FLUIDODINÁMICA APLICAD APLICADA A A LA MINERÍA Editor Juan Rayo Capacitación S.A.
TOMO I
Copyright © Copyright 2013. Juan R ayo Capacitación S.A. ( JRCap) JRCap).. Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción reproducción total o parcial de est a obra, por cua lquier medio, sin la autorización escrita de JRCap.
Registro de propiedad intelectual inscripción N° 224.267 ISBN 978-956-9285-01-1 978-956 -9285-01-1 (Tomo I) ISBN 978-956-9285-00-4 (Ob (Obra ra completa completa)) Juan Rayo Capacitación S.A. Luis Uribe 2343, Ñuñoa Santiago, Chile Fono: (56 2) 2361 8200 www.jrcap.cl
Esta PRIM ERA EDICIÓN, de 200 ejemplares, fue impresa por Caupolicán Servicios Gráficos, Fono 26716467, 26716467, en Santiago de C hile, durante febrero de 2013.
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Esta PRIM ERA EDICIÓN, de 200 ejemplares, fue impresa por Caupolicán Servicios Gráficos, Fono 26716467, 26716467, en Santiago de C hile, durante febrero de 2013.
PRÓLOGO Mi primer contacto con la fluidodinámica fue hace poco más de 40 años. Corría el último año de la década del 60, con todo lo que un joven de esa época podía pedir (protestas (prote stas contra la guerra g uerra de Vietnam, el hombre hombre a la luna, la reforma universitaria, etc.), y dado que mi paso por la universidad sólo había sido de teorías y números (ecuaciones (ecuaci ones diferenciales, mecánica racional, etc.), realmente tuve una grata sorpresa: me enfrentaba a un curso que mezclaba teoría, sobre bases matemáticas matemáticas duras (vectores y tensores) con aplicaciones prácticas directas (podía entender hasta la hidráulica domiciliaria). Poco después entendí que la fluidodinámica que nos enseñaba el profesor Ramón Fuentes (PhD), era esencialmente la base científica y empírica para comprender los fenómenos continuos de la minería y metalurgia del país. Con esa base entendí los fenómenos fenóme nos de: ventilación minera, manejo de ag uas y pulpas, manejo de gases cal ientes y otros. Las bases que nos enseñó, a jóvenes que recién cumplíamos los veinte años, posiblemente no se nos haya olvidado a ninguno. Más aún, hace algún t iempo iempo,, en la empresa Juan Rayo Ingeniería S.A. (hoy, JRI Ingeniería S.A.), nos tocó revisar un proyecto de drenaje de una mina subterránea profunda de la V Región, y nos encontramos con un sistema que levantaba alrededor de 20 m 3/h de aguas mina desde una profundidad de 800 metros, y cuyas memorias de cálculo (fechadas año 1976), estaban basadas sólo en los apuntes de las clases de fluidodinámica que yo asistí y cuyo autor era un ex compañero que se demoró algo más que el promedio en terminar la carrera. Ese ejemplo es relevante, porque en base a conceptos y pautas de una enseñanza de pregrado, se había materializado con éxito un sistema que operó por más de 20 años. El desarrollo de mi carrera profesional estuvo tempranamente ligado a la fluidodinámica. Mi tesis la realicé en base a estudiar el sistema presurizado de transporte de relaves de Minera Andina (División de Codelco Chile), cuando, a principios de la década del 70, tras la nacionalización de la Gran Minería del Cobre, no quedaba en Chile ningún ningú n ingeniero norteamericano que explicara los conceptos de ese proyecto. Posteriormente, y después de u na variada participación en investigación, ingeniería Posteriormente, y operaciones, que me llevó casi 10 años, tuve la oportunidad de formar mi empresa consultora para dar apoyo a la operación de las plantas concentradoras de ese entonces. Los proble problemas mas operacionales siempre siempre fueron similares: canaletas que rebosaban, tuberías que se embancaban, sistemas de bombeo con falta de capacidad, etc. Todos estos problemas requerían de un análisis profundo de fluidodinámica, para ver en qué fallaban y cómo resolverlos. resolverlos. La empresa consultora JRI, sociedad que encabeza el Grupo JRI al cual pertenece JRCap, creció en base al prestigio de lograr resolver los problemas operacionales complejos. La década del 90 tuvo para nosotros el desafío fluidodinámico mayor, consistente consistente en diseñar (hasta el nivel de detalles) y poner en funcionamiento, el sistema de transporte de pulpa de mineral molido de Los Bronces a Las Tórtolas. Ese fue realmente un desafío extremo, que consistía en bajar 37.000 37.000 ton/día de mineral en una pulpa al al 57% de concentración concentración en peso, desde la cota 3.500 m.s.n.m. hasta la cota 750 m.s.n.m., atravesando tres valles mediante túneles y puentes relevantes. El éxito o fracaso de
la empresa minera Disputada-Exxon, Disputada-Exxon, dependían de la correcta funcionalidad de u n sistema que nunca se había probado en el mundo y que, hasta hoy, constituye un hito no superado. El día 5 de mayo de 1992, y contra los malos presagios de alg unos envidiosos competidores, el sistema empezó a operar sin problemas mayores hasta nuestros días. Por el éxito de ese proyecto proyecto,, recibí el premio al Profesi Profesional onal DistinguiDistingu ido del año 1995, del Instituto de Ingenieros de Minas de Chile. El desarrollo de JRI, con 30 años de vida, siempre ha estado ligado a la fluidodinámica aplicada a la mi nería. Como empresa participamos (directa o indirectamente) en todos los concentraductos de Sudamérica, en la gran mayoría de los gra ndes rela veductos y en más má s de la mitad de los acueductos ac ueductos constru con struidos idos en Chile. Chile . Acumulamos Acumula mos experiencias de manejo de pulpas espumosas, en pulpas de alta concentración, en pulpas de flujo muy variado, en manejo de todo tipo t ipo de fluidos industriales (acei (aceites, tes, reactivos, lechada, ácidos, soluciones, soluciones, etc.) y en condiciones fluidodinámicas ext remas (golpe de ariete, a riete, cavitación, mezclado, etc.). Desde hace más de 15 años que JRI JR I dispone como consultor permanente al profeso profesorr Ramón Fuentes (PhD). Como parte relevante de su staff, este doctor en ciencias ha enseñado fluidodinámica compleja, a más de 50 ingenieros que han tenido la suerte de tener que trabajar con él en la solución de problemas complejos y desafíos rele vantes.. Para JRI, vantes JR I, y para mi persona pe rsona en particu par ticular, lar, es un orgu llo tener como gu ía tecnológica a un Miembro de Honor de la Asociación Internacional de Investigaciones Hidráulicas (IAHR - Internacional Association of Hydraulic Research). Research). El equipo de especialistas en fluidodinámica de JRI, incluyendo al Dr. Fuentes y quien expone, creemos que el mundo minero de Chile necesita que el conocimiento acumulado de nuestro profesor profesor y de todos los especialistas de JRI, sea compartido en forma abierta y sin restricciones con los profesionales del mundo minero nacional (operaciones, (op eraciones, mantenimiento, ingeniería, investigación, docencia). Es por ello que hemos impulsado la edición del libro Fluidodinámica Aplicada a la Minería, el cual constituye el primer texto en esta materia elaborado elaborado por un organismo no-universitario de Chile. En este caso, es JRI, a través de su fir ma ligada JRCap, que, con su participació part icipación, n, avala y endosa que los conceptos que se expresan en este documento, constituyen el estado del saber sobre la fluidodinámica minera. El documento que estoy presentando presentando no ha tenido ningún t ipo de sesgos en sus fundamentos y aplicaciones. Los conceptos básicos han sido expresados mediante matemáticas avanzadas, las ideas en forma explícitas y las aplicaciones en base a ejemplos reales de la minería sudamericana (se ha suprimido, eso sí, el nombre de las empresas mineras involucradas involucradas). ).
