GM4-Cours-Modélisation-2010-2011

Dr DANWE RAIDANDI

Université de Yaoundé I

République du Cameroun Republice of Cameroun

University of Yaounde I

MODELISATION MECANIQUE (Support de cours 4ème Année Génie Mécanique) par DANWE RAIDANDI

Ecole Nationale Supérieure Polytechnique Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

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Dr DANWE RAIDANDI Ecole Nationale Supérieure Polytechnique Département des Génies Industriel et Mécanique Intitulé de l’UE : Modélisation mécanique Code : GEM 402 Volume horaire : CM : 2, TD : 2 Crédit : 3 Enseignant : Dr DANWE RAIDANDI ([email protected]) Objectifs : L’utilisation du calcul scientifique est très répandue aujourd’hui, notamment dans les bureaux d’études. Cet enseignement constitue une première approche du calcul des structures, c’est-à-dire des méthodes permettant d’analyser le fonctionnement mécanique de systèmes formés de solides modélisés comme des milieux continus unidimensionnels (poutres, arcs) ou bidimensionnels (plaques et coques) que l’ingénieur rencontre fréquemment : ouvrages de génie civil, nombreuses constructions industrielles, aéronautiques, etc. Les objectifs visés par ce cours sont multiples : - Donner une idée précise de la modélisation des structures en vue du calcul de dimensionnement - Permettre aux élèves –ingénieurs de comprendre les méthodes de calcul notamment les éléments finis. Contenu : - Introduction à la modélisation et aux problèmes mécaniques - Formulation d’un problème de calcul mécanique * inconnues * équations - Modélisation des poutres planes * Hypothèses * Equations d’équilibre * Etude cinématique * Liaisons mécaniques * Comportement mécaniques * Méthodes énergétiques * Méthode de calcul par éléments finis - Modélisation bidimensionnelle - Application à des exemples pratiques - Projets simples sur micro- ordinateurs Bibliographie :  O.C. Zienkiewivz : The finite element Method, 3rd Ed. Mc Graw Hill, 1979.  Dhatt-Touzot : une présentation de la méthode des éléments finis, les presses de l’université Laval, Quebec ; Malonie SA Editeur Paris.  Modélisation des structures par éléments finis, J.L. Batoz & G. Dhatt, Hermès.  Une présentation de la méthode des éléments finis, G. Dhatt, E. Lefrançois & G. Touzot, Hermès, 2005.

Pré-requis:   

Mécanique des Milieux Continus Introduction à la Résistance Des Matériaux Méthodes numériques

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Dr DANWE RAIDANDI 1. Introduction a. Etudes mécaniques La mécanique est la branche de la science qui étudie le mouvement des systèmes matériels et leurs déformations, en relation avec les forces qui provoquent ou modifient ce mouvement ou ces déformations. Elle a donc pour but de décrire et prévoir les mouvements de matières inertes, de corps célestes ou d’organismes vivants (biomécanique) et comprend notamment :  La mécanique classique, dite aussi newtonienne traite de l’étude cinématique (étude du mouvement sans s’intéresser à sa cause), statique et dynamique d’un système, que ce soit un système simple (mécanique du point) ou un système complexe (mécanique générale).  La mécanique céleste étudie les mouvements des corps célestes.  La mécanique statistique étudie des systèmes à grand nombre de composants, comme par exemple les gaz, composés de milliards de molécules.  La mécanique des milieux continus traite les systèmes qui ont des comportements physiques comme la mécanique des fluides, la mécanique des solides, correspondant à une mécanique des systèmes déformables  La mécanique statique est la branche de la physique qui étudie les systèmes mécaniques au repos dans un repère galiléen.  La biomécanique traite de la déformation des corps vivants, notamment du corps humain par exemple en situation de chocs (ex : crash véhicule) ou d’accélérations importantes (ex : combat aérien).  L’acoustique est la branche de la mécanique qui étudie les petits mouvements de vibration dans les solides, les liquides ou les gaz.  La mécatronique traite de l’ingénierie d’objets mécaniques actifs, dont la cinématique, les déformations, les comportements dynamiques sont mesurés voire contrôlés par des dispositifs électroniques (ex : capteurs, calculateurs, actionneurs) et numériques (ex : logiciels).. La mécanique est aussi liée aux domaines scientifiques suivants :  L’énergétique, qui est l’étude des transferts d’énergie  La thermique, qui est l’étude des transferts de chaleur Pour étudier et résoudre un problème de Mécanique, on dispose de multiples approches, dont :  la modélisation : approche analytique  l’expérimentation : approche expérimentale  la simulation numérique : approche numérique

b. Modélisation Un modèle est la traduction d’un phénomène dans la langue des équations mathématiques. Il a longtemps été tiré d’observations soigneuses. À partir du xviie siècle, les modèles se sont de plus en plus souvent inspirés des expériences menées en laboratoire. Il arrive enfin qu’ils soient déduits de théories elles-mêmes conçues sans expérience, grâce à une démarche purement intellectuelle, l’« expérience de pensée ». Aujourd’hui, plusieurs théories physiques fournissent des modèles qu’il n’a pas encore été possible de valider par l’expérience. Pour certaines, d’ailleurs, aucun protocole expérimental ne pourra un jour les tester en totalité. Il est, par ailleurs, souvent question d’« expérience numérique » pour souligner l’analogie entre la pratique d’une simulation et la conduite d’une expérience de physique. La modélisation du phénomène étudié consiste à prendre en compte les principes fondamentaux, comme par exemple la conservation de la masse, de l’énergie, et à déterminer les paramètres essentiels à sa description à la fois simple et réaliste. En chaque point de l’objet considéré, plusieurs grandeurs physiques (position, vitesse, température…) décrivent son état et son évolution et Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

