Luis Alberto Rincón Abril
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UNIVERSIDAD
NACIONAL DE COLOMBIA Sede Palmira Departamento de Ciencias Básicas
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA Sede Palmira DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
INVESTIGACiÓN DE OPERACIONES PARA INGENIERíAS Y ADMINISTRACiÓN DE EMPRESAS
Por: LUIS ALBERTO RINCÓN ABRIL In9. M.Sc. Profesor Asociado
Palmira, junio de 2001
© Universidad Nacional de Colombia - Sede Palmira Luis Alberto Rincón Abril Junio de 2001 ISBN : 958-8095-09-3 Derechos reservados . Impreso en los talleres gráficos de Impresora Feriva S.A. Calle 18 No. 3-33 Tel éfono: 8831595 E-mail : feriva@feriva .com Cali , Colombia
A mi esposa María Nelly, apoyo y aliento para culminar tareas. A mis hijas Liliana y Andrea, esperanza y realidad para construir futuro.
TABLA DE CONTENIDO
LISTA DE FIGURAS
7
INTRODUCCiÓN.
9
1. GENERALIDADES SOBRE INVESTIGACiÓN DE OPERACIONES. 1.1 NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.
1.I.1 Ejemplos.
10 10 13
1.2 REPRESENTACIÓN POR MEDIO DE MODELOS.
14
1.3 EJERCICIOS PROPUESTOS.
15
2. PROGRAMACiÓN LINEAL.
16
2.1 EL CAMPO DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL.
16
2.2 MODELOS MATEMÁTICOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL. 2.2.1 Función lineal.
17
2.3 ESTRUCTURA GENERAL DEL MODELO MATEMÁTICO. 2.3.1 Metodología para obte ner el modelo. 2.3.2 Solución factible. 2.3.3 Solución óptima. 2.3.4 Ejemplos de modelos.
18
2.4 MÉTODO GRÁFICO DE SOLUCIÓN. 2.4.1 Conceptos Matemáticos básicos. 2.4.2 Región de soluciones factibles. 2.4.3 Solución Óptima.
18
19 19
20 20 28 28 29 30
2.5 MÉTODO SIMPLEX. 2.5.1 Forma Matricial del Programa Lineal. 2.5.2 Forma Canónica del Programa Lineal. 2.5.3 Forma básica del Programa Lineal. 2.5.4 Fundamentos Matemáticos del Algoritmo Simplex. 2.5.5 Teoría del método Simplex. 2.5.6 Criterio de optimalidad. 2.5.7 Criterios Primal y Dual Simplex.
40 40
2.6 ALGORITMO SIMPLEX.
41
31 32 32 33
34 35
2.6.1 Tablero inicial Simplex. 2.6.2 Verificación del criterio de optimalidad. 2.6.3 Elemento pivote. 2.6.4 Ejemplos con el Algoritmo Simplex. 2.6.5 Relaciones vectoriales y matriciales. 2.6.6 Definiciones básicas. 2.6.7 Relaciones básicas. 2.6.8 Casos particulares.
42 43 43 43
48 48 49 49
2.7 ANÁLISIS POST-ÓPTIMO O DE SENSIBILIDAD. 2.7.1 Cambios en el vector b. 2.7.2 Cambios en el vector C. 2.7.3 Cambios en los coeficientes tecnológicos Yj' 2.7.4 Ejemplo de problema de producción con pos-optimización.
53 53 54 54 55
2.8 USO DEL COMPUTADOR EN LA PROGRAMACIÓN LINEAL. 2.8.1 El Software Progralineal. 2.8.2 El uso de la herramienta Solver.
60
~.9
67
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
3. PROGRAMACiÓN ENTERA. .\. 1 QUÉ ES LA PROGRAMACION ENTERA.
61
62
73 7.~ 7-1
.'. : I'RINCII'ALES MODELOS. J.2.1 Problema entero (PE). 3.2.2 Problema entero mixto (PEM). 3.2.3 Problema entero cero uno o binario (I'ECU). 3.2.4 Ejemplo de Modelo. 3.2.5 Método de bifurcación y acotación.
78
.'.3 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
91
4. EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE.
'/ -1
75 75
76
94
-1. 1 DEFINICiÓN DEL PROBLEMA DEL TRANSPORTE.
95
·U MODELO DEL PROBLEMA DEL TRANSPORTE.
95 95
4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6
El Problema de decisión. Variables de decisión. Función Objetiva. Rest ricciones. Modelo de Programación Lineal. Particularidad.
-u MÉTODO DE SOLUCiÓN DEL PROBLEMA DEL TRANSPORTE. 4.3.1 Tablero para el Algoritmo de solución. 4.3.2 Solución inicial. 4.3.3 Método de la Esquina Noroeste. 4.3.4 Método sucesivo del menor costo unitario. 4.3.5 Método de aproximación de Vogel.
96 96 96 97 97 98 98
99 99 99 99
4.4 ALGORITMO DEL PROBLEMA DEL TRANSPORTE. 4.4.1 Método de los Multiplicadores. 4.4.2 Método de "salto de piedras". 4.5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
5. EL PROBLEMA DE ASIGNACiÓN
102 102 102 106
109
5.1 MODELO DEL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN. 5.1.1 Problema de decisión. 5. 1.2 Variables de decisión. 5.1.3 Función Objetiva. 5.1.4 Restricciones. 5.1.5 Modelo de Programación Lineal.
109
5.2 MÉTODO DE SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN.
112
5.3 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
118
6. MODELOS DE REDES
109 110 110 III III
119
6.1 TERMINOLOGíA DE REDES.
121
6.2 PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA. 6.2.1 Algoritmo de la ruta más corta. 6.2.2 Otras aplicaciones.
122
6.3 PROBLEMA DEL ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA. 6.3.1 Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima.
123 126
6.4 FLUJOS EN REDES.
129
6.5 PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO. 6.5.1 Variables de decisión. 6.5.2 Restricciones. 6.5.3 Algoritmo de trayectorias de aumentos.
129
6.6 FLUJOS DE COSTO MíNIMO. 6.6.1 Modelo matemático delllujo de costo mínimo. 6.6.2 Solución con Programación Lineal. 6.6.3 Solución Heurística.
137
6.7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
145
7. PROGRAMACiÓN DE PROYECTOS CON PERT-CPM.
12-' 12..
130 131
132 137 141 144
148
7.1 FASES DE PROGRAMACIÓN. 7.1.1 Fase de Planeación. 7.1.2 Fase de Programación. 7.1.3 Fase de Control.
149
7.2 TERMINOLOGÍA EN LOS DIAGRAMAS DE RED.
150
149 150 150
L U IS ALI3E RTO RINCON A I3RIL
7.3 LA RUTA CRÍTICA. 7.3.1 Determinación de la Ruta Crítica. 7.3.2 Identificación de las actividades de la Ruta Crítica 7.3.3 Determinación de las holguras.
154 156 157
7.4 DIAGRAMA DE TIEMPO.
158
7.5 EL ENFOQUE DE TRES TIEMPOS ESTIMADOS DE PERT.
160
7.6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
163
8. MODELOS DE INVENTARIOS
153
166
8.1 TERMINOLOGÍA EN LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
167
8.2 MODELO DETERMINÍSTICO SIMPLE.
168
8.3 MODELO DETERMINÍSTICO CON ENTREGAS RETRASADAS.
172
8.4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
175
9. MODELOS DE ESPERA O TEORíA DE COLAS.
177
9.1 PROCESO BÁSICO DE UNA COLA.
177
9.2 DISCIPLINA DE LA COLA.
179
9.3 TERMINOLOGÍA BÁSICA.
180
9.4 EL PROCESO DE POISSON. 9.4.1 Tiempos entre llegadas, Proceso Poisson.
180
9.5 EL PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE.
182
9.6 MODELOS DE COLAS CON PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE. 9.6.1 Modelo MIM/l. 9.6.2 Modelo M/Mls.
187
9.7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
190
10. MODELOS DE DECISiÓN MARKOVIANOS
18 1
187 189
193
10.1 PROCESOS ESTOCÁSTICOS.
193
10.2 CADENAS DE MARKOV. 10.2.1 Ejemplos de Cadenas de Markov.
194
10.3 ECUACIONES DE CHAPMAN KOLMOGOROV.
197
10.4 CLASIFICACiÓN DE LOS ESTADOS DE UNA CADENA DE MARKOV. 10.4.1 Estado estable de las cadenas de Markov.
198
195
199
10.4.2 Costo promedio esperado por unidad de tiempo. 10.4.3 Estados absorhentes.
201 202
10.5 MODELOS DE DECISiÓN MARKOVIANOS. 10.5.1 Modelo para procesos de decisión Markovianos. 10.5.2 Uso de la Programación Lineal.
207 209
10.6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
214
APÉNDICE A.
204
217
A. ELEMENTOS nÁslcos SOBRE MATRICES Y VECTORES.
217
A.l MATRIZ.
217
A.2 ALGUNAS MATRICES ESPECIALES.
217
A.31GUALDAD DE MATRICES.
219
A.4 OPERACIONES PARA MATRICES.
219
A.5 VECTORES.
220
A.6 DETERMINANTES.
223
A.6 OTRAS MATRICES ESPECIALES.
224
A.7 ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS.
225
A.8 EJERCICIOS PROPUESTOS.
228
BIBLIOGRAFíA
230
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Región de soluciones factibles para las restricciones Rl, R2 Y R3.
30
Figura 2. Esquema del Algoritmo Simplcx.
41
Figura 3. Forma inicial del Tablero Simplex.
42
Figura 4. Hoja de cálculo en Excel para el uso de Solver.
64
Figura
s. Cuadro de diálogo de Solver para resolver el ejemplo.
65
Figura 6. Hoja de cálculo en Excel una vez se aplica Solver.
66
Figura 7. Diagrama de solución IJara el ejemplo.
81
Figura 8. Diagrama de solución para el problema.
88
Figura 9. Representación Gráfica del problema del transporte.
95
Figura lO. Gráfica para el cambio de flujo en el tablero de transporte.
103
Figura 11. Cambio de flujo de unidades del tablero inicial.
104
,,' igura 12. Cambio de flujo de unidades del segundo tablero.
lOS
Figura 13. Sistema de vías para el transporte en autobuses de una ciudad.
120
Figura 14. Posibilidades de construir una red eléctrica entre siete municipios.
127
Figura 14-1. Diseño para construir una red eléctrica entre siete municipios.
128
Figura 15. Red de oleoductos.
130
Figura 16. Solución factible para una Red de flujo máximo propuesta.
132
Figura 17. Red residual para el ejemplo de flujo máximo.
133
Figura 18. Red residual para el ejemplo de flujo máximo.
134
Figura 19. Red residual para el ejemplo de flujo máximo.
134
Figura 20. Red sin trayectorias de aumento para el ejemplo de flujo máximo.
135
Figura 21. Red de distribución de bienes.
140
Figura 22. Hoja de trabajo en EXCEL para el ejemplo de la red de distribución.
141
Figura 23. Cuadro de diálogo de SOLVER en EXCEL.
142
Figura 24. Hoja EXCEL con la solución SOLVER para la red de distribución.
143
Figura 25. Uso de actividades ficticias.
151
Figura 26. Uso dc actividadcs ficticias.
L52
Figura 27. Diagrama de red para el proyecto del traslado de las oficinas.
153
Figura 28. Diagrama de ticmpo para el proyecto de traslado de olicinas.
159
Figura 29. Distribución beta para las tres estimaciones dc tiempo dc PERl'.
162
Figura 30. Modelo Dctcrminístico Simple.
168
Figura 31. Modelo Dctcrminístico Simple con ticmpo de demora.
171
Figura 32. Modelo Determinístico con entregas retrasadas.
173
Figura 33. Modelo Detcrminístico con reabastecimiento uniforme.
176
Figura 34. Proceso básico de Colas.
178
Figura 35. Modelo de Colas.
179
Figura 36. Diagrama de tasas para el proceso de nacimiento y muerte.
185
Figura 37. Diagrama de tasas para el modelo M/M/s.
189
INTRODUCCiÓN.
Con el advenimiento de los computadores se hace posible , de manera diversa, disponer materiales didácticos y de consulta para los estudiantes que cursan las diferentes materias en la Universidad.
Este texto es una de los resultados obtenidos por el autor en la investigación desarrollada para obtener nuevos materiales didácticos en la enseñanza y aprendizaje de la Investigación de Operaciones. La otra parte, es una opción que el lector tiene de acompañar este texto guía y de consulta con el material didáctico usado por el profesor para el desarrollo del curso, copiándolo de Internet en la dirección ftp://www.palmira.unal.edu.co/
En esta misma dirección se
encuentra disponible el software desarrollado por el autor para la solución de programas lineales llamado Progralineal. Así mismo, este material se puede solicitar a la dirección
[email protected] . Tanto el material didáctico como Progralineal , deben ser instalados en el computador que los correrá.
El texto y el material didáctico están divididos en diez secciones que cubren los temas del curso de Investigación de Operaciones para la carrera de Administración de Empresas de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Palmira.
Cada tema se ilustra con suficientes ejemplos y al final de cada sección se proponen ejercicios para que sean resueltos por el lector.
9
1. GENERALIDADES SOBRE INVESTIGACiÓN DE OPERACIONES.
La tendencia moderna de muchas de las componentes de la organización a convertirse en entes autónomos, con sus propias metas, sistemas y valores; perdiendo con esto la visión de cómo encajan sus actividades y objetivos en toda la organización; lo que puede conllevar a las varias componentes de la organización a trabajar con objetivos opuestos. Con el crecimiento, complejidad y especialización que tienen actualmente estas componentes, se ha vuelto más difícil asignar los recursos disponibles de la forma más eficaz a las diferentes actividades de la organización. Este tipo de problemas, unido a la necesidad de conseguir la mejor manera de resolverlos, crearon el ambiente adecuado para la Investigación de Operaciones. Su aparición se remonta a muchas décadas, cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la administración de empresas; sin embargo su aparición siempre se atribuye a los servicios militares prestados a la segunda guerra mundial, pues debido a los esfuerzos bélicos existía la necesidad de asignar recursos escasos a las distintas operaciones militares en la forma más efectiva, por eso la cúpula militar americana e inglesa hizo un llamado a los científicos para que diseñaran técnicas operativas para problemas estratégicos y tácticos. Al terminar la guerra, el éxito de la Investigación de Operaciones generó un gran interés en examinar las aplicaciones fuera del campo militar. En el desarrollo de la Investigación de Operaciones también jugaron papel importante el mejoramiento disponible en las técnicas de esta área y el advenimiento de la revolución de los computadores .
1.1 NATURALEZA DE LA INVESTIGACiÓN DE OPERACIONES.
La Investigación de Operaciones consiste en un Conjunto de técnicas matemáticas para determinar el curso de acción óptimo de un problema de decisión con la
10
INVESTIGACION DE OPERAC IONES PARA I NGEN IER IAS y ADM IN ISTRACION DE EMPRESAS
restricción de recursos limitados. Pero también puede verse como el enfoque científico interdisciplinario para resolver problemas de interacción compleja, dinámica
y sujetiva de hombres, métodos y sistemas, a los cuales en algunos casos no se les proporciona solución exacta por medio de las matemáticas. Estos problemas generalmente se caracterizan por la necesidad de asignar recursos limitados y obtener soluciones óptimas de acuerdo con algún objeto.
En síntesis la Investigación de Operaciones utiliza como recurso primario, modelos matemáticos para cuantificar y acotar los problemas dentro de un marco de restricciones , medidas, objetivos y variables, de tal manera que se obtengan controles óptimos de operación, decisiones, niveles y soluciones. El procedimiento consiste en la construcción de un modelo de decisión y posteriormente encontrar su solución con el objeto de determinar la decisión óptima.
Entre las técnicas de Investigación Operativa más usadas se pueden señalar: Modelos de flujos, Programación Pert-Cpm, Teoría de Colas, Teoría de Inventarios, Teoría de Juegos, Cadenas de Markov, Programación Entera, Programación No Lineal, Programación Lineal, Programación Dinámica, Simulación.
Como técnica para la solución de problemas, la Investigación de Operaciones debe verse como ciencia y arte. El aspecto de la ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos matemáticos para encontrar decisiones adecuadas. Es un arte debido al éxito que se alcanza en todas las fases anteriores y posteriores a la solución del modelo matemático, depende en forma considerable de la habilidad y creatividad de los analistas encargados de tomar decisiones.
En la mayoría de las aplicaciones de Investigación Operativa, se supone que el objeto y las limitaciones del proceso pueden ser expresadas en forma matemática como funciones de las alternativas de decisión (variables de decisión); en este caso se trata con un modelo matemático. Sin embargo, pese a los avances en modelos
11
LU IS ALBERTO RINCON ABR IL
matemáticos, un número grande de situaciones reales siguen estando fuera del alcance de las técnicas matemáticas actuales; esto porque el sistema puede tener demasiadas relaciones, variables, para hacer una representación matemática "adecuada". De otra parte, aunque se pueda formular un modelo matemático, este puede ser demasiado complejo para resolverlo.
Un enfoque diferente a la
representación por modelos matemáticos, consiste en usar la simulación, la cual difiere de los modelos matemáticos en que las relaciones de entrada y salida no se indican en forma explícita, pues el modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos que después se enlazan mediante relaciones lógicas bien definidas. Así pues, en la Investigación de Operaciones existen dos tipos de cálculos diferentes: aquellos en que interviene la simulación y los que tienen que ver con modelos matemáticos.
Las etapas esenciales en el uso de cualquiera de las anteriores técnicas son las siguientes:
- Análisis y formulación del problema - Desarrollo de un modelo matemático que representa el problema. - Derivación de una solución del problema. - Prueba del modelo y de la solución derivada. - Establecimiento de controles sobre la solución. - Implementación de la solución .
Aunque la secuencia anterior de ninguna manera es estándar, generalmente es aceptable . Excepto para la "solución del problema", la cual está basada normalmente en técnicas bien desarrolladas. Esto aparece porque los procedimientos dependen del tipo de problema en investigación y el ámbito de operación en el cual existe.
El análisis de sistemas y la Investigación de Operaciones ayudan al ente encargado de tomar decisiones a través de la labor desarrollada, en aquellas áreas problema que
12
INVEST l t'.\C ION DE O I'ER,\C IONES I',\ R,\ I N(;[N IERI ,\ S y
, \ I) ~ II N I S ' I
R,\C ION DE
E~ II'RE S ,\S
pueden resultar en medidas cuantitativas y teorías afines. Uno de los principios básicos del análisis de sistemas y de la Investigación de Operaciones consiste en que el trabajo debe realizarse en íntima colaboración con las personas que conocen a fondo las particularidades del problema y del sistema y es de especial utilidad cuando existe la necesidad de emplear eficazmente los recursos escasos.
1.1.1 Ejemplos.
a) Debe decidirse cuántas toneladas de acero puro y chatarra se deben utilizar en la preparación de una aleación para un cliente ; si el costo por Ton es de $ US 600 para el acero y $ US 300 para la chatarra. El cliente requiere mínimo 50 toneladas de la aleación . La empresa dispone de 70 y 40 Ton de acero y chatarra. La relación entre la chatarra y el acero no pueden superar los 7/8. La compañía dispone de 120 horas para este trabajo. Derretir y fundir una Ton de acero exige 2 horas y la chatarra 3 horas. b) Se disponen 100 máquinas con capacidad para manufacturar dos productos A y B. La cantidad A que se produce en una semana se vende con una utilidad de 3 Millones de pesos, mientras que la cantidad B que se produce en una semana se vende con una utilidad de 5 Millones de pesos. Sin embargo, después de una semana de operación , el 30% de las máquinas dedicadas a producir A se acaban sin posibilidad de reparación; igual sucede con el 60% de las máquinas que trabajaron para B. Para un horizonte de tres semanas , cómo se deben asignar las máquinas para maximizar utilidades? c) Una compañía se abastece de una materia prima que se consume a razón de 50 Ton/día. Cada que se hace un pedido, la compañía tiene un costo de $ US 2500 y un inventario unitario mantenido en existencia por una semana costará $ US 70. Determinar el número óptimo de pedidos que debe hacer la compañía cada año, si tiene la política de no admitir faltantes en la demanda?
13
L U IS A L BE RTO RI NCON AB RIL
d) Por aumento en las ventas, una procesadora requiere mayor espacio de bodegas. Una solución alternativa considera la compra de un depósito a 10 Km de la fábrica, para almacenar los productos terminados. Este plan requiere el traslado del producto terminado desde la planta hasta el depósito. La gerencia debe determinar el número óptimo de camiones que serán alquilados o comprados . Equivale esto, a estimar:
•
La cantidad media de bienes terminados que permanecen sin moverse diariamente y el promedio medio de los camiones que permanecen sin utilizar, para diferentes suposiciones de número de camiones.
•
Por lo tanto, la solución exige una simulación de producción y transporte con base en el conocimiento histórico de la cantidad producida y el análisis de la cantidad que puede ser trasladada por día.
1.2 REPRESENTACiÓN POR MEDIO DE MODELOS.
Un modelo es la representación simplificada de la realidad que permite explorar, bajo un variado número de condiciones, un rango de posibles respuestas del sistema, sin tener que construirlo o alterarlo. De acuerdo con su estructura, se pueden construir modelos leónicas, Analógicos y Simbólicos.
La construcción y desarrollo de un modelo representa el paso decisivo en el uso de la Investigación de Operaciones y de cualquier proceso sistemático de toma de decisiones. En consecuencia, una solución a un modelo, a pesar de que sea exacta, no será útil a menos que el modelo mismo sea una representación adecuada de la realidad.
En la mayoría de las aplicaciones de Investigación de Operaciones , el objetivo y las limitaciones del modelo se pueden expresar como funciones matemáticas de las
14
I NYESTIGAC ION DE OPERAC IONES PARA I NGEN I ER I /\S y ADM IN ISTR ACION DE EMPRESAS
variables de decisión ; por lo tanto se trata de modelos matemáticos. Sin embargo, un número apreciable de situaciones reales sigue estando fuera del alcance de las técnicas matemáticas por que el sistema real tiene demasiadas relaciones y variables o a pesar de que se pueda formular un modelo matemático, resulta demasiado complejo resolverlo mediante los métodos de solución disponibles; en estos casos se recurre a los modelos de simulación. Estos difieren de los primeros porque las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita.
Aunque se dispongan modelos refinados y exactos, pueden resultar poco prácticos cuando no se disponen datos confiables . En algunos casos se conocen con certeza los datos, pero en otros se determinan mediante distribuciones de probabilidad , dando origen a los modelos estocásticos que contrastan con los modelos determinísticos. Los cálculos para los modelos de simulación exigen el uso del computador, pues son casi siempre voluminosos y consumen mucho tiempo, pero se tiene la seguridad de obtener los resultados buscados. Los cálculos para los modelos matemáticos de
10 son normalmente Iterativos, pero no se disponen algoritmos para todos los
problemas; en estos casos, se recurre a métodos Heurísticos.
1.3 EJERCICIOS PROPUESTOS.
1.3.1 Defina y presente ejemplos de los modelos leónicas , Analógicos y Simbólicos. 1.3.2 Defina y presente ejemplos de los modelos estocásticos y determinísticos. 1.3.3 Interprete, analice y proponga algún ejemplo para la siguiente aseveración. "Aquellas situaciones administrativas para las que no existen modelos, resultan difíciles".
15
2. PROGRAMACiÓN LINEAL.
Básicamente , no es otra cosa que el estudio matemático , de cierta clase de optimización
que se aplica siempre que los hechos de una situación económica
cumplen con la suficiente aproximación los postulados matemáticos del método.
En sentido matemático, la programación lineal estudia la optimización de una función lineal sujeta a desigualdades lineales. Por tanto , difiere del tipo de optimización tratado en el cálculo diferencial en tres aspectos:
•
Se ocupa de la optimización en sentido amplio.
•
Considera desigualdades restrictivas en vez de igualdades.
•
Las restricciones son lineales y no de otra forma más general.
Las dos primeras diferencias convierten la programación lineal en un instrumento más general y más eficaz que la optimización ordinaria , pero la otra limita su campo de aplicación , por lo menos con el desarrollo matemático que actualmente se tiene .
2.1 EL CAMPO DE LA PROGRAMACiÓN LINEAL.
Una de las técnicas de la Investigación de Operaciones de gran utilidad en la solución óptima de problemas es la Programación Lineal.
16
IN\ I S-II G\C!ON Dr: Ol'rlU( ' IO NES I',\RA I NGEN I ER I,\ S y
,\D~I I N I S -II {'\C I() N
DC
UIPRE~AS
El problema general de Programación Lineal fue desarrollado y aplicado por primera vez en 1947, cuando George B. Dantzing, Marshall Wood y sus investigadores asociados del Departamento de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos, fueron encargados de investigar la posibilidad de aplicar técnicas matemáticas a la programación militar y a los problemas de planeación. Dantzing propuso entonces el modelo que dio origen a la Programación Lineal: "Las interrelaciones entre las actividades de una organización , fuesen vistas como un modelo lineal y el programa de optimización fuese determinado minimizando una función lineal objetiva". Aunque este enunciado matemático inicial del problema general de Programación Lineal , lo desarrolló Dantzing a través del Método Símplex, casi en forma inmediata se comenzaron a reconocer los problemas que mediante este modelo admitían solución y que aún estaban sin resolver; entre ellos vale la pena destacar el Problema del
Transporte presentado por Hitchock y Koopmans y el problema del diseño de raciones presentado por Stigler.
El avance del uso de la programación lineal ha permitido desarrollar aplicaciones en casi todas las áreas del campo tecnológico. La industria , el comercio , la construcción, el transporte , la agricultura, resultan las más beneficiadas.
2.2 MODELOS MATEMÁTICOS DE PROGRAMACiÓN LINEAL.
Conforme a lo expuesto en la sección anterior se puede decir que la programación linea l se ocupa del estudio de la optimización (maximizar o minimizar) de una func ión lineal de varias variables , la cual está sujeta por un conjunto de inecu aci ones lineales de varias variables . A la función que se debe optimizar se le llama Func ión Objetiva , mientras que a las inecuaciones se les llama Restricciones o Li mitaci ones.
J7
LU IS ALI3ERTO R INCON AI3RIL
2.2.1 Función lineal.
La función
F(Xj )
en las variables X 1, X2, X 3,.... .... ,X n; es lineal , si puede ser
expresada como: F(Xj ) = a1X1 + a2X2 + a3X3 + ........ + anX n Las siguientes expresiones son lineales:
2.3 ESTRUCTURA GENERAL DEL MODELO MATEMÁTICO.
De acuerdo con lo expuesto en el numeral anterior, el modelo matemático de programación lineal debe expresarse como:
Opt(Z)
= C1X1
+ C2X2 + C3X3+ .... .... ...+cnXn
Sujeto a las restricciones: a11 X1+ a1 2X2 + a1 3X3 + ..... ....... + a1nXn S b 1 a21 X1+ a 22 X2 + a23X3 + .. .. .... ....+ a2nXn S b2 a31X1+ a32X2 + a33X 3 + .. .. .. ... .. .+ a3nX n S b 3
y la condición de no negatividad : X>O J-
para todo j = 1, 2, 3,.. .... ,n
En donde:
Xj
:
Variable de decisión asociada con cada actividad j-ésima U=1 ,2,3,... .n) .
18
INVESTI GAC IO N DE O PE RAC ION ES PA R A I NGEN IERI AS y A DMI N ISTR AC ION DE EMPR ESAS
c¡: Coeficiente de efectividad por unidad para la actividad j-ésima U=1,2,... ,n). b¡: Cantidad limitante del recurso i-ésimo (i=1 ,2,3, .. .m). a¡¡ :
Cantidad de recurso i-ésimo por unidad de actividad j-ésima. Normalmente reciben el nombre de coeficientes tecnológicos.
Z:
Cuantifica la función objeto seleccionada.
2.3.1 Metodología para obtener el modelo.
Aunque existen varias técnicas para lograr el modelo matemático de cada problema en particular, se recomienda la siguiente para llegar al propósito.
1. Analizar el problema de decisión. Describir la estructura de los valores que el modelo debe calcular, junto con las limitaciones y el objeto esencial. 2. Describir las variables de decisión. Valores o respuestas que optimizan la función objetiva y que se calcularán mediante la solución del modelo matemático. 3. Establecer la Función Objetiva. Esto es, construir el modelo que cuantifica el objetivo del problema y definir el tipo de optimización. 4. Establecer las limitaciones. Determinar aquellos items (recursos, subprocesos) que resultan ser limitantes en el proceso para el que se elabora el modelo y construir las expresiones que los cuantifican.
2.3.2 Solución factible.
Es cualquier conjunto de valores positivos para las variables: X 1, X2 , X3 , ... . .... ,X n ; que cumple cada una y todas las restricciones del modelo matemático de programación Lineal. En caso contrario, es decir, no cumplen la condición de no negatividad o algunas de las restricciones, se define como no factible.
19
L U IS ,\ U 3E RTO RI NCON ,\BR IL
2.3.3 Solución óptima.
Es el conjunto de valores para las variables: X" X2 , X3 , ....... . ,Xn ; que satisfacen el criterio de factibilidad y optimizan la función objetiva del modelo matenlático de
programación Lineal.
Se observará posteriormente que la metodología de búsqueda de la solución óptima se basa en el análisis matemático del conjunto de soluciones factibles para el programa lineal.
2.3.4 Ejemplos de modelos.
En todos los casos se deja al lector el análisis de la linealidad de los problemas propuestos.
Ejemplo 1. Una procesadora de carnes produce 2 tipos de salchichas : I y 11; las
cuales generan una utilidad de 400000 y 500000 $fTon , respectivamente. Una Ton de salchicha I la obtiene mezclando 0.5 Ton de carne A, 0.3 Ton de carne B y 0.2 Ton entre harina y otros . Una Ton de salchicha II la obtiene mezclando 0.4 Ton de carne A, 0.4 Ton de carne B y 0.2 Ton entre harina y otros . Tiene capacidad semanal de adquirir hasta 80 Ton de carne A, 60 Ton de carne B. y 40 Ton entre harina y otros. Presente un modelo matemático que permita planear la producción.
El Problema de decisión. Consiste en calcular las Ton/sem a producir de cada
tipo de salchicha , atendiendo las limitaciones de materia prima para obtener utilidades máximas .
20
INVEST IG¡\C ION DE OPERAC IO NES P;\RA INGEN IER I ,\S y
;\D~1INISTRACION
DE H IPR ES /\S
Variables de decisión.
X 1 : Ton/sem a producir de salchicha tipo 1. X2 : Ton/sem a producir de salchicha tipo 11 .
Función Objetiva. La función objetiva cuantifica el objeto del problema , obtener utilidades máximas.
Max(U)
= 400000X 1 + 500000X 2
Restricciones.
La carne A que se usará debe ser ::::: 80 Ton/sem 0.5X 1 + 0.4X 2
:::::
80
La carne B que se usará debe ser ::::: 60 Ton/sem 0.3X 1 + 0.4X 2
:::::
60
La harina y otros que se usarán debe ser ::::: 40 Ton/sem 0.2X 1 + 0.2X 2
:::::
40
Modelo Matemático de Programación Lineal.
Función Objetiva:
Max(U)
= 400000X 1 + 500000X 2
Sujeto a las restricciones: 0.5X 1 + 0.4X 2
:::::
80
0.3X 1 + 0.4X 2
:::::
60
0.2X 1 + 0.2X 2
:::::
40
X1 , X2
~
O
Ejemplo 2. Para el ejemplo anterior verificar si cada una de las siguientes alternativas es Solución Factible .
21
L U I S 1\l.Ilr.RTO RI NCON ,\I1R II .
Alternativa Propuesta 1
2 3 4 5 6
Producción de salchichas Tipo I Tipo 11 Ton/sem Ton/sem
O
O
40 70 90 80 90
60 80 90 90 80
ALTERNATIVA 1. Con los valores para las variables de decisión , X 1
= O Y X2 = O,
equivale a no producir. Al reemplazar estos valores en las restricciones , verifica a cada una de ellas; por tanto se trata de una solución factible para el problema.
ALTERNATIVA 2. Valores para las variables de decisión , X 1
= 40
Y X2
= 60.
Al
reemplazarlos en las restricciones , verifica a cada una de ellas; por tanto se trata de una solución factible para el problema. Con estos valores la función objetiva toma el valor U
= 46000000,
que define para esta alternativa , la utilidad a obtener
en $/sem. Analizando la primera restricción , se observa que de las 80 Ton/sem de carne A disponibles só lo se usarían 44, es decir, se tendría un excedente (holgura) de 36 Ton/sem de carne A. Igualmente se tienen excedentes (holguras) de 24 Ton/sem de carne By 20 Ton/sem de harinas.
ALTERNATIVA 3. Valores para las variables de decisión. X 1
= 70 y X2 = 80. Estos
valores verifican cada una de las restricciones , por tanto es una Solución factible para el problema. Con estos valores la función objetiva toma el valor U
= 68000000
$/sem. Analizando la primera restricción , se observa que de las 80 Ton/sem de carne A disponibles sólo se usarían 67 , es decir, se tendría un excedente (holgura) de 13 Ton/sem de carne A. Igualmente se tienen excedentes (holguras) de 7 Ton/sem de carne By 10 Ton/sem de harinas.
22
INVEST Il,AC ION DE OPE RAC IONES PA RA ING EN IERI AS y ADM IN ISTR AC ION DE EMPRESAS
ALTERNATIVA 4. Valores para las variables de decisión (por los excedentes calculados en la alternativa 3), X 1 restricciones,
= 90
Y X2
= 90.
No verifican las dos primeras
por tanto se trata de una solución no factible para el problema.
Significa que esta empresa no puede producir bajo esta alternativa con las materias primas disponibles.
Ejemplo 3. Desarrollar un modelo matemático para decidir cuántas toneladas de acero puro y chatarra se deben utilizar en la preparación de una aleación para un cliente; si el costo por Ton es de $ US 600 para el acero y $ US 300 para la chatarra. El cliente requiere mínimo 50 toneladas de la aleación. La empresa dispone de 70 y 40 Ton de acero y chatarra. La relación entre la chatarra y el acero no pueden superar los 7/8. La compañía dispone de 120 horas para este trabajo. Derretir y fundir una Ton de acero exige 2 horas y la chatarra 3 horas.
El Problema de decisión . Consiste en calcular las Ton de acero y chatarra que se usarán en la producción de la aleación, atendiendo las limitaciones de materia prima, tiempo y tipo de aleación para obtenerla a un costo mínimo.
Variables de decisión.
X1 : Ton de acero a mezclar. X2 : Ton de chatarra a mezclar.
Función Objetiva. La función objetiva cuantifica el costo total de la aleación .
Min(C)
= 600X 1 + 300X 2
Restricciones.
De la aleación , el cliente requiere
~
50 ton
23
I.lIIS ,\ 1 B !. RTO RINCON ,\I3RIL
X1 + X2 2 50 De acero se mezclarán ::; 70 Ton
X1
::;
70
De chatarra se mezclarán ::; 40 Ton
X2
::;
40
El tiempo para la producción ::; 120 horas 2X 1 + 3X 2
::;
120
La relación chatarra/acero ::; 7/8 7X 1 - 8X 2 2 O
Modelo Matemático de Programación Lineal.
Función Objetiva : Min(C)
= 600X 1 + 300X 2
Sujeto a las restricciones: X 1 + X 2 2 50 X 1 ::; 70 X2 ::; 40 2X 1 + 3X 2 ::; 120 7X 1 - 8X 2 2 O
Ejemplo 4. FRUCONS compra 3 clases de tomates: A, B, C para producir SALSA
DE TOMATE. Por calidad la salsa debe contener al menos el doble del tomate clase A que B y al menos la misma cantidad de B que C. Sus proovedores de materia prima (tomate) suministran hasta 24 , 15 Y 12 Ton/semana de tomate clase A, By C; las cuales la compañía paga a 120000, 90000 Y 72000 $fTon de contado , habiendo presupuestado para ello $7200000 semanalmente . El proceso es tal que 20% del tomate clase A, 30% del tomate clase B y 40% del tomate clase C se
24
INVEST IGAC ION DE OPERAC IONES PARA I NGEN I ER I AS y ,\DM IN IST RAC ION D E EMPRESAS
convierte en salsa de tomate. Cómo se puede lograr el mayor rendimiento en la producción ?
El Problema de decisión. Consiste en calcular las Ton de cada clase de tomate que se usarán en la producción de la salsa , atendiendo las limitaciones de calidad , materia prim a y costo para generar rendimiento máximo.
Variables de decisión.
X 1 : Ton/semana de tomate A.
X2 : Ton/semana de tomate B. X3 : Ton/semana de tomate C.
Función Objetiva . La función objetiva cuantifica el rendimiento en la producción .
Max(R) = O.2X 1 + O.3X 2 + 0.4X 3
Restricciones.
Cantidad de tomate A X 1 - 2X2
~
-
X3
~
Doble de la cantidad de tomate B
~
Cantidad de tomate C
O
Cantidad de tomate B X2
~
O
Cantidad de tomate A ::; 24 Ton X1
::;
24
Cantidad de tomate B ::; 15 Ton X2
::;
15
Cantidad de tomate C ::; 12 Ton X3
::;
12
2S
LUIS ALBERTO RINCON ABR IL
El Costo total
~
$ 7200000
12000X 1 + 90000X 2 + 72000X 3
7200000
~
Modelo Matemático de Programación Lineal. Función Objetiva:
Max(R)
= 0.2X 1 + 0.3X 2 + 0.4X 3
Sujeto a las restricciones: X 1 - 2X 2 :2 O
X2 - X3 :2 O
X1
~
24
X2
~
15
X3
~
12
12000X 1 + 90000X 2 + 72000X 3
Xj
~
7200000
:2 O
Ejemplo 5. Una industria productora de muebles fabrica mesas, sillas , escritorios y libreros utilizando dos tipos diferentes de maderas A y B; de las cuales dispone de 3600 y 2000 pies 2 respectivamente.
Cada mesa, silla, escritorio y librero
requieren 5,1,9 Y 12 pies 2 de madera tipo A y 2, 3, 4 Y 3 pies 2 de madera tipo B. Cuenta con 1200 horas hombre para este trabajo . Para la fabricación una mesa requiere 3 horas hombre, una silla 2, un escritorio 5 y un librero 10. Los pedidos le exigen una producción mínima de 40 mesas , 130 sillas, 30 escritorios y no más de 10 libreros. Las utilidades se estiman en
$18000 por mesa, $ 7500 por silla,
$22500 por escritorios y $27000 por librero. Cuántos muebles de cada tipo debe producir para obtener las mayores utilidades?
El Problema de decisión . Consiste en calcular el número de unidades de cada tipo de mueble que debe fabricarse , atendiendo las limitaciones de materia prima, mercadeo y capacidad de planta para obtener utilidades máximas.
26
IN\TS'II(; ,\C!ON DE OPER ,\CIONES PARA INCEN IERI AS y
, \I)~I I N I STR /\CION
DE
E~ IP RES . \S
Variables de decisión.
X, : Número de mesas. X2 : Número de sillas, X 3 : Número de escritorios, X4
:
Número de libreros.
Función Objetiva . La función objetiva cuantifica las utilidades generadas en la producción de los muebles.
Max(U) = 18000X, + 7500X 2 + 22500X 3 + 27000X 4
Restricciones.
:s:
La cantidad de madera A 5X, + X2 + 9X 3 + 12X4
:s:
3600
:s:
La cantidad de madera B 2X, + 3X 2 + 4X 3 + 3X 4
:s:
3600 pies 2
2000
:s:
El tiempo para el trabajo 3X, + 2X 2 + 5X 3 + 10X 4
3600 pies 2
:s:
1200 horas 1200
La producción de mesas :c: 40
X, :c: 40 La producción de sillas :c: 130 X2 :c: 130 La producción de escritorios :c: 30
X3 :c: 30 La producción de libreros X4
:s:
:s:
10
10
27
LU IS ALBERTO RINCON ABR I L
Modelo Matemático de Programación Lineal.
Función Objetiva :
Max(U)
= 18000X l + 7500X 2 + 22500X 3 + 27000X4
Sujeto a las restricciones: 5X l + X2 + 9X 3 + 12X 4 ::; 3600 2X l + 3X 2 + 4X 3 + 3X 4 ::; 2000 3X l + 2X 2 + 5X 3 + 10X4 ::; 1200 Xl
~
40
X2
~
130
X3
~
30
X4 ::; 10 Xj
~
O
2.4 MÉTODO GRAFICO DE SOLUCiÓN.
Procedimiento para encontrar solución a un Programa Lineal que considera únicamente dos variables de decisión. El método está basado en la graficación en el plano cartesiano Xl vs X2 del conjunto de puntos factibles para el modelo propuesto y en la selección del punto que optimiza entre todos los factibles.
2.4.1 Conceptos Matemáticos básicos.
Para la presentación del método es importante reconocer los siguientes conceptos conocidos por el lector:
28
INVEST IGAC ION DE OPERAC I ONES P;\I
AD~ II N I STRAC I ON
DE EM PRESAS
1. AX, + BX 2 = e, correponde a la ecuación de una recta y divide el plano cartesiano X, vs X2 en dos semiplanos. La recta hace parte de ambos semiplanos.
= e,
son
solución únicamente de una de las dos siguientes restricciones: AX, + BX 2 S
eó
2. Todos los puntos de cada semiplano divididos por la recta AX 1 + BX 2 AX, + BX2
::::
c.
3. De tal manera que si un punto (X, ,X 2 ) es solución de una de las anteriores restricciones, entonces todos los puntos del semiplano en que está el punto también son solución y este semiplano es la solución gráfica a la restricción. 4. La solución gráfica (soluciones factibes) a un conjunto de restricciones es la intersección de las soluciones individuales a cada restricción. 5. La condición de no negatividad Xi > O para j
= 1,2,.. ,
limita la región al primer
cuadrante del plano cartesiano.
