CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE LA COSTA, CUC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA
Determinación de la longitud de onda de un láser de He-Ne con el interferómetro de Michelson Cesar Vasquez Perez; David Menco Profesor Jaime Márquez. Grupo AD1 – Mesa 5. 12-11-2010 Laboratorio de Física de Campos, Corporación Universitaria de la Costa, Barranquilla
multimeter, working as an ammeter to the power of resistance. It is characterized by the current may vary over over time time.. When When the the tim time is zero zero,, the the capaci capacitor tor is discha discharge rged, d, when when it starts starts to run time, the capacitor begins to charge as there is a current in the circuit. Due to the space between the plates of the capacitor, no curren currentt circui circuit, t, which which is why using using a resistor.
Resumen El método para la fabricación de circuitos RC; resistencia – capacitor tores, es conectando una fuente DC (en este caso de 10 V), un resistor (100kΩ) y un capacitor (1000μf), con una serie de caimanes y un conector banana para poder conectar los apara aparatos tos,, todo todo esto esto ayudá ayudándo ndose se de un multimetro multimetro,, trabajand trabajando o como amperim amperimetro etro para la corriente de la resistencia. Se caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero, el condensador está descargado, descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio entre las placas del condensador, en el circuito no circula corrie corriente nte,, es por eso que que se utiliz utiliza a una una resistencia.
The analysis of the behavior of RLC circuits will be our primary objective for this report. The assembly assembly is perfor performe med d to study study the circuit containing a resistor a capacitor and an inductor, also determine the impedance of the circuit. The impedance of a circuit is controlled with a switch as we all know. Key words Circuits, resistors, capacitors, capacitor, inductor, resonant impedance
El análisis del comportamiento de circuitos RLC será nuestro objetivo primordial para el presente informe. El mont montaj aje e se real realiz iza a para para estu estudi diar ar el circ circu uito ito que con contie tiene un resi resist stor or un capacitor y un inductor, además determinar la impedancia del circuito. La impeda impedanci ncia a de un circui circuito to se maneja maneja con un interruptor como todos lo conocemos.
1. Introducción Los circuitos RC son una clase de circuitos part partic icul ular ares es los los cual cuales es se encu encuen entra tran n constituidos de un resistor y un capacitor, en este tipo de circuitos podemos notar en cuanto tipo queda cargado el capacitor esa cant cantid idad ad de tiem tiempo po es cono conoci cida da como como constante de tiempo y se representa con la letra griega Tao ( T ) cuya unidad es el segundo (seg).
Palabras claves Circuitos, resistencia, capacitores, capacitor, inductor, resonancia, Impedancia.
En el circuito RC se determinara los valores adquiridos en la experiencia en laboratorio: Calcular T = RC.
Abstract The The meth method od for for the the manu manufa factu cture re of RC circuits, resistor - capacitor, is connecting a DC source (in this case 10 V), a resistor (100kΩ) (100kΩ) and a capacito capacitorr (1000μf), (1000μf), with a number of alligators and a banana plug to conn connec ectt the the devi device ces, s, all all the the aid aid of a
Graficar I Vs t. Aplicar error porcentual a la parte teorica ah cinco tiempos de terminado .
