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Fundamentos de Geometria Espacial

Paulo Antônio Fonseca Machado

Fundamentos de Geometria Espacial

Belo Horizonte CAED-UFMG 2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Profº Clélio Campolina Diniz Reitor Profª Rocksane de Carvalho Norton Vice-Reitoria Profª Antônia Vitória Soares Aranha Pró Reitora de Graduação Profº André Luiz dos Santos Cabral Pró Reitor Adjunto de Graduação

CENTRO DE APOIO DE EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo Diretor de Educação a Distância Prof º Wagner José Corradi Barbosa Coordenador da UAB/UFMG Profº Hormindo Pereira de Souza Junior Coordenador Adjunto da UAB/UFMG

CONSELHO EDITORIAL Profª. Ângela Imaculada Loureiro de Freitas Dalben Profº. Dan Avritzer Profª. Eliane Novato Silva Profº. Hormindo Pereira de Souza Profª. Paulina Maria Maia Barbosa Profª. Simone de Fátima Barbosa Tófani Profª. Vilma Lúcia Macagnan Carvalho Profº. Vito Modesto de Bellis Profº. Wagner José Corradi Barbosa COLEÇÃO EAD – MATEMÁ MATEMÁTICA TICA Coordenador: Dan Avritzer LIVRO: Fundamentos de Geometria Plana Autor: Paulo Antônio Fonseca Machado Revisão: Jussara Maria Frizzera Projeto Gráco: Laboratório de Arte e Tecnologia

para Educação/EBA/UFMG EDITORA CAED-UFMG Profº Fernando Selmar Rocha Fidalgo

Formatação: Sérgio Luz

Dados Internacionais de Cat alogação na Publicação (CIP) (Luciana de Oliveira M. Cunha, CRB-6/2725)

L732f L73 2f

Lima, Paulo Cupertino de Fundamentos Fundamen tos de Geometria Espacial / Paulo Antônio Fonseca Machado. – Belo Horizonte : CAED-UFMG, CAED-UFMG, 2012. 119 p. : il. ; 27 cm. Inclui bibliografa. ISBN 1. Funções (Matemática). 2. Ensino a distância. I. Universidade Federal de Minas Gerais. II. Título.

CDD 515 CDU 51 517 7.5

SUMÁRIO Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Nota do Editor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Aula 1: O Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Elementos primitivos e axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Algumas consequênc consequências ias dos axiomas do grupo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Aula 2: Mais propriedades do espaço .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Separação do espaço: semiespaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Ângulos e congruênci congruênciaa no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 O axioma das paralelas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Opcional al:: demonstraç ação ão dos teoremas 2.1 e 2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Aula 3: Paralelismo no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Paralelismo entre retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Paralelismo entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37 .37

3.4 Algumas propriedades de paralelismo no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.5 Problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Aul ulaa 4: 4: Per Perpe pend ndic icul ulaarirism smoo en entr tree ret retas as e pl plan anos os no es espa paçço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Ângulos entre retas no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Perpendicularismo de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 47

4.4 Existência de retas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.5 Opcional al:: demonstraç ação ão dos teoremas 4.1 e 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Aula 5: Ângulos entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Ângulos entre planos: diedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.3 Planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.4 Construção de planos perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.5 Alguns problemas resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

Aula 6: Lugares geométricos e poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.2 Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.3 Planos bissetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.4 Alguns lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 6.5 Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 6.5.1 Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.5.2 Paralelepípedos e cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.5.3 Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.5.4 Outros poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Aula 7: Volumes de poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.2 Volume de regiões poliedra poliedraisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.3 Volume de prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.4 Volume de pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7.4.1 Propriedad Propriedades es basicas de pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.4.2 Cálculo do volume de uma pirâmide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 97

7.5 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Aula 8: Cilindros, cones e esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.2 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.3 Cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.4 Esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Apêndices: Axiomas da geometria plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A.1 Axiomas: grupo I, axiomas de incidência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A.2 Axiomas: grupo II, parte 1: métrica e ordem na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 A.3 Axiomas: grupo III, medida de ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 A.4 Axiomas: grupo IV, congruência de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.5 Axiomas: grupo V, axioma das paralela paralelass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.6 Axiomas: grupo VI, axiomas sobre áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

˜ INTRODUC ¸ AO Caras e caros alunas e alunos, neste livro apresentamos os fundamentos da geometria espacial euclidiana, e pode ser visto como uma continua¸caõ do livro [7]. Na verdade, o que chamamos “Fundamentos da Geometria Euclidiana” n˜ ao deveria ser separado em geometria plana e geometria espacial, pois é um s´ o assunto, coeso. Esta separa¸ cão é apenas uma forma de apresentar a geometria euclidiana de maneira mais did´ atica e pr´ atica. Adotaremos neste texto todas as nomenclaturas, terminologias e nota¸ c˜ oes estabelecidas em [7], em sua maioria tradicionais e utilizadas em quase todos os textos que tratam de geometria euclidiana. Suporemos que todos vocês est˜ ao familiarizados com os termos utilizados nesse livro. Em caso de d´ uvidas, consultem-no. Abaixo, como uma forma de refrescar a mem´ oria, listamos as principais nota¸co˜es que utilizaremos. Pontos ser˜ ao denotados por letras latinas mai´ usculas (A, B , etc.). Retas ser˜ ao em geral denotadas por letras latinas min´ usculas (r, s, etc.). No caso em que apresentarmos retas determinadas por dois pontos espec´ıficos usaremos uma seta de duas pontas ( ) sobre as letras que nomeiam os pontos. Por exemplo, a reta determinada pelos p ontos A e B ser´ a denotada por AB . ← →

←→

Para semirretas adotamos uma nota¸cão an´ aloga a` para retas, mas as demarcaremos por uma seta com uma ponta ( ). Por exemplo, o s´ımbolo r denota a semirreta r; e o s´ımbolo AB denota a semirreta com origem no ponto A e passando pelo ponto B .  →

 →

→

Segmentos de reta ser˜ ao demarcados por uma barra cont´ınua sobre as letras que nomeiam os pontos que determinam o mesmo. Por exemplo, o segmento de extremos A e B ser´ a denotado por AB. A medida de um segmento ser´ a denotada pelos extremos do mesmo, sem a barra. Por exemplo, a medida de AB é AB . ˆ Angulos ser˜ ao denotados pelo s´ımbolo . Por exemplo, um ângulo chamado α ser´ a denotado por α; e um aˆngulo determinado por trˆ es pontos A, B , C , com origem em B , será denotado por ABC . A medida de um aˆngulo α, por exemplo, ser´ a denotada por m (α). Os nossos novos elementos, os planos, ser˜ ao denotados, como manda a tradi¸cão, por letras gregas min´ usculas (α, β , γ , etc.). N˜ ao h´ a perigo de confundir uma letra grega que represente um plano com a mesma que denote um aˆngulos, pois a segunda sempre virá acompanhada com o s´ımbolo . Para facilitar a consulta de vocês listamos no apêndice A os axiomas da geometria plana euclidiana introduzidos em [7], e algumas defini¸cões b´ asicas.

7

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NOTA DO EDITO R A Universidade Federal de Minas Gerais atua em diversos projetos de Educação a Distância, que incluem atividades de ensino, pesquisa e extensão. Dentre elas, destacam-se as ações vinculadas ao Centro de Apoio à Educação a Distância (CAED), que iniciou suas atividades em 2003, credenciando a UFMG junto ao

Ministério da Educação para a oferta de cursos a distância. O CAED-UFMG (Centro de Apoio à Educação a Distância da Universidade Federal de Minas Gerais), Unidade Administrativa da Pró-Reitoria de Graduação, tem por objetivo administrar, coordenar e assessorar o desenvolvimento de cursos de graduação, de pós-graduação e de extensão na modalidade a distância, desenvolver estudos e pesquisas sobre educação a distância, promover a articulação da UFMG com os polos de apoio presencial, como também produzir e editar livros acadêmicos e/ou didáticos, impressos e digitais, bem como a produção de outros materiais pedagógicos sobre EAD. Em 2007, diante do objetivo de formação inicial de professores em serviço, foi criado o Programa Pró-Licenciatura com a criação dos cursos de graduação a distância e, em 2008, com a necessidade de expansão da educação superior pública, foi criado pelo Ministério da Educação o Sistema Universidade Aberta do Brasil – UAB. A UFMG integrou-se a esses programas, visando apoiar a formação de professores em Minas Gerais, além de desenvolver um ensino superior de qualidade em municípios brasileiros desprovidos de instituições de

ensino superior. Atualmente, a UFMG oferece, através do Pró-licenciatura e da UAB, cinco cursos de graduação, quatro cursos de pós-graduação lato sensu, sete cursos de

aperfeiçoamento e um de atualização. Como um passo importante e decisivo, o C AED-UFMG decidiu, no ano de 2011,

criar a Editora CAED-UFMG como forma de potencializar a produção do material didático a ser disponibilizado para os cursos em funcionamento.

Fernando Selmar Rocha Fidalgo

Editor

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1

O Espaço

AULA1: O ESPAC ¸O

OBJETIVOS

Introduzir os conceitos elementos primitivos e de axiomas da Geometria Euclidiana no espa¸co. Apresentar os axiomas de “incidência” e algumas de suas consequências.

1.1

Introdu¸ c˜ ao

Todos temos uma ideia bem intuitiva do conceito que denominamos “espa¸ co”: é o ambiente em que vivemos, onde podemos nos mover para os lados, para cima e para baixo, o mundo “tridimensional”, ou seja, que possui trˆ es dimens˜ oes, uma a mais que o mundo plano, bidimensional. Costumamos dizer que somos seres “tridimensionais” por vivermos neste tal espa¸co. Pois bem, um conceito aparentemente t˜ ao simples na verdade esconde uma complexidade filos´ ofica, f´ısica e matemática que n˜ ao imaginamos1 . Neste curso n˜ ao vamos discutir estas profundas quest˜ oes, mas abordaremos este assunto da mesma maneira que se faz quando estudamos a geometria plana do ponto de vista axiom´ atico.

Figura 1.1

Nosso ponto de partida neste curso, como j´ a o dissemos na Introdu¸caõ, é o texto [7], onde apresentamos um modelo axiom´ atico para a geometria plana euclidiana. Recomendamos a todos os estudantes, portanto, que releiam este texto, principalmente as aulas um a trˆ es. Antes de come¸carmos, vamos abordar um problema pr´ atico que se tem quando estudamos geometria espacial: como representar visualmente as figuras tridimensionais. Desenhar figuras planas é f´ acil, pois as páginas de um livro, por exemplo, s˜ ao boa representa¸caõ de um plano. Desenhar figuras que vivem no espa¸ co, por outro lado, representa um desafio, j´ a que os desenhos devem ser apresentados sobre a mesma folha de papel. Assim a imagina¸ cão dos leitores será muito mais exigida neste curso do que num curso de geometria plana. Vamos mostrar alguns exemplos. Para come¸car, representaremos um plano no espa¸co em geral como na figura 1.1 (na verdade, uma “por¸caõ” de um plano – use a imagina¸cão!). Usaremos, em geral, letras gregas min´ usculas para nomear estes objetos; no nosso exemplo denotamos o plano por α.

1

O leitor interessado poder´ a estudar mais sobre isto no livro “Conceitos de espa¸co: a hist´ oria das teorias do espa¸ co na f´ısica”, de Max Jammer, editado pela Editora Contraponto no Brasil.

AUL A 1: O ESPAÇO

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Figura 1.2

Na figura 1.2 representamos dois planos α e β que se interceptam segundo uma reta e contêm dois triângulos: o triˆ angulo △LM N contido no plano α, e o triângulo △IJ K contido no plano β . Para dar a no¸caõ de tridimensionalidade usamos linhas pontilhadas indicando as partes da figura que est˜ ao atr´ a s e a` frente dos objetos representados. No nosso exemplo, peda¸cos dos segmentos IK e J K estão por trás da por¸caõ do plano α, do aˆngulo de vis˜ ao em que desenhamos a situa¸cão. Analogamente, partes dos segmentos LM e LN estão por tr´ as da por¸caõ desenhada do plano β .

Figura 1.3

Na figura 1.3 representamos uma situa¸ caõ mais elaborada. Desenhamos uma esfera contendo em seu interior uma pirˆ amide triangular (um tetraedro – veremos sobre isto mais adiante). Os pontos A , B , C e D s˜ ao pontos da esfera e todos os segmentos representados (AB , AC , ao no interior da esfera. Na verdade os segmentos deveriam estar “escondidos” AD, etc.) est˜ de nossa vis˜ ao pela esfera, mas fica dif´ıcil desenhar assim. Ent˜ ao, neste caso, deixamos todos os segmentos representados com linhas cheias, exceto o segmento AD , para indicar que este est´ a na parte de tr´ as do tetraedro. Cabe ao leitor usar sua imagina¸ cão e compreens˜ ao intuitiva para completar o significado da figura. Fa¸ca uma pesquisa sobre as diversas figuras espaciais que vocˆ e j´ a deve conhecer (prismas, pirˆ amides, cones, cilindros, etc.) e as desenhe, tentando dar a sensa¸c˜ ao visual de tridimensionalidade. Problema 1.1.

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FUNDAMENTOS DE GEOMETRIA ESPACIAL

1.2

Elementos primitivos e axiomas

Em [7] apresentamos os três elementos primitivos da geometria plana: os pontos as retas e o plano. Quando passamos para o espa¸co “aumentamos” uma “dimens˜ ao geométrica”, isto é, passamos a ver um universo onde temos v´ arios planos, todos essencialmente c´ opias de um mesmo “modelo”: o plano estudado num curso de geometria plana. Do ponto de vista formal acrescentamos mais um elemento primitivo em nossa lista. Agora nossos elementos primitivos serã o os pontos , as retas , os planos (no plural, e nã o mais no singular!) e o ao é uma “nova geometria”. Separamos estes assuntos – espa¸co. Mas aten¸cã o! Esta n˜ geometria plana e geometria espacial – por quest˜ oes did´ aticas, mas são todas partes de um conjunto u ńico. Em particular, todos os resultados da geometria plana continuam v´ alidos, inclusive os axiomas. Em [7] apresentamos um sistema axiomático da geometria plana dividido em seis grupos (veja o apêndice A): Grupo I: axiomas de incidência. Grupo II: axiomas de métrica na reta e ordem na reta e no plano. Grupo III: axiomas de medidas de ângulos. Grupo IV: axiomas de congruência de triˆ angulos. Grupo V: axioma das paralelas. Grupo VI: axiomas sobre áreas de figuras planas. Para estudarmos a geometria no espa¸ co precisaremos atualizar a lista de axiomas. Mas esta opera¸ cão n˜ ao ser´ a muito traumática, pois a u ńica modifica¸caõ (na verdade uma extens˜ ao) que precisa ser feita é nos axiomas do grupo I, para abarcar as inter-rela¸ c˜ oes entre os elementos primitivos que agora incluem planos e o espa¸ co. Os trˆ es axiomas do grupo I listados em [7] permanecem como est˜ ao, apenas trocando-se a palavra plano por espa¸co. Axioma I.1. Por dois pontos distintos do espa¸co passa uma e somente uma reta.

etrica estabelecida em [7]. Observa¸ ca õ 1.1. Neste texto adotamos a mesma linguagem geom´ Por exemplo, no axioma acima usamos o termo “passar” no sentido de que dados dois pontos distintos do espa¸co ent˜ ao existe apenas uma reta que os cont´ em.

co possui pelo menos dois pontos distintos. Axioma I.2. Toda reta do espa¸ co cont´ em pelo menos três pontos distintos que n˜ ao pertencem a Axioma I.3. O espa¸ uma mesma reta. Em seguida precisamos estabelecer condi¸ co˜es an´ alogas a`s dadas nos axiomas I.1 e I.2 para planos – isto é as condi¸ cões de determina¸caõ de um plano por pontos, e o fato de planos serem conjuntos n˜ ao vazios do espa¸co. Primeiro observe o que nossa experiência nos traz: se você toma um banco com trˆ es pernas e o coloca no ch˜ ao, ver´ a que ele n˜ ao claudica (veja figura 1.4).

AUL A 1: O ESPAÇO

13

Figura 1.4

Ent˜ ao ´ e razoável estabelecermos o seguinte axioma, que traduz para o mundo abstrato da matem´ atica esta propriedade experimental: precisamos de trˆ es pontos para determinar um plano.

es pontos distintos n˜ ao colineares do espa¸ co passa um e somente Axioma I.4. Por trˆ um plano. O axioma seguinte garante que planos fazem sentido, ou seja, que são conjuntos não vazios.

co cont´ em pelo menos um ponto. Axioma I.5. Todo plano do espa¸ ao exigimos que um plano contenha trˆ es pontos, como Observa¸ c˜ ao 1.2. Observe que n˜ sugeriria uma analogia com o axioma I.2, mas apenas um. Veremos mais adiante que, como consequˆ encia dos axiomas estabelecidos, todo plano cont´ em pelo menos trˆ es pontos n˜ ao colineares.

Nos faltam agora as regras que realmente descrevem o espa¸co tridimensional. Esta “tridimensionalidade” será garantida pelas propriedades descritas a seguir. B

α

A t s

Figura 1.5: – Axioma I.6

ao Axioma I.6. Se uma reta possui dois pontos distintos em comum com um plano, ent˜ esta reta est´ a inteiramente contida no plano.

O axioma acima traduz o fato esperado: quando vocˆ e tra¸ca uma reta numa folha de papel usando uma r´ egua e um lápis, n˜ ao tem como deixá-la perfurando a folha. Na figura 1.5 a linha designada pela letra s n˜ ao é o que se espera ser uma reta passando pelos pontos A e B do plano α, mas a linha t representa, esta sim, a reta determinada por estes pontos.

ao sua interse¸c˜ ao Axioma I.7. Se dois planos distintos possuem um ponto em comum ent˜ ´ e uma reta passando por este ponto.

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β

t

α

P


O axioma I.7 nos diz como planos se “interpenetram” no espa¸ co. Dados dois planos no espa¸co trˆ es coisas podem acontecer: (i) eles são idênticos, ou (ii) eles são distintos e possuem pontos em comum, ou (iii) eles não têm pontos em comum. Na terceira possibilidade são chamados de planos paralelos , assunto que veremos com mais detalhes adiante. Na segunda possibilidade nossa intui¸ c˜ ao nos diz que a interse¸cão deles n˜ ao pode ser muito grande. Se você examinar as p´ aginas deste livro, imaginando que s˜ ao planos, p ode ver que se interceptam numa reta, que é a lombada do livro – da´ı este axioma. Na figura 1.6 representamos dois planos α e β que têm um ponto P em comum e, portanto, possuem a reta t em comum. Problema 1.2. Se

os planos α e β da figura 1.6 possu´ıssem um outro ponto em comum, fora de t, o que vocˆ e pode dizer sobre eles? Em quais dos itens listados acima se encaixariam? (Sugest˜ ao: veja o axioma I.4).

Axioma I.8. Para

todo plano α do espa¸co existe pelo menos um ponto P que n˜ ao est´ a

contido em α. O axioma I.8 descreve formalmente o que nossa vis˜ ao do espa¸co nos diz: podemos andar nele para os lados, para cima e para baixo, sem ficarmos presos a uma existˆ encia plana (figura 1.7).


AUL A 1: O ESPAÇO

15

1.3

Algumas consequˆ encias dos axiomas do grupo I

Vamos deduzir algumas propriedades dos axiomas que apresentamos. Come¸ camos com a seguinte

Figura 1.8

unico plano. Proposi¸ ca õ 1.1. Por duas retas concorrentes passa um ´ ˜ o. Sejam r e s duas retas concorrentes num ponto P . Para provar este Demonstrac ¸a

resultado vamos seguir os seguintes passos (veja figura 1.8): (1) Tome os pontos A ∈ r e B

∈

s distintos de P (existem pelo axioma I.2);

(2) tome α o u ´ nico plano que passa por A , B e P (axioma I.4); (3) a reta r está contida em α, pois é determinada pelos pontos A e P que pertencem a α (axiomas I.1 e I.6). Analogamente prova-se que s ⊂ α. Provamos assim que o plano α determinado pelos pontos A, B e P é o u ńico plano que contém simultaneamente as retas r e s .

Figura 1.9

˜ da proposi¸cao ˜ 1.1 para provar o seguinte fato: por Problema 1.3. Adapte a demonstra¸cao uma reta r e um ponto P fora de r passa um unico ´ plano (veja figura 1.9). Vejamos agora um resultado um pouco mais complicado. es pontos n˜ ao colineares. Teorema 1.2. Todo plano possui pelo menos trˆ ˜ o. Seja α um plano qualquer do espa¸ Demonstrac ¸a co. Vamos “marcar” três pontos n˜ ao colineares em α seguindo os passos abaixo, que você pode acompanhar nas figuras 1.10 e

1.11: (1) Existem um ponto P ∈ α e um ponto Q fora de α, pelos axiomas I.5 e I.8, respectivamente. ←→

(2) Seja r = P Q. Pelo axioma I.3 existe um terceiro ponto R ∈ r . Observe que r n˜ ao est´ a contida em α , j´ a que Q ∈ α. (3) Pelos três pontos n˜ ao colineares P , Q e R passa um u ńico plano β (axioma I.4). Observe que r ⊂ β , j´ a que P e Q pertencem a β .

16


Figura 1.10

Figura 1.11

(4) Os planos α e β possuem o ponto P em comum, donde α ∩ β = s , onde s é uma reta passando por P (axioma I.7). Observe que Q ∈ s, pois s está contida em α, e Q não pertence a α. (5) Seja S um quarto ponto na hist´ oria, n˜ ao contido em β (novamente axioma I.8). (6) O ponto S e a reta r determinam um plano γ (problema 1.3), distinto de α e β (por quê?). (7) Os planos α e γ possuem em comum o ponto P , logo α ∩ γ = t, uma reta passando por P . (8) Obtemos assim duas retas concorrentes s e t contidas em α . Para terminar tomamos dois pontos A ∈ s e B ∈ t quaisquer, distintos de P , de forma que os pontos A, B e P s˜ ao pontos de α não colineares, como quer´ıamos. O estudante pode se perguntar para quê demonstrar este resultado do teorema anterior, que parece t˜ ao o´bvio? Este é um exemplo da ingrata tarefa de se trabalhar com a formalidade de um sistema axiom´ atico. N˜ ao temos nenhuma afirma¸cão, na lista dos axiomas I.1 a I.8, que nos garanta a existência de mais de um ponto em um plano, logo precisamos provar que isto é verdade. O que temos é o contr´ ario: se temos três pontos n˜ ao colineares ent˜ ao existe um plano que os cont´ em (axioma I.4). Chamamos também aten¸ caõ para a t´ ecnica utilizada na demonstra¸ c˜ ao do teorema 1.2: para marcar os pontos desejados fomos criando planos e encontrando interse¸ c˜ oes entre planos e retas. Esta técnica é usual em geometria espacial, e a utilizaremos com frequência. Portanto convidamos todos a estudarem com bastante aten¸ caõ os passos desta demonstra¸caõ, como fica implicitamente sugerido nos problemas a seguir. Problema 1.4. Nas

figuras 1.10 e 1.10 ilustramos os passos da demonstra¸ c˜ ao do teorema 1.2. Diga até qual passo a figura 1.10 corresponde. Problema 1.5. Tente

adaptar a demonstra¸c˜ ao do teorema 1.2 para provar o seguinte fato: dada uma reta r contida num plano α, existe um ponto A ∈ α que n˜ ao pertence a r.

AUL A 1: O ESPAÇO

17

1.4 Exerc´ ıcios

Figura 1.12: – Exerc´ıcio 1.1

1.1. Analisando

visualmente a figura 1.12, onde deve-se considerar que o ponto D n˜ ao est´ a no mesmo plano que os pontos A, B e P , decida se os pontos nos conjuntos listados mais abaixo (i) s˜ ao colineares ou (ii) n˜ ao s˜ ao colineares, mas s˜ ao coplanares ou (iii) n˜ ao s˜ ao coplanares. (a) {A,B,C,D}; (b) {A,B,D}; (c) {P,D,Q}; (d) {P,B,C }; (e) {A,B,C,Q}. 1.2. Indique

quantas retas podem passar por pares escolhidos dentre quatro pontos distintos A, B , C e D se (a) A, B e C s˜ ao colineares; (b) cada trˆ es pontos n˜ ao s˜ ao colineares; (c) os pontos n˜ ao s˜ ao coplanares. Fa¸ca um desenho de cada situa¸cao ˜ poss´ıvel. 1.3. Vimos

que três pontos n˜ ao colineares no espa¸co determinam um ´ unico plano. Prove que se os três pontos s˜ ao colineares, ent˜ ao existem infinitos planos que os contêm. 1.4. Sejam

ao colineares, e seja α o plano determinado por eles. A, B e C três pontos n˜ Prove que os lados do triˆ angulo △ABC est˜ ao contidos em α.

