Universidad Distrital Francisco José de Caldas Valentin piraquive perez 20151015017 Adrian tapia rozo 20151015012 Teoría de Grafos Taller 1 Flujo de redes con costo mínimo Introducción
En las organizaciones de comercio o manufactura, a la hora de aplicar la ingeniería industrial con el objetivo de mejorar los procesos existentes y con ello aumentar el valor agregado que la empresa obtiene por su actividad económica, es común que enfrentamos a problemas del ámbito logístico, es decir, problemas de distribución, transporte y almacenamiento de materia prima y de productos terminados para su comercialización, en el caso de empresas manufactureras, o de almacenamiento, transporte y distribución de un productos a centros de consumo en el caso de empresas comercializadoras. Dichos procesos logísticos nos enfrentan a un caso característico de modelación matemática, en donde representamos los centros de producción, centros de distribución y centros de consumo como nodos que tienen cierta capacidad de producción, almacenamiento y demanda respectivamente. Representamos además el proceso de transporte entre los mismos como arcos que conectan los diferentes nodos y cuyo costo varía dependiendo de dónde a dónde debamos transportar los productos o insumos. Así como también representamos la capacidad de transporte, es decir, la capacidad en unidades que se pueden cargar en el medio utilizado para ello (tracto mula, tren, barco, etc) como el flujo que pasa de un nodo al otro. En este trabajo nos enfrentaremos a uno de los casos más comunes de flujo en redes en el cual debemos definir el camino a tomar para transportar las unidades producidas en cuatro fábricas, a diferentes centros de distribución y centros de consumo, satisfaciendo con ello la demanda de la organización y cumpliendo con el proceso de
transporte al menor coste posible; Los problemas como estos se conocen con el nombre de flujo en redes con costo mínimo. Objetivos
Conocer las características de los problemas de flujo en redes con costo mínimo. Aplicar la modelación matemática y los métodos de optimización de problemas de programación lineal, como este, para hallar la forma de transportar el producto al menor costo posible. Aplicar lo aprendido en clase en problemas reales con el fin de familiarizarnos tanto con el método como con su funcionalidad.
Marco Teórico Flujo en redes con costo mínimo
Es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas resolver problemas de transporte o distribución, distribución, arrojando mejores resultados que métodos como el de la esquina la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. El diagrama de flujo de este algoritmo es muy sencillo dado que se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método. m étodo. Problema
Una empresa comercializadora distribuye mercancía como se muestra en la red de distribución de la figura 1. Las cantidades ofrecidas se representan por los números positivos asociados a los nodos orígenes y las demandas requeridas por los números negativos asociados a los nodos destino.
960
1200 1
2
3
4
5
6
Plantas de Producción 1
1180
1440
7
-150
-220
9
11
-940
Centros de Distribución
8
0
-210
10
-560
Plantas de Producción 2
12
13
-920
-640
Centros de Consumo
-1140
Figura 1
Los costos unitarios de transporte expresados en $/kilogramo de carga entre vértices (locaciones) se muestran en la matriz. Figura 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
20 25 23 27 -
20 18 19 25 28 27 -
25 18 8 13 11 10 14 -
23 19 8 10 13 11 10 -
25 13 10 4 13 18 16 15 14
27 11 13 4 3 16 13 15 16 12
28 10 11 3 2 11 10 14 12 18
27 14 10 2 15 13 18 16 14
13 16 11 15 5 -
18 13 10 13 5 4 -
16 15 14 18 4 6 -
15 16 12 16 6 3
14 12 18 14 3 -
Figura 2
1. Formule el plan de distribución con costo mínimo utilice Excel y GAMS.
X(5-13)
540
X(6-11)
430
X(6-13)
600
X(7-9)
440
X(7-10)
600
X(7-11)
210
X(7-12)
600
X(8-7)
260
X(8-10)
340
Revisar anexo ’’FLUJO-CON-COSTOMINIMO-1.0-EXCEL’’ Hoja N°1 ‘’PUNTO 1‘’
Solución Óptima: 134760 Flujo Óptimo: X(1-6)
960
X(2-5)
1200
X(3-7)
1180
X(4-7)
1440
X(5-9)
10
X(5-11)
640
X(5-13)
330
X(6-13)
810
X(7-9)
550
X(7-10)
940
X(7-12)
920
Donde ‘’X(i- j)’’ significa cantidad, en unidades, del producto que va del nodo i al nodo j 2. Ahora suponga que la capacidad máxima de flujo sobre cualquier arco es de 600 unidades. ¿ cómo varía la solución?.
