UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIA DIRECCION DE POSTGRADOS Y EDUCACION CONTINUA MAESTRIA EN GESTION ESTRATEGICA DE MARKETING
CATEDRA: ESTADISTICA
GUIA DE EJERCICIOS #5: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD: IDEAS INTRODUCTORIAS
GRUPO #3: EVA TATYANA ALVARADO PEREZ AP101614 KAREN GERALDINE LARA QUINTANA LQ100114 IRIS MARLENE SALAZAR CRUZ SC100214 JOSE AARON FAGOAGA FERNANDEZ FF100714
DOCENTE: DR. ELNER CRESPIN
SAN SALVADOR, 17 DE JULIO DE 2014
Ejercicios sobre Distribuciones de Probabilidad
1. Construya una distribución de probabilidad con base a la siguiente distribución de frecuencias Resultado
102 105 108 111 114 117
Frecuencia 10
20
45
15
20
15
a) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad hipotética.
0.40
0.30
) x ( d a d i l i b a b 0.20 o r P
0.10
102
105
108
111
Resultado
114
117
b) Calcule el valor esperado del resultado. Resultado (x) Frecuencia P(x) E(x)=∑x∙P(x) 102
10 0.08
8.16
105
20 0.16
16.8
108
45 0.36
38.88
111
15 0.12
13.32
114
20 0.16
18.24
117
15 0.12
14.04
125 El valor esperado del resultado es de 109.44
1
109.44
2. Rodrigo invierte con frecuencia en el mercado de valores, estudia con detenimiento cualquier inversión potencial. En la actualidad examina la posibilidad de invertir en la Empresa CAESS. Mediante el estudio del rendimiento en el pasado, Rodrigo ha desglosado los resultados potenciales en cinco resultados posibles con sus probabilidades asociadas. Los resultados son tasas de rendimiento anuales sobre una sola acción que hoy cuesta $150. Encuentre el valor esperado del rendimiento sobre la inversión en una sola acción de la empresa CAESS. Rendimiento de la inversión ($) 0.00 10.00 15.00 25.00 50.00 Probabilidad
0.20 0.25
Rendimiento de la P(x)
0.30
0.15
0.10
E(x)=∑x∙P(x)
inversión (x) 0
0.2
0
10
0.25
2.5
15
0.3
4.5
25
0.15
3.75
50
0.1
5
1
15.75
El valor esperado del rendimiento sobre la inversión es de $15.75 Si Rodrigo compra acciones siempre que la tasa de rendimiento esperada exceda al 10%, ¿comprará la acción, de acuerdo con estos datos? Si, la compraría pues el 10% del costo de la acción son $15.00 y el valor esperado es de $15.75 por lo tanto es mayor.
3. Elabore una distribución de probabilidad con base en la siguiente distribución de frecuencias: Resultado
2
4
6
8
10 12 15
Frecuencia 24 22 16 12 7
3
1
a) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad hipotética.
0.30
0.25
0.20
) x ( d a d 0.15 i l i b a b o r P 0.10
0.05
0.00
2
4
6
8
10
Resultado
12
14
16
b) Calcule el valor esperado del resultado. Resultado (x) Frecuencia P(x) E(x)=∑x∙P(x) 2
24
0.28 0.56
4
22
0.26 1.04
6
16
0.19 1.13
8
12
0.14 1.13
10
7
0.08 0.82
12
3
0.04 0.42
15
1
0.01 0.18
85
1.00 5.28
El valor esperado del resultado es de 5.28
4. La única información con que usted cuenta, con respecto a la distribución de probabilidad de un conjunto de resultados, es la siguiente lista de frecuencias: X
0
15
30 45
60 75
Frecuencia 25 125 75 175 75 25 a) Construya una distribución de probabilidad para el conjunto de resultados.
0.35
0.30
0.25
) x ( d a d 0.20 i l i b a b o r P 0.15
0.10
0.05
0
20
40
Resultado
60
80
b) Encuentre el valor esperado de un resultado. Resultado (x) Frecuencia P(x) E(x)=∑x∙P(x) 0
25
0.05 0
15
125
0.25 3.75
30
75
0.15 4.5
45
175
0.35 15.75
60
75
0.15 9
75
25
0.05 3.75
500
1
El valor esperado del resultado es de 36.75
36.75
5. Emily acaba de comprar una videograbadora en un almacén que vende equipos electrónicos a un costo de $300. Ahora tiene la opción de comprar una póliza de servicio extendido que ofrece cinco años de cobertura por $100. Después de hablar con sus amigos y leer los informes, Emily cree que puede incurrir en los siguientes gastos de mantenimiento durante los próximos cinco años. Gasto
0
50
100
150
200
250
300
Probabilidad 0.35 0.25 0.15 0.10 0.08 0.05 0.02 Encuentre el valor esperado de los costos de mantenimiento pronosticados. ¿Debe Emily pagar $100 por la garantía? Gasto (x) P(x) E(x)=∑x∙P(x) 0
0.35 0
50
0.25 12.5
100
0.15 15
150
0.1
200
0.08 16
250
0.05 12.5
300
0.02 6 1
15
77
El valor esperado de los costos de mantenimiento es de $77.00 que es inferior a los $100.00 del valor de la garantía, por lo tanto Emily no debe pagarlos.
