Funktionentheorie

Vorlesungsskriptum1

Funktionentheorie Peter Schlicht 2, Frank Werner 3

1

Keine Garantie f ur u Vollst¨ andigkeit oder Richtigkeit. andigkeit ¨r Vollst¨ In Anlehung Anlehung an die Vorlesung orlesung ’Funkti ’Funktionen onentheori theorie’ e’ an der Georg-Augu Georg-August-Un st-Unive iversit rsit¨ at at Gottingen ottingen von Professor Professor Dr. Burmann Burmann im ¨ ¨ Sommersemester 2006 2 G¨ ottingen, [email protected] ottingen, 3 G¨ ottingen, [email protected] ottingen,

2

Literatur ¨ [RSF] Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Schumacher: Funktionentheorie 1. Mit Ubungsaufgaben Springerverlag Berlin, 401 Seiten, ISBN: 3-540-41855-5 [FBF] [FBF] Eberhard Eberhard Freitag, Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie Busam: Funktionentheorie 1 Springerverlag Berlin, 550 Seiten, ISBN: 3-540-31764-3 [FOA] Otto Forster: Forster: Analysis Analysis I. Differential- und Integralrechnung einer Ver¨ Ver ¨ anderlichen anderlichen Viewegverlag Wiesbaden, 287 Seiten, ISBN: 3-834-80088-0 [WEZ] Frank Werner: Werner: Die Riemann’sche Zetafunktion Unver¨ Unveroffentlichtes Gottingen öffentlichtes Studentenskript, G¨ öttingen 2007, 76 Seiten [SWR] Peter Schlicht, Schlicht, Frank Werner: Werner: Riemann’sche Flachen achen ¨ Unver¨ Unveroffentlichtes Gottingen öffentlichtes Studentenskript, G¨ öttingen 2007, 232 Seiten [WEF] Frank Werner: Werner: Funktionentheorie in mehreren Variablen - Komplexe Analysis Unveroffentlichtes öffentlichtes Studentenskript, Gottingen öttingen 2007, 20 Seiten [RUR] Walter Rudin: Reelle Rudin: Reelle und komplexe Analysis Oldenbourg Verlag, 499 Seiten, ISBN: 3-486-24789-1

Literatur

Vorwort

3

Vorwort Das Grundger¨ Grundgerust u wahrend unktionentheorie“ von Professor H.-W. Bur¨st dieses Skriptums ist w¨ ährend der Vorlesung Funktionentheorie“ ” mann im Sommersemester 2006 an der Georg-August-Universit¨ Georg-August-Universit at ät Gottingen öttingen als Gemeinschaftsprojekt von Peter Schlicht und mir entstanden. Die letzten beiden Kapitel wurden im Sommersemester 2007 in Anlehnung an [RUR] und die gleichzeitige Funktionentheorie Vorlesung von Prof. Witt an der Georg-August-Universit at ät Gottingen u öttingen hinzugef ugt. ¨gt. Es handelt sich hierbei ausdr¨ ausdr ucklich u ¨cklich nur um eine studentische Mitschrift, nicht um ein offiziell vom Dozenten herausgegebenes Skript. Trotz großer Anstrengungen sind sicherlich einige Fehler mathematischer wie auch sprachlicher Natur im Skript verblieben, was hoffentlich nicht allzu große Schwierigkeiten f ¨ f ur u Verstandnis a¨ndnis ¨r das Verst¨ aufwerfen wird. Es handelt sich um einen Standardkurs in moderner Funktionentheorie, wobei aber durchaus an manchen Stellen auch auf die klassischen Aspekte eingegangen wird. Das die Funktionentheorie durchaus ein Interessantes Gebiet der Mathematik ist, was auch in vielen Anwendungen zum Einsatz kommt, sollte klar sein. Viele Integrale lassen sich erst mittels des Residuensatzes berechnen, einige interessante Distributionen k¨ k onnen önnen auf holomorphe Funktionen zur¨ zuruckgef u u ¨ckgef uhrt ¨ hrt werden, und auch die Theorie der partiellen Differentialgleichungen k ame äme ohne die reine Funktionentheorie wohl nicht aus. Insbesondere sollte das Verständnis andnis auch ohne große Vorkentnisse außerhalb der gewöhnlichen ohnlichen reellen Analysis moglich öglich sein. Wer eine Fortsetzung dieses Themas außerhalb der komplexen Analysis in h¨ h oheren öheren Dimensionen sucht, der sei auf die Riemann’schen Fl¨ Flachen a¨chen [SWR] verwiesen. Einige M¨ M oglichkeiten o¨glichkeiten der Fortsetzung des Themas in h¨ h oheren o¨heren komplexen Dimensionen werden in [WEF] ideenhaft dargestellt. Eine ausf uhrliche u ¨hrliche Anwendung der Theorie der Zetafunktion (und somit der analytischen Zahlentheorie) stellt [WEZ] dar.

Gottingen, o¨ttingen, im Juli 2007

Frank Werner

4

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis Literatur

2

Vorwort

3

Inhaltsverzeichnis

4

1 Die komplexen Zahlen

5

2 Holomorphe Funktionen

7

3 Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

10

4 Folgen und Reihen

12

5 Potenzreihen

15

6 Exp onentialfunktion, Sinus, Cosinus

18

7 Logarithmus und allgemeine Potenzen

22

8 Verhalten von Potenzreihen auf dem Konvergenzradius

23

9 Kurvenintegrale

26

10 Stammfunktionen

32

11 Umlaufzahl

34

12 Das Integrallemma von Coursat

36

13 Integralsatz und Integralformel von Cauchy I

38

14 Taylorentwicklung

44

15 Identit¨ atssatz und analytische Fortsetzung

47

16 Funktionenfolgen und -reihen

49

17 Parameterintegrale

56

18 Integralformel und Integralsatz von Cauchy II

63

19 Isolierte Singularit¨ aten, Laurententwicklung und Polordnung

68

20 Residuensatz

74

21 Null- und Polstellenanzahlen

82

22 Lokales Werteverhalten holomorpher Funktionen

85

23 Partialbruchzerlegungen und der Satz von Mittag-Leffler

89

24 Der Weierstraß’sche Pro duktsatz

94

25 Die Gammafunktion

98

26 Konforme Abbildungen

111

27 Der Riemann’sche Abbildungssatz

120

Stichwortverzeichnis

125


1

5

Die Die kom kompl plex exen en Zahl Zahlen en

Eigentlich sollten die komplexen Zahlen bereits aus den Anf angervorlesungen ängervorlesungen bekannt sein, deshalb hier nur ein kurzer Abriss.

1.1

Der Korper orper C ¨

1.1 Definit Definition ion (C): Man definiert den K ¨ orper C = R2 , +, , 0, 1 wie folgt: ¨





·

• C ∋ 0 := (0, (0, 0) ∈ R2 • C ∋ 1 := (1, (1, 0) ∈ R2 • + : C × C  C durch (a, b) + (x, ( x, y) := (a (a + x, b + y ) • · : C × C  C durch (a, b) · (x, y) := (ax (ax − by,ay + by,ay + bx) bx) 



Man pr¨ pruft u K orper ¨ft leicht nach, dass C mit diesen Axiomen ein K¨ örper ist:

• Ist z = (a, b) ∈ C, so ist das additiv Inverse durch ( −a, −b) gegeben • Ist z = (a, b) ∈ C, so ist das multiplikativ Inverse durch a +1 b (a, ( a, −b) gegeben. 2

2

Bemerkung 1.1: In Zukunft wird ein Element (x, ( x, 0)

mit x bezeichnet. • ∈ C nur noch mit x (0, 1) ∈ C wird die imaginare • i := (0, äre Einheit genannt. Es gilt i2 = (−1, 0). =: x + i ·y schreiben. Dabei wird x =: ℜ (z ) ∈ R der • Damit konnen önnen wir berechtigter Weise C ∋ z = (x, y) =: x ℑ ∈ Realteil und y und y =: (z ) R der Imagin¨ Imaginarteil ärteil von z genannt.

1.2

Die Die kom komple plexe xe Konjug Konjugati ation on

··· ∈

1.2 Definit Definition ion (( (( )): F ur = x + i y C definiert man den K orperautomorphismus ( ¨ ¨ z = x ¨ ¨

· · ·) : C

 C durch z = x

− i y.

Bemerkung 1.2: Es gilt f ur u ¨r z, w C:

∈

• z + w = z = z + + w • z · w = z = z · w • ℜ (z) = 12 (z ( z + z ) • ℑ (z) = 21i (z ( z − z ) 1.3 Definition Definition (absoluter (absoluter Betrag auf C): F ur = x + i y C definiert man den absoluten Betrag wie folgt: ¨ ¨ z = x

∈

|z| := √ z · z =

Damit gilt:



x2 + y 2

∈R

• |z| = 0 ⇔ z = 0 • |z · w| = |z| · |w| ∀ z , w ∈ C • |z + w| ≤ |z| + |w| • |z − w| ≥ | |z| − |w|| • max(|x| , |y|) ≤ |z| ≤ |x| + |y|

|z| entspricht dem euklidischen Abstand zwischen z ∈ R2 und 0 ∈ R2 . Allgemeiner entspricht | z − w | dem euklidischen Abstand zwischen z zwischen z ∈ R2 und w und w ∈ R2 .

1.4 Definit Definition ion (B (Br (a (a)): Sei a C und 0 < r R. Dann definiert man die offene Umgebung um a mit dem Radius r durch

∈

∈

 ∈  | − | 

Br (a (a) := z

C

a

z
6


1.3

Polark olarkoord oordina inaten ten

1.5 Definition Definition (Polark (Polarkoordinaten oordinaten,, arg arg (z )): Sei 0 0 = z = x = x + i y C. Dann definiert man r man r := z und w ¨ ϕ s.d. cos( s.d. cos(ϕ ϕ) = ählt ϕ man die Darstellung von z in den sogenannten Polarkoordinaten



∈

||

x r

und sin(ϕ sin(ϕ) = yr . Damit erh ¨ ält

z = r (cos (cos (ϕ) + isin isin (ϕ)) ϕ gibt den Winkel zwischen der Gerade 0 eindeutig bestimmt bis auf 2πn, n Z.

∈

↔ z und der x-Achse an und wird mit arg( mit arg(zz ) := ϕ := ϕ bezeichnet. Er ist

Bemerkung 1.3: Seien z, w C , z = r (cos (cos (ϕ) + i sin sin (ϕ)), w )), w = R = R (cos(ψ (cos(ψ ) + i sin sin (ψ )). Dann gilt in der Polarkoordinatendarstellung:

∈

= r · R (cos(ϕ (cos(ϕ + ψ ) + isin isin (ϕ + ψ)) (folgt direkt aus den Additionstheoremen) • z · w = r (cos(nϕ)) + isin isin (nϕ)) nϕ)) (nach de Moivre) • zn = r n (cos(nϕ (cos (−ϕ) + isin isin (−ϕ)) • z1 = 1r (cos

1.4

Weitere eitere Eigensc Eigenschafte haften n

1.6 Definition Definition (der Punkt Man definiert C := C

∞): Umgebung ng des Punktes Punktes ∞ ∪{∞}. Eine Umgebu ∞ ist das Komplement einer Kreisscheibe {z ∈ C | |z − a| > r} f ur ¨ ¨ a ∈ C, 0 < r ∈ R

1.7 Definition Definition (stereograph (stereographisch ische e Projektion): Projektion): t 3 R . Betrachtet man die um den Punkt 0, 0, 12 Sei N := := (0, (0, 0, 1) 1 2

 ∈ − 

∈

S 2 :=



(x,y,z) x,y,z )t  S 2

so erh ¨ alt ¨ man eine Bijektion S N N : C

∈ R3 | x2 + y2 +

R3 verschobene Sph are ¨ ¨ mit dem Radius 2

1 2

=

1 4

\ {N } durch

 →

z = x + i y

z

t

x y z2 , , 1+ z 2 1+ z 2 1+ z

||

||

|| | |2



t

welche die stereographische Projektion genannt wird. Dabei wird ein Punkt z mit der Geraden, welche durch N und s verl auft, abgebildet: ¨ ¨

∈ C auf den Schnitt der Sph ¨ äre

z N

P

z x Bemerkung 1.4: Wird wie oben unter dieser Projektion C den euklidischen Abstand d im R 3 : w| • d (P, Q) = √ (1+||zz|−)(1+ |w | ) • d (P, N ) N ) = √ 1 1+|z | 2

2

2

y

u ∋ z → P ∈ S 2 \ {N } , C ∋ w → Q ∈ S 2 \ {N } abgebildet, so gilt f ur ¨r


2

7

Holo Holomo morp rphe he Funkt unktion ionen en

2.1

Funktio unktionen nen

2.1 Definition Definition (Funktio (Funktion): n):  C wird Funktion genannt. Dabei heißt D Eine Abbildung f : D

⊂ C Definitionsbereich von f . f .

Beispiel 2.1: 1. f (z ( z ) = z 2 , bzw. f ur z u = r (cos (cos (ϕ) + i sin sin (ϕ)) gilt f gilt f ((z ) = r 2 (cos (cos (2ϕ (2ϕ) + isin(2ϕ isin(2ϕ)) ¨r z = r

2. f (z ( z ) = z 3. f (z ( z ) =

1 z

Im Bild kann man den Grund daf ur u Funktion auch “Spiegelung am Mittelpunkt“ genannt ¨r sehen, dass diese Funktion wird. 4. f (z ( z ) =

1 z

2.2 Definition Definition (Stetigke (Stetigkeit): it):  C heißt stetig an z Eine Funktion f : D D, falls eine der folgenden ¨ aquivalenten Bedingungen erf ullt ¨ ¨ 0 ist: ε > 0 δ > 0 s.d. z D mit z z0 < δ gilt: gilt: f (z ( z ) f (z ( z0 ) < ε

∀

∃

∈ ∀ ∈

| | − |

|

−

Zu jeder offenen Umgebung U von f (z ( z0 ) gibt es eine Umgebung V von z0 s.d z

|

∈ V ∩ ∩ D ⇒

f (z ( z )

∈ U

8


2.1 Lemma: Lemma: Gilt lim f (z ( z ) = a und lim g (z ) = b, b, so gilt auch z

→z0

z

→z0

• zlim (λf (z ( z ) + µg (z )) = λa + µb ∀ λ, µ ∈ C →z ( z ) · g (z )) = a · b • zlim →z (f (z 0

0

f (z ) a • zlim  0 und g (z) = 0 ∀ z ∈ D. →z g(z) = b falls b = f (z ( z ) = a • zlim →z • zlim |f (z ( z ) | = |a| →z 0

0

0

Der Beweis kann aus der reellen Analysis abgeschrieben werden, er findet sich außerdem in [FOA].

2.2

Vorarbei orarbeiten ten

2.3 Definition Definition (Grenzwe (Grenzwert): rt):  C Sei D D C und z z 0 ein H ¨ aufungspunkt von D, D , d.h. Folge (x ( xn )n∈N D mit lim = z 0 . Seien weiter f f : D ¨ n→∞ eine Funktion und a C.  a f ur  z , falls eine der folgenden ¨ Man sagt lim f (z ( z ) = a oder auch f auch f ( (zz ) z aquivalenten Bedingungen Bedingungen ¨ ¨ z ¨ 0

⊂

∃

∈

z

erf ullt ¨ ¨ ist:

⊂

→z0

( z ) − a| < ε • ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 s.d. ∀ z ∈ D mit | |z − z0| < δ gilt: |f (z • Zu jeder offenen Umgebung U von a gibt es eine Umgebung V von z0, s.d ∩ D ⇒ f (z z0  = z ∈ V ∩ ( z ) ∈ U 2.4 Definition Definition (Gebiet): (Gebiet): Eine Teilmenge D C heißt Gebiet, falls

⊂

 ∅

1. D =

2. D ist offen 3. D ist zusammenh ¨ angend (also D = U = U ¨

∪ ∪ V, U,V offen, U ∩ ∩ V = ∅ ⇒

2.3 2.3 Sei D Sei D

U = oder V = )

∅

∅

Holo Holomo morp rphi hie e und f : D ⊂ C ein Gebiet und f

 C eine

Funktion.

2.5 Definition Definition (Differenzi (Differenzierbark erbarkeit): eit): Sei z0 D. f heißt f heißt an z0 komplex differenzierbar, falls der Grenzwert

∈

lim

z

→z0

f (z ( z ) z

− f (z ( z0 ) f (z ( z0 + h) − f (z ( z0 ) = lim h→0 − z0 h

existiert. In diesem Fall wird besagter Grenzwert die Ableitung von f f an z z 0 genannt und mit f mit f ′ (z0 ) oder ∂f ( z0 ) ∂z (z bezeichnet. 2.6 Definition Definition (holomorphe (holomorphe Funktion): Funktion): f heißt f heißt holomorph in D, falls f f an jedem Punkt z0

∈ D komplex differenzierbar ist.

¨ 2.1 Satz (Aquivalente Charakterisierung der komplexen Differenzierbarkeit): Sei z0 D. Dann gilt:

∈

⇔

f ist f ist an z0 komplex differenzierbar es gibt eine eine komplexe komplexe Zahl a und eine f ur ¨ ¨ hinreichend kleine 0 = h r (h) mit lim r (h) = 0 s.d. f (z ( z0 + h) = f (z ( z0 ) + a h + h r (h) h

→0

Korollar 2.1: Ist f an z0 D komplex differenzierbar, so ist f an z0 stetig.

∈

·

·

 ∈ C erkl ¨ ärte Funktion


2.4 2.4

9

Rec Rechenr henreg egel eln n f ur u ¨ r komplex differenzierbare und holomorphe Funktionen

2.2 Lemma: Lemma: Seien f, g : D : D

 C holomorph

⊂ C. Dann gilt:

in einem Gebiet D

1. (λf + + µg) µg) ist auch holomorph in D mit (λf + + µg) µg)′ = λf ′ + µg′

′

∀ λ, µ ∈ C

2. f g ist auch holomorph in D mit (f g ) = f ′ g + f g ′

· ·

· ·



3. Falls g alls g = 0, so ist auch

f g holomorph

·

in D mit

· ·

 f g

′

=

f ′ g f g ′ g2

·−·

Korollar 2.2: Unter obigen Voraussetzungen und f = 0, g = 0 gilt zus ¨ atzlich ¨

 

1. (f n )′ = n f n−1 f ′

·

2.

(f g)′ f g

· ·

′

3.

( f g ) f g

f ′ f

= =

f ′ f



·

+

g′ g ′

− gg

Beispiel 2.2:

∈ C ⇒ f ′ (z) = 0 2. f (z ( z ) = z ∈ C ⇒ f ′ (z ) = 1 3. f (z ( z ) = z n ∈ C ⇒ f ′ (z ) = n · z n−1 1. f (z ( z ) = c

4. f (z ( z ) = a n z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0

(n − 1) · an−1 z n−2 + ... + a1 ∈ C ⇒ f ′ (z) = n · anzn−1 + (n P (z )  0. 5. Sind Sind P ( P (zz ) und Q und Q (z ) Polynome wie in 4), so ist f ( f (zz ) = Q (z ) auch holomorph, falls Q (z ) = 2.2 Satz (Kettenregel) (Kettenregel)::  C sowie g : D Seien Df und Dg zwei Gebiete in C und f und f : D f : D g holomorphe Funktionen mit f (D ( Df ) Dg . Dann ist (g f ) f ) auch holomorph auf Df und es gilt

 C zwei

auf ihren Definitionsbereichen

⊂

◦

(g f ) f )′ (z ) = f ′ (z ) (g ′ f ) f ) (z ) = f ′ (z ) g′ (f (z ( z ))

◦

· ◦

·

Beispiel 2.3:

{ ∈ C | |z| < 1}, so ist auch g auch g (z ) := f := f g ′ (z ) = 2z · f ′ z 2

Ist f Ist f eine eine holomorphe Funktion in z





z 2 dort holomorph und es gilt

2.3 Satz (Ableitung (Ableitung der Umkehrfunktio Umkehrfunktion): n): Sei D D f C ein Gebiet und f und f : Df  C eine injektive holomorphe Funktion. Sei weiter g weiter g die offenbar existente Umkehrfunktion zu f . f . Zus ¨ nehmen wir an, dass ätzlich

⊂

1. f ′ (z ) = 0

 ∀ z ∈ Df

2. Dg := f := f (D ( Df ) ist ein Gebiet 3. g ist stetig

∈ Df :

Dann ist auch g holomorph in Dg und es gilt mit der Bezeichnung w := f := f (z ( z ) f ur ¨ ¨ ein festes z 1 g ′ (w) = ′ f (z ) Bemerkung 2.1: Ist f Ist f eine eine auf D D f holomorphe Funktion, D Funktion, D f

⊂ C ein Gebiet und f  0 ∀ z ∈ Df . Dann gilt und f ′ (z ) = |f (z ( z ) − f (z ( z0 ) | z→z  |f (z ( z0 )| |z − z0| 0



f ur z u ¨r z0 Df . Die Ableitung gibt also an, wie stark sich die Funktion ver andert, ändert, insbesondere hangt ängt die Stauchung / Streckung der abgebildeten Menge nicht von der Richtung ab, aus der man sich an z 0 ann¨ annahert. ähert.

∈

10


·

∈ ∈ C mit |q | = 1 und t und t ∈ (0, (0, 1], so gilt ( z0 + qt) ( z0 ) f (z qt ) − f (z lim = q · f ′ (z0 )

Betrachtet man z = z 0 + q t f ¨ f ur q u ¨r q

t

t

→0

Folglich bleibt die Richtung, aus der man sich an z 0 ann¨ annahert a¨hert beim Ableiten also erhalten.

⇒ holomorphe Funktionen f Funktionen f erhalten also Winkel, falls f ′  =0 Solche Abbildungen werden auch konform auch konform oder oder winkeltreu winkeltreu genannt. genannt. Vergleiche dazu auch Abschnitt 26.2. Beispiel 2.4 (f ur u ¨ r nicht-holomorphe Funktionen:): 1. f (x ( x + i y ) = x 2. f (z ( z ) = z z z | |2 = zz

3. f (z ( z ) = z

3

Die Cauchy Cauchy-Riema -Riemannsc nnschen hen Differen Differentialg tialgleic leichun hungen gen

Sei f Sei f : D

 C f ur u ¨r

ein Gebiet D Gebiet D

⊂ C eine Funktion. Wie betrachten C = R2 und konnen önnen so f (x, (x, y) = u (x, y ) + i v (x, y )

schreiben, wobei u, v : R2 welche durch



R Funktionen sind. Insgesamt betrachten wir also eine Abbildung R2

(x, y )



R2

→ (u (x, y) , v (x, y))

gegeben gegeben ist. Sei 0 = h

 ∈ R. Dann gilt: ( z + h) f (z h f (z ( z + i h) ih

( z ) − f (z ( z ) − f (z

= =

u (x + h, y ) u (x, y ) v (x + h, y ) v (x, y) +i h h u (x, y + h) u (x, y ) v (x, y + h) v (x, y ) i + h h

−

−

−

−

−

Ist f Ist f holomorph in D in D,, so gilt also offenbar f ′ (z )

= =

∂u ∂ v (x, (x, y ) + i (x, ( x, y ) ∂x ∂x ∂v ∂ u (x, ( x, y) i (x, y ) ∂y ∂y

−

was uns durch Vergleich von Real- und Imagin¨ Imaginarteil ärteil die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen liefert:

∂u ∂x 3.1 3.1

=

∂v ∂u und ∂y ∂y

=

−

∂v ∂x

Krit Kriter erie ien n f ur u ¨ r Holomorphie

3.1 Definition: Definition:  R heißt total Eine reellwertige Funktion u u : R2 in dem Gebiet D D R2 , wenn es zu jedem total differenzierbar differenzierbar in (x, y ) D reelle Zahlen a, b und f ur (0, 0) = (s, t) R2 eine reellwertige Funktion ρ (s, t) ¨ ¨ hinreichend kleines (0, gibt, s.d. u (x + s, y + t) = u (x, y ) + a s + b t + st + t2 ρ (s, t)

∈

·

mit ρ (s, t)

(s,t)

 0

  0.

 ·

⊂

∈



·

3.1 Satz: Satz: Die komplexwertige Funktion Funktion f := u + i v ist genau dann holomorph in dem Gebiet D, wenn u und v total differenzierbar in U sind U sind und die Cauchy-Riemann’schen Differentialgleichungen erf ¨ erf ullt ¨ sind. Beweis:


11

• “ ⇒“ Das f ur u Differentialgleichungen gelten wurde b ereits gezeigt. Da f holomorph holomorph ¨r eine holomorphe Funktion die Differentialgleichungen ist, gilt

·

 0

h

f (z ( z + h) = f (z ( z ) + f ′ (z ) h + h r (h) mit r mit r (h)

·

  0

Sei h = s + s + i t und r und r = p + p + i q (als Funktion). Aus den Differentialgleichungen folgt, dass dass f f ′ = womit u (x + s, y + t)

∂ u · ∂u (x, y ) + t · (x, ( x, y ) + ∂y ∂y  s · p (s, t) − t · q ( √ q (s, t) (s,t) 0  0

=

u (x, y ) + s



mit ρ mit ρ (s, t) := weil ρ (s, t)

 • “ ⇐“



·

 

·

∂u ∂x

+i

∂u ∂y ,

s2 + t2 ρ (s, t)



s2

| ≤ | p p (s, t) | + | (s, t) |2 · |r (h) |

+

t2

 0

f ur h u ¨r h

 0.

Seien u Seien u und v und v total differenzierbar in D, D , also ∂ u u (x + s, y + t) = u (x, y) + s (x, ( x, y ) + t ∂x ∂v v (x + s, y + t) = v (x, y) + s (x, ( x, y ) + t ∂x mit ρ mit ρ (s, t)

 0

 0

und σ und σ (s, t)

·

·

·

·

∂u (x, y ) + ∂y ∂v (x, ( x, y ) + ∂y

 0.

f ur u ¨r (s, t)

s2 + t2 ρ (s, t)

s2 + t2 σ (s, t)

·

Sei h Sei h = = s s + i t und z = x + i y. Dann gilt

· 

f (z ( z + h) = f (z ( z ) + s

mit r mit r (h) := |hh| (ρ (s, t) + i σ (s, t)) g

 · 

∂u ∂ v (x, ( x, y) + i (x, ( x, y ) + t ∂x ∂x

DGL’s

= =

 

∂u ∂ v (x, y) + i (x, ( x, y ) +h r (h) ∂y ∂y

:=g (x,y ) h

 0

  0.

·

Weiter ist

 · − ·   ·   ·    ∂ u ∂v s t ∂x ∂x ∂u ∂ v +i ∂x ∂x

∂v ∂u +i s +t ∂x ∂x

·



h

komplexe Ableitung von f

Korollar 3.1: Sind die reellwertigen Funktionen u, u, v stetig partiell differenzierbar in D und D und erf ¨ ullen die Cauchy-Riemann’schen ¨ Differentialgleichungen, so ist f := u := u + i v holomorph in D. Beispiel 3.1: Sei f ur z u ¨r z = x + i y

·

f (z ( z ) = exp exp (x) (cos(y (cos(y) + isin isin (y )) Dann gilt f ur u u exp(x)cos(y )cos(y ) und v und v (x, y ) := exp exp (x)sin(y )sin(y ): ¨r u (x, y) := exp(x ∂u ∂v ∂u = exp(x exp(x)cos(y )cos(y ) = und = ∂x ∂y ∂y

∂v − exp(x exp(x)sin(y )sin(y ) = − ∂x

d.h. f d.h. f ist holomorph. 3.2 Satz: Satz: Ist f holomorph f holomorph in dem Gebiet D

⊂ C und f ′ (z) = 0 ∀ z ∈ D, so ist f f konstant auf D.

12

4 Folgen und Reihen

3.3 Satz: Satz: Ist f = u + i v holomorph in dem Gebiet D C und sind u und v zweimal stetig partiell differenzierbar, so erf ullen u und v die : Laplace-Differ Lap lace-Differentialgleichung entialgleichung ¨ ¨

⊂

∆u =

∂ 2 u (∂x) ∂x )2

+

∂ 2 u (∂y) ∂y )2

= 0 und ∆v =

∂ 2 v (∂x) ∂x )2

+

∂ 2 v (∂y) ∂y )2

=0

Beweis: Es gilt ∂ 2 u

∂ 2 = ∂x (∂x) ∂x )

  ∂u ∂x

∂ ∂x

DGL’s

=

  ∂v ∂y

∂ ∂y

Satz von Schwarz Schwarz

=

  ∂v ∂x

DGL’s

=

∂ ∂y

−  ∂u ∂y

2

=

u − (∂ ∂y) ∂y )2

Fur v u verlauft ¨r v verl¨ äuft der Beweis analog.

3.2 Definition: Definition: (Reell- wie komplexwertige) Funktionen f mit ∆ (f ) f ) = 0 heißen harmonisch harmonisch . Beispiel 3.2: Sei f Sei f ( (zz ) =

1 z

f ur u ¨r 0 = z

ist f holomorph holomorph und man kann  ∈ C. Dann ist f x y f (x ( x + i y) = 2 i 2 − 2 x +y x + y2

schreiben, also ist f harmonisch. f harmonisch. Bemerkung 3.1: Sei f Sei f = u + i v eine holomorphe Funktion und f ′ = 0. Dann ist



grad grad (u) =



  ∂u ∂x ∂u ∂y

und grad(v grad(v) =

  −  ∂v ∂x ∂v ∂y

=

∂u ∂y ∂u ∂x



Damit gilt offenbar grad grad (u) = grad grad (v) und grad grad (u) Die Jacobi-Matrix der Abbildung (x, (x, y )

grad (v ) ⊥ grad

→ (u (x, y) , v (x, y)) halt also die Form



∂u ∂x ∂v ∂x

∂u ∂y ∂v ∂y

 = ˆ

a b b a

−



welche durch Normierung mit dem Faktor √ a21+b2 in die Form einer orthogonalen Matrix gebracht werden kann.

4

Folge olgen n und und Reih Reihen en

4.1 4.1

Folge olgen n

4.1 Definition: Definition: Eine komplexe Folge ( Folge (a an )n∈N , an n0 N gibt, s.d.

∈ C heißt konvergent genau dann, wenn es ein a ∈ C und zu jedem ε > 0 ein |an − a| < ε ∀ n ≥ n0

∈

Man schreibt dann lim an = a oder an n

n



∞ 

→∞

4.1.1 4.1.1

a.

Tatsac atsachen hen

• Sei a Sei a n = p = p n + i q n und a und a = p = p + i q . Dann gilt lim an = a = a ⇔ n→∞

lim pn = p = p und und lim lim q n = q

n

→∞

n

→∞

4 Folgen und Reihen

13

• Sei Sei lim lim an = a u und nd lim lim bn = b = b.. Dann gilt n→∞ n→∞ lim (λan + µbn ) = λa + µb

n

→∞

Sei lim lim an = a u und nd lim lim bn = b = b.. Dann gilt • Sei n→∞ n→∞

·



an a = n→∞ bn b



lim (an bn ) = a b und falls b falls b n = 0, 0 , b = 0 auc auch h lim lim

n

→∞

• Sei Sei lim lim an = a. a . Dann ist n→∞

| | ||

lim an = a und und lim lim an = a = a

n

→∞

n

→∞

Bemerkung 4.1: Ist (a (an )n∈N C beschrankt, ( ank )k∈N änkt, so gibt es eine konvergente Teilfolge (a

⊂ C mit

⊂



k

ank

∞  a ∈ C

Beweis: Schreibe an = b n + ic i cn f ur u + c2n = an 2 R n N ¨r n N . Da es nach Voraussetzung ein R > 0 gibt, s.d. b2n + c sind insbesondere auch die reellen Folgen (b ( bn )n∈N R und (c (cn )n∈N R durch R beschrankt. änkt. Aus der reellen Analysis wissen wir aber schon, das jede beschr¨ beschr ankte änkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt (vergleiche etwa [FOA], Seite 47, Satz 6)! Finde also zun¨ zun achst (bn )n∈N mit ächst eine konvergente Teilfolge b1(n) n∈N von (b

∈

⊂

⊂



n

b1(n)

 

| | ≤ ∀ ∈

 

∞  b ∈ R

 

Finde dann eine konvergente Teilfolge c2(n) n∈N der immer noch beschr¨ beschrankten änkten Folge c1(n) n∈N mit 

n

c2(n)

∞ 

c

∈R





Nach obigen Tatsachen konvergiert dann (a ( ank )n∈N := b2(n) + ic i c2(n) n∈N gegen b + ic ic 4.2 Definition Definition (Cauchyfo (Cauchyfolge): lge): an heißt Cauchyfolge ε > 0

⇔ ⇔ ∀

4.1.2 4.1.2

∈ C.

∃ n0 ∈ N mit | |am − an| < ε ∀ m ≥ n ≥ n0.

Cauch Cauchykr ykrite iteriu rium m

Es gilt

⇔ an ist Cauchyfolge

an ist konvergent

4.2 4.2

Reihen hen

4.3 Definition: Definition: ∞ Eine Reihe an mit den Gliedern an

 

∈ C ist die Folge der Partialsummen

n=1

4.4 Definition: Definition: ∞ Die Reihe an heißt konvergent

⇔ die Folge ⇔

n=1

   m

n=1

Ist a der Grenzwert dieser Folge, so schreibt man

an

m

n=1

4.2.1 4.2.1

  m

n=1

an

. m

∈N

ist konvergent. m

∈N

an = a. a . a heißt Summe oder Wert der Reihe.

Tatsac atsachen hen

Fur u u = p n + i q n , so gilt ¨ r Reihen gelten die gleichen Rechenregeln wie f ur ¨r Folgen, ist z.B. an = p

∞



n=1

an konvergent

∞

 ⇔

pn und

n=1

∞



n=1

q n konvergent

14

4 Folgen und Reihen

4.2.2 4.2.2

Cauch Cauchykr ykrite iteriu rium m

Es gilt

∞



m

 |

an konvergiert

⇔ ∀ ε > 0 ∃ n 0 ∈ N s.d.

n=1

an < ε m

|

n=k

∀ ≥ k ≥ n0

Folgerung 4.1: ∞ Eine notwendige Bedingung f ur an ist lim an = 0. ¨ ¨ die Konvergenz von



→∞

n

n=1

4.5 Definition: Definition:

∞

 

an heißt absolut konvergent

⇔

n=1

∞

∞

| 

n=1

∞

⇔

an heißt bedingt konvergent

n=1

an konvergiert

|

an konvergiert,

n=1

∞

|

n=1

|

an aber nicht

4.1 Lemma: Lemma: Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz. Der Beweis folgt direkt aus der Dreiecksungleichung. 4.2 Lemma: Lemma: ∞ Sei an eine absolut konvergente Reihe und b : N





N eine Bijektion. Dann ist auch

n=1

konvergent und es gilt

∞

∞



n=1

∞

  an =

n=1

ab(n) absolut

ab(n)

n=1

4.6 Definition Definition (Majorante & Minorante Minorante): ): Sei an eine Folge in C und αn 0 f ur ¨ ¨ alle n.

∞

 •   •n

=1

∞

n=1

Ist

∞

n=1

≥

αn ist Majorante von αn ist Minorante von

αn eine Majorante von

∞

  

an

n=1

∞

n=1

∞

n=1

⇔ |an | ≤ αn

an

⇔ |an | ≥ αn

an , so schreiben wir

∞



∞



an <<

n=1

αn

n=1

ohne zu beachten, dass wir keine totale Ordnung auf C haben. 4.3 Lemma: Lemma: Aus der Konvergenz der Majorante folgt die Konvergenz der Reihe, aus der Divergenz der Minorante die Divergenz der Reihe. Auch hier folgt der Beweis wieder direkt aus der Dreiecksungleichung. 4.4 Lemma: Lemma: ∞ ∞ Sind an und bn absolut konvergente Reihen, so ist



n=1



n=1

        · ∞

n=1

an

∞

bn

n=1

auch absolut konvergent. Fur u ¨ r den Beweis siehe zum Beispiel [FOA] oder [RSF].

=

∞

n

n=0

k =0

ak bn−k

·



5 Potenzreihen

5

15

Poten otenzr zrei eihe hen n

5.1

Defni Defnitio tionen nen und Beispi Beispiel ele e

5.1 Definition: Definition: Eine Potenzreihe in z z ist eine von z z

∈ C abh angige Reihe ¨ ¨

a0

∈ C das konstante Glied.

∞



n=0

an z n . Dabei heißen an

∈ C die Koeffizienten und

Beispiel 5.1:

∞

  

1.

z n ist die geometrische Reihe

n=0

∞

2.

n=0

zn n! ist

∞

3.

n=0

5.2

a n

die Exponentialreihe

z n f ur a u ¨r a

∈ C und

 a n

·...·(a−n+1) := a·(a−1) bzw. 1·2·...·n

 a 0

= 1 ist die Binomialreihe

S¨ atze und Eigenschaften atze

5.1 Satz: Satz: Sei z0

∈ C.

∞

 

Konvergiert

n=0

∞

Divergiert

n=0

an z0n , so konvergiert

an z0n , so divergiert

∞

n=0

∞





n=0

an z n f ur ¨ ¨ alle z

∈ C mit | |z| < |z0|.

an z n f ur ¨ ¨ alle z

∈ C mit | |z| > |z0|.

Beweis: Ohne Einschr¨ Einschrankung konnen w are änkung k¨ önnen wir z0 = 0 annehmen, denn sonst w¨ äre die Aussage offensichtlich. Sei z < z0 . n Offenbar C > 0 mit an z0 < C n N. Dann ist

∃

|



|

n

| | | |

∀ ∀ ∈

an z0n

|anz | = |

| · 

z z0

 ≤ · ·  n

C

z z0

  n

d.h.

∞

an z

n

<<

n=0

 · ·  ∞

C

n=0

z z0



n

und diese Majorante konvergiert, da zz0 = ||zz0|| < 1. Ist umgekehrt z > z0 und nehmen wir an, dass z0 ein Divergenzpunkt ist, so w¨ ware äre die Aussage, dass z ein Konvergenzpunkt ware, u äre, direkt widerspr uchlich ¨chlich zum oben gezeigten.

| | | |

| |

5.2 Satz: Satz: ∞ Zu der Potenzreihe an z n gibt es ein 0 0



n=0

divergiert. Beweis: Sei

ρ := sup

||

  | | z0

≤ ρ ≤ ∞, s.d. die Reihe f ur |z| < ρ absolut konvergiert und f ur |z| > ρ ¨ ¨ | ¨ ¨ |

z0 ist Konvergenzpunkt, also

  ∞

an z0n <

n=0

| | | | | |

| |

   ∞

Ist nun z < ρ, so existiert ein z0 mit z < z0 , s.d. z0 ein Konvergenzpunkt ist, also muss auch z ein Konvergenzpunkt sein. Ist z > ρ, so existiert ein z ein z 0 mit z > z0 , s.d. z s.d. z 0 ein Divergenzpunkt ist, also muss auch z auch z ein Divergenzpunkt sein.

| |

Bemerkung 5.1: Dieses ρ Dieses ρ heißt Konvergenzradius der Reihe. Beispiel 5.2:

∞



• Fur u ¨r n

=0

nn z n ist ρ ist ρ = 0, denn f ur z u u ¨r z = 0 gilt f ur n ¨r n > |1z| gilt z n nn > 1.



|

|

16

5 Potenzreihen

∞



zn n!

• Fur u ¨r n

=0

ist ρ ist ρ =

∞, denn f ur u jedes z ∈ C existiert ein n ein n 0 ∈ N s.d. ¨ r jedes z n+1

| (zn+1)! | |z| 1 | zn! | = n + 1 < 2 ∀ n ≥ n0 n

Damit folgt die absolute Konvergenz aus dem Quotientenkriterium (vergleiche [FOA]).

• Fur u ¨r

∞



z n ist ρ ist ρ = 1.

n=0

Bemerkung 5.2: Ist die Folge α Folge α n 0 beschr¨ beschrankt, änkt, so definiert man

≥

∞) ∋ α := limsup αn = ˆ Supremum der Menge aller H¨ H aufungspunkte von α n äufungspunkte von α n→∞

[0, [0,

Offenbar gibt es zu jedem ε > 0 unendlich viele n αn α+ε.

| |≥|

|

Ist α Ist α n dagegen unbeschrankt, änkt, so ist lim sup αn = n

→∞

∈ N mit |αn − α| < ε, aber nur endlich viele n ∈ N mit

∞.

5.3 Satz (Hadamard): (Hadamard): ∞ Der Konvergenzrad Konvergenzradius ius ρ der Potenzreihe an z n berechnet sich durch die Formel von Hadamard :



n=0

ρ =

1 lim sup n an n

→∞

(Hierbei ist 10 = Beweis: Sei α Sei α = = lim sup sup

→∞

n

•

0 < α <

∞ und ∞1 = 0.)

 | |

 | |

an .

n

∞ Sei 0 < 0 < |z | < α1 und ϑ und ϑ so, dass 0 < 0 < α|z | < ϑ < 1 gilt. Dann ist α ist α < |ϑz| und nur f ur u viele n ∈ N gilt ¨r endlich viele n ϑ |an| ≥ |z| ⇒ ∃ n0 ∈ N s.d ∀ n ≥ n0 gilt |an| < |ϑz| ⇒ |anzn| < ϑ n

 n

 n

folglich gilt

∞



n=0

| |

an z n <<

Ist dagegen z >

1 α,

∞



θ n und die Majorante konvergiert.

n=0

so gibt es unendlich viele n

 | | n

also divergiert die Reihe.

•

an >

1 z

⇒ | an z n | > 1 ||

α = 0



Sei z Sei z = 0, dann erf ullen u ¨llen nur endlich viele n 1 2z

 | | ≥ | | ⇒ ∃ n

an

α =

∈ N die Bedingung

∈ N s.d. ∀ n ≥ n0 gilt

n 0

d.h. die Reihe konvergiert f ur u jedes z ¨ r jedes z

•

∈ N, s.d.

∈ C.

 | | n

an

1 < 2z

| | ⇒ |anz | <

∞

Sei wieder z wieder z = 0, dann gibt es unendlich viele n viele n



n

und folglich divergiert die Reihe.

∈ N, s.d. |an| > |z1| ⇒ |anzn| > 1



n

 1 2

n

∀ n ≥ n0

5 Potenzreihen

17

⇒ α1 = ρ 5.4 Satz: Satz: ∞ Hat an z n den Konvergenzrad Konvergenzradius ius ρ > 0, 0, so ist



n=0

∞



f (z ( z ) :=

an z n

n=0

holomorph in dem Gebiet D := z

{ ∈ C | |z| < ρ} und die Ableitung berechnet sich gliedweise: f ′ (z ) =

∞



nan z n−1

(5.1)

n=1

Diese Potenzreihe hat wieder den Konvergenzradius ρ. Beweis: Wahle r, a¨hle r, R

∞



0 < r < R < ρ und definiere δ := := R ∈ R, s.d. 0 < | ρ und definiere δ R − r und C := an Rn |. Dann gilt: n =0

r R

   ·      n

linear steigend

||

Sei weiter 0 < 0 < z < r. Dann gilt

n

∞  0

exponentiell fallend

|n · an · zn−1|

1 z 1 z

· n · |an | · rn || r n n· · · |anRn| || R

< =

  · ·

· · |z1|

< C Da weiter



n

 ·    · 

r n+1 R r n R

(n + 1) n

 

r R

n

n

n+1 r n R

=

·

gilt, folgt die Konvergenz der Reihe (5.1) f ¨ f ur u mit r < ρ beliebig aus dem Quotientenkriterium und dem ¨r z < r mit r Majorantenkriterium, also f ur u ¨ r alle z < ρ. Sei nun z < r und h < δ . δ . Es gilt:

| |

| |

| |

f (z ( z + h)

| |

=

 ·  · ·    ·   · · · ·      · ·       | | ≤ a0 + a1 (z (z + h) +

∞

n

z n + n z n−1 h +

an

n=2

absolute Konvergenz Konvergenz

=

∞

f (z ( z ) +

k=2

h an z n−1

h + h r (h)

n=1

∞

mit r (h) = h

n

n=2

n

Da

k=2

k =2

n n−k k−2 z h k

1 δ 2

= =

⇒ |r (h) und folglich r folglich r (h)

h

 0

 0. 

∞

Rn an 2 δ

 |≤| | | h

n=2

n n−k k−2 z h k

an

|

n

k=0

n n−k k r δ k

(r + δ )n δ 2 n R δ 2

≤ |h| δ 2

∞

|

n=0

an Rn =

|

C h δ 2

||

n k

z n−k hk

·



18

6 Exponentialfunktion, Sinus, Cosinus

5.2 Definition: Definition: Ist f eine f eine holomorphe Funktion und ist f ist f ′ wieder holomorph, so definiert man ( man (f f ′ )′ als die zweite Ableitung von f und f und bezeichnet diese mit f (2) . Analog: Ist f (k−1) eine holomorphe Funktion, so ist die k-te Ableitung von f definiert f definiert durch

 

f (k) := f (k−1)

′

5.5 Satz: Satz: ∞ Ist ρ > 0 der Konvergenzradius von an z n , so besitzt die Funktion



n=0

f (z ( z ) =

∞



an z n

n=0

| | |

f ur ,... und es gilt ¨ ¨ z < ρ die Ableitungen jeder Ordnung k = 1, 2,... und (k )

f

(z ) =

∞

 ·

n (n

n=k

− 1) · ... · (n − k + 1) · an · zn−k



Alle diese Potenzreihen haben wieder den Konvergenzradius ρ. Beweis: Dieser Satz ist eine direkte Folgerung aus Satz 5 und folgt durch Induktion nach k. k .

5.6 Satz: Satz: ∞ ∞ Sei r > 0 und an z n , bn z n seien konvergent f ur ¨ ¨ z < r und es gelte





n=0

| | |

n=0

∞



n

an z =

n=0

∞



bn z n

n=0

Dann gilt an = b n f ur ,.... ¨ ¨ alle n = 0, 1, 2, 3,.... Beweis: Aufgabe! Beweis: Aufgabe! Folgt direkt durch Ableiten und findet sich auch in [FOA]. Bemerkung 5.3: ∞ Betrachtet man an (z (z

∞





− z0)n anstelle von anzn, so heißt z0 der Entwicklungspunkt der Potenzreihe. n=0 n=0 Durch Substitution t := z := z − z0 sieht man, dass alle Aussagen analog um z um z 0 ∈ C an Stelle von 0 ∈ C gelten. 6

Exponen Exponentia tialfu lfunkt nktion ion,, Sin Sinus, us, Cosin Cosinus us

6.1 Definition: Definition: F ur ¨ ¨ z C sind definiert:

∈

Exponentialfunktion : Exponentialfunktion : exp (z (z ) :=

∞ zn

  − −

n=0

n!

= 1 + z +

z 2 z 3 + + ... 2 6

∞

( 1)n 2n+1 Sinus : Sinus : sin (z (z ) := z = z (2n (2n + 1)! n=0 Cosinus : Cosinus : cos (z (z ) :=

∞ ( 1)n

n=0

6.1

(2n (2n)!

z 2n = 1

−

z3 z5 + 6 120

+

z4 24

2

− z2

− ...

− ...

Eigens Eigensch chaft aften en

∞

Man sieht direkt ein, dass der Konvergenzradius aller drei Potenzreihen ρ = ist (z.B. durch den Satz von Hadama Hadamard, rd, da da lim n n! = ). Folglic Folglich h sind exp (z ) , sin(z sin(z ) , cos(z cos(z) holomorph auf ganz C .

→∞

n

√

∞


6.1.1 6.1.1

19

Ableit Ableitunge ungen n

Man errechnet: (exp (exp (z ))′ =

       −  ·  −    −   −  −    −   − − −  − − ∞ z n ′

n=0

′ (sin (sin (z )) = (cos(z (cos(z ))′ =

=

=

n=0

(2n (2n)!

z

∞

∞

=

(2n (2n + 1)! n=0

z

2n+1

( 1)n 2n+1 z (2n (2n + 1)!

n=0

( 1)n 2n z (2n (2n)!

n=0

∞ ( 1)n+1

∞

∞

z n−1 z n−1 zn = n = = = exp(z exp(z ) n! (n 1)! n=0 n! n=1 n=1

=

′

2n

∞

′

( 1)n 2n+1 z (2n (2n + 1)! n=0

∞ ( 1)n

′

zn n!

∞

n=0

=

n!