18


1.5. Sejam A, B , C

e D quatro pontos do espa¸co. Decida se cada afirma¸cao ˜ a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta com uma demonstra¸c˜ ao ou um contraexemplo, e fa¸ca um desenho para cada situa¸cao. ˜ (a) Se AB e CD possuem um ponto em comum, ent˜ ao s˜ ao coplanares. (b) Se AB e CD n˜ ao possuem pontos em comum ent˜ ao não s˜ ao coplanares. (c) Suponha que os pontos A, B e C n˜ ao sejam colineares. Seja α o plano determinado por estes pontos. Se D ∈ α ent˜ ao os segmentos D A, DB e D C n˜ ao interceptam nenhum dos interiores dos lados do triˆ angulo △ABC . (d) Seja, como no item anterior, α o plano determinado pelos pontos n˜ ao colineares A, B e ao pelo menos um dos segmentos DA, DB ou DC intercepta o interior C . Se D ∈ α ent˜ de algum lado de △ABC . (e) Ainda nas condi¸coes ˜ do item anterior. Se um dos segmentos D A, D B ou D C intercepta o interior de algum lado de △ABC ent˜ ao D ∈ α.

AUL A 1: O ESPAÇO

19

2

Mais propriedades do espaço

AULA2: MAIS PROPRIEDADES DO ESPAC ¸O OBJETIVOS

Apresentar os outros axiomas da Geometria Euclidiana no espa¸co. Analisar, com cuidado, as seguintes propriedades: separa¸cão do espa¸co em semiespa¸cos, congruências no espa¸co, e paralelismo de retas no espa¸co.

2.1

Introdu¸ c˜ ao

Na aula anterior apresentamos o nosso novo elemento primitivo, o espa¸co, e os axiomas que regem as inter-rela¸co˜es entre pontos, retas, planos e o espa¸co, chamados axiomas de incidência. Estes são, essencialmente, os únicos axiomas que precisam ser modificados em rela¸caõ a um sistema axiomático para a geometria plana. Os outros, como já o dissemos, permanecem v´ alidos. Nesta aula estudaremos os axiomas dos outros grupos e veremos algumas consequências.

2.2

Separa¸ c˜ ao do espa¸ co: semiespa¸ cos

Vamos come¸car estabelecendo um axioma “curioso”, que sintetiza o que afirmamos na introdu¸cão acima: Axioma E.1. Todos

os axiomas dos grupos II, III, IV e V, apresentados em [7], s˜ ao v´ alidos na geometria espacial, salvo algumas adapta¸coes. ˜ Queremos dizer com este axioma que todas as afirma¸co˜es sobre propriedades da geometria plana são válidas no espa¸co, com as devidas adapta¸co˜es. Vamos então “passar os olhos” nos axiomas apresentados em [7], chamando a aten¸cão para os pontos mais complicados. Os axiomas II.1 a II.5 de [7] tratam de medida de segmentos, da ordem de pontos numa reta e de semirretas. Estas propriedades são transcritas automaticamente para o espa¸co, como se pode ver facilmente. Problema 2.1. Reveja

os axiomas II.1 a II.5 de [7] e tente visualiz´ a-los no espa¸co.

O axioma II.6, que trata da separa¸caõ de um plano em semiplanos por retas, será analisado com mais detalhes. Vamos reescrever seu enunciado, dentro de nosso novo contexto.

Figura 2.1: – Axioma II.6

AUL A 2 – MAIS PROPRIEDAD ES DO ESPAÇO

21

Axioma II.6. Toda

reta l em um plano α determina exatamente dois subconjuntos ˜ l de α, denominados semiplanos de α em rela¸c˜ αl e α ao a l, satisfazendo as seguintes propriedades: (a) todos os pontos de α est˜ ao contidos em αl ∪ ˜ αl ; (b) αl ∩ ˜ αl = l; (c) dois pontos A e B de α n˜ ao pertencentes a l est˜ ao num mesmo semiplano de α em rela¸c˜ ao a l se e somente se AB ∩ l =  ; (d) dois pontos A e B n˜ ao pertencentes a l est˜ ao em semiplanos distintos de α em rela¸c˜ ao a l se e somente se AB ∩ l ≠  . Problema 2.2. Compare

este enunciado do axioma II.6 com o enunciado do mesmo em [7] e aponte as diferen¸cas. Aproveite a oportunidade e reescreva os enunciados dos outros axiomas apresentados em [7], colocando-os no novo contexto. Na figura 2.1 representamos dois planos α e β no espa¸co. Eles s˜ ao cortados pelas retas l e s, respectivamente, que dividem cada um em dois semiplanos. No caso do plano α, por exemplo, os pontos A e B estão do mesmo lado1 em rela¸caõ a l , e os pontos B e C estão em lados opostos. Problema 2.3. Na

figura 2.1 identifique todos os pontos representados, dizendo de que lado est˜ ao em cada plano α e β , em rela¸cao ˜ a`s retas l e s, respectivamente. Situa¸caõ an´ aloga a` descrita no axioma II.6 vale no espa¸co, isto é, um plano determina no espa¸co dois conjuntos com propriedades exatamente equivalentes a`s propriedades descritas neste axioma. No entanto, esta propriedade n˜ ao precisa ser estabelecida como um axioma, mas é consequência do axioma II.6, como enunciamos no teorema seguinte.

Figura 2.2: – Separa¸ c˜ ao do Espa¸co

do espa¸co). Todo plano α do espa¸co determina exatamente dois ̃α do espa¸co, denominados semiespa¸ cos em rela¸ subconjuntos n˜ ao vazios Eα e E cao ˜ a α, satisfazendo as seguintes propriedades: Teorema 2.1 (Separa¸ caõ

(a) todos os pontos do espa¸ co est˜ ao contidos em Eα ∪ ̃ Eα ;

1

22

Lembramos que os lados de um plano α em rela¸ ca õ a uma reta l ⊂ α s˜ ao os conjuntos α  l e α ˜  l , na nota¸ c˜ ao do axioma II.6, onde o s´ımbolo “” – vale a pena recordar – significa diferen¸ca de conjuntos.


(b)

Eα ∩ ̃ Eα

=

α;

(c) dois pontos A e B do espa¸co n˜ ao pertencentes a α est˜ ao num mesmo semiespa¸co em rela¸cao ˜ a α se e somente se AB ∩ α =  ; (d) dois pontos A e B n˜ ao pertencentes a α est˜ ao em semiespa¸cos distintos (ou opostos) em rela¸cao ˜ a α se e somente se AB ∩ α ≠  . N˜ ao demonstraremos este teorema agora – sua demonstra¸ cão, cuja leitura é opcional, ser´ a apresentada na u´ltima se¸caõ desta aula – mas é preciso compreender bem o seu significado. Para explic´ a-lo melhor vamos estabelecer uma terminologia, an´ aloga a` que vocês j´ a viram num curso de geometria plana em rela¸caõ a semiplanos: e um plano do espa¸ co, o conjunto dos pontos de um semiespa¸co Defini¸ c˜ ao 2.2. Se α ´ determinado por α que n˜ ao est˜ ao contidos em α é um lado do espa¸co em rela¸c˜ ao a α. Os lados do espa¸co correspondentes aos semiespa¸cos opostos s˜ ao chamados de lados opostos em rela¸cao ˜ a α. Na figura 2.2 representamos a situa¸cão descrita no teorema 2.1. Os pontos A e C estão de um mesmo lado do plano α, enquanto que os pontos A e B , e A e D estão em lados opostos. Usando estes dados podemos concluir que CB ∩ α ≠  . De fato, se CB ∩ α =  , então, pelo item (c) do teorema, os pontos C e B deveriam estar do mesmo lado do espa¸ co em rela¸caõ a α. Ora, ent˜ ao C está no mesmo semiespa¸co que A e no mesmo semiespa¸co que B , que ̃ , contrariando o item (b) do são semiespa¸cos distintos. Logo C pertence a ambos E e E teorema, j´ a que estamos supondo (implicitamente) que C ∈ α. α

α

˜ apresentada no par´ agrafo precedente que, Problema 2.4. Prove, adaptando a argumenta¸cao seguindo os dados representados na figura 2.2,

2.3

BD ∩ α

= 

.

ˆ Angulos e congruˆ encia no espa¸co

Definimos em [7] um aˆngulo simplesmente como sendo um par de semirretas com origem comum. Esta defini¸caõ n˜ ao apresenta nenhum problema quando passamos a vê-la do ponto de vista do espa¸co. No entanto devemos nos lembrar que aˆngulos s˜ ao essencialmente objetos planos. Por exemplo, temos a seguinte propriedade:

Figura 2.3: – Proposi¸ c˜ ao 2.3

angulo no espa¸co determina um ´ unico plano. Proposi¸ c˜ ao 2.3. Todo ˆ ˜ 2.3 (a figura 2.3 d´ a uma dica de como resolver Problema 2.5. Demonstre a proposi¸cao este problema). Precisamos tomar cuidado, no entanto, com o conceito de regi˜ ao angular. Para deixar isto claro, transcrevemos a defini¸cão de regi˜ ao angular apresentada em [7] com as devidas modifica¸cões.


23

ao angular determinada por um angulo ˆ (n˜ ao trivial) Defini¸ c˜ ao 2.4. A regi˜



A =



e BAC ´

o subconjunto R

A

=

αl ∩ αr , ←→

←→

onde α é o plano determinado por A , B e C , l = AB , r = AC , α l é o semiplano de α relativo a l que contém o ponto C , e αr é o semiplano de α relativo a r que contém o ponto B . Os pontos pertencentes a R A que n˜ ao pertencem aos lados de A s˜ ao denominados pontos interiores a A, e os pontos que n˜ ao pertencem a R A e nem aos lados de A s˜ ao denominados pontos exteriores a A. 



→

Se D é um ponto interior a A dizemos que AD ⊂ α divide ou separa o angulo ˆ



A.

˜ acima com a defini¸cao ˜ de regi˜ ao angular apresentada Problema 2.6. Compare a defini¸cao em [7], apontando as diferen¸cas, e fa¸ca um desenho. ˜ de angulo ˆ adjacente, angulo ˆ raso e angulo ˆ suplementar Observa¸ c˜ ao 2.1. As defini¸coes também s˜ ao todas relativas ao plano determinado pelo angulo ˆ em quest˜ ao, ou seja, s˜ ao objetos planos. Se prestarmos aten¸cão na defini¸caõ 2.4 e na observa¸caõ acima vemos que os axiomas III.1 e III.2 do grupo III – axiomas sobre medidas de ângulos no plano – vistos em [7], são válidos no espa¸co sem necessidade de adaptar seus enunciados. No entanto, o axioma III.3 precisa de ser reescrito, como se segue. →

umero real a tal que 0 < a < 180, e cada Axioma III.3. Para toda semirreta AB , todo n´ →

→

  → ′

plano ξ contendo AB existem exatamente duas semirretas AD ⊂ ξ l e AD

∈

˜l tais que ξ

′

m(BAD ) = m(BAD ) = a,

˜l s˜ onde l = AB e ξ l , ξ ao semiplanos de ξ em rela¸c˜ ao a l. ←→

Figura 2.4: – Axioma III.3

Na figura 2.4 representamos a situa¸cão descrita no axioma III.3. No plano ξ temos os pontos e, tais que D e D em lados opostos da reta l = AB como no axioma II I.3, isto ´ ←→

′

′

m(BAD ) = m(BAD ) = a,

para um dado n´ umero a com 0 < a < 180. Analogamente fica garantida a existˆ encia de dois pontos P e P num outro plano α passando por l , com ′

′

m(BAP ) = m(BAP ) = a.

24


Figura 2.5: – Caso LAL de congruˆ encia de triângulos

Fechamos esta se¸caõ com algumas observa¸ co˜es sobre congruências. No sistema axiom´ atico de geometria plana apresentado em [7] baseamos a ideia de congruência na ideia de medida. Estes conceitos, e os axiomas relativos, permanecem inalterados no nosso sistema para a geometria espacial. Em particular, o axioma IV em [7], que postula o caso “lado-ˆ angulolado” (LAL) de congruência de triˆ angulos é v´ alido tamb´ em ao se comparar triˆ angulos em planos distintos. Por exemplo, na figura 2.5 representamos os triˆ angulos △ABC e △P QR nos planos α e β , respectivamente, tais que AB ABC BC

≡ ≡ ≡

PQ P QR QR

     (LAL)    

Nestas condi¸cões, p elo caso LAL de congruência de triˆ angulos tem-se que △ABC ≡ △P QR. Vamos agora resolver um problema de congruência no espa¸ co no exemplo a seguir. Exemplo 2.1. Na figura 2.6 sabe-se que A , B , C e D s˜ ao pontos n˜ ao coplanares, e que B , ao no plano α. Se AB ⊥ BC , AB ⊥ BD e BC ≡ BD , demonstre que AC ≡ AD. C e D est˜ A

α D

B C

Figura 2.6: – Exemplo 2.1 e problema 2.7

˜ o: Os triˆ Soluc ¸a angulos △ABD e △ABC s˜ ao congruentes pelo caso LAL, pois AB ABD BD

≡ ≡ ≡

AB ABC BC

     (LAL)   Lados congruentes, por hip´ otese.  

Lado comum aos triˆ angulos ; ˆ Angulos retos, por hip´ otese;

Logo os lados AD e AC s˜ ao congruentes.



Resolva você o problema seguinte. Problema 2.7. Novamente usando a figura 2.6 como referˆ encia, suponha que CAB , AB ⊥ BD e AB ⊥ BC . Nestas condi¸ c˜ oes, prove que AD ≡ AC .

DAB



≡


25

2.4

O axioma das paralelas no espa¸ co

Vimos em [7] que duas retas paralelas no plano são retas que n˜ ao têm pontos em comum. No espa¸co, porém, temos outra situa¸cão em que retas n˜ ao tˆ em pontos em comum, as retas reversas :

Figura 2.7: – Retas reversas

ao reversas se n˜ ao est˜ ao contidas em um mesmo Defini¸ ca õ 2.5. Duas retas no espa¸c o s˜ plano.

Na figura 2.7 representamos duas retas reversas. Para indicar em ilustra¸ co˜es que as retas s˜ ao reversas, sem a necessidade de tra¸car um plano, faremos como na figura 2.7b, onde queremos expressar a ideia de que a reta r passa “por tr´ as” da reta l em rela¸cão a` nossa vis˜ ao. e demonstraria a existência de retas reversas? Isto ´ e, tome uma Problema 2.8. Como vocˆ reta r e um ponto P ∈ r e prove que por P passam retas reversas a r . Problema 2.9. Sejam r e s duas retas reversas. Tome A ∈ r e B ∈ s e sejam α o plano determinado por r e B , e β o plano determinado por s e A. Desenhe a situa¸ c˜ ao descrita e diga quem ´ e α ∩ β .

A defini¸cão de retas paralelas fica assim:

Figura 2.8: – Retas paralelas

Defini¸ ca õ 2.6. Duas retas r e l no espa¸c o s˜ ao paralelas se s˜ ao coplanares e n˜ ao possuem pontos em comum. Denotaremos esta rela¸cao, ˜ como é tradicional, por r ∥ l .

O axioma das paralelas continua valendo. ao lhe pertencente passa, Axioma V. Dada uma reta no espa¸co, por cada ponto que n˜ no m´ aximo, uma reta paralela a ela.

Como todos devem se lembrar, na geometria plana demonstramos a existência de retas ´ preciso apenas ter um paralelas. Este fato (e sua demonstra¸ caõ) s˜ ao v´ alidos no espa¸co. E pequeno cuidado a mais. ao existe uma ´ unica Teorema 2.7. Sejam dados uma reta r e um ponto P fora de r . Ent˜ reta s passando por P e paralela a r .

26


˜ o. Reduzimos o problema no espa¸co a um problema no plano: seja α o plano Demonstrac ¸a determinado por r e P , e tome s ⊂ α a reta paralela a r passando por P , cuja existência é garantida pelo que foi visto em geometria plana. A unicidade segue do axioma V.

Problema 2.10. Reveja a demonstra¸ cao ˜ da existˆ encia de retas paralelas em um texto de

fundamentos geometria plana, como [7], por exemplo. Duas retas paralelas determinam um único plano. Vamos registrar este fato como uma proposi¸ca õ. Proposi¸ c˜ ao 2.8. Por duas retas paralelas r e l passa um unico ´ plano. ˜ o. Observe que, por defini¸ca Demonstrac ¸a õ, as retas paralelas r e l est˜ ao contidas em um plano α. Suponha que exista um outro plano β contendo r e l. Se P é um ponto de l, ent˜ ao β ´ e determinado por r e P . Mas α também ´ e determinado por r e P donde, pelo problema 1.3, α = β .

V´ arias propriedades que as retas paralelas obedecem no plano se transferem para o espa¸co. Uma das mais importantes ´ e a transitividade que registramos no teorema a seguir, cuja demonstra¸ca õ ser´ a apresentada na se¸ca õ 2.5. γ

β

r α s

t

Figura 2.9: – Teorema 2.9

Teorema 2.9. Se r, s e t s˜ ao retas tais que r ∥ s e s ∥ t ent˜ ao r ∥ t.

Apresentamos a seguir um exemplo de aplica¸c˜ ao deste teorema. Exemplo 2.2. Em geometria plana prova-se o seguinte resultado: dado um quadril´ atero qualquer  ABCD num plano, os pontos médios de seus lados s˜ ao vértices de um paralelo-

gramo. O mesmo resultado vale se os vértices do quadril´ atero n˜ ao s˜ ao coplanares (veja a figura 2.10) De fato, tome 4 pontos A , B , C e D n˜ ao coplanares, e seja α o plano determinado por A , B e D . Sejam M , N , P e Q os pontos médios dos lados AB , B C , C D e DA , respectivamente. Ent˜ ao temos, no triˆ angulo △ABD , que M P ∥ BD e M P =

BD

2

.


27

C

N O B

D

α M

P A

Figura 2.10: – Exemplo 2.2

Analogamente, no triˆ angulo

△BC D temos

ON ∥ BD e ON =

BD

2

.

Assim temos que ←→ (i) M P ∥ BD e ON ∥ BD ⇒ M P ∥ ON , pelo teorema anterior. Em particular, M P e ←→ ON s˜ ao coplanares, ou seja, os quatro pontos médios pertencem a um mesmo plano.

(ii) M P ≡ ON . Provamos ent˜ ao que  MNOP é um quadril´ atero contido num plano com dois lados paralelos  e congruentes, donde é um paralelogramo. Reveja as demonstra¸c˜ oes dos fatos sobre paralelogramos utilizados no exemplo acima em [7] ou outra fonte qualquer. Problema 2.11.

2.5

Opcional: demonstra¸ c˜ ao dos teoremas 2.1 e 2.9

Apresentamos nesta se¸caõ as demonstra¸co˜es dos teoremas 2.1 e 2.9, cuja leitura é opcional. Come¸camos pelo teorema 2.1. ˜ o. (Teorema 2.1) Sejam α um plano e P ∈ α um ponto (existe o ponto Demonstrac ¸a P pelo axioma I.8). Vamos “construir” os conjuntos E ẽ E e provar que satisfazem as α

α

propriedades enunciadas, seguindo os passos abaixo. (1) Definamos E ẽ E da seguinte forma: α

α

Eα

=

pontos ̃E

α

co tais que XP ∩ α =   ∪ {P } ∪ α X do espa¸

pontos

=

co tais que XP ∩ α ≠   X do espa¸

Observe que E ≠ , pois P ∈ E . Para verificar quẽ E ≠  tome Q ∈ α (pelo axioma ←→ I.5) e na reta P Q tome R tal que P − Q − R2 . Assim R ∈̃ E (veja figura 2.11). α

α

α

α

2

28

a entre P e R, isto ´ Lembramos que em [7] usamos a nota¸c˜ ao P − Q − R para indicar que o ponto Q est´ e, que o ponto Q pertence ao interior do segmento P R. Em particular, a existência de R ´ e garantida pelo axioma II.3 de [7].


Figura 2.11

(2) O item (a) do teorema é consequência direta da defini¸ c˜ ao dos conjuntos um ponto X qualquer do espa¸co, podem acontecer duas coisas:

Eα

ẽ E : dado α

(a) ou XP ∩ α =  , donde X ∈ E ; (b) ou X P ∩ α ≠  , donde X ∈̃ E (observe que este u´ltimo caso engloba a possibilidade X ∈ α.). α

α

Logo todos os pontos do espa¸co est˜ ao em

Eα ∪ ̃ Eα .

(3) Para provar (b) tomemos X ∈ α. Ent˜ ao X ∈ segundo caso, XP ∩ α = {X } ≠  . Assim α ⊂ E

Eα por α

∩ ̃ E .

̃ pois, neste defini¸ca˜ o, e X ∈ E α

α

̃ e Para verificar a continˆ encia rec´ıproca tomemos agora X ∈ E ∩̃ E . Como X ∈ E ao X ≠ P . Em particular XP ∩ α = {D}, D um ponto de α. Por outro lado, P ∈̃ E ent˜ como X ∈ E ent˜ ao α

α

α

α

α

(i) ou XP ∩ α =  , ou (ii) X = P , ou (iii) X ∈ α. Ora, já vimos que os itens (i) e (ii) acima n˜ ao podem acontecer, donde s´ o pode ser X ∈ α, ̃ ou seja, E ∩ E ⊂ α, como quer´ıamos provar. α

α

(4) Para a demonstra¸ cão dos itens (c) e (d) vamos chamar a aten¸caõ para o seguinte fato: se P , A e B s˜ ao três pontos do espa¸co, sempre existe um plano que os contém (veja o exerc´ıcio 1.3), e este plano p ode ou n˜ ao interceptar o plano α . Posto isto, vamos analisar (c). Primeiro suponhamos que A e B , pontos fora de α , perten¸cam a um mesmo semiespa¸co, por exemplo, A , B ∈ E . Neste caso, por defini¸caõ, AP e B P n˜ ao interceptam α . Seja β um plano contendo A , B e P . Se α e β n˜ ao se encontram, ent˜ ao é claro que AB ∩ α =  (veja figura 2.12d). No caso em que α e β se encontram, tomemos α ∩ β = l. Aplicando o axioma II.6 ao plano β e a` reta l vemos AB ∩ l =  , donde AB ∩ α =  (veja figura 2.12a). Se A , B ∈̃ E a demonstra¸caõ é an´ aloga, e deixamos os detalhes por conta do leitor (veja figura 2.12c). α

α

Para verificar a rec´ıproca suponhamos que AB n˜ ao intercepte α e provemos que A e B estão num mesmo semiespa¸co. O argumento segue a mesma ideia do par´ agrafo precedente: tome β um plano contendo A, B e P . Se β n˜ ao encontra α, então AP e BP também não cortam α, donde A e B pertencem a E , por defini¸cã o. Se β e α se interceptam segundo uma reta l, então AB não encontra l donde, pelo axioma II.6 aplicado a β e l, conclu´ımos que A e B se encontram num mesmo semiplano de β em rela¸cão a l , ou seja, A e B se encontram num mesmo semiespa¸co em rela¸caõ a α. α


29

P

P

β A

β A α

B l

α l B

(a)

(b)

P

P β

β

B

A α

α

l B

A

(c)

(d) Figura 2.12

A an´ alise de (d) é inteiramente an´ aloga a` realizada para (c) bastando trocar a express˜ ao “n˜ ao interceptam” por “interceptam”, e vice-versa, nos locais adequados. Deixamos este exerc´ıcio ao leitor.

Agora passamos a` demonstra¸cão do teorema 2.9. l r

γ

β

P s t

α Q

Figura 2.13: – Demonstra¸ca õ do teorema 2.9

˜ o. (Teorema 2.9) O caso em que as retas r , s e t s˜ ao coplanares j´ a foi provado Demonstrac ¸a

em [7]. Vamos estudar ent˜ ao o caso em que as trˆ es retas n˜ ao s˜ ao coplanares. Acompanhe os passos abaixo na figura 2.13.

30


(1) Suponha, como no enunciado, que r ∥ s e s ∥ t. Sejam α o plano determinado por s e t , e β o plano determinado por s e r . Como as retas não s˜ ao coplanares, por hip´ otese, os planos α e β s˜ ao distintos. Além disso α ∩ β = s.

(2) Tome um ponto P ∈ r qualquer e seja γ o plano determinado por t e P . Como γ e β são distintos e possuem o ponto P em comum, então sua interse¸caõ é uma reta l . (3) As retas l e s estão contidas no plano β . Vamos provar que l ∥ s. Para isto suponhamos, por absurdo, que l e s se encontram num ponto Q. Ora, nesta situa¸ caõ Q ∈ γ e Q ∈ α , donde γ e α se interceptam segundo uma reta. Mas a reta s passa por Q e está contida em ambos os planos, logo γ ∩ α = s.

Porém t também está contida em ambos os planos. Assim temos s = t , o que é absurdo, pois estamos supondo que as retas s˜ ao distintas. Então o ponto Q não pode existir, ou seja, l ∥ s. (4) Do item anterior conclu´ımos que as retas l = γ ∩ β e r ⊂ β s˜ ao paralelas a s ⊂ β e passam por P . Logo, pelo axioma V, l = r . Em particular provamos que r ⊂ γ . (5) Provamos que as retas r e t estão ambas contidas em γ (veja figura 2.9). Se r e t tivessem um ponto X em comum, ent˜ ao este ponto pertenceria a β e a α (por quê?), donde X pertenceria a s = α ∩ β , ou seja, r e s teriam um ponto em comum. Mas isto é imp oss´ıvel, pois r ∥ s por hip´ otese. Logo r ∥ t , com quer´ıamos provar.

Problema 2.12. Complete

os detalhes das demonstra¸c˜ oes acima.


