1 UNIDAD DE ALGEBRA
a2 a + b2 a3 b3 a2 (a2 + b2 ) (2a 3b2 )
1. El valor numérico de la expresión
b
para a = 1 y b =
2 es:
Solución : Al sustituir los valores respectivos se obtiene 2
(1)
2
3
1 + ( 2)
3
(1)
2
2
(1) + ( 2) 2. El resultado de (bn
2
( 2)
(1)
( 2) =
2
2 (1)
3 ( 2)
27 10
5y m ) (5y m + bn ) es:
Solución : El producto indicado es un producto notable y su resultado es 2
2
(bn )
(5y m ) = b2n
3. La descomposición en factores de la expresión 3x2
2x
25y 2m
8 es:
Solución : Al factorizar dicha expresión se tiene 3x2
2x
8 = (3x + 4) (x
4. La descomposición en factores de la expresión x3
2)
64y 3 es
Solución : Al factorizar se tiene x3
5. La simpli…cación de
a2 4b2 ab + 2b2
3a2
64y 3 = (x
4y) 4xy + x2 + 16y 2
5ab 2b2 es 3a2 + ab
Solución : Al factorizar los diferentes términos de las fracciones, se tiene a2 4b2 ab + 2b2
3a2
5ab 2b2 3a2 + ab
= = =
(a + 2b) (a 2b) b (a + 2b) (a + 2b) (a 2b) b (a + 2b) a b
(a
2b) (3a + b) a (3a + b) a (3a + b) (a 2b) (3a + b)
2 1 1 p a a 6. Al simpli…car la expresión se obtiene 1 1 p + a a Solución : Al determinar el mínimo común de ambos denominadores p a a p p a a a a p =p a+ a a+a p a a al racionalizar el denominador, obtenemos p a a p a+a
p a p a
a a
p 2 ( a a) a a2
=
a1=2 1 a1=2 a (1 a) p 2 (1 a) 1 a
= = 1
7. El resultado de la siguiente operación
x
1
+
12x2 4x 4x2 11x 3
2
3x2 + 8x 3 x2 9
Solución : Al desarrollar las operaciones indicadas y factorizando, se tiene 4x (3x 1) (4x + 1) (x 3) 1 4x (3x 1) + x 1 (4x + 1) (x 3) 4x 1 + x 1 4x + 1 4x2 + 1 4x2 3x 1 4x2 + 1 (4x + 1) (x 1) 1
x
8. Al desarrollar
x y
y x
1
+
(x + 3) (3x 1) (x 3) (x + 3) (x 3) (x + 3) (x + 3) (3x 1)
2
se obtiene
Solución : Desarrollando el cuadrado x y
y x
2
=
x2
y2 xy
2
=
x4
2x2 y 2 + y 4 x2 y 2
es
3
9. Al racionalizar el denominador de la fracción
x 2 p se obtiene 3 + 2x + 5
Solución : Al multiplicar por su conjugado
10. El conjunto solución de la ecuación
3x x
5
p 2x + 5 p 2x + 5
3 3
x 2 p 3 + 2x + 5
15
=1+
x
5
=
p
2x + 5 2
3
es
Solución : Al multiplicar por el mínimo común denominador (x
5)
3x x
= (x 5) 1 + 5 x 3x = x 5 + 15 2x =
10
x =
5
15 5
11. El valor de k que proporciona sólo una solución real de la ecuación x2 + kx + k =
2
3x es:
Solución : Una ecuación de segundo orden tiene una solución si el discriminante b2
4ac = 0; entonces, al reescribir dicha
2
ecuación en la forma x + (k + 3) x + (k + 2) = 0 y al analizar su discriminante, se tiene 2
(k + 3)
4 (1) (k + 2) = 0
y al resolver dicha ecuación, se tiene que k = 1 8 2 4 > < + =3 3x + y 3x y 12. Al resolver el sistema de ecuaciones , se obtiene que el valor de la variable y es: 2 4 > : =1 3x + y 3x y Solución :
Al sumar ambas ecuaciones, 4 3x + y 3x + y y
=
4
=
1
=
1
3x
sustituyendo este valor en la primera ecuación, obtenemos 2 4 + 3x + 1 3x 3x 1 + 3x 4 6x 1
y al sustituir en y = 1
3x; obtenemos y =
3 2
=
3
=
1
x =
6 6
4
13. Al efectuar
x2 (x
4 2
2)
2
+
(x + 2) se obtiene : x2 4
Solución : La expresión dada se puede reescribir por (x + 2) (x
2) 2
(x 2) x+2 x+2 + x 2 x 2 2 (x + 2) x 2 14. Al resolver la ecuación raíces es :
2
+
(x + 2) (x + 2) (x 2)
2x 1 x+1 + = 4 se obtiene que la diferencia entre la mayor y la menor de las x 1 x+1
Solución : La expresión dada se puede reescribir por 2
(x + 1) + (2x 1) (x 1) = 4 x2 1 3x2 x + 2 = 4x2 2
x +x
6
=
4
0
al resolver dicha ecuación, se tiene que las soluciones reales son x1 =
3 ; x2 = 2; por tanto, la diferencia
entre las raíces es 5 15. Al resolver el sistema de ecuaciones y es:
(
p
2x +
p
3y
2x
2
p = 5 + 2 6xy
3y = 1
, se obtiene que el valor de la variable
Solución : Podemos ver que 2x = 1 + 3y al sustituir en la ecuación dada, se tiene que p p 1 + 3y + 3y p p 1 + 3y + 3y
2
= 2
=
p 5 + 2 (1 + 3y) 3y
p 5 + 2 3y (1 + 3y)
desarrollando el cuadrado p 1 + 3y + 2 3y (1 + 3y) + 3y
=
4 + 6y
=
y
=
p 5 + 2 3y (1 + 3y) 0 2 3
5 16. El conjunto solución de la desigualdad x3 + x2
2x > 0 es :
Solución : Al factorizar dicha expresión se tiene x (x + 2) (x
1) > 0
entonces los números críticos son x = 0; x =
2; x = 1
entonces Expresión x<
x
x+2
x
1
Signo
2
2
+
0
+
+
x>1
+
+
+ +
+
por tanto, el conjunto solución está de…nido por los intervalos donde está el signo positivo, es decir ( 2; 0) [ (1; +1) 17. El valor de k de manera que la ecuación 2x2 + kx + 4 = 0 tenga una raíz igual a Solución : Sabemos que la raices de la ecuación cuadrática tiene la forma p b b2 4ac 2a entonces, como una de las raices es
3; obtenemos p k k 2 4 (2) (4) 2 (2) k
2 18. El conjunto solución de la desigualdad jx + j 3
=
3
=
22 3
2 es
Solución : Aplicando propiedad de valor absoluto 2 2
2 3 8 3
x+
2 3
2
x
2
2 3
x
4 3
3 es:
6
19. El conjunto solución de la desigualdad 1
7
x
3 es
2
Solución : Aplicando propiedad de valor absoluto 7
1
multiplicando por
3
2
2 2
x
7
7
x x
6 6
7
1 y cambiando el sentido de la desigualdad 5
x
1
1
x
5
en forma de intervalo se tiene [ 1; 5] 20. El conjunto solución de la desigualdad j5
2xj < 7, está dado por el intervalo
Solución : Aplicando propiedad de valor absoluto 7 < 5 7
5 < 12
multiplicando por
2x < 7 2x < 7
<
5
2x < 2
1 y cambiando el sentido de la desigualdad 2 6 >
x>
1 <
x<6
1
la cual se puede escribir en notación de intervalo por ( 1; 6) 21. El conjunto solución de la desigualdad
(x + 10) (x 2) x2 7x 8
0 es
Solución : Factorizando la expresión del denominador, obtenemos x2
7x
8 = (x + 1) (x
8)
entonces los puntos criticos son x=
10 ; x =
1; x=2; x=8
7 entonces Expresión x
x
2
x+1
x
8
10 10
Signo +
x<
1
x + 10 1
+
2
x<8
x>8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
por tanto, el conjunto solución está de…nido por los intervalos donde está el signo negativo, es decir [ 10; 1) [ [2; 8) 22. El conjunto solución de la ecuación
p
p
2x + 3
x
2 = 2 es
Solución : Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación p
p 2 2x + 3 x 2 = 4 p 2 (2x + 3) (x 2) = 3
3x
nuevamente elevando al cuadrado p 2 (2x + 3) (x x
2
=
(3
24
=
9x2
14x + 33
=
0
8x2 2
2
2)
4x
3x)
18x + 9
al resolver dicha ecuación, se tiene que el conjunto solución es f3; 11g 23. Si j2x
1j > 3, el valor de x que no pertenece al conjunto solución es
Solución : Por de…nición se obtiene 2x
1 > 3 o 2x
1<
3
entonces 2x >
4 o 2x <
x >
2 o x<
2 1
por tanto, el conjunto solución es ( 1; 1) [ (2; 1) ; es decir x 2 = [ 1; 2] ; lo cual es el valor x =
1
8
24. Si
x+
1 x
2
= 3 entonces x3 +
1 es igual a: x3
Solución : Multiplicando por
x+
1 x
a la expresión
x+
1 x
1 x
2
x+
1 x
3
x+
x3 + 25. El conjunto solución de 3x + jxj =
2
x+
1 x
=
3 x+
= 3 se obtiene que :
1 x
= x3 + 3x2 1 x3
=
1 3 1 1 + 3x 2 + 3 = 3x + x x x x
0
8 es
Solución : Aplicando la de…nición de valor absoluto, para x
0
3x + x =
8
x =
2
x =
8
x =
4
para x < 0 3x
podemos notar que para x = 26. Al factorizar la expresión
2 se tiene una solución extraña y por tanto, la única solución es x =
12x3 + 36x2
27x uno de los factores es:
Solución : Factorizando la expresión dada 12x3 + 36x2 27. El resultado simpli…cado de
27x =
3x (2x
2
3)
3y p 1 p 4 4 8x3 y 7 8x2 y 3 , es: 2 3x
Solución : Al efectuar las operaciones indicadas, se tiene p p y p y p p 4 82 x5 y 10 = 8x 4 xy 2 4 y 2 = y 3 4 4xy 2 2x 2x
4
9 1 1 1 7 = 4 ; y + = 1 ; z + = entonces el valor de xyz es: y z x 3
28. Si x; y; z, son números positivos que satisfacen x + Solución : Reescribiendo las expresiones dadas xy + 1
=
4y
xyz + z
=
4yz
xyz
=
4yz
xz + 1
=
xyz + y
=
4yz
z
1 (4y y
=
1 (13y 3y
1 (13y 3y
4)
= xyz
1 (13y 3y
4)
1 y
4
1) (z 0
1 (4y y
=
1 entonces x
1 y
= z 4 =
7 x 3 7 xy 3
1 7 ;z= y 3
Igualando las expresiones y sabiendo que x = 4
z
1)
B7 1) B @3
1
C 1C A
1 4
1 y
4)
pero
=
y
4
1 y
2 5
=
0
B7 yB @3
entonces x =
4
z
7 3
=
1 3 = y 2 1 5 = x 3
de aqui xyz = 1
1 4
1
C C 1A y
10
29. Si n > 1, entonces
q p p 3 n 3 n 3 nes igual a:
Solución : Aplicando la de…nición de radicales r q q p q p p p p 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1=3 n n n = n nn = n n4=3 = nn4=9 = n13=9 = n13=27 30. La expresión
p
n2
a:a33 :a53 ::::a(2n
1)3 es
igual a:
Solución : 3
Al utilizar la igualdad 13 + 33 + ::: + (2n
1) = n2 2n2
1 ; y observando que la cantidad subradical es
un producto de potencia de la misma base y que dicha suma coincide con la dada en la sugerencia, podermos sustituir y obtener
p an2 (2n2
n2
31. Idem al ejercicio 24 32. Si x4
y 4 = z 3 y x2 + y 2 = 8, entonces
1)
= a2n
2
1
z3 es igual a: 8
Solución : Sustituyendo x4
y 4 = z 3 y x2 + y 2 = 8 en
z3 obtenemos 8 x4 y 4 z3 = 2 ; 8 x + y2
factorizando la diferencia de cuadrados x2 + y 2 x2 z3 = 8 x2 + y 2
y2
y simpli…cando z3 = x2 8 factorizando una vez más obtenemos
33. Al simpli…car
x x
2=3
y 4=3 z 4 1=3 y 2=3 z 7=3
y2 ;
z3 = (x + y) (x 8
y) :
3
resulta
Solución : Al aplicar propiedades de exponentes x x
2=3
y 4=3 z 4 1=3 y 2=3 z 7=3
3
=
x2 y 4 z 12 xy 2 z 7
= xy 6 z 5
11 34. Si 2x3 + x2 + px + 2p2 es divisible entre x + 1, siendo p un entero, entonces el valor de p es: Solución : Como el polinomio dado es divisible por x + 1; entonces P ( 1) = 0
2p2 (p + 1) p
P (x)
=
p
=
0
=
0
3 3 2
2
1
p + 2p2
luego el polinomio es divisible por (p + 1) 35. El conjunto solución de la desigualdad
3 1 < es 2x + 3 x 2
Solución : Al reescribir la desigualdad dada 1
3 2x + 3
x 2 x 9 2x2 x 6 x 9 (2x + 3) (x 2) de aqui, podemos observar que los puntos criticos son x = Expresión 3 x< 2 3
x
9
x>9
+
2x + 3
< 0 < 0 < 0 3 ; x = 2 ; x = 9; entonces 2 x
+
2
Signo
+
+
+
+
+
+
por tanto, el conjunto solución está de…nido por los intervalos donde está el signo negativo, es decir 1;
3 2
[ (2; 9)
36. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab + ba = 57. Determinar la suma a + b. Solución : Uno de los enteros, digamos a, debe ser par, mientras que el otro, b, debe ser impar. Como 43 = 64 > 57, tenemos que a = 2; entonces b = 5. Entonces dicha suma debe ser 7
12 37. Si x + y = 1 y xy = 1 , ¿cuál será el valor de x3 + y 3 ? Solución : Elevando al cubo la expresión (x + y) = 1, y aplicando las condiciones dadas en el ejercicio, se obtiene 3
(x + y)
x3 + 3xy (x + y) + y 3
=
1
x3 + 3 (1) (1) + y 3
=
1
3
x +y 38. El polinomio p(x) = x3
= x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 = 1
x2 + x
3
=
2
1 se anula en 1, luego p(x) es divisible por:
Solución : Decir que P (x) se anula en 1 signi…ca que P (1) = 13 entonces (x
12 + 1
1=0
1) es un divisor de este polinomio.
39. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son: Solución : Sean x el número mayor, y el número menor, entonces x + y = 666 x = 5y + 78 cuya solución es fx = 568; y = 98g 40. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por 100, la edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el efecto fotoeléctrico era: Solución : El coe…ciente intelectual (CI), se de…ne por CI =
EM EC
100
donde EM es la Edad Mental y EC es la Edad Cronologica, de aqui EM 170 = 100 26 cuya solución es 44:2
13 41. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene? Solución : Sea P la edad actual del padre y H la edad actual del hijo, entonces 3H = P 4 (H
5) = P
5
cuya solución es H = 15; P = 45
42. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno le tocó pagar 1 córdobas más. ¿Cuántas personas conformaban el grupo original? Solución : Llamemos x al número de amigo al principio e y al costo si hubieran estado todos, entonces
xy = 36 (x
3) (y + 1) = 36
cuya solución es x = 12; y = 3
43. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído bien. Preso: ¡Vamos!. ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar? Carcelero: ¿Cuántos años tienes? Preso: Veinticinco. Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste? Preso: Hoy es mi cumpleaños. Carcelero: Increíble. ¡También es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿Cuánto tiempo dura la condena del preso? Solución : Sea x tiempo de condena del preso, entonces 2
25 + x = x =
54 4
14 44. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelven a encontrarse en la calle al cabo de algunos años. Después de saludarse, Daniel : ¿Cuántos hijos tienes? Arturo : Tres hijos. Daniel : ¿Qué edades tienen? Arturo : Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36. Daniel, después de pensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesita más datos. Arturo : En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa que tenemos enfrente. Daniel mira el número de la casa que le indica Arturo y quedándose pensativo durante un par de minutos. - ¡No es posible! responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta un dato más. Arturo : Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano. Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de Arturo? Solución : El problema se reduce a encontrar tres números naturales cuyos producto sea 36, sean x; y; z dichos números, entonces xyz = 36 entonces se forman las siguientes posibilidades, cada una con sus respectivas sumas 1
1
36
=
38
2
2
9
=
13
1
4
9
=
14
1
6
6
=
13
18
=
21
1
2
Observemos que el dato del número de la casa es la clave, ya que el número 13 se repite dos veces ( el cual constituye el número de la casa ), por tanto, de las posibilidades 2
2
9 = 13 y 1
6
6 = 13; la correcta
es la primera, ya que para el segundo caso, no existe una única hija mayor. 45. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45. ¿Cuál es el mayor de esos tres números? Solución : Este problema se puede resolver utilizando la segunda condición x + (x + 1) + (x + 2)
= 45
x =
14
como los números son consecutivos, entonces el mayor es x + 2 = 16
15 46. Un autobús comienza su trayecto con un cierto número de pasajeros. En la primera parada descienden 1=3 de los pasajeros y suben 8. En la segunda parada descienden 1=2 de los pasajeros que quedan y suben 2 nuevos. En este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que llevaba al principio del trayecto. ¿Cuántos pasajeros había al principio? Solución : 1 Llamamos x al número de pasajeros que había al comienzo del viaje. En la primera parada desciende de los 3 2 2 pasajeros. Luego se quedan x. Suben 8. Por tanto, después de la primera parada en el autobús hay x + 8 3 3 2 x+8 1 3 pasajeros. En la segunda pasada descienden de los pasajeros, luego se queda . Suben otros 2. Por 2 2 2 x+8 3 + 2: En ese momento el número de pasajeros tanto, después de la segunda parada en el autobús hay 2 x es la mitad de los que había al principio, es decir, : Igualamos y obtenemos 2 2 x+8 3 2
+2=
x 2
cuya solución es x = 36
47. Hallar tres números sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto de los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115. Solución : Sean x; y; z los tres números buscados, además x < y < z; entonces 8 > > < y x=z y xy = 85 > > : yz = 115 cuya solución es z =
23 17 ; y = 10; x = 2 2
48. Un ciclista calcula que si avanza a 10 km=hora llegará a su destino a la 1p:m., y si avanza a 15 km=hora llegará a su destino a las 11a:m. ¿a qué velocidad, en km=hora, tiene que avanzar para llegar a las 12m.? Solución : Sabemos que d = vt aplicando las condiciones del problema d
=
10t
d
=
15 (t
2)
16 igualando 10t
=
15t
t
=
6
30
ahora 10t
= v (t
60
=
5v
v
=
12
1)
49. Un camino puede recorrerse en “t”horas con una cierta velocidad en km=hr. El mismo camino se puede hacer en una hora menos aumentando en un kilómetro por hora la velocidad. Hallar la longitud del camino en km. Solución : Sabemos que d = vt además la velocidad se aumenta en 1; disminuyendo el tiempo en 1; es decir d
=
(v + 1) (t
d
= vt
1)
v+t
1
entonces vt = vt v
v+t
= t
1
1
por tanto d d
=
(t
= t
2
1) t t
50. De un depósito de 100 litros de capacidad, lleno de alcohol puro, se saca una cierta cantidad de alcohol y se le reemplaza por agua. Se saca después la misma cantidad de mezcla y se reemplaza por agua, quedando ésta última mezcla con un 49% de alcohol. Determinar la cantidad de líquido que se ha sacado cada vez. Solución : La cantidad que se saca y se reemplaza es la misma, entonces la proporción de lo que se extrae es en la primera extracción, se tiene Seleccion
Alcohol
Agua
Inicio
100
0
1 2
100 (100
por tanto (100
x)
x)
x x (100 100
x (100 100
x ; entonces 100
x x)
x
x 100
x) = 49
y vemos que al resolver para x se obtiene el valor de x = 30: Note que este problema tiene una raíz rara, extraña o falsa y ocurre para x = 170:
17 51. La suma de tres números es 21. El cociente de dos de ellos es 2:5 y la suma de estos dividida entre el tercero da como cociente 2. ¿Cuál es el menor de los tres números? Solución : Sean x; y; z los tres números, planteando el sistema de ecuaciones 8 > > > x +xy + z = 21 < = 2:5 y > > x+y > : =2 z 8 > > < x + y + z = 21 x 2:5y = 0 > > : x + y 2z = 0 al resolver dicho sistema, se tiene que
x = 10:0; y = 4:0; z = 7:0 entonces el número menor corresponde a y = 4 52. Un padre actualmente tiene el triple de la edad de su hijo; si hace 6 años la edad del padre era el quíntuple de la edad de su hijo. Señale la suma de cifras de edad del padre. Solución : Sean x; y las edades respectivas del padre e hijo respectivamente, entonces ( x = 3y x
6 = 5 (y
6)
al resolver dicho sistema de ecuación, se tiene x = 36; y = 12; entonces la suma de las cifras de la edad del padre es 9 53. Dos tuberías abiertas simultáneamente llenan un depósito en 1 hora 12 minutos. Si una de ellas tarda 1 hora más que la otra, en llenar el mismo depósito ¿en qué tiempo lo llenará la tubería de mayor caudal? Solución : Sean x : tiempo de la tubería de menor caudal y : tiempo de la tubería de mayor caudal planteando el sistema de ecuaciones lineales en formato de minutos 8 < 1+1 = 1 x y 72 : x = y + 60
resolviendo para y; se tiene que y = 120 min, lo cual equivale a y = 2 horas
18 54. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta del trabajo en 30 días. ¿En cuántos días podría hacer el trabajo el ayudante trabajando solo? Hombres
Dias Proyectado
Dias Reales
2
24
20
1
x
30
Solución : Al plantear una regla de tres compuesta se obtiene x=
2
24
30
= 72 1 20 55. En Navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los hombres lo han repartido: la mitad han dado un regalo a sus compañeros y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si en total se han dado 318 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa? Solución : Sean x número de hombres, y número de mujeres, sabemos que x = 2y 6, y (y 1) cantidad de regalos de x x las mujeres, porque cada mujer da un regalo a otra mujer, tambien (x 1) + y porque la mitad de los 2 2 hombres da un regalo a otro hombre y la otra mitad a las mujeres, de aqui, obtenemos que x (x 2
x = 2y 6 x 1) + y + y (y 2
1) = 318
cuya solución es y = 11; x = 16 56. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a la derecha el número resultante es divisible exactamente por un número que sobrepasa en 3 el buscado, siendo el cociente igual al divisor menos 16. Solución : Llamemos N al número buscado. El número divisible será (10N + 5), el divisor será (N + 3) y el cociente será (N + 3)
16 = (N
13). Entonces
N2 cuya solución es N =
(10N + 5)
= (N + 3)(N
20N
=
44
13)
0
2; N = 22; por tanto, la solución positiva es el resultado.
57. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es 144. Solución : El número deseado N , cumplirá N = 10d + u; u = d + 2; entonces (10d + u)(d + u)
=
144
(10d + d + 2) (d + d + 2)
=
144
22d2 + 26d
=
0
cuya solución es d = 2; de donde u = 4 y N = 24
140
1 UNIDAD DE ARITMETICA
1. La expresión 311 + 311 + 311 equivale a: Solución : Al sumar los tres términos se obtiene 311 = 312
3
2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres dígitos 5b9. Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces a + b es: Solución : Al sumar ambos números se obtiene 2a3 + 326 = 5b9 como el número 5b9 es divisible entre 9; esto signi…ca que la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 9, entonces 5 + b + 9 = 18; de aqui b = 4; entonces a + 2 = b; lo cual signi…ca que a = 2 y por tanto a+b=6 3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad así obtenida le resto su 10%. ¿Qué porcentaje de la cantidad original me queda? Solución : Sea x = Cantidad Inicial , entonces x + 0:1x = 1:1x es la cantidad aumentada en un 10%, pero a ésta le restamo su 10% y obtenemos 1:1x
0:1 (1:1x) = 0:99x
lo cual representa un 99% de la cantidad inicial. 4. Al simpli…car [(9
4) + ( 10 + 3)]
((6) ( 5))
[( 12 + 8) (6
9) (95
90)] el resultado es:
Solución : Al efectuar las operaciones indicadas se tiene [(9
4) + ( 10 + 3)]
((6) ( 5))
[( 12 + 8) (6
9) (95
90)]
= [5 + ( 7)] =
( 2) ( 30)
=
60
=
1
60
( 30) 60
[( 4) ( 3) (5)]
2 5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000? Solución : La descomposición del 2000 en factores primos es 2000 = 24 53 ; sumando 1 a cada exponente y multiplicando dichas expresiones, la cantidad de divisores será (4 + 1) (3 + 1) = 20
6. Al simpli…car 4 (3)
2
6
p 3 4 + 2 [5 (7)
15
3]
4
12
9. El resultado es:
Solución : Al efectuar las operaciones indicadas y respetando el orden de prioridad de los operadores aritmeticos, se tiene 2
4 (3)
6
p 3 4 + 2 [5 (7)
15
3]
4
12
9
=
36
=
6
=
60
=
240
=
20
=
11
6
6 + 2 [35
6 + 2 [35 4
12 12
5]
15 4
3] 12
4
12
9
9
9 9
9
7. ¿Cuántos números válidos de cinco cifras se pueden escribir usando solo los dígitos 0; 1; 2; 3 y 4? Solución : El número 0 no puede ser el primer dígito, entonces, los otros lugares pueden ser ocupados por cualquieras de los 5 dígitos restantes, es decir, 4
5
5
5
5=4
54
8. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%. ¿Qué edad tiene Juan? Solución :
Una de la formas de resolver este problema es
69 ! 115% x ! 100%
, de aqui x =
69
100% = 60 115%
2 3 de los hombres están casados con los de las mujeres. Si nunca se casan con forasteros, 3 5 ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha ciudad?
9. En una ciudad,
Solución : Sea x = Cantidad de Hombres y = Cantidad de M ujeres
3 2 3 10 x = y ; de aqui, y = x 3 5 9 x+
10 x 9
2
2 x 3
10 x+ x 9
=
7 19
10. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿Cuál es la razón geométrica de los juegos ganados a los jugados? Solución : Total de juegos = 20, Total de juegos ganados =15, dicha proporción es
3 15 = 20 4
11. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común divisor es 5. ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma de estos dos números? Solución : Como su m.c.d es 5, signi…ca que 5 es el único divisor común. Por tanto, se trata de dos números múltiplos de 105 5. Como su m.c.m. es 105, entonces = 21. Descomponemos el 21 en el producto de dos divisores, esto es 5 3 y 7. Por tanto, uno de los números es 15 = 3 5, el otro es 35 = 5 7 , por tanto, su suma es 15 + 35 = 50
12. El resultado de
2 3
4 5
6 7
es:
Solución : Al realizar operaciones básicas aritmética se tiene 2 3
4 5
7 6
=
2 3
=
14 15 4 15
13. Juan gasta el 20% de sus ingresos en el pago de impuestos y 20% del resto en el pago de la mensualidad de su casa. ¿Qué porcentaje de su ingreso gasta en el pago de su casa? Solución : El valor gastado en el pago de impuesto es 0:2x luego lo que le queda es x
0:2x = 0:8x
por tanto, el pago de la mensualidad de la casa es 0:2 (0:8x) = 0:16x lo cual corresponde a un 16%
4
14. ¿Cuánto gano o pierdo si vendo por los
3 7 de los del costo de un juguete que me ha costado C$40:00? 5 2
Solución : Aplicando operaciones básicas aritméticas 3 5 luego se ha ganado 84
7 2
40 = 84:0
40 = 44:00 córdobas.
15. Cuatro personas juntaron sus ahorros para abrir un negocio aportando el 15%, 20%, 25% y 40%, respectivamente, del monto total. Si la menor de las aportaciones fue de C$9; 000, la mayor de las aportaciones fue de: Solución : La menor de la aportaciones equivale 0:15x = 9000 luego el monto total es x = 60; 000 La mayor de las aportaciones equivale 0:4 (60000) = 24; 000 16. De acuerdo al Reglamento de Admisión de una universidad, el puntaje total alcanzado por un estudiante está formado por el 70% de la nota obtenida en el Examen de Admisión y el 30% de su promedio de los dos últimos años de bachillerato. Si un estudiante alcanza un puntaje total de 81 y su promedio de los dos últimos años de bachillerato es 95, ¿qué puntaje obtuvo en el examen de admisión? Solución : Sea x la nota obtenida en el examen de admisión, entonces 0:7x + 0:3 (95) =
81
x =
75
17. Un grupo de amigas va de paseo y disponen de C$240:00 para la compra de sus pasajes. Si compran pasajes de C$30:00, les sobra dinero; pero si compran pasajes de C$40:00, les falta dinero. ¿Cuántas amigas van de paseo? Solución : Sea n la cantidad de amigas, entonces 30n < 240 40n > 240 y la solución de dicho sistema de ecuación se encuentra en el intervalo (6; 8), de aqui que la solución entera es n=7
5 18. En el parqueo de la UNI, entre carros y motos hay 20 vehículos. Sabiendo que el número total de ruedas es 70. ¿Cuántos carros hay? Solución : Sean x la cantidad de carros y (20
x) la cantidad de motos respectivamente, entonces 4x + 2 (20
x) = 70
x = 15 por tanto, hay 15 carros y 5 motos 19. Un estudiante de la UNI proveniente del interior del país gasta la cuarta parte de su “mesada” en el alquiler de una habitación, la mitad en comida, la quinta parte en materiales educativos y el resto, C$ 100.00, en recreación. ¿Cuánto es la “mesada” de este estudiante? Solución : Sea x la cantidad de la mesada recibida, entonces x
x 2
x 4
x = 5 x =
100 2000
20. El hielo disminuye su volumen en un 9% cuando se derrite. Si se derriten 1000cc de hielo, ¿Cuál es el volumen del líquido que se forma? Solución : Hay que obtener el 9% de 1000, es decir 0:09
1000 = 90cc
por tanto, el volumen que se forma es de 1000cc
90cc = 910cc
21. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero n? a) 2003n
b) n2 + 2003
c) n3
d) 2n2 + 2003
Solución : La expresión 2n2 es un número par y 2003 es un número impar, por tanto, su suma siempre sera impar
6 0
2
B B 4B @
6 6 22. La solución de 65 4
1 2 1 2
13
2
1
1 C7 C7 C7 es A5
Solución : Al desarrollar la fracción se tiene
5
23. Calcular el producto L naturales y que b
0
B B 4B @
1
2
1 2 1 2
1
1C C C = A
5
=
4
3 2
1
H sabiendo que L = a + b + c , H = d + c = f + g siendo a; b; c; d; f; g números
f = 91 ; a
d = 18 ; c
d = 16 ; b
g = 39
Solución : Como sabemos que b
f = 91 ; a
d = 18 ; c
d = 16 ; b
g = 39; podemos aplicar la teoria de máximo
común divisor y obtenemos : b = gcd (39; 91) = 13 , d = gcd (16; 18) = 2; de aqui f = 7; c = 8; a = 9; g = 3 y entonces L = a + b + c , H = d + c = f + g; y sustituyendo L = 9 + 13 + 8 = 30; H = 2 + 8 = 7 + 3 = 10; por tanto el producto es 300 5 2 de las reses de un ganadero y luego él vendió los de las que le quedaban. Si aún 8 3 tiene 216 reses, ¿Cuántas tenía al principio, cuántas murieron y cuántas vendió?