Juan Rayo Prieto Gerente General JRCap Gerente Técnico JRI
AUTORES RAMÓN FUENTES AGUILAR Educación: Ingeniero Civil, mención Hidráulica, Universidad de Chile, 1964 Ingénieur Hydraulique, Université de Grenoble, Francia, 1966 Docteur en Physique, Université de Grenoble, Francia, 1969 Experiencia: Más de 40 años de experiencia como consultor, tanto en el área científica como en proyectos mineros. En estos últimos, ha participado en la caracterización de relaves y en la simulación y modelación de transporte de agua y otros fluidos. Experto en: Mecánica de fluidos, diná mica de suspensiones y fenómenos de transporte en metalurgia Membresías: Miembro Honorario de la International Association for Hydraulic Research (IAHR) JUAN RAYO PRIETO Educación: Ingeniero Civil de Minas, Universidad de Chile, 1974 Diplomado en Transporte Hidráulico de Sólidos, Saskatchewan Research Council, Canadá, 1975 Experiencia: Más de 35 años de experiencia en dirección de proyectos de ingeniería, desarrollo de actividades académicas, trabajos de investigación aplicada, y realización de auditorías técnicas, estud ios de validación, perfiles de negocios y planes estratégicos. Experto en: Transporte hidráulico de sólidos, proyectos industriales de plantas de concentración y análisis de riesgos en minería Membresías: Colegio de Ingenieros de Chile A.G. Colegio de Ingenieros del Perú Instituto de Ingenieros de Chile Instituto de Ingenieros de Minas de Chile (IIMCh)
CHRISTIAN MORENO GONZÁLEZ Educación: Ingeniero Civil, con mención en Hidráulica, Universidad de Chile, 1998 M.Sc. in Water Resources Engineering and Management, Universität Stuttgart, Alemania, 2004 Experiencia: 13 años de experiencia profesional, especializándose en las áreas de abastecimiento de agua y sistemas de transporte de pulpas minerales. Experto en: Sistemas de transporte de pulpas minerales y sistemas de suministro de ag ua Membresías: CRISTIÁN RICKENBERG DÍAZ Educación: Ingeniero Civil Metalurgista, Universidad de Santiago de Chile, 2000 Experiencia: 12 años de experiencia como ingeniero y especialista de procesos, participando tanto en el diseño como en la puesta en marcha de proyectos industriales y mineros. Experto en: Optimización de plantas concentradoras, manejo de costos de plantas concentradoras, plantas de manejo y disposición de relaves Membresías: ALBERTO SALAZAR OGUEDA Educación: Ingeniero Civil Mecánico, Universidad Técnica del Estado, 1975 Diplomado en Transporte Hidráulico de Sólidos, Saskatchewan Research Council, Canadá, 1976 Experiencia: 40 años de experiencia en estudios y proyectos de ingeniería en el sector minero-metalúrgico, desempeñándose como Gerente/Jefe de Proyecto en una vasta cantidad de proyectos de gran tamaño, y actuando también como consultor-especialista en múltiples estudios y proyectos. Experto en: Plantas de beneficio y sistemas de manejo y transporte de pulpas minera les Membresías: -
VÍCTOR ENCINA MONTENEGRO Educación: Ingeniero Civil de Minas, Universidad de Chile, 1976 Experiencia: Más de 35 años de experiencia en las áreas de estudios, proyectos y operaciones, en empresas de ingeniería y faenas mineras subterráneas, de mediano y gran tamaño. Experto en: Minería subterránea e in novación tecnológica en minería Membresías: Instituto de Ingenieros de Minas de Chile (IIMCh) SOLEDAD GUTIÉRREZ DELGADO Educación: Ingeniera Civil, con mención en Hidráulica, Pontificia Universidad Católica de Chile, 2000 Experiencia: Más de 10 años de experiencia como ingeniera y especialista hidráulica en proyectos mineros y de transporte de pulpas. Experta en: Sistemas de bombeo de pulpas, sistemas de conducción gravitacional en presión y en acueducto, análisis de transientes hidráulico, y sistemas de transporte de fluidos a larga dista ncia Membresías: -
LISTA DE COLABORADORES Alejandra Álvarez, Licenciada en Ciencias, con mención en Física, y Doctora en Ciencias, con mención en Física, de la Universidad de Chile. Sofía Arriagada, Ingeniera Civil de la Universidad de Concepción. Daniel García, Ingeniero Civil Metalúrgico de la Universidad de Santiago de Chile. Felipe Hernández, Ingeniero Civil de la Universidad Técnica Federico Santa María. Jorge Ipinza, Ingeniero Civil Metalúrgico y Doctor en Ciencias de la Ingeniería, con mención en Metalurgia, de la Universidad de Concepción. Ximena Lira, Dibujante Técnico Industrial de INACAP. José Muñoz, Ingeniero Civil, con mención en Hidráulica, San itaria y Ambiental, de la Universidad de Chile. Yasna Olivares, Ingeniera Civil Química de la Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. María Teresa Prado, Ingeniera Civil de la Universidad de Concepción. Jorge Serey, Ingeniero Civil, con mención en Hidráulica, Sanitar ia y Ambiental, de la Universidad de Chile. Carolina Silva, Ingeniera Civil, con mención en Hidráulica, San itaria y Ambiental, de la Universidad de Chile. Héctor Stack, Ingeniero Civil Mecánico de la Universidad de Santiago de Chile. Marcela Rojas, Ingeniera Civil Metalurgista de la Universidad de Santiago de Chi le.
ÍNDICE TOMO I Módulo I: FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I ............................................ ............................. 11 Capítulo 1 Historia de la fluidodinámica clásica ...................................................................13 Capítulo 2 Propiedades de algunos fluidos ............................................................................. 21 Capítulo 3 Hidrostática ............................................................................................................. 35 Capítulo 4 Conceptos básicos de fluidodinámica .................................................................. 45 Capítulo 5 Hidrodinámica aplicada: tuberías ...................................................................... 155 Capítulo 6 Hidrodinámica aplicada: canales ....................................................................... 175 Capítulo 7 Hidrodinámica aplicada: bombas.......................................................................197 Capítulo 8 Inyección de burbujas en un reactor .................................................................. 219 Módulo II: FLUIDODINÁMICA CLÁSICA II ............................................. ........................ 223 Capítulo 9 Escurrimientos impermanentes en tuberias a presión ...................................225 Capítulo 10 Flujo compresible de gases en ductos .................................................................269 Capítulo 11 Escurrimientos multifasicos en minería............................................................285 Capítulo 12 Mecánica de suspensiones ................................................................................... 293
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MÓDULO I FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I
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MÓDULO I
FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I
C a p í t u l o 1
Historia de la fluidodinámica clásica Autor: Ramón Fuentes
CONTENIDO 1.
HISTORIA DE LA FLUIDODINÁMICA CLÁSICA ....................................................................................................15 1.1.
Introducción .............................................................................................................................................................15
1.2.
Inicio del riego .........................................................................................................................................................15
1.3.
Culturas fluviales .....................................................................................................................................................16
1.4.
Sistematización de las obras hidráulicas ........................................................................................................17
1.5.
Nacimiento de la física de fluidos .....................................................................................................................17
1.6.
Galileo y Newton.....................................................................................................................................................17
1.7.
Nacimiento de la hidrodinámica ideal y de la hidráulica experimental..............................................18
1.8.
Advenimiento de la mecánica de fluidos moderna ...................................................................................18
1.9.
Referencias ................................................................................................................................................................19
15
1. HISTORIA DE LA FLUIDODINÁMICA CLÁSICA 1.1. Introducción Lugar común (LC) es una palabra, frase o idea considerada como un vicio del lenguaje por ser demasiado sabido o por su uso excesivo o gastado. Se entiende que son juicios, opiniones o aseveraciones que todo el mundo acepta y nadie discute. El problema es que nadie toma en cuenta los lugares comunes. Estos lugares comunes corresponden a los listados a continuación. LC1: El agua es la fuente de la vida LC2: El agua es indispensable para la vida LC3: El agua es el elemento más abundante: cubre la mayor parte del planeta Para comenzar, el tercer punto (LC3) es cierto para los peces pero es falso para los animales de t ierra firme, en particular para el hombre: en la Tabla 1.1 se muestra la distribución del agu a en la Tierra (adaptado de Nanía y Gómez Valentín, 2004). Efectivamente, el agua salada (marina o no) es muy abundante (97,5 % del total), pero el agua dulce es solo una pequeña fracción: 2,53 %. Esta cifr a es inquietante, pero lo es más el advertir que el agua de los ríos, que ha sido la fuente natural para los seres humanos, es solamente 2 millonésimos del agua dulce total.
En el caso de Chile, en que una parte significativa del país es desértico, estas cifras son de un efecto mayor que en otros países cercanos y, para la minería, resultan especialmente graves. Examinando nuevamente la Tabla 1.1 sólo caben tres lugares comunes: Economizar agua Buscar fuentes nuevas Emplear agua de mar •
•
•
Finalizando la introducción, el lugar común LC1 pertenece a la biología y no se discutirá aquí; El LC2 tiene un enorme contenido histórico y es el tema.
1.2. Inicio del riego
Figura 1.1 Localidad de El-Kown, Presencia de canales para evacuación de aguas serv idas, 6500 AC (Adaptada de Viollet, 2004)
Tabla 1.1 Distribución del agua en la Tierra Agua Salada [km3] Océanos Agua subterránea dulce Agua subterránea salada Humedad del suelo Hielo polar Hielo no polar y nieve Lagos dulces Lagos salinos Embalses Ríos Agua biológica Agua atmosférica Agua Salada Total Agua Dulce Total Agua Total
Agua Dulce [km3]
1.338.000.000
Agua Salada % 96,5
10.530.000 12.870.000
0,76 0,929
16.500 24.023.500 340.600 91.000 85.400
0,0012 1,73 0,0246 0,0066 0,0062
11.470 2.120 1.120 12.900 1.350.955.40 0
0,000 8 0,0002 0,0001 0,0009 97,5
35.029.210 1.385.98 4.610
Agua Dulce %
2,53
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Figura 1.2 Expansión del núcleo levantino, alrededor del 9500 AC (Adaptada de Viollet, 2004)
La agricultura nace en el “cuarto creciente fértil” (croissant fertile, fertile crescent) regado por cuatro ríos: el Éufrates, el Tigres, el Jordán y el Nilo. A llí, hacia 12500 AC, los recogedores-cazadores trashumantes se establecen, haciéndose sedentarios. Hacia 9500 AC se expanden al “núcleo levantino” (Figura 1.2) y comienza la “domesticación de los cereales” esto es la agr icultura. Hacia 7000 AC, la agricultura se ha expandido hacia el Este y el Oeste. La lluvia y los escurrimientos fluviales llegan a ser insuficientes. Hacia 5000 AC, se obtiene agua de fuentes artesanas. Aún antes, es plausible la existencia de canales de riego. Vestigios de pequeños canales para evacuar aguas servidas se encuentran en El-Kown. La ubicación de esta localidad se muestra en el mapa de la Figura 1.1 y datan de 6500 AC.
1.3. Culturas fluviales La relación directa entre la civilización y el agua se ve clara si se considera que las grandes culturas antiguas se desarrollaron alrededor de g randes ríos (Figura 1.3): Egipto y el Nilo, Sumer y el dúo Tigris – Éufrates, India y el Indus, China y el Río Amaril lo. Esta relación lleva de inmediato a las obras hidráulicas, esto es, a la hidráulica clásica. Hacia 3000 AC existían canales entre el Tigres y el Éufrates (al menos cuatro de treinta metros de ancho). Eran lo suficientemente desarrollados e importantes como para ser sometidos a reglas de navegación (código de Hammurabi (1760 AC), en Viollet, 2004). Estas notas podrían extenderse muchísimo si se agregaran las máquinas hidráulicas, los barcos y así adelante. Al respecto puede consultarse a Viollet, 2004 y la WEB.
