´ DE CALCULO. ´ AMPLIACION Curso 2008/9. Hoja Hoja 4: Integr Integral al de superf superfici icie. e. 1. Hallar Hallar el plano tangente tangente de las siguien siguientes tes superficies superficies en el punto punto especificado especificado:: a )
x = 2u, y = u2 + v, z = v2 en (0, (0, 1, 1). 1).
b)
x = u2
2
2
− v , y = u + v, z = u
+ 4v 4v en ( 1/4, 1/2, 2). 2).
−
2. ¿Son regular regulares es las superficies superficies del del ejercicio ejercicio anterio anterior? r? 3.
Sea Sea Φ(u, v ) = (u,v,f (u, v)), con f : R2 on on de clase C 1 . Demostrar que la ecuaci´on on del plano R una funci´ tangente en Φ(u Φ(u0 , v0 ) = (x0 , y0, z0 ) coincide con el plano tangente de f en el punto (x (x0 , y0 ).
→
4. Hal Hallar lar una expres expresi´ i´ on para un vector unitario normal a la superficie on x = cos v sin u, y = sin v sin u, z = cos u, para (u, (u, v)
[0, π ] × [0, [0, 2π ]. Identificar la superficie. ∈ [0,
5. Idem Idem con con la superfic superficie ie x = 3 cos cos v sin u, y = 2 sin sin v sin u, z = cos u, para (u, (u, v)
∈ [0, [0, π ] × [0, [0, 2π ].
6. Idem Idem para para la superfic superficie ie x = sin v, y = u, z = cos v, para (u, (u, v)
[0, 2π ]. ∈ [−1, 3] × [0,
7. Calcular Calcular el vector vector normal normal a la superficie y determina determinarr la regularidad regularidad de la misma siendo siendo x = (2 para (u, (u, v)
− cos v)cos u,
y = (2
− cos v)sin u,
z = sin v,
∈ [−π, π] × [−π, π].
8. Demost Demostrar rar que que el plano plano de de ecuaci ecuaci´´on on ax + by + cz = d es una superficie y calcular su vector normal. 9. Consid Considera erarr la super superfici ficiee de R3 dada por p or la parametriz parametrizaci´ aci´ on on Φ(r, Φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, θ) con (r, (r, θ)
[0, 1] × [0, [0, 4π ]. ∈ [0,
Se pide:
10 10..
a )
Esboz Esbozar ar una una gr´ gr´afica afica de la misma.
b)
Hallar Hal lar una expres expresi´ i´ on para el vector normal unitario. on
c )
Hallar Hal lar la ecuaci ecuaci´´on on del plano tangente en un punto (x ( x0 , y0, z0 ) de la superficie.
d )
Si (x0, y0 , z0 ) es un punto de la superficie, mostrar que el segmento horizontal que va del eje z a dicho punto est´a contenido en la superficie y en el plano tangente de la superficie en dicho punto.
Ha Hall llar ar:: a )
Una parame parametri trizac zaci´ i´ on on para el hiperboloide x2 + y2
b)
El vector vector normal normal unitario unitario en cada cada punto punto de dicha dicha superficie. superficie.
c )
Hallar Hal lar el plano plano tangen tangente te a la superficie superficie en un punto punto (x (x0 , y0 , 0). 0).
−z
2
= 25. 25 .
11 11..
Ha Hall llar ar las las areas a´reas de las superficies de los ejercicios 6, 4, 7 y 9.
12. 12.
Sea Sea Φ(u, Φ(u, v) = (u ( u v, u + v,uv) v,uv ) definido en el disco unitario D del plano uv. uv . Hallar el ´area area de Φ(D Φ(D) = grafΦ. grafΦ.
−
13. Hallar Hallar una una paramet parametriz rizaci aci´´on on de la superficie x2 obtenida, calcular el ´area area de dicha dicha superficie. superficie.
−y
1
2
= 1 donde x > 0, 1
≤ y ≤ 2 y 0 ≤ z ≤ 1. Una vez
14.
Sea S la superficie obtenida al girar la gr´afica afica de la funci´on on y = f ( f (x) Demostrar que el ´area area de la misma puede expresarse seg´un un la f´ ormula ormula b
2π
f ( f (x) 1 + f (x)2 dx.
a
15.
≥ 0, x ∈ [a, b], alrededor del eje x.
Sea S la superficie obtenida al girar la gr´afica afica de la funci´on on y = f ( f (x), x y . Demostrar que el ´area area de la misma puede expresarse seg´un un la f´ ormula ormula
∈ [a, b], a > 0, alrededor del eje
b
2π x 1 + f (x) dx. 2
a
16.
