FUNCIONES ORTOGONALES ORTOGONALES Y SERIES DE FOURIER FOURIER
INTRODUCCION El lector ha estudiado ya, en el cálculo infinitesimal, los vectores en el espacio de dos y tres dimensiones, y sabe que dos vectores no cero son ortogonales cuando su producto punto, o producto interno, es cero. Al dejar ese nivel, las nociones de vectores, ortogonalidad y producto interno pierden, con frecuencia, su interpretación geométrica. Estos conceptos se han generalizado es muy común imaginar que una función es un vector. En consecuencia, podemos decir que dos funciones distintas son ortogonales cuando su producto interno es cero. En este caso, veremos que el producto interno de los vectores es una integral definida. Otro concepto que se vio en cálculo infinitesimal fue el desarrollo de una función f como serie infinita de potencias potencias de x - a, llamada llamada serie de potencias potencias.. En este capítulo aprenderemos a desarrollar una función f en términos de un conjunto infinito de funciones ortogonales.
FUNCIONES ORTOGONALES Supongamos que u y v son vectores en el espacio tridimensional. El producto (u, v) de los interno (u, los vect vector ores es,, que que tamb tambié ién n se escr escrib ibe e u.v, pose posee e las las propiedades siguientes: i) (u, v) = (v, u) ii) (ku, v) = k(u, v), donde k es un escalar iii) (u, u)= 0, si u= 0,y (u,u) > 0 si u ≠ 0 iv) (u + v, w) = (u, w) + (v, w). Esperamos que una generalización del concepto de producto interno debe tener las mismas propiedades.
DEFINICIÓN Producto interno El producto interno de dos funciones ƒ 1 y ƒ2 en un intervalo [a, b] es el número
DEFINICION Funciones ortogonales Dos funciones ƒ 1 y ƒ2 son ortogonales en un intervalo [a, b] si
EJEMPLO 1 Funciones ortogonales Las funciones funciones ƒ1 (x) = x2 y ƒ2 (x) = x3 son ortogonales en el intervalo [-1, 1] porque
EJERCICIOS En los los prob proble lema mass 1 a 6, demu demues estr tre e que que las las func funcio ione ness resp respec ectitiva vass son son ortogonales en el intervalo indicado.
Serie de Fourier Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función continua y periódica. Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinitesimal de funciones senoidales mucho más simples (como combinación de seno senoss y cose coseno noss con con frec frecue uenc ncia iass ente entera ras) s).. El nomb nombre re se debe debe al matemático matemático francés francés Jean-Bapti Jean-Baptiste ste Joseph Joseph Fourier Fourier que desarr desarroll olló ó la teoría teoría cuando estudiaba la ecuación del calor . Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico. armónico. Es una aplicación usada en muchas ramas de la ingeniería, además de ser una herram herramien ienta ta sumam sumament ente e útil útil en la teoría teoría matemá matemátic tica a abstra abstracta cta.. Áreas Áreas de aplica aplicació ción n incluy incluyen en anális análisis is vibrat vibratori orio, o, acúst acústica ica,, óptica óptica,, proce procesam samien iento to de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistem sistemas as de teleco telecomun munica icacio ciones nes,, y a travé travéss del uso de los compo componen nentes tes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puede optimizar el diseño de un sist sistem ema a para para la seña señall port portad ador ora a del del mism mismo. o. Refi Refiér éras ase e al uso uso de un analizador de espectros. Las series de Fourier tienen la forma:
Donde
y
se denominan coeficientes de Fourier de la serie de
Fourier de la función
La Serie de Fourier de una función f definida en el intervalo (- L, L) está dada por
Donde
Ejercicios Propuestos Encuentre la serie de Fourier de f en el intervalo dado