31

2.6

Exerc´ ıcios


2.1. Definimos

uma regi˜ ao poliedral do espa¸ co como sendo uma interse¸ cao ˜ de semiespa¸cos. Por exemplo, dois planos concorrentes determinam quatro regi˜ oes poliedrais, como ilustrado na figura 2.14. Determine em quantas regi˜ oes poliedrais os planos α, β e γ representados na figura 2.15 dividem o espa¸ co.


2.2. Examine

a figura 1.12 da aula anterior e liste todos os angulos ˆ que nela aparecem.

Figura 2.16: – Exerc´ıcios 2.3

Na figura 2.16 suponha que os triˆ angulos △ABC e △DBC s˜ ao is´ osceles, ambos com base BC . Prove que os triˆ angulos △DAB e △DAC s˜ ao congruentes entre si. 2.3. a

32


2.4. Ainda

na figura 2.16a suponha que ADB ≡ BDC ≡ CD A

e que todos os segmentos com uma extremidade no ponto Prove que △ABC é equil´ atero.

D sejam

congruentes entre si.

2.5. Na

figura 2.16b os triˆ angulos △ABC e △P BC s˜ ao is´ osceles, ambos com base BC . Se e bissetriz de BAC , prove que P D é bissetriz de BP C . AD ´ 2.6. Neste

exerc´ıcio usaremos novamente a figura 2.16b como referˆ encia. Suponha que e que D é um ponto qualquer entre B e C . Nestas condi¸c˜ oes prove que

△P BC ≡ △ABC

DAP ≡ DPA.

2.7. Sejam r

e s retas concorrentes e α o plano por elas determinado. Seja s ≠ s uma reta concorrente com r e paralela a s. Prove que s ⊂ α . Conclua que todas as retas paralelas a ao contidas em α. s e concorrentes com r est˜ ′

′

2.8. Sejam r

e s retas reversas.

(a) Prove que existe uma reta s concorrente com r e paralela a s. ′

(b) Prove que todas as retas paralelas a s e concorrentes com r est˜ ao contidas num mesmo plano que, em particular, cont´ em r . (Sugest˜ ao: observe que se s é uma reta concorrente com r e paralela a s ent˜ ao todas as retas concorrentes com r e paralelas a s s˜ ao paralelas a s (justifique esta afirma¸cao) ˜ e aplique o exerc´ıcio anterior.) ′

′


33

3

Paralelismo no espaço

AULA3: PARALEL ARALELISMO ISMO NO ESP ESPAC AC ¸O

OBJETIVOS Estudar Estudar o paraleli paralelismo smo entre entre retas e planos, planos, e entre entre planos. planos. Estudar Estudar as posi¸c˜ coes ˜ oes relativas entre retas e planos no espa¸co. co.

3.1 3. 1

Intr In trod odu¸ u¸ c˜ ao

Na aula anterior fomos apresentados, na se¸c˜ ao ao 2.4, ` as retas paralelas no espa¸co, as co, e vimos o axioma V, sobre a unicidade das paralelas, e algumas de suas consequˆ consequˆ encias. encias. Nesta aula aprofundaremos o estudo de paralelismo entre retas e planos no espa¸co, espa¸co, e apresentaremos nossos primeiros objetos “espaciais”.

3.2 3. 2

Par aral alel elis ismo mo entr entre e retas retas e plano planoss

Na aula anterior estudamos propriedades de paralelismo entre retas no espa¸co. Agora Agora passamos ao pr´ oximo oximo est´ agio: agio: paralelismo paralelismo entre retas retas e planos. A defini¸c˜ cao a õ ´ e natura nat ural: l:

co s˜ ao paralelos, rela¸c˜ cao ˜ que ser´ a denotada r e um plano α no espa¸co Defini¸ c˜ c˜ ao ao 3.1. 3. 1. Uma reta r por r ∥ α, se n˜ ao possuem pontos em comum. ´ bom lembrar E lembrarmos mos aqui uma terminologi terminologia a que já ´ e conhecida de vocˆ es es no contexto da geometria geometria plana: dizemos que duas retas são ao concorrentes ou secantes se se cortam em um ponto. Esta mesma terminologia terminologia se transporta naturalmente naturalmente para o espa¸co. Por Por exemplo, exemplo, dizemos que uma reta e um plano são secantes se possuem um ponto em comum, e assim por diante. Um primeiro fato sobre retas e planos no espa¸co co ´ e o seguinte: segu inte:

Figura 3.1

ao toda reta paralela a r Proposi¸ c˜ c˜ ao ao 3.2. 3. 2. Sejam r e α uma reta e um plano secantes. Ent˜ é secant seca ntee a α. cao ˜ 3.2. (Sugest˜ ao: Em geometria plana provamos que Problema 3.1. Demonstre a proposi¸c˜ se r ∥ s e r é concorrente concorrente com uma reta t ent˜ ao s tamb´ tam bém em é concorrente com esta mesma mesm a reta. Para demonstrar demonstrar a proposi¸c˜ cao ˜ tome uma reta s paralela a r e reduza o problema ao caso plano, utilizando o plano β determinado por r e s (veja a figura 3.1).)

AULA 3: PARA PARA LELISMO NO E SPAÇO

35

Precisamos de crit´ erios erios para decidir se uma reta e um plano s˜ ao ao paralelos paralelos entre si. Um deles, o mais fundamental, é dado pelo teorema a seguir.

Figura 3.2: – Teorema Teorema 3.3

ao contida nele s˜ ao parale aralelos los entre entre si se, e Teorema 3.3. Um plano α e uma reta r n˜ somente se, existir uma reta s ⊂ α tal que s ∥ r . ˜ o. Para a primeira primeira parte suponha que r ∥ α . Então, ao, por defini¸c˜ cao, aõ, r ∩ α =  . Demo De mons nstr trac ac ¸ ao. a Tome P ∈ α um ponto qualquer e seja β o plano determinado por r e P . Sej Seja s a reta segundo a qual α e β se intercept interceptam am (veja figura 3.2). Ent˜ ao é claro que r ∥ s (explique o

p or quê!). e! ). Reciprocamente, suponha que exista s ⊂ α tal que r ∥ s. Seja β o plano determinado por r e s. Nesta situa¸c˜ cao aõ todos os pontos comuns entre α e β s˜ ao ao os pontos de s . Em particular, se houvesse um ponto em comum entre r e α , este ponto deveria pertencer a s, uma contradi¸c˜ cao, aõ, j´ a que supomos r ∥ s. Logo r ∥ α . c˜ ao acima os axiomas e resultados anteriores que Problema 3.2. Explicite na demonstra¸c˜ (implicitamente) foram utilizados. α , existe uma reta r passando por Corol´ ario ario 3.4. Dados um plano α e um ponto P fora de α P e paralela a α. ˜ o. A demonstra¸ Demo De mons nstr trac ac ¸ ao. a c˜ cao aõ deste corol´ ario ario é b em simples. Tome uma reta qualquer s ⊂ α e seja β o plano determinado por P e s. Em β tome r a reta paralela a s passando por P . Então ao s ∥ α .

Vejamos um exemplo de aplica¸ c˜ cao aõ do teorema 3.3. Vamos mostrar mostrar que se uma reta reta r Exemplo Exemplo 3.1. Vamos é paralela paralela a dois planos secantes, secantes, ent˜ ao é paralela paralel a a a` interse¸c˜ cao ˜ destes dois planos. Sejam α e β planos secantes e paralelos a r. Seja Seja Ora, como como r ∥ α, existe uma reta s ⊂ α = α ∩ β . Ora, tal que r ∥ s . Analogamente, Analogamente, como r ∥ β , existe uma reta t ⊂ β com r ∥ t . Como consequˆ encia encia temos que t ∥ s . Seja γ o plano determinado por t e s. Vamos provar que l ∥ γ (veja figura 3.3). l

Figura 3.3

De fato, suponha que l encontre γ em um ponto P . Ent˜ ao os planos α, β e γ se encontram em P u m absurdo. a bsurdo. Logo l ∥ γ , donde l l ∥ t P . Mas α α ∩ γ = s e β ∩ γ = t , donde P ∈ s ∩ t, o que é um  e l ∥ s e, portanto, l ∥ r .

36


ao três planos que se encontram em um ponto, ent˜ ao Problema 3.3. Mostre que se α , β e γ s˜ n˜ ao pode existir uma reta paralela aos trˆ es simultaneamente. (Sugest˜ ao: tome r paralela a α e β , por exemplo. Pelo exemplo anterior r ´ e paralela a l = α ∩ β . Verifique que γ e l s˜ ao secantes e aplique a proposi¸c˜ ao 3.2).

3.3

Paralelismo entre planos

A pr´ oxima etapa é estudar o paralelismo entre planos. A defini¸ caõ natural de planos paralelos é ao paralelos se n˜ ao possuem pontos em comum. Esta Defini¸ c˜ ao 3.5. Dois planos α e β s˜ rela¸cao ˜ ser´ a denotada por α ∥ β . Apresentamos um crit´ erio para testar paralelismo de planos an´ alogo ao teorema 3.3. ao paralelos entre si se e somente se existir em β um Teorema 3.6. Dois planos α e β s˜ par de retas concorrentes paralelas a α. (Ou, reciprocamente, se e somente se existir em α um par de retas concorrentes paralelas a β ). ˜ o. A primeira parte é simples: se α ∥ β ent˜ ao nenhuma reta de β intercepta Demonstrac ¸a α. Em particular, quaisquer retas concorrentes de β s˜ ao paralelas a α .

Figura 3.4

A rec´ıproca é mais interessante. Sejam r e s duas retas de β concorrentes em um ponto P , e suponha que r e s sejam paralelas a α. Vamos provar que α ∥ β . Para isto suponhamos, por absurdo, o contr´ ario, isto é, que α e β se interceptam, e seja l a reta de interse¸cão dos dois planos. Ora, como l ⊂ α, e r ∥ α, s ∥ α, então r e s são retas passando por um ponto P e paralelas a l . Mas isto contraria o axioma V, donde chegamos a um absurdo. Logo α ∥ β (veja figura 3.4). Este teorema nos d´ a uma forma de construir planos paralelos. Teorema 3.7. Por um ponto P fora de um plano α passa um e somente um plano β paralelo a α. ˜ o. Para provar a existência de β fa¸ camos a seguinte constru¸caõ: Demonstrac ¸a

(1) Tome em α duas retas concorrentes r e s . (2) Tome as retas r e s passando por P e paralelas a r e s , respectivamente. ′

′

(3) Seja β o plano determinado por r e s . Então β é paralelo a α , pelo teorema anterior. ′

′

AULA 3: PARA LELISMO NO E SPAÇO

37

Para provar a unicidade suponhamos, por absurdo, que existam dois planos distintos β e γ passando por P e paralelos a α (veja a figura 3.5). Tome t ⊂ α uma reta qualquer e seja ζ o plano determinado por t e P . Então ζ corta β segundo uma reta r e γ segundo uma reta s .

Figura 3.5

Assim r e s são retas distintas e paralelas a α. Em particular, r , s e t são retas de ζ paralelas entre si. Mas r e s passam pelo mesmo ponto P , o que contradiz o axioma V. Logo n˜ ao h´ a dois planos distintos passando por P e paralelos a α. Problema 3.4. Justifique

3.4

os passos (1) a (3) da demonstra¸c˜ ao do teorema anterior.

Algumas propriedades de paralelismo no espa¸ co

Listaremos nesta se¸cão algumas propriedades de paralelismo entre retas e planos no espa¸co an´ alogas a`s propriedades j´ a conhecidas de retas paralelas no plano.


Teorema 3.8.

Se uma reta corta um plano, corta tamb´ em qualquer plano paralelo a este.

˜ o. Seja r uma reta secante a um plano α. Seja A o ponto em que r corta Demonstrac ¸a α. Seja β um plano paralelo a α . Seja γ um plano qualquer passando por r . Em particular ao γ contém o ponto A e corta α segundo uma reta t. Pelo teorema 3.7 sabemos que γ n˜ pode ser paralelo a β (por quê?), donde γ e β se cortam segundo uma reta l . Assim l ∥ t e r é secante a t, donde r é secante a l, por resultado já conhecido de geometria plana. Ent˜ ao provamos que r passa por um ponto B ∈ β .

38


Problema 3.5. Complete

a figura 3.6 com os elementos constru´ıdos na demonstra¸cao ˜ do

teorema 3.8. O resultado do teorema 3.8 continua valendo se trocamos a palavra “plano” por “reta” e vice-versa.


Teorema 3.9. Se

um plano corta uma reta, corta também qualquer reta paralela a ela.

Problema 3.6. Demonstre

o teorema 3.9. (Sugest˜ ao: Suponha que o plano α corta a reta r em um ponto A; tome s uma reta paralela a r e seja β o plano determinado por r e s. Reduza o problema ao caso an´ alogo entre retas paralelas num plano.) Finalmente temos resultado an´ alogo a estes para planos. Teorema 3.10. Se

um plano α é secante a um plano β , ent˜ ao α é secante a todo plano

paralelo a β .


˜ o. Sejam α e β planos secantes. Seja γ um plano paralelo a α. Se β fosse Demonstrac ¸a

paralelo a γ ter´ıamos uma contradi¸caõ com a parte da unicidade do teorema 3.7. Logo β n˜ ao pode ser paralelo a γ , e portanto β e γ s˜ ao secantes (veja figura 3.8). Problema 3.7. Prove

que as retas r e s representadas na figura 3.8 s˜ ao paralelas entre si, onde os planos α, β e γ s˜ ao como descritos na demonstra¸cao ˜ do teorema acima. Uma consequência deste teorema é a transitividade de paralelismo para planos. Corol´ ario 3.11. Dados

três planos α, β e γ distintos tais que α ∥ β e β ∥ γ , ent˜ ao α ∥ γ .


39

˜ o. De fato, se α não fosse paralelo a γ , ou seja, se α fosse secante a γ ent˜ ao, Demonstrac ¸a pelo teorema anterior, α seria secante a β ,uma contradi¸caõ.

3.5

Problemas resolvidos

Apresentamos nesta se¸caõ alguns problemas resolvidos utilizando os resultados desta aula, para vocês se acostumarem com as t´ ecnicas de trabalho em geometria espacial.

Figura 3.9: Problemas 3.8 e 3.9

Problema 3.8. Sejam r

e s duas retas reversas. Construa um plano contendo r e paralelo a s. Mostre que este é o ´ unico plano poss´ıvel. ˜ o. Por um ponto qualquer X ∈ r tome a reta s paralela a s. Ent˜ ao a solu¸cão é o Soluc ¸a plano α determinado por r e s (veja figura 3.9), j´ a que: ′

′

(i) r ⊂ α, por constru¸caõ; (ii) s ∥ α, pois s ∥ s , e s ′

′

⊂

α , por constru¸ca õ.

Para verificar que α é o u ńico plano com as propriedades desejadas, tome um outro plano β passando por r . Se s e β fossem paralelos, existiria uma reta s ⊂ β (pelo teorema 3.3) passando por X paralela a s , o que contradiz o axioma V. ′′

Problema 3.9. Dadas

duas retas reversas r e s construa um par de planos paralelos α e β tais que r ⊂ α e s ⊂ β . Mostre que esta ´ e a ´ unica solu¸cao ˜ poss´ ıvel. ˜ o. Primeiro sigamos os seguintes passos: Soluc ¸a

(1) Usando o problema 3.8 construa o plano α contendo r e paralelo a s . (2) Tome um ponto P qualquer de s. Por P passa um u ´ nico plano β paralelo a α . (3) Provemos que s ⊂ β : seja γ o plano determinado por r e P . Ent˜ ao γ corta β segundo uma reta l que passa por P . Como β ∥ α ent˜ ao l ∥ r . Assim pelo axioma V temos que l = s . Com os passos acima constru´ımos dois planos α e β com as propriedades desejadas. A unicidade decorre do problema anterior. O problema seguinte é mais complicado.

40


Figura 3.10

Problema 3.10. Sejam

dadas trˆ es retas r , s e t reversas duas a duas. Construa, se poss´ıvel, uma reta paralela a t e secante a r e s simultaneamente. Prove que a solu¸ cao, ˜ se existe, ´ e unica. ´ ˜ o. Este problema nem sempre tem solu¸ caõ, pois depende da posi¸caõ relativa das Soluc ¸a

retas. Vejamos o que pode acontecer. Sejam α e β planos paralelos contendo r e s, respectivamente (pelo problema 3.9). Temos duas possibilidades: (i) t é paralela a α e, consequentemente, também é paralela a β . (ii) t corta α e, consequentemente, também corta β . Se acontece (i) o problema n˜ ao tem solu¸ca˜ o. De fato, se l é uma reta concorrente com r, por exemplo, e paralela a t , então l é paralela a β , j´ a que t é paralela a β . Logo l não pode ser concorrente com s (veja figura 3.10).

Figura 3.11

Se acontece (ii) o problema tem solu¸ cão. Para constru´ı-la sigamos os passos (acompanhe na figura 3.11): (1) Tome γ o plano paralelo a t contendo r (problema 3.8). O plano γ é secante a α e β (por quê?). Temos que r α ∩ γ . Observe ainda que se b β ∩ γ ent˜ ao r ∥ b (por quê?). =

=


41

(2) A reta s corta γ em um ponto A pois, caso contrário seria paralela a b e, portanto, paralela a r , uma contradi¸caõ. Em particular A ∈ b. (3) Seja t a reta que passa por A e é paralela a t. Como t ∥ γ ent˜ ao t est´ a contida em γ (por quê?). Como t é secante a b , por constru¸caõ, e b ∥ r , então t é secante a r . Assim ao do problema. t é uma solu¸c˜ ′

′

′

′

′

Para mostrar que t é solu¸caõ u ńica, tome t uma outra solu¸ca˜ o. Ent˜ ao t ∥ t e t é concorrente com r . Logo t ⊂ γ (por quê?). Mas t também deve ser concorrente com s ; no entanto s encontra γ no ponto A , donde A ∈ t . Assim t = t . ′

′′

′′

′′

′′

42


′′

′′

′

′′

3.6 3. 6 Ex Exer erc c´ ıcio ıc ios s 3.1. Sejam α,

es planos distintos. Mostre que as posi¸c˜ coes ˜ relativas dos três es planos β e γ três

s˜ ao as seguintes: (a) Os três es planos pl anos s˜ ao paralelos. (b) Dois Dois deles deles s˜ ao paralelos paralelos entre entre si, e o terceiro terceiro é secante secante a ambos, cortando-os segundo segundo retas paralelas entre si. (c) Os trˆ es es planos de cortam segundo uma reta. (d) Os trˆ es es planos se cortam dois a dois segundo três es retas paralelas paralelas entre entre si. (e) Os trˆ es es planos se encontram em um ´ unico ponto. Para cada situa¸c˜ c˜ ao da lista acima encontre um exemplo no “mundo real”. 3.2. Sejam r

e s duas retas reversas, e P um ponto que n˜ ao pertence a nenhuma das duas. Mostre que existe um ´ unico plano α passando por P paralelo a r e s. ateros  ABCD , 3.3. Na figura 3.12 os quadril´ Demonstre que

 ADEK

e  BCEK s˜ ao paralelogr paralelogramos. amos.

(a) EK ∥ AD ∥ BC e (b)

KAB

≡

.

EDC

F ig igu ra ra 3. 12 12: – Ex er er c´ıci o 3.3

F ig ig ur ur a 3. 13 13: – Ex er er c´ı ci cio 3. 4

ao perpendiculares entre si; AC = BC ; e D ao 3.4. Na figura 3.13 AP , BP e C C P s˜ D , E e F F s˜ pontos médios edios dos respectivos respectivos segmentos. Mostre que DEF

≡

PAB.

(Sugest˜ ao: mostre que os triˆ angulos △AP B e △EDF s˜ ao semelhantes.) 3.5. Sejam α

e β dois dois plano paralelos entre si. Sejam r e r duas retas paralelas entre si e secantes a α. Se A, A s˜ ao os pontos em que r e r encontram α, respectivamente, e B , B s˜ ao os pontos em que r ao: r e r encontram β β , respectivamente, prove que AB ≡ A B . (Sugest˜ verifique que  AA B B é um paralelogramo.) paralel ogramo.) ′

′

′

′

′

′

′

′

′

AULA 3: PARA PARA LELISMO NO E SPAÇO

43

4

Perpendicularismo entre retas e planos no espaço

AULA4: PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS E PLA PLANOS NOS NO ESPAC ¸O

OBJETIVOS

Introduzir o conceito de angulo aˆngulo entre retas no espa¸ co. Introduzir o conceito de perpendicuco. larismo entre retas e planos no espa¸co. co.

4.1 4. 1

Intr In trod odu¸ u¸ c˜ ao

Na se¸c˜ cao aõ 2.3 estudamos um pouco sobre angulos aˆngulos “planos” no espa¸ co, co, isto é, e, sobre angulos aˆngulos determinados por pares de semirretas, que já bem conhec conhecem emos os.. No espa¸ espaco ço temos como ampliar o conceito de angulo, aˆngulo, pois podemos comparar “inclina¸c˜ cões” oes” n˜ ao ao entre retas e semirretas, mirretas, como tamb´ também em entre entre retas e planos e entre entre planos. Nesta aula estudaremos estudaremos sobre ângulos entre retas e planos no espa¸ angulos co. co.

4.2

ˆ Angulos entre retas no espa¸ co co

Nesta se¸c˜ cao aõ vamos, num certo sentido, ampliar o conceito de angulos aˆngulos entre retas no espa¸co. co. No plano duas retas ou s˜ ao ao paralelas paralelas ou se cortam. cortam. No primeiro primeiro caso podemos dizer dizer que o angulo aˆngulo entre elas é nulo, ou zero; no segundo caso as retas determinam determinam no plano quatro ângulos, e dizemos que o angulo angulos, aˆngulo entre elas é o menor deles1 . O angulo aˆngulo entre duas retas r e l ´ e indica ind icado do por po r (r, l ), e sua medida por m ((r, l)). )).

Figura 4.1

Na figura 4.1a as retas r e l são ao paralelas, e ent˜ ao ao m ((r, l)) = 0. Na figura 4.1b 4.1b as retas retas r e l são ao concorrentes, demarcando no plano α quatro ângulos, angulos, dois a dois congruentes, como indicado. indicado. Se m(a) ≤ m (b) (como sugere, visualmente, a figura) ent˜ ao, ao, (r, l ) = a, ou m((r, l)) = m (a).

1

Lembramos Lembramos aqui que, na verdade, verdade, comparamos ˆ angulos angulos atrav´ atrav´ es es de suas medidas, ou seja, dizemos dizemos que e menor do que DEF , rela¸ c˜ c˜ ao que podemos denotar por ao ABC ´

ABC < DEF,



se m (ABC ) < m(DEF ).

AULA 4: 4: PERPENDICUL ARISMO ENTRE RE TAS E PLANOS NO ESPAÇO

45

Figura 4.2

No espa¸co temos ainda o caso de retas reversas, que n˜ ao s˜ ao nem concorrentes nem paralelas. Como poder´ıamos medir o ângulo entre elas? Bem, poder´ıamos fazer o seguinte: “colocar” uma delas sobre a outra utilizando retas paralelas. Explicando melhor, se r e s são reversas, tomamos, p or exemplo, s uma reta concorrente com r e paralela a s , e definimos a medida do aˆngulo entre r e s como sendo a medida do aˆngulo entre r e s . A ideia parece boa? Bem, pode ser que sim, mas temos que verificar que independe da escolha das retas paralelas auxiliares. Dito de outra forma, se, por exemplo, r for uma reta paralela a r e concorrente com s, será que m((r, s )) = m((r , s))? De fato, isto acontece, como enunciamos em nosso pr´ oximo teorema (veja a figura 4.2). ′

′

′

′

′

Teorema 4.1. Sejam r , s e r , s dois pares de retas concorrentes tais que r ∥ r e s ∥ s . Ent˜ ao m((r, s)) = m ((r , s )). ′

′

′

′

′

′

Figura 4.3

Na figura 4.3 representamos a situa¸caõ do teorema 4.1. Temos, na figura, que a = (r, s) e b = (r , s ) onde r ∥ r e s ∥ s . O teorema nos diz ent˜ ao que a ≡ b. Procure entender bem o significado deste teorema, que é bem intuitivo. A sua demonstra¸ c˜ ao, de leitura opcional, será apresentada na se¸ cão 4.5. ′

′

′

′

Problema 4.1. Demonstre o teorema 4.1 no caso em que r, s, r e s s˜ ao coplana′

′

res.(Sugest˜ ao: consulte um livro de geometria plana como, por exemplo, [7].) Corol´ ario 4.2. Sejam r e s retas reversas. Se r ∥ r e s ∥ s s˜ ao retas tais que r é concorrente a s e s é concorrente a r , ent˜ ao ′

′

′

′

′

′

m((r, s )) = m ((r , s)).

Problema 4.2. Demonstre, usando o teorema 4.1, o corol´ ario acima (veja a figura 4.2).

Agora podemos definir a medida de aˆngulos entre retas reversas. Defini¸ c˜ ao 4.3. Sejam r e s duas retas reversas no espa¸ co. Definimos a medida do ˆ angulo entre r e s , denotada por m ((r, s)), como sendo m((r, s )), onde s é uma reta paralela a s e concorrente a r . ′

46


′

Problema 4.3. Sejam r e s retas reversas, e sejam r ∥ r , s ∥ s tais que r seja concorrente a s e s concorrente a r. Prove que ′

′

′

′

m((r, s)) = m((r, s′ )) = m ((r ′ , s)) = m ((r ′ , s′ )).

