Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov"
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p p
1. El triángulo cuyos cuyos vértices son los los puntos A(3; 3); B ( 3; 3) y C ( 3 3; 3 3) es un triángulo:
a) Equilátero
b) Isósceles
c) Escaleno
d) Equilátero e Isósceles
Encontramos la distancia entre cada punto: d(A; B )
d(B; C )
= = =
p (3 3) + (3 3)
= = = = 6
2
2
p 36 + 36 p p 72 2
q p p (3 3 (3)) + (3 3 (3)) q p p q (3 3 3) +p (3 3 + 3)p p 2
2
2
32
p p p
2
p
3) + (3 3)2 + (3 3)2 + (2)(3 3)(3) + 32
(2)(3)(3
= 9 + 27 + 27 + 9 = 72 = 6 2
d(C; A)
= = =
q p p (3 (3 3)) + (3 3 3) q p p (3 + 3 3) + (3 3 3) q p p 2
2
2
2
32 + (2)(3)(3 3) + (3 3)2 + 32
p p p
p p (2)(3)(3 3) + (3 3)
2
= 9 + 27 + 9 + 27 = 72 = 6 2
De lo anterior se puede ver que la distancia entre cada punto es la misma, por lo cual el triángulo es equilátero e isósceles. R. d)
1
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El perímetro P y el área A del cuadrilátero cuyos vértices son A( 3; 1); B (0; 3); C (3 (3; 4) y D(4; 1) son:
a) P = 20 u; A = 22 u2
b) 22u; A = 22 u2
c) P = 20 u; A = 22 u2
Gra…cando en el plano los puntos dados tenemos:
Hallamos las distancias: d(A; B ); d(B; C ); d(C; D) y d(D; A) d(A; B )
p
= (0 ( 3))2 + (3 = 9 + 16 = 25 = 5
p p
d(B; C )
d(C; D)
d(D; A)
p (3 0) + (4 3) 2
= = =
= = =
2
p 9 + 1 p 10
p (4 3) + (1 4) 2
2
p 1 + 25 p 26
p
= ( 3 4)2 + ( 1 = 49 + 0 = 7
El perímetro es: P = 5 +
2
(1))
p
p 10 + p 26 + 7 = 20u 2
2
(1))
d) P = 20 u; A = 22 u2
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Para hallar el área del trapezoide, lo dividimos en cuatro partes: rectángulo BFGE, triángulo AEB, triángulo BFC y triángulo CDG. Ahora hallamos el área de cada …gura: Rectángulo BFGE: A
= b h
34
= A = 12u2 A
Triángulo AEB:
2 34
b h
A
=
A
=
A
= 6u2
A
=
A
=
2
Triángulo BFC:
2 31
b h
A
2 = 1:5u2
A
=
A
=
Triángulo CDG:
2 15
b h
2 A = 2:5u2 El área del trapezoide es: A = 12 u2 + 6u2 + 1:5u2 + 2:5u2 = 22 u2 R. a) 3.
Los vértices de un triángulo son A(3; 8); B (2; 1); C (6 (6; 1): La longitud de la mediana trazada al lado BC es:
a)
p 28
b) 28
c)
Según los datos dados tenemos la …gura:
3
p 82
d) 82
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Calculamos las coordenadas del punto D: x
x1 + x2
=
2 2+6 x = 2 8 x = 2 x = 4
y
=
y
=
y
=
y
=
y
=
y1 + y2
2
1 + (1) 2 1 1 2 2 2 1
Encontramos la distancia d(A; D) : d(A; D)
= = = =
R.
p ( ) + ( p (4 3) + (1 8) x2
x1 2
p 1 + 81 p 82
c)
4
2
y2
y1 )2 2
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Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto A(3; 2): Si la abcisa del otro extremo es 6; su ordenada es:
a) 2
b) 2 y
6
c)
6
d) 5
Según los datos los puntos son: A(3; 2) y B (6; y ) y d(A; B ) = 5: Así:
d(A; B )
p ( ) + ( ) p (6 3) + ( (2)) p 9 + ( + 2) p 9 + + 4 + 4 p 13 + + 4 p ( 13 + + 4 )
=
x2
5 =
2
y
y2
y
2
13 + y2 + 4y y 2 + 4y 0 0 y 2= 0 0 ; y =2 6 ;
De lo anterior se ve que la ordenada puede ser: 2 ó R. b) 5.
