CUANTOS DE RADIACIÓN: Todas las ondas electromagnéticas, incluyendo la luz, tienen una naturaleza dual. Cuando viajan por el espacio, actúan como ondas y dan origen a efectos de interferencia y de difracción. Cuando la radiación electromagnética interactúa con los átomos y las moléculas, el haz se comporta como flujo de corpúsculos energéticos llamados fotones o cuantos de luz. La energía de cada fotón depende de su frecuencia! (o de la longitud de onda "A.) de la radiación en el haz: Energía del fotón = hf =
Donde h = 6.626 × 10-34 J
∙
hc λ
s es una constante de naturaleza conocida como constante de
Planck. EFECTO FOTOELÉCTRICO: Cuando la luz incide sobre una superficie, bajo ciertas condiciones se desprenderán electrones Suponga que un fotón de energía hf choca contra un electrón que se encuentra en o próximo a la superficie del material la interacción, el fotón transfiere toda su energía al electrón. La función de trabajo, el trabajo mínimo requerido para Iiberar un electrón de
1
la superficie, es Wmin-. Entonces la energía cinética máxima ( 2
mv2máx) electrón desprendido
está dada por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico:
1 2
mv2máx= hf-Wmin
La energía del electrón emitido se puede calcular determinando la diferencia de potencial V que se necesita aplicar para detener el movimiento; entonces hf-Wmin=Vs e Donde Vs es el potencial frenado. Para cualquier superficie, la longitud de onda de la luz debe ser lo suficientemente pequeña para que la energía del fotón hf sea lo suficientemente grande para desprender al electrón. En la longitud de onda umbral (o frecuencia), la energía del fotón es casi igual a la función de trabajo. Para un metal ordinario la longitud de onda umbral cae en el rango del visible o del ultravioleta Los rayos X desprenden fotoelectrones, los fotones del infrarrojo o caloríficos nunca desprenderán electrones.
EL FOTÓN TIENE MASA EN REPOSO CERO: Toda su masa se debe a que se mueve con rapidez c. Como ΔE-(Δm) c2, ya que la del fotón es hf, se tiene para un fotón. 2
mc = hf
hf h m= c 2 = cλ
o
El ímpetu de un fotón es mc = h/λ.
EFECTO COMPTON: Un fotón puede chocar con una partícula cuya masa de reposo no es cero, por ejemplo con un electrón Cuando esto sucede su energía e ímpetu pueden cambiar debido a la colisión. Es factible que el fotón también se deflecte en el proceso. Si un fotón con longitud de onda λ choca con una partícula libre en reposo de masa m y se deflecta un ángulo φ su longitud de onda cambia a λ’ donde
h
λ’=λ+ mc (1-cosφ) El cambio fraccional en la longitud de onda es muy pequeño, excepto en el caso de radiación altamente energética como los rayos X y los rayos y ONDAS DE DE BROGLIE: Una partícula de masa m que se mueve con ímpetu p tiene asociada una longitud de onda de Broglie.
h
h
λ= p = mv Un haz de partículas se puede difractar e interferir. Estas propiedades de comportamiento ondulatorio de las partículas se pueden calcular suponiendo que las partículas actúan como ondas (ondas de Broglie) con longitud de onda de De Broglie. RESONANCIA DE LAS ONDAS DE DE BROGLIE: Una partícula confinada en una región finita del espacio se dice que es una partícula ligada. Ejemplos típicos de sistemas de partículas son las moléculas de un gas en recipiente cerrado, un electrón en Un átomo. La onda de De Broglie que representa a una partícula ligada entrará en resonancia dentro de la región del espacio donde está confinada si la longitud de onda cabe en esa región. A cada forma posible de resonancia se Ie llama estado (estacionado) del sistema. Es más probable encontrar a la partícula en la posición de los antinodos de la onda resonancia se le llama nunca se encuentra en la posición de los nodos.
LAS ENERGÍAS CUANTIZADAS de las partículas ligadas se deben a que cada estado de resonancia tiene una energía discreta asociada con ella. Ya que es más probable encontrar a la partícula sólo en estado de resonancia, las energías observadas son discretas ( cuantizadas). Únicamente en sistemas de partículas atómicas (o mas pequeñas) se dan las diferencias de energías entre los estados de resonancia lo suficientemente grandes para ser observadas PROBLEMAS RESUELTOS 43.1 Demuestre que un fotón de una luz infrarroja de 1240 nm tiene una energía
de
1
eV.
Energía
=
hf
=
6.63 x 10− J • s)(3 x 10 8 m/s) } over {1240 x {10} ^ {-9} m} ¿
hc λ
=
(
=1.60× 10-19 J = 1
eV 43.2 Calcule la energía de un fotón de luz azul de longitud de onda 450 nm 8
−34
Energia=
hc (6.63× 10 J • s)(3 ×10 m/s) = = 4.42 x 10-19 J= 2.76 eV λ 450 ×10−9
4.3.3 Para romper el ligamento químico en una molécula de piel humana y por lo tanto causar una quemadura de sol se requiere un fotón con una energía de aproximadamente 3.5 eV. ¿A qué longitud de onda corresponde esta energía?
8
−34
(6.63 ×10 J • s)(3 × 10 m/ s) hc λ= energia = =nm (3.5 eV )( 1.6× 10−19 J /eV ) La luz ultravioleta causa las quemaduras por el sol.
43.4 La función de trabajo de metal de sodio es 2.3 eV. ¿Cuál es la longitud de onda más grande de la luz que puede producir emisión de fotoelectrones en el sodio? En el umbral, la energía del fotón es exactamente igual a la energía que se requiere para desprender a un electrón del metal, ésta es la función de trabajo Wmin Wmin=
hc λ
−34 8 (6.63 ×10 J ∙ s)(3 ×10 m/ s) 1.6 × 10−19 J (2.3 eV)( )= 1 eV λ
λ= 540 nm 43.5 ¿Qué diferencia de potencial se debe aplicar para detener al fotoelectrón más rápido emitido por una superficie de níquel bajo la acción de luz ultravioleta de longitud de onda 200 nm? La función de trabajo para el níquel es de 5.01 eV Energía del fotón =
hc (6.63 ×10−34 J ∙ s)(3 ×108 m/s) −19 =9.95 ×10 λ = 2000× 10−10 m
J=6.21eV Entonces, de la ecuación del efecto fotoeléctrico, la energía del electrón emitido con mayor rapidez es 6.21 eV — 5.01 eV = 1.20 eV Entonces se requiere un potencial retardador negativo. Este es el potencial de frenado 43.6 ¿Emitirá fotoelectrones una superficie de cobre, con una función de trabajo de 4.4 eV, cuando se ilumina con luz visible. Igual que en el problema 43.4, Umbral λ
=
hc =¿ W min
(6.63 ×10−34 J ∙ s)(3 ×108 m/s) 4.4 ( 1.60 ×10−19) J
= 282 nm
Por lo tanto, la luz visible (400 nm a 700 nm) no puede desprender electrones del cobre. 43.7 Un haz láser ( λ=633 nm¿
del tipo diseñado para que lo usen los
estudiantes tiene una intensidad de 3 mW. ¿Cuántos fotones pasan por un punto dado en cada segundo? La energía que pasa por un punto en cada segundo es 0.0030 J/s. Como la energía por fotón es que resulta ser 3.14 x
Cantidad/s =
0.0030 J / s 3.14 × 10−19 J /foton
10−19 J, el número es 15
= 9.5 ×10 fotones /s
43.8 En un proceso llamado producción de pares, un fotón se transforma en un electrón y en un positrón. Un positrón tiene la misma masa que un electrón, pero su carga es +e .¿Cuál es la mínima energía que debe tener un fotón si ocurre este proceso?.¿Cuál es la correspondiente longitud de onda? El fotón tendrá una energía equivalente a la de la masa en la cual se transforma, que es −31
(Δm)c2 =(2)(9.1 ×10
kg ¿(3 ×10 8 m/ s)
2
=1.64 ×10
−13
J =1.02MeV
Entonces, como esta energía debe ser igual a hc/λ
hc
−12
λ= 1.64 × 10−13 J =1.21 ×10
m
Esa longitud de onda está en la región de los rayos X muy cortos, la región de los rayos gamma
43.9¿Qué longitud de onda debe tener la radiación electromagnética para que un fotón en un haz tenga el mismo que el de un electrón que se mueve con una rapidez de 2 × 105 m/s? Se requiere que (mv)electrón=(h/λ)fotón. De ello, −34 h 6.63× 10 J ∙ s λ= mv = (9.1 ×10−31 kg)(2× 105 m/s) =3.64nm
Esta longitud de onda está en la región de los rayos X 43.10 Suponga que un fotón con longitud de onda de 3.64 nm que se mueve en la dirección +x choca frontalmente con un electrón cuya rapidez 2×
105 m/s y se mueve en la dirección – x. Si la colisión es perfectamente elástica, encontrar la rapidez del electrón y la longitud de onda del fotón después de la colisión. De la ley de le conservación del ímpetu. Ímpetu antes = ímpetu después -Del Problema 43.9, h/λ0 ¿
h λ0
h
– mv0 = λ
- mv
mv0 en este caso. De aquí, h/λ = mv. Entonces.
