ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
CARRERA A DISTANCIA: ING. EN SEGURIDAD PUBLICA Y PRIVADA MATERIA: ESTADISTICA INFERENCIAL NOMBRE: JUAN ANDRES FERNANDEZ SOLIS FECHA: 11/11/2015 Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.1
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PROBLEMA 1 Business Week publicó que los ingresos fiscales de Playboy Enterprises, Inc. han sufrido unos retrocesos importantes en los últimos años. Christie Hefner, hija del fundador, asumió el puesto de directora ejecutiva de Playboy en noviembre de 1988. La señora Hefner ha encontrado que los ingresos mensuales medios de los distintos clubes de Playboy en todo el país son de 1.23 millones de dólares, con una desviación típica de 0.65 millones de dólares. Supongamos por el momento que exista normalidad en la distribución de ingresos mensuales:
DATOS
Ingresos mensu alescon distribuci ó n normal : µ=$ 1.23 millones
σ =$ 0.65 millones
a) Si se eligieran los ingresos de un mes en cualquiera de los clubes, cuál es la probabilidad de que: 1. Fueran superiores a 1.3 millones.
P( X >1,3)
Z=
x−µ σ
Andrés Fernández
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13−1.23 Z= 0.65 Area=0.0438
P( X >1,3)=0,50− Area P( X >1,3)=0,50−0,0438
P( X >1,3)=0,4562 Existe la probabilidad del 45,62 que elingreso mensual de uno de los clubes
sea superior a 1,3 millones de d ó lares .
2. Estuvieren entre 1.5 y 2.0 millones de dólares.
P(1,50< X < 2,00)
Z=
x 1−µ σ
Z=
1.50−1.23 0.65
Area=0.1628
Andrés Fernández
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x −µ Z= 2 σ Z=
2.00−1.23 0.65
Area=0.3810 P (1,50< X <2,00 ) =Area2−Area 1 P (1,50< X <2,00 ) =0,3810−0,1628 P (1,50< X <2,00 ) =0,2182 Existe la probabilidad del 21,82 que el ingreso mensual estar á comprendido entre 1,50 y 2,00 millones de d ó lares .
b) En marzo último, uno de los clubes declaraba ingresos de 0.89 millones de dólares. En respuesta al descontento de la señora Hefner, el director de este club concreto ofreció el argumento de que no era inhabitual que los ingresos fueran así de bajos. ¿Cómo respondería usted a este argumento?
P( X < 0,89)
Z=
Andrés Fernández
x−µ σ
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0.89−1.23 Z= =−0.52 0.65 Area=0.1985
P ( X <0,89 )=0,50 – Á rea P ( X <0,89 )=0,50−0,1985 P ( X <0,89 )=0,3015 Existe una probabilidad significativa del 30,15 que el ingreso mensual
sea inferior a 0,89 millones de d ó lares .
c) Si la señora Hefner desea determinar qué clubes informan ingresos en el 12% más bajo para tomar medidas correctoras. ¿qué nivel de ingresos deberá superar un club para evitar esta atención no deseada?
P( X < Xo)=0,12
Para el Percentil 12 : Á rea=0,50−0,12=0,38 y Z=−1,18
x 0=µ+ Z∗σ Andrés Fernández
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x 0=1.23+ (−1.18 )( 0.65 ) x 0=0,463 ≈ 0,46 Unclub debe superar ingresosmensuales de 0,46 millones de d ó lares para evitar ser considerado para tomar medidas c orrectivas .
PROBLEMA 2 Supongamos que a lo largo de todo un año el hospital de St. Jude admite 50 pacientes que han de ser explorados para determinar si necesitan operación. ¿Cuál es la probabilidad de que más de la mitad necesiten operarse? Los datos del hospital indican que lo habitual es que el 40% de sus pacientes sean sometidos a cirugía.
DATOS
π =0,40 n=50
μ=n∗π=50∗0,40=20 σ =√ n∗π ( 1−π )= √50∗0,40∗( 1−0,40 ) =3,46
P(X >25)
DESARROLLO Andrés Fernández
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Z=
( X ± 0,50 )−μ σ
Z=
( 25+ 0,50 )−20 3,46
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Z =1,59 Area=0,4441
P ( X >25 )=0,50− Á rea P ( X >25 )=0,50−0,4441 P ( X >25 )=0,0559 Existe la probabilidad aproximada del5,59 que de la mitad de los
pacientes nece siten operarse .
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.2 PROBLEMA 1 Arms International comercializa su producto en todo el mundo. Como gran parte de su negocio se realiza por teléfono, es importante minimizar cualquier demora que los clientes puedan experimentar cuando intenta ponerse en contacto con el personal de ventas de Arms. El director ejecutivo de Arms averiguo que en su centralita entraron esta mañana seis llamadas. A causa de la insuficiencia de personal, las demoras de cada cliente en hablar con la oficina de ventas fueron 20, 12, 17, 15, 18 y 15:
DATOS : Poblaci ó n para demoraen las llamadas :20, 12,17, 15,18 y 15 Andrés Fernández
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N=6
a) Si el director ejecutivo tuviera que elegir una muestra de dos llamadas, ¿cuántas muestras habría en la distribución muestral?
K=N C n=6 C 2=
6! =15 2 ( 6−2 ) !
