para la salud y los programas de capacitación, entones, el consejo necesita determinar cuantas brigadas debe asignar (si lo hace) a cada uno de estos países para maximizar la medida de eficiencia de las 5 brigadas. Los equipos deben mantenerse como están formados por lo que el número asignado a cada país debe ser un entero. La medida de desempeño se tomara en términos de los años de vida adicionales por persona (para una país especifico, esta medida es igual al incremento en el promedio de vida esperado en años, multiplicado por su población). En la tabla siguiente se dan las estimaciones de estos años de vida adicionales de vida por persona (en múltiplos de mil) para cada país y para cada número posible de brigadas médicas asignadas. ¿Cual es la asignación que maximiza la medida de desempeño? Brigadas Medicas 0 1 2 3 4 5

País 1 0 45 70 90 105 120

País 2 0 20 45 75 110 150

País 3 0 50 70 80 100 130

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Solución: n=3 S3 0 1 2 3 4 5

f3*(s3) 0 50 70 80 100 130

X3* 0 1 2 3 4 5

n=2 X2 = 0

f2(0,0) = P2(0) + f3*(0-0) = 0+0 = 0

X2 = 0 X2 = 1

f2(1,0) = P2(0) + f3*(1-0) = 0+50 = 50 f2(1,1) = P2(1) + f3*(1-1) = 20+0 = 20

15

X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2

f2(2,0) = P2(0) + f3*(2-0) = 0+70 = 70 f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 20+50 = 70 f2(2,2) = P2(2) + f3*(2-2) = 45+0 = 45

X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3

f2(3,0) = P2(0) + f3*(3-0) = 0+80 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) = 20+70 f2(3,2) = P2(2) + f3*(3-2) = 45+50 f2(3,3) = P2(3) + f3*(3-3) = 75+0

= 80 = 90 = 95 = 75

X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4

f2(4,0) = P2(0) + f3*(4-0) = 0+100 f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 20+80 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 45+70 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-3) = 75+50 f2(4,4) = P2(4) + f3*(4-4) = 110+0

= 100 = 100 = 115 = 125 = 110

X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4 X2 = 5

f2(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+130 = 130 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 20+100 = 120 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 45+80 = 125 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 75+70 = 145 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 110+50 = 160 f2(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 150+0 = 150 X2

S2 0 1 2 3 4 5

0 0 50 70 80 100 130

1

2

20 70 90 100 120

45 95 115 125

3

75 125 145

4

110 160

5

f2*(s2)

X2*

150

0 50 70 95 125 160

0 0 0,1 2 3 4

n=1 X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4 X2 = 5

f1(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+160 f1(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 45+125 f1(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 70+95 f1(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 90+70 f1(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 105+50 f1(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 120+0

= 160 = 170 = 165 = 160 = 155 = 120

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X2 S2 5

0

1

2

3

4

5

f2*(s2)

X2*

160

170

165

160

155

120

170

1

1→3→1 = 45+75+50=170

Ejercicio # 4 Una estudiante universitaria tiene 7 días para preparar los exámenes finales de 4 cursos y quiere asignar el tiempo que tiene para estudiar de la manera más eficiente posible. Necesita por lo menos un día para cada curso y quiere concentrarse solo en un curso cada día, por lo que quiere asignar 1, 2, 3 ó 4 días a cada curso. Como hace poco tomó un curso de investigación de operaciones, ha decidido aplicar programación dinámica para hacer estas asignaciones que maximicen el total de puntos obtenidos en los 4 cursos. Estima que las distintas opciones de días de estudio redituarán puntos de calificación según la siguiente tabla:

Número Días 1 2 3 4

Puntos de calificación estimados de Curso 1 Curso 2 Curso 3 3 5 6 7

5 5 6 9

2 4 7 8

Curso 4 6 7 9 9

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n=4 S4 1 2 3 4

F4*(s4) 6 7 9 9

X4* 1 2 3 4

n=3 X3 = 1

f3(3,1) = P3(1) + f4*(3-1) =2+6 = 8

X3 = 1 X3 = 2

f3(4,1) = P3(1) + f4*(4-1) = 2+7 = 9 f3(4,2) = P3(2) + f4*(4-2) = 4+6 = 10

X3 = 1 X3 = 2 X3 = 3 X3 = 1 X3 = 2 X3 = 3 X3 = 4

f3(5,1) = P3(1) + f4*(5-1) = 2+9 = 11 f3(5,2) = P3(2) + f4*(5-2) = 4+7 = 11 f3(5,3) = P3(3) + f4*(5-3) = 7+6 = 13 f3(6,1) = P3(1) + f4*(6-1) = 2+9 = 11 f3(6,2) = P3(2) + f4*(6-2) = 4+9 = 13 f3(6,3) = P3(3) + f4*(6-3) = 7+7 = 14 f3(6,4) = P3(4) + f4*(6-4) = 8+6 = 14 X3

S3 1 2 3 4

1

2

3

8 9 11 11

10 11 13

13 14

4

F3*(s3)

X3*

14

8 10 13 14

1 2 2 3,4

n=2 X2 = 1

f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) =5+8 = 13

X2 = 1 X2 = 2

f2(4,1) = P2(1) + f2*(4-1) = 5+10 = 15 f2(4,2) = P2(2) + f2*(4-2) = 5+8 = 13

X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3

f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 5+13 = 18 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 5+10 = 15 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 6+8 = 14

X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3 X2 = 4

f2(6,1) = P2(1) + f3*(6-1) = 5+14 f2(6,2) = P2(2) + f3*(6-2) = 5+13 f2(6,3) = P2(3) + f3*(6-3) = 6+10 f2(6,4) = P2(4) + f3*(6-4) = 9+8

= 19 = 18 = 16 = 17 18

X2 S2 1 2 3 4

1 13 15 18 19

2

3

13 15 18

X1 = 1 X2 = 2 X3 = 3 X4 = 4

14 16

4

F3*(s3)

X3*

17

13 15 18 19

1 1 1 1

f2(7,1) = P1(1) + f2*(7-1) = 3+19 f2(7,2) = P1(2) + f2*(7-2) = 5+18 f2(7,3) = P1(3) + f2*(7-3) = 6+15 f2(7,4) = P1(4) + f2*(7-4) = 7+13

= 22 = 23 = 21 = 20

X2

1

2

3

4

F3*(s3)

X3*

7

22

23

21

20

23

2

S2

2→1→3→1 =5+5+7+6=23

Ejercicio # 5 Una compañía está a punto de introducir un nuevo producto al mercado muy competido y está planeando su estrategia de comercialización. Ha tomado la decisión de introducir el producto en 3 fases. La fase 1 incluirá ofertas especiales de introducción a un precio muy reducido para atraer a los compradores de primera vez. La fase 2 comprenderá una campaña intensa de comerciales y anuncios para persuadir a estos compradores de primera vez, que continúen comprando el producto a precio normal. Se sabe que otra compañía introducirá otro nuevo producto competitivo más o menos cuando termine la fase 2. La fase 3 entonces, incluirá una campaña de seguimiento de promoción para tratar de evitar que los clientes regulares cambien al producto de la competencia. Se cuenta con un presupuesto total de $ 4 millones de dólares para esta campaña comercial. El problema consiste ahora en determinar como asignar este dinero de la manera más efectiva a las 3 fases. Sean m el porcentaje de mercado inicial que se logra en las fases, f2 la fracción de este mercado que se retiene en la fase 2 y f3 la fracción restante del porcentaje de mercado que se retiene en la fase 3. Con los datos de la siguiente figura, aplique programación dinámica para determinar cómo asignar los $ 4 millones de dólares para maximizar el porcentaje final del mercado para el nuevo producto, es decir, maximizar m+ff+ff. Suponga que el dinero se debe gastar en cantidades enteras múltiplos de 1 millón en cada fase y que el mínimo permisible es 1 para la fase 1 y 0 para las fases 2 y 3.

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n=3 S3 0 1 2 3

F3*(s3) 0.3 0.5 0.6 0.7

X3* 0 1 2 3

X2 = 0 X2 = 1

f2(1,0) = P3(0) + f3*(1-0) = 0.2*0.5 = 0.1 f2(1,1) = P3(1) + f3*(1-1) = 0.4*0.3 = 0.12

X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2

f2(2,0) = P3(0) + f3*(2-0) = 0.2*0.6 = 0.12 f2(2,1) = P3(1) + f3*(2-1) = 0.4*0.5 = 0.2 f2(2,2) = P3(2) + f3*(2-2) = 0.5*0.3 = 0.15

X2 = 0 X2 = 1 X2 = 2 X2 = 3

f2(3,0) = P3(0) + f3*(3-0) = 0.2*0.7 f2(3,1) = P3(1) + f3*(3-1) = 0.4*0.6 f2(3,2) = P3(2) + f3*(3-2) = 0.5*0.5 f2(3,3) = P3(3) + f3*(3-3) = 0.6*0.3 X2

S2 0 1 3 3 X1 = 0 X1 = 1 X1 = 2 X1 = 3

0

1

2

0.6 0.1 0.12 0.14

0.12 0.2 0.24

0.15 0.25

= 0.14 = 0.24 = 0.25 = 0.18

3

F2*(s2)

X2*

0.18

0.2 0.12 0.2 0.250

0 1 1 2

f1(4,0) = P3(0) + f2*(4-0) = 20*0.25 f1(4,1) = P3(1) + f2*(4-1) = 30*0.2 f1(4,2) = P3(2) + f2*(4-2) = 40*0.12 f1(4,3) = P3(3) + f2*(4-3) = 50*0.2

=5 =6 = 4.8 = 10 20

X2

1

2

3

4

F3*(s3)

X3*

4

5

6

4.8

10

10

3

S2 3 millones en la 1a fase 1 millones en la 2a fase 0 millones en la 3a fase

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio Propuesto # 1 El gerente de ventas de una editorial de libros de texto universitarios tiene seis agentes de ventas que puede asignar a tres regiones distintas del país. Ha decidido que cada región debe tener por lo menos un agente y que cada agente individual debe quedar restringido a una de estas regiones con el fin de maximizar las ventas. La siguiente tabla da el incremento estimado en las ventas de cada región si se le asignan diferentes cantidades de agentes. Agentes 1 2 3 4

Región 1 35 48 70 89

Región 2 21 42 56 70

Región 3 28 41 63 75

Ejercicio Propuesto # 2 Una campaña política se encuentra en su última etapa y las preliminares indican que la elección está pareja. Uno de los candidatos tiene suficientes fondos para comprar tiempo de TV por un total de 5 comerciales en horas de mayor audiencia en estaciones localizadas en 4 áreas diferentes. Con base en la información de las preliminares se hizo una estimación del número de votos adicionales que se pueden ganar en las diferentes áreas de difusión según el número de comerciales que se contraten. Estas estimaciones se dan en la siguiente tabla en miles de votos. Comerciales 0 1 2 3 4 5

Área 1 0 4 7 9 12 15

Área 2 0 6 8 10 11 12

Área 3 0 5 9 11 10 9

Área 4 0 3 7 12 14 16

21

Utilice programación dinámica para determinar como deben distribuirse los 5 comerciales entre las 4 áreas con el fin de maximizar el número estimado de votos ganados.

Ejercicio Propuesto # 3 El propietario de una cadena de tres supermercados compró 5 cargas de fresas frescas. La distribución de probabilidad estimada para las ventas potenciales de las fresas antes de que se echen a perder difiere entre los 3 supermercados. El propietario quiere saber como debe asignar las 5 cargas a las tiendas para maximizar la ganancia esperada. Por razones administrativas no quiere dividir las cargas entre las tiendas. Sin embargo, esta de acuerdo en asignar cero cargas a cualquiera de ellas. La siguiente tabla proporciona la ganancia estimada en cada tienda al asignar distintas cantidades de cargas: Numero de cargas 0 1 2 3 4 5

Tienda 1 0 5 9 14 17 21

Tienda 2 0 6 11 15 19 22

Tienda 3 0 4 9 13 18 20

Utilice programación dinámica para determinas cuantas cargas deben asignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada.

Ejercicio Propuesto # 4 La presidenta de un partido político en un estado está haciendo planes para las próximas elecciones presidenciales. Cuenta con la colaboración de 6 voluntarios para trabajar en los distritos electorales y los quiere asignar a 4 distritos de manera que se maximice su efectividad. Ella piensa que sería ineficiente asignar un voluntario a más de un distrito pero está dispuesta a no asignar a nadie a cualquiera de ellos si pueden lograr más en otro distrito. La siguiente tabla da el aumento estimado en el número de votos para el candidato del partido en cada distrito si se asignan distintos números de voluntarios: Voluntarios 0 1 2 3 4 5 6

Distrito 1 0 4 9 15 18 22 24

Distrito 2 0 7 11 16 18 20 21

Distrito 3 0 5 10 15 18 21 22

Distrito 4 0 6 11 14 16 17 18 22

Este problema tiene varias soluciones optimas sobre cantos voluntarios deben asignarse a cada distrito a fin de maximizar el incremento total esperado en la popularidad del candidato del partido. Utilice programación dinámica para encontrar todas las soluciones óptimas, para que la presidenta del partido pueda hacer una selección tomando en cuenta otros factores.

Ejercicio Propuesto # 5 Considere la siguiente red de proyecto para un sistema tipo PERT, donde el número junto al arco es el tiempo requerido para la actividad correspondiente. Considere el problema de encontrar la trayectoria más grande (el mayor tiempo total) a través de esta red desde el vento uno (inicio del proyecto) al evento 9 (terminación del proyecto), ya que la trayectoria más larga es la ruta crítica. a) ¿Cuáles son las etapas y los estados para la formulación de programación dinámica de este problema? b) Utilice programación dinámica para resolver este problema construyendo las tablas usuales.

23

UNIDAD II:

TEORÍA DE COLAS 2.1 INTRODUCCIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN. Las líneas de espera, filas de espera o colas, son realidades cotidianas: Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco, Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora, vehículos esperando pagar ante una estación de peaje o continuar su camino, ante un semáforo en rojo, Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los análisis de colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de las cajeras de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.). Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común. Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.

