UNIVERSIDAD CATÓLICA “NUESTRA SEÑORA DE LA ASUNCIÓN” SEDE REGONAL ASUNCIÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
ÁLGEBRA LINEAL GUÍA DE EJERCICIOS NÚMERO 4 ESPACIOS VECTORIALES:
1) Es posible posible escribi escribirr el vector (8, 3, 8) como como C.L. C.L. del conjunto conjunto { (1,4,7), (3,0,1), ( 2,1,2)} ? 2) Sea S = { v1 , v 2 , v3 , v 4 , v5 } donde
v1 = (1,2,3); v 2 = ( 2,1,4); v 3 = (−1,−1,2); v 4 = (0,1,2) y v5 = (0,1,2) . subespacio generado por el conjunto S.
{
3
3) Dete Determ rmin ina a si el conj conjun unto to S = ( x, y , z ) ∈ R / x
=
Determine
una
base
para
el
y, z = 0} es un subespacio vectorial y si lo es encuentra
una base para ese subespacio.
{
4) Sea H = ( x, y ) ∈ R / x + y
5)
2
1 3 Para A = 0 − 1
− 1 3 5 2 0 1 2 1 0 − 2 7
= 0} , determine si el conjunto { (1,−1)}
es una base para H
2
determine ER(A), EC(A) y EN(A) y las dimensiones de cada uno de ellos.
6) Si A es una matriz matriz de 3x4, 3x4, ¿cuál ¿cuál es el máximo máximo valor para el rango de de A? 7) Pruebe Pruebe que que si A es una matri matriz z de 4x6, sus sus columna columnas s son L.D. L.D. 8) Supo Supong nga a que que el sist sistem ema a linea lineall AX = B , donde A es de mxn es consistente. Muestre que la solución es única ssi rk(A) = n. 9) Sea A de nxn. Muestre Muestre que rk(A) = n ssi las columnas de A son L.I. 10) Demuestra que si un conjunto S es L.D., cualquier subconjunto de S es también L.D. 11) Suponga que los vectores u, v y w son linealmente independientes. Determine si los vectores vectores u + v, u + w y v + w son linealmente independientes. 12) Suponga que S = { v1 , v 2 , v3 } es un conjunto linealmente dependiente de vectores en un espacio vectorial V. Dete Determ rmin ine e
si los los
vect vector ores es
w1 = v1 , w2 = v1 + v 2 ; w3 = v1 + v 2 + v 3
son lineal linealme ment nte e
independientes. Justifique su respuesta. 13) Muestre que en un espacio vectorial se tiene que si u + v = u + w , entonces v 14)Muestre que en un espacio vectorial el elemento 0 es único.
depen dependi dien entes tes o
= w.
15) Deter Determi mine ne los valor valores es de t para para los cuale cuales s el sigu siguien iente te conj conjun unto to de vect vector ores es de
{ x + 3,2 x + t
2
P 1 es L. I.:
+ 2} . 2
16) ¿Para qué valores de a los vectores (a 01), (0, a,2), (1,0,1) es una base de R 3 ? 17) Muestre que un vector u en un espacio vectorial sólo tiene un inverso –u. 18) Muestre Muestre que que el conjun conjunto to de todas las solucion soluciones es de Ax = b , donde A es una matriz m x n, no es un subespacio de R n si b
≠ 0.
19) Muestre que las matrices
1 1 0 0 1 0 0 1 0 0; 1 1; 0 1; 1 1
las matrices 2 x 2.
{
forman una base para el espacio vectorial de
20) Determine la dimensión y una base para el subespacio S = (a, b, c ) ∈ R / a
{
3
2
= b}
}
21) Determine todos los valores de a para los cuales (a ,0,1); (0, a,2); (1,0,1) es una base para R 3 . 22) Sea A una matriz triangular superior de nxn. Pruebe que el conjunto de los renglones de A es linealmente independiente si ninguna de las entradas de la diagonal es igual a 0.
{
23) Sea H = v ∈ R / u ⋅ v 3
= 0} , demuestre que H es un subespacio de R 3 .
24) Sea S el espacio generado por un conjunto W de vectores de un espacio vectorial. Muestre que si U y V están en S, entonces (U + V) y (c U) también están es S. 25) Demuestre que cualesquiera cuatro polinomios de P 2 son L.D. 26) Encuentre un conjunto de vectores L.I. en R 3 que contenga a los vectores (2, 1, 2) y (-1, 3, 4).
Lic. Carmen von Lucken.
