INTEGRAL INDEFINIDA Y FUNCIÓN PRIMITIVA Antiderivada de una función. Si de una función F conocemos su derivada, f , es decir, dF ( x ) = f ( x ) dx
para todo x en un intervalo abierto I .
Entonces a la función F se le denomina una antiderivada de f en el intervalo intervalo I . A F también se le conoce como función primitiva, la cual no es más que otra función cuya derivada coincide con la función dada. Ejemplos: •
1) Función → 2) Derivada → 3) Fun Funci ción ón prim primit itiv ivaa →
F ( x) = 3 x 2 + 2 x − 3 F ' ( x) = 6 x + 2 F ( x) = 3 x 2 + 2 x − 3
Significa que dada la función 2), hay que hallar la función 1). Funciones Funcion es
Derivadas Derivad as
a ) f ( x) = x 4 b) f ( x) = e
3 x
c) f ( x) = Ln ( x + 1) 2
Antiderivada Antideriv ada
a) f ´( x) = 4 x 3
a) F ( x) = x 4
b) f ´( x) = 3e3 x
b) F ( x) = e 3 x
c) f ´( x) =
2 x 2 x + 1
c) F ( x) = Ln ( x 2 + 1)
La integral Indefinida o antiderivada es el nombre que recibe la operación inversa de la derivación y consiste en dada una diferencial, hallar la función de la cual proviene. Esta función se denomina integral indefinida de la diferencial dada y el procedimiento para hallarla se llama integración .
∫ f ( x)dx
= F ( x) +C
∫ Signo integral f ( x x) = Integrando
C = Constante de integración F(x) + C = Integral indefinida Integrales Inmediatas. De la derivación de funciones elementales se deducen sus correspondientes integrales llamadas inmediatas. Es necesario aprender estos resultados si se pretende ser ágil en el cálculo de otras integrales menos sencillas. a) ∫ f ' ( x)dx = f ( x ) +C b) ∫c ⋅ f ( x )dx =c ⋅ ∫ f ( x )dx c) ∫[ f ( x ) ± g ( x )] dx = ∫ f ( x )dx
± ∫ g ( x )dx
1. ∫ dx
∫ x
2.
15. ∫ csc x ⋅ ctg x dx 16.
= x +C x m+1
+ C , si m ≠ −1 m +1 dx 1 dx = Ln x +C = x x m
dx =
∫
3. 4.
1
∫ cos x
17.
1
∫ a
x
x
a
dx =
+ C , siendo a > 0 y a ≠ 1 Ln a x x ∫ e dx =e +C
5. 6. ∫ sen xdx = −cos x +C 7. ∫ cos x dx = sen x +C 8. ∫ sec x dx = tg x +C 9. ∫ csc 2 x dx = −ctg x +C 10.
∫tg x dx
− sen x
= −∫
cos x
cos x
∫ sen x
dx = ∫ csc 2 x dx = −ctg x + C
2
16.
∫
1
dx = arc sen x + C = − arc cos x + C
1 − x 2
1
∫ 1 + x
2
18. ∫
dx = − Ln cos x + C =
dx = Ln sen x + C
12. ∫ sec x dx = Ln sec x +tgx +C 13. ∫ csc x dx = Ln csc x −ctgx +C 14. ∫ sec x ⋅tg x dx = sec x +C
dx = arc tg x + C = − arc ctg x + C 1
x +1 2
dx = Ln x + x 2 +1 + C
19.
∫ x
11. ctg x dx =
∫ sen x
17.
2
∫
∫
dx = sec 2 x dx = tg x + C
2
∫
20.
1
x −1 1 2
∫ x
2
dx = arc sec x + C = − arc csc x + C
−1
dx = Ln x + x 2 −1 + C
x −1 1 = +C dx Ln x 2 −1 2 x +1 1
21.
∫
22.
∫ 1 − x
1
2
1 1 + x dx = Ln +C 2 1 − x
Ejemplos de Cálculo de integrales inmediatas (integración directa): 1.
x Calcular ∫
∫ x 2.