Enla distribuci ó n muestral existir á n15 muestras de tama ñ o 2.
b) Calcular la desviación típica de la población. TABLA
DE
CALCULOS
μ=
μ=
X
X2
20 12 17 15 18 15 97
400 144 289 225 324 225 1.607
∑x N
97 6
μ=16,17
desviacion tipica σ=
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√
∑x− 2
(∑ x )
2
N
N
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σ=
√
1607−
( 97 ) 6
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2
6
σ =2,54 Existe un moderado grado de dispersi ó n en ladistribuci ó n de la poblaci ó n
de tiempos de esperaen las llamadas.
c) Construir la distribución muestral. Nº muestra
Muestras
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
20 20 20 20 20 12 12 12 12 17 17 17 15 15 18
Media de muestra s 12 17 15 18 15 17 15 18 15 15 18 15 18 15 15 Suma:
16 18,5 17,5 19 17,5 14,5 13,5 15 13,5 16 17,5 16 16,5 15 16,5 242,5
d) ¿Cuál es la probabilidad de que 1) se elijan como muestra las dos demoras más largas y
p= Andrés Fernández
¿ de exitos total de muestra Página 9
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1 p= 15 p=0,0667 Existe la probabilidad del 6,67 que se presente este caso .
2) se incluya en la muestra la demora de 17 minutos?
p=
¿ de exitos total de muestra
p=
5 15
p=0,3333 Existe la probabilidad del 33,33 que se presente este caso .
e) ¿Cuál es la media y el error típico de la distribución muestral? ¿Qué relación tiene la media de la distribución muestral con la media de la población? Interpretar el error típico.
Andrés Fernández
Xm
f
Xm.f
Xm².f
13,5
2
27
364,5
14,5
1
14,5
210,25
15
2
30
450
16
3
48
768
16,5
2
33
544,5
17,5
3
52,5
918,75
18,5
1
18,5
342,25
19
1
19
361
Suma:
15
242,5
3959,25
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∑ Xf X´ = k 242,5 X´ = 15 X´ =16,17 minutos
Conlos c á lculos del literal b , se verifica que num é ricamente son iguales los valores promediosde la poblaci ó n y de ladistribuci ó n muestral de medias .
Error tipico=σ x =
σ x=
√
√
2
2
∑x f−
(∑ x f ) n
n 2
( 242,5 ) 15
3959,25− 15
σ x =1,609 minutos Este valor mide el grado de dispersión de la distribución muestral de medias alrededor de su valor promedio , que de los resultados se verificaes menor
a l grado de dispersión de ladistribución de la población .
PROBLEMA 2 Fortune publicó que el efecto de las compras apalancadas es difícil de detectar. En 1988 el valor medio de las empresas de Fortune 500 que se compraron fue de 3.51 miles de millones de dólares, con una desviación típica de 1.92 miles de millones de dólares. Andrés Fernández
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DATOS n=64
μ=3.51 mil millones σ =1.92mil millones
a) Si se toma una muestra de n=64 empresas, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 3.65 miles de millones de dólares?
P ( X >3,65 )
Z=
X−μ σ /√n
Z=
3,65−3,51 1,92/ √ 64
Z =0,58 Area=0,2190
¿ 0,50− Área P ( X >3,65 )=0,50−0,2190 P ( X >3,65 )=0,2810
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Existe la probabilidad del 28,1 que la media muestral sea superior a 3,65 mil millones de dólares .
b) ¿Qué porcentaje de todas las muestras posibles de tamaño 64 dará como resultado una Ẋ>3.64?
Z=
X−μ σ /√n
Z=
3,64−3,51 1,92/ √ 64
Z =0,54
Area=0,2054 ¿ 0,50− Área
P ( X >3,64 ) =0,50−0,2054 P ( X >3,64 ) =0,2946 El 29,46 deltotal de muestras tendránmedias superiores a 3,64 mil millones de dólares .
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL PRIMER PARCIAL c) Si se tomó una muestra de n=64 y se obtuvo una Ẋ=3.90, ¿qué podría deducir?
Z=
X−μ σ /√n
Z=
3,90−3,51 1,92/ √ 64
Z =1,625
Area=0,4484 ¿ 0,50− Área
P ( X >3,90 )=0,50−0,4484 P ( X >3,90 )=0,0516 Solo el 5,16 del total de muestrastendrán medias muestrales superio r a 3,90 mil millones de dólares .
d) Si los datos de Fortune son correctos, ¿cuál es la probabilidad de que si se toma una muestra de n=100 empresas el error de muestreo sea superior a 500 millones de dólares?
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Z=
X−μ σ /√n
Z=
0.50 1,92/ √ 10
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Z =2,60
Area=0,4953 ¿ 2(0,50 – Área)
P (|error|>0.5 )=2 ( 0,50−0,4953 ) P (|error|>0.5 )=0,0094
Existe la mínima probabilidad del 0,94 que e l error de muestreo sea superior a 500 millones de dólares (0,5 mil millones de dólares).
PROBLEMA 3 Autoridades de la administración de Washington acaban de expresar su preocupación sobre el exceso de gastos en contratos militares. Estos gastos no planificados han costado a los contribuyentes norteamericanos miles de millones de dólares anuales. El presidente nombró un comité de expertos que estimase la cantidad media que cada contrato cuesta por encima de la cantidad acordada. El Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL PRIMER PARCIAL comité ha determinado ya que la desviación típica de los costes excesivos es de 17,500 millones de dólares y que parecen seguir una distribución normal:
DATOS n=25
σ =17.500 millones USD
a) Si se elige una muestra de 25 contratos, ¿cuál es la probabilidad de que la muestra haga una estimación de la media poblacional que la supere en más de 10,000 millones de dólares?
