GRONDMECHANICA prof. dr. ir. F. De Smedt
GRONDMECHANICA Cursusnota's - oktober 2007
prof. dr. ir. F. De Smedt
Vakgroep Hydrologie en Waterbouwkunde Faculteit Toegepaste Wetenschappen Vrije Universiteit Brussel Pleinlaan 2, 1050 Brussel Bureau T120 - tel. 02/629.35.47 Email:
[email protected] http://homepages.vub.ac.be/~fdesmedt/ Secretariaat T115 tel. 02/629.30.21 fax. 02/629.30.22 Email:
[email protected]
-2-
Fundering van tempels De funderingssleuven voor deze bouwwerken moeten vanaf de vaste bodem worden uitgegraven, als deze te vinden is, en zo diep in de vaste bodem worden ingegraven als voor de omvang van het werk vereist lijkt. Het geheel van de funderingssleuven moet met zo compact mogelijk muurwerk worden opgevuld. Boven de grond moeten onder de zuilen muren worden opgetrokken, die de helft dikker dan de zuilen zullen zijn, zodat de onderbouw sterker is dan de bovenbouw. Stereobates worden deze genoemd, want ze vangen het gewicht op. De uitstekende delen van de zuilbases mogen niet buiten de stevige fundering reiken; zo moet ook boven deze muren de dikte op dezelfde wijze worden aangehouden. Om de muren goed van elkaar te houden moet men de tussenruimten overwelven of stevig opvullen met hard aangestampte grond. Als daarentegen geen vaste bodem wordt gevonden, maar de grond van het bouwterrein tot in de diepte rul is of drassig, dan moet men die plek afgraven, helemaal leegmaken en met gezengde palen van wilgen-, olijven- of eikenhout de bodem verstevigen; dan een zo dicht mogelijke palissade met heimachines de grond indrijven. Vervolgens worden de open ruimten tussen de palen opgevuld met houtskool en tenslotte worden de funderingssleuven met uiterst compact muurwerk gevuld. Vitruvius, Handboek bouwkunde, 1e eeuw voor Christus (vertaald door T. Peters, 1997)
-3-
Inhoudslijst 1
INLEIDING ................................................................................................................................................. 4 1.1 1.2 1.3 1.4
2
EIGENSCHAPPEN EN KENMERKEN VAN GRONDEN.................................................................. 10 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7
3
INLEIDING ........................................................................................................................................... 87 BEPALING VAN HET DRAAGVERMOGEN VAN EEN FUNDERING OP STAAL ............................................. 90 INVLOED VAN DE GELAAGDHEID......................................................................................................... 95 AANVULLENDE BESCHOUWINGEN BETREFFENDE FUNDERING OP STAAL ............................................. 98 DRAAGVERMOGEN VAN PAALFUNDERINGEN .................................................................................... 101 DIEPSONDERING ............................................................................................................................... 108
TALUDS EN KEERSTRUCTUREN..................................................................................................... 113 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8
7
GEOSTATISCHE SPANNINGEN .............................................................................................................. 64 SPANNINGEN IN DE GROND TEN GEVOLGE VAN VERTICALE BELASTINGEN .......................................... 66 BEREKENING VAN ZETTINGEN ............................................................................................................ 74 CONSOLIDATIE.................................................................................................................................... 78
DRAAGVERMOGEN .............................................................................................................................. 87 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
6
SPANNINGEN EN VERVORMINGEN ....................................................................................................... 28 DE CIRKEL VAN MOHR........................................................................................................................ 29 EFFECTIEVE SPANNINGEN EN WATERDRUK ......................................................................................... 32 GEDRAG VAN EEN GROND BIJ EEN SPANNINGSTOENAME..................................................................... 36 DE ELASTICITEITSBENADERING .......................................................................................................... 39 EENDIMENSIONALE SAMENDRUKKING ................................................................................................ 42 OVERGECONSOLIDEERDE GRONDEN ................................................................................................... 47 SCHUIFSTERKTE VAN EEN GROND ....................................................................................................... 49 DE TRIAXIAALPROEF........................................................................................................................... 56
VERTICALE SPANNINGEN EN VERVORMINGEN......................................................................... 64 4.1 4.2 4.3 4.4
5
MINERALOGISCHE SAMENSTELLING ................................................................................................... 10 TEXTUUR ............................................................................................................................................ 13 GRANULOMETRIE ............................................................................................................................... 14 BESTANDDELEN .................................................................................................................................. 16 DICHTHEID EN VERDICHTING .............................................................................................................. 18 CONSISTENTIE .................................................................................................................................... 21 CLASSIFICATIE .................................................................................................................................... 25
SPANNINGEN EN VERVORMINGEN ................................................................................................. 28 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9
4
GEOTECHNIEK EN GRONDMECHANICA .................................................................................................. 4 EIGENSCHAPPEN VAN GRONDEN ........................................................................................................... 5 HET VAKGEBIED ................................................................................................................................... 6 GEOTECHNISCHE ONTWERPMETHODEN................................................................................................. 8
ONEINDIGE TALUDS .......................................................................................................................... 113 EINDIGE TALUDS ............................................................................................................................... 115 KEERSTRUCTUREN ............................................................................................................................ 124 HORIZONTALE GRONDDRUK ............................................................................................................. 127 KEERMUREN ..................................................................................................................................... 129 WANDEN .......................................................................................................................................... 133 GRONDANKERS ................................................................................................................................. 137 INVLOED VAN GRONDWATER ............................................................................................................ 139
GRONDWATER ..................................................................................................................................... 141 7.1 7.2 7.3 7.4
BASISBEGRIPPEN............................................................................................................................... 141 GRONDWATERSTROMING .................................................................................................................. 144 GRONDWATERBEMALING ................................................................................................................. 151 GRONDWATERDRAINERING .............................................................................................................. 156
REFERENTIES ................................................................................................................................................ 159
-4-
1 INLEIDING
1.1 Geotechniek en grondmechanica Geotechniek is de wetenschap die krachten en vervormingen bestudeert in de bodem. De bodem kan bestaat uit vast materiaal, rots genoemd, of los materiaal, wat aangeduid word als grond. Deze twee types van materialen hebben totaal verschillende mechanische eigenschappen, zodat de geotechniek opgesplitst wordt in rotsmechanica en grondmechanica. Vermits in Vlaanderen onder het grondoppervlak alleen maar grondlagen voorkomen en de rotsen zich op grotere diepte bevinden, is een goede kennis van de grondmechanica erg belangrijk in de bouwtechniek. De interactie tussen bouwwerken en grondlagen vormen dan ook het belangrijkste onderwerp van de grondmechanica. Problemen die hierbij aan bod komen zijn bijvoorbeeld het draagvermogen en de zetting van funderingen, de stabiliteit van uitgravingen, ophogingen of taluds, het ontwerpen van grondkerende constructies, zoals keermuren en damwanden, de stabiliteit en doorlatendheid van waterkerende constructies, zoals dijken en stuwdammen, en het dimensioneren van grondwaterbemalingen (Fig. 1.1). Ondergrondse constructies worden meer en meer belangrijk, vooral in de stedelijke gebieden, zoals tunnels, ondergrondse parkings, leidingen, enz.
A
B
C
D
Fig. 1.1 Voorbeelden van geotechnische problemen: (a) draagvermogen van een fundering, (b) stabiliteit van een talud, (c) grondkering d.m.v. een wand, en (d) grondwaterstroming door en onder een dijk.
-5-
1.2 Eigenschappen van gronden De grondmechanica heeft zich ontwikkeld tot een zelfstandige wetenschap omdat grond een aantal bijzondere eigenschappen bezit, zoals zijn niet-lineair en plastisch gedrag, dit in tegenstelling tot andere materialen waarmee de bouwkundig ingenieur te maken heeft. Het verband tussen belastingen en vervormingen vertoont een aantal bijzondere aspecten, die van bijzonder belang zijn voor de stabiliteit van bouwwerken (Fig. 1.2). Bijvoorbeeld bij zuivere samendrukking, d.w.z. verandering in volume zonder verandering van vorm, wordt grond stijver bij een toenemende belasting. Dit is een gevolg van de losse structuur van de grondkorrels. Bij het aanbrengen van een belasting treden vervormingen op, waarbij de ruimte tussen de grondkorrels samengedrukt wordt. Bij toenemende belasting wordt de open ruimte tussen de korrels steeds kleiner, waardoor de grond een vastere structuur verkrijgt en stijver wordt. De relatie tussen belasting en vervorming is dus niet-lineair. Bovendien zal de grond niet tot zijn originele toestand terugkeren na het wegnemen van de belasting; grond is dus niet elastisch maar wel plastisch. Daarentegen bij zuivere afschuiving, d.w.z. vervorming zonder verandering in volume, wordt grond zwakker en meer vervormbaar bij toenemende belasting. Hierdoor kan een grond gaan schuiven en kan er een breuk in de grond ontstaan. Ook hier is de relatie tussen belasting en vervorming niet-lineair en plastisch. De aard van de belastingen en hun effect op de vervorming van de grond in functie van de bodemeigenschappen zijn dus belangrijke factoren die de stabiliteit van bouwwerken in grote mate bepalen.
AFSCHUIVING
Belasting
Belasting
SAMENDRUKKING
Vervorming
Vervorming
A B Fig. 1.2 Relatie tussen belastingen en vervormingen in een grond: (a) bij zuivere samendrukking, en (b) bij zuivere afschuiving.
Grond bestaat uit verschillende materialen, elk met hun eigen kenmerkende eigenschappen, waardoor het materiaal een zeer complex gedrag vertoont. Bijvoorbeeld indien er lucht aanwezig is in de grond geeft dit aanleiding tot een grotere samendrukbaarheid. Water in de grond resulteert in drukken, die een gedeelte van de belastingen kunnen opnemen, maar ook aanleiding kunnen geven tot grotere vervormingen en een grote plasticiteit in geval van klei. Zo heeft het grondwater en voornamelijk de druk van het grondwater een belangrijke invloed op de stabiliteit van een grondlaag, waardoor dijken of taluds die jarenlang stand hebben gehouden plotseling bezwijken bij hevige regenval. Ook is er een belangrijke plasticiteit waar
-6te nemen in het gedrag van een grond. Samengedrukte gronden keren niet terug tot hun oorspronkelijke vorm wanneer de belastingen worden weggenomen, zodat de grondeigenschappen ook afhankelijk zijn van voorgaande belastingen en dit op een geologische tijdsbasis. Al deze fenomenen hebben tot gevolg dat de grondmechanica een zeer gespecialiseerd vakgebied is, waarvoor een goede kennis van de praktijk dikwijls van doorslaggevend belang is om catastrofes te vermijden. Grondmechanica komt dikwijls in het nieuws, meestal niet omwille van succesvolle verwezenlijkingen, maar meestal door spectaculaire mislukkingen, zoals de toren van Pisa, de verzakking van Venetië, barsten in gevels van gebouwen, het plotseling bezwijken van dijken, grondverschuivingen, modderstromen, enz.
1.3 Het vakgebied Verschillende onderzoekers hebben bijgedragen tot de ontwikkeling van de grondmechanica, waarvan de voornaamste zijn: • Charles Augustin Coulomb (1736-1806): de grootvader van de grondmechanica; een Franse genieofficier (Ingenieur du Roi), voornamelijk beroemd voor zijn bijdragen in de elektriciteit en het magnetisme, die echter ook in een publicatie van 1776 de basis heeft gelegd voor de berekening van gronddrukken en de stabiliteit van keermuren. • Henri Philibert Gaspart Darcy (1803-1858): een Frans ingenieur verantwoordelijk voor de watervoorziening van Dijon, die door zijn proeven op zandfilters voor het eerst de wetten van de grondwaterstroming heeft opgesteld. • William John Maquorn Rankine (1820-1872): een Schots ingenieur en professor, vooral beroemd voor zijn bijdrage in de thermodynamica, maar die ook de theorie van de grensspanningstoestanden heeft uitgewerkt, die van groot belang zijn bij geotechnische ontwerpen. • Karl von Terzaghi (1883-1963): de vader van de moderne grondmechanica; geboren in Praag en professor aan de Bogazici Universiteit (Istanbul) van 1916 tot 1922, waar hij zijn eerste proeven op grondmonsters verrichte met behulp van sigarendozen en een keukenweegschaal; daarna professor aan het Massachusetts Institute of Technology, V.S.; grondlegger van verschillende fundamentele begrippen en berekeningstechnieken in de grondmechanica, waaronder de bepaling van zettingen, consolidatie, schuifsterkte en stabiliteit van keermuren en taluds; hij kreeg een eredoctoraat van acht universiteiten in verschillende landen. • Arthur Casagrande (1902-1981): geboren in Oostenrijk en geïmmigreerd in 1926 naar de V.S., waar hij de assistent werd van Terzaghi en later professor aan de Universiteit van Harvard. Bekend voor zijn laboratoriumtechnieken voor onderzoek van gronden. • S. Keverling Buisman (1890-1944): grondlegger van de grondmechanica in Nederland en stichter van het laboratorium voor grondmechanica te Delft. • E. De Beer (?): professor aan de UGent en K.U.Leuven; grondlegger van de grondmechanica in België en stichter van het laboratorium voor grondmechanica te Zwijnaarde (Gent). • A.W. Skempton (1941): professor aan het Imperial College van de Universiteit van Londen; heeft vooral bijgedragen tot een betere kennis van de eigenschappen van kleigronden.
-7In Vlaanderen valt van overheidswege de grondmechanica onder de Afdeling Geotechniek, van het departement Leefmilieu en Infrastructuur van het Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, dat gevestigd is te Zwijnaarde, nabij Gent. De bevoegdheden van deze dienst omvatten: • uitvoeren van geotechnische proeven op het terrein om de aard, de opbouw en karakteristieken van grond te onderzoeken; • uitvoeren van metingen om vervormingen van de grond te bepalen, alsook van grond- en waterdrukken; • uitvoeren van laboratoriumproeven op grondmonsters om de karakteristieken van grond te bepalen; • geotechnische studies i.v.m. stabiliteit, vervormingen en waterstroming in en om constructies in contact met de grond; • het geven van adviezen betreffende de kwaliteit en het draagvermogen van de grond, de funderingstechniek en de milieu-geotechniek; • harmonisering en normering van geotechnische ontwerpmethodes en proefmethodes op nationaal en internationaal vlak. Er bestaan ook grondmechanische kaarten, die worden uitgegeven in de vorm van een atlas, bestaande uit gemiddeld een tiental kaarten met verklarende tekst. De kaarten zijn gedrukt op schaal 1/5.000 (1.000 ha) of 1/10.000 (4.000 ha). Het betreft alleen kaarten van de grote agglomeraties, zoals Brussel, Gent en Antwerpen. Elk dossier bevat volgende documenten: • een documentatiekaart met de ligging en de aard van interessante locaties, zoals boringen, sonderingen, ontsluitingen, enz.; • een kaart met de dikte van de aangevulde en vergraven gronden en hun verbreiding. • kaarten met de dikte of de top van de geologische lagen; • een kaart met de top van het substraat of van een referentiehorizont, waar de gegevens op de grondmechanische kaart eindigen, zijnde meestal op een diepte van 30 tot 50 m.; • een hydrogeologische kaart met gegevens betreffende het grondwaterpeil en de eigenschappen van de watervoerende lagen; • een grondmechanische kaart, welke een synthese is van voorgaande kaarten; • geologische doorsneden, die de geologische opbouw van het gekarteerd gebied verduidelijken; • een verklarende tekst met voor elk van de verschillende lagen een besprekingen van de oorsprong, de lithologie, de uitbreiding en de grondmechanische eigenschappen, waaronder in de mate van het mogelijke de uiterste grenzen voor de korrelverdeling, het volumegewicht, de plasticiteitsindex, het humus- en kalkgehalte, de samendrukkings- en ontlastingsconstanten en de doorlatendheid; Aldus kan men op de grondmechanische kaarten een groot aantal gegevens vinden, die van nut kunnen zijn bij de keuze van de plaats van infrastructuurwerken, het opmaken van een voorontwerp, het verzamelen van algemene inlichtingen en het nemen van voorzorgsmaatregelen. De grondmechanische kaarten zijn te koop bij de vakgroep Civiele Techniek, afdeling Grondmechanica, Rotsmechanica en Funderingstechniek van de Universiteit Gent. Het ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, departement Leefmilieu, Natuur en Energie, departement Mobiliteit en Openbare Werken en de Vlaamse Milieumaatschappij, onderhouden een digitale databank met geologische, geotechnische en hydrogeologische gegevens van de ondergrond in Vlaanderen. Deze Databank Ondergrond Vlaanderen (DOV)
-8heeft als doel alle beschikbare gegevens van de ondergrond van Vlaanderen te verzamelen, te beheren en toegankelijk te maken voor elke geïnteresseerde. Alle nuttige en correcte informatie inzake geotechniek, geologie en hydrogeologie wordt in de databank opgenomen en geografische gesitueerd, zoals sonderingen, boringen, grondwater-peilmetingen en kwaliteitsanalyses, pompputten, geologische kaarten, enz. De databank bevat nagenoeg honderdduizend boringen en verschillende tienduizenden sonderingen, gegevens van grondwatervergunningen en metingen van grondwaterpeilen en chemische samenstelling. Deze gegevens zijn vrij te raadplegen op website: http://dov.vlaanderen.be.
1.4 Geotechnische ontwerpmethoden Het ontwerpen van geotechnische constructies wordt bemoeilijkt door een aantal problemen: • grond is een natuurlijk materiaal waardoor het meestal sterk heterogene eigenschappen vertoont; • meestal is de kennis van de grondeigenschappen onvoldoende om een volledig inzicht in het gedrag te verkrijgen; • het gedrag van een grond onder invloed van een belasting is complex en dus niet eenvoudig te voorspellen; • veel geotechnische problemen zijn complex in de ruimte en tijd en moeten op een sterk vereenvoudigde wijze benaderd worden om rekenregels te kunnen toepassen; • er bestaat geen sluitende theorie betreffende het verband tussen spanningen en vervormingen in een grond. “Unfortunately, soils are made by nature and not by man, and the products of nature are always complex… As soon as we pass from steel and concrete to earth, the omnipotence of theory ceases to exist. Natural soil is never uniform. Its properties change from point to point while our knowledge of its properties are limited to those few spots at which the samples have been collected. In soil mechanics the accuracy of computed results never exceeds that of a crude estimate, and the principal function of theory consists in teaching us what and how to observe in the field.” Karl von Terzaghi (1883-1963) Traditioneel worden er in de grondmechanica een aantal reken- en ontwerpmethodes gebruikt die hun deugdelijkheid bewezen hebben in praktijk. Echter om de veiligheid te verzekeren en de grote onzekerheden betreffende eigenschappen en gedrag van de grond op te vangen, worden de bekomen waarden gedeeld door meestal aanzienlijke veiligheidscoëfficiënten. De gebruikte waarden voor de veiligheidscoëfficiënten zijn gebaseerd op ervaring en inzicht en verschillen per geval. De normen voor het toepassen van veiligheidscoëfficiënten zijn ook verschillend van land tot land. Dit zorgt ervoor dat het vakgebied weinig toegankelijk is voor niet ingewijden, de rekenregels soms vrij abstract lijken en de ontwerpmethodes mogelijk te conservatief zijn. Om hieraan tegemoet te komen wordt op Europees niveau een nieuwe reeks van rekenregels en normen opgesteld, de zogenaamde Eurocode 7. Deze gaat veel verder dan de traditionele methodes door onzekerheid op de belastingen, grondeigenschappen en rekenmethodes afzonderlijk in rekening te brengen door middel van partiële veiligheidscoëfficiënten. Ook moet elk ontwerp gecontroleerd worden voor drie gevallen:
-9• • •
controle van het statisch evenwicht door het in rekening brengen van bepaalde partiële veiligheidscoëfficiënten op de belastingen en grondkarakteristieken; controle van de stabiliteit bij ongunstige afwijking van de belastingen door het in rekening brengen van grote partiële veiligheidscoëfficiënten op de belastingen, maar niet op de grondkarakteristieken; controle van de stabiliteit bij ongunstige afwijking van de grondeigenschappen en rekenregels door het in rekening brengen van grote partiële veiligheidscoëfficiënten op de grondkarakteristieken, maar niet op de permanente belastingen (wel op de variabele).
Echter Eurocode 7 op zich is nog onvoldoende om tot een volledig en harmonieus stelsel van rekenregels te komen voor gans Europa, omdat normen sterk afhankelijk zijn van nationale gebruiken en wetgeving. Dit betekent dat de meeste van de methodes in Eurocode 7 nog verder uitgewerkt of ondersteund moeten worden met specifieke bepalingen voor elk land afzonderlijk. Er is echter nog volop discussie over de precieze status en invoering van zowel de Europese regelgeving als de nationale aanvullingen. Verwacht wordt dat er weldra een Belgische norm opgesteld zal worden op basis van Eurocode 7. Voorlopig blijf de traditionele methode van toepassing. Daarna zal er een gewenningsperiode komen waarbij naast de Eurocode ook de traditionele methode mag gebruikt worden. Pas hierna zal Eurocode 7 in voege treden.
- 10 -
2 EIGENSCHAPPEN EN KENMERKEN VAN GRONDEN
2.1 Mineralogische samenstelling Grondlagen bestaan uit een opeenstapeling van materialen van diverse oorsprong, ontstaan door verwering en erosie van gesteenten en transport en afzetting door water en wind. Deze materialen hebben een diverse mineralogische samenstelling. Tabel 2.1 geeft een overzicht van de meest voorkomende mineralen in de grond. Men onderscheidt primaire mineralen, die onveranderd zijn gebleven in de tijd, zoals kwarts en veldspaten, en secundaire mineralen, zoals kleimineralen, oxiden en hydroxiden, die ontstaan door chemische verwering van een oorspronkelijke moedermateriaal.
Tabel 2.1 De meest voorkomende mineralen in de grond. SOORT Silicaten
Fyllosilicaten (kleimineralen)
Carbonaten (kalk) Oxiden Hydroxiden
Sulfiden Sulfaten Chloriden
MINERAAL Kwarts Kaliveldspaat Albiet Anorthiet Olivijn Augiet Hoornblende Kaoliniet Montmorilloniet Illiet Glauconiet Calciet Dolomiet Hematiet Limoniet Goethiet Gibbsiet Pyriet Anhydriet Gips Haliet Sylviet
CHEMISCHE FORMULE SiO2 KAlSi3O8 NaAlSi3O8 CaAl2Si2O8 (Mg,Fe)2SiO4 (Ca,Mg,Fe,Al)2(Si,Al)2O6 NaAlCa2(Mg,Fe)4Al2Si6O22(OH)2 Al4(Si4O10)(OH)8 (Al,Mg)2(Si,Al)4O10(OH)2 K(Al,Fe,Mg)2(Si,Al)4O10(OH)2 (Na,K,Ca)(Al,Fe,Mg)(Si,Al)4O10(OH)2 CaCO3 CaMg(CO3)2 Fe2O3 2Fe2O3.H2O FeO(OH) Al(OH)3 FeS2 CaSO4 CaSO4.2H20 NaCl KCl
DENSITEIT (Mg/m3) 2,65 2,54 - 2,57 ±2,8 3,3 - 3,4 3,2 - 3,4 3,2 - 3,5 2,62 - 2,66 2,75 - 2,78 2,60 - 2,86 2,72 2,85 4,9-5,3 3,8 3,3 - 4,3 2,3 - 2,4 5,1 2,7 - 3,0 2,32 2,1 - 2,3 3,9 – 4,1
Silicaten, voornamelijk kwarts en in mindere mate veldspaten, vormen het hoofdbestanddeel van zand. Zandkorrels bestaan bijna voor 80 tot 90% uit kwarts. Kwarts is opgebouwd uit een drie-dimensionaal netwerk van SiO4-tetraëders, waardoor het mineraal een grote hardheid bezit en bijna niet verweerbaar en chemisch inert is. Dit verklaart de typische eigenschappen van een zandgrond, zoals een grote draagkracht, het gebrek aan cohesie tussen de korrels, een
- 11 grote doorlatendheid, enz. De mineralen of korrels hebben groottes in de orde van millimeters. Figuur 2.1 geeft een schematische voorstelling van de structuur van zandgrond.
Fig. 2.1 Schematische voorstelling van de structuur van zandgrond.
Kleigronden daarentegen vertonen andere kenmerken. Een gehalte aan klei van 30 tot 40% volstaat om aan een grond typische eigenschappen te geven, zoals cohesie, plasticiteit, zwelen krimpvermogen, en een slechte doorlatendheid. Kleimineralen bestaan uit lagen van SiO4tetraëders en Al(O,OH)6-octraëders. De orde van grootte van de mineralen is micrometer. De typische eigenschappen zijn een gevolg van de gelaagde structuur van de mineralen en de wijze waarop ze met elkaar verbonden zijn. Men kan algemeen drie soorten onderscheiden, zoals schematisch weergegeven in Fig. 2.2.
LEGENDE laag met SiO4-tetraëders
watermolecule
laag met Al(O,OH)6-octraëders
kation K+-ion
A
B
C
Fig. 2.2 Soorten kleimineralen: (a) kaoliniet, (b) montmorilloniet, en (c) illiet.
- 12 Kaoliniet mineralen bestaan uit een laag SiO4-tetraëders gebonden aan een laag Al(O,OH)6octraëders door zuurstof atomen te delen. Daarbij zijn de mineralen ook nog sterk onderling verbonden door waterstofbruggen, zodat een stabiele structuur ontstaat waardoor kaoliniet weinig plastisch is en bijna niet zal zwellen of krimpen. Montmorilloniet en illiet mineralen bestaan uit een laag Al(O,OH)6-octraëders gebonden aan twee lagen SiO4-tetraëders, door zuurstof atomen te delen. Bij montmorilloniet zijn de mineralen onderling zwak met elkaar verbonden door geadsorbeerde kationen en watermoleculen. De ganse structuur wordt hierdoor zeer vervormbaar en plastisch omdat de ruimte tussen de mineralen sterk kan wijzigen. Een voorbeeld van een dergelijke klei is bentoniet, een verweringsproduct van vulkanisch as. Bentoniet heeft een zeer grote zwelcapaciteit en wordt veel gebruikt om het doorsijpelen van water te verhinderen in bijvoorbeeld boorgaten, tunnels, enz. Bij illiet zijn de mineralen onderling redelijk sterk aan elkaar gekoppeld door geadsorbeerde kaliumionen die bijna perfect tussen de mineralen passen, waardoor er een sterke binding ontstaat en de structuur minder vervormbaar is. Daarom situeren de eigenschappen van illiet zich tussen deze van kaoliniet en montmorilloniet. In Vlaanderen bestaat de klei in de grond voornamelijk uit glauconiet, welke eigenschappen vertoont zoals illiet. De absorptie van watermoleculen en ionen door kleimineralen is te verklaren door onvolmaaktheden in de kristalstructuur. Wanneer kleimineralen gevormd worden, kan het gebeuren dat een Al3+-ion de plaats inneemt van een Si4+-ion, ofwel een Mg2+- of Ca2+-ion de plaats van een Al3+-ion, waardoor er globaal een tekort is aan positieve lading en het mineraal globaal negatief geladen wordt. De negatieve lading worden dan gecompenseerd door kationen, die aan de kleimineralen geadsorbeerd worden, doch geen deel uitmaken van de kristalstructuur en dus uitwisselbaar zijn. Ook watermoleculen worden aangetrokken wegens hun dipoolkarakter (Fig. 2.2b). Aan de randen kunnen er ook (OH)--groepen ontbreken, of H+ionen worden gebonden, zodat de kleimineralen aan de randen een positieve lading krijgen, waardoor dan weer anionen kunnen geadsorbeerd worden ofwel andere negatief geladen kleimineralen. Deze eigenschappen hebben een belangrijke impact op de structuur van een kleigrond. Men onderscheidt een vlokkige structuur (Fig. 2.3a), waarbij de kleimineralen hoekig met elkaar verbonden zijn, of een verspreide structuur, waarbij de kleimineralen parallel georiënteerd zijn (Fig. 2.3b). De structuur van een kleigrond kan wijzigen door veranderingen in het watergehalte en/of de ionensamenstelling. Zo is montmorilloniet met geadsorbeerde Ca2+-ionen minder vervormbaar dan wanneer er Na+-ionen tussen de kleimineralen aanwezig zijn, omdat de Na+-ionen minder aantrekkingskracht uitoefenen.
A
B
Fig. 2.3 Structuur van een klei: (a) vlokkig en (b) verspreid.
- 13 -
2.2 Textuur De eigenschappen van een grond worden in grote mate bepaald door de afmetingen van de korrels. Dit noemt men de textuur. Hierbij worden de korrels ingedeeld in klassen volgens hun grootte, zoals weergegeven in Tabel 2.2. Bij de verdeling wordt een logaritmische schaal gebruikt voor de grootte van de korrel. Men onderscheidt de fijne fractie en de grove fractie, waarbij deze laatste bestaat uit korrels die nog met het blote oog zichtbaar zijn. De grove fractie wordt verder ingedeeld in zand en grind. De grens tussen grind en zand is vastgesteld op 2 mm en wordt fysisch verklaard doordat korrels met een grotere diameter (grind) niet meer aaneengeklit worden door water, terwijl dit wel mogelijk is met kleinere korrels (zand). Met nat zand kan men een zandkasteel bouwen op het strand, maar dit is niet mogelijk met nat grind.
Tabel 2.2 De textuurklassen.
Fijne fractie
FRACTIE
KLASSE klei silt
ONDERVERDELING
fijn silt medium silt grof silt
Grove fractie
zand fijn zand medium zand grof zand grind fijn grind medium grind grof grind keien
KORRELGROOTTE < 2 µm 2 µm – 60 µm 2 µm – 6 µm 6 µm – 20 µm 20 µm – 60 µm 60 µm – 2 mm 60 µm – 200 µm 200 µm – 600 µm 600 µm – 2 mm 2 mm – 60 mm 2 mm – 6 mm 6 mm – 20mm 20 mm – 60 mm > 60 mm
De fijne fractie omvat de zeer kleine korrels, die alleen waarneembaar zijn met een microscoop. Kleideeltjes kunnen zelfs alleen maar waargenomen worden met een electronenmicroscoop, omdat ze afmetingen hebben kleiner dan 2 µm. Wanneer de fractie tussen 2 µm (2·10-6 m) en 2 mm (2·10-3 m) juist in twee gedeeld wordt op een logaritmische as, krijgt men als waarde 2·10-4,5 m ofwel 63,25 µm. In de praktijk wordt dit afgerond tot 63 µm of 60 µm (in sommige landen wordt ook 50 µm gebruikt of 75 µm, maar internationaal is 60 µm meer gebruikelijk). Deze waarde blijkt goed overeen te komen met de ondergrens van korrelgroottes, die nog onderscheiden kunnen worden met het blote oog. Men klasseert daarom de fractie tussen 60 µm en 2 mm als zand. De fractie tussen zand en klei, zijnde korrels met een diameter tussen 2 µm tot 60 µm, wordt internationaal aangeduid als silt. Ook in Nederland is deze benaming gebruikelijk, echter in België wordt deze fractie meestal leem genoemd. Omdat het woord leem ook gebruikt wordt om een bepaalde bodemsoort aan te duiden (een mengeling van zand, silt en klei met goed landbouwkundige eigenschappen) die overeenkomt met de Engelse benaming “loam”, is dit enigszins verwarrend. Aldus is het beter
- 14 te spreken van silt i.p.v. leem. Silt voelt aan als poeder of meel en nat silt is plakkerig zoals deeg, maar mist de plastische eigenschappen van klei. De fracties worden verder onderverdeeld in fijn, medium of grof, zoals weergegeven in Tabel 2.2, waarbij telkens de cijfers 2 en 60 als grenswaarden gebruikt worden. De textuurklassen klei en silt vormen dus de fijne fractie van een grond en de klassen zand en grind de grove fractie. Grotere bestanddelen dan grind worden keien of stenen genoemd en worden apart beschouwd; deze maken dus eigenlijk geen deel uit van het begrip grond. Daarnaast kunnen er nog allerlei andere bestanddelen in de grond aanwezig zijn, die ook apart dienen vermeld te worden wegens hun bijzondere eigenschappen, zoals voornamelijk organisch materiaal en kalk.
2.3 Granulometrie De korrelverdeling of granulometrie van een grond wordt vastgesteld in het laboratorium, waarbij de grove fractie bepaald wordt door zifting en de fijnere fractie door bezinking. Eerst worden bijzondere bestanddelen uit de grond verwijderd. Eventuele keien worden manueel verwijderd of met een grove zeef. Het organisch materiaal wordt verbrand door de grond te mengen met waterstofperoxide (H2O2) en kalk wordt verwijderd met zoutzuur (HCl). De korrelverdeling van de grove fractie wordt daarna bepaald door een zeefproef, waarbij de grondkorrels geschud worden door een reeks van zeven, die boven elkaar geplaatst zijn in volgorde van toenemende maaswijdte. Er bestaan verschillende soorten zeven, maar de meest gebruikte is de ASTM-reeks (American Society for Testing and Materials), waarvan de karakteristieken worden gegeven in Tabel 2.3.
Tabel 2.3 Nummer en maaswijdte van de ASTM-zeven. Nr (mm)
4 4,76
6 3,36
8 2,38
10 2,00
16 1,19
20 0,840
30 0,590
40 0,420
50 0,297
60 0,250
100 0,149
140 0,105
200 0,074
De korrelverdeling van de fijne fractie wordt bekomen door een bezinkingsproef, waarbij gebruik wordt gemaakt van de wet van Stokes, welke de bezinkingssnelheid geeft van een sferisch deeltje in een vloeistof ( γ k − γ v )d 2 v= 18µ
(2.1)
met v de bezinkingssnelheid, γk het soortelijk gewicht van de korrel, γv het soortelijk gewicht van de vloeistof, d de diameter van de korrel en µ de dynamische viscositeit van het mengsel. Door de fijne fractie in suspensie te brengen, waarbij een ontvlokkingsmiddel wordt toegevoegd om de deeltjes van elkaar te scheiden, kan men na verloop van tijd door de bezinking de verschillende fracties van elkaar onderscheiden volgens de diepte. Het resultaat van een granulometrische analyse wordt grafisch voorgesteld door middel van een cumulatieve frequentieverdeling, waarbij het cumulatieve gewichtspercentage op de y-as
- 15 wordt uitgezet volgens de korrelgrootte op een logaritmische x-as. Een voorbeeld wordt gegeven in Fig. 2.4.
SILT
KLEI fijn
medium
ZAND grof
fijn
medium
GRIND grof
fijn
medium
grof
100
Percentage (%)
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10
100
Korreldiameter (mm)
Fig. 2.4 Voorbeeld van een cumulatieve korrelverdeling.
De korrelverdeling wordt gekenmerkt door enkele karakteristieke parameters. De kenmerkende diameter Dx is de korrelgrootte waarbij x% van de korrels kleiner zijn; D10 komt dus overeen met 10% op de korrelverdelingscurve. De mediaanwaarde van de korrelverdeling is dan D50. De uniformiteitscoëfficiënt Cu wordt gedefinieerd als Cu =
D 60 D10
(2.2)
Een waarde kleiner dan 5 duidt op een uniforme korrelverdeling en een waarde groter dan 15 wijst op een heterogene samenstelling. De krommingscoëfficiënt Cc wordt gegeven door Cc =
(D30 ) 2 D10 D60
(2.3)
Wanneer de krommingscoëfficiënt begrepen is tussen 1 en 3 wijst dit op een gelijkmatige verdeling; een andere waarde duidt op een zeer ongelijkmatige samenstelling, zoals een mengeling van twee zeer verschillende korrelgroottes.
- 16 -
2.4 Bestanddelen Grond bestaat uit verschillende bestanddelen. Tussen de korrels zijn er openingen, poriën genoemd, die gevuld kunnen zijn met water en/of lucht. In een volume grond kunnen volgende onderdelen onderscheiden worden: het volume van de korrels Vk, het volume van de poriën Vp, dat bestaat uit een volume water Vw en een volume lucht Vp - Vw; het gewicht van een grond bestaat slechts uit twee bijdragen: het gewicht van de korrels Gk en het gewicht van het water Gw, omdat het gewicht van lucht verwaarloosd kan worden. Deze verschillende termen worden voorgesteld in Fig. 2.5. Er kunnen nu een reeks van parameters gedefinieerd worden om de verschillende fasen van de grond te kwantificeren. Hierbij wordt als basis het volume of het gewicht van de korrels genomen, omdat deze bij de in de praktijk voorkomende omstandigheden onveranderlijk zijn, terwijl de hoeveelheden poriën, of water en lucht kunnen veranderen.
VOLUME
GROND
GEWICHT
Vl
LUCHT
0
Vw
WATER
Gw
KORRELS
Gk
Vp V
Vk
G
Fig. 2.5 Volume en gewicht van de verschillende grondbestanddelen.