4.3

Perpendicularismo de retas e planos

Como visto em um curso de geometria plana, dizemos que duas retas r e s são perpendiculares se s˜ ao concorrentes e os aˆngulos que formam entre si s˜ ao retos, e esta rela¸caõ é denotada por r ⊥ s . Esta defini¸cão continua valendo no espa¸ co, é claro. Veremos agora como fica o conceito de perpendicularidade entre retas e planos.

Figura 4.4

A ideia de uma reta perpendicular a um plano é bem intuitiva. Basta você equilibrar um lápis em sua base sobre a mesa que ter´ a a “sensa¸caõ” do que é perpendicularismo de reta (representada pelo l´ apis) e plano (representado pela mesa). Se você medir o angulo ˆ entre o lápis e o plano em qualquer dire¸ caõ do plano ver´ a que é aproximadamente um aˆngulo reto (veja a figura 4.4). Formalizaremos este conceito na defini¸ caõ abaixo. ao perpendiculares entre si, rela¸c˜ ao denotada Defini¸ c˜ ao 4.4. Uma reta r e um plano α s˜ por r ⊥ α , se forem concorrentes em um ponto P e se toda reta de α que passa por P for perpendicular a r (veja figura 4.5). O ponto P é chamado de pé da reta r, perpendicular ao plano.

Figura 4.5

ao para toda reta s ⊂ α tem-se que m ((r, s)) = 90. Problema 4.4. Mostre que se r ⊥ α ent˜ Observa¸ ca õ 4.1. Existe uma nomenclatura tradicional para retas no espa¸co que fazem entre

si um ˆ angulo reto. Se s˜ ao concorrentes, com j´ a dissemos, as chamamos de perpendiculares. Se s˜ ao reversas, dizemos que s˜ ao ortogonais. Algumas vezes utiliza-se o termo ortogonal para indicar quaisquer pares de retas no espa¸co que fazem entre si um ˆ angulo reto. Vamos agora listar algumas propriedades fundamentais de perpendicularismo entre retas e planos no espa¸co an´ alogas a`s propriedades entre retas perpendiculares num plano.

AULA 4: PERPENDICUL ARISMO ENTRE RE TAS E PLANOS NO ESPAÇO

47

Figura 4.6

Teorema 4.5. Sejam r

e α uma reta e um plano perpendiculares entre si. Ent˜ ao:

(a ) Toda reta paralela a r também é perpendicular a α (veja figura 4.6 ). (b) Todo plano paralelo a α também é perpendicular a r (veja figura 4.7 ).

Figura 4.7

˜ o. Vamos demonstrar o item (a), e deixaremos a demonstra¸ caõ de (b), que Demonstrac ¸a

é inteiramente análoga, como exerc´ıcio. Sejam, como no enunciado, r uma reta e α um plano tais que r ⊥ α . Seja s uma reta paralela a r . O que temos que fazer é conferir se s satisfaz a defini¸caõ 4.4. Pelo teorema 3.9 vemos que como s ∥ r ent˜ ao s ∩ α ≠ . Chamemos de A e Q os pontos em que r e s encontram α, respectivamente. Seja u ⊂ α uma reta qualquer passando por Q, e tomemos u a reta paralela a u passando por A . Observe ent˜ ao que r , u e s , u estão na situa¸cão do teorema 4.1, donde ′

′

′

m((r, u )) = m((s, u)).

Então como r ⊥ u , por defini¸cão, conclu´ımos que s ⊥ u . ′

Assim provamos que toda reta de α concorrente com s é perpendicular a esta reta, ou seja, s ⊥ α . Problema 4.5. Demonstre

a parte (b) do teorema anterior. (Sugest˜ ao: v´ a trocando a palavra “reta” por “plano” na argumenta¸cao ˜ da demonstra¸c˜ ao do teorema, mas cuidando para que fa¸ca sentido!) Temos ainda o resultado abaixo, an´ alogo ao teorema 4.5:

48


Teorema 4.6. As

seguintes propriedades s˜ ao v´ alidas:

ao paralelas entre si, e (a ) duas retas distintas perpendiculares a um mesmo plano s˜ ao paralelos entre si. (b) dois planos distintos perpendiculares a uma mesma reta s˜

Figura 4.8

˜ o. A demonstra¸ caõ deste teorema é um pouquinho mais complicada que a Demonstrac ¸a

do anterior. Como no teorema anterior, apresentaremos em detalhes a demonstra¸ c˜ a o do item (a), deixando (b) como exerc´ıcio. Vamos l´ a. Sejam α um plano e r uma reta perpendicular a α . Chamemos de A o ponto em que r encontra α . Seja s outra reta perpendicular a α , encontrando este plano em um ponto P . Queremos mostrar que r ∥ s . Bem, sabemos que existe uma reta s passando por P e paralela a r. Provaremos que, na verdade, s = s . Para isto suponhamos, por absurdo, que s ≠ s . Neste caso s e s são retas concorrentes em P e determinam um plano β . Os planos α e β contêm o ponto P em comum, logo se cortam segundo uma reta l (veja a figura 4.8). Temos ent˜ ao que ′

′

′

′

(i) s ⊥ l pois, por hipótese, s ⊥ α; (ii) s ⊥ l , pois s ∥ r por constru¸caõ donde, pelo teorema 4.5, s ⊥ α; ′

′

′

(iii) s e s passam por P e pertencem ao mesmo plano β . ′

Nestas condi¸co˜es temos que s e s são retas de β passando por um p onto P e perpendiculares a uma mesma reta l , o que contradiz o fato que por um ponto num plano passa uma uńica reta perpendicular a uma dada reta. Assim s e s n˜ ao podem ser distintas. Logo s = s e s ∥ r . ′

′


′

a parte (b) do teorema acima. (Sugest˜ ao: veja a sugest˜ ao do

problema anterior.)


49

4.4

Existˆ encia de retas perpendiculares

Apresentamos nas se¸co˜es anteriores v´ arias propriedades envolvendo retas perpendiculares a planos, mas falta ainda uma coisa: existem retas perpendiculares a planos? Para podermos provar a sua existência precisaremos de uma maneira mais eficiente de aplicar a defini¸ cão 4.4, pois a frase “toda reta de α...” da defini¸caõ nos p˜ oe um problema pr´ atico: como testar se uma reta é perpendicular a um plano? O teorema a seguir nos diz como. reta r ´ e perpendicular a um plano α se e somente r for perpendicular a duas retas distintas de α. Teorema 4.7. Uma

Figura 4.9

A situa¸caõ descrita no enunciado do teorema 4.7 é ilustrada na figura 4.9. O teorema diz que basta verificar a perpendicularidade de r em rela¸caõ a duas retas do plano (no caso da figura, r ⊥ t e r ⊥ u). Isto é bem intuitivo. Fa¸ ca o seguinte experimento: trace uma reta em uma folha de papel e apoie um l´ apis com sua base sobre esta reta, formando um aˆngulo reto com ela; mantendo este aˆngulo você pode mover o l´ apis para um lado e para outro, como uma dobradi¸ca. Depois trace outra reta na folha, transversal a` primeira e coloque a base do l´ apis sobre a interse¸caõ das duas retas; observe que o l´ apis forma um aˆngulo reto com cada uma delas, e que qualquer movimento que você fizer com ele alterar´ a um desses aˆngulos. Entendido o que quer dizer o resultado do teorema 4.7, vamos aplic´ a-lo, como veremos a seguir, e deixaremos sua demonstra¸ cão como leitura opcional na se¸ cão 4.5. Nossa primeira aplica¸caõ do teorema 4.7 é a seguinte: construir retas perpendiculares a planos. Na verdade temos dois problemas diferentes: (a) podemos construir um plano perpendicular a uma reta dada passando por um ponto dado e, analogamente, (b) podemos construir uma reta perpendicular a um plano dado passando por um ponto dado. Veja os dois teoremas a seguir. Teorema 4.8. Dados

um ponto P e uma reta r existe um ´ unico plano α perpendicular a r

passando por P . õ. Temos dois casos a considerar: P ∈ r e P ∈ r . A constru¸ caõ do plano α Demonstrac ¸a

passando por P e perpendicular a r é essencialmente a mesma nos dois casos, a menos de um pequeno detalhe. Resolveremos o primeiro caso, deixando o outro como exerc´ıcio. Suponhamos ent˜ ao que P ∈ r . Vamos construir o plano α seguindo os seguintes passos, que você p ode acompanhar na figura 4.10: (1) Seja β o plano que passa por P e r . Tome em β a reta t passando por P e perpendicular a r . Seja A o ponto em que t e r se encontram. (2) Tome γ um outro plano distinto de β passando por r e, em γ , construa a reta s perpendicular a r por A.

50


Figura 4.10

(3) Então o plano determinado por t e s é o plano α que procuramos. De fato: (i) r ⊥ t e r ⊥ s, por constru¸caõ, donde r ⊥ α , pelo teorema 4.7; (ii) P ∈ α, já que P ∈ t .

Figura 4.11

Para provar a unicidade, suponha que α seja outro plano passando por P e perpendicular a r . Então β , o plano determinado por P e r , corta α segundo uma reta t . Em particular, como ao t ⊥ r . Assim temos duas retas, t e t , ambas passando por P e perpendiculares r ⊥ α , ent˜ a r , o que é uma contradi¸ caõ, j´ a que a perpendicular a uma reta por um ponto dado é unica. ´ Logo o plano α é o u ńico plano que passa por P e é perpendicular a r (veja a figura 4.11). ′

′

′

′

′

′


51


o teorema anterior no caso em que P ∈ r . (Sugest˜ ao: tome dois planos β e γ quaisquer, distintos, passando por r , e retas t ∈ β , s ∈ γ passando por P e perpendiculares a r . Da´ı em diante siga os passos do teorema.) Teorema 4.9. Dados

um um ponto P e um plano α, existe uma ´ unica reta r passando por P e perpendicular a α. ˜ o. Como no teorema anterior, h´ a dois casos a considerar: P ∈ α e P Demonstrac ¸a

∈

α.

Faremos, como no teorema anterior, o primeiro caso, deixando o outro a cargo do leitor.

Figura 4.12

Suponhamos ent˜ ao que P ∈ α . Sigamos os seguintes passos, que podem ser acompanhados na figura 4.12: (1) Tome uma reta t ⊂ α qualquer, e seja β o plano que passa por P e é perpendicular a t (pelo teorema 4.8). (2) Seja l a reta em que os planos α e β se encontram. Observe que l ⊥ t (por quê?). Seja ainda Q o ponto em que l e t se cortam. (3) Trace por P a reta r perpendicular a l , e seja R o ponto de encontro entre r e l . A reta r constru´ıda acima é a solu¸caõ do nosso problema. Para aplicarmos a caracteriza¸ c˜ ao dada no teorema 4.7 precisamos encontrar em α duas retas concorrentes e perpendiculares a r. Uma n´ os já temos: a reta l, pois r ⊥ l por constru¸caõ. Para obter outra precisamos analisar duas possibilidades que podem acontecer: (i) Os pontos Q e R são coincidentes. Neste caso, como β ⊥ t e r ⊂ β , então r ⊥ t , donde r ⊥ α . (ii) Os p ontos Q e R s˜ ao distintos. Neste caso tome t a reta paralela a t passando por R. Ent˜ ao, pelo teorema 4.5, temos que t ⊥ β . Em particular, r ⊥ t , e novamente conclu´ımos que r ⊥ α . ′

′

′

Finalmente, para mostrar que r é a u ńica reta perpendicular a α passando por P podemos seguir argumento an´ alogo ao apresentado no teorema 4.8. Suponha que exista outra reta r passando por P e perpendicular a α , e seja γ o plano determinado por r e r . Os planos α e γ se cortam segundo uma reta l . Ent˜ ao acabamos de apresentar duas retas p erpendiculares a uma mesma reta passando por um mesmo ponto, o que é uma contradi¸ c˜ ao. Logo r n˜ ao pode existir. ′

′

′

′

52



o teorema anterior no caso em que P ∈ α. (Sugest˜ ao: tome duas retas l e l contidas em α passando por P ; tome β e β os planos perpendiculares a l e l , respectivamente, também passando por P . Verifique que a reta r comum a β e β é a reta procurada.) ′

′

′

′

4.5

Opcional: demonstra¸ c˜ ao dos teoremas 4.1 e 4.7

A seguir apresentamos as demonstra¸cões dos teoremas 4.1 e 4.7. Come¸ camos com o primeiro. ˜ o. (Teorema 4.1) Esta ser´ a nossa primeira demonstra¸caõ em que usaremos, Demonstrac ¸a

no espa¸co, a congruência de triˆ angulos. Acompanhe na figura 4.13 os passos da argumenta¸ cão na listados abaixo.

Figura 4.13

(1) Sejam A e P os pontos em que r encontra s e que r encontra s , respectivamente. Tome co em rela¸caõ ao plano determinado B ∈ r e R ∈ r pontos de um mesmo lado do espa¸ por s e s , de forma que AB ≡ P R. ′

′

′

′

(2) Analogamente, tome C ∈ s e Q ∈ s pontos de um mesmo lado do espa¸co em rela¸caõ ao plano determinado por r e r , de forma que AC ≡ P Q. ′

′

(3) Temos agora dois triˆ angulos △BAC e △RP Q no espa¸co, em planos diferentes. Queremos mostrar que BAC ≡ RP Q. Para isto vamos mostrar que BC ≡ RQ e aplicar o critério LLL de congruência de triˆ angulos. ←→ ←→ (4) Como AB ≡ P R, então temos que BR ∥ AP (pois estão no plano determinado por r e ao determinadas por pontos equidistantes). Logo  ABRP é um paralelogramo, e r e s˜ portanto AP ≡ BR . ′

(5) Analogamente mostra-se que (escreva os detalhes).

também é um paralelogramo, e que AP ≡ CQ

 ACQP


53

←→ ←→ ←→ ←→ ←→ ←→ (6) Agora temos que AP ∥ BR e AP ∥ CQ ; logo BR ∥ CQ . Além disso BR

≡

AP ≡ CQ.

Com isto mostramos que  BCQR também é um paralelogramo! Assim BC ≡ RQ,

como quer´ıamos verificar. (7) Dos fatos acima conclu´ımos que △BAC ≡ △RP Q pelo critério LLL. Em particular, BAC ≡ RPQ.

Logo m ((r, s)) ≡ m((r , s )). ′

′

Agora apresentamos a demonstra¸cão do teorema 4.7. ˜ o. (Teorema 4.7) Se a reta r for perpendicular ao plano α ent˜ ao, por deDemonstrac ¸a fini¸cão, é perpendicular a todas as retas de α que a cortam, em particular a duas retas

distintas quaisquer dentre estas. A rec´ıproca é um pouco mais trabalhosa. Tomemos r uma reta perpendicular a duas retas s e s de α. Seja P o ponto em que r encontra α. Se t ⊂ α é outra reta qualquer passando por P , queremos provar que r ⊥ t . Para isto seguiremos os passos a seguir (acompanhe na figura 4.14). ′

Figura 4.14

(1) Primeiro observe que s e s dividem α em quatro regiões angulares, e que t passa por duas delas, correspondentes a dois aˆngulos opostos pelo v´ ertice. Escolha uma destas regi˜ oes e tome nas semirretas de s e s que a delimitam dois pontos B ∈ s e C ∈ s tais que P B ≡ P C . Nestas condi¸cões o segmento B C encontra t em um ponto K . ′

′

54


′

(2) Tome A e A pontos de r em lados opostos do espa¸co tais que P A ≡ P A . Assim temos que ′

′

AP B

△

≡

′

A PB

△

≡

′

AP C ≡ △A P C,

△

sendo todas as congruências pelo crit´ erio LAL (complete os detalhes). (3) Do item anterior deduzimos que AB

Logo

≡

AB ′

≡

AC ≡ A C. ′

ABC ≡ △A BC donde, em particular, tiramos que ′

△

′

ABC ≡ A BC .



(4) Dos dados dos itens anteriores conclu´ımos que Em particular,

ABK

△

A BK , pelo critério LAL.

△

≡

′

AK ≡ A K. ′

(5) Agora examinemos o triˆ angulo △AKA . Este triângulo é is´ osceles com base AA , e e?). Em particular P é ponto médio de AA . Logo KP é altura de △AKA (por quˆ ←  → ←  → ←  → ←  → KP ⊥ AA . Como t = KP e r = AA , temos o resultado desejado. ′

′

′

′

′

′


55

4.6 Exerc´ ıcios

Figura 4.15: – Exer c´ıcio 4.1

4.1. Na

figura 4.15 os pontos A, B , C e D n˜ ao s˜ ao coplanares.

(a) Quantos planos s˜ ao determinados por estes pontos? (b) Suponha que AD ≡ DC , BC ≡ BA e que DBA é reto. Nestas condi¸coes ˜ pelo menos um dos segmentos indicados na figura é perpendicular a um dos planos determinados pelos pontos. Diga quais, e prove sua afirmativa. 4.2. Seja r ⊥

e uma reta passando por P α; seja P o ponto comum a r e α. Prove que se t ´ e perpendicular a r, ent˜ ao t ⊂ α. (Sugest˜ ao: tome no plano β determinado por t e r a reta t perpendicular a r em P e verifique que t = t . ′

′


←  →

4.3. Na

figura 4.16 os planos α e β se interceptam segundo a reta KQ . Tem-se ainda que ←  → AB ⊥ α, onde B ∈ KQ , R ∈ α e C ∈ β . Responda se verdadeiro ou falso e justifique: ←→

←→

←→

←→

←  →

←→

←→

(a) AB ⊥ BR ? (b) AB ⊥ KQ ? (c) AB ⊥ BC ? Na figura 4.17, na qual nem todos os pontos indicados s˜ ao coplanares, tem-se que ao AW ≡ BW , AX ≡ BX , AY ≡ BY e AZ ≡ BZ . Prove que os pontos W , X , Y e Z s˜ ←→ coplanares. (Sugest˜ ao: Se M é o ponto médio de AB mostre que AB é perpendicular às ←→ ←→ ←  → ←  → retas W M , XM , Y M e ZM . Conclua, usando o exerc´ıcio 4.2.) 4.4.

56



Figura 4.18: – Exerc´ ıcios 4.6 e 4.7

ertices 4.5. Sejam A , B e C v´

de um triˆ angulo equil´ atero contido em um plano α . Seja T ∈ α o circuncentro de △ABC . Seja r a reta perpendicular a α passando por T . Mostre que se ao AX = BX = CX . Fa¸ca um desenho que represente a situa¸c˜ ao. X ∈ r ent˜ ←→

4.6. Na

figura 4.18 o triˆ angulo △RSQ est´ a contido no plano α, e P R P SR , prove que P QS ≡ P SQ . ←→

Ainda usando a figura 4.18 como referˆ encia, se P R ←→ ←→ SQ ⊥ P Q, prove que P Q > QS . 4.7.

⊥

α, P R

⊥

α. Se P QR

←→

>

RS , SQ

≡

←→ ⊥

RQ e


4.8. Na

←→

←  →

←→

←  →

figura 4.19 os planos α e β s˜ ao paralelos, AB ⊂ β , CD ⊂ β , AC ⊥ α e BD ⊥ β . Demonstre que AD e B C se bissectam (isto é, se encontram em um ponto que é ponto médio de ambos segmentos).


57

5

Ângulos entre planos

ˆ AULA5: ANGULOS ENTRE PLANOS

OBJETIVOS

Introduzir o conceito de ângulos entre planos: os diedros. Estudar o perpendicularismo entre planos.

5.1

Introdu¸ c˜ ao

Na aula anterior estudamos um pouco sobre ângulos entre retas no espa¸co, e tamb´ em estudamos perpendicularismo entre retas e planos. A próxima etapa é estudar ângulos entre retas e planos e ângulos entre planos. Veremos que existe um conceito de “ˆ angulo” no espa¸co inteiramente análogo ao de ângulo no plano, um “ângulo” cujos lados são semiplanos.

5.2

ˆ Angulos entre planos: diedros

Em [7] definimos um ˆ angulo como um par de semirretas com origem comum. Podemos, de maneira natural, estender este conceito para planos no espa¸co, isto é, p odemos “tridimensionalizar” o ângulo determinado por semirretas. Chamamos a versão de aˆngulo para planos de diedro, conforme a defini¸caõ mais abaixo. De agora em diante, para facilitar a exposi¸caõ, indicaremos semiplanos com um sinal de chapéu; por exemplo, α ˆ indica um semiplano do plano α .

β ˆ

l α ˆ

Figura 5.1

e a uni˜ ao de dois semiplanos com a mesma reta de origem. Defini¸ c˜ ao 5.1. Um diedro1 ´ Dizemos que os semiplanos que determinam o diedro s˜ ao suas faces, e a reta comum aos semiplanos a sua aresta.

ˆ ser´ ˆ s˜ O diedro determinado pelos semiplanos α ˆ e β a denotado por (ˆ ˆ e β ao α, ˆ β ), onde α suas faces. Um bom modelo de diedro é um livro ou caderno aberto parcialmente. As páginas opostas são suas faces, e a sua aresta é o encontro das mesmas na lombada. Na figura 5.1 ˆ com aresta l . representamos um diedro formado pelos semiplanos α ˆ e β

1

A palavra diedro significa “dois lados”, ou “duas faces”, do grego

di- =

dois, e -edro = cadeira, face.

AULA 5: AS ÂNGULOS ENTRE PL ANOS

59

Podemos também definir regi˜ ao diedral de maneira natural (veja o exerc´ıcio 2.1). α, ˆ β ) ´ Defini¸ c˜ ao 5.2. A regi˜ ao diedral determinada pelo diedro (ˆ e a interse¸cao ˜ do subespa¸co ˆ determinado pelo plano α no qual se encontra o semiplano β com o subespa¸co determinado ˆ. pelo plano β no qual se encontra o semiplano α

ao diedral correspondente. Problema 5.1. Identifique na figura 5.1 a regi˜

Figura 5.2

Uma pergunta que surge de imediato é: como medir um diedro, ou melhor, como medir a “abertura” de um diedro? Pense novamente num livro aberto como um diedro apoiado pela parte de baixo numa mesa. Quando você olha de cima para baixo vê um angulo ˆ na mesa determinado pelas p´ aginas abertas do livro (veja a figura 5.2). Esta é a ideia que po demos usar para medir um diedro. Para descrever este modelo matematicamente tome um diedro ˆ , ˆ β ) de aresta l e siga os passos abaixo (veja a figura 5.3): (α (1) primeiro cortamos as duas faces do diedro com um plano γ perpendicular a` reta l; ˆ em duas semirretas a e b , respectivamente; (2) o plano γ corta α ˆ e β  →

 →

 →

(3) as semirretas a e b determinam o aˆngulo  →

 →

( a , b ) em γ .



 →

Poder´ıamos definir a medida de (α ˆ , ˆ β ) como sendo a medida de ( a , b ) constru´ıdo acima, mas precisamos garantir que esta medida n˜ ao depende da escolha de γ . Na verdade, j´ a temos este resultado, disfar¸cado em outro resultado: o teorema 4.1 – veja o teorema a seguir.  →

γ

b

β ˆ

a

α ˆ

Figura 5.3

60


 →

ˆ, com aresta l. Sejam γ e γ dois α, ˆ β ) um diedro de faces α ˆ e β Teorema 5.3. Seja (ˆ planos perpendiculares a l. Tomemos ainda ′

 →

→ γ ∩ ˆ α= a , γ ∩ ˆ β = b , γ

′

∩

→ ˆ α= a , γ ′

′

 → ˆ β = b . ′

∩

 →  → → → Ent˜ ao m(( a , b )) = m (( a , b )) ′

′

 →  → → → ˜ o. Observe que γ ∥ γ (por quˆ e?), donde  a ∥  a e b ∥ b (por quê?). Demonstrac ¸a ′

′

′

Logo, pelo teorema 4.1 conclu´ımos que  →

 →

′

→ → m(( a , b )) = m (( a , b )), ′

como quer´ıamos. ca um desenho ilustrando a situa¸c˜ ao descrita no enunciado do teoProblema 5.2. (a) Fa¸ rema acima. (b) Justifique os por quês na demonstra¸cao ˜ do teorema acima. c˜ oes da figura 5.3, com base na constru¸cao ˜ descrita na Defini¸ c˜ ao 5.4. Usando as nota¸ p´ agina anterior, definimos a medida do diedro (α ˆ , ˆ β ) como sendo  →

→ m((α ˆ , ˆ β )) = m (( a , b )),

onde (a) γ é um plano qualquer perpendicular à reta l, aresta do diedro



α, ˆ β ); (ˆ

 → ˆ → (b)  a = ˆ α ∩ γ e b = β ∩ γ .

Agora podemos definir, de maneira natural, diedros retos... Defini¸ c˜ ao 5.5. Dizemos que um diedro é reto se sua medida for 90.

... e congruência de diedros. Defini¸ c˜ ao 5.6. Dizemos que dois diedros

denotada por



α, ˆ β ) e (ˆ α , ˆ β ) s˜ ao congruentes, rela¸cao ˜ (ˆ ′

′

α, ˆ β ) ≡  (ˆ α , ˆ β ), (ˆ



′

′

se m((α ˆ , ˆ β )) = m ((ˆ α , ˆ β )). ′

′

Problema 5.3. Mostre que dois planos determinam quatro diedros dois a dois congruentes

(isto é o o an´ alogo aos ˆ angulos O.P.V. (opostos pelo v´ ertice) da geometria plana). Em particular, se um dos diedros for reto, todos o s˜ ao também. Finalmente definimos aˆngulos entre planos. angulo entre dois planos α e β , denotada por Defini¸ c˜ ao 5.7. Definimos a medida do ˆ m((α, β )), como sendo (a) m((α, β )) = 0, se α ∥ β ; (b) a medida do menor dos diedros por eles determinado, se α e β são secantes.