2
y
y2
= = = = = = =
y1
2
y2
5 =
y
y2
y
y
5 =
2
2
5 =
52 25 25 13 2 y + 4y 12 (y + 6)(y 2) y+6
x1
6:
Sea un segmento cuyos extremos son los puntos A( 2; 3) y B (6; 3): Los puntos de trisección del segmento son:
a) ( 23 ; 1); ( 10 ; 3
1)
b) ( 23 ;
1); (
10 3
; 1)
c) (
2 3
; 1); ( 10 ; 3
Los puntos de trisección están dados por: P 1 = 1 A + 23 B: Así: 3 P 1 P 1 P 1 P 1
2 1 A+ B 3 3 2 1 = ( 2; 3) + (6; 3) 3 3 4 ; 2) + (2; 1) = ( 3 2 = ( ; 1) 3 =
5
2 3
1)
d) ( 23 ; 1); ( 10 ; 1) 3
A + 13 B
y
P 2 =
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P 2 P 2 P 2 P 2
1 2 A+ B 3 3 1 2 = ( 2; 3) + (6; 3) 3 3 2 ; 1) + (4; 2) = ( 3 10 = ( ; 1) 3 =
; 1): Por lo cual P 1 = ( 23 ; 1) y P 2 = ( 10 3 a) R.
6.
Uno de los extremos de un segmento es el punto (7; 8) y su punto medio es (4; 3): El otro extremo es: a) (1; 2)
b) ( 1;
2)
c) ( 1; 2)
d) (1;
2)
De las coordenadas del punto medio se tiene: x=
x1 + x2
2
;y =
y1 + y2
2
7+x 2 8 = 7+x x = 1 4 =
8+y 2 6 = 8+y y = 2 3 =
Así el punto buscado es (1; 2) R. d)
7.
Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3; 2). 2). Si la abcisa de otro punto de la recta es 4; su ordenada es: a)
5
b) 5
c)
6
4
d) 4
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Según los datos dados: m = 3, 3 , A(3; 2) y B (4; y ) Utilizamos la ecuación de la pendiente:
43 y2 1 y2
y2 y1 x2 x1 y 2
=
m
3 = 3 =
3 = y = 5 La ordenada ordenada buscada es: b) R. 8.
Un triángulo tiene vértices A( 2; 1); B (3; 4) y C (5 (5; 2): Los ángulos interiores del triángulo son:
a) 75o 380 ; 58o 150 ; 46o 70 b) 68o 300 ; 49o 100 ; 62o 200
c) 77o 280 ; 54o 100 ; 48o ; 220 d) 82o 120 ; 56o 160 ; 41o 320
Según los datos dados tenemos la …gura:
Encontramos las distancias: d(A; B ); d(B; C ) y d(C; A): d(A; B )
d(B; C )
= = =
= = =
p (3 (2)) + (4 1) 2
2
p 25 + 9 p 34
p (5 3) + (2 4) 2
p 4 + 36 p 40
7
2
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d(C; A)
p (2 5) + (1 (2)) 2
=
2
p 49 + 9 p
= =
58
Utilizando las leyes de los cosenos tenemos: a2
= b2 + c2
A
=
2bc cos A a b c cos ( ) 2bc p p p ( 40) ( 58) ( 34) cos ( 2(p 58)(p 34) 40 58 34 cos ( 2(p 1972) ) 52 cos ( p ) 4 493 2
2
2
1
2
2
A
=
A
=
A
=
A
= 54:16
b2
= a2 + c 2
B
=
B
=
B
=
B
=
B
= 77:47
c2
= a2 + b2
1
2ac cos B b a c cos ( ) 2ac p p p ( 58) ( 40) ( 34) cos ( 2(p 40)(p 34) 58 40 34 cos ( 2(p 1360) ) 16 cos ( p ) 8 85 2
2
1
2
C = C =
2
)
1
1
2ab cos C c a b cos ( ) 2ab p p p ( 34) ( 40) ( 58) cos ( 2(p 40)(p 58) 34 40 58 cos ( 2p 2320 ) 64 cos ( p ) 8 145 2
2
1
2
C =
2
1
2
C =
)
1
2
C =
2
1
1
1
1
48:37
8
2
2
)
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Los ángulos buscados son: 54:16; 77:47 y 48:37: 9.