De hoeveelheid van de poriën wordt gekenmerkt door het poriëngetal e als het volume van de poriën per volume korrels e=
Vp
(2.4)
Vk
De waarde van het poriëngetal bedraagt meestal tussen 0,4 tot 1 voor zandgronden en tussen 0,7 en 2 voor kleigronden. In de geohydrologie wordt meestal als basis het totaal volume genomen en kenmerkt men de hoeveelheid van de poriën door de porositeit n gedefinieerd als n=
Vp V
=
Vp Vk + Vp
=
e 1+ e
(2.5)
- 17 -
De hoeveelheid water aanwezig in de poriën wordt voorgesteld door het watergehalte w, gemeten op gewichtsbasis als de verhouding tussen het gewicht van het water t.o.v. het gewicht van de grondkorrels w=
Gw Gk
(2.6)
De maximale waarde ws wordt bekomen bij verzadiging (E. saturation) en is afhankelijk van het poriëngetal ws =
(G w ) max Vp γ w Vp γ w eγ w = = = Gk Gk Vk γ k γk
(2.7)
met γw en γk de volumegewichten van respectievelijk water en korrels. Het volumegewicht van water bedraagt ongeveer 9,81 kN/m3 afhankelijk van de zwaartekracht, maar wordt voor alle praktische berekeningen in de grondmechanica afgerond tot 10 kN/m3. Het volumegewicht van de korrels is afhankelijk van de mineralogische samenstelling van de korrels (Tabel 2.1). Tabel 2.4 geeft enkele richtwaarden in functie van de grondsoort. Voor zandgronden is de waarde ongeveer 26,5 kN/m3 en voor kleigronden is dit gemiddeld 27 kN/m3. Men definieert de saturatie- of verzadigingsgraad S, als de volumefractie van de poriën gevuld met water S=
Vw wγ k w = = Vp w s eγ w
(2.8)
zodat S varieert tussen 0 en 1. Merk op dat het watergehalte, het poriëngetal, de porositeit en de verzadigingsgraad dimensieloze grootheden zijn, die dikwijls in percent uitgedrukt worden. Het globaal volumegewicht van een grond γ is gegeven door γ=
G Gk + Gw 1 + w = = γ k = nSγ w + (1 − n ) γ k V Vk + Vp 1+ e
(2.9)
en is afhankelijk van het poriëngetal en het watergehalte, ofwel van de verzadigingsgraad en de porositeit. De waarden zijn meestal begrepen tussen 14 kN/m3 en 21 kN/m3. Het volumegewicht van een droge grond γd wordt gegeven door γd =
γ γ Gk Gk = = k = = (1 − n ) γ k V Vk + Vp 1 + e 1 + w
en het verzadigd volumegewicht γv door
(2.10)
- 18 -
γv =
G k + γ w Vp V
=
γ k + eγ w = nγ w + (1 − n ) γ k 1+ e
(2.11)
Typische waarden voor enkele grondsoorten worden gegeven in Tabel 2.4. Merk op dat alle parameters berekend kunnen worden uitgaande van drie basisparameters e, w en γk. Het volstaat dus om deze drie basisparameters op te meten om alles te weten over de verschillende bestanddelen van een grond. Het opmeten gebeurt meestal als volgt. Het watergehalte w wordt bepaald door een grondmonster te wegen, daarna te drogen in een oven aan 105°C gedurende 24u en opnieuw te wegen; het droog gewicht is Gk en het verschil met het oorspronkelijk gewicht geeft Gw. Het poriëngetal e wordt bekomen door het watergehalte van een verzadigde grond op te meten met voorgaande methode en e te rekenen met behulp van vergelijking 2.7. Het volumegewicht van de korrels γk wordt dikwijls verondersteld gelijk te zijn aan 26,5 kN/m3, of kan meer nauwkeurig worden opgemeten met een picnometer. Een picnometer is een geijkte fles, waarin een bepaald gewicht Gk aan grondkorrels wordt aangevuld met water tot aan een merkteken; het verschil in gewicht met een volledig met water gevulde fles, ∆G = Vk(γk-γw) laat toe om γk te berekenen γk =
γw 1 − ∆G G k
(2.12)
Tabel 2.4 Typische waarden voor het volumegewicht van verschillende grondsoorten. Grondsoort grind zand silt slappe klei matig vaste klei vaste klei veen
γk γd γv 3 3 (kN/m ) (kN/m ) (kN/m3) 26,5 16-19 20-23 26,5 14-19 18-22 26,5 14-19 18-21 26-28 9-14 14-17 26-28 14-20 17-21 26-28 20-22 21-24 10-12 1-7 10-14
2.5 Dichtheid en verdichting De stijfheid van een grove grondsoort is voornamelijk afhankelijk van zijn dichtheid. Hoe dichter de korrels op elkaar gepakt zijn, hoe stijver de grond en hoe beter het draagvermogen. Het is dus erg belangrijk om de dichtheid goed te kwantificeren. Men definieert de relatieve dichtheid Dr als Dr =
⎡ γ d − ( γ d ) min ⎤ ( γ d ) max e max − e =⎢ ⎥ e max − e min ⎣ ( γ d ) max − ( γ d ) min ⎦ γ d
(2.13)
waarbij emax het grootst mogelijk poriëngetal is, hetgeen overeenkomt met de minimale dichtheid van een grond en een minimaal droog volumegewicht (γd)min = γk/(1+emax), en emin
- 19 het kleinst mogelijke poriëngetal, wat overeenkomt met de maximale dichtheid en droog volumegewicht (γd)max = γk/(1+emin). Deze waarden worden bepaald in het laboratorium. De minimale dichtheid wordt bekomen door losse droge grondkorrels in een maatbeker te gieten zonder enige verdere verdichting en de maximale dichtheid door bevochtigde korrels in een maatbeker te plaatsen en na er een gewicht op aangebracht te hebben het geheel te trillen tot een maximale verdichting bereikt wordt. Afhankelijk van de waarde van de relatieve dichtheid, kan een zandgrond geklasseerd worden zoals weergegeven in Tabel 2.5. Bij het gebruik van een grond, bijvoorbeeld als funderingslaag voor een weg, is het belangrijk om het materiaal zoveel mogelijk te verdichten om een zo groot mogelijke stabiliteit en draagkracht te verkrijgen. In de praktijk gebeurt dit door de grond aan te brengen in lagen van enkele centimeters en deze te verdichten met een trilplaat, wals, of trilwals. Om een goede verdichting te verkrijgen blijkt het nodig te zijn dat het materiaal een zekere hoeveelheid water bevat, omdat dit de korrels beter over elkaar laat glijden. Echter er mag niet te veel water aanwezig zijn omdat waterdruk de verdichting kan verhinderen. In de praktijk blijkt dat afhankelijk van de grondsoort er een optimaal watergehalte is dat zorgt voor de beste verdichting. Uiteraard is dit ook afhankelijk van de energie die hiervoor aangewend wordt.
Tabel 2.5 Classificatie van een grond volgens zijn relatieve dichtheid. Relatieve dichtheid Dr (%) 0 – 15 15 – 35 35 – 65 65 – 85 85 – 100
Classificatie zeer los los matig dicht dicht zeer dicht
Een optimale verdichting wordt verkregen wanneer het drooggewicht zo groot mogelijk is. Het verband tussen het droog volumegewicht γd en de andere van belang zijnde parameters wordt gegeven door γd =
γk γk = 1 + e 1 + ( wγ k Sγ w )
(2.14)
Voor een volledig verzadigde grond is S = 1 en geeft bovenstaande formule het verband weer tussen het droog volumegewicht γd en het watergehalte ws bij volledige verzadiging. Deze curve wordt voorgesteld in Fig. 2.6, waarbij als soortelijk gewicht van de korrels een typische waarde voor zandgronden van 26,5 kN/m3 verondersteld werd. Dergelijke waarden voor het drooggewicht zijn evenwel in de praktijk moeilijk te bereiken. In de figuur worden daarom ook de curven gegeven voor een verzadigingsgraad van 0,8 en 0,6. Afhankelijk van de energie die men aanwendt kan men een optimale verdichting bekomen, die meestal verkregen word bij een watergehalte van 0,1 tot 0,2 en een verzadigingsgraad van ongeveer 0,8. Dit resulteert in een maximaal drooggewicht in de orde van grootte van 16 kN/m3 tot 20 kN/m3 afhankelijk van de grondsoort.
- 20 -
3
Drooggewicht (kN/m )
22 21 20 19 18
S=1
speciale Proctorproef
17
S=0,8
gewone Proctorproef
16
S=0,6
15
5
10 15 Watergehalte (%)
20
Fig. 2.6 Verband tussen drooggewicht en watergehalte bij een bepaalde saturatiegraad S en voorbeeld van resultaten van een gewone en versterkte Proctorproef.
In de praktijk, bijvoorbeeld bij de aanleg van wegen, is een zekere verdichting gewenst om een goede fundering te verkrijgen. Het is dan belangrijk om vooraf het maximaal bereikbaar drooggewicht van een bepaalde grondsoort te kennen om na te gaan of de grond geschikt is als funderingslaag. Ook is het belangrijk te weten hoeveel water er moet toegevoegd worden om de maximale verdichting te bekomen. Dit kan bepaald worden in het laboratorium door een proctorproef, genoemd naar Proctor, die deze methode ontwierp rond 1920 voor het testen van grondmaterialen bij de aanleg van dijken. De proefopstelling wordt schematisch weergegeven in Fig. 2.7.
valgewicht
grondmonster
Fig. 2.7 De proef van Proctor.
Een wals voor het verdichten van gronden
- 21 Een monster van 1 dm3 gedroogde grond wordt bevochtigd met een bepaalde hoeveelheid water en aangebracht in een stalen cilinder in drie lagen van ongeveer 5cm, die elk aangestampt worden door er 25 maal een gewicht op te laten vallen van 2,49 kg over een hoogte van 30,5 cm. De proef wordt ten minste vijf maal herhaald met verschillende hoeveelheden toegevoegd water en de resultaten worden uitgezet in een grafiek, zoals weergegeven in Fig. 2.6. Hieruit kan men voor die bepaalde grondsoort het in de praktijk te bekomen maximaal drooggewicht bepalen en het nodigde watergehalte. De energie die aangewend wordt bij de proctorproef bedraagt 0,6 MJ/m3 hetgeen overeenkomt met wat in de praktijk mogelijk is met de gebruikelijke werktuigen voor een normale verdichting. Voor de aanleg van autowegen wordt er echter 2,7 MJ/m3 aangewend met extra zware werktuigen om een nog betere verdichting te verkrijgen. Hiertoe wordt de grond getest volgens de versterkte proctorproef, waarbij de grond aangebracht wordt in 5 lagen van 3 cm, die elk verdicht worden door er 25 maal een gewicht op te laten vallen van 4,53 kg over een hoogte van 45,7 cm. Een voorbeeld van een dergelijke proefresultaten wordt eveneens gegeven in Fig. 2.6.
2.6 Consistentie De stijfheid en vervormbaarheid van fijne grondsoorten worden niet zozeer bepaald door de dichtheid, zoals bij grove gronden, maar zijn voornamelijk afhankelijk van de kleisoort en de hoeveelheid water aanwezig in de grond. Daarom klasseert men deze grondsoorten op een andere wijze dan de grove gronden. Droge klei is vast en bijna niet vervormbaar, maar na bevochtiging gaat de klei zwellen en wordt brokkelig. Wanneer er nog meer water wordt toegevoegd wordt de klei plastisch en kneedbaar, en tenslotte vloeibaar zoals modder. Deze toestanden noemt men de consistentie en de classificatie is gebaseerd op het watergehalte dat overeenkomt met een bepaalde consistentie van de klei. De watergehaltes die overeenkomen met een overgang van de klei van de ene naar de andere consistentie noemt men de consistentiegrenzen of Atterbergse grenzen, naar de Zweedse onderzoeker Atterberg.
Fig. 2.8 Het apparaat van Casagrande voor bepaling van de vloeigrens.
- 22 Het watergehalte waarbij een fijne grondsoort overgaat van een plastische naar een vloeibare toestand is de vloeigrens wL (E. liquid limit) en wordt bepaald door een gestandaardiseerde proef met het apparaat van Casagrande, weergegeven in Fig. 2.8. Een verzadigd grondmonster wordt aangebracht in het schoteltje en afgestreken. Met een spatel wordt hierin een 2 mm brede groef aangebracht. Daarna wordt het schoteltje op en neer bewogen waarbij het telkens op de basisplaat valt, waardoor de groef geleidelijk sluit. Men telt het aantal slagen dat men nodig heeft om de groef te laten sluiten over een afstand van minstens 1 cm. Het watergehalte wordt dan bepaald en men herhaalt de proef verscheidene malen, waarbij de grond meer en meer bevochtigd wordt; ofwel start men met een verzadigd monster en herhaald de proef waarbij de grond geleidelijk uitdroogt door natuurlijke verdamping. De vloeigrens wordt bekomen bij 25 slagen en wordt meestal praktisch bepaald door het vochtgehalte grafisch uit te zetten volgens de logaritme van het aantal slagen, zoals weergegeven in Fig. 2.9. De proef lijkt nogal empirisch, maar doordat ze wereldwijd gestandaardiseerd is, blijkt de uitkomst zeer betrouwbaar te zijn. Bijvoorbeeld bentoniet heeft een vloeigrens van ongeveer 5.
Aantal slagen
100
25
10 0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
Watergehalte w Fig. 2.9 Bepaling van de vloeigrens volgens het aantal slagen bekomen met het apparaat van Casagrande.
Het watergehalte waarbij een fijne grondsoort overgaat van een brokkelige naar een plastische toestand is de plasticiteitgrens wp (E. plastic limit) en wordt bepaald door een uitrolproef. Vochtige kleigrond wordt uitgerold op een glasplaat tot een staafje van enkele centimeters lengte en ongeveer 3 mm diameter. Dit wordt telkens herhaald, waarbij het monster geleidelijk uitdroogt door verdamping. De plasticiteitsgrens wordt bereikt wanneer het staafje verbrokkelt, waarna het watergehalte bepaald wordt. De proef wordt minstens drie maal herhaald en het gemiddelde watergehalte geeft de plasticiteitgrens. Het watergehalte waarbij de grond niet meer kan vervormen is de krimpgrens wk (E. shrinkage limit). Deze wordt bepaald door een nat grondmonster te drogen in een oven en het daarbij optredend verschil in volume ∆V op te meten. De krimpgrens kan dan berekend worden als wk = w −
γ w ∆V Gd
(2.15)
- 23 -
waarbij w het oorspronkelijk vochtgehalte is en Gd het drooggewicht. De berekeningsprocedure wordt verduidelijkt in Fig. 2.10.
∆V watergehalte w
watergehalte wk
lucht
mineralen
mineralen
V1 V2 mineralen
OORSPRONKELIJK
Gd
KRIMPGRENS
DROOG
Fig. 2.10 Bepaling van de krimpgrens.
De verschillende consistenties van een fijne grondsoort en de consistentiegrenzen worden ter verduidelijking weergegeven in Fig. 2.11. Typische waarden van de consisitentiegrenzen voor verschillende kleisoorten worden gegeven in Tabel 2.6.
VAST 0
SEMI-VAST wk
PLASTISCH wP
VLOEIBAAR
wL
w
Fig. 2.11 Consistentie en consistentiegrenzen.
Tabel 2.6 Typische waarden van de consistentiegrenzen voor verschillende kleisoorten. Kleisoort Montmorilloniet Illiet Kaoliniet
vloeigrens wL 1,5 - 7 0,7 - 1,5 0,4 - 0,7
plasticiteitsgrens wp 0,6 - 1 0,4 - 0,6 0,3 - 0,4
krimpgrens wk 0,09 - 0,15 0,15 - 0,2 0,2 - 0,3
Het blijkt dat voor de karakterisering van een fijne grondsoort voornamelijk de plasticiteitsgrenzen van belang zijn. Daarom wordt de consistentiecoëfficiënt Ic gedefinieerd als
Ic =
wL − w wL − wP
(2.16)
- 24 -
De toestand waarin een grond zich bevindt kan dan gekarakteriseerd worden aan de hand van zijn consistentiecoëfficiënt, zoals weergegeven in Tabel 2.7. Een grond met een consistentiecoëfficiënt kleiner dan 0,75 is zeer ongeschikt voor grondwerken of funderingen. Om fijne grondsoorten onderling te vergelijken maakt men gebruik van de plasticiteitindex Ip, gedefinieerd als het verschil tussen de vloeigrens en de plasticiteitsgrens IP = w L − w P
(2.17)
De gronden worden dan geclassificeerd zoals weergegeven Tabel 2.8. Om de kleifractie van een grond te classificeren maakt men gebruik van de activiteitscoëfficiënt A, gedefinieerd als A=
IP fk
(2.18)
waarbij fk de granulometrische kleifractie van de grond is. De classificatie gebeurt dan volgens de waarde van de activiteitscoëfficiënt, zoals weergegeven in Tabel 2.9. Bijvoorbeeld bentoniet heeft een activiteitscoëfficiënt van ongeveer 7 en is dus uiterst actief.
Tabel 2.7 Classificatie van een grond volgens zijn consistentiecoëfficiënt. Ic < 0,25 0,25 - 0,50 0,50 - 0,75 0,75 - 1 >1
Classificatie zeer slap slap matig vast vast zeer vast
Tabel 2.8 Classificatie van een grond volgens zijn plasticiteitsindex. Ip < 0,05 0,05 - 0,20 > 0,20
Classificatie weinig plastisch matig plastisch zeer plastisch
Tabel 2.9 Classificatie van klei volgens zijn activiteitscoëfficiënt. A < 0,7 0,7 – 1,2 > 1,2
Classificatie inactief normaal actief
Beschrijving weinig plastisch matig plastisch zeer plastisch
Kleisoort Kaoliniet Illiet Montmorilloniet
- 25 -
2.7 Classificatie Omdat er in een grond verschillende bestanddelen aanwezig zijn, is een goede en eenduidige nomenclatuur voor het beschrijven van de grondsoort erg belangrijk. Echter dit is niet zo eenvoudig. Er bestaan verschillende systemen afhankelijk van de doelstellingen en het land van herkomst. In Vlaanderen worden gronden geclassificeerd volgens de methode van de Belgische Vereniging tot Studie, beproeving en gebruik der Materialen (BVSM). De benaming van een grond is gebaseerd op de korrelverdeling, de plasticiteitsindex en het humus- en kalkgehalte, en bestaat uit een naamwoord aangevuld met een bijkomende beschrijving. Het naamwoord geeft de fractie die het meest voorkomt of de grond het best karakteriseert en de bijkomende beschrijving heeft betrekking op de tweede belangrijkste fractie. De mogelijke benamingen worden gegeven in Tabel 2.10, met symbolen en definities van de overeenkomstige fracties, welke iets afwijken van wat internationaal gebruikelijk is. Zo wordt de zandfractie opgedeeld in een fractie fijn zand en een fractie grof zand en de grindfractie wordt beperkt tot korrels met afmetingen kleiner dan 20 mm. De fracties worden aangeduid door Romeinse cijfers, zoals weergegeven in Tabel 2.10.
Tabel 2.10 Vlaamse benamingen van grondsoorten en de overeenkomstige fracties. Grondsoort
klei leem fijn zand grof zand grind stenen
Overeenkomstige fractie Symbool Korreldiameters I < 2 µm II 2 µm – 60 µm III 60 µm – 0,2 mm IV 0,2 mm – 2 mm V 2 mm – 20 mm VI > 20 mm
Men onderscheidt ook nog de fractie IIa met korreldiameters van 2 µm tot 20 µm als fijn leem. De benaming van een grond gebeurt op volgende wijze. In geval de fijne grondfractie I+II minder bedraagt dan 10% wordt de grondsoort genoemd naar de dominante fractie bekomen uit een granulometrische analyse. Dit geeft als mogelijke benaming: stenen, grind, grof zand of fijn zand. Echter indien fractie III en fractie IV minder dan 50% bedraagt, maar de som van deze fracties wel groter is dan 50%, dan wordt de grond een middelmatig zand genoemd. De aanvullende beschrijving heeft betrekking op de tweede belangrijkste fractie en wordt verwoord als: met stenen, grindhoudend, ofwel zandhoudend (er wordt geen onderscheid meer gemaakt tussen fijn of grof zand). Dus mogelijke benamingen zijn bijvoorbeeld: grof zand met stenen, of zandhoudend grind, enz. De benaming van gronden met een fijne fractie groter dan 10% is gebaseerd op de plasticiteitsindex, waarbij indien nodig de overwegende fractie en/of het verband tussen leem en klei gebruikt wordt voor de juiste benaming of voor een bijkomende beschrijving, zoals weergegeven in Tabel 2.11.
- 26 -
Voor grondlagen met organisch materiaal of kalk krijgt de grond een aparte benaming ofwel een toevoeging aan zijn benaming. Voor een grond met een bepaalde gewichtsfractie aan organisch materiaal zijn de benamingen zoals weergegeven in Tabel 2.12. Voor gronden met een bepaalde fractie aan kalk zijn de benamingen zoals weergegeven in volgende Tabel 2.13.
Tabel 2.11 Vlaamse benaming van gronden met een fijne fractie groter dan 10%. Plasticiteitsindex IP > 0,25 0,15 - 0,25
0,05 - 0,15
Overwegende fractie
II > 50% III + IV II III + IV
< 0,05
Verband klei-leem
I > IIa I < IIa I > IIa I < IIa
Benaming
klei leem zandhoudende klei leem kleihoudend zand leemhoudend zand weinig kleihoudend zand leemhoudend zand
Tabel 2.12 Vlaamse benaming van gronden met organisch materiaal. Organische fractie (%) > 50 50 - 10 10 - 5 5-1
Benaming
veen zeer veenhoudend veenhoudend weinig veenhoudend
Tabel 2.13 Vlaamse benaming van gronden die kalk bevatten. Kalkfractie (%) > 75 75 - 25 25 - 10 10 - 5 5-2
Benaming
krijt mergel zeer kalkhoudend kalkhoudend weinig kalkhoudend
Internationaal is het meest gebruikte systeem het Unified Soil Classification System van het Bureau of Reclamation and Army Corps of Engineers van de V.S. Een grondsoort wordt hierbij voorgesteld door twee letters, waarvan de betekenis verklaard wordt in Tabel 2.14. De eigenlijke classificatie is gebaseerd op de gewichtsfracties bekomen met de ASTM-zeven en een indeling in klassen volgens de plasticiteitsgrafiek van Casagrande. De procedure wordt verduidelijkt in Tabel 2.15. Goede grondsoorten voor grondwerken of funderingen zijn GW,
- 27 -
GP, GM, SW, SP en SM; minder geschikt zijn GC, SC, ML en CL; en ongeschikt zijn OL, MH, CH, OH en Pt.
Tabel 2.14 Symbolen gebruikt in het Unified Soil Classification System.
G S M C O Pt
Eerste letter gravel (grind) sand (zand) silt (silt) clay (klei) organic soil (veen) peat (turf)
W P M C L H
Tweede letter well graded (gelijkmatige samenstelling) poorly graded (ongelijkmatige samenstelling) non-plastic fines (siltig) plastic fines (kleiig) low plasticity (weinig plastisch) high plasticity (plastisch)
Tabel 2.15 Het Unified Soil Classification System.
Organisch
Hoofdkenmerk Grind Meer dan 50% van de grove fractie wordt weerhouden door zeef 4 Zand Minder dan 50% van de grove fractie wordt weerhouden door zeef 4
Symbool
Beschrijving
Fijne fractie
gelijkmatig grind
< 5%
GP
ongelijkmatig grind
< 5%
GM
siltig grind
> 12%
GC
kleiig grind
> 12%
SW
gelijkmatig zand
< 5%
SP
ongelijkmatig zand
< 5%
SM
siltig zand
SC
kleiig zand
ML
weinig plastisch silt
Uniformiteit
Plasticiteit
Opmerkingen
Cu > 4 en 1 < Cc < 3 niet zoals hierboven
GW
Dubbele symbolen zijn nodig indien: Onder de A-lijn ofwel Ip < 0,04 Boven de A-lijn en Ip > 0,07
Cu > 6 en 1 < Cc < 3 niet zoals hierboven
1) de fijne fractie begrepen is tussen 5% en 12% (bijv. GP-GM) 2) boven de
Onder de A-lijn A-lijn en 0,04 > 12% ofwel Ip < 0,04 < Ip < 0,07 (bijv. GCBoven de A-lijn > 12% GM) en Ip > 0,07 De indeling gebeurt volgens de plasticiteitsgrafiek 0.6
Weinig plastisch
CL
weinig plastische klei
wL < 0,5 OL
MH
weinig plastisch veen
plastisch silt
Plasticiteitindex Ip
Meer dan 50% wordt weer-houden door zeef 200 Minder dan 50% wordt weerhouden door zeef 200
Fijn
Grof
Textuur
0.5
CH
0.4
CL
0.3 0.2
MH
0.1
0
Plastisch
CH
Pt
0.1
0.2
plastische klei
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Vloeigrens wL
plastisch veen
De schuine lijn in de grafiek is de plasticiteits- of A-lijn, gegeven door Ip = 0,73(wL-0,2) (de benaming A-lijn is waarschijnlijk afkomstig van Arthur Casagrande). Het symbool O wordt gegeven indien na droging in de oven de vloeigrens met meer dan 25% vermindert.
turf
visuele vaststelling
wL > 0,5 OH
ML
CL-ML ML
0
- 28 -
3 SPANNINGEN EN VERVORMINGEN
3.1 Spanningen en vervormingen De spanningen en vervormingen in de grond worden enigszins anders gedefinieerd dan gebruikelijk in de sterkteleer. Beschouw een elementair grondvolume, zoals weergegeven in Fig. 3.1a. De kracht F op een oppervlak S van het volume kan ontbonden worden in een normale component Fn en een tangentiële component Ft. De normaalspanning σ op dit oppervlak wordt gedefinieerd als de verhouding tussen de normale component van de kracht en de grootte van het oppervlak, in de limiet voor de grootte van het oppervlak gaande naar nul σ=
dFn dS
(3.1)
Omdat er in een los materiaal zoals grond geen trekspanningen voorkomen, is de conventie in de grondmechanica dat drukspanningen positief zijn, dit in tegenstelling met de sterkteleer waar trekspanningen als positief worden verondersteld. De schuifspanning τ is de verhouding tussen de tangentiële component van de kracht en de grootte van het oppervlak τ=
dFt dS
(3.2)
Er is geen duidelijke conventie voor de tekenafspraak van de schuifspanningen in de grond. We zullen aanvaarden dat schuifspanningen positief zijn, wanneer ze aanleiding geven tot een hoekverdraaiing in tegenwijzerszin, zoals weergegeven in Fig 3.1b.
Fn σ
dS
dh dl
γ
τ
Ft dS
dz
A
B
Fig. 3.1 Spanningen en vervormingen in de grond: (a) normaal en (b) tangentieel.
- 29 -
De vervormingen te wijten aan de spanningen, bestaan uit normaalvervormingen (samendrukking) en tangentiële vervormingen (afschuiving). De normaalvervorming ε is de relatieve verandering in de afmeting van het grondvolume ten gevolge van een verplaatsing in de normale richting, zoals weergegeven in Fig. 3.1a
ε=
dl dz
(3.3)
Per conventie noemen we een vervorming welke een vermindering van het grondvolume geeft positief. De afschuiving wordt gekenmerkt door een hoekverdraaiing γ die het gevolg is van een tangentiële verplaatsing, zoals weergegeven in Fig 3.1b
γ=
dh dz
(3.4)
We beschouwen hoekverdraaiingen in tegenwijzerszin als positief. De stijfheid van een materiaal geeft het verband weer tussen de toename in spanningen en vervormingen. Voor normaalspanningen en normaalvervormingen wordt het verband weergegeven door de stijfheidsmodulus E E=
dσ dε
(3.5)
en voor schuifspanningen en afschuivingen door de glijdingsmodulus G G=
dτ dγ
(3.6)
Voor lineair elastische materialen zijn de stijfheidsmodulus en glijdingsmodulus constant, dit is echter niet het geval voor grond omdat het materiaal bestaat uit vast materiaal en poriën. De vervorming van het poriënvolume is veel groter dan de vervorming van het vast materiaal. Voor de in de praktijk voorkomende spanningen zijn de vervormingen van de korrels verwaarloosbaar klein en moet er alleen maar rekening worden gehouden met de vervormingen van het poriënvolume. De stijfheid van het materiaal is dus voornamelijk afhankelijk van de wijze waarop de korrels zich kunnen verplaatsen ten opzichte van elkaar om een vervorming van het grondvolume te veroorzaken. Dit zal uiteraard afhankelijk zijn van de aard van de vaste bestanddelen, de dichtheid van de grond en de hoeveelheid water aanwezig in de poriën.
3.2 De cirkel van Mohr Uit de spanningsanalyse is geweten dat spanningen in een bepaald punt op een eenvoudige wijze geanalyseerd kunnen worden met de cirkel van Mohr. Voornamelijk bij de analyse van tweedimensionale spanningsverdelingen is de cirkel van Mohr erg handig, zeker ook in de grondmechanica. Beschouw een tweedimensionale situatie met als hoofdspanningen: σ1 de
- 30 -
grootste en σ2 de kleinste. Meestal is in de grond de grootste hoofdspanning verticaal gericht en de kleinste hoofdspanning horizontaal. Wat zijn nu de spanningen die werken op een vlak dat een hoek α maakt met het vlak waarop de grootste hoofdspanning werkt? De situatie wordt weergegeven in Fig. 3.2.
Fig. 3.2 Spanningen op een vlak onder een hoek α. De spanningen die inwerken op het vlak onder een hoek α zijn de normaalspanning σα en de schuifspanning τα zoals weergegeven in de figuur. Deze kunnen bekomen worden door het evenwicht van de krachten op het grondvolume te berekenen. Het evenwicht volgens de normale op het vlak geeft de normaalspanning σ α = σ1 cos 2 α + σ 2 sin 2 α
(3.7)
en uit het evenwicht in de tangentiële richting volgt de schuifspanning τ α = σ1 sin α cos α − σ 2 sin α cos α
(3.8)
Maakt men gebruik van de sinus en cosinus van de dubbele hoek 2α sin 2α = 2 sin α cos α
(3.9a)
cos 2α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α
(3.9b)
dan kan men de spanningen, σα en τα, uitdrukken als volgt σα =
σ1 + σ 2 σ1 − σ 2 + cos 2α 2 2
(3.10a)
- 31 -
τα =
σ1 − σ 2 sin 2α 2
(3.10b)
Hieruit blijkt dat in een (σ,τ)-grafiek (σα,τα) een punt voorstelt dat gelegen is op een cirkel met als middelpunt (σ1+σ2)/2 en als straal (σ1-σ2)/2, zoals weergegeven in Fig. 3.3. Dit is de zogenaamde cirkel van Mohr. Elk punt op de cirkel geeft de normaal- en schuifspanning, die inwerken op een vlak met een bepaalde richting.
Fig. 3.3 De cirkel van Mohr.
Het punt (σα,τα) wordt gevonden door op de cirkel van Mohr over een middelpuntshoek 2α te draaien in tegenwijzerszin vanaf het punt (σ1,0) dat overeenkomt met de grootste hoofdspanning, ofwel door te draaien over een omtrekshoek α gemeten vanaf het punt (σ2,0) dat overeenkomt met de kleinste hoofdspanning. Het punt (σ2,0) noemt men de pool of het richtingscentrum, omdat de rechte door de pool en het punt (σα,τα) de richting geeft van het vlak α. De cirkel van Mohr geeft dus een volledig inzicht in de spanningstoestand Echter wanneer de spanningstoestand wijzigt moet men de cirkel volledig hertekenen. Daarom zal men dikwijls bij een spanningsanalyse op een meer eenvoudige wijze te werk gaan, omdat het volstaat de karakteristieken van de cirkel te kennen zonder dat men deze volledig moet tekenen. De cirkel is volledig gekend door zijn middelpunt en zijn straal; dit zijn de invarianten van de spanningstoestand. Deze karakteristieken worden respectievelijk voorgesteld door de symbolen p en q gegeven door
- 32 -
p = 12 (σ1 + σ 2 )
(3.11a)
q = 12 (σ1 − σ 2 )
(3.11b)
Elke spanningstoestand kan dan in een zogenaamd (p,q)-diagram worden voorgesteld door een punt, zoals weergegeven in Fig. 3.4. Indien de spanningen veranderen, dan zal dit punt zich verplaatsen in de grafiek. Dit noemt men een spanningspad. We zullen later zien hoe dit gebruikt wordt bij de analyse van spanningen in een grond.
q
spanningspad
p Fig. 3.4 Voorstelling van een spanningstoestand in een (p,q)-diagram.
3.3 Effectieve spanningen en waterdruk Grond bestaat uit verschillende bestanddelen: korrels, water en lucht. Elk van deze bestanddelen zijn onderworpen aan spanningen en vervormingen en het is het geheel van deze spanningen en vervormingen die het gedrag van de grond bepalen. We gaan er van uit dat indien er lucht aanwezig is in de poriën, deze lucht geen bijdrage levert tot de totale spanning in de grond, d.w.z. we veronderstellen dat de lucht altijd onder atmosferische druk staat. Echter de korrels en het water aanwezig in de poriën tussen de korrels dragen wel bij tot de totale spanning. Hoe kunnen we nu de bijdragen van de korrels en het water combineren tot een totale spanning in de grond? We beschouwen eerst het geval waar de grond volledig verzadigd is. We veronderstellen ook dat het grondwater in hydrostatisch evenwicht is; later in Hoofdstuk 7 zullen we nagaan wat het effect is van grondwaterstroming. Uit de hydraulica weten we dat er in het grondwater een isotrope druk aanwezig is. Deze wordt in de grondmechanica aangeduid met het symbool u. De korrels zijn omgeven door het grondwater en ondervinden daardoor een zelfde druk, maar daarbij komen nog krachten die worden overgebracht door het korrelskelet zelf. Het is daarom niet zo eenvoudig om de spanningen in de korrels te bepalen. Terzaghi heeft aangetoond dat het evenwel niet nodig is om de spanningen in de korrels exact te kennen om de spanningen en vervormingen in een grond te kunnen verklaren. Immers de spanningen in de grondkorrels op zich zijn niet zo belangrijk, omdat het niet de korrels zijn die vervormen maar wel de korrelstructuur, dus eigenlijk de poriënruimte tussen de korrels. Het was Terzaghi die zich voor het eerst realiseerde dat de krachten die werkzaam zijn in de contactpunten tussen de korrels het belangrijkste zijn, omdat deze krachten de vervormingen
- 33 -
van de korrelstructuur teweegbrengen. Terzaghi formuleerde dit op volgende wijze. Hij definieerde de effectieve spanningen als de gemiddelde contactkrachten tussen de korrels per totaal grondoppervlak. De componenten van de effectieve spanningen worden meestal aangeduid door de symbolen σ’en τ’. Deze effectieve spanningen vormen een eerste bijdrage tot de totale spanningen die in de grond aanwezig zijn. Daarnaast is er ook nog het effect van de grondwaterdruk u, welke aanwezig is in de waterfase en ook in de korrels, zodat σ = σ'+ u
(3.12a)
τ = τ'
(3.12b)
De isotrope druk u heeft uiteraard geen invloed op de schuifspanning, zodat de totale schuifspanning volledig op rekening komt van de contactkrachten tussen de korrels. We kunnen bovenstaande vergelijkingen fysisch interpreteren op volgende wijze. Beschouw een elementair oppervlak dS in de grond, echter op een zodanige wijze dat dit oppervlak alleen maar door de waterfase gaat en door de contactpunten tussen de korrels, zoals weergegeven in Fig. 3.5.
F’
F’ F’
u
u
F’ u
u
u S Fig. 3.5 Schematische voorstelling van grondwaterdruk en contactkrachten tussen de korrels.
In het oppervlak S zijn dus enkel contactkrachten werkzaam tussen de korrels, welke we globaal aanduiden als F', en ook de druk u welke aanwezig is over het ganse oppervlak. Gebruik makend van de formules voor de normale en tangentiële spanning volgt hieruit σ=
d (F' n + uS) dF' n + udS dF' n = = + u = σ'+ u dS dS dS
(3.13a)
dF' t = τ' dS
(3.13b)
τ=
Het voordeel van deze werkwijze is dat het op geen enkel ogenblik nodig is om iets af te weten van de juiste verdeling tussen grondwater en korrels, zowel wat betreft ruimtelijke structuur als verdeling van spanningen. Alleen het globaal effect is belangrijk, dat kan worden weergegeven door (1) effectieve spanningen σ' en τ' welke een vervorming van de korrelstructuur veroorzaken en (2) een alomtegenwoordige druk u, die geen vervormingen kan veroorzaken, ten minste niet rechtstreeks, echter wel onrechtstreeks daar veranderingen in
- 34 -
de grondwaterdruk dikwijls een repercussie zullen hebben op de effectieve spanningen, waaruit vervormingen kunnen voortkomen. Ook dit laatste is een van de voordelen van de theorie van Terzaghi, nl. de invloed van het grondwater op de spanningen en vervormingen in de grond wordt duidelijk verklaarbaar.
Karl von Terzaghi (1883-1963)
Fig. 3.6 Belasting van een grondmonster: (a) verzadigd monster onderworpen aan een isotrope druk en (b) een droog monster onderworpen aan een belasting.
Het feit dat het voornamelijk de effectieve spanningen zijn die de vervorming van de grondstructuur veroorzaken kan aangetoond worden op een eenvoudige wijze. Beschouw
- 35 -
eerst een volledig verzadigd grondmonster dat wordt onderworpen aan een isotrope druk (Fig. 3.6a). Deze druk wordt volledig opgenomen door de druk in het water en de druk in de grondkorrels, dus σ' = 0 en σ = u, indien we het gewicht van de korrels en het grondwater verwaarlozen. Zolang de druk niet te groot is en het water niet kan wegvloeien, treedt hierbij geen vervorming op. Alleen wanneer de druk zo groot wordt dat het water en de korrels zelf worden samengedrukt, is er een vervorming mogelijk. Daarentegen wanneer een droog grondmonster (Fig. 3.6b) onderworpen wordt aan een belasting is u = 0, zodat σ = σ' en τ = τ'. Er zal dan onmiddellijk een vervorming optreden, hetzij een samendrukking van het poriënvolume of een afschuiving van de korrelstructuur, afhankelijk van de grootte en de vorm van de aangebrachte belastingen. Het gedrag van een verzadigde grond wordt dikwijls schematisch voorgesteld, zoals weergegeven in Fig. 3.7a. De verzadigde grond wordt hierbij voorgesteld als een reservoir gevuld met water, waarin ook een veer zit, welke het effect weergeeft van de korrelstructuur. De totale spanning werkt in op dit systeem door middel van een zuiger. De totale spanning wordt dan gecompenseerd door de druk van het water in het reservoir, hetgeen de druk van het grondwater voorstelt, en de actie van de veer welke het effect van de effectieve spanning geeft.
u
A
σ
σ
σ’
σ’
B
Fig. 3.7 Schematische voorstelling van totale spanning, effectieve spanning en grondwaterdruk: (a) verzadigde grond en (b) onverzadigde grond.
Totale spanningen en effectieve spanningen kunnen gezamenlijk geanalyseerd worden met de methode van de cirkel van Mohr (Fig. 3.8a). Er worden hierbij twee cirkels getekend, een voor de totale spanningen en een voor de effectieve spanningen. Beide cirkels zijn even groot, doch de cirkel van de effectieve spanningen is verplaatst over een afstand u naar links langs de σ-as, t.o.v. de cirkel van de totale spanningen. Men kan beide spanningstoestanden ook weergeven in een (p,q)-diagram, wat twee punten oplevert op een afstand u van elkaar gelegen langs de p-as (Fig. 3.8b).
- 36 -
q,q’
τ,τ’ σ
σ’
u σ,σ’ u
p,p’
A
B
Fig. 3.8 Voorstelling van totale en effectieve spanningen: (a) Mohrcirkels, (b) (p,q)-diagram.
Voor onverzadigde gronden is de situatie iets ingewikkelder. Het grondwater neemt nu slechts een gedeelte van het poriënvolume in en nog meer belangrijk is dat het water nu onderworpen is aan een zuigspanning i.p.v. een druk. Een zuigspanning, relatief bekeken t.o.v. de atmosfeerdruk, is negatief, d.w.z het water wordt geabsorbeerd door de poreuze grond. Een bijkomende moeilijkheid is dat de waterfase niet meer volledig de korrels omringt en het daarom niet duidelijk is in welke mate deze zuigspanning wordt overgebracht op de korrels. Proefondervindelijk blijkt dat de formule van Terzaghi nog geldig is, doch dat de bijdrage van de zuigspanning van het water in de totale normaalspanning moet gecorrigeerd worden door een factor χ welke functie is van de verzadigingsgraad S σ = σ'+ χ(S)u
(3.14)
waarbij de functie χ(S) proefondervindelijk moet bepaald worden in het laboratorium, hetgeen niet zo eenvoudig is. Daarom worden er meestal vereenvoudigingen doorgevoerd. Soms wordt verondersteld dat χ ≈ S, maar dit is overdreven, beter lijkt χ ≈ S2. Echter meestal wordt het effect van de zuiging volledig verwaarloosd, dus χ = 0 zodat σ = σ' voor een onverzadigde grond. Deze veronderstelling is veilig, immers de stijfheid van grond neemt toe met de effectieve spanning en vermits de zuiging negatief is (u < 0) worden de effectieve spanningen onderschat indien men de zuiging verwaarloost, hetgeen aan de veilige kant is bij stabiliteitsberekeningen. De schematische voorstelling van een onverzadigde grond wordt gegeven in Fig. 3.7b.
3.4 Gedrag van een grond bij een spanningstoename Stel dat een grond op een bepaalde plaats onderworpen wordt aan een bijkomende belasting, zoals bijvoorbeeld het gewicht van een gebouw. Daardoor ontstaat er in de grond een ogenblikkelijke lokale toename in de totale spanning, welke we aanduiden met ∆σ0. Er zijn nu twee mogelijkheden. Als de grond onverzadigd is, wordt de toename in totale spanning onmiddellijk overgedragen op de effectieve spanning ∆σ 0 = ∆σ' 0
(3.15)
- 37 -
Echter in het geval de grond verzadigd is, stelt dan men vast dat initieel deze toename van de totale spanning volledig opgenomen wordt door een toename in de druk van het grondwater ∆σ0 = ∆u 0
(3.16)
Hierdoor ontstaat een drukgradiënt tussen de plaats waar de belasting zich voordoet en de wijdere omgeving waar de oorspronkelijke toestand ongewijzigd is gebleven. Afhankelijk van de situatie en de hydraulische eigenschappen van de grond zal deze druktoename aanleiding geven tot een herverdeling van het grondwater, waardoor het drukverschil zal afnemen in de loop van de tijd. De herverdeling van grondwater is eigenlijk grondwaterstroming, waarvan de wetmatigheden in Hoofdstuk 7 besproken worden. Het is echter belangrijk om op te merken dat deze stroming sterk afhankelijk is van de grondeigenschappen en de randvoorwaarden. Meer bepaald zal de herverdeling snel gebeuren in gronden met een grove samenstelling, zoals grind- en zandgronden, indien de omgevingsvoorwaarden dit toelaten, maar daarentegen veel trager gebeuren in gronden waarvan de samenstelling overheerst wordt door fijn materiaal, zoals silt en klei. Een al of niet snelle of geleidelijke afname van de druk gaat gepaard met een snelle of geleidelijke toename in de effectieve spanning, zodat de som van beide termen steeds gelijk is aan de oorspronkelijke toename in totale spanning ∆σ0 = ∆σ't + ∆u t
(3.17)
Deze evolutie in de tijd wordt schematisch weergegeven in Fig. 3.9.