3
dx =
x 4 4
3
dx
+ C 1
Calcular ∫
x
dx −
1
∫ x dx = ∫ x
−
1 2
x 3. Calcular ∫
∫
x 4 dx =
x 4+1 4 +1
dx =
4
x
−
1
+1
2
1 2
+1
1
x 2 + C = + C = 2 x + C 1 2
dx
x 5
+ C =
5
+ C
1 dx x 5 1 1 x −5+1 x −4 −5 dx = x dx = + C = + C = − 4 + C 5 − 5 +1 −4 4 x x
4. Calcular ∫
∫
∫
= −csc x + C
x 5. Calcular ∫
2
x
3
x
x = x ⋅ x = x
2
3
2
2
2+
3
dx
3
7
2
= x 2 7
7
∫ x
2
∫
9
+1
9
x 2 2 2 9 + C = + C = x 2 + C = x + C 9 9 9 +1 2 2
x x dx = x dx = 7 3
2
2
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Todos los métodos de integración tienen por objetivo transformar una integral dada, no inmediata, en otra, o suma de varias, cuyo cálculo resulte más sencillo. Integración por cambio de variable (o sustitución). La integración por sustitución consiste en obtener una antiderivada por medio de fórmulas después de cambiar la variable. Muchas derivadas no pueden evaluarse directamente aplicando fórmulas. Sin embargo, a veces es posible obtener una antiderivada por medio de fórmulas después de cambiar la variable. Por ejemplo, supongamos que se desea evaluar: ∫ 2 x 1 + x dx como esta integral no está en la tabla de integrales inmediatas, tomamos incógnitas auxiliares para transformarla en otra cuya integral sea conocida. Así, a la expresión 1 + x 2 la llamamos t → t =1 + x 2 2
(
Calculamos dt
→ dt = t' ⋅ dx = 1 + x 2 'dx = 2 xdx
dada se convierte en:
1
∫
t 2
dt ; que es de la forma
integrales inmediatas, el cual da: como resultado:
2 3
2 3
3
t 2 + C
→ dt = 2 xdx;
∫
n
t ⋅ du =
n +1
t
n +1
por lo que la expresión + C ,
caso (2) en la tabla de
luego, de la sustitución de t por 1 + x 2 , se tiene
3
(1 + x ) 2
2
+ C. Como se ve, el método consiste en transformar la integral dada
en otra más sencilla mediante un cambio de la variable independiente. Aunque algunos casos tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente. Ejemplos de Cálculo de integrales por cambio de variable (o sustitución): 1. Calcular ∫ 2 x(1 + x 2 )
3
dx
Se hace el cambio t = 1 + x2, se observa que dt = 2xdx
∫ 2 x (1 + x )
2 3
(
1 + x 2 t 3 + 1 t 4 dx = t dt = + C = + C = 3 +1 4 4
∫
2. Calcular ∫ x( x
2
3
−3)dx
)4
+ C
Haciendo el cambio t = x 2
−3;
Sin embargo, en la integral no se tiene 2 x sino x.
dt =2xdx
Este contratiempo se solventa sin más que observar que despejando, es decir,
∫ (
)
2
x x − 3 dx =
t
∫ 2
3. Calcular ∫ cos(
2
dt =
t
4
x ) ⋅se n
1
+ C =
3
4
∫
4. Calcular ∫
x
2
= xdx
( x 2 −3) 2 + C
( x ) dx
Si se observa que (sen x)’ = cos x, llamando t = sen x; 3 cos( x ) ⋅ sen ( x)dx =
dt
∫
t 3 dt =
t
4
4
dt = cos( x ) dx
1
+ C = sen 4 (x) + C 4
2
3 1 + x
dx
3 3 1 + x = (1 + x )
12
x 2 1 + x
= 3
x 2
(1 + x ) 3
12
Se hace el cambio
= x 2 (1 + x 3 )
−1 2
t = 1 + x 3 → d t = 3 x 2 dx →
d t 3
= x 2 dx 1
∫
x
2
1 + x
dx 3
∫
= x
2
(1 + x ) 3
−
1 2
dx
=
1 3
∫
t
−
1 2
dt =
1 t 2 3 1
+ C =
2
2 3
1
t 2
+ C =
2 3
1 + x
3
+ C
Integración por partes. La integración por partes consiste en descomponer una integral en una suma de un producto de funciones más una integral que, pretendidamente, es más sencilla que la de partida. Este método permite resolver un gran número de integrales no inmediatas. Sean u y v dos funciones dependientes de la variable x; es decir, u = f(x), v = g(x).