R.
c)
Una recta l1 pasa por los puntos A(3; 2) y B ( 4; 6) y otra recta l2 pasa por los puntos C ( 7; 1) y el punto D(x; 6): Sabiendo que l1 es perpendicular a l2 , el valor de x es:
a)
1
b) 3
c)
3
d) 1
Como l1 es perpendicular a l2 , entonces el producto de sus pendientes es (m1 m2 = 1) Hallamos las pendientes de ambas rectas:
6 2 4 3
=
m1
8 7
=
6 1 x (7) 7
=
m2
1
=
x+7
Encontrando el producto de ambas pendientes: m1 m2
8 7 ( )( ) 7 x+7 8 x+7 8 x+7 8
= = =
1 1 1
= 1
= x+7 x = 8 7 x = 1
R. 10.
d)
Una recta de pendiente forma simétrica es: a)
x+
y 2
=1
2 pasa por el punto A(1; 4), 4), su ecuación en la
b) x +
y 2
=1
c) x
y 2
=1
d) x +
y 2
=
1
La ecuación en forma simétrica de la recta es: x y + =1 a b
De los datos dados la pendiente de la recta es: m = así: 9
2 y pasa por A(1; 4), 4),
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=
2
=
2 2x 2
=
2 + 4
y2 y1 x2 x1 y 4 x ( 1) y 4 x+1 y 4
= y + 2x = 2x + y = 2 x+
R. 11.
2
= 1
b)
Una recta tiene pendiente rectas 2x + y 8 = 0 y 3x
a)4x + y
y
10 = 0
4 y pasa por el punto de intersección de las 2y +9 = 0: La ecuación general de la recta es:
b)4x + y + 10 = 0
c)4x
y 10 = 0
d)
Encontramos el punto de intersección de las rectas: 2x + y 2y + 9 = 0 :
2
x+y 8 =0 3x 2y + 9 = 0
4
x + 2y 16 = 0 3x 2y + 9 = 0
! ! ! !
7x 7 = 0 7x = 7 x =1
Sustituyendo x = 1 en 2x + y
8 = 0; se tiene: 2x + y 8 = 0 2(1) + y 8 = 0 2+y8 = 0 y6 = 0 y
Así, el punto de intersección es: (1; 6)
10
= 6
4x + y 10 = 0
8 = 0 y 3x
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Utilizan Utilizando do la forma forma de la pendie p endiente nte,, se tiene: tiene: m
=
4 4(x 1) 4x + 4 4x y 4x y
=
= = = = = 10
4x + y
R. 12.
y6 6 4 10
y2 y1 x2 x1 y 6 x 1 y 6
a)
Los extremos de un segmento son P 1 ( 3; 2) y P 2 (1; 6), 6), la ecuación de la mediatriz del segmento es:
a)
x+y3= 0
b)x + y
3 =0
c)x + y + 3 = 0
d)x
y3 =0
Encontramos la pendiente (m1 ) del segmento dado: =
m1
6
2 1 (3)
4 4 = 1 =
m1 m1
Encontramos el punto medio del segmento dado: x
=
x
=
x
=
3 + 1 2 2 2 1
6+2 2 8 = 2 = 4 =
y y y
El punto medio es: ( 1; 4): Como la mediatriz es la recta perpendicular al segmento dado en su punto medio, medio, el producto de las pendiente pendientess del segment segmento o y la mediatriz mediatriz debe ser 1: Así:
m1 m2
1 m2
m2
= = = 11
1 1 1
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Entonces:
R.