24. Una epidemia mató los
Solución : 5 x = 216, cuya solución es x = 1728; este valor son las 8 5 reses que tiene al inicio, las que mata la epidemia son (1728) = 1080; las que le quedan son 1728 1080 = 648 8 2 y las vende son (648) = 432 3 Formamos una ecuación lineal
25. Al realizar la operación
4:62
x
10
5 x 8
2
2 3
2:2
x
10
4
se obtiene el número
Solución : Al realizar la división indicada
26. La expresión Solución:
1 p es equivalente a: 2+ 32
4:62 2:2
102 = 210
7 Al racionalizar el denominador, se tiene 1 p 2+ 32
= =
p p 1 4 232+ 34 p p p 2+ 32 4 232+ 34 p p 4 432+ 34 10
p 1+ 2 p resulta: 27. Al racionalizar el numerador de 3 2 Solución: Al multiplicar por el conjugado del numerador p 1+ 2 p 3 2
p ! 1+ 2 p 3 2 1 2 p 5 4 2 1 p 4 2 5
= = =
1 1
p ! 2 p 2
28. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 24 días. Después de 4 días de trabajo, el ayudante se retira y el albañil termina lo que falta en 30 días. El número de días que podría hacer la obra el ayudante trabajando solo es: Solución: Al plantear una regla de tres compuesta Hombres
Dias Proyectado
Dias Reales
2
24
20
1
x
30
De aqui x= 29. Al simpli…car la expresión
2
24 1
30 20
= 72
21 + 20 + 2 1 se obtiene: 2 2+2 3+2 4
Solución: Al reescribir la expresión dada 1 2 1 1 1 + + 4 8 16 2+1+
y al efectuar operaciones básicas de suma y cociente, se tiene que el valor dado es 8
8 30. Se va a tender una línea eléctrica de 35:75km de longitud con postes separados entre sí por una distancia de 125m. Si el primer poste se coloca al inicio de la línea, y el último al …nal ¿cuántos postes serán necesarios en total? Solución: Al hacer la conversión de 35:75km a metros se tiene 35:75
1000 = 35750
lo cual a dividir entre 125; se tendría la cantidad de poste utilizado, es decir 35750 = 286 125 pero como el primer poste se coloca al inicio de la línea, se tiene que el total de poste es de 287 31. ¿Cuál es la diferencia entre el 50% de 50 y el 20% de 20? Solución: Calculemos los porcentajes dados 0:5 (50)
=
25
0:2 (20)
=
4
por tanto, la diferencia dada es 21 32. En la sustracción a
b = c, la suma del minuendo, el sustraendo y la diferencia es 32. ¿Cuál es el valor del
minuendo? Solución: Sabemos que a + b + c = 32 pero a
b = c; entonces a+b+a
33. El valor numérico de la expresión
42
b
=
32
a =
16
2
(3
2)
( 6 + 1)
2
es:
Solución: Al desarrollar la expresión dada 42
(3
2
2) 2
( 6 + 1)
= =
16 1 25 3 5
9 1 1 1 de un queque, B comió de lo que quedó después que A comió; C comió de lo que quedó 4 3 2 después que A y B comieron ¿Qué parte del queque quedó?
34. Si A comió
Solución : Sea x el total del queque, entonces al restar las partes que se comieron, se tiene x
1 x 4
1 3
x
1 x 4
1 2
x
1 x 4
1 3
x
1 x 4
1 x 4 3 2 del dinero que tenía, Mara compró gaseosas para festejar su cumpleaños. Con los del dinero que 7 5 le sobró compró hamburguesas. Al …nal Mara se quedó con C$100:00. ¿Cuánto gastó Mara en hamburguesas?
35. Con los
Solución : Al aplicar los datos x
2 x 7
3 5
x
2 x 7
=
100
x =
350
lo gastado en hamburguesa es 3 5
x
2 x 7
=
3 5
350
2 7
350
= 150
36. En una fábrica 60% de los artículos son producidos por una máquina A y el resto por otra máquina B. Si 3% de los artículos producidos por la máquina A y 8% de los producidos por la máquina B resultaron defectuosos ¿cuál es el porcentaje de artículos defectuosos producidos en toda la fábrica. Solución : Sea x el total de artículos producidos por la máquina A, entonces según los datos 0:6x + 0:4 (x
0:6x) = 100
37. La última vez que llené el tanque de gasolina, mi automóvil había recorrido 47; 286km. Ahora que acabo de llenarlo, la bomba marcó 22 litros y el cuentakilómetros marcaba 47; 506 km recorridos. Si el litro de gasolina cuesta C$20. ¿Cuánto me cuesta en promedio recorrer un kilómetro? Solución : Haciendo la diferencia 47506 el promedio en kilometraje es
47286 = 220 220 = 11 20
10 38. De acuerdo a la Ley de Gravitación Universal, la fuerza de atracción entre dos partículas varía directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros, m1 m2 . Cuando dos partículas con masas de un gramo cada una están separadas 1 cm, la fuerza es decir F = k d2 de atracción es de k = 6:67 10 8 dinas. ¿Cuál es la fuerza de atracción resultante entre estas partículas si se colocan a 1 metro de distancia? Solución : La aplicación de la fórmula da m1 m2 d2
F
= k
F
=
6:67
10
8
F
=
6:67
10
12
1 2
(102 )
39. La frecuencia de una onda de radio es inversamente proporcional a la longitud de onda. Si una onda de 250 m de longitud tiene una frecuencia de 1200 kilociclos por segundo, ¿cuál es la longitud de una onda que tiene una frecuencia de 800 kilociclos por asegundo? Solución : Aplicando los datos 250 = x x =
800 1200 375
40. Un frasco contiene 12 onzas de una solución cuya composición es una parte de ácido por cada 2 partes de agua. Se agrega a otro frasco que contiene 8 onzas de una solución que contiene 1 parte de ácido por cada 3 partes de agua. ¿Cuál es la razón entre el ácido y el agua de la solución obtenida? Solución : La relación en el frasco de 12 onzas es y el agua es
4 2 y en el frasco de 8 onzas es ; entonces la relación total entre el ácido 8 6 6 3 = 14 7
41. Por un préstamo de 20; 000 pesos se paga al cabo de un año 22; 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?
Solución : t
La fórmula dada es F = P (1 + i)
entonces 22400
=
i = lo cual representa 12%
20000 (1 + i) 0:12
11 42. Repetido con el ejercicio 31 43. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? Solución : Este es un problema de proporcionalidad compuesta,
De aqui
Gallinas
Huevos
Dias
1
2
3
4
24
x
2 3 = ; x=9 24 x
4 1
44. Si un número N se divide entre 4, se obtiene 9 de cociente y 1 de residuo. Si N se divide entre M , se obtiene 5 de cociente y 2 de residuo. ¿Cuál es el valor de M? Solución : De acuerdo a los datos del problema N
= cd + R = 36 + 1 = 37
N
=
5M + 2
al sustituir los datos 37
2 5 M
= M =
7
45. Repetido con el ejercicio 37 46. Repetido con el ejercicio 32 47. Repetido con el ejercicio 35 48. Un contratista compró 4000 piedras y las vendió por 8,800 córdobas. ¿Cuánto pagó el por cada piedra si ganó, en relación a lo que pagó, un porcentaje igual a 5 veces el número de córdobas que a él le costó cada piedra? Solución : El costo real de cada piedra es 8800 4000 2:2
= x + 5x = x+
x =
2
x2 20
x 100
12
49. El valor de la expresión
2
1 2
2
+ ( 2)
es:
3
( 2)
Solución : Al reescribir la expresión dada 2
1 2
2
+ ( 2)
=
3
( 2)
22 + 4 = 8
1
50. En el censo del año 1900 una ciudad registró una población de 20 000 personas. El año 1930 la población fue de 60 000 personas, 30 años después de 180 000 personas. Si el aumento de población en la ciudad se mantiene constante, para el año 2020 se puede estimar una población de: Solución : La proporción es de tipo directa, es decir, en cada periodo de 30 años, se triplica la población, por tanto, en 120 años, se tiene t
=
0 ! P = 20; 000
t
=
30 ! P = 60; 000
t
=
60 ! P = 180; 000
t
=
90 ! P = 540; 000
t
=
120 ! P = 1; 620; 000
51. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 córdobas invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual. Solución : La fórmula a utilizar es I=C
i
52. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1:3
t = 25000
0:06
4 = 6; 000
1017 segundos y la de la pirámide de Keops, 1:5
La diferencia de edad entre la tierra y la pirámide en notación cientí…ca es: Solución : Sea d la diferencia de edad, entonces 1017
d
=
1:3
1:5
d
=
1011 1:3
d
=
1011 (1299998:5)
d
=
1:2999985
106
1011 1:5
1017 seg
1011 segundos.
13 53. Al invertir $50:000 al 6% anual de interés compuesto trimestralmente, al término de 1 año se tendrá, en pesos, una cantidad de Solución : La fórmula corrrespondiente es t
4
4
F = P (1 + i) = 50000 (1 + 0:06) = 50; 000 (1:06) = 63; 123:848 54. ¿A qué equivale 15 kg? Solución : La conversión es 15
1000 g = 15; 000 g
55. ¿Cuál es la conversión correcta de 20l? Solución : La conversión adecuada es 20
1000 cc = 20; 000 cc
56. ¿A que equivalen 1; 5h? Solución : La conversión correspondiente es 1:5
3600 s = 5400 s
57. ¿A qué es igual 12m? Solución : La conversión correspondiente es 12
100 cm = 1200 cm
58. Un ciclista viaja a una velocidad de 20km=h , esta velocidad convertida a m=s es: Solución : Haciendo la conversión correspondiente, se tiene
20
1000 m = 5:56 m=s 3600 s
59. La temperatura en Fahrenheit que corresponde a 0 kelvin es: Solución : La fórmula de conversión es K =
F
32 1:8
+ 273:15 entonces
0
=
F
=
F
32 + 273:15 1:8 459:67
1 UNIDAD DE FUNCIONES
EJERCICIO 1
1. Escriba el producto cartesiano de los conjuntos dados. a. A = f 2; 1; 0; 1; 2g, b. A = fa; e; i; o; ug,
B = f3; 5; 7g
B = fc; d; hg
Solución: a. A
B=
(
( 2; 3) ; ( 2; 5) ; ( 2; 7) ; ( 1; 3) ; ( 1; 5) ; ( 1; 7) ; (0; 3) ; (0; 5) ;
b. A
B=
(0; 7) ; (1; 3) ; (1; 5) ; (1; 7) ; (2; 3) ; (2; 5) ; (2; 7) (
(a; c) ; (a; d) ; (a; h) ; (e; c) ; (e; d) ; (e; h) ; (i; c) ; (i; d) ; (i; h) ; (o; c) ; (o; d) ; (o; h) ; (u; c) ; (u; d) ; (u; h)
2. En los productos cartesianos del ejercicio 1 de…na 2 relaciones y 2 funciones. Solución: Ejemplos de dos relaciones tomando una de cada producto cartesiano son R1
= f( 2; 3) ; (0; 3) ; (1; 5)g :
R2
= f(a; c) ; (u; h)g :
Ejemplos de dos funciones tomando una de cada producto cartesiano son R
= f( 2; 7) ; ( 1; 3) ; (0; 5) ; (1; 5) ; (2; 3)g :
S
= f(a; h) ; (e; c) ; (i; h) ; (o; d) ; (u; c)g :
3. Determine cuáles relaciones representan funciones y cuáles no. a. f = f(2; 6) ; ( 3; 6) ; (4; 9) ; (2; 10)g b. g = f(a; 2) ; (b; 3) ; (c; 5) ; (a; 7)g c. h = f(a; 1) ; (b; 2) ; (c; 1) ; (d; 2)g d. i = f( 2; 4) ; ( 1; 1) ; (0; 0) ; (1; 1)g e. y = 5x f. y 2 =
3 x2
1
g. f (x) = x2 + x h. y =
p
x+4
6
)
)
2 Solución: a. f no es una función ya que el 2 admite dos imágenes que son el 6 y 10: b. g no es función porque el elemento a admite como imagen a 2 y a 7. c. Es una función si se considera como dominio al conjunto fa; b; c; dg. d. Es una función si se considera como dominio al conjunto f 2; 1; 0; 1g. e. Es una función lineal. f. No es una función, ya que dicha igualdad no se cumple para ningún valor real. g. Es una función cuadrática. h. No es función, dado que cada número real tiene como imagen dos valores. 4. Hallar el dominio y rango de cada función. a. f = f(0; 1) ; (3; 2) ; (1; 0) ; ( 3; 5) ; (2; 6)g b. f (x) = 2x
6
c. y(x) = 3x2 + 5x d. g (x) =
p
1
2x + 4
e. y = f (x) =
x x2
16 2
f. y = f (x) =
x +1
x2
Solución: a. Dom (f )
= f0; 3; 1; 3; 2g
Rang (f )
= f 1; 2; 0; 5; 6g
b. En este caso f es una función lineal por lo tanto Dom (f ) = R = Rang (f ) c. Aquí y es una función cuadrática que abre hacia arriba y cuyo vértice es el punto Dom (f )
= R
Rang (f )
=
5 ; 6
37 . En consecuencia 12
37 ;1 12
d. Se trata de una función raíz cuadrada. Sabemos que dicha función real está de…nida en los valores que satisfacen la condición 2x + 4
0 y de esta manera Dom (g)
=
Rang (g)
=
[ 2; 1)
[0; 1) = R+
3 e. Es una función racional. Si hacemos x2 de…nida, es decir, x =
16 = 0 encontraremos los valores para los que la función no está
4 y x = 4. Luego Dom (f )
= R
Rang (f )
= R
f 4; 4g
f. Es una función racional para la cual no hay restricciones en su dominio y de este modo resulta Dom (f )
= R
Rang (f )
= R+
5. Efectuar las evaluaciones indicadas para cada función a. f (x) = 2x2 + 5x b. g (x) =
p
f (0) ; f ( 1) ; f x2
3
x + 9,
c. y = f (x) =
g (7) ;
3x x+1
3 ; f (x + h) : g x4
g ( 5) ; g (x + 9) ;
f (2) ; f (0) ;
f ( 3) ;
2 :
f (h + 3) :
Solución: a. Considerando la ley de asignación f (x) = 2x2 + 5x f (0) f ( 1) f x2
3
f (x + h) b. Tomando en cuenta g (x) =
2
= 2 (0) + 5 (0)
3=
2
=
2 ( 1) + 5 ( 1)
=
2 x2
= p
3 tenemos 3
3=
3 + 5 x2
3
2
2 (x + h) + 5 (x + h)
6 3 = 7x2
24
2
3 = 2h + 4hx + 5h + 2x2 + 5x
x + 9 resulta g (7)
=
p
7+9=
p
16 = 4 p g ( 5) = 5+9= 4=2 p p g (x + 9) = (x + 9) + 9 = x + 18 p p g x4 2 = (x4 2) + 9 = x4 + 7 p
c. Si f (x) =
3x entonces x+1
f (2)
=
f (0)
=
f ( 3)
=
f (h + 3)
=
3 (2) 3 (2) = =2 2+1 3 3 (0) =0 0+1 3 ( 3) 9 = 3+1 2 3 (h + 3) 3h + 9 = (h + 3) + 1 h+4
3
4 EJERCICIO 2
Hallar dominio, rango y trazar grá…ca de cada función.
1. f (x) = 3x
2
Solución: Como la función dada es lineal, el dominio de f es R y su rango es también R:Su grá…ca es
y -4
10
-2
2
4
-10
x
2. g(x) = 4 Solución: Esta es una función constante. Su dominio es R y su rango es f4g : La representación grá…ca de esta función es
y
5 4
-4
3. y =
-2
0
2
4
x
2
(x + 5) + 1
Solución: Esta es una parábola con vértice ( 5; 1) : El dominio de esta función es R y su rango es [1; 1)
y -10
10
-5
5
x -10
5 p 4. h(x) = 3 x
1+8
Solución: Para determinar el dominio de la función dada consideremos la desigualdad x
1
0; es decir, x
1; luego,
el dominio es el intervalo [1; +1) : El rango es el intervalo [8; +1) y su grá…ca es
y 10
-1
1
2
3
4
5
x
5. g(x) = 2 jx + 6j Solución: Esta es una función valor absoluto con vértice ( 2; 0); dominio R y rango [0; +1) : La grá…ca es 10
y -10
-8
-6
-4
-2
2
x
-10
6. y = x3
1
Solución: Tanto el dominio como el rango de la función dada es R y su grá…ca es la obtenida al desplazar la grá…ca de y = x3 una unidad hacia abajo:
y
-4
10
-2
2
-10
4
x
6 8 > > < 3 7. h(x) = x > > : 3
x
3
3
3
x>3
Solución:
La función en cuestión es una función por partes. El dominio, a como podemos ver en la de…nión de la misma, es R y su rango es el intervalo [ 3; 3] : La grá…ca correspondiente a esta función es:
y -4
2
-2
2
4
-2
8. y =
p
4
x
x
Solución: Para determinar el dominio de la función dada consideremos la desigualdad 4
x
0; que equivale a 4
x:
En consecuencia, el dominio es el intervalo ( 1; 4] : El rango de la función es ( 1; 0] y su grá…ca es
y -4
2
-2
2
4
-2
6
x
-4
9. y =
( p
25 x
x2 5
5
x
5
x>5
Solución: Por como está de…nida la función en cuestión, el dominio es [ 5; 5] [ [5; +1) = [ 5; +1) : Por otra parte, para p x 2 [ 5; 5] tenemos y = 25 x2 ; ecuación que describe una porción de la circunferencia a x2 + y 2 = 25: Y
para x 2 [5; +1) la grá…ca es una porción de la recta de…nida por y = x es [0; +1) y su grá…ca es
y
6 4 2
-5
-2
5
10
x
5; luego, el rango de la función dada
7
10. y =
(
x2
4
x
1
2
x +2 x>1
Solución: Tanto el dominio como el rango de la función dada es R y la grá…ca correspondiente es la siguiente: 10
y -4
-2
2
4
x
-10
11. h(x) = x2 + 6x
2
Solución: Esta es una parábola con vértice ( 3; 11):Su domino es R y el rango de la misma es el intervalo [ 11; +1) :A continuación se presenta la grá…ca
y -10
-5
5
x -10
12. g(x) =
5x + 1
Solución: Siendo una función lineal, el dominio y rango de la misma es R: Su grá…ca es
y -4
10
-2
2 -10
4
x
8
13. h(x) =
(
2x 2
x
x
2
4x + 1 x > 2
Solución: Al considerar cada parte de la función dada vemos que el dominio de la misma es ( 1; 2] [ (2; +1) = R: A
como vemos en la grá…ca siguiente, el rango es ( 1; 11) [ [ 4; +1) :
y -4
-2
10 2
-10
4
x
-20 -30 -40
14. h(x) =
( p
x
2 x 2
x
2
x<2
Solución: Nuevamente, por la de…nición de la función dada, el dominio de la misma es R y su rango también es R: La grá…ca correspondiente es
y
4 2
-5
5
10
x
-2 -4
15. y =
(x + 2)3 + 5
Solución: Siendo una función cúbica, el dominio y rango de la función dada son iguales a R: La grá…ca es:
y
-10
10
-5
5
-10
10
x
9
16. f (x) =
(
jx
2j + 3 x < 0 x+5
x
0
Solución: El dominio de la función dada es ( 1; 0) [ [0; +1) = R y, a como vemos en la grá…ca, su rango es [5; +1) : La representación grá…ca es
y 5
-3
17. y =
8 > > < > > :
x2
x<2
5
x=2
-2
-1
1
2
3
x
x+6 x>2
Solución: Siendo una función por parte, vemos que el dominio de la misma es ( 1; 2) [ f2g [ (2; +1) = R: En el rango
vemos que todo número real distinto de 4 es imagen de un número real dado, luego el rango de la función es R
f4g : A continuación se muestra la grá…ca de la función dada
y 5
-4
8 2 > > < x +3 x< 18. h(x) = 0 x= > > : x2 + 1 x >
-2
2
4
x
2 2 2
Solución:
La grá…ca de esta función está conformada por dos trozos de dos parábolas y un punto de R2 : El dominio es R: El rango lo obtenemos al evaluar x2 + 3 en
2: ( 2)2 + 3 = 7; y considerar el vértice de y =
(0; 1): Luego, el rango es ( 1; 1] [ (7; +1) : La grá…ca de la función es
y 10
-4
-2
2
4
x
x2 + 1 :
10 19. f (x) =
p
16
3x2
Solución: La grá…ca de y =
p
16
3x2 es una porción de la elipse
y
x2 p4 3
2
+
y2 =1 42
4 2
-4
-2
2
4
x
-2
El dominio es el intervalo 8 2 > x<1 > < x 3 20. g(x) = x jxj < 1 > > : 2x x 1
h
p4 ; p4 3 3
i
y su rango es [0; 4] :
Solución:
El dominio es R
f 1g y su rango es ( 1; 1) [ (1; +1) : La grá…ca de la función dada es la siguiente
y
4 2
-3
-2
-1
1 -2
2
3
x
Resolver los siguientes problemas.
1. Se desea elaborar una caja sin tapa partiendo de una pieza rectangular de cartón, cuyas dimensiones son 20x30 pulgadas, cortando en las esquinas cuadrados idénticos de área x2 , y doblando los lados hacia arriba. Exprese el volumen V de la caja como función de x. Solución: El volumen está dado por V
=
(30
=
3
4x
2x) (20 2
2x) x
100x + 600x
11 2. La tasa de crecimiento "y", de un niño, en libras por mes, se relaciona con su peso actual x, en libras, mediante la fórmula y = cx(21
x), donde c es una constante positiva, y, 0 < x < 21. ¿A qué peso se tiene la tasa
máxima de crecimiento? Solución: El valor de x =
b permite obtener el punto máximo, el cual se localiza en el vértice, entonces 2a b = 2a
x=
21c = 10:5 2c
3. Hace 5 años se compró una casa en $16; 000, este año fue valorada en $19; 000. Suponiendo que el valor de la casa está relacionado linealmente con el tiempo: a) hallar una fórmula que Indique el valor de la casa en cualquier tiempo t (en años) después de la fecha de compra, b) ¿hace cuántos años la casa valía $17; 800?, c) ¿dentro de cuántos años la casa valdrá $22; 000? Solución: La función buscada tiene la forma f (t) = 600t + 19000; para determinar t cuando la casa valía 17800; se sustituye en dicha función y se despeja la variable t 17800
=
t
=
600t + 19000 2
Para ver en cuanto tiempo costará 22; 000;se procede de forma análoga 22000
=
600t + 19000
t
=
5
4. Para niños cuyas edades están entre 6 y 10 años, la altura en pulgadas, "y", en promedio, es función lineal de la edad en años t. La altura de un niño es 48 pulg. a la edad de 6, y de 50:5 pulg. a la edad de 7. (a) Expresar "y" en función de t. (b) Predecir la altura del niño cuando cumpla 10 años. Solución: La función lineal tiene la forma f (x) = ax + b; al sustituir los valores respectivos 48
=
6a + b
50:5
=
7a + b
al resolver dicho sistema, se obtiene que a = 2:5; b = 33; entonces la función lineal tiene la forma f (t) = 2:5t + 33 Para predecir la altura del niño cuando cumpla 10 años, sustituimos este valor en la expresión funcional y entonces f (t)
=
2:5 (10) + 33
f (t)
=
58
12 5. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde la azotea de un edi…cio, con velocidad inicial de 144 pies/s. Su distancia s(t) en pies sobre el piso a los t segundos está dada por s(t) =
16t2 + 144t + 100.
(a) Hallar su altura máxima sobre el piso. (b) Calcule la altura del edi…cio. Solución: Necesitamos conocer el vértice de la parábola, entonces b = 2a
x=
144 = 4:5 32
entonces la altura máxima del objeto, se obtiene evaluando la función dada en x = 4:5; es decir s (4:5) = 424 pies La altura del edi…cio está dada por s (0) = 100 pies 6. El pago diario de una cuadrilla de trabajadores es directamente proporcional al número de trabajadores. Si una cuadrilla de 12 trabajadores gana C$5; 400 diario: (a) Exprese el pago diario en función del número de trabajadores (b) Hallar el pago diario para una cuadrilla de 18 trabajadores. Solución: La función buscada es de la forma f (x) =
5400 x = 450x 12
para una cuadrilla de 18 trabajadores, se tiene f (18) = 450 (18) = 8100 7. Una fábrica de lámparas tiene costos …jos de $3; 000 y el costo de la mano de obra y de materiales es de $15 por lámpara, encuentre la función de costo total del número de lámparas producidas. Si cada lámpara se vende a $25, hallar la función de ingreso y de utilidad. Solución: La función de costo total está dada por C (x) = 15x + 3000 la función de ingreso I (x) = 25x la función de utilidad es U (x)
= I (x)
C (x)
=
25x
15x
=
10x
3000
3000
13 8. Una empresa de TV por cable da servicio actualmente a 5000 usuarios, y cobra $20 al mes. Un estudio de mercado indica que cada disminución de $1 en la tarifa mensual dará como resultado 500 clientes nuevos. Sea I(x) el ingreso total en dólares cuando la tarifa sea x dólares. (a) Hallar la función de ingreso I. (b) Hallar el valor de x que dé el ingreso máximo mensual. (c) Gra…que la función I. Solución: La función de ingreso está dado por I (x) = 500x(30
x) = 15000x
500x2
(a) el valor de x que da el ingreso máximo mensual, se obtiene por medio del vértice x = x = =
b 2a 15000 2( 500) 15
…nalmente la grá…ca es
y
1e+5 50000
10
20
30
-50000
x
EJERCICIO 3 No existe en la de…nición de la Guía
EJERCICIO 4
1. Para cada función hallar f 1 (a) f (x) = 1 + ; x p (b) f (x) = x 2; 2x + 3 (c) f (x) = ; 3x 2 (d) f (x) = x2 + 2; 2x ; (e) f (x) = x 4
g, f g,
1 xp g (x) = 4 x 4x g (x) = 3x 2 g (x) = 2x2 1 x g (x) = x+5 g (x) =
f y el dominio correspondiente. g
14 Solución Tenemos que a. (f + g) (x)
= f (x) + g (x) =
Dom (f + g)
(f
= R
g) (x)
Dom (f
(f g) (x)
= R
g (x) =
= R f g
Dom
+
1 2 =1+ x x
1+
1 x
1 =1 x
f0g
= f (x) g (x) =
Dom (f g)
1 x
f0g
= f (x)
g)
1+
1+
1 1 = 2 (x + 1) x x
1 x
f0g 1 x
1+ f (x) = 1 g (x) x
(x)
=
f g
= R
=x+1
f0g
b. (f + g) (x) Dom (f + g) (f
g) (x)
Dom (f
g)
= f (x) + g (x) = =
(f g) (x) Dom (f g) f g Dom
x
2+
p
4
x
p
x
2
p
4
x
[2; 4]
= f (x) =
p
g (x) =
[2; 4]
= f (x) g (x) = =
[2; 4]
(x)
=
p f (x) x =p g (x) 4
f g
=
[2; 4)
p
x2 + 6x
2 = x
r
x 4
8
2 x
c. (f + g) (x) Dom (f + g)
(f
g) (x)
Dom (f
g)
= f (x) + g (x) = = R
2 3
= f (x) = R
2x + 3 4x 6x + 3 + = 3x 2 3x 2 3x 2
g (x) = 2 3
2x + 3 3x 2
4x 3 2x = 3x 2 3x 2
15
(f g) (x)
2x + 3 3x 2
= f (x) g (x) =
Dom (f g)
Dom
=
8x2 + 12x (3x
2
2)
2 3
= R
f g
4x 3x 2
2x+3 3x 2 4x 3x 2
f (x) = g (x)
(x)
=
f g
= R
=
2x + 3 4x
2 3
0;
e. = f (x) + g (x) = x2 + 2 + 2x2
(f + g) (x) Dom (f + g)
(f
= R
g) (x)
Dom (f
Dom (f g)
g (x) = x2 + 2
= f (x)
g)
(f g) (x)
1 = 3x2 + 1
2x2
1 =3
x2
= R = f (x) g (x) = x2 + 2
2x2
1 = 2x4 + 3x2
2
= R f g
(x) f g
Dom
f (x) x2 + 2 = 2 g (x) 2x 1 1 p = R 2 =
f. (f + g) (x) Dom (f + g)
(f
g) (x)
Dom (f
g)
(f g) (x) Dom (f g)
= f (x) + g (x) = = R
x
4
+
x x+5
=
3x2 + 6x x2 + x 20
x x+5
=
x2 + 14x x2 + x 20
f 5; 4g
= f (x) = R
g (x) =
2x x
4
f 5; 4g
= f (x) g (x) = = R
f 5; 4g
f g
(x)
=
f g
= R
Dom
2x
2x x
f (x) = g (x)
4
2x x 4 x x+5
f 5; 4g
x x+5
=
=
2x + 10 x 4
x2
2x2 + x 20
16 2. Dada f (x) = x + 3, g (x) = x2 , hallar: (a) (f + g) (3) (b) (f
g) (3)
(c) (f g) (3) (d)
f g
(3)
Solución a. (f + g) (3) = f (3) + g (3) = (3 + 3) + 32 = 15 b. (f
g) (3) = f (3)
g (3) = (3 + 3)
32 =
3
c. (f g) (3) = f (3) g (3) = (3 + 3) 32 = 54 d.
f g
3. Dada f (x) = 3x + 1, (f + g) (x) = 6
1 2 x.