∆σ0 Belasting
∆σ't
∆ut 0 0
Tijd
Fig. 3.9 Verband tussen een toename in totale spanning en een toename in respectievelijk de effectieve spanning en druk van het grondwater in de loop van de tijd.
Dit proces wordt consolidatie genoemd. In een volgende hoofdstuk zal het geval van verticale consolidatie uitvoerig besproken worden. Uiteindelijk zal na volledige consolidatie de oorspronkelijke toename in totale spanning volledig opgenomen zijn door de toename in effectieve spanning
- 38 -
∆σ 0 = ∆σ' ∞
(3.18)
In de grondmechanica stelt zich hier een probleem, nl. welke toestand is het meest kritisch m.b.t. de stabiliteit: de initiële toestand of de uiteindelijke toestand na consolidatie? We hebben reeds vastgesteld dat vervormingen van de grondstructuur afhankelijk zijn van de effectieve spanningen, zodat we in eerste instantie zouden kunnen besluiten dat de uiteindelijke toestand de meest kritische is. Dit is waar voor wat betreft de vervormingen. Echter initieel moet de stabiliteit ook verzekerd zijn. Er blijken dus twee toestanden van belang te zijn, waarbij de snelheid van de consolidatie een belangrijke rol speelt. Deze toestanden worden aangeduid als: gedraineerd of ongedraineerd. De gedraineerde situatie is van toepassing in grove gronden, onder voorwaarde dat het grondwater vrij kan wegstromen, waardoor de consolidatie snel kan plaats vinden, zodat alleen de uiteindelijke toestand van belang is, nl. de toename in totale spanningen komt volledig ten laste van de effectieve spanningen en de stabiliteit en de vervormingen in deze situatie moeten voldoen aan de gepaste criteria. Daarentegen in een ongedraineerde situatie komt de toename in totale spanning eerst volledig ten laste van de grondwaterdrukken en moet er nagegaan worden of deze situatie stabiel is. Dergelijke situatie is typisch voor silt- of kleigronden, omdat de consolidatie meestal uiterst traag is. Daarnaast moet er ook nagegaan worden of de uiteindelijke toestand na consolidatie, waarbij de belasting volledig op de effectieve spanningen is overgedragen, eveneens voldoet aan alle criteria. Meestal zijn hierbij alleen criteria van toegelaten vervormingen van belang, omdat in de meeste gevallen de stabiliteit alleen maar kan verbeteren in de loop van de tijd door de toename van de stijfheid van de grond, maar uitzonderingen zijn mogelijk, zoals situaties waar de totale spanningen in de grond afnemen, zoals bij een uitgraving. We kunnen de gedraineerde en ongedraineerde toestanden schematisch voorstellen met het grondmodel bestaande uit een waterreservoir en een veer (Fig. 3.10).
σ+∆σ
u+∆u
σ’
A
σ+∆σ
u
σ’+∆σ’
B
Fig. 3.10 Schematische voorstelling van een belasting van een grond: (a) ongedraineerd en (b) gedraineerd.
- 39 -
De ongedraineerde situatie wordt weergegeven in Fig. 3.10a. Het waterreservoir is volledig gesloten zodat het water niet kan wegstromen. Hierdoor wordt de totale toename in de belasting volledig opgenomen door een toename in de druk van het water. De gedraineerde situatie wordt voorgesteld in Fig. 3.10b, waarbij er een gat in het reservoir is aangebracht waardoor het water kan wegstromen. De toename in de totale spanning wordt nu opgenomen door de veer die hierdoor iets verder samendrukt. Dit stelt de toename in de effectieve spanningen voor en de daarbij gepaard gaande vervormingen van de korrelstructuur. Er kunnen uiteraard ook stabiliteitsproblemen of vervormingen optreden wanneer uitwendige belastingen worden weggenomen, zoals bijvoorbeeld bij uit- of afgravingen of het ledigen van een reservoir. In dergelijke gevallen is ∆σ0 negatief en zal dit leiden tot een afname van grondwaterdruk of van de effectieve spanningen, afhankelijk van de drainagetoestand en de consolidatie. Een daling van effectieve normaalspanningen kan erg ongunstig zijn voor de stabiliteit, zoals verder zal blijken in Hoofdstuk 3. Daarom zal in een dergelijk geval ook de uiteindelijke toestand zeker onderzocht moeten worden. Het is ook belangrijk op te merken dat veranderingen in de grondwaterdruk aanleiding kunnen geven tot stabiliteitsproblemen of vervormingen van een grond, zonder dat er veranderingen optreden in de uitwendige belastingen en totale spanningen. Immers als er geen bijkomende belastingen zijn, ∆σ0 = 0, resulteert een plotselinge verandering van de druk, ∆u0, in een plotselinge tegengestelde verandering van de effectieve spanning, ∆σ'0 = -∆u0. Dit verklaart waarom er bijvoorbeeld na hevige regenval grondverschuivingen of modderstromen ontstaan en waarom er bij droogzuiging van een bouwput soms scheuren ontstaan in aanliggende gebouwen.
3.5 De elasticiteitsbenadering Voor sommige toepassingen kan men grond beschouwen als een isotroop lineair elastisch materiaal. De eigenschappen van grond zijn zeker niet elastisch, evenwel voor sommige praktische problemen kan dit een toegelaten benadering zijn, voornamelijk wanneer het kleine vervormingen betreft die gepaard gaan met weinig of geen distorsie. Beschouw eerst een gedraineerde situatie, bijvoorbeeld een droge grond of een verzadigde grove grond waarbij het water snel kan wegstromen. De vervormingen die optreden zijn het gevolg van wijzigingen in de effectieve spanningen. Het verband tussen effectieve spanningen en de vervorming van de grond bij samendrukking wordt schematisch weergegeven in Fig. 3.11a. Dit verband is niet lineair elastisch vermits de stijfheidsmodulus toeneemt met de effectieve spanning, daar de grond compacter en stijver wordt. Indien de grond in een bepaalde begintoestand is, met een effectieve spanning σ'0, dan kan men bij een kleine toename van de spanningen overwegen om de grond als een elastisch materiaal te beschouwen met een constante stijfheid, welke bekomen wordt als de raaklijn aan de curve dσ'/dε in het beginpunt. We noemen dit de tangent modulus E', waarbij een accent toegevoegd wordt om duidelijk te maken dat deze waarde afgeleid is uit het verband tussen de effectieve spanningen en de vervormingen van de grond. Het is duidelijk dat deze benadering redelijk is bij een kleine toename van de spanningen, ook m.b.t. de stabiliteit omdat de vervormingen overschat worden, zoals blijkt uit de relatie tussen spanningen en vervormingen bij samendrukking.
- 40 -
Op dezelfde wijze kan men een tangent glijdingsmodulus definiëren G’ (het accent is niet echt nodig want grondwater heeft geen enkel effect op afschuiving vermits er geen schuifspanningen kunnen optreden in de vloeistof). De linearisering in geval van distorsie is niet aan de veilige kant, want er worden kleinere afschuivingen berekend dan in werkelijkheid zullen optreden, omdat in een grond de afschuivingen meer dan lineair toenemen met de schuifspanningen, zoals weergegeven in Fig. 3.11b. Bovendien is het bezwijken van grond door afschuiving een belangrijk en veel voorkomend probleem in de grondmechanica. Het is dus belangrijk dat er weinig of geen distorsie ontstaat, anders is een lineair elastische benadering niet erg aangewezen.
σ'
τ
σ'1
τ'1 secant modulus E' = ∆σ'/∆ε
σ'0
tangent modulus τ'0 E' = dσ'/dε
tangent modulus G' = dτ'/dγ
secant modulus G' = ∆τ'/∆γ
ε
γ
B A Fig 3.11 Tangent en secant moduli benaderingen bij (a) compressie en (b) distorsie. Iets nauwkeuriger is om, ingeval de maximale effectieve spanningen σ1 en τ1 gekend zijn, de helling van de koorden te gebruiken, i.p.v. de raaklijnen zoals weergegeven in de Fig. 3.11. Dit wordt de secant moduli methode genoemd. Deze methode is beter en veiliger, maar men moet dan wel de optredende maximale spanningen en vervormingen al kennen vooraleer men deze benadering kan toepassen. In geval van een elastische benadering, wordt het verband tussen de toename in vervormingen en effectieve spanningen gegeven door de wet van Hooke. Voor normaalvervormingen en -spanningen wordt dit
[
]
(3.19a)
[
]
(3.19b)
[
]
(3.19c)
1 ∆σ' x −ν' (∆σ' y + ∆σ' z ) E' 1 ∆ε y = ∆σ' y −ν' (∆σ' z + ∆σ' x ) E' 1 ∆ε z = ∆σ' z −ν' (∆σ' x + ∆σ' y ) E' ∆ε x =
met ν' de dwarscontractiecoëfficiënt of coëfficiënt van Poisson, die dimensieloos is en waarvan de waarde begrepen moet zijn tussen 0 en 0,5. Voor de toename in de afschuivingen en schuifspanningen is dit 1 ∆γ xy = ∆τ' xy (3.20a) G'
- 41 -
1 ∆τ' yz G' 1 = ∆τ' zx G'
∆γ yz =
(3.20b)
∆γ zx
(3.20c)
waarbij het verband tussen de stijfheidsmodulus, de glijdingsmodulus en de coëfficient van Poisson gegeven wordt door G' =
E' 2(1 + ν' )
(3.21)
Merk op dat we consistent alle parameters blijven schrijven met een accent, om er op te wijzen dat deze betrekking hebben op effectieve spanningen. Tabel. 3.1 Richtwaarden voor E’ en ν’ bij een effectieve spanning van 100 kPa. Grondsoort
Consistentie of dichtheid
E’ (MPa) 0,2 - 1
ν'
zeer slap slap matig vast vast zeer vast
< 0,5 0,5 - 2 2-5 5 - 10 > 10
> 0,4 0,35 - 0,4 0,3 - 0,35 0,25 - 0,3 < 0,25 0,3 - 0,4
zeer slap slap matig vast vast zeer vast
<1 1-5 5 - 10 10 - 20 > 20
zeer los los matig dicht dicht zeer dicht
< 25 25 - 50 50 - 100 100 - 150 > 150
zeer los los matig dicht dicht zeer dicht
< 50 50 - 75 75 - 125 125 - 200 > 200
veen klei
silt
zand
grind
< 0,2 0,2 - 0,25 0,25 - 0,3 0,3 - 0,35 >0,35 0,15 - 0,25
Een laatste probleem is dat meestal niet elk punt in de grond een zelfde beginwaarde heeft voor de effectieve spanningen; in het bijzonder zullen de spanningen toenemen met de diepte,
- 42 -
zodat ook de schijnbare elasticiteitscoëfficiënten wijzigen met de diepte. Dit bemoeilijkt ten zeerste de toepasbaarheid van de elasticiteitstheorie in de grondmechanica. Enkele richtwaarden voor E' en ν', in functie van de grondsoort, worden gegeven in Tabel 3.1; deze waarden gelden voor een effectieve spanning van 100 kPa, hetgeen ongeveer overeenkomt met een diepte van 10 m in een verzadigde grond. We beschouwen vervolgens een ongedraineerde situatie, zoals een belasting aangebracht op een verzadigde grond waarvan het water niet snel kan wegstromen. Dit zal meestal het geval zijn voor een kleigrond, maar is ook van toepassing op een zandgrond wanneer de grondwaterstroming verhinderd wordt. De ogenblikkelijke vervormingen zijn nu niet afhankelijk van de effectieve spanningen, want deze wijzigen niet. Het is daarom gebruikelijk om in dergelijk geval de vervormingen die zullen optreden uit te drukken in functie van de totale spanningen. Een elastische benadering geeft dan volgende vergelijking voor het verband tussen normaalvervormingen en -spanningen ∆ε x =
[
1 ∆σ x − ν u (∆σ y + ∆σ z ) Eu
]
(3.22)
en gelijkaardige vergelijkingen voor de andere richtingen. Voor het verband tussen afschuivingen en schuifspanningen wordt dit
∆γ xy =
1 ∆τ xy Gu
(3.23)
met eveneens gelijkaardige vergelijkingen voor de andere richtingen. De elasticiteitsparameters worden nu aangeduid met een index u, wat staat voor ongedraineerd (E. undrained). Vermits in dit geval de bijkomende spanningen volledig worden opgenomen door de waterfase, zullen de vervormingen bij samendrukking voornamelijk bepaald worden door de samendrukbaarheid van het poriënwater. In de praktijk blijkt dat luchtinsluitsels hierbij een belangrijke rol spelen. We komen hier in een volgende paragraaf op terug. Eu is dus afhankelijk van de samendrukbaarheid van de lucht en het water aanwezig in de poriën en is daarom veel groter dan E’. De waarde van de ongedraineerde Poissoncoëfficiënt νu is vrij exact gekend; immers bij vloeistoffen is de spanning isotroop, zodat νu gelijk is aan 0,5 voor elke ongedraineerde grond. Echter in geval van luchtinsluitsels kan de waarde van νu iets kleiner worden dan 0,5. Omdat het poriënwater geen invloed heeft op afschuiving is Gu gelijk aan G’.
3.6 Eendimensionale samendrukking Van bijzonder belang in de grondmechanica zijn verticale vervormingen te wijten aan verticale belastingen, zonder dat er horizontale vervormingen optreden omdat zijdelingse verplaatsingen verhinderd worden. Dit is bijvoorbeeld het geval voor een grond onder eigen gewicht of een grond onderworpen aan een uniforme verticale belasting aan het grondoppervlak. Deze toestand wordt nagebootst in het laboratorium in een zogenaamde oedometerproef (Fig. 3.12), waarbij de eendimensionale vervorming van een grondmonster, geplaatst tussen twee poreuze stenen en omringd door een stalen ring, opgemeten wordt bij toenemende belasting.
- 43 -
De poreuze stenen zorgen ervoor dat het water uit het grondmonster kan draineren, zodat de druk van het water in de grond altijd nul is en de toename in effectieve spanning gelijk is aan de aangebrachte totale spanning. De relatieve verandering in de lengte van het grondmonster ∆L/L geeft dan de vervorming ε. Er moet wel op gelet worden dat het monster voldoende tijd krijgt om tot evenwicht te komen na elke toename in belasting. σ
Belasting Poreuze steen Grondmonster
L
Stalen cilinder
Fig.3.12 De oedometerproef. De vervorming wordt uitgezet volgens de effectieve spanning σ', zoals weergegeven in Fig. 3.13, hetgeen een vervorming-spanningsrelatie oplevert welke het typisch gedrag van een grond zal vertonen, nl. een toename van de stijfheid met toenemende belasting.
σ’0
σ’
0
lnσ’0
lnσ’
0
1/C
ε
ε A
B
Fig. 3.13 Verband tussen de vervorming en de effectieve spanning bij een eendimensionale samendrukking, volgens (a) effectieve spanning en (b) logaritme van de effectieve spanning.
Het is gebruikelijk om in de grafiek de vervorming positief naar beneden te tekenen omdat het immers toch een verticale samendrukking betreft. Ook wordt de effectieve spanning uitgezet vertrekkende vanaf een zekere beginspanning σ'0. Omdat het verband tussen de vervorming en de effectieve spanning niet lineair is kan men de vervorming ook uitzetten volgens de logaritme van de effectieve spanning, waarbij men meestal een lineair verband bekomt wat als volgt uitgedrukt kan worden
- 44 -
ε=
1 σ' ln C σ'0
(3.24)
Dit is de logaritmische samendrukkingswet van Terzaghi, met C de samendrukkingsmodulus die dimensieloos is. Hoe stijver de grond hoe groter de waarde van C. Omdat in de praktijk het verband tussen vervorming en effectieve spanning dikwijls op tiendelig logaritmisch papier wordt uitgezet, krijgt men volgende relatie ε=
1 σ' log C10 σ' 0
(3.25)
met C10 de samendrukkingsmodulus gebaseerd op de tiendelige logaritme; met volgend verband tussen C10 en C C = ln(10) ⋅ C10 ≈ 2,3 ⋅ C10
(3.26)
Internationaal wordt het meer en meer gebruikelijk om de samendrukking van een grond, zoals bij een oedometerproef, te interpreteren als een relatie tussen het poriëngetal e en de effectieve spanning σ'. Men bekomt dan resultaten zoals weergeven in Fig. 3.14.
e
e
e0
e0
Cc
0
0 σ’0
σ’
lnσ’0
A
lnσ’ B
Fig. 3.14 Verband tussen het poriëngetal en de effectieve spanning bij een eendimensionale samendrukking, volgens (a) effectieve spanning en (b) logaritme van de effectieve spanning.
Dit verband wordt uitgedrukt door volgende vergelijking e = e 0 − C c ln
σ' σ' 0
(3.27)
met e0 het poriëngetal van de grond bij het begin van de oedometerproef en Cc de samendrukkingsindex, die dimensieloos is. Hoe slapper de grond hoe groter de waarde van
- 45 -
Cc. Het verband tussen de samendrukkingsindex Cc en de samendrukkingsmodulus C kan bekomen worden als volgt. Eerst leggen we een verband tussen de vervorming ε en het poriëngetal e omdat de vervorming alleen het volume van de poriën Vp kan wijzigen terwijl het volume van de korrels Vk onveranderd blijft, zodat ε=
∆L ∆Vp Vp 0 − Vp e 0 − e = = = L V0 Vk + Vp 0 1 + e 0
(3.28)
Substitueren we deze betrekking in vergelijking 3.22 dan volgt e = e0 −
1 + e0 σ' ln C σ' 0
(3.29)
zodat C=
1 + e0 Cc
(3.30)
Typische waarden voor de samendrukkingsmodulus worden gegeven in Tabel 3.2.
Tabel 3.2 Richtwaarden voor de samendrukkingsmodulus in functie van de grondsoort (de waarde van M’ is geldig voor een effectieve spanning van 100 kPa). Grondsoort grind zand silt klei veen
C 1000-3000 100-2000 20-100 10-100 5-20
C10 500-1500 50-1000 10-50 5-50 2-10
Cc 0,001-0,003 0,002-0,03 0,02-0,1 0,05-0,5 0,5-5
M' (MPa) 100-300 10-200 2-10 1-10 0,5-2
We kunnen de eendimensionale samendrukking van een grond ook beschrijven met de tangent modulus benadering uit de elasticiteitstheorie. Uitgaande van de vergelijkingen opgesteld in vorige paragraaf en onder voorwaarde dat ∆εx = ∆εy = 0, wordt het volgend verband bekomen tussen ∆σ'v = ∆σ'z en ∆εv = ∆εz ∆ε v =
(1 + ν' )(1 − 2ν' ) 1 ∆σ'v = ∆σ'v E' (1 − ν' ) M'
(3.31)
E' (1 − ν' ) (1 + ν' )(1 − 2ν' )
(3.32)
met M' =
Parameter M’, ook soms aangeduid als E’oed, wordt de oedometermodulus genoemd. Deze is uiteraard niet constant maar neemt toe met de effectieve spanning. Dit kan aangetoond worden door vergelijking 3.24 af te leiden naar σ’, waaruit volgt
- 46 -
∆σ' Cσ '
(3.33)
M ' = C σ'
(3.34)
∆ε = zodat
hetgeen aantoont dat de stijfheid van een grond bij zuivere samendrukking toeneemt met de effectieve normaalspanning. Typische waarden voor de oedometermodulus voor een effectieve spanning van 100 kPa worden gegeven in Tab 3.2. Merk op dat vergelijkingen 3.34 en 3.32 toelaten om de stijfheidsmodulus E' af te leiden uit een oedometerproef, mits men over een goede schatting of kennis van ν' beschikt. Met de elasticiteitstheorie kan er ook een verband afgeleid worden tussen de toename in horizontale en verticale spanningen zonder horizontale vervorming , nl. ∆σ' h =
ν' ∆σ' v 1 − ν'
(3.35)
Voor een zandgrond is ν’ ≈ 0,25 en geeft dit 1/3 als verhouding tussen de horizontale en verticale spanningen, voor een kleigrond is ν’ ≈ 0,5 en resulteert dit in 1/1 (isotroop). Deze betrekking is echter een grove benadering, zoals later aangetoond zal worden in Hoofdstuk 4. Een laatste opmerking betreft een ongedraineerde toestand. Indien de grond verzadigd is en bij een verticale belasting dit water niet kan wegvloeien, dan wordt de toename in de spanning volledig overgedragen op de waterfase. De vervorming kan dan uitgedrukt worden in functie van de totale spanning en ongedraineerde grondkarakteristieken 1 ∆σ Mu
(3.36)
E u (1 − ν u ) (1 + ν u )(1 − 2ν u )
(3.37)
∆ε = met Mu =
Vermits νu gelijk is aan 0,5 volgt hieruit dat de ongedraineerde oedometermodulus naar oneindig streeft, d.w.z. er is geen vervorming mogelijk. Dit blijkt niet helemaal overeen te komen met de werkelijkheid omdat de waterfase zelf samendrukbaar is. Hieruit volgt ∆ε =
e ∆Vw Vw 0 e 0 β∆u e 0 β B∆σ ∆Vw ∆L ∆Vp = = = 0 = = L V0 Vk + Vp 0 1 + e0 1 + e0 1 + e0
(3.38)
met β de samendrukkingscoëfficiënt van water (∼0,5·10-9 Pa-1) en B = ∆u/∆σ de coëfficiënt voorgesteld door Skempton om rekening te houden met luchtinsluitsels. Uit voorgaande volgt Mu =
1 + e0 e 0βB
(3.39)
zodat de waarde van Mu rond de 4000 MPa bedraagt als B ≈ 1, wat beduidend groter is dan in geval van een gedraineerde toestand. In geval van luchtinsluitsels (B > 1) kan de waarde van
- 47 -
Mu kleiner worden, maar toch blijkt over het algemeen dat voor een ongedraineerde toestand de normaalvervormingen niet erg groot kunnen zijn en feitelijk geen probleem vormen. Uiteraard moet er nog wel nagegaan worden wat de uiteindelijke vervorming zal zijn na consolidatie. Dit komt aan bod in het volgende hoofdstuk.
3.7 Overgeconsolideerde gronden Tot nu toe hebben we nog niet gesproken over wat er gebeurt als de belasting bij een eendimensionale vervorming, zoals in geval van een oedometerproef, weggenomen wordt. Het blijkt dat de grond zich dan plastisch gedraagt en niet meer terugkeert naar zijn oorspronkelijke vorm. Er vindt slechts een kleine expansie plaats terwijl het grootste gedeelte van de samendrukking behouden blijkt, zoals weergegeven in Fig. 3.15.
σ’0
σ’
lnσ’0
0
lnσ’
0
1/A ε
ε A
B
Fig. 3.15 Verband tussen de vervorming en de effectieve spanning bij wegnemen van de belasting na een eendimensionale samendrukking, volgens (a) effectieve spanning en (b) logaritme van de effectieve spanning.
Wanneer de vervormingen uitgezet worden volgens de logaritme van de effectieve spanningen, blijkt meestal dat er opnieuw een lineair verband bekomen wordt, echter nu met een andere richtingscoëfficiënt. Dit verband kan uitgedrukt worden als ∆ε =
1 ∆(lnσ' ) A
(3.40)
met A de ontlastingsmodulus, waarvan de waarde groter is dan de samendrukkingsmodulus C; de verhouding tussen A en C kan tot een factor 10 bedragen. Indien we de vervorming in functie van het poriëngetal bestuderen, wordt dit ∆e = C S ∆(lnσ' )
(3.41)
met CS de zwellingsmodulus (E. swelling modulus). Het bijzondere is nu dat bij het herbelasten de grond wel dezelfde curve zal volgen, d.w.z. de voorgaande ontlastingscurve, tot aan het punt waar terug de originele curve bereikt wordt, waarna het verloop van de vervormingen volgens de spanningen opnieuw volgens de originele curve zal evolueren. Een
- 48 -
grond in dergelijke toestand vertoont dus een bijzonder gedrag. Eerst gedraagt de grond zich erg stijf, totdat de effectieve spanning een zekere waarde bereikt, waarna de grond plotseling veel minder stijf wordt. Dit is erg belangrijk, immers indien de consolidatieproef niet ver genoeg verder gezet zou worden, kan men een totaal verkeerd beeld krijgen van de eigenschappen van de rond en de mogelijke vervormingen. In de praktijk kent men meestal de voorgaande vervormingen van een grond niet, gezien de geologische tijdsschaal. Het kan zijn dat een grond vroeger bedekt was met andere grondlagen, waardoor er vervormingen zijn opgetreden. Als dan later de bovenlagen geërodeerd werden, zal de grond zich gedragen zoals weergegeven in Fig. 3.16.
σ’0
σ’p
σ’
lnσ’0
0
0
ε
ε A
lnσ’p
lnσ’
B
Fig. 3.16 Verband tussen vervorming en effectieve spanning bij een overgeconsolideerde grond, volgens (a) effectieve spanning en (b) logaritme van de effectieve spanning.
We noemen dit een overgeconsolideerde grond. Het is bijzonder belangrijk om te weten of een grond al dan niet overgeconsolideerd is, om de vervormingen bij een nieuwe belasting exact te kunnen inschatten. Het is daarbij ook erg belangrijk om te weten tot welke maximale effectieve spanning de grond vroeger onderworpen is geweest, omdat vanaf deze waarde de vervormingen zich terug zullen gedragen zoals oorspronkelijk het geval was, d.w.z. de grond zal zich slapper gedragen dan in zijn huidige toestand. Deze kritische waarde noemt men de preconsolidatie druk of voorbelasting en is in de figuur aangeduid als σ'p. Men definieert de overconsolidatiegraad, OCR (E. overconsolidation ratio), als de verhouding tussen σ'p en σ'0, d.w.z. de verhouding tussen de maximale effectieve spanning welke ooit in de grond aanwezig is geweest en de effectieve spanning in de huidige toestand OCR =
σ' p σ' 0
(3.42)
Merk op dat de OCR kan veranderen met de diepte in een grondlaag. Immers hoe dieper hoe groter de aanwezige effectieve spanning en ook hoe groter de preconsolidatie druk kan zijn geweest. Echter het verschil tussen de preconsolidatie druk en de huidige effectieve spanning σ'p - σ'0 zou constant moeten zijn met de diepte.
- 49 -
Wanneer een grond nooit onderworpen is geweest aan een hogere effectieve spanning dan de huidige effectieve spanning, dan is de OCR gelijk aan één en noemt men de grond normaal geconsolideerd. Door Casagrande werd een methode ontwikkeld om de preconsolidatie druk nauwkeurig te bepalen op een gestandaardiseerde wijze. Uitgaande van de resultaten van een oedometerproef, blijkt dat de overgang tussen een ontlastingscurve en de normaal geconsolideerde belastingscurve geleidelijk is, waardoor de bepaling van de voorbelasting niet evident is (Fig. 3.17). De methode van Casagrande bestaat erin om het punt te identificeren op de curve met de grootste kromming, daaraan de raaklijn te tekenen en de horizontale, en vervolgens de bissectrice van deze lijnen; het snijpunt met het verlengde van de rechte door het normaal geconsolideerde gedeelte van de curve geeft dan de preconsolidatie druk.
lnσ’0 0
lnσ’p
lnσ’
horizontale bissectrice raaklijn ε Fig. 3.17 Bepaling van de preconsolidatie druk volgens Casagrande.
3.8 Schuifsterkte van een grond We richten nu onze aandacht op vervorming van een grond waarbij de schuifsterkte van belang is. In de praktijk zijn dit alle gevallen waar er distorsie is, zoals bij funderingen, keerstructuren, uitgravingen, enz. Echter we gaan niet in detail de hoekvervorming in functie van de schuifspanning onderzoeken, want dat is te moeilijk, maar wel de toestand van bezwijken. Hiervoor beschouwen we een grondmonster onderworpen aan zekere axisymmetrische beginspanningen (σ1 > σ2 = σ3) en vergroten de grootste hoofdspanning, waarbij er driedimensionale vervormingen ontstaan, totdat er breuk optreedt (Fig. 3.18). Het blijkt dat, nadat de hoofdspanning σ1 een bepaalde waarde bereikt, de grondkorrels over elkaar beginnen schuiven langs zekere glijvlakken (Fig. 3.18b). Dus op een bepaald ogenblik verliest de grond zijn vaste structuur en beginnen de korrels los van elkaar te bewegen, waarna er een breuk optreedt. De verklaring hiervoor wordt gegeven door de Mohr-Coulomb breuktheorie. De schuifsterkte van een grond is een gevolg van de wrijving tussen de korrels, welke overwonnen moet worden vooraleer de korrels over elkaar kunnen schuiven. Dit proces kan vergeleken worden met een voorwerp dat over een vlak schuift, zoals weergegeven in Fig. 3.19a.
- 50 -
De beweging wordt mogelijk wanneer de schuifspanning groter wordt dan een kritische waarde, welke bestaat uit twee bijdragen: ten eerste een cohesie, dit is een affiniteit tussen het voorwerp en het oppervlak, en ten tweede door de normaalspanning die het voorwerp tegen het oppervlak drukt en daardoor wrijving veroorzaakt. In afwezigheid van cohesie kan het verband tussen de schuifspanning en de normaalspanning worden uitgedrukt door een kritische wrijvingshoek φ tgφ =
τ σ
(3.43)
σ1
σ3
ε1
ε3
σ3
ε3
ε1
σ1 A
B
Fig. 3.18 Een grondmonster onderworpen aan driedimensionale spanningen en vervormingen: (a) hoofdspanningen en (b) vervormingen bij breuk.
σ
σ τ
τ τf τf A
B
Fig. 3.19 Effect van de wrijving: (a) een voorwerp op een oppervlak en (b) in een grond.
- 51 -
De beweging wordt mogelijk wanneer de hoek gevormd door σ en τ groter wordt dan φ. Hetzelfde principe is geldig voor een grond (Fig. 3.19b); d.w.z. dat de grond niet zal bezwijken zolang de schuifspanning kleiner is dan de kritische schuifspanning gegeven door de cohesie en de effectieve normaalspanning maal de tangens van de wrijvingshoek τ' < τ f = c'+σ' tgφ'
(3.44)
met σ' en τ' de effectieve spanningen, τf de kritische schuifspanning of schuifsterkte waarbij index f staat voor frictie, c' de cohesie en φ' de interne wrijvingshoek. Merk op dat de schuifsterkte van een grond gedefinieerd wordt in termen van effectieve spanningen, vermits het een vervorming van de korrelstructuur betreft. Daarom worden de parameters ook aangegeven met een accent. Vergelijking 3.44 is het Mohr-Coulomb breukcriterium. Om in een bepaald punt in de grond na te gaan of er een breuk mogelijk is, moet men voor elk vlak nagaan of er voldaan wordt aan vergelijking 3.44. Dit gebeurt het eenvoudigst met een cirkel van Mohr, zoals weergegeven in Fig. 3.20.
τ'
c'
τ'
τf
φ'
c'
σ'3
σ'1
-c'
τf
φ' σ'3
σ'
σ'1
-c'
-τf A
σ'
-τf B
Fig. 3.20 Voorstelling van de schuifsterkte in het vlak van Mohr: (a) passieve grensspanningstoestand en (b) actieve grensspanningstoestand.
De schuifsterkte in het vlak van de Mohrcirkel wordt voorgesteld door een rechte die de y-as snijdt ter hoogte van c' en een hoek φ' maakt met de x-as. Om alle gevallen te beschouwen moeten we ook de negatieve schuifspanningen beschouwen, zodat er eigenlijk twee rechten zijn, zoals weergegeven in de figuur. Alle spanningstoestanden worden weergegeven door de punten op de Mohrcirkel. Zolang deze gelegen is binnen de twee rechten is er geen breuk mogelijk, d.w.z. alle waarden van de effectieve spanningen voldoen aan vergelijking 3.44. Laat men de grootste hoofdspanning toenemen (Fig. 3.20a) of de kleinste hoofdspanning afnemen (Fig. 3.20b) dan zal op een zeker ogenblik de cirkel van Mohr raken aan de rechte welke de schuifsterkte voorstelt en zal er een breuk optreden. De cirkel van Mohr kan dus nooit groter worden dan het gebied binnen de twee rechten. De toestand die overeenkomt met het begin van een breuk, waarbij de cirkel van Mohr raakt aan de rechte die de schuifsterkte
- 52 -
voorstelt, wordt de grensspanningstoestand genoemd, omdat de grond zich dan op de grens bevindt tussen evenwicht en breuk. Deze toestand wordt in detail weergegeven in Fig. 3.21. De hoek αf die het breukvlak maakt met het vlak van de grootste hoofdspanning kan uit de figuur afgeleid worden als π + φ' 2
(3.45)
π φ' + 4 2
(3.46)
2α f = zodat αf =
Deze hoek geeft de richting aan van de breukvlakken, zoals weergegeven in Fig. 3.18b. Wegens de symmetrie t.o.v. de σ-as zijn er ook breukvlakken met een richting -αf mogelijk. Deze hoeken zijn alleen afhankelijk van de interne wrijvingshoek φ'.
Fig. 3.21 De grensspanningstoestand.
Dit kan ook voorgesteld worden in het (p’,q’)-vlak. Vermits p’ het middelpunt geeft van de Mohrcirkel en q’ de straal, kunnen de normaalspanning en schuifspanning in het breukvlak als volgt uitgedrukt worden σ' f = p'−q ' sin φ'
(3.47a)
τ' f = q ' cos φ'
(3.47b)
en
- 53 -
Deze moeten voldoen aan de vergelijking van Mohr-Coulomb, zodat q' cos φ' = c'+(p'−q' sin φ' ) tgφ'
(3.48)
q' = c' cos φ'+ p' sin φ'
(3.49)
ofwel
Hieruit volgen twee belangrijke conclusies. Ten eerste blijkt er bij breuk van een grond ook een lineair verband te bestaan tussen p' en q', zoals weergegeven door bovenstaande vergelijking, d.w.z. dat men de eigenschappen van een grond bij breuk ook kan analyseren in het (p',q')-vlak zoals weergeven in Fig. 3.22.
q' bezwijklijn φ" c" p' Fig. 3.22 Voorstelling van de schuifsterkte van een grond in het (p',q')-vlak.
De schuifsterkte kan dan worden voorgesteld door de zogenaamde bezwijklijn met volgende kenmerken q ' f = c"+ p' f tgφ"
(3.50)
waarbij q'f en p'f grensspanningswaarden zijn en de coëfficiënten c" en φ" gegeven worden door
en
c" = c' cos φ'
(3.51a)
tgφ" = sin φ'
(3.51b)
Het is dus mogelijk om de c" en φ" waarden om te rekenen naar c' en φ' waarden en omgekeerd. Ten tweede, omdat p' en q' functies zijn van de grootste en de kleinste hoofdspanning, kan men ook het verband bekomen tussen σ'1 en σ'3 bij de grensspanningstoestand; uitgaande van vergelijking 3.49 wordt dit 1 2
waaruit volgt
(σ'1 −σ'3 ) = c' cos φ'+ 12 (σ'1 +σ'3 )sin φ'
(3.52)
- 54 -
1 + sin φ' cos φ' σ ' 3 +2 c' 1 − sin φ' 1 − sin φ'
(3.53)
1 + sin φ' 1 + sin φ' σ'3 +2 c' 1 − sin φ' 1 − sin φ'
(3.54)
σ'1 = of σ'1 = ofwel
σ'1 = ( tgα f ) 2 σ'3 +2( tgα f )c'
(3.55)
Deze relatie kan ook geschreven worden als
σ'1 = K p σ'3 +2 K p c'
(3.56)
waarbij Kp de passieve gronddrukcoëfficiënt wordt genoemd, gegeven door Kp =
1 + sin φ' ⎛ π φ' ⎞ = tg 2 σ f = tg 2 ⎜ + ⎟ 1 − sin φ' ⎝4 2⎠
(3.57)
Dit betekent dat wanneer een grond onderworpen is aan een bepaalde spanningstoestand de hoofdspanning σ’1 moet vergroten tot een waarde gegeven door vergelijking 3.56, om een breuk in de grond te veroorzaken. Vooraleer de breuk plaatsvindt heeft de grond zich dus passief verzet tegen de vervorming totdat hij uiteindelijk bezwijkt; men noemt dit de passieve grensspanningstoestand (Fig. 3.20a). Vergelijking 3.52 kan ook uitgewerkt worden naar σ’3 in functie van σ’1, wat leidt tot σ'3 = K a σ'1 −2 K a c'
(3.58)
met Ka de actieve gronddrukcoëfficiënt, gegeven door Ka =
1 1 − sin φ' ⎛π ⎞ ⎛ π φ' ⎞ = = tg 2 ⎜ − α f ⎟ = tg 2 ⎜ − ⎟ K p 1 + sin φ' ⎝2 ⎠ ⎝4 2⎠
(3.59)
Dit wil zeggen dat wanneer een grond onderworpen is aan een bepaalde spanningstoestand en zijdelings kan vervormen waarbij de kleinste hoofdspanning afneemt, er een grondbreuk zal optreden zodra de kleinste hoofdspanning σ’3 een waarde bereikt gegeven door vergelijking 3.58. De grond heeft hierbij meegewerkt om de breuk te veroorzaken. Daarom wordt deze toestand de actieve grens-spanningstoestand genoemd (Fig. 3.20b). De theorie van de grensspanningstoestanden werd voor het eerst opgesteld door Rankine. We zullen in volgende hoofdstukken zien hoe deze begrippen van fundamenteel belang zijn bij de analyse van verschillende geotechnische problemen.
- 55 -
William John Maquorn Rankine
De actieve en passieve grensspanningstoestand kan ook aanschouwelijk worden voorgesteld op volgende wijze. Veronderstel dat een grond zijdelings ondersteund wordt zoals weergegeven in Fig. 3.23.
σ’3
σ’1 σ’1
σ’3
αf = 45° + φ’/2 A
αf = 45° + φ’/2
90° - αf = 45° - φ’/2 B
Fig. 3.23 Voorstelling van de grenspanningstoestand: (a) actief en (b) passief.
Indien door de druk van de grond de ondersteuning wijkt (Fig. 3.23a) dan ontstaat er een actieve grondspanningstoestand gevolgd door een breukvlak onder een hoek αf met het horizontaal vlak. Op het ogenblik van de breuk is de normaalspanning op de wand gegeven door vergelijking 3.58. Indien daarentegen de wand de grond wegdrukt (Fig. 3.23b) ontstaat er een passieve grondspanningstoestand gevolgd door een breukvlak onder een complementaire hoek 90° - αf met het horizontaal vlak. De normaalspanning op de wand wordt dan gegeven door vergelijking 3.56. Merk op dat er in dit geval een veel groter stuk grond verplaatst wordt dan in het vorige geval.
- 56 -
3.9 De triaxiaalproef Om de karakteristieken van een grond vast te stellen bij breuk maakt men gebruik van een zogenaamde triaxiaalproef. Hierbij wordt een cilindrisch grondmonster onderworpen aan een axisymmetrische belasting en vervorming (Fig. 3.24). Het monster wordt in een rubberen mantel geplaatst zodat er zijdelingse verplaatsing mogelijk is. Boven- en onderaan zit het monster tussen filters waardoor het poriënwater kan ontsnappen. Het geheel zit vervat in een drukcel, waarmee er een algehele druk aangebracht wordt op het grondmonster. Deze druk werkt zowel op de mantel als op het onder- en bovenvlak, zodat initieel σ’1 = σ’3. Daarna wordt het monster geleidelijk bijkomend belast met ∆σ’ langs het bovenvlak, terwijl het ondervlak ingeklemd is, zodat σ’1 = σ’3 + ∆σ’ > σ’3. Soms brengt men een progressieve belasting aan op het bovenvlak, waarbij de verticale verplaatsing wordt opgemeten, maar soms wordt er gewerkt met een progressieve verplaatsing van het bovenvlak, waarbij de benodigde belasting wordt opgemeten. De proef wordt voortgezet totdat er een grondbreuk optreedt.
bovenbelasting
filter drukcel
grondmonster
membraan
Fig. 3.24 Een triaxiaalproef.