2.2 DEFINICIONES CARACTERÍSTICAS Y SUPOSICIONES. Una cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de línea de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. Los sistemas de colas son modelos de sistemas que proporcionan servicio. Como modelo, pueden representar cualquier sistema en donde los trabajos o clientes llegan buscando un servicio de algún tipo y salen después de que dicho servicio haya sido atendido. Podemos modelar los sistemas de este tipo tanto como colas sencillas o como un sistema de colas interconectadas formando una red de colas La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Esta se presenta, cuando los “clientes” llegan a un “lugar” demandando un servicio a un “servidor”, el cual tiene una cierta capacidad de atención. Si el servidor no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma la línea de espera. A lo largo del tiempo se producen llegadas de clientes a la cola de un sistema desde una determinada fuente demandando un servicio. Los servidores del sistema seleccionan miembros de la cola según una regla

24

predefinida denominada disciplina de la cola. Cuando un cliente seleccionado termina de recibir su servicio (tras un tiempo de servicio) abandona el sistema, pudiendo o no unirse de nuevo a la fuente de llegadas. Fuente Recibe el nombre de fuente el dispositivo del que emanan las unidades que piden un servicio. Si el número de unidades potenciales es finito, se dice que la fuente es finita; en caso contrario se dice que es infinita. Cuando la fuente es finita se suele asumir que la probabilidad de que se produzca una llegada en un intervalo de tiempo es proporcional al tamaño de la fuente en ese instante. En general, nos restringiremos al estudio de sistemas de colas con fuentes infinitas. Tiempo entre llegadas Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas: Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo. Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad. Mecanismos de servicio Se llama capacidad del servicio al número de clientes que pueden ser servidos simultáneamente. Si la capacidad es uno, se dice que hay un solo servidor (o que el sistema es monocanal) y si hay más de un servidor, multicanal. El tiempo que el servidor necesita para atender la demanda de un cliente (tiempo de servicio) puede ser constante o aleatorio. Disciplina de la cola En sistemas monocanal, el servidor suele seleccionar al cliente de acuerdo con uno de los siguientes criterios (prioridades): • • • •

El que llegó antes. El que llegó el último. El que menos tiempo de servicio requiere. El que más requiere.

25

Supuestos El modelo simple de teoría de colas que se ha definido, se basa en las siguientes suposiciones: a) Un solo prestador del servicio y una sola fase. b) Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas. c) Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio. d) Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.

2.3 TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN. Características operativas.- Medidas de desempeño para una línea de espera que incluyen la probabilidad de que no haya unidades en el sistema, la cantidad promedio en la línea, el tiempo de espera promedio, etc. Operación de estado estable.- Operación normal de la línea de espera después de que ha pasado por un periodo inicial o transitorio. Las características operativas de las líneas de espera se calculan para condiciones de estado estable. Tasa media de llegada.- Cantidad promedio de clientes o unidades que llegan en un periodo dado. Tasa media de servicio.- Cantidad promedio de clientes o unidades que puede atender una instalación de servicio en un periodo dado. Línea de espera de canales múltiples.- Línea de espera con dos o más instalaciones de servicio paralelas. Bloqueado.- Cuando las unidades que llegan no pueden entrar a la línea de espera debido a que el sistema está lleno. Las unidades bloqueadas pueden ocurrir cuando no se permiten las líneas de espera o cuando las líneas de espera tienen una capacidad finita. Población infinita.- Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, no tiene un límite superior especificado. Población finita.- Población de clientes o unidades que pueden buscar servicio, tiene un valor fijo y finito.

Usualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar:

26

P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos). Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera. W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema. Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema. Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio. Todas estas características operativas de estado estable se obtienen mediante formulas que dependen del tipo de modelo de línea de espera que se este manejando. Para calcular éstas, se necesitan los siguientes datos: λ= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegadas) μ= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio)

2.4 PROCESO POISSON.

DE

NACIMIENTO

Y

MUERTE.

MODELOS

La mayor parte de los modelos elementales de colas suponen que las entradas (llegada de clientes) y las salidas (clientes que se van) del sistema ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. Este importante proceso de teoría de probabilidad tiene aplicaciones en varias áreas. Sin embrago en el contexto de la teoría de colas, el término nacimiento se refiere a llegada de un nuevo cliente al sistema de colas y el término muerte se refiere a la salida del cliente servido. El estado del sistema en el tiempo t (t 0), denotado por N (t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t. El proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos cómo cambia N (t) al aumentar t. En general, dice que los nacimientos y muertes individuales ocurren aleatoriamente, en donde sus tasas medias de ocurrencia dependen del estado actual del sistema. De manera más precisa, las suposiciones del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes: SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….).

27

SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….). SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes. Excepto por algunos casos especiales, el análisis del proceso de nacimiento y muerte es complicado cuando el sistema se encuentra en condición transitoria. Se han obtenido algunos resultados sobre esta distribución de probabilidad de N (t) pero son muy complicados para tener un buen uso práctico. Por otro lado, es bastante directo derivar esta distribución después de que el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (en caso de que pueda alcanzarla).

Distribución de llegadas. Definir el proceso de llegada para una línea de espera implica determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un periodo dado. Para muchas situaciones de línea de espera, cada llegada ocurre aleatoria e independientemente de otras llegadas y no podemos predecir cuando ocurrirá. En tales casos, los analistas cuantitativos has encontrado que la distribución de probabilidad de Poisson proporciona una buena descripción del patrón de llegadas. La función de probabilidad de Poisson proporciona la probabilidad de x llegadas en un periodo específico. La función de probabilidad es como sigue: P(x)= μxe-λ x! para x= 0,1,2,…

2.5 UN SERVIDOR, FUENTE FINITA, COLA FINITA. Para los modelos de línea de espera introducidos hasta ahora, la población de unidades o clientes que llegan para servicio se han considerado ilimitadas. En términos técnicos, cuando no se pone límite respecto a cuántas unidades pueden buscar servicio, se dice que el modelo tiene una población infinita. Bajo esta suposición, la tasa media de llegada λ permanece constante sin importar cuántas unidades hay en el sistema de línea de espera. Esta suposición de una población infinita se hace en la mayoría de los modelos de 28

línea de espera. En otros casos, se asume que la cantidad máxima de unidades o clientes que pueden buscar servicio es finita. En esta situación, la tasa media de llegada para el sistema cambia, dependiendo de la cantidad de unidades en la línea de espera y se dice que el modelo de línea de espera tiene una población finita. Las fórmulas para las características operativas de los modelos de línea de espera anteriores deben modificarse para explicar el efecto de la población finita. El modelo de población finita que se expone en esta sección se basa en las siguientes suposiciones. 1. 2. 3.

Las llegadas para cada unidad siguen una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de llegada λ. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio μ. La población de unidades que pueden buscar servicio es finita.

Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conoce como modelo M/M/1 con una población finita.

La tasa de llegada media para el modelo M/M/1 con una población finita se define en función de cuán a menudo llega o busca servicio cada unidad. Esta situación difiere de la de modelos de línea de espera anteriores en los que λ denotaba la tasa media de llegada para el sistema. Con una población finita, la tasa media de llegada para el sistema varía, dependiendo de la cantidad de unidades en el sistema. En lugar de ajustar para la tasa de llegada del sistema cambiante, en el modelo de población finita λ indica la tasa media de llegada para cada unidad. Características operativas para, el modelo M/M/1 con una población finita de demandantes. Las siguientes formulas se usan para determinar las características operativas de estado estable para el modelo M/M/1 con una población finita donde: λ = la tasa media de llegada para cada unidad μ= la tasa media de servicio N = el tamaño de la población 1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

29

2. Cantidad de unidades promedio en la línea de espera:

3. Cantidad promedio de unidades en el sistema:

4. Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera:

5. Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema:

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio:

7. Probabilidad de n unidades en el sistema:

2.6 UN SERVIDOR, COLA INFINITA, FUENTE INFINITA. Las fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de estado estable para una línea de espera de un solo canal se citarán más adelante. Las fórmulas son aplicables si las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson y los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. Mostramos cómo pueden usarse las fórmulas para determinar las características de operación de un sistema de un servidor, cola infinita y fuente infinita, y por tanto, proporcionarle a la administración información útil para la toma de decisiones. La metodología matemática usada para derivar las fórmulas para las características operativas de las líneas de espera es bastante compleja. Sin embargo, el propósito no es proporcionar el desarrollo teórico de estos modelos, sino mostrar cómo las fórmulas que se han elaborado pueden dar información acerca de las características operativas de la línea de espera.

30

Características operativas. Las fórmulas siguientes pueden usarse para calcular las características operativas de estado estable para una línea de espera de un solo canal con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales, donde: λ= la cantidad promedio de llegadas por periodo (la tasa media de llegada). μ= la cantidad promedio de servicios por periodo (la tasa media de servicio). P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema:

Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera:

L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos):

Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera:

W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.

Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

31

Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio.

2.7 SERVIDORES INFINITA.

MÚLTIPLES,

COLA

INFINITA,

FUENTE

Una línea de espera con canales múltiples consiste en dos o más canales de servicio que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de canales múltiples, las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego pasan al primer canal disponible para ser servidas. La operación de un solo canal de Burger Dome puede expandirse a un sistema de dos canales al abrir un segundo canal de servicio. La siguiente figura muestra un diagrama de la línea de espera de dos canales de Burger Dome. En esta sección presentamos fórmulas que pueden usarse para determinar las características operativas de estado estable para una línea de espera de varios canales. Estas fórmulas son aplicables si existen las siguientes condiciones. 1.-Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson. 2.-Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial. 3.- La tasa media de servicio μ es la misma para cada canal. 4.- Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego pasan al primer canal disponible para el servicio.

Características Operativas

32

Pueden usarse las siguientes fórmulas para calcular las características operativas de estado estable para líneas de espera con canales múltiples, donde: λ.- la tasa media de llegada para el sistema. μ.- la tasa media de servicio para cada canal. k.- la cantidad de canales. P0= Probabilidad de que no haya clientes en el sistema

Lq= Número de clientes promedio en una línea de espera

L= Número de clientes promedio en el sistema (Clientes en cola y clientes que están siendo atendidos).

Wq= Tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera.

W= Tiempo total promedio que un cliente pasa en el sistema.

Pn= Probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

Pw= Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio:

33

Debido a que μ es la tasa media de servicio para cada canal, kμ es la tasa media de servicio para el sistema de canales múltiples. Como sucedió con el modelo de línea de espera de un solo canal, las fórmulas para las características operativas de las líneas de espera con múltiples canales sólo pueden aplicarse en situaciones donde la tasa media de servicio para el sistema es mayor que la tasa media de llegadas; en otras palabras, las fórmulas son aplicables sólo si kμ es mayor que λ.

2.8 SERVIDORES MÚLTIPLES, COLA FINITA, FUENTE FINITA. Este tipo de modelo es el M/M/c : DG/∞/∞, donde el límite del sistema es finito igual a N; eso quiere decir que el tamaño máximo de la cola es N – c. Las tasas de llegada y de servicio son λ y μ. Las características operativas para este sistema se calculan como sigue:

Probabilidad de n unidades en el sistema:

Probabilidad de que no haya unidades en el sistema:

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Cantidad de unidades promedio en la línea de espera:

Para determinar Wq, W y L, se calcula el valor de λef como sigue:

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio Resuelto # 1 Marty’s Barber Shop tiene una peluquería. Los clientes llegan a la tasa de 2.2 clientes por hora, y los cortes de pelo se dan a la tasa promedio de cinco 35

por hora. Use el modelo de llegadas de Poisson y tiempos de servicios exponenciales para responder las siguientes preguntas. a.-¿Cual es la probabilidad de que no haya unidades en el sistema? b.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y nadie este esperado? c.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y un cliente este esperando? d.-¿Cuál es la probabilidad de que un cliente este recibiendo un corte de pelo y dos cliente este esperando? λ = 2.2 clientes/hr. = 0.037 clientes/min. μ = 5 cortes/hr. = 0.083 cortes/min. a) P0 = 1 - 2.2 5

= 0.56

b) P0 = 2.2 5

0

0.56 = 0.56

c) P1 =

2.2 5

1

0.56 = 0.2464

d) P2 =

2.2 5

2

0.56 = 0.1084

Ejercicio Resuelto # 2 Willow Brook Bank opera una ventanilla para atención de automovilistas que permite a los clientes completar sus transacciones bancarias desde sus autos, en las mañanas de los días hábiles, las llegadas a las ventanillas ocurren al azar, con una tasa media de llegada de 24 clientes por hora o 0.4 clientes por minuto. a.- ¿Cuál es la cantidad media o esperada de clientes que llegara en un periodo de cinco minutos? b.- Suponga que puede usarse la distribución de probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegada. Use la tasa media de llegada del inciso a y

36

calcule las probabilidades de que llegaran exactamente 0, 1, 2 y 3 clientes durante un periodo de cinco minutos. c.- Se esperan demoras si llegan más de tres clientes durante cualquier periodo de cinco minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que ocurran esas demoras? a) 0.4 x 5 = 2 clientes/5min. = λ

b) P0 =

(2)0 e-2 0!

= 0.1353

P1 =

(2)1 e-2 1!

= 0.2707

P2 =

(2)2 e-2 2!

= 0.2707

P3 =

(2)3 e-2 3!

= 0.1804

c) P(demoras) = 1 – (0.1353 + 0.2707 + 0.2707 + 0.1804) = 0.1429

Ejercicio Resuelto # 3 En el sistema de línea de Willow Brook National Bank, suponga que los tiempos de servicio para la ventanilla de atención en el automóvil siguen una distribución de probabilidad exponencial con una tasa media de servicio de 36 clientes por hora o 0.6 clientes por minuto. Use la distribución de probabilidad exponencial para responder las siguientes preguntas. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de un minuto o menos? b.- ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de dos minutos o menos? c.- ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de servicio sea de mas de do minutos?

a) P (tiempo de servicio ≤ 1 min) = 1 – e-0.6(1) = 0.4512 37

b) P (tiempo de servicio ≤ 2 min) = 1 – e-0.6(2) = 0.6988

c) P (tiempo de servicio ≥ 2 min) = 1 – 0.6988 = 0.3012

Ejercicio Resuelto # 4 Los pacientes llegan a un consultorio de un dentista a un tasa media de 2.8 pacientes por hora. El dentista puede tratar a los pacientes a una tasa media de 3 pacientes por hora. Un estudio de los tiempos de espera de los pacientes muestra que, en promedio, un paciente espera 30 min de ver al dentista. a) ¿Cuáles son las tasas medias de llegada y de tratamiento en función de pacientes por minuto? b) ¿Cuál es la cantidad promedio de pacientes en la sala de espera? c) Si un paciente llega a las 10: 10 A. M. ¿A que hora se espera que salga del consultorio? λ = 2.8 pacientes / hrs. µ = 3 pacientes / hrs. Wq = 30 min. a) λ = 2.8 / 60 = 0.0467 pacientes / min. µ = 3 / 60 = 0.05 pacientes / min. b) Lq = (0.0467 * 30) = 1.401 pacientes c) Wq = 30 min. W = 30 + (1/0.05) = 50 minutos 10: 10 + 50 min. = 11: 00 A. M.