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Dr DANWE RAIDANDI permettent de caractériser entièrement son mouvement. Ces grandeurs ne sont pas indépendantes mais reliées entre elles par des équations, qui sont la traduction mathématique des lois de la physique régissant le comportement de l’objet. Ce modèle n’est complet qu’une fois écrites les équations « environnementales » qui lient chaque objet du système aux autres objets qui l’entourent.

c. Simulation Il n’y a qu’un pas entre équations et codes de simulation : le codage, appelé « discrétisation des équations ». Cette opération traduit les équations en langage informatique, le seul que comprenne l’ordinateur. Simuler l’état de l’objet, c’est donc déterminer les valeurs numériques des paramètres en tous points. Comme il y a un nombre infini de points, donc une infinité de valeurs à calculer, cet objectif est inaccessible. Pour des raisons de faisabilité, il est admis de ne considérer qu’un nombre fini de points, le nombre d’opérations nécessaires devenant alors abordable pour un ordinateur. Le nombre effectif de points traités dépendra de la puissance de ce dernier. La discrétisation du domaine physique consiste précisément dans cette réduction de l’infini au fini. Modélisation et simulation vont donc toujours de pair. Elles s'appuient sur des méthodes mathématiques et informatiques spécifiques.

d. Méthodes de calcul Il existe deux approches principales pour résoudre numériquement les équations mathématiques d’un modèle. La méthode de calcul déterministe, qui résout les équations après avoir discrétisé les variables, et la méthode de calcul statistique (ou probabiliste). Dans la première, l’objet est considéré comme un ensemble de petits volumes élémentaires contigus dénommé « maillage », par analogie avec la trame d’un tissu. Les paramètres de l’état de l’objet définis dans chaque maille du maillage sont reliés par des équations algébriques à ceux des mailles voisines. Ce sera à l’ordinateur de résoudre le système de relations obtenu. Il existe de nombreuses méthodes déterministes : des volumes finis, des éléments finis, level set… dont l’utilisation dépend pour partie des équations considérées. La deuxième méthode, dite de « Monte-Carlo », est particulièrement adaptée aux phénomènes caractérisés par une succession d’étapes lors desquelles chaque élément de l’objet peut subir différents événements possibles a priori. D’étape en étape, l’évolution de l’échantillon sera déterminée grâce à des tirages au hasard (d’où le nom de la méthode). Les méthodes déterministes et de Monte-Carlo font l’objet de nombreuses études mathématiques pour préciser leur convergence en espace, c’est-à-dire la variation de la précision de l’approximation en fonction du nombre de mailles ou d’éléments de l’objet, ou leur convergence en temps, soit la variation de la précision en fonction du « pas de temps » de calcul. Les outils de la simulation numérique sont donc des programmes informatiques exécutés sur des ordinateurs : ces logiciels de calcul ou « codes » sont la traduction, à travers des algorithmes numériques, des formulations mathématiques des modèles physiques étudiés. En amont et en aval du calcul, les logiciels effectuent la gestion de nombreuses opérations complexes de préparation puis de dépouillement des résultats. Les données initiales comportent la délimitation du domaine de calcul à partir d’une représentation approchée produite par le dessin et la CAO (conception assistée par ordinateur) des formes géométriques, suivie de la discrétisation sur un maillage, ainsi que des valeurs des paramètres physiques de ce maillage. Les résultats des calculs proprement dits sont sauvegardés au fur et à mesure afin de constituer une base de données numérique. L’analyse des résultats repose sur l’exploitation de cette base : extraction sélective et transfert vers des interfaces graphiques qui permettent la visualisation par images de synthèse. Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

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Dr DANWE RAIDANDI La simulation numérique se concrétise lorsque l’on visualise le phénomène initial sur l’écran de l’ordinateur. L’analyse critique des résultats, la vérification de la validité des modèles théoriques utilisés, la confrontation avec l’expérience doivent notamment faire partie intégrante de la démarche. Cette analyse comparative débouche sur des améliorations des modèles physiques, de leurs paramètres et des programmes informatiques de simulation.

e. L’expérimentation L’expérience alimente la simulation. Inversement, l’exploration des nombreuses solutions rendue possible par la simulation permet d’observer ou de prévoir des comportements inattendus, ce qui parfois suggère des expériences et fait donc progresser la connaissance de la physique. Ainsi, loin de supplanter l’expérimentation, la simulation donne une nouvelle prise sur le réel. La simulation numérique est la troisième forme d’étude des phénomènes, après la théorie et l’expérience. On la qualifie d’ailleurs souvent d’« étude in silico », le silicium étant le matériau de base des ordinateurs. Le modèle prédictif et la simulation qui l’accompagne permettent d’anticiper le futur d’un système ou le comportement qui serait celui de ce système dans une configuration dans laquelle il ne s’est jamais trouvé. Prédire des situations inédites est l’un des intérêts essentiels de la simulation numérique.

f. Quelques limites Les limites de la simulation numérique sont de trois ordres. Tout d’abord, certains phénomènes sont encore mal compris. Ils sont donc difficilement traduisibles en équations, qui sont le seul moyen de « dialoguer » avec l’ordinateur. En outre, certains modèles requièrent des puissances de calcul indisponibles actuellement. Dans certains domaines, il est possible de simuler étape par étape alors que la totalité reste d’une inatteignable complexité. On a alors recours à des « codes systèmes » qui s’alimentent des codes simulant chaque composant à partir de modèles obtenus à l’aide d’équations. Enfin, il existe une limite d’ordre théorique. Comme le nombre d’opérations nécessaires à la résolution d’un modèle croît exponentiellement en fonction du degré de précision que l’on demande, certains modèles mathématiques ne peuvent pas être résolus par un ordinateur en un temps raisonnable.