2.4.2 Región de soluciones factibles.
La conforman todos los puntos que cumplen la condición de no negatividad y verifican a cada una de las restricciones. Por lo tanto la forma de encontrarla consiste en la aplicación de los conceptos del párrafo anterior.
Ejemplo de solución factible gráfica. Aplicando los conceptos de la sección 2.4 .1,
la región solución para el siguiente conjunto de restricciones se tiene en la figura 1.
2X,+3X 2 ::; 12 R1 3X, + 2X 2
::;
X, + X2 ;c:
12 R2 2
R3
XI ;c: O para j
= 1,2
El gráfico se obtiene trazando las rectas correspondientes a las restricciones R1, R2,
R3 Y ubicando el semiplano solución para cada una de ellas.
29
L U I S I\ L J3ERTO I{ INCON ABR Il.
Figura 1. Región de soluciones factibles para las restricciones R1 , R2 Y R3 .
2.4.3 Solución Óptima .
Uno de los teoremas que se presentará para el método Simplex , considera que la solución óptima al Programa Lineal coincide con uno de los puntos extremos del conjunto de soluciones factibles ; por tanto en los programas de dos variables de decisión , será necesariamente uno de los vértices de la región solución. Así pues, para encontrar la solución óptima basta reemplazar cada uno de los vértices en la función objetiva y observar cuál genera el mayor valor en el caso de maximizar o cuál el menor valor en el caso de minimizar.
30
INVEST IG /\C ION DE OPER /\ClONr.S I',\R ,\ INGEN IER I AS y
r\D~ II N I STR ,\C I ON
Ejemplo 1. Supóngase que la función objetiva Max(l )
= 4X l
DE H I PRES¡\S
+ 3X 2 está sujeta al
conjunto de restricciones cuya solución gráfica es la mostrada en la figura 1.
En este caso los vértices A, B, C , O se pueden leer directamente, pero el vé rt ice E habrá que calcularlo como la intersección de las rectas para R 1 Y R2, esto es resolver el sistema de ecuaciones:
El cual tiene solución para Xl
2X l + 3X 2
= 12
3X l + 2X 2
= 12
= 2.4
Y X2
= 2.4.
Con esto los vértices de la región
están determinados y son: A = (0 ,4) , B = (0 ,2) , C = (2,0) , 0 = (4,0) Y E = (2.4 ,2 .4). Se tendrá entonces que: l A = 12 , l B = 6 , l c = 8 , l o = 16 Y lE = 16.8. Así que Max(Z)
=16.8, que se obtiene para X1 =2.4 Y X2 =2.4.
Ejemplo 2. Suponiendo la función objetiva Min(l)
= 4X l + X2 ,
está sujeta al conjunto
de restricciones cuya solución gráfica es la mostrada en la figura 1.
Con la información de l ejercicio anterior se tiene que l A = 4, l B = 2 , l c = 8 , l o = 16 Y ZE
= 12. Así que Min(Z) = 2 Y se obtiene para X1 = O Y X2 = 2.
2.5 MÉTODO SIMPLEX.
Procedimiento algorítmico para encon trar la solución ópti ma de un Programa Li neal. En el método gráfico se vio que la solución óptima está asociada siem pre con un punto extremo del espacio de soluciones.
El método Simplex está basado
fundamentalmente en este concepto, pues iterativamente co mienza en un pun to extremo , normalmente el origen , y se desplaza sistemáticamente de un punto extremo a otro hasta encon trar la solución óptima .
31
LU IS 1\ Ll3E RTO RINCO
ABRIL
2.5.1 Forma Matricial del Programa Lineal.
Si para el modelo matemático general de programación lineal que aparece en el apartado 2.3, se definen las siguientes matrices y vectores:
A
0 11
{l1 2
{I I ~ .. .. . . . . ..
0 1/1
{/ 2 1
{I n
{I 23 ..........
O 2 /1
{/ 3 1
0 32
A .1.) " ....... . ..
(l , ."1
. . . .... . . . . . .. .
0 /1/ 1
X
XI
b,
X2
bo
= X -',
b = b,
X II
bJl
(l /1/3 ••••••••••
{I /l/2
e - (c -
I
Co
{I
Jll 1
C,.,
cJ
Entonces éste se podrá expresar matricial mente como:
= ex sujeto a: AX :s b Opt(Z)
x>o 2.5.2 Forma canónica del Programa Lineal.
Consiste en escribir el modelo con la Función objetiva para maximizar y todas las restricciones de la forma S, esto es:
Max(Z) Sujeto a:
= ex
AX
32
<
b
INVESTIGACION DE OPERAC IONES PARA INGEN I ER IAS y ADM IN ISTRAC ION DE EMPRESAS
x
> O
Cualquier otra forma equivale a ésta , bajo lo siguientes criterios:
•
Minimizar CX , equivale a Maximizar -CX .
•
La desigualdad La¡jX j ~ b¡ equivale a L-a¡jX j ::; -b¡
2.5.3 Forma básica del Programa Lineal.
Consiste en escribir el modelo bajo las normas siguientes:
z - ex = o AX + X H
X
~
=b
o
Siendo XH , una matriz de variables de holgura; el cual se obtiene al introducir en cada restricción de la forma canónica , una variable de holgura que cuantificará la diferencia entre los lados de la desigualdad.
Ejemplo: El siguiente programa lineal tiene solución óptima para X 1
= 4, X2 = O.
construirá la forma básica y se explicará el valor de las variables de holgura.
Max(Z) = 4X 1 + X2
X1 + X2
R1 :
<4
X1 + 2X 2 ~ 6
R2 :
Xi 2: O
para j = 1,2
La forma básica para el anterior modelo será:
Z - 4X 1 R1:
R2:
-
X2
=O
X 1 + X2 + X 3 = 4
X1 + 2X 2 + X4
33
=6
Se
1.1 li S ,\'-BERTO RINCON ABR IL
XI .=::O
para j
= 1,2,3,4
Como Xl = 4, X2 = O; entonces necesariamente X3 = O, X4 = 2. Significa entonces , que el recu rso 4 unidades de la restricción R1 será usado en su tota lidad , mien tras que sobrarán 2 unidades del recurso 6 unidades de la restricción R2.
2.5.4 Fundamentos Matemáticos del Algoritmo Simplex.
La fundamentación matemática del Algoritmo Simplex requiere de conceptos rigurosos del algebra lineal , tema que está más allá del alcance de este libro, por ello algunos de los teoremas que en este apartado se presentarán se dejarán sin demostrar pero el lector, si así lo desea, puede consu ltar en el texto de TAHA 1 .
2.5.4.1 Solución básica factible. Una solución básica factible al programa lineal de la forma básica con m restricc iones y n+m variables (n de decisión y m de holgura) es aquella con no más de m componentes positivas que satisface cada una de las restricciones .
TEOREMA 1: El conjunto de todas las soluciones factib les de un programa li neal es convexo.
Demostración : Sea Max(Z)
= CX , sujeto a AX = B, X.=:: O. Si
factibles , entonces: AXa = B, Xa'=:: O y
Xa y Xb son 2 soluciones
AXb = B, Xb .=:: O.
Definiendo una combinación convexa entre Xa y Xb como Xc = I1X a + (1 - I1)X b , co n OSI1S1 y premultiplicando por la matriz A, se obtiene:
AXc = I1 AXa + (1 - p) AXb , esto es: AXc = I1B + (1 - I1)B
I
TAHA H., In vestigación de Operaciones. Ed . Alfaomega. 199 1.
34
IN\'EST IU ,\C ION DE O PER,\C IONES P¡\ R¡\ I N(iEN IERI ,\S y ¡\mdI N ISTR ¡\C ION DE EMPR ESAS
Entonces AX c
= B, que muestra que cualquier combinación convexa entre soluciones
da otra solución .
TEOREMA 2: La función objetiva alcanza su máximo en un punto extremo del
conjunto convexo generado por las soluciones básicas factibles . El análisis de esta demostración se deja al lector
TEOREMA 3: Si la función objetiva alcanza su máximo en más de un punto extremo,
entonces será máxima para cualquier combinación convexa de dos de estos puntos extremos.
Demostración: Si Xp y Xq son 2 soluciones óptimas tales que Z(X p)
= Z(X q ) ~ Z(X k) ;
siendo Xk cualquiera de las demás soluciones factibles. Con base en el teorema 1, se genera una nueva solución como la combinación convexa de las anteriores:
x, = )..lX p + (1
- )..l)X q ,con O S )..l S 1, entonces
Z(X,)
= Z()..lX p + (1
Como esta función es lineal se obtiene Z(X,)
- )..l)X q )
= )..lZ(X p )
+ (1 - )..l)Z(X q ), reemplazando
Z(X q ) , se obtiene Z(X,) = )..lZ(X p ) + (1 - )..l)Z(X p) , esto es, Z(X,) = Z(X p)
, 2.5.5 Teoría del método Simplex.
Considerando el programa lineal en su forma básica, éste puede ser escrito como:
Z-
ex = o
(A I)X = b
X>O
3S
LU IS ALBE RTO RI NCON ABR IL
Donde X es el vector columna de variables de Decisión y Holgura y (A 1)
=S, es una
matriz conformada por la matriz A de coeficientes tecnológicos e I la matriz idéntica. Si el programa original es de n variables y m restricciones , entonces la matriz S es de orden m x n+m . Se denota a las columnas de S por a1 , a2, .... ,a n . Esta matriz S se considera partida en dos matrices: una B con m vectores independientes y otra N con n vectores dependientes.
La matriz B se llamará la base y cualquier vector aj de S que no esté en B, es una combinación lineal de los vectores de B; así pues:
Siendo ak vector de B. Como Yj = ( y 1j Y2j Y3j .. .... .. y mJ )1 , entonces, aj = BY j . Como B tiene inversa se puede escribir Yj = B-1aj. Las restricciones originales SX = b, pueden ser escritas como : (B
N)( X J=b . .'lB
N
Desarrollando este producto, se obtiene BX s + NX N
= b.
Haciendo uso de la
definición de solución básica factible se obtiene que X s ~ O Y XN = O, Y la expresión se convierte en : BX s = b, esto es, X s = B·1b
que es una solución básica de SX
=b. El vector Xs se le denomina vector básico y a
XN vector no básico. Si se parte el vector de costos o precios unitarios
eN), la función objetiva puede escribirse :
36
e
en
(es
IN\· I S II (ó .\C ION DE O prR .\C ION F S P,\ R,\ I N(ó l .N II' RI.\S y
Definiendo el vector Zj =
es Vj
. \ I) ~ II NIST R . \C I ()N
- Zj = LCSk V kj = CS1 V 1j
DE
E~ II' R I S.\S
CS2 V 2j + ..... + CS mV mj y
+
suponiendo que se inicia con una solución básica factible , se debe demostrar que esta solución es óptima o que se puede obtener una mejor solución básica.
Se supone que se inicia con una solución básica factible dada por BX s = b , que corresponde a un punto extremo de la región de factibilidad , el cual si no es óptimo, deb e moverse a un punto extremo vecino con objeto de mejorar la función objetiva. Esto se puede hacer cambiando un vector de la base B por un vector de N. Hay varias forma s de hacerlo, pero Dantzig 2 fijó la teoría que justifica el cambio que garantiza el mejor incremento en la función objetiva. Va se había obseNado que cua lquier columna al de S (no en B) puede escribirse aj
= LVkjak
con k
= 1, .... ,m.
Supón gase que el vector que sale de B es a r y que la componente Vr¡ de VI es di ferente de cero . Entonces se tiene aj (/
Esto es, (/ ,
(/
)/,
= )' '- "L....)'¡ 1/
,
'¡f Y"
* O.
=LVkjak + Vrjar con k = 1 ,.... ,m y diferente de r. Por otro lado la solución básica factible puede
,.,
escribirse LakXbk = b , equivale con arX Sr + LakXbk = b para k=1 ,.... ,m y diferente de r. Reemplazando a, en ella se obtiene
I
X II Y, (X
/Il
-
"
y
)u ,
{[X II
+ '
y
I}
'= iJ, que es una
JI
nueva solución básica. Examinando ahora qué condiciones debe cumplir esta solución pa ra que sea factible. Ella puede reescribirse como donde se ha definido
X, = X ¡¡¡
X Y -
11",
X, =
X
¡¡¡
+ x,(/, = h . En
las cuales se requieren
11,
Y"
Y"
Ix
'
positivas. Dado que X Br ~ O, se requiere que Vr¡ > O para que X r ~ O. De otra parte si todas las Y kl S O para k=1 ,2,.... ,m y k # r, se garantiza que X k
~
O. Sin embargo, qué
, OANTZI G G. B .. Compu tationa l algo rit hm of the revised si mp lex meth od. RANO report RM-1 266. Cali fornia 1953.
37
L U IS ALBERTO RINCON ,\13R II.
ocurri ría si alguna YkJ < O. Analizando se tiene que X ¡¡;
x
-
---.!.'
y A,
~ O.
Y" > O, que
Y"
puedo escribir como X ¡¡; YA, requiere que X ¡¡¡ YA,
~
X li, O. Y"
Xli,
~
O. Y" > O, para garantizar que esto se cumpla se
Y" Y" > O. De esta condición sólo se puede estar seguro
cuando la column a que se remueve de la base cumple la siguiente condición :
Xli,
Y
= Menor ( X ¡¡;
con Y > O)
Y
A
A,
~I
'1
Lo que significa que al conocer la columna
aj
de N que debe entrar en la base B,
entonces el vector a remover de B es aquel cuyo cociente XBrlYq para Yq > 0, resulte ser el menor de todos los posibles cocientes.
Esta regla garantiza que el cambio de un vector de B por otro de N genera una nueva solución básica factible . Como resultado de este cambio se obtiene una
nueva base B que difiere de la base anterior B en un solo vector. Como cada base se asocia con un extremo de la región de factibilidad , con el cambio de base el proceso se ha movido a otro punto extremo XB tal que:
X B = S·1b,
Z = CBX B
El siguiente análisis muestra la regla que permite hacer la mejor selección del vector aJ en N que se debe introducir en B. El valor de Z asociado con el punto extremo XB de la base es Z = CBXB y el asociado con la nueva base X'B será Z' = C'BX'B. Ya se ha mencionado que la única diferencia entre las base B y B' es que se ha sacado el vector ar y se ha reemplazado por el vector aj de N. Entonces la única diferencia entre CB y C'B se encuentra en la r-ésima componente, es decir:
38
INVESTI G/\C ION DE O l'lcR/\ C IONES I'¡\R ¡\ IN(, EN I E RI ¡\ S Y
es
=
e's
Entonces: l = LCSkXk y l' =
¡\D ~ II N I S TR AC I ON
D E H IPRES/\ S
(CS1 CS2 CS3 ..... CS, .... · CS m )
=(CS1 CS2 CS3 ..... Cj ..... CS m )
LCSkXk
+
En Z' el subíndice k
cjX,.
r. Si
X Y e X c m (X m - ~ ) + -'~ , eon Y'I =F O. El
I
en Z' se reemplaza Xk y X, se obtiene T =
= 1,2, .... ,m y k #
tJ
único término faltante en la sumatoria es e/l, (X n, -
f¡
X~~
~~- ) = e Ji ,. (X
!J, -
X
Ji, )
e on
=
O.
=F
O :::::;.
Y"
·, es t e t ermlno, se pue d e escn'b'Ir Z '= "L e¡¡¡ X /I!
-
"LC m
X
Y
e X
/JO' " ~Y ~1/
X y
- Z - - n,Z '-
X I ('II!',y + e ,/1,Y
'1
:::::;. Z '= Z _ X 'J, ~, + e, X n, Y"
1)
+ - ,fj, y- - . con y,, /'1
X B, Y
:::::;. T = Z - ( :: - e ) _
Y"
,
.1
r¡
El análisis de la última expresión conduce a aseverar que se tendrá l' :! l cuando
(::, -e) XY,;'" < O,
CO/l10
X /I
Y,~ > O:::::;. ;,
- e, < O. Se tiene entonces el mayor incremento
para Z' -Z cuando se elige al en N con el
ZI -
cI más negativo.
En resumen , el cambio de una base B a otra B' , se obtiene sacando un vector a, de B y sustituyéndolo por un vector al de N; de tal manera que al sea aquel con el más negativo y a, cumpla
~ Ji, Y
'1
= M e nor( X ¡¡¡ con Y
,
y
"
ZI -
cI
> O).
"
TEOREMA 4: La solución óptima del Programa Lineal de la forma básica se obtiene con una solución básica factible cuando todos los
El análisis de esta demostración se deja al lector.
39
ZI -
cI :! O para todo j.
L U IS ¡\Lll LRTO RI NCON I\BRIL
2.5.6 Criterio de optimalidad.
El teorema 4 establece las condiciones que debe cumplir una solución para que sea la solución óptima de un programa lineal.
La solución debe ser básica factible , esto es X k Zj - Cj ~
~
0 , para todo k
0, para todo j.
2.5.7 Criterios Primal y Dual Simplex.
Definen el cambio de vector a realizar para encontrar la nueva base cuando alguno de los requisitos del criterio de optimalidad no se cumple.
2.5.7.1 Criterio Primal. Permite mejorar el valor de la función objetiva. Debe ser aplicado cuando se tiene una solución básica factible , esto es, Xk existen algunos
ZI -
~O,
para todo k y
cl < O. Consiste en lo siguiente:
1. Entra en la base aquella variable Xl (vector al) que tiene el
ZI -
cI más negativo,
CO II
Y¡¡ > O) , (f'lI a de
(columna de trabajo). 2. Sale de la base aquel a, que genera el X /1, Y,¡
= Mello/"( X ¡¡¡ ¡
Y¡,
trabajo).
2.5.7.2 Criterio Dual. Permite convertir a factible una solución básica no factible. Por lo tanto debe ser aplicado cada que la solución básica obtenida sea no factible . Consiste en lo siguiente:
1. Sale de la base aquel a, para el que se tenga el XB, más negativo. (fila de trabajo) .
40
INVESTI(; /\UON DE OPERAC IONES PARA I NGEN I ER I AS y
2. Entra
en
la
base
aquella COIl
variable
, \I)~ II N I STR I\CION
XI (vector
a¡)
DE
E~lPRESAS
que
tiene
el
valor
Y" < O), (columna de trabajo).
2.6 ALGORITMO SIMPLEX.
Consiste en el conjunto de pasos secuenciales que deben realizarse dentro del método Simplex para obtener la solución óptima para un programa lineal. Aparecen esquematizados en la figura 2. Los pasos 1 y 2 ya fueron presentados en los puntos 2.5.2 y 2.5.3; por lo tanto se procederá con el análisis de los demás.
Construir el Tablero Simplex
Es la solución óptima?
Definir el Elemento Pivot
Si Tablero final Simplex
Interpretar la solución
Figura 2. Esquema del Algoritmo Simplex.
41
Construir el nuevo Tablero Simplex
LU I S 1\I . JlERTO R INCON MlR IL
2.6.1 Tablero inicial Simplex.
Tabla donde la primera fila, llamada zJ - cj, la conforman los correspondientes coeficientes para la función Z - CX de la forma canónica. Las demás filas la conforman los coeficientes de AX. La última columna de esta tabla es el té rmino independiente de Z - CX
z z(c¡ a n +, a n +2 a n +3
an+m
= O (es decir O) y el vector b. Mirar la figura 3.
X2 -C2 a1 2 a22 a32
X3 -C3 a1 3 a23 a33
Xn -C n al n a2n a3n
X n+,
X n+2
X n +3
X n +m
O O O
X, -C l all a21 a31
O 1 O O
O O 1 O
O O O 1
O O O O
b1 b2 b3
O
ami
a m2
am3
a mn
O
O
O
1
bm
1
O
Figura 3. Forma inicial del Tablero Simplex.
En este tablero la base B esta formada por {a n+l , a n+2 , a n+3 ,....... , a n+m }, mientras que N la forman {al, a2 , a3 ,.... ... , a n }. Equivale a decir que {X n+1 , X n+2 , X n+3 ,... .. .. , Xn+m } son las variables básicas y que {Xl , X2 , X 3 ,.... ... , X n } son variables no básicas . Con esto, cada tablero muestra una solución básica al asignar el valor O a cada variable no básica , para que las variables básicas tom en como valor el correspondiente término independi ente . As í pues, en este primer tablero se tiene que :
• •
=X 2 =X 3 =......... =X =O Variables básicas : X +, =b, , X n+2 =b 2 , X +3 =b 3 , ........... , X + =b Variables no básicas: X,
n
n
n
42
n m
m •
INY L STIG,\C ION DE OPERAC IONES PARA INGEN IER I AS y
,\D~ II N I STRAC I ON
DE EMPRESAS
2.6.2 Verificación del criterio de optimalidad.
Cada tablero permite de una manera sencilla observar el cumplimiento o no de este criterio . Se podrá definir si se ha obtenido la solución óptima o hay que buscar el elemento pivote que se usará para construir un nuevo tablero (nueva base B).
2.6.3 Elemento pivote.
Cada uno de los criterios primal y dual definieron una fila de trabajo (vector de salida) y una columna de trabajo (vector de entrada) . Esta posición de fila y columna en el tablero determina el elemento pivote. De tal manera que en el siguiente tablero, este debe pasar a ser 1 y el resto de la columna conformada por ceros.
Nuevo tablero Simplex.
Debe ser obtenido sobre el elemento pivote previamente definido usando el método de eliminación de Gauss que se presenta en el apéndice A .
2.6.4 Ejemplos con el Algoritmo Simplex. 2 .6.4 .1 Resolver mediante el algoritmo Simplex el siguiente Programa Lineal:
Max(Z) = 6X 1 + 4X 2 2X 1 + 3X 2 S 12 2X 1 + X 2 S 8 X1 ,2 ~ O
Como el Programa Lineal tiene la forma canónica se construye la forma básica:
=O 2X 1 + 3X 2 + X3 = 12 Z - 6X 1
-
43
4X 2
LUIS I\LBERTO RINCON I\BRII _
2X 1 + X2 + X4 = 8 XI ~ O para j = 1,2,3,4 Los tableros Simplex para este programa son los siguientes:
Z¡-c¡ A3 A4 Z--c· A3 A1 Z·-c· A2 A1
Z 1 O O 1 O O 1 O O
X1 -6 2 2 O O 1 O O 1
X2 -4 3 1 -1 2
X3 O 1 O O 1 O Y2 Y2
Y2 O 1 O
X4 O O 1 3 -1
Y2 5/2
Y2 3,4
-1,4
Tablero
b O 12 8 24 4 4 26 2 3
Inicial
Segundo
Final
= -6, Z2 - C2 = -4, X1 = X2 = o. Se debe
Tablero inicial: Solución básica factible pero no óptima, pues Z1 - C1 con variables básicas X3 = 12, X4
= 8 Y variables
no básicas:
entonces generar un nuevo tablero (nueva base). De acuerdo con el criterio primal , la variable X1 (vector a1) entra a la base y el vector a4 sale de la base; el elemento pivote aparece señalado.
Segundo tablero: La nueva base es {a3 ad. Presenta una solución básica factible no óptima, pues Z2 - C2 = -1 con las variables básicas X3 básicas X2 = X4
= o.
= 4,
X 1 = 4 Y variables no
Se debe entonces generar un nuevo tablero (nueva base). De
acuerdo con el criterio primal , la variable X2 (vector a2) entra a la base y el vector a3 sale de la base; el elemento pivote aparece señalado.
Tablero final : La nueva base es {a2 ad. Presenta la solución óptima, pues cumple el criterio de optimalidad, esto es ZI - cI
~
O, para todo j y X Bk
~
O para todo k.
variables básicas X2 = 2, X 1 = 3 Y las variables no básicas X3 = X4 tablero presenta que Max(Z) = 26.
44
Las
= O. Además este
l NVrST1(ói\C1()N DE OPER/\C10NES P,\Ri\ l NGEN 1ER1 ¡\S y
¡\D~ II N 1 STR¡\C 10 N
DE
E~IPRESi\S
2 .6.4.2 Resolver mediante el algoritmo Simplex el sigu ien te Programa Lineal:
Max(Z)
= 2X 1 + 5X 2 + 5X 3
X 1 + X2 + X 3 S 60 2X 1 - X 2 S 18 X2
-
X3 S 6
XI?: O para j
= 1,2 ,3
Como el Programa Lineal tiene la forma canónica se constru ye la forma básica:
Z - 2X 1 - 5X 2 - 5X 3
=O
X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 60
= 18
2X 1
-
X2 + X5
X2
-
X3 + X6 = 6
Xi?: O para j = 1,2 ,3,4 ,5,6
Siendo variables de decisión {X 1 ,X 2 ,X 3 } y variables de holgura {X 4 ,X 5 ,X 6 } .
Los tableros Simplex para este programa son los siguientes:
Z -c·
a4 as a6 Z·-c ·
a4 as a2 Z¡-c¡
a3 as a2
Z 1 O O O
X1
X2
X3
X4
Xs
X6
-2 1 2 O
-5 1 -1
-5 1 O -1
O 1 O O
O O 1 O
O O O 1
1 O O O
-2 1 2 O
O O O 1
-10 -1 -1
O 1 O O
O O 1 O
5 -1 1 1
30 54 24
1 O O O
3 %
O O O 1
O 1 O O
5 % % %
O O 1 O
5 -% % %
300 27 51 33
5/2
Y2
1
2
45
b O
Tablero
60 18 6
Inicial
Segundo
6 Final
LU IS ALBERTO RINCON ABR IL
El análisis de los anteriores tableros Simplex muestra:
Tablero inicial: Base {a4 as a6}. Solución básica factible pero no óptima, en donde las variables básicas X4 = 60 , Xs = 18, X6 = 6 Y las variables no básicas X 1 = X2 = X3 =
O. Se debe generar un nuevo tablero (nueva base). De acuerdo con el criterio primal , la variables X2 (vector a2) Y X3 (vector a3) cumplen la condición para entrar a la base; este empate se rompe arbitrariamente entrando a una de ellas X2, entonces el vector a6 sale de la base; el elemento pivote aparece señalado.
Tablero final: La base final es {a3 as a2}. Es la solución óptima, pues cumple el criterio de optimalidad , esto es z¡ - c¡ 2: O, para todo j y X Bk 2: O para todo k. Las variables básicas X3 = 27, Xs = 51 , X2 = 33 Y las variables no básicas: X 1 = X4 = X6 =
o.
Además Max(Z) = 300.
2.6.4 .3 Resolver mediante el algoritmo Simplex el siguiente Programa Lineal : Min(C) = 2X 1 + 2X2
X 1 + X2 S 12 X 1 + 2X 2 2: 10 3X 1 + 2X 2 2: 12
X1.2 2: O Forma Canónica
Forma Básica
Max(Z) = -2X 1 - 2X 2, con Z =-C
Z + 2X 1 + 2X 2 = O
X 1 + X2 S 12
X 1 + X2 + X3 = 12
-X 1 - 2X 2 S -10
-X 1 -2X 2 +X4 =-10
-3X 1 - 2X 2 S -12
-3X 1 - 2X 2 + Xs = -1 O
X 1.2 2: O
XJ -> O para j = 1,2,3,4,5
46
INVESTIGACION DE OPERAC IONES PARA INGEN IER IA S y
¡\D~ II N I STRAC I ON
DE EMPRESAS
Las variables de decisión son {X 1 , X2} y variables de holgura son {X 3 , X4 , X 5}.
Los tableros Simplex para este programa son los siguientes:
z¡-c¡ a3 a4 as z¡-c¡ a3 a4 a1 z·-c· a3 a2 a1
Z 1
O O O 1
O O O 1
O O O
X1 2 1 -1
X2 2 1 -2 -2
-3 O O O
2/3 1/3 -4/3 2/3
1
O O O
O O
1
O
1
X3
X4
Xs
b
O
O O
O O O
O
1
1
O O O
O O O
12 -10 -12
1
-8 8 -6 4
2/3
O O O
O
1/3 -1/3 -1 /3
%
%
-11
1
1,4
O O
-% %
1,4 1,4
13/2 9/2
-%
1
1
1
Tablero Inicial
Segundo
Final
Tablero inicial: Base inicial {a3 a4 a5}. Solución básica no factible , pues se tiene que las variables básicas: X 3 = 12, X4 = -10 , X5 = -12 Y variables no básicas: X,
= X2 = O.
Debe entonces generarse un nuevo tablero (nueva base). De acuerdo con el criterio dual, sale de la base a5 Y entra la variable X 1 (vector a1) ; el elemento pivote aparece señalado.
Segundo tablero: La nueva base es {a3 a4 a,}. Solución básica no factible, pero menos "infactible" que la anterior, esto es lo que logra el criterio dual. Con variables básicas X3 = 8, X4
= -6,
X,
= 4 Y variables no básicas:
X2 = X5
= o.
Debe generarse un
nuevo tablero (nueva base). De acuerdo con el criterio dual, sale de la base a4 y entra la variable X2 (vector a2); el elemento pivote aparece señalado.
Tablero final: La base final es {a3 a2 a,}. Solución óptima , pues cumple el criterio de optimalidad , esto es z¡ - c¡ ~ O, para todo j y X Bk ~ O para todo k. Las variables
47
LlI lS ,\LBrRT O RI NCON ,\13 1<1 1.
básicas X3 = 13/2, X2 = 9/2, X, = 1 Y variables no básicas X4 = Xs = tablero presenta que Min(C)
o.
Además este
= 11 , puesto que Max(Z) = -11 .
2.6.5 Relaciones vectoriales y matriciales.
Entre los vectores y matrices de los tableros Simplex hay varias re laciones, (algunas de las cuales se usaron como elementos matemáticos en la demostración del método) , que se presentarán en esta sección y que resultan ser de gran importancia en análisis de post-optimización , tema que se trata en el apartado 2.7.
2.6.6 Definiciones básicas.
Vector columna y¡: Conformado por los elementos akJ para la variable XJ en el tablero inicial. Vector columna Y¡: Conformado por los elementos akJ para la variable XJ en el tablero final. Vector fila C s: Conformado con los coeficientes de la función objetiva en la forma canónica para las variables de la base final. Vector fila CN: Conformado con los zJ- cJdel tablero final para las variables de la base inicial.
•
Matriz básica B: Estructurada con los vectores YJ del tablero inicial para la base final.
•
Matriz inversa de la básica B-': Estructurada con los vectores Y¡ del tablero final para la base inicial.
Aplicando estas definiciones al ejemplo 2.6.4.3 , se tiene:
48
IN\TS11(;/lCION DE OP I i{ ,\C IONES P/lR ,\ I N(;EN I ER I /lS y
,\D~ II N I STR/lCION
DE H IPR ESAS
Las matrices B y B-1 cumplen 88- 1 = 8- 1 8 = l. 2.6.7 Relaciones básicas.
A partir de las definiciones básicas se pueden definir: Vector X Sk para el tablero final : Se le llama XSo y se calcula como XSo = B- b, en donde b = XBk para el tablero inicial. 1
Valor de la función objetiva para el tablero final: Z
= B-1y¡. z, - c, = CNy, - c'j,
= CsXso
Z
Ó
= CNb
Vector V¡ del tablero final: V¡ z¡ - c¡ del tablero final:
en donde c'¡ es el coeficiente de X¡ en la
función objetiva de la forma canónica.
2.6.8 Casos particulares.
2.6.8.1 Inexistencia de solución. Este caso se presenta cuando no es posible
cumplir con todas las restricciones del programa lineal. Teorema: Un Programa Lineal carece de solución cuando existiendo algún XB, < O,
todo los correspondientes a" son positivos. Demostración : Si todos los a" ~ O, entonces el vector a, es totalmente positivo, pues
a" son las componentes de a, y el producto a,X k igualdad a,X k
= XB , no es posible. 49
~
O puesto que Xk
~
O. Con ello la
LUIS ALBERT O RINCON ABR IL
Ejemplo: Muestre que el siguiente programa lineal carece de solución. Min(C)
= 3X l + 2X2
Xl + X2 S 3 2X l + 3X 2 ~ 12
Xl ,2
~
O
El lector podrá fácilmente verificar que este programa carece de solución , trazando para ello las restricciones en el plano cartesiano y observando que no existe ningún punto que verifique las restricciones y la condición de no negatividad.
Forma Canónica Max(Z) = -3X l - 2X 2 , con Z =
Forma Básica Z + 3X l + 2X2 = O
-c
Xl + X2 S 3
Xl + X2 + X3 = 3
-2X l - 3X 2 S -12
-2X l - 3X 2 + X4 = -12
Xl ,2 ~ O
X>O para j = 1,2,3,4 1-
Tableros Simplex para este programa: Z¡-C¡
A3 A4 z¡-c¡
A3 A2
z
X,
X2
X3
X4
1 O O
3
2 1
O 1 O O 1 O
O O 1
1 O O
1 -2 5/3 1/3 2/3
-3 O O 1
Para este segundo tablero se tiene que X3
= -1,
2/3 1/3 -1 /3
Tablero
b O 3
Inicial
-12
-8 -1
Segundo
4
pero en el vector a l
=
eo
1
*)
todas las componentes son positivas; luego este programa carece de solución .
2.6.8.2 Soluciones múltiples. De acuerdo con el teorema 3 presentado en el numeral 2.5.4, este caso se presenta cuando el Programa Lineal genera dos extremos óptimos y entonces cualquier combinación convexa de ellos es solución óptima.
50
INVESTIG ACION DE OPERAC IONES PARA INGEN I ERI AS y ADM IN ISTRAC ION DE EMPRESAS
Teorema : Cuando se obtiene una solución óptima a un Programa Lineal en el que aparece algún
Zk - Ck
= O para
Xk no básica, entonces este Programa Lineal tiene
soluciones múltiples. Una segunda solución óptima puede ser encontrada entrando X k a la base. El análisis de la demostración de este teorema se deja al lector.
Ejem plo: Resolver mediante el algoritmo Simplex el siguiente Programa Lineal:
Max(Z) = 4X 1 + 2X 2 X 1 + X2 ~ 8 2X 1 + X2
X1.2
~
~
12
O
Como este Programa Lineal tiene la forma canónica se construye la forma básica:
Z - 4X 1 - 2X 2 = O X 1 + X2 + X3 = 8 2X 1 + X2 + X4 = 12 Xj ~ O para j
= 1,2,3,4
Tableros Simplex para este programa:
z¡-c¡
A3 A4 z·-c ·
A3 A1 z¡-c¡
A2 A1
Z 1 O O
1 O O 1 O O
X1
X2
X3
X4
-4 1 2 O O 1 O O 1
-2 1 1 O
O 1 O
O O 1
O 1 O O 2 -1
2 -%
112 % O 1 O
51
Y2 2 -1 1
b O
Tablero
8 12 24 2 4 24 4 4
Inicial
Final 1
Final 2
L U I S A L BERTO RINCON I\BR IL
Para un Máx(Z)
= 24 , los
tableros final 1 y final 2 presentan soluciones óptimas que
se pueden escribir como: 4 .\~
-
IX'1
O
.1 1
2
x"
O
d cl .fIll a l I y
2
IX' 1 .1
=
.\ .1
.\"
il
d el .fil/u l 2 .
Todas las soluciones óptimas pueden ser expresadas como una combinación convexa de estas dos soluciones encontradas.
Para que la combinación sea convexa, el parámetro!l debe cumplir O
~
!l
~
1.
2.6.8.3 Solución no acotada. Se presenta cuando las variables de decisión crecen
indefinidamente y con ello la función objetiva . Esto sólo puede darse en un modelo teórico pues los procesos reales no podrán ofrecer este tipo de circunstancias .
Teorema : Un programa carece de solución acotada cuando existiendo
Z k - Ck
todas las componentes del correspondiente vector Yk son negativas.
El análisis de este teorema y del siguiente ejemplo se dejan al lector.
Ejemplo: Resolver mediante el algoritmo Simplex el siguiente Programa Lineal :
Max(Z)
= 2X 1 + X2
X1 + X2 ~ 4 X 1 - X2 S 2
X1,2
~
52
O
< O,
INVEST IG¡\C ION DE OPERAC IONES PARA I NGEN I ER I AS y
AD~ II N I STR f\C I ON
DE EMPRESAS
2.7 ANÁLISIS POST-ÓPTIMO O DE SENSIBILIDAD.
Una vez se ha obtenido la solución óptima del problema de Programación Lineal , es conveniente realizar un análisis de sensibilidad . Este consiste en evaluar el impacto en la solución derivado de cambios discretos en algunos de los parámetros del problema. Las magnitudes de estos cambios no siempre son arbitrarias, sino que obedecen a la necesidad de establecer si es importante evaluar o determinar con precisión un cierto coeficiente, o si por el contrario una mayor certeza en su valor no introduce mayores cambios en la solución obtenida . Esto significa que hay más en la Programación Lineal y en el método Simplex que el sólo hecho de obtener la solución óptima. Por ejemplo, en un problema de producción , el costo de una o varias materias primas podrá variar de semana en semana y es , por ende , importante saber que ocurre con la solución que se está aplicando, para saber si permanece óptima o se deben realizar ajustes para llevarla de nuevo a la condición de optimalidad. Ciertamente siempre es posible resolver el problema desde el principio , sobre todo si se posee un programa de computador, sin embargo, es más sencillo hacer uso de la información contenida en el último tablero y de las relaciones matriciales y vectoriales del método Simplex explicadas en los párrafos anteriores, para observar rápidamente la consecuencia de los cambios propuestos. Estas variaciones pueden ocurrir por cambios en los recursos
limitados, costos o precios unitarios, coeficientes
tecnológicos o por que se consideren nuevas actividades. A continuación se presentará como proceder en cada uno de los tres primeros casos. 2.7.1 Cambios en el vector b.
Se deben a cambios ocurridos en algunos de los recursos limitados b¡ (términos independientes de las restricciones) . Suponiendo que en el programa original , el vector b (corresponde a la forma canónica, básica o XSk del tablero inicial) cambia al vector b'; entonces para el tablero final correspondiente solamente ocurrirían cambios en XSo y Z, de tal manera que podemos llamarlos X'so y Z' Y calcularlos como :
53
L U I S A L BERTO RI CON AB RIL
X,So -- S-1 b' ,
z = CsX'SO
Esta nueva solución puede resultar factible o no factible ; si es el primer caso será la nueva solución óptima . Para el segundo caso , ésta será reemplazada en el
tablero final y se procederá a reestablecer la factibilidad usando el criterio dual.
2.7.2 Cambios en el vector C.
Se deben a cambios ocurridos en algunos de los coeficientes de la función objetiva. Suponiendo que en el programa original, el vector
e
(corresponde a la forma
canónica) cambia al vector C' porque algunos cJ han cambiado a c'i; entonces para el tablero final solamente ocurrirían cambios en los zi - cj. de tal manera que podemos llamarlos (zJ- cj)' y calcularlos como:
(Zj -
cj)' =
C NYj - C 'j
Estos valores se reemplazarán en el tablero final y se procede con el análisis del mismo tablero para definir el procedimiento a seguir: restituir al base, la optimalidad o se trata de la solución óptima.
2.7_3 Cambios en los coeficientes tecnológicos
Yj.
Se deben a cambios ocurridos en algunos de los coeficientes de las restricciones. Suponiendo que en el programa original , el vector YI (corresponde a la forma canónica, básica o tablero inicial) cambia al vector y'j; entonces para el tablero final solamente ocurrirían cambios en Vi y zJ - cJ. de tal manera que podemos llamarlos V'i
y (zJ- cj)' y calcularlos como: Y,j
= S-1,Y j,
( Zj -
S4
cj)' = C NYj -
C 'j
INVr:ST I(ó ,\C ION DE OPERM.' IONES P;\R ,\ INlóE I ER I,\S y
AD~ II N I S TR /\C I ON
DE H I PRES ,\S
Estos valores se reemplazan en el tablero final y se procede al análisis del mismo tablero para definir el procedimiento a seguir: restituir al base , la optimalidad o se trata de la solución óptima.
2.7.4 Ejemplo de problema de producción con post-optimización.
Una Factoría debe producir 3 concentrados (1 , 2, 3) , mezclando 2 materias primas como muestra la tabla en la página siguiente. El costo del proceso es 1 Unidad de dinero por Ton de concentrado . Las condiciones del mercado le exigen producir: mínimo 120 Ton en total , al menos 30 Ton de Concentrado 1 y no más del concentrado 3 que del 2. Dispone únicamente de 80 Ton de la materia prima A. Cuántas toneladas de cada concentrado debe producir?
Concentrados 1 2 3 Costo materia Prima Unidad dinerofTon
Materias Primas A B 0.6 0.4 0.5 0.5 0.4 0.6 20 30
Solucion.
Variables De Decisión.
Xl : Ton. a producir de Concentrado 1 X2 : Ton . a producir de Concentrado 2 X3 : Ton. a producir de Concentrado 3
55
Precio de Venta Unid. dinerofTon 29 32 35
LU I S ,\L13ERTO RINCON ABRIl.