para una colisión perfectamente elástica. EC antes= EC después
hc λ0
1
+ 2
2
m v0
=
hc λ
+
1 2
mv2
Si de asume que el hecho de que h/λ0 = mv0 y h/λ = m/v, vemos que
1
V 0(c+ 2
v0) = v(c +
1 v 2 )
Por lo tanto v = v0 y el electrón se mueve en la dirección +x o con la misma rapidez que tenia antes de la colisión. Como h/λ = mv = v0 , el fotón rebota y conserva su longitud de onda. 43.11 Un fotón (λ = 0.400 nm) choca con un electrón que se encuentra en reposo y rebota con un ángulo de 150º en la dirección que tenia antes del choque. Determine la rapidez y longitud de onda del fotón después de la colisión. La rapidez del fotón siempre es igual a la rapidez de la luz en el vacío, c. Para obtener la longitud de onda después de la colisión, utilizamos la ecuación del efecto Compton:
hc mc
λ’= λ +
−10 =4 ×10 m
−10
=4 ×10
(1- cosφ)
+
6.63× 10−34 J ∙ s (9.1 ×10−31 kg)(3 ×108 m/s)
m+ ( 2.43× 10
−12
(1-cos 150º)
m ) ( 1+ 0.866 )=0.4045nm
42.12 ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie para una partícula que se mueve con una rapidez de 2 ×
106
m/s si la partícula es (a) un electrón,
(b) un protón y (c) una pelota de 0.2 kg? Si se emplea la definición de la longitud de onda de De Broglie
h 6.63× 10−34 J ∙ s = 6m λ= mv m( 2×10 ) s
−40
=
3.3 ×10 m ∙ kg m
Si se sustituyen los valores de m, se encuentra que la longitud de onda es 3.6 x 10-10 para el electrón, 2 x 10 -13 para protón y 1.65 pelota de 0.2kg
×
10-39 m para la
43.13 Un electrón en reposo se pone en una diferencia de potencial de 100 V. ¿Cual es la longitud de onda de De Broglie? Su rapidez sigue siendo menor que c por lo que se pueden ignorar los efectos relativistas. La EC ganada, 1/2mv 2, iguala a EP eléctrica perdida, Vq Entonces,
1 v=
√
2 Vq m =
√
2(100 V )(1.6 ×10−19 C ) = 5.9 9.1× 10−31
×106 m/s
9.1 ×10−31 kg h 6.63× 10 J ∙ s λ= = (5.9 ×10 6 m/ s)¿=0.123 nm ¿ mv −34
43.14 ¿Cuál es la diferencia de potencial para que un microscopio electrónico le proporcione a un electrón una longitud de onda de 0.5 Á?
EC del electrón =
1 2
1
mv2= 2
h mλ h2 m ¿ = 2 mλ 2 ¿ ¿
Donde se ha utilizado la relación de De Broglie, λ = h/mv. Si se sustituyen los valores conocidos se obtiene EC como 9.66 x 10 -17 J. entonces, EC - Vq, y por eso V=
EC q
9.66× 10−17 J = 1.6 × 10−19 C
=600V
FÍSICA CUÁNTICA Y MECÁNICA ONDULATORIA 43.15 ¿Cuál es la EC y la longitud de onda de un neutrón térmico? Por definición, un neutrón térmico es un neutrón libre en un gas de neutrones aproximadamente a 20 °C (293 k). Del capítulo 17 la energía térmica de un gas molecular es 3 kT/2, donde k es la constante de Boltzman (1.38 X 10-23 J/K ). Entonces EC=
3 kT =6.07 × 10−21 J 2
Este es un caso no relativista por lo que podemos escribir
m20 v 2 1 EC= 2 m0v2= 2 m 0
Entonces
λ=
p2 = 2 m0
h p
=
o
p2=(2m0)(EC)
2 m0 6.07 ×10−21 J ¿ (2)(1.67 ×10−27 kg) ¿ √¿ h 6.63 ×10−34 J ∙ s ¿= ¿ √ ¿( EC )
43.16 Encuentre la presión que ejerce sobre una superficie el haz de fotones del Problema 43.7 si el área de la sección transversal del haz es 3 mm 2. Suponga que la reflexión a la incidencia normal es perfecta. Cada fotón tiene un ímpetu p=
h λ =
6.63 × 10−34 J ∙ s −27 =1.05× 10 kg ∙m/ s −9 633× 10 m
Cuando un fotón se refleja, su ímpetu cambia de +p a —p, un cambio total en el ímpetu 2p. Como 9.5 ×1015 fotones cada segundo, se obtiene Cambio en el ímpetu/s = (9.5 x 10 15/s)(2)(1.05 x 10-27 kg • m/s) = 1.99 x 10 11 kg • m/s2 De la ecuación del impulso (Capítulo 8), Impulso= Ft = cambio en el impetu Tenemos
Entonces
F= cambio en el ímpetu/s=1.99×10-11kg
∙ m/ s2
F 1.99 ×10−11 kg ∙m/ s2 =6.6 ×10−6 N /m2 −6 2 Presión= A = 3 ×10 m
43.17 una partícula de masa m esta confinada a un tubo angosto de longitud L. Encuentre (a) la longitud de onda de la onda de De Broglie que resonará en el tubo, (b) los ímpetus de las partículas y (c) las energías
correspondientes. (d) Calcule las energías para un electrón en un tubo con una longitud L= 0.5 nm. (a) La onda de De Broglie resonará con un nodo en cada extremo del tubo ya que éste esta cerrado en los extremos. Algunos de los posibles modos de resonancia se muestran en la Fig. 43-1 Éstos permiten visualizar que
1
para la resonancia, L= 2
λn =
2L n
λ1, 2
( 12 λ ) ,3 ( 12 λ ), … n( 12 λ )… o bien 2
3
n
n= 1,2,3,…
(b) Como la longitudes de onda de De Broglie es
λn =h/ pn ,
los impetus en
la resonancia son
pn =
nh 2L
n=1,2,3,…
(c) Como se mostró en el Problema 43.15, p2 = (2m)(EC), entonces (EC
)n
=
n2 h2 8 L2 m
n=1,2,3,...