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Dr DANWE RAIDANDI 2. Formulation d’un problème de calcul mécanique a. Introduction Le calcul des structures représente une activité industrielle importante. Il prend appui sur la Mécanique des Solides en général, et plus particulièrement sur des spécialités scientifiques où des progrès notables ont été réalisés récemment. Les moyens de calculs actuels permettent de s'intéresser non seulement à des pièces mécaniques isolées, arbitrairement extraites de leur environnement, mais, plus généralement, à des systèmes mécaniques complexes faisant intervenir des structures, éventuellement en interactions. Dans les problèmes relatifs au comportement des systèmes complexes, l’ingénieur ne peut englober en une seule opération la résolution de ce problème. La démarche logique consiste à diviser le système global en composants élémentaires dont le comportement peut être analysé facilement. On peut alors reconstituer le comportement du système global par « assemblage » des comportements élémentaires. Ainsi à partir du système global, on fait une modélisation sous forme de nombre finis de constituants élémentaires, ce qui permet d’avoir un problème discret. Les sciences de l’ingénieur (mécanique des solides et des fluides thermiques...) permettent de formuler les problèmes grâce à des équations aux dérivées partielles (E.D.P). Mis à part quelques cas très simples, la résolution analytique des équations est impossible. On fait alors appel à des méthodes approchées. L’analyse des problèmes par E.F fait partie de ces méthodes et consiste à : - Diviser le milieu continu en un nombre fini de parties ou éléments dont on sait décrire le comportement à partir d’un nombre fini de paramètres ; - Rechercher la solution du milieu continu comme assemblage des solutions élémentaires. Cette méthode s’applique à un grand nombre de domaines. Sa compréhension requiert: - Une maîtrise poussée du phénomène physique (mécanique) analysé (modélisation) - Une connaissance en analyse numérique pour approximer et résoudre les équations aux dérivées partielles; - Une connaissance en informatique pour l’implémentation de la méthode.

b. Position du problème de calcul de structure Soit un domaine  de volume V. Sur une partie S1 du bord de , les déplacements sont supposés imposés. Sur une partie S2 du bord , les efforts sont imposés. Le problème du calcul de structure dans le cadre général consiste à déterminer , U tels que : - Les équations de liaison soient respectées c’est à dire U = Ud sur S1; - L’équation d’équilibre soit respectée: - La loi du comportement se met sous la forme R(,) = 0 En élasticité linéaire, la loi de comportement s’écrit :  = H où H est l’opérateur des coefficients élastiques de Hooke ou rigidité. Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

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Dr DANWE RAIDANDI 

La relation de comportement anélastique s’écrit

d  A ,   dt

où A est un opérateur. Cette loi tient compte de l’histoire du chargement de la structure.

c. Formation globale du problème Le problème posé localement peut se ramener à trouver (, u) tel que - u cinématiquement admissible (C.A.) u = ud sur S1.

u * ( C . A à zé ro) i.e u *  0 sur S1 -

vTr  u

*

dv   f

u v d

*

  Fd u * dS S2

  H (le comportement étant supposé linéaire)

d. Existence et unicité de la solution Dans le cas de l’élastostatique Supposons U1 et U2 deux solutions en déplacement au problème, c’est à dire vérifiant:

U  U d sur S1

VTr U

U * C. A à 0

*

dv  

V

f d V *   Fd U * dS S2

et la loi de comportement en élasticité   H   u le champ U 2  U 1 est C.A à 0 d’où

 U * C.A à 0

V Tr H   u  u dv  V f d u dv  S Fd u dS   Tr H   u1   u * dv   f d u * dv   Fd u * dS V V S *

*

*

2

V Tr H   u2   u dv  V f d u dv  S   Tr H   u 2  u1   u * dv  0 V *

En prenant u *  u2  u1 on a :

2

*

2

Fd u * dS

V Tr H  u2  u1  u2  u1 dv  0

Remarque: l’opérateur de comportement H est définie positive

   u 2  u1   0

 u 2  u1 est un champ de solide   u 2  u1  v 0   0  OM A ce niveau, deux cas se présentent : 1er cas: S1  , le champ de solide est nul, d’où U 2  U 1 il y a unicité de la solution Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

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Dr DANWE RAIDANDI 2ème cas: S1 =  pas de condition en déplacement. Dans ce cas S = S2 il n’y a pas nécessairement unicité de solution, ni même existence. Toutefois, une condition nécessaire et suffisante d’existence de la solution est la suivante : La structure doit être en équilibre c'est-à-dire :  f d u s dv   Fd us ds  0 v

S2

3. Les théorèmes énergétiques a. Dualité Soient: E: l’espace de champs de déformation  S: l’espace de champs de contrainte  ,  sont mis en dualité par le produit scalaire.

b. Réécriture du problème de référence Le problème de référence initialement défini, s’écrit : trouver (,u) avec : u (C.A) ;  (S.A) ;  = H Devient : trouver (,u), u(C.A), (S.A)

  u,   

1    H   u, H 1  H v  0 2

Comme H est défini positif, H-1 l’est aussi. Le problème de référence peut se formuler comme un problème de minimisation de la manière suivante: Trouver (u, ) tel que  statiquement admissible u cinématiquement admissible et minimisant la fonctionnelle (u, )  (u’, ‘)

  u,   

1    H   u, H 1   H   u  2





  Tr   H   u H 1   H   u dv v

1 1 1   , H     H  , H 1     H  ,   2 2 2 1 1 1 =   , H 1     H  ,      ,   2 2 2 or   ,    Tr   ,  dv

 u,   

v

  f d udv   nuds v

S1

1 1   , H 1     H  ,     f d udv   Fd uds   nuds v S2 S1 2 2   u,   = J 1  u  J 2  

  u,   =

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Dr DANWE RAIDANDI J 1  u 



J2



avec



1 Tr H   u  u dv   f d udv   Fd uds v S2 2 V 1 u  V Tr  , H 1  dv  S1 nuds 2



J1 étant l’énergie potentielle totale et J2 l’énergie complémentaire

c. Théorème de l’énergie potentielle totale

Le champ de déplacement solution du problème posé au départ est le champ U cinématiquement admissible et minimisant l’énergie potentielle totale J1(U). (La contrainte sera donc obtenue par l’intermédiaire de la loi de comportement.)

d. Théorème de l’énergie complémentaire.

