TEMARIO DEL PRIMER PARCIAL. TEMA # 1. Flujos en un Tubería.
Existen dos tipos de flujos permanentes en el caso de flujos r eales, que es necesario considerar y entender. Estos son llamados Flujo Laminar y Turbulento. Flujo Laminar:
Se mueve según trayectorias paralelas, formando el conjunto de ellas capas o laminas.
Flujo Turbulento:
En mecánica de fluidos, se llama flujo turbulento o corriente turbulenta al movimiento de un fluido que se da en forma for ma caótica, en que las partículas se mueven desordenadamente y las trayectorias de las partículas se encuentran formando pequeños remolinos periódicos, (no coordinados) como por ejemplo el agua en un canal de gran pendiente. Debido a esto, la trayectoria de una partícula se puede predecir hasta una cierta escala, a partir p artir de la cual la trayectoria de la misma es impredecible.
Velocidad Critica.
Es aquella velocidad por debajo de la cual toda turbulencia es amortiguada por la acción de la viscosidad del fluido. Está fijada por el Limite de Numero de Reynolds para el flujo Laminar que es 2000. Numero de Reynolds.
Es un numero adimensional que se usa en mecánica de fluidos, diseño de reactores para caracterizar el movimiento de los fluidos. Se calcula con la siguiente formula:
Ejercicio del Tema: Un sistema está diseñado para transportar 500 gal/min, de etilenglicol a 77° F, con una velocidad máxima de 10 pies/seg. Calcule el diámetro comercial para transportar el caudal y con ese diámetro calcule el número de Reynolds e indique que tipo de flujo circula por la tubería. Utilice el sistema internacional. Solución del Problema: Datos del problema. Q = 500 gal/min, como nos pide usar el sistema internacional debemos convertir todos los datos. Q = 0.03154 m3/seg. (realice la conversión). V= 10 pies/seg = 3.048 m/s. Viscosidad cinemática = 1.59x10^ -4 pie2/seg = 1.4772 x 10 ^-5 m2/seg. Teniendo todos los datos, procedemos a calcular el diámetro. Para calcular el diámetro usamos la ecuación de la continuidad = Q = V * A
Q = 0.03154 m3/seg V = 3.048 m/s. A = ¶ * d^2 4 Q = V * A = V * ¶ * d ^2 4 d=
√ 4*(0.03154 m3/s)
d = 0.1148 m
¶ * (3.048 m/s) Tenemos que convertir el diámetro a pulgadas. d = 4.5190 pulg, lo aproximamos al número mayor en los diámetros, seria d = 6 pulg . Ahora que tenemos los datos del diámetro calculamos el número de Reynolds. # Re = V * D Ѵcin Como ya tenemos todos los datos, solo sustituimos. # Re = (3.048 m/s) * (0.1524 m) 1.4772 x 10 ^-5 m2/seg. # Re = 3.2098 x 10
.
^4
Conclusión, como es mayor que 4,000, determinarnos que el líquido que circula por la tubería es Turbulento. Tema # 2.
Ecuación de la Continuidad y Teorema de Bernoulli. Ecuación de la Continuidad.
El flujo que transporta una tubería se representa con la letra “Q”, que es el caudal que circula por la tubería y se calcula con la formula Q = V * A, que es la ecuación de la continuidad, la cual utilizamos para calcular caudales, diámetros, velocidades, dependiendo de los datos que nos den. Teorema de Bernoulli.
El estudio de la dinámica de los fluidos fue bautizado Hidrodinámica por el físico Suizo Daniel Bernoulli, quien, en 1738, encontró la relación fundamental entre la presión, la altura y la velocidad de un fluido ideal.
El Teorema de Bernoulli demuestra que estas variables no pueden modificarse independientemente una de la otra, sino que están determinadas por la energía mecánica del sistema.4 El teorema de Bernoulli, no es otra cosa que el principio de la conservación de la energía, donde cada uno de los términos de la ecuación representa una forma de energía: V2/2g = Energía Cinética, representada en metros.
P/∂ = Altura de Presión, representada en metros. Z = altura de posición, representada en metros. La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma de una forma en otra, Ley de la Conservación de la Energía.
Ejercicio del Tema. A través de una tubería de 15 cm de diámetro está fluyendo aceite de densidad relativa 0.750 a una presión de 1.05 kg/cm2. Si la energía con respecto de un plano de referencia situado 2.40 m por debajo de la tubería es de 17.6 k gm/kg, determinar el caudal de aceite en m3/seg. Solución.
Datos: Diámetro = 15 cm. Dr = 0.750. Z = 2.40 m. Energía Total = 17.6 m. Podemos hacer un dibujo para entender el ejercicio. Energía Total (ET) = 17.6 m V2/2*g
P/γ
Z = 2.40 m Nivel de referencia.
