Glava 5 Gravitacija Orbitiranje prirodnih i veˇstaˇckih satelita oko Zemlje, planeta oko Sunca, fenomen plime i oseke, prenos toplote strujanjem fluida, visoka temperatura unutraˇsnjosti planeta, padanje tela koje ispustimo ka povrˇsini Zemlje, ..., je prouzrokovano postojanjem sile gravitacije. Naime, naˇsa stopala moraju da se napregnu da izdrˇze naˇsu teˇzinu - silu gravitacije kojom Zemlja deluje na naˇse telo. Vertikalan pad jabuke sa drveta je izazvan delovanjem iste sile. Mesec orbitira oko Zemlje poˇsto gravitaciona sila stvara centripetalnu silu na rastojanju od stotina miliona metara (rastojanje Zemlje i Meseca iznosi 3 × 108 m). Ista sila odrˇzava kretanja planeta oko Sunca, zvezda u galaksiji, i galaksija u klasteru galaksija. U tom smislu je reˇc o univerzalnoj sili koja deluje na isti naˇcin na veoma razliˇcitim rastojanjima i opisuje ogromana broj pojava. Moderna fizika opisuje gravitaciju Ajnˇstajnovom opˇstom teorijom relativnosti, mada mnogo prostiji Njutnov zakon univerzalne gravitacije nudi, mnogo prostije ali ipak dovoljno taˇcno, opisivanje istih fenomena.
5.1
Njutnov zakon univerzalne gravitacije
Njutn je prvi precizno opisao gravitacionu silu i pokazao da ona moˇze da objasni i padanje tela na Zemlju i kretanja nebeskih tela. On nije medjutim prvi koji je doˇsao na takvu ideju. Njegov prethodnik je Galilej koji je tvrdio upravo to: da i jedna i druga vrsta kretanja imaju isti uzrok. Neki od Njutnovih savremenika, Robert Huk, Kristofer Vren i Edmund Halej, su takodje ˇcinili napore i imali odredjene rezultate u razumevanju gravitacije. Njutn je medjutim prvi koji je doˇsao do taˇcnog matematiˇckog obrasca i iskoristio ga 127
128
GLAVA 5. GRAVITACIJA
da pokaˇze da su putanje nebeskih tela oblika takozvanih konusnih preseka: kruˇznice, elipse, parabole i hiperbole. Ta teorijska predvidjanja predstavljaju veliki trijumpf jer je ve´c neko vreme bilo poznato da sateliti, planete i komete imaju baˇs takve putanje, ali niko nije znao da objasni mehanizam koji je dovodio do baˇs takvih putanja a ne nekih drugih. Izraza koji opisuje gravitacionu silu je relativno jednostavan. Ona je uvek privlaˇcna i zavisi samo od masa koje deluju njome i njihovog rastojanja. Taj izraz se naziva Njutnov zakon univerzalne gravitacije i glasi izmedju svaka dva tela u vasioni postoji privlaˇ cna sila koja deluje duˇ z prave linije koja ih spaja. Ta sila je direktno proporcionalna proizvodu njihovih masa a obrnuto proporcionalna kvadratu rastojanja izmedju njih. Za dva tela masa m i M , ˇciji se centri masa nalaze na
Slika 5.1: Gravitaciono privlaˇcenje duˇz linije koja spaja centre masa bilo koja dva tela. Intenzitet sile je ist za oba tela ˇsto je u skladu sa tre´cim Njutnovim zakonom medjusobnom rastojanju r (slika 5.1), ovaj izraz glasi F =γ
mM , r2
(5.1)
gde je F intenzitet gravitacione sile, γ je konstanta proporcionalnosti koja se naziva gravitaciona konstanta. γ je univerzalna konstanta jer je njena vrednost ista svuda u univerzumu. Ona je odredjena eksperimentalno1 i ima vrednost N · m2 γ = 6, 673 × 10−11 kg2 1
Tekst o tome ko je i kada odredio.