m2
=
1
=
1(x + 1) x 1 x y 1 + 4 x y + 3 x+y3
= = = = =
4 x (1) y4 y
x+1 y 4
y4
0 0 0
b)
Una recta pasa por el punto A(7; 8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C ( 2; 2) y D(3; 4): Su ecuación general es:
13.
a)
6x + 5y 82 = 0
b)6x
5y 82 = 0
c)6x + 5y
82 = 0
d)6x + 5y + 82 = 0
Como las rectas son paralelas, sus pendientes son iguales. Así m1 = m2 Encontramos m2 (pendiente de la recta que pasa por C ( 2; 2) y D(3; 4)) 4)):
m2
=
m2
=
m2
=
4 2 3 (2) 6
3+2 6 5
Así, la pendiente m1 = 65 (pendiente de la recta que pasa por A). De la ecuación ecuación para el cálculo cálculo de la pendiente pendiente::
m1
65 6(x 7) 6x + 42
= =
8 7 8 7 5(y 8) 5y 40 y x y x
= = 5y + 42 + 40 = 0 6x 5y + 82 = 0
6x
6x + 5y
R.
82
c)
12
= 0
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La recta k 2 x + (k + 1)y + 3 = 0 es ortogonal a la recta 3x valor de k es: a)
p
1+ 7 3
b)
p 7
1
c)
3
p 7
1
d)
3
2y 11 = 0; el
1p 7 3
Si las rectas son ortogonales, entonces son perpendiculares. Llevamos las ecuaciones de las rectas a la forma y = mx + b: k2 x + (k + 1)y + 3 k 2 x + (k + 1)y
(k + 1)y
= 0 = 3 k2 x =
3 k x 3 2
3x
y
=
y
=
2y 11 3x 2y 2y
k+1 k2 x k+1
y
= 0 = 11 = 11 11 =
y
=
y
=
k +3 1
3x 3x 2 11 3x 2 + 2 3 11 x 2 2
De las ecuaciones anteriores puede verse que las pendientes son:
13
k2 k+1
y 32 ;
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así: 2
(
k k+ 1 )( 32 )
=
1
=
1 1(2k + 2) 2k 2
2
2k3k+ 2 3k 3k
2
= = 2 3k + 2k + 2 = 0 3k 2 2k 2 = 0 2
k1;2
=
k1;2
=
k1;2
=
k1;2
=
k1;2
=
k1;2 k1
R. 15.
= =
p
2
(2) (2) 4(3)(2) 2(3) p 2 4 + 24 6 p 2 28
6 2 2 7 6 2(1 7) 6 1 7 3 1+2 2 1 ; k2 = 3
p p p p
2p 2 3
b)
Sean las rectas paralelas 3x entre ellas es: a) 10
b)
10 7
4y + 8 = 0 y 6x 8y + 9 = 0 : La distancia c) 7
d)
Encontramos el intercepto de la recta 3x 3(0)
4y + 8 4y + 8 4y y y
Obtenemos el punto P 1 (0; 2)
14
7 10
4y + 8 = 0 con el eje x:
= 0 = 0 = 8 8 = 4 = 2
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La fórmula para el cálculo de la distancia entre ambas rectas es: d=
jAxp + By 1
1
2
+ C
A +B
2
j
Los coe…cientes A; B y C; los tomamos de la recta: 6x puntos x1 ; y1 del punto P 1 encontrado:
R. 16.
d
=
d
=
d
=
d
=
d
=
jAxp + By 1
1
8y + 9 = 0; y los
+ C
A2 + B 2
j
j6(0)p + (8)(2) + 9j 6 + (8) j16 + 9j p 36 + 64 p j7j 2
2
100
7 10
d)
La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50 : El punto medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto ( 2; 4): La ecuación de la cuerda es:
a) x
2y 10 = 0
b)x
2y + 10 = 0
c)x + 2y + 10 = 0
d)2x
2y + 10 = 0
Gra…camos la ecuación de la circunferencia dada: x2 + y2 = 50: Ubicamos el punto medio de la cuerda ( 2; 4); y observamos que ésta sólo puede tener la ubicación mostrada en la grá…ca.