Note que las partículas sólo se pueden encontrar en ciertos estados energéticos discretos. Las energías están, cuantizadas (d) Con m=9.1 x10
-31
kg y L=5 x 10
-10
m se obtiene (EC) n = 2.4 x 10 -19 n2
2
1,50 n eV
j=
Una partícula de masa m esta confinada a moverse en una órbita de radio R ,¿Qué energías puede adquirir la partícula para que esté en resonancia en una onda de De Broglie? Efectúe el cálculo para un electrón con R -05 nm. Para que una onda entre en resonancia cuando se encuentra en una órbita circular las crestas deben coincidir con las crestas y los valles con los valles .Un ejemplo de resonancia (para una circunferencia con una longitud de cuatro longitudes de onda) se muestra en la Fig. 43-2. En general, se conseguirá resonancia cuando la circunferencia tenga una longitud de n longitudes de onda, donde n - 1, 2, 3… Para una onda de De Broglie se tiene
nλ
n=2 πR y Pn=
h nh = λ n 2 πR
Igual que en el problema 43.17.
2
(EC)n=
2 2 pn n h = 2 2 2m 8 π R m
Obviamente, las energías están cuantizadas. Al sustituir valores se obtiene (EC)n = 2.44 x 10-20 n2 J = 0.153n2 eV PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS 4.19 Calcule la energía de un fotón de luz azul ( λ = 450 nm), en joule y en eV. Sol. 2,21 nm 43.20 ¿Cuál es la longitud de onda de una luz en la cual los fotones tienen una energía de 600 eV? Sol. 2.1 nm 43.21 Una lámpara de sodio de 20 W irradia luz amarilla (
λ=¿ 589 nm).
¿Cuántos fotones de luz amarilla son emitidos por la lámpara en cada segundo? Sol. 5.9 x 1019 43.22 ¿Cuál es la función de trabajo de una superficie de metal de sodio si la longitud de onda umbral fotoeléctrica es de 680nm? Sol. 1.82 eV
43.23 Determine la máxima EC de los fotoelectrones que se desprenden de una superficie de potasio debido a una luz ultravioleta de 200 nm de longitud de onda. ¿Cuál es la diferencia de potencial de retardo que se requiere para frenar a los electrones? La longitud de onda umbral fotoeléctrica del potasio es 440 nm. Sol. 3.38 eV, 3.38 V 43.24 ¿Con qué velocidad serán emitidos fotoelectrones rápidos por una superficie cuya longitud de onda umbral es de 600 nm, cuando la superficie se ilumina con una luz de 400 nm de longitud de onda? Sol. 6 x 105 m/s 43.25 Una radiación ultravioleta de 150 nm de longitud de onda, desprende electrones de una superficie metálica con una EC máxima de 3 eV. Determine la función de trabajo del metal, la longitud de onda umbral del metal y la diferencia potencial retardado, que se requiere para frenar la emisión de electrones. Sol 5.27 eV, 235 nm , 3V 43.26 ¿Cuál es la rapidez y el ímpetu de un fotón de 500 nm de longitud de onda? Sol. 3 x 10 8m/s, 1.33 . 10
-27
kg x m/s
d de onda
0 nm
5 nm
0 nm
43.27 Un haz de rayos X con una longitud de onda exacta de 5 x 10 -14 colisiona con un protón que se encuentra en reposo (m=1,67 x 10 -27 kg ). Si los rayos X se dispersan con un ángulo de 110º, ¿cuál es la longitud de onda de los rayos X dispersados? Sol 5,18 x 10 -14 43.28 Un par electrón positrón, cada uno con una energía cinética de 220 keV, son producidos por un fotón. Encuentre la energía y la longitud de onda del fotón. Sol . 1.46 MeV, 8.5 x 10
-13
m
43.29 Demuestre que la longitud de onda de De Broglie de un electrón que parte del reposo y que es acelerado por una diferencia de potencial de V volts es 1.226/ √v nm. 43.30 Calcule la longitud de onda de de Broglie de un electrón que ha sido acelerado por una diferencia de potencial de 9 kV. Desprecie los efectos relativistas. Sol. 1.3 x 10 -11 m 43.31 ¿Cuál es la longitud de onda de De Broglie que ha sido acelerado por una diferencia de potencial de 1 MV ? (Con esta energía que es muy grande debes utilizar las expresiones de la masa y la energía relativista) Sol. 8.7 x 10 -13m 43.32 Se desea hacer pasar un haz de electrones por una rejilla de difracción de periodo d (separación entre ranuras). Los electrones tienen una rapidez de 400 m/s. ¿Qué tan grande debe ser d para que el haz de electrones se difracte un ángulo de 25º? Sol. n (4.3 x 10 -6m), donde n - 1, 2, 3,...
Datos útiles:
Rango de Longitudes de onda del espectro visible
0 nm
0 nm
0 nm
PREFIJOS Y SUFIJOS Prefijos del orden de magnitud Existen diferentes valores que pueden ser muy grandes (10^23) o muy pequeños (10^-11). Surge entonces una forma de simplificar la expresión de resultados en la notación científica, existen diferentes prefijos en el Sistema Internacional, de esta forma las diferentes potencias de diez tiene nombre y símbolo especiales: Potencia de 10
10
24
Prefijo
simbolo
Ejemplo
Yotta
Y
Ym
1021
Zetta
Z
Zm
1018
Exa
E
Em
10
15
Peta
P
Pm
10
12
Tera
T
Tm
1009
Giga
G
Gm
1006
Mega
M
Mm
1003
Kilo
K
Km
10
Hecta
H
Hm
1001
Deca
D
dm
02
Potencia de 10
Prefijo
simbolo
Ejemplo
−24
10
Docto
y
ym
10−21
Zepto
z
zm
10−18
Atto
a
am
10−15
Femto
f
fm
−12
Pico
p
pm
10
−09
Nano
n
nm
10−06
Micro
u
um
10−03
Mili
m
dm
10−02
Centi
c
cm
Deci
d
dm
10
−01
10
Schrödinger , Broglie ,
Heisenberg
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (n. 12 de agosto de 1887, en Erdberg, Viena, Imperio austrohúngaro – 4 de enero de 1961, id.) fue un físico austríaco, nacionalizado irlandés, que realizó importantes contribuciones en los campos de la mecánica cuántica y la termodinámica. Recibió el Premio Nobel de Física en 1933 por haber desarrollado la ecuación de Schrödinger. Tras mantener una larga correspondencia con Albert Einstein propuso el experimento mental del gato de Schrödinger que mostraba las paradojas e interrogantes a los que abocaba la física cuántica.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961), físico austriaco que inventó la mecánica ondulatoria en 1926, y que fue formulada independientemente de la mecánica cuántica. Al igual que esta última, la mecánica ondulatoria describe matemáticamente el comportamiento de los electrones y los átomos. Pero su ecuación medular, conocida como ecuación de Schrödinger, se caracteriza por su simpleza y precisión para entregar soluciones a problemas investigados por los físicos. Schrödinger nació en Viena el 12 de agosto de 1887, y murió el 4 de enero de 1961. Hijo único del matrimonio formado por Rudolf Schrödinger y una hija de Alexander Bauer, su profesor de química en la Universidad Técnica de Viena. En 1920, asume un puesto académico como ayudante de Max Wien; después ocupa los cargos de profesor extraordinario en Stuttgart, profesor titular en Breslau, primero, y luego en la Universidad de Zurcí. Fue su período más fructífero, ocupándose activamente de una variedad de temas sobre física teórica. Sus artículos se centraron específicamente en la temperatura de sólidos, problemas de termodinámica y espectros atómicos. Su gran descubrimiento, la ecuación de ondas de Schrödinger, ocurrió durante la primera mitad de 1926. Por ese trabajo Schrödinger compartió con Dirac el premio Nobel de física de 1933. En 1927, Schrödinger se mudó a Berlín para suceder a Planck. Cuando Hitler asciende al poder en
el año 1933, Schrödinger, al igual que muchos otros científicos, concluye que en ese entorno político no puede continuar en Alemania. Emigra a Inglaterra y trabaja en Oxford. En 1938 se trasladó a Italia. Después de una breve estancia en EE. UU. , regresa a Europa para ocupar un cargo académico en el Instituto de Estudios Avanzados de Dublín, siendo posteriormente nombrado director de la escuela de física teórica de esa institución. Permanece en Dublín hasta su retiro en 1955. No obstante su retiro de la vida académica activa, Schrödinger continuó con sus investigaciones y publicó una variedad de artículos sobre distintos temas, en los cuales se incluye el problema de unir la gravedad con el electromagnetismo, que también absorbió a Einstein. También escribió un pequeño libro titulado «Qué es la Vida» y manifestó su interés en la fundación de la física atómica.
