Flexion transversale des ouvrages à poutres Poutres sous chaussées et poutres latérales
ENPC – MSGCE – Projet d’ouvrage d’art 2015 Mathieu MULS – Responsable d’études SYSTRA
Contenu du cours 1. Introduction Objectifs du cours Ponts à poutre: rôles des éléments transversaux Méthodes de calcul 2. Méthode de Courbon Hypothèses de base Réaction des poutres sur une entretoise chargée Flexion des poutres principales Efforts tranchants dans les poutres principales Calcul des entretoises Exemple Documents de référence: 3. Méthode de Guyon-Massonnet • Projet et construction de Ponts – J.A. Rappels Calgaro, M. Virlogeux But de la méthode • Annales de l’I.T.B.T.P. - article C. Massonnet Calcul du moment longitudinal • Conception et calcul des éléments transversaux dans les ponts-routes mixtes – Calcul du moment transversal J.C. Focriat, J. Roche Calcul du moment de torsion Exemple Page 2
Flexion transversale des ponts à poutres
INTRODUCTION
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Introduction: objectifs du cours Position du problème: Travée indépendante dont le tablier supposé droit est constitué de poutres solidarisées par des entretoises qui leur sont perpendiculaires. Objectifs: Calcul des efforts dans les poutres et entretoises lorsque le chargement est ponctuel et excentré.
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Introduction: Rôle des éléments transversaux
• Transmission du poids de la dalle et des charges verticales aux poutres • Entretoisement: •
conservation de l’alignement des poutres,
•
conservation des angles des sections
• Contreventement: report des charges transversales sur les appareils d’appui • Stabilisation des poutres contre le déversement • Transmission des réactions de vérinage
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Introduction : différentes méthodes de calcul
Nombreuses méthodes de calcul •
Section déformable
•
Poutres sans entretoise -> section déformable (fonctionnement différent des méthodes classiques de RDM pour les poutres)
•
Entretoises
Section
vs.
-> rigidité
Section indéformable
-> section indéformable
déformable
indéformable
Méthode de Courbon
NON
OUI
Méthode de Guyon-Massonnet
OUI
OUI
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Flexion transversale des ponts à poutres
METHODE DE COURBON
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Méthode de Courbon: hypothèses de base
• Poutres : • • • • •
Parallèles Solidarisées par des entretoises perpendiculaires aux poutres Portée des poutres > 2 * longueur d’une entretoise Inertie des poutres suivant la même loi de variation en fonction de l’abscisse (à un facteur de proportionnalité près) Résistance à la torsion supposée négligeable
• Entretoises : • •
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Inertie comparable à celle des poutres Supposées infiniment rigides
Etude des tabliers à section droite indéformable Méthode des entretoises rigides = Méthode de Courbon Chargement sur entretoise – Réaction de poutres • Charge sur une entretoise infiniment rigide Points homologues des poutres situés sur l’entretoise sont alignés
•
Lois d’inertie des poutres = proportionnelles -> pour toute section, les points homologues des poutres sont alignés (indépendamment des autres entretoises)
•
Conséquences :
• • •
Déformation transversale = linéaire Réactions = proportionnelles aux flèches (fonction de l’inertie de chaque poutre)
• Réaction Ri de la poutre i sur l’entretoise est de la forme :
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Etude des tabliers à section droite indéformable Méthode des entretoises rigides = Méthode de Courbon Calcul des réactions • Equilibre de l’entretoise : • Choix du repère (position du point x=0) : • Calcul des réactions : • Cas particulier : poutres de même inertie et de même espacement :
• •
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Poutre 1 = poutre de rive la plus proche du point d’application de la charge P Poutre n = poutre de rive la plus éloignée du point d’application de la charge P