Z=
X−μ σ /√n
Z=
1000 17500/ √ 25
Z =2,86 Area=0,4979
¿ 0,50− Área P ( error> 1000 )=0,50−0,4979 P ( error> 1000 )=0,0021 Andrés Fernández
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Existe la mínima probabilidad del 0,21 que l a muestra haga una estimación de la media poblacional que≤supere en más de 10000 millones de dólares .
b) El presidente aceptará un error de 5,000 millones de dólares en la estimación de μ. ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una estimación del comité dentro del intervalo especificado?
Z=
X−μ σ /√n
Z=
5000 17500/ √ 25
Z =1,43
Area=0,4236 ¿ Área
P ( er ror<5000 ) =0,4236
Andrés Fernández
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PRIMER PARCIAL
Existe la probabilidad del 42,36 que el presidente reciba una estimación del promedio u de parte del comité dentro del intervalo es pecificado .
PROBLEMA 4 Como ahora las investigaciones de las autoridades deportivas hacen indagaciones más profundas en los deportes, un funcionario ha estimado que el 70% de los programas de baloncesto universitario han infringido las reglas. Si se ha encontrado que 32 de los 40 programas examinados han cometido una infracción como mínimo, ¿qué conclusión se podría sacar sobre la estimación de dicho funcionario?
Comprender los conceptos sobre Muestreo
Aplicar los diferentes métodos de muestreo
Utilizar la tabla de números aleatorios
DATOS
n=40 p=0,70
π=
32 =0,80 40
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Z=
Z=
√
p−π π ( 1−π ) n
√
0,70−0,80 0,80 (1−0,80 ) 40
PRIMER PARCIAL
Z =−1,58 Area=0,4429
¿ Área P ( 0,70< p <0,80 )=0,4429 La estimación del funcionario presenta un error de subestimación con probabilidad del 44,29 .
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.3 PROBLEMA 1 Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL PRIMER PARCIAL Un número de febrero de 1989 de la revista Fortune relataba los esfuerzos de las empresas por aumentar la velocidad con que desarrollan, fabrican y comercializan sus productos. Una respuesta de 50 empresas realizada por Kaiser Associates, empresa consultora de Vienna, Virginia, reveló que casi todas las empresas ponían el acento en la “estrategia del tiempo” (TBS), como se llama al nuevo planteamiento. El atractivo de la TBS, como decía un director ejecutivo, procede de que la “velocidad mata a la competencia”. a) A General Electric le preocupaba el tiempo que tardaba en servir cuadros de interruptores automáticos. En la factoría de Akron, Ohio, se pensaba que el tiempo medio necesario era de unas tres semanas desde la recepción del pedido hasta la expedición de un cuadro. Si los 100 últimos pedidos se sirvieron al cabo de 3.4 semanas de media, con una desviación típica de 1.1 semana, ¿se confirma la estimación de 3 semanas al nivel de confianza del 98%?
Intervalo de confianza del 98 para la media poblacional . n>30 se aplica ladistribución normal .
IC=X ± Area=
Z∗S √n
0,98 =0,49 Z=2,33 2
IC=3,4 ±
2,33∗11 √100
IC=3,4 ± 0,26 LI =3,4−0,26 LI =3,14 LS=3,4+0,26 Andrés Fernández
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LS=3,66
Existe el 98 de confianza que el verdadero tiempomedio para la entrega de la población de cuadros de interruptoresautomáticos estará comprendido
entre 3,14 y 3,66 semanas . Este intervalo de confianza no confirma que el tiempomedio estimado en servir loscuadros de interruptores sea de 3 semanas .
b) En una muestra de n=100 proyectos de diseño, AT&T invirtió una media de 2.3 años en diseñar un nuevo teléfono. Los tiempos de diseño de 12 proyectos tuvieron una desviación típica de 1.5 años. Si suponemos una distribución normal en los tiempos de diseño, ¿cuál es el intervalo de confianza del90% para tiempos medios?
Intervalo de confianza del 90 para la media poblacional . n<30 se aplica ladistribución “ t ” . IC=X ±
t∗S √n
Para el 90 y n−1=11 gl :t=1,796
IC=2,3 ± Andrés Fernández
1,796∗1,5 √12 Página 21
ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
IC=2,3 ± 0,78 LI =2,3−0,78 LI =1,52 LS=2,3+0,78
L S=3,08
Existe el 90 de confianza que el verdadero tiempomedio para diseñar
el nuevo teléfono estará comprendido entre 1,52 y 3,08 años .
PROBLEMA 2 Tom Monaghan, director ejecutivo de Domino’s Pizza, es un verdadero entusiasta del deporte. Además de ser propietario del equipo de béisbol Detroit Tigers, corre más de 6 millas diarias y todos los lunes se lleva a sus directivos a correr con él. La empresa está organizada con las mismas directrices que una liga deportiva profesional, con divisiones regionales que compiten entre sí en rendimiento general, incluidos los tiempos de entrega. Monaghan ha llevado a Domino’s a ocupar el segundo puesto de las cadenas de pizza, después de Pizza Hut, ofreciendo a sus clientes un descuento de 3 dólares por cada pizza que tarde en llegar más de 30 minutos. “Todo nuestro negocio se basa en la velocidad”, afirma. Monaghan está interesado en la proporción de pizzas que no pasan la prueba de los 30 minutos y que, por lo tanto, tiene descuento. Supongamos que en una muestra de 780 entregas, 54 llegan tarde. Monaghan quiere un intervalo de confianza que Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL PRIMER PARCIAL sólo tenga una probabilidad de error del 4% para la proporción de entregas que le cuestan 3 dólares.