Figura 1.3 Desarrollo de antiguas cultura s en las cercanías de ríos (Adaptada de Viollet, 2004)
17
Pero la intención aquí es simplemente mostrar lo antiguas que son las obras hidráulicas y la planificación asociada a ellas.
1.4. Sistematización de las obras hidráulicas
Figura 1.4 Fotografía del Pont du Gard (gentileza de Ramón Fuentes)
Hace 2000 años el Imperio Romano era dueño de todo el mundo conocido por Occidente. El gobierno de este enorme imperio requería de muchas condiciones. Una de ellas era desarrollar normas y reglas para construir y operar obras hidráulicas. Existen documentos al respecto, y son de destacar los tratados de Vitrubius y de Frontinus (Rouse & Ince, 1963). Pero no han llegado hasta hoy docu mentos que indiquen bases conceptuales y/o mecánicas. Empero, el nivel alcanzado en las obras es tal, que muchas de ellas funcionan o podrían funcionar hoy, y a menudo se trata de instalaciones que i ncluyen elementos de elevado nivel tecnológico. Para muestra, basta observar el Pont du Gard (Figura 1.4). Resulta inimaginable que estas obras fuesen diseñadas y construidas mediante “trial and error” como sugerirían algunos empiristas de hoy.
tantes aportes aislados. En este contexto hay que citar a Arquímedes de Siracusa. Contrariamente a lo que se dice habitualmente, es demostrable que los primeros avances científicos cercanos a ideas modernas fueron realizados en la Edad Media. Citando solamente tres autores, Swineshead (Oxford), Nicolas de Oresme y Jean Buridan (Paris) en el siglo XIV, realizaron aportes decisivos a la cinemática y a la dinámica, incluyendo críticas a la física de Aristóteles. Algunos de estos aportes prefiguraban los de Galileo y Newton, realiz ados en el siglo XVII. Aunque es un juicio debatible, se plantea aquí que el estudio físico de los fluidos nació con la obra de Leonardo da Vinci (1452-1519), tanto en los aspectos especulativos como en las bases físicas directas. En efecto, de los escritos de Leonardo se deduce claramente que construyó lo que hoy se llamarían instalaciones experimentales para estudiar el movimiento del agua. Algunos de sus juicios y observaciones son válidos hoy (Rouse e Ince, 1963). En uno de sus códices, Leonardo explica cómo realizar un tanque para visualizar los orbitales del oleaje. Más adelante esquematiza un canal para estudiar ondas de gravedad.
1.6 Galileo y Newton Sus aportes a la mecánica de fluidos son enormes, tanto directos como indirectos. En el caso de Ga lileo el aporte indirecto mayor está contenido en los “Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze” (1638). Basta indicar que las dos nuevas ciencias son la Mecánica y la Resistencia de Materiales. Newton, en sus “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica” (1686) entrega nada menos que las leyes de la dinámica y del análisis infinitesimal. Como aportes directos de Galileo, para mencionar solo un mínimo, se mencionan los siguientes: La introducción cuantitativa de la presión de vacío; El desarrollo del aná lisis dimensional; El estudio de los fenómenos capilares; La experimentación directa de la convección natural. En el caso de Newton, igualmente una lista arbitrariamente corta es: • La ley hidrodinámica de resistencia cuadrática; • El coeficiente de contracción de chorros; • El período de las ondas de gravedad; • La introducción y definición de la viscosidad dinámica. •
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•
•
1.5. Nacimiento de la física de fluidos Resulta claro que no era posible un avance en la fluidodinámica sin que la física lo hiciese. A hora bien, pese a la magnífica herencia griega, la física de Aristóteles no contenía una mecánica satisfactoria ni aún una cinemática coherente, y sus textos tuvieron fuerza de ley hasta y aún después de la revolución copernicana. Hay que reconocer, sin embargo, que se realizaron impor-
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1.7 Nacimiento de la hidrodinámica ideal y de la hidráulica experimental Las herramientas entregadas por Galileo y Newton fueron desarrolladas y empleadas grandemente en el siglo XVIII. En la mecánica de fluidos basta mencionar a Bernoulli, Euler, Clairaut, D’Alembert, Lagrange y Laplace. Nuevamente como juicio personal, se considera aquí que el mayor aporte es el entregado por Euler, quién abarcó en forma profundizada la hidrostática, la dinámica del fluido invíscido, las turbomáquinas, etc. Una disquisición necesaria:
La herramienta más básica que se asocia a la hidráulica clásica es el teorema de Bernoulli. Una de varias formas de enunciarlo es Z + P + V
2
2 g
=
Cte.
Rouse e Ince (1963) examinaron el texto de Bernoulli (1738). De su análisis se deduce que Bernoulli jamás llegó a nada parecido a la fórmula escrita arriba. Solamente se obtiene una relación bastante
obscura entre la velocidad y la presión. El año 1755 Euler presentó tres memorias sobre mecánica de fluidos a la Academia de Ciencias de Berlín. La tercera (Euler, 1755), en la página 354, muestra la fórmula siguiente:
V corresponde al potencial de las fuerzas externas. En el caso particular del potencial gravitatorio V = - g Z. Introduciendo esta expresión en la fórmula de Euler, colectando las variables en el primer miembro y dividiendo por 2 g se encuentra exactamente el enunciado, erróneamente atribuido a Bernoulli. Resulta entonces claro que el teorema de Bernoulli debiera llevar el nombre de Euler. Estos comentarios
ya fueron indicados parcialmente por Rouse e Ince, 1963. En lo que se refiere a la fluidodinámica, la mayor parte de los aportes se realizaron para un fluido invíscido, esto es, de viscosidad estrictamente nula. Esta hidrodinámica invíscida o ideal entregaba resultados notables, pero que se alejaban f uertemente de los valores reales, si la resistencia del fluido era i mportante.
Esta situación culminó con un acontecimiento especial: A raíz de un concurso abierto por la Academia de Ciencias de Berlín (1750), D’Alembert demostró matemáticamente que un cuerpo sometido a una corriente fluida no experimentaba ninguna resistencia. El estudio era para un fluido invíscido. El propio D’alembert encontró que el resultado contradecía la experiencia. Había nacido así la paradoja de D’Alembert, pero el enorme (y merecido) prestigio de D’Alembert hizo que este resultado se difundiera, para confusión y consternación de los investigadores en fluidodinámica. Se puede admitir así que los ingenieros abocados a problemas reales de diseño no se interesaron en los resultados de la hidrodinámica teórica y se volcaron hacia la investigación experimental. Así, los siglos XVIII y XIX mostraron un desarrollo enorme de los estudios de laboratorio concernientes a los problemas hidráulicos. Por otra parte, los hidrodinamicistas siguieron realizando trabajos para el fluido invíscido. Algunos intentaron enfrentarse con la hidrodinámica del fluido viscoso. Este problema es muy complicado, tanto que hasta hoy los resultados exactos completos son poco numerosos. Ellos, sin embargo son muy valiosos, ya que una vez verificados experimentalmente, resolvían el misterio planteado por la paradoja de D’Alembert.
1.8. Advenimiento de la mecánica de fluidos moderna En Agosto 1904, se realizó en Heidelberg, el Tercer Congreso Internacional de Matemáticas. Un ingeniero mecánico joven, Ludwig Prandtl, a la sazón enseñaba en la Technische Hochschule de Hannover y había apreciado la diferencia entre teoría y experiencia, mientras trabajaba en una empresa de maquinarias. Realizó algunas investigaciones originales y se decidió a presentarlas en dicho Congreso. Se expusieron más de ochenta trabajos y el de Prandtl pasó casi inadvertido (la presentación duró 10 minutos (Anderson, 2005). Pero Félix Klein, el prestigiado matemático y profesor de Gottingen, apreció el trabajo, tanto que l lamó a Prandtl para que fuera profesor y director de un pequeño laboratorio de ingeniería mecánica (Rouse e Ince, 1963). En breve, el trabajo de Prandtl contenía las bases de la Teoría de la Capa Límite (Grenzschicht- eorie, éorie de la couche limite, Boundary layer theory), pilar fundamental de la mecánica de fluidos moderna y cuya importancia ha crecido incesantemente hasta hoy.
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1.9 Referencias Anderson, J.D. (2005). Ludwig Prandtl’s Boundary La yer. Physics Today, 42-48. Bernoulli, D. (1738). Hydrodynamica, Sive de Viribus et Motibus Fluidorum Comentarii. Estrasburgo. Euler, L. (1757). Continuation des Recherches Sur la eorie du Mouvement des Fluides. Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin, 11, 1757, 316361. Galilei, Galileo (1638). Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, Intorno à due Nuove Scienze. Editorial Elsevier, Leyden, Holanda. Nanía, L.S. y Gomez Valentin, Manuel (2004). Ingeniería Hidrológica. Grupo Editorial Universitario, España. Newton, Isaac (1686). Philosophiae Naturalis Principia Matematica. Imprimatur S. Pepys, Royal Society Praeses, London, UK. Rouse, H. e Ince, S. (1963). History of Hydraulics. Do ver, New York, USA. Viollet, P.L. (2004). L’Hydraulique dans les Civilisations Anciennes. 2ª edición, Pressea de l ’Ecole Nacionales des Ponts et Chaussées, Paris.
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MÓDULO I
FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I
C a p í t u l o 2
Propiedades de algunos fluidos Autor: Ramón Fuentes
CONTENIDO 2.
PROPIEDADES DE ALGUNOS FLUIDOS .......................................................................................... 23 2.1.
Introducción .............................................................................................................................................................23
2.2.
Densidad ....................................................................................................................................................................23
2.3.
Peso específico ........................................................................................................................................................23
2.4.