Doet men de proef verschillende malen op hetzelfde grondsoort, telkens startend vanaf verschillende beginspanningen, dan kan men de schuifsterkte-karakteristieken van de grond bepalen. Traditioneel kan dit gebeuren door de verschillende Mohr-cirkels te tekenen in het (σ',τ')-vlak en de rechte te bepalen die rakend is aan deze cirkels (Fig. 3.25a). Omdat men in zulk geval niet gebruik kan maken van een lineaire regressie (omdat men het raakpunt aan de cirkels niet vooraf kent), is het beter om te werken in het (p',q')-vlak, waarin elke proef weergegeven wordt door één punt, zodat het eenvoudiger is om de meest aangewezen rechte te bepalen welke overeenkomt met de meetgegevens (Fig. 3.25b). Merk op dat volgens
- 57 -
Eurocode 7 de parameters zodanig bepaald moeten worden dat er een 95% betrouwbaarheid is betreffende de waarde van de parameters, hetgeen dus enige statistische interpretatie vergt.
q'
τ'
σ'
A
p'
B
Fig. 3.25 Bepaling van de schuifsterkte aan de hand van resultaten van een triaxiaalproef: (a) voorstelling met Mohrcirkels en (b) voorstelling in (p’,q’)-diagram.
De correcte uitvoering van de triaxiaalproef stelt enige problemen; er zijn voornamelijk drie fenomenen die een correcte interpretatie ten zeerste bemoeilijken: 1) de invloed van het poriënwater; 2) de initiële toestand van het grondmonster; 3) de vervorming van de korrelstructuur tijdens de breuk. We richten eerst onze aandacht op de invloed van het water in de poriën. Drukken we de schuifsterkte uit in totale spanningen dan wordt de invloed van de poriënwaterdruk duidelijk τ f = c'+ (σ − u ) tgφ'
(3.59)
De aanwezigheid van een poriënwaterdruk heeft een negatieve invloed op de schuifsterkte, omdat het stabiliserend effect van de normaalspanningen verminderd wordt. Het is dus essentieel om tijdens een triaxiaalproef de poriënwaterdruk te neutraliseren. Dit kan gebeuren door een verbinding te voorzien tussen het poriënwater en de atmosfeer, zodat het water kan weg draineren indien nodig. Hierdoor is de druk altijd nul en zijn de effectieve spanningen en totale spanningen aan elkaar gelijk. Dit wordt de gedraineerde triaxiaalproef genoemd. Typische waarden bekomen met dergelijke proeven voor de cohesie en de wrijvingshoek worden gegeven in Tabel 3.3. Cohesie is vrijwel onbestaande bij grove gronden zoals zand en grind, terwijl de wrijvingshoek afhankelijk is van de dichtheid. Bij fijne gronden zoals silt en klei is er daarentegen wel cohesie en is de wrijvingshoek zeer klein of vrijwel onbestaande. Echter de waarden voor silt en klei moeten met de nodige voorzichtigheid beschouwd worden omdat er zich hier in de praktijk problemen stellen in verband met de drainage van het poriënwater. Een gedraineerde triaxiaalproef is eenvoudig uit te voeren bij gronden met een open poriënstructuur waarbij het water gemakkelijk kan wegvloeien, zoals zand en grind. Echter voor grondsoorten, waarbij het water moeilijk draineert, zoals silt en klei, stelt dit problemen. Men zal zeer lang moeten wachten vooraleer het poriënwater gedraineerd is. Bovendien komt
- 58 -
deze toestand niet overeen met het gedrag van de grond in de praktijk, immers bij een plotse belasting zal het grondwater niet kunnen draineren en moet de grond dus weerstaan aan de belasting in ongedraineerde toestand.
Tabel. 3.3 Richtwaarden voor de wrijvingshoek en de cohesie, bij gedraineerde toestand. Wrijvingshoek φ’ < 15°
Cohesie c' (kPa) 2 - 10
slap matig vast vast
< 17,5° 17,5 - 22,5° > 22,5°
< 10 10 - 25 > 25
slap matig vast vast
< 27,5° 27,5 - 32,5° > 32,5°
<2 2 - 10 > 10
zand of grind zeer los los matig dicht dicht zeer dicht
< 30° 30° - 32,5° 32,5° - 35° 35° - 37,5° > 37,5°
Grondsoort veen
klei
silt
0
Voor fijne gronden zoals silt en klei is het beter om de ongedraineerde schuifsterkte te beschouwen. Hierbij wordt het grondmonster niet verbonden met de atmosfeer en wordt de aangebrachte druk in de cel volledig overgebracht op het poriënwater. Daarna wordt de belasting op het bovenvlak opgevoerd tot er een breuk ontstaat. De analyse van de resultaten gebeurt in termen van totale spanningen, zoals weergegeven in Fig. 3.26.
q
τ su
su σ
A
p
B
Fig. 3.26 Bepaling van de ongedraineerde schuifsterkte aan de hand van resultaten van een ongedraineerde triaxiaalproef: (a) voorstelling met Mohrcirkels en (b) p,q-voorstelling.
- 59 -
Vermits de toename in poriënwaterdruk geen effect heeft op de schuifsterkte, omdat alleen het verschil tussen σ1 en σ3 van belang is en de schuifsterkte bepaald wordt door de initiële maar onbekende effectieve spanningen van het monster, zijn alle Mohrcirkels even groot en wordt de Mohr-Coulomb-breuklijn horizontaal. Hieruit resulteert dus slechts één waarde van de schuifsterkte, welke soms geïnterpreteerd wordt als een schijnbare ongedraineerde cohesie cu. Het is echter beter te spreken over een ongedraineerde schuifsterkte, aangeduid door het symbool su, omdat de eigenlijke oorzaak voor deze schuifsterkte, zij het cohesie of een zekere effectieve wrijvingshoek, niet juist gekend is. De gedachtegang achter deze werkwijze is dat een grond in zijn oorspronkelijke staat een zekere ongedraineerde schuifsterkte bezit, die bepaalde totale spanningen kan toelaten zonder dat er een breuk optreedt, waarbij van dan af de stabiliteit verzekerd is omdat de zeer geleidelijke consolidatie die daarna zal volgen de stabiliteit zal vergroten, omdat (meestal) de effectieve normaalspanningen zullen toenemen waardoor de schuifweerstand zal vergroten. Uiteraard is dit niet altijd het geval en zal men in de praktijk moeten nagaan of deze veronderstelling verantwoord is. Typische waarden voor de ongedraineerde schuifsterkte worden gegeven in Tabel 3.4; merk op dat de ongedraineerde schuifsterkte eigenlijk een maximaal mogelijke schuifspanning voorstelt.
Tabel 3.4 Richtwaarden voor de ongedraineerde schuifsterkte van een kleigrond. Consistentie
zeer vast vast matig vast slap zeer slap
Schuifsterkte su (kPa) 100 - 200 50 - 100 25 - 50 10 - 25 < 10
Een tweede probleem is de initiële toestand van het grondmonster. Omdat we het gedrag van het grondmonster wensen te onderzoeken zoals dit voorkomt in het veld, is het nodig dat het monster ongestoord wordt genomen en in ongestoorde vorm in het triaxiaal-apparaat wordt geplaatst. Dit is quasi onmogelijk te verwezenlijken, omdat het meer dan waarschijnlijk is dat de driedimensionale spannings- en vervormingstoestand van het grondmonster verstoord wordt bij de monstername en de plaatsing in het apparaat. Bovendien kennen we meestal zelfs de originele toestand in het veld niet. Hieruit volgt dat het onderzoek met de triaxiaalproef slechts een benadering is van de werkelijkheid. Meestal wordt het monster in verstoorde vorm in het apparaat geplaatst en tracht men met het aanbrengen van de druk in de cel zo veel mogelijk de initiële toestand in het veld na te bootsen. Dit houdt ook in dat het monster de tijd moet krijgen om zich aan te passen aan de druk in de cel. Dit betekent dat er poriënwater moet kunnen draineren en dat de korrelstructuur een zekere vervorming moeten ondergaan vooraleer het monster in evenwicht is met de druk in de cel. Dit noemt men de voorafgaandelijke consolidatie waarvoor een zekere tijd nodig is, vooral in geval van kleigronden. Aldus komt men tot de volgende mogelijkheden voor een triaxiaalproef: • De geconsolideerde en gedraineerde triaxiaalproef; dit is de zogenaamde CD-proef (E. consolidated and drained), welke typisch toegepast wordt op grove grondmonsters, zoals zand en grind, waarbij men initieel in de consolidatiefase zo goed mogelijk de toestand in
- 60 -
•
•
het veld tracht na te bootsen, waarna met een gedraineerde proef het grondmonster extra belast wordt tot er een grondbreuk optreedt. Een reeks van dergelijke proeven laat toe om de waarden van c’ en φ’ te bepalen. Deze proef is moeilijk uit te voeren op kleigronden, omdat dit te veel tijd zou vergen. De geconsolideerde en ongedraineerde triaxiaalproef of de zogenaamde CU-proef (E. consolidated and undrained). Deze proef wordt toegepast op silt- en kleigronden, waarbij men in de eerste consolidatiefase nog zo veel mogelijk de werkelijke toestand in het veld tracht na te bootsen, waarna met een ongedraineerde triaxiaalproef het monster extra belast wordt tot er een grondbreuk plaatsvindt. Hiermee kan de ongedraineerde schuifsterkte su bepaald worden. Echter de initiële consolidatiefase kan veel tijd in beslag nemen. De ongeconsolideerde en ongedraineerde triaxiaalproef of de zogenaamde UU-proef (E. unconsolidated and undrained). Deze is eveneens gebruikelijk voor silt- en kleigronden, waarbij men veronderstelt dat het monster zijn eigenschappen uit het veld bewaard heeft na inbrengen in het triaxiaal apparaat, waarna er onmiddellijk een ongedraineerde triaxiaalproef wordt uitgevoerd, welke een ongedraineerde schuifsterkte su oplevert. Dergelijke proeven zijn snel uit te voeren, maar de resultaten moeten met de grootste voorzichtigheid geïnterpreteerd worden omdat de overeenkomst met de werkelijke toestand in het veld zeer onzeker is.
Wanneer men CU-proeven uitvoert op kleigronden, dan blijkt er een verband te bestaan tussen de ongedraineerde schuifsterkte su en de initiële samendrukking van de kleigrond; hoe vaster de klei hoe groter zijn schuifsterkte. Een maat voor de samendrukking is de initiële effectieve verticale spanning, σ'v, waaraan de grond onderworpen is. Er blijkt dan ook een min of meer lineair verband te bestaan tussen su en σ'v, zoals weergegeven in Fig. 3.27.
su
su
φ'
φ' σ'v A
σ'p
σ'v
B
Fig. 3.27 Ongedraineerde schuifsterkte van een klei in functie van de effectieve spanning: (a) normale toestand en (b) bij overconsolidatie. Soms wordt dit verband tussen su en σ'v voorgesteld door een wrijvingshoek φ', zoals in Fig. 3.27a, echter deze wrijvingshoek is slechts schijnbaar, want de schuifsterkte is alleen geldig in ongedraineerde toestand, d.w.z. bij de vervorming en de breuk blijft σ'v ongewijzigd vermits alle bijkomende belasting opgenomen wordt door de poriënwaterdruk
- 61 -
s u = σ' v tgφ'
(3.60)
Door middel van proefondervindelijk onderzoek heeft Skempton aangetoond dat men dit verband ook kan weergeven in functie van de plasticiteitsindex su ≈ 0,11 + 0,37 I p σ' v
(3.61)
Uiteraard zijn bovenstaande formules alleen maar geldig voor normaal geconsolideerde kleigronden. Voor overgeconsolideerde gronden wordt het verband tussen su en σ'v zoals voorgesteld in Fig. 3.27b. Voor waarden van σ'v kleiner dan de preconsolidatiedruk σ'p zal de waarde van su groter zijn dan wat er berekend wordt met vergelijking 3.60 of 3.61. Dergelijke situaties kunnen alleen maar proefondervindelijk bepaald worden door nauwkeurige CUtriaxiaalproeven uit te voeren. Een laatste probleem betreft normaalvervormingen van een grond bij afschuiving. Soms gaat het over elkaar schuiven van de korrels gepaard met een volumevergroting, wat aangeduid wordt als dilatatie. Het betreft dus normaalvervormingen te wijten aan schuifspanningen. Immers bij zeer dichte of overgeconsolideerde gronden kan het voorkomen dat de korrels zich over een zekere afstand van elkaar moeten verplaatsen vooraleer er afschuiving en een breuk mogelijk is, zoals weergegeven in Fig. 3.28.
ψ
τ
σ τ ψ
A
B
Fig. 3.28 Dilatatie: (a) vervorming van een grondvolume en (b) verplaatsing van de korrels.
Het omgekeerde is ook mogelijk, nl. bij zeer losse of niet geconsolideerde gronden treedt er eerst een volumevermindering op, voordat er een afschuiving en een breukvlak ontstaat. Dit is te wijten aan het dichter bij elkaar komen van de korrels. Men noemt dit contractantie of negatieve dilatatie. Dergelijke vervormingen kan men beschrijven door een verplaatsingshoek ψ, welke men de dilatatiehoek noemt. Bij zeer dichte gronden moet eerst een positieve dilatatiehoek overwonnen worden vooraleer er een breuk kan optreden. Het is alsof men een voorwerp naar boven tracht te schuiven over een hellend oppervlak, zoals schematisch weergegeven in Fig. 3.29a. Bij slappe gronden is het omgekeerde het geval; de dilatatiehoek is negatief, alsof men een voorwerp naar beneden tracht te schuiven over een hellend oppervlak (Fig.3.29b).
- 62 -
σ
σ τ
τ ψ
-ψ
A
B
Fig. 3.29 Schematische voorstelling van dilatatie: (a) afschuiving in een dichte of dilatante grond en (b) afschuiving in een losse of contractante grond.
Hieruit volgt dat de schuifsterkte ook afhankelijk is van de dilatatiehoek τ f = c'+σ' tg (φ'±ψ )
(3.62)
zodat er geen eenduidige wrijvingshoek blijkt te bestaan. Ook het verband tussen schuifspanningen en afschuiving wordt dan complex, zoals weergegeven in Fig. 3.30.
τ
dichte of overgeconsolideerde grond τf kritische dichtheid slappe of nietgeconsolideerde grond γ
Fig. 3.30 Verband tussen spanningen en vervormingen bij afschuiving in gronden met verschillende dichtheden en consolidatiegraden.
Bij een slappe grond zal de afschuiving snel groter worden bij toenemende schuifspanning, terwijl bij een dichte grond er eerst een grote weerstand is tegen vervorming, doch zodra een zekere piekweerstand overwonnen is en de korrels een minder dichte structuur hebben aangenomen, worden de afschuivingen groter zelfs voor kleinere schuifspanningen. Echter van bijzonder belang is dat men experimenteel vaststelt dat, wat ook de initiële staat is van de grond op het ogenblik van de plastische breuk, de dichtheid een zekere kritische waarde bereikt die kenmerkend is voor het breukvlak. Dus door de verplaatsing van de korrels zal
- 63 -
eerst de dichtheid van het materiaal gewijzigd worden totdat de kritische dichtheid bereikt wordt en de breuk zal optreden. Hieruit volgt dat de uiteindelijke schuifsterkte bepaald wordt door de kritische dichtheid en niet door de initiële dichtheid. Voor dichte of overgeconsolideerde gronden is het aangewezen om geen rekening te houden met de piekweerstand voor de schuifsterkte. De reden hiervoor is dat men in de praktijk heeft vastgesteld dat in de loop van de tijd een breuk kan voorkomen in dergelijke gronden als de schuifweerstand bij kritische dichtheid overschreden wordt, maar de piekweerstand niet. Dit heeft te maken met het ontstaan van kleine scheurtjes waardoor lokaal de schuifweerstand verdwijnt, hetgeen dan op andere plaatsen de schuifweerstand laat toenemen tot boven de piekweerstand, waardoor dan nieuwe scheurtjes ontstaan, enz. tot op het ogenblik dat, dikwijls pas na verschillende jaren, de grond plotseling bezwijkt. Aldus moet de schuifsterkte geanalyseerd worden bij de kritische dichtheid, wat enig inzicht vergt in het gedrag van gronden en de juiste interpretatie van triaxiaalproeven. Voor dergelijk proefondervindelijk onderzoek is het meestal nodig om een meer geavanceerd apparaat te gebruiken, waarbij men zowel kan belasten als het ontlasten, alsook de vervorming van het grondmonster kan opmeten. Dit noemt men een celproef, of een “Dutch cell test”. De celproef werd oorspronkelijk ontwikkeld door Buisman om vervorming van een grond na te gaan zonder de grond te laten bezwijken. Het voordeel is dat men een zelfde grondmonster dan kan testen onder verschillende belastingen en vervormingen. Echter de proef is redelijk ingewikkeld en kan alleen uitgevoerd worden door gespecialiseerde laboratoria.
- 64 -
4 VERTICALE SPANNINGEN EN VERVORMINGEN
4.1 Geostatische spanningen Bij een normale toestand in het veld is het grondoppervlak quasi horizontaal en is de grond alleen onderworpen aan zijn eigen gewicht en de druk van het grondwater. De spanningen in de grond die hieruit volgen, noemt men de geostatische spanningen. Nemen we de z-as positief naar beneden met zijn oorsprong aan het grondoppervlak, dan wordt de totale verticale geostatische spanning op een diepte z gegeven door z
σ v = ∫ γdz
(4.1)
0
en de effectieve verticale geostatische spanning is dan z
σ' v = ∫ γdz − u
(4.2)
0
Merk op dat een wijziging in de grondwaterdruk een verandering van de effectieve geostatische spanning veroorzaakt. Voor een exacte bepaling van de druk van het grondwater, moet men de grondwaterstroming kennen, hetgeen behandeld zal worden in een later hoofdstuk. In de praktijk kent men meestal de grondwaterstroming niet exact en zal men de druk bepalen door te veronderstellen dat het grondwater in hydrostatisch evenwicht is. Dit wil zeggen dat de waterdruk afgeleid wordt uit de diepte onder de grondwatertafel.
zw
σ’v = σv
σ’v z A
σv
σ’v
z B
σv
z C
Fig. 4.1 Verticale spanningen in een homogene grond onder eigen gewicht: (a) droge grond, (b) verzadigde grond met de watertafel aan het oppervlak en (b) op een diepte zw. Voor sommige situaties kan men bovenstaande vergelijkingen nader uitwerken. Bijvoorbeeld voor een homogene droge grond (Fig. 4.1a) wordt dit σ v = σ' v = γ d z
(4.3)
- 65 -
met γd het droog volumegewicht van de grond; een redelijke rekenwaarde hiervoor is 16 kN/m3. Dit geeft bijvoorbeeld een spanning van 80 kPa op 5 m diepte en 160 kPa op 10 m diepte. De verticale spanningen nemen dus lineair toe met de diepte. Dit betekent dat ook de samendrukking en de stijfheid toenemen met de diepte. Voor een verzadigde grond met de watertafel aan het grondoppervlak (Fig. 4.1b) wordt de verticale geostatische spanning op een diepte z, gegeven door σv = γ vz
(4.4)
met γv het verzadigd volumegewicht van de grond; een redelijke rekenwaarde hiervoor is 20 kN/m3 De effectieve verticale geostatische spanning is dan σ' v = γ v z − γ w z = γ ' z
(4.5)
met γ' het effectief volumegewicht van de grond. Dit is het principe van Archimedes, nl. een voorwerp ondergedompeld onder water ondervindt een opwaartse kracht gelijk aan het gewicht van het verplaatste water, zodat het voorwerp slechts een zeker schijnbaar gewicht overhoud. Voor grond bedraagt dit schijnbaar gewicht ongeveer 10 kN/m3, zodat de verticale effectieve grondspanning in een verzadigde grond 50 kPa bedraagt op 5 m diepte en het dubbele op 10 m diepte. Het is dikwijls aangewezen, vanuit oogpunt van stabiliteit, om te veronderstellen dat de grondwatertafel zich aan het grondoppervlak bevindt, omdat de verticale spanningen dan minimaal zijn, hetgeen een minimale schuifsterkte impliceert wat een veilige veronderstelling is bij problemen m.b.t. afschuiving. Voor een grond met de watertafel op een diepte zw onder het grondoppervlak (Fig. 4.1c) wordt de verticale geostatische spanning op een diepte z > zw, gegeven door σ v = γ d z w + γ v (z − z w )
(4.6)
De effectieve verticale geostatische spanning is dan
σ' v = γ d z w + ( γ v − γ w )(z − z w ) = ∫ γ ' dz
(4.7)
met γ' opnieuw het effectief volumegewicht van de grond, dat we gelijk veronderstellen aan het drooggewicht van 16 kN/m3 boven de watertafel en het schijnbaar gewicht 10 kN/m3 onder de watertafel. We hebben ook de zuiging in de onverzadigde zone boven de watertafel verwaarloosd, wat een conservatieve veronderstelling is voor wat de effectieve spanningen betreft en hun effect op de schuifweerstand. Bijvoorbeeld met een watertafel op 5 m diepte bekomen we een effectieve verticale spanning van 80 kPa ter hoogte van de watertafel en 130 kPa op 10 m diepte. Het blijkt dus dat de verticale spanningen alleen afhangen van het gewicht van de grondlagen en niet van andere grondeigenschappen. Dit is echter niet het geval voor de horizontale spanningen, die wel zeer sterk afhankelijk blijken te zijn van de eigenschappen van de grond. Er bestaat geen sluitende theorie om de horizontale spanningen te bepalen. Uit de elasticiteitstheorie, vergelijking 3.35, en de waarden van de dwarscontractiecoëfficiënt ν'
- 66 -
gegeven in Tabel 3.35, zou men kunnen afleiden dat de verhouding tussen de horizontale en verticale effectieve spanningen varieert tussen ongeveer 0,3 voor grind en 1 voor klei. Echter vermits een grond niet lineair elastisch is, wordt proefondervindelijk vastgesteld dat de waarde eerder begrepen is tussen 0,5 voor een grove grond (zand en grind) gaande tot 1 voor een normaal geconsolideerde klei. Daarom wordt het verband tussen de horizontale en verticale effectieve spanningen als volgt uitgedrukt σ' h = K 0 σ' v
(4.8)
met K0 een neutrale gronddrukcoëfficiënt. Onderzoek heeft aangetoond dat voor een normaal geconsolideerde grond, K0 bij benadering gegeven wordt door K 0 ≈ 1 − sin φ'
(4.9)
Voor een grond met een grove structuur (zand of grind) bedraagt φ’ ongeveer 30°, zodat de waarde van K0 gelijk is aan 0,5; terwijl voor klei φ’ zeer klein is zodat de waarde naar 1 nadert. Voor een overgeconsolideerde grond is een goede benadering K 0 ≈ (1 − sin φ' ) OCR
(4.10)
zodat in dergelijk geval de neutrale gronddrukcoëfficiënt veel groter kan zijn dan 1. Er is dus veel meer onzekerheid betreffende de exacte waarden van de horizontale spanningen in een grond dan voor wat betreft de verticale spanningen. Echter voor de meeste problemen is er alleen maar een goede kennis vereist van de verticale spanningen en zijn de neutrale horizontale spanningen minder belangrijk.
4.2 Spanningen in de grond ten gevolge van verticale belastingen Indien er een uniforme belasting q aangebracht wordt op het grondoppervlak, dan zal de totale verticale spanning op eender welke diepte vermeerderen met deze waarde ∆σ v = q
(4.11)
Afhankelijk van de grondwatertoestand en de drainagemogelijkheden zal deze bijkomende spanning opgenomen worden door de effectieve verticale spanningen of door de druk van het poriënwater. Voor verzadigde snel drainerende grond resulteert dit in ∆σ' v = q
(4.12a)
∆σ' h = K 0 q
(4.12b)
∆u = q
(4.13)
en
terwijl voor een slecht drainerende grond
- 67 -
waarbij de effectieve spanningen initieel ongewijzigd blijven. Hierna treedt er dan een traag proces van consolidatie op, waarbij de belasting langzaam overgebracht wordt van de waterfase naar de grondstructuur. Het consolidatieproces wordt in een volgende paragraaf behandeld. Iets moeilijker zijn de gevallen waarbij er een geïsoleerde belasting op het grondoppervlak wordt aangebracht. Veronderstel eerst een geïsoleerde verticale kracht Q, die op het grondoppervlak aangrijpt zoals weergegeven in Fig 4.2. In geval het materiaal elastisch is, werd voor dit probleem een exacte oplossing gegeven door Boussinesq. De oplossing is als volgt 3Q z 3 ∆σ v = 2π R 5
(4.14a)
Q ⎡ 3r 2 z 1 − 2ν ⎤ ∆σ hr = ⎥ ⎢ 5 − 2π ⎣ R R (R + z) ⎦
(4.14b)
Q 1 − 2ν ⎡ R z⎤ − ⎥ 2 ⎢ 2π R ⎣ R + z R ⎦
(4.14c)
∆σ hθ =
∆τ =
3Q rz 2 2π R 5
(4.14d)
waarbij σhr en σhθ de horizontale spanningscomponenten zijn in cylindrische coördinaten, dus σhr in de radiale richting en σhθ in de tangentiële richting, en τ de schuifspanning is zoals weergegeven in de figuur (andere schuifspanningen zijn nul).
Q
R z
σv τ
r σhr
Fig. 4.2 Spanningen t.g.v. een puntlast.
Het bijzondere van deze theoretische oplossing is dat de toename in verticale spanning, gegeven door vergelijking 4.14a, onafhankelijk is van de grondeigenschappen. Hierdoor krijgt
- 68 -
de oplossing een meer universeel karakter, nl. men veronderstelt dat de verticale spanningen gegeven door vergelijking 4.14a ook geldig zijn voor een heterogeen medium en ook voor medium dat niet lineair elastisch is, dus voor eender welke situatie. Men heeft vastgesteld door middel van meer gecompliceerde berekeningen en proefondervindelijk onderzoek dat dit inderdaad een goede benadering is. De verklaring hiervoor is eenvoudig; immers in de eerste plaats voldoet de vergelijking aan het verticaal evenwicht, nl. de som van alle verticale spanningen op een zekere diepte z moet gelijk zijn aan Q. Uiteraard voldoet vergelijking 4.14a aan deze voorwaarde en bovendien stelt de vergelijking dat de spanning maximaal is juist onder de last Q en uitdeint wanneer men zich van de last verwijdert, wat overeenkomt met de verwachtingen. Voor praktische situaties wordt deze vergelijking in volgende vorm gebruikt ∆σ v =
Q N πz 2
(4.15)
met N een invloedscoëfficiënt gegeven door N=
32
(1 + r
2
z2
(4.16)
)
52
Waarden van N worden gegeven in Tabel 4.1 en in Fig. 4.3.
Tabel 4.1 Waarden van de invloedscoëfficiënt voor een puntbelasting. r/z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
N 1,500 1,463 1,360 1,209 1,035 0,859 0,695 0,554 0,435 0,340 0,265
r/z 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
N 0,265 0,207 0,161 0,126 0,100 0,079 0,063 0,050 0,041 0,033 0,027
De maximale verticale spanning komt voor onder de last en is gegeven door ∆σ v =
1,5Q πz 2
(4.17)
Vorige beschouwingen suggereren dat er onder de last een circulaire zone is met een oppervlakte πz2, welke grotendeels de belasting opneemt. De gemiddelde verticale belasting in deze zone is dan Q/πz2, dus N = 1. Deze eigenschap wordt dikwijls veralgemeend tot het
- 69 -
principe dat verticale belastingen zich in de grond bij benadering gelijkmatig verdelen onder een hoek van 45°, zoals geïllustreerd in Fig. 4.4.
1.5
N
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2
r/z Fig. 4.3 De invloedscoëfficiënt voor een puntlast.
45°
Fig. 4.4 Schijnbare verdeling van de spanningen onder een hoek van 45°.
Een andere consequentie van de elasticiteitstheorie is dat de effecten lineair samengesteld mogen worden. Dus een willekeurige belasting kan men verdelen in een reeks van puntlasten en de daaruit volgende toenames in de verticale spanningen in de grond optellen. Voor belastingen met een eenvoudige vorm kan de berekening analytisch worden uitgevoerd. Bijvoorbeeld voor een verdeelde belasting q over een circulaire zone met straal R, geeft dit voor de verticale spanning juist onder het middelpunt van de cirkel
- 70 -
∆σ v = q(1 − z 3 a 3 ) = qN
(4.18)
met a2 = z2 + R2 en N een invloedscoëfficiënt, gegeven in Tabel 4.2. Merk op dat de verticale spanning kleiner wordt dan 10% van q op een diepte van 4R. Maken we gebruik van de 45°-regel dan wordt op een diepte z de belasting opgenomen door een circulaire zone met straal R + z en als gemiddelde spanning πR 2 q q ∆σ v = = 2 π(R + z) (1 + z / R ) 2
(4.19)
Bijvoorbeeld op een diepte R geeft dit een gemiddelde spanning van 0,25q terwijl de maximale spanning ongeveer 0,65q bedraagt (Tabel 4.2).
Tabel 4.2 Waarden van de invloedscoëfficiënt N voor een circulaire belasting. z/R 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
N 0,999 0,992 0,949 0,864 0,756 0,646 0,547 0,461 0,390 0,332 0,284
z/R 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0
N 0,284 0,246 0,213 0,187 0,165 0,146 0,130 0,117 0,106 0,096 0,087
In de praktijk komt dikwijls een verdeelde belasting q voor volgens een rechthoek met zijden a en b, omdat dit een typische vorm is van een funderingszool. Met de 45° regel zal dan op een diepte z de belasting worden opgenomen door een rechthoekige zone met zijden a + 2z en b + 2z en met een gemiddelde spanning gegeven door ∆σ v =
abq (a + 2z)(b + 2z)
(4.20)
Er bestaat ook een exacte oplossing van Steinbrenner, welke de spanning geeft onder een hoekpunt van de fundering ∆σ v =
q ⎡ abz(r 2 + z 2 ) ⎛ ab ⎞⎤ + bgtg ⎜ ⎟⎥ = qN(n, m) ⎢ 2 2π ⎣ r (a + z 2 )(b 2 + z 2 ) ⎝ zr ⎠⎦
(4.21)
- 71 -
met r2 = a2 + b2 + z2 en N(m,n) een invloedscoëfficiënt, afhankelijk van n = a/z en m = b/z, waarvan de waarden worden gegeven in Fig. 4.5; dit is de abacus van Fadum. Merk op dat m en n in deze figuur verwisselbaar zijn. Hiermee kan de verticale belasting in eender welk punt bepaald worden door lineaire samenstelling van rechthoeken. Bijvoorbeeld voor de berekening van de belasting onder een punt G gelegen binnen een rechthoekige fundering ABCD, wordt de fundering verdeeld in vier rechthoeken zoals weergegeven in Fig. 4.6a. Voor de bepaling van de belasting in punt G telt men dan de N-waarden op van de rechthoeken AEGI, EBFG, GFCH en IGHD. Voor de bepaling van de belasting in een punt G gelegen buiten de fundering, zoals weergegeven in Fig. 4.6b, telt men de N-waarden op van de rechthoeken AEGI en CFGH en trekt hiervan de N-waarden af van de rechthoeken BEGH en DFGI.
0.25
>10 2.0 1.5 1.2 1.0 0.9 0.8
0.20
0.7 0.6
0.15
0.5
N
m 0.4 0.10 0.3
0.2 0.05 0.1
0.00 0.01
0.1
1
10
n Fig. 4.5 Invloedscoëfficiënt voor de verticale spanning onder een hoekpunt van een rechthoekige verdeelde belasting
- 72 -
A
I
D
E
G
H
B
A
F
D
C
I
B
E
C
H
F
G
(a) (b) Fig. 4.6 Samenstellen van rechthoeken voor bepaling van de verticale belasting (a) in een punt binnen de rechthoek en (b) in een punt buiten de rechthoek.
Voor meer ingewikkelde vormen maakt men gebruik van de grafiek van Newmark, zoals weergegeven in Fig. 4.7. Veronderstel een verdeelde belasting q aanwezig over het ganse grondoppervlak. Op eender welke diepte z zal er dan een toename zijn in de verticale spanning ∆σv = q. We gaan na welke zones aan het grondoppervlak een bepaalde bijdrage leveren aan deze verticale spanning. Het antwoord wordt bekomen met vergelijking 4.18 van de circulaire verdeelde belasting. Deze vergelijking geeft volgend verband tussen de verticale spanning en r/z ∆σ v = 1 − (1 + r 2 z 2 ) −3 2 q
(4.22)
Hiermee kunnen we onderzoeken welke waarden van r/z een bepaalde bijdrage leveren tot de verhouding ∆σv/q. Bijvoorbeeld de waarden van r/z die overeenkomen met tiendelige fracties van ∆σv/q worden gegeven in Tabel 4.3. Hieruit volgt dat voor een bepaald punt op een diepte z, de belasting aan het grondoppervlak juist boven het punt en binnen een straal van 0,27z gelegen een verticale spanning geeft van 10% van q. De volgende 10% wordt geleverd door de belasting gelegen in de zone tussen de stralen 0,27z en 0,40z, enz. Vervolgens kan het grondoppervlak nog radiaal verdeeld worden in 20 sectoren, zoals weergegeven in Fig. 4.7. Hieruit volgt dat het grondoppervlak nu opgedeeld is in 200 zones die elk op een gelijke wijze bijdragen aan de waarde van ∆σv. Deze bijdrage bedraagt een twintigste van 10%, ofwel 0,5% van de belasting q. Deze opdeling vormt de zon van Newmark, zoals weergegeven in Fig. 4.7. Merk op dat de figuur getekend is met een schaal z, d.w.z. indien men bijvoorbeeld de toename van de verticale belasting beschouwt in een bepaald punt op een diepte van 10 m, dan komt het lijnstuk dat de schaal weergeeft in de grafiek van Newmark overeen met 10 m. Om nu de toename in de verticale spanning te berekenen in een bepaald punt op een diepte z, ten gevolge van een belasting q in een bepaalde zone aan het grondoppervlak, bijvoorbeeld een fundering met een speciale vorm, gaat men te werk zoals weergegeven in Fig. 4.8. Eerst tekent men de vorm van de fundering op schaal z. Daarna legt men de zon van Newmark over deze figuur, waarbij het centrum van de zon overeenkomt met de plaats waar men de toename in verticale spanning wenst te berekenen. Dan telt men het aantal zones n in de zon van
- 73 -
Newmark die overeenkomen met de plaats van de fundering, waarbij uiteraard een zekere afronding en interpretatie noodzakelijk is. Vervolgens kan de totale toename in de verticale spanning berekend worden als n maal 0,005q. Deze procedure moet herhaald worden voor elk punt en elke diepte z. Ter illustratie, in het voorbeeld voorgesteld in Fig. 4.8 zijn er ongeveer 21 zones die de fundering omvatten, zodat de toename in de verticale spanning geschat wordt als 0,105q. Tabel 4.3 Waarden van r/z overeenkomend met tiendelige fracties van ∆σv/q. ∆σv/q 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
r/z 0,27 0,40 0,52 0,64 0,77
∆σv/q 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
r/z 0,92 1,11 1,39 1,91 ∞
Fig. 4.7 De zon van Newmark.
- 74 -
Fig. 4.8. Voorbeeld van toepassing van de zon van Newmark.
4.3 Berekening van zettingen Zettingen zijn verticale vervormingen van de grond te wijten aan wijzigingen in de verticale effectieve spanningen. Deze kunnen het gevolg zijn van belastingen of een daling van de grondwaterdruk. Bij goed gedraineerde gronden, zoals meestal het geval is voor zand- of grindlagen, zal de zetting snel gebeuren, zodat het tijdseffect van geen belang is. Alleen maar de grootte van de uiteindelijke totale zetting is van belang. Bij slecht gedraineerde gronden, zoals klei, zal de tijdsduur wel belangrijk zijn. De zetting gebeurt immers niet onmiddellijk, maar wel geleidelijk afhankelijk van de drainage van het grondwater. Dus niet alleen de uiteindelijke zetting is belangrijk maar ook de evolutie in de tijd. Dit proces wordt consolidatie genoemd en wordt behandeld in een volgende paragraaf. In deze paragraaf houden we ons alleen bezig met de uiteindelijke totale zetting. De totale zetting kan berekend worden met de formules voor samendrukking besproken in paragraaf 3.4. Een grondlaag met dikte D onderhevig aan een verticale effectieve spanning σ'v0 zal bij een toename ∆σ'v van de verticale effectieve spanning een samendrukking εv ondergaan, zodat de zetting s (E. settlement) berekend kan worden als s = εvD =
D ⎛ σ' v 0 + ∆σ' v ln⎜ C ⎜⎝ σ' v 0
⎞ D ⎛ ∆σ' v ⎟⎟ = ln⎜⎜1 + σ' v 0 ⎠ C ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(4.23)
Voor natuurlijke grondlagen is de beginspanning σ'v0 de geostatische spanning welke afhankelijk is van de diepte. Ook de toename van de spanning kan variëren met de diepte in geval dat een belasting aangebracht werd in een beperkte zone. Bovendien kan de samendrukkingsmodulus C ook met de diepte veranderen in geval van heterogene grondlagen. Het is daarom nodig om de samendrukking te integreren volgens de diepte z, om aldus de totale zetting te bekomen
- 75 ∞
∞
1 ⎛ ∆σ' v ln⎜1 + σ' v 0 C ⎜⎝ 0
s = ∫ ε v dz = ∫ 0
⎞ ⎟⎟dz ⎠
(4.24)
Omdat het niet mogelijk is om deze integraal exact op te lossen moet de uitwerking numeriek gebeuren. Hiertoe wordt de grond opgedeeld in een aantal elementaire lagen met een dikte ∆z en de zetting wordt verkregen door sommatie over alle lagen s=∑
∆z ⎛ ∆σ' v ln⎜1 + σ' v 0 C ⎜⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(4.25)
De sommatie gebeurt over alle lagen ∆z waar de samendrukking significant is, d.w.z. waar de toename in effectieve spanning ∆σ'v bijvoorbeeld meer dan 0,05σ'v0 bedraagt. Bij dergelijke berekeningen is men in eerste plaats geïnteresseerd in de maximaal mogelijke zetting en zal men dus minimale waarden voor σ'v0 in rekening brengen en maximale waarden voor ∆σ'v, zoals bijvoorbeeld onder het centrum van een fundering. Volgens Eurocode 7 zijn voor bouwwerken maximale zettingen toegelaten van 5 cm. In tweede instantie zal men moeten nagaan of er differentiële zettingen optreden. Dit zijn ongelijke zettingen in hetzelfde bouwwerk, zoals weergegeven in Fig. 4.9. Zolang zettingen niet te groot zijn en gelijkmatig optreden is er geen gevaar. Maar ongelijkmatige zettingen kunnen aanleiding geven tot scheurvorming en zelfs verlies van stabiliteit. Volgens Eurocode 7 is er structurele schade mogelijk wanneer de differentiële zetting δ groter wordt dan 1/150 van de overspanning L en zijn er scheuren mogelijk vanaf 1/500 van de overspanning.
δ L Fig. 4.9 Differentiële zettingen.
Ter illustratie beschouwen we een geval zoals weergegeven in Fig. 4.10. Het betreft een kleiige zandlaag van 10 m dik gelegen op een zandlaag. De bovenste grondlaag heeft een samendrukkingsmodulus van 150 en de onderste 300. De watertafel bevindt zich op 5 m diepte. Er wordt een circulaire belasting aangebracht op 2 m diepte van 100 kPa met een straal van 5 m; dit is bijvoorbeeld een opslagtank. De berekeningen worden gegeven in Tabel 4.4, waarbij de grond opgedeeld werd in lagen van 2 m dikte. Merk op dat voor de belasting we de
- 76 -
afgegraven grond in mindering brengen, zodat de eigenlijke belasting slechts 100 - 2x16 = 68 kPa bedraagt.
10 m 2m
5m
10 m
Fig. 4.10 Voorbeeld van een zettingsprobleem.
