Matemática Complementar
2012/13
Geometria no Plano (revisões de CM II) 1. Elementos geométricos Ponto Representa-se por uma letra maiúscula
P
Reta Representa-se por uma letra minúscula ou por duas maiúsculas, por exemplo: reta r ou reta AB sendo A e B dois pontos da reta.
Por um ponto passa uma infinidade de retas: feixe de retas.
Pontos situados sobre a mesma reta dizem-se pontos colineares. (Dois pontos são sempre colineares)
Na figura, os pontos A, B e C são colineares. 1
Semiplano Uma reta divide o plano em duas partes que se designam por semiplanos. Semi-reta Um ponto sobre uma reta divide-a em duas partes que se designam por semi-retas. Uma semi-reta tem origem num ponto e não tem fim. Representa-se por 2 letras maiúsculas com uma “bolinha” sobre a primeira (o ponto de origem). Exemplo: semi-reta ÅB.
ÅB
Retas paralelas e concorrentes
Se duas retas apenas se intersetam num ponto dizem-se concorrentes.. Se não se intersetam em nenhum ponto ou se têm concorrentes todos os pontos comuns dizem-se paralelas. Concorrentes
Paralelas
(r e g são coincidentes)
2
Segmento de reta
O conjunto de pontos situados entre dois pontos de um reta designa-se por segmento de reta. Um segmento de reta representa-se por duas letra maiúsculas entre parêntesis retos, por exemplo [A,B]. Um segmento de reta tem princípio e fim. O comprimento de um segmento de reta é a distância entre as suas
extremidades. Representa-se por AB ou d(A,B). Exemplo:
Tarefa 1, pag 254 Tarefa 2, pag 255 O ponto médio de um segmento é o ponto do segmento que se encontra a igual distância dos seus extremos. O conjunto de pontos do plano que se encontram a igual distância dos extremos designa-se por mediatriz do segmento de reta. A mediatriz de um segmento de reta é a reta que lhe é perpendicular e que concorre com ele no seu ponto médio.
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Construção com régua e compasso da mediatriz de um segmento:
(Construção com dobragens da mediatriz de um segmento.) Tarefa 3, pag 255 Ângulo
Um ângulo é a região do plano delimitada por duas semi-retas com origem no mesmo ponto. Os ângulos podem ser convexos ou côncavos. Num ângulo convexo não é possível escolher dois pontos tais que o segmento que os une tem pontos exteriores ao ângulo. Num ângulo côncavo tal já é possível
convexo
côncavo
Assim, duas semi-retas com a mesma origem e com retas suporte distintas determinam no plano dois ângulos um côncavo e outro convexo. Quando nada é dito, considera-se o ângulo convexo. 4
Os ângulos podem representar-se por 3 letras maiúsculas antecedidas de um símbolo representativo de ângulo. Por exemplo o ângulo da figura seguinte pode designar-se por −BAC ou −CAB.
Alguns autores definem uma ordem na representação dos ângulos dizendo que o ângulo é a região do plano delimitada entre duas semi-retas rodando a primeira sobre a segunda no sentido dos ponteiros do relógio. Nesta lógica a figura representa o ângulo −CAB. No programa GeoGebra a primeira semi-reta roda em direcção à segunda no sentido contrário aos ponteiros do relógio. Nesse caso a figura representa o ângulo −BAC. Tendo em conta que em geral é o ângulo convexo que está em causa, as duas notações podem ser usadas com alguma indiferença, se não estiverem em causa ângulos orientados, i.e., ângulos onde se define um lado inicial e um lado final, ou seja, situações onde interessa ter em conta o sentido de rotação. A amplitude de um ângulo mede o grau de afastamento das referidas semi-retas (lados do ângulo). A amplitude representa-se por BÂC ou por uma letra grega minúscula. Por exemplo,
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Se as semi-retas que formam um ângulo estiverem no prolongamento uma da outra (formarem uma reta) então temos um ângulo raso cuja amplitude é 180º.
Se as semi-retas forem coincidentes podemos ter: um ângulo giro (ou de volta inteira) com 360º de amplitude, se considerarmos toda a região do plano, •
•
ou um ângulo nulo com 0º de amplitude, se consideramos apenas os lados do ângulo.