61

5.3

Planos perpendiculares

Uma vez que sabemos medir aˆngulos entre planos podemos, definir o conceito de planos perpendiculares. ao perpendiculares, rela¸cao ˜ denoDefini¸ ca õ 5.8. Dizemos que dois planos secantes α e β s˜ tada por α ⊥ β , se m((α, β )) = 90. Apresentamos a seguir uma outra forma, muito util, ´ de caracterizar planos perpendiculares.

Figura 5.4

ao perpendiculares entre si se e somente se existir uma Teorema 5.9. Dois planos α e β s˜ reta a ⊂ α (respectivamente, uma reta b ⊂ β ) tal que a ⊥ β (respectivamente, b ⊥ α ). ˜ o. Sejam α e β dois planos secantes, e seja l a reta em que se encontram. Demonstrac ¸a Fa¸camos a primeira parte: suponhamos que exista a ⊂ α tal que a ⊥ β . Queremos provar que α ⊥ β ; para isto vamos seguir os passos abaixo (acompanhe na figura 5.4):

(a) seja P o ponto em que a encontra l ; tome a reta r ⊂ β que passa por P e é perpendicular a l; (b) então a ⊥ l (por qual hip´ otese?), e r ⊥ l por constru¸caõ; logo o plano γ determinado por a e r é perpendicular a l ; (c) temos ainda que a ⊥ r , pois a ⊥ β ; logo a medida de quaisquer dos diedros determinados por α e β é 90 (por quê?), donde α ⊥ β . Suponhamos agora que α ⊥ β . Podemos construir uma reta a seguinte forma (veja novamente a figura 5.4): (a) tome γ um plano qualquer perpendicular a l ; (b) tome a = α ∩ γ .

62


⊂

α perpendicular a β da

Observe que a é, de fato, a reta desejada, pois: (i) a ⊥ l , já que a ⊂ γ e γ ⊥ l ; (ii) se r é a reta comum a β e γ ent˜ ao a ⊥ r , pois estamos supondo que α ⊥ β e a medida de quaisquer dos diedros determinados por α e β é 90, exatamente a medida de quaisquer dos aˆngulos determinados por a e r (reveja a defini¸cão de medida de diedros); (iii) assim a é perpendicular a duas retas de β , e portanto a ⊥ β .

Problema 5.4. Responda aos por quês da demonstra¸ cao ˜ acima.

Uma consequência (indireta) da demonstra¸ caõ do teorema acima é a propriedade seguinte, apresentada na forma de exemplo. Exemplo 5.1. Se α ⊥ β e l = α ∩ β , ent˜ ao toda reta r ⊂ α perpendicular a l ´ e perpendicular a β . De fato, seja P o ponto de encontro de l e r , e tome t ⊂ β a reta que passa por P e´ e perpendicular a l . Ent˜ ao o plano γ determinado por r e t ´ e perpendicular a l. Assim, m((r, t)) = 90, pela defini¸c˜  ao de perpendicularidade de planos. Logo r ⊥ β . Problema 5.5. Complete os detalhes do exemplo acima e fa¸ca um desenho que o ilustre.

5.4

Constru¸ ca õ de planos perpendiculares

A caracteriza¸caõ do teorema 5.9 permite a constru¸caõ de planos perpendiculares, em analogia à constru¸caõ de retas perpendiculares. Explico: vimos que por um dado ponto e uma dada reta (ou dado plano) pode-se tra¸car uma u ´ nica reta perpendicular a` reta dada (ou ao plano dado). Veremos agora as constru¸cões an´ alogas a estas no contexto “ponto × plano” e “reta × plano”. Primeiro observe que por um ponto P passam infinitos planos perpendiculares a um plano α dado: basta tra¸ car por P a reta r perpendicular a α, e todos os planos que contêm r são perpendiculares a α. Analogamente, se r é uma reta perpendicular a α, por r passam infinitos planos perpendiculares a α, pelo mesmo argumento. Na figura 5.5 representamos estas situa¸co˜es.

Figura 5.5


63

Vejamos agora o caso mais interessante. ao perpendicular a α . Ent˜ ao existe Teorema 5.10. Sejam dados um plano α e uma reta r n˜ um unico ´ plano perpendicular a α passando por r . ˜ o. A constru¸ca õ é bem simples: tome um ponto P ∈ r qualquer, e por P Demonstrac ¸a trace a reta t perpendicular a α . O plano β determinado por r e t é o plano procurado (veja

a figura 5.6), pois: (i) r ⊂ β por constru¸cão; (ii) β ⊥ α , pois t ⊂ β é uma reta perpendicular a α por constru¸cão.

Figura 5.6

A unicidade tamb´ em é simples: suponha que exista um outro plano β passando por r e perpendicular a α, e seja l = β ∩ α. Certamente l ⊂ β pois, caso contr´ ario, β = β . Tome t ⊂ β uma reta passando por P e perpendicular a l . Pelo exemplo 5.1 temos que t ⊥ α, uma contradi¸cão, j´ a que por P n˜ ao podem passar duas perpendiculares a α . Logo β é u ńico. ′

′

′

′

′

′

′

′

′

Problema 5.6. Na

figura 5.6 representamos o teorema acima no caso em que a reta r e o plano α s˜ ao concorrentes. Fa¸ ca desenhos que representem a situa¸cao ˜ nos casos em que: (a) r ∥ α ; (b) r ⊂ α.

5.5

Alguns problemas resolvidos

Vejamos agora alguns probleminhas interessantes. Problema 5.7. Sejam α e β dois

planos perpendiculares entre si. Seja r uma reta perpendicular a β . Prove que ou r ⊂ α ou r ∥ α. ˜ o. Como α ⊥ β , ent˜ ao existe uma reta t ⊂ α perpendicular a β (teorema 5.9). Temos Soluc ¸a

duas possibilidades: (i) r e t possuem um ponto P em comum: neste caso r = t pois, caso contr´ ario, ter´ıamos duas retas passando por P e perpendiculares a β . Então r ⊂ α.

64


(ii) r e t n˜ ao possuem pontos em comum: neste caso, pelo teorema 4.6 temos que r ∥ t , donde r ∥ α .

Problema 5.8.

Fa¸ ca desenhos que ilustrem o problema anterior.

Problema 5.9. Prove

que se α, β e γ s˜ ao planos tais que α ∥ β e β ⊥ γ ent˜ ao α ⊥ γ .

Figura 5.7

˜ o. Como β ⊥ γ , ent˜ ao existe uma reta r ⊂ β tal que r ⊥ γ . Seja r ⊂ α uma reta Soluc ¸a paralela a r . Então r ⊥ γ pelo teorema 4.5. Logo, pelo crit´ erio estabelecido no teorema 5.9, temos que α ⊥ γ (veja a figura 5.7). ′

′

Figura 5.8

Problema 5.10. Prove

que se r e s s˜ ao duas retas reversas, ent˜ ao existe uma ´ unica reta t

perpendicular a ambas.


65

˜ o. A propriedade fundamental para lidar com retas reversas é a descrita no proSoluc ¸a blema 3.9: existem dois planos α e β , u ´ nicos, tais que α ∥ β e r ⊂ α , s ⊂ β . Usando este fato vamos construir uma reta perpendicular a r e s, seguindo os passos abaixo (acompanhe na

figura 5.8): (a) Tome γ o plano que passa por r e é perpendicular a β . Então, pelo problema anterior, α ⊥ γ . (b) Observe em seguida que s é secante a γ . De fato, se s ⊂ γ ou se s ∥ γ ent˜ ao ter´ıamos ao é poss´ıvel. s ∥ r , o que n˜ (c) Pelo ponto P em que s encontra γ trace a reta t perpendicular a α . A reta t e´ a reta procurada. De fato, temos que t ⊂ γ pelo problema 5.7 (complete os detalhes!); logo t e r s˜ ao secantes pois est˜ ao contidas no mesmo plano e n˜ ao s˜ ao paralelas. Finalmente, como t ⊥ α ent˜ ao, em particular, t ⊥ r . Resta mostrar a unicidade. Suponha que exista outra reta t perpendicular a r e s . Observe que t ⊥ α (veja o problema a seguir), donde t ∥ t, pelo teorema 4.6. Seja δ o plano determinado por t e t . Como r é concorrente a t e t , então r ⊂ δ ; analogamente s ⊂ δ . Ora, isto é uma contradi¸caõ, pois r e s são reversas e portanto n˜ ao podem pertencer a um mesmo plano. Logo n˜ ao pode haver outra reta perpendicular a r e s além de t . ′

′

′

′

′

Problema 5.11. Sejam r e s duas

retas reversas. Sejam α o plano passando por r e paralelo a s . Se t é uma reta perpendicular simultaneamente a r e s mostre que t ⊥ α . (Sugest˜ ao: se r ∩ t = {P }, tome s a reta paralela a s passando por P e mostre que t ⊥ s .) ′

66


′

5.6 Exerc´ ıcios 5.1. Sejam A e B dois

pontos e α um plano. Prove que sempre existe um plano γ passando por A e B e perpendicular a α. Em que situa¸cao ˜ este plano é unico? ´ 5.2. Mostre

que se um plano α cont´ em uma reta perpendicular a outro plano β , ent˜ ao β cont´ em uma reta perpendicular a α. 5.3. Sejam

α e β dois planos que se cortam em uma reta l. Prove que γ é um plano perpendicular a α e β simultaneamente se e s´ o se γ ⊥ l . 5.4. Podemos

definir diedros alternos internos de maneira an´ aloga a ` defini¸cao ˜ de angulos ˆ alternos internos. Escreva uma defini¸c˜ ao para este conceito e marque na figura 5.9, onde os planos α e β s˜ ao paralelos, os pares de diedros alternos internos formados. Demonstre que dois diedros alternos internos s˜ ao congruentes entre si.

Figura 5.9: – Ex erc´ıcio 5.4


5.5. Na

figura 5.10 os planos α e β s˜ ao perpendiculares entre si, e os triˆ angulos △ACD e ao is´ osceles, com base CD e congruentes. Al´ em disso M é ponto médio de AB e △CB D s˜ N é ponto médio de CD . Mostre que (a) M N ⊥ AB e (b) M N ⊥ C D. (Sugest˜ ao: mostre que AN ≡ N B e CM ≡ M D.) 5.6. Sejam r

e s duas retas reversas. Sejam α e β planos paralelos contendo r e s, respectivamente. Sejam δ o plano passando por r e perpendicular a β , e γ o plano passando por s e perpendicular a α. Mostre que t = δ ∩ γ é a reta perpendicular a r e s que foi apresentada no problema 5.10. Sejam α e β dois planos concorrentes, e r m((α, β )) = m((r, s)). 5.7.

⊥

α, s

⊥

β duas retas.

Mostre que


67

6

Lugares geométricos e poliedros

´ AULA6: LUGARES GEOMETRICOS E POLIEDROS

OBJETIVOS

Introduzir o conceito de distˆ ancias entre ponto e retas ou planos, entre retas, entre retas e planos, e entre planos. Apresentar alguns lugares geométricos no espa¸ co. Introduzir o conceito de poliedros e apresentar alguns exemplos destas figuras, como prismas e pirˆ amides.

6.1

Introdu¸ c˜ ao

Nesta aula estudaremos alguns lugares geométricos no espa¸ co e apresentaremos alguns objetos geométricos que muitos j´ a conhecem: os poliedros. Come¸ caremos estudando o conceito de distˆ ancia no espa¸co: distˆ ancia entre pontos e retas, entre pontos e planos, entre retas e planos, e entre planos. Em seguida apresentaremos alguns lugares geométricos, como os planos bissetores (o equivalente a bissetrizes de ângulos planos). Terminamos a aula com o estudo de poliedros , focando nos mais b´ asicos: paralelep´ıpedos, cubos, prismas em geral, e pirˆ amides.

6.2

Distˆ ancias

Quando estudamos geometria plana vimos o conceito de distˆ ancia entre pontos, distˆ ancia de ponto a reta e distância entre retas. No espa¸ co temos mais algumas entidades a introduzir nesta lista: distˆ ancia de ponto a plano, distˆ ancia de reta a plano e distˆ ancia entre planos. Vamos ver isto nesta se¸cão. Primeiro recordemos as defini¸ cões de distˆ ancia entre ponto e reta: ancia entre um ponto A e uma reta r como o n´ umero Defini¸ c˜ ao 6.1. Definimos a distˆ dist(A, r ) satisfazendo as seguintes propriedades: (a) se A ∈ r ent˜ ao dist(A, r ) = 0; (b) se A ∈ r ent˜ ao dist(A, r ) = AP , onde P é o pé da reta perpendicular a r passando por A. Lembramos ainda que esta defini¸ cão é natural, pois é f´ a cil de ver que se A ∈ r ent˜ ao dist(A, r ) < AQ para todo ponto Q ∈ r distinto de P . A defini¸caõ de distˆ ancia entre ponto e plano é inteiramente an´ aloga: ancia entre um ponto A e um plano α como o n´ umero Defini¸ ca õ 6.2. Definimos a distˆ dist(A, α) satisfazendo as seguintes propriedades: (a) se A ∈ α ent˜ ao dist(A, α) = 0; (b) se A ∈ α ent˜ ao dist(A, α) = AP , onde P é o pé da reta perpendicular a α passando por A. A propriedade que garante a “naturalidade” desta defini¸ cão é a mesma que garante a naturalidade da defini¸cão de distˆ ancia entre ponto e reta: se A ∈ α e Q ∈ α é distinto de P , então AP < AQ. A demonstra¸caõ disto é inteiramente an´ aloga a` do caso entre ponto e reta, e deixamos como um problema:

AULA 6: LUGARES GEOMÉTRICOS E POL IEDROS

69

Figura 6.1

˜ 6.2, com A ∈ α. Mostre que dist(A, α) = Problema 6.1. Sejam A , α e P como na defini¸cao ao: na figura 6.1 o triˆ angulo △AP Q AP < AQ para todo ponto Q ∈ α distinto de P . (Sugest˜ é retˆ angulo) Passemos agora ao estudo de distˆ ancia entre planos. Lembremos a defini¸ c˜ ao de distˆ ancia entre retas num plano: ancia entre duas retas r e s coplanares é o n´ umero dist(r, s) definido Defini¸ c˜ ao 6.3. A distˆ da seguinte maneira: (i) dist(r, s) = 0 se r e s s˜ ao concorrentes; (ii) dist(r, s) = dist(A, s) para algum ponto A ∈ r , se r e s s˜ ao paralelas. Traduzimos facilmente esta defini¸caõ para o caso de distˆ ancia entre planos: ancia entre dois planos α e β é o n´ umero dist(α, β ) definido da Defini¸ c˜ ao 6.4. A distˆ seguinte maneira: (i) dist(α, β ) = 0 se α e β s˜ ao concorrentes; (ii) dist(α, β ) = dist(A, β ) para algum ponto A ∈ α , se α e β s˜ ao paralelos.

Figura 6.2

A propriedade que garante que a defini¸ caõ acima é “boa”, isto é, que tem um sentido adequado, é a propriedade descrita no problema seguinte, inteiramente an´ aloga a` que garante o bom sentido da defini¸caõ 6.3 (veja [7]).

70


Problema 6.2. Sejam α

e β dois planos paralelos entre si. Mostre que dist(A, β ) = dist(B, β )

para quaisquer pontos A e B de α. (Sugest˜ ao: Na figura 6.2 temos que AP e BQ s˜ ao perpendiculares a β , donde AP ∥ BQ . Mostre que  APQB é um retˆ angulo e conclua.) O leitor atento deve ter percebido que “pulamos” a defini¸ cão de distˆ ancia entre retas n˜ ao coplanares. Bem, o fato é que fica mais f´ acil falar disto depois de introduzir o conceito de distˆ ancia entre planos, por causa das retas reversas. Sim, como todos devem se lembrar, no espa¸co temos retas concorrentes, paralelas e reversas, e a defini¸ c˜ ao 6.3 sobre apenas os casos em que as retas s˜ ao coplanares (ou seja, quando s˜ ao concorrentes ou paralelas). E como definir distˆ ancia entre retas reversas? Ora, seguindo a mesma forma de pensar que usamos até agora para definir distˆ ancia entre v´ arios elementos no plano e no espa¸ co, poder´ıamos usar o resultado do problema resolvido 5.10: se r e s s˜ ao retas reversas ent˜ ao existe uma u ´ nica reta t perpendicular a ambas. Mas usar isto em que sentido? Bem, veja primeiro o resultado seguinte: Teorema 6.5. Sejam r

e s duas retas reversas. Seja t a unica ´ reta perpendicular a ambas. Tome t ∩ r = {R} e t ∩ s = {S }. Ent˜ ao RS ≤ P Q para quaisquer pontos P ∈ r e Q ∈ s.

Figura 6.3

˜ o. Este resultado é uma consequˆ encia direta do problema 6.1. Acompanhe Demonstrac ¸a a demonstra¸caõ na figura 6.3 para o caso em que P ≠ R e Q ≠ S : sejam α e β os planos ←→ paralelos contendo r e s, respectivamente (lembram-se?). Tome l a reta paralela a P Q passando por R e seja Q o ponto em que l encontra β . Ora, é fácil ver que RS = dist(α, β ) ′

donde, pelo problema 6.1, conclu´ımos que RS = dist(α, β ) < RQ

Problema 6.3. Prove

′

= P Q.

o teorema acima para os casos que faltam: P e/ou Q coincidentes

com R e/ou S . O teorema 6.5 nos diz que a “menor distˆ ancia” entre duas retas reversas r e s é atingida justamente nos pontos que determinam a (´ unica) reta perpendicular a elas, e vimos na demonstra¸caõ do teorema anterior que a distˆ ancia entre esses pontos é a distˆ ancia entre os planos paralelos que contêm r e s . Com estes dados podemos, finalmente, definir a distˆ ancia entre retas no espa¸co:


71

ancia entre duas retas r e s no espa¸co é o n´ umero dist(r, s) definido Defini¸ c˜ ao 6.6. A distˆ da seguinte maneira: (i) dist(r, s) = 0 se r e s s˜ ao concorrentes; (ii) dist(r, s) = dist(A, s) para algum ponto A ∈ r , se r ∥ s; (iii) dist(r, s) = dist(α, β ) se r e s s˜ ao reversas, onde α e β s˜ ao os unicos ´ planos paralelos passando por r e s, respectivamente.

6.3

Planos bissetores

Na aula anterior discutimos a ideia de diedros, os “ângulos espaciais”. Estes objetos possuem diversas propriedades an´ alogas a`s de aˆngulos planos, e j´ a vimos algumas. Apresentaremos agora o objeto an´ alogo a`s bissetrizes de ângulos planos: os planos bissetores . Acompanhe a seguinte constru¸cão na figura 6.4:

b

s

β

γ

ˆ

σ

a l

α ˆ

Figura 6.4

(a) Considere o diedro (ˆ α, ˆ β ) com aresta l . (b) Tome γ um plano perpendicular a l . → → ˆ em uma semirreta  (c) O plano γ corta α ˆ em uma semirreta  ˆngulo a e β b , formando o a  →  → ( a , b ).

(d) Seja s a bissetriz de

 → → a , b ); observe que s ⊂ γ . (



(e) Seja σ o plano determinado por s e l, e designemos por σˆ o semiplano de σ contido na regi˜ ao diedral determinada por (ˆ α, ˆ β ), com origem em l . Então é fácil verificar que

ˆσ ˆ )) = m((β, ˆ )). m((ˆ α, σ

Problema 6.4. Mostre que a igualdade acima é, de fato, verdadeira.

ao da figura 6.4 e as condi¸c˜ oes descritas acima, definimos o Defini¸ ca õ 6.7. Com a nota¸c˜ ˆ plano σ como sendo o plano bissetor do diedro (ˆ α, β ).

72


Figura 6.5

Para finalizar a se¸caõ apresentamos uma propriedade interessante dos planos bissetores. Observe a figura 6.5. Os planos concorrentes α e β determinam 4 diedros, dois a dois congruentes: ˆ 1 , ˆ β 1 ) ≡  (α ˆ 2 , ˆ β 2 ) e (α ˆ 1 , ˆ β 2 ) ≡  (ˆ α2 , ˆ β 1 ). (α O plano σ 1 é o plano bissetor de (ˆ α1 , ˆ β 1 ) e (ˆ α2 , ˆ β 2 ), e σ 2 é o plano bissetor de (α ˆ 1 , ˆ β 2 ) e (α ˆ 2 , ˆ β 1 ). A propriedade que queremos mostrar é a seguinte: Problema 6.5. Seguindo

a nota¸cao ˜ da figura 6.5, mostre que σ1 ⊥ σ 2 .

˜ o. Esta propriedade é inteiramente an´ aloga a` relativa a bissetrizes de ângulos: duas Soluc ¸a

retas concorrentes no plano determinam quatro aˆngulos, congruentes dois a dois (s˜ ao ângulos O.P.V.), e as duas bissetrizes são perpendiculares (reveja o resultado em qualquer livro sobre geometria plana). Para demonstrar o resultado no caso de diedros, reduzimos ao caso no plano: tome γ um plano perpendicular a` reta l = α ∩ β . O plano γ corta os planos α e β em duas retas a e b, respectivamente; e corta os planos σ1 e σ2 em duas retas s1 e s2 , respectivamente (veja a figura 6.6).

Figura 6.6

Da defini¸caõ de medidas de aˆngulos diedros temos que σ1 ⊥ σ 2 se somente se s1 ⊥ s 2 . Mas esta u ´ltima rela¸caõ é verdadeira, j´ a que s 1 e s 2 s˜ ao bissetrizes dos ângulos formados por a e b.


73

6.4

Alguns lugares geom´ etricos

Nesta se¸caõ vamos apresentar alguns lugares geométricos . Lembramos que um lugar geométrico é, em termo simples, o conjuntos dos pontos (agora no espa¸ co) que satisfazem a alguma propriedade preestabelecida. Come¸ camos mostrando que os planos bissetores s˜ ao, em verdade, lugares geométricos, assim como as bissetrizes no plano (reveja o assunto em algum livro de geometria plana, como [7]). Problema 6.6. Seguindo

as nota¸ coes ˜ da figura 6.5, mostre que o lugar geom´ etrico dos pontos equidistantes de α e β é justamente a uni˜ ao dos planos bissetores σ1 e σ2 . õ. Novamente uma propriedade an´ aloga a` de bissetrizes, que recordamos aqui: o Soluc ¸a

lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes é justamente a uni˜ ao das bissetrizes dos ângulos por elas formados. E a t´ atica para resolver o problema é a mesma do problema anterior: reduzi-lo ao caso plano.

Figura 6.7

Primeiro provemos que se P ∈ σ 1 ∪ σ2 ent˜ ao dist(P, α) = dist(P, β ). Sem perda de generalidade, tomemos P ∈ σ 1 . Seja γ o plano passando por P e perpendicular a` reta l , na qual se cortam os planos α e β . Usando as nota¸co˜es do problema 6.5, tomamos a = γ ∩ α, b = γ ∩ β, s1 = γ ∩ σ1 e s2 = γ ∩ σ2 . ←→

Sejam G ∈ a e H ∈ b tais que P G ⊥ a e P H ⊥ b. Temos que, como γ ⊥ α e γ ⊥ β , então P G ⊂ γ ←  → e P H ⊂ γ . Reduzimos assim o problema ao caso de um aˆngulo plano. A situa¸caõ é ilustrada na figura 6.7, onde representamos o plano γ e os elementos acima descritos. Observe que s 1 é a bissetriz de um dos ângulos determinados por a e b , e que dist(P, α) = P G, dist(P, β ) = P H, donde, pelo resultado j´ a conhecido num plano, P G = P H , ou seja, dist(P, α) = dist(P, β ). Passemos a` rec´ıproca, isto é, provemos que se P é um ponto equidistante de α e β , então P ∈ σ 1 ∪ σ2 . Primeiro observe que P deve pertencer a alguma das quatro regi˜ oes diedrais determinadas por α e β (em outras palavras, P n˜ ao pode pertencer a nenhum dos dois planos – justifique esta afirma¸caõ). Tome ent˜ ao o plano γ passando por P e perpendicular

74


←→

←  →

a l, e sejam G ∈ α , H ∈ β tais que P G ⊥ α e P H ⊥ β . Pelo mesmo argumento apresentado ←  → ←→ mais acima temos que P H e P G estão contidas em γ . Então P G = dist(P, α) = dist(P, β ) = P H.

