Informe-Geometria-Analitica

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATO

FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: ABRIL/2015 – SEPTIEMBRE/2015

TRABAJO GEOMETRIA ANALÍTICA

Título: Determinar fórmulas y conocimientos acerca de la Parábola e Hipérbola

Carrera: Ingeniería en Electrónica y Comunicaciones

Línea de Investigación: Ciencias Básicas

Ciclo Académico y Paralelo: 2° Semestre paralelo “A”

Alumnos participantes: Guilcamaigua Paul Peralta Erika Vargas Santiago

Módulo y Docente: GEOMETRIA ANALITICA Ing. Washington Paredes



1. OBJETIVOS 1.1.Objetivo General: Aplicar cada una de las propiedades y fórmulas que se pueden presentar tanto en la Parábola e Hipérbola.

1.2.Objetivos Específicos: 

Analizar cada una de las fórmulas que se encontraran en el desarrollo de las gráficas tanto de la Parábola e Hipérbola.



Desarrollar las gráficas correspondientes y sus respectivos puntos y líneas básicas encontradas encontradas en la Parábola Parábola e Hipérbola. Hipérbola.



Demostrar los conocimientos adquiridos en ejemplos los cuales cuales mediante mediante la aplicación de fórmulas para ejecutar los ejercicios.

INTRODUCCIÓN El presente trabajo está basado en la explicación tanto teórica como grafica de la Parábola e Hipérbola, las cuales mediante conocimientos adquiridos explicar cada una de las propiedades y mediante las gráficas determinar cada una de las formulas las cuales en el proceso se irán ejecutando conforme a los ejercicios. En este trabajo se analizara de forma práctica las gráficas y las diferentes formas en las que se pueden dar asi como las formulas en las cuales se basan tanto la Parábola e Hipérbola, además determinar cada una de sus características.



2. MARCO TEÓRICO: LA PARÁBOLA Es el lugar geométrico de puntos de tal manera que la distancia de un punto cualquiera a una recta fija llamada directriz, es igual a la distancia a otro punto fijo llamado foco. La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz.

PUNTOS Y LÍNEAS

F (Foco).- Punto fijo que se encuentra en el eje de la parábola. L (Directriz).- Recta fija llamada que se encuentra a cierta distancia de la parábola y es perpendicular al eje de dicha parábola.

a.- Eje de la Parábola.- Es la recta que pasa por el vértice, el foco y es perpendicular a la directriz.

A.- Es el punto de intersección entre el eje de la parábola y la directriz. V (Vértice).- Es el punto medio del segmento AF, además el lugar donde la parábola cruza su eje, es decir es el punto de contacto entre el eje y la parábola.


FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: ABRIL/2015 – SEPTIEMBRE/2015 B^B’ (Cuerda).-

Es el segmento que une dos puntos cualesquiera diferentes de la

parábola. C^C’ (Cuerda focal).-

Es el segmento une dos puntos de la parábola pero debe pasar

por el foco. L^L’ (Lado recto).- Es una cuerda focal perpendicular al eje

de la parábola.

F^P (Radio Focal o Radio Vector).- Siendo P un punto cualquiera de la parábola, se llama radio focal al segmento que une P con el foco. [1]

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN 

PARÁBOLA HORIZONTAL:

POR DEFINICIÓN:

          √                  Entonces la ecuación de la parábola de vértice en el origen y en el eje x es:

  En donde el foco (p, 0), y la ecuación de la directriz es x = -p.



Si p> 0, la parábola se abre hacia la derecha, y si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda. 

PARÁBOLA VERTICAL

POR DEFINICIÓN:

          √                       Entonces la ecuación de la parábola de vértice en el origen y en el eje y es:

  En donde el foco (0, p), y la ecuación de la directriz es y = -p. Si p> 0, la parábola se abre hacia arriba, y si p<0, la parábola se abre hacia abajo.



DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DEL LADO RECTO

  ′  || 1    POR DEF I NI CIÓN:

3

      

     

2 2

REEMPLAZO 2 EN 3

    [2]

Dibujar para cada ejercicio la gráfica correspondiente: EJERCICIO 1 Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola recta

.

  que es paralela a la


FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: ABRIL/2015 – SEPTIEMBRE/2015 RECTA

PENDI ENTE DE LA CUERDA F OCAL

   

    

ECUACI ÓN DE L A CUERDA F OCAL

                

PARÁBOLA

      Dónde:

      4

Por lo tanto

,

,

Tenemos: 1. 2.

   

Reemplazo 2 en 1

  −−                 ;  3  4  3en 2

  −−    −   

4 en 2

  −−−    −   −   −



−− 



Distancia entre

, y  , −

LONGITUD DE L A CUERDA F OCAL:

    −                EJERCICIO 2 Hallar la ecuación de la parábola de

Foco:

, , 

P=3 

Ecuaci ón de la parábola:

  De donde:

    



, y la ecuación de la directriz     



EJERCICIO 3 Hallar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es:

 6 →   4 → í    64  |4|    4    6    ;0 Ecuación directriz:

0   32  0 



EJERCICIO 4 Hallar las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola cuya ecuación es:

3  4              13 ;0 -

→  4   |4| 4    

Ecuación directriz:

0   13  0 310 EJERCICIO 5 Hallar el foco y la longitud del lado recto de la parábola

3  8



3  8     ;0 4          ;

→  4  |4|   4   LA HIPÉRBOLA

Es el lugar geométrica de puntos de tal manera que el valor absoluto de la diferencia entre la distancia de un punto P(x, y) a un foco de la hipérbola y la distancia entre el mismo punto P(x, y) al otro foco de la hipérbola es siempre igual a una cantidad constante 2a (distancia entre los vértices de la hipérbola).

PUNTOS Y LÌNEAS



F1 ^ F2.- Son los focos de la hipérbola. L (Eje focal).- Es la recta que pasa por los focos, y los vértices de la hipérbola. (V1 ^ V2).- Vértices de la hipérbola, son los puntos de corte de la hipérbola y el eje focal, la distancia entre V1 ^ V2 se llama eje transverso, y el punto medio de este eje se llama centro. L’ (Eje normal).-

Es la recta que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal.

AA’ (Eje conjugado).- Es el segmento que tiene por punto medio al punto de

intersección de los ejes. BB’ (Cuerda) .- Es el

segmento que une 2 puntos diferentes cualesquiera de la

hipérbola. EE’ Cuerda Focal.- Es el

segmento que une 2 puntos de la hipérbola, además siempre

debe pasar por cualquiera de los focos. LL’ (Lado Recto).- Es una

cuerda focal perpendicular al eje focal, evidentemente por

tener dos focos, la hipérbola tiene dos lados rectos. DD’ (Diámetro).-

Es el segmento de recta que une 2 puntos de la hipérbola y pasa por

el punto de intersección del eje focal y eje normal.

C (Centro).- Es el punto de intersección del eje normal y focal. a.- Es la distancia de cada uno de los vértices al centro de la hipérbola. b.- Es la distancia del centro a los extremos de la hipérbola. c.- Es la distancia del centro a cada uno de los focos de la hipérbola. [3]



RELACIÓN ENTRE a, b, c

r1= r2 2r=2c

c

        EXCENTRICIDAD DE LA HIPÉRBOLA

   DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA


FACULTAD DE INGENIERÍA EN SISTEMAS, ELECTRÓNICA E INDUSTRIAL PERÍODO ACADÉMICO: ABRIL/2015 – SEPTIEMBRE/2015 

Hipérbola Horizontal POR DEFINICIÓN:

||  |′|    xc   xc  2a        xc y  2a xc y  x 2cxc y  4a 4a xc y  x 2cxc y 4cx4a  4a x c y 4cx4a 4a xc  y 16cx 32acx16a 16ax 2cxc 16ay 16cx 32acx16a 16ax 32acx16ac 16ay cx a  ax ac ay xc a  ac a  ay RECORDEMOS       xb  ab ay ÷ab x   y  1 a b  