15
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10
y
8 6 4 2
-10
-8
-6 -6
-4 -4
-2 -2
2
4
6
8
-2
10
x
-4 -6 -8 -10
Se observa de la grá…ca de la cuerda que ésta corta el eje y en el punto (0; 5); por lo cual: b = 5 : Calculando la pendiente de la cuerda, se tiene: m
=
m
=
5
4 0 (2) 1 2
Así, utilizando la forma y = mx + b se tiene: 1 x+5 2 x + 10 y = 2 2y = x + 10 2y + 10 = 0 =
y
x
R. 17.
b)
Un espejo parabólico tiene una profundidad de 12cm en el centro y un diámetro en la parte superior de 32cm: ¿Cuál es la distancia del vértice al foco? a)
16 3
b)
16 3
c)
3 16
d) 4
Según los datos del problema tenemos el punto (12; 16), 16), que se muestra en la grá…ca siguiente: 16
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16
y
14 12 10 8 6 4 2 -12 -10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
-2
12 12
x
-4 -6 -8 -10 -12 -14 -16
De lo mostra mostrado do anter anterior iormen mente te y usando usando el punto punto (12; 16); utilizam utilizamos os la 2 ecuación: y = 4 P x; así: 162
= 4P (12)
256 = 48P 256 P = 48 16 P = 3 R. 18.
a)
La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal 12 y pasa por el punto (8; 14) es:
a)
x2 252
y2 36
=1
b)
x2 36
y2 252
=1
c)
y2 252
x2 36
=1
d)
x2 252
+
y2 36
=1
Como el eje focal de la hipérbola es 12, entonces c = 6 : Por tanto la ecuación de la hipérbola es de la forma: x2 a2
y2 = 1: b2
17
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Como la hipérbola pasa por el punto (8; 14); entonces: 82
2
14b
a2
64b2
= 1
2
196a
2
= 1
a2 b2
64b2 196a2 64b2 196(36 b2 ) 64b2 7056 + 196b2 260b2 36b2 + b4 7056 b4 + 224b2 7056 u2 + 224u 7056
= = = = = =
u1;2
=
u1;2
=
u1;2
=
u1;2
=
u1
=
u2
=
a2 b2
(36 b2 )b2 porque a2 = c2 b2 36b2 b4 0 0 0 haciendo u = b2 224 2242 4(1)( 7056) 2(1) 224 50176 + 28224 2 224 78400 2 224 280 2 224 + 280 56 = = 28 2 2 224 280 504 = = 252 2 2
p p
p
Tomamos el valor positivo, por tanto: u = 28; y como u = b2 ; entonces: b2 = 28: De la relación a2 = c2 b2 ; se tiene: a2 = 36 28 = 8: Por lo cual la ecuación buscada es:
x2
8
2
y 28 =1
. 19.