5.1. NJUTNOV ZAKON UNIVERZALNE GRAVITACIJE
129
u SI jedinicama (to znaˇci da, kada mase merimo u kilogramima a rastojanje u metrima, silu ´cemo obavezno dobiti u njutnima). Ukoliko je reˇc o delovanje dva tela ˇcije su mase po 1,000 kg i nalaze se na rastojanju od 1, 000 m, privlaˇcna sila ´ce biti jednaka 6,673×10−11 N. Ovo je izuzetno mala vrednost koja je u skladu sa svakodnevnim iskustvom. Naime mi ne ose´camo delovanje ˇcak ni veoma velikih objekata, kao ˇsto su planine, na nas. Kada je reˇco teˇzini naˇsih tela na Zemlji, treba imati u vidu da je ona posledica delovanja cele Zemlje, ˇcija je masa znatno ve´c a od mase najve´cih planina, na nas. Prisetimo smo da smo ranije naveli da je ubrzanje Zemljine teˇe, na njenoj povrˇsini i blizu nje, jednako 9,80 m/s2 . Kako sada znamo izraz koji opisuje silu koja izaziva to ubrzanje, da vidimo kako se dolazi do izraza koji ga opisuje. Teˇzina tela mg, je u stvari gravitaciona sila izmedju tela i Zemlje. Ako zamenimo mg u izraz za Njutnov zakon univerzalne gravitacije dobija se mM mg = γ 2 , r gde je m masa tela a M masa Zemlje, a r rastojanje do centra Zemlje (zapravo rastojanje centara masa tela i Zemlje). Nakon skra´civanja mase m, dobija se jednaˇcina koja odredjuje vrednost ubrzanja g g=γ
M . r2
(5.2)
Ukoliko zamenimo poznate vrednosti za masu i polupreˇcnik Zemlje, dobija se à ! 2 N · m 5, 98 × 1024 kg g = 6, 67 × 10−11 · = 9, 80 m/s2 . 2 6 2 (6, 38 × 10 m) kg To je oˇcekivana vrednost za ubrzanje Zemljine teˇze a veoma je vaˇzna ˇcinjenica da ne zavisi od mase tela koje se kre´ce u Zemljinom gravitacionom polju.2 Njutnov zakon gravitacije, osim ˇsto u sebi sadrˇzi Galilejevo tvrdjenje da sva tela padaju sa istim ubrzanjem, ide i korak dalje, objaˇsnjavaju´ci tu ˇcinjenicu silom koja izaziva taj pad za koju je utvrdio da je univerzalna i da deluje izmedju svih masivnih tela u vasioni. Pogreˇsno je misliti da je Zemlja stacionarna (ovde se ne misli na njenu rotaciju oko sopstvene ose) dok se Mesec vrti oko nje. U stvari, i prema 2
U ovom izraˇcunavanju g je zanemaren otpor koji vazduh pruˇza kretanju tela kroz njega kao i male varijacije polupreˇcnika Zemlje. Takodje postoje efekti koji su posledica rotacije Zemlje usled kojih je g manje na ekvatoru nego na polovima.
130
GLAVA 5. GRAVITACIJA
Slika 5.2: Zemlja i Mesec se okrenu pribliˇzno jednom za mesec dana oko njihovog centra masa
Slika 5.3: Putanje centra masa sistema Zemlja-Mesec i same Zemlje oko Sunca (talasasta linija).
5.1. NJUTNOV ZAKON UNIVERZALNE GRAVITACIJE
131
Njutnovom zakonu univerzalne gravitacije i u skladu sa zakonom akcije i reakcije, jednakom silom deluje i Mesec na Zemlju i Zemlja na Mesec. Ove sile se razlikuju samo po smeru. U stvari, Mesec i Zemlja uˇcestvuju u rotaciji oko zajedniˇckog centra masa kao ˇsto je to prikazano na slici 5.2. Koliki uticaj ima Mesec na kretanja Zemlje se vidi se i po tome ˇsto on svojim delovanem deformiˇse eliptiˇcnu putanju Zemlje oko Sunca ˇcine´ci je talasastom.
5.1.1
Zavisnost ubrzanja Zemljine teˇ ze od visine
Podsetimo se da smo ranije definisali mg kao teˇzinu tela mase m, pri ˇcemu je g ubrzanje Zemljine teˇze, odnosno ubrzanje tela koje slobodno pada u njenom gravitacionom polju odredjeno jednaˇcinom (5.2). Ukoliko se, medjutim, telo nalazi na visini h iznad povrˇsine Zemlje, rastojanje od tela do centra mase Zemlje ´ce biti r = R + h, tako da ´ce intenzitet gravitacione sile prema (5.1) biti mM mM F =γ 2 =γ . r (R + h)2 Telo koje se nalazi na ovoj visini takodje pada sa nekim ubrzanjem koje se oˇcigledno razlikuje od g odredjenog jednaˇcinom (5.2). Ukoliko ga oznaˇcimo sa g 0 , izraz za drugi Njutnov zakon, u ovom sluˇcaju, daje mg 0 = γ
mM , (R + h)2
ˇsto nakon skra´civanja mase tela m za ubrzanje koje tela imaju pri slobodnom padu sa visine h u polju Zemljine teˇze, daje g0 = γ
M . (R + h)2
(5.3)
Iz ove jednaˇcine se vidi da ubrzanje opada sa visinom. Kako je teˇzina tela mg 0 , odavde sledi da ´ce u sluˇcaju kada visina tela h bude jako velika, teˇzina tela biti veoma mala, pa ´ce u nekom graniˇcnom sluˇcaju postati praktiˇcno jednaka nuli.