DATOS : n=780
x 54 p= = =0,0692 n 780 Intervalo de confianza del 96 n∗p comon∗(1− p)son mayores a 5 se aplica la distribución normal .
IC= p ± Z
Área=
√
p ( 1−p ) n
0,96 =0,48: Z=2,06 2
IC=0,0692 ±2,06
√
0,0692 ( 1−0,0692 ) 780
IC=0,0692 ±0,0091 LI =0,0692−0,0091
LI =0,0601 LS=0,0692+ 0,0091 LS=0,0783
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
Existe el 94 de confianza que la verdade ra proporción de entregas que se realizaran fuera de tiempo estará comprendido entre 6,01 y 7,83 del
total de pedidos a domicilio .
PROBLEMA 3 a) Si Domino’s quiere un intervalo de confianza del 99% para el tiempo medio de entrega que no tenga un error superior a 1.5 minutos ¿qué tamaño deberá tener la muestra si una muestra piloto estima la desviación típica en 6 minutos?
E=1,5 minutos NC=99
S=6 minutos Area=
0,99 =0,495 Z=2,58 2
Z∗S n= E
2
( ) (
n=
2,58∗6 1,5
2
)
n=106,50≈ 107
El tamaño mínimo de muestra necesario es 107 elementos para cumplir con los requerimientos de la investigación.
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL PRIMER PARCIAL b) Si se ha de construir un intervalo de confianza del 95% para la proporción de entregas retrasadas que nos dé una estimación del 1%, ¿qué tamaño deberá tener la muestra?
Tamaño de muestra conp=0,0692(del problema anterior ); con NC =95 y error del 1 .
Area=
0,95 =0,475 Z=1,96 2
Z n=p ( 1− p ) E
2
( )
n=0,0692 ( 1−0,0692 )
1,96 0,01
2
( )
n=2474,43≈ 2474 Para cumplir con las caracteristicas , es necesario un tamano minimo
de muestra de 2474 elementos
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.4 PROBLEMA 1 News & World Report publicó un artículo sobre la carrera de éxitos de Wal-Mart. Actualmente es la mayor cadena de venta al por menor de la nación. Empezó con una sola tienda de descuento en la pequeña localidad de Rogers, Arkansas, y ha crecido hasta poseer 1,300 tiendas en 25 estados. Este éxito le ha valido a Sam Walton, fundador y mayor accionista, el título de hombre más rico de América. Las ventas anuales se cifran en 15 millones de dólares por tienda:
DATOS :
μ=$ 15 milllones n=120
X =$ 15,39 millones
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PRIMER PARCIAL
S=$ 2,9 millones α =0,10
PROBLEMA 2 a) Si se elige al azar una muestra de 120 tiendas y se hallan una ventas medias de 15.39 millones de dólares, con una desviación típica de 2.9 millones de dólares, ¿está respaldada la hipótesis de μ= 15 millones al nivel de significación del 10%?
1.−Planteo de hipótesis . Venta promedio por tienda es igual a 15 mill ones de dólares .
Venta promedio por tienda es diferente a15 millones de dólares .
2.−Nivel de significancia: 3.−Estadística de prueba .
n>30, ladistribución muestral para lamedia se aproxima a ladistribución de probabilidad normal .
Zp=
X−μ S/ √ n
Zp=
15,39−15 2,9/120
Zp=1,47
Andrés Fernández
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PRIMER PARCIAL
4.−Regla de decisión . Estadística Z critica , para Área=0,50 –
α =0,45 : Zc=1,65 2
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp está fuer a de ± 1,65 ; caso contrario se acepta.
5.−Decisión . Como Zp=1,47 está dentro de ±1,65 se acepta la Ho ,entonces al nivel de
significancia del 10 se concluye que la venta promedio por tienda es igual a 15 millones de dólares . b) Calcular el valor de p asociado con estos datos.
Para Zp=1,47: Área=0,4292
p=2(0,50−0,4292)=0,1416 Entonces , no existe evidencia que Ho no es verdadera .
c) Si μ es en realidad 14.8 millones de dólares, ¿cuál es la probabilidad de cometer un error de tipo II?
Intervalode confianza del 90 n>30 se aplica ladistribución normal .
IC=X ±
Z∗S √n
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PRIMER PARCIAL
0,90 Area= =0,45 Z=1,65 2 IC=15 ±
1,65∗2,9 √120
IC=15 ± 0,44 LI =15−0,44
LI =14,54 LS=15+0,44 LS=15,44
Calculo de proba bilidad β : P(14,56< X <15,44)
Z 1=
Z 1=
X 1 −μ σ /√n
14.56−14,8 =−0,91 2,9 / √ 120
Area 1=0,3186
Z 2=
X 2 −μ σ /√n
Z 1=
15.44−14,8 =2,42 2,9/ √120
Area 1=0,4922 Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
P(14,56< X < 15,44)=β= Area1+ Area 2 P(14,56< X < 15,44)=0,3186+ 0,4922
P(14,56< X < 15,44)=0,8108 Existe la probabilidad del 81,08 de cometer un error tipo II si la
verdadera media de ventas es 14,8 millones de dólares .
d) Con las condiciones descritas en el problema anterior, calcular de nuevo las partes a), b) y c) si la estimación de ventas se ha expresado así: los ingresos no superan 15 millones de dólares por tienda.
1.−Planteo de hi pótesis .