Ecuación de estado ................................................................................................................................................23 2.4.1. Unidades ......................................................................................................................................................24
2.5.
Ecuación de estado de los gases perfectos ...................................................................................................24
2.6.
Procesos Politrópicos.............................................................................................................................................24
2.7.
Densidad de los líquidos ......................................................................................................................................25
2.8.
Densidad de los gases...........................................................................................................................................26
2.9.
Módulo de compresibilidad del agua .............................................................................................................26
2.10. Dilatabilidad térmica isobárica del agua ........................................................................................................27 2.11. Presión de vapor del agua ...................................................................................................................................27 2.12. Viscosidad ..................................................................................................................................................................27 2.13. Viscosidad de metales líquidos..........................................................................................................................29 2.14. Viscosidad de escorias...........................................................................................................................................29 2.15. Viscosidad de los gases.........................................................................................................................................29 2.16. Modelos para la viscosidad de los gases ........................................................................................................30 2.17. Tensión superficial ..................................................................................................................................................30 2.18. Fórmula de Laplace................................................................................................................................................31 2.19. Ángulo de contacto ...............................................................................................................................................32 2.20. Referencias ................................................................................................................................................................33
23
2. PROPIEDADES DE ALGUNOS FLUIDOS 2.1. Introducción Los dos fluidos más conocidos son, por raz ones ob vias, el agua y el aire. Más aún, en algunas especialidades de ingeniería son casi los ún icos que interesan. En otras áreas aparecen los aceites, el petróleo, los gases industriales, los magmas y más... En minería y metalurgia la lista de fluidos que inter vienen es grande y las propiedades que interesan son numerosas. Antes de empezar, se señala que en minería y metalúrgica son primordiales las propiedades de tra nsporte, asociadas a cantidad de movimiento (Newton), energía (Fourier) y masa (Fick): viscosidad dinámica, conductividad térmica y difu sión, respectivamente. Aquí se omitirá la información sobre conductividad térmica y difusión. Asimismo, la caracterización de las suspensiones y las propiedades asociadas a la reología se tratarán aparte y más adelante.
2.2 Densidad La noción corresponde a la masa por unidad de volumen. En forma algo más precisa (Figura 2.1), en un dominio pleno de un medio continuo se a ísla un volumen dV. Allí existe una masa dM. Se define entonces la densidad:
En sistema SI las unidades son [N/m ]. Se requiere entonces el valor de la aceleración de gra vedad “g” para su determinación. La determinación precisa de “g” es un problema complejo, ya que depende de numerosas variables, entre ellas la distancia al centro de la tierra y la latitud. Un valor estándar que se acepta normalmente es (BIPM, 1901): g0 = 9,80665 [m/s 2] El valor de “g” puede estudiarse hoy e investigarse fácilmente. Se concluye que para los cálculos referentes a las minas chilenas puede emplearse un valor grueso: g = 9,8 [m/s2] Si se desea emplear tres cifras significativas, u n valor mejor es: g = 9,78 [m/s2] Entonces, aproximadamente, para el ag ua: γ 1000 x 9,80 = 9800 [N/m 3] O bien: γ 1000 [Kgf/m 3] 3
2.4. Ecuación de estado En un medio continuo y deformable, la ecuación de estado es una relación local o global que liga la presión P, la temperatura T y la densidad ρ:
(2.3)
F(P, T, ) = 0
Si bien se sabe que ella existe, en la mayoría de los casos de interés la forma específica de la ecuación de estado es desconocida. Se procede entonces a escribirla cerca de un punto e introducir coeficientes medibles (Craya, 1960): =
(
) T P + ( ) P T P T
(2.4)
Coeficiente isobárico de expansión térmica (β):
Figura 2.1 Definición de la densidad
dM dV
(2.1)
En sistema SI (Sistema Internacional de unidades) las unidades son [Kg/m3].
Corresponde al peso por unidad de volumen y se relaciona con la densidad:
=
ρ g
1
T P
(2.5)
Coeficiente de compresibilidad isotermo ( K ): 1 K P T 1
=
(2.6)
Finalmente, la ecuación 2.4 puede escribirse como:
2.3. Peso específico
-
(2.2)
=
P
K
- T
(2.7)
s o d i u l f s o n u g l a e d s e d a d e i p o r P
: 2 o l u t í p a C
24 I A C I S Á L C A C I M Á N I D O D I U L F
I O L U D Ó M
2.4.1. Unidades
En el sistema SI la presión se mide en pascales: 1 [Pa] = 1[N/m 2] Esta unidad es relativamente pequeña: la presión atmosférica estándar vale 101.325 [Pa]. Se emplea entonces el [bar]: 1 [bar] = 100.000 [Pa] Si se emplea el sistema MKS o sistema técnico, la unidad es el [Kgf/m 2]. [Kgf/m 2] = g [N/m] = g [Pa] g corresponde a la aceleración de gravedad g. Cuando se trata de presiones pequeñas puede ser útil emplear el sistema CGS. La presión se expresa entonces en [dina/cm 2]. Entonces: [dina/cm 2] = (1/10) [Pa] En el sistema USA, la unidad de presión más usada es [libra (fuerza)/pulgada 2] o: 1 [lb/sq in] = 1 [psi] ≈ 6894,8 [Pa] Por último, también se emplea la atmósfera, esto es la presión ambiente. Como esta es variable, se define un valor estándar. La temperatura que interviene en la ecuación de estado es la absoluta T y se expresa en grados Kelvin [°K]. La relación con la temperatura θ en grados centígrados [°C] es: T [°K] = θ [°C] + 273,15
2.5. Ecuación de estado de los gases perfectos Es uno de los ejemplos más simples y útiles. Constituye una aproximación valedera para presiones y temperaturas moderadas. En la mayor parte de los, casos las temperaturas y presiones que se manejan en mi nería y metalurgia, incluso en pirometalurgia, permiten su uso. Para el empleo en fluidodinámica se escribe:
P =
Ro M
T
(2.8)
R o = 8314,3 [Kg.(m/s)2/(Kg-mol.°K)] (constante universal de los gases ideales). M: Masa molecular del gas. Introduciendo la constante de un gas en particular R = Ro/M:
P = R T
(2.9)
En la Tabla 2.1 (BORSIG, c.1990) se da M para algunos gases; también se muestra el c alor específico isobárico Cp y el isocórico C v , en condiciones estándar, definidas por: P=101325 [Pa]; θ = 0 [ oC] Tabla 2.1 Propiedades de algunos gases Gas Aire Oxígeno Hidróge no Nitróge no Anhídrido carbónico Anhídrido sulfuroso Vapor de agua
Cp
CV
[Kg/K g-mol]
M
[J/(Kg.°K]
[J/(Kg.°K]
28,964 32,00 2,016 28,016 44,011 64,066 18,016
1005 914 14248 1039 819 608 1855
716 654 10120 743 630 479 1390
El caso más frecuente es el del aire, para el cual: R = 8314,3/28,964 = 287,06 ≈ 287 [J/Kg-mol] Es interesante recordar que Ro admite como expresión:
Ro
=
N A K B
(2.10)
NA = 6,023 x 1023 [molécula/Kg-mol] (Número de Avogadro) KB = 1,3805 x 10-23 [J/(molécula °K] (Constante de Boltzmann)
2.6. Procesos Politrópicos Por definición, son aquellos en que la presión es función solamente de la densidad. Los más frecuentes obedecen a la ley:
P = Cte k
(2.11)
Donde k es el exponente politrópico. Un caso particular importante es la compresión adiabática de un gas ideal:
k==
Cp Cv
(2.12)
Cp : Calor específico isobárico C v : Calor específico isocórico El valor del exponente adiabático γ depende del gas. Para el aire, el hidrógeno, el oxígeno y el nitrógeno, a
25
temperaturas entre 0 y 200 [ C] corresponde al presentado a continuación. γ = 1,40 (Daily y Harleman, 1966) Entonces: o
P = Cte
Tabla 2.4 Densidad del agua en función de la temperatura ρ
(2.13)
2.7. Densidad de los líquidos En la Tabla 2.2 se muestra la densidad de algunos l íquidos importantes en la minería. Tabla 2.2 Densidad de algunos líquidos Líquido Agua Aceites Petróleo Combus ble Lubricante Mercurio Acido Sulfúrico
Temperatura [oC]
Densidad [Kg/m3]
20
1000
20 20 20 20 20
850 928 928 979 850 876 13546 1834
[ºC]
[Kg/m3]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
999,9 999,7 998,2 995,7 992,2 988,1 983,1 977,8 971,8 965,3 958,4
Conviene recordar que ρ no varía monotónicamente con la temperatura θ: la densidad alcanza un máximo (1000,0 [Kg/m 3]) para θ cercana a 4 [°C] (Figura 2.2).
D&H (1966) “ “ “ ICT (1926) ICT(1928)
En la Tabla 2.3, se indican las densidades de algunos líquidos asociados a la pirometalurgia del cobre. Los líquidos son poco compresibles, es decir, su densidad aumenta muy suave y monotónicamente con la presión. La densidad de los líquidos disminuye monotónicamente con la temperatura (el agua es una excepción parcial notable). En la Tabla 2.4 se dan los valores de ρ para el agua en el intervalo de temperaturas [°C] (0,100) para una presión cercana a una atmósfera: 101,325 [KPa].
