GEOMETRÍA PLANA 1
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTALES
1.1
Geometría: Es una ciencia que forma parte de las matemáticas y que se encarga del estudio de la forma, propiedades y medidas de las figuras y cuerpos que se encuentran en el universo o en la mente humana.
1.2
Términos no Definidos de la Geometría: Los términos fundamentales de la geometría que no han sido definidos son: punto, recta, línea, plano, espacio, medida, dimensión, entre otros. Esto por cuanto su comprensión es muy elemental y no existirían palabras más sencillas para definirlas sin caer en un círculo vicioso.
1.3
Proposición: En general es el enunciado de un problema a resolverse, una propiedad a demostrarse, una verdad a aprenderse, etc.
1.4
Axioma: Es una proposición matemática que siendo evidente, no necesita demostración. Los axiomas son los principios y verdades de todas las ciencias. Ejemplos:
1.5
Postulado: Es una proposición matemática que sin ser tan evidente como un axioma, sin embargo se lo admite sin demostración. Los postulados hacen referencia solamente a propiedades geométricas, por lo tanto son los axiomas de la Geometría.
Geometría Plana Ejemplos:
1.6
La distancia más corta entre dos puntos, es el segmento de recta que los une. Por tres puntos no colineales, pasa un plano y sólo uno, o infinito número de planos coincidentes.
Teorema: Es una proposición matemática cuya verdad debe ser demostrada. Está conformado por dos partes: La Hipótesis y la Tesis. La Hipótesis es el conjunto de propiedades, verdades, axiomas, etc. que se toman como punto de partida para demostrar la propiedad que se declara del teorema. Tesis es la propiedad que se quiere demostrar.
1.7
Corolario: Es una proposición matemática que no necesita ser demostrada, puesto que es consecuencia directa de la demostración de un teorema. Ejemplo:
1.8
c 2 = a2 + b2 a2 = c2 - b2
Teorema de Pitágoras : Corolario:
Problema: Es una proposición matemática cualesquiera que se plantea para ser resuelta.
2 2.1
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS RELACIONALES Congruencia: Dos figuras o cuerpos geométricos son congruentes cuando tienen exactamente la misma forma y medidas longitudinales, de tal manera que si se los superpone coinciden el uno con el otro.
2
Geometría Plana Ejemplo: El triángulo ABC y el triángulo A‟B‟C‟ de las figuras de abajo son congruentes puesto que tanto sus formas y medidas son iguales y se simboliza de la siguiente manera:
A
A‟
B
2.2
B‟
C
C‟
Equivalencia: Cuando dos figuras o cuerpos geométricos tienen la misma medida y no necesariamente la misma forma, se dice que éstos son equivalentes. Ejemplo: Tanto el cuadrado como el triángulo de las figuras que están a continuación tienen sus perímetros iguales, puesto que del primero es 4x3=12 y del segundo 3x4=12; por lo tanto estas dos figuras son, en las medidas que se dan, equivalentes respecto a su perímetro. Pero no solamente pueden ser equivalentes respecto al perímetro; podrían ser respecto a la superficie, al volumen, etc. 3 4 3
3
=
3
2.3
4
4
Semejanza: Dos figuras o cuerpos geométricos son semejantes cuando tienen la misma forma y sus medidas longitudinales proporcionales. Cuando tienen el mismo tamaño se dice que la relación de semejanza es 1:1.
3
Geometría Plana Ejemplo: Los paralelogramos ABCD y A‟B‟C‟D‟ de abajo son semejantes, puesto que tienen la misma forma y si es que medimos sus lados correspondientes vamos a ver que se mantiene una cierta proporcionalidad. Se simboliza de la siguiente manera: A’B’C’D’
ABCD A
B
A‟
C
2.4
C‟
D
B‟
D‟
Identidad: Cuando comparamos a una misma figura o cuerpo geométrico consigo mismo. Ejemplo: O
α A B
3 3.1
PROPORCIONALIDAD
Razón: Es la comparación por división de dos cantidades semejantes. El resultado de este cociente es un número a dimensional.
4
Geometría Plana Ejemplos:
3.2
Proporción: Si dos razones tienen el mismo valor, al igualárselas forman una proporción. Ejemplo:
3.2.1. Representación:
Se lee “a” es a “b” como “c” es a “d” O también “a” y “c” son proporcionales a ”b” y “d”
3.2.2. Términos: Son cada uno de los elementos que conforman la proporción. Extremos: a,d Medios: b,c Antecedentes: a,c Consecuentes: b,d Cuarta proporcional: cualquiera de los términos de una proporción es cuarta proporcional de los otros tres.
5
Geometría Plana Ejemplos:
Media proporcional: Si en una proporción los extremos o los medios de la misma son iguales, entonces estos son medias proporcionales entre los otros dos términos. Ejemplos:
3.2.3. Propiedades de las Proporciones: Como una proporción es la igualdad de dos fracciones, las propiedades de estas son las de aquella. A continuación dichas propiedades:
En una proporción las razones pueden ser invertidas y la igualdad no se altera.
El producto de los medios de una proporción, es igual al producto de sus extremos.
En una proporción a cada uno de los antecedentes se les puede sumar o restar su correspondiente consecuente; o, a cada uno de los consecuentes se les puede sumar o restar su correspondiente antecedente y la igualdad no se altera.
6
Geometría Plana
En un conjunto de proporciones iguales, la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como cualquiera de sus antecedentes es a su correspondiente consecuente.
Para verificar las propiedades establecidas de las proporciones en los numerales anteriores se pide a los estudiantes, como ejercicio en clases, remplazar los valores literales por valores numéricos.
4 4.1
SEGMENTOS DE RECTA
Definición: Es la parte comprendida entre dos puntos de una recta. A
• Simbología:
•
B
̅̅̅̅
Cuando hablamos de segmentos de recta en Geometría Plana, estos segmentos no son dirigidos (no tienen sentido) como en Geometría Analítica; por lo tanto, da lo mismo decir el segmento de recta AB ó el segmento de recta BA. Pues estamos interesados aquí solamente en su longitud.