(3) =
3+3 2 f (3) = = 2 g (3) 3 3
Hallar la función g.
Solución Sabemos que (f + g) (x) = f (x) + g (x), así que en este caso (f + g) (x) = 3x + 1 + g (x), pero 1 1 1 x, así que 6 x = 3x + 1 + g (x) ; por lo cual g (x) = 6 x (3x + 1) = 5 (f + g) (x) = 6 2 2 2 7 tanto, la función g, tiene ley de asignación g (x) = 5 x. 2
4. Dada f (x) =
1 , x
f g
(x) =
7 x. Por 2
x+1 , hallar la función g. x2 x
Solución 1 1 f 1 x Dado que f (x) = , entonces (x) = = . Por otro lado, x g g (x) xg (x) x+1 1 1 x2 x = . Resultando que g (x) = , es decir g (x) = x2 x xg (x) x x+1
f x+1 (x) = 2 , de lo cual g x x x 1 . x+1
17 5. Dadas f y g, determinar (f
g) (x), (g f ) (x) y sus dominios respectivos.
(a) f (x) = 4x2 3, g (x) = 3 12 x2 p (b) f (x) = x + 1, g (x) = 3x p (c) f (x) = x2 + 1, g (x) = x 1 p 3 (d) f (x) = x+1 , g (x) = 3 x p (e) f (x) = x2 3x, g (x) = x + 2
Solución
a. (f
g) (x) = f (g (x)) = f
3
1 2 x 2
y (g f ) (x) = g (f (x)) = g 4x2
1 4x2 2
3 =3
2
1 2 x 2
=4 3
3 = x4
2
3
12x2 + 33
8x4 + 12x2
=
El dominio de ambas funciones es R. b. (f y (g f ) (x) = g (f (x)) = g El dominio de (f
g) es
1 3; 1
p
p x+1 =3 x+1
p
1 =
p
(g f ) (x) = g (f (x)) = g x2 + 1 =
p
(f
g) (x) = f (g (x)) = f
x
y
g) es [1; 1) y el de (g f ) = R
d. (f
g) (x) = f (g (x)) = f
p 3
x
(g f ) (x) = g (f (x)) = g g) y el de (g f ) es R
f 1g
1
x = p 3
3 x+1
2
+1=x
x2 + 1
y
El dominio de (f
3x + 1
y el de (g f ) [ 1; 1).
c.
El dominio de (f
p
g) (x) = f (g (x)) = f (3x) =
=
1=x
3 x+1
r 3
3 x+1
3 2
18 e. (f
g) (x) = f (g (x)) = f
p
x+2 =
p
2
x+2
p
3
y (g f ) (x) = g (f (x)) = g x2 El dominio de (f
3x =
g) es [ 2; 1) y el de (g f ) es [ 2; 1] [ [2; 1).
6. Dadas f (x) = 3x2 + 4, g (x) = 5x, hallar (f
x+2 =x+2
p x2
g) (x), (g f ) (x), (f
3x + 2
g) ( 2) :
Solución Tenemos que (f
2
g) (x) = f (g (x)) = f (5x) = 3 (5x) + 4 = 75x2 + 4
y (g f ) (x) = g (f (x)) = g 3x2 + 4 = 5 3x2 + 4 = 15x2 + 20 Por otro lado, (f 7. Pruebe que (f
2
g) ( 2) = 75 ( 2) + 4 = 304
g) (x) = (g f ) (x) = x:
1 6, g (x) = x + 3 2 p (b) f (x) = x3 , g (x) = 3 x (a) f (x) = 2x
Solución
a. (f
g) (x) = f (g (x)) = f
1 x+3 2
=2
y (g f ) (x) = g (f (x)) = g (2x
6) =
1 x+3 2
1 (2x 2
6) + 3 = x
en consecuencia, (f
g) (x) = (g f ) (x) = x
b.
x =
p 3
(g f ) (x) = g (f (x)) = g x3 =
p 3
(f
g) (x) = f (g (x)) = f
p 3
y
en conclusión, (f
g) (x) = (g f ) (x) = x
6=x
x
3
=x
x3 = x
3
p
x+2
19 8. Resolver los siguientes problemas.
(a) Un incendio en campo abierto seco, se propaga en forma de círculo. Si el radio de este círculo aumenta a una velocidad de 6 pies=m{n. Exprese el área total incendiada en función del tiempo en mínutos t. Solución Sabemos que la fórmula para encontrar el área de un círculo es A = r2 , y dado que r = vt, entonces el área total incendiada está dada por A (t) = 36 t2 pies2 : (b) Dos barcos parten de un puerto a la misma hora, uno viaja al oeste con una velocidad de 17 millas=h, y el otro hacia el sur a 12 millas=h. Si t es el tiempo en horas que ha transcurrido desde su partida, expresar la distancia d entre los barcos como una función del tiempo. Solución La distancia del barco que va a una velocidad de 17 millas=h, está dada por d1 (t) = (17t) millas, mientras que la del otro barco es d2 (t) = (12t) millas. De acuerdo a la información del problema podemos formar un triángulo rectángulo, en el cual las medidas de los catetos son d1 (t) = (17t) millas y d2 (t) = (12t) millas. En consecuencia, la distancia a la cual están los dos barcos en función del tiempo es q 2 2 d (t) = [d1 (t)] + [d2 (t)] q 2 2 = [(17t) millas] + [(12t) millas] q 2 2 = (289t2 ) (millas) + (144t2 ) (millas) q 2 = 433t2 (millas) (20:81t) millas:
(c) Se desea construir un tanque de acero para almacenar gas propano. Su forma debe ser la de un cilindro circular recto de 10 pies de altura, con una semiesfera unida en cada extremo. Su radio r debe determinarse, expresar el volumen V del tanque en función de r. Solución El volumen de un cilindro está dado por la fórmula V1 = r 2 h y el de una esfera V2 =
4 3 r 3
así que el volumen del tanque es V (r) =
4 3 r + 10 r2 3
pies
20 EJERCICIO 5 1. Determinar si las funciones dadas son biyectivas. (a) g (x) = 3x + 5 (b) h (x) = x2 (c) g (x) = 2x (d) f (x) = x3 6 p (e) g (x) = x + 7 (f) h (x) = 5x2
x+1
Solución: (a) Sea g (a) = g (b) con a y b números reales perteneciente al dominio de g; entonces 3a + 5
=
3b + 5
3a =
3b
a = b esto muestra que g es inyectiva. Para ver la sobreyectividad, sea z 2 R; entonces
veri…ca que
g
z
5
=
3
z
3
5
3 5+5
= z
z
5 3
2 R; luego se
+5
= z por tanto, g (x) es sobreyectiva, ambas condiciones nos garantiza que g (x) sea biyectiva. (b) Sea a 2 R ; por de…nición de función inyectiva a 6=
a =) h (a) 6= h ( a)
pero h (a) = a2 = h ( a) por tanto, h no es inyectiva, luego no puede ser biyectiva. (c) Sea g (a) = g (b) con a y b números reales perteneciente al dominio de g; entonces 2a =
2b
a = b esto muestra que g es inyectiva. Para ver la sobreyectividad, sea z 2 R; entonces
que
g
z z =2 =z 2 2
por tanto, g (x) es sobreyectiva, lo cual nos garantiza que g (x) sea biyectiva.
z 2 R; luego se veri…ca 2
21 (d) Sea f (a) = f (b) con a y b números reales perteneciente al dominio de g; entonces a3
6
= b3
a3
= b3
6
a = b esto muestra que g es inyectiva. Para ver la sobreyectividad, sea z 2 R; entonces
veri…ca que
f
p 3
z+6
p 3
=
z+6
= z+6
3
p 3
z + 6 2 R; luego se
6
6
= z por tanto, f (x) es sobreyectiva, lo cual nos garantiza que f (x) sea biyectiva. (e) Sea g (a) = g (b) con a y b números reales perteneciente al dominio de g; entonces p
p
a+7
=
b+7
a+7
= b+7
a = b esto muestra que g es inyectiva. Para ver la sobreyectividad, sea z 2 Im (g) ; entonces z 2 luego se veri…ca que
g z2
7
p z2 p = z2 =
7 2 Dom (g) ;
7+7
= z por tanto, g (x) es sobreyectiva, lo cual nos garantiza que g (x) sea biyectiva. (f) Como h es una función cuadrática, es su…ciente mostrar que dado a 6= b con a y b números reales 1 perteneciente al dominio de g; se veri…que que h (a) = h (b) ;es decir, si 0 6= entonces 5 = h
1 5
1
=
5
1 5
1
=
1
h (0)
2
1 +1 5
esto muestra que h no es inyectiva, luego no puede ser biyectiva 2. Veri…car que cada función es biyectiva y hallar su inversa f f
1
1
: Además comprobar que f
f
1
(x) =
f (x) = x: Trazar las gra…cas de ambas funciones en un mismo sistema y compruebe la simetria
respecto a la recta identica y = x (a) f (x) = 3x + 5 (b) f (x) = 2x3 p (c) f (x) = 3
5 x
22 p
x2 ; 0
x
x2 + 3 ; x p (f) f (x) = 3 x + 1
0
(d) f (x) =
4
(e) f (x) =
2
Solución :
(a) Idem al inciso (a) del ejercicio anterior. Hallando la función inversa, se tiene 1
f
x
(x) =
5 3
entonces veri…cando la condición f
1
f
1
(x) = f f
x
(x) = f
5
x
=3
3
3
luego 1
f
1
f (x) = f
1
(f (x)) = f
5
3x + 5 3
(3x + 5) =
+5=x
5
=x
la grá…ca correspondiente es
y
-3
-2
2
-1
1
2
3
x
-2
(b) Sea f (a) = f (b) con a y b números reales perteneciente al dominio de f; entonces 2a3
5
=
2b3
2a3
=
2b3
a3
5
= b3
a = b esto muestra que f es inyectiva. Para ver la sobreyectividad, sea z 2 R; entonces
veri…ca que
f
r 3
z+5 2
!
=
2
r
=
2
z+5 2
3
z+5 2
!3
r 3
z+5 2 R; luego se 2
5
5
= z por tanto, f (x) es sobreyectiva, lo cual nos garantiza que f (x) sea biyectiva. Hallando la función inversa, se tiene f
1
(x) =
r 3
x+5 2
entonces veri…cando la condición f
f
1
(x) = f f
1
(x) = f
r 3
x+5 2
!
=2
r 3
x+5 2
!3
5=x
23 luego f
1
f (x) = f
1
1
(f (x)) = f
3
2x
5 =
r 3
2x3
5+5 2
=x
la grá…ca correspondiente es
y
2 1
-2
-1
1
2
x
-1 -2
(c) Sea f (a) = f (b) con a y b números reales perteneciente al dominio de f; entonces p p 3 a = 3 b 2 p p 2 3 a = 3 b 3
a =
3
b
a = b esto muestra que f es inyectiva. Para ver la sobreyectividad, sea z 2 R; entonces 3 veri…ca que
z2
f 3
p 3
=
z 2 2 R; luego se
3 + z2
= z
por tanto, f (x) es sobreyectiva, lo cual nos garantiza que f (x) sea biyectiva. Hallando la función inversa, se tiene f
1
x2
(x) = 3
entonces veri…cando la condición 1
f
f
1
f (x) = f
1
(x) = f f
luego f
1
x2 =
(x) = f 3
(f (x)) = f
1
p
3
p 3
x =3
3 + x2 = x p
3
x
2
=x
la grá…ca correspondiente es
y
-3
-2
2
-1
1
2
3
x
-2
(d) Sea f (a) = f (b) con a y b números reales perteneciente al dominio de f; entonces p p 4 a2 = 4 b2 p p 2 2 4 a2 = 4 b2 4
a2
=
4
a = b
b2
24 z 2 2 R; luego se
esto muestra que f es inyectiva. Para ver la sobreyectividad, sea z 2 R; entonces 4 veri…ca que
z2
f 4
p 4
=
4 + z2
= z
por tanto, f (x) es sobreyectiva, lo cual nos garantiza que f (x) sea biyectiva. Hallando la función inversa, se tiene 1
f
x2
(x) = 4
entonces veri…cando la condición 1
f
f
1
f (x) = f
(x) = f f
1
luego f
1
x2 =
(x) = f 4
(f (x)) = f
p
1
4
p 4
4 + x2 = x
p
x =4
4
x
2
=x
la grá…ca correspondiente es
y
4 2 0 0.5
1.0
1.5
2.0
x
-2 -4
(e) Sea f (a) = f (b) con a y b números reales perteneciente al dominio de f; entonces a2 + 3 = a2
b2 + 3
= b2
a = b esto muestra que f es inyectiva. Para ver la sobreyectividad, sea z 2 R; entonces
p
veri…ca que
f
p
3
z
p
=
3
z
2
3
z 2 R; luego se
+3
= z por tanto, f (x) es sobreyectiva, lo cual nos garantiza que f (x) sea biyectiva. Hallando la función inversa, se tiene f
1
(x) =
p
3
z
entonces veri…cando la condición f
f
1
f
1
f (x) = f
(x) = f f
1
(x) = f
p
3
z =
luego 1
(f (x)) = f
1
x2 + 3 =
p
3
z
2
p 3 + x2
+3=x
3=x
25 la grá…ca correspondiente es
y
4 2 0 0.5
1.0
1.5
2.0
x
-2 -4
(f) Sea f (a) = f (b) con a y b números reales perteneciente al dominio de f; entonces p 3
p 3
a+1 = p 3 a = p 3 3 = a
b+1
p 3
b p 3
3
b
a = b esto muestra que f es inyectiva. Para ver la sobreyectividad, sea z 2 R; entonces (z veri…ca que
3
f (z
1)
q 3 (z
=
3
1) 2 R; luego se
3
1) + 1
= z
por tanto, f (x) es sobreyectiva, lo cual nos garantiza que f (x) sea biyectiva. Hallando la función inversa, se tiene f
1
3
(x) = (z
1)
(x) = f (z
1)
entonces veri…cando la condición f
f
1
(x) = f f
1
luego f
1
f (x) = f
1
(f (x)) = f
1
p 3
3
=
x+1 =
q 3 (z p 3
la grá…ca correspondiente es
y
4 2
-4
-2
2 -2 -4
4
x
3
1) + 1 = x
x+1
1
3
=x
26 EJERCICIO 6
1. Transformar de forma exponencial a logarítmica y viceversa, según el caso. (a) 43 = 643 (b) 10
3
(c) log3
= 0:001 1 243
=
5
(d) log7 1 = 0 Solución Para transformar una expresión dada en forma exponencial a logarítmica y viceversa, se hace uso de la expresión ax = y () loga y = x: Debemos identi…car los valores x; y; a en la expresión dada para luego sustituirlos adecuadamente en la expresión que queremos formar. (a) log4 643 = 3 (b) log10 0:001 =
3
(c) 3
5
=
1 243
(d) 70 = 1 2. Expresar en función de los logaritmos de x; y; z: p 2 xz (a) loga y4 q p (b) loga x yz 3 s x2 (c) loga 3 z yz 5 Solución Para la resolución de este ejercicio y del subsiguiente haremos uso principalmente de las tres propiedades fundamentales de los logaritmos y de algunos recursos del álgebra. Recordemos pues, que si tienen sentido las expresiones loga A y loga B; se cumple loga A + loga B
=
loga (AB) A loga A loga B = loga B loga (An ) = n loga A
(i) (ii) con n 2 R:
(iii)
27
(a) Sea loga
p
xz 2 ; entonces y4 loga
p
xz 2 y4
p
= loga
= loga
xz 2
p
loga y 4
x + loga z 2
1
= loga x 2 + loga z 2 = por tanto,
por (ii) loga y 4
por (i) p 1 por n a = a n
loga y 4
1 loga x + 2 loga z 2
4 loga y:
por (iii)
p
xz 2 1 = loga x + 2 loga z 4 loga y: 4 y 2 p 2 xz en función de los logaritmos loga x; loga y; loga z como de esta manera se ha logrado expresar loga y4 lo requería el ejercicio. q p (b) Sea ahora loga x yz 3 ; entonces loga
loga
q p x yz 3
= loga = loga
q q
1
x (yz 3 ) 2 1
por
por (ab) 1 2
3
= loga xy 2 z 2 1
1
por
1
1
3
(c) Finalmente, sea loga
s 3
loga
3
= anm
= am bm y (an )
por (iii)
x2 z: Es fácil ver que yz 5 3
s
m
1
q p 1 1 3 x yz 3 = loga x + loga y + loga z: 2 4 4
s entonces,
= anm
por (i)
1 3 1 loga x + loga y + loga z 2 4 4
loga
m
= am bm y (an )
a = an
por (ab)
= loga x 2 + loga y 4 + loga z 4
en conclusión,
p n
m
3
= loga x 2 y 4 z 4
=
1
a = an m
3
xy 2 z 2 1
p n
x2 z yz 5
2
x2 x3 z= 1 2: yz 5 y3z3
( )
2
= loga
x3 1
2
= loga x 3 2
= loga x 3
2
= loga x 3 =
por ( )
2
y3z3
2 loga x 3
1
2
loga y 3 z 3
por (ii)
1
2
loga y 3 + loga z 3 1
loga y 3 1 loga y 3
2
loga z 3
2 loga z: 3
por (i) por Ley de los signos por (iii)
28 por tanto, loga
s 3
2 x2 z = loga x yz 5 3
1 loga y 3
2 loga z 3
3. Expresar como un solo logaritmo de x; y; z. (a) 2 loga x +
1 loga (x 3
(b) loga x3 y 2
2)
5 loga (2x + 3)
x p 2 loga x 3 y + 3 loga y
Solución (a) Sea 2 loga x + obtenemos
1 loga (x 3
2)
5 loga (2x + 3) ; entonces aplicando (iii) a cada término de la expresión 1
loga x2 + loga (x
5
loga (2x + 3) ;
2) 3
reescribiendo la expresión con exponente fraccionario a radicales resulta que la expresión anterior es igual loga x2 + loga
p 3
5
x
2
loga (2x + 3) :
2
loga (2x + 3) ;
aplicando (i) a la expresión anterior resulta p loga x2 3 x
5
aplicando a esta nueva expresión la propiedad (ii) se obtiene p x2 3 x 2 loga 5: (2x + 3) La expresión anterior puede también, reescribirse de la siguiente forma s p p 3 x6 (x 2) x2 3 x 2 x7 2x = loga 3 loga 5 = loga 5 15 : (2x + 3) (2x + 3) (2x + 3) concluimos que 1 2 loga x + loga (x 3 (b) Sea loga x3 y 2
2)
5 loga (2x + 3) = loga
s 3
x7
2x
15 :
(2x + 3)
x p 2 loga x 3 y + 3 loga ; entonces podemos transformar esta expresión de la siguiente manera y loga x3 y 2
x p 2 loga x 3 y + 3 loga = y
= loga x3 y 2
p loga x 3 y
= loga x3 y 2
loga x2
= loga x3 y 2
loga
2
+ loga
p x3 3 y 2 + loga 3 y x2
p 3
y2
x3 y3
x y
3
por (iii) por
a m c
=
m
(ab) por (i)
am cm
= am bm
29
3 2
= loga x y
loga
= loga x3 y 2
loga
0
B x3 y 2 B = loga B @ x5 = loga
p 3
y
7 3
y 13 : x2
"
2
x2 y 3 x3 y3
#
efectuando producto
x5
simpli…cando
7
y3
1 C C C A
por (ii)
por
x3 y 2 x5
7
= x3 y 2
y3 x5
7
y3 es decir, 3 2
loga x y
x 2 loga x y + 3 loga = loga y p 3
p 3
y 13 : x2
4. La cantidad de radio puro que queda después de t años, cuando inicialmente se tenían q0 miligramos, es q = q0 2
t=1 600
Use logaritmos de base 2 para evaluar t en términos de q y de q0 . Solución Transformemos la igualdad dada hasta obtener t: q = q0 2
t=1 600
)
q q0
=2
) log2
q qo
) log2 q
t=1 600
= log2 2 log2 q0 =
t=1 600 t 1 600
)
1 600 (log2 q
log2 q0 ) = t
)
1 600 log2 q + 1 600 log2 q0 = t
) t = 1 600 log2 q0
1 600 log2 q:
así, t expresado en términos de logaritmos de base 2 de q y q0 tiene la forma t = 1 600 log2 q0
1 600 log2 q:
5. El número N de bacterias en un cierto cultivo en el tiempo t, está dado por N = 104 3t . Use logaritmos de base 3 para determinar t en función de N . Solución N = 104 3t
) log3 N = log3 104 3t ) log3 N = log3 104 + log3 3t ) log3 N
log3 104 = log3 3t
) log3 N
log3 104 = t
) t = log3 N
4 log3 10
30 6. Gra…que las siguientes funciones: (a) f (x) = 4x
y
4 2
-4
-2
2
4
2
4
2
4
20
40
x
-2 x
(b) g (x) = 3
y
4 2
-4
-2
x
-2
(c) h (x) = 2jxj
y
4 2
-4
-2
x
-2
(d) f (x) =
(
4
x
25
log1=5 x 0 < x < 25
y
-40
10
-20
x
-10
(e) y =
(
1 x 2
(x
x 2
3)
3
x>3
y
-10
10
-5
5
-10
10
x
31 (f) g (x) = 3x + 3
x
y
4 2
-4
-2
2
4
-2
x
1 x (g) h (x) = log 10
y
4 2
-2
-1
1
2
3
x
-2
(h) y = log4 x
y
4 2
-2
2
4
2
4
2
4
-2
x
-4
(i) f (x) = log2 (x + 2)
y 2
-2
x
-2
(j) y = log2 x + 3
y
4 2
-2 -2
x
32 (k) f (x) = 2x+3
y
10
5
-4
(l) y = log2
p
-2
2
4
x
x
y 2
-2
2
4
x
-2
(m) y =
2 x 3
y6 4 2 -4
(n) h (x) = log3
-2
0
2
4
x
1 x
y
4 2
-2
2
4
x
-2
(o) y = 2 + 3
x
y
4 2
-4
-2
2 -2
4
x
33 (p) f (x) = log5 (x
2)
y
4 2
-2
2
4
x
-2
(q) h (x) = log2 jx
5j
y
3 2 1
-4
-2
2
4
2
4
-1
(r) f (x) = 5
x
(x+1)2
y
1.0
0.5
-4
-2
0
x
7. En un mismo sistema gra…car cada par de funciones y sacar algunas conclusiones geométricas. (a) y = ax ; y =
ax con a > 1
y
4 2
-4
-2
2
4
-2
x
-4
Una es una re‡exión de la otra usando el eje X como espejo. (b) y = ax ; y = a
x
con a > 1
y
4 2
-4
-2
2 -2 -4
4
x
34 Una es una re‡exión de la otra usando como espejo el eje Y: 8. ¿Porqué fue excluído a < 0 del estudio de ax ? Solución: Para valores a < 0; la función f (x) = ax no es biyectiva y por tanto, no posee inversa. 9. El número de bacterias de cierto cultivo incrementó de 600 a 1 800 entre las 7:00 am y las 9:00 am: Suponiendo que el crecimiento es exponencial, se puede mostrar, usando métodos de cálculo, que t horas después de las 1
7:00 am el número f (t) de bacterias está dado por f (t) = 600 3 2 t . (a) Calcule el número de bacterias en el cultivo a las 8:00 am; a las 10:00 am y a las 11:00 am. (b) Trace la grá…ca de f desde t = 0 hasta t = 4:
Solución: Para t = 1 f (t)
1
=
f (1)
600 3 2
= 1039:230485
Para t = 3 f (t)
3
=
f (3)
600 3 2
= 3117:691454
Para t = 4 f (t) f (1)
4
=
600 3 2
= 5400
La grá…ca respectiva es
y 8000 6000 4000 2000 -4
-2
0
2
4
x
10. Si 1 000 dólares se invierten al 12% anual y se capitalizan los intereses mensualmente, ¿cuál es el monto acumulado después de 1 mes? ¿2 meses? ¿6 meses? ¿1 año? Solución:
35 Aplicando la fórmula del interes compuesto A = P (1 +
Para n = 1 mes, se tiene t =
r nt ) n
1 ; entonces 12 12
A = 1000(1 +
Para n = 2 mes, se tiene t =
0:12 ) 12
1 12
= 1010
2 1 = ; entonces 12 6 1 0:12 12 6 ) A = 1000(1 + 12
Para n = 6 mes, se tiene t =
!
!
= 1020:1
6 1 = ; entonces 12 2 1 0:12 12 2 A = 1000(1 + ) 12
Para n = 12 mes, se tiene t =
!
= 1061:520151
12 = 1; entonces 12 A = 1000(1 +
0:12 12(1) ) = 1126:82503 12
11. Si cierta marca de automóvil se compra por C dólares, su valor comercial v(t) al …nal de t años está dado por v(t) = 0:78C(0:85)t
1
. Si el costo original es de $ 10 000, calcule, redondeando a unidades, el valor después de
(a) 1 año; (b) 4 años; (c) 7 años. Solución: Para t = 1 año , tenemos v(t) = 0:78(10000)(0:85)1
1
= $7800:0
Para t = 4 año , tenemos v(t) = 0:78(10000)(0:85)4
1
= $4790: 175 ' $4790
Para t = 7 año , tenemos v(t) = 0:78(10000)(0:85)7
1
= 2941:766222 ' $2942
36 EJERCICIO 7
Resolver las siguientes ecuaciones
a. 105x
2
= 348
Solución : 5x
2
=
log 348 (log 348) + 2 5 0:9083
x = x = b. log2 (9x+1 + 7) = 2 log2 (3x+1 + 1) Solución : log2 (9x+1 + 7)
= log2 (3x+1 + 1)2
9x+1 + 7
=
(3x+1 + 1)2
32(x+1) + 7
=
32(x+1) + 2 3x+1 + 1
6
=
2 3x+1
3
=
3x+1
1
= x+1
x = c. log(x
0
9) + log 100x = 3
Solución : log(x
9) + log 102 + log x = log(x(x
x2 (x x = 10 d. 103x
7x
=
3
9))
=
1
x(x
9)
=
101
9x
10
=
0
10)(x + 1)
=
0
_ x=
1
1 100
Solución : 103x
7x
=
3x
7x
=
2
4x
=
x
=
2 1 2
10
2
37 e. 2x+2+
p
x 3
p
(5) 2x+
x 3
+8=0
Solución :
p
2x+
x 3
(22
5)
p x+ x 3
2
=
8 3
=
2
p
x+ x 3 = 3 p 2 = (3 x 3 x
2
x)
6x + x2
3
=
9
0
= x2
7x + 6
0
=
6)(x
(x
1)
x=6 _x=1 f.
1 log(x2 + 2x) 2
log
p
x
2=0
Solución : log
p
p log x 2 p p x2 + 2x = x 2 x2 + 2x =
x2 + 2x = x x2 + x + 2
2
=
0
49
=
7x
1
=
7x
= 0
72
=
7x
70
=
7x
=
2
=
x
0
=
x
No tiene soluciónes reales las soluciones complejas son g. 49x
1 p i 7 2
1 p i 7 2
1 ; 2
1 2
50 (7x ) + 49 = 0
Solución : 72x
50 (7x ) + 49
=
0
m = 7x m2 (m
h.
8 <
50m + 49 49)(m
1)
0
m = 49 _ m = 1 p x
x+y =2
: (x + y)3x = 279936 Solución :
p x
x
=
(2)
x+y
=
2x
( x + y)
x
(x + y)3x
=
279936
x
x
3
=
279936
6x
=
67
2
x =
7
38
i.