Figura 2.2 Variación de la densidad del agua dulce con la temperatura
Este comportamiento no tiene importancia en los cálculos de la hidráulica clásica, pero es de gran interés
Tabla 2.3 Densidades de algunos líquidos en la pirometalurgia del cobre Líquido Cobre (*) Cobre blister Calcocina (Cu2S) Sulfuro ferroso (FeS) Metal blanco (**) Sílice (SiO2) (***) Escoria de fundición Escoria de conver dor
Temperatura [oC]
Densidad [Kg/m3]
Referencia
1200 1080 1130 1190 1130 ¿? 1150 1150
7808-8328 7800 5900 1130 5900 2100 3500 3800
ICT(1926) Biswas y Davenport (1994] “ “ “ “ “ “
(*) 8940 [Kg/m3] a 20 [°C] (ICT, 1926) (**) 80 % Cu + Cu2S + FeS (***): Líquida
s o d i u l f s o n u g l a e d s e d a d e i p o r P
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en estudios ambientales (convección natural, flotabilidad, etc.). En la práctica minera, el rango de temperaturas para manejar agua como líquido es normalmente (0 → 40) [°C]. En ese intervalo ρ no se aleja más allá de 0,8% de 1000 [Kg/m3]. Es, entonces, frecuente adoptar este valor:
Por otra parte se dispone para ρ()de la fórmula de Kell (García Flores y Maza Alvarez, 1998): (kg/m
)=
=
1 1 + b
De acuerdo a Batchelor (1967), K se define en general como: = (2.15) K es una función de estado:
ρ = 1000 [Kg/m 3]
3
2.9. Módulo de compresibilidad del agua
5
a
i
i
(2.14)
0
(º C )
100
a0 = 999,83952 a1 = 1694,5176 a 2 = 79,870401 a3 = 46,170461 a 4 = 10,556302 a5 = 2,8054253
Autor (ES)
Hidrógeno Oxígeno Nitrógeno Aire
Densidad estándar [Kg/m3] 0,0899 1,428 1,250 1,293
K [GPa]
Batchelor Streete r (1978) Streete r (1993) Chaudry Thorley Jaeger Mancebo Díaz y Sosa
2.8. Densidad de los gases
Gas
(2.16)
Tabla 2.6 Valor de la constante K según diferentes autores
La presión ambiente es una atmósfera. La fórmula de Kell, en el intervalo θ[°C] (0 → 100) da resultados que no difieren en más de 0,1 [Kg/m 3] respecto a los de la Tabla 2.4.
Tabla 2.5 Densidad estándar aproximada de algunos gases
)
Asimismo, depende del proceso termodinámico que sufre el fluido. En el caso del agua, K varía muy suavemente con la temperatura y la presión (Perry, 1985). Para temperaturas θ (20 → 40) [oC] y P = 50 [GPa], K crece en 2,6 [%]. Para presiones P (1,3 → 20) [GPa] y θ = 20 [ oC], K crece en 4,9 [%]. Entonces, para las temperaturas y presiones normales en estudios de conducciones [θ (10 → 40) y (1 → 10) [GPa]], K puede considerarse una constante. Como es de esperar, el valor de K es diferente según el autor que se consulte. Esto puede constatarse observando la Tabla 2.6.
b = 1,687985
En el caso más general, hay que recurrir a tablas especiales. Pero en la práctica minera es casi siempre aplicable la Ec. 2.8 para los gases perfectos. Tomando como condiciones estándar: P = 101325 [Pa]; θ = 0 [oC] → T = 273,15 [°K] Se encuentran los valores estándar de la densidad del gas. Como ejemplo, la Tabla 2.5 muestra cifras aproximadas obtenidas de la Ec. 2.8 y la Tabla 2.1.
(
=
2,04 2,20 2,24 2,19 2,19 2,03 2,20 2,19
Se recomienda adoptar el valor dado por Streeter en 1993, ya que el método de obtención es convincente y es conservativo para el cálculo de presiones:
[]
=
(2.17)
Para los gases, K es variable y depende del proceso. Generalizando la Ec. 2.6:
=
Para un proceso isotermo vale la Ec. 2.8; entonces: K=P Para un proceso adiabático, empleando la Ec. 2.12: K = γ ·P
27
2.10. Dilatabilidad térmica isobárica del agua La dilatabilidad térmica isobárica del agua (β) se muestra en la Tabla 2.7 como función de la temperatura, para una presión cercana a una atmósfera (Isachenko et al., 1977). Ya que la densidad del agua tiene un valor máximo para una temperatura cercana a 4 [°C], la dilatabilidad es nula allí y pasa de valores negativos a positivos. En todo caso, ella es relativamente pequeña, pero su efecto es considerable en muchos fenómenos ambientales e industriales (convección natural: circulación en calderas y chimeneas, por ejemplo). Tabla 2.7 Dilatabilidad térmica isobárica del agua (P1 [atm]) q
x 10 4
[°C] 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
[1/°K] -0,63 +0,70 1,82 3,21 3,87 4,49 5,11 5,70 6,32 6,95 7,52
La dilatabilidad térmica de los gases ideales se obtiene de las Ecs. 2.5 y 2.7: β = 1/T
2.11. Presión de vapor del agua La presión de vapor del agua (Pv) es la presión para la cual el vapor está saturado. Su valor depende de la temperatura. Esto es equivalente a decir que, para una temperatura del aire dada, ex iste un máximo contenido de humedad que el aire puede tener. En la Tabla 2.8, se muestra la presión de vapor del agua como función de la temperatura (WEB, 2012). Existen varias curvas interpolantes para calcular Pv. Aquí se da la de Raudkivi (Chow et al., 1994):
17,27 [ o C ] 237,3 + [o C ] (2.18)
Pv [ Pa] = 611 exp
Esta fórmula, en el intervalo θ(0→10) [°C] muestra una discrepancia máxima de 5 [%] respecto a los valores da-
dos en la Tabla 2.8. En el intervalo θ(10→100)[°C], esta discrepancia máxima baja a 2 [%]. Tabla 2.8 Presión de vapor del agua en función de la temperatura Temperatura [°C]
Presión de vapor [KPa]
Presión de vapor [mmHg]
0,6 0,8 0,9 1,1 1,2 1,4 1,6 1,8 2,1 2,2 2,3 2,5 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,8 5,6 7,4 12,3 19,9 31,2 47,3 70,1 101,3
4,5 6,0 6,8 8,3 9,0 10,5 12,0 13,5 15,8 16,5 17,3 18,8 19,5 21,0 22,5 24,0 25,5 27,0 28,5 30,0 31,5 36,0 42,0 5 5,5 92,3 149,3 234,1 35 4,9 525,9 760,0
0 3 5 8 10 12 14 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 32 35 40 50 60 70 80 90 100
2.12. Viscosidad Su definición puede asociarse al resultado del siguiente ensayo imaginario (Figura 2. 3):
Figura 2.3 Esquema del escurrimiento de un fluido
Sea un escurrimiento en una dirección invariable. Más específicamente, se considera la capa de fluido comprendida entre dos planos paralelos separados a
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una distancia dy . Estos planos están orientados en la dirección del movimiento. En el plano superior, el fluido tiene una velocidad superior en du a la del plano inferior. Aparece una tensión tangencial τ. Asimismo, se produce una deformación angu lar dγ. Es fácil ver que:
=
=
Tabla 2.9 Viscosidad dinámica del agua en función de la temperatura
(2.19)
γ: Velocidad de deformación angular Se define entonces como viscosidad dinámica μ o simplemente viscosidad:
(2.20)
(2.21)
La fórmula dimensional de la v iscosidad cinemática es [L 2T-1] y entonces, en el sistema métrico se expresa en [m2/s]. Como un valor de uso frecuente: ν = 10 -6 [m2/s] (agua – θ ≈ 20 [°C]) La viscosidad de los líquidos varía moderadamente con la presión. Cuando P cambia de 1 a 100 [bar] y la temperatura lo hace entre 0 y 100 [°C], la viscosidad del agua muestra un comportamiento complejo, pero la diferencia máxima, en valor absoluto, es ∆μ = 2,2 x 10-5 [Pa.s]. Esto representa 2,2 x 10 -7 [Pa.s/bar]. Se deduce que para presiones moderadas la variación de μ con P es prácticamente despreciable para el agua. Como ejemplo de lubricantes, el M100 experimenta un crecimiento máximo de la viscosidad con la presión para una temperatura cercana a 20 [°C] y es de (240→450) [mPa.s] para P (0→200) [bar]. Este aumento es 1 [mPa.s/bar] y es prácticamente despreciable para presiones que se alejan poco de la ambiente. En cambio, la variación con la temperatura es significativa. La Tabla 2.9 entrega la viscosidad dinámica μ del agua en el intervalo θ[°C] (0→100) (presión ambiente cercana a una atmósfera).
μ [mPa s]
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1,792 1,308 1,005 0,801 0,656 0,549 0,469 0,406 0,356 0,317 0,284
1 [mPa.s] = 1 [cPoise]
Ella es una variable de estado y como tal depende de la presión y la temperatura. En muchas aplicaciones la viscosidad se introduce como difusividad de momentum o viscosidad cinemática ν:
θ [ºC]
Como puede verse, μ disminuye significativamente con la temperatura: ella decrece a la mitad, aproximadamente, cuando la temperatura pasa de 10 [°C] a 40 [°C]. A continuación se da la relación desarrollada por Bingham y Jackson, ecuación 2.22, que da buenos resultados entre 0 y 100 °C:
1
1
=
10 2,1482 - 0
+
(
-
0
) 2 + 8078,4
120
(2.22)
μ : Viscosidad dinámica en [Pa.s] θ : Temperatura [°C] θ 0 = 8,435 [°C] La viscosidad cinemática puede calcularse de su definición o buscarse en tablas y gráficos, pero si se emplea en computadora es más conveniente emplear una fórmula. A continuación se muestra una correlación desarrollada en base a la ecuación de Williams, Landel y Ferry (Paz Castillo y Fuentes, 1983):
=
θ0 θ1 + θ
4,56 10-8 exp
(2.23)
v : Viscosidad cinemática [m2/s] θ : Temperatura [°C] θ 0 = 394,8 [°C] θ1 = 107,6 [°C] Esta fórmula no produce un error mayor que 0,4 % en el intervalo θ [°C] (0→ 40).
