Dubravko Horvat
FIZIKA I MEHANIKA I TOPLINA
Udžbenik fizike za studente Fakulteta elektrotehnike i računarstva
1. nekorigirano izdanje
Zagreb 2002
Sir. S.. ii
Predgovor
Sadriaj
Pregledni sadržaj
Ove bilješke s predavanja namijenjenje su studentima prve godine Fakulteta elektrotehnike i računarstva koji slušaju Fiziku I i Fiziku II u prvom odnosno drugom semestru. Preliminarna forma ovih bilješki zahtijeva jog niz korekcija i nadopuna. Međutim, kolegij Fizika I je u potpunosti "pokriven" ovim tekstom. Pojedine theme su bitno proširene u odnosu na gradivo s predavanja. Pitanja koja su dams na kraju svakog poglavlja dodatni su orijentir za sadriaje koji su predavani i koje valja pripremiti za ispit. Individualne biljegke students s predavanja dodatno to pomoei u izboru sadriaja i iscrpnosti izlaganja. Iziaganje gradiva je takvo da studenta upoznaje postepeno s novim fizikalnim situacijama pa su obrađeni saciriaji ilustrirani ill uvedeni pokusima koji se izvode na predavanjima i tije je razumijevanje bitno za uspjano praeenje gradiva. Izuzetno je vain° proraditi brojne primjere kroz koje se uvode novi pojmovi i sadriaji. Primjeri su bitni sastavni dio teksta i ne treba ih odvojeno studirati! U pripremi udibenika mnogo su mi pomogli suradnici na Zavodu za fiziku Fakulteta elektrotehnike i ratunarstva: dr.sci. Z. Narantie, dipl.ing. T. Gjurit, mr.sci. Danijela Grozdanit i doc.dr.sci. M. Bade. Bit to zahvalan kolegama - studentima ako me upozore na greške i propuste ovog preliminarnog teksta! U Zagrebu, u sijetnju 2002. Autor
Predgovor Pregledni sadriaj Sadriaj Uvod
ii iii
U-1
I MEHANIKA MATERIJALNE TOCKE, KRUTOG TIJELA I FLUIDA 1. Zakoni gibanja materijalne totke
1-1
2. Rad, energija i snags. Zakoni satuvanja
2-1
3. Mehanika sustava testica. Mehanika krutog tijela I - statika
3-1
4. Rotacija krutog tijela
4.1
5. Gravitacija
5-1
6. Inercijalni i neinercijaIni sustavi statika
6-1
7. Specijalna teorija relativnosti
7-1
8. Mehanika fluids
8-1
II TOPLINA I TERMODINAMIKA 9. Toplina i termodinamika 10. Molekularno-kinetitka teorija plinova
9-1 10-1
Dodaci
D-I
Literatura
R-1
D. Horvat: Fizika 1 za PER
Sir. S
SADRŽJ Predgovor Pregledni sadržaj Sadržaj Uvod
ii iii U-i
II MEHANIKA MATERIJALNE TOCKE, KRUTOG TIJELA I FLUIDA 1. ZAKONI GIBANJA MATERIJALNE TOKE 1.1 Medunarodni sustav jedinica 1.2 Newtonovi zakoni gibanja Prvi Newtonov aksiom Sila Koordinatni sustav Brzina i akceleracija Masa i kolitina gibanja Drugi Newtonov aksiom Tredi Newtonov aksiom 1.3 RjOavanje jednadžbi gibanja 1.3.1 Stalna sila 1.3.2 Stalna sila - sila teia Slobodni pad Vertikalni hici Kosi hitac 1.3.3 Sila otpora linearno ovisna o brzini 1.3.4 Sila otpora i težina tijela 1 Kosi hitac sa silorn otpora. Balistieka krivulja. 1.3.5 Sila otpora ovisna o kvadratu brzine 1.3.6 Sila otpora i težina tijela 11 Sila otpora ovisna o brzini (opdenito) 1.3.7 Sila ovisna o koordinati - harmonitka sila Sila ovisna o koordinati (opdenito) 1.3.8 Vremenski ovisna sila - harmonieka "smetnja" Vremenski ovisna sila 1.3.9 Sila trenja 1.3.10 Gibanje po krivulji. Kružno gibanje. Sila okomita na brzinu 1.4 Kutna kolitina gibanja (moment kolieine gibanja) materijalne totke Dodaci 1. poglavlju DP1.1 Nabijena testica u elektrienom i magnetskom polju DP1.2 Krivulja potjere (lisica i zee) Pregled 1. poglavlja P1.1 Novi fizikalni pojmovi P1.2 Nove relacije i formula P1.3 Pitanja 2. RAD ENERGIJA I SNAGA. ZAKONI SAUVANJA 2.1 Uvod 2.2 Rad Rad stalne site Rad promjenljive site 2.3 Kinetielca energija i teorem o radu i kinetitkoj energiji 2,4 Snaga 2.5 Poteneijalna energija i konzervativne sile
Sadriaj
S- iv
1-1 1-5 1-5 1-5 1-5 1-6 1-8 1-9 1-9 1-10 1-10 1-12 1-13 1-15 1-16 1-19 1-21 1-22 1-24 1-25 1-26 1-27 1-29 1-31 1-31 1-34 1-40 1-46 1-48 1-53 1-57 1-57 1-57 2-1 2-1 2-2 2-5 2-7 2-8 2-9
2.6 Zakon satuvanja mehanitke energije 2.7 Zakoni satuvanja Zakon satuvanja energije Zakon saeuvanja kolieine gibanja Zakon satuvanja kutne kolitine gibanja Zakon satuvanja elektrienog naboja Zakon saeuvanja fermionskog broja Pregled 2. poglavlja 1. Novi fizikalni pojmovi 2. Nove relacije 3. Pitanja
2-11 2-12 2-13 2-14 2-14 2-16 2-16 2-18 2-18 2-18
3. MEHANIKA SUSTAVA CESTICA. MEHANIKA KRUTOG TIJELA I - STATIKA 3.1 Uvod 3.2 Sustav dvije testice. Zakoni gibanja i zakoni održanja 3.2.1 Zakon gibanja teiigta. Zakon satuvanja kolitine gibanja 3.2.2 Sustav centra masa i relativne koordinate Reducirana masa 3.2.3 Energija sustava dvije testice. Zakon satuvanja mehanieke energije
3.2.4
Sauvdrage r ino elastitan sudar iii sraz Savrfeno neelastitan sudar iii sraz Gibanje rakete Kutna kolitina gibanja dvije testice
3.3 Sustav N testica. Zakoni gibanja i zakoni saeuvanja 3.3.1 Jednadžba gibanja sustava materijalnih totalca. Zakon centra mase 3.3.2 Kutna kolitina gibanja sustava N testica 3.3.3 Energija sustava N testica 3.4 Kruto tijelo - uvod Natini gibanja krutog tijela Moment site 3.4.1 Teligte krutog tijela Zakon gibanja težigta krutog tijela 3.5 Statika krutog tijela Aksiomi statike Dodatak 3. poglavlju DP3.1 Primjeri iz biornehanike Pregled 1. poglavlja Pregled 3. poglavlja P3.1 Novi fizikalni pojmovi P3.2 Nove relacije i formula P3.3 Pitanja
3-1 3-1 3-1 3-1 3-8 3-8 3-6 3-12 3-15 3-17 3-19 3-20 3-20 3-22 3-23 3-23 3-23 3-24 3-27 3-30 3-31 3-33 1-45
3-55 3-55 3-55
4. ROTACIJA KRUTOG TIJELA 4.1 Uvod 4.2 Rotacija materijalne totke - jog jednom Natini gibanja krutog tijela 4.3 Rotacija krutog tijela oko evrste osi 4.4 Moment tromosti Primjeri raeuna momenata tromosti 1 4.4.1 Steinerov poutak Dokaz Steinerovog poutka 4.4.2 Teorem o okomitim osima
4-1 4-1 4-2 4-3 4-6 4-7 4-10 4-10 4-12
D. Rorvat: Fizika I za FER
Primjeri ratuna rnomenata tromosti 11 4.5 Kotrljanje Kotna kolleina gibanja pri koirljanju 4.5.1 Kotrljanje po kosini Dinamika kotrljanja tijela po kosini 4.5.2 Kotrljanje krutog tijela uz sklizanje 4.5.3 Trenje kotrljanja Koeficijent trenja kotrljanja 4.6 Rad, energija i snaga pri rotaciji Kinetieka energija Rad Snaga 4.7 Zakon saeuvanja kutne kolitine gibanja 4.8 Gibanje žiroskopa Rotacija tijela poduprtog u CM Rotacija tijela poduprtog izvan CM. Precesija 4.8.1 Zvrk Primjena i primjer precesije 4.9 Princip virtualnog rads, Primjeri raeuna statitkih problema pomoeu principa vritualnog rada Dodaci 4. poglavlju DP4.1 Poopeena rotacija DP4.2 Tenzor momenta tromosti Pregled 4. poglavlja P4.1 Novi fizikalni pojmovi P4.2 Nove relacije i formule P4.3 Pitanja
Str. S- v
4-12 4-19 4-20 4-24 4-25 4-29 4-37 4-37 4-38 4-38 4-39 4-42 4-44 4-50 4-51 4-51 4-54 4-56 4-57 4-58 4-66 4-68 4-71 4-71 4-71
5. GRAVITACIJA 5.1 Uvod 5.2 Keplerovi zakoni Cunjosjetnice 5.3 Newtonov opei zakon gravitacije Gibanje Mjeseca i Newtonov opei zakon gravitacije Cavendishev pokus 5.3.1 OpCi zakon gravitacije i 3. Keplerov zakon za kružne putanje Primjeri ratuna gravitacione site 5.3.2 Opei zakon gravitacije i akceleracija site teie 5.4 Rad i potencijalna energija gravitacione sile 5.4.1 Gravitaciono polje i gravitacioni potencijal Gaussov zakon za gravitaciono polje 5.5 Kinematika i dinamika Keplerovih zakona 5.5.1 Drugi Keplerov zakon i opei zakon gravitacije 5.5.2 Treei Keplerov zakon, eliptieke putanje i opei zakon gravitacije 5.6 Prvi Keplerov zakon i opei zakon gravitacije Meduplanetno putovanje - Hohmannov prijelaz 5.7 Problem dva tijela. Dvojne zvijezde 5.8 Troma i te6lca masa. Princip ekvivalencije 5.9 Teorija gravitacije i moderna fizika Dodaci 5. poglavlju DP5.1 Povijesna skies: "Sve je potelo sa zvijezdarna" DP5.2 Rje§enje jednadžbe gibanja u gravitacijskom polju II DP5.3 Neki posebni podaci iz astronomije, kozmologije i astrofizike
5-1 5-1 5-2 5-7 5-8 5-9 5-10 5-11 5-16 5-17 5-21 5-25 5-28 5-31 5-31 5-32 5-35 5-42 5-44 5-45 5-47 5-50 5-54
Sir. S - vi
Sadriaj
Pregled 5. poglavlja P5.1 Novi fizikalni pojmovi P5.22 Nove pi en relacije i formule P5.3
5-55 5-55 5-55
6. INERCIJALNI I NEINERCIJALNI SUSTAVI 6.1 Uvod 6.2 Galileieve transformacije 6.3 Ubrzani sustavi. Inercijalne sile i translatorno gibanje Primjer translatornog gibanja I Primjer translatornog gibanja II 6.4 Inercijalne sile i rotaciono gibanje. Centrifugalna sila Primjer rotacionog gibanja 6.5 Op& pravila transformacija u rotirajueim sustavima Coriolisova sila Slobodni pad i Coriolisova sila Foucaultovo njihalo Dodaci 6. poglavlju DP6.1 Gibanje projektila u neinercijalnom sustavu Kosi hitac i Coriolisova sila DP6.2 Transformacije koordinata pri rotaciji Pregled 6. poglavlja 1. Novi fizikalni pojmovi 2. Nove relacije 3. Pitanja
6-1 6-2 6-4 6-5 6-6 6-8 6-9 6-11 6-13 6-14 6-16 6-19 6-21 6-21 6-23 6-23 6-23
7. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI 7.1 Uvod. Galileieva relativnost i Newtonov apsolutni prostor i vrijeme 7.2 Michelson-Morleyev eksperiment 7.3 Einsteinovi postulati 7.3.1 Istovremenost i neistovremenost 7.4 Lorentzove transformacije 7.1.1 Zbrajanje brzina 7.4.2 Kontrakcija duiina 7.4.3 Dilatacija vremena 7.5 Relativistitka kinematika i dinamika 7.5.1 Relativistitka brzina i kolitina gibanja 7.5.2 Drugi Newtonov aksiom u relativistiekoj dinamici 7.6 Rad i energija u specijalnoj teoriji relativnosti Dodaci 7. poglavlju DP7.1 Cetverovektori i Lorentzove transformacije DP7.2 Prostorno-vremenski dijagrarni DP7.3 Transformacije izmedu CM i LAB sustava DP7.4 Elektrodinarnika i specijalna teorija relativnosti DP7.5 Razlilca faza i razlika hoda pri interferenciji valova Pregled 7. poglavlja P7.1 Novi fizikalni pojmovi P7.2 Nove relacije i formule P7.3 Pitanja P7.3 Dodatna literatura uz 7. poglavlje
7-1 7-4 7-6 7-8 7-8 7-10 712 7-13 7-16 7-16 7-18 7-18 0-00 0-00 0-00 0-00 0-00 7-21 7-21 7-21 0-00
8. MEHANIKA FLUIDA 8.1 Uvod 8.2 Tekueinel plinovi
8-1 8-2
D. Norval: Fizika I za PER
8.3 Statika fluida. Tlak 8.4 Hidrostatski tlak Tlak u jednoj toelci fluida Pascalov princip Hidraulitka pre8a (tijesak) Obitna pumpa 8.5 Torricelliev pokus. Atmosferski tlak Jednostavni manometar Pokusi s "U" cijevima Hidrostatski paradoks Barometarska formula 8.6 Arhimedov zakon Kartuzijanski ronilac 8.7 Povrlinska napetost Laplaceova formula Tlak u mjehuri6u od sapunice Kapilarnost 8.8 Dinamilca fluida. Idealni fluid Jednadžba kontinuiteta 8.9 Bernoullieva jednacržba Primjene Bernoullieve jednadtbe (1) Statika fluida (2) Tok u horizontalnoj cijevi (3) Venturijeva cijev (4) Pitot-Prandtlova cijev (5) Torricelliev zakon istjecanja (6) Vena contracta (7) Obitna sisaljka (8) Sila na avionsko krilo 8.10 Viskoznost Poisseuilleov zakon protjecanja Magnusov efekt Reynoldsov broj. Turbulentno gibanje Dinamitka slitnost Otpor sredstva. Stokesov zakon Pregled 8. poglavlja 1. Novi fizikalni pojmovi 2. Nove relacije 3. Pitanja
Sir. S- vii
8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-7 8-7 8-9 8-10 8-10 8-11 8-13 8-15 8-18 8-19 8-21 8-23 8-25 8-25 8-28 8-29 8-29 8-29 8-31 8-31 8-31 8-34 8-34 8-35 8-36 8-39 8-41 8-41 8-42 8-43 8-44 8-44 8-44
II TOPLINA I TERMODINAMIKA 9. TOPLINA I TERMODINAMIKA 9.1 Uvod 9.2 Nulti zakon termodinamike. Temperatura. Termometri Termometri Plinski termometar pri stalnom volumenu 9.2.1 Termodinamitka temperatura - apsolutna temperatura 9.3 Toplinsko tirenje krutih i tekueih tvari 9.3.1 Linearno a. irenje krutih tijela 9.3.2 Povrlinsko i volumno rastezanje Objanjenje toplinskog tirenja na mikroskopskoj razini Anomalija vode 9.4 Plinski zakoni. Avogadrov zakon
9-1 9-1 9-2 9-3 9-4 9-6 9-6 9-8 9-10 9-10 9-11
Str. S- viii
Sadriaj
Boyle-Mariotteov zakon Gay-Lussacov zakon Charles-Gay-Lussacov zakon 9.4.1 Standardni uvjeti. Jednadžba stanja idealnog plina 9.5 Kalorimetrija. Toplinski kapaciteti 9.5.1 Specifieni toplinski kapaciteti Molarni toplinski kapaciteti Dulong-Petitovo pravilo Toplinski kapaciteti plinova 9.5.2 Fazni dijagrami 9.5.3 Agregatna stanja. Latentne topline 9.5.4 Prijenos topline Konvekcija ili strujanje Zratenje ili radijacija Voclenje ili kondukcija 9.6 Unutarnja energija. Prvi zakon termodinamike 9.6.1 Prvi zakon termodinamike 9.6.2 Mayerova relacija II 9.6.3 Jednadiba adijabate 9.6.4 Rad idealnog plina u raznim procesima 9.7 Krutni termodinamitki procesi. Drugi zakon termodinamike 9.7.1 Kruini procesi 9.7.2 Drugi zakon termodinamike 9.7.3 Carnotov kružni proces 9.7.4 Toplinska pumpa i hladnjak 9.7.5 Reverzibilni i ireverzibilni procesi. Carnotov teorem 9.7.6 Drugi toplinski reverzibilni kružni procesi Ottoov kružni proces Dieselov kružni proces 9.8 Entropija 9.8.1 Entropija idealnog plina 9.8.2 Entropija i ireverzibilni procesi Pregled 9. poglavlja P9.1 Novi fizikalni pojmovi P9.2 Nove relacije i formula P9.3 Pitanja 10. MOLEKULARNO KINETItKA TEORIJA PLINOVA 10.1 Uvod 10.2 Idealni plin u molekularno-kinetitkoj teoriji 10.3 Tlak idealnog plina. Unutarnja energija. Temperatura 10.4 Toplinski kapaciteti plinova u molekularno-kinetitkoj teoriji 10.5 Molarni kapaciteti krutih tijela 10.6 Prijenosne (transportne) pojave 10.7 Maxwellova raspodjela po brzinama Funkcija raspodjele Maxwellova raspodjela po brzinama Energija aktivacije Ratuni lcarakteristitni velitina Maxwell-Boltzmannova funkcija raspodjele 10.8 Realni plinovi. Van der Waalsov plin Bertholletov plin Virijalni koeficijenti Napomena o rnediimolekularnim silama
9-11 9-11 9-12 9-13 9-16 9-16 9-17 9-18 9-19 9-19 9-21 9-24 9-24 9-25 9-25 9-30 9-30 9-32 9-33 9-34 9-37 9-37 9-40 9-41 9-43 9-44 9-45 9-45 9-47 9-48 9-50 9-52 9-54 9-54 9-55
10-1 10-1 10-2 10-6 10-8 10-10 10-13 10-13 10-16 10-19 10-19 10-22 10-22 10-24 10-24 10-25
D. Roma: Fiziku I zu FER
Sir. S- ix
Dodaci poglavlju 10 DP10.1 Izvod Maxwellove raspodjele pc) brzinama DP10.2 Ilasprlenje molekula i relativna brzina
10-26 10-28
Pregled 10. poglavlja P10.1 Novi fizikalni pojmovi P10.2 Nove relacije (formule) P10.3 Pitanja
10-31 10-31 10-31
DODACI Dodatak Dl: Derivacija i integral Dodatak D2: Vektori Dodatak D3: Trigonometrijske funkcije Dodatak D9: Eksponencijalna i logaritarnslca funkcija Dodatak D5: Prirodne konstante I brojtani podaci Literatura
D1-1 D2-1 D3-1 D9-1 D5-1 L-1
Si,. I 2
Pizila I za. PH?. - Al,hanik. i toplina
1] Dizajniranje i izvodenje eksperimenta as provjeru hipoteze. 5] Formuliranje teorije koja povezujc potvrtlenn hipotezn s prothodnint znanjima i predikcijama teorije.
UVOD
U.1 Uvod Dva svijeta Pripadnost Covjeka (barna svjetovinta odreduje smjer njegove znat0,elje: jedan svijet - zajednica ljudi, ljudsko druS.tvo, usmjerava njegovu znataelju prema razumijevanju povijesti i sadaSMjosti drukvenili zbivanja, politike, religije i ekonomije i odnosa tovjeka jedinke i kolektiva ljudskog clrukva. Drugi je svijet svijet Prirode, fizikalni svemir koji tovjek kroz fizilcalne i bioloMte znanosti pokuSava razurnjeti i odrediti svoje mjesto u ogromno.j lepezi prirodnih pojava kroz rnetode fizike, kemije, biologije, geologije i astronomije. Tim je znanostima eovjek namijenio ulogu razumijevanja i objakrjavanja atornskih i inolekularnih procesa. procesa rasta, razrnno2avanja i umiranja, procesa nastanka atoma i propasti zvijezda. Danagnji je napredak civilizacije donio i opasnu moguenost drastienog utjecaja jednog svijeta na drugi: ljudska zajednica svojim djelovanjem u fizikalnorn sverniru sve viAe utjete na njega, vrlo Eesto na uacin kojim je ugrožen jedan njegov segment, pa .1e danaknje izutavanje medudjelovanja dvaju svjetova postao imperativ za sigurnost i sree.0 budueih naraStaja svijeta Ijudi u svijetu Prirode. Izutavanje temeljnih odnosa i zakona svijeta prirode je bitna komponenta u razumijevanju fizikalnog svernira i odnosa svijeta Ijudi prema fizikalnorn sverniru. Fizika je ona znanost iz lepeze prirodMhznanosti kojoj je namijenjena fundamentalna uloga izutavanja prirode. Fizika svoju snagu i uspjelt duguje znanstvenom pristupu problemu iii procesu fizikalnog svijeta. Znanstveni pristup u sebi prije svega ukljutuje otvorenost rezultata istray2dvanja. Time je ortiogue'ena provjera (verifikacija) znanstvenih rezultata i njillova ponovljivost (reproducibilnost). Znanstvene istine ne prenose se na osnovu autoriteta lb politieke ill religiozne doktrine. "Zdrav razum" nije valjan argument on je sarno pomo6na komponenta u razumijevanju eksperimentalnih rezultata, fizikalnih teorija i zakona, njihovih ob.jakijenja i predvidanja. Tom objektivnoeu je osiguran prijelaz znanstvenih rezultata u podrueje svakodnevnog ".ivota kroz tehnolo]Sku primjenu novit] znanstvenih znanja koja su osnova tehnoloMcog razvitka. Znanstvena metoda U znanstvenom pristupu fizikalnorn problemu bitne su komponente znatiZelja i manta, no nijedna einjenica ne prilivaea se kao gotova stvar, sve je podlo2no provjeri, testu, promjeni. Skepticizarn pripada suttini znanosti, a natini pristupa znanstvenom izueavanju mogu se sistematizirati proces zvan znanstvena metoda, eije je naeelo objektivnost, provjerljivost i odbacivanje dogmi. Znanstvena rnetoda je gotovo kružni proces tije se faze pojednostavljeno mogu opisati ovako: 1] Prornatranje fizikalnog - prirodnog procesa i prepoznavanje problema; ] 2] Postavljanje hipoteze, najteke u obliku opteg prinicipa ili matetnatieke veze fizikaluili velieina koje su vezane s procesorn; 3] Predvidanje (predikcija) rezultata na osnovu postavljene hipoteze i rezultata srodnih fizikalnih procesa;
Prirodni zakon Iz ponovljenill ciklusa znanstvene metode, kroz niz provjera i eksperimenata prelivijavaju Sarno neke hipoteze koje kao nepromjenljive istine prerastaju u fizikalni zakon, Istovremeno takav prirodni zakon prolazi stalne provjere istinitosti, provjere primjenljivosti, provjere dosega i taj skepticizam prerna apsolutnoj istinitosti fizikalnog zakon predstavlja odlueujuei korak prerna 110V0111 istraZivanju i stvaranju novilt hipoteza. Na taj mein znanstvena metoda prula racionalni i kvantitativni pristup logiekom sklopu prirodnil] pojava. To onloguenje razumijevanje i objak]jenje velikog broja prirodnit] pojava s ogranieenim brojern fundamentalnill zakona. Znanost starih Grka prema tome nije znanost u modernorn smislu jer je ona spekulativna, bez eksperirnenta, nekvantitativna, bey, provjere. Stvarni napredak je napravljen tek stoljeea kasnije kada je shvaecno da je pravi SIlliS■10 stjecanja znanja eksperiment i promatranje.
1 1. ZAKONI GIBANJA MATERIJALNE TOOKE 1.1 Međunarodni sustav jedinica 1.2 Newtonovi zakoni gibanja Prvi Newtonov aksiom Sila Koordinatni sustav Brzina i akceleracija Masa i kolieina gibanja Drugi Newtonov aksioni Treei Newtonov aksioni 1.3 RjeMvanje jednadZbi gibanja 1.3.1 Stalna sila 1.3.2 Stalna sila - sila tea Slobodni pad Vertikalni ILiCI Kosi hitac 1.3.3 Sila otpora linearno ovisna o brzini 1.3.4 Sila otpora i telina tijela I Kosi hitac sa siloiri otpora. Balistieka krivulja. 1.3.5 Sila otpora ovisna o kvadratu braise 1.3.6 Sila otpora i teZlina tijela 11 Sila otpora ovisna 0 brzini (opeenito) 1.3.7 Sila ovisna o koordinati - harmonieka sila Sila ovisna o koordinati (opeenito) 1.3.S Vremenski ovisna sila - harmonieka "smetnja" Vremenski ovisna sila 11 1.3.9 Sila tresja 1.3.10 Gibanje ito krivuIi. liruZno gibanje. Sila okonin a III brzion 1.1 Kutna kolieina gibanja (looniest kolieine gibanja) inaterfialne toeke Dodaci 1. poglavlju DP1.1 Nabijena eestica u elektrienom i magnetskom polju DP1.2 Krivulja potjere (lisica i zec) Pregled 1. poglavlja P1.1 Novi fizikalni pojmovi P1.2 Nove relacije i Iormule P1.3 Pitanja
1-1 1-5 1-5 1-5 1-5 1-6 1-8 1-9 1-9 1-10 1-10 1-12 1-13 1-15 1-16 1-19 1-21 1-22 1-24 1-25 1-26 1-27 1-29 1-31 1-31 1-34 1-40 1-46 1-48 1-53 1-57 1-57 1-57
D. fforvor Fisika 1 za PER - Mehanika i typhus
Sir. 1- 2
Definicije osnovnils i dodatnih ,jedinica Merin narodnog sustava su:'
(
• Mctar ,je duljina pinta koji svjetlost prijede u virkumnin 7.0 vrijeme jednog 299 792 458-og dijela sekunde. • Kilognatn je masa inedunorodne pramjerc (ctalona) kilograma.
1. ZAKONI GIBANJA MATERIJALNE TOCKE
• Sekunda ,je trajanje 9 192 631 770 perioda zrai.:enja koje odgovara prijclazu izmedu dviju hiperfinill razina osnovnog stanja atoma cczija 133. • Amper jc jakost stalne elektrifte struje koja, kad se odra2ava u dvarna ravnim usporednim
11. prosinca 2001.
voditima, neograniene duljine i zanemarljivo malena kruinog presjeka koji se nalaze u vakuumu madusobno razmaknuti 1 metar, proizvodi medu tim vodieima situ od 2 x 10- N pa metru njihovc duljine. • Kelvin jc termodinamiCka temperatura koja je jcdnaka 1/273.16 termodin.nieke temperature trojne totkc vodc. • Mal je unno71ina sustava koji sadni toliko elementarnih jedinki koliko ima atoma u 12 g ugljika 12.
Meha.niku zapoeinjemo razmatrati kroz predodZbu materijalne toeke u kontekstu Newtonovill aksiorna/zakona gibanja. Prije toga demo obraditi jedinice osnovnih fizikalnih velitina koje su standardizirane i kao takve tine Medunarodni sustav jedinica (SI). Zatim &Inc, formulirati osnovne za.kone inchanike Newtonove za.kone gibanja i razmotriti situacije koje su tipitno opisane njima: gibanja pod djelovanjem sila raznih oblika i ovisnosti. Usput eetno obraditi po,jam vektora i uvesti pojam derivacije. Te su dvije rnatematitke cjeline potpunije obradene u poselmito dodacima. Kao dopuna poglavlju rije§ena Si pone:Sto
• Kandela je svjetlosna jakost u odreclenom smjcru izvora koji ociatfilje monokronnotsko zraCenje frckvencije 540 x 1012 herein i kojemu je encrgetska jakost u torn smjeru 1/683 vata po steradijanu. • lladijan je knit n7,111(111 iIva polumjera koji na kruZnici isijecaju Ink duljine jednake pollonjern. • Steradijan je (prostorni) kut stoSca s vrhom u srediStu kugle, koji no plain kugle °meanie povrAinu .„,,jedrint.ku povrAini kvadrata 6,ja je stranica sjednaka polurnjeru kugle.
kompliciranija gibanja. Uz simbol osnovnih jedinica navederie su i fizikalne climenzije odgovarajutili veliEina /z-taidenc
(1], itd.).
velitina .jednake sit rininoSkii ili oinjeru osnovnih .jedinica, kao
je brz-
ina (duljina/vrijeme=[1.T-1] --mr/s=dak (sila/povrAina=kgm - '5 -2 ) iii import (kgri12 /As3 ). se da fizikalna velitina. iota svoju dimenziju, koja je algebarska kornhinacija osnovnih fizikalnih velieina
1.1 Medunarodni sustav jedinica Fizika. je fundamentaina prirodna znanost pomoeu koje poku.;avarnoshvP.titi pojave u (neZavoi) prirodi. Ona proutava ()pea svojstva, strukturu i kretanje tvari, međudjelovanja tvari, polja., prostor i vrijeme. Jedna od njenih osnovnih komporienata ,je eksperiment - pokus, koji ukljutuje proces tojerenja. Fizikalne pojave koje uoea.va.ili istraZuje fiziear kvantificiramo pornoeu fizikalnih ueheina. Dole fizikalne poja.ve nisu mjerl jive (kotdjanje, klizanje, zratenje, odbijanje i loin sv,jetlosti itd.) fizikalne velitine molerno odrediti - izinjeriti procesu mjerenja. Zato l<10.etrio da ,je fizikalna velitina rnjerljivo svojstvo fizikahrog stanja., procesa iii tijela.
(sila=[MI,T-7] npr.). U nekim dijelovirna fizike (hidrodinamika npr.) mnogi valni rezultati postiku Sc dirnensiona/nom tj. razmintranjenn
parometara iii fizikrhrih veliCina koje mogn m'i a opis shag n (Ilidronli-
naminkog) procesa iii inodela, a same run
OSIIOVII
njihove fizikalne dimenzije' (vidjeti i prier 1.1).
Primjer izvedene fizikalne velieine je gustooa. Ako uzmerno razheite kontade, rechno, Zeljeza, oni ee math ra.zlitite masc. Medutim ako uotimo da veti komadi intaju vedu masu od manjili, orida einjenicu da
Svako mjerenje neke fizikalne velieine zalitijeva odreclenje dvije komponente: rnjernog broja i fizikalne jedinice.
su svi ti komadi od istog materijala molerno iskoristiti tako da uvedemo omjer inane i volumena pojedinog
Mjerni broj pokazuje koliko puta mjerena velicina sadrži fizikalnu .jedirticu. Da bi rezultati injerenja bili univerzalno razurnljivi; nuZ:no je (bile) standardizirati osnovne fizikalne ,jedinice, odnosno jedinice osnovnih
kontada. Ustanovit demo da je taj conjer uvijek stalan (za "tisto" .2eljezo). Time je definirana gustoea (reljeza) rn
fizikalnih velit
1'
Osnovne jedinice osnovnih fizikalnih velieina koje tine Medunarodni sustav jedinica iii SI (Systerne Internationale) su:
Jedinica. za gustoeu je kg/m3 , a dimenzija je [ML-31. Ako materijal nije hornogen. tj. ako nije ,jedriolike gustode, onda je gustoea funkcija pololaja (tj. ovisi o rnjestu s kojeg uzimanio "uzorak" materijala
1. 2. 3. 4. 5.
metar = kilogram = kg sekunda = s amper = A kelvin = K
6. mol = tool
7. kandela = cd
duljina [L] ntasa MI vrijeme Tj jakost ele{tritne struje [I] termodinamieka temperatura [0] kolieina tvari [N] - jakost svjetlosnog izvora [J]
Dodatne jedinice su 8. radijan = rad 9. steradijan = sr
kojem odredujemo gustodu), a gustoeu moZ",erno pornoeu "komadiea" rnase (Inn i "Inalog" volumena dY ovako definirati tlrn P=
a prethodni izraz za gustoeu vodi ria sreclnju gustoeu materijala mase 7/1, i volumena V. 'Cake npr. Zeinlja nije honrogena jet. se sastoji od zentljine kore koja ima razlititu gustoeu od duboke unutranjosti. prema knjizi K. FtaZnjevit1: Fizikaine velicine i mjere Medunarodnog sustava (St), Znanje, Zagreb, 1985, gdjc
kut prostorni kut
su dani dctalji dcfinicija kao i niz korisnill i zanimIjivih izraza, formula, starih i stranill jedinica itd. Vidjeti npr. knjigu: W. F. Hughes i J. A. Brighton, Fluid Dynamics, (McGraw-Hill Inc., New York, 1991).
1.
Zaku," ytInotla matt Jab, folks
Str. 1 - 3
Str. 1 -
D. [lomat: Fizika I zu FEE
-
Mehanika i toplina
Tablica 1.1 GlISI.062 nekil, tvari (na 00 C i pri tlakn od I arm) Sranie
Tvar
Zrak Helij
Gusco,it Ccstica (molek./1113 )
Plin
2.7 x 1025
1.3
Plin
2.7 x 1025 2.7 x 1025 4.2 x 1028 3.331028 3.1 x 1028 6.0 x 1028 8.4 x 1028
0.18 2.0 1.3 x 10 4 1.0 x 10 4 9.2 x 102 2.7 x 104 7.8 x 103
Plin Tekwlina Tekmlina Kruto Kruto Kruto
CO2 2iva Voda Led Aluminij 2eljczo
Vjeruje sc da na tim udaholostima InoZda vrijcdc neki drugi zakoni fizikc od ovib , nasih , "makroskop-
GIISCO(il (111:1S0
skilr".
(kg /1■1 3 )
Planckovu rnasu dobijemo Ila sUan nacin
= ha t/C' uz [114 p] = M I = M° 1.2°T -' • L"T -S • M -'13'41-2' = M9-812.3-h3 +3'T-9--'3-2", a sada jednadibe izgledaju ovako a
=1
2a +0+ 3- =0 -a - - 2-) = 0. Prinijer 1.1
Fornoon tri fundainentalne konstante - Planckove konstante Tt E
brzine svjetlosti c i
Hje9enje je a = 1/2
gravitucione konstante C, koje se javljaju npr. u jeditukostima E = by =
Tr
0 = 1/2
= -1/2.
Tako Planckovu inasu moierno napisati ovako rt4)
(Planckovu relacija) et
F = G "111"2
(Zakort gravitacije)
E=
(Einsteinova relaeija)
MP = —; = 2.17 x 10 -8kg. Od
a energija, prema gornjoj Einsteinovoj rclaciji
sloiite slijedede 0,9710llTie fizikalne
GeV-ima - vidi tablicu konstanti) je
E = Moc' = 1.22 x leGeV.
- duljinu Lp, tzv. Planckovu duljinu, - 7//a,51,
Istim postupkom za Planckovo vrijeme dobijemo
Alp, tzv. Planckovu
- vri/erne Tp, tzv. Planekovo vrijeine, To =
nu OSIIOVU diMe71Zi011(11112/1 ruzinatranja!
lz dcfiniciouih jednadZbi &nib a tekstu zadatka, vidimo da ray. reduciruna Planckovu RJ konstunta ima dimenziju IhI=ML 2 T - ', brzina svjetlosti inia dimenziju H=LT - ' i gravitaciona konstanta ima dimenziju G=01- '1.314 -2 . Da bismo dobili fizikalnu veliCirm to dinienzije duhine L, trebamo uzeti neku potencim od svake od tri konstante, tj.
hC
—
= 5.369 x 10-44s.
4 4 Veliki raspon velitina s kojime se susreeemo u lizici zahtijeva da se uvedu dechnalni vikkratnici
Lp = h°c° C'
fizikalnih jedinica. To postiiemo postižemo decimalnirn prefiksima (Tablica 1.2). Tako npr. tisueu puta veeu jedinicu
uz
ILp] = L' = 0161- 29 T -9 • LsT -$ • 01 —'13'T-2" =
od vata (W) dobijemo stavljanjezn prefiksa kilo, tj. dobijemo kilovat, kW itd.
Tablica 1.2 Uobie:ajelli mefiksi fizika uilr jedinica
a to vodi na tri jeduadibc kcrjc odreduju a, 11 i Prefiks
Simbol
Vrijednost
l'refiks
Simbol
Vrijednost
jota zeta eksa peta tera
Y
centi mill mikro nano piko
c in p n
T G 01 k h
10" 1021 1018 1015 1012 10° 106 10° 102
10-2 10-3 10 -6 10 -9 10-12 10 -15 10 -15 10-2 ' 10 -24
da
10'
a -1 = 0 2a +13 + 3-) = 1 —
,(3 -
=0
Cute je rjeserrje = 1/2
i3 = -3/2
= 1/2.
Tako Planckovu duljinu inolemo napisati ovako
Lo =
11G
— c3
= 1.611 x 10 -35111.
giga mega kilo hekta deka
Z E P
fcmto ato zepto jokto
p f a z Y
1. Zakoni gibanja matertjalne toekc
Sir. I •
.5
1.2 Newtonovi za_koni gibanja Mehanika je dio fizike koji proueava oblike i uzroke gibanja i ravnote2e materijalne toeke, sustava rnaterijalnih totalca, krutog tijela i kapijevina (fluida), te opisuje elastiena svojstva tijela, (mehanieke) valove i titranja. Klasiena rnehanika (eesto nazivana i Newtonovska Inehanika) bazirana je na dva svo,jstva prostora i vremena: (1) prostor u kojem razmatramo tnehanitke pojave je trodimenzionalni Euklidski prostor i (2) vrijerne je apsolutno (svuda i za sve ,jednako, bez obzira na stanje gibanja sustava u kojem se mjeri vrijerne).
.ctr. / - 6
I7. lloreat: Ftztka I za FEU - A lehantka i topltna
tj. ako je tijelo (mat crijoina toeka) cijelo vrijerne na istom mjest it u koordinatnom sustavu, ka2eino da tijelo mimic u tots koordinatnom sustavu. Polo2aj tijelo s obzirom no ishodike odreden je radijusvektorom. To je, dakle, vektorska velieina (vidi dodatak D2) (
= (X,4,YA,ZA) = iXA :NA kzA
gdje su 1,3, k jedinieni vektori u smjerovima osi x, y, z. Ovdje vaija odmah istaknuti da fizikalni rezultati ne ovise o izboru koordinatnog sustava (tj. o polo2aju ishodika i orijentaciji njegovih osi), sve dok u izabranom koordinatnom sustavu vrijede Newtonovi aksiomi.
Klasitnu mehaniku potinjerno razmatrati kroz formulaciju Newtonoviht zakcna gibanja - Newtonovih aksiomab koji, dakle, tine fizikalni, matematitki i filozofijski okvir klasitne mehanikc. Newtonova mehanika jc kruna prethodnill napora niza prirodoznastvenika$ koji su, nasuprot srednjevjekovnoj skolastitkoj (Aristotelijanskoj) filozofiji koja je u potpunosti odbacivala eksperirnent, pristupili izutavanju prirodnill procesa kroz eksperiment i koji su nasuprot dogmi katolitke crkve, poneki Srtvujud i svoj iivot posredno omog-utili da 1687. godine osvane Newtonovo maestralno djclo - knjiga "Philosophiae Naturalis Principia Mathematics" tj. "Matematitki principi prirodne filozofije" koja sadrd osnovne zakone klasitne dinamikc i zakon gravitacije! Danas sc smatra da jc "Principia " jedno od navetih postignuta Ijudskog uma! Prvi Newtonov aksiom Prvi Newtonov aksiom ili zakon gibartja opisuje situaciju kada ua tijelo (materijalnu totku) ne djeluje sila i on se mole forrnulirati ovako: kada na tijelo - materijahru folks ne djeluje sila onda one ostaje u stanju mirovanja iii jednolikog gibanja po pravcu. Dakle,.javlja se ekvivalencija: rnirovanje jednoliko gibanje po pravcu, a ,jednoliko gibanje po pravcu je takvo gibanje kod kojeg je putanja pravac, a tijelo u s jednakini vremenskim razmacima prevaljuje jednake putove. Nadalje, ovdje smo uveli i pojam rnaterijalne toeke: materijaMa toeka (poneka rabirno i ekvivalentni ioraz eekica),je matematielca idealizacija - to je tijelo bez dimenzije - toekasto tijelo, koje boa mass. Prvi Newtonov aksiorn eesto se cove princip ustrajnosli iii tromosti. Sila U formulaciji prvog aksioma uveden je i pojain site. Fizikalnu velitinu silu definiramo kao uzrok promjene stanja gibanja! Kada ka2emo da na tijelo ne djeluje sila, to je ukljueena moguenost da na tijelo djeluju dvije iii vile sila, all eija.je rezultantna silo jednaka null. Naime, site su vektori (vidi dodatak D2), koji se zbrajaju po pravilima vektorskog zbrajanja, a rezultat zbrajanja dvaju ill vise vektora - sila ,je rezultantni vektor - sila. Kada je to rezultanta jednaka nuli, onda jednostavno mo2erno kazati, barem sa stanovika promjene stanja gibanja ; da na tijelo ne djeluje sila! Za potpunu formulaciju i razumijevanje Newtonovih aksioma moramo uvesti i pojam brzine, (a kasnije i akceleracije (ubrzanja) i mase), a za njihovo objakkjenje nu2no je uvesti prvo pojain koordinatnog sustava. Koordinatni sustav Da bismo odredili mjesto nekog (fizikalnog) dogadaja, rnoramo dogovorno odrediti mjesto od kojeg eemo rnjeriti sve udaijenosti u prostoru. Time odredujerno ishodiate koordinatnog sustava, eije osi, koje su najeeke medusobno okornite, omogueuju da pomoeu tro,jke brojeva (s,y,z) jednoznatno odredimo mjesto (toeku) u prostoru. Tako svakoj totki u naS'ern trodimenzionalnorn Euklidskom prostoru pridruZujemo tri Kartezijeve koordinate (x,y,z). Udaljenost toeke od ishodika mjerimo jedinicorn za duljinu u izabranom sustavu jedinica (kod nas ,je to S/). Ako se koordinate materijaine totke ne mijenjaju u vremenu, Isaac Newton (1642-1727) ' Aksiom je, prema rjetniku stranih rijed, osnovno natelo koje se ne moSe dokazati, a i ne traZi dokaza jer je neposredno onto. Ovdje sporninjerno samo mike, Leonardo da Vinci, Nikola Kopernik, Giordano Bruno, Johannes Kepler, Tycho Brache, Galileo Galilei (1564-1642), Christian Huygens ltd.
Slika 1.1 - Poloiaj W./ix i odgovantju6 radijusvektor n Kartczijcvorn koordinatnom sustavu
Pololaj totke inolemo opisati i nekom drugoj trojkorn brojeva, kao npr. A -4 (p,O,z), tj. uvode sc cilindratkc koordinate.„4 (r, 41, 0) - sferne koordinate, .4 —) (4, 0) parabolitke koordinate, .4 —) (u, v, z) - eliptitke koordinate itd. (vidjeti dodatak D2).
Brzina i akceleracija Ako se materijalroj toeki koordinate mijenjaju u vremenu, tj. ako je npr. then polo2aj u trenutku to = 0 opisan radijusvektorom FA iz izraza (1-1), a nakon vremena tri ona se node u toad B eiji je radijusvektor rR , onda mo2emo definirati srednju brzinu (iii vektor srednje brzine jer je otito brzina takoder (kao i silo) vektorska velieina) kao ornjer prevaljenog puts od injesta A do 'Mesta B FBA vrernena 184 = t rr — t o potrebnog da se prevail taj put, tj. —
=
,74
17RA
IRA
if;
,
•
(1-2a)
Brzina je oeito izveclena fizikalna velieina koja je jednaka oinjeru dvije osnovne velieine, pa je S/ jedinica za brzinu m/s. Ako se pornaci materijalue toeke zbivaju samo du2, nekog pravca ; onda narn sloboda izbora koordinatog sustava (polo2aj ishodika i orijentacija osi) omogueuje da du2 tog pravca postavimo, recimo, os koordinatnog sustava, pa onda govorimo o .jednodimenzionalnom te je srednja brzina jednaka 77, =
753 — 7,4 IRA
At
(1-2b)
1. Zakoni giban.7a materijalne toi7ke
St
• / 7
Stu. 1 - 8
D. Norval', Fizika I za FER Mehanika i toplina
li u jednoj dimenziji (dui osi x) Ax
= lim at,o At
di • = — = = dt
(1-36)
Ako je prava brzina. (1-3a,b) uvijek jednaka srednjoj brzini tj. ti ='u , a tijelo se giba po pravcu, onda iniamo tzv. jednoliko gibunje po praveu. Gore sub uveli testu oznaku vremenske derivacije s toekorn iznad velieirte koju deriviramo! Prelim slier 1.2 vidirno da ,je (prava) brzina u nekoj toeki to putanje x(t) upravo .jednaka koeficijentu smjera k tangente povueene u toj weld putanje, tj. 0 re
14
tC
•f
tm
v(to) = dx(t) dt
Slika 1.2 - Krilaulja onisnosti koordinate :0 o 1,77!711.e711{ t. U vrentertskorn
=k
(1-3c)
7,1,11,1k11 Lit y ,, = Ire – t,r tuotervo/na toc.ka se younaknula od zu, do X II , pa U lavatskom jeziku se pri opisu brzine odnosno srednje brzine pojavljuje problem pomanjkanja jos jedne rijeti za brzinu: u engleskom jeziku postoje rijeci velocity i speed. Velocity je promjena yoloiaja cestice s vremenom, a vidjeli smo da je pololaj v cestice odreden njenim radijusvektorom u odredenom trenutku.
je srednja brzina 7n,t na yutu La do xa jednaka omjeru A:coa/AtnA. U vremenu Ate = tc – to eestuca oeuto riarvic, a u Aticc srednja he brzina tnc bili mato mania
.