∫ f ( x ) ⋅ g '( x )dx = f ( x) ⋅ g ( x) − ∫ g ( x) ⋅ f ' ( x)dx Ésta no es la fórmula usual de la integración por partes. Puesto que u = f(x), du = f '(x)dx, y al ser v = g(x), dv = g'(x)dx. Llevando estos resultados a la igualdad anterior,
∫ u du
=u ⋅ v −∫ v du
¿Cómo se resuelve una integral por partes? Este método consiste en identificar u con una parte de la integral y dv con el resto, con la pretensión de que al aplicar la fórmula obtenida, la integral del segundo miembro sea más sencilla de obtener que la primera. No hay, y éste es el mayor problema de este procedimiento,
una regla fija para hacer las identificaciones más convenientes. La resolución de un buen número de problemas es el mejor camino para adquirir la técnica necesaria. No obstante, se suelen identificar con u las funciones de la forma xm si m es positivo; si m es negativo, es preferible identificar con dv a xmdx. También suelen identificarse con u las funciones ln x, arc senx, arc tg x y con dv, e xdx, sen x dx, cos x dx, etc. Antes de empezar a practicar este método se ha de tener presente que al hacer la identificación de dv, ésta debe contener siempre a dx. Ejemplos de Cálculo de integrales por integración por partes: x Ln ( x )dx 1. Calcular ∫ 7
Debemos considerar a Si Si Si
u = Ln ( x ) ⇒ du =
u = Ln ( x ) y dv = x 7 dx
dx
=
x
1 x
dx
x 8 1 8 dv = x dx ⇒ dv = x dx ⇒ v = = x 8 8 ∫ u du =u ⋅v −∫ v du
∫
7
Significa que:
∫
∫
7
7
x Ln ( x )dx =
2. Calcular ∫ ln x
x 8 8
Ln ( x ) −
x 8 dx
∫ 8
x
=
x 8 8
Ln ( x ) −
1 8
∫
7
x dx =
x 8
x 8 + C Ln ( x ) − 8 64
dx
Éste es uno de los casos más sencillos; la integral consta de una sola función, ln x. Haciendo u = ln x, y diferenciando,
1 du = dx x
Necesariamente, dv = dx. Integrando ambos miembros, ∫ dv Aplicando la fórmula, 3. Calcular ∫ sen
=∫ dx .
Es decir, v = x
1
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x ⋅ x dx = x ln x − x + C
2
x dx
La identificación, en este caso, puede ser u = sen x y dv = sen x dx De u = sen x se deduce, diferenciando, que du = cos x dx. De dv = sen xdx , integrando, ∫ dv = ∫ sen x dx , es decir, Aplicando la fórmula, ∫ u dv
∫ sen
v
= − co s x
=u ⋅v −∫ v du
∫
∫
x dx = sen x ( −cos x ) − ( −cos x ) cos x dx = − sen x ⋅ cos x + cos
2
Puesto que
cos 2 x = 1 − sen 2 x
2
x dx
∫ sen
2
∫ sen
2
x dx = sen x cos x +
∫ (1 − sen
2
∫
∫
x ) dx = − sen x ⋅ cos x + dx − sen
∫
x dx = −senx ⋅ cos x + x − sen
2
2
x dx
x dx
Al volver a obtener en el segundo miembro la integral de partida puede llegarse a la conclusión de no haber avanzado en el propósito de calcular la integral. No es así en este caso, sen 2 x dx , se obtiene pasando al primer miembro −∫
∫
∫
2
∫
2
∫
2
2
sen x dx + sen x dx = x − sen x ⋅ cos x ⇒ 2 ⋅ sen x dx = x − sen x ⋅ cos x ⇒ sen x dx =
4. Calcular ∫ x ⋅ Llamando dv = 1 + x dx,
x − sen x ⋅ cos x 2
1 + x dx
u v=
∫
= 1 + x dx =
x,
∫ (1 + x)
1 2
du 3
dx =
(1 + x ) 2
=
3
2 3
=
dx;
3
(1 + x ) 2
2 5
∫
x ⋅
1
+ x dx =
3
2 x
(1 + x ) 2 −
3
2 3
3
∫
(1 + x) 2 dx =
2 x 3
3
(1 + x) 2 −
( + x ) 2
2 1
5
3
=
2 x 3
(1 + x ) 3 −
4 15
(1 + x ) 5 + C
2
5. Hallar ∫ x
2
⋅e x dx
Se hace la identificación u = x2; diferenciando, du = 2 x dx dv = e x dx ,
integrando
∫
, v = e x dx = e x
Aplicando la fórmula, = ⋅ −∫ ⋅2 = ∫ x e Se vuelve a integrar por partes ∫ x
2
x
e
dx
x
2
x
e
x
e
x dx
x
2
x
u = x,
du = dx ;
Así, ∫ x ⋅ e x dx
dv =e dx , x
x
e
−2
∫
x
x e
dx
(1)
dx
∫
v = e dx =e x
x
= xe x − ∫ e x dx = xe x −e x = e x ( x −1)
Llevando este resultado a (1),
∫ x
2
x x x x x e dx = x 2 ⋅ e − 2e ( x −1) = e [ x 2 −2( x −1)] = e ( x 2 −2 x + 2 ) +C
INTEGRAL DEFINIDA
El cálculo integral se basa en el concepto de la integral. La definición de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra ente la gráfica de una función de valores positivos f y el eje x en un intervalo cerrado [a,b]. El área de la
+
región S de la figura 1 está dada por la integral de f de a a b, denotada por el símbolo,
Figura 1
Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a,b] entonces se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el valor del área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x). El teorema principal de este tipo de integral es el teorema fundamental del cálculo, el cual proporciona una conexión vital entre las operaciones de derivación e integración, la que proporciona un método eficaz para calcular el valor de las integrales. El teorema fundamental del cálculo.