Se ao prolongarmos as semi-retas que formam um ângulo obtivermos 2 retas que dividem o plano em 4 partes iguais, então a amplitude do ângulo (convexo) é de 90º e este diz-se ângulo reto. Neste caso as semi-retas (ou retas) dizem-se perpendiculares.
Um ângulo diz-se ter uma amplitude de 1º quando justapondo lado a lado sucessivamente, ângulos de igual amplitude, são necessários 90 para formar um ângulo reto. Um ângulo agudo tem uma amplitude positiva e inferior a 90º. Um ângulo obtuso tem uma amplitude superior a 90º e inferior a 180º. 6
Exemplo:
ângulo agudo
ângulo reto
ângulo obtuso
A bissetriz de um ângulo é a semi-reta formada pelos pontos do ângulo que estão a igual distância dos lados do ângulo.
Bissetriz de um ângulo convexo
Bissetriz de um ângulo côncavo
Construção com régua e compasso da bissetriz de um ângulo:
(Construção com dobragens da bissetriz de um ângulo.) 7
Dois ângulos são adjacentes se têm o mesmo vértice, um lado comum e se situam um para cada lado do lado comum.
Dois ângulos são congruentes (ou geometricamente iguais) se puderem fazer-se coincidir ponto por ponto, por meio de um deslocamento. Ângulos congruentes têm a mesma amplitude. Nota: em geometria, duas figuras só são iguais se coincidirem completamente (estiverem no mesmo sítio). Se forem “iguais” a menos da sua posição então dizem-se congruentes. Duas retas concorrentes originam 4 ângulos convexos. Destes ângulos, os opostos, dizem-se ângulos verticalmente opostos e são congruentes.
Dois ângulos cuja reunião (ângulos dispostos de tal forma que apenas têm em comum o vértice e um lado) é um ângulo raso dizemse ângulos suplementares. Duma forma geral, sempre que a soma das amplitudes de 2 ângulos é 180º, dizemos que eles são 8
suplementares. Por exemplo, os ângulos da figura seguinte são suplementares:
Dois ângulos cuja reunião é um ângulo reto dizem-se ângulos complementares. Duma forma geral, sempre que a soma das amplitudes de 2 ângulos é 90º, dizemos que eles são complementares. Por exemplo, os ângulos da figura seguinte são complementares:
Dois ângulos dizem-se da mesma espécie se são ambos agudos ou ambos obtusos. Dois ângulos da mesma que têm, de um para outro, os dois pares de lados ambos paralelos (ou ambos perpendiculares) são ângulos congruentes. Observemos a figura formada por 2 retas paralelas e uma terceira reta concorrente:
Na figura há vários pares de ângulos verticalmente opostos: α1 = α2, β1 = β2, α3 = α4, β3 = β4. Por outro lado, devido ao paralelismo dos lados e à espécie dos ângulos concluímos que: 9
α1 = α3 e β1 = β3 α2 = α4 e β2 = β4
estes ângulos dizem-se alternos internos. estes ângulos dizem-se alternos externos.
Podemos fazer uma leitura recíproca da figura, i.e.: se duas retas (que não sabemos à partida se são paralelas) ao serem atravessadas por uma terceira formarem ângulos designados como na figura e de tal forma que α1 = α3 e β1 = β3 ou α2 = α4 e β2 = β4 então as retas são paralelas. Linha poligonal e polígono
Uma linha poligonal simples é uma sequência de segmentos de reta unidos pelas extremidades, em que segmentos consecutivos se situam em diferentes retas e além disso não se cruzam. Exemplo e contra-exemplos:
Linha poligonal simples
Linhas poligonais não simples
Uma linha poligonal simples fechada é uma linha poligonal em que a origem e a extremidade coincidem. Exemplo:
Um polígono é a região do plano delimitada por uma linha poligonal simples fechada. Exemplo:
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Um polígono tem tantos lados quantos os segmentos que constituem a linha poligonal da sua fronteira. Os pontos de união dos segmentos são os vértices do polígono. Cada vértice é também vértice de um ângulo (interno) do polígono. O número de vértices coincide com o número de lados e com o número de ângulos. A designação que se atribui aos polígonos relaciona-se com o nº de lados. Nº de lados 3 4 5 6 7 8
Polígono Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono
Nº de lados 9 10 11 12 15 20
Polígono Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
2. Triângulos
Um polígono com três lados chama-se triângulo. Não existe nenhum polígono com menos de 3 lados pelo que os triângulos têm o menor número de lados possível. Não existem triângulos côncavos. Qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos.