6. Un supervisor de señales de tráfico que trabaja para la división del Viceministerio de Transporte (VMT), debe decidir si instala un semáforo en la intersección de la avenida Juna Pablo II y la calle 85 Av. norte, que se ha reportado como cruce peligroso. Para tomar una decisión razonada, el supervisor ha recogido algunos datos sobre accidentes sucedidos en esa intersección: Número de accidentes Año
E
F M
A M J
J A
S
O N D
2012 10 8 10 6 9
12 2 10 10 0
2013 12 9 7
3
8 4
7 14 8
7 10
8 8 4
La política del VMT consiste en instalar semáforos en aquellas intersecciones en que el número esperado mensual de accidentes sea mayor que 7. De acuerdo con este criterio, ¿deberá el supervisor recomendar que se instale un semáforo en la intersección considerada? Año 2012 P(x) E(x)=∑x∙P(x) E
10
0.11 1.06
F
8
0.09 0.68
M
10
0.11 1.06
A
6
0.06 0.38
M
9
0.10 0.86
J
12
0.13 1.53
J
2
0.02 0.04
A
10
0.11 1.06
S
10
0.11 1.06
O
0
0.00 0.00
N
7
0.07 0.52
D
10
0.11 1.06
94
1.00 9.34
Año 2013 P(x) E(x)=∑x∙P(x) E
12
0.13 1.57
F
9
0.10 0.88
M
7
0.08 0.53
A
8
0.09 0.70
M
4
0.04 0.17
J
3
0.03 0.10
J
7
0.08 0.53
A
14
0.15 2.13
S
8
0.09 0.70
O
8
0.09 0.70
N
8
0.09 0.70
D
4
0.04 0.17
92
1.00 8.87
El valor esperado anual para los años 2012 y 2013 son de 9.34 y 8.87 accidentes respectivamente por lo tanto, el supervisor si debe de recomendar la instalación del semáforo en la intersección considerada.
7. El jefe de bomberos de la división San Salvador está elaborando un informe acerca de los incendios ocurridos en viviendas de una sola familia. Tiene los datos siguientes con respecto al número de este tipo de incendio sucedido en los últimos años: Número de incendios Año
E
F
M
A
M
J J A S O N
2012 25 30 15 10 10 5 2 2 1 4 2013 20 25 10 8
5
8
D 10
2 4 0 5 8 10 15
Basándose con los datos anteriores: a) ¿Cuál es el número esperado de incendios en viviendas con una sola familia por mes? Año 2012 P(x) E(x)=∑x∙P(x) E
25
0.20 5.12
F
30
0.25 7.38
M
15
0.12 1.84
A
10
0.08 0.82
M
10
0.08 0.82
J
5
0.04 0.20
J
2
0.02 0.03
A
2
0.02 0.03
S
1
0.01 0.01
O
4
0.03 0.13
N
8
0.07 0.52
D
10
0.08 0.82
122
1.00 17.74
Año 2013 P(x) E(x)=∑x∙P(x) E
20
0.18 3.57
F
25
0.22 5.58
M
10
0.09 0.89
A
8
0.07 0.57
M
5
0.04 0.22
J
2
0.02 0.04
J
4
0.04 0.14
A
0
0.00 0.00
S
5
0.04 0.22
O
8
0.07 0.57
N
10
0.09 0.89
D
15
0.13 2.01
112
1.00 14.71
El valor esperado de incendios para el año 2012 es de 17.74 y para el año 2013 fue de 14.71 b) ¿Cuál es el número esperado de incendios en viviendas con una sola familia por mes invernal (enero, febrero, marzo)? Año 2012 P(x) E(x)=∑x∙P(x) E
25
0.36 8.93
F
30
0.43 12.86
M
15
0.21 3.21
70
1.00 25.00
Año 2013 P(x) E(x)=∑x∙P(x) E
20
0.36 7.27
F
25
0.45 11.36
M
10
0.18 1.82
55
1.00 20.45
El valor esperado de incendios por mes invernal para el año 2012 es de 25 y para el año 2013 fue de 20.45 8. Un analista de mercado de una compañía estadounidense que diseña aviones para la Fuerza Armada de EU tiene la creencia que el nuevo avión de combate de la compañía, el Tigerhawk IV, tiene el 70% de posibilidades de ser escogido para sustituir por completo a los aviones de combate de la Fuerza Aérea de Estados Unidos. Sin embargo, existe una posibilidad entre cinco de que la Fuerza Aérea compre solo el número necesario de Tigerhawk IV para sustituir la mitad de sus 5000 aviones de combate. Por último, existe una posibilidad entre 10 de que la Fuerza aérea sustituya toda su flotilla de aviones de combate con Tigerhawk y que además compre el número suficiente de estos para aumentar el número de sus unidades en un 10%. Construya una tabla y trace la distribución de probabilidad de las ventas de Tigerhawks a la Fuerza Aérea. Ventas (x) P(x) 5000
0.7
2500
0.2
5500
0.1 1.00
0.70
0.60
0.50
d a d i l i 0.40 b a b o r P 0.30
0.20
0.10
2500.00
3000.00
3500.00
4000.00
Ventas
4500.00
5000.00
5500.00
Ejercicios sobre la Distribución Normal