1
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE LA COSTA, CUC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA En los circuitos RLC se acoplan resistencias, capacitores e inductores. Existe también un ángulo de desfasaje entre las tensiones y corrientes (y entre las potencias), que incluso puede llegar a hacerse cero. En caso de que las reactancias capacitivas e inductivas sean de distinto valor para determinada frecuencia, tendremos desfasajes. Dependiendo de cual de las reactancias sea mayor podremos afirmar si se trata de un circuito con características capacitivas o inductivas y por lo tanto si la tensión adelanta a la corriente (y con qué ángulo) o si la corriente adelanta a la tensión El objetivo de este trabajo es determinar también en el circuito RLC X L, XC, Z (teóricos):
3. Carga de un capacitor Si cargamos al capacitor de la figura siguiente al poner el interruptor Sen la posición a. ¡ Que corriente se crea en el circuito cerrado resultante?, aplicando el principio de conservación de energía tenemos:
XL = ωL = 2πfL XC =
Z=
1 2πfC En el tiempo dt una carga dq (=i dt) pasa a través de cualquier sección transversal del circuito. El trabajo ( = Є dq) efectuado por la fem debe ser igual a la energнa interna ( i2 Rdt) producida en el resistor durante el tiempo dt, mas el incremento dU en la cantidad de energía U (=q2/2C) que esta almacenada en el capacitor. La conservación de la energía da: Є dq = i2 Rdt + q2/2C Є dq = i2 Rdt + q/c dq Al dividir entre dt se tiene: Є dq / dt = i2 Rdt + q/c dq/dt Puesto que q es la carga en la placa superior, la i positiva significa dq/dt positiva. Con i = dq/dt, esta ecuación se convierte en : Є = i Rdt + q/c La ecuación se deduce tambien del teorema del circuito cerrado, comodebe ser puesto que el teorema del circuito cerrado se obtuvo a partir del principio de conservación de energía . Comenzando desde el punto xy rodeando al circuito en el sentido de las manecillas del reloj, experimenta un aumento en potencial, al pasar por la fuentge fem y una disminución al pasar por el resistor y el capacitor , o sea : Є -i R - q/c = 0 La cual es idéntica a la ecuación Є = i Rdt + q/c sustituimos primero por i por dq/dt, lo cual da:
R² + (XL – XC)²
Experimentales XC =
VC IC
XL =
VL IL
2. Fundamentos Teóricos Circuitos RC La figura ilustra un ejemplo de un circuito resistor-capacitor, o circuito RC. En la parte a del dibujo un interruptor completa el circuito en el punto A, de modo que la batería puede cargar las placas del capacitor. Cuando el interruptor esta cerrado, el capacitor no se carga de inmediato . En vez de lo anterior , la carga llega gradualmente a su valor de equilibrio de q= CVo, en donde Vo es la tensión de la batería.
2
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE LA COSTA, CUC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA Є = R dq / dt + q/c Podemos reescribir esta ecuación así: dq / q - Є C = - dt / RC Si se integra este resultado para el caso en que q = 0 en t= 0, obtenemos: (despejando q), q= C Є ( 1 – e-t/RC) Se puede comprobar que esta función q (t) es realmente una solución de la ecuación Є = R dq / dt + q/c , sustituyendol en dicha ecuaciуn y viendo si reobtiene una identidad. Al derivar la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) con respecto al tiempo da: i = dq = Є e-t/RC dt R En las ecuaciones q= C Є ( 1 – e-t/RC) y i = dq = Є e-t/RC la cantidad RC tiene dt R las dimensiones de tiempo porque el exponente debe ser adimensional y se llama constantecapacitiva de tiempo τ C del circuito τ C = RC Es el tiempio en que ha aumentado la carga en el capacitor en un factor 1- e-1 (~63%) de su valor final C Є , Para demostrar esto ponemos t = τ C = RC en la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) para obtener:
Esta figura en la parte a muestra que si un circuito se incluye una resistencia junto con un capacitor que esta siendo cargado, el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite. Tambien en la parte a como se indica por la diferencia de potencial Vc, la carga aumente con el tiempo durante el proceso de carga y Vc tienede la valor de la fem Є. El tiempo se mide en el momento en que el interruptores conecta en a para t= 0. En la parte b de la figura La diferencia de potencial en el resistor disminuye con el tiempo, tendiendo a 0 en tiempos posteriores poruqe la corriente cae a cero una vez que el capacitor esta totalmente cargado. Las curvas esta dibujadas para el caso Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F. Los triangulos negros representan las constantes de tiempos sucesivas. 4. Constante de tiempo Después de un tiempo igual a RC, la corriente en el circuito R- C disminuye a 1/e ( cerca de 0.38) de su valor inicial. En este momento, la carga del capacitor ha alcanzado (1 – 1/e) = 0.632 de su valor final Qf= C Є . El producto RC es, pues una medida de que tan rápido se carga el capacitor. RC se llama constante de tiempo o tiempo de relajación del circuito y se representa con τ: τ = RC ( constante de tiempo para un circuito R – C). Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo. Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo. Ejemplos. Carga de un capacitor en un circuito RC
q= C Є ( 1 – e-1) = 0.63 C Є Grafica para el circuito
Corriente i y carga del capacitor q. La corriente inicial es Io y la carga inicial en el capacitor es cero. La corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf. Grafica para los valores Є= 10v, R= 2000 Ώ y C= 1 μ F
3
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE LA COSTA, CUC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA 1) Un capacitor descargado y una resistencia se conectan en serie con una bateria como se muestra en la figura siguiente. Si Є= 12v, C= 5 μ F y R= 8 x 10 5 Ώ, dterminese la constante de tiempo del circuito, la maxima carga en el capacitor, la maxima corriente en el circuito y la carga y la corriente cono funcion del tiempo.