Promo tome, velocity je vektorska velitina i odgovara natoj definiciji brzine (1-3b). Nju "ne zanima" kako je prevaljen put, veh samo potetni i konatni poloiaj (radijusvektor). Na taj natin velocity mole biti i negational Iznos brzine na engleskom jeziku se zove speed i to je skalarna velitina, koja je uvijek
Primjer 1.2 Trkae dvije trecine puta prijede brziltom ti = 15 km/h, a ostalu tredinu brzinom v 2 = 10 km/h.
positional Fri ratunu speed-a uzima se obzi prevaljeni put. Npr. penjuhi se iz prizemlja na drugi kat,
Koliku je srednju brzinu tvkae postigao 710 cijelom putt)?
molemo otiri prvo na tetvrti kat ("promalivli" drugi), a zatim Sc spustiti s tetortog kata na drugi. Za
RJESENJE Ukupni pretrrani put je s. Pry' dio puta s, = 2s/3 trkat prijede za vrijeme t: koje Jo jednako ti = si/ui = 2s/(3v:), a za drugi dio puta nm treba t2 = 52/02 = s/(302). Srednja brzina je
ratun brzine-velocity valna je promjena poloiaja prizemlje-drugi kat. Za ratun brzine-speed valja uzeti ukupni prevalljeni put: prizemlje-drugi kat-tetvrti kat-drugi kat. Razlika izmeou dvije gornje brzine medutim vain° je orito samo pri ratunu srednjih brzina, pa
7 t
t
zws najteAre zadovoljava naqa definicija brzine (velocity).
c, a 17 7-
Ako brzina nije stalna, onda govorimo o prontjeni brzine u vremenu, tj. govorimo o ukcelerociji iii ubrzunju. Dakle, srednja akceleraci,ja ,je = AR/At, a pravu ill trenutnu akceleracija definiramo tia isti
3VI .U2 = 90 k m /h = 12.857 km/11. 2v2 7
narin km) i pravu ill trenutnu brzinu, tj. kao omjer prirasta brzine u nekom trenutku i tog vremenskog
"trenutka" di' • = lin) — — = O r–,o
Zadatak 1.1 Pjegak je polo vremena Ilieg 0(.40 brzinom 2 km/h. Nakon toga Jr polo preostaloy puta hodao brzinom od 7 kra/h, a druytt polonium brzinorn od 5 km/h. Kolika je njeyova srednja brzina 71/1 cijelom puts? R.JISENJ
s/t = 3.9167 km/1c
Zadatak 1.2 Pjeiak je yola plat/ pjeaat'io brzinourt 2 km/h. Nakon toga jc tre6inu yrcostalog vremena hodao brzinom od 7 km/h, a druge dvije treCine vremena brzinom od 5 km/h. Kolika je njegova srednja brzina na cijelom putt)? + 2'115) = 2.957 km /lc I 2u2(v7 + 2v, )/(3u2+
At
dt
= d di = d = (12 f dt
)
(1-4)
ell'
Gonda definicija akceleraci,je ukljueuju promjene brzine po iznosu, promjenu brzine sant° pa stajerti ill oboje. Jedinica za tikceleraciju ,je In/s2. Akcelera.cija inia SVO.i1.1 geometrkijsku interpretaciju kao i brzina , ranije: akcelecacija je u nekom trenutku to jednaka koeficijentu snrjera tangente u totki to krivulje v(t) ko,ja, opisuje ovisnost brzine o vremenu! Matematitki pojam derivacije obja;njen .je u dodatku DI. Ovdje valja istaknuti znatenje vremenske derivacije koju moiemo protitati kao "vremenska promjena", tj. npr. = — ? = "vremenska promjena r-a" dt
znati brzinu u jednom trenutku, inoramo izraeunati oinjer udaljenosti Dr prijedene "u trenutku" i vremena ("trenutka") Al. "Trenutak" ,je izraz iz svakodnevnog govora koji ino2erno opisati 0, tj. za pravu iii trenutnu brzinu piS•ernot: i matematitki tako da napiSento At de. • AR lim — = — = —,C1 At
dt
t vidi dodatak DI za potpuniji pregled pojrna i uporabe derivacije.
= "promjena u vremenu velitine r". Gornji izraz yam daje zakonitost kako se Inijenja r u vremenu. Ako je npr. "vremenska promjena r-a jednaka null", znati da je r konstantan (u vremenu), on se ne rnijenja!
(1-3a) Masa i kolieina gibanja Protivljenje tijela promjeni stanja gibanja zovemo tromost tijela ill inereija. Mjeru tromosti, tj. odgovarajueu fizikalnu velitinu zovemo masa, a njena ,je jedinica kilogram. U 1.
1. Zakoni gibanja matcrijairic todke
Ste. I - 9
1). llotrat: Pizika I zo
Str.
- Mehartika i topl na
Newtonovom aksiomu vicljeli smo da tarno stanje gibanja znaei iii mirovanje ili jednoliko gibanje po prayer]. Intuitivno je jasno da sporo jednako te.Ako inolerno proinijeniti stanje gibanja Icamiona (velika masa) koji se giba sporo Ica() i stanje gibanja metka (mala inasa) koji se giba brzo. Prema tome, pri pokuaju "promjene stanja gibanja" morarno (istovremeno!) uzeti u obzir i masu i brzinu, a to mo.emo ugraditi u novu fizikalnu velitinu zvanu kolieina gibanja. Prema tome, uranoiak rnase i brzine tijela zovemo koli(7ina
na thelo, a drugom tijelo djeluje! Dakle: ako ricks tijclo djeluje na drugs tijclo nckorn srlorn, onda dingo tijelo djeluje na prvo sitom islog 7Z7/05(1, alt suprotnog sinjera. Taj se zakon zove i zakon akeije i rcakcije, a molerno ga iskazati i ovako: akcija je uvijek po iznosu jednaka reakciji. alt je supromog smjera, a njegova matematieka formulacije jest
(1-5a)
li djelovanja dvaju tijela jednog no drugo uvijek su jednaka i protivnog su smjera! Tel uz dosljednu primjenu tog aksioma motemo razumjeti prvi aksioin kada npr. tijelo miruje na stolu ili na kosini, odnosno rjeSavati probleme - jednadthe gibanja - kojima "upravlja" drugi aksiom. Nadalje, in tog aksioma izvodimo niz zakona satuvanja, o eernu ee biti kasnije rhea
To je vektorska velieina. njena je jedinica kg m/s, a dimenzija [MLT-1].
fl /2 =
(1-7)
F2/i,
Drugi Newtonov aksiom Sada ino2emo formulirati drugi Newtonov aksiom: vrernenska prorojena koli(7ine gibanja tijela proporcionalno je sili i zbiva se u suljeru djelovanja site, tj. 1.3 Rje§avanje jednad2bi gibanja dt
(rnt7)= k F.
(1-6)
Konstanta proporcionalnosti k je izabrana tako da je za jedinicu site u njutnima (N) njena vrijednost jednaka jedan, pa je 1 njutn ona sila koja tijelu mase 1 kg daje akceleraciju od 1 m/s2 . Jedinica za silu njutn je izvedena ,jedinica koja je jednaka kg m s', a dirnenzija sile je [MLT-21. Na desnoj strani jednad'Zbe (1-5) ,je sila koja je opdenito rezultantna sila niza (komponentnih) sila A koje djeluju na tijelo. Dakle, desna scram' ,je u stvari jednaka F = E, A. Lijevu stranu gornje jednadžbe mo'iemo napisati ovako
dt
drn dv (mv) = po pravilu deriviranja umno"Ska funkcijal = — ti+ rndt dt .
1.3.1 Stalna silo: F =konst. Neka sila djeluje dui osi z, pa se onda preina 2. Newtonovom aksiornu i gibanje odigrava dub osi z. Onda rnozemo napisati jednadibu gibanja (ispugtaino oznake vektora) Tit
rl2 x dt 22
d dx dt dt
ra— — = 771 — = F
(1-8a)
dt
i paetne uvjete (1-6')
Prvi elan desne strane daje "vremensku promjenu mase", a kako je u najveeem broju slutajeva masa stalna, ostaje d2F mn (1-6") dt dt dt ) dt 2 mr = F. Drugi Newtonov zakou moiemo jcdnostavnijc (alt manje opdenito) formulirati i ovako: ako no tijclo konstantne mace rn djeluje sila F, onda se tijclo ubrzava, a to je ubrzanje (ili akceleracija) proporcionalno silt F, tj. a x F a obrnuto jc proporcionalno masi cc +„ pa je (Lk cc (Pim). Uz gornji izbor jedinica k poprima vrijednost 1, pa imam()
F =ma. Site moiemo podijeliti prema natinu djelovanja na dodirne iii kontaktnc site i na site izvedene iz polja. Dodirnc site su oeiglcdnijc i bliZe svakodnevnom iskustvu jer nastaju ill su uzrokovane dodirom (dva tijela): to su npr. sila opiuge, sila trcnja, sila napctosti niti, sila otpora sredstva itd., dok su site izvedene iz polja apstraktnijc i njihovo jc djelovanjc tajnovitije: tijelo pada "u polju site teZe", no uzrok torn slobodnom padu nije neposredno zarnjetljiv, kao S'to nfic ni zamjetljiv uzrok gibanju Mjcseca oko Zendje ill uzrok skretanju clektronskog snopa izmedu plots nabijenog kondenzatora. Te su site bile nkljuCene svakakva neobitna obja.SMjenja a povijesti prirodoznanstva i filozofijc, a tek je Newton ujedinio jedne i druge Iron svoje aksiome u jeclinstveni dinamicki sustay.
— x( t) = v(0) = vo. dt t=°
x(0) = xo
(1-8b)
gdje je vo (poeetna) brzina, a xo je poeetna udaljenost od ishodiika. (Notacija ovdje mote biti zbunjujuda: naime u drugom poeetnom uvjetu valja prvo derivirati x(t) po vremenu, a onda izvrijedniti to derivaciju u t = 0.) Gornju jednadthu gibanja (1-8a) integvirarno da dobijemo jednadZbu putanje x(t) i brzinu u svakom trenutku v(t). Prvi korak napravimo tako da podijelhno cijelu.jednaabu s rn, a zatim poinnoirno jednadthu s dt i zatim napi§emo simbol inverzne operacije deriviranju - integral - jer Zelimo od Nerencijala dv dobiti sarnu brzinu v. Dakle dv F en dt
dt;
du = —du/ I = I do=l—dt= — dt, 771
(1-8c)
gdje smo u zadnjern koraku konstantni faktor Fint izvukli izvan integrala. Integral Jdv = v(t) + f dt = t + C", tj. v(t)+C'=
F F t+ Tit Tit
F F v(t) = — t + — lit Ti]
F – C' = — t + CI. Trt
i
(1-Sd)
C',
Pojavila se (u ovorn trenutku joS) nepoznata koristani a C, kohl, medutim 1110%eT710 odrediti iz poeettiog uvjeta v(0) = vo, Tree'i Newtonov aksiom Dok prva dva Newtonova aksioma govore o jednom tijelu i njegovoin stanju gibanja, creel aksiom uvodi medudjelovanje tijela, odnosno, on govori o dvije Bile, jedna od kojih djeluje tt l svojoj knjizi "Principia" I. Newton kolitinu gibanja naziva "gibanje", a na drugom injestu (Definicija II) uvodi pojam "kolizina gibanja". Fizitari na hrvatskom jcziku test° za to fizikalnu vclicinu, pomalo ueprccizno, kaZu jednostavno
v(0) = vo =
m
0 + Cl
C] = vo,
(1-9)
pa rno2emo napisati prvi vaZni rezultat ovisnosti brzine o vremenu v(t) = —t +1,0.
mn
(1-10)
1.
Zakoni gibumu routcriparre toeks,
Str. 1 - II
1
Si,. - 12
'raj
(Is — = —t + vo / • tit =. (b. (It III
D. Horvat. Fizika i sa FER • Mehaniku i topliror
resolute mole navesti no pomisao da je u stvari 1. Newtonov aksiom (storm) posebni slueaj 2.
aksioma, no prvi aksiom je nezavisan zakon koji, izmedu ostalog, sluii da odredenje "dobrog", tzv. —t tlt + cod( aH
incrcijaloog koordinattiog sustava: fizikalno prihvatljivi koordinatni sustavi, tzv. inercijaini koordinatni
F 1 (Ls f —t tlt + I co = — I ldt+vo
arratavi so oni a kojima vrijedi 1. Newtonov aksiom! Oegledno je i naziv sustava izveden iz naziva
(1t.
aksionta! 0 inercijalnim (i neinercijalnim) koordinatnim sustavima bit de jot; govora u poglavlju 6. Gorgji postupak je vaSno (lobe.° proutiti jer on ee biti "model" za sve druge slutajeve u kojima se mogu
S dva integrala susreli smo se gore, a treei je I t dt = 12 /2 + C"', tj. .r(t) =
F rrt 2
+ vo t + C2,
(1-12)
pojaviti samo drugatiji integral koji le ukljueivati npr. sile ovisne o brzini, vremenu ltd. Dakle, jednadibo gibonju - 2. Newtonov aksiom - je diferencijalna jednadSba drugog reda i kao takva pri integriranju daje dvije nepoznate konstante (C1 i C2
grfie smo ponovno sve (tri) konstante koje se pojavljuju pri integraciji "strpali" u (za sada jos nepoznatu) konstantu C2. Nju odredimo is drugog poeietriog uvjeta r(0) = :co , tj.
Za tijihovo odredenje trebamo dva poeetna uvjeta, a oni su zadani
pleura konkretnoj fizikalnoj situaciji. 1.3.2 Stolitu silo - silo teio: F = C = my =konst.
F
02
r(0) = coo = — • — + so • 0 + C2 nt 2
(1-13)
C2 =
Tipieno jednoliko ubrzano gibanje (gibanje us stalnu akceleraciju y) je siobodni pad, tj. gibanje tijela u blizini povr.Sine Zernlje, pod djelovanje site teSe C = my koja irna sinjer "prerna dolje", odnosno prerna sredigtu Zeinlje. Vrijednost konstante y zvane ukcelemcijo silo teie odreduje se eksperirnentaino!
pa molemo riapisati konaeni rezultat za putanju tijela pod cljelovanjem stable sile
Newtonov opei zakon gravitacijc govori o sili izmedu dva tijela zbog ujihovill masa, a maternatkki to silo F t2 x(t) = — — + vol + :00 rn
2
us
0(1) = —t + uo.
(1-14)
Gornja jednadZba pokazuje da se brzina linearno poveeava s vremenom. Ponekad umjesto konstante Fitit pierrio akceleraciju a pa dobijemo izraz za brzinu u obliku v(t) = at + vo i slieno za putanju x(t) = ate/2 + ro t + ro. lionstanta proporcionalnosti (linearnog) poveeanja brzilie s vreineriorn ,je, prelim tonic, akceleracija. Automobil se poette jednoliko usporovoti i to toko do prvitt 50 in prijede so 5 s, a slijedeilt 50 7n zo 7 a. Koliku je okcelcrocijo i koliko je brzinu outo7nobilo no poet-/k77 usporovanjo?
Prirnjer 1.3
Prijedeni put zu vrijeme usporavanja Jo !, gdje je 8i.2 = 50tn, a ti = 55 i voli + 8,, a to je bt = is, a co je Pronto amomobila na poi:aka asporavanja. Ukapoi prijedeni pot je = jednako .= 5 1 -1- .92 = 1,1)(t1
t.2) 2
t2)
j
P n rn2 . Konstanta r odreduje se eksperimentalno i ima vrijednost P = 6.673 x 10" ' N- to2 /kg2 . Silo gravitacije pripada po svojem matematiaom obliku u kategoriju sila inverznag kvadrata, tj. to su silo koje opadaju s kvadratom udaljenosti. Vidjet 6etno da u to kategoriju Spada i elektrostatska, Coulombova silo, koja djeluje izmedu dva elektriai nabijena tijela. Is gornjeg izraza dobijemo silo koja uzrokuje slobodni pad - silo teSil, ako uzinemo da je npr. to, =
i da je r =
Onda je vrijednost konstante
Itts,„,n,/rL„,,;„ upravo jednaka
akceleraciji silo teie, y, kada uvrstimo vrijednosti is tablice s podacima u dudatku knjige. Dakle, sila koja sovosio tciirta tijela je a stvari silo is Newtonovog opivg zakolla gravitacije, vista blizu povrisitie Zemlje. Zbog fundamentalne vaZnosti gravitacione silo njoj je posvei4eno kasnije jedno cijelo poglavlje ovoj kit iii!
Voti
vodi no izraze za akceleraciju i poetnu brzinu 2(x2ti – sits) = a= tit2(t, + ti)
izgleda ovako
Problem slobodnog pada jodan je od primjera sukoba skolastiOce filozofije srednjeg vijeka uterneljena no Aristotelovom nil,ennt do trio tijela brie padajo or iw je "dolje" u,jihuvu "prirodnu mjesto" pa sit to 0.48 m/s
i
"prirodno gibanje" no troba nikakav uzrok - silo i novovjokog pristupa znanosti koji zalitijeva neprostane eksporimentalne provjore :Mb tvrthiji. Provjern - pokus sit! doista prvi izveo Storm t a Galileo Galilei je i
81 t vu = — — a — = 11.2 in/s. t, 2
formulirao zakon linearnog povet:!anja brzine padanja svih tijela bez obzira na njiliovu masu. Valja uzeti u obzir ilinjonicu da u Galiloovo vrijeme jot nije bilo sotova, to je mjerenje vremenskill intervala postizano usporedivanjOm s otkucajima bila ill kapanjem kapljica code. lzui2avanje slobodnog pada (i gibanja tijela na kosini) je utonioljilo oksperimentalnu inetodu u
Ako na tijelo tie djeluje sila tj. stavimo da je F = 0 onda se vratiaano u okvir prvog Newtonovog aksionia, pa is gornjill rjegenja dobijemo matematieki zapis jednolikog gibonjo po proven x( t) = vat + xo
uz stalnu brzinu vo.
0(1) = vo,
(1-15)
prouVavanju i istraiivanju pojaca u prirodi, tako do je Galiloievo vrijeme vrijeme poVetka moderne znanosti, to se e'esto uzima do je 1600. godina to 'Oarobna gudina poixtka!
Mjerenje akcelerucije slobodnog pada I Simon Stevin is Bruggesa (1548-1620)
1. Zaken, qilsolya 111atCYlpli7
tatle
.5't+
-
St, 1- 14
Il. llorsae PLnke I
00 PE/1
•
Alchantko 1 101,11,10
Rje9enje u :17 smjeru je trivijaltio jer vodi na vrijednostd integracionill konstanti (-1.2 = 0. Its je x(t) = 0 i 1),(0 = 0. Druga ,jecinadZba nakon dijeljenja s Tr L vodi na
pada.
Uredaj za mjerenje akcelcracije slobodnog Kuglica K stoj: na postolju P, koje
= -y di odoosno ey (t) = -pt +
Postolje jc povczano kontaktom K, s brojilom
(I-18)
•
pridrZava konac N u horizontalnom pololajm
(prema ranije objagnjenoj metodi).
Kada nit N pukne, postoljc P, se spusti U tom jc i kuglica poime slobodno padati. B.
ey (t) =
trcnutku otvorcn kontakt K, koji pokrene tiro-
dy rlt
ootetnog uvjeta 7),(0) = 0 je i D i = 0. Dajje je
= -gt I • dt
1 dy =-
1 tdt
y(t) = -y—j + 4- D2.
(1-19)
jilo. Kada kuglica udari u postoljc P2 kontakt
Primjena potetnog uvjeta y(0) = 0 = -y 02 /2 + D2 daje D2 = 0, pa imaino rje4, nje gibanja zvanog slobodni
K2 se prekine i brojilo se zaustavi. Prijedeni put, L se unaprijed precizno odrcdi. lz razlieitili L-
pad
pada L = gt t /2 daje akceleraciju slobodnog pada g = 2Li/(t ,( ) ) 2. Brojilo, narnjegtcno na preciznost od 1/10000 sekundc dajc podatkc koji se vrlo dobro slazu sa. "sluibenim" eksperimentalnum rczultatima. Akceleracija silo tote, koja ovisi o zeinljoipisnoj 9irini, claim je za odreetenn
(t) = 0
x(t) = 0
(1-20)
ova odredu je se, ponovljenim mjerenjima tit.0 lZ je(111i111%,be slobodnog
■ /(1 )
f2)1, 2
vti(i) = -gt
Prinder 1.4 A twoodov stroj (ili "padostraj") je (pojednostavljeni) nreitai koji shtii za 7flir7CTIIC akceleracijo silo teie. Sastoji se ad dva utega nt, i rn2 koji su povezani nerastezIjivim kOnCent koji je prebrrean preko koloture po kojoj skliie be: trenja. Mjermjern vremena spuRanja jednog od ?dean za poznatu visinu, moie se izraeunati akceleracija site teie. lzraeunajte a) napetost niti u koncu, b) akceleraciju masa, c) akcelcraciju silo teie ako su poznate muse: nt, = 400.0 g i rn2 = 402.09 i ako je izmjereno da se tijelo rn 2 spusti za 50 cm VrelfteTtli
od 6.4 s!
zemljopisnu 9irinu empirijskom formulom g = 9.7805(1+0.00529 sins -1-0.0003217 sin° A). Viso je o toj veRini kazano u poglavlju 5. o gravitaciji i o relativnim sustavima!
Uredaj za injerenje akceleracija sile tebe Pri rjegavanju - integraciji - gornjeg problema uvidjet eetno kako su vakni potetni uvjeti, koji te, iako se krete od isle jednadibe gibanja, voditi na cijeli skup razlititih gibanja.
Slobodni pad Kod slobodnog pada tijelo je ispugteno bez potetne brzine s nekog mjesta iznad Zenthine povrgine. Ako orijentiramoosi pravokutnog (Kartezi,jevog) koordinatnog sustava tako da je x-os horizontalna, a y-os "gleda" prema gore, onda silu koja uzroku,je giban,je tj. teiinu tijela molemo napisati ovako: C. =. Orijentacija osi y prema gore nije najpraktieniji izbor za rjegenje ovog problcma, no kako iclimo slobodni pad razmotriti kao dio skupa ra2lit!itih gibanja (kosi hitac, vertikalni hitac itd.) pod djelovanjem iste silo, ovaj izbor orijentacije je najop&nitiji.
Slika 1.,? - Prikaz Atwoodovog "padostroja" - primjer 1.4
Jednadthu gibanja - 2. Newtonov aksiorn - sada pigemo ovako d2 rn. , r = -j•rrty 2
d2 rre— (ix + jy) = -jrng dtz
(1-16)
uz potetne uvjete x(0) = 0
i (0) = 0
y(0) = 0
Y(0) = 0 (ili vy (0)=. 0).
(ili vx (0) = 0) (1-17)
•
JednadZba gibanja u sebi "krije" dvije ,jednadZbe, I). d2 (1)
rn— x = 0 dt2
Trtor (t) = 0 dt
R.JEENJE Zadatak rije9imo tako da izdvojimo tijela i gledamo koje silo djelnju na njih, prema slici. S obzirom da jc nit nerastezliiva, akceleracije ce imati suprotne predznake. Zato za tijclo m, (neka je mz > m1 ) .jednadZbu gibanja napiSerno ovako = i • G1 -IT ,
a za m l jc
rri222 = i • CI -
d2 (2) rre—y = -rug
dt 2 11 ra— vy (t) = -mg. dt
gdje je T napetost nisi. Oduzimanjem jednaabi dobijemo odmali akceleraciju a = 1 = an
(1- 16') a-
C2 — G2
TI12 —
+m2 m2 +
•
I. Zakom ozbanja 'oaten:mine look,:
.Si,.
-
Nopetnsr uiti T dobije se uorStavanjem n u jednu od .jeduadkbi gibanja, tj. 7' =
D. Iloroui, Punka I az FEB.
7.
Podaci dalje kaku da je e.14)=0.5 in, a taj put provali masa rill gibajui se jedmiliko ubrnanos akreicracijoili a. Prevaljeni put ,je prema (1-20) jednak
1.;!.; EN I E
Ukupno vrijcune t„, = 10.8 a sastoji sc od vremena uspinjmija t„ i oreme»a slobocloog pada.
Dakle
+ Lv, =
`It. 2 pa je 2 LI:I'
a – 2 ti – g 2L.Ve ,
g=
t-
rn2 — rill
— t „)2
2
Vrijeme uspinjanja dobijemo in izraza za brzinu vertikalnog pica u(t) = co – .qt., za koju vrijcdi
tj
+ in, 1/(
+ //1,, ' – 9.79 iii/s2 .
fn2 —
Mehuntku i toploza
Pritnjer 1.5 Baton se (hie verlikatrio 716S staltIone brzinotn. Karla je no ViSi7li h = 520 7/1, eovjek u &dotal ispnati pralmet koji nakon 10.8 a patine 710 am Kojonz brzinom sc di;te baton?
2in at,
7/I t
Si,. 1- /6
t
„)=
t„
vo — 01,
era
111,
Ako to vrijeuie uvrstimo a izraz no vision uspinjanja h(t) = sot –gt.21.4, lako dobijonio looksimalon visitor,
koju ovdjc zovemo LIlr, tj.
A A
Ah = cot – 2(2 = 2" 2g
Vertikaini hici Mala promjena poretnili uvjeta vodi Ila drugarije oblike gibanja: ako bacilli° tijelo prema dolje Itrv.iHool dobijerito vertikalni /iliac prima d0131, da je soda promijonjerd 'meet Hi Hopi jednak o0 (0) = –vo/v , a to pri gornjein rarunu vodi do vrijednosti konstante D, = –vo/, i umjesto jedliaabe (1-19) sada integriramo jednaabu • t2 dy I • dt = –gt – = f t eit – V0/,, = dt ( 1- 19') g(t) = – – vo/,,t+ D2,
To livratimo u prvi izraz, pa dobijemo
11+
2!
2
auk –
—
=2
eat „ ,,
+
o'd Zr
lz gornjeg izraza dobijemo brzinu uspinjanja vo
df
pa druga .jednad?.ba u (1-20) postaje
= 4.826 m/s vo =– 2 to,
Y(t) = – 2 t2
vy (t) = —gt — u0/.„.
(1-20')
Time je, dakle. opisan vertikalan hitac prema dolje. Vertikalni hitac prema gore (vidi sliku 1.4) dobije se in gornjeg jednostavnom nandenorn no/ –■ (-1) • n0/,, pa se vidi da se u jcduom seginentu gibanja rani o usporenorn gibanju (uspinjanju) sve dok se ne postigne inaksitnalna visina, a nakon toga ponovno imamo slobodni pad!
J, = 0
A
4
Zadatak 1.3 Cestiaz je &aorta uertikalno prenzu gore brzinotn od 30 za/s. dednu sekundu kasnije drugu je eestica baectia s istog tnjesta prerna gore take du su or eesticc sudurile 71 trenutku kada jc prva dostigla tnaksitnaltiu Kojont jc brzinorn izbaeerzu druga eestica? RiEENJE: 00 1= 32.4 zn/s
Vortikalui hitac prelim gore sadrki
Zadatak 1.4 Kamen jc s litice visoke h=110 In Gaeta ucrtikattio uuis brzinorri od vo = 40 tn/s•Nakon koliko uretneria Or kamen udariti o tlo na podnoiju litice?
1K,
Slobodni pad:
0
y(t)= – 94 2' 2
IK =481
11J E'ENJ E:
Hitac prema dolje: y(t) =
2
t
= 10.33s
v (t) = –gt
Zadatak 1.5 Padobranac pada promo zendji staltiom brzinom od 3m/s. Na visini od 100m on ispusti kuglicu. !Vulcan koliko vremena Oe hug/tea udariti o tlo? E§ENJE: t1, i= 4.22 s.
– vet v(t) = gt – vo
A
4
Haw: prema gore: y(t) = v o t – 2t 2 ; v(t) = vo – gt
-h 'Y
Kosi hitac Kosi hitac dobijemo kada bacimo tijelo "koso prema gore" (ill prema dolje) nekom brzinom go, pod nekiin kutom o koji se, dogovorno, uvijek injeri prema horinontali! Za to ,je gibanje odgovorna ista sila kao i na slobodni pad, pa je jednadZba gibatija ista kao i ranije d2 (1) rre—x dt2
Slika
- Vertikalni hitac prema gore
d2
0 (2) rre i-iT y = –mg
7-n-d7v(t)= 0
2
at—v (t)= dt
ill
(1-16')
1. Zakoni ,iihanja ma?.crijaine toehe
Sir. 1 - /7
no sada su poeetni uvjeti bitno razlieiti. Poeetna brains do mote se napisati ovako: vo = ivo cos o + .7/1)0 sin a. Na taj naein potetni uvjeti postaju x(0) = 0
th,(0) = vo cos a
1/(0) = 0
:1)(0) = 00 sin a (ili vy (0) = vo sin a).
v, (0) = vo cos cr)
(1-21)
Postupak integracije sjednadZbe gibanja je isti kao ranije, osim .40 se sada razlikuje izvrijednjivanje konstanti imegrache C1 C2 , D, i D2 . Dakle .1),(t) = C1 pa je v„(0)= vo cos a = dx
uo cos a —■ [dx = vocosa dt
='
v.(t) =
x(t) -= Vo COS a • t
(1-22)
tit
D. //orflat: Fizika t za kWh'. - Melamika i tophnu
Tt je do poeetna brzina kojoni je tijelo baersio, a a je knit prema horizontali. Putanja tijela hod kosog pica je (druga) nultoeka parabole i maksimalna visina I aq je je parabola. Maksimalni XAI =
q sin 2a
vo2 sin' a
(1-27)
2g
N.laksimalnu visinu tijelo postigne za vrijerne tm = vo Sill ()h./. Dorset OVISI o knits izbaeaja X/1/ = f (o) i njegov maksimum nademo pomoeu derivacije (vidi dodatak DI) — daXm (a) = 0,
tj.
2v,3 cos 2a
(1-28a)
9
C21
pa poeetni uvjet x(0) = 0 daje C2 = 0. Za gibanje dug osi y Snails) slieno (sada ratans) oznake kolso anti Di ,2)
It
Sir. / - 18
valja uzeti u obzir da nismo a razinatranje ukljutili otpor zraka, koji ee bitno promijeniti oblik krivulje parabole, tj. dobije se (ay. bahstieka krisulja kada se lime u ratun i otpor zraka (vid.jeti kasniji primjer!).
odnosno vy (t) = —pt + Di (1-23)
D, = vo sin a
a rjeknje to jerinarbilbe vorli 110 a„, = 7/-1, caltiosno inaksimalni domet se postiZe pri knits od a,,, = .150! Tu
U kosom hicu "kriju" se i druga dva oblika gibanja u polju site teZe: horizontalni hitac uz jednostavnu zainjetiii a = 0, odnosno verlikalsi Uric uz a = 7/2.
vy(t) = —pt + 00 sin a. Po uzoru na jeduadam (1-19') sada. imamo
„ dy
vym = 7t- =
y(t) =- —g
t2
+ yo sin a/ dta 1 dy =
dt + vo sin a f dt (1-24)
+ vo sin a • t + D2.
Poeetni uvjet za y(0) = 0 daje D2 = 0. Tako imamo konatno (jednoliko gibanje po pravcu) v,(t) = vo cos a (1-25) y(t) = — 21 2 + vo sin a t vy(t) = vo sin — gt (jednoliko usporeno/ubrzano gibanje). 2 Tijelo, dakle, istovremeno izvodi dva jednostavna gibanja, pa govorimo o sloienorn gibanja. Matematitki, ovdje se radi od krivulji koja je zadana parametarski, gd,je je t parametar. Da bismo dobili oblik putanje prepoznatljivorn obliku, tj. da dobijemo y = f (x), trebarno eliminirati parametar 1. To utinimo tako da t izrazirno iz jednadZbe za x(t), tj. t = x(t)/vo cos a i uvrstirno ga u y(t), to dobijemo x(t) = vs cos a • t
Y(x)
9 x2 + 2v2, cos a
g a.
(1-26)
Slika 1.6 - HoTizontalni hitac Primjer 1.6 Tijelo je baeeno vertikalno uvis. Na 1 m (niie) od maksima/ne visine jednake 11„ = 16 ,n ono pogodi prepreku postatdienu pod kutom od 45°, od koje se savr.§"eno elastieno odbije. Koliko daleko ad mjesta izbaeaja tijelo padne no tlo? Koliko dugo traje njegov let? BJESENJE Ovdje se radi o dva gibanja: prvi dio jest vertikalni hitac prvma gory, a nakon sraza s preprekom, dobije se horizontaini hitac! Jednakosti koje opisuju vertikalni hitac su h(t)=.uo t — 2t 2
0(t) = on —
Kada tijelo postigne maksimalnu visinu h,, (za vrijerne uspinjanja t,,) njcgova je brzina jednaka nuli, tj. h(tm) = h,,;
Slika 1.5 - Kosi hitac
tl(t,„) = 0 = so — gt,„,
pa je t, = va/g i = 4/2g. Na taj natin molemo izraeunati poeetnu brzinu vo, tj. vs = V2gh,„ = 17.72 m/s. Kombinacijom dviju prvih jednadZbi molemo dobiti ovisnost brzine a visini h tj. v(h) \/1,(2, — 2gh, pa je brzina a trenutku uclara o propreku jcdnaka r(h, = 15 in) = 4.43 m/s. Vri;me
I. Zakoni gibanja materijattle toac
Str. 1- 19
uspinjanja do optIenice visine h dobijemo iz dva izraza za brzinu 'u(t) = vo - gt i v(h) = Vvg - 2gh. Vrijeme potrebno da tijelo dode do visine h, jest ti = (vo - v(h1))/g = 1.35 s. Gledajua samo vcrtikalni sinjer, od mjesta sudara s preprckom tijelo slobodno pada s visine hl, pa je to vrijeme jednako = t l + t„ = 3.10 s. Nakon sudara s V2h1/y = 1.75s, pa je ukupno vrijeme "u zraku" jednako preprekom tijelo izvodi horizontalni hitac s (horizontalnom brzinorn jednakom v(t, ). Ono se, gledajmIi sarno horizontalan sinjer, za vrijeme t„ pomakne (jednoliko po pravcu) za traienu udaljenost x(t„) = v(t i )t, = 4.43 m/s-1.75 s=7.75 In.
Str. 1 - 20
D. Ho,-vat: Fizika 1 za FER. - Meitanika z tophnu
Ovd,je je jedinieni vektor u sritjeru gibanja tijela, k je konstanta u koju su "ugradena" svojstva konkretnog fluida kao i geometrijska svojstva tijela (jer o obliku tijela ovisi sila otpora), a .rn .je masa tijela. Tijelo ee
krenuti iz ishodiSta dui osi x nekom brzinorn vo , a zanima nas gdje se ono nalazi nakon nekog vrernena t i kolika mu ,je tada brzina! Dakle jedrtudibu gibunja tijela mase rit i opisani potetni uvjeti su rre
df! dt
= ikrrev;
x(0) = 0;
v(0) = vo
iii (1-30a)
dv ,
in— = -iktutv,
4 4
dt
Primjer 1.7
Tijelo bucTerto s visine It = 10 rn polo je nu zernlju s brzinorn po izrtosu jednukorn v = 15 m/s, a smjcr brzine oko7nit je nu smjer poeetrie brzine. Koliko je vreinctla tijelo provelo a zruku? RJEst:NJE Horizontalna komponenta yr poetne brzine vo se He mijenja, tako da je vo = Vv.2, +
a
za brziuu udara o zemiju vrijedi v = Vt.i! + Za gibanje prema gore vrijedi v, (t) = v„ - gt, pa je za vrijeme uspinjanja t T u,(t-r) = 0 = 'us - gt t , odnesno t T = v,,,/g, a postignuta visina, s obzirom na visinu h je
jer brzina luta samo komponentu dui osi x: dolazimo do nove situacije
du = - kv dt.
Ono udari o pod komponentom brzine vy koja je jednaka vy = V2g(tt + tt.r). Ako brzine vo i v napiSemo u vektorskom obliku 170 +jv„ 11-=itt +314„ ouda ham uvjet zadatka kaie da su to brzine okomite, tj. = 0 = Vi. Zadan je iznos brzine t7, tj 2g(q/2g + h) pa je
= u„
vy
+
= = (15 m/s)2 . lz ranijih izraza dobijemo da je
=
=
f
= -k f dt.
In v(t) = -kt
(1-31)
U konstanti skupili smo integracione konstante lijeve i desne strane. Konstantu C' mo2erno uvijek prikazati kao prirodni logaritam neke druge konstante, tj. C' = In C1. pa alto to uvrstimo u gornju formulu, onda dobijerno (vidjeti dodatak D4 za pregled logaritarnske i eksponencijalne funkcije) In v(t) - In C1 = -kt iii
v(t)
= 14.123 m/s.
In
= -kt,
pa ,je
(1-32)
= Cie -"
Potetni uvjet odreduje konstantu C1 : v(0) = vo = CI exp(-k • 0), tj. C, = 00, pa je v(t) = voexp(-kt). No to ,je dalje ,jednako dx v(t) = = voe-kt i nmolen,jem s dt dobijemo dt (1-33)
f dx = vo f e-"dt
4 4
(1-30c)
Tablica neodredenih integrala (dodatak D1) daje nam rjeSenje
V2(1,2 - gh) Iz ux = ur + Uy l dobijemo u, = 5.053 m/s, pa iz 0 = va - vy vy dobijemo v, = 1.808 m/s. Prema tome, moiemo dobiti hT , tj. itt = = 0.167 m, pa je vrijeme petdetnju jednako t i -= 1.434 s. Vrijeme uspinjanja je t T = vag = /g = 0.184 s, a ukupno vijeme u zraku je jednako t,„ = t 1+t i = 1.62397 s.
(1-30b)
da je du na jednoj strani jednadne, a v na drugoj! Jedan od naeina rjeavanja diferencijalnill .jednaclibi je taj da sve istoimene velieine dovederno na istu stranu, a to ovdje znati da morarno podijeliti ,jednaclibu s v i naznatiti integral, tj.
= - = • 2 2g S w visine (tj. sa h + tzT) tijelo slobodno pada i za to treba vrijeme tj: h+ ter =
= iv. Dijeljenjeni gornje jednaabe s in i nmolenjern s dt
tj.
x(t) = vo (-
1
+ C2.
Zadatak 1.6 S karniona koji vozi brzinorn od 60 km/h covjek baci kamen vertikalno uvis brzinorn od 20km/h. Koliku de udaljenost prevettiti katnion do tttnutket kada kronen padne 6ovjeku nu gluvu? RJESENJE: D = 18.88 in.
pocetui uv,jet odreduje konstantu C2: x(0) = 0 = (-1)0/k) exp( -k • 0) + C2 ill C2 = -va/k, pa možerno napisati cjelokupni rezultat
4 4
Rezultat ,je usporeno, ali nejednoliko gibanje, gdje brzina pada eksponencijahlo od potetne vrijednosti vo (vidjeti sliku 1,6). Dobro je uvjeriti se da su dimenzije fizikaluih velitina koje opisuju stazu tijela i brzinu dobre! To vidirno iz analize site [1] =MLT'=[k][rrd gto vodi na dimenziju velieine k: fkI=T-1, pa kontrola jedtiadThi daje toenu dimeriziju!
1.3.3 Silu lineurno ovisnu o br•zini Pri gibanju tijela kroz zrak odnosno fluid javlja se sila otpora koja ovisi o obliku tijela, o fluiclu (njegovoj gustoei, temperaturi, viskoznosti itd.) ali i o naeinu gibanja. Pokazuje se da sila otpora vrlo jako ovisi o (relativnoj) brzini tijela i fluida. Ovdje eeino istraZiti utjecaj site koja ovisi o brzini na gibanje tijela u ,jechloj dinienziji (dui pravca), a pretpostavit (":emo da je ovisnost site o brzini linearna tj. F = -fkrnv.
(1-29)
x(t) = 142 (1 - e -");
v(t) = voeT"
(1-34)
Zanindjivo je pogledati kako je to rjeSenje povezano sa situacijom kada je sila otpora vrlo mala, tj. kada vrijedi k < 1. U tom slu'eaju moiemo iskoristiti razvoj u Taylorov (Maclaurinov) red - vidi dodatak DI
1 77 -6 L-7 1- 6 + - 6 + . 2!
Six. 1 - 21
1. Zakoni gibanja materijaine tonke
O. 11 onga: FixiLa I za PM?. Mclualika i torlina
.Sir. 1 • 22
Time je odredena brains u svakom trenotku, a polo raj odrediino dalje ovako:
(1g NE) dt
- !Ie - kt
=
(1-38a)
Sto nakon mnorenja s di i integriranja daje
f di - k f C at dt y(t) = t - k ik e-kt + C2,
dy = 0
a polCetni uvjet y(0) = 0 daje C2 = -g/k 2 pa imarno konaCno ukupno rjeSenje za slobodni pad s otporom sredstva linearnirn u brzini
1
Slika 1.7 - Prikaz rjefenja gibanja uz silu otpora sredstva F.10 a v
y(t) = - t - kz (1 -
1
(1 - 1 + kt - et') -=
v(t) =
(1-39)
(1 -
Vidimo da brzina raste od nule prema konaerzoj brzini jednakoj g/k (vidi sliku 1.6), jer nakon odredenog vremena veliki t u eksponentu "ugasi" taj clan i ostane sal-no g/k. To je brzina koju postigne npr. padobranac kada skoti iz aviona i s tom brzinom doskoci na zendju. Takoder, padobranac pada jednoliko (po pravcu) torn istom brzinom (clan (g/k)t u izrazu za y(t), kada se "ugasi" eksponencijalni Clan!
pa dobijemo (uz I = kt)
x(t)
(1-38b)
- -(k vo)t2 2
Primjer 1.8 Kosi hitac sa silorn otpora. Balistieka krivulja Valja rijaiti kosi hitac sa silorn otpora linearno proporrionalnorn brzini, tj. F = -kmill Pokaiite da se za mall koeficijent otpora sredstva dobije "nesmetani" kosi hitac!
= not - at' 2
n(t)-, no (1 - keno) = no - (knbt = no - at.
RJEENJE Poketni uvjeti gibanja ostaju kao kod "eistog - nmmctanog" kosog hica: x(0) = 0, X(0) = yr (0) = vo cos a, y(0) = 0, Y(0) =1),(0) = eo sin a. Sada, medutim, jednadibe gibanja izglcdaju ovako
Dakle, dobijemo jednoliko usporeno gibanje, uz akceleraciju jednaku a = kvo.
1.3.4 Sila otpora linearno onisna o brzini i teiena tijela Da bismo se priblirili realistiCnoj situaciji padanja tijela u fluidu (zraku) valja terini tijela pridodati silu otpora. Ovdje deruo pretpostaviti isti oblik site otpora sredstva kao i u prethodnorn sluCaju, tako da imamo jednadrbu gibanja koja izgleda ovako lv =rag - mkv (1-35a)
m
de
(t) = 0
m v„(t) = -mg.
r(t)
gdje solo sada orijentirali y os koordinatnog sustava tako da gleda u smjero terine. PoCetrii uvjeti su takvi da tijelo ispustizno One bacirno) iz ishodika, tj. y(0) = 0;
(1-35b)
v(0) = 0.
dt .
dt (1-35c)
1 = idt=t+CI , tj. -
k z -11'1
z =t+
g - kv(t) =
f dt
Sto vodi no rezultat prvog integriranja 1
+ kv,(t)) =- -t + C, ,
pa poeetni uvjet daje
C = 1 1( + kvo sin a)
(1-36a)
pa ako vratimo natrag poCetnu varijablu i antilogaritmiramo dobijemo
.
dv = g + kv,
= -(g + kv„)
Metoda integracije koja se rove zarrzjena varijabli, tj. g - kv = z, i - k dv = dz vodi na .jednostavan i od ranije poznati integral
1
)
Ur (t) = no cos OC
dv
kv =
vo cos a) (vidi (1-34))
170 CkOS
JednadZbu za y(t) takoder smo integrirali, uz drugaeije potetne uvjctc. Sada dobijemo slijedeee
Dijeljenjem s masom, moorenjem s dt i dijeljenjem s g - kv to naznakom integriranja dobijemo
dv
dy dt
dt 2 =
Rjeknje prve jednadZbe naki smo u odjeljku 1.3.3, tj. (uz vo
dt
In (9 - kv) = -kt - k-C,
y
d2x dx (1) n2 ( = -km dt
(t) = - +
odnosno
(1 + 1:4,0 sin a) r -"
Slijedeei korak je integracija gornjeg izraza, ko vodi na
= C-kr e-kC1
(1-36b)
y(t) = - 2 t -
k
k2
(1 + --vo sin a) c " + (1.2
-to daje
9
Ia poCetnih uvjeta dobijemo C2 = 1 1,!T 1 ( + kq- vo sin a
g - kv(0) =
k • 0 = e-"e-kC' , tj. e-kC' = 9
g - kv(t) = ge-" iii
v(t) =-
1_ e -l")
iii
pa je (1-37)
g(t) =
gt k
k2
(1 + k- vo sin a) e g
k — (1 + -vo sins k2 g
I- Zukont gibanja m utcrijor/nor tocku
Sir. 1 - 23
Ito sreclivanjem vodi na konaene rezultate
,(t)_ Ityroso ti
Za malt ionos k (tj. za k 0) mole sc vratiti na poznato rjekrrje nesmetanog kosog hica ako sc ttzunt razvoj logaritantske funkcije 111(1 — x) — 1, 2 /2 i uvrsti a y(x).