Etude des tabliers à section droite indéformable Méthode des entretoises rigides = Méthode de Courbon Flexion des poutres principales • Charge disposée au droit de l’entretoise : Moments fléchissant dans les poutres = proportionnels aux réactions Ri • Charge disposée hors de l’entretoise : Si les entretoises sont rapprochées, on admet une erreur minime sur les moments. On suppose les moments fléchissant dans les poutres proportionnels aux réactions Ri (Comme si le tablier était doté d’une infinité d’entretoises rigides rapprochées). • En pratique: On détermine le moment fléchissant total M(x) en considérant le tablier comme une poutre sans dimension transversale, on répartit ce moments en moments Mi(x) dans les différents poutres selon : Avec n poutres identiques:
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Etude des tabliers à section droite indéformable Méthode des entretoises rigides = Méthode de Courbon Effort tranchant dans les poutres principales • Près des appuis : Flèches des poutres deviennent petites par rapport aux flèches de courbure des entretoises. -> effet répartiteur des entretoises disparait • 2 zones distinctes sont considérées : • Zone A : entre les appuis et la 1ère entretoise • Zone B : entre les 1ères entretoises
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Etude des tabliers à section droite indéformable Méthode des entretoises rigides = Méthode de Courbon Effort tranchant dans les poutres principales • Calcul en zone B : On admet la même répartition que pour le moment fléchissant :
Si poutres identiques :
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Etude des tabliers à section droite indéformable Méthode des entretoises rigides = Méthode de Courbon Effort tranchant dans les poutres principales • Calcul en zone A : Interpolation linéaire selon l’abscisse relative /d entre :
Vi’ au droit de l’appui : répartition nulle = calcul comme pour poutres indépendantes Vi’’ au droit de la 1ère entretoise : répartition complète = calcul comme en zone B
• •
•
Calcul de Vi’: on suppose les dalles articulées sur les poutres et découpées en bandes transversales de faible largeur :
où est l’abscisse du point d’application de la charge • Effort tranchant dans la poutre i:
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Etude des tabliers à section droite indéformable Méthode des entretoises rigides = Méthode de Courbon Calcul des entretoises • Charge disposée au droit de l’entretoise : Calcul des efforts dans l’entretoise à partir des réactions des poutres sur les entretoises • Charge disposée entre 2 entretoises Ej et Ej+1 : On admet que son action sur l’entretoise Ej est équivalente à celle d’une charge concentrée P’ • • •
de même excentricité que P appliquée sur l’entretoise Ej d’intensité : P’ = P (l – b)/l
Où :
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l = distance entre entretoises Ej et Ej+1 b = distance entre le point d’application de P et l’entretoises Ej
Etude des tabliers à section droite indéformable Méthode des entretoises rigides = Méthode de Courbon Modalités d’application : • Isoler les poutres du tablier en affectant à chacune une largeur du hourdis participant On se contente d’attribuer aux poutres intermédiaires des largeurs de hourdis équivalent aux entraxes des poutres. Attention : • Largeur participante des tables de compression limitée dans les codes. • Ne pas attribuer la même zone de hourdis à 2 poutres différentes • Largeur participante limitée à 1/10 de la portée de la travée (à partir du nu des poutres dans un tablier béton, à partir de l’axe des poutres dans le cas du métal) • Largueur participante réduite au voisinage des appuis et aux extrémités
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Etude des tabliers à section droite indéformable Méthode des entretoises rigides = Méthode de Courbon Commentaires : • Bonne corrélation des résultats entre : • Méthode de Courbon • Théorie de torsion gênée ou non uniforme (avec inertie de torsion propre des éléments négligée), qui considère également une section transversale indéformable -> Bonne estimation des effets d’excentrement des charges par la méthode de Courbon
• Méthode de Courbon bien adaptée pour les tabliers en béton armé ou précontraint Pour ossatures mixtes ou métalliques : effets de gauchissement sur les semelles inférieures non négligeables (non pris en compte par la méthode de Courbon) -> Théorie de torsion non uniforme préférable
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Flexion transversale des ponts à poutres
METHODE DE GUYON-MASSONNET
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Méthode de Guyon-Massonnet: Notations
• • • •