Forma Canónica Max(Z) = 4X , + 6X 2 + 8X3
Modelo Matemático Max(Z)=4X , + 6X 2 + 8X 3
-X , - X2
X, + X2 + X 3 ? 120
X3 ? O
-
0.6X, + 0.5X 2 + OAX 3 S 80
X> J- O
-X l -X 2 -X 3 + X4 =-120 -X l + Xs = -30
- X2 + X3 S O
-X 2 + X3 + X6 = O
0.6X ,+0 .5X 2+OAX 3 50 80
0.6X ,+0.5X 2+OAX 3 +X l = 80
XJ -> O
para J=1 ,2,3
X3 50-120
-
-X , 50-30
Xl ? 30 X2
Forma Básica Z-4X, - 6X 2 - 8X 3 = O
para J=1 ,2 ,3
Xi?' O para J=1 ,2,3,... ,7
Algoritmo Simplex
z·-c¡ a4 as a6
al z·-c· a3 as a6
al z·-c· a3 as a2 a7 z·-c· a3 a, a2 a7 z¡-c¡ a3 a, a2 a4
z
X,
X2
X3
X4
Xs
X6
Xl
1
-4 -1 -1
-6 -1
-8
O
O O
O
O
O O
O
-1 0.5
O O O
O O O O 1 O
O O O 1
O O O O 1
O O O O 1
O O O O
0.6 4 1 -1 -1 0.5 3 Y2
-1 0.05 0.15
O O 1
O O O O
O
2 1
O -2 0.1
O O O 1
O O O O 1
1
O O O O
O O
O
1
-1 O 1 OA O 1 O O O O 1 O O O O 1 O O O O 1 O O O
1
O O O -8 -1
O
1
O O O
1 O
O 1
1 OA -7 -Y2 O
O O O O
-%
O O
1
OA5 -7
3
-%
Y2
O -%
0.45 O O O O 1
S6
b O -120 -30
80
O
O
O O
960 120 -30 -120 32
1
O
1
1 %
O O O O
O -Y2 0.05 1
1
840 60 -30 60 26
-1 % 0.15
Y2 O -Y2
O O O O
0.05
1
750 45 30 45 21 .5
16/3
16/9
140/9
9760/9
2/3
5/9
10/9
620/9
-1
O
O
30
2/3 1/3
-4/9
10/9 20/9
620/9 430/9
1/9
Inicial
O
1
O O O
Tablero
Segundo Criterio Dual Tercero Criterio Dual Cuarto Criterio Primal Final
INVEST IGAC ION DE OPERAC IONES PARA I NGEN I ER I AS y ADM IN ISTRAC ION DE EMPRESAS
Solución Óptima.
X2
= 30 Ton de concentrado 1. = 620/9 Ton de concentrado 2.
X3
620/9 Ton de concentrado 3.
X4
= 430/9 Holgura de la restricción 1
Xl
Xs = X6 = X7 = O. Variables no básicas y de holgura. UTILIDAD (en unidades de dinero): Max(Z) = 1084.44 Explicación para los valores de las variables de holgura.
X4
= 430/9 Ton .
Por encima de las 120 Ton . mínimas requeridas .
Xs = O. No se producirán excedentes sobre las 30 Ton. de concentrado 1. X6 = O. De los concentrados 2 y 3 se producirá la misma cantidad . X7
= O.
Se utilizará todo el recurso de materia prima A.
Análisis de Post-Optimización.
Matrices y Vectores requeridos.
C u = (8
4
6
O)
a) Cuál es la nueva solución si el total de la producción debe ser al menos 150 Ton , no dispone sino de 120 Ton de materia prima A y las demás limitaciones no cambian.
57
LU I S ,\ L BERTO RINCON A BR IL
- 150
-30
En este caso el nuevo vector /J' =
y calculando
O
X 'BO
= S-1 b '
se obtiene
120 .1'¡()
30 X 'lJo=
100
y Z'
= CBX'BO = 5120/3. Qu e resulta ser factible , por lo tanto es solución
óptima que se puede interpretar de la siguiente forma :
X4
= 30 Ton de concentrado 1. = 340/3 Ton de concentrado 2. = 340/3 Ton de concentrado 3. = 260/3 Holgura de la restricción
Xs
= X6 = X7 =
X1 X2 X3
O.
1
Variables no básicas y de holgura.
UTILIDAD (en unidades de dinero): Max(Z)
= 1706.67
b) Cuál es la nueva solución si el total de la producción debe ser al menos 80 Ton , la diferencia de producción entre los concentrados 2 y 3 debe ser al menos 50 Ton , la cantidad de materia prima A disponible es 40 Ton y las demás limitaciones no cambian .
El nuevo vector /J '=
[=¡~l
=>
X 'BO
= S-1 b '
=[~~;: 1
y z'
= = CBX'BO
880/9. Que resulta
-~
40
.'
una solución básica no factible , por lo tanto se reemplazará último tablero.
58
X Bk
=X 'Bo y Z =Z' en el
INVr.STI (; ,\C ION DE O I'EI{ ¡\ C IO N ES I',\R J\ I NGEN IER I J\ S y
J\ D~ II N I S TR , \ C I ()N
DE
E~ I PR ES r\S
Nuevo tablero Simplex.
z-c a3 a1 a2 a4
Z 1
X1
X2
X3
X4
Xs
O O
O O O
O
O O O O
16/3
X6 16/9
X7 140/9
2/3
5/9
10/9
880/9 -10/3
-1
O
O
30
2/3 1/3
-4/9 1/9
10/9 20/9
140/3 -80/3
O O O O
1
O O
1
O O O
1
O
1
b
Tablero Nuevo Tablero Final
Este table ro , mu estra que el PROGRAMA LINEAL carece de solución .
c) Cu ál es la nu eva solución si el precio de venta del concentrado 1 pasa a ser 35 unidades de din ero por Ton .
Para este caso
c' 1
=35 - (1
+ 0.6*20 + 0.4*30)
=10
Y
(Z1 - C1)'
=- 6
Nuevo tablero Simplex.
z·-c· a3 a2 a4 z¡-c¡ a3 a1 a2 a4 z¡-c¡ as a1 a2 a4
Z
X1
X2
X3
X4
Xs
X6
X7
b
1
O O 1 O O O O
O O O
O
O O O O 1 O O O O
16/3
16/9
140/9
9760/9
2/3
5/9
10/9
620/9
-1
O
O
30
2/3 1/3
-4/9 1/9
10/9 20/9
620/9 430/9
-2/3
16/9
140/9
11 380/9
2/3
5/9
10/9
620/9
-1
O
O
30
2/3 1/3
-4/9 1/9
10/9 20/9
620/9 430/9
O
7/3
50/3
1
5/6 5/6
5/3 5/3
4000/3 3 10/3
O O O O 1
O O O O 1
O O O O
1
O O O O
1
O O O O 1
1
O O O O 1
O O O
1
O O O O
O O
1
-1
O O O O
O
-Y2
1
1 3/2 3/2
1
O O O
-1
O
O
-1 /6
5/3
40/3
La sol ución óptima qu e se pu ede interpreta r de la siguiente form a :
S9
400/3
Tablero Recuperar La Base
Criterio Primal
Final
LU IS ALBERTO RINCON ABRIL
Xl X2 X4 Xs
= 400/3 Ton de concentrado 1. = O Ton de concentrado 2. = 40/3 Ton . Holgura de la restricción = 310/3 Holgura de la restricción 2
X3 = X6 = X7 = O.
1
Variables no básicas.
UTILIDAD (en unidades de dinero): Max(Z) = 1333.33
2.8 USO DEL COMPUTADOR EN LA PROGRAMACiÓN LINEAL.
En 1950 aparecen los primeros intentos para dar solución a programas lineales mediante el uso de un computador, pero las primeras soluciones acertadas a un programa lineal en un computador de alta velocidad , solo se obtuvieron en Enero de 1952 con el uso de la máquina SEAC , del National Bureau of Standard . Desde entonces, el Algoritmo Simplex, ha sido codificado en varios lenguajes de programación . El profesional que requiere del uso de la programación lineal , hoy en día, en verdad no necesita más que del diseño del modelo matemático, pues las soluciones están al alcance hasta de los más pequeños computadores y la eficiencia de las respuestas de los programas de computador sólo dependen de un correcto diseño del modelo matemático al problema . La aplicación de mayor uso actualmente resulta ser la herramienta SOLVER de EXCEL , la cual se presentará en esta sección. Hoy en día, muchos libros sobre Investigación de Operaciones vienen acompañados de Software de aplicación para la solución de varios problemas . Por ejemplo el texto de Hillier y Lieberman 3
dispone el OR Courseware con
procedimientos didácticos y aplicaciones para la solución de varios problemas. ' HILLlER Frederick y LlEBERMAN Gerald, Introducción a la Investigació n de Ope raciones. Editoria l Mc Graw Hi11. 1997. México.
60
INVI STI(; ,\C IO N DI' ()I'I RM ' IONI S P,\R ,\ IN(;I.N II I{L\S y
\I )~ IINISTR .\C I()N
DE
E~IPR r· S . \S
Actualmente , una de las aplicaciones para computadores más importantes para resolver problemas de Programación Lineal , Cuadrática y Entera, se conoce como LINDO . Desarrollado por Lindo System , apareció en 1979 y desde entonces ha sido mejorado sucesivamente en diversas versiones que lo han convertido en una herramienta flexible y sencilla de usar. En 1983 apareció la versión para compatibles PC con manejo hasta de 60 restricciones y 120 variables. En 1996 salió al mercado la versión 6.0 para Windows. Antes de que aparecieran Lotus 1-2-3 o Excel , Lindo había sido incorporado a la hoja de cálculo VisiCalc con el nombre de VINO que resultaba equivalente al Solver que hoy viene con Excel.
2.8.1 El Software Progralinea l.
Particularmente el autor de estas notas ha tenido la oportunidad de diseñar varias versiones de aplicaciones en la solución de programas lineales para ser utilizados en equipos compatibles IBM PC. La última de las cuales, llamado PROGRALlN
4
,
aprovecha las bondades del entorno Windows y del lenguaje de programación Visual Basic. Esta aplicación permite solucionar programas lineales hasta con 40 variables de decisión y 40 restricciones ; el mismo se encarga de la introducción y manejo de las variables de holgura, de la creación de las formas canónica y básica. Permite almacenar el enunciado de los problemas y el correspondiente modelo matemático. Dispone de un importante manual de ayudas y sólo requiere que el usuario construya y digite los parámetros del modelo matemático, esto es, los valores
para e j, b ¡, a ¡j y los símbolos de las desigualdades. Dado que está
"pensado" para utilizarlo didácticamente, presenta paso a paso cada uno de los tableros Simplex y al final el análisis matemático de la solución.
1 Este programa puede usarse gratuitamente y el lector podrá hace r una copia de su instalador por Internet en la direccion
61
L U IS A LllE ln O R INCON .\I3R 11.
2.8.2 El uso de la herramienta Solver.
La hoja de cálculo Excel de Microsoft Office tiene incorporada una poderosa herramienta , llamada Solver, que permite el manejo de modelos de sistemas lineales para realizar cálculos, entre los cuales aparecen los siguientes:
1. Solución a sistemas de ecuaciones lineales. 2. Modelos lineales de optimización restringida con variables reales . 3. Modelos lineales de optimización restringida con variables reales positivas. 4. Modelos lineales de optimización restringida con variables enteras . 5. Modelos lineales de optimización restringida con variables binarias. 6. Modelos lineales de optimización restringida con variables mixtas (reales , enteras , binarias).
Los modelos de Programación Lineal encajan dentro del grupo tres que resue lve la herramienta Solver, por lo tanto siempre podrá ser usada para este propósi to. Se ilustrará su uso con un ejemplo para el cual ya se había construído el modelo matemático en la sección 2.3.4.
Ejemplo. Cuántas toneladas de acero puro y chatarra se deben utilizar en la preparación de una aleación para un clien te; si el costo por Ton es de $ US 600 para el acero y $ US 300 para la chatarra. El clien te requiere mínimo 50 toneladas de la aleación. La empresa dispone de 70 y 40 Ton de acero y chatarra. La relación entre la chatarra y el acero no pueden superar los 7/8. La compañía dispone de 120 horas para este trabajo . Derretir y fundir una Ton de acero exige 2 horas y la chatarra 3 horas .
Variables de decisión.
X 1 : Ton a mezclar de acero.
62
IN\' I.S1 I(;'\UON D I. O I'I.R ,\ClON I S I'/\ R /\ I N(; EN I ER I,\S y
'\ D ~ II N I S T R'\C I ON
D E H IP RES r\S
X2 : Ton a mezclar de chatarra.
Modelo Matemático
Función Objetiva: Min(C)
= 600X 1 + 300X 2
Sujeto a las restricciones:
Xl + X2
~
50
2X l + 3X 2 ::; 120 7X l - 8X 2
~
O
Xl ::; 70 X2 ::; 40 Xl , X2
~
O
Para la solución de este problema con la herramienta SOLVER de EXCEL, se puede preparar inicialmente una hoja de trabajo como la que se muestra en la figura 4. En esta hoja de cálculo se dispusieron los siguientes elementos:
Entre las filas uno y 10 se considera una matriz para los parámetros del modelo matemático del Programa Lineal. Por ejemplo las celdas B5: E5 pueden como 1 Xl
+ 1X2
~
leerse
50 , que resulta ser la primera restricción , mientras que las
celdas B 1O:E 10 pueden
leerse como 600X l
+ 300X 2 , que corresponde con la
función objetiva.
De la fila 16 a la 24 aparecen definidas las expresiones de cálculo para el modelo matemático del Programa Lineal. Por ejemplo la celda B20 y C20 evalúan por separado cada uno de los términos de la segunda restricción y la celda F20 evalúa el lado derecho de esta restricción. Así mismo , la celda F24 evalúa el valor total de
63
I IIl S \1 Ilf Rl() I
la función Objetiva . Las celdas B 16:C 16 se han previsto para que Solver escriba los valores de Xl, X2 , una vez los calcule.
B
A
e
I
I
MODELO MATEMATICO
3 4 5 Aleació n 6 Capacid ad de Trabajo 7 Relac ió n !----8 ,Dispon ibilidad Acero 9 Di spon ibilidad Chatarra Min(Costo) 10 F.O .
11 12
--
~ 16 17 18 19
Chatarra
X1
X2
E ----
F
.-
Limitación ! ~
!
1 2 7 1
1 3 -8 1 300
600
> <
50 120
>
O
<
70 40 ._-
<
J !
SOLUCION POR SOLVER
--
13 14
Acero
oJ
Valores obtenidos Valores mínimos
Aleació n I 20 -lCapaci dad de Trabajo 121 .Relació n 122 Dispon ibilidad Ace ro 23 Dispon ibilidad Chatarra 24 F.O . Min(Costo)
Acero
Chatarra
X1
X2
Limitación
I
I
.1-
O
O
=B5'B$ 16 =B6'B$16 =B7'B$ 16 =B8'B$1 6 =B9'B$16 =B10' B$16
=C5'C$16 =C6'C$16 =C7'C$ 16 =C8'C$16 =C9'C$ 16 =C 10'C$ 16
I
I
> <
50 120
>
O
<
70 40
<
---
=SUMA(B19C19) =SUMA(B20 :C20) =S UMA(B21C21 ) =SUMA(B22:C22) =S UMA(B23C23) =S UMA(B24C24 )
25
Figura 4. Hoja de cálculo en Excel para el uso de Solver_
Preparada esta hoja de cálculo se procede a usar la opción SOLVER del menú de
HERRAMIENTAS de EXCEL y se responde el cuadro de diálogo de la siguiente forma:
64
I
INVES-I I(, ,\C ION DE OPER /\C IONES P,\Ri\ I NCiEN IER I i\S y
D
i\D~ II N I STR , \CION
DE
[~IPRES , \S
F
E
11
Parámetro, de Solver
Cerrar
c-
t].é xirno
Cam~ando
las celdas
Qpoones" ,
Suietas a las si9uientes restricciones:
tBt·16:f.q.16 >= ¡.E;f. 17: f.':t, 17 f.Ff.1'~ >= tEf.19 f.Ft,20 <= t·Et·20 ¡.Ff.21 >= tE t ,21 ¡,Ff.22 <= tEt,22 f.Ff.23 <= t,Ef.23 I IUld .-, ./
6gregar, " ~arnbidr , , ,
.-J
&:-stdblecet todo
~irninar
I• I
Figura 5. Cuadro de diálogo de Solver para resolver el ejemplo.
El procedimi ento para contestar este cuadro de diálogo se puede adelantar de la si gu iente manera: 1. Celda objetivo. Se selecciona la celda que realiza el cálculo para la función Objetiva, En este caso F24 . 2. Máximo o Mínimo. Se indica según el caso . 3. Cambiando las Celdas. Se selecciona las celdas donde Solver escribirá los valores encontrados para las variables . 4. Restricciones. Se utilizan los botones Agregar, cambiar o eliminar para construir, modificar o eliminar restricciones. 5. Resolver. Una vez se responde el cuadro de diálogo, se pul sa este botón para que EXCEL presente los resultados sobre la hoja de trabajo , tal como lo muestra la siguiente tabla:
6S
l .l ' I S !\ I. HI-.RTO RI NCON ,\131' 11.
A
e J
B
D
F
E
MODELO MATEMATICO 2
3 4
Acero
Chatarra
X1
X2
I
Limitación .~
~
I
5 6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1 2 7 1
Aleado n Capac idad de Trabaj o Relacio n Dispon ibilidad Acero Dispon ibilidad Chatarra F.O. M in (Cos to)
600
1 3 -8 1 300
-
<
50 120
>
O
<
70 40
?
<
l.
..
1
-
-
.~-
I
SO LUCIO N POR SOLVER
I
-
Acero - Chatarra X1
X2
Valore s obtenidos Valore s mínimos
30
20
O
O
Al eacio n Capac idad de Trabajo Relacio n Dispon ib il idad Acero Dispon ibilidad Chatarra 24 F.O. M in (Cos to)
30 60 210 30
-
O
18000
Limitación
20 60 -160
> <
50 120
>
O
O
<
20 6000 -
<
70 40
50 120 50 -
~
20 24000
Figura 6. Hoja de cálculo en Excel una vez se aplica Solver.
Análisis de la respuesta de Solver.
1. La fila 16 muestra los valores obtenidos para las variables de decisión; esto es, 30 Ton de Acero y 20 Ton de Chatarra . 2. La fila 20 columnas E y F muestra que se utilizará toda la capacidad de trabajo. 3. La fila 24 indica que el costo mínimo total de preparar la aleación será $ US 24000.
66
INVEST I(; ,\CION IlF OPFR ,\C ION lcS !',\RA
I N (~E N IERI , \S
y
, \D~IINISTR;\CI()N
DI'
r~IPRF S.'\S
2.9 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. CONCEPTOS TEÓRICOS. 1.1. Presente una aplicación generalizada de Programación Lin eal para algún caso, por ejemplo: Diseño industrial de raciones , Mezcla industrial de productos, Política de préstamos bancarios , Uso y urbanización de la tierra , Asignación de personal, Asignación de recursos , etc. 1.2. Cómo se construye el programa dual a partir de un programa primal y que relaciones existen entre éstos? 1.3. Explique la forma en que puede aplicar el análisis de post-optimización con la herramienta Solver de Excel. 2.
MODELOS MATEMÁTICOS DE PROGRAMACiÓN LINEAL.
2.1. Una compañía productora de fertilizantes es propietaria de 2 minas que le generan la materia prima básica para sus productos. La mina 1 produce semanalmente 10 Ton de materia prima grado A, 30 Ton de materia prima grado By 50 Ton de grado
C. La mina 2 produce 30 Ton de cada grado semanalmente . La compañía, para la producción anual de fertilizantes, requiere al menos de 160 Ton grado A y 300 Ton grado B y no más de 800 Ton grado C. Los costos de explotación de las minas son de 6000 y
4000 $US/semana respectivamente. Cuántas semanas al año debe
explotar cada mina para cumplir los planes de producción? 2.2. Una compañía de alquiler de camiones dispone dos tipos de vehículos, el camión A que tiene 40 pies 3 de espacio refrigerado y 80 pies 3 de espacio no refrigerado; el camión B tiene 60 pies 3 de cada tipo de espacio. Una procesadora de alimentos debe transportar 1800 pies 3 de producto refrigerado y 2400 pies 3 de producto no refrigerado El camión A lo alqui lan a $US 9 el Km y el camión B a $US 12 el Km . 2.2.1. Cuántos camiones de cada tipo deben tomarse en alquil er? 2.2.2. Escriba el modelo matemático, considerando el alqui ler de Camión C con 100 pies 3 refrigerados a $US 8 el Km?
67
L U I S A LB ERTO RI NCON A BRIL
2.3. Una industria de Aceite y Torta de Soya tiene capacidad para procesar hasta 60 Ton/día de Soya , las que adquiere a $55000 la Ton. Debe suministrar por lo menos 16 Ton/día de Aceite. La industria usa dos procesos con los siguientes rendimientos por Ton de Soya:
PRODUCTO
PROCESO 1
PROCESO 2
0.12
0.15
Aceite Torta de Soya Costo de proceso por Ton
0.80
0.75
$12000
$15000.
Para completar los pedidos , esta industria puede comprar Aceite a granel con otros productores a $205000 la Ton , que le cuesta envasarla $8000 la Ton. La industria vende Ton. de Aceite a $210000. y Ton. de Torta de Soya a $60000. Presente un modelo matemático que permita planificar la producción en condiciones óptimas. 2.4. Una imprenta dispone de 1800 tiras de cartulina de 13 pulg de largo. Debe atender un pedido que le exige cortes de tal manera que disponga al menos 1000 tiras de 7 pulg , 2000 tiras de 5 pulg. La tabla muestra las cantidades de tiras de 5 y 7 pulg por tira de cartulina de 13 pulg que puede obtener mediante los cortes posibles : CANTIDAD DE TIRAS DE CORTES POSIBLES
5 pulg
Desperdicio
7 pulg
(pulg)
A
2
O
3
B
1
1
1
2.4.1. Cuántas tiras de 13 pulg. debe cortar en las formas A y B para cumplir el pedido minimizando el desperdicio? 2.4 .2. Bajo la solución anterior, cuántas tiras de 5 y 7 pulg. obtendrá? 2.4 .3. Será solución factible cortar 600 tiras en la forma A y 1100 tiras en la forma
B? 2.5. El Departamento de Servicios de un almacén proporciona servicios de reparación para los electrodomésticos vendidos. Durante una semana cinco televisores, 12 grabadoras y 18 hornos microondas fueron devueltos para reparación . Dos técnicos (Juan y Pedro) son contratados temporalmente para ayudar en dicho
68
INVEST IGi\C ION DE O PER AC IONES P¡\RA INGEN I ER I ;\S y
c\D~ 1I N I S TR ;\C I ON
DE H IPRESAS
departamento. En una jornada de ocho horas Juan puede reparar dos televisores o 3 grabadoras o 4 hornos , mientras que Pedro puede reparar un televisor o 2 grabadoras
o 3 hornos en el mismo tiempo. El salario diario está definido en
$20000 para Juan y $ 15000 para Pedro . Presente un modelo matemática para calcular el número de horas contratadas para que los costos sean mínimos. 2.6. Una institución financiera se encuentra en el proceso de formular su política de préstamos para el próximo semestre. Para ese fin se asigna un total de $12000 millones. Debido al tipo de institución , está obligada a otorgar préstamos a diversos clientes. La tabla siguiente muestra los tipos de préstamos, las tasas de interés y la posibilidad de que el préstamo se convierta en irrecuperable o incobrable. Tipo de préstamo
Tasa de interés
Actividad Aqrícola Actividad Industrial Actividad Comercial Vivienda Vehículo
15% 16.5% 18% 15% 21 %
Probabilidad de incobrable 0.005 0.003 0.01 0.003 0.006
Se supone que los pagos que no se cubren son irrecuperables y, por lo tanto, no producen ingresos por concepto de intereses. La competencia con otras financieras del área hace que el banco asigne de los fondos totales al menos el 50% para actividades agrícolas e industriales y los préstamos para vivienda deben ser al menos el 50% de los asignados a actividades comerciales y compra de vehículos. Además , este banco tiene una política establecida que especifica que la relación global de pagos irrecuperables no puede ser superior a 0.004. Presente un modelo matemático que le permita al banco calcular las asignaciones a cada uno de los tipos de préstamos.
3. SOLUCiÓN GRÁFICA.
3.1. Resuelva gráficamente los siguientes Programas Lineales .
69
L U IS f\ L BE RTO RINCON ,\BR IL
a)
c)
Max(Z)
= 12X , + 7X 2
b)
Max(Z)
= 2.5X,
+ 3X 2
4X, - 2X 2 S O
6X , + 8X 2 S 120
6X , + 5X 2 S 60
X, + X 2 2: 4
3X, + 4X 2 2: 12
X, S 12
X2 S 8
X 2 S 12
X " X 2 2: O
X" X 2 2: O
Min(Z)
= cX , + cX 2
d)
Min(Z)
= 6X , + 5X 2
2X , + 3X 2 2: 6
3X , + 2X 2 S 300
X, + X2 s5
2X , + 3X 2 S 300
X, - X2 S 1
X, 2: 50
X" X 2 2: 0
X 2 2: 50
3.2. Resuelva el problema 2.1 de la sección anterior. 3.3. Resuelva el problema 2.2 de la sección anterior. 3.4 . Resuelva el problema 2.5 de la sección anterior.
4 . MÉTODO SIMPLEX.
4.1. Resuelva los siguientes Program as Lineales .
a)
Max(Z)
= 24X, + 20X 2 + 30X 3
b)
Max(Z) = 3X, + 2X 2 + 3X 3
2X , + X2 + X3 S 24
3X , + 2X 2 + X3 S 60
X, + X2 S 12
2X , + X2 S 24
X, + 2X 3 S 12
X, + X3 S 20
X, ,X2 ,X3 2: O
X, ,X2 ,X3 2: O
70
INVrST I(ó¡\C ION DE O PER ,\C IONES P,\R ,\ I NCóEN IE RI ¡\S y
c)
Min(C) = 6X, + 5X 2 + 5X 3 X,+ X2 + X 3
::::
d)
12
¡\D~ II N I ST R ¡\C l üN
Min(C)
= X,
DE
E~ I P R ES ,\ S
- X 2 + X3
X, + X2 + 2X 3 S 20
X,+ 2X 2
:::
15
5X, + X3
X2 + 2X 3
:::
15
X" X2 ,X3 ::::0
::::
120
X"X 2 ,X3 :::: O
4.2. Resuelva el problema 2.3 de la sección 2. 4.3. Resuelva el problema 2.6 de la sección 2. Veh ículos SA
4.4 .
debe decidir el
número de autos clásicos , deportivos y
económicos que ensamblará el próximo semestre si : ~
Las
utilidades
unitarias
que
obtendrá
2000 ,
3000
Y
1500
dólares
respectivamente . ~
De conformidad con las solicitudes de sus concesionarios debe producir al menos 60 autos clásicos , no más de 600 autos económicos, no más clásicos y deportivos que económicos .
~
El proceso de ensamble se hace en tres departamentos. El departamento de est ampado, tiene capacidad semestral para atender 900 económicos, 600 deportivos o 600 clásicos. El departamento de máquinas, tiene capacidad semestral para atender 1000 económicos , 400 deportivos o 500 clásicos . El departamento de acabado, tiene capacidad semestral para atender 1200 económicos, 600 deportivos o 400 clásicos.
4.5 . Suponga que el programa original consiste en producir un volumen X, de una vacuna A con utilidad 5000 $/Iitro y otro volumen X 2 de vacuna B con utilidad 3000 $/Iitro . Dos limitaciones se consideran en este caso: personal y costo de producción. En lo referido a la primera limitación se dispone hasta de 15 personas , mientras que en lo segundo se dispone de 10000 $/hora de trabajo . Los coeficientes tecnológicos son :
Recurso Personal Costo de Producción
Vacuna A 3 5000
71
Vacuna B 5 2000
LU IS ALBERT O RI NCON AB RIL
4.5.1. Qué volumen debe producir de cada vacuna para optimizar utilidades? 4.5.2. Suponga que por una depresión económica el número de empleados debe reducirse a 5 y el costo de producción a 5000 $/hora. entonces cuál es la nueva solución? 4.5 .3. Idem anterior para 5 personas y 10000 $/hora. 4.5.4 .
Suponga que la utilidad unitaria de la vacuna B se reduce a 1000 $/Iitro.
entonces cuál es la nueva solución?
72
3. PROGRAMACiÓN ENTERA.
Muchas aplicaciones no se pueden abordar con los métodos de solución de la Programación Lineal porque tienen el principio de la "no divisibilidad", esto es, algunas o todas las variables deben tomar valores enteros. Con frecuencia deben construirse modelos para asignar personas,
máquinas o vehículos a las
actividades , en cantidades enteras . Si el problema de exigir valores enteros es la única diferencia que tiene un problema con
su formulación en términos de
Programación Lineal , entonces se trata de un problema de Programación Lineal Entera o simplemente de Programación Entera. Así que
el modelo de
Programación Entera es simplemente un modelo matemático de Programación Lineal que agrega la condición de que algunas o todas las variables deben ser enteras.
3.1 QUÉ ES LA PROGRAMACiÓN ENTERA.
La Programación Entera es un conjunto de técnicas de la Investigación Operativa que permiten solución a una variante para el Programa Lineal cuando las variables de decisión no pueden tomar valores fraccionarios.
Para el modelo de Programación Lineal se optimiza una función sobre una región convexa, mientras que en la Programación Entera se optimiza sobre una región de factibilidad que generalmente no es convexa . Por lo tanto , la solución de problemas enteros ; resulta más complicada que la Programación Lineal.
73
I.L' I." .\ I.I1ERTO RI NCON ABR IL
Es importante anotar que las técnicas desarrolladas hasta ahora , dentro de la Programación Entera, distan mucho de reso lver el 100% de los problemas de decisión de variable entera .
3.2 PRINCIPALES MODELOS.
Las variantes del modelo de Programación Lineal, tienen que ver con las condiciones de valores enteros que tienen que tomar algunas de las variables de decisión. Los ca sos son los sigui entes.
3.2.1 Problema entero (PE).
Es una variante del Programa Lineal , para el cua l todas las variables de decisión además de cumpl ir la condición de no negatividad deben ser todas en teras. Por consigu iente el modelo matem ático generalizado es:
Oplillli;:o r (Z)
"
=L
e,x,
1::.. 1
"
slIje/o
<
o: LO'l x , ~ h, . 1= 1
pa ra i = 1,2,3 .... .. .. , /1 1
-
x,
~
O e/l/ ero ,
para j
= 1,2,3 .. ...• /1
Los métodos de solución desarrollados para este mode lo son los siguientes .
=> Método de plano de corte . => Algoritmo fracciona l de Gomory => Algoritmo entero puro de Gomory => Método de bifurcación y acotaci ón
74
INV I·.ST IG I\C ION DE OPE RAC IONES I'A I
M)~ II N I S T R ¡\C I ON
DE H IP RESi\S
=> Algoritmo de Land-Doig.
3.2.2 Problema entero mixto (PEM).
En esta variante del Programa Lineal , todas las variables de decisión son positivas y solamente algunas de ellas deben ser enteras. Por lo tanto el modelo matemático generalizado es:
"
,
O¡Jlillli .-or r . (Z) = '" ¿ e ,', ,=\ 11
+ '" r ¿ e J..'J.. , =\ <
11
.1/lie IO (/: ¿o" x ,
+
,=\
¿, =\ p " \' , -~ !J, .
x,
~
O
po/'{/
."¡
~
O
elll e ro .
po/'{/ i
= 1.2,3 .. .... ., /11
.i = 1.2 .3 ...... 11 p o /'{/ /.: = 1,2.3 .... , J'
Los métodos de solución desarrollados para este modelo son los siguientes .
=> Algoritmo entero-mixto de Gomory => Algoritmo de Land-Doig .
3.2.3 Problema entero cero uno o binario (PECU).
Esta variante del Programa Lineal , suele utilizarse para modelar problemas con actividades que deben o no ejecutarse. Por analogia con el sistema de los números binarios , las variables de decisión toman un único valor entero entre O y 1. Esto es, si la actividad no se ejecuta la variable correspondiente toma el valor O, de lo contrario el valor 1. Por consiguiente el modelo matemático generalizado es:
75
LUIS ALBERTO RI NCON A BRIL
11
Oprill1i~ar(Z) = L e ,x , <
11
slljero a: L a" x , : b" ,; 1
para i = 1,2.3 ........ , 111
-
X
J
= O , si la acrividad j
/l O
es reakada ..
x J = 1 , si la acrividad j es reakada ..
Los métodos de solución desarrollados para este modelo son los siguientes.
~
Método de bifurcación y Acotación .
~
Método aditivo de Balas.
3.2.4 Ejemplo de Modelo.
Evaluación de inversiones independientes. Cuando se tiene la posibilidad de distribuir unos recursos financieros entre varios frentes de inversión , surge el problema de la Evaluación de Inversiones Independientes. Esto tiene que ver con aquellas en las cuales la ejecución de una , no impide la realización de otra u otras .
Problema general
Supóngase que se tiene una disponibilidad total de dinero K, que puede invertirse en una o varias de N alternativas posibles ; donde para la alternativa j-ésima , se requ iere I¡ dinero de la disponibilidad total y evaluada su factibilidad se obtiene un valor presente neto VPN¡ . Se desea , entonces , establecer en cuales alternativas emplear el dinero total disponible.
76
Modelo.
Se definen como variables de decisión las siguientes :
Xi = O: la alternativa j-ésima no ejecuta . Xi = 1: la alternativa j-ésima se ejecuta.
Con ello se puede estructurar el modelo en la siguiente forma:
Encontrar los valores de Xi , para todo j=1 ,2" ... ,n, tal que:
Max(VPNT) =
I" VPN j"} I~ I
" sujeto a : "L.,; / ,, x , ;<; K
,_1
= O ,si la im'ersión j no es rea lizada .. .\', = 1 ,si la illl'ersiólI j es rea kada .. x,
Como puede observarse , este modelo encaja dentro del grupo de problemas de programación entero cero uno (PECU) , por ello se desarrollará alguna técnica de solución para el (PECU) .
Método de solución.
Dado que este modelo es de una sola restricción , únicamente se presentará el método de bifurcación y acotación, pues el aditivo de Balas está desarrollado bajo el supuesto de más de una restricción .
77
LU I S 1\L13ERTO RINCON ABR IL
3.2.5 Método de bifurcación
y acotación.
Producido por Kolesar' con base en Nodos. Supone que un Nodo lleva un índice J si la alternativa J se incluye y J* si no se incluye. Un Nodo con índice (J ,K) significa que se incl uye la alternativa J y después la alternativa K, mientras que el índice (J *,K) significa que la alternativa J no se incluye pero la K sí . Cuando se llega a un Nodo, se analiza cuáles no han sido bifurcados y se procede a bifurcar aquel que resulte más conveniente para la función objetiva . Finalmente entre los Nodos que presentan solución factible debe seleccionarse el óptimo .
Ejemplo . Un grupo financiero tiene 5 proyectos ue inversión factibles . Cada
proyecto j:1,2,.. ,5 necesita una inversión Ij millones de dólares , y se ha calculado para ese proyecto un valor presente neto VPNj millones de dólares. La capacidad total de inversión es de 91 millones de dólares. El sigu iente Cuadro resume los datos asociados con cada proyecto.
CUADRO 1. Datos asociados con los 5 proyectos de inversión .
Proyecto j
Inversión Ij (Millones $US)
1 2 3 4 5
Valor Presente Neto VPN j
VPN J
p= ~-
I
J
J
54 18 60 32 13
36 24 30 32 26
1.5 0.75 2 1 0.5
El grupo fin anciero debe tomar la decisión de aceptar o rechazar cada proyecto . Cuáles proyectos se deben incluir y cu áles rechazar con el fin de maximizar el valor presente neto total? , KOLE SAR, P .. A Branch and Bound Algorilhm lo r tire Knapsck Problem. Managmenl Science. Volumen 13. 1982.
78
INVEST I(;AC ION DE OPERAC IONES PARA I NGEN I ERI AS y ADM IN ISTR AC ION DE EMPRESAS
El método requiere que las alternativas se listen en orden descendente respecto del cociente Pi , que aparece en el cuadro 1, el cual indica los millones de dólares que se reciben por millón de dólares invertidos. Con ello el Cuadro anterior queda:
CUADRO 2. Cambio de índice para cada proyecto j.
Indice Antiguo Nuevo 1 3 1 2 4 3 2 4 5 5
l· 30 36 32 24 26
VPN · 60 54 32 18 13
Pi 2 1.5 1 0.75 0.5
Obsérvese que el cociente Pi también indica los millones de dólares que se dejarán de recibir por no invertir un millón de dólares en el proyecto j.
El modelo matemático correspondiente será entonces:
Max(V) = 60X 1+54X 2 +32X 3 + 18X 4 + 13X s 30X 1 +36X 2 +32X 3 +24X 4 +26X s S 91
Xi = O Ó Xi = 1 Nodo 1: (Análisis con base en el proyecto 1). Al incluir el proyecto 1, se invierten
30 millones y se reciben 60. Como aún quedan 91-30 = 61 millones por invertir, se selecciona además el proyecto 2, que consume otros 36 millones , pero rinde 54 millones . Aún quedan por invertir 61 -36 = 25 millones. Si se incluye el proyecto 3 completo , este consum iría 32 millones , o sea 7 más de la capacidad total de inversión . Como esto no es posible y por lo tanto no es una solución factible , se asocia a este Nodo valor 60+54+32-7xl =139 que provienen de los retornos de los
79
LU IS ALBERTO R INCON ABR I L
proyectos 1 Y 2 completos y del retomo asociado 32-7xl=25 del proyecto 3, al cual se le asocia una variable fraccionaria , de allí la disminución 7P3=7xl. Se acostumbra presentar este análisis en un Cuadro de la siguiente forma:
CUADRO 3. Nodo (1)
J 1 2 3 Totales Exceso
Ij 30 36 32 98 -7 91
VPNj 60 54 32 146 -7=-7x1 139
Observaciones
Solución no Factible
El proyecto 3 excede en 7 millones la disponibilidad para inversión total , por lo que el retomo total es 7x1 millones menos.
Nodo 1*: (Análisis de la no inversión en el proyecto 1). Haciendo un procedimiento
similar al punto anterior, se puede conseguir el siguiente Cuadro :
CUADRO 4. Nodo (1 *)
J 2 3 4 Totales Exceso
Ij 36 32 24 92 -1
91
VPNj 54 32 18 104 -0.75=-1 xO. 75 103.25
Observaciones
Solución no Factible
El proyecto 4 excede en 1 millón la disponibilidad para inversión total , por lo que el retomo total es 1*0.75 millones menos .
80
INVEST IGACION DE OPE RAC IONES PARA I NGEN I ER I AS y ADM IN ISTRAC ION DE EM PRESAS
A esta altura del problema y analizando la Figura 7, es importante recordar que el método conlleva el estudio de los nodos no ramificados y la selección secuencial , entre éstos, del mejor valor de la función objetiva para proceder a ramificarlo.
Imposible
Factible
Figura 7. Diagrama de solución para el ejemplo.
Con base en lo anterior, entre los nodos no ramificados (1) Y (1 *), se selecciona el nodo (1) , puesto que 139 > 103.25 Y se procede con el análisis de los nodos (1 ,2) Y (1 ,2*).
81
L U IS A L BERTO RINCON A B RI L
CUADRO 5. Nodo (1,2)
J 1 2 3 Totales Exceso
Ij 30 36 32 98 -7 91
Observaciones
VPNj 60 54 32 146 -7=-7x1 139
Solución no Factible
CUADRO 6. Nodo (1 ,2*)
Ij
J 1 3 4 5 Totales Exceso
30 32 24 26 112 -21 91
VPNj 60 32 18 13 123 -10.5=-21xO .5 112.5
Observaciones
Solución no Factible
En la Figura 7, para los nodos sin ramificación (1 *), (1 ,2) Y (1,2*) el que tiene mejor valor para la función objetiva es (1 ,2) puesto que 139 > 103.25 Y 139> 112.5, por lo tanto se ramificará el nodo (1 ,2) . El algoritmo continúa con el estudio de los nodos (1 ,2,3) Y (1 ,2,3*).
CUADRO 7. Nodo (1 ,2,3)
J 1
2 3 Totales
I¡ 30 36 32 98
VPN¡ 60 54 32 -1000
82
Observaciones
Solución imposible
INVf'STIGAC ION DE OPERAC IONES PARA INGEN IER I AS y ADM IN ISTRAC ION DE
E~ I PRESAS
Esta solución , además de no factible , es imposible porque el nodo (1 ,2,3) indica que necesariamente se deben incluir esos 3 proyectos , con un monto de inversión mayor a la capacidad. Como esta solución es imposible se le asocia un valor a la función objetiva que garantice que no se ramifique, por ejemplo -1000.
CUADRO 8. Nodo (1 ,2,3*)
J 1 2 4 5 Totales Exceso
I¡ 30
VPN¡
36
54 18 13 145 -12 .5=-25xO .5 132.5
24
26 116 -25 91
Observaciones
60
Solución no Factible
De los 4 nodos sin ramificación (mirar Figura 7): (1 *) , (1 ,2*) , (1 ,2,3*) Y (1 ,2,3) , el nodo (1 ,2,3*) tiene el mejor valor para la función objetiva, por lo tanto se ramifica y se procede con el análisis de los nodos (1,2,3* ,4) Y (1,2 ,3* ,4*).
CUADRO 9. Nodo (1 ,2,3*,4)
J 1
2 4 5 Totales Exceso
I¡ 30
VPN ¡
36
54 18 13 145 -12 .5=-25xO .5 132.5
24
26 116 -25 91
Observaciones
60
83
Solución no Factible
LU IS A L BERTO RINCON ABR IL
CUADRO 10. Nodo (1,2,3*,4*)
J 1 2 5 Totales Exceso
J¡ 30 36 26 92 -1 91
VPN¡ 60 54 13 127 -0 .5=-1 xO .5 126.5
Observaciones
Solución no Factible
Ahora en la Figura 7 aparecen 5 nodos sin ramificación : (1 *) , (1 ,2*) , (1 ,2 ,3) , (1,2 ,3*,4) Y (1 ,2,3*,4*). Para ellos el mejor valor de la función objetiva está en (1,2,3* ,4) , por lo tanto se ramifica como: (1 ,2,3*,4 ,5) Y (1,2 ,3*,4 ,5*).