Mas P G = dist(P, a) e P H = dist(P, b) donde, pelos fatos j´ a demonstrados para o plano, vemos que P pertence a alguma das duas bissetrizes dos aˆngulos determinados por a e b no plano γ (você pode visualizar a situa¸ caõ na figura 6.7). Em outras palavras, P ∈ s1 ∪ s2 , ou seja, P ∈ σ1 ∪ σ2 . O pr´ oximo lugar geométrico que apresentaremos é o an´ alogo a` mediatriz de um segmento. etrico dos pontos equidistantes de pois pontos P e Problema 6.7. Mostre que o lugar geom´ e o plano µ perpendicular a P Q, passando pelo ponto m´ edio M deste segmento. Q dados ´ ˜ o. Primeiro vamos mostrar que os pontos de µ são equidistantes de P e Q. Tome Soluc ¸a angulos △N M P e △N M Q s˜ ao congruentes pelo N ∈ µ distinto de M . Observe que os triˆ

crit´ erio LAL, pois (veja a figura 6.8): (i) P M ≡ QM , j´ a que M é ponto médio de P Q; (ii) são retˆ angulos em M , já que µ

⊥

P Q; e

(iii) M N é um lado comum. Então N P ≡ N Q, ou seja, N é equidistante de P e Q . Seja agora X um ponto equidistante de P e Q. Queremos provar que X ∈ µ (esta é a rec´ıproca da afirma¸caõ anterior). Se X = M ent˜ ao X ∈ µ por defini¸cão. Suponhamos que angulos △XM P e △XM Q s˜ ao congruentes pelo crit´ erio LLL X ≠ M . Neste caso os triˆ (verifique!) donde, em particular, XM P ≡ XMQ,

ou seja,

é reto. Logo X ∈ µ (por quê?).

XM P

Figura 6.8

Defini¸ c˜ ao 6.8. O plano perpendicular a um dado segmento em seu ponto médio é chamado de plano mediador do segmento.


75

Vejamos mais um lugar geométrico interessante Problema 6.8. Sejam A , B

e C três pontos n˜ ao colineares. Mostre que o lugar geom´ etrico dos pontos equidistantes de A , B e C é a reta perpendicular ao plano determinado por estes pontos passando pelo circuncentro do triˆ angulo △ABC (veja a figura 6.9).

Figura 6.9

õ. Sejam α o plano determinado por A , B e C , e O o circuncentro de △ ABC . Seja t Soluc ¸a a reta passando por O e perpendicular a α. Vamos provar que se X ∈ t, então X é equidistante de A, B e C . De fato, pela defini¸ caõ de circuncentro sabemos que OA = OB = OC . Além disso, como t ⊥ α, temos que os aˆngulos XO A, XO B e XOC s˜ ao retos. Logo △XO A

≡ △

XO B ≡ △ XO C

pelo critério LAL, j´ a que OX é um lado comum aos três triˆ angulos listados. Assim conclu´ımos que XA

=

XB

=

XC

como quer´ıamos. Em particular observe que se µ é o plano mediador de AC e ν é o plano mediador de AB , então t = µ ∩ ν. (∗) (por quê?). Para verificar a rec´ıproca tome X um ponto qualquer equidistante de A, B e C . Ent˜ ao õ, logo X pertence ao plano µ mediador de AC e ao plano ν mediador de AB por defini¸ca ao, por (*) acima, X ∈ t, como quer´ıamos verificar. X ∈ µ ∩ ν . Mas ent˜ Problema 6.9.

76

Justifique todos os “por quês” da solu¸cao ˜ acima.


6.5

Poliedros

Na aula anterior estudamos um pouco sobre diedros , objeto an´ alogo aos aˆngulos planos. Nesta se¸caõ introduziremos os “primos” dos pol´ıgonos, os poliedros 1 . Vocês j´ a conhecem v´ arios deles: cubos, paralelogramos, prismas e pirˆ amides s˜ ao os mais conhecidos e estudados. Vamos estudar algumas propriedades destes e tamb´ em conhecer alguns outros. Nesta se¸ cão apresentaremos apenas as defini¸ co˜es destes ob jetos, que também chamamos de corpos s´ olidos ou simplesmente s´ olidos .

Figura 6.10

O primeiro ob jeto deste tipo do qual falaremos é o triedro, que tem três faces: tome três planos passando por um ponto, como representado na figura 6.10, e considere a figura formada pelas regi˜ oes angulares dos aˆngulos ( r , s ), ( r , t ) e ( s , t ). Nas nota¸co˜es da figura 6.10 dizemos que A é o vértice do triedro, as semirretas r , s e t suas arestas , e as regi˜ oes angulares correspondentes aos aˆngulos ( r , s ), ( r , t ) e ( s , t ) suas faces . O triedro é um poliedro aberto, como se fosse uma esp´ ecie de copo infinito, e n˜ ao lhe cabe bem a designa¸caõ de s´ olido, palavra que sempre lembra um objeto de certa forma finito.  →

 →

 →

 →

 →

 →

 →

 →

 →

 →

 →

 →

 →

 →

 →

Figura 6.11

Se “tamparmos” o lado aberto de um triedro, obtemos uma figura conhecida: uma pirˆ amide , no caso de base triangular, como representado na figura 6.11. Esta pirˆ amide também recebe o nome de tetraedro, pois tem quatro (tetra , em grego, significa quatro) faces, que s˜ a o as regi˜ oes planas triangulares delimitadas pelos triˆ angulos △ABC , △ABD , △BC D e △ADC . Seguindo as nota¸cões da figura, chamamos os pontos A , B , C e D de vértices da pirˆ amide, e os segmentos AB , AC , AD, B C , B D e C D de arestas . Em geral, um poliedro é a regi˜ ao do espa¸co delimitada pela interse¸ c˜ ao de um n´ umero finito de regi˜ oes diedrais e de suas faces seguindo certas regras precisas que n˜ ao veremos aqui, pois

1

A palavra vem do grego: poli- = muitos, v´ arios; e -edro que significa, como j´ a vimos, faces.


77

o que nos interessa neste curso s˜ ao exemplos particulares de poliedros. O leitor interessado pode pesquisar sobre o assunto nos diversos livros indicados na bibliografia. Passemos agora a uma descri¸cão mais formal de alguns poliedros.

6.5.1

Prismas

R

Figura 6.12

Um prisma é o poliedro constru´ıdo da seguinte maneira (acompanhe nas figuras 6.12 e 6.13): (a) Tome dois planos α e β paralelos entre si; (b) em um dos planos, por exemplo α , tome uma regi˜ ao poligonal R; (c) tome uma reta l secante aos planos que n˜ ao passe pelos pontos de R; (d) para cada ponto P ∈ R tome a reta lP que passa pelo ponto e é paralela a l; cada reta lP encontra β em um ponto P . ′

(e) Então a uni˜ ao de todos os segmentos P P é chamada de prisma . ′

Figura 6.13

78


Observe que o conjunto dos pontos P em β comp˜ oem uma regi˜ ao poligonal R congruente2 a R. ′

′

Os vértices de um prisma são os vértices das regi˜ oes poligonais R e

R

′

. As suas arestas são:

(i) os segmentos paralelos a l que ligam os respectivos vértices de R e (ii) os lados das regi˜ oes

R

e

R

′

R

′

;e

.

As suas faces s˜ ao as regi˜ oes poligonais determinadas p elos seus vértices consecutivos. Geralmente as faces R e R são chamadas de bases do prisma, e as outras de faces laterais . As bases s˜ ao categorizadas muitas vezes como base inferior , ou simplesmente base , e base superior , designa¸ caõ que depende do nosso ponto de vista. No nosso exemplo R é a base, ou base inferior, e R a base superior do prisma. As arestas das faces que n˜ ao s˜ ao comuns com as bases s˜ ao chamadas de arestas laterais . A reta l é comumente denominada reta-diretriz do prisma. ′

′

Liste os v´ ertices, as arestas, as arestas laterais e as faces do prisma ilustrado na figura 6.13. Problema 6.10.

Figura 6.14

Se a reta-diretriz l for perpendicular a α , dizemos que o prisma é reto (figura 6.14). Os prismas (e os poliedros em geral) possuem vários tipos de estruturas similares a ângulos. Os principais já conhecemos: (i) ângulos planos, que s˜ ao os aˆngulos de suas faces; (ii) ângulos diedros, que s˜ ao os diedros determinados por cada par de faces com uma aresta em comum. H´ a eventualmente outras estruturas, como triedros, mas n˜ ao nos preocuparemos com isto agora. Por exemplo, no prisma ilustrado na figura 6.13 temos os aˆngulos ABC , BC D, etc, que pertencem a` sua base inferior; os aˆngulos B BA , CC D, etc, que pertencem a faces laterais. Temos também os diedros determinados pela face A ABB e pela base R, pelas faces B BC C e C CDD (que compartilham a aresta C C , etc. ′

′

′

′

2

′

′

′

′

′

Dizemos que duas regi˜ oes poligonais s˜ ao congruentes se os pol´ ıgonos que as determinam s˜ ao congruentes; e d ois pol´ ıgonos s˜ ao congruentes se os seus lados e respectivos ângulos s˜ ao congruentes entre si.


79

Problema 6.11. Liste

todos os ˆ angulos e diedros do prisma ilustrado na figura 6.13.

Problema 6.12. Mostre

que os diedros entre as faces laterais e as base de um prisma reto

s˜ ao retos.

6.5.2

Paralelep´ıpedos e cubos

(a)

(b)

Figura 6.15

Um importante exemplo particular de prismas são os paralelep´ıpedos , os poliedros análogos aos paralelogramos. Um prisma é um paralelep´ıpedo se sua base é um paralelogramo. Neste caso é f´ acil de verificar que todas as faces também s˜ ao paralelogramos. Um paralelogramo é chamado de reto quando as mesmas condi¸ co˜es de um prisma reto forem satisfeita, isto é, quando as arestas laterais forem perpendiculares ao plano da base. Uma situa¸caõ mais particular ainda surge quando a base de um paralelep´ıpedo é um retˆ angulo e ele é um prisma reto. Nestas condi¸cões o chamamos de paralelep´ıpedo retˆ angulo. Na figura 6.15a representamos um paralelep´ıpedo genérico, enquanto que na figura 6.15b representamos um paralelep´ıpedo retˆ angulo.

Figura 6.16

Finalmente, se as faces e as bases de um paralelep´ıpedo forem quadrados, ele recebe o nome de cubo. Na figura 6.16 representamos um cubo. Mostre que todas as arestas de um cubo s˜ ao congruentes. Mostre ainda que todos os angulos ˆ e diedros de um cubo s˜ ao retos. Problema 6.13.

6.5.3

Pirˆ amides

Uma pirˆ amide é um poliedro constru´ıdo da seguinte maneira (veja a figura 6.17): (a) Tome uma regi˜ ao poligonal plana R e um ponto V qualquer fora do plano de R; (b) por cada ponto Q ⊂ R trace o segmento QV . Então a uni˜ ao de todos os segmentos QV é chamada de pirˆ amide .

80


Figura 6.17

O ponto V é chamado de vértice ou cume da pirˆ amide, e a regi˜ ao R de sua base . Os triângulos com o vértice comum V s˜ a o as faces laterais da pirˆ amide. Os vértices de R s˜ ao também chamados de vértices da pirˆ amide, e para n˜ ao confundir com o vértice V , costumamos cham´ alos de vértices da base . As defini¸ cões de arestas laterais e arestas da base são an´ alogas, e deixamos ao leitor o trabalho de escrevê-las. ´ comum denominarmos as pirˆ E amides em fun¸cão do pol´ıgono que constitui sua base. Por exemplo, na figura 6.17 a base é um p ol´ıgono de cinco lados, e esta pirˆ amide recebe o nome de pirˆ amide pentagonal . Se a base da pirˆ amide tem quatro lados, a chamamos de quadrangular ; se tem seis lados, de hexagonal , etc. No caso especial em que a base é um triˆ angulo a pirˆ amide pode receber o nome de triangular , mas também é chamada de tetraedro, como j´ a citamos mais acima (veja a figura 6.11).

Figura 6.18

6.5.4

Outros poliedros

Existem muitos outros tipos de poliedros, como os exemplos apresentados na figura 6.18. Uma classe importante s˜ ao os poliedros regulares , isto é, tais que to das as faces são pol´ıgonos regulares congruentes entre si, e todos os diedros tamb´ em s˜ ao congruentes entre si. Podemos provar que existem apenas cinco poliedros regulares: o tetraedro, o octaedro, o cubo, o icosaedro e o dodecaedro. Estes poliedros s˜ ao tamb´ em conhecidos como s´ olidos de Platão, o fil´ osofo grego do século IV antes de Cristo, e têm uma grande importˆ ancia n˜ a o s´ o para a história da matem´ atica, como para a hist´ oria da filosofia e da compreens˜ ao do Cosmos. Vamos agora apresentar estes nobres senhores.


81

Figura 6.19

O cubo todos j´ a conhecem. Suas faces s˜ ao quadrados congruentes entre si e todos os seus diedros s˜ ao retos. Tamb´ em j´ a falamos de tetraedros, que s˜ ao pirˆ amides triangulares. O tetraedro regular é uma pirˆ amide cujas faces s˜ ao todas triângulos equil´ ateros congruentes entre si (veja a figura 6.19a). O octaedro possui oito faces, como o nome diz. Suas faces s˜ ao também triˆ angulos equil´ ateros, e ele é “montado” com duas pirˆ amides quadrangulares cujas bases s˜ ao um quadrado, como mostramos na figura 6.19b.

Figura 6.20

O icosaedro é formado por vinte faces (icosa = vinte em grego) que, mais uma vez, s˜ ao triângulos equil´ ateros, como mostramos na figura 6.20a. O do decaedro é formado por doze faces (dodeca = doze, em grego). Suas faces s˜ ao pent´ agonos regulares – veja a figura 6.20b. Daremos mais alguns detalhes sobre os poliedros na nossa u ´ltima aula.

82


6.6

Exerc´ ıcios

6.1. Sejam

α e β dois planos paralelos, e AB um segmento perpendicular a ambos, com edio de AB. Mostre que o plano µ que passa por M e é A ∈ α e B ∈ β . Seja M o ponto m´ perpendicular a AB é o lugar geom´ etrico dos pontos equidistantes de α e β . 6.2.

Descreva o lugar geométrico dos pontos equidistantes a duas retas paralelas.


A ´ area total da superf´ıcie de um prisma é a soma das ´ areas de todas as suas faces (incluindo as bases), e a ´ area lateral de um prisma é a soma das areas ´ de suas faces laterais. 6.3.

(a) Calcule a ´ area lateral e a ´ area total da superf´ıcie de um cubo cuja aresta mede 2. (b) Na figura 6.21 representamos um prisma reto cujas bases s˜ ao trap´ ezios (ele est´ a visualmente “deitado”). Os comprimentos das arestas paralelas da base s˜ ao 4 e 9, e os comprimentos das arestas da base n˜ ao paralelas s˜ ao 5 e 6. Al´ em disso B F = 12 . Calcule a area ´ lateral e a ´ area total da superf´ıcie deste prisma. 6.4. Seguindo

a nota¸cao ˜ da figura 6.13, mostre que  A ADD é um paralelogramo. Tente generalizar este resultado para todos os tipos de prismas. ′

′

6.5. Assim

como observamos nos prismas, as pirˆ amides também possuem ˆ angulos das faces e diedros. Liste todos os ˆ angulos planos e diedros da pirˆ amide ilustrada na figura 6.17. 6.6. Uma

pirˆ amide cuja base é um pol´ıgono regular e cujo v´ ertice equidista de cada um dos vértices da base é chamada de pirˆ amide regular. Mostre que as faces laterais de uma pirˆ amide regular s˜ ao triˆ angulos is´ osceles congruentes entre si. A ´ area lateral de uma pirˆ amide é a somas das areas ´ de suas faces laterais, e a ´ area total da superf´ıcie de uma pirˆ amide é a soma de sua area ´ lateral com a ´ area da base. Calcule as areas ´ total e lateral nos seguintes casos: 6.7.

(a) de um tetraedro regular cuja aresta mede 3. (b) de uma pirˆ amide quadrangular regular cuja base é um quadrado de lado 2 e cuja aresta lateral mede 7.


83

7

Volumes de poliedros

AULA7: VOLUMES DE POLIEDROS

OBJETIVOS

Introduzir o conceito de volumes de s´ olidos geométricos, mais especificamente de regi˜ oes poliedrais. Apresentar um sistema de princ´ıpios que estabele¸ ca com rigor adequado este conceito; neste sistema inclui-se o Princ´ıpio de Cavalieri. Calcular o volume de alguns sólidos apresentados na aula anterior.

7.1

Introdu¸ c˜ ao

Nesta aula estudaremos o conceito de volume e calcularemos os volumes de alguns s´ olidos. O procedimento é an´ alogo ao que foi feito para apresentar o conceito de a´rea de figuras planas em [7]. Queremos medir o “tanto” que um objeto espacial ocupa um lugar no espa¸co. Este “tanto” é o que chamaremos de volume 1 .

Figura 7.1

Vejamos um exemplo. Na figura 7.1 representamos um paralelep´ıpedo cujas arestas medem 8, 4 e 4. Cortamos ent˜ ao o paralelep´ıpedo com v´ arios planos paralelos, formando p equenos cubos de aresta 1. Ent˜ ao o paralelep´ıpedo é formado de 8 4 4 128 destes cubos. Assim p oder´ıamos dizer que o “tanto” (= volume ) que o paralelep´ıpedo ocupa no espa¸ co é equivalente a 128 cubos de aresta 1. Se dissermos que o volume do cubo de aresta 1 é 1, então o volume do paralelep´ıpedo seria 128. ×

×

=

No exemplo acima apresentamos um paralelep´ıpedo cujas arestas têm comprimentos inteiros. E se n˜ ao for assim? Bem, se as arestas possu´ıssem comprimentos racionais, ainda seria poss´ıvel dividir o paralelep´ıpedo em cub os iguais com lados racionais. Por exemplo, se as arestas medissem 34, 57 e 23, ent˜ ao podemos dividi-lo em 3 5 2 30 cubos de aresta 184 (verifique!); e ent˜ ao poder´ıamos dizer que o volume do paralelep´ıpedo corresponde ao volume de 30 cubos de aresta 184, ou que o seu volume é 3084 521. Se as arestas do paralelep´ıpedo n˜ ao tiverem todas medidas racionais, podemos tomar aproxima¸co˜es racionais destas medidas e, atrav´ es de um processo de limite, mostrar que é razo´ avel afirmar que o ıpedo é dado pelo produto das medidas de suas arestas. volume de um paralelep´ ×

×

=

=

E como poder´ıamos fazer para medir o volume de figuras mais gerais, como prismas que n˜ ao sejam paralelep´ıpedos, pirˆ amides, etc.? Poder´ıamos “aproximar” a figura através de blocos

1

Deixaremos, daqui por diante, a palavra “volume” em itálico, at´ e que a presentemos e ste conce ito com mais precis˜ ao.

AUL A 7 : VOLUMES DE POL IEDROS

85

Figura 7.2

de paralelep´ıpedos, como mostramos na figura 7.2 e, atrav´ es de um processo de limite, aumentando o n´ umero de paralelep´ıpedos, calcular o volume da figura2 . No entanto n˜ ao utilizaremos este procedimento, mas um outro equivalente, conhecido como Princ´ıpio de Cavalieri , que introduziremos mais adiante. Para finalizar esta introdu¸caõ chamamos a aten¸ caõ para o seguinte: poder´ıamos apresentar o conceito de volume com o mesmo rigor com que se apresenta o conceito de area ´ de figuras planas, utilizando uma série de axiomas (veja em [7], por exemplo), mas preferimos trabalhar de forma mais intuitiva pois, caso contrário, o assunto atinge complica¸co˜es que est˜ ao além de um texto introdutório como este.

7.2

Volume de regi˜ oes poliedrais

Como j´ a dissemos na introdu¸caõ, n˜ ao daremos neste texto um tratamento completamente formal da teoria de volumes de figuras espaciais, mas procuraremos, nesta se¸caõ, apresentar de maneira sucinta como este tratamento poderia ser feito. Por isto enunciaremos as propriedades que o volume de regi˜ oes poliedrais deve satisfazer com o t´ıtulo de princ´ıpios , e n˜ ao de axiomas , como seria usual.

Figura 7.3

A primeira pergunta que surge é: o que é, de fato, uma regi˜ ao poliedral? Podemos definir este conceito de maneira inteiramente an´ aloga a` defini¸caõ usual de regi˜ ao poligonal3 : uma regi˜ ao ao finita de tetraedros que n˜ ao têm pontos interiores em comum, onde os poliedral é uma uni˜

86

2

O leitor atento p ode perceber que este procedimento nada mais é do que uma forma de c´ alculo integral.

3

Veja em [7] ou outro texto qualquer de geometria plana como são definidas regi˜ oes poligonais


pontos interiores de um tetraedro s˜ ao os pontos do espa¸ co que pertencem simultaneamente

a todas as seis regiões diedrais determinadas pelas faces do tetraedro. De agora para frente utilizaremos o termo poliedro no sentido de regi˜ ao poliedral. Todas as figuras espaciais apresentadas na se¸ c˜ ao 6.5 da aula anterior, à exce¸caõ dos triedros, podem ser seccionadas em um n´ umero finito de tetraedros. Na figura 7.3 apresentamos uma divis˜ ao de um cubo em cinco tetraedros, e na figura 7.4, a divis˜ ao de um octaedro em quatro tetraedros.

Figura 7.4

Nosso primeiro princ´ıpio é o da existência: ao poliedral R está associado um Princ´ ıpio da Existˆ encia do Volume. A cada regi˜ u ´ nico n u ´mero real positivo, denotado por V(R), chamado de volume do poliedro R. Se um poliedro é seccionado em v´ arios poliedros que n˜ ao têm pontos interiores em comum4 , é natural assumir que o volume do poliedro é igual a` soma dos volumes dos poliedros em que foi seccionado. Princ´ ıpio da Soma de Volumes. Se o poliedro R

onde

Ri

=

R1 ∪ R2 ∪

R

se decomp˜ oe na forma

. . . ∪ Rn ,

s˜ ao poliedros que n˜ ao possuem pontos interiores em comum, ent˜ ao V(R)

=

V(R1 ) + V(R2 ) + . . . + V(Rn ).

Precisamos agora dar uma “referência” para o c´ alculo de volumes. No caso de a´reas a referência utilizada em geral é a a´rea de um quadrado (veja, por exemplo, em [7]). No espa¸co o natural é utilizar paralelep´ıpedos retangulares, como foi discutido na introdu¸ c˜ ao. e Princ´ ıpio da Unidade para Volumes. O volume de um paralelep´ıpedo retangular ´ o produto dos comprimentos de suas três arestas n˜ ao paralelas que se encontram em um mesmo vértice. Na figura 7.5 representamos um paralelep´ıpedo retˆ angulo cujo volume é princ´ıpio da unidade para volumes, onde AB a, B C b e B G h . =

4

=

V

=

a.b.h, pelo

=

N˜ ao definimos formalmente o que s˜ ao pontos interiores de poliedros, mas apenas o que s˜ ao pontos interiores de tetraedros. Essencialmente, um ponto interior de um poliedro ´ e um ponto interior de um dos tetraedros que o comp˜ oe.


87

Figura 7.5

e V l 3 . Problema 7.1. Mostre que o volume de um cubo de aresta l ´ =

Precisamos agora de um princ´ıpio que nos permita calcular volumes de poliedros quaisquer, sabendo como calcular volumes de paralelep´ıpedos retˆ angulos, seguindo a ideia que apresentamos na figura 7.2. Para entender o princ´ıpio que enunciaremos mais abaixo, imagine uma pilha de moedas como representada na figura 7.6 a` esquerda. Se “entortarmos” a pilha, como representado na mesma figura a` direita, o volume do conjunto n˜ ao se modifica, pois este depende s´ o das moedas, e n˜ ao da forma da pilha.

Figura 7.6

Agora imagine que cada moeda v´ a sendo afinada, de forma que sua espessura diminua, e que se v´ a colocando mais moedas, para que a forma das pilhas n˜ ao se modifique. Este procedimento mantém o volume das pilhas. No limite, teremos como que se¸ c˜ oes planas nas duas pilhas com mesma a´rea, cuja “soma” d´ a o volume das pilhas. Esta ideia (que nada mais é do que uma forma de se pensar em integra¸ cã o m´ ultipla) para se calcular volumes de s´ olidos ocorreu a um matem´ atico italiano chamado Bonaventura Cavalieri (1598–1647) e deu origem ao princ´ıpio que enunciamos a seguir. olidos (por exemplo, poliedros), e Princ´ ıpio de Cavalieri. Sejam R e R dois corpos s´ α um plano qualquer. Suponha que todo plano paralelo a α que intercepte R tamb´ em ′

intercepte R , e que as interse¸co˜es s˜ ao figuras planas com a´reas iguais. Ent˜ ao os dois corpos possuem o mesmo volume. ′

Vejamos um exemplo para o Princ´ıpio de Cavalieri. Na figura 7.7 representamos dois paralelep´ıpedos cujas bases s˜ ao dois retˆ angulos B e B congruentes, e cujas bases superiores T e T são coplanares. Cada plano paralelo ao plano α (plano das bases dos paralelep´ıpedos) que intercepta os paralelep´ıpedos neles determina duas se¸ c˜ oes; na figura representamos as se¸co˜es S e S . Não é dif´ıcil de ver que estas se¸co˜es s˜ ao retˆ angulos congruentes a`s bases dos respectivos paralelep´ıpedos e, portanto congruentes entre si. Em particular, temos que ′

′

′

A(B )

88

=


′

A(B )

=

A(S )

=

′

A(S )

=

A(T )

=

′

A(T

),

Figura 7.7

onde A(⋅) é a a´rea de cada um dos pol´ıgonos. Logo, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, temos que os dois paralelep´ıpedos têm o mesmo volume. Na se¸ c˜ ao seguinte voltaremos a este exemplo, formalizando-o de maneira mais clara.