4.2
Segmento Unitario: Es el segmento que se toma como unidad para medir a otros segmentos.
7
Geometría Plana
4.3
Longitud de un Segmento: Es el número de veces que un segmento dado, le contiene al segmento unitario, expresado éste en unidades de longitud.
4.4
Propiedades de un Segmento:
Dados tres puntos A, B, C sobre una recta, se cumple que: A •
4.5
B •
C •
Dados tres puntos A, M, B donde que M es el punto medio del segmento de recta AB, se cumple que: A
M
B
•
•
•
División Interna de un Segmento: Cuando ubicamos un punto P en el interior de un segmento AB, éste queda dividido internamente en dos segmentos AP y PB, de tal manera que existe una razón “r” entre ellos.
8
Geometría Plana
A
P
•
4.6
B
•
•
División Externa de un Segmento: Cuando ubicamos un punto Q en cualquiera de las prolongaciones de un segmento AB, éste queda dividido externamente en dos segmentos AQ y BQ, de tal manera que existe una razón “t” entre ellos.
4.7
A
B
Q
•
•
•
División Armónica de un Segmento: Cuando un segmento es dividido tanto interna como externamente por puntos P y Q respectivamente, y si es que “r” y “t” son iguales, entonces se dice que la división es armónica. A
P
B
Q
•
•
•
•
9
Geometría Plana
4.8
Ejercicios Planteados y Resueltos sobre Segmentos: Nota: Lo que está resaltado en rojo en este numeral, son referencias que se agregan al ejercicio planteado, para facilitar el proceso de la resolución.
1.
Dados los puntos colineales consecutivos Q, A, B y P tales que QA=20m, BP=40m y QB y AP están en la razón 4/5. Calcular AB.
•
•
•
•
Q
A
B
P
Cálculos:
•
2. A
•
•
B
C
10
• D
• E
Geometría Plana Cálculos:
3.
Dados los puntos colineales A, B, C, D, E y F, si AB=BD, BC=CE, DE=EF y BD-EF=6u. Calcular CD.
•
•
•
•
•
•
A
B
C
D
E
F
Cálculos:
11
Geometría Plana
[
4.
]
Dados los puntos colineales A, B, C, D y E; si BC=3AB,
•
•
•
•
•
A
B
C
D
E
Cálculos:
12
Geometría Plana
(
*
5. •
•
•
Q
A
P
Cálculos:
13
• B
Geometría Plana
√ √ √
4.9
Ejercicios Propuestos Sobre Segmentos: 1.
2.
Dados los puntos colineales A, B, C, D y E Si:
• Q
• A
14
•
•
P
B
Geometría Plana 3.
A,B,C,D, son puntos colineales y consecutivos. M es punto medio de AB y N es punto medio de CD, demostrar que:
4.
En una recta se tienen los puntos consecutivos A,B,C,D tal que:
5.
Sean los puntos colineales y consecutivos A, B y C. Hallar la longitud de AB, si:
15
Geometría Plana
5
ÁNGULOS
5.1. Definición: Es la abertura comprendida entre dos rayos que se encuentran unidos por sus orígenes, en un punto llamado vértice. C
O
B
5.2. Simbología o notación: ̂ ̂ ̂
5.3. Unidades de Medida: Grado sexagesimal.- Es la abertura angular correspondiente a 1/360 parte de una vuelta completa alrededor de un punto en forma circular. Un grado sexagesimal (º) es igual a 60 minutos („), así como 1 minuto es igual a 60 segundos (“). Radián (Rad).- Un radián es el ángulo subtendido por un arco de circunferencia de longitud igual a la de un radio de la misma circunferencia. Un radián es la unidad de medida del sistema de medición angular conocido con el nombre de Cíclico. El caso es que 2𝜋 Radianes es igual a 360° sexagesimales.
A R ̂
θ
θ= 1 radián
O
B
R
Revolución (Rev).- Una revolución es lo mismo que una vuelta y por lo tanto es equivalente a 360º o 2π radianes.
16
Geometría Plana Existen otras unidades de medidas como el grado centesimal y el mil, pero no son de frecuente aplicación en nuestro medio por lo que los dejamos fuera del campo de nuestro estudio por ahora.
5.4.
Ejercicios de Transformación: 1.
Transformar de grados, minutos y segundos sexagesimales, a grados con decimales, radianes y revoluciones: ( (
(
(
2.
𝜋
* *
*
*
Transformar de grados sexagesimales con decimales, a grados minutos y segundos sexagesimales, revoluciones y radianes: .
(
)
(
17
)
Geometría Plana
En general se puede decir que cuando se quiere transformar medidas angulares de un sistema a otro, esto se lo consigue simplemente por la aplicación de la regla de tres elemental, o como en los ejemplos anteriores aplicando factores de conversión pero que no es más que la misma regla de tres pero resumida. 3.
Transformar de radianes a revoluciones y a unidades sexagesimales en grados, minutos y segundos: 0,475 Radianes. (
*
𝜋
( 𝜋
*
(
) (
)
5.5. Ejercicios Propuestos: 1.
Transformar de grados sexagesimales con decimales a grados sexagesimales, minutos y segundos. a) -33.47º
2.
b) 121.12º
c) 213.56º
d) 325.028º
Transformar de radianes a unidades sexagesimales en grados, minutos y segundos.
a) 13.27πRad
b) -211Rad
18
c) 6,28Rad
d)
𝜋Rad
Geometría Plana
5.6. Clasificación de los Ángulos: Por su Medida:
180° α
α2
90°
α1
β
Convexos (α); son los ángulos comprendidos entre 0° y 180° A su vez los convexos se clasifican en: Agudos, rectos y obtusos.