" y(t)
u,(t) =
9 + uo k sin o (1
1+— k uo + k k jr
o
"
Rezultat ovisi 0 ccli ini (koeficijentu) site otpora k. Na slici 1.6 prikazane su krivulje kosog hica s razlieitim vrijednostima k, (a LAM' vrijednostima ey i a). To su tzv. batistieke krivulje jer su povezanc s putanjama projektila iz topova upr. Za usporedbu dana je i krivulja "eistog" kosog hica (krivulja s najvceint dometom). Ako, kao i ranije kod kosog hica, eliminiramo (parametar) vrijerne t iz izraza za x(t) t=
1.3.5 Silo otpora anima a kvadratu brzine Pri gibanju tijela kroz fluid relativno velikom brzinorn dolazi to turbulencija, a pokusi pokazuju da tada sila otpora gibanju kroz fluid ovisi o kvadratu brzine, tj. —i'kTruu2 , gdje jedinitui vektor 7' "gleda" u srnjeru gibanja, a u konstanti k Fad r2ani su svi utjecaji fluida (gustoea, viskoznost itd.) kao i geometrijski oblik tijela o kojern ovisi sila otpora sredstva. Jednadiba gibanja izgleda kao i ranije (za gibanje dui osi x) i uz poeetne uvjete
rrt dt7 (ft
k.r
(I
D. Hot-vat: Azika I za FER - Mehanika i toplina
Ito jc takoder transcedentna jednatRba. Prerna tome, rjeIettja dorneta valja traiiti nurncritkim meto(lama, za Ito su potrebni konkrctni podaci o brzini, kutu i k.
c _t r)
k t
Si,. /- 24
1
—krnv2 ;
x(0) = 0, n(0) = vo.
(1-40)
To je u stvari hitac prelim dolje (uz silu otpora sredstva), a slobodni pad dobijemo uz vo —■ 0.
i uvrstinto ga a y(t) dobijemo funkciju y(x)
lino i rani,je podijelimo jedriarlibu s rn , to uz naznaku integracije dobijemo y(x) =
kx
In (1
) + .6 (t-go +
COS 0
NO( 1-1IS
f
I)
du
k
,2
f dt,
Ito vodi na
(1-41)
1
v(t)-=
kt +
a poC:etni uvjet v(0) = no daje vrijednost konstante: CI = — two, pa srettivanjem dobijemo izraz za brzinu It u
M t) =
(1-42)
1 + Ono
Ponovno victim° da se ovdje brzina tie mijenja ,jednoliko! Slijedeei je zadatak odrediti putanju tijela x(t) dx(t) dt
no
7.-= v(t) 1 + ktvo
fdx=vo f
sredivanjern daje (1-43)
dt 1+ ktvo .
Zamjenorn varijable p = 1 + On° i dt = dy/kvo dobijerno poznati integral x(t) = Slika 1.8 - Balistidke krivulje za razni k. Najvcei darnel daje "eisti" kgsi hitac, lea site otpotu sredstva!
Za raeun donieta Xm valja ovdje rijeSiti transcedentnu jednad2bu za uultoeku y(x)
p( x )I— x ,si = ili to isto ueiniti u parametarskom zapisu y(tm) = 0
Ito vodi na. + voksino gk
1 dy 1 vo.
r,
:7 =-47
1n(1 + ktyy) + C2;
(1- 44)
a C2 = 0 iz potetnili uvjeta, st.o marl da je 1 x(t) = — 111(1 + ktvo); k
v(t) —
v° . 1 + ktvo
(1-45)
Time Onto dobili izraz za prevaljeni put i brzinu tijela koje se giba tako da is njega. djeluje sila otpora sredstva koja.je proporciotialna kvadratu brzine! Zanindjivo jc i ovdje pogledati kako je to rjegenje povezano sa situacijom kada jc sila otpora vrlo mala, tj. kada vrijedi k <1. 1 ovdje moiemo iskoristiti razvoj u Taylorov (Maclaurinov) red - vidi dodatak Dl (1 + 4) — '
1—
I
+
— 62,
I. Zakoni gibanja raaterijalne take
Ste. 1 - 25
Str. I - 26
D. Honlar: Pizika I za PER. - Mehartika i toplina
a dva nova integrals izrahinali smo zainjenoin sari,jabli a odjeljku 1.3.4. (vidi (1-35e) i dalje). tako da ovdje dobijemo
pa onda dobijemo (us b = ktuo) ,r(t)
(ktro - 21- k 2t 2 v,;) = ro t - (kv,;)t 2 f do g - kr'
= •o t - ?-t 2 2 c(t) eo (1 - ktvo ) = vo - (kunt =
1 [ In( s.5 + Nitcv) ln( s.5 2 \rig:.
N/ix)] =
5. +
In -t 2 sfiik: f- fv
(1-48c)
Iz poettiog uvjeta za brzinu dobijemo da je C1 = 0. Antilogaritmiranjem dobijemo da je
-nt.
,ra•+ ,cv
odnosno
N5— ,ikv
Dakle, dobijemo jednoliko usporeno gibanje, us akceleraciju jednaku a = keg. v( t) =
v(t)
e
l—e2VT" e- V;7'1J a yA -e ;T: 1+ e2 Nfiit
g kI
k 0/7 + e
(1-50)
9A
0(t) = -th( \/7a). Za odredenje putanje iskoristirno tablidni integral
f thy dy = lnchy + C
t
do kojeg doderno iz izraza za brzinu v(t) = dxfdt, tj.
Slika 1.9 Putanja i brzina tijela za situ otpora F a v2
I dx
1.3.6 Silo otpora kvadratidno ovisna o brzini i tehrta tijela Alternativni pristup problemu padanju tijela us otpor obraden u odjeljku 1.3.4 jest kvadratiena ovisnost site otpora uz te2inu tijela. JednadSba gibanja je do rrt— = mg - mkv2 dt
(1-46)
Podetni uvjet za x(t) daje vrijednost konstante C2 .jednaku 0, pa ,je kompletno rjeenje gibanja (padanje) tijela pod djelovanjem site otpora sredstva proporcionalnoj kvadratu Ursine jednako 1 x(t) = - In ch( \/7ct); k
v(0) = 0.
(1-47)
1 dt. .
ch(V7ct) -- 1 + (fit)' 2! In ch )/7,iit
g - kv2
1 ( \Tr) + VT:v)(
1
—
1
2/-5(.,5•+ ,cv)
1
25 (
1
—
'
(1-49)
tako da sada integral postaje f dv j g kie2
1 f dv 1 251 \ra. + N/Tcv 4- 2 \5
dv
— NiTcy'
(1-48b)
(1-52)
0(k372)
gkt 2
pa rjeknja (1-52) postaju r(t) =
1
.11 ( 7a).
th (/7a) .17 ■ 1kt + 0(0')
(1-48a)
Gornji integral lijeve strane dovest demo u formu koju znamo od ranije. Prvo rastavirno nazivnik kao razliku kvadrata i zatim napienio taj urnnolak kao zbroj (parcijalnih razlomaka) tj.
v(t) =
Za malu vrijednost konstante k imamo slijedecIe razvoje u red
Dijeljenjem s masorn a zatim nmoSenjem s dt i dijeljenjem s g - kv2 i naznakorn integriranja dobijemo dv g - kv2
(1-51)
x(t) = \Ii1 Inch( /7a) + C2. k
gdje y os koordinatnog sustava gleda u smjeru teSine. Poeetni uvjeti su kao i ranije: g(0) = 0;
f th(N/Tkt)dt
=
v(t) = gi,
dakle, posnati izrazi za slobodni pad! Prirnjer 1.9 Silo otpora ovisna o brzini (opoertito) Preciznim je rojerenjem ustanovljerto da na automobil rouse 1500 kg pri gihanju djeluju sile otpora srrdstva i trenja tako da je njihovo ukupno djelovanje proporcionalno nekoj potenciji brzina. Nadalje, kada se motor auto ugasi kod brzine od 10 km/h, on se zaustavi nakon 18 s, a brzina mu padre na (10/3) km/h za 10.10.( s. Valja napisati todart oblik ukupne sile otpora i trenja.
1.
1.1N J
In
Zakoni gibanja materilalne toeke
Str. I - 27
Str. 1 - 28
D. Hotvat: Fizika I an FER - Mehanika i toplina
jednadiAto gibanja je =
odnosno du = --dt //I
i integracija dojo 1 -- Ov"- '
-
k„„, ta t
poeetnill uvjeta u t = 0 je a = no pa je
in
1
C
(o -
Ian) n o Jo'
u= Nakon t, je u(t,) = 0 pa je + lu b, pa Inoonio napisati
Slika 1.10 - Tijelo muse nr. objegeno on oprugu
- (1 - ct)t.
= (1 -
Gornja je jedna&ba oblika a' = :eh odnosnu z hr a =
uo„ =
k.
Ako, medutint, tijelo pomaknento on A (npr. not A rastegnemo oprugu) i pustnno tijelo , onda ee se javiti sila. opruge Fo = -kA u smjenu suprotnom od pomaka, tj. prema ravnote2morn polozaju xo i tijelo ee oscilirati (titrati) amplitudom A oko ravnoteZMog polo2,aja xo . Jeditacltha gibanja je
7/7
Za t, sokundi se vo smanji 'la jednu tre6inu. Dakle ( vo ) = no 3
tr
rn
Eliminacijom no i logaritmitanjern dobijemo x x pu
1 , — In 3 rr t r -
dz i = dt 2
(1-55)
li u skalarnorn obliku
= 0.75 = 3/4
rrti = -kx.
(1-56a)
= 0.
(1-56b)
je o = 1/4. Sada moierno izra'eunati i k
Ako uvedemo wo k=
\r/Tit, dobijemo
nl 4914
3
Na'dn na koji srno pokrenuli tijelo nu titranje odreduje poeetne nvjete koji u na.Sern slubaju glase
Pa ic F=
4rn 3/ 4 I 4 u = —148.13vi ” 3t, °
x(0) = A,
X(0) = 0
(1.57)
t,j. tijelo je u tnenutku t = 0 bilo on A udaljeno od navnoteZnog polo'iaja (x0), a brzina mu je bila jeclnalca null.
1.3.7 Situ orison a koordinuti - harmania"ka situ Jetian od najvalnijih problerna u fizici koji ovdje moramo rifesiti je razinatranje silo proportionable koordinati F a x. Pokusi pokazuju da upravo jednostavna spiralna opruga posjeduje svojstvo da je sila kojom se ona opine produljenju proporcionalna tom produljenju. Prenta slid 1.10 tijelo je u poloZiaju navnote'ie ro. Kada ,je tijelo pomaknuta iz polo2aja ravnote2.e, na njega djeluje sila opruge koja je proporcionalna veliclni pontaka iz pololaja ravnote2m i to sila hell vratiti tijelo u ravnote2ni polo2aj, tj. F0 = -kx (1-53) gdje je k koustanta opruge. To je Hookeov zakon za oprugu. Konstanta opruge k je robM is karakteristidra za datu oprugu i ona ovisi o materijalu opruge, debljini, duljini itd. Jednad2.ba gibanja za (ra.vnotehm) situaciju na slid (1.7) izgleda ovako d2F
dt2
= 0 = rrtgi - kx0i
(1-54)
Drugatija situarija s pointnim uvjetima bi nastupila da smo tijelo malo podigli (za B recimo) i ispustili ga. Oncla bismo ionic x(0) = -B ("minus" dulazi zbug inborn pozitivnog smjera osi promo dolje) i 1;(0) = 0, tj. i ovdje je u poketnom trenutku tijelo mirovalo. Treexc situocija na-staje kada tijelu dumo mali irnpuls u rovnoteinom poloZ:aju, recimo, promo dolje. Taj impuls dodo tijelu brzinu vo (prema dolje, dakle vo > 0), pa su poCetni uvjeti x(0) = 0 i i(0) = vo . Da smo tijelo "piknuli" promo gore onda bi drugi uvjet bio X(0) -= -no.
Uz tako dace potetne uvjete, diferencija.lnu jednacI2,bu (1-56b) moleino nifo0slti tako da pretpostavimo rjeSenje oblika x(t) = X0eat
(1-58)
gdje sn nom za sada veli 6 . ne X0 i cc nepoznate. Uvrstimo to probno rje.§enje u (1-56b) pa dobijemo
ruX0a2 eat + kX0eat = 0
(1-59)
1. Zakoni gibanja materijalne take
St,. 1 -
29
a = ±i k = /If
7ft
D. Ho-ml: Fizika I za FER - Mehanika i toplina
(Fo = 20 N, a It = 10 7n) pod kutom tr = aresin4R. 5 i.e. prevaljemi put. Kolika je brzina lijeln a t,ruutku l odvajanja tijela od podloge ako je Fo > lung, (ii = 0.1 je kocficijeut trenja). (Uputa: 1 r= — x 2.)
i dijeljenjern cijele ,jednadZbe s rnX0 exp(at) dobijemo tr2 =
Si,. 1 - .90
(1-60) trenutka odvajanja tijela od podloge je
To znaei da je rjeenje jednako
Fh — x(t)
= NoeIi' 121
z (j) = A 2„iwot
(1-61) gdje je
Fo
a (najopeenitije) rjeenje je linearna kombinacija (zbroj) gorujih rjeAenja, tj. r(t) =
= roS
F, + N = my,
tj. ;I;
r(e) =
ti —i`J°1 + X2til`j°I .
(1-02)
since
= 411, I 1711,7,1
i
1
— 82 02 , tj.
Fo , F,. =
Fo — g + p Fo
= X2 = A/2
(0) = 0 = —i(4)0X1 i(4/0 X2
(1-63)
1. (Fo — grag)ds + ilF0 i
pa je rjeenje dano s
1
(sIR)ds V1 — .9 2 /10
(s/R)d(s/R)
v de,
m
—m i vth,
(F0 — prag)s — pFoRV1— (s/ R) 2 + pFoR — mv(s)2 2
Dakle
v(s) = (1-65)
\
2 (— — 17.9
) 3 _ 2pFoR
(V1 (s/ R)2 — 1 ).
Udaljenost odvajanja so dobijemo kada je N = 0, tj.
a zbog periodienosti funkcije kosinus imamo
Fo(so /R)
Forgo = mg —
c,,oT = 27r ili
do ds ds dt
‘,/1— (s/R)2
jer je cosy = (e'v + e — `5 )/2 (v. Dodatak D2). A ,je amplituda, tj. maksimalni pomak od polaiiaja ravnote'ie, x(t) je elongacija, tj. (svaki) pomak iz pola2,aja ravnotelie. Gibanje tijela je periodieko, a to znaei da se nakon vremena T koje zovemo period ili titrajno vrijeme gibanje ponavlja, tj.
27r IT = — = — i T m
Dakle
odnosno
(F0 — pmg)s + aFoRi ,
v(t) = —Awosinw°t.
x(t + T) = x(t) = A cos[wo(t + T)1 = A cos wot,
=
di
eiwot) (1-64)
i
(Fo //1 —
Daklc •
x(t) = A cos wot
+ frh,
dv dt
(.47/0
— 82 R2 a:(0) =.4 = X1 + X2
=
V1— 82 1R-
N = p(no — Fo rgo.)
Lako inolettio provjerili da 1e r(t) a pirn1,11 1ednad•?.111 r1eSen1e direvenci1alne jednad.2.11c. (1-6(i11) I■ vlst.kttLe X1,2 odreduju se iz poeetnili uvjeta. Dakle,
z (t ) = A ( e —iwot
Hi pa komponentama
F,, +
— (so IR) 2 T = 27r r—, rn V
(1 -66) odnosno SO =
pa kako je frekvencija v, tj. broj titraja u sekundi povezana s periodom ovako
+
=— T
(1-67)
= 27rv.
(1-68)
onda wo zovemo kruina frekvencija
To uvrstimo u v(s) pa dobijemo
v(s0 ) = \/2( F:) rn — pg)so = 7.273 m/s.
Jedinica za frekvenciju v je here, Hz, a za kruZnu frekvenciju je (ill rad/s). Time sino prona;;Ii rjeSenje jednadibe gibanja tzv. harrnoniekog oscilatora, jednog od najvainijih i njaeekih modela u fizici. Probleme povezane s (harmoniekim) titranjern obradit eerno u Fizici II.
Primjer 1.10 Situ ovisria o koordinati (opeenito) Tijelo muse en = 5 kg naruje na horizontalrioj podlozi. Na njeyn pane djelovati situ F(s) = Fo/
— .52 / R2 ,
Zadatak L7 Na mirno tiiclo mass en = 2 kg koje se nalazs na horizontalnal podlozi po6ne dicloratt sila koja o udaljenosti s od po6etne todkc ovisi ovako F(s) = Fo V 1 + (sIR)2,
I. Zakoni iibarua ataterijaine tor-,ke
Str. I - .71
Sir. I
D. IlorTat: Fizika l 0a FER - Meltanika i toplina
pod kutorn a = areta s/R tiolika je 6r-zinc tijela u trenutku odvajanja tijela od podloy e, ako je Fo > ping, a p 3e
Integracionu konstantu C1 odredinto 10 poeetnog uvjeta X(0) = 15 m/s= C1 , pa je brzina boo funkcija vremena t dana ovako
koeficijent tmnja. F0 = 5 N. R. = 9.1 sn i p = 9.2.
11J E.II18,11:
(s„ ) = 5/2/41– (RIng 2 p)/(Fo )= 1.0921n /s.
X(t)= (–;t 3 / 3 -1- 15) m/s. 10 iztaxa
0.0
brzinu dobijeuto izraz za put integracijom po t
di . x
tj
dt –
1.3.8 Vrernenski ovisnu situ - hurrnonidku " srnetnju" Neka na tijelo djeluje sila fife se djelovanje periodiCki ponavlja. Takvu silu eTsto zoverno "srnetnja", a ako je pri tome t- estica (inaterijalna totka) slobodna od drugih sila, jednadZba gibanja dui osi x je
=
3
15
t
+ 15t + C2
Ako izaberemo koordinatni sustav tako da je tijelo u ishodiItu u poeetnom trenutku t = 0, tj. x(0) = 0, undo je C2 = 0, pa je izraz za prijedeni put jednak
(1-69a)
Fo sill Wt
= __ 16 .5/2
x(t)= -8 f t 3 Rdt + 15 f dt
16 5 / 1 x(t)= – —t + 151.
gdje smo silu prikazali preko njenog najve6eg iznosa F0 - amplitude site i perioditkog, vremenski ovisnog dijela koji je opisan funkcijoin sinus. Nake su najopeenitiji poi:NM uvjeti dani ovako
15
Neka je je brzina jednaka nuli u trenutku kuji oznaeimo a to, tj.
v(0) = vo.
x(0) = xo,
(1-69b)
i(t0) Gornja jednaaba opisuje npr. situaciju kada na slobodni elektron djeluje elektromagnetsko zraCenje (EM val). Kao i ranije, Innolenje jednadZbe s dt i integriralije daje brzinu
Ill –L.)
°
.
+ 1 5,
V(45) 2 (45) 2 / 3 — — 8 8
to
a poeetni uvjet za brzinu dale Cr = v0 +
liclaljenost kuju tijelo prijede za to vrijeme Jr x(to), tj
F0 ) F0 V(t) = (Vo + — – — cos Wt. MCA) 711W
(1-70b)
Fo
171W 2
tn. J(t)
f (t) ) — f f(t)dt, – tt
i iz poelettiog uvjeta za z(1) dobijento C2 = ir0, pa imaino konabno rjegenje za gibanje tijela mase en pod djelovanjem periodiCke site
Ito u ovom slutnju daje
Fo .
Fo
1 „
(1-71)
) 711W
/
Srednju vrtjednost brzine nademo prema opitoj formull za srednju vrijednost neke funkcije
Fo
x(t) = (
,
x(to) = —
2
l'utanju tijela nademo dirckinim integriranjem gornje .jednadZbe
to
x( ) = (Vo + —) t – si n Wt + 111W TTLW`
±(t)=
(1-72)
FO V(t) = (Vo + — – — cos Wt TIEW 111W FO
Vre.inenski
t
0 iz toga dobijemo (nepoznato) vrijeme to
F0 1 v(t) = — — cos tizt + C, , tgl – 70a
Primjer 1.11
8 3/2
=0=—— 3
to
f ±(t)dt = -Lx(to)=91a/s. to
0
ovisna si a vremenu ovisi ovako: prevaliti tijelo yr* nego li
Na tijelo djeluje. vrernenski OViSTI(1 sila koja daje (vrernenski ovisnu) akceleraciju koja a a = se
in/52 . U trenutku t =
zaustuvi?
0
brzina tijela je
Koliku je srednja brzinu tijela
u
15 in/s.
Koliku udaljenost de
vrernenu od t =
0
do zuustuvljanja?
Primjer 1.12 Krenuvgi praveu nukon
RJEENJE Akceleracija tijela je Z = –4 ■,fi = d(±)/dt, pa imegracijom po t dobijemo brzinu tijela –4 f P/ 2 (it = 43 / 2
+
iz rnirovanja rnaterijalna todka se pod utjecajern vrernenski ovisne sile gibe po
tako da joj je akceleraciju proporcionalna a vrernenorn. Koliki je
4a
brzina take 8 m/s?
ES
Akceleraciju moiemo napisati ovako: a = At
prevaljeni put nakon 10
s, ako je
Sir. 1 - 33
1. Zakoni gibanja materijulne toac
Stir. I - 34
Mchanika i topltna
I). !lomat: Ptztka I za
gdje je .4 za sada nepoznara konstanta proporcionalnosti. Zadatak daje poeetni uvjet koji glass: v(0) = 0, tj. materijalna toeka u poeetnom trenutku miruje. Jednac12.13a gibanja (2. Newtonov aksiom) izgleda ovako d2 x dv dxx=At =dt Slika 1.11 - Sila
i prvo eemo integrirati izraz za brzinu, tj. mnolenjem s dt dobijemo dv = At dt, i kako 5.climo odredit.i
pokugava pokrenuti
tijelo
nasuprot sill
trenja
.u(t) i njcnu ovisnost o t, to jednadthu integriramo
f dv= f At dt. 1.3.9 Sila trenja Kada su dva tijela u dodiru i .jedno se deli pokrenuti u odnosu na drugo, onda se sjavlja sila koja se "protivi"
Integrali su elcmentarni i lako dobijemo
tom pokretanju, a kada se tijelo pokrene i skliCe se po drugom tijelu, javlja se (sliena) sila koja otedava to relativno gibanje. Govorimo o silania trenja: silo koja se protivi relativnom pokretanju tijela zove se sila
v(t) = Ac
statiekog trenja, a sila koja se javlja pri gibanju (sklizanju) tijela po tijelu, cove se silo dinamiekog trenja.
gdje se je pojavila (nepoznata) integraciona konstanta C, koju odredimo iz peeetnog uvjeta
Pokusi pokazuju da i jedna i drugo silo arise prijc svega o vrsti (i stanju) dodirnill povrAina i o pritisku jednog tijela no drugo.t
v(0) = 0 =
+C,,
2
tj.
C, = 0
pa je
R.azmotrimo pokus prikazan na slid 1.11, u kojem se tijelo nalaci na podloci kaju ono priti;•ee silom FN. Sila postepeno raste (ad mile) dok tijelo tniruje cbog site statitkog trenja. i .jednom se trenutku tijelo pokrene i velitina silo ,jednaka je F = Fn (vidi sliku 1.12). To je trenutak "pobjede" silo F nail silom F;,., pa
2 v(t) = AL- . 2
je 1Pal =
Podatak iz zadatka kale da je brzina nakon 4s jcdnaka 8 m/s, tj.
.u(t = 4 s) A
' 2
= 8 m/s
pa jc
A = 1 m/s3 .
rnwv.nje
klizanje
Fay
Prema tome, ovisnost brzine o vremenu je potpuno odredena
Fos
t'
v( t) = T. Slijedcei je korak integrirati jednaddbu za v(t) da dobijemo ovisnost puta x o vremenu dx 12 v(t) =
=
NInolenjem s dt dobijemo
7'
t2
f x d = f
—2 dt
Slika 1.12 - Ovisnost sila trenja o vanjskoj sili F.
ito daje
t3 + C2, x(t) = 2— •3 gdje (nepoznatu) konstanta C2 odredimo iz poectnog uvjeta koji u zadatku nije cksplicitno naveden, all modemo uzeti da je u poeetnom trenutku tijelo bilo u ishodir8tu koordinatnog sustava, tj. x(0) = 0. 1z tog uvjeta slijedi da je C2 = 0, pa imamo x(t) =
t3
103
6
gibanju ma.nja je od ftris , pa " vi,rak" sile.jednak f,.,./s — Ifo I ubrzava tijelo. Ovdje govorimo o sili dinamiekog trenja. ft,./r) koja je, dakle, mania od VeliCinu site trenja, u ovisnosti npr_ o vrsti dodirne povrMne, temperaturi std., opisujemo preko koefiit, pa ithamo
cijenta trerya
lidaljenost toeke od ishodiAta (tj. prevaljeni put) nakon 10s jc
x(t = 10 s) =
Medutim, a.ko silo ostane po icnosu jednaka Ifoi, pokus ee poka.zati da se tijelo (jednom vee pokrenuto) sada giba jednoliko ubrcano, odnosno da je pri gibanju > Prema tome, sila kaja se suprotstavlja
= 166.67 m.
(1-73)
Ft, = us.IaN.
Tu je N normalna komponenta sile, tj. komponenta u smjeru okomice na dodirnu povr§inu, a tis,D je koeficijent statielcogidinamiekog trenja. Koefictient statitkog trenja ps uvijek veei od koeficijenta dinamiekog Silu trenja obieno crtamo uz povrginu podloge da crtcZom sugeriramo da se radi upravo o njoj, iako jc to a
*
*
stvari nepotrebno jer tijelo koje razmatramo jest matcrijalna toeka, pa su bvatika
sila u istoj toeki!
1. Zukuni gitutnju mut
pan,: to
Sa. I - -35
St,. I - 9G
D. llama.. Fizika I za FER - Mehanika i Loplina
Tablica 1.3 - Koelicijenti tronja Povr8ine u dodirn
pa
Bronca/bronca
0.2
Bronca/eelik Bronca/telik + mazivo Drvo/drvo Led/led Cclik/eclik
0.18 0.02-0.08 0.25-0.50 0.028 0.1
Delik/telik + mazivo Celik/led + coda Celik/drvo Bakar/kovano ieljezo Bakar/staklo Guma/asfalt
0.01 0.014 0.2 0.3 0.5 0.3
os
(1.65 0.15 0.15 0.4 1.1
Sliku 1.14 - Tijelo no kosini - dijugrum silo
0.7 0.55
Prirnjer 1.13 Opiaite gibunje tijelo koje se nuluzi no kosini i no njegu djeluje horizoutaluu silo iziwsu 20 trenja pp. Npr. za eelik na drvetu je pp = 0.2, a ps = 0.4. To znaei da treba eetiri puta veca sila za
N, prone slid. Muss tijela je 1 kg, is = 30° i neka su, zbog jednostuvrtosti, diuurnie.ki i statisti6ki koeficijent treuju jednuki: pry = iks = p.= 0.2.
pokretanje tijela od eeiika ua podlozi od drveta, sego Ij za odrZavanje gibanja stalnom hrzittom, kada je tijelo vee pokrenuto. Za pravo objagnjenje sile trenja valja otiei na mikroskopsku razinu i promatrati medudjelovanje stoma i molekula. Medu molekularna se javljaju elektrostatske sile koje proizvode trenje na makroskopskom nivou.
Rastavimo sile koje djeluju nit tijelo promo koordinatnorn sustavu koji postavinto u toeku djelovanja silo, a osi orijentirarno paralehto s kosinom (os x) i okomito na kosinu (052). Na tijelo djeluje teiina G, horizontalna sila frh i reakcija podloge (po treeem Newtonovom aksiomu) F0 , to silo trenja En. Tetinu i horizontalnu silu moiemo rastaviti ovako
Ovdje nos mora zadovodljiti makroskopski opis trenja dan preko koeficijenata u tablici. Mikroskopski (all ipak mehanieki) bismo mogli shvatiti trenje slikovito prikazano na slid 1.13. Sa slike je jasno da ce doei do tegeeg i jaeeg sudaranja nepravilnih dijelova gto je sila koja ih pritigee veea. Kada takve povr6ine miruju, onda se udubljenja i ispupeenja slole zajedno i tegko je tijelo relativno pokrenuti, a pri klizanju manje ima vremena da se "slo2e" neravnine, pa ima i manje dodirnill totaka izrnedu dvije povrgine. Zato je i trenje
G sin a • i — cos a • = —Fr, cos a • i — Fr, sin a • 3. Sila crania koja se javlja zbog pritiska na podlogu (koji dolazi od teiine tijela i komponente horizontalne sile, a ima smjer negativne osi y) jednaka jc
gibanja manje od trenja klizanja. Podmazivanje povrSine znaei umetanje sloja molekula maziva izinedu neravnina, tako da se trenje djelomieno svodi na viskozno trenje (vidi poglavlje o hidrodinamici) medu
Ptr = p.(G cos
+ F,, sin s) •1.
slojevirna tekueine - maziva, Sto vodi na bitno smanjenje site trenja! Pri kotrljanju oblih tijela javlja se tzv. trenje kotr•ljanju o kojcm cc biti rijeei u poglavlju o dinarnici krutog tijela. Ovdje valja kazati da je trenje kotrljanja povezano s deforrnacijom podlogc i deformacijom samog tijela, tc u gornjem smislu lie spada u ovaj dio objanjettja silo trenja.
Silo trenja je po svom karaktcru takva da djeluje uvijck u protivnom sinjeru od smjera gibanja. To znaei da valja ispitati da li cc se tijelo zbog djelovanja silo Ph (njcnc komponente paralclne s kosinorn) gibati uz kosinu lb cc "pobijediti" komponenta tonne paralchut s kosinom i tijelo cc se gibati niz kosinu (uzer0i uvijck u obzir silu trenja). Dakle, valja usporediti Fh cos° i Gsin a. Uvrkenjern brojeanib podataka dobijemo da je Fh cos a = 17.321 N i G sin a = mg sin 30° = 4.905 N, pa vidimo da bi tijelo lido "uz" kosinu kada ne bi bilo trenja.° Dakle, napiAimo jednadthu gibanja tijela (2, Newtonov aksiom) — Fh cos a + mg sin a + p(G cos a + Fh sin a) = rna i izraeunajmo akccleraciju a tijela: a = —8.716 m/s'. Negativan prcdznak znaei da se tijelo giba uz kosinu. Kada ne bi bilo silo trenja = 0) tijelo bi imalo ubrzanje 00 = —12.416 m/s'.
4 4 Slika 1.13 - "Mikroskopoiu" pove6unu dodirnu povrginu
Kondicional je upotrijebljen zato jer se moie dogoditi da je sila trenja veea od rezultantne sile F,, cos — G sin a, pa da tijelo trajno miruje.
I. Zakani gibanja materljalne todce
Str. I 37
Tijelo mase m = 10 kg rialazi or na horizontalnoj podlozi, a koeficijent (dinamiekog) trenja izmedu tijela i podloge je 0.2. Covjek mode vuei tijelo (ufetom npt.) silom ad 40 N. Pod kojim kutorn treba vacs tijelo da se 0710 giba jednoliko?
Primjer 1.14
RJE?ENJE Nada sila djeluje pod kutom a onda se smanji pritisak na podlogu (zbog vertikalne komponente F,. (prema slid 1.8), pa je jednaeltba gibanja jcdnaka F cos a — F, r, = m.i
Sty.
.18
R.JE,ENJE Also vjeverica gura blokove s lijeva na demo (Id) silom F10 onda oni imaju akceleraciju as,s, pa je jednacliba gibanja jcdnaka (m
Za jednoliko gibanjc po pravcu desna strana gornje jednadthe .jednaka Jr nuli, pa dobijemo
jednaka
Maid = T,d — 1-1,14 Mg,
odnosno
(aid + pmg).
Tld =
Ta sila znora biti jcdnaka sill koja mode slomiti orah, a ona Jr jednaka G,, = mg. Dakle mg = /1/(aid + ttmg). PomoCu (1) sada molemo napisati
tang— tLF sin a = F cos a = F VI — sin' a.
)
Gornja jednachiba nakon kvadriranja vodi na kvadratnu jednadthu za sin a
31M p m (rn +
+ Prning +
== g( m [m+in +
± V F 2 (1 + p.5 )— (mg p), F(1+112 )
s ,, mg — 1-111,1 Mg .
+ Anaid =
Na orah djcluje sila Tid kojom blok m (putem oraha) pritike i pokre& blok M, tija Jr jednadZba gibanja
iii
F cos o — p(mg — F sin a) =
D. II orvat.. Pink. l za FEB Mthanika r toplina
+ rn(p,„ — pm)].
Za gibanje s desna na lijevo (d1) imamo
a uvrkavanje zadanih veRina vodi no rczultat sin a = 0.95 404, odnosno a = 72°33'39".
— p m Mg,
+ 51)0,,, = F01 — a sila koja treba slosniti orals
„ = mg jcdnaka Jr sili Tar kojom iv/ (preko maim) gura m , ma,a = Tdr — p„,m.g = mg — pm mg.
Kao i ranijc, sada dobijerno umjesto (3) slijedeCe Fdt =g
[rn m M
— m.p,)] .
+
Ako uzmemo da je M = 2m i slui:aj (a), tj. kada je pr, = pm , vidimo da se izrazi pojednostavljuju: 3 — 2 mg,
3mg i
pa je Fdi > Fid. To (le, jasno, vjeverica izra e . unati pa ce gurati blokove s lijeva na desno (jer je tako lakSe razbiti orah!). Also uzmemo da Jr (b) 1cm = 2pa, = 1, onda iz (3) i (6) dobijemo
Frit = 4mg i
V
Fid = mg,
pa e'e °pet pametna vjeverica izabrati g-uranje s lijeva na desno! Slika 1.15 • Dijagram sila
uz primjer 1.14
A A A A Primjer 1.15
Na podlozi se nalaze dva kamena bloka mase m i M = 2m, a izmedu njih je orah. Orahova ljuska se mole slorniti ako se na njega stavi kamen mase m. Inteligentna super-vjeverica deli na oriyinalan na6in razbiti orals, tj. guranjern blokova s lijeva na desno iii s desna na lijevo (vidi sliku). Kolikom minimalnom (hortzontainorn) silom i is kojem srojeru mom vjevertca gurati blokove da slonti orals? Koeficijenti trenja izmedu blokova i podloge su: (a) p„, = pm i pm = 2p„, = 1. Zanernarite masu oraha i tmnje oralsa o podlogu.
Slika 1.16 uz primjer 1.15
Primjer 1.16
Na vodoravnoj podlozi leie dva tijela mase rn, = 0.2 kg i tre2 = 0.3 kg medusobno povezana laganom niti (v. sliku). Tijela su preko kolotura spojeni s tijelorn muse m3 = 0.6 kg. Kolika je akccleracija sustava ako tijelo nt 2 skliie bez trenja, a koeficijent trenja za tijelo mi je p = 0.4. Kolika je napetost niti izmedu tijela?
in /
in 2
Slika 1.17 uz primjer 1.16
Zakoni gibanja rautt!ristalue
I.
Sir.
104-Al.:NM Na tijelo rn 3 djeluju (njegova) telina djelovanja je akeel,arija n II vertikalnoin smjern, tj. "Liu = (11 3 9
I
- 39
= .iroy i napetsst 160 7', a rerultat
7",
Na tijelo in, djeluje napctost niti T' i sila trenja F, = panig, pa je jecinadZba gibanja (2. Newtonov aksioni) dams ovako nil — Ft = — prrnig•
+1112a + ra,,a = 77139
—
11,119,
pa je akceieracija a jednaka
q
7113 — /17111
m ■ + ,12
ra3
Za prvo tijelo jednadZba gibanja Jr Fp — Ftrl , — T = ra t a U7, Fp = Fcosa i Ffr11 = (any — F/ ) = pi (no g — F sin (1). Zu drugs tijelo je T — Ftr12 = Tria a i Ftr i z = p2 rn ag i kako je T zadana sila, dobijenio dozvoljenu akceleraciju =
T — tivnaq ' 111 2
F cos a — in, g
i to uvrstimo u prvu .jednadibu
Fp, sing=
(in, + mz)77rnz + F— cos Or 11 Sill a
(T — fiznizg) —
P2)
T
pa je
103.910N.
A A
Zbrajaujein jednadZbi gibanja dirninirains napetosti niti T i T'
=
D. Horuak. Fiziku I za FER - Mellartika i toplina
— T.
lsta napecost, zbog nerastezIjivosti nisi , djeluje na masu In2, na koju takoder djeluje i napetsst tj. 1112a = T — 7'.
7030
St,. 1. 4o
= 4.6375 in/s'.
Zadatak 1.8 Koeficijent statiekog trenja as slueaj game na cesti je ja = 0.8. Koliki mole bill najveci nagib ceste na kojoj mole niirovati auto blokiranili (neporniartih) kotaea. RJE$ENJE: Rut kosinc na kojoj minx stajati auto iznosi a = 39°.
Napetsst niti T' odredinio iz A A
T' = atia + pm, y = 0.879 N.
T' T' T
1.3.10 Krufno gibanje. Sila okornita no brzintr P Ako na tijelo koje se giba djeluje sila koja nije kolinearna s kolitinorn gibanja, tijelo de se gibati po krivulji. Ako je sila cijelo vrijerne okornita na brzinu, tijelo de se gibati po
Neka se ti,jelo u jednom trenutku (prema slid 3) trade u totki 1, a nakon vremena dt u totki 2. Za to vrijeme ono prijede put de.
G Slika 1.18 uz rjeSenje printjera 1.16
A A
Oovjek vuee po podlozi dva tijelo, tako da prvo tijelo muse ne, = 20 kg privezana uictom povluci silont pod kutorn od 300 . Drugo je tijelo muse In2 = 10 kg prirezana drugini uietont zu prvo. Ako drug o uZe mode izdriuti napetost ad 40 N, kolikoin sawn F sutije eovjek potezati tijelo? Koefieijenti trenja su iti = 0.2 iµ2 = 0.3.
Primjer 1.17
A
F, m2
G2
F Si ka 1.20 - Pro *TLC brzine pri aibanfu pa krivulji
T
T
G
Sliku 1.19 - uz printjer 1.17
Neka je brzina (iii 172) dana umnoSkom iznosa brzine 16,1 i jedinienog vektora brzine I0, 171,2 = 101,2 Vremenska promjena brzine (vremenslca derivacija) je jednaka vremenskoj prornjern iznosa brzine i vremenskoj promjeni jediranog vektora (po srnjeru), a izratunata je po pravilu o deriviranju umnAca funkcija:
d dt =(v1) dt
(1-74)
Str.
1. Zakoni gibanja materijalne toa,
Prziku / zu P/•.://. • Mehanika i tophrur
42
Vremenska promjena iznosa brzine je jednaka tangencijalnoj akceleraciji dt. Ako dovedemo .jediniene vektore slici 1.3 ovako:
=
61,2 u
istu toeku, onda je promjena jedinienog vektora do] dana prema
• t10 = (45, a ako ,je d h beskonaerro mali ( I to i jest u diferencijalnom raeunu),
onda je smjer d6n dan jedinienim
vektorom -r,
. tu zakrivljenosti 0, tj. vektorom koji "gleda" prema sredi S
segmenta staze koji promatramo. Dakle: dr= --r • (10. Onda, uz
eto,
dt
de
dV,
de =
r • dcl i de/dt = v dobijemo
dcl V
dC dt
(1-75)
r • dO
Slika 1.211 -
Vektorskc veliane pri kruinont gibanju
11
pa je ukupna akceleracija jednaka
v2 = ati) -
(1-76)
tit Jedinica za kutnu brzinu w je rad/s (ili samo s -1 ). Ponekad se kutna brzina izraZava i brojem okretaja rencijalna akceleracija koja ,je rezultat djelovanja tangencijalne site koja Prvi elan gornjeg izraza 0, je tand mijenja brzinu po iznosu, a upravo drugi elan
li
a,.
predstavlja a.kceleraciju ko,ju zovemo radija/na akcacracija
(to je u stvari (linearna) frekvencija v here - 11z) iii hrojem okretaja u ininuti.
i za nju vrijedi da ,je w = 2rry, a jedinica za frekvenciju
u sekundi je
centripetalna akcelcracija an y , koju dobije t.ijelo kada sila djeluje okomito na. brzinu, 1,j.
Primjer 1.18
=— Takvu silu zovemo centraina silo iii centripetalna Act
(1-77)
R.JEENJE Frekvenctja v jc ,jednaka 10 okr/60 s=1/6 Hz, a kutna brzina jc w = 7/3 rad/s, pa je brzina jednaka.: 27 v = rw = 0.4 x - = —= 0.419 m/s. 15 3
P,p i ona mijenja brzinu samo po smjeru!
Pri kruZnom gibanju molemo, dakle, napisati
At AO v = Inn n — = r Inn — At = rw, t -oo t --00 At
s
*
(1-78)
a po definiciji je kutna brzina v:1 vektor (slika 1.8) koji ,je odreden vektorskim urnnoS'kom (jedinienill) vektora: = r x V, pa iz toga dobijemo da je = W x r , iii mnolenjern
Kolika je brzina eestice koja se nalazi na rubu kruine p/oee polumjera 40 cm i koja se okree
10 puta u minuti?
v = rw
Zadatak 1.9
Kuglica prievr§Cena na koncu akreee se po kruinici po/urnjera
2 77l
brzinoin od 10 ni/s. Kolika
je kutna brzina i frekvencija kuglice (u okretajima u minuti)?
RJE O ENJE: w = 5s-r . v = (150/a) okr/min -2, 48 okr/min. u" =2xr i
= x
(1-79)
*
Silu sada rnoiemo napisati ovako
F.
f•
nirw 2 .
(1-77')
Ako je kutna brzina ry stalna onda dobijemo za " prevaljeni " kut zakreta
nazovemo wo)
0(t) = co + wo t.
(1-80)
Ako je prisutna i tangencijalna sila koja mijenja brzinu i po iznosu, onda je
d d d a, = —v = — (rw) = r —
dt
i cr
je
kuttta akceleracija, pa
dl
= rcx
dt
11102,CM° napisati
H.
= — (1w = —
dt
(1-81a)
u vektorskom obliku
n'r
' =a
x i•.
(1-81b)
Jedinica za ca je rad/s2 (ili samo s -2 ). U tom su slutaju prevaljeni kut i kutna brzina ,jeclnaki Slika 1.21a - Vektorske velieine pri kruinorn gibanju I
=
+ wo t + at2 2
w(t) =
wo + Qt.
(1-82)
t. Zakoni yibansia inaterijalne toe.ke
Sliku 1.22 -
K 07 IUS710 7Liihal0 - uz
Str.
.Str. 1 - 44
D. Horuat Fizika I za FER - Meharaka i toplona
Sliku 1.23 - Zuvoj je nugnut "prema unutra", pu se juvlju centripetulnu situ
prirrtjer 1.19
Tijelo cause en, visi nu niti duljine 2. Ono je otklonjeno zu kut 0 te je "gurrtuto" tuko du opisuje kruinicu polurnjera r (prenta slici 1.22). Tokyo "njihalo" zoverno stoiasto njiltulo. Vulju izraeunati ophodno vrijerne (period) tukvog njiltula, te napetost niti.
Primjer 1.19
teiini tijela a, ti.
P, = + F„ ——
RJESENJE Ka tijelo djeluju dvije site: teiina a koja "gleda" prema doljc i napetost niti T, pa rezultanta tih dviju sila koja "gleda" prema srediku vrtnje predstavlja upravo centripetalna silu koja vrti tijelo stalnom brzinorn (po iznosu ali stalno promjenljivog sinjera). lz geometrije je
Fr, nte 2
SIT1
G = N cos a, pa je v2 tga = -
G • tg &
DR
tj.
a = 7.7°
=rny. tg& pa je
v Vzy • tga -= Vtg • sin tg Tijelo za vrijeme r koje zoverno ophodno orijerne ili period ()bide puni krug, pa je 2r7r = vr
=
a napetost niti T je pa iznosu jednaka 7' =
A
le cos 2n \
Primjer 1.21 Tijelo muse trt = 1 kg je s visine It bueeno u Itorizontuluout srnjeru brzinont od 10nt/s. lzruennujte koliku je tungencijalnu i radijaina akceleracija tijela 1 s nukon izbueaju! Koliku je centripetalnu i tungencijulnu situ u torn trenutku? Koliki je polurnjer zukrivljenosti putunje u torn trenutku? R.J1,,tiENJE Tijelo jc bi'amo u horizontaluom sinjeru pa u ueknm trenutku t ono ima komponente braise kao na slici: tangencijaltia komponenta brzine jednaka je vektorskom zbroju voi i 0,,(t)= —gtj, tj.
/ cos B.