∞

′

′

=

∞ ( 1)n

n=0

(2n (2n)!

z 2n = cos(z cos(z )

∞

( 1)n 2n−1 = z (2n (2n 1)! n=1

∞

( 1)n 2n+1 z (2n (2 n + 1)! n=0

=

− sin(z sin(z )

6.1 Lemma (Euler’sche (Euler’sche Formel): ormel): Es gilt exp(i z ) = cos(z cos(z ) + isin isin (z ) Beweis: Einsetzen und Nachrechnen! Man verwendet

• (i z)2n = (−1)n z2n • (i z)2n+1 = i (−1)n z2n+1 Folgerung 6.1: F ur also exp p (i ϕ) = cos cos (ϕ) + isin isin (ϕ) ¨ ¨ ϕ R gilt also ex

• ∈ • Es gilt exp

 πi 2

= i, exp(π exp(π i) =

 

−1, exp − π2i

=

− i, exp(2π exp(2π i) = 1 : i

exp exp (i ϕ) 1

−1 −i • Es gilt exp(i π) + 1 = 0 Diese Gleichung wurde einst zur sch ¨ onsten Formel der Mathematik gew ¨ ahlt. ¨ ¨ Sie verkn upft ¨ ¨ alle wesentlichen mathematischen Konstanten 0, 1,e,π, i. 6.1.2 6.1.2

Einhei Einheitsw tswurz urzeln eln

Der Satz von De Moivre sagt uns z = r = r exp exp (i ϕ)

z k = r k exp exp (i kϕ) kϕ)

⇒

Nun suchen wir die L¨ Losung von z k = 1, es gilt: ösung von z zk = 1

⇔ ⇔

rk exp exp (i kϕ) kϕ ) = 1 (r = 1)

∧ (ϕ = 2kπ, k ∈ Z)

Es ergeben sich die k-ten k -ten Einheitswurzeln:

  | exp

2π i l k

0

≤ l ≤ k

 − 1

20

6 Exponentialfunktion, Sinus, Cosinus

6.1.3 6.1.3

Eigens Eigensch chaft aften en der exp-Funktion, exp-Funktion, sin und cos

Wir stellen weiter fest, dass exp(z exp(z )exp(w )exp(w)

∞ z n ∞ wl

=

    −    −  n!

n=0

∞

abs.Konv.

=

n=0

l!

l=0 n l

z wn−l l!(n !(n l)!

l=0

n

∞ 1

=

n!

n=0

Binom.Lehrsatz

=

l=0

∞ (z + w)n n!

n=0

=

n! z l wn−l l!(n !(n l)!



exp (z + w)

Daraus schließen wir folgende Folgerung 6.2:

•

exp(z exp(z ) = 0

 ∀ z ∈ C

weil: g ¨ abe urde exp (w) 0 = 0 ¨ es ein z ∗ mit dieser Eigenschaft, so w urde exp( ¨ ¨ exp(zz ∗ + w) = exp

·

•

exp exp (0) (0) = 1

•

∀ w ∈ C folgen!

−1 exp (−z ) ∀ z ∈ C ⇒ (exp (exp (z )) = exp

(exp (exp (z ))k = exp exp (kz) kz )

∀ z ∈ C, ∀k ∈ Z Sei nun C ∋ z = x + i y , dann exp(z exp(z ) = exp(x exp(x) · exp exp (i y). Wegen | exp exp (i ϕ) | = 1 ∀ ϕ ∈ R folgt exp(z ) | = exp exp (x) , arg arg (exp( (exp(zz )) = y | exp(z Betrachtet man das Bild von Geraden zu den Koordinatenachsen unter exp, so sieht man leicht ein, dass Achse mit Abstand y0 auf Strahlen aus dem Ursprung mit Winkel y0 abgebildet • Geraden parallel zur reellen Achse werden.

• Geraden parallel zur imagin¨ imagin aren Abstand x 0 auf Kreise mit Radius x Radius x 0 um den Koordinatenurären Achse mit Abstand x sprung abgebildet werden.

Ein halboffener Streifen parallel zur reellen Achse mit Breite 2 π wird gerade auf die gesamte komplexe Ebene ohne 0 injektiv abgebildet. An diesem Zusammenhang erkennt man: exp(z exp(z ) = exp exp (y )

⇔

z = y = y + + 2π 2 π i n, n

∈Z

Weiter sieht man leicht ein, dass 1. sin( z ) =

−

sin(z ) − sin(z

2. cos( z ) = cos(z cos(z )

−

und kann ebenso leicht daraus folgern, dass 1. sin(z sin(z ) = 2. cos(z cos(z ) =

exp exp (i z )

− exp(− i z) 2i

exp exp (i z ) + exp exp ( i z ) 2

−


21

gelten. Weiter gelten folgende Zusammenh¨ Zusammenh ange: a¨nge: Additionstheoreme: sin(z sin(z + w) = sin(z sin(z )cos(x )cos(x) + cos(z cos(z )sin(w )sin(w) cos(z cos(z + w ) = cos(z cos(z )cos(w )cos(w) sin(z sin(z )sin(w )sin(w)

−

Beweis: exp(z exp(z )exp(w )exp(w)

=

exp (z (z + w)

⇒ (cos(z (cos(z ) + i sin( sin(z ))(cos(w ))(cos(w) + i sin( sin(w))

=

cos(z + w) + i sin( sin(z + w)

⇒ cos(z cos(z )cos(w )cos(w)

sin(z )sin(w )sin(w) + i(sin(z i(sin(z )cos(x )cos(x) + cos(z cos(z )sin(w )sin(w)) − sin(z

=

cos(z + w) + i sin( sin(z + w)

Die Behauptung erhalt ält man nun durch Koeffizientenvergleich. Außerdem kann man ohne Weiteres einsehen, dass sin2 (z ) + cos2 (z ) = 1 z

∀ ∈ C

gilt, denn sin2 (z ) + cos2 (z ) =

exp(2i z )

− 2 + exp exp (−2 i z ) exp exp (2i z ) + 2 + exp exp (−2 i z ) 4 + = =1 −4 4 4

Weiter ergeben sich folgende Eigenschaften f ur u ¨ r sin und cos: 1.

sin(z sin(z + 2π 2 π ) = sin(z sin(z ), cos(z cos(z + 2π 2 π ) = cos(z cos(z ) 2. sin(z sin(z + π ) = 3. sin(z sin(z +

− sin(z sin(z ), cos(z cos(z + π ) = − cos(z cos(z )

π π ) = cos(z cos(z ), cos(z cos(z + ) = 2 2

sin(z ) − sin(z

4. exp(z ) | ≤ exp |z | | exp(z 5. denn

∞



n=1

6.

zn n!

∞



≤ |z| n

=1

exp(z ) − 1| ≤ |z | exp |z | | exp(z z n−1 (n 1)!

−

≤ |z| exp |z| 2 2 | sin(z sin(z )| ≥ exp |y | , | cos(z cos(z )| ≥ exp |y | 5 5

denn

| sin(z sin(z )| ≥ = =

≥ ≥ ≥ und die zweite Ungleichung folgt analog.

1 exp(i z ) exp( i z ) 2 1 exp(y exp(y ) exp( y ) 2 1 exp(y exp(y ) 1 exp( 2y ) 2 1 exp(y exp(y ) 1 exp( 2) 2 1 exp(y exp(y ) 1 2.5−2 2 2 exp(y exp(y ) 5

|| |

| − | − || − − | | − − | | − − | −





22

7 Logarithmus und allgemeine Potenzen

Defin Definit ition ion tan, tan, cot

6.1.4 6.1.4

Man definiert tan(z tan(z ) =

7

sin(z sin(z ) cos(z cos(z ) , cot(z cot(z ) = cos(z cos(z ) sin(z sin(z )

Logari Log arithm thmus us und und allg allgeme emeine ine Potenze otenzen n

7.1 7.1

Loga Lo gari rith thm mus

7.1.1

Einleitung, Einleitung, Definition Definition (Logarithm (Logarithmusfunkt usfunktion) ion)

 ∈ C gegeben. Man sucht w ∈ C, sodass sodass exp (w) = z gilt. Gelte z Gelte z = r = r exp exp (i ϕ) , w = u = u + i v ⇒ suchen suchen exp (u)exp(i v) = r exp(ϕ exp(ϕ) ⇒ Sei 0 = z



( u) r = exp (u ϕ = v + 2πn, 2 πn, n

∈Z

7.1 Definition: Definition: Also definiert man den Logarithmus f f ¨ ur = r exp exp (i ϕ) durch ¨ z = r log(z log(z ) = lnR (r) + i ϕ∗ wobei ϕ∗

∈ {ϕ + 2πn 2πn|n ∈ Z}. Dabei bezeichnet ln

R

den reellen, auf (0, (0,

∞) eindeutigen Logarithmus.

Eigens Eigensch chaft aften en des log

7.1.2 7.1.2 Es gilt

exp (log( (log(zz )) = exp (ln(r (ln(r) + i ϕ∗ ) = exp(ln(r exp(ln(r))exp(i ϕ∗ ) = r (exp(2i π ))n exp exp (i ϕ) = r exp(i ϕ) = z analog gilt log(exp(w log(exp(w)) = w + w + 2 i πn, n

∈Z

Daher trifft man folgende Vereinbarung:

⇒ arg(z arg(z ) ∈ (ϕ − π, ϕ + π ) ∀ z ∈ C \ {r exp (i(ϕ (i(ϕ + π ))} Dann wird die komplexe Ebene ohne den Strahl { r exp(i(ϕ exp(i(ϕ + π))} durch den Logarithmus injektiv auf den Streifen {z = x = x + i y ∈ Z | ϕ − π < y < ϕ + π } abgebildet. arg(z arg(z0 ) = ϕ

Es gilt f ur u exp (w) ¨r z = exp (log(z (log(z ))′ =

1 1 1 = = ′ exp(w exp(w) z (exp (exp (w))

7.2 Definition: Definition: Man definiert den Streifen arg(z ) ≤ π } ⊂ C {z ∈ C |−π < arg(z als den Hauptzweig des komplexen Logarithmus. Analog definiert man den Streifen

{z ∈ C |−π + 2πn 2 πn < arg(z arg(z ) ≤ π + 2πn 2 πn n ∈ Z } ⊂ C als den n ten Nebenzweig des Logarithmus.

−

Man vereinbart weiter, dass der Logarithmus beim Durchlaufen der negativen reellen Achse den n achsten ächsten Zweig (also beim Durchlaufen im Uhrzeigersinn den (n ( n 1) ten und beim Durchlaufen entgegen dem Uhrzeigersinn den (n (n + 1)-ten) erreicht. Auf diese Weise entsteht entsteht die sogenannte logarithmische sogenannte logarithmische Spirale, Spirale, eine Riemann’sche Fl¨ Flache. äche. Vergleiche dazu [SWR].

− −

7.3 Definition: Definition: F ur ¨ ¨ 0 = z C, a

 ∈

∈ C definiert man

z a = exp exp (a log z )


23

Man sieht leicht ein, dass z a = exp exp (a log z ) = exp exp (a (ln z + i arg arg (z ) + 2π 2 π i n)) = exp exp (a ln z + a iarg(z iarg(z ))exp(2π ))exp(2π i an) an) = z a exp(2π exp(2π i an) an)

||

f ur u ¨ r ein n

||

∈ Z. Aber: exp exp (2π (2π i an) an) = 1

∀ ∈ Z

exp exp (2π (2π i an) an) = 1 n

an

⇔ ⇒ ⇔

a

∈Z

∈Z

Also ist die allgemeine Potenzfunktion gerade f ur u ganzzahlige a eindeutig. ¨r ganzzahlige a Es gilt: z a = exp exp (a log z ) = exp (log (log z + log z + .. + log z ) = exp (log (log z )exp(log z ) .. exp (log (log z ) = (exp (exp (log (log z ))a = z a a = 0 z a = exp exp (a log z ) = exp(0) = 1 a − a N z = exp exp ( a log z ) = exp(a1log z) Die allgemeine Potenzfunktion stimmt also auf den ganzen Zahlen mit dem uberein, u ¨berein, was wir uns vorstellen. a

∈N ⇒

· ·

⇒ ∈ ⇒

Sei a Sei a

−

∈ C fest, dann ist z ist z → z a holomorph und es gilt (z a )′ = (exp (exp (a log z ))′

Sei a Sei a

Kettenregel

=

1 a exp(a exp(a log z ) = az a−1 z

∈ C fest, dann ist z ist z → az holomorph und es gilt (az )′ = (exp(z (exp(z log a))′ = log a exp(z exp(z log a) = log aaz

Weiter gilt offensichtlich: z a z b = exp exp (a log z )exp(b )exp(b log z ) = exp((a exp((a + b)log z ) = z a+b und a a z w = exp exp (a log z )exp(a )exp(a log w) = exp exp (a(log z + log w)) = exp(a exp(a(log(zw (log(zw)) + 2π 2 π i n)) = (zw (zw))a exp exp (2π (2π i n) n Z

sowie a log(z log(z ) = log log (exp( (exp(a a log z )) = a log z + 2π 2π i n n Z und damit a b a (z ) = exp exp (b log log (z )) = exp exp (b (a log z + 2π 2 π i n)) = z ab exp exp (2π (2π i n) n

∈

∈Z

Beispiel 7.1: Wir betrachten ii und sehen ein: i

i = exp exp (ilog i) = exp exp (i(ln (1) (1) + 2π 2π i n)) = exp Außerdem l¨ lasst a¨sst sich leicht einsehen, dass

z 1/k =

− 

π exp( 2πn) πn) , n 2

−

∈Z

√ z k

gilt.

8 8.1

Verhalt erhalten en von Pote Potenzr nzreih eihen en auf dem Konverg Konvergenz enzrad radius ius Einlei Einleitun tung, g, Beispi Beispiele ele

Wir betrachten als Einleitung einige Beispiele: Beispiel 8.1:

∞

  

zn

∞

n=1

∞

n=1

zn n n

z n2

∀

| |

ρ=1

Dive Diverg rgen enzz z mit z = 1

ρ = 1



n=0

ρ=1

Div Diverge ergenz nz fall fallss z = 1 Konve Konverge rgenz nz falls falls z = 1, 1, z = 1

| |  Konve Konverge rgenz nz ∀ z mit |z | = 1

∈

24


Sei nun

∞



n=0

an z n gegeben, dann ist f ist f ((z ) :=

∞



an z n f ur u ¨r alle Konvergenzpunkte z

∈ C.

n=0

8.1 Satz: Satz: Ist z0 absoluter Konvergenzpunkt mit z0 = ρ, ρ , so sind alle z mit z stetig auf z ρ

| | |

| | | ≤

Beweis: Zuerst gilt

∀ |z| ≤ ρ:

∞



an z

∞

 ≤ |

n

n=0

Folglich ist jeder Punkt z : z Mit der Hilfsgleichung

| | | ≤ ρ absolute Konvergenzpunkte und f ( f (z )

an z

n

n=0

∞

 |≤ |

n

|

an ρ

n=0

an z0n

n=0

| | ≤ ρ absoluter Konvergenzpunkt.



∞

 ≤ |

|



)(z n−1 + z1 z n−2 + .. + z1n−2 z + z1n−1 ) ≤ |(z − z1 )|nρn−1 |zn − z1n| = (z − z1)(z und |z | ≤ ρ ≥ |z1 | betrachten wir

|f ( f (z ) − f ( f (z1 )|

=

≤ ≤ (8.1)

≤

Mit

    −    −    −   | |  | || − |  |  | | | − | | |  ≤ ∀ ∃ ∈ ∈ ∞

an z

∞

n

n=0

n=0

∞

N

N

N

an z n +

an z n

n=0

∞

n=0

n=0

an z

+

an z

n

z1n

∞

+

n=0

an z1n

n=N +1

an ρn + z

N

an z1n +

n=0

|

n an ρn−1

z1

n=0

+1 n=N +1

N

∞

N s.d

ε 3

an z n

n=0

8.2

 

N

∞

ε > 0

folgt nun also

 

an z1n +

N

n

n=N +1

2

an z1n

an z n

n=0

2ε ε ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ∈ N s.d. |f ( f (z ) − f ( f (z1 )| < + = ε 3 3

Abelscher Abelscher Grenzw Grenzwertert- bzw Stetigk Stetigkeitss eitssatz atz

8.1 Hilfssatz Hilfssatz (partielle (partielle Summation): Summation): Seien an , bn C n = 0,..,m. ,..,m. Sei sn =

∈ ∀

n



ai

i=0 m



,..,m, dann gilt ∀ n = 0,..,m, m 1

an bn = s m bm

n=0

Beweis: Es gilt offensichtlich s offensichtlich s n

−

 −

sn (bn+1

n=0

− bn )

− sn−1 = a = a n ∀ n = n = 0,..,m, ,..,m, wenn wir s wir s −1 = 0 definieren. Dann gilt: m



m

an bn

=

n=0

 

(sn

n=0 m

= = s−1 =0

− sn−1)bn m

 −  −  −  − −

sn bn

n=0

=

n=0 m 1

−

m bm +

sn−1 bn

n=0 m 1

sm bm + sm bm

m

sn bn

−

n=0 m 1

=

(8.1)

−

n=0

sn−1 bn

n=0 m 1

−

sn bn

sn bn+1

n=0

sn (bn+1

bn )

∞



n=0

an z1n

 


25

8.2 Satz (Abelscher GrenzwertGrenzwert- bzw. Stetigkei Stetigkeitssatz tssatz): ): Ist z0 Konvergenzpunkt mit z0 = ρ, ρ, so gilt

| | |

lim f ( f (rz0 ) = lim

r

also mit der Notation f ( f (z ) =

∞



n=0

ր1

r

∞



∞



n

an (rz0 ) =

ր1 n=0

an z0n

n=0

an z n f ¨ ur ¨ alle Konvergenzpunkte z lim f ( f (rz0 ) = f ( f (z0 )

r

ր1

Beweis: Wir zeigen zuerst, dass wir den Beweis auf den Fall ρ = 1 = z 0 zur¨ zuruckf u u konnen: ¨ckf uhren ¨ hren k¨ önnen: Man definiert ∞ f 0 (z ) = f ( f (z0 z ) = (an z0n )z n



n=0

dann gilt =

f 0 (r)

f ( f (rz0 )



 

 

f 0 (1)

f ( f (z0 )

=

Beschr¨ Beschranken a¨nken wir uns nun auf den Fall ρ Fall ρ = z = z 0 = 1, also also blei bleibt bt zu zeig zeigen en Sei daf ur s u ¨r s m = Betrachte nun

m



n=0

∞



lim lim

(0,1) r

∋ →r n=0

an rn .

m



an r

n Hilfssatz

=

m 1

sm r

m

n=0

Wir betrachten 0 < 0 < r < 1 im Fall m Fall m

∞



an r

n



−



−

sm r + (1

∞ folgt also smrm

=

0+



− rm )

m 1

−



− r)

sn r n

n=0

·

c 0 = 0 und damit damit

∞

 −     − − −    − − −     − −  − − (1

n=0

sn (rm+1

n=0

m

=

r)

sn r n

n=0

konvergiert, weil andere Seite auch

= = geom.Reihe

=

s

−1

s + (1 s + (1

1

r

(1

r)s + (1

s + (1

sn rn

n=0

r)

s

r) r)

∞

r)

s

1

1

∞

r

∞

+

∞

(sn

n=0

sn r n

n=0

n

r +

n=0

=

an rn = s = s =

∞

n=0

s)rn

sn r n

∞



n=0

an .

26

9 Kurvenintegrale

∀

∃ ∈ ∈ N : ∀n > N |sn − s| < ǫ. Bezeichne c Bezeichne c von nun an

Weil s Weil s n gegen s gegen s konvergiert, folgt ǫ > 0 N dann folgt

  ∞

an r

n

n=0

 − ≤ s

Fur u ¨r

  ∞

an rn

n=0

 − s



N 1

−

− r) |sn − s|r n=0 = C (1 (1 − r) + ǫrN (1 − r) + ǫ ≤ C (1 ǫ 0 < 1 < 1 − r < folgt: c

<

(1

n

+

N 1

−

|

n=0

sn

− s |r n ,

  ∞

ǫrn

n=N

ǫ

Bemerkung 8.1: Der Satz sagt also aus, dass sich die Funktion auf einem Strahl vom Nullpunkt stetig auf den Konvergenzkreis fortsetzt, sobald der entprechende Punkt des Konvergenzkreises ein Konvergenzpunkt ist. Man kann die Aussage sogar insoweit verst¨ verst arken, ärken, dass sich die Funktion aus Sicht von beliebigen Geraden im Konvergenzbereich stetig fortsetzt. Es gibt aber Gegenbeispiele f ur u N ahert ¨r beliebige Approximationsrichtungen. N¨ ähert man sich dem Konvergenzpunkt z0 auf dem Konvergenzkreis zum Beispiel so, dass man ihn in tangentieller Richtung trifft, ist die Stetigkeit nicht zwangsl¨ zwangslaufig äufig gegeben.

9

Kurv Kurven enin inte tegr gral ale e

Motivation Wenn man im reellen ein Integral einer stetigen Funktion f auf f auf einem kompakten Intervall I Intervall I = [a, b] berechnet, so geschieht dies zumeist durch die Riemann-Summe: b

n 1



f (t ( t) dt = lim lim n

a

→∞

−



f (x ( xk ) (xk+1

k =0

− xk )

wobei hier die Untersumme gew¨ gewahlt ählt wurde und a = x = x 0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b f ur u lim (xn+1 ¨ r lim n

→∞

− xn) = 0 gelten muss.

Fur u mochte ¨r eine komplexwertige Funktion m¨ öchte man aahnlich ¨hnlich vorgehen und etwas der Form n

F ( F (zn ) :=



k =0

f (z ( zk ) (zk+1

− zk )

berechnen. Doch stellt sich hier zun¨ zun achst ächst die Frage, wie die Punkte z k zu wahlen ählen sind. Zwischen zwei Punkten a, b C gibt es unendlich viele Verbindungen. Zumeist wird daher ein Streckenzug entlang einer Kurve gew ahlt: ählt:

∈

9 Kurvenintegrale

9.1

27

Vorberei orbereitun tungen gen

9.1 Definition: Definition: Ist I I = [α, [ α, β ] f ur F eine stetige, komplexwertige Funktion auf I , d.h. F (t ( t) = U (t ( t) + i V (t), so kann ¨ ¨ α < β und F man durch β

β



F (t ( t) dt :=

α

β



U (t ( t) dt + i

α



V (t) dt

α

ein lineares Integral definieren, welches auf das reellwertige Integral zur ¨ zur uckgreift. ¨ 9.1 Lemma (Eigenschaften) (Eigenschaften):: F ¨ ur atzungsregel ¨ dieses Integral gilt die Absch ¨ ¨

•

  β

  ≤ | β

F (t ( t) dt

α

|

F (t ( t) dt

α

• Außerdem gilt wie im reellen die Substitutionsregel:

 I eine Sei p : I : I 1 I eine stetig differenzierbare, reellwertige Funktion, welche das kompakte Intervall I 1 auf I abbildet und p′ (s) > 0 > 0 s I 1 erf ullt. ¨ ¨ Dann gilt:

∀ ∈





F ( p ( p (s)) p )) p′ (s) ds

F (t ( t) dt =

I

I 1

Beweis: β

 

• Ohne Einschr¨ Einschrankung zunachst änkung kann man zun¨ ächst 0 = Ungleichung offensichtlich. Somit gilt:4

  β

r =

 

F (t ( t) dt

α

=

·

F (t ( t) dt = r exp exp (i ϕ) annehmen, denn sonst ist die

α

  ℜ − ·  ℜ − ·  ℜ − ·  |ℜ − ·  | − · |  | |

   

β

=

exp( i ϕ)

F (t ( t) dt

α

β

(exp( i ϕ) F (t ( t)) dt

α

β

=

(exp( i ϕ) F (t ( t)) dt

α

β

≤

|

(exp( i ϕ) F (t ( t)) dt d t

α

β

≤

exp( i ϕ) F (t ( t) dt d t

α

β

=

F (t ( t) dt d t

α

• Hier folgt der Beweis direkt durch Aufspaltung in Real- und Imagin arteil u ärteil aus der Substitutionsregel f ur ¨r reellwertige Integrale.

4

Dieser Beweis sollte sich durch das Weglassen von ℜ durchaus vereinfachen lassen. Schließlich: β



α

β

F ( ( t) dt = r · exp exp (i ϕ) ⇒ exp(− i ϕ) ·



α

F ( ( t) dt ∈

R

28

9 Kurvenintegrale

9.2

Integ Integral ral entla entlang ng eine einer r Kurv Kurve e

9.2 Definition Definition (glatter Weg): Weg): Ein glatter Weg γ in C ist eine Abbildung t

→ z (t) eines abgeschlossenen Intervalls I = [a, b] ⊂ R, s.d. f ur I die Abbildung ¨ ¨ t ∈ I z (x) − z (t) z ′ (t) := lim lim I ∋x→t x−t  0 erf ullt existiert, z ′ (t) = I darstellt. ¨ ¨ und eine stetige Funktion auf I Bemerkung 9.1: 1. Bei dieser dieser Ableitung“ handelt es sich um die reelle Ableitung: Ist z (t) = x (t) + i y (t), so ist ” z ′ (t) = x ′ (t) + i y ′ (t) 2. t wird hierbei Parameter genannt, I genannt, I das das Parameterintervall 3. Die Bildmenge Bildmenge von von I I unter z unter z spur(γ spur(γ ) = z (t) t

| ∈ I }

{

wird auch Spur von γ von γ genannt. genannt. 4. z (a) heißt Anfangspunkt, Anfangspunkt, z z (b) heißt Endpunkt und man sagt, γ sagt, γ verbindet verbindet a a und b. 5. γ heißt heißt geschlossen, falls a = b = b.. Beispiel 9.1: 1. Sei z (t) = r exp(i t). Dann ist z ′ (t) = i r exp exp (i t) = 0 und z stellt f ur u ¨r jedes Intervall I = [α, β ] einen glatten Weg dar. Ist α Ist α = = 0 und β und β = = 2π , so ergibt sich als Spur ein voller Kreis, ist 0 < β < 2π 2 π , so ergeben sich die entsprechenden Kreisteile.

·

· ·



· − t) + b + b · t f ur u = b, stellt den glatten Weg einer Geraden dar, da ¨r a, b ∈ C, a 

2. Die Funktio Funktion n z (t) = a (1 ′ z (t) = b a = 0.

− 

3. Die Funktio Funktion n z (t) = t + t + i t2 mit I = [ 1, 1] und z ′ (t) = 1 + i 2t = 0 repr¨ reprasentiert äsentiert den glatten Weg einer Parabel.

−



9.3 Definition Definition (Integral (Integral entlang entlang eines glatten Weges): Weges): C und γ Sei f f eine stetige Funktion auf dem Gebiet D γ ein glatter Weg in D, gegeben durch t z I = [α, β ] R mit α < β . Dann definiert man das Integral uber f entlang γ durch γ durch ¨ f

∈

⊆

⊂

β



f (z ( z ) dz =

γ



f (z ( z (t)) z ′ (t) dt

α

·

Bemerkung 9.2: Ist α = t = t 0 < t1 < ... < tn−1 < tn = β = β mit mit lim lim (tn+1 n

→∞

− tn) = 0, so erh¨ erh alt ält man damit



f (z ( z ) dz

n

=

γ

li m

→∞

n

  

f (z ( z (tk )) z ′ (tk ) (tk+1

k=0 n

≈ zk :=z (tk )

=

lim

n

→∞ k=0

f (z ( z (tk ))

z (tk+1 ) tk+1

n

li m

n

→∞

k=0

f (z ( zk ) (zk+1

− zk )

D.h. die Definition dieses Integrals entspricht unseren W W¨ unschen. u ¨nschen.

− tk )

− z (tk ) (tk+1 − tk ) − tk

→ z (t) f ur ¨ ¨

9 Kurvenintegrale

29

9.4 Definition (Parametertransformation): (Parametertransformation): Eine stetig differenzierbar differenzierbaree Funktion Funktion p p (s), welche das abgeschlossene Intervall I Intervall I 1 auf I auf I abbildet abbildet und eine positive ′ Ableitung hat (also p (s) > 0 > 0 s I 1 ), wird Parametertransformation genannt.

∀ ∈

Bemerkung 9.3: Sei der glatte Weg γ gegeben γ gegeben durch t durch t

→ z (t) f ur u ¨r t ∈ I . Dann wird durch z1 (s (s) := z := z ( p (s)) , s ∈ I 1

f ur u Parametertransformation p = I = I 1 ¨r eine Parametertransformation p

 I ein I ein

glatter Weg γ 1 erkl¨ erklart, ärt, denn es gilt

z1′ (s (s) = z ′ ( p (s)) p )) p′ (s) Weiter gilt f ur u f entlang γ γ 1 , dass ¨r das Integral einer stetigen Funktion f entlang



f (z ( z ) dz =

γ



Substitution f (z ( z (t)) z ′ (t) dt =

I

            f z ( p (s)) z ′ ( p (s)) p )) p′ (s) ds =

I 1

1



f (z ( z ) dz

γ 1

I 1

z1′ (s)

z1 (s)

f (z ( z1 (s (s)) z ′ (s (s) ds =

Wir sehen also, dass zwei glatte Wege, die sich nur durch eine Parametertransformation unterscheiden, auf das Integral keinerlei Einfluss haben. 9.5 Definition: Definition: Man definiert f ur (t) , t ¨ ¨ zwei glatte Wege γ 1 und γ , welche durch t z (t) , t I und t z 1 (t durch  I mit z (s) = z ( p γ 1 γ Parametertransformation Parametertransformation p : I : I 1 1 ( p (s))

→

∈

→

∈ I 1 gegeben sind

∼ ⇔ ∃

¨ eine Aquivalenzrelation :

• Reflexivit ¨ ät γ ∼ ∼ γ durch γ durch p = id • Symmetrie Ist γ ∼ ∼ γ 1′ durch p : I

I 1 gegeben, so erhalten wir mit p = pˆ = p −1 die Relation γ 1 muss existieren, da p (t) > 0 > 0 und p somit streng monoton wachsend, ergo injektiv ist. 

∼ γ . γ . p−1

γ 2 ∼ γ 3 durch p1 und p2 entsprechend gegeben, so liefert p liefert p 2 ◦ p1 die Relation • Transitivit at¨ ¨ Ist γ 1 ∼ γ 2 und γ γ 1 ∼ γ 3 : z1 (s (s) = z 2 ( p ( p1 (s (s)) und z2 (t (t) = z 3 ( p ( p2 (t (t)) ⇒ z1 (s (s) = z 3 ( p ( p2 ( p ( p1 (s (s))) Bemerkung 9.4: Bezeichnungen: ¨ Von jetzt ab bezeichnen wir mit einer glatten Kurve eine ganze Aquivalenzklasse von glatten Wegen. Mit ¨ einer Parametrisierung meinen wir einen Repr¨ Repr asentanten Aquivalenzklasse. In diesem Zusammenhang äsentanten einer Aquivalenzklasse. kann auch weiterhin von einem glatten Weg gesprochen werden.

•

C

• Spur:

Offenbar ist die Spur aller Parametrisierungen einer glatten Kurve gleich. Daher ist es gerechtfertigt, wenn wir mit spur( ) := spur spur (γ )

C

die Spur von

u C f ur ¨r eine beliebige Parametrisierung γ von C bezeichnen.

9.6 Definition Definition (Integral (Integral entlang entlang einer glatten glatten Kurve): Kurve): Sei f eine f eine stetige Funktion auf dem Gebiet D C und eine glatte Kurve in D. Dann definiert man durch

⊂



C C

f (z ( z ) dz :=

C

C C



f (z ( z ) dt

γ

C C

f ¨ ur f entlang . ¨ eine beliebige Parametrisierung γ von das Integral von f Wir haben oben schon gesehen, dass dies wohldefiniert ist, da der Wert des Integrals nicht von der ausgew¨ ausgewahlten a¨hlten Parametrisierung abh¨ abhangt. ängt.

30

9 Kurvenintegrale

9.3

Eigensc Eigenschafte haften n des Kurvenin Kurvenintegra tegrals ls

9.2 Lemma (Eigenschaften) (Eigenschaften):: Das oben definierte Integral erf ¨ ullt f und g zwei g zwei stetige Funktionen auf dem Gebiet ¨ folgende Eigenschaften: Seien f D C, λ, µ C und sei eine glatte Kurve auf D. Dann gilt:

⊂ ∈ • Linearit ¨ ät:

C C



(λf (z ( z ) + µg (z )) dz =

C





f (z ( z ) dz + µ g (z ) dz

C

C

• Absch ¨ ätzungsregel:

C C

Ist γ γ eine Parametrisierung von , welche durch t

 

f (z ( z ) dz

  ≤ |

f (z ( z (t)) z ′ (t) dt d t

||

I

C

Mit den Bezeichnungen

→ z (t) f ur I gegeben ist, so gilt: ¨ ¨ t ∈ I

 |

z ′ (t) dt d t und M :=

L ( ) :=

C

|

I

|

sup

( z )| |f (z

z spur( )

∈

C

ergibt sich also die so genannte Standardabsch atzung: ¨ ¨

 

f (z ( z ) dz

C

 ≤

· · C

M L ( )

∼

Auch diese ist wieder unabh ¨ angig von der ausgew ¨ Parametrisierung (d.h. L (γ 1 ) = L (γ 2 ) falls γ 1 ¨ ählten γ 2 ):



Substitution = z ′ (t) dt

I

 |

I 1

z ′ ( p (s))| p′ (s) ds =



(s) ds z1′ (s

I 1

Ein strenger Beweis f ur u ¨r diese (eigentlich offensichtlichen) Aussagen findet sich in [RSF]. Bemerkung 9.5: Die Bezeichnung L Bezeichnung L ist nicht zuf allig: a¨nge“ der Kurve! ällig: Es handelt sich dabei um die Lange“ ” L( ) =

C

n



z ′ (t) dt =

I

li m

→∞

n

|   

z ′ (tk ) (tk+1

k=0 n

≈ =

lim

n

→∞

li m

n

→∞

k=0 n

|

z (tk+1 ) tk+1

z (tk+1 )

k=0

− tk )

− z (tk ) − tk

− z (tk )



(tk+1

− tk )

9.7 Definition: Definition: Sei eine glatte Kurve auf dem Gebiet D C mit der Parametrisierung γ , welche durch t [α, β ] gegeben ist. Dann definiert die Vorschrift

C C

⊂ t

→ z (t) f ur ¨ ¨ t ∈ I =

→ z (−t) , t ∈ [−β, −α]

− −

−C −C . Anschaulich

einen glatten Weg, welcher mit γ γ bezeichne bezeichnett wird. wird. Dieser ist eine Parametr Parametrisieru isierung ng von bedeutet dies genau, den Weg in der anderen Richtung entlangzulaufen. ¨ Nachrechnen verifiziert die Vertr¨ Vertraglichkeit äglichkeit mit der Aquivalenzrelation: γ 1 Ist z Ist z 1 (s (s) = z ( p (s)), so ist auch z auch z 1 ( s) = z

−

∼ γ ⇒ −γ 1 ∼ −γ. − (− p (s)) und es gilt pˆ′ (s) = (− ( p (s)))′ = pˆ′ (−s) > 0. > 0.

       pˆ(s)

9 Kurvenintegrale

31

9.1 Satz (Umkehrungsreg (Umkehrungsregel): el): Entsprechend zu oben gilt die Umkehrungsregel :



 −

f (z ( z ) dz =

f (z ( z ) dz

−C

C

Beweis: β



f (z ( z ) dz

  −  −  −

f (z ( z (t)) z ′ (t) dt

=

α

C

−β

Substitution

=

f (z ( z ( t)) z ′ ( t) dt

−

−α −α

=

−

f (z ( z ( t)) ( z ′ (t)) dt

− −

−β

=

f (z ( z ) dz

−C

9.2 Satz (Transformationsformel): (Transformationsformel): Sei : t : t ω (t), t [α, β ] eine glatte Kurve, h Kurve, h holomorph holomorph in G, G, h( h (G) die entstehende Kurve in D, dann ist z ′ (t) = h ′ (ω (t))ω ))ω ′ (t).

K K →

∈

⊂ D, f auf D C : z( D stetig. Sei C z (t) = h( h(ω(t))

Die Ableitung ist als Produkt stetiger Funktionen stetig und hat keine Nullstelle. Dann gilt:



f ( f (z ) dz =

C



f ( f (h(ω ))h ))h′ (ω )dω

K

Beweis: Es gilt



f ( f (z ) dz =



f ( f (z (t))z ))z ′ (t) dt =

I

C



∂ (h(ω (t))) f ( f (h(ω (t))) dt = ∂t

I



f ( f (h(ω(t)))h )))h′ (ω (t))ω ))ω ′ (t) dt =

I



f ( f (h(ω ))h ))h′ (ω) dω

K

und das zeigt die Behauptung.

9.4 9.4

Kurv Kurven en,, stuckweise u ¨ ckweise glatte Kurven

9.8 Definit Definition ion (stuckweise u ¨ ckweise glatte Kurve): Seien 1 ,.., n glatte Kurven, die jeweils mit Anfangs- und Endpunkten aneinander liegen, dann ist .. + n eine st uckweise uckwe ise glatte Kurve. ¨ ¨

C

C C

C

C = C1 +

Bemerkung 9.6: Von jetzt an reden wir nur noch von Kurven anstelle von st¨ stuckweise u ¨ckweise stetigen Kurven. 9.9 Definition Definition (Parametr (Parametrisierun isierung g stuckweiser u ¨ckweiser stetiger Kurven): Seien z z k (t), t [αk , αk+1 ] f ur α = α α 1 < .. < αn+1 = β = β Parametrisierungen Parametrisierungen der Kurven ¨ ¨ α = dann definiert: z1 (t) t [α1 , α2 ] z2 (t) t [α2 , α3 ] z (t) =

∈

  · · ·

zn (t)

C C

eine Parametrisierung auf .

∈ ∈ ··· t ∈ [αn , αn+1 ]

Ck aus obiger Definition,

32

10 Stammfunktionen

9.10 Definition Definition (Integrale (Integrale uber u u ¨ ber (stuckweise ¨ckweise glatte) Kurven): Man definiert getreu obiger Notation

  n



f ( f (z ) dz =

f ( f (zk ) dzk

k=1

C

C

k

 

Bemerkung 9.7: Außerdem gelten folgende Zusammenh Zusammenhänge: a¨nge: 1.

n

C

spur( ) =



Ck )

spur(

k=1

2.

−C = (−Cn) + (−Cn−1) + .. + (−C1) Beispiel 9.2:

C → z(t) = exp exp (i t) , t ∈ [0, [0, 2πn] πn], n ∈ N, dann folgt

Sei : t



1 dz d z = z

C

10

2πn

 0

iexp(i t) dt = i exp(i t)

2πn



1 dt = 2π i n

0

Stam Stammf mfun unkt ktion ionen en

10.1 Definition Definition (Stammfunkt (Stammfunktion): ion): Sei f in D D erkl ¨ arte D heißt Stammfunktion von f , f , falls ¨ holomorphe Funktion. Eine holomorphe Funktion F in D ′ F = f = f 10.1 Satz: Satz: Zwei Stammfunktionen zu f f unterscheiden sich h ¨ um eine Konstante c öchstens

∈C

Beweis: Seien Beweis: Seien F F 1 und F und F 2 zwei Stammfunktionen zu f zu f und z und z in D in D beliebig, dann gilt:

− F 2 (z (z ))′ = F = F 1′ (z ) − F 2′ (z ) = f ( f (z ) − f ( f (z ) = 0 Damit ist F ist F 1 − F 2 konstant, d.h. F 1 = F 2 + c f ur u ¨ r ein geeignetes c ∈ C. (F 1 (z (z )

10.2 Satz: Satz: Sei f stetig f stetig auf D, D , F eine F eine Stammfunktion in D D und eine glatte Kurve in D in D mit Anfangspunkt a a und Endpunkt b, dann gilt:

C C



f ( f (z ) dz = F ( F (b)

− F ( F (a) =: F ( F (z )|ba =: F ( F (z )|C

C

Beweis: Sei z Sei z (t), t

∈ [α, β ] eine Parametrisierung von C, dann:



f (z ( z ) dz

β

=

  

f (z ( z (t)) z ′ (t) dt

α

C

β

=

F ′ (z (t)) z ′ (t) dt

α

β

=

α

= =

∂ (F ( F (z ( z (t))) dt dt ∂t

F ( F (z (t)) βα F ( F (b) F ( F (a)

−

|

10 Stammfunktionen

33

Bemerkung 10.1: Man kann auf die Voraussetzung, dass glatt ist, verzichten. Es gen¨ genugt, u ¨gt, wenn

C

C

Beweis: Sei eine Kurve, dann gilt nach Definition (9.8)



lin.

f ( f (z ) dz =

n

C

k und

es folgt

k =1

n



(F ( F (bk )

− F ( F (ak )) = F ( F (b) − F ( F (a)

 −

− cos a

k =1

C

C =

C st¨ stuckweise u ¨ckweise glatt ist.

Beispiel 10.1:

   

sin z dz =

−

C

( cos z )′ dz = cos b

C

exp(z exp(z ) dz = exp exp (b)

−

C

z n dz =

−

C

−

1 (bn+1 n+1

exp(a) − exp(a

− an+1)

1 dz d z = 2π i z

|z|=1 Bemerkung 10.2: Daraus folgt, dass z1 keine Stammfunktion haben kann, sonst musste u ¨sste das Integral als Differenz von Anfangspunkt und Endpunkt angewandt auf die Stammfunktion 0 sein ( z = 1 ist eine geschlossene Kurve).

||

10.3 Satz (partielle Integration) Integration):: Seien f, g holomorph auf D, f ′ (z ), g ′ (z ) stetig in D und eine Kurve in D. Dann gilt:

C C



f ( f (z )g ′ (z ) dz = f ( f (z )g (z )|C −

C



f ′ (z )g (z ) dz

C

Beweis: Man f uhrt u u ¨ hrt das Problem auf die Produktregel der Differentiation zur uck: ¨ck: (f g)′ = f ′ g + f g ′ Integriert man beide Seiten und stellt die entstehende Gleichung um so erh¨ erh alt a¨lt man die Behauptung.

Beispiel 10.2:



2

sin z dz

=

− sin z cos z|C +

C

  −  | −

cos2 z dz

C

=

− sin z cos z|C +

sin2 z ) dz

(1

C

=

sin2 z dz

− sin z cos z|C + z C

C

⇒

2

 

sin2 z dz

= (z

− sin z cos z)|C

sin2 z dz

=

(z

− sin z cos z)|C

C

⇒

C

2

34

11 Umlaufzahl

10.4 Satz: Satz: Ist F ( F (z ) eine Stammfunktion von f ( f (z ) in D und h(ω ) holomorph in G. Sei weiter h(G) eine Stammfunktion von f ( f (h(ω ))h ))h′ (ω )

F (h(ω )) ⊂ D, so ist F (

Beweis:

(F ( ))h′ (ω ) = f ( ))h′ (ω ) F (h(ω )))′ = F ′ (h(ω ))h f (h(ω ))h

10.5 Satz: Satz: ∞ Sei f ( f (z ) = an z n f ur ¨ ¨ z < ρ, dann ist



| | |

n=0

F ( F (z ) =

∞

an n+1 z , z <ρ n + 1 n=0



||

Eine Stammfunktion von f . f . Beweis: Offensichtlich hat die Funktion F F den selben Konvergenzradius, denn der Stammfunktion rechnet man einfach aus: F ( F (z )′ =

11 11.1 11.1

 ∞

an n+1 z n + 1 n=0



an n+1 n+1 z

     ′

∞

an ′ = z n+1 = n+1 n=0

∞



< an z n z . Die Eigenschaft

|

|| |

an z n = f ( f (z )

n=0

Umla Um lauf ufz zahl ahl Einlei Einleitun tung g und und Definit Definition ion

C

∈

 ∀ ∈ C arg(z arg(z (β )) )) − arg(z arg(z (α)) = 2πn 2πn f f ur u ein n ∈ Z ¨ r ein n

Sei : z (t), t [α, β ], z (α) = z (β ), z (t) = 0 t [α, β ] eine geschlossene Kurve. Sei weiter arg(z arg( z (t)) eine stetige Abbildung in [α, [α, β ], ], dann gilt, weil geschlossen ist,

Die Umlaufzahl der Kurve soll die Netto-Anzahl der Uml¨ Uml aufe äufe um 0 sein und ist definiert als 11.1 Definition Definition (Umlaufzahl): (Umlaufzahl): n( , 0) :=

C

1 (arg(z (arg(z (β )) )) 2π

arg(z (α))) heißt Umlaufzahl von C − arg(z C

Beispiel 11.1:

{ ∈ C|ϕ − π < arg(z arg(z ) < ϕ + π}. Dann ist

Betrachten wir nun die geschlitzte komplexe Ebene z

(log z )′ = Sei nun wieder [αk , αk+1 ] mit

C

=

n

C

k eine

1 z

(11.1)

geschlosse geschlossene ne Kurve Kurve repr¨ reprasentiert a¨sentiert durch durch die Parametr Parametrisier isierungen ungen zk (t), t

k =1

∈

α = α = α 1 < .. < α n+1 = β

C

∈ (ϕ ( ϕk − π, ϕk + π ) f ur ϕ u arg(zk (αk )), )), k = 1,...,n. ,...,n. Dann ¨r ϕ k = arg(z

eine Zerteilung der Kurve derart, dass arg(z arg( zk (t))

11 Umlaufzahl

35

gilt mit (2) und z und z k := z := z k (α (αk ):



dz z

n

   |

=

dz z

k =1

C

C

n

= = = =

⇒ C

| − log |zk | + i (ar (arg (zk+1 ) − arg(z arg(zk ))) k =1 log |zn+1 | − log |z1 | + i (arg( (arg(zzn+1 − arg(z arg(z1 )) i(arg(z (α)) − arg(z arg(z (β ))) ))) 2π i n(C , 0) (log zk+1

z1 =zn+1

n( , 0)

k

1 2π i

=



dz z

C

Also ist die Umlaufzahl auch genau das, was wir von ihr erwartet haben!

11.2 11.2

Umlau Um laufza fzahl hl um allgem allgemein eine e Punkte Punkte z 0

∈ C

11.2 Definition: Definition: Sei z C, eine geschlossene Kurve parametrisiert durch z (t), t

∈

∈ [α, β ] und z0 ∈/ spur(C ), dann ist mit 1 n(C , z0 ) = (arg(z (arg(z (β ) − z0 ) − arg(z arg(z (α) − z0 )) 2π

C

C C um z0 gegeben. Es ergibt sich analog zum vorigen Fall 1 dz n(C , z0 ) = 2π i z − z0

die Umlaufzahl von

 C

C C C −

Also ist die Umlaufzahl einer Kurve um einen Punkt z Punkt z0 in der komplexen Ebene das gleiche wie die Umlaufzahl der um z0 verschobenen Kuve 0 = z0 um 0 C

∈ n(C , z0 ) = n( n(C0 , 0)

11.1 Lemma: Lemma: Ist eine geschlossene Kurve, so ist n( , z ) auf jeder Zusammenhangskomponente D

C C

C

⊂ C \ spur(C ) konstant.

Beweis: Zuerst Zuerst stelle stellen n wir fest, fest, dass dass die Spur Spur einer einer gesch geschlos lossen senen en Kurve Kurve eine eine kompa kompakte kte Menge Menge darste darstellt llt und daher daher C spur( ) tats¨ tatsachlich (bezuglich u ächlich in (bez¨ ¨glich der Topologie von C offene) Zusammenhangskomponenten zerf allt. ällt. Seien nun z nun z 1 , z2 D beliebig, dann gilt

\ \

C

∈

n( , z1 )

C

1 n( , z2 ) = 2π i

− C

  C

C

1

1

− z − z1 z − z2

\

C





z1 z2 dz d z = 2π i

−

(z

C

−

dz z1 )(z )(z

− z2)

Wegen der Kompaktheit von spur( ) ist C spur( ) und damit auch all seine Zusammenhangskomponenten D Zusammenhangskomponenten D offen. Folglich gibt es nun eine kompakte Kreisscheibe K D um ein beliebiges z beliebiges z 1 D, welche komplett in D πǫ 2 liegt. Sei der Radius der Kreisscheibe ǫ und z 2 K s.d. s.d. z1 z2 L(C ) . Dann gilt:

∈

|n(C , z1) − n(C , z2)|

⊂ ⊂ | − | ≤

Std.absch.