Agudos(α1); son los ángulos comprendidos entre 0º y 90º Rectos=90º Obtusos(α2); son los ángulos comprendidos entre 90º y 180º
Cóncavos (β); donde que
Complementarios.- Dos ángulos son complementarios cuando la suma de estos es igual a 90º.
Suplementarios.- Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de éstos es igual a 180º.
Llanos.- Son aquellos ángulos cuya medida es de 180º; estos ángulos también son conocidos como ángulos planos.
19
Geometría Plana
Por su Posición:
Adyacentes.- Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado y un vértice en común. También hay que señalar que el lado común debe servir de separación entre los dos ángulos. A
α β O
En el gráfico anterior el rayo ⃗⃗⃗⃗⃗ es el lado común entre los ángulos adyacentes α y β.
Consecutivos.- Son aquellos ángulos que se forman uno a continuación del otro, con un lado en común y sin compartir el mismo vértice.
X
Y Z
Opuestos por el Vértice.- Son aquellos ángulos cuyos lados son la prolongación del otro. En el gráfico de abajo el ̂ ̂ ̂ ̂ son ángulos opuestos por el vértice.
̂ ̂ X
̂
X
̂ X
20
X
Geometría Plana
Ángulos que se forman al cortarse dos rectas por una transversal:
M ̂
̂ X
̂
X
X
̂ 1
X
1 X
X
X
̂
̂
1 1
X
X
̂
̂ 1 X
X
X
X X
X
INTERNOS: EXTERNOS: ALTERNOS INTERNOS: ALTERNOS EXTERNOS: CORRESPONDIENTES: CONJUGADOS INTERNOS: CONJUGADOS EXTERNOS: OPUESTOS POR EL VÉRTICE:
5.7. Propiedades de los Ángulos : Postulado Si dos rectas que forman parte de un mismo plano son cortadas por una transversal, y si la suma de los ángulos conjugados ,sean éstos externos o internos, es igual a 180º, entonces las dos rectas son paralelas; caso contrario las rectas serán secantes(Ver figura anterior).
⃡⃗
21
⃡
Geometría Plana
Teorema I Dos ángulos que son opuestos por el vértice, son congruentes.
̂ ̂ X
X
̂
̂ X
X
Demostración:
Teorema II Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes así formados, son congruentes entre sí.
22
Geometría Plana
̂
̂
̂
1
̂2
1 1
1 X
1 X
X
R1 4 1
1 1 X
X
X X
1
X
X
1 1
X
X
̂
X
X
1 1
1
X
X
X
̂
̂
̂
1
1
1
X
X
1
1
X
X
X
X
1 X
X
1 X
X X
X
X
R2 1
X
1 X
X
X
Demostración: (Sólo se demuestra la primera proposición de cada tesis; la otra queda como tarea para el estudiante)
23
Geometría Plana
Teorema III El ángulo que forman las bisectrices de dos ángulos adyacentes suplementarios, es igual a 90º. X 1
1
X
1 X
X
X
X 1 1 X
̂
̂
̂
1
1
1
1
X
X
X
1
X
X
X
W
X
1
X
X
O
X
X
̂ 1 1 X
X
X
Z
1
1
1 X
1
X
X
X
X
X
X
X
Demostración:
24
1 1 X
Geometría Plana Teorema IV Cuando dos ángulos tienen sus lados respectivamente paralelos, éstos son congruentes o suplementarios.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ M A O ̂
̂
O
B
̂ N
̂
P
Demostración: Prolongamos ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂
̂
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ hasta que se corten.
̂
(Ángulos correspondientes) ̂
̂
(Construcción)
̂
̂
(Ángulos Suplementarios) ̂
̂
Teorema V Cuando dos ángulos tienen sus lados respectivamente perpendiculares, éstos son congruentes o suplementarios.
25
Geometría Plana ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
P A O ̂
̂
O
B
̂ ̂
̂
Q
N M
Demostración: Prolongamos ⃗⃗⃗⃗⃗ hasta que se corte con ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(Construcción)
̅̅̅̅
(Construcción)
⃗⃗⃗⃗⃗
̂
̂
̂
̂
(Ángulos correspondientes) ̂
̂
̂ ̂
̂
̂
̂
(Ángulos complementarios) ̂
̂
(Ángulos Suplementarios) ̂
26
̂
Geometría Plana
5.8
Problemas sobre ángulos que se enuncian literalmente y que se resuelven por ecuaciones simples de primer grado. 1.
Si a uno de los ángulos suplementarios le aumentamos 30º, éste es igual al otro. Cuáles son dichos ángulos? B β
α 180-X
A
2.
X
O
C
Dos ángulos complementarios donde que uno de ellos es 15º más que el duplo del otro. Calcular cuánto mide cada ángulo complementario.
A
β
B
90°-X X
O
27
α C
Geometría Plana
5.9
Ejercicios Planteados y Resueltos Sobre Ángulos: Nota: Lo que está resaltado en rojo son datos del problema, referencias o valores calculados en curso que se agregan al ejercicio planteado para facilitar el proceso de la resolución.
1. Q
P
R
S ̂ ̂
̂
T ̂ ̂
O
U
Cálculos:
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂
̂ ̂
(̂ ̂
̂
̂ ̂) ̂
28
Geometría Plana
2.
Q
R S ̂
T
̂ ̂
̂
O
U
Cálculos:
̂
̂ ̂
̂
̂
̂
3. C D B E
̂
̂ ̂ A
̂ F
O
̂
̂
29
̂
Geometría Plana
Cálculos: ̂ ̂
̂
̂
̂ ̂
4. D C E
B ̂
̂ X ̂
̂ A
O
Cálculos: ̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ (̂
𝜋 ̂
̂ ̂)
̂
30
F
Geometría Plana
̂) ̂
(
̂ ̂ ̂ ̂
5.