A
A
iii
A
11(t)
+ 13,(t) = Vol — gt),
Pritnjer 1.20 Zuvoji se na uutocesturna Jest() nuginju prenta sredatu zuvoju du bi se postigla centripetalna situ koju ce ontoguditi du (i bez trenja) uutorrtobil "svludu" zuvoj pri odredenoj brzinis /zraeunajte koliki 711.07Y1 bili nugib zuvoju a (prernu slici 1.23) da bi autornobil proluo zuvoj tako du pritisak nu obudvu kotadu Gude jednuk, tj. du su "stvori" kornponentu site koju de izjednueiti pritisak, a time i duti potrebu centripetulnu situ. Polurnjer zuvoju neka je 300 in, a brzine automobile neka je 20 rn/s (72 krn/h). RJESENJE Za izjednatenje pritiska obadva kotaka nuino je da centripetalna sila (koja gleda prema pritiska na podlogu bude jednaka sredi§tu zavoja) u (vektorskom) zbroju s normalnorn komponentom
ill, po iznosu
v(t) = Vv,3 + 92t 2. Ti torn trenutku na tijelo djeluje (samo) teiina težina tijela C koju rnolemo rastaviti na tangencijalnu kora. ponentu rile F i normalnu komponentu site koja je u stvari centripetalna situ Kut a izmedu komponente brzine v,„ i brzine jednak je kutu izmedu tangencijalne rile i teti ema Dakle
P„.
cos a — _ v
gt ‘,/q + 92 0
F, _ F, G
mg
1. Zakgro gibanja muter-Oahrc to6ke
Si,. I. 45
7 6.
yt
Str. 1 • 46
I).
arske / za PEI? - A/char./al i /ophrta
I1071 t
1.9 Kutna koli6na gibanja (moment kolieine gibanja) znaterijalne take Za opis krulnog gibanja totkastog tijela uvodnno fizikalnu velitinu koja odgovara kolicini gibanja kod translatornog gibanja. To je kutnu koli.ciu.a ,gibanja iii kako se negdje zove moment koli6ine gibanja: = 7 x p.
(1-83)
Jedinica za kutnu kolitinu gibanja je kg InVs. Ta velitina nije opterfito satuvana, tj. nije vremenska konstanta, no ako na testicu djeluje (samo) centralna ails, tj. sila koja ima smjer prema iii od sredi§ta gibanja, onda je L satuva.na velitina; tj. vrijedi teorem: L = 0 ako je dt -
(1-84)
Dokaz tog teorema sic ovakir
0
dt Slika 1.24 - Tangencijalnu i centripetalna silo pri horizontalnorn hicu
i Icako je dr7dt =
=
d (r' x 17) = x + dt dt
=
mg" Vq + g 2t2
=
6.870 N
= V(mg)2 Foe = 7.003 N.
It izraza za centripetalnu situ dobijemo izraz za polumjcr zakrivljenosti R = mv 2 /F e = 14.280 In. Ovdje valja naglasiti da se polumjer zakrivljenosti krivuljc stalno mijcnja (kao i centripetalna sila) sto zna6i da rnotemo zamisliti da se tijelo giba kroz niz totaka (koje, naravno, late na paraboli horizontalnog hica) kroz koje u svakom trenutku motemo povu6i krutnieu na kojoj djeluje centripetalna sila poznatog oblika!
(1-85)
t; x [7= 0, drugi tlan je d — L -= ix = r." dt dt
Na osnovu toga moiemo izra6unati tangencijalnu situ (i akceleraciju) i centripetalnu situ (i akceleraciju). Dakle
x rlp 7
f' - 0.
(1-86)
jer sila. F teii teži na istom pravcu kao i Medutim, ako L nije satuvan ; onda je velitina F x koju zoverno moment site i koja je opeenito jednaka M = 7 x f' uzrok vrernenskoj promjeni kutne kolieine gibanja d—L=7x
dt
Ong) = 77E7 x dt = nu x (Cr x dt = rnr 2 a, = M = 7 x F ,
(1-87)
gdje smo iskoristili identitet za dvostruki vektorski produkt. Jedinica za moment site je N m.
Primjer 1.22 Zamanjak stroja okrede se kutnorn brzinom jednakoin 600 okr/rnin. Koliko Fe okretaja napraviti zamaifnjak od trenutka kada ga pane zaustavljati tangencijalna silo, ako ee on zaustavi za 5 s? RJEENJE Vrtnja 6e biti jednoliko usporena, od p&etne (kutne) brzine vo = 600 okr/min = 207 s' do nule, tj. .(t,) = 0 = vo gdje je t, = 5s. Kutna akceleracija je a= Kako se radi o jednoliko usporenoj r
(JO
= s-2.
iji (vrtnji), ukupni "prevaljeni-prebrisani" kut je
Slika 1.25 - Kutna kolieina gibanja materija/ne take
tb(t) = wo t,. - it: = 1007 - 507 = 25 okretaja. Gibanje materijalne take po krulnici zbog djelovanja momenta site M mole, dakle, biti opisano jedna.dlbom
= ra
(1-88)
1.
ZaA mit gibanja mulcripilne tur'kc
Str. 1 • 47
. I - 48
D. Hon. Fiziku I za FEB Meltanika i toplina
'fablica 1.1 Usporedna tablica rota( ije i translarrja Itataciouo gibanie
Veza
Translaciono gibann,
—. = rio/rIt
0 = c.0 x 0 a". -= 5 x I' + c2 x 0 1. = F x ii 31=FxF
0 = ti.;/,1t 0 = clUldt ji = 711.17 F = 45131
5 = LIZI tit I. -= It:
3! = dL/dt AI = i ci
DODACI 1. POGLAVLJU
F = at U.
gdje je I moment tromosti materijalne t(k"ke koji je jednak (1-89) Moment site Al is (1-88) uzrokuje tangencijainu akceleracija (1-81b), pa imam° ubrzanu rotaciju materijalne totke (tangencijaina akceleracija ar i kutna akceleracija a razneiti su od nule).
Dorlatak 1.1 - Iljeenje gibanja nabijene L'estice u elektriemom i magnetskom polju
Ovd.k. &alio rijctiti problenao gibanja ii!estice a elektriimcan i magnelskonl polja. Proltkani pokazuju raznolikost rjeenja u ovisnosti od poeetnill uvjeta, a mogu se poop6iti i na druga gibanja, I'rimjer L/1.1
problem gibanja nabrjette eeatice naboja Q i Isaac m a elektriemom i mayuctskom polju. Polja an medusobno okomita, a 6estica u paelnoirt trenutku ntimuie! Plublein razinotrinio prvo kviditativau, tj. pogleclajmo fizikalni sadrZaj problems prvu, ne ulazeei za sada u matcniatieki Mrmalizani. Dakle, u pueetnom cremicku na (esticu ne djeluje niagnetska sila P,„ jer eestica miruje. Cesticu poem: ubrzavati elektriena sila F. (zbog elektrienog polja u sinjeru polja, a okomito na tnagnetsko polje B. U trenutku kada je u # 0 pueinje magnetsko polje "vrtiti" (:esticu a ravnini u kojoj djeluje elektribat sila F,. Vrteei se, eestica se wade na putanji u sinjeru suprotnom elcktrienom polju, pa polje usporava (esticu. Time opada i djelovanje niagnetske silo, eije djelovanje je proporcionalno iznosu brzine. U trenutku kada se eestica, gibajuti se sada nasuprot elektrienom polju zasutavi, magnetska sila padre na !lulu i cijeli se ciklus ponovi! Odaberimo koordinatni sustav u kojem je magnetsko polje B u smjeru x—osi, a elektrieno polje u smjeru z—osi:
B=
(.8,0,0); E = (0,0,E).
(D1-1)
Cestica neka u potetnom trenutku miruje u ishodiatu, tj. poletni uvjeti su ff(o) = (0,0,0);
#(0) = (o,o,o)
(D1-2)
. Brzina ce zbog orijentacije polja imati samo y i z komponente, tj. (D1-3)
r(t) Elektri(na i magnetska sila zadane su ovako:
=QE = gEic; Fm
= x B = Q0Bi — kB0
(D1-4)
()Mac( I. yarilatilju
Sir. I - 4y
Mr. I - 50
i s time uclemo u ,jednadZbu gibanja (2. Newtonov aksiom)
D. Hornet: Fizika I za PM? - Mehanika i topliria
Conde rjekenje sadrti dvije ncpoznate konstante A t,2, koje Cana odrediti iz pogetnih civjeta (D1-2). Medutini, gornje jc rjekenje inog-uCc napisati i u drugatijam obliku uz pomoc Moivrc-ore formule t
Qt = QEk + Q013 —030 = ni()i) + e
-= cos x t i sin xt,
(D1-16)
Ta jednadZba, po komponencama satIO.ava dvije cezacie jednadZbe tj.
771i) = QBz
non =
i
(coscot +i sin ca) + .A 2 (cos wt — i sin cot) (D1-17)
= (A t + .A 2 )coswt +4.41 — A x )sincat
mz = QE — QBy,
= CI coswt + C2 sin wt, koje rijekimo, uz zadane poitetne uvjete (D1-2), prvo deriviranjem, a zatim udruZivanjem y ocinosno z komponcntc. Deriviranje peer jednadtbe u (D1-6) i uvrktavanje a drugu dajc
QB, (QE QB ,\ _i,QB — =b-t 2 rn 111 m
E
\
gdje smo kombinaciju dviju nepoznatih konstanti preimenovali u druge dvijc ncpoznate konstance CI,2. Na taj smo nakin dobili zapis rjekenja homogene diferencijaine jednaabe (D1-15) u ekvivalcntimin ali (moida) jednostavnijon "simpatiCnijern").
(DI-7) Za potpuno redone pogetne jednadZbe za a (D1-9), valja gornjcm rjekcnju dodati partikularno rjekenje nehomogene ,jednadZbe (to je standardna terminologija teorijc diferencijalnih ,jednadi.bi koju prcuziniamo ovdjc), a to postignemo take da "pogodimo" rjekenje prema obliku dome Sloane. Naime, donna strana Wan w 2 (E/B)) jc nulti Clan polinoma 11 varijabli I., Pr. (1) = note + n l t l + ti21 2 + ,1313 Mctoda rjekavanja nehomogene s jednadX.bc so svodi na to da se opCern rjekenju homogenc doda (II ON-0111 slutaju) polinom istog stupnja kao i donna strana, tj. (ovdjc) polinom nultog stupnja not° . uz nepoznatu konstatau a a koju Como odrediti uvrktavanjern cjclokupnog rjekenja u (nehomogenti) jednadZbn.' Daklc
gdje smo uveli (kruZnii) ciklotronsku frekvenciju w = QB/m. Uvedimo novel varijablu a:
ai y= a; y = o, pa dobijcmo uvrktavanjem u (D1-7) diferencijainu jednadZbu
Poe = non + ocN
o +w2a =
= CI cos wt + C2 sin wt + so. To je nchomogena lincarna diferencijaina jednadZba drugog reda, Cije rejkenje se sastoji od dva rjakenja, od opeeg r3e§ctija hornogene „xednadibe nos (to jc jednadZba kada stavimo da jc na desnoj strani 0) i tzv. partiku(arnay r3e.§enja ricliornogem ark,. Prvo, dakle, odredimo aoll , tj.
Deriviranje gornjcg rjekenja i uvrktavanjern dobijemo —C 2 0011 + 1.0 2 (a011 + 00) =
ac, + “,20 011 =
0.
(D1-10) pa izjednaZavanjem istih stupnjcva polinorna lijeve i desnc stranc (to jc ovdjc trivijalno) dobijcmo
Jednadibu rjekavamo tako da uzmemo probno rjeLenje koje sadrii ncpoznate velittine koje odreclujano iz jednadibe. Probno rjekenje imat ee oblik 00H =
2
2 E
ao =
(D1-20)
Prema tome
(D1-11)
-,
(D1-21)
y(t) = C. cos wt + C2 Sill wt + 7E3- ,
(D1-22)
aON = CI cos Cl + C2 sin wt gdje su A i a za sada nepoznati. UrrStavanje probnog rjekenja u jednadibu (D1-10) vodi na oiijedeci izraz Ae't(o2 + co') = 0,
E
a to jc daljc jednako prema (D1-8)
(D1-12)
a iz toga slijedi da jc 01,2
=
odnosno, integriranjem
(D1-13)
C,
y(t) —
Vidimo da postojc dvije vrijednosti (sada voc poznate) vcliCine a, tj. postojc i dva moplCa rjcScrija (uz dva razlitita A) noir(' = Ate° = A l e"' non, = -42e°2 ` = Ale
= Ate-f't + Axe
(D1-15)
(D1-23)
Deriviranjem (D1-22) i uvrktavanjem u drugu .jeditadX.bu u (D1-6) dobijemo
(D1-14)
711 Al z = 73 1/ = c7T3 (—Cod sin ca + Cxs: cos wt)
Kojc rjekenje uzeti? S obzirom da se radi o linearnaj diferericijalmij jednadibi molemo uzeti obadva rjakenja, tako da i jednostavno zbrojimo (kaiemo da uzimamo njihovu lineartnu kombinaciju), tj. non = nono + a011/2
C2
— — cos + —t + C3.
ili (D1-24)
= —C I sin wt + C2 cos Wt. . Abraham do Moivre (1667-1754) cngleski matematiear. Da je desna strana bila npr. oblika sJ 2 12 onda bismo morali uzeti polinom drugog stupnja P,(t) = aa+a t+a2t2 itd.
Dodo.. I. poylavliu
Sir, 1 - 51
Nakon integracijo dobijemo
Str. 1 - 52
D. Horvat: Fizika I za FER - Meltartika i toylirta
lz gornjeg sustava dobijorno slijodoei rezultat
C, 2(f) = — ens lit +
C
(DI-25) C, = 0,
U OVUM trcnutku imam() e ■ tini nepoznate konstante
C2 = 0;
C3 = 0;
C4 = 0,
(D1-32)
kojo, medlar))) lako odredirno iz poeetnih
uvjeta. Dobijemo
pa je z(0)=0 -=—•1+
!•0+C4
z(t) = 0.
y(t) = —t
E y(0) )---- 0 = C, — - 0 - C2 — • 1 + — • 0 + C., , B (D1-26) i(0) = 0 = -CI • 0 + C2 • 1
(D1-33)
To znaei da se eestica giba po osi u smjeru okomitorn na elektrifto polio E i magnetsko polje B. Takva
je putanja posljedica speficiiMog poixtnog uvjeta 6(0) = (EIB)). Za slueaj b) po6etnih uvjeta, tj. 5(0) = (E/2B)j dobijemo sustav odredbenih jednadibi za konstance C12,3,4 slit-mu onom u (D1-31), odakle slijedi
1/(0) = 0 = C, • 1 + C2 - 0 + E' Sto daje
C, = - B ;
C2 = 0;
C3 = 0;
C4 =
C, =
(D1-27)
pa imam° konaena rjeSenja
C2 = 0;
C4 = —
2/3w
(D1-34)
Rjclonja su y(t) =
z (t) =
E E
E . -1 -37, smwt -
E
y(t) = (D1-28)
sin wt + —t
(D1-35)
E
z(t) = cos wt + — Mu/ a to vodi na slijede6 oblik
(stazu eestice) y = f(r) eleiminiramo parametar t tako da na desnoj strani ,jedna)Rbi (D1-28) ostavimo
E
2 E (y -B t) + (z - — 26_)
)2
(D1-36)
i to je ponovuo cikloida s polumjerom R6 = (E/2Bw) = R/2, gdje je R polumjer prvog slueaja.
trigonometrijske Clanove, a zatim to jednaabe kvadriramo i zbrc jimo. Dobijenio
E 2 E - TO) ( 2 - 77;) =
2Tho
E —
cos wt,
uz = Q B I To. Gornje jednadile opisuju noku krivulju u ravni ii (y,z) a paramotarskom obliku (gdje je t matematieki parametar, ali fizikaino inn) znaeenjo vrernena! . Da bisalo rough prepoznati krivulju
slueaj c) imam() (D1-20)
E -3- ; C2 = 1
C, = (); Ako avedemo oznaka
C3 = 0;
C3 =
C4 = 0,
(D1-37)
= R i E/B =•11 dobijemo slijede)'11 judwsdibu, koja predstavlja jcdnadibc
putanjo nabijene eestice 1111150 m i uaboja Q u magnotskom polju /3 (a siajcidi y osi) i u elektrinami polju
odnosno
E (u smjeru z osi)
E
y(t) = (y - ut) 2 + (z - II)'
112
(D1-30)
2(0=
+
E E t + B Bw
E .
(D1-38)
smwt
Jednadi.ba predstavlja cikloidu, tj. krivulju koju opisuje toeka na obodu kotaea polumjera R. koji se kotrlja (bez sklizanja) po ravnini s brzinom srediSta v. Time sino i matciriatieki opravdali kvalitativno fizikalno razmatranje s poectka rjolavanja ovog primjera!
(Y
Primjer 1)1.2 )(aka so proutijeui rjegenjc prethoduaq zadatka ako jc ecstica ispaljena u poectuom licTiutku brzinam a) t7(0) = ( E/B)j? Ramotrite i slueaj poeetne brzine oblika b) v(0) = (E/2B)j c) C(0) = (E/B)(5-I-
k)! RJESENJE RjeSenja y(t) (1-23) i z(t) (1-25) ostaju ista, jedino Co se prornijcuiti vrijednost konstanti C,,2,3,4. Dakic
C,
C2 —•0 - — 1 +
c, C) z(0) = 0 = — • 1 + — • 0 + CL, ( 0 )=
= c, • 1+ c, -0 + T?
go) = 0 = -c, • o + C2 ' 1
E E\' +
2 E ll + = (17D)
t,j. cikloida polumjera B. = (E I Bw).
4 4
y(0) = 0
Sto ponorno daje
0 + C3
(D1-31)
4 4
(D1-39)
Dodari 1. poulay(in
St,
53
Dodatak 1.2 Krivulja potjere Ovdje eemo rije§iti .jedan lielinearni problem koji vodi do tee. "krivulje pots jere" iii "krivulje slijedenja", tj. gibanja. kada .jeduo tijelo ("potjera") uvijek ima smjer brzine okrenut prema dugom tijelu (" bjeguncu"). Drugo tijelo se ovdje giba jednoliko po pravcu. Primjer D1.3 U trenutku kada uple-da zeta, lisica se nalazi na udal jenosti D od njeoa. Kada zec uoleda lisicu, on pane bjeiati stalnom brzinom oz, po pra CCU okornitorn na pojetni razmak. Lisica u isti (Tao pobie juriti za zecorn stalnorn brzinorn oh, koja ima 0 svakom trenutku srnjer prema zecu! lzraeunajte putanju lisice = 25 km/h. i vrijerne za koliko lisice &mat( zero. lzvvijednite rezultat za D = 100 in, vi = 20 km/h i
dy dx
Iloyvat. l'izika 1 za PEI( - Mchanika i toplzna
i to uvrstimo u (6)
i
r z t — x (D — 11)td2x dy
(D y) TF;(D Y) =
.2
y) + Yve
(LT
dy )2
dy 2
dy
7t.
dt
dx 2 - ■ x . — (D — 14, [1 + () dy2
dz [1 + (-
y)
dy
d2 x 2
(14)
y)
dx
dv
dy
dy dy2
d 2 27
1
i(D — y) = Y(va t — x).
du dy
(17)
odnosno [
Jednadibe (3) i (5) tine nelinearni sustav diferencija.lnih jednadthi koje valja rijeAiti Prvo deriviramo Tablieni integral nam daje — y) — ±Y = Y(vzt — x) + Y(vz — .X) y(vzt — x)+yvz —
du
[ dy
j
J
po vremenu jcdnadtbu (5), pa dobijcmo
VI/2 -1- 1)
In (ti
iy
D—
=
,
D—y
dy
(20)
ili a
(. dx dt dy° dy )
Y TCy = Y
=0/vx = 0, pa je
Inl =0 =y1n-
dx
(19)
C •
Rubni uvjcti su sada: u t = 0 y(0) = 0 i u(0) = dx/dy pa dobijemo
(18)
In(D — y) + In CI = —1/111(D — y) + r1ln C
i zatim vrcmcnskc dcrivacijc transformiramo ovako
2 d2 x
(16)
pa dobijcmo
iii
dx
(15)
Uvcdcmo pokratu p = vz/to, < 1 i
(Lzt x(t)) = * (vzt — x(t))
. d dy d = x X= dt dt dy
uz
) 2 dY2
\/1 +
2
u—
ck Y dy
) 3 - 1/3 ,,Z
odnosno
pa dobijemo iz jednadZbe (2)
.2 d2 x = y
(13)
i to uvrstimo u (12)
tj.
d(
(11)
(12)
dx 2 = {1 + ( — ) I dy
— x(t))
2 d. 2dY = (— ) ( dt )2 = dt
dx / dt
(10)
pa dobijcmo
dy = —(vzt — x(t)). dx
D — y(t)=
(9)
Iz (3) slijedi
dy
dy/dt
+
)(D y) = Y(vzt —
i umjesto vzt — uvrstimo iz (2)
(x z (t) — (t)) =— dx
Medutim, brzina lisice to, je c2, = N.M iz +
U.
. d2x y — (D — y) = yvz . dy2
a tocka Z je na toj tangcnti, tj. D — y(l)
- i4
odnosno
Ncka Sc lisica L nalazi u poeetnom trenutku u ishodiOtu koordinatnog sustava.. Daklc x(0) = 0 i y(0) = 0. Takodcr jc ±(0) = 0 i Y(0) = vy, . Zcc Sc u poeletnom trenutku nalazi a toeki Z(0, D). Nakon vremena t lisica se nalazi u toeki L(x(t),y(t)), a zee se pomaknuo za xz(t) = vz • t, pa se nalazi u weld Z(rz(t), D). Kako je smjcr brzine lisice uvijek uperen prema zero, to tangenta na krivulju (putanju) lisice prolazi totkama L i Z(xz(t),d). •Jedna&aa tangente je y — y(t)=
St,
+ Vu2 +1= ( DD
(21)
(8) a to jc jednako i
dx
YTi
dy
dx 2
D D—
(22)
Dodaci I. poglaylju
Sir. 1- 55
Iz (22) dobijerno prebativanjem i kvadriranjera dr
(D
(23)
Yr1
pa je D"
di/
2 I (D — g),
2,11
(D — y dy ,y)"
(24) r(t) =
D"
(D —
2D, (1 + 17)
+ C2.
(D
2(1 —
HAMM uvjeti daja r(0) = 0 =
D 2(1 +
D + C•2 2(1 — n)
(25)
pa je konstanta jednaka C2 = D
1 — 7/ 2
uz
1.17.
(26)
Dakle r(t)
ID — y(t)I 1 +"D'
2D,(1 + rj)
2(1 — y)
ID
•
+D
1
(27)
,
Neka je t = T, vrijeme kada je lisica stigla zeca. U tom je trenutku y(T,) = D i mica je '(T,) = lz (27) je r(T,)— X, — D
_ n1 .
„.
(28)
To je ujedno udaljenost koju prijede zee brzinom uz, tj . = va, • T.,
(29)
pa je vrijeme kada je lisica stigla zeta jednako T, =
D ea
1—
(30)
ri ,
Ako uzinemo brojt,nre podatke, dobijemo da je T, = 40 a i X, = 222.22 m.
D
X
Xs Slika 1.D1 Putanja lisice koja lout zeta. Zec bjeit po praiicu y = D s lijeva na desno, a lisica ga, postepcno skireuei, stain° /recta. Zec je ulovljen u toeki (Xs, D).
D. Horuat: AzIka I za PER - Mehamka i toplina
4
1
d 2" dy = 2d, (D — y),
r(t) =
Ste. I - 56
4
5'tr. / - 57
Dodaci I. poglaulju
St, 1 - 58
D. II °Twat.- Fizika I za P'E
Mckunika i toplina
1.4 OpiSite Newtonov aposlutni prostor i apsolutno vrijcme (proeitajtc o tome i u poglavlju 7).
PREGLED 1. POGLAVLJA 1. Novi fizikalni pojmovi
1.5 Formulirajc prvi Newtonov aksiom! ZaLto rabirno radijc izraz aksiom od zakona? 1.6 OpiSite "dobar" (referentni) koordinatni sustav!
fizikalne pojave
fizikalne velitine
mjerni broj
jedinice
dimenzije
Medunarodni sustav jedinica (SI)
metar
kilogram
sekunda
amper
kelvin
mol
kandela
radijan
steradijan
1.7 Definirajte srednju brzinu i pravu brzinu. Obratite paZnju na vektorski karakter brzine i pomaka! Uvedite derivacija preko definicijc brzine! 1.8 Definirajte akcelcraciju i povetitc Jo s promjenom brzine i promjenom poloiaja. 1.9 So je sila? Kako ulazi sila a prvi Newtonov aksiom? 1.10 Formulirajtc drugi Newtonov aksiom! Kakva je veza prvog i drugog aksioma? 1.11 Iz jednadibe gibanja (2. Newtonovog aksioma) izveditc putanju i brzinu eestice na koju djclujc stalna sila! Lizmite najopeenitije poeetne uvjetc!
koordinatni sustav
radijusvektor
srednja brzina
prava (trenutna) brzina
akceleracija (ubrzanje)
sila
Newtonovi aksiomi
masa
kolitina gibanja
1.13 Pomoeu zadatka o Atwoodovom padostroju opi8ite kako je moguee izraeunati akceleraciju silo tcZe!
telina tijela
opei zakon gravitacije
akceleracija site tele
1.14 Integrirajuei jednadtbu gibanja (2. Newtonov aksiom) izraeunajte putanju ecstice vertikalno baeene uvis!
Atwoodov padostroj
vertikalni hitac
kosi hitac
1.15 Integrirajuei jednadZbu gibanja (2. Newtonov aksiom) izraeunajte putanju eestice baecne horizontalno!
otpor sredstva
harmonitka sila
vremensko usrednjenje
1.16 Integrirajuei jednadZbu gibanja (2. Newtonov aksiom) izraeunajtc putanju eestice batene koso (kosi hitac)!
sila trenja
koeficijenti trenja
kruino gibanje
kutna brzina
radijalna akceleracija
kutna akceleracija
1.17 Integrirajuei jednadZbu gibanja (2. Newtonov aksiom) izraeunajte putanju eestice ispuStcne da slobodno pada, a na nju djclujc sila otpora proporcionalna iznosu brzine!
tangencijalna akceleracija
centralna sila
centripetalna sila
kutna kolitina gibanja
moment Bile
moment tromosti
1.12 Opi8ite pokus mjercnja akceleracije slobodnog pada. Sto je metoda najmanjih kvadrata?
1.18 "Integrirajuei jednadZbu gibanja (2. Newtonov aksiom) izraeunajte putanju ecstice ispuStenc da slobodno pada, a na nju djclujc sila otpora proporcionalna kvadratu iznosa brzine! Protitajte o Stokesovoj sili u poglavlju 8. 1.19 'Integrirajuei jednadtbu gibanja (2. Newtonov aksiom) izraeunajtc putanju ecstice baecnc koso prema gore, a na nju djclujc sila otpora proporcionalna vcktoru brzinc!
2. Nove relacije
1.20 Kako so dobiju balistieke krivulje? Kako izgleda sila otpora koja proizvodi balistieke krivulje? rn P=
a
dr
.27 = 151
_ d2F - dt 2
d dt
R. = -1;2,1 ma r
f -
F 2 r(t) = -t + vot + xo 2m 9 y(x) = 2vg cos2
x2 +xtg a
v(t) = VOC "
x(t) = 1 - In(' + ktvo)
X(t) = Inch(IgIt)
v(t) =
P„
tn + wot + 02
0(t) = x dt
L=
th (
to ct)
Pep = --rmrcu2 w(t) = wo + at =1-."
hf = I&
1.22 'Intcgrirajuei jeduarlibu gibanja (2. Newtonov aksiom) izraeunajte kako se giba eestica ako na nju djclujc periodieka sila!
=F
1.23 OpiSite silu trenja s makroskopskog i mikroskopskog stanovi8ta. Kako se dcfinira kocficijcnt trenja?
v(t) = -t + vo x(t) -= v0 (1 -
'')
1 +v tva
'4°
x(t) = A cos wot
=w
=w
P = ps,Dg
1.21 Integrirajuei jednadtbn gibanja (2. Newtonov aksiom) izraeunajte kako se giba ecstica na koju djclujc harmonitka sila!
-= dt
x
1.24 Opigite kruino gibanjc. Izraeunajte vremensku prornienu (dcrivaciju) vektora brzinc! 1.25 lzraeunajte vektor ukupne akceleracije pri kruitiom gibanju! Obratite painju na smjerove komponente akcelcracijc. 1.26 Definirajte vektor kutne brzine i napiite vektor brzine pomoeu vektora kutnc brzine kao i vektor kutne brzinc pomoeu vcktora brzine (i radijusvektora, naravno). 1.27 NapiFlite vektor radijahle (centripetalne) akceleracije pomoeu vektora kutne brzinc i brzine. Pokaitte kako sc pravilo desne ruke primijenjuje na gornje slucajeve.
0(0) = c'o + wot
1.28 Napi8ite izraz za vektor centripetalite silo. Izrazite ga a tri alternativna oblika.
_
1.29 OpiSite smjerove pojedinill vcktora pri kruinom gibanju (brzine, kutne brzine, kutne akceleracije, radijalne akccleracije i tangencijalne akceleracije, centripetalnc silo i tangencijalne silo).
=
dt
= x I = mr 2
3. Pitanja (sa zvijezdicom su oznatena teia, neobavezna pitanja) 1.1 OpiSite razliku izmedu fizikalne pojave i fizikalne vclieine! 1.2 Navedite jedinice Medunarodnog sustava i definirajtc metar, kilogram i sekundu! 1.3 OpiSite dimenzije fizikalne velitine i navedite nekc primjere! Koja jc dimcnzija silo, encrgijc i kutne akceleracije?
1.30 Intcgrirajuei jednadZbu gibanja (2. Newtonov aksiom) pod djelovanjem ccntripetalne silo izveditc naein gibanja materijalne totke po kruZnici polulnjera R. 1.31 Integrirajueli jednarlibu gibanja (2. Newtonov aksiom) pod djelovanjem tangencijalne silo izveditc naein gibanja materijalne totke po krutnici polumjera R. 1.32 Napi8ite tablicu paralclnih izraxa za kruino i linearno gibanje, vodeei raeuna o vektorima! 1.33 Sto je kutna kolitina gibanja. OpiSite motiv uvodcrija tog vektora po analogiji s gibanjcm po pravcu. 1.34 OpiSite situaciju kada je kutna kolitina gibanja satuvana! 1.35 Izvcdite opeenit izraz za vremcnsku promjenu (derivaciju) kutne kolitinc gibanja. Definirajte moment silo i pomoeu pravila dcsne ruke pokalite njegov srnjcr.
Dorluci 1. poylavlju
SI, I - 59
1.36 Opiite gibanje materijalne toi:ke po kruinici pod djelovanjem momenta silt. ljvcdite izraz as moment tromosti materijaine tca'.ke. 1.37 Napravite paraleins tablicu izraza za dinanlier.ke velieine bud rotacije i trausladje. Posebno pazita na vektorske oznake i sinjerove!
2 2. RAD ENERGIJA I SNAGA. ZAKONI SACUVANJA 2.1 Uvod 2.2 Rad Rad stalne sile Rad promjenljive sile 2.3 KinetiCka energija i teorem o radu i kinetiCkoj energiji 2.4 Snaga 2.5 Potencijalna energija i konzervativne sile 2.6 Zakon saCuvanja mehanitke energije 2.7 Zakoni saCuvanja Zakon satuvanja energije Zakon satuvanja kolitine gibanja Zakon sathivanja kutne kolieine gibanja Zakon saCuvarija elektriCnog naboja Zakon satuvanja ferrnionskog broja Pregled 2. poglavlja 1. Novi fizikaini pojmovi 2. Nove relacije 3. Pitanja
2-1 2-1 2-2 2-5 2-7 2-8 2-9 2-11 2-12 2-13 2-14 2-14 2-16 2-16
2-18 2-18 2-18
Sly. 2- 2
D. flortnat: Fizika I za FER Melnanika i toplina
Jedinica za rad je diul - J1 iii njutn-inetar - NII1, pa je to izvedena jedinica eija,je struktura kg in 2 s-2.
2. RAD. ENERGIJA I SNAGA. ZAKONI SACUVANJA
Definicija rada u fizici se razlikuje ad intuitivne "definicije" rada u svakodncvnom rivotu. Naime, ako SilVilti1110 rad kao irvrgeno gifianje (pamicanje) nekog tijela, onda se fizikalni i "svakodnevni" rad podudaraju, no ako u ruci drrimo (teiak) teret (nepomitno), fizikalno ne vrkmo nikakav rad (A.a.= 0), a u svukodnevnom rivatu karat demo da smo "radili". Rad jest, medutim, irvrkin unutar nakg tijela, poko su rivci eeprestana stimulirali misicna vlakna na stezanjc i rastezanje (so razliku od kostiju, ne more irdrrati stairs napam ver1 Sc mora neprestano stezati i opukati). Time je izvrSen unutaruji rad, koji se ne manifestira kao rad rnakraskopskog sustava.
Rad statue silo Ukupni izvrt;eiti rad na putu od mjesta s, do :Mesta 82 = s2 - WO, (10: osi x npr. (A8. -■ I • Ax) mo2ento naei tako da zbrojimo uninok.ce vektora site na injestu x.; i pomaka i • ,Ax,. Ako ,je sila konstantna dui, cijelog puta Ox, tj. F = Fo i ima snnjer pozitivne osi x, onda s je ukupni rad jednak "11,2 =- PO • • (,r2 2.1 Uvod
I) =
FO •
(2-2)
Ax•
To grafieki prika2emo prema slici 2.1 kao povrginu pravokutnika ispod "krivul,je" koja prikazuje silu (pravca paralelenog osi x).
Had i energija (i s njima usko vezana snags) su izuzetno va2ne fizikalue velieine za koje slobodno Inc2enio kazati da su mortis najva2nije fizikalue predodZbe suvremene znanosti i telinologije. Poznata je vte2.nost energije u kernijskim, bioloskim, astronornskim, geologkim i drugirn (pri znanostima, kao i u tehnologiji i tehuici. U fizici, ili ovdje u mellanici, rad i energija mogu poslu2.iti za opis nekog mehartiekog sustava na .jednakovrijedan naein kao Newtonovi zakoni opisuju dinamiku tog sustava. Medutim, vainost energije nije bila shvaeena sve do sredine 19. stoljeea, kada se uvidjelo da energija make poprimati razlieite oblike: energiju gibanja, kemijsku energiju, toplinsku energiju, svjetlosuu energiju, elektromagnetsku energiju, itd. S dana'Snjeg stanovita, kada nam je poznat sic fundamental/1th procesa koji predstavJjaju "zajednieki nazivnik" spomenutili energija, energiju ino2eino svesti ua kinetieku energiju i potencijalnu energiju atoma i/ili molekula, no u proutav roskopskill sustava (inaterijahla toeka, kruto tijelo, titrajni sustavi, itd.) jot uvijek je praktieno zadriati zadržati "tradicionalnu", gornju podjelu oblika u kojima se javlja energija. U izutavanju oblika u kojirna se u makroskopskim sustavima javlja energija ustanovjjeno je da postoji zakon saeuvanja energije, tj. zakon koji govori da jednom uvedena ili nekako dobijena, energija u zatvorenorn sustavu ostaje "vjetno prisutna". Taj zakon je potaknuo istra2livanje opeenitih zakona satuvanja, posebno kada je ustanovjjeno da su zakoni satuvanja povezani sa simetrijama fizikalnili sustava. U avant demo poglavlju definirati i opisati rad, energiju i snagu i formulirati osnovne zakona zatuvanja fizikalnilt velitina, to istaknuti njihovu fundamentalnu va2nost kao i konceptualne promjene koje su nastale kao pool rasta vainosti važnosti zakona saeuvanja u suvremenoj fizici. Terre samo naznatene u ovoni poglavlju dalje se razraduju u kasuijim poglavIjima (posebno zakon saeuvanja kolieine gibaJtja - poglavlje 3 ili inehanika krutog tijela - poglavlje 3 1 4.)
F(x)
W1,2
xl
1.2
x
Slika 2.1 - Rad izvrgen od stalne sile Fo
integralnog ratuna (dodatak D1) znamo da je to povrgina jednaka
11'1 ,2 = f F(x)tlx = Fo I (11, xV
(2-3) = Fo •
'I)
= Fo • Az.
2.2 Rad U fizici kaZemo da je neko tijelo izvrgilo rod ako ,je ono savladavalo silu no nekom. putu. Matematitki to incettio iskazatl tako da kaieino da je rad jednak skalarnoin umno§ku (vektora) site i (vektora) pomaka, tj. AW=F-A (2-1) Dakle, rad je
= Fo (1,2
kada je tijelo bilo poniaknuto dui puts Os i kada sila ima komponentu (10, puts.
Primjer 2.1 Za kogaru s maakorn Ar•turom prikvaerta je opruga konstante k = 100 N/rno Oprugu rasteZerno (parulelno s Horn) i kada se opruga rastegne 20 cm, koaara se pokrene. Koktru s Arturont odskliierno 2 rrt nriesnto, Indriatnajnei stalnu rastegnutost opruye. Koliki smo izvrgili rad za vrijerne pornicanja kogare? ;lames Prescott Joule (1818-1889) gkotski fiziear i pivar.
q 'Jo
;!.
qa
oat. Motka I on FEU. - Alchrottl.“
Zuk171.1 Olr.711,f1 1. 11,1
1 701!174(1
pa skalarni umn&..ak F sa di = i d.c daje F • di = Fo cost dz. Gornje razmatranje, Inatematieki dare u jednadZbarna (2-5) upuiuje da rad mote biti i negativan! Ako sila djeluje u suprotnorn sinjeru od porriaka tijela, onda je izvrS-eni rad negativan. Take npr. a zadatku 1 tovjek mote djelovati silom od 600 N na ormar take da ga zaustavlja. Neka se ormar giba s lijeva na desno (nekom brzinom koja ,je dobio zheg neke druge Bile). Covjek ga zaustavlja djelujuei silorn s desna na U torn .je slutaju tovjek izvrSio rad jednak
Slika 2.2 - Uz primjer I
W = F.•
= f F • dx • cos 180° = 600 N • 3 m . (-1)
= —1800N. drugatije kazano, "ormar je izvrkio rad na tovjeku" (i taj rad ,je pozitivan!).
12,JEENJE Kada se opruga rastegne za At (= 20cm) onda je sila koja ju je toliko rastcgnula upravo jednaka
Take je rad koji izvrS4mo kada podiZemo tijelo prerna gore (stalnom silom) jednak (slika 2.3)
F = k • At. Tom je silom pokrenuta konara s Arturom i to ,je sila djelovala. na putu Ax (= 2 m), pa je silo F izvrHa rad jednak
IV1 ,2 = 1F • di; = F (112 — hi)
(2-7)
m
=
f (kAt)• dx -= (k • At).
=F• 5h.
2
0
40J.
Zadatak 2.1 Koliki rad izarli 6ovjek gurajue'i stalnom silorn F = 600 N armor na putu dugorn trot RJEEN.JE: IV = 1800J.
Medutim, i sila i pomak su vektori, a prerna definiciji rada nije svejedno koji kut zatvaraju vektori Pr'" i di! Drugirn rijetima, u primjeru 1 bile je vaZno naglasiti da sila djeluje paralelno s flour, pa je, prerna definiciji sicalarnog produkta vektora (dodatak D2) = f • a =Ifl • Id.§1• cos(z P /a) = IPI • !al • cos 0°
(2-4)
= F • ds. Ako je sila stalna ali djeluje po pravcu koji sa smjerom pomalca tijela di zatvara neki kut 0, onda ,je ukupan rad jednak (za pomak duž osi x) 2 W1, 2= P4 •
Slika 2.3 - Sila F podiie kogaru konstantnorn brzinom
S obzirom da se koara na slici 2.3 podi2e stalnom brzinom, prema 2. Newtonovom zakonn dvije so site u ravnote2i, silo F i telina G koSare i Artura
F — = o,
IFI=
ci
R.ad koji je izvr§ila sila teZa. (tetina) G je
a = Fo cos 0 f dx Fo cos 0 • (x 2 — )
(2-5) wG = 6' • dli = f
= Fo cos 0 • Ax.
coslso° =
,„ Naime, vektor sile je jednak (dodatak D2) F=i F0 cos 0+jF0 sin 0,
- -W1,2. (2-6)
Znati da je ukupni rad izvrAen na koSari s Arturorn ,jednak nuli!
• (—n
(2-8)
6. Rod,
(•11 lyija i 511,1y(1.
Sir.
ZILkU161 ucuvanja
- 5
Str. 5 - 6
D. llorvat: Fiziku I as FER • Adeltunzka i toplirtu
F(x)
Primjer 2.3
poloiaja a =
Koliki rad izvnii opruga koja vrati praznu kogaru (Artur je iskoho!) a ravnoteini poloiaj iz = 20 cm. Kojara se giba jednoliko!
R.JEENJE Smjer rile opruge F p je prema ishodittu, a pri tome to sila morn savladavati silo trenja (koja ima suprotan smjer, a po iznosu je jednaka sili opruge, jer se ko'Sara giba jednoliko), tj.
x1
x2 P00 =
Slika 2.4 - Rad prornjenljive site F(x)
—ikx
i
Fop +F„=0
pa je opruga izvfSila rad nasuprot silt trenja jednak 0
Wu p = f Rad promjenljive site Ako sila nije stalna (konstantna) kao u izrazu (2-3) onda ukupni rad dobijemo zbrajanjem umno2aka Fi • Axi , gdje sada Fi irna smjer dui x—osi i ovisi o mjestu x,, tj. WI , z
=
E Fi(xi) • Ox;,
0
f (ik ( dx) = x)(—idx) = —k f x dx Le
=—
k 2
pi
= +k
LC
(Ae)2 = +2J. 2
(2-9)
prema slid 2.4. Ukupni rad, odnosno ukupnu povr0inu ispod krivulje F(a) dobijemo najbolje tako da podijelimo interval dx. Svaki taponmo oo) djeMa, pa Ax1 = x2 — xi na mnogo (beskona'eno innogo - N oihno žhno odgovaraju&in siloni F(x) na mjestu x i sve to posumiramo. Tako dobijemo odredeni integral (vidi dodatak DI, jednadibe (D1-30) i (D1-29'), to sliku D2). Prema tome,
= f F(x) dx openitije
(2-10a)
2 IV, 2 = f (F) dr.
Primjer 2.2
Prirnjer 2.4 Opruga visi u nerastegnutorn poloiaju. Za njen kraj prievrkena je koiara iz prirnjera 1 (rn=6.4 kg), all rukorn pridriavarno kogaru tako do je opruga prvo nerastegnuta, a zatirn polako spugtamo ruku, tako da se kogara jednoliko spugta i rosteie oprugu. Opruga se rastegne do duljine Dy = 12.4 cm. lzraeunajte rad koji je izvrgila teiina kogare, b) opruga i c) risks. (Konstanta ove opruge nije poznata!)
(2-10b)
Koliki rad izvrgi silo koja rastegne oprugu (k=100 N/rn) za 20 CM, U. print:jet-a I?
RJEdeNJE Vanjska silo rasteie oprugu za At(-=20 cm). Pri tome rastezanju vanjska sila mora biti sve vela i veda, jer se opruga opire rastezanju, a to je opiranje proporcionalno produljenju At, tj.
= —kxi gdje je x u stvari At. Vanjska sila je znaia jednaka sill opruge (po iznosu, all je suprotnog srnjera) 17■ mjska = kxi,
Slika 2.5 - Artur visi no opruzi - uz prirnjer 4
a rad koji izvrSi vanjska silo je =20 cm =
f
= 2 =20 can
(i d x) = k f .1=0
x 2 20c m
=k 2
2 0
= 2J.
0.22 k• 2
xdx RJ17,EN.11.: (Ovo je vrlo veal, primjer i valja ga pailjivo prostudirati!) lz podataka da je na udaljenosti Ay postignuta ravnoteZa silo (teiine i sue opruge), izraeunati demo konstantu opruge k, tj.
G —3• kAy = 0 a
k=
G
= = 506.323 Nim Ay Ay
2, Rad, encrq;jai snags.
Sir. 2- 7
Zak071i ocuvanja
Actor skal sa zids visokog 1.5 ?a, u horizontalnorn srojeru, brzznow on doskoa, on zernlyn?
Primjer 2.5
(pozitivna os y okrenuta jc prema dolje). Rad koji izvr5i telina ko5are i Artura je TVG = 3 rag j • Ay = +7.785 J.
2
–3.892 J,
IV= F LIE = mg Valja uoiati da potnak de iota dvijc komponenta, u smjeru osi x (liorizontalno) i u smjern osi y (vertikalno - pozitivan je smjer prema dolje), no skalarni uninolak site koja ima samo komponentu prema dolje daje doprinos samo a stoic!, osi y (vitljeti reeenicu iza formule (2-1)). L. gornjoj je formuli IS = 1.5 In. Onda
• dy = 0
Jc
pa je uktipm, = IV + Wan + 1Vtars
Kojorn
tj.
a kako jc ukupni izvr5eni rad jednak null, jar je tijelo jcdnoliko spubltano, pa je ukupno sila bits jednaka null, imamo IV,,k„,,„. =
brzirtorn v, = 3 rn/s.
R..1E 5 . E,Nr E Problem molemo rijesiti tako do napigemo ,jednadZbu gibanja (horizontalni !Mac, it d. ), = medutim, ovdje tlemo problem rije5iti ponmeu teorema (2-14). U poeetnom trenutku brzina je v, =. 3 m/s, a porast kinetieke energije (povetlanje brzine) jc rezultat izvrbenog rada koji izvr5i sila teZa,
Rad opruge je ,jednak
-k (4y)2 =
D. Ilor vat: Fizika 1 za FER - A4 chanika i tophn a
St, 2- 8
=0
=
–
–3.893.1.
1 s – –ott,;ot , 2
1 2
i era,,
4 4
N/2gAy + vr,0, = 6.199 m/s.
I:inernatitl,ki se to brzina sastoji oil horizontalne komponente r, i vertikalne komponente Vq,ot + vi i njcn je smjer "koso prerna dolje".
tj
4 4 2.3 Kinetieka energija i teorem o radu i kinetinoj energiji Neka na tijelo stalne mase in djeluje sila F dug osi x i daje tijelu akceleraciju a. Onda mogerno napisati d dv dv dx F = —p = rn— = m-dt dt dt dx dv dx dv = rrt— — = ra— • V, dx dt dx
Zadatak 2.2 lzra6unajle kut o brzine iz prethodnog pricnjera, u odnosu na horizontal?u. RJFENJF.: tga =
(2-11)
to
a = 61 057°.
to
pa je rad koji izvrgi sila F jednak 2 ,
,47,,,=/Fd:c=imv_ax=imv,,,.,.= dsc
2.4 Snaga
v2 p
2 ,,, (2-12)
WI ,2 =
712q
771V?
