UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENERIA
INDUCTANCIA II
OBJETIVOS
Verificar el efecto del voltaje sobre el resistor en un circuito RL en serie Comprobación de la relación de la constante de tiempo con la inductancia y con la resistencia Determinación de la constante de tiempo experimental
TEORIA El inductor es un elemento de circuito que almacena energía en el campo magnético que rodea a sus alambres portadores de corriente, del mismo modo que el capacitor almacena energía en el campo eléctrico entre sus placas cargadas. Con anterioridad, hemos usado el capacitor ideal de placas paralelas como una representación conveniente de cualquier capacitor; en este capítulo usaremos similarmente al solenoide ideal para representar a un inductor. Anteriormente se demostró que el capacitor se caracteriza por el valor de su capacitancia, la cual podemos calcular a partir de la geometría de su construcción y que entonces, describe el comportamiento del capacitor en un circuito eléctrico. En esta práctica demostraremos que el inductor se caracteriza por su inductancia, la cual depende de la geometría de su construcción y describe su comportamiento en un circuito. Cuando un circuito contiene un inductor y un capacitor, la energía almacenada en el circuito puede oscilar de uno al otro entre ellos, al igual que la energía puede oscilar en un oscilador mecánico entre cinética y potencia. Tales circuitos que se comportan como osciladores electromagnéticos, se analizan al posteriormente.
Un poco de análisis de la inductancia: La capacitancia se definió con esta ecuación que se basa en la ley de coulomb, indica que la diferencia de potencial Vc, en un capacitor es proporcional a la carga q almacenada en el capacitor; la constante de proporcionalidad C-1 , da la
capacitancia. el signo de la diferencia de potencial es tal que la placa con la carga positiva tiene el potencial más elevado. La inductancia L de un elemento de circuito se define mediante una relación similar; en donde todas las cantidades se consideran solo como magnitudes. Esta ecuación se basa en la ley de faraday, y afirma que una corriente variable en el tiempo por el inductor genera una Fem a través del inductor, y la Fem es proporcional a la velocidad de variación de la corriente. La constante de proporcionalidad L de la inductancia. Al igual que la capacitancia C , se considera que la inductancia L es siempre una cantidad positiva. La ecuación muestra que la unidad de la inductancia en le SI es. El . A esta combinación de unidades se le ha dado el nombre espacial de Henry abreviado (H), de tal modo que;
, esta unidades e llama si en honor a Joseph Henry (1797-1878), físico estadounidense contemporáneo a Faraday. el inductor tiene una forma similar al solenoide. Auto inductancia Cundiere el circuito aislado formado por un interruptor, una resistencia y una fuente de Fem como se muestra en la figura. Cuando se cierra el circuito, la corriente no pasa inmediatamente de cero a su valor máximo. La ley de la inducción electromagnética ley de faraday describe el comportamiento real. A medida que la corriente aumenta con el tiempo, el flujo magnético debido la corriente atraviesa el bucle del propio circuito también aumenta con el tiempo. Este flujo en aumento provocado por el circuito induce una Fem en el circuito que se opone al cambio en el flujo neto a través que atraviesa el bucle del circuito. Por la ley de Lenz, el campo eléctrico inducido en los alambres debe ser, por tanto contrario a la dirección de la corriente. a este efecto se la llama autoinducción, porque el flujo variable que atraviesa el circuito viene del propio circuito. Ala Fem generada en este caso se denomina Fem autinducida. La Fem autinducida siempre es proporcional al ritmo de cambio de la corriente. En una bobina de N vueltas muy próximas entre si y de geometría fija (bobina toridal o solenoide ideal) se expresa por;
MARCO CONCEPTUAL. Sea el circuito de la Figura 1 que ha permanecido como se muestra por mucho tiempo. Si en t=0 el conmutador S se pasa de la posición 1 a la 2, se cumplirá que
=
(1)
Y como
= = =
(2)
=
(3)
=
(4)
Entonces,
O bien,
Ecuación diferencial cuya solución es
= =1 −
(5)
Donde
=
(6)
Luego, el voltaje sobre el resistor sube desde cero hasta V y , conocida como la constante de tiempo, puede interpretarse como el tiempo en que ese voltaje llega a 0.632V. Si el voltaje sobre el resistor es V y en t=0` el conmutador se regresa a la posición 1, se cumplirá que
0 = = = 0
Ecuación diferencial cuya solución es
(7) (8)
= = −
(9)
Luego, el voltaje sobre el resistor baja desde V hasta cero. Para el análisis práctico de un circuito como el de la Figura 1, la fuente de tensión continua V y el conmutador S pueden reemplazarse por un generador de funciones que entregue una onda cuadrada oscilando entre 0` y V`, de esa manera, el voltaje sobre el resistor R se hace periódico y puede ser estudiado con un osciloscopio. Sin embargo, la resistencia de salida del generador de funciones puede ser considerable. Por otra parte, los inductores, que se construyen generalmente de alambre arr ollado, presentan una resistencia óhmica no siempre despreciable. En la Figura 2 se tiene un circuito que emplea un generador de funciones, con su resistencia de salida, mostrada explícitamente. Del mismo modo se muestra la resistencia óhmica del inductor, Si las resistencias presentes se reúnen en una resistencia total, , el circuito es similar al de la Figura 1; por tanto, el análisis realizado para aquel caso es válido para esté, siempre que se sustituya por .
