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Universidade Fe deral do Maranhão Maranhão CCET - DEINF Prof. Carlos Gonçalves (Sl.21 (Sl. 214, 4, Bl.6) Cálculo Numérico – Turmas: CP e EE. 2ª Prova: SEL’s

NOTA

Nome: GABARITO Matrícula: ____________________________________ Data: 14 de julh j ulho, o, 2016 2016 – Duração: 1h40min

Instruções : 



Identifique sua “Folha de Respostas” e devolva -a junto com esta folha. fol ha. Escreva as respostas das questões questões legivelmente legi velmente com caneta (azul ou preta). Não serão aceitas provas respondi respondidas das com grafite grafite.. Use sempre o arredondamento simétr si métrico ico nos cálculos, e apresente seus resultados resultados com duas decimais. Boa sorte.

QUESTÕES 1)

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖∞ −6 −2 5    (−38 1.−11 −2.10.35) 1 0 . 3 3 3 − 0 . 8 3 3    (−0.1291 −0−00.1.03987 −01.313) ‖ ‖  ‖ ‖  ≤≤max ∑=,  ≤≤max 2.2.291 0.568 2.146}  2.291 ‖‖  ‖‖∞   ‖ ∑‖=∑=max∑,= √, 4.4.016 m≈ax2.02.204.167 1.450 1.388}  2.167 ≤ ≤   ≤≤     (281 −3−110 −1094 ) ;   (2. 591)

(2,0) Determine

,

,e

 para:

Antes, escalone a matriz matriz A fazendo com que o máximo máxi mo elemento eleme nto de cada linha seja igual a um. um . SOLUÇÃO: SOLU ÇÃO: A matriz A escalonada terá os seguintes segui ntes elementos: elementos:

Então, calculam-se as seguintes segui ntes normas normas de matrizes: matrizes: 





2)

(3,0) Dado o sistema linear

 onde:

Dos dois doi s métodos iterativos, ite rativos, Jacobi-Richardson Jacobi-Richardson e Gauss-Seidel, Gauss-Seidel, qual deles de les você aplicaria e por quê? Resolva o SEL dado pe lo método escolhido, escol hido, com 3 iterações. SOLUÇÃO: Precisa-se avaliar a possibilidade SOLUÇÃO: possi bilidade de convergência convergência para cada método iterativo citado citado.. No N o caso caso de Jacobi-Richardson Jacobi- Richardson usa-se o critério da norma linha, i .e., a norma linha dos coeficie coef icientes ntes da matriz iteraiterativa H deve de ve ser menor que 1, para se ter a garantia de convergência, logo:

Então:

Assim,

‖‖  m≤ax≤} < 1 ∝ | −1−1|8|  5  0,62; ∝ 110 9  1,00; ∝ 2|−3| | − 10|10|    0,50; ‖‖  m≤ax≤0,0,62 1,00 0,50} < 1 ⟹ ∄ max≤≤ ∝ < 1 

Como se vê, vê , pela pe la norma linha, lin ha, não há h á garantia de convergência. Testa-se agora agora o critério de Sassen Sassenfe feld ld,, i.e.,, calculem-se os valores de : i.e. [gab]2pcn2016-1

   =  −81  48 ≈ 0,62;   |ℎ|+|ℎ|  10 1  ∙0,62 10 9   910,62 ≈ 0,96;   |ℎ|+|ℎ|  −102  ∙0,62 −10 −3  ∙0,96  410,12 ≈ 0,41;   max≤≤  ≤max≤0,62 0,0,96 0,41} < 1 ++  −0,0,1102+ − 0,−0,5090 0,60,221 +  0,20+ −0,3 00+0 − 0,090   −0,0,1120 − −0,0,5900  0,0,6221≈≈0,0,6125 ∴   ( 00,,6125 )   0,20 −0,30 −0,90 ≈ −0,82 −0,82    1,05 0,84 −0,94 ;̅    1,1,20200,0,9494−0,−0,9494 

Como,

Então, a resolução do SEL por Gauss-Seidel gera uma sequência iterativa convergente. Para Gauss-Sei del tem-se as seguintes equações iterativas:

Portanto, para estimativa inicial de iteração, k=0, seja

, então vem:

Na sequência iterativa, teremos as seguintes aproximações:

Finalmente, o vetor coluna solução do SEL dado é: 3)

.

(3,0) Considere o sistema de equações lineares abaixo e determine o valor aproximado do seu vetor solução usando o método de Gauss-Seidel com 3 iterações. O que podemos afirmar sobre o condicionamento deste sistema?

2{− 34− 03  −  −  1     =  32  −21  2  > 1   1,667 −0,667 1,333    ∝ det∙ ⋯  ; ∝ ‖ ‖    =,=,; det   det  15;∝ 3,742, ∝154,243, ∝1,732    ∝∙ ⋯  3,7424,2431,732  ≈ 0,546

SOLUÇÃO: Antes de proceder-se às i terações propriamente ditas, deve-se verificar a existência de convergência pelo critério de Sassenfeld, i.e., calculem-se os valores de  por:

Como , então o SEL diverge pelo critério de Sassenfeld, mesmo se permutarmos as equações da forma mais conveniente possível, ainda assim não se tem um SEL EDD! Assim, o método de Gauss-Seidel não pode ser usado para resol ver este SEL. Todavia, a solução determinada pelo método de eliminação de Gauss dará: . Quanto ao condicionamento do SEL, usa-se o critério do determinante normalizado para verificar sua condição, i.e.:

Efetuando os cálculos temos:

, logo:

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Pode-se concluir então que o SEL é bem condicionado, pois sua norma está mais próxima de 1. 4)

(2,0) Considere os vetores:

 ⃗

 ⃗⃗  2⃗⃗−3⃗⃗−4⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗  ⃗     3  2 ⃗ ⃗ ⃗ ∙⃗  2   ⃗⃗∙∙⃗⃗   00 ⇒⇒ −42 −32−63  ∙ ⃗  2 ⇒ 3   10̅  0.525 2.550 2.350

O vetor é perpendicular ao vetor  e ao vetor também. Sabe-se ainda que de Eliminação de Gauss para encontrar as incógnitas a, b e c.

 . Use o Método

SOLUÇÃO: Efetuando-se o produto interno dos vetores, vem:

Donde, resolvendo o sistema por Eliminação de Gauss, achamos:

.

/cavg

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