Le champ de contrainte solution du problème de référence est le champ  statiquement admissible et maximisant l’énergie complémentaire. Ainsi, les déformations seront obtenues par inversion de la loi de comportement :   H 1 

4. Discrétisation et Approximation en Eléments Finis Il existe plusieurs sortes de formulation des éléments finis en calcul des structures: - La formulation en déplacement: on se donne une approximation du champ de déplacement et le critère à appliquer est la minimisation de l’énergie potentielle totale. - La formulation en contrainte, le critère d’optimisation est celui de l’énergie potentielle complémentaire. - Les formulations hybrides: la solution est définie comme une approximation du champ de contrainte interne en équilibre et des déplacements sur la frontière. Le critère considéré ici est celui de l’énergie complémentaire. - Les formulations mixtes (ou à plusieurs champs): l’idée est de relâcher certaines conditions par l’introduction de variables complémentaires et des liaisons entre ces variables. La solution est obtenue en termes de champ indépendants. Remarque: - La démarche de la M.E.F n’est pas nécessairement associée aux méthodes d’approximation en déplacement. - Trois aspects du problème sont à distinguer: 1- La discrétisation de la structure en éléments finis 2- Le choix d’une approximation pour chaque élément 3- Choix des coordonnées généralisées pour chaque élément.

a. Discrétisation de la structure La démarche adoptée consiste à ramener l’étude sur un domaine D à une étude sur des sous-domaines (mailles éléments) de D de forme géométrique simple de manière à approximer au mieux la géométrie initiale. L’opération nous permettant de le faire est le maillage (ou discrétisation) du domaine. Elle tient compte des discontinuités, des conditions aux limites, continuités de matériau, du type de sollicitations.

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Dr DANWE RAIDANDI Compte tenu de la géométrie de la structure, on choisit la forme appropriée des éléments à utiliser. Il existe plusieurs éléments selon la dimension de l’espace pour le problème à résoudre. Les expressions des fonctions et des paramètres à calculer y étant plus simples, on travaille par rapport à l’élément de référence. On utilise une transformation bijective pour retourner à l’élément réel.

b. Approximation des fonctions Nous utilisons ici une formulation en déplacement. Dans ce cas, une approximation du champ de déplacement à l’intérieur de chaque élément



U M

où

   M a e

e

U  e est le champ de déplacement par un point M de l’élément e. a e est le vecteur des coordonnées généralisées de l’élément e.   est la matrice des fonctions d’approximation. c. Choix des variables physiques du problème

Les conditions d’approximation faites en (I.4.2) ne peuvent pas être utilisées pour résoudre le problème sur toute la structure. En effet, les coordonnées généralisées varient d’un élément à un autre et ils est donc nécessaire de prendre de nouvelles variables physiques permettant d’assurer la compatibilité des déplacements aux noeuds. dans ce but, on choisit comme nouvelles variables ces déplacements généralisées aux noeuds de l’élément.



U M

   A M q e

e

 A M  : matrice d’interprétation q e :

Déplacements aux nœuds de l’élément. Cette relation permet de calculer les déplacements en un point quelconque de l’élément comme interpolation des déplacements nodaux. On sait que

J1e 

1 Tr H    dv   e f d udv e   e Fd udS e  v v S1 2

U  e   Aq e

 e   LU  e   L Aq e   Bq e  L est obtenu à partir de A   e   H e   H Bq e pour un champ tridimensionnel

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  xy     2 xy  2 xz 

  xx     yy      zz         2   xy   zz   2   yz   2 xz 

 yx  yy 2 yz

t 1 t e e e T Aq dv   Fat Aq dS e   H B H Bq dv   e f  V S2 2 V t 1 t e e e J 1e   e q  B H Bq dv   e f T Aq dv   Fat Aq dS V S 2 V

J 1e 

V

fudv   e Aq dv e

e

V

 f1    e où f   f 2  et U  Aq    f 3 1 eT e e eT J 1e  q  K  q  q F 2

avec  K    e

Ve

B  HBdv t

 K e : matrice de rigidité élémentaire F e  V A t dv  S A t Fd dS e

2

 F e étant le vecteur des forces élémentaires. On a donc pour chaque élément une énergie potentielle quadratique:

J 1e 

1 eT e e q K q  q eT F 2 d. Assemblage des éléments:

L’assemblage consiste à construire les matrices rigidités [K] et force [F] de la structure complète. Cette construction est fait à partir des machines caractéristiques de différents éléments c’est à dire Ke et Fe préalablement calculées. Elle s’appuie sur le fait que l’énergie totale garde la même forme que l’énergie élémentaire. Ainsi, sur la structure entière, on a: J1 énergie potentielle totale. n

J 1   J 1ei avec n: nombre d’élément. i 1

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Dr DANWE RAIDANDI Soit q le vecteur déplacement aux nœuds de la structure complète, l’énergie totale s’écrit:

J 1e 

1 q T  Kq  q T  F 2

[K]: matrice rigidité assemblée [F]: contribution de tous les efforts sur la structure.

e. Problème discrétisé La formulation discrétisée peut se faire de la forme suivante: Trouver {q} tel que {q} (C.A) et minimisant l’énergie potentielle totale J1. La minimisation de J1 peut s’écrire:

J 1  0   K q  F  q

La minimisation de l’énergie potentielle totale ramène à la résolution d’un système d’équation dont les inconnues sont les déplacements aux noeuds. Comme K est un opérateur symétrique.