Ejercicio Resuelto # 5 Los trabajos llegan en forma aleatoria a una planta de ensamblado; suponga que la tasa media de llegada es de 5 trabajos por hora. Los tiempos de servicio (en minutos por trabajo) no siguen la distribución la probabilidad

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exponencial. A continuación se muestra dos diseños propuestos para la operación de ensamblado de la planta. TIEMPO DE SERVICIO DISEÑO MEDIA DESVIACIÓN ESTÁNDAR A 6. 0 3. 0 B 6. 25 0. 6 a) ¿Cuál es la tasa media de servicio en trabajos por hora para cada diseño? b) Para las tasas medias d e servicio en el inciso a, ¿Qué diseño parece proporcionar la tasa de servicio mejor o mas rápida? c) ¿Cuáles son las desviaciones estándar de los tiempos de servicio en horas? d) Use el modelo M/ G / 1 para calcular las características operativas para cada diseño e) ¿Cuál diseño proporciona las mejores características operativas? ¿Por qué? λ = 5 trabajos / hra = 0.0833 trabajos / min. a) Para A.- µ = 6.0 min. / trabajo = 10 trab / hra = 0. 167 trabajos / min. Para B.- µ = 6.25 min. / trabajo = 9.6 trabajos / hora = 0.16 trabajos / min. b) La del diseño A c) A.- σ = 3.0 min / 60 min. = 0.05 hrs B.- σ = .6 min / 60 min. = 0.01 hrs d) A.Po = 1 – 5/10 = 0.5 Lq = (52 * 0.052)+ (5 /10)2 = 0.3125 trabajos 2* (1-(5/10) L = 0.3125 + 5/10 = 0.8125 trabajos Wq = 0.3125 / 5 = 0.0625 hrs. W = 0.0625 + 1/ 10 = 0.1625 hrs. Pw = 5/10 = 0.5 B.Po = 1 – 5/ 9.6 = 0.4792 Lq = (52 * 0.01 2) + (5/9.6)2 = 0.2857 trabajos 2 * (1 – 5)/9.6)

39

L = 0.2857 + 5/9.6 = 0.8065 trabajos Wq = 0.2857/ 5 = 0.0571 hrs W = 0.2857 + 1/9.6 = 0.1613 hrs Pw = 5 / 9.6 = 0.5208 e) El diseño B. porque tiene un tiempo de espera ligeramente menor y existe mayor probabilidad de que no haya ningún cliente en la fila.

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio Propuesto # 1 El escritorio de referencias de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Suponga que puede usarse una distribución de probabilidad de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por hora que describe el patrón de llegada y que los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 12 solicitudes de ayuda en el sistema? a.- ¿Cuál es la probabilidad de que no haya solicitudes de ayuda en el sistema? b.- ¿Cuál es la cantidad promedio de solicitudes que esperan por el servicio? c.- ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos antes de que empiece el servicio? d.- ¿Cuál es el tiempo promedio en el escritorio de referencias en minutos (tiempos de espera mas tiempo de servicio? e.- ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar por el servicio? Ejercicio Propuesto # 2 El gerente de la marina Fore and Aft desea investigar la posibilidad de agrandar el muelle de modo de que dos embarcaciones puedan detenerse para cargar combustible y recibir servicio de manera simultanea. Suponga que la tasa media de llegada es de 5 yates por hora y que la tasa media de servicio para cada canal es de 10 por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el muelle estará ocioso? b) ¿Cuál es a cantidad promedio de embarcaciones que estará esperando por servicio? c) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasara una embarcación esperando por servicio en el muelle? d) ¿Cuál es el tiempo promedio que pasara un bote en el muelle? e) Si usted fuera el gerente de la marina Fore and Aft, ¿Estaría satisfecho con el nivel d servicio que proporcionara su sistema? ¿Por qué?

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Ejercicio Propuesto # 3 Un estudio de una operación de servicio de comidas con canales múltiples en el parque de béisbol Red Birds muestra que el tiempo promedio entre la llegada de un cliente al mostrador y su partida con un pedido surtido es de 10 minutos. Durante el juego, los clientes llegan a una tasa promedio de 4 por minuto. La operación de servicio de comida requiere un promedio de 2 minutos por pedido del cliente. a) ¿Cuál es la tasa media de servicio por canal en función de clientes por minuto? b) ¿Cuál es el tiempo de espera promedio en la línea antes de colocar un pedido? c) En promedio ¿Cuántos clientes hay en el sistema del servicio de comidas? Ejercicio Propuesto # 4 3.-Movies Tonight es un establecimiento típico de renta de videos y DVD para clientes que ven películas en casa. Durante las noches entre semana, los clientes llegan a Movies Tonight a una tasa promedio de 1.25 clientes por minuto. El dependiente del mostrador puede atender un promedio de dos clientes por minuto. Suponga llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales. a.- ¿Cuál es la probabilidad de que no haya clientes en el sistema? b.- ¿Cuál es la cantidad promedio de clientes que esperan por el servicio? c.- ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para que comience el servicio? d.- ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio? e.- ¿ Las características operativas indican que el sistema de mostrador con un solo dependiente proporciona un nivel de servicio aceptable? Ejercicio Propuesto # 5 Speedy Oil proporciona un servicio de un solo canal de cambio de aceite y lubricación de automóviles. Las llegadas nuevas ocurren a una tasa de 2.5 automóviles por hora y la tasa media de servicio es de cinco automóviles por hora. Suponga que las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson y que los tiempos de servicio que siguen una distribución exponencial. a.- ¿Cuál es la capacidad promedio de automóviles en el sistema? b.- ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil para que comience el servicio de aceite y lubricación? c.- ¿Cuál es el tiempo promedio que pasa un automóvil en el sistema?

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d.- ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar por el servicio?

UNIDAD III:

TEORÍA DE DECISIÓN

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3.1 CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LA TEORÍA DE DECISIONES. En lugar de tomar decisiones en periodo largo, la preocupación ahora se refiere a tomar quizá una sola decisión (o a lo más una secuencia de unas cuantas decisiones) sobre que hacer en el futuro inmediato. No obstante, todavía se tienen factores aleatorios fuera de nuestro control que crean cierta incertidumbre sobre el resultado de cada uno de los diferentes cursos de acción. El análisis de decisiones proporciona un marco conceptual y una metodología para la toma de decisiones racional en este contexto. Una pregunta que surge con frecuencia es si tomar la decisión necesaria en este momento o hacer primero algunas pruebas (con algún costo) para reducir el nivel de incertidumbre sobre el resultado de la decisión. Por ejemplo, la prueba puede ser realizar una promoción de prueba de un nuevo producto propuesto para ver la reacción del consumidor antes de tomar la decisión de proceder o no con la producción y comercialización a gran escala del producto. Se hace referencia a estas pruebas como realizar experimentación. Entonces, el análisis de decisiones divide la toma de decisiones en los casos sin experimentación y con experimentación.

Ejemplo prototipo. La GOFERBROKE COMPANY es dueña de unos terrenos en los que puede haber petróleo. Un geólogo consultor ha informado a la gerencia que piensa que existe una posibilidad de 1 a 4 de encontrar petróleo. Debido a esta posibilidad, otra compañía petrolera ha ofrecido comprar las tierras en $90 000. Sin embargo, la Goferbroke está considerando conservarla para perforar ella misma. Si encuentra petróleo, la ganancia esperada de la compañía será aproximadamente de $700 000; incurrirá en una pérdida de $100 000 si encuentra un pozo seco (sin petróleo). Sin embargo, otra opción anterior a tomar una decisión es llevar a cabo una exploración sísmica detallada en el área para obtener una mejor estimación de la probabilidad de encontrar petróleo. Este caso es de una toma de decisiones con experimentación, y en ese momento se proporcionarán los datos adicionales necesarios. Esta compañía está operando sin mucho capital por lo que una pérdida de $100 000 sería bastante seria.

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3.2 CRITERIOS DE PROBABILÍSTICOS.

DECISIÓN

DETERMINÍSTICOS

Y

Determinísticos. Los enfoques de la toma de decisiones que no requieren un conocimiento de las probabilidades de los estados de la naturaleza son apropiados en situaciones en los que el tomador de decisiones tiene poca confianza en su capacidad para evaluar las probabilidades, o en las que es deseable un análisis simple del mejor y el peor caso. Debido a que en ocasiones enfoques diferentes conducen a diferentes recomendaciones, el tomador de decisiones necesita entender los enfoques disponibles y luego seleccionar el enfoque específico que, de acuerdo con su juicio, sea el más apropiado. Enfoque optimista El enfoque optimista evalúa cada alternativa de decisión en función del mejor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisión que se recomienda es la que da el mejor resultado posible. Para un problema en el que se desea la ganancia máxima el enfoque optimista conduciría al tomador de decisiones a elegir la alternativa correspondiente a la mayor ganancia. Para problemas que implican minimización, este enfoque conduce a elegir la alternativa con el resultado más pequeño. Para mostrar el enfoque optimista, primero, determinamos el mejor resultado para cada alternativa de decisión; luego, seleccionamos la alternativa de decisión que proporciona el máximo resultado global. Estos pasos identifican de manera sistemática la alternativa de decisión que proporciona la mayor ganancia posible

Enfoque conservador

El enfoque conservador evalúa cada alternativa de decisión desde el punto de vista del peor resultado que pueda ocurrir. La alternativa de decisión recomendada es la que proporciona el mejor de los peores resultados posibles. Para un problema en el que la medida de salida es la ganancia el enfoque conservador conduciría al tomador de decisiones a elegir la alternativa que maximiza la ganancia mínima posible que podría obtenerse. Para problemas que implican minimización, este enfoque identifica la alternativa que minimizará el resultado máximo. Para mostrar el enfoque conservador, primero, identificamos el resultado mínimo para cada una de las alternativas de decisión, luego, seleccionamos la alternativa de decisión que maximiza el resultado mínimo. Este enfoque de decisión se considera conservador debido a que identifica el peor resultado

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posible y luego recomienda la alternativa de decisión que evita la posibilidad de resultados extremadamente "malos".

Probabilísticos. En muchas situaciones de toma de decisiones podemos obtener evaluaciones de probabilidad para los estados de la naturaleza. Cuando están disponibles dichas probabilidades podemos usar el enfoque del valor esperado para identificar la mejor alternativa de decisión. Definamos primero el valor esperado de una alternativa de decisión. Sea N= el número de estados de la naturaleza P(sj)= la probabilidad del estado de la naturaleza sj Debido a que puede ocurrir uno y sólo uno de los N estados de la naturaleza, las probabilidades deben satisfacer dos condiciones:

El valor esperado (VE) de la alternativa de decisión d1 se define como sigue:

En palabras, el valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los resultados ponderados para la alternativa de decisión. El peso para un resultado es la probabilidad del estado de la naturaleza asociado y, por consiguiente, la probabilidad de que ocurrirá el resultado.

3.3 VALOR DE LA INFORMACIÓN PERFECTA. Antes de realizar cualquier experimento, debe determinarse su valor potencial. Existe un método que supone (de manera poco realista) que la experimentación eliminará toda la incertidumbre sobre cuál es el estado de la naturaleza verdadero y después hace un cálculo rápido sobre cuál sería la mejora en el pago esperado (ignorando el costo de experimentación). Esta cantidad, llamada valor esperado de la información perfecta proporciona una 45

cota superior para el valor potencial del experimento. Entonces, si esta cota superior es menor que el costo del experimento, este definitivamente debe llevarse a cabo. Suponga que el experimento puede identificar de manera definitiva cual es el verdadero estado de la naturaleza, proporcionando con esto, información “perfecta”. Cualquiera que sea el estado de la naturaleza identificado, se elegirá la acción con el máximo pago para ese estado. No se sabe de antemano cuál estado se identificará, por lo que el cálculo del pago esperado con la información perfecta (ignorando el costo de la experimentación) requiere ponderar el pago máximo para cada estado de la naturaleza con la probabilidad a priori de ese estado. Para evaluar si debe de realizarse el experimento, se usa la cantidad del pago esperado para calcular el valor esperado de la información perfecta (VEIP); éste se calcula como: VEIP= pago esperado con información perfecta – pago esperado sin experimentación. Así, como la experimentación casi nunca puede proporcionar información perfecta, el VEIP da una cota superior sobre el valor esperado de la experimentación.

3.4 ÁRBOLES DE DECISIÓN. Un árbol decisión proporciona una forma para desplegar visualmente el problema y después organizar el trabajo de cálculos. Estos árboles de decisión son especialmente útiles cuando debe tomarse una serie de decisiones. Ejemplo de un árbol de decisión:

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Los nodos del árbol de decisión se conocen como nodos de decisión y los arcos se llaman ramas. Un nodo de decisión, representado por un cuadrado, indica que una decisión necesita tomarse en ese punto del proceso. Un nodo de probabilidad, representado por un círculo, indica que ocurre un evento aleatorio en ese punto.

3.5 TEORÍA DE DUALIDAD. El dual es un problema de PL que se obtiene matemáticamente de un modelo primal de PL dado. Los problemas dual y primal están relacionados a tal grado, que la solución símplex óptima de cualquiera de los dos problemas conduce en forma automática a la solución óptima del otro. El concepto de dualidad indica que para cada problema de PL hay una asociación y una relación muy importante con otro problema de programación lineal, llamado precisamente dual. Si el Primal es:

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Máx Z = CX s.a. AX≤ b xi≥ 0 El Dual es: Min Z = bTY s.a. AT Y≥ CT yi≥ 0 Usos de la formulación dual. Las estructuras duales permiten entre otras cosas: a) Resolver problemas lineales que tienen más restricciones que actividades. Como el grado de dificultad en resolver un programa lineal por medio de una computadora está en función del número de filas de la matriz A y no en el número de columnas, al aplicarse la dualidad a un problema primal donde m > n, se obtiene otro problema lineal donde el número de filas n es menor al número de columnas m. b) Hacer interpretaciones económicas de las soluciones óptimas de los problemas de programación lineal. c) Crear nuevos algoritmos para la solución de problemas de redes de optimización. d) Generar métodos como el dual simples para el análisis de sensibilidad de los programas de programación lineal. Propiedades del primal y del dual. a) Si el Primal es un problema de Maximización (Minimización), el Dual es un problema de Minimización (Maximización). b) Los valores de los recursos del Primal son los valores de los coeficientes de la función objetivo del Dual. Y los valores de los coeficientes de la función objetivo del Primal son los valores de los recursos del Dual. c) La matriz de los coeficientes tecnológicos del Dual es la matriz transpuesta de los coeficientes tecnológicos del Primal. Y como (AT)T=A entonces el Dual(Dual)=Primal. d) El número de restricciones del Primal es igual al número de variables de decisión del Dual, es decir, por cada restricción del Primal existe una variable Dual asociada. 48

e) El número de variables de decisión del Primal es igual al número de restricciones del Dual, es decir, por cada variable del Primal existe una restricción asociada del Dual. f) Si una restricción del Primal esta en la forma canónica del problema, la variable Dual asociada es no negativa y viceversa. g) Si una restricción del Primal no esta en la forma canónica del problema, la variable Dual asociada es no positiva y viceversa. h) Si una restricción del Prima es una igualdad, la variable Dual asociada es sin restricción de signo y viceversa.