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2.13. Viscosidad de metales líquidos Se muestra en la Figura 2.4, expresada en [cP] (o [mPa.s]) como función de mil veces el valor recíproco de la temperatura Kelvin (adaptado de Szekely y emelis, 1971). Si se recuerda que el agua para θ cercana a 20 [°C] tiene viscosidad de 1 [cP], se concluye que las viscosidades de los metales líquidos son moderadas.
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Figura 2.5 Ampliación de una parte del diagrama de la Figura 2.4
Figura 2.4 Viscosidad de metales líquidos en función de 1/T
En la Figura 2.5 se muestra ampliada una parte del diagrama anterior. La viscosidad del cobre puede calcula rse empleando una curva interpolante:
[ Pa. sec]
=
3300 1 exp o 2700 T [ K]
La temperatura del cobre en un convertidor PeirceSmith está razonablemente en el intervalo (1250→1300) [°C] (Carrillo et al., 2004). Si T = 1600 [°K] (≈1327 [°C]): [ Pa.s]
=
exp(3300/1600) 2700
=
0,0029 [Pa.s] 3[mPa.s]
Es interesante observar que a esa temperatura: ¡El cobre es solamente 3 veces más viscoso que el agua a 20 [°C]!
2.14. Viscosidad de escorias Las escorias de cobre tienen viscosidades altas: pueden alcanzar 0,1 y 1 [Pa.s] (Szekely y emelis, 1971). Estos valores dependen fuertemente de la composición, y entonces, no es fácil dar valores, salvo en algunos casos ya estudiados. Existen métodos de cálculo semiempíricos (“modelos”). Como ilustración, puede consultarse Szekely y emelis (1971) y Kondratiev et al. (2006).
2.15. Viscosidad de los gases Para una temperatura dada, la viscosidad aumenta con la presión, pero levemente para presiones moderadas. En la Figura 2.6, se muestra un gráfico en coordenadas adimensionales para la viscosidad de un gas. (Adaptado de Bird et al., 1960).
30 I A C I S Á L C A C I M Á N I D O D I U L F
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Tabla 2.10 Viscosidad dinámica en función de la temperatura absoluta (aire, oxígeno y nitrógeno, para P=1 atm) aire = f(T)
[°K]
Figura 2.6 Representación adimensional de la viscosidad de un gas. (Adaptado de Bird et al., 1960)
pc : Presión crítica absoluta Tc : Temperatura crítica absoluta μo : Viscosidad dinámica del gas a presión ambiente Para fijar ideas, se puede examinar el caso del aire. De las tablas de Bird et al. (1960): pc = 36,4 [atm] Tc = 132 [°K] La curva T/Tc = 2 corresponde aproximadamente a θ = 0 [°C]. Entonces, para que la viscosidad a presión forzada exceda a la de presión ambiente en 1 [%], entonces p/pc = 0,36 (punto negro en la Figura 2.6). Esto significa = 0,36 x 36,4 ≈ 13 [atm] !! Se entiende que la viscosidad no dependa de la presión para presiones incluso un orden de magnitud mayor que la atmosférica. La viscosidad de los gases, a presiones cercanas a la atmosférica, aumenta significativamente con la temperatura. En la Tabla 2.10 se muestra la viscosidad dinámica como función de la temperatura absoluta para el aire, el oxígeno y el nitrógeno, respectivamente. La razón de escoger estos gases y el r ango de temperaturas es para abarcar las aplicaciones pirometalúrgicas.
2 .16. Modelos para la viscosidad de los gases Este es un tema extenso y aquí se mencionarán dos resultados clásicos. La teoría cinética de los gases predice que, en primera aproximación, la viscosidad de un gas crece con la raíz de la temperatura absoluta independientemente de la presión. En numerosos estudios se emplea la fórmula de Sutherland, basada en la teoría cinética de los gases (Comolet, 1963): C T0 T C T 0 1+ T 1+
0
T en grados Kelvin
=
(2.24)
x
150 200 250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370 380 390 400 500 600 700 800 900 1000 1500 2000
10-6 [Pa.s] 10,64 13,59 16,14 16,63 17,12 17,6 18,02 18,43 18,87 19,29 19,71 20,13 20,54 20,94 21,34 21,75 22,12 22,52 26,33 29,74 33,03 35,89 38,65 41,52 53,82 64,77
O2 = f(T)
T [°K]
x
10-6 [Pa.s]
N2 = f(T) T [°K] x 10-6 [Pa.s]
150 200 250
11,4 14,7 17,8
150 200 250
10,3 13,1 15,5
300
20,6
300
17,7
400 500 600
25,4 29,9 33,9
400 500 600
21,5 25,1 28,3
800
41,1
800
34,2
1000 1500 2000
47,6 62,1 74,9
1000 1500 2000
39,4 51,5 61,9
C, no es estrictamente una constante. Si se toma T 0 = 273 [0K] y μ0 = μ a 20[°C], los valores de C son los de la Tabla 2.11, que se muestra a continuación. Tabla 2.11 Valores de C para diferentes gases Gas Hidrógeno Amoníaco Metano Anhídrido carbónico Nitrógeno Oxígeno Aire
C [0K] 79 352 144144 277 109 138 113
2.17. Tensión superficial La tensión superficial se asocia a las fuerzas que nacen en las interfaces entre líquidos, sólidos y gases. El caso más importante en minería es el de u na doble interfaz líquido gas (burbujas) y su presencia en las celdas de flotación, pero existen otros ejemplos de interés. La acción capilar puede explicarse como una energía por unidad de superficie E. La Figura 2.7, muestra una interfase que abarca un área A de forma cualquiera.
31 s o d i u l f s o n u g l a e d s e d a d e i p o r P
: 2 o l u t í p a C
Figura 2.7 Área interfasial de una forma geométrica arbitraria
Entonces, si la tensión superficial o capilaridad se designa por σ:
(2.25)
E = A
Si una fuerza dF, distribuida uni formemente a lo largo del perímetro “s” logra aumentar el área en dA, se tiene que: dE = σ ·dA. Considerando ahora el trabajo equivalente a dE: dF ·dn = σ ·dA = σ ·dn ds Entonces:
=
Figura 2.8 Superficie infinitesimal
(2.26)
Se deduce que la tensión superficial puede interpretarse como un fuerza por unidad de perímetro y normal a este en cada punto.
2.18. Fórmula de Laplace La tensión superficial induce una discontinuidad de presión al actuar sobre una superficie curva. La relación cuantitativa que describe este fenómeno fue deducida por Laplace (1795-1825). Se considera una superficie infinitesimal (Figura 2.8). En un punto dado se traz a la normal a ella, d irección en la que actúan las presiones P1 y P2. Se trazan dos radios de curvatura en planos ortogonales. Las fuerzas de tensión superficial en uno de esos planos se muestran en la Figura 2.9. Se observa que la presión debe ser mayor en la zona cóncava de la superficie elemental. El equilibrio de fuerzas indica:
Figura 2.9 Fuerzas de tensión superficial sobre un plano
= = + +
De donde se obtiene:
=
+
32 I A C I S Á L C A C I M Á N I D O D I U L F
I O L U D Ó M
Los cocientes diferenciales dθ 1/ds y dθ2/dn, son por definición los recíprocos de los radios de curvatura R 1 y R 2. Así queda la fórmula de Laplace:
=
+
Como ilustración, se muestran en la Figura 2.11 los ángulos de contacto de una gota de solución ácida sobre dos láminas de minerales diferentes (azufre (S) y calcopirita (CuFeS2)).
(2.27)
En algunos textos, se indica que los radios R 1 y R 2, son los radios de curvatu ra principales (máximo y mínimo). Esto no es así: existe un teorema de la geometría diferencial (Teorema de Meusnier, Voigt, 1925), desde el cual se puede demostrar que la suma (1/R1 + 1/R 2) es un invariante que solamente depende del punto de la superficie en que se mide. Dicho de otra manera, R1 y R 2 pueden ser cualquier par de radios de curvatura ortogonales en un punto de la superficie.
2.19. Ángulo de contacto Para fijar ideas, se examina el equilibro de tres fases (gas, líquido y sólido) que se muestran en la Figura 2.10.
Figura 2.11 Esquema de ángulos de contacto de una gota de solución ácida con dos láminas de minerales
La tensión superficial disminuye con la temperatura. La Tabla 2.12 muestra valores de σ para diferentes líquidos (se supone que el sistema es aire-vidrio-líquido) (Adaptada de Daily & Harleman, 1966). Tabla 2.12 Tensión super cial para diferentes líquidos
Figura 2.10 Sistema trifásico en equilibrio
Realizando el balance de fuerza s se encuentra:
=
Líquido (*)
[mN/m]
Agua Petróleo crudo Kerosén Mercurio (**) Alcohol e lico
73 23-38 23-32 514-486 22
Esta relación indica que ya que los tres valores de la tensión interfasial pueden ser diferentes, el ángulo α variará igualmente. Se dice que un líquido moja la pared si α = 0 [°]. Es el caso clásico del sistema agua-aire-vidrio. El líquido no moja la pared si α = 180 [°]. La moja en forma imperfecta si el ángulo está comprendido entre 0 y 180 [°]. Por ejemplo, para el sistema aire-vidrio-mercurio α≈ 40 [°].