V
W
U • X •
100° β
60°
β
• α α
O
Cálculos:
31
Y
•
Z
Geometría Plana
5.10 Ejercicios Propuestos sobre Ángulos: 1.
Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC. Se traza OD bisectriz del ángulo AOB. Hallar la medida del ángulo COD, si:
2.
Los ángulos consecutivos AOB y BOC, son tales que: . Se traza OM, bisectriz del ángulo AOC. Hallar la medida del ángulo MOB
3.
Se tienen los ángulos consecutivos AOF, FOB, BOR y ROC, donde OF y OR bisecan los ángulos AOB y FOC, respectivamente. Si: Hallar la medida del ángulo FOR.
4.
Los ángulos: AOB y BOC son consecutivos; AOC llano y AOB > BOC. Se trazan:
Hallar la medida del ángulo AOB, si el ángulo ZOY mide 39º.
5.
En la figura, hallar la medida de
C B
, si:
D E
A
O
32
F
Geometría Plana
6 TRIÁNGULOS 6.1
Definición: Es una figura geométrica plana formada por tres segmentos de recta, que se unen consecutivamente por sus extremos y forman una figura cerrada. A
b c C
a B
6.2
Simbología o notación: Por las letras que se encuentran en sus vértices. Ejemplo: Para denotar o simbolizar el triángulo anterior tenemos: ΔABC, donde los lados del mismo se representan con las letras minúsculas del vértice opuesto.
6.3
Clasificación de los triángulos: Por sus lados: Equiláteros: tres lados congruentes. Isósceles: dos lados congruentes. Escaleno: Ningún lado es congruente con el otro. Por sus ángulos: Equiángulo: Sus tres ángulos internos son congruentes. Acutángulo: Sus tres ángulos internos son agudos. Obtusángulo: Uno de sus ángulos internos es obtuso. Rectángulo: Uno de sus ángulos internos es recto (90°).
33
Geometría Plana
6.4
Líneas y Puntos Fundamentales:
6.4.1 Líneas fundamentales: Bases, medianas, bisectrices, mediatrices y alturas(Ver gráficos debajo de cada uno de los subtemas definidos). Bases(3): constituyen cada uno de los lados del triángulo (̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . A
B
C
Medianas(3): Segmentos de recta que unen los vértices del triángulo con el centro de los lados opuestos(Si D, E y F son puntos medios de los lados del triángulo ABC, entonces ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ .
A D
E
G
B
F
C
Bisectrices(9): Segmentos de recta que dividen a los ángulos tanto internos como externos de un triángulo en la mitad. Por lo tanto se tienen tres bisectrices internas y seis externas ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ son bisectrices. En el gráfico de abajo están dibujadas tres internas y sólo dos externas y que son relativas al vértice B).
34
Geometría Plana
e
A a
a
Eb
e
G
D
b
B
c
I
d
c
b
d
F
C
G
F
Mediatrices(3): Segmentos de recta perpendiculares levantadas en la mitad de cada uno de los lados del triángulo. (Si D, E y F son puntos medios de los lados del triángulo ABC, entonces ̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ . H A
E
D O
B
C
F J
F
G
Alturas(3): Segmentos de recta que unen perpendicularmente, los vértices del triángulo con el lado opuesto correspondiente o su prolongación. E
A
H
B
D
F
35
C
Geometría Plana
6.4.2 Puntos Fundamentales: Baricentro, incentro, excentro, circuncentro y ortocentro (Ver gráficos anteriores, correspondientes a las líneas fundamentales). Baricentro(G): Punto de intersección de las tres medianas de un triángulo. El baricentro divide a las medianas en dos partes, de tal manera que el segmento que se encuentra del lado del vértice es el doble del otro. Incentro(I): Punto de intersección de las tres bisectrices internas de un triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscrita. Excentros(Ea, Eb, Ec): Punto de intersección de una bisectriz interna con dos bisectrices externas opuestas a la primera de un triángulo. Circuncentro(O): Punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Este punto tiene la propiedad de ser le centro de la circunferencia circuscrita. Ortocentro(H): Punto de intersección de las tres alturas de un triángulo. Como propiedades importantes de los puntos fundamentales es que el baricentro y el incentro siempre están hacia el interior del triángulo; el circuncentro y el ortocentro pueden estar afuera, adentro o sobre el triángulo, y; los excentros siempre afuera del triángulo.
6.5
Propiedades de ciertas configuraciones geométricas que se desprenden de las propiedades fundamentales del triángulo. Teorema Fundamental del triángulo (I):
En todo triángulo, la suma de sus tres ángulos internos es igual a 𝜋Rad ó 180°. B
A
ε C
36
Geometría Plana Demostración:
̂
E ̂
̂
̂ ̂
ε
D ̅̅̅̅
(Construcción)
̂
̂
(Ángulos alternos internos)
̂
̂
(Ángulos correspondientes)
̅̅̅̅
̂
̂
̂
(Ángulo Llano)
̂
̂
̂
Corolarios: Cualquiera de los ángulos externos (ε) de un triángulo, es igual a la ̂ ̂ suma de sus ángulos internos opuestos. Un triángulo no tiene más de un ángulo recto ni más de un ángulo obtuso. Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. Teorema del Cuadrilátero (II): La suma de los ángulos internos de todo cuadrilátero es igual a 2𝜋Rad ó 360°.
37
Geometría Plana
A
B
D
C
[ E s c r i b Demostración: a
̅̅̅̅
(Construcción)
u n a
A
̂
c i t a
̂
̂ ̂ D
d e ̂ l
̂
d o c u m e n t o
C
̂ ̂
̂ ̂
̂
(Teorema I) (Teorema I) ̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
o d e l r e
38
̂
̂
̂
B
Geometría Plana Teorema del ángulo exterior de un cuadrilátero (III): Cualquier ángulo exterior (α) de un cuadrilátero, es igual a la suma de los tres ángulos internos opuestos a éste. D
α
A
B C
̂
̂
̂
Demostración: ̂
(̂
̂
α
̂
̂) ̂
(̂
(Teorema II)
̂)
̂
α
̂
̂
Teorema del lazo (IV): Si dos lados de un triángulo son la prolongación de los lados de otro triángulo, la suma de los ángulos internos no comunes del primero es igual a la suma de los dos internos no comunes del segundo.