CUADRO 11. Nodo (1,2,3*,4,5)
J 1 2
4 5 Totales
J¡ 30 36 24 26 116
Observaciones
VPN¡ 60 54 32 13 -1000
Solución imposible
Este nodo presenta unas condiciones similares a las ocurridas para el cuadro 7, por lo tanto la solución es imposible . El valor, que en el anterior cuadro se asignó a la función objetiva, es debido a la solución imposible.
CUADRO 12. Nodo (1,2,3*,4,5*)
J 1 2 4 Totales
J¡ 30 36 24 90
VPN¡ 60 54 18 132
84
Observaciones
Solución Factible
INVEST IG,\C ION DE ()I'ERAC IONES P,\ RI\ INGEN I ER I,\S y I\DM IN ISTR AC ION D E EMPR ESAS
Es obvio, entender que a partir de este momento no se requieren más ramificaciones ; por lo tanto se escoge la mejor entre las soluciones factibles , que resulta ser, entonces , la óptima. En este caso:
Invertir:
30 Millones en el Proyecto 1 (índice nuevo) 36 Millones en el Proyecto 2 (índice nuevo) 24 Millones en el Proyecto 4 (índice nuevo) Lo que permitirá tener un Max(VPNT)=132 Millones.
Una manera de resumir el anterior proceso, además de la utilización mecánica del Algoritmo a través de los Cuadros , es la Figura 7.
Hay que hacer notar que el número total de posibles soluciones en este problema
.=
es ~(S) L. . = 2' ¡ c(J
k
32
, de las cuales el proceso de bifurcación y acotación
solamente examinó 10 de ellas para determinar el óptimo.
El lector podrá observar que en la medida que el número de proyectos tienda a crecer, el porcentaje de posibles soluciones, que el método de bifurcación y acotación examina , tiende a bajar, convirtiéndolo en un algoritmo eficiente.
PROBLEMA.
Para los 4 proyectos independientes del Cuadro 13, se quiere establecer 'la mejor combinación de ellos , asumiendo que los Flujos de fondos netos ocurren después
85
L U IS ,\ I.I3ERTO RI NCON ,\131< 11.
de impuestos , valor de mercado para todos igual a O, tasa mínima después de impuestos del 20% y disponibilidad total para invertir de 100 millones de dólares.
CUADRO 13: Datos (Valores en miles de dólares)
Inversión inicial Flujo de fondos (neto anual) Vida económica del proyecto (anos)
A 50000 20000 14
PROYECTO B C 20000 25000 15000 10000 12 10
D 30000 16000 8
Solución :
VPN(A)
= 20000(P/A,20%, 14) - 50000 = 42210
VPN(B) = 10000(P/A,20%, 12) - 20000 = 24392
= 15000(P/A,20 % ,10) - 25000 = 37886 VPN(D) = 16000(P/A ,20%, 8) - 30000 = 31393.6 VPN(C)
Donde el factor: (P I A, i . n ) =
( 1 + i )" - I
i( 1+ i )"
, permite calcular el valor presente neto de
una anualidad A para n períodos con una tasa de interés periódica i.
Los cuatro proyectos son Factibles , por cuanto el VPN de cada uno de ellos no sobrepasa la inversión propuesta .
Con base en los índices calculados los proyectos deben ordenarse en la siguiente forma :
86
INVEST IC; ,\C ION DE OI'E R!\C IONES I',\ I{ ,\ INl;EN IERI ,\S y
,\ D ~ II N I ST R i\C I ON
D E EMPR ESAS
CUADRO 14 . Ordenación de proyectos
Proyecto j
e B D A
Inversión Ij (Millones SUS)
Valor Presente Neto VPNj
fJ = - -' , I
25000 20000 30000 50000
37886 24392 3 1393 .6 422 10
1.5 154 1.2 196 1.0465 0.8442
1 2 3 4
VPN
,
Al través de las tab las siguien tes se usará la técnica (Al gori tmo) descrita en el ejemplo anterior.
CUADRO 15. Nodo (1)
J
Ij
1
25000 20000 30000 50000 125000 -25000 100000
2 3 4 Totales Exceso
VPNj 37886 24392 3 1393.6 422 10 13588 1.6 -2 11 05=-25000xO.8442 114776.6
Observaciones
Solución no Factible
CUADRO 16. Nodo (1 *) J 2 3 4 Totales
I¡ 20000 30000 50000 100000
VPN ¡ 24392 3 1393 .6 422 10 97995.6
Observaciones
Solución Factible
Analizando la Figura 2, entre los nodos (1) y (1*) , se debe ramificar a (1) y anal izar (1 ,2) Y (1 ,2*).
87
LU IS I\ Ll lERTO RINCON i\BR IL
CUADRO 17. Nodo (1 ,2)
J 2 3
4 T otales Exceso
I¡ 25000 20000 30000 50000 125000 -25000 100000
VPN ¡ 37886 24392 3 1393 .6 422 10 13588 1.6 -21 105=-25000xO .8442 11 4776.6
Factible
Observaciones
Solución no Factible
Imposible
Figura 8. Diagrama de solución para el problema.
88
INVEST IG /\CION DE OPERAC IONES P,\Ri\ INGEN IER I AS y
i\D~ II N I S T RAC I ON
DE
E~ I P R ESAS
CUADRO 18. Nodo (1,2*)
J 1 3 4 Totales Exceso
I¡ 25000 30000 50000 105000 -5000 100000
VPN ¡ 37886 31393.6 42210 111489.6 -4221 =-5000xO. 8442 107268.6
Observaciones
Solución no Factible
Se debe ramificar el nodo (1 ,2) en (1 ,2,3) Y (1 ,2 ,3")
CUADRO 19. Nodo (1,2,3)
J 1 2 3 4 Totales Exceso
I¡ 25000 20000 30000 50000 125000 -25000 100000
VPN ¡ 37886 24392 31393 .6 42210 135881.6 -21105=-25000xO.8442 114776.6
Observaciones
Solución no Factible
CUADRO 20. Nodo (1,2,3*)
J 1
2 4
Totales
25000 20000 50000 95000
VPN ¡ 37886 24392 42210 104488
Observaciones
Solución Factible
Del análisis de la Figura 8, con base en los valores para la función objetiva , es claro que se debe ramificar el nodo (1 ,2,3) Y proceder a analizar los nodos : (1 ,2,3,4) Y (1 ,2, 3,4*) .
89
LU IS ,\LBERT O RINCON ,\ BRIL
CUADRO 21. Nodo (1,2,3,4)
J
1 2 3 4 Totales
25000 20000 30000 50000 125000
VPN ¡ 37886 24392 31393.6 42210 136881 .6
Observaciones
Solución imposible
Este nodo es imposible porque exige tener en cuenta las 4 alternativas , obligando a sobrepasar la disponibilidad .
CUADRO 22. Nodo (1 ,2,3,4*)
J 1
2 3 Total es
25000 20000 30000 75000
VPN, 37886 24392 31393 .6 93671 .6
Observaciones
Solución Factible
De las 3 soluciones factibles , Cuadros 16, 20 Y 22 , (mirar Figura 8) , la óptima corre sponde al nodo (1 ,2,3*) del Cuadro 20 , que establece realizar las inversiones 1,2,4 que corresponde con los proyectos C, B, A, esto es:
Invertir:
25 millones de pesos en el Proyecto C 20 millones de pesos en el Proyecto B 50 millones de pesos en el Proyecto A Lo que genera un Max(VPNT)
= 104488 millones de dólares .
90
IN\ I S'II (;'\C ION 1)1. 0 1' 11< \C IONES P,\ R,\ ING L N IERI ¡\S y
,\D~ II N I S 'I
R,\C ION DE H IPRES ,\S
3.3 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
1, Program ación Entera. 1.1. Use la herramienta Solver de Ex cel para resolver el problema 2.2 de los camiones con espacio refrigerado y no refrigerado de la sección 2.9. 1.2. Una empresa de investigación en Relaciones Industriales debe desarrollar para el próximo semestre al menos 35 proyectos A (sobre capacitación de personal) y 36 proyectos B (sobre seguridad industrial). La experiencia muestra que un profesional en Administración puede desarrollar en el semestre 7 proyectos A y 9 proyectos B mientras que un Tecnólogo en Administración puede desarrollar en el semestre 5 proyectos A y 4 proyectos B.
Cada Tecnólogo devenga un salario
men sual de $1800000 y cada profesional 3100000 . 1,2,1. Escriba el modelo matemático correspondiente , 1.2.2. Cuántos tecnólogos y profesionales debe dedicar al trabajo del próximo semestre . 1,3.
(Tomado de Taha, Investigación de Operaciones, Editorial Alfaomega. 1991). Considere el problema de carga o problema de la mochila . Suponga que se van a cargar cinco tipos de artículos en un barco. El peso W¡, el volumen Vj y el rendimiento R¡ por unidad de los diferentes artículo son los siguientes:
Artículo j PesoW Volumen VI Inqreso R
1
5 1
4
2 8 8 7
3 3 6 6
4 2 5 5
5 7 4 4
El pe so y el volumen máximo que se puede cargar están dados por 112 y 109 unidades, 1.3.1. Escriba el modelo matemático correspondiente. 1.3.2. Determine la carga que produce el mayor ingreso.
91
L UIS A LB ERTO RI NCON A J3RIL
1.4. La tabla siguiente muestra que las máquinas 1 y 2 pueden fabricar los artículos A
y B mientras que la máquina 3 únicamente produce el artículo A. La empresa dispone de una semana para cumplir un pedido de 2000 unidades del artículo A y 1800 unidades del artículo B. Si los precios de venta son 2000 $/ unidad para A y 1500 $/unidad para B.
Máquina 1
Costo en $/unidad Artículo Artículo A B 1000 800
2
600
3
700
600
Capacidad de producción semanal 900 artículo A ó 900 artículo B 800 artículo A ó 1200 artículo B 2000 artículo A
1.4.1. Escriba el modelo matemático correspondiente. 1.4.2. Determine el plan de producción.
2. Programación Binaria.
2.1. Use la herramienta Solver de Excel para resolver el problema de los cuatro
proyectos independientes del Cuadro 13 resuelto en este capítulo. 2.2.
Una compañía debe adquirir al menos 500 Ton de materia prima, tiene las siguientes ofertas:
Proveedor Cantidad (Ton) Costo total (Dólares)
A 150 15000
B 200 18000
C 180 18000
D 240 21000
E 300 27000
El costo total incluye transporte, seguros y la materia prima. No se pueden adquirir cantidades parciales. Si se requiere satisfacer las necesidades a costo mínimo: 2.2.1. Escriba el modelo matemático correspondiente. 2.2.2. Cómo deben ser las compras?
92
2.3. CO IC, Contratistas de obras de Ingeniería Civil , tiene la posibilidad de contratar o no cada uno de los seis proyectos para los cuales se muestra en la tabla
siguiente, los ingresos derivados y los costos globales, los cuales no se pueden transferir de un rubro a otro. La empresa hará los contratos que le signifiquen el mayor Ingreso neto total. 2.3.1. Escriba el modelo matemático correspondiente. 2.3.2. Determine el plan de contratros.
Costo de (Miles de SUS) Proyecto
Alquiler de Maquinaria
Mano de obra
Maleriales
Otros
1 2 3 4 5 6 Disponibilidad (Miles de $ US)
100 60 40 120 20 60 310
60 40 40 70 10 20 180
200 100 100 180 30 100 520
20 10 10 20 8 15 70
93
Ingreso Total (Miles $ US) 480 290 280 480 120 300
4. EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE .
Una vez Dantzig formula el método Simplex, el problema del transporte se consolida como una de las primeras y más provechosas aplicaciones de la Programación Lineal. Pero antes de que se llegara a formular el concepto de Programación Lineal , fue establecido, formulado y resuelto originalmente por Hitchcock y posteriormente analizado en detalle por Koopmans . La formulación de su modelo de Programación Lineal y el método sistemático asociado de solución , fueron producidos inicialmente por Dantzig.
Tiene que ver con encontrar un
plan de costo mínimo para transportar una
mercancía desde varios orígenes hasta varios destinos. Este modelo se puede extender para resolver numerosas aplicaciones que no se relacionan con el transporte dentro de los problemas de control de inventarios, flujo de efectivo, asignación de recursos.
La técnica de cálculo , llamada Algoritmo del Transporte , es una adaptación del método
Simplex aplicada
al
Programación Lineal asociado.
caso
o estructura
particular del
modelo
de
Aunque el modelo de este problema se puede
resolver mediante el método Simplex , su estructura especial hace posible el uso de un procedimiento especial o Algoritmo del Transporte , cuya característica más notable es que mientras los problemas de Programación Lineal requieren unos cálculos que exigen con frecuencia el uso de un computador, el problema del transporte solo "necesita de papel y lápiz para su solución".
94
INV rS I IG i\CION DE OPERAC IONES P,\Ri\ INGEN IERI ¡\S y
i\D~ II N I ST R I \ C I ON
1)1: U IP RES ,\S
4.1 DEFINICiÓN DEL PROBLEMA DEL TRANSPORTE.
La figura 9 muestra que el problema consiste en calcular el número de unidades
X¡j
que deben enviarse desde cada origen i-ésimo hasta cada destino j-ésimo , si el costo unitario de transporte entre éstos es
c¡j
y cada destino demanda b j unidades
mientras que cada origen dispone a¡ unidades .
Orígenes
Destinos X 11
, C 11
Figura 9. Representación gráfica del problema del transporte.
4.2 MODELO DEL PROBLEMA DEL TRANSPORTE.
4.2.1 El Problema de decisión.
Calcular el número de unidades que se deben enviar desde cada uno de los orígenes hasta cada uno de los destinos, atendiendo la demanda de los destinos y las ofertas de los orígenes para minimizar el costo total de transporte.
95
1 1 ' 1\ \1
¡;I.I~
1() 1< 1r>:( '()'\J ,\1l1< 11.
4.2.2 Variables de decisión.
X ij :
Cantidad que será enviada desde el origen i-ésimo (i=1 , .... ,m) hasta el destino j-ésimo (j=1 , .... ,n).
4.2.3 Func ión Objetiva.
Expresión matemática que calcula el costo total de transportar las de las rutas
i ~j .
Se supone que
C ij
11
M in (C) =
111
IIci¡ Xi¡ j= l i= l
4.2.4 Restricciones.
Las unidades despachadas desde cada origen i-ésimo
'1 ::; (/ i
~
a¡
X l1 + X 12 + X 13 + ...... + X 1n
:::::
a 1
X21 + X22 + X23 + ...... + X2n
:::::
a2
11
IX
por cada una
es el costo de transportar una unidad desde el
origen i hasta el destino j,
Esto es:
X ij
para i= 1,2, .... ,m
¡=l
96
IN\ I S II( ;,\CION 111e OI'FRACION I .S 1' ,\1, /\
I N(~ le N II : RI ,\S
y
i\1)~ II N I STR¡\CION
Las unidades despachadas hasta cada destino j-ésimo
~
DI:
E~ IPRE S¡\S
bj
111
" X /1 ? b1 para J'- 1 ,2 ,.... ,n Est o es.. L.. ,~I
4.2.5 Modelo de Programación Lineal.
11
Mill(C)
111
= ¿ ¿ c¡¡ X ¡i i=1 i=1
11
Sujeto a:
¿ X ii ::;
O¡
para i=1 ,2,.... ,m
) =1
111
¿X I} ?b ¡
paraj=1,2 ,.... ,n
;= 1
Xij 2 O para todo i,j
4.2.6 Particularidad.
Aunque para satisfacer totalmente la demanda debe tenerse :La;
~
:Lb j , el algoritmo
de solución parte de un modelo expresado de tal manera que todas las restricciones generadas por la oferta y la demanda resulten igualdades. Por lo tanto:
97
LU IS ,\I.13ERT O RINCON .\13 RI I.
D Si I a¡ > I b¡ se introduce un destino artificial que demande b n+1= I a ¡ - I b¡. D Si I a¡ < I b¡ se introduce un origen artificial que ofrezca a m+1 = I b¡ - I a ¡.
En ambos casos se puede asignar coeficientes de costos iguales a cero y el problema se reduce a:
11
Min(C)
111
= ¿ ¿ Ci¡ X i¡ ¡=I i= 1 1/
¿ X i/ =Oi Sujeto a:
j= 1 111
L X ;i =b j ;= 1
XIJ" -> O
4.3 MÉTODO DE SOLUCiÓN DEL PROBLEMA DEL TRANSPORTE.
4.3.1 Tablero para el Algoritmo de solución.
DESTINOS ORIGEN ES
1
~
1
X11
2 X21
3 X 31
M
~
~
~
X 12 X22 X 32
~
~
L
L
~
L
L
~
L
L
L
L
X13 X23 X 33
n
~
L
L
L
~
~
~
Xm1 Dema nd a
3
2
b1
Xm2
Xm3
b2
b3
L
L
Oferta
X1n X2n
~
a1
~
a2
.~
L .~
Xmn bn
98
a3
X3n am
IN\ ' I: ST lló¡\C ION DI. O PLR ,\C IONr.S P,\ Ri\ INGEN I ICRI ,\S y
,\D~ II N I STR¡\ Cl ON
DE
E ~ I PR ES¡\S
4.3.2 Solución inicial.
Existen varios métodos para obtener una prime ra solució n básica factible , pero entre ellos se destacan: Método de la Esquina Noroeste, Método sucesivo del menor costo un itario y Método de aproximación de Vogel.
4.3.3 Método de la Esquina Noroeste.
Se inicia en la esq uina Noroeste , esto es , co n la variable X 11 asignándole el mayor valor posib le. Sucesivamente se desp laza hacia el Este (derecha) o Sur (abajo) hasta llega r a la esq uina Sureste asig nando todo el flujo posible. Significa lo anterior que la primera asignación se rá: X 11 = Menor(a1 , b 1)
4.3.4 Método sucesivo del menor costo unitario.
Se inicia con el Menor(ci¡ ), esto es , a la correspond ien te variable Xii se le asig na el mayor valor posible. Su cesivamente se procede de esta manera hasta asig nar todo el flujo po sible .
Significa lo anterior que la primera asignación será: Xii
= Menor(a i ,
b¡) para el
Menor( Ci¡ ).
4.3.5 Método de aproximación de Vogel.
Es un procedimien to heurístico que suele producir una primera solución mejor que los dos anteriore s; pues con frecuencia ésta resul ta una so lución óptima o cercana a la óptim a. Los pasos del procedimien to son los siguien tes:
99
I 1I 1S 1\ 1 B I RTO RINCON AB RI L
(a) Paso 1. Se calcula una penalización para cada fila (y columna) restando el
menor elemento de costo de la fila (columna) del elemento de costo menor siguiente en la misma fila (columna). (b) Paso 2 . Se identifica la fila o columna con la mayor penalización , los empates se rompen arbitrariamente. Se asigna el mayor va lor posible en la fila o columna
seleccionada
con
el
costo
uni tario
más
bajo
de
la
misma .
Sucesivamente se procede de esta manera hasta asignar todo el flujo posible.
Ejemplo. Tres centros de producción (orígenes) de una misma empresa , ubicados en sitios diferentes , abastecen cuatro distribuidores (destinos) . La tabla siguiente muestra
los
costos
unitarios
de
transporte
desde
los
productores
a
los
distribuidores , las cantidades ofrecidas por los productores y las demandadas por los distribuidores. Presente una solución inicial para realizar los envíos , si la empresa desea optimizar los costos totales del transporte.
DESTINOS
ORIGEN ES
1
Xl l 2
X2l 3
X31 Demanda
2
1
~
~
L--º-
100
X12 X22 X32
~ ~
300
X13 X23 X33
Ofe rt a
4
3
L--º-
~
lJJL LR
X14 X24 X34
~
300
~
500
~
100
200
300
Solución inicial por la Esquina Noroeste.
Primera asignación: X ll = Menor(al , b l ) = Menor(300,1 00)= 100 Segunda asignación: X 12 = Menor(200 ,300)=200 Tercera asignación: X22 = Menor(500 ,100)=1 00 Cuarta asignación: X23 = Menor(400 ,300)=300
100
INVESTIGAC ION DE OPERACIONES PAR I\ I NGEN I ER I AS y ADM IN ISTR AC ION DE EMPRESAS
Quinta asign ación : X24 = Menor(1 00 ,200)=1 00 Sexta asign aci ón : X33 = Menor(100 ,100)=100
Ahora el flujo de unidades se ha completado tal como lo muestra la tabla siguiente . DESTINOS ORIGENES
2
1
~
1 100
2
3 Demanda
Oferta
4
3
~
~
~
300
~
500
~ 100 200
100
200
~ ~ 100
100
~ ~
300
300
U-ª--~
300
100
Costo = 20x1 00 + Ox200 + 14x1 00 + 18x300 +40x1 00 + 36x1 00 = 16400
Solución inicial por el menor costo unitario.
El costo menor se tiene para C1 2 = C31 = O, luego: Primera asignación : X 12 = Menor(a1 , b 2) = Menor(300 ,300)=300 Segunda asignación : X31 = Menor(1 00 , 100)=1 00 El costo menor siguiente es C22 = 14, pero no hay un idades para asignar a X 22 · El costo menor siguiente es C23 = 18, luego: Tercera asignación será : X 23 = Menor(500 ,300)=300 Para los costos menores siguientes C11 = 20 , C32 = 28 , C33 = 32 , C34 = 36 , no hay unidades para asignar a X 11 , X32 , X33 , X34 . Cuarta asignación será: X24 = Menor(200 ,200)=200
Ahora el flujo de unidades se ha completado tal como lo muestra la tabla siguiente .
lOJ
L U IS ALBERT O RINCON ABR IL
DESTINOS ORIGEN ES
2
1
~
1
300 ~
2
3
100 l-º---
Demanda
Costo
100
~
~
300
~
300
Oferta
4
3
l-º---
Ll-ª---~
200
~
300
~
500
~
100
200
300
= Ox300 + 18x300 +40x200 + Ox 100 = 13400
4.4 ALGORITMO DEL PROBLEMA DEL TRANSPORTE.
4.4.1 Método de los Multiplicadores.
Basado directamente en el método Simplex mediante el uso de la relación existente entre el problema Dual y Primal del modelo de Programación Lineal.
4.4.2 Método de "salto de piedras".
Es equivalente al anterior, pero se basa indirectamente en el método Simplex haciendo uso de un procedimiento heurístico que da la sensación de que no se aplica una técnica de Programación Lineal. Los pasos del procedimiento son los siguientes :
(a) Paso 1. Se ubica en la tabla el mayor elemento de costo al que se están transportando unidades , por ejemplo c pq . Entre los costos unitarios de la fila p y
102
INVES1 IGAC IO N DE OPER AC IONES PA RA ING EN I ER I,\ S y
A D ~ I I N I S TR AC I O
DE EMPR ES ,\ S
columna q se selecciona el menor, por ejemplo c pr . Significa que se intentarán
ubicar un idades del flujo pq al flujo pr o (b) Paso 2. Como el elemento de menor costo está en la misma fila p, entonces en la columna r, se busca un valor X kr > O con costo
(e) Paso 3. Se identifica el costo
Ckq,
Ckr .
que cierra un ciclo tal como lo muestra la
figura 10, para compensar las unidades cambiadas del flujo pq al flujo pr , trasladando del flujo kr al flujo kq . (d) Paso 3. Si ~ C= -
C pq
+
C pr - Ckr
+
Ckq
< O, entonces cambiar el mayor
número de unidades posibles según el flujo de la figura 10.
Este procedimiento se repite sucesivamente hasta que para el paso 1, no sea posible ubicar un costo menor por fila o columna.
Fi gura 10. Gráfica para el cambio de flujo en el tablero de transporte.
Ejemplo. Para el caso de los tres centros de producción (orígenes) y los cuatro
distribuidores (destinos) tratado en la sección anterior, pártase de la solución inicial encontrada por la esquina Noroeste y obténgase la solución óptima.
103
LU IS c\LBERTO RINCON f\BR I L
Solución inicial por la Esquina Noroeste. DESTINOS ORIGENES
1
2
L~ 100 ~
3
L--º----
1
Costo
~
100
Demanda
100
~
2 OO L--º----
~
300 ~
300
Oferta
4
3
2
~
300
100
~
300
~
500
~
100
100 200
= 20x1 00 + Ox200 + 14x1 00 + 18x300 +40x1 00 + 36x1 00 = 16400
(1,2)
(1,4)
- (2,2)
(2,4) ~c=
- 40 +
14 - O + 22
=- 4
Figura 11. Cambio de flujo de unidades del tablero inicial.
La figura No . 11 muestra que el costo se disminuye en 4 unidades de dinero por cada elemento que se cambie desde la ruta 2,4 a la ruta 2,2 y se compense cambiando de la ruta 1,2 a la ruta 1,4. El análisis de estas rutas en el tablero anterior presenta la posibilidad de mover 100 unidades de la ruta 2,4 a la ruta 2,2 y compensar cambiando 100 unidades de la ruta 1,2 a la ruta 1,4. La nueva solución aparece en el tablero siguiente .
104
INVESTIG /\C ION DE OPERAC IO ES PARA I NGEN IER I AS y
AD~ II N I STRAClON
DE EMPRESAS
Segundo tablero DESTINOS ORIGENES
1
1 100
2
l?iL
100 ~
~
Demanda
~
100
~
~
200
3
4
3
2
~
100
Oferta
~
300
~
500
~
100
300
l1.ª-300
LR 300
100 200
Costo = 20x1 00 + Ox1 00 + 22x1 00 + 14x200 + 18x300 + 36x1 00 = 16000
(1,1)
(1,4)
(3,1)
(3,4) ~c=
- 36 + O - 20 + 22 = - 34
Figura 12. Cambio de flujo de unidades del segundo tablero.
La figura No. 12 muestra que el costo se disminuye en 34 unidades de dinero por cada elemento que se cambie desde la ruta 3,4 a la ruta 3,1 Y se compense cambiando de la ruta 1,1 a la ruta 1,4. El análisis de estas rutas en el tablero anterior presenta la posibil idad de mover 100 unidades de la ruta 3,4 a la ruta 3,1 Y compensar cambiando 100 unidades de la ruta 1,1 a la ruta 1,4. La nueva solución aparece en el tablero siguiente.
105
L UIS A I. BE RTO RINCON AB RIL
Tercer tablero DESTINOS ORIGEN ES
1
~
1
~ 200
100 ~
3 Demanda
Costo
100
300 ~
300
Oferta
4
~
100 ~
~
2
3
2
~
300
l.!-ª--
~
500
LR
~
100
200
300
200
= Ox1 00 + 22x200 + 14x200 + 18x300 + Ox1 00 = 12600
El análisis sucesivo para los ciclos de los posibles cambios de flujo que co rrespond en con los costos unitarios
C1 4
= 22 ,
C23
= 18 Y C 22 = 14, conducen a la
conclusi ón que no se pueden disminuir los costos , por lo tanto el tablero anterior presenta la solución de menor costo total. SOLUCiÓN ÓPTIMA:
X 12
=100.
Enviar 100 unidades desde el origen 1 al destino 2.
X 14 = 200. Enviar 200 unidades desde el origen 1 al destino 4. X22 = 200. Enviar 200 unidades desde el origen 2 al destino 2. X23
=300.
Enviar 300 unidades desde el origen 2 al destino 3.
X31
=100.
Enviar 100 unidades desde el origen 3 al destino 1.
X 11 = X 13 = X 21 = X24 = X32 = X 33 = X34 =0
Mín(C)
=12600
4.5 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
l . Un intermedia rio del mercadeo agropecuari o tie ne soli citu des (demanda) de 4 centros de acopio por las ca ntidades de un determin ado producto qu e se muestran en la tabla. El
106
INVEST IG ,\C IO N DE OPERAC IONES PA RA INGEN I ERI AS y
AD~ II N I ST R AC I ON
DE
E~ I P R ESAS
intermediario puede conseguir este producto en 2 regiones diferentes y en las cantidades ofrecidas por los producto res. La tab la muestra , además de las cantidades ofrecidas y demandadas, el costo en miles de pesos de transportar una tonelada entre cada lugar de producción y cada cent ro de acopio. Si el intermediario considera la posibilidad de realizar todo el transporte requerido al menor costo posible, cómo debe hacerlo?
Región Productora 1 2 Demanda
1
16 20 1500
Centros de acopio 2 3
20 18 1500
20 26 1500
4 18 28 1000
Oferta
2400 3600 (Toneladas)
2. Tres refinerías con capacidades diarias máximas de 6, 8 Y 10 millones de galones de gasolina reparten a cuatro áreas de distribución con demandas diarias de 4, 5, 8 Y 7 millones de galones de combustible. El transporte se hace al través de una red de tuberías. El costo del transporte se calcula con base en la longitud de la tubería aproximadamente a $2 por 100 galones po r kilometro recorrido. La tabla sigu iente muestra las distancias entre las refinerías y las áreas de distribución. La refinería 3 no está conectada con el área 1. Si se considera la posibilidad de realizar todo el transporte requerido al menor casio posible , cómo debe hacerse? Area de distribución Refinería
1 2 3
1 120 200
2
3
4
180 300 150
200 100 250
180 150 100
3. Considere el problema de asignar cuatro categorías diferentes de máquinas y cinco tipos de tareas de tal manera que las utilidades totales re sulten óptimas. La tabla siguiente muestra las utilidades unitarias en miles de pesos, el número de máquinas disponibles, el número de trabajos en los tipos de tareas . La categor ía de máquina 4 no se puede asignar al tipo de tarea 4.
107
LUIS I\Ll3ERTO RINCON ABR IL
Categoría de máquina 1 2 3 4 Número de trabajos
1 20 15 30 40 20
Tipo 2 8 20 15 30 20
de tarea 3 4 12 30 30 8 28 14 26 30 10
108
5 18 12 30 16 25
Número de Máquinas disponibles 25 30 20 30
5. EL PROBLEMA DE ASIGNACiÓN
El problema de asignación puede considerarse un caso especial de aplicación de la
programación lineal en el que los elementos asignados son recursos
destinados a la realización de actividades. Por ejemplo, los elementos asignados pueden ser nuevos empleados contratados por la compañía . La asignación de personas a tareas es una de las aplicaciones más frecuentes del problema de asignación. Igualmente, los elementos asignados pueden ser máquinas, vehículos, plantas o lapsos de tiempo.
5.1 MODELO DEL PROBLEMA DE ASIGNACiÓN.
5.1.1 Problema de decisión.
Determinar cómo asignar cada uno de los elementos (asignados i =1 ,2 ,3, ........ ,n) a cada una de las actividades (localidades j =1 ,2,3, ..... ,n), de tal manera que a cada localidad le corresponda uno y un solo asignado si para cada actividad existe un coeficiente de efectividad y se debe optimizar la efectividad total.
Los problemas de asignación se ajustan a la siguiente estructura:
~
El número de elementos asignados es igual al número de actividades .
~
Cada elemento se asigna exactamente a una sola actividad.
~
Cada actividad debe ser realizada por un solo elemento asignado.
109
L U IS ALBERTO RINCON ABRIL
~
Se dispone de coeficientes
C ij ,
que miden la efectividad de asignar el elemento i
= 1,2,... ,n a la actividad j = 1,2, ...,n. Cualquier problema que satisface todas estas suposiciones se puede resolver en forma extremadamente eficiente mediante los algoritmos diseñados especialmente para los problemas de asignación. Las primeras tres suposiciones son muy restrictivas. Muchos problemas no las cumplen por completo. Sin embargo , con frecuencia es posible reformular la aplicación para hacerlo . Se pueden usar elementos asignados o actividades ficticias.
5.1.2 Var iables de decis ión .
El modelo matemático para el problema de asignación utiliza las siguientes
variables de decisión :
X '1
={
1.
O.
si ({sig ila i ({ lo loca lidac! j } 11 0
({ sigila i a la localidad j
para
. I
= 1, 2, . . . , n
.
Y J = 1, 2, ... , n.
Entonces , cada X ij es una variable binaria (toma valores O ó 1) Y el problema de asignación , es un caso particular de programación entera cero-uno .
5.1. 3 Función Objetiva. Corresponde a la función que calcula la efectividad total. Debe disponerse del coeficiente
Cij ,
que mide la efectividad de asignar el elemento i a la localidad j .
Entonces:
110
INVEST IGAC ION DE O PER /\C IONES PARA I NGEN I ER I AS y i\DM IN IST RAC ION DE EM PR ESAS
11
JI
Op t (Z)
= ¿ ¿ Cij X i¡ j=1
i=1
5.1.4 Restricciones.
Las asignac iones para cada elemento = 1
X 11 + X 12 + X 13 + ...... + X 1n X21 + X22 + X23 + .... .. + X2n
1 1
1/
Esto es:
¿ X ij = J
para i=1,2,.... ,n
j= 1
Las asig naciones en cada localidad = 1
X 11 + X2 1+ X31 + ... ... + X n1 X 12 + X22 + X32 + .... .. + X n2
=
1
X 1n + X2n + X3n + .... .. + X nn
=
1
11
Esto es:
1
I X = 1 pa ra j= 1,2,.... ,n Íj
i=1
5.1.5 Modelo de Programación Lineal.
1/
Op /(Z)
1/
= ¿ ¿ cij X ij j=1
111
i=1
LU IS I\ L BERTO RINCON ABRI L
1/
Sujeto a:
L X li =]
para i=1 ,2,.... ,n
j=1
11
L Xi¡ =1
para j= 1,2, .... ,n
;= 1
X '1
1, si asig /l o i o lo loco lidod j } .. para todo I,J { 0, /l O {/sig /lo i a lo loca lidod j
El primer conjunto de restricciones precisa que cada asignado realiza exactamente una asignación , mientras que el segundo conjunto muestra que se requiere que cada asignación sea rea lizada por un asignado.
5.2 MÉTODO DE SOLUCiÓN DEL PROBLEMA DE ASIGNACiÓN .
Al comparar este modelo con el problema del transporte , se observa que sus estructuras son similares. De hecho, el problema de asignación es sólo un caso especial de los problemas de transporte en donde los orígenes son los asignados y los destinos son las asignac iones, tareas o localidades , que
cumple : ~
Número de orígenes (m) = número de destinos (n) ,
~
Cada oferta a¡ = 1
~
Cada demanda b¡ = 1.
Así que para la solución de este problema se puede recurrir a la Programación Entera Cero Uno (PECU) o al Algoritmo del Transporte bajo condiciones especiales, aunque se han desarrollado algoritmos especiales que simplifican el procedimiento para la solución exclusiva de los problemas de asignación . Estos algoritmos operan directamente sobre la tabla de coeficientes de efectividad y no se preocupan por las variables básicas.
112
INVESTIGAC ION DE OPE RAC IONES P¡\ RA I NGEN IERI AS y
AD~ II N I S TR AC I ()N
DE
E~ IPR ESAS
Si se recurre a la Programación Entera , debe escribirse el modelo matemático y luego procederse mediante el método de bifurcación y acotación o la aplicación SOLVER de Microsoft Excel. Si se recurre al Algoritmo del Transporte, debe partirse del tablero de coeficientes de efectividad y restricciones , en donde cada una de éstas será ai = 1 o bj = 1; enseguida encontrar una solución inicial por esquina noroeste o costos menores sucesivos y posteriormente usar el método de "salto de piedras" para llegar a la solución óptima . En este caso los valores que se asignan a cada Xij tienen que ser binarios . Tablero para el Algoritmo de solución.
Localidades Asignados
2
1
1
X11
2 X21
ls.L ~
X 12
Xn
~
3 X31
X32
L N Xn1
1
~
~
L52R
X13 X23 X33
L Xn2
1
n
3
~
~
X n3
lsL
L
L
~
L
L
~
L
L
L
L
L
Ls&
L
L
1
X1n X2n X 3n
~
1
~
1
~
1
L Xnn
~
1
1
El siguiente ejemplo se refiere a máquinas que se asignan , de manera que la tarea en este caso es disponer una máquina.
Ejemplo de asignación de máquinas a trabajos.
Un tal ler ha contratado la
producción de cuatro piezas y entre sus tornos dispone cuatro con capacidad para la producción de las mismas. La tabla siguiente muestra
los tiempos de
elaboración en horas para cada una de las piezas en cada una de las máquinas. Cómo deben asignarse las máquinas al trabajo para lograrlo en el menor tiempo posible?
113
L UIS ,\ Lll mTO RI NCON ABR IL
Piezas Torno T1 T2 T3 T4
P1 26 34 20 18
P2 32 20 14 16
P3 24 34 22 24
P4 18 40 12 14
Solución. Utilizando el método de los menores costos sucesivos se obtiene la solución inicial siguiente:
P1 T1 T2
P2 ~
LR
P3 ~
~
~
~
~
~
~
l!-ª-
~
1
T3
U-ª--
T4 1
1 1
P4
1
1
1
U-ª--
1
~
1
~
1
~
1
1
Tiempo total de operación de los Tornos: T =24+34+ 12+ 16 = 86 Horas x Máq
Aplicando el método de "salto de piedras" para el coeficiente de efectividad más alto (T2,P1) , se obtiene la siguiente tabla:
P1 T1
T2 T3 T4
P2
LR
P3 ~
~
~
~
L!±-
lR
L1-ª--
~
~
~
~
1 1
1
1
P4
1
1
1
1
IJ4
U-ª--
1
~
1
~
1
~
1
IN\ ' ES'II(;,\C ION DE OPER ,\C IONES P,\R ,\ INGE IER I,\S y
AD~ II N I STRAC I O
DE
E~ I PRES ,\S
Tiempo total de operación de los Tornos : T =24+20+ 12+ 18 = 74 Horas x Máq
El análisis de la tabla anterior, mediante el mismo método, muestra que la anterior es la solución óptima; esto es:
Asignar T1 a la actividad de producir la pieza P3. Asignar T2 a la actividad de producir la pieza P2 . Asignar T3 a la actividad de producir la pieza P4. Asignar T4 a la actividad de producir la pieza P1 . Mín(T)
= 74
Horas x Máq.
Se acostumbra resolver este tipo de problemas mediante un Algoritmo especial que usa la metodología del ejemplo anterior, únicamente considerando la tabla de costos , tal como se observa a continuación.
Piezas Torno T1 T2 T3 T4
P1 26
P4 32 \,24} 18 ( 34) 20 34 4Q 22 (12 ~ A 18 \. 16) 24 14 P2
A
Piezas Torno T1 T2 T3 T4
P1 26
P2
A
Jg
\,24}
P4 18
34
4Q.
22 24
(12 14
( 20) 20 14 16 ( 18) 34
--
liS
LU IS A LBERTO RINCON ABR IL
Ejemplo
de asignación de personas a tareas. Una compañía ha contratado
cuatro nuevos gerentes de marcas para el mercadeo de sus cuatro nuevos productos. La empresa realizó para estas personas un curso de capacitación y los sometió a una prueba de rendimiento; los resultados obtenidos, en una escala de O a 100, se muestran en la siguiente tabla. Si la Presidencia de la Compañía desea realizar la asignación de los cuatro nuevos ejecutivos sobre la base de la mayor evaluación promedia , cómo debe hacerlo?
Ejecutivo E1 E2 E3 E4
Nuevo Producto P3 P2 80 60 50 60 70 50 70 80
P1 90 90 70 60
P4 50 50 60 80
Solución por Algoritmo reducido . En la tabla siguiente se muestra la solución inicial, indicando con el símbolo Ellas evaluaciones escogidas o personas asignadas a cada gerencia de marca . Como el problema consiste en maximizar, se ha usado sucesivamente , el método de los mayores coeficientes.
Ejecutivo E1 E2 E3 E4 De
conformidad
con
esta
P1 90 90 70 60 solución
"
Nuevo Producto P2 P3 60 80 50 60 70 50 80 70
"
inicial,
deben
asignaciones:
El Ejecutivo E1 a la gerencia de marca del producto P1 . El Ejecutivo E2 a la gerencia de marca del producto P4 . El Ejecutivo E3 a la gerencia de marca del producto P2.
11 6
"
P4 50 50 60 80
hacerse
"
las
siguientes
I VrST ll; ¡\C ION DE OPERAC IONES P¡\Ri\ INGrN IERI ¡\S y
¡\D~ II N I ST R AC I O
D E EMPRESAS
El Ejecutivo E4 a la gerencia de marca del producto P3.
Rendimiento promedio = R =
(90 + 50 + 70 + 80) = 72 .5
)4
Aplicando el método de "salto de piedras", el P4 se puede asignar a E4 y P3 a E2 , puesto que "" RTctal
= -50 + 80 -
80 + 60
Ejecutivo E1 E2 E3 E4
Rendimiento promedio = R =
)4
= + 1O, para obtener la siguiente solución:
P1 90 90 70 60
"
Nuevo Producto P2 P3 60 80 50 60 70 50 70 80
"
"
P4 50 50 60 80
"
(90 + 60 + 70 + 80) = 75
En la tabla anterior se observa que P3 se puede asignar a E1 y P1 a E2 , puesto que ""RTctal
= -60 + 80 -
90 + 90
Ejecutivo E1 E2 E3 E4
Rendimiento promedio = R =
)4
= + 20 , para obtener la siguiente solución:
P1 90 90 70 60
"
Nuevo Producto P2 P3 60 80 50 60 70 50 70 80
"
"
P4 50 50 60 80
"
(80 + 90 + 70 + 80) = 80
El Análisis de esta tabla por el método de "salto de piedras", conduce a concluir que ésta presenta la solución óptima , lo cual significa:
El Ejecutivo E1 a la gerencia de marca del producto P3 . El Ejecutivo E2 a la gerencia de marca del producto P1 .