K   B T H Bdv K 1   B T H T Bdv V

V

Si on résout le système Kq = F sans que q soit (C.A) on peut se retrouver avec un opérateur K singulier (det K = 0) et dans ce cas le système peut soit ne pas avoir de solution soit avoir une infinité de solution.

f. Résolution du système d’équation Le système étant généralement d’ordre élevé, il faut utiliser des méthodes numériques pour le résoudre, il en existe plusieurs parmi lesquels - les méthodes directes - les méthodes itératives.

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Dr DANWE RAIDANDI 5. Modélisation des poutres planes La modélisation des structures en éléments barre et poutre est consacrée aux structures par lesquelles deux dimensions (épaisseur et longueur) sont négligeable par rapport à un troisième et par rapport au rayon de courbure minimal. - Des contraintes planes dans les directions transversales de la coupe. - Une distribution des contraintes de cisaillement transversale aux efforts tranchants qui permet de définir la rigidité transversale effective. La seule composante de la déformation

 xx 

U dU  x  U x x dx a. Equation locales

U = Ud sur le bord à déplacement donné 1

x  xk

k  1, . . . , n

Nxf = 0 pour 0  x L L: la longueur de la poutre f: sollicitation par unité de longueur Nxf = F sur le bord à effort donné. la relation de comportement s’écrit:

N  H m xx  N 0 où Hm: est la rigidité ; N0: effort normal initial. Dans le cas où la poutre est constituée d’un matériau homogène de module d’élasticité E et de section S, la rigidité s’écrit: Hm = E.S L’effort normal initial N0 peut être de plusieurs origines parmi lesquelles: - Origine thermique N0H = -ES où E: module d’élasticité S: section de la poutre : Variation de la température. L’effort dû aux contraintes initiales thermiques est:

 1  1  h 2 f    0  1 1   0     th  A  dy 2    2 b. Energie potentielle totale Soit une poutre de section S, de module d’élasticité E et de longueur L 2

l 1 L  du  J 1   ES   dx   f d udx   uFd  0  dx  2 0

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Dr DANWE RAIDANDI 1) Elément barre à 2 degrés de liberté: on a: x  N 1  x1  N 2  x2 par approximation où N 1  x1 et N 2  x 2 sont les fonctions d’interpolation de la géométrie pour l’élément à 2 noeuds. La fonction géométrique qui transforme q en x peut s’écrire: T    T    x

1 1 1 -   et N 2  x 2  1    2 2 1 1 x  1   x1  1   x 2 2 2

N 1  x1 =

Si la poutre à pour longueur L tel que: x1 = 0 et x2 = L on a:

x

1 1    L 2

2) Poutre à 2 noeuds, 4 degrés de liberté. Elément de référence L’approximation de U est: U = {U} avec =





1 L 1    2 2   ; N 2  1   2 2    4 8 1 L 2 N 3  1    2   ; N 4  1   2 1    4 8 1  1 x x1  1   x 2 2 2 N1 





c. Rigidité et vecteur force élémentaire - En dimension 1, l’énergie de déformation s’écrit 1 L  du  ES  dx 2 0  dx  1 or u1   u n  H e u n  2 e avec H  rigidité élémentair e u n   vecteur déplacemen t ED 

 

 

- Le travail des efforts peut aussi s’écrire: Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

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Dr DANWE RAIDANDI T   f d udx   Fd u L

0

T  u n  F où  u n  est la matrice déplacement

F  est le vecteur des efforts. e

Exemples 1) barre à 2 degrés de liberté: 2

1 L  du  1 E D   ES   dx   u1  dx  2 0 2

u  u2  H e  1   u2 

 

car  un  u1 , u2  1 1 1    L  dx  d 2 2 1 1 u  u1 N 1    u2 N 2    1   u1  1   u2 2 2 du du d 2 du    dx d dx L d x

du 1 du u2  u1   u2  u1    dx 2 dx L

où

 u2  u1   L d 1 1 d' où E D   ES 2 1 8 L2 2

ED 



1 ES 2 u2  u12  2 u1 u2 2 L



La matrice rigidité élémentaire est une matrice carrée d’ordre 2 symétrique. Elle peut se mettre sous la forme:

h H e   11  h21

 

h12  h122 

u  1 E D   u1 u2  H e  1   h11 u12  2 h12 u1 u2  h22 u22  u2  2

 





par identification on a:

h11 

ES  h22   h12 L

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Dr DANWE RAIDANDI

 

d' où H e 

ES L

 1 1 1 1   

le travail des efforts peut s’écrire





T   f d udx  Fd1 u1  Fd2 u2   u1 L

0

L

0

or

f d udx   f d u  1

1

 

u2  F e

L d 2

en remplaçant u() par son expression, on obtient 1

1

f d u 

f L d  d 2 2

1

 1    1    u1    u d  T  2  2  2 

1 

1

f L  1  1    T  d     2  u1      2  u2   4  2  2   1 fd L 2 f L T  d  u1  u2   Fd1 u1  Fd 2 u2 2 T



F  e

 fd L   2 f L  d  2

 Fd1   Fd 2  

Dans les expressions précédentes, par hypothèse, S et E sont constantes. 2) Cas des poutres en flexion 2

1 L  d 2 v E D   EI  2  dx 2 0  dx  1 L Mf 2 devient E D   dx 2 0 EI Mf d 2 v car  EI dx 2 Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

Page 16

Dr DANWE RAIDANDI Hypothèses: L’élément poutre considéré ici est chargé uniquement aux noeuds. Dans ce cas, l’effort tranchant est constant le long de l’élément.



dT  0 on a d’après l’équation d’équilibre dx

dMf d 2 Mf dT  T  0  0 dx dx dx 2 or

d 2 Mf dx 2

 EI

d 4v dx 4

 0,

dv 0 dx

v est donc un polynôme de degré 3.