Contexto histórico
Al comienzo del siglo XX se había comprobado que la luz presentaba una dualidad onda corpúsculo, es decir, la luz se podía manifestar según las circunstancias como partícula (fotón en el efecto fotoeléctrico), o como onda electromagnética en la interferencia luminosa. En 1923 Louis-Victor de Broglie propuso generalizar esta dualidad a todas las partículas conocidas. Propuso la hipótesis, paradójica en su momento, de que a toda partícula clásica microscópica se le puede asignar una onda, lo cual se comprobó experimentalmente en 1927 cuando se observó la difracción de electrones. Por analogía con los fotones, De Broglie asocia a cada partícula libre con energía E y cantidad de movimiento p una frecuencia ν y una longitud de onda λ:
La comprobación experimental hecha por Clinton Davisson y Lester Germer mostró que la longitud de onda asociada a los electrones medida en la difracción según la fórmula de Bragg se correspondía con la longitud de onda predicha por la fórmula de De Broglie. Esa predicción llevó a Schrödinger a tratar de escribir una ecuación para la onda asociada de De Broglie que para escalas macroscópicas se redujera a la ecuación de la mecánica clásica de la partícula. La energía mecánica total clásica es:
El éxito de la ecuación, deducida de esta expresión utilizando el principio de correspondencia, fue inmediato por la evaluación de los niveles cuantificados de energía del electrón en el átomo de hidrógeno, pues ello permitía explicar el espectro de emisión del hidrógeno: series de Lyman, Balmer, Bracket, Paschen, Pfund, etc. La interpretación física correcta de la función de onda de Schrödinger fue dada en 1926 por Max Born. En razón del carácter probabilista que se introducía, la mecánica
ondulatoria de Schrödinger suscitó inicialmente la desconfianza de algunos físicos de renombre como Albert Einstein, para quien «Dios no juega a los dados». A principios de la década de 1930 Max Born que había trabajado junto con Werner Heisenberg y Pascual Jordan en una versión de la mecánica cuántica basada en el formalismo matricial alternativa a la de Heisenberg apreció que la ecuación de Schrödinger compleja tiene una integral de movimiento dada por ψ*(x)ψ(x) (= |ψ(x)| 2) que podía ser interpretada como una densidad de probabilidad. Born le dio a la función
de onda una interpretación probabilística diferente de la que De Broglie y Schrödinger le habían dado, y por ese trabajo recibió el premio Nobel en 1954. Born ya había apreciado en su trabajo mediante el formalismo matricial de la mecánica cuántica que el conjunto de estados cuánticos llevaba de manera natural a construir espacios de Hilbert para representar los estados físicos de un sistema cuántico. De ese modo se abandonó el enfoque de la función de onda como una onda material, y pasó a interpretarse de modo más abstracto como una amplitud de probabilidad. En la moderna mecánica cuántica, el conjunto de todos los estados posibles en un sistema se describe por un espacio de Hilbert complejo y separable, y cualquier estado instantáneo de un sistema se describe por un "vector unitario" en ese espacio (o más bien una clase de equivalencia de vectores unitarios). Este "vector unitario" codifica las probabilidades de los resultados de todas las posibles medidas hechas al sistema. Como el estado del sistema generalmente cambia con el tiempo, el vector estado es una función del tiempo. Sin embargo, debe recordarse que los valores de un vector de estado son diferentes para distintas localizaciones, en otras palabras, también es una función de x (o, tridimensionalmente, de r). La ecuación de Schrödinger da una descripción cuantitativa de la tasa de cambio en el vector estado.
Formulación moderna de la ecuación En mecánica cuántica, el estado en el instante t de un sistema se describe por un elemento Dirac.
del espacio complejo de Hilbert — usando la notación bra-ket de Paul Representa las probabilidades de resultados de todas las medidas posibles
de un sistema. La evolución temporal de Schrödinger :
se describe por la ecuación de
¿Qué es la vida? En 1944 publicó en inglés un pequeño volumen titulado ¿Qué es la vida? (What is life?), resultado de unas conferencias divulgativas. Esta obra menor ha tenido gran influencia sobre el desarrollo posterior de la Biología. Aportó dos ideas fundamentales: 1. Primero, que la vida no es ajena ni se opone a las leyes de la termodinámica, sino que los sistemas biológicos conservan o amplían su complejidad exportando la entropía que producen sus procesos (véase neguentropía). 2. Segundo, que la química de la herencia biológica, en un momento en que no estaba clara su dependencia de ácidos nucleicos o proteínas, debe basarse en un “cristal aperiódico”, contrastando la periodicidad exigida a un cristal, con la necesidad de una secuencia informativa. Según las memorias de James Watson, DNA, The Secret of Life, el libro de Schrödinger de 1944, What's Life? le inspiró a investigar los genes, lo que le llevó al descubrimiento de la estructura de doble hélice del ADN.
Hipótesis de Louis de Broglie
Louis de Broglie, era un aristócrata francés que ganó el premio Nobel de Física de 1929 por una tesis doctoral que elucidaba las propiedades ondulatorias de los orbitantes electrones. Se trató de un trabajo que ayudó a resolver una antigua paradoja al mostrar que los electrones pueden ser descritos ya sea como partículas o como ondas, según las circunstancias. El punto de partida que tuvo de De Broglie para desarrollar su tesis fue la inquietante dualidad en el comportamiento de la luz, que en ciertos fenómenos se manifiesta como onda, en otros como partícula. Este desconcertante aspecto doble de la luz, estrechamente vinculado con la existencia misma de los cuantos, le sugirió la pregunta de si no podía esperarse hallar una dualidad del mismo orden en los movimientos del electrón, en el átomo regido por el cuanto. Cuando de Broglie publicó sus ideas, en 1923, jamás –al menos hasta entonces– el electrón había manifestado características ondulatorias análogas a las de la luz; no obstante, a pesar de ello, había dos indicios que parecían apoyar, en los razonamientos de De Broglie, la idea de ese paralelismo. Hay una analogía, conocida desde Jacobi y Hamilton, entre las trayectorias posibles de las partículas, concebida según la dinámica clásica, y los rayos de propagación de ondas, estudiados por la geometría óptica. Y esta profunda analogía se establece por intermedio de la «acción», es decir, precisamente por la magnitud física cuyas dimensiones son las del cuanto de Planck. Parecía que en esta conexión había un indicio de que el cuanto forma el vínculo, enigmático y oculto, entre los dos aspectos complementarios: la naturaleza granular y ondulatoria de las partículas de la materia. Ese paralelismo fue el que motivó a de Broglie a embrionar los inicios que dieron paso a la mecánica ondulatoria. Pero también había algo más que influyó en ese embrionage. En efecto, las órbitas estables del electrón, en el átomo, están caracterizadas por números enteros. Ahora bien, la intervención de números enteros es insólita en la dinámica clásica de las partículas, mientras es intrínseca a la teoría de los fenómenos ondulatorios: un motivo más que sugería admitir una estrecha conexión, ajena a la antigua mecánica newtoniana, entre partículas y ondas, e hizo sospechar que al movimiento de las partículas subyace tal vez una propagación ondulatoria. Esas reveladoras analogías y algunas otras sencillas consideraciones propuestas por la teoría de la relatividad, llevaron a de Broglie a considerar que, como las pústulas de luz –los fotones– también los de la materia –electrones y protones– deberían estar acompañados en sus movimientos por ondas. Ligadas inseparablemente a las partículas de la materia, serían estas ondas las que guían y gobiernan –por lo