Propiedades de la Integral definida: Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a ,b]. Entonces se tiene: 1. 2. Si f(x) es integrable en el intervalo [a,b] y c [a,b] entonces
3. Si f y g son dos funciones integrables en [a,b] entonces
Ejemplos de Cálculo de integrales definidas: 2
3 x dx 1. Calcular ∫ 1
x 4 x 3 dx = 4
2
2
∫ 1
1
∫ 0
1 x
dx =
1
−
(1)
4
=
4
16 4
−
1 4
=
15
=3.75
4
dx
x
1
∫ 0
4
4
1
2. Calcular ∫ 0 1
( 2)
=
1
−
2
x
dx
=2
1
2 2 x (1 + x ) 3. Calcular ∫ 0
3
1
x
0
=2 1 −2
0 =2 −0 =2
dx
Se hace el cambio t = 1 + x2, se observa que dt = 2xdx 1
∫ 0
(
x 1 + x
2
)
3
dx =
1
t 3 +1 t dt = 3 +1
∫ 0
4
4. Calcular ∫ x( x
1
t 4 = 4
3
2
2
0
1
1
(1 + x 2 )4 =
=
4
0
(1 +(1) 2 )4 4
−
(1 +(0) 2 )4 4
∫ 2
(
x x
−3)dx =
4
t
∫ 2 2
4
−
(1) 4 4
=
16 4
−
1 4
=
15 4
=3.75
0
−3;
Sin embargo, en la integral no se tiene 2 x sino x.
dt =2xdx
Este contratiempo se solventa sin más que observar que despejando, es decir, 2
( 2) 4
−3)dx
Haciendo el cambio t = x 2
4
=
dt =
t 2 4
4
= 2
1 4
( x 2 −3)2
4
= 2
2
= xdx
)2 −((2) 2 −3) 2 = 1 [(16 −3) 2 −(4 −3) 2 ] = 1 (169
1 ( 4) 2 −3 4
(
dt
4
APLICACIONES ECONÓMICAS Anteriormente se han trabajado las funciones Costo, Ingreso y Beneficio, así como el análisis marginal de estas funciones utilizando la derivación, ahora se procederá a utilizar la integración para también resolver problemas económicos de análisis marginal. Función costo: puede obtenerse integrando la función costo marginal. Por ejemplo: En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de 4000 Bs. Si la función de costo marginal es , donde C es el costo total (en bolívares) de producir x libras de producto por semana, encontrar el costo de producir 10.000 libras en una semana.
4
−1) =
1
Los costos fijos son constantes independientemente de la producción. Por tanto, cuando x = 0, C = 4000, lo cual es la condición inicial.
Así,
El costo total de producir 10.000 libras de producto en una semana es de Bs. 5.416,67 Función ingreso: puede obtenerse integrando la función ingreso marginal. Por ejemplo:
Determine la función Ingreso, si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es Solución:
Se puede suponer que cuando no se ha vendido ninguna unidad, el ingreso total es 0; esto es, I = 0 cuando x = 0. Ésta es la condición inicial. Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior resulta: 0 = 2000(0) – 10(0)2 – (0)3 + C ⇒ C = 0 Así, Función beneficio: puede obtenerse integrando la función beneficio marginal. Por ejemplo:
Si el beneficio marginal en la producción de x unidades de un producto está definida por: B´(x) = 100 – 0,01x y B(0) = 0 Hallar la función Beneficio y el beneficio sobre 100 unidades.
+C
B(0) = 0 ⇒
B(100) = 9950 El beneficio que se obtiene con la venta de 100 unidades es de 9950 Bs.