v x  a 3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a 0 ; a i  R

- conditions aux limites:

x0

v x  0  a 0  v1

xL

v x  L  a 3 l 3  a 2 l 2  a1 l  a 0  v2

x0

1 

dv dx

x 0

 a1

xl

2 

dv dx

x l

 3a 3 l 3  2 a 2 l  a1   1

en résolvant le système ainsi obtenue, on a:

a 0  v1

a1   1

a2  a3 

3

2 3 1 v1   1  2 v2   2 l l l l 2

2 l

3

v1 

1 l

2

1 

2 l

3

v2 

1 l2

2

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Page 17

Dr DANWE RAIDANDI T

 v1   v1  2      1 l  d 2 v 1  1  E D   EI  dx  He  1    v2  2 0  dx  2  v2       2   2 

 12 x 6   6x 4   12 x 6   6x 2    v       v         2   2 1 1 2  l2 l   l3 l l dx 2  l 3 l2  l2 

d 2v

2

 d 2 v 2  2    av1  b 1  cv 2  d 2   dx   a 2 v12  b 2 12  c 2 v 22  d 2 22  2 abv1 1  2 ac 1 v1  2 adv1 2 1  2bc 1 v  2ba 1 2  2 cdv 2 2 l l l EI  2 l 2  ED  u1  a dx   12  b 2 dx  v 22  c 2 dx  2 1 v1  abdx 0 0 0 2  0 l

l

l

0

0

0

 2 1 v 2  addx + 2v 1 1  ad  2 1 v 2  bcdx   2 1 2  bd  2 v 2 2  cd   0 0 l

0

a 2 dx 

12

l

b 2 dx 

l 4   d 2 dx 0 l

l

0

l

3

l

6

l

6

l

0 c

2

l

dx

l

0 abdx  l 2 0 cddx

0 addx  l 2 6

l

0 bcdx   l 2

H  e

12 6l  4l 2 EI   3 l   

12 6l  6l 2 l 2   12 6l   4l 2 

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Dr DANWE RAIDANDI Il existe plusieurs autres types d’élément. (Elément asymétrique, élément à 2, 3 dimensions)

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Élément triangulaire à 3 nœuds : T3

Choix des fonctions d’approximation 

Approximation par éléments finis :

T  x, y   N1  x, y  T1  N 2  x, y  T2  N 3  x, y T3  N1  x, y  N 2  x, y  Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

T1      N 3  x, y  T2       30 Page 3 T

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

Fonctions d’approximation linéaires : (équation d’un plan)

Ni  x, y   ai  bi x  ci y, i  1,2,3

Astuce : utiliser le triangle de Pascal pour choisir la forme de l’approximation

Calcul des fonctions d’approximation  On applique la relation générale :

Soient

1 si i  j  Ni  x j , y j     à 3siéquations i j les 3 systèmes0

 N1  x1 , y1   1  a1  b1 x1  c1 y1    N1  x2 , y2   0  a1  b1 x2  c1 y2 ,    N1  x3 , y3   0  a1  b1 x3  c1 y3

suivants à résoudre :

 N 2  x1 , y1   0  a2  b2 x1  c2 y1    N 2  x2 , y2   1  a2  b2 x2  c2 y2 ,    N 2  x3 , y3   0  a2  b2 x3  c2 y3

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 N 3  x1 , y1   0  a3  b3 x1  c3 y1    N 3  x2 , y2   0  a3  b3 x2  c3 y2    N 3  x3 , y3   1  a3  b3 x3  c3 y3 Page 31

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

Après résolution des 3 systèmes :

1   y3  y2   x2  x    x3  x2   y2  y   2 Ae 1 N 2  x, y     y1  y3  x3  x    x1  x3  y3  y   2 Ae 1 N 3  x, y   y  y1  x1  x    x2  x1  y1  y   e  2 x  2 A  2 x1   y3  y1    x3  x1   y2  y1  e N1  x, y  

Avec :

A 

2

Calcul de la surface élémentaire  La surface élémentaire d’un triangle quelconque se calcule à l’aide d’un simple produit vectoriel x2  x1 x3  x1



    X 2  X1  X 3  X1 

 



 y2  y1

y3  y1

  x2  x1   y3  y1    x3  x1   y2  y1   2  Ae

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Dr DANWE RAIDANDI Illustration des fonctions d’approximation

Reconstruction globale à partir d’approximations élémentaires

Assemblage

 Il y a autant de fonctions Ni à calculer que d’éléments T3 Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

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Dr DANWE RAIDANDI  Impossibilité de généraliser le calcul du vecteur sollicitation avec les Ni calculées sur l’élément réel (difficulté de définir les bornes d’intégration) Idée : utiliser un élément de référence unique avec des bornes d’intégrations simples

 Le passage d’un élément « réel » vers un élément de « référence » implique un changement de variables pour les calculs d’intégrations. De manière générale, on a :

 f  x, y  dx dy   f  x  ,  , y  ,   J d d

x, y

,

Différents types d’éléments 2D

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Organisation d'un code de calcul EF Une analyse générale effectuée à l'aide de la méthode des éléments finis peut se décomposer en quatre grandes étapes ; chacune des étapes peut également être décomposée en une série de processus élémentaires. * le choix de la géométrie et du maillage :  

Définition des points, lignes, surfaces et volumes ; Discrétisation.

* la définition du modèle mathématique,         

Définition des données caractérisant le modèle : type d'analyse : déformations ou contraintes planes, axisymétrique, séries de Fourier, etc... formulation : mécanique, thermique, fluide, etc... comportement du matériau : élastique (isotrope, orthotrope, ...), plastique (isotrope, parfait, ...), etc... type d'éléments : poutres, barres, coques, etc... Définition des propriétés matérielles (constantes d'élasticité, masse volumique, etc...). Définition des propriétés géométriques (section des poutres, inerties, épaisseur des coques, etc...). Définition des conditions aux limites. Définition des sollicitations. Conditions initiales.