7.3

Volume de prismas

Figura 7.8

Nesta se¸ caõ iremos calcular o volume de prismas utilizando os princ´ıpios apresentados na se¸caõ anterior, mas antes precisamos estabelecer algumas propriedades destas figuras. Come¸camos com algumas defini¸co˜es. ancia entre os planos de suas bases inferior Defini¸ c˜ ao 7.1. A altura de um prisma é a distˆ e superior.

Na figura 7.8 indicamos por h

=

′

P P

a altura do prisma ilustrado.

ancia de qualquer dos v´ ertices de uma das bases de um Problema 7.2. Mostre que a distˆ prisma ao plano da outra base é igual a ` sua altura.

Se cortarmos o prisma por um plano paralelo aos planos das bases, obtemos um pol´ıgono, como mostramos na figura 7.9. Este pol´ıgono recebe um nome especial. Defini¸ c˜ ao 7.2. Uma se¸cao ˜ transversal de um prisma ´ e a interse¸ cao ˜ do prisma com um plano paralelo aos planos das bases.

Examinando a figura 7.9 nos fica parecendo que os pol´ıgonos R, R e S s˜ ao “iguais” (ou, em termos mais técnicos, congruentes ). De fato, isto é verdade, mas mostraremos apenas que têm a mesma a´rea, que é o fato que nos interessa no momento. ′


89

Figura 7.9

Figura 7.10

Teorema 7.3. Todas

as se¸c˜ oes transversais de um prisma triangular s˜ ao congruentes com

a base.

˜ o. Na figura 7.10 representamos um prisma triangular cuja base ´ e o triˆ angulo Demonstrac ¸a

no plano α. Seja γ um plano paralelo a α cuja interse¸caõ com o prisma seja n˜ ao vazia. Ent˜ ao γ corta as arestas laterais do prisma nos pontos M , N e P , como ilustrado. Como  ACPM é um paralelogramo, j´ a que AC ∥ M P (pois γ ∥ α) e AM ∥ CP (pois as arestas laterais são paralelas entre si), então AC ≡ M P . Analogamente AB ≡ M N e BC ≡ N P . Logo △ABC

△ABC ≡ △M N P

pelo critério LLL. Corol´ ario 7.4. Todas

as se¸c˜ oes transversais de um prisma têm a mesma ´ area.

˜ o. N˜ ao escreveremos todos os detalhes da demonstra¸cão, mas daremos a Demonstrac ¸a

ideia. Observe na figura 7.11 que podemos dividir a base de um prisma e cada se¸ c˜ ao transversal em regi˜ oes triangulares ligando os vértices correspondentes. Dividimos assim o prisma em subprismas triangulares. Para cada um destes prismas as se¸ cões triangulares correspondentes s˜ ao delimitadas por triˆ angulos congruentes entre si, e portanto têm a mesma a´rea. A a´rea de cada se¸caõ transversal é a soma das a´reas das regi˜ oes triangulares em que ela foi dividida, assim como a a´rea da base. Logo todas as se¸ cões transversais de um prisma tˆ em a mesma a´rea que a base do mesmo. Agora podemos calcular o volume de um prisma qualquer.

90


Figura 7.11

Figura 7.12

Teorema 7.5.

O volume de um prisma qualquer é o produto da ´ area de sua base pela sua

altura. ˜ o. Acompanhe os argumentos a seguir na figura 7.12. Tome um prisma T Demonstrac ¸a

qualquer de altura h e cuja base seja um pol´ıgono R . Construa um paralelep´ıpedo retˆ angulo T tal que ′

(a) sua base seja um retˆ angulo

R′

no mesmo plano que R, e tal que A(R)

=

′

A(R

);

(b) sua altura seja a mesma que a do prisma; (c) estejam do mesmo lado do espa¸ co em rela¸caõ ao plano de suas bases. Cada plano paralelo ao plano de suas bases que corta o prisma corta o paralelep´ıpedo. As se¸co˜es que este plano determina no prisma e no paralelep´ıpedo tˆ em a mesma area ´ que as respectivas bases, como vimos no corol´ ario 7.4. Como as áreas das bases s˜ ao iguais, as a´reas das se¸co˜es também o s˜ ao. Por exemplo, na figura 7.12, A(S )

=

′

A(S ).

Logo, pelo Princ´ıpio de Cavalieri o volume dos dois s´ olidos s˜ ao iguais. Mas V (T ) pelo Princ´ıpio da Unidade para Volumes, donde ′

V(T )

=

=

A(R ).h ′

A(R).h.


91

7.4

Volume de pirˆ amides

O c´ alculo de volumes de pirâmides é um pouco mais complicado que o cálculo para prismas. Assim dividiremos esta se¸ca õ em duas subse¸c˜ oes, apresentando na primeira uma lista de propriedades de pirâmides an´ alogas ` as que foram apresentadas para prismas, e na segunda o c´ alculo do volume de uma pirâmide.

7.4.1

Propriedades b´ asicas de pirˆ amides

Come¸camos com algumas defini¸c˜ oes.

Figura 7.13

amide é a distˆ ancia de seu v´ ertice (ou cume) ao plano Defini¸ ca õ 7.6. A altura de uma pirˆ de sua base. Na figura 7.13 o comprimento h do segmento V J ⊥ α ´ e a altura da pirâmide representada.

Figura 7.14

ao transversal de uma pirˆ amide é a interse¸c˜ ao da pirˆ amide com Defini¸ ca õ 7.7. Uma se¸c˜ um plano paralelo ao plano de sua base. Na figura 7.14 o plano β corta a pirâmide ilustrada na se¸ca õ transversal S . Observe que S ´ e uma “c´ opia” da base R, s´ o que em tamanho menor, com todos os lados mantendo a mesma propor¸ca õ. Esta propriedade ´ e o que verificaremos a seguir de maneira formal. Estudaremos primeiro o caso em que as pirâmides s˜ ao triangulares, e reduziremos em seguida o caso geral a este.

92


Teorema 7.8. Toda

se¸cao ˜ transversal de uma pirˆ amide triangular ´ e uma regi˜ ao triangular semelhante ` a sua base, e a raz˜ ao de semelhan¸ca entre seus lados ´ e

d , h

ρ =

onde d ´ e a distˆ ancia do v´ ertice da pirˆ amide ao plano da se¸cao, ˜ e h ´ e a altura da pirˆ amide.

Figura 7.15

˜ o. Sejam T a pirˆ amide triangular de base Demonstrac ¸a

ABC e vértice V , e

△

′

′

′

A B C

△

uma se¸cão transversal de T , como representado na figura 7.15. Assumimos ainda que, seguindo a nota¸caõ da figura 7.15, V P = h é a altura de T , onde P é o ponto do plano α determinado por △ABC tal que V P ⊥ α;

õ △A B C em que V P o encontra. Como α ∥ β temos P é o ponto do plano β da se¸ca que V P ⊥ β , donde d = V P é a distância de V a β . ′

′

′

′

′

′

Com estas nota¸cões o que queremos mostrar é que △A B C ′

′

AB AB

′

′

′

′

A C AC

=

=

′

B C BC

=

′

′

ABC , com

∼ △

d = ρ. h

(7.1)

Observe que estamos assumindo, na figura 7.15, que V P ≠ V A. Se, caso contrário, V P = V A, então a demonstra¸cão segue essencialmente os mesmos passos que daremos a seguir. O primeiro passo é mostrar que ′

′

V A P

△

V AP.

∼ △

(7.2)

De fato, como (i)



(ii)



′

′

AV P e

′

= 

′

≡ 

A V P V P A

ao ambos retos), V P A (pois s˜


93

ent˜ ao (7.2) é verdadeira pelo critério AA de semelhan¸ ca de triˆ angulos. Em particular ′

VA VA

′

V P V P

=

d ρ. h

=

=

(7.3)

Em seguida verificamos que ′

VA B

△

′

∼

V AB,

△

′

′

V B C

△

V BC e

△

∼

△

′

′

V A C

∼

V AC.

△

(7.4)

As três rela¸cões seguem do fato que A B ∥ AB , A C ∥ AC e B C ∥ BC (verifique!). Logo temos que ′

′

′

′

VA VA VB VB V C V C

′

VB VB V C V C VA VA

=

′

′

=

′

=

′

′

AB AB B C BC C A CA ′

=

′

=

′

′

′

=

′

(7.5)

(7.6)

(7.7)

′

′

Observe que de (7.3), (7.5) e (7.6) obtemos ′

d h

′

VA VA

=

=

VB VB

′

=

V C V C

(verifique!). Logo, de (7.5), (7.6) e (7.7) e da rela¸caõ acima conclu´ımos que ′

AB AB

′

′

=

′

A C AC

′

=

′

B C BC

=

d ρ. h =

Em particular, p elo crit´ erio LLL de semelhan¸ ca de triângulos, temos que ′

′

′

A B C

△

∼

ABC,

△

com raz˜ ao de semelhan¸ca ρ dh, como quer´ıamos provar. =

Uma consequência direta deste teorema é o corol´ ario seguinte, que relaciona as a´reas da base de uma pirˆ amide triangular com a a´rea de uma se¸cão transversal. Corol´ ario 7.9. Seguindo

as nota¸coes ˜ do teorema 7.8, temos que ′

A(△A

′

′

B C )

=

d2 A(△ABC ). h2

Figura 7.16

94


˜ o. Este resultado ´ e na verdade um resultado de geometria plana j´ a conheDemonstrac ¸a cido. Se △A B C △ABC de tal forma que valem as propor¸co˜es (7.1), ent˜ ao é fácil de ver ′

′

′

∼

que suas alturas seguem a mesma propor¸ caõ. Em outras palavras, usando as nota¸ c˜ oes da figura 7.16, temos que ′

′

A H AH

=

d . h

Destas condi¸cões segue-se que

(

A

′

′

′

A B C

△

)

1 1 d d A B . A H AB . AH 2 2 h h d2 1 AB AH h2 2

(

=

=

)   ( )( ) ( ABC ), ′

′

)(

′

′



=



=

=

d2 =

h2

A

△

como quer´ıamos. Problema 7.3. Mostre

o resultado de geometria plana utilizado no corol´ ario acima: a raz˜ ao entre as alturas de dois triˆ angulos semelhantes é a mesma raz˜ ao entre os seus lados.

O corol´ ario 7.9 vale em geral, e nã o s´ o para pirˆ amides triangulares. O teorema seguinte deixar´ a esta afirma¸caõ mais clara. Teorema 7.10. Em

toda pirˆ amide a raz˜ ao da ´ area de uma se¸c˜ ao transversal pela ´ area de sua base ´ e d h , onde h ´ e a altura da pirˆ amide e d ´ e a distˆ ancia de seu v´ ertice ao plano da se¸ c˜ ao transversal. 2



2

Figura 7.17

˜ o. Para provar isto basta decompor a base da pirˆ amide em regi˜ oes trianguDemonstrac ¸a lares T 1 , T 2 , . . ., T e aplicar o corol´ ario 7.9 para cada uma das pirˆ amides formadas. Como ilustra¸cão, veja a figura 7.17, onde representamos o caso n 2. Neste exemplo temos que n

=

( ) ′

A T 1

d2 =

h2

( )

A T 1

e

( ) ′

A T 2

d2 =

h2

( )

A T 2


95

donde ′

B

=

′

d2 =

′

A(T 1 ) + A(T 2 )

h2

d2 =

h2

( A(T 1 ) + A(T 2 ))

=

B ,

′

onde indicamos por B e B as a ´reas da base de da se¸c˜ ao transversal da pirâmide, respectivamente. A ´ unica diferen¸ca desta conta para o caso geral ´ e que aparecem n parcelas nas somas envolvidas. Problema 7.4. Ilustre

o caso n 3 para o teorema acima. =

Uma consequˆ encia importante do teorema 7.10, que nos permitirá aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri para calcular volumes de pirâmides, ´ e o teorema a seguir. Teorema 7. 11. Se

duas pirˆ amides têm a mesma altura e a ´ area de suas bases também ´ e a mesma, ent˜ ao as se¸c˜ oes determinadas por um mesmo plano tˆ em as mesmas ´ areas.

Figura 7.18

˜ o. Na figura 7.18 representamos duas pirâmides nas condi¸c˜ oes enunciadas Demonstrac ¸a no teorema. Seguindo as nota¸c˜ oes da figura, pelo teorema anterior temos que A(S )

Como

A(R)

=

A(R

′

d2 =

h2

A(R)

e

′

A(S )

d2 =

h2

′

A(R

).

), então deduzimos que A(S )

=

′

A(S )

como desejado. Corol´ ario 7.12. Se

duas pirˆ amides tˆ em a mesma altura e se suas bases s˜ ao coplanares e tˆ em a mesma ´ area, ent˜ ao o volume das duas pirˆ amides ´ e o mesmo ˜ o. Observe que mostramos no teorema anterior que todas as se¸c˜ oes transDemonstrac ¸a versais de duas pirˆ amides nestas condi¸co ˜es tˆ em a mesma ´ area. Assim, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, ambas possuem o mesmo volume.

96


7.4.2

C´ alculo do volume de uma pirˆ amide

Na subse¸caõ anterior apresentamos todo o material necess´ ario para se calcular o volume de uma pirˆ amide. Agora, vamos ao c´ alculo efetivo. Teorema 7.13. O

volume de uma pirˆ amide qualquer ´ e um ter¸co do volume do prisma de mesma base e mesma altura. Ou, dito de outra forma, se B é a base da pirˆ amide, e h sua altura ent˜ ao seu volume ´ e V

=

1 A(B ).h. 3

Figura 7.19

õ. Observamos primeiro que basta fazer o caso em que a pirˆ amide é triDemonstrac ¸a

angular (um tetraedro). De fato, dada uma pirˆ amide qualquer, construa uma outra de mesma altura e cuja base seja um triângulo de mesma a´rea da pirˆ amide dada. Assim, pelo corol´ ario 7.12 estas duas pirˆ amides possuem o mesmo volume. Uma outra simplifica¸caõ é a seguinte: podemos assumir que uma das arestas laterais da pirˆ amide é perpendicular ao plano da base pois, repetimos, o volume de uma pirˆ amide depende apenas da a´rea de sua base e de sua altura. Resumindo: assumimos que a pirˆ amide é triangular com uma de suas arestas laterais perpendicular ao plano da base, sem perda de generalidade. Agora constru´ımos sobre esta pirˆ amide um prisma triangular reto, como apresentado na figura 7.19 (na figura 7.19a representamos a pirˆ amide original, e na figura 7.19b o prisma). Em seguida desmembramos o prisma em três pirˆ amides, como mostramos nas figuras 7.19b 5 e 7.20. As três pirâmides s˜ ao ADEV , ABEV e ABCV (que é a pirâmide original). Mostraremos agora que estas trˆ es pirˆ amides possuem o mesmo volume. (a) As pirˆ amides ADEV e ABEV possuem o mesmo volume : Consideremos △ADE e △AEB como bases, respectivamente, destas duas pirˆ amides. Com esta escolha a distˆ ancia h de V ao plano determinado pelos triˆ angulos △ADE e

5

Utilizamos os v´ ertices para indicar as pirˆ amides, escritos em ordem qualquer.


97

Figura 7.20

(preste aten¸cão: os triângulos s˜ ao coplanares!) é a altura das duas pirˆ amides. Para finalizar, observe que △ADE ≡ △ AEB (verifique!), donde A(△ADE ) = A(△AEB ). △AEB

Logo as duas pirˆ amides possuem bases de mesma a´rea e a mesma altura, e portanto V(ADEV ) = V(ABEV ).

(b) As pirˆ amides ADEV e ABCV possuem o mesmo volume : Consideremos △DEV e △ABC como bases, respectivamente, das duas pirˆ amides. Como estes triângulos s˜ ao as bases do prisma reto que constru´ımos, é claro que △DEV ≡ em disso a altura destas duas pirˆ amides relativa a`s bases escolhidas é exa△ABC . Al´ tamente a distância entre os planos das bases, donde é a mesma altura. Assim s˜ ao pirˆ amides com mesma a´rea da base e mesma altura, donde V(ADEV )

=

V(ABCV ).

(c) Conclu´ımos ent˜ ao que V(ADEV )

=

V(ABEV ) = V(ABCV ).

Para terminarmos, observamos que o volume do prisma que constru´ımos é V(ABCV DE ) = A(B ).h,

onde B = △ABC é a base do prisma; e h = V C é a altura do prisma relativa a esta base. Mas temos ainda que V(ABCV DE )

=

V(ADEV ) + V(ABEV ) + V(ABCV ) =

=

3.V(ABCV ),

donde V

98


=

V(ABCD ) =

1 A(B ).h 3

7.5

Aplica¸ co ˜es

Nesta se¸caõ vamos calcular volumes de alguns s´ olidos, a t´ıtulo de exemplo. Problema 7.5. Calcule

o volume de um tetraedro regular de aresta l (veja figura 7.21).

Figura 7.21: – Problema 7.5

˜ o. Lembramos que um tetraedro regular ´ e uma pirˆ amide triangular cujas faces Soluc ¸a

(e base) são triângulos equil´ ateros congruentes. Para calcular o seu volume precisamos encontrar a a´rea de sua base e a sua altura. Na figura 7.21 a base do tetraedro é o triˆ angulo equil´ atero △ABC , cujos lados medem todos l. Assim sua altura é AM

l =

√ 3 2

.

Logo sua a´rea é A

=

1 l. 2

(AM )

l =

2

√ 3 4

(7.8)

.

Observe agora na figura 7.21 que a altura do tetraedro ilustrado é o comprimento h do segmento V O. Como V é equidistante dos vértices da base △ABC do tetraedro, e V O é perpendicular ao plano da base, ent˜ ao pelo problema 6.8 sabemos que O é o circuncentro do triângulo △ABC (justifique!). Ora, O também é o baricentro do triângulo, donde OA

l =

√ 3 3

.

Para calcular h aplicamos o Teorema de Pit´ agoras ao triˆ angulo 2

( )

h + OA

Então o volume

V do

2 =

l

2

⇒

h

l

√ 6

=

△V

(7.9)

OA :

3

(7.10)

tetraedro é V

=

1 A ⋅ h 3

=

1 3

l2 ⋅

√ 3 l√ 6 4

⋅

3

l3 =

√ 2

12

.


99


que as igualdades (7.8) e (7.9) est˜ ao corretas.

Problema 7.7. Calcule

o volume de um octaedro regular de aresta l (veja figura 7.22).

Figura 7.22: – Problema 7.7

˜ o. Lembramos que um o ctaedro regular, representado na figura 7.22 é um p oliedro Soluc ¸a

cujas oito faces s˜ ao triângulos equil´ ateros. O octaedro da figura pode ser seccionado em duas pirˆ amides quadrangulares V AB C D e W ABCD cuja base comum é o quadrado  ABCD e cujas alturas são iguais. Ent˜ ao o volume V do octaedro pode ser escrito assim: V

=

(

) ( ) ( )

V V AB C D + V WABCD

=

(

2 ⋅ V

Logo basta calcular o volume V V V AB C D . Vamos l´ a. A a´rea é a a´rea do quadrado  ABCD, ou seja, ′

=

A

)

V AB C D . A da

base da pirˆ amide

2

=

l .

Para calcular a altura da pirâmide observe que se O é o centro de  ABCD (isto é, o encontro de suas diagonais), ent˜ ao V O é perpendicular ao plano do quadrado, donde a altura da pirâmide é h V O . Calculamos h aplicando o Teorema de Pit´ agoras ao triˆ angulo △V OA : 2 l 2 l 2 2 2 2 2 2 2 2 ⇒ h h + OA l ⇒ h l − OA l − . 2 2 =

( )

=

( )

=

Então ′

V

=

1 A ⋅ h 3

√

l =

V


(a)

100

OA

=

l

√ 

=

2 ⋅ V

l =

3

√ 2

6

Logo o volume do octaedro é ′

 

=

3

√ 2

3

√

=

.

.

que, nas nota¸coes ˜ da figura 7.22,

2 2. (Sugest˜ ao: observe que AC é a diagonal do quadrado


 ABCD

)

(b)

e V O ´

perpendicular ao plano do quadrado  ABCD. (Sugest˜ ao: Mostre que O é o circuncentro dos triˆ angulos △ABD e △BC D e aplique o problema 6.8.)

(c) Mostre que V ,

O

e W s˜ ao pontos alinhados.

Figura 7.23: – Tronco de p irˆ amide

Ao se seccionar uma pirˆ amide por um plano paralelo a` sua base separamos a pirˆ amide em dois poliedros: um que contém o vértice da pirˆ amide, que é uma nova pirˆ amide; e outro que contém a base da pirˆ amide, que denominamos tronco de pirˆ amide . Na figura 7.23 representamos uma pirˆ amide seccionada por um plano. A parte da figura desenhada em linhas mais grossas é seu tronco. Dizemos ainda que a base B da pirâmide e a se¸caõ transversal B são bases do tronco. A distância h entre os planos de B e B é a altura do tronco. ′

′

Problema 7.9. Calcule

o volume de um tronco de pirˆ amide de bases B e B e altura h. ′

˜ o. Vamos seguir aqui as nota¸co˜es da figura 7.23. Sejam VT o volume do tronco da Soluc ¸a

pirˆ amide, que

VP o

volume da pirˆ amide maior, e VT

Vamos calcular V e ′

VP .

o volume da pirˆ amide menor. Temos ent˜ ao

′

V

′

VP − V .

=

(7.11)

Para isto denotaremos B

=

( )

A B

′

e

B

=

′

( )

A B .

Com esta nota¸caõ obtemos: ′

V

Para eliminarmos

h′

=

1 B 3

′

⋅h

′

e

VP

=

1 B⋅ 3

(h

+h

′

).

das express˜ oes acima aplicamos o teorema 7.10: ′

′

B

=

2

(h )

(h

+

h′

)

2

⋅ B.

(7.12)

Ap´ os algumas manipula¸ co˜es algébricas obtemos: h

′

√ √ B B√ B h

=

′

−

′

(7.13)


101

Então, de (7.11), VT

=

=

=

=

=

1 3 1 3 1 3

( ( ) ) ( ( ) )  √  ( ) √ √ √ (√  ( ) ( √ ) ′

B⋅ h+h

−

B

B⋅h+ B−B

′

B⋅h+ B−B

1 B⋅h+ 3 1 h B+B 3

B−B

′

+

′

′

′

⋅

⋅

′

h

′

h

=

=

1 3

h

⋅

B−

h

B′

⋅

B⋅h+ B−B

B′

B′

⋅

B+

B − B′

BB′ .

Problema 7.10. Mostre:

(a) Como se obt´ em (7.12) aplicando o teorema 7.10. (b) Como se obt´ em (7.13) a partir de (7.12).

102


√ ( ) √ √  √ ) (√ (√ √ √ )  ) ′

B+

B′

B+

B′

h

⋅

B−

=

B′

=

B′

B′

=

7.6

Exerc´ ıcios

7.1. A

altura de uma pirˆ amide de base quadrada é 10, e o comprimento de um dos lados da base é 15. Determine a ´ area de uma se¸c˜ ao transversal da pirˆ amide cuja distˆ ancia 6 ao vértice ´ e 6.

7.2. Uma

pirˆ amide ´ e chamada de regular se a sua base é um pol´ıgono regular e seu v´ ertice ´ e equidistante de cada vértice da base. Mostre que as faces de qualquer pirˆ amide triangular s˜ ao triˆ angulos is´ osceles congruentes entre si.

7.3. A

altura de um paralelep´ıpedo retangular é 7, e os lados de sua base medem 4 e 5. Calcule o volume do paralelep´ıpedo.

7.4. Ao

se introduzir um peda¸ c o de metal em um tanque retangular cheio de ´ agua, de dimens˜ oes 50 cm de frente por 37 cm de profundidade, o n´ıvel da ´ agua subiu 1 cm. Qual é o volume do peda¸co de metal?


7.5. Volte

ao exerc´ıcio 6.3 e calcule o volume do prisma representado na figura 6.21.

7.6. Um

prisma retangular reto tem uma altura de 18 cm e uma base que mede 6 cm por 8 cm. O plano determinado por uma diagonal da base e um v´ ertice da base superior forma uma pirˆ amide com as faces do prisma. Determine o volume da pirˆ amide.

6

A distˆ a ncia de uma se¸ ca õ transversal de uma pirˆ amide a seu v´ ertice ´ e a distˆ a ncia do plano da se¸ c˜ a o ao v´ ertice.


103

8

Cilindros, cones e esferas

AULA8: CILINDROS, CONES E ESFERAS

OBJETIVOS

Apresentar os chamados s´ olidos (ou corpos) “redondos”: cilindros, cones e esferas. Listar algumas propriedades destes s´ olidos e calcular seus volumes.

8.1

Introdu¸ c˜ ao

Nesta aula daremos uma breve introdu¸caõ ao estudos dos “corpos redondos”: cilindros, cones e esferas, cujas imagens devem ser bem conhecidas de todos. Seremos, aqui, mais informais ainda do que até agora, p ois esp eramos que, a esta altura, vocês j´ a estejam mais familiarizados com a linguagem e o assunto, e que sejam capazes de completar as eventuais lacunas por conta pr´ opria.