2
2
prema (2-10a)
MA 2
my
– 2 = f F(x)dx
Silo mole izvrsiti isl.i rad na bezbroj naeina, tj. cljelujuei nekom silom, neki predmet dug, nekog puts mogemo porna.knuti za 1 sekunclu, ili 1 minutu, ili 2 minute ltd. Za razlikovanje naeina izvrerlia rada (a vremenu), uvodimo snagu koju definiramo kao rat) izvrgen u nekom vremenu, odnosnu definiramo ju kao ornjer ra.da i vremena za koje ,je taj rad izvrSen AW
(brzina vi je brzina koju ima tijelo na mjestu xi). Razlika vereina u zadnjem reclu forinu1e (2-12) je razlika kinetidkih energija AEk. Time smo uveli pojam kinetieke ene gije Cestice rnase m i brzine v
1
Ek = –rnv2 . 2
(2-15a)
Al Ako nas zanima
snags a odredenom trenutku (a (2-15a) je clefinirana sredrija ;maga), on& je
(2-13)
P=
d117
(2-15b)
dt
Relacija (2-12) je iskaz teorema o radu i kinetiekoj energiji koji kage da ,je ukupan rad koji izwrge site na
Jeclinica za snagu je vat
neku aesticu jednak prontjeni kineti2ke energije aestice
Iz (2-15b) mogerno dobiti snagu izragenu pomoeu site koja djeluje na tijelo i vrgi rad
Wuk = AEk = Ekikonkena Ek/poCet.na
1 2 = '-rnviconat.na
trio snags
jednaka
(2-14)
-
W. odnosno W=.1/s=kg•m2 /s2 /s=kg•in 2 /s3.
P–
dIV
• df.
dt f
dt
-
–F
dt
(2-16)
2. Rod,
i sr1111/11.
Zokoni
01;1/1171:01
St,.
9
Otigledno,je da i snaga (kao i rad) mote hiti negativna, ovisno o srojeru cljelovanja site i smjera hrzine.
St,. 2-
10
Honrt:
D.
Fiziku 1 so PER. - Mehuniku i
toplino
Ckupni je rad site f jednak (heskonaenoj) surni radova dll", tj. integialu, a kako je sila stalna. dohnerno da je
Prirojer 2.6 Autornobd 111,18C 1 t iniruje. If ado se pokrene, zu 15 s je prosjeena snaga motors trebala za to yibartje? R.JEIENJ E
071
13
postiyne brzinu od 100 km/h. Noliko 16 =
Yr!
P' • dS'=Ifi•
= my • yn.
(2-1S)
A
Promo t.eoremu o radu i kinetiOkoj energiji
Do solo izabrali putanju 2, dakle od Ado C pa do B dobili bistro), oeito isti rezultat, jer ponovno dio puta od C do B ne hi doprinosio jet. je dot toga dijela silo okotnita na pornak. To vrijedi i za putanju 3, gdje hi dio truth od .4 do D dao doprinos nula.
= 3.838 x 105 J, pa je za to gibanje trebala (prosjeOna) snaga .jednaka -..,
IP At (la_ko su "konjskc silage" (KS) jedinica izbateoa iz sluthene uporabc, jot; uvijek su u svakodncvnom komuniciranju "konji", Costa jednica za snags autornobilskog rnotora. Gornja snaga u vatima, preraOunata u KS je P = 2.572 x 10' W • (1KS/735.75W) c 35 KS.) P = — = 2.572 x 10' W.
Kilda hismo sada vratili Artura putanjont 3 natrag. od B do A. (jecinoliko, naravno) sila hi imala kao i prije smjer prema gore, no pomak je u suprotnorn smjeru (spugtamo ga). Had bi bio negativan. alt istog iznosa! (Porrovito lie doprinosi dio putanje od D do .4!) Viclimo da je ukupni rod pri premjegtanju tijela od A putairjour 1 do B pa natrag putanjom 3 do A jednak nuli! To hismo napisali ovako A •
Wukupni = f
4 4
dg + I f • d.;=- 0
A-0C A
f • d.?= 0
f' • d.S. = - I
f
2.5 Potencijalna energija i konzervativne site Potencijalna energija je oblik energije koja se nalazi u fizikalnom sustavu zbog relativnog polotaja ill orijentacije dijelova sustava. Da hismo je toeno opisali i za gjeuo puno razumnevanje, valja uvesti pojam konzervativne site. Pogledajnio situaciju na slid 2.6, gdje nasuprot site tete telimo premjestiti Artura (jednoliko, da se maeak ne uplai) s poda (toeka A) na stol (toeka B). Na slici su naznatena tri od bezbroj mogueill natina kako motemo izvesti to premjegtanje.
(2-19)
f • (lg.
B:r
A-1C
f f • a f f • a A--oC
A-01)
Rad izvrgen po zatvorenoj krivulji protiv site tete jednak je null. Nacialje, rad izvr8en protiv site tete ne ovisi o putu, vet. ovisi samo o poeettioj i konatnoj weld! Za takvu silu katemo da je konzervativna sits. Za konzervativnu silu moterno definirati funkciju (koordinata) U(a,y, z) (najopeenitije u 3 dimenzije), takvu da je to silu moguee dobiti iz tako definirane funkcije! Tu funkciju zovemo potencijatna energija. Dakle, potencijalnu energiju mote imati samo sila koja je konzervativna! Promjenu potencijalne energije A Ep AU defirtiranto kao negativni rad koji izvrte konzervativne site (indeks "K" stoji za konzervativna ) AE, = — 1I'k.
(2-20)
WK = -AU = U, - = f P; • dz.
(2-21)
AU = -WK odnosno, u ,jednoj dimenziji
ill
znaei poeetni, a k kortatiti)
Cornjo .jeclna&bu inotemo napisati i ovako Shka 2.6 - P7V711:legt(1711e A711171111(1 tri rioetna
U k(X) = - f P; • dr + Up
Najvjerojatnije bismo Artura premjestili putanjom 1. Pri tome se putanja 1 sastoji od niza potnaka df koji se sastoje od pomaka (hit osi x za i • dx i pomaka dui osi y za j • dy. Sila teta ima srojer prema doije jednak G = -5nry, pa je izvrgeni rad site F nasuprot sili teti, na djelieu puta
i testo izaberemo vrijednost za Uy da bude jednaka nun, za neki proizvoljni položaj x. Fizikalno znatenje iota samo promajena potencijalne energije. Jednaaba (2-22a) daje narn "recept" kako izratunati potencijalnu energiju U(x) ako je poznata sila. S druge strane, iz potencijalne energije U(x,y,z) motemo izratunati silu
=
• V= -6; • (IS' = (+5 • ray) • (I
= my • dy.
+ dy)
(2-17)
F(x) —
OU(a, y, z)
F(y) —
OU(x,y, z)
ay
(2-22a)
F(z)—
OU(x,y, z)
az
(2- 22b)
2. liar?, cn rrgia
i snaga. Zakoni
WIL11117110
2- I I
D. I/for-cot: Fi,iky 1.:a 1.TI? - Mchanika i topliroy
51r. 2- 12
Zadatak 2.3
Had koji izvrii nekonzervativna sila ovisi o putu (stazi) dui, kojcg je rad izvrten. Rad nekonzervativne silc dakle nije funkcija samo potetnog i konatnog poloiaja, pa za nekonzervativne silo ne postoji potencijahia energija.
Koju bizinu na visini y iron tijelo iz primjera 7, ako je ono been() prema dolje brzinom vp ? 13,JEENJE: vk = r;1; -1- 29(h — y).
2.6 Zakon saeuvanja Inehanieke energije Neka se eestica giba po osi . 17 pod Hjelovanjein konzervativne sile energiji, rad konzervativne site je
Prema teoremu o radu i kinetiekoj
ll'K = AEk,
(2-23)
2.7 Zakoni saawanja Neka ,je neki sustav S, koji se sasto,ji od eestica iii vise tijela, odreden u nekom trenutku to koordinatama {x(i01 ) i brzinama {!°)}, tj.
a prema ,jednadibi (2-21) 1110"2e1110 napisati Ha je
S
AEk = —AU,
(2-24)
A(Ek + U) -= 0.
(2-25a)
odnosno
To ,je zakon satuvanja mehanieke energije koji mo.Zemo napisati i u altetnativnorn obliku Ekl p + Up = Eklk Uk.
(2-25b)
Ako uvedemo ukupnu (mehanieku) energiju E kao zbroj kinetieke energije Ek i potencijahre energije E=
(2-26)
U,
onda zakon saeuvanja melianieke energije kaie da je AE = 0,
(2-27)
odnosno, da je ukupna mehanieka energija sustava konstantna, ako su jedine site koje u sustavu cljeluju konzervativne site. Molerno, dakle, kazati da kada se kinetielca energija sustava pove/a (ili smanji) za neki iznos, za isti se iznos smanji poveca) potericijalna energija. Tako ,je uvi,jek zbroj kineti?ke i potencijalne energije stalan. Primjer 2.7
Tijelo je ispu.§teno s visine h iznad tla. Koju brzinu irria tijelo kada je na visini y iznad tla?
= scto {.;°')
})
{,( 0)
(2-28)
Ako se sustav mijerna u vremenu onda kaZemo da se zoijenja stanje sustava. Na osnovu razmatranja zakona mehanike, znamo da, poznavajuei medudjelovanja (site) sustava (njegovih konstituenata), molemo odrediti vremensku evoluciju sustava, tje'Savajuei jednadZbe gibanja konstituenata, uz poznate poeetne uvjete dare u ,jednadibi (2-28) (2-29) S = S(t 0 , {.;°)), {.(°))) S = S(t, fx,), {±,}) Medutirn, odredivanje stanja sustava u trenutku t putem jednadibi gibanja rnole biti izvanredno zarors;en problem. Problem mole biti i nerje§iv ako se npr. ne zna totan oblik medudjelovanja, ako je broj konstituenata. ja.ko velik itd. Postavlja se zato prirodno pitanje: mole li se na osnovu nekih opdih principa, koji su (eventualno) povezani sa zakonima. mehanike (Newtotrovi aksiomi) zakljutiti o konaenorn stanju sustava S(t, (xi), Uzi)), bez kompliciranog postupka rje§avanja jednaZbi gibanja? Odgovor no to pitanje je pozitivan: opei principi na osnovu kojili molemo opisati neko stanje sustava a.ko mu znarno poeetno stanje, zovu se zakoni saeuvanja (nekih) fizikalnih velitina. Oni govore govore o fiziklanim velieinama koje se ne mijenjaju u vremenu, iako se stanje sustava (koortlinate i brzine opt.) vremenski mijenjaju. Dakle, fizikalna velieina koja je nepromjendjiva vremenu je saeuvans fizikalna vclicinn ili konstanta gibanja, a zakon koji govori o tome jest zakon saeuvanja. Zakoni satuvanja postali so posebno vaini rclativno nedavno, kada je otkrivcno da on oni povezani sa simetrijama sustava, odnosno simetrijania medudjelovanja koje dada u sustavu iii vac sustav s okolinom. Time se teiiite razmatranja svojstava i dinamike fizikalnog sustava pomite sa zakona gibanja na zakonc satuvanja. Zato se mote kazati da su prijc vrijedili zakoni dozvole: oui su opisivali ito se mote i sinije dogoditi, a sada, preuzirnanjem vodete uloge zakona satuvanja imamo zakone zubrane: zabranjuje se svaki prows koji bi promijenio vremenski konstantnu (sa(uvanu) velitinu. Vain° je istaknuti da su zakoni zabrane ma.nje restriktivni od zakona dozvole. Neki osnovni zakoni saeuvanja su zakoni satuvanja
RJEENJE Na tijelo djeluje samo teiina tijela (konzervativna sila), pa moiemo upotrijebiti zakon satuvainja energije (u °Niko (2-25b)), jer je potetna kinetitka energija .Ek15 = 0 i Up = m.gh. Na visini y imamo = rut),/2 i US = mgy. Onda jc
(a) energije, (b) kolieine gibanja, (c) kutne kolieine gibanja, (d) naboja,
E11 5 -e Up = E1.15
0t myh=
mu) 2
+
mgy
vi = 29(h — y)
(e) fermionskog broja, koji u sebi ukljukuje npt. (el) zakon saeuvanja leptonskog broja. Zakoni saCuvanja (a), (b) i (c) povezani su sa svojstvoin izottopnosti i hornogenosti prostorat i jednolikosti vremena. t Izotropnost prostora ,je karakteristika prostora da u sviin sinjerovima ima ista svojstva.
2. Um!, cryryira i Snapa.
Zak Oni
cermartja
Sir. 2- 13
Zakon sai.-mvanja energije je poopceiije zakona spomenutog u proSlom odjeljku, a on u mehanici glasi ovako: u inercijalnoin sustavu mehanieka energija zatvorenog sustava eestica, u kojeni nema disipativnih sila, ostaje stalna. Dakle = 0 (vidi (2-25a)).
Sir. 2- 14
D. Norval: Fizika l za FER - Mehanika i toplina
pa integriranjem od t = 0 do t = td, odnosno od x = 0 do a = d, dobijemo
C11;
dt —
Neka je ukupiia mehanieka energija inercijalnog konzervativnog sustava u jednoj dimenziji jednaka
.1
2
,„
+ Euk = -
/2
0 {4 f(y) +
o
(2-30)
(x).
2
(2-22b) vrijedi do je dU(x)/di = —F,. DokaZimo da je En k vremenski nepromjenljiva veheina:
dl
— 2
dv d U dv dU 2v • — + — = — + — —
dt
dt
dt
da dl
dw v(m— — F,)= 0,
(2-31)
(it
pa vidi no da je dE,A/dt = 0, jer je ispunjen drugi Newtonov aksioni in • chid( = F0 . Time su zakoni saeuvanja rfirektno povezani s jednadZbama gibanja sustava. Opeeniti zakon saEuvaitja energije molemo formuln•ati ovako: energiju nije moguee stvoriti ill uuistiti. Ono mo;,e samo prelaziti iz,jednog oblika u drugi ii s jednog sustava na drugi. Pooplenje tog zakona preteZe Sc ea !duos !nose i encrgije prema Einsteinossij relatiji: Ey = tric2 , gdje je Ey energija mirovanja tijela, a m ujegova masa (vidi poglavlje 7). Npr. u visokocnergctskom ra.sprSenju ("sudarauju") protona p na protonu p stvara se Z.:este:a pion 7r•
p+p--p+p+ 71. Jedan proton s lijeve strane prikaza reakcije ima (kinetieku) energiju) i zakon saeuvanja energije izgleda
sada ovako kin.
+ 2nLY c2 =
kin.
+ 2rnpc2 + rrt„c2 .
Zakon saEuvanja koliCme gibanja Kolieinu gibanja definirali smo u prvom poglavlju kao umno2ak brzine tijela i njegove erase: l7= nvt7.
Zakon sacTuvanja kolieine gibanja kaie da je kolitina gibanja sustava konstantna velitina (saeuvana, u vremenu nepromjenljiva), ako je zbroj svih van sila na sustav jednak null, tj. 17= konst.
E
ako je
(2-32)
'raj zakon je opeenitiji od Newtonove mehanike jer vrijedi i u ndkroskopskom svijetu atoma i njegovih konstituenata, a tamo Newtonovi aksiomi ne vrijede. Primjer 2.9 U drveni blok incise rap = 15 kg jedan za drugirn -adore dva metka, svaki inase rn„, = 4.2g. Kojn brzinu vir in/a korttad (intact nakon sto ga pogodi drugi metak, ako je brzina inetaka v„, = 1200 m/s, a kontad drveta prije -adorn inetaka rairuje? R.JESENJE Zakon saimvanja koliLne gibanja u jednoj dimenziji (a) za prvi metak daje
Pprije = Ppoehje Primjer 2.8 Cestica erase in giba an po pravcu pod djelovartjern site f (x). lzraJunajte, na 0 STIOV11 zakona saeuvanja energije, vrijeme potrebno da an eestica pontakite za udaljenost el. Prije poaetka djelovanja sire
ti•
i• TrWirn
Pmetak Pdrvo = Pmetak-Fdrvo
+ 0 = ( MD + Ulm)i • VD ,
a za drugi metak je
(:estica se gibala brzinom vo.
(mu +
i = (mu +
1,
RJEENJE Jednadiba gibanja testiec jc Pa je '113
d2"
vu = v,„ •
f(x),
dt 2
Ovdje valja naglasiti da mehaniZka energija nije saZuvana (energija jest sauvana!), jer se pri udaru metka u drvo razvija toplina Q, pa molemo napisati
a teorem o kinctiekoj energiji i radu, jedn. (2-12) daje 1in day = 2
2m ,,, — 0.672 m/s. trip + 2m,,,
f (ody Kin.
2
Kin.
+ Q.
gdje je Co poletna brzina tijela prije djelovanja site. 1z gornje jednadZbe je 1/2 da = dt
f (Y) dY +
Pri ratunu kinematike gornje reakcije valja voditi railuna o tome da izraz za kinctiau energiju u obliku nave/2 vrijedi sane> za male brzinc (u odnosu na brzinu svjetlosti c), pa bismo morali rabiti izraze iz poglavlja 7, za relativistitke brzine
Zakon saEuvanja kutne koliEine gibanja Kutnu kolieinu gibanja definirali smo u prvom poglavlju (jedn. (1-83)) i pokazali da ,je kutna kolieina gibanja saeuvana lada na testicu djeluju sarno centralne site (jedn. (1-86)). lz jednad2be (1-87)
dt
M
(1-87)
2. Bad, enerysia i snaga. Zakont oduvanja
Str. 2- 15
vidimo takoder daje L konstantna velieina ako je moment (vanjskilt) sila M oko date totke oko koje ratunamo kutnu kolikinu gibanja jednak null (2-Ma) L = konst. 7d L = 0 t Prema tome, zakon ,saeuvart ja kutne koliejine gibanja molemo iskazati ovako: u inercijalnorn sustavu koji je izoliran od okoline, kutna kolieina gibanja ne ovisi o vremenu (konstantna je). Oko Bane totke, odnosno osi kroz tu toeku L (totnije, projekciju L-a na tu os) inokerno izraziti polnoetu momenta tromosti I i kutne brzine pa zakon saeuvanja kutne kolitine gibanja daje (2-34b) E = E -11:„k gdje se strum protele preko svih poeetrith (p) odnosno konaitnill (k) stanja sustava. Za sustave koji nisu izolirani od okoline vektor kutne kolieine gibanja L nije konstanta gibanja vee saeuva.na mole biti jedna njegova projekcija na neku os (z npr.). To je toeno u slutaju ako je projekcija ukupnog momenta Al svili vanjskili sila na tu os jednaka nuli. Dakle, kako je = E Mi/, (2-35) L. E L,,, i ako je npr.
(2-36) k Al, = 0 onda je L, = E L,,,(t) = konst. Zakon satuvanja kutne kolitine gibanja postulira se i za sustave u kojirna ne vrijede Newtonovi aksiomi, pa taj zakon predstavl,ja opei princip izveden iz eksperimentalnih razmatranja. On je zajedno sa zakonom saeuvanja energije i zakonom saeuvanja kolitine gibanja jedan od najvalnijih zakona prirode. Primjer 2.10 Utn jetni satelit ima eliptienu putanju oko Zemlje takvu da je u perihelu udal jenost jednaka 7.02 x 106 m, a u afelu 10.3 x 105 nt. Ako je brzina u perihelu 8.22 x 103 m/s, kolika je brzina u afelu? RJESENJE Na satelit djeluje centralna sila, silo gravitacije. Prerna tome, kutna kolitina gibanja je satuvana, a to znad da je
tj. rne,r, =
Lperihel = Lafel
7/1ll.re
gdje je v„ brzina u perihelu, ltd. Brzina u afelu je vp = vp
= 5.602 x 103 m/s.
Sir.
D. Homat.. Fizika 1 za PER • kleitanika
2- 16
i toplina
Zakon saeuvanja elektrienog naboja Elektrieni naboj izralava jakost kojom inedudjeln ju tijela koja posjeduju viak lb manjak negativnog naboja tiji je nosilac elektron, elementarna testica eiji elektrieni naboj molemo izraziti ponloCu Si-jedinice kulon - C (2-37) 6 x 10-19C Eksperintentalna je ein jenica da je naboj protons (koji nije elementarna eestica vee se sastoji od kvarkova predznaka elementarnill eestica - vicli 9. poglavlje) po iznosu jednak riaboju elektrona, all je . (2-38) Q(p) = -Q(e) = = +1. Eksperimenti pokazuju da sve (elementarne) testice koje nalazimo slobodne u prirodi imaju po iznosu naboj jednak naboju elektrona njegovoin cjelobrojnom viekratniku. Tako je npr. naboj tzv. kaona h ,jednak (2-39) Q(K-) = Q(c) = -1.6 x 10-'9 C, a naboj tzv. delta-rezonance A++ ,je (2-40) Q(A++) = -2 x Q(e) = 2 • IQ(e)I = 2 x 1.6 x 10-'9 C ltd. U prirodi postoje i neutralne eestice ciji je elektrieni nabo,j jednak null, npr. mionski neutrino je eestica bez elektrienog naboja Q(v5) = 0 ill Q(neutron) = 0 ill Q(71-9) = 0, ltd. (2-41) Zakon elektrienog naboja zabranjuje procese u kojirna bi bilo narugeno saCuvanje (ukupnog) elektrienog naboja. Po tome zakonu dozvoljene su reakcije poput p + p -)11. + A° + K+ + zr+ 7+ + (2-42) p n + p A++ + K*9 U prirodi nikacla nije opalen proces u kojein bi postojala nejednakost zbroja elektrienog naboja prije i poslije reakcije. Zakon saeuvanja ferrnionskog broja Pri razrnatranju mikroskopskih svojstava tvari (poglavlje 8) uvest Cemo svojstvo mikroskopske - elementarne eestice, svojstvo koje zoverno spin lb vlastita kutna kolieina giban ja. svojstvu odgovarat ee vrijednost spina, tzv. spinski kvantni broj koji je jednak runnoiku tzv. reducirane Planckove konstante (vidi dodatak D5) i racionalnog broja (0, 1/2, 1, 3/2. 2, ltd.). Sve mikroskopske testice (proton, elektron, kaon, lambda, pion, foton, neutrino, ltd. - vidi poglavlje 11) prema. vrijednosti spinskog kvantnog broja podijeliti u dvije skupine: u tzv. bozone koji kvantni broj jednak 0 • 1 • 2 . ltd. i na lerrnione koji ima ju spinski kvantni broj 3 • Ti ltd. Fermiortima inolemo pridru iti ferntionski broj koji je apsolutno saeuvan n svini reakcijama, tj. zabranjene su one reakcije u kojima ukupni fermionski broj prije i poslije reakcije nije jednak. Fermionski se broj za razlitite grupe fermiona razlitito zove; za tzv. barione tj. za te.;Ie eestice poput protona, neutrona, ksi ltd. broj se zove barionski broj - B koji je prema zakonu saeuvanja fermionskog broja apsolutno satuvan. Tako je dozvol,jen proces p + p ->11. + A° + K+ + zr + (2-43) Q(e) = -1.
suprotnog
6 x 10-19 C
sacuvanja
ir°
Toni
rno2erno
irnaju spinski
Ti,
Zadatak 2.4 Zeltajilla staza oko Sunca je eliptiena (rnalog ekscentriciteta). U perthelu je udaljenost Ze111.1: jaSunce jednaka 1.47 x 101' m, a u afelu je 1.52 x 101' rn. Izraeunajte koliko je prta brzin.a u perihelu ve&L ad brzine u afelu. RJESENJE: 1.03 puta ili 3.4% vie.
lambda,
Ti,
fermionski
jednak 2• Ti. 4 • Ti.
2. Rad, t•Ti • yija i snaga. Zukottt ocuvarya
Str. 2. /7
jer je abroj barionskili brojcva 13 na lijevoj strani jednak zbroju barionskili lirojeva B na desnoj strani reakcije (13(p) = 1, 13(10= 1. 13(A° ) = 1, B(10- ) = 0, B(7r+) = 0; (knoll i pion a su bOZ0111 pa je njiliov barionski/ferinionski broj jednak nuli). Broj bozona u reakcijaina nije saeuvan. da svaka (elementarna) eestica iota svoju antieesticu: proton - anti-proton (p - 1 (It -
),
itd., pa je odgovarajtMi ferinionski broj antieestice jednak negativriont
fermionskom broju eestice. Fermionski broj koji pridruaujemo elektronu i njegovorn neutrinu rove se elektronski leptonski broj - e, i on je boo i barionski broj gore saeuvan. Apr. u reakeiji raspada piona 7+ —7
e+ + ve
imanio saeuvanje elektronskog leptonskog broja e,. jar ,je
(2-44) = -1 i
D. Horvut: Fiziku 1 an FER Mehaniku i toplinu
PREGLED 2. POGLAVLJA 1. Novi fizikalni pojmovi
treba odniall naglasiti neutron - anti-neutron
elektron - anti-elektron tj. poaitron (e - - e+), kaon - anti-know (1( - 1(), pion - anti-pion (7r+ -
7r - ). neutrino - anti-neutrino (a -
Str. 2- 18
rad
rad stalne site
rad promjenljive sile
kinetitka energija
teorem o radu i kinetiEkoj energiji
saEuvanje kinetiEke energije
snaga
srednja snaga
vremensko usrednjenje
konzervativne site
potencijalna energija
mehaniEka energija
zakon satuvanja mehaniEke energije
zakoni satuvanja i simetrije
zakon satuvanja energije
zakon satuvanja koliEine gibanja
zakon saEuvanja kutne kolitine gibanja
zakon satuvanja naboja
zakon satuvanja fermionskog broja
= 1 pa lijeva i desna strata 2. Nove relacije
imajo ukupni elektronski leptonski broj,jednak nuli. Slieno je i u raspadu
2
7r - -■ e— +
(2-45)
SIN= F•Ag
WI,2 = J
2 F
d7"
A di = —I A di I
tay. (1-raspadu neutrona imamo istovremeno saeuvanje barionskog (B) i elektronskog leptonskog broja (e,)
WI,2 = E1, 2) —
WI,2 = ,AEA!
p + e— + v,
(2-46)
AW At
EA. = isto boo i u C3-raspadu A° eestice
2 A° —■ p + e — + ve .
(2-47)
U saint gornjim reakcijarna potovan je i zakon saeuvanja elektrienog naboja. Do sada spomenuti zakoni saeuvanja vrijede apsolutno, tj. nikada u pairs nije prirrajec'en proces u kojern bi jedou ad tilt zukono bin notithend Posto,je, medutim, neki aakoni saeuvanja koji vrijede samo u nekim odredenim situacijama, tj. u prisustvu nekili medudjelovanja. Ti su zakoni nartfAeni u prisustvu
P d141 dr
f(t)= ,
W,2 = — ~E0
1411,2
dE,( x , y, z) dx
drugili medudjelovanja, a stupanj Iiaruenje mole dati toeno odredena pravila po kojima se odvijaju neki procesi. Zakoni satuvattja i zakoni naruenja u inikrofizici (fizici atoma, jezgre i elementarnih eestica) line skup pravila i ta pravila zovu se "izborna pravila", a to su zakonitosti po kojiina an odvijaju neki procesi.
■ AE,,k = 0
=0
'fa so pravila povezana sa simetrijama u ntikrofizici i ta Ill einjenica uzdiae tia troll univerzalnosti i daje ini primarni karakter u odnosu na zakone dinamike i kinematike.
D2
tit
1(1 ) 85
I
— DI
= 4' ) — 42)
F(y)—
dE,(x, y, z) dy
• t7
F. dr=0 F(z)
dEp(x,y,z) dz
EP= E prije poslije
,A(Ek + E,)= 0
EL= E L' P,,je
P
,AC) =0
puellj
3. Pitanja (sa zvijezdicom su oznatena te2a, neobavezna pitanja) 2.1 Kako an a fizici definira rad? 2.2 lzvedite izraz za rad statue silo koja djeluje pod kutom a u odnosu na smjer putanje 6estice! 2.3 Sto inoiete kazati o radu centripetalne silo uvedene u prvom poglavlju? 2.4 lzra6unajte rad koji izvrSimo kada rastegnemo (Trap,
all
Ox!
2.5 lzra6unajte rad koji izvrii situ opruge (unutarnja sila) kada je opruga rastognuta vanjskom silom iz prethodnog pitanja! 2.6 lzra6unajte rad pri premjeStanju predmeta u polju site teZe! 2.7 Kako an definira snaga? §to je srednja snaga i koji je njen smisao? Kako se ra6una srednja snaga ako sila ovisi o koordinati? 2.8 lzra6unajte snagu kada djolujo stalna sila koja djeluje pod kutom 0 u odnosu na voktor pomaka dr Valja ipak naglasiti da su ti zakoni u svo,joj sukini statistieki. 0 statistiekom pristupu prirodnim procesima biti de ukratko govora u 8. poglavlju.
2.9 NapiSite i izvedite teorem o kinetiCkoj energiji i radu. OpiSite neku situaciju u kojoj dolazi do izraiaja tai teorem!
2. Rad, eneniija i snaga. Zakoni on,vanja
Sir. 2- 19
2.10 Kakve su to konzervativne sile? Definirajte konzervativnu silu na (najinanje) dva Baeina! 2.11 Pokarite da je sila tern konzervativna sila. Izvedite njenu potericijalnu energiju! 2.12 Izvedite izraz za silu iz potencijalne energije, opeenito, a zatim za silu tau! 2.13 Formulirajte zakon saeuvanja mehanieke energije i poopcite ga na oeuvanje (ukupne) energije! 2.14 Pokatite da za konzervativne sile, iz 2. Newtonovog aksioma slijedi zakon saeuvanja mehanieike energije. 2.15 Opikte zako su zakoni saeuvanja varni. Kakva .je njiliova veza sa simetrijarna? 2.16 Formulirajte zakon saeuvanja koli9ine i kutne kolieine gibanja! Koji livjeti inoraju biti ispunieni da vrijede to dva zakona saeuvanja? 2.17 Ilustrirajtc zakon saeuvanja elektrienog naboja i fermionskog broja!
4
3 3. MEHANIKA SUSTAVA CESTICA. MEHANIKA KRUTOG TIJELA I STATIKA 3.1 Uvod 3.2 Sustav dvije eestice. Zakoni gibanja i zakoni odrZanja 3.2.1 Zakon gibanja teii;ta. Zakon saeuvanja kolieine gibanja 3.2.2 Sustav centra mase i relativne koordinate Reducirana rnasa 3.2.3 Energija sustava dvije eestice. Zakon saeuvanja mehanieke energije Sudari SavrAeno elastiean sudar iii sraz SavrSeno neelastitan sudar ili sraz Gibanje rakete 3.2.4 Kutna kolieina gibanja dvije testice 3.3 Sustav N testica. Zakoni gibanja i zakoni satuvanja 3.3.1 Jednadžba gibanja sustava materijalnih toeaka. Zakon centra mase 3.3.2 Kutna kolieina gibanja sustava N eestica 3.3.3 Energija sustava N eestica
3-1 3-1 3-1 3-1 3-8 3-8 3-6 3-12 3-15 3-17 3-19 3-20 3-20 3-22 3-23
3.4 Kruto tijelo - uvod Naciui gibanja krutog tijela Moment sile 3.4.1 TeHte krutog tijela Zakon gibanja teliSta krutog tijela
3-23 3-23 3-29 3-27 3-30
3.5 Statika krutog tijela Aksiomi statike
3-31 3-33
Dodatak 3. poglavlju DP3.1 Primjeri iz biomehanike Pregled 1. poglavlja Pregled 3. poglavlja P3.1 Novi fizikalni pojmovi P3.2 Nave relacije i formule P3.3 Pitanja
1-95
3-55 3-55 3-55
D. llorvat.. Fizika I za Foe •
Sir. 3- 2
jedliad'1,1)o, dobi,jenio, voded rai-Ania o 3. Newtonovoin aksiotnu
Ako zbrojimo to
2
7. prosinca 2001.
3. MEHANIKA SUSTAVA CESTICA. MEHANIKA KRUTOG TIJELA I - STATIKA
Mci,m,i ku i toplina
MI
dt2
fill
d2 F, + M27 , 1 2 72 =
—
(II
+ f„/2 Ili
1,12 —172 = 151 + T1I2172) = + 11) = Al dtd m if)) +Alm2t72 = Al dtd L dt m1I -I- m2 f'cx, (1 2 = M dt—2 f'cm = Al dt— Cent = /11(7cm. (I
dt
III 171 + 111272
,
2)
dt
dt 111 + M2 rn I 7-. + M2,72 )1
(3-2)
).1
3.1 Uvod
U dosadakijim razmatranjima u srediStu je bila materijalna totka, dakle zamiSljeni objekt - tijelo s masom all bez dimenzije. Sve site koje su djelovale na materijalnu totku djelovale su u jednoj Weld i rezultat njihovog djelovanja bilo ,je (jednostavno) translatorno gibanje po nekoj krivulji (pravcu, kruZnici, itd.). Medutim, kada promatramo realna tijela koja su prote2ita u prostoru, djelovanje sile u razlititim totkarna tijela mole uzrokovati zamr§eno gibanje koje predstavlja istovremenu translaciju i rotaciju oko neke (trenutatne) osi. Za opis takvog gibanja nu no je opisati pojam krutog ti,jela i fizilcalne velitine koje uzrokuju njegovo gibanje. Za opis krutog tijela koristimo pri,jelaz: rnaterijalrla gdje poopoenje od materi,jalne tone kree'e preko osnovnih zakona gibanja i osnovnih veli 'dna koje reguliraju dinamiku tijela. Osim toga, prvi korak pri,jelaza prerna krutom tijelu ukljutuje i opis problema sustava dviju eestica - materijalnill totaka, koji je vrlo važan u klasieno,j i kvantnoj fizici.
to6ka --■ sustav materijalnilt taake --■
kruto tijelo,
3.2 Sustav dvije Eestice. Zakoni gibanja i zakoni održanja
Slika 3.1 - Sustav ad dvije 6estice s medud jelovanjima U gornjem nizu koraka uveli smo eestice, tj.
nkupnn
3.2.1 Zakon gibanja teii§ta. Zakon saEuvanja koliEine gibanja Razmotrimo sada najjednostavniji sustav eestica, tj. dvije eestice rn, i rn2 koje se u ,jednom trenutku nalaze na mjestima odredenim f.j ,2 u inercija/nom sustavu sa sredigtem u toeki Cestice se u jednorn trenutku gibaju brzinama 171 , 2 i na n,jih djeluju vanjske sile f„0,2 , a istovremeno one medudjeluju silama odnosno F2,1 gdje oznakeznaee da eestica d,jeluje na testicu i! Medutim, po 3. Newtonovom aksiomu to su dvije unutarnje jednake po iznosu all suprotnog smjera, tj. F12 = Dakle, gibanje prvog odnosno drugog tijela opisano je 2. Newtonovim aksiomom
0.
sue
m=
dt2
;=, 2
rn2 dt2 ' 2 =
TII i + M2 i
vektor poloiaja centre mase (CM) dvije
",1 17.1 + TO 27 2
(3-3a)
ml + m2
odnosno brzinu centra rnase (CM)
j
2
Al =
MaSIL
17C =
mlvi + Tn2,72 rat + rn2
(3-3b)
Gornji izrazi pokazu,ju da gibanje sustava dvije testice "zamjenjujemo" gibanjem jedne materijalne (all "fiktivne") totke CM, eija je masa jednaka M rn2, eiji je trenutni pololaj dan vektorom f'cm koja se giba pod djelovanjern ,jedne site f,,. Pri tome gibanju unutarnje igraju nikakvu ulogu. Nadalje, ako je fr,„ = 0, tj. ako ,je (vektorski) zbroj svill vanjskih sila jednak null (ili ako ill uopee llama), onda dobijerno koji kale Ha se u odsutnosti vanjski sila centar mase sustava (dvije eestice ovdje) giba jednoliko po pravcu (Hi rniruje), tj.
= rnl +
site
ne
zakon giban ja centre mese
(3-1)
EFi = Fr/2 F21 i=1
17cm = konst.
(3-4a)
Mchaniku ,rotuva ecstica. Afrhanika krutog tip•ta
statika
St7'. .7 - 3
F I2
Sir. 3 - 4
D. Horvat: Fizika 1 za PER - Mehanika i toplina
Pololaj CM odredirno prema forrnuli (3-3a). Jasno je da je CM na spojnici sredika, tj. yet, = O. —koordinatu odredimo ovako
72t
mi • 0 + rrt2 . 0.5
0.3
mt +m2
m.
4 4 Primjer 3.2 lzraeonajte poloiaj centra muse (CM) sustava od Eetiri eestice s 71141S(1711(1 rn1 = 1 kg, nt 2 = 2 kg, 7n3 = 3 kg i m4 = 4 kg, koje su smjeatene u vrhove pravokutnika sa stranicarna 1 in i 2 in (muse Int i
nt 2 Su uda1jeite 1 Slika 3.2 - Relativito gibanje u sostavu ad dvije eestice.
714,
a rat i nt 3 2 in).
R.JEENJE Ako rnasu nu postavimo u ishodike koordinatnog sustava, onda je prerna forrnuli (3-3a) x koordinata CM jednaka C -=
m . 1 kg + 1 m • 2 kg + 1 m • 3 kg + m 2 kg = 0.5 (1 + 2 + 3 + 4) kg
a y koordinata je !tem =
m • 1 kg + 2 m • 4 kg + 2 in • 3 kg + m • 2 kg (1 + 2 + 3 + 4) kg
1.4
Dakle, CM ima koordinate T(0.5 m,1.4
4 4 Slika 3.3 - Gibauje centra muse dvije inaterijaluc taeke Dvije ntaterijaine toile nit i 7112 povezane so oprugont i leie na glatkoj povrhiti. Na ?MIMI 7112 djeloje horizantalito situ P i vole tijela nadesito (prerna slici 3.5). lzraeunaj obrzanje CM tag sustava! Ako a jeditoirt treitutku opruga pubic!, kolika je onda akceleracija CM? Kolika je onda akceleracija tijela 711i Primjer 3.3
a takoder s je, iz (3-3) 15.1
'16.2 = k011St = 71 t fit +71,2172 ,
(3-41))
tj. ukuptia kolieina gibanja sustava dvije eestice je u odsustvu vanjskili sila konstantna velicina, odnosno, satuvana velitina!
Primjer 3.1 Odredite poloiaj centra muse (CM) sustava koji se sastoji od dvije kugle eije su nurse rut = 2 kg
i 71t 2 = 3 kg, koje so povezune spojnieout bez muse, tako do
su
no sredikla udaljena 50
Slika 3.5 uz primjer 3.3.
CM.
R.JE4:NJE Slit P predstavlja (rezultantnu) vanjsku silu F,. pa je prerna gorujern razrnatranju akceleracija CN1 jednaka c12
dt 7
mt
0m2
r2
Slika 3.4 Teii:Ste jeditastavitoy sustava; uz pri7njer 3.1
Fc m =
1
d2 — ieto = Elcm — dt 2
. 1 F. , + m2
Situ opruge predstavlja unutarnje site i kako je akceleracija CM nezavisna od djelovanja iii postojanja unutarnjill sila, onda akceleracija ostaje jednaka gornjoj i u slueaju kada opruga pukne! Akcelcracija tijela 17t ■ jednaka je nuli kada pukne opruga, jer na njega ne djeluju nikakve silts!
3. Mehanika sustava eestica. Mchanika krutoq tvla
statika
.51,
3- 6
I). liorrat.
I.
I
zo FEU
Al,./taulAa i toplow
Zakon satuvanja kolitine gibanja pisan po vektorskim komponentama je Al ,. Al j — u, + — tiv2/ + )02/0, 2 2
vo cos pa je
Mvo cos a = –2– v2/ , tj. 02/ = 2vo coso i v," =
Projektil koji pada vertikalno prelim dolje, padne za t l = 36s, tj.
Slika 3.6 - Kosi hitac i raspad tijela - gibanje contra rouse CM Pod kutorn a ispaljen je projektil paetnom brzinom U trenutku kada je postigao maksimalnu visinu projektil se raspao no dva jednaka dijela. Jedan dio padne vertikalno dolje. Koliki domet postigne drug/ projektil?
– 1t 12 12.,
H= – H–'2 – 2
Primjer 3.4
ILIEENJE Prilikom raspada tijela djeluju unutarnje site koje, kao 8.to smo pokazali gore, ne utjetu na gibanje CM, pa se CM giba bee promjene kao da raspada i nije bilo. Domet CM te biti Xm (vidi (1-27)), a kakojedan fragment rn, padne vertikalno dolje, tj. na XM /2, onda drugi padne na Xm+Xm /2 = 3Xo, /2.
+ T v2,„
0=
= –205.683 m/s.
Takoder ,je 02/, = 2vo coca = 600 m/s –
/y = 205.683 m/s,
pa je brzina (njei iznos) drugog projektila ,jednaka V2 – = \/ 2 /, + 2/y –=634 634.276 m/s.
di
Projektil je ispaljen pod kutorn od 60° brzinom od 600 rn/s. Kada se projektil na/azi u najvisoj toeki putanje, on eksplodira i jedna njegova polovina okomito padne na tlo nakon 36s. Na koje se maksimalnu visinu iznad tla popne drug/ dio projektila?
Primjer 3.5
Nakon eksplozije projektila, drugi projektil izvodi, u stvari, novi kosi hitac s potetnom brzinom vo = 1,2 i po kutorn a koji je dan ovako tga = : 2 0 L='• = 0.3428, v2/,
tj.
a' = 18,92197° = 18°55'19". Prema tome, (nova) maksimalna visina H' je jednaka (1);)2 sin .' a' – 2 156.243 m, 2g
H,
pa je ukupna visina drugog projektila iznad tla jednaka =
Slika 3.7 - Uz primjer 3.1
RJES'EN2E Projektil se popne na maksimalnu visinu H koja je jednaka H= vg sin2 g
H+
= 15 917.711 m.
Primjer 3.6 Sredigta tri kugle leie na istom pravcu. Kugla 1 se pribliiava brzinom v, pa (tom) provoi i 7)09030 kuglu 2, koja zatim pogada kuglu 3. Oba sraza so savrgeno elastiena. Kolika mora biti masa kugle 2 da bi kugla 3 postigla mak,sima/nu brzinu? Masa kugle I je 1 kg, a kugle 3 je 4 kg. 11..lES'ENJE Iz zakona satuvanja kolitine gibanja za prvi sudar n1,1,1 = 7112 02 + TrI,
= 13761.47m. i iz zakona satuvanja kinetitke energije
Na toj visini on eksplodira i jedna njegova polovina odleti vertikalno prema dolje, pa moterno napisati zakon satuvanja kolitine gibanja
1 2
/11/711 = m,v, + m202, gdje je Al masa ispaljenog projektila, en; = /4/2 (i = 1,2) i 0, = :flay, fill je horizontalna komponenta potetne brzine vo, tj. 1711 = ivo cos a i 172 = iV2/r + 302/y
2 e,
1 1 , –77,2 v2 + -771, v,, 2
dobijemo da je 0,2 =
2m1v1 en, + my
3. Mehanika sustava eastica. Mehanika krutoy tijela I - statika
Str. 3- 7
Pa .je
Za drugi sudar po analogiji dobijemo —
;c =
.iott rn2 v' (To, + m2)(rn2 + 1.3)
2m2 u2 nit + nr3
dmj
(3-6)
I. sutavu C\1 je brzina CM jednaka nuli
=0 Ill) = VIII
u
— xcim
xz = xz — xcm
lz zahtjeva da brzina u3 bude maksimalna, tj. dna.
D. Horvat: Fiziku I za FER. Mehanika i toplina
Str. 3- 8
,TIL3 =
2 kg.
(3-7)
i vrijedi ili
+1 52 = 0
+11121712 = 0.
(3-8)
Prijelaz u sustav CM u innogint problernima sudara (mikroskopskih) eestica ,jako inole pojednostaviti raeune.
4 4
Reducirana masa Primjer 3.7 Dva tijela s masama in, i r02 povezunu su oprugom konstante k u nerastegnutom stanju Co i skliiu stalnom brzinom va po glatkoj podlozi (vidi sliku 3.7). U jednom trenutku tijelo rnl udari u zid i zaustavi se. a) Kolika je brzina CM prije sudara? b) Kolika je brzina CM, licm odmuls nakon sudara? eJ U jednom je trenutku nakon sudava opruga stisnuta no duljinu d (d < Co), ;ler se 1122 giba i dalje 710 lijevo prerna slid. Kolika je akeeteracija CM ticm u tom trenutku?
U odnosu na pololaj centra ',lase CM mo2ento definirati relativne koordinate (oznaeimo ih sa potezom iznad slova) x2 = 7.2 + XCM
1 XI = Ti + :Eck!
71 — xl — xcm
1 r2 = X2 — XCNI •
pa je (3-9)
RelatiVlitt koordinatu dvije 6estice uvodimo ovako zR = r l — 'Z2 = x, — x2.
(3-10)
Ako sada razinotrinto samo unutaride site (promatramo, dakle, izolirani sustav). onda mo2erno napisati jednadZbe gibanja ovako i (3-11) = F42/m1 12 = F21 /R02,
k-----
10
k
d
a njilloviin oduzimanjem i uz tredi Newtonov aksiorn P12 = —P21 dobijetrio
(ml + rn2)
_ :62 = thR _ F12 F12 = TILi 7112
Slika 3.8 - Gibanje sustava dvije eestice - uz primjer 3.5 RiESENJE a) S obzirom da se obadva tijela gibaju istom brzinorn, ranije razmatranje gibanja teiika
7
F12.