8 < 53x : 116x
2y
= 3125
7y
= 14641
Solución : 53x
2y
116x entonces
8 < 3x
2y
2
2
3x
+1
2
= 2 5x
1
2
3x
=
55
=
114
5
x=
( 2)
: 6x
j. 5x
7y
=
7y
=
3y
=
y
=
4 6
5 + 2(2) 3
x=3
2
2
Solución : 2
2
5x 2
5x
3x 2
5x
2 2
5x
1 2
5x
2
+1
=
2
5 2 5 3 5
1
=
3x
=
3x
=
3x
2
3
=
3x
5x
5x 2
3
2
2
3x
2
2
3x
2 2 9
3 25 9
2
2
1
3
al tomar logaritmo natural, obtenemos 2
ln 5x
3
=
1 6=
2
ln 3x ln 3 ln 5
3
provocando una contradicción, por tanto, el problema no tiene solución k. log2 (3x
2) = log 12 x
Solución: log2 (3x
2)
=
log2 (3x
2)
=
log2 x
=
x
3x 3x2
2 2x
(3x + 1)(x x=
1 3
log2 x 1
1
=
0
1)
=
0
_ x=1
1
2
3
2
39 l. log3 (2x
3)
log3 (5x + 2) = log3 (x
Solución: log3
2)
2
2x 3 5x + 2 log3
log3 (x
2)
2x 3 (5x + 2) (x 2) 2x 3 (5x + 2) (x 2)
2
=
2 3
3
=
1 (5x + 2) (x 9
27
=
5x2
=
2
0
8x
2)
4
5x
26x + 23 p 13 3 6 5
x = m. log2 x
2
=
2x 18x
=
log2 (x + 1) = 3 log2 4
Solución: log2
x x+1 x x+1 x 64 63
=
log2 43
=
43
=
64x + 64
= x
La ecuación no tiene solución ya que el logaritmo no está de…nido para números negativos. n. 2x+1
4x = 1
Solución: 2x
2x
2
2x (2
2x
=
1
2x )
=
1
haciendo un cambio de variable u = 2x u (2 u2
u)
=
1
2u + 1
=
0
2
=
0
u
=
1
(u
1)
entonces 2x
=
1
x =
0
40 EJERCICIO 8
1. Escriba cada ángulo en notación decimal en grados (a) 40 100 2500 (b) 61 420 2100 (c) 98 220 4500 (d) 1 20 300
Solución:
(a) 40 +
25 10 + = 40: 17 60 3600
61 +
42 21 + = 61:71 60 3600
98 +
22 45 + = 98:38 60 3600
1+
3 2 + = 1:03 60 3600
(b)
(c)
(d)
2. Escriba cada ángulo en notación de grados, minutos y segundos (a) 18:255 (b) 29:411 (c) 44:01 (d) 61:24
Solución :
(a) 18 150 1800 (b) 29 240 3900 (c) 44 00 3600 (d) 61 140 2400
41 3. Convertir los ángulos en grados a radianes y viceversa según el caso. (a) 630 11 (b) 6 15 (c) 4 (d) 720 7 (e) 2 (f) 135 Solución : (a) 630
180
=
7 2
(b) 11 6
180
15 4
180
= 330
(c) = 675
(d) 720
=4
180
(e) 7 2
180
=
630
(f) 135
180
=
3 4
4. Hallar el ángulo complementario de (a) 5 170 3400 (b) 32:5 (c) 63 40 1500 (d) 82:73 Solución : (a) 89 590 6000
5 170 3400 = 84 420 2600
(b) 90
32:5 = 57:5
(c) 89 590 6000
63 40 1500 = 26 550 4500
(d) 90
82:73 = 7:27
42 5. Halle el ángulo suplementario de (a) 48 510 3700 (b) 152 140 400 (c) 136:42 Solución : (a) 179 590 6000
48 510 3700 = 131 80 2300
179 590 6000
152 140 400 = 27 470 5600
(b)
(c) 180
136:42 = 43:38 p p 2 5 5 y cos = 6. Calcular las funciones trigonométricas restantes si sin = 5 5 Solución :
7. Si
tan
=
cot
=
csc
=
sec
=
1 2 2 5 p 5 5 p 2 5
es un ángulo agudo, hallar las seis funciones trigonométricas 3 5 6 = 5 8 = 17 =4 7 = 24 5 = 12
(a) sin = (b) sec (c) cos (d) csc (e) cot (f) tan Solución :
(a) De la identidad pitagórica fundamental sin2 + cos2
=
1
cos2
=
1
cos
=
4 5
3 5
2
43 entonces tan
=
cot
=
sec
=
csc
=
3 4 4 3 5 4 5 3
(b) Sabemos que 1 + tan2 tan2 tan
sec2 2 6 = 5 p 11 = 5 =
1
ahora cos
=
sin
=
cot
=
csc
=
5 6 tan
cos =
p
11 5
!
5 6
=
5 p 11 6 p 11
(c) Sabemos que sin2 + cos2
=
1
sin2
=
1
sin
=
15 17
tan
=
cot
=
sec
=
csc
=
1 + cot2
=
csc2
cot2
=
2
8 17
entonces 15 8 8 15 17 8 17 15
(d) Sabemos que
cot
(4) p 15 =
1
2
p
11 6
44 ahora tan
=
sin
=
1 p 15 1 4
cos
=
sin tan
sec
=
4 p 15
1 p 15 = 4 = 1 4 p 15
(e) Sabemos que 1 + cot2 2 7 1+ 24 csc
=
csc2
=
(4)
=
25 24
7 24
2
1
ahora sin
=
24 25
cos
=
cot x sin x =
sec
=
tan
=
24 25
=
7 25
25 7 24 7
(f) Sabemos que 1 + tan2 2 5 1+ 12
=
sec2
=
sec2
=
13 12
cos =
5 12
sec ahora
8. Calcular el valor de cada expresión (a) sin2 (b) sec
6
+ cos2
6
2
2
3
Solución :
tan
3
cos
=
12 13
sin
=
tan
cot
=
csc
=
12 5 13 5
12 13
=
5 13
45 (a) Se sabe que sin2 + cos2 = 1; entonces sin2
6
+ cos2
6
=1
(b) Sabemos que 1 + tan2 = sec2 ; entonces sec2
tan2
3
3
= 1 + tan2
3
tan2
3
=1
9. Sea P (x; y) el lado terminal de ; calcular las seis funciones trigonométricas de (a) P ( 6; 2) (b) P ( 4; 3) (c) P (5; 2) 3 (d) P ( 1; ) 8 Solución : (a) Calculando la hipotenusa
p h = 2 10
entonces sin
=
tan
=
sec
=
1 3 p ; cos = p 10 10 1 ; cot = 3 3p p 10 ; csc = 10 3
(b) Calculando la hipotenusa h=5 entonces sin
=
tan
=
sec
=
3 5 3 4
; ;
5 4
(c) Calculando la hipotenusa h=
cos = cot =
;
p
4 5
4 3
csc =
5 3
29
entonces sin
=
tan
=
sec
=
2 5 p ; cos = p 29 29 2 5 ; cot = 2p p5 29 29 ; csc = 5 2
46 (d) Calculando la hipotenusa h=
p
73 8
entonces sin
=
tan
=
sec
=
10. Hallar las funciones trigonométricas de (a) II Cuadrante, sobre la recta y =
3 8 p ; cos = p 73 73 3 8 ; cot = 8p 3p 73 73 ; csc = 8 3
en el cuadrante indicado y su lado terminal cumple la condición dada 4x
(b) IV Cuadrante, sobre la recta 3y + 5x = 0 (c) III Cuadrante, paralela a la recta 2y
7x = 0
Solución : (a) Tomemos por ejemplo el punto x =
1; entonces y = 4; de aqui p h = 17
entonces 4 p 17
sin
=
tan
=
4 ;
sec
=
p
;
1 p 17
cos = cot =
17 ;
1 4p
csc =
17 4
(b) Tomemos por ejemplo el punto x = 3; entonces y =
5; de aqui p h = 34
entonces sin
=
tan
=
sec
=
(c) La recta dada debe tener la forma y = aqui
5 3 p ; cos = p 34 34 5 3 ; cot = 5p p3 34 34 ; csc = 3 5
7 x; tomemos por ejemplo el punto x = 2 h=
p
53
entonces sin
=
tan
=
sec
=
7 p 53
;
cos =
7 2 ; cot = 2p 7 53 ; csc = 2
2 p 53 p
53 7
2; entonces y =
7; de
47 11. Un ángulo central medida de
intercepta un arco de 7 cm de largo en una circunferencia de radio de 4 cm. Aproxime la
en
(a) Radianes (b) Grados Solución : (a) 7 = 1:75 radianes 4
= (b)
180
1:75 12. Si un ángulo central
= 100:27
que mide 20 intercepta un arco circular de longitud 3 km. determine el radio de la
circunferencia. Solución : Sabemos que s = r ; de donde r=
s
3
= 20
= 8:59 km
180
13. La distancia entre dos puntos A y B en la Tierra, se mide sobre un círculo con centro C en el centro de la Tierra y radio igual a la distancia de C a la super…cie. Si el diámetro terrestre es de 8000 millas aproximadamente, calcule la distancia entre A y B cuando el ángulo ACB mide (a) 60 (b) 45 (c) 30 (d) 10 (e) 1 Solución : Aplicando la ley de los cosenos se tiene 2
2
2 (4000) (4000) cos 60 = 16000000
2
2
2 (4000) (4000) cos 45 = 9372583:002
2
2
2 (4000) (4000) cos 30 = 4287187:079
2
2
2 (4000) (4000) cos 10 = 486151:9036
2
2
2 (4000) (4000) cos 1 = 4873:754995
d (A; B)
=
(4000) + (4000)
d (A; B)
=
(4000) + (4000)
d (A; B)
=
(4000) + (4000)
d (A; B)
=
(4000) + (4000)
d (A; B)
=
(4000) + (4000)
48 EJERCICIO 9 Gra…car las siguientes funciones 1. f (x) = 4 sin x Solución :
y
4 2
-4
-2
2
4
2
4
2
4
2
4
-2
x
-4
2. h (x) = 3 cos x
4
Solución :
y
-4
2
-2
x
-2
3. f (x) =
p
2 sin
2
x
4
Solución :
y
-4
1
-2
x
-1
4. f (x) =
1 tan 2x 3
4
Solución :
y 0.2
-4
-2 -0.2
x
49 1 cot 2
5. f (x) =
1 x+ 2 4
Solución :
y
4 2
-15
-10
-5
5
10
15
x
-2 -4
6. f (x) =
1 cos 3x 2
Solución :
y
0.4 0.2
-4
-2
2
4
-0.2
x
-0.4
7. f (x) = sin (2x
)+1
Solución :
y
2.0 1.5 1.0 0.5
8. g (x) =
cos (3x + )
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
x
2
Solución :
y
-1.5 -2.0 -2.5 -3.0
x
50 9. f (x) = jsin xj Solución : 1.0
y 0.8 0.6 0.4 0.2 -4
10. f (x) =
-2
0
2
4
0
2
4
x
jcos xj + 15
Solución :
y
15.0
14.5
-4
-2
x
EJERCICIO 10
1. Hallar las funciones trigonométricas restantes de (a) sin =
5 con 13
en el primer cuadrante
Solución : Sabemos que sin2 + cos2
=
1
cos2
=
1
cos
=
12 13
tan
=
cot
=
sec
=
csc
=
entonces 5 12 12 5 13 12 13 5
5 13
2
51
b. tan =
1 con 3
en el segundo cuadrante
Solución : Sabemos que 1 + tan2 2 1 1+ 3 sec
=
sec2
=
sec2 p
10 3
=
ahora cos
=
sin
=
cot
=
csc c. cos =
7 si tan 9
3 p 10 tan
cos =
1 3
3 p 10
3 p = 10
<0
Solución : Sabemos que sin2 + cos2
=
1
sin2
=
sin
=
1 p
32 9
entonces tan
=
cot
=
sec
=
csc
=
p
32 7 7 p 32 9 7 9 p 32
7 9
2
1 =p 10
52
d. sec =
6 ; 5
en el primer cuadrante
Solución : Sabemos que 1 + tan2 tan2 tan
sec2 2 6 = 5 p 11 = 5 =
1
ahora cos
e. Si
=
sin
=
cot
=
csc
=
5 6 tan
cos =
p
11 5
!
5 6
=
p
11 6
5 p 11 6 p 11
> 0 con lado terminal sobre la recta y =
4x en el segundo cuadrante.
Solución : Consideremos el punto ( 1; 4) que satisface la ecuación de la recta y = 4x, entonces p 4 17 ; csc = sin = p 4 17 p 1 p 17 ; sec = cos = 17 1 tan = 4 ; cot = 4 2. Demostrar las siguientes identidades (a) tan4
sec4
1
2 sec2
Solucion : (tan2 + sec2 ) tan2 (sec2
1) + sec2 ) ( 1) sec2 (sec2
sec2
1
2 sec2
tan2
1
2 sec2
1
2 sec2
1
2 sec2
1) + sec2 ) [( 1)(1)] 1
2 sec2
53
(b)
1 cos2 x
+ 1 + tan2 x
2 + 2 tan2 x
Solucion : sec2 x + 1 + tan2 x
2 + 2 tan2 x
1 + tan2 x + 1 + tan2 x
2 + 2 tan2 x
2 + 2 tan2 x (c)
1 + cos sin
+
sin cos
cos + 1 sin cos
Solucion :
(d) sen2 + cos2
2 tan2 x
+ (cos2 + sin2 ) sin cos
cos 3
cos + 1 sin cos
1
Solucion : sin2
+ cos2
1 3
1
1
1
(1)
(e) sec2
+ tan2
(1
sin4 ) sec4
Solucion :
(f)
cot( t) + tan( t) cot(t)
4
sin cos
sec2
+ tan2
sec4
sec2
+ tan2
sec4
sec2
+ tan2
(sec2
+ tan2 )(sec2
sec2
+ tan2
(sec2
+ tan2 )(1)
sec2
+ tan2
(sec2
+ tan2 )
tan4
sec2 t
Solucion : cot(t) tan(t) cot(t) cot(t) tan t cot(t) cot(t) sin2 t cos2 t (1 + tan2 t) 1
sec2 t
sec2 t sec2 t sec2 t sec2 t sec2 t
tan2 )
54 (g) (csc
4
cot ) (csc
+ cot )4
1
Solucion : [(csc
cot ) (csc (csc2
(h)
cos3 x cos x
sin3 x sin x
4
1
cot2 )
1
1
1
+ cot )]
1 + sin x cos x
Solucion : sin x) cos2 x + sin x cos x + sin2 x cos x sin x 1 + sin x cos x
(cos x
(i)
csc( x) sin( x) sin( x)
1 + sin x cos x 1 + sin x cos x
cot2 x
Solucion :
(j) cos2
1
tan2
+1
1
csc(x) + sin(x) sin(x) csc x sin x sin x sin x csc2 x 1
cot2 x
cot2 x
cot2 x
cot2 x cot2 x
sec2
Solucion : cos2
1 1
sec2 sec2
1
sec2
1
sec2
EJERCICIO 11
1. Hallar las funciones trigonométricas de
12
a partir de los valores de
3
y
Solución : sin
12
=
sin
=
sin
= =
3 cos
4
3 4 1p 1p 6 2 4 4 p 1 p 6 2 4
sin
4
cos
3
4
55 ahora cos
12
=
cos
=
cos
3 3
4
cos
4 1p
+ sin
1p 6+ 2 4 4 p 1 p 6+ 2 4
= =
3
sin
4
de aqui tan cot sec csc
p p 6 2 p p 6+ 2 p p 6+ 2 p p 6 2 4 p p 6+ 2 4 p p 6 2
=
12
=
12
=
12
=
12
2. Veri…car las identidades (a) sin
6
+ cos
=
3
p
3 sin
Solución : Sabemos que sin (a sin
b)
= =
6
cos (a cos
b)
= =
3
sin a cos b 1p 3 sin 2
sin b cos a 1 cos 2
cos a cos b sin a sin b 1 1p cos + 3 sin 2 2
entonces sin (b) tan
+
4
tan
3
4
6
+ cos
3
=
p
3 sin
=0
Solución : Se sabe que tan (a + b) tan
+
4
= =
tan a + tan b 1 tan a tan b tan + 1 1 tan
56
tan (a
b) 3 4
tan
=
en consecuencia tan
+
3 4
tan
4
3. Hallar sin 2 ; cos 2 ; tan 2 ; si cos =
3 y 5
tan a tan b 1 + tan a tan b tan + 1 1 tan
=
=
tan + 1 1 tan
tan + 1 =0 1 tan
está en el primer cuadrante
Solución : (a) Por identidad pitagórica sin2
+ cos2
=
sin
=
sin
=
1 s
3 5
1
2
4 5
entonces sin 2x =
2 cos x sin x 3 4 = 2 5 5 24 = 25
cos 2
tan 2x =
cos2 2 3 = 5 351 = 625 =
2 tan x =2 1 tan2 x 2
= 1 4. Hallar sin
2
; cos
2
; tan ; si tan = 1 y 2
sin2 24 25
4 3 4 3
2
=
2
sin x cos x sin x 1 cos x 24 7
está en el tercer cuadrante
Solución : (a) Sabiendo que
= arctan 1 y que está en el tercer cuadrante, entonces sin cos tan
2 2 2
= = =
5 = 0:9238795325 8 5 cos = 0:382683 4324 8 5 tan = 2:414213562 8 sin
=
5 , entonces 4
57
5. Si
y
son ángulos agudos tales que cos
=
4 y tan 5
=
8 hallar: 15
(a) sin ( + ) (b) cos ( + ) (c) Cuadrante de
+
(d) sec ( + ) Solución : De la identidad pitagórica fundamental sin2
+ cos2
=
sin
=
sin
=
1 s
1
4 5
2
3 5
también s
1 + tan2
1+
8 15
=
sec2
=
sec
=
sec
=
cos
2
17 15 15 17 ahora sin
=1
cos2
=1
15 17
2
=
8 17
(a) sin ( + ) Solución : Se sabe que sin ( + )
=
sin cos + sin cos 3 15 8 4 = + 5 17 17 5 = 0:9058823529
cos ( + )
=
(b) cos ( + ) Solución : cos cos sin sin 4 15 3 8 = 5 17 5 17 = 0:4235294118
58 (c) Cuadrante de ( + ) Solución : =
arctan
=
arctan
4 = 38:65980825 5 8 = 28:07248694 15
al sumar ambos ángulos notamos que su suma está contenida en el primer cuadrante. (d) sec ( + ) Solución : sec ( + ) = 6. Si sin
=
4 y sec 5
=
5 ; con 3
1 cos ( + )
=
1 = 2:361111111 0:4235294118
en el tercer cuadrante y
en el primer cuadrante
(a) sin ( + ) (b) tan ( + ) (c) Cuadrante de
+
(d) csc ( + )
Solución : De la identidad pitagórica fundamental sin2
+ cos2
=
cos
=
cos
=
3 5
1 + tan2
=
sec2
tan2
=
5 3
tan
=
cos2
1 s
4 5
1
2
también
2
1
4 3
ahora sin2
=
1
sin
=
4 5
== 1
3 5
2
59 (a) sin ( + ) Solución : sin ( + )
=
cos sin + cos sin 3 4 3 + 5 5 5 24 25
= =
4 5
(b) tan ( + ) Solución :
4 4 + = 3 3 = 16 1 9
tan + tan tan ( + ) = 1 tan tan (c) Cuadrante de
24 7
+
Solución : =
arcsin
=
arcsec
4 5 5 3
=
53:13010235
= 53:13010235
por tanto, la suma de ambos ángulos está en el I Cuadrante (d) csc ( + ) Solución : csc ( + ) =
1 sin ( + )
=
1 = 24 25
7. Exprese como función de un solo ángulo (a) cos 48 cos 23 + sin 48 sin 23 = cos (25 ) Solución : cos (48 (b) cos 10 sin 5
23 ) = cos (25 )
sin 10 cos 5
Solución : sin (5 (c) cos 3 sin ( 2)
cos 2 sin 3 =
10 ) =
sin (5 )
sin (5)
Solución : sin ( 2
3) =
sin (5)
25 24
60 8. Demostrar las siguientes identidades (a) csc 2
cot 2
tan
Solución : csc 2
cot 2
1 cos 2 sin 2 sin 2 1 cos 2 sin 2 2 sin2 2 sin cos tan
= = = =
(b) sin 3 =
4 sin3
+ 3 sin
Solución : sin 3
=
sin ( + 2 )
=
sin cos 2 + sin 2 cos
=
sin
=
sin
= (c) (sin
2
+ cos )
2 sin2
1
2 sin3
4 sin3
+ 2 sin
+ 2 sin
sin2
1 2 sin3
+ 3 sin
1 + sin 2
Solución : (sin
(d)
1 cos 2 1 + cos 2
2
+ cos )
=
sin2
=
1 + sin 2
+ 2 sin cos
+ cos2
tan2
Solución : 1
1 cos 2 1 + cos 2
=
= = (e) cos 4 = 8 cos4
cos 2 2 1 + cos 2 2 sin2 cos2 tan2
8 cos2 + 1
Solución : cos 4
=
cos (2 + 2 ) = cos 2 cos 2
=
cos2 2
=
cos2
sin 2 sin 2
sin2 2 sin2
2
2
(2 sin cos )
=
cos4
2 cos2 1
cos2
=
cos4
2 cos2 +2 cos4 + 1
=
8 cos4
8 cos2 + 1
+ 1
cos2
2
2 cos2 + cos4
4 1
cos2
cos2
4 cos2 + 4 cos4
61 2
(f)
cos
2
sin
1
2
sin
Solución : 2
cos
(g) 4 sin
sin
2
2
=
cos2
=
1
sin 2
=
1
sin
=
2 2 sin
=
2 sin x
2 cos
2
2
sin
2
+ sin2
2
2
x x cos = 2 sin x 2 2
Solución : 4 sin
x x cos 2 2
x x cos 2 2
(h) 2 sin2 2 + cos 4 = 1 Solución : cos2 2
2 1
2
2
sin2 2
+ cos2 2 2
2 cos 2 + cos 2
2
1 + cos 2 1
(i)
1 cot x
cot y
=
1
=
1
=
1
sin x sin y sin (y x)
Solución : 1 cot x
cot y
=
= = (j) cos (u + v) + cos (u
1 cos x sin x
cos y sin y sin x sin y cos x sin y sin x cos y sin x sin y sin (y x)
v) = 2 cos u cos v
Solución : cos (u + v) + cos (u
v)
=
cos u cos v
=
2 cos u cos v
sin u sin v + cos u cos v + sin u sin v
62 EJERCICIO 12
Hallar soluciones de cada ecuación en el intervalo [0; 2 ]
1. sin x
2 sin x = 0, Solution is: f k j k 2 Zg
Solución : Efectuando la operación indicada
entonces x = 0 ;
sin x =
0
sin x =
0
; 2 :
La solución general tiene la forma f k j k 2 Zg 2. 2 tan2 x
sec2 x = 0
Solución : 2 tan2 x
1 + tan2 x
=
0
2
=
0
tan x
1
tan x = entonces x =
4
;
3 ; 5 ; 7 : 4 4 4
La solución general tiene la forma 3. sin4 x
3 4
1 kjk2Z 2
2 sin2 x + 1 = 0
Solución : Haciendo un cambio de variable u = sin2 x entonces u2
2u + 1
=
0
2
=
0
u
=
(u + 1)
2
sin x = sin x = de aqui, x =
2
;
3 : 2
La solución general tiene la forma
1 2
kjk2Z
1 1 1
1
63
4. sin
x + cos x = 1 2
Solución : x Sabemos que sin = 2
r
1
cos x entonces 2 x + cos x 2 r 1 cos x + cos x 2 r 1 cos x 2 1 cos x 2 2 cos2 x 3 cos x + 1 sin
(2 cos x
1) (cos x
de donde cos x =
1)
1 2
=
1
=
1
=
1
cos x
=
1
2 cos x + cos2 x
=
0
=
0
;
cos x = 1
por tanto x = 0; 2 ;
3
;
5 3
La solución general tiene la forma 1 +2 k jk 2Z [ 3 5. cos 2x
4
1 + 2 k j k 2 Z ; f2 k j k 2 Zg 3
=0
Solución : Sabemos que cos 2x
4
= =
cos 2x cos + sin 2x sin 4 p 4 p 2 2 cos 2x + sin 2x 2 2
(a) entonces p 2 2 cos 2x + sin 2x = 2 2 cos 2x =
p
de aqui 2x = 2x =
3 4 7 4
3 8 7 ; x= 8 ; x=
la solución general tiene la forma 3 1 + ljl2Z 8 2
0 sin 2x
64 2 cos2 x
6. 3 + 3 cos x = 2 Solución :
Realizando un cambio de variable u = cos x se tiene 2u2 + 3u + 1 = 0 (a) al resolver esta ecuación, se tiene cos x = cos x = entonces x = ;
;
2 2 4 ; ; ; 3 3 3
8 ; 3
1 2 1
4 : 3
La solución general tiene la forma 2 +2 k jk 2Z [ 3
f + 2 k j k 2 Zg [
2 +2 k jk 2Z 3
p 7. 3 tan x + 3 cot x = 4 3 Solución : p 3 3 tan x + = 4 3 tan x p 3 tan2 x 4 3 tan x + 3 = 0 haciendo un cambio de variable u = tan x; tenemos 3u2
p 4 3u + 3 = 0
al resolver la ecuación cuadrática, obtenemos que las soluciones son
p
3;
1p 3; entonces 3
p 3 p 3 tan x = 3
tan x =
de aqui x =
3
;
6
;
4 7 ; ; 3 6
2 ; 3
5 : 6
La solución general tiene la forma 1 + kjk2Z [ 3
1 + kjk2Z 6
8. sin 2x + sin x = 0 Solución : sin 2x + sin x =
0
2 sin x cos x + sin x =
0
(sin x) (2 cos x + 1)
= 0
65 de aqui sin x =
0 1 2
cos x = entonces x = 0;
;
6
;
7
6
La solución general tiene la forma 2 +2 k jk 2Z [ 3 9. 2 sin3 x + sin2 x
2 sin x
2 + 2 k j k 2 Z [ f k j k 2 Zg 3
1=0
Solución : 2 sin3 x + sin2 x (sin x
2 sin x
1
1) (2 sin x + 1) (sin x + 1)
=
0
= 0
de aqui sin x
1
=
0
2 sin x + 1
=
0
sin x + 1
=
0
podemos ver que las soluciones son x=
2
; x=
3 7 ; x= 2 6
más aún, la solución general tiene la forma 1 +2 k jk 2Z ; 2 10. sin
1 +2 k jk 2Z [ 6
7 +2 k jk 2Z ; 6
1 +2 k jk 2Z 2
x + cos x = 1 2
Solución :
(a) Idem al ejercicio 4 11. tan 2x + tan x = 1
tan 2x tan x
Solución : La ecuacion dada se puede escribir tan 2x + tan 2x tan x + tan x 1 = 0 2 tan x 2 tan x + tan x + tan x 1 = 0 2 1 tan x 1 tan2 x 2 tan x + 2 tan2 x + tan x tan3 x 1 + tan2 x = 0 (tan x + 1) tan2 x
4 tan x + 1
=
0
66 entonces tan x + 1 = 0 ; tan2 x de aqui x=
4 tan x + 1 = 0
7 5 3 ; ; ; 4 4 12 12
más aun, la forma general de la solución es 1 + kjk2Z 4
;
1 + kjk2Z [ 12
5 + kjk2Z 12
Funciones
1. Si f (x) = x2 Solución:
2. Si f (x) =
p
1
3x y g (x) = x2 + 2x
15; entonces para x 6= 3 y x 6=
5;
f (x) x2 3x x (x 3) x = 2 = = g (x) x + 2x 15 (x + 5) (x 3) x+5 p x y g (x) = x + 2; el dominio de (f + g) está dado por
Solución: El dominio de f (x) es dom f (x)
= fx 2 R : x
dom g (x)
= fx 2 R : x
1g 2g
por tanto, el dominio de (f + g) ; está dado por dom ff + gg = fx 2 R : = 3. Si f (x) = 1
2
x
1g
[ 2; 1]
x2 y g (x) = 2x + 5; entonces g [f ( 2)] =?
Solución: g [f ( 2)] = g [ 3] = 2 ( 3) + 5 = 4. Si f (x) = 1
f (x) =? g (x)
x3 entonces f ( 1) =?
Solución: f ( 1) = 1
3
( 1) = 2
1
67 8 2 > > < x ; x< 1 5. El rango de la función de…nida por g (x) = x3 ; jxj < 1 es el conjunto > > : 2x; x 1 Solución:
La grá…ca de esta función es
y
-4
2
-2
2
4
x
-2
se puede ver entonces que el rango es ( 1; 1)
f1g ; porque en x = 1; la función cuadrática no toma ese valor
y la función lineal toma el valor de 2; por tanto, el valor 1 dentro del rango está excluido.
6. Si f (x) = 2x + 1 para 0
x
3; ¿Cuál de los siguientes conjuntos es el rango de f ?
Solución: Solo se necesita evaluar los valores mínimo y máximo de la variable x para obtener los de la variable y; entonces f (0)
= 1
f (3)
= 7
entonces el rango de f está dado por fy 2 R; 1 7. Si f (x) =
1 x
y
7g
x para todo x 6= 1; ¿cuáles de las siguientes proposiciones deben ser verdaderas? 1
Solución: Evaluando los puntos dados f (3) = f (2) = f (0) = f (4) todas son iguales. 8. Si f (x) = 2x y f [g (x)] =
x; entonces g (x) =?
Solución: f [g (x)] = 2g (x)
=
g (x)
=
x x x 2
1
68 9. Repetido con ejercicio 2 10. La función inversa de f (x) =
p
9
x2 con x
0 es
Solución:
f 11. Dada f (x) =
1 y g (x) = x2 x
1
y
=
y2
=
x2
=
(x)
p
x2
9
9
x2
9 y2 p = 9 x2
x
0
1; el valor de g [f (2)] es
Solución: g [f (2)] = g 12. La grá…ca de f (x) = j2
;
1 2
=
3 4
jxjj tiene la forma
Solución: La grá…ca de la función dada es
y
3 2 1
-4
-2
0
2
4
x
1 UNIDAD DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
Distancia entre dos puntos
1. El triángulo de vértices A( 5; 1), B(2; 3) y C(3; 2) es : Solución: Basta con encontrar la distancia entre los vértices del triángulo y luego comparar los resultados. Recordemos que la distancia entre dos puntos cuyas coordenadas son A(x1 ; y1 ) y B(x2 ; y2 ) está dada por la fórmula q 2 2 d (A; B) = (x1 x2 ) + (y1 y2 ) Luego
q q p p 2 2 2 2 ( 5 2) + ( 1 3) = ( 7) + ( 4) = 49 + 16 = 65 = 8:0623 q q p p 2 2 2 2 d (B; C) = (2 3) + (3 ( 2)) = ( 1) + (5) = 1 + 25 = 26 = 5:099 q q p p 2 2 2 2 d (A; C) = ( 5 3) + ( 1 ( 2)) = ( 8) + (1) = 64 + 1 = 65 = 8:0623 d (A; B) =
de donde claramente se ve que d (A; B) = d (A; C) y así podemos decir que dicho triángulo es isósceles.
2. El triángulo de vértices A(2; 3), B( 4; 3) y C(6; 1) es : Solución: Encontremos d (A; B) = d (B; C) =
q
q (2
2
( 4)) + (3 2
( 4 6) + ( 3 q 2 d (A; C) = (2 6) + (3
pero 2
d (B; C) =
p
2
( 3)) =
q p p 2 2 ( 10) + ( 2) = 100 + 4 = 104 = 10:198 q p p 2 2 2 ( 1)) = ( 4) + (4) = 16 + 16 = 32 = 5:656 9 2
( 1)) =
2
104
q p p 2 2 (6) + (6) = 36 + 36 = 72 = 8:485 3
= 104 = 72 + 32 =
p
2
72
+
p
2
32
2
2
= d (A; B) + d (A; C) :
por tanto, el triángulo es rectángulo.