≤

1 z1 2π

| − z2| ǫ12 L(C )

   ≤

≤ ⇒ C

n( , z1 ) Da wir um jeden Punkt z Punkt z konstant ist, ist

=

∈

1 2

C

πǫ 2 L(C )

∀

∈ K

n( , z2 ) z1 , z2

∈ C mit n mit n((C , z ) = n( n(C , z1 ) eine solche Umgebung legen k¨ k onnen, önnen, in der die Umlaufzahl U = {z ∈ D | n (C , z ) = n (C , z1 )}

36


∈ U auch U auch nicht leer. Aus selbigem Grund (w¨ (wahle ähle andere Umlaufzahl) ist V = {z ∈ D | n (C , z ) =  n (C , z1)} = {z ∈ D | n (C , z) = j }

offen und wegen z wegen z 1



n( ,z1 )=j

C

 ∈N

ebenfalls offen. Dann gilt offensichtlich U

und U ∩ ∪ ∪ V = D und U ∩ V = ∅

was aber zur Folge hat, dass V = gilt (weil D (weil D zusammenhangend ängend ist).

∅

12

Das Das Inte Integr gral alle lemm mma a von von Cou Cours rsat at

12.1 Satz (Integrallem (Integrallemma ma von Coursat, Coursat, 1883): Ist f ( f (z ) holomorph in D, so gilt f ur ¨ ¨ jedes Dreieck ∆



⊂D

f ( f (z ) dz = 0

∂ ∆

Beweis: Skizze: die Pfeile zeigen die Integrationsrichtung beim Durchlaufen des Randes der Dreiecke an.                                        ← ←               ∆   4                         ←      → ←        ←                                                                → → ∆3       ←    ← ← ←                ∆ ∆ 1 2                            → →  

→

Offensichtlich sieht man an diesem Diagramm, dass



4

f ( f (z ) dz =

 

f ( f (z ) dz

j =1∂ ∆

∂ ∆

j

und L(∂ ∆j ) =

L(∂ ∆) ∆) 2

Sei dazu bemerkt, dass eine solche Aufteilung mit halbierender Seitenl ange u änge auch f ur ¨r ungleichseitige Dreiecke moglich öglich ist, wenn man als Eckpunkte des mittleren Dreiecks gerade die Mittelpunkte der Seiten des großen Dreiecks wahlt. ählt. Auf diese Weise l asst ässt sich stets leicht durch Parallelverschiebung einsehen, dass der Umfang eines jeden der 4 kleinen Dreiecke gerade die H alfte älfte des Umfangs des großen Dreiecks ist. Wahlen das k 1, 2, 3, 4 derart, dass ählen wir nun das k

∈ {

}

  

 

       ≤      f ( f (z ) dz = ma max x

∂ ∆k

i=1,..,4

f ( f (z ) dz

∂ ∆i



dann setzen wir ∆(0) = ∆, ∆(1) = ∆ k , L0 := L (∂ ∆) ∆) , L1 := L := L ∂ ∆(1) . Offensichtlich gilt L gilt L 1 =

L0 2

und

f ( f (z ) dz

∂ ∆

4

f ( f (z ) dz .

∂ ∆(1)

 


37

Man wiederholt dieses Verfahren iterativ und erh alt ält eine Folge ∆(n) von Dreiecken derart, dass gelten: (1)

∆ = ∆(0)

(2)

Ln = L = L((∂ ∆(n) ) =

L0 2n

  

  

(3)

⊃ ∆(1) ⊃ .. ⊃ ∆(n) ⊃ ...

f ( f (z ) dz

∂ ∆

 ≤

4n

f ( f (z ) dz

∂ ∆(n)

 

Sei nun zn ∆(n) n N, dann gilt wegen ∆ m ∆n m n zm ∆(n) n m und zm zn Ln = n − L0 2 . Damit folgt direkt, dass (z (zn )n∈N eine Cauchyfolge ist und wegen der Vollst andigkeit ändigkeit von C sowie der

∈

·

∀ ∈

⊂ ∀ ≥ 

n

Abgeschlossenheit von ∆(n) n

dass z n ∀ ∈ N, dass z

∈

∀ ≤

| − | ≤

∞  a ∈ ∆.

Wegen der Holomorphie von f f gilt außerdem f ( f (a + h) = f ( f (a) + hf ′ (a) + hr( hr(h), r(h)

 0

h

  0

Also ε > 0 δ > 0 s.d Bδ (a) D und (0 h < δ ) r (h) < ε. ε. Wir w¨ wahlen N derart, dass Lm < δ . Dann folgt wegen der Eigenschaft 1 unserer Folge, dass ählen nun ein m (m ) (m ) a ∆ . Sei nun z nun z ∆ z a < Lm < δ und h und h = = z z a, d.h.

∀

∃

∈

⊂ ∈ ∈ ⇒| − |

≤| |

⇒|

|

−

(z f ( f (a + h) = f ( f (z ) = f ( f (a) + (z

( z − a)r (z − a) − a)f ′(a) + (z

und folglich



 

f ( f (z ) dz =

∂ ∆(m)

(f ( f (a) + f ′ (a)(z )(z − a)) dz +

∂ ∆(m)

linear in z



(z

− a)r(z − a) dz =

∂ ∆(m)



(z

− a)r(z − a) dz

∂ ∆(m)

⇒ Stammfunktion Stammfunktion ⇒ =0

und mit der Abschatzung ätzung von oben

  

 

f ( f (z ) dz <

∂ ∆(m)

Damit folgt aber direkt

     ≤



  

<

= = f ur u kleines ε ¨ r beliebig kleines ε

− a)ε dz

∂ ∆(m)

f ( f (z ) dz

∂ ∆

(z

 ⇒

4m

  

∂ ∆(m) 2 4m Lm ε 2 L 4m m0 ε 4

 

Std.Absch.

≤

f ( f (z ) dz

2 Lm ε

 

L20 ε

f ( f (z ) dz = 0

∂ ∆

Damit ist die Behauptung gezeigt. 12.1 Lemma (Zusatz): (Zusatz): Sei D ein Gebiet und z0

∈ D sowie f f holomorph in D \ {z0} und stetig in z0, so gilt f ur ¨ ¨ alle Dreiecke ∆ ⊂ D



∂ ∆

Beweis: Wir f uhren u ¨hren eine Fallunterscheidung durch:

•

∈

z0 / ∆ Dieser Fall ist trivial

f ( f (z ) dz = 0

38


•

z0 ist Eckpunkt von ∆                                                              ← ←   ↔                            ∆  1               ∆  2              ↔         ∆  0       →   z0

→

Wir teilen das Dreieck ∆ so ein, dass drei Dreiecke entstehen, von denen das Dreieck ∆ 0 , das z das z 0 enth¨ enthalt ält beliebig klein wird. Dann gilt:





f (z ( z ) dz =

∂ ∆

2

f ( f (z ) dz +

 

f ( f (z ) dz

i=1∂ ∆

∂ ∆0

i

Dann gilt mit der Stetigkeit von f an z an z 0

∃δ : : |z − z0| < δ ⇒ |f ( f (z ) − f ( f (z0 )| < 1 ⇒ |f ( f (z )| < 1 + |f ( f (z0 )| =: M =: M Dann gilt, so ∆0 ⊂ Bδ (z0 )

  

 

f ( f (z )d(z ) < M L(∂ ∆0 ) < 6 < 6M Mε

∂ ∆0

Dieser Ausdruck wird beliebig klein, was bedeutet, dass das Integral uber u ¨ ber den Rand des großen Dreiecks die Summe der Integrale uber u u ¨ ber die beiden anderen Dreiecksr ander änder ist. Fur ¨ r diese gilt die Behauptung.

• sonst

man kann in diesem Fall das Dreieck derart zerlegen, dass z dass z0 Eckpunkt einer Menge von kleineren Dreiecken wird und das Integral analog zu oben zerf allt. ällt. Dann benutzt man den zweiten Fall.

13

Integ Integral ralsat satz z und Integ Integral ralfor formel mel von von Cauc Cauchy I

13.1 Definition: Definition: Ein Gebiet D heißt sternf ¨ ormig mit Zentrum c ¨

∈ D, wenn folgende Eigenschaft erf ullt ¨ ¨ ist: {tc + (1 − t)g | t ∈ [0, [0, 1]} ⊂ D ∀g ∈ D

13.1 Satz: Satz: Ist f im f im sternf ormigen Gebiet D mit Zentrum c holomorph und gilt f ur ¨ ¨ ¨ ¨ jedes Dreieck ∆



⊂D

f ( f (z ) dz = 0

∂ ∆

so ist

z

F ( F (z ) :=



∈ D

f (ζ ( ζ ) dζ , z

c

eine Stammfunktion von f auf D, wobei die Integration entlang der Strecke von c nach z erfolgt.


39

Beweis: Seien z Seien z , z + h D derart dicht beieinander, dass auch die Verbindunsstrecke komplett in D enthalten ist, dann folgt nach Voraussetzung

∈

z +h

z





f (ζ ( ζ ) dζ + +

c

c

f (ζ ( ζ ) dζ + +

z



f (ζ ( ζ ) dζ =

z +h



f (z ( z ) dz = 0

∂ ∆

Damit folgt dann aber z +h

F (z ( z + h) = F (z ( z ) +

 

f (ζ ( ζ ) dζ

z

z +h

=

F ( F (z ) +

z +h

f (z ( z ) dζ + +

z

=



(f (ζ ( ζ )

z

− f (z ( z )) dζ

1 F ( F (z ) + hf ( hf (z ) + hr( hr(h) mit r mit r (h) = h

∀

∃

| − |

z +h



(f (ζ ( ζ )

z

⇒|

− f (z ( z )) dζ

−

|

Wegen der Stetigkeit von f von f gilt gilt nun ε > 0 δ > 0 s.d. t z < δ f ( f (t) f ( f (z ) < ε 1 Damit folgt dann f ur u dass r((h) < h hε = hε = ε ε,, was gleichbedeutend ist mit ¨r h < δ dass r

| |

r(h)

 0

h

  0

ist. Das wiederum zeigt die Behauptung.

13.2 Satz (Cauchy’s (Cauchy’sche cherr Integralsat Integralsatz): z): Ist f f in dem sternf ¨ ormigen Gebiet D C eine C eine holomorphe Funktion, so gilt f ¨ ur ¨ ¨ jede geschlossene Kurve D: f (z ( z ) dz = 0

⊆

C C in

 C

C C1, C2 in D von a nach b gilt:

und f ur ¨ ¨ zwei Kurven



f (z ( z ) dz =

C1



f (z ( z ) dz

C2

Beweis: Dies ist eine direkte Folgerung aus dem Integrallemma von Coursat und Satz 1: Da f f holomorph ist, gibt es eine Stammfunktion F Stammfunktion F ,, d.h.



|

f (z ( z ) dz = F C

C

C

Da aber geschlossen ist, folgt somit die erste Behauptung. Im zweiten Fall gilt analog



f (z ( z ) dz =

C1

F ba =

|



f (z ( z ) dz

C2

13.1 Lemma Lemma (Zusatz (Zusatz zu Satz Satz 2): Sei D C ein sternf ¨ ormiges Gebiet, z0 D, f f eine holomorphe Funktion auf D ¨ besitzt f eine f eine Stammfunktion und es gelten die Aussagen aus Satz 2.

⊂

∈

\ {z0} und stetig in z0. Dann

Beweis: Da das Integrallemma von Coursat nach dem dort gemachten Zusatz auch im Falle einer auf D auf D phen und in z in z 0 stetigen Funktion gilt, folgt diese Aussage genauso wie Satz 2.

\ {z0} holomor-

40


13.3 Satz (Cauchy’sche (Cauchy’sche Integralformel): Sei f f in dem sternf ¨ ormigen Gebiet D C C eine holomorphe Funktion. Ist z D fest und eine geschlossene ¨ Kurve in D, welche nicht durch z verl auft Cauchy’sche Integralformel : ¨ ¨ (also z / spur( )), so gilt die Cauchy’sche

⊆

∈

∈

C

1 n ( , r) f (z ( z ) = 2π i

C ·



C C

f (ζ ( ζ ) dζ ζ z

− −

C

Beweis: Wir definieren die Funktion f 1 auf D D durch f 1 (ζ (ζ ) :=



f (ζ ) f (z ) ζ z

− −

f ′ (z )

 ∈ ∈ D

falls z falls z = ζ falls ζ = z

\{ }

Dann ist f ist f 1 in D in D z eine holomorphe Funktion und außerdem stetig in z in z.. Damit k¨ konnen önnen wir den Integralsatz von Cauchy verwenden (siehe Zusatz), d.h. (1)

0=



(2)

f 1 (ζ (ζ ) dζ =

C



f (ζ ( ζ ) ζ

( z ) − f (z − − z dζ

C

wobei (1) deshalb gilt, weil geschlossen ist (Integralsatz von Cauchy) und (2) einfach nach Definition von f 1 folgt, da z da z / spur( ), d.h. ζ d.h. ζ = z. z . Jetzt zerlegen wir dieses Integral, also

∈

C

C  

0=

 C

Da aber

 C

1 d ζ = ζ z dζ

−

 − −

( ζ ) f (ζ dζ d ζ ζ z

− −

( z ) f (z dζ d ζ ζ z

− −

C

· C

2π i n ( , z) gilt, folgt somit: 1 n ( , z ) f (z ( z ) = 2π i

C ·

 C

f (ζ ( ζ ) dζ d ζ ζ z

− −

Folgerung 13.1 (Der Cauchy’sche Integralsatz von Kreisscheiben und die Mittelwertformel): 1. Sei f f holomorph in dem Gebiet D C C und die Menge A := z C z a < r f ur ¨ ¨ festes a liege mit Rand ∂A g ¨ anzlich in D. Dann gilt ¨

⊆

{ ∈ | | − |

1 f (z ( z ) = 2π i



}


|ζ −a|=r

− −

∈ D mit | |z − a| < r.

f ur ¨ ¨ alle z

2. Unter den selben selben Vorausse Voraussetzung tzungen en wie f ¨ ur ¨ Folgerung 1) gilt die Mittelwertformel: 1 f (a ( a) = 2π

2π



f (a ( a + r exp exp (i ϕ)) dϕ

0

·

Beweis: 1. Offenb Offenbar ar ist das Gebiet Gebiet A sternf ormig. u örmig. Also kann der Integralsatz f ur ¨ r die Kurve angewendet werden, welche den Rand parametrisiert. 2. Dies folgt direkt aus Folgerung olgerung 1), indem man die Parametrisie Parametrisierung rung

·

ζ (ϕ (ϕ) := a := a + r exp exp (i ϕ) , ϕ

∈ [0, [0, 2π ]

verwendet, denn dann ist ζ ′ (ϕ) = i r exp exp (i ϕ) und durch K¨ Kurzen u ¨ rzen folgt so direkt die Behauptung.

· ·


13.1 Hilfssatz: Hilfssatz: F ur ¨ ¨ z C mit z < 1 und f ur ¨ ¨ alle n

∈

| | |

∈ N gilt:

1 (1

− z)

=

n

∞ n · (n + 1) · ... · (n + k − 1)



1+

1 2 ... k

· · ·

k=1

zk

1 + n z + z 2 q n (z (z )

= mit q n (z (z ) :=

41

·

·

∞ n·(n+1)·...·(n+k−1) k−2 z . 1·2·...·k k =2



| | | ≤ θ < 1: 1 :

Weiter gilt f ur ¨ ¨ z

1 |q n (z (z ) | ≤ 2 θ (1 − θ )n

Beweis: Induktion uber n u ¨ber n.. u • Induktionsanfang: Fur n ¨r n = 1 ist die Aussage genau die Summenformel der geometrischen Reihe. • Induktionsvoraussetzung: Induktionsvoraussetzung: Gelte die Behauptung f ur u u ¨ r alle m ≤ n, d.h. wir nehmen an, dass die Reihe f ur ¨r alle m alle m ≤ n konvergiert und die Aussagen erf ullt. u ¨llt. • Induktionsanfang: Wir differenzieren die Aussage f ur u ¨r n, welche nach I.V. gilt: ∞ n · (n + 1) · ... · (n + k − 1) n · k · zk−1 = +1 1 · 2 · ... · k (1 − z )n k=1 ∞ (n + 1) · ... · (n + k − 1) 1 Kurzen u ¨rzen von n und k = z k−1 ⇒ · n+1 1 · 2 · ... · (k − 1) (1 − z ) k=1 ∞ (n + 1) · ... · ((n 1 ((n + 1) + k − 1) k Indexverschiebung ⇒ = 1+ z n+1 1 · ... · k (1 − z ) k=1

 



Damit gilt die Aussage auch f ur n u ¨r n + 1.

| | ≤ τ < 1: ∞ n · (n + 1) · ... · (n + k − 1) |q n (z (z ) | ≤ θk−2 1 · 2 · ... · k k=2 ∞ n · (n + 1) · ... · (n + k − 1) 1 < 1+ θk θ2 1 · 2 · ... · k k=1

Jetzt zeigen wir die Absch¨ Absch atzung u ätzung f ur ¨r z

=

    (1

13.2 Hilfssatz: Hilfssatz: Sei g eine stetige Funktion in dem Gebiet G schneidet, also D C spur( ). Dann ist die Funktion

⊆ \

=

1

θ2

C



eben gezeigt gezeigt

1 (1− (1−θ)n

 

− θ)n

⊆ C, C eine Kurve in G und D ein Gebiert, welches C C nicht

f (z ( z ) :=



g (ζ ) dζ d ζ f ur ¨ ¨ z ζ z

C

∈ D

− −

holomorph in D und besitzt dort Ableitungen beliebiger Ordnung: (n)

f

(z ) = n! n !

 C

Beweis: Sei z D. D . Wir wahlen (z ) ählen ein δ > 0 s.d. Bδ (z s.d. h θ δ . Dann gilt zun¨ zunachst ächst

∈ | | ≤ ·

g (ζ )

¨ ¨ z ∈ D, n ∈ N0 − − z)n+1 dζ f ur

(ζ

⊆ D gilt. Sei weiter 0 < θ < 1 und ζ ∈ ∈ spur(C ). Wahle ähle ein h ∈ C

  ≤ − − h

ζ

z

θ

42


Weiter definieren wir f n (z (z ) :=



g (ζ ) dζ d ζ f ur z u ¨r z (ζ z )n

− −

C

∈ D

Jetzt gilt allgemein: allgemein:

(ζ

− −

1 = (z + h))n (ζ

1

− − z)n

Damit gilt dann aber f n (z (z + h) =

 C

− −

(ζ

=

h ζ z

1

n

(ζ

g (ζ ) dζ = (z + h))n

C

 ·

 ·

− − z)

−



· ζ − − z + ζ − − z

1

Hilfssatz 13.1

− 



g (ζ ) dζ d ζ + + n h (ζ z )n

·

− −

1+n

n

C

   

h

g (ζ )

− − z)

(ζ

2

h

d ζ + + n+1 dζ

h2

C

h

q n

− − z

ζ

g (ζ ) q n

  h ζ z n+2

− − z)

(ζ

−

dζ

und das bedeutet f n (z (z + h) = f n (z (z ) + n f n+1 (z (z ) h + h rn (h (h) mit rn (h (h) := h := h

·

·

·

 · C

  ≤

g (ζ ) q n (ζ

 

− − z)

h ζ z n+2

−

dζ

h 1 Wie oben gesehen ist ζ − θ, also nach Hilfssatz 13.1 auch q n (z (z ) (ζ z θ2 (1−θ)n . Weiter ist (ζ Voraussetzung und somit gilt mit der Bezeichnung M := sup g (ζ ) < die Relation ζ spur( )

∈

C

· L (ϕ) M · (h) | ≤ |h| 2 |rn (h θ (1 − θ )n δ n+2

≤ | | ∞

h

Also ist f n holomorph in D und es gilt f n′ (z (z ) = n f n+1 (z (z ) f ur u ¨ r alle n die Behauptung.

·

 0

− − z) > δ δ nach

  0

( z ) = f 1 (z (z ) folgt damit ∈ N . Da aber f (z

Bemerkung 13.1: Unter den Voraussetzungen von Satz 3 gilt also: f (z ( z ) Hauptsatz 2

⇒

f ′ (z ) f (n) (z )

=

=

=

1 2π i 1 2π i n! 2π i

  

|ζ −a|=r |ζ −a|=r |ζ −a|=r

( ζ ) f (ζ dζ d ζ falls z ζ z

| − a| < r

− −

f (ζ ( ζ )

d ζ − − z)2 dζ

(ζ

f (ζ ( ζ )

d ζ − − z)n+1 dζ

(ζ

Dieses Ergebnis fassen wir in Satz 4 zusammen: 13.4 Satz: Satz: Ist f f eine in dem Gebiet D C holomorphe Funktion, so ist auch f ′ eine in D holomorphe Funktion, insbesondere existieren alle h ¨ oheren Ableitungen ¨ f (n) , n N

⊆

∈

und sind in D holomorph. Beweis: Wie gesagt, dieser Satz ist eine direkte Folger Folgerung ung aus der Cauchy’sc Cauchy’schen hen Integralform Integralformel: el: Nac Nach h Satz 3 besitzt f eine Darstellung 1 f (ζ ( ζ ) f (z ( z ) = dζ d ζ falls z a < r 2π i ζ z



|ζ −a|=r

− −

| − |

Nach Hilfssatz 2 ist diese Funktion sowie alle ihre Ableitungen aber holomorph.


43

13.2 Lemma Lemma (Zusatz (Zusatz zu Satz Satz 3): Unter den Voraussetzungen des Satz 3 gilt f ur ,...: ¨ ¨ n = 1, 2,...: (n)

C

n ( , z ) f

n! (z ) = 2π i



|ζ −a|=r

f (ζ ( ζ )

− − z)n+1 d

(ζ

| | − a| < r ist.

falls z

Beweis: Siehe die Bemerkung zu Satz 3.

13.5 Satz (Morera (Morera 1886): Eine stetige Funktion f in f in dem Gebiet D gilt:

⊆ C ist genau dann holomorph in D, wenn f ur ¨ ¨ jedes Dreieck ∆ ⊂ D



f (z ( z ) dz = 0

∂ ∆

Beweis:

• ”⇒“

Diese Richtung folgt direkt aus dem Integrallemma von Coursat.

• ”⇐“ ⊆ D. Dann ist C Sei z ∈ D gegeben. Wir k¨ konnen C sternf ormig önnen eine Kreisscheibe C um z legen, s.d. C ⊆ örmig

und somit existiert nach Satz 1 und der Voraussetzung eine Stammfunktion F auf C . Dann ist f auf C aber Ableitung einer holomorphen holomorphen Funktion unktion und somit selbst selbst wieder wieder holomorph. holomorph. Da dies f ur u ¨ r jeden Punkt z D gilt, muss f muss f also also auf ganz D ganz D holomorph sein.

∈

13.6 Satz: Satz: Sei D C ein Gebiet, z0 holomorph in ganz D.

⊆

∈ D. D . Ist f auf D \ {z0 } eine holomorphe Funktion, welche an z0 stetig ist, so ist f

Beweis: Dies folgt direkt aus dem Integrallema von Coursat in Verbindung mit Satz 5.

Bemerkung 13.2 (Herleitung uber u ¨ ber den Gauß’schen Integralsatz): Sei f = u + i v eine in dem Gebiet D C holomorphe Funktion mit stetiger Ableitung. Schreibe z = x + x + i y . Sei weiter die Kurve, welche den Rand einer Kreisscheibe B beschreibt (im mathematisch positiven Sinne), s.d. B s.d. B D. Dann gilt:

⊆

⊆

C



f (z ( z ) dz

=

C

    −

(u + i v) ( dx + i dy)

C

=

(u dx + v dy ) + i

C

Gauß’scher Gauß’scher Integralsatz Integralsatz

=

B

Cauchy-Riemann-DGL’s

=





(v dx + u dy )

C

∂v ∂ u + dx d x dy + i ∂x ∂y

 

B

∂u ∂x

−



∂v dx d x dy ∂y

0

Unter einigen zus¨ zusatzlichen ätzlichen Voraussetzungen an das Gebiet, die Kurve und die Funktion kann man also den Integralsatz von Cauchy Cauchy auch uber u ¨ ber den allgemeineren Satz von Gauß beweisen.

44


14

Tayloren aylorentw twic icklung klung

14.1 Satz: Satz: Sei f f holomorph in D

⊃ Br (z0), dann gilt f ur |z − z0| < r und N ∈ ∈ N die Taylorsche Formel: ¨ ¨ | N

f (n) (z0 ) (z n ! n=0



f ( f (z ) = mit



1 T N N (z ) = 2π i

− z0)n + T N N (z)

+1 f ( f (ξ ) (z z0 )N +1 dξ d ξ +1 (ξ z )(ξ )(ξ z0 )N +1

· − − −

|ξ−z0 |=r Beweis: Sei 1 = z

 ∈ C und N ∈ ∈ N: Dann gilt 1 1

z N +1 = 1 + z + z + .. + z + z 1 z 2

−

n

−

(14.1)

  

Sei nun z nun z 0 = ξ = z, z , dann: 1 ξ

1

=

−z

(ξ

− z0) − (z − z0) 1

= (ξ

− z0)

−  − −

z z0 ξ z0

1

+1 z0 (z − z0 )N (z − z0 )N +1 − + + .. + + +1 +1 ξ − z0 (ξ − z0 )2 (ξ − z0 )N +1 (ξ − z ) (ξ − z0 )N +1

1

(14.1)

=

z

(14.2)

Damit folgt nun f ( f (z )



1 2π i

Integralformel

=

f ( f (ξ ) dξ d ξ ξ z

|ξ−z0 |=r

−

N

   −  −

1 2π i n=0

(14.2)

=

+

f ( f (ξ )

|ξ−z0 |=r

1 2π i

(ξ

|ξ−z0 |=r

N

f (n) (z0 ) (z n ! n=0

Integralformel

=

(ξ

−

1 dξ d ξ (z z0 )n+1

− z0 )n

f ( f (ξ ) dξ d ξ (z +1 z )(ξ )(ξ z0 )N +1

− z0)N +1

−

1 z0 ) + 2π i n



(ξ

|ξ−z0 |=r

−

f ( f (ξ ) dξ d ξ (z +1 z )(ξ )(ξ z0 )N +1

−

− z0)N +1

Das zeigt die Behauptung. 14.2 Satz: Satz: Sei f holomorph f holomorph in D und z0 Taylorentwicklung

∈ D, dann besitzt f f in jeder Kreisscheibe um z0, welche in D enthalten ist die f ( f (z ) =

∞ f (n) (z ) 0



n!

n=0

Beweis: Sei z z0 < r in D in D,, M :=

| − |

folgt:



Und dann:





−

−

− z0)n.

|f ( f (ξ )|, dann gilt: |z − z0 | < r ⇒ |z − z0 | = ϑr mit einem ϑ einem ϑ ∈ [0, [0, 1) und es

sup

|ξ−z0 |=r

+1 (z z0 )N +1 1 = +1 (ξ z )(ξ )(ξ z0 )N +1 (ξ z )

−

(z

−

 |≤

|T N N (z)

 ·  − − z ξ

z0 z0



+1 N +1



≤ 

1 (ξ

− z0) − (z − z0)

+1 1 M ϑN +1 M ϑN +1 2πr = 2π r(1 ϑ) 1 ϑ

−

−

n



 

ϑr r

∞  0



+1 N +1

N +1 +1

≤ r(1ϑ − ϑ)


45

Beispiel 14.1: 1. exp(z exp(z ) =

∞ exp(z exp(z0 )



n!

n=0

1

2.

1−z ist holomorph in C

  \{ }

(n)

1

1 ,

1 z

−

=

n! (1 z )n+1 .

−

(z

− z0)n

Sei nun z nun z 0 = 1, dann gilt f ur u ¨ r alle

∞ (z − z )n 0

1



∈ C : |z − z0| < |z0 − 1| : 1 − z = (1 − z0)n+1 n=0

z

3. Wir betrachten betrachten den Logarithm Logarithmus us auf dem Hauptzweig, Hauptzweig, dann gilt 1 log(z log(z )′ =

⇒

z

log(z ) = log(z log(z0 ) + ⇒ log(z

∞ ( 1)n+1

−

n=1

nzn

log

(z

(n)

( 1)n−1 (n (z ) = zn

−

n

− z0)

∀ | −

− 1)!

| | | ℜ(z0) ≥ 0 | − | | − ℑ(z0)| ℜ(z0) < 0 < 0 z z

z0 < z0 z0 < z0

Im Sonderfall z Sonderfall z 0 = 1 ergibt sich gerade

log(z log(z ) =

∞ ( 1)n+1

−

n=1

| |

∈ C,

4. Wie betrachten betrachten z < 1, 1 , a sich

nz n

(z

− 1)n ∀|z − 1| < 1

f ( f (z ) = (1 + z + z))a = exp exp (a log log (1 + z )) auf dem Hauptzweig. Dann ergibt

1 a(a ( ) ((1 + z )a ) n = n! und damit beim Entwickeln von f von f um 0

− 1) · .. · (a − n + 1) (1 + z)a−n n!

a

(1 + z ) =

∞

 

n=0

14.3 Satz: Satz: Sei z0

∈ C ,

R > 0 und f (z ( z ) =

∞



n=0

Dann gilt:

an (z (z

− z0)n als in { {z ∈ C | |z − z0| < R } konvergente Potenzreihe gegeben.

f (n) (z0 ) 1 an = = n! 2π i



|ξ−z0 |=r Weiter gilt f ur ¨ ¨ ein n

∈ N:

a n z n

( r) |an| ≤ M r (r , n

f ( f (ξ ) dξ, 0 < r < R (ξ z0 )n+1

M (r ( r) =

−

sup

|ξ−z0 |}≤r

|f ( f (ξ )|

Beweis: Offensichtlich gilt: (k )

f

(z0 ) =

∞



n=k

n(n

− 1) · .. · (n − k + 1)a 1) an (z0 − z0 )n−k = k! k !ak ⇒

ak =

1 (k ) f (z0 ) k!

Weiter gilt (r ) M ( M (r) 2πr 2 πr = = |ak | ≤ 21π M rn+1 rn Bemerkung 14.1: Die letzte Aussage des Satzes wird auch Koeffizientenabsch atzung ätzung von Cauchy genannt. 14.1 Definition Definition (ganze Funktion Funktion): ): Ist f eine f eine auf ganz C holomorphe Funktion, so nennen wir f f eine ganze Funktion.

46


14.4 Satz (Liouville): (Liouville): Eine beschr ¨ ankte ganze Funktion ist konstant. ¨ Beweis:

∞



f ( f (z ) ist eine ganze Funktion, d.h. f (z ( z ) =

n=0

an z n

∀ z ∈ C . Mit der Beschr¨ ∀ z ∈ C . Beschranktheit ( z )| < M ∀ änktheit gilt |f (z

Damit folgt aber aus der Koeffizientenabsch¨ Koeffizientenabschatzung: a¨tzung:

Da f Da f eine eine ganze Funktion ist k¨ konnen o¨nnen wir r wir r

≤ M rn

|an| ≤ M , r > 0, 0 , n∈ N n r  ∞ betrachten und somit folgt f ur u alle n > 0: ¨ r alle n 



r

an

∞ 

⇒

0

∀

an = 0 n > 0

Bemerkung 14.2: Dieser Satz heißt zwar Satz von Liouville, welcher ihn 1847 auch tats¨ tatsachlich ächlich bewies, jedoch hatte Cauchy diesen Satz bereits drei Jahre fr¨ fr uher u ¨her gezeigt. 14.5 Satz (Fundamen (Fundamentalsat talsatz z der Algebra): Algebra): Ein nicht-konstantes Polynom besitzt mindestens eine Nullstelle in C Beweis: Sei p Sei p((z ) = a 0 + a1 z + .. + an z n ein Polynom mit a mit a n = 0. Angenommen p Angenommen p((z ) = 0 z C, dann folgt f folgt f ((z ) = p(1z) ist eine ganze Funktion und wegen der Nullstellenfreiheit von f von f beschr¨ beschrankt. ist f mit mit dem Satz von Liouville aber konstant, was bedeutet, dass p dass p konstant war. änkt. Damit ist f



 ∀ ∈

Bemerkung 14.3: Aus dem Satz folgt f ur u Polynom p:: ¨r ein allgemeines Polynom p k

p( p(z1 ) = 0

⇒

p(z )

− p( p(z1 ) =



an (z n

n=1

− z1n) = (z − z1) p( p˜(z )

Offensichtlich ist der Grad von p˜ gerade um 1 kleiner als der von p und wir k¨ konnen önnen so oft Nullstellen von p abspalten, bis ein konstanter Teil ubrig u (gerade a n ) und es gilt am Ende: ¨brig bleibt (gerade a p( p(z ) = (z

− z1) · ... · (z − zn)an

f ur u bestimmten z i . ¨ r die (bis auf Reihenfolge) eindeutig bestimmten z

14.1 14.1

Nullst Nullstell elleno enordn rdnung ung

14.6 Satz: Satz: Sei f ( f (z )

≡ 0 holomorph in D, dann: ∀ z ∈ C ∃ nz ∈ N :

0 = f ( f (z ) = f ′ (z ) = .. = .. = f f (nz −1) (z ), f (nz ) (z ) = 0



nz heißt dann Nullstellenordnung von f an z Beweis: Wir Beweis: Wir definieren U := V

:=

 ∈  ∈ z0 z0



s.d. f (n) (z0 ) = | ∃ n ∈ N s.d. f 0 D | f (n) (z0 ) = 0 ∀ n ∈ N D



∈ V V konstant ist.

Da f Da f insbesondere insbesondere stetig ist, muss U muss U offen sein. V ebenfalls V ebenfalls offen, da f f an solchen Stellen z 0 Damit ist aber D = U = U V, U V =

∪ ∪

∩ ∩

∅

 ≡

  ∅

also D also D = = V V oder D oder D = = U U ,, da D da D als als Gebiet zusammenh¨ zusammenhangend aber f 0 muss U muss U = sein, da insbesondere ängend ist. Da aber f (0) ein z0 D mit f (z0 ) = f (z ( z0 ) = 0 existiert. Also ist V = und f ur u ¨ r jedes z D existiert ein nz wie in der Behauptung.

∈



∅

∈

15 Identit¨ Identitätssatz und analytische Fortsetzung

47

14.7 Satz: Satz: Sei f

 ≡ 0 eine holomorphe Funktion, z0 ∈ D und m ∈ N, dann sind ¨ aquivalent: ¨

1. m ist Nullstellenordnung von f an z0

∞

2. f ( f (z ) =



n=m

3. f ( f (z ) = (z

an (z

− z0)n in einer Umgebung von z0 und am = 0

− z0)m h(z) mit einer an z0 nicht verschwindenden holomorphen Funktion h.

Beweis: ¨ ¨ Die Aquivalenz der ersten beiden Aussagen folgt direkt aus Satz 14.3. Und die Aquivalenz der letzten beiden Aussagen erhalt ält man durch Ausklammern bzw. den Satz 14.3.

14.1 Lemma (Eigenschaften (Eigenschaften der Nullstellenor Nullstellenordnung dnung): ): Seien f, g 0, dann gelten

≡

•

m(f g, z0 ) = m( m(f, z ) + m(g, z0 )

· ·

•

m(f, z0 )

≥ m(g, z0) ⇒

m

  f , z0 g

= m( m (f, z0 )

− m(g, zo )

Beweis:

• In der Tat :f  0 und g  0 und damit :f ((z ) = (z − z0 )m(f,z ) h(z ), h(z ) = und g (z ) = (z − z0 )m(g,z ) h′ (z0 ), h′ (z ) = ˆ (z ), h ˆ (z0 ) := h 0 f g (z ) = (z ( z − z0 )m(f,z )+m(g,z ) h := h((z0 )h′ (z0 ) = • Mit obiger Notation gilt: 0

0

0

f (z ) = (z (z g

0

− z0)m(f,z )−m(g,z )h˜ (z), h˜(z0) := hh′((zz00)) = 0 0

0

14.2 Definit Definition ion (c (c Stellenordnung): Gilt f ( f (z ) = c, c , so heißt z c Stelle von f und f und die Zahl

−

−

m(f

− − c, z0)

f ur ¨ ¨ f

 ≡ c heißt c-Stellenordnung von f an z0

15

Identit¨ atssatz und analytische Fortsetzung atssatz

15.1 Satz: Satz: f 0 sei holomorph in D, dann gilt f ur ¨ ¨ alle z0

 ≡

∃r > 0 :

∈ D f ( f (z ) =  0 ∀ 0 < |z − z0| < r

5 Mit anderen Worten: die Menge der Nullstellen hat keinen H aufungspunkt in D. ¨ ¨

Beweis: Wir schreiben f ( f (z ) = (z

  ∀ ∈

− z0)m(f,z )h(z)

(15.1)

0

mit h(z0 ) = 0 f ur u ¨r eine holomorphe Funktion h. Da h insbesondere auch stetig ist mit u = z 0 . h(u) = 0 u U . U . Nach (15.1) ist dann aber auch f ( f (u) = 0 u U mit u

5

 ∀ ∈



∃ Umgebung U von z0 s.d.

Dies ist nicht zu verwechseln mit dem H ¨ aufungspunkt einer Folge. Ein Punkt a heißt H¨ aufungspunkt H¨ aufungspunkt einer Teilmenge A ⊆ C , aufungspunkt falls ∀ ε > 0 die Menge B ε (a) ∩ A unendlich ist! Vergleiche auch [FOA].

48

15 Identitatssatz ätssatz und analytische Fortsetzung

Bemerkung 15.1: Das gilt nicht in R, Gegenbeispiele sind

• f ( f (x) = • f ( f (x) =

 −   −  exp 0

1 x2

exp 0

1 x2

∀ x > 0 x≤0 0 sin x1 ∀ x = x = 0

Beide Funktionen haben 0 als H¨ H aufungspunkt äufungspunkt ihrer Nullstellen. 15.2 Satz (Identit (Identitatssatz): atssatz): ¨ Sind f, g holomorph in D, f ( f (z ) = g( g (z ) auf einer Teilmenge von D, welche einen H ¨ aufungspunkt in D besitzt, ¨ so gilt f ( f (z ) = g( g (z ) z D

∀ ∈

Beweis: f

D − − g ≡ 0 auf der Teilmenge ⇒ f − − g ≡ 0 auf D

− − g ist holomorph!).

da die Menge der Nullstellen nach Satz 15.1 sonst keinen H¨ H aufungspunkt (f äufungspunkt haben darf (f

15.3 Satz: Satz: Sei f holomorph f holomorph in D, G ein Gebiet und D auf G

⊂ G, dann gibt es h ¨ öchstens eine holomorphe Fortsetzung von f

15.1 Definition (analytische Fortsetzung): Fortsetzung): Eine solche Fortsetzung (wie in Satz 15.3) heißt analytische Fortsetzung von f . f . Beweis (von Satz 15.3): Dieser Satz folgt direkt aus dem Identit¨ Identit atssatz. gabe von f auf G. ätssatz. Angenommen, es g¨ äbe zwei Fortsetzungen F 1 , F 2 von f Dann wurde u ¨rde nach Definition F 1 F 2

≡

auf dem Gebiet D Gebiet D gelten. gelten. Da aber D aber D als als Gebiet offen ist, hat D hat D insbesondere insbesondere auch einen H¨ Haufungspunkt. äufungspunkt. Damit folgt dann in der Tat aus dem Identitatssatz F ganz G.. ätssatz F 1 F 2 auf ganz G

≡

Bemerkung 15.2: Im Reellen stimmt dieser Satz nicht. So gibt es zum Beispiel f ur u f (x) = exp ¨ r die Funktion f ( folgende C ∞ Fortsetzungen auf ganz R:

−

(1) g1 (x) (2) g2 (x)

  

= =

Beispiel 15.1:

1.

f ( f (z )

=

∞

  

z n , z < 1

||

n=0

2.

f ( f (z )

=

∞ zn

n=1

3.

f ( f (z )

=

n

, z < 1

∞ zn

n=1

n2

|| ||





f ( f (x) x > 0 0 x 0

≤

f ( f (x) x > 0 0 x = 0 f ( f (x) x < 0

g(x) =

1

1

− z , z = 1

g (z ) = log(1

[1, ∞) − z), z ∈ R \ [1,

, z < 1 - der sogenannte Bilogarithmus“ ”

−  ∀ 1 x2

x > 0


∞



• zu 3.) Es gilt f ′(z) = n

=1

Betrachte nun

49

z n−1 n

= log(1z−z) z < 1.

||

z

 −

g (z ) =

log(1 ξ ) dξ ξ

−

0

−z) . dann ist g ist g holomorph auf C \ [1, [1, ∞] und g′ (z ) = − log(1 z |z| < 1 ⇒ (f − − g)′(z) ≡ 0 ∀|z| < 1 und g ist die analytische Fortsetzung von f auf Also ist f ′ = g ′ auf | C

[1, ∞) \ [1,

• f ( f (z ) =

∞



z n! , z < 1

||

n=0

    

⊆ G, dann ist exp 2π i pq ∈ G f ur u naturliche p u und q und q und es gibt ¨ r nat¨ ¨rliche p und ≤ M ∀ ∀ 0 < r < 1. Weiter gilt 2π i pq

Angenommen G Angenommen G w w¨ are Gebiet, B 1 (0) äre ein Gebiet, B

∈ ∈ N derart, dass

ein M

       f r exp

p f r exp 2π i q

q 1

−

pn! pn ! = r exp 2π i q n=0 n!

+

∞

rn!

n=q

Sei nun N > q , dann ist

∞

N

   r

n!

<

n=q

Mit N Mit N = M + M + 2q folgt folgt

rn! < M + + q

n=q

M +2q

rn! < M + + q 0 < r < 1

∀ ∀

n=q

Lasst a¨sst man nun r nun r gegen 1 laufen, ergibt sich

M + + q + + 1

+ q ≤ M +



Also kann es keine Fortsetzung geben, die B 1 (0) echt enth¨ enthalt. a¨lt. 15.2 Definition Definition (Luckenreihe u ¨ ckenreihe von Fabry): f ( f (z ) =

∞



an z kn , an = 0, 0,



n=0

kn n

n



∞  ∞

Die durch durch obige Reihe definierte definierte Funktion unktion l ¨ ässt sich sich nicht fortsetzen in einem Gebiet, dass B1 (0) echt enth ¨ ält. 15.0 15.0.1 .1

Eine Eine großere oßere Taylorentwicklung aylorentwicklung ¨

Seien f Seien f ((z ) = dann gilt

∞



n=0

an (z

− z0)n ∀ |z − z0| < r0 und f und f ((z ) =

f (n) (z1 ) bn = = n!

und man erhalt f B r0 (z0 ) ält f ((z ) auf B

16 Sei

∞



k =n

k!

− n)!

(k

∞



n=0

bn (z

− z1)n ∀ |z − z1| < r1 f ¨ f ur z u ¨r z 1 ∈ Br (z0 ) definiert, 0

∞ 1 − ak (z1 − z0 ) =

 

k n

n!

k =n

k ak (z1 n

− z0)k−n

um z 1 ∪ Br (z1) durch Taylorentwicklung um z 1

Funktio unktionen nenfol folgen gen und -reihe -reihen n

∅ = A ⊂ C und f , f n ∀n ∈ N in A erklart, ärt, dann definiert man

16.1 Definition Definition (punktweis (punktweise e Konvergenz Konvergenz): ):   n

f n oder analog mit der ε f n

  n punktweise

punktweise



∞ f in A

⇔

f n (z )

n



∞  f ( f (z ) ∀ z ∈ A

-Formulierung: − δ -Formulierung:  ∞ f in A ⇔ ∀ z ∈ A, ∀ ε > 0 ∃ N = N (z, ( z, ε) ∈ N s.d. |f n (z ) − f ( f (z )| < ε ∀ n ≥ N 

50


16.2 Definition Definition (gleichm (gleichm¨ aßige aßige Konvergenz): Sei = A C und seien die Funktionen f n , f in A erkl art. ¨ ¨ Wir sagen

∅ ∅  ⊂ f n



  n

gleichm ¨ aßig ¨

∞ f in A

⇔ ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ∈ N s.d. |f n(z) − f ( f (z )| < ε ∀ n > N, ∀ z ∈ A

16.1 Lemma (Cauchykriterium): (Cauchykriterium): Es gilt: f



  n gleichm aßig ¨ ¨

∞ f in A

⇔ ∀ ε > 0 ∃ N ∈ ∈ N s.d |f n(z) − f m(z)| < ε ∀ n, m > N, ∀ z ∈ A

Der Beweis erfolgt v ollig öllig analog zum reellen Fall. 16.1 Satz: Satz:  ∞  ∞ n n  f, g  g, dann gilt Gelte f n n 1.



n

λf n + µgn

∞  λf + + µg

2.

∃M : |f n(z)| ≤ M |gn(z)| ≤ M ∀ ∀ n ∈ N, ∀z ⇒

f n gn

n



∞ 

fg

Auch hier kann man den Beweis w¨ wortlich örtlich aus der reellen Analysis abschreiben. 16.2 Satz (uber u aßige aßige Konvergenz): ¨ ber die gleichm¨ Seien f n , n N auf A C definierte stetige Funktionen und konvergiere

∈

⊆

f n

 f

gleichm ¨ aßig f stetig in A. ¨ auf A. Dann ist f stetig Auch dieser Beweis stimmt w¨ w ortlich o¨rtlich mit dem aus der reellen Analysis uberein. u ¨berein. 16.3 Definition: Definition: Seien f n , n unktionen.. Die Folge (f n )n∈N heißt lokal gleichm ¨ aßig N in dem Gebiet D C erkl ¨ ärte Funktionen ¨ D eine Umgebung U U gibt, in welcher die Funktionenfolge konvergent in D , wenn es zu jedem Punkte z gleichm ¨ aßig ¨ konvergiert. Sie heißt kompakt konvergent in D, wenn sie in jedem Kompaktum K D gleichm ¨ aßig ¨ konvergiert.

∈

⊆

∈

⊂ ⊂

16.2 Lemma: Lemma: Es gilt die folgende Beziehung:

⇔ kompakte Konvergenz ⇔

Lokal gleichm aßige Konvergenz ¨ ¨ Beweis:

• ”⇒“

Sei K D kompakt, z0 D und U z0 eine Umgebung von z0 s.d. die Folge (f ( f n )n∈N auf U z0 gleichmaßig a¨ßig konvergent ist. Offenbar ist K U z0

⊂ ⊂

∈

  ⊂ ⊂

⊂ ⊂

∃

∈ K s.d. s.d.

Da aber K aber K kompakt kompakt z 1 ,...,zn

∈

z0 K n

K

U zj

j =1

∈ N s.d. ∀ n ≥ nj gilt: |f n (z (z ) − f (z ( z )| < ε Setzen wir jetzt n0 := max nj , so gilt ∀ n ≥ nj , z ∈ K : j =1,...,n (z ) − f (z ( z )| < ε |f n (z Sei nun ε > 0 vorgegeben. Dann w¨ w ahlen a¨hlen wir ein n ein n j

Also konvergiert die Folge auch kompakt.

• ”⇐“ ∈

⊂

Zu jedem z D finden wir eine abgeschlossene Kreisscheibe B D, die offenbar kompakt ist. Da die Funktionenfolge aber auf B gleichm B gleichmaßig B gleichmaßig konvergieren, folglich äßig konvergiert, muss sie auch auf B gleichm äßig konvergieren, liegt auch lokal gleichm¨ gleichmaßige äßige Konvergenz vor.


16.1 16.1

51

Reihe Reihen n von von Funk Funktio tionen nen

Seien f Seien f n , n

∈ N auf ∅ ∅ = A ⊂ C erklarte ärte Funktionen.

16.4 Definition: Definition: Man definiert punktweise und gleichm ¨ Konvergenz der Reihe äßige

∞



f n (z (z )

n=1

uber die Konvergenz der Funktionenfolge der Partialsummen ¨

  m

n=1

f n (z (z )

. m

∈N

16.5 Definition: Definition: ∞ Man sagt, die Reihe f n (z (z ) konvergiert absolut gleichm ¨ in A, wenn die Reihe aßig ¨



n=1

∞

|

f n (z (z )

n=1

|

gleichm ¨ aßig ¨ in A konvergiert. Bemerkung 16.1: ∞ Konvergiert die Reihe f n (z (z) absolut gleichmaßig in A,, so konvergiert sie auch gleichm aßig in A.. Diese äßig in A äßig in A



• •

n=1

Aussage folgt direkt aus dem Satz uber u ¨ ber absolute und normale“ Konvergenz. ” Auch hier gibt es das Majorantenkriterium:

|

Gilt f n (z (z )

∞



| ≤ αn mit n

=1

αn <

∞, so ist ∞



∞



f n (z (z ) <<

n=1

∞

eine Majorante und



n=1

Beispiel 16.1:

αn

n=1

(z) konvergiert gleichm aßig in A.. f n (z äßig in A

1. Die Funktio Funktionsfolg nsfolgee (z ( z n )n∈N konvergiert f ur u ¨r z < 1 lokal gleichmaßig: äßig:

| |

zn 2. Eine Potenzreihe Potenzreihe

∞



n=0

an (z (z

− z0)n mit dem Konver Konvergenzr genzradius adius ρ > 0 ist in { z ∈ C | |z − z0 | < ρ} lokal

gleichm¨ gleichmaßig a¨ßig konvergent: konvergent: Sei 0 < 0 < r < ρ. ρ. Dann ist an (z (z

|

− z0)n| < |an|rn f ur u ¨r |z − z0 | < r , folglich ist ∞



n=0

3.