2 1 Sea σ : [a, b] a en el semiplano derecho R una curva de Jordan de clase C , de manera que su imagen est´ del plano xy. xy. Demostrar que el ´area area de la superficie generada al rotar la imagen de σ alrededor del eje y es igual a 2πxl 2πxl((σ ) donde l(σ) es la longitud de la curva σ y x es la coordenada promedio x a lo largo de σ .
→
17. Considere Consideremos mos el Toro Toro de ecuaciones ecuaciones x = (R para (u, (u, v) 18 18..
Calc Calcul ular ar
− cos v)cos u,
y = (R
− cos v)sin u,
z = sin v,
2
∈ [0, [0, 2π ] × [0, [0, 2π]. Probar que su ´area area es 4π 4π R.
xdS , donde S es el tri´angulo angulo con v´ ertices ertices (1, (1, 0, 0), (0, (0, 1, 0) y (0, (0, 0, 1). S
19. Dada Dada una una superfic superficie ie S , con densidad de masa por unidad de superficie ρ(x,y,z) x,y,z) para cada (x,y,z ( x,y,z)) se puede calcular la masa de la misma con la f´ormula
∈ S ,
ρ(x,y,z) x,y,z )dS.
S
3 Sea Φ : Ω on on de la helicoide S = Φ(Ω) = grafΦ dada por Ω = (r, θ) : 0 r R una parametrizaci´ 1, 0 θ 2π y Φ(r, Φ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, θ ). Calcular la masa de una helicoide que tenga densidad de masa ρ(x,y,z) x,y,z) = x2 + y2 + 1.
→ ≤ ≤ }
20 20.. 21 21.. 22 22..
{
≤ ≤
(x + y + z)dS donde S es la esfera de radio 1. zdS , donde S es la superficie z = x + y , x + y ≤ 1. Calc Calcul ular ar z dS , donde S es la frontera del cubo [0,[0, 1] × [0,[0, 1] × [0,[0, 1]. Calc Calcul ular ar Calc Calcul ular ar
S
2
2
2
2
S
2
S
23. Hallar la masa de una superficie esf´ esf´erica erica de radio R tal que en cada punto (x,y,z (x,y,z)) de la misma la densidad de masa es igual al cuadrado de la distancia al centro de la esfera. 24. Sea la la tempera temperatur tura a en un punt punto o de R3 dada por T ( T (x,y,z) x,y,z) = 3x2 + 3z 3z 2 . El flujo de calor a trav´es es de una 2 superficie S se define como S ( T ) T )dS . Calcular el flujo de calor a trav´ es es de la superficie sup erficie x + z 2 = 2, 0 y 1.
− ∇
≤ ≤
25. Idem Idem pero pero con con temper temperatu atura ra T ( T (x,y,z) x,y,z) = x siendo S la esfera de radio uno. 26.
Sea S la superficie cerrada formada por el hemisferio x2 + y 2 + z 2 = 1, z 0 y su base x2 + y 2 = 1. Sea ectrico ectrico dado por E(x,y,z) x,y,z ) = (2x, (2x, 2y, 2z ). Hallar el flujo el´ ectrico ectrico hacia afuera de S . E el campo el´
27 27..
Eval Evalua uarr S rotFdS , donde S es la superficie x2 + y 2 + 3z 2 = 1, z el vector normal unitario hacia afuera de S ). ).
≥
3
2
≤ 0 y F(x,y,z) x,y,z) = (y,x,zx ( y,x,zx y ). (Tomar
28. Calcul Calcular ar el el flujo flujo del del campo campo F(x,y,z) x,y,z) = (x, 2x, z) sobre la porci´on on del plano 2x 2x + y = 6 situada en el primer octante y limitada por el plano z = 4.
−
29. Hallar Hallar el el flujo flujo del rotacional rotacional de V(x,y,z) x,y,z) = (y ( y 2x,yz 2 , y 2 z ) hacia afuera de la semiesfera x2 +y 2 +z 2 = 1, z 0.
−
≥
−
30. Calcul Calcular ar el el flujo flujo del del campo campo F(x,y,z) x,y,z ) = (x,xy,xyz) x,xy,xyz ) hacia afuera de la superficie total del cuerpo limitado y x por las superficies z = a + b , x = 0, y = 0 y z = c, con a,b,c R+ . 31 31..
2
2
2
2
∈
Idem Idem para para F(x,y,z) x,y,z ) = (6z, (6z, 2x + y, x) sobre la cara de la superficie del cilindro x2 + z 2 = 9 limitada por los plano coordenados (primer octante) y el plano y = 8.