3.6 DECISIONES SECUENCIALES. Las decisiones secuenciales de inversiones es un caso interesante que se resuelve con lo que se denomina un árbol de decisiones. Para estos casos es necesario primero conocer (con una encuesta) las probabilidades relativas a la preferencia de los mercados con respecto a un nuevo servicio que se desea ofertar y ello arrojaría un % tal que sería el peso subjetivo que se utilizaría en el árbol de decisiones. a su vez los rendimientos según alternativas se haría con el valor actualizado de una anualidad constante, a fin de conocer el van (valor actualizado neto) según cada inversión para cada alternativa. Pero siempre considerando el van de la decisión de no hacer nada o sea de seguir con sus servicios actuales. Por ejemplo una empresa operadora de turismo tiene la posibilidad de contratar por 10 años sus servicios para una nueva operación diferente a su actual operación. si sus servicios actuales le proporciona por ejemplo 500.000 unidades monetarias por año, y tendría que abandonar ese servicio para aceptar el nuevo contrato, que incluso le supone realizar una nueva inversión estimada en 6 millones de unidades monetarias, entonces se deben comparar a valor presente los dos rendimientos de esas alternativas para poder decidir.

3.7 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. El análisis de sensibilidad puede usarse para determinar cómo los cambios en las probabilidades para los estados de la naturaleza o los cambios en los resultados afectan la alternativa de decisión recomendada. En muchos casos, las probabilidades para los estados de la naturaleza y los resultados se basan en afirmaciones subjetivas. El análisis de sensibilidad ayuda al tomador de decisiones a entender cuáles de estas entradas son críticas para la elección de la mejor alternativa de decisión. Si un cambio pequeño en el valor de una de 49

las entradas causa un cambio en la alternativa de decisión recomendada, la solución para el problema de análisis de decisión es sensible a esa entrada particular. Debe hacerse un esfuerzo y tener un cuidado adicional para asegurar que el valor de entrada es tan preciso como sea posible. Por otra parte, si un cambio de modesto a grande en el valor de una de las entradas no causa un cambio en la alternativa de decisión recomendada, la solución al problema de análisis de decisión no es sensible a esa entrada particular. No se requeriría tiempo o esfuerzo adicional para refinar el valor de entrada estimado. Un enfoque para el análisis de sensibilidad es seleccionar valores diferentes para las probabilidades de los estados de la naturaleza y los resultados y luego resolver el problema de análisis de decisiones. Si cambia la alternativa de decisión recomendada, sabemos que la solución es sensible a los cambios hechos. Es obvio que podríamos continuar modificando las probabilidades de los estados de la naturaleza y aprender aún más acerca de cómo afectan los cambios en las probabilidades a la alternativa de decisión recomendada. El inconveniente de este enfoque son los numerosos cálculos que se requieren para evaluar el efecto de varios cambios posibles en las probabilidades del estado de la naturaleza. Para el caso particular de dos estados de la naturaleza, puede usarse un procedimiento gráfico, para determinar cómo afectan los cambios de las probabilidades a la alternativa de decisión recomendada.

EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio # 1 50

Piénsese ahora en una empresa de productos alimenticios para ganado, que desea suministrar a la granja tres tipos de pastillas vitamínicas. Esta empresa debe convencer a los responsables de la granja para que aporten las vitaminas que el ganado necesita mediante sus pastillas, y no mediante los preparados que hasta ahora utilizaban. Para ello el precio de venta de las pastillas debe resultar competitivo con respecto a los preparados P1, P2. Sean y1, y2 y y3 los precios por unidad de las vitaminas A, B y C respectivamente. El objetivo de la empresa es fijar unos precios que consigan maximizar sus beneficios pero que además resulten atractivo para los responsables de la granja. a) Cada kilogramo del preparado P1 aporta 5 unidades de vitamina A, 1.5 unidades de vitamina B y 1 unidad de vitamina C. El precio que debería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: 5y1+1,5y2+1y3. A la granja no le resultarían rentables las pastillas a no ser que 5y1+1,5y2+1y3 ≤ 2. b) Cada kilogramo del preparado P2 aporta 3 unidades de vitamina A, 3 unidades de vitamina B y 1,5 unidades de vitamina C. El precio que debería pagar la granja por conseguir esas mismas cantidades de vitaminas en pastillas sería: 3y1+3y2+1,5y3. A la granja no le resultarían rentables las pastillas a no ser que 3y1+3y2+1,5y3 ≤ 3. c) Por supuesto, los precios de las pastillas vitamínicas deben ser positivos, por tanto se tienen además las condiciones de no negatividad de y1, y2 y y3. Suponiendo que la granja se decida por utilizar las pastillas, comprarán justamente las necesarias para aportar las necesidades mínimas del ganado de cada una de las vitaminas. Es decir, por cada animal y día se comprarían 27 unidades de vitamina A, 15 de vitamina B y 9 de vitamina C. Por tanto los ingresos de la empresa por la venta de las pastillas serían de Z = 27y1+15y2+9y3 por animal y día. Para establecer los precios, la empresa debería plantearse el programa lineal: PRIMAL Max Z = 27y1+15 y2+ 9y3 s.a. 5y1 + 1,5y2 + 1y3 ≤ 2 3y1 + 3y2 +1,5y3 ≤ 3 y1, y2, y3 ≥ 0

DUAL Max = 2y1 + 3y2 51

s. a. 5y1 + 3y2 ≥ 27 1.5y1 + 3y2 ≥ 15 y1 + 1.5y2 ≥ 9 Solución: (1.5) 5y1 + 3y2 = 27 (-5) 1.5y1 + 3y2 = 15 7.5y1 + 4.5y2 = 40.5 -7.5y1 - 15y2 = - 75 - 10.5y2 = -34.5 y2 = - 34.5 / - 10.5 y2 = 3.29 y1 + 1.5y2 = 9 y1 = 9 – 1.5(3.29) y1 = 4.07

Max = 2(4.07) + 3(3.29) = 18.01

Ejercicio # 2 Suponga que de sea invertir $10, 000, en el mercado de valores, comprando acciones de una de dos compañías: A y B. Las acciones de la compañía A son arriesgadas, pero podrían producir un rendimiento de 50% sobre la inversión durante el próximo año. Si las condiciones del mercado de valores no son favorables, las acciones pueden perder el 20% de su valor. La empresa B proporciona utilidades seguras, de 15% en un mercado a la alza y solo 5% en un mercado a la baja. Todas las publicaciones que consulto predicen que hay 60% de probabilidades que el mercado este a la alza y 40% de que este a la baja. ¿Dónde debería invertir su dinero?

Invertir en Mercado a la alza (0.6) $ 5, 000 acciones de A

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2 Mercado a la baja (0.4)

- $ 2, 000

1 Invertir enMercado a la alza (0.6) $1, 500 acciones de B

3 Mercado a la baja (0.4)

$ 500

Para las acciones A = $ 5, 000 *0.6 + (-200) * 0.4 = $2200 Para las acciones B = $ 1, 500 * 0.6 + $ 500 * 0.4 = $ 1100 En base a estos cálculos se recomienda invertir en la empresa A. Ejercicio # 3 Pittsburgh Development Corporation (PDC) compro unos terrenos en los que se construirá un nuevo complejo de condominios de lujo. La ubicación proporciona una vista espectacular del centro de Pittsburg y del Triangulo Dorado, donde se unen los ríos Allegheny y Monongahela para formar el rió Ohio. PDC planea fijar los precios de las unidades del condominio entre $300, 000 y $ 1 400 000 cada una. PDC comisiono los bocetos arquitectónicos preeliminares para tres proyectos de diferente tamaño: uno con 30 condominios, otro con 60 y uno más con 90. El éxito financiero del proyecto depende del tamaño del complejo de condominios y del evento fortuito para la demanda que exista de los inmuebles. El problema de decisión de PDC es seleccionar el tamaño del nuevo proyecto que llevara a la mayor ganancia dada la incertidumbre en la demanda de los condominios. d1 = complejo pequeño con 30 condominios. d2 = complejo mediano con 60 condominios. d3 = complejo grande con 90 condominios. Los resultados posibles para un evento fortuito o estados de la naturaleza son para PDC: s1 = Demanda fuerte para los condominios. s2 = Demanda débil para los condominios. Enfoque optimista Alternativa de dedición Resultado máximo

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Complejo pequeño, d1 Complejo mediano, d2 Complejo grande, d3 •

8 14 20

El máximo de los valores de resultados máximos es 20, por lo que se recomienda la alternativa de decisión de un complejo de condominios grande.

Enfoque conservador Primero, identificamos el resultado mínimo para cada una de las alternativas de decisión; luego, seleccionamos la alternativa de decisión que maximiza el resultado mínimo. Alternativa de dedición Pago mínimo Complejo pequeño, d1 7 Complejo mediano, d2 5 Complejo grande, d3 -9 • El máximo de los valores de resultados mínimos es 7, por lo que se recomienda la alternativa de decisión de un complejo de condominios pequeños. Enfoque de arrepentimiento mínimax. Suponga que PDC construya un complejo de condominios pequeños y la demanda resulta ser fuerte. LA ganancia resultante para PDC seria de $8, 000, 000 sin embargo, dado que ha ocurrido en el estado de la naturaleza de demanda fuerte, nos damos cuenta que la decisión d construir un complejo de condominios grande, que produce una ganancia de $20, 000, 000, abría sido al mejor decisión. La diferencia entre el resultado por la mejor alternativa de decisión y el pago por la dedición de construir un complejo de condominios pequeño es la perdida de oportunidad o arrepentimiento. Para este caso la perdida de oportunidad o arrepentimiento es: $ 20 000 000 - $ 8 000 000 = $12 000 000. Generalmente, al siguiente expresión representa la perdida oportunidad o arrepentimiento:

de

Rij = | Vj* - Vij | El siguiente paso es enlistar el arrepentimiento máximo para cada alternativa de decisión. Tabla de pérdida de oportunidad o arrepentimiento. Estado de la naturaleza Alternativa de dedición Demanda fuerte s1 Demanda débil s2 Complejo pequeño, d1 12 0 54

Complejo mediano, d2 Complejo grande, d3

6 0

2 16

Arrepentimiento máximo para cada alternativa de decisión Alternativa de dedición Complejo pequeño, d1 Complejo mediano, d2 Complejo grande, d3

Arrepentimiento máximo 12 6 16

Se toma el mínimo del arrepentimiento máximo que es 6, el cual corresponde a un complejo mediano.

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio # 1 Tiene usted oportunidad de invertir en tres fondos de ahorros: servicios, de crecimientos agresivos y globales. El valor de su inversión cambiara, dependiendo de las condiciones del mercado. Hay 10% de probabilidades de que el mercado baje, 50% de que quede estable, y 40% de probabilidades de que suba. La tabla siguiente muestra el cambio porcentual en el valor de la inversión bajo las tres condiciones: Rendimientos en un año por inversión de $10,000 Alternativa Mercado baja (%) Mercado moderado (%) Mercado sube Servicios +5 +7 +8 Crecimiento -10 +5 +30 global +2 +7 +20 a) Represente el problema con un árbol de decisión b) ¿Cuál fondo de ahorro deberá seleccionar?

Ejercicio # 2 Escribir el dual del siguiente problema y determinar su solución óptima usando la base primal optima. Minimizar z = 3x + 5y Sujeto a: x1 + 2 x2 + x3 =5 - x 1 + 3 x2 + x4 = 2

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x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Ejercicio # 3 La siguiente tabla de resultados muestra las ganancias para un problema de análisis de decisiones con dos alternativas y tres estado de la naturaleza. Alternativa decisión d1 d1

Estado de la naturaleza de S1 S2 S1 250 100

100 100

25 75

a) Construya un árbol de decisión para este problema. b) Si el tomador de cisiones no sabe nada sobre las probabilidades de los tres estados de la naturaleza, ¿Cuál es la decisión recomendada usando los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento mínimax?

Ejercicio # 4 La decisión de Sowthland Corporation de producir una línea nueva de productos recreativos a dado como resultado a la necesidad de construir ya sea una planta pequeña o una grande. La mejor selección del tamaño de al planta depende de cómo reaccione el mercado a la nueva línea de producción. Para realizar un análisis, la gerencia de mercadotecnia ha decidido calificar la posible demanda a largo plazo como baja, media o alta. La siguiente tabla de resultados muestra la ganancia proyectada en millones de dólares. Demanda a largo plazo Tamaño de la planta baja media Alta pequeña 150 200 200 Grande 50 200 500 a) ¿Cual es la decisión que se ve a tomar y cual es el evento fortuito para el problema de Sowthland? b) Construya un árbol de decisión. c) Recomiende una decisión basada en el uso de los enfoques optimista, conservador y de arrepentimiento minimax.

Ejercicio # 5

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La tabla de resultados siguiente muestra la ganancia para un problema de decisión con dos estados de la naturaleza y dos alternativas de decisión. Alternativa decisión d1 d2

Estado de la naturaleza de S1 S2 10 4

1 3

a) Use una análisis de sensibilidad grafico para determinar le rango de probabilidades del estado de la naturaleza S1. b) Suponga que P (s1) = 0.2 y P (s2) = 0.8. ¿Cuál es la mejor decisión usando el enfoque del valor esperado?

UNIDAD IV: 57

CADENAS DE MARKOV 4.1 INTRODUCCIÓN. En los problemas de toma de decisiones, con frecuencia surge la necesidad de tomar decisiones basadas en fenómenos que tienen incertidumbre asociada a ellos. Esta incertidumbre proviene de la variación inherente a las fuentes de esa variación que eluden el control o proviene de la inconsistencia de los fenómenos naturales. En lugar de manejar esta variabilidad como cualitativa puede incorporarse al modelo matemático y manejarse en forma cuantitativa. Por lo general este tratamiento se puede lograr si el fenómeno natural muestra un cierto grado de regularidad de manera que sea posible describir la variación mediante un modelo probabilístico. Este capítulo presenta modelos de probabilidad para procesos que evolucionan en el tiempo de una manera probabilística. Tales procesos se llaman procesos estocásticos. El capitulo está dedicado a un tipo especial llamado cadena de Markov. Las cadenas de Markov tienen la propiedad particular de que las probabilidades que describen la forma en que el proceso evolucionará en el futuro dependen sólo del estado actual en que se encuentra el proceso y, por tanto son independientes de los eventos ocurridos en el pasado. Muchos procesos se ajustan a esta descripción por lo que las cadenas de Markov constituyen una clase de modelos probabilisticos de gran importancia.

4.2 FORMULACIÓN DE LAS CADENAS DE MARKOV. Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una moneda al aire o un dado. En la figura se muestra el proceso para formular una cadena de Markov; el generador de Markov produce uno de n eventos posibles. E j. donde j = 1, 2, . . . , n, a intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Las probabilidades de ocurrencia para cada uno de estos eventos dependen del estado del generador. Este estado se describe por el último evento generado. En la figura 4.1.1, el último evento generado fue Ej. de manera que el generador se encuentra en el estado Mj .