P= 101325 [Pa] θ = 20 [0C] (*) En contacto con el aire (**) En contacto con su propio vapor
33
2.20. Referencias Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Mechanics. Cambridge University Press. Bird, R.B., Stewart, W.E. & Lightfoot, E.N. (1960) Transport Phenomena, Ed. John Wiley & Sons, USA. Biswas, A. K. & Davenport, W.G. (1994). Extractive Metallurgy of Copper. Tercera edición. Pergamom, Great Britain, UK. Borsig (c.1990). Borsig Pocket Book, Borsig GmbH, 1 Berlin 27, Alemania. Bureau Internationale Des Poids Et Mesures (1901) 3er. Congres Générale des Poids et Mesures, Comptes Rendues 70. Carrillo, F., Hernández, R., Martínez, J & Roselló, A. (2004) Cinética del Soplado a Cobre en un Convertidor Peirce-Smith. Kinetics of the Copper Blow in the Peirce-Smith Converter, Información Tecno-
lógica-Vol. 15 N°5-2004, págs.: 33-36. Chow, V.T., Maidment, D.R., Mays, L.W. (1994). Hidrología Aplicada. Traducción de J. G. Saldarriaga. E. McGraw-Hill Comolet , R. (1963) Mécanique expérimentale des fluides Vol. 2, Editorial Masson, Paris. Craya, A. (1960) Mécanique des transfer ts dans les fluids. ENSIH, Grenoble. Daily, J.W.& Harleman D.R.F. (1966) Fluids Dynamics, Addison-Wesley.
Garcia Flores, M. Maza Alvarez J.A. (1998) Manual de Ingeniería de Ríos, Instituto de Ingeniería, Uni versidad Nacional Autónoma de México, México D.F, México. (ICT) International Critical Tables (1926) McGrawHill. Isachenko, V.P., Osipova, V.A.& Sukomel, A.S. (1977) Heat Transfer (traducción del ruso), editorial MIR, Moscú. Kondratiev, A., Jak, E. & Hayes, P.C. (2006) Slag Viscosity Prediction and Characteristics, Research Report 58, e University of Queensland, Australia. Laplace, P.-S. (1799-1825) M écanique Céleste. Paz Castillo, F. Fuentes, R. (1983) Fórmulas de interpolación para algunas propiedades físicas del agua, aire y del mercurio, Informe N° 83-09, Laborato-
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: 2 o l u t í p a C
.
MÓDULO I
FLUIDODINÁMICA CLÁSICA I
C a p í t u l o 3
Hidrostática Autor: Ramón Fuentes
CONTENIDO 3.
HIDROSTÁTICA .................................................................................................................................. 37 3.1.
Introducción .............................................................................................................................................................37
3.2.
Tensiones - conjetura de Euler ...........................................................................................................................37
3.3.
Isotropía de las presiones - principio de Pascal ...........................................................................................37
3.4.
Ecuación de equilibrio ..........................................................................................................................................38
3.5.
Campo gravitatorio ................................................................................................................................................38
3.6.
Fuerzas hidrostáticas sobre superficies ..........................................................................................................39
3.7.
Caso particular de las superficies planas inclinadas ..................................................................................40
3.8.
Esfuerzos sobre una pared vertical de forma rectangular .......................................................................40
3.9.
Empuje de Arquímedes ........................................................................................................................................40
3.10. Tiraje de una chimenea ........................................................................................................................................41 3.11. Relaciones barométricas ......................................................................................................................................41 3.12. Distribución de presiones en silos y tolvas....................................................................................................41 3.13. Presión capilar ..........................................................................................................................................................42 3.14. Ley de Jurin ...............................................................................................................................................................43 3.15. Discontinuidad de presión en una burbuja ..................................................................................................44 3.16. Referencias ................................................................................................................................................................44
37
3. HIDROSTÁTICA 3.1. Introducción Una denominación más adecuada es fluidoestática, ya que trata de los fluidos en reposo, sean líquidos o gases. Pero históricamente se ha guardado la denominación referida al ag ua. Por definición no existe movimiento, y solamente se requiere expresar la igualdad de fuerzas opuestas en el interior del fluido, considerado un medio continuo.
Esta es una interpretación libre: el texto original puede examinarse en el recuadro de la Figura 3.2. Cuando Euler la enunció era simplemente una conjetura. A lo largo del tiempo su certeza ha recibido abrumadora evidencia teórica y experimental.
3.2. Tensiones - conjetura de Euler Se considera un glóbulo muy pequeño en el seno del fluido en equilibrio (Figura 3.1). Si este glóbulo se separa en dos partes mediante un corte plano de área dA, en ambos trozos deben actuar fuerzas de contacto igua les y opuestas. Estas fuerzas, tomadas separadamente, totalizan dF. En general, dF puede considerarse la suma de una componente normal dFn y otra tangencial dFt.
Figura 3.2 Texto original de la obra Euler (1755)
3.3. Isotropía de las presiones - principio de Pascal Se analiza un prisma elemental en el seno del fluido (Figura 3.3).
Figura 3.1 Esquema de un glóbulo pequeño en equilibrio en el seno del fluido
Se definen naturalmente las tensiones τ como fuerzas por unidad de superficie. Aparece entonces la tensión normal
= n
dFn
(3.1)
dA Figura 3.3 Esquema de un prisma en el seno del fluido
y la tangencial
t =
dFt
(3.2)
dA
Ahora debe introducirse la conjetura de Euler (1755): Para que el fluido esté en equilibrio, las tensiones deben ser normales a las superficies en que se aplican; las tensiones tangenciales son entonces r igurosamente nulas.
Tomando como eje de proyección OY:
PdA cos = P Y dAY Pero, examinando el ángulo diedro θ entre dA y dA Y: =
a c i t á t s o r d i H
: 3 o l u t í p a C
38 I A C I S Á L C A C I M Á N I D O D I U L F
I O L U D Ó M
Entonces:
El teorema de la divergencia o de Gauss-Ostrogadsky (Weatherburn, 1966), escrito para un escalar genérico λ se lee:
=
Generalizando para los otros ejes:
P X
=
P Y
=
P Z
=
P
(3.3)
Esta aseveración se ha demostrado y entonces es un teorema, pero dada su enorme importancia y su origen histórico, se le designa como Principio de Pascal.
A
V
(P - f ) d
d V
A
A
=0
Esta nulidad debe mantenerse para una elección arbitraria del volumen e incluso si este es infinitesimal; entonces necesariamente:
1
P
(3.5)
f
=
Presión relativa y presión absoluta
La presión relativa se cuenta desde presión ambiente y la absoluta desde cero. Entonces Presión absoluta = Presión relativa + Presión ambiente
=
Haciendo λ = P y reemplazando en la suma:
Esto es, en todo punto de un fluido en reposo la presión es la misma en todas direcciones. I.e., la distribución local de presiones es isotrópica.
dA
((3.4)
Esta es la condición general de equilibrio buscada. En forma desplegada:
1 P X
=
f X
(3.6X)
=
f Y
(3.6Y)
f Z
(3.6Z)
3.4. Ecuación de equilibrio
1 P Y
1 P
=
Z
3.5. Campo gravitatorio Se considera OXY como plano horizontal y OZ orientado según la vertical ascendente; el peso por unidad de masa es g : Figura 3.4 Diagrama de fuerzas externas másicas
g = 0 ˆi
Se consideran fuerzas externas másicas, esto es, proporcionales a la masa (ver Figura 3.4). La intensidad, es decir, el valor por unidad de masa de estas fuerzas es f . Si la densidad es ρ, la resultante de las fuerzas externas es:
0 jˆ - g kˆ
+
Las ecs. 3.6 devienen:
V
f d
P dA A
Ambas resultantes deben sumar cero: V
P
X
=
0
(3.7X)
=
0
(3.7Y)
g
(3.7Z)
La resultante de las presiones es:
1
f d -
P dA = 0 A
1
P
Y
1
P
Z
=
Aplicando las dos primeras a la tercera:
dP dZ
=
g
(3.8)
39
Esta es la ecuación básica para est udiar el equilibrio de los fluidos pesados (¡en una tierra plana!). Se deduce: Para todos los fluidos pesados en equilibrio la presión disminuye localmente con la cota.
a c i t á t s o r d i H
3.6. Fuerzas hidrostáticas sobre superficies
: 3 o l u t í p a C
Analicemos la Figura 3.6.
Si se considera un fluido incompresible, entonces la densidad es invariable (líquidos). Integrando la Ec. 3.8: P + g Z = Cte.
(3.9)
Algunas consecuencias: En un plano horizontal la presión es constante. Una superficie libre es tal que toda ella se mantiene a presión constante. Entonces dicha superficie es necesariamente un plano horizontal. La presión disminuye cuando la cota Z aumenta, siempre que ésta se mida en la di rección de la vertical ascendente. La distribución de presiones en un líquido pesado en reposo es lineal. •
•
•
•
Las superficies libres más frecuentes son las que se encuentran a la atmósfera y entonces la presión allí es denominada atmosférica o ambiente. Interesa la expresión de la presión según la profundidad h, que se mide desde la superficie libre (Figura 3.5). Se tendrá Z+h = Cte. y entonces la ecuación se escribe:
Figura 3.6 Elemento de superficie
La fuerza total es:
F = Pd A AA
La presión se obtiene de la Ec. 3.10 y, descontando la presión atmosférica
F = g hd A AA
P =
g h + P a
(3.10)
La componente vertical se obtiene proyectando en esa dirección:
Pa: Presión ambiente
F k ˆ = g h d A k
AA
esto es: F V
=
g
AA
h dAh
=
g
Entonces:
F V
=
g =
(3.11)
Esto es, la componente vertical es exactamente el peso de la columna líquida que gr avita sobre la superficie A. Para obtener la componente horizontal hay que escoger una dirección hacia la cual proyectar. Ella queda definida por un vector unitario hˆ. Entonces:
F hˆ = g h d A hˆ
Figura 3.5 La presión en función de la profundidad
AA
40 I A C I S Á L C A C I M Á N I D O D I U L F
I O L U D Ó M
De donde: F h
=
g
AA
h dAV
(3.12)
3.8. Esfuerzos sobre una pared vertical de forma rectangular
El empuje horizontal en una dirección dada iguala al peso específico del fluido multiplicado por el momento estático de la proyección vertical de la superficie en esa dirección. Ahora:
h dA
v
=
h
cg
Av
hcg :
Profundidad del centro de gravedad del área A proyectada sobre la vertical (A v ). Entonces: F h
=
hcg
Av
(3.13)
3.7. Caso particular de las superficies planas inclinadas
Figura 3.8 Pared vertical de sección rectangular
Este ejemplo es muy simple, pero su importancia práctica aconseja que se exponga en detalle (Figura 3.8). La pared tiene un ancho B. Empleando la Ec. 3.16 y recordando que el centro de gravedad de un área rectangular se encuentra a media altura: 1
F = B
2
2
H
Ahora bien el punto de aplicación de F no se encuentra a H/2 de la superficie, sino más abajo. Para calcular esta distancia YFA se toman momentos alrededor de un eje horizontal colocado en la intersección de la pared y la superficie libre: Figura 3.7 Fuerzas sobre un plano inclinado
Y FA F = P Y dA = B Y 2 dY = B
El ángulo θ es constante y es cómodo considerar la superficie en su plano XY (Figura 3.7). Se tiene:
(3.14)
Y sin = h
La fuerza total F es perpendicular a la superficie plana y vale:
F = P dA = h dA = sin Y dA
(3.15)
Entonces YFA= 2/3· H, como se indica en la Figura 3.8.
