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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Aeronáutica Departamento de Aerotecnia

HELICÓPTEROS Teoría Teoría y Descripti va Madrid, Abril de 2008

Miguel A. Barcala Montejano Ángel A. Rodríguez Sevillano

AERODINÁ A ERODINÁMICA MICA DEL D EL ROTOR RO TOR CAPÍTULO 2 TEORÍA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN VUELO VERTICAL ASCENDENTE

AERODINÁMICA DEL ROTOR TEORÍA DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN VUELO VERTICAL ASCENDENTE

Iniciamos el estudio realizando un análisis del rotor principal, como elemento sustentador del helicóptero, en la condición de vuelo mas sencilla, que es la de vuelo vertical uniforme y ascendente, en esta condición las velocidades en el plano del rotor son simétricas respecto al eje de giro, las fuerzas aerodinámicas sobre las palas son constantes independientemente de la posición angular de éstas y el plano que forman las puntas del rotor es perpendicular al árbol de arrastre. Para el estudio de la aerodinámica del rotor existen diversas teorías de las cuales nosotros vamos a tratar dos, una la aplicación directa de la teoría de la cantidad de movimiento, (estudiada en Mecánica de fluidos) y otra la teoría del elemento de pala (estudiada en Aerodinámica) considerándola como un ala de gran alargamiento. A continuación pasamos al estudio de la aerodinámica del rotor aplicando la teoría de la cantidad de movimiento, la mas sencilla de las dos, siendo de suma importancia fijar adecuadamente las hipótesis de partida para ajustar los valores que obtengamos lo mas posible a la realidad.

2. 2


1. HIPÓTESIS INICIALES 1.1

Consideramos el aire, para la aplicación de esta teoría, como fluido ideal.

1.2

Sustituimos el rotor, que esta compuesto por palas que giran, por un disco totalmente poroso del mismo radio (R) del rotor que sustituye, que deja pasar el aire a través de él.

1.3

Suponemos que la corriente afectada por el disco está delimitada por el tubo de corriente esquematizado en la figura (2-1).

1.4

El movimiento del fluido en el tubo de corriente se considera unidimensional, estacionario e incompresible.

1.5

Se desprecian efectos de rotación de estela y pérdidas en punta de pala.

1.6

Otras consideraciones. Los ejes de referencia en los que nos apoyamos para aplicar esta teoría son ejes Euler, y por

tanto: - La velocidad del fluido aguas arriba del rotor es la velocidad ascendente del rotor ( Vv). - La velocidad del fluido en la sección del disco es la suma de la velocidad ascendente del rotor y la velocidad inducida por el disco sustentador ( Vv+v i ). - La velocidad del fluido aguas abajo del rotor es la suma de la velocidad ascendente del rotor y un numero de veces, a determinar, la velocidad inducida en el plano del disco (Vv+Av i ). Esta teoría como observaremos a lo largo Figura 2-1

de este curso obtiene una expresión de la potencia necesaria, para obtener una tracción dada, que

difiere de la potencia real al no tener en cuenta fenómenos como: Las pérdidas en punta de pala,

2. 3


resistencia aerodinámica y no uniformidad de flujo de aire así como la rotación de la estela. Estos dos últimos fenómenos sólo considerados en teoría turbillonaria, que no vamos a estudiar en este curso.

2. CÁLCULO DE LA TRACCIÓN Y LA POTENCIA Para su cálculo, como indica el enunciado de esta capítulo, vamos a aplicar el teorema de la cantidad de movimiento al volumen de control descrito por la línea continua, excluido el disco, representado en la figura (2-2), donde las paredes laterales son las paredes del tubo de corriente comentado en las hipótesis, cuya ecuación teniendo en cuenta la hipótesis realizadas es:

siendo en nuestro caso: - Fuerzas de presión nulas por ser un volumen cerrado de presión exterior constante e igual a la presión atmosférica. - Fuerza exterior al fluido, que ejerce el disco sobre él, " (T)" . Nota: Se ha puesto (-T) al ser (T) la fuerza del fluido sobre el disco - Gasto (G): Lo calculamos en la sección del disco.

* Velocidad de salida: Figura 2-2

Vs = Vv + A v i

* Velocidad de entrada: Ve = Vv

La ecuación de la cantidad de movimiento anterior, introduciendo las expresiones anteriores, es de la forma: (2.1)

donde "A" es un parámetro a determinar.

2. 4


Para ello definimos de acuerdo con la figura (2-3): P - Presión en el estrados del disco. P'- Presión en el intradós del disco. Escribiendo la ecuación de la tracción como la resultante de las fuerzas de presión sobre el disco, es decir: (2.2) Figura 2-3 Calculando la presión en el extradós y en el intradós a partir de la ecuación de Bernouilli aplicada entre: -Aguas arriba del disco y el extradós del disco: (2.3) -El intradós del disco y aguas abajo del disco: (2.4) y sumando ambas ecuaciones obtenemos el incremento de presión:

Expresión que introducida en la ecuación (2.2) permite escribir:

Igualando esta ecuación y la ecuación (2.1), obtenemos: A = 2 , es decir, que la velocidad inducida por el rotor en el infinito aguas abajo del disco es el doble a la inducida en el plano del disco. Siendo la tracción del rotor:

(2.5)

2. 5


y las presiones en el plano del disco: Y la potencia ideal necesaria suministrar al disco para obtener la tracción calculada:

es decir: (2.6)