3. Los vértices de un cuadrado son ( 1; 3), (3; 1), ( 1; 1) y (3; 3). La longitud de sus diagonales es: Solución: Nótese que los puntos con coordenadas A( 1; 3) y B(3; 1) son vértices no consecutivos del cuadrilátero, al igual que C( 1; 1), D(3; 3). Por lo cual, el problema se resume a encontrar la distancia entre cualesquiera de
2 las parejas de vértices no consecutivos, no importando con cual trabajar ya que las diagonales de un cuadrado son congruentes. Luego
q d (A; B) = ( 1
q q p 2 2 2 ( 1)) = ( 4) + (4) = 2 (4) = 4 2
2
2
3) + (3
p En consecuencia la longitud de las diagonales del cuadrado es 4 2
4. Dos vértices opuestos de un cuadrado son (5; 1) y ( 1; 3). El área del cuadrado es : Solución: Encontremos la longitud de la diagonal que se forma a partir de dichos puntos, es decir, la distancia entre los vértices opuestos A(5; 1) y B( 1; 3). Así q 2 d (A; B) = (5 ( 1)) + (1
2
3) =
q p p p 2 2 (6) + ( 2) = 36 + 4 = 40 = 2 10:
Recordemos que una de las fórmulas que podemos emplear para calcular el área de un cuadrado es A = En nuestro caso tenemos
p 2 10 A= 2
2
=
D2 . 2
4(10) = 2(10) = 20: 2
Por lo tanto, el área de dicho cuadrado es 20 unidades cuadradas.
5. Uno de los extremos de un segmento de longitud 5 es el punto (3; 2). Si la abscisa del otro extremo es 6, su ordenada es : Solución: Emplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos d (A; B) =
q (x1
2
2
x2 ) + (y1
y2 ) . Sustituyendo
los valores correspondientes a las abscisas y ordenadas de los extremos del segmento de longitud 5, denotando y la ordenada en búsqueda obtenemos q 2 5 = (3 6) + ( 2
2
y) =
q 2 ( 3) + ( 2
2
y) =
q 9+( 2
2
y)
al elevar al cuadrado ambos lados de la expresión anterior resulta 25 = 9 + ( 2
2
y)
desarrollando el cuadrado de la diferencia del segundo sumando del lado derecho y simplicando tenemos 25 = 13 + 4y + y 2 lo que implica que y 2 + 4y
12 = 0
factorizando se sigue (y + 6) (y
2) = 0
3 de donde y=
6
_
y = 2:
Ambas soluciones satisfacen las condiciones del problema, pero y =
6 no aparece como opción a seleccionar
en las respuestas y por lo tanto y = 2 es el valor de la ordenada.
División de un segmento en una razón dada
6. Dados los puntos A(3; 2) y B(5; 4) halla un punto C, alineado con A y B, de manera que se obtenga
CA 3 = . CB 2
Solución: El problema pide encontrar las coordenadas del punto C. Utilizando la ecuación de la abscisa y ordenada de un y1 + ry2 x1 + rx2 y y= y sustituyendo los valores punto que divide a un segmento en una razón dada x = 1+r 1+r correspondientes tenemos 3 15 21 3 + (5) 3+ 21 2 2 x= = = 2 = 3 5 5 5 1+ 2 2 2 3 2 + (4) 2+6 8 16 2 = = = y= 3 5 5 5 1+ 2 2 2 En consecuencia las coordenadas del punto C son
21 16 ; 5 5
7. Dado el segmento de extremos P1 (3; 2) y P2 ( 4; 1), encuentre las coordenadas del punto P que lo divide en la razón
2.
Solución: Consideremos los puntos P1 (3; 2) y P2 ( 4; 1) extremos del segmento que es dividido por un punto P en una x1 + rx2 y1 + ry2 razón r = 2. Al sustituir los valores correspondientes en las fórmulas x = y y= resulta 1+r 1+r que las coordenadas de P son 3 + ( 2) ( 4) 3+8 x= = = 11 1 + ( 2) 1 y=
2 + ( 2) (1) = 1 + ( 2)
2
2 1
=4
Por lo tanto, P tiene por ( 11; 4)
8. En las medianas de un triángulo el baricentro B(x; y) es tal que las distancias de este punto al vértice M (2; 4) MB y al punto medio N (1; 1) del lado opuesto están en la relación = 2. Las coordenadas de B son : MN Solución :
4 Recordemos la mediana es el segmento de recta que une el vértice de un triángulo con el punto medio del lado opuesto. El punto de intersección de las medianas se llama Baricentro. x1 + rx2 y1 + ry2 y y = y considerando al vértice M (2; 4) y al punto medio 1+r 1+r N (1; 1) del lado opuesto como extremos de la mediana M N resulta que las coordenadas del baricentro B son Utilizando las fórmulas x =
x=
4 + (2) ( 1) 4 2 2 = = . 1+2 3 3
y= Es decir, B
2+2 4 2 + (2) (1) = = . 1+2 3 3
4 2 ; 3 3
9. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A( 1; 4) y B( 5; 8) en la razón
1 son : 3
Solución: Usando las fórmulas x =
x1 + rx2 y1 + ry2 y y= y sustituyendo los valores correspondientes tenemos 1+r 1+r x=
y=
1 3
1+ 1+
4+ 1+
1 3
( 5) 1 3
( 8) 1 3
=
1+
=
4+
5 3
2 3 8 3
2 3
=
20 3 2 3
=
2 3 2 3
=
20 = 10. 2
= 1.
Es decir, las coordenadas del punto son (1; 10)
10. Las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A(3; 2) y B( 1; 1) en la razon
1 son: 2
Solución: Similarmente al ejercicio anterior, al hacer uso de las fórmulas x = resulta
1 2
3+ x=
1+ 1 2
2+ y=
1+ Es decir, las coordenadas del punto son
5 ;1 3
( 1)
3 =
1 2 ( 1) 1 2
2 =
x1 + rx2 y1 + ry2 y y= y sustituir valores 1+r 1+r
1 5 2 = 2 =5 3 3 3 2 2 1 3 2 = 2 =1 3 3 2 2
5 Coordenadas del punto medio
11. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(5; 4); B( 3; 8) Solución: Las coordenadas del punto medio de un segmento están dadas por las fórmulas x = De este modo al sustituir valores tenemos x=
x1 + x2 y 1 + y2 y y= . 2 2
5 3 2 5 + ( 3) = = =1 2 2 2 y=
4+8 12 = =6 2 2
En consecuencia, las coordenadas del punto medio son (1; 6)
12. El punto medio de un segmento es (2; 2). Si uno de sus extremos es ( 2; 3), el otro es : Solución: Consideremos el punto con coordenadas (2; 2) como el punto medio del segmento con extremos ( 2; 3) y (a; b) : El problema pide encontrar los valores de las coordenadas del extremo desconocido. Usando las fórmulas de las coordenadas del punto medio tenemos 2= 2=
2+a )4= 2
2 + a ) a = 4 + 2 = 6:
3+b )4=3+b)b=4 2
3 = 1:
Por lo tanto, las coordenadas del otro extremo son (6; 1)
13. Encuentre dos puntos equidistantes de (2; 1), los tres sobre la misma línea, si la abscisa de uno de ellos es x = 6 y la ordenada del otro es y =
1.
Solución: Como los puntos son colineales y equidistantes del punto con coordenadas (2; 1) esto quiere decir que dicho punto es el punto medio del segmento cuyos extremos son (6; y1 ) y (x2 ; 1) dado que sabemos la abscisa de uno x1 + x2 de ellos es 6 y la ordenada del otro es 1. Usando las fórmulas de las coordenadas del punto medio x = 2 y1 + y2 y y= tenemos 2 6 + x2 2= ) 4 = 6 + x2 ) x2 = 4 6 = 2: 2 y1 + ( 1) 1= ) 2 = y1 + ( 1) ) y1 = 2 + 1 = 3: 2 Por tanto, los puntos que equidistan de (2; 1) son (6; 3) y ( 2; 1)
6 14. Dados los vértices de un triángulo A(2; 0), B(1; 3) y C(2; 5), el otro extremo de la mediana correspondiente a B es: Solución: Basta encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son A(2; 0) y C(2; 5). Haciendo uso de las fórmulas para las coordenadas del punto medio tenemos x=
4 2+2 = =2 2 2
y=
0 + ( 5) = 2
5 2
Es decir, el otro extremo de la mediana correspondiente al vértice B es
2;
5 2
15. La mediatriz del segmento determinado por los puntos A( 2; 3) y B(4; 1) pasa por el punto Solución : Recordemos que mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por su punto medio. Entonces el ejercicio se reduce a encontrar el punto medio del segmento determinado por A( 2; 3) y B(4; 1): Usando las fórmulas para encontrar las coordenadas del punto medio tenemos 2+4 2 = =1 2 2
x= y=
4 3+1 = =2 2 2
Por lo tanto, la mediatriz de dicho segmento pasa por el punto (1; 2)
Pendiente de una recta
16. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 4; 1) y (5; 2). Solución: La ecuación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos es m=
y2 x2
y1 y2
Usando esta ecuación y sustituyendo los valoresde las coordenadas de los puntos tenemos m=
Es decir, la pendiente de la recta es
1 3
2 5
( 1) 2+1 3 1 = = = ( 4) 5+4 9 3
7 17. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 3; 3) y (4; 4) Solución: Usando la ecuación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos y sustituyendo los valores correspondientes tenemos m= Es decir, la pendiente de la recta es
4 4
7 3 = = ( 3) 4+3
7 = 7
1:
1
18. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 5; 2) y ( 5; 4) Solución: Por la forma de las coordenadas de los dos puntos puede notarse que dicha recta es paralela al eje y y por lo tanto no existe la pendiente. Además se puede comprobar al usar la ecuación de la pendiente.
19. La pendiente de la recta que pasa por los puntos (x; 3) y ( 2; 6) es 3, entonces el valor de x es : Solución: Al sustituir valores en la ecuación de la pendiente de una recta tenemos 3=
6
( 3) 6+3 = = 2 x 2 x
9 2
x
de lo cual se sigue 3( 2
x) = 9
luego por distributividad resulta 6
3x = 9
es decir, 3x = 9 + 6 = 15 obteniendo así que x= Por tanto, el valor de x es
15 = 3
5:
5
20. La pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 3; 4) y (1; y) es cero, entonces el valor de la ordenada es: Solución: Como la pendiente de la recta es cero, entonces estamos hablando de una recta horizontal y por tanto y = 4. Valor que se puede obtener también sustituyendo los datos dados en la ecuación de la pendiente.
8 Ecuaciones de la Recta
21. Una recta de pendiente
2 pasa por el punto A( 1; 4). Hallar su ecuación en la forma simétrica.
Solución: Usando la ecuación punto pendiente y
y0 = m(x
x0 ) y sustituyendo valores
y
4
=
2(x
y
4
=
2x
2x + y y x+ 2
=
2
=
1
22. Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 2x + y
8 = 0 y 3x
( 1)) 2
4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas
2y + 9 = 0.
Solución: Encontremos el punto de intersección de las rectas 2x + y resolver el sistema
(
2x + y 3x
8 = 0 y 3x
2y + 9 = 0 lo cual es equivalente a
8=0
2y + 9 = 0
cuya solución es x = 1, y y = 6. Por lo tanto, el punto de intersección de las rectas es (1; 6). Luego, usando la ecuación punto pendiente y
6
=
4(x
y
6
=
4x + 4
10
=
4x + y
1)
0:
23. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento cuyos extremos son P1 ( 3; 2) y P2 (1; 6). Solución: Encontrando la pendiente de la recta que contiene al segmento resulta m1 =
6 1
2 =1 ( 3)
La mediatriz del segmento tendrá por pendiente m2 = ( 1) (1) =
1
Determinemos las coordenadas del punto medio x = y
=
3+1 = 2 2+6 =4 2
1
9 Por lo cual la recta que pasa por el punto ( 1; 4) con pendiente m = y
4
x+y
3
=
1(x
=
x
=
1, tiene por ecuación
( 1)) 1
0
24. Una recta pasa por el punto A(7; 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C( 2; 2) y D(3; 4). Hallar su ecuación. Solución: Como las rectas son paralelas tienen la misma pendiente. Determinemos la pendiente de la recta que pasa por los puntos C( 2; 2) y D(3; 4) como sigue m=
4 3
6 5
2 = ( 2)
Usando la ecuación punto pendiente resulta y
8
=
5y
40
=
6x + 5y
82
=
6 (x 7) 5 6x + 42 0
25. Hallar el valor de k para que la recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x
2y
11 = 0.
Solución: Recordemos que para que dos rectas sean perpendiculares debe veri…carse que el producto de sus pendientes sea
1. La pendiente de la recta 3x
2y
11 = 0 es 3 3 = 2 2
m= lo cual implica que la pendiente de la otra es
2 3
m0 = es decir, k2 k+1 3k 2 3k
2
2k
=
2 3 2k + 2
2
=
0
1
p
cuyas raices son k=
=
2
7
10 Angulos entre dos rectas
26. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos ( 2; 1) ; (3; 4) y (5; 2). Solución: Recordemos que el ángulo entre dos rectas está dado por la fórmula tan =
m2 m1 1 + m1 m2
donde m1 y m2 representan las pendientes de las rectas involucradas respectivamente. Encontremos la pendiente de las rectas que pasa por los puntos: ( 2; 1) y (3; 4) 4
m1 =
1 3 = ( 2) 5
3
(3; 4) y (5; 2) 2 4 = 5 3
m2 =
3
( 2; 1) y (5; 2) m3 =
2 5
1 = ( 2)
3 7
son respectivamente la pendiente de las rectas l1 , l2 y l3 . De esta manera el ángulo entre l1 y l2 es tan
= = =
3 5
3 3 5
1+
( 3)
=
9 2
=
18 13
9 2 0 77 28 1600 1
tan
Por otro lado el ángulo entre l1 y l3 es tan
=
3 7
3 5 3 7
1+ 1
3 5
18 13
=
tan
=
54 90 4400
Del mismo modo el ángulo entre l2 y l3 es tan
= = =
3 7
( 3) 9 = 8 ( 3)
3 7
1+
9 8 0 48 21 5900
tan
1
11 27. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45 . La recta inicial pasa por los puntos ( 2; 1) y (9; 7) y la recta …nal pasa por los puntos (3; 9) y A cuya abscisa es
2. Hallar la ordenada de A.
Solución: Al despejar m2 de la fórmula tan 45 = se tiene m2 =
1
tan 45 + m1 (tan 45 ) m1
pero según los datos del problema m1 = y m2 =
m2 m1 1 + m1 m2
6 1 = ( 2) 11
7 9
y 9 y 9 9 y = = 2 3 5 5
de donde, y
=
9
5m2
y
=
9
5
=
9
5
=
9
17
=
1
tan 45 + m1 (tan 45 ) m1
1+ 1
6 11 6 11
8
Usando el hecho que tan 45 = 1
28. Una recta l1 pasa por los puntos (3; 2) y ( 4; 6) y la otra recta pasa por el punto ( 7; 1) y el punto A cuya ordenada es
6. Hallar la abscisa del punto A, sabiendo que l1 es perpendicular a l2 .
Solución: Recordemos que como l1 es perpendicular a l2 entonces el producto de sus pendientes es pendientes de l1 y l2 como sigue m1 =
6 4
2 8 = 3 7
por lo cual m2 =
7 8
De modo que 7 = 8 7 (x + 7) =
7 x+7 56
7x = x =
7 1
1. Encontremos las
12 29. Encuentre la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta paralela a la recta que pasa por los puntos (1; 2) y (3; 8). Solución : La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1; 2) y (3; 8) es m1 =
8
( 2) =5 3 1
pero dicha pendiente es la misma para ambas rectas ya que son paralelas, es decir, m2 = 5. Así el ángulo de inclinación buscado ; 0 <
< 90 . Ahora bien tan
=
5
=
tan
=
1
(5)
0
78 41 2400
30. Hallar los ángulos agudos del triángulo rectángulo cuyos vértices son A (2; 5), B (8; 1) y C ( 2; 1). Solución : Consideremos l1 la recta que pasa por ( 2; 1) y (8; 1) l2 la recta que pasa por ( 2; 1) y (2; 5) l3 la recta que pasa por (8; 1) y (2; 5) por lo tanto sus pendientes son respectivamente m1
=
m2
=
m1
=
1 1 = ( 2) 5 5 1 =1 2 ( 2) 5 ( 1) = 1 2 8 1
8
Luego tan A = A = A =
tan C
=
A = A =
1 1+1
=
3 2
3 2 0 56 18 3500 1
tan
1 5
( 1) 2 = 3 ( 1)
1 5
1+
2 3 0 33 41 2400
tan
1 5 1 5
1
13 Cónicas
31. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por ( 3; 4) es : Solución : Dado que ( 3; 4) es un punto de la circunferencia entonces satisface la relación x2 + y 2 2
= r2
( 3) + 42
= r2
25
= r2
Por lo tanto, la ecuación pedida es x2 + y 2 = 25 32. De los siguientes puntos el único que se encuentra sobre la circunferencia x2 + y 2 = 1 es Solución : Para encontrar que puntos pertenecen a la circunferencia unitaria basta sustituir las coordenadas de estos en la ecuación x2 + y 2 = 1. Veamos p
2
2
2 + ( 1) p !2 2 3 1 + 2 2
=
2 + 1 = 3 6= 1
=
3 1 + =1 4 4
2
=
2
1 + 1 = 2 6= 1
( 1) + ( 1)
=
2
2
1 + 1 = 2 6= 1
=
4 + 1 = 5 6= 1
2
(1) + (1) 2
(2) + (1)
p
3 ; 2
Por lo tanto el único punto perteneciente a la circunferencia es
1 2
! p
33. Si los extremos de un diámetro es una circunferencia con centro en el origen son
5; 2
ecuación de dicha circunferencia es Solución : Determinemos la longitud del diámetro entre los puntos r
p
5
p
2
5
+( 2
2
2)
p =
5; 2
y
r
=
p
=
6
36
p p 2 5
5; 2
2
como sigue 2
+ ( 4)
y
p
5; 2 , la
14 pero D = 2r, es decir, r=3 Por lo cual, la ecuación buscada es x2 + y 2 = 9 34. Si (2; 2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia x2 + y 2 = 16 , la ecuación de dicha cuerda es : Solución : Como (2; 2) es el punto medio de una cuerda en la circunferencia x2 + y 2 = 16, entonces el radio pasa por los puntos (2; 2) y (0; 0). Pero la ecuación del radio es de la forma y = mx, relación que cumplen los puntos anteriores, es decir, 2m =
2
m =
1
La cuerda es perpendicular al radio, ya que si una cuerda pasa por el centro de una circunferencia y biseca a otra cuerda, que no sea el diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda, de modo que tiene por pendiente m0 =
1
Usando la ecuación punto - pendiente tenemos que la ecuación de dicha cuerda es y
2
=
1 (x
y
2
=
x+2
x+y
4
=
2)
0
35. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x + 3y = 15 y 2x + 2y = 22 es : Solución : Encontremos el punto de intersección de dichas rectas, lo que es equivalente a resolver ( 3x + 3y = 15 2x + 2y = 22
cuyas solución es el par (2; 3). Ahora bien 22 + 32
= r2
4+9
= r2
13
= r2
Por lo tanto, la ecuación es x2 + y 2 = 13
15
36. Las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola x =
1 2 y es : 4
Solución : La parábola x = de donde
1 2 y puede ser vista también de la forma y 2 = 4
4p
=
4
p
=
1
4x y tiene eje focal sobre el eje de las x,
Por lo tanto, las coordenadas del foco son ( 1; 0) y la ecuación de la recta directriz es x = 1 p
37. La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco
2; 0
es :
Solución : Dado que el foco tiene por coordenadas p p 4 2 x = 4 2x
38. El foco y la directriz de la parábola 2y
p
2; 0 , entonces p =
p
2
y la ecuación solicitada es y 2 =
x2 = 0 son :
Solución : x2 = 0 es una parábola cuyo eje focal esta sobre el eje y. Vista de 1 otra forma la ecuación anterior es x2 = 2y, de donde 4p = 2, es decir, p = . Por lo tanto, las coordenadas 2 1 1 del foco son 0; la directriz es la recta y = 2 2
La parabóla que tiene por ecuación 2y
39. La ecuación de la parábola cuyo foco es (4; 0) y directriz
x=
4 es :
Solución : Como el foco de la parábola es (4; 0) y directriz x =
4, entonces p = 4. Por lo tanto, la ecuación buscada
2
es y = 4 (4) x = 16x
40. La ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es el eje y, vértice en el origen y que pasa por ( 2; 2) es : Solución : Como la parábola tiene eje de simetría al eje y y pasa por el punto ( 2; 2), entonces estamos tratando con una parábola vertical y por ende dichos puntos cumplen la relación x2 = 4py
16 en particular tenemos 2
=
4
=
p
=
( 2)
En consecuencia, la ecuación de la parábola es x2 =
4p ( 2) 8p 1 2
2y
41. Si la longitud del eje mayor es 16 y la distancia focal es 8, entonces la ecuación de la elipse con eje focal en el eje y es : Solución : Sabemos que la longitud del eje mayor de una elipse está dado por 2a y la distancia focal por 2c, con los datos del problema obtenemos 2a =
16
a =
8
2c =
8
c =
4
Pero a2 = b2 + c2 , es decir, b2
=
82
42
=
64
16
=
48
Por lo tanto, la ecuación de la elipse es x2 y2 + =1 48 64 42. Si la excentricidad es
4 y la distancia focal es 16, la ecuación de la elipse con eje focal en el eje x es : 5
Solución : Como la distancia focal es 16, entonces 2c =
16
c =
8
pero al sustituir los valores de e y c en e=
c a
17 tenemos 4 = 5 4a =
8 a 40
a =
10
Ahora encontremos b2
=
100
=
36
64
Finalmente, la ecuación de la elipse es x2 y2 + =1 100 36 43. La excentricidad de la elipse 2x2 + 4y 2 = 8 es : Solución : La ecuación de la elipse 2x2 + 4y 2 = 8 en su forma canónica es x2 y2 + =1 4 2 De manera que c =
p
4
=
p
2
Por lo tanto, la excentricidad es e=
2
p
2 2
44. El único punto que pertenece a la elipse con eje mayor 20 y eje menor 10 es : Solución : Similarmente al ejercicio 42 tenemos 2a =
20
a =
10
2b
=
10
b
=
5
Por lo cual, la ecuación de la elipse es x2 y2 + =1 100 25
18 Veamos
2
( 5) + 100
p !2 5 3 2
=
25
= =
2
(5) + 100
p !2 5 3 2
=
25
= =
2
(5) + 100
p !2 2 3 2
=
25
= =
2
(5) + 100
p 5 3 2
75 25 + 4 100 25 1 3 + 4 4 1
75 25 + 4 100 25 1 3 + 4 4 1
25 3 + 100 25 1 3 + 4 25 37 6= 1 100
2 75 25 + 4 100 25 1 3 = + 4 4 = 1.
=
25
De lo cual se ve que tres de los puntos dados satisfacen la ecuación, es decir, son puntos de la circunferencia. 45. La ecuación de la elipse que pasa por
p 3; 2 3 , con vértice correspondiente al eje menor (0; 4) es :
Solución : Como uno de los vértice correspondiente al eje menor es (0; 4), entonces a = 4 y estamos tratando con una p elipse vertical. Así el punto 3; 2 3 debe cumplir la relación x2 y2 + 2 =1 2 b a es decir, p 2 3 32 + b2 42
2
b
2
=
1
=
36
Por lo tanto, la ecuación es x2 y2 + =1 36 16
19 46. Los focos de la hipérbola 4x2
9y 2 = 36 son :
Solución : La hipérbola 4x2
9y 2 = 36 puede ser vista como x2 9
y2 =1 4
de donde a2 = 9 y b2 = 4, y por lo tanto c2
=
9+4 p 13
c = p
En consecuencia, las coordenadas de los focos son 47. Las asíntotas de la hipérbola 25y 2
13; 0
16x2 = 400, son :
Solución : Como la hipérbola tiene por ecuación 25y 2 b=
16x2 = 400, entonces a2 = 16 y b2 = 25, es decir, a =
4 y
5. Lo cual implica que las directrices son las rectas y=
48. La ecuación de la hipérbola con asíntotas y =
4 x 5
3 x, es : 2
Solución : Como las asíntotas son las rectas y = es
3 x entonces a = 2 y b = 3. Por lo tanto, la ecuación de la hipérbola 2 x2 4
y2 =1 9
49. Las coordenadas de los vértices de una hipérbola son ( 1; 0) y sus focos ( 2; 0). Entonces su ecuación es : Solución : Según los datos del problema a = 1 y c = 2, por lo cual b2
=
4
=
3
1
La ecuación de la hipérbola es x2 1
y2 =1 3
20 50. La excentricidad de la hipérbola y 2
4x2 = 4 es :
Solución : De la ecuación de la hipérbola se tiene que a2 = 4 y b2 = 1, así que c2
=
5 p
c = Por lo tanto, la excentricidad es e=
p
5 2
5
1. EJERCICIOS SOBRE CONCEPTOS BÁSICOS 1. En la figura, el ángulo COB mide 120º y el ángulo COD mide la mitad del ángulo BOA. Entonces, la medida del BOA es: C
B 120 x/2
x
D
A. 20º
O
B. 30º
C. 40º
D. 60º
E. 80º
A
Sea mBOA = x, luego mCOD = x/2. Se tiene
x 3x 120 x 180 60 x 40 2 2
2. Si dos planos diferentes se intersecan, su intersección es A. Un punto. B. Dos puntos D. Dos rectas diferentes E. Falta información
C. Una única recta
Esto es uno de los axiomas de la Geometría Euclidiana.
3. En la figura, m 1 m 4 , m 2 m 3 ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre verdadera?
m1
m3
B. m 1 m 3
C. m 3 || m 4
D. m 2 m 4
m2 m4
A. m 1 || m 2
E. NDLA
m1 Con la información dada las parejas de rectas perpendiculares están “libres”, luego pueden ser giradas y seguirían satisfaciendo los datos dados. Por tanto no puede afirmarse ni A, ni B, ni C, ni D.
m2
m4
m3
4. R, S y T son tres puntos colineales como se muestran en la figura. Si ST = 4x + 4 y RS es la mitad de ST, entonces la longitud de RT es
A. 3x – 4
R
S
T
B. 3x – 6
D. 6x – 12
C. 3x + 2
E. 6x + 6
1 3 3 Dado que los puntos son colineales, se tiene RT = RS + ST = ST ST ST (4x +4) = 6x + 6 2 2 2
1
GEOMETRÍA
xº
5.
A
A partir de la información indicada en la figura, el valor de y es:
120º
50º
130º
yº B
A. 170º
B. 130º
C. 120º
D. 100º
E. 50º
C
Sean A, B y C los puntos indicados en la figura, y sean mBAC = , mACB = . Se tiene = 50, por ser opuesto por el vértice con el ángulo que mide 50 y = 180 – 130 = 50. El ángulo que mide y es un ángulo exterior con respecto al ABC, luego su medida equivale a la suma de los ángulos internos no adyacentes, es decir y = + = 50 + 50 = 100
__
xº
6. A
90º E
B
A. 50º
70º
C. 130º
D. 140º
E. 230º
140º
xº F
__
En la figura, si AB || CD , el valor de x es:
C
D
Dado que las rectas son paralelas, x = mFCE, por ser ángulos correspondientes. A su vez este ángulo por ser externo al ECD, es la suma de las medidas de los ángulos CED y EDC. Se tiene mCED = 90 y mEDC = 180 – 140 = 40, luego x = 90 + 40 = 130
A 7. 40
A partir de la información brindada en la figura, el valor de z resulta:
x
B
A. 30º
z
70º D
B. 40º
C. 70º
D. 80º
E. 110º
C
Las marcas en el ángulo A, indican que AD es bisectriz de dicho ángulo, luego x = 40 y mA = 80. Al considerar el ABC, se tiene z = 180 – 80 – 70 = 30
8.
D
__
y E 130º x B
A __
__
__
__
En la figura, AD AC , EB || DC , entonces el valor de y es: A. 30º
B. 40º
C. 45º
D. 50º
E. 60º
C
__
Dado que EB ||DC , se tiene x = 180 – 130 = 50 por ser ángulos internos al mismo lado, entre __
__
paralelas y como AD AC, el ADC es triangulo rectángulo y por tanto “y” es el complemento de “x”, luego y = 90 – 50 = 40
2
GEOMETRÍA
A
9.
x
En la figura, el valor de x es A. 25º
115º
B
C
140º
B. 40º
C. 45º
D. 65
E. 75º
D
Se tiene mABC = 180 – 140 = 40, x = 115 – 40 = 75 ya que el ACD es externo al ABC
A 10. En la figura, el valor de x es
xº C
B
150º D
A. 30º
B. 40º
C. 45º
D. 50º
E. 60º
E
Se tiene mEDB = 180 – 150 = 30, ABC DBE por ser opuestos por el vértice y por el teorema de semejanza AA, ABC DBE, luego mBAC = x = mEDB = 30.
11. A – B – C – D; E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente; Si AC = 10 y BD = 12, entonces EF = ? A. 5
B. 6
A
C. 9
E
x
B
D. 11
C
F
y
x
E. 22
D
y
10 12 Sean AE = EB = x, CF = FD = y (E y F son puntos medios de AB y CD respectivamente) Se tiene BC = AC – AB = 10 – 2x (1) y también BC = BD – CD = 12 – 2y (2) Igualando (1) y (2): 10 – 2x = 12 – 2y Al simplificar se obtiene y – x = 1 (3). Por otro lado se tiene EF = EB + BC + CF = x + (10 – 2x) + y = 10 – x + y = 10 + (y – x) Al introducir (3) resulta EF + 10 + 1 = 11
3
GEOMETRÍA
A
12.
En la figura º + º = 255º, entonces ¿m A = ?