A
C α σ B ε E
39
𝜕 D
Geometría Plana Demostración: (Teorema I) (Op. por el vértice)
Teorema de las bisectrices internas de un triángulo (V): El ángulo que se forma por el cruce de dos bisectrices internas de un triángulo es igual a 90° más la mitad del ángulo interno no bisecado. B
I
̂
X
̂
A
̂ ̂ C
̂
̂
Demostración: ̂
̂
̂ ̂
(
40
̂
̂
̂
̂
̂)
̂
̂
̂
̂
Geometría Plana
̂
̂
Teorema de las bisectrices externas de un triángulo (VI): El ángulo formado por dos bisectrices externas de un triángulo es igual a 90° menos la mitad del ángulo interno opuesto a éstas.
̂
B ̂
Ea
̂
A
̂ ̂ C
̂
̂
Demostración: ̂
̂
̂
̂
̂ ̂
̂
̂
̂
̂
̂)
( ̂
41
̂
̂ ̂
̂ ̂
Geometría Plana
̂
̂
Teorema relativo a una bisectriz interna y una bisectriz externa (VII): El ángulo formado por una bisectriz interna de un triángulo y una bisectriz externa de dos vértices diferentes, es igual a la mitad del ángulo correspondiente al tercer vértice. B
̂ A
̂ ̂
Ea
̂ ̂ C
Demostración: ̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂
̂ ̂
42
̂
̂
̂
Geometría Plana
̂
̂
Teorema de la bisectriz y la altura del mismo vértice (VIII):
El ángulo formado por una de las bisectrices internas de un triángulo y su correspondiente altura, es igual a la semidiferencia de los ángulos internos de los otros dos vértices.
C
̂ A
H
D
B
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Demostración: ̂
̂
̂ ̂ ̂
43
̂
̂ ̂
̂
Geometría Plana ̂ ̂
̂
̂
̂
̂
6.6
̂
̂
̂
̂
̂
Ejercicios Planteados y Resueltos sobre Triángulos: Nota: Lo que está resaltado en rojo son datos del problema, referencias o valores calculados en curso que se agregan al ejercicio planteado para facilitar el proceso de la resolución.
1. K 100°
P α
α β
J
R ▀
60°
β
Q
Resolución: ̂
̂
̂
̂
̂
̂ ̂
̂
44
L
Geometría Plana
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
̂
2. P 65°
M
N
L
105°
Q R
𝜕 K
15°
▀ T
J
Resolución:
̂ ̂
̂
̂ ̂ ̂
̂ 𝜕
̂
̂
̂
45
S
Geometría Plana 3. W Y
θ
ε ε Z
110° U α
β α
X
β
T
Resolución:
̂
̂
4.
W
R 102°
S
̂
Q
̂ ̂
78°
̂
T
P
Y
Resolución: ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
(
46
)
Geometría Plana
̂ ̂
̂
̂
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂
̂
̂ ̂
(̂
̂
̂)
̂
̂
̂
̂
5.
F α
B
70° α
80° E
▀ D
A
30°
CC
Resolución:
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂
̂ ̂
̂ ̂
̂
̂
̂
̂ ̂
47
̂
̂
̂
Geometría Plana
6.7
Ejercicios Propuestos: ̂
1.
̂
B D A
E Q A
A
C
2.
B
D F
C
A E
̂
3.
A D ̂
100°
50° B
C
48
Geometría Plana
4.
F
C B
K
G
E D
A
5.
̂
̂
B
C
D
A
6.
En un triángulo ABC: A = 35º y B = 50º. Calcular el ángulo formado por la altura del vértice B y la bisectriz del vértice C. Solución: 42,5°
7.
En un triángulo obtusángulo ABC (C > 90º), si P es el pie de la altura ha , Q pie de la altura de hb , y H es el orto centro, demostrar que el ángulo PHQ es igual a la suma de los ángulos A y B.
49
Geometría Plana
8.
En un triángulo ABC, obtusángulo (A > 90º), H es ortocentro. Demostrar que las bisectrices de los ángulos HBA y HCA son perpendiculares entre sí.
9. ̂
B
F ̂
E
I
48°
A
C
D
̂
10.
̂
E
α
A
A
α A
B
C
D
50
Geometría Plana
7 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 7.1
Definición: En general, dos figuras o cuerpos geométricos son congruentes si tienen exactamente la misma forma y la misma medida. Siendo un triángulo una figura geométrica plana, la definición de congruencia geométrica, es también aplicable a este concepto.
7.2
Condición geométrica fundamental de congruencia: La condición geométrica fundamental que hace que dos triángulos sean congruentes es la de que todos los ángulos y lados de uno de los triángulos sean congruentes con todos los ángulos y lados del otro. B a
c
A
B’
b
a ’
c ’
C A’
C’ b’
Pero para demostrar que dos triángulos son congruentes, no hace falta verificar toda la condición geométrica fundamental; basta que se cumplan solamente ciertas condiciones y ya dichos triángulos son congruentes. Esas condiciones necesarias pero suficientes, son conocidas con el nombre de postulados de congruencia, los mismos que vienen a continuación y son tres.
51
Geometría Plana
7.3
I.
Postulados de congruencia triangular:
Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos, son congruentes con los tres lados del otro triángulo. b
b’
a a’
c
c’
A esta correspondencia se le denomina: Lado (L), Lado (L), Lado(L).
II.
Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, de uno de los triángulos, son congruentes con los dos lados y el ángulo comprendido entre aquellos del segundo triángulo.
a
a’ ε’ b
b’
A esta correspondencia se le denomina: Lado (L), Ángulo (A), Lado(L).
