Frações Algébricas Uma expressão algébrica, na forma de fração, que apresenta uma ou mais variáveis no denominador (podendo tê-las também no numerador) é chamada de Fração Algébrica .
1. Simplifique as frações algébricas. 2
a)
9ab 2
3a b
e)
2
3 5
b)
f)
3a c 4
24a c
2
3 5
c)
2 6
30m s 2
d)
g)
12m s
3
h)
15 x y z 2
2
4 3
25 z y x t
9t zy 2
81t yz
6
3(c − b) 2
12c b
2
45( x + b)
2
15( x + b) 8( a + b) 2( a
2
−
b2 )
A simplificação entre o numerador e o denominador de frações algébricas só pode ser feita entre fatores do numerador com fatores do denominador. Logo, o numerador e o denominador de uma fração devem estar na forma fatorada, para que a fração possa ser simplificada. Para relembrarmos os casos de fatoração, acompanhe: 1) Fator comum: ax + ay = a(x + y) 2) Agrupamento: ax + bx + ay + by = x(a + b) + y(a + b)= (x + y).(a + b) 3) Trinômio Trinômi o quadrado perfeito: a² + 2ab+ b² = (a + b)² b)² = (a + b).(a + b) b) a² - 2ab+ b² = (a - b)² = (a – b). (a - b) 4) Diferença de dois quadrados: a² - b² = (a – b).(a + b)
2. Agora, utilizando a fatoração quando necessário, fatore as as expressões e, em seguida, simplifique as frações algébricas.
a)
b)
c)
d)
e)
b2
+
3b
f)
b+3 x + z
g)
3 x + 3 z
x
2
3c 2
c z
2
2
+
12c
−
16
−
18 z + 81
6 z − 54 4d 2
25
−
4 x − 20
x
2
−
4
x 2
+
4 x + 4
a2
−
14a + 49
3a − 21
2 h) 4d
i)
j)
k)
y
2
+
−
−
1
4d + 1
4 y + 4
xy − 2 x 2 x
2
x
2
−
2 y
+
xy
1
2
a a
2
+
2
−
9
3a + ab + 3b
Quando os denominadores das frações algébricas não são iguais, temos que primeiramente igualar os denominadores, por meio da equivalência de frações, para efetuar a adição ou a subtração. 2 2 2 2 Exemplos: 3 a − 2 b = 3 ab − 2 ab = ab = 1 ab
b
3
ab
3
ab
3
ab
3
b
Caso os denominadores não estejam fatorados, deve-se fatorá-los, para utilizar também a equivalência de frações e efetuar a adição ou a subtração. 3 1 3 1 3 .4 1 + 12 13 Exemplo: 1 + = + = + = = 4a
−
12
a
−
3
4(a
−
3)
a
−
3
4(a
3)
−
4(a
−
3)
4 (a
3. Efetue, apresentando a resposta na forma de uma fração algébrica: a)
b)
c)
2
b 7
a
4
+
3b 4
+
2
d)
e)
5a
1
3
−
f)
x − 3 x
5
y
2
x
2
−
9
+
4
y +3
7 x −
6 x + 9
2
z − 2
+
+
4
x−3
4 z
z
2
−
4
4. Calcular os seguintes produtos: a)
b)
3c 2 x
.
2
4 xy 9c
9
a
2
a+2
.
4
−
3
3 x
c)
x + y 6ax − 6ay . 2 3a x − y 2
d)
2a + 2 2 x + 2 y . a +1 x 2 − y 2
5. Calcular os seguintes quocientes: (não esqueça que a divisão “vira” multiplicação pelo inverso da 2ª fração) a)
50 x
4
28 y
6
:
25 x 14 y
5
12
2
8 x y 24 xya b) : 13a 26a 3
c)
b)
x
2
xy − y a2
2
:
x
2
x
2
+
2ab + b
a
2
−
b
2
+ −
xy
y 2
2
:
a −b a +b
2
−
3)
4a
−
12
6) Simplifique as seguintes funções algébricas:
7) Efetue as seguintes operações com frações algébricas e simplifique o resultado
sempre que possível:
8)
R$ 14.000,00 deveriam ser distribuídos igualmente a um certo número de pessoas. Antes de a distribuição ser feita, 10 pessoas foram embora, sendo necessário distribuir apenas R$ 12.000,00 para que cada um recebesse o mesmo valor que receberia no inicio. Qual era o número de pessoas inicialmente?
9) Carlos executou um trabalho em 8 dias. Mário executou o mesmo trabalho em x
dias. Juntos, eles executaram o mesmo trabalho em 3 dias. Determine o valor de x.
3
10) Resolva as equações, determinando o valor de “ x” sempre que possível.
Simplifique as expressões fatorando o numerador e o denominador: 11)