Os ângulos internos de um triângulo são os ângulos formados pelos lados do triângulo. A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º.
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Os ângulos externos de um triângulo são os ângulos formados por um lado e o prolongamento do outro que incide no mesmo vértice. A amplitude de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos ângulos internos do triângulo não adjacentes a ele. a + b + c = 180
⇔
a + c = 180 - b
Num triângulo, a lados iguais opõem-se ângulos iguais e viceversa. Num triângulo, ao maior dos lados opõe-se o maior dos ângulos e ao menor dos lados opõe-se o menor dos ângulos e viceversa. . Classificação de triângulos:
Os triângulos classificam-se de acordo com o comprimento dos seus lados, ou de acordo com o tipo de ângulos. Classificação de triângulos quanto aos lados: • • •
triângulo equilátero: tem os 3 lados geometricamente iguais triângulo isósceles: tem 2 lados geometricamente iguais tiângulos escaleno: tem todos os lados não congruentes.
Tri. equilátero
Tri. isósceles
Tri. escaleno 12
Classificação de triângulos quanto aos ângulos: • • •
triângulo acutângulo: tem os 3 ângulos agudos triângulo retângulo: tem 1 ângulo reto tiângulos obtusângulo: tem 1 ângulo obtuso.
Tri. retângulo
Tri. acutângulo
Tri. obtusângulo
Resolver o exercício 1 da FT 7. Propriedades de triângulos:
Será possível construir um triângulo dados quaisquer comprimentos para os lados? Não!!! Desigualdade triangular: Num triângulo o comprimento de um lado é sempre menor que a soma dos comprimentos dos outros dois.
Resolver o exercício 4 da FT 7. Nos triângulos retângulos é possível relacionar as medidas dos seus lados através do bem conhecido Teorema de Pitágoras. Num triângulo retângulo chama-se hipotenusa ao lado que se opõe ao ângulo reto e chamam-se catetos aos outros 2 lados. 13
Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Demonstração: ver livro “Elementos de Matemática para professores do Ensino Básico”, pág. 271-2. O recíproco do teorema de Pitágoras também é verdadeiro, i.e., se num triângulo o quadrado do comprimento de um dos seus lados for igual à soma dos quadrados dos outros 2, então ele é um triângulo retângulo.
Altura de um triângulo
Chama-se altura de um triângulo à distância entre um dos seus vértices e o lado oposto. Assim sendo, cada triângulo tem 3 alturas. (Num triângulo equilátero as alturas são todas iguais; num triângulo isósceles duas das alturas são iguais; num triângulo escaleno as alturas são todas diferentes). Em certos contextos também se chama altura ao segmento de reta (ou mesmo à reta) que une, perpendicularmente, um vértice ao lado oposto. Área de um triângulo
A área de um triângulo pode ser calculada a partir do comprimento de um dos lados do triângulo e a altura até ao vértice oposto. Se chamarmos base ao lado escolhido, então a área é dada por: Área = 1 base x altura 2
(área de um triângulo)
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No exemplo seguinte os triângulos têm a mesma base e altura, por isso têm todos a mesma área.
Qualquer um dos lados de um triângulo pode ser utilizado para calcular a área. A figura seguinte ilustra a situação:
Os segmentos de reta [AE],[DB] e[CF] são as alturas do triângulo. A área do triângulo pode ser calculada usando qualquer das alturas, isto é, A [ACB ]
=
1 (b e ) 1 (a h ) 1 (c k ) 2 2 2 ×
=
×
=
×
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Construções com régua, compasso e transferidor
Construção com régua e compasso de um triângulo dadas as medidas dos respetivos lados (L1, L2, L3):
1. Desenhar um segmento com uma das medidas, L1. 2. Traçar uma circunferência de raio L2 com centro numa das extremidades do segmento. 3. Traçar um arco de circunferência de raio L3 com centro na outra extremidade do segmento, de tal forma que intersete a outra circunferência. O ponto de intersecção é o 3º vértice.