Energía Total = P/γ+Z+V 2/2*g Como sabemos cuándo circula un líquido por una tubería, este se transporta transformando la energía, por lo que produce, Energía de presión + Energía Cinética + Energía Potencial, la suma de las tres, nos da la energía total que circula por la tubería, esto es de forma ideal, sin considerar las pérdidas que se puedan producir.
Energía de presión = P/γ (m). Energía Cinética = V 2/2*g (m). Energía Potencial = Z (m).
ET = P/γ + V 2/2*g + Z Ahora calculamos la energía de presión = P/γ γ del aceite = dr * γ del agua = 0.750 * 9810 N/m3 = 7,357.50 N/m3. La presión la debemos convertir a Newton = 1.05 x 10^4 kg/m2 * 9.81 m/s2 = 10.3005 x 10^4 N/m2.
P/γ = 10.3005 x 10^4 N/m2 = 14 m. 7,357.50 N/m3 17.6 m = 14 m + 2.40 m + V 2/2*g V2/2*g = 17.60 m -14 m – 2.40 m V2/2*g = 1.2 m.
V = √1.2 m * 2 * 9.81 m/s 2
= 4.8522 m/s.
Conociendo la velocidad ya podemos calcular el caudal, solo utilizamos la ecuación de la continuidad. Q=V*A Q = 4.8522 m/s * (¶ *(0.15m) ^2 = 0.0857 m3/s. 4 El caudal que circula por la tubería es de 0.0857 m3/s. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE BERNOULLI La aplicación del teorema de Bernoulli debe hacerse de forma racional y sistemática. El procedimiento sugerido es el siguiente: 1. Dibujar un esquema del sistema, seleccionando y marcando cada una de las secciones rectas bajo consideración. 2. Aplicar la ecuación de Bernoulli en la dirección del flujo. Seleccionar el plano de referencia para cada una de las ecuaciones escritas. Se escoge para esto el punto de menor elevación para que no existan signos negativos, reduciendo así el número de errores. 3. Calcular la energía aguas arriba en la sección 1. La energía se mide en kgm/kg que se reducen en definitiva a metros de fluido. En los líquidos, la altura de presión puede expresarse en unidades manométricas o absolutas, manteniendo las mismas unidades para la altura de presión en la sección 2. Para los líquidos resulta más sencillo utilizar unidades manométricas, por lo que se usarán a lo largo de todo el libro. Deben utilizarse alturas de presión absoluta cuando no es constante el peso específico w. Como en la ecuación de continuidad, V1 es la velocidad media en la sección, sin apreciable pérdida de precisión. 4. Añadir, en metros de fluido, toda energía adicionada al fluido mediante cualquier dispositivo mecánico, tal con bombas. 5. Restar, en metros de fluido, cualquier energía perdida durante el flujo. 6. Restar, en metros de fluido, cualquier energía extraída mediante dispositivos mecánicos, tal como turbinas. 7. Igualar la anterior suma algebraica a la suma de las alturas de presión, de velocidad y topográfica o elevación en la sección 2.
8. Si las dos alturas de velocidad son desconocidas, relacionarlas mediante la ecuación de continuidad. TEMA # 3: PERDIDAS. ¿Qué es la Perdida de Energía? R= Es la disminución de la presión entre dos puntos de un sistema por donde circula algún fluido. Estas se producen por la fricción que se produce con respecto al tubo que la transporta. Como vimos antes la Ecuación de Bernoulli solo se puede aplicar bajo ciertas condiciones, cosa que en la realidad no se cumplen, por lo que al incluir la perdida por fricción pasa a llamarse la Ecuación de la Energía. Con la perdida la ecuación de la Energía se escribe de la Siguiente Forma: +Hf Donde Hf es la perdida por fricción en la tubería. A continuación, detallaremos las fórmulas que utilizaremos para calcular las perdidas por fricción: Cuando el Flujo es laminar utilizaremos la fórmula de Hagen – Poiseulle. Hf = 32µLV (ecuación # 1). γ D2 Donde: µ = Viscosidad del Líquido. L = longitud de la Tubería. V = Velocidad de la sección.
γ = Peso Específico del Líquido. D = diámetro de la tubería.
Formula de Darcy Weisbach.
Hf = ƒLV2 (ecuación # 2). 2gD Donde:
ƒ = Coeficiente de Fricción, adimensional. L = longitud de la tubería en metros. V = velocidad en m/s. g = gravedad en m2/s. La fórmula de Darcy se puede utilizar para calcular perdidas, ya sea en flujo laminar o Turbulento.
Para calcular “ƒ “, para el flujo laminar se utiliza la fórmula de Haggen – Posieulle. Igualando la ecuación # 1 con la # 2, encontramos la fórmula para sacar el valor ƒ.
