Solución de los Ejercicios de Investigación de Operaciones 2 Ejercicio 2.7
World Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de 25$ por barril y petróleo pesado a 22$ por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de capa tipo de petróleo crudo: GASOLINA 0.45 0.35
Crudo Ligero Crudo pesado
TURBOSINA 0.18 0.36
QUEROSENO 0.30 0.20
La refinería se ha comprometido a entregar 1260 000 barriles de gasolina, 900 000 barriles de turbosina y 300 000 barriles de queroseno. Como gerente de producción, formule un modelo para determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. Defina todas las variables de decisión. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Solución:
Crudo Ligero Crudo pesado Demanda
GASOLINA 0.45 barril 0.35 barril 1260000 barril
1. Determinar variables Xi
Cantidad de barriles de petróleo i
Donde( i = 12) barril
2. Limites
0.45X1 + 0.35X2 >= 1260000 0.18X1 + 0.36X2 >=900000 0.30X1 + 0.20X2 >= 300000 X1>=0 X2>=
0
TURBOSINA 0.18 barril 0.36 barril 900000 barril
QUEROSENO 0.30 barril 0.20 barril 300000 barril
COSTO VARIABLE 25 $/barril 22 $/barril
3. Función Objetivo Min
25$X1 + 22$X2
4. Solución en Lindo Min
25X1 + 22X2
st 0.45X1 + 0.35X2 >= 1260000 0.18X1 + 0.36X2 >= 900000 0.30X1 + 0.20X2 >= 300000 X1 >=0 X2
>= 0 End
Ejercicio 2.8 Reconsidere el ejercicio 2.7. Cada barril de petróleo crudo refinado produce un desecho de 0.07 de
barril que se tira a un costo de 1$ por barril de desecho. De manera similar, cada barril de petróleo crudo pesado produce un desecho de 0.09 de barril y su eliminación cuesta 1.50$ por barril. Formule un nuevo modelo para incorporar estos costos adicionales usando los mismos datos del ejercicio 2.7.
Crudo Ligero Crudo pesado Demanda
GASOLINA
TURBOSINA
QUEROSENO
COSTO VARIABLE
DESECHO
COSTO DESECHO
0.45 barril 0.35 barril 1260000 barril
0.18 barril 0.36 barril 900000 barril
0.30 barril 0.20 barril 300000 barril
25 $ 22 $
0.07 0.09
1$/barril 1.5 $/barril
Si
se produce un barril de Crudo Ligero se va tener un desecho 0.07, el cual multiplicado por el
costo de cada barril de desecho nos da un valor 0.07$ costo de tirar el desecho producido por un barril. Si
se produce un barril de crudo pesado Ligero se va tener un desecho 0.09, el cual multiplicado por el costo de cada barril de desecho nos da un valor 0.135$ costo de tirar el desecho producido por un barril. Estos Costos de desecho de cada barril se deben aumentar la función objetivo porque se necesita minimizar costos. Función Objetivo Min
25$X1 + 22$X2 + 0.07$ X1+0.135$ X2
Limites: 0.45X1+0.35X2 - 0.07X1 0.09 X2 >=1260000 0.18X1 + 0.36X2 - 0.07X1 0.09 X2 >=900000 0.30X1 + 0.20X2 - 0.07X1 0.09 X2 >= 300000 X1>=0 X2>=
0
Se tiene que restar el desecho de cada barril a lo que se produce.
Ejercicio 2.10
Fresh Dairy Farms, tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla: LECHE DESCREMADA
MANTEQUILLA
QUESO
Maquina 1
0.2 min/gal
0.5 min/lb
1.5 min/lb
Maquina 2
0.3 min/gal
0.7 min/lb
1.2 min/lb
Ganancia Neta
0.22 $/gal
0.3 $/lb
0.72 $/lb
Suponiendo
que es dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como gerente del
departamento de producción, formule un modelo para determinar un plan de producción, diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso. LECHE DESCREMADA
MANTEQUILLA
QUESO
DISPONIBLE
Maquina 1
0.2 min/gal
0.5 min/lb
1.5 min/lb
8 horas
Maquina 2
0.3 min/gal
0.7 min/lb
1.2 min/lb
8 horas
Ganancia Neta
0.22 $/gal
0.3 $/lb
0.72 $/lb
Paso 1: Determinar variables Xi...1...23 Tasa de producción del producto i
Donde (i = 1, 2, 3) gal/día Paso 2: Límites Las horas lo convertimos en minutos: 8 horas = 480 minutos
0.2X1 + 0.5X2 + 1.5X3 <= 480 0.3X1 + 0.7X2 + 1.2X3 <= 480 X1
>= 300
X2
>= 200
X3
>= 100
Paso 3: Función Objetivo Max
0.22X1 + 0.38X2+0.72X3
st 0.2X1 + 0.5X2 + 1.5X3 <= 480 0.3X1 + 0.7X2 + 1.2X3 <= 480 X1