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La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad condicional: P ( Ek / Mj ). Esto se llama probabilidad de transición del estado Mj al estado Ek. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber el estado actual y todas las probabilidades de transición. Probabilidades de transición. Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama estados, como el que se muestra en la figura de abajo. En ésta se ilustra sistema de Markov con cuatro estados posibles : M1, M2 , M3 y M4 . probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro indica en el diagrama:

de un La se

Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . La matriz de transición para el ejemplo del diagrama de estados se muestra en la tabla siguiente .

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Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de transición. . Para n = 0, 1, 2, ....

El superíndice n no se escribe cuando n = 1.

4.3 PROCESOS ESTOCÁSTICOS. Un proceso estocástico se define sencillamente como una colección indexada de variables aleatorias { X1 }, donde el subíndice t toma valores de un conjunto T dado. Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos y X, representa una característica de interés medible en el tiempo t. Por ejemplo, el proceso estocástico, X1 , X2 , X3, .., Puede representar la colección de niveles de inventario semanales (o mensuales) de un producto dado, o puede representar la colección de demandas semanales (o mensuales) de este producto. Un estudio del comportamiento de un sistema de operación durante algún periodo suele llevar al análisis de un proceso estocástico con la siguiente estructura. En puntos específicos del tiempo t , el sistema se encuentra exactamente en una de un número finito de estados mutuamente excluyentes y exhaustivos, etiquetados 0, 1, . . , S. Los periodos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o su esparcimiento puede depender del comportamiento general del sistema en el que se encuentra sumergido el proceso estocástico. Aunque los estados pueden constituir una caracterización tanto cualitativa como cuantitativa del sistema, no hay pérdida de generalidad con las etiquetas numéricas 0, 1, . . , M , que se usarán en adelante para denotar los estados posibles del sistema. Así la representación matemática del sistema físico es la de un proceso estocástico {Xi}, en donde las variables aleatorias se observan en t = 0, 1, 2,. . ., y en donde cada variable aleatoria puede tomar el valor de cualquiera de los M + 1 enteros 0, 1, .. , M . Estos enteros son una caracterización de los M + 1 estados del proceso.

4.4 PROPIEDAD MARKOVIANA DE PRIMER ORDEN. Un proceso markoviano de orden 1 es un proceso estocástico de orden 1 en el cual su pasado no tiene ninguna influencia en el futuro si su presente está especificado.

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Cuando una probabilidad condicional depende únicamente del suceso inmediatamente anterior, cumple con el Principio de Markov de Primer Orden, es decir: P ( X (t +1) = j X (0) =K 0 , X (1) =K 1 ,.....,

X (t ) =i ) =P ( X (t +1) = j X (t ) =i ) = p ij

Definiciones en los procesos de Markov de primer orden: Estados: Las condiciones en las cuales se encuentra un ente ó sucesos posibles. Ensayos: Las ocurrencias repetidas de un evento que se estudia. Probabilidad de Transición: La probabilidad de pasar de un estado actual al siguiente en un período ó tiempo, y se denota por pij (la probabilidad de pasar del estado i al estado j en una transición ó período) Características de los procesos de Markov de primer orden: Se pueden usar como modelo de un proceso físico ó económico que tenga las siguientes propiedades: a) Que la probabilidad cumpla con el principio de Markov. b) Existencia de un número finito de estados. c) Las pij son constante con respecto al tiempo ó período. d) Ensayos en períodos iguales. Si un suceso depende de otro además del inmediatamente anterior, este es un proceso de Markov de mayor orden. Por ejemplo, un proceso de segundo orden describe un proceso en el cual el suceso depende de los dos sucesos anteriores.

4.5 PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS DE UN SOLO PASO. Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se puede ordenar cada semana. Sean d1, d2, ... las demandas de esta cámara durante la primera, segunda, ... , semana, respectivamente. Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X 1 el número de cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3 . El sábado en la noche la

61

tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente política ( s, S)1 para ordenar : si el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1, .. es un proceso estocástico de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras en inventario al final de la semana. Observe que {Xi}, en donde Xi es el número de cámaras en el almacén al final de la semana t ( antes de recibir el pedido }), es una cadena de Markov. Se verá ahora cómo obtener las probabilidades de transición (de un paso), es decir, los elementos de la matriz de transición ( de un paso).

Suponiendo parámetro .

que

Para obtener Entonces durante Así, aleatoria

la

Si durante

Dt

una

distribución

con

parámetro se

, entonces la semana

puede debe

,

con

,

significa que la demanda o más cámaras.

, la probabilidad de que una variable tome el valor de 3 o más; obtener

de

una

manera

. Para obtener ser 1 o .

encontrar

Poisson

. Si

. Por lo tanto, fue de tres

esto, si

tiene

es necesario evaluar

semana

Poisson

y

cada

observe

parecida.

, la demanda más. Por Para

que

.

En consecuencia, si , entonces la demanda durante la semana tiene que ser exactamente 1. por ende, . Los elementos restantes se obtienen en forma similar, lo que lleva a la siguiente a la siguiente matriz de transición ( de un paso):

62

4.6 PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS DE N PASOS. Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov proporcionan un método para calcular estas probabilidades de transición de n pasos :

Estas ecuaciones simplemente señalan que al ir de un estado i al estado j en n pasos, el proceso estará en algún estado k después de exactamente m (menor que n) pasos. Así, Es solo la probabilidad condicional de que, si se comienza en el estado i, el proceso vaya al estado k después de m pasos y después al estado j en n- m pasos.

Los casos especiales de m=1 y m=n-1 conducen a las expresiones Para toda i, j, y n de lo cual resulta que las probabilidades de transición de n pasos se pueden obtener a partir de las probabilidades de transición de un paso de manera recursiva. Para n=2, estas expresiones se vuelven :

Note que las

son los elementos de la matriz P (2) , pero también debe

de observarse que estos elementos, se obtienen multiplicando la matriz de transición de un paso por sí misma; esto es , P(2) = P * P = P2 . 63

En términos más generales, se concluye que la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener de la expresión: P(n) = P * P .... P = Pn = PPn-1 = Pn-1 P. Entonces, la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener calculando la n-ésima potencia de la matriz de transición de un paso. Para valores no muy grandes de n, la matriz de transición de n pasos se puede calcular en la forma que se acaba de describir, pero cuando n es grande, tales cálculos resultan tediosos y, más aún, los errores de redondeo pueden causar inexactitudes.

4.7 ESTADOS ABSORBENTES. Se dice que un estado i es absorbente si la probabilidad de transición (de un paso) pij es igual a 1. Una cadena de Markov es Absorbente si: a) Tiene por lo menos un estado Absorbente. b) Es posible ir de cada estado no absorbente hasta por lo menos un estado absorbente. No es necesario efectuar esta transición en un paso; ni es necesario tener la posibilidad de alcanzar cada estado absorbente a partir de cualquier estado no absorbente. A partir del análisis de estas cadenas, es posible determinar los siguientes datos: 1) El número esperado de pasos antes de que el proceso sea absorbido. 2) El número esperado de veces que el proceso está en cualquier estado dado no absorbente. 3) La probabilidad de absorción por cualquier estado absorbente dado. Una vez que la cadena llega al estado k permanece ahí para siempre. Si k es un estado absorbente y el proceso comienza en el estado i, la probabilidad de llegar en algún momento a k se llama probabilidad de absorción al estado k dado que el sistema comenzó en i. Esta probabilidad se denota por fik. Si se tienen dos o más estados absorbentes en una cadena de Markov y es evidente que el proceso será absorbido en uno de estos estados, es deseable encontrar estas probabilidades de absorción. Dichas probabilidades pueden obtenerse con sólo resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si el estado k es un estado absorbente, entonces el conjunto de probabilidades de absorción fik satisface el sistema de ecuaciones

64

sujeta a las condiciones

Las probabilidades de absorción son importantes en las caminatas aleatorias. Una caminata aleatoria es una cadena de Markov con la propiedad de que, si el sistema se encuentra en el estado i, entonces en una sola transición, o bien permanecerá en i o se moverá a uno de los estados inmediatamente adyacentes a i. Por ejemplo, la caminata aleatoria con frecuencia se usa como a modelo para situaciones que incluyen juegos de azar.

4.8 PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN ESTACIONARIAS DE ESTADOS ESTABLES. TIEMPOS DE PRIMER PASO. Sea P la matriz de transición de una cadena de M estados. Existe entonces un vector

tal que:

Se establece que para cualquier estado inicial i ,

.

El vector a menudo se llama distribución de estado estable, o también distribución de equilibrio para la cadena de Markov. Para encontrar la distribución de probabilidades de estacionario para una cadena dada cuya matriz de transición es P, según el teorema, para n grande y para toda i ,

(1).

Como Pij (n + 1) = ( renglón i de Pn )(columna j de P), podemos escribir (2)

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EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio #1 Los administradores de la empresa New Fangled Sofdrink Company consideran que la probabilidad de que un cliente compre la bebida Red – Rot Pop, o el principal producto de competencia, Súper Cola, se basan en la compra más reciente del cliente. Supóngase que son apropiadas las siguientes probabilidades de transición: Red Rot Pop Súper Cola

Red Rot Pop Super Cola 0.9 0.1 0.1 0.9

a) Trace el diagrama de árbol de dos periodos para un cliente que compro la ultima vez Red Rot Pop. ¿Cuál es la probabilidad de que este cliente compre Red Rot Pop en una segunda compra? b) ¿Cuál es la participación de mercado a largo plazo para cada uno de estos dos productos? c) Se esta planeando una importante campaña de publicidad para aumentar la probabilidad de atraer a los clientes de Súper Cola. Los administradores consideran que la nueva compañía aumentaría a 0.15 la probabilidad de que un cliente cambie de Súper Cola a Red Rot Pop. ¿Cuál es el efecto proyectado de la campaña de publicidad sobre las participaciones del mercado? a) Primera Segunda compra compra Red Rot Pop 0.9

0.9

0.1 Red Rot Pop 0.1

0.1 1

0.9

Red Rot Pop Súper Cola 0.9

0.1 0

0.1 Red Rot Pop 0.1

Súper Cola 0.9 Súper Cola

0.9

= 0.81

Súper Cola = 0.09 Red Rot Pop = 0.01

Súper Cola = 0.09 Red Rot Pop = 0 Súper Cola = 0 Red Rot Pop = 0

Súper Cola = 0

[0.82, 0.18]

66

La probabilidad de que un cliente compre dos veces consecutivas la marca de refresco Red Rod Pop es de 0.82. b) =

0.1(1 – y) – 0.1y = 0 0.1 – 0.1y – 0.1y = 0 0.1 – 0.2y = 0 - 0.2y = -0.1 y = -0.1/-0.2 y = 0.5

0.9 x + 0.1 y = x 0.1 x + 0.9 y = y -0.1 x + 0.1y = 0 0.1x – 0.1y = 0 x+ y= 1

x=1–y x = 1 – 0.5 x = 0.5

x=1–y La participación en el mercado a largo plazo de ambas marcas es de 0.5 para cada una de ellas. c) = 0.9x + 0.15y = x 0.1x + 0.85y = y x+y=1 -0.1x + 0.15y = 0 0.1x – 0.15y = 0 x+ y=1 x=1–y

0.1(1 – y) – 0.15y = 0 0.1 – 0.1y – 0.15y = 0 0.1 – 0.25y = 0 -0.25y = -0.1 y = -0.1 / -0.25 y = 0.4

x=1–y x = 1 – 0.4 x = 0.6

Se espera que con la publicidad realizada, el mercado para Red Rot Pop aumente a 0.6, mientras que la fidelidad de la marca Súper Cola caerá a 0.40.

Ejercicio #2 El centro de computación de la Universidad Rockbottom ha estado experimentando periodos considerables de tiempo muerto en sus computadoras. Supóngase que se definen los ensayos de un proceso correspondiente de Markov como periodos de una llora y que la probabilidad de que el sistema esté en estado de operación o en estado inactivo se basa en el

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estado del sistema en el periodo anterior. Los datos históricos muestran las siguientes probabilidades de transición: A Operante Operante DeInoperante

Inoperante 0.90 0.30

0.10 0.70

Si el sistema está inicialmente operando, ¿cuál es la probabilidad de que se caiga el sistema en la siguiente hora de operación? b. ¿Cuáles son las probabilidades de estado estable de que el sistema se encuentre en estado operante y en estado inoperante? a.

a) =

La probabilidad de que caiga el sistema es de 0.1. b) =

0.9x + 0.3y = x 0.1x + 0.7y = y x+y=1 -0.1x + 0.3y = 0 0.1x – 0.3y = 0 x = 1- y

0.1(1 – y) – 0.3y = 0 0.1 – 0.1y – 0.3y = 0 0.1 – 0.4y = 0 -0.4y = -0.1 y = -0.1 / -0.4 y = 0.25

x=1–y x = 1 – 0.25 x = 0.75

Ejercicio #3 Se pueden expresar como procesos de Markov los patrones de compra de dos marcas de dentífrico, con las siguientes probabilidades de transición: Especial B MDA Especial B 0.90 0.10 MDA 0.05 0.95 a. ¿Qué marca parece tener la mayor cantidad de clientes leales? Explique.

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b. ¿Cuáles son las participaciones de mercado que se proyectan para las

dos marcas? La marca que tiene la mayor cantidad de clientes leales es MDA. b) =

0.9x + 0.05y = x 0.1x + 0.95y = y x+y=1 -0.1x + 0.05y = 0 0.1x - 0.05y = 0 x=1–y

0.1(1 – y) – 0.05y = 0 0.1 – 0.1y – 0.05y = 0 0.1 – 0.15y = 0 -0.15y = -1 y = -0.1 / -0.15 y = 2/3

x = 1- y x = 1 – 2/3 x = 1/3

Especial B tendrá una participación esperada en el mercado a largo plazo de 1/3, mientras que la participación de MDA será de 2/3.

Ejercicio #4 Supóngase que en el problema anterior entra en el mercado una nueva marca de crema dental, de manera que se tienen las siguientes probabilidades de transición: Especial B MDA T-Blanca

Especial B 0.80 0.05 0.40

MDA 0.10 0.75 0.30

T-Blanca 0.10 0.20 0.30

¿Cuáles son las nuevas participaciones de mercado a largo plazo? ¿Q ué marca sufre más por la inclusión de la nueva marca de crema dental? Obsérvese que determinar las probabilidades de estado constante para este problema requiere de la solución de tres ecuaciones y tres incógnitas.