2) Un resistor R (=6.2M Ώ) y un capacitor C (=2.4 μ F) estan conectados en serie, y a traves de esta combinaciσn se conecta una bateria de 12 V de resistencia interna insignificacnte . A) ΏCuál es la constante capacitiva de tiempo de estecircuito? B) ¿Qué tiempo después de haber conectado la bateria, la diferencia de potencial en el capacitor es igual a 5.6 V? Solución: a)De la ecuación τ C = RC tenemos: τ C = RC = (6.2M Ώ) (2.4 x10-6 F) = 15 s b) La diferencia de potencial en el capacitor es de Vc = q/c, lo cual, de acuerdo con la ecuación q= C Є ( 1 – e-t/RC) puede escribirse Vc = q/c = Є ( 1 – e-t/RC) Al despejar t obtenemos (usando τ C = RC) t= - τ C ( 1 – Vc ) Є t = - (15s) ln (1 – 5.6 V ) 9.4 s 12v 5. Descarga de un capacitor Considerese el circuito de la siguiente figura que consta de un capacitor con una carga inicial Q, una resistencia y un interruptor. Cuando el interruptor está abierto (parte a), existe una diferencia de potencial Q / C a través del capacitor y una diferencia de potencial cero a traves de la resistencia ya que I = 0. Si el interruptor se cierra al tiempo t = 0, el capacitor comienza a descargarse a traves de la reisistencia. En algún tiempo durante ladescarga, la corriente en el circuito es I y la carga del capacitor es q (parte b) . De la segunda Ley de Kirchhoff, se ve que la caída de potencial a traves de la resistencia, IR, debe ser igual a la diferencia de potencial a través del capacitor, q / C: IR = q c
Solucion: La constante de tiempo del circuito es τ C = RC = (8 x 10 5 Ώ) (5 x 10-6 F) = 4s. La Maxima carga en el cpacitor es Q= C Є = (5 x 10-6 F)(12V)= 60 μC. La maxima corriente en el circuito es I0 = ЄR = (12V) / (8x10 5 Ώ) = 15 μ A. Utilizando estos valores y las ecuaciones q= C Є ( 1 – et/RC) y i = dq = Є e-t/RC dt R se encuentra que: q(t) = 60 ( 1 – e-t/4) μC I (t) 15 e-t/4 μ A Las graficas de estas funciones son las siguientes:
4
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE LA COSTA, CUC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA Corriente i y carga del capacitor q como funciones del tiempo para el circuito. La corriente Io y la carga inicial Qo: tanto i como q se acercan asintóticamente a cero. Ejemplos. Descarga de un capacitor en un circuito RC 1) Considerese el capacitor C descargandose a traves de la resistencia R como muestra la figura. a) Después de cuántas constantes de tiempo la carga en el capacitor será la cuarta parte de su valor inicial? Sin embargo, la corriente en el circuito debe ser igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el capacitor. Es decir, I = - dq/ dt, así la ecuación IR = q/c viene a dar : - R dq = q dt c dq = - 1 dt q RC Integrando esta expresión y utilizando el hecho de que q= Q para t = 0 se obtiene: Solución: La carga en el capacitor varía con el tiempo de acuerdo con la ecuación q(t) = Qe-t/RC donde q es la carga inicial en el capacitor. Para determinar el tiempo que tomaría la carga en caer hasta una cuarta parte de su valor inicial, se sustituye q 8t) = Q / 4 en esta expresión y se despeja para t: ¼ Q = Qe-t/RC o ¼ = e-t/RC Tomando logaritmos de ambos lados, se encuentra que : -ln4 = -t / RC o t= RCln4 = 1.39 RC b) La energía almacenada en el capacitor decrece con el tiempo cuando está descargando. ¿ Después de cuántas constantes de tiempo la energía almacenada se reduciría la cuarta parte de su valor inicial? Solución: Utilizando las ecuaciones se puede expresar la energía almacenada en el capacitor en cualquier tiempo : U = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC 2C 2C donde Uo es la energía inicial almacenada en el capacitor como en el inciso a), ahora considerese U = Uo /4 y despejes t: 1/4Uo = Uo e-2t/RC ¼ = e-2t/RC Nuevamente, tomando logaritmos de ambos lados y despejando t se obtiene:
Diferenciando la última ecuación con respecto al tiempo se tiene la corriente como función del tiempo:
donde la corriente inicial Io = Q/RC. Por lo tanto, se ve que la carga del capacitor y la corriente decaen exponencialmente a una rapidez caracterizada porla constante de tiempo τ = RC. Gráfica para el circuito
5