5.1.2
Plima i oseka
Plima i oseka koje se javljaju na okeanima i morima su najvidljiviji rezultat delovanja gravitacione sile Meseca na Zemlju. Slika 5.4 predstavlja uproˇs´ceni
132
GLAVA 5. GRAVITACIJA Visina h (km) 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000 10 000 50 000 ∞
g 0 (m/s2 ) 7,33 5,68 4,53 3,70 3,08 2,60 2,23 1,93 1,69 1,49 0,13 0
Tabela 5.1: Ubrzanja Zemljine teˇze za neke visine iznad povrˇsine Zemlje.
Slika 5.4: Plima i oseka izazvane na Zemlji gravitacionim delovanjem Meseca. prikaz pozicije Meseca u odnosu na plimu koju je izazvao na vodenim masama na Zemlji. Kako voda moˇze da teˇce, plima se dogadja na strani Zemlje koja je bliˇza Mesecu, jer je na tom mestu gravitaciono privlaˇcenje od strane Meseca najve´ce. Poznata je ˇcinjenica da se plima pojavljuje i sa druge, dalje, strane Zemlje. Zaˇsto? Odgovor se sastoji u tome da, Mesec privlaˇci Zemlju jaˇce nego vodu koja se nalazi na daljoj strani Zemlje, u odnosu na Mesec, iz prostog razloga jer je Zemlja bliˇza Mesecu. Iz tog razloga je voda sa strane koja je bliˇza Mesecu, pomerenja ka njemu, kao ˇsto je i Zemlja pomerena bliˇze od vode koja se nalazi na drugoj, daljoj strani Zemlje. Kako Zemlja rotira oko svoje ose, plima i oseka zadrˇzavaju svoj poloˇzaj u odnosu na Mesec. Iz tog razloga se imamo pojavu plime dva puta dnevno.
5.1. NJUTNOV ZAKON UNIVERZALNE GRAVITACIJE
133
Slika 5.5: (a, b) Najviˇse i (c) najniˇze plime. Sunce, kao najmasivnije telo u naˇsem planetarnom sistemu, takodje utiˇce na pojavu plime i oseke, ali je njegov uticaj otprilike jednak polovini uticaja Meseca. Stoga se najve´ce plime, nazivaju se prole´cnim, pojavljuju onda kada se Zemlja, Mesec i Sunce na jednoj liniji. Najniˇze plime se dogadjaju onda, kada se Sunce nalazi pod pravim uglom u odnosu na lliniju koja spaja poloˇzaj Zemlje i Meseca. Plima i oseka nisu pojave koje postoje samo na Zemlji ve´c se deˇsavaju i u drugim astronomskim sistemima. Najekstremnije su tamo gde je i gravitaciona sila najve´ca i rapidno se menja, a to je u blizini crnih rupa3 (slika 5.6). U naˇsoj galaksiji je registrovano nekoliko objekata koji su kandidati za crne rupe. One imaju mase ve´ce od mase Sunca, dok im je dijametar (usled veoma jake gravitacije) tek nekoliko kilometara. Na slici 5.6 je prikazana crna rupa koja se formirala u jednom binarnom sistemu (sistem koji se sastojao od dve zvede). Plimske sile koje stvara crna rupa su tako velike da prosto ˇcupaju materiju sa druge zvezde i usisavaju u crnu rupu. Ta materija se pri tom jako komprimuje i zagreva, i pri tom kreira svetlost i X zrake koji mogu da 3
Crna rupa je objekat ˇcija je gravitacija toliko jaka da sa nje ne moˇze niˇsta da ode, ˇcak ni svetlost.
134
GLAVA 5. GRAVITACIJA
se registruju sa Zemlje.
Slika 5.6: Crna rupa koja usisava materiju sa bliske zvezde.