Revisar anexo ’’FLUJO-CON-COSTOMINIMO-1.0-EXCEL’’ Hoja N°2 ‘’PUNTO 2 ‘’
Solución Óptima: 140750 Flujo Óptimo: X(1-4)
360
X(1-6)
600
X(2-5)
600
X(2-7)
600
X(3-6)
580
X(3-7)
600
X(4-5)
600
X(4-7)
600
X(4-8)
600
X(5-9)
120
X(5-12)
320
Donde ‘’X (i- j)’’ significa cantidad, en unidades, del producto que va del nodo i al nodo j 3. Suponga que se ubica otro centro de consumo con demanda de 1500, siendo posible aumentar la capacidad en 600 unidades en la planta de producción 1 y en 200 cada una de los otros tres centros de producción (2,3,4) , los costos de transporte desde los centros de distribución y desde las otros centros de consumo al nuevo centro son: Nodo 5 Nodo 6 Nodo 7 Nodo 8 17 15 11 15 Nodo 9 18
Nodo 10 22
Nodo 11 14
Nodo 12 21
Nodo 13 23
Formule y resuelva
Revisar anexo ’’FLUJO-CON-COSTOMINIMO-1.0-EXCEL’’ Hoja N°3 ‘’PUNTO 3‘’
Solución Óptima: 173680 Flujo Óptimo: X(1-6)
1560
X(2-5)
1400
X(3-7)
1380
X(4-7)
1640
X(5-9)
560
X(5-11)
70
X(5-12)
550
X(6-11)
270
X(6-13)
1140
X(7-10)
940
X(7-12)
370
X(7-14)
1500
X(15-11)
300
Donde ‘’X(i- j)’’ significa cantidad, en unidades, del producto que va del nodo i al nodo j Análisis de resultados
Si comparamos la cantidad de variables de decisión que toman valor en el punto 1 (12) y la comparamos con las del punto 2 (20). Se puede deducir algunas cosas como que el punto dos consistía en agregar una restricción de límite de flujo igual o inferior a 600 al punto 1; esto conlleva a que sea necesario el uso de más nodos intermedios para el transporte del flujo, lo que conllevo a que el costo en la función objetivo del punto 2 fuera más elevado que el del primer punto. En el punto 3 se puede observar que al agregar un nodo adicional y aumentar las capacidades de las plantas de producción repercutieron en un aumento del valor de la función del punto 3, pues es evidente que a mayor número de flujo el costo debe incrementarse en cierta medida.
Conclusiones
Solucionar problemas de transporte con el método de flujo en redes con costo mínimo nos permite alcanzar soluciones óptimas de forma sencilla. Utilizar programas como Gams, Solver de Excel para optimizar modelos matemáticos lineales como el ejercicio resuelto, nos facilita tanto el entendimiento como la resolución del mismo.
Fue posible entender mediante el desarrollo del taller las características de los problemas de flujo donde buscamos minimizar el costo de transporte
El trabajo permitió visualizar la forma en que se deben aplicar las herramientas matemáticas que se aprenden en la investigaciones de operaciones a la resolución de problemas en una organización. El uso de herramientas computacionales es de bastante utilidad en problemas de estas dimensiones ya que realizarlos de forma manual consumiría demasiado tiempo y no seria eficaz.
Bibliografía 1. 2.
http://www.monografias.com/trabaj os16/flujo-redes/flujo-redes.shtml https://www.ingenieriaindustrialonl ine.com/herramientas-para-elingeniero-industrial/