Tabel 4.4 Berekening van de zetting voor het voorbeeld gegeven in Fig. 4.10. z (m)
γ' (kN/m3)
σ'v0 (kPa)
∆σ'v (kPa)
∆σ'v/σ'v0
C
s (m)
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33
16 16 16 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
16 48 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360
0,0 67.5 58.7 44.0 31.4 22.6 16.7 12.7 9.9 8.0 6.5 5.4 4.6 3.9 3.4 2.9 2.6
0,0000 1.4060 0.7342 0.4396 0.2613 0.1613 0.1043 0.0706 0.0497 0.0362 0.0271 0.0208 0.0163 0.0130 0.0105 0.0086 0.0071
150 150 150 150 150 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 Som:
0,00000 0.01171 0.00734 0.00486 0.00310 0.00100 0.00066 0.00045 0.00032 0.00024 0.00018 0.00014 0.00011 0.00009 0.00007 0.00006 0.00005 0,03036
Het blijkt dat de zetting onder het centrum van de belasting ongeveer 3 cm bedraagt. Om een differentiële zetting te berekenen zouden we de berekeningen kunnen herhalen met bijvoorbeeld een gemiddelde toename in de effectieve spanningen, zoals gegeven door vergelijking 4.19. Men zou dan een zetting van 2,5 cm bekomen, welke mogelijk aan de rand kan optreden indien de fundering niet erg stijf is. Aldus kan over een afstand van 5 m het verschil in zetting 0,5 cm bedragen, ofwel 1 op 1000 wat in orde is zowel voor de stabiliteit als het voorkomen van scheuren. Bij deze berekeningen wordt geen rekening gehouden met
- 77 -
de stijfheid van de fundering, welke evenwel een belangrijke impact heeft op differentiële zettingen. Meer gevorderde benaderingen hiervoor zijn te vinden in de vakliteratuur. Voor een overgeconsolideerde grond moet men ook rekening houden met de ontlastingsmodulus A en de voorbelasting σ'p. Zolang σ'v0 + ∆σ'v kleiner is dan de preconsolidatie druk σ'p wordt de samendrukking bepaald door de ontlastingsmodulus A s=
D ⎛ ∆σ' v ln⎜1 + σ' v 0 A ⎜⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(4.26)
en voor spanningen groter dan σ'p wordt de samendrukking bepaald door zowel A als C ⎡ 1 ⎛ σ' p s = ⎢ ln⎜⎜ ⎢⎣ A ⎝ σ' v 0
⎞ 1 ⎛ σ' v 0 + ∆σ' v ⎟⎟ + ln⎜ ⎜ σ' p ⎠ C ⎝
⎞⎤ ⎟⎥ D ⎟⎥ ⎠⎦
(4.27)
Tenslotte bekijken we nog een elastische benadering. In de veronderstelling dat de grond elastisch is, homogeen en oneindig diep, kan de zetting analytisch berekend worden voor een uniforme belasting q en een fundering met een bepaalde vorm. De oplossing kan geschreven worden als qa (1 − ν'2 ) s= I E'
(4.28)
met a een karakteristieke afmeting van de fundering en I een invloedscoëfficiënt. Enige waarden van de invloedscoëfficiënt worden gegeven in Tabel 4.5. De eerste waarden hebben betrekking op een rechthoekige fundering met afmetingen a en b, waarbij a de kleinste afmeting is. In de tabel wordt de invloedscoëfficiënt gegeven voor het midden van de fundering, onder een hoek van de fundering en de gemiddelde waarde, waarbij verondersteld wordt dat de fundering zelf geen stijfheid bezit. Echter het is meer realistisch te veronderstellen dat in vergelijking met de grond de fundering oneindig stijf is, zodat de zetting uniform gebeurt. De waarde van de invloedscoëfficiënt in dit geval wordt gegeven in de laatste kolom van de tabel. De laatste rij van de tabel geeft waarden van de invloedscoëfficiënt voor een cirkelvormige belasting, waarbij afmeting a dan de diameter voorstelt.
Tabel. 4.5 Invloedscoëfficiënt I voor berekening van de zetting met de elasticiteitstheorie. b/a 1 2 3 5 10 cirkel
midden 1,12 1,53 1,78 2,10 2,53 1,00
hoek 0,56 0,77 0,89 1,05 1,27 0,64
gemiddeld 0,95 1,30 1,53 1,83 2,25 0,85
stijf 0,88 1,22 1,44 1,72 2,12 π/4
- 78 -
Het voordeel van de elastische methode is dat de berekeningen zeer eenvoudig zijn, echter een belangrijk nadeel is de grote onnauwkeurigheid. De methode wordt daarom uitsluitend gebruikt voor stijve gronden, zoals zand en grind, wanneer de toename in verticale spanning klein is. Indien men dan de waarde van de elasticiteitsmodulus aan de veilige kant kiest, dus klein, verkrijgt men een overdreven schatting van de zetting. Bijvoorbeeld voor het voorgaande rekenvoorbeeld, berekenen we met E’ = 15 MPa en ν’ = 0,3 een zetting van 4,1 cm in het midden en 2,6 cm aan de rand. Soms wordt de vergelijking ook gebruikt voor het schatten van de ogenblikkelijke elastische zetting in ongeconsolideerde kleilagen; hierbij moet men dan een gepaste Eu-waarde gebruiken en νu = 0,5.
4.4 Consolidatie Consolidatie is de samendrukking van slappe grondlagen in de loop van de tijd door uitwendige belastingen of een afname in de druk van het grondwater. Het proces ontstaat doordat de waterstroming verhinderd of bemoeilijkt wordt, waardoor de grond slechts kan samendrukken nadat het overtollige water weg gedraineerd is. Indien de doorlatendheid van de grondlaag klein is dan is de stroming uiterst traag, zodat de samendrukking zeer geleidelijk plaats vindt in tijdsperiodes die dikwijls jaren in beslag nemen. Dus bij de studie van consolidatie zijn we voornamelijk geïnteresseerd in de evolutie in de tijd.
∆u0
t3
2D
t2
∆u
t1 t=0
z Fig. 4.11 Een consolidatieprobleem: (a) situatie en (b) variatie van de grondwaterdruk.
Het probleem werd voor het eerst grondig bestudeerd door Terzaghi. Hij beschouwde de volgende situatie. Een samendrukbare, slecht doorlatende, grondlaag zit tussen twee goed gedraineerde grondlagen, zoals weergegeven in Fig. 4.11. Er wordt een uniforme belasting aangebracht. Dit resulteert in een toename van de verticale effectieve spanningen in de goed gedraineerde grondlagen en in een toename van de druk van het poriënwater in de slecht
- 79 -
drainerende laag. Hierdoor ontstaat er een drukverschil in het grondwater tussen de grondlagen, waardoor er een stroming zal optreden zodat het water langzaam uit de middelste grondlaag draineert en er een geleidelijke zetting plaatsvindt van deze laag. Het doel is de grootte van deze zetting te bepalen in de loop van de tijd. De berekening is redelijk ingewikkeld en steunt op een aantal benaderingen. Er wordt verondersteld dat de belasting klein is, zodat de vervorming berekend kan worden door te grond te beschouwen als een elastisch medium. Voor een verticale samendrukking zonder horizontale vervorming geldt vergelijking 3.31 εv =
1 ∆σ' v M'
(4.29)
met M' de oedometermodulus van de grond. De toename in effectieve spanning verloopt geleidelijk in de tijd afhankelijk van de daling van de druk in het grondwater ∆σ' v = ∆u 0 − ∆u
(4.30)
waarbij ∆u0 de initiële toename in de druk is op tijdstip nul en ∆u de resterende druktoename op een bepaald tijdstip t. De zetting wordt verkregen door de samendrukking te integreren over de ganse laag s = ∫ ε v dz =
1 (∆u 0 − ∆u )dz M' ∫
(4.31)
De zetting is dus afhankelijk van de drukverdeling in de middelste grondlaag, welke varieert in diepte en de tijd, zoals weergegeven in Fig. 4.10b. Om deze variatie te bepalen moeten we de grondwaterstroming berekenen. In een later hoofdstuk over grondwater zullen we zien dat een toename in de druk ∆u een toename in de grondwaterpotentiaal h teweegbrengt h=
1 ∆u γw
(4.32)
en dat er grondwaterstroming plaats vindt onder invloed van een gradiënt in de potentiaal (wet van Darcy) q z = −k
∂h ∂z
(4.33)
hierin is qz de verticale grondwaterflux en k de doorlatendheid of permeabiliteit van de grond. Combinatie van bovenstaande vergelijkingen geeft qz = −
k ∂ (∆u ) γ w ∂z
(4.34)
Er ontstaat dus een stroming van grondwater zowel naar boven als naar onder waardoor de hoeveelheid water in de grondlaag afneemt en de zetting kan plaatsvinden. De
- 80 -
continuïteitsvergelijking voor grondwater stelt dat de verandering in de tijd van het watervolume ∆Vw per totaal volume grond V gelijk is aan de convergentie van de stroming ∂q ∂ ⎛ ∆Vw ⎞ ⎜ ⎟=− z ∂t ⎝ V ⎠ ∂z
(4.35)
In een verzadigde grond is de verandering van het watervolume per totaal volume grond gelijk aan de verticale vervorming indien er geen horizontale vervorming mogelijk is ∆Vw 1 = εv = (∆u 0 − ∆u ) V M'
(4.36)
1 ∂ (∆u ) ∂ ⎛ ∆Vw ⎞ ⎜ ⎟=− ∂t ⎝ V ⎠ M ' ∂t
(4.37)
waaruit volgt
Combinatie van vergelijkingen 4.34, 4.35 en 4.37 geeft ∂ (∆u ) kM ' ∂ 2 (∆u ) = ∂t γ w ∂z 2
(4.38)
Deze partiële differentiaal vergelijking beschrijft de evolutie van de druk in functie van de plaats en de tijd. Het is een diffusie- of dissipatie-vergelijking, wat duidelijker wordt wanneer we de vergelijking schrijven als volgt ∂ (∆u ) ∂ 2 (∆u ) = Cv ∂t ∂z 2
(4.39)
Dit is de consolidatievergelijking van Terzaghi, waarin Cv de verticale consolidatiecoëfficiënt is, met eenheden [L2/T]. Deze vergelijking toont aan dat de druktoename in de loop van de tijd geleidelijk zal afnemen zoals bij een diffusieproces. De vergelijking kan opgelost worden in de vorm van een reeksontwikkeling. Echter de oplossing op zich is niet belangrijk; wel belangrijk is de totale zetting van de laag in functie van de tijd. Deze kan berekend worden met vergelijking 4.31 en kan uitgedrukt worden als volgt U=
∞ s 2 = 1 − ∑ exp(− mi T) s∞ i = 0 mi
(4.40)
hierin is s∞ de uiteindelijke totale zetting en U = s/s∞ de consolidatiegraad, zijnde de verhouding tussen de zetting op een bepaald tijdstip en de uiteindelijke zetting na een oneindige tijd; de consolidatiegraad wordt gewoonlijk uitgedrukt in percent. De coëfficiënten mi worden gegeven door m i = π 2 (i + 12 ) 2
en T is een dimensieloze tijd, gegeven door
(4.41)
- 81 -
T=
Cvt D2
(4.42)
Het verband tussen U en T wordt voorgesteld in Fig. 4.12 en enkele bijzondere waarden van U volgens T worden gegeven in Tabel 4.6.
Tabel 4.6 Consolidatiegraad U volgens de dimensieloze tijd T. U (%) 10 20 30 40 50 60
T 0,0079 0,0314 0,0707 0,126 0,196 0,286
U (%) 70 80 90 95 99 100
T 0,403 0,567 0,848 1,13 1,78 ∞
100 90 80 70
U (%)
60 50 40 30 20 10 0 0.001
0.01
0.1
1
10
T Fig. 4.12 Verband tussen de consolidatiegraad U en de dimensieloze tijd T.
- 82 -
Het verband kan vrij goed benaderd worden door T≈
π 2 U 4
(4.43)
voor waarden van U kleiner dan 60% en voor hogere waarden door T ≈ −0,405 ln(1 − U) − 0,0851
(4.44)
Na een redelijk complexe afleiding wordt een vrij eenvoudig resultaat verkregen. Immers de consolidatiegraad volgens de tijd blijkt slechts afhankelijk te zijn van twee parameters: de consolidatiecoëfficiënt Cv en de halve dikte van de grondlaag D. Daardoor krijgt de oplossing een meer universeel karakter, waarbij alle tussenstappen en veronderstellingen vergeten kunnen worden. Met behulp van de formules bekomen in vorige paragraaf kan men de uiteindelijke totale zetting berekenen zonder te moeten veronderstellen dat de grond elastisch is of de aangebrachte belasting klein is. De evolutie van de zetting in de tijd kan dan voorspeld worden met vergelijking 4.40, waarvoor men alleen de consolidatiecoëfficiënt Cv en de halve dikte van de grondlaag D moet kennen. Deze parameters kunnen als volgt bekomen worden. De consolidatiecoëfficiënt Cv wordt bepaald met een oedometer. Hierbij wordt een grondmonster aangebracht in het apparaat en onderworpen aan de belasting, waarbij men het verloop van de zetting meet in functie van de tijd. Dergelijke proef is uitvoerbaar omdat het monster beperkt is in afmetingen, waardoor de consolidatie redelijk snel plaatsvindt. Uit vergelijking 4.41 volgt dat de tijdschaal varieert met het kwadraat van de halve laagdikte. Dus een laag met een dikte van 10 m, welke langzaam consolideert in de loop van bijvoorbeeld 100 jaar, kan onderzocht worden in het laboratorium door een monster te nemen van 1 cm dik, waarvoor de consolidatie plaats vindt met een factor 10002 sneller ofwel een tijdsperiode van ongeveer 9 uur De resultaten van dergelijke metingen zijn meestal zoals weergegeven in Fig. 4.12. In deze grafiek wordt het niveau van het bovenoppervlak uitgezet op een as naar beneden gericht, volgens de logaritme van de tijd. Er treden bij de interpretatie van dergelijke resultaten twee problemen op, nl. de onzekerheid betreffende het beginniveau en de onzekerheid betreffende het eindniveau. Wanneer men het monster in de oedometer plaatst en de belasting aanbrengt is, het moeilijk om exact vast te stellen wat het beginpeil is van het bovenoppervlak omdat dit niet egaal is. Een bijkomend probleem is dat op een logaritmische as het begintijdstip niet kan worden weergegeven. Daarom maakt men gebruik van de consolidatievergelijking om de juiste beginpositie te bepalen, zoals voorgesteld door Casagrande. Vergelijking 4.43 stelt dat in het begin de zetting toeneemt met de wortel van de tijd. Hieruit volgt dat op eender welke tijdstippen t en 4t de zetting moet verdubbeld zijn. Hieruit kan het beginniveau afgeleid worden zoals weergegeven in Fig. 4.13.
- 83 -
t
4t
t50
ts
log t
0 primaire consolidatie
s∞/2
s∞
secundaire consolidatie
s Fig. 4.13 Bepaling van de consolidatieparameters met een oedometerproef.
Op het einde van de proef is het moeilijk om vast te stellen wat het exact eindniveau is, omdat er in principe oneindig lang gewacht moet worden tot de totale zetting bereikt wordt, maar ook en voornamelijk omdat er meestal geen echt eindniveau merkbaar is. Het blijkt dat de zetting blijft toenemen, bij benadering lineair evenredig met de logaritme van de tijd. Men noemt dit fenomeen de kruip of secundaire zetting. Deze is waarschijnlijk te wijten aan het feit dat het grondmonster zelf niet in evenwicht is in zijn natuurlijke toestand, immers fijne grondlagen onderhevig aan hun eigengewicht of een voorbelasting hebben een zeer lange tijd nodig om een evenwichtsstructuur te bereiken. Het eindniveau van de primaire zetting in de consolidatieproef wordt dan per conventie als volgt bepaald. Men trekt een rechte lijn doorheen het laatste gedeelte van de curve welke overeenkomt met de secundaire zetting en een tweede lijn door het middengedeelte van de consolidatiecurve; het snijpunt van beide lijnen geeft dan de eindtoestand van de primaire zetting, zoals weergegeven in de figuur. Eens het beginniveau en het eindniveau van de zetting bepaald is, kan men het niveau berekenen dat overeenkomt met de helft van de totale zetting, dit is een consolidatiegraad van 50%, en de tijd t50 waarop dit bereikt wordt, zoals weergegeven in de figuur. Met de waarden gegeven in Tabel 4.6 kan de consolidatiecoëfficiënt dan bepaald worden als Cv =
0,196D 2 t 50
(4.45)
Deze waarde is ook geldig voor de laag waaruit het monster genomen werd. Uiteraard is er enige voorzichtigheid geboden omdat het volume van het onderzochte monster zeer klein is in vergelijking met de grondlaag. Het verdient dus aanbeveling om meerdere stalen te nemen en te onderzoeken in het laboratorium om het gemiddeld gedrag van de grondlaag vast te stellen. De tweede parameter van belang in de consolidatietheorie van Terzaghi is de afstand D. Deze parameter dient op de juiste wijze geïnterpreteerd te worden. Deze parameter geeft de
- 84 -
maximale afstand over dewelke het grondwater moet stromen om de laag te laten consolideren. Men noemt dit dan ook de drainage-afstand. Het is nu ook duidelijk waarom we de laagdikte hebben voorgesteld door 2D, immers de laag wordt zowel bovenaan als onderaan gedraineerd, zodat de drainage-afstand overeenkomt met de helft van de laagdikte.
2D
D
A
D
B
C
Fig. 4.14 De drainage afstand voor verschillende situaties; de slecht drainerende laag zit tussen: (a) een goed drainerende en een ondoorlatende laag, (b) het grondoppervlak en een goed drainerende laag en (c) het grondoppervlak en een ondoorlatende laag.
Dit is ook zo voor de oedometer, maar niet noodzakelijk zo voor alle gevallen in de praktijk. Het kan immers voorkomen, dat een laag maar naar één zijde kan draineren, zoals weergegeven in Fig. 4.14a. In dit geval is D gelijk aan de totale dikte van de laag. Merk ook op dat het grondoppervlak als een drainage mogelijkheid aanzien wordt. Dus voor een consoliderende laag gelegen tussen het grondoppervlak en een drainerende onderlaag, is D opnieuw gelijk aan de halve laagdikte, zoals weergegeven in Fig. 4.14b. En voor een laag gelegen tussen het grondoppervlak en een ondoorlaatbare basis, is D dan weer gelijk aan de totale laagdikte (Fig. 4.14c). Dus voor elk geval apart moet men goed overwegen hoe de drainage zal plaatsvinden en wat de drainage-afstand zal zijn.
R
A
B
Fig. 4.15 Drainage met verticale drains: (a) dwarsdoorsnede en (b) bovenaanzicht.
Deze beschouwingen laten ook toe om maatregelen te bedenken, die de consolidatie kunnen versnellen. Het volstaat om de drainage-afstand te verkleinen. In de praktijk kan dit gebeuren door het gedeeltelijk afgraven en het aanbrengen van een drainagelaag, of het aanbrengen van
- 85 -
horizontale drains, maar de meest efficiënte en meest gebruikte methode bestaat erin om verticale drains te voorzien. De stroming van het grondwater gebeurt dan horizontaal en radiaal naar de drains toe, zoals weergegeven in Fig. 4.15.
100 90 80
n=5 10 20 50 100
Uh (%)
70 60 50 40 30 20 10 0 0.001
0.01
0.1
1
10
T Fig. 4.16. De horizontale consolidatiegraad Uh in functie van T en n = R/rd. De voorgaande formules zijn dan niet meer geldig, maar men kan de analytische oplossing voor de horizontale radiale drainage bekomen op een gelijkaardige wijze. Men krijgt dan een consolidatiegraad Uh in functie van de dimensieloze tijd T, welke in dit geval gegeven is door T=
Ch t 4R 2
(4.46)
met Ch de horizontale consolidatiecoëfficiënt, die experimenteel bepaald moet worden met de oedometer. Het verband tussen Uh en T is U h = 1 − exp(− 8T m )
(4.47)
⎛ n2 ⎞ 3n 2 − 1 ⎟⎟ ln(n ) − m = ⎜⎜ 2 4n 2 ⎝ n −1⎠
(4.48)
waarbij m gegeven wordt door
met n = R/rd de verhouding van de actiestraal R van de drains (maximale afstand over dewelke het grondwater moet stromen, weergegeven in Fig. 4.15b) en de straal van de drains
- 86 -
rd. De actiestraal R is afhankelijk van de wijze van inplanting van de drains en bedraagt 1,05 maal de afstand tussen de drains in geval van een driehoekig patroon (Fig. 4.15b) en 1,13 maal de tussenafstand voor een vierkantig patroon. Fig. 4.16 geeft Uh volgens T voor gebruikelijke waarden van n. Indien er tegelijkertijd verticale drainage plaatsvindt, kan de totale consolidatiegraad U bekomen worden uit de verticale consolidatiegraad Uv (zoals voorheen berekend) en de horizontale consolidatiegraad Uh op volgende wijze U = 1 − (1 − U v )(1 − U h )
(4.49)
Soms is het nodig om de consolidatie te berekenen van een bouwwerk met een lange uitvoeringstijd. De belasting is dan variabel in de tijd. Om de consolidatie te berekenen op het einde en na het einde der werken, wordt dan verondersteld dat de belasting in zijn totaal aangebracht werd in het midden van de constructieperiode, hetgeen meestal een voldoende nauwkeurige benadering is. Voor slappe grondlagen is het soms ook nodig om ook de secundaire zetting te begroten. Hierbij volgt men meestal de methode voorgesteld door Buisman, waarbij een lineair verband wordt verondersteld tussen de secundaire zetting en de logaritme van de tijd, zoals weergegeven Fig. 4.13. De waarde van de secundaire samendrukkingsindex Cs wordt bekomen met de helling van deze rechte als Cs =
∆s / D ∆ log t
(4.50)
met D de dikte van het monster. Hierna kan de secundaire zetting s2 van de echte grondlaag berekend worden als ⎛ t s 2 = C s D ⋅ log⎜⎜ ⎝ ts
⎞ ⎟⎟ ⎠
(4.51)
met D in dit geval de volledige dikte van de grondlaag en voor ts het tijdstip zoals gegeven in Fig. 4.12, ofwel 1 d zoals vermeld in sommige referenties; uiteraard is de functie alleen maar bruikbaar voor t >> ts, zodat de juiste waarde van ts niet zo belangrijk is. Enkele richtwaarden voor Cs worden gegeven in Tabel 4.7. Tabel 4.7. Richtwaarden voor de secundaire samendrukkingsindex Cs. Grondsoort
veen normaal geconsolideerde klei overgeconsolideerde klei
Cs 0,04 - 0,1 0,005 - 0,03 0,0005 - 0,0015
- 87 -
5 DRAAGVERMOGEN
5.1 Inleiding Problemen van stabiliteit zijn zeer belangrijk in de grondmechanica, zoals het draagvermogen van funderingen, de stabiliteit van taluds en keermuren, uitgravingen, enz. Bij dergelijke problemen moet onderzocht worden of er door de aangebrachte belastingen geen breuk in de grond kan optreden. In hoofdstuk 3 werden de kenmerken van een grondbreuk besproken. Een plastische vervorming zal ontstaan wanneer de schuifsterke op bepaalde punten overschreden wordt en er een breukvlak ontstaat, waarlangs de grondkorrels over elkaar gaan schuiven. De schuifsterke van een grond wordt gegeven door de vergelijking van Mohr-Coulomb, waarin twee parameters voorkomen die de eigenschappen van de grond weergeven. Deze parameters zijn de cohesie c en de wrijvingshoek φ. Eigenlijk moeten deze symbolen geschreven worden met een accent omdat ze betrekking hebben op effectieve spanningen, echter om de notaties niet te verzwaren laten we de accenten weg in dit hoofdstuk. Indien een grond slecht draineert, worden de belastingen initieel opgenomen door de druk van het poriënwater en wordt de sterkte van de grond gegeven door de ongedraineerde schuifsterkte su. Voor een grove grond zal bij een verandering van de belasting de drainage snel gebeuren (indien de randvoorwaarden dit toelaten) waardoor alleen de uiteindelijke situatie van belang is en onderzocht moet worden. Dit is de gedraineerde toestand welke uitgedrukt wordt d.m.v. de effectieve spanningen. Daarentegen bij een fijne grond gebeurt de drainage zeer traag en is het aangewezen de beginsituatie te analyseren. Dit is de ongedraineerde toestand die uitgedrukt wordt in totale spanningen. Meestal volstaat het om alleen de begintoestand na te gaan, omdat nadien de effectieve spanningen geleidelijk toenemen waardoor de stabiliteit verbeterd. De enige uitzondering zijn de permanente uitgravingen, omdat hier de effectieve spanningen in de loop van de tijd zullen dalen indien er water aangezogen wordt. Voor dergelijke situaties zal men zowel de begin- (ongedraineerd) als de eindtoestand (gedraineerd) moeten onderzoeken. Er werd aangetoond in hoofdstuk 3 dat wanneer de grond zodanig belast wordt dat er een breuk optreedt, er een relatie bestaat tussen de twee hoofdspanningen. Dergelijke situatie wordt een grensspanningstoestand genoemd. Indien de grond meewerkt aan het veroorzaken van de breuk spreken we van een actieve grensspanningstoestand en indien de grond stabiliserend werkt noemen we dit een passieve grensspanningstoestand. De formules voor het berekenen van de effectieve spanningen in dergelijke situaties werden besproken in hoofdstuk 3. Echter het exact oplossen van een situatie waar een grensspanningstoestand voorkomt is dikwijls zeer moeilijk, omdat de grond zich dan op de grens bevindt tussen beperkte min of meer elastische vervormingen en grote plastische vervormingen (breuken). Dus zowel relaties tussen spanningen en vervormingen als plastische vervormingen moeten in aanmerking worden genomen, hetgeen meestal zeer ingewikkeld is. Daarom zal men zich in de praktijk moeten behelpen met benaderde methodes en vereenvoudigende veronderstellingen. Hiertoe zal men de grensspanningstoestand benaderen door een evenwichtssysteem of een mechanisme, wat respectievelijk zal toelaten om een ondergrens en een bovengrens van de bezwijkbelasting te bepalen.
- 88 -
Een evenwichtssysteem is een spanningstoestand die overal voldoet aan de evenwichtsvergelijkingen en de randvoorwaarden voor de spanningen, en waarbij nergens de schuifsterkte van de grond overtreden wordt zodat er geen breuk kan optreden. Het ondergrens-theorema stelt dat de belasting in dit geval kleiner is dan de bezwijkbelasting. Dus indien men voor een bepaalde belasting een evenwichtstoestand kan vinden, dan kan die belasting door de grond gedragen worden. Een mechanisme daarentegen is een verplaatsingstoestand met breuken welke compatibel is en voldoet aan de randvoorwaarden voor de verplaatsingen. Het bovengrens-theorema stelt dat de belasting is dit geval groter is dan de bezwijkbelasting. Dus indien men voor een bepaalde belasting een breukmechanisme kan vinden, dan kan die belasting niet door de grond gedragen worden. Afhankelijk van de situatie kan de ene of andere methode, of soms allebei, gebruikt worden om een schatting te verkrijgen van de bezwijkbelasting. Voor het vinden van mechanismen moet men mogelijke breukvlakken bepalen. Men kan aantonen dat voor een grond met homogene eigenschappen de breuklijnen een welbepaalde vorm bezitten: een rechte of een cirkel in geval van een ongedraineerde situatie of een rechte of een logaritmische spiraal in geval van gedraineerde situaties. Deze eigenschap is handig om breuklijnen te voorspellen. Enige voorbeelden worden gegeven in Fig. 5.1.
Fig. 5.1 Mogelijke breuklijnen bij een afschuiving: (a) rechte, (b) cirkel en (c) logaritmische spiraal.
Ter illustratie behandelen we een eenvoudig voorbeeld. Beschouw een belasting aangebracht aan het grondoppervlak (Fig. 5.2a) over een strook met breedte B op een grond bestaande uit klei, zodat de stabiliteit bepaald wordt door de ongedraineerde schuifsterkte. Een mogelijke spanningstoestand is als volgt: zone 1 onder de belasting is in actieve grensspanningstoestand, met σv = 4su en σh = 2su, en de zones 2 daarnaast in passieve grensspanningstoestand, met σv = 0 en σh = 2su. Deze spanningstoestanden voldoen aan de randvoorwaarden indien q = 4su. Alle spanningen bevinden zich op de grens tussen evenwicht en breuk zodat er nergens juist geen grondbreuk kan optreden, zoals afgeleid kan worden uit de Mohrcirkels gegeven in Fig. 5.2b. Dit is dus een mogelijke evenwichtstoestand, zodat we aangetoond hebben volgens het ondergrens-theorema dat een belasting gelijk aan 4su geen grondbreuk zal veroorzaken, alhoewel de echte spanningstoestand niet noodzakelijk zal zijn zoals hierbij verondersteld werd. Het werkelijke draagvermogen van de grond is dus groter dan 4su.
- 89 -
q
q
τ su 2
2
B
2
0
1 2su
1
σ 4su
B
-su (b)
(a)
(c)
Fig. 5.2 Een belasting op een kleigrond: (a) situatie, (b) mogelijke spanningen voorgesteld volgens de cirkel van Mohr en (c) mogelijke breuk.
In Fig. 5.2c wordt een mogelijk mechanisme voorgesteld. De afschuiving wordt verondersteld te gebeuren langs een half cirkelvormige breuklijn. Langs de breuklijn is de ongedraineerde schuifsterkte su werkzaam, zodat op de grens van het bezwijken het volgende rotatieevenwicht geldt qB
B = s u πB.B 2
(5.1)
q = 2πs u
(5.2)
ofwel
Hieruit volgt dat volgens het bovengrens-theorema een belasting van 2πsu zeker tot een grondbreuk zal leiden, alhoewel de afschuiving niet noodzakelijk zal gebeuren volgens de cirkel voorgesteld in Fig. 5.2c. Uit voorgaande beschouwingen kunnen we afleiden dat in dit geval de bezwijkbelasting qc begrepen is tussen 4 en 2π keer su 4s u < q c < 2πs u
(5.3)
Men kan nu de grenzen vernauwen door betere evenwichtstoestanden en bezwijkmechanismen te vinden, maar uiteraard worden de beschouwingen en afleidingen ingewikkelder. We gaan hier niet verder op in, maar uiteindelijk kan men bewijzen dat de bezwijkbelasting exact gelijk is aan (2+π)su.
- 90 -
5.2 Bepaling van het draagvermogen van een fundering op staal Het bepalen van het draagvermogen van funderingen is één van de belangrijkste problemen van de grondmechanica. Er bestaan verschillende types van funderingen (Fig. 5.3).
D B
D B
D B
A
B
C
Fig. 5.3 Soorten funderingen: (a) fundering op staal, (b) diepfundering en (c) paalfundering.
Een fundering op staal is een ondiepe fundering met D < B; een diepfundering wordt gekenmerkt door D > B; en voor een paalfundering geldt D >> B. In deze paragraaf beschouwen we de fundering op staal (de benaming heeft niets te maken met het materiaal staal maar wel met staal in de betekenis van grondslag); in een volgende paragraaf komen de paalfunderingen aan bod en met de kennis van beide paragrafen kunnen dan ook diepfunderingen worden gedimensioneerd. De fundering op staal is aangewezen wanneer de bovenste grondlagen draagkrachtig genoeg zijn om een rechtstreekse overdracht van de belastingen op te vangen zonder nadelige gevolgen. De funderingen op staal worden nog verder onderverdeeld volgens de verhouding tussen de lengte L, de breedte B en de diepte D, zoals weergegeven in Fig 5.4. Men onderscheidt: funderingszolen (L ≈ B ≈ D), strookfunderingen (L >> B ≈ D) en funderingsplaten (L ≈ B >> D).
L
D L
L
B
B
B (a)
(b)
(c)
Fig. 5.4 Soorten funderingen op staal: (a) funderingszool, (b) strookfundering en (c) funderingsplaat.
- 91 -
Vanaf het begin van deze eeuw werden door verschillende onderzoekers, waaronder Prandtl, Terzaghi, Taylor, Buisman, en Meyerhof, formules ontwikkeld om het draagvermogen van een strookfundering te bepalen. Hierbij wordt verondersteld dat wanneer de belasting groter is dan het draagvermogen van de grond er een breukmechanisme ontstaat, zoals weergegeven in Fig. 5.5. Er zijn drie zones waar de schuifsterkte van de grond wordt overschreden en er breuken in de grond ontstaan: • zone 1 onder de belasting is in een actieve grenstoestand, waarbij de verticale effectieve spanningen gelijk zijn aan de belasting en de horizontale effectieve spanningen gelijk zijn aan de actieve grensspanning; • zones 3 zijn in een passieve grenstoestand, waarbij de verticale effectieve spanningen gegeven worden door de geostatisch spanningen ter hoogte van de fundering en de horizontale effectieve spanningen gelijk zijn aan de passieve grensspanning; • zones 2 zijn overgangszones begrensd door een logaritmische spiraal.
qc q
D
3 2
B 1
3 2
Fig. 5.5 Veronderstelde bezwijktoestand bij de bepaling van het draagvermogen van een strookfundering.
De breuk ontstaat doordat de grond verschuift langs de breuklijnen in de verschillende breukzones, waarbij meestal in de praktijk door een bepaalde zwakheid in de een of andere richting het bouwwerk scheefzakt, zoals weergegeven in Fig. 5.6. Hierbij wordt de grond rondom het bouwwerk naar boven gedrukt.
Fig. 5.6. Verzakking van een bouwwerk door overschrijding van het draagvermogen.
- 92 -
Het draagvermogen van de grond blijkt afhankelijk te zijn van de breedte en diepte van de fundering, de schuifsterkte van de grond, gegeven door de cohesie en de wrijvingshoek, en van het eigengewicht van de grond. Zeer belangrijk is ook de verticale effectieve spanning van de grond ter hoogte van de fundering omdat deze een stabiliserende invloed heeft rondom de fundering, zoals weergegeven in Fig. 5.5. In de afleiding van het draagvermogen wordt deze term weergegeven als een belasting q, die uiteraard gegeven is door de effectieve geostatische spanning van de grond op diepte D onder het grondoppervlak q = σ' v 0 = γD
(5.4)
met γ het effectief volumegewicht van de grond (ook hier is het accent weggelaten), dus het drooggewicht van de grond boven de watertafel en het schijnbaar gewicht van de grond onder de watertafel. De afleiding van de formule voor het draagvermogen is ingewikkeld. We geven alleen maar het resultaat q c = cN c + qN q + 12 γBN γ
(5.5)
hierin is qc het draagvermogen van de grond, zijnde de maximaal mogelijke belasting op de strookfundering zonder dat er een grondbreuk optreed. Dit draagvermogen bestaat uit drie bijdragen, welke respectievelijk het effect weergeven van de cohesie c, de gronddruk q ter hoogte van de fundering en het gewicht γB van de grond onder de fundering. De grootte van deze effecten wordt bepaald door invloedscoëfficiënten Nc, Nq en Nγ, welke afhankelijk zijn van de wrijvingshoek van de grond en berekend kunnen worden als volgt
N c = ( N q − 1) / tgφ
(5.6a)
N q = K p exp(πtgφ)
(5.6b)
N γ = 2( N q − 1) tgφ
(5.6c)
Er bestaan verschillende andere formules om de invloedscoëfficiënten te berekenen, maar de formules 5.6 worden het meest gebruikt en worden ook aanbevolen in Eurocode 7. Waarden van de invloedscoëfficiënten in functie van de wrijvingshoek worden gegeven in Tabel 5.1 en in Fig. 5.7. De oplossing voor een ongedraineerde situatie, wordt verkregen door te stellen dat φ = 0 en c = su, waaruit volgt Nc = 2 + π, Nq = 1 en Nγ = 0, zodat q c = (2 + π)s u + q
(5.7)
waarin q nu de totale verticale geostatische spanning is ter hoogte van de fundering, zoals gebruikelijk voor een ongedraineerde situatie. In de praktijk wordt, gezien de onzekerheid van de methode en de onzekerheid betreffende de exacte waarde van de verschillende parameters de waarde van het draagvermogen nog gedeeld door een veiligheidscoëfficiënt van 2,5 tot 3.
- 93 -
Tabel 5.1 Waarden van de invloedscoëfficiënten in functie van de wrijvingshoek, voor berekening van het draagvermogen van funderingen op staal. φ (°) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Nc 2+π 5,38 5,63 5,90 6,19 6,49 6,81 7,16 7,53 7,92 8,34 8,80 9,28 9,81 10,37 10,98 11,63 12,34 13,10 13,93 14,83 15,81 16,88
Nq 1,00 1,09 1,20 1,31 1,43 1,57 1,72 1,88 2,06 2,25 2,47 2,71 2,97 3,26 3,59 3,94 4,34 4,77 5,26 5,80 6,40 7,07 7,82
φ (°) 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
Nγ 0,00 0,00 0,01 0,03 0,06 0,10 0,15 0,22 0,30 0,40 0,52 0,66 0,84 1,05 1,29 1,58 1,91 2,31 2,77 3,30 3,93 4,66 5,51
Nc 18,05 19,32 20,72 22,25 23,94 25,80 27,86 30,14 32,67 35,49 38,64 42,16 46,12 50,59 55,63 61,35 67,87 75,31 83,86 93,71 105,11 118,37 133,87
Nq 8,66 9,60 10,66 11,85 13,20 14,72 16,44 18,40 20,63 23,18 26,09 29,44 33,30 37,75 42,92 48,93 55,96 64,19 73,90 85,37 99,01 115,31 134,87
Nγ 6,50 7,66 9,01 10,59 12,43 14,59 17,12 20,09 23,59 27,72 32,59 38,37 45,23 53,40 63,18 74,90 89,01 106,05 126,74 151,94 182,80 220,77 267,74
Tabel 5.2 Illustratieve berekeningsvoorbeelden betreffende het draagvermogen. c (kPa) 20 20 20 20 0 0 0 0 0
φ (°) 0 20 20 20 30 30 30 35 35
su (kPa) 50 50 -
D (m) 0 2 0 0 1 2 0 1 2 1 2
cNc (kPa) 103 297 297 297 0 0 0 0 0
qNq (kPa) 0 0 102 205 0 294 576 533 1066
γBNγ/2 (kPa) 0 31 31 31 161 161 161 362 362
qc (kPa) 257 297 103 328 430 533 161 455 737 895 1428
qc/3 (kPa) 86 99 34 109 143 178 54 152 246 298 476
- 94 -
110 100
Invloedscoëfficiënten
90
Nγ
80 70 60 50 40
Nq
30
Nc
20 10 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
Wrijvingshoek φ Fig. 5. 7 Invloedscoëfficiënten in functie van de wrijvingshoek voor de berekening van het draagvermogen van funderingen op staal.
Om de verschillende termen in de formules 5.5 of 5.7 voor het draagvermogen te evalueren, beschouwen we enige illustratieve voorbeelden, weergegeven in Tabel 5.2, waarbij het draagvermogen wordt berekend voor een strookfundering van 1 m breedte en voor verschillende types van gronden met γ gelijk aan 20 kN/m3 voor een ongedraineerde grond en 16 kN/m3 voor een gedraineerde grond. Uit de waarden gegeven in de tabel blijkt duidelijk dat het draagvermogen vooral bepaald wordt door de tweede term in vergelijking 5.5. Dus om een goed draagvermogen te verkrijgen moet de grond een grote wrijvingshoek bezitten, hetgeen het geval is voor gronden met een grove textuur en dichte pakking. Het is ook nodig om de fundering op een zekere diepte onder het grondoppervlak te voorzien, waardoor er een stabiliserende gronddruk ontstaat. Rekenen op cohesie of ongedraineerde schuifsterkte is meestal niet voldoende. Bovendien moet een fundering minstens 80 cm onder het grondoppervlak komen om vorstschade te vermijden. Typische waarden voor het toegelaten draagvermogen in functie van de grondsoort worden gegeven in Tabel 5.3.