Venta promedio por tienda no supera los 15 millones de dólares . Venta promedio por tienda es mayor alos 15 mill ones de dólares .
2.−Nivel de significancia :
3.−Estadística de prueba . n>30, ladistribución muestral para lamedia se aproxima a la
distribución de probabilidad normal . Zp=
X−μ S/ √ n
Zp=
15,39−15 2,9/120
Zp=1,47 4.−Regla de decisión . Andrés Fernández
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PRIMER PARCIAL
Estadística Z critica , para Área=0,50 – α =0,40 :Zc=1,28
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp> 1,28; caso contrario se acepta . 5.−Decisión .
Como Zp=1,47>1,28 se rechaza la Ho , entonces alnivel de s ignificancia del 10 se concluye que la venta promedio por tienda es mayor a
los15 millones de dólares en forma significativa .
Valor p Para Zp=1,47: Área=0,4292
p=0,50−0,4292=0,0708 Entonces, existe alguna evidencia que Hono es verdadera .
Probabilidad de cometer error tipo II si u1=14,8 millones de dólares . Intervalode confianza del 90
n>30 se aplica la distribución normal . LS=X +
Z∗S √n
Area=0,90−0,50=0,40 Z =1,28
Andrés Fernández
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PRIMER PARCIAL
1,28∗2,9 LS=15+ √ 120 LS=15+0,34
LS=15,34 Calculo de probabilidad β : P(X < 15,34)
Z 1=
X −μ σ /√n
Z 1=
15,34−14,8 =2,04 2,9/ √ 120
Area=0,4793
P ( X <15,34 ) =β=0,50+ Área P ( X <15,34 ) =0,50+0,4793 P ( X <15,34 ) =0,9793 Existe la probabilidad del 97,93 de cometer un error tipo II si la
verdadera media de ventas es 14,8 millones de dólares .
PROBLEMA 3 El servicio norteamericano de peces y vida salvaje etiquetaba salmones que desovaban en el río Hood cerca de Seattle para determinar sus características migratorias. El servicio pensaba que el 40% de los peces volvían allí cada año: Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL PRIMER PARCIAL a) Si una muestra de 2,022 peces reveló que 822 habían sido etiquetados el año anterior, ¿está respaldada la hipótesis del servicio al nivel de 5%?
DATOS :
n=2022 X =822
p=
822 =0,4065 2022
π =0,40 α =0,05
1.−Planteo de hipótesis . Proporciónde peces que regresan es igual al 40 .
Proporciónde peces que regresanes diferente al 40 . 2.−Nivel de significancia :
3.−Estadística de prueba . Ya que n. π y n (1−π )es mayor a 5, ladistribución muestral para la proporción
se aproxima ala distribución de probabilidad normal . Zp=
Zp=
√
p−π π ( 1−π ) n
0,4065−0,40 =0,60 0,40 ( 1−0,40 ) 2022
√
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
4.−Regla de decisión . Estadística Z critica , para Área=0,50 – α /2=0,475 :Zc=1,96
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp está fuera de ±1,96 ;
caso contrario se acepta. 5.−Decisión .
Ya que Zp=0,60 está dentro de ± 1,96 se aceptala Ho , entonces al nivel de significancia del 5 se concluye que la proporción de peces que regresan
se mantiene en el 40 . b) Calcular el valor de p correspondiente a estos datos.
Para Zp=0,60: Área=0,2257 p=2( 0,50−0,2257)=0,5486
Entonces, no existe ninguna evidencia que Hono es verdadera . c) Calcular la probabilidad de cometer un error de tipo II si la proporción verdadera es 0.38.
Intervalo de confianza del 95 para la proporción
tanto n∗p como n∗(1−p)es mayor a 5 se aplica ladistribución normal . IC=π ± Z
Andrés Fernández
√
π ( 1−π ) n
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
Área=0,95/2=0,475 : Z=1,96 IC=0,40 ± 1,96
√
0,40 ( 1−0,40 ) 2022
IC=0,40 ± 0,021 LI =0,40−0,021
LI =0,379 LS=0,40+0,021 LS=0,421
Calculo de probabilidad β : P(0,379< p< 0,421)
Z 1=
Z 1=
p1 −π 1
√
π ( 1−π ) n
√
0,379−0,38 =−0,90 0,38 ( 1−0,38 ) 2022
Area 1=0,0359 Z 2=
p2 −π 2
√
π ( 1−π ) n
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
0,421−0,38 Z 2= =3,80 0,38 ( 1−0,38 ) 2022
√
Area 2=0,50 P ( 0,3796< p<0,421 )=β= Area 1+ Area 2 P ( 0,3796< p<0,421 )=0,0359+ 0,50 P ( 0,3796< p<0,421 )=0,5359 Existe la probabilidad del 53,59 de cometer un error tipo II si
la verdadera proporción de pecesque regresan es 0,38.
PROBLEMA 4 Con los datos del problema anterior, si el servicio mantuviera la hipótesis de que más del 40% de los peces regresaban cada año, ¿cuáles serían sus respuestas a las partes a), b) y c)?
Prueba de hipótesis para la proporción de una muestra de cola supe rior
1.−Planteo de hipótesis . Proporciónde peces que regresan es el 40 .
Proporciónde peces que regresanes másdel 40 . 2.−Nivel de significancia :
3.−Estadística de prueba . Ya que n. π y n (1−π )es mayor a 5, ladistribución muestral para la proporción
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
se aproxima ala distribución de probabilidad normal . Zp=
Zp=
√
p−π π ( 1−π ) n
0,4065−0,40 =0,60 0,40 ( 1−0,40 ) 2022
√
4.−Regla de decisión . Estadística Z critica , para Área=0,50 – α =0,45 :Zc=1,65
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp> 1,65; caso contrario se acepta . 5.−Decisión .