En una elipse, elipse, los radios radios focales focales son los segment segmentos os que unen los focos con un punto punto cualquie cualquiera ra de ella. ella. Las ecuacio ecuaciones nes de las rectas rectas que contiene contienen n los radios radios focales focales correspondi correspondient entes es al punto punto (2; 3) de la elipse 3x2 + 4y2 = 48 son: a) x c) x
2 = 0;0; 3x 4y + 6 = 0 2 = 0;0; 3x + 4y + 6 = 0
b) x + 2 = 0; 0; 3x 4y + 6 = 0 d) x + 2 = 0; 0; 3x + 4y 6 = 0
18
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De la ecuación de la elipse 3x2 + 4y = 48, 48 , se tiene: 3x2 + 4y 3x2 4y 2 + 48 48 x2
16
+
= 48 48 = 48
y2
= 1
12
2
2
2
2
Esta última ecuación tiene la forma: xa + yb = 1; por lo cual: a2 = 16; b2 = 12 y c2 = 4 (ya que a2 = b2 + c2 ): Entonces tenemos los puntos: A(2; 3); F 0 (2; 0) y F ( 2; 0)
Encontramos la pendiente m1 usando los puntos A y F: m1
=
y
=
3 = 3 = b
=
y
=
0 3 3 = 2 2 4 3 x + b utilizando la forma y = mx + b 4 3 (2) + b 4 3 +b 2 3 6 3 3 3 = = 2 2 2 3 3 x+ 4 2
3 3 x y+ = 0 4 2 3x 4y + 6 = 0 4 3x 4y + 6 = 0: Ecuación de la recta 1
Para la ecuación de la otra recta, usamos los puntos A y F 0 : m2 =
0 2
3 2
Vemos que el resultado anterior para la pendiente m2 se nos inde…ne, al observar los puntos A(2; 3) y F 0 (2; 0); vemos que tienen el mismo valor para x, esto indica que la línea es vertical, por lo tanto x = 2; y así la ecuación de la recta 2 es: x 2 = 0 : a) R.
20.
La ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas x + 3y 6 = 0 y x 2y 1 = 0 = 0 es:
a) x2 y 2 c) x2 + y 2
b) x2 + y 2 d) x2 + y 2
6x 2y = 0 6x + 2y = 0 19
+ 6x 2y = 0 6x 2y = 0
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Para encontrar el punto común de ambas rectas, resolvemos el sistema:
x + 3y = 6 x 2y = 1
x + 3(1) x+3 x x
x + 3y = 6 x 2y = 1
!
= = = =
6 sustituyendo y = 1 en x + 3y = 6 6 6 3 3
5 ! 5y = 5 ! y = = 1 5
x + 3y = 6 x + 2y = 1
El punto común de ambas rectas es A(3; 1): La forma de la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en (3; 1) es: (x h)2 + (y k)2 = r2 : Debemos encontrar el valor de r = d(O; A): Así:
p (3 0) + (1 0)
d(O; A)
=
d(O; A)
=
d(O; A)
= r=
2
2
p 9 + 1 p
10
Sustituyendo el valor de r, el punto común (3; 1) encontrado en la forma de la ecuación de la circunferencia anterior y resolviendo se tiene: (x 3)2 + (y 1)2 x2 6x + 9 + y 2 2y + 1 x2 + y2 6x 2y + 10 10 x2 + y 2 6x 2y
R. 21.
= = = =
10 10 0 0
d)
La ecuaci ecuación ón de una hipérbola hipérbola con centro centro en el origen origen,, longit longitud ud del eje transverso 8; excentricidad 43 y con focos sobre el eje X es:
a)7x2 + 9y2 = 112
b)9x2
7y
2
= 112
c)7y 2
2
9x
= 112
d)7x2
9y
Como la longitud del eje transverso es 8; entonces a = 4: Como e =
20
2
= 112
4 3
y
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c ; a
se tiene: =
e
4 3
=
4a 3 4 4 2 ( ) 3 256 9 256 16 9
=
c a
p a
2
+ b2
a
p
a2 + b 2
= (4)2 + b2 = 16 + b2 = b2
b2
=
b2
=
256
144 9
112 9
De los datos dados la hipérbola tiene como ecuación: tuyendo a2 y b2 ; se tiene: x2
16
y2
2
= 1: Susti-
= 1
2
112 2 7x 9y2
22.
y2 b2
2
9y 16 112 7x 9y
R.