9. Rodrigo es el supervisor de la presa Hidroeléctrica de Noviembre. Él sabe que las turbinas de la presa generan electricidad a una tasa pico cada día sólo cuando pasan al menos 1,000,000 de galones de agua a través de las compuertas. También sabe, por experiencia, que el flujo diario tiene una distribución normal con media igual al flujo del día anterior y desviación estándar de 200,000 galones. Ayer fluyeron 850,000 galones por la presa. ¿Cuál es la probabilidad de que las turbinas hoy generen electricidad a la tasa pico? µ=850,000 σ=200,000
( ) La probabilidad de que las turbinas hoy generen electricidad a la tasa pico es de 0.2266
10. Una empresa de desarrollo de recurso humano ha desarrollado un nuevo programa de capacitación completamente adaptable al ritmo de los usuarios. Los nuevos empleados trabajan en varias etapas a su propio ritmo de trabajo; el término del entrenamiento se da cuando el material es aprendido. El programa ha resultado especialmente efectivo en acelerar el proceso de capacitación, ya que el salario de un empleado durante el entrenamiento es de sólo 67% del que ganaría al completar el programa. En los últimos años, el promedio de término del programa ha sido de 44 días, con una desviación estándar de 12 días. µ=44 σ=12
a) Encuentre la probabilidad de que un empleado termine el programa entre 33 y 42 días.
( ) ( ) La probabilidad de que un empleado termine el programa entre 33 y 42 días es de 0.2537
b) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el programa en menos de 30 días?
( ) La probabilidad de terminar el programa en menos de 30 días es de 0.1210 c) ¿De terminarlo en menos de 25 o más de 60 días?
( ) ( )
La probabilidad de terminar el programa en menos de 25 o mas de 60 días es de 0.1489
11. En su vigésimo quinto año de funcionamiento, la Liga de fútbol de El Salvador tuvo un promedio de 16,050 aficionados por juego, con una desviación estándar de 2,500. µ=16,050 σ=2,500
a) De acuerdo con estos datos, ¿cuál es la probabilidad de que el número de aficionados en cualquier juego dado sea mayor a los 20,000?
( ) La probabilidad de que el número de aficionados en cualquier juego dado sea mayor a los 20,000 es de 0.0571
b) ¿Menor a las 10,000?
( ) La probabilidad de que el número de aficionados en cualquier juego dado sea menor a las 10,000 es de 0.0078 c) ¿De entre 14,000 y 17,500?
( ) ( )
La probabilidad de que el número de aficionados en cualquier juego dado sea entre 14,000 y 17,500 es de 0.5129
12. Considere la siguiente información de graduados de los 20 mejores programas de maestría en Administración (MBA) de Estados Unidos. Clasificación
Universidad
Salario
de programas
promedio
Salario
promedio
antes del MBA
después del MBA
MBA en 2008
1
Pensylvania (Wharton)
48240
89930
2
Northwestem (Kellogg)
44000
84640
3
Chicago
42690
83210
4
Stanford
49610
100800
5
Harvard
53910
102630
6
Michigan
36050
67820
7
Indiana
34320
58520
8
Columbia
44470
100480
9
UCLA (Anderson)
44620
74010
10
MIT (Sloan)
41820
80500
11
Duke(Fuqua)
40960
70490
12
Virginia (Darden)
38530
74280
13
Dartmounth (Tuck)
45300
95410
14
Carnegie-Mellon
38250
69890
15
Cornell (Johnson)
40740
71970
16
NYU (Stern)
38960
70660
17
Texas
36620
61890
18
UNC (Kenan-Flager)
38690
69880
19
California (Haas)
43570
71970
20
Purdue (Krannert)
30600
54720
a) Calcule la media y la desviación estándar de los salarios después de la maestría Descriptive Statistics
N Salario despues Valid N (listwise)
20 20
Mean 77685.00
Std. Deviation 14108.26
La media de los salarios después de la maestría es de $77685 y la desviación estándar es de 14108.26
b) Asuma que los salarios después de la maestría tienen una distribución normal y la media y la desviación estándar son como las calculadas en a); encuentre la probabilidad que un graduado de maestría en 1994 elegido al azar este en la siguiente situación: µ=77,685 σ=14,108.26
1. Gane más de $ 100.000
( ) La probabilidad que un graduado de maestría elegido al azar gane más de $ 100.000 es de 0.0571
2. Gane menos de $ 60.000
( ) La probabilidad que un graduado de maestría elegido al azar gane menos de $ 60.000 es de 0.1056
3. Gane entre $75.000 y $ 95.000
( ) ( ) La probabilidad que un graduado de maestría elegido al azar gane entre $75.000 y $ 95.000 es de 0.4660