5.2
Keplerovi zakoni
Danas stotine veˇstaˇckih satelita orbitira oko Zemlje zajedno sa hiljadama komada raznog otpada. Takodje nam je dobro poznat oblik njihove putanje. Putanja Meseca oko Zemlje, orbite planeta, asteroida, meteora i kometa oko Sunca su veoma interesantne. Ako pogledamo van naˇseg planetarnog sistema vide´cemo nepojmljiv broj zvezda, galaksija, i drugih nebeskih objekata koji orbitiraju jedni oko drugih i interaguju gravitacionim silama. Svim tim kretanjima upravlja gravitaciona sila, i uzimaju´ci je u obzir mogu´ce je manje ili viˇse taˇcno opisati ih. Naravno, kada je reˇc o sistemima sa viˇse objekata, jednaˇcine postaju komplikovane pa se moraju reˇsavati uz pomo´c kompjutera. Medjutim, za opisivanje orbita odredjene klase sistema, nisu potrebni kompjuteri, i mi ´cemo se sada pozabaviti njima. Te orbite imaju slede´ce karakteristike: • Telo manje mase m orbitira oko tela mnogo ve´ce mase M . Ovo znaˇci da moˇzemo da smatramo telo mase M praktiˇcno stacionarnim, odnosno za njega moˇzemo da veˇzemo inercijalan sistem reference. Ukoliko je orbita zatvorena kriva, telo mase m se naziva satelitom ve´ceg tela. • Sistem je izolovan od drugih masivnih tela. Ovo nam dozvoljava da zanemarimo male efekte na putanje koji potiˇcu od tela koja se nalaze van posmatranog sistema. Ove uslove zadovoljavaju, sa dovoljno velikom taˇcnoˇs´cu, svi Zemljini sateliti (ukljuˇcuju´ci i prirodni satelit Mesec), tela koja orbitiraju oko Sunca, i
5.2. KEPLEROVI ZAKONI
135
Slika 5.7: Elipsa je zatvorena kriva kod koje je zbir rastojanja ma koje taˇcke na njoj od dva fokusa (f1 i f2 ) konstantan. sateliti ostalih planeta. Istorijski gledano, prvo su prouˇcavane orbite planeta, za koje je Kepler4 definisao tri zakona koji u potpunosti opisuju njihovo kreˇ tanje. Staviˇ se ovi zakoni vaˇze za bilo koja tela koja zadovoljavaju navedene uslove, a ne samo za planete Sunˇcevog sistema. Keplerovi zakoni kretanja planeta glase: • Prvi Keplerov zakon. Orbita svake planete oko Sunca je elipsa u ˇcijem jednom fokusu se nalazi Sunce (slika 5.8).5 • Drugi Keplerov zakon. Svaka planeta se kre´ce tako da, zamiˇsljenja linija koja spaja Sunce i planetu, prebriˇse jednake povrˇsine za jednake intervale vremena (slika 5.9). • Tre´ci Keplerov zakon. Odnos kvadrata perioda obilaska ma koje dve planete oko Sunca je jednak odnosu tre´cih stepena njihovog srednjeg 4
Johannes Kepler (1571-1630), nemaˇcki astronom koji je nakon paˇzljivog studiranja (preko 20 godina) velike koliˇcine podataka koje je sakupio danski astronom Tycho Brahe (Tiho Brahe) u vezi kretanja planeta, definisao tri zakona koji ih opisuju. 5 Putanja tela pod delovanjem gravitacione sile moˇze u stvari da bude bilo koji takozvani konusni presek-kruˇznica, elipsa, parabola, hiperbola, pri ˇcemu je telo ve´ce mase u njegovog ˇziˇzi, odnosno fokusu. Konusni preseci imaju fokuse, kod kruˇznice postoji jedan i nalazi se u njenom centru, dok elipsa ima dva. Ve´cina tela u sunˇcevom sistemu ima eliptiˇcne orbite ˇsto znaˇci da ne mogu da ga napuste.
136
GLAVA 5. GRAVITACIJA
Slika 5.8: Ilustracija prvog Keplerovog zakona.
Slika 5.9: Ilustracija drugog Keplerovog zakona. Osenˇcene oblasti imaju jednaku povrˇsinu. Planeti je potrebno jednako vreme da stigne od taˇcke A do B, od C do D i od E do F . Posledica toga je da se planeta brˇze kre´ce kada je bliˇza telu mase M .
ˇ 5.3. BESTEZINSKO STANJE I UTICAJ NA BIO SISTEME
137
rastojanja od Sunca. Jednaˇcina koja izraˇzava ovaj zakon glasi T12 r13 = , T22 r23
(5.4)
gde je T period (vreme obilaska orbite) a r je srednje rastojanje. Napomenimo joˇs jednom da, iako su Keplervovi zakoni formulisani da bi objasnili kretanje planeta oko Sunca, oni vaˇze za kretanje svih tela koja zadovoljavaju ona dva navedena uslova. Vaˇzno je takodje uoˇciti da Keplerovi zakoni govore o tome ˇsta se deˇsava a ne zbog ˇcega se to deˇsava. U tom smislu su Keplerovi zakoni kinematiˇcki, dok je Njutnov zakon univerzalne gravitacije, zakon koji je odredio dinamiku Sunˇcevog sistema.