1 travée indépendante de portée L et de largeur 2b L’ossature est constituée par une poutraison croisée de poutres et d’entretoises. Poutres de section constante, identiques et équidistantes de a Entretoises de section constante, identiques et équidistantes de λ
•
Modules d’élasticité du béton: Longitudinal : E Transversal : G De Poisson : ν
• • •
•
Paramètres: De flexion: q = b 4 r P L rE
•
De torsion: a = g P + g E
•
•
2 r Pr E
La flèche verticale du point (x,y) est notée : w(x,y)
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Méthode de Guyon-Massonnet: Principes et hypothèses de base
Hypothèses: • La dalle est droite, possède deux bords libres et deux bords simplement appuyés • Coefficient de poisson = 0 (béton, ν=0,15) • On admet que l’effet de la répartition des charges transversales est la même que si les charges se réduisaient à leur premier terme de leur développement en séries de Fourier suivant l’axe de la dalle. Principe: • On remplace la structure réelle discontinue par une structure fictive continue ayant pour rigidité en flexion et torsion dans le sens longitudinal et transversal, les valeurs moyennes qu’ont ces rigidités dans la structure réelle. • On considère donc une dalle orthotrope qui permet de résoudre l’équation différentielle du 4ème ordre obtenue en écrivant l’équilibre d’un petit élément (dx, dy) autour d’un nœud soumis à la charge P=pdxdy
¶4 w ¶4 w ¶4 w r P 4 + (g P + g E ) 2 2 + r E 4 = p(x, y) ¶x ¶x ¶y ¶y
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Méthode de Guyon-Massonnet : Résolution de l’équation différentielle
La solution de l’équation se résout en développant la charge appliquée en série de Fourier, dans le sens Ox. Exemples de développement en série de Fourier: • Charge P uniforme p(x) =
¥
4p 1 x sin(2q+1)p å p 1 2q+1 L
• Charge P constante entre les abscisses d et (d+c) p(x) =
¥
4p 1 d+c/2 c x sin np ( )sin np ( )sin np ( ) å p 1 n L 2L L
• Charge P concentrée à l’abscisse d ¥
2p d x p(x) = sin np ( )sin np ( ) å L 1 L L
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Méthode de Guyon-Massonnet : Flexion longitudinale
Pour réduire l’erreur due à l’assimilation de P à une charge répartie sinusoïdale, on opère en 2 temps: • Calcul du moment longitudinal moyen Mxm que développerait la charge P si elle était uniformément répartie dans le sens transversal. • Pour tenir compte de l’excentricité réelle e de la charge P on multiplie le résultat par le coefficient de répartition K(y). • Influence de K Les tables de Guyon-Massonnet donnent les valeurs de K(y,e,θ) pour α=0 et 1. On interpole pour des valeurs intermédiaires : K(α)=K0+(K1-K0) α0,5
M x (x, y) = å M xmi (x)K i (ei , y) i
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Méthode de Guyon-Massonnet: Flexion transversale
Le moment transversal par unité de largeur engendré par une charge sinusoïdale P = p1 sin( p x ) vaut: L
M y (x, y) = m1 (q , e1, y)bp1 sin(
px ) L
Les tables de Massonnet donnent la valeurs de μ pour α =0 et 1. Pour une valeur intermédiaire, prendre
m1aq = m1aq=0 + a .(m1aq=1 - m1aq=0 )
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Méthode de Guyon-Massonnet : Torsion
Le moment de torsion par unité de largeur, vaut:
p x Mxy ( ).b. p. cos p e L Myx
e x ( ).b. p. cos p e L
Les tables de Guyon-Massonnet donnent les valeurs de τ(θ,y,e) pour α=1 Pour une autre valeur de α, prendre
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t (a ) = t 1 a
Méthode de Guyon-Massonnet : Divers Dans le cas de poutres de section variable ou continue on peut remplacer la travée considérée par une travée indépendante fictive de même portée L, et ayant pour rigidités: • De flexion: ρ’P telle qu’elle prenne la même flèche que la travée réelle sous l’action d’une charge concentrée à mi-portée. • De torsion: γ’P telle que sa section médiane prenne la même rotation sous l’action d’un couple de torsion à mi-portée. L’hypothèse ν = 0 pour laquelle les tables ont été construites est admissible dans le cas où le tablier n’est pas contraint transversalement (libre de se déformer transversalement). Dans le cas d’un tablier doublement précontraint, on prendra ν = 0,15. L’influence de ν est négligeable sur K mais sensible sur μ. Rowe (concrete bridge design – C. Books – Londres 1962) a dressé des tables de μ1 pour ν = 0,15
(ma )n =0.15 = (m1 )0.15 + a . [ (m1 )0.15 - (m1 )0 ] On pourra admettre : Myréel = (My)ν=0 +ν(Mx)ν=0 Page 25