8.2

Cilindros

Figura 8.1

Um cilindro circular , denominado simplesmente cilindro1 neste texto, é um corpo s´ olido 2 an´ alogo a um prisma, mas cuja base é uma regi˜ ao circular, e n˜ ao uma regi˜ ao poligonal. A forma de defini-lo construtivamente é inteiramente an´ aloga a` forma que definimos prismas na se¸caõ 6.5.1 – basta trocar a palavra “poliedro” por “s´ olido” e frase “regi˜ ao poligonal R” por “regi˜ ao circularR” na descri¸caõ apresentada no in´ıcio da se¸ caõ, e teremos um cilindro.

1

Enfatizamos o termo cilindro circular porque a base do s´ olido em quest˜ ao é uma regi˜ ao circular. Podemos também, p or exemplo, definir cilindros el´ıpticos , caso em que a base é uma regi˜ ao de um plano delimitada por uma elipse. Em geral, podemos escolher qualquer curva num plano e “imitar” a defini¸c˜ ao de cilindro circular – pensando assim, podemos dizer que um prisma é, em particular, um cilindro.

2

Usaremos livremente toda a terminologia utilizada para descrever as partes de prismas (veja a se¸c˜ ao 6.5.1). O significado de cada termo ficar´ a claro pelo contexto e pelas figuras.

AUL A 8: CILIND ROS, CONES E ESFER AS

105

e a regi˜ ao circular do Problema 8.1. Na figura 8.1 representamos um cilindro cuja base ´ plano α delimitada pela circunferˆ encia C , e cuja reta diretriz ´ e a reta l secante aos planos α e β . Compare esta figura com as figuras 6.12 e 6.13 e descreva como se define um cilindro, acompanhando a defini¸cao ˜ de prisma dada na se¸cao ˜ 6.5.1.

Como definimos para prismas, dizemos que a altura de um cilindro é a distˆ ancia dos planos paralelos que o delimita – na figura 8.1 a altura do cilindro representado é a distˆ ancia h dos planos α e β .

Figura 8.2

Dizemos que um cilindro é reto se sua reta-diretriz for perpendicular aos planos que delimitam o cilindro, como representado na figura 8.2. Quando isto n˜ ao acontece dizemos que o cilindro é obl´ıquo , como representado na figura 8.1. Vejamos agora como calcular o volume de um cilindro. O “truque” é comparar um cilindro com uma figura espacial cujo volume seja conhecido e tal que se possa aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri que vimos na aula anterior. A escolha natural é usar um prisma (que nada mais é que um tipo de cilindro, como j´ a observamos) para realizar a compara¸ ca˜ o. Para isto precisamos do conceito de se¸c˜ alogo ao de se¸cão ao transversal de um cilindro, que é an´ transversal de um prisma:

Figura 8.3

˜ de um cilindro com um plano paralelo aos planos de suas bases Defini¸ ca õ 8.1. A interse¸cao ´ e uma se¸c˜ ao transversal do mesmo.

Na figura 8.3 a regi˜ ao

e S ´

uma se¸cão transversal do cilindro.

Uma propriedade fundamental das se¸cões de um cilindro, que nos permite aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri para calcular o seu volume é que a a´rea de cada uma é igual a` a´rea da base do cilindro, como foi demonstrado para prismas no corolário 7.4:

106


Teorema 8.2. Dado

um cilindro, a ´ area de cada uma de suas se¸coes ˜ transversais é igual à

area de sua base. ´ Para demonstrar este teorema siga os passos do pr´ oximo problema. Problema 8.2. Para

provar o teorema 8.2 precisamos mostrar que cada se¸c˜ ao transversal é um c´ırculo com o mesmo raio da base do cilindro. Para fazer isto vamos usar neste problema as nota¸c˜ oes da figura 8.3. Seja r o raio da base do cilindro. Chamemos de γ o plano que corta o cilindro na se¸c˜ ao S . Sejam I ponto de γ em comum com a superf´ıcie lateral do cilindro, O o centro da base do ←→ cilindro, e L o ponto em que a reta OO , paralela ` a reta-diretriz do cilindro, corta γ . Seja ←→ ←→ ao mostre também C o ponto da circunferˆ encia da base do cilindro tal que IC ∥ OO . Ent˜ que ′

′

(a) o quadril´ atero



OCIL é um paralelogramo;

(b) OC LI r . =

=

Conclua que todos os pontos em que a superf´ıcie do cilindro corta γ est˜ ao em uma circun ferˆ encia de raio r contida em γ , donde as ´ areas das se¸c˜ oes transversais s˜ ao todas iguais ` a area da base do cilindro. ´ Deste teorema deduzimos o seguinte: Teorema 8.3. O

volume de um cilindro qualquer é o produto da ´ area de sua base pela sua

altura. ˜ o. Sejam r o raio da base do cilindro e h sua altura. Ent˜ a o a a´rea de√ sua Demonstrac ¸a base é B πr2 . Construa um prisma de altura h e base quadrada cujo lado me¸ca l r π . =

=

Pelo Princ´ıpio de Cavalieri sabemos que o volume deste prisma e o volume do cilindro s˜ ao iguais (por quê?), donde o volume do cilindro é V

=

B h

=

πr 2 h.

Problema 8.3. Justifique

por que o cilindro e o prisma constru´ıdo na demonstra¸c˜ ao do teorema acima possuem o mesmo volume.

8.3

Cones

Assim como cilindros s˜ ao an´ alogos a prismas, cones s˜ ao an´ alogos a pirˆ amides, e a sua defini¸caõ é inteiramente an´ aloga a` de pirâmide, apresentada na se¸ cão 6.5.3, trocando-se a palavra “poliedro” por “s´ olido” e a frase “regi˜ ao poligonal plana” por “regi˜ ao circular”3 .

3

Assim como observamos quando definimos um cilindro, no caso do cone tamb´ em podemos escolher uma regi˜ ao qualquer de um plano para construir um cone. Por exemplo, se escolhemos uma regi˜ ao limitada por uma elipse, teremos o que costumamos chamar de cone el´ıptico . Ent˜ ao, com esta vis˜ ao mais geral, podemos dizer que uma pirˆ amide é, em particular, um cone.


107

Figura 8.4

Neste texto só trataremos de cones circulares , isto ´ e, cuja base ´ e uma região circular, como ilustrado na figura 8.4; assim o termo cone sempre designará este tipo de sólido. Problema 8.4. Na

figura 8.4 representamos um cone cuja base ´ e a regi˜ ao circular do plano encia C de centro O, e cujo v´ ertice ´ e o ponto V , externo a α. α delimitada pela circunferˆ Compare esta figura com a figura 6.17 e descreva como se define um cone, acompanhando a defini¸ cao ˜ de pirˆ amide apresentada na se¸cao ˜ 6.5.3. Como definimos para pirâmides, a altura de um cone é a distância de seu v´ ertice ao plano de sua base. No cone representado na figura 8.4, a sua altura ´ e o comprimento do segmento V J , denotada por h.

Figura 8.5

Dizemos que um cone ´ e reto se o segmento que liga seu v´ ertice ao centro de sua base for perpendicular ao plano da base, caso contrário dizemos que o cone é obl´ıquo. Na figura 8.4 representamos um cone obl´ıquo, enquanto que na figura 8.5 representamos um cone reto. Para calcular o volume de um cone aplicaremos a mesma t´ ecnica utilizada para calcular o volume de um cilindro: comparamos um cone com uma figura cujo volume seja conhecido e para a qual se possa aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri. A escolha natural aqui é comparar um cone com uma pirâmide. Neste caso precisamos de um resultado análogo ao teorema 7.10 para pirˆ amides, que enunciamos a seguir. Observe que, neste enunciado, usamos o termo “se¸ca õ transversal de um cone”, cuja defini¸c˜ ao formal deixamos ao leitor como exerc´ıcio. Teorema 8.4. Em

todo cone a raz˜ ao da ´ area de uma se¸cao ˜ transversal pela ´ area de sua base ´ e d2 h2 , onde h ´ e a altura do cone e d ´ e a distˆ ancia de seu vértice ao plano da se¸c˜ ao transversal.

108


Figura 8.6

˜ o. Demonstraremos o teorema, por simplicidade, no caso em que o cone ´ Demonstrac ¸a e reto. A demonstra¸c˜ ao do caso geral será deixada como exerc´ıcio.

Seguiremos as nota¸c˜ oes da figura 8.6. Se S é uma se¸ca õ do cone correspondente à circunferência de centro O e raio r , e sua base ´ e o c´ırculo B de centro O e raio R, queremos mostrar que d2 A S . h2 A B ′

() ()

=

′

′

Para ver isto observe os triângulos △V OD e △V O D representados na figura, obtidos cortando-se o cone com um plano perpendicular ao plano de sua base e passando pelo seu v´ ertice. Estes triângulos s˜ ao semelhantes, donde VO

′

VO

Logo

() ()

como quer´ıamos. Problema 8.5. Escreva

=

πR 2

′

OD

πr 2

A S

A B

′

OD =

r

=

⇒

d h

2

r =

d

R

2

   R

=

h

.

d2 =

h2

,

uma defini¸cao ˜ de se¸c˜ ao transversal de um cone.

Problema 8.6. Na

demonstra¸ c˜ ao do teorema 8.4 afirmamos que os triˆ angulos △V OD e △V O D s˜ ao semelhantes. Verifique isto com detalhes. ′

′

Agora podemos calcular o volume de um cone, aplicando o Princ´ıpio de Cavalieri. Teorema 8.5. O

volume V de um cone de altura h e cujo raio da base é r ´ e dado por V

=

1 2 πr h, 3

ou seja, corresponde a um ter¸ co do volume de um cilindro de mesma base e mesma altura.

√

˜ o. Seja T uma pirˆ Demonstrac ¸a amide de altura h e cuja base seja um quadrado de lado r π . Se S d ´ e uma se¸c˜ ao transversal de T cuja distˆ ancia ao v´ ertice da pirâmide ´ e d ent˜ ao, ′


109

pelo teorema 7.10, sabemos que A(S d ) ′

πr 2

=

d2 h2

.

Analogamente, se S d é uma se¸c˜ ao do cone que dista de seu vértice de d ent˜ ao, pelo teorema 8.4 temos que d2 A(S d ) = . πr 2 h2 Logo

A(S d ) = A(S d ) donde, ′

pelo Princ´ıpio de Cavalieri, obtemos V

=

V(T ) = V,

ou seja,

1 2 πr h, 3

como quer´ıamos.

8.4

Esferas

As esferas s˜ ao os objetos espaciais análogos aos c´ırculos no plano. Uma defini¸c˜ ao formal ´ ea seguinte:

Figura 8.7

umero real positivo r, o conjunto de todos os Defini¸ ca õ 8.6. Dado um ponto O e um n´ pontos do espa¸ co cuja distˆ ancia a O ´ e no m´ aximo r ´ e chamado de esfera. O ponto O ´ e o centro da esfera, e o n´ umero r seu raio. Dizemos que um ponto P é interior ` a esfera se OP < r, e ´ e exterior se OP > r. O conjunto dos pontos do espa¸ co cuja distˆ ancia a O ´ e exatamente r ´ e chamado de superf´ıcie esférica.

Na figura 8.7 representamos uma esfera de raio OA = r . No desenho OM = r , donde M ´ e um ponto da superf´ıcie da esfera, O K < r , donde K é um ponto interior à esfera, e O L > r , donde L é um ponto exterior à esfera. Nosso objetivo agora é calcular o volume de uma esfera, novamente aplicando o Princ´ıpio de Cavalieri, como fizemos em todas as se¸c˜ oes desta aula. Para isto precisamos analisar as se¸co ˜es planas de uma esfera.

110


Figura 8.8

Observe a figura 8.8: representamos nela uma esfera cortada por um plano α . Intuitivamente podemos perceber que este corte determina um c´ırculo contido no plano e na esfera, fato que n˜ ao demonstraremos com rigor aqui (o leitor interessado poder´ a encontrar a demonstra¸caõ em algumas das referências indicadas). Vamos calcular a a´rea desta se¸cão plana da esfera em fun¸caõ da distˆ ancia d do plano α ao centro O da esfera e de seu raio R. Na sequência utilizaremos as nota¸co˜es indicadas na figura 8.8. Sejam O ∈ α o pé da perpendicular a α por O , e P um ponto da circunferência que o plano co˜es o triˆ angulo △OO P é um triˆ angulo α determina na sup erf´ıcie da esfera. Nestas condi¸ retˆ angulo em O , OO = d , OP = R é o raio da esfera, e O P = R é o raio da circunferência. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, ′

′

′

′

′

2

′

2

′

2

(OP ) (OO ) (O P ) √

donde

=

′

R

+

⇒

′

R2 = d2 + R 2 , ′

R2 − d2 .

=

Logo a a´rea da se¸caõ plana que est´ a a uma distˆ ancia d do centro da esfera é: Ad

=

π R2 − d2 .

(

)

(8.1)

Para aplicar o Princ´ıpio de Cavalieri a uma esfera de raio R precisamos encontrar um s´ olido S que: (i) tenha volume conhecido, e (ii) as se¸co˜es planas da esfera e do s´ olido S obtidas pelo corte com um mesmo plano tenham as mesmas a´reas. Um s´ olido

S com

estas caracter´ısticas pode ser obtido assim (acompanhe na figura 8.9):

(a) tome um cilindro de altura 2R e raio da base R ; (b) tome V o “centro” do cilindro, isto é, o ponto médio do segmento O 1 O2 , onde O 1 e O 2 são os centros das bases inferior e superior do cilindro, respectivamente; (c) retire fora do cilindro dois cones com v´ ertices em V , sendo a base de um deles a base inferior do cilindro, e a base do outro a base superior do cilindro.


111

Figura 8.9

A parte do cilindro que sobra é o s´ olido que usaremos para calcular o volume de uma esfera de raio R . Observe que se cortarmos o sólido por um plano perpendicular aos planos das bases e passando pelos centros da mesma obtemos dois triˆ angulos, representados na figura 8.9 como sendo os triˆ angulos △M V N e △P V Q. E se cortarmos o s´ olido com um plano paralelo às bases do cilindro obtemos uma se¸cão que é um anel circular. Na figura representamos a se¸caõ obtida com o corte por um plano cuja distância a V é d . Prestemos aten¸caõ agora no triˆ angulo △V O2 M . Este triângulo é reto em O2 e é is´ osceles, pois V O2 R O 2 M . Os pontos O e C s˜ ao os pontos em que O1 O2 e V M encontram o plano da se¸cão, respectivamente. N˜ ao é dif´ıcil de perceber que △V OC também é is´ osceles, com V O d OC . A a´rea da se¸caõ representada do s´ olido na figura 8.9 é dada por =

=

=

=

′

Ad Problema 8.7.

=

( ) π(OC )

π OT

2

−

2 =

πR2 − πd 2

=

(

)

π R2 − d2 .

(8.2)

Explique por que (8.2) é a ´ area do anel circular mostrado na figura 8.9.

Ora, de (8.1) e (8.2) vemos que as a´reas das se¸co˜es da esfera de raio R e do s´ olido S constru´ıdo acima que est˜ ao a` mesma distˆ ancia do centro dos respectivos s´ olidos s˜ ao iguais donde, pelo Princ´ıpio de Cavalieri, ambos possuem o mesmo volume. O volume do s´ olido S é dado por VS

onde Vcil é o volume do cilindro e pelos nossos dados: VS

=

=

Vcil −

e Vcone ´

2Vcone

o volume de cada um dos cones. Substituindo

( ) 2  13 πR .R

πR 2 . 2R

2

−

=

4 3 πR , 3

que é o volume da esfera de raio R . Problema 8.8. Mostre,

112

com detalhes, que V O


=

OC , na figura 8.9.

8.5 Exerc´ ıcios 8.1. A

base de um cilindro é um c´ırculo de diˆ ametro 8, e sua altura também é 8. Qual o seu volume? 8.2. Qual

deve ser o comprimento de um tubo cujo diˆ ametro interno mede 2 cm, para poder 3 conter 600 cm de ´ agua? 8.3. Determine

o volume de um cone de altura 12 e base de raio 3.

A altura de um cone é 9. Um plano paralelo ao plano de sua base o intercepta a uma distˆ ancia de 5 da base, determinando um pequeno cone na parte superior. 8.4.

(a) Desenhe uma figura que representa a situa¸c˜ ao. (b) Qual a raz˜ ao entre as alturas dos dois cones? (c) Qual a raz˜ ao entre os raios de suas bases? (d) Qual a raz˜ ao entre as ´ areas de suas bases? (e) Qual a raz˜ ao entre os volumes dos dois cones? . Reveja o problema resolvido 7.9 e diga o que é um tronco de cone, usando como referência a figura 8.10. Em seguida, calcule o volume de um tronco de cone de altura 8 e raios das bases inferior e superior iguais a 4 e 6, respectivamente. (Sugest˜ ao: usando propor¸c˜ oes, calcule a altura integral do cone e subtraia do volume do cone maior o volume do cone menor.) 8.5.

8.6. Calcule

o volume de uma esfera de raio 4.

8.7. O

diˆ ametro de uma certa esfera é igual ao raio de uma outra esfera. Responda: (a) Qual é a raz˜ ao entre os raios das esferas?


(b) Qual é a raz˜ ao de seus volumes?


113

Apêndices

ˆ APENDICE A: AXIOMAS DA GEOMETRIA PLANA Listamos neste apˆ endice todos os axiomas e algumas defini¸co˜es b´ asicas apresentados em [7], para facilitar a consulta dos leitores.

A.1

Axiomas: grupo I, axiomas de incidˆ encia

ao dois pontos distintos do plano, ent˜ ao existe uma e uma ´ unica Axioma I.1. Se A e B s˜ reta l tal que A e B pertencem a l. Axioma I.2. Toda reta do plano possui pelo menos dois pontos distintos.

em pelo menos três pontos distintos que n˜ ao pertencem a uma Axioma I.3. O plano cont´ mesma reta.

A.2

Axiomas: grupo II, parte 1: m´ etrica e ordem na reta

unico n´ umero real assoAxioma II.1. Para cada par de pontos A, B do plano existe um ´ ciado, denotado por AB, satisfazendo as propriedades: (a) AB ≥ 0; (b) AB = 0 se e somente se A = B ; (c) AB = BA . ancia entre dois pontos A e B do plano é o n´ umero AB postulado Defini¸ ca õ A.1. A distˆ no axioma II.1. a entre A e B se: Defini¸ ca õ A.2. Dados dois pontos A e B diremos que um ponto C est´ ←→

(a) C ∈ AB ; (b) AB = AC + BC. Esta rela¸c˜ ao ser´ a denotada por A − C − B . ao três pontos alinhados, ent˜ ao um deles est´ a entre os outros Axioma II.2. Se A, B e C s˜ dois. ao entre dois pontos A e B , incluindo estes, Defini¸ ca õ A.3. O conjunto dos pontos que est˜ é um segmento (da reta AB ), e ser´ a denotado por AB , ou seja, ←→

AB = {pontos C tais que A − C − B } ∪ {A, B}.

Os pontos A e B s˜ ao os extremos de AB , e qualquer outro ponto do intervalo distinto de seus extremos é um ponto interior de AB . Analogamente, todo ponto do plano que n˜ ao pertence a AB é um ponto exterior ao segmento. O comprimento ou medida do segmento AB é a distˆ ancia entre os seus extremos, ou seja, é o n´ umero AB .

APÊNDICES : AX IOMAS DA GEOMETRIA PLANA

115

→

Defini¸ c˜ ao A.4. Dados dois pontos A e B de uma reta l, o subconjunto AB de l definido

por →

AB

=

AB ∪ {pontos P ∈ l tais que A − B − P } →

é uma semirreta de l com origem em A. Dizemos também que l ´ e a reta suporte de AB . Axioma II.3. Dados dois pontos A e B em uma reta l, existe um ponto C de l tal que A est´ a entre C e B , ou seja, tal que C − A − B . →

→

Axioma II.4. As semirretas AB e AC determinadas pelos pontos A, B e C de uma reta l, com C − A − B , satisfazem as seguintes propriedades: →

→

→

→

(a) AB ∪ AC = l; (b) AB ∩ AC = {A}; (c) dois pontos P, Q ∈ l diferentes de A pertencem a uma mesma semirreta se e s´ o se A n˜ ao pertence ao segmento P Q (ou, em outras palavras, se A n˜ ao est´ a entre P e Q); (d) dois pontos P, Q ∈ l diferentes de A pertencem a semirretas diferentes se e s´ o se A pertence ao segmento P Q (ou, em outras palavras, se A est´ a entre P e Q). →

umero real positivo c existe um Axioma II.5. Em qualquer semirreta AB e para todo n´ ponto C ∈ AB tal que AC = c. →

̃l do plano, deAxioma II.6. Toda reta l determina exatamente dois subconjuntos Pl e P nominados semiplanos em rela¸cao ˜ a l, satisfazendo as seguintes propriedades: ̃l ; (a) todos os pontos do plano est˜ ao contidos em Pl ∪ P (b)

̃l = Pl ∩ P

l;

(c) dois pontos A e B n˜ ao pertencentes a l est˜ ao num mesmo semiplano em rela¸cao ˜ a l se e somente se AB ∩ l =  ; (d) dois pontos A e B n˜ ao pertencentes a l est˜ ao em semiplanos distintos se e somente se AB ∩ l ≠  .

A.3

Axiomas: grupo III, medida de ˆ angulos

ˆ umero real associado, denoAxioma III.1. Para cada angulo BAC do plano existe um n´ tado por m(BAC ), satisfazendo as propriedades: (a)

0 ≤

m(BAC ) ≤ 180;

(b) m(BAC ) = 0 se e somente se BAC for um ˆ angulo nulo; (c) m(BAC ) = 180 se e somente se BAC for um ˆ angulo raso; (d) m(BAC ) = m(CAB ). umero m(BAC ) postulado no axioma III.1 é a medida do ângulo Defini¸ c˜ ao A.5. O n´ BAC .

116


e um angulo ˆ n˜ ao trivial e D é um ponto em seu interior, Axioma III.2. (a) Se BAC ´ ent˜ ao m(BAC ) = m(BAD ) + m(DAC ). ←→

(b) Se BAC é um angulo ˆ raso e D est´ a em um dos lados do plano determinado por BC ent˜ ao m(BAD ) + m(DAC ) = 180 . →

umero real a tal que 0 < a < Axioma III.3. Para toda semirreta AB , todo n´ semiplano P determinado por AB , existe uma ´ unica semirreta AD ⊂ P tal que ←→

180,

e cada

→

m(BAD ) = a.

A.4

Axiomas: grupo IV, congruˆ encia de triˆ angulos

angulos) Se dois triˆ angulos △ABC e △DEF Axioma IV. (Caso LAL de congruência de triˆ forem tais que AB ≡ DE, AC ≡ DF e BAC ≡ EDF ent˜ ao △ABC ≡ △DEF.

A.5

Axiomas: grupo V, axioma das paralelas

ao lhe pertencente passa, no m´ aximo, Axioma V. Dada uma reta, por cada ponto que n˜ uma reta paralela a ela.

A.6

Axiomas: grupo VI, axiomas sobre a ´reas

ao poligonal R est´ a associado um unico ´ n´ umero real positivo, Axioma VI.1. A cada regi˜ denotado por A(R). umero A(R) do axioma VI.1 é a area ´ de R. Defini¸ ca õ A.6. O n´ angulos s˜ ao congruentes, as regi˜ oes triangulares determinadas Axioma VI.2. Se dois triˆ por eles têm a mesma ´ area. ao Axioma VI.3. Se uma regi˜

e R ´

a uni˜ ao de duas regi˜ oes R1 e R2 tais que R1 e R2 se interceptam em no m´ aximo um n´ umero finito de segmentos e pontos, ent˜ ao A(R) = A(R1 ) + A(R2 ). area de um quadrado é o produto do comprimento de seus lados. Axioma VI.4. A ´

APÊNDICES : AX IOMAS DA GEOMETRIA PLANA

117

Referˆ encias

[1] J. L. M. Barbosa , Geometria Euclidiana Plana , SBM, Rio de Janeiro, 1985. ao ` a Geometria Espacial , 4 ed., SBM, Rio de Janeiro, [2] P. C. P. Carvalho, Introdu¸c˜ 2005. a

atica Elementar, vol 9: Geome[3] O. Dolce & J. N. Pompeo, Fundamentos de Matem´ tria Plana , 6 ed., Atual Editora, São Paulo, 1990. a

atica Elementar, vol 10: Geo[4] O. Dolce & J. N. Pompeo , Fundamentos de Matem´ metria Espacial, posi¸c˜ ao e m´ etri ca , 6 ed., Atual Editora, São Paulo, 2005. a

[5] F. L. Downs, Jr. & E. E. Moise , Geometria Moderna , 2 volumes, Ed. Edgar Blucher, S˜ ao Paulo, 1971. [6] M .C. de Farias . Resolu¸c˜ ao de Problemas Geom´ etricos , Ed. UFMG, Belo Horizonte, 2009. [7] P. A. F. Machado. Fundamentos de Geometria Plana , preprint, 2010. [8] A. V. Pogorelov, Geometr´ıa elem ental , trad. para o espanhol por Carlos Vega, Ed. Mir, Moscou, 1974. [9] M. L. B. de Queiroz & E. Q. F. Rezende , Geometria Euclidiana Plana e Constru¸ coes ˜ Geométri cas , 2 ed., Ed. da Unicamp, Campinas, 2008. a

REFERÊNCIAS

119

Fundamentos_de_geometria_espacial-sergio-02.pdf

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