∞



n=1

zn ist n2

 0

an (z (z

n

− z0)

<<

∞

|

an rn

n=1

sogar (global!) gleichmaßig äßig konvergent in z

{ ∈ C | |z| < 1}. Dies sieht man durch die Majorante

∞ zn



∞ 1



<<

n2 n=1

n=1

n2

4. Die Konvergenz Konvergenz der Funktionenfolge Funktionenfolge

Beweis:

z n

  1+

ist lokal gleichm¨ gleichmaßig a¨ßig in ganz C .

|

n

 

exp(z exp(z )

52


| | 1 |z |2 log (1 + z ) − z | ≤ | log 2 1 − |z | ∞ (−z) | | In der Tat, bekanntlic bekanntlich h ist log (1 + z ) = − k falls z < 1. Also gilt:

Zun¨ Zunachst a¨chst zeigen wir f ur u ¨r den Hauptzweig des Logarithmus und z < 1 die Ungleichung

k



k=1

log log (1 + z )

−z

∞ ( z )k

− − ∓    | | || ||  || || 

=

−

1 z + ... 2 3 1 z + + ... 2 3

= z2

⇒ |log log (1 + z ) − z | ≤

z

k

k=2

2

z2 1 + z + z 2 + ... 2 z2 f ur u ¨r z < 1 2 (1 z )

≤

|| · −| |

=

| |

 ≤    −  ≤ | | ⇒    ·    ·    −  | | ≤ | | | − |≤| |· | |   −  ≤ | | ·   ·    −  −    | | | | ≤ | |·   ≤ · · 1 2 und

z n

| |

Sei nun R nun R > 0, z < R und n und n > 2R 2R. Dann ist

z n

log 1 +

wir k¨ konnen önnen die obige Ungleichung verwenden: z2 n2

z n

Allgemein gilt aber

1+

z n

genauso wie exp(z exp(z )

1+

n

= exp n log 1 +

exp z und exp(z exp(z )

z n

n

exp(z exp(z )

z n

= exp exp (z )exp n

1

z

exp

z n

z n

exp z . Damit gilt dann aber:

exp(z exp(z )

exp n

log 1 +

z2 exp n

exp z

log 1 +

3 R 2

z n

z n

1

z2 n

1 n

R2

16.3 Satz: Satz: Die Funktionen f n , n bzw die Reihe

∞



n=1

∈ N seien in dem Gebiet D ⊆ C stetige Funktionen und sei die Funktionenfolge (f n)n∈ C in D: f n lokal gleichm ¨ aßig ¨ in D. Dann gilt f ur ¨ ¨ eine Kurve C

  

lim f n (z (z ) dz

=

f n (z (z ) dz

=

n

→∞ C ∞

bzw.

n=1

C

N

   li m

(z ) dz →∞ f n (z C ∞

n

f n (z (z ) dz

n=1

C

Beweis: Wir zeigen nur den Fall der Folge, der der Funktionsreihe ist analog zu beweisen. Sei ε Sei ε > 0 vorgegeben. vorgegeben. Offenbar Offenbar ist spur ( ) kompakt in D in D.. Wir w¨ wahlen ein n 0 ählen nun ein n

C

∈ N s.d.

|f n (z (z ) − f (z ( z )| < ε ≥

∈

C

f ur n u und z spur( ). Dies ist wegen der lokal gleichm¨ gleichm aßigen ¨r n n0 und z äßigen und somit wegen der kompakten Konvergenz moglich. öglich. Damit gilt:

 

f (z ( z ) dz

C

 −

f n (z (z ) dz

C

 

= Standardabsch atzung atzung ¨

≤

 

(f (z ( z )

C

· C

ε L( )

− f n (z (z )) dz

 


16.4 Satz: Satz: Sind f f n , n die Reihe

53

∈∞N holomorphe Funktionen in dem Gebiet D Gebiet D ⊆ C und konvergiert die Funktionenfolge ( Funktionenfolge (f f n )n∈



n=1

N

bzw.

f n lokal gleichm ¨ aßig ¨ in D, so ist

f (z ( z ) := lim lim f n (z (z ) bzw. f (z ( z ) := n

→∞

holomorph in D und es gilt

und die Folge (f n′ )n∈N bzw.

∞

 

f n (z (z )

n=1

∞ ′ ′ f (z ) = lim lim f n (z (z ) bzw. f (z ( z ) = f n′ (z (z ) n→∞ n=1 ∞



ist lokal gleichm aßig ¨ ¨ konvergent.

n=1

Beweis: Auch hier zeigen wir nur den Fall der Folge f (z ( z ) = lim lim f n (z (z ), der Fall der Funktionsreihe ist auch hier absolut n→∞ analog zu beweisen. Sei ∆ D ein Dreieck. Nach dem Kriterium von Morera gilt:

⊂



f (z ( z ) dz

Satz 1

=



li m

→∞

n

∂ ∆

f n (z (z ) dz = 0

∂ ∆

Folglich ist auch f auch f holomorph in D in D.. Sei nun z C z z0 r D und z

{ ∈ | | − | ≤ } ⊂

| − z0| < r . Dann gilt nach der Integralformel von Cauchy: 1 f (ζ ( ζ ) − f n (ζ (ζ ) f ′ (z ) − f n′ (z (z ) = dζ 2 2π i − (ζ − z) |ζ −z |=r

 0

u | − z0| ≤ r2 , so gilt f ur − z0| = r auch |ζ − − z| ≥ r2 . ¨r |ζ − sup |f (ζ ( ζ ) − f n (ζ (ζ )| 1 ζ z r | − | = ⇒ |f ′ (z) − f n′ (z · 2π (z )| = r 2 2π

Ist allerdings z

0

 2

Geben wir uns nun ein ε > 0 vor, so w¨ wahlen ein n 0 ählen wir ein n

∈ N s.d. ∀ n ≥ n0 und |ζ − − z0| < r gilt: r |f (ζ ( ζ ) − f n (ζ (ζ )| < · ε 4

{ ∈ | | − − |

}

Dies ist m¨ moglich, (f n )n∈N auf Grund ihrer lokal gleichöglich, da z C ζ z0 = r kompakt in D und die Folge (f maßigen äßigen Konvergenz auch kompakt konvergent in D ist. Damit folgt dann: r (z )| < ε ∀ z mit |z − z0 | ≤ und n und n ≥ n0 |f ′ (z) − f n′ (z 2 Folgerung 16.1: 1. Unter den Vora Vorausset ussetzung zungen en von Satz 2 gilt f ur ¨ ¨ alle k

∈ N0:

f (k) (z ) = bzw. f (k) (z )

=

lim f n(k) (z )

n

→∞ ∞



f n(k) (z )

n=1

und die Folge der k-ten Ableitungen gent in D.



lim

n

→∞

(k ) f n



n

∈N

bzw. die Reihe

∞



(k )

f n

ist lokal gleichm gleichm ¨ aßig ¨ konver-

n=1

∈ D und die Taylorentwicklungen

2. Unter den Vora Vorausset ussetzung zungen en von Satz 2 gilt f ur ¨ ¨ z0 f (z ( z ) =

∞



k=0

ak (z (z

k

− z0)

und f n (z (z ) =

∞



k =0

akn (z ( z

− z0)k

54


dass lim akn im Falle der Folge

ak = bzw. ak

n

→∞ ∞



=

akn im Falle der Reihe

n=1

Beweis:



1. Man wendet wendet Satz 2 induktiv induktiv auf lim

→∞

n

(k ) f n



n

∈N

∞



bzw.

(k )

f n

an.

n=1

2. Wir setzen setzen die Formel Formel f ur u ¨ r die Koeffizienten ein, welche uns der Satz von Taylor liefert: (k )

lim f n (z0 ) f (k) (z0 ) n→∞ ak = = = lim lim akn n→∞ k! k! Der Beweis f ur u ¨ r die Darstellung der Koeffizienten der Reihe verl auft äuft analog.

Bemerkung 16.2: ∞ Fur u f n (z (z ) gilt: ¨ r die Reihe

 

n=1

∞ ∞

akn (z ( z

n=1 k =0

− z0)

k

=

∞



f n (z (z ) = f (z ( z ) =

n=1

∞



ak (z (z

k=0

k

− z0)

=

∞ ∞



akn (z ( z

k =0 n=1

− z0)k

In diesem Fall d¨ durfen u ¨rfen also die Summen vertauscht werden. Doppelreihensatz genannt. Diese Eigenschaft wird auch als Weierstraß’scher Doppelreihensatz genannt. Beispiel 16.2: 1. Die Reihe Reihe f f ( (zz ) =

∞



n=1

 −

1 z +n

1 n

 −1, −2,... ist ,... ist holomorph und darf gliedweise differenziert werden:

,z = (k )

k

− · k!

f

(z ) = ( 1)

∞

1

n=1

(z + n)k+1

 ·

Beweis: Wir weisen die lokal gleichm¨ gleichm aßige 1, 2,... nach. äßige Konvergenz auf C Sei R Sei R > 0, 0 < r < 12 , z R und z + n + n r. r . Durch geeignete R > 0 und r > 0 konnen o¨nnen wir somit jedes z C 1, 2,... erreichen. Jetzt gilt:

∈ \ {− −

}

Da aber jetzt f ur u ¨r n

| | ≤



|

1 z + n

−



\ {− −

|≥

1 z = n z + n n

| | ≤ | |· 3

≤ 2R und C := 4Rr

∞



n=1

R r

|z| ≤ | | n2 (1− ) z n

≤

falls n falls n 2R falls n falls n > 2R 2 R

C C ≤ (2R ≤ n2 (2R)2

1 z + n

−

1 n

2. Die Riemann’sche Zeta-Funktion Zeta-Funktion : ζ (s (s) =



<<

∞ C



n=1

n2

∞ 1



n=1

f ur s u ¨r s

2R n2

die Relation R r

gilt, folgt damit



}

ns

s = σ σ + i t mit σ mit σ > 1. Diese Reihe konvergiert dort lokal gleichm aßig ∈ C, s = äßig (und ist somit holomorph).

Beweis:


Sei σ Sei σ

55

≥ 1 + ε. Damit gilt wegen n wegen n ∈ N ⊆ R:





1 1 = ns nσ

1

≤ n1+ε

∞ 1

 ⇒

n=1

∞



<<

ns

n=1

1 n1+ε

und diese Majorante konvergiert6 . Also ist ζ (s (s) in s vergent.

{ ∈ C | s = s = σ σ + + i t mit σ > 1 } lokal gleichm¨ gleichmaßig äßig kon-

3. Eine alternierende Variante Variante der ζ der ζ -Funktion: -Funktion: ζ a (s (s) =

∞ ( 1)n−1

−

n=1

∈ { ∈ |

ns

}

f ur s u z C z = σ + σ + i t,σ > 0 > 0 . Diese Funktionsreihe ist in diesem Gebiet zwar lokal gleichm¨ gleichm aßig, ¨r s äßig, aber nicht absolut konvergent. Beweis: Wie in der Behauptung bereits erw¨ erw ahnt Abschatzung Betrage ähnt hilft uns hier die Absch¨ ätzung durch die Betr¨ äge nicht, wir 7 verwenden daher die partielle Summation : N 1

N



·

an bn = s = s N bN +

n=1

−



n

sn (b (bn

n=1

− bn+1) f ur s u ¨r s n =

Wir wenden dies hier durch a n = ( 1)n−1 und b und b n =

1 ns an.

−

N

( 1)n−1 1 ( 1)N = + ns 2N s n=1

− ⇒ Da aber

d dt

 1 ts

−−



ak , s0 := 0

k =1

1)n Damit ist offenbar s offenbar s n = 1−(− . 2

N 1

− 1 − (−1)n



2

n=1



1 ns

−

1 (n + 1)s

s = t− s+1 folgt damit aber

1 ns

 ⇒ 

1 ns

−

n+1

 ·  ≤ | | · 

1 (n + 1)s

− (n +1 1)s

= s

dt

ts+1

n n+1

s

n

dt ts+1

≤ n|σs+1|

| | ≤ R und σ ≥ ε > 0, so erhalten wir die Absch¨ Abschatzung a¨tzung

Ist also s

 −  − −    − 1 ns

Da

∞



n=1

1 n1+ε konvergiert

und

1

1 (n + 1)s

( 1)N 2N s

 ≤

R nε+1

N

→∞  0 →∞

wegen σ wegen σ > 0, haben wir eine konvergente Majorante gefunden und somit muss auch

∞ ( 1)n−1

n=1

lokal gleichm¨ gleichmaßig konvergieren. äßig konvergieren. 6 7

Vergleiche das Diff I Skript Vergleiche Hilfssatz 8.1

ns



56


4. Sei nun nun R

∋ σ > 1. Dann ist ∞

1 (2n (2n + 1)σ n=0

 −   −   −  − 

absolute Konvergenz Konvergenz

ζ a (σ (σ )

=

∞ 1

=

n=1

=

2

nσ

1 σ

2−

1

1 (2n (2n)σ n=1

∞ 1

21−σ ζ (σ (σ ) und ζ a (σ (σ ) auf σ

− 

ζ a (s (s) = 1

21−s ζ (s (s)

1

∈ (1, (1, ∞) uberein. u ¨ berein. Damit folgt nach dem Iden-

s = σ σ + + i t ∈ C mit σ > 1 ∀ s =

Oder anders geschrieben geschrieben sehen wir ζ (s (s) =

nσ

21−σ ζ (σ ( σ)

1

− 

Folglich stimmen also 1 tit¨ titatssatz ätssatz

1 (2n (2n)σ

∞

n=1

=

n = 1∞

−

1 ζ a (s (s) 21−s 2π i  − log(2) · k, k ∈ Z8.

Dabei ist die rechte Seite holomorph f ur s u = σ σ + + i t mit σ > 0 und s und s = 1 ¨r s =

Also haben wir durch die alternierende Zeta-Funktion eine Fortsetzung von ζ gefunden! ζ gefunden!

17

Paramet arameteri erint ntegr egrale ale

17.1

Einf uhrung u ¨ hrung

Seien D Seien D

⊆ C und G ⊆ C zwei Gebiete und sei f eine f eine Funktion in den Variablen z ∈ D und w ∈ G, d.h.  C, (z, w) → f (z, f : D × G ( z, w) . 

17.1 Definition: Definition: Wir sagen, f ist f ist stetig , falls

∀ ∀

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 s.d.

∈ D × G gilt: ∀ (z, w) ∈ D × G mit | |z − z0| < δ, |w − w0| < δ δ gilt | |f (z, ( z, w) − f (z ( z0 , w0 ) | < ε (z0 , w0 )

Beispiel 17.1: Sei f Sei f (z, ( z, w) = w z−1 exp( w) f ur z u , 0], wobei die Potenz ¨ Potenz über uber den Hauptzweig des Logarithmus ¨r z C, w C ( berechnet werden moge. ist f stetig, stetig, doch wir werden dies nicht über uber die Definition einsehen. Stattdessen öge. Dann ist f argumentieren wir, dass f (z, ( z, w) = exp((z exp((z 1)log(w 1)log(w))exp( w)

−

∈

∈ \ −∞

−

−

als Verknupfung u ¨pfung stetiger Funktionen wieder stetig ist. 17.1.1 17.1.1

Bedin Bedingun gung g (A) (A)

In Folge werden wir immer sagen, f erf ullt u u ¨ llt die Bedingung (A)“, falls die folgenden beiden Relationen erf ullt ¨llt ” sind:

• f ist f ist holomorph bez¨ bezuglich z u ¨glich z ∈ D bei festem w ∈ G. • f ist f ist stetig als Funktion von (z, (z, w) ∈ D × G. 17.1 Satz: Satz: Erf ullt f die Bedingung (A), so erf ullt ¨ ¨ f die ¨ ¨ auch

diese Bedingung. Beweis: 8

Bedenke: 21

s

−

= exp((1 − s) log log (2)) (2))!!

∂f ∂z


57

• Die Holomorphie von ∂f bezuglich u ¨glich z ist klar, da es sich um die Ableitung einer holomorphen Funktion ∂z bez¨ handelt.

• Sei (z(z0, w0) ∈ D × G und ε > 0 gegeben. Wir definieren K := {(z, w ) ∈ C × C | |z − z0 | ≤ r, |w − w0 | ≤ r} ⊆ D × G. wobei r wobei r > 0 so gew¨ gewahlt dass K ⊆ ählt ist, dass K 4 Wir k¨ konnen K abgeschlossen und beschr¨ beschrankt K also kompakt sein önnen K ⊂ R betrachten. Da K abgeschlossen änkt ist, muss K (vergleiche [FOA]), daher ist f |K sogar gleichm¨ gleichmaßig stetig: äßig stetig:

∃ δ > 0 s.d. ∀ (z, w) ∈ K, (z0, w0) ∈ K mit |z − z0| < δ, |w − w0| < δ gilt: gilt: |f (z, ( z, w) − f (z ( z0 , w0 )| < ε (17.1) Sei jetzt w jetzt w ∈ G fest mit |w − w0 | ≤ r. Wir entwickeln f entwickeln f bez¨ bezuglich u Variablen z in eine Taylorreihe um ¨glich der Variablen z | − | z0 f ur z u r z mit z z < r : ¨ 0 ∞ f (z, ( z, w) = an (w (w) (z − z0 )n



n=0

mit den Koeffizienten Koeffizienten



1 ∂ n f 1 an (w (w) = ( z0 , w) = n (z 2π i n! (∂z) ∂z )

f (ζ ( ζ , w)

d ζ − − z0)n+1 dζ

(ζ

|ζ −z0 |=r Diese d¨ durfen u ¨rfen wir gliedweise differenzieren und erhalten

∞

∂f (z, w) = n an (w (w) (z ∂z n=1



− z0)n−1

·

Damit gilt dann ∂f (z, w ) ∂z

−

∂ f (z0 , w0 ) = a 1 (w (w) ∂z

∞

 −     a1 (w (w0 ) +

n an (w (w) (z

·

n=2

(2)

− z0)n−1





(1)

Wir m¨ mussen u abschatzen ¨ ssen jetzt also die Terme (1) und (2) absch¨ ätzen um die Stetigkeit von f in (z0 , w0 ) zu zeigen. zu (1) Sei M Sei M :=

sup (z,w ) K

∈

( z, w) | < ∞. Dann gilt mit der Koeffizientenabsch¨ Koeffizientenabschatzung |f (z, ätzung von Cauchy: M |an (w (w) | ≤ n ∀ n ∈ N0 , w ∈ G mit |w − w0 | ≤ r r

Fur z u ¨r z

∈ D mit |z − z0| ≤ r2 gilt also:

  ∞

n 1

n=2

nan (w (w) (z − z0 ) −

    ≤  | − | | −  |− | ≤     − ∞

n

n=2

M z rn

∞ n

4M r2

2n n=2

z0 n−2 z

z

z0

|

z0

:=C

zu (2) Zun¨ Zunachst a¨chst gilt a1 (w (w)

1 − a1 (w (w0 ) = 2π i

f (ζ, ( ζ, w)

|ζ −z0 |=r

f (ζ, ( ζ, w0 )

− − z0)2

(ζ

dζ

Ist nun z

mit dem δ dem δ aus aus (17.1), so gilt durch die Standardabschatzung: | − z0| < δ, |w0 − w| < δ mit ätzung: 1 |a1 (w (w) − a1 (w (w0 ) | ≤ · 2π

2πr

·

 

sup

C |ζ −z0 |=r

=L( )

1 ε |f (ζ ( ζ , w) − f (ζ ( ζ , w0 ) | · 2 < r r



<ε



58


Zusammen Zusammen erhalten erhalten wir damit



∂f (z, w) ∂z

−



∂f ε (z0 , w0 ) < + C z ∂z r

| − z0|

| − z0| < δ , so ist sogar

Setzen wir nun δ nun δ 1 := min min (δ, ε) und verlangen z



∂f (z, w ) ∂z

−

  

∂ f (z0 , w0 ) < ∂z

was die Stetigkeit von f von f in (z0 , w0 ) zeigt.

1 + C ε r

Folgerung 17.1: Erf ullt f die Bedingung (A), so tun es auch alle Ableitungen nach z : ¨ ¨ f die ∂ k f

∀ k ∈ N0

(∂z) ∂z )k

17.2 Satz: Satz: Erf ulle f die Bedingung (A) und sei eine Kurve in G Dann stellt das Parameterintegral ¨ ¨ die Funktion f die

C C

Φ (z ) :=



f (z, ( z, w) dw

C

∈ D dar und es gilt

eine holomorphe Funktion f ur ¨ ¨ z

Φ′ (z ) =



∂f (z, w) dw ∂z

C

Beweis: Sei z Sei z 0 D vorgegeben, w vorgegeben, w

∈

∈ G beliebig und K und K wie wie oben definiert: K := := {(z, w) ∈ C × C | |z − z0 | ≤ r, |w − w0 | ≤ r } ⊂ D × G gilt. Sei weiter M := sup |f (z, mit r > 0 s.d. K s.d. K ⊂ ( z, w) |. (z,w )∈K Betrachten wir |h| < r so konnen f in der Variablen z und (∗∗ ) nach dem önnen wir (∗ ) wegen der Holomorphie von f Satz von Taylor schreiben:

f (z ( z0 + h, w)

(∗ )

=

(∗∗ )

=

f (z ( z0 , w) + h

∞



· ∂f (z0 , w) + h · r (h, w) ∂z

(17.2)

an (w (w) hn

n=0

=

f (z ( z0 , w) + h

Also muss r (h, w) =

· ∂f (z0 , w) + h · ∂z

∞



∞



an (w) hn−1

n=2

(w) hn−1 an (w

n=2

| | ≤ r2 gilt also unter Verwendung der Koeffizientenabsch¨ Koeffizientenabsch atzung ätzung von Cauchy wie oben:

gelten. Insbesondere f ur u ¨r h

|r (h, w)

∞ M r

  |≤| | h

n=2

rn

n 2

2

−

  ||   

4M = 2 r

∞ 1

2n n=2

h

:=C

C

Integrieren wir jetzt (17.2) uber u ¨ber die Variable w entlang der gegebenen Kurve , so erhalten wir Φ (z0 + h) = Φ (z0 ) + h

 · C

∂f (z0 , w) dw + h R (h) ∂z

·


mit R (h) =

59



| | ≤ r2 gilt also wieder mit der Standardabsch¨ Standardabsch atzung: ätzung:

r (h, w) dw. Im Falle h

C

|R (h) | ≤ C · · L (C ) · |h| h  0  0 womit Φ komplex differenzierbar an der Stelle h ∈ D ist und die Ableitung wie in der Behauptung angegeben 



hat. Da z Da z aber beliebig war, ist Φ somit in ganz D holomorph.

Folgerung 17.2: Mit Satz 1 gilt jetzt unter den Voraussetzungen von Satz 2:



k

Φ (z ) =

C

∂ k f (∂z) ∂z )k

f (z, ( z, w) dw

Beispiel 17.2: Wir betrachten wieder f (z, ( z, w) = w z−1 exp( w). Sei eine Kurve Kurve mit spur ( )

−

Φ (z )

C

C ∈ C \ (−∞, 0]. Dann ist

 

wz−1 exp( w) dw

=

−

C

Φ′ (z )

log log (w) wz−1 exp( w) dw

=

−

C

Eigentlich Eigentlich wurden u ¨rden wir jetzt gerne als Kurve die Strecke (0 , Integrals. wir erst den Begriff des uneigentlichen Integrals.

17.2

∞) betrachten. Doch damit wir das k¨ konnen, benotigen önnen, ben¨ ötigen

Uneigen Uneigentlic tliche he Integral Integrale e

Fur u ¨r diesen Abschnitt vergleiche auch [FOA]. 17.2 Definition: Definition: Wir betrachten eine stetige Funktion f in f in einem reellen Parameter t das uneigentliche Integral

∈ [α, ≤ ∞. Wir definieren [ α, β ) mit α < β ≤

β

γ



( t) dt := lim f (t

ր

γ β

α



( t) dt f (t

α

falls dieser Limes existiert. Analog Analog definieren definieren wir im Falle der unteren Grenze t

∈ (α, β ].

Beispiel 17.3: Bekanntlich Bekanntlich gilt

d dt

 ts s

= t s−1 falls C 1

 0

Im Falle

∋ s = 0. Daher gilt 1

s 1

t − dt = lim γ ց0

> 0 gilt γ gilt γ s = exp exp (s log log (γ )) )) ℜ (s) > 0

ց0  

γ

 γ

0 und wir erhalten

1



ts−1 dt =

0

Ganz analog sehen wir f ur u ¨r

 

1 γ s − s t − dt = lim γ ց0 s s 1

1 im Falle s

ℜ (s) > 0 > 0

ℜ (s) < 0: < 0: ∞

 1

 −

γ s − t dt = lim lim ր∞ s γ ր∞ s 1

1 s

=

− 1s

17.3 Definition: Definition: Sei f f eine in dem Gebiet D C stetige Funktion, eine Kurve, welche bis auf dem Endpunkt in D liegt. Sei weiter z (t) , t [α, β ] eine Parametrisierung von .

∈

⊆

C C C

60


C uber f durch ¨ f

Dann definieren wir das uneigentliche Integral entlang

β



f (z ( z ) dz :=



f (z ( z (t)) z ′ (t) dt

α

C

wieder unter dem Vorbehalt, dass die rechte Seite Sinn macht. Analog definieren wir ein uneigentliches Integral im Falle, dass der Anfangspunkt der Kurve nicht in D liegt. Wir wollen nun unseren Begriff der Kurve etwas erweitern. 17.4 Definition: Definition:  C der Form t Ein Strahl S ist ist eine Abbildung S : : [0, [0, ) ϕ [0, [0, 2π ). Analog definiert man Strahlen mit t ( , 0]. 0].

∞

∈

→ a + t · exp(i ϕ) f ur ¨ ¨ ein a ∈ C und einen Winkel

∈ −∞

17.5 Definition: Definition: Wir erweitern unseren Begriff der Kurve jetzt dadurch, dass wir f ur S und S ′ , sowie f ur ¨ ¨ Strahlen S ¨ ¨ eine Kurve C jetzt folgende Gebilde als Kurven in bezeichnen:

C C

C , C + S, S ′ + C ,

S ′ +

C + S, S, S ′, S + + S ′

Dabei m ¨ ussen wir den Abschluss von C verwenden, da die Kurven im unendlichen beginnen und / oder enden ¨ k ¨ onnen. ¨ Bemerkung 17.1: Dabei greifen wir f ur u u ¨r die Addition auf die Definition der Addition zweier Kurven zur uck. ¨ck. Stimmt der Endpunkt der Kurve 1 mit dem Anfangspunkt der Kurve 2 uberein, u ¨ berein, so ist 1 + 2 definiert. Daher ist oben jeweils von passenden Anfangs- und Endpunkten auszugehen.

C

C

C C

17.6 Definition: Definition: Ist S ein ein Strahl mit S : t a + t exp exp (i ϕ), t [0, [0 , entsprechenden Gebiet stetige Funktion f f durch

→

∈ ∞) so definiert man das Integral entlang S f ur ¨ ¨ eine in dem

·

a+

∞ exp(i ϕ)



f (z ( z ) dz =



∞

f (z ( z ) dz := exp exp (i ϕ)

a

S



·

f (a ( a + t exp(i ϕ)) dt

0

Dabei setzen wir voraus, dass das reelle uneigentliche Integral - welches rechts steht - konvergiert. Analog definiert man das Integral f ur , 0]. 0]. ¨ ¨ einen Strahl mit t (

∈ −∞

Bemerkung 17.2: Damit k¨ konnen uber önnen wir jetzt wieder u ¨ber alle Kurven integrieren.

• Moglichkeiten, • Wir haben jetzt zwei M¨ öglichkeiten, wie ein uneigentliches Integral zu Stande kommen kann: – Der Integrand ist an Anfangs- oder Endpunkt der Kurve nicht definiert. – Anfangs- und / oder Endpunkt der Integration ist .

∞

Beispiel 17.4: Die β -Funktion: -Funktion: 1



tz−1 (1

B (z, w) :=

0

17.7 Definition: Definition: Sei f : A [α, [ α, β ) uneigentliche Integral

×



C f ur ¨ ¨ eine Teilmenge A

− t)w−1 dt

bez uglich uglic ariablen t stetige Funktion. Das ⊆ C eine bez ¨ ¨ h der Variablen β



f (z, ( z, t) dt

α

heißt gleichm in A gleichm ¨ aßig konvergent in A ¨ gilt:

  β

ε > 0 ein γ ein γ 0 ∈ (α, β ) gibt, s.d. f ur γ ∈ ⊆ C, falls es f ur ∈ (γ 0, β ) ¨ ¨ jedes ε ¨ ¨ jedes γ

 

f (z, ( z, t) dt =

γ

  β

f (z, ( z, t) dt

α

γ

 −

 

∀ z ∈ A

f (z, ( z, t) dt < ε

α


61

Bemerkung 17.3: Diese Eigenschaft pr¨ pruft u u ¨ ft man zumeist nicht durch die Definition, sondern durch die Angabe einer Majorante f ur ¨r   R eine Majorante, falls das Integral: F¨ Fur u r eine Funktion f Funktion f wie wie oben ist eine stetige, reelle Funktion g : g : [ α, β ) ¨

|f (z, ( z, t) | ≤ g (t) ∀ t ∈ [α, β ) ∀ z ∈ A β

und falls



g (t) dt konvergiert. Der Beweis daf ur, u ¨ r, dass eine Majorante hinreichend ist, folgt direkt aus der

α

Dreiecksungleichung Dreiecksungleichung f ur u ¨r reelle Integrale. Beispiel 17.5: 1

1.



tz−1 exp( t) dt f ur z u = x + i y mit x mit x ¨r z = x

−

0

≥ ε > 0. Dann gilt f ur u [0, 1): ¨r t ∈ [0,





tz −1 exp( t)

und da das Integral

− ≤ tx−1 ≤ tε−1 1



tε−1 dt

0

konvergiert, haben wir eine Majorante gefunden. 2.

∞

 

tz−1 exp( t) dt f ur z u mit x ¨r z = x + i y mit x

−

1



z 1

≤

t − exp(−t)

≤ δ . Dann gilt f ur u jedes t ≥ 1: ¨ r jedes t

x 1

t − exp(−t) ≤ tδ−1 exp(−t) = t δ−1 exp

−  · −  ≤ · · −  t 2

exp

t 2

C exp

t 2

womit wir wieder eine konvergente Majorante gefunden haben. 17.8 Definition: Definition:  C f ur Sei f : D G w G stetige Funktion. Sei eine Kurve in C; ¨ ¨ zwei Gebiete D, G C eine bez uglich ¨ ¨ welche bis auf den Endpunkt in G verl ¨ auft. Sei t w (t) , t [α, [ α, β ) eine Parametrisierung ohne Endpunkt von ¨ . Dann heißt das uneigentliche Integral

×

⊆

→

C

∈

∈

C C

β



f (z, ( z, w) dw =



f (z, ( z, w (t)) w′ (t) dt, z

∈ D

α

C

lokal gleichmaßig aßig konvergent in konvergent in D D,, falls es zu jedem Punkt z z 0 D eine Umgebung U gibt, U gibt, s.d. das Integral ¨ in dieser Umgebung gleichm ¨ aßig ¨ konvergiert. Das Integral heißt kompakt heißt kompakt konvergent, konvergent, falls es in jedem Kompaktum von D gleichm ¨ aßig ¨ konvergiert.

∈

Analog definiert man kompakte und lokal gleichm¨ gleichm aßige u äßige Konvergenz f ur ¨ r den Fall, dass der Anfangspunkt von nicht in G in G liegt. 17.2.1 17.2.1

C

Lokal Lokal gleic gleichm hm¨ aßige Konvergenz von uneigentlichen Integralen und Holomorphie aßige ¨

17.1 Hilfssatz: Hilfssatz: Sei g g eine in dem Gebiet D D C holomorphe Funktion und seien auch die Funktionen g Funktionen g γ f ur γ ¨ ¨ beliebiges γ holomorphe Funktionen. F ur β sei die Konvergenz ¨ ¨ jede Folge γ n (α, β ) mit lim γ n = β

⊆

∈ ∈ (α, β )

∈

n

gγ n

n

→∞



∞  g

lokal gleichm ¨ Dann gibt es zu jedem Punkt z0 äßig.

U s.d. ∈ D eine Umgebung U ( z ) − g (z )| < ε ∀ z ∈ U ∀ ε > 0 ∃ γ 0 ∈ (α, β ) s.d. γ ∈ ∈ (γ 0, β ) ⇒ |gγ (z

Beweis: ¨ Aufgabe! Ublicherweise wird dieser etwas fummelig zu beweisende Hilfssatz durch Widerspruch gezeigt.

62


17.3 Satz: Satz: Seien D D C, G C Gebiete und erf ulle f : D G  C die obige Bedingung (A). Sei weiter eine Kurve in C, ¨ ¨ f welche bis auf den Endpunkt (ganz analog f ¨ f ur Konvergiert das uneigentliche ¨ den Anfangspunkt) in G verl ¨ äuft. Integral

⊆

⊆

×

Φ (z ) :=

C C



∈ D

f (z, ( z, w) dw, z

C

lokal gleichm ¨ aßig ¨ in D, so ist Φ (z ) in D eine holomorphe Funktion und es gilt Φ′ (z ) =



∂f (z, w) dw ∂z

C

Beweis: Sei t w (t) , t [α, [ α, β ) eine Parametrisierung von ohne Endpunkt und γ (α, ( α, β ). ). Wir definieren Kurve, welche durch t w (t) , t [α, γ ] parametrisiert wird. Sei weiter

→

∈

→

C

∈

∈ ∈



Φγ (z (z ) :=

f (z, ( z, w) dw

C Betrachten wir jetzt eine Folge γ n holomorphen Funktionen



β mit γ n

Cγ als die

γ

∈ (α, ( α, β ), ), so erhalten wir nach Satz 17.2 eine Folge von in D Φγ n

Wegen der lokal lokal gleichm gleichmäßigen Konvergenzz des Integrals Integrals ist auch auch die Konvergenz Konvergenz Φ γ n äßigen Konvergen gleichm¨ gleichmaßig a¨ßig (vergleiche Definition 17.7): s.d. γ ∈ ( z ) − Φ (z )| = ∀ ε > 0 ∃ γ 0 s.d. γ ∈ (γ 0, β ) ⇒ |Φγ (z

  

( z, w) dw f (z,

C

γ

 −



Φ′ (z ) = lim lim n→∞ C

∞  Φ lokal lokal

 

( z, w) dw < ε f (z,

C

Nach Satz 16.4 ist Φ also als Grenzfunktion holomorpher Funktionen wieder holomorph. Fur u ¨ r die Ableitung gilt jetzt:



n

∂f (z, w) dw ∂z

γn

Nach dem Hilfssatz 17.1 ist diese Konvergenz gleichm aßig, äßig, und somit folgt Φ′ (z ) =



∂f (z, w) dw ∂z

C

was die Behauptung zeigt.

Beispiel 17.6 (Erg¨ (Erg¨ anzung anzung zu 17.5): 1. Dieses Dieses Integral Integral stellt damit eine holomorphe holomorphe Funktion Funktion in (z ) > 0 dar, da wie oben gesehen f ur u ¨ r jedes z ε > 0 gleichm¨ gleichmaßige a¨ßige und somit insgesamt lokal gleichm¨ gleichm aßige a¨ßige Konvergenz vorliegt.

ℜ

≥

2. Hier liegt liegt wie oben gesehen gesehen f ur u jedes z C mit (z ) δ f f ur u beliebiges δ gleichm gleichmaßige a¨ßige und somit insgesamt ¨r jedes z ¨r beliebiges δ auf ganz C lokal gleichm¨ gleichmaßige äßige Konvergenz vor. Also ist

∈

ℜ ≤ ∞



f (z ( z ) :=

tz−1 exp( t) dt

−

1

eine ganze Funktion! 17.9 Definition (Gamma-Funktion): (Gamma-Funktion): Man definiert

∞

Γ (z ) :=

 0

tz−1 exp( t) dt

−

f ur > 0 und unter der Vereinbarung, dass wir zum Berechnen der Potenz t Potenz t z−1 immer den Hauptzweig des ¨ ¨ (z ) > 0 Logarithmus verwenden wollen.

ℜ ℜ

18 Integralformel und Integralsatz von Cauchy I I

63

Bemerkung 17.4: Wie in den Beispielen gesehen, ist Γ auf holomorph.

ℜ ℜ (z) > 0 als Summe zweier dort holomorpher Funktionen wieder

17.10 Definition (Beta-Funktion): (Beta-Funktion): Man definiert 1



tz−1 (1

B (z, w) :=

0

− t)w−1 dt

f ur > 0,, (w) > 0 > 0 und wieder unter der Vereinbarung, zur Berechnung der Potenzen den Hauptzweig des ¨ ¨ (z ) > 0 Logarithmus zu verwenden.

ℜ ℜ

ℜ

Bemerkung 17.5: Analog Analog zur Γ-F Γ-Funktio unktion n rechnet rechnet man auch auch hier nach, dass diese Funktion unktion in ihrem Definitionsberei Definitionsbereich ch unter Festhalten der jeweils anderen Variable holomorph ist. Bemerkung 17.6: Unter gewissen Bedingungen an f ist

∞



F (z ( z ) :=

f (w ( w) wz−1 dw

0

eine holomorphe Funktion f ur u F wird auch die C ein geeignetes Gebiet ist. Die Funktion F ¨r z D, wobei D Mellin-Transformierte von f von f genannt. genannt. Des Weiteren k¨ konnen F durch önnen wir f aus F

∈

⊆

c+i

∞



1 f (w ( w) = 2π i

F (z ( z ) w−z dz

c i

−∞

f ur u u ¨ r ein geeignetes c C zur uckgewinnen. ¨ckgewinnen. ¨ Ahnlich ist die LaPlace-Transformierte die LaPlace-Transformierte von f f definiert:

∈

∞

F (z ( z ) :=



−

f (w ( w)exp( zw) zw ) dw

0

Hier kann man f man f durch c+i

1 f (w ( w) = 2π i

∞



F (z ( z )exp(zw )exp(zw)) dz

c i

−∞

wieder mit geeignetem c

u ∈ C zur uckgewinnen. ¨ckgewinnen.

In unserem Beispiel sehen wir damit, dass gerade 1 exp( w) = 2π i

−

c+i

∞



Γ (z ) w −z dz , c > 0

c i

−∞

gilt.

18

Integ Integral ralform formel el und Integ Integral ralsat satz z von von Cauch Cauchy II

Zun¨ Zunachst a¨chst wollen wir auch hier unseren Begriff der Kurve etwas ausdehnen.

18.1 18 .1

Defin Definit itio ione nen n

18.1 Definition: Definition: ¨ Sei eine geschlossene Kurve in . Wir definieren das Innere I ( ( ) und das Außere A ( ) der Kurve durch

C C

C C

C C

I ( ( ) := A ( ) :=

C {z ∈/ spur(C ) | n (C , z) = 0} {z ∈/ spur(C ) | n (C , z) = 0}

C

C C

64


C

C

Nach Lemma 11.1 ist die Umlaufzahl einer geschlossenen Kurve lokal konstant, folglich sind I ( ( ) und A ( ) offen. Bemerkung 18.1: Wir erhalten so eine disjunkte Zerlegung ( ) C = I (

C ⊔ A (C ) ⊔ spur(C )

Des Weiteren ist

C ∪ spur(C )

I ( ( ) kompakt, da beschr¨ beschrankt änkt und abgeschlossen. 18.2 Definition: Definition: Eine Kette

K ist ein Gebilde

..., Cn ) K := (C1, ...,

,...,n. Wir definieren analog zur Kurve: C Cj , j = 1,...,n. spur(Cj )

f ¨ ur ¨ geschlossene Kurven

• spur(K) := • L (K) :=

n

j =1

n





j =1

L ( j)

C

• Ist z ∈/ spur(K), so definiert man

n

n ( , z ) :=

K



n ( j , z)

C

j =1

als die Umlaufzahl der Kette

K K um den Punkt z. ¨ ¨ Ahnlich definiert man auch das Innere I ( (K) und das Außere A (K) der Kette:  0} I ( (K) := {z ∈ / spur(K) | n (K, z ) = A (K) := {z ∈ / spur(K) | n (K, z ) = 0} 18.3 Definition: Definition: Sei f f eine stetige stetige Funktion unktion und definieren wir

K eine Kette mit den Bezeichnu Bezeichnunge ngen n wie in der obigen obigen Definit Definition ion.. Dann Dann n



f (z ( z ) dz :=

f (z ( z ) dz

j =1

K 18.2 18.2

  C

j

Integ Integral ralfor forme mell

18.1 Satz (Cauchy’sche (Cauchy’sche Integralformel): C holomorphe Funktion und Sei f f eine in dem Gebiet D Cauchy’sche Integralformel :

⊆

K K eine Kette in D mit I ( (K) ⊂ D. Dann gilt die

1 n ( , z ) f (z ( z ) = 2π i

K ·



K

f (ζ ( ζ ) dζ d ζ f ur ¨ ¨ z ζ z

− −

∈ D \ spur(K)

Beweis: Zunachst a¨chst definieren wir f ur z u ¨r z , w

∈ D die Funktion g (z, w) =



f (z ) f (w) z w

− − f ′ (z )

∈



falls z falls z = w falls z = w = w



1. Halten Halten wir w D fest, so ist g holomorph f ur u u ¨r z = w und offenbar stetig f ur ¨r z = w, folglich ist g also holomorph als Funktion von z von z . ∂g Damit ist dann auch ∂z (z, ( z, w) f ur u festes w D als Funktion von z von z holomorph. ¨r festes w

∈


65

× D ist. Sei dazu (z (z0 , w0 ) ∈ D × D gegeben. Ist z0  = w0 , so ist g als Verkn¨ Verknupfung u ¨pfung stetiger Funktionen offenbar

2. Wir zeigen zeigen nun, dass dass g stetig in ganz D ganz D

holomorph. Ist dagegen z0 = w 0 , so wahlen 0 < r < 1 s.d. z C z z0 r ganz in D liegt. Geben wir ählen wir ein 0 < uns ein Paar (z, (z, w) mit z z0 < r, w w0 < r und w = z , so gilt mit der Holomorphie aus 1. nach Cauchy:

| − |

g (z, w)

{ ∈ | | − | ≤ } 

| − | 1

=

z

−



1 2π i

=

 

1 w 2π i

f (ζ ( ζ ) ζ z

− − − − −

|ζ −z0 |=r

− −

(ζ

|ζ −z0 |=r



f (ζ ( ζ ) dζ d ζ ζ w

f (ζ ( ζ ) z ) (ζ

d ζ − − w) dζ

(18.1)

Im Falle z Falle z = w ist g ist g (z, w) = f ′ (z ) nach Definition, was aber nach Cauchy mit (18.1) übereinstimmt, ubereinstimmt, also gilt allgemein:



1 g (z, w) = 2π i

− −

(ζ

|ζ −z0 |=r

f (ζ ( ζ ) z ) (ζ

d ζ ∀ (z, w) ∈ D × D mit |z − z0 | < r und |w − w0 | < r − − w) dζ

Bekanntlich gilt ebenso allgemein, dass 1 a

−

1 b = + b a a (a b)

−

(18.2)

und damit gilt dann 1

1 · − z ζ − − w ζ −

= (18.2)

= =

1

1 · − z0) − (z − z0) (ζ − − z0) − (w − z0) (ζ − 1 z − z0 1 w − z0 + + ζ − − z0 (ζ − − z0) (ζ − − z) ζ − − z0 (ζ − − z0) (ζ − − w) 1 z − z0 w − z0 (z − z0 ) (w − w0 ) + + + − z0)2 (ζ − − z0)2 (ζ − − z) (ζ − − z0)2 (ζ − − w) (ζ − − z0)2 (ζ − − z) (ζ − − w) (ζ −







Mit diesem Ergebnis zerlegen wir jetzt (18.1) und integrieren einzeln:



1 f (ζ ( ζ ) g (z, w) = f ′ (z0 ) + (z ( z − z0 ) dζ 2π i − − (ζ − z0 )2 (ζ − z) |ζ −z0 |=r =g(z0 ,w0 )

  

1 + (w ( w 2π i



− z0)

f (ζ ( ζ )

|ζ −z0 |=r 1 + (z ( z 2π i

− − z0)2 (ζ − − w) dζ

(ζ

− z0) (w − w0)



|ζ −z0 |=r

| − z0| ≤ 2r , |w − w0| ≤

Nehmen wir jetzt z

r 2 an

f (ζ ( ζ )

− − z0) (ζ − − z) (ζ − − w) dζ

(ζ

2

und definieren M :=

sup

|ζ −z0 |=r

Standardabsch¨ Standardabschatzung: a¨tzung:

( ζ )|, so gilt nach der |f (ζ

2 M 4M 4 M |g (z, w) − g (z0, w0)| ≤ 2rM 2 |z − z0| + 2M | w − z0 | + 3 |z − z0 ||w − w0 | 2 r r was die Stetigkeit von g von g an (z0 , w0 ) zeigt. Wir haben damit gezeigt, dass g die Bedingung (A) erf ullt. u ¨llt. 3. Sei jetzt jetzt

1 G (z ) := 2π i



g (z, w) dw f ur z u ¨r z

K

∈ D

66


was als Summe (siehe Definition 18.3) von Parameteri Parameterinteg ntegralen ralen mit Satz 17.2 auch auch eine holomorphe holomorphe Funktion in D in D darstellt. Damit gilt dann: G (z )

=

1 2π i

=

1 2π i

   

g (z, w) dw f ur z u ¨r z

K

f (z ( z ) z

K =

1 2π i

=

− f (ζ ( ζ ) u / spur(K) ¨r z ∈ − ζ dζ f ur z

f (z ( z ) dζ + + z ζ

K

∈ D

−

  − −  f (ζ ( ζ ) dζ d ζ ζ z

K

1 ( z ) + −n (K, z) · f (z 2π i


− −

K

Ist also z also z

∈ D ∩ A (K), so ist

1 G (z ) = 2π i



( ζ ) f (ζ dζ ζ z

− −

K

(18.3)

da dann n ( , z ) = 0 ist. Allerdings stellt die rechte Seite von Gleichung (18.3) als Funktion von z in jedem Gebiet G Gebiet G mit G spur( ) = holomorph. Also definieren wir durch G (z ) falls z D f (ζ ) H (z (z ) := 1 dζ falls z A ( )

K

∩

K ∅

  

∈ ∈ K 2π i K ζ −z eine ganze Funktion (d.h. H (d.h. H ist ist auf ganz C holomorph) holomorph),, da spur (K) ∪ I ( (K) ⊆ D. Diese Definition ist auf D ∩ A (K) konsistent, da die angegeben Funktionen dort laut (18.3) ubereinstimmen. u ¨bereinstimmen. Wir w¨ wahlen a¨hlen nun ein R ein R > 0 s.d. spur spur (K) ⊂ {z ∈ C | |z | ≤ R}. Ist M Ist M 1 := sup |f (ζ ( ζ )|, so gilt f ur u ¨r |z | ≥ R: ζ spur( )

∈

1 M 1 · L (K) |H (z ( z )| ≤ 2π |z | − R



z

∞ 

K

0

Gleichzeitig ist H auf H auf der kompakten Menge z C z R als stetige Funktion durch ihr Maximum beschr¨ beschrankt, H auf ganz C durch eine Konstante beschr¨ beschrankt, K nach dem Satz von änkt, folglich ist H änkt, also ist K Liouville konstant. Da aber

{ ∈ | | | ≤ }

H (z (z )



z

∞ 

muss H 0 gelten. Damit ist dann insbesondere nach Definition von H H auch G auch G

≡ ≡

0=

1 ( z ) + n ( , z ) f (z 2π i

− K ·



K


≡ 0 und somit gilt f ur u alle z ∈ D \ spur(K): ¨ r alle z

1 ( z ) = n ( , z ) f (z 2π i

⇒

− −

0

K ·



K


− −

Folgerung 18.1: Unter den Voraussetzungen von Satz 18.1 gilt somit f ur ¨ ¨ alle k

∈ N0, z ∈ D \ spur(K):

K

(k )

n ( , z ) f

k! (z ) = 2π i



K

f (ζ ( ζ )

− − z)k+1

(ζ

dζ d ζ

Beweis: Man leitet die in Satz 18.1 gezeigte Formel m-mal ab:

• Da die Umlaufzahl Umlaufzahl lokal konstant konstant ist, andert a¨ndert sie sich durch das Ableiten nicht, und dort steht dann n (K, z ) f (k) (z ). • Links d¨ durfen u ¨rfen wir laut Hilfssatz 13.2 die Differentiation und das Integral vertauschen, d.h. dort steht dann k! 2π i



K

f (ζ ( ζ )

d ζ − − z)k+1 dζ

(ζ


67

Bemerkung 18.2: Haben wir nun ein Gebiet mit Loch“ in der Mitte, d.h. zum Beispiel z C z = 0 wie im Falle von f von f (z ( z ) = 1z , ” so k¨ k onnen önnen wir die Integralformel jetzt doch anwenden, indem wir die Kette = ( 1 , 2 ) verwenden, wobei 1 ein im mathematisch negativen Sinne umlaufener Kreis mit kleinem Radius und ein im mathematisch positiven Sinne umlaufener gr¨ großerer F ur u k onnen ößerer Kreis ist. F¨ ¨ r alle Punkte zwischen diesen beiden Kreisen k¨ önnen wir jetzt die Integralformel von Cauchy anwenden.