III.
Dos triángulos son congruentes si dos de sus ángulos y cualquiera de sus lados de uno de los triángulos, son congruentes con los correspondientes del segundo triángulo.
’
b
ε’
ε 𝜕
52
𝜕’
Geometría Plana 𝜕
𝜕
A esta correspondencia se le denomina: Ángulo(A), Lado(L), Ángulo(A).
Todos estos postulados son aplicables a cualquier tipo de triángulo, por lo que se considera innecesario establecer postulados para triángulos específicos, como podrían ser los triángulos rectángulos.
7.4
Propiedades geométricas que Congruencias de triángulos.
se
demuestran
por
Teorema de las paralelas (I): Si dos rectas paralelas son cortadas por otras dos también paralelas, los segmentos que así se determinan son congruentes de dos en dos.
H) ⃡⃗⃗⃗⃗ ⃡⃗⃗⃗⃗ T)
⃡⃗⃗⃗⃗⃗
X
Y
⃡⃗⃗⃗⃗⃗
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̂ ̂
̂
̂
Z
W
Demostración: ̅̅̅
̅̅̅ ̂
̂
(
)
̂
̂
(
)
̅̅̅̅
53
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
Geometría Plana Teorema del triángulo y la paralela (II): Si se traza una paralela a uno de los lados de un triángulo y que pasa por el punto medio del otro de sus lados, también pasa por el punto medio del tercer lado.
H)
M Punto medio de ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
T)
B ̂ N
̂
M
̂ ̂ C
Q
A
Demostración: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
(Por construcción)
(Por teorema anterior)
̂
̂
(Angulos correspondientes)
̂
̂
(Angulos correspondientes) ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
Corolario: El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados de un triángulo, es paralelo al tercer lado y la longitud es igual a su mitad.
Teorema del triángulo isósceles (III): Si dos ángulos de un mismo triángulo son congruentes entre sí, los lados opuestos a dichos ángulos también son congruentes.
54
Geometría Plana
Isósceles; ̂ Angulo desigual;
H) ̅̅̅̅
T)
̅̅̅̅ B
̂
̂
A
C H
Demostración: ̅̅̅̅
Bisectriz
(Por construcción)
̂
̂
(Por hipótesis)
̂
̂
(Por construcción)
̅̅̅̅
(Lado común)
̅̅̅̅
Corolarios:
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
55
̅̅̅̅
̂
̂
Geometría Plana Por lo tanto: En todo triángulo isósceles, la línea notable correspondiente al ángulo desigual, es al mismo tiempo: bisectriz, mediatriz, mediana y altura. En todo triángulo equilátero, todas las líneas notables tienen la misma longitud y son al mismo tiempo: bisectrices, mediatrices, medianas y alturas.
En todo triángulo donde que una línea fundamental es otra línea fundamental, dicho triángulo es isósceles. En todo triángulo equilátero, el incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro, es el mismo punto. Teorema del triángulo rectángulo (IV): La mediana correspondiente al ángulo recto en triángulo rectángulo, es siempre igual a la mitad de la hipotenusa. Y
H)
ΔXYZ rectángulo
̅̅̅̅̅ T)
̅̅̅̅̅
N
mediana ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ▀ X
Q
Demostración: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
(Por construcción)
(Lado común) ̅̅̅̅
(Teorema II del triángulo y la paralela) (Por construcción)
56
Z
Geometría Plana
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Corolario: Si el lado de un triángulo es el doble de la longitud de su mediana correspondiente, entonces el triángulo es rectángulo. Teorema sobre la altura y la mediana de un triángulo rectángulo (V): La diferencia entre los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, es igual al ángulo formado por la altura y la mediana relativas al ángulo recto.
H)
T)
XYZ ̅̅̅̅̅
Altura
̅̅̅̅̅
Mediana
̂
Z
Rectángulo
H M
̂
J
̂
W
▀ X
Y
Demostración: ̂
̂
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̂
̂
̂
̂
(Por ángulos de lados perpendiculares) (Por teorema anterior) (ΔXZM Isósceles) ̂
(Gráfico)
̂
57
̂
̂
Geometría Plana
7.5
Ejercicios Resueltos sobre Congruencia Triangular: Nota: Lo que está resaltado en rojo son datos del problema, referencias o valores calculados en curso que se agregan al ejercicio planteado para facilitar el proceso de la resolución. ̂
1.
̂
E
D
̂
̂
B ̂
̂
A
C
Demostración:
̂
̂
{
̂
̂ ̂
2. A
30º ̂ M
60º 100º
60º
B
D
58
30º C
Geometría Plana
Demostración: ̂
̂ ̂
̂
{
̂
̂
̂ ̂
3.
̂ M
65º
α P
µ
β 65º
50º
N
Q
59
Geometría Plana Demostración:
̂ ̂
4. B
̂ ̂
N
̂
̂
A
̂
̂
̂ C
M
̂
̂ Q
Demostración: ̂ ̂ ̂
(
60
(
)
(
) )
Geometría Plana 5.
T)
JM = ? J
17.5 u
K
R
17.5 u
15 u M
Q 2.5u N
Resolución:
{
7.6
Ejercicios Propuestos: 1.
Sobre los lados de un ABC se construyen los triángulos CQ y ARB. Demuestre que AP = BQ = CR
2.
61
BPC,
Geometría Plana I
X
Y
H
Z
J
3. L
160º
M
60º J
K
4. Y 40º
I
W
X
Z
62
Geometría Plana 5. ̂
̂ B
̂
̂
●O
A
H
E
F
C
6. A
β
E
α B
7.
D
C
En un triángulo ABC ( B > 90º ) los puntos medios de los lados BC, CA y AB son L, M y N respectivamente. Si D es el pie de altura de A; demostrar que los triángulos LMN y DMN son congruentes.
63
Geometría Plana 8.