5.3
Besteˇ zinsko stanje i uticaj na bio sisteme
U poredjenju sa velikom ekonomskom i nauˇ nom koristi koje imamo od postojanja veˇstaˇckih zemljinih satelita, boravak ljudi u kosmosu je zanemarljiv za oko ˇcetiri decenije od kako smo uspeli da savladamo zemljinu gravitaciju i otisnemo se u kosmos. Slanje ljudi u kosmos je joˇs uvek veoma skupo a ˇcesto i riziˇcno. U jednom periodu je ˇcak doˇslo do zastoja lansiranja ljudskih posada u orbitu oko Zemlje usled dve velike katastrofe koje su se desile ameriˇckim ˇsatlovima. U medjuvremenu je narastao interes za ponovno spuˇstanje na Mesec, a rate lagano i broj zemalja koje su spososbne da obavljaju svemirske letove, tako da se verovatno nalazimo na poˇcetku jednog novog perioda u kojem ´ce biti puno novih izazova za ˇcoveˇcanstvo. Za sada postoji samo jedan vidljiv ekonomski rezon za obavljanje svemirskih letova - turizam! Ve´c postoje kompanije koje se bave prodajom vremena provedenog u kosmosu, a obavljen je i odredjen broj komercijalnih letova. Krstarenje kosmosom ´ce biti izazova za dovoljno bogate, ali i hrabre. Kosmiˇ cka bolest Dakle, putnici u kosmos, moraju da budu bogati, hrabri i da imaju gvozdeni stomak. Boravak ˇzivih bi´ca, koja su se evolucijom dizajnirala da ˇzive na Zemlji gde je g = 9, 80 m/s2 , u uslovima nulte gravitacije (g 0 = 0) je, u najmanju ruku, neugodan. U toku pripreme astronauta za prve kosmiˇcke programa paˇznja je bila fokusirana da oni budu u perfektnoj fiziˇckoj kondiciji,
138
GLAVA 5. GRAVITACIJA
ali je ubrzo postalo jasno da to ne spreˇcava veoma neugodne ose´caje u stomaku usled male gravitacije. Naˇse unutraˇsnje uvo, preko koga inaˇce imamo ose´caj za ”gore” i ”dole” u ovoj situaciji ne moˇze da uspostavi uobiˇcajenu orijentaciju. Te kontradiktorne informacije koje dobija naˇse telo ga dovodi u stanje posebne bolesti koja se, po analogiji sa morskom, naziva kosmiˇckom boleˇs´cu. Efekti dugog boravka u kosmosu Postoji niz efekata duˇzeg boravka u kosmosu, pomenimo samo probleme sa krvotokom, miˇsi´cima i kostima.6 Efekti na miˇsi´ce i kosti su sliˇcni onima koje imaju stari ljudi i ljudi koji su prinudjeni da usled neke bolesti vezani duˇze vreme za krevet. Dobro je poznato da miˇsi´ci postaju ˇcvrˇs´ci, odnosno opuˇsteniji, u zavisnosti od toga koliko ih koristimo onosno ne koristimo. Kada je reˇc o kostima, poznato je da se, stalno jedan deo njihove mase zamenjuje novim materijalom. Balans izmedju gubitka starog materijal kosti i novog materijala koji ga zamenjuje, se remeti u uslovima gravitacije razliˇcite od one na koja su naˇsa tela navikla. Ovaj efekat je najizraˇzeniji na kostima donjeg dela tela jer su one i najve´ce. Istraˇzivanja joˇs uvek nisu dala odgovor na pitanje da li je u uslovima male gravitacije ubrzan proces gubitka starog materijala ili je usporen proces stvaranja novog, ˇsto usporava zamenu i odrˇzavanja kosti u konstantnom stanju. Takodje se vrˇse istraˇzivanja i u smeru pokuˇsaja da se ovaj efekat anulira dijetama i/lli lekovima. Druga grupa fizioloˇskih problema se pojavljuje usled redistribucije fluida u telu. Vene i arterije u nogama su, u uslovima na Zemlji uobiˇcajene gravitacije, napregnute na takav naˇcin da onemogu´cavaju gomilanje krvi u njima. Poznat je efekat, da kada sedimo na nogama duˇze vreme, gubimo ose´caj u njima jer smo usled neuobiˇcajenog poloˇzaja onemogu´cili krvne sudove da se kontrahuju na naˇcin kako to obiˇcno rade. U uslovima besteˇzinskog stanja, krvni sudovi koj se i dalje kontrahuju na naˇcin da spreˇcavaju gomilanje krvi u nogama, sada usled toga podiˇzu krv ka gornjim delovima tela gde se ona gomila. Trenutna posledica toga je ose´caj naduvenosti gornjih delova tela, ali na duˇze staze ovakva raspodela krvi moˇze da izazove i znaˇcajnije zdravstvene probleme. Poseban problem je uve´cana koliˇcina krvi u glavi astonauta usled ˇcega orgnizam ima utisak da u celom telu postoji pove´cana koliˇcina krvi. 6
Ruski astronauti su, obzirom na mesece koje su provodili na svemirskoj stanici ”Mir” postali specijalisti u treningu za duge boravke u kosmosu.