{ ∈ |  } K C C C

18.3 18.3

C

Integ Integral ralsat satz z

18.2 Satz (Cauchy’s (Cauchy’sche cherr Integralsat Integralsatz): z): Ist f holomorph f holomorph in dem Gebiet D C, so gilt f ur ¨ ¨ jede Kette

⊆

K K in D mit I ( (K) ⊂ D, dass



f (z ( z ) dz = 0

K

Beweis: Sei z Sei z 0 D spur( ) beliebig. Wir definieren durch

∈ \

K

h (z ) = (z

( z ) − z0) f (z

eine holomorphe Funktion mit h mit h (z0 ) = 0. Nach der Cauchy’schen Integralformal gilt: 1 n ( , z0 ) h (z0 ) = 2π i

K



K

h (ζ ) dζ ζ z0

− −

Damit erhalten wir wegen h (z0 ) = 0: 1 0= 2π i



(z

K



− z0) f (z ( z ) 1 dz = z − z0 2π i K

f (z ( z ) dz

Dies zeigt die Behauptung. Behauptung.

18.4 Definition: Definition: Ein Gebiet D

⊆ C heißt einfach C in D gilt: , wenn f ¨ ur einfach zusammenh ¨ angend ¨ jede geschlossene Kurve C ¨ I ( ( C ) ⊂ D

Bemerkung 18.3: Einfach zusammenh¨ zusammenhangend ängend bedeutet grob gesagt, dass das Gebiet kein Loch“ hat. ” Insbesondere sind sternf ormige zusammenh angend. örmige Gebiete einfach zusammenh¨ ängend.

• •

Folgerung 18.2: Ist f f holomorph in dem einfach zusammenh ¨ angenden Gebiet D Gebiet D ¨



⊆ C, so gilt f ¨ ur C in D D ¨ jede geschlossene Kurve C

( z ) dz = 0 f (z

C

C C1, C2 in D mit gleichen Anfangs- und Endpunkten gilt

und f ur ¨ ¨ zwei Kurven



f (z ( z ) dz =

C1



f (z ( z ) dz

C2

18.1 Lemma: Lemma: Ein Gebiet D C ist einfach zusammenh ¨ wenn sich jedes a / D mit jedem anderen b / D durch einen ängend,  C D s.d. stetigen Weg verbinden l ¨ asst, d.h. zu a / D, b / D gibt es eine stetige Funktion z : [α, β ] ¨ z (α) = a, z (β ) = b. b.

⊆

∈

∈

∈

∈

\

68

19 Isolierte Singularitaten, äten, Laurententwicklung und Polordnung

Beweis: Sei eine geschlossene Kurve in D und a / D. D . Wir w¨ wahlen ählen ein R > 0 s.d. innerhalb von z liegt. Da die Umlaufzahl lokal konstant und z und z stetig ist, muss

C

∈

{ ∈ C | |z| ≤ R}

C

C

≡ konst sein. Da aber sicherlich n (C , b) = n (C , a) = 0 ist, muss, da a da a ∈ C \ D beliebig war, somit I ( ( C ) ⊂ D n ( , z (t))

gelten.

19 19.1 19 .1

Isol Isolie iert rte e Sing Singul ular arit it¨ aten, Laurententwicklung und Polordnung aten, Defin Definit itio ione nen n

19.1 Definition: Definition: Ist f holomorph f holomorph in einer Umgebung von z von z0 außer (eventuell) an z z 0 , so nennt man z z0 eine isolierte isolierte Singularit ¨ at ¨ von f . f . Man unter untersch scheid eidet et 3 F ¨ alle: ¨ 1. Man spricht spricht genau dann von einer hebbaren Singularit ¨ at ¨ , falls lim f (z ( z ) = c

z

→z0

∈C

2. Man spricht spricht genau dann von einem Pol , falls lim f (z ( z ) =

z

→z0

∞

3. Man spricht spricht genau dann von einer wesentlichen Singularit ¨ at ¨ , falls der Grenzwert lim f (z ( z )

z

→z0

nicht existiert. Bemerkung 19.1: 1. Im Fall Fall einer hebbaren Singularit Singularität mit lim lim f (z ( z ) = c ä t mit z

→z0

∈ C, so definiert man f man f (z ( z0 ) := c := c,, wodurch f wodurch f in in der

ganzen Umgebung von z von z 0 , insbesondere auch an z an z 0 holomorph wird (Hier folgt die Holomorphie an z an z 0 aus der Stetigkeit, vergleiche Satz 13.6).

2. Wir sagen sagen genau genau dann dann an z0 liegt hochstens Singularitat öchstens ein Pol“ vor, wenn f an z0 eine hebbare Singularit¨ ät oder ” einen Pol hat.

∈

3. Beispiele Beispiele wie der Logarithmus Logarithmus an 0 C werden f ur u Singularitaten ¨r solche isolierten Singularit¨ äten nicht betrachtet, da der Logarithmus um 0 C immer nur in einer geschlitzten, nicht in der ganzen Umgebung holomorph ist.

∈

Beispiel 19.1: 1. f (z ( z ) = sin(z z) hat an z = 0 eine hebbare Singularit¨ Singularitat. ät. 2. f (z ( z ) =

z exp( z ) 1 hat

− −

an z = 0 eine hebbare Singularit¨ Singularitat. ät.

1 3. Wir betrachten betrachten f f ( (zz ) = (z4 +1) bei z = 2 . Der Nenner hat Nullstellen bei z f (z ( z ) hat an diesen Stellen Pole!

4. Wir betrachen betrachen f f ( (zz ) = exp

 1 z

± exp

 πi 4

und z =

± iexp

 πi 4

. Da exp und exp

  1 x 1 x



∞ f ur x u ¨r x ց 0



0 f ur u ¨r x

ր0

kann er Grenzwert lim f (z ( z ) nicht existieren, folglich hat f hat f an z an z = 0 eine wesentliche Singularit¨ Singularitat. ät. z

5. Wir betrachten betrachten sin

→0

 1 z

. Wir wissen bereits, dass sin

 1 x

f ur u ¨r R

∋x

 0

nicht existiert, also hat f hat f an z an z = 0 eine wesentliche Singularitat. ät.

, d.h.

19 Isolierte Singularit¨ Singularita¨ten, Laurententwicklung und Polordnung

19.2

69

S¨ atze atze uber u aten aten ¨ ber Singularit¨

19.1 Satz (Riemann’sc (Riemann’scher her Hebbarkeit Hebbarkeitssatz) ssatz):: Hat f f eine isolierte Singularit ¨ z 0 und ist f in f in einer Umgebung von z von z 0 beschr ¨ so handelt es sich bei z z 0 ät an z änkt, um eine hebbare Singularit ¨ ät. Beweis: Wir w¨ wahlen f holoählen ein R > 0 s.d. z C 0 < z z0 < R ganz in der Umgebung von z0 liegt, in welcher f morph, und ganz in der Umgebung von z0 liegt, in welcher f f beschr¨ beschrankt konnen änkt ist. Nach Voraussetzung k¨ önnen wir auch ein M ein M > 0 finden, s.d. f (z ( z ) M z mit 0 < 0 < z z0 < R.

{ ∈ |

| − |

|

Weiter wahlen Zahlen r 0 , R0 s.d. f s.d. f in ählen wir Zahlen r

}

| ≤ ∀ ∀

| − |

| − z0| < R 0 < R

0 < r0 < z

K C C

C

holomorph und beschr¨ beschrankt änkt ist. Wir betrachten jetzt die Kette geschlossener Kurven = ( 1 , 2 ), in welcher 1 als der im mathematisch negativen Sinne umlaufene Kreis z z0 = r 0 und 2 der im mathematisch positiven Sinne umlaufene Kreis z z0 = R0 ist. Da I ( ( ) = z C r 0 < z z0 < R0 z C 0 < z z0 < R gilt, k¨ konnen o¨nnen wir die Cauchy’sche Integralformel anwenden: 1 f (ζ ( ζ ) 1 f (ζ ( ζ ) f (z ( z ) = dζ d ζ dζ d ζ 2π i 2π i ζ z ζ z

| − |

| − | K { ∈ | | − |

} ⊆ { ∈ |



   1 2π i

|ζ −z0 |=r0

Folglich gilt also

1 f (z ( z ) = 2π i

− −



|ζ −z0 |=r0

  ≤ | −


}



− −

− −

|ζ −z0 |=R0

Jetzt gilt aber

| − |

C

z

M z0

r0

| − r0 · r0

− −

 0

  0

f (ζ ( ζ ) dζ d ζ z mit 0 < 0 < z ζ z

|ζ −z0 |=R0

− −

∀ ∀

| − z0| < R0

(19.1)

 0. Die rechte Seite der Gleichung (19.1) ist holomorph in ganz z wegen r wegen r0 C z z0 < R , insbesondere auch im Punkte z0 . Daher muss auch die linke Seite, d.h. f an z0 holomorph fortsetzbar sein, z0 ist also eine hebbare Singularitat. ät.

{ ∈ | | − |

}

19.2 Satz (Casorati / Weierstraß): eierstraß): Hat f f eine wesentliche Singularit at von f jedem jedem Punkt ¨ ¨ an z0 , so kommen in jeder Umgebung von z0 die Werte von f aus C beliebig nahe. D.h. die Menge der Werte von f f in jeder jeder noch noch so kleine kleinen n Umgebu Umgebung ng um z0 ist dicht in C: ε > 0 gilt f (B ( Bε (z (z0 )) = C.

∀

Beweis: Wir zeigen den Umkehrschluss: Sei f holomorph f holomorph in z ein ε ein ε > 0 s.d. f (z ( z ) c ε t z

|

In diesem Fall definieren wir durch

{ ∈ C | 0 < |z − z0| < r} und es existiere ein c ∈ C und (19.2) − | ≥ ∀ ∈ { ∈ C | 0 < |z − z0| < r}

1 f (z ( z ) c z0 < r holomorphe Funktion. Des weiteren ist g nach (19.2) beschr¨ beschrankt änkt durch g (z ) :=

{ ∈ C | 0 < |z − |

ein in z

}

g (z )

−

≤ 1ε

Nach dem Riemann’schen Hebbarkeitssatz hat g also ein hebbare Singularit¨ Singularitat an z 0 . Stellen wir die Gleichung ät an z um, so erhalten wir 1 f (z ( z ) = +c g (z ) Das bedeutet aber 1 falls g falls g (z0 ) = 0 lim f (z ( z ) = lim lim + c = d C falls g falls g (z0 ) = 0 z → z0 z →z0 g (z )

∞

∈



Damit existiert dieser Grenzwert in C , folglich kann f kann f an z an z 0 hochstens öchstens einen Pol haben. Wir haben damit B A gezeigt, damit folgt die Behauptung A Behauptung A B.

¬ ⇒ ¬

⇒

70


19.3 Satz (Picard (Picard - ohne Beweis): Beweis): In jeder Umgebung einer wesentlichen Singularit ¨ at ochstens einer ¨ nimmt die Funktion jeden Wert in C mit h ¨ ¨ Ausnahme an. Beispiel 19.2:



¨ 1. exp z1 nimmt wie auf einem der Ubungszettel gezeigt in jeder Umgebung von z0 = 0 jeden Wert außer 0 C an.

∈

2. Folglich olglich nimmt naturlich u ¨rlich sin

 1 z

in jeder Umgebung jeden Wert in C an, da sin

    − −  1 z

=

i z

exp

i z

exp 2i

19.4 Satz: Satz: Eine in z

{ { ∈ C | 0 < |z − z0| < R } holomorphe Funktion f l ¨ ässt sich in der Form f (z ( z ) =

∞



an (z (z

n=0

∈

− z0 )

n

∞



+

n=1

a−n (z (z

− z0)−n

∈  ∈

| | − z0| < R und die zweite

mit Koeffizienten an C f ur ¨ ¨ n Z darstellen. Dabei konvergiert die erste Reihe in z Reihe konvergiert f ur ¨ ¨ alle z0 = z Z. Besitzt f diese f diese Darstellung, so k ¨ die Koeffizienten an berechnet werden durch önnen



1 an = 2π i

f (z ( z )

|z−z0 |=r

(z

d z − z0)n+1 dz

f ur ¨ ¨ n

R. ∈ Z und ein 0 < r < R. Beweis: Sei Beweis: Sei 0 < 0 < r0 < |z − z0 | < R0 < R gegeben, dann durchlaufen wir eine Kette bestehend aus einem Kreis

im mathematisch negativen Sinne mit Radius r Radius r 0 um z um z 0 und einem Kreis im mathematisch positiven Sinne mit Radius R Radius R 0 um z um z 0 und es folgt mit dem Cauchy-Integralsatz f ur u Ketten: ¨ r Ketten:

  

1 f (z ( z ) = 2iπ

   

f (ζ ( ζ ) 1 dζ d ζ + 2π i ζ z

− −

|ζ −z0 |=R0

f (ζ ( ζ ) dζ z ζ

|ζ −z0 |=r0

=:g(z )

=:h(z )

−



{ ∈ C | |z − z0| < R0} und

Betrachten wir nun die Abbildung g Abbildung g . Diese ist als Abbildung von z holomorph in z lasst a¨sst sich folglich dort durch eine Taylorreihe darstellen: g (z ) =

∞



an (z (z

n=0

Definiert man nun M :=

sup

|ζ −z0 |=r0

− z0 )n

( ζ )|, so sehen wir im Falle der offensichtlich in {z ∈ C | |z − z0 | > r0 } als |f (ζ

Abbildung von z von z holomorphen Funktion h Funktion h,, dass

|h (z)| < |z − zM 0| − r0 r0 gilt. Man definiert nun w = und es gilt damit

1 z

− z0

⇒

|z − z0| > r 0 ⇔ Jetzt definiert man durch

z = z 0 +

1 w

| |



∞  0

1 w

0 < w <

 

h1 (w (w) = h z0 +

z

1 r0

und h und h 1 (0) := 0


eine in

 ∈ | | |  w

C

w <

1 r0

71

holomorphe Funktion und es folgt: h (z )

= h1 (w (w) =

h1 (0) +

∞



n=1

∞

 

=

a−n wn

n=1

∞

=

a−n wn

a−n (z (z

n=1

− z0)−n ∀ |z − z0| > r0

Damit folgern wir nun: f (z ( z ) = g (z ) + h (z ) =

∞



an (z (z

n=0

n

− z0)

+

Da g Da g((z ) auch f ur z u = z 0 + R0 konvergiert, konvergiert damit auch ¨r z = z

∞



z = z0 + r + r 0 und damit konvergiert auch

n=0

 

∞

 | n=1

∞

n=0

a−n (z (z

− z0)−n

an R0n . Außerdem konvergiert h konvergiert h auch f ur u ¨r

|

a−n r0−n . Folglich sind alle Reihen lokal gleichm¨ gleichmaßig äßig konvergent

und Summation kann mit Integration vertauscht werden. Dann ergibt sich: 1 2π i



|z−z0 |=r

f (z ( z )

(z

d z − z0)k+1 dz

∞

1 = an 2π i n=0



= ak = ak

1 2π i

|z−z0 |=r



|z−z0 |=r

  0

1

z

∞ (z − z0 )−n − z0)n dz d z + a−n dz k +1 − (z − z0 )k+1 ( z z ) 0 n=1 |z−z |=r (z

− z0 dz

Den vorletzten vorletzten Schritt Schritt haben wir dabei daraus daraus gefolgert, gefolgert, dass die Funktion Funktion Stammfunktion hat.

19.3

Lauren Laurenten tentw twic icklun klung g und und Singul Singularit arit¨ aten aten

19.2 Definition (Laurententwicklung): (Laurententwicklung): Eine Entwicklung f (z ( z ) =



an (z (z

n

∈Z

− z0 )n

von f um z0 heißt Laurententwicklung. Weiter nennt man

∞

 

an (z (z

n=0

den Nebenteil und

−∞

n= 1

−

den Hauptteil der Entwicklung.

− z0)n

an (z (z

− z0 )n

(z z0 )−n (z z0 )k+1

− −

f ur u ¨ r alle n = k eine



72


Beispiel 19.3: 1. 1

1

=

3

sin (z )

3

 − ∓  − ±     z3

z

=

6

z5 120

+ 1 z2 6

z3 1

..

..

3

1 z 2 7 4 1+ + z + .. 3 z 6 360 1 z 2 17 4 1 + + z + .. z3 6 120 1 1 1 17 4 + + z + .. 3 z 2 z 120

(∗ )

= = =

3

      Hauptteil

Nebenteil

Der einzig unklare Schritt (∗ ) erkl¨ erklart ärt sich so: Das Reziproke berechnet man, indem man (a0 + a1 z + .. + an z n + ..)( ..)(bb0 + b1 z + .. + bn z n + ..) ..) = 1 + 0 + 0 + .. setzt. Damit ergibt sich: = 1

a0 b0 a0 b1 + a1 b0 ...

= 0 = 0

Damit rechnet man dann die reziproke Reihe rekursiv aus. 2. exp

∞ 1 = z −n + 1

      1 z

n!

n=1

NT

HT

19.5 Satz: Satz: ∞ Ist a−n (z (z



n=1

− z0)−n der Hauptteil der Laurententwicklung von f um z0, dann gilt: z0 hebbare Singularit ¨ ät z0 Polstelle z0 wesentliche Singularit ¨ ät

⇔ a−n = 0 ∀ n ∈ N ⇔ |{a−n = 0}| < ∞ ⇔ |{a−n = 0}| = ∞

¨ Beweis: Wir Beweis: Wir zeigen lediglich die ersten beiden Aquivalenzen, die dritte ergibt sich als Restfall“. ” ¨ • erste Aquivalenz – –

⇐

“ ” Offensichtlich.

⇒“

”

a−n

=

= = ¨ • zweite Aquivalenz

1 2π i 1 2π i 0

 

f (z ( z )

|z−z0 |=r

(z

d z − z0)−n+1 dz z0 )n−1 dz

 − 

|z−z0 |=r

f (z ( z ) (z

holomorph


–

73

⇐“

”

p

f (z ( z )



=

n=1

a−n (z (z − z0 )−n +

= (z − z0 )− p

∞



an (z (z

∞



− z0)n

an (z (z

n=0

mit a mit a − p = 0



− z0)n+ p

n=− p − p  0 gilt. =: (z − z0 ) h (z ) womit womit h holomorph in einer Umgebung von z 0 ist und h und h((z0 ) =

–

⇒“

”

z

f (z ( z ) Die Nullstelle hat eine Ordnung 1 1 = (z f (z ( z )

 z

0

 

∞⇒

1 f (z ( z )

 z

z

0

 0 

≤ p < ∞ und es gilt folglich

einer Umgebung Umgebung von z von z 0 holomorphen Funktion g Funktion g mit g(z0 ) = − z0) p g (z) mit einer in einer 0

Damit ergibt sich dann direkt: 1

f (z ( z ) =

1 f (z )

19.3 Definition Definition (Polordn (Polordnung): ung): Habe f an z0 einen Pol und sei

= (z

−

1 z0 ) =: (z (z g (z )

p



n=1

p

− z0)−n

a−n (z

p

− z0)

∞



n=0

bn (z (z

n

− z0)

:=

∞



an (z (z

n= p

−

− z0 )n

der Hauptteil der Laurententwicklung von f um z0 mit

a− p = 0. Dann heißt p die Polordnung von f an z0 .



19.6 Satz: Satz: Sei z0 eine isolierte Singularit at ¨ ¨ von f und p

∈ N. Dann sind die folgenden Aussagen ¨ aquivalent:

1. f f hat an z0 einen Pol der Ordnung p.

∞ an (z (z − z0 )n in einer Umgebung von z0 und mit a− p  = 0. n=− p 3. f (z ( z ) = (z − z0 )− p h (z ) bei z0 mit einer holomorphen und in z0 nicht verschwindenden Funktion h. 2. f (z ( z ) =



Der Beweis ist leicht und ein Analogon zu Satz 14.7 u uber ¨ber die Nullstellenordnung . 19.4 Definition Definition (Ordnung): (Ordnung): Habe f an z0 C h ¨ einen Pol. Die Zahl öchstens

∈

m (f, z0 ) =



Nullstellenordnung von f an z0 falls f an z0 holomorph ist Polordnung von f an z0 falls f an z0 einen Pol hat

−

heißt Ordnung von f an z0 . 19.1 Lemma (ohne Beweis): Beweis): Sei 0 f , f , f (z ( z ) = (z z0 )m h (z ) f ur ¨ ¨ ein m Z mit einer in einer Umgebung von z0 holomorphen Funktion h und h (z0 ) = 0, 0 , analog f ur ¨ ¨ g . Dann gelten folgenden Aussagen:

≡

−



 · · 

m (f g, z0 ) m

f , z0 g

∈

= m (f, z0 ) + m (g, z0 ) = m (f, z0 )

± ± g, z0) ≥

m (f

m (f ′ , z0 )

{

− m (g, z0) }



min m (f, z0 ) , m (g, z0 ) und Gleichheit falls m (f, z0 ) = m (g, z0 )

= m (f, z0 )

− 1 im Falle, dass f ′ ≡ 0

Der Beweis ist direkt klar und hier nicht aufgef uhrt. u ¨hrt.

74

20 Residuensatz

Beispiel 19.4:

 

2

z +2 , z0 z4 1

m

m

−

1 , z0 sin(z sin(z 2 )

 −  −  −

± √ ∈ {± ± }

1

 

=

=

19.5 Definition Definition (meromorphe (meromorphe Funktion) Funktion):: Eine bis auf Polstellen in dem Gebiet D

z0 = i 2 1 z0 i, 1 0 sonst 2 z0 = 0

 ∈ ±√

1 z0 0 sonst

√ kπ, kπ , ± i kπ k ∈ N

 

⊆ C holomorphe Funktion heißt meromorph in D.

19.7 Satz (Eigenscha (Eigenschaften ften meromorpher meromorpher Funktionen) Funktionen):: Seien f, g meromorphe Funktionen in dem Gebiet D C, dann gilt:

⊆

• Die Funktion f ± ± g ist meromorph in D. • Die Funktion f · · g ist meromorph in D. • Ist g(z) = 0 ∀ z ∈ D, so ist auch die Funktion f g meromorph in D. • Auch f ′ ist meromorph in D. Kein Beweis, die Aussagen sind offensichtlich.

20

Resi Residu duen ensa satz tz

20.1

Voraussetzu oraussetzungen, ngen, Vorbemerkung orbemerkungen en

⊆ ⊆ D die Menge der nicht

Sei f f eine holomor holomorphe phe Funktio Funktion n in D bis auf isolierte Singularit¨ Singularitaten. äten. Sei weiter S hebbaren Singularitaten in D und eine Kette in D in D mit den Eigenschaften äten in D

K

• I ( (K) ⊂ D • |S ∩ I (K)| < ∞ • spur(K) ∩ S = = ∅ Dann ist I ist I ( ( K) ∪ spur(K) als beschr¨ beschrankte a¨nkte und abgeschlossene Menge sicher kompakt und offensichtlich ist D \ S

ein Gebiet.

20.1 Definition Definition (Residuum): (Residuum): Habe f an z0 eine isolierte Singularit ¨ ät. Dann definiert man das Residuum von f an z0 durch: 1 Res f (z ( z ) := z =z0 2π i



( z ) dz mit 0 < r < r0 f (z

|z−z0 |=r und einem r0 derart, dass S

∩ {z ∈ C | |z − z0| ≤ r0} = ∅ gilt.

Bemerkung 20.1: Dann ist Res f (z ( z ) = a −1 f ur u um z 0 ¨r das entsprechende a −1 aus der Laurententwicklung von f um z z =z0

20.1.1

Residuensatz, Residuensatz, Rechenreg Rechenregeln eln und Beispiele Beispiele

20.1 Satz (Residuensatz) (Residuensatz):: Sei f f eine in dem Gebiet D C bis auf isolierte Singularit ¨ äten holomorphe Funktion und eine Kette in D mit I ( ( ) D, auf der keine Singularit at f liege. Sind z1 ,..,zn die Singularit ¨ aten ¨ ¨ von f ¨ von f in I ( ), so gilt

K⊆

⊆

K K



f (z )dz = 2π i

K

n



j =1

K

n( , z j )Res f (z ) z =zj

K

20 Residuensatz

75

Beweis: Sei B Sei B j = z

{ ∈ C | |z − zj | < r } mit derart kleinem r kleinem r definiert, dass 1. Bj ⊂ I ( (K) ⊂ D ∀ 1 ≤ j ≤ n 2. j  = k ⇒ Bj ∩ Bk = ∅ ∀ 1 ≤ j, k ≤ n

gelten. Sei weiter j gerade der Weg, der den Rand von B von B j genau n genau n(( , zj ) mal durchlauft äuft (mit der selben Orientierung, mit der zj uml¨ umlauft).Ist ..., m ), so definieren wir eine neue Kette durch äuft).Ist die Kette gegeben als = ( 1 , ...,

K

B

K

K

K C C L = (C1,.., Cm , −B 1,.., −B n)

L

Sei nun z nun z / spur( ). Dann folgt nach Definition

∈

L

n

n ( , z ) = n ( , z )+

L

K

 j =1

n(

B j , z) =

Also:

 

0

n

    ⊂ K \

falls z

n ( , z)

K

∈ Bj j =1 n falls z ∈ / Bj

(Uml¨ (Umlaufe aüfe heben sich gerade auf)

j =1

(alle

umlaufen z nicht) B j umlaufen z

n

L

I ( ( ) = I ( ( )

L

=

   

f (z ( z ) dz

L

=

n

f (z ( z ) dz

=

f (z ( z ) dz

n

f (z ( z ) dz

B

j

n ( , zj )

j =1

K Def.

  −   − K K − j =1

K =

\

D S

j =1

und da f da f holomorph auf I ( I ( ) ist folgt: 0

Bj

|z−z0 |=r

n

f (z ( z ) dz

2π i

n ( , zj ) Res f (z ( z ) z =zj

j =1

K

f (z ( z ) dz

Dies zeigt die Behauptung. Behauptung. 20.1.2

Rechenreg Rechenregeln eln zur zur Berec Berechnung hnung der Residuen Residuen

1. Fur u Singularitat z von f gilt ¨ r eine hebbare Singularit¨ ät z 0 von f Res f (z ( z ) = 0

(R1)

z =z0

Dies ist offensichtlich, da f auf z0 und damit auch in einer (hinreichend kleinen) Umgebung holomorph ist, also das Integral uber u ¨ber einer geschlossenen Kurve verschwindet. 2. Fur λ, u ¨r λ, µ

∈ C gilt

Res (λf (z ( z ) + µg (z )) = λ Res λ Res f (z ( z ) + µ Res g (z )

z =z0

z =z0

z =z0

(R2)

da das Integral linear ist. 3. Ist g in einer Umgebung von z 0 holomorph, so gilt Res (f (z ( z ) + g (z )) = Res f (z ( z )

z =z0

z =z0

(R3)

Diese Regel entsteht durch Zusammenfassen der ersten beiden Regeln. 4. Es gilt gilt stets

Res f ′ (z ) = 0

z =z0

(R4)

76

20 Residuensatz

Beweis: Sei f Sei f (z ( z ) =



n

bn (z (z

∈Z

− z0)n die Laurententwicklung von f von f um z um z 0 . Dann ist f ′ (z ) =



nbn (z (z

n

∈Z

− z0)n−1 =:



an (z (z

n

∈Z

− z0)n

Damit sehen wir also:

·

5. Ebenso gilt gilt stets

Res f ′ (z ) = a −1 = 0 a0 = 0

⇒

an = (n + 1) bn+1

·

z =z0

Res f (z ( z ) g ′ (z ) =

z =z0

− zRes f ′ (z ) g (z ) =z

(R5)

0

Beweis: Produktregel

Res f (z ( z ) g ′ (z )

z =z0

 · ·



Res (f g )′ (z )

− f ′ (z) g (z) z =z Res (f · g)′ (z ) − Res f ′ (z ) g (z ) · z =z z =z f ′ (z ) g (z ) − zRes =z

=

0

R2

=

0

R4

=

0

0

6. Hat f Hat f eine eine einfache Polstelle an z 0 , so ist

− z0) f (z ( z ) = (z − z0 ) f (z ( z )|z=z

Res f (z ( z ) = lim lim (z

z =z0

z

→z0

(R6)

0

Beweis: holomorph

Res =

z =z0

  −  

1 2π i

(z

z0 ) f (z ( z ) Integralsatz dz = (z z z0

−

|z−z0 |=r

( z )|z=z − z0) f (z

0

7. Sei f Sei f holomorph in z in z 0 und habe g an z an z 0 eine einfache Nullstelle. Dann gilt: Res

z =z0

f (z ( z ) f (z ( z0 ) = ′ g (z ) g (z0 )

(R7)

Beweis:

−

f (z ( z ) (6) (z z0 ) f (z ( z ) Res = z =z0 g (z ) g (z )

−



=

 

f (z ( z )

g(z0 )=0

g(z ) g (z0 ) z z0 z =z0

− −

z =z0

8. Habe f Habe f an z an z 0 einen p fachen Pol, dann gilt allgemein: Res f (z ( z ) =

z =z0

1 ( p

−

∂ p−1 (z 1)! (∂z) ∂z ) p−1

p

− z0)

f (z ( z )

f (z ( z0 ) = ′ g (z0 )



(R8)

z =z0

Beweis: holomorph

1 Res f (z ( z ) = z =z0 2π i

  −   (z

z0 ) p f (z ( z ) p 1+1

|z−z0 |=r

(z − z0 ) −

dz

1

Integralformel

=

( p

−

∂ p−1 (z 1)! (∂z) ∂z ) p−1

( z ) − z0) p f (z

Beispiel 20.1 (f ur u ¨ r die Berechnung von Residuen): 1. Da sowoh sowohll f (z ( z ) = exp exp (z ) 1 z als auch g auch g (z ) = z (exp(z (exp(z ) f (z ) Quotient g(z) holomorph und es gilt:

− −

1 Res z =0 exp(z exp(z )

−1

= Res z =0

 − 1 z

− 1) an 0 eine doppelte Nullstelle hat, ist der

− − −

exp(z exp(z ) 1 z z (exp(z (exp(z ) 1)



(R3)

= Res z =0

 1 z

=1

20 Residuensatz

77

2. Wegen Regel (R4) gilt:

− 

cot(z cot(z ) cos(z cos(z ) Res = Res = Res z =z0 sin(z sin(z ) z=z0 sin2 (z ) z=z0

′ (R4)

1 sin(z sin(z )

=

0

3. Wegen Regel (R5) gilt: Res z =0

 

exp(z exp(z )cos(z )cos(z ) (exp(z (exp(z )

−

= Res z =0 1)2

cos(z cos(z )

 −   ′

−1

exp(z exp(z )

z =0

cos(z cos(z ) sin(z sin(z )

5. Wegen Regel Regel (R7) gilt sogar f ur u jedes n ¨ r jedes n Res

z =πn

6. Wegen Regel Regel (R7) gilt f ur u jedes n ¨r jedes n

z cos cos (z ) sin(z sin(z )

(R6)

=

∈ Z: cos(z cos(z ) sin(z sin(z )

(R7)

cos(z cos(z ) cos(z cos(z )

=

∈ Z:

exp(z exp(z ) Res z =n sin(πz sin(πz))

exp(z exp(z ) = π cos(πz cos(πz))

(R7)

7. Wegen Regel (R8) gilt: cos(z cos(z ) Res z =0 z sin(z sin(z )

(R8)

=

1 d z cos(z cos(z ) 1! dz sin(z sin(z )

8. Wegen Regel (R8) gilt: 1 Res 2 z =exp( π4 i ) (z 4 + 1)



=

=

z =0

sin(z sin(z ) =0 exp(z exp(z ) 1

−

=1

z =0

=1

( 1)n exp(n exp(n) = π

−

z =n

− z sin2 (z) − z sin(z sin(z )cos(z )cos(z ) sin2 (z )

z =0

(R8)

Res

z =πn



z sin(z sin(z )cos(z )cos(z )

=

1

4. Wegen Regel (R6) gilt: Res

(R5)

d dz z + exp



1 2

  πi 4

(z 2 + i)



z =0

 

=

z =exp( π4 i )

=

−z|z=0 = 0

−√ 3 (1 + i) 10 2

Bemerkung 20.2 (Anwendung des Residuensatzes auf Integrale): Sei f holomorph f holomorph in z C z < R mit einem R > 1 bis auf endlich viele isolierte Singularit¨ Singularit aten, äten, die nicht auf z = 1 liegen. Dann folgt:

| | |

{ ∈ | | |

}

2π



f (exp (exp (i ϕ)) dϕ =

0

 

f (z ( z ) dz iz

|z|=1 n

=

j =1

Res

z =zj

f (z ( z ) iz

f (z ) { | |1 ≤ j ≤ n} die Menge der Singularit¨ Singularit aten äten von i z ist.

wobei zj

Beispiel 20.2 (f ur u ¨ r die Anwendung des Residuensatzes ): 1. Wie in der Bemerkung Bemerkung gesehen gesehen gilt nun: 2π



2π

n

cos (ϕ) dϕ =

0

  −               ∈ exp exp (i ϕ) + exp exp ( i ϕ) 2

0

=

1 2n

|z|=1

= = =

n

1 z + z

z + z1 2π Res 2n z=0 z 2π Res 2n z=0

n

dϕ

dz iz

n

n n−k z k

k=0 2π n falls n 2n n/2 falls n

0

n

sonst

2N

1 z

k+1

78

20 Residuensatz

da der Summand 1z nur f ur u gerade n stehen stehen bleibt und wir das Residuum als a als a−1 in der Laurententwicklung ¨r gerade n von f f berechnen k¨ konnen. önnen. Damit folgt: 2π



2n

cos

0

2. Wir betrachten betrachten das Integral Integral



2π 2n (ϕ) dϕ = 2n 2 n

∞

 0

x2 dx x4 + 1

Wir wollen dieses Integral losen, ösen, indem wir die (bis auf zwei isolierte Singularit aten) äten) holomorphe Funktion z2 f (z ( z ) = z4 +1 entlang der reellen Achse von R nach R und zur¨ zuruck u u ¨ck uber ¨ber den entsprechenden Halbkreis durch die obere Halbebene (bezeichnet als R ) integrieren. Fur R u umlauft ¨r R > 1 uml¨ äuft R die beiden Polstellen exp i4π und iexp i4π . Damit ergibt sich:

− C

C

R



x2 dx d x + x4 + 1

−R



z2 dz d z z4 + 1

    −  −   −

z2 z2 = 2π i Res + R e s 4 4 z =exp( i4π ) z + 1 z =i exp( i4π ) z + 1

C

R

    C

z2 dz d z z4 + 1

R

4

i

iπ 4

exp

4

√ π2

= Weiter gilt

iπ 4

exp

= 2π i



 ≤ 

R2

R4

−1

R

2πR



∞  0

−

und damit folgt wegen der Symmetrie der Funktion in f in f ( (zz ) = f ( ( z ), dass R

x2 dx d x = 2 x4 + 1

−R Wir erhalten also

∞

 0

R

0

x2 dx d x x4 + 1

R



π ∞  √

2

x2 π dx d x = 4 x +1 2 2

√

3. Wir k¨ konnen önnen obiges Ergebnis auch verallgemeinern: Seien daf ur P u und Q zwei Polynome, die grad(Q grad( Q) grad(P grad(P )) + 2 er erf ullen. u weiter Q((x) = 0 x ¨r P und Q ¨llen. Gelte weiter Q Dann gilt mit der selben Argumentation wie oben:

≥

∞



−∞

P (x ( x) dx d x = 2π i Q (x)

 ∀ ∈ R.

n

 j =1

Res

z =zj

P (z ( z ) Q (z )

wobei z wobei z 1 ,..,zn die Nullstellen von Q in der oberen komplexen Halbebene sind. 4. Behauptung: Behauptung:

∞

 0

log2 (x) π3 d x = und 1 + x2 8

∞

 0

log(x log(x) dx = 0 1 + x2

Beweis: Wir betrachten den Logarithmus auf der in der negativen imagin¨ imagin aren ären Achse geschlitzten Ebene, also

−π < arg(z 3π arg(z ) <

2 2 und die bis auf isolierte Singularit¨ Singularitaten äten in dieser geschlitzten Ebene holomorphe Funktion log2 z 1 + z2 i. Wir w¨ wahlen ählen nun folgenden Integrationsweg: f ( f (z ) =

−

mit den Polstellen 0, 0, i und

20 Residuensatz

79

(a) entlang entlang der reellen Achse Achse von r von r nach R nach R,, wobei 0 < 0 < r < 1 < 1 < R

∈R

(b) mittels mittels Halbkreis (Radius (Radius R) in der oberen Halbebene um die Polstelle i von R nach R)

C

nach r −R nach r

−R (genannt

(c) entlang entlang der reellen Achse Achse von

(d) mittels mittels Halbkreis Halbkreis mit Radius r Radius r durch die obere Halbebene von

nach r (genannt Cr ). −r nach r

Dann ergibt sich aus dem Residuensatz: R



( z ) dz + f (z

r

−r



C

( z ) dz + f (z



( z ) dz + f (z

−R

R



log2 (z ) ( z ) dz = 2π iRes f (z z =i 1 + z 2

C

log2 (z ) = 2π iRes = z =i 2z

(R7)

−π3 4

(20.1)

r

Gleichzeitig gilt aber:

−r



log2 (z ) dz = 1 + z2

−R

−r



(log x + π i)2 dx = 1 + x2

||

−R

R

 r

log2 x dx + 2π 2π i 1 + x2

||

R

 r

||

log x dx 1 + x2

R

 −    π

r

R

r

Jetzt beobachtet man

     

f (z ( z ) dz

C

R

und

   ≤ −    ≤ −

f (z ( z ) dz

C

r

log R2 πR R2 1

log r2 πr 1 r2

R



r

 0

dx 1 + x2

2



∞   −

 0

π3

2

∞  0

  0

Beide Resultate kann man leicht mit dem Satz von l’Hospital 9 nachrechnen. Zusammenfassend aus (20.1) ergibt sich also durch Bilden der Grenzwerte:

−π 3 = 4

Addition von

π3 2

0



∞

f (z ( z ) dz +

−∞

∞



f (z ( z ) dz = 2

0

 0

log2 (x) dx + 2π 2π i 1 + x2

∞

 0

log log (x) dx 1 + x2

3

− π2

und Vergleichen Vergleichen von Real- und Imagin Imaginärteilen a¨rteilen liefert nun die Behauptung

5. Behauptung: Behauptung: Sei Sei c > 0. Dann gilt: 1 2π i

c+i

∞



exp(λz exp(λz)) dz = z

c i

−∞



1 falls λ > 0 0 falls λ < 0

Beweis: Zun¨ Zunächst achst halten wir fest, dass f ur z u ¨r z = x + i y gilt:

|exp(λz exp(λz))| = exp exp (λx) λx) Sei nun λ > 0. Wir w¨ wahlen = 0, T = 0, S < T und definieren unseren Integrationsweg ählen Zahlen a < 0, S  durch

9

• die Strecke von a + i S nach c nach c + i S • die Strecke von c + i S nach S nach c c + i T T nach a nach a + i T • die Strecke von c + i T T nach a nach a + i S • die Strecke von a + i T Vergleiche hierzu den Diff-I-Skript

80

20 Residuensatz

Jetzt sch¨ schatzen zunachst ätzen wir zun¨ ächst ab:

  

c+i T

exp(λz exp(λz)) dz z

a+i T

 

    ≤ c

=

a

 

exp(λx exp(λx)exp(i )exp(i λT ) λT ) dx x + i T c

1 T

exp(λx exp(λx)) dx

| |a

≤ λ|1T | exp(λc exp(λc)) Ganz analog k¨ konnen önnen wir

         c+i S


a+i S

absch¨ abschatzen. a¨tzen. Weiter gilt aber :

    

a+i T

T

exp(λz exp(λz)) dz = z

a+i S

(20.2)

 ≤ | |

1 exp(λc exp(λc)) λ S

exp(λa exp(λa)exp(i )exp(i λy) λy ) i dy a+iy

S

Gleichzeitig liefert uns der Residuensatz: c+i T

=

c+i S

=

a+i T

exp(λz exp(λz)) dz + z



− − S )

||

falls S < 0 < 0 < T

0

sonst

c+i S




a+i T

Res 2π i exp(zλz ) = 2π 2π i z =0

exp(λa exp(λa)) (T a

a+i S


c+i T

 ≤

(20.3)


a+i S

Im Falle 0 < 0 < S < T stellen T stellen wir die so erhaltene Formel um erhalten

  

c+i T


c+i S

 

≤ 

a

exp(λc exp(λc)) exp(λa exp(λa)) + (T λT λT

exp(λc)) − − S ) + exp(λc λS

 

exp(λc)) −∞  exp(λc

1 1 + T S

λ



0
∞ 

0

Damit sehen wir nun die Existenz des Integrals aus der Behauptung ein. Alles in Allem konnen u 0 < T mit T mit dem Residuensatz wie folgt vorgehen: önnen wir damit f ur S ¨r S < 0 <

    c+i T

c+i S


−

2π i

 

          c+i S

a+i S

Verwende (14) a+i S

a+i T

≤ T

S

−∞ 





∞ 

−∞ 

exp(λc exp(λc)) 1 + λ T exp(λc exp(λc)) 1 + λ T exp(λc exp(λc)) 1 λ S

||

0

Verwende (13)

1 S 1 S

||

+

  


a+i T


+



c+i T


≤

a

          | | | |

exp(λa exp(λa)) (T + S ) a

||

20 Residuensatz

81

Damit folgt die Behauptung f ur λ u ¨r λ > 0: c+i

∞

 


c i

−∞



= 2π i

Der Fall λ Fall λ < 0 folgt aahnlich u ¨hnlich und bleibt als Aufgabe uberlassen. ¨berlassen. 6. Behauptung: Behauptung: Es gilt gilt

∞

 − 

x2 dx d x =

exp

√ π

−∞

Beweis: Zunachst ächst definieren wir

√ a := π exp

Damit gilt a gilt a 2 = π i und die Gleichung

·

   πi 4

π (1 + i) 2

=

2 a z = π i +2π +2π i n, n

· ·

wird genau durch z durch z = a2 (2n (2 n + 1) gel¨ gelost. öst. Definieren wir nun

∈Z

− 

exp z 2 f (z ( z ) := exp( 2az) az ) + 1

−

a (2 n 2 (2n

so hat diese Funktion ihre Singularit¨ Singularit aten a¨ten genau bei z = berechnen wir das entsprechende Residuum: exp

(R7)

Resπ f (z ( z ) =

z= 2

−  a2 4

a2 )

−2a exp(−

=

+ 1), n

∈ Z. Mit Hilfe von Regel (R7)

− 2√ i π

(20.4)

Als letzte Vorbereitung berechnen wir jetzt noch f (z ( z + a)

= a2 einsetzen

=

= = =

−   −−  − 

exp z 2 + 2az 2az + + a2 exp( 2az 2a2 ) + 1 exp z 2 + 2az 2az exp( 2az) az ) + 1

− − az ) f (z ( z ) [0. [0.1cm] cm] − exp(−2az) (1 − (1 + exp exp (−2az))) ( z ) az ))) f (z f (z ( z ) − exp −z 2

 

(20.5)

Als Integrationsweg w¨ wahlen ählen wir nun das Parallelogramm mit den Seiten

• Strecke von −T T nach T nach T • Strecke von T von T nach a nach a + T • Strecke von a von a + T T nach a nach a − T • Strecke von a von a − T T nach −T . T .

a 2 ist

die einzige Singularit Singularit¨ at a¨t von f von f innerhalb innerhalb dieses Parallelogramms, daher liefert der Residuensatz :nun a+T

T



f (z ( z ) dz +

−T



−

−T

a T

f (z ( z ) dz +



f (z ( z ) dz +

a+T

T



(20.4)

f (z ( z ) dz =

√ π

a T

−

Weiter ist aber

−T +a

T



−T

f (z ( z ) dz +



f (z ( z ) dz

T

=

T +a

−T

   −  −  f (z ( z ) dz +

−T

f (z ( z + a) dz

T

T

=

(f (z ( z )

f (z ( z + a)) dz

−T

T

(20.5)

=

exp

−T

z 2 dz d z

82


Unter Verwendung von z von z 2 = (x + i y )2 = x 2 + y 2 + 2 i xy und



 ⇒ | | √ −      − | | | √  − −  √ −  −  ≤ ≤ ≤  | − | ≥ √     − √  − | |≤        ≤ · · −      −     −   − 

1+i exp exp (2az (2az)) = exp 2π (x + i y ) 2 erhalten wir so

exp exp (2az (2az)) = exp

=

x2 + y 2 +

exp

exp

Das wiederum liefert uns unter der Annahme 0 f (z ( z )

π 2

y

π 2

exp

y)

exp z 2 + 2az 2az exp(2az exp(2az)) + 1

Erweiterung Erweiterung mit exp(2za )

|f (z ( z )

2π ( x

2π (x

und x

x2 +

exp

exp

2π

C exp

T 2 2

2π (x

y)

y

y)

1

1 zu

2πx

1

Damit erhalten wir die finale Abschatzung ätzung a T

±

f (z ( z ) dz



T

∞  0

±T

was uns die Behauptung liefert: =

a T

f (z ( z ) dz +

f (z ( z ) dz +

a+T

−T

=

T



z 2 dz +

exp

∞ 

−T ∞

=

f (z ( z ) dz +

exp

z 2 dz + 0

exp

x2 dx d x

f (z ( z ) dz

a T

−

−T

f (z ( z ) dz

−

T

−∞ ∞

−T

f (z ( z ) dz +

a+T

T

T

a+T

−

T

√ π

a T

−∞

21

NullNull- und Polstell olstellena enanza nzahle hlen n

21.1

S¨ atze und Eigenschaften atze

21.1 Satz: Satz: Sei f 0 meromorph in dem Gebiet D C , g holomorph in D. Sei weiter eine Kette in D, auf der keine Null- oder Polstellen von f f liegen, mit I ( ( ) D. Sind nun a1 ,...,ak die Nullstellen von f und b1 ,...,bl die Polstellen von f , ( ) liegen, so gilt: f , welche in I (

 ≡

⊆

K

1 2π i



f ′ (z ) g (z ) dz = f (z ( z )

K

K K

K ⊂

k

 j =1

l

K

n ( , aj ) m (f, aj ) g (aj ) +

f (z ( z ) = (z

K

n ( , bj ) m (f, bj ) g (bj )

j =1

Beweis: Sei z Sei z 0 C. Wir schreiben

∈



− z0)m · h (z)

mit einer in einer Umgebung von z0 holomorphen Funktion h, welche h (z0 ) = 0 erf ullt. u Als logarithmische ¨ llt. Als logarithmische Ableitung erhalten Ableitung erhalten wir so f ′ (z ) m h′ (z ) = + f (z ( z ) z z0 h (z ) Folglich gilt also f ur u an z 0 : ¨ r das Residuum von f an z



−

Res

z =z0

f ′ (z ) ( z ) f (z

g (z ) = Res

z =z0



   

m · g (z ) h ′ (z ) z

− z0

+

h (z )

g (z )

holomorph

Damit folgt die Behauptung direkt aus dem Residuensatz.