Si desde un punto exterior a un triángulo equilátero, se trazan perpendiculares a los tres lados, el exceso de la suma de dos de dichas perpendiculares sobre la tercera es una línea fundamental.
9. B
I ●
A
C E
̂
10.
B
̂
D
20º
20º E 10º
30º
A
C
64
Geometría Plana
8 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 8.1
Definición: En general, dos figuras o cuerpos geométricos son semejantes si tienen exactamente la misma forma pero diferente tamaño; como podría ser el caso de una fotografía de algo, pero ampliada o reducida. Siendo un triángulo una figura geométrica plana, la definición de semejanza geométrica, es también aplicable a este concepto.
8.2
Condición geométrica fundamental de semejanza: La condición geométrica fundamental que hace que dos triángulos sean semejantes entre sí, es la de que todos los ángulos de uno de los triángulos sean congruentes con todos los ángulos del otro; así como todos los lados del primer triángulo, deben ser proporcionales a todos los lados del segundo. B a
c
B’ c’
A
b
a’
C A’
b’
C’
Pero para demostrar que dos triángulos son semejantes, no hace falta verificar toda la condición geométrica fundamental; basta que se cumplan solamente ciertas condiciones y ya dichos triángulos son semejantes. Esas condiciones necesarias pero suficientes, son conocidas con el nombre de postulados de semejanza, los mismos que vienen a continuación y son cinco.
65
Geometría Plana
8.3
Postulados de semejanza triangular:
I.
Dos triángulos son semejantes si dos de los ángulos de uno de ellos, son congruentes con dos del otro triángulo.
̂
II.
̂
̂
̂
Si se traza una recta paralela sea ésta interna o externa a cualquiera de los lados de un triángulo, el nuevo triángulo así formado es semejante al primero. B E
D
C
A
III.
Dos triángulos son semejantes si todos los lados de uno de los triángulos son respectivamente paralelos o perpendiculares a todos los lados del segundo triángulo. Y N
C
X A
Z
B
M
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
66
O
Geometría Plana IV. Dos triángulos son semejantes, si los tres lados de uno de los triángulos son respectivamente proporcionales a los tres del segundo triángulo. B a
c
B’ a’
c’ A
b
C A’
b’
C’
V. Dos triángulos son semejantes, si dos de los lados de uno de los triángulos, son respectivamente proporcionales a los dos del segundo triángulo y los ángulos comprendidos entre dichos lados congruentes.
B c B’ ̂ A
c’ b
̂
C A’
b’
C’
Todos estos postulados son aplicables a cualquier tipo de triángulo, por lo que se considera innecesario establecer postulados para triángulos específicos, como podrían ser los triángulos rectángulos.
67
Geometría Plana
8.4
Propiedades geométricas Semejanza de triángulos.
que
se
demuestran
por
Teorema del Baricentro (I): En todo triángulo el baricentro divide a las medianas en dos segmentos, de tal manera que el que se encuentra del lado del ángulo es el doble del otro segmento. H)
T)
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
Cualesquiera Medianas
G
Baricentro
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
B
N
M G
A C
Demostración: ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
(Teorema del triángulo y la paralela) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
68
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Geometría Plana Corolario: Dicho de otra manera; la longitud de la mediana es igual al triple del segmento de recta que une el baricentro con el punto medio del lado relativo a esta mediana. Teorema del baricentro y la altura (II): El segmento de recta perpendicular trazado desde el baricentro de un triángulo a cualquiera de sus lados, es igual en longitud a la tercera parte de la altura relativa al mismo lado.
H) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅
Cualesquiera Medianas
G
Baricentro
̅̅̅̅̅
Altura
̅̅̅ T)
̅̅̅̅̅
B
M G
̅̅̅̅ ̅̅̅
A H
J
N
C
Demostración: (Postulado lados paralelos) ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
(Por corolario del teorema I)
̅̅̅̅
̅̅̅
Teorema de la antiparalela (III): En todo triángulo escaleno, el segmento de recta que une las bases de dos alturas es antiparalela del lado opuesto. Definición de antiparalela: Escaleno ̅̅̅
̅̅̅̅
69
Geometría Plana B J
̂ ̂
̂
̂
A
H)
K
C
Escaleno ̅̅̅
̅̅̅̅
Alturas ̅̅̅̅
T) ̅̅̅̅
B J K
C
A
Demostración: {
{ ̂
70
̂
Geometría Plana Teorema del Perímetro (IV): Si dos triángulos son semejantes, la razón de sus perímetros están en la misma proporción que sus lados. H) P1, P2
Perímetros de
respectivamente
Demostración: (Propiedad de las proporciones) ’
8.5
’
’
Ejercicios Planteados y Resueltos sobre Semejanza Triangular: Nota: Lo que está resaltado en rojo son datos, referencias o valores calculados en curso del problema, que se agregan al ejercicio planteado para facilitar el proceso de la resolución. 1. K
N
M
J
L
71
Geometría Plana
Demostración:
{
̂
2. K 18-x M
2+x N
3+2x 18-x
x
J
L
Resolución:
72
Geometría Plana
3. S T
U Y
V
R X
W
Demostración: Identificamos los triángulos en los que forman parte los términos de la tesis:
X
X R
U
V
W
Y R
{
̂ ̂
̂
73
Geometría Plana ̂
4.
̂
̂
√ K
30
P ̂
Q 75˚ J
x
̂
L
x
R
Demostración: ̂
̂ ̂
̂
̂
̂
̂
̂ ̂
̂
̂
{
̂
R Q x ̂
̂
P
J
√
74
R
x
L
Geometría Plana 5.
V
Y 12u Z
12u
9u
18u
X W
Resolución:
Z
Z 18u
9u
Y
8.6
12u
X
12u
V
W
Ejercicios Propuestos: 1.
Dado un triángulo equilátero XYZ, determinar la relación entre el radio del círculo inscrito y el radio del círculo circunscrito. Solución:
75
2
Geometría Plana 2.
Dos árboles que se encuentran en un mismo plano horizontal tienen una altura de 37m y 94m de altura respectivamente y se encuentran separados una distancia de 215m. Calcular la altura de la intersección de las rectas que unen el pie de cada árbol con la cúspide del otro.
3.
A una determinada hora del día la sombra de una persona es de 60 cm. Si la sombra de un niño de 90 cm de altura a la misma hora es de 30 cm; calcular la altura de la persona. Solución: 1.8 m
4.
Dado un triángulo JKL, las medianas relativas a los vértices J y K son perpendiculares entre sí y miden respectivamente 12u y 16u. Calcular la medida de la tercera mediana. Solución: 20u
5.
Demostrar que la diferencia de los cuadrados de los segmentos determinados por la altura correspondiente en uno de los lados de un triángulo, es igual a la diferencia de los cuadrados de los otros dos lados del triángulo.
6.
S
18m
V
W 9m
R
6m
U
76
T
Geometría Plana
8.7
Relaciones Métricas en los Triángulos Rectángulos: Las relaciones métricas en los triángulos rectángulos son aquellas que establecen relaciones entre sus diferentes elementos longitudinales. Así por ejemplo, el Teorema de Pitágoras efectivamente es una relación métrica, puesto que relaciona los catetos con la hipotenusa. Existen otros teoremas que son relaciones métricas y son tan importantes como el Teorema de Pitágoras, que a continuación se enuncian y se demuestran conjuntamente con este famoso teorema.
Y ̂ r
x
H
z hA
t
̂ ̂
̂
X
1.
y
Z
Cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo, es media proporcional entre la hipotenusa y el segmento que determina su proyección.
77
Geometría Plana Demostración:
2.
La altura correspondiente al ángulo recto de un triángulo rectángulo, es media proporcional entre los segmentos que determina en la hipotenusa.
Demostración:
3.
El producto de los catetos de un triángulo rectángulo, es igual al producto entre la altura relativa al ángulo recto y la hipotenusa del mismo.
Demostración:
4.
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos (Teorema de Pitágoras).
Demostración:
{
78
Geometría Plana
8.8
Relaciones Trigonométricas Rectángulos.
en
los
Triángulos
Las relaciones trigonométricas en los triángulos rectángulos son aquellas que establecen relaciones entre sus lados y sus ángulos. Por semejanza de triángulos, dos o más de ellos son semejantes entre si, cuando todos los ángulos del uno son congruentes con los de los otros y los lados correspondientes proporcionales.
B a
c
B’ c’
A
b
a’
C A’
b’
C’
Corolario: Si dos triángulos son semejantes, las diferentes razones que se pueden establecer entre los lados de un mismo triángulo, son exactamente igual a las correspondientes del segundo.
79
Geometría Plana
Este principio justamente se utiliza para definir las razones trigonométricas en los triángulos rectángulos. Así por ejemplo, si tengo dos o más triángulos rectángulos donde que las razones entre los lados de uno de ellos es igual a las razones de los otros, eso significa entonces que dichos triángulos son semejantes entre sí; es decir, los ángulos de uno de ellos son congruentes con los ángulos correspondientes de los otros triángulos. Dicho de otra manera, el corolario anterior visto a la inversa.
B C
A
I
D Ç D
E
H
G
F
En el gráfico anterior se tiene una serie de cuatro triángulos semejantes; por lo tanto las razones entre los lados de uno de los triángulos, siempre serán iguales a las razones entre los lados de los otros triángulos. Seno, coseno y tangente son los nombres que se les dan a esas diferentes razones y el ángulo que se le asocia a cada uno de dichos nombres es solamente una referencia para saber cuál es el cateto opuesto y cuál es el adyacente. De hecho, para cada valor del ángulo entre 0º y 90º, siempre existirá un solo valor para la razón establecida. No importa qué tan grande o tan pequeño sea el triángulo; siempre para un cierto valor de ángulo habrá un único valor de la razón.
80
Geometría Plana
8.9
Ejercicios Planteados y Resueltos sobre Relaciones Métricas y Trigonométricas en Triángulos Rectángulos: Nota: Lo que está resaltado en rojo son datos, referencias o valores calculados en curso del problema, que se agregan al ejercicio planteado para facilitar el proceso de la resolución. 1. Q
30 m
P
18m
H
32m
Resolución:
81
R
Geometría Plana 2.
Resolver el triángulo rectángulo ABC donde que el ángulo C es el ángulo recto, el ángulo A tiene 25º y el semiperímetro del triángulo es 151m.
Resolución: B c a 25˚ C
̂
A
b
̂ ̂
̂
3. U
v t h
T
u
82
V
Geometría Plana Resolución:
4.
Si las medianas correspondientes al ángulo recto y a uno de los catetos de un triángulo rectángulo se cortan a 90˚; calcular la relación que debe existir entre los catetos para que esto suceda.
Resolución: A c/2
b
N n
2x G 2y
c/2
y x
a/2
a/2
C
B M
̂
83
̂
Geometría Plana
( )
̂)
(
)
(
(
* )
√
5.
t
U
J h
R
r
T
Resolución:
84
Geometría Plana
√
8.10 Ejercicios Propuestos: 1.
Suponiendo un piso totalmente horizontal, si un vehículo recorre en línea recta 5km hacia el Este, luego 10 km hacia el Norte y finalmente 15km otra vez hacia el Este. Calcular a qué distancia se encuentra éste del punto de partida. Solución:
2.
√
Si la altura relativa al ángulo recto de un triángulo rectángulo, divide a la hipotenusa en dos partes de tal manera que una de ellas es la tercera parte de la otra. Calcular los ángulos de dicho triángulo. Solución:
3. T
H J
S
R
K
4. T
H 35m
S
R
J
85
Geometría Plana 5. B F D
A
E C
86