ˇ 5.3. BESTEZINSKO STANJE I UTICAJ NA BIO SISTEME
139
Telo reaguje na taj naˇcina ˇsto smanjuje ukupnu kollˇcinu krvi u organizmu a konsekvenca je pove´canje koncentracije crvenih krvnih zrnaca. Na ovo pove´canje organizam opet reaguje teˇze´ci da je svede na normalnu, ali to znaˇci da ´ce u ukupnom iznosu ovih crnaca da bude manje, ˇsto nije dobro. U misijama koje su do sada izvedene, ovaj efekat nije izazivao takve probleme kao ranije opisan miˇsi´cno-skeletni, ali ga svakako treba imati u vidu u sluˇcaju duˇzeg boravka u besteˇzinskom stanju. Reprodukcija u kosmosu Ukoliko se u budu´cnosti bude razmiˇsljalo o kolonizaciji kosmosa, veoma ´ce biti vaˇzno uzeti u obzir i pitanja vezana za razmnoˇzavanje ljudske vrste u tim uslovima. Do sada je u kosmosu boravila jedna, ve´c trudna, ruska astronautkinja, i nakon povratka rodila zdravo i normalno dete. Dosadaˇsnja istraˇzivanja su bila skoncentrisana uglavnom na reprodukciju biljnih i ˇzivotinjskih vrsta u kosmosu. Zeljaste biljke, gljive, insekti, ribe i vodozemci su pokazali da u njihovom boravku i razmoˇzavanju nije bilo problema, bar unutar jedne generacije. U mnogim sluˇcajevima su ˇzivotinjski embrioni, zaˇceti u orbiti, poˇceli da se razvijaju abnormalno, ali su se u kasnijem razvoju korigovali i bili normalni. Medjutim, embrioni kokoˇsi koji su bili oplodjeni na Zemlji manje od 24 sati pre poletanja u orbitu, nisu uspeli da preˇzive. Obzirom da su kokoˇsi, od svih organizama na kojima su vrˇsena istraˇzivanja, najsliˇcniji ljudima, nije sasvim sigurno da ´ce ljudi mo´ci da se razmnoaˇzavaju uspeˇsno u uslovima nulte gravitacije. Veˇ staˇ cka gravitacija Ukoliko bi ljudi morali da borave u kosmosu neki duˇzi period (duˇze od godinu dana), bi´ce potrebno da se konstruiˇsu kosmiˇcke stanice koje ´ce, usled sopstvene rotacije, stvarati iluziju teˇzine. Mogu´ce je simulirati i uobiˇcajenu gravitaciju na koju smo navikli na Zemlji, a za turiste bi mogla da se simulira gravitacija od 2 do 5 m/s2 . Nauˇcna fantastika je obiˇcno fokusirana na kolonizaciju nebeskih tela koja imaju neke sliˇcnosti sa Zemljom, kao ˇsto su to na primer Mesec, Mars, Jupiterov ledeni satelit Evropa, gde u principu nije mogu´ce konstruisati rotiraju´ce strukture na povrˇsini koje bi stvarale utisak pove´cane gravitacije. Naime, gravitaciona ubrzanja na ovim nebeskim telima su izmedju 2 i 3 m/s2 ,
140
GLAVA 5. GRAVITACIJA
dakle na duˇze staze nisu pogodna za boravak ljudi. U tom smislu su realnije kolonije koje bi bile konstruisanje u medjuplanetarnom prostoru gde je mogu´ce stvoriti veˇstaˇcku gravitaciju.
5.4
Sile kod krivolinijskog kretanja
Prema prvom Njutnovom zakonu, ako na telo ne deluje sila, ono je u stanju mirovanja ili uniformnog pravolinijskog kretanja. Kod kretanja pak po kruˇznici, kao ˇsto smo videli, mora da postoji centripetalno ubrzanje. Jasno je da to ubrzanje mora da bude izazvano nekom silom koja je istog pravca i smera, pa se prema tome zove centripetalna. Primeri za ovakve sile su, sila zatezanja koja deluje na telo koje zakaˇceno za kanap rotira, gravitaciona sila Zemlje koja deluje na Mesec, sila trenja izmedju toˇckova automobila prilikom skretanja u krivini, ... Prema drugom Njutnovom zakonu, centripetalna sila je jednaka proizvodu mase tela i centripetalnog ubrzanja, odnosno F~c = m~ac . Prema izrazu (2.25), intenzitet centripetalne sile moˇzemo da zapiˇsemo u dva oblika v2 Fc = m , F~c = mrω 2 . (5.5) r Ukoliko prvi izraz reˇsimo po polupreˇcniku kruˇznice r, dobijamo mv 2 r= . Fc Odavde se vidi da za, istu masu i linijsku brzinu, ve´ca centripetalna sila dovodi do kretanja po kruˇznici manjeg polupreˇcnika. Centripetalna sila moˇze biti razliˇcite prirode, u zavisnosti od toga ˇsta prouzrokuje kretanje po kruˇznici. Tako, u sluˇcaju kretanja Meseca oko Zemlje, kao ˇsto je ve´c napomenuto, centripetalna sila je gravitaciona sila kojom Zemlja privlaˇci Mesec, pri kretanju elektrona oko jezgra, centripetalna sila je elektriˇcna privlaˇcna sila, itd. Kada se automobil kre´ce u krivini, tada je centripetalna sila, sila trenja izmedju toˇckova i kolovoza. Ako to trenje nije dovoljno veliko (mokar asfalt, poledica, prevelika linijska brzina), automobil izle´ce iz krivine. Moˇze da se kaˇze da, centripetalna sila nije neka nova