Caso particular: Triângulo equilátero (L1=L2=L3) •
Construir um triângulo com lados l1=5cm, l2=4cm, l3=6cm. Construir um triângulo equilátero. Utilizando dobragens, construir um triângulo equilátero a partir de um retângulo. Construção com régua e compasso de um triângulo retângulo isósceles:
1. Desenhar um segmento [AB] com uma certa medida, L. 2. Traçar uma circunferência de raio L com centro numa das extremidades do segmento (ponto A). 3. Prolongar o segmento até se encontrar novamente com a circunferência (ponto P). 4. Construir a mediatriz do segmento [PB] (Traçar um arco de circunferência de raio superior a L com centro em P e outro arco de circunferência de igual raio com centro em B de tal forma que os dois arcos se intersetem.) Unir com uma régua o ponto de intersecção com o ponto A. 5. A circunferência de raio L referida em 2. interseta a mediatriz de [PB] num ponto (C) que é o 3º vértice do triângulo.
Construção com régua e compasso de um ângulo de 60º: Seguir os passos da construção do triângulo equilátero. 16
Construção com régua e compasso de um ângulo de 30º: Determinar a bissetriz do ângulo de 60º.
Construção com régua e compasso de um ângulo de 90º:
Seguir os passos da construção da mediatriz de um segmento.
Construção com régua e compasso de um ângulo de 45º: Determinar a bissetriz do ângulo de 90º.
Construção com régua e transferidor de um triângulo dado um lado e os ângulos adjacentes: 1. Desenhar um segmento [AU] com o comprimento desejado. 2. Desenhar semi-retas ÅX e ŮY de maneira a formarem, com [AU], os ângulos com as amplitudes desejadas. 3. O ponto de intersecção das semi-retas é o 3º vértice do triângulo.
Construção com régua e transferidor de um triângulo dado um ângulo e os lados que o formam: Marcar o ângulo usando semi-retas com origem num dado ponto. 1. Marcar em cada semi-reta e a partir da origem um segmento com o comprimento desejado. 2. Unir os dois pontos anteriormente obtidos.
Resolver o exercício 3 da FT 7. Critérios de congruência de triângulos •
Dois triângulos são congruentes se e só se tiverem, de um para o outro, os 3 lados congruentes (LLL).
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•
•
Dois triângulos são congruentes se e só se tiverem, de um para o outro, 2 lados congruentes e o ângulo por eles formado também congruentes (LAL).
Dois triângulos são congruentes se e só se tiverem, de um para o outro, 1 lado congruente e os ângulos adjacentes a esse lado também congruentes (ALA).
Em triângulos congruentes, a lados congruentes, de um para o outro, opõem-se ângulos congruentes e reciprocamente. Resolver os exercícios 2 e 6 da FT 7. Teorema de Viviani
Exercício: Dado um triângulo equilátero determine o ponto em que a soma das distâncias aos lados é mínima. R: A soma das distâncias é sempre a mesma, qualquer que seja o ponto.
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Teorema de Viviani
Num triângulo equilátero a soma das distâncias de um qualquer dos seus pontos aos lados é sempre igual à altura. Verificação:
AT = AT1 + AT2 + AT3 l x h / 2= l x h 1 / 2 + l x h 2 / 2 + l x h 3 / 2 h = h1 + h2 + h3
⇔
Centros de um triângulo 1. Circuncentro
Se traçarmos as mediatrizes dos lados de um triângulo, elas intersetam-se sempre num só ponto. Esse ponto designa-se por circuncentro do triângulo. Devido às propriedades das mediatrizes, o circuncentro encontrase a igual distância de todos os vértices. Assim, podemos traçar uma circunferência com centro no circuncentro e passando pelos 3 vértices do triângulo. Essa circunferência diz-se circunscrita ao triângulo.
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Vejamos como podemos verificar que as mediatrizes de intersetam num só ponto: Seja mAC a mediatriz de [A,C] e mAB a mediatriz de [AB]. Estas retas intersetam-se no ponto D. Por construção d(A,D)=d(C,D) e d(A,D)=d(B,D). Logo d(C,D)= d(B,D) e o ponto D também pertence à mediatriz de [BC] 2. Incentro
Se traçarmos as bissetrizes dos ângulos de um triângulo, elas intersetam-se sempre num só ponto. Esse ponto designa-se por incentro do triângulo. Uma vez que, pelas propriedades das bissetrizes, o incentro se encontra a igual distância dos lados do triângulo, podemos traçar uma circunferência com centro no incentro e tangente aos lados do triângulo. Essa circunferência diz-se inscrita no triângulo.