(3.12)
Ovdje tnoiemo tnožemouvesti reduciranu TII(191.1 p kao
daje
r7 c m =
Vo
p
b) U trenutku sudara in, se smiri tj. 1.71 = 0, a '172 = vo, pa je onda + m2172 'UCN1 =
trh, + rnz
m2 — .00
pa gorn
711, + "12
21):E
+ 1112
•
nadZbu moiento možento ziapisati ovako
Vrio eesto je povoljno prentjestiti ishodiste koordinatnog sustava u yenta]. mase (CM). Pri tom prijelazu "crtane" koordinate dvije testice odredene (translaciji ishodika sustava S ea vektor Fcnt) iz sustava S u
n2 medudjeluju međudjeluju konzervativnom silom, tako da potencijalna energija Neka dvije testice ma ovisi samo o razinaku testica, tj. U(7') —■ UM! Ue12) (iz koje izvodiino silu poinoeu izraza F = — Ovdje Zelimo izvesti ukupliu energiju takvog sustava. Za relativne koordinate (preina slid 3.9), a i od ranije (vidi od,jeljak o reduciranoj masi) vrijedi
su novint poloajem CM, tj. (piSemo sve za x—koordinatu samo) zcnl
=0=
In, + rn2
(3-14)
vEm)
3.2.2. Sustav centra mase (CM) i relativne koordinate
„ (rrt i + 0124).
(3-13)
3.2.3 Energija su tava dvije Eestice. Zakon saEuvanja mehaniEke energije
4 4
1
1
tj. opisali smo sloZ:ena gibanja dva tijela, opisana s jedriadtharna (3-11) pomoeu gibanja "jednog tijela" (reducirane) mase p, pod djelovanjem (iste) unutamje site Fie. Takav zapis gibanja izuzetno je koristan pri opisu relativnih gibanjarnikroskopskill testica (elektrona i protona u vodikovorn atomu, protona i neutrona u denteriju ltd.) a vrlo slolenini kvantlioniehaniekin, !norm:11,6nm, kao i pri astrofiziekini proratunima gibanja dvojnill zvijezda i sl.
= Pop =ik(eo— d)= acki(in, + 7/42 7/3
11
,112) 7041 — µ =+
piR = F12:
C) Opruga djeluje na tijelo rn2 silom nadesno i to je sila jednaka Poo = ik(eo — d)x (koordinatni sustav i rn2, pa je "gleda" nadesno). Ta sila je ujedno i (jedina) vanjska silo koja djeluje u sustavu Cestica
ik(eo —
41 1122 Tre, + 2112
Trt272 = 0 (3-5)
fR =
F2
f•C M
1
01171 + inefi rrti rn2
(3-15)
▪ ▪
3. Mehanika sustava Jestica. Melianika krutog tijela 1 - statika
i kako je
Sir
9
1). lloruat.. Fizika 1 za PER • Mehanika i toplina
Sir. 3- 10
Dakle,
= rcnl + f- ] = V1R +7'2, vrijedi da je
(3-22b)
Ek = EP + E(k R) (3-16)
= 11 - 72 = f
to je ukupna energija jednaka
Onda je xi = XCNI -FrEi i 22 = Sve gornje relacije mo2iemo zbog jednostavnosti promatrati na uz 2R = 21 - 22 = 71 - x2. Kako je xcro = (x, 22n12)/(Till +1112) dobijemo iz = XI
,T,CM = XI -
x1 111 1
£271/2 T/L2
X2)
T/11
2 = konst. = U(r) + 1 • 2
Eu k -
i slieno za 72, tj. 1111
72
= xH
Til l + T/12
EL,
1 1/(v) + 2
(3-17b)
•
Ukupna kinetieka energija dvije i.estice jr jednaka (za gibanje (10, osi
+ 2 1Li H.
(3-23a)
Ako nema vanjskih sila, onda je :rent = konst. (ili nula), pa je i EP' =konst., iii
"12 • 1111 +1112 '
1112
1
Eu k = E, + Ek = U(r) +
(3-17;1)
1)12
= (21
X21
1)(11Iii(!lli 1V21111411.
iipr.)
= ek l) + El?) = 2 rnith; + 2 m2i3,
iii (3-23b)
= k011til.
sahivana (vremenska promjena jednaka je null).
11k111111a
(3-18)
a prijelazom na sustav CM prema relacijama (3-17a,b) dobijemo izraz za kinetieku energiju u slijedeeem obliku E k = ek l) + 42) + -1 2- (rn + tn2)iCkt
d (in 171 + m2 72)• ,kcm Ti
(3-19)
Zadnji elan iMezava pogto su to koordinate CM u sustavu CM, pa je kinetieka energija u sustavu CM jednaka je zbroju kinetieke energije centra mase (fiktivne materijalne take) i kinetitkih energija eestica koje se relativno gibaju u odnosu na CM: Ek = EP + 411 42) .
(3-20)
Medutim, kinetieke energije relativnog gibanja moerno izraziti preko reducirane mase, ako uvrstimo radijusvektore relativnog gibanja u izraz za kinetieku energiju, tj. 012 rH m, + Tn2 102 7.,77. mi +012
f, F2
i slieno za 7-2 (3-21)
1 = -M2am 2 _1 mi2 2 cm ±2
2
c
E12) 1 .2 1 -771121 -rn2‘,2 2 2 2
( m2 ) 2 .2 1 ( rn j rR =1-112 . rt-t, + m2 2 m1 + 1112)
m + 1,2 r
011 012
rtt?rn2
2 R 1.(rni +m2)2 (ml m2)2 mi012 (MI ± m2) = l m±2 2 cm 2 R (m 1 + m2)2 1. = - Mx6 + 1-z - 6?kt. 2 2
Sudari Neka se po pravcu giba eestica mase 111 1 i brzine i neka ta eestica naleti na testicu mace 1112 koja se giba po nekom drugom pravcu brzinom 7.12. Pri tome sudaru testica 2 djeluje na testicu 1 nekom shorn, a ta sila ovisi o gradi testica ili njibovim (mellaniekim, elektrienim, magnetskim iii drugim) svojstviina. Ako je npr. prva testica tenislopta, a druga testica tenisreket, onda je jasno da ee sraz ta dva tijela trajati relativno dugo, jer ee doe) do deforrnacije loptice i do istezanja 2.dca reketa, do vraeanja loptice u prvostni oblik i do ispravljanja 21ca. Ta bi sila mogla biti prikazana na slici 3.10 slikom (a), gdje dosta "neuredna" krivulja opisuje deformacije sudara. Pri takvom sudaru dolazi do promjene kolitine gibanja, tj. iz 2. Newtonovog aksioma dobijemo
To uvrstimo u (3-20) i dobijemo Ek = EP -F
Slika 3.9 - Relativne koordinate
H (3-22a)
P
dt
P dt =
f t,
dt
=f
clf; -= 17(t2 ) - 17(t i ) =
(3-24)
t,
Ovdje smo uveli irnpuls site I, eiji je iznos predstavljen povr'Sinom ispod krivulje site F(t) na slici 3.10. Svakako, oblik sile predstavljen na slikama predstavlja aproksimaciju, koja za savrgeno elastitan sraz - slutaj
.7. Alcharilka ,n,h11,11
F(t)
(a)
Al, hartiAa
utroq hp•la I
(b)
(c)
.stall/:a
(d)
.91
/2
/7.
Pizika
za PER Mchartika i tophrta
Za opeenit e/ustietti sudurt dviju eestiea masa 7n, i Trr2 i odgovarajueili brzina t7, i (72 vrijedi. dakle, zakon 5aeuvanju kulieirte gibanja
gprije sudara
172
(Si+1122'12 =
ti
At
At
I
iii
= fposlije sudara
26.1 + 172 =
1 '131 + ru2172 •
(3-25)
Zakon saeuvanja energije svodi se na saCuvaMe kTisehbkTh energija (jer potencijalne energije rnedu eesticama izvan podrueja medudjelovanja nerna) uz mogue gubitak dijela energije na unutarnju energiju - toplinu Q. Dakle, m&,erno napisati zakon saVuvarrju energije
I At
41) + E(,21 E(k C) + E;2 : 1+Q Sliku 3.10 - Impalsuc silt
1 2
(d) - predstavlja aproksirnaciju trenutne site koja naraste ua maksimalnu vrijednost i zatian trenutna padre ua nolu. Promjena kolieine gibanja L p za taj je slueaj .jednaka po iznosu makshrialnoj vrijednosti site. U slucajevima (a) du (c) din iiielianieke energije gill,' se a villa toplinske energije deform:lei:le iiiir.), ukupna energija je saCuvana.
2
1
2
+ — 711.21) = 2 2
lb
1 ,2 1 „2 — 71110E, ) —111 2kV2E + 2
(3-26)
gdje je Q gubitak kinetiCke energije u obliku toplinske energije. Pretna tome da li je gubitak kinetieke energije u toplinu jednak null ne, elastine sudare dijelimo na savrienu elasticise i na elasticise. Ako se pri sudaru poCetna tijela spoje i stvore jedno tijelo, onda takav neelastiCni sudar iii sraz zoverno suvr§eno neslustiCrd sudar! Obrnot proves savrSeno neelastiCnom sudaru zoverno raspud. Savrgeno elasti'ftLn sudar iii sraz
Sudare ne treba nuZ:no doslovno slivatiti kao neposredni dodir (Iva tijela, vet. ill it ;Thom smisht treba slivatiti kao fizikalne procese u kojima dolazi do medudjelovanja Cestica, a pri takvorn inedudjelovanju, brzina eestica prije sudara i poslije sudara je stalna (Ito ne i jedimka).
Savritieno elastiean sudar (sraz) je onaj sudar kod kojeg je siteuvana koli/ina gibanja (3-25) i ciiergtja, tj. vrijede Iva zakona Silellvanja (bez transformache mehanit'ke energije u toplinu)
Tu se valja sjeti ti npr. "sudara" a-distice i jezgre atoina zlata a Ilaitherfordovian pokusu raispritienja, tam°
71110, +1112'02 = 711,01 ' +1112'0.2 '
se a —eestica pribli3,i jezgri na neku udaljenost, a medudjelovanje (odbojnit elekLrostatska - Cuulowi ties
— 2,,,v1 4, 2 2
.,
- sila) sc mole opisati kao izmjena fotona izincdu pozitivne jezgre i pozitivne a-Cestice. Dakle, radi se o elektannagnetskuni inedutijelovanju - o sudara - bee neposreching
=
‘.2 1 , —117,01) —1112(17,) .
2
(3-27)
2
1'14 l'aZ111■11.1":112. 1 Lill sudara nil ()hien° znamu pneellie paramet re sudara (raspri,ienja), tj. casino In/Ise 1W, i i odgovarajuee brzine ii1 i 02 (tj. njihove iznose vi i u,2 i sinjerove gibanja), a moramo pronaei konatne brzine 'i '! Raiamamo, dakle iz prve gornje in, (g, — MI
—
)(71 +
') = ro2(172 — 02) ') = 1112(02
'171 + NI111 , 141.j1.111 zallu jc .H11111(1%11E' S 1112 i
a iz druge je nakon kraCenja, daje
02)(0.2 ' + 02)
(3-28)
-= fiz + '212. ll
Rill IIVI'SEaVall.j1.1117112E2
iz zakona siteuvanja kulii isegibau,jn, dobijemo
izraz za
mova (a)
I
kinetieku
,
(b)
Sliku 3.11 - Prikaz rusprgenju (a) dvije eestice (sudara) i ruspudu (6) ecstice na 71 konuendt.
. estice izoliramo od okoline, a njihove brzine i sve druge dinarni*Cke veliNne Sudare razmatramo tako da C mjerhno u nekom inercijahrom sustavu. Na taj !ratan mo2erno rabiti zakon saeuvanja koheine gibanja, koji vrijedi za izolirane sustave (tj. u one u kojirna ne djeluju vanjske site).
=
271E202 + (71E1 — 7112)01 Till + 7112
(3-29)
Slieno dobijemo i za v2 ' ,
—
+ (1122 — T/I4 1122
)172
(3-30)
Te dvije ,jednaclžbe možerno razmotriti za nekoliko tipierdh situacija: t Elastieni sudar je onaj kod kojeg nema promjene masa Cestica, tj. mase prije i poslije sudara su iste. Raspad eestice prikazan na slid 3.11 (b) oeigledno ne spada u elastiCne procese!
3.
nil –
D. IlorTar Fiziks I as FER - Mchanika i toplina
Str. .9- 14
mlnosn na mirnog prom:It:rat:a) dobijemo kao i korak prije,
a nakon trade bugle brzinu
= 0: to odgovara situaeiji kada testica nt, nalijete na mirni heskonaeno masivni zid!
Dobijetno lako da je f,) =
VI
Dogodila se "zamjena" brzina izmedu testica 1 i 2.
' =112 i 172 =
(1) no = rrt2: dobijerno da
(2) m2 >> Tar
Sir, .9- 1,?
Mehanika sustava ecstica. Mehanika krutog t(rela I - statika
T71 =
i v2' = 0, tj. testiea se odbila od "zida" po iznosu istom brzinom
= 171I) ali suprotnog smjera. Prornjena iznosa kolitine gibanja ,je Ap, = Irni 771 – '0)1 = 2n/iv] . Zid se ni pornaknuo ni,je!
(3) rn2 >> rn, i vi = 0: beskonatno masivni "zid" nalijete na mirnu testicu. Dobi,jerno da ,je
InV1311 = ='72
= 2172, tj. " zid ni in zna" da ,je naletio na ne:Sto, aui zato prije mjrns testiea 1 sada I)jjejiji ispred
+
7-11, + I + 17 . m
rri k +
+ 18 . m
v mk
+ 19 • In
Nakon k–to bugle brzina u odnosu 115 mirnog promatraea je
zida (relativnom) hi:7.010111 v"2, iIi brzinom 2732 u odnosu na mirnog promatrata! 1:k
I,
[T11 711.
+ rn k + AI + (19 – k)- m mk + M ± (19 – k +1).171
Dvije identiene biljarske kugle rrtiruju rta stain i dodiruju se. neou kugia, jednaka drugim dvjerna, pribliiava Sc brzinorn Vo pa pravou koji jo tangenta 1{(1 obadvije kugle i prylazi njihovirn diraligtem. lzraeunajte brzinu kugala nakon sudara, ako se kugla-projektil nakon sudara youstavila!
Primjer 3.8
an + Al + 18 •111 + Ink + 91+19. 1,] rn Jednostavan program na merlon) kalkulatoru daje slijededi niz broja kugala i odgcrajueili (rolativnih)
ESENJ Neka se smjer kugle koji utlara o dvije mime kugle podudara a sal y. Zakon kolitino gibanja dajc za .r–smjer
odnosno za y–smjcr
rnVo =
Broj kogl.
Brzina
Broj kugl.
Brzina
I
0.0657
8
0.5709
2
0.1329
9
0.6505
3
0.2016
10
0.7323
v2 ''
4
0.2719
11
0.8164
v, pa iz zakona saeuvartja
5
0.3439
12
0.9030
6
0.4176
13
0.9921
7
0.4933
14
1.0839
+
a zakon saeuvanja mollanieke cncrgijc dajc m t102
2
u,22)
im,v, 2 2 ‘'
2
,
2) + 1
( r 2 ±
2 rn
Kako je v),„ = vz,s E v,, dobijemo dajc Vo = 2v,, a takoder energije dobijemo V02 = 2v! + 2y,2, 4u = 2v! + 2y,2, Ito dajc za iznos brzinc
r
2)
+ yr =
Tablica 3.1 on prosier 3.9
,
1 ,,
30
N/2
0 = Prerna tablici 3.1 vidimo da treba izbaciti 14 kugala!
4 4
4 4
Na tratnicarna se nalaze kolica mase rag = 10 kg na kojima se nalazi e-ovjek mase M = 70 kg i dvadeset kugala, svaka mase in = 3 kg. Ako kolica u paetnom trenutku mirtuju, koliko treba izbaciti kugala da kolica postignu brzinu od I rn/s? Covjek mode baciti kuglu brzinom od v = 3 m/s, u Itorizon.talnorn smjeru. Primjer 3.9
Primjer 3.10
Tijelo je ismateno s visine h. = 100 m i ono slobodno pada do visine 50 rn, kada se raspadne
no dva jednaka komada koji no zendju padrtu na razrnaku od 50 m. Kojorn brzinom su se odvojili komadi
jedan ad drugoga? ri.JEENJE Nakon bacanja prve kugle iz zakona sauvarija kolieine gibanje imamo RJES'ENJE U vertikalnom smjeru brzina se zbog raspada no promijeni. U horizontalnom smjern vrijedi
(rnk + M + 20 • m) • 0 • i = mv(-3!) + (mt. + M + 19 • m)v, • i
zakon saeuvanja kolieine gibanja
pa jo brzina kolica nakon prvog bacanja jednaka V] V rng M +
0 = ft: + 19 • rn
Nakon druge bugle brzinu v2 (odnosu na mirnog promatraea) dobijemo iz zakona saeuvanja kolieine gibanja rn V2 – V Mk +M+18•2/1 +v mk. +M+19•m
=
+ rnil2 =
– n311
Za zadnjill 50 In pada tijclu treba vrijerne t 1, a njcga izraeunamo ovako: za prvih 50 In (No = 50 m) treba vrijethe 1.50, a za cijeli put treba vujerne t, tj.
too–
\ /. 2 • hso
3.193 s
2• h
t = \- = 4.515 s 9
32 = – too = 1.322 s.
3. Alchartika SUSlill,“ resticu. Mchuniku krntog tijcla - statika
Sir '1 - 15
Za to vrijeme, tijela nastala raspadom udalje se 50 in, tj. svaku prijede, gibajuti se ,jednoliko po prawn udaljenost 25 III, pa je brains jednaka v = 18.904 m/s. Rclativna brzina je dvostruko vela.
16
D. iloruut.' FutA.a Ian FER AlcItanika t toplina
(energijama), posebno kada se radio rasprenjima. Tada treba gornje izraze modificirati prema "teoriji velikib brzina" - specijalnoj teoriji relativnosti (vidjeti kasnije poglavlje).
Primjer 3.12 aurnena super-lopticu rouse 45.8 g ispuifterta je iznad tla s visine 2rn i odbije se do visine 1.5 in, Kolika je kolieina gibanja loptice? Ako se pretpostuvi da je loptica bila a dodiru s tlom 7 x 10' s,
A
izraeunnjte srednju akceleraciju lotice: Koliko iznosi koeficijent restitucije? Koefictjent restitucije c defini1517110 kao ornjer brzine nakon sudara i ()Trine prne sudara, odnosito kuo orojer (relativite) brzine udaljavanja i (Tetutivne) brzine pribliiavanja!
Savrgeno neelastiean sudar iii sraz Savr'Seno neelastitan sudar nastaje kada se prilikorn sudara mase m l i 002 "slijepe" i nastave gibanje kao jedno tijelo mase ni l +1112. Prema tome, vrijedi (i dalje) zakon saeuvanja kolieine gibanja, ali ne i zakon satuvanja kinetitke energije vet (samo) ukupne energije, tj. vrijede
RJEENJE Brzinu kojorn loptica udari o tlo dobijemo iz zakona saCuvanja energije, tj. iz mgh = inq/r, dobijemo uo = f207; = 6.26 m/s. Brzinu kojom se Cestica odbila dobijemo na isti nakin. vi = = 5.42m/s. Promjena koliCine gibanjc jednaka je mu, - men = Op = -0.535 Ns, gdje smo uzeli da jc pozitivni smjer okrenm prema dolje! Srednja akceleracije je u = = -1669 m/s2 . Dakle, koeficijent restitucije je
=
rn 1 L1 + M2112 = Tr,I 131 —TIE
1)2 + —,112V2 =
2
2
2
(y' )2
— "I2 (V )2 2 2
Q.
Pokusi s glinenim kuglama obje§enim na koncima primjeri su takvilt sudara, ocinosno sudar npr. olovne kugle s tegkom metainom plotom (ili tegkim utegom) itd. Primjer 3.11 U drueni blok muse 10D = 15 kg jedun as dragon udare dva metka, svaki muse rtt„, = 4.2 9. Koju brziou up into kornad drtretu nakon Sto ga pogodi drogi inetak, ako je brzina metaka = 1200 ro/s, a kontad &yew prne udara rnetaka mit-4e? RJESENJE Zakon satuvanja kolitino gibanja u jednoj dimenziji (x) za prvi metak daje
P garije = Pposlije
vi
= 0.866.
(3-31)
ranetak
ti•
= fitnelak-Fdrvo
A A Primjer 3.13 Cestica rouse 0.8 kg giba se nadesno br•zinoiri od 5 ro/s i suduri se (centrairro) s eesticom rouse 1.2 kg koja se giba u suprotitoro srojera brzinam od 4 m/s. Poslije sudara prim eestica se gala nalijevo brZi7d0711. od 4 ro/s. Kolika je brzina druge eestice nakon sudara? Koliko iznosi koeficijent restitucije? RJ F-§ENJ E Iz zakona sa'euvanja kolitine gibanja (dui +x-osi npr.) m (iv!) + ma(inz) =
) + mz(Iv;)
lako dobijemo da je vZ = 2 in/s, tj. druga se testica giba u pozitivilorn smjeru osi z. Iz (poopCene) clefinicijc kocticijenta restitucije e = Ibrzina odvajanja/brzina pribliiavanjal dobijemo
i • rnv,,, + 0 = (inD + in,„) i • VD,
(-4) - 2
5 - (-4)
a za drugi metak je Inm
(MO ±
)
1
= (M
pa je
6 = - = 0.667. 9
2n1,, - 0.672 in/s. +21n,„ Ovdjc valja naglasiti da mehanitka energija nije satuvana (energija jest saeuvana!), jer se pri udaru rnetka u drvo razvija toplina Q, pa molerno napisati
E((P;;;.'.'") = 4'70 + Q. lsti rezultat dobili bismo i da no razmatramo dva uza.stopna udara rnetaka, vet da sun) jednostavno pretpostavili da istommeno u blok udari jecian metak ali mase 2m,„!
A
A
U kategoriju savreno neelasti e- nth sudara spadaju i "inverzni sudari", tj. raspadi jednog tijela (elementarne test ice npr.) na neki broj konathill t- estica - tijela, poput npr. "0 -raspada" neutrona p+e - +Ti, iii Pri svim tint procesima saeuvana je kolitina gibanja, npr. 'PK° = P.,++P;r- • raspada kaona Ko -■ 77 + Valja, medutim voditi raeuna da se gornji procesi u mikrosvijetu odgiravaju najteke pri velikim brzinama
A A Primje.r 3.19 Elustiata loptica ispusti se
a ursine ho izriad horizontulne povtgine. Ako je koeficijent restitucije jednak c izraennajte ukupnn duljinu putanje koju opisc loptica prne ?Lego se zaustavi!
RJ EtiENJE Neka se nakon prvog pada loptica popne na visinu hi, nakon drugog na visinu ha itd. Onda je koeficijent restitucije jednak e = V2g/11/2gho =071; =ha ,./TT = • • = ,/h„/h„_,. Za bilo koje dvije visine moiemo napisati da je h,k = ehk_,, a to vodi na izraz za h„
h„ = e2h„_1 = e4,1„_2 =
= c2'ho.
Ukupna duljina putanje jednaka je ho plus dvostruki zbroj preostalih vision (jer loptica ide prvo gore na visinu, npr. hi, a zatim s te visine padne)! Dakle,
L= ho +2E= ho 1+2EE"
3. Alehanika sustava ftstica. Alchanika krutog tijela 1 - statika
Sir
- 17
NapiIinio sada zakon satuvanja kolitine gibanja za raketu u trelmtku t za sustav u kojem se raket a u trenutku / giba brzinom v. Ckupna koRina gibanja P. koje se sastoji od kolitine gibanja rakete pr l plinova Tip je satuvana, a ona je jednaka (3-37) /1.„ = A.(t) + fir m = rrt(t)v(t).
Zadnji izraz predstavlja sumu geometrijskog reda Ciji Jo kvocijent jednak c2 , a prvi Clan ,je (2 , pa je suina jednaka L=
Afehanika i toplina
D. Hnrnat. Pizika 1 za PEI?
Str. 3- 18
(1 +
Brzina izlaiiertja plinova iz rakete vp je konstantna i poznata velitina! Trenutak dt kasnije. tj. u t + dt masa se smanjila. za dmp , tj. za masu plinova koji su izaIli iz rakete, a brzina poveeala za (117, pa u iS10111 sustavu sada piserno zakon satuvanja kolitine gibanja za raketu i plinove Zadatak 3.1 Izineunajte koliko protekne VT'CT/leTta od tmnutka ispugtartja loptice do trenutka konaF.nog zaustavtjanja, prema prothodnont zadatku! RJESENJE: T = to + 2 Et, = (V2ho/g)(1 e)/(1 — e)
P„ gdje.je
=
- dor) • ( 11 + dO) +
dot p • (17; + i7p)
(3-38a)
brzina plinova mase dro p. Condi je izraz jednak kolitini gibanja u trenutku I tj jednak je 00(t)v(t) rit(t)v(t) = (ni — Mu) • (F+ dt7) + (i7-11, • (17 + 17,,)
(3-38b)
Aku tu jednaliost rasptImuo i zanemarinn, ntedusnime umnoIke infinitezhnaha veni.ina dobijeino dro p
Gibanja rakete
+ trt • (115 = 0, (1,7 =
Do sada sino promatrali gibanja kod kojili je masa tijela koje se giba bila konstanta, pa .je vremenska promjena kolitine gibanja davala samo promjenu brzine s vremenorn, tj. akceleraciju. Sada eenio razinotriti situaciju kod koje imam° promjenu mase s vremenom, s tim da nam je za razumijevanje i rjeIenje tog problema nužno poznavanje zakona satuvanja kolitine gibanja. Gledamo, dakle, kako se giba raketa tija se masa u potetnom trenutku rre(0) (t = 0) sastoji od mase same rakete m i mase goriva koja de se smanjivati kako gorivo izgara i plinovi izlaze kroz zadnji otvor rakete. Zanemarit tem° stalnu gravitacionu silu na raketu. Masu goriva u nekom trenutku t tem° oznatiti s m0 (t), a masa goriva u potetnorn trenutku je 74) . Dakle u t= 0 rri(0) = mr + rr4,°1 (3-32) u t =t rn(t) = m,. + rn p(t). Neka je brzina izgaranja goriva jednaka b, tj. mo'iemo napisati da je dm p(t) dt
b
(3-39) r
jer (Im p = —don. Dijeljenjein to ,jedrimbIbe s dt dobijemo a.kceleraciju rakete (177/dt. Integracijorn gornje jednadiThe dobijemo, uz potetne uvjete v(0) = vo i ranije potetne uvjete za masu
v(t) = vo + vp In m
(o) r + nip rrt(t)
(3-40)
Potetni uvjet za brzinu je opeenit, a obitno je vo = 0, tj. raketa krece iz mirovanja. Kako je v(t) = dx/dt, ino2emo uvrstiti izraz (3-36) za ovisnost mase o vremenu i integrirati jednadthu (3-40) da. dobijemo put rakete, uz opeeniti potetni uvjet da je z(0) = zo (potetni polciaj rakete neka je xv). Dakle, v(t) = vo + vp In (1 —
(3-33)
gdje negativan predznak dolazi zbog toga Ito se masa goriva smanjuje. Ako je ukupno vrijeme izgaranja goriva jednako T, onda moXemo rijesiti gornju diferencijalnu jednaabu, uz koju mcr2,emo napisati potetne uvjete rnp(0) = mr i (3-34) rn p(T) =
odriosno = r Tit m
dtn p
rit(pO) t rit(t) T
= dx dt
(3-41)
Integriranje gornje jednackThe po vremenu daje putanju rakete x(t): x(t) = vot —
raP(0— ) f di In (1 — ri-0)
(3-42)
vol — vp i + C.
Diferencijalna jednadkba za masu ima rjeIenje Integral Z. rijeInno zarnjenom varijabli: y = 1— (4) /rnoT)• t , uz dy = —(mr/rnoT)dt. Ito vodi na integral nt p(t) = —Gt + C
(3-35) =
a iz potetnih uvjeta ino2emo odrediti konstantu C, tj. C = m(p°1 = bT, pa je
dt In (1
(0) mP t) = rnoT
Tr/ 0T in,
dy In y = —y In + y (3-43)
rnoT (o)
rri p(t) = --Gt + m(p°) = —bt + bT m(t) =m, — bt + rnr) = rn.r — Gt (1 — T /t) =
+ 4) (1 — t/T)
rre(0) ='mo = mr + rrer
(3-36)
1
714,5)
t
rrm
T
[1
(1
t )1 m T•
Za odredenje konstante integracije C uzrnemo potetni uvjet x(0) = xo Ito daje
pa je xo
Inn rrtp
(3-44)
sustrna (,e.stica. Mehunika krutog tijelu - statika
3. Mciturkika
Str. 3- 19
pa konaimi izraz za putanju rakete izgleda ovako
Sty. 3 - 20
D. Throat: Fizika 1 za PER Mettanika i toptirta
Vrentenska promjena (ukupnog) -a sada vodi ua josdva Plana ra raucdNeisnoj strani (3-50) tj. d (3-45)
dt
E' = m; + 112 +
l'2 ) x P12
tii; + M2 3.2.9 Kutna koliEina gibanja sustava dvije eestice Ovdje eerno dokazati (teorem, u stvari) da u situaciji kada se dvije (Justice nalaze u inercijalnorn sustavu i kada site kojitna inedudjeluju lee na spojnici till toeaka, onda jje ukupni moment site koji djeluje na sustav Pestica jednak vremenskoj promjeni ukupne kutne kolicine gibanja till Pestica. Pri tome se svi momenti odreduju u udnosu iii na istu toeku u referentnom sustavu (ishodiS'te npr.) iii na CM! Dakle, neka su kutne kolicine gibanja Pestica jjednake = n X TIL1171 i f2 = 7'2 X 111202.
(3-46)
mill x
dl
1/l2 /'"2 X
duct (3-53)
nr2 f'2 ) x avat m
Zadnji je elan ,jednak null jer je ishodite u CM (rem = 0 = (rre l .r, + in.27'2 )/A1). Prelim tome, dokazali smo tvrdriju i za opci pololaj ishodista referentnog sustava.
3.3 Sustav N Eestica. Zakoni gibanja i zakoni saCuvanja Prijjelaz od materijalne toeke prema krutom tijelu nastavljamo razrnatranjem sustava od N materijalnih toeaka, koji predstavlja direktno poopeenje prethodnog razmatranja sustava dvije testice!
a ukupna kutna kolieina gibanja je L 2 = r1 x rlt i vl + F2 X 1,12,721
L=
(3-47)
pa je vrernenska prornjena (vremenska derivacija) jednaka d d d litL =(L 1 + L2 ) =
+
x
Razutotrimo sustav materijalnih toeaka, tj. odreden broj N inaterijahrill toealca eije su rnase koje nalaze n prostoru na mjestu i na rijill djeluju vanjske site F,11 kao i site medu materijalnim totkarna. Onda jednadZie gibanja sustava materijalnih toe:aka moleino napisati ovako
X11121;2) (3-48)
_ (1171 (1132 = //L i r, x — +1n21.2 x dl dt
gdje smo napisali da je ei/dt = t7 I v, x v, = 0. No kako je 0 (vidjeti sliku 3.1) ishodite referentnog (inercijahrog) sustava, vrijedi 2. Newtonov aksiom u torn sustavu, tj. di.71 1111
at
= t',/1 + rzt
d17,2 i
1112
(LC
=
/2
+ 1. 12
j 3.3.1 Jednadjžba Jednad iba gibanja sustava materijalnih to ealca. j Zakon gibanja centra mase
d2 ,- rn
-A/1
---71121.2 di2
=A/2 +F2,
z 711'31'3
-A/3
(3-49)
+•••
112
+AI +
+1.23
+ A N-1 + PIN
1+•••
+AN-I + F2N
+ F34 + •
+ A N-1 + P3N
12,
d2
je 11 dl
. ,■ + 6 2) + ((1212 x (1 /2 + F2!)
L = 11111- 1
//16 X fiv/i + /1521'2 X 1;12 +
di`
111 N 1'N = Pt,/ N+PN1+ P N2+ P N3 + • • •
(3-50)
-,72) X F12.
u Ovdje smo iskoristili 3. Newtonov aksiom (vidi sliku 3.2). Kako su, medutim site medudjelovanja smjeru spojnice dviju eestica, vektor r = ri - r2 je kolinearan sili medudjelovanja, pa ,je zadnji Plan s jednak nuli, odnosno pokazali smo iznesenu tvalnju, tj. dL dt
=
(3-51)
= A4, +
Ako ishodir;te referentnog (inercijal tog) sustava prundostimo negdje drugdjo, npr. sinjestinto ga centar tnase,i onda jednad2be gibanja dobijaju jos jedan Plan na desnoj strani koji dolazi zbog moguije akceleracije CM-a (vidi kasnije poglavlje o neinercijalnim sustavima) df.ti 1111
17t2
= r,:/1
duct,'
+ P.12 -
do2 = fv/2 + dt
tj. prijedemo u novi koordinatni sustav S', kao rani "crtane".
(3-52) 1112 t
(1,71C M
dt
•
koordinate i ix Mill izvedene velicine pOStatiu
Slika 3.12 - Sustav materijalnih toeaka
+ f,v s. -1
(3-54)
Sir 2- 21
.7. Mehanika sustava cestica. Mchanika kruloy tijela I statika
li gornjern izrazima je Fib sila kojom 1—ta jeestica djeluje na i—tu! Oeigledno eestice ne djeluju sonic na sebe pa nema "dijagonalnih elanova" poput Fkk. Nadalje, po treeern Newtonovom aksiornu vrijedi da je Prema torna kada zbrojimo sve jednad2be, na desnoj strani ee se ponikititi svi pa.rovi unutarrijih tj. silo Fii, pa ostaje samo (vektorski) zbroj vanjskill silo
Pizika I za ELM - 114,hanika i toplina
- 22
ista., bez obzira na to da h se sustav raspao ill Mje! Prema tome, ()dumb nakon raspada, ukupna kolieina gibanja tri komada zajedno, jednaka je kokini gibanja jedne mase, neposredno prije raspada! Ako jr npr. ukupna masa prije raspada bila. jednaka 3m, onda je kolieina gibanja prije raspada bila jednaka po
d2 — do (nin) +
= ameo cos oi
d2 dt2
yrn2F2t + • •
= P.1, 11 + 41,12 +
dt2
+ Pe, IN
(3-55a)
a nakon raspada je = 0101 + 1n172
kto mozemo napisati kompaktnije ovako
m(60i +
2 dt2
gdje smo uveli vektor polo2aja centra mase
AfRoNi =
Tlrn +
—• Al
a to je jednako po, pa izjednaeavanjem gornjib izraza dobijemo = (601 60)) m/s.
koji ,je poopcenje izraza za dvije eestice, don rat*
+ tule2 + 1,12 +
—
(3-551))
, 111.,77,
+ raNFN
E,"_,
+
111V3
30)) m/s m(30i — 90)) m /s,
a a
Tlri
(3-56)
E 3.3.2 Kutna kolieina gibanja sustava materijalnih toealca
=1
i gdje ,je uvedena ukupna masa sustava eestica Al. flezultat gornjeg razmatralip je fundantentalare sustav materijalnih toeaka ponaga se po drugom Newtonovom aksiomu kao materijalna toeka (ukupne) mase A/ i giba se zbog djelovanja vanjskih sila ci, jj vektorski zbroj djeluje na centar mase CM. Istovremeno se unutarnje silo ponigtavaju, odnosno one ne igraju nikakvil Mogi' u razinatranju gibanja sustava Inaterijalnill toeaka! Slueaj za dvije materijalne toeke ilustriran ja na slid 3.3 (uz F = FR).
Neka se sustav koji se razmatra sasto,ji od N eestica - materijalnih toeaka. Svakoj toeki pridruZujerno njen radijusvektor odnosu na. CM polokaj toeke je odreden vektorom pa molerno napisati da je = 7'0 0 +1;'. Odgovaraju(0 hrzina je 17, = + Kutna kolieina gibanja pojedine cost ice .le a ukupna kutna kolieina gibanja sustava od N itestica .je
Ako je vektorski zbroj svih vanjskih sila ,jednak null, onda slijedi da se centar rriase sustava materijalnih toeaka giba jednoliko po proven (iii miruje), tj. iz
i=N
i=1 0
„c„,,
= konst.
(3-57a)
To je vrlo važan zakon oeuvanja koji kontrolira niz situacija i pomoeu kojeg razumijemo gibanje rakete, raspade tijela ltd. i pomoeu kojeg rijekavamo cijeli niz praktienill problema eije bi rjekenje bilo mace vrlo tebko rjebivo! Taj je zakon neposredno poopeenje zakona CM izvedenog za sustav dvije eestice! Takoder dobijemo odozgo i zakon saeuvanja kolieine gibanja sustava eestica ± 712 ± • • • ±
= konst..
(3-57h)
=
E(T,' x T-;; )
x
= Em,(7-cm
x
= Emi(TCto
X 1700 ± FCM X
E (1'CA1 X
(3-58)
in,17c0
= i'c!t! x Pon! + Primjer 3.15 Projektil je ispaljen pod kutont od 60° u odnosu na horizontalu poeetnont brzinont = 100 m/s. Kada je projektil postigao najveeu visinu projektil se raspadne na tri dijela jednakih masa. Brzine prvog i drugog komada odrnah nakon raspada su
771 = (607 + 301) rri/s i 152 = (307 — 905) m/s. lzraeunajte brzinu treceg komada odmalt nakon raspada! RJE§ENJE Ovdje se radi o kosom hicu pri kojem je doss-lo do raspada tijela na koje djeluje vanjska sila - totina tijela, ali i unutarnje sile koje su izazvale raspad! Te unutarnje site ne utjeeu na zakon gibanja contra mase sustava (Sustav ovdje predstavha jedna eestica prije raspada, odnosno tri eestice nakon raspada.) Dakle, CM se giba i dadje pa paraboli. Promjena koheine gibanja sustava zbog teline tijela je
+ 01,F,
TCA1
x
o
X "1.7CIVI
X ficu
7'; X 77; ')
TrI.,7'CNI X 17, ±
,13CNI X rc)
d
Clan koji je sadrkavao Eir="1 'nt, bio je jednak nuli ,je on predstavlja udaljenost CM od toeke u odnosu na koju se raeuna pololaj CM. Drugi elan u konatnom izrazu gore je po definiciji kutna kolitina gibanja oko CM, tj. dobili smo vaian rezultat L
= r00 x ITcast +
=
LCAI
(3-59)
icm •
ija kutna kolieina gibanja sustava materijalnih toeka, Lo je kutna kolieina gibanja (materijalue) toeke (CM) eija ,je masa. M oko ishodikta, a Lcti je kutna kolieina sustava toeaka oko CM! Vremenska promjena kutne kolieine gibanja rezultat,je djelovanja vanjskih momenata na sustav testica. Na taj naein gibanje sustava testica opisujerno preko translatornog gibanja CM zbog djelovanja vanjskih sila
3. Mehanika .sustava ecstira. Mehanika krutog tijela I .stalika
Sir. 5- 23
Sir. 3 24
D. Noma: Fizika I zu FER Meltunika i toplina
i vrtnje (rotacije) sustava zlzog djelovanja vaiijsklll momenata. Taj opts gibatija sustava materijalnill tokaka poopcava se na gibanje krutog tijela.
3.3.3 Energija sustava N ruaterijalnih toO"aka szno da je ukuptia kolieina gibanja sustava Cestica u potpunosti je odre djena brzinom centra mase sustava, a ne i relativnini gibanjima eestica. Ovdje eemo defirairati ukupnu kinetieku energiju sustava eestica kao zbroj kinetiekili energija pojedinili eestica, tj.
ek.k) E
=
2
2_
(3-60) Slika 3.13 Uz definiciju krutog tijela
gdje se brzine nijere u odnosu na toeku 0, ishodite koordinatnog sustava. Ako ponovno izrazimo koordinate eestica preko radijusvektora centra mase CM, tj. napiSemo = Fcisi onda -je i v.i = 'km +15; pa izraz za kinetieku energiju molemo napisati ovako
,(.1,) =
2_,nti('ucm +17,')(17c m
));')
= 2 MyCni + gcm (E miff; ') +
E
(3-61)
Prvi Clan predstavlja kinetieku energiju materijalne toeke mase M koja se giba brzinorn gcm. Drugi Clan ino.2eino napisati ovakoi.7ers id(E, i on predstavlja vremensku derivaciju koordinate centra mase, §to je jednako nuli! Zadniji Clan predstavlja ukupnu kinetieku energiju svilt eestica u odnosu na CM, pa je kinetieka energija sustava eestica jednaka 1 E' = 11,111cro +
2
E
Slika 3.14 Trunslacija krutog tijela
(3-62)
Ako npr. sve testice sustava imaju brzinu jednaku brzini CM, onda su sve brzine '6"; ' jednake nuli, pa ,je kinetieka energija sustava jednaka prvoni clams. Gomji izrazi i gornje razinatranje ukazujc da kinetieka energija zatvorcnog (izoliranog) sustava nije saeuvana velieina (za razliku od kolieine gibanja eije saeuvanie vrijedi). Druga zaniinljiva situacija nastaje pri kotrljanju krutog tijela, pri kojem se giba centzu. mase CM kroz koji prolazi os vrtizje (rotacije) all se ujedno giba i os. Tako imam() translacionu (AlvL, /2) kinetieku energiju i relativniu - rotacionu kinetieku energiju.
3.9 Kruto tijelo - uvod Do sada smo promatrali dinamiku inaterijalne toeke i sustava inaterijahlih toeakz, sto IIEIS dovodi u situaciju da molemo uvesti pojaiu krutog tijela, dakle realnog predineta odredenill dimenzija i dane mase. Kruto tijelo je tijelo protelito u prostoru. Ono se pri djelovanju sila vrlo mak) proniljeni, toenije, deformaciju krutog tijela zbog djelovanja vanjske site moleino zanemariti u odnosu na dimenziju tijela. Dijelovi krutog tijela se, dakle, pri djelovanju sila lie gibaju relativnio, jedan u odnosu na drugoga. To itio;z:eino, prema slici 3.13. prikazati tako da uoCimo dvije proizvoljne toCke krutog tijela eiji su radijusvektori 1'; i rI. Relativni
vektor polo2,aja to dvije toeke je i ako vrijedi da sic za bib koje dvije toeke relativid radijusvektor nepromjenljiv u vremenu konstantan, onda ka.Zeino da je to tijelo kruto! NaCuli gibanja krutog tijela Kruk, tijclo pod djelovanjem sila i momenala inole izvoditi translatorno gibanje pri kojein se sve eestice tijela gibaju po pravcima koji su inedusolnio paralelni i pri kojein sve Cestice tijela imaju istu (lineaniu) brzinu (vidjeti sliku 3.14). Takoder se pod djelovanjeni site (totnije momenta - vidi dalji tekst) kruto tijelo mote gibati tako da njegovi dijelovi izvode krivulje u prostoru, odnosno da se kruto tijelo "prevr&" u prostoru. Pažljivo razmatranje opeenitog gibanja krutog tijela dovodi nas do zakljueka da se svako Oka* krutog tijela mole opisati koo (istovrentena) translacija i rotacija eke neke osi.t Relativno jednostavno gibanje nastaje kada je os oko koje rotira kruto tijelo tevrS'eena. Onda pojedini dijelovi krutog tijela opisuju (zamiSljene) kružnice eiji centri sjede na osi (vidjeti sliku 3.15). Nadalje, razmjerno je jednostavno gibanje pravilnog - okruglog - krutog tijela kod kojeg se centar mase giba po pravcu, a os rotacije prolazi kroz centar inase. To gibanje zovemo kotrljanje krutog tijela. Mi t'emo u ovom poglavlju obraditi prvo uvjete ravnoteže krutog tijela, a zatim se, u slijedeeem poglavlju posvetiti rotaciji krutog tijela oko stalne osi i kotrljanju krutog tijela. Najopeenitije gibanje krutog t Ta tvrdnja je u stvari tzv. Chaslesov teoreiri po francuskorn matematiearu Michelu Chaslesu (1793-1880). Dokaz tog teorema dan je u naprednim knjigama o dinantici krutog tijela
3. A Ichanika sushi?. e.,stica. A 1 chanika krutog Lijrin L - statika
Sir. 3- 2.5
IL lorvat: Pizika 1 za PER - A Ichanika r toplina
Sir. - 26
Sao. 3.165 - Rastavlianie sila na kruto tijelo
Slika 3.15 - Rotacija krutog tijela oko stalne osi = cos0 = IP31 sird(3 + 7/2) = 11.31 sin 0, gdjeie ponigtena reakcijom od osi. kao za silo fr,. Dakle cs kut izmedu silo 5s i vektora koji lei a ravnini vrata i ima smjer od osi preina hvatistu IL
tijela, koje sarno po sebi ne uvodi nitta novo u odnosu na nage buclu6e teme, prilieno je komplicirano i tonie su posveceni posebni dijelovi rnehanike - analiticka mehanika koju ovdje neeemo obraditi. Moment site Moment site /11 = P x F uveli smo ranije (pog1.1) razmatrajuei rotaciju materi,jalne totke u ravnini oko .jedne evrste totke. Ovdje promotrimo kruto tijelo koje je "probodeno" nekom osi. Kada sila ) djeluje na to tijelo, u ovisnosti o iznosu site i njenom smjeru djelovanja, ti,jelo Se se poled vrtjeti kroz os. Os rotacije je (zamilijeni) pravac u prostoru od kojeg oko osi 0, ako pravac d,jelovan,ja site ne pr testice tijela zadržavaju zadriavaju stalnu udaljenost pri vrtnji, tj. oko koje se kružno kruino gibaju. Totka kojo,j djeluje sila zove se hvatiSte site, a vidjet Semo u daljem tekstu da je vaino svojstva hvatigta da ga moZ1errio pomicati (sklizati) dui duž pravca na kojem djeluje sila, a da se djelovanje site ne promijeni.
Vrata Se se zakrenuti zbog djelovanja FN komponente site f13 , a rezultat djelovanja site biti ee to "bolji" Ito sila djeluje dalje od osi rotacije. MoZ:emo zato u skladu s ranijom definicijom prepoznati moment site, vektorsku fizikalnu velieirtu tiji je iznos jednak umnogku iznosa site FN i udallenosti roll, gdje je roll udal,jenost od osi 0 do hvatigta site H M = roll • FN
= rOli • F3 •
(3-63)
sin a.
Jedinica za moment site je njutn-metar Nm. Moment site je, medutim, vektorska velieina ciji je iznos dan gornjom jednariborn, a iz definicije vektorskog produkta inolemo oeito napisati M = Pon x F3 , iii, opeenito (3-61)
Al=Px P.
Srnjer vektora. A? u sluea,ju na slici 3.16b je "iz papira", okomito na vektore fbn i F3 . Iz slike 3.16a odmah je jasno da je zbog djelovanja site F2 moment /112 jednak Ai =Pon, xF2
M=
(3-61')
rorr . 1F2F.
Nije nu'ino imati i'vrstu os oko kojc se tijelo mo,e okrctati, pa da uvcdemo moment silt. Prema slid 3.17 moemo izrae.unati moment site F oko toae .4 it B iii C.
Slika 3.16a - Djelovanje nekoliko sila nu tijelo koje ramie rotirati oko osi 0 r2 rt Zamislimo otvorena vrata - kruto tijelo, (slika 3.16a) na koja djeluju tri site. Slurp svili sila koje djeluju na kruto tijelo zovemo sustav sila. Iz iskustva nam ,je jasno da sila Pi koja djeluje na pravcu koji prolazi kroz os 0, neee uzrokovati nikakvo gibanje, jer Se reakcija u 0 ponigtiti djelovanje site. Sila 1 2 , koja je istog uzrokovat Se vrtnju vrata oko osi 0. Vrtnju Se izazvati i djelovanje site F3, koja je istog iznosa kao i sila iznosa kao F1,2, eije je hvatigte toeka H. Ako rastavirno situ .P; na komponente (prelim slici 3.16b) onda vidimo da komponenta okornito na ravninu vrata uzrokuje rotaciju vrata, dok je komponenta u ravnini vrata
'C
'H B.41‘,
AAIlk
Slika 3.17 - Moment site oko proizvoljne take
3. Mchanika sustava cestica. Mchanika krutog !richt 1 - statzka
, liH =
Sir. - 27
Str. 3- 28
D. Hurcat Fizika 1 za FER, - Mchanika i toptina
= 'F3
Neka je A = Onda je moment: (a) oko toeke A jednak = t i x F, (b) oko toi:ke B je A1u -= x oko toac C je Me = x F. Kod konkretnog proraeuna je nag slobodan izbor (praktienost rat:1m) izabrati "os" (toeku A, B ill C) oko koje raeunamo moment silo! Nledutim, ovu zadnju tvrdnju o slobodi izbora valjat ee dokazati - vidjeti dalji tckst!
Slika 3.18 - Teiigte polukruinog lika - uz prirujer 3.16
3.9.1 Teži;te krutog tijela Prema ranijern razmatranju djelovanja vanjskill i unutarnjill sila na sustav materijalnill toeaka, vidjeli S1110 da se gibanje sustava moZ".e opisati kao rezultat djelovanja (vektoiskog zbroja) vanjskill sila na toeku koju zoverno centar mase (CNI), a eija je masa .jednaka ukupnoj masi sustava. Ako na sustav djeiuje sila te;,a, tj. ako su vanjske site u stvari tezine pojedinill komponenata sustava, onda ,je hvuttigte rezultunte svih koje se nalazi u CM toe. teiigte T sustava materijalnill toeaka. Prema gornjoj definiciji dvije toeke - teligte T i centar mase CM nalaze se u istoj toCki, medutim to ne mora biti nuino tako, Jer ImAe se dogoditi kod velikog - proteiitog sustava da akceleracija site tete svih dijelova nije ista zbog nehomogenosti tla ispod pojedinih dijelova sustava zbog prisustva velikib masa ili velikih gupljina. Vodeei raeuna o toj moguenosti, uzet coins (gotovo) uvijek da to fluktuacije moiemo zanemariti, pa &ono to dvije toeke stavljati na isto mjesto, uz alternativne oznake.
mIS = Am] AS = dm/dS = dinl(dxdy) (u Kartezijevirn koordinatama) ili a = inIS = dial pdpd0 (u polarnim koordinatama) itd., pa je din = (inl S)dx dy ili drn = (in I S)p dp dO i (3) voluinne gusto& p, koja je jednaka p = rnIV = dm/d1/ pa je din = = (rnIV)dxdydz (u Kartezijevim koordinatama) ili drn = (rn I V)r2 dr sin 9 d9 (10 (u sfernim koordinatama). Primjer 3.16
Odredite poloiaj teiigta (plognog) lika promo slici!
RJESENJE Ako smjestimo koordinatni sustav prema slici, jasno je da je x koordinata teiigta Jednaka null, a y koordinatu dobijemo iz izraza
Nalalenje centra mase CM krutog tijela , odnosno poloiaja teiiSta T krutog tijela, svodi se na raeun beskonaenog zbroja infinitezimalnih djelie'a mase pormay2ene s udaljenosti od neke fiksne to'Cke (ishodikta npr.). Dakle, pornoeu izraza za CM sustava totaka (gdje je M ukupna masa cijelog sustava)
XCM =
i=N E
x;.„„
, i=N 1 YCNI =
Al
iN
Yin,: i=1
ZCM =
/11
E
Zitrti
napravillio prijelaz promo krutom tijelu tako do uzinemo infinitezimalue djeliee mase
ponmo2ene s njillovom udaljenokeu. Tako dobijemo i beskonaean broj takvili djeliea, tj. N .N 1 , X c1N1 = —„ 11111 E AM,X, —I Ai ,N rn -40 N-40c, i=1
ycm
1 ,.
= — Illn
1N
:ECN1 =
I M
(3-65)
Ilti
1
f ydrn o f ydS = f din o f dS '
gdje je a = dm/dS povrginska g-ustoea, a element povrtine dS Ce biti u polarnim koordinatama dS p dp i y = psi!' 0, pa imam()
Am -4 0
SCM =
co, pa imamo
f :E. (1111,
E .x„„yi _, Wcni = — f Y dm ru
Yem =
p2d. p f sin rgdO u (R2, _ ,2„)
(_ cos 0) 4 R2 + Re + 3a R+ r
;7,.(R2 _ 7.2)
Ako dozvolimo da r I), onda dobijemo iz gorsjog izraza pololaj teZiSta polukruine ploee: //cm 4R/37c. Takoder za r -■ R dobijemo poloiaj tOigta polukruZnog prstena yes = 2R/tr.
(3-66)
N - • sc 1=1
Ti m ZcNi = -- 11111
=N
E
Ai z.N rri -.0 N-.z i=1
ti
zi _,
1 f z dm. ZCN1 = — Al
gdje je uvedena definiciju integralu preko beskonaene sume infinitezimalnih doprinosa! Za praktienu provedbu odredivanja telikta raznill tijela, prevodimo integraciju po (Int na integraciju po nekoj koordinati (dx npr. dB itd.). To napravinro uvodenjem:
izrueunajte teiigte (poloiaj CM) jednakostranienog trokuta (plognog lika) so strunicarna a (krakovi) i b (baza). tikupna masa trokuta je
Pritnjer 3.17
ITJFS'ENJE Ukupna masa trokuta je tn, a povrtina je S, pa moiemo uvosti povrginsku g-ustoeu a ovako _ Am _ dm
=
(1) lineume yustoee p, tj. iz p = mIL gdje je m ukupna masa nekog homogenog tankog predmeta eije se
druge dimenzije mogu zanemariti u odnosu na duljinu, a L njegova (ukupna) duljina, rnc0.erno napisati da je mIL = Am/[AL = dinIdL pa zarnijenimo dm s din = (rnIL)(1L, ili uvodenjem (2) plogne gustoc'x a koja je po analogiji s linearnom gustoe...om definirana ovako o = mIS, gdje je S ukupna povrAina, a debljinu prechneta InoZ".erno zanemariti, bar kto se poloaja CM tiee! Onda.je o =
- AS - dS .
Trokut smo sinjestili tako da treba posumirati mase vertikalnib "rezanaca" debljine dx i duljine 2y. Iz slienosti trokuta dobije se omjer x : y = h : b/2, gdje je h visina trokuta jodnaka h = Ia 2 - 62 /4. Prema tome, masa rezanca je
dm =
dS = cr(2y)dx = a
xb 2/e
ab dx = —xdx.
3. Mehanika sustara eestica. Mehanika krutog tiyela 1 - statika
Sir. 3- 29
D. Horrat: Pizika 1 za PER - Me.hanika i toptina
Str. 3- 30
y te "nite" je jednak pot: Mini poninolenoj s visinorn, tj. dV = (r 3 r) dy. Undo jo gusto4a jednaka
P
don don dV = r 2 rdy
Pa je
don = p. r2 F dy= pir(le — y2 )dy, Sada raiMnamo y—koordinatu targta
YT
3 p2R3 r
yp,(R2
f•
y2) dy =
3
77p ( R2
2R37rp
2
4
2
4
0
3R
4 4
Slika 3.19 - Ccntar mase trokuta - uz prirnjer 3.17
Primjer 3.19 Homogena kugla polurnjern R inta sfernu gupljinu polurnjera r, aije se sreddte nalazi no udaljenosti b od contra kugle. Nadi poloiaj centra mose. Onda je 1
xcKi =
f x dm = — f xa dS
=1 f
m
ab xdx= ab xh mh
= ab x 3 lh = ab h3 mh 3 ,3 mh 3 PovrSinska gustoa je a = rn/S = 27n/hb, pa je xcoi = 2h/3. Ako .je, nadaljc, trokut .jednakostraniiian, onda je h = 00/2, pa je xr:Ki = ii0/ 2, a ako je trokut pravokutan, onda je h = o If/ 2, pa je xmo = n0/3.
4 Primjer 3.18
Odredite poloiaj antra rouse - teidta homogene polukugle polumjem R i mase Slika 3.21 uz prirnjer 3.19.
R.JES'ENJE Odabran je koordinatni SUStilV s isbodistem u centru kugle, a centar supljine sinjeSten je na os x. Tim izborom postignuto jo da y i z koordinatc contra masc (CM) imaju vrijednost ymo = zeim = 0. x koordinatu contra muse (xclit) naei 6emo uz pomoc slijede6eg razmiljanja: kuglu sa Aupljinom, ciji xmo trauma , mohimo nadomjestiti toaastom inasorn 4/3r(R3 — r 3)p, gdje p prcdstavlja gusto6i kugle. Snstav sastavljen ad to kugle sa Supliinom i mine bugle iste gustorle, a volitiuc i polo2aja supljiuc imao bi c:entar mase u (0,0,0), to 1110C1110 pisati:
Slika 3.20 - Polukugla u presjeku - uz prirnjer 3.18
RJES'ENJE Za homogeno tijelo uvodomo (volumnu) gustoe'u p = m/V = din/dV. Za (polu)kuglu cc element volumena dV biti volumen tanko "mnite" debljine dy i polumjera r, prema slici 3.20. Voltnnen
4ro
— (R3 — r3 )P • xch, 3
4r 3 —r ph = 0. 3
lz to jednakosti dobijamo :ccnt kao: r 3b R.3 — r3
3. Mchanika sustava eestica. Mehanika krutog tijela 1 statika
Str. 3- 31
Sir. 3- 32
D. Horvat: Fizika za FER. - Mehanika i toplina
41
Zakon gibanja teži§ta krutog tijela Ako van•jska sila djeluje ua sustav tit kruto tijelo, onda smo pokazali (za sustav od
Cestiva) da as opi!enito gibanje sustava pod djelovattjent vanjskih sila aloes svesti na gibanje CM, dakle s jedne tot-t.ke masa koje je jednaka ukupnoj vas! sustava, pod djelovanjent rezultantne sile jednake vektorskom zbroju svill vanjskih sila! isti naein Ce djelovanje ukupne site teZe na kruto tijelo imati za posl•jedicu da rezultantna sila - telina tijela - djeluje na teliSte ili CM i da se tijelo giba kao da je stisnuto u jednu (ntaterijaInu) toitku, a tia6n gdbanja to (materijaine) toCke cliktiran je njenom telinom, tj. =
(3-67)
Ako nenta vanjskih sila, onda teliSte miruje iii se jednoliko giba po pravcu, tj. Ift7j! = koust.
Slika .9.23 - Credo u translacijskoj ravnoteii, ali zakrenuta oko osi 0. (3-68)
To •je. uz (3-67), zakon giburtju teiigto krutog tije/u, koji je analogan (mom za sustav materijalnih toCtaka!
3.5 Statika krutog tijela
R.azniotrimo sada pa2ljivo tijelo - homogenu gredu dudjine C i mase M, objeteno u težigtu, prema slid 3.40. S obzirom da su vanjske site na djeliee tijela u stvari teline tilt d, jelila, onda totku - hvatiSte rezultantne site - teiine tijela - zovemo teiigte. Greda objeAena o nit miruje, jer je rezultanta vanjskih sila jednaka nuli
C
+
= 0, pa centar vase CM iii teliSte T
Uklanjanjent jednog utega M s grede valja ukloniti i jedan uteg M s niti na desno (prema slid 3.23) da In greda bila i dalje u ravnoteii, tj. da Debi dodo do ubrzane translacije grede po vertilcalnom pravcu. Medutim, ako objesimo negdje na gredu uteg In (koji je, jednak rn = M/2), doCi ee do ubrzane translacije grede u vertikalnom pravcu ali i do ubrzane rotacije grede oko osi 0. TiAnslaciju grede sprijeirno dodavanjern, prema slid 3.23, ,jednog utega rtt na desno, na nit. Dakle, zbroj svili sila na gredu jednak je nuli, pa se greda ne giba translacijski. Medutim, iako su site u ravnoteii (vektorski zbroj jm ,je jednak nuli), greda je zarotirana! Da bisrno povratili i rotacijsku ravnote211 moramo na odgovarajuei natin objesiti dodatne utege. Rotacijsku ravnotežu postižerno vjetanjem utega tako da su "zbrojevi urnn&.alca inasa i udaljenosti jedne i druge strane jednaki". Jasno, to je sarno "prijevod" situacije na slici 3.24, no stvarno se radi u zbroju momenata sila:
miruje (ili bi se moglo jednoliko gibati po pravcu). Greda se
mote zakretati oko osi 0 (tu je u stvari i te'lAte grede).
Slika 3.2.4 - Creda u translacijskoj i rotacijskoj ravnoteii: vektorski zbroj svih sila i svih mornenata sila jednak je nuli!
Slika 3.22 - Creda muse M optcreeena Tnasom M u rcivrwteii
zbroj uninoLika teina utega i krakova - udaljenosti od objesi§ta - osi lijeve strane jednak je odgovarajueem zbroju umiloZ".a.ka tefi.ina i krakova druge strane. Dakle, na lijevoj strani grede imarnorrtg.4+(3m)g•1 = 7rny•1,
3. Mchanika swum; (Tstica. Alchanika krutog tijelo / • stalika
Sf.r. 3- 33
a na desnoj strani imamo (2m)g • 2 + mg • 3 = 7mg • 1. Dakle, momenti sila (telina) lijeve strane jednaki su po iznosu momentima druge strane. Prerna ranijem razmatranju o rnomentima ,jasno je da vektori momenata sila lijeve strane "gledaju" iz papira (po pravilu desne ruke, tj. vektorskog umnogka kraka sile i vektora site f), a vektori momenata sila desne strane "gledaju" u papir. Vektorski zbroj momenata jednak je nuli, pa greda ne rotira. Nadalje, palljivo zbrajanje utega lijeve strane polcazuje da .je greda na miru u vertikalnom smjeru, jer je odgovarajuei broj utega objegen na nit desno! Dakle, greda se na giba ne translatira jer je vektorski zbroj sila koje djeluju na nju jednak null! Time smo dolli do uvjeta ravnoteie krutog tijela: kruto tijelo je u ravnotelj (ne rotira i ne translatira u nekom inercijahrom sustavu), ako je vektorski zbroj (vanjskih) sila na tijelo jednak null i ako je vektorski zbroj (vanjskih) momenata sila .jednak nuli: o E NJ, (3-69) Ovdje valja uoeiti da se momenti vanjskih sila raeunaju oko bilo koje osi (a ne nulno oko osi kroz teligte). Da to polcalemo, premjestimo ishoHigte koordinatnog sustava za vektortj. 0 -4 0' = 0 + d. Oncla i krak sile momenta Ali postati a uvjet statike nametnut momente sada .je E E is; x = E(i!; — (7) x P, (3-70a) -4
= + d,
no uvjet za sile E F, = 0 pokazuje da je zadnji elan jednak null, pa ostaje jednakost (3-70b) E=E Dakle, ako nema rezultantnog momenta vanjskih sila one neke toeke nema ga oko bilo koje druge toeke, pa imamo slobodu izbora osi oko koje postavljamo uvjet na momente. Dobar izbor osi mole u nizu slueajeva jako pojednostaviti raeune u problernima statike krutog tijela. Za praktiene raeune problema statike krutog tijela valja opisati preciznije nacine djelovanja vanjskih sila na kruto tijelo i ratuna momemata vanjskih sila. Zato ovd,je iznosimo dva va/na aksiorna statike i nekoliko definicija i konstrukcija. Ranije smo kazali da skup svih sila koje djeluju na kruto tijelo zovemo sissies sila. Prvi aksiorn statike kale da ee kruto tijelo biti u ravnoteli pri djelovanju dvije sile ako su te site F, i fr2 istog iznosa, tj. I = If21 i ako djeluju (la istom pravcu all su suprotnog sinjera, tj. F = —F2.
U. Horvat: Puika za FEll • Mohnuika i toplina
Sir. 7. 34
Slika 3.25 - Uz dokaz korolara o sili - kliznom vektoru!
Drugi aksiom statike kale da se djelovanje sustava sila na kruto tijelo neee promijeniti ako tom sustavu doclamo dvije sile F, i F2 istog iznosa, tj. IF, IF2I , koje djelu ju na istom pravcu all su suprotnog smjera, tj. f = —F2 . Iz ta dva aksioma statike izvodimo valan leorein ill korolar koji kale: ako sila djeluje na kruto tijelo, onda njeno livatigte molerno premjegtati dui. ()raven na koje djelu je ta sile, bez da se djelovanje te sile na kruto tijelo promijeni! Tada kalerno da je sila klizni vektor. Dokaz toga korolara, eija je tvrduja izuzetno korisna, ide ovako: zamislirno na kruto tijelo djelu je sila kojoj, po drugom aksiomu statike dorlarno dvije sile F, I F2 prema prvom aksiomu, u ravnoteli. Izaberimo da te site djeluju na istom pravcu na kojem djeluje i sila F i neka je njihovo zajednieko lrvatigte a toeki A, prema slid 3.26, i neka su njihovi iznosi ,jednaku iznosu site F. Onda, prema slid 3.25, molerno shvatiti da su site i site iz aksioma 1 odnosno aksioma 2, tj. njih molemo ukloniti a da se ne promijeni djelovanje site F,. Kada ih doista i uklonimo, ostaje (samo) sila Ft koja je po svernu jednaka (originalnoj) sili F, osim Ito joj je hvatigte pomaknuto u totku A! Na osnovu tog korolara mo2emo rijetiti djelovanje opeenitog sustava sila koje djeluju na kruto tijelo (slika 3.27). koje Si,,
fr2
Ft
r4.
42
Aksiomi statike
Slika 3.27 - Nalaienje rezultante
\
korikurerrtnik
Sile koje medusobno nisu paralelne molemo klizanjem, prema dokazanom korolaru, dovesti u istu totku - zajednieko hvatigte. Takve sile, koje djeluju u istoj toeki zovemo konkurentne site. Njihovu rezultantu nademo po pravilu paralelograma zbrajanja sila, a hvati!8te rezultante onda molemo dosklizati po pravcu djelovanja rezultante do tijela u toeku ko,ja nam najbolje odgovara. Za nalalenje rezultante paralelnih sila (slika (3.28)) morarno se posluliti aksiomom 2, s tim da smo ranije paralelne sile dosklizali da pravca koji spaja njihova hvatigta. paralelnim silarna dodamo dvije sile iz aksiorna 1 tako da one djeluju na pravcu koji spaja hvatiSta paraleluill sila, i ako su njihova livatigta u livatigtima paralehrill sila (prema slid 3.28) onda Inv° nademo rezultante R, i 172. Na taj srno naein "nagnuli" site i pretvorili smo u konkurentne. Sada je lako, prema prethodnom razrnatranju, naei rezultanu sila! Monteith sila konkurentnilt sila odreduju se tako da sila jednak vektorskom umnogku kraka - radijusvektora Ad x M= f!'x (fr, + + ...) = M, + fi2 + (3-71) Ako
nademo rezultantu, pa je moment sustava povutenog od osi oko koje gledamo moment do hvatiS'ta
Slika 3.25 - Uz prvi aksiom statike
rezultante - vektora rezultante, tj. =
3. Mehanika sustava 6 ' estica. Mehanika krutog tijela I - statika
.517'. 3- 35
Str. 3- 36
D. Donal!: Fizika I za FER. - Mehanika i toplina
Ei441Wi41;WWil
5,5,
G
Slika 3.28 - NalaZenje rezultante patalelnilt silo Slika 3.30 - TciiSte (prarilnoy) krutog tijela.
Odgovor nam daje prethodno razmatranje koje poma.Zc da dvije po dvije silo zbrojimo i eliminiramo i tako dodemo do poloi.aja tetit.tta. Rezultanta svilt paralelnill silo (telina komadinaka tijela promo slici) potnnolena s krakom rezultante dot ne moment npr. oko osi koja prolazi lijevim krajern predmeta sa
dike. Xrak rezultante s obzirorn na to os je don formulorn (3-73) Slika 3.29 - Sustav paralelnih silo i roam momenta rezultantne stile oko Locke A.
el?
(3-73)
E F,
gdjo umjesto silo Fi sada napiAemo tetinu
Za nalaZenje momenta site paraleinth sila ponovno smo u neprilici jer ne znamo odrediti odinah krak =
rezultante. Pogledajmo zato sliku 3.29, na kojoj su prikazane parMelne stile koje djeluju na kruto tijelo. Zanima na rezultantni moment site oko ope'enite toeke A. Nakon Sto sino dosklizali site tako da
hvatita na istom pravcu (prema slici) uoeimo da sve vektore sila incerno prikazati pornoeu jednog vektora
it koji, recline), gleda gore, na slici. Onda je svaka sila F prikazana kao umnolak tog vektora i velieine F1 , koja je jednaka iznosu site poinnolenoin s +1 ili —1, u ovisnosti o tome da site "gleda" kao vektor it iii u suprotnom smjeru. Oznaenno takoder i udaljenost od toeke .4 do hvatiSta site f,
s
Onda
rR
ukupni
(3-72)
=
FN)
F2 + • • +
nakon krantenja 9—ova (koji su po pretpostavci svi jednaki za pojedine dijelove tijela, iako to, medutim, mase
,
ti. m = r k a R.
EFirni E sn,
1 E 0,tnig -— M
= ?cm.
No kako je R =
Ei Fi
=
E; F, it,
vektorski molemo
Primijenimo sada priprendjenti teoriju na konkretne mindere raeuna statike krutog tijela. Primjer 3.20
Ljestve duge = 4 in i muse rrt, = 10 kg naslonjene 811 11(1 iimpav zit! (p2 = 0.1), a s awn zatvarain kut 0 = 60°. Koefieijent trenja 11(1 podu je µti = 0.2. Na koju se vision po ljestvanta 111011: popeti
eavick 1101SC rn. = 60 k g, (t da one 710 poenn
napisati + F2 + • + FOIL =
+
F2 +
+
FA X it
i'k (F + F2 + • + FN) =
+
F2 +
+
Fry)
'Fa x
—
J
iii
Neka je novjek na udaljenosti a od podnoZja ljestava. L'vjet ravnoteie (za site) daje
S. to daje
+ F,,, , +11a7 +1110 +
(3-73)
E Fi
+F,,, 2
E
Tairste i centar muse Pogledajmo sada neko tijelo (pravilno da olakAamo neposredno razrnatranje) kao
=
0,
fit po komponentarna Nt — nig — zaly + Ft,-,2 = 0
Sada lako nademo inomet rezultantnth site jer je 1 = is
= N2. Silo trenja povezane su s reakcijama podloge orako
na slici 3.30. Pitamo se gdjo je hvatiSte teline, odnosno kako nemo zbrojiti ore tante djelina tijela (slika 3.30)?
(3-74b)
it
S druge strane to je jednako nekom kraku rezultante (nepoznatom u moot trenutku) 771{ pomnolenom s vektorom rezultante R,
(3-74a)
nije nuZno uvijek tako za protelita tijela npr.) daje izraz koji je jednak (po definiciji) polotaju contra
moment svih sila jednak
= (f.1 Ft +
rirniJ
E
su ins
F, ,.,1 = al N
i Ftr.2 = P2N2,
(1)
3. Mehunika mstava ccstica. Meltunika krutoll tijela I ,tutika
.51.7 7 - 37
Sir.
- .78
D. I In at: Pizilal I is EL - Aichanika i toplum
UvrStavanjem odgovaraju6ih podataka dobije se do je a = 1.3431 in, oduosno h = u.ain a = 1.1631 in.
Zadatak 3.2 Homogena daska naslonjena je na gladak zid jo§ moie stajati naslonjena ako je p = 0.2?
hrapavu podlogu. Pod kojom kutom o daska R ES ENJE: 210 48'5".
Primjer 3.21 ()Inc i sin iele nositi teret teiine 800 N na dasci duljine 2 in i Iodine 100 N. Gdjc treba staviti lcret ako se deli da sin nosi 1/,? tereta kojeg TIOSi otac? x
F tr,l Stan 3.31 uz primjer 3.20
100 N 3P a zadnja uvjetna jednadtba za ravnoteZu daje Fie,2 = p2Fie,i. Uvr8tava-njem tih izraza u jednadtbe (1) 800N
dobijemo Fee,i –
(m + rni )I,1 9
1 + pip2 (m + m1)1111129 1 +µ1µ2 tivjet ravnoteie za momente oko dodirnc to6ce s tlorn (v. sliku) daje dx mg+ 1 6xm i 5+ix N2 +
Slika 3.32 uz primjer 3.21 =0.
Vektore moEemo raspisati po komponentanm ovako if cos a + je sin a,
5 = is cos a + ja sin a, N2 - = –N21 =
P2
Ftr,21
rtr,2 = 3Ftr,2
E Fd = 0
7710 -= –mi g).
mg = – mg),
R.JFS'ENJE Na slid su prikazane svc site kojc djcluju na dasku. P je sila kojom djclujc sin, a 3P sila kojom djeluje otac. Dasku postavimo dui osi x, te svc site imaju samo y komponcntc. Prvi urjet ravnoteie zalitijevic odnosno
3 P – 800 – 100 N + P = 0
Sada gornji uvjet ravnoteie maXemo napisati ovako a coda • (–mg)(i x j) + ecos a • (–mig)(i x :7) + sin a • (– I F, 2) x + cos a P2
=0
8to daje 1 1 –amg cos a – –km ig cos a + --tFer,2 sin a + eFt r.2 cos a = 0, 2 6,2 pa je traZena udaljenost a jcdnaka ef3„2 a=
iz kojeg sli,jedi P 225N. Primijenimo drugi uvjet ravnoteie, koji zahtijeva da zbroj svih momenata sila bude jednak O. Koko ,je izbor osi proizvoljan, uzmiino da je ona na lijevom kraju daske, onom kojeg nosi otac. 'mama –(800N) • x – (100 N) (1m) + P (2m). UvrStavanjein prijc dobivenc vrijednosti P = 225 N, dobivamo x=0.44 m.
sin a + cos a) – gem,g cos a
mg cos a 26 (mi + m)111 m 2+
emi ka tg a + — – — . 2 2m
Primjer 3.22 Praeovjek deli upoznati Dolly Parton. Ako je njegova masa 80 kg, a masa (cijele) Dolly je 75 kg, na koju se najmanju udaljenost mode praeovjek da se daska na kojoj se oni nalaze ne prevail ? Masa daske je 10 kg.
3. Al challika ustaun (cAlca. Alchnnika krutoy t.iycla t - statika
S
.Y - 40
D. Hurvut.• Fizika I za FEII - Mchanika i toplina
RJESENJE Zbroj momenata oko to?ke A daje
E A7/51,=.=
+
x P.
Krak je dan ovako
it sin° + 3? cos 0, Slika 3.33 - Ono i on - uz pri Mier 3.22
a site su
F = —iF 13 + iF cos (3;
= -7C;
al =- -)G■
pa jc uvjet za ikezavanje mornenata jednak
RJEENJ E Priblii.avajud se Dolly, pranovjek mijenja svoj moment silt koji postaje sve manji i u jednom trenurku postoji jednakost momermta sila (D-Dolly, d-daska, p-praeovjek)
;CID = Ma + M„ FL) X
(i sin a + ) cos
iii
+6(i:in] d + 3cos a) x (--i sin + cos L3)F
OD =F,x G5 + x
"A° u skalarnom obliku postaje (hvatiku teiine daske je u geometrijskom srediM.0 daske) COD • r1., = (lid • rd+ in„.r„, pa je udaljenost praeovjeka od potporuja u trenutku kada su mornenti jednaki (ravnoteia) jednaka r„ = 1.563 m, a udaljenost od Dolly je u torn trenutku jednaka D + 2 m = 3.563 rn.
— G sin a( —k) + (G I sin a ( —k) 2 e SiTla cos OF(k) eF cos a sin d(k) = 0, odaklc dobijemo F(sin rk cos /3 + cos a sin d) = I
F
(•G' +
sin a
sin (0 + d) Priinjer 3.23 Dizalica imu izgled i poloiaj prenta shei 3.34: Breda je u toeki A zglobom (s vertikalnom osi) vezana na vertikalno postolje, a gornji kraj 7105i teret tako do je uie napets izutedu ktaja givde i postolja. Kula je 45°, a kut ,3 = 60°. Kolika je napetost meta F. ako jc masa grede = 40 kg, a masa tereta je 2 tone?
Slika 3.34 - Zglobom uftrgeenu Breda nosi teret GI - uz primjer 3.23.
x (—)G)
-1-6(isiner + )cosa) x (—jGr)
Z G + Gi) sin a
ill
— 14506.5 N.
Primjer 3.24 Ljesive inane 20 kg osloujeue sa na glatki zid pod kutom o = 45`' (picina slici 3.35). U toeki A postoji oslonac tako do ljestve rte mogu "pobjeCi", a no njima se, na tre6ini visine, naluzi eovjek Inane 60 kg. Odredite kojom silom Ft, ljestve pritigeu zid n toeki !I i odredite horizontalnu F, i vcrtikalnu situ Fy u toeki A! Gdje "gleda" sila F u toeki A?
Slika 3.35 uz primjer 3.24
3. Mithanika sustaea erstica. Mrhanika krutog
Str.
- shaika
41
I).
Str. 3 - 41/
Prvi uvjer. rav o,rcir krutog tijela (E, F, = 0) vodi na
RJEkNJE Momenti oko toeke A so MA = /3 x Ge + /2 0G-1-/xFh=0,
– )G + )/?c – iT + :gin sin a + iRe cos a = 0.
gdjc je
Drugi uvjet. ravnoteZe (E .1/, = 0) oko oeke C daje
13 = ./cosai+ .i l esinct) e2 =
2
ormit: Crz3ka I zu PER • hi clianika toplina
,xu+Fx fi.13 = 0, 2
fcosai + !hallo) 2
ecosai+ esina)
i
gdjc je F, =
G = G(–));
ot = Co( –));
1 1 ino(-1)+ tcosct) -2- = .2-w
Vektorski produkti u jednadthi za momente oko toeke A daju
F = (idgo)(-1)+ )/1
+ IF, sin a(k) = 0,
le cos crG,( –ic) + lecos 2
14.o vodi na s jednakost
oilitkle do liijiono F, ctg
F, koja uravuotetuje (jedinu) horizontainu
toeki A djelujc llorizontalna
F, –
=0
pa je
Smjer silo F,
–=0 F, = 80N.
Iz gornjill jednadZIO dobijemo
F, 30N,
pa je
/to
G
( /12)
it sin atg a +ii ens a Rc= G– C,, sin a= 51.34 N,
17.32 N,
T=Ru cos a= 15 N.
su komponente F, i Fv , odreden je kutom danim ovako tgO — 69°26'38".
F,
4 4 Primjer 3.25
k –111?1,cas k
F,,, tj.
a njena vertikalna komponenta uravnotetuje vertikalne silo koje djeluju u sustavu, tj. F„ –
/.11/1Si11 ,11.g
k
2
(Ge + G) = 30 N.
Zadatak 3.3 Lagana letva lijevim je krajern osIonjena u /eii.§.tu a desnirn je uevrgena na zid uz porno6 uieta kao sto je prikazano na slici 3.37. Na istorn kraju obje3en je teret taine 80 N. Kolika je napetost uieta?
Ljestve teiine 60N i duljine 4rn naslonjene so na zid visine h = 3 rn (vidi sliku 3.36). Kut
a jednak je 30°. Ljestve su vezane uietom u podnoiju. Ako nema trenja, valja izradunati napetost u uieto i
reakciju tla i zida u toakarna B i C!
Slika 3.37 uz zadatak 3.3 RJ EF,NJ E: T = 106 N
Slika 3.36 - Ljestve oevr§denc oietorn - uz prirnjer 3.25.
A. Mchatoka sustuva e.c.5tica Alchtatika Artilog tzicla / - statika
Sir I
Si , 9- 44
D. Horvut: Fizika za PER - Mehanika i toplina
Sliku 3.39 - Uz printjer 3.27 Slika 3.33
- Kotue prelazi preko prepreke
- uz primjer 3.26. R...IEFNJ I: Zit sumo mornenata silo oko toeke A Mn (prema !CIA = 0 =7 2
Primjer 3.26
Koliku je minimulna silo F potrebna da kolue. muse Sky (na slici 3.38) suvladu prepreku
visine h = 0.2 m? Polumjer kotaeu iZTLOS1 R = 0.5 tn. Traiena sila upravo bi ponikila pritisak kotaea na podlogu u weld A, odnosno kotuk tek Ito se ne bi poeeo odizati. Tek miuimalno poveQauje site F rezultiralo bi podizanjem kotaea, time bi se minimalno potreban iznos isto silo smanjio, itd. Drugim rijeeima, minimaina silo koja bi kotak popela na prepreku morn biti tek malo vela od silo zbog koje nestajc pritiska na podlogu u toeki A. Na6i silo F moiano bilo uz porno? uvjeca E = 0, bilo uz pomoe uvjeta E = 0. Primijenimo ovaj drugi uvjet: RJESENJE
R • F • 005(900 — o) — C • cos o = 0
oduosno
F
ago = C.
lz geometrije je vidljivo da cog ctga moiemo izraziti kao:
(11_ H)2
V112
ctg —
H.
— II
•
Uvrkavanje vrijednosti u F = C . ago, dobivamo F > 104.641.
Prirnjer 3.27 Puttagna tunolovka sjedi na vrho tunariee
Bukurskom. zuljetru) i (uza/udno) Jeku tune.
Ako je Inane tunarice (yrede) 40 kg, a uie smije podnesti nupelost od T = 850 N, koliko "kilo" smile imati tunolovIcu? Kut a = 550 , a uie je priaUrVetto nu Q/4 od vrhu.
i kako je C = — )G, T =
+ 114 4
i Z = tows + )sin
vrijedi ar dobijemo
3Tsin 13 — 20 cos /3 _ 714.24N, 4 cos 3 'rev = 72.81 kg.
ill
Doduei 3. poglaulju
Str.
- 45
Str.
.0-
46
D. Norval.- Pizika l za FEU.
Oztulka
-
Mehanika i toplina
Koordinate
Dio tijela
Masa
(% od vis ne ) l'
(% uk.)
Z
Zglobovi
DODACI 3. POGLAVLJU
A
Bara glave na kitrni
0
91.23
11
Raunena
±10.66
81.16
C
Laktovi
±10.611
62.20
D
Flokovi
+5.04
52.13
N
Ti. ,glob
:1 10.66
46.'21
F
I:oljena
±5.04
28.44
C
N. zglob
±5.04
28,44
CM 1
Glava
0.0
93.49
6.9
2
Nadlakl.ica
±10.66
71.09
46.1
3
Trap
0.0
71.09
46.1
4
Podlaktica
±10.66
55.33
4.2
5
Rake
±10.66
43.13
1.7
6
Fled ra
±5.04
42.48
21.5
7
Potkoljen.
±5.04
18.19
9.6
8
Stopala
±6.16
1.78
3.4
57.95
100.00
S
CM cijelog Lida
Slika 3.4 - Poloiaji centra muse i odnos veheina u ljudskorn tijela. Podaci su dani kao odgovaraju6 postatak (muse ili tikupnc visine).
Dodatak 3.1 - Primjeri i podaci iz biomehanike
Mjerenja dimenzija i masa ljudi rezultirala su u podacima ko,ji su darn prerna slici i tablici D3.1.
Pomoeu tih podataka izraeunat eemo, kroz primjere neke zanimUivije iznose sila i rnomenata koji su u duhu
ovog poglavlja - statike krutog tijela.
Doduci 3. pogluely‘
Str. 3. 47
PREGLED 3. POGLAVLJA 1. Novi fizikalni pojmovi
Str. 3- 48
D. Norval: Fiziku I zu PER - Mehursiku i bap IITIV
3.6 lzvedite izraz za kiActieku energiju sustava od dvijc rnaterijalne totkc! 3.7 Izveditc zakon saeuvanja ukupne mehanieke cnergije sustava dvijc ecstice! 3.8 Definirajte impuls site i opiMtc neke impulsne site! centar mase
relativne koordinate
reducirana masa
sudari
impulsna sila
elastitan sraz
3.10 lzvedite izrazc za konaene brzine u vektorskom obliku pri sudaru dviju eestica.
3.9 OpiSite elastiene i neelasticne sudarc i opecnito mcdudjelovanje "bez dodira".
neelastitan sraz
koeficijent restitucije
gibanje rakete
3.11 OpiSite savr9eno neela.stieni sudar i raspad.
zakon teiilta
translacija
kruto tijelo
3.12 'Izveditc izraz za brzinu rakete.
os rotacije
Chaslesov teorem
kotrljanje
3.13 'Izveditc izraz za putallju rakete.
hvatilte site
sustav sila
uvjeti statike
3.14 Izveditc izraz za kutnu kolieinu gibanja sustava dviju eestica.
aksiomi statike
klizni vektor
3.15 Opiite sustav od N materijaluill toeaka i izvedite zakon gibanja eestica i saeuvanje kutne kolieine gibanja. 3.16 17A:edicc izraz za kutnu kolieinu gibanja sustava materijalnill toeaka i povciite ga s CM! 3.17 lzvedite izraz za encrgiju sustava N materijalnill toeaka iu povelite ga s CM.
2. Nove relacije
mt ri + rrs2F2
Fcm =
illt
ICM
=
0
sots-51 + lilt F2 sill + ml m2
+ 1112 + tti2x'2 rill + to2
3.18 Definirajte kruto tijclo i opi9ite naeine gibanja krutog tijela.
=
-j1. I + j)
1111 +m2
1 p
1 7111
E, = Es s1 + K1) + E(,21
R = F12
= konst.
= U(r) +
I+
2m,91 + (m, - 7,11)172 M + m2 , tor + ro(°)
V(t) = i;.+ vo n
7,,(1)
'
E(k o + El„2 ) = K1 ') + E;;2' ) VI
E=
dr, = M = A11 + M2 dt
=- 1 YC. NI m f Y
2
dm
dm
Tf
a = (IS
E E
+
i2 E 11101: 2
. dm
E F', =0 R-
2m2i72
VI
xosi = r i i f x dm,
P,.
3.22 lzvedite izraze za CM i te3Ate krutog tijela 3.23 Izveditc zakon gibanja CM - teiika krutog tijela! 3.25 lzvedite izraz za moment site paralelnih sila.
+ (mi - m2)V 1111 + M2
Vs -
VI)
Ek = -1 M FL,
Mi. T =
E
L= Lo + Lcs,
P=
3.21 Opksite linearnu, povrinsku i volumnu gustolu! 2CM + 2
Pdt
7=
h" dt =
;.1 +m2V2 = rutvt
3.20 Opiite prijclaz s CM sustava od N eestica na CM krutog tijela, lzvedite izraz za CM polukruinog lika!
'012
3.24 Opigite pokuse koji vode na uvjetc statike krutog tijela!
1 .2 U(r) + -pr R = konst. 2 m
3.19 Definirajte moment silt za sustav matcrijalnib toeaka i kruto tijelo. Sto je os rotacijc?
1
N
•E
= x - - f z -cm drrs P= d17
E =
E F.; E F,
3. Pitanja (sa zvijezdicom su oznatena te2a, neobavezna pitanja) 3.1 Definirajte centar masc i izraeunajte poloiaj CM 3 toekasta tijela u ravnini! 3.2 lzvedite zakon gibanja CM i zakon saeuvanja kolieine gibanja za sustav od dvijc materijalne toeke! 3.3 Primijenite zakon saeuvanja kolieine gibanja i zakon gibanja CM na prijektil koji se raspadne u zraku! 3.4 Primijenite zakon saeuvanja kolitine gibanja i zakon gibanja CM na dva tijela koja su povezana oprugom, 3.5 Definirajtc rclationc koordinate i izvedite izraz za reduciranu masu!
3.27 Formulirajte aksiome statike i doka3,ite korolar! 3.28 Konstruirajte rezultantu paralelnih site ko,je djeluju na kruto tijelo! 3.29 Opilite uvjetc statike grede koja stoji naslonjena na hrapavom podlogu i naslonjene na hrapavi zid!
- 7)2
RCM =
3.26 Pokaike da je uvjet ravnotc3e krutog tijela ncovisan o izboru osi!
4 4. ROTACIJA KRUTOG TIJELA 4.1 Uvod 4.2 Rotacija materijalne totke - jo§ jednom Naeini giban,ja krutog tijela 4.3 Rotacija krutog tijela oko evrste osi 4.4 Moment tromosti Primjeri ratuna rnomenata tromosti I 4.4.1 Steinerov poutak Dokaz Steinerovog poutka 4.4.2 Teorern o okomitim osima Primjeri ratuna rnomenata tromosti II 4.5 Kotrljanje Kutna kolitina giban,ja pri kotrljanju 4.5.1 Kotrljanje po kosini Dinamika kotrljanja tijela po kosini 4.5.2 Kotrljanje krutog tijela uz sklizanje 4.5.3 Trenje kotrbanja Koeficijent trenja kotrijanja 4.6 Rad, energija i snaga pri rotaciji Kinetieka energija Rad Snaga 4.7 Zakon satuvanja kutne kolieine gibanja 4.8 Giban,je Ziroskopa Rotacija tijela poduprtog u CM Rotacija tijela poduprtog izvan CM. Precesija 4.8.1 Zvrk Primjena i primjer precesije 4.9 Princip virtualnog rada Primjeri ratuna statitkih problema pomoeu principa vritualnog rada Dodaci 4. poglavlju DP4.1 Poopeena rotacija DP4.2 Tenzor momenta tromosti Pregled 4. poglavlja P4.1 Novi fizikalni pojinovi P4.2 Nove relacije i forrnule P4.3 Pitanja
4-I 4-1 4-2 4-3 4-6 4-7 4-10 4-10 4-12 4-12 4-19 4-20 4-24 4-25 4-29 4-37 4-37 4-38 4-38 4-39 4-42 4-44 4-50 4-51 4-51 4-54 4-56 4-57 4-58 4-66 4-68 4-71 4-71 4-71
Str. 4- ;=,.
r. prosinca 2001.