- 95 -
Tabel 5.3 Typische waarden van het toegelaten draagvermogen in functie van de grondsoort. Grondsoort
Draagvermogen qc/3 (kPa)
klei of silt slap matig vast vast
< 75 75 - 150 150 - 300
los matig dicht dicht grind los matig dicht dicht
< 100 100 - 300 300 - 500
zand
< 200 200 - 600 600 - 1000
5.3 Invloed van de gelaagdheid Om de invloed te na te gaan van de gelaagdheid van de grond moet men eerst de omvang van de beïnvloedde zone in de grond kunnen inschatten. De maximale diepte en de afstand waarover de breukzone zich uitstrekt vanaf een strookfundering (Fig. 5.8) werden bepaald door Buisman.
Bmax αf
B
Dmax
αf
Fig. 5.8 Omvang van de breukzone van een strookfundering.
De maximale diepte Dmax kan berekend worden als
- 96 -
D max =
B cos φ exp(α f tgφ) 2 cos α f
(5.8)
en de maximale afstand Bmax als ⎛π ⎞ B max = tgα f exp⎜ tgφ ⎟B = N q B ⎝2 ⎠
(5.9)
met αf gegeven door vergelijking 3.46. Uiteraard gelden deze formules alleen maar voor een homogene grond, maar ze laten toe om de maximale afmetingen van de breukzone in te schatten bij een gelaagde grond. De verhoudingen Dmax/B en Bmax/B worden weergegeven in Fig. 5.9 in functie van de wrijvingshoek φ. De diepte van de breukzone is beperkt tot maximaal 3B, maar de horizontale afstand kan tot 10B bedragen. Voor een ongedraineerde situatie gelden de waarden die overeenkomen met φ = 0, d.w.z. Dmax = B/√2 en Bmax = B.
10 9 8 7
Bmax/B
6 5 4 3
Dmax/B
2 1 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
φ Fig. 5.9 Afmetingen van de breukzone bij een fundering op staal (zie ook Fig. 5.8).
Bij een gelaagde grond waarbij de breuklijn tot in een tweede laag gaat kunnen er twee gevallen onderscheiden worden: 1) een sterke laag gelegen op een slappe laag (Fig. 5.10a); de slappe laag zal het draagvermogen ongunstig beïnvloeden indien de sterke laag niet dik genoeg is; 2) het omgekeerde geval van een slappe laag op een sterke laag (Fig. 5.10b); de sterke laag zal het draagvermogen gunstig beïnvloeden indien de slappe laag dun genoeg is. In geval van een fundering in een sterke grondlaag met daaronder een slappe laag bestaat er gevaar voor doorponsen (E. punching) van de bovenste laag met een grondbreuk in de
- 97 -
onderliggende slappe laag tot gevolg, waardoor het draagvermogen sterk kan verminderen. Deze mogelijkheid moet onderzocht worden indien de dikte d van de sterke laag onder de fundering kleiner is dan de diepte van de breukzone berekend met de φ-waarde van de bovenste laag. Het draagvermogen in deze situatie kan bepaald worden door de fundering plus de daaronder zittende sterke grond als een geheel te beschouwen, welke gefundeerd is op de slappe laag. Het draagvermogen mag uiteraard nooit groter zijn dan dit berekend voor een homogene sterke (bovenste) laag.
B
B
d
A
d
B
Fig. 5.10 Invloed van de gelaagdheid: (a) doorponsen van een sterke laag gelegen op een slappe laag, en (b) wegpersen van een slappe laag gelegen op een sterke laag.
In het omgekeerde geval van een dunne slappe laag op een sterke laag bestaat er gevaar voor het zijdelings wegpersen (E. squeezing) van de slappe laag. Deze mogelijkheid dient onderzocht te worden indien de dikte d van de slappe laag onder de fundering kleiner is dan B/√2, de diepte van de breukzone in geval van een slappe laag. Het draagvermogen in dergelijke situatie werd bepaald door Buisman en wordt in een iets verbeterde vorm gegeven door B 1 ⎤ ⎡ q c = ⎢(2 + π) + − su + q 2d 2 ⎥⎦ ⎣
(5.10)
met su de ongedraineerde schuifsterkte van de bovenste slappe laag. De bekomen waarde van het draagvermogen mag nooit groter zijn dan deze berekend voor het geval van een homogene sterke (onderste) laag. In geval van meer complexe situaties bestaan er geen rekenregels. Het is aan de ingenieur om de gepaste veronderstellingen te maken, wat neer komt om de grondeigenschappen zo veilig mogelijk in te schatten; dit is meestal de slechtste, dus laagste waarde voor c en φ, of mogelijk ook het harmonisch gemiddelde.
- 98 -
5.4 Aanvullende beschouwingen betreffende fundering op staal Door Meyerhof en Birchen Hansen werden de vergelijkingen voor het bepalen van het draagvermogen verder uitgebreid om een aantal effecten in rekening te brengen, zoals de vorm van de fundering en de helling van de belasting op de fundering. De formule wordt dan geschreven als q c = i c s c cN c + i q s q qN q + i γ s γ 12 γBN γ
(5.11)
Hierin zijn de i-coëfficiënten de hellingsfactoren (E. inclination factors)die rekening houden met de helling van de belasting en de s-coëfficiënten de vormfactoren (E. shape factors) die rekening houden met de vorm van de fundering. Volgens Eurocode 7 zijn de vormfactoren als volgt: voor een vierkantige of cirkelvormige fundering sc =
sq Nq −1 Nq −1
(5.12a)
s q = 1 + sin φ
(5.12b)
s γ = 0,7
(5.12c)
en voor een rechthoekige fundering met afmetingen B en L (B < L) sc =
sq Nq −1
(5.13a)
Nq −1
sq = 1 +
B sin φ L
s γ = 1 − 0,3
(5.13b)
B L
(5.13c)
De hellingsfactoren houden rekening met de helling van de belasting op de fundering; indien de verticale kracht op de fundering V is en de horizontale kracht is H gericht volgens de breedte B, zijn de volgende coëfficiënten van toepassing volgens Eurocode 7 ic =
iq Nq −1
(5.14a)
Nq −1
⎛ ⎞ 0,7H ⎟⎟ i q = ⎜⎜1 − ⎝ V + BLc / tgφ ⎠
3
(5.14b)
- 99 -
⎛ ⎞ H ⎟⎟ i γ = ⎜⎜1 − V BLc / tg + φ ⎝ ⎠
3
(5.14c)
Indien de horizontale kracht H gericht is volgens de lengte L van de fundering, worden iq en iγ gegeven door iq = iγ = 1 −
H V + BLc / tgφ
(5.15)
waarbij H niet groter mag zijn dan BLc + V⋅tgφ. In geval van een ongedraineerde toestand wordt dit q c = s c i c (2 + π)s u + q
(5.16)
met de vormfactor sc voor een vierkantige of cirkelvormige fundering gelijk aan 1,2 en voor een rechthoekige fundering gegeven door s c = 1 + 0,2
B L
(5.17)
en een hellingsfactor ic gegeven door ⎛ H ⎞⎟ i c = 12 ⎜⎜1 + 1 − BLs u ⎟⎠ ⎝
(5.18)
waarbij H niet groter mag zijn dan BLsu.
e e
2e
e’ L B-2e 2e’
B
B A
B
Fig. 5.11 Invloed van een excentrische belasting: (a) vooraanzicht en (b) bovenaanzicht.
Soms moet men ook rekening houden met een excentrische belasting op een fundering. Hierdoor wordt de spanning onder de fundering minder uniform en moet men rekening houden met het feit dat er geen trekspanningen kunnen voorkomen tussen de fundering en de
- 100 -
grond. De vorm van de fundering moet daarom gecorrigeerd worden om de zone met trekspanningen uit te sluiten. Dit gebeurt op volgende wijze. Indien de resultante van de belasting een excentriciteit e vertoont ten opzicht van het centrum van de fundering, hetzij in de richting van B of in de richting van L, dan moeten de afmetingen van de fundering in de berekeningen gereduceerd worden tot B - 2e of L - 2e’, zoals weergegeven in Fig. 5.11. Dit komt er op neer om alleen dat gedeelte van de fundering in rekening te brengen waarvoor het aangrijppunt van de belasting centraal is. Voor andere vormen van funderingszolen zal men een equivalente rechthoek bepalen zodanig dat het centrum van de rechthoek samenvalt met het aangrijppunt van de belasting en de rechthoek zo goed mogelijk de vorm van de fundering benaderd. Een laatste opmerking betreft de invloed van het grondwater. Uiteraard is aangewezen om een fundering niet in grondwater of dicht bij het grondwater te plaatsen. In de praktijk zal men daarom trachten om de grondwatertafel toe te laten tot maximaal op een diepte B onder de fundering (Fig. 5.12a). Er is dan geen invloed van het grondwater en het grondgewicht in de formule voor de berekening van het draagvermogen is dan gelijk aan het drooggewicht. Indien er toch ondiep grondwater voorkomt dan moet daarmee rekening worden gehouden in het volumegewicht van de grond. Voor een grondwatertafel ter hoogte van de fundering (Fig. 5.12b) moet men voor de berekening van de effectieve spanning q het drooggewicht γd nemen voor het gedeelte van de grond boven de watertafel en het schijnbaar of effectief gewicht γ' voor het gedeelte onder de watertafel. Ook moet men het effectief gewicht nemen voor de grond in de derde term van de formule voor het draagvermogen. Omdat het effectief gewicht van de grond beduidend kleiner is dan het drooggewicht volgt hieruit dat het draagvermogen sterk zal verminderen. Bij een ondiepe grondwaterstand onder de fundering (Fig. 5.12c) moet men in derde term van het draagvermogen een gemiddeld grondgewicht invoeren. Hiervoor berekent men het gemiddeld grondgewicht in de zone onder de fundering tot op een diepte B, waaruit een zekere (beperkte) reductie van het draagvermogen zal volgen.
D
D B
B
(a)
B
D B
(b)
B
B
(c)
Fig. 5.12 Invloed van het grondwater: (a) diep grondwater, (b) grondwater ter hoogte van de fundering en (c) ondiep grondwater.
- 101 -
5.5 Draagvermogen van paalfunderingen Bouwwerken kunnen gefundeerd worden op palen indien er slappe grondlagen voorkomen onder het grondoppervlak met een te klein draagvermogen en/of te grote zettingen in geval van een fundering op staal. Men zal in zulk geval trachten om de belastingen naar diepere en meer draagkrachtige grondlagen over te brengen door middel van palen, omdat de stijfheid van de grond toeneemt met de diepte, waardoor ook het draagvermogen sterk verbetert. Een nadeel is evenwel dat de kostprijs van de fundering sterk zal toenemen. De laatste decennia is er een grote evolutie merkbaar in deze techniek. Er bestaan vele verschillende soorten paalfunderingen en uitvoeringstechnieken. Globaal kan men de paalfunderingen onderverdelen in geprefabriceerde palen die in de grond worden geslagen (dit noemt men heien) en in de grond gevormde palen, waarbij eerst een boorgat wordt gemaakt dat daarna opgevuld wordt met beton al of niet met een wapening of stalen omhulsel. Het draagvermogen is sterk afhankelijk van het type van paalfundering en de wijze van uitvoering, voornamelijk de mate van grondverdringing bij het aanbrengen van de paal. Grondverdringende palen verdienen de voorkeur omdat bij het aanbrengen de grond rondom de paal verdicht wordt, waardoor het draagvermogen sterk verbetert. Afhankelijk van de uitvoeringstechniek kan men volgende types van paalfunderingen onderscheiden (Fig. 5.12): • Boorpalen (Fig. 5.12a); de grond wordt uitgeboord waarbij het gat wordt opgehouden door een steunvloeistof, meestal een bentonietmengsel; hierna wordt het boorgat opgevuld met beton al dan niet met een wapening; men kan het boorgat ook openhouden met een stalen buis, die teruggetrokken wordt bij het opvullen van het gat met betonspecie. Deze techniek is verouderd omdat er geen grondverdringing plaatsvindt zodat het draagvermogen niet verbeterd. • Heipalen (Fig. 5.12b); een stalen voerbuis onderaan afgesloten met een (verloren) stalen voetplaat en/of een droge betonprop wordt in de grond geheid met een hamer of inwendige valblok; daarna wordt een wapeningskorf aangebracht en betonspecie gestort, waarbij de buis geleidelijk wordt teruggetrokken; meestal zal men de betonspecie ook nog verdichten door te heien of te trillen en soms wordt er onderaan een verbrede voet gevormd door het uitheien van betonspecie voordat de buis wordt teruggetrokken of door het gedeeltelijk terug inheien van de voerbuis. Dergelijke palen hebben een hoog draagvermogen door de grondverdringing, maar een nadeel is de trilling- en geluidshinder bij de uitvoering en mogelijke schade aan omliggende gebouwen. • Avegaarpalen; een avegaar spiraalboor wordt in de grond geschroefd, waarna betonspecie wordt Indrijven van een heipaal. geïnjecteerd door de holle as van de boor en de avegaar geleidelijk wordt uitgedraaid; ook kan er een
- 102 -
•
•
wapeningskorf ingeduwd worden in de verse beton. Het voordeel van deze methode is de trillingsvrije en geluidloze uitvoering, maar de grondverdringing is beperkt zodat het draagvermogen niet veel verbeterd. Schroefpalen (Fig. 5.12c), een stalen buis met een verloren boorkop wordt trillingsvrij in de grond geschroefd; wanneer de gewenste diepte bereikt is wordt een wapeningskorf aangebracht en beton geïnjecteerd onder hoge druk; de buis wordt uitgetrokken maar de boorkop blijft achter. Voordelen van de methode zijn een hoog draagvermogen door de grondverdringing en een trillingsvrije en geluidsarme uitvoering. Kokerpalen (Fig. 5.12d); een stalen buis onderaan afgesloten door een stalen plaat of schroefkop wordt in de grond geheid of geschroefd, waarna de buis opgevuld wordt met betonspecie. De stalen voerbuis wordt niet herwonnen en heeft dus een permanente functie. Dergelijke palen hebben een hoge buigsterkte en kunnen hierdoor ook horizontale belastingen opnemen.
Schroefpalen gebruikt als fundering van gebouw D op de VUB campus Oefenplein.
•
Prefabpalen (Fig. 5.12e); dit zijn geprefabriceerde palen meestal van gewapend of voorgespannen beton, die in de grond worden geheid, zodat door de grondverdringing een hoog draagvermogen wordt bekomen; de lengte is evenwel beperkt en de installatie kan hinderlijk zijn voor de omgeving.
- 103 -
• •
Houten palen; deze worden geheid en dikwijls gebruikt bij kleine belastingen, mits de paal volledig onder water komt, waardoor rotting verhinderd wordt. Stalen profielen (Fig. 5.12f); deze worden in de grond geheid of getrild zonder veel hinder voor de omgeving en geven toch een goed draagvermogen omdat gans de moot grond inbegrepen in het profiel als paalfundering fungeert.
A
B
C
D
E
F
Fig. 5.12 Verschillende types paalfunderingen (boven- en dwarsaanzicht): (a) boorpaal, (b) heipaal, (c) schroefpaal, (d) kokerpaal, (e) prefabpaal en (f) stalen profiel.
Een funderingspaal ontleent zijn draagvermogen aan de weerstand van de grond tegen de indringing van de paalpunt, dit noemt men de stuit of puntweerstand Qp, maar ook door de wrijving van de grond langs de schacht van de paal, dit is de zogenaamde kleef Qs (Fig. 5.13a). De totale belasting Qc die een paal kan dragen wordt dus gegeven door Qc = Q p + Qs
(5.19)
De puntweerstand Qp wordt bepaald door het draagvermogen qc van de grond op diepte D Q p = Sq c
(5.20)
met S de dwarsoppervlakte van de paal, en de kleef wordt gegeven door de wrijving langsheen de schacht van de paal Qs = ∫ τs dS
(5.21)
met S de oppervlakte van de paalschacht en τs de schuifspanning langsheen de paalschacht, welke varieert met de diepte. Het draagvermogen van de paalpunt en de schuifspanning langs de schacht kunnen in principe afgeleid worden uit de eigenschappen van de grond en de paal. Het draagvermogen ter hoogte
- 104 -
van de punt kan theoretisch berekend worden op dezelfde wijze als in geval van een fundering op staal, echter gezien de geringe dikte van de paal en de mogelijke aanwezigheid van een paalpunt, wordt de derde term in de formule van het draagvermogen verwaarloosd, zodat q c = cN c + qN q
(5.22)
met c de cohesie van de grond, q de effectieve verticale gronddruk op diepte D, en Nc en Nq de invloedscoëfficiënten. Wegens de vorm en diepte van de paal is het breukvlak anders dan bij een fundering op staal (Fig. 5.14b), waardoor de invloedscoëfficiënten groter zijn dan voor een fundering op staal.
Qc
B Qs
D 8B III
B
I - II
0,7B - 4B
Qp
A
B
Fig. 5.13 Draagvermogen van een paal: (a) stuit Qp en kleef Qs en (b) breukzone rondom de paalpunt.
Voor gedraineerde zandgronden wordt meestal ook nog de cohesieterm verwaarloosd, zodat het draagvermogen gegeven wordt door q c = σ' v N q
(5.23)
met σ’v de verticale effectieve spanning in de grond op diepte D. Verschillende onderzoekers (waaronder Meyerhof, Koppejan en De Beer) hebben een verband gelegd tussen de invloedscoëfficiënt Nq en de wrijvingshoek φ. De resultaten zijn echter sterk uiteenlopend. Hoge waarden voor Nq in functie van φ werden bekomen door Meyerhof, welke volgens Caquot en Kerisel bij benadering gegeven worden door N q ≈ exp(7 tgφ)
(5.24)
Echter de voorkeur wordt gegeven aan de waarden bekomen door Berezantzev, die beduidend lager zijn dan deze van Meyerhof. Deze waarden worden gegeven in Tabel 5.3 en zijn in
- 105 -
beperkte mate ook afhankelijk van de verhouding D/B. Voor de waarde van de wrijvingshoek φ moet men de representatieve waarde nemen in de zone waar de afschuiving plaatsvindt, d.w.z. vanaf 8B boven de paalbasis tot 0,7B à 4B onder de paalbasis, zoals weergegeven in Fig. 5.13.
Tabel. 5.3 Waarden van Nq voor de bepaling van de puntweerstand van paalfunderingen volgens Berezantzev.
25 50
D/B
28° 12 9
30° 17 14
32° 25 22
φ 34° 40 37
36° 58 56
38° 89 88
40° 138 136
Proefondervindelijk is gebleken dat het draagvermogen van een paalpunt niet oneindig blijft toenemen met de diepte. Het blijkt dat er na een zekere diepte een maximale waarde wordt bereikt. Waarden voor de verhouding van deze kritische diepte tot de breedte van de paal werden bepaald door Meyerhof in functie van de relatieve dichtheid van de grond, zoals gegeven in Tabel 5.4.
Tabel 5.4 Kritische diepte voor bepaling van het maximaal draagvermogen van de paalpunt. Dr D/B
zeer los 7
los 10
matig dicht 14
dicht 16
zeer dicht 20
De schuifspanning langs de paalschacht kan berekend worden als τ s = σ' h tgδ = Kσ' v tgδ
(5.25)
met σ'h de horizontale effectieve spanning in de grond welke varieert met de diepte, δ de wrijvingshoek tussen de grond en de paalschacht en K een gronddrukcoëfficiënt. De wrijvingshoek δ is afhankelijk van het paaltype; gebruikelijke waarden worden gegeven in Tabel 5.5.
Tabel 5.5 Gebruikelijke waarden voor de wrijvingshoek tussen een paalschacht en de grond. Materiaal δ
beton 3φ/4
hout 2φ/3
staal 20°
De gronddrukcoëfficiënt is eveneens afhankelijk van het materiaal maar ook en vooral van de uitvoeringstechniek. Voor palen waar er bij de installatie geen verdichting van de grond optreedt, zoals in geval van geboorde palen, is het aannemelijk om voor K de neutrale gronddrukcoëfficiënt K0 te nemen. Indien er wel verdichting van de grond optreedt, zoals bij
- 106 -
geheide palen, is de waarde van K afhankelijk van het materiaal en de oorspronkelijke relatieve dichtheid van de grond, zoals gegeven in Tabel 5.6. Uiteraard moet de waarde van K begrepen zijn tussen de actieve Ka en de passieve Kp gronddrukcoëfficiënt. Tabel. 5.6 Waarden van de gronddrukcoëfficiënt voor grondverdringende palen, in functie van het materiaal en de initiële relatieve dichtheid van de grond. Materiaal
beton hout staal
Relatieve dichtheid Dr los dicht 1 2 1,5 4 0,5 1
Omdat deze berekeningswijze voor de kleef redelijk onzeker is, wordt dikwijls ook een empirisch verband tussen τs en qc gebruikt, zoals voorgesteld door De Beer voor qc > 20 MPa
τs ≈
qc 200
(5.26a)
voor qc < 10 MPa
τs ≈
qc 150
(5.26b)
en lineaire interpolatie voor tussenliggende waarden. Voor ongedraineerde grond wordt de formule voor het draagvermogen van een paalpunt volgens Skempton gegeven door q c = 9s u + q = 9s u + σ v
(5.27)
met σv de totale spanning ter hoogte van de basis van de paal. De kleef wordt berekend met τ s = αs u
(5.28)
met α een coëfficiënt afhankelijk van het paalmateriaal, de wijze van installatie en het grondtype; de waarden zijn volgens Skempton begrepen tussen 0,3 en 0,6 en een gemiddelde waarde 0,45 is het meest aannemelijk. Soms wordt de schuifspanning ook uitgedrukt aan de hand van de effectieve(!) verticale spanning τ s = βσ ' v
(5.29)
met de waarde van β begrepen tussen 0,25 en 0,40 en als meest aannemelijke waarde het gemiddelde 0,32.
- 107 -
We beëindigen deze paragraaf met enkele bemerkingen: • Voorgaande formules zijn slechts benaderend, zodat veiligheidscoëfficiënten in rekening moeten gebracht worden; gebruikelijk is een factor 2 voor de puntweerstand en een factor 3 voor de kleef. • Omdat de berekeningsmethodes zo onzeker zijn, is het beter om het draagvermogen van palen te bepalen door terreinonderzoek d.m.v. diepsonderingen, zoals uiteengezet zal worden in volgende paragraaf. • Soms moet men rekening houden met negatieve kleef, welke ontstaat door zetting van de bovenste grondlagen t.g.v. een belasting of drainage van het grondwater; men raadplege hiervoor de gespecialiseerde literatuur. • Het draagvermogen van een paalfundering is ook afhankelijk van de helling en zetting van de paal en mogelijke horizontale belastingen; hiervoor moet men ook de gespecialiseerde literatuur raadplegen. • Het draagvermogen kan ook beïnvloed worden door de nabijheid van andere palen, indien de tussenafstand minder dan 8B bedraagt. Het is dan aangewezen om het berekende draagvermogen te verminderen met een coëfficiënt 2/3 in geval van geboorde palen en ook de stabiliteit na te gaan van de ganse paalgroep en de tussenliggende grond in zijn geheel, met behulp van de formules voor fundering op staal, zoals weergegeven in Fig. 5.14 • Soms kan het voorkomen dat palen op trek belast worden, bijvoorbeeld door de opwaartse druk van het grondwater op een funderingsvloer of in geval van palen die deel uitmaken van een palengroep; de maximale trekkracht van een paal kan begroot worden uitgaande van de kleef en het eigengewicht.
Fig. 5.14 Globale stabiliteit van een paalgroep.
- 108 -
5.6 Diepsondering Zowel voor fundering op staal als voor een paalfundering is de theoretische berekening van het draagvermogen erg onnauwkeurig wegens de grote onzekerheid in de formules en de waarde van de parameters. Het is daarom veel beter om het draagvermogen te baseren op proefondervindelijk terreinonderzoek. De meest aangewezen methode hiervoor is de diepsondering. Deze methode bestaat erin om een sonde in de grond te duwen en hierbij de puntweerstand en kleef op te meten volgens de diepte. Hierdoor krijgt men eerst en vooral een duidelijk inzicht in de opbouw van de ondergrond, waardoor slappe en sterkte grondlagen onderscheiden kunnen worden, maar bovendien wordt het ook mogelijk om grondparameters af te leiden voor de berekening van het draagvermogen, ofwel rechtstreeks de opgemeten weerstanden om te zetten naar rekenwaarden voor het draagvermogen van funderingen. Het is gebruikelijk om voor een bouwwerk een diepsondering te voorzien per 500 m2, met een minimum van 3 sonderingen (niet op één lijn gelegen). De proef bestaat erin om een stang die onderaan voorzien is van een sondeerpunt in de grond te drukken, waarbij de conusweerstand van de sondeerpunt en de kleef op een gedeelte van de mantel achter de sondeerpunt opgemeten worden. De sonde, schematisch weergegeven in Fig. 5.15a, bestaat uit een kegelvormige conus met een hoek van 60° en een diameter van 3,57 cm, welke progressief in de grond wordt gedrukt, waarbij de nodigde kracht wordt geregistreerd. Achter de conus zit een apart beweegbare mantel van 13,3 cm lengte, waarmee de plaatselijke kleef kan worden opgemeten. De sonde wordt in de grond gedrukt vanaf een terreinwagen (Fig. 5.15b), die een totale kracht kan leveren gaande tot 250 kN afhankelijk van het type.
3,57 cm
13,3 cm
60° A
B
Fig. 5.15 Schematisch voorstelling van (a) een sondeerpunt en (b) uitvoering van een diepsondering.
Bij oudere toestellen wordt eerst de conus over een afstand van 20 cm in de grond gedrukt, waarbij de conusweerstand wordt opgemeten, en daarna wordt de mantel tegen de conus geplaatst en het geheel opnieuw over een afstand van 20 cm in de grond gedrukt, waarbij de totale weerstand wordt opgemeten. Bij de nieuwere toestellen wordt de ganse sonde continu in de grond gedreven met een snelheid van 2 cm/s, waarbij de conusweerstand en kleef
- 109 -
automatisch worden opgemeten door middel van druksensoren. Soms wordt ook nog de druk van het grondwater opgemeten. De diepsondering geeft een grafiek van de conusweerstand qc en de wrijvingsweerstand τs volgens de diepte. De puntweerstand wordt verkregen door de benodigde kracht voor het indringen van de conus te delen door de dwarse doorsnede (10 cm2) en de wrijvingsweerstand door de benodigde kracht voor het verplaatsen van de kleefmantel te delen door zijn zijdelingse oppervlakte (150 cm2). Men berekent meestal ook nog het wrijvingsgetal Rf als de verhouding tussen τs en qc. Rf =
τs qc
(5.30)
Fig. 5.16 Verband tussen de grondsoort en het wrijvingsgetal, uitgedrukt in %.
De informatie verkregen uit diepsonderingen kan men in de eerste plaats gebruiken voor het identificeren van de grondlagen. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van het wrijvingsgetal Rf als kenmerkende eigenschap van de grondlagen; immers hoe groter het wrijvingsgetal hoe cohesiever de grond. Systematisch grondonderzoek heeft geleid tot Fig. 5.16, waarin de correlatie tussen het wrijvingsgetal en de grondsoort wordt weergegeven voor verzadigde grondlagen onder de grondwatertafel. Voor onderzoek van grondlagen boven de
- 110 -
grondwatertafel maakt men best gebruik van ondiepe handboringen. Een voorbeeld van een diepsondering wordt gegeven in Fig. 5.17.
0
5
10
15
0
10 x 10 x τts (MPa) s (MPa)
Quartair
qc (MPa) qc (MPa)
Rf Rf (%) (%)
Fijn zand
Diepte (m)
5
10
klei
15
20 Fig. 5.17 Voorbeeld van een diepsondering.
De informatie verkregen met een diepsondering kan ook gebruikt worden om meer betrouwbare berekeningen te maken van een fundering op staal. Als eerste benadering geldt dat het draagvermogen geschat kan worden in orde van grootte van qc/10. Voor meer nauwkeurige berekeningen zal men gebruik maken van vergelijking 5.11 voor de bepaling van het draagvermogen van een fundering op staal, waarbij grondkarakteristieken worden gebruikt die afgeleid worden uit de resultaten van de diepsondering, zoals verder zal
- 111 -
uiteengezet worden. Uiteraard wordt er ook nog een veiligheidscoëfficiënt van 2,5 tot 3 toegepast. Voor grove gronden kan men de opgemeten conusweerstand gebruiken om met behulp van vergelijking 5.24 van Caquot en Kerisel de wrijvingshoek te schatten ⎡ 1 ⎛ q ⎞⎤ φ ≈ bgtg ⎢ ln⎜⎜ c ⎟⎟⎥ ⎣⎢ 7 ⎝ σ'v ⎠⎦⎥
(5.31)
De vergelijking van Caquot en Kiresel wordt verkozen omdat deze maximale waarden geeft voor Nq en dus minimale waarden voor φ, wat aan de veilige kant is. Men houdt verder geen rekening met cohesie. Voor ongedraineerde kleigronden kan men de schuifsterkte su berekenen met vergelijking 5.27 q − σv su = c (5.32) 9 waarbij men echter meestal uit veiligheidsoverwegingen voor de coëfficiënt in de noemer 15 tot 20 neemt. Ook is het mogelijk om met de resultaten van een diepsondering de samendrukkingsmodulus C te schatten voor de berekening van zettingen. Dit gebeurt met behulp van een relatie voorgesteld door Buisman en De Beer C=
3 2
qc σ' v
(5.33)
Eigenlijk is de evenredigheidscoëfficiënt in bovenstaande vergelijking begrepen tussen 0,5 en 10, afhankelijk van het bodemtype; de waarde 3/2 is geldig voor slappe, samendrukbare lagen, die het meest zettinggevoelig zijn, zodat het gebruik van deze coëfficiënt een veilige aanname is. Evenwel volgens Meyerhof is het beter een factor 1,9 te gebruiken. Voor het dimensioneren van paalfunderingen kan men rechtstreeks gebruik maken van de resultaten van de diepsondering. Voor de bepaling van het draagvermogen van de paalvoet kan men de waarden van de conusweerstand bekomen met de diepsondering niet zomaar overnemen, vermits de grootte van de breukzones van de sondering en van paalfundering verschillend zijn. Men moet een representatieve waarde voor qc afleiden voor de ganse breukzone rondom de paalvoet, zoals gegeven in Fig. 5.13b. Dit kan gebeuren volgens een methode voorgesteld door de Beer, die echter vrij ingewikkeld is en alleen uitgevoerd kan worden met een daarvoor ontwikkeld rekenprogramma. Een eenvoudige methode is deze van het Laboratorium voor Grondmechanica van Delft, de zogenaamde methode van Koppejan: q c = α p 12 [12 (q I + q II ) + q III ]
(5.34)
met qI de gemiddelde waarde van de conusweerstand over traject I vanaf de paalpunt tot 0,7B à 4B onder de paalpunt, zodat de bekomen waarde minimaal is, qII de gemiddelde waarde over traject II dat loopt vanaf de onderkant van traject I tot aan de paalpunt waarbij de in
- 112 -
rekening gebrachte waarde van de conusweerstand nooit hoger mag zijn dan de eronder liggende waarde en qIII de gemiddelde waarde over traject III dat loopt vanaf de paalpunt tot 8B hoger, waarbij de in rekening gebrachte waarde van de conusweerstand nooit hoger mag zijn dan de eronder liggende waarde startend vanaf de laagste in rekening gebrachte waarde over traject II. De procedure wordt beschreven in het document NEN 6743 van het Nederlands Normalisatie-instituut en toegelicht in Eurocode 7, deel 3. Daarna moet het draagvermogen van de paal nog gecorrigeerd worden d.m.v. een factor αp, die rekening houdt met de mate van grondverdringing. Waarden voor αp worden gegeven in Tabel 5.7 in functie van het paaltype. Soms wordt er ook nog een onzekerheidsfactor in aanmerking genomen, die aangeeft in welke mate de grond onderzocht is geworden (zie de vakliteratuur). Uiteindelijk wordt nog een veiligheidscoëfficiënt van 2 toegepast op de bekomen waarde voor het draagvermogen van de paalpunt. Tabel 5.7 Waarden voor de paalfactoren αp en αs volgens het paaltype. Type van funderingspaal Prefab betonpaal Houten paal Heipaal Schroefpaal Stalen buispaal Stalen profielen Avegaarpaal Boorpaal
αp 1 1 1 0,8 1 1 0,8 0,5
αs 0,012 0,01 0,012 0,006 - 0,009 0,0075 0,0075 0,006 0,005
De kleef kan ook rechtstreeks worden overgenomen uit de diepsondering, maar er wordt meestal verkozen een verband te leggen tussen τs en qc τs = α s q c
(5.35)
met αs een paalwrijvingsfactor afhankelijk van het paaltype, waarvoor karakteristieke waarden worden gegeven in Tabel 5.7. Bij de berekening worden piekwaarden van qc beperkt tot 12 MPa, of tot 15 MPa indien deze voorkomen over een traject van minstens 1 m. Uiteindelijk wordt nog een veiligheidscoëfficiënt van 3 toegepast op de bekomen waarde voor de kleef.
- 113 -
6 TALUDS EN KEERSTRUCTUREN 6.1 Oneindige taluds Taluds en keerstructuren worden gebruikt om een niveauverschil in het grondoppervlak te verwezenlijken. Hierbij kunnen door het verschil in niveau en gewicht van de grond de spanningen erg verdeeld zijn, waardoor er gevaar bestaat voor plastische vervorming en instabiliteit door grondbreuk. In deze paragraaf wordt de stabiliteit van taluds behandeld. Het is instructief om eerst het theoretische probleem te beschouwen van een oneindige talud zonder grondwater, zoals weergegeven in Fig. 6.1a. Laten we de stabiliteit onderzoeken van een gedeelte van de grond met lengte L en een hoogte H, zoals weergegeven in de figuur. Wegens de symmetrie van het probleem zijn de krachten op de linker en rechter zijde gelijk, zodat uit het evenwicht volgt dat het gewicht G van de grond per eenheidsbreedte in de derde dimensie loodrecht op de figuur, gelijk moet zijn aan de kracht die werkt op de onderzijde. Het gewicht is G = γLH
(6.1)
zodat de normaalspanning op de onderzijde gegeven wordt door G cos β = γH cos 2 β L cos β
(6.2)
G sin β = γH sin β cos β L cos β
(6.3)
σ = σ' = en de schuifspanning gegeven wordt door τ=
L
L β
β
G
u/γw
σ H
τ τs
A
H
τs
B
Fig. 6.1 Stabiliteit van een oneindige talud: (a) zonder grondwater en (b) met grondwater.
- 114 -
De schuifsterkte τs wordt gegeven door de vergelijking van Mohr-Coulomb τ s = c + σ' tgφ
(6.4)
en er is geen breuk mogelijk indien τ ≤ τs, zodat γH sin β cos β ≤ c + γH cos 2 β.tgφ ofwel tgβ ≤
c γH + tgφ cos 2 β
(6.5)
(6.6)
Hieruit volgt dat een helling altijd stabiel is indien β ≤ φ; men noemt daarom de wrijvingshoek φ ook de natuurlijke helling van een grond. Indien β > φ dan is er ook nog stabiliteit mogelijk indien er cohesie aanwezig is, maar slechts over een beperkte hoogte gegeven door H≤
c γ cos 2 β tgβ − tgφ
(6.7)
Omdat in de praktijk de eigenschappen van een grond dikwijls niet goed gekend zijn, is het aangewezen om de stabiliteit uit te drukken door middel van een veiligheidscoëfficiënt F, zijnde de verhouding tussen de schuifsterkte en de optredende schuifspanning F=
τs c γH tgφ = + τ sin β cos β tgβ
(6.8)
Er wordt algemeen aanvaard dat de stabiliteit verzekerd is wanneer de veiligheidscoëfficiënt minstens 1,4 bedraagt. We onderzoeken nu het effect van grondwater. De meest ongunstige situatie is deze met een zo hoog mogelijke grondwaterstand, dit is dus tot op het niveau van het grondoppervlak zoals weergegeven in Fig. 6.1b. Opgelet dit is geen hydrostatische situatie; er is grondwaterstroming parallel met het grondoppervlak en de waterdruk neemt toe loodrecht vanaf het grondoppervlak. De effectieve normaalspanning wordt nu gegeven door σ' = σ − u = γH cos 2 β − γ w H cos 2 β = γ ' H cos 2 β
(6.9)
met γ' het schijnbaar volumegewicht van de grond. De stabiliteitvoorwaarde wordt γH sin β cos β ≤ c + γ ' H cos 2 β.tgφ
(6.10)
ofwel tgβ ≤
c γH ⎛ γ ' ⎞ + ⎜ ⎟ tgφ cos 2 β ⎜⎝ γ ⎟⎠
(6.11)
- 115 -
De helling is nu voor alle waarden van H stabiel indien tgβ ≤ (γ'/γ)tgφ en vermits γ groter is dan γ' (ongeveer het dubbele) volgt hieruit dat β beduidend kleiner zal moeten zijn dan φ, waaruit blijkt dat het grondwater een zeer ongunstige invloed heeft op de stabiliteit. Men zal in de praktijk dan ook taluds zo veel mogelijk draineren. De veiligheidscoëfficiënt wordt nu F=
⎛ γ ' ⎞ tgφ c γH + ⎜⎜ ⎟⎟ sin β cos β ⎝ γ ⎠ tgβ
(6.12)
In geval van een ongedraineerde kleigrond wordt het breukcriterium τ ≤ su, zodat de stabiliteitsvoorwaarde gegeven wordt door γH sin β cos β ≤ s u
(6.13)
su γ sin β cos β
(6.14)
ofwel H≤
waaruit volgt dat een talud in een ongedraineerde grond alleen maar stabiel kan zijn tot op een zekere hoogte. De veiligheidscoëfficiënt wordt gegeven door F=
s u γH sin β cos β
(6.15)
6.2 Eindige taluds In de praktijk zijn taluds niet oneindig en zijn voorgaande beschouwingen te streng, tenzij de helling heel klein is. De situatie is in de praktijk meestal zoals weergegeven in Fig. 6.2.
β H
G α
Ts
T α
L
N G
Fig. 6.2 Afschuiving van een talud langs een recht glijvlak.