Ya que Zp=0,60<1,65 se aceptala Ho , entonces al nivel de significancia del 5 se concluye que la proporción de peces que regresan se mantiene en el 40 .
Valor p
Para Zp=0,60: Áre a=0,2257 p=0,50−0,2257=0,2743 Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
Entonces, no existe ninguna evidencia que Hono es verdadera .
Probabilidad de cometer error tipo II si π 1=0,38.
Intervalode confianza del 95 para la proporción Ya que tanto n . p como n.(1− p)es mayor a 5 se aplica ladistribución normal .
LS=π + Z
√
π ( 1−π ) n
Area=0,95−0,50=0,45 Z =1,65 LS=0,40+1,65
√
0,40 ( 1−0,40 ) 2022
LS=0,40+0,018 LS=0,418
Calculo de probabilidad β : P( p<0,418)
Zp=
Zp=
p−π 1
√
π ( 1−π ) n
√
0,418−0,38 =3,52 0,38 ( 1−0,38 ) 2022
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
Area=0,50 P ( p< 0,418 )=β=0,50+ Área P ( p< 0,418 )=0,50+ 0,50 P ( p< 0,418 )=1,00 Existe la probabilidad del 100 de cometer un error tipo II si la verdadera proporción de peces q ue regresan es 0,38.
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1.5 PROBLEMA 1 Un número de abril de 1991 de la revista Fortune publicaba un artículo sobre la numerosa generación de adictos al trabajo, con edades entre 25 y 43 años, que ocupan puestos directivos en las empresas. El artículo comparaba la vida laboral de estos jóvenes ejecutivos que se han colocado en el camino del ascenso rápido en las empresas con la de los trabajadores que dedican menos tiempo a su trabajo. Mientras que quienes siguen la moda de perseguir el éxito suelen trabajar 70, 80 o incluso 90 horas a la semana, lo típico es trabajar 60. Los datos se recopilaron a partir de entrevistas con empleados de las empresas. Si clasificamos en el grupo 1 a los de ascenso rápido y en el grupo 2 a los que dedican menos tiempo a su trabajo, y suponemos que las entrevistas revelaron los datos estadísticos siguientes en relación con los programas de trabajo semanales: GRUPO 1
GRUPO 2
´ X 1=62.5horas
´ horas X 2=39.7
S 1=22 3.7 horas
S 2=8.9 horas
n1=175
n2=168
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
DATOS :
√
S 1 2 S 22 Sp=S X −X = + n1 n2 1
2
Sp=S X −X = 1
2
√
23,72 8,92 + =1,9186 175 168
a) Al nivel de significancia del 10%, ¿parece haber una diferencia entre el número medio de horas semanales dedicadas al trabajo por uno y otro grupo?
1.−Planteo de hipótesis . Promedio de horas de trabajo semanal es igual en los 2 grupos .
Promedio de horas de trabajo semanal es diferente en los 2 grupos . 2.−Nivel de significancia :
3.−Estadística de prueba . Por ser lostamaños de muestras mayores a 30, la distribución muestral
parala diferencia de medias se aproxima ala d istribución de probabilidad normal . Zp=
X 1−X 2 Sp
Zp=
62,5−39,7 =11,88 1,9186
4.−Regla de decisión .
Estadística Z critica , para Área=0,50 – α /2=0,45 :Zc=1,65
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp está fuera de ±1,65 ; caso contrario se acepta.
5.−Decisión . Como Zp=11,88 está fuera de ±1,65 se rechaza la Ho , entonces alnivel
de significanciadel 10 se concluye que el promedio de horas de trabajo semanal es diferente en los2 grupos en for ma significativa .
b) Supongamos que queremos determinar si los pertenecientes al primer grupo trabajan más horas que la media de los pertenecientes al segundo.
1.−Planteo de hipótesis .
Promedio de horas de trabajo semanal es igual en los 2 grupos . Promedio de horas de trabajo semanal es mayor en el primer grupo .
2.−Nivel de significancia: 3.−Estadística de prueba .
Zp=
X 1−X 2 Sp
Zp=
62,5−39,7 =11,88 1,9186
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
4.−Regla de decisión . Estadística Z critica , para Área=0,50 – α =0,40 :Zc=1,28
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp> 1,28; caso contrario se acepta.
5.−Decisión . Como Zp=11,88> 1,28 se rechaza la Ho , ent onces al nivel de
significancia del 10 se concluye que el promedio de horas de trabajo semanal es mayor en el primer grupo que en el segundo grupo en forma significativa .
c) Un tercer enfoque de esta comparación es comprobar la hipótesis de que μ1 sea superior a μ2 en 10 horas.
1.−Planteo de hipótesis .
Diferenciaentre promedio de horas de trabajo semanal entre los 2 grupos es igual a 10 horas .
Diferenciaentre promedio de horas de trabajo semanal entre los 2 grupos es mayor a 10 horas .
2.−Nivel de significancia: 3.−Estadística de prueba .
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
X (¿ ¿ 1− X 2)−10 Sp Zp=¿ Zp=
(62,5−39,7)−10 =6,67 1,9186
4.−Regla de decisión .
Estadística Z critica , para Área=0,50 – α =0,40 :Zc=1,28
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp> 1,28;
caso contrario se acepta. 5.−Decisión .