=

69

0.8x + 0.05y + 0.4z = x 0.1x + 0.75y + 0.3z = y 0.1x + 0.20y + 0.3z = z x+ y+ z=1

1 -0.25 -2 0 0 -0.225 0.5 0 0 0 0 0 0 0 1.3 0.225

-0.2x + 0.05y + 0.4z = 0 0.1x – 0.25y + 0.3z = 0 0.1x + 0.20y – 0.7z = 0 x+ y+ z=1

1.3z = 0.225 z = 0.225 / 1.3 z = 0.1731

-0.2 0.05 0.4 0 0.1 -0.25 0.3 0 0.1 0.2 -0.7 0 1 1 1 1 R1 = R1 / -0.2 1 -0.25 -2 0 0.1 -0.25 0.3 0 0.1 0.2 -0.7 0 1 1 1 1 R2 = -0.1R1 + R2 R3 = -0.1R1 + R3 R4 = -R1 + R4 1 -0.25 -2 0 0 -0.225 0.5 0 0 0.225 -0.5 0 0 1.25 3 1 R3 = R3 + R2 R4 = 1.25R2 + 0.225R3

-0.225y + 0.5z = 0 -0.225y + 0.5(0.1731) =0 -0.225y + 0.08655 = 0 -0.225y = - 0.08655 y = -0.08655 / -0.225 y = 0.3846 x+y+z=1 x=1–y–z x = 1 – 0.3846 – 0.1731 x = 0.4423 Participaciones de mercado a largo plazo de las diversas marcas: Especial B = 0.4423 MDA = 0.3846 T – Blanca = 0.1731 La marca que se vera mas afectada negativamente por la introducción de T – Blanca al mercado a largo plazo es MDA.

Ejercicio #5 La empresa KLM Christmas Tree Farm es propietaria de un vivero con 5000 árboles de hoja perenne. Cada año, KLM permite a los vendedores de árboles de Navidad al menudeo que seleccionen y corten árboles para vender a clientes individuales. La KLM protege los árboles pequeños (usualmente de menos de 4 pies de altura) de manera que se les permite crecer y estar disponibles para su venta en años futuros. En la actualidad, 1500 árboles se clasifican como árboles protegidos, mientras que los 3500 restantes están disponibles para su corte. Sin embargo, aun cuando exista un árbol disponible para corte en un año determinado, es posible que no se le seleccione para corte sino hasta unos años después. Aunque la mayoría de los árboles que no

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se cortan en un año determinado siguen de pie hasta el año siguiente, algunos árboles mueren durante ese año y se les pierde. Al considerar la operación de árboles navideños de la KLM como un proceso de Markov con periodos anuales, se definen los cuatro siguientes estados: Estado 1 Cortado y vendido Estado 2 Perdido por enfermedad Estado 3 Demasiado pequeño para corte Estado 4 Disponible para corte pero no cortado y vendido La siguiente matriz de transición resulta apropiada:

P=

¿Cuántos de los 5000 árboles del vivero se venderán en algún momento dado, y cuántos se perder

P=

71

N= R1 = R1/ 0.25 R2 = R2 /0.5 I–Q=

N=

I–Q=

N=

N= NR = N= R1 = 0.5R1 + 0.2R2 BNR = BNR = BNR = Cantidad de árboles cortados y vendidos: 3580 árboles Cantidad de árboles perdidos: 1420 árboles

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio #1 Se determinó que una de las causas del problema del tiempo muerto de una maquinaria era una pieza específica de los aparatos de cómputo. Los administradores consideran que cambiando a un componente distinto de maquinaria se obtendría la siguiente matriz de probabilidades de transición: Operante inoperante

operante Inoperante 0.95 0.05 0.60 0.40

a. ¿Cuáles son las probabilidades de estado estable de que el sistema se

encuentre en los estados de operación e inactivo?

b. Si se estima que el costo de que el sistema esté descompuesto en

cualquier periodo es de $500 (incluyendo las utilidades que se pierden por el tiempo muerto y el mantenimiento), ¿cuál es el costo de equilibrio para el nuevo componente de la maquinaria, con base en los periodos? Ejercicio #2 En el análisis de participación de mercado, considérese que está, evaluando los procesos de Markov correspondientes a las visitas de compras de un cliente pero que no se sabe en donde compró en la última semana. Por ello, se podría suponer que existe una probabilidad de 0.5 de que un cliente haya comprado en Murphy’s y una probabilidad de 0.5 de que el cliente haya comprado en Ashley’s en el periodo 0; es decir, π1(0) = 0.5 y π2,(0) = 0.5. Dadas estas probabilidades de estado iniciales, elabore una tabla, que muestre la probabilidad de cada estado en periodos futuros. ¿Qué se observa respecto a las probabilidades a largo plazo de cada estado?

Ejercicio #3 Dada la siguiente matriz de transición, con los estados 1 y 2 como estados absorbentes, ¿cuál es la probabilidad de que las unidades de los estados 3 y 4 terminen en cada uno de los estados absorbentes?

P=

Ejercicio #4 Supóngase que es apropiada la siguiente matriz de transición:

P=

Si Heidman's tiene $4,000 en la categoría de antigüedad de 0 a 30 días, y $5,000 en la categoría de antigüedad de 31 a 90 días, ¿cuál es su estimación del monto de incobrables que la compañía experimentará?

Ejercicio #5 Un problema importante en el área principal de Cincinnati implica el tráfico automovilístico que intenta cruzar el río Ohio, proviniendo de Cincinnati, y en dirección a Kentucky, utilizando la Carretera Interestatal I-75. Suponga que es 0.85 la probabilidad de que no haya demoras por el tráfico en un periodo, dado que no hubo demoras de tal clase en el periodo anterior, que es 0.75 la probabilidad de encontrar una demora debido al tráfico de un periodo, dado que hubo demoras en el periodo anterior. El tráfico se clasifica como estados en los que se tiene demora o no, y se considera que el periodo es de 30 min. a. Suponiendo que es un automovilista que ingresa al sistema vial o de tránsito y recibe un reporte de radio de que hay demoras en el tráfico, ¿cuál es la probabilidad de que, para los siguientes 60 min. (2 periodos) el sistema se encuentre en el estado de demoras? Obsérvese que tal es la probabilidad de que se encuentre en el estado de demora para 2 periodos consecutivos. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el tránsito se encuentre a largo plazo en el estado de carencia de demoras? b. Una suposición importante de los modelos de procesos de Markov que se presentaron en este capítulo han sido las probabilidades de transición constantes o estacionarias durante la operación del sistema en el futuro. ¿Considera que este supuesto es apropiado en el problema anterior sobre el tráfico? Explique.

UNIDAD V:

OPTIMIZACIÓN DE REDES 5.1 TERMINOLOGÍA Se ha desarrollado una terminología relativamente extensa para describir los tipos de redes y sus componentes. Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de líneas que unen ciertos pares de puntos. Los puntos se llaman nodos (o vértices). Las líneas se llaman arcos (o ligaduras, aristas o ramas). Los arcos se etiquetan dando nombre a los nodos en sus puntos terminales; por ejemplo, AB sería el arco entre los nodos A y B. Los arcos de una red pueden tener un flujo de algún tipo que pasa por ellos; si el flujo a través de un arco se permite sólo en una dirección (como en una calle de un sentido), se dice que el arco es un arco dirigido. La dirección se indica agregando una cabeza de flecha al final de la línea que representa el arco. Al etiquetar un arco dirigido con el nombre de los nodos que une, siempre se pone primero el nodo de donde viene, después el nodo a donde va, esto es, un arco dirigido del nodo A al nodo B debe etiquetarse como AB y no como BA. Otra manera de etiquetarlo es A —> B. Si el flujo a través de un arco se permite en ambas direcciones (como una tubería que se puede usar para bombear fluido en ambas direcciones), se dice que el arco es un arco no dirigido. Para ayudar a distinguir entre los dos tipos de arcos, con frecuencia se hará referencia a los arcos no dirigidos con el sugestivo nombre de ligadura. Aunque se permita que el flujo a través de un arco no dirigido ocurra en cualquier dirección. Se supone que ese flujo será en una dirección, en la seleccionada, y no se tendrán flujos simultáneos en direcciones opuestas. Sin embargo, en el proceso de toma decisiones sobre el flujo en un arco no dirigido, se permite hacer una secuencia de asignaciones de flujos en direcciones opuestas, pero en el entendimiento de que el flujo real será el flujo neto (la diferencia de los flujos asignados en las dos direcciones). Por ejemplo, si se asigna un flujo de 10 en una dirección y después un flujo de 4 en la dirección opuesta, el efecto real es la cancelación de 4 unidades de la asignación original, lo que reduce el flujo en la dirección original de 10 a 6. Aun para un arco dirigido, en ocasiones se usa la misma técnica como una manera conveniente de reducir un flujo previamente asignado. En particular, se puede hacer una asignación ficticia de flujo en la dirección "equivocada" a través de un arco dirigido para registrar una dirección en esa cantidad en el flujo que va en la dirección "correcta". Una red que tiene sólo arcos dirigidos se llama red dirigida. De igual manera, si todos sus arcos son no dirigidos, se dice que se trata de una red no dirigida. Una red con una mezcla de arcos dirigidos y no dirigidos (o incluso una con todos sus arcos no dirigidos) se puede convertir en una red dirigida, si se desea, sustituyendo cada arco no dirigido por un par de arcos dirigidos en

direcciones opuestas. (Después se puede optar por interpretar los flujos a través de cada par de arcos dirigidos como flujos simultáneos en direcciones opuestas o de proporcionar un flujo neto en una dirección, según se ajuste al caso.) Cuando dos nodos no están unidos por un arco surge la pregunta natural de si están conectados por una serie de arcos. Una trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos fue conectan estos nodos. Por ejemplo, una de las trayectorias que conectan a los nodos O y T en la siguiente figura, es la sucesión de arcos OB-BD-DT (O →B→ D →T), y viceversa.

Cuando algunos o todos los arcos de una red son arcos dirigidos, se hace la distinción entre trayectorias dirigidas y trayectorias no dirigidas. Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j a través de esta trayectoria es factible. Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección (si la tienen) puede ser hacia o desde el nodo j. (Observe que una trayectoria dirigida también satisface la definición de trayectoria no dirigida, pero el inverso no se cumple.) Con frecuencia una trayectoria no dirigida tendrá algunos arcos dirigidos hacia el nodo j y otros desde él (es decir, hacia el nodo i); las trayectorias no dirigidas juegan un papel muy importante en el análisis de las redes dirigidas. Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. En una red dirigida un ciclo puede ser dirigido o no dirigido, según si la trayectoria en cuestión es dirigida o no dirigida. (Como una trayectoria dirigida también es no dirigida, un ciclo dirigido es un ciclo no dirigido, pero en general el inverso no es cierto.) Se dice que dos nodos están conectados si la red contiene al menos una trayectoria no dirigida entre ellos. (Observe que no es necesario que la trayectoria sea dirigida aun cuando la red es dirigida.) Una red conexa es una red en la que cada par de nodos está conectado.

5.2 PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA. REDES CÍCLICAS Y ACÍCLICAS. Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura (arco no dirigido) se asocia una distancia no negativa. El objetivo es encontrar la ruta más corta (la trayectoria con la mínima distancia total) del origen al destino. Se dispone de un algoritmo bastante sencillo para este problema. La esencia del procedimiento es que analiza toda la red a partir del origen; identifica de manera sucesiva la ruta más corta a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias (más cortas), desde el origen; el problema queda resuelto en el momento de llegar al nodo destino. Los nodos pueden representar ciudades, fábricas, plantas, entre otros; los arcos o flechas representan las distancias que hay entre las carreteras o caminos que enlazan a los elementos antes mencionados. En esta sección se representan los algoritmos para resolver redes cíclicas (es decir que continúen bucles o lazos) como acíclicas. 1.- Algoritmo de Dijkstra 2.- Algoritmo Floyd Algoritmo de Dijkstra El algoritmo de Dijkstra tienen por objeto determinar las rutas mas cortas entre lo nodo fuente y los demás nodos de la red. El algoritmo de Floyd es general, porque permite determinar la ruta mas corta entre dos nodos cualesquiera en la red. Algoritmo de Dijkstra. Sea ui la distancia mas corta entre el nodo 1 hasta el nodo i, y se define dij( ≥ 0 ) como la longitud del arco (i,j). Entonces el algoritmo define la etiqueta de un nodo inmediato posterior j como [uj,i] = [ui + dij,i], dij ≥ 0 La etiqueta del nodo de inicio es [0, - ], que indica que el nodo no tiene predecesor. Las etiquetas de nodos en el algoritmo de Dijkstra son de dos clases: temporales y permanentes. Una etiqueta temporal se modifica si se encuentra una ruta mas corta a un nodo. Cuando no se ve que se puede encontrar rutas mejores, cambia la etiqueta de un estado temporal a permanente. Paso 0. Etiquetar el nodo fuente (nodo 1) con la etiqueta permanente [ 0, - ]. Igualar i = 1.

Paso i. a) Calcular las etiquetas temporales [ui + dij,i] para cada nodo j al cual pueda llegarse desde el nodo i, siempre y cuando j no tenga tarjeta permanente, si el nodo j ya esta etiquetado con [uj,k] por otro nodo k, y si ui + dij < uj, sustituir [uj,k] por [uj + dij, i]. b) Si todos los nodos tienen etiquetas permanentes, detenerse. En caso contrario, seleccionar la etiqueta [ur, s] que tenga la distancia mas corta (=ur) entre todas las etiquetas temporales (los empates se rompen en forma arbitraria. Hacer que i = r y repetir el paso i. Algoritmo de Floyd. El algoritmo de Floyd es más general que el de Dijkstra, porque determina la ruta mas corta entre dos nodos cualesquiera de la red. El algoritmo representa una red de n nodos como matriz cuadrada con n renglones y n columna. El elemento (i,j) de la matriz expresa la distancia dij del nodo i al nodo j, que es finita si i esta conectado directamente con j, e infinitamente en caso contrario.

Figura. Operación triple de Floyd

El concepto de Floyd es directo. Dados tres nodos i,j y k, con las distancias entre si indicadas en los tres arcos, es mas corto ir a k desde i pasando por j si dij + djk < dik En este caso, lo óptimo es reemplazar la ruta directa de i  k por la ruta indirecta i  j  k. Este intercambio de operación triple se aplica en forma sistemática a la red, con los siguientes pasos: Paso 0. Definir las matrices iniciales de distancias D0 y de secuencias de nodos S0 como se describe abajo. Los elementos diagonales se marcan con (-) para indicar que están bloqueados. Igualar k = i.

Paso general k. Definir el renglón k y la columna k como renglón pivote y columna pivote. Aplicar la operación triple a cada elemento dij en Dk-1 para toda i y j. si se satisface la condición: dik + dkj < dij, (i≠k, j≠k e i≠j) hacer los siguientes cambios: a) Crear Dk reemplazando dij en Dk-1 por dik + dkj b) Crear Sk reemplazando sij en Sk-1 por k. Igualar k = k+1 y repetir el paso k.