Ƒ = 64/# Re Para Flujo Turbulento utilizaremos en Diagrama de Moody. Para comprobar el valor f de la fórmula de Darcy, también podemos utilizar una fórmula para su comprobación que es la siguiente: Swamme - Jain. Es para flujo Turbulento. f = 0.25/ (Log (( Ɛ/D)/3.7 +5.74/# Re^ 0.9))2
Donde Ɛ/D = rugosidad relativa. Ejercicio de Ejemplo.
Los puntos A y B están unidos por una tubería de HG de 15 cm de diámetro y 1,200 m de longitud. El punto B este situado 15 m por encima de A y las presiones en A y B son respectivamente 8.6 kg/cm2 y 3.4 kg/cm2. ¿Qué caudal de un fuel – oíl medio a 21° C, circulan entre A y B? utilizar sistema internacional. Datos del ejercicio: Tipo de Tubería = Hierro Galvanizado (HG). Diámetro de la tubería = 15 cm. Longitud de la tubería = 1,200 m. Zb = 15 m.
Pa = 8.6 kg/cm2. Pb = 3.4 kg/cm2. Temperatura = 21° C de Fuel oíl medio.
Pb = 3.4 Kg/cm2 Pa = 8.6 Kg/cm2 B
Zb = 15 m.
A
L = 1,200 m. Primer paso, hacer la conversión de todos los datos. Pa = 8.6 Kg/cm2 = 8.6 x 10^4 Kg/m2. Pb = 3.4 Kg/cm2 = 3.4 x 10^4 Kg/m2. Buscamos el peso específico del aceite en la tabla # 1. Pero observamos en la tabla que no está el valor de 21° C, por lo que nos toca interpolar. Interpolación. 20 ------------ 3.94 21 ------------ X 25 ------------ 3.44 La ecuación nos quedaría: ( 20-25 ) (3.94-3.44)
=
( 20-21) (3.94 – X)
En la ecuación del lado izquierdo desarrollándola nos da un valor de -10 Con este dato lo colocamos y despejamos para el valor en X: 3.94 – X = -1/-10 = 3.94 – X = 1/10 X = 3.94 -0.1 = 3.84 x 10^ -6 m2/seg.
Ahora pasamos la presión a altura de presión, esto lo hacemos dividiendo entre el peso específico del aceite. Para calcular la densidad relativa, hacemos el mismo procedimiento de la viscosidad, por lo que hay que interpolar. 20 ------------ 0.855 21 ------------ X 25 ------------ 0.852 La ecuación nos quedaría: ( 20-25 ) = (0.855-0.852)
( 20-21) (0.855 – X)
En la ecuación del lado izquierdo desarrollándola nos da un valor de -1,666.6667 Con este dato lo colocamos y despejamos para el valor en X: 0.855 – X = 0.0006 = 0.855 – X = 0.0006 X = 0.855 - 0.0006 = 0.8544 Dr = 0.8544 Peso Específico = 0.8544 * 9,810 N/m3 = 8,381.664 N/m3. Ahora con este dato pasamos la presión a altura de presión. Pa = 8.6 x 10^4 kg/m2 * 9.81 m/s2 = 100.6554 m. 8,381.664 N/m3 γ Pb = 3.4 x 10^4 kg/m2 * 9.81 m/s2 = 39.7940 m. γ 8,381.664 N/m3 Teniendo estos datos procedemos a plantear la Ecuación de la Energía. + Hf. 100.6554 m = 39.7940 m + 15 m + ƒLV2 D*2*g 45.8614 m =
1,200 m * ƒ * V 2 0.15 m * 2 * 9.81 m/s2
= 407.7472*ƒ*V 2 = 45.8614 m
V2 = 45.8614 m * ƒ = V = √0.1125*ƒ 407.7472s2
V = 0.3354 * √ƒ
Como vemos la ecuación nos queda en términos del coeficiente de fricción, ya que no tenemos como calcularlo, procedemos a introducir este r esultado en la fórmula para calcular el número de Reynolds. # Re = V * D = Ѵcin
0.3354 * √ƒ * 0.15 m = 3.84 X 10^-6 m2/seg
# Re * √ƒ = 13,104.5625 Como nos queda expresado en términos del número de Reynolds y el coeficiente de fricción, debemos usar el grafico de Moody A-2. Adjunto les mando el diagrama como se grafica para que lo analicen.