D. Horvat: F ziku I zu FEII Mclianika i toplina
Ako je, inedutim, trial to/ke prisiljena gibati se oko jedne (fiksne) evrste to/ke - sredigta rotacije ("prisila" je ostvarena pornoCu niti - koala iipr. ill gravitacijskom silom ill silorn trenja i sl. - vidi poglavlje I), onda je ripen pololaj na krulnici polumjera R opisan kutom c4(1), a njena brzina ,je 'u(t) i njena kutna brzine je C.;(t), i vrijedi cijeli niz odnosa koje ovdje prepisujemo iz rauijib poglavlja
4. ROTACIJA KRUTOG TIJELA 1 = cwt + -at' 2
=tlw= tit
fce L
(12
I = sin'2
=w
dt 2
ace
=
= P: x
L)(t) = L..10
Oa
x
=
A
=
(10 (It (i
R
= Tnr 2 co
(Trtil)
w=
dt
li =
x
L = iii Al = nir2 ri = is
Nacini gibanja krutog tijela - jog jednom Pololaj krutog tijela u prostoru je odreden ako su poznate koordinate tr kolinearne) totke. Prema tome, prvi je zakijulak da treba devet podataka (koordinata) za odredenje poiolaja krutog tijela, all mora se uzeti u obzir da ,je relativni pololaj (razrnak) parova totaka
4.1 Uvod
U prethodnom SIII0 poglavlju naueili kako inolemo prijeCi od sustava materijalnili totaka na opis krutog tijela. Proulili smo, nadalje, uzroke gibanja (all ne i samo gibanje per se) i izveli uvjete ravnotelje krutog tijela. Sva to razmatranja slijedila su "recept": (jedna testica)-(sustav dvije testice)-4(sustav N testica)-(kruto tijelo). Ovdje 2elimo prouliti gibanje krutog tijela. Medutim, opeenito je gibanje, kao Ito je vet kazano u poglavlju 3, vrlo komplicirano, iako ga se mole rastaviti na translaciju i rotaciju oko neke (trenutaene) osi. Ovdje lemo proutiti gibanje krutog tijela oko tvrste osi i slo2eno gibanje - rotaciju oko osi koja je ujedno os simetrije i (istovremenu) translaciju to osi Ik(i smjer ostaje stalan u prostoru. Takvo gibanje zovemo kotrljanje i ono se odvija santo u (najeegee) vertikalnoj ravnini. Kao posebno zanindjivo all komplicirano gibanje opisat Celia) gibanje 2iroskopa - tj. zvrka. Prou/it lerno i izuzetno vaari problem satuvanja kutne kolitine gibanja, koji je jedan od ua,jvaiui, jih zakona saialvituja eija primjena se proteZ'J sve do fizike mikosvijeta - fizike atoma i jezgre, kao i do inakroskopskili dimenzija Svemira. Nadaije, preko definicije rada i energije translacije i rotacije krutog tijela opisat lento orb() zaniniljiv problem virtuafisog Hula koji predstavlja tek mall din) istralivanja a ',iv. analiti/koj awhitilici kojeje. dovelo no niza reztiltata i oniogulilo alternativnu formulachu mellanike. Ta formulacija je priredila put modernom istralivanju u fizici mikrosvijeta - kvantnoj inehanici i kvant noj teoriji polja. U °von' poglavlju ne&into razmatrati vrlo vallio gibanje krutog tijela probodenog horizontalnom osi koja ne prolazi kroz teligte i oko koje se kruto tijelo mole njillati - oscilirati. Toni toy. fizi6korta rtjihata (i nizu slitnih mellanilkill periodilkill pojava) posvetit lemo cijelo poglavlje u drugoin dijelu ove kujige (vidi: D. Horvat Fizika 2 - titranje, vulovi , optiku i modermi fizike).
stalan (po definiciji krutog tijela), gto odmali smanjuje bro,j uuinila podataka na lest. Kalemo da kruto tijelo ima lest stupnjeva slobode. Kada, medutim, sila djeluje na kruto tijelo ono se mole gibati sloleno i to niže) all istovremeno i rotira. Dakle, oplenito se gibanje krutog tijela tako da se cijelo tijelo translatira (vidi niie) sastoji od translacije i rotacije. Opis slaenog gibanja ko,je,je superpozicija (zbroj) translatornog i rotacionog gibanja ,je jedan od najtelih zadatak inehanike, pa lemo se nil ovdje koncentrirati. kao Ito je "najavljeno" u uvodnom dijelu, uglavnom na poseban all vrlo vaali problem rotacije oko evrste (fiksirane) osi i na problem kotrljanja (pravilnog, okruglog) krutog tijela. Pri tome se oslanjamo na rezultate dobijene pri razinatranju krulnog gibanja materijalne totke i sustava niaterijalnill toeaka. 0 translaciji krutog tijela govorimo ako sve testice (svi djelili) tijela u istim vremenskim razinacima prelaze menhisobrio.jednake putove, a plitanje sn iin paralelni pi avci (vidi sliku 3 5). Gibanje krutog tijela je u torn slueaju opisalio jednadlbom gibanja teligta, tj. A / --.-
gJI,je zbroj svili vanjskili sila, it Al ,je , (11(111)11a) 111;11i:1 kflit())2, tij(-1;1. 1/1,1'01Lit,ijOi krutog tijela govorimo kada se sve testice tijela giba,ju po paralelnim krivuljama. Prvospornenuta translacija je pravocrtna trunsiacrja, a ova druga je krivocrtna trartslacija! Kada djeluje neka site na kruto tijelo, prelim slici 4.1 (a), rezultat Ce biti neko sloleno gibanje. Medutim, tni niolemo, prema prvom aksioniu statike AS1 (vidi odjeljak 3.5), to,j sill dodati dvije site na istom pravcu bez da se promi namika tijela. Izaberemo h pravac djelovanja till sila tako da on bade paralelan pravcu na kojem leli sila F, a da taj pravac prolazi kroz teligte T tijela i da iznosi sila budu jednaki iznosu sile F, onda le sile F i sila
4.2 Rotacija xnaterijalne tolke - jog jednom!
(4-2)
tvoriti par silo, a par sila uzrokuje /istu rotaciju. Moment para sila
,jednak ,je uninogku njillovog iznosa i razmaka izmedu ttjihovitt hvatigta. Sila koja djeluje na os uravnote2ena ,je ukrueenjeni osi. Preostala sila F2 djeluje utežigtu teiigtu i uzrokuje (listu) translaciju, pa vidimo da rezultat aljelovanje (jedne) sile molemo opisati kao (lista) rotaciju plus (listu) translaciju.
Ponovimo ovdje neke osnovne pretpostavke i rezultate ranijiln poglavlja koji Ce nain pomoCi pri razmatranju rotacije krutog tijela. NIaterijahm totka se pod djelovanjem site ponaga po 2. Newtonovoin aksioinu, tj. vrijedi
F = -±n.7 = dt
d
— p. dt
Ako se sve toeke tijela giba,ju po paralelnini ravninania koje okomito probada os rotacije, onda govorimo o ravniriskorn gibanje krutog tijela. Gibanje tijela razinatramo onda tako da proniatramo gibanje skupa totaka tijela samo u jednoj ravnini. Kotrljanje spada u ravninsko gibanje krutili tijela. I:ruto tijelo mole se gibati i tako da mu je jedna to/ka "ukrulena", tj. "prisiljena" je biti na miru, a
(4-1)
Os rotacije prolazi kroz to tolku i slobodno inijenja svoju orijentaciju u prostoru u odnosu na neki inercijalni
4.
- 3
Rniacija krutog
Sir.
44
D. Ilorvat: Fizika I za PER - Mehartika i toplina
dui +z-osi, po pravilu desne ruke. Pololaj tijela oclreden je jednim podatkom - iznosom kutne brzine, pa kaZemo da. tijelo lino jedan stupanj slobodc. Uoeimo jedan djelie tijela ant, koji se nalazi na udaljenosti od osi. (Vektor je, prema tools, okomit os a oznaeen je crtano jer on Mk radijusvektor djeliCa radijusvektor, koji nije nacrtan aIr slici 1.2, povezivao bi ishodi.4e 0 i djelie :ern,!) Svakako, vekt or je ujedno i polumjer rotacije djeliea koji molelno napisati ovako = ix: = ix; (koordinate x i y raclijusvektora toeke i vektora sit iste), a brzina je =a x (4-3) Valja uoeiti da ee svi djeliei tijela imati istu kutnu brzinu a. Kutna kolieina gibanja djellea AM; je IT; i jednaka. je, s obzirom na toeku iz ko je "izvire" x Arnifi", (4-4) a ukupna z-komponenta (poneka kaZerno i aksijoina komponenta) kutne kolieine gibanja cijelog tijela koje Sc (za sada) sastoji od N djeliea E E Ain i f,„ (4- 5) (R.anija razmatranja (proMog poglavlja takoder) su nas naueila kako postupiti u takvim situacijama, pa za sada ostayljarno sumaciju.) I■Jitua brzina ima komponentu samo stujeru _—osi, tj. = (0,0,x,) ili 6; = k kako je brzino dana s (4-3), izraz (4-5), 1)0111061 izraza za dvostruki vektorski produkt 11 x (b x = 1;(d • E) — e(d • b), molemo napisati ovako L = E Arnif; x x 7-.1) = E Ariti(f:)263 — E Arti;(f:c0)f: ■ =t i=1 (4-6a) 711i
(a) Slika 4.1 - Djelovanje stile
(b)
no kruto tijelo i par sila.
sustav koji iniruje u odnosu no toeku nkrueenja. Tokyo gibanje je gibanje zvrka - Zirosloya i tricgo ectno istraZiti na kra ju ovog poglavlja. Na isti natin molemo proizvoljnu silo koja djeluie kruto tijelo koje je probodeno jednom osi premjestiti tako da dobi jento par sila plus djelovanje jedne site ita os. na
+]y+
je
ri X
11
4.3 Rotacija krutog tijela oko Evrste osi
(Drugi je elan jednak nuli je je okornit na Vektors obzirom na ishodite 0 na slici 4-2 ima i druge kornponente osirn z, ali za sada ill ne razmatramo (vid,jeti napomenu na kraju odjeljka). Dakle, L= (i ( 2+ 2 . (4-6b) Taj izraz za aksi,jalnu komponentu vrijedi bez obzira gdje je ishodigte, sve dok je ishodite negdje na osi rotacije. Ako je tijelo pravilno, a os rotacije mu j e i os sitnetrije, onda je aksijalna komponenta i jedina kornponenta (vidjeti napomenu na kraju odjeljka). Izraz unutar sume je moment tromosti kornacliea mase Anti, jer je on jednak umno§ku mase i kvadrata udaljenosti od osi rotacije - osi z (vidi 1. poglavlje). Toenije, to je moment tromosti oko osi z, t j. aksi jalna komponenta kutne kolieine gibanja je N =E (4_6e) Ukupni moment tromosti I, jednak je zbroju svill doprinosa, preko cijelog volumena tijela l', a to znaei da moramo uzeti infinitezirnalno mali komadie mase -4 0 (all zato dobijento N Do), tj. lire E Arti(x2 + y2) = f(x2 + y2)dm ))
x Slika 4.2 - Rotacija krutog tijela oko cvrste osi. Radijusvektor djelida
LSrn nrje nacrtan!
N
=
Rozmotrirno kruto tijelo (opeenito nepravilno) koje je probodeno s osi. DuZ, osi uperimo z—os koordinatnog sustava. Onda tijelo rotira tako da je smjer vektora kutne brzine ci; svakog njegovog cljeliea
Am-0
Ntix
=
i=1
dm (F 2. — .z 2 ), . v
V
(4-7)
4. Rotarija krutoo k7litoo tOrla
.Sir. 4- 5
pa sada molerno napisati
L,k
(1-8)
Ako se sjetimo da je za vremensku derivaciju kutne kolieine gibanja za materijalnu toeku vrijedilo el —G =
x rod) = 1111' x
rl
D. Horcat: Fizika l za FER Meltatiika i toplitta
Pokusi pri kojima mijenjamo iznose vanjskog momenta i geometriju i masu tijela koje rotira pokazuju (la ,je kutna akceleracija ovisna o geometrijskom rasporedu mase tijela koje rotira. Doista, prelim definiciji momenta tromosti (oko osi z npr.) I, =
den L
tl = x (4-9)
=
St,. 4 - 6
- 2 2 ),
(4-13)
vidnno da njegova velieina ovisi o geometrijskom rasporedu mase
x =
Moment tromosti je fizikalna veliCina koja mjeri inerciju (otpor) tijela prelim promjeni rotacionog stanja: gdje je smjer (77- tangencijalan (u smjeru brzine je tangencijalna vanjska sila, a /1.7%.,, je vanjski moment site i vrijedilo je d d k = - (km) = I (et I= (1- 10) dt onda molento ovdje i za kruto tijelo napisati
ako tijelo rotira, a illia velik moment tromosti, teako ga je zaustaviti iii mu ubrzati rotaciju. Ako ono mirujc, teako co ga biti pokrenuti na rotaciju. OCito postoji odredena analogija izutedu muse (pri translatonrom gibanju) i momenta inercije (pri rotaciji), kao i izmodu site F i momenta site If , kalieine (giba gNakn ja fi momenta koliCine gibanja L itd.(vidjeti tablicu ni2e). Tu analogiju rn olerno rijeCima iskazati
kolieina gibanja p = (mjera tromosti) x (linearna brzina)ii d — dt
=
int;
(9-11)
kutna koliCina gibanja L = (mjera tromosti) x (kutna brzina)W
= 41,1; = 1,oic
t
tj. dobili smo jedetudilm gibanja - rotacije krutog tijela oko (stable) osi U slijedeeim eemo primjerima pokazati kako se raeunaju mornenti tromosti razlieitih tijela.
k m = 1,0k.
(9-12)
Dak.le, vanjski moment site koji djeluje na tijelo probodeno evrstom osi uzrokuje kutnu akceleraciju tijela, a to je akceleracija obrnuto proporcionalna inomentu tromosti tijela ratunatorn oko isle osi oko koje tijelo rotira odnosno s kojont je vanjski moment site kolinearan!
Kao i ranije pri ratunu polollaja centra mase ill teligta, pojavljuje se problem prijelaza s "apstraktnog" integriranja po den na integriranje po koordinatama. Rabi se isti "recept" kao i ranije uvodeei linearnu "gustoeu" (raspored) rnase p = &n/de = ntle §to daje zlzu = p de = Tde = dx,
(9-14)
Ovdje ponovno valja naglasiti da gornja jednadiba (4-12) vrijedi za posebnu situaciju kada je vektor
paralelan s vektorom kutne brzine 0. To vrlo eesto nije tab° (vidi odjeljak a Ziroskopu i zvrku, to dodatak poglavlju DP4.1), jer se kutna kolitina gibanja raCuna u odnosu na toeku, a kutna brzina u odnosu na us, gornjern razmatranju jednakost (4-8) da je ispunjena je u vrlo simetrienim slutajevima, jer vektor ima i radijalnu komponentu s obzirom na toeku 0, tj. = F, x Anti ,/ (usporediti s jednadiborn (4-4)) i kako je = zi (gdje je zi z - koordinata toeke iz koje je na osi z povueen vektor dobijemo (za kutnu kolieinu gibanja s obzirom na toeku 0) 7; (°) =
x
= (Fi' -
z) x (Amu;)
x
tj. dobili auto i radijalnu komponentu kutne kokine gibanja. Za simetrieno tijelo, gdje je os rotacije ujedno i os simetrije, to co se kompononte poniStiti (u parovinta, s jedne i druge strafe osi), pa Co astati rezultat (°) = e, Sto co dalje dovesti do jednakosti (4-8). Osi tijela oko kojili kad tijelo rotira vrijedi da je vektor hone koliCine gibanja paralelan a vektorom kutne brzine ZOVC1110 glavne osi tijela. Tada je rotacija ujeduaCena, tj. nema djelovanja momenata site us OS. NajCeatte se glavue osi poklapaju s osima simetrije tijela, pa su npr. glavne osi pravilne prizine ujedno i osi simetrije ltd. Nesimetritna tijela a to dovodi do sila (inornenata) na os oko koje tijelo rotira. Najbolji primjer jo nemaju L paralelan s (obiCno) mala asimetrija automobilskog kotaCa prije "balanstranja", pri koje se dodavanjem man utega L u smjeru LJ. Nakon toga, automobil vozi mirnije jer
nema djelovanja momenata na osovinu kotaiia.
4.4 Moment tromosti
en
den = dx dy =
711
pdp dql
= rS r 2 sin 9d9 dO
(u Kartezijevim koordinatama) (u polarnim koordinatama)
0-15)
(u sfernim koordinatama)
- zik\mi(k x vi)
= it, - z;Atniv,
na rub "felge" popravlja simetrija i usmjerava se
povitinsku "gustoeu" mase T = ettl S = drill (IS koja vodi na
kouMeno, volumnu gustoeu erase p = rn/V = dmIdV koja vodi na den = V — dx dy dz ' — pdpdmdz =V =
Va
2 sinOdOdqIdr
(u Kartezijevirn koordinatama) (u cilindrienim koordinatama) (u sfernim koordinatama).
(4-16)
.9r, 4- 7
4- Botacija krutog krutog tijela
.SIT. 4 - 8
F,'17 -
1) 110,aL 1',11--ri I
11.
1,7,11n1
Tablica 4.1 Momenti tromosti a za it = 0 dolnicino moment ireniOSti Staps as os kroz kraj ktapa
Moment tromosti
Tijelo
Položaj osi
Tanki prsten
kroz sredike, 1 na ravninu pr. rar2
Tanki prsten
kroz sredig te, u ravnini pr.
KruZna ploea
kroz sredike, _L na ravninu p1.
Tanki stap duljine t
kroz sredike, 1 na kap
Kugla
kroz sredik e
Kuglina ljuska
kroz sredik e
Valjak visine lo
kroz plant,, 1 na os rotacije
1 2 –7717'
2 i 2 – nir 2 1 —rnt 2 12 2 2 -r M 5 2 2 –rnr 3 1 1 , + urn.11.2
Iloaj —
m pg
pa vidimo veliku razliku izmedu to dva rezultata. Kasnije dime vidjeti da Ce nam jecian sniveranian rezunat, (tOeniie 1eorem) Onlogueiti da izbiegnemo raeune monninata tromosti istih rijela za razliCite polotaje od (koje su medusobno paraleine kao a OVOID
Primjer 4.2 lzraJunajte moment tromosti kuyline ljuske pa/10*ra I? i muse sredigtem kugline ljuske.
oko osi koja prolazi
Pravokutna ploea sa stranicarna a i b
1 —rn(a2 + b2 ) 12 rnr2
kroz sredike, 1 na pl.
Materijalna toeka
1 na ravninu rotacije
Primjeri raEuna momenata tromosti I
Primjer 4.1 lzraeunajte moment tromosti tankog :shwa muse rn i duljine Q oko osi koja je okornita no Stop i pmlazi na udaljenosti d od jednog njegovog kraja.
-d
dm
I-d
tot
1
Slika 4.4 - Uz radon momenta tromosti kugline ljuske - primjer 4.2.
RJF-ENJE Prema slici vidimo da moramo pozbrajati doprinose djelida masc dm koji su za r udaljeni od ad. Prema slid jc dm -= o dS, komadie povr/ine dS jednak jc dS = (dr c12) • (R dB) i kako je r = //sin vidimo da jc dS = f?' sin de dc;,. Prema tonic je 2
Al s
dm = — dS
Slika 4.3 - Uz
Main
momenta tromosti :shwa, primjer 4.3.
RJEENJE Smjestimo ktap u koordinatni sustav promo slid. Prema gornjim uputama uvedemo linearrm gustodu p i izrazimo pomodi njc dm, tj. dm = pdx = (m/2) dx. DjcliC mace dm je pialjen x od ishodikta koordinatnog sustava, pa mciXemo sada napisati _m f / = f 1-2 dm = f x 2 (m/2) dx – 7
•v
Za
r3
L „, r
T
at [(t
d)3 d31
dx
/= IS
m22
r2 dm =
.4 7r
R2 sin 0 dB d¢ = — Sin Trr
f
dB dO
f /?' sin' &sin Oda.
Trigonometrijska transformacija (iii Moivreova formula) daje noun relaciju sin 2n = 3 sin a – 4 ,sin' a, pa kada to uvrstima u gornji izraz, dobijemo
= M2 (24 R2 [ 3 = –
dobijcmo moment tromosti ktapa za os kroz taikte
1V1
4/07r
2
da – – f
4
0
sin 36 da) =
1 os -4 — cos 30] = 3 4
2 2 = – MR , Valja usporediti taj rczultat s momentom tromosti (pone) kugle iste masc i istog polumjera - slijededi primjer. Ovdje moierno odmah kazati da oeekujemo manji moment tromosti za punu kuglu, jer je masa
4.
norueila kruloy krutoq tijela
St,.
4-
9
Sfr. 4 - 10
D. Horns!: Fiziku 1 zu PER - Mehuniku i toplinu
ovdjc sca odmaknuta tin maksimalnu udaljenost od osi, dok ,jc kod puny kugle ono " ritzmazana" po cijoloj
R,JE:ENJE: I =
unutrasnjosti kugle!
z-
= 9.8 x 1037 kgrn 2 .
* l'
jet - 4.3 laucuu n jte
LI 0711 Sti pun,: kuyle . p n lumjr•ru I? i muse, Al 0d:,, ost
prolaz nienim
.711- dz..; Ion.
4.4.1 Steinerov poueak U osnovnom zakonu vrtnje tijela (4-12), moment silo Al i moment tromosti / raeuna,ju se prema osi Jasno, to os opeenito ne prolazr kroz teliStc. Zato ,je 110,no moei izracunati moment tromosti oko zadane osi, za razlieita vrtnje.
di= pdqs dS=d1 dp = pc195 dp dV=dS dz
Jedan od naeina odredenja 1110111elltil tromosti / je istovremeno injerenje momenta silo 14-1 i kutne akeeleracije, odakle se zatim izratuna moment tromosti / = Medutim, ako znamo moment tromosti /0 za os kroz te2iSte, onda moment tromosti / oko osi koje ,je paralelna s osi kroz te2iSte ino2emo lako izra.eunati prema formuli - Steinerovoin poueku / = / o + md 2 ,
dm=adV=crpdgnipdz
Slika
R.J E;.; ENJE
- Uz
tromosti kugle -
main momenta
prirajjer
4.3.
Smjestano ishodike koordinatnog sustava u sredke kugle (prema
Razinotritno ";situ"
- odrezak - ploCu polumjera r koja jc udaljena z od sredika. Za hornogenu kuglu ukupne mane kornadiC mase
drn
M i
vrijedi
dm tj.
= T
dV
= — dSdz =— V 04, dpdz V
dV
Tada
je moment tromosti
(It
ploee jednak
d =
M
f p2
(—
p2
pdp f
0
=
it, ,/3 2
dO) dz = Skim
0 32,4
p4 r
7r 4 o
4
=
=2
f
f
d/0, =
73 7 '11 3 f (114 — 21l 2 z 2 + 7.. 4 )dz
—R
3M z' z5 2 = — [R 4 z — 2/22 — + — =- 111R2 . 4R 3
3
5
o
Dokaz Razmotrimo opeenito nepravilno tijela i smjestinio ishodiSte koordinatnog sustava tako da se os z poklopi s osi kroz teigte. Moment tromosti /0 za os kroz te'ijAte,je poznat. Zelinio odrediti moment tromosti I tijela za as paralelnu s osi kroz teiSte. Neka to os prolazi kroz toeka .4(x , ya), prelim slid 4.6. Neka su koordinate.jedne toeke mase tie; tijela jednake (x i , yi). Onda ,je kvadrat udaljellosti tog dijeliea mase od toeke fl ,jednak (xi — x,4) 2 + (yi — yA) 2 , no Pitagorinorn poueku. Moment tromosti / oko osi kroz toeku A izra.eunamo prema formuli (4-13)
5
Prema oCekivanju prethodnog zadatka, moment tromosti pune kugle manji je od momenta tromosti kugline ljuske iste mase i istog polumjera (2/5 < 2/3)!
Tn.,[(x, — xA)2 E ;=, = E tit;(x?
* 4.1
I zrueunajtc moment
tromosti
- Uz dokaz Stei ke,vvDy pouCku - os z illnu iz paynn!
(h.
z
Moment tromosti kugle sada dobijemo " zbrajanjem" doprinosa svih ploCa - odrezaka ad — R do +1/, tj.
Zadatak
(4-17)
gd,je ,je / moment tromosti oko neke osi koja ,je paralelna s osi kroz te2iSte, /o je moment tromosti za os kroz teiSte, or, ,je masa tijela, a d je udal,jenost od osi kroz teZCSte do osi oko ko,je tra2imo moment tromosti.
(y, — yA)2]
X A — 2zirA
(4-18)
+ YA — 2YiYA)
i=1
= E Tn.; i=1
yn — 21A E mix; — 2ya E ■ =t
i=1
(E trti)(x 2A + y2a).
4 lloiacija krutag kruiag tijela
Sir. 4 - 11
Sir. 4 - 12
D. Horuat: Fizika 1 za FE/i - Alchanika i toplina
Prvi Can .je upravo moment tromosti kroz telike 10
=E
(4-19) 4.4.2 Teorem o okomitim osima
= 0), to su Drugi i tree'i Clan su koordinate teli.4a, formula (3-66), a kako .je telik.e u toCki T(.re = 0, Ind?, gdje je d udaljenost. od A do 0, tj. od osi
dva Clana jednaka null. Zadnji Clan .je jednakm(4 + y,4 ) kroz .4 do osi kroz teli§te. Prerna tome dokazali suto da je
Steinerov pouCak (4-17) primjenljiv je na bilo koje tijelo. Tearem a okomitim osima mole se primijenni same na "ploSMa" tijela, tj. na tijela (poput tanke ploCe) Cija je dehljina zanemariva u odnosu na drugc
dimenzije tijela. Teorem kale da je zbroj momenata inercije
§710g tijela aka drije akomite osi koje left u
tijela jednak momenta inercije aka osi kaja fe akomita na r(19)71/217/ tijela i prolazi presjccigtem osi u I = /0 + md 2 .
(4-17)
raintini tijcla. Dakle, ako je tijelo u x — y ravnini, onda je
tj. dokazali smo Steinerov teorein
Primjer 4.4
/, = /„. + /5 ,
lzyueunajte moment, i7111/141.44 I gimps doljinc i rouse 'at kroz njegav kraj, za as okomitu no
slap.
(•1-20)
gdje je 1, moment inercije oko z — osi. Iako postoji ograikenje teorema, on je izuzet no koristan, jer ornogneuje zaobilaZenje niza dugih raeuna momenata tromosti. Sada slijedi vrlo vaZail mintier koji pokazuje primjenu °ha/Iva teorerna (0 okomitim i paralehnin osima)
Prerna Steinerovont pouPku jr
pri raCtinima momenata tromosti! Valja ilociti da pronlatramo (tiglaviloni) rotaciju sitnolrilnih t ijela kod kojill L irna samo aksijalnu (z) komponentu, pa je i L paralelan s 0, odnosno L je paralelan s kutnorn
1 = lo + rail',
akcelera.cijorn a iz tablice 4.1 Jr /0 = me/12, a d = P/2, pa intarno Primjeri ra6una rnomenata tromosti II mt°
1 =
t,2
TT +" .'
me2
lzraaanajte moment tromasti tanke okrugle place mase ./11 i polumjera R.2 s ruporn palumjera IS (kraini vijenac) aka asi koja prolazi sredigtem plod i akomita ja nn 1'0111111U a kajoj leii place! PantoCu teorema a akomitint osima izraPunajte i momenta'. tramasti oko drugih osi. Takoiler pomaou learema
Primjer 4.6
=3 '
Ito je u skladu s rezultatima primjera 4-2.
a paralelnian osima izraJunajte moment tromasti ifupljeg valjka oko osi koja prabada njegav plaR i okomita je na as simetrije valjka! Paopdite taj razultat na puni valjak!
lzraeunajte moment tromosti 1 valjka paluanjera IS i muse Al aka asi koja leii a plagtu valjka (i paralelna je s osi simetrije).
Primjer 4.5
dS=d1 dp = prick dp
rt..11F,ENJI; Prerna Steinerovom pouPku je
dm=adS =op dc d p 1 = lo + md 2 ,
a iz tablice 4.1 je /0 = OIR 2 , a d = R, pa imams,
=
12
Slika 1,. 7 Moment tromasti kruiriog vi jenca - lIZ prianjer 2
R + AIR —
3Ain' R.JEENJE Kornadit", ploPe povrIine dS = pda) dp nalazi or na udoljenosti pod prema slid. Nein re hornogena, pa ,je povrIinska gustoCa arose jednaka a = dmidS = 21/5, a pri tome je ukupna povrIina ploPe jednaka S — R;). Prerna tome, ako je os u smjeru z—osi, molemo napisati
2.
• = I p2
lzraeunajte moment tromosti tijela sastavljenog ad ravnog Stapa duljine e = 0.40 rn i mase M = 3 kg i kugle polurojera r = 10 CM mase en = 0.50 kg. Kugla je prievrgeena na kraj Stapa, a as je okomita na Rap i nalazi se na udaljenosti C/4 ad kraja Stapa.
dS
• S
Zadatak 4.2
R.J11111,JJE1: /= 0.15 kg rn2 .
drn = .1 s
Al
= 7 (/.13 — +
—
2
pa
2r
4
R4
Tr(R3 RT)
R
(10 .1 R
13'
pdp
4.
Rotaciya krutog krutog tijcla
Str. 4 - 13
Taj je rezult•:t univerzalan u tom suds))) da iz Mega moiemo dobiti nekoliko momenata tromosti. Prvo, za 1?, 0 dobijemo moment tromosti ploee - diska (bez rope) polumjera R, zatim moment tromosti /22 tankog prstena za R,
Str. 4 - 14
D. Horvut: Fizika I za FE1? Mehanika i toplitta
Moment tromosti takvog prstena koji je za a udaljen od gornjeg je pc) teoremu o paralclnim osima jednak ,
L(prsten) =
MR2 , 2L
d/(x ) —xa +
(ploea) = -21- MR2
x =
L
(112 , + x Ix 2
L
a ukupni moment tromosti jednak je "zbroju" (integral») gornjill izraza od a l = —L/2 do is = L/2, tj.
Cornji rezultati vrijede ne samo za tanks ploee vee i za valjak proizvoljnc visine, jer se visine valjka uvijek pokrate. Ako to nije oeigledno, valja to pokazati, odnosno provjeriti.
/2
/— f-L/2
Nadaljc, prema teoremu o okomitim osima, vidimo da ee moment) tromosti oko osi z opt. koja lcii ravnini prstena i na nju okomite osi y koja takoder leii u ravnini prstena biti jednaki, tj. = Te obadvije osi okomite so na os 2 za koju slob izraeunali moment tromosti. Prema tome, moiemo napisati
dl(x)
L
L/2
2+ [I-1--
AIR2 + AIL?
2 3 -I,/ 2
2 12
4 4
= + I, = i kako je 1,(prsten) = AI 122 = 2/r (prsten) dobijemo da je / r (prsten)
15 (prsten) =
2
MR2,
(za os u ravnini prstena). Sliean raeuna moiemo provesti i za ploeu, odnosno kruini vijenac. (Ti rezultati ne vrijede za valjak kao ranije, jer teorern o okomitim osima vrijedi samo za ploSne likove, a to valjak sigurno nije!)
Primjer 4.7 Zurna§njek (ploda) polurnjeru 90 cm i muse 4 kg okre6e se sa 720 okretaja/rain. U jednorn trenutku na njega se prisloni koJnica na koju djeluje sila proporciona/na vrernertu, tj. F = at (a = 0.1a N/s). Koliko okretaja napravi zarna§njak do zaustavljanja ako je koeficijent trertfa izrnedju njega i koenice jednak 0.5? RJEENJE Jednadiba kruinog gibanja je =
—Rpot
koja integracijorn daje = - -1
,.,
21
a C odredimo iz po0etnih uvjeta: o.,(0) = a0 , tj. C = W0 i L.7(t)=470
-
npa 21
2.
Vrijeme zaustavljanja je =
2/wo
a km zakrcta je 'At) =
CL,01
Teisat 3
.
Ukupan broj okreta do zaustavljanja je
N = 50(O 21"
Sliks 4.8 -
7.11 i'7171
momenta tromosti valjka oko osi 2.
gdje .je
aµa t'! ) _ 2 lz tog rezultata moiemo pornoeu teorema o paralelnim osima izraeunati moment tromosti 3upljeg valjka (cijevi) duljine L oko osi z, prenm slid. Moment tromosti tankog prstena nurse dm i polumjera R je (za os u ravnini prstena, kroz srediSte)
\I
Za ploeu je 1 = m112 /2 pa je N=
443
3rr
= 192 okre a.
dl = 1— I12 dm 2
i kako je
dm = a tiS = (M/S)dS = (111/2RrL)2127rdx = (111/ L)dx, dobijemo dl =
AIR2 2L dx.
Primjer 4.8 Valjak erase rn = 3 kg i polumjera R = 25 ern vrti se s 1000 okretaja u rninuti. U jednorn trenalku na °God valjka podinje djelovati situ trenja koja (od nate) linearno caste s vrernenorn i za vrijerne
4.
/ 2 = lO s smunji broj okra* no trenutku kadu se valjak zaustavi?
Str. 4-
R.otarija krutog krutog tijela
polo.
15
Str. 4 -
Ilo7uot: Finika I za PER - Mchonika i toplina
16
Moment tromosti zatvorene posudc je
Nakon kolko se vrernena voljak zaustavi? Koliki je iznos
Jednadiba gibanja krutog tijcla momenta tromosti M = In = -RFp =
I
-RpAt,
gdjc jc Al =
p. 1' = R. 3.77pH (H
je visina/dubina posudc), tj.
gd,je je a kutna akcelcracija, p koeficijent trcnja, a A jc nepoznata konstanta proporcionalnosti, tj. Fe- = Apt. Kutna akcelcracija je prva derivacija kutne brzine po vremenu, pa je
,duz(t)
/
— = - nnitt in wkt) = dt
RA Y
MR,2 2
I,
jc
feull =p
RAP 2 •, I to& = -21 t
rupe paraboloida (rupe). Znati, treba izratunati moment tromosti paraboloida. Za ratun ukupnog
lz po tetnik uvieta (zadane potetne kutne brzinc wo = 1000 • 2/r/60s-1 ) w(0) = wo = C, pa je
momenta tromosti inoramo zbrojiti mornente tromosti odrezaka debljine dz i to od 0 do ViSille 11. Otvor paraboloida je R a .jednaci.ba krivulje a (z,p) ravnini je z = ay' i kako jc za y = R, z = h dobi,jemo
w(t) = wo -RAY —t 2/ Zadano je i da nakon hj/.2 WO
= a R.2
wo/ 2, t.i.
iii a = hire.
,(t1/2) = w° =- RAY t 2 ,, pa je A /Int?/, 2 2/ Dakle za plots. je Nakon (nepoznatog) vrcmcna 1, vaJjak se zaustavi, tj. w(G) = 0 = we Alm to vrijcmc i izraz za .4 uvrstimo u izraz za silu trenja, dobijemo
Fr, =
2
Moment tromosti otvorene posude je zbroj momenta tromosti zatvorenc posudc i (negativnog) momenta
(RAp121)t1 pa
je
I =
mr 2 /2, pa je
t_ =
1 21mRwo = 1.768 N. 2 ti/2
dl =
i kako jc r = y tj.
I ,
2 1 - r -, pr dz = pirr' dz/2 2
= .y2 = z2 /0 2 = R'z 2 //i 2 , dobijemo 4 dl = pr
4 4 i to trebamo integrirati od nule do Primjer 4.9 Valjkasta posudc s vodorn mole rotirati oko osi koja prolazi srediatern Gaza valjka. Ako posudu otvorirno i zarotiramo, dio tekudine iscuri i stvori se paraboloidna ploha koja dosiie do poiovinc dubine posude. Valja izraunati omjer niomenata tromosti zatvorene (punt) posude i otvorene posude, kako je gore opisano. (Mast posude i poklopca zanernarimo!)
=
do 2Rh2
In
P7 le f h Z 2 dz = P 2h2 0 210
1 dl
•o
4 z3
p2rIeh
- 6
Usput, masa toga paraboloida jc /,
n2 pr7 2 dz = p2r—
rn - 1 dra = •o
h
p27113 zdz = h
o
p2rIeh —
2
Dakle, moment tromosti otvorene posude
= I, + ( - I. gdje je
I .k„,„;
moment tromosti paraboloida
=
Orn.jer
Slika 4.9 uz prirnjer 4.9
I,
)
(zatvorm posnde) i
I.
pferH pult 4 h p7R4
2
2
(H h13).
(otvorenc posude) .jc :
I,
H
- I p7R4 -
L
6
2
2
(H - h13)= H - 1,13'
Sty. 4- 17
4. llotacija krutug k7utog tecla
Zindano jc da je dubiva paraboloida jednaka polovini duldne posude tj. It = 11/2 pa jc
/„
// // - ///6
Str. 4 - 18
D. Hum& Fiziku I zu FER Mclaniku i toplina
gdje ,je broj okrcraja koje napravi valjak, a Fgr, 1,2 SII site trenja koje dobijerno iz uvjeta ravnoreZe (pad na did) valjka: - 1101'1%011 table k(Mil1011,11t, = Ne
1.2.
Iffy
lz definicij(2 sila treuja je
- Vi -
=0
=
- vcrtikalmv kalltpollentc.
(2)
i Ftr , z = ILN2 i iz uvjeta (2) dobije =
Prin]jer 4.10 Vuljuk i kugla (razIt6tili polumjera i masa) nalaze 2if! 74(1 V71,1, kOSiTIC i iSIALSie sc istovremeno 7/i/ kosinu, da se rotirajuei spuataja uz neki koeficijent trenja. Ako je nagib kosine 30° tko pobijedi u "utrci"
It
I + it=
tor/
i
flty.
,,2 = +
To mth.erno uvrstiti u (1) pa dobijemo broj okreta k koje nai0ni valjak prijc zaustavljanja
i za koliko, uko je (Jul:jinn kosine 5 m? RJES'ENJE Jednadiba gibanja je, zbog site trenja F, jednaka
k-
= ntg sin 13 - F,.
2ThrF
2RIT(Ff,..1 + Fa.,2)
Rwl,(1+ 112 ) 47rgja(1 +
Sila trenja daje moment
346.9309 okr.
gdje je
= 25 2r- s-1 . Da bismo prona8li za koje se vrijeme valjak zaustavi, valja rij6iti problem usporene rotacije valjka zbog djelovanja momenta rile koji nastaje zbog sila trenja koje djeluju na "kraku" R, tj. M = 1 a = R(Fos i + Fa,z).
F,R= =11=R R Gornja jednadiba za kuglu (1 = 2mR2 /5) odnosno za valjak (1 = m[12 / 2) postaje:
Kugla
7 -i 5
Valjak
Tijelo sc vrti usporeno po zakonu
g sin 0 •
a(t)=
gt 2 sin 0: = wet - 2t 2 ,
g sin 0
c..1(t) -=-
-
(3)
(t) = gt 2 sin 0. Nakon (nepoznatog) vremena zaustavljanja t, je a(1,) = k • 27r i w(t,) = 0 To sada uvrstimo a prvu .jednadibu u (3) pa dobijerno
Vrijeme kugle je t K = 1.6894 s, a valjka tv = 1.7487 s.
cp(t,)
k • 2r = wat„ -
Prirnjer 4.11 guplii valjak tankih stijenki zarotiran je do 25 okreta u sekundi i stavljen na ao uz vertikahra stijenu. Ako je koeficijent trenja klizanja p = 0.2, potrelmo je odrediti nakon koliko 6e se ll7'e7f1C7la valjak zaustaviti! Koliko okreta napravi valjak uko mu je polumjer jednak 40 cm?
uo
- atz, pa je n = c‘Is/t„
cot,
Rwo (1 + 112 ) = 27.7545 s. pg(1 + p)
Priznjer 4.12 Na stolu lezi okrugla plo6a polumjera R = 8 cm (debljine/visine H) i muse M = 7000. Ona je probrdena vcrtikainorn osi 0 (vidjeti sliku) oko koje se ploja mote vrtjeti tako da je ponwou niti povezuna s 'utcgotn muse 9u = 400 g koji slabadna visi. htneunajte za koliko de se vremena uteri spustiti za 50cm, uko je koeficijent trenja izmedu ploee i stola p = 0.25.
Slika 4.10 uz primjer 4.11 RJE4:NJE Valjak Ce se zaustaviti jer t1e site trenja na mewl kinetiCke energije rotacije valjka izvrkiti rad jednak
W= F•s=
+ Fer,2) • 2Thr • k
Ek
(1)
Slika 4.11 uz primjer 4.12
Ste. A - 19
Itotacija krulog butog tijela
D. Ramat.. Fizika l za Fill? - Alchanika i toplina
Si,. 4 • 20
rtJEENJE JedrmdZba gibanja utega je mg — T = ma, gdje smo uzeli pozitivan sTnjor prema dolje, a Ta 71allet,OSI 1611 Taje moment 917. koji okreCe tijelo, a sib, trenja F, koja "onteta" RT — Alf = /a, gdje ,je rotaciju daje svoj moment Ml. JadnadZba rotacije ploix jc MT — Mf / = MI12 /2 moment tTomosti plote, a a je iznos vcktora kutne akceleracije za vrtnju ploCe oko osi 0. Za kutnu akceleraciju vrijedi odnos a = oR i uz I = hl R.2 /2, dobijemo
T je napetost nir.i.
RT — A11 =
2n. Al R.
Za raeun momenta AI / razmotrimo desni dio slike: na uski prstcn dcbljine dx djclujc sila trenja .jednaka = pH dS = pH2277 dx, pa jc df = pgpH2kx dx i kako je p = AI /V = Al/R'- r,11 df = pg dm, a dm = p dobijemo 2H ,
a/ =
R2
(a)
a x.
Sila df djeluje na kraku x pa .je njen moment jednak
dhl/ =
2111km R2' - x 2 dx.
Ckupni moment site jednak jc "zbroju" prcko cijcic ploCe, tj.
= 2Mpg R X 2 dx — 2MPUR .
AI f =
R2 0
o
3
Sada moicmo napisati jednadZbu rotacije
RT
21‘ 1 pgR1 = —aMR 3
2
Slika 4.12 -
Translacija (a), kotrljanje uz sklizanje (b) i 6isto kotrljanje (c) tijela kruinog presjeka oko horizontalne osi
i uz T = mg — ma dobijemo za akceleraciju a a=g
2(3m — 201) 1 — — m/s 2 3(2m + Al) 3
Cz s = at 2 /2, za vrijcmc dobijemo t =
4.5 Kotrljanje
Valja uvijek voditi ratuna o tome da .jednad2ba rotacije krutog tijela M = dL/dt vrijedi samo ako se M i L odreduju u odnosu na istu os. Ta os 'flora biti ili (1) fiksirana u nekom inercijalnorn sustava ili (2) prolaziti kroz centar mase CM. Razmotrimo sada gibanje krutog tijela okruglog presjeka (kugle, valjka, prstena itd.) poltunjera R po ravnoj podlozi. Gibanje takvog tijela mote biti iii tista translacija (vidi sliku 4.12 (a)) ili eista rotacija (b)) iii tisto kotrljanje (slika (c)). Pri eistoj translaciji sve totke, u skladu s ranijim razma m, imaju istu brzinu (vent na slid), a u totki dodira P tijelo se bez trenja skliže skliie po podlozi. Pri eistoj rotaciji (slika 4.12 (b)) CM miruje, os rotacije prolazi kroz CM, pojedine take kruinog presjeka imaju brzine koje ovine o udaljenosti r od CM i dane su relacijom v = rw , pri temu je w (trenutaena) kutna brzina rotacije, a r je radijusvektor pojedine tone. Toeka dodira P rotira oko CM brzinorn v Pri eistont kotrljanju (vidi niZe) totka dodira P trenutaeno miruje, CM tins brzinu vcm, a woks R suprotna toeki P iota brzinu
Slika 4.13 - iloteljattja kaa rotacija rtko tITTIUt7 40 71C1107Iliel IC osi na mjestu dodim, tj. a tocki P
v et = (2R)w = 2vcm. Smjer brzine CM i brzine toeke /I je isti, dok sve drupe oar imaju treble koje su okomite na spojnicu to totke i toeke dodira P kroz koju ide trenutna on rotacije. Takvu toeku zovemo centar Toluene, i u slueaju kotrljanja, to totka se neprestano mijenja. (vidi sliku 4.13).
Kutna kolieina gibanja pri kotrljanju U prethodnom smo poglaviju (3) pri razmatranju sustava eestica izveli izraz za kutnu kolieinu gibanja sustava eestica koji ovdje odmah rnoerno poopeiti i na kruto tijelo pri kotrljanju. S obzirom da se pri kotrljanju polot2.aj osi neprestano mijenja. moramo rastaviti ukupnu kutnu kolieinu gibanja na cloprinos kutnoj kolicini gibanja ad gibanja CM i na doprinos koji dolazi zbog gibanja
4. Rotacija krutoy k -atoy tiicla
Str.
21
oko CM. Prema tome (prepisujemo izraz) L = Lo + fen.i
(3-59)
gdje je L ukupna kutna kolieina gibanja tijela koje se kotrlja jednaka L0 - doprinos gibanju oko CM, plus LCM - doprinos zbog gibanja CM. L0 je neovisan od gibanja CM i to ,je law° vlastito svojstvo fizikalnog sustava (objekta), neovisno o prornatraeu. Ponekad se to kutna kolieina gibanja zove i spirt, a rastav kutne kolitine gibanja (3-59) na dva doprinosa izuzetno je vaari u inikroskopskoj fizici atonia, .jezgre i elementarnili eestica. Ta,j vaan rezultat ilustrirajmo jednostavnim ali vrlo va2niin primjerom koji treba paZdjivo prostudirati! Primjer 9.13 Prsten polumjera R = 15 cm i muse M = 300 g kotrlja se po ravnini (prerrto slici 4.14) jednolikom br•zirtont iznosa ve nt = 0.9 TVs. Koordinatni sustav postavljen je tako da je pruvac p po kojem se gibs prsten paralelan osi y. Valja izraeurtuti (ukuprru) kubru kolibrlu gibanja prstena u trertutka kada se OIL trade u toeki A koja je udaljena od ishodiata rA = 0.5 rtt i Eiji radijusvektor zatvara kut od 600 stupnjeva s
osi x.
Str. 4. 22
D. Homat: Fizika I za PER - Mehartika i toplina
Svakako, valja ovdje obrazIoZliti i pridjev "eista" rotacija. Ako zamislimo vrlo glatku kuglu na glatkoj podlozi koju udarirno tako da sinjer udarca ide kroz njezino sredite i paralelan je s podlogorn, onda molemo oeekivati da ee se kugla gibati, bar neko vii jeme, onako kako ,je prikazano na slici 4.12 (a), dakle gibat ee se translatorno. S vremenoin ce ipak sila dinamielcog trenje u weld dodira zapoeeti postepenu rotaciju. Pri toj rotaciji neee biti ispunjen uvjet da ,