5.3 PROBLEMA DEL ÁRBOL DE MÍNIMA EXPANSIÓN. El problema del árbol de expansión mínima tiene algunas similitudes con la versión principal del problema de la ruta más corta. En ambos casos se considera una red no dirigida y conexa, en la que la información dada incluye alguna medida de longitud positiva (distancia, costo, tiempo, etc.) asociada con cada ligadura. Los dos problemas involucran también el hecho de seleccionar un conjunto ligaduras de ligaduras que tiene la longitud total más corta entre todos los conjuntos de ligaduras que satisfacen cierta propiedad. Para el problema de la ruta más corta esta propiedad es que la ligadura seleccionada debe proporcionar una trayectoria entre el origen y el destino. Para el árbol de expansión mínima la propiedad requerida es que las ligaduras seleccionadas deben proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Una red con n nodos requiere sólo (n - 1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. No deben usarse más ligaduras ya que esto aumentaría, sin necesidad, la longitud total de las ligaduras seleccionadas. Las (n - 1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante (con sólo las ligaduras seleccionadas) forme un árbol de expansión. Por lo tanto, el problema es encontrar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras. Este problema tiene muchas aplicaciones prácticas importantes. Por ejemplo, puede ser útil en la planeación de redes de transporte que no se transitarán mucho y en las que la inquietud principal es proporcionar alguna trayectoria entre todos los pares de nodos de la manera más económica El problema del árbol de mínima expansión se puede resolver de una forma bastante directa, es ocurre que se trata de uno de los pocos problemas de Investigación de Operaciones en el que ser codicioso en cada etapa del procedimiento de solución ¡conduce al final a una solución óptima! Así, con el inicio en cualquier nodo, la primera etapa consiste en elegir la rama más corta posible a otro nodo, sin preocuparse del efecto de esta elección pueda tener en las decisiones posteriores. En la segunda etapa se trata de identificar el nodo no conectado que esté más cerca de cualquiera de los dos que se acaban de conectar y después agregar la ligadura correspondiente a la red. Este proceso se repite hasta que se hayan conectado todos los nodos. El algoritmo de expansión mínima enlaza los nodos de una red, en forma directa o indirecta, con la mínima longitud de las ramas enlazantes. La aplicación de este tipo de problemas de optimización se ubica, sobre todo, en las redes de comunicación eléctrica, telefonía, carretera, marítima, etc., donde los nodos representan por a si decirlo las estaciones del ferrocarril. Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima. 1. Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir se pone una ligadura) al nodo más cercano distinto de éste.

2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado, y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que se hayan conectado todos los nodos. 3. Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo todavía debe llevar a una solución óptima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones óptimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se buscan las demás formas de romper los empates hasta el final. Este algoritmo termina en n- 1 iteraciones.

5.4 PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO. En una red en la que los arcos tienen limitada su capacidad, se ha de hacer pasar la máxima cantidad de flujo posible, de un nodo (1) a otro (n), prefijados, a los que se llama, respectivamente, fuente y sumidero. Se utiliza para saber cual es la cantidad máxima de vehículos, peatones, líquidos o llamadas telefónicas que pueden entrar y salir del sistema. Objetivo: Determinar el máximo flujo que se puede enviar desde el nodo fuente al nodo destino, teniendo en cuenta las capacidades k ij sobre el flujo de cada arco (i,j) y que el flujo se debe conservar. Capacidad máxima de los arcos Capacidad máxima de los es igual a la oferta arcos es igual a la disponibilidad

Capacidad mínima de los arcos es igual a la demanda

Algoritmo de etiquetado para el problema del flujo máximo. El algoritmo avanza “en abanico” desde el nodo fuente para encontrar todos los nodos que son “alcanzables” a lo largo de cadenas en la red, cuyos arcos admiten cambio de flujo. En cualquier paso el algoritmo clasifica los nodos en “etiquetados” y “no etiquetados”. Los nodos etiquetados son aquellos que el algoritmo ha alcanzado en el proceso y de este modo determina una cadena en la red

desde el nodo fuente a esos nodos (sobre la que puede haber un cambio de flujo). Los nodos no etiquetados son aquellos que el algoritmo todavía no ha alcanzado en el proceso. Reiteradamente, el algoritmo elige un nodo etiquetado y explora su lista de arcos adyacentes para alcanzar y etiquetar nuevos nodos. El algoritmo termina cuando ha explorado todos los nodos etiquetados y el nodo sumidero permanece no etiquetado (ya no hay cadena que conecte el nodo fuente (1) al nodo sumidero (n), implicando que ya no puede haber mas aumento de flujo del nodo 1 al nodo n).

PASOS. Primera fase: etiquetas. Este algoritmo es de naturaleza recursiva, considera que un nodo puede estar en uno de los siguientes estados, que son mutuamente excluyentes. a) con etiqueta b) sin etiqueta Al inicio el algoritmo todos los nodos están sin etiqueta. Si Xij es el flujo que va de Ni a Nj, se define como el flujo ficticio que va de Nj a Ni. Sea gij = uij + Xij, la capacidad del arco no saturada del arco Aij. Al comienzo del algoritmo se asigna la etiqueta [s+, δ s = ∞] al nodo fuente. A todos los nodos vecinos de Ns se le asigna la etiqueta [s+, δ j] donde δ j = gsj > 0 y Nj son todos los nodos vecinos a Ns. El primer elemento de la etiqueta indica el nodo de donde proviene y el segundo elemento indica la cantidad de flujo que aun puede fluir en el arco. El nodo fuente Ns pasa a ala categoría de etiqueta y con registro, mientras que el grupo de nodos vecinos Ns, pasan a la categoría de etiqueta pero sin registro. En este caso de que gij = 0, al nodo Nj no se le pone una etiqueta. A todos los nodos vecinos Nk del nodo Nj, que o tengan etiqueta y para los cuales se cumpla la condición de que 0 ≤ Xjk ≤ ujk Se le asigna una etiqueta [j+, δ k], donde δ

k

= Min [δ j, Xij] y gjk = ujk – Xjk.

Como todos los nodos vecinos Nk del nodo Nj han sido investigados al nodo Nj pasa al estado de etiqueta con registro. Este proceso se repita hasta alcanzar el nodo destino de la red, es decir N t, etiquetarlo y registrarlo, o hasta q sea imposible etiquetar nodos intermedios de la red. Si el nodo destino de la red, Nt, no puede ser etiquetado, el flujo actual en la red no cambia y por consiguiente es el flujo máximo, es decir, el problema

queda resuelto. En este caso Nt recibe una etiqueta el flujo actual cambiara de acuerdo a lo que se explica a continuación. Segunda fase: Se inicia desde Nt hacia al nodo inicial. El nuevo flujo se determina mediante la suma de Xjk + δ t y a si sucesivamente por los todos los nodos de la ruta determinada. Una vez hecho lo anterior se vuelve aindiar el proceso de etiquetado.

5.5 PROBLEMA DE FLUJO DE COSTO MÍNIMO. El problema de flujo de costo mínimo tiene una posición medular entre los problemas de optimización de redes; primero, porque abarca una clase muy amplia de aplicaciones y segundo, porque su solución es en extremo eficiente. Igual que el problema del flujo máximo, toma en cuenta un flujo en una red con capacidades limitadas en sus arcos. Igual que el problema de la ruta más corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a través de un arco. Igual que el problema de transporte o el de asignación, puede manejar varios orígenes (nodos fuente) y varios destinos (nodos demandas) para el flujo, de nuevo con costos asociados. De hecho, estos cuatro problemas son casos especiales del problema de flujo de costo mínimo. La razón por la que el problema del flujo de costo mínimo se puede resolver de manera tan eficiente es que se puede formular como un problema de programación lineal. A continuación se describe el problema del flujo de costo mínimo: 1. 2. 3. 4. 5.

La red es una red dirigida conexa. Al menos uno de los nodos es nodo fuente. Al menos uno de los nodos es nodo demanda. El resto de los nodos son nodos de trasbordo. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco. (Si el flujo puede ocurrir en ambas direcciones, debe representarse por un par de arcos con direcciones opuestas.) 6. La red tiene suficientes arcos como suficiente capacidad para permitir que todos lo flujos generados por los nodos fuente lleguen a los nodos demanda. 7. El costo del flujo a través del arco es proporcional a la cantidad de ese flujo, donde se conoce el costo por unidad. 8. El objetivo es minimizar el costo total de enviar el suministro disponible a través de la red para satisfacer la demanda dada. (Un objetivo alternativo es maximizar la ganancia total del envío.)

Aplicaciones del problema del flujo de costo mínimo El tipo más importante de aplicación del problema del flujo de costo mínimo es en la operación de la red de distribución de una compañía. En la siguiente tabla se muestran algunos tipos de aplicaciones comunes del problema de del flujo de costo mínimo:

Tipo de Aplicación

Nodos Fuentes

Nodos Trasbordo

Operación de una red Fuentes de bienes Almacenes de distribución intermedios Administración de Fuente de Instalaciones desechos sólidos desechos sólidos procesamiento Operación de una red Agentes de ventas Almacenes de suministros intermedios Coordinación de plantas mezcla de productos en plantas Administración flujo de efectivo

de Fuentes efectivo tiempos específicos

de Nodos Demanda

de

Consumidores

de Rellenos

Instalaciones de procesamiento

Producción de u Mercado artículo específico producto específico

del

de Opciones de Necesidades en inversión a corto efectivo plazo tiempos específicos

de en

Casos especiales. EL PROBLEMA DE TRANSPORTE. Un problema de transporte es un caso particular de problema de programación lineal en el cual se debe minimizar el costo del abastecimiento a una serie de puntos de demanda a partir de un grupo de puntos de oferta (posiblemente de distinto número), teniendo en cuenta los distintos precios de envío de cada punto de oferta a cada punto de demanda. Un problema de transporte queda definido por la siguiente información: 1. Un conjunto de m puntos de oferta. Cada punto de oferta i tiene asociado una oferta si. 2. Un conjunto de n puntos de demanda. Cada punto de demanda j tiene asociada una demanda dj.

3. Cada unidad enviada desde un punto de oferta i a un punto de demanda j tiene un costo unitario de transporte c EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN Los problemas de asignación presentan una estructura similar a los de transporte, pero con dos diferencias: asocian igual número de orígenes con igual número de demandas y las ofertas en cada origen es de valor uno, como lo es la demanda en cada destino. El problema de asignación debe su nombre a la aplicación particular de asignar hombres a trabajos ( o trabajos a máquinas), con la condición de que cada hombre puede ser asignado a un trabajo y que cada trabajo tendrá asignada una persona. La condición necesaria y suficiente para que este tipo de problemas tenga solución, es que se encuentre balanceado, es decir, que los recursos totales sean iguales a las demandas totales. El modelo de asignación tiene sus principales aplicaciones en: Trabajadores, Oficinas al personal, Vehículos a rutas, Máquinas, Vendedores a regiones, productos a fabricar, etc.

EL PROBLEMA DE TRASBORDO. Este caso especial en realidad incluye todas las características generales del problema del flujo de costo mínimo, excepto por no tener capacidades finitas en los arcos. Entonces, cualquier flujo de costo mínimo en el que cada arco pueda llevar cualquier cantidad de flujo deseada se llama también un problema de trasbordo.

EL PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA. El problema de la ruta más corta incluye un juego de nodos conectados donde sólo un nodo es considerado como el origen y sólo un nodo es considerado como el nodo destino. El objetivo es determinar un camino de conexiones que minimizan la distancia total del origen al destino.

EL PROBLEMA DE FLUJO MÁXIMO. Muchos problemas pueden ser modelados mediante una red en la cual se considera que los arcos tienen la capacidad de limitar la cantidad de un producto que se puede enviar a través del arco. En estas situaciones, frecuentemente se desea transportar la máxima cantidad de flujo desde un punto de partida llamado fuente hacia un punto final denominado pozo.

5.6 PROGRAMACIÓN LINEAL EN TEORÍA DE REDES. Este tema se ilustrará con ejemplo para que se tenga un mejor entendimiento del mismo. Puesto que en los modelos de redes se tiene un objetivo dadas determinadas restricciones, estos modelos se pueden formular como un problema lineal, que posteriormente se podrá resolver con alguno de los programas de computación que se presentan más adelante. Ejemplo. La DISTRIBUTION UNLIMITED CO. fabricará el mismo nuevo producto en dos plantas distintas y después tendrá que enviarlo a dos almacenes de distribución, donde cualquiera de las dos fábricas puede abastecer a cualquiera de los dos almacenes. La red de distribución disponible para el envío de este producto se muestra en la siguiente figura, donde Fl y F2 son las dos fábricas, Al y A2 son los dos almacenes y CD es el centro de distribución. Las cantidades que deben enviarse desde F1 y F2 se muestran a la izquierda, y las cantidades que deben recibirse en A.1 y A2 se muestran a la derecha. Cada flecha representa un canal factible de envío. Entonces F1 puede enviar directamente a A1 y tiene tres rutas posibles (F1→CD→A2, Fl→F2→CD→A2 y F1→A1→A2) para mandar bienes a A2. La fábrica F2 tiene sólo una ruta a A2 (F2→CD→A2) y una a A1 (F2→CD→A2→A1). El costo por unidad enviada a través de cada canal se muestra al lado de la flecha. También, junto a F1→F2 y CD→A2 se muestran las cantidades máximas que se pueden enviar por estos canales. Los otros canales tienen suficiente capacidad para manejar todo lo que las fábricas pueden enviar. La decisión que debe tomarse se refiere a cuánto enviar a través de cada canal de distribución. El objetivo es minimizar el costo total de envío. Formulación como un problema de programación lineal: Con siete canales de envío_ se necesitan siete variables de decisión (XFI-F2, XFI-CD, XFI-A1, XF2-CD, XCD-A2, XAI-A2, XA2-A1) para representar las cantidades enviadas a través de los canales respectivos. Existen varias restricciones sobre los valores de estas variables. Además de las restricciones usuales de no negatividad, se tienen dos restricciones de cota superior, XFI-F2 ≤ 10 y XCD-A2 ≤ 80, impuestas por la capacidad limitada de envío de los dos canales, Fl→F2 y CD→A2. Todas las demás restricciones surgen de las cinco restricciones de flujo neto, una para cada localidad. Estas restricciones tienen la siguiente forma: Restricción de flujo neto para cada localidad:

Cantidad enviada - cantidad recibida = cantidad requerida. Como se indica en la figura, estas cantidades requeridas son 50 para F1, 40 para F2, -30 para A1 y -60 para A2. ¿Cuál es la cantidad requerida para CD? Todas las unidades producidas en las fábricas se necesitan en algún momento en los almacenes. Por lo tanto, la cantidad total enviada del centro de distribución a los almacenes debe ser igual a la cantidad total enviada desde las fábricas al centro de distribución. En otras palabras, la diferencia de estas dos cantidades enviadas (la cantidad requerida para la restricción de flujo neto) debe ser cero. Como el objetivo es minimizar el costo total de envío, los coeficientes de la función objetivo son directamente los costos unitarios de envío dados. Por lo tanto, usando unidades monetarias en cientos de dólares en esta función objetivo, el modelo completo de programación lineal es: Minimizar Z = 2 XFI-F2 + 4XFI-CD + 9XFI-A1 + 3XF2-CD + XCD-A2 + 3XAI-A2 + 2XA2-A1 sujeto a: XFI-F2 + XFI-CD + XFI-A1 -XFI-F2 - XFI-CD

= 50 = 40

+ XF2-CD - XF2-CD + XCD-A2

- XFI-A1

=0

+ XAI-A2 - XA2-A1 = -30 - XCD-A2 - XAI-A2 + XA2-A1 = -60

XFI-F2

≤ 10 XFI-F2,

XFI-CD, XFI-A1,

XCD-A2 ≤ 80 XF2-CD, XCD-A2, XAI-A2, XA2-A1 ≥ 0

5.7 USO DE PROGRAMAS DE COMPUTACIÓN.

EJEMPLO Considere la siguiente figura que representa las posibles rutas de transporte, suponga que el número junto a las fechas es el costo entre cada nodo:

WINQSB:

Paso 1: Abrir WinQSB ir al menú File/New Problem. Paso 2: Elegir la opción Shortest PathProblem, establecer numero de nodos y nombre del problema como sigue:

Pulsar OK.