−
2
32. La lluvia puede ser interpr interpretada etada como como un fluido uniforme uniforme que fluye vertica verticalmen lmente te hacia abajo y que por tanto, puede ser descrita por el campo F(x,y,z) x,y,z) = (0, (0, 0, 1). Hallar el flujo de lluvia a trav´ trav´es es del cono o 2 2 2 2 2 z = x +y , x +y 1, z 0. Si debido al viento, la lluvia cae con una inclinaci´on on de 45 y se describe por F(x,y,z) x,y,z ) = ( 2/2, 0, 2/2), ¿cu´al al es ahora el flujo a trav´ trav´es es del cono?
≤ − √
33. 33.
−
≥ √
Sean Sean
S 1 = (x,y,z) x,y,z)
S 2 = (x,y,z) x,y,z )
: x2 + y 2 = 1 , 0
3
: x2 + y 2
∈R
≤ z ≤ 1 , + (z (z − 1) = 1 , z ≥ 1 2
x,y,z) = (zx ( zx + z y + x, z yx + y, z x ). ∪ S . Calcular rotFdS donde F(x,y,z) rotFdS donde S es la semiesfera {(x,y,z) Calc Calcul ulaa x,y,z) : x + y + z = 1, 1 , x ≥ 0} y F(x,y,z) x,y,z) = (x ( x , −y , 0). 0).
y S = S 1 34 34..
3
∈R
2
2
3
4
2
S
2
2
2
3
3
S
35. Usar el Teore Teorema ma de la diverge divergencia ncia para para calcular calcular
(x + y + z )dS =1 . 2
S
3
siendo S = (x,y,z) x,y,z) 36.
∈R
: x2 + y 2 + z 2
Sea S una superficie cerrada. Usar el Teorema de la divergencia para probar que si de clase C 2 , entonces
F
es un campo vectorial
rotFdS = 0.
S
37.
Sea S una superficie de
3
tal que encierra un volumen V . ormulas de Green V . Probar las f´ormulas
R
< f g, n > dS =
S
y
∇
< (f g
f ), n > dS = ∇ − g∇f )
S
2 siendo f, g : D R2 R son funciones de clase C exterior a la superficie. El operador
⊂
(f ∆ f ∆g+ <
V
→
∆f =
∇f, ∇g >)dxdydz
(f ∆ f ∆g
f )dzdydz − g∆f ) en el interior de D, con S ⊂ D, y n el vector normal V
∂ 2 f ∂ 2f ∂ 2 f + 2 + 2, ∂x 2 ∂y ∂z
es el laplaciano de f . f . 38 38..
Dado Dado el cam campo po esca escala larr f ( f (x,y,z) x,y,z) = x2 + 2y 2 y 2 + 3z 3 z 2 y un campo vectorial 2 f + es es de la esfera (x a) + (y (y b)2 + (z (z c)2 = R2. F a trav´
∇ 39. 39.
∇×
−
−
F,
calcular el flujo del campo
−
Sien Siendo do F(x,y,z) x,y,z) = (x+2y, +2y, 3z, x), calcular el flujo del rotacional de F a trav´es es de d e la superfic sup erficie ie 2x 2 x+y +2z +2z = 6 limitada por los planos x = 0, x = 1, y = 0, y = 2.
−
40. Calcul Calcular ar el el flujo flujo del del campo campo F(x,y,z) x,y,z ) = (18z, (18z, 12 12,, 3y) sobre la superficie del tetraedro limitado por los ejes coordenados y el plano 2x 2x + 3y 3y + 6z 6z = 12.
−
41 41.. 42 42.. 43 43..
Eval Evalua uarr Eval Evalua uarr
Eval Evalua uarr S FdS donde F(x,y,z) x,y,z) = (xy 2 , x2 y, y ) y S es la superficie del cilindro x2 + y 2 = 1 acotada por los planos z = 1 y z = 1, incluyendo los trozos x2 + y2 1 cuando z = 1. S
0
≤ z ≤ 1.
−
≤
FdS donde F(x,y,z) x,y,z) =
S
FdS
donde
x,y,z ) F(x,y,z)
±
(x,y, z ) y S es la frontera del cubo [0, [0, 1]3 .
−
= (1, (1, 1, z (x2 + y2 )2 ) y S es la superficie del cilindro x2 + y 2 = 1,
44. Demost Demostrar rar que si S es una superficie cerrada que encierra un volumen V , V , entonces
V
siendo f y
F
<
∇f, F > dxdydz =
S
f FdS
−
f div f divFdxdydz,
V
campos escalares y vectoriales suficientemente derivables.
3