117
L U IS ALBE RTO RI NCON I\BRIL
El Ejecutivo E3 a la gerencia de marca del producto P2. El Ejecutivo E4 a la gerencia de marca de l producto P4.
5.3 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Considérese el problema de asignar la producción de cuatro artículos diferentes a cuatro máquinas. La tabla muestra el costo del proceso de producir cada pieza en cada máquina . El artículo 1 no puede ser asignado a la máquina 3 y el artículo 3 no puede ser asignado a la máquina 4. Obtenga la asignación óptima.
Artículo 1 2 3 4 2.
1 15 21 27 21
Máquina 2 3 15 12 6 12 15 18 6
4 6 9 21
Hay que asignar cinco vendedores a cinco zonas de venta. La capacidad de venta de cada vendedor en cada zona en una escala de O a 100, se muestra en la siguiente tabla . Si se desea realizar la asignación de los cinco vendedores sobre la base de la mayor capacidad promedia, cómo se debe hacer?
Vendedor V1 V2 V3 V4 V5
Z1 80 60 50 40 70
Zona de Ventas Z2 Z3 Z4 50 20 60 50 50 90 70 60 70 70 20 80 20 70 80
J J8
Z5 70 80 60 40 80
6. MODELOS DE REDES
Uno de los problemas más frecuentes es la aplicación y análisis de redes que surgen a partir de diferentes situaciones. Algunas de las aplicaciones más comunes de modelos de redes están en producción , distribución, planeación de proyectos , localización de instalaciones, administración de recursos , planeación financiera , redes de transporte , redes eléctricas y redes de comunicaciones . Esto es debido a que , una representación de redes proporciona un panorama general y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre las componentes de los sistemas que se usan .
La metodología en la aplicación de los modelos de optimización de redes ha evolucionado últimamente el desarrollo de la investigación de operaciones . La producción de algoritmos de cálculo y las aplicaciones en el área de ciencias de la computación sobre estructuras de datos y la manipulación eficiente de los mismos, han generado paquetes de computadora que se están usando para resolver problemas muy grandes que no se habrían podido manejar hace unas dos décadas.
Muchos modelos de optimización
de redes son problemas especiales de
programación lineal. El problema de transporte y el problema de asignación , pueden considerarse problemas de optimización de redes y se pueden resolver con la metodología de redes. Los principales modelos de optimización de redes son:
=> Problema de la ruta más corta . => Problema del árbol de mínima expansión . => Problema del flujo máximo.
119
LU IS A LBERTO RINCON AI3 RIL
=> Problema del flujo de costo mínimo. => Problema de planeación y control de proyectos con PERT ("Program Evaluation and Review Technique"
O
técnica de evaluación y revisión de programas) y
CPM ("Critical Path Method" o método de la ruta crítica) .
En este capítulo se presentarán los cuatro primero modelos , el problema PERTCPM se trabajará en el próximo capítulo .
Ejemplo. Supóngase que una persona debe resolver el problema de viajar desde
un origen O hasta un destino final F a lo largo de una ciudad . La figura 13 muestra las diferentes rutas de autobuses para hacerlo. En cada una de esos caminos aparece un número que indica la longitud del mismo o el costo de escoger dicho camino o el tiempo empleado en recorrerlo. Si la persona está restringida a viajar de izquierda a derecha sin devolverse. La pregunta que se debe resolver es: Cuál es la ruta más corta entre O y F? , ó en otras circunstancias , Cuál es la ruta de costo o tiempo mínimo entre O y F?
Figura 13. Sistema de vías para el transporte en autobuses de una ciudad .
120
INVEST IGAC ION DE OPERAC IONES PA RA INGEN IERI AS y ADM IN IST R,\C ION DE EM PR ESAS
6.1 TERMINOLOGíA DE REDES.
Una red consiste en un conjunto de puntos y líneas, éstas unen a los puntos por parejas. Los puntos se llaman nodos (o vértices). La red de la figura 13 tiene siete nodos representados por siete círculos . Las líneas se llaman arcos (o ligaduras , aristas o ramas). La red de la figura 13 tiene 13 arcos que corresponden a los 13 caminos de este sistema de transporte de la ciudad. Los arcos se definen con los nodos terminales ; por ejemplo, AB es el arco entre los nodos A y B en la figura 13.
Los arcos de una red pueden tener un flujo de algún tipo que pasa por ellos , por ejemplo , el flujo de autobuses sobre los caminos de la ciudad. Un arco dirigido sólo permite el flujo en una dirección. La dirección se indica mediante una cabeza de flecha . La notación de un arco dirigido se hace con el nombre de los nodos que une , colocando primero el nodo de donde viene y después el nodo a donde va, esto es , un arco dirigido del nodo A al nodo B debe indicarse como AB ó
A~B .
Un
arco de ligadura o no dirigido permite el flujo en ambas direcciones.
Elementos que componen las redes.
NODOS Cruces o Estaciones Aeropuertos Conmutadores Subestaciones Máquinas Estaciones de bombeo
ARCOS Vías o caminos Líneas Aéreas Cables o canales Circuitos eléctricos Rutas de producción Tuberías
FLUJO Vehículos Aviones Datos o informes Corriente Eléctrica Materiales Fluidos
Una red que sólo tiene arcos dirigidos se llama red dirigida. Si todos sus arcos son ligados , se trata de una red ligada. Si dos nodos no están unidos por un arco a veces resulta conveniente saber si están conectados por una serie de arcos . Una
121
LU IS I\LBERTO RINCON ABR IL
trayectoria entre dos nodos es una sucesión de arcos distintos que conectan estos nodos. Por ejemplo , la sucesión de arcos OB , BE Y EF conforman una de las trayectorias que conectan a los nodos O y F en la figura 13. Pero otra trayectoria es O
~
e~
E
~
F. Una trayectoria dirigida del nodo 1 al nodo j es una sucesión
de arcos con dirección hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo 1 al nodo j a través de esta trayectoria es factible . Una trayectoria ligada del nodo 1 al nodo j es una sucesión de arcos cuya dirección puede ser hacia o desde el nodo j. Un ciclo es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo. Dos nodos están conectados si en la red existe al menos una trayectoria entre ellos. Una red es conexa si cada par de nodos están conectados; por lo tanto, la red de la figura 13, es conexa y dejará de serlo si se suspenden los arcos A
~
B, A
~
D YA
~
F
La capacidad del arco es la cantidad máxima de flujo que puede circular en éste . En los nodos fuentes , el flujo que sale de ellos excede el flujo que entra. En los casos contrarios , esto es , el flujo que llega excede al que sale, se tienen nodos demandas. En un nodo de transbordo o intermedio, el flujo que entra es igual al que sale .
6.2 PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA.
Para el anál isis de este modelo se puede suponer una red conexa y no dirigida con dos nodos principales llamados origen y destino. A cada uno de los arcos no dirigidos se asocia una distancia. El objetivo del problema es encontrar la ruta más corta o trayectoria con la mínima distancia total, que va desde el origen al destino.
El algoritmo de solución para este problema se fundamenta en el análisis de toda la red , partiendo del origen e identificando sucesivamente la ruta más corta desde el origen a cada uno de los nodos en orden ascendente de sus distancias. Se obt iene la solución del probl ema al llegar al nodo de stino .
122
INVEST IGAC ION DE OPERAC IONES PARA INGEN I ER I AS y ADM IN ISTR AC ION DE EMP RESAS
6.2.1 Algoritmo de la ruta más corta.
En cada una de las k-ésimas iteraciones se debe definir para el k-ésimo nodo , la distancia más corta desde el origen hasta el k-ésimo nodo. Si d ik define la distancia entre los nodos i, k; entonces se puede calcular la distancia más corta desde el origen hasta el nodo k-ésimo con la siguiente expresión:
T¡ = Me;lO r{T,
+ d ,¡ } , i: cada I/ odo cO l/ ectad o con eL I/ odo k
El procedimiento termina con el cálculo de T k para el nodo final.
Ejemplo. Encontrar la ruta más corta desde el origen (nodo O) hasta el final (nodo F) a través del sistema de vías que se muestra en la figura 13. En la tabla siguiente se encuentran los resultados obtenidos al aplicar el algoritmo anterior a este problema .
Aplicación del algoritmo de la ruta más corta para el ejemplo. Iteración o Nodo K O O 1 A
2 3
e B
4
E
5
D
6
F
Nodo i resue lt o conectado al nodo k O O O O O O O
1 2 2 3 1 3 4 1 4 5
Distancia
T;
d ;k
T; + d;k
A B E
O O O O 4 8 8 8 4 8 14
O 4 8 10 4 2 8 6 14 8 2
0+ 4 0+8 0+ 10 4+4 8+2 8+8 8+6 4+14 8+8 14+2
A E D
4 14 16
16 14 10
4+ 16 14+ 14 16+ 10
O A
e e
B
123
Menor distancia
TK O 4 8
Ruta O~O O~A
O~C
8
O~A~B
14
O~A~ B~E
16 16 20
O~A~ B~D
O~A~ B~E~D O~A~F
LU IS ALBERTO RINCON AB RIL
Las dos últimas columnas de la tabla anterior, resumen la información del último nodo resuelto ; esto es , la distancia de la ruta más corta desde el origen a este nodo y la última rama en esta ruta más corta . Además muestra que la ruta más corta para el sistema de vías de la figura 13 es
O~A~F
y mide 20 unidades.
6.2.2 Otras aplicaciones.
El problema se ha presentado en términos de minimizar la distancia de un origen a un destino. Sin embargo , en realidad el problema de redes generalmente estudia la ruta que conecta a dos nodos específicos que minimiza la suma de los valores de las ligaduras sobre esa ruta. Las ramas pueden ser actividades de algún tipo y los valores asociados pueden representar el costo de esa actividad. En este caso, el problema es encontrar la secuencia de actividades que logra el objetivo específico de minimizar el costo total relacionado . Otro problema se tiene cuando el valor asociado a cada ligadura es el tiempo requerido para realizar esa actividad. En este caso , se necesita encontrar la secuencia de actividades que logra el objetivo de minimizar el tiempo total requerido. Así, algunas de las aplicaciones más importantes del problema de la ruta más corta no tienen nada que ver con distancias.
Particularmente también se puede necesitar encontrar las rutas más cortas del origen a cada uno de los demás nodos de la red . El Algoritmo mostrado en el ejemplo precedente , obtiene las rutas más cortas a cada nodo desde el origen.
124
INVESTIGAC ION DE OPERAC IONES PARA I NGEN IERIAS y ADMIN ISTRAC ION DE EMPRESAS
6.3 PROBLEMA DEL ÁRBOL DE EXPANSiÓN MíNIMA.
Este problema tiene algunas similitudes con el problema de la ruta más corta. De manera general , en ambos casos se considera una red no dirigida y conexa , en la que los datos dados incluyen medidas para cada ligadura (distancia , costo, tiempo , etc .). Involucran también el hecho de seleccionar un conjunto de ligaduras que tiene la longitud total más corta entre todas las ligaduras que cumplan determinada propiedad. En el problema de la ruta más corta , la ligadura seleccionada debe generar una trayectoria entre el origen y el destino, mientras que para el árbol de expansión mínima se requiere que las ligaduras seleccionadas generen una trayectoria entre cada par de nodos, de tal manera que la suma de todas las trayectorias sea mínima. Una red con n nodos sólo requiere n - 1 ligaduras para generar una trayectoria entre cada par de nodos. Por lo tanto, el problema es encontrar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras .
El problema del árbol de mínima expansión se resuelve normalmente con el inicio en cualqu ier nodo. El primer paso consiste en seleccionar la rama más corta posible a otro nodo desde el inicio, sin preocuparse del efecto que esta elección pueda tener en las decisiones posteriores. El segundo paso consiste en identificar el nodo no conectado más cercano a cualquiera de los dos que se acaban de conectar y después agregar la ligadura correspondiente a la red. Este proceso se repite , según el resumen que se da a continuación , hasta que se hayan conectado todos los nodos.
L25
L U ISALBERTO RI CON ABR il
6.3.1 Algoritmo para el problema del árbol de expansión mínima.
Paso 1. Se selecciona , de manera arbitraria , cualquier nodo y se conecta al nodo más cercano distinto de éste .
Paso 2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado , y se unen estos dos nodos. Este paso se repite hasta que se hayan conectado todos los nodos. Los empates para el nodo no conectado más cercano , se rompen arbitrariamente y el algoritmo aún tiende a una solución óptima. Sin embargo , los empates indican la posibilidad de soluciones óptimas múltiples . Todas esas soluciones, si existen , se pueden encontrar si se buscan las demás formas de romper los empates hasta el final.
Ejemplo. La figura 14 muestra todas las posibilidades de construir una red eléctrica entre siete municipios (nodos) de un distrito a partir de una subestación colocada en el nodo O. Los valores asociados con los arcos son los costos en millones de dólares para unir cada par de municipios . Determinar como debe tenderse la red entre los municipios , de tal manera que todos queden conectados a un costo total mínimo .
La tabla de la página siguiente muestra que el árbol de expansión de mínimo costo total para la red eléctrica entre lo siete municipios (nodos) del distrito de la figura 14 es de 44 Millones de dólares , representado por los siguientes circuitos:
126
INVrST I(, ,\C ION DE OPER ,\CIONrS P,\RA INCEN IER Ir\S y
¡\D~ II N I STR ,\C I ON
DI"
E~IPRES¡\S
Figura 14. Posibilidades de construir una red eléctrica entre siete municipios.
Aplicación del algoritmo del árbol de expansión mínima para el ejemplo. Nodos conectados i
Nodo k de menor costo que puede ser conectado a un nodo i
Costo
Costo acumulado
Cik
Tk
O
O~ 1
O~1
1 ~3
6 6+6 12+4 16+9 25+4
6 12 16 25 29
29+ 15
44
O~1 ~3
3~2
O~1 ~3~2
3~4
O~1 ~3~2
4~5
6 6 4 9 4
5~6
15
Costo menor acumulado
Tk
J,
4 O ~ 1 ~3 ~2
J, 4~ 5
127
LUIS ALBERTO RINCON ABR I L
En la figura 14-1 , la red eléctrica definitiva aparece con línea continua. Como en este problema hay n
=7
nodos, dispone de n - 1
=6
ligaduras y ningún ciclo para
calificar como un árbol de expansión .
......
......
......
20............
......
......
/
12
/ / /
20/
/
/ /
/ /
Figura 14-1. Diseño para construir una red eléctrica entre siete municipios.
El problema del árbol de expansión tiene muchas aplicaciones prácticas. Un caso importante es la planeación de redes de transporte aéreo que se usarán poco, pero que se requieren para proporcionar alguna trayectoria entre todos los pares de nodos de la manera más económica. Los nodos son los aeropuertos que requieren acceso a otros aeropuertos , las ligaduras son las rutas aéreas y las distancias (valores de las ligaduras) son los costos de proporcionar la comunicación . En este caso, el objetivo es determinar las vías de comunicación que darían servicio a todas las localidades con un costo total mínimo.
128
INVEST IGAC ION DE OPERAC IONES PA RA INGEN IER IAS y ADM IN ISTRAC ION DE EM PRESAS
6.4 FLUJOS EN REDES.
Los problemas de esta clase son aplicaciones de Programación Lineal con una característica especial, siempre tienen una solución óptima con base en números enteros si los datos de entrada también son enteros. Esto permite el diseño de algoritmos eficientes que pueden ser aplicados a la solución de una variedad de problemas combinatorios. Entre estos se disponen, el algoritmo de flujo máximo, el cálculo de flujos de costo mínimo.
6.5 PROBLEMA DEL FLUJO MÁXIMO.
Se considera la situación en la que se enlazan un nodo fuente y un nodo destino mediante una red de arcos de un solo sentido. Cada arco tiene una capacidad máxima de flujo admisible . El objetivo consiste en obtener la máxima cantidad de flujo entre el nodo fuente y destino. Puede ser el caso donde un número de ref inerías se conectan a terminales de distribución mediante una red de oleoductos. En los oleoductos se tienen unidades de bombeo que impulsan los productos derivados del petróleo hasta las terminales de distribución. El objetivo consiste en maximizar el flujo entre las refinerías y las terminales de distribución dentro de los límites de capacidad de las refinerías y los oleoductos. La figura 15 ilustra el problema del flujo máximo de la refinería . En este caso hay una fuente conectada a todas las refinerías y un depósito que recibe flujo de todas las terminales de distribución . Los nodos entre las refinerías y las terminales de distribución son las estaciones de bombeo . Las capacidades de los arcos de la fuente única representan las sal idas máximas de las refinerías. Cada oleoducto tiene una capacidad máxima que determina el flujo máximo admisible en la línea. En algunos casos , podrá necesitarse utilizar las demandas en las terminales como las capacidades de los arcos al depósito.
129
LU I S ¡\ U 3ERTO RINCON ABR IL
I I
I , Fuente
I I
:_____ .____ J
Refinerías
Depósito
Estaciones de bombeo , Terminales
Figura 15. Red de oleoductos.
Supóngase que cada arco (i, j) de una red dirigida tiene asociado un número no negativo
C¡j
denominado la capacidad del arco, Si esta capacidad representa la
máxima cantidad de algún artículo que pueda enviarse a través del pregunta
arco,
la
inmediata es, Cuál es la cantidad máxima del artículo que se puede
enviar de un nodo a otro , dentro de la red?
Lo anterior obliga a considerar el problema de hallar el máximo flujo posible desde un nodo fuente O, a un nodo depósito o terminal T. El modelo matemático de este problema se expresa de la siguiente forma :
6.5.1 Variables de decisión.
Xii: Cantidad de flujo a través del arco (i, j).
130
INVEST I(; ,\C ION !lE O PEI,AC IONES PA RA INGEN I ERI ¡\S Y
, \I)~ II N I STR ¡\CION
DE EM PR ESAS
6.5.2 Restricciones.
La cantidad de flujo a través de cada arco S La capacidad de flujo a través de este arco.
o S Xii
S Gii
En los nodos diferentes al fuente y terminal , la ley de conservación se cumple , esto es , la cantidad que entra al nodo es igual a la cantidad que fluye hacia fuera , por lo tanto:
o si i ;f. ji 11:'1/1 1:'. lel"ll/illa11
IX
Ix
'1 -
l'
=
.1
1
j
V si i = ji/l:'l/ll:' V si i = 11:'I"Il7il/ul
_
r J
El término V representa el valor del flujo total. Se llama flujo posible a cualquier conjunto de valores que satisfacen las restricciones anteriores. Es evidente que este modelo corresponde a un problema lineal en donde el objetivo es maximizar el valor de V sujeto a las anteriores restricciones.
El modelo matemático para la red de flujo máximo de la figura 16 es el siguiente:
Max(V)
= X 12 + X 13
Sujeto a las restricciones: X 12 + X 32 X 13
-
X 32
X 12 S 4 ,
X 24
-
X 34
=O =O
X 13 S 3 ,
Xii ~ O
J31
X 32 S 2 ,
X 34 S 2 ,
X 24 S 4
LU IS ALBERTO RINCON ABR IL
2 4
(4,3)
4 ,4)
(2,1)
(3,2)
(2,1)
Figura 16. Solución factible para una Red de flujo máximo propuesta.
La figura 16 ilustra un flujo factible desde el nodo 1 al nodo 4 para una red . El primer número de la pareja asociada con cada uno de los arcos es la capacidad del arco y el segundo número es el flujo del arco.
6.5.3 Algoritmo de trayectorias de aumentos.
El modelo matemático para la figura 16, muestra que este problema es soluble por el Método Simplex. Sin embargo , se dispone de un algoritmo basado en dos conceptos intuitivos: red residual y trayectoria aumentada . Una vez se han asignado flujos a los arcos de la red original , las capacidades restantes o residuales conforman la red residual que sirve para asignar flujos adicionales.
En una trayectoria de aumento desde el nodo fuente al destino al través de la red residual , todos los arcos tienen capacidad residual positiva. El mínimo de estas capacidades residuales se llama capacidad residual de trayectoria de aumento, pues proporciona la posibilidad de aumentar el flujo al través de la red .
132
IN\ I S·II (;.\(' ION DE O I'LR ;\(' IO N I.S I'.\ R/\ IN(; I 'JlERI AS y
¡\ D ~ II N I S l
RA C ION D r
E~ IPR ESAS
Este algoritmo , selecciona trayectorias de aumento y agrega al flujo la capacidad residual de esa trayectoria. Este proceso se repite hasta que ya no existan trayectorias de aumento , con lo que el flujo del nodo fuente al nodo destino ya no puede crecer.
Ejemplo. En la figura 17 se representa una red para la que se requiere calcular el flujo máximo que puede haber entre el nodo fuente 1 y el nodo final 7.
(40,O)
Figura 17. Red residual para el ejemplo de flujo máximo.
Cuando se inicia el Algoritmo , todas las trayectorias son de aumento , por cuanto para cada una de ellas , todos los arcos tienen capacidad residual.
Aplicando el
algoritmo para la red residual 1 ~2~6~7 , se obtiene la capacidad residual
=
Menor {80 - O, 30 -O , 60 -O} = 30. Flujo que se agrega a esta trayectoria en la figura 18.
133
L UIS ALBERTO RINCON ABR IL
~ (1 0,0)
. F~.'.~~.~r0 . . . .(~.~:~~ . . . . '-¡l.. ·····• ...•~50,0)
••...•..•
.
(40,0)··...
~20 , O)
. .l
•••••••••
····0. . . J.4~,0) :\
~1 0,0)
:~•••/
... ::·..
..../
..,/ (60,0)
Figura 18. Red residual para el ejemplo de flujo máximo.
Usando el algoritmo , la figura 19 considera las siguientes trayectorias adicionales.
= Menor {70-0 , 40-0 , 60-30} = 30 . 7, Flujo que se agrega = Menor {40- 0 , 40-0 , 60-0} = 40 .
Red residual 14 34 64 7. Flujo que se agrega Red residual 14 44 54
(40,30) •·••···· ..• ,(50,0)
................. (40 ,40)
Figura 19. Red residual para el ejemplo de flujo máximo.
134
INVESTIG /\C ION DE OPERAC IONES PA RA INGEN I ER I,\S y AD~ II N I S TR AC I ON DE EM PR ESAS
La figura 19 muestra que si se utiliza la trayectoria residual 1 ~2~3~5~7, se podría aumentar el flujo en 10 unidades y posteriormente usando la trayectoria residual 1 ~3~5~7 , se podría aumentar el flujo en otras 10 unidades. Esto equivale a usar únicamente la trayectoria residual 1~3~5~7 para aumentar el flujo en otras 20 unidades , tal como aparece en la figura 20.
(40,30)
(40,40)
Figura 20. Red sin trayectorias de aumento para el ejemplo de f.lujo máximo.
Una solución final es óptima si para toda trayectoria indiscriminada que se quiera asignar no puede evitar el uso de cancelación de flujos asignados con anterioridad.
Cuando se avanza en el algoritmo , es posible determinar el flujo , sumando las asignaciones de flujo o comparando las capacidades residuales finales con las capacidades originales en los arcos . Si se emplea este último método , existe un flujo a través de un arco si la capacidad residual final es menor que la capacidad original. La magnitud de este flujo es igual a la diferencia entre estas capacidades.
Puede resultar difícil , cuando las redes son grandes, encontrar una trayectoria de aumento. El siguiente procedimiento sistemático simplifica el hecho. Se comienza
135
1 L ' I ~ 1\ L llFR"1() RI NCON ABR il
por analizar todos los nodos que se unen desde el origen con un arco y con capacidad residual positiva. Enseguida , para cada uno de estos nodos , se determinan todos los nuevos nodos a los que se llega desde este nodo con un solo arco con capacidad residual positiva. Esto se repite hasta llegar al nodo final. Se obtiene como resultado , un árbol con todos los nodos a los que se puede llegar desde el origen, a lo largo de una trayectoria con capacidad de flujo residual estrictamente positiva. Este procedimiento de abanico siempre identificará una trayectoria de aumento , si existe . Aunque el anterior procedimiento es muy directo, será útil poder reconocer cuándo se tiene un patrón óptimo sin tener que buscar de manera exhaustiva una ruta que no existe . A veces es posible esto con el resultado de un teorema importante de teoría de redes , conocido como el teorema del flujo máximo - cortadura mínima. Una cortadura se define como cualquier conjunto
de arcos dirigidos que contienen al menos un arco de cada trayectoria dirigida que va del nodo origen al nodo destino. El valor de la cortadura es la suma de las capacidades de los arcos de la cortadura.
Teorema del flujo máximo - cortadura mínima. Para cualquier red con un solo
nodo origen y un solo nodo destino, el flujo máximo factible del origen al destino es igual al valor de la cortadura mínima para todas las cortaduras de la red.
El análisis para la red residual inicial de la figura 17, presenta el siguiente conjunto de cortes con la correspondiente capacidad
Conjunto de cortes 1~2, 1~3, 1~4 2~6,3~6, 3~5, 4~5 1~3,2~3, 2~6, 4~3, 4~5 2~6, 3~6, 5~6,3~5, 4~5 5~7, 6~7
Capacidad 80+ 70+40 = 190 30+40+50+40=160 70+10+30+20+40=170 30+40+10+50+40=170 60+60 = 120
136
IN\' I S'II (¡AC ION DI. OPFRAC IONES PARA INGEN I ER I AS y
AD~ II N I STRAC I ON
DE EMPRESAS
Por lo tanto , 120 es el valor de la cortadura mínima que equivale al flujo máximo factible presentado en la figura 20,
6.6 FLUJOS DE COSTO MíNIMO.
Es una solución muy eficiente que aborda un conjunto muy amplio de aplicaciones , tomando en cuenta un flujo a través de una red con capacidades limitadas en sus arcos, Tal como se tiene para el problema de la ruta más corta, considera un costo (o distancia) para el flujo a través de cada arco. E igual que para los problemas del transporte y asignación , puede considerar el flujo desde varios orígenes (nodos fuente) hasta varios destinos (nodos demanda).
El problema del flujo de costo mínimo se puede resolver de manera tan eficiente porque se puede formular como un problema de programación lineal y resolver mediante una versión simplificada llamada método Símplex de Redes. En la siguiente sección se describirá el uso del método Simplex.
6.6.1 Modelo matemático del flujo de costo mínimo.
En una red conexa dirigida con al menos un nodo origen y al menos un nodo destino, se dispone la siguiente información:
C¡j
= costo por unidad de flujo a través del arco
d¡j
= capacidad del arco
b¡
= flujo
i~j ,
i ~j,
neto generado en el nodo i. En este caso, b¡ > O en los nodos fuentes, b¡
< O en los nodos demandas y b¡
= O en
los nodos transbordos .
137
L U IS A LBERTO RINCON A BR IL
Variables de decisión.
Xij
= flujo a través del arco
i~j.
Función Objetiva.
Minimizar el costo total de enviar los recursos disponibles a través de la red para cumplir con la demanda.
11
Mil/ (Z)
11
= ¿¿ e" X "
. Las sumas se toman sólo sobre arcos existentes .
i = l j= J
Restricciones.
Para cada nodo , el flujo total que entra menos el flujo total que sale es igual al flujo neto generado en este nodo.
El flujo a través del arco
i~j,
debe ser positivo, sin exceder la capacidad del arco .
Propiedad de soluciones factibles: Necesariamente, para que un problema de flujo de costo mínimo tenga soluciones factibles , debe cumplir que
" Lb, = O. Esto i= 1
es , el flujo total generado por los nodos orígenes debe ser igual al flujo total absorbido por los nodos destinos.
En muchos problem as, las cantidades b i y d ij serán valores enteros ; en este caso , en la soluci ón las cantidades de flujo
Xij
138
tendrán que ser también enteros . Sin
I ' \'r.STIGAC ION DE OPER ,\C IONES P¡\R¡\ INGE
IER I¡\S y
¡\D~ II N I STR /\C I ON
DE
E~ IPRE S r\S
embargo , de la misma manera que para el problema de transporte , esta de la solución se cumple sin necesidad de establecer restricciones enteras en forma explícita sobre las variables . Esto se debe a la propiedad de soluciones enteras , "En los problemas del flujo de costo mínimo con todos los b¡ y d¡j
enteros; se
tendrá que todas las variables básicas en cada solución básica factible , serán también valores enteros".
Ejemplo de una red de distribución de bienes. Una compañía ensambla su nuevo producto en dos plantas (nodos 1 y 2) Los mercadea mediante un canal de distribución (nodo 3) y dos almacenes (nodos 4 y 5) . La figura 21 muestra las formas de transportar el producto y los costos asociados. La capacidad máximas para el canal 1 ~2 es de 10 unidades y para el canal
3~5
es de 80 unidades.
El problema de decisión: calcular el número de unidades a enviar por cada red de distribución, de tal manera que se satisfaga la demanda de los almacenes sin exceder la oferta de las fábricas con un costo total de transporte mínimo.
Variables de decisión.
= unidades que se enviarán desde la fábrica 1 hasta la fábrica 2. X'3 = unidades que se enviarán desde la fábrica 1 hasta el canal de distribución. X'4 = unidades que se enviarán desde la fábrica 1 hasta el almacén 4. X'2
= unidades que se X 35 = unidades que se X 23
enviarán desde la fábrica 2 hasta el canal de distribución. enviarán desde el canal de distribución hasta el almacén 5.
X 45 = unidades que se enviarán desde el almacén 4 hasta el almacén 5.
X54
= unidades que se enviarán desde el almacén 5 hasta el almacén 4.
Función Objetiva.
Min(C) = 200 X'2 + 400X 13 + 900X'4 + 300X23 + 100X 35 + 300X 45 + 200X 54 .
139
I. UIS A l BERTO RI NCON AB RI L
Restricciones.
En el nodo 1.
X12 + X13 + X14 = 50
En el nodo 2.
X 23
-
X 12
En el nodo 3.
-X 13
-
X 23 + X35
En el nodo 4.
X 45
-
En el nodo 5.
X 54
-
En el arco 1--72.
X 12 < 10
En el arco 3--75 .
X 35 S 80
X 14 X 35
= 40 X 54
-
-
=O = -30
X 45 = -60
Restricciones de no negatividad.
50 unidades de 900 Dól/unid
30 unidades demandadas
"O
c:
--o :o ::1
o
o
N
60 unidades demandadas
40 unidades de producción
Figura 21. Red de distribución de bienes.
Las variables en el conjunto de las restricciones de núcleo tienen exactamente dos coeficientes distintos de cero, uno es + 1 Y el otro -1 . Este patrón aparece en todos
140
IN\'LS1IC; I\C10N I) \. OPER I\C ION I: S P,\R ,\ I N(;rN I ER I AS y
i\D~ II N I ST R i\C I ON
DE
E~ IPR ESAS
los problemas de flujo de costo mínimo y es esta estru ctura especial la que lleva a la propiedad de soluciones enteras, De otro lado , cuando se tienen n restricciones de nodo, únicamente hay n-1 independientes, esto es , una de ellas es redundante , Esto se puede comprobar porque al sumar todas estas ecuaciones, se obtienen ceros en ambos lados , Como existen n - 1 restricciones independientes , estas ecuaciones proporcionan n- 1 variables básicas para una solución básica factible ,
6.6.2 Solución con Programación Lineal.
Para la solución de este problema con la herramienta SOLVER de EXCEL, se puede preparar inicia lmente la siguiente hoja de trabajo:
A
2 3 4 Min(c) = 5 Nodo 1 6 Nodo 2 7 Nodo 3 8 Nodo 4 9 Nodo 5 10 Arco 1,2 11 Arco 3,5 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Valores Mínimos
Min(c) = Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3 Nodo 4 22 Nodo 5 23 Arco 1,2 24 Arco 3, 5
B
e
D
E
F
G
H
X12
X13
X14
X23
X35
X45
X54
200 1 -1
400
900 1
300
100
300
200
1
1 1
1
-1
-1 -1
1 -1
-1 1
1
J
= = = = = < <
1
X12
X13
X14
X23
X35
X45
X54
O
O
O
O
O
O
O
_ S4'S$14
=C4 ' C$14
_04 ' 0$14
_ E4'E$14
_F4'F$14
_G4'G$14
_H4'H$14
_ SS'S$14
- CS'C$14
=05'0$14
= ES 'E $14
=FS'F$14
=GS'G$14
=HS'H$14
- S6'S$14
_C6'C$14
_06 ' 0$14
_F6'F$14
=F6'F$14
=G6 ' G$14
- H6'H$14
=STS$14
=CTC$14
_ OTO$14
- ETE$14
_ FTF$14
_GTG$14
=HTH$14
- SS'S$14
- CS'C$14
= OS'O$14
= ES'E$14
=FS'F$14
=GS ' G$14
=HS'H$14
K
50 40 O -30 -60 10 80
_ SUMA(S17H17)
= 50 = 40 = O = -30 = -60
=SUMA(S1S.H1S)
10 80
=SUMA(S23 H23)
- S9'S$14
- C9'C$14
_ 09 ' 0$14
=E9'E$14
_F9'F$14
- G9'G$14
_ H9'H$14
_SlO ' 8$14
- C10'C$14
=010'0$14
=E10'E$14
=F10'F$14
=G10 ' G$14
=H10'H$14
<
_S11'S$14
- C11 ' C$14
011'0$14
- E11'E$14
_ F11'F$14
- G11'G$14
_ H11'H$14
<
- SUMA(S 19 H 19) - SUMA(S20H20) = SUMA(S21 H21) -S UMA(S22H22)
- SUMA(S24 H24)
25
Figura 22. Hoja de trabajo en EXCEL para el ejemplo de la red de distribución,
14 J
L U I S I\ L I3E RTO RINCON A IlRI L
En la figura 22, la fila cuatro de la hoja , considera los coeficientes de efectividad para la función objetiva y las filas cinco hasta la once , disponen los coeficientes tecnológicos de las restricciones para el ejemplo de la red de distribución de bienes. Las celdas B14 :H 14, han sido reservadas para que SOLVER escriba el valor que calcule para las variables del problema. Las celdas B15:H15 , consideran la condición de no negatividad de las variables. La celda K17 contiene el cálculo de la función objetiva, esto es, el valor de los costos totales en función de las variables. Las celdas K18 ,..... ,K24 contienen el cálculo del lado izquierdo de cada una de las restricciones del problema. Teniendo presente estas características planteadas en los párrafos anteriores, enseguida se usa la opción SOLVER del menú de herramientas de EXCEL y se responde al cuadro de diálogo de la siguiente forma:
~di.:ión
1:.er
ln ~,;e tt ar
Eormato
tie rramientas
Datos VeQtana
-;J
Parámetros de Solver CelQ," objetivo:
Resolver
\Iólor de l." celda ob jetivo :
(-- [:1i:dmo
(;- r',·1i'o.irno
C' y'alores de:
Cerrar
lo
Cam!djando las celdas
Suje tas a
.-,
- ..::. •
~I
las
Qpciones , , . siguientes restric ciünes:
:lB$14 :$H$14 >= $E:$15:$H$1:, t ,K$I::: = $J$I::: $K$19 = $J$19 $K$ 20 = $J$20 $K$21 = $J$2 1 $f; $22 = $J$22
o
~ambiar.,.
D
Figura 23. Cuadro de diálogo de SOLVER en EXCEL.
142
D
[3,.establecer to
IN" I' STI(, \C ION DI. OPLRAC IONES PAR ,\ IN(,EN IERIAS y
¡\D~ II
ISTR ¡\C IO
DE
E~ I PRF.SAS
Una vez se responde el cuadro de diálogo , se pulsa el botón Resolver , para encontrar la siguiente respuesta:
A
2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24
Min(c) = Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3 Nodo 4 Nodo 5 Arco 1 - 2 Arco 3 - 5
B
e
D
E
F
G
H
X12
X13
X14
X23
X35
X45
X54
200 1 -1
400 1
900 1
300
100
300
200
1 1
1
-1
-1 -1
1 -1
-1 1
1
X12
X13
X14
X23
X35
X45
X54
Valores
O
40
10
40
80
O
20
Mín im os
O
O
O
O
O
O
O
Min(c) =
O
16000
8000
O
4000
O O O O
40 O 40 O O O O
9000 10 O O -10 O O O
12000
Nodo 1 Nodo 2 Nodo 3 Nodo 4 Nodo 5 Arco 1 - 2 Arco 3 - 5
O 40 40 O
O
O O -80 O -80
O O
80
O O O O O O O
O O O -20 20 O O
O
O
= = =
50 40
= =
-30 -60 10 80
< <
1
O O
J
K
o
49000 = = = = = < <
50 40 O -30 -6 0 10 80
50 40 O -30 -60 O 80
Figura 24. Hoja EXCEL con la solución SOLVER para la red de distribución.
La figura 24 muest ra la solución obtenida por SOLVER pa ra el ejemp lo de la red de distribución , que se interpreta de la sig uiente mane ra:
= O. No se enviará desde la fábrica 1 hasta la fábrica 2. X13 = 40 unidades se enviarán desde la fábrica 1 hasta el canal de distribución. X14 = 10 unidades se enviarán desde la fábrica 1 hasta el almacé n 4. X12
X23
= 40
X35
= 80 unidades se enviarán desde el ca nal de distri bución hasta el almacé n 5.
X45
= O:
unidades se enviarán desde la fábrica 2 hasta el canal de distrib ución.
No se enviará desde el almacén 4 hasta el almacén 5.
143
LU IS ALBERTO RINCON MlR IL
XS4 = 20 unidades se enviarán desde el almacén 5 hasta el almacén 4.
El costo total mínimo para realizar el transporte , conforme a la distribución anterior será de 49000 dólares.
6.6.3 Solución Heurística.
Consiste en recurrir iterativamente al concepto de ruta más corta o de mínimo costo de la siguiente forma:
1. Se define como camino por donde se trataría de enviar un cierto número de unidades a la ruta de mínimo costo. 2. Una vez se tiene una ruta de mínimo costo , se examina el mayor número de unidades que se puede enviar por esta ruta . 3. Saturada esta ruta , se busca otra ruta de mínimo costo (la segunda mejor) , a través de la cual se enviará correspondientemente el mayor número de unidades posibles . 4. El proced imiento del punto anterior se repetirá hasta realizar el programa completo de envíos .
Soluci ón Heurística para el ejemplo de la red de distribución.
Fábrica
2 1 1 1 1
Mayor número Unidades en la de unidades Fabrica para enviar después del envío 40 O 20 30 10 20 10 O 10 O
144
Ruta de mínimo Costo
Almacén
2~3~5
5 5 4 4 4
1 ~3~5 1 ~3~5~4 1 ~ 2 ~3 ~ 5 ~4
1 ~4
6.7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Encontrar las Rutas más cortas para cada Red de la siguiente figura.
Red A Origen
Red B
o
Un
Diario de circulación
local debe adquirir nueva maquinaria (parcialmente
automatizada) para la impresión de su periódico. Dentro de tres años se instalará un nuevo sistema de maquinaria totalmente automatizado , por lo tanto después no se necesitará la maquinaria que se adquiera ahora. Dado que el trabajo pesado aumentará rápidamente los costos de operación y mantenimiento, podría resultar benéfico reemplazarla antes de los tres años. La tabla siguiente presenta los costos netos totales asociados a la compra de la maquinaria automatizada al final del año i (precio de compra - valor por cambio de maquinaria + costos de operación y mantenimiento) , si se reemplaza al final año j. El problema es determinar en qué momento debe ser reemplazada la maquinaria para minimizar el costo total durante los tres años. Año i
O 1 2
Añoj
1
2
3
16
36 20
62 42 24
145
L UIS A LB ERTO RINCON ABRIL
3. Una compañía debe suministrar 1000 cajas de cartón por mes a una fábrica. Para los próximos cuatro meses , el costo de fabricación de cada caja será $1000 en el primer mes, $ 1800 en el segundo mes, $2000 en el tercer mes y $2800 en el cuarto mes. El costo de mantenimiento y bodega por caja es de 600 $/mes. Si la producción por mes se realiza en múltiplos de 1000 Y se desea encontrar el programa de producción más eficiente en términos de costo , entonces se necesita formular el modelo como una representación de Red y resolverlo. 4. Un Banco necesita conectar el computador central con terminales de computadores en cada una de sus sucursales mediante dispositivos de comunicaciones. No se requiere que cada sucursal esté conectada directamente con la principal , puede hacerse indirectamente a través de otra sucursal. Simplemente, es necesario que exista alguna ruta que conecte a todas las sucursales con la oficina principal. Los costos asociados para la inversión inicial son los siguientes.
Costos entre oficinas Oficina
Pnnclpal
Pnnclpal Sucursal 1 Sucu rsal 2 Sucursal 3 Sucursal 4 Sucursal 5
5.
Sucursal 1 Sucursal 2
38 38 14 23 54 32
14 20
20 22 43 10
28 24 44
Sucursal 3
Sucursal 4
Sucursal 5
23 22 28
54 43 24 35
32 10 44 16 62
35 16
62
Considere para las Redes del problema 1 que los arcos son de ligadura y diseñe para cada una el árbol de mínima expansión.
6.
Modificar el valor del flujo 0---72 a 16 en la Red A del problema 1 y los valores de los flujos 0---7 1 a 10, 0---73 a 20 y 6---78 a 16 en la Red B. En ambos casos considerar el problema de flujo máximo, donde el origen es el nodo fuente y el destino el nodo demanda . Las capacidades son los valores que se muestran en los arcos. Usando el algoritmo de la trayectoria de aumento resolver el problema.
7.
Una compañía fabrica un mismo producto en dos plantas distintas y después lo despacha a dos almacenes. La planta 1 puede enviar por ferrocarril cualquier cantidad hasta el almacén 1, mientras que la planta 2 puede enviar por ferrocarril cualquier
J46
IN\TST IG AClON IX OPERACIONES PARA INGEN IERI AS y
I\D~'IINISTRACION
DE EMPRESAS
cantidad hasta el almacén 2. Pero ambas plantas pueden usar camiones para mandar hasta 500 unidades de cada planta al centro de distribución , desde los que se puede enviar hasta 500 unidades a cada almacén. La tabla siguiente muestra el costo unitario de transporte por cada ruta , las cantidades que se producen en las plantas por periodo
y las cantidades que se requieren en los almacenes por periodo.