>= 300
X2
>= 200
X3
>= 100
End
Ejercicio 2.18
Los dos productos que produce Case Chemicals, C S-01 y CS-02, generan cantidades excesivas de tres contaminantes diferentes: A, B y C. El gobierno estatal le ha ordenado a la compañía que
instale y emplee dispositivos anticontaminantes. La siguiente tabla proporciona las emisiones diarias actuales en Kg/1000 litros y el máximo de cada contaminante permitido en kilogramos. CONTAMINANTE
CS-01
CS-02
MAXIMO PERMITIDO
A
25
40
43
B
10
15
20
C
80
60
50
El gerente del departamento de producción aprobó la instalación de dos dispositivos anticontaminantes. Las emisiones de cada producto pueden ser manejadas por cualquiera de los dos dispositivos en cualquier proporción. (Las emociones se envían a través de un dispositivo solamente una vez, es decir, la salida de un dispositivo no puede ser la entrada del otro o de sí mismo.) La siguiente tabla muestra el porcentaje de cada contaminante proveniente de cada producto que es eliminado por cada dispositivo. CONTAMINANTE A B C
DISPOSITIVO 1 CS-01 40 60 55
CS-02 40 60 55
DISPOSITIVO 2 CS-01 30 0 65
CS-02 20 0 80
Por ejemplo, si la emisión de C S-01 se envía a través del dispositivo 1, se elimina 40% del contaminante A, 60% del contaminante B y 55 % del contaminante C. Las consideraciones de fabricación dictan que CS-01 y CS-02 deben producirse en la proporción de 2 a 1. Formule un modelo para determinar un plan que maximice la producción diaria total (cantidad de C S-01 más la cantidad CS-02) al mismo tiempo que satisfaga requerimientos gubernamentales. Use el esquema de la sección 2.3 para clasificar su modelo. Solución Paso 1: determinar Variables Xij: Tasa de Producción del producto i que se descontamino con el dispositivo j
(i:1..2), (j:1..2) Yij: Determina si el producto i se descontamino con el dispositivo j (variable Binaria) (i:1..2), (j:1..2) Paso 2: Limites: Contaminante A = 0.6*25X11 + 0.7*25X12 + 0.6+40X21 + 0.8*40X22 <= 43 Contaminante B = 0.4*10X11 + 1.0*10X12 + 0.4*15X21 + 1.0*15X22 <= 20 Contaminante C = 0.45*80X11 + 0.35*80 X12 + 0.45*60X21 + 0.30*60 X22 <=50
Producto 1 = Y11 + Y12 = 1 Producto 2 = Y21 + Y22 = 1 Dispositivo 1 = Y11 + Y21 = 1 Dispositivo 2 = Y12 + Y22 = 1 Producto 1 / Producto 2 = 2/1 entonces (X11 + X12)/(X21 + X22) = 2/1
Asumiendo que no se hace el producto 2 entonces
X21
= 0 y X22 = 0
0.6*25X11 + 0.70* X12 <= 43 0.4*10X11 + 1.00*10 X12 <= 20 0.45*80X11 + 0.35*80 X12 <= 50 Ahora asumimos que el producto 1 solo pasa por el dispositivo 1 entonces X12 = 0
0.6 * 25X11 <= 43
X11
<= 2.87
0.4 * 10X11 <= 20
X11
<= 5
0.45 * 80X11 <= 50
X11
<= 1.39y11
X11
1.39Y11 <= 0
Ahora asumimos que el producto 1 solo pasa por el dispositivo 2 entonces X11 = 0
0.70* 25X12 <= 43
X12
<= 2.4571
1.00 * 10X12 <= 20
X12
<= 2
0.35 * 80X12 <= 50
X12
<= 1.79Y12
X12
1.79Y12 <= 0
Asumiendo que no se hace el producto 1 entonces X11 y X12 = 0
0.6 * 40X21 + 0.8 * 40 X22 <= 43 0.4 * 15X21 + 1.00 * 15 X22 <= 20 0.45*60X21 + 0.2*60X22 <= 50 Ahora asumimos que el producto 2 solo pasa por el dispositivo 1 entonces X22 = 0
0.6 * 40X21 <= 43 0.4 * 15X21 <= 20
X21
X21
<= 1.79Y21
<= 3.33
X21
1.79Y21 <= 0
0.45 * 60X21 <= 50
X21
<= 1.85
Ahora asumimos que el producto 2 solo pasa por el dispositivo 2 entonces X21 = 0
0.80* 40X22 <= 43
X22
<= 1.34
1.00 * 15X22 <= 20
X22
<= 1.33Y22
0.20 * 60X22 <= 50
X22
<= 4.17
Paso 3: Función Objetivo Max X11
+ X12 + X21 + X22
Solución en Lindo Max X11
+ X12 + X21 + X22
st 15X11 + 17.5X12 + 24X21 + 32X22 <= 43 4X11 + 10X12 + 6X21 + 15X22 <=20 36X11 + 28X12 + 27X21 + 18X22 <= 50 Y11 + Y12 = 1 Y21 + Y22 = 1 Y11 + Y21 = 1 Y12 + Y22 = 1 X11 + X12 - 2X21 - 2X22 = 0 X11
1.39Y11 <= 0 X12 1.79Y12 <= 0 X21
1.79Y21 <= 0
X22
1.33Y22 <= 0
End gin X11 gin X12 gin X21 gin X22 int Y11 int Y12 int Y21 int Y22
X22
1.33Y22 <= 0