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Vejamos como podemos verificar que as bissetrizes de intersetam num só ponto: Seja bA a bissetriz do ângulo de vértice A e bB bissetriz do ângulo de vértice B. Estas retas intersetam-se no ponto D. Por construção d(D,[AC])=d(D,[AB]) e d(D,[CA])=d(D,[CB]). Logo d(D,[AB]) = d(D,[CB]) e o ponto D também pertence à bissetriz do ângulo de vértice C. 3. Ortocentro
Se traçarmos as alturas de um triângulo, elas intersetam-se sempre num só ponto. Esse ponto é o ortocentro do triângulo.
•
•
•
Se o triângulo for acutângulo o ortocentro está no interior do triângulo. (tal como na figura) Se o triângulo for obtusângulo o ortocentro está no exterior do triângulo. (tal como na figura em baixo considerando o triângulo [ABD] e o respetivo ortocentro em C) Se o triângulo for retângulo o ortocentro coincide com o vértice do ângulo reto.
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Qualquer que seja o triângulo, os três vértices e o seu ortocentro estão relacionado: qualquer triângulo formado por 3 destes pontos tem o 4º ponto como ortocentro. (Carnot, 1753-1823)
4. Baricentro
Uma mediana de um triângulo é uma reta que passa por um vértice e pelo ponto médio do lado oposto a esse vértice. Há 3 medianas num triângulo. Estas 3 retas intersetam-se num único ponto a que se chama baricentro. As medianas dividem o triângulo em 6 triângulos de igual área. O baricentro é também o centro de massa do triângulo, i.e., é o ponto que equilibra o triângulo (feito de um material homogéneo) quando suspenso na horizontal.
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Em qualquer triângulo, o baricentro, o ortocentro e o circuncentro são sempre colineares, tal como se pode ver na seguinte figura (linha de Euler):
Num triângulo equilátero os centros coincidem todos no mesmo ponto.
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Casos de semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se tiverem, de um para o outro, ângulos congruentes e lados correspondentes proporcionais. (Dois triângulos são semelhantes se um for uma ampliação do outro como numa fotocopiadora). Casos de semelhança de triângulos: 1. Se dois triângulos têm, de um para o outro, os três lados proporcionais, então são semelhantes.
2. Se dois triângulos têm, de um para o outro, dois lados proporcionais e os ângulos por eles formados congruentes, então são semelhantes.
3. Se dois triângulos têm, de um para o outro, dois ângulos congruentes, então são semelhantes.
http://karlosgomes.planetaclix.pt/car/semelhanca.html Duma forma geral, dois polígonos são semelhantes se têm, de um para o outro, ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais (ver secção 9.3 do livro de base). 24
3. Quadriláteros
Um quadrilátero é um polígono com quatro lados. Existem quadriláteros convexos e quadriláteros côncavos:
quadriláteros convexos
quadriláteros côncavos A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360º.
Podemos verificar este resultado dividindo o quadrilátero em 2 triângulos e relembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma dos ângulos internos do quadrilátero (a verde) é a soma de todos os ângulos internos dos 2 triângulos, ou seja 2 x 180º = 360º.
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A soma dos ângulos externos de um quadrilátero convexo é 360º.
Podemos verificar este resultado tendo em atenção que cada ângulo externo é suplementar de um ângulo interno. Portanto a soma dos 4 ângulos é (180 - α) + (180 - β) + (180 - γ) + (180 - θ) = 4x180 – (α + β + γ + θ) = 2x360 – 360 = 360
Resolver o exercício 10 da FT 7. Existem diversos quadriláteros com nome próprio: Quadrado é um quadrilátero com os quatro lados congruentes e os quatro ângulos internos congruentes (retos).
Retângulo é um quadrilátero com os quatro ângulos internos congruentes (retos).
(Os quadrados também são retângulos) 26
Losango é um quadrilátero com os quatro lados congruentes.
(Os quadrados também são losangos)
Paralelogramo é um quadrilátero com os 2 pares de lados opostos paralelos.