menos estadísticamente– sus movimientos. La longitud de onda que de Broglie atribuye a las «ondas piloto», asociada a la partícula, es igual al cociente de la constante de Planck por el impulso del corpúsculo; es, pues, la misma que Einstein adjudicara a la onda luminosa del fotón. De Broglie escribió al respecto: “Son como dos ríos que por largo espacio corrieron separados terminan por mezclar sus aguas, dos grandes doctrinas (mecánica de los corpúsculos y teoría de las ondas) han llegado a su confluencia". Pero no obstante, existe una importante diferencia entre la onda adjunta a los fotones y aquellas asociadas a las partículas materiales. Mientras las pústulas de luz y su correspondientes ondas tienen la misma velocidad, esta identidad no se asocia a las partículas materiales y sus correspondientes ondas asociadas. Pero aunque partículas y ondas tienen velocidades disímiles, éstas no son independientes una de la otra; su producto tiene un valor constante. Sin entrar en detalles aquí, ya que lo haremos en nuestra descripción matemática de la hipótesis de De Broglie, agreguemos que los corpúsculos y sus sistemas de ondas, como quedará demostrado, son inseparables y forman una estructura permanente. La idea de ligar lo continuo de la onda con lo discontinuo del corpúsculo otorgó una importante prueba sobre su posible viabilidad, cuando de Broglie, al aplicarla a los movimientos de los electrones en el interior de un átomo, consiguió hallar la razón de las órbitas cuantificadas de Bohr. Éste, en su modelo del átomo, todo ocurre como si estuviera regido por las prescripciones de un enigmático gobierno microcósmico, que permitía a los electrones trayectorias cuantificadas, y les prohibía las demás. Era obvio que ello correspondía a una cuestión que quedaba abierta por su carencia de precisión, pese a que era un postulado. Pero entonces la humanidad contaba con una brillante mente como la de Broglie, ya que éste con su ponencia logró aclarar la curiosa selección de las imprecisas órbitas de Bohr. Siendo la órbita del electrón estable, su onda asociada también lo será: será una onda estacionaria, comparable a las ondas sonoras de un tubo o las de las cuerdas de una guitarra. Pero para que se pueda dar el hecho de que las ondas puedan continuar estacionarias, es necesario que ellas se cierren, volviéndose sobre sí mismas. En consecuencia, la trayectoria de una onda es invariable, si su perímetro es igual a un múltiplo entero de la longitud de onda, permitiendo a la onda asociada al electrón encontrarse después de cada recorrido en la misma fase. Sobre todas las otras trayectorias la onda no podría subsistir, sus fases discordantes la destruirían. Ahora bien, las únicas trayectorias que responden a la condición de la onda estacionaria, las únicas en las cuales las ondas pueden conservarse, son exactamente las órbitas, permitidas del modelo atómico de Bohr. Así la mecánica ondulatoria proporciona la llave de la curiosa selección de las órbitas en el átomo. El postulado de Bohr deja de ser arbitrario y se convierte, con de Broglie, en una exigencia lógica, impuesta al electrón por el carácter estacionario de su onda asociada. Ahora bien, según esa idea imperativa de De Broglie, la razón por la cual la materia permite la coexistencia de esos dos aparentemente irreductibles fenómenos es precisamente la condición estacionaria de las ondas de la materia: lo estático de la partícula y lo vibratorio de la onda. Con esta interpretación que hace de Broglie para el átomo, es obvio que se aleja más que Bohr, de la la mini descripción planetaria de la idea atómica de Rutherford. Todo ocurre como si el electrón se encontrara, no en un punto determinado de su trayectoria, sino simultáneamente sobre toda la circunferencia de su órbita. Su circulación en tomo del núcleo deja de asimilarse a la traslación de un planeta en torno al Sol, asemejándose más bien a la rotación de un anillo simétrico que, a pesar de su movimiento, continúa ocupando el mismo lugar en el espacio. En otro aspecto, las ondas electrónicas se comportan como minúsculos circuitos oscilantes, acordados sobre longitudes de ondas determinadas. Por otra parte, al igual que el electrón, otros constituyentes de la materia, protones y neutrones, están también acompañados en sus movimientos por ondas. La onda integra –según el pensamiento de De Broglie –cada partícula material. La estructura particulada es el atributo evidentemente manifiesto de la materia; junto a él cohabita su otro carácter no menos fundamental, poco más escondido: su ser ondulatorio, que sólo se revela en ciertos momentos. Siempre que el movimiento se asocia a la materia, la onda lo hace también. Puesto que no existe en el universo un punto material en reposo, en todas las partes donde hay materia hay ondas. Los dos aspectos, particulados y vibratorios, son indispensables, siendo su ligamento el cuanto elemental de Planck; no obstante, no es posible hallarlos juntos. Si la naturaleza exhibe en un fenómeno dado uno de sus aspectos, esconde rigurosamente el otro.
Ahora, analicemos, en función matemática, lo que hemos expuesto en los párrafos precedentes . Las ideas que hemos descrito sucintamente de De Broglie, sobre el hecho de haber convertido la cuantificación de las órbitas en el átomo en una consecuencia perentoria de la naturaleza ondulatoria del electrón, fue, sin duda, un éxito alentador que cimentó el origen de la mecánica ondulatoria. Recordemos ahora, las relaciones de Planck – Einstein para las ondas de los fotones de la luz ( energía / momento / frecuencia) :
Estas relaciones incorporan la esencia de la dualidad onda – partícula, al relacionar la frecuencia y longitud de las ondas con la energía y momento de partículas como un fotón. Ahora bien, dado que la luz también tiene una calidad de partícula, no puede ser sorprendente que las partículas puedan tener también características ondulatorias. Después de todo, podemos pensar en un fotón como partícula con masa cero. En la tesis doctoral de De Broglie, que mencionamos al principio, deja de manifiesto su convicción que si uno podía asociar características ondulatorias a las partículas, entonces la cuantización postulada por Bohr en su descripción de los espectros atómicos puede ser justificada. De Broglie previó las
relaciones para las partículas que son formalmente muy similares a las expresadas arriba para la luz:
Por supuesto que entre ambas expresiones hay una diferencia significativa. La relación entre la energía y el momento E = cp, es mucho más complicada para las partículas que para el fotón. El aspecto más revolucionario de la hipótesis de De Broglie es probablemente la primera de estas relaciones, en la cual una partícula de momento p se halla asociada una onda plana de longitud
donde h es la constante de Planck. Podemos también expresar esta relación en términos del número de onda k, que es el número de los radianes con los cuales la fase de la onda se mueve en un metro:
De Broglie , para llegar a la conclusión de que el movimiento de una partícula de momento p está asociada una onda plana de longitud, partió generalizando en su hipótesis el caso de una partícula que se mueve en un campo de fuerza constante, producido por una función potencial F ( xyz ). Lo anterior, lo llevó a suponer que la propagación de la onda corresponde a un índice de refracción que varía de un punto a otro en el espacio, de acuerdo con la ecuación: [01]
o bien, a una primera aproximación, siempre que las correcciones introducidas por la teoría de la relatividad sean mínimas: [02]
en que E = W – m0 c2. La energía constante W de la partícula se encuentra asociada con la frecuencia constante v de la onda, por medio de la relación:
mientras que la longitud de onda l, que varía de un punto a otro del campo de fuerza, se encuentra asociada con el momento p igualmente variable, por medio de la siguiente relación:
Así se demuestra que la velocidad de grupo de las ondas es igual a la velocidad de la partícula. El paralelismo establecido de esta manera entre la partícula y la onda, nos permite identificar el principio de Fermat para las ondas con el principio de mínima acción para las partículas (para campos constantes). El principio de Fermat establece que el rayo, en el sentido óptico, que pasa a través de dos puntos A y B en un medio que tiene un índice n ( xyz ) que varía de un punto a otro, pero que es constante respecto al tiempo, es tal que la integral:
tomada a lo largo de ese rayo, es extrema. Por otra parte, el principio de Maupertuis de la mínima acción, nos dice lo siguiente: la trayectoria de una partícula que pasa a través de dos puntos A y B en el espacio, es tal que la integral:
tomada a lo largo de la trayectoria, es extrema; suponiendo, desde luego, que solamente se consideran los movimientos correspondientes a un valor determinado de la energía. Con base en las relaciones establecidas anteriormente entre los parámetros mecánicos y los ondulatorios, tenemos: [03]
puesto que W es constante en un campo constante. De lo cual se desprende que los principios de Fermat y de Maupertuis son, recíprocamente, la traducción respectiva del otro; y que las trayectorias posibles de la partícula son idénticas a los rayos posibles de su onda. Dentro del formulismo, los conceptos mencionados conducen a la factibilidad de interpretar las condiciones de estabilidad para los movimientos atómicos periódicos. De esa manera, las condiciones de la estabilidad cuántica surgen como análogos a los fenómenos de resonancia; y la aparición de los enteros resulta como un hecho natural. No obstante, esta hipótesis, que en la actualidad es generalmente aceptada, no interpreta totalmente nuestra experiencia diaria: las partículas masivas no oscilan como una onda. Veamos por qué. Cuando intentamos estimar la longitud de onda de De Broglie de un objeto con una masa de 10 -6 g y una velocidad de 10 -6 m/s ( obsérvese que se trata de una pequeñísima partícula de movimiento lento y de momento pequeño), contamos con que la longitud de onda de de Broglie pudiera ser substancial. ¡En el hecho, dado que h = 6.6x10-34 J s, encontramos que la longitud de onda de De Broglie es 6.6x10 -19 m! O sea, su orden de magnitud es cuatro veces más pequeño que el diámetro de un típico núcleo atómico (no de un átomo, que es 6 órdenes de magnitud mayor). El valor de h es justamente tan pequeño que cualquier objeto más grande que un átomo tendrá siempre una longitud de onda de De Broglie extremadamente minúscula. Es difícil, de hecho, detectar una longitud de onda tan pequeña. Distinto es el caso cuando hablamos de electrones de baja energía. Por ejemplo, un electrón con una energía de 13,6 eV, que concierne a la de enlace de n = 1 electrón en el hidrógeno, y corresponde a la energía típica de los electrones en los átomos. Esta energía es pequeña comparada con la masa del resto del electrón, así que podemos calcular el momento clásico: [04]
en que substituyendo K = 13.6 eV, encontramos una longitud de onda de De Broglie de 0,33 nm = 3,3 ángstrom. Se trata de una cifra pequeña, pero en relación a las dimensiones atómicas es detectable y medible.
Por otra parte, las fórmulas generales que establecen el paralelismo entre las ondas y las partículas pueden ser aplicadas a los corpúsculos de la luz, bajo el supuesto de que en tal caso la masa en reposo m0 es infinitamente pequeña. En realidad, si para un valor determinado de la energía W, se hace que m0 tienda a cero, entonces se encuentra que v y V tienden a c y, en el límite, se obtienen las dos fórmulas sobre las cuales Einstein basó su teoría del cuanto de luz:
Las Ondas de De Broglie en Átomos Demos por hecho que la hipótesis de De Broglie es correcta, y que el electrón que orbita alrededor del núcleo de los átomos de hidrógeno sigue la relación que se propone en la hipótesis. Ahora, para poder contar con un estado inmóvil , necesitamos obtener las misma condiciones de cuantización que logramos para la luz. Pero aquí, nos encontramos con la diferencia de la no linealidad del electrón en un átomo, ya que se encuentra en una órbita «circular». En consecuencia, requerimos un número integral de las longitudes de onda de De Broglie en una órbita: [05]
o también: [06]
La ecuación [05] corresponde, para una órbita circular, simplemente al momento angular. Así, se recupera en la relación de De Broglie la hipótesis de cuantización de Bohr. Las estimaciones que se obtienen en el desarrollo de las ecuaciones [05] y [06], son más teóricas que prácticas. No obstante, sin embargo, es posible que sean concernientes a la realidad. La naturaleza de la onda del electrón se debe relacionar con la cuantización de los espectros atómicos. Se trata de una cuestión que todavía se encuentra abierta, pero los avances que se han realizado en los últimos años han sido significativos.
Tales son las ideas principales de la hipótesis de Louis de Broglie. Con ellas, se demuestra que es posible establecer una correspondencia entre las ondas y los corpúsculos, tal que las leyes de la mecánica correspondan a las leyes de la óptica geométrica. Sin embargo, como es sabido, en la teoría ondulatoria la óptica geométrica es solamente una aproximación; ésta tiene sus límites de validez y, en particular, cuando están implicados los fenómenos de interferencia y de difracción, resulta ser enteramente inadecuada cuando se trata de partículas clásicas. No obstante lo anterior, Existen pruebas directas y significativas del comportamiento ondulatorio de las partículas del mierocosmos como el electrón. Se basan en el fenómeno de interferencia característico de las ondas y ausente en las partículas clásicas. Uno de los experimentos más directos y conclusivos fue el de Davisson y Germer en el año 1927. Aunque realizado después de la creación de la mecánica cuántica, permanece hasta hoy día como el indicador más claro y profundo de las manifestaciones cuánticas en el movimiento de las partículas.
Esquema del experimento de Davisson y Germer. Davisson y Germer estudiaron la reflexión de un haz de electrones incidente sobre un monocristal, siguiendo una idea usada anteriormente para la investigación de la naturaleza de los rayos X. Un haz de electrones procedente de un filamento calentado se acelera en un potencial electrostático e incide sobre el monocristal bajo cierto ángulo. Se observan los electrones reflejados mediante un detector cuya posición puede ser variada. También se puede variar el potencial acelerador y cambiar así la velocidad de los electrones. Los electrones experimentan reflexiones en los diversos planos paralelos de la red cristalina. La figura que insertamos a continuación del párrafo explica lo que ocurre al considerar sólo dos de estos planos. El haz que sale del monocristal se compone de dos haces reflejados por los dos planos diferentes (en realidad serían muchos). Los electrones recorren caminos distintos en los dos haces y la diferencia de camino es I = I1 + I2 (véase la figura de abajo). De la geometría de la figura hallamos I2 = d / cos , I1 = I2 cos 2, donde d es la distancia entre los planos y de ahí I = 2d cos . Si los haces fueran dos ondas planas, como sucede con los rayos X, habría interferencia entre ellas con un máximo de intensidad correspondiente a una diferencia de fase múltiplo de 2 , o sea, para [07]
donde es la longitud de onda y n es un entero. La ecuación [07] es la condición de Bragg para los máximos de rayos X reflejados por un monocristal. Cambiando el ángulo se puede pasar de un máximo a otro y así medir la longitud de onda a partir de la diferencia en ángulo y d. Por otra parte, con partículas no se esperaría ver interferencia alguna ni, por lo tanto, máximos ni mínimos.
La interferencia de dos haces reflejados en dos planos de una red cristalina. El experimento realizado por Davisson y Germer produjo resultados inequívocos: los electrones produjeron una interferencia clara con máximos según la fórmula de Bragg [07]. La longitud de onda de electrones con velocidades diferentes se mostró también de acuerdo con el postulado de De Broglie.