3.9. Empuje de Arquímedes Si se sumerge un cuerpo en un fluido, éste ejerce una fuerza sobre el cuerpo (ver Figura 3.9). Esta f uerza vale la resultante de las presiones sobre toda el área:
F =
Pd A
=
.. A
Introduciendo el centro de gravedad Ycg del área A calculado en su plano XY: F = sin Ycg A
(3.16)
g hd A AA
El teorema de la divergencia entrega para el escalar h:
hd A hd
1 H 3 3
=
AA
V
41
Ahora: h
=
h X
iˆ +
h Y
jˆ +
h Z
a c i t á t s o r d i H
3.10. Tiraje de una chimenea k ˆ = -kˆ
: 3 o l u t í p a C
De donde:
hd A
AA
=
-kˆ d -kˆ V
(3.17)
F = kˆ
es el volumen del cuerpo sumergido.
Figura 3.10 Esquema de una chimenea de altura H y área transversal A
Figura 3.9 Diagrama de cuerpo sumergido
La Ec. 3.17 dice que: Un cuerpo sumergido experimenta un empuje vertical ascendente igual al peso del fluido desplazado.
Este enunciado expresa el principio de Arquímedes. Este enunciado es un teorema perfectamente demostrable, como se ha visto. Más aún, Arquímedes mismo lo hizo, pero, análogamente al principio de Pascal, su importancia ha hecho que se siga llamando “Principio de Arquímedes”.
Si el cuerpo está parcialmente inmerso, el principio se aplica a la parte su mergida. Si el cuerpo sumergido tiene una densidad homogénea ρ`, la fuerza neta en dirección vertical ascendente vale lo obtenido según la ecuación (3.18).
F = (
' )
ˆ g k
(3.18)
Dentro de una chimenea de área A y altu ra H circula un gas caliente y fuera de ella ex iste aire a la temperatura ambiente (Figura 3.10). Debido a la dilución, puede suponerse en primera aproximación que el gas ca liente es aire. Entonces, este aire será menos denso que el ambiente y el principio de Arquímedes, indica que se producirá un empuje vertical ascendente:
E = ( a - ) g A H
Este empuje se suele llamar tiraje de la chimenea y es la fuerza motriz que hace circular el gas caliente desde la base hasta la salida superior. Es asimismo, la fuerza motriz que mueve el aire en túneles en que existen diferentes temperaturas en los extremos.
3.11. Relaciones barométricas Se trata de relacionar las presiones con las cotas en el caso del aire ambiente. De la Ec.3.8:
dP = ( P , T ) g dZ Si se supone válida la aproximación del gas ideal:
Esta fuerza se denomina boyancia o flotabilidad (hay otras denominaciones).
(3.19)
=
P RT
Combinando ambas ecuaciones e integrando:
=
(3.20)
42 I A C I S Á L C A C I M Á N I D O D I U L F
I O L U D Ó M
Aún en atmósfera calma la relación entre Z y T es complicada. Con el fin de comparar situaciones en diferentes sitios y también para obtener una relación sencilla entre la presión y la cota, se emplea la llamada Atmósfera Estándar (AS). Esta atmósfera idealizada cumple (por definición) con los siguientes requisitos: •
•
•
•
El aire atmosférico se asimila a un gas ideal seco; La temperatura para Z = 0 es θo = 15 [oC]; La presión para Z = 0 vale Po = 101 325 [Pa]; El gradiente térmico en el intervalo Z(0→10000) [m] es constante:
Tabla 3.1 Presión estándar de algunas operacion es mineras MINA Isla Riesco El Teniente Salvador Chuquicamata Andina Collahuasi Pascua lama
COTA [msnm]
PRESIÓN SEGÚN ATMÓSFERA ESTÁNDAR [KPA]
800 (max.) 2000 2600 2850 3800 4400 5200
92,1 79,5 73,8 71,5 63,3 58,5 52,5
3.12. Distribución de presiones en silos y tolvas
dT/dZ = - λ = - 6.5 [oC/km] Para valores mayores de Z existen otras formulaciones para la temperatura de la AS, pero para los fines mineros basta con la cifra i ndicada. Entonces: T = T 0 - Z
La relación explícita entre la cota y la presión se obtiene introduciendo esta expresión en la ec. 3.20 e integrando: g /( R )
P = P0 1 Z T 0
(3.21)
Esta relación se conoce como ecuación barométrica o altimétrica; en efecto, ella permite estimar groseramente la presión ambiente conociendo la cota Z. Constante universal de los gases R = 8314,3 [J/(KgMol.0K)] Masa molecular del aire MM = 28,964 [Kg/Kg-mol] Tomando g = 9,8 [m/s2], la fórmula 3.21 no difiere en más de 1/1000 de la US Standard Atmosphere – 1976 (Perry, 1984). Es de interés conocer la presión que la Atmósfera Estándar indica en casos concretos. Aquí se ha realizado el cálculo para algunas minas chilenas. Los resultados se muestran en la Tabla 3.1. El examen de la tabla ind ica que en Chile existen faenas en que la presión estándar local puede disminuir muy significativamente respecto a la estándar a nivel del mar. Este aspecto se debe tener en consideración para varias operaciones. Como un solo ejemplo, estos valores definen la “performance” de los ventiladores.
Figura 3.11 Esquema de silo para almacenamiento de sólidos
Figura 3.12 Elemento diferencial
En las faenas mineras se emplean silos para contener material granular (chancado, concentrado, por ejemplo). Estos silos presentan frecuentes problemas operacionales como el atasco de las tolvas. Pese a que se trata de un tema que se refiere a un sistema de partículas, se puede considerar aquí si se limita el análisis al equilibrio del material contenido en el silo (Figura 3.11).
43
Considerando el equilibrio de un cilindro de sección transversal A, perímetro χ y altura dZ (Figura 3.12), se tiene: P A - (P + dP) A - g A dZ + w dZ = 0
Si el depósito es un cilindro circular, entonces Rh = D/4 y las Ecs. 3.24 y 3.25 devienen, respectivamente:
Pmax
=
De donde: - dP - g dZ + w dZ / Rh
=
g
(3.22)
Si la tensión normal en la pared es σw el esfuerzo de fricción se puede expresar en función del ángulo de fricción parietal φw: w
= w
tan w
Janssen en 1895 (Molerus, 1985) introdujo la razón, supuesta constante para una insta lación: =
P
tan w P
Rh
g
tan w 1 exp Z (3.23) tan w R h
Si la altura del silo crece indefinidamente, la presión alcanza un valor límite:
Pmax
=
g Rh
(3.24)
tan w
Entonces:
P Pmax
=
tan w
1 exp
1 exp 4
tan w D
Z (3.27)
=
2000 9,8 1 4 0,22 tan(33)
=
34300 [ Pa] = 34,30 [ KPa]
Entonces, la presión para Z/D = 1,2 será 34,3/2 = 17,15 [KPa]. Si se tratase de un líquido de la misma densidad, a la profundidad de Z =1,2 [m] la presión hidrostática sería: PH = ρ g Z = 2000 x 9,8 +1,2 = 23520 [Pa] = 23,52 [KPa]
g Rh
Pmax
=
Después de integrar e imponiendo presión nula para Z = 0:
P =
P
El empleo eficaz de la fórmula de Janssen requiere los valores del ángu lo de fricción parietal φw y del coeficiente λ. Gallego (2006), ha publicado un estudio sobre este tema. Molerus (1985), considera como valores realistas λ = 0,22 y φw =330. Empleando estas cifras y la Ec.3.27, se alcanza la mitad de la presión máxima para Z/D ≈ 1,2. Si D = 1 [m] y el material particulado tiene una densidad aparente ρ = 2000 [Kg/m 3] entonces, de la Ec. 3.26, se tiene:
w
=
Pmax
Introduciendo estas dos últimas relaciones en la Ec.3.22, se tiene:
dP dZ
(3.26)
0
R H = A/χ (radio hidráulico) Resulta entonces la siguiente ecu ación diferencial: dP w = dZ Rh
g D 4 tan w
Rh
Z
(3.25)
Esta última es conocida como la fórmula de Janssen.
Este ejemplo da una idea sobre la reducción en la presión producida al considerar material granular.
3.13. Presión capilar Esta presión o diferencia de presión se produce en toda interfaz cur va entre dos fluidos y obedece a la ley de Laplace:
=
+
(3.28)
R1, R2 son dos radios de curvatura en un punto de la superficie ortogonales entre sí (no necesariamente los radios principales). Si se supone que la interfase es una superficie sin espesor, entonces ΔP debe interpretarse como una discontinuidad en la presión.
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