·

= m g (z0 )


83

21.2 Satz: Satz: Sei f

 ≡ 0 meromorph in dem Gebiet D ⊆ C, K eine Kette in D, welche folgende Eigenschaften erf ulle: ¨ ¨ • I ( (K) ⊂ D. • n (K, z) = 1 ∀ z ∈ I ( (K). • f hat K. f hat keine Null- oder Polstellen auf K Ist nun N die N die Anzahl der Nullstellen, P die P die Anzahl der Polstellen (mit Vielfachheiten) von f in I ( (K), so gilt: − −

N



1 P = 2π i

f ′ (z ) dz f (z ( z )

K Falls f keine f keine Pole in I ( ( ) besitzt, so gilt insbesondere

K



1 N = 2π i

f ′ (z ) dz f (z ( z )

K

und falls f f keine Nullstellen in I ( ( ) hat, so gilt analog

K

P =

−



1 2π i

f ′ (z ) dz f (z ( z )

K Beweis: Nach Voraussetzung ist n ( , z ) = 1 Behauptung.

K

∀ z ∈ I ( (K). Wenden wir also Satz 21.1 auf f und g ≡ 1 an, so folgt die

Folgerung 21.1 (Fundamentalsatz der Algebra): Auch hier kann man wieder den Fundamentalsatz der Algebra folgern: Ein Polynom vom Grad n > 1 besitzt genau n Nullstellen in C Beweis: Sei P ein P ein Polynom vom Grad n > 0, P (0) P (0) = 0. Das k¨ konnen o¨nnen wir in der Tat annehmen, denn falls P (0) P (0) = 0, so k schreiben wir P (z ( z ) = z Q (z ) mit Q (0) = 0, grad grad (Q) = grad grad (P ) P ) k und m¨ mussen u u ¨ ssen die Aussage dasher nur f ur ¨r Q zeigen.



Wegen P (z ( z )

z





−

∞  ∞ finden wir ein R ein R 0 > 0 s.d.

|z| ≥ R0 ⇒ Jetzt definieren wir durch

P (z ( z ) = 0



P (z ( z ) zn P besitzt. C eine n-fache Polstelle und sonst genauso viele Nullstellen N wie P ( z ) := f (z

eine Funktion, welche bei 0 Damit gilt nach Satz 21.2:

∈

N

− − n

=

1 2π i

 

f ′ (z ) dz f (z ( z )

|z|=R =

1 2π i

P ′ (z )z n P (z )nz n−1 z 2n P (z ) zn z =R

−

dz

|| =

=

=

1 2π i 1 2π i 1 2π i

     ·

P ′ (z ) z n

|z|=R |z|=R |z|=R

P ′ (z ) P (z ( z )



− P (z ( z ) nz n−1 · z n dz z 2n · P (z ( z )

−



n dz d z z

z P ′ (z ) n P (z ( z ) dz z P (z ( z )

·

·

84


f ur u beliebiges R > R0 . Da im Falle P Falle P ( (zz ) = az n + bz n+1 + ... dann ... dann z z P ′ (z ) = naz n + (n (n 1) bz n−1 + ... und ... und ¨ r ein beliebiges R n n−1 nP (z ( z ) = naz + nbz + ... gilt, ... gilt, ist der Grad des Nenners zwangsl¨ zwangsl aufig großer äufig mindestens um 2 gr¨ ößer als der Grad des Zahlers. ählers. Damit existiert das Integral! Außerdem gilt deswegen: z P ′ (z ) n P (z ( z ) C f ur u R1 R0 ¨r z z P (z ( z ) z2 Damit folgt dann

−

 

 · 

frac12 frac12π πi

|z |=R

·

 ≤ ||

·

z P ′ (z ) n P (z ( z ) dz z P (z ( z )

·

·

·

| | ≥ ≥

  ≤

c c R = 2 R R

·



R

∞  0

womit wiederum n wiederum n = = N N folgt, folgt, was der Behauptung entspricht. 21.3 Satz (Rouch´ e 1862): 1862) : Seien f und g holomorph in dem Gebiet D C und eine Kette in D mit I ( ( ) I ( ( ). Gilt weiter g (z ) < f (z ( z ) z spur( )

⊆ K K K | | | | ∀ ∈ so hat f + + g ebenso viele Nullstellen in I ( (K) wie f f selbst.

K ⊂ D und n (K, z) = 1 ∀ z ∈

K

Beweis: Offenbar ist f (z ( z ) kompakt! Also:

|

| − |g (z)| stetig stetig auf spur (K) und dort nach Vorausse Voraussetzung tzung auch positiv. positiv. Aber spur (K) ist ∃ ε > 0 s.d. |f (z ( z )| − |g (z )| ≥ ε ∀ z ∈ spur(K)

Wir w¨ wahlen a¨hlen jetzt ein M ein M > 0 s.d. Damit gilt f ur u ¨r 0

≤ λ ≤ 1+

|g (z)| ≤ M ∀ ∀ z ∈ spur spur (K) und z und z ∈ spur(K): |f (z ( z ) + λg (z )| ≥ |f (z ( z )| − λ |g (z )| ≥ |f (z ( z )| − |g (z )| + (1 − λ) |g (z )| ε ≥ ε − 2M |g (z)| ≥ 2ε

ε 2M

> 0

Jetzt wollen wir die Nullstellenanzahl N (λ ( λ) der Funktion hλ = f + λg betrachten betrachten.. Da die Funktion unktion nach nach Voraussetzung keine Polstellen hat, gilt f ur u ¨r diese nach Satz 21.1: 1 N (λ ( λ) = 2π i Das bedeutet f ur u ¨r 0

f ′ (z ) + λg ′ (z ) dz f (z ( z ) + λg (z )

K

ε 2M ,

≤ λ, λ0 ≤ 1 + dass λ − λ0 N (λ ( λ) − N (λ ( λ0 ) = 2π i





K

f (z ( z ) g ′ (z ) f ′ (z ) g (z ) dz d z (f (z ( z ) + λg (z )) (f (z ( z ) + λ0 g (z ))

−

Dies impliziert die Stetigkeit der Funktion N in λ. Da N N aber gleichzeitig ganzzahlig ist, muss N N demnach konstant sein, d.h. insbesondere N (0) (0) = N = N (1) (1) was der Behauptung entspricht. Folgerung 21.1 (Fundamentalsatz der Algebra): Auch hier folgt wieder ein sch ¨ oner Beweis f ¨ ur ¨ ¨ den Fundamentalsatz der Algebra: Ein Polynom vom Grad n > 1 besitzt genau n Nullstellen in C Beweis: Sei P Sei P ( (zz ) = a n z n + ... + a0 mit a mit a n = 0, n > 0. Wir definieren jetzt



f (z ( z ) := a := a n z n und g und g (z ) := a := a n−1 z n−1 + ... + a0 Offenbar hat die Funktion f Funktion f genau n genau n Nullstellen. Offensichtlich finden wir ein R 0 > 0 > 0 s.d. ( z )| > |g (z )| |z| = R > R0 ⇒ |f (z Damit konnen f + g genau n Nullstellen haben muss. önnen wir Satz 21.3 anwenden und sehen so, dass auch P = f +


21.2 21 .2

85

Beis Beispi piel ele e

Beispiel 21.1: 1. Wir betrachte betrachten n P (z ( z ) = z 7 5z 3 + 12. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt unmittelbar, dass P insgesamt sieben Nullstellen besitzt. Behauptung: Alle sieben Nullstellen Nullstellen von P von P liegen liegen in 1 < 1 < z < 2.

−

||

Beweis: Wir definieren zun¨ zunachst (z ) := 12 und g und g 1 (z (z ) := z := z 7 5z 3 . Weiter betrachten wir den Kreis z = 1. Auf ächst f 1 (z diesem gilt g1 (z (z ) 6 < 12 < 12 = f 1 (z (z ) (21.1)

−

|

|≤

| |

|

|

| |  ∀ | | | | |ℜ (g1 (z 0 (z ))| ≤ |g1 (z (z )| < 12 = ℜ (f ) f ) ⇒ ℜ (P (z ( z )) = Jetzt definieren wir f 2 (z (z ) := z 7 , g2 (z (z ) := −5z 3 + 12 und betrachten den Kreis |z | = 2. Offenbar hat f 2 innerhalb dieses Kreises (n¨ (n amlich Absch atzung ämlich an 0 ∈ C) sieben Nullstellen. Mit der Absch¨ ätzung |g2 (z (z )| ≤ 52 52 < < 128 128 = |f 2 (z (z )|

Damit gilt nach Satz 21.3, dass die Funktion P = f 1 + g + g2 in z < 1 ebenso wie f f keine Nullstellen hat. Die Betragsabsch¨ Betragsabschatzung P (zz ) = 0 z mit z = 1, da f ur u ätzung (21.1) zeigt auch direkt, dass P ( ¨r z = 1 gilt:

erhalten erhalten wir also aus dem Satz von Rouch´ e (Satz 21.3), 21.3), dass die Funktion unktion P = f 2 + g 2 innerhalb von z < 2 genau sieben Nullstellen haben muss. Dies zeigt die Behauptung.

||

ℜ

2. Sei (a) > 1. > 1. Behauptung: Dann hat die Gleichung exp( z ) = z

−

| − a| < 1.

genau eine L¨ Losung ösung in z

−a

(21.2)

Beweis: Wir definieren f (z ( z ) := z := z

− a und g (z) := − exp(−z). Dann ist ( z ) + g (z ) = z − a − exp(−z ) =: h =: h (z ) f (z Weiter betrachten wir den Kreis |z − a| = 1, welcher sich durch z = a +exp(i ϕ) parametrisieren l¨ lasst. ässt. In diesem Fall gilt: exp (−ℜ (a) + 1) < 1) < 1 1 = |f (z ( z )| |g (z)| = exp Da f in | z − a| < 1 genau die eine Nullstelle a hat, besitzt also auch h dort genau eine Nullstelle und damit die Gleichung (21.2) genau eine L¨ L osung ösung in |z − a| < 1. 22 22.1 22.1

Lokales Lokales Wertev Werteverhal erhalten ten holomorph holomorpher er Funkti Funktionen onen Defini Definitio tion n und Beispi Beispiel el

22.1 Definition: Definition: Sei f eine f eine nicht-konstante, in dem Gebiet D Gebiet D z0 c-Stelle von f f von der Ordnung

⊆ C eine holomorphe Funktion, z 0 ∈ D und f f (z ( z0 ) = c. c . Dann heißt − c) , z0) m = m = m ((f ((f −

Lokal bedeutet das immer f (z ( z ) = c + (z (z

− z0)m h (z)



mit einer in einer Umgebung von z von z 0 holomorphen Funktion h Funktion h,, h (z0 ) = 0. Beispiel 22.1:

Die Funktion f (z ( z ) = z 3 + 1 hat bei z0 = 0 eine 1-Stelle der Ordnung 3. Ist dagegen c = 1, so ist eine c-Stelle gleichbedeutend mit einer L¨ Losung ösung der Gleichung



z3 + 1 Diese Gleichung hat f ur u jedes c ¨ r jedes c alle einfach, da

− c = 0

∈ C drei L¨  1 sind sie Losungen ösungen (Fundamentalsatz der Algebra), aber im Falle c = z 3 + 1 − c = 0 ⇒ 3z 2 = 0

86


22.1 Satz: Satz: Sei f eine f eine nicht-konstante, in dem Gebiet D C holomorphe Funktion, z0 m-fache w0 -Stelle von f . f . Dann gibt es offene Umgebungen U D von z0 und V von w0 , s.d.

⊆

( z0 ). Sei z0 eine ∈ D und w = f (z

⊆ ⊆

1. f f bildet U auf V V ab, d.h. f (U ( U )) = V 2. Zu jedem jedem w

∈ V \ \ {w0} gibt es genau m verschiedene w-Stellen von f in U \ {w0}, ist einfach. 3. Jede Jede dieser w-Stellen, w ∈ V \ Beweis: Wir finden ein r > 0 s.d. f (z ( z ) = w0 und f ′ (z ) = 0 z mit 0 < z z0 r, da die Nullstellen von f ′ und f w0 sich nicht in z in z 0 haufen. äufen. Wir definieren jetzt eine geschlossene glatte Kurve durch



− −

 ∀

| − | ≤

C

( z0 + r exp exp (i ϕ)) , ϕ ∈ [0, [0, 2π] C : ϕ → f (z Nach Definition der Zahl r Zahl r ist w ist w 0 ∈ / spur spur (C ). Allgemein gilt f ur u ein w ∈ / spur(C ) damit: ¨r ein w 1 dζ n (C , w ) = 2π i ζ − − w

    C

1 2π i

=

1 2π i

=

2π

0

f ′ (z0 + r exp exp (i ϕ)) r iexp(i ϕ) dϕ f (z ( z0 + r exp exp (i ϕ)) w

|z−z0 |=r 1 2π i

=

|z−z0 |=r Satz 21.1

=

−

f ′ (z ) dz d z f (z ( z ) w

− (f (z ( z ) − w)′ dz f (z ( z ) − w

Anzahl der w-Stellen w -Stellen von f von f in z

| − z0| < r

Ebenso liefert uns Satz 21.1 mit der Voraussetzung, dass n ( , w0 ) = m. m. Wir w¨ wahlen a¨hlen also ein r ein r ′ > 0 > 0 mit

C {w ∈ C | |w − w0| ≤ r′ } ∩ spur(C ) = ∅ Da die Umlaufzahl lokal konstant ist, gilt also f ur u solche w ∈ C mit |w − w0 | < r ′ , dass ¨r solche w n (C , w) = n (C , w0 ) = m

(22.1)

Wir definieren jetzt V := B := B r′ (w ( w0 ). Damit ist V V offen und wie eben gesehen gibt es zu jedem w w-Stellen von f . f . Weiter setzen wir

V genau m ∈ V

(z0 ) | f ( f (zz ) ∈ V } = f −1 (V ) V ) ∩ Br (z (z0 ) { ∈ Br (z

U := z

Da f Da f stetig stetig ist, ist U als U als Schnitt offener Mengen auch wieder offen und es gilt:



f (U ( U )) = f f −1 (V ) V )

∩

(22.1)

∩ ∩ f (B ( Br (z (z0 )) ⊆

f (B ( Br (z (z0 )) = V

= V

Die dritte Behauptung, dass jede dieser w dieser w -Stellen einfach ist, folgt direkt daraus, dass f dass f ′ (z ) = 0 z Denn g¨ gabe a¨be es eine w-Stelle z -Stelle z 1 U U der Ordnung m Ordnung m > 1, so m¨ musste u ¨sste

(z0 ).  ∀ ∈ Br (z

∈

0 = (f (z ( z )

− w )|

z =z1

= f ′ (z1 )

 ∀ z ∈ Br (z (z0 ) widerspricht.

gelten, was aber der Annahme f Annahme f ( (zz ) = 0

22.2 Satz (Satz von der Gebietstreue): Gebietstreue): Das Bild eines Gebiets D unter einer nicht-konstanten, holomorphen Funktion f ist f ist wieder ein Gebiet. Beweis: Das f (D ( D) = ist offensichtlich. In Satz 22.1, 3. Aussage, haben wir gesehen, dass f ( f (D D) offen ist. Nehmen wir jetzt an, dass f (D ( D) = U V f ur u ¨ r zwei offene Mengen U und V mit U V = . Seien U 1 , V 1 die Urbilder von U von U und V und V unter f unter f entsprechend. entsprechend. Dann w¨ ware = U 1 V 1 , und wegen der äre aber direkt U 1 V 1 = , D = U Stetigkeit von f ware sowohl U 1 als auch V 1 offen. Dies ware äre sowohl U äre also ein Widerspruch zur Gebietseigenschaft von D, womit f (D ( D) also ein Gebiet sein muss.

∅

∪ ∪

∩

∅

∩ ∩

∅ ∪


87

22.3 Satz: Satz: Ist f holomorph f holomorph in dem Gebiet D

:= f (z ( z0 ), so sind folgende Aussagen ¨ aquivalent: ⊆ C, z0 ∈ D, w0 := f

1. f ′ (z0 ) = 0



2. Es gibt offene Umgebungen Umgebungen U von z0 und V von w0 , s.d. f U bijektiv U bijektiv auf V V abbildet. Beweis: 1) 2)“ ” Da f Da f ′ (z0 ) = 0 ist

•

⇒



(f (z ( z )

− w0)′|

z=z0

=0

(22.2)



d.h. z0 ist eine einfache w0 -Stelle (m (m = 1). Damit gibt es nach Satz 22.1 Umgebungen U und V von z0 , w0 entsprechend, s.d. jedes w V ein V ein eindeutiges Urbild hat.

∈

•

⇒

2) 1)“ ” Wir zeigen 1) 2). Da so f ′ (z0 ) = 0 ist wegen (22.2) z0 eine mehrfache w0-Stelle (m (m > 1), womit es nach Satz 22.1 Umgebungen U Umgebungen U und V und V von z von z 0 und w und w 0 entsprechend gibt, s.d. es zu jedem Punkt w Punkt w V mehrere Urbilder gibt. Also kann es keine Umgebungen wie in der Behauptung geben.

¬ ⇒ ¬

∈

22.4 Satz: Satz: Sei f holomorph f holomorph und injektiv in dem Gebiet D

⊆ C. Dann gilt:

1. Die Umkehrfunktio Umkehrfunktion n f −1 ist holomorph in f (D ( D). 2. Ist B eine offene Kreischeibe, deren Abschluss in D liegt, so gilt f ur ¨ ¨ w

( B ): ∈ f (B

1 f −1 (w ) =

2π i



f ′ (z ) z dz f (z ( z ) w

∂B

−

∈ D, w0 = f (z ( z0 ), so lautet die Taylorentwicklung von f −1 um w0 : ∞ 1 dn−1 n z − z0 (w − w0 )n f −1 (w) = z 0 + n − 1 n! (dz f (z ( z ) − f (z ( z0 ) | (dz ) n=1

3. Ist z0







z=z0

Diese Reihe wird auch Lagrang’sche Lagrang’sche Reihe gennannt. Beweis: Wir zeigen zun¨ zun achst = f (z ( z ). Mit dieser Konvention ist die Funktion ächst die zweite Aussage. Sei stets w = f f ′ (ζ ) ζ f (ζ ( ζ ) w

− ·

(22.3)

holomorph holomorph in allen Punkten ζ Punkten ζ außer außer ζ ζ = z, z , dort hat sie eine isolierte Singularit¨ Singularit at. Residuensatz liefert also ät. Der Residuensatz f ur w u ( B ) , z B : ¨r w f (B

∈

∈

1 2π i



∂B

f ′ (ζ ) f ′ (ζ ) (R7) ζ dζ dζ = = Res ζ = ζ =z f (ζ f (ζ ( ζ ) w ( ζ ) w

−

−

 

f ′ (ζ ) ζ = z = f = f −1 (w) ′ f (ζ ) |ζ=z

Dies zeigt die zweite Aussage des Satzes. Wie bereits festgestellt, ist die Funktion (22.3) holomorph bis auf ζ = z und folglich ist das Integral aus der eben bewiesenen Darstellung holomorph f ur u ¨r w B ◦ . Damit folgt dann die Holom Holomorphi orphiee von f von f −1 in f in f ( (D D). Um die dritte Aussage zu zeigen, berechnen wir unter Verwendung von Satz 17.2 und der eben bewiesenen

∈

88


Darstellung f ur u ¨r f −1 : 1 dn f −1 (w0 ) n! (dw (dw)n

 −  − 

f ′ (z )

1 2π i

Satz 17.2

=

∂B

1 2π i

=

w0 )n+1

d z dz

1 1 dz d z n (f (z ( z ) w )n

1 2π i n

=

dz (f (z ( z ) w)n

−

∂B

1 1 Res n z =z0 (f (z ( z ) w0 )n 1 1 dn−1 z n − 1 n (n 1)! (dz f (z ( z ) (dz )

Residuensatz

=

−

(R8)

=

−

dn 1

−

1 n! (dz (dz )n−1

=



−

∂B

partielle Integration Integration

z dz

(f (z ( z )



z f (z ( z )



− z0 ( z0 ) − f (z

− z0 ( z0 ) − f (z



n



n

|

z =z0

|=0 z

z

Damit folgt die Behauptung aus dem Satz von Taylor. 22.2 Definition: Definition: Ist ρ eine reellwertige Funktion mit komplexem Argument aus dem Gebiet D C, so heißt z0 Maximimum bzw. lokales Minimum von ρ, falls es eine Umgebung U von z0 gibt, s.d.

⊆

ρ (z0 )

∈ D lokales

≥ ρ (z) bzw. ρ (z0) ≤ ρ (z) ∀ z ∈ U

22.5 Satz (Maximum (Maximumsprinz sprinzip): ip): Ist f f eine nicht-konstante, holomorphe Funktion in dem Gebiet D

⊆ C, so hat die reellwertige Funktion

( z )| |f (z kein lokales Maximum in D. Beweis: Sei z Sei z 0 D, w0 = f (z ( z0 ). Wir finden Umgebungen U Umgebungen U und V und V von z von z 0 , w0 entsprechend, s.d. f s.d. f die die Umgebung U Umgebung U auf V V abbildet. Wir betrachten nun den Strahl von 0 durch w0 in C. Auf diesem finden wir wegen der Offenheit von V V immer eine Zahl w1 V mit w1 > w0 . Zu diesem w1 konnen ( z1 ) = w 1 finden. önnen wir ein z1 U mit f (z D.h. aber f (z ( z1 ) > f (z ( z0 )

∈

∈

| | | | |

∈

| |

|

womit z womit z 0 kein lokales Maximum sein kann. Bemerkung 22.1: Das Maximumsprinzip folgt also direkt aus dem Satz u uber ¨ber die Gebietstreue holomorpher Funktionen. Bemerkung 22.2: Sei K D eine kompakte Teilmenge des Gebiets D die reellwertige Funktion

u ⊆ C . Dann nimmt f ur ¨ r jede in D holomorphe Funktion f |f (z ( z )| zwangsl¨ zwangsl aufig aüfig wegen der Stetigkeit ein Maximum in K in K .. Mit Satz 22.5 folgt also: Das Maximum von |f (z ( z )| in K

⊂ ⊂

liegt auf dem Rand von K von K !! Beispiel 22.2: Sei f Sei f ( (zz ) = z 2 +1z+1 . Behauptung:

2 > 0 ⇒ |f (z ( z )| ≤ √ ℜ (z) > 0 3 Beweis: √ Offenbar ist f ist f bis bis auf die Punkte 12 i 23 holomorph holomorph in ganz ganz C . Wir betrachten den (kompakten Halbkreis) mit Radius R und Mittelpunkt 0 C in (z ) 0. Wir suchen das Supremum von f auf f auf diesem Halbkreis. Nach der obigen Bemerkung m ussen u ¨ssen wir dieses auf dem Rand suchen. Nur auf der imagin aren ären Achse ist z < R, folglich m¨ mussen u ¨ ssen wir nur dort nach dem Supremum suchen.

− ± ∈ ℜ ≥

||


Dort gilt:

|f (i (i y)| = Dieser Ausdruck nimmt sein Maximum bei y = folgt damit:

89

1

 − (1

2

y2) + y2

u beliebiges R > 0 gezeigt wurde, ± √ 12 . Da diese Aussage f ur ¨ r ein beliebiges R

> 0 ⇒ |f (z ( z )| ≤ ℜ (z) > 0

1

 − (1

y 2 )2 + y 2

22.6 Satz: Satz: Ist f eine f eine nicht-konstante, holomorphe Funkion in dem Gebiet D Gebiet D Minimum in D. Beweis: Wir wenden das Maximumsprinzip auf die Funktion

1 f (z )

≤

1

 1 4

+

1 2

=

√ 23

⊆ C ohne Nullstelle, so hat | |f (z ( z )| kein lokales

an.

Folgerung 22.1 (Fundamentalsatz der Algebra): Auch hier folgt wieder ein sch ¨ oner Beweis f ¨ ur ¨ ¨ den Fundamentalsatz der Algebra: Ein nicht-konstantes Polynom besitzt mindestens eine Nullstelle in C Beweis: Sei P ein P ein nicht-konstantes Polynom. Wir nehmen an, dass P (z ( z ) = 0 mumsprinzip kein lokales Minimum in C , insbesondere auch keins in 0

P nach dem Mini  ∀ z ∈ C. Damit hat P ∈ C. Das bedeutet f ur u ¨ r jedes R > 0: |P (0) (0) | > inf |P (z ( z )| = P (z ( zR ) f ur u bestimmtes z R mit |zR | = R ¨ r ein bestimmtes z |z|=R

∞, d.h. f ur u ¨r R

Da P P nicht nicht konstant konstantes es Polynom Polynom ist, ist, gilt lim f (z ( z ) =

|z|→∞

offensichtlich unm¨ unmoglich öglich ist.

23



∞ ergibt sich damit P (0) (0) = ∞, was

Partial artialbru bruc chzerle hzerlegun gungen gen und der Satz Satz von Mittag Mittag-Le -Leffler ffler

23.1 Satz (Partialbruc (Partialbruchzerle hzerlegung gung f ur u ¨ r rationale Funktionen): Sei P (z ( z ) R (z ) = Q (z ) eine rationale Funktion, d.h. P und Q Polynome mit Q

≡ 0, welche die Pole

z1 ,...,zm besitzt. Sei weiter

pk

H k (z (z ) =

ak,n (z zk )n n=1



−

der Hauptteil der Laurententwicklung von R um zk , k = 1,...,m, ,...,m, so gibt es ein Polynom P 0 , s.d. m

R (z ) =



H k (z (z ) + P 0 (z (z )

k =1

Im Falle grad grad (Q) > gr > grad ad (P ) P ) gilt P 0

:= grad grad (P ) P ) − grad(Q grad(Q) ≥ 0, so ist grad grad (P 0 ) ≤ N . N . ≡ 0 und ist N :=

Beweis: Betrachten wir

m

f (z ( z ) := R := R (z )

 −

H k (z (z )

k=1

so muss es sich um eine ganze Funktion handeln, da sich alle Singularit aten a¨ten wegheben. wegheben. Im Falle grad (Q) > grad grad (P ) P ) gilt jetzt f (z ( z )

z



∞  0

90


≡ ≡

womit nach dem Satz von Liouville f 0 gelten muss. Ist jetzt das im Satz definierte N 0, so betrachten wir

≥ ≥



f (z ( z ) z N

 ≤

| | ≥ 1

c f ur u ¨r z

Nach der Cauchy-Koeffizientenabsch¨ Cauchy-Koeffizientenabschatzung ätzung sagt uns das N

f (z ( z ) =



bj z j

j =0

was einem Polynom vom Grad

N entspricht. ≤ N

Beispiel 23.1:

2.

A b B = z a−i + (z− + z+i + (z+i) 2 + c i)2 Direkt klar ist hierbei, dass c = 1 gilt.

23.1 23.1

z4

1

− z+i1 z −i



1 z 2 +1

=

− 2i



1.

(z 2 +1)2

Der Der Satz Satz vo von n Mitt Mittagag-Le Leffler ffler

Mogen o¨gen die Summen

∞

ak,n u ¨r k = 1,...,m n f ur ( z z ) k n=1



H k (z (z ) =

−

uberall u in z = z = z k konvergieren (Es handelt sich also dabei um Hauptteile von Laurententwicklungen). ¨ berall außer in z 23.2 Satz (Mittag-Leffler (Mittag-Leffler,, bewiesen 1876/1877): Sei z1 , z2 ,... eine ,... eine Folge paarweise verschiedener Punkte in C mit zk



k

F ur ,... sei jeweils ¨ ¨ k = 1, 2,... sei H k (z (z ) =



∞  ∞

∞

ak,n (z zk )n n=1



−

\{

}

gegeben und konvergiere f ur z = z k f ur k = 1, 2,.... ,.... Dann gibt es eine in C z1 , z2 ,... holomorphe Funktion H Funktion H ¨ ¨ z ¨ ¨ k s.d. H k jeweils der Hauptteil der Laurententwicklung von H um z = z k ist. Beweis: Ist z1 = 0, so betrachten wir die Folge z2 , z3 ,... und zeigen die Aussage hierf ur. u ¨ r. Sei H 0 die Funktion aus der Behauptung f ur u Folge z 2 , z3 ,.... ,.... Dann erf ullt u ¨r die Folge z ¨llt die Funktion H (z ( z ) := H := H 0 (z (z ) + H 1 (z (z ) die Aussage des Satzes f ur u ,.... ¨r die Folge z1 , z2 ,.... Sei also z also z k = 0 k N. Der Satz von Taylor liefert uns nun

 ∀ ∈

H k (z (z ) =

∞



ck,m z m f ur u ¨ r z < zk

| | | |

m=0

Wir geben uns nun eine Folge ε k > 0 mit

∞



εk <

k =1

∞



m=mk +1

∞ und ein m ein m k ∈ N0 vor, s.d.

|   

|ck,m

gilt. Jetzt definieren wir noch

zk 2

m

< εk

mk

T k (z (z ) :=

cm,k z m

m=0


91

und k¨ konnen önnen somit

| | ≤  

|H k (z (z ) − T k (z (z )| < εk

zk f ur u a¨tzen. ¨r z 2 abschatzen. Sei jetzt R jetzt R > 0 und k0 N s.d. k

u ≥ k0 ⇒ |zk | ≥ 2R. Fur ¨r |z | ≤ R betrachten wir jetzt

∈

∞



(H k (z (z )

k=k0

≤ |z2 | ∀ k ≥ k0 ist

Da R

k

∞



− T k (z (z ))

(23.1)

εk eine konvergente Majorante! Daher muss es sich bei der Reihe (23.1) also um

k =k0

| |

eine holomorphe Funktion in dem Gebiet z < R handeln! Jetzt definieren definieren wir analog analog H (z (z ) :=

∞



(H k (z (z )

k=1

− T k (z (z ))

und erhalten erhalten somit eine holomorphe holomorphe Funktion Funktion in z < R bis auf die Punkte z Punkte z = z k welche zk < R erf ullen. u ¨llen. Außerdem ist offenbar ∞ a ∞ k,n H (z ( z ) = bk,n (z (z zk )n n + ( z z ) k n=1 n=1

| |



| |



−

−

die Laurententwicklung von H von H um z um z k . Da f ur u beliebiges R > 0 die Funktion H wegen ¨r beliebiges R 

k

zk

∞  ∞

| |

immer nur endlich viele nicht holomorphe Stellen in z < R besitzt, ist die Aussage damit f ur u ¨r ganz C gezeigt. Bemerkung 23.1: Die T k ’s werden konvergenzerzeugende Summanden genannt. 23.3 Satz: Satz: Es gilt

∞

π2 1 = 2 sin (πz) πz ) n=−∞ (z n)2



−

Beweis: Offenbar hat die linke Funktion Pole zweiter Ordnung an z Z. Daher hat die Laurententwicklung um 0 die Form π2 a b = 2 + + a0 + a1 z + a2 z 2 + ... 2 z z sin (πz) πz )

∈

Da es sich um eine Gerade Funktion handelt (sin 2 ), ist direkt klar, dass b dass b = = a a 2n−1 = 0 n das Residuum an 0 durch 2  0 πz z   1 sin(πz sin(πz))

∀ ∈ N. Wir berechnen berechnen





und wissen daher a daher a = 1. Wegen sin (π (z n)) = ( 1)n sin(πz sin(πz)) konnen önnen wir dieses Argument auf die Laurententwicklungen um die anderen Pole ausdehnen:

−

⇒

−

π2 π2 = sin2 (πz) πz ) sin2 (π (z

− n))

=

1 (z

2

− n)

+ a0 + a2 (z (z

− n)2

| − n| < 1

f ur u ¨r 0 < z

Jetzt betrachten wir die Summe der Hauptteile aller Laurententwicklungen von f : f :

∞

1

 −  ≤       −   ≤ ≤

| | ≤ R und |n| > 2R 2 R, so k¨ konnen önnen wir

Ist jetzt z

 

|n|>2R

1 (z

− n)

2

z n

|n|>2R

1 abschatzen, ätzen, 2 absch¨

1 n2

n)2

n=−∞ (z

und erhalten somit

1

1

z n

2

|n|>2R

4 < n2

∞

(23.2)

92


Also haben wir eine Majorante und somit lokal gleichm¨ gleichmaßige Hinzuf ugen u äßige Konvergenz der Reihe (23.2). Durch Hinzuf ¨ ¨gen der fehlenden Glieder n < 2R 2 R geht lediglich die Holomorphie an n Z n 2R verloren. Nach dem Satz von Mittag-Leffler erhalten wir also

| |

{ ∈ | | | ≤ }

∞

π2 1 = + g (z ) sin2 (πz) πz ) n=−∞ (z n)2



−

mit einer ganzen Funktion g Funktion g . Wir haben also noch g noch g 0 zu zeigen! Zuerst folgern wir dazu aus der Substitution z Substitution z z + 1, dass

≡

→

g (z ) = g (z + 1)

≤ ℜ (z) ≤ 1 beschr¨ beschrankt änkt ist, so folgt aus dem Satz von Liouville, dass

Wenn wir nun zeigen k¨ k onnen, dass g in 0 önnen, dass g g konst. Wir betrachten dazu

≡

f ur u ¨r

π2 sin2 (πz) πz )

ℑ (z) ≥ 1:







π 2π = sin(πz sin(πz)) exp( π i z )(exp(2π )(exp(2π i z )

−

− 1)



z =x+i y

≤

y ≥1 2π 4π exp(πy exp(πy)) (1 exp( 2πy)) πy )) exp(πy exp(πy))

−

≤ −1. ≥ 2. Dann gilt: |z − n|2 = (x − n)2 + y2 = n2 1 − nx

Analog betrachtet man den Fall y Fall y Sei nun 0 x 1, z 1, z = x = x + i y und n und n

≤ ≤

 

2

−

+ y2

≥

Wir geben uns ein ε > 0 vor und erhalten aus der obigen Gleichung:

   ∞

⇒

1 2

−∞ (z − n)

n=

 

Die Differenz von

π2 sin2 (πz )

und

≡



2

n 2

∞

≤ ≤

2n0 4 +2 2 y n2 n=n

  

n 2 2

∞ 

0

+ y2

∞

0

< =

ε ε + 2 2 ε

∞ 1 wird also beliebig klein in 0 ≤ x ≤ 1, y ≥ 1. Damit ist nach Liouville (z −n)2 n=−∞



g

   z g 2

=

z + 1 2

=

1

+

∞

π2 2

sin

cos2

1

4

  −    −  πz 2

2

−∞ (z − 2n) ∞ 4

n=

π2

und addieren diese unter Ausnutzung von

πz 2

2

(2n − 1)) −∞ (z − (2n

n=

4

=

=

           − −     | | | | ≤ ⇒ ≤ ≤         | | 2

sin

 α 2

z g +g 2

cos2

α 2

2sin

4π 2 = sin2 (πz) πz )

z + 1 2

Jetzt setzen wir M wir M := sup g (z ) . Da z

|z|≤2



1

also g konst. Nun betrachten wir die g¨ gultigen u ¨ltigen Gleichungen

Damit erhalten wir:

y

+ y2

3 +2 y2 n=2

f ur u ¨r y >>0 und n 0 >>0

| |

≤

z 2

2

4g ( z )

=

≤

2,

α 2

cos

∞

z +1 2

4 sin (α)

4

n=−∞ (z

z +g 2 M + + M g

α 2

2

n)2

2

= 4g 4 g (z )

2, haben wir also f ur u ¨r z

z + 1 2

| | ≤ 2:


93

Das bilden des Supremums auf beiden Seiten liefert uns so 4M

≤ ≤ 2M

und damit M damit M = = 0. Da g Da g

≡ konst war, gilt also

g

≡ 0

Das zeigt wie bereits gesehen die Behauptung. Bemerkung 23.2: Der letzte Trick, welcher aus g

sogar g ≡ 0 folgert, wird Herglotz-Trick genannt. ≡ konst sogar g

Folgerung 23.1: Es gilt

∞ 1

π2 = n2 6 n=1



Beweis: Wir betrachten die Funktion


− z12

welche in einem geeigneten Gebiet um 0 holomorph ist. Jetzt betrachten wir π2 sin2 (πz) πz )

− z12

π2

=



πz

1 z2

=



3

− (πz6 )

+ ...

 −

− ... 1

2

1 z2

−  −     −       − 2

3

(πz) πz ) + ... 6

1

=:a

...

=:b

Binomische Formel

=

1 z2

1+

π2 3 z + ... 1 3

=(1 b)−2

π2

= und schießen daraus

−

+ ...

3


− z12

 0

z

 

π 2 3

Nach Satz 23.3 gilt damit also 2

∞ 1

∞

1

 

n=1

n2

=

n=−∞  =0 n=0

Damit folgt die Behauptung.

(z

  

− n)2 z=0

23.4 Satz: Satz: Es gilt 1 π cot(πz cot(πz)) = + z

·

=

∞

1

n=−∞ n=0  =0



z

n

+

1 n

z =0

cos(πz cos(πz)) π = =1 sin(πz sin(πz)) π

Daher sagt uns dann die Laurententwicklung der Funktion um z = 0, dass

·

π cot(πz cot(πz)) =

z =0

∈ Z. Wegen (R8) gilt

Res π cot(πz cot(πz)) = π Res z =0

−

1 z2

− 

Beweis: Offenbar hat die Funktion auf der linken Seite Pole bei z

·


1 + a1 z + a3 z 3 + ... z

=

π2 3

1



94

24 Der Weierstraß’sche Produktsatz

∈

Die Terme a2k , k N0 fallen dabei wieder weg, da cot eine ungerade Funktion ist. Wegen cot (z + π ) = cot cot (z ) konnen um z = n = n ablesen: önnen wir direkt die Laurententwicklungen der Funktion um z 1

·

π cot(πz cot(πz)) = Jetzt nutzen wir

1 z

−n

−n

z

+

+ a1 (z (z

3 − n) + a3 (z (z − n) + ...

1 z = = 2 n (z n) n n

z

 −  −  −  z n

1

aus und k¨ konnen önnen so die Konvergenz genau wie in Satz 23.3 folgern. Wir erhalten so ∞ 1 1 1 π cot(πz cot(πz)) = + + z n=−∞ z n n

·

+ g (z )

n=0  =0

und m¨ mussen u dass g ¨ ssen nur noch zeigen, dass g

≡ 0. Dazu differenzieren wir die Gleichung (23.3) und erhalten so

−

π2 = sin2 (πz) πz )

− z12 −

1



 (z − n)

2

+ g ′ (z )

n=0 =0

Nach Satz 23.3 sagt uns das g das g ′

≡ 0, also g also g ≡ konst. Jetzt betrachten wir noch

  −  ∈   −  

·

1 z

π cot(πz cot(πz))

was wegen der Laurententwicklung (a ( a2k = 0, k

dass g dass g

24

≡ 0.

z =0

N0 ) gilt, und erhalten wegen

∞

n=−∞  =0 n=0

=0

1

z

n

+

1 n

=0

z =0

Der Weierst eierstraß raß’sc ’sche he Produkts Produktsatz atz

24.1 Definition: Definition: Sei 0 = a n C

 ∈ ∀ n ∈ N gegeben. Falls N

lim

N



→∞ n=1 →∞

so sagt man, dass das Produkt

∞



n=1

Beispiel 24.1:

an = a = a

an konvergiert.

1. Es gilt gilt

∞

 −  1

n=2

wegen N

 −  1

n=2

1 n2

N

∞

  − 

n=1

3.

∞

n=2

1 n ist

1

divergent.

1 n

ist ebenfalls divergent.



1 n2

=

1 2

1 3 2 4 (N ... 2 2 3 3

+ 1) · · · · · − − 1) · (N + · · · N N ·

= =

2.

∈ C \ { 0}

∞ 

1 2 1 2

  N + + 1 N

(23.3)


95

24.1 Lemma: Lemma: Eine notwendige Bedingung f ur ¨ ¨ Konvergenz ist

Beweis: Offenbar gilt

n

 

k =1 n 1

an = −



n

an

ak

∞  1

∞  a = 1



n

a

ak

k =1

Dies zeigt die Aussage.

24.1 Hilfssatz: Hilfssatz: Wir betrachten den Hauptzweig des Logarithmus. Ist z

| | | ≤ 12 , so gilt |log log (1 − z )| ≤ 2|z |

Ist weiter N

∈ ∈ N≥2, so gilt

 

N 1

log log (1

− z) +

− zn



n

n=1

Beweis: Der Satz von Taylor liefert uns f ur u ¨ r jedes z < 1:

 ≤| |

N

z

| |

log log (1

− z) =

∞ zn

 −

n

n=1

| | ≤ 12 :

Insbesondere gilt also f ur u ¨r z

∞

| | ≤    ≤ ||

log (1 − z )| |log

z

n

n=1

∞

z

n

1 2

n=0

|| ∈ N≥2: Analog folgt durch Einsetzen der Taylorentwicklung f ur N u ¨r N ∈ = 2z

 

N 1

log log (1

− z) +

− zn



n=1

n

 

=

  −

    || ∞ zn

n=N

≤

1 z N

n

∞

N

n=0

1 2

n

≤ 21 |z|N · 2 = |z |N 24.2 Lemma (Hinreich (Hinreichende ende Bedingung f ur u ¨r Produktkonvergenz): Sei 0 = a n C N. Dann gilt

 ∈ ∀ ∈

∞

| −

n=1

1

an <

| ∞ ⇒

∞



an konvergiert

n=1

Außerdem ist dann die Reihenfolge beliebig vertauschbar, ohne dass sich der Wert oder die Konvergenz andert. ¨ Beweis: ∞ Da die Reihe 1

| −

n=1

|

an absolut konvergiert, kann sie beliebig umgeordnet werden. Daher folgt die Beliebigkeit

der Reihenfolge direkt.

96


≥ n0 ⇒ |1 − an| ≤ 12 . Das ist wegen der Konvergenz der Reihe m¨ m oglich. öglich.

∈

Jetzt w¨ wahlen ählen wir ein n0 N s.d. n Nach dem Hilfssatz haben wir dann

|log(a log(an )| = |log log (1 − (1 − an ))| ≤ 2 |1 − an | ∀ n ≥ n0 Jetzt gilt f ur u u jedes N ∈ ∈ N: ¨ r das Produkt f ur ¨ r jedes N N



N



=

an

n=1

exp exp (log( (log(a an ))

n=1





N

= exp

log(a log(an )

n=1

und daher k¨ konnen absch atzen: önnen wir wie folgt absch¨ ätzen:

   ∞

n0 1

an

n=1

Damit folgt die Konvergenz.

    ≤ −

exp

∞



log log (an ) +

n=n0

n=0

| − an

2 1

 | 

Sei nun p nun p (z ) = az m (z z1 ) ... (z zn ) f ur a, u ¨r a, z1 ,...,zn C ein Polynom. Nach dem bewiesenen Hauptsatz der Algebra konnen önnen wir jedes Polynom so darstellen. Dann erhalten wir quasi

− · · −

∈

P (z ( z ) = bz mit einer Hoffnung auf Konvergenz, da z da zn Funktion nicht im Endlichen!). 24.1 Satz: Satz: Sei z1 , z2 ,... eine ,... eine Folge in C



 − · · − 

m

z z1

1

...

z zn

1

∞ (Nach Satz 15.1 Haufen äufen sich die Nullstellen einer holomorphen

\ {0} mit



n

zn

∞  ∞

Dann gibt es eine Folge k1 , k2 ,... in N0 s.d. das Weierstraßprodukt ( z ) := W (z

  −      ∞

1

n=1

∋

kn

z zn

exp

k=0

1 k

z zn

k

f ur z C konvergiert und eine holomorphe Funktion mit Nullstellen genau an z an z 1 , z2 ,... darstellt, ,... darstellt, wobei die ¨ ¨ jedes z Nullstellenordnung an zn gleich der Anzahl der j N mit zj = z n ist.

∈

Beweis: Wir w¨ wahlen k ählen k n

u ∈ N0, s.d. f ur ¨ r jedes R > 0 gilt:

∞

 | | R zn

n=1

kn +1

<

∞

(24.1)

(d.h. dass diese Reihe konvergiert, z.B. k n = n Dann gilt f ur u beliebiges R > 0, 0, z R und n 0 ¨r beliebiges R

u − 1 erf ullt ¨ llt dies stets). ∈ N s.d. |zn | ≥ 2R ∀ n ≥ n0, dass R 1 ≤ |zn | 2 ∀ n ≥ n0

| |≤

Nach Nac h dem Hilfssatz Hilfssatz haben wir unter unter diesen diesen Bedingunge Bedingungen n folglich folglich

      −   −      log 1

z zn

kn

+

k=1

und damit dann insgesamt die Abschatzung ätzung N

1

n=n0

z zn

kn

exp

k=1

1 k

z zn

k

1 k

  ≤   ≤    | |          −     ≤ | | z zk

=

k

z zn

kn +1

R zn

N

exp

log 1

n=n0 N

exp

n=n0

welche wegen der Wahl der k n in (24.1) die Behauptung zeigt.

R zn

z z0

kn +1

kn +1

kn

+

k =1

1 k

z zn

k


97

24.2 Satz: Satz: Eine ganze Funktion f f ohne Nullstellen l ¨ asst ¨ sich darstellen als f (z ( z ) = exp exp (g (z )) mit einer ganzen Funktion g. Beweis: Da f Da f ganz ganz und ohne Nullstellen ist, ist die logarithmische Ableitung f ′ f auch ganz. Daher definieren wir durch z



g (z ) :=

0

f ′ (ζ ) dζ + + log log (f (0)) (0)) f (ζ ( ζ )

eine ganze Funktion. Nun gilt:

 g(z )) Der ist also exp( f (z )

exp(g exp(g (z )) f (z ( z )



′ exp(g exp(g (z )) =

f (z ( z )



f ′ (z ) g ′ (z ) − f (z ( z )

≡

0

≡ konst. Da aber gleichzeitig exp(g exp(g (0)) (0)) = exp(log (f (0))) (0))) = f = f (0) (0)

folgt direkt die Behauptung Behauptung.. 24.3 Satz (Weierst (Weierstraß’sc raß’scher her Produktsatz): Produktsatz): Sei f 0 eine ganze Funktion unktion und seien z1 , z2 ,... die von 0 verschie verschiedenen denen Nullstellen von f , f , jeweils mit Vielfachheit aufgef uhrt. Ist m die Nullstellenordnung von f in z = 0, so gibt es eine Folge k1 , k2 ,... in N0 und ¨ ¨ eine ganze Funktion g , s.d.

≡

f (z ( z ) = z m exp(g exp(g (z ))

·

       · − · ∞

z zn

1

n=1

kn

exp

k=1

1 k

z zn

k

gilt. Beweis: Wir wahlen Folge k 1 , k2 ,... in ,... in N 0 so, dass das Weierstraßprodukt W ( W (zz) zu den Nullstellen z Nullstellen z 1 , z2 ,... konver,... konverählen die Folge k giert. Jetzt betrachtet man f (z ( z ) z m W (z ( z )

·

Nach Definition ist das eine ganze Funktion ohne Nullstellen, und damit gibt es laut Satz 24.2 eine ganze Funktion g Funktion g mit ( z ) f (z = exp exp (g (z )) m z W (z ( z )

·

Damit folgt die Behauptung. 24.4 Satz: Satz: Es gilt sin(πz sin(πz)) = πz π z

∞

1

n=−∞ n=0  =0

Beweis: Offenbar ist

∞

  −     −  ∞

z z exp = πz π z 1 n n n=1

 | |

n=−∞  =0 n=0

R n

1+1

<

∞ ∀ R > 0

z2 n2

98


∀ ∈

Daher k¨ konnen N wahlen önnen wir kn = 1 n ählen und das Weierstraßprodukt zu den Nullstellen z Funktion unktion sin (πz) πz ) konvergiert. Damit haben wir nach Satz 24.3

∈ Z \ {0} der

·

sin(πz sin(πz)) = exp exp (g (z )) ... mit einer ganzen Funktion g Funktion g . Betrachten wir jetzt die logarithmische Ableitung, so liefert uns das

∞ 1 cot(πz)) = g ′ (z ) + + π cot(πz

  −−   −     z

1 n

1

n=−∞  =0 n=0

∞ 1 ′ = g (z ) + + z

1

z

n=−∞  =0 n=0

+

1 n

+

1 n

z n

n

laut Satz 23.4 = π cot( πz )

≡ konst. Auswertung beider Terme an z = 0 liefert uns nun g nun g ≡ 0 bzw. bzw. exp (g ) ≡ 1 und

und damit wissen wir g wir g damit die Behauptung. Behauptung.

25

Die Die Gamm Gammaf afun unkt ktio ion n

Dieser Abschnitt ist [WEZ], Kapitel 4 sehr ¨ sehr ähnlich. ahnlich.