Como Zp=6,67>1,28 se rechaza la Ho , entonces al nivel de significancia del 10 se concluye que la diferencia entre promediode
horas de trabajo semanal entre los 2 grupos es mayor a10 horas en forma significativa .
PROBLEMA 2 Muchos estudios económicos se ocupan de sectores en los cuales una gran parte del dominio del mercado se concentra en manos de unas pocas empresas. Se teme que las empresas poderosas en sectores de tan alta concentración dominen el mercado con fines egoístas. Se emparejaron las empresas de nueve sectores concentrados con las de un número igual de sectores en los cuales el poder económico estaba más disperso. Se hicieron coincidir las empresas de cada grupo Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL PRIMER PARCIAL en cuanto a competencia extranjera, estructuras de coste y de todos los demás factores que pueden afectar a los precios industriales. A continuación se indican los incrementos medios del precio en porcentajes de cada sector. Al nivel del 5%, ¿parece que los sectores concentrados presentan una presión inflacionista más pronunciada que los sectores menos concentrados? PAREADOS DE
SECTORES
SECTORES
SECTORES
CONCENTRADOS (%)
MENOS CONCENTRADOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9
(%) 3.2 3.7 2.6 0.1 4.1 4.8 5.2 3.9 4.6
3.7 4.1 2.1 -0.9 4.6 5.2 6.7 3.8 4.9
DATOS :
Tabla de cálculos para ladiferencia media de 2 muestrasdependientes . Pareado s de sectores 1 2 3 4 5 6 7 8
Sectores Concentra d. 3,7 4,1 2,1 -0,9 4,6 5,2 6,7 3,8
Andrés Fernández
Sectore s Menor c.
Diferenci a D
Dif media Dm
Cuadrad o (D-Dm)²
3,2 3,7 2,6 0,1 4,1 4,8 5,2 3,9
0,5 0,4 -0,5 -1 0,5 0,4 1,5 -0,1
0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22 0,22
0,0772 0,0316 0,5216 1,4938 0,0772 0,0316 1,6327 0,1038
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ESTADISTICA INFERENCIAL 9 4,9 4,6 Sumas:
PRIMER PARCIAL 0,3 2
0,22
0,0060 3,9756
DIFERENCIA MEDIA
D=
∑D n
2 D= =0,22 9 DESVIACION ES TANDAR
S n=
√
∑ ( D−D )2
S n=
√
3,9756 =0,7049 9−1
n−1
1.−Planteo de hipótesis .
Diferenciamedia en presión inflacionaria entre los2 sector es es igual a cero .
Diferenciamedia en presión inflacionaria es mayor en el grupo de sectoresconcentrados .
2.−Nivel de significancia: 3.−Estadística de prueba .
Por ser el tamaño de muestra menor a 30, se aplicala distribución de probabilidad t .
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
D tp= Sn √n tp=
0,22 =0,94 0,7049/ √ 9
4.−Regla de decisión .
Estadística t critica , para 8 gl de una cola y α =0,05 :tc=1,86
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si tp> 1,86; caso contrario se acepta.
5.−Decisión . Como tp=0,94 <1,86 se aceptala Ho , entonces al nivel de significancia
del 5 se concluye que los sectores concentrados no presentan una presión inflacionista más pronunciada que los sectores menos concentrados en forma
significativa .
PROBLEMA 3 Una empresa de sondeos prueba dos barrenas perforando pozos hasta una profundidad máxima de 112 pies y anotando el número de horas que requiere el proceso. La primera barrena se utilizó en 12 casos con un tiempo medio de Ẋ1 = 27.3 horas y s1 = 8.7 horas. Con la segunda se perforaron 10 pozos, obteniéndose un resultado de Ẋ2 =31.7 horas y s2 = 8.3 horas. Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
DATOS :
2 p
S =
S 2p=
( n1 −1 ) S 21+ ( n2−1 ) S 22 n1+ n2−2
( 12−1 ) 8,72 + ( 10−1 ) 8,32 =72,63 12+10−2
a) ¿Parece que la primera barrena es más eficaz que la segunda? Pone α = 0.10.
1.−Planteo de hipótesis . Tiempo promedio de perforacion es igual con los 2 tipos de barrenas .
Tiempo promedio de perforación es menor con la primera barrena. 2.−Nivel de significancia :
3.−Estadística de prueba . Por ser lostamaños de muestras menores a 30 y se desconocen los valo res de
la desviación estándar de cada población , se aplica ladistribución de probabilidad t . tp=
tp=
X 1−X 2
√
S2p
( n1 + n1 ) 1
2
23,7−31,7
√
1 1 72,63 + 12 10
(
Andrés Fernández
=−1,206
) Página 46
ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
4.−Regla de decisión . Estadística t critica , para n 1+n 2 – 2=20 gl de una cola
α =0,10 :tc=−1,325
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si tp<−1,325 ;
caso contrario se acepta. 5.−Decisión .
Como tp=−1,206>−1,325 se rechaza la Ho , entonces al nivel de significancia del 10 se concluye que la prim era barrenano es mas eficaz que la segunda
barrena en forma significativa .
b) Todos los pozos se perforaron con el mismo equipo y en el mismo suelo. Si por estos motivos o muchos otros que se pudieran citar la empresa de sondeos pensó que los tiempos tenían varianzas iguales, ¿cómo diferiría la prueba de la parte a)?