Als een eerste benadering zou men kunnen veronderstellen dat er een afschuiving kan plaatsvinden langs een recht glijvlak met een hoek α, zoals weergegeven in de figuur; dit is de methode van Culmann. Het gewicht van de afschuivende grond (per eenheidsbreedte in de derde dimensie) kan berekend worden uit de grootte van de driehoek boven de breuklijn
- 116 -
G = 12 γLH
sin(β − α) sin β
(6.16)
met L de lengte van het glijvlak. Het gewicht kan ontbonden worden in een component N loodrecht op het glijvlak en een component T tangentieel aan het glijvlak N = G cos α
(6.17a)
T = G sin α
(6.17b)
De weerstandbiedende schuifkracht Ts in het glijvlak kan berekend worden met de formule van Mohr-Coulomb Ts = cL + (G cos α) tgφ
(6.18)
De veiligheidscoëfficiënt wordt dan F=
Ts cL + (G cos α) tgφ ⎛ c ⎞ tgφ 2 sin β ⎜ ⎟+ = = T G sin α sin(β − α) sin α ⎜⎝ γH ⎟⎠ tgα
(6.19)
Men kan nu nagaan wat de meest ongunstige positie is van het glijvlak door de formule af te leiden naar α en gelijk te stellen aan nul; dit geeft als oplossing α = (β+φ)/2 waaruit volgt F=
4 sin β ⎛ c ⎞ tgφ ⎜⎜ ⎟⎟ + cos φ − cos β ⎝ γH ⎠ tg[(β + φ) 2]
(6.20)
Met behulp van bovenstaande vergelijking is het dan mogelijk om voor een zekere helling β en hoogte H, de veiligheidscoëfficiënt van de talud te berekenen. Echter in de praktijk blijkt dat de breuk- of glijvlakken meestal niet recht zijn, tenzij voor zeer steile taluds, zodat voorgaande formule een onderschatting geeft van de veiligheid. De formule voldoet iets beter voor een ongedraineerde kleigrond. Hiervoor kan de vergelijking omgezet worden door te stellen dat c = su en φ = 0, waaruit volgt α = β/2 en F=
4 sin β ⎛ s u ⎞ ⎜ ⎟ 1 − cos β ⎜⎝ γH ⎟⎠
(6.21)
Voor een rechte talud (β = 90°) is het mogelijk om voor F = 1 een taludhoogte te bekomen van H=
4s u γ
(6.22)
Dit is ook de maximaal mogelijke diepte van een scheur in een kleibodem. Omdat dit resultaat bekomen werd door een breukmechanisme te veronderstellen, moet deze waarde aanzien worden als een bovengrens. Meer nauwkeurige analyses tonen aan dat de coëfficiënt in de vergelijking begrepen is tussen 3,64 en 3,83. Bovenstaande vergelijking is dus wel een
- 117 -
redelijk goede benadering. Indien de scheur gevuld zou zijn met water, dan zal de druk van het water een stabiliserende invloed hebben, waardoor de diepte van de scheur kan toenemen. Het is eenvoudig aan te tonen, dat de formule dan als volgt wordt geschreven H=
4s u γ'
(6.23)
Nog grotere dieptes kunnen verkregen worden door de densiteit van het water in de scheur te verhogen. Dit principe wordt gebruikt voor het ophouden van sleuven in de grond, door de sleuven te vullen met een water- en bentonietmengsel (zie bijvoorbeeld de methode van de slibwand in een volgende paragraaf). Uit de praktijk blijkt dat glijvlakken bij afschuiving van een talud eerder cirkelvormig zijn. Beschouw een cirkelvormig glijvlak in geval van een ongedraineerde grond, zoals weergegeven in Fig. 6.3a. Op de grond boven het cirkelvormige glijvlak zijn slechts twee krachten werkzaam: het gewicht G en de schuifweerstand langs het glijvlak welke gegeven is door suL, met L de lengte van de cirkelboog. De stabiliteit kan uitgedrukt worden als een rotatie-evenwicht rond het middelpunt van de cirkel met straal r. De stabiliteit is dan verzekerd indien Gd ≤ s u Lr
(6.24)
met d de krachtsarm van G. De veiligheidscoëfficiënt wordt dan F=
s u Lr Gd
(6.25)
Om de meest ongunstige toestand te bepalen, moet men alle mogelijke cirkelvormige afschuivingen onderzoeken. Er bestaat hiervoor geen analytische oplossing, zodat men in de praktijk een reeks van waarschijnlijke cirkelvormige glijvlakken (Fig. 6.3b) zal moeten analyseren om de minimum waarde van de veiligheidscoëfficiënt te bepalen. d
r H
G β L
A
su
B
Fig. 6.3 Cirkelvormige afschuiving van een talud: (a) ongedraineerde situatie en (b) voorbeeld van mogelijke glijcirkels.
- 118 -
Een dergelijke analyse vereist heel wat werk. Daarom werden voor eenvoudige situaties diagrammen opgesteld. Het diagram van Taylor is geldig voor de situatie zoals weergegeven in Fig. 6.4a, en is als volgt te gebruiken.
su/FγH
H β Y
β
A
B
Fig. 6.4 Stabiliteit van een talud in een ongedraineerde grond volgens Taylor: (a) situatie en (b) rekendiagram.
Indien het volume grond van de afschuiving V bedraagt, dan kan vergelijking 6.25 herschreven worden als su Vd = = f (Y H , β) FγH HLr
(6.26)
De maximale waarde van de factor in het rechterlid in de vergelijking is alleen afhankelijk van de geometrie van het probleem en werd door Taylor berekend in functie van Y/H en β, zoals gegeven in Fig. 6.4b. Het volstaat dus deze waarde van de grafiek af te lezen om de veiligheidscoëfficiënt te kunnen bepalen. Merk op dat voor een oneindig diepe bodem en voor hoeken kleiner dan 50°, de coëfficiënt in het diagram van Taylor 0,18 bedraagt. Voor meer ingewikkelde situaties zal men de volledige analyse moeten uitvoeren ofwel gebruik maken van computer-programma’s. Ter illustratie beschouwen het geval van een talud van 45°. In de veronderstelling dat de talud oneindig is, volgt uit vergelijking 6.15 F=2
su γH
(6.27)
Voor een recht glijvlak volgt uit vergelijking 6.21 F ≈ 9,7
su γH
(6.28)
en voor een cirkelvormige afschuiving volgt uit het diagram van Taylor F ≈ 5,6
su γH
(6.29)
- 119 -
hetgeen duidelijk het verschil in benadering illustreert. Het resultaat bekomen met de methode van Taylor is het meest nauwkeurig. Voor gedraineerde situaties worden de berekeningen met cirkelvormige glijvlakken nog ingewikkelder, omdat de schuifweerstand langs het glijvlak variabel is. De situatie wordt weergegeven in Fig. 6.5.
b
α r h H
G
β L
G N
τs
T
α l B
A
Fig. 6.5 Berekening van de stabiliteit van een talud met een cirkelvormig glijvlak: (a) gedraineerde situatie en indeling in lamellen en (b) detail van een lamel.
Een benaderde oplossing wordt bekomen door het afschuivend gedeelte van de grond op te delen in verticale lamellen met constante breedte b, zoals voorgesteld in Fig. 6.5a. Een dergelijke lamel wordt in detail weergegeven in Fig. 6.6b. Elke lamel heeft een breedte b en een gemiddelde hoogte h, zodat het gewicht G gegeven wordt door
G = γbh
(6.30)
Het gewicht van elke lamel en de krachten op de beide zijden resulteren in een normaalkracht N en een tangentiële kracht T op het glijvlak van de lamel. Er wordt verondersteld dat de breedte b van de lamel voldoende klein is zodat het glijvlak onderaan de lamel als een recht vlak kan beschouwd worden, welke een hoek α maakt met de horizontale. Deze hoek kan afgeleid worden uit de plaats van de lamel t.o.v. het middelpunt van het cirkelvormige glijvlak, zoals weergegeven in Fig. 6.6a. De lengte l van de onderrand is dan gelijk aan b/cosα. Op elke onderrand werkt er ook een schuifweerstand Ts, welke berekend kan worden met de vergelijking van Mohr-Coulomb Ts = cl + N' tgφ met N’ de effectieve normaalkracht op de onderrand van een lamel.
(6.31)
- 120 -
Het doel is om het globaal rotatie-evenwicht langs het cirkelvormig glijvlak uit te rekenen. De rotatie wordt veroorzaakt door het gewicht van de lamellen maar tegengewerkt door de schuifweerstanden. Het rotatie-evenwicht kan wordt bekomen door een sommatie te maken over alle lamellen en de stabiliteit is verzekerd indien
∑i G i r sin α i ≤ ∑i Tsi r
(6.32)
zodat de veiligheidscoëfficiënt berekend kan worden als F=
∑iTsi ∑iG i sin α i
=
∑i(cl i + N'i tgφ) ∑iG i sin α i
(6.33)
waarin de straal r niet meer voorkomt omdat deze gelijk is voor elke lamel. Het probleem is nu om N’ te bepalen voor elke lamel, wat niet zo eenvoudig is gezien de krachten tussen de lamellen onderling niet gekend zijn. De eenvoudigste methode is deze van Fellenius, welke veronderstelt dat de bijdrage van de krachten op de wanden van elke lamel verwaarloosbaar zijn (dit komt er op neer te veronderstellen dat de krachten op de zijwanden tegengesteld zijn aan elkaar, wat redelijk is als de lamellen erg dun zijn). Hieruit volgt N ' = G cos α − ul
(6.34)
met u de druk van het grondwater aan de onderkant van de lamel. De veiligheidscoëfficiënt wordt dan gegeven door c + ( γh i cos 2 α i − u i ) tgφ [cl i + (G i cos α i − u i l i ) tgφ] ∑i cos α i ∑ i F= = ∑iG i sin α i ∑iγh i sin α i
(6.35)
Het blijkt dat de methode van Fellenius de veiligheidscoëfficiënt onderschat met 5% tot 20%. Een betere methode is deze van Bishop, welke veronderstelt dat alleen het effect van de verticale componenten van de krachten op de zijwanden van elke lamel verwaarloosbaar zijn (dit komt er dus op neer te veronderstellen dat de verticale componenten van de krachten op de zijwanden tegengesteld zijn aan elkaar). Uit het verticaal evenwicht van elke lamel volgt dan T sin α + ( N'+ ul) cos α = G
(6.36)
Er wordt ook nog verondersteld dat de veiligheidscoëfficiënt geldig is voor elke lamel afzonderlijk, zodat T=
Ts cl + N' tgφ = F F
(6.37)
Met behulp van bovenstaande vergelijkingen kan men N’ berekenen voor elke lamel en wanneer het resultaat in vergelijking 6.33 wordt gesubstitueerd volgt hieruit
- 121 -
F=
∑ [cb + (G − u b)tgφ] M ∑ G sin α i
i
i
i
i
i
met Mi gegeven door M i = cos α i +
i
=
∑
c + ( γh i − u i ) tgφ i Mi ∑iγh i sin α i
sin α i tgφ F
(6.38)
(6.39)
De methode van Bishop wordt algemeen aanvaard als meest betrouwbaar. Een nadeel is evenwel dat F iteratief berekend moet worden. In de praktijk start men met een bepaalde veronderstelde waarde, bijvoorbeeld 1, wat toelaat om de M-coëfficiënten te bepalen met vergelijking 6.39, waarna een betere waarde van F verkregen wordt met behulp van vergelijking 6.38. De berekening moet herhaald worden voor alle mogelijke cirkelvormige glijvlakken, zodat de methode erg veel rekenwerk vraagt. Uiteraard bestaan hiervoor computerprogramma’s die het werk vereenvoudigen. Merk op dat de methode te veralgemenen is voor een heterogene situatie. Het volstaat voor elke lamel het juiste gewicht te berekenen afhankelijk van de opbouw van de grond en de gepaste waarde van c en φ in te voeren afhankelijk van de grondsoort waarin het glijvlak zich bevindt. Een laatste opmerking betreft sterk negatieve waarden van αi welke kunnen voorkomen aan de voet van de talud. Deze kunnen aanleiding geven tot zeer kleine waarden van Mi hetgeen resulteert in een onrealistische grote bijdrage tot de veiligheidscoëfficiënt. Daarom beperkt men bij de berekeningsprocedure de waarden van αi tot φ/2 - π/4. Dit is de correctie van Koppejan.
helling
helling
Fig. 6.6 Waarden van m en n in functie van de helling en φ voor een oneindig lange talud en een grond zonder cohesie.
Voor eenvoudige homogene situaties bestaan er ook rekendiagrammen, zoals bijvoorbeeld deze van Bishop and Morgenstern waarbij voor een homogene grond de veiligheidscoëfficiënt gegeven wordt door
- 122 -
F = m − nru
(6.40)
met m en n factoren, die afhankelijk zijn van β, φ, c/γH en een diepte factor Y/H (zoals in Fig. 6.4). De parameter ru houdt globaal rekening met de druk van het grondwater; voor droge grond is ru = 0 en indien er grondwater aanwezig is kan ru bij benadering gelijk worden genomen aan 1/3 voor een normale situatie en maximaal ongeveer 1/2. Bijvoorbeeld voor een oneindig lange talud en in afwezigheid van cohesie, worden de waarden van m en n gegeven in functie van β en φ in Fig. 6.6. Voor andere situaties moet men de gespecialiseerde literatuur raadplegen. In geval van een heterogene grond, is het ook mogelijk dat de afschuiving plaats vindt langs glijvlakken die geen cirkelvorm hebben, door bijvoorbeeld de aanwezigheid van slappe lagen waarin de afschuiving meer waarschijnlijk is. De methode van de lamellen kan dan nog gebruikt worden, waarbij echter het glijvlak een willekeurige vorm heeft, gekozen door de onderzoeker, zoals bijvoorbeeld geïllustreerd in Fig. 6.7.
H β
Fig. 6.7 Berekening van de stabiliteit van een talud met een onregelmatig glijvlak.
Men drukt dan niet meer het rotatie-evenwicht uit maar wel het schuif-evenwicht parallel aan het glijvlak. Indien het effect van de zijdelingse krachten op de lamellen verwaarloosbaar is, verkrijgt men opnieuw vergelijking 6.35 van Fellenius. Meer nauwkeurig is de methode van Janbu, die dezelfde veronderstelling maakt als bij de methode van Bishop, hetgeen leidt tot volgende vergelijking
F=
∑ [cb + (G i
i
− u i b) tgφ] M i cos α i
∑ G tgα i
i
i
=
c + ( γh i − u i ) tgφ i M i cos α i ∑iγh i tgα i
∑
(6.41)
Voor tijdelijke uitgravingen van enkele meters diepte is het niet nodig om al deze berekeningen uit te voeren en zal men zich baseren op praktijkervaring om een veilige helling in functie van de grondsoort en de uitgravingsdiepte te kiezen. Gebruikelijke waarden van taluds voor niet al te diepe tijdelijke uitgravingen worden gegeven in Tabel 6.1, in functie van enkele grondsoorten.
- 123 -
Tabel 6.1 Gebruikelijke waarden van taluds voor tijdelijke uitgravingen in functie van de grondsoort. Grondsoort
Diepte (m)
Helling verticaal/horizont.
< 1,5 1,5 - 4 < 1,5 1,5 - 2,5 2,5 - 4 < 1,5 1,5 - 2,5 2,5 - 4
1/1 0,5/1 recht 1,5/1 1/1 recht 2/1 1,25/1
<4 < 1,5 1,5 - 2,5 2,5 - 4
1/1 3/1 1,5/1 1,25/1
Fijn slap matig vast
vast
Grof los dicht
Een open bouwput met taluds.
- 124 -
6.3 Keerstructuren Keerstructuren zijn constructies die toelaten om een niveauverschil in het grondoppervlak te verwezenlijken. Een talud is een meer eenvoudige oplossing, maar vereist dikwijls te veel ruimte, zodat een keerstructuur dan efficiënter is. Een keerstructuur moet voornamelijk horizontale gronddrukken opvangen. Er bestaan verschillende types van dergelijke constructies, welke globaal ingedeeld worden in keermuren en keerwanden (Fig. 6.8).
A
B
C
D
E
F
Fig. 6.8 Keerstructuren: keermuren (a) gewichtsmuur, en (b) en (c) console-muren; en keerwanden (d) damwand, (e) diepwand en (f) beschoeiing.
Keermuren zijn constructies die de horizontale gronddrukken kunnen opvangen door middel de zwaartekracht. Keermuren worden veel gebruikt bij ophogingen, waarbij eerst de muur wordt gebouwd en daarna de grond aangebracht. In geval van uitgravingen, moet er eerst een tijdelijke bouwput worden gemaakt voor de constructie van de muur, waarna de grond aan een zijde terug wordt aangevuld. Men kan volgende types van keermuren onderscheiden: • Gewichtsmuren verkrijgen hun stabiliteit door hun eigen gewicht, waarbij de horizontale gronddrukken overgebracht worden naar de fundering (Fig. 6.8a). Bij het ontwerp moet zowel het horizontaal, verticaal als het rotatie-evenwicht nagegaan worden. Het verticaal evenwicht heeft vooral te maken met het draagvermogen van de grond onder de muur, terwijl voor het rotatie en horizontaal evenwicht de gronddrukken maatgevend zijn. Gewichtsmuren worden meestal uitgevoerd in metselwerk, ongewapend beton of blokstenen. • Console-muren brengen de horizontale gronddrukken over naar de basis, waar het stabiliserend evenwicht bekomen wordt door het gewicht van de bovenliggende grond en het draagvermogen van de ondergrond (Fig. 6.8b&c). Het globaal ontwerp is gelijkaardig als bij de gewichtsmuren, maar ook het intern evenwicht moet nagegaan worden om de muur en de bewapening te dimensioneren. Console-muren worden bijna uitsluitend uitgevoerd in gewapend beton.
- 125 -
A
B
C
D
E
Fig. 6.9 Keerwanden (bovenaanzicht): (a) damwand, (b) slibwand, (c) Berlijnse wand, (d) wand van tangenspalen en (e) wand van secanspalen.
Wanden zijn meer flexibele constructies, waarbij de stabiliteit bekomen wordt door de wand voldoende diep in de grond te steken, waardoor de bovenste gronddrukken gestabiliseerd worden door de gronddrukken in de diepere lagen. Wanden worden voornamelijk gebruikt bij uitgravingen, waarbij eerst de wand wordt aangebracht, waarna men de grond aan een zijde kan verwijderen. Men onderscheidt volgende types: • Damwanden worden opgebouwd door in elkaar grijpende stalen profielen die in de grond worden geheid of getrild (Fig. 6.8d en Fig. 6.9a). De breedte van de damplanken varieert van 0,4 m tot 0,7 m en de hoogte van 2 m tot 5 m. De wand moet voldoen aan alle optredende gronddrukken, waarbij vooral buigmomenten en dwarskrachten van belang zijn en er aandacht moet besteed worden aan vervormingen van zowel de wand als de grond. Dikwijls worden er bijkomende steunen voorzien door middel van stempels of grondankers. Damwanden worden veel toegepast in de waterbouw en als tijdelijke afscherming van bouwputten. • Diepwanden zijn gebaseerd op hetzelfde principe als de damwanden maar de structuur is steviger (Fig. 6.8e), waardoor de wand minder flexibel en Uitvoering van een slibwand vervormbaar is. Bij slibwanden (Fig. 6.9b) worden er sleuven in de grond gegraven en open gehouden door een slibmengsel, meestal een bentonietspecie; daarna wordt er wapening aangebracht en worden de sleuven volgestort met beton, waarbij de bentonietspecie verdrongen en weggepompt wordt. Nadat het beton gehard is kan de grond worden afgegraven. De dikte van een slibwand is 0,6 m tot 1 m en er kunnen dieptes tot 10 m worden bereikt. Slibwanden hebben ook het voordeel dat ze volledig ondoorlatend zijn. Ze worden dikwijls gebruikt als diepfundering en als buitenwand van ondergrondse bouwwerken. Berlijnse wanden bestaan uit verticale dragers, meestal stalen profielen, die in de grond worden gedreven op regelmatige
- 126 -
•
afstanden van 1 tot 3.5 m en verder afgewerkt na geleidelijk afgraven met horizontale schotten tussen de dragers, meestal balken of panelen uit hout of beton (Fig. 6.9c). Berlijnse wanden zijn geschikt voor kleine uitgravingen tot 5 m en zijn niet waterdicht. Een palenwand bestaat uit ofwel naast elkaar geplaatste palen, zogenaamde tangenspalen (Fig. 6.9d) ofwel secanspalen (Fig. 6.9e), waarbij eerst palen worden geboord op een afstand van iets minder dan een diameter Berlijnse wand van elkaar en daarna in de tussenruimtes palen worden geboord die gedeeltelijk de eerste palen uitsnijden, waardoor er een stevige en meer ondoorlatende structuur wordt bekomen. Palenwanden zijn interessant om grote dieptes te bekomen in beperkte ruimtes, zoals naast bestaande gebouwen. Voor de uitvoering van tijdelijke bouwputten worden dikwijls beschoeiingen gebruikt bestaande uit houten planken, of panelen uit beton of staal, die gestut worden door middel van stempels. Beschoeide sleuven worden meestal uitgevoerd in moten van enkele meters lengte en breedtes van ongeveer 1 m; er kunnen dieptes worden bereikt tot 25 m (Fig. 6.9f).
Damplanken
- 127 -
6.4 Horizontale gronddruk Met behulp van de vergelijkingen gegeven in hoofdstuk 4, kan voor een natuurlijke situatie de horizontale gronddruk berekend worden als σ h = K 0 σ' v + u = K 0 ∫ γ ' dz + u
(6.42)
met K0 de neutrale gronddrukcoëfficiënt en γ' het effectieve volumegewicht van de grond. In geval van een grondoppervlak met een helling β mag men voorgaande vergelijking gebruiken met een aangepaste gronddrukcoëfficiënt K0β, gegeven door K 0β = K 0 (1 + sin β)
(6.43)
In geval een gedeelte van de grond verwijderd wordt en vervangen door een keerstructuur, zal de horizontale neutrale gronddruk aanwezig blijven, indien de muur of wand volledig de plaats van de verwijderde grond inneemt zonder enige bijkomende vervorming. Dit is echter in de praktijk weinig waarschijnlijk, omdat enige vervorming altijd zal optreden bij het aanbrengen van de keerstructuur en bovendien de grond en de keerstructuur daarna tot een nieuw evenwicht moeten komen, waarbij vervormingen meer dan waarschijnlijk zijn.
H
∆
σa
H
∆
σp
A B Fig. 6.10 Horizontale gronddrukken op een verticale keerstructuur in functie van de verplaatsing ∆: (a) actieve gronddrukken en (b) passieve gronddrukken.
Indien de keerstructuur alleen maar als doel heeft de horizontale gronddruk op te vangen, is het zeer waarschijnlijk dat de muur iets achteruit zal wijken (Fig. 6.10a). Daardoor wordt de grond dan minder ondersteund zodat er een grondbreuk zal optreden, waarbij de grond langs de wand in een actieve grensspanningstoestand komt. Het verband tussen de verticale en horizontale effectieve gronddrukken wordt dan gegeven door vergelijking 3.57. σ' h = K a σ' v −2 K a c
(6.44)
met Ka de actieve gronddrukcoëfficiënt. De actieve gronddruk is de minimale druk waaraan een grondkering moet kunnen weerstaan om niet te bezwijken. Meestal wordt het effect van de cohesie verwaarloosd, hetgeen een bijkomende veiligheid geeft m.b.t. tot de stabiliteit van de constructie, waaruit volgt
- 128 -
σ' h ≈ K a σ' v = K a ∫ γ ' dz
(6.45)
Indien de keerstructuur ook als doel heeft om krachten over te brengen op de grond, zoals bijvoorbeeld in geval van een steunpunt van een brug of een andere constructie, zal de wand naar de grond toe bewegen. Hierbij wordt de grond meer belast, waardoor een passieve grondbreuk kan optreden, waarbij de grond langs de wand in een passieve grensspanningstoestand komt (Fig. 6.10b). Het verband tussen de verticale en horizontale effectieve gronddrukken wordt dan gegeven door σ' h = K p σ' v +2 K p c ≈ K p σ' v = K p ∫ γ ' dz
(6.46)
met Kp de passieve gronddrukcoëfficiënt. De passieve gronddruk is de maximale druk die de grond kan ontwikkelen tegen een grondkering. Ook hier kan de cohesie verwaarloosd worden want de gronddruk zorgt nu voor ondersteuning en indien we deze kleiner veronderstellen is dit aan de veilige kant. De verplaatsingen die nodig zijn om actieve of passieve gronddrukken te bekomen hoeven niet erg groot te zijn, immers uit de praktijk blijkt dat voor een actieve grenstoestand een verplaatsing van ∆ = 0,001H volstaat, en voor een passieve grenstoestand een verplaatsing van ∆ = 0,01H. Dergelijke verplaatsingen zijn zeer goed mogelijk in de praktijk. Waarden van de actieve en passieve gronddrukcoëfficiënten in functie van de wrijvingshoek worden gegeven in Tabel 6.2.
Tabel 6.2 Waarden van de actieve en passieve gronddrukcoëfficiënten in functie van de wrijvingshoek. φ (°) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Ka 1 0.97 0.93 0.90 0.87 0.84 0.81 0.78 0.76 0.73 0.70 0.68 0.66 0.63 0.61 0.59 0.57 0.55 0.53 0.51 0.49
Kp 1 1.04 1.07 1.11 1.15 1.19 1.23 1.28 1.32 1.37 1.42 1.47 1.52 1.58 1.64 1.70 1.76 1.83 1.89 1.97 2.04
Kp/Ka
φ (°)
1 1.07 1.15 1.23 1.32 1.42 1.52 1.63 1.75 1.88 2.02 2.17 2.33 2.50 2.68 2.88 3.10 3.34 3.59 3.86 4.16
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Ka 0.47 0.45 0.44 0.42 0.41 0.39 0.38 0.36 0.35 0.33 0.32 0.31 0.29 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22
Kp 2.12 2.20 2.28 2.37 2.46 2.56 2.66 2.77 2.88 3.00 3.12 3.25 3.39 3.54 3.69 3.85 4.02 4.20 4.40 4.60
Kp/Ka 4.48 4.83 5.21 5.62 6.07 6.56 7.09 7.67 8.31 9.00 9.76 10.59 11.51 12.51 13.62 14.84 16.18 17.67 19.32 21.15
- 129 -
6.5 Keermuren De stabiliteit van een grond achter een keerstructuur kan ook onderzocht worden door het globale afschuivingsevenwicht na te gaan. Dit werd voor de eerste maal uitgevoerd door Coulomb, die hiervoor een homogeen droge grond en rechte glijvlakken veronderstelde zonder cohesie, zoals weergegeven in Fig. 6.11.
G
G H
H
P α
P
φ W
φ
W
α
A B Fig. 6.11 Afschuiving achter een keerstructuur volgens Coulomb: (a) actieve situatie en (b) passieve situatie. Merk op dat de totale weerstand W langs het glijvlak aangrijpt volgens de wrijvingshoek φ met de normale op het glijvlak, echter verschillend voor de actieve en passieve situatie, zoals weergegeven in de figuur. Uit het horizontaal en verticaal evenwicht van het afschuivend gedeelte van de grond volgt P = W sin(α m φ)
(6.47a)
G = W cos(α m φ)
(6.47b)
waarbij het bovenste teken in de vergelijkingen geldt voor de actieve situatie en het onderste voor de passieve situatie. Het gewicht G wordt gegeven door G = 12 γH 2 tgα
(6.48)
Coulomb heeft aangetoond dat de meest ongunstige positie van het glijvlak bekomen wordt voor dP/dα = 0 met als oplossing α = π/4 + φ/2 voor de actieve situatie en α = π/4 - φ/2 voor de passieve situatie, waarna de resultante P op de keerstructuur berekend kan worden als ⎛ π φ⎞ P = 12 γH 2 tg 2 ⎜ m ⎟ = 12 γKH 2 ⎝ 4 2⎠
(6.49)
met K gelijk aan Ka in geval van de actieve grondtoestand en Kp in geval van de passieve toestand. Merk op dat de kracht op de keerstructuur exact gelijk is aan de resultante van de actieve of de passieve gronddrukken, zoals gegeven door vergelijkingen 6.45 en 6.46. Beide methodes leiden dus tot hetzelfde resultaat.
- 130 -
Charles Augustin Coulomb
Keermuren (sluis in aanbouw te Hingene)
Dit laat toe om de methode Van Coulomb te veralgemenen, door een aantal bijkomende voorwaarden in rekening te brengen, weergegeven in Fig. 6.12, zoals: • de grond achter de keerstructuur heeft een helling β; • de keerstructuur vertoont een hoek α; • er is wrijving mogelijk tussen de grond en de wand, zodat de kracht op de keerstructuur, te wijten aan de gronddrukken, aangrijpt onder een hoek δ, naar boven of beneden afhankelijk van de actieve of passieve toestand, zoals weergegeven in Fig. 6.12 (opgelet in beide gevallen is de waarde van δ positief).
β
H
2H/3
P α
δ
β 2H/3 H α
δ P
A B Fig. 6.12 Kracht op een hellende keerstructuur met wrijving en een hellende grond: (a) actieve situatie en (b) passieve situatie.
Toepassing van de methode van Coulomb geeft volgend resultaat voor de actieve gronddrukcoëfficiënt
- 131 -
⎡ ⎤ sin(α + φ) ⎢ ⎥ α sin ⎢ ⎥ Ka = ⎢ sin(φ + δ). sin(φ − β) ⎥ ⎢ sin(α − δ) + ⎥ sin(α + β) ⎣⎢ ⎦⎥
2
(6.50)
en voor de passieve gronddrukcoëfficiënt ⎡ ⎤ sin(α − φ) ⎢ ⎥ α sin ⎢ ⎥ Kp = ⎢ sin(φ + δ). sin(φ + β) ⎥ ⎢ sin(α + δ) − ⎥ sin(α + β) ⎣⎢ ⎦⎥
2
(6.51)
De waarden bekomen met deze formules zijn over het algemeen iets aan de lage kant voor de actieve situatie en iets aan de hoge kant voor de passieve situatie. Dit is een gevolg van de aanname dat de glijvlakken recht zijn. In de praktijk blijkt dat de glijvlakken meer gebogen zijn, vooral voor de passieve situatie. Men kan de methode veralgemenen met gebogen glijvlakken, maar de resultaten zijn alleen ter beschikking in tabelvorm; men raadplege hiervoor de gespecialiseerde literatuur. Het blijkt evenwel dat de verschillen niet al te groot zijn, behalve voor waarden van Kp groter dan 10, hetgeen een eerder uitzonderlijke situatie is in de praktijk. Bovenstaande formules blijven dus bruikbaar voor de courante praktijkgevallen. In Eurocode 7 worden grafieken gegeven waaruit men de gronddrukcoëfficiënten kan aflezen voor gebogen glijvlakken en rechte muren, en een algemene rekenmethode voor gebogen glijvlakken, die evenwel redelijk ingewikkeld is. De wrijvingshoek δ tussen de structuur en de grond bepaalt in grote mate de waarde van de gronddrukcoëfficiënt. De meest veilige aanname is te veronderstellen dat δ nul is, hetgeen evenwel tot erg conservatieve ontwerpen leidt. Meer realistisch is waarden voor δ te nemen in functie van de ruwheid van de wand en de wrijvingshoek van de grond, zoals bijvoorbeeld gegeven in Tabel 6.3.
Tabel 6.3 Gebruikelijke waarden voor de wrijvingshoek tussen de wand en de grond. Materiaal δ
ruw beton φ
staal 2φ/3
glad beton φ/2
Met bovenstaande formules kan men dus de gronddruk op een keerconstructie berekenen. Hierna moet nog de stabiliteit van de constructie zelf nagegaan worden. Voor een keermuur controleert men het rotatie-evenwicht t.o.v. de voet van de muur (Fig. 6.13a), waarbij een veiligheidsfactor 1,5 gebruikelijk is F=
Gb ≥ 1,5 Pd
(6.52)
- 132 -
en het horizontaal glijdingsevenwicht, eveneens met een veiligheidsfactor van 1,5 F=
[G + P cos(α m δ)] tgδ ≥ 1,5
(6.53)
P sin(α m δ)
In geval er nog andere krachten aangrijpen op de constructie moeten deze uiteraard opgenomen worden in de stabiliteitsberekeningen. Daarna moet nog het draagvermogen van de fundering worden nagegaan en een controle van de zettingen. Tenslotte is het ook nodig om het globaal afschuivingsevenwicht te controleren, zoals geïllustreerd in Fig. 6.13b.
2H/3 P G
d b
A
B
Fig. 6.13 Stabiliteit van een keermuur: (a) omkantelingsevenwicht en (b) afschuiving.
De controle van de stabiliteit van consolemuren is gelijkaardig, maar er moeten zowel horizontale als verticale gronddrukken in rekening worden gebracht. Echter meestal zal men de consolemuur te samen met een gepast gedeelte van de grond als een globale gewichtsmuur beschouwen, zoals geïllustreerd in Fig. 6.14, hetgeen de berekeningen ten zeerste zal vereenvoudigen.
G
P
2H/3
P
2H/3
G
A
B Fig. 6.14 Vereenvoudigde berekening van een consolemuur: (a) als een rechte gewichtsmuur en (b) als een gewichtsmuur met een schuin oppervlak.
- 133 -
6.6 Wanden Voor de stabiliteit van damwanden moet de benodigde diepte D worden bepaald, zoals weergegeven in Fig. 6.15; men noemt dit de steek. In geval er geen bijkomende ondersteuningen zijn, is de situatie zoals weergegeven in Fig. 6.15. De verplaatsing van de wand is dan geen horizontale translatie, maar wel een rotatie rond een punt gelegen op een zekere diepte d. Hieruit volgt dat de actieve en passieve gronddrukken omkeren ter hoogte van het rotatiepunt.
H
d
D
Fig. 6.15 Gronddrukken op een vrijstaande wand.
De waarde van d kan bekomen worden door het rotatie-evenwicht uit te drukken t.o.v. het rotatiepunt. Om de berekeningen te vereenvoudigen verwaarloost men de bijdrage van de gronddrukken onder het rotatiepunt, hetgeen aan de veilige kant is. In geval van een homogene droge grond wordt de veiligheidsfactor dan gegeven door F=
1 2 1 2
γK p d 2 . d 3
γK a (d + H) .(d + H) 3 2
=
Kp Ka (1 + H d) 3
(6.54)
Hieruit kan men de minimum waarde van d berekend als d=
(K p
H FK a )1 3 − 1
(6.55)
waarbij een veiligheidsfactor van F = 1,9 gebruikelijk is (merk op dat de veiligheid feitelijk in rekening wordt gebracht door de passieve gronddrukcoëfficiënt te delen door F). Hierna kan men de steek D berekenen door het horizontaal translatie-evenwicht uit te drukken, maar meestal wordt de volgende benadering gebruikt
D ≈ 1,2d
(6.56)
- 134 -
Het blijkt dat voor een vrijstaande wand de steek redelijk groot is, namelijk groter dan H, wat in de praktijk niet erg economisch is. De wand moet ook gedimensioneerd worden op buigsterkte; het maximum buigmoment komt voor op de diepte z waar de dwarskracht nul is, d.i. z=
H 1− Ka Kp
(6.57)
Voor gebruikelijke waarden van Kp en Ka geeft dit z ≈ 1,5H. Het maximum buigmoment Mmax (per breedte van de wand) is M max = 16 γK a Hz 2
(6.58)
Dit valt nogal mee, zodat de wand niet erg stijf moet zijn. Echter hierdoor ontstaan er dikwijls te grote verplaatsingen bovenaan de wand. Het alternatief, een stijvere wand, zal uiteraard veel duurder en zeker voor tijdelijke uitgravingen zoals een bouwput minder aangewezen. Omdat een vrijstaande wand dus niet erg efficiënt is, zal men meestal bijkomende ondersteuningen voorzien door stempels of grondanker, waardoor de steek en het buigmoment kleiner worden. De meest aangewezen plaats voor een bijkomende ondersteuning is bovenaan of op een kleine afstand a van de bovenkant, zoals weergegeven in Fig. 6.16. Hierdoor zal de wand door de gronddrukken roteren rond dit steunpunt. Er treden dan passieve drukken op boven het steunpunt, maar deze kunnen verwaarloosd worden.
a P
H
D
Fig. 6.16 Gronddrukken op een wand met een bijkomende ondersteuning bovenaan.
Uit het rotatie-evenwicht volgt dan F=
1 2
1 2
γK p D 2 (H − a + 23 D)
γK a (H + D) 2 [23 (H + D) − a ]
Waarmee de steek op iteratieve wijze berekend kan worden
(6.59)
- 135 -
D=
H ⎛ Kp ⎜⎜ ⎝ FK a
⎞ 1 + 23 D H − a H ⎟⎟ −1 2 2 ⎠ 3 + 3D H−a H
(6.58)
Het blijkt dat de waarden van D nu variëren tussen 20 tot 80% van de kerende hoogte H. De kracht P in het steunpunt (per breedte van de wand) wordt bekomen uit het translatieevenwicht als het verschil tussen de totale actieve en passieve gronddrukken P = 12 γK a (H + D) 2 − 12 γK p D 2
(6.59)
en wordt voor de veiligheid verhoogd met 25%. De diepte waarop het maximum buigmoment voorkomt is z=
2P γK a
(6.60)
Dit is voor gebruikelijke waarden van Kp en Ka iets boven de basis van de put (z ≈ 0,8H); het maximum buigmoment Mmax (per breedte van de wand) is M max = P(z − a ) − 16 γK a z 2
(6.61)
De wand kan dus minder diep en slanker uitgevoerd worden. Echter er kan nu een grote uitstulping van de wand optreden onderaan de put, wat meestal ook niet gewenst is. Een tussenoplossing werd voorgesteld door Blum door de steek groter te maken, waardoor er opnieuw een rotatiepunt ontstaat waar de actieve en passieve gronddrukken omkeren (Fig. 17).
a P
H
D
d
Fig. 6.17 Gronddrukken op een wand met een bijkomende ondersteuning volgens Blum.
- 136 -
De plaats van het rotatiepunt kan bekomen worden door het rotatie-evenwicht uit te drukken, met verwaarlozing van de gronddrukken onder het rotatiepunt F=
1 2
γK p d 2 . d 3 + P(d + H − a ) 1 2
(6.62)
γK a (d + H) 2 . (d + H) 3
Omdat P onbekend is, moet er nog een bijkomende voorwaarde opgelegd worden, nl. dat er geen verplaatsing is van de wand ter hoogte van de ondersteuning. Hierbij wordt ook nog verondersteld dat a verwaarloosbaar klein is en dat de wand onderaan ter hoogte van het rotatiepunt ingeklemd is, dus niet verplaatst of roteert. Gebruik makend van de wetten uit de sterkteleer kan dan de verplaatsing in het steunpunt berekend worden als 5 K p γd 4 H K a γ (H + d ) 5 P(d + H) 3 K p γd + + =0 3EI 30EI 24EI 30EI
(6.63)
met EI de buigstijfheid van de wand. Door combinatie van bovenstaande vergelijkingen kan men d iteratief berekenen ⎡ (20F − 12)(K a K p )(1 + d H) 5 ⎤ d = H⎢ ⎥ 2 ⎣ 8(d H) + 25(d H) + 20 ⎦
13
(6.64)
Merk op dat de buigstijfheid van de wand hierin niet meer voorkomt. De steek kan opnieuw 20% groter genomen worden dan d, maar meestal doet men dit niet, en neemt men D gelijk aan d en aanvaart men enige bijkomende vervormingen en herverdeling van de spanningen. De steunkracht wordt bekomen met vergelijking 6.62 en voor de veiligheid verhoogd met 25%. De plaats en grootte van het maximum buigmoment volgen uit vergelijkingen 6.60 en 6.61. Vermits de steek nu groter is dan in geval van Fig. 6.16, worden de steunkracht en het maximum buigmoment kleiner. Aldus bekomt men een redelijk economische en efficiënte oplossing. Een andere oplossing bestaat erin om meerdere steunpunten te voorzien. In dergelijk geval kan de wand beschouwd worden als een meervoudige ondersteunde ligger belast met gronddrukken, die afhankelijk zijn van de verplaatsingen en de buigsterkte van de wand. Voor dergelijke berekeningen bestaan gespecialiseerde rekenmethodes en computerprogramma’s, die beschreven worden in de vakliteratuur. In geval de ondersteuning gebeurt door stempels die geleidelijk aangebracht worden naarmate de uitgraving vordert, blijkt dat er een herverdeling van de gronddrukken plaatsvindt waardoor deze min of meer uniform worden, zoals weergegeven in Fig. 6.18. Volgens Terzaghi en Peck kan men dan een uniforme gronddruk veronderstellen gelijk aan 0,65γHKa en de kracht in elke stempel berekenen als de resultante van de dichts bijzijnde grondspanningen.
- 137 -
H
Fig. 6.18 Gronddrukken op een wand met meervoudige ondersteuning.
De berekening van diepwanden is gelijkaardig als voor damwanden, doch de stijfheid van de wand speelt een grotere rol. Zo is het niet altijd zeker of de muur wel voldoende vervormt om volledige actieve of passieve gronddrukken te verkrijgen, hetgeen evenwel meestal gunstiger is. De voorgaande methode voor damwanden geeft dus altijd een veilig ontwerp. Voor een meer economische ontwerp is het nodig om rekening te houden met de werkelijke vervormingen en de daaruit volgende grondrukken. Hiervoor bestaan speciale procedures, die rekening houden met de interacties tussen de grond en de structuur; deze worden beschreven in de gespecialiseerde vakliteratuur. Tenslotte moet zowel voor een damwand als voor een diepwand ook nog het draagvermogen nagegaan worden en de veiligheid t.o.v. een globale afschuiving.
6.7 Grondankers Voor een alleenstaande wand, kunnen bijkomende steunpunten bekomen worden door middel van grondankers (Fig. 6.19), bestaande uit een trekstang of een kabel en het eigenlijke anker dat de krachten overbrengt naar de grond, door gebruik te maken van de gronddruk (Fig. 6.19a) of de kleef (Fig. 6.19b). De grond die aldus belast wordt, moet op een voldoende veilige afstand gelegen zijn van de wand. Deze afstand kan bepaald worden door de mogelijke glijvlakken te beschouwen voor de grond achter de wand en de grond die belast wordt door het anker, zoals weergegeven in Fig. 6.19.