ˇ 5.5. KOSMICKE BRZINE
141
Slika 5.10: Za kretanje istog tela jednakom linijskom brzinom po kruˇznici manjeg polupreˇcnika, potrebna je ve´ca centripetalna sila. vrsta sile, ve´c samo poseban naziv za svaku silu koja menja pravac brzine i uzrokuje kretanje tela po kruˇznoj putanji. Prema tre´cem Njutnovom zakonu, centripetalna sila mora da ima i odgovaraju´cu silu reakcije. Ova sila deluje na centar oko koga se odvija kruˇzno kretanje, istoj je intenziteta a suprotnog smera od centripetalne sile i naziva se centrifugalna sila. Centripetalna i centrifugalna sila deluju na razliˇcita tela, centripetalna na telo koje se kre´ce po krivini, a centrifugalna na telo koje je odgovorno za takav naˇcin kretanja. Na primer, za kretanje Meseca oko Zemlje, centripetalna sila deluje na Mesec, a centrifugalna na Zemlju. Pri rotaciji tela vezanog preko kanapa za ruku, ruka ose´ca dejstvo centrifugalne sile. U sluˇcaju prekida veze (kidanje kanapa, hipotetiˇcki prestanka dejstva Zemljine gravitacije na Mesec, proklizavanje automobila u krivini, ...), nestaju uslovi za postojanje centipetalne i centrifugalne sile, pa ´ce telo produˇziti pravolinijsko kretanje, po tangenti na putanju, konstantnom brzinom.
5.5
Kosmiˇ cke brzine
Kosmiˇcke brzine su karakteristiˇcne brzine u astronautici. Odnose se na dato nebesko telo, i za svako od njih su razliˇcite.
5.5.1
Prva kosmiˇ cka brzina
Prva kosmiˇcka brzina je brzina koju treba da ima veˇstaˇcki satelit neke planete, ˇciji je polupreˇcnik putanje jednak ili vrlo blizak polupreˇcniku te planete.
142
GLAVA 5. GRAVITACIJA
Sateliti koji se kre´cu prvom kosmiˇckom brzinom, se kre´cuu neposredno iznad povrˇsine planeta. Poˇsto Zemlja ima atmosferu, prva kosmiˇcka brzina se raˇcuna za visinu od oko 200 km gde vlada skoro idealan vakuum i nema otpora u toku kretanja satelita.7 Prilikom kretanja satelita mase m, po kruˇznoj orbiti oko Zemlje polupreˇcnika R, ispunjen je satelit da je gravitaciona sila izmedju satelita i Zemlje jednaka takozvanoj centrifugalnoj sili koja deluje na satelit pri njegovom kretanju prvom kosmiˇckokm brzinom v1 , odnosno mg =
mv12 . r
Odavde je prva kosmiˇcka brzina data izrazom v1 =
√
gr.
Primetimo da u ovom izrazu ne figuriˇse masa tela m. Zamenom vrednosti za ubrzanje g = 9.80 m/s2 i za polupreˇcnik Zemlje r = 6, 37 × 106 m, za vrednost prve kosmiˇcke brzine, u odnosu na Zemlju, se dobija v1 = 7, 91 km/s. Telo koje ima poˇcetnu brzinu jednaku prvoj kosmiˇckoj brzini, ne´e pasti na Zemlju i osta´ce u njenoj sferi dejstva kao satelit, pod uslov da na njega ne deluju druge spoljaˇsnje sile.
5.5.2
Druga kosmiˇ cka brzina
Druga kosmiˇcka brzina je najmanja brzina kojom treba izbaciti telo sa neke planete da bi izaˇslo iz zone dejstva njenog gravitacionog polja. Ovakvo telo ulazi u zonu dejstva Sunca i postaje njegov novi satelit (kao ˇsto to ve´c jesu planete). Kinetiv cka energija tela mase m koje se izbacuje brzinom v2 troˇsi se na vrˇsenje rada protiv gravitacione sile Zemlje. Rad se pri tome vrˇsi na putanji koja poˇcinje na rastojanju R od centra Zemlje pa formalno do beskonaˇcnosti, jer je na jako velikim rastojanjima od Zemlje, njeno polje praktiˇcno jednako nuli. Uslov iz koga se moˇze dobiti traˇzena brzina je da kinetiˇcka energija 7
Ukoliko bi se telo kretalo prvom kosmiˇckom brzinom kroz atmosferu, toliko bi se (usled trenja) zagrejalo da bi izgorelo.