Planta 1 Planta 2 Centro Di stribución
Centro Distribución 30 40
Almacén 1
Almacén 2
70 20 600
Demanda
90 40 900
Producción 800 700
7. 1. Representar la red como un problema de flujo de costo mínimo y resolverlo . 7.2.
Formularlo como un modelo de Programación y resolverlo.
147
7. PROGRAMACiÓN DE PROYECTOS CON PERT-CPM.
Haciendo uso del enfoque de sistemas , un proyecto se entiende como una combinaci ón de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en un determinado orden para terminar un trabajo . Las interrelaciones entre las actividades, normalmente son de tipo
secuencial , esto es , algunas de ellas no
pueden iniciar hasta que otras terminen . Cada actividad de un proyecto , es un trabajo que requiere tiempo y recursos para su ejecución.
El diagrama de barras de Gantt desarrollada por Henry L. Gantt en 1918 para la programación de producción y proyectos , aún se usa, por su simplicidad y fácil despliegue , con la errada consideración de "la mejor herramienta de 'planeación" , a pesar de que sólo especifica los tiempos de inicio y terminación de cada actividad en una escala de tiempo horizontal y tiene la desventaja de no controlar la interdependencia entre las diferentes actividades. Debe recurrirse a técnicas de planeación más sistemáticas y efectivas para optimizar la eficiencia en la ejecución del proyecto . La eficiencia significa conseguir la mayor reducción en el tiempo requerido para finalizar el proyecto mientras se tiene en cuenta la factibilidad económica de la utilización de los recursos disponibles.
Dadas las anteriores consideraciones, aparecieron dos técnicas analíticas para la planeación , programación y control de proyectos:
•
CPM (Critical Path Method ): Método de Ruta Crítica .
148
INVEST IGAC ION DE OPE RAC IONES PARA INGEN IER I AS y ADM IN ISTR¡\C ION DE EM PR ESAS
•
PERT (Program Evaluation and Review Technique): Técnica de Evaluación y Revisión de Proyectos .
Estas técnicas fueron desarrolladas por dos grupos diferentes entre 1956 y 1958. E. 1. du Pont de Nemours & Company desarrolló el CPM como una aplicación a los proyectos de construcción y posteriormente Mauchly Associates, lo extendió a nuevas aplicaciones. El PERT , fue producido por un grupo consultor para la Marina de Estados Unidos, con el fin de programar las actividades de investigación y desarrollo del programa de misiles Polaris.
Los métodos PERT y CPM se fundamentan en el manejo de un programa de tiempo, pero originalmente las estimaciones en el tiempo para las actividades se supusieron determinantes en CPM y probables en PERT. Actualmente PERT y CPM comprenden realmente una sola técnica.
7.1 FASES DE PROGRAMACiÓN.
La programación de proyectos con PERT-CPM consiste en tres fases básicas: planeación, programación y control.
7.1.1 Fase de Planeación.
En esta primera etapa se descompone el proyecto en actividades distintas, enseguida se estima el tiempo para estas actividades y se construye un diagrama de red o de flechas , donde cada uno de sus arcos (flechas) representa una actividad . Este diagrama muestra gráficamente las interdependencias entre las actividades del proyecto y genera la ventaja de analizar las diferentes tareas en detalle, posibilitando modificaciones antes de la ejecución del mismo.
149
I. U IS A I. BERTO RINCON ABR IL
7.1.2 Fase de Programación.
Consiste en la construcción de un diagrama que muestre los tiempos de iniciación y finalización de cada actividad y su relación con otras actividades del proyecto. Igualmente, esta fase , debe señalar las actividades críticas en función del tiempo, esto es , aquellas que requieren atención especial para terminar oportunamente el proyecto . Para las actividades no criticas , debe mostrar los tiempos de holgura que pueden usarse cuando éstas se retrasan o se deben usar eficientemente recursos limitados.
7.1.3 Fase de Control.
Es la fase final en la administración de proyectos. Es el uso del diagrama de red y del
gráfico
de
tiempo
para
hacer reportes
periódicos
del
progreso .
En
consecuencia, la red puede actualizarse y analizarse para determinar, si es necesario, un nuevo programa para el resto del proyecto.
7.2 TERMINOLOGíA EN LOS DIAGRAMAS DE RED.
Un diagrama de red representa las interdependencias y relaciones de precedencia entre las actividades del proyecto . Normalmente se usa una flecha (arco dirig ido) para representar una actividad ; la punta indica el sentido de avance del proyecto.
La secuencia entre las actividades se precisa con eventos. Un evento (nodo) es la terminac ión de algunas actividades y el comienzo de nuevas en un instante de
tiempo . Toda actividad tiene un evento de inicio y un evento final. Las acti vidades que inician un evento no pueden comenzar hasta que las actividades que finalizan en el mismo evento hayan terminado.
Los diagramas de red deben cumplir las siguientes reglas:
150
Regla 1. Cada actividad quedará representada por un sólo arco en la red. Ninguna
actividad puede disponerse más de una vez en la red . Diferente es el caso en que una
actividad
se
descompone
en
segmentos,
los
cuales
pueden
estar
representados por arcos separados. La colocación de una banda transportadora en un proceso de producción puede hacerse en secciones.
Regla 2. Dos actividades diferentes, aunque se ejecuten simultáneamente, no
pueden identificarse con los mismos eventos de inicio y final. Esta dificultad se resuelve introduciendo un evento ficticio , tal como lo muestra la Figura 25 . A
Diagrama corregido con la actividad F (ficticia)
Diagrama incorrecto
Figura 25. Uso de actividades ficticias.
Las actividades ficticias también se usan para establecer relaciones lógicas en el diagrama de red , que no pueden representarse de otra manera . La figura 26 muestra la formas incorrecta y correcta para cierto proyecto en donde las actividades A y B deben preceder a C; mientras que la actividad D está precedido solamente por B.
151
LUI S ,\LB ERTO RIN C O N I\BRIL
I I
F
Diagrama corregido con la actividad F (ficticia)
Diagrama incorrecto
Figura 26. Uso de actividades ficticias.
Regla 3. Cada que se agrega una actividad a la red , se deben definir las
actividades que deben terminar antes de que esta actividad pueda comenzar, las actividades que deben seguir a esta actividad y las actividades que deben E!jecutarse simultáneamente con esta actividad .
l:jemplo.
Construya el diagrama de red para el proyecto del traslado de las
ofici nas de una financiera de crédito, de acuerdo con la siguiente lista de 3ctividades:
ACTIVIDAD
DESCRIPCION
A B
Seleccionar el sitio de las Oficinas Crear el plan organizacional y financiero Determi nar necesidades de personal Diseñar la instalación Construir el interior de la instalación Seleccionar el pe rsona l que será transferido Contratar nuevos empleados Trasladar reqistros , personal y otros Hace r los arreglos financie ros con otras sedes de la compañía Capacitar el nuevo persona l
C D E F G H I
J
J52
PREDECESORES INMEDIATOS
B A,C D C F F
B H,E,G
IN\ r ~ Il l; ¡\C ION DE OPERAC IONES PA R/\ INl;EN I ERI AS
y i\D~ II N I S TR i\C I ON
DE H IPRESi\S
El diagrama de red resultante se muestra en la figura 27. La actividad ficticia F1 obliga el comienzo de la actividad D, únicamente cuando A y C hayan finalizado , mientras que la actividad ficticia F2 evita confundir en una sola a las actividades G y H. Las actividades A y B parten del nodo inicio porque no tienen predecesoras y las actividades J e I llegan al nodo final porque no son predecesoras de ninguna otra actividad .
F1 Y Fi Actividades ficticias
Figura 27. Diagrama de red para el proyecto del traslado de las oficinas.
7.3 LA RUTA CRITICA.
Después de la planeación o construcción del diagrama de red , la aplicación de PERT-CPM
proporciona un
programa conteniendo
las fechas
de
inicio y
finalización de cada actividad . Debido a la interacción entre las actividades , la determinación de estos tiempos , exige cálculos especiales que conducen a clasificar las actividades de los proyectos como críticas o no críticas .
15 3
1.1I1S ALBERTO RINCON All RIL
Actividad crítica.
Cuando la demora en su comienzo genera un retraso en la
fecha de terminación de todo el proyecto.
Actividad no crítica. Cuando el tiempo entre su comienzo más próximo y de finalización más tardío permitido en el proyecto , es mayor que su duración real . En este caso , se dice que la actividad no crítica tiene un tiempo de holgura.
7.3.1 Determinación de la Ruta Crítica.
Una ruta crítica define una cade na de actividades críticas que unen los eventos inicial y final del diagrama de red e identifica todas las actividades críticas del proyecto. El método para determinar tal ruta se ilustrará con un ejemplo numérico.
Ejemplo. Considere la red de la figura 27, que comienza en el nodo 1 y termina en el nodo 9. El tiempo en semanas requerido para ejecutar cada actividad es el siguiente:
Actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Tiempo
3
5
3
4
8
2
4
2
5
J 3
Los cálculos se realizan en dos etapas . A la primera fase se le llama cálculos hacia delante; van desde el nodo "inicio" hasta el nodo de "finalización" . En cada nodo se calcula el tiempo de ocurrencia más próximo del evento correspondiente. A la segunda fase se le llama cálculos hacia atrás , van desde el nodo "terminación" hacia nodo de "inicio" . En cada nodo se calcula el tiempo de ocurrencia más tardío del evento correspondiente.
Cálculos hacia adelante. Sea TP¡ , el tiempo de inicio más próximo de todas las actividades que se inician en el evento i o el tiempo de ocurrencia más próximo del evento i. Convencionalmente este tiempo se toma en O para el evento de "inicio" .
154
IN\TST IGi\C ION IX OPER ,\C IONES
P¡\J~ ¡\
INGEN I ER I /\S y i\DM IN ISTRf\C ION DE H I PRES r\S
Si d¡j representa la duración de la actividad i---7j, entonces el tiempo de ocurrencia más próximo de cada uno de los eventos j será :
Los cálculo s hacia adelante para la figura 27 proporcionan los siguientes valores :
TP, = Mú.\"tr~
TP¡ + d¡j Evento 1 2 3 4 5 6 7 8
9
TP 1 = O TP 1 + d 12 = 0+ 3 = 3 TP 4 + d 42 = 8 + O = 8 TP 1 + d 13 = O + 5 = 5 TP 3 + d 34 = 5 + 3 = 8 TP 2 + d 2s = 8 + 4 = 12 TP 4 + d 46 = 8 + 2 = 10 TP 6 + d 67 = 10 + O = 10 TP s + d s8 = 12 + 8 = 20 TP 6 + d 68 = 10 + 2 = 12 TP 7 + d 78 = 10 + 4 = 14 TP 3 + d 39 = 5 + 5 = 10 TP 8 + d 89 = 20 + 3 = 23
+d" f
O 8 5 8 12 10 10 20
23
Cálculos hacia atrás. Sea TT¡ el tiempo de ocurrencia más tardío , para todas las actividades que terminan en el evento i. Si n es el evento de terminación de todo el proyecto , entonces , TT n
= TP n
e iniciará el cálculo hacia atrás . En general , para
cada uno de los demás nodos i, el tiempo de ocurrencia más tardío se calculará como:
TT,
=
Míllfn, ,
d I! J
Los cálculos hacia atrás para la figura 27 proporcionan los siguientes valores:
J55
LU IS ,\I.IlERTO RINCON A BRIL
Evento 9 8
7 6 5 4 3 2 1
rr,
TTj-d ij TT g
=Míll{rr) -d,, } I
= TP g = 23
TT 9 - dS9 = 23 - 3 = 20 TT 8 - d 78 = 20 - 4 = 16 TT 7 - d 67 = 16 - O = 16 TT s - d 6S = 20 - 2 = 18 TT s - d 5S = 20 - 8 = 12 TT 6 - d 46 = 16 - 2 = 14 TT 2 - d 42 = 8 - O = 8 TT 9 - d 39 = 23 - 5 = 18 TT 4 - d 34 = 8 - 3 = 5 TT 5 - d25 = 12 - 4 = 8 TT 3 - d 13 = 5 - 5 = O TT 2 - d 12 = 8 - 3 = 5
23 20 16 16 12 8
5 8 O
7.3.2 Identificación de las actividades de la Ruta Crítica.
Una actividad
i~j
está en la ruta crítica si satisface las tres condiciones siguientes : TT¡ = TP¡ TT j = TP j TT j - TT¡
= TP j -
TP¡ = d¡j
Estas condiciones se cumplen para las actividades que carecen de tiempo de holgura entre el inicio más próximo y el inicio más tardío. Esto, hace que esta actividad sea crítica. La tabla de la página siguiente posibilita el análisis de estas tres condiciones para el ejemplo de la figura 27 .
La Ruta Crítica la componen las actividad es 1 ~3~4~2~5~8~9 Y comprenden el tiempo más corto posible para terminar todo el proyecto . Obsérvese que la ruta crítica forma una cadena de actividades conectadas desde el "inicio" hasta la "finalización" , condición que debe cumplirse en cada uno de los programas de proyectos.
156
INVEST ICAC ION DE OPERAC IONES PARA IN(,EN I ER I¡\S Y ADM IN ISTRAC ION DE EMPRESAS
Actividad A B C
F1 D
E
F F2 G H I
J
Ruta i-7j
1-72 1-7 3 3-74 4-72 2-75 5-78 4-76 6-77 7-78 6-78 3-79 8-79
TP¡ O O
5 8 8 12 8 10 10 10 5 20
TT¡ O O
TP j
8 5 8 8 12 20 10 10 20 20 23 23
5 8 8 12 8 16 16 16 5 20
TT j
d¡j
8 5 8 8 12 20 16 16 20 20 23 23
3 5 3 O
4 8 2
Crítica Si Si Si Si Si
O
4 2 5 3
Si
7.3.3 Determinación de las holguras.
Una vez se haya encontrado la Ruta Crítica , se debe proceder a calcular todas las holguras de las actividades no críticas. Para determinar estas holgu ras , es necesario encontrar dos parámetros adicionales, el tiempo de in icio más tardío (lT¡j) y el tiempo de fina lización más próximo (FP¡j) para cada actividad; los cuales cumplen las siguientes expresiones matemáticas :
IT¡j
= TT j
- d¡j
FP¡j
= TP¡
+ d¡j
Se consideran dos tipos de holguras , total y libre .
Holgura total HT¡j. Diferencia entre el máximo tiempo disponible para rea lizar la actividad y su duración ; esto es :
157
I. U IS i\ LllERTO RINCON ABR IL
Holgura libre HL¡¡. Suponiendo que todas las actividades comienzan tan pronto como sea posible , es el exceso de tiempo disponible sobre su duración para cada actividad ; es decir: HLi¡ = TP¡ - TP¡ - d¡¡
Todos los cálculos de ruta crítica , incluidas las holguras total y libre para las actividades no críticas, pueden presentarse como aparecen en la tabla de la página siguiente. En ésta , se observa que las actividades críticas tienen las holguras total y libre iguales a O.
Actividad
Ruta i-7j
d ¡¡
TP¡
TP¡
TT¡
TT¡
IT¡¡
HT¡¡
A B
1 ~2
O O
8 5 8 8 12 20 10 10 20 20 23 23
O O
8 5 8 8 12 20 16 16 20 20 23 23
5
5
5
O
O O O O O
O O O O
e
3~4
3 5 3
F1
4~2
O
D
2~5
E
5~8
F F2
4~6
4 8 2
6~7
O
G H I
7~8
J
8~9
4 2 5 3
1 ~3
6~8 3~9
5 8 8 12 8 10 10 10 5 20
5 8 8 12 8 16 16 16 5 20
5 8 8 12 14 16 16 18 18 20
HL¡¡
o
6 6 6 8 13
6 8 13
O
O
O O
7.4 DIAGRAMA DE TIEMPO.
A partir de los cálculos de la red se construye un diagrama de tiempo que pueda servir o convertirse fácilmente en un programa calendario para el personal que ejecutará el proyecto . El diagrama de tiempo debe considerar las limitaciones de los recursos disponibles , pues en muchas ocasiones no es posible realizar
158
IN\' I S I IG \l'ION DI 01' 1 ¡{ ,\C IONES PA R,\ INl; I: N IERI AS y
I\I)~ II N I S TR ¡\C I ON
DE
E~IPRE SAS
actividades simultáneas por las limitaciones de personal y equipo . En este caso las holguras totales para las actividades no críticas resultan muy útiles. Cambiando una actividad no crítica (hacia atrás o hacia adelante) entre sus límites TP y TT , se pueden cumplir los requisitos de recursos. Aun en abundancia de recursos (no hay recursos limitados) , se acostumbra usar las holguras totales para nivelar los recursos sobre la duración del proyecto completo. Esto significa una planeación , uso y control de los recursos más estable comparada con el caso donde el uso de la fuerza laboral y de la maquinaria de trabajo cambia fuertemente entre un periodo y otro.
Actividades críticas
.
®
. . .. '9'. ~.
Actividades no críticas •
1¡\:
•
tF
•
'-o .-
i:2 :
~
- - , - ---.------.----------,.-------'
.~.;. ... .; ... .; ..':(. . . ~: : tr.=4 : t¡;'\ .~.~. ... ., ....... .,. .. -". ..~.
o
4
8
12
..
..
~4 16 20 Semanas del proyecto
Figura 28. Diagrama de tiempo para el proyecto de traslado de oficinas.
La figura 28 ilustra la construcción del diagrama de tiempo para el ejemplo que se ha venido trabajando . Se observa fácilmente cuales son las holguras hacia delante o hacia atrás en la programación de las alternativas no críticas. La actividad ficticia
J5 9
LU IS A L BERTO RINCON ¡\BR IL
4-1 2 no consume tiempo , por lo tanto , se muestra como una línea vertical. Las actividades críticas se indican con líneas continuas. Los límites de tiempo para las actividades no críticas se muestran con líneas punteadas; tales actividades pueden programarse dentro de esos intervalos , siempre y cuando no se alteren las relaciones de precedencia.
Las holguras total y libre en la programación de actividades no críticas se explican en términos de dos criterios :
,/ Si estas holguras son iguales , la actividad no crítica se puede programar en cualquier instante entre los tiempos de inicio más próximo y de finalización más tardío . ,/ Si la holgura libre es menor que la holgura total , el inicio de la actividad no crítica se puede demorar en relación con su tiempo de inicio más próximo en un valor no mayor que la holgura libre sin afectar la programación de las actividades posteriores .
En esencia , la holgura libre menor que la holgura total advierte que la programación de la actividad no debe terminarse sin antes verificar su efecto en los tiempos de inicio de las actividades posteriores . Esta valiosa información sólo puede asegurarse a través del uso de cálculos de ruta crítica .
7.5 EL ENFOQUE DE TRES TIEMPOS ESTIMADOS DE PERT.
No siempre es posible obtener estimaciones con exactitud razonable para cada actividad del proyecto. En la práctica, frecuentemente existen incertidumbres sobre cuáles serán esos tiempos; de hecho se trata de una variable aleatoria que sigue alguna distribución de probabilidad . La versión original de PERT tiene en cuenta
160
INVEST IGAC ION DE O PERAC IONES PARA INGEN I ER I¡\S y AD MI N ISTR AC ION DE EMPRESAS
esta incertidumbre , suponiendo que la estimación de tiempo para cada actividad está basada en 3 valores diferentes:
a
= tiempo optimista , poco probable pero posible si todo sale bien.
b = tiempo pesimista , poco probable pero posible si todo sale mal. m = tiempo más probable , estimación más realista.
El intervalo especificado por las estimaciones optimista y pesimista , contienen cualquier estimación de la duración de la actividad. La estimación más probable m no tiene que coincidir con el punto medio 'l2(a + b) . Debido a estas propiedades se supone que la duración para cada actividad sigue una distribución beta con un solo punto modal en m y sus puntos extremos en a y b. La figura 29 muestra los tres casos de la distribución beta. Se hacen dos suposiciones para convertir m , a y b en estimaciones del valor esperado
Te Y la varianza cr 2 del tiempo para la
actividad .
1. Como al menos el 90% de cualquier función densidad de probabilidad está dentro de tres desviaciones estándares de su media , la dispersión entre los extremos a y b, es seis veces la desviación estándar, esto es , 5cr = b - a. Entonces la varianza del tiempo será: ,
cr -=
(b-o) "
36
2. El punto medio Y2(a + b) tiene una ponderación de la mitad de la del punto más probable m . Entonces , el valor esperado Te es la media de Y2(a + b) Y 2m:
T,'
[2111 + = -J " I
1 (
{/ +b+ 4111 a+ b) ] = 6- -
161
LU IS ALBERTO RINCON ,\ llR IL
I Sesgada hacia la derecha I
~ ./ I
,c' '[ \''-
~
~
.'
a
•
b
m
I Sesgada hacia la izquierda I a
~'//I" / / ,-
b
Simétrica
I
a
m
b
Figura 29. Distribución beta para las tres estimaciones de tiempo de PERT.
Los cálculos de la red para la fi gura 27 reali zados en las se cc iones pre cedentes fueron tomados di rectamente pa ra cada d ij , reemplazándolos con la estim ac iones
Te de la siguie nte tab la:
ACTIVIDAD A B
Crear el plan organlzaciona l y finanCiero
e
Determinar nece sidades de personal
D
Diseñar la Instal ación
E
Construir el Inte nor de la Instalación
Seleccionar el s ItlÓ de las Oficinas
F
Seleccionar el p ersonal que será transfendo
G H I
Contratar nuevo s empleados
J
Capaci tar el nue vo personal
Trasladarreglst ros, personal y otros Hace r los arregl os fin ancieros con otras sedes
Optimista
Pesimista
Probable
Esperado
Varianza
a
b
m
Te
02
1.5-
4.5 7 4.5 7 12 3.5 5.25 3.75 12 4
3 5 3.25 3.75 9 2 4.5 2 4 3.25
3 5 3 4 9 2 4 2 5 3
0.250 0.444 0.444 0.694 1.000 0.250 0 .563 0.340 2 .778 0 .250
3 0.5 2 6 0.5 0 .75 0.25 2 1
162
INVrSTI(i¡\(' ION DE OPER ,\C IONES PA RA I NGEN IER II\S y ADM IN I STR AC ION DE EMPRESAS
Si se supone que los tiempos de las actividades son variables estadísticamente independientes y que la ruta crítica , en términos de tiempos esperados , siempre requiere un tiempo mayor que cualquiera de las demás trayectorias. Además , como el valor esperado de una suma de variables aleatorias es la suma de sus valores
esperados
y
la
varianza
de
una
suma
de
variables
aleatorias
estadísticamente independientes es la suma de sus varianzas , entonces el tiempo
del proyecto es igual a la suma de los tiempos esperados para las actividades sobre la ruta crítica y la varianza del tiempo del proyecto es la suma de las varianzas de los tiempos de las actividades .
La tabla siguiente muestra que para la aplicación de este enfoque en la ruta crítica de la figura 27 (actividades 1 ~3~4~2~5~8~9) ,
el tiempo esperado del
proyecto es 23 semanas con una varianza de 2.832 .
Actividad
Ruta
i~j
Esperado
Varianza
Te
(J2
0.444 0.444
B
1 ~3
e
3~4
5 3
F1
4~2
o
D
2~5
E
5~8
4 8 3 23
J 8~9 Tiempo del proyecto
0.694 1.000 0.250 2 .832
7.6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Para elaborar el presupuesto del año siguiente, una empresa debe recolectar información de sus departamentos de Ventas, Producción , Contabilidad y Tesorería. La tabla siguiente indica las actividades y sus duraciones. Construir el modelo de red del problema y realizar los cálculos de Ruta Crítica .
J63
LUIS ALBERTO RINCON A BRIL
Actividad A B C O
E F G
2.
Descripción
Precedentes inmediatas
Pronósticos sobre Ventas Estudio del mercado competitivo Diseño del artículo e instalaciones Creación del_P!ograma de producción Estimación del costo de producción Fijación del precio de venta Elaboración del Presupuesto
A C O
B, E E, F
Días de duración
10 7 5 3 2 1 14
La instalación de un nuevo computador que trabajará como servidor de archivos de la Unive rsidad en INTERNET, puede representarse por la siguiente lista de actividades. Construir el modelo de red del problema y realizar los cálculos de Ruta Crítica.
Actividad
3.
Descripción
Precedentes inmediatas
Semanas de duración
10
A
Establecer las especificaciones
B
Solicitar los catálogos
A
C
Construir facilidades externas
A
O
Esperar los catálogos
B
E
Evaluar los catálogos
O
F
Construir facilidades internas
G
Seleccionar el computador
C E
H
Escoger el equipo de comunicación
I
Escoger el Software necesario
G G,H
J
Construir las redes eléctricas
K
Llegada e instalación del computador
F, G, H
L
Construir las redes de comunicación
F, K
M
Instalación del equipo de comunicación
H, L
N
Montaje del Software
K, M
O
Probar el Sistema
M, N
G, J
1 16 3 2 12 1 1 3 6 2 6 3 4 3
El montaje y puesta en marcha de una nueva planta de producción requiere las actividades de la tab la siguiente.
164
INVESTI(i ,\CION I)E OPI-.I{ ,\C IONES 1',\1< ,\ I NGEN IERI ,\S y
Actividad A
B
e o
Precedentes Inmediatas A A A
Optimista
3 2
F G
B
2
H
B C ,E,G
1 1 1
I J
F
2 1
K L
H,I,J
2
F
M
K ,L
0.5 1
DE H IPRES¡\S
Meses de duración Probable Pesimista 4 6
0_5 1
o o
E
, \I)~ II N I STR I \C I ()N
3
5
1
3
2 3
4 6
4 4
10
8
2 4 2 4
8
1
4
3
5
5 7 5
3. 1. Calcular el tiempo esperado y la desviación estándar para cada actividad. Construir el modelo de red del problema y realizar los cálculos de Ruta Critica.
J65
8. MODELOS DE INVENTARIOS
Con demasiada frecuencia las empresas requieren mantener un inventario de bienes físicos o mercancías para satisfacer la demanda sobre un horizonte de tiempo definido , bien sea para asegurar un trabajo eficiente y uniforme en sus operaciones o para cumplir con las demandas de los clientes. En una empresa pequeña , el administrador puede mantener permanentemente un recuento de su inventario y definir fácilmente cuándo y en qué cantidad reabastecer su inventario; sin embargo, aún en estas pequeñas empresas , en muchas ocasiones , se debe recurrir a la formulación de un modelo matemático que describa el comportamiento del sistema de inventarios y proceder a derivar una política de inventarios respecto de este modelo.
Teóricamente, es posible satisfacer la demanda almacenando una sola vez para todo el horizonte de tiempo o separadamente por unidades de tiempo para el horizonte. Pero estos casos , normalmente pueden generar sobrealmacenamientos o subalmacenamientos.
En el primer caso, aunque no se tendrán frecuentes periodos de escasez se tendrá un mayor capital invertido por unidad de tiempo. En el segundo caso , aunque se requiere un menor capital invertido por unidad de tiempo se darán periodos de escasez. Las decisiones que consideran el instante y la cantidad de pedido puede estar basada en la minimización de una función de costos totales que consulte los excesos o faltas de almacenamiento.
166
INVEST IG,\C ION DE OPERAC ION I:S I',\R ,\ ING EN I FR I,\S y
AD~ II N I S T R , \C I ON
DE
E~ I I' R ESAS
8.1 TERMINOLOGíA EN LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
C : Costo de producción o Precio de compra por unidad de inventario.
A : Costo de hacer un pedido . Es independiente de la cantidad y considera los costos de preparación del pedido , despachos, preparaci ón de maquinaria.
I : Costo de mantenimiento del inventario por unidad de dinero y tiempo . Considera los costos de oportunidad de inversión de capital , almacenamiento , depreciación y manejo del inventario.
h : Costo de mantenimiento de una unidad de inventario por unidad de tiempo . Así que h = IC .
~:
Costo fijo de penalización por cada unidad que se retrasa.
y : Costo de penalización por unidad de tiempo o dinero por cada unidad que se
retrasa.
A : Tasa de demanda por periodo (normalmente , unidades/año). Se supone conocida con exactitud y constante a lo largo del periodo.
a : Tamaño
del lote. Cantidad de unidades que se ordenan para renovar el
inventario.
r : Punto de reorden o Nivel del inventario para el que se debe ordenar un nuevo pedido de tamaño Q.
167
I l llS I\ Lll rln O RINCON 1\Il RIL
Tr
:
Tiempo de reorden o Intervalo de tiempo entre pedidos o entre corridas de
producción . En el caso más sencillo se considera determinístico y conocido, pero normalmente se distribuye con
base en alguna función
de densidad de
probabilidad.
8.2 MODELO DETERMINíSTICO SIMPLE.
Se considera los siguientes criterios:
.:. Una demanda determinística . •:. La producción, adquisición o consumo del artículo ocurre a una tasa de unidades/año . •:. No se permiten faltantes , esto es, la demanda siempre se satisface .
a
T
Figura 30. Modelo Determinístico Simple.
168
A
INV LST IC; .\ClON I)r Oi' 1 R,\C IONES PAR ;\ INGEN I ER l f\S y
,\D~ II N I STRAC I ON
DE EMP RESAS
Con base en estos criterios , la Figura 30 describe la variación del nivel del inventario a lo largo del tiempo . En esta , T representa la longitud del periodo y 0 0 es el valor inicial del inventario. En general , O = AT. En particular, en la figura 30, 00
= AT.
El problema será encontrar el valor de O que produzca los costos
menores anuales para una función Ca(O). Esta función resulta ser la suma de los siguientes costos parciales: 1. Costo
anual
de
mantenimiento
de
los
inventarios.
El
costo
de
mantenimiento en cualquier instante es igual al costo de mantener todo el inventario menos el costo de la disminución de inventario en ese instante, esto es : dCp(t)
= ICOdt -ICAtdt = IC(O - At)dt
Con ello, el costo de mantenimiento por periodo se puede calcular como : C, I
/
= r de JI)
P
(t)dt
r
= Jro IC( Q -At)dt = I C( Q -
AT "
-
2
).
C0 ll1 0
T = Q , ellfOll ces :
A
C = I CT Q /'
'")
Como el número de periodos que hay en un año es 1 , entonces el costo anual T
de mantenimiento será C,,,
= T1 e /' = le Q . Fácilmente 2
se puede demostrar que
1120 representa el inventario promedio anual. Este costo se reduce a calcular el producto del factor h = IC por el inventario promedio. Haciendo uso de la definición del valor promedio de una función en un intervalo , en todos los casos el inventario promedio se podrá calcular con la siguiente
expresión
Q = I QT
Q
T :2
Q
1 r
1
= -T1r Q(r )dr = T Ara r debajo de Q (r ) . .
:2
J69
Entonces
L U IS A LBERTO RINCON AB RIL
2. Costo anual de los inventarios. Número de unidades compradas en el año
e, =
por su costo unitario
Ae .
3. Costo anual de hacer los pedidos. Costo del pedido por el número de - esto es: el = A -I = A ~ I =AA. pe d I'dos en el ano, ,
T
(J,!.
Q
Entonces , el costo anual Ca(Q) en este modelo, se puede calcular como:
e
"
Q
(Q)= l e
:2
+Ae+A 3..
Q
Aplicando los conceptos del cálculo diferencial se puede encontrar el lote económico, esto es, la cantidad óptima que se debe pedir para lograr que el modelo funcione a costo mínimo. de
le
_ " =dQ
A -A :2 Q'
=o
'
entonces Q"
:2AA
:2AA
= -- = -le
.
/¡
Tomando la segunda derivada se demuestra que Q * produce un mínimo para la función de costos . El costo mínimo que se obtiene al reemplazar en la función a Q por Q* es:
e"(Q*) = -J 2A l eA = -.J 2A h A,
= Q '"
T"
A
La política óptima será colocar un pedido de Q* unidades cada T* unidades de tiempo.
En la mayoría de los casos prácticos se tiene un tiempo de demora T d entre el instante en se coloca el pedido hasta que realmente se entrega . En este caso, la política de pedidos debe especificar el punto de reorden oLa figura 31 presenta la situación .
De la figura 31 se puede especificar el punto de reorden , calculando el tiempo y punto de reorden como:
Tr
= T* - T d
Y
170
r
=A T
r
IN\' I
~
11( ; \C!ON DE OPFR ¡\C!ONES P¡\RA I NGEN I ERI AS y
AD~ II N I S TR /\C I ON
DE
E~ I PRESAS
Q*
Figura 31. Modelo Determinístico Simple con tiempo de demora.
Ejemplo. Un proceso de producción automatizado consume 40 Ton diarias de
plástico como materia prima . Cada que se coloca un pedido se origina un costo de $US 10, mientras que el costo de mantenimiento de una Ton de materia prima por día es $US 0.02. Si el tiempo de demora es de 2 días , determinar el tamaño económico del lote y el punto de reorden o
Tamaño económico del lote: Q"
=
2AA ,
. d optlma ·· d i · do: 7" "= . Q '" Longltu e peno
A
Tiempo de reorden: Tr = T* - Td Punto de reorden:
r
=5 -
/¡
=
~40
0.02
= 200 - = S días 40
2
= 3 días
=A Tr = 40 x 3 = 120 Ton
17 1
.
200 Ton
L U I S ,\ L BE RTO RINCON A IlR II .
Se coloca un nuevo pedido a los tres días de inicia r cada periodo cuando el nivel de inventarios llega a 120 unidades.
La figura 31 y el ejemplo anterior consideran el caso en que T d S T* . Se deja al lector el análisis del caso en que ocurre T d > T* , por ejemplo T d = 1.5T*, en el cual se pueden tener en algún momento varios pedidos acumulados .
8.3 MODELO DETERMINíSTICO CON ENTREGAS RETRASADAS.
Este caso obedece a una de dos circunstancias. En un primer caso, las demandas acumuladas insatisfechas pueden esperar hasta ser atendidas. En un segundo caso, las demandas insatisfechas acumuladas se pierden. En cualquiera de estos casos hay que considerar un costo de penalización adicional por no satisfacer a tiempo la demanda. Este costo tendrá dos componentes, C pen =
n
+ <1>. El primer
elemento representa el costo fijo por las unidades retrasadas y el segundo un costo proporcional al tiempo de retraso.
De manera similar al procedimiento usado en el modelo determinístico simple , se puede encontrar el valor de O que produzca los costos menores anuales para una función Ca(O) . Esta función resulta ser la suma de los siguientes costos parciales: 1. Costo anual de mantenimiento de los inventarios. En las secciones
precedentes se mostró que este costo equivale a: l e Q
Cm= l e I (Q _ S) T¡ T '2
= I cA (Q _ Q
S) Q -
s = l e (Q -
2A
cantidad retrasada .
172
2Q
i
= l e ~T ()
T1
Q(t )dl , esto es ,
S) 2
en
donde
S
es
la
INV L STI(; ,\CION DE OPERAC IONES P/\RA INCEN ILR I /\S y I\D~ II N I STRAClON DE EM PRES ,\S
Q
T
Figura 32. Modelo Determinístico con entregas retrasadas.
2. Costo anual de los inventarios. Número de unidades compradas en el año por su costo unitario
e, =
Ae .
3. Costo anual de hacer los pedidos. Costo del pedido por el número de ·d I Pe d I os en e ano , esto es : e, I
= A TI = A IJI = -QA A .
4. Costo de penalización. Se definió como Cpen =
n + <1>.
esto es , el costo fijo por
las unidades retrasadas más un costo proporcional al tiempo de retraso. Si ¡..t define el costo fijo por cada unidad retrasada y y el costo proporcional al tiempo de retraso por cada unidad , entonces , e
I
'"''
= ¡"IS + y T
T, S I :2 T
n = f..1S
I
\' T .
A
SS A
'Q
2A Q
= uS - + y
173
<))
I
=-
Q
= Y Tc_:2S TI (¡ISA -
.
}S c -) :2
Con ello,
LU IS A LBERTO RINCON ,\I3R IL
Entonces , el costo anual en este modelo Ca(Q) , se puede calcular como:
e" (Q , S) =
Ae + A
A
Q
+ le
(Q _ S) C l yS e - + - (USA+ ) 2Q Q . 2
Aplicando los conceptos del cálculo diferencial se pueden encontrar los valores óptimos para Q y S.
De
~" =
DQ
, , l eQ c - 2AA - 2pSA _ySe - l es 2 = 0 => l eQ - =2AA+2pSA+(y+ le )S- (a) 2Q 2 ' 8e,,= le (S-Q)+ p A+yS=o => s= l eQ- p A (b) DS Q , le + y
Reemplazando (b) en (a) se obtiene :
Reemplazando este valor Q* en (b) se obtiene S*.
'. S·,'=
le le +y
. Q"-
. ! t e - .: p eAe => S ·,'= I _. 2AAle + y ! le +y , le + y pA
~I A
- ~
le + y
Sobre las expresiones anteriores , se puede considerar el modelo determinístico simple de entregas inmediatas si se supone que (y~oo ) ; es decir, se obtiene para este caso que :
174
y tiende a un valor muy grande
INV[ST IGi\ClON UE O I' ER,\ClONES P,\R¡\ I N(,EN I ER I,\S y i\D MI N IST RI\C ION D E
E ~ 1P RES¡\S
8.4 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Una embotelladora produce diferentes tipos de gaseosas usando el mismo equipo. Cuesta $US 300 limpiarlo y prepararlo para producir otro tipo de gaseosas. Una de las gaseosas tiene una demanda determinística de 10000 litros/mes. El costo de producción es de 0.5 $US/litro. Si I = 0.07, cuales son los valores de Q*, T*, C* a. 2. La demanda de un producto es 300 unidades/mes y los artículos se retiran a una tasa constante. El costo de preparación cada que se hace una corrida de producción para reabastecer el inventario es $US 150. El costo de producción es 5 $US/unidad y el costo de mantener el inventario es 1 $US/(unidad x mes) . 2.1. Si no se permiten retrasos en las entregas , determinar cada cuánto debe hacerse una corrida y de qué tamaño debe ser. 2.2. Si se permiten retrasos en las entregas , con un costo fijo por cada unidad retrasada de $US 2 y un costo de cada unidad proporcional al tiempo de retraso de $US 1, determinar cada cuánto debe hacerse una corrida y de qué tamaño debe ser. 3. Una empresa de autobuses consume gasolina a una tasa constante de 17000 galones por mes. Puede comprar y almacenar grandes cantidades de gasolina a precios de descuento $US 1.3 y tiene un costo fijo de $ US 500 por cada orden. El costo de mantener el inventario es 0.05 $US/(galón x mes). 3.1. Si no se permiten retrasos en las entregas, determinar cada cuánto debe comprar y de qué tamaño debe ser el pedido. 3.2. Si se admiten retrasos en las entregas , con un costo fijo por cada galón retrasado de $US 0.3 y un costo de cada galón proporcional al tiempo de retraso de $US 0.2, determinar cada cuánto debe comprar y de qué tamaño debe ser el pedido.
J7S
l. U IS 1\ LB r::RTO RINCO N A BRIL
4. El
modelo de
la
figura
33
supone
que
el
inventario
uniformemente (a cambio de instantáneamente) a una tasa de
se
reabastece
<1>
artículos por
unidad de tiempo hasta que alcanza el tamaño del lote . Los artículos se retiran a una tasa de
A (A<
<1»
artículos por unidad de tiempo. En este modelo se
cumple que en el intervalo T1 los reabastecimientos y retiros son simultáneos mientras que en T 2 únicamente se hacen retiros.
Nivel de Inventario
Tiempo
T1
Figura 33. Modelo Determinístico con reabastecimiento uniforme.
4.1. Encuentre la función de costo anual para este modelo. 4.2 . Determine el tamaño económico del lote.
176
9. MODELOS DE ESPERA O TEORíA DE COLAS.
La teoría de colas proporciona un gran número de mode los para el análisis matemático de los fenómenos de las líneas de espera o colas . Las colas ocurren con frecuencia cuando una serie de clientes solicitan un servicio , teniendo el servicio y la llegada de los clientes una situación de tipo probabilístico . Los modelos de espera describen el comportamiento de la co la a través del tiempo y sacan las características operacionales de la misma , pero no pretenden resolver directamente el problema de la espera en cola . Por lo tanto , algunos de los parámetros manejados en los modelos son el tiempo promedio de espera en la cola , el número promedio de clientes en la cola , el tiempo de ocupación de los servidores y otros más . Muchos de los problemas del análisis de líneas de espera requieren de los modelos de Simulación , aquí solamente se tratarán los aspectos básicos sobre los modelos más elementales sin considerar la optimización de los sistemas reales que representan .
9.1 PROCESO BÁSICO DE UNA COLA.
El proceso básico supuesto para los modelos de espera es el siguiente : un flujo de clientes provenientes de una fuente de entrada llegan a una cola para buscar una estación de servicio , donde el cliente i-ésimo llega en el instante t i; este cliente puede ser demorado un tiempo Di mientras espera que los
clientes que están delante de él en
la cola
sean atendidos
por el
despachador . Se puede definir a Si como el tiempo de servicio empleado
177
L U I S A LB ERTO R INCON A BRIL
efectivamente para recibir atención este cliente o tiempo que el individuo pasa en el sistema. Se define una estación de servicio como la porción de una instalación o estación que puede suministrar servicio a un cliente a la vez.
Fuente de Entrada
a_>
!> CHe ntet>,-_C_O_I
Clientes Estación de
servidos
servicio
Figura 34. Proceso básico de Colas.