= 1
112 9
x2
x2 a2
= 1 = 112
d)
El …lamento de una lámpara de ‡ash está a 38 de pulgadas del vértice del re‡ector re‡ector parabólico parabólico y se encuentra encuentra en su foco. La ecuación del re‡ector, re‡ector, suponiendo que está dirigido hacia la derecha y su vértice en el origen es: a)3x
2y
2
=0
b)3x + 2y2 = 0
c)2x
3y
2
=0
d)
De los datos dados: P = 38 : La ecuación del re‡ector está dado por: y 2 = 4 P x; así: y2 y2
2y 2 3x + 2y 2 3x 2y 2
21
3 = 4( )x 8 3 x = 2 = 3x = 0 = 0
3x 2y
2
=0
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R. 23.
a)
Una parábola cuyo foco es F (0; 6) y la ecuación de la directriz es y = tiene por ecuación:
a) x2 = 24 y
b) y2 = 24 x
c) x2 =
d) y 2 =
24y
24x
Como el foco está en (0; 6); entonces: P = 6: Como la directriz es y = la parábola tiene como ecuación x2 = 4 P y; así: x2 2
x
R. 24.
6;
= (4)( (4)(6) 6)y = 24y
a)
Si la excentricidad de una cónica es e = 52 ; entonces se trata de una: a) Parábola
b) Elipse
c) Circunferencia
Como la excentricidad tiene el valor tiene excentricidad mayor que 1. R. d) 25.
6;
5 2
d) Hipérbola
; se trata de una hipérbola ya que ésta
La longitud del lado recto de una elipse que tiene por ecuación es: a) 8
b) 16
c) 18
Las ecuaciones de la elipse son: x2 y2 + a2 b2 x2 y2 + b2 a2
= 1 (eje focal x) = 1 (eje focal y)
La grá…ca de la ecuación dada es:
22
d)
16 3
x2 36
2
+ y66 = 1
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y
10 8 6 4 2
-10
-8 -8
-6
-4
-2
2
4
-2
6
8
10
x
-4 -6 -8 -10 x2 b2
De aquí deducimos que tiene la forma:
Como la ecuación dada es:
x2 36
+
y2 66
+
y2 a2
= 1. 1.
= 1 : Entonces:
a2
= 66 a = 66 2 b = 36 b = 6
p
La longitud del lado recto (LLR) está dada por:
LLR
=
LLR
=
LLR
=
LLR
=
2(6)2 66 72 66 66 66 72 66 66 12 66 11
p
p p p p p
23
2
2b
a
: Así el lado recto es:
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La ecuación de una elipse con focos en ( igual a 6 es:
a)9y2
2
4x
= 36
b)4x2 + 9y 2 = 36
p 5; 0) y longitud del eje mayor
c)9x2 + 4y 2 = 36
d)4x2
9y
2
= 36
La longitud del eje mayor es 6; entonces: a = 3 : Como los focos son ( 5; 0); entonces: c = 5; y el eje principal de la elipse está sobre el eje x: La ecuación de esta elipse es de la forma: xa + yb = 1 : Necesitamos entonces encontrar el valor de b; de la relación: b2 = a2 c2 ; se tiene:
p
p
2
2
2
2
b2
p
= 32 ( 5)2 = 9 5 = 4
b2 b2
Sustituyendo los valores de a2 y b2 en la ecuación x2
9
+
y2
27.
+
y2 b2
= 1 ; se tiene:
= 1
4
4x2 + 9y 2 36 2 4x + 9y 2 R.
x2 a2
= 1 = 36
b)
La ecuación de una parábola que tiene su foco en el punto F (2; 0) y su directriz es la recta de ecuación x = 2 es:
a) y 2 =
8x
b) y 2 = 8 x
c) y 2 =
1 8
x
d) y 2 = 18 x
De los datos dados se puede ver que la ecuación de la parábola es de la forma: y 2 = 4 P x: Como el foco es dado por (2; 0); entoces P = 2 : Así: y2 y
2
y2
R.