Principio de Incertidumbre Introducción. Considero de mucha importancia este principio, debido a la naturaleza del mismo, en este trabajo de describe de la manera más practica todas las características del mismo, aunque a veces se piense que no es necesario, puede servir en muchas ocasiones para delatar algo, o simplemente para justificarlo. El Principio de Incertidumbre de Heisenberg es sin duda algunos unos de los enigmas de la historia, debido a que este menciona que "Lo que estudias, lo cambias", entonces, si esto es cierto, ¿Qué tanto a cambiado la realidad de lo que nos narra la historia?. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE Heisenberg había presentado su propio modelo de átomo renunciando a todo intento de describir el átomo como un compuesto de partículas y ondas. Pensó que estaba condenado al fracaso cualquier intento de establecer analogías entre la estructura atómica y la estructura del mundo. Prefirió describir los niveles de energía u órbitas de electrones en términos numéricos puros, sin la menor traza de esquemas. Como quiera que usó un artificio matemático denominado " matriz" para manipular sus números, el sistema se denominó "mecánica de matriz". Heisenberg recibió el premio Nobel de Física en 1932 por sus aportaciones a la mecánica ondulatoria de Schrödinger, pues esta última pareció tan útil como las abstracciones de Heisenberg, y siempre es difícil, incluso para un físico, desistir de representar gráficamente las propias ideas. Una vez presentada la mecánica matriz (para dar otro salto atrás en el tiempo) Heisenberg pasó a considerar un segundo problema: cómo describir la posición de la partícula. ¿Cuál es el procedimiento indicado para determinar dónde está una partícula? La respuesta obvia es ésta: observarla. Pues bien, imaginemos un microscopio que pueda hacer visible un electrón. Si lo queremos ver debemos proyectar una luz o alguna especie de radiación apropiada sobre él. Pero un electrón es tan pequeño, que bastaría un solo fotón de luz para hacerle cambiar de posición apenas lo tocara. Y en el preciso instante de medir su posición, alteraríamos ésta. Aquí nuestro artificio medidor es por lo menos tan grande como el objeto que medimos; y no existe ningún agente medidor más pequeño que el electrón. En consecuencia, nuestra medición debe surtir, sin duda, un efecto nada desdeñable, un efecto más bien decisivo en el objeto medido. Podríamos detener el electrón y determinar así su posición en un momento dado. Pero si lo hiciéramos, no sabríamos cuál es su movimiento ni su velocidad. Por otra
parte, podríamos gobernar su velocidad, pero entonces no podríamos fijar su posición en un momento dado. Heisenberg demostró que no nos será posible idear un método para localizar la posición de la partícula subatómica mientras no estemos dispuestos a aceptar la incertidumbre absoluta respecto a su posición exacta. Es un imposible calcular ambos datos con exactitud al mismo tiempo. Siendo así, no podrá haber una ausencia completa de energía ni en el cero absoluto siquiera. Si la energía alcanzara el punto cero y las partículas quedaran totalmente inmóviles, sólo sería necesario determinar su posición, puesto que la velocidad equivaldría a cero. Por tanto, sería de esperar que subsistiera alguna "energía residual del punto cero", incluso en el cero absoluto, para mantener las partículas en movimiento y también, por así decirlo, nuestra incertidumbre. Esa energía "punto cero" es lo que no se puede eliminar, lo que basta para mantener liquido el helio incluso en el cero absoluto.
En 1930, Einstein demostró que el principio de incertidumbre (donde se afirma la imposibilidad de reducir el error en la posición sin incrementar el error en el momento) implicaba también la imposibilidad de reducir el error en la medición de energía sin acrecentar la incertidumbre del tiempo durante el cual se toma la medida. Él creyó poder utilizar esta tesis como trampolín para refutar el principio de incertidumbre, pero Bohr procedió a demostrar que la refutación tentativa de Einstein era errónea. A decir verdad, la versión de la incertidumbre, según Einstein, resultó ser muy útil, pues significó que en un proceso subatómico se podía violar durante breves lapsos la ley sobre conservación de energía siempre y cuando se hiciese volver todo al estado de conservación cuando concluyesen esos períodos: cuanto mayor sea la desviación de la conservación, tanto más breves serán los intervalos de tiempo tolerables. Yukawa aprovechó esta noción para elaborar su teoría de los piones. Incluso posibilitó la elucidación de ciertos fenómenos subatómicos presuponiendo que las partículas nacían de la nada como un reto a la energía de conservación, pero se extinguían antes del tiempo asignado a su detección, por lo cual eran sólo "partículas virtuales". Hacia fines de la década 1940-1950, tres hombres elaboraron la teoría sobre esas partículas virtuales: fueron los físicos norteamericanos Julian Schwinger y Richard Phillips Feynman y el físico japonés Sin-itiro Tomonaga. Para recompensar ese trabajo, se les concedió a los tres el premio Nobel de Física en 1965. A partir de 1976 se han producido especulaciones acerca de que el Universo comenzó con una pequeña pero muy masiva partícula virtual que se expandió con extrema rapidez y que aún sigue existiendo. Según este punto de vista, el Universo se formó de la Nada y podemos preguntarnos acerca de la posibilidad de que haya un número infinito de Universos que se formen (y llegado el momento acaben) en un volumen infinito de Nada. El "principio de incertidumbre" afectó profundamente al pensamiento de los físicos y los filósofos. Ejerció una influencia directa sobre la cuestión filosófica de "casualidad" (es decir, la relación de causa y efecto).
Pero sus implicaciones para ciencia no son las que se suponen por lo común. Se lee a menudo que el principio de incertidumbre anula toda certeza acerca de la naturaleza y muestra que, al fin y al cabo, la ciencia no sabe ni sabrá nunca hacia dónde se dirige, que el conocimiento científico está a merced de los caprichos imprevisibles de un Universo donde el efecto no sigue necesariamente a la causa. Tanto si esta interpretación es válida desde el ángulo visual filosófico como si no, el principio de incertidumbre no ha conmovido la actitud del científico ante la investigación. Si, por ejemplo, no se puede predecir con certeza el comportamiento de las moléculas individuales en un gas, también es cierto que las moléculas suelen acatar ciertas leyes, y su conducta es previsible sobre una base estadística, tal como las compañías aseguradoras calculan con índices de mortalidad fiables, aunque sea imposible predecir cuándo morirá un individuo determinado.
Ciertamente, en muchas observaciones científicas, la incertidumbre es tan insignificante comparada con la escala correspondiente de medidas, que se la puede descartar para todos los propósitos prácticos. Uno puede determinar simultáneamente la posición y el movimiento de una estrella, o un planeta, o una bola de billar, e incluso un grano de arena con exactitud absolutamente satisfactoria. Respecto a la incertidumbre entre las propias partículas subatómicas, cabe decir que no representa un obstáculo, sino una verdadera ayuda para los físicos. Se la ha empleado para esclarecer hechos sobre la radiactividad, sobre la absorción de partículas subatómicas por los núcleos, así como otros muchos acontecimientos subatómicos, con mucha más racionabilidad de lo que hubiera sido posible sin el principio de incertidumbre. El principio de incertidumbre significa que el Universo es más complejo de lo que se suponía, pero no irracional. En la búsqueda de una estructura que fuera compatible con la mecánica cuántica Werner Heisenberg descubrió, cuando intentaba hallarla, el «principio de incertidumbre», principio que revelaba una característica distintiva de la mecánica cuántica que no existía en la mecánica newtoniana. Según el principio de incertidumbre, ciertos pares de variables físicas, como la posición y el momento (masa por velocidad) de una partícula, no pueden calcularse simultáneamente con la precisión que se quiera. Así, si repetimos el cálculo de la posición y el momento de una partícula cuántica determinada (por ejemplo, un electrón), nos encontramos con que dichos cálculos fluctúan en torno a valores medíos. Estas fluctuaciones reflejan, pues, nuestra incertidumbre en la determinación de la posición y el momento. Según el principio de incertidumbre, el producto de esas incertidumbres en los cálculos no puede reducirse a cero. Si el electrón obedeciese las leyes de la mecánica newtoniana, las incertidumbres podrían reducirse a cero y la posición y el momento del electrón podrían determinarse con toda precisión.