Si W¡ representa el tiempo de espera en la estación del cliente i-ésirno , esto es , W¡=D¡+S¡ , entonces él abandona el sistema en el instante t¡ + W¡ = t¡ + D¡ + Si. Los
valores ti, W¡, S¡ y D¡ son variables aleatorias . Para cada instante t, se define N(t) como el número de clientes en el sistema en ese instante.
En muchos casos se supone que las llegadas ocurren con una distribución de Poisson , es decir, P (x
= j) = e )'?e .
JI
l .
En este caso, el parámetro A., es la intensidad
o tasa promedio de llegadas al sistema o valor esperado del número de llegadas por unidad de tiempo. Ocasionalmente , las llegadas pueden ser en lotes de tamaño fijo o variable . Un ejemplo lo constituyen las llegadas de aviones a aeropuertos ; cada avión se considera una unidad que requiere servicio ; mientras que los pasajeros que llegan dentro del avión componen un lote que requiere la utilización de otros servicios.
178
INVEST IG ,\C10N DE OPER /\C IONES PARA INGEN IER I AS y
i\D~ II N I STRAC I ON
DE H IPRES AS
9.2 DISCIPLINA DE LA COLA.
Es el método empleado para seleccionar los clientes en la cola con el fin de atenderlos. Este orden de prioridades puede ser primero en entrar primero en salir, aleatorio , prioridad a los clientes que emplearán menos tiempo en la estación o primero , los de una clase; luego , los de otra ; y así sucesivamente .
La duración t del servicio, ocurre en muchos casos de acuerdo con una distribución exponencial f(t)
= pe -pi.
El parámetro p representa la tasa promedio de servicio o
valor esperado del número de clientes atendidas por unidad de tiempo.
El mecanismo de servicio puede tener uno o varios canales en serie o en paralelo . En un modelo de colas debe ser posible especificar el arreglo de los canales y el número de ellos .
.....................................................................
.................................. S¡"stEÚTia· de· e·oias············· Figura 35. Modelo de Colas.
179
L U IS A L flERTO RINCO
ABR IL
9.3 TERMINOLOGíA BÁSICA.
Si el sistema de cola se encuentre en el estado estable , esto es , una cola que lleva operando mucho tiempo y por la cual han pasado o pasarán muchos clientes y se supone que los límites usados en las siguientes expresiones existen , entonces: I
1 - =
A
, EU )
LIII1 -
I-> ~
j
¿ E(S, )
1
- = J.1
,
Lílll ~
.i
J~ OO
Donde A es tasa de llegada a la cola y Il tasa de servicio en el sistema. Como n(t) es el número de clientes en el sistema en el instante t, si se define L como el número promedio de clientes en el sistema ,
W
como el tiempo promedio de espera
de un cliente en el sistema y Pn como la proporción de tiempo que se tienen n clientes en el sistema , entonces:
r
I
¿E(W: ) \V
=
L = LíIl1 _ 0 _
L íll1 -,-, , ~,-,-I _-
T-> ~
E (n(r ))dl ---
T I
T
Sr P (n(l ) =
¿P(W, "5. / )
11 )dl
P = Lílll =-:.(,1 ---"T-> ~ T
P(W ::; 1) = Lílll I ->~
En procesos de cola en estado estable L
,~I
j
=AW, llamada fórmula de Little debido a
que John D. C. Little proporcionó la primera demostración rigurosa de ella.
9.4 EL PROCESO DE POISSON.
La representación más común en los procesos de llegada a una cola es el proceso de Poisson . Suponiendo que XI es el número de llegadas en el intervalo (O , tl . El conjunto de variables aleatorias {XI, t} es un proceso de Poisson , si para t > O Y
180
INVEST ICi .\C ION IX O PER ,\C IONES 1',\1< ,\ INGEN II, RI¡\S y
¡\I)~ II N I ST R ¡\C I ()N
algún número real A. > O', XI tiene la distribución P (1 ) = P(X 11
I
DE
E~ I P R ES /\S
= /1 ) =
e
¡.,
(Al )"
-1 - .
Esta
/l .
relación se obtiene por medio de argumentos matemáticos basados en una serie de supuestos del proceso. Las propiedades del proceso de Poisson son:
1. El número de llegadas en intervalos disyuntos, son variables aleatorias mutuamente independientes . Esta propiedad se conoce como de incrementos independientes. 2. La distribución del número de llegadas en el intervalo (t , t + h] depende únicamente de la longitud del intervalo . Esta propiedad se conoce como de incrementos estacionarios. 3. De la función de densidad de probabilidad se puede ver que para intervalos suficientemente pequeños , existe una alta probabilidad de cero llegadas ; la probabilidad de exactamente una llegada es aproximadamente proporcional a la longitud del intervalo, mientras que la probabilidad de 2 o más llegadas es insignificante comparada con la probabilidad de exactamente una llegada. Esta última propiedad se conoce como de ordenabilidad . Matemáticamente se expresa como Líll/ P( X ,
= O) = 1.
Líll/ P( X , I~O
/--'10
= 1) = A,
Líll/ P( X , 2': 2) /---;{)
= o.
9.4.1 Tiempos entre llegadas, Proceso Poisson.
Si
r1
es el instante en que ocurre la primera llegada y F(t) su distribución de
probabilidad , entonces la probabilidad de que no hayan llegadas en el lapso (O , t] o que la primera llegada ocurra después del instante , será Po(t) = . F(t) = 1 - e -Al o, ./· (1 ) = -dF(I ) d eClr, dI
de probabilidad de
=1
A,
/\,{! - '
r 1 es exponencial.
CO /l
e -Al
= 1 - F(t) , es
~ f ,) = 1 . E sto .In d'Ica que la f unclon ., E(
A
Si se supone que las llegadas ocurren en los
instantes t, < t2 < t 3 <" " . tn, y se toman los tiempos entre llegadas
181
e = ti - t,_,
para
L UIS A Lll ERT O RI NCON ,\ B RIL
todo i, se puede demostrar que Cada
r
tiene una distribución exponencial con
parámetro A .
Si se precisa un instante de tiempo u
E
(o,t] Y se tienen exactamente n llegadas en
ese intervalo y se suponen los siguientes eventos A = llegan n en (O, t], B = llegan x en (O, ul y C = llegan n-x en (u, tl. Entonces la probabilidad de B dado A es P(lJ/ A)
. Id a d se d eb e a Ia prople . d ad d e = P(A n lJ) = P(lJ)P(C) . La u' 1'tima Igua P(A)
P(A)
incrementos independientes , entonces:
P(8/ A)
=
(11_-_ '-") ,,--1_ -
(' ¡" ( AI )"
= (II}~) , (1- ~ )"
,
XII
11 1
Esto es, se trata de una distribución binomial con parámetro uft independiente de A.Cuando n=1 se obtiene P(X " = 1/ X , = 1) =
11 ,
es decir, el tiempo de llegada está
I
uniformemente distribuido en el intervalo.
9.5 EL PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE.
La mayoría de los modelos elementales de espera suponen que las entradas y salidas de los clientes del sistema ocurren de acuerdo con el proceso de nacimiento y muerte. Este importante modelo
de teoría de probabilidad tiene
aplicaciones en varias áreas ; sin embargo en el campo de la teoría de colas el término nacimiento se refiere a la llegada de un nuevo cliente al
sistema
y
término muerte se refiere a la salida del cliente servido. Es decir, la ocurrencia de un evento (ya sea nacimiento o muerte) se asocia con el cambio de estado del
J82
INVFST IUAC ION DE O I'I. R,\C IONES PARA IN( ;EN I FR I!\S y
¡\D~ II N I S T R'\( - I ()N
DE F MPR FS¡\S
sistema a lo largo del tiempo. El sistema se encuentra en el estado En si hay n clientes en el sistema; en este caso , An es la tasa de nacimientos , Iln es la tasa de muertes y Pn(t) es la probabilidad de que el sistema esté en En en el instante t. Solamente se considerarán ingresos de Poisson y tiempos de servicio regulados exponencialmente. Las suposiciones básicas del proceso de nacimiento y muerte son las siguientes :
1. Como el sistema se encuentra en el estado En en el instante t, la probabilidad de que ocurra exactamente un nacimiento en el intervalo (t , t + h) está dado por
An h + O(h) ; O(h) es una propiedad de una función . Se dice que una función es O(h) si Lílll 0(17 ) h~ O
cO(h)
h
= O.
Algunas propiedades de O(h) son O(h)
±
O(h)
= O(h) ,
= O(h) .
2. Como el sistema se encuentra en el estado En en el instante t, la probabilidad de que ocurra exactamente una muerte en el intervalo (t, t + h) está dada por
Ilnh + O(h). 3. Como el sistema se encuentra en el estado En en el instante t, la probabilidad de más de un evento en el intervalo (t, t + h) es igual a O(h) . Por lo tanto, al menos uno de los cuatro fenómenos siguientes mutuamente excluyentes debe ocurrir en este intervalo: ,/ Exactamente un nacimiento y ninguna muerte ,/ Exactamente una muerte y ningún nacimiento ,/ Más de un evento y ,/ Ningún nacimiento o muerte.
183
LUIS ,\ U 3ERTO RINCON ABRIL
Entonces límite
h'
cuando
d~, ( 1) _ (II
P (I+/i )- P(I ) O( /i ) " /i " =A" J~, 1 (I )+ ,LJ ,,+I ~<+ I(i)-(A,, + ,U ,, ) ~, (i )+
-A"
definen
¡.Lo
C)
J"
h----1ü
en
ambos
lados
C)
1 (I )+ f.1 " j ,,+I (I )- ( A,, + ,LJ .,) ~, (I ).
= O Y A-1 = O, entonces
dP/) (t )
=
dI
de
de
la
expresión
Particularmente
tomando el se
obtiene
cuando
f.1 1 /~( / ) - A,,1~) (I ) .Resolviendo
n=ü ,
se
el sistema
estas dos ecuaciones diferenciales se obtienen expresiones para Pn(t) , la
probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado En en el instante t, que el lector interesado podrá intentar resolver.
El proceso de nacimiento puro está caracterizado porque An = A Y Iln
= O para
todos los valores de n. Las ecuaciones diferenciales en este caso son: dP() (t ) = -AP (1 )
()
( II
d~, (I ) = AP dI
(' ;,¡
La solución general viene dada por P (1) = "
( / )-AP ( / )
,,- 1
(Al )" 11 1.
"
De manera similar para el
proceso de muerte pura se obtiene una distribución de la familia exponencial.
Dentro del proceso de nacimiento y muerte en el estado estable (aquel que no depende del tiempo) , la probabilidad de estado estable , viene ~¡
=
Lílll~, ( /), ,,~~
tlP (/ )
esto es , _ "
dI
= O Y entonces se cumple que:
Desarrollando el sistema de ecuaciones anteriores se obtiene:
184
dada por
IN\TST IGACION DE O PER ,\C IONES PARA I 'GF. I F.R I¡\S y
, \D~ II N I STRAC I ON
DE EMPRES¡\S
AII /~ ) = {I , P¡
(A, + {I l ) P¡ = A(] I~ ) + .u 2 Pe (A" + t' ,, ) /~, =A" I /~,
l
+ {I ,,+I ~,+ I
La solución este sistema de ecuaciones simultáneas produce los valores de las probabilidades de estado estable Po, P 1 , P2, . ..... A este sistema de expresiones se le llama ecuaciones de balance , debido a la manera alterna que se puede recurrir para obtenerlas .
La figura 36 muestra los diversos estados a los cuales puede llegar el sistema. Si se igualan las tasas hacia adentro y hacia afuera de cada estado , se obtienen las ecuaciones de balance . A esto se le reconoce como el principio de tasa de entrada igual a tasa de salida.
Estado
I
An-2
\.--.J
•••••
J.ln-I
J.ln
J.ln+ 1
Figura 36. Diagrama de tasas para el proceso de nacimiento y muerte.
La tabla siguiente muestra la aplicación de este principio para generar las ecuaciones de balance .
185
LU I S ,\LBERTO RINCON ABR IL
Estado O
Tasa de Salida =
"-o Po =
1
AI P I + ¡.t IPI
2
A2 P2+ P2P2
.................
i
A, P, + p¡p, .. . . "
n
.. . ... .. .
A" F'" + PilPil . .... .. .. . . .. ....
= = = = = = =
Tasa de Entrada ~l I P I
AoPo + P2P2 Al PI + ~1 .1 F'] . ..... . . . .. . . . ... .. .
A¡.I P'-l + P'+I F" +1 . ... . . .. ... .... ... . . . ..
A,,- IP,,_ I + P,,+I P,,+ I . . . . . . .. . . ... .... . .
De esta forma simplificada , se obtienen las ecuaciones que rigen el sistema. Este procedimiento es muy utilizado para desarrollar las relaciones que rigen los diversos tipos de colas. Este sistema se resuelve en función de Po de la siguiente manera :
Estado
o: 1: 2:
11 - 1 :
p
1/
=~p
11 - 1
¡..t " 1/:
p"
+ _1- ( P I! I P
1/
= -A"- p" + -1 ¡..t ,,+J
I
-A 11 - 2 P11 - 2 )
P" (¡..t " P" - A,, _JP',-J)
¡..t ,,+J
186
INvrSTIc;"CION D I·: O l' !" R,\C!ONFS PA R" INGEN I ER Ir\S y ADM IN ISTRAC ION DE EMPRESAS
Definiendo h"
" A
= TI ,- 1
~
~I ,
se pueden calcular
~
L~,
S/' obl i /'II/'
l .
I
= Lb,/~) = l .
11 _ 0
Po = ,
I
\"
b
L. "
A partir de esta expresión
1/ ..;:. 0
b"
P
Estas expresiones plantean la
"
condición indispensable para la existencia de las probabilidades de estado estable . Es necesario que la suma L b n converja.
9.6 MODELOS DE COLAS CON PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE.
Dado que se pueden asignar diferentes valores no negativos a las tasas 1.. 0 , Al, 1.. 2 ,
1.. 3, ....... An y Pl , P 2, P 3,··· ···· pn del proceso de nacimiento y muerte , existe una gran flexibilidad para modelar un sistema de colas. Los modelos más usados en teoría de colas están basados directamente en este proceso y entradas Poisson y tiempos de servicio exponenciales.
9.6.1 Modelo M/M/1.
La notación M/M/ 1 significa M-llegadas Poisson con tasa A, M-servicio exponencial con tasa P y un despachador. Considerando el proceso de nacimiento y muerte se
= A Y pn = ~l
tiene que An
para todo valor de n; por lo tanto remplazando para b n se
obtiene: h "
=
rr
" ;l
,_ 1
.
,L/
;l
= ( )" JI
Entonces se obtiene que
;l
~
C IICIlldo ~
JI
b;l
~ , = , -"- = ( 1-
L. b"
JI
A
)( ~ ) " = ( 1-
JI
p)p "
COII
A
P =~
.
Es decir,
JI
la condición para que existan las probabilidades es que p < 1. La probabilidad de
187
L UIS ,\U3E RTO RI NCON AB RI L
que el sistema se encuentre vacío es Po = 1 - p. Entonces, la probabilidad que el sistema esté ocupado será p. Por esto, p se define como el factor de utilización e indica que la tasa de llegada a la cola debe ser menor que la tasa de servicio en el sistema; en caso contrario, se dice que la cola "explota" o crece a infinito.
La longitud de la cola o valor esperado del número de personas en el sistema, será entonces: L =" L.,.11P'," = L.,./I ( I - p)p " = ( 1- p)p L.,./lp - d (p ") = ( I - p ) P - d " L.,.(p " ) = " " - I = ( 1- P ) P L.,. "
dp
d 1 P ( - )= dp 1- P 1- P
(l-p)p -
=}
dp
le L= J.-I -A
El valor esperado del número de personas en la cola será
Q=
I
( /1 -
1) p" =
I
/1
p" -
I
P" = L - (1 - Po) = L - P
En los modelos de cola M/M/ 1, la relación L = AW se cumple , por lo tanto se puede
calcular el valor esperado del tiempo de demora de un cliente en el sistema como 1
le 1 J.-I -leA
\\' =L - = - - - =
A
1
-
J.-I- Ie
Es posible mostrar que la función de densidad de probabilidad del tiempo de un cliente en el sistema es de la forma
f(t) = (¡..t-A)e-(Il-A)l. Esto es , se distribuye
exponencialmente.
El tiempo total en el sistema, se divide en un tiempo de servicio S y un tiempo de espera en la cola D, esto es W=D+S, entonces E(W) = E(D+S) = E(D)+E(S) = w. Entonces el tiempo promedio de espera en la cola se calcula como E(D) =
188
W -
E(S).
IN\TST I(; ,\CION D I- OI'ER ,\ C IONES PARA I Nl;EN II: RI AS y
E( D ) =
1\ ' -
E(S) = \\-
.u
I\D~ II N I S TR I\C I ON
=
l' - A
,LI
=
DE H I PRESAS
,LI ( J.1 - A)
9.6.2 Modelo M/M/s.
La notación M/M/s significa M-llegadas Poisson , con tasa A, M-servicio exponencial con tasa Pn y s despachadores que prestan servicio a la misma cola. Gráficamente el modelo correspondiente aparece en la figura 36 mientras que el diagrama de tasas se muestra en la figura 37.
Estado
I\~ •••••
u
2u
(s-1 )u
3u
su
su
Figura 37. Diagrama de tasas para el modelo M/M/s.
Cuando el sistema tiene varios servidores no es tan sencillo expresar pn o tasa media de servicio para la terminación del servicio cuando hay n clientes en el sistema. Cuando la tasa media de servicio por servidor ocupado es P , entonces la tasa media de servicio global para n servidores ocupados es np . Entonces pn = np cuando n.:s s mientras que Pn = sp cuando
n~
s, ya que s servidores están
ocupados . Cuando la tasa media de servicio máxima sp sobrepasa la tasa media
189
LLlI S I\ L Br:RTO RI NCO ' A BR IL
de llegadas A, esto es , p
=A sp
< 1, en algún momento alcanzará la condición de
estado estable. Si d es el valor esperado de la demora en cola , entonces : I
E(D/d > O)=
S,LI -
dOllde
A
,LI
d =
(s - I) I( S,LI -
l
sp ( A) , P = ~ I (A) " + _p L., ., . 1 ,, _o ll. ,LI S.( .lp-/l) 1)
A , )
J/ P() (
j
,
At
COII
11 '
= d
I
+
, L=
,1\\ ,
,LI
1
9.7 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Identifique los clientes y los servidores del sistema de colas en cada una de las siguientes situaciones: 1.1. Las cajas registradoras de un supermercado. 1.2 . Una estación de bomberos. 1.3. La caseta de peaje de una carretera. 1.4. Un taller de reparación de carros. 1.5. Un muelle de carga y descarga. 1.6 . Un grupo de máquinas semiautomáticas asignadas a un operador.
2.
Para el sistema M/M/ 1, encuentre la probabilidad de que haya más de n clientes en el sistema.
3. Para los sistemas M/M/1 y M/ M/s escriba las ecuaciones de estado.
4. Considere un sistema M/M/ 1 con p
= 1.0. Compare L para los casos en los cuales
A es
0.6 , 0.9 Y 0.99, re spectiva mente . Igual para Q Y w. Cal cule la probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor que 4 unidades P [W > 4
190
l.
IN\' I.S1IG ,\C10N J)E 01'1 J{ .. \C ION I.S I',\R ¡\ ING I: N II: RI,\S Y
J\ D ~ II N I STJ{ , \C10N
DE H IPR ESAS
5. Un flujo de votantes por dos candidatos cumple un proceso de Poisson con tasas de llegada Al y A2 independientes. Mostrar que el flujo tot al es un proceso de Poisson con tasa (Al + A2). Determine la probabilidad de que el primer cliente vote por el primer candidato .
6.
Un mecáni co abrió un taller de reparaciones en un garaje donde únicamente hay cupo para dos carro s. El flujo de veh ículos es Poisson con una tasa de 5 carros/día; pero por razones de espacio no todos pueden entrar. Durante el primer mes el taller contrata adicionalmente dos mecánicos sin experiencia que reparan carros a razón de 2.5 vehículos/día , cada mecánico , y sus sueldos son de 52 $US/día . 6.1. ¿Cuántos vehículos reparan diariamente los dos mecánicos? 6.2. ¿Cuál es el tiempo promedio de espera de cada vehículo? 6.3. Al final del primer mes el taller decide salir de los dos mecánicos y contratar un mecánico con mayor experiencia y rapidez . ¿Cuál debe ser la velocidad del nuevo mecánico si se desea atender al mismo número de clientes? 6.4 . ¿Cuál debe ser el sal ario del nuevo mecánico si se supone proporcional a su tasa de servicio?
7. Una cabina telefónica recibe clientes Poisson que llegan a un promedio de 12 minutos entre cada cliente , las llamadas tienen una duración exponencial de un promedio de 4 minutos. La empresa de teléfonos decide que colocaría un segundo teléfono si los clientes tienen que esperar en promedio más de cuatro minutos para que desocupen el teléfono . 7.1. ¿Para que valor de A se sucede este cambio? 7.2. ¿Cuál debe ser A, sí la compañía de teléfonos coloca otro aparato sólo si la probabilidad de que un cliente tenga que esperar exceda de 0.6?
8.
Una pequeña estación de gasolina tiene cupo para dos carros solamente. Los clientes potenciales son Poisson a tasa desconocida , pero que no se detienen si el espacio está lleno (es decir, se pierden) . Se sabe que el tiempo promedio entre los clientes actuales (aquellos que se detienen y son servidos) es de 6 minutos. Hay un despachador con servicio exponencial y con media de 5 minutos .
J9 \
L U I S ,\ U 3ERT O RI NCO
,\ B RIL
8.1. ¿Qué fracción de clientes potenciales se pierden? 8.2. Encuentre L, si se cumple L = AW. 8.3. Si el despachador trabajara el doble de rápido , ¿cuánto más ingreso atraería?
9.
Un sistema de colas tiene dos servidores, una distribución de tiempo entre llegadas Poisson con media de 2 horas y una distribución de tiempo de servicio Exponencial con media de 2 horas por servidor. Si a las 12 del día llega el primer cliente. 9.1 . Cuál es la probabilidad de que la siguiente llegada ocurra antes de la 1 P.M ., Entre la 1 y las 2 P.M . Después de las 2 PM .? 9.2. Cuál es la probabilidad de que le número de llegadas entre la 1 y las 2 P.M. sea O, 2 ó más clientes?
10. El gerente de un supermercado debe decidir a quién contratar de dos cajeras , María , que trabaja despacio y puede ser empleada por C 1 = 5 $US/hora; o Alicia , que trabaja más rápido y cuesta C2 $US/hora , donde C2 > C1. Ambas dan servicio exponencial a tasas f.! ,
= 20
clientes/hora y
~l 2
= 30
clientes/ hora , respectivamente . La llegada a la
caja es Poisson con A = 10 clientes/hora. El gerente estima que en promedio, el tiempo de cada cliente vale 0.02 $US/min y debe ser tomado en cuenta en el modelo. 10.1.
Calcular el costo esperado por hora al contratar a Alicia o María.
10.2.
¿Cuánto estaría usted dispuesto a pagarle a Alicia?
10.3.
Si no se conoce la tasa de servicios de Alicia , encuentre una cota superior para la cantidad que se le pagaría.
192
10. MODELOS DE DECISiÓN MARKOVIANOS
Muchos problemas exigen tomar decisiones a partir de fenómenos o procesos que tienen asociada a ellos algún grado de incertidumbre , normalmente generada por la variación inherente aleatoria no posible de controlar, como es el caso de algunos fenómenos
naturales . Esta variabilidad
puede
incorporarse en
un
modelo
matemático, si muestra un cierto grado de regularidad , de manera que sea posible describir la variación mediante un modelo probabilístico.
Resulta de importancia el análisis de los procesos que evolucionan en el tiempo de una manera probabilística , llamados procesos estocásticos. Dentro de estos hay unos de tipo especial llamados cadenas de Markov, que tienen la propiedad particular de que las probabilidades que describen la forma en que el proceso evolucionará en el futuro , únicamente dependen del estado actual en que se encuentra el proceso, por lo tanto , no dependen de los eventos ocurridos en el pasado. Muchos procesos se comportan como las cadenas de Markov.
10.1 PROCESOS ESTOCÁSTICOS.
Es un conjunto de variables aleatorias reales (XI, tE T). Normalmente T es el conjunto de enteros no negativos y XI representa una característica de medible en el tiempo t. Por ejemplo, el proceso estocástico, X 1 , X2 , X3 , X4 , ...... Xn , puede representar el conjunto de vehículos para cada uno de los días de un año que pa san por un peaje . Otro ejemplo puede ser el siguiente problema de inventarios.
193
L U IS 1\ 1J3E RTO RINCON ;\13 1<11 .
Una joyería
tiene
un
modelo
especial
de
reloj
que
se
puede
ordenar
semanalmente. Sean d l , d2 , d 3 , d4,...... d n las demandas de este modelo durante la 1a, 2a , 3 a , . .. .. . na
,
semana , respectivamente. Se supone que las di son variables
aleatorias independientes que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea lo = 3 la cantidad que se tiene en el momento de iniciar el proceso , I1 el número de relojes que se tienen al final de cada semana t-ésima . El sábado se hace un pedido que entregan el lunes en la mañana. Se usa la siguiente política , si no hay inventario al final de la semana se ordena un pedido de 3 relojes , de otra manera , no coloca la orden . Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario . Entonces , II para t = 0 ,1, ... es un proceso estocástico . Los estados posibles del proceso son los enteros 0,1,2,3 que representan el número posible de relojes en inventario al final de la semana . Las variables aleatorias I1 se pueden evaluar iterativamente mediante la expresión
1 ,+1
Máx(3 - d,+,)
si
1, < I
d,+,)
si
J,
={ Múr(l , -
~
1
poro
I
= 0.1 ,1,...
10.2 CADENAS DE MARKOV.
Al considerar el problema de experimentos independientes con resultados El , E2 , E3 , E4, ..... . EJ Y definiendo la variable aleatoria XI = J cuando se obtiene el resultado EJ en el ensayo t, entonces si los ensayos son independientes se tiene que
P{ XI =J
I Xo =io,
Xl =i l , X2 =i 2 , .. .... .... XI-l =i l - l } = P{ XI =J} para todo 1.
En el caso de los experimentos anteriores , se tiene una cadena de Markov, si el resultado de cada nuevo ensayo depende del resultado obtenido
en el ensayo
inmediatamente anterior pero independiente de los demás. Esto es , se cumple que
194
I N\ ' I. ~T I( ;'\ C I ON
P{ XI =J
D I. O I'LI{ ,\CIONrS [>,\1< ,\ I NGEN I ER Ir\S y
I Xo =i o, X 1 =i 1, X2 =i 2 , .. , ..... ..
r\D~ II N I STR¡\C I ON
XI.1 =i l.1 } = P{ XI =J
DE EMPRESAS
I XI.1 =il· d
para todo t.
A los resultados EJ , con J=1,2,3., .. , se les denomina estados del sistema . A las probabilidades condiciona les P{X t + 1 =J
I
Xt-1
=i} se les llama probabil idades de
transición . Cuando Xt -1 =i y Xt+ 1 =J , se dice que el sistema realizó una transición Ei4 EJ en el paso t. Las Cadenas de Markov homogéneas conform an un grupo especial de probabilidades de transición que son independientes de t. Se acostumbra la siguiente notación PIJ = P{X I =J I XI-1 =i l-1} y nAt ) = P{ XI =J}. Por ,<
supuesto se cumple que
I
I~, = 1 .
./ 01
Una notación conveniente para representar las probabilidades de transició n es la forma matricial
P=
I~ 1
P¡ ,
P¡ ,
P¡ ,
P"
P"
P"
P'I
P"
P" Pl1
1.1'1
PI'
PI.,
PI/
P"
Esta matriz de probabilidades de transición por cumplir la propiedad
I
F;} =
1 se
} =1
denomina matriz estocástica . La probabilidad de transición en t pasos se define como p' ~" = P( X ,+'"
= .1 / X , = i ).
En el caso de las cadenas homogéneas , estas
probabilidades no dependen de m y deben cumplir P( X , = .1 ) = rr ./ (1) I rr, (O)P¡~'1 .
10.2.1 Ejemplos de Cadenas de Markov.
En el problema del inventario de relojes se observa que XI, número de relojes en el almacén al final de la semana t, es una variable aleatoria que conforma cadena de Markov. En este caso la matriz de transición será.
J95
una
LU IS A LBERTO RINCON ABR I L
POI
Po,
[ PP¡o P¡ I
P¡ ~
oo P=
0.1 84
0.368
0.368
O
P¡ .1
[O OSO _ 0.632 0.264
0.080 0.1 84 0. 368
P" , ]
P~o
P~I
P~~
Pe1
P10
P11
P32
P"1
0. 368 0.368
°r
s ]
0.368
Suponiendo que DI cumple una distribución Poisson con parámetro A= 1, para obtener Poo es necesario evaluar P{X I =0 I XI-1 =O} . En este caso , XI = máx((3- DI, O) . Para que XI =0 la demanda en la semana debe ser de tres o más relojes , esto es , Poo = P(Di ? 3) = 0.080 . Los demás elementos de la matriz se obtienen en forma análoga .
Considerando el siguiente modelo para el cambio del valor de una acción. Al final del día se registra el precio. Si subió , la probabilidad de que el próximo día suba es
0.66 . Si bajó , la probabilidad de que el próximo día suba es sólo 0.45 . En este caso puede representar el estado O el precio de la acción sube y el estado 1 que baja . La matriz de transición está dada por
P¡11 ) = ( 0.66 P¡ I 055
034 ) OA5
Los estados posibles del clima de una región son : O día lluvioso, 1 día bueno , 2 día con nieve. Nunca hay días buenos en secuencia . Después de un día bueno existe la misma posibilidad de que el siguiente sea lluvioso o con nieve . El 50% de los días lluviosos y el 50% de los días con nieve se repiten. Cuando un día es lluvioso existe la misma posibilidad de que el siguiente sea bueno o con nieve. Cuando un día es con nieve existe la misma posibilidad de que el siguiente sea bueno o lluvioso. La matriz es :
P¡,2 1 lo.5 0.25 P¡ 2 = 0.5 Pe~ 0.5 0.25
°
196
25 0.0.5 0.25
1
10.3 ECUACIONES DE CHAPMAN KOLMOGOROV.
En la sección 10.2 se definió la probabilidad de transición de t pasos, la cual puede ser útil cuando el proceso se encuentra en el estado i y se desea la probabilidad de que el proceso se encuentre en el estado J después de n períodos. Las ecuaciones de Chapman Kolmogorov permiten calcular estas probabilidades de transición de t pasos : 11
= 'P.~III) /:.> II/ L.... ,' U
P,111I )
111)
t:j.
I
1,. • 11
\"
O:-s:
/1 1
:-s:
11
J.-O
Estas ecuaciones manifiestan que al pasar del estado i al estado J en n pasos , el proceso estará en algún estado k después de m pasos. El término que hay dentro de la sumatoria, es la probabilidad condicional de que , si se comienza en el estado i, el proceso va al estado k después de m pasos y después al estado J en n-m pasos.
Los casos de
m =
1 Y m =
n- 1 conducen
a
las expresiones
,11
I~ ~'"
\'
=I
~;' 1 Pu . Es decir, las probabilidades de transición de
, .(1
n pasos se pueden obtener a partir de las probabilidades de transición de un solo ,\/
paso en forma recursiva. Para n de la matriz
p (2),
= 2,
p' ~ :l
=I
I~, P" ,
. Estos
elementos son las filas
pero también se obtienen con el producto matricial (mirar
Producto Matricial en el apéndice A) de la matriz de transición de un paso por ella misma; esto es ,
p(2)
= PP = P2.
Generalizando, se concluye que la matriz de
probabilidades de transición de n pasos se puede obtener de la expresión p(n) = P.P ...... p= pn = ppn.1 = pn.1p
En el problema del inventario de relojes la matriz de transición de dos pasos es
197
l.U I S 1\ l. HERTO RINCON I\ ll l< ll .
P'"
= P' =
OOXO
O. I X-1
O.:l6X
0.63::>
0 ..\6X
O
0.26-1
0.36X
O.:l6X
0.080 01 8-1
0.368
O·'' fl''O
O. I X-1
(U6X
O:l6X
0.2 -1 9
0286
03
O
0.632
O.36X
O
()
0283
0. 252
0233
O
026-1
0.368
0.36X
O
(U5 1 0.3 19 0.23:1
0.097
0.368
0.080
0. 18-1
0.368
(U68
0.2-1 9 0.286
0. 165
0.3
01"] 0233
Si se tiene tres relojes al final de una semana , la probabilidad de que no haya existencias en inventario dos semanas después es 0.249 .
De igual manera se puede obtener la matriz de transición de cuatro pasos como
p '.' = P' P' =
0.289
0.28 6
0.26 1 0. 16-1
0.282
0.285
0.268
0. 166
o 28-1
0.283
02 63
0. 17 1
0.289
0.286
0. 26 1 0. 16-1
Así que , si se tiene dos relojes al final de una semana, la probabilidad de que no haya existencias en inventario cuatro semanas después es 0.284 .
10.4 CLASIFICACiÓN DE LOS ESTADOS DE UNA CADENA DE MARKOV.
Del estado Ek se puede llegar al estado EJ si existe un n>O tal que P¡';') > O. Una cadena de Markov es irreducible si de cualquier estado se puede llegar hasta otro estado . Un conjunto C de estados de una cadena de Markov es cerrado si es imposible salir de C. esto es si P jK = O si J
E
Cy K
~
C.
Cuando un estado Ek forma un estado cerrado se le llama absorbente. En este caso P KK = 1. En una cadena irreducible , el conjun to de todos los estados forma un conjunto cerrado . Si Xo = J para un estado EJ y a la probabilidad de que el primer retorno a J ocurra en el paso n se le llama / ;"), entonces
Pi;') = ¿" I ;I) P;;'-I) y 1-1
198
la
IN\ 'ES11(; ,\C ION DE OPER I\C IONES PA R .. \ I NGEN I ER II\S y
AD~ II N I S TR ¡\C I ON
DE H IPR ESt\S
O'
probabilidad de que el sistema retorne al menos una vez hasta Ej es fl :::::
I
f ;"1 .
JI ::. ]
En este caso, el número esperado de pasos antes del primer retorno es ,.
Ji , :::::
¿n(;"I.
Un estado Ej es recurrente si el retorno hasta él es seguro , esto es
I/ =- I
fJ = 1. Ej es transitorio si el retorno hasta él no es seguro , esto es fJ < 1. Un estado Ej es periódico si el retorno solamente puede ocurrir cada t pasos , esto es, en los pasos t, 2t, 3t, .....
10.4.1 Estado estable de las cadenas de Markov.
Una cadena de Markov es ergódica si la distribución de probabilidad {rrAn)} siempre converge a una distribución límite rrj , que no depende de la distribución inicial {TCj(O)} , es decir,
Lílll n , (n) :::::
n le La distribución de probabilidad {rrJ} es
II ~OO
estacionaria o de estado estable , si al seleccionar cualquier {rrj(O)} de
distribución inicial , todas las distribuciones {rrj(n)} , coinciden con {TCj}. Además , en estos casos (.1KTCK = 1. Toda distribución estacionaria satisface las ecuaciones:
n ¡:
:::::
¿n, P" .
()
lI/({/ric iu!lII cnle
n::::: nP
Ejemplo. Un distribuidor de cierto artículo puede estar en uno de dos estados
posibles. En el estado cero (ventas buenas) hay 50% de posibilidades de pasar al otro estado en la próxima semana. Cuando está en el estado uno (ventas malas) , experimenta nuevas estrategias y puede volver al estado cero con probabilidad 0.4. Cuál es la probabilidad de alcanzar el estado uno en n semanas , si se empezó con ventas buenas?
199
LUIS ,\LI3ERTO RI
CO/l/O
=>
Tr 1(1/ + 1) = ¿Tr, (I/)?"
()
'eo
'i\I3RIL
/l1O/ri c ial/l/ elll e
Tr(1/
+ 1) = Tr (I/ ) P
Tr(l) = Tr(O)? Tr(2 ) = Tr ( I) ? = Tr(O)P " n(3)
= n('2 )? = n(O)P '
el/
ge n e rol
n(l/) = n(O ) P "
Como para examinar si esta cadena es de estado estable, se puede seleccionar cualquier {rcJ(O)} , entonces se escoge rc(O) = (1 O) Y se aplican las expresiones de cálculo para rc(n):
n(I) = (1
0{0.5 ~ OA
0.5 ) = (0.5 0.6
0.5)=>
n('2 )=(0.5
= (1
El lector podrá comprobar que para rc(O)
0.5{0.45 ~ 0.44
0.55) = (0.45 0.56
0.55)=(Tr()
O) , los valores sucesivos de rc(n) son :
N
O
I
'2
3
4
7t1)
I
0.5
0.45
0.445
0.445
7t 1
O
0.5
0.55
0.555
0.555
Así mismo , para rc(O) = (O 1), los valores sucesivos de rc(n) son:
N
O
I
"2
3
4
7t1)
I
0.4
0.44
0.445
0.445
7t1
O
0.6
0.56
0.555
0.555
En ambos casos se observa que
7t(n)
= (0.445
0.555) cuando n crece . Se puede
demostrar que esta cadena es ergódica, solucionando el sistema de ecuaciones: n = TrP
En este caso las ecuaciones correspondientes son:
200
Tri)
INVEST IGAC ION DE OPERAC IONES PARA INGEN I ERI AS y ADM IN IST RAC ION DE EMPRESAS
1
7[/0.5 0.5 ~ 0.4 0.6)
De esta igualdad matricial se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: TCo = 0 .5TCO+ O.4TCl TCl
= 0 .5TCo + 0.6TCl TCo +TCl = 1
El lector puede analizar una de estas ecuaciones resulta redundante, por lo tanto se elimina una cualquiera de ella y se obtiene la solución TCo = 0.445 Y TCl = 0.555 .
10.4.2 Costo promedio esperado por unidad de tiempo.
La sección anterior estudió las cadenas de Markov cuyos estados son ergódicos (recurrentes y no periódicas). Si no se tiene el requerimiento de que los estados sean no periódicos , entonces el LíI/1 p'~") puede no existir. Pero , el siguiente límite I I~OO
siempre existe para una cadena de Markov irreducible con estados recurrentes: Lí/l/ ( ~ 11_00
11
f.. p.~¡) = 7[, ' en donde las
TCJ
satisfacen las ecuaciones de estado estable
~ :::I
presentadas en la sección anterior. Resultado importante para calcular el costo promedio por unidad asociado a una cadena de Markov.
Supóngase que se incurre en un costo o factor de efectividad Cl cuando el proceso se encuentra en el estado El en el instante t. Nótese que Cl
es una variable
aleatoria e independiente de t que toma cualquiera de los valores Ca, C l , C 2 ...... . Cm. El costo promedio esperado en el que se incurre a lo largo de los primeros n
201
L U IS I\L13ERTO RINCO
períodos está dado por la expresión E( 1 f
A BR IL
e,) y usando
el resultado del límite
1/ '~ I
anterior, se puede demostrar que: 1 "
]
'"
~~:! E [ I/~ e, ) = ~Jr , e,
Ejemplo . En el ejemplo de la sección anterior se supone que cuando las ventas son buenas se tienen utilidades semanales promedias de $US 1000 Y cuando son malas de $US 400, entonces las utilidades promedias por semana , esperadas a la larga , se pueden calcular como :
E(U)
= 1OOOrro + 500rrl = 1000xO.445 + 500' 0.555 = $ US 722 .5
10.4.3 Estados absorbentes.
En la sección 10.4 se indicó que el estado k es absorbente si Pkk = 1, de manera que una vez la cadena llega a este estado permanece ahí para siempre. Si k es un estado absorbente , la probabilidad de llegar en algún momento a k se llama probabilidad de absorción al estado k. Esta probabilidad se denota por f ik . Si se tienen varios estados absorbentes en una cadena de Markov y se evidencia que el proceso será absorbido en uno de estos estados, es deseable encontrar estas probabilidades de absorción , las cuales pueden obtenerse resolviendo un sistema de ecuaciones lineales. Si el estado k es un estado absorbente , entonces el conjunto de probabilidades de absorción f ik satisface el sistema de ecuaciones sujeta a las condiciones ./;, =
I'"
P,,f,,
slIje/({ (/:
V i = 0,1, .... //1
./;, = 1 Y ./;, = O si el esrado i es r eC llrrel/ te e i
202
=1=
k
IN\ I. S1 1(; ,\c\ON DE O I' I.R AC IONES PARA INGEN IER I AS y
AD~ II N I STR I\ C I ON
DE H IPRESAS
Ejemplo. Una empresa clasifica el saldo de la cuenta de un cliente como pagada (estado O) , 1 a 30 días de retraso (estado 1), 31 a 60 días de retraso (estado 2) o mala deuda (estado 3). Las cuentas se revisan cada mes y se determina el estado de cada cliente. En general , los créditos no se extienden y se espera que los clientes paguen sus cuentas dentro de 30 días. A veces , los clientes pagan sólo una parte de su cuenta , en este caso quedan dentro de los 30 días de retraso (estado 1) ; esto es, permanecen en el estado 1. Si esto ocurre cuando el saldo está entre 31 y 60 días de retraso , se considera que el cliente se mueve al estado
1 (1 a 30 días de retraso). Los clientes que tienen más de 60 días de retraso se clasifican en la categoría de una mala deuda (estado 3) ; luego , las cuentas se mandan a una agencia de cobro . Después de examinar los datos de años pasados , se tiene la siguiente matriz de transición:
o: Cuenta Estado O: Cuenta pagada 1: 1 a 30 días de retraso 2: 31 a 60 días de retraso 3 : mala deuda
1: 1 a 30 días de retraso
pagada 1 0.7
O 0.2
2: 31 a 60 días 3 : mala deuda de retraso O O 0.1 O
0.5
0.1
0.2
0.2
O
O
O
1
Cuál es la probabilidad de que un cliente llegue a tener una mala deuda dado que la cuenta pertenece al estado 1 a 30 días de retraso. Igualmente , dado que la cuenta está en 31 a 60 días de retraso .