En la tabla que aparece a continuación insertar los valores de la red del problema a resolver.

Paso 3: ir al menú: Solve and Analyze/Solve Problem y establecer los nodos de inicio y fin:

Dar clic en “Solve” Paso 4: WinQSB arroja el resultado de problema.

Dar clic para observar la solución gráfica:

La ruta mas corta es: 1→2→5→8→9=15 Otros ejemplos: El paquete WinQSB contiene un ejemplo resuelto de cada tipo de problemas de esta unidad, para acceder a ellos ir al menú: File/Load Problem.

SOLVER Andrés Loreto es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $100, 000. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule usted un modelo de Programación Lineal para mostrar cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Andrés con el fin de maximizar el rendimiento anual total estimado de esa cartera.

Acciones

Precio ($)

Rendimiento Anual Inversión Posible Estimado por ($) Acción ($)

Navesa

60

7

60.000

Telectricidad

25

3

25.000

Rampa

20

3

30.000

Para solucionar este problema debemos seguir los pasos para la construcción de modelos de programación lineal (PL): 1.- Definir la variable de decisión. 2.- Definir la función objetivo. 3.- Definir las restricciones. Luego construimos el modelo: MAX Z = 7X1 + 3X2 + 3X3 S.A.: 60X1 +25X2 + 20X3 <= 100.000 60X1 <= 60.000 25X2 <= 25.000 20X3 <= 30.000 Xi >= 0 A continuación se construye el modelo en una hoja de cálculo de Excel de la siguiente manera:

En la fila 2 se coloca la variable de decisión la cual es el número de acciones y sus valores desde la B2 hasta la D2. En la fila 3 el rendimiento anual y sus valores desde B3 hasta D3. En la celda E3 colocaremos una formula la cual nos va indicar el rendimiento anual total, =sumaproducto($B$2:$D$2;B3:D3). Desde la fila B5 hasta la D8 colocaremos los coeficientes que acompañan a las variables de decisión que componen las restricciones. Desde la E5 hasta la E8 se encuentra la función de restricción (LI) y no es mas que utilizar la siguiente formula =sumaproducto($B$2:$D$2;B5:D5) la cual se alojaría en la celda E5, luego daríamos un copy hasta la E8. Desde la F5 hasta F8 se encuentran los valores de las restricciones. Desde la G5 hasta G8 se encuentra la holgura o excedente.

Una vez completada la hoja de cálculo con el modelo respectivo ¡GRABE SU HOJA!, y seleccione "Solver…" en el menú de "Herramientas", ahí tendrá que especificar dentro del cuadro de dialogo de Solver: o o o

La celda que va a optimizar Las celdas cambiantes Las restricciones

Así tendremos la siguiente pantalla:

Como se puede observar en la celda objetivo se coloca la celda que se quiere optimizar, en las celdas cambiantes las variables de decisión y por último se debe de complementar con las restricciones. Una vez realizado estos pasos deben pulsar el icono de "Opciones" y debe hacer clic en "Asumir modelo lineal" y enseguida el botón de "Aceptar". Luego haga clic en el botón de "Resolver" para realizar la optimización, lea detenidamente el mensaje de terminación de Solver y ahí observará si se encontró una solución o hay que modificar el modelo, en caso de haber encontrado una solución óptima usted podrá aceptar o no dicha solución, luego tendrá oportunidad de analizar un informe de análisis de sensibilidad para luego tomar la mejor decisión.

En nuestro ejemplo el máximo rendimiento anual fue de 12750$, y la cantidad de acciones a comprar serían 750, 1000 y 1500 para Navesa, Telectricidad y Rampa respectivamente.

EJEMPLOS RESUELTOS Ejercicio # 1 La administración de Seervada Park necesita determinar los caminos bajo los cuales se deben tender las líneas telefónicas para conectar todas las estaciones con una longitud mínima de cable. Se describirá paso a paso la solución de este problema con base en los datos que se dan en la siguiente figura:

Los nodos y distancias para el problema se resumen enseguida, en donde las líneas delgadas, ahora representan ligaduras potenciales. En forma arbitraria, se selecciona el nodo O para comenzar. El nodo no conectado más cercano a O es el nodo A. Se conecta el nodo A al nodo O.

El nodo no conectado más cercano a cualesquiera de los nodos O o A es el nodo B (más cercano a A). Se conecta el nodo B al nodo A.

El nodo no conectado más cercano a O, A o B es el nodo C (más cercano a B). Se conecta el nodo C al nodo B.

El nodo no conectado más cercano a O, A, B o C es el nodo E (más cercano a B). Se conecta el nodo E al nodo B.

El nodo no conectado más cercano a los nodos O, A, B, C o E es el nodo D (más cercano a E). Se conecta el nodo D al nodo E.

El único nodo no conectado es el nodo T. está más cerca del nodo D. Se conecta el nodo T al nodo D.

Todos nodos

los han

quedado conectados, por lo que ésta es la solución (óptima) que se buscaba. La longitud total de las ramas es 14 kilómetros. Aunque con este procedimiento a primera vista puede parecer que la elección del nodo inicial afectaría la solución final (y la longitud total de las ligaduras), en realidad no es así. Se sugiere que se verifique este hecho para el ejemplo, aplicando de nuevo el algoritmo, pero iniciando en un nodo distinto de O. Ejercicio # 2 Supóngase que en la red que se muestra en la siguiente figura, los nodos son centros de consumo eléctrico, y los números en los arcos son distancias en kilómetros. Se trata de encontrar el árbol que con una longitud total mínima, comunica a todos los nodos. Como el costo de tendido de cable eléctrico es proporcional a la distancia, se habrá encontrado, con la distancia mínima, también el costo mínimo. 3

C 8

3 2

A

2

7

0 8

6

D 6

B 4

9

5

6

7

F

7

8

2

E

ITERACIÓN PASO NODO

G

6

8

I

8

H

ARCO

ARCOS EN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

SELECCIONADO EN EL ÁRBOL C (ARBITRARIO)

SELECCIONADO EN EL ÁRBOL

D

ACD = 2

F

ADF = 2

ÁRBOL 0 1 2

G

ACG = 3 3

B

ADB = 6 4

E

ABE = 4

A

ADA = 6

H

AEH = 6

O

AAO = 7

5 6 7 8 I

AHÍ = 8

9 Solución optima, con longitud total mínima de 44 unidades.

El árbol mínimo de comunicación, que no es necesariamente único, se muestra a continuación. C

F 2

2

A 6

7

3

D

O

G

6 8

B 4 E

Ejercicio # 3

I

6

H

Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 15000 vehículos / hora en el horario pico. Debido a un programa de mantenimiento general, el cual exige cerrar dichas vías, un grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas, para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas importantes. 1- ¿Puede la red propuesta dar cabida a un flujo máximo de 15 000 v / h de norte a sur? 2- ¿Cuál es el flujo máximo de vehículos que permite la red cada hora? 3- ¿Qué flujo se debe canalizar sobre cada rama?

SOLUCIÓN [1,5]

[2,3]

[1,∞]

[1,6]

[5,3]

[3,6]

[1,5]

NODO NOD Nj O Nk N1 N1 N1 N2 N1 N3 N1 N4 N2 N5 N3 N6 N5 N7

δ j

gjk ETIQUETA NK

∞ ∞ ∞ 5 6 3

5 6 5 3 7 8

[1,∞] [1,5] [1,6] [1,5] [2,3] [3,6] [5,3]

NODO Nk N7 = [5,3] N5 = [2,3] N2 = [1,5]

NUM. DE FLUJO Xjk X57 = 0 + 3 = 3 X25 = 0 + 3 = 3 X12 = 0 + 3 = 3

gjk g57 = 8 – 3 = 5 g25 = 3 – 3 = 0 g12 = 5 – 3 = 2

Se satisfacen 3 unidades

NOD O Nj N1 N1 N1 N1 N3 N4 N5

NODO δ Nk j

gjk ETIQUETA NK

N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7

2 6 5 3 5 5

∞ ∞ ∞ 6 5 3

[1,∞] [1,2] [1,6] [1,5] [3,3] [4,5] [5,3]

5

NODO Nk N7 = [5,3] N5 = [3,3] N3 = [1,6]

NUM. DE FLUJO Xjk X57 = 3 + 3 = 6 X35 = 0 + 3 = 3 X13 = 0 + 3 = 3

gjk g57 = 5 – 3 = 2 G35 = 3 – 3 = 0 g12 = 6 – 3 = 3

Se satisfacen 3 unidades

5

NOD O Nj N1 N1 N1 N1 N3 N6

NOD O Nk N1 N2 N3 N4 N6 N7

gjk ETIQUETA NODO Nk NUM. DE FLUJO Xjk N7 = [6,3] X67 = 0 + 3 = 3 NK j NSe [3,3] X36 tres =0+ 3=3 6 = satisfacen unidades N3 = [1,3] X13 = 3 + 3 = 6 - [1,∞] ∞ 2 [1,2] ∞ 3 [1,3] ∞ 5 [1,5] 3 7 [3,3] 3 7 [6,3] δ

gjk G67 = 7 – 3 = 4 G36 = 7 – 3 = 4 g13 = 3 – 3 = 0

NOD O Nj N1 N1 N1 N2 N3 N6

NOD O Nk N1 N2 N4 N3 N6 N7

gjk ETIQUETA NODO Nk N7 = [6,2] NK j N6 = [3,2] N3 = [2,2] - [1,∞] N2 = [1,2] ∞ 2 [1,2] ∞ 5 [1,5] 2 2 [2,2] 2 4 [3,2] 2 4 [6,2] δ

NUM. DE FLUJO Xjk X67 = 3 + 2 = 5 X36 = 3 + 2 = 5 X23 = 0 + 2 = 2 X12 = 3 + 2 = 5

gjk g67 g36 g23 g12

NUM. DE FLUJO Xjk X67 = 5 + 2 = 7 X36 = 0 + 2 = 2 X23 = 0 + 2 = 2

gjk g67 = 2 – 2 = 0 g36 = 5 – 2 = 3 g23 = 5 – 2 = 3

=4–2=2 =4–2=2 =2–2=0 =2–2=0

Se satisfacen 2 unidades

NOD O Nj N1 N1 N4 N6

NOD O Nk N1 N4 N6 N7

gjk ETIQUETA NODO Nk N7 = [6,2] NK j N6 = [4,5] N4 = [1,5] - [1,∞] ∞ 5 [1,5] 5 5 [4,5] 5 2 [6,2] δ

Se satisfacen 2 unidades.

Σ Unidades satisfechas = 3 + 3 + 3 +2 +2 = 13 Se tiene un flujo máximo de 13 000 v/h, lo cual no cumple con el requerimiento de 15 000 v / h.

El flujo vial queda distribuido de la siguiente manera:

EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio # 1 Se tiene una ruta de caminos en una reserva ecológica.

Las letras representan la localización de casetas de los guardabosques. O: Origen, T: Mirador al otro extremo. Los números son las distancias que hay entre las casetas por cada uno de los caminos. Se de sea instalar líneas telefónicas subterráneas entre todas las casetas minimizando la cantidad total de cable. ¿Cuál es la distancia mínima de cable requerida? Ejercicio # 2 Suponga que la compañía nacional de subsistencias populares tiene un programa anual de costalera. Esta se compra de dos fábricas, una en Mérida con capacidad de producción máxima de 10 millones de costales al año, y otra en saltillo con capacidad de producción máxima de 7 millones de costales al año. Los excedentes de la fábrica de Mérida pueden transferirse a la planta de saltillo. La disponibilidad de transporte entre las dos fábricas permite un máximo de 8 millones de costales por año. Hay tres centros almacenadotes: el D.F, Guadalajara y Oaxaca. La siguiente matriz proporciona la capacidad máxima anual d e transporte de las fábricas a los centros almacenadotes. Des Guadalajara tino Origen Saltillo Mérida

8 2

D.F.

Oaxaca

4 3

3

(En millones de costales por año) Los excedentes de Guadalajara y Oaxaca pueden transferirse al D.F. La capacidad máxima de transporte es de 3 y 4 millones de costales respectivamente. Una vez en los centros almacenadotes, los costales se entregan a los ejidatarios de la región. La capacidad máxima de entrega es de 4 millones en la región almacenadota de Guadalajara, 7 millones en la región del DF, y 5 millones en la región de Oaxaca. ¿Cuál es el flujo máximo anual de costales nuevos que pueden circular en este sistema? R = 14 millones de costales

Ejercicio # 3 En un pequeño aeropuerto que está creciendo, la compañía aerea local piensa comprar un tractor nuevo para mover el tren de carros que llevan y traen el equipaje de los aviones. Dentro de tres años se instalará un nuevo sistema mecanizado de transporte de equipaje, por lo que después no se necesitará el tractor. No obstante, tendrá una carga de trabajo pesada y los costos de operación y mantto. Aumentarán rápidamente con el tiempo y podría resultar costeable reemplazarlo en uno o dos años. La siguiente tabla proporciona los costos descontados netos totales asociados a la compra del tractor (precio de compra – valor a cambio del tractor en uso + costos de operación y mantto.), al final del año i y si se remplaza al final del año j (en donde el momento presente es año 0).

i

0 1 2

1 8

J 2 18 10

3 31 21 12

El problema es determinar en qué momento debe remplazarse el tractor para minimizar el costo total durante los tres años. a) Formule este como un problema de la ruta más corta.

BIBLIOGRAFÍA

Introducción a la Investigación de Operaciones S. Hillier, Frederick J. Lieberman, Gerald Sexta Edición. Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones Vol. 1 Modelos Determinísticos Prawna, Juan Editorial Limusa Investigación de Operaciones A. Taha, Hamdy Editorial Prentice Hall Métodos Cuantitativos Para los Negocios Anderson, Sweeney, Williams Editorial Thomson

ELABORARON:

CASTRO OCHOA AGUSTÍN ELIZALDE RAMÍREZ FERNANDO RODRÍGUEZ MARTÍNEZ JOAQUÍN CRISTÓBAL SONÍ SANTOS IRIS ABRIL