Repaso Espacio Estados Bertieri R. Andrea L. 1801459, Tejada Alfredo. 1801563
I. DESARROLLO DE LA P RÁCTICA
Donde el polinomio caracteristico del sistema es:
Existe Existenn muchas muchas formas formas de repres represent entar ar un sitema sitemass por Espacio-Estado, en este informe se propondrá una solución al modelo del sistema mostrado en la figura 1 además de un control de acuerdo a unos parametros especificados, un observador y finalmente un servositema, todo con el proposito de afianzar los conocimientos adquiridos en control sobre la representación espacio-estado. espacio-estado.
2
+RB B (S ) = (S 2 + S ( R +B ) + ( K JL )) L J
Teniendo la descripción del sistema por ecuaciones diferenciales y su función de transferencia, se puede proceder con las diferentes representaciones por espacio-estado. Para este caso, se seleccionaron los siguientes parámetros: • • • • •
R=4 J=3.2284e-6; B=3.5077e-6; K=0.0274; L=0.01;
A cada representación se le evaluará la controlabilidad y la observabilidad, para ser posteriormente simulado en matlab. Figure 1. Sistema: Circuito equivalente equivalente a un motor de corriente continua continua A. Descripción de Modelo Matemático
El espacio de estado, es una representación matemática de la dinámica de los sistemas, determina el comportamiento de cada una de las variables de estado que conforman un sistema. Como salida, se puede tener una, varias o la combinación de variables de estado, según lo plantee el sistema o lo requiera el ingeniero para el diseño de los reguladores. La ecuación general del espacio de estado para un sistema lineal está dada por: Figure 2. Simulink: Simulación Simulación de las diferentes diferentes representaciones
.
x(t) = Ax( Ax(t) + Bu( Bu (t) y(t) = C x(t) + Du Du((t)
Para este caso se tiene que las ecuaciones diferenciales que describen el sistema son:
De las diferentes representaciónes y la función de tranferencia se obtuvo que:
RIa RI a(t) + LI a˙(t) = V ( V (t) + KW ( KW (t) (1 BW (t) + KI a(t) − T = J W ( W ˙(t) (2 −BW (
Por lo que se tiene que las variables de estado son:
Ia x(t) = W I˙a ˙ x(t) =
Figure 3. Simulink: Simulación Simulación de las diferentes diferentes representaciones
˙ W
Tambien la función matemática que describe el modelo está dada por: 2
+RB (W ( W (s))/ ))/(V ( V (s)) = (K/JL (K/JL))/(S 2 + S ( R + B ) + ( K JL )) L J
1.1.1 Representación Representación Forma Canónica Controlable:
La
representación de forma canónica controlable es bastante útil cuando el objetivo principal es controlar el sistema puesto que se garantiza la controlabilidad, ya que el determinante de la matriz de controlabilidad de este sistema es igual a 1.
2
W 0 ˙ = W y(t) = 0 x(t) + [0] v(t) ˙ = x(t)
Figure 7. Representación forma General - Análisis Controlabilidad Observabilidad Matlab
Reemplazando con los valores correspondientes se tiene la representación que se muestra en la figura 8.
Figure 8. Representación forma General - Matlab Figure 5. Representación forma Canónica Controlable - Matlab
Por último se evaluó la controlabilidad y la observabilidad garantizando que para esta representación del sistema se pueda controlar y observar.
Por último se evaluó la controlabilidad y la observabilidad garantizando que para esta representación del sistema se pueda controlar y observar.
Figure 9. Resultados - Controlabilidad y Observabilidad Figure 6. Controlabilidad y Observabilidad - Matlab 1.1.3 Representación Forma Canónica Observable: La
1.1.2 Representación Forma General: La
representación
de forma general permite tener una mejor percepción de las variables del sistema manipuladas
representación de forma canónica observable es bastante útil cuando el objetivo principal es observar el sistema puesto que se garantiza la observabilidad, ya que el determinante de la matriz de observabilidad de este sistema es igual a 1.
Reemplazando con los valores correspondientes se tiene la representación que se muestra en la figura 8.
el control del sistemas se utilizó la representación de la forma canónica controlable utilizando los 3 metodos básicos para el diseño de controloadores por retro estado que llevan siempre a las mismas constantes. Antes de desarrollar un diseño, habría que analizar la controlabilidad del sistema, el cual por todas la representaciones antes mostradas se demostró que efectivamente es controlable. El primer método utiliza la ecuación característica del sistema y su representación deseada y mediante la formula: K = [...(α3 − a3) (α2 − a2) (α1 − a1)] ∗ T
1
−
Se obtienen las constantes del sistema. Puesto que se va a controlar el sitema utilizando la representación de la forma canónica controlable para este caso T será igual a 1.
Figure 11. Representación forma Canónica Observable
Por último se evaluó la controlabilidad y la observabilidad garantizando que para esta representación del sistema se pueda controlar y observar.
Figure 14. Instrucciones en matlab - Control Método 1 :
Figure 12. Análisis Controlabilidad y Observabilidad B. Realimentación de estados
Con el control por retro estados se utiliza toda la información del sistema para calcular la señal de entrada y gnerar la
Figure 15. Constantes resultantes, Control Método 1 Matlab
4
: :
El segundo método requiere la función de transferencia de
todo el sistema incluyendo el control y esa función se compara con una función de transferencia deseada de acuerdo a un cita deseado y un tiempo de establecimiento deseado.
Figure 20. Señal del Sistema Controlado
Figure 16. instrucciones Matlab - Control Método 2
Figure 17. Constantes resultantes, Control Método 2 Matlab : El
tercer método requiere la función de transferencia de
todo el sistema incluyendo el control y esa función se compara con una función de transferencia deseada de acuerdo a un cita deseado y un tiempo de establecimiento deseado.
Figure 21. Esquema del sistema observado
Figure 22. Codigó Matlab parametros deseados
Figure 18. Instrucciones Matlab - Control Método 3
Figure 19. Constantes resultantes, Control Método 3 Matlab
La señal del sistema controlado se puede ver :
1.3 Observadores de Estado
Los observadores de estado son muy utilizados cuando no se pueden sensar por x o y motivo las variables de estado de un sistema comparando la salida y mediante una constante de regulación se plantea el observador.
Figure 23. Código de analisis 3 Métodos para hallar las constantes del Observador :
5
Figure 24. Constantes del observador por los 3 métodos
Figure 29. Constantes del Servosistemas Figure 25. SIMULINK-Observador :
Figure 30. Señal de Salida de Servosistema
II. C ONCLUSIONES Figure 26. Señal de salida del Observador
•
: •
1.4 Servosistema
El servosistema permite el control del sistema no solo mediante la realimentación de la variables de estado, tambien integrando el error de la salida con respecto a la referencia.
•
Las representaciones de estado de cada modelo a pesar de ser diferentes simulan el mismo sistema, por tanto el polinomio caracteristico es el mismo y las caracteristicas son las mismas. Los métodos para hallar las constantes del sistema controlado, el servositema y el observador solo son métodos que facilitan el hallar las variables, por lo que el control del sistema solo debe depender de los parametros de diseño deseados y la representación de estados. Lo observadores han de presentar cierto error puesto que lo que tratan es en base a ese error hallar las variables de estado que no se pueden contemplar y simepre debe ser
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•
más rapido que la planta original para tener a disposición las variables de estado. El control por retro estado es muy eficiente puesto que la salida no solo la modifica teniendo en cuenta la variable a controlar si no las variables de estado de todo el sistema.