En el grafico tenemos que calcular primero la rugosidad €/ D = rugosidad relativa. En nuestro ejercicio nos queda = €/D = 0.015 cm/15 cm €/D = 0.001 con este valor buscamos en la curva de la tabla de Moody A -2. Ahora en el grafico ubicamos el # de Reynolds que encontramos en este caso es # Re * √ƒ y el expresamos en notación exponencial y nos queda = 1.31 X 10^4 con este dato nos vamos al gráfico, este se encuentra en las coordenadas “x” y lo unimos con una línea recta hasta llegar a la curva que encontramos. Una vez tenemos la intersección, con otra línea recta nos desplazamos a la izquierda o derecha, para encontrar el coeficiente ƒ, que se encuentra en las coordenadas “y”. Ejemplo de Ejercicio de Diagrama de Moody A-1. Determinar la perdida de carga de un tramo de tubería de fundición desnuda, con 30 cm de diámetro y 1,000 metros de Longitud, cuando a) Fluye agua a 15° C y una velocidad de 1.5 m/seg. b) Fluye Fuel Oíl medio a 15° C, con una velocidad de 0.9 m/s. Solución inciso a. En este caso nos pide la pérdida de carga, por lo que simplemente, tenemos que determinar el tipo de flujo que es y decidir que ecuación utilizar para resolver el ejercicio. Datos: Diámetro = 0.30 m. Longitud = 1,000 m. V = 1.5 m/s.
Tipo de líquido = agua a 15° C. Viscosidad cinemática = 1.142 X 10^ -6 m2/seg. Primer paso calcular el # de Reynold. # Re = (1.50 m/seg)*(0.30m) = 394,045.5342 es mayor que 4,000 por lo tanto es flujo 1.142X10^-6 m2/seg. Turbulento. # Re = 3.94 X 10^5, lo ponemos en función exponencial, para que se nos facilite el uso del diagrama de Moody. Ahora calculamos la rugosidad relativa, esta se calcula con la siguiente formula = €/D, los datos deben de ir en centímetros.
€/D = 0.024 cm, del diagrama de Moody. 30 cm, diámetro de la tubería. €/D = 0.0008, este dato lo usamos para buscar la curva en el diagrama de Moody. Anexo les colocare el Diagrama A-1, para que vean de donde salieron los datos.
ƒ = 0.019, valor sacado del diagrama. Ahora que tenemos los datos podemos aplicar la ecuación de Darcy. Hf = ƒ*L*V2 = 0.019 * 1,000 m * (1.50 m)^2 = 7.2630 m, es la perdida por fricción en D*2*g (0.30m)*(2*9.81 m/s2) el tramo analizado. Hagan el inciso “b” como práctica. Guía de Ejercicios.
1. A través de una tubería de 15 cms de diámetro fluye agua a una presión de 4.20 kg/cm2. Suponiendo que no hay perdidas, ¿Cuál es el caudal si en una reducción de 7?5 cm de diámetro la presión es 1.40 kg/cm2. 2. A través de una tubería vertical de 30 cm de diámetro fluyen hacia arriba 220 l/seg de agua. En el punto A de la tubería la presión es 2,20 kg/cm2. En el punto B, 4,60 m por encima de A. el diámetro es de 60 cm y la pérdida de carga entre A y B es igual a 1,80 m. Determinar la presión en B en kg/cm2. 3. Una tubería de 30 cm de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce gradualmente hasta 15 cm y de nuevo aumenta a 30 cm. La sección de 15 cm está 60 cm por debajo de la sección A, situada en la tubería de 30 cm, donde la presión es de 5,25 kg/cm2. Si entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio, ¿cuál es la lectura del
manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120 l/seg? Supóngase que no existen pérdidas. 4. Un caudal de 44 l/seg de un aceite de viscosidad absoluta 0.0103 kg seg/m2 y densidad relativa 0,850 está circulando por una tubería de 30 cm de diámetro y 3000 m de longitud. ¿Cuál es la pérdida de carga en la tubería? 5. Al considerar las pérdidas en la tubería únicamente, ¿qué diferencia en la elevación de dos depósitos, que distan 250 m, dará un caudal de 30 l/seg de un aceite lubricante medio a 10ºC, a través de una tubería de 15 cm de diámetro? 6. Una tubería comercial usada de 100 cm de diámetro interior y 2500 m de longitud, situada horizontalmente, transporta 1,20 m3/seg de fueloil pesado, de densidad relativa 0,912, con una pérdida de carga de 22,0 m. ¿Qué presión debe mantenerse en la sección de entrada A para que la presión en B sea de 1,4 kg/cm2? Utilizar E = 1,37 cm. 7. Un conducto de acero de sección rectangular de 5 cm x 10 cm transporta 18 l/seg de agua a una temperatura media de 15º C y a presión constante al hacer que la línea de alturas piezométricas sea paralela al eje del conducto. ¿Qué altura ha de descender el conducto en 100 m al suponer la rugosidad absoluta de la superficie del conducto igual a 0,025 cm? (Utilizar v = 1,132 x 106 m2/seg.) Nota: Para este ejercicio al ser una sección que no es circular, se hace uso del Radio Hidráulico, para sustituir el diámetro, Rh = Amojada/ Perimetro mojado. Para hacer la transformación a diámetro simplemente decimos que D = 4*Rh. Teniendo esto lo trabajamos normal el ejercicio.