= 4P x = 4(2)x = 8x
b)
24
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Hallar el centro y radio de la circunferencia que pasa p or los puntos A(0; 6); B (4; 2) y C (9 (9; 3):
28.
a) C (4 (4; 3) y r = 5
b) C ( 4; 3) y r = 5
c) C (4 (4;
3) y r = 5
d) C ( 4;
3) y r = 5
La ecuación de la circunferencia con centro (h; k) y radio r; es dada por (x h)2 + (y k)2 = r2 : Evaluamos cada punto en la ecuación (x h)2 + (y k )2 = r2 : Para el punto A(0; 6); se tiene:
+ (6 k )2 h2 + 36 12k + k2
(0
2
h)
= r2 = r2 (1)
Para el punto B (4; 2); se tiene:
(4 h)2 + ( 2 k)2 = r2 16 8h + h2 + 4 + 4 k + k2 = r2 h2 8h + 4k + k 2 + 20 = r2
(2)
Para el punto C (9 (9; 3); se tiene: (9 h)2 + (3 k)2 = r2 81 18h + h2 + 9 6k + k 2 = r2 h2 18h 6k + k 2 + 90 = r2 (3)
8< Resolvemos el sistema de ecuaciones: :
8< :
h2 + 36 12k + k2 = r2 (1) h2 8h + 4k + k 2 + 20 = r2 (2) h2 18h 6k + k2 + 90 = r2 (3)
8< :
h2 + 36 12k + k2 = r2 (1) h2 8h + 4k + k 2 + 20 = r2 (2) h2 18h 6k + k2 + 90 = r2 (3)
h2 + 36 12k + k 2 = r2 (1) h2 8h + 4k + k 2 + 20 = r2 (2) h2 18h 6k + k 2 + 90 = r2 (3)
!
h2 18h 6k + k 2 + 90 = r2 (3) h2 36 + 12k k 2 = r2 (1)
!
h2 + 36 12k + k2 = r2 h2 + 8h 4k k 2 20 =
! 6k 18h + 54 = 0 ! k 3h + 9 = 0 ! k 3h = 9 (4)
! ! ! ! 25
8h 16k + 16 = 0 h 2k + 2 = 0 2k + h = 2 2k h = 2 (5)
(1) r (2)
2
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Resolviendo (4) y (5); tenemos:
2
3h = 9 ! 2k h = 2 ! ! !
k + 6h = 18 2k h = 2
k
5h = 20 20 h= 5 h =4
Sutituyendo h = 4 en ecuación (5); se tiene: 2k 2k
= = = =
2 2 2+4 6 6 = 2 = 3
h 4 2k 2k k k
El centro esta dado por: (4; 3): Sustituyendo estos valores en ecuación (1): h2 + 36
42
2
r2 (1)
12k + k + 36 12 3 + 3 16 + 36 36 + 9
= 2 = = 25 = r = r =
r2 r2 r2
p 25 5
Tomamos el valor positivo, así r = 5 : R. 29.
a)
Dada la parábola que tiene por ecuación x2 = nadas del foco y la ecuación de la directriz: a) F (0; 32 ) y y = c) F ( 32 ; 0) y x =
3 2
3 2
6y; encontrar las coorde-
b) F (0; 32 ) y y = 32 d) F ( 32 ; 0) y x = 32
Según la forma dada de la parábola (x2 = 6y); su eje coincide con el eje Y; y abre hacia abajo. Esta parábola es de la forma: x2 = 4P y: Según la ecuación dada se tiene que:
4P y = 4P = P
=
6y 6 64 = 32 26
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Por lo cual las coordenadas del foco son: (0; 32 ) La ecuación de la directriz es dada por: y = P; entonces:
R. 30.
y
=
y
=
( 32 ) 3 2
b)
El foco y la directriz de una parábola cuya ecuación es y2 = 36x son respectivamente:
a) F ( 9; 0) y x = 9
b) F (9; 0) y x =
9
c) F (0;
9) y y = 9
d) F (0; 9) y y =
Según la forma dada de la parábola (y 2 = 36 x); su eje coincide con el eje X; y abre hacia la derecha. La forma de esta parábola es: y 2 = 4 P x; así: 4P x = 36x 4P = 36 36 P = 4 = 9 Por lo cual las coordenadas del foco son: (9; 0) La ecuación de la directriz es dada por: x = P; entonces:
x=
R.
9
b)
27
9