Estas probabilidades f 13 y f 23 se
calculan
con
el
sistema de ecuaciones
presentadas en esta sección , esto es : f 13 = P 10 f 03 + P 11 f 13 + P 12 f 23 + P 13 f 33 f 23
= P20 f03
+ P 21 f 13 + P 22 f 23 + P 23 f33
A partir de la matriz se sustituyen los valores para cada P,J y como f03 estas ecu aciones se convierten en:
203
= O Y b = 1,
LU IS ALBERTO RINCON ABR IL
f 13
= 0.2f 13
+ 0.11 23
f 23 = 0.1f 13 + 0.2f 23 + 0.2
La solución es f 13
= 0.032
Y f 23
= 0.254 . Aproximadamente
el 3% de los clientes
cuyas cuentas tienen 1 a 30 días de retraso acaban por ser una mala deuda mientras que el 25% de los clientes cuyas cuentas tienen 31 a 60 días de retraso llegan a la misma categoría.
10.5 MODELOS DE DECISiÓN MARKOVIANOS.
Algunos sistemas importantes se pueden modelar como una cadena de Markov. Es útil describir el comportamiento de estos sistemas para evaluar su desempeño y mucho más útil diseñar la operación del sistema para optimizar su desempeño.
Un proceso de decisión consiste en que normalmente, para cada estado posible de una cadena de Markov se analiza la decisión sobre cuál , de las diferentes acciones alternativas , debe tomarse en ese estado. La acción seleccionada afecta las probabilidades de transición y a los costos o beneficios inmediatos
y
subsecuentes (o beneficios) de operación del sistema .
Ejemplo. Un fabricante tiene una máquina clave en el núcleo de uno de sus
procesos. Como ésta tiene un uso pesado se deteriora rápidamente tanto en calidad como en la cantidad de producción . Por lo tanto , al final de cada semana, se realiza una inspección exhaustiva para clasificar la condición de la máquina en uno de cuatro estados posibles :
O: Excelente para la producción . •
1: Operable para la producción de calidad con muy poco deterioro.
•
2: Operable para la producción de calidad con bastante deterioro. 3 : No operable para la producción de calidad .
204
11"\'1 ST l ló \(' ION Dr. OPFR ¡\C!ONES P.\R .\ IN(ó l: N ILRI.\S y . \D~ II N I STR . \C10
DE H I PRES .. \S
Los datos históricos sobre los resultados de inspecciones permitió un análisis estadístico de la evolución del estado de la máquina de un mes a otro. La siguiente matriz muestra la frecuencia relativa (probabilidad) de cada transición posible del estado en el que se encuentra en un mes al estado en el que se encuentra el siguiente mes. Estado O 1 2
3
O O O O O
1 7/8 % O O
3
2 1/ 16 1/8
1/ 16 1/8
Y2
Y2
O
1
El último elemento de esta matriz de transición indica que, una vez que la máquina se vuelve inoperable (entra al estado 3) , permanece inoperable , esto es, el estado 3 es absorbente. Dejar la máquina en este estado seria intole rab le ya que esto detendría el proceso de producc ión, por lo que la máq uina debe reemplazarse. (La reparación no es factible en este estado). La nueva máquina comenzaría entonces en el estado O. El proceso de reemplazo toma 1 semana de manera que la producción se pierde durante este periodo. El costo de la producción perdida (ganancia perdida) es de $US 2000 y el costo de reemplazar la máquina es de $US 4000 de manera que el costo total en el que se incurre siempre que la máquina actual entra al estado 3 es de $US 6000. Antes de que la máquina llegue al estado 3, puede incurrirse en costos por producir artículos defectuosos. Los costos esperados por semana debido a artículos defectuosos $US O, 1000 Y 3000 respectivamente para los estados O, 1, 2. Estos costos relevantes están asociados con la política de mantenimiento , reemplazar la máquina cuando es inoperable, pero no darle mantenimiento en otros casos . Bajo esta política , la evolución del estado del sistema
o sucesión de máquinas , es una cadena de Markov con la
siguiente matriz de transición: Estado O 1 2
3
O O O O 1
1 7/8
34 O O
205
3
2 1/ 16 1/8
1/ 16 1/8
Y2
Y2
O
O
L U I S ,\1J3I.RTO RI NCON A8 RII.
Para evaluar esta política de mantenimiento , deben considerarse tanto los costos inmediatos en que se incurre en la siguiente semana,
como los costos
subsecuentes que resultan cuando el sistema evoluciona de esta forma. Una medida de desempeño usada para cadenas de Markov es el costo promedio esperado por unidad de tiempo sobre un periodo largo. El calculo de esta medida , exige encontrar las probabilidades de estado estable con el siguiente sistema :
7[0 = 7[.1
7 7[ ( =
8
:\ 7[0 +
1 7[ , =
-
16
.
1=
16
7[ 1
l 7[(, +
1 7[ 1 = -
4
8
l 7[ 1 + - 7[ ,
2 -
1
1
7[0 + - 7[1 + - 7[ ,
8
'2 -
7[0 +7[ 1 +7[ ~ +7[1
Solu ción:
7[ 0
2 =- , 13
7 7[ 1 = -
13
,
7[ ,
-
'2 . 13
= -
2 13
7[= .1
Así, a la larga , el costo promedio esperado por semana para esta política de mantenimiento es
e=
. .,
07[(J + 10007[ 1 + .,0007[ , +
Sin embargo , pueden
-
6000n 1 .
25000 = --
13
existir otras políticas de mantenimiento que deben
considerarse y compararse con ésta. Por ejemplo , es posible que la máquina debiera reemplazarse antes de llegar al estado 3. Otra alternativa puede ser hacer una reparación general a un costo de $2000; opción no factible en el estado 3 y no mejora la máquina si está en el estado O o el 1; sólo es de interés en el estado 2. En este estado , una reparación general regresaría a la máquina al estado 1. Se requiere una semana para ello , por lo que otra consecuencia seria un gasto de
206
INVEST l l;AC ION J)E OI'ER /\C IONES I',\ R /\ INGEN I ER I AS y
I \ D ~ II N I ST R ;\C I ON
DE EM PRESAS
$2000 por las ganancias perdidas al no producir. Las decisiones posibles después de cada inspección son las siguientes:
Decisión
Acción
1
No hacer nada.
2
general. Reparación Regresa al estado 1. Reemplazo . Regresa al estado O.
3
Estados relevantes O 1 2 2
Costo total por semana O 1000 3000 4000
1 2 3
6000 6000 6000
10.5.1 Mode lo para procesos de decisión Markovianos.
Uno de los modelos para los procesos markovianos de decisión se puede resumir:
1. Se observa el estado i de la cadena de Markov después de cada transición , para todo i = 0, 1, . .. , m. 2. Enseguida se selecciona una decisión k de un conjunto de acciones posibles . Algunas de las acciones pueden no ser relevantes para algunos estados. 3. La elección de la decisión di = k en el estado i, crea un costo inmediato con un valor esperado Cik . 4. La deci sión di
=k
en el estado i determina las probabilidades Pik(k) para la
siguiente transición desde el estado i. 5. Una especificación de las decisiones do, d 1 , ...... dm , para los estados respectivos , define una política para el proceso markoviano de decisión. 6. El objetivo es encontrar una política óptima de acuerdo a algún criterio de costo que considere los costos inmediatos y subsecuentes que resulten de la evolución futura del proceso . Un criterio común es minimizar el costo promedio esperado por unidad de tiempo a lo largo del mismo.
207
I lllS .·\I.I![R10 RI NCO N .\13RII.
En el ejemplo de la sección anterior, después de cada inspección de la máquina , se elige entre tres decisiones posibles
no hacer nada , reparación general o
reemplazo. El costo esperado inmediato que resulta aparece en la última columna de la tabla de la página anterior para cada combinación relevante de estados y decisiones. Para el ejemplo de la sección anterior, se debe encontrar una política óptima entre todas las políticas relevantes . En la tabla siguiente se denota por R a la política específica y por d, (R) la decisión que debe tomarse en el estado i.
Solución del ejemplo por enumeración exhaustiva
Política Ra Rb Re Rd
POLíTICAS RELEV ANTES Descripción do{R) Reemplazo en el estado 3 1 1 Reemplazo en el estado 3 y Reparación en el estado 2. Reemplazo en los estados 2 y 3 1 1 Reemplazo en los estados 1, 2 Y 3
Decisiones d 1{R) d 2 {R)
1 1
1 2
d 3 {R) 3 3
1 3
3 3
3 3
Cada una de estas políticas tiene una matriz de transición diferente , como se muestra enseguida:
R.,
O O O
R"
7 X :1
-+ ()
O
16
16
I
I
O
8
8
O
I
I
O
:2
:2 O
O
N
7 X :1
16 I
16 1
-+ I
8 O
8 O
O
O
O
O
O
R"
7
8
16
">
I
.)
4 O
X O
O
O
16 1 8
O
7 O
16 O
16 O
O
O
()
()
O
O
O
O
8
De los costos totales por semana de la sección anterior, los valores de C'k son:
208
1;\\ 1 ~ II(; ,\CIO;\ D I. ()P I IUC! O N I.S I'/\ R/\ IN(; I.N II : RI ,\S Y
J\1)~ II N 1 S TR '\(: 1 0N
DE
E~ 'I1'I{I -_ S ,\S
C'k en $US para la decisión 1 2 3
Estados O
O
1
1000 3000
2
6000 6000 6000
4000
3
El costo promedio esperado a largo plazo por unidad de ti empo , se calcu la con la 1/
expresión
E( e)
=I
siendo k
C,¡lr"
=
d¡(R) para cada i y 1t¡ representa la
1"
distribución de estado estable para los estados del sistema según la política R que se está evaluando. Una vez obtenidos 1to,
1t"
1t2 Y 1t3 para cada una de las cuatro
políticas , el cálculo de E(C) se presenta en la siguiente tabla:
Política
{1tQ,
Ra
{~
Rb
1~
Rd
1t2,
1t3}
7 ~ ~} 13 ' 13' 13 ' 13 ~
Re
1t"
)~
1 7
~
~} 1
~
1
{~
7 1 I} 11 11 11 11
1~.
1: .
31~ . 31~ }
E(C) en SUS
,.,
,.,
,.,
-=-
- 0 + 7 1000 + ~ 3000 + 6000 = 1923 13 13 13 13 ,.,
'i
!
,
- O+ . 1000 + - .+000 + - 6000 = 1667 ~I 7 ~I ~I
~ O+ 7 1O()() + 1 6000 + --'-- 6000 = 17 ~ 7
11 1
:2
0+
11
7 16
11
11
60()O + 1 6000 + 1 6000 = 3000 " .," .,-
De los cálculos anteriores se obtiene que la políti ca óptim a es Rb , esto es , reemplazar la máquina cuando llegue al estado 3 y hacer una reparación general en el estado 2. En el largo tiempo , el costo esperado es 1667 $US/semana.
10.5.2 Uso de la Programación Lineal.
Como en el ejemplo de la sección anterior sólo existen cuatro políticas relevantes , resulta adecuado hacer uso de la enumeración exhausti va para encontrar la
209
L U IS A LBERTO RI
en
,\BI< IL
política óptima . Enfoque no factible cuando se tienen muchas políticas , casos en los cuales se necesitan otros algoritmos , uno de ellos el uso de la Programación Lineal.
En la sección anterior se utilizó el tipo normal de po lítica , llamada determinística estacionaria, usada en los procesos de decisión de Markov. Se vio que cualquier política R se interpreta como una regla que toma la decisión d,(R) cuando el sistema se encuentra en el estado i, para i
= O,
1,.. ... ., m. Entonces R queda
definida por los valores {do(R) , d 1 (R) , d2 (R) ,... .. .. ., dm(R)} . Así mismo , R se puede caracterizar por la asignación de valores D'k
= 1 si la decisión
k debe tomarse en el
estado i o D'k = O en cualquier otro caso en la matriz Decisiól/ k 2
o ESTado
11 1
DOI
D02
Do,
DII
D '2
DI!
D21
Dn
D21
°
° 11/2
D,"1
1111
Para el ejemplo que se viene utilizando, la siguiente matriz caracteriza la política de no hacer nada (decisión 1) cuando la máquina llega a los estados O o 1, reparar en forma general (decisión 2) en el estado 2 y reemplazar (decisión 3) en el estado 3.
o O
o O
La definición de D'k
= 1ó O permite
o
~1
formular modelos de programación lineal. Para
ello , el costo esperado de una política se puede expresar como una función lineal de los Dik o de algunas variables relacionadas , sujeta a restricciones
2 10
IN\' I.S11(; ,\C ION D I- OpE I{ ,\C IONES p,\I{ ,\ IN(;r:N I ER I.\S y
I\I)~ II N I STRAC I ON
DE
E~ I PRES¡-\~
lineales , Para obviar el hecho de que se requieren variables continuas para la
formulación de programación lineal , se amplía la interpretación de una política, Se había considerado tomar la misma decisión cada vez que el sistema se encuentre en el estado i, que se cambia por la determinación de una distribución de probabilid ad para tomar la decisión cuando el sistema se encuentre en el estado i. Esto es :
D ik
=
=
P(decisión
I estado =
k
i). La distribución de
probabilidad para la decisión que debe tomarse en el estado i es (Di1 , Di2 , Di3 ,,,,, .. , , D,m, ), A este tipo de política se le llama aleatorizada , mientras que a la anterior (D 'k = 1ó O) se le denomina determ ínistica,
Para el ejemplo que se viene utilizando, la siguiente matriz caracteriza la po lítica de tomar la decisión 1(no hacer nada) cuando la máquina llega al estado O, Cuando llega al estado 1, se deja como está con probabilidad Y2 y se reemplaza con probabilidad Y2 , Si llega al estado 2, hay una probabilidad de y,¡ de dejarla como está , una probabilidad de y,¡ de repararla y una de Y2 para reemplazarla, Si la máquina llega al estado 3, siempre será reemplazada,
, / c
o O
~l
J
/ -1
X
O
O
1
1 ' /
Variables de decisión , Para cada i
1/
= O,
1, .... ,m y k
= 1,
2,.. " .. " 1, sea )(¡k la
probabilidad incondicional de estado estable de que el sistema se encuentre en el estado i y se tome la decisión k,
Xik = P( esta do
= 1 Y deci sió n = k).
211
L U I S ,\Lll ': IH O RINCON ,\RR I L
Cada X'k tiene una relación con la D'k correspondiente , pues de las reglas de probabilidad condicional , se tiene X ik
= ni Diko
Siendo ni la probabilidad de estado
estable de que la cadena de Markov se encuentre en el estado i.
= Ix ,¡ I
entonces
Tr ,
de manera que D,¡
X
= -"--
Se cumple
x ,¡
Tr ,
¡ _I
Restricciones.
1.
m
m
i- O
1,-0
I
ITr, = 1, esto es, IIx,¡ = 1
.
'/' ...:. 1
2. De los resultados de las probabilidades de estado estable
'" Tr¡ = ITr, p,¡ , es i ~ ()
I
decir,
I .1. _ 1
lIi
X I!
I
= II x ,¡ p,¡ (k) I - (J
= 0,1 ,2, ...... ,m .
para J
1. - 1
3. Xik 2: O, para i = 0,1,.... ,m y k
= 1,2,....... ,1.
El modelo de programación lineal consiste en encontrar los X ik , para
Mil/(Z)
/11
Sujeto a las restricciones :
,"
I
I-()
.1. - 1
= I I C,¡ x ,¡
I
IIx" = 1 1_ 0 /..:;:J
I
I J. .;.:; )
X I! -
111
I
I - ()
J. - I
I I X ,¡ p,¡ (k) = O
212
INVEST IGAC ION DE O PER ,\C IONES PARA I NGEN IER I AS y
AD~ " N I STRAC I ON
DE
E~ I PRESAS
X ,¡
Una resuelto el modelo, se encuentra a D,I =
I
LX ,! I
~I
Solución del ejemplo prototipo por programación lineal
Variables de decisión. Revisando el ejemplo que se ha venido manejando , las variables de decisión que deben incluirse en el modelo son X01, X11 ,. X13, X21, X22 ,
Modelo de programación lineal.
Min(Z) = 1000 X11 + 6000 X13 + 3000 X21 + 4000 X22 + 6000 X23 + 6000 X33
Sujeto a:
X01 + X11 + X13 + X21 + X22 + X23 + X33 = 1 X01 -(X 13 + X23 + X33 ) = 1 8X 11 + 8X 13 -( 7X 01 + 6X 11 +8X 22 ) = O 16X21 + 16X 22 + 16X 23 - (X 01 + 2X 11 + 8X 2d = O 16X33-(X01+2X11 +8X 2d =0
Xik
~
O
') ') ') :2 La solución óptima es X III = - . X II = - , X I1 = 0, X 'I = 0, X " = ....:.... , X '1 = O. X " = 2I 7 ' -2I o ', :2 I
de tal forma que 0 01 = 1, (0 11 ,0 13 ) = (1 ,O), (0 21, 0 22 , 0 23 ) = (0, 1 , O) , 0 33 = 1.
Entonces , debe dejarse la máquina como está (decisión 1) cuando se encuentre en el estado O o 1, debe hacerse una reparación general (decisión 2) cuando se llegue al estado 2 y debe reemplazarse (decisión 3) si está en el estado 3. Es la misma
21 3
L U IS ,\ I. 13ERTO RI NCO N ,\ 13 RIL
política óptima encontrada mediante la enumeración exhaustiva en la sección 10.5.1.
10.6 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. Dos máquinas dan premio , la primera con probabilidad a y la segunda con probabilidad b. Una persona juega, si pierde juega de nuevo en la misma máquina, si gana cambia de máquina. Encuentre la matriz de transición y las probabilidades de estado.
2.
Un computador se inspecciona cada día. Los estados son: está trabajando o descompuesto. Si está trabajando , la probabilidad de que siga trabajando el siguiente día es 0.80. Si está descompuesto se repara, lo que puede emplear más de 1 día. Siempre que el computador esté descompuesto (independientemente de cuánto tiempo haya pasado) , la probabilidad de que siga descompuesto el siguiente día es 0.3. 2.1. Construya la matriz de transición de un paso para esta cadena de Markov. 2.2. Encontrar el tiempo esperado de primera pasada del estado i al estado j.
3. Una máquina , cuando está operando al comenzar el día tiene una probabilidad de 0.1 de descomponerse en algún momento de ese día. Cuando esto ocurre , la reparación se hace al siguiente día y se termina al finalizar ese día . 3.1. Formule la evolución del estado de la máquina como una cadena de Markov, identificando los tres estados posibles al final del día y después construyendo la matriz de transición (de un paso) . 3.2. Encontrar el tiempo esperado de primera pasada del estado i al estado j. 3.3. Si la máquina tiene 20 días sin descomponerse desde la última reparación , cuál es el número esperado de días que la máquina permanecerá en operación antes de la siguiente descompostura.
4. La cervecería "EL CÓNDOR" debe analizar su posición en el mercado , debido a las últimas estrategias de su mayor competidor, "EL TIGRE". Se piensa modelar el cambio
214
IN\ I.S11
, \ J) ~ II N I STRAC I ON
J) E
E~ l r R ES , \ S
de marca como una cadena de Markov, incluyendo tres estados: los estados A y B representan a los clientes que beben cerveza producida por las mencionadas cervecerías y el estado C representa a todas las demás marcas. Los datos se toman cada mes y el analista del CÓNDOR construye la siguiente matriz de transición con datos hi stóricos.
A
B
e
A
B
e
0.7 0.2 0.2
0.2 0.7 0.2
0.1 0.1 0.6
4.1. ¿Cuáles son los porcentajes de mercado en el estado estable para las dos cervecerías grandes?
5. Un fabricante de VHS ofrece garantía de reposición total si un aparato falla dentro de los 2 primeros años. Basá ndose en datos compilados , la compañía ha notado que sólo el 1% de sus grabadoras fallan durante el primer año mientras que 5% de ellas sobreviven el primer año pero fallan durante el segundo. La garantía no cubre VHS ya reemplazadas. 5.1. Formule la evolución del estado de un aparato como una cadena de Markov que incluyen dos estados absorbentes que representan la necesidad de cubrir la garantía o el hecho de que un VHS sobreviva el periodo de garantía. Después construya la matriz de transición (de un paso). 5.2. Encontrar probabilidad de que el fabricante tenga que cubrir una garantía.
6. Un inversionista cada año tiene la oportunidad de invertir en dos fondos diferentes F1 y F2 . Al final de cada año, el inversionista liquida su inversión, recoge sus ganancias y reinvierte . Las ganancias anua les de los fondos dependen de la reacción del mercado . En los últimos años el mercado ha oscilado alrededor de los 45 puntos, de acuerdo con las probabilidades que se dan en la siguiente mat riz :
4400 4400 4500 4600
0.3 0 .2 0.1
4500 0.5 0.5 0 .5
4600 0.2
0.3 0.4
215
L U IS A LB ERT O RI NCON ABR IL
6.1. Cada año en que el mercado sube (o baja) 100 puntos , el F1 tiene ganancias o pérdidas de $US 200, mientras que el F2 tiene ganancias o pérdidas de $US 100. Si el mercado sube o baja 200 puntos en un año, las ganancias o pérdidas del F1 serán de $US 500 mientras que las del F2 serán de $US 200. Si el mercado no cambia , ninguno de los fondos tiene ganancias o pérdidas. El inversionista quiere determinar su política óptima de inversión con el fin de minimizar en el largo plazo el costo (pérdida menos ganancia) promedio esperado por año. 6.2. Formule este problema como un problema de decisión de Markov identificando los estados y las decisiones. Después encuentre las Cik . 6.3. Identifique todas las políticas determinísticas. Para cada una, encuentre la matriz de transición y escriba una expresión para el costo promedio esperado (a la larga) por periodo en términos de las probabilidades de estado estable nO, n1, n2, .... "nm. 6.4. Encontrar la política óptima por enumeración exhaustiva.
7.
Una compañía revisa anualmente el estado de uno de sus productos importantes . Decide si tiene éxito (estado O) o no lo tiene (estado 1). Después debe decidir si da o no publicidad al producto con el fin de promocionar las ventas . Las matrices PO y P1 dan las matrices de transición con o sin publicidad respectivamente . Los rendimientos asociados están dados por las matrices RO y R1. Determine las decisiones óptimas en los tres años siguientes.
PO =
0.1) (0.9 0.6 0.4
RO =
(2
-1)
PI=(0.7 0.3) 0.2 0.8
1 -3
216
RO=(4 2
1)
-1
APÉNDICE A.
A. ELEMENTOS BÁSICOS SOBRE MATRICES Y VECTORES.
El desarrollo y comprensión de algunos elementos teóricos y de cálculo de la Investigación de Operaciones, requiere de la mezcla de un conjunto de conceptos y técnicas básicas de algunos tópicos matemáticos . En este apéndice se presentarán solamente aquellos tópicos de las Matrices y Vectores que faciliten el entendimiento y ayuden al lector en la aplicación del material presentado en los capítulos .
A.1 MATRIZ.
Una Matriz es un arreglo rectangular de mxn números, dispuestos en m filas y n
columnas.
::: . . . .... ::: 1 a mi
Los
aij
a lll~
a llm
de la Matriz A=(aij) son llamados elementos de la matriz y el doble subíndice
define la posición de fila y columna. En el caso anterior diremos que la matriz es de orden mxn y lo podremos simbolizar como Amn.
A.2 ALGUNAS MATRICES ESPECIALES.
A.2.1 Vector columna (Vector): Es una matriz con solamente una columna y cualquier número de filas.
A.2.2 Vector fila (Fila): Es una matriz con solamente una fila y cualquier número de columnas.
217
L U I S i\ U 3ERTO RI NCON j\Il RIL
A.2.3 Matriz Nula: Es aquella con aj¡ = O, para todo i,j. A.2.4 Matriz cuadrada : Una matriz A se llama cuadrada si m=n , esto es, tiene igual número de filas y columnas. Se dice que es de orden n y se simboliza An.
A.2.5 Matriz triangular: Es una matriz cuadrada que cumple una de las siguientes condiciones:
ó
A) a'j = O para todo i > j.
B) a'j = O para .tódo i < j.
Las matrices A y B presentadas enseguida son triangulares :
A=
- 2
3
1
O
1
2
- 1
O
O
-V'2
3
O
O
O
B=
- 1 O
O
O
f3
O
O
l2
O
O
-13
4
2 ..,
f3
,)
A.2.6 Matriz diagonal : Es una matriz cuadrada con a'j = O para todo i 7:- j. Equivale a decir que cualquier elemento ocupando una posición fuera de la diagonal de la matriz es nulo. A.2.7 Matriz idéntica: Es una matriz diagonal con a"
=1
. Equivale a decir que cada
elemento de la diagonal es 1.
1 O O
O 1 O
O Oo,
1= O O
O O O
O O O
Oo,
1
A.2 .8 Transpuesta de una matriz. Dada. una matriz A de orden mxn , su transpuesta AT, será otra matriz de orden nxm , obtenida al intercambiar respectivamente filas por columnas en la matriz A. !!
,.
218
IN\TS11(; .\CION J)E ()I'I R,\C IONES I" \R¡\ ING I,N I ER II\S y
I \J)~ II
ISTR ¡\C IO
DE
E~IPRESr\S
T
Una matri z A, se llama simétrica , si cumple A = A; Y se llama oblicuamente simétrica , T
cuando cumple A = -A.
A.3IGUALDAD DE MATRICES.
Dos matrices son iguales solamente si sus elementos correspondientes (misma posición de fila y columna), son iguales. Por consiguiente , ambas matrices tendrán el mismo orden.
A.4 OPERACIONES PARA MATRICES. A.4.1 Suma de matrices : La suma de las matrices Amn Y Bmn es otra matriz Cmn , tal que
cada elemento en la posición fila i-ésima , columna j-ésima de la matriz resultado , se obtiene como:
A.4.2 Producto escalar: Operación producto entre un número real
a y una matriz A.
La expresión anterior indica que el escalar multiplicará a cada uno de los elementos de la matriz.
A.4.3 Producto matricial : Operación producto entre 2 matrices. El producto de dos
matrices A y B, se define sólamente bajo la posición de que el número de columnas de A, primera matriz sea igual al número de filas de B, segunda matriz. Esto es: A mp * B pn = C mn
En donde cada elemento de la matriz resultado se obtiene como:
2 19
LUI S ALBERTO RINCON ABR IL
- 1 I
Ejemplo. Dadas las malrices A = (2
1
O
O 1) Y B = (
-1 C=AB= (2 O
°1)(~1
~
1 -0
~
l
el produclo e = AB, es
- 1 1] (-LxI+bO+Orl - 1.\{- I)+ld+OIO - lxi + b:2+010) = (- 1 2 21) ~ ~ = 2r! +010+ bl 21{- I)+Oxl+bO 2rl+Ox2+bO 3 - 2
A.4.4 Propiedades de la suma y productos: Para las expresiones siguientes A, B, C son matrices y a, B son escalares. Así mismo, asumimos que las operaciones son realizables.
Asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) (A *B)*C = A*(B*C) a(A*B) = (aA)*B = A*(aB) Conmutativa: A + B = B + A Distributiva: (a + B)A = aA + BA a(A + B) = aA + aB (A + B)*C = A*C + B*C A*(B + C) = A*B + A*C Idéntica: A + O = O + A , en donde O : matriz nula. A*1 = 1* A ,en donde I : matriz idéntica.
A.S VECTORES.
Entenderemos un vector como una matriz con una sola columna , por lo tanto sobre los vectores aparecen definidas las mismas operaciones con las mismas propiedades que para las matrices.
220
INVESTIG,\CION DE OI'ER /\CIONES PARA INGEN IER I /\S y
AD~ lI N I STR¡\C I ON
DE H IPR ES ,\S
A.5.1 Combinación lineal: Dados los vectores V l , V2, V3,... .,Vn y los escalares al , a2, a3, .. ... ,a n ; el vector V obtenido como: V = al V l + a2V2 + a3V3 + ..... + anVn , es una combinación lineal de los vectores dados. A.5.2 Vectores linealmente independientes : Un conjunto de vectores dados será linealmente independientes , si ninguno de ellos puede ser expresado como una
combinación lineal de los demás, de lo contrario serán linealmente dependientes . En consecuencia , dado el conjunto de vectores Vl , V2, V3,... .,Vn ; estos serán linealmente independientes entre sí, cuando la siguiente combinación lineal sólo puede ocurrir para
al = a2 =, a3 = ..... = an = O:
Por ejemplo los vectores
\1 =
[~ ) .1' U = (: 1, son
demostrar esto se escribe: aV + 8U =
linealmente independientes.
Para
°,
esto es:
La igualdad entre los 2 últimos vectores exige que : 8 = O Y a = - 8. Lo que significa que obligatoriamente a =8 =0 .
En forma similar se demuestra que el conjunto V =
[~
l·
U =
[~l ."
IV = [:) es
linealmente dependiente. En este caso se escribe: aV + 8U + y..¡v = 0 , esto es:
De los 2 últimos vectores , se concluye que a = - y y 8 = - y. Por consiguiente , para cualquier valor de y, con a = 8 = - y, la expresión aV + 8U + yW = 0 , se cumple. A.5.3 Combinación lineal convexa : Es un vector V, obtenido como la combinación
lineal: V = al Vl + a2V2 + a3V3 + ..... + anVn ; en la cual los escalares: al, a2, a3,. ···. ,an cumplen las siguientes condiciones:
22 1
L U I S 1\ I. BE RTO RINCON AB RIL
a) O,=, aj S 1, para todo j = 1,2,3,..... ,n b) Laj = 1 para j = 1 hasta n.
TEOREMA: Cualquier punto sobre un segmento de línea puede ser expresado como una combinación convexa de los extremos del segmento.
DEMOSTRACiÓN: En el gráfico aparecen trazados los vectores U, V, Y W ; de tal manera que W es un punto del segmento UV o vector diferencia U-V. Dado que los vectores U - V Y W - V, son del mismo sentido, pero W - V es de menor o igual magnitud que U - V, se acepta que W - V = I3(U - V) , con O S 8 S 1, lo que puede ser escrito como W
=V + I3(U - V) , o también como
W = I3U + (1 - (3)V
Gráfico de los vectores U, V, W, U-V y W-V.
Ahora se analiza si los escalares 8 y 1 - 8 cumplen las condiciones que hacen a la anterior una combinación convexa: Condición (a): Por definición O ~ 13 ~ 1 , que puede ser escrita como: -1 ~ -8 S O. A la cual sumándole 1 a cada miembro de la desigualdad produce: O~ 1 - 13 ~ 1. Condición (b) : 13 + (1 - (3) = 1.
222
INVEST IG ,\CION DC OPEI< ¡\C IONES P/\R ,\ II'GEN I ER I AS y
AD~ 1I NISTRAC I ON
DE EMPRESAS
A.6 DETERMINANTES.
Asociado con cualquier matriz cuadrada A = (a,j), existe un número único llamado el determinante de A, que se simboliza de cualquiera de las siguientes formas det(A), I A 1,
I a l· 'j
A.5.1 Determinante para la matriz de orden 1.
A.5.2 Determinante para la matriz de orden 2 : Es decir,
A.5.3 Menor de un elemento : Dada una matriz cuadrada A, para cada elemento a,j, se
define su menor d,j, como el determinante que se puede calcular cuando en la matriz A, se suspende la fila i-ésima y la columna j-ésima. Para la siguiente matriz: del =(-2)(-3)-2(- 1) =8
d" = 1(-3)-2.11=-5 d" = 1(- 1)-(-2) 1 = 1 A.5.4 Menor signado de un elemento : Se define como m'j = (-1 r d'j
En el ejemplo anterior m21
= -8, m22 =-5
Y m23
= -1 .
A.5.5 Cofactor de un elemento : Dada una matriz cuadrada A, para cada elemento a,j,
se define su cofactor f,j , como el menor signado multiplicado por el mismo elemento f'j = (-1 tja'j d'j En el ejemplo de los puntos anteriores: f21 = -8*3 = -24, f22 = -5*0 = O Y f23 este ejercicio, el lector podrá deducir que si a'j = O, entonces f'j =O.
22 3
= -1*1 = -1. De
LU I S I\ I. BE RTO RI NCON AI3 RIL
A.5.6 Determinante para la matriz de orden n ~ 2. Existe una propiedad para las
matrices cuadradas , la cual no se va a demostrar, la suma de los cofactores de cualquier fila o columna es siempre el mismo valor. Este aspecto "específico " fue
definido como el determinante de la matriz. Asi pues, dada una matriz cuadrada A, se tiene que det(A) = D ,J , para una sola fila i-ésima o una sola columna j-ésima . En el ejemplo que se viene presentando se puede calcular det(A) = -24 + O -1
=-25.
A.5.? Propiedades de los determinantes. La demostración de las siguientes
propiedades se dejan al lector y en ellas se supone que cuando se habla del determinante de una matriz A, se entiende la estructura IAI . 1. El determinante de una matriz y el determinante de su transpuesta son iguales, esto es , det(A
T
)
= det(A).
2. Si 181 es el determinante formado por el intercambio entre 2 vectores filas o columnas respectivas de IAI , entonces: 181 = -IAI· 3. Si
181 es el determinante obtenido al multiplicar por a un solo vector fila o columna del 181 = alAI·
determinante lA\, entonces:
4. Si un vector fila o columna en una matriz cuadrada es nulo, entonces el determinante de ellas es O. 5. Cuando en un determinante una fila o columna es cambiado por la combinación lineal de ella con otra fila o columna respectivamente , el valor del determinante no cambia. 6. Si un determinante tiene 2 vectores filas o columnas respectivamente iguales o proporcionales será igual a o.
A.6 OTRAS MATRICES ESPECIALES. A.6.1 Matriz singular. Una matriz A se denominará singular, si det(A)
224
=IAI =O .
IN \ I S rJ G ,\ C IO N D E OPER ,\C10 N ES
P,\l~"
ING EN IER I AS y ,\DM IN I STR AC ION DE
E ~ IPRE SAS
A.6.2 Matriz Adjunta . La adjunta de una matriz cuadrada A es otra matriz cuadrada J del mism o orden , estructurada como la transpuesta de los menores signados de A, esto es , Si A
=(ajj),
entonces J
=(m jj)T
A.6.3 Matriz Inversa. Una matriz B recibe el nombre de inversa de la matriz cuadrada A, si A*B = 1. La inversa de A se designa como A '. Puede demostrarse que si A es no I
singular, esto es IAI 1:- O, entonces A- = I .J . A
Para cu alquier matriz cuadrada no singular A, A-' es única y cumple A* A-'
Para la matriz de orden 2, particularmente se tiene A -
(0b de) =>
=A-'* A =I
~(
B_ d - IAI -e
-b), ({
con IAI = ad - bc. A.7 ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS.
Cualquier conjunto de ecuaciones lineales simultáneas tiene una representación conveniente usando la notación matricial. El sistema:
a" X, + a' 2X2 + a' 3X3 + ...... .. .. .+ a,nXn = b, a2' X, + a22X2 + a23X3 +.. ......... + a2nXn = b2 a3' X, + a32X2 + a33X3 + .. ......... + a3nXn = b3
se puede escribirse como A*X
(f II
A=
{{ el
(f
",1
=b , en donde:
° l!
b,
{/ I"
(1 l'
(/ 211
(/ 11/2
{ I "/II
225
X=
X'j
X,
X"
b=
b,
b,
LU IS ALBERT O R INCüN ABR IL
Si A es cuadrada , esto es , m = n y no singular, el vector solución está dado por X Aplicar esta
expresión
para
encontrar X, exige
un
procedimiento
=A- 1b.
demasiado
congestionado de operaciones, el cual fue totalmente mejorado mediante el método de eliminación de Gauss. A.7.1 Método de eliminación de Gauss : La fundamentación matemática del método no es materia de este tratado, por ello nos limitaremos a observar la aplicación , la cual consiste en : 1. Construir la estructura ( A 11 1 b ). 2. Realizar las combinaciones lineales adecuadas entre las filas de esta matriz para que en la posición donde está A, aparezca la matriz idéntica 1. 3. Cuando esto se logra la anterior estructura se convierte a
( 1 1 A-
1
1X
).
Una justificación (no demostración) de la validez del anterior procedimiento es:
Este procedimiento es usado cuando para un sistema de ecuaciones lineales se requiere encontrar la solución del sistema , vector X, y la inversa de la matriz definida como A. Si únicamente se requiere el cálculo del vector X, solución del sistema de ecuaciones , el proceso será iniciar con ( A 1 b) Y terminar con (1 1 X). Para encontrar la inversa de una matriz A, el proceso será iniciar con (A 11), realizar las combinaciones lineales para terminar con (1 1 A-\ Para entender
y discutir el procedimiento se presenta el siguiente ejemplo, para el cual
se necesita calcular el vector X y la matriz A.
2X , +3X , + X ; =2 X1+X , +X ; = O - X, +X , +2 X ;= 4
226
INVESTIG /\C ION DE OPERAC IONES PARA INGEN IER I AS y ADM IN ISTRAC ION DE EMPRESAS
Con esta información se puede construir el tablero inicial ( A 1I 1 b ), el cual queda como:
3 1
1
1
1
1
2
O O
1
3/2
Y2
Y2
O O 1 O O 1 O O
[3J
Y2
-Y2
5/2
5/2
Y2
O 1
2 -1
-1
2 1 -1
I
O O 1 O
I
O O 1 O O 1
1
O 1 O O 1 O 3 -2
5
-2
O O 1
-1 /5 3/5 -2/5
2
O 4 1 -1
F1 F2 F3 F1 1=Y2 F1 F2 1=F2- F1 1
5
F3 1=F3+ F1 1
O O
-2
F1 2=F1 1 -3/2F2 2 F2 2= -2F2 1
5
1
1 -1
-2/5
O -2 2 O
1
1/5 1/5
2
F3 2=F3 1 -5/2F2 2 F1 3=F1 2-1 /5F33 F23=F22+F3 3 F3 3 =1/5F3 2
Al revisar el procedimiento seguido, se puede decir:
a) Pasar a un nuevo tablero, significa generar un nuevo "vector unitario" en búsqueda de la matriz I en las primeras columnas de la tabla. b) El "vector unitario" debe generarse con 1 en la posición del marco (elemento pivote) y ceros en el resto de la columna. c) La fila que contiene el elemento pivote ( fila pivote) debe multiplicarse por el inverso del pivote, para pasar al nuevo tablero. d) Las demás filas se obtienen realizando entre ella y la fila pivote la correspondiente combinación lineal que genere el cero del "vector unitario".
227
I_U I S A L BERTO RINCON A BR IL
A.8 EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Dadas las matrices
determinar: a) A + B
A-
B-
(-S O -1 1
T e) DC d) BC - 2AD e) C + D
b) CD
2. Dadas las matrices , A = a) AB - BA
1 1 2) (4 - 2 1
(2 2) -2 -2
b) (A + B)T
B=
(31 ~) , Hallar: e) AB-'
e) (A - Br '
d) A2
3. Si A Y B son matrices cuadradas mostrar que:
a)
b)
4. Si A es una matriz diagonal de orden n, en donde todo a¡¡ = e, a) Mostrar que det(A) = en. b) Mostrar que si n = 2 , entonces : N = cnl
5. Dada (a) AB = BA
A=
(= S)enCOl1lrOr J I
B=
(b) AB = I (e) AB = A
6 Dados los veclores VI =[;
}
T
(x -" ) , para que: ::
l'
(d) AB = A2
V2 =[
-~2}
V3 =[
~I}
a) Calcule V4 = 2V1 - 3V2 + V3 b) Encu entre a, b, m para que: aV1 + bV2 + mV3 = V
22 8
V
=[:}
INVEST IG¡\C ION DE OPERACIONES PARA INGEN IER I¡\S y
¡\I)~ I I N I S TR AC I ()N
DE H 1PRESAS
c) Anali zar si V1 , V2 y V3 son o no Linealmente independientes.
7. La solución a un PROGRAMA LINEAL generó las siguientes soluciones óptimas:
VI =
18
18
15
18
9
V2 =
O
O
8
O
O
Expresar mediante una combinación lineal convexa todas las posibles soluciones óptimas al programa lineal. 8. Usando el método de elim inación de Gauss, solucione: a) 2X 1 + 3X 2 - 5X 3 =-3 3X 1 - 2X 2 + 4X 3 = 15 5X 1 + 3X 2 - 2X 3 = 6
b) 3X 1 + 2X 2 - X3 = 4 2X 2 + 3X 3 = 8 X1 + X2 + X3 = 4
c) 2X 1 + X2 + X3 = 10 X1 + 2X 2 + X3 = 8 X1 - X2 + 2X 3 = 2
d) X1 + X2 + X3 + X4 = 3 2X 1 - X2 - X3 = O X1 + 2X 2 - X3 + 2X 4 = 2 X3 + X4 = 1
229
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LUIS ALBERTO RINCÓN ABRIL
Magíster en Ingeniería de Sistemas, Ingeniero Electricista. Docente Investigador de la Universidad Nacional de Colombia en las áreas de Desarrollo de Software y Sistemas, Investigación de Operaciones, Estadística y Matemáticas. Director del Departamento de Ciencias Básicas de la Universidad Nacional de Colombia, sede Palmira, en tres períodos diferentes.
ISBN 958809509 - 3