A. 75º
B. 105º
C. 127.5º
D. 30º
E. 45º
C
B
En el ABC, tenemos que mA = 180 – mABC – mACB = 180 – (mABC – mACB) (1) Se tiene que mABC = 180 – y mACB = 180 – , luego mABC + mACB = 360 – ( + ) Como + = 255, resulta mABC + mACB = 360 – 255 = 105 Sustituyendo en (1) obtenemos mA = 180 – 105 = 75
13. ¿Para qué valor de x, los segmentos AB y CD son paralelos? C
P
25º 65
130º
25º
A
D
xº B
A. 25
B. 50
C. 65
D. 75
E. 130
Como el ángulo a la izquierda de C es congruente con el ángulo a la derecha, también mide 25. Luego mACD = 180 – 2 25 = 130. Como el APC, es recto en P, mPAC = 90 – 25 = 65 Para que AB y CD sean paralelos, el ángulo CAB debe ser el suplemento del ángulo ACD ya que serían ángulos internos al mismo lado entre paralelas o sea mCAB = 180 – 130 = 50. Se tiene entonces x + 50 + 65 = 180 x = 180 – 50 – 65 = 65
__
__
14. Si AB || CD , ¿Cuál es el valor de x?
A
B 120º
E
xº C
A. 170º
B. 150º
C. 120º
F D
D. 100º
Trazamos EF, paralela a las rectas AB y CD, luego mAEF = 180º – 120º = 60º y mFEC = 180º – xº . Además se tiene mAEF + mFEC = mAEC = 90 , luego 60 + (180º – xº) = 90. Al despejar x, resulta x = 150
4
E. 80º
GEOMETRÍA
15. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? A. 30º B. 60º C. 90º D. 120º E. 135º Sean la medida del ángulo buscado y la medida de su suplemento, luego + = 180 = 180 – . El ejercicio indica que = 3, luego = 3 (180 – ) = 540 – 3 4 = 540 = 135.
16. Dos veces la medida de un ángulo es 30° menos que cinco veces la medida de su complemento, ¿cuál es la medida de dicho ángulo? A. 30º B. 60º C. 90º D. 120º E. 135º Sean la medida del ángulo buscado y la medida de su complemento, luego + = 90 = 90 – . Al interpretar la información del ejercicio se tiene 2 = 5 – 30 2 = 5 (90 – ) – 30 = 450 – 5 – 30 7 = 420 = 60
A
60º
17.
m1
60º B xº xº
110º
m2
En la figura las rectas m1 y m 2 son paralelas. Entonces el valor de x es A. 170 B. 50 C. 85 D. 25 E. 30
C
Sean A, B, C y D los puntos indicados en la figura. Al trazar por B una paralela a m1 y m 2 , se forman ángulos alternos – internos entre paralelas, y por tanto congruentes con los ángulos indicados inicialmente, luego x + 60 = 110 x = 110 – 60 = 50. OTRA FORMA: A
D xº
60º
m1
110º xº
B
m2
C
18. En la figura las rectas Entonces el valor de x es
A. 170
B. 50
C. 85
Al prolongar CB, sea D el punto donde corta a la recta m1 Se tiene mADB = x, por ser alterno – interno con el ángulo que se forma en C. El angulo ABC es externo al ABD, luego 60 + x = 110 x = 50
84°
m1 y m 2 son paralelas.
m1
(x – 6)°
(3x + 10)°
m2
D. 25
E. 20
Como las rectas son paralelas se tiene (3x + 10) + (x – 6) = 84 4x + 4 = 84 4x = 80 x = 20
5
GEOMETRÍA
19.
P
S
Q 2
1
Si m P = 90º, 1 2, 3 4, entonces m R es
3
A. 30º D. 90º
4
B. 45º C. 60º E. Falta información.
R
Sean y las medidas de los ángulos indicados en la figura. Se tiene + = 90. Como SQR = 2 y 1 2, se tiene 2mSQR = 180 – . (1) Similarmente se obtiene que 2mQSR = 180 – . (2) Al sumar (1) y (2) resulta 2mSQR + 2mQSR = (180 – ) + (180 – ) = 360 – ( + ) Como + = 90, 2(mSQR + mQSR) = 360 – 90 = 270 mSQR + mQSR) = 135 Luego mR = 180 – (mSQR + mQSR) = 180 – 135 = 45 .
__
20. En una recta se toman los puntos A, B y C, de manera que B es punto medio de AC . Se toma otro AO OC punto O, tal que B – O – C. Encuentre el valor numérico de . OB A. 2
B. 1
C.
1 2
A
D.
3 2
E. Falta información.
B
O
C
Se tiene AB = BC = x, por ser B punto medio de AC. Sea OB = y, luego OC = x – y, AO = x + y. Al sustituir estos valores en la expresión dada se tiene: AO – OC = (x – y) – (x + y) = 2y, OB = y, luego AO OC 2y 2 OB y
Nota: en ejercicios de este tipo no se admite asignar valores arbitrarios, ya que se estaría resolviendo para valores específicos. El planteamiento es general. Cuando se afirma que B – O – C, está indicando que O es un punto cualquiera que se encuentra entre B y C, y el valor numérico encontrado es valido para cualquier punto O que esté entre B y C.
6
GEOMETRÍA
2. EJERCICIOS SOBRE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS 1. Un poste cercano a un árbol mide 2 m y su sombra en un momento dado mide 1.8 m, entonces si la sombra del árbol en ese momento mide 11 m, la altura del árbol es A. 11 m
B. 11.22 m
C. 12.
D. 12.22
E. 13 m
Dado que los rayos del sol prácticamente caen paralelos y que el poste y el tronco del árbol son perpendiculares al piso, el árbol y su sombra y la línea que une sus extremos forman un triángulo semejante al formado por el poste su sombra y la línea que une sus extremos, tenemos
h 2
1.8
h 2 11 1.8
11
h
11 2 12.22 1.8
2. Una varilla clavada en el piso y cercana a un árbol mide 3 m y su sombra mide 1.5 m, entonces si el árbol mide 36 m, su sombra mide A. 36 m
B. 30 m
C. 18 m
D. 15 m
E. 9 m
El problema es similar al anterior, en este 36
caso se tiene
x 1.5 36 3
x
36 1.5 18 3
3
1.5
x
3. El perímetro de un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa igual a 10 redondeado a dos decimales es A. 7.07
B. 14.14
C. 24.14
D. 24.99
E. 50
En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide 2 x 10 x
10 2
5 2
Su perímetro será P 10 2 5 2 10 10 2 24.14
7
2 x , siendo x la longitud de sus catetos, luego
GEOMETRÍA
En el triángulo rectángulo de la figura, los valores de x e y, respectivamente son
4. y
8 4
x
A. 11 y 13
B. 15 y 16
D. 16 y 8.94
E. 12 y 8.94
Por el teorema de la altura se tiene 4 x 82 64
C. 9 y 8
x 16 y la hipotenusa mide 4 + x = 20
Por el teorema de los catetos se tiene y 2 4 20 80 y 80 4 5 8.94
5. Un método para encontrar la altura de un edificio es colocar un espejo en el suelo y después situarse de manera que la parte más alta del edificio pueda verse en el espejo ¿qué altura tiene un edificio si una persona cuyos ojos están a 1.5 m del piso observa la parte superior del edificio cuando el espejo está a 120 m del edificio y la persona está a 6 m del espejo? A. 20 m
B. 30 m
C. 31.5 m
D. 120 m
E. 126 m
h
Dado que las leyes de la óptica indican que en un espejo plano, el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, se forman dos triángulos rectángulos semejantes, luego h 1.5 120 6
1.5 6
h 30 metros.
120
6. La altura respecto a la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 m y los segmentos que determina sobre la hipotenusa son entre sí como 7 es a 14. Entonces la longitud del cateto menor es A. 4 m
B. 7.07 m
C. 12.25 m
D. 14 m
E. 15.5 m
Sean m y n los segmentos determinados por la altura sobre la hipotenusa, a
10 m
con m < n, luego n
m 7 n 14
n 2m .
Por el teorema de la altura m n 102 m 2m 100 m2 50 m 5 2
y n 10 2
La hipotenusa mide c = m + n = 15 2 Por el teorema de los catetos a 2 = m(m + n) = 5 2 15 2 150 a 150 5 6 12.25
8
GEOMETRÍA
7. El perímetro de un rectángulo es 85 m y su diagonal mide 32.5 m. Por lo tanto los lados del rectángulo miden: A. 15 m y 27.5 m B. 20 m y 22.5 m C. 7.5 m y 25 m D. 30m y 12.5 m
32.5
a
E. 40m y 2.5 m
Sean a y b los lados del rectángulo. Se tiene P = 2 (a + b) = 85 a + b = 42.5 (1) a2 b2 32.52 1056.25
b
(2) Despejando b de (1), e introduciendo en (2) a 2 + [42.5 a ]2 = 1056.25 2a2 85a 750 0
a = 12.5 a = 30
Al sustituir en (1) se obtiene b = 30 b = 12.5.
8. El perímetro de un triángulo mide 50 y sus lados son proporcionales a 4, 6 y 8. Entonces su lado mayor mide A. 50/3
B. 25/9
C. 100/9
D. 25
E. 200/9 a b c 4 6 8 8 50 200 c 18 9
Sean a, b y c las longitudes de los lados, con a < b < c, luego P = a + b + c =50 y Por las propiedades de las proporciones
a b c a b c 50 4 6 8 4 6 8 18
9. En un triángulo rectángulo, un lado mide 2 106 , otro 5 15 . Si el lado desconocido es el menor, ¿cuánto mide? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11
Como 2 106 5 15 , la hipotenusa de este triángulo es 2 106 , luego el cateto menor es a [ 2 106 ]2 [5 15 ]2
424 375 49 7
10. El área del triángulo de la figura, redondeada al entero más cercano, mide: A. 21
B. 22
C. 27
D. 31
7 6
E. 54 9
Aplicamos la fórmula de Herón: A s s a s b s c , donde s es el semiperímetro. Se tiene s
679 11 , luego A 11 11 6 11 7 11 9 11 5 4 2 440 20.97 2
9
GEOMETRÍA
11.
¿Cuál es el área del triángulo de la figura?
b
6
A. 20
B. 24
C. 30
D. 48
E. 60
10
Dado que es un triángulo rectángulo su área es la mitad del producto de sus catetos. El cateto desconocido mide b 102 62 100 36 64 8 Por tanto A
1 (6) (8) = 24 2
12. Si un rectángulo de 3 m de ancho y 10 m de largo tiene la misma área que un triángulo rectángulo isósceles, entonces la longitud de cada cateto del triángulo es B. 2 15
A. 7.5
C. 15
3
D. 15 3
E. 10
x
10 x
1 2 x , donde x es la longitud de sus 2 1 2 x 30 x 60 2 15 catetos, luego tenemos que el área del rectángulo es 30, por tanto 2
El área de un triángulo rectángulo isósceles está dada por A
13. El área de un trapecio isósceles de bases 22 m y 10 m y cuyos lados congruentes miden 10 es 2 2 2 2 2 A. 2220 m B. 160 m C. 128 m D. 80 m E. 64 m 10 10
6
A
10
h 10 22
6
Por ser un trapecio isósceles, al proyectar la base menor sobre la base mayor, la base mayor queda dividida en tres segmentos de 6, 10 y 6 metros. Aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene h 102 62 64 8 Aplicando la fórmula para el área de un trapecio: A
22 10 8 128 m2 2
10
B b h 2
resulta
GEOMETRÍA
2
14. La siguiente figura consta de siete cuadrados congruentes. El área total de esta figura es 63 cm . Entonces el perímetro de la figura es: A. 16 cm
B. 21 cm
C. 24 cm
D. 48 cm
E. 84 cm
Observamos que el perímetro está formado por 16 veces el lado de cada cuadrado. Como hay siete cuadrados congruentes, cada uno tiene un área de x 2
63 9 7
x 3 . Por tanto el perímetro de la
figura es P = 16 3 = 48 cm.
15.
A
B
C
H
D
Si ACEG es un cuadrado y el área del cuadrilátero BDFH mide 162 ¿cuánto mide AC? (las marcas iguales representan partes congruentes) A. 9
G
F
B. 12.72
C. 18
D. 25.44
E. 81
E
La figura indica que B, D, F y H son puntos medios de los lados del cuadrado ACEG, luego su área es el doble del área del cuadrado BDFH, es decir [ACEG] = 2 162 = 324 luego AC 324 18
__
16. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10 cm. y CD = 20 cm. Las medidas de los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectivamente, entonces AD = ? A. 60 cm.
B. 50 cm.
C. 40 cm.
D. 30 cm.
E. 20 cm.
Sean B’ y C’ las proyecciones de B y C sobre la base mayor y sean AB’ = x, C’D = y. Por ser BC paralela a AD, mD = 180 – mC = 180 – 120 = 60 20 h El CC’D es un triángulo 30 – 60, luego h = CC’ = 10 3 y 30 60 y = C’D = 10 A x B’ 10 C’ y D También el AB’B resulta ser un triángulo 30 – 60, con su cateto menor BB’ = h = 10 3 , luego AB’ = 10 3 3 30 Tenemos entonces que la base mayor mide AD = x + 10 + y = 30 + 10 +10 = 50. B 10
C
11
GEOMETRÍA
17. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos
40 cm, entonces la medida de la hipotenusa del triángulo rectángulo es
miden 5 cm y
5 40 cm 2
A.
B. 2 13 cm
C. 45 cm
D. 11.32 cm
E. 5.66 cm
A
Sean M y N los puntos medios de BC y AB respectivamente. N
Sean AM = 5 y CN =
B
M
a 2
y NB
c . 2
Sea la hipotenusa AC = b Aplicando el teorema de Pitágoras en los ABM y BCN
C
AM2 AB2 BM2 c 2
a2 25 4
(1)
CN2 NB2 BC2 a2
c2 40 4
(2)
Al sumar (1) y (2) resulta
40 , BC = a, AB = c, luego BM
5c 2 5a2 4 65 a2 c 2 65 52 b2 b 52 2 13 4 4 5
18. En la figura, los cuadrados ABCD y EFGH son congruentes. AB = 10 cm y G es el centro del cuadrado ABCD. Entonces el área total cubierta por el polígono AHEFBCDA es
D
C G
A
B
H
F
2
A. 100 cm
2
B. 120 cm
C. 150 cm
2
D. 175 cm
2
E. 200 cm
2
E
Dado que los cuadrados son congruentes sus áreas son iguales y como el lado AB mide 10, cada uno 2 tiene un área de 100 cm , pero ellos comparten el ABG de manera que para el área total del polígono a la suma de las áreas de los cuadrados debemos restarle el área de este triángulo para que sea considerada solo una vez. Dado que G es el centro del cuadrado ABCD, el área del triángulo es la cuarta parte del área del 2 cuadrado o sea 25 cm . 2 Luego el área buscada es A = [ABCD] + [EFGH] – [ABG] = 100 + 100 – 25 = 175 cm
12
GEOMETRÍA
19. ABCD es un cuadrado, el ABE es isósceles, CF = FB. Entonces, la medida del ángulo EFB es igual a D
E
C
F
A
A. 150° D. 60°
B. 135° E. 45°
C. 90°
B
Como el ABE es isósceles, AE = BE y por ser ABCD un cuadrado, E es el punto medio de DC y por tanto EC = CF, ya que por ser CF = FB, F es punto medio de BC. Luego el ECF resulta ser triangulo rectángulo isósceles y como consecuencia mCFE = 45. El ángulo buscado es el suplemento del CFE, luego mEFB = 180 – mCFE = 180 – 45 = 135
B
20.
C
D
En la figura, ABCF es un paralelogramo. B, C y D son colineales. Si AB = 18, AD = 30 y FE = 12. ¿Cuánto mide AE?
E A
A. 10
F
B. 12
C. 15
D. 20
E. 25
Se tiene que CF = AB = 18, ya que ABCF es un paralelogramo. CE = CF – FE = 18 – 12 = 6. Por otro lado BD y AF son paralelas, luego FAE CDE, ya que son alternos internos entre paralelas y FEA CED, ya que son opuestos por el vértice. Como consecuencia se tiene FEA CED. Sea AE = x, luego ED = AD – AE = 30 – x. Por la semejanza anterior, CE ED FE EA
6 30 x 6x 360 12x 18x 360 x 20 12 x
21. En un trapecio isósceles, la diferencia de las bases es de 10 m. La altura mide 12 m. y el perímetro 76 m. Entonces su área es: A. 86 m
2
B. 176 m
2
C. 226 m
2
D. 288 m
5
E. 300 m
2
Como B – b = 10, al proyectar la base menor sobre la base mayor se forman tres segmentos de longitudes 5, b y 5 como se muestra en la figura. Luego como la altura es 12, en los extremos del trapecio se 13 forman triángulos rectángulos de catetos 5 y 12. Aplicando el teorema 12 de Pitágoras hallamos que la hipotenusa mide 13 lo cual corresponde a la longitud de los lados no paralelos del trapecio. Considerando que el b 5 perímetro mide 76 m. se tiene: B 2b + 2 (13) + 2 (5) = 76 b = 20 Al considerar que B – b = 10, resulta B = 30 Aplicando la fórmula para el área de un trapecio, el área buscada resulta b
13
2
A
B b h 20 30 12 2
2
13
300 m2
GEOMETRÍA
22. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1 cm. y CE = 2 cm., entonces el área del triángulo ADF 2 en cm es igual a 1
A
D
A.
F
D. B
C
2
E
1 2 1 6
1 3 1 E. 8
B.
C.
1 4
Dado que ABCD es un cuadrado AD y CE son paralelas, resultando que ADF ECF por el teorema de semejanza AA, ya que DAF CEF por ser alternos internos entre paralelas y DFA CFE por ser opuestos por el vértice. De la semejanza resulta que
AD DF CE CF
1 DF 2 CF
CF 2DF (1)
1 . 3 1 1 1 1 Por tanto el área buscada resulta [ADF] AD DF 1 2 2 3 6
Como CD = CF + FD = 1, resulta DF
23. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC = 10 y AC = 16. Sea BD la mediana trazada sobre el lado AC y sea G el baricentro. Entonces el área del triángulo ADG es A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
Por ser BD mediana, D es punto medio de AC, o sea AD = DC = 8.
B
10
Ya que ABC es isósceles, BD además de mediana también es altura, luego mADB = 90. Aplicando el teorema de Pitágoras hallamos que
10 G 2
A
8
E. 24
D
8
C
BD 102 82 6
Como G es el baricentro, BG = 2GD y como BD = BG + GD = 6, resulta GD = 2. Por tanto el ADG resulta ser un triángulo rectángulo con catetos de longitudes 8 y 2, por tanto su área 16
es [ADG]
1 1 AD DG 8 2 8 2 2
14
GEOMETRÍA
24. Sea ABC un triángulo isósceles con AB = AC = 17 cm y P un punto cualquiera del lado BC, diferente de los puntos extremos. Por P se trazan una paralela a AC que corta a AB en Q y una paralela a AB que corta a AC en R. El perímetro del cuadrilátero AQPR es A
Q R B
P
A. 8.5 cm
B. 17 cm
C. 34 cm
D. 51 cm
E. 68 cm
C
Dado que QP AC y RP AB , AQPR es un paralelogramo y de ahí AQ = RP y AR = QP. Del paralelismo de los segmentos señalados anteriormente también resulta que los QBP y RPC son semejantes con el ABC y por tanto también son isósceles y de ahí QB = QP y RP = RC. Por tanto el perímetro del cuadrilátero AQPR, resulta P = AQ + QP + AR + RP = (AQ + QB) + (AR + RC) = AB + AC = 17 + 17 = 34
25. De acuerdo a la información que se proporciona en la figura, el segmento de mayor longitud es B
A 70°
55° 60°
A.
60° D
AB
B. BC
C. CD
D. DA
E. BD
C
Dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180, en el ABD, resulta que el ángulo ABD mide 180 – 70 – 60 = 50 y en el BDC, mBDC = 180 – 55 – 60 = 65 Una de las propiedades de los triángulos indica que el lado mayor se opone al ángulo mayor y viceversa. Al comparar las medidas de los ángulos del ABD, resulta que el mayor mide 70 y su lado opuesto es BD, luego BD es mayor que AB y AD. Pero al considerar el BDC, su ángulo mayor es 65 y el lado que se le opone es BC y por tanto BC > BD. Luego el lado mayor de la figura resulta BC
15
GEOMETRÍA
26. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 1, CMN es equilátero, El área de CMN es igual a D
C
M
A. 0.866 D. 0.5 A
N
B. 0.7071 E. 0.4641
C. 0.75
B
3 2 x , donde x es la longitud de su lado, luego debemos 4
El área de un triángulo equilátero está dada por
encontrar primero cuanto mide cada lado del triángulo equilátero CMN. Como ABCD es un cuadrado y CM = CN = x, se tiene que CDM CBN y de ahí MD = NB y como AD = AB, resulta AM = AN y por tanto el MAN es rectángulo isósceles, luego MN x 2 AN
AN
x 2
Como AB = 1, resulta NB 1 AN 1
x 2
2 x 2
El CBN es un triángulo rectángulo luego al aplicar el teorema de Pitágoras resulta 2
2x CN2 CB2 NB2 1 x2 2
Al desarrollar, simplificar y resolver la ecuación resultante se obtiene x 6 2 Por tanto el área buscada es [CMN]
3 4
6 2
2
0.4641
27. La siguiente figura muestra dos cuadrados de lado 1 cm., donde AEFG se ha obtenido de ABCD al girar este cuadrado 45° sobre el vértice A. Entonces el área sombreada es F B
H
E
C G
A. D.
A
2 –1
B. 0.5
2
C. 0.451
E. 0.375
D
Al girar 45, la recta diagonal AC se convierte en la recta AB la cual equivale a la recta diagonal AF, por tanto A, B, F son colineales. Además se tiene mBFH = 45 y por tanto FBH es un triángulo rectángulo isósceles con FB = BH Luego [AGHB] = [AGF] – [FBH] Por ser AEFG un cuadrado de lado 1, su diagonal mide 2 y como AB = 1, BF = BH = 2 1 Como [AGF] tiene como área la mitad de la área del cuadrado, que tiene lado de longitud 1, resulta [AGBH]
1 1 2 2
2
2 1
1 1 2 2 2 1 2 1 2 2
16
GEOMETRÍA
28. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, que también es isósceles, miden A. 30°
B. 45°
C. 35°
D. 75°
E. 60°
Por ser triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo de 90 y los otros dos ángulos congruentes, y dado que la suma de los ángulos internos de un triángulo suman 180, cada uno de ellos mide 45 29. En la figura ABCD es un cuadrilátero con AD || BC . La diagonal AC es perpendicular al lado CD . mBAC = 30°, AC = 4 3 y AB = BC. Entonces el área de ABCD es igual a B
C A. 6
C. 12 3
B. 12
D. 24
E. 30
D
A B
Como AB = BC, el ABC es isósceles con mABC = 120 y mBCA= 30 y su base AC = 4 3 . Al trazar una perpendicular desde B a AC, sea E el pie de la perpendicular. Por ser isósceles, BE también es mediana es decir E es punto medio de AC, luego se forman dos triángulos 30 – 60 con las hipotenusas
C 60
30
60 30 30
E 60
A
D
AB = BC y catetos mayor AE = EC = Luego como el cateto mayor en un triángulo 30 – 60, es
AC 2 3 2
3 veces el cateto menor, en este caso se tiene
BE 2
Como AD || BC el BAD es el suplemento del ABC, resulta mBAD = 180 – 120 = 60 y como mBAC = 30, se tiene mCAD = 30 y de ahí también el ADC es un triángulo 30 – 60 con cateto mayor AC = 4 3 . Como en todo triangulo 30 – 60, el cateto mayor es 3 el cateto menor, se tiene CD = 4 Finalmente tenemos [ABCD] = [ABC] + [ACD] =
1 1 1 1 AC BE AC CD 4 3 2 4 3 4 12 3 2 2 2 2
30. Se tiene un trapecio ABCD donde BC es la base menor. BC = 10 cm y CD = 20 cm . Las medidas de los ángulos A, B y C son 30°, 150° y 120° respectivamente, entonces el área del trapecio mide 2
A. 300 3 cm . B 10
2
B. 400 cm .
2
C. 300 cm .
2
D. 200 cm .
2
E. 200 3 cm .
C
Sean B’ y C’ las proyecciones de B y C sobre la base mayor y sean AB’ = x, C’D = y. 20 h Por ser BC paralela a AD, mD = 180 – mC = 180 – 120 = 60 30 60 El CC’D es un triángulo 30 – 60, luego h = CC’ = 10 3 y A x B’ 10 C’ y D y = C’D = 10 También el AB’B resulta ser un triángulo 30 – 60, con su cateto menor BB’ = h = 10 3 , luego 10 3 3 30
AB’ = 10 3 3 30 Tenemos entonces que la base mayor mide AD = x + 10 + y = 30 + 10 +10 = 50. Luego el área del trapecio resulta [ABCD] =
50 10 10 2
17
3
300 3
GEOMETRÍA
31. En la figura, mBAC = , mBPC = mBQC = 90°. Entonces la medida de BHC es A
P
H
A. 180 – D. 2
Q
B
B. E. 3
C. 90 –
C
Como mBPC = mBQC = 90°, también mAPH = mAQH = 90°. APHQ es un cuadrilátero convexo y en todo cuadrilátero convexo la suma de sus ángulos internos es 360, luego mBHC + + 90 + 90 = 360 y de ahí mBHC = 180 –
32. Si las medianas en un triángulo rectángulo, trazadas a partir de los vértices de los ángulos agudos miden 5 cm y A. 5
20 cm, entonces la medida en cm de la hipotenusa del triángulo rectángulo es B. 6
C. 8
D. 9
E. 10
A
Sean M y N los puntos medios de BC y AB respectivamente. N
Sean AM =
B
M
Sea la hipotenusa AC = b Aplicando el teorema de Pitágoras en los ABM y BCN
C
AM2 AB2 BM2 c 2
a2 20 4
(1)
CN2 NB2 BC2 a2
c2 25 4
(2)
Al sumar (1) y (2) resulta
20 y CN = 5, BC = a, AB = c, luego BM
5c 2 5a2 4 45 a2 c 2 45 36 b2 b 36 6 4 4 5
18
a 2
y NB
c . 2
GEOMETRÍA
33. En la figura, los dos cuadrados tienen el mismo centro. La razón entre el lado del cuadrado menor y el lado del cuadrado mayor es 2/5. Entonces la razón entre el área sombreada y el área del cuadrado mayor es D
C b H
G
E
F
A
a
A. 1/6 D. 2/5
B. 21/100 E. 4/9
C. 1/3
B
Sean “b” la longitud del lado del cuadrado menor y “a” la longitud del lado del cuadrado mayor, luego
b 2 a 5
Por la simetría de la figura se deduce que el área sombreada, es decir el trapecio ABFE, representa la cuarta parte de la diferencia entre los dos cuadrados, luego [ABCD] a2 y [EFGH] b2 y de ahí [ABFE]
1 2 a b2 4
[ABFE]
1 [ABCD] [EFGH] 4
1 2 a b2 [ABFE] 4 1 a2 b2 1 b2 La razón buscada será 1 [ABCD] 4 a2 4 a2 a2
Como
b 2 [ABFE] 1 4 21 , resulta 1 a 5 [ABCD] 4 25 100
34. En la figura, AB = AC = 4, BD = DC = 3 y mBAC = 60°, entonces la longitud del segmento AD es A A. 2 3 – D. 2
D B
E
5
B. 2 3 + 5 E. 3.5
C. 1
C
Al unir B con C, obtenemos un triángulo equilátero, ya que AB = AC y mBAC = 60°. Se tiene que ABD ACE, ya que sus tres pares de lados son congruentes, de ahí resulta mBAD = mCAD y por tanto AD es bisectriz del BAC Al prolongar AD, sea E el punto donde corta a BC. Luego como el ABC es equilátero, AE además de bisectriz es mediatriz y por tanto AE BC y BE = EC = 2. Resulta entonces que el BED es rectángulo, con hipotenusa BD = 3 y un cateto, BE = 2. Por el Teorema de Pitágoras, DE 32 22 5 Por otro lado AE es una altura en un triángulo equilátero de lado 4 y por tanto AE 2 3 Finalmente obtenemos que AD = AE – DE = 2 3 5
19
GEOMETRÍA
35. En la figura el cuadrilátero ACDE es un trapecio tal que ED = 15 cm., AC = 24 cm y la altura es 12 cm. Sabiendo que B es el punto medio del lado AC, el área del cuadrilátero OBCD es E
15
D
b 12 a A
12
A. 112 cm D. 140 cm
O B
12
2 2
B. 117 cm E. 360 cm
2 2
C. 120 cm
2
C
Como ED || A C , resulta que ABO DEO, con razón de semejanza
AB 12 4 DE 15 5
Sean a y b las alturas de los triángulos ABO y DEO respectivamente, indicadas en la figura. Dado que los elementos homólogos en triángulos semejantes están en la misma razón de semejanza, se tiene Como a + b = 12 (la altura del trapecio), al considerar la razón anterior resulta a
a 4 . b 5
16 20 , b . 3 3
Al analizar la figura vemos que [OBCD] = [ACDE] – [ABE] – [DEO] 24 15 [ACDE] 12 234 2 1 El ABE, tiene base 12 y altura 12, luego su área es [ABE] 12 12 72 2 1 20 50 [OBCD] = 234 – 72 – 50 = 112 Para el DEO, resulta [DEO] 15 2 3
Tenemos que el área del trapecio ACDE resulta
36. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 6 cm. y CE = DE = 5 cm., entonces la longitud de AE es A
109 cm
B. 15 cm
C.
11
D. 30
E.