En elliteral anterior ya se aplicó el criterio de las varianzas iguales para el desarrollo de la prueba de hipótesis , por el contrario para casos con varianzas diferentes habrá
que considerar algún cambio o ajust e en el proceso para desarrollar la prueba de hipótesis , pero por limitaciones del libro de estudios no se la conoce , tal que no
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
podemosdeterminar si cambia o no elresultado de la prueba .
PROBLEMA 4 Un estudio realizado por Retail Management reveló que 131 de 468 mujeres pagaron sus compras al por menor con una tarjeta de crédito concreta, mientras que de 237 hombres 57 utilizaron la misma tarjeta:
DATOS :
pc =
X1+ X2 n1 +n2
pc =
131+57 =0,2667 468+237
a) ¿Hay datos indicadores de una diferencia en la proporción de mujeres y hombres que utilizan esa tarjeta? Sea α = 0.05.
1.−Planteo de hipótesis .
Proporciónde compras con tarjetaes igual entre hombres y mujeres .
Proporción de compras con tarjetaes iferente entre hombres y mujeres .
2.−Nivel de significancia: 3.−Estadística de prueba . Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
Por ser n . p y n(1− p)mayores a5 para cada muestra se aplica la distribución normal .
Zp=
Zp=
p 1− p2
√
PC ( 1−PC )
( n1 + n1 ) 1
2
0,28−0,24
√
1 1 0,2666 ( 1−0,2666 ) + 468 237
(
=1,13
)
4.−Regla de decisión .
Estadística Z critica , para Área=0,50 –
α =0,475 : Zc=±1,96 2
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp está fuera de ±1,96 ; caso contrario se acepta.
5.−Decisión . Como Zp=1,13 está dentro de ±1,96 se acepta la Ho , entonces al nivel de
significancia del 5 se concluye que no existe una diferencia significativa en la proporción de compras pagadas con tarjeta por mujeres y hombres .
Andrés Fernández
Página 49
ESTADISTICA INFERENCIAL b) Supongamos que la hipótesis fuera que πw > πM.
1.−Planteo de hipótesis .
Proporciónde compras con tarjetaes igual entre hombres y mujeres .
Proporciónde compras con tarjetaes mayor en grupo de mujeres .
2.−Nivel de significancia: 3.−Estadística de prueba .
Zp=
Zp=
p 1− p2
√
PC ( 1−PC )
( n1 + n1 ) 1
2
0,28−0,24
√
0,2666 ( 1−0,2666 )
( 4681 + 2371 )
=1,13
4.−Regla de decisión . Estadística Z critica , para Área=0,50 – α =0,45 :Zc=1,65
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp> 1,65;
caso contrario se acepta. 5.−Decisión .
Andrés Fernández
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PRIMER PARCIAL
ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
Como Zp=1,13<1,65 se aceptala Ho, entonces al nivel de significancia del 5 se concluye que lascompras pagadas con tarjeta por mujeres no
es mayor en forma significativa que la realizada por hombres .
c) Supongamos que la hipótesis fuera que la proporción de mujeres era como mínimo tan grande como la de hombres.
1.−Planteo de hipótesis . Proporción de compras con tarje tahecha
por mujeres es igual a 0,24. Proporción de compras con tarjetahecha
por mujeres es mayor a 0,24. 2.−Nivel de significancia :
3.−Estadística de prueba . Zp=
Zp=
p1−π
√
π ( 1−π ) n1
√
0,28−0,24 =2,03 0,24 ( 1−0,24 ) 468
4.−Regla de decisión .
Estadística Z critica , para Área=0,50 – α =0,45 :Zc=1,65
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp> 1,65;
caso contrario se acepta. 5.−Decisión .
Como Zp=2,03>1,65 se rechaza la Ho , entonces alnivel de significancia del 5 se concluye que lascompras pagadas con tarjeta por mujeres
mayor al24 en forma significativa .
d) Formulemos la hipótesis de que la proporción de mujeres supere a la de hombres en más del 1.5%.
1.−Planteo de hipótesis . Diferenciaen proporción de compras
con tarjeta es igual a 0,015. Proporciónde compras con tarjeta
es mayor en 0,015 en grupo de mujeres . 2.−Nivel de significancia :
3.−Estadística de prueba .
Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
PRIMER PARCIAL
p (¿ ¿ 1− p2 )−0,015
√
1 1 + n 1 n2 Zp=¿
PC ( 1−PC )
Zp=
(
)
( 0,28−0,24 ) −0,015
√
0,2666 ( 1−0,2666 )
( 4681 + 2371 )
=0,71
4.−Regla de decisión .
Estadística Z critica , para Área=0,50 – α =0,45 :Zc=1,65
Regla de decisión : Se rechaza la Ho si Zp> 1,65;
caso contrario se acepta. 5.−Decisión .
Como Zp=0,71<1,65 se aceptala Ho, entonces al nivel de sig nificancia del 5 se concluye que lascompras pagadas con tarjeta por mujeres no es
mayor en el1,5 en forma significativa sobre las compras r ealizada por hombres . Bibliografía principal. Texto guía Andrés Fernández
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ESTADISTICA INFERENCIAL
Título:
PRIMER PARCIAL
Estadística para administración y economía
Autor:
Levin / Rubin / Balderas/ del Valle / Gómez
Editorial:
Pearson
Edición o año:
7.ª edición
i
Bibliografía de consulta opcional
Título: Autor:
Estadística para administración y economía William J.Stevenson
Editorial:
Harla
Edición o año:
1981
Título:
Estadística para administración y economía
Autor:
Mason / Lind / Marchal
Editorial:
McGraw Hill
Edición
11.ª edición
Andrés Fernández
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