Wir kennen bereits die Gammafunktion

∞

Γ (z ) =



tz−1 exp( t) dt

−

0

welche laut Beispiel 17.5 und Definition 17.9 f ur u ¨r

∞

 

Γ (z ) =

u ℜ (z) > 0 > 0 holomorph ist. Fur ¨ r sie konnen önnen wir

tz−1 exp( t) dt

−

0

1

=

t − exp(−t) dt +

0

∞

 −   

z 1

tz −1 exp( t) dt

1

ganz

schreiben. Folgendes Lemma liefert eine alternative Darstellung f ¨ f ur u ¨ r das erste Integral: 25.1 Lemma: Lemma: Es gilt 1

 0

z 1

t − exp(−t) dt =

∞ ( 1)n 1

−

n=0

n!

z + n

(25.1)

∈ C \ {0, −1, −2,...}.

f ur ¨ ¨ z

Beweis: Allgemein gilt f ur u jedes z ¨ r jedes z

∈ C: tz−1 exp( t) = t z−1

−

∞ ( t)n

n=0

∈

∞ ( 1)n

− − n!

=

n=0

n!

tz+n−1

∈

C gleichm¨ Diese Reihe konvergiert f ur u gleichmaßig bezuglich u [0, [0, 1]. Insbesondere darf daher die ¨ r jedes feste z äßig bez¨ ¨glich t Integration gleichmaßig äßig mit der Summenbildung vertauscht werden (vergleiche zum Beispiel [FOA], 21, Satz

§


99

4) und daher gilt f ur u jedes z ¨ r jedes z

∈ C \ {0, −1, −2,...}: 1

 0

1

∞ ( 1)n

 −  −  −

z 1

t − exp(−t) dt =

n=0

n!

∞ ( 1)n

=

n=0

n!

∞ ( 1)n

=

n=0

n!

tz+n−1 dt

0

1 z+n t z + n

t=1 t=0

1 z + n

Das zeigt die Behauptung.

\{ − −

}

{ − −

}

Damit k¨ konnen önnen wir Γ holomorph auf C 0, 1, 2,... mit einfachen Polen an den Stellen 0, 1, 2,... fortsetzen. Aus der Reihendarstellung (25.1) folgt direkt, dass Res Γ (z ) =

z= n

−

( 1)n n!

−

gilt. 25.1 Hilfssatz Hilfssatz (Euler-McLa (Euler-McLaurin’sc urin’sche he Summenforme Summenformel): l): Sei f eine f eine stetig differenzierbare, komplexwertige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] Dann gilt: b



f (n ( n) =

n∈N a
⊂ R. 10

b



f (x ( x) dx + (a (a

a

− ⌊a⌋) f (a ( a) − (b − ⌊b⌋) f (b ( b) +



(x

a

− ⌊x⌋) f ′ (x) dx

Beweis: Sei a Ist x Ist x / Z, so gilt

∈

Daher ist dann

d (x ( x dx

≤ n < α < β < n + 1 < 1 < b

− ⌊x⌋) f (x ( x) = f (x ( x) + (x ( x − ⌊x⌋) f ′ (x)

(25.2)

β



(f (x ( x) + (x (x

α

− ⌊x⌋)) f ′ (x) dx = (β − n) f (β (β ) − (α − n) f (α ( α)

Insbesondere Insbesondere ist also β

n+1

 α

(f (x ( x) + (x ( x − ⌊x⌋)) f ′ (x) dx =

n+1

 α

 

(f (x ( x) + (x ( x − ⌊x⌋)) f ′ (x) dx +

(f (x ( x) + (x (x

− ⌊x⌋)) f ′ (x) dx

β

n+1

= (β

− n) f (β ( β ) − (α − n) f (α ( α) +

(f (x ( x) + (x (x

− ⌊x⌋)) f ′ (x) dx

β

Da die Funktion (f (f (x ( x) + (x (x

auf β ≤ beschrankt mit β ր − ⌊x⌋)) f ′ (x) dx auf β ≤ x ≤ n + 1 beschr ր n + 1: änkt ist folgt so mit β

n+1



(f (x ( x) + (x (x

α

Ganz analog l¨ lasst ässt man nun α

= f (n ( n + 1) − (α − n) f (α ( α) − ⌊x⌋)) f ′ (x) dx = f

(25.3)

ց n gehen und erh¨ erhalt ält so n+1

 n

10

(f (x ( x) + (x (x

− ⌊x⌋)) f ′ (x) dx = f = f (n ( n + 1)

Mit stetig differenzierbar“ auf einem abgeschlossenen Intervall ist gemeint, dass es ein offenes Intervall I mit [a, b] ⊂ I ⊂ ” gibt, in welchem f stetig differenzierbar ist.

R

100


Durch Zerlegung des Integrals in ganzzahlige Teilintervalle sieht man so

⌊a⌋+1

b

 a

(f (x ( x) + (x ( x − ⌊x⌋)) f ′ (x) dx

   

=

(f (x ( x) + (x (x

a

n+1

⌊b⌋−1

+

− ⌊x⌋)) f ′ (x) dx

(f (x ( x) + (x (x

n= a +1 n

⌊⌋

− ⌊x⌋)) f ′ (x) dx

b

+

(f (x ( x) + (x (x

− ⌊x⌋)) f ′ (x) dx

⌊b⌋ Analog zu (1.3)

⌊⌋

=

f ( ( a + 1)

⌊b⌋−1

 

+

− (a − ⌊a⌋) f (a ( a)

f (n ( n + 1) + (b (b

n= a +1

⌊⌋

⌊b⌋−1

=

f (n ( n + 1)

− ⌊b⌋) f (b ( b) − 0

( a) + (b ( b − ⌊b⌋) f (b ( b) − (a − ⌊a⌋) f (a

n= a

⌊⌋

Diese Gleichung zeigt genau die Behauptung. Gibt Gibt es keine keine α,β,n wie oben geford gefordert ert,, so kann man die Berec Berechn hnung ungen en analog analog nachv nachvoll ollzie ziehen hen.. Der Fall [a, b] Z = ist trivial, da (25.2) dann stets gilt. Gibt es genau eine ganze Zahl n [a, b] so kann man ganz analog zu obiger Rechnung verfahren, nur das die Summe in der letzten Gleichungskette leer bleibt.

∩

∅

∈

25.1 Satz (Funktionalgleichung): (Funktionalgleichung): Es gilt

·

Γ (z + 1) = z = z Γ (z ) > 0.. ℜ ℜ (z) > 0

f ur ¨ ¨

Beweis: Wegen

d (x ( xz exp( x)) = zx z xz−1 exp( x) dx

− − xz exp(−x)

−

folgt direkt b

xz exp( x)

−

Lassen wir dort nun a nun a

 0

und b und b

b

  b = z a

xz−1 exp( x) dx

−

a



 −

xz exp( x) dx

a

−

> 0 gehen, so folgt direkt ∞ in der Halbebene ℜ (z) > 0 0 = zΓ z Γ (z ) − Γ (z + 1)

was der Behauptung entspricht. Folgerung 25.1: Es gilt Γ (n + 1) = n = n!! Beweis: Obiger Satz sagt uns

·

· ·

Γ (z + n) = z (z + 1) ... (z + n Außerdem gilt

∞

Γ(1) =



−

exp( t) dt = 1

0

Das zeigt die Behauptung.

− 1) · Γ (z)


101

25.1 Definition Definition (allgemeine (allgemeine Fakult Fakultat): at): ¨ Wir definieren die allgemeine Fakult ¨ durch at ¨ durch Π (z ) := := Γ (z + 1) Bemerkung 25.1: Insbesondere hat die allgemeine Fakult¨ Fakult at Eigenschaft Π (n) = n!. n!. ät also die Eigenschaft Wir haben mit (25.1R) schon die folgende Darstellung der Gammafunktion gesehen: Folgerung 25.2 (Darstellung nach Prym): Es gilt Γ (z ) =

n=0

in C

∞

∞ ( 1)n 1

−

n!

z + n

+



tz−1 exp( t) dt

−

1

\ {0, −1, −2,...}. ∈

∈

Im Weiteren sei stets s C mit s = σ = σ +it +it f ur σ u ¨r σ , t R. Wir werden s werden s dann stets als das Argument der Gamma-Funktion benutzen. Wir wollen nun einige n¨ nutzliche u zun achst ¨tzliche Gleichungen der Gamma-Funktion beweisen. Dazu brauchen wir aber zun¨ ächst die folgende Wachstumsabsch¨ Wachstumsabschatzung: ätzung: 25.2 Satz: Satz: Sei σ1 < σ 2 . Dann gilt

O (1)

Γ (s) =

≤ σ ≤ σ2 und | |t| ≥ 1. Die selbe Aussage gilt auch f ur ¨ ¨ 0 < σ 1 ≤ σ ≤ σ 2 und t ∈ R.

f ur ¨ ¨ σ 1

Beweis: Sei σ Sei σ 1 > 0. > 0. Dann gilt:

∞

 |≤

|Γ (s)

xσ−1 exp( x) dx = Γ (σ )

−

0

≤ σ ≤sup σ ≤σ 1

Γ (σ ) < 2

∞

Das zeigt den zweiten Fall.

≤ 0. Dann w¨ wahlen s.d. σ 1 +n +n > 0 gilt. Nat¨ Naturlich u ählen wir ein n ∈ N s.d. σ ¨ rlich ist dann 0 < σ 1 +n +n ≤ σ +n ≤ σ 2 +n +n

Sei σ Sei σ 1

Betrachten wir jetzt Γ (s) =

Γ (s + n) s (s + 1) ... (s + n

·

· ·

− 1)

so konnen önnen wir den ersten Teil auf den Zahler ähler anwenden. Da in diesem Fall t wir den Nenner absch¨ abschatzen: ätzen:

| | ≥ 1 vorausgesetzt wurde, konnen önnen

|Γ (s)| ≤ |s| · |(s + 1)|Γ|(·s...+· n|()s| + n − 1)| ≤ |tC |n ≤ C Damit ist auch hier die Behauptung gezeigt. Jetzt sind wir bereit, die Erg anzungsformel zu anzungsformel zu zeigen: ¨ 25.3 Satz Satz (Erg¨ anzungsformel): anzungsformel): Es gilt Γ (s) Γ (1

·

f ur ¨ ¨ alle s

∈ C.

π − s) = sin(πs sin(πs))

102


Beweis: Die Funktion

π − s) − sin(πs sin(πs))

f (s ( s) := := Γ (s) Γ ( 1

\

ist holomorph in C Z. Außerdem gilt

−

f (s ( s + 1)

= sγ ( sγ (s) Γ ( s) +

Damit haben wir die Gleichung f ur n u ¨r n

π sin(πs sin(πs))

=

π −Γ (s) (−s) Γ (−s) + sin(πs sin(πs))

=

 −

=

−f (s ( s)

Γ (s) Γ ( 1

− s) −

π sin(πs sin(πs))



f (s ( s + n) = ( 1)n f (s ( s)

−

(25.4)

∈ Z. Betrachten wir nun die offensichtlich geltende Gleichung πs Γ (1 + s) Γ ( 1 − s) − sin( πs) f (s ( s) =

s

Setzen wir dort s dort s = 1, so haben wir im Zahler a¨hler Γ(1)2

πs = 0 − sin(πs sin(πs)) s=0



und daher handelt es sich um eine hebbare Polstelle. Zusammen mit Gleichung (25.4) sagt uns das, dass f f eine ganze Funktion ist. Wir haben außerdem die Absch¨ Abschatzung ätzung

|sin(πs sin(πs))|

 

= =

1 (exp (exp (iπs (iπs)) 2i

− exp(

−

|a−b|≥|a|−|b|

|

exp( 2πt)) πt ))

 −  −  ≥ 12

f ur t u ¨r t

f ur u ¨r t 1

≥

1 exp exp (πt) πt ) 4

≥ Ganz analog gilt nat¨ naturlich u ¨rlich

1)

− | | − exp(2π exp(2π is)|

1 exp exp (πt) πt ) (1 2

≥

iπs)) πs))

exp( iπs) πs) (exp (exp (2π (2πis) 2i

1 exp( iπs) πs) 1 2

=

 −   − 

1 |sin(πs sin(πs))| ≥ exp(πt exp(πt)) 4

≤ −1. | | ≥

∈

Nach Satz 25.2 k¨ konnen 1 und σ und σ [0, [0, 1] önnen wir die Γ-Funktion ebenfalls durch eine Konstante in dem Bereich t absch¨ abschatzen. a¨tzen. Nach obigen Rechnungen muss also auch f in f in dem Bereich t 1 und σ [0, [0 , 1] beschr¨ beschrankt a¨nkt sein. Weiter ist f in f in der kompakten Menge σ [0, [0 , 1] , t [ 1, 1] holomorph, also stetig, also beschr ankt änkt und daher folgt f (s ( s) = (1)

∈

| | ≥

∈ −

O

∈

in ganz 0 σ 1. Wegen Gleichung (25.4) folgt damit aber die Beschr¨ Beschr anktheit änktheit in ganz C und nach dem Satz von Liouville ist F F konstant, also f also f c C. Wendet man darauf wieder Gleichung (25.4) an, so sieht man

≤ ≤

≡ ≡ ∈

c = f = f (s ( s + 1) =

−f (s ( s) = −c

und daher gilt c gilt c = 0, was die Behauptung zeigt. Folgerung 25.3: Es gilt Γ

 1 2

=

√ π


103

Beweis: Wir betrachten die Erg¨ Erganzungsformel u = 12 . Dann folgt änzungsformel f ur s ¨r s =

     2

1 2

Γ

=

π = π sin π2

Da Γ (σ ) > 0 > 0 f ur u ¨r σ > 0, folgt die Behauptung. Folgerung 25.4: Die Funktion Γ hat keine Nullstellen. Beweis: Das folgt direkt daraus, dass

π =0 sin(πs sin(πs)) Erg anzungsformel a¨nzungsformel auch C. Also ist nach der Erg¨



f ur u jedes s ¨ r jedes s

∈

Γ (s) Γ ( 1

− s) = 0 ∀ s ∈ C

und daher daher Γ (s) = 0 s

 ∀ ∈ C.

Folgerung 25.5: Die Funktion

1 Γ (s) ist ganz und hat einfache Nullstellen an den Punkten s = 0, 1, 2,.... ,....

− −

25.4 Satz (Eindeutigkeitssa (Eindeutigkeitssatz tz von Wielandt (1939)): Sei f f eine in σ > 0 holomorphe Funktion mit den Eigenschaften : 1. f (1) (1) = 1 2. f (s ( s + 1) = s = s f (s ( s)

·

3. f (s ( s) =

O (1) in 1 ≤ σ ≤ 2

Dann gilt f (s ( s) = Γ (s) Beweis: Die Voraussetzungen 1. und 2. implizieren wie bei Γ selbst durch ( s) = f (s eine Fortsetzung in C

f (s ( s + n + 1) f ur u ¨r σ > s (s + 1) ... (s + n)

·

· ·

\ {0, −1, −2,...} mit einfachen Polen und (−1)n Res f (s ( s) = n!

s= n

−

f ur n u ¨r n

−n − 1

∈ N0. Dann ist die Funktion

zun¨ zunachst a¨chst holomorph in C

g (s) := f := f (s ( s)

\ {0, −1, −2,...} und wegen

− Γ (s)

Res f (s ( s) = Res Γ (s)

s= n

−

s= n

−

(und weil es sich bei beiden um einfache Pole handelt), muss g eine ganze Funktion sein. Ganz zwangsl¨ zwangsl aufig äufig erf ullt u auch g die Funktionalgleichung 2.. ¨llt dann auch g Sei jetzt h (s) := g := g (s) g (1 s) Dann ist h ist h ebenfalls eine ganze Funktion und es gilt h (s + 1)

·

−

− − (g (s) (−s) g (−s)) −g (s) g (1 − s) h (−s)

= sg (s) g ( s) = = =

104


Also erf ullt h u ¨llt h die Gleichung

h (s + n) = ( 1)n h (s) f ur n u ¨r n

−

∈Z

(25.5)

Aus der Voraussetzung 3. folgern wir jetzt wie bei Γ in Satz 25.2 mit der Formel f (s ( s + n) s (s + 1) ... (s + n

( s) · · · − 1) = f (s dass sogar f sogar f (s ( s) = O (1) f ur u beliebige σ 1 ≤ σ ≤ σ 2 und |t| ≥ 1 sowie f ur u und t ∈ R. Also erf ullt u ¨r beliebige σ ¨r 0 < σ 1 ≤ σ ≤ σ 2 und t ¨llt auch g diese Eigenschaft. Allgemein gilt aber

ℜ (s) ∈ [1, [1, 2] ⇒ ℜ (1 − s) ∈ [−1, 0] und daher muss wegen der Holomorphie wie oben schon (stetig auf Kompaktum, also beschr¨ beschr ankt) änkt) auch h (s) =

O (1)

f ur u von h in in der ganzen Ebene und ¨r 1 σ 2 gelten. Mit Gleichung (25.5) folgt daraus aber die Beschr anktheit änktheit von h nach Liouville ist h ist h (s) c C. Mit Gleichung (25.5) folgt aber wieder

≤ ≤

≡ ∈

c = h = h (1) =

−h (0) = −c

und daher c daher c = 0, also ist h (s) = g (s) g (1

− s) ≡ 0

Nach dem Identit¨ Identitatssatz aber g = 0 gelten, also ist die Behauptung gezeigt. ätssatz muss daher aber g Legendre zeigen: Jetzt k¨ konnen o¨nnen wir auch die sogenannte sogenannte Verdopplungsformel von Legendre zeigen: 25.5 Satz (Verdoppelun (Verdoppelungsforme gsformell von Legendre): Es gilt 22s−1 1 Γ (2s (2s) = Γ (s) Γ s + 2 π

 

√

f ur ¨ ¨ alle s

∈ C.

Beweis: Offensichtlich ist die Funktion

    √   √

2s−1 s f (s ( s) := Γ Γ π 2

s+1 2

holomorph in σ in σ > 0. Man berechnet außerdem leicht f ( f (1)

=

20 Γ π

=

√ 1π √ π

1 2

Γ(1)

= 1 Außerdem erf ullt f u die Funktionalgleichung: ¨llt f die f (s ( s + 1)

2s Γ π

√

=

s

=

≤ σ ≤ 2. Dann ist aber

s+1 2

2 s+1 √ Γ 2 π s · f (s ( s)

=

Sei nun 1

      s +1 2

Γ

s s Γ 2 2

1 σ σ +1 3 1 und 1 2 2 2 2 und daher folgt direkt aus den schon gezeigten Eigenschaften der Γ-Funktion (vergleiche Satz 25.2), dass

≤ ≤

≤

f (s ( s) =

≤

O (1)

in diesem Bereich. Mit Satz 25.4 gilt dann aber f (s ( s) = Γ (s) und das Ersetzen von s von s durch 2s 2s in dieser Gleichung liefert genau die Behauptung.


105

Eine Verallgemeinerung der Verdopplungsformel stellt die sogenannte Multiplikationsformel Multiplikationsformel dar: dar: 25.6 Satz (Multiplikationsf (Multiplikationsformel ormel von Gauß und Legendre): Legendre): Sei m N. Dann gilt

∈

·

√ m

Γ (m s) = f ur ¨ ¨ alle s

(2π (2π )

 · · 

− Γ (s) · Γ s + 1 −1 m ms 1

m

m

2

−

m 1 ... Γ s + m



∈ C.

Beweis: Setze

√ m

 · · 

s s−1 f (s ( s) := Γ m−1 m m (2π (2π ) 2

... Γ

s+m m

−1



Wie oben zeigen wir nun 1. f (1) (1) = 1 2. f (s ( s + 1) = sf = sf (s ( s) 3. f (s ( s) =

O (1) f ur u ¨r 1 ≤ σ ≤ 2

1. Sei

 ·  · ·     − · − · · − 1 m

A := Γ Wir k¨ konnen önnen A umschreiben zu

2 m

Γ

1 m

A = Γ (1) (1) Γ 1

... Γ(1)

... Γ 1

m

1

m

und dann auf A A 2 die oben schon bewiesene Erg¨ Erg anzungsformel änzungsformel anwenden: 2

A

   ·   · ·  ·  ·  −  · ·  − −   ·  − · ·  − ·  − −    ·   · ·  

=

Γ

=

1 m π

Γ

Erg¨ Erganzungsformel anzungsformel ¨

=

1 m

sin

π m

2 m

Γ

... Γ(1)

1 m

Γ 1

π

sin

m 1 m π

... Γ

...

2π m

1 m

Γ(1) Γ 1

... Γ 1

m

Γ 1

m 1 m

1

m

(m 1)π m

−

sin

Umstellen dieser Gleichung liefert uns

m 1

π m−1 A2

−

=

      − −      −   − − − − − − −      −  − −  −      −  − −    −       − · − sin

k =1

kπ m

m 1

− exp i π k m

=

k =1

( i)m−1 exp 2m−1

= ( i)m−1 =exp(

−

=

− i2 ( m−1)) π

=

− exp

2m 1

− exp

iπ (m

exp( π i (m 2m−1

1))

2m 1

π i (1 + 2 + ... + m m

iπ (m 2

1

=

=

1

m 1

− ( 1)

i π k m

exp 2i

iπ i π m (m m 2

1)

1)

1 2

m 1

−

exp

k=1

1

2m−1

m 1

−

k =1

exp

1 2

m 1

1)

exp

2 π ik m

1

exp

2π ik m

1

2 π ik m

1

k =1

1)

m 1

−

k=1

m 1

−

exp

k =1

2 π ik m

2 π ik m

−

1

1

106


Allgemein ist aber z

m

− 1 = (z − 1)

· −   · ·  −  z

2π i m

exp

...

z

exp

2π i ( m m

− 1)



und daher gilt auch zm 1 z m−1 + z m−2 + ... + 1 = = z 1

− −

 −   · ·  −  z

2π i m

exp

...

z

exp

2π i (m m

− 1)



Fur z u ¨r z = 1 folgt damit insbesondere m 1

m =

−

  −   1

exp

k=1

2π i k m

und in der obigen Gleichung eingesetzt erhalten wir so π m−1 A2

m 1

−

  −  

1

=

2m−1 1

=

2m 1

−

1

exp

k=1

2π ik m

· m

Wir k¨ konnen u önnen diese Gleichung nach A umstellen, und da Γ f ur ¨r σ > 0 eine positive Funktion darstellt, folgt so m−1 (2π (2π ) 2 A = m

√

Jetzt brauchen wir nur noch einzusetzen und erhalten direkt f (1) (1) = 1 2. Diese Aussage ist ganz leicht, das folgt direkt durch Einsetzen der Funktionalgleichung Funktionalgleichung:: f (s ( s + 1)

√ m

=

(2π (2π)

s

m−1

2

√ m

=

(2π (2π) = s

·

m Γ

m−1

ms Γ

2

√ m

(2π (2π)

m−1

2

 · ·     · · ·    · ·   s+1 m

... Γ

s+1 m

...

ms−1 Γ

s+1 m

s+m m

s s Γ m m ... Γ

s m

= sf (s ( s) 3. Diese Aussage Aussage folgt direkt aus Satz 25.2, d.h. aus der Beschr Beschränktheit a¨nktheit der Γ-Funktion. Mit Satz 25.4 folgt daraus sofort Γ (s) = f (s ( s)

·

und Ersetzen von s von s durch s durch s m in dieser Formel liefert die Behauptung. Zuletzt wollen wir noch einige alternative Darstellungen der Gamma-Funktion beweisen: 25.7 Satz (Limesdarstell (Limesdarstellung ung von Gauß): Die Γ-Funkti -Funktion on besitzt besitzt die Darstellung Darstellung n!ns n→∞ s (s + 1) ... (s + n)

Γ (s) = lim lim

·

· ·

in ganz C. Beweis: Sei

n!ns n→∞ s (s + 1) ... (s + n)

f (s ( s) := lim lim

·

· ·


107

∈ N s.d. m s.d. m ≥ 2R. In |s| < R und f ur n u u ¨r n > m gilt dann f ur ¨r den Hauptzweig des Logarithmus: n!ns m! (m + 1) · ... · n · ns = s · (s + 1) · ... · (s + n) s · (s + 1) · ... · (s + m) (s + m + 1) · ... · (s + n)

Sei weiter R weiter R > 0, 0 , m

ns

m! s (s + 1) ... (s + m) 1 +

=

·



· ·

· ·      − s m+1

·

1+

m! exp s log n s (s + 1) ... (s + m)

=

·

Da wir

· ·

s m+2

...

m

log 1 +

k=m+1

1+ s k

s n

(25.6)

  ≤     − 

s s 1 < k m 2 f ur u alle k = m = m + 1,...,n 1,...,n haben, haben, gilt nach der Taylorreihenentwicklung der Funktion log ¨ r alle k s log 1 + k

∞ ( 1)j −1 s

=

j

j =1

j

k

f ur k u = m + 1,...,n 1,...,n.. Insbesondere gilt dann aber auch ¨r k = m

   −   −       ≤      − s log 1 + k

s k

∞ ( 1)j −1 s

=

j

j =2

∞ s

= <

Das sagt uns, dass die Reihe

∞

k

j

k

j =2

=

j

s 2 k s k

1

|s|2k k 2 (k − |s|) R2 k2 s k

s k

   −  log 1 +

k =1

(25.7)

in diesem diesem Gebiet Gebiet gleichm gleichmäßig a¨ßig konvergiert und veranlasst uns, die Gleichung (25.6) wie folgt weiterzuschreiben: n!ns s (s + 1) ... (s + n)

·

=

· ·

            − − −

m! exp s s (s + 1) ... (s + m)

·

·

· ·

m

k=1

n

1 k

exp s log n

k=1

1 k

n

log 1 +

k=m+1

Die Euler-McLaurin Euler-McLaurin’sc ’sche he Summationsformel Summationsformel (Hilfssatz (Hilfssatz 25.1) liefert liefert uns n

n

n

 −  − ⌊ ⌋       − −  − ⌊ ⌋



k=1

1 = 1+ k

1

1 dx d x x

x

x

x2

1

dx

=log n

und daher ist

n

k =1

n

lim

→∞

n

k =1

n

log n = 1

x

1

x

x2

dx

∞, so erhalten wir ∞ 1 =: γ ≈ 57721... ... − log n = 1 − x − ⌊x⌋ dx =: γ ≈ 0, 57721

Bilden wir jetzt dort den Grenzwert n



1 k

k



     1

x2

existiert!

s k

s k

108


γ wird wird auch die Eulersche Konstante genannt. Konstante genannt. Also existiert der Grenzwert f f ur u ¨r s < R und es gilt

| |

  

m! f (s ( s) = exp s s (s + 1) ... (s + m)

·

·

· ·

m

k=1

1 k

exp

−γs

      − − ∞

log 1 +

k =m+1

s k

s k

Die vorkommende Reihe (25.7) ist wie oben schon gesehen gleichm¨ gleichm aßig äßig konvergent und daher ebenfalls holomorph in dem Gebiet s < R. Daher muss auch f in s < R bis auf die Punkte

| |

| | s ∈ {−n | n ∈ N} ∩ {s ∈ C | |s| < R}

holomorph sein. Insbesondere ist f also f also holomorph in σ in σ > 0, da R > 0 beliebig war. Weiter gilt f (s ( s + 1)

=

n!ns+1 lim n→∞ (s + 1) ... (s + n + 1)

=

a lim

· ·

n!nns n→∞ a (s + 1) ... (s + n + 1)

Konvergenz

=

n!ns n→∞ s (s + 1) ... (s + n)

s lim

   =1

s f (s ( s)

n!n n = lim lim =1 n→∞ 1 ... (n + 1) n→∞ n + 1

f (1) (1) = lim lim Zuletzt gilt f ur u ¨r 1

· nlim →∞ nn + s + 1

· ·

·

= Trivialerweise ist auch

· ·

≤ σ ≤ 2:

 ·

· ·

ns n! s ... (s + n)

und daher

·

 ≤

n!nσ σ (σ +1) ... (σ +n)

·

· ·

|f (s ( s)| ≤ f (σ ( σ ) ≤ M := sup f (σ ( σ ) < ∞ 1≤σ ≤2

in diesem Bereich. Mit dem Eindeutigkeitssatz (Satz 25.4) folgt wieder f = Γ und die Behauptung ist gezeigt. Folgerung 25.6: Es gilt auch 1 Γ (s) = exp s f ur ,.... ¨ ¨ s = 0, 1, 2,....

 − −

      − − − γs

∞

log 1 +

k =1

s k

Beweis: Fur u ¨r den Hauptzweig des Logarithmus gilt 1 1+

s k

= exp

−   log 1 +

s k

s k


109

und daher folgt aus der oben schon gezeigten Darstellung f ur m u ¨r m Γ (s)

=

=

=

=

=

         · − − − · ·            · − − − · · ·              − · − − −             − − · − − −       − − −

m! exp s s (s + 1) ... (s + m)

·

1 s (1 + s) 1 exp s 1 exp s 1 exp s

∈ N:

m

k =1

1+

m

k=1 m

k=1

γs

...

1+

k =1

exp s

k =1

s k

log 1 +

k=1

log 1 +

k =m+1

m

s log 1 + k

∞

γs

exp s

s m

s log 1 + k

∞

exp m

1

s 2

1 k

1 k

1 k

exp

∞

γs

s k

log 1 +

k=m+1

exp

∞

γs

log 1 +

k =m+1

exp

∞

γs

log 1 +

k =m+1

s k

s k

s k

s k

s k

s k

s k

s k

s k

Damit ist die Behauptung gezeigt. Da die Γ-Funktion keine Nullstellen hat, konnen önnen wir den Ausdruck aus Folgerung 25.6 auch wie folgt umschreiben: Folgerung 25.7 (Weierstraß’sche Produktdarstellung): Es gilt ∞ exp s 1 k Γ (s) = exp( γs) γs ) s 1 + ks

 

−

Außerdem erhalten wir ebenso direkt die Darstellung f ¨ f ur u ¨r Folgerung 25.8: Es gilt 1 = s exp(γs exp(γs)) Γ (s)

∞

k=1

1 Γ nach

dem Weierstraß’schen Produktsatz:

s exp k

s k

   −  1+

k=1

Jetzt interessieren wir uns f ur u ¨ r die logarithmische Ableitung der Γ-Funktion. Allgemein sieht man durch die Leibniz-Regel schnell, dass ′ f ′ g f g ′ f ′ g′ (f g) = + = + f g f g f g f g d.h. die logarithmische Ableitung eines Produktes ist die Summe der logarithmischen Ableitungen. Da wie oben schon bemerkt außerdem (exp (exp (f )) f ))′ = f ′ exp(f exp(f ))

· · · ·

· · ·

· · · ·

gilt, folgt aus der Darstellung in Folgerung 25.6 direkt, dass Ψ (s) :=

=

=

=

=

=

Γ′ (s) Γ (s)

            − −  −   − −  −   − −    − − −    − − − − 1 s

γ + +

γ

1 + s

γ

γ

γ

∞

exp exp

k=1

1 + s 1 + s 1 s

∞

k=1

∞

k=1

∞

k=1

∞

k=1

′

s k s k

+

k (k +s)2 k k +s

1 + k

1 k (k + s) + k (k + s)2 k

1 k

1 k + s

1 s+k

1 k

k k +s

k k +s

′

110


gilt. Folgerung 25.9: Es gilt log(Γ(s log(Γ(s)) = f ur ¨ ¨ s

−γs − log s

∈ C \ (−∞, 0]. 0].

∞

s k

s k

   −  − log 1 +

k=1

Beweis: Das folgt auch direkt wieder aus der Darstellung in Folgerung 25.6, wenn man beachtet, dass C ( zusammenh¨ zusammenhangend a¨ngend ist und daher

\ −∞, 0] einfach



f (s ( s) = 0

⇒

f (s ( s) = exp exp (log( (log(f f (s ( s)))

gilt. 25.2 Lemma (ohne Beweis): Beweis): Das Wachstum der Gamma-Funktion l ¨ ässt sich im Grenzwert beschreiben durch Γ (z )

∼

√ 2

1

z z− 2 π exp(z exp(z )

∞ gegangen wird. ∞

wobei im spitzen Winkel entlang der reellen Achse gegen Zum Beweis vergleiche etwa [WEZ], Abschnitt 8.1.


26

111

Konf Konform orme e Abbi Abbild ldun unge gen n

26.1 26.1

Das Das Lemm Lemma a von von Schw Schwarz arz

Sei in diesem Abschnitt stets

D

{ ∈ C | |z| < 1} die Einheitskreisscheibe.

:= z

26.1 Lemma (Lemma von Schwarz): Schwarz):  C eine holomorphe Funktion mit f (z Sei f : D ( z )

| |

| ≤ 1 ∀ z ∈ D und f (0) (0) = 0. 0. Dann gelten:

| ≤ |z| ∀ z ∈ D und | |f ′ (0) | ≤ 1 |f ′ (0) | = 1, (2) Gibt Gibt es ein z ∈ D \ {0} s.d. |f (z ( z ) | = |z | oder gilt | 1 , so ist (1) Es ist ist f (z ( z )

| |

f (z ( z ) = exp exp (iθ (iθ) z

∈ [0, [0, 2π).

f ur ¨ ¨ ein θ

Beweis: (1) Da f Da f (0) (0) = 0 ist, hat die Funktion ( z ) → f (z , z ∈ D z

z

in z in z = 0 eine hebbare Singularit¨ Singularitat. ät. Es gibt also eine in

D holomorphe

f (z ( z ) = zg z g (z )

Funktion g Funktion g s.d.

∀ z ∈ D

Fur z u ¨r z

∈ D und |z| < r < 1 gilt dann entsprechend mit dem Maximumsprinzip (Satz 22.5) |f (r ( r exp exp (iθ (iθ )) | 1 |g (z) | ≤ θ∈max ≤ r r [0,2π )  1 folgt so | g (z ) | ≤ 1 ∀ z ∈ D und daher sofort | f (z Mit r ( z ) | ≤ |z | ∀ z ∈ D. Außerdem ist f ′ (0) = ′ (z · g (z ))| = g (0) und damit folgt auch |f ′ (0) | ≤ 1. (2) Ist |f (z ( z0 ) | = |z0 | f ur u ein z0 ∈ D \ {0}, so ist |g (z0 ) | = 1 f ur u dieses z0 ∈ D und nach dem Maximumsprinzip ¨ r ein z ¨r dieses z ist g konstant. Das liefert wegen |g (z0 ) | = 1 insbesondere |g (z ) | = |g (z0 ) | = 1 ∀ z ∈ D. Das zeigt die 

z=0

Behauptung. Ganz analog: Ist f ′ (0) = 1, so folgt nach der Rechnung aus (1), dass g (0) = 1. Das entspricht genau dem eben berechneten Fall mit z 0 = 0.

|

|

|

26.1 Definition: Definition: Sei α D. Wir definieren Bα :

∈



D

|

C durch

Bα (z (z ) :=

− −

z α 1 αz

26.2 Lemma: Lemma: Sei α D fest. Dann ist Bα eine bijektive Abbildung D gegeben durch B−α . Außerdem gilt

∈

 D

mit Bα (α (α) = 0. Die inverse Abbildung ist

1 − αz + αz + αz + αz + |α|2 1 + |α|2 ′ Bα (z (z ) = = 2 2 (1

Beweis: 1 Offenbar ist B ist B α in C holomorph. Da aber α holomorph. Einsetzen Einsetzen liefert f ur u jedes z D: ¨ r jedes z

\



1 α

∈

− αz) αz )

(1

− αz) αz )

ist B α also insbesondere holomorph in ganz D. Direktes ∈/ D ist B

B−α (B (Bα (z (z )) = B −α

− z α 1 αz

−

z α 1 αz

− +α − = α = z 1 + α 1z−−αz

Daher ist B ist B α injektiv und B−α ist die zugeh¨ zugehorige F ur u reelles t gilt örige inverse Abbildung. F¨ ¨r reelles t

 −

−



|

− | | − − |

exp(it exp(it) α exp exp (it (it) α exp exp (it (it) = = 1 α exp(it exp(it) exp( it) α exp exp (it (it)

|



− α| = 1 −α



und daher bildet Bα den Rand der Einheitskreisscheibe ∂ D wieder in ∂ D ab, ebenso B−α . Nach dem Maximumsprinzip ist dann Bα (z (z ) max Bα (w (w) = 1 z D

|

| ≤ w∈∂ ∀ ∈ und daher B daher B α (D) ⊂ D. Ebenso gilt B gilt B −α (D) ⊂ D und daher B daher B α (D) = D. D

112


26.2 26 .2

Konf Konfor ormi mittat at ¨

26.2 Definition: Definition: Seien Γ1 , Γ2 zwei C C 1 -Kurven, die sich in z0 C schneiden. Wir bezeichnen dann mit ∠z0 (Γ1 , Γ2 ) den Winkel Winkel (gemessen in mathematisch positiver Richtung) von der orientierten Tangente an Γ1 in z0 zur orientierte orientierten n Tangente von Γ2 in z0 .

∈

26.3 Definition: Definition: Sei U C offen, z0 U und f C 1 (U ) U ). f f heißt konform an z 0 erhalten bleibt, d.h. konform in z0 , falls jeder Winkel an z 1 f ur ¨ ¨ alle C -Kurven Γ1 , Γ2 , die sich in z0 schneiden, gilt

⊂ ⊂

∈

∈ ∈

◦ ◦ Ist U ein U ein Gebiet, so heißt f konform f konform in U , U , falls f in f in jedem Punkt z0 ∈ U U konform ist. ∠z0 (Γ 1 , Γ2 )

◦ ◦

= ∠f (z0 ) (f (f Γ1 , f Γ2 )

Beispiel 26.1:

∈ C∗ ist f ist f konform, konform, d.h. winkeltreu.

f (z ( z ) = z 2 ist nicht konform in z in z 0 = 0. Aber in allen anderen Punkten z 0 26.4 Definition: Definition: Sei G C ein Gebiet und f

∈ ∈ C 1 (G), sowie z0 ∈ G.

⊂

(1) f f heißt lokal 1-1 oder lokal injektiv in z0 , falls es ein δ > 0 gibt, s.d. z1 , z2

( z1 )  = f (z ( z2 ) ∈ {z ∈ C | |z − z0| < δ } , z1 = z2 ⇒ f (z (2) f f heißt lokal 1-1 in G, falls f f in jedem Punkt z0 ∈ G lokal 1-1 ist. (3) f f heißt 1-1 oder schlicht in G, falls f ur ¨ ¨ alle z1 , z2 ∈ G gilt: z1  = z 2 ⇒ f (z ( z1 )  = f (z ( z2 ) 26.1 Satz: Satz: Sei f holomorph f holomorph in einer Umgebung des Punktes z0 z0 .

∈ C mit f ′ (z0) = 0. Dann ist f konform f konform und lokal 1-1 in

Beweis: Wir zeigen zun¨ zunachst Konformitat. durch z 0, parametrisiert durch z (t) = x (t) + iy (t) ächst die Konformit¨ ät. Sei Γ eine C 1-Kurve durch z mit z (0) = z0 . Der Winkel der Tangente an Γ an der Stelle z0 zur positiv reelle reellen n Achse Achse ist arg (z ′ (0)). Der Winkel der Tangente an f Γ an der Stelle f Stelle f ( (zz0 ) zur positiv reellen Achse ist

◦ ◦

arg



d f (z ( z (t)) dt

  t=0

= arg arg (z ′ (0) f ′ (z0 ))

·

=0 f ′ (z0 )=0

=



arg (z (z ′ (0)) + arg arg (f ′ (z0 ))

Fur u a¨ndert sich sich der Winkel Winkel also genau um arg (f ′ (z0 )). Das bedeutet aber insbesondere, das der ¨ r jede Kurve andert Winkel zwischen zwei Kurven erhalten bleibt. Jetzt zeigen wir die lokale Schlichtheit von f . f . Sei dazu f (z ( z0 ) = α. α . Da sich die Nullstellen von f f nicht h¨ haufen äufen ′ ′ finden wir ein δ ein δ > 0 s.d. z f (z ( z ) α keine weiteren Nullstellen außer z0 in w C w z0 < δ besitzt. ′ Wegen f (z0 ) = 0 muss es sich auch um eine einfache α-Stelle -Stelle handeln. handeln. Insbesondere Insbesondere gilt mit der lokalen lokalen Konstantheit der Windungszahl:

→



1 =



1 2π i

−

f ′ (z ) dz d z f (z ( z ) α

|z−z0 |=δ′ =

1 2π i

{ ∈ | | − |

 

−

{ ∈C | |ζ −z0 |=δ′ }

f z

=

1 2π i

{ ∈C | |ζ −z0 |=δ′ } ≤ δ ′ s.d. Wahle 0 < δ ≤ ähle nun also 0 < f z

1

d ζ − − α dζ

ζ

1

∀ β ∈ ∈ {z ∈ C | |z0 − α| < ε} mit einem ε d ζ ∀ einem ε > 0 − − β dζ

ζ

{z ∈ C | |z − z0| < δ } ⊂ f −1 ({z ∈ C | |z − α| < ε})

}


113

∈ C mit |z1 − z0| < δ > |z0 − z2|:

gilt. Damit gilt dann f ur u ¨r alle z1 , z2 1 1= 2π i



|z0 −z|=δ

f ′ (z ) 1 dz = z zj 2π i

−



f ( z

− −

ζ

{ ∈C | |z−z |=δ}) j

1 dζ d ζ f ur j u ¨r j = 1, 2 f (z ( zj )

Das bedeutet mit Satz 21.2 aber genau z1 = z 2



⇒

f (z ( z1 ) = f (z ( z2 ) in z

{ ∈ C | |z − z0| < δ }



und daher ist f lokal f lokal 1-1 in z in z 0 . Bemerkung 26.1: Betrachte wieder Bα :

D

 D aus

Definition 26.1. Diese Funktion ist global injektiv, außerdem gilt 1 + |α|2 ′  ∀ ∈ D Bα (z (z ) = 2 = 0 z

− αz) αz )

(1

und daher ist Bα konform von

D nach D.

26.5 Definition: Definition: Sei k N, G1 , G2 C Gebiete und f : G1 α G2 die Gleichung

∈

∈

⊂

 G eine 2

Funktion. f f heißt k k

− 1 von G1 nach G2, falls f ur ¨ ¨ alle

f (z ( z ) = α

genau k Losungen (gez ¨ ¨ ählt mit Vielfachheiten) in G1 hat. Beispiel 26.2: Man überlegt uberlegt sich leicht, dass die Funktion f Funktion f (z ( z ) = z k f ur u jedes δ > 0 eine k eine k ¨r jedes δ k nach z C z < δ ist.

 ∈



|| |

− 1 Abbildung von {z ∈ C | |z| < δ }

26.2 Satz: Satz: Sei f f eine nicht konstante holomorphe Funktion in einer Umgebung von z0 C und sei f ′ (z0 ) = 0. Dann vergr ¨ f f Winkel an z0 um den Faktor k und es gibt eine Umgebung U von z0 , in welcher f f eine k 1ößert Abbildung von U auf f (U ( U ) ist. Dabei ist k gegeben als

∈



(n)

k = min f

∈N

n

  ≥

(z0 ) = 0

−

2

Beweis: Ohne Einschr¨ Einschrankung konnen ( z0 ) = 0 annehmen, denn andernfalls betrachten wir einfach die Funktion änkung k¨ önnen wir f (z z f (z ( z ) f (z ( z0 ). Die Potenzreihenentwicklung von f von f an z an z 0 hat dann die Form

→

−

f (z ( z ) =

∞



n=k



an (z (z

− z0)

n

= (z (z

− z0 )

mit ak = 0. Wir definieren dann durch

g (z ) :=

∞



an+k (z (z

n=0

k

∞



an+k (z (z

n=0

− z0)n

− z0)n

eine in einer Umgebung von z 0 holomorphe Funktion, und per Definition gilt f (z ( z ) = (z

− z0)k · g (z) 

in einer kleinen Umgebung von z0 . Insbesondere gilt auch g (z0 ) = a k = 0 und daher existiert f ur u ¨r hinreichend   C mit kleines r kleines r > 0 eine holomorphe Funktion l : z C z z0 < r

{ ∈ | | − | } (l (z ))m = g (z ) ∀ z ∈ {w ∈ C | |w − z0 | < r }

Entsprechend ist dann f (z ( z ) = (h ( h (z ))k f ur h u ¨r h (z ) = l (z ) (z

· − z0) , z ∈ {w ∈ C | |w − z0| < r }

Insbesondere gilt h gilt h (z0 ) = 0 und h und h ′ (z0 ) = l (z0 ) = 0. f f ist also in w C w z0 < r die Komposition der konformen 1-1 Abbildung z h (z ) (vergleiche Satz 26.1) und der Abbildung ζ Abbildung ζ ζ k , welche Winkel um den Faktor k Faktor k vergr vergr¨ oßert. ist ζ ζ k nach Beispiel ößert. Außerdem ist ζ 26.1 k 26.1 k 1 in Kreisscheiben um 0. Wir w¨ wahlen a¨hlen ein ε ein ε > 0 mit w C w < ε h ( z C z z0 < r ) und setzen U := h := h −1 ( w C w < ε )

−

{ ∈ | | − |  → 

Dann ist f ist f eine k eine k

}



{ ∈ | | | { ∈ | | | }

− 1 Abbildung von U von U auf f ( f (U U )) wie in der Behauptung.

→  → } ⊂ { ∈ | | − |

}

114


26.3 Satz: Satz: Sei G C ein Gebiet und f f eine in G holomorphe und schlichte Funktion. Dann gelten die folgenden beiden Aussagen:

⊂

(1) f −1 existiert und ist holomorph in dem Gebiet f ( ( G) (2) Sowohl Sowohl f als f als auch f −1 sind konform in G beziehungsweise beziehungsweise f ( ( G). Beweis: Teil (1) wurde schon in Satz 22.4 gezeigt, da f f als schlichte Funktion injektiv in Satz 2.3 auch die Regel 1 ′ f −1 (w) = ′ −1 f (f (w)) Daher muss f muss f ′ = 0 in



G sein

G ist.

Insbesondere gilt laut

 

und die Konformit¨ Konformitat ät folgt aus Satz 26.1.

26.6 Definition: Definition: (1) Eine holomorphe holomorphe 1-1 Abbildung Abbildung f f heißt konforme konforme Abbildung . (2) Zwei Gebiete Gebiete G1 und G2 heißen konform konform ¨ aquivalent , falls es eine konforme Abbildung f : G1 gibt.

 G 2

Bemerkung 26.2: ¨ ¨ Offenbar ist konforme Aquivalenz“ eine Aquivalenzrelation. ”

26.3 26.3 26.3.1

Einige Einige speziel spezielle le Abbi Abbildu ldunge ngen n Elementar Elementare e Tranformatione ranformationen n

Wir betrachten zun¨ zunachst ächst die Abbildungen z

az + b → az +

mit a, b C, a = 0. Diese Abbildungen sind konforme Abbildungen von C auf sich selbst. Außerdem k onnen önnen wir diese Abbildungen Abbildungen zerlegen in w1 w2 w3

∈



◦ ◦ wobei w wobei w 1 (z (z ) := |a| · z die Streckung um den Faktor |a| ist, w ist, w 2 (z (z ) := exp exp (iarg (a)) z die Drehung um den Winkel arg(a arg(a) ist und w und w 3 (z (z ) := z := z + + b der Verschiebung um b ∈ C entspricht. Jetzt betrachten wir die Abbildungen

→ zα = exp exp (α log z )

z

mit α > 0. Diese Transformation ist holomorph in jedem einfach zusammenh¨ zusammenh angenden ängenden Gebiet, welches 0 nicht enthalt.Wir a¨lt.Wir wahlen a¨hlen dabei einen Zweig Zweig des Logarithm Logarithmus us so, dass positive reelle Zahlen auf p ositive ositive reelle Zahlen abgebildet werden. Unter dieser besagten Abbildung wird der Sektor

{ ∈ C | ϑ 1 < arg(z arg(z ) < ϑ2 }

S := := z auf den Sektor

{ ∈ C | αϑ 1 < arg(w arg(w) < αϑ2 }

T := w abgebildet. Gilt αϑ Gilt αϑ 2

− αϑ1 < 2 < 2π π , so haben wir eine konforme Abbildung von S von S auf T . T .

Zuletzt betrachten wir noch die Abbildung z

exp(z ) → exp(z

Wegen exp (z ) = exp exp (x) exp exp (iy (iy ) f ur z u = x + iy iy wird der horizontale Streifen y 1 < y < y2 auf den Sektor ¨r z = x

·

{z ∈ C | y 1 < arg( < arg(zz ) < y2 } abgebildet. Gilt y Gilt y 2

− y1 < 2π 2π , so stellt dies eine konforme Abbildung dar.