.
, =
En consecuencia las ecuaciones (5) y (9) dan el voltaje sobre
= = + +
Conocido el voltaje sobre
, pero (10)
== = ++ , el voltaje sobre R será
(11)
Luego, para la subida se tendrá
= = ++ 1 −
(12)
Y para la bajada,
= = ++ −
Estando , en ambos casos, dada la ecuación (10).
(13)
DEDUCCION DE FORMULAS PARA EL TRATAMIENTO DE DATOS Demostrando la ecuación (5) Partiendo de la ecuación (4)
= / /
(4)
Sabemos que es una ecuación lineal de la forma
= Cuya solución de la ecuación diferencial viene dada de la fórmula
= −∫ (∫ ∗) Comparando con la ecuación sabemos que = / ; = / Por lo que procedemos a reemplazar =−∫/ ∫/ ∗ / integrando
= −/ / =−/ // / / / / − − / / = = − / = Por lo tanto Remplazando condiciones iniciales cuanto =0 entonces =0 0= De donde = − / / = ∗
Remplazando en la ecuación
=−/ =(1 −/ ) LQQD
(5)
DEMOSTRACION PARA EL PROCESO DE DESCARGA Demostrando la ecuación (9) Partiendo de la ecuación (4)
= 0
(4)
Sabemos que es una ecuación lineal de la forma
= Cuya solución de la ecuación diferencial viene dada de la fórmula
= −∫ (∫ ∗) Comparando con la ecuación sabemos que = / ; =0 Por lo que procedemos a reemplazar ∫/ −∫ / = ∗0 Integrando
/ − −∫ −∫ / / = 0 = =
Por lo tanto
= /
Remplazando condiciones iniciales cuanto
De donde
= entonces =0 = =
Remplazando en la ecuación
= −/ Factorizando nos queda finalmente
= −/
LQQD (9)
Relación entre e C Aplicando regresión lineal de la forma:
Donde:
= = = ; = ; = ; =0 =
Por lo tanto
(11)
Relación entre e R Aplicando regresión lineal de la forma:
= = 1/ = ; = ; = 1/ ; = 0 = Por lo tanto (12) Donde:
Para las diferencias porcentuales
%= − ∗100%
(13)
%= − ∗100%
(14)
%= − ∗100%
(15)
%= − ∗100%
(16)
EQUIPO
OSCILOSCOPIO - MULTIMETRO - INDUCTOR RESISTOR CABLES DE CONEXIÓN - GENERADOR DE FUNCION
CIRCUITO DEL EXPERIMENTO
PROCEDIMIENTO 1. Obtener del generador de funciones una onda cuadrada que oscile entre 0.00 [V] y + 6.00 [V] a una frecuencia de 400 [Hz]. 2. Montar el arreglo de la Figura 3. 3. En el osciloscopio se debe tener la señal del canal 1 c omo señal de disparo, nivel de disparo establecido en 50% y pendiente de disparo positiva. Habilitar el canal 2 y deshabilitar el canal 1. Comprobar que el nivel inferior de voltaje sobre el resistor sea 0.00 [V]. En caso contrario, corregir esto ajustando sólo en nivel de DC de la señal del generador de funciones.
En función del tiempo
4. Llenar la Tabla 1 de la Hoja de Datos midiendo con el osciloscopio el vo ltaje sobre el resistor para diferentes instantes de tiempo en el tramo de subida, tomando como tiempo cero el instante en que comienza este tramo, de manera similar a como se hizo en el tema de CAPACITANCIA 5. Cambiar la pendiente de disparo a negativa para observar e l tramo de bajada. Llenar la Tabla 2 de forma similar a la Tabla 1.
Relación entre y
6. La constante de tiempo , se medirá en el voltaje sobre el resistor de manera similar a como se hizo en el tema de CAPACITANCIA; sin embargo, en este caso, el voltaje final del tramo de subida depende de los componentes del circuito y para medir ese voltaje inicial de la bajada que es igual al valor momentáneamente la pendiente de disparo y medir el voltaje inicial de la bajada que es i gual al voltaje final de la subida, multiplicar ese voltaje por 0.632 y proceder como en el tema de CAPACITANCIA. Llenar la Tabla 3 manteniendo R constante y cambiando el inductor por otros de menor inductancia hasta un valor nominal de 27 [mH]. Para cada inductor es necesario medir el v oltaje final de la subida.