* la résolution du problème discrétise,     

Calcul des matrices de rigidité et de masse de chaque élément fini. Assemblage des matrices de rigidité et de masse de la structure complète. Application des conditions aux limites. Application des chargements. Résolution du système d'équations.

* l'analyse et le post traitement des résultats.  

Quantités locales : déplacements, contraintes, déformations, etc... Quantités globales : déformation maximale, énergie de déformation, etc...

Les programmes de calcul par éléments finis classiques sont structures selon cette logique, chaque étape étant associée a un module du code : * le préprocesseur pour la définition du maillage et du modèle mathématique, * le programme de calcul qui envoie une série de processus selon la procédure de calcul choisi par l'utilisateur, celui-ci ne peut maîtriser l'enchaînement des processus. La procédure agit comme une boîte noire sur laquelle l'utilisateur n'a aucune possibilité d'intervention. * le postprocesseur qui procède aux traitements nécessaires après avoir reçu les résultats des modules précédents. Il apparaît clairement qu'un code de calcul classique exclut toute intervention de la part de l'utilisateur qui désirerait apporter des modifications répondant a ses propres besoins. Or, il peut s'avérer très utile de pouvoir définir pas à pas la séquence la mieux adaptée parmi les processus élémentaires. Outre les trois grandes étapes obligatoires, il faut pouvoir disposer de facilites telles que : - la visualisation des informations à toutes les étapes de manière à contrôler les données introduites et le déroulement du calcul, - l'archivage et la restauration des informations afin d'être capable d'interrompre un calcul et de le continuer ultérieurement, - la possibilité d'itérer dans les étapes désirées.

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a) b) c)

d)

PROBLEME I I –QUESTIONS DE COURS Quels sont les éléments qui rentrent en jeu lors de la modélisation mécanique ? La méthode des éléments finis est-elle une méthode exacte ? Sinon quels types d’erreur faiton ? En calcul des structures par la méthode des éléments finis, définir : 1) Champ de déplacement cinématiquement admissible 2) Champ de contrainte statiquement admissible. Quels sont les théorèmes qui justifient la base théorique des éléments finis ? EXERCICE 2- Zones de concentration de contraintes

Avec les figures ci-dessus, expliquer pourquoi dans certaines zones, le maillage éléments finis doit être raffiné pour avoir un bon résultat lors du calcul des structures par éléments finis. EXERCICE 3– On modélise la structure en treillis ci-dessous en éléments barres dans le but d’utiliser la méthode des éléments finis avec une formulation en déplacement, en élasticité linéaire. S est la dimension indiquée sur la figure, E le module d’Young, A la section. On suppose un effort au nœud 2. Les nœuds 1 et 3 sont encastrés. 1°) Sous quelles hypothèses une telle modélisation est valide ? Pour la modélisation ci-dessus, combien a – t – on de nœuds ? d’éléments ? de DDL ? 2°) Pour chaque élément i (i=1 ou 2), définir et calculer la matrice de rigidité élémentaire, ainsi que le vecteur des forces appliquées. 3°) A partir du principe d’assemblage, poser le système d’équation vérifié par les inconnues nodales. 4°) Résoudre ce système. Pour un point M quelconque appartenant à l’élément 2, comment détermine – t – on le tenseur des déformations ? Le tenseur des contraintes ?

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Dr DANWE RAIDANDI PROBLEME II EXERCICE 1 – Questions de cours I.1 Qu'est-ce qu'un modèle ? I.2 Pourquoi faut-il modéliser ? I.3 Quels sont les différents modèles ? I.4 Donner la différence entre Modéliser et concevoir. I-5 Donner les différentes étapes pour modéliser un système mécanique complexe I-6 Avantages et Inconvénients de la modélisation par la méthode des éléments finis en mécanique. EXERCICE 2 – Etude d’une structure simple Soit une structure composée de deux éléments barres ayant 1ddl Ui par nœuds. (voir figure ci-dessous), sollicitée par deux efforts nodaux F2 et F3.

2.1 Après avoir choisi le modèle élément fini 1D linéaire , écrire la matrice de rigidité pour chaque élément. 2.2 Ecrire le vecteur des forces par élément 2.3 Faire l’assemblage : on obtiendra la matrice de rigidité globale, le vecteur des forces appliquées, et le vecteur des inconnues. 2.4 En tenant compte des conditions aux limites, résoudre le problème.

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Dr DANWE RAIDANDI TP N° 2 : UTILISER LE CODE DE CALCUL ELEMENT FINI DE VOTRE GROUPE POUR LES EXERCICES SUIVANTS : TP21 : Analyse statique linéaire Détermination des déplacements une poutre encastrée libre avec une force fléchissante appliquée sur l'extrémité libre. On étudiera l’effet du type d'élément sur la précision du calcul de la flèche.

Utiliser trois types de matériaux : acier, bois, aluminium ; dans chaque cas, on prendra les caractéristiques mécaniques appropriées ; on fera une conclusion globale.

TP22 : Modélisation utilisant les symétries

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Dr DANWE RAIDANDI ECOLE NATIONALE SUPERIEURE POLYTECHNIQUE

UNIVERSITE DE YAOUNDE I

DEPARTEMENT DES GENIES INDUSTRIEL ET MECANIQUE 4ème année GENIE MECANIQUE ---------------------------------------------------------------------------------------------

TP de Modélisation Mécanique N°1 La modélisation éléments finis consiste à : • créer un modèle éléments finis • créer des propriétés de matériaux • créer des propriétés physiques • créer un élément • créer des nœuds • appliquer des conditions aux limites • réaliser un calcul avec le solveur • interpréter les résultats Dans ce TP, vous modéliserez simplement une bielle soumise à une contrainte de traction. Vous utiliserez un code élément fini, par exemple RDM6. On prendra un modèle 2D, avec un type d’éléments T3 ou QUAD4.