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE LA COSTA, CUC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA t = ½ RC ln4 = 0. 693 RC 2) Un capacitor C se descarga a través de un resistor R. a) ¿ Después de cuantas constantes de tiempo disminuye su carga a la mitad de su valor inicial? b) ¿ Después de cuántas constantes de tiempo, la energía almacenada disminuye su valor inicial? Solución: a) La carga en el capacitor varía de acuerdo con la ecuación q(t) = Qe-t/RC 1/2Q = Qe-t/RC -ln2 = -2/ τ C t = τ C ln2 / 2 = 0.35 La carga cae a la mitad de su valor inicial después de 0.69 constantes de tiempo. b) La energía del capacitor es U = q2 = Q2 e-2t/RC = Uo e-2t/RC 2C 2C 1/2Uo = Uo e-2t/RC -ln 2 = -2t/ τ C t = τ C ln2/2 = 0.35 τ C La energía almacenada cae a la mitad de su valor inicial después de transcurridas 0.35 constantes de tiempo. Esto sigue siendo así dependientemente de cuál haya sido la energía almacenada inicialmente. El tiempo ( 0.69 τ C) necesario para que la carga caiga a la mitad de su valor inicial es mayor que el tiempo (0.35 τ C) necesario para que la energía siga a la mitad de su valor inicial.
Resonante puro es un ideal que realmente sólo existe en teoría. Existen muchas aplicaciones para este circuito. Se utilizan en muchos tipos diferentes de circuito oscilador. Otra aplicación importante es para la optimización, como en los receptores de radio o televisión establece, donde se utilizan para seleccionar un estrecho rango de frecuencias de las ondas de radio de ambientales. En esta función el circuito es conocido como un circuito atento. Un circuito RLC puede utilizarse como un filtro paso banda o una banda-parada de filtro. La aplicación de ajuste, por ejemplo, es un ejemplo de filtrado de pase de banda. El filtro RLC es descrito como un circuito de segundo orden, lo que significa que cualquier tensión o corriente en el circuito puede describirse mediante una ecuación diferencial de segundo orden en análisis de circuito. Los elementos del tres circuito pueden combinarse en un número de diferentes topologías. Los tres elementos en serie o los tres elementos en paralelo son las más simples en el concepto y la más sencilla analizar. Sin embargo, existen otras disposiciones, algunas de ellas con importancia práctica en circuitos reales. Una cuestión que a menudo se ha encontrado es la necesidad de tener en cuenta inductor resistencia. Normalmente se construyen inductores de bobinas de cable, la resistencia de los cuales no es generalmente deseable, pero a menudo tiene un efecto significativo en el circuito.
Circuito RLC
Un circuito RLC (o circuito LCR) es un circuito eléctrico que consta de una resistencia, un inductor y un condensador , conectado en serie o en paralelo. La parte RLC del nombre es debido a esas cartas siendo los símbolos eléctricos habituales para la resistencia, inductancia y capacitancia respectivamente. Las formas de circuito que un oscilador armónico para corriente y voluntad resuenan en la misma manera que un circuito Resonante serán. La diferencia que hace de la presencia de la resistencia es que cualquier oscilación inducida en el circuito morirá lejos en el tiempo si no mantienen va por una fuente. Este efecto de la resistencia se denomina amortiguación. Cierta resistencia es inevitable en los circuitos reales, incluso si no es específicamente incluida como un componente de una resistencia. Un circuito
Magnetismo La Tierra se comporta Como un enorme imán. El físico y filósofo natural inglés William Gilbert fue el primero que señaló esta similitud en 1600, aunque los efectos del magnetismo terrestre se habían utilizado mucho antes en las brújulas primitivas. El magnetismo de la Tierra es el resultado de una dinámica, ya que su núcleo de hierro de la Tierra no es sólido. Por otra parte, en la superficie terrestre y en la atmósfera se generan diversas
6
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE LA COSTA, CUC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA Corrientes eléctricas producidas por diversas causas, además de un intercambio constante de electricidad entre el aire y la Tierra.