(Os quadrados, retângulos e losangos também são paralelogramos)
Trapézio é um quadrilátero com 2 lados opostos paralelos (pelo menos).
(Todos os paralelogramos também são trapézios)
Os trapézios propriamente ditos, ou seja, que não são paralelogramos, podem ainda ter um segundo nome próprio: (atenção que no livro de base esta definição está diferente e não existe unanimidade na forma de classificar) 27
Trapézio isósceles é um trapézio em que os lados não paralelos são congruentes.
Trapézio escaleno é um trapézio em que os lados não paralelos não são congruentes.
Trapézio retângulo é um trapézio em que um dos lados não paralelos é perpendicular aos paralelos.
Papagaio é um quadrilátero convexo com os lados consecutivos congruentes dois a dois.
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Os quadriláteros podem ser classificados da seguinte forma, atendendo primeiramente ao paralelismo dos lados, e depois à congruência dos ângulos e lados: Quadriláteros
Trapézios
Sem lados paralelos
Com pelo menos um par lados paralelos Apenas um par de lados paralelos
Paralelogramos Dois pares de lados paralelos
Trapézio isósceles Lados não paralelos congruentes
Trapézio escaleno Lados não paralelos não congruentes
Trapézio retângulo Um ângulo reto
Retângulos Ângulos internos congruentes (retos)
Paralelogramos não retângulos
Losangos 4 lados congruentes Lados congruentes apenas 2 a 2
Nenhum ângulo reto
Quadrados 4 lados e 4 ângulos congruentes
Lados congruentes apenas 2 a 2
Ângulos congruentes apenas 2 a 2 29
Também podemos classificar os quadriláteros atendendo primeiramente à congruência dos lados: Quadriláteros
Papagaios
Outros quadriláteros
Convexo e com os lados consecutivos con ruentes 2 a 2 lados congruentes apenas 2 a 2
Losangos 4 lados congruentes
Quadrados 4 lados e 4 ângulos congruentes
Ângulos congruentes apenas 2 a 2
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Resolver o exercício 5 da FT 7. Algumas propriedades dos paralelogramos: •
os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
Os ângulos identificados na figura são todos da mesma espécie e com lados paralelos, logo são congruentes. •
os ângulos adjacentes a um mesmo lado de um paralelogramo são suplementares.
Os ângulos α são ângulos alternos internos. Consequentemente, o ângulo interno do paralelogramos adjacente a α no canto superior esquerdo tem amplitude 180-α por ser suplementar a este. •
lados opostos de um paralelogramo são congruentes.
A diagonal traçada divide o paralelogramo em 2 triângulos com um lado comum (a diagonal). Identificando os ângulos alternos internos em torno da diagonal, concluímos que os dois triângulos são congruentes (ALA).
31
•
as diagonais bissetam-se.
Os triângulos [ABM] e [CDM] têm um lado congruente e os ângulos que lhe são adjacentes congruentes. Portanto são congruentes e d(A,M) = d(M,D). Analogamente d(B,M)=d(M,C). Uma diagonal de um polígono é um segmento de reta que une dois vértices não consecutivos. Qualquer quadrilátero tem duas diagonais.
Ver algumas propriedades das diagonais dos quadriláteros (pag. 276 do livro). Resolver os exercícios 9, 10, 11 da FT 7. 4. Circunferência
Uma circunferência é o conjunto dos pontos do plano que estão à mesma distância de um ponto fixo designado por centro da circunferência. À distância (constante) entre o centro e cada ponto da circunferência chamamos raio. 32
A cada segmento de reta cujos extremos são o centro e um ponto da circunferência também chamamos raio. Corda de uma circunferência – segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Diâmetro de uma circunferência – corda que passa pelo centro da circunferência. Reta tangente a uma circunferência – reta que interseta a circunferência num só ponto.
Teorema 1: Seja r uma reta qualquer. A reta r é tangente a uma circunferência se e só se é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
Teorema 2: Seja r uma reta que passa pelo centro de uma circunferência. A reta r bisseta uma corda se e só se é perpendicular à corda. 33
Teorema 3: Se de um ponto exterior a um circunferência traçarmos duas retas tangentes a esta então, os “segmentos de tangente” (segmentos do ponto inicial ao ponto de tangência) são congruentes.
Justificação do teorema 3: ver livro pág. 282-3.