Relación entre y
7. Reponer el inductor original y llenar la Tabla 4 manteniendo L constante y cambiando el resistor por otros de menor resistencia, hasta un valor n ominal de 2.2 [KΩ]. Para cada resistor es necesario medir el voltaje final de la subida.
CALCULOS Proceso de carga Primero calculamos el
De la ecuación (10)
= = Remplazando datos
3[] 68∗10 = 4702850[Ω] =124.1[µ] De la grafica podemos obtener
a
[] [] 0.00 1.28 2.84 4.24 5.52 5.80
7 5,8
5,52
6 5
4,24
4 2,84
] V3 [ e j a t 2 l o v
1,28
1 0 0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
TIEMPO [µs]
Para poder obtener para el proceso de carga primero encontrando el voltaje el cual es igual 0.632*V por lo tanto el voltaje es 0632*6.04[V] entonces encontramos en la gráfica 3.8[V]
=126[µ]
450
Realizando diferencia porcentual de la ecuación (13)
%= − ∗100% %= |124.1241−126| ∗100%
%=1.61%
Proceso de descarga Primero calculamos el
De la ecuación (10)
= =
Remplazando datos
3[] 68∗10 = 4702850[Ω]
=124.1[µ] De la grafica podemos obtener
7
[] [] 0.00 1.28 2.84 4.24 5.52 5.80
6 5 ] V [ 4 e j a t l o 3 v
2 1 0 0
50
100
150
200
250
TIEMPO [µs]
300
350
400
450
Para poder obtener para el proceso de carga primero encontrando el voltaje el cual es igual 0.632*V por lo tanto el voltaje es 0.368*6.04[V] entonces encontramos en la gráfica 2.2[V]
=124[µ] Realizando diferencia porcentual de la ecuación (14)
%= − ∗100% %= |124.124.11241 | ∗100%
%=0.1%
Relación entre e L
=470[Ω]
Tabla 3
[]
[] 120 100 80 72 60 50
Aplicando regresión lineal de la forma de la ecuación (11)
Donde:
= = = ; = ; = ; =0
Ya realizada la regresión lineal se tienen los siguientes resultados:
=4.86∗10−
=556
Por lo tanto se puede concluir que:
=556 [Ω]
=0.997
De la ecuación (10)
Despejando
= y remplazando datos
= = 55650470[Ω] =26[Ω] = = =.[Ω]
Tabla para hallar el promedio de
de la ecuación ()
Realizando diferencia porcentual de la ecuación (15)
%= − ∗100% | ∗100% %= |2624
%=7.7%
[Ω]
Relación entre e R Tabla 4
[Ω]
[]
0.47 0.68 0.91 1.2 1.8 2.2
Contruyendo la tabla
120 84 61 46 30 24
vs
[Ω]
[] 50 41 28 21 16 11
Aplicando regresión lineal de la forma de la ecuación (13)
Donde:
= = 1/ = ; = ; =1/ ; =0
Ya realizada la regresión lineal se tienen los siguientes resultados:
=66.36∗10−
=2.65∗10−
Por lo tanto se puede concluir que:
=66.4[] Calculando
Sabemos de la Hoja de Datos
=68.0[]
=0.999
Realizando diferencia porcentual de la ecuación (16)
%= − ∗100% %= |68.68.066.0 4| ∗100%
%=5.3%
OBSERVACIONES Se debe tomar en cuenta que para la toma de datos de la constante de tiempo se tomó un factor de escala de 25[µs] así también como para el resto de las mediciones en el ya realizado laboratorio.
CONCLUSIONES Se puede concluir en este laboratorio que los objetivos planteados al iniciar el mismo se cumplieron satisfactoriamente lo que quiere decir que Se logro verificar los procesos tanto de carga como de descarga de un inductor en un circuito RL en serie, también se comprobó la relación entre la constante de tiempo con la resistencia y la inductancia También se pudo determinar tanto teóricamente como experimentalmente la constante de tiempo tanto en el proceso de carga como asi también en el de descarga los cuales se los relacionaron mediante una diferencia porcentual la cual nos da una diferencia2 menor al 10% Una clara prueba de que realizo un buen laboratorio es que todas las diferencias porcentuales que se realizaron nos lanzaron un valor dentro de un rango aceptable
=
1. ¿Cómo podría determinarse directamente la relación experimental ? Se podría determinar directamente por medio de la ecuación fundame ntal del inductor el cual relaciona la tensión con el tiempo 2. ¿Cómo cambiaría la constate de tiempo si se disminuyera la frecuencia de la onda cuadrada? ¿Cómo lo haría si se aumentará el valor de V? Explicar. Si se aumenta el voltaje la constante no cambiaria y tampoco en el caso de que se aumente la frecuencia ya que solo depende de la resistencia y el inductor 3. En determinado instante, la corriente que atraviesa un inductor es cero, ¿puede existir voltaje sobre el inductor en ese instante? Explicar. Si ya que el inductor almacena energía en forma de campo magnetico