Fig. 1

Fig. 2

Application des conditions aux limites A chaque degré de liberté, on va soit appliquer des blocages au degré de liberté, ou appliquer une force. Bien que des forces égales et opposées s’exercent aux deux extrémités de la bielle, vous ne bloquerez qu’une extrémité et vous appliquerez une force sur l’autre. Effectuer le calcul Le type de calcul à prendre est le calcul statique linéaire ; le solveur résout une équation matricielle du type : {F} = [K] * {U} ; à chaque degré de liberté, soit on calcule un déplacement avec les forces données, soit on calcule les forces de réaction à l’endroit où les déplacements sont bloqués. Vérification des résultats : • Les résultats du modèle sont--ils corrects? • Que signifient ces résultats? Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

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Dr DANWE RAIDANDI Quelques calculs simples à la main peuvent vous confirmer que les résultats sont corrects. DEPARTEMENT DES GENIES INDUSTRIEL ET MECANIQUE 4ème année GENIE MECANIQUE ---------------------------------------------------------------------------------------------

TP de Modélisation Mécanique N°2 Modéliser une structure avec RDM6 La modélisation éléments finis consiste à : • créer un modèle éléments finis • créer des propriétés de matériaux • créer des propriétés physiques • créer un élément • créer des nœuds • appliquer des conditions aux limites • réaliser un calcul avec le solveur • interpréter les résultats Le but de ce TP est de vous faire utiliser une application particulière : RDM6. Vous y découvrirez l’interface du logiciel, l’entrée des données nécessaires, la phase calcul et les résultats. Vous traiterez les deux exemples suivants : Ex.1 : Poutre

Cas a

Cas b

Fig. 1 Soit une poutre en acier d’une longueur de 3 mètres et d’une section IPN 80. La poutre, reposant sur 1 appui simple (noeud 2), est articulée au noeud 1 (Fig. 1). Etudier les différents cas de charges. Les données peuvent être lues en annexe1 (a- c) a) Cette poutre est soumise sur son extrémité (noeud 3) à une charge concentrée (F). b) La charge (F) est remplacée par une charge répartie (q) appliquée sur la travée (1-2). Utiliser la commande « ajouter un cas de charges » dans le menu modéliser. Comparer les deux cas de charges (déplacement, efforts…). c) La poutre est maintenant soumise aux deux chargements (F et q) Montrer que le déplacement au nœud (3) (cas c) est égal à la somme des déplacements (cas a + cas b). Utiliser « ajouter une combinaison de charges » dans le menu modéliser. Discuter les résultats. d) Dans le cas (c) la charge (F) est remplacée par une charge unitaire : - Evaluer le déplacement au nœud (3). - Déterminer le chargement nécessaire pour que le déplacement au nœud 3 soit nul. - Montrer que cette charge est équivalente à la réaction d’un appui simple. Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

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Ex.2 : Portique Soit un hangar métallique servant d’entrepôt. L’ossature principale est un portique à traverse brisée articulé en pied. L’angle de couverture est noté . Les liaisons couverture tête de poteaux sont considérées comme rigides compte tenu du mode d’assemblage (fig.2).

Données E = 210000 MPa, Le coefficient de dilatation thermique linéaire de l’acier = 10 -5 Chargement : G (poids propre) = 20 daN/m², T (température) = 20°C, Vx (vent) = 20 daN/m² (projection locale). Questions : Modéliser la structure avec RDM 6 ossatures ; Déterminer les diagrammes des sollicitations internes (M N T) ; Quelle est la charge la plus défavorable vis-à-vis de la déformation de la structure. Cours de Modélisation Mécanique - 4ème année Génie Mécanique

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Dr DANWE RAIDANDI PROJET N° 3 CMAO ET SIMULATION MECANIQUE Influence du maillage sur le résultat du calcul Eléments finis 2D Dans la pratique, différents problèmes se posent à l'utilisateur de logiciel mettant en œuvre la méthode des éléments finis : - choix des éléments du maillage: triangle, quadrangle, nombre de nœuds de ces éléments... - le choix des éléments étant fait, quelle doit être la densité de ce maillage ? - validité de la solution approximative trouvée, la solution théorique n'étant évidemment pas connue dans le cas général. Nous allons étudier l’influence du maillage sur le résultat du calcul sur un cas test. Soit une poutre encastrée avec les caractéristiques suivantes :

y Acier : E=210000 MPa ,  = 0,28 Epaisseur e = 10 mm Longueur L = 90 mm Hauteur H = 30 mm Charge répartie p = 100 N/mm

p = 100 N/mm

Acier e = 10 mm

30

90

x 1) Utiliser les paramètres suivants pour faire le calcul des déplacements éléments finis : Dans chaque cas, on déterminera le nombre de degrés de libertés, et on complètera le tableau suivant : Nature des éléments Triangle à 3 nœuds Triangle à 3 nœuds Triangle à 3 nœuds Triangle à 3 nœuds Triangle à 6 nœuds Triangle à 6 nœuds Triangle à 6 nœuds Triangle à 6 nœuds Quadrangle à 4 nœuds Quadrangle à 4 nœuds Quadrangle à 4 nœuds

Nb éléments 3 6 24 120 3 6 24 120 3

Nb nœuds Valeur du déplacement suivant y en mm à l’extrémité bas de la poutre

6 24

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Dr DANWE RAIDANDI Quadrangle à 4 nœuds Quadrangle à 8 nœuds Quadrangle à 8 nœuds Quadrangle à 8 nœuds Quadrangle à 8 nœuds

120 3 6 24 120

Comparer par une représentation graphique (en abscisse le nombre de ddl, en ordonnées la valeur du déplacement au même point) les différents résultats et conclure quant à : - l’importance du choix du type d'élément ; - l’importance du type d'élément en fonction de la sollicitation ; 2) Dans chaque cas des maillages ci-dessus, déterminer les contraintes correspondantes à et conclure quant à la qualité des résultats éléments finis par rapport au type et au nombre d’éléments.

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