5.6. ZADACI
143
izbaˇcenog tela bude bar jednaka njegovoj potencijalnoj energiji u polju teˇze, jer jedino u tom sluˇcaju moˇze da je potpuno savlada. Drugim reˇcima, mora da vaˇzi uslov mv22 mM =γ , 2 r iz koga se za traˇzenu brzinu dobija s
v2 =
2γM . r
Kako je, prema formuli (5.2), ubrzanje Zemljine teˇze na povrˇsini Zemlje jednako γM/r, druga kosmiˇcka brzina je povezana sa prvom slede´com relacijom √ v2 = 2v1 , pa joj je vrednost v2 = 11, 2 km/s.
5.5.3
Ostale kosmiˇ cke brzina
Osim pomenute dve postoje i tre´ca i ˇcetvrta kosmiˇcka brzina. Tre´ca je najmanja brzina koju treba saopˇstiti telu da bi izaˇslo iz zone dejstva Sunca a ˇcetvrta da bi otiˇslo izvan dejstva gravitacionog polja galaksije i otiˇslo u vasionu. Moˇze da se pokaˇze da su njihove vrednosti v3 = 42, 2 km/s,
5.6
i
v4 ≈ 290 km/s.
Zadaci
1. Medjunarodna svemirska stanica je konstruisana da funkcioniˇse na visini od 350 km iznad povrˇsine Zemlje. Kada je napravljena, njena teˇzina na povrˇsini Zemlje je bila 4, 22 × 106 N. Kolika je njena teˇzina kada se nalazi na orbiti? 2. Koriste´ci ˇcinjenicu da je ubrzanje Zemljine teˇze g = 9, 80 m/s2 , odrediti proseˇcnu gustinu Zemlje. 3. Smatraju´ci da Mesec obidje Zemlju, u proseku za 27,3 dana i da je njegova srednja udaljenost od nje 3,84×108 m od centra Zemlje, odrediti period veˇstaˇckog Zemljinog satelita koji treba da orbitira na visini od 1500 km iznad povrˇsine Zemlje.
144
GLAVA 5. GRAVITACIJA
5.7
Reˇ senja
1. Teˇzina stanice ´ce biti jednaka proizvodu njene mase m i ubrznanja Zemljine teˇze g 0 na toj visini. Masu stanice ´cemo na´ci deljenjem njene teˇzine i vrednosti ubrzanja g na povrˇsini Zemlje m=
4, 22 × 106 N = 4, 3 × 105 kg. 2 9, 80 m/s
Primenjuju´ci jednaˇcinu (5.3), za ubrzanje g 0 na udaljenosti r = R+h = (6380 + 350) km = 6730 km, se dobija Ã
!
2 M 5, 98 × 1024 kg −11 N · m g =γ = 6, 67 × 10 · = 8, 83 m/s2 . 2 2 6 2 (R + h) (6, 73 × 10 m) kg 0
Na osnovu ovoga, teˇzina stanice je Q0 = 4, 3 × 105 kg × 8, 83 m/s2 = 3, 80 × 106 N. 2. Iz jednaˇcine (5.2), za masu Zemlje se dobija gr2 M= = 5, 96 × 1024 kg. γ Kako je proseˇcna gustina Zemlje odnos njene mase i zapremine, smatraju´ci da je Zemlja pribliˇzno lopta, dobija se ρ=
M M = 4 3 = 5, 50 × 103 kg/m3 . V πr 3
Kako je ova gustina oko dva puta ve´ca od gustine ve´cine stena na povrˇsini Zemlje, zakljuˇcujemo da unutraˇsnjost Zemlje ima znatno ve´cu gustinu od sredje vrednosti gustine. 3. Na osnovu tre´ceg Keplerovog zakona, obeleˇzavaju´ci indeksom 1 veliˇcine koje se odnose na Mesec a indeksom 2 one koje se odnose na veˇstaˇcki satelit, za period satelita se dobija µ
r2 T2 = r1
¶3/2
T1 .
ˇ 5.7. RESENJA
145
U ovaj izraz treba zameniti date vrednosti ali treba imati u vidu da proseˇcnu udaljenost veˇstaˇckog satelita treba raˇcunati od centra Zemlje a ne njene povrˇsine, odnosno r2 = (1500 + 6380) km = 7880 km. Zamnena vrednosti sada daje Ã
T2 =
7880 km 3, 84 × 105 km
!3/2
27, 3 dana ·
24, 0 h = 1, 93 h. dan
146
GLAVA 5. GRAVITACIJA
