Fases de la investigación de operaciones
Supuestos básicos de la Programación Lineal
Desde un punto de vista técnico, hay cinco supuestos que debe cumplir todo problema de programación lineal: 1. Los coeficientes, tanto de la función objetivo como de las restricciones, son conocidos con exactitud y además no varían durante el período de tiempo en que se realiza el estudio (supuesto de certidumbre ). 2. Tanto en la función objetivo como en las restricciones hay proporcionalidad : si para la producción de un bien empleamos 5 horas de un determinado recurso (mano de obra, maquinaria, etc.), para producir diez unidades de dicho bien serán necesarias 50 horas del mismo recurso. 3. Aditividad de actividades: tanto en la función objetivo como en las r estricciones, la contribución de cada variable es independiente de los valores del resto de las variables, siendo el total de todas las actividades igual a la suma de cada actividad individual. Así, por ejemplo, si producimos dos tipos de bienes, uno que nos reporte un beneficio de 20 €/unidad, y otro que nos reporte un beneficio de 10 €/unidad, la producción de un bien de cada tipo supondrá un beneficio total de 30 €. 4. Las soluciones del problema serán, en general, números reales no necesariamente enteros (supuesto de divisibilidad ). Para aquellos problemas en los cuales sólo tenga sentido obtener soluciones enteras (cuando las soluciones se refieran a objetos indivisibles), se usarán técnicas de Programación Lineal Entera (PLE).
5. Las variables de nuestro modelo tomarán siempre valores positivos (supuesto de no negatividad), dado que no tiene sentido hablar de cantidades negativas de objetos físicos. Definición de Modelos. Un modelo es una representación ideal de un sistema real y de la forma como opera o funciona. Un modelo es una abstracción selectiva de la realidad. El modelo, se define como una función objetivo con restricciones que se expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del problema. El objetivo de un modelo es analizar el comportamiento del sistema, o bien predecir su comportamiento futuro. Obviamente los modelos no son tan complejos como el sistema mismo, de tal manera que se hacen las suposiciones y restricciones necesarias para representar las porciones más relevantes del mismo.
Tipos de Modelos de Investigación de Operaciones. (a) Modelo Matemático: Se emplea cuando la función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión. (b) Modelo de Simulación: Los modelos de simulación difieren de los matemáticos en que las relaciones entre la entrada y la salida no se indican en forma explícita. En cambio, un modelo de simulación divide el sistema representado en módulos básicos o elementales que después se enlazan entre si vía relaciones lógicas bien definidas. Por lo tanto, las operaciones de cálculos pasaran de un módulo a otro hasta que se obtenga un resultado de salida.
Los modelos de simulación cuando se comparan con modelos matemáticos; ofrecen mayor flexibilidad al representar sistemas complejos, pero esta flexibilidad no esta libre de inconvenientes. La elaboración de este modelo suele ser costoso en tiempo y recursos. Por otra parte, los modelos matemáticos óptimos suelen poder manejarse en términos de cálculos. Modelos predictivos: Este tipo de modelos nos informan del comportamiento de la variable en un futuro, es decir, lo que debería ser. A este tipo de modelos corresponden aquellos basados en técnicas estadísticas y/o econométricas, es decir, modelos de previsión. Modelos evaluativos: Una técnica evaluativa corresponde a medir las diferentes alternativas, y así poder comparar los resultados de ellas. Este tipo de modelos se corresponden con los denominados arboles de decisión. Modelos de optimización: Se trata de modelos que tratan de identificar un optimo (por lo general, el optimo global ) del problema, es decir, buscan la mejor de las alternativas
posibles. Estos métodos son los que están basados en las técnicas de programación matemática.
Otra clasificación de los modelos se basa en la realidad que pretender modelar, así podemos hablar de : Modelos deterministas versus modelos estocásticos . En los modelos deterministas todos los datos del problema se conocen con absoluta certeza, mientras que cuando esto no es así tenemos los modelos estocasticos. Por lo general los modelos más realistas son los modelos estocasticos, pero tienen la dificultad de poderlos resolver adecuadamente, y muchas de las técnicas aplicables a los modelos estocasticos tratan de reducir el problema a su versión determinista para poderlo resolver. Modelos estáticos versus modelos dinámicos . En un modelo estático la variable tiempo no desempeña un papel relevante, mientras que en los modelos dinámicos la variable fundamental, y de la que dependen las restante variables relevantes. Además, la variable tiempo se considera como una variable continua. Programación lineal La PL es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así, la PL trata la planeación de las actividades para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (según el modelo) entre todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la PL tiene muchas otras posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de PL.
Historia
El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier- Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria. Los fundadores de la técnica son George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático
ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es 2 decir, en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo q ue constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. El ejemplo original de Dantzig de la búsqueda de la mejor asignación de 70 personas a 70 puestos de trabajo es un ejemplo de la utilidad de la programación lineal. La potencia de computación necesaria para examinar todas las permutaciones a fin de seleccionar la mejor asignación es inmensa (factorial de 70, 70!) ; el número de posibles configuraciones excede al número de partículas en el universo. Sin embargo, toma sólo un momento encontrar la solución óptima mediante el planteamiento del problema como una programación lineal y la aplicación del algoritmo simplex. La teoría de l a programación lineal reduce drásticamente el número de posibles soluciones óptimas que deben ser revisadas.