L
l
L d
H
d H
D
D 45°+φ/2 A
45°+φ/2 B
- 138 -
Fig. 6.19 Stabiliteit van grondankers: (a) ankerschot en (b) kleefanker.
Bij een ankerschot zal er aan weerszijden respectievelijk passieve en actieve gronddruk ontstaan. Indien de hoogte van het schot minstens de helft bedraagt van de diepte d mag er gerekend worden met de ganse moot grond tot aan het oppervlak, zodat de stabiliteit van het schot gegeven wordt door F=
1 2
(K p − K a ) γ ' d 2 b aP
(6.65)
met b de breedte van het schot en a de afstand tussen de ankers. Een veiligheidsfactor van 1,5 is hierbij gebruikelijk. De diepte van het ankerschot kan dan berekend worden als 2FaP (K p − K a ) γ ' b
d=
(6.66)
en de lengte L van de trekstang als ⎛π φ⎞ ⎛π φ⎞ L = (H + D) tg⎜ − ⎟ + d.tg⎜ + ⎟ ⎝ 4 2⎠ ⎝ 4 2⎠
(6.67)
Voor een kleefanker wordt de stabiliteit gegeven door F=
2πrl.Kγ ' d.tgφ aP
(6.68)
met r de straal van het anker, K de gronddrukcoëfficiënt (K0 indien het anker onder druk werd aangebracht, anders Ka) en l de lengte, welke dan berekend kan worden als l=
FaP 2πrγ ' d.tgφ
(6.69)
en de lengte van de kabel als ⎛π φ⎞ L = (H + D) tg⎜ − ⎟ ⎝ 4 2⎠
(6.70)
Ook moet uiteraard nog het globaal afschuivingsevenwicht nagegaan worden van de damwand, de verankering en de omringende grond. Wanneer de wand deel uit maakt van een grotere structuur, kan men bijkomende steunpunten bekomen door verankering aan andere wanden, dit is een zogenaamde kofferdam weergegeven in Fig. 6.20a, of door steunbalken, zogenaamde stempels, die de krachten overbrengen naar andere delen van de constructie, zoals weergegeven in Fig. 6.20b. Zo worden slibwanden dikwijls gebruikt als muren voor het ondergrondse gedeelte van een gebouw en de vloeren tussen de ondergrondse muren als stempels.
- 139 -
A
B
Fig. 6.20 Bijkomende ondersteuning van damwanden: (a) kofferdam en (b) over elkaar staande wanden gestut door stempels.
6.8 Invloed van grondwater In voorgaande beschouwingen werd de invloed van het grondwater niet beschouwd. Uiteraard zal, ingeval er grondwater aanwezig is, men rekening moeten houden met de druk van het water op de keerconstructie. Omdat dit een bijkomende belasting is, zal men de invloed van het grondwater trachten te vermijden door het aan leggen van een drainagesysteem. Dit behoort tot de standaard praktijk in geval van keermuren, waarbij juist achter de muur een drain voorzien wordt, met openingen in de muur waardoor het grondwater naar buiten kan wegstromen (Fig. 6.21a). In geval van damwanden kan er invloed zijn van grondwater, dat niet gedraineerd wordt, omdat damwanden dikwijls gebruikt worden als grondwaterkering. Indien het grondwater even hoog staat aan beide zijden van de wand is er geen effect, omdat de drukken langs beide zijden elkaar opheffen (Fig. 6.21b). Indien er wel een niveauverschil is, zijn er twee mogelijkheden. Als het grondwater niet onder de wand kan doorstromen, heerst er aan beide zijden van de wand een verschillende hydrostatische druk, afhankelijk van de diepte onder de watertafel. Hieruit resulteert een netto druk op de wand, zoals weergegeven in Fig. 6.21c, met een maximale waarde gegeven door u m = aγ w
(6.71)
Een andere mogelijkheid is dat het grondwater wel onder de wand door kan stromen. Door het verschil in waterpeil ontstaat er een permanente stroming onder de wand. Indien verondersteld wordt dat het hydraulisch potentiaalverschil gelijkmatig verdeeld is over de afgelegde weg langsheen beide zijden van de wand, a + 2b, krijgt men een netto drukverdeling, zoals weergegeven in Fig. 6.21d, met een maximale druk gegeven door um =
2ab γw a + 2b
(6.72)
- 140 -
A
B
a
um
um
C
a b
D
Fig. 6.21 Invloed van de grondwaterdruk op een keerwand: (a) met drainage, (b) gelijke grondwaterstand, (c) ongelijke grondwaterstand zonder stroming, en (d) ongelijke grondwaterstand met stroming onder de wand.
Een kofferdam uitgevoerd met dampplanken, gebruikt bij de aanleg van de Ruppeltunnel te Boom.
- 141 -
7 GRONDWATER 7.1 Basisbegrippen De energie van het grondwater wordt gegeven door de potentiaal h (energie per gewicht), welke op eenvoudige wijze opgemeten kan worden met een peilbuis (Fig. 7.1a). De potentiaal is de hoogte tot waar het water stijgt in de peilbuis gemeten vanaf een willekeurig horizontaal referentievlak, waarvoor meestal het topografisch nulniveau wordt genomen. De potentiaal bestaat uit de plaatshoogte z en de drukhoogte u/γw, zijnde de hoogte van het water in de peilbuis, waarmee de druk van het grondwater bepaald kan worden: u = γw(h – z).
onverzadigd h
hc
u/γw
watertafel z verzadigde zone nulvlak B
A
Fig. 7.1 Grondwaterpotentiaal: (a) peilbuis en (b) verzadigde en onverzadigde zones.
In afwezigheid van grondwaterstroming is de potentiaal overal gelijk en komt de potentiaalhoogte overeen met de plaats van de watertafel, zijnde het bovenvlak van het verzadigde gedeelte van de grond. Ter hoogte van de watertafel is de druk nul. Boven de watertafel is de grond onverzadigd en is de waterdruk negatief omdat het water opgezogen wordt door de grond. Door capillaire opstijging kan er nog grondwater tot boven de watertafel opstijgen tot op een hoogte hc, gegeven door hc =
2T cos α γwr
(7.1)
met T de oppervlaktespanning van water (≈ 0,074 N/m), α de contacthoek tussen water en grond (≈ 0), en r de capillaire straal (≈ 0,2 D10). Door capillaire opstijging kan er vochtschade of ontstaan in gebouwen of wegbekledingen, hetgeen verhinderd kan worden door het aanbrengen van een onderlaag bestaande uit grof zand of grind. Verschillen in grondwaterpotentialen veroorzaken grondwaterstroming, welke berekend kan worden met de wet van Darcy (Fig. 7.2)
- 142 -
Q = kS
∆h ∆L
(7.2)
met Q het debiet, S de dwarse sectie en k de doorlatendheid van de grond. Meer algemeen in drie dimensies wordt dit q = −k ⋅ grad(h ) = − ki
(7.3)
met q = Q/S het specifiek debiet of flux en i = grad(h) de hydraulische gradiënt.
∆h
S
Q
∆L Fig. 7.2 De wet van Darcy.
De doorlatendheid van een grond kan zeer sterk variëren afhankelijk van de textuur. Richtwaarden worden gegeven in Tabel 7.1.
Tabel 7.1 Richtwaarden voor de doorlatendheid van grond in functie van de textuur. Textuur grof grind medium grind fijn grind grof zand medium zand fijn zand grof silt medium silt fijn silt klei
k (m/s) > 0,1 0,01 - 0,1 10-3 - 10-2 10-4 - 10-3 10-5 - 10-4 10-6 - 10-5 10-7 - 10-6 10-8 - 10-7 10-9 - 10-8 < 10-9
Wanneer een filter aangebracht wordt om de uitstroming van water uit een grond te bevorderen dan zijn volgende criteria van toepassing: de D15 van het filtermateriaal moet groter zijn dan 4 maal de D15 van de grond om de doorstroming te bevorderen en kleiner dan 5 maal de D85 van de grond om de gronddeeltjes tegen te houden.
- 143 -
Voor een uniforme korrelverdeling kan de doorlatendheid geschat worden met de formule van Kozeny-Carman k=
2 γ w e 3 D 50 µ (1 + e ) 180
(7.4)
met µ de viscositeit van water (≈ 1⋅10-3 Pa⋅s). Voor niet-uniform zand heeft Hazen proefondervindelijk aangetoond dat de kleinste korrels de grootte van de poriën bepalen, en volgende empirische vergelijking voorgesteld 2 γ w D10 k≈ µ 800
(7.5)
De doorlatendheid van een grond kan bepaald worden door grondmonsters in het laboratorium te onderzoeken met behulp van een permeameter, zoals weergegeven in Fig. 7.3.
s ∆h
∆h0
∆ht Q
L
Q
S
L
A
S
B
Fig. 7.3 Permeameter: met (a) constant peil en (b) dalend peil.
Voor een goed doorlatende grond wordt een permeameter gebruikt met vaste peilen (Fig. 7.3a), zodat de doorlatendheid bepaald kan worden als k=
QL S∆h
(7.6)
Voor slecht doorlatende gronden is het moeilijk om het debiet nauwkeurig op te meten, zodat het beter is een opstelling te gebruiken met een dalend waterpeil (Fig. 7.3b), waarmee de doorlatendheid berekend wordt als k=
sL ⎛ ∆h 0 ln⎜ St ⎜⎝ ∆h t
met s de dwarse binnensectie van de opstaande buis.
⎞ ⎟⎟ ⎠
(7.7)
- 144 -
De doorlatendheid kan ook opgemeten worden in boorgaten, waarbij een sectie L van het boorgat geïsoleerd wordt (Fig. 7.4). De doorlatendheid wordt dan bepaald uitgaande van een meting van het debiet Q dat in of uit het geïsoleerde gedeelte van het boorgat stroomt onder invloed van een aangebracht potentiaalverschil ∆h k=
Q ⎛L⎞ sinh −1 ⎜ ⎟ 2πL∆h ⎝ 2r ⎠
(7.8)
met r de straal van het boorgat. Indien L groter is dan 10r kan de vergelijking benaderd worden als k≈
Q ⎛L⎞ ln⎜ ⎟ 2πL∆h ⎝ r ⎠
(7.9)
∆u = γw∆h
Q L
2r Fig. 7.4 Boorgatmethode voor bepaling van de doorlatendheid.
7.2 Grondwaterstroming In geval van grondwaterstroming is de potentiaal niet meer constant en de waterdruk niet meer hydrostatisch. Om de juiste waarde van de druk te bekomen zal men dan eerst de grondwaterstroming moeten bepalen. Echter in de praktijk blijkt dat de grondwaterstroming meestal grotendeels horizontaal is, zodat de potentiaal bijna niet varieert met de diepte en de druk toch nog hydrostatisch verdeeld is. Dit is niet meer het geval bij een verticale stroming (Fig. 7.5). Stel dat er een constante verticale gradiënt is i=
dh d ⎛ u ⎞ ⎟ = ⎜⎜ z + γ w ⎟⎠ dz dz ⎝
(7.10)
- 145 -
Hieruit kan de drukverdeling worden berekend als u = (1 − i) γ w d
(7.11)
met d de diepte onder de watertafel. Uit deze vergelijking blijkt dat bij een neerwaartse stroming (i > 0) de druk kleiner is dan de hydrostatische druk, waaruit volgt dat de effectieve korrelspanning groter zal zijn, hetgeen over het algemeen de stabiliteit ten goede zal komen. Echter, bij een opwaartse stroming is het omgekeerde waar, de druk is groter en de stabiliteit vermindert.
z u/γw
i>0
1
i<0
1 d
i>0
i=0
i<0
Fig. 7.5 Drukverdeling bij verticale stroming.
Opwaartse stroming tot aan het grondoppervlak wordt kwel genoemd en kan in sommige gevallen tot ernstige problemen leiden. In het uiterste geval kan het gebeuren dat de grond volledig onstabiel wordt. Dit noemt men drijfzand. Deze toestand ontstaat wanneer de effectieve spanningen volledig verdwijnen, waardoor de korrels geen onderling contact meer hebben en de grond zich als een vloeistof gedraagt. Dit is het geval indien σ' = σ − u = γd − (1 − i) γ w d = 0
(7.12)
waaruit de kritische waarde van de gradiënt afgeleid kan worden als i = 1 − γ γ w ≈ −1
(7.13)
Er is dus gevaar voor drijfzand bij een opwaartse stroming wanneer de absolute waarde van de gradiënt de waarde 1 benadert. Dit betekent ook dat de druk van het grondwater groter zal zijn, meer bepaald u ≈ 2γwd dus het dubbele van de hydrostatische druk. Merk op dat de doorlatendheid hierin geen rol speelt, zodat deze situatie kan voorkomen bij elk type grond. Echter bij grove gronden zal er meestal te weinig grondwater zijn om een dergelijke stroming te onderhouden. Echter bij diepe uitgravingen met een hoge grondwaterstand (Fig. 7.6a), of bij grondwerken naast een waterkering (Fig. 7.6b) kan dit problemen stellen. Om drijfzand te voorkomen zal men het grondwater moeten draineren ofwel de stroming verhinderen door het aanbrengen van een ondoorlatend scherm.
- 146 -
A
B
Fig. 7.6 Mogelijk voorkomen van drijfzand: (a) uitgravingen in gronden met een hoge grondwaterstand en (b) grond naast een waterkering.
Voor de berekening van grondwaterstroming bestaan er een aantal technieken. Meestal betreft het situaties waarbij de stroming beschouwd wordt in een verticaal vlak, met een horizontale component van de flux qx en een verticale component qz, gegeven door de wet van Darcy q x = − ki x = − k
∂h ∂x
(7.14a)
q z = − ki z = − k
∂h ∂z
(7.14b)
In geval van een permanente stroming, volgt uit de continuïteitsvoorwaarde dat ∂q x ∂q z + =0 ∂z ∂x
(7.15)
∂ 2h ∂ 2h =0 + ∂x 2 ∂z 2
(7.16)
ofwel
Dit is de vergelijking van Laplace, welke typisch is voor een potentiaalstroming. Het komt dikwijls voor dat de verticale kv en horizontale doorlatendheid kh verschillend zijn, als gevolg van de gelaagdheid van de grond (meestal is kv < kh), zodat q x = −k h
∂h ∂x
(7.17a)
q z = −k v
∂h ∂z
(7.17b)
en kh
∂ 2h ∂ 2h k =0 + v ∂x 2 ∂z 2
(7.18)
Echter, een anisotrope situatie kan altijd gereduceerd worden tot een equivalente isotrope situatie, door een equivalente isotrope doorlatendheid in te voeren ke = (kvkh)1/2 en een aangepast hoogte z' = (kh/kv)1/2z.
- 147 -
⎛ ∂ 2h ∂ 2h ⎞ k e ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ = 0 ∂z' ⎠ ⎝ ∂x
(7.19)
Voor het oplossen van de Laplace vergelijking bestaan er vele numerieke methodes en computerprogramma's. Echter in de grondmechanica worden meestal nog eenvoudige benaderde oplossingsmethodes gebruikt, wat gerechtvaardigd is gezien de grote onzekerheid betreffende de exacte waarde van de doorlatendheid. Een van deze methodes is de grafische oplossingstechniek gebaseerd op de stroomnettheorie. Een stroomnet is een grafische voorstelling van potentiaallijnen en stroomlijnen. Een potentiaallijn is een lijn bestaande uit punten met dezelfde potentiaalwaarde en een stroomlijn bestaat uit punten die overeenkomen met de verplaatsingen van een grondwaterdeeltje in de loop van de tijd. Vermits de stroming altijd gericht is volgens dalende potentiaalwaarden, staan de stroomlijnen loodrecht op de potentiaallijnen. Beschouw nu een cel afgebakend door twee stroomlijnen en twee potentiaallijnen, zodanig dat de cel een kromlijnige vierkante vorm heeft, zoals weergegeven in Fig. 7.7. h1 Qc b
h2
L Qc
Fig. 7.7 Een elementaire cel gevormd door stroomlijnen en potentiaallijnen.
Het debiet dat door de cel stroomt (per lengte-eenheid in de derde dimensie) kan berekend worden met de wet van Darcy Q c = qb = k
h1 − h 2 b = k∆h L
(7.20)
Het bijzondere aan deze formule is dat het debiet alleen gegeven wordt door de doorlatendheid van de grond k en het potentiaalverschil ∆h en onafhankelijk is van de geometrische afmetingen. Indien men dus voor een bepaalde situatie een stroomnet kan tekenen volledig bestaande uit kromlijnige vierkante cellen dan kan men hiermee het probleem volledig oplossen. De methode wordt geïllustreerd in Fig. 7.8. Het betreft een reservoir met een dam en een doorlatende ondergrond, waardoor er water vanuit het reservoir onder de dam kan doorstromen naar het grondoppervlak achter de dam. Er wordt
- 148 -
verondersteld dat de grond homogeen is met een doorlatendheid k. Uit de grafische constructie van het stroomnet volgt dat er 3 stroombuizen zijn onder de dam, zodat het totaal debiet Q gelijk is aan 3 maal Qc. Om de juiste waarde van Qc te berekenen moeten we ∆h kennen. Hiertoe volstaat het aantal potentiaalintervallen te tellen tussen het reservoir en het grondoppervlak achter de dam; dit zijn er 10, zodat ∆h gelijk is aan H gedeeld door 10, H zijnde het totaal potentiaalverschil. Aldus wordt het totaal debiet bekomen als Q = 3kH/10. uiteraard is dit een benadering en zou een meer gedetailleerd vierkantennet meer nauwkeuriger zijn. In het algemeen geldt Q=
n kH m
(7.21)
met n het aantal stroombuizen en m het aantal potentiaalintervallen. Ook kan men nu de waarde van de potentiaal voor elke potentiaallijn bepalen, zodat men de druk in elk punt van de grond kan berekenen.
H 3
2 1
10
2 3 4
5
6
7
8
9
Fig. 7.8 Voorbeeld van een stroomnet.
Merk op dat de methode alleen maar mogelijk is indien de zone waar de stroming plaatsvindt gekend is en afgebakend kan worden door gekende randvoorwaarden. De randvoorwaarden kunnen stroomlijnen zijn, zoals ondoorlatende wanden, ofwel potentiaallijnen zoals een reservoir, de watertafel, het grondoppervlak, enz. Iets moeilijker zijn problemen met een watertafel, waarvan de positie niet exact gekend is. In zulk geval moet men de positie van de watertafel schatten met als voorwaarde dat de watertafel een stroomlijn is en dat de potentiaal ter hoogte van de watertafel gelijk moet zijn aan de plaatshoogte (h = z). Een andere eenvoudige berekeningsmethode is gebaseerd op de veronderstelling van de horizontale stroming. In vele gevallen en zeker voor de meeste natuurlijke situaties, is de stroming van het grondwater grotendeels horizontaal. Hieruit volgt dat de potentiaal constant is langs een verticale en de waarde van deze potentiaal gegeven wordt door de plaatshoogte van de watertafel. De richting van de horizontale grondwaterstroming kan dus afgeleid worden uit de gradiënt van de watertafel en de grootte van de stroming kan berekend worden uitgaande van de opwaartse en afwaartse stand van de watertafel, zoals geïllustreerd in Fig.
- 149 -
7.9. Het debiet (per lengte-eenheid in de derde dimensie) kan afgeleid worden uit de wet van Darcy Q = Dq = − Dk
∆h ∆L
(7.22)
hetgeen verder kan uitgewerkt worden door gebruik te maken van de waterhoogtes H, gemeten vanaf de basis van de doorlatende grondlaag. Hierbij wordt verondersteld dat deze basis horizontaal is, een aanvaardbare aanname op lokale schaal. Hieruit volgt Q ≈ 12 (H 1 + H 2 )k
(H1 − H 2 ) H 2 − H 22 =k 1 L 2L
(7.23)
Dit is de formule van Dupuit, welke toelaat om grondwaterstromingen te berekenen uitgaande van de positie van de watertafel.
h1
h2
H1
D
H2 Q
L Fig. 7.9 De horizontale stromingsbenadering volgens Dupuit.
Tenslotte zijn er nog speciale formules in geval van stroming doorheen een dijk. Dit is een veel voorkomend probleem, omdat dijken meestal uitgevoerd worden in doorlatend materiaal. De methode is gebaseerd op een exacte oplossing van de Laplace-vergelijking. Deze oplossing van Kozeny is geldig voor stroming in een grond met een ondoorlatende basis aan de ene zijde en een drainagelaag aan de andere zijde, zoals weergegeven in Fig. 7.10. De positie van de watertafel is dan gegeven door z = x 0 (x 0 − 2 x )
(7.24)
De vorm van de watertafel is parabolisch. De punten op een parabool liggen even ver van de focus of brandpunt en een richtlijn: AF = AB. In dit geval is het brandpunt F het eerste punt van de drainagelaag en de richtlijn snijdt de x-as ter hoogte van x0. Een bijzondere eigenschap is dat het totaal debiet Q per éénheidsbreedte in de derde dimensie wordt gegeven door Q = kx0. In geval van stroming door een dijk (Fig. 7.11) wordt deze oplossing als volgt aangewend.
- 150 -
z A
B
x0 Q
Q
x0
F
x
Fig. 7.10 Stroming naar een horizontale drain; probleem van Kozeny.
0,3a A'
H
A
B
Q F a
b
x0
Fig. 7.11 Stroming door een dijk.
Volgens Casagrande moet het beginpunt van de parabool worden gekozen in A', omdat nabij punt A de vorm van de watertafel iets afwijkt van de parabolische vorm, daar de watertafel ook een stroomlijn is en loodrecht moet staan op de potentiaallijn, gevormd door de wand van het reservoir. Men kan dan A'B afpassen gelijk aan A'F, waardoor men de plaats van de richtlijn vindt. Hierna kan men de watertafel volledig construeren, met een kleine manuele aanpassing nabij punt A. De waarde van x0 kan bepaald worden uitgaande van b en H, waaruit het debiet volgt Q = kx 0 = k ( H 2 + b 2 − b)
(7.25)
Soms wordt er geen drainagelaag voorzien, zodat het grondwater aan de achterzijde van de dam naar buiten stroomt, of heeft de drainagelaag geen horizontale vorm zoals bij de oplossing van Kozeny. Dergelijke situaties worden geïllustreerd in Fig. 7.12. Figuur 7.12a toont een situatie zonder drainagelaag en Fig. 7.12b een situatie met een afwijkende vorm van de drainagelaag. In beide gevallen geeft de stippenlijn de parabolische vorm en de volle lijn de echte vorm van de watertafel, welke iets sneller daalt. Volgens Casagrande is het brandpunt steeds het laagste punt waar het grondwater naar buiten treedt of draineert en is de
- 151 -
relatieve afwijking van de positie van de grondwatertafel ∆d/d afhankelijk van de hoek α, zoals weergegeven in Tabel 7.2. Voor α < 90° treedt de grondwater tangentieel uit aan de wand, maar voor α > 90° is dit verticaal.
d ∆d α
∆d
α F
F
A
d B
Fig. 7.12 Aanpassing van de grondwatertafel in functie van de drainage aan de voet van de dijk: (a) vrije uitstroming en (b) drainagelaag met een hoek α. Tabel 7.2 Aanpassing van de watertafel nabij de voet van de dijk in functie van de hoek α. α ∆d/d
30° 0,36
60° 0,32
90° 0,26
120° 0,18
150° 0,10
180° 0
7.3 Grondwaterbemaling Dikwijls is het nodig om de grondwaterstand te verlagen hetzij permanent om een ondergronds bouwwerk te beschermen ofwel tijdelijk om grondwerken uit te voeren. Dit wordt grondwater- of bronbemaling genoemd, waarvoor meestal pompputten in de grond worden aangebracht waarmee het grondwater wordt weggepompt zodat het grondwaterniveau daalt. Door de pompputten voldoende diep te plaatsen en in voldoende aantal aan te brengen, is het mogelijk de grondwaterstand te verlagen tot elke gewenste diepte. We beschouwen eerst het geval van één pompput, weergegeven in Fig. 7.13. De pompput bestaat uit een buis met een filtersectie. Het water in de buis wordt continu opgepompt, waardoor er een stroming ontstaat van grondwater naar de pompput. Hierdoor treedt er lokaal rond de pompput een verlaging op van de grondwatertafel. Deze verlaging kan brekend worden als volgt. Het opgepompte debiet Q is gelijk aan de toestroming Q = −2πrHq r = 2πrHk
dH d ⎛ H2 = 2πrk ⎜⎜ dr dr ⎝ 2
⎞ ⎟⎟ ⎠
(7.26)
- 152 -
waarbij gebruik is gemaakt van de horizontale stromingsbenadering van Dupuit. Verdere oplossing geeft H 2 = H 02 −
Q ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ πk ⎝ r ⎠
(7.27)
met H0 de natuurlijke stand van de grondwatertafel en r0 de invloedsstraal van de pompput, zoals weergegeven in Fig. 7.13.
Q
H H0
qr 2r1
r0
r Fig. 7.13 Grondwaterbemaling met een pompput.
Vergelijking 7.27 toont aan dat het grondwater verlaagd wordt binnen een cirkelvormige zone met straal r0; daarbuiten is er geen invloed van de bemaling. De grootste verlaging komt voor juist aan de pompput, r = r1. Indien de grondwatertafel ter plaatste van de pompput verlaagd moet worden tot een waarde H1, dan moet er dus gepompt moeten worden met een debiet Q=
πk (H 02 − H12 ) ln(r0 r1 )
(7.28)
Meestal zal één pompput niet volstaan om in een grote zone, zoals een bouwput, de grondwaterstand te verlagen tot een bepaalde waarde, en is er een reeks van pompputten nodig. De grondwaterstand wordt dan gegeven door lineaire superpositie van de verschillende pompputten n
H 2 = H 02 − ∑ i =1
Q i ⎛ r0 ln⎜ πk ⎜⎝ ri
⎞ ⎟⎟ ⎠
(7.29)
met ri de afstand van een willekeurig punt tot een bepaalde pompput en Qi het debiet van deze pompput. Indien we veronderstellen dat elke put evenveel pompt, Qi = Q/n, kan de vergelijking omgevormd worden tot
- 153 -
H 2 = H 02 −
Q ⎛ r0 ln⎜ πk ⎜⎝ re
⎞ ⎟⎟ ⎠
(7.30)
met re een equivalente afstand gegeven door re = (r1 r2 K rn )1 n
(7.31)
Het bijzondere is dat het probleem nu herleid is geworden tot één equivalente pompput. Dus voor een cirkelvormige bouwput kan het totaal debiet dat nodig is om het grondwater te verlagen tot een waarde H1, bepaald worden met vergelijking 7.28, met r1 gelijk aan de straal van de bouwput. Voor een niet-cirkelvormige bouwput zal men een gepaste waarde voor r1 moeten veronderstellen. Neemt men een cirkel die de ganse bouwput omvat dan is men zeker dat het grondwater verlaagd wordt tot de gewenste diepte, maar waarschijnlijk zal men het debiet te hoog inschatten en zal de daling van de grondwatertafel in de bouwput groter zijn. Het beste is om de omtrek van de equivalente pompput gelijk te nemen aan deze van de bouwput, dus r1 = p/2π, met p de perimeter van de bouwput (Fig. 7.14).
pompput equivalente pompput bouwput A
H0
A
H1
B
Fig. 7.14 Bemaling van een bouwput: (a) planzicht en (b) doorsnede.
Ongeacht de vorm van de bouwput zal men daarna nog moeten bepalen hoeveel pompputten er in werkelijkheid nodig zijn en waar deze geplaatst moeten worden. Het maximaal debiet van een enkele pompput kan berekend worden met vergelijking 7.28, doch waarschijnlijk zal men in werkelijkheid dit debiet niet kunnen behalen, omdat er onderlinge beïnvloeding is tussen de putten. Men zal dus meer pompputten moeten voorzien. Om na te gaan of een bepaalde configuratie van pompputten het gewenste effect geeft, zal men in enige punten gelegen in de bouwput de resulterende grondwaterstand berekenen met behulp van vergelijking 7.30. Dit wordt geïllustreerd in Fig. 7.14a, waar er 10 pompputten voorzien zijn, geplaatst rondom de bouwput. Om het resulterende grondwaterpeil te berekenen in punt A volstaat het om de afstanden te bepalen tot elke put, waarmee de equivalente afstand berekend kan worden met vergelijking 7.31, waarna het grondwaterpeil kan berekend worden met vergelijking 7.30.
- 154 -
In alle berekeningen komt de invloedsstraal voor, welke vooraf bepaald moet worden. Echter, daar slechts de logaritme nodig is van deze parameter en wegens de meestal grote onzekerheid betreffende de waarde van de doorlatendheid, volstaat een benaderde schatting van de invloedsstraal. In de praktijk worden er dikwijls empirische vergelijkingen gebruikt, die echter geen fundamentele basis hebben. Het is daarom beter de invloedsstraal te bepalen aan de hand van fysische beschouwingen. Het is mogelijk om de stroming naar een pompput op te lossen in functie van de tijd, vertrekkende van een uniforme grondwaterstand H0. Dit is de zogenaamde oplossing van Theis. Men kan aantonen dat indien de bemaling van beperkte duur is, de invloedsstraal dan benaderd kan worden als r0 ≈
2,25kH 0 t ne
(7.32)
met t de tijd en ne de effectieve porositeit, dit is het verschil in volume water per grondvolume tussen de verzadigde toestand en de resulterende onverzadigde toestand na verlaging van de grondwatertafel. Deze hoeveelheid water moet men dus verwijderen om een grondwaterdaling te verwezenlijken. De effectieve porositeit is functie van de grondsoort; richtwaarden worden gegeven in Tabel 7.3.
Tabel 7.3 Waarden van de effectieve porositeit in functie van de grondsoort. Grondsoort klei silt zand grind
ne 0,05 0,20 0,30 0,25
Merk op dat met deze formule de waarde van de invloedsstraal blijft toenemen in de loop van de tijd. Echter in werkelijkheid stelt er zich na enige tijd een evenwicht in, wanneer de infiltratie van regenwater in de zone met grondwaterverlaging gelijk wordt aan het opgepompte debiet. Dit betekend dat Q = πr02Ne, met Ne de effectieve neerslag welke voor Vlaanderen gemiddeld een 0,7 mm/d bedraagt in orde van grootte voor een normaal jaar. De maximale waarde van de invloedsstraal kan dan berekend worden als
r0 =
Q πN e
(7.33)
Het kan ook voorkomen dat men moet bemalen in de nabijheid van oppervlakte-water, zoals een rivier, een kanaal of een reservoir. Door de daling van de watertafel zal er dan water infiltreren vanuit het oppervlakte-water, waardoor er na enige tijd een evenwicht ontstaat tussen het opgepompte debiet en de hoeveelheid infiltrerend water. In dergelijk geval kan men aantonen dat de invloedsstraal ongeveer het dubbele bedraagt van de afstand van de bemaling tot aan de rand van het oppervlakte-water.
- 155 -
Bij de praktische uitvoering van de bemaling moet men nog rekening houden met diepte waarover het grondwater verlaagd moet worden om een juiste keuze te maken van de putten en de pomptechniek. Kleine bouwputten kunnen droog gehouden worden door een open bemaling, d.w.z. dat het insijpelende water verzameld wordt in een put of gracht en verwijderd wordt met een dompelpomp. Als het debiet te groot wordt of indien er stabiliteitsproblemen ontstaan, moet het grondwater verlaagd worden tot onder de bouwput. Om het grondwater tot enkele meters onder het grondoppervlak te verlagen kan men vacuümfilters voorzien, die op een diepte van enkele meters worden aangebracht en waarmee het grondwater wordt weggezogen d.m.v. een zuigleiding verbonden met een zuigerpomp (Fig. 7.15a). Hiermee kan het grondwaterpeil verlaagd worden tot maximum een drietal meters onder het grondoppervlak. Betere resultaten kunnen bekomen worden met een vacuümbron (Fig. 7.15b), bestaande uit een afgesloten filterput en een zuigleiding aangesloten op een zuigerpomp. De diepte van de filter en zuigleiding bedraagt een 10 m en de daling van het grondwaterpeil kan tot maximum 5 m onder het grondoppervlak gaan. Indien de bemaling nog dieper moet zijn, dan volstaat een zuigerpomp niet meer en zal men zogenaamde dieptebronnen moeten plaatsen (Fig. 7.15c). Dit zijn filterputten die elk voorzien worden van een onderwaterpomp welke in de put wordt neergehangen ter hoogte van de filter. Hiermee kan men tot elke gewenste diepte bemalen mits de filterput voldoende diep geplaatst werd en de pomp de nodige capaciteit bezit om het grondwater naar boven te persen.
A B
C
Fig. 7.15 Pompputten voor grondwaterbemaling: (a) vacuümfilter met zuigleiding, (b) vacuümbron met filterput en zuigleiding en (c) dieptebron met filterput en onderwaterpomp.
- 156 -
Bemaling van een bouwput met vacuümfilters
7.4 Grondwaterdrainering Soms is het nodig om het grondwaterniveau permanent te verlagen voor bijvoorbeeld een industrieterrein, tunnel, of een weg aangelegd in een uitgraving. Hiervoor kan men grachten gebruiken of drains. Drains hebben het voordeel dat ze geen belemmering vormen voor de doorgang aan het grondoppervlak.
H0
H0 qx
qx
H
Hd
x0
x A
Hd
H
x0
x B
Fig. 7.16 Grondwaterdrainering met (a) een gracht en (b) een drain.
- 157 -
Door de daling van het grondwaterpeil ter hoogte van de gracht of drain treedt er lokaal een grondwaterstroming op naar de gracht of drain welke afgevoerd moet worden. We gaan uit van een typische situatie zoals weergegeven in Fig.7.16. Het op te vangen debiet Q kan als volgt berekend worden per strekkende meter aan één zijde van de gracht of drain Q = − Hq x = Hk
dH d ⎛ H2 ⎞ =k ⎜ ⎟ dx dx ⎝ 2 ⎠
(7.34)
waarbij gebruik is gemaakt van de horizontale stromingsbenadering van Dupuit. De oplossing geeft het verloop van de watertafel H 2 = H d2 +
2Qx k
(7.35)
met Hd het niveau van de gracht of drain. Hieruit volgt dat de watertafel een parabolische vorm heeft. Het debiet wordt bekomen als Q=
k (H 02 − H d2 ) 2x 0
(7.36)
met H0 de natuurlijke stand van de grondwatertafel en x0 de invloedsafstand van de gracht of drain, zoals weergegeven in Fig. 7.16. Voor de invloedsafstand gelden dezelfde beschouwingen als voor de invloedsstraal van een pompput, zoals besproken in vorige paragraaf. De waarde is afhankelijk van de lokale situatie en kan ingeschat worden als de maximale afstand over dewelke het grondwater naar de gracht of drain zal toestromen. Merk op dat het debiet afhankelijk is van de doorlatendheid van de grond, de oorspronkelijke dikte H0 van het verzadigd gedeelte van de grondlaag en het niveau Hd tot dewelke men het grondwater wilt draineren. N
qx Hmax
L
x
H
Hd
L
Fig. 7.16 Grondwaterdrainering met parallelle grachten of drains.
- 158 -
Uitgestrekte terreinen kunnen gedraineerd worden door een reeks van parallelle grachten of drains, zoals weergegeven in Fig. 7.17. Indien men uitgaat van een ontwerp neerslagintensiteit N welke in de bodem kan infiltreren en opgevangen moet worden door het drainagesysteem, dan is het totaal debiet van elke drain per strekkende meter gelijk aan NL. De ontwerpneerslag komt in dit geval dan niet meer overeen met een gemiddelde toestand, maar wel eerder met een extreme situatie; bijvoorbeeld de maximale dagelijkse neerslag, die voorkomt met een waarschijnlijkheid van één maal in een periode van 5 jaar, bedraagt ±44 mm/d voor Vlaanderen. De vorm van de grondwatertafel kan berekend worden als volgt Hq = − Hk
dH ⎛L ⎞ = − N⎜ − x ⎟ dx ⎝2 ⎠
(7.37)
De oplossing geeft het verloop van de watertafel H 2 = H d2 +
Nx (L − x ) k
(7.38)
De vorm van de watertafel is elliptisch en de maximaal toegelaten grondwaterstand Hmax situeert zich in het midden tussen de drains (x = L/2) H
2 max
NL2 =H + 4k 2 d
(7.39)
waaruit volgt L=
4k (H 2max − H d2 ) N
(7.40)
Deze formule laat toe om de tussenafstand van de drains te bepalen voor een bepaalde ontwerp neerslagintensiteit, een maximaal toegelaten grondwaterstand, het niveau van de drains en de doorlatendheid van de grond.
- 159 -
REFERENTIES • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Ameryckx, J. B., W. Verheye en R. Vermeire, 1995. Bodemkunde: 346 pp. Anon., 1995. Eurocode 7 - Grondmechanisch Ontwerp - Deel 1: Algemene regels. Belgisch Instituut voor Normalisatie (BIN): 123 pp. Anon., 1996. Building on Soft Soils. A.A. Balkema, Rotterdam: 396 pp. ISBN 90-5410149-6. Anon., 1997. Handboek ondergronds bouwen, Deel 1: Ondergronds bouwen in breed perspectief. A.A. Balkema, Rotterdam: 368 pp. ISBN 90-5410-437-6 . Anon., 2000. Handboek ondergronds bouwen, Deel 2: Bouwen vanaf het maaiveld. A.A. Balkema, Rotterdam: 498 pp. ISBN 90-5809-313-1. Atkinson, J., 1993. An introduction to the mechanics of soils and foundations. McGrawHill Book Co.: 337 pp. ISBN 0-07-707713-X. Buisman, K., 1996. Grondmechanica. A.A. Balkema, Rotterdam: 294 pp. ISBN 90541672-7. Budhu, M., 2000. Soil Mechanics & Foundations. John Wiley & Sons, Inc.: 586 pp. ISBN 0-471-25231-X. Cernica, J. N., 1995. Geotechnical Engineering- Soil Mechanics. John Wiley & Sons, Inc.: 453 pp. ISBN 0-471-30884-6. Cernica, J. N., 1995. Geotechnical Engineering- Foundation Design. John Wiley & Sons, Inc.: 486 pp. Craig, R. F., 1997. Soil Mechanics. E & FN Spon, Chapman & Hall, London: 485 pp. ISBN 0-419-22450-5. Das, B. M., 1999. Principles of Foundation Engineering. Brooks/Cole Publ. Co.: 862 pp. ISBN 0-534-95403-0. Das, B, M., 1999. Shallow Foundations - Bearing Capacity and Settlement. CRC Press: 366 pp. ISBN 0-8493-1135-7. De Cock, F. and C. Legrand, 1997. Design of Axially Loaded Piles – European Practice. A.A. Balkema, Rotterdam: 294 pp. ISBN 90-5410-873-8. Lancellotta, R.,1995. Geotechnical Engineering. A.A. Balkema, Rotterdam: 436 pp. ISBN 90-5410-179-2. Mandal, J. N. and D.G. Divshikar, 1995. Soil Testing in Civil Engineering. A.A. Balkema, Rotterdam: 249 pp. ISBN 90-5410-233-0. Powrie, W., 1997. Soil Mechanics - Concepts and Applications. E & FN Spon, Chapman & Hall, London: 420 pp. ISBN 0-419-19720-6. Ramiah, R K., and L. S. Chickanagappa, 1990. Soil Mechanics and Foundation Engineering. A. A. Balkema, Rotterdam: 576 pp. ISBN 90-6191-143-5. Sarsby, R., 2000. Environmental geotechnics. Thomas Telford Publ.: 584 pp. ISBN 07277-2752-4. Simons, N., and B. Menzies, 2000. A short course in foundation engineering. Thomas Telford Publ., London: 244 pp. ISBN 0-7277-2751-6. Verruijt, A., 1999. Grondmechanica. Delft University Press: 295 pp. ISBN 90-407-18571.
Al deze werken zijn ter beschikking in de bibliotheek van de Vakgroep Hydrologie en Waterbouwkunde.
- 160 -
De universiteit van parijs rond 1300; alleen de studenten op de eerste rij letten op.