Pero la mecánica cuántica, a diferencia de la newtoniana, sólo nos permite conocer una distribución de la probabilidad de esos cálculos, es decir, es intrínsecamente estadística. En síntesis, se puede describir que el principio de incertidumbre postula que en la mecánica cuántica es imposible conocer exactamente, en un instante dado, valores de dos variables canónicas conjugadas (posiciónimpulso, energía-tiempo, …, etc.) de forma que una medición precisa de una de ellas implica una total indeterminación en el valor de la otra. Matemáticamente, se expresa para la posición y el impulso en la siguiente forma: xy h/2 Donde x, incertidumbre en la medida de la posición;p, incertidumbre en la medida del impulso; para la energía, E, y el tiempo, t, se tiene E t h/2 ; en ambas relaciones el límite de precisión posible viene dado por la constante de Planck, h.
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Una consecuencia ineludible del carácter dual de la materia es el principio de incertidumbre o de indeterminación propuesto por el físico alemán Werner Heisenberg en 1927. Este principio se refiere a la exactitud con que podemos hacer mediciones. Consideramos la pregunta: ¿no sería posible para un electrón y observarlo?. Vamos a suponer que disponemos de un aparato que puede " ver " a los electrones. Para " ver " un electrón necesitamos iluminarlo con " luz ". No podemos usar luz ordinaria porque su longitud de ondas es muchísimas veces mayor que el electrón y este no es dispersaría o reflejaría. Tendremos entonces que usar " luz " de una longitud de ondas muy pequeñas, o lo que es lo mismo, fotones de energía muy alta que al ser dispersados por electrones nos proporcionan una imagen de él. Pero he aquí que al hacer incidir un fotón muy energético sobre el electrón estamos comunicados a este un momento lineal muy grande, que lo perturba demasiado y lo hace cambiar del estado en que se encontraba. Nos enfrentamos como la imposibilidad de observar al electrón sin perturbarlo. Podemos reducir la magnitud de la perturbación disminuyendo la energía de fotones, pero entonces la longitud de onda de esto se hace mayor y tendremos paquetes de ondas menos localizadas; esto disminuye la precisión con la que puede conocerse la posición del electrón. Recíprocamente, si queremos aumentar la precisión en la determinación de la posición del electrón, necesitamos más paquetes más <
> (menores longitudes de ondas) lo cual implica fotones más energéticos y más perturbados para el electrón. Tenemos así que no podemos determinar simultáneamente la posición y la velocidad (o momento lineal) del electrón con precisión tan buena como queramos. Y no hay forma de vencer esta dificultad que la naturaleza nos presenta. Razonamientos como este llevaron a Heisenberg a enunciar su famoso principio <
posición de una partícula y
es la incertidumbre o error en la
determinación de su momento lineal, entonces necesariamente: (1) Si (1) es decir, aumentar la precisión en el conocimiento de la posición aumenta la incertidumbre del momento o de la velocidad. En tres dimensiones: (1) Podemos determinar con precisión y y
simultáneamente, es decir, tener (1) y (1)
arbitrariamente pequeños al mismo tiempo. Pero dos variables que se refieren al mismo eje. (x, (1)o bien y, (1) , etc.) Deben satisfacer las relaciones de incertidumbre. Estas variables se llaman conjugadas. Debido al valor tan pequeño de h la incertidumbre propia de las variables conjugadas no es importante en el mundo macroscópico. Sin embargo, el principio de la incertidumbre nos dice que la imposibilidad de medir con precisión absoluta no es imputable al observador, no se debe a su falta de habilidad para construir aparatos de medición más exactos, sino que está en la naturaleza de las cosas el no poder ser medidas con exactitud.
Estos resultados de la Física Moderna han tenido repercusiones importantes en nuestras concepciones del Universo y en general en nuestra filosofía. Otra forma importante del principio de incertidumbre es la siguiente: (1) que se obtiene de(1)simplemente recordando que (1) y que(1)Sustituyendo: (1) E y t son también variables conjugadas. Esta forma del principio nos dice que no podemos conocer simultáneamente la energía y el tiempo que dura un evento con precisión ARBITRARIA. O bien, que no podemos hacer una medición precisa de la energía en un tiempo ARBITRARIAMENTE corto. Hay otras propiedades de las partículas microscópicas que si pueden determinarse con precisión absoluta. Por ejemplo, el signo de su carga eléctrica. Como ilustración vamos algunos ejemplos. 1.- Para una molécula de hidrógeno la incertidumbre con la que se conoce su posición en un cierto experimento es del orden del diámetro de dicha molécula, aproximadamente (1) m. La incertidumbre en el momento lineal es entonces: (1) Si su velocidad es 2000 m/seg (velocidad que tendría a temperatura ambiente) y sabiendo que la masa es m= Kg, tenemos: (1) La incertidumbre relativa es entonces: (1) O sea que para esta molécula no puede determinarse el momento lineal con mejor exactitud que el 170% de su valor original.
En caso de una bala de 50 g. disparada a m/sec y cuya posición se conoce con un error de 1.0 mm: (1)y resulta entonces: (1) Este número es tan pequeño que prácticamente no existe incertidumbre. Nótese como ha influido la masa de la partícula en el resultado. 2.- Cuando un electrón en un átomo es excitado puede pasar a ocupar un nivel de mayor energía. Pero no pasa mucho tiempo antes que el electrón regrese a su estado inicial (o estado base). El tiempo que tarda el electrón en el estado excitado se llama tiempo de vida de ese estado excitado. Sea (1) , el tiempo de vida de un estado excitado. La incertidumbre en la determinación de la energía de ese estado es: (1) Esto se llama <> del estado excitado. NOTA: Las relaciones de incertidumbre a veces se dan en términos de(1), que se define como:(1) Por conveniencia en los cálculos. Así, a veces usamos (1)en vez de(1) . La discrepancia por el factor (1) entre una expresión y otra no es fundamental.
- Supuesta demostración El hecho de que cada partícula lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad. Este principio fué enunciado por W. Heisenberg en 1927.
Es natural pensar que si una partícula está localizada, debemos poder asociar con ésta un paquete de ondas más o menos bien localizado.
Un paquete de ondas se construye mediante la superposición de un número infinito de ondas armónicas de diferentes frecuencias. En un instante de tiempo dado, la función de onda asociada con un paquete de ondas está dado por (1) Donde k representa el número de onda (1) y donde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o número de ondas) que varían desde cero a mas infinito ponderadas mediante el factor g(k). El momento de la partícula y el número de ondas están relacionados ya que (1) de lo cual se deduce que (1)
Queda claro que para localizar una partícula es necesario sumar todas
Las contribuciones de las ondas cuyo número de onda varía entre cero e infinito y por lo tanto el momento (1)
También varía entre cero e infinito. Es decir que está completamente indeterminado.
Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes tipos de paquetes de onda y su transformada de Fourier que nos dice como están distribuidas las contribuciones de las ondas con número de ondas k dentro del paquete.
Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior
En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el
espacio x, tiene contribuciones prácticamente iguales de todas las ondas
con número de ondas k.
En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del paquete de ondas, también es posible definir el número de ondas (o el momento) de la partícula.
En el último caso vemos que para definir bien el momento (1)de la partícula, entonces su posición queda completamente indefinida. Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas tanto en el espacio normal (1) como en el espacio de momentos (1)
El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en la precisión con el cual podemos determinar al mismo tiempo la posición y el momento de una partícula.
La expresión matemática que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg es (1) Si queremos determinar con total precisión la posición: (1)
De la desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos entonces que (1) Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita. (1) Para ver las fórmulas seleccione la opción "Descargar" del menú superior