Sean F y G los puntos medios de CD y BA respectivamente. Luego CF = FD = BG = GA = 3 y FG = 6 Como CE = DE, el CED es isósceles y por tanto E, F, G son colineales y EF CD y EG AB. El CFE es rectángulo en F, luego por el Teorema de Pitágoras, EF 52 32 4 . EG = EF + FG = 4 + 6 = 10
El FGA también es rectángulo con EG = 10 y GA = 4, luego EA 102 32 109
20
E
61 C
F
D
B
G
A
GEOMETRÍA
37. En la figura, a partir de la información dada, ¿cuál es el valor de x? A
A. 76
B. 25
C. 13.2
D. 5.28
E. 5 132 52.8
x
Se tiene A E , por dato, y ACB ECD, por ser opuestos por el vértice, luego ABC EDC, por el teorema de semejanza AA. CD BC CE AC
Luego
x 66 10 132
B
x5
66
D
C 10 E
38. ABCD es un paralelogramo. P es un punto de la diagonal AC . Trazamos por P paralelas a los lados del paralelogramo. Estas paralelas intersecan a los lados del paralelogramo en los puntos indicados en la 2 figura. Sabiendo que el área de ABCD es 40 cm , entonces el área del cuadrilátero RQMN es igual a A
R
N
B
P
D
M
Q
A. 10 cm D. 40 cm
2
2
B 20 cm E. 50 cm
2
2
C. 30 cm
2
C
Dado que RM AD BC y NQ AB DC , resulta que los cuadriláteros ANPR, PQBR, DMPN y MCQP son paralelogramos y los segmentos NR, RQ, QM y MN son diagonales de esos paralelogramos. Es sabido que una diagonal divide a un paralelogramo en dos triángulos congruentes, con áreas igual a la mitad del área del paralelogramo. Por tanto [RQMN] =
39
1 [ABCD] = 20 2
A
En el triángulo rectángulo ABC ¿cuál es la longitud del segmento BC?
6
A. 15
3
B. 12
C
B
x
Basta aplicar el teorema del cateto: 3x 62
x 12
21
C. 10
D. 9
E. 7.5
GEOMETRÍA
40. Sea ABCD un cuadrado. Por el vértice A se traza un segmento que corta a la prolongación del lado BC en E, al lado DC en F y a la diagonal BD en G. Si AG = 3 y GF = 1 ¿cuál es la longitud de FE? A
H
D
G F A. 12 B
C
B. 10
C. 9
D. 8
E. 6
E
Sea x la longitud de cada lado del cuadrado. Desde G tracemos una perpendicular a AD y sea H el pie de esta perpendicular. Luego AGH AFD. Como AG = 3 y GF = 1, resulta AF = 4 AG AH 3 AH 3 3 1 AH x y HD = AD – AH = x x x AF AD 4 x 4 4 4 1 Como G esta sobre la diagonal, HG = HD = x 4 x AG HG 3 1 4 DF x . De la misma semejanza se tiene AF DF 4 DF 3 1 2 Luego FC = DC – DF = x x x 3 3
De la semejanza se tiene
Como ABCD es un cuadrado, AD BC y por tanto AD CE . De ahí resulta que ADF ECF FE FC De esta semejanza se tiene FA FD
2 x FE 3 1 4 x 3
FE 8
22
GEOMETRÍA
3. EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIAS Y POLÍGONOS B
1.
A
C D
En la figura de la derecha si la medida de los arcos AD y BC son 140º y 80° respectivamente, entonces el valor de es A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
E. 80°
Tenemos que
m AC mCD 2
Dado que mAB mBC mCD mAD 360 mAC mCD 140 , luego
y
mBC mAD 80 140 220 , tenemos que
m AC mCD 140 70 2 2
2. El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y BC = 6, el área de la región sombreada tiene un valor de A. 15.27
B. 24
C. 36.37
D. 61.07
C
E. 48 A
B
El área sombreada es la diferencia entre el área del semicírculo y el área del triángulo. El ABC es rectángulo en C, por estar inscrito en un semicírculo. Luego por el Teorema de Pitágoras, AB 82 62 10 r = 5 1 2 1 25 r 52 2 2 2 1 1 El área del triángulo está dada por AC BC 8 6 24 2 2 25 24 15.27 El área buscada es A = 2
Por tanto el área del semicírculo es
3. El triángulo ABC está inscrito en un semicírculo de diámetro AB. Si AC = 8 y CD = 4.8, el área de la región sombreada tiene un valor de A. 15.27
B. 24
C. 36.37
D. 61.07
Por el Teorema de Pitágoras, AD 82 4.82 6.4 Como el ABC es rectángulo en C, se tiene por el teorema del cateto AC2 AB AD
82 AB 6.4
AB
C
E. 48
A
D
B
64 10 . Y de nuevo por el Teorema de Pitágoras resulta 6.4
BC = 6. Dado que estos valores coinciden con los datos del ejercicio anterior, el área resulta la misma.
23
GEOMETRÍA
Y
4.
.
X
La circunferencia de la figura tiene radio 2 y el arco XYZ tiene longitud . ¿Cuánto mide la cuerda XZ?
Z
A.
X
B. 2
2
C. 2 2
D.
2
E.
Sea la medida del ángulo central XOZ. La longitud de un arco está dada por s = r, con el ángulo medido en radianes.
Z
Tenemos s = y r = 2, luego
O
s , es decir 90 r 2
Luego XOZ es un triángulo rectángulo isósceles con XZ como hipotenusa y por tanto XZ = 2 2
2
5. En la figura el área del círculo mayor es 1 m . El círculo menor es tangente internamente al círculo mayor y también es tangente a los lados del ángulo inscrito que mide 60°. El vértice del ángulo inscrito y los centros de los círculos están alineados. Entonces el área del círculo menor es
A.
D
O O’
B.
4 9
C.
D. 2
1 2
E.
Desde el vértice del ángulo inscrito, trazamos un diámetro. Sean O y O’ los centros de los círculos, mayor y menor respectivamente. Sea B el otro extremo del diámetro trazado, C el punto donde uno de los lados (el arriba) del ángulo corta a la circunferencia. Y sea D el punto de tangencia de este lado del ángulo con el círculo menor.
C
A
1 2
B
Sean R y r los radios de los círculos, mayor y menor respectivamente. Tenemos que AO’ biseca al ángulo inscrito, luego mO’AD = mBAC = 30. Como AB es un diámetro del circulo mayor, mACB = 90 resultando que mABC = 60, y el ABC es 30 – 60. Dado que AB = 2R, se obtiene que BC = R, ya que BC es el cateto menor y AB la hipotenusa del ABC Como AC es tangente al círculo menor en D, AD DO’, es decir mADO’ = 90 y de ahí mAO’D = 60 Luego también el AO’D es un triángulo 30 – 60 y su cateto menor O’D = r, mide la mitad de su hipotenusa, AO’. Se tiene O’B = r, por ser radio del circulo menor y de ahí AO’ = AB – O’B = 2R – r. Luego AO’ = 2 O’D 2R – r = 2 r
2 3
r R. 2
2R 4 4 2 R 9 9 3
Como el área del círculo mayor es R2 1 , el área del círculo menor es r 2
24
GEOMETRÍA
6.
__ En la figura C es el centro de la circunferencia de radio r y TP es un segmento tangente en T, de longitud 2r, entonces PC mide
Q C r T
2r
P
B. r 3
A. r 2
D. r 5
C. 3r
E. 5r
Como TP es tangente a la circunferencia en T, mPTC = 90. Luego aplicando el teorema de Pitágoras resulta
PC
7.
2r
2
r 2 5r 2 r 5
10
Los extremos de la figura son semicírculos, ¿Cuál es el área de la región sombreada?
8
A. 80
B. 8
C. 10
D. 16
E. 16 + 80
Como el área sombreada únicamente son los extremos y estos son semicírculos, al unirlos se forma un circulo de diámetro 8, es decir de radio 4, luego
8.
A r 2 42 16
C ___
B
O
En la figura AC es un diámetro. Si m AB = 50°, entonces m BAC = ? A. 25°
B. 50°
C. 65°
D. 90°
E. 130°
A
Dado que m AB = 50°, se tiene mBCA =
1 m AB = 25°, por ser ángulo inscrito que subtiende dicho 2 ___
arco; mABC = 90, por estar inscrito en una semicircunferencia ( AC es diámetro). Luego la medida del ángulo buscado es: mBAC = 180 – mBCA – mABC = 180 – 25 – 90 = 65
25
GEOMETRÍA
9.
En la figura, los círculos son tangentes y tienen radio igual a 10. Si se unen los centros de los círculos se forma un cuadrado. ¿Cuál es el área de la región sombreada? A. (400 – 100)
B. 400 – 100
D. 400 – 100
E. 400 – 400
C. 100 – 400
El área de la región sombreada es la diferencia entre el área del cuadrado formado y las áreas de los cuatro sectores circulares que se forman. Dado que la distancia entre los centros de dos círculos tangentes exteriormente, es la suma de las longitudes de los radios, resulta que el cuadrado formado tiene lado de longitud 20 y por tanto el área del cuadrado es 400. Cada sector formado tiene un ángulo central de 90, luego entre los cuatro forman un circulo de radio 10, cuyas áreas suman entonces r 2 102 100 Por tanto el área buscada es: A = 400 – 100
10.
D
B P A
C
En la figura, la medida del arco AB es 30°, y la medida del BPA es 35°. Las medidas del arco CD y el ángulo DAC (en grados) son respectivamente A. 100 y 25 D. 50 y 25
B. 50 y 50 E. 25 y 50
C. 100 y 50
Dado que BPA es un ángulo exterior, formado por dos secantes, su medida es la semidiferencia de los las medidas de los arcos que intercepta. Es decir mBPA
mCD m AB . De esta expresión despejamos m AB , resultando mCD 2 mBPA mAB 2
Introduciendo los datos se obtiene mCD 2 35 30 100 Por otro lado se tiene que el DAC es un ángulo inscrito que subtiende el arco DC, luego mDAC
1 1 mCD 100 50 2 2
26
GEOMETRÍA
11. La expresión (p + q) p = (r + s) r, se cumple en la situación representada por
r
r s
s
q p
q
A
r p
r
B
q
p
p s
s q
C
D
Al recordar las relaciones métricas en una circunferencia, vemos que los productos de esta forma surgen cuando se tienen dos secantes que se cortan (también aparecen cuando hay semejanzas de triángulos) o una secante y una tangente que se cortan. A partir de estas relaciones tenemos: En la figura A, la relación es r 2 s s p
En la figura B, la relación es r (r + s) = p (p + q), la cual es la misma expresión dada. La respuesta es ésta. Para estar más seguros vemos que resulta en las otras.
En la figura C, la relación es r s = p q y en la figura C, r 2 p p q , que son diferentes a la dada. Solo B satisface y por tanto es la respuesta.
12. En la figura se dan tres semicircunferencias mutuamente tangentes. CD y DA son diámetros de las circunferencias menores. El punto B está en la semicircunferencia mayor. BD CA . Si BD = 2, entonces el área sombreada es igual a B
A. 1 C
D
B.
C. 2
D.
3 4
E.
9 4
A
El área de la región sombreada es la diferencia entre el área del semicírculo exterior menos las áreas de los semicírculos interiores. Sean r1, r2 , R los radios del semicírculo menor, del semicírculo mediano y del semicírculo exterior respectivamente. Luego CD = 2 r1 , DA = 2 r2 y CA = 2 R Como CA = CD + DA, se tiene 2R = 2r1 2r2 o sea R = r1 r2 (1) Al unir B con A y con C, se forma un triángulo rectángulo, con CA como hipotenusa y BD como altura relativa a la hipotenusa. Por el teorema de la altura, BD2 CD DA 22 2r1 2 r2 r1 r2 1 (2)
1 1 2 r , el área buscada es A R2 r12 r22 2 2 2 1 1 1 A [r1 r2 r12 r22 )] r 12 2r1 r2 r22 r12 r22 2 r1 r2 2 2 2
Como el área de un semicírculo está dada por Al considerar (1) Al considerar (2)
A r1 r2
27
GEOMETRÍA
13. Las medidas de los arcos AB y AC se indican en la figura. La medida del BAC es A 110° 130° C
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 110°
E. 130°
B
El BAC es un ángulo inscrito en una circunferencia, por tanto su medida es la mitad de la medida del arco que subtiende, en este caso el arco BC. 1 2
Tenemos que mBC 360 mAB mAC 360 110 130 120 , luego mBAC = mBC 60
14. En la figura, BC une los centros de los círculos tangentes. AB BC , BC = 8 y AC = 10, entonces la longitud de la circunferencia pequeña es igual a A
B
A.
C
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Sean R y r los radios de las circunferencias grande y pequeña respectivamente. Como las circunferencias son tangentes exteriormente, R + r = BC = 8 Dado que el ABC es rectángulo en B, tenemos R AB 102 82 6 y r = 2. Luego la longitud de la circunferencia pequeña resulta C = 2 r = 4
15.
La figura representa un hexágono regular, ¿cuál es el valor de x?
x
A. 3 3
B. 6 3
C. 6
D. 18
E. 9 3
6 3
Todo hexágono regular puede dividirse en seis triángulos equiláteros congruentes. En la figura se indica que x equivale al doble de la altura de cada triangulo: x = 2h Como el lado de cada triangulo mide 6 3 , las alturas miden h
28
3 6 3 9 x 2h 18 2
GEOMETRÍA
16.
A B
La figura representa un círculo inscrito en un cuadrado que a su vez está inscrito en otro cuadrado. B es punto medio de AC ¿Cuál es el área de la región sombreada?
0.4 A. 0.025
C
B. 0.048
C. 0.1428
D. 0.153
E. 0.1582
Si llamamos A 1 al área del cuadrado mayor, A 2 al área del cuadrado menor y A 3 al área del círculo, el área de la región sombreada resulta A A1 A 2 A 3 El lado del cuadrado mayor mide 0.4, luego su área es A 1 = 0.16 Como B es punto medio AB = 0.2. Los triángulos que se forman en cada esquina del cuadrado mayor, son rectángulos isósceles, y sus hipotenusas forman los lados del cuadrado menor, por tanto, el lado del
cuadrado menor resulta 0.2 2 y su área es A 2 = 0.2 2
2
0.08
Como el circulo está inscrito en el cuadrado menor, su diámetro es el lado de dicho cuadrado, y su radio
es la mitad o sea r = 0.1 2 , su área A 3 r 2 0.1 2
2
0.0628
Luego A = 0.16 – 0.08 +0.0628 =0.1428 17.
A
Los segmentos AC y BD se cortan en P y son tangentes a las circunferencias en los puntos A, C, B y D. Si AC = 31, PB = 19 ¿Cuál es el valor de AP?
B P C
D
A. 6
B. 12
C. 15
D. 25
E. 50
Dado que PB y PC son segmentos tangentes a la circunferencia de la izquierda, desde un mismo punto, son congruentes, luego PC = PB = 19. Como AC = AP + PC, AP = AC – PC = 31 – 19 = 12.
18. Seis triángulos equiláteros de 1 cm. de lado se unen para formar un hexágono como se muestra en la figura. Se circunscribe un círculo alrededor del hexágono ¿cuál es el área de la región sombreada?
A. ( D.
3 ) cm2 2
B. (
3 2 cm 3
3 3 ) cm2 2
E. (2 3 3 ) cm
C. (2
3 ) cm2 2
2
Tenemos que el área de la región sombreada es el área del circulo menos el área del hexágono. El radio del circulo es la longitud del lado de los triángulos, es decir r = 1, luego su área es r 2 El área de cada triángulo equilátero es reduce a
3 2 x , donde x es el lado del triángulo, y como el lado mide 1, se 4
3 3 3 3 . Como hay seis triángulos, el área del hexágono es 6 4 2 4
Por tanto el área de la región sombreada es A = (
29
3 ) cm2 2
GEOMETRÍA
19. Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia como se muestra en la figura. Se tiene m A = 50º y m C = 60º. Se trazan tangentes por A, B y C de manera que se forma el triángulo circunscrito A’B’C’. Entonces la medida del ángulo A’ es: A. 40º
B. 60º
C’
C. 80º
D. 100º
E. 120º
A’
B
50
C
A
Como BA’ y CA’ son tangentes a la circunferencia, los A’BC y A’CB son ángulos semiinscritos que subtienden el arco BC y el ángulo A es un ángulo inscrito que subtiende el mismo arco. Por tanto estos ángulos son congruentes, es decir mA’BC = mA’CB = mA = 50 Luego al considerar el A’BC, se tiene mA’ = 180 – mA’BC – mA’CB = 180 – 50 – 50 = 80
B’
20. El triángulo ABC es equilátero y sus lados AC y BC son tangentes a la circunferencia con centro en
3 . El área del cuadrilátero AOBC es
O y radio A. 3
B.
6
A 3
C
O
C 3 3
D. 6
E. 12
Se tiene OC AB, ya que los triángulos OAB y ABC son isósceles. También OAC OBC, ya que sus tres lados son congruentes. Como además el ABC es equilátero, mACO = 30, luego el OAC es un triángulo 30 – 60 y de ahí resulta que OC = 2 3 y AC = 3. 1 2
Tenemos entonces [AOBC] = 2[OAC] = 2 3 3 3 3 B
21. Si un ángulo central de 30° en una circunferencia intercepta un arco de 6 m de longitud, entonces el radio de la circunferencia mide A. /36 B. /6 C. D. 36/ E. 180 Se tiene s = r , donde s es la longitud del arco, r el radio de la circunferencia y es el ángulo central correspondiente, medido en radianes. Como = 30 equivale a /6 radianes, tenemos 6 r
6
r
30
36
GEOMETRÍA
22. En la figura se tiene una circunferencia de radio 1 y un hexágono regular de lado 1. Si O es el centro de la circunferencia, entonces el área de la región sombreada es A. 0.5
B. 0.866 B O
O’
C.
1
D. 1.5
E. 2
En vista que el hexágono tiene lado 1 y la circunferencia tiene radio 1, el centro del hexágono es un punto de la circunferencia. La región sombreada puede descomponerse en dos triángulos que tienen la misma base y la misma altura que los triángulos que forman el hexágono.
A
Luego el área buscada es A = 2
3 2 3 1 0.866 4 2
C
23 A
B
Los arcos AB y BC son semicírculos cuyos centros están sobre un diámetro del círculo que se muestra en la figura. Si BC = 2 AB, entonces la razón entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada es:
C A. 2
B.
3 2
C. 1
D.
2 3
E.
1 2
Sean r1 el radio del semicírculo mayor, r2 el radio del semicírculo mediano y r3 el radio del semicírculo AB 3 , BC 2r2 2 AB r2 AB, 2r1 AB BC 3AB r1 AB 2 2
menor. Se tiene r1
Luego las áreas de estos semicírculos son: 2
Semicírculo mayor:
3 1 1 9 r12 AB AB2 2 2 2 8
Semicírculo mediano:
1 1 r22 AB2 2 2 2
Semicírculo menor:
AB 1 1 1 2 r32 AB 2 2 8 2
El área no sombreada está dada por: área del semicírculo mayor más el área del semicírculo mediano menos el área del semicírculo menor o sea Área no sombreada =
9 1 1 3 AB2 AB2 AB2 AB2 8 2 8 2
El área sombreada está dada por: área del semicírculo mayor menos el área del semicírculo mediano más el área del semicírculo menor o sea 9 1 1 3 AB2 AB2 AB2 AB2 8 2 8 4 3 AB2 Area sombreada 1 4 La razón buscada resulta Area no sombreada 3 2 AB2 2
Área sombreada =
31
GEOMETRÍA
24. Una moneda circular de radio 1, está sobre una mesa. Si ponemos cuatro monedas más grandes de igual tamaño alrededor de ella, ¿cuál es el radio de las monedas grandes que permite que cada una sea tangente a las dos adyacentes y a la de radio 1? A. 1
B. 1 + 2
R
R
R
R 2 R
R
C. 2
D. 2 +
E. 2.5
2
Sea R el radio de las monedas grandes. Como estas monedas son tangentes a las monedas adyacentes y a la vez son tangentes a la moneda pequeña, al unir los centros de las monedas grandes se forma un cuadrado de lado 2R. Al trazar una diagonal, esta debe pasar por el centro de la moneda pequeña, la cual tiene diámetro 2, luego la longitud de la diagonal resulta 2R + 2. Por tanto, dado que en todo cuadrado de lado x, su diagonal mide 2 x , se cumple en este caso que
2R 2 2 2R 2R 2 2 2 R 2 2 2 R 2 R
1 2 1
Al racionalizar el denominador obtenemos R 2 1
25. En la siguiente figura ABC y AEB son semicírculos, F es el punto medio del diámetro AC, B es punto medio del arco AC y AF = 1¿Cuál es el área de la región sombreada? B E
A A. 1/2
B. 2
C
F
C. /4
D. 3/4
E. /4 – 1/2
El área de la región sombreada resulta de la diferencia entre el semicírculo AEB y el segmento circular determinado por la cuerda AB en el semicírculo ABC. Como F es el punto medio del diámetro AC, B es punto medio del arco AC, resulta BF AC, luego el ABF es un triángulo rectángulo isósceles de cateto 1 y por tanto AB = 2 AB es diámetro del semicírculo AEB, luego su radio es
2 y el área de este semicírculo resulta 2 2
2 1 A1 2 2 4
El área del segmento circular, está dada por la diferencia entre el área del sector circular que lo contiene y el área del triángulo determinado por la cuerda y los radios extremos. En este caso el sector circular correspondiente tiene ángulo central de 90 y radio 1, por tanto su área es 1 y el triángulo correspondiente tiene base 1 y 4 1 1 1 altura 1, luego su área es . El área del segmento circular resulta A 2 2 4 2
la cuarta parte del área de un círculo de radio 1 o sea
Finalmente el área buscada es
A A1 A 2
1 1 4 4 2 2
32
GEOMETRÍA
26. Si el radio de un círculo aumenta en unidades, ¿cuánto aumenta su perímetro? A.
B. 2
D.
2
C. 3
2
E. 2
r+
r
Sean L y L’ los perímetros del círculo original y el círculo con el radio aumentado, respectivamente. Luego L 2 r y L ' 2 r 2 r 2 2
El aumento es la diferencia = L’ – L = 2 r 2 2 2 r 2 2
27. Dos semicírculos de radio 3 están inscritos en un semicírculo de radio 6 como se muestra en la figura. Un círculo de radio r es tangente a los tres semicírculos. ¿Cuánto vale r ?
r
A. 1
B. 1.5
C. 2
D. 2.5
E. 3
Cuando se tienen círculos tangentes exteriormente, la distancia entre los centros es la suma de los radios, y cuando son tangentes interiormente, la distancia entre los centros es la diferencia entre los radios. Además en ambos casos los centros y el punto de tangencia están alineados. A r r r 3
3+r D
3 3
B
A
3 C
D
6–r
B 3 C
Sean A, B, C y D los centros de los semicírculos y del círculo interior como se muestra en la figura. Se tiene AB = AD = 3 + r, CA = 6 – r, BC = CD = 3. Como ABD es isósceles y C es punto medio de BD, AC BC, luego el ABC es rectángulo en C y por tanto sus lados cumplen con el teorema de Pitágoras. Luego
3 r
2
6 r 32 2
9 6r r 2 36 12r r 2 9
33
18r 36 r 2
GEOMETRÍA
28. En la figura los círculos adyacentes son tangentes y tienen radio 1. ¿Cuánto vale el área de la región sombreada? A. 6 3 – 3
B. 3 3 – 2
D. 6 3 – 1
E. 6 – 3
C. 2 – 1
Al considerar el círculo central y dos círculos externos contiguos, vemos que encierran la sexta parte del área buscada. Vemos también que esta fracción corresponde al área de un triángulo equilátero de lado 2 menos tres sectores circulares de radio 1 y de 60º cada uno, que juntos forman un semicírculo de radio1. Luego A=6[
29.
B
O
3 2 1 2 2 12 ] = (6 3 – 3) u 4 2
A
En la figura, m BCA = 90º, BA = 5 y AC = 3. ¿Cuál es el área del círculo con centro en O?
C
A. 16
B. 8
C. 6
D. 5
E. 4
Como el ABC es rectángulo en C, aplicamos el Teorema de Pitágoras para hallar BC:
BC AB2 AC2 52 32 4 Como BC es diámetro del círculo, se tiene r = 2 y su área resulta A r 2 4
30. El lado mayor del rectángulo de la figura mide 20. La curva trazada en su interior está formada por cinco semicircunferencias ¿cuál es la longitud de la curva? A. 25
B. 20
C. 15
D. 10
E. 5
Se observa que la curva está formada por 5 semicircunferencias, cuyos diámetros suman 20, luego cada diámetro mide 20 5 = 4 y los respectivos radios la mitad o sea 2 unidades. 1 Luego L = 5 2 r 5r 5 2 10 2
34
GEOMETRÍA
31.
La figura muestra dos segmentos perpendiculares tangentes a ambas circunferencias, las cuales son tangentes entre sí. Si el radio de la circunferencia pequeña mide 1, entonces el radio de la circunferencia más grande mide A. 3 + 2 2
B. 4
C. 6
D. 4 + 2 2
E. 8
Sea r el radio de la circunferencia buscado. Sean A y C los centros de las circunferencias, pequeño y grande respectivamente. Desde A y C trazamos perpendiculares a los segmentos perpendiculares iniciales, formando el cuadrado rotulado en la H D C figura como ABCD. Sean E, F, G y H los puntos donde estas perpendiculares cortan a los segmentos perpendiculares, como se indica en la figura. Tenemos que AE = AG = DH = BF= 1, el radio de la circunferencia G A B pequeña. Como CH = BG = CF = r, tenemos que E F CD = CB = BA = DA = r – 1, luego por esto y la perpendicularidad anterior ABCD es un cuadrado. Como las circunferencias son tangentes exteriormente, la distancia entre sus centros es la suma de sus radios, es decir AC = r + 1. Luego el ABC es un triángulo isósceles, rectángulo en B, con AB = BC = r – 1 y AC = r + 1. Luego AC =
2 AB, es decir r + 1 =
2 (r – 1).
Al despejar r, se obtiene r = 3 + 2 2
32. Tres círculos de radio 1, con sus centros colineales son tangentes como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área de la región sombreada?
A
4
B A. 8 – 2
2 D
B. 4 –
C. 12 – 3
D. 8 – 3
E. 4
+
C
Rotulemos los puntos extremos de la región sombreada, como se muestra en la figura, vemos que se forma un rectángulo. En los extremos de la región se tienen dos semicírculos, que juntos forman un circulo. Luego la región sombreada es la diferencia entre las áreas del rectángulo y los dos círculos que se forman. Dado que el radio de los círculos es 1, AD = 2 y AB = 4. Luego A = A 2 4 2 12 8 2
35
GEOMETRÍA
33. La figura muestra un hexágono regular inscrito en un círculo. Si el área del círculo es 1, ¿cuánto mide el área del triángulo ABC?
O
C
A
A.
1 6
B.
6
C.
3 4
3 4
D.
E.
12
B
Se observa que los triángulos ABC y ABO tienen la misma área, ya que tienen la misma base y la misma altura. Por ser un hexágono regular el ABO es un triángulo equilátero de lado igual al radio del círculo. 1 Como el área del circulo es 1, se tiene r 2 1 r 2
Luego el área del triángulo es [ABC]
3 1 3 4 4
34. ¿Qué polígono regular tiene la misma cantidad de diagonales que de lados? A. Pentágono
B. Hexágono
C. Octógono
D. Decágono
Como el número de diagonales en un polígono está dado por D
n n 3 2
E. Dodecágono , donde es el número de lados
del polígono. n n 3 n n2 3n 2n n2 5n 0 n n 5 0 n 5 . Se descarta n = 0, por Luego 2 carecer de sentido. Por tanto el polígono buscado es un pentágono. 35. Sean O el centro de una circunferencia de radio r y ED = r. Si mDEC = k (m BOA), entonces el valor de k es: B D A
O
C
E
A.
1 3
B.
1 2
C. 1
D. 2
E. 3
Trazamos el radio OD y vemos que el ODE es isósceles ya que OD = ED = r, luego DEC DOC. Como elDEC es un ángulo exterior con sus lados secantes a la circunferencia, su medida está dada por
mDEC
mAB mCD . (1) 2
Como los ángulos BOA y DOC, sus medidas están dadas por mBOA mAB y mDOC mDC mDEC Se tiene
mDEC = k (m BOA) = k mAB mDC
Sustituyendo en (1): k mAB
mAB k mAB 2
2k mAB mAB k mAB
36
3k 1 k
1 3
GEOMETRÍA
36. Si se aumenta el radio de un círculo en un 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? A. 50%
B. 100%
C. 200%
D. 100%
E. 300%
Si el radio original es r, el circulo con el radio aumentado, tiene radio 2r. Se tiene A1 r 2 y
A 2 2r 4 r 2 2
El aumento está dado por A A 2 A1 4 r 2 r 2 3 r 2 Porcentaje de aumento:
3 r2 A 100% 100% 300% A1 r2
37. Se tienen tres círculos concéntricos de radios 1, 2 y 3 respectivamente. ¿Cuál es la razón entre el área de la región cuadriculada y el área de la región oscura?
A.
2 3
B.
3 5
C.
4 9
D.
9 25
E. 2
El circulo pequeño tiene área , ya que su radio es 1. El círculo mediano tiene área 4, ya que su radio es 2 El círculo grande tiene área 9, ya que su radio es 3. . Área de la región oscura = área del circulo grande – área del circulo mediano = 9 – 4 = 5 Área de la región cuadriculada = área del circulo mediano – área del circulo pequeño = 4 – = 3 área de la región cuadriculada 3 3 área de la región oscura 5 5
38. El segmento AB es diámetro de una circunferencia de radio 1 y lado del triángulo equilátero ABC. Si la circunferencia corta a AC y BC en los puntos D y E respectivamente, entonces la longitud AE es: A. 1
B.
3
C.
3 2
D.
5 3
E.
2 3 2
C
Como mAEB = 90, AE es una altura del triángulo equilátero ABC. Como el radio es 1, AB = 2, luego AE = D
E
3 2 3 2
(En todo triángulo equilátero de lado x, la altura mide
A
O
B
37
3 x ) 2
GEOMETRÍA
39. En una circunferencia se tienen dos cuerdas paralelas de longitudes 10 y 14 que distan 6 entre sí. Entonces la longitud de la cuerda paralela a ambas y que equidista de ellas mide: A. 11
B. 12 C
R
C. 13 5
3 Q
E
3 P x
A
F 7
184
E.
