Investigación de Operaciones Avanzada
Cadenas de Markov Guía de Ejercicios N°1
1.- Roberto González es un orgulloso dueño de un auto deportivo del año 1955. En un día determinado, nunca sabe si su auto partirá. Sin embargo, 90% de las veces partirá si lo hizo la mañana anterior, y 70% del tiempo no partirá si no funcionó la mañana anterior. a) Construya la matriz de probabilidades de transición b) ¿Cuál es la probabilidad de que arranque mañana si lo hizo hoy? c) ¿Cuál es la probabilidad de que arranque mañana si no lo hizo hoy? 2.- Examine el comportamiento del cambio de marca descrito en la tabla siguiente, para una muestra de 250 consumidores de un producto. La tabla refleja el número de consumidores que cambian la marca “i” en semana 6 a la marca “j” en la semana 7. (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) Marca en semana 6 1 2 3 Total
la
Marca en la semana 7 2
1 72 12 2 86
4 102 6 112
3
Total
4 6 42 52
80 120 50 250
a) A partir de la tabla anterior, construya la matriz de probabilidades de transición b) Suponiendo que las participaciones actuales son: 30% para A, 38% para B, y 32% para C, ¿cuál será la participación de mercado, de cada marca, en la semana 9? 3.- Cada familia estadounidense se clasifica según donde vive, como: urbana, rural o suburbana. Durante un año específico, 15% de las familias urbanas se mudaron a una ubicación suburbana, y 5% se mudaron a un área rural; también, 6% de las familias suburbanas se trasladaron a un área urbana y 4% se pasaron a una ubicación rural; también, 4% de las familias rurales se fueron a un área urbana y 6% se cambiaron a un lugar suburbano. a) Si una familia ahora vive en un lugar urbano, ¿cuál es la probabilidad de que viva en un área urbana dos años a partir de ahora? ¿Un área suburbana? ¿Un área rural? b) Suponga que en el presente, 40% de las familias viven en un área urbana, 35% viven en un área suburbana y 25% viven en un área rural. Dos años a partir de ahora, ¿qué porcentaje de familias estadounidense vivirán en un área urbana? 4.- Los patrones de compra de dos marcas de pasta dental pueden expresarse como un proceso de Markov con las siguientes probabilidades de transición. A De
Special B
MDA
Special B
0,90
0,10
MDA
0,05
0,95
a) ¿Qué marca parece tener la mayor lealtad de los clientes? b) ¿Cuáles serán las cuotas de mercado proyectadas para las dos marcas?
5.- En una ciudad, actualmente el 25% de las personas que trabajan en el centro de la ciudad usan buses y 75 utilizan autos. Debido a una reducción de los estacionamientos, la ciudad ha incrementado el número de buses con la intención de que más personas se cambien a buses y así aliviar los problemas de estacionamientos. Con base a una encuesta, los funcionarios municipales esperan que con buses adicionales cada año, 60% de los que usan autos cambien a buses, mientras que el 20% de los que usan buses regresen a los autos. A los funcionarios les interesa el efecto a largo plazo de los buses adicionales, esto es, el porcentaje de los que, a largo plazo, cambien al uso de buses o el auto. Determine lo que están solicitando los funcionarios municipales.
6.- Las probabilidades de que cierto país sea gobernado por uno de tres partidos políticos X; Y; Z, después de la próxima elección están dadas por la matriz de transición: X
Y
Z
X 1 / 2 1 / 3 1 / 6 P Y 1 / 4 3 / 4 0 Z 1 / 5 2 / 5 2 / 5 a) ¿Cuál es la probabilidad de que el partido Z gane la próxima elección si el partido X está en el poder ahora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el partido X esté en el poder después de dos elecciones si se supone que el partido Y se encuentra en el poder ahora? c) Determine la matriz estacionaria. ¿Cómo puede interpretarse esta matriz? 7.- El valor de cierta acción puede ir al alza, a la baja o permanecer sin cambio en cualquier día. La probabilidad de que la acción vaya al alza (estado 1), a la baja (estado 2) o permanezca estable (estado 3) al día siguiente, están dadas por la matriz de transición: alza baja s. cambio
0.2 0.7 0.1 P baja 0.6 0.2 0.2 sin cambio 0.2 0.5 0.3 alza
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la acción esté a la baja después de dos días si hoy se encuentra en alza? b) ¿Cuál es la matriz estacionaria de este proceso de Markov 8.- Las granjas de cierta región pueden clasificarse en tres tipos: agrícolas, pecuarias o mixtas. Actualmente 30% son agrícolas, 40% pecuarias y 30% mixtas. La matriz de transición de un año al siguiente, es: A
P
M
A 0.8 0.1 0.1 P P 0.2 0.8 0 M 0.1 0.1 0.8 Encuentre los porcentajes de los tres tipos de granjas: a) El año próximo b) El año subsiguiente c) A largo plazo
9.- Hoy día, tres empresas procesadoras de productos X; Y; Z, controlan el 50%, 30% y 20% del mercado del café, respectivamente. Al mismo tiempo las tres empresas presentan marcas de café. Con la introducción de nuevas marcas en un año ocurre lo siguiente: i. ii. iii.
X retiene el 60% de sus consumidores y cede el 20% a Y y otro 20% a Z Y conserva el 50% de sus consumidores y pierde 30% con X y un 20% con Z Z retiene al 70% de sus consumidores, cede al 10% a X y el 20% a Y
a) Suponiendo que esta tendencia continúa, ¿qué proporción del mercado tendrá cada empresa al término de 2 años? b) ¿Qué porción del mercado tendrá cada empresa a largo plazo? 10.- Una universidad X tiene una librería llamada “A”, pero en el pueblo también hay tres librerías privadas: B; C; D. A la universidad le preocupa el número de estudiantes que se han cambiado a comprar en las librerías privadas. Como resultado, el rector ha encargado a los estudiantes de ICI de su universidad analizar el problema. Se obtuvo la siguiente matriz de probabilidades de transición: A
B
A 0.6 0.2 B 0 0.7 P C 0.1 0.1 D 0.05 0.05
C
D
0.1 0.1 0.2 0.1 0.8 0 0.1 0.8
En este momento, cada una de las cuatro librerías tiene una participación de mercado idéntica, ¿cuáles serán las participaciones de mercado durante el siguiente período?
