GARCH MODEL I. GIỚI THIỆU Một trong những ứng dụng quan trọng của mô hình GRACH/ARCH là phân tích sự biến động (volatility) của các yếu tố trên thị trường tài chính theo từng thời kỳ khác nhau. Những biến thiên lớn thì thông thường đi liền sau đó là những sự thay đổi lớn và ngược lại. Theo Campbell, lo và Mackinlay, GARCH/ARCH là những mô hình thường được sử dụng để phân tích các xu thế theo thời gian ở dạng phi tuyến. Họ cho rằng, mô hình phi tuyến ở đây được xác định như sau: Yt = g(u t, ut-1, ut-2,…) +ut σ2(ut-1, ut-2,…) Trong đó, g là hàm số của phần dư trong quá khứ và σ2 là phương sai được nhân với sai số hiện tại. Các mô hình trước đây có trung bình và phương sai tuyến tính như: ARIMA, ARMA, nhưng đối với GARCH/ARCH thì trung bình và phương sai là phi tuyến. Kiểm định giản đơn và phổ biến nhất đối với phương trình phi tuyến là kiểm định Ramsey’s RESET. Để hiểu rõ sự vận hành của các mô hình ARCH/GRACH, ARCH/GRACH, khái niệm về phương sai có điều kiện của một biến ngẫu nhiên cần được hiểu rõ hơn. Sự phân biệt giữa phương sai có điều kiện và không điều kiện giống như trung bình có điều kiện và không điều kiện. Phương sai có điều kiện được ký hiệu σ2 và được diễn tả như sau:
σ2t = Var(ut/ut-1, ut-2,…) = E[(ut – E(ut))2 ut-1, ut-2,…] Giả định thông thường E(u t) = 0, ta có:
σ2t = Var(ut/ut-1, ut-2,…) = E[ut2 ut-1, ut-2,…] Chúng ta thấy rằng phương sai có điều kiện của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn là ut tương đương với giá trị kỳ vọng có điều kiện của u t. Trong mô hình 1
ARCH/GRACH, sự tự tương quan của một sự biến thiên của nhân tố nào đó được thiết lập bởi phương sai có điều kiện của phần dư, σ2, phụ thuộc ngay tức khắc bởi giá trị phần dư bình phương trước đó.
σ2t = γ 0 + γ 1µ2t-1 Để kiển định hiệu ứng của mô hình ARCH, các bước được tiến hành như sau: Bước 1: Chạy hồi quy theo phương pháp bình phương giản đơn đối với hàm số quan tâm: yt = β0 + β1x2t + β2x3t + β3x4t + ut Bước 2: bình phương phần dư của phương trình hồi quy ở bước 1 và chạy hồi quy phần dự này với những độ trễ khác nhau (q): ut(hat) = γ 0 + γ 1µ2t-1 (hat) + γ 2µ2t-2 (hat) + ……..+ γ qµ2t-q(hat) + νt Bước 3: sử dụng R 2 vừa tìm được ở bước 2, xác định giá trị TR 2 (T: số quan sát của mẫu). Kết quả của giá trị thống kê này được so sánh với giá trị tới hạn của phân phối Chisquare χ2 (q). Bước 4: chấp nhận hoặc bác bỏ giả thuyết H0 H0: γ 0 = γ 1= γ 2 = ….= γ q H1: γ 0 ≠ 0 hoặc γ 1 ≠0 hoặc γ 2 ≠ 0 hoặc γ q ≠ 0. II. HẠN CHẾ CỦA MÔ HÌNH ARCH Mô hình ARCH cho thấy khung phân tích và phát triển những mô hình biến thiên theo thời gian. Tuy nhiên, ARCH đã thể hiện những khó khăn như sau: - Chưa có chuẩn mực để xác định bậc q của mô hình. Một phương pháp được sử dụng là likelihood ratio test, tuy nhiên phương pháp này chưa phải là phương pháp tốt nhất. - Giá trị q của phần dư có thể là một son số rất lớn để có thể kiểm soát được tất cả sự phụ thuộc của phương sai có điều kiện. Việc này dẫn đến mô hình phương sai 2
có điều kiện không có giới hạn. Engle (1982) khắc phụ hạn chế này bằng cách đưa ra độ trễ tối đa cho mô hình là 4. (lag length on a ARCH (4)). - Ràng buộc không âm của phương sai có thể bị vi phạm. Nếu như mọi thứ đều giữ nguyên, càng nhiều thông số trong phương trình phương sai có điều kiện thì càng nhiều khả năng xuất hiện phương sai âm. Để khắc phục những hạn chế này, trong thực tế mô hình GARCH được sử dụng để thay thế mô hình ARCH. III. MÔ HÌNH GARCH (generalised ARCH model) Mô hình được phát triển độc lập bởi các nhà kinh tế học Bollerslev (1986) và Taylor(1986). Mô hình GRACH cho phép phương sai có điều kiện phụ thuộc vào độ trễ trước đây như sau:
σ2t = α0 + α1µ2t-1 + βσ2t-1 Trên đây là mô hình GARCH (1,1) với giá trị σ2 là phương sai có điều kiện. Sử dụng mô hình GARCH có thể giải thích được phương sai ước lượng (h t) như là hàm số của giá trị trung bình dài hạn (phụ thuộc vào α0 ), thông tin về sự biến thiên của thời đoạn trước (α1µ2t-1) và phương sai ước lượng trong suốt thời gian trước đó (βσ2t-1). Để thấy rõ tính hữu hạn (parsimoniousness) của mô hìn GARCH so với ARCH, chúng ta xem sét mô hình GARCH (1,1) như sau:
σ2t-1 = α0 + α1µ2t-2 + βσ2t-2 Hay
σ2t-2 = α0 + α1µ2t-3 + βσ2t-3 Thay vào phương trình σ2t:
σ2t = α0 + α1µ2t-1 + α0β + α1βµ2t-2 + β2σ2t-2 Thay σ2t-2 vào phương trình trên ta có:
σ2t = α0(1+ β + β2) + α1µ2t-1 (1+βL+β2L2) + β3σ2t-3 3
Một số không xác định được liên tục thay thế vào công thức trên sẽ ch phép chúng ta hình thành được phương trình tổng quát sau:
σ2t = α0(1+ β + β2+…..) + α1µ2t-1 (1+βL+β2L2+….) + β∞σ20 Công thức trên, chúng ta thấy rằng α0(1+ β + β2+…..) là hằng số; hơn nữa khi số quan sát lớn, thì giá trị β∞ có xu hướng tiến về 0. Khi đó, GRACH(1,1) được thể hiện như sau:
σ2t = γ 0 + α1µ2t-1 (1+βL+β2L2+…) = γ 0 + γ 1µ2t-1 + γ 1µ2t-2 Mô hình GARCH(1,1) là mô hình ARCH có bậc được giới hạn, chứa 3 thông số trong công thức phương sai có điều kiện và cho phép số vô hạn của các bình phương phương sai phần dư tác động đến phương sai có điều kiện hiện tại. Tổng quát, mô hình GARCH(p,q) được thể hiện dưới dạng như sau:
σ2t = α0 + α1µ2t-1 + α2µ2t-2+…+αqµ2t-q + β1σ2t-1+ β2σ2t-2+…+β pσ2t-p q
2
p
2 σ = α 0 + ∑=1 α µ − ;+∑=1 β σ − 2
t
i
i
t i
j
j
t j
Nhìn chung, mô hình GARCH(1,1) sẽ đủ để phân tích sự biến thiên của nhân tố chúng ta đang quan tâm, ít khi mô hình được sử dụng với các bậc cao hơn.
4