192
Sean CD = 10 y AB = 14, las cuerdas dadas. Como la distancia entre ellas es 6, la cuerda paralela equidistante de ellas está a 3 unidades de cada una. Sea EF la cuerda buscada. Inicialmente no sabemos la posición de las cuerdas con respecto a un diámetro paralelo a ellas. Comencemos asumiendo que están al mismo lado del diámetro paralelo, como se muestra en la figura.
D y
D.
B
O
Al trazar desde el centro una perpendicular a las cuerdas, esta pasa por el punto medio de cada cuerda. Sean P, Q, R los puntos medios de las cuerdas, como se muestra en la figura. Se tiene PB = 7, RD = 5. Sea QF = y, la longitud de la cuerda buscada es EF = 2y Supongamos que la cuerda AB está a x unidades del centro. Se forman tres triángulos rectángulos, todos ellos con hipotenusa igual al radio de la circunferencia. R
5
x+6
D r
Q
y
x +3
F r
P x O
7
B r
O O
Al aplicar el teorema de Pitágoras en cada uno ellos se forma el siguiente sistema de ecuaciones
r 2 x 2 12x 36 25 r 2 x 2 12x 61 r 2 x 2 6x 9 y 2 r 2 x 2 49 Restando la tercera ecuación de la primera
r 2 x 2 12x 61 r 2 x 2 49
12x = – 12 x = – 1
El valor negativo de x, nos indica que las cuerdas están en lados opuestos del diámetro paralelo a las cuerdas. Sustituyendo el valor de x en la tercera ecuación, obtenemos r 2 50 Sustituyendo el valor de x y r 2 en la segunda ecuación obtenemos 50 = 1 – 6 + 9 + y 2
y 46 y EF = 2y = 2 46 184
38
GEOMETRÍA
40. Un triángulo equilátero y un hexágono regular están inscritos en el mismo círculo. Si se divide el área del hexágono entre el área del triángulo se obtiene: A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D.
3
E. 3
Al observar el grafico fácilmente se deduce que el área del hexágono es el doble del área del triángulo. Esto puede verificarse considerando que el lado de un triángulo equilátero inscrito en un círculo de radio
2 3 3 3 2 3r r 4 4 También se tiene que el lado de un hexágono inscrito es igual al radio de la circunferencia, luego su área
r, está dada por
3 r y por tanto su área es A1
6 3 2 r A2 6 3 2 r , luego es A 2 4 2 4 A1 3 3 2 r 4
2
41. El área del círculo circunscrito a un hexágono regular es 2 cm . Entonces el área del hexágono, en 2 cm es 3 6 A. 6 B. 3 3 C. 4 2 D. 2 6 E. 2 Tenemos que el radio del círculo es
r2 2 r2 2
Como el hexágono está inscrito su lado mide r, luego su área es A
6 3 2 3 3 4
42. En una circunferencia se trazan tres cuerdas con las siguientes longitudes: C 1: 3.05, C2: 3.50 y C3: 0.305. ¿Cuál de las siguientes es una lista de las cuerdas en el orden en que se incrementa la distancia desde el centro de la circunferencia a la cuerda? A. C1C2C3
B. C3C1C2
C. C2C3C1
D. C2C1C3
E. C3C2C1
La cuerda de mayor longitud está más cerca del centro y la de menor longitud está más alejada. Luego como C2 3.5 es la que está más cerca y le sigue C1 3.05 y la más alejada es C3 0.305 Por tanto el orden en que se incrementa la distancia es C2C1C3
39
GEOMETRÍA
43. En la figura, ABDE es un cuadrado de lado 1. Los arcos EB y DC tienen centro en A. Entonces el área sombreada mide: 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 2 4 2 4 2 8
E. 1
B
A
B
C
El área de la región DBC es la diferencia entre el sector circular ACD y el 1 triángulo rectángulo ABD, cuya área es . 2 El sector circular tiene radio AD, el cual es la diagonal del cuadrado y por tanto AD =
A
D
4
La región EDB es la diferencia entre el área del cuadrado y el área del cuadrante ABE, es decir [EDB] = 12 12 1 4 4 D
E
C
radio
2 y su ángulo central es 45, es decir la octava parte de un circulo de
2 .
2 1 1 2 8 2 4 2 1 1 Finalmente se tiene [EBCD] = [EDB] + [BCD] = 1 4 4 2 2
Luego [BCD] =
A
44.
B
El polígono de la figura tiene todos sus lados congruentes de longitud 8, sus lados consecutivos son perpendiculares y ocho vértices están sobre la circunferencia. Entonces el área de la región sombreada mide A. 144 – 320
B. 160 ( – 2)
C. 144 – 320
D. 320(2 – 1)
E. 80( – 2)
C
Si tomamos tres vértices como se indica en la figura, se forma un triángulo rectángulo con catetos AB = 8 y AC = 24, la hipotenusa es el diámetro del círculo. Por el teorema de Pitágoras BC 82 242 8 10 , luego r = 4 10 y el área del círculo es r 2 160 El polígono está formado por 5 cuadrados de lado 8 y su área es 5 82 320 Luego el área sombreada es 160 – 320 = 160 ( – 2)
40
GEOMETRÍA
T C
A
45. Dos semicírculos de radio 2 están inscritos en un semicírculo de radio 4 como se muestra en la figura. Dos círculos de radio r, son tangentes a dos semicírculos y entre ellos. ¿Cuánto vale r ?
r
A.
B
1 2
B. 1
C.
3 2
D. 2
E.
5 2
Al tomar el centro del semicírculo grande (A), el de un semicírculo mediano (B) y de un círculo pequeño (C), se forma un triángulo, en el cual AB = 2, BC = 2 + r y AC = 4 – r Al considerar el punto de tangencia entre los círculos pequeños, por la simetría de la figura CT es paralela al diámetro y mCTA = 90, formándose el triángulo rectángulo ATC con AT igual a la altura del ABC, CD: AT = CD y CT = r. De ahí resulta que ACT CAD (teorema hipotenusa cateto), luego AD = CT = r. Se tiene AB = 2 y DB = 2 – r T r
C
4–r
C
C
4–r
2+r
2+r
2–r A
A
D
B
Por el Teorema de Pitágoras AT En el CDB se tiene
2 r
2
D
B
4 r
2
r 2 16 8r CD
16 8r 2 r
2
4 4r r 2 16 8r 4 4r r 2 16r 16 r 1
46. El ABC es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en C. Se traza la altura relativa a la hipotenusa y se inscriben dos circunferencias en los triángulos que se forman. Si los radios de estas circunferencias son 2 y 4 respectivamente, calcule el radio de la circunferencia inscrita en el ABC. C
A. 2 5 A
D
D
C. 5 2
D. 6
E. 8
B
Como el ABC es rectángulo en C y CD es la altura relativa a la hipotenusa, se tiene que ABC ACD CBD. Como en los triángulos semejantes, todos los elementos homólogos están en la misma razón de semejanza en la que están los triángulos, la razón de semejanza entre los triángulos CBD y ACD es la misma razón entre los radios de sus circunferencias inscritas, que en este ejercicio es 4 a 2,
C
A
B. 3
B 41
GEOMETRÍA
es decir 2 a 1. De manera que todos los elementos del CBD son el doble de los elementos correspondientes del ACD. Dado que las áreas están en proporción según el cuadrado de la razón de semejanza, se tiene [CBD] = 4 [ACD] y como [ABC] = [ACD] + [CBD] = 5 [ACD], la razón de semejanza entre los triángulos
5 y por tanto el radio de su circunferencia inscrita es
ABC y ACD es
5 veces el radio de la
circunferencia inscrita o sea 2 5
47. Si cada círculo tiene radio 1, y son tangentes entre si y a las líneas paralelas como se muestra en la figura ¿Cuánto mide h?
r h
B. 3 2
A. 3
r
C. 4
D.
2+
3
E. 3 3
Al unir los centros de los círculos se forma un triángulo equilátero de lado 2. Observamos que h es igual a dos veces el radio de los círculos más la altura del triángulo equilátero, la cual como el lado mide 2, es igual a
3 , luego h = 2 +
3 .
48. Tres semicírculos iguales, de radio R, tienen sus centros en los puntos colineales A, B y C tales que cada uno de estos puntos se encuentra sobre uno de los semicírculos. Se traza un cuarto círculo con centro D (el círculo sombreado) tal que es tangente a los tres semicírculos, tal como se muestra en la figura. Si r es el radio del círculo pequeño, la razón R a r es: A. 4:1
B. 15:4
C. 11:3
D. 10:3
E. 3:1
D
A
B
C
Al considerar el ABD, se tiene un triángulo rectángulo con AB = R, BD = R – r y AD = R + r. Por el teorema de Pitágoras,
AD2 AB2 BD2
R r
2
R 2 R r
4Rr R2
8 30º
6 8
A 8 30º
O
60º 6
2
R 2 2Rr r 2 R2 R2 2Rr r 2
R 4 r
49. ¿Cuál es el área de la región sombreada, redondeada al entero más cercano? A. 12
B. 16
C. 19
D. 22
E. 24
El área sombreada es la diferencia entre el área del triángulo y el segmento circular que forma por la intersección entre el triángulo y el círculo. Este segmento circular tiene un ángulo central de 60, ya que el ángulo inscrito mide 30, y un radio de 6, ya que el OAB es equilátero.
8 B
42
GEOMETRÍA
El área del segmento circular es el área del sector circular menos el área del triángulo equilátero:
1 3 2 62 6 6 9 3 6 4 Para el área del triángulo usamos la fórmula de Herón: A s s a s b s c , donde s es el semiperímetro. Tenemos s Luego el área buscada es
688 11 , luego A 11 11 6 11 8 11 8 3 55 2
3 55 – ( 6 9 3 ) = 18.9885 19
50. Los semicírculos de la figura tienen su centro sobre el segmento AB. Si el segmento CD es paralelo al segmento AB y CD = 24, ¿Cuál es el área de la región sombreada? E
C
D r
A A. 72
B. 108
O
B
C. 144
D. 288
E. 576
Sean R y r los radios del semicírculo grande y del semicírculo interior respectivamente. 2 2 R r El área buscada es la diferencia entre las áreas de los semicírculos o sea 2 Sea O el centro del semicírculo y E el punto medio de la cuerda CD. Luego OE CD, OE = r y ED = 12.
El OED es rectángulo en E y OD = R. Por el teorema de Pitágoras R2 r 2 122 144 2 2 R r 144 72 Luego A = 2 2
Soluciones 1 D 2 A 3 A 4 C 5 B 6 D 7 D 8 C 9 B 10 C
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B B B D D C B B C C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
D B E B A E C A E D
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A A C A A E B B D B
43
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
B D A B D A D A C A
GEOMETRÍA
4. CUERPOS SOLIDOS 1.
En el prisma recto de la figura, las bases son triángulos equiláteros, con perímetros de 30 cm.. Si la altura del prisma es 10 cm. ¿cuál es el área total de la superficie del prisma? A. 100
250
B.
C. 100 3
3
E. 50 3 + 300
D. 300
Como las bases son triángulos equiláteros de perímetro 30 cm, sus lados miden 10 cm y por tanto tienen una área de A b
3 102 25 3 . Su área lateral es AL P h 30 10 300 4
El área total está dada por A T 2 Ab AL 2 25 3 300 50 3 300
2. Tres vértices de un cubo, de los cuales no hay dos que estén en la misma arista, se unen para formar un triángulo. Si la arista del cubo tiene longitud 1, ¿Cuál es el área del triángulo formado? 6 3 2 6 3 A. B. C. D. E. 2 2 2 4 4 C
A
En la figura se muestra un triángulo que satisface el enunciado. Vemos que sus lados son diagonales de las caras y como las aristas de los cubos tienen longitud 1, estas diagonales miden por
B
3.
2 . Como el área de un triángulo equilátero de lado x está dada
3 2 3 x , en este caso tenemos A 4 4
2
2
3 2
B A
C
La figura representa un cubo. La intersección del plano ABG y el plano BCE es la recta
D
G
E
A.
F
B A
C D
AG
B A
B. BF
C
D
C. CE
D. CF
E. BE
Al bosquejar los planos indicados vemos que comparten los puntos B y F, y dado que la intersección de dos planos diferentes es una única recta, la
intersección es la recta BF G
E F Plano ABG
E G F Plano BCE
44
GEOMETRÍA
De un cubo de 5” de arista se forma un cilindro circular recto de 3” de diámetro, entonces el volumen de la parte sobrante del cubo, en pulgadas cúbicas, es aproximadamente
4.
A. 8
B. 10
C. 80
D. 90
E. 100
El volumen de la parte sobrante es la diferencia entre el volumen del cubo y el volumen del cilindro, luego 2
3 45 V 53 5 125 125 35.34 89.67 90 4 2
5. La altura de un prisma rectangular es un tercio de su longitud y el ancho es la mitad de su longitud. Si la diagonal del prisma mide 30 cm., su volumen es A. 900 cm
3
B. 1688.25 cm y
3
C. 2833.8 cm
3
D. 4583.5 cm
3
Sean z la altura, y la longitud y x el ancho del prisma. Se tiene z
x
E. 9000 cm
3
y y , x 2 3
La diagonal está dada por d x 2 y 2 z2 30 x 2 y 2 z2 900 . Al expresar en términos de “y” esta ecuación, se obtiene 2 1 y2 y 1 49 2 180 y2 900 1 y 2 900 y 900 y . 4 9 9 36 7 4 z
3
El volumen está dado por V = x y z =
y y y 3 1 180 3 y 2833.8 cm 2 3 6 6 7
6. Al introducir un trozo de metal en un tanque rectangular con agua, de dimensiones 50 cm. x 37 cm., el nivel del agua subió 1 cm. ¿cuál es el volumen del trozo de metal? A. 13 cm
3
B. 87 cm
3
C. 88 cm
3
D. 1850 cm
3
E. 9250 cm
3
El volumen del trozo de metal es equivalente al volumen que incrementó el tanque, lo cual equivale al volumen de un paralelepípedo de dimensiones 1 x 50 x 37, es decir 1850 cc 37 50
7. ¿Cuál es el número máximo de diagonales que pueden trazarse sobre las caras de un cubo de manera que no hayan dos diagonales que tengan un punto en común? A. 2
B. 3 B
A
D C F
E
G
C. 4
D. 5
E. 6
Trazamos inicialmente sobre una de las caras una diagonal, digamos AD, ninguna otra puede involucrar estos puntos para satisfacer la condición. Con los puntos restantes trazamos otra diagonal, digamos BE. Nos quedan cuatro vértices en este caso los vértices C, F, G y H, con los cuales solo podemos trazar dos diagonales más. En total cuatro diagonales. Cualquier otra variante conduce a la misma cantidad.
H
45
GEOMETRÍA
8. En la figura se muestra un paralelepípedo rectangular. Si a = 2b y b =
c , ¿Cuál es el volumen en 2
términos de c?
a
c b
A.
c2 2
B. 2c 2
C. c 3
D.
c3 2
E.
c3 4
c , entonces a = c. Por ser un paralelepípedo rectangular, 2 c c3 V = a b c = c c = 2 2 Como a = 2b y b =
9. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿a qué distancia de la sección transversal está el vértice? A. 1.5
B. 2.25
C. 4
D. 4.75
E. 5
Sea A’ = 20, el área de la sección transversal y A = 45, el área de la base de la pirámide.
h 6
Sea h la distancia desde la sección transversal al vértice. Se tiene 2
A' h 20 4 A 6 45 9
h 2 h4 6 3
10. El área de la base de una pirámide es 45 y el área de una sección transversal es 20. Si la altura de la pirámide es 6 ¿cuál es la razón entre los volúmenes de la pirámide mayor y la menor? A. 3/2
B. 2
C. 9/4
D. 3
E. 27/8
Los datos forman parte del ejercicio anterior, de manera que ya sabemos que la distancia desde la sección transversal al vértice es h = 4. Luego Si V es el volumen de la pirámide mayor y V’ el de la pirámide menor, 3
se tiene
3
3 V 6 27 V' 4 8 2
11. La base de una pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12. Si la altura es 10, el volumen de la pirámide es 40 3 40 A. 40 B. C. D. 40 3 E. 120 3 3 Como la base de la pirámide es un triángulo equilátero cuyo perímetro es 12, su lado mide 4, luego
Ab
3 2 1 1 40 3 4 4 3 y como h = 10, el volumen de la pirámide es V A b h 4 3 10 4 3 3 3
46
GEOMETRÍA
12. En un tronco de pirámide, la altura mide 10 m y las bases son cuadradas de 5 m y 9 m de lado 3 respectivamente. Hallar la diferencia (en m ) entre su volumen y la de un prisma recto de igual altura y de base igual a la sección del tronco paralela a las bases y equidistante de ellas. A. 4
B. 7
C. 40
5 5
10
10
5 7 9
40 3
D.
7
E. 70
Como cada lateral del tronco de pirámide, la sección que equidista de las bases tiene arista igual a la base media del trapecio, en este caso es 95 B 7. 2 El volumen del tronco de pirámide resulta h 10 1510 V [AB A b AB A b ] 81 25 81 25 3 3 3
El volumen del prisma formado es V’ = AB h 72 10 490 La diferencia resulta V – V’ =
1510 40 490 3 3
13. En una pirámide cuadrada, en la que el lado de la base mide 8 cm y la altura mide 20 cm, se traza una sección paralela a la base a 14 cm de ésta. Entonces el área de dicha sección es A. 2.14 cm
2
B. 5.76 cm
2
C. 16.32 cm
2
D. 31.36 cm
2
E. 44.08 cm
2
Sea x la longitud de la arista de la sección, se tiene entonces x 6 48 x 2.4 8 20 20
6 20 14
Como es un cuadrado, su área es A x 2 2.4 5.76 2
8
14. Los diámetros de dos cilindros circulares rectos concéntricos son 12 y 6 pulgadas respectivamente y la generatriz común es de 20 pulgadas, entonces el volumen del espacio que queda entre ambos cilindros es 3 3 3 3 3 A. 270 pulg B. 270 pulg C. 540 pulg D. 540 pulg E. 2160 pulg
El volumen buscado es la diferencia entre los volúmenes de los cilindros. Como los diámetros son 12 y 6, los radios son 6 y 3, luego,
V R2 r 2 h 62 32 20 540
47
GEOMETRÍA
3
15. El volumen de una cisterna cilíndrica es 1200 m y su altura es igual al diámetro, por lo tanto su área total es A. 190.98 m
2
B. 576.25 m
2
C. 600 m
2
D.
Como el diámetro es igual a la altura se tiene r
625.13 m
E. 712 m
2
h . 2
2
h h3 Luego V r h h 1200 4 2 El área total está dada por A T 2 AB AL 2
2
h3
4800 11.5176
2
h h2 El área de la base es A B r 2 4 2 h El area lateral es AL 2 r h 2 h h2 2 2 3 2 h h2 h Luego A T 2 AB AL 2 4 2 3 2 h 625.13 Al sustituir el valor de h obtenemos A T 2
16. Un cono de revolución tiene 13 cm. de generatriz y el radio de la base es de 5 cm. Se corta por un plano paralelo a la base que corta a la generatriz en un punto distante 5.2 cm. del vértice. Entonces el volumen del tronco de cono formado es A. 351.52 cm
3
B. 294.05 cm
3
C. 202.8 cm
5.2
r
12
D. 135.2 cm
3
E. 67.6 cm
3
5.2
y 13
3
13
H 5 Sea r el radio de la base menor del cono truncado. Sea y la altura del cono menor y H la altura del cono truncado. Al considerar la altura del cono, los radios de las bases y la generatriz obtenemos los triángulos rectángulos que se muestran en la figura. La altura del cono original es h g2 r 2 132 52 12 Como los triángulos formados son semejantes se tiene Como H + h = 12, se tiene H 12 El volumen buscado es V
y r 5.2 12 5 13
y
24 36 5 5
36 H R2 r 2 Rr 25 4 10 294.05 3 3 5
48
24 , r2 5
GEOMETRÍA
17. Dado un cono circular recto con radio 3 m y generatriz 5 m, entonces su área lateral es A. 2
B. 12
C. 15
D. 16
E. 30
El área lateral está dada por AL r g 3 5 15
18. El área lateral de un tronco de cono que se forma cuando se corta un cono recto de 6 cm. de radio y 8 cm. de altura, por medio de un plano paralelo a la base del cono y que lo corta a una altura de 4.5 cm. es A. 304.84 m
2
B. 216 m
2
C. 152.42 m
2
D. 84.82 m
2
E. 28.27 m
2
Se tiene AL g R r , donde g es la generatriz del tronco de
r
r
8
10
Por el teorema de Thales,
g' h2 r 2 82 62 10
g
4.5 6
cono. La generatriz del cono está dada por
x
3.5
Como los triángulos que se forman con la altura, la generatriz y los radios son semejantes, se tiene r 3.5 r 2.625 6 8
6
g 10 4.5 8
g 5.625
Luego AL g R r 5.625 6 2.625 152.42
19. Dos esferas de metal de radios 2a y 3a se funden juntos para hacer una esfera mayor. El radio de la nueva esfera es 5a A. 2.5a B. 5a C. 6.5a D. 3 35 a E. El volumen de la nueva esfera es la suma de los volúmenes de las esferas dadas. 3 4 4 32 3 La esfera de radio 2 a tiene un volumen V1 r 3 2a a 3 3 3 3 4 4 108 3 La esfera de radio 3 a tiene un volumen V2 r 3 3a a 3 3 3 32 3 108 3 140 3 4 3 3 El volumen de la nueva esfera es V V1 V2 a a a r r a 35 3 3 3 3
49
GEOMETRÍA
20. Un cono tiene una altura igual al doble de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es A. 1/2
B. 1
C. 3/2
D. 2
Volumen del cono VC r
2r
E. 4
1 2 1 2 r h r 2 2r r 3 3 3 3
Volumen de la esfera VE
4 3 r 3
2 3 r 1 Luego 3 4 3 2 VE r 3
r
VC
21. Un cono tiene una altura igual al triple de su radio. Una esfera tiene un radio igual al radio de la base del cono. La razón entre el volumen del cono y el volumen de la esfera es A. 1/2
B. 1
C. 3/2
D. 3/4
Volumen del cono VC r
3r r
E. 3
1 2 1 r h r 2 3r r 3 3 3
Volumen de la esfera VE Luego
VC VE
4 3 r 3
r3 3 4 3 4 r 3
22. La altura de un cono es 5 cm. Un plano a 2 cm. del vértice es paralelo a la base del cono. Si el volumen 3 del cono más pequeño es 24 cm , el volumen del cono más grande es A. 750 cm
3
B. 375 cm
3
C. 240 cm
3
D. 120 cm
3
E. 48 cm
3
Se tiene que los volúmenes de cono semejantes son proporcionales al cubo 2
de su razón de semejanza 5
V1
h V2 H
3
3
5 Luego el volumen del cono más grande es V 24 375 2
50
GEOMETRÍA
23. Un cubo está inscrito en una esfera. Si el área de la superficie total del cubo es
40 2 m , entonces el
área de la superficie de la esfera es A. 10 m
2
B. 15 m
2
C. 20 m
2
D. 30 m
2
E. 40 m
2
Tenemos que la diagonal del cubo es el diámetro de la esfera. Si x es la longitud de la arista del cubo, su área total es 6 x 2
40 20 x2 3
En un cubo la diagonal es d 3 x , luego el radio de la esfera es r
3 x 2
El área de la superficie de la esfera es S 4 r 2 , al sustituir los valores encontrados resulta S 4 r 2 4
3 2 20 x 3 20 4 3 2
24. La base de una pirámide hexagonal tiene un área de 26 m . Si el volumen de dicha pirámide es 78 3 m , entonces su altura mide A. 3 m
B. 4 m
C. 6 m
D. 9 m
E. 12 m
Tenemos que el volumen de una pirámide esta dado por 3V 1 V AB h h 3 AB Al sustituir los datos se obtiene h
3 V 3 78 9 AB 26
C
25.
Si el cono de la figura tiene un volumen de h
A
1000 3 3 cm , 9
C es el vértice, AB un diámetro y mACB = 120°, entonces el diámetro de la base, en centímetros, es r
B
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
E. 30
Al considerar el triángulo formado por el diámetro AB y el vértice, tenemos que mCAB = mCBA = 30 Luego la altura del cono es h Se tiene entonces
r
3
3 3
r 3
. El volumen es
1000 3 9
V
r3 1 2 1 r r h r2 3 3 3 3 3
r 3 1000 r 10 y por tanto el diámetro es d = 20.
51
GEOMETRÍA
2
26. El área de la superficie total de un cubo es 12 m . Entonces la longitud de su diagonal es
2
A.
B.
3
C. 2
D.
5
E.
6
El área de la superficie total de un cubo de lado x, está dada por A T 6 x 2 y su diagonal por d 3 x Luego 6 x 2 12 x 2
y
d 3x 3 2 6
27. Si la generatriz de un cono mide 25 m y el diámetro de su base es 8 m, su volumen mide A. 200 m
3
B. 400 m
3
C. 413.48 m
El volumen está dado por V
1 2 r h 3
3
D. 418.88 m
3
E. 1587.4 m
3
y la altura es h g2 r 2
Tenemos que g = 25 y d = 8 o sea r = 4, luego h 252 42 609 , por tanto
V
1 42 609 413.48 3
28. En una esfera de radio 2, se tiene inscrito un cilindro de manera que el diámetro del cilindro es igual al radio de la esfera. Entonces el área lateral del cilindro es A. 4 A
B. 8 B
C. 2 3
D. 4 3
E. 8 3
Sean A, B y C los puntos marcados en la figura. Tenemos que AB es diámetro del cilindro y BC diámetro de la esfera, luego AB = 2 y BC = 4. La altura del cilindro es AC, el cual al aplicar el Teorema de Pitágoras resulta AC BC2 AB2 42 22 12 2 3
El área lateral de un cilindro está dada por AL 2 r h . Como el diámetro del cilindro mide 2, su radio mide 1. Luego AL 2 1 2 3 4 3
C
29. En una esfera de radio 2, se tiene inscrito un cilindro de manera que el diámetro del cilindro es igual al radio de la esfera. Entonces el volumen del cilindro es A. 4
B. 8
C. 2 3
D. 4 3
E. 8 3
Este ejercicio contiene los mismos datos del anterior, luego el cilindro tiene r = 1 y h = 2 3 Luego su volumen V r 2 h 12 2 3 2 3
52
GEOMETRÍA
2
30. Si un cilindro circular tiene la altura igual que su diámetro y su área total mide 150 m , entonces su 3 volumen, en m , es A. 25
B. 250 r
C. 250
D. 25
E. 150
Tenemos que A T 2 r 2 2r h 2 r 2 2r 2r 6 r 2 150 r 5 y h = 10. 2r
Luego V r 2 h 52 10 250
31. Se desea construir un tubo cilíndrico de 50 cm. de largo, un diámetro externo de 12 cm. y un diámetro interno de 10 cm. ¿Qué cantidad de material se necesita? A. 550 cm
3
B. 500 cc
3
C. 375 cm
3
D. 750 cm
3
E. 1275 cm
3
. La cantidad de material es el volumen del tubo y este es la diferencia del volumen del cilindro exterior menos el volumen del cilindro interior, que representa el agujero. Tenemos: h 50, r1 6, r2 5 Luego V = (6) (50) – (5) (50) = 550 cm 2
2
3
32. Se desea construir un cono circular recto de 4’’ de altura y radio en la base de 3’’. Para formar la superficie lateral se corta un sector circular como el que se muestra en la figura. Determine el radio R y la medida del ángulo central del sector circular necesario.
R
4
g 3
A. R = 7’’; = 200º
B. R = 6’’; = 200º
C. R = 6’’; = 215º
D. R = 5’’; = 216º
E. R = 5’’; = 240º
Se tiene que la generatriz del cono mide g h2 r 2 42 32 5 y que ésta es el radio del sector circular con la que se construye el cono, es decir R = 5. El área lateral del cono es el área del sector circular necesario para su construcción. Tenemos AL r g 3 5 15 . Como el área de un sector circular está dada por Se tiene
R2 52 1080 15 216 360 360 5
53
R 2 360
GEOMETRÍA
33. La figura muestra dos esferas tangentes que descansan sobre una mesa plana. Si los radios de las esferas son 8 cm. y 16 cm. respectivamente, entonces la distancia en cm. entre los puntos de contacto de las esferas con la mesa es:
x
A. 8 2
C. 16 2
B. 12
E. 24 2
D. 24
Al considerar los centros de las esferas y los puntos de tangencia con la mesa, se forma un trapecio, como el que se muestra en la figura, en el cual OO’ = 24 ya que las esferas son tangentes. OA = 16 y O’B = 8. Si trazamos una paralela a la mes desde O’, sea D el punto donde corta al radio OA. Tenemos que AB = PO’, PA = O’B = 8, luego OP = OA – PA = 8 Como OA AB, también se tiene OP PO’. Luego por el teorema de
O O’
P A
Pitágoras se tiene PO' AB 242 82 16 2
B
__
__
__
__
En la figura que se muestra, AB BC , AB BD y
34. A
__
B
__
BD DC . Si AB = 9, BD = 12 y CD = 16, entonces el volumen del sólido formado es:
D C
A. 144
B. 288
C. 432
D. 576
__
E. 864
__
Tenemos una pirámide de base triangular. La base es un triángulo rectángulo ( BD DC ) de catetos BD = 12 y CD = 16, luego su área es A b __
__
__
1 12 16 96 2
__
__
Como AB BC y AB BD , se deduce que AB es perpendicular al plano de la base y por tanto es altura 1 3
1 3
de la pirámide, luego V A b h 96 9 288
54
GEOMETRÍA
2 4
2
4
4
35. Un paralelepípedo rectangular se recorta como se muestra en la figura. El volumen del sólido obtenido es: A. 72
B. 48
C. 24
D. 16
E. 12
6
Basta observar que la parte recortada (la parte superior punteada) es idéntica a la parte que queda del sólido, luego el volumen buscado es la mitad del volumen del paralelepípedo original, es decir V
1 2 3 4 5 6 7
E B B D C D C
8 9 10 11 12 13 14
D C E C D B D
15 16 17 18 19 20 21
D B C C D A D
22 23 24 25 26 27 28
1 6 4 4 48 2
B C D D E C D
29 30 31 32 33 34 35
55
C B A D C B B