26.3.2

115

Die gebrochen-lin gebrochen-linearen earen Tranformatione ranformationen n

26.7 Definition Definition (M¨ (M¨ obiustransformation): obiustransformation): Seien a, a, b, c, d C mit ad bc = 0. Eine gebrochen-lineare Transformation der Form

∈

− 

T : z

az + az + b → cz + cz + d

nennen wir M ¨ . obiustransformation ¨ Wir stellen leicht fest, dass die Bedingung ad bc = 0 die Wohldefiniertheit dieser Transformation garantiert - andernfalls w¨ ware äre der Wert konstant. Im Falle c = 0 scheint die Stelle z = dc eine Ausnahmestelle, d.h. ein Pol der Transformation, zu sein. Wir betrachten daher die Sph are a¨re im R3 als 1-Punkt Kompaktifizierung von C mit dem Nordpol als unendlich fernem Punkt. Wir sprechen dabei in diesem Zusammenhang auch von der Riemann’schen Zahlenkugel Σ. Zahlenkugel Σ. Vergleiche dazu Definition 1.7. mit der stereographischen Projektion:

−  

−

z N

P

z y

x

Der Punkt N Punkt N entspricht entspricht unter unserer Identifikation genau dem unendlich fernen Punkt d In diesem Zusammenhang setzen wir f ur c u direkt T und T ( T ( ) := ac . ¨r c = 0 direkt T c :=

− 



∞

∞

∞ f ur u ¨r C.

Bemerkung 26.3: Mit dieser Definition bilden die M¨ Modiustransf o¨diustransformati ormationen onen die Automorphis Automorphismengr mengruppe uppe Aut (Σ) von Σ. Auf diese ¨ Aussage wird beispielsweise in [SWR] und den zugeh¨ zugeh origen n¨ naher örigen Ubungsaufgaben äher eingegangen. 26.3 Lemma: Lemma: d a  C T : C falls c = 0. 0 . Der Falls c = c = 0 wurde bereits oben mit den c c ist eine konforme Abbildung, falls c linearen Transformationen z az + az + b abgedeckt.

 

\ −

\





→

Beweis: Offenbar ist die Abbildung T wie T wie in der Behauptung angegeben holomorph. Außerdem ist T T bijektiv, da die Gleichung az + az + b w = cz + cz + d die eindeutige Losung o¨sung dw b z = cw + cw + a

− besitzt (und diese h¨ hangt ängt offenbar holomorph von w ∈ C \ 26.4 Satz: Satz: Die Transformation ransformation z

−

 a c

ab).

az + b → az + 0 mit a,b,c,d a,b,c,d ∈ C und ad − bc = cz + cz + d

bildet Kreise und Geraden in Kreise oder Geraden ab. Beweis: Wir zeigen die Aussage zunachst u ächst f ur ¨ r den Spezialfall z Wir interessieren uns dann f ur u ¨r T := Die definierende Gleichung von S ist (z

dazu S = = {z ∈ C | |z − α| = r } ein Kreis in C . → 1z . Sei dazu S

 ∈ w

C

|

1 w

 ∈ S

− α) · (z − α) = r 2

116


was genau zz entspricht. Fur z u ¨r z =

1 w also

− αz − αz = αz = r r 2 − |α|2

insbesondere 1 ww

| |

Gilt nun α = r, r , d.s. ist 0

− wα − wα = r 2 − |α|2

∈ S , so entspricht das der Gleichung 1 1 − αw − αw = αw = 0 ⇔ ℜ (αw) αw) = 2

Das ist genau die Gleichung einer Geraden. Ist 0 / S , d.h. α = r, r , so liefert Umstellen der Gleichung genau

∈

| | 

ww

 −

α

|α|2 − r2

 − w

α

|α|2 − r2



− |α|21− r2

w =

Mit β Mit β := := |α|2α−r2 entspricht das genau ww

2

− βw − βw + βw + |β |

=

r2

2

| | − r 2 )2

(α2

⇔ |w − β |

Das ist die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt β . β . Fur u αz ) = c mit α mit α ¨r eine Gerade, d.h. eine Gleichung der Form (αz)

ℜ

=



r

|α|2 − r2



2

∈ C und c ∈ R geht man analog vor.

Wenden wir uns nun dem allgemeinen Fall zu: Wir schreiben die gegebene Transformation als z + b → cz + = ω 3 ◦ ω2 ◦ ω1 (z (z ) cz + d

z mit

− −

1 a ad dc und ω und ω 3 (z (z ) = z z c c Man rechnet leicht nach, das diese einzelnen Transformationen zusammengesetzt wieder die urspr ungliche u ¨ngliche Transformation ergeben. ω3 und ω1 sind affin lineare Transformationen, erhalten also Kreise und Geraden, und ω2 erf ullt u ¨llt nach obiger Rechnung ebenfalls die Behauptung. Daher muss es auch die Komposition tun. ω1 (z (z ) = cz + cz + d, ω2 (z (z ) =

26.8 Definition: Definition:  G heißt Automorphismus Sei G C ein Gebiet. Eine konforme Selbstabbildung f : G Automorphismus von G. Mit Aut ( Aut (G) bezeichnen wir die Gruppe der Automorphismen des Gebiets G.

⊂

Bemerkung 26.4: Seien G1 , G2 C zwei Gebiete und sei f : G1

⊂

 G eine 2

(1) Dann ist jede andere andere konforme konforme Abbildung h : ein Automorphismus von G2 ist. (2) Dann besitzt jeder Automorphism Automorphismus us h

wobei g wobei g

G1

konforme Abbildung.  G von 2

der Form h = g

◦ f ,f , wobei g ∈ Aut(G2)

∈ Aut(G1) von G1 die Darstellung h = f = f −1 ◦ g ◦ f

∈ Aut(G2) in Automorphismus von G2 ist.

Beweis:  G . Offenbar handelt es sich dabei um einen Automorphismus (1) Betrach Betrachte te die Abbildung f Abbildung f −1 h : G1 1 − 1 des Gebiets G1 , d.h. f d.h. f h = g = g Aut(G1 ). Das bedeutet aber genau

◦

◦

∈

h = g = g

◦ f

wie in der Behauptung.

∈ Aut(G1), so ist f ◦ ◦ h : G1

(2) Ist h mit

 G eine 2

konforme Abbildung. Nach (1) gibt es ein g

f h = g = g

◦ ◦

Damit folgt die Behauptung Behauptung..

◦ f

∈ Aut(G2)


117

26.4 Lemma: Lemma: Sei T T ein Automorphismus von D mit der Eigenschaft T (0) (0) = 0. 0. Dann hat T T die Form T (z ( z ) = exp exp (iθ (iθ ) z

∈ [0, [0, 2π ).

mit einem θ

Beweis: Wir wollen das Lemma von Schwarz (Lemma 26.1) nutzen. Da alle Voraussetzungen f ¨ f ur u u ¨ r den ersten Teil erf ullt ¨llt sind, erhalten wir sofort T (z ( z ) z z D. Wir konnen o¨nnen den ersten Teil aber auch auf die Umkehrfunktion T −1 anwenden und erhalten so z = T −1 (T (z ( z )) T (z ( z )

|

| ≤ | | ∀ ∈ || | |≤| | Insbesondere Insbesondere gilt also |T (z ( z ) = |z | ∀ z ∈ D. Damit ist Teil (2) des Lemmas anwendbar und wir erhalten T (z ( z ) = exp exp (iθ (iθ ) z ∀ z ∈ D mit einem festen θ festen θ ∈ [0, [0, 2π ). 26.5 Satz: Satz: Die Automorphismen T der T der Einheitskreisscheibe D sind alle von der Form T (z ( z ) = exp exp (iθ (iθ) f ur ¨ ¨ ein α

− −

z α 1 αz

∈ D und ein θ ∈ [0, [0, 2π ).

Beweis: Wir betrachten die Abbildung

z α 1 αz aus Definition 26.1 f ur u D. Wir haben in Lemma 26.2 und Bemerkung 26.1 schon gesehen, ¨ r ein festes α dass B dass B α eine konforme Abbildung der Einheitskreisscheibe auf sich selbst ist. Damit folgt sofort, dass jede der Abbildungen z exp exp (iθ (iθ) Bα (z (z ) Bα (z (z ) =

∈

− −

→

∈

∈

mit α D und θ [0, [0 , 2π ) ein Automorphismus der Einheitskreisscheibe D ist. Es bleibt zu zeigen, dass jeder der Automorphismen T aus T aus der Behauptung eine solche Darstellung besitzt. Sei T −1 (0) = α D. Betrachte dann die Abbildung T Bα−1

∈

◦ ◦

Dabei handelt es sich dann im einen Automorphismus von D, welcher die 0 26.4 gilt T Bα−1 (z ) = exp exp (iθ (iθ ) z z D

◦ ◦

mit einem festen θ festen θ

∈ D fixiert. Nach obigem Lemma

∀ ∈

[0, 2π ). Das zeigt die Behauptung. ∈ [0,

26.6 Satz: Satz: Die Automorphismen der oberen Halbebene sind von der Form az + az + b → cz + cz + d

z mit a,b,c,d a,b,c,d

∈ R und ad − bc > 0. 0 .

Beweis: Wir betrachten zun¨ zunachst a¨chst S : z

→ zz +− ii

Offenbar handelt es sich dabei um eine Abbildung der oberen Halbebene auf die Einheitskreisscheibe D, denn schließlich bildet S die S die reelle Achse R auf die Einheitskreisslinie ab (f ur u naturlich u ¨r z R gilt nat¨ ¨rlich z i = z + i ) und es gilt S gilt S (i) (i) = 0 (deshalb landen wir im Inneren des Kreises). Ergo sind alle Automorphismen der oberen Halbebene laut obiger Bemerkung 26.4 von der Form

∈

mit T ( (zz ) = exp(iθ exp(iθ ) S −1 T S mit T

◦ ◦ ◦

z α f ur u ein α ¨r ein α 1 αz

− −

[0, 2π ) ∈ D, θ ∈ [0,

| − | |

|

118


Berechnung dieses Ausdrucks liefert genau eine Abbildung mit der Form wie in der Behauptung. Bleibt zu zeigen, dass jede der angegebenen Abbildungen ein Automorphismus der oberen Halbebene ist. Da es sich um den Spezialfall einer M¨ M obiustransformation o¨biustransformation handelt, haben wir Injektivit¨ Injektivitat a¨t und Holomorphie schon gesehen. Wegen a Wegen a,, b, c, d R gilt az + az + b z R R cz + cz + d und außerdem gilt ai + b ad bc = 2 > 0 ci + d c + d2

∈

∈ ⇒

∈

ℑ 

−

Daher ist das Bild jeder so gegebenen Abbildung wieder in der oberen Halbebene enthalten. Die Surjektivit at ät folgt daraus, dass die im Beweis Beweis von Lemma 26.3 angegebene angegebene Umkehrung Umkehrung der Transformat ransformation ion wieder eine Mobiustransformation mit a,, b, c, d R und ad bc > 0 ist. öbiustransformation mit a

∈

26.9 Definition: Definition: Sei G C ein Gebiet, f : G

⊂

−

 G eine

Fixpunkt von f , ∈ G heißt Fixpunkt f , falls

Funktion. Ein Punkt z0 f (z ( z0 ) = z 0

gilt. 26.5 Lemma: Lemma: Eine gebrochen-lineare Transformation T T verschieden der Identit ¨ at hat h ¨ zwei Fixpunkte in Σ. ¨ öchstens Beweis: Sei T (z ( z ) =

az + az + b mit a mit a,, b, c, d cz + cz + d



Ist c Ist c = 0, so bedeutet T bedeutet T ( (zz ) = z genau

∈ C und ad 0 und ad − bc =

az + az + b = cz = cz 2 + dz

und diese quadratische Gleichung hat h¨ h ochstens L osungen. dann T ( ( öchstens zwei verschiedene L¨ ösungen. Beachte, dass dann T ! Ist c Ist c = = 0 und ad = 1, so ist die Abbildung a b T (z ( z ) = z + d d affin linear und die Gleichung T (z ( z ) = z

∞



hat genau eine komplexe L¨ L osung. ist z = ösung. Außerdem ist z Ist c Ist c = = 0 und ad = 1, so besitzt

∞ ein weiterer Fixpunkt.

T (z ( z ) = z + z + z =

∞) = ac =

b d

∞ als einzigen Fixpunkt.

26.7 Satz: Satz: Seien z z 1 , z2 , z3 paarweise verschiedene Zahlen aus C. Die eindeutig bestimmte gebrochen-line gebrochen-lineare are Transformation, Transformation, welche z1 , z2 , z3 in dieser Reihenfolge auf die Punkte , 0, 1 Σ abbildet, ist

∞ ∞ ∈ z − z2 z3 − z1 T (z ( z ) = z − z1 z3 − z2

Beweis: Offenbar hat T hat T die die gew¨ gewunschten u ¨nschten Eigenschaften: T (z ( z1 ) = T (z ( z2 )

=

T (z ( z3 )

=

li m

z

→z1

z2 z2 z3 z3

− − − −

− −

− z1 = ∞ − z2

z z2 z3 z z1 z3 z2 z3 z1 z1 z3 z2 z2 z3 z1 z1 z3 z2

− − − −

=0 =1


119

Außerdem ist T eine T eine gebrochen-lineare Transformation der Form az + az + b → cz + cz + d

z

z1 z3 −z1 f ur a u und d = = z1 . ¨r a = zz33 − −z2 , b = z3 z3 −z2 , c = 1 und d Bleibt die Eindeutigkeit zu zeigen. Sei S Sei S eine eine weitere Transformation mit den Eigenschaften aus der Behauptung. Dann Ist T S −1 eine gebrochen-lineare Transformation mit den Fixpunkten , 0, 1 Σ und nach obigem Lemma 26.5 gilt T gilt T S −1 = id, was die Behauptung zeigt.

−

◦ ◦

−

∞

◦ ◦

Bemerkung 26.5: Mit den folgenden Transformationen bleibt der Satz richtig, falls z falls z j = Fall z 1 = ∞ setze • Im Fall z

• Im Fall z Fall z 2 = ∞ setze

T (z ( z ) =

z z3

− z2 − z2

T (z ( z ) =

z3 z

− z1 − z1

T (z ( z ) =

z z

− z2 − z1

• Im Fall z Fall z 3 = ∞ setze

∈

u ein j = 1, 2, 3: ∞ f ur ¨ r ein j

∞ = 1 gesetzt wird. Beachte, dass dabei ∞ 26.10 Definition: Definition: Seien z1 , z2 , z3 , z4

∈ C vier paarweise verschiedene Zahlen. Das Doppelverh ¨ ältnis z4 − z2 z3 − z1 (z1 , z2 , z3 , z4 ) := z4 − z1 z3 − z2

von z z 1 , z2 , z3 , z4 ist das Bild von z z 4 unter der oben angegebenen gebrochen-linearen Transformation f ur z 1 , z2 , z3 . ¨ z Bemerkung 26.6: Fallen zwei der vier Punkte zusammen, so kann man das Doppelverh altnis a¨ltnis als Grenz ubergang u ¨bergang definieren, etwa (z1 , z1 , z3 , z4 ) := lim (z1 , z1 + h, z3 , z4 ) h

→0

26.8 Satz: Satz: Das Doppelverh ¨ ist invariant unter gebrochen-linearen Transformationen T , T , d.h. f ur ältnis ¨ ¨ vier paarweise verschiedene komplexe Zahlen z1 , z2 , z3 , z4 gilt (T z1 , T z2 , T z3 , T z4 ) = (z1 , z2 , z3 , z4 ) Beweis: Sei S Sei S die laut Satz 26.7 eindeutige gebrochen-lineare Transformation mit S mit S : (z1 , z2 , z3 ) S T −1 : (T z1 , T z2 , T z3 )

◦

→ (∞, 0, 1). Dann gilt

→ (∞, 0, 1)

D.h. S T −1 ist die laut Satz 26.7 eindeutig bestimmte gebrochen-lineare Transformation mit diesen Eigenschaften. Per Definition ist dann

◦ ◦

(T z1 , T z2 , T z3 , T z4 ) = S T −1 (T z4 ) = S ( S (z4 ) = (z1 , z2 , z3 , z4 )

◦

Das zeigt die Behauptung. Wir erhalten durch Komposition sofort die folgende Folgerung 26.1: Seien z1 , z2 , z3 und w1 , w2 , w3 jeweils drei paarweise verschiedene komplexe Zahlen. Die eindeutig bestimmte gebrochen-lineare Transformation T mit z1 w1 , z2 w2 und z3 w3 f ur ( z ) =: w =: w ist gegeben durch ¨ ¨ T (z

→

→

→ z − z2 z3 − z1 w − w2 w3 − w1 = z − z1 z3 − z2 w − w1 w3 − w2

120


Beispiel 26.3: Wir betrachten z1 = 1, z2

=

2, z3 = 7

w1 = 1, w2

=

2, w3 = 3

Dann besitzt die Transformation aus Folgerung 26.1 aufgel¨ aufgel ost Darstellung öst die Darstellung

−

7z 4 2z + 1

w = T = T (z ( z ) =

27

Der Rieman Riemann’s n’sc che Abbild Abbildung ungssa ssatz tz

Sei in diesem Abschnitt wieder stets D := z wir den folgenden Satz beweisen:

{ ∈ C | |z| < 1} die Einheitskreisscheibe. In diesem Abschnitt wollen

27.1 Satz (Riemann’sc (Riemann’scher her Abbildungssatz Abbildungssatz): ): Alle einfach zusammenh ¨ angenden Gebiete G ¨

⊂ C, welche verschieden von C sind, sind konform ¨ aquivalent.

Wir werden dazu die folgende, noch st¨ st arkere ärkere Aussage beweisen: 27.2 Satz (Riemann’sc (Riemann’scher her Abbildungssatz Abbildungssatz - st¨ arkere arkere Version): Sei G angendes Gebiet, G = C und z0 C ein einfach zusammenh ¨ ¨ ′   Abbildung f : G ( z0 ) = 0 und f (z0 ) > 0 > 0.. 11 D mit f (z

⊂



∈ G. Dann gibt es genau eine konforme

¨ Das Satz 27.2 direkt Satz 27.1 impliziert, ist offensichtlich, da es sich bei konformer Aquivalenz Aquiv alenz““ um eine ” ¨ Aquivalenzrelation handelt. 27.1 Lemma (Hurwitz): (Hurwitz): C ein Gebiet und sei (f n )n∈N eine Folge holomorpher, in G nicht verschwindender Funktionen, die Sei G lokal gleichm ¨ aßig f konvergieren. Dann ist f 0 oder f (z ( z ) = 0 z G. ¨ gegen f konvergieren.

⊂

≡ ≡

 ∀ ∈

Beweis: Wir nehmen an, es g¨ gabe ein z 0 äbe ein z

∈ G s.d. f (z ≡ 0 in G. Sei weiter r ( z0 ) = 0, aber f aber f  weiter r > 0 s.d. B := {w ∈ C | |z0 − w| < r } ⊂ G

und f (z ( z ) = 0 z ∂B. ∂B . Das ist m¨ moglich, h aufen. öglich, da sich die Nullstellen holomorpher Funktionen nicht h¨ äufen. Laut Satz 16.4 ist f ist f holomorph, holomorph, daher gilt mit Satz 16.3, Folgerung 16.1 und Satz 21.2 insbesondere

 ∀ ∈

1 2π i

0=



|z−z0 |=r

′ (z f m (z ) dz d z f m (z (z )

 



m

   1 2π i

∞ 

f ′ (z ) dz f (z ( z )

|z−z0 |=r



= Anzahl der Nullstellen von f m in B



= Anzahl der Nullstellen von f in B

∈ B. Das ist ein Widerspruch, daher gilt die Behauptung.

wegen f (z ( z0 ) = 0 und z und z 0

≥1

27.1 Hilfssatz: Hilfssatz: Sei G C ein Gebiet und (f ( f n )n∈N eine lokal gleichm ¨ äßig konvergente Folge holomorpher, injektiver Funktionen auf G,

⊂

f n



n

∞

lokal gleichm gleichm aßig ¨ ¨

  f

mit f nicht f nicht konstant. Dann ist f f ebenfalls holomorph und injektiv. Beweis: Laut Satz 16.4 ist f holomorph. f holomorph. Wir nehmen an, es gibt z1 , z2 G mit z1 = z 2 und f (z ( z1 ) = f ( f (zz2 ) = a, a , aber f a. Ohne Einschrankung wir a = 0 annehmen, andernfalls betrachten wir einfach änkung konnen önnen wir a

∈

 ≡

f n

−a

{ ∈ | | − |



n

∞

lokal gleichm¨ gleichmaßig aßig ¨

}⊂



  f

− − a

{ ∈ | | − |

}⊂

∩

∅

Wahle ein r > 0 s.d. B s.d. B 1 := z C z1 z < r z2 z < r B2 = . Da G, B 2 := z G und B 1 C ähle ein r f nicht nicht konstant ist, aber sowohl in B in B 1 als auch in B in B 2 eine Nullstelle besitzt, muss es in Umkehrung von Lemma 27.1 ein n N geben, s.d. die Funktion f n sowohl in B in B 1 als auch in B 2 mindestens eine Nullstelle besitzt. Das ist ein Widerspruch zur Injektivit¨ Injektivit at von f n und daher gilt die Behauptung. ät von f

∈

11

′

′

Die Formulierung Formulierung f (z0 ) > 0 beinhaltet nat¨ naturlich u ¨rlich wieder f (z0 ) ∈ R.


121

Beweis (von Satz 27.2): Wir wollen die gesuchte Funktion f als f als Losung ösung eines Extremalproblems finden. Setze dazu

F := {g : G

 D

| g ist holomorph und injektiv, injektiv, g ′ (z0 ) > 0 > 0}

Wir zeigen nun: (1)

F = ∅ F an an der Stelle z 0 ist beschr¨ beschrankt, änkt, d.h. sup g ′ (z0 ) =: M =: M < ∞ g∈F

(2) Das Supremum Supremum der Ableitunge Ableitungen n aller Funktio Funktionen nen aus

mit f ′ (z0 ) = M . M . ∈ ∈ F mit f

und es wird auch angenommen, d.h. es gibt ein f

(3) F¨ Fur u dieses f gilt f gilt f ( (zz0) = 0 und dieses f dieses f ist ist surjektiv. Daher muss f muss f dann die gesuchte Abbildung sein. ¨ r dieses f (4) Zuletzt Zuletzt zeigen wir noch, dass f dass f eindeutig bestimmt ist.



zu (1) Da G = C, finden wir ein ω0 Funktion h Funktion h,, s.d.

∈ C \ G. Da G einfach zusammenh¨ zusammenhangend ängend ist, existiert eine holomorphe z − ω0 ∀ z ∈ G (h (z ))2 = z0 − ω0

mit h mit h (z0 ) = 1 (vergleiche dazu etwa [RUR], Seite 328, Satz 13.11). Offenbar ist h injektiv. h injektiv. Wir zeigen nun zun¨ zunachst: ächst: η > 0 s.d. h (z ) + 1 > η z G (27.1)

∃

|

| ∀ ∈ Wurde u gabe ( zn )n∈ ⊂ G s.d. ¨ rde (27.1) nicht gelten, so g¨ äbe es eine Folge (z N



∞ 

− ω0 = (h (zm))2 − ω0

m

h (zn ) Das w¨ wurde u ¨ rde aber

zm z0

n

−1

bedeuten, was durch einfaches Umstellen der Gleichung zm spruch zur Stetigkeit von h: lim h (zn ) =

n

→∞



−1 = 1 = h (z0) = h

η mit θ mit θ = h (z ) + 1



m

Also gilt Gleichung (27.1) und wir setzen exp (iθ (iθ) g (z ) := exp

∞  1

− arg

∞  z bedeutet. Das ist ein Wider0

  −  lim zn

→∞

n

ηh ′ (z0 )

(h (z0 ) + 1)2

Da h Da h injektiv ist, muss auch g auch g injektiv sein. Außerdem gilt wegen Gleichung (27.1) g (27.1) g : η ′ Definition von θ von θ auch g auch g (z0 ) > 0 > 0 wegen h(z)+1 = 0. Also ist g ist g und = .



G

 D und

per

∈ F F  ∅ zu (2) Da G ⊂ C offen ist und z und z 0 ∈ G liegt, finden wir ein δ > 0 s.d. {z ∈ C | |z − z0 | ≤ δ } ⊂ G gilt. Dann gilt zun¨ zunachst u jedes g ∈ F : ächst f ur ¨ r jedes g |g′ (z0)|

=

   1 2π i

|ζ −z0 |=δ

|g(z)|≤1

≤

=

g (ζ )

d z − − z0)2 dz

(ζ

1 1 2πδ 2 2π δ 1 δ

·

F gilt gilt dann insbesondere ∀ g ∈ F : 0 < g′ (z0) ≤ δ 1 ∈ R). und daher existiert das Supremum (d.h. M (d.h. M < ∞, M ∈

Nach Definition von

 

122


Wir zeigen nun, dass es auch angenommen wird. Sei ( gm )m∈N Supremum M Supremum M ,, d.h. 

m

′ (z gm (z0 )

⊂ F eine approximierende Folge f ur u ¨ r das

∞  M

Wir wahlen a¨hlbare, dichte Teilmenge (ξ (ξ l )l∈N in ählen nun eine abzahlbare, 1 m N z G ist dann insbesondere

G

(z.b. Q2

∀ ∈ ∀ ∈

u (z ) | ≤ ∩ G f ur ¨r C ∼ = R2 ). Wegen |gm (z

⊂ C

(gm (ξ (ξ 1 ))m∈N

eine beschr¨ beschrankte a¨nkte Folge, und wir wissen mit Bemerkung 4.1, dass sie daher eine konvergente Teilfolge g1(m) (ξ (ξ 1 ) m∈N mit Grenzwert f Grenzwert f ( (ξ ξ 1 ) besitzt. Nun ist aber auch







g1(m) (ξ (ξ 2 )



m

∈N ⊂ C



eine beschr¨ beschrankte (ξ 2 ) änkte Folge, und wir finden eine konvergente Teilfolge g2(m) (ξ Wir erhalten so induktiv immer weitere Verfeinerungen der Folge

  gk(m)

Jetzt definieren definieren wir



m

⊂ F s.d. g s.d. g k(m) (ξ (ξ l ) m∈

∞ 

N

f (ξ ( ξ l )



m

Grenzwert f ( (ξ ξ 2 ). ∈N mit Grenzwert f

∀ l ≤ k

f m := g m(m) als die Diagonalfolge. Dann gilt f ur u alle l ¨ r alle l

∈ N: 

m

f m (ξ (ξ l )

∞  f (ξ ( ξ ) l

d.h. es liegt punktweise Konvergenz auf einer dichten Teilmenge vor. Wir wollen nun zeigen, dass sogar lokal gleichm¨ gleichmaßige ( f m )m∈N gegen die Funktion f vorliegt. f vorliegt. äßige Konvergenz der holomorphen Funktionsfolge (f Sei dazu ε dazu ε > 0, K G kompakt kompakt und dist (K, C G) =: 2d 2d > 0. Fur u gilt dann: ¨r z K gilt

⊂ ⊂

\

(z ) |f m′ (z

  |≤  1 2π i

∈

f m (ζ (ζ )

|ζ −z|=d|

− − z)2

(ζ

 

dζ

f m

∈F 1

1 1 2πd · 2 = · 2π d d

≤

(27.2)

Weiterhin konnen K ohne Einschr ankung önnen wir K änkung als Kreisscheibe annehmen, da wir jede kompakte Menge durch endlich viele Kreisscheiben uberdecken u konnen. K konvex und es gilt f ur u K , ¨berdecken k¨ önnen. Damit ist K konvex ¨ r alle z, z ′ K , N m :

∀ ∈

∈

 

 ≤  ∈

z′

(z ) − f m (z (z ′ )| = |f m (z

′ (ζ f m (ζ ) dζ

z

·

(27.2)

|z − z′|

d

(27.3)

Also Also ist die Funktio unktionsf nsfolg olgee (f m )m∈N mit δ := ε d gleichgradig gleichm gleichm¨ aßig aßig stetig auf K . Jetzt Jetzt ¨ uberdecken u wir K mit mit endlich vielen Kreisscheiben der Form z C z ξ l < dε ¨berdecken wir K 3 , d.h. r

  ⊂ ⊂ ∈

K

z

C

j =1

| |z − ξ l | j

dε < 3



|| − |



Fur u K K existiert damit ein j mit z ξ lj < dε ¨ r jedes z 3 und wegen der bereits gezeigten punktweisen l l Konvergenz auf der dichten Teilmenge gibt es auch ein m ein m εj s.d. m, m′ mεj :

∈

| − |

∀

ε |f m (ξ (ξ l ) − f m (ξ ( ξ l )| < 3

≥

′

Setze nun m nun m ε := max

j =1,...,r

und f ur u alle m, m′ ¨ r alle m,

l

mεj . Dieses m Dieses m ε h¨ h angt von z ängt dann nicht mehr von z

≥ mε mit geeignetem 1 ≤ j ≤ r:

|f m (z (z ) − f m (z ( z )| ≤ ′

 



f m (z (z )

Das bedeutet genau, dass

− f m

∈ K ab ab und es gilt f ur u alle z ∈ K ¨ r alle z

     −      −  ξ lj

+ f m ξ lj

f m |K

m

f m′ ξ lj



∞

lokal gleichm¨ gleichmaßig aßig ¨

+ f m′ ξ lj

  f

|

K

(27.4)

f m′ (z ( z )

(27.3) und (27.4)

<

ε


123

⊂ F

Daher ist die Folge (f (f m )m∈N lokal lokal gleichm¨ gleichmaßig f ebenfalls holoäßig konvergent und nach Satz 16.4 ist f ebenfalls morph in G. Außerdem sagt uns Folgerung 16.1 uber u ¨ ber die Ableitung, dass

′ (z f ′ (z0 ) = lim f m (z0 ) = M m

→∞

Laut Satz 22.1 ist f ist f als als holomorphe, nicht konstante Funktion offen und wegen

|f (z ( z )| = lim |f m (z (z )| ≤ 1 ∀ z ∈ G m→∞ muss also f also f ( ( G) zu (3)

⊂ D gelten. Mit Hilfssatz 27.1 ist f ∈ F . f außerdem injektiv, d.h f ∈ (zz0 ) = α mit einem 0 < 0 < |α| < 1. Betrachte dann die Funktion • Angenommen, es ware f äre f ( f (z ( z ) − α g (z ) := B := B α ◦ f (z ( z ) = 1 − αf (z ( z ) wobei Bα den zu α = f (z ( z0 ) und θ = 0 geh¨ gehorigen Automorphismus mus der Einheitskr Einheitskreissc eisscheibe heibe örigen Automorphis bezeichnet (vergleiche Satz 26.5 und Definition 26.1). Man berechnet

D

f ′ (z0 ) ′ ′ ′ g (z0 ) = f (z0 ) · Bα (f (f (z ( z0 )) = > f ′ (z0 ) > 0 > 0 2 1

− |α|

∈ F

Damit folgt zum einen g und zum anderen stellt dies einen Widerspruch zur Maximalit¨ und Maximalit at ät der Ableitung von f von f an an der Stelle z Stelle z 0 dar.

• Wir nehmen an, es g¨ gabe ( G). Zwangsl¨ Zwangslaufig = 0, da f (z ( z0 ) = 0. Wir stellen w0 äbe ein w0 ∈ D \f ( äufig ist w0  dann eindeutig in der Form w0 = −t2 exp exp (iθ (iθ ) mit einem 0 < 0 < t < 1 und einem θ einem θ ∈ [0, [0, 2π) dar. Sei nun g0 (z (z ) := exp exp (−iθ ) f (z ( z ) ′  D holomorph, injektiv und es gilt | g ′ (z Dann ist g0 : G M sowie g0 (z (z0 ) = 0 (z0 )| = f (z0 ) = M 2 f (z ( z0 ) = 0. Außerdem muss wegen f (z ( z )  = w 0 ∀ z ∈ G auch g0 (z (z )  = −t ∀ z ∈ G gelten. Betrachte 

nun

2

g1 (z (z ) := B := B −t2

g0 (z (z ) + t (z ) = ◦ g0 (z 1 + t2 g0 (z (z )

wobei wieder B wieder B −t2 den zu t zu t 2 D geh¨ gehorenden örenden Automorphismus der Einheitskeisscheibe D bezeichnet.   Wiederum ist g ist g 1 : G gilt g 1 (z (z0 ) = t 2 . Außerdem nimmt D holomorph und injektiv, aber diesmal gilt g g1 den Wert 0 D per Definition nicht an. Da G einfach zusammenh¨ zusammenhangend und g 1 den Wert 0 ängend ist und g   nicht annimmt, finden wir eine holomorphe Funktion g Funktion g 2 : G D mit

∈

∈

(g2 (z (z ))2 = g 1 (z (z )

∀ z ∈ G

und g0 (z (z0 ) = t (vergleiche dazu wieder [RUR], Seite 328, Satz 13.11). Die Funktion g2 ist dann automatisch auch injektiv, da sonst g sonst g 1 nicht injektiv w¨ ware. äre. Setze nun g3 (z (z ) := B := B t g2 (z (z ) =

◦

g2 (z (z ) t f ur z u ¨r z 1 tg2 (z (z )

−

−

∈ G

 D eine holomorphe, injektive Funktion und es gilt g (z Dann ist g3 : G 3 (z0 ) = 0 per Definition. Fur u ¨r die Ableitungen gilt:

g1′ (z (z0 )

′ 2 (g ′ 2 (0) = g = g0′ (z (z0 ) B− (z0 )) = g 0′ (z (z0 ) B− = g 0′ (z (z0 ) t ( g0 (z t

·

− 

g ′ (z (z0 ) 1 g1′ (z (z0 ) = 0 2t 2 g1 (z (z0 )

·

t4

g2′ (z (z0 )

=

g3′ (z (z0 )

g0′ (z (z0 ) 1 + t2 g2′ (z (z0 ) ′ ′ = g2 (z (z0 ) Bt (g (g2 (z (z0 )) = = 1 t2 2t



Insbesondere folgt damit

·

 

−

(z0 )| |g′ (z (z )| = 0 |g′ (z

 

· 1 − t4

  1 + t2

>0 2t Betrachte Betrachte also g4 (z (z ) := exp( iarg(g iarg(g3′ (z (z0 ))) g3 (z (z ) und erhalte so eine Funktion g4 2 1 + t > 2t 2 t t (0, (0, 1) sagt uns (27.5) aber genau 3

∀ ∈

−

0

g4′ (z (z0 ) > M = f ′ (z0 )

(27.5)

∈ F . Wegen

124


was einen Widerspruch zur Maximalit¨ Maximalit at von f an z an z 0 darstellt. ät der Ableitung von f Also kann es kein w kein w 0 D f ( ( G) geben und f und f ist surjektiv.

∈ \

Damit ist jetzt schon klar, dass f dass f die die Behauptungen des Satzes erf ullt. u ¨llt. zu (4) Wir nehmen an, es g¨ gabe zwei konforme konforme Abbildunge Abbildungen n f, g : äbe zwei ′ ′ f (z0 ) > 0 > 0 < < g (z0 ). Betrachte dann die Funktion h := f := f g−1 : D

◦ ◦

G

 D

mit f (z ( z0 ) = g (z0 ) = 0 und

 D

Als Komposition konformer Funktionen ist h dann ebenfalls konform und es gilt h (0) = 0. Mit dem Lemma (25.5) uber u ¨ber die Automorphismen der Einheitskreisscheibe folgt sofort h (z ) = exp exp (iθ (iθ ) z f ur u ein θ ¨r ein θ

 

′

 

Wegen h Wegen h ′ (0) = g −1 (0) f ′ g −1 (0) = daher folgt

·

1 g ′ (0)

(0) > 0 0 nach Voraussetzung muss aber θ aber θ = 0 gelten und · f ′ (0) > id = h = h = f f ◦ ◦ g−1 D

d.h. f d.h. f = g als Funktionen.

∈ [0, [0, 2π) , ∀ z ∈ D


125

Stichwortverzeichnis Abbildung 1-1, 112 konform, 112, 114 Abel Grenzwertsatz, 25 additiv Inverses, 5 Additonstheoreme, 6 Binomischer Lehrsatz, 20 Cauchy Cauchyfolge, 13, 37 Cauchykriterium, 13, 14 Funktionsfolgenkonvergenz, unktionsfolgenkonvergenz, 50 Chauchy-Riemannsche DGL, 10–11 Integralformel, 40, 42, 53, 64, 69 Integralsatz, 39, 67, 70, 76 f ur u ¨r Kreisscheiben, 40 Koeffizientenabsch¨ Koeffizientenabschatzung, ätzung, 45, 57, 58 Coursat Integrallemma von, 36, 39, 43 Doppelverhaltnis, a¨ltnis, 119 Einheitskreisscheibe Automorphismen, 117 Euler Euler’sche Formel, 19 Euler’sche Konstante, 108 Summenformel, 99, 107 Fabry Luckenreihe, u ¨ckenreihe, 49 Fixpunkt, 118 gebrochen-linearer Transformationen, 118 Folge, 12 Cauchyfolge, 13, 37 Cauchykriterium, 13 Grenzwert, 8 Haufungspunkt äufungspunkt,, 8, 16 konvergent, konvergent, 12 Rechenregeln, 12 Funktion, 7, 8 1-1, 112 Ableitung, 8 hoherer o¨herer Ordnung, 18 Allgemeine Potenzfunktion, 22 Eigenschaften, 22, 23 Beta-, 63 Cosinus, 18 Additionstheoreme, 6, 21 Eigenschaften, 20–22 Cotangens, 22 Definitionsbereich, 7 differenzierbar, 8, 10 total, 10 Exponentialfunktion, 18 Eigenschaften, 20 Fixpunkt, 118 Funktionsfolge, siehe siehe Funktionsfolge

Funktionsreihe, siehe siehe Funktionsreihe Gamma-, 62, 98 Darstellung nach Prym, 101 Eindeutigkeitssatz, 103 Erg¨ Erganzungsformel, änzungsformel, 101 Limesdarstellung, 106 Multiplikationsformel, 105 Produktdarstellung, 109 Verdoppelungsformel, 104 Wachstum, 110 ganz, 45, 46, 97 Grenzwert, 8 harmonisch, 12 holomorph, 8–12, 17, 18, 23, 32–34, 36–39, 42–44, 46, 48, 53, 56, 58, 62, 70, 82 analytische Fortsetzung, 48 Kriterium, 43 Laurententwicklung, siehe siehe Laurententwicklung lokales Werteverhalten, 85 Maximumsprinzip, 88 Minimumsprinzip, 89 Mittelwertformel, 40 Nullstellenordnung, siehe Nullstellenordnung, siehe Ordnung Ordnung Rechenregeln, 9 Singularit¨ Singularitat, siehe a¨t, siehe Singularit Singularität a¨t Weierstraßprodukt, 96, 97 holomorph und bijektiv, 87 Imagin¨ Imaginarteil, ärteil, 10 injektiv, injektiv, 9 Jacobi-Matrix, 12 k-1, 113 komplexwertige, 26 konform, 10, 112 Lagrang’sche Reihe, 87 logarithmische Ableitung, 82 Logarithmus, 22, 68 Bilogarithmus, 48 Eigenschaften, 22 Hauptzweig, 22, 45 logarithmische Spirale, 22 n-ter Nebenzweig, 22 lokal 1-1, 112 lokal injektiv, 112 lokales Maximum, 88 lokales Minimum, 88 meromorph, 74, 82 Eigenschaften, 74 Null- und Polstellenanzahl, 82, 84 Nullstellenanzahl, 84 Ordnung, siehe Ordnung, siehe Ordnung Ordnung Partialbruchzerlegung, siehe Partialbruchzerlegung, siehe Partialbuchzerlegung Partialbuchzerlegung Polordnung, siehe Ordnung siehe Ordnung Polynom, 9 Realteil, 10 schlicht, 112 Sinus, 18 Additionstheoreme, 6, 21 Eigenschaften, 20–22 stetig, 7, 56

126

stetig differenzierbare, 29 stetige, 26, 28 Tangens, 22 Umkehrfunktion Ableitung, 9 winkeltreu, 10 Zeta-, 54 alternierend, 55 Fortsetzung, 56 Funktionsfolge gleichmaßige äßige Konvergenz, 50 gleichm¨ gleichmaßige a¨ßige Konvergenz und Differentiation, 52 gleichmaßige äßige Konvergenz und Holomorphie, 53 kompakte Konvergenz, 50 lokal gleichm¨ gleichmaßige äßige Konvergenz, 50 punktweise Konvergenz, 49 Funktionsreihe absolut gleichm¨ gleichmaßige äßige Konvergenz, 51 gleichm¨ gleichmaßige äßige Konvergenz, 51 gleichm¨ gleichmaßige äßige Konvergenz und Differentiation, 52 gleichmaßige äßige Konvergenz und Holomorphie, 53 kompakte Konvergenz, 51 lokal gleichm¨ gleichmaßige äßige Konvergenz, 51 punktweise Konvergenz, 51 Gauß Integralsatz von, 43 Limesdarstellung der Gamma-Funktion, 106 Multiplikationsformel der Gamma-Funktion, 105 Gebiet, 8–11, 17, 28 Automorphismus, 116 einfach zusammenh¨ zusammenhangend, ängend, 67 ¨ konforme Aquivalenz, 114 Satz von der Gebietstreue, 86 sternf ormig, örmig, 38 Hadamard, Satz von, 16, 18 Herglotz-Trick, Herglotz-Trick, 93 Hurwitz Lemma von, 120 Imagin¨ Imaginarteil, a¨rteil, 5 imgagin¨ imgaginare äre Einheit, 5 Integral, 26, 28 -formel von Cauchy, 40, 42, 53, 64, 69 -lemma von Coursat, 43 -satz von Cauchy, 67 Absch¨ Abschatzungsregel, a¨tzungsregel, 27 entlang einer glatten Kurve, 28, 29 Eigenschaften, 30–31 entlang einer Kette, 64 entlang eines Strahls, 60 Kurvenintegral, 32 Parameterintegral, 58, 66 partielle Integration, 33 reelles, 27 Dreiecksungleichung, Dreiecksungleichung, 61 Satz f ur u ¨r Kreisscheiben, 40 Satz von Cauchy, 39 Satz von Gauß, 43 Standardabsch¨ Standardabschatzung, ätzung, 30, 57, 59 Substitutionsregel, 27 Transformationsformel, 31


Umkehrungsregel, 31 uneigentliches, 59, 60 entlang einer Kurve, 59 gleichm¨ gleichmaßige äßige Konvergenz, 60 kompakte Konvergenz, 61 lokal gleichm¨ gleichmaßige äßige Konvergenz, 61 lokal gleichm¨ gleichmaßige äßige Konvergenz und Holomorphie, 62 Majorante, 61 Integralsatz von Cauchy, 39 Intervall abgeschlossenes, 29 kompaktes, 26 Kette, 64 ¨ Außeres, 64 Inneres, 64 Lange, änge, 64 Spur, 64 Umlaufzahl, 64 Kettenregel, 9 Koeffizientenabsch¨ Koeffizientenabschatzung ätzung von Cauchy, 45, 57, 58 Komplexe Komplexe Zahlen, Zahlen, 5 absoluter absoluter Betrag, 5 Einheitswurzeln, 19 Korper örper der, 5 komplexe Konjugation, 5 Polarkoordinaten, 6 ¨ konforme Aquivalenz, 114 Kurve, 26, 31, 60 ¨ Aquivalenz, 29 ¨ Außeres, 63 Anfangspunkt, 28, 60, 62 Endpunkt, 28, 59, 62 geschlossen, 28, 34, 35, 75 glatte, 28, 29, 32 Inneres, 63 Kette, siehe Kette, siehe Kette Orientierung, 75 Parametrisierung, 29, 32, 34 Spur einer, 28 st¨ stuckweise u ¨ckweise glatt, 31 Parametrisierung, 31 Strahl, 60 Umlaufzahl, 75 Lagrang Lagrang’sche Reihe, 87 Laplace-Differentialgleichung, Laplace-Differentialgleic hung, 12 LaPlace-Transformation, LaPlace-Transformation, 63 Laurententwicklung, 71, 72, 74, 76, 91 Hauptteil, 71–73, 90, 91 Nebenteil, 71, 72 Satz von Mittag-Leffle Mittag-Leffler, r, 90 Laurententwicklungen, Laurententwicklungen, 94 Legendre Multiplikationsformel der Gamma-Funktion, 105 Verdoppelungsformel der Gamma-Funktion, 104 Lemma von Schwarz, 111


Liouville Satz von, 46 Mobiustransformation, öbiustransformation, 115 McLaurin Summenformel, 99, 107 Mellin-Transformation, 63 Menge offen, 8 zusammenh¨ zusammenhangend, ängend, 8 Moivre, de, Satz von, 6, 19 Morera Satz von, 43 multiplikativ Inverses, 5 Nullstellenordnung, 26 obere Halbebene Halbebene Automorphismen, 117 Ordnung Nullstellenordnung, 73, 76, 96 Eigenschaften, 47 Polordnung, 73 Parametertransformation, 29 Partialbruchzerlegung, 89 Satz von Mittag-Leffle Mittag-Leffler, r, 90 Partialsumme, 13 partielle Summation, 24 Polarkoordinaten, 6 Produkt, 94 allgemeine Fakult¨ Fakultat, ät, 101 Konvergenz, 94, 95 Weierstraß’scher Produktsatz, 97 Weierstraßprodukt, 96–98 Produktregel, 76 Realteil, 5 Reihe, 13 absolute Konvergenz, 14–17 Binomialreihe, 15 Divergenz, 15, 16 Exponentialreihe, 15 geometrische Reihe, 15 Grenzwert, 13 konvergent, konvergent, 13 Konvergenz, 14–16 Cauchykriterium, 14 Majorantenkriterium, 14 Quotientenkriterium, 16, 17 Konvergenzradius, 15–18, 23 Luckenreihe, u ¨ckenreihe, 49 Lagrang’sche Reihe, 87 Majorante, 14, 16 Minorante, 14 Potenzreihe, 15, 16, 23 Divergenzpunkt, 15 Identit¨ Identitatssatz, ätssatz, 18 Koeffizienten, 15 konstantes Glied, 15 Konvergenzpunkt, 15 Rechenregel, 13 Residuum, 74, 76

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Rechenregeln, 75 Riemann Abbildungssatz, 120 Chauchy-Riemannsche DGL, 10–11 Riemann’sche Fl¨ Flache, äche, 22 Zahlenkugel, 115 Riemann-Summe, 26 Untersumme, 26 Satz von L’Hospital, 79 Doppelreihensatz von Weierstraß, 54 Fundamentalsatz der Algebra, 46, 83–85, 89 Identit¨ Identitatssatz, ätssatz, 48 Maximumsprinzip, 88 Minimumsprinzip, 89 Residuensatz, 74, 77, 80–82 Riemann’scher Abbildungssatz, 120 Riemann’scher Hebbarkeitssatz, 69 von Casorati-Weierstraß, 69 von der Gebietstre Gebietstreue, ue, 86 von Gauß, 43 von Liouville, 46, 92 von Mittag-Leffler, 90 von Morera, 43 von Rouch´ Rou ché, e, 84 Weierstraß’scher Produktsatz, 97 Schwarz Lemma von, 111 Singularit¨ Singularitat, ät, 73, 74, 81 hebbare, 68, 72, 74, 75 Hebbarkeitssatz, 69 isolierte, 68, 74, 77 Residuum, siehe Residuum, siehe Residuum Residuum Pol, 68, 72, 74, 78, 79, 83 einfach, 76 mehrfach, 76 Satz von Casorati-Weierstraß, 69 wesentliche, 68, 72 Sph¨ Sphare, äre, 6 Stammfunktio Stammfunktion, n, 32, 34 stereographische Projektion, 6 Strahl, siehe Strahl, siehe Kurve Streckenzug, 26 Summenformel Euler-McLaurin, 99, 107 Supremum, 16 Taylor, 88 Entwicklung, 44, 49, 87, 95 Formel, 44 Taylorreihe, 70 Umgebung, 5–8 Umlaufzahl, 34, 35 Unendlich, 6 Umgebung, 6 Wielandt Eindeutigkeitssatz f ur u ¨r die Gamma-Funktion, 103 Winkel, 9 konforme Abbildung, 112 zwischen zwei sich schneidenden Kurven, 112

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Zusammenhangskomponente, 35


Funktionentheorie

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