El campo magnético terrestre Imagen1
La Tierra posee un poderoso campo magnético, como si el planeta tuviera un enorme imán en su interior cuyo polo sur estuviera cerca del polo norte geográfico y viceversa. Aunque los polos magnéticos terrestres reciben el nombre de polo norte magnético (próximo al polo norte geográfico) y polo sur magnético (próximo al polo sur geográfico), su magnetismo real es el opuesto al que indican sus nombres. Las posiciones de los polos magnéticos no son constantes y muestran notables cambios de año en año. Cada 960 años, las variaciones en el campo magnético de la Tierra incluyen el cambio en la dirección del campo provocado por el desplazamiento de los polos. El campo magnético de la Tierra tiene tendencia a trasladarse hacia el Oeste a razón de 19 a 24 km por año.
imagen2
4. Cálculos y análisis De Resultados Tabla de circuito RC Parte practica Relación t – I
t 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480
3. Desarrollo experimental Se hace el montaje experimental de un circuito rc utilizamos dos multimetros, una fuente de poder, una resistencia, y un capacitor. Se arma el circuito. El lado positivo de la fuente con la ayuda de un caimán a una de las patas del resistor y la otra pata del resistor al lado positivo del capacitor y el lado negativo del capacitor al lado negativo de la fuente. Después se conecta el amperimetro el lado negativo con el negativo de la resistencia y el positivo con el positivo de la fuente.
7
I(mA) 0.097 0.080 0.066 0.054 0.045 0.037 0.031 0.026 0.021 0.018 0.015 0.012 0.010 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.002 0.002 0.001 0.001 0.001
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE LA COSTA, CUC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA
500
0.001
Gráfica 1. Relación I - t
Cálculos teóricos T = RC T = (100kΩ) * (1000μf) T = 100seg
5. Conclusiones Los capacitores tienen muchas aplicaciones que utilizan su capacidad de almacenar carga y energía El acto de cargar o descargar un capacitor, se puede encontrar una situación en que las corrientes, voltajes y potencias si cambian con el tiempo. Cuando τ es pequeρa, el capacitor se carga rαpidamente; cuando es mas grande, la carga lleva mas tiempo. Si la resistencia es pequeña,es mas facil que fluya corriente y el capacitor se carga en menor tiempo. Cuando se carga un capacitor ,la corriente se aproxima asintóticamente a cero y la carga del capacitor tiende asintóticamente a su valor final Qf y el aumento de carga en el capacitor hacia su valor límite se retrasa durante su tiempo caracterizado por la constante de tiempo RC. Si un resistor presente (RC=0), la carga llegaría inmediatamente hacia su valor limite.
En la experiencia llevada a cabo, pudimos analizar la respuesta en frecuencia de dos circuitos RLC (serie) forzados con una señal de tipo senoidal. De los resultados obtenidos podemos concluir que este caso
Errores porcentuales
8
CORPORACIÓN UNIVERSITARIA DE LA COSTA, CUC DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS FACULTAD DE INGENIERÍA se ajusta a los modelos teóricos propuestos. En el caso del circuito serie, se evidenció una respuesta resonante en torno al valor de frecuencia propia del circuito, observándose una correlación de los datos experimentales con aquellos calculados en forma teórica. La respuesta resonante se produce cuando la frecuencia de la señal excitadora es igual a la frecuencia natural del circuito; en este caso la impedancia total es mínima y en consecuencia la intensidad de la corriente.
Bibliografía 1)Serway Raymond A. "Fisica Tomo II" Tercera edición en español ,Editorial Mc Graw Hill. Mexico, 1992 2) Halliday David / Resnick Robert / Krane Kenneth S. "Fisica Vol.2" Tercera edición en español , Editorial Continental. México, 1996 3) Cutnell John D. / Jonson Kenneth W. "Fisica" Primera edición , Editorial Limusa. México, 1986
9