Hipèrbola Vertical



|||′|     x y c x  y c2a        x  yc    x  y c 2a

x y 2cyc  x y 2cyc 4a x yc  4a 4a 4cy4a x yc 4a 4cy 4a x  yc 16a 32acy16cy 16ax16ay 2cyc 16a 32acy16cy 16ax 16ay 32acy16ac 16a 16cy 16ax 16ay 16ac ÷16 a cy  ax  ay ac cy ay  ac ayax yc a  ac a  ax      RECORDEMOS yb  ab ax  yb  ax  ab  ÷ ab     1 [4]  



EJERCICIOS En cada uno de los ejercicios del 1-3 para la ecuación de la hipérbola, hállese las coordenadas de los vértices y focos, las longitudes de los ejes transversos y conjugados, la excentricidad y la longitud del lado recto.

EJERCICIO 1

        1  

a  9

c  a  c  9  4

;0 → 3;0 ;0 → 3;0 ;0 → (√ 13;0)



  4   √ 13 Eje transverso:

  |2|   |23|   6      √ 

c  13

;0 → (√ 13;0) Eje conjugado:

  |2|   |22|   4            

EJERCICIO 2

       1   a  4

;  → 0;2 ;  → 0; 2 ; → (0; √ 13)



  9   √ 13 Eje transverso:

  ||   |22|   4      √ 

;  → (0; √ 13) Eje conjugado:

  ||   |23|   6         29 2   9

EJERCICIO 3 Los vértices de una hipérbola son:

2; 0  2;0 y sus focos los puntos 3;0  3;0. Hallar la ecuación y su excentricidad.

; → 3;0 →   3 ; → 3;0 a; 0 → 2;0 →   2     b  9  4 b  5

Ecuación:

           1  



      EJERCICIO 4 Los extremos del eje conjugado de una hipérbola son los puntos (0; 5) y (0; -3) y la longitud de cada lado recto es 6. Hallar la ecuación de la hipérbola y la excentricidad.

= ;3 →   3 = ;3   6   6    a   

c  a   c  9  9 c  18   √ 18

Ecuación:

           1  

     √ 



  3√ 32   √      EJERCICIO 5 La base de un triángulo es de longitud fija siendo sus puntos extremos (3; 0) y (-3; 0). Hallar e identificar la ecuación del lugar geométrico del vértice opuesto si el producto de las pendientes de los lados variables es siempre igual a 4. Trazar el lugar geométrico.

  −−

  −−

 =4    4 + −

  − +   +

  − − −   −

  4 −   4 

  −

4  

Pendiente L1

36

360

Pendiente L2

4   36     1     3 6 c  a  c 936

;0 ;0 3;0 3;0 ;0 ;0 (√ 45;0) (√ 45;0)



c  45 c  √ 45

RESULTADOS Y DISCUSIÓN Los resultados obtenidos luego de realizar este proyecto, han sido de gran utilidad para tener un mejor estudio de las mismas, a la vez siendo de gran aporte para incrementar nuestros conocimientos sobre la elipse y parábola. Se pudo desarrollar con éxito la investigación de la manera más adecuada y manipulable ya que esto contribuyo en el desarrollo de los ejercicios propuestos, resolución de ecuaciones, además de determinar los puntos y líneas básicas de cada uno de los lugares geométricos.

CONCLUSIONES Se definió de la mejor manera los conceptos y las características propias sobre la parábola e hipérbola. Se analizó los puntos y líneas básicas de los lugares geométricos de la manera más entendible, mediante las gráficas para mayor entendimiento y resolución de los ejercicios. Las ecuaciones fueron demostradas con éxito de la manera más clara posible, además de la demostración se comprobó su simplicidad al momento de encontrarlas. Los ejercicios propuestos fueron desarrollados de forma clara y precisa para incrementar nuestros conocimientos.



BIBLIOGRAFÍA [1] L. Hirsch, Algebra y trigonometría con geometría analítica, Mexico: Copyright, 1996. [2] R. Larson, Precalculo, Mexico, D.F.: Copyright, 2012. [3] E. L. O. C. H. G. A. M. C. H. Elena de Oteyza de Oteyza, Geometria analitica y Trigonometria, Mexico : Copyright. , 2001. [4] M. Sullivan, Trigonometría y geometría analítica, Mexico: Pearson Educación, 2003.

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