3. VUELO A PUNTO FIJO Se define el vuelo a punto fijo cuando la velocidad de vuelo del rotor es nula, en nuestro caso, " Vv = 0 ". Obteniéndose las expresiones de tracción y potencia en vuelo a punto fijo sin mas que imponer esta condición en las ecuaciones (2.5) y (2.6), y designando, en este caso, la velocidad inducida en el plano del disco por v io . (2.7)

(2.8)

Siendo por tanto las expresiones de la velocidad inducida y de la potencia ideal en vuelo a punto fijo en función de la tracción del rotor. (2.9)

(2.10)

2. 6


4. RELACIÓN DE VELOCIDADES Si tenemos en cuenta que, independientemente de que el rotor esté en vuelo vertical ascendente o en vuelo a punto fijo, la tracción suministrada es la misma, para que el rotor esté en equilibrio, podemos igualar las ecuaciones (2.5) y (2.7) obteniendo:

que nos proporciona la relación: (2.11)

Relación que nos va a ser de gran utilidad a lo largo del curso, y que tendremos en cuenta en muchas ocasiones aunque estemos aplicando una teoría distinta a ésta en el estudio aerodinámico del rotor. A partir de esta ecuación podemos obtener las siguientes relaciones: -

Relación de velocidades inducidas. Que obtenemos a partir de la ecuación de segundo grado resultante de desarrollar la ecuación (2.11).

Cuya solución, eligiendo la solución positiva para ser coherentes con las hipótesis de partida, es: (2.12) Ecuación que determina la velocidad inducida en el plano del disco en función de la velocidad de vuelo ascendente adimensionalizadas ambas con la velocidad inducida en el plano del disco para vuelo a punto fijo. -

Relación de velocidad en el disco con la velocidad inducida en el plano del disco para vuelo

2. 7


a punto fijo. Que obtenemos sumando Vv/v io en ambos miembros de la ecuación (2.12). (2.13) Ecuación que determina la velocidad en el plano del disco en función de la velocidad de vuelo adimensionalizadas ambas con la velocidad inducida en el plano del disco para vuelo a punto fijo. -

Relación de potencias ideales. Que obtenemos a partir de las ecuaciones (2.6) y (2.8) junto con la (2.11).

e introduciendo la expresión (2.13) se transforma en:

(2.14)

Donde se observa que la relación de potencias es la inversa de la relación de velocidades inducidas. -

Relación de la velocidad ascendente con la velocidad inducida en el plano del disco para vuelo a punto fijo. Que se obtiene a partir de las ecuaciones (2.11) y (2.14). (2.15)

2. 8


En la figura anterior (2-4) se ha representado la potencia ideal y la velocidad inducida en función de la velocidad de vuelo, observándose que la velocidad inducida disminuye y la potencia necesaria para una tracción dada aumenta al aumentar la velocidad de vuelo ascendente.

4,5 4 3,5 3

Pi/Pio Vi/Vio

2,5 2 1,5 1 0,5 0 0

1

2

3

4

Vv/Vio

Figura 2-4

5. COEFICIENTES DE TRACCIÓN Y POTENCIA En los cursos anteriores se estudio la posibilidad de realizar estudios aerodinámicos y de fluidos en general mediante el análisis adimensional, ver capitulo IX de los apuntes de aerodinámica y mecánica de vuelo, definiéndose varios parámetros adimensionales, de entre los cuales vamos hacer uso de:

- Coeficiente adimensional de fuerza:

- Coeficiente adimensional de potencia:

2. 9


Eligiendo en el caso que nos ocupa como parámetros adimensionalizadores, la superficie del disco, S= R2, y la velocidad de rotación de punta de pala, V= R. Obtenemos una expresión para el coeficiente de fuerza, que a partir de ahora llamaremos coeficiente de tracción, de la forma: Coeficiente de tracción:

(2.16)

que junto con la ecuación (1.7) nos permite escribir: (2.17)

De la que se obtiene directamente la velocidad inducida en el plano del disco para vuelo a punto fijo adimensionalizada en función del coeficiente de tracción.

(2.18)

Y para el coeficiente de potencia:

que introduciendo la ecuación (2.6) obtenemos:

(2.19)

En el caso de vuelo a punto fijo el coeficiente de potencia es:

que con la ecuación (2.8) obtenemos el coeficiente de potencia para vuelo a punto fijo en función del coeficiente de tracción: (2.20)

2. 10


6. EXPRESIONES ADIMENSIONALES En este apartado vamos a obtener aquellas expresiones ya obtenidas anteriormente, (adimensionalizadas con la velocidad inducida en vuelo a punto fijo), pero en este caso adimensionalizando con la velocidad de rotación en punta de pala, para obtener las expresiones en función de la velocidad de vuelo vertical adimensionalizada y del coeficiente de tracción.

-

De la ecuación (2.12):

introduciendo la ecuación (2.18):

-

(2.21)

De la ecuación (2.14):

2. 11


introduciendo la ecuación (2.18):

(2.22)

-

Otra relación de utilidad a lo largo del curso, no obtenida anteriormente, basada en las ecuaciones (2.20) y (2.22) es:

(2.23)

Estas relaciones, además de comparar los resultados obtenidos con esta teoría con los resultados que obtengamos con la teoría del elemento de pala, nos permiten calcular los distintos parámetros del rotor conocida la tracción del rotor y la velocidad de vuelo ascendente.

2. 12

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