Polígonos e circunferências
Podemos inscrver um polígono numa circunferência (o polígono fica contido na circunferência) ou inscrever uma circunferência num polígono (a circunferência fica contida no polígono). Polígono inscrito: Um polígono inscrito numa circunferência é um polígono em que todos os vértices são pontos da circunferência. Neste caso também se diz que a circunferência está circunscrita ao polígono.
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Polígono circunscrito: Um polígono circcunscrito a uma circunferência é um polígono em que todos os lados são tangentes à circunferência. Neste caso também se diz que a circunferência está inscrita no polígono.
Todos os triângulos podem ser inscritos numa circunferência (o centro da circunferência é o circuncentro).
Todos os triângulos podem ser circunscritos a uma circunferências (o centro da circunferência é o incentro).
No entanto, só alguns dos polígonos com 4 ou mais lados é que podem ser inscritos ou circunscritos a circunferências.
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Exemplos de polígonos que não se podem inscrever em circunferências:
Exemplos de polígonos que não se podem circunscrever em circunferências:
Propriedades dos quadriláteros inscritos numa circunferência:
- Se um quadrilátero pode ser inscrito numa circunferência então a soma dos ângulos opostos é 180º. Justificação: Já vimos antes que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360º. Num quadrilátero inscrito numa circunferência podemos formar 4 triângulos isósceles com centro no centro da circunferência, tal sugere a figura.
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A soma dos ângulos internos é dada por α+β+γ+θ+ α+β+γ+θ =2x(α+β+γ+θ). Como esta soma tem de ser 360º conclui-se que α+β+γ+θ=180º. Ora esta última soma é exatamente a que resulta da soma de cada um dos pares de ângulos opostos, como se pode ver na figura.
- Um quadrilátero pode ser inscrito numa circunferência se e só se as mediatrizes dos seus quatro lados se intersetarem todas no mesmo ponto. Propriedades dos quadriláteros circunscritos a uma circunferência:
Resolver o exercício 12 da FT 7. - Se um quadrilátero pode ser circunscrito a uma circunferência então a soma dos comprimentos dos lados opostos é a mesma (exercício 12 da FT 7).
Justificação: Pelo teorema 3 podemos identificar 4 pares de segmentos congruentes tal como se indica na figura. A soma dos lados opostos é dada por h1+h2+h3+h4 em qualquer dos casos. Portanto a soma de lados opostos é a mesma.
- Um quadrilátero pode ser circunscrito a uma circunferência se e só se as bissetrizes dos quatro ângulos internos se intersetarem todas no mesmo ponto.
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Propriedade dos polígonos inscritos numa circunferência: •
•
Um polígono com n lados pode ser inscrito numa circunferência se e só se as mediatrizes dos seus n lados se intersetarem todas no mesmo ponto. Dado um polígono regular, existe sempre uma circunferência circunscrita ao polígono.
Propriedade dos polígonos circunscritos a uma circunferência: •
•
Um polígono com n lados pode ser circunscrito a uma circunferência se e só se as bissetrizes dos seus n ângulos se intersetarem todas no mesmo ponto. Dado um polígono regular, existe sempre uma circunferência inscrita no polígono.
Resolver os exercícios 14, 17 (e 13) da FT 7.
38
5. Áreas e perímetros de figuras planas Área do triângulo
Como já vimos antes, a área de um triângulo é dada por Área = 1 x base x altura 2
Área do retângulo A área de um retângulo é dada por
Área = base x altura Área do paralelogramo A área de um paralelogramo é dada por
Área = base x altura Entende-se por altura o comprimento de um segmento perpedicular à base e extremidades nas duas bases do paralelogramo.
Área do trapézio A área de um trapézio qualquer é dada por
Área = 1 x (base maior + base menor) x altura 2
Note-se que as expressões das áreas do paralelogramo e retângulo são casos particulares desta expressão. 39
Área do papagaio A área de um papagaio qualquer é dada por
Área = 1 x diagonal1 x diagonal2 2 Verificação (TPC) Área de um polígono qualquer A área de qualquer polígono com mais de 3 lados pode ser obtida a partir da triangulação do polígono. Área do círculo A área de um círculo de raio r é dada por
Área = π r2 Perímetro do círculo O perímetro de um círculo de raio r é dado por
Área = 2π r Resolver os exercícios 1, 2 e 3 da FT 8. Figuras semelhantes
Ver secção 9.3 do livro. Duas figuras planas são semelhantes se for possível pôr os seus pontos em correspondência biúnivoca, de tal forma que a razão entre a distância entre dois quaisquer pontos numa figura e a distância entre os seus correspondentes na outra figura é constante. Isto é, dadas as figuras F 1 e F 2, se 40
d(A’,B’)/d(A,B)=r, para um dado r positivo, quaisquer que sejam A e B pontos de F 1 e A’ e B’ os seus correspondentes em F 2 , dizemos que F 1 e F 2 são semelhantes . A r chamamos razão de semelhança. Exemplos de figuras com razão de semelhança 2: em cada par de figuras semelhantes, os “lados” da figura da direita têm o dobro do comprimento dos da figura da esquerda:
O perímetro duplica e a área quadriplica. Em geral, se F 2 é semelhante a F 1 com razão de semelhança r, então: a razão entre o perímetro de F 2 e o perímetro F 1 é r. a razão entre a área de F 2 e a área de F 1 é r2. • •
Sólidos geométricos
Ver pág. 316-22 do livro Prismas Poliedros com duas bases congruentes (paralelas) poligonais. As faces laterais são paralelogramos. • •
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retos: as faces laterais são retângulos oblíquos: as faces laterais são paralelogramos não retângulos regulares: as bases são polígonos regulares e o prisma é reto 41
Paralelepípedo É um prisma cujas bases são paralelogramos. Pirâmides Poliedros com uma base poligonal. As faces laterais são triângulos que concorrem num ponto (vértice). • •
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retas: as faces laterais são triângulos isósceles oblíquas: caso contrário regulares: a base é um polígono regular e a pirâmide é reta
Cilindros Sólido curvo com duas bases congruentes e paralelas que são figuras planas limitadas por uma linha curva fechada simples. A superfície lateral do cilindro é constituída por segmentos de reta congruentes e paralelos entre si (as geratrizes), cada um dos quais une dois pontos (correspondentes), um em cada base. •
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retos: as geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. oblíquos: caso contrário circulares: as bases são círculos e o cilindro é reto.
Os cilindros circulares também são designados por cilindros de revolução porque podem ser vistos como sendo gerados por um retângulo a girar em torno de um dos seus lados. Cones Sólido curvo com uma base que é uma figura plana limitada por uma linha curva fechada simples. Cada ponto dessa linha fechada é unido a um ponto fixo, exterior ao plano da base, por um segmento de reta. •
retos: só se aplica aos cones cuja base possui um centro e a reta que une o centro ao vértice é perpendicular à base. 42
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oblíquos: só se aplica aos cones cuja base possui um centro e a reta que une o centro ao vértice não é perpendicular à base. circulares: a base é um círculo e o cone é reto.
Os coness circulares também são designados por cones de revolução porque podem ser vistos como sendo gerados por um triêngulo retângulo a girar em torno de um dos seus catetos.
Esferas Conjunto de pontos do espaço que se encontram a uma distância menor ou igual a uma constante r de um ponto fixo O. O ponto fixo é o centro da esfera e r é o raio da esfera.
Resolver o exercício 4 da FT 8. Volumes e áreas Princípio de Cavalieri Dois sólidos geométricos que ao serem cortados por planos paralelos produzem secções com áreas iguais têm volumes iguais. Volume dum prisma
Volume = Abase x altura onde Abase representa a área de uma das bases e a altura é a distância entre as bases (medida perpendicularmente). Volume duma pirâmide
Volume = 1 x Abase x altura 3 43
onde Abase representa a área da base e a altura é a distância entre o vértice e o plano da base (medida perpendicularmente). Volume dum cilindro
Volume = Abase x altura onde Abase representa a área de uma das bases e a altura é a distância entre as bases (medida perpendicularmente). Volume dum cone
Volume = 1 x Abase x altura 3 onde Abase representa a área da base e a altura é a distância entre o vértice e o plano da base (medida perpendicularmente). Volume duma esfera
Volume = 4 π r3 3 Área da superfície duma esfera
Área = 4 π r2 Exercício: Relacionar a área da superfície esférica com o volume da esfera. Resolver os exercícios 5 a 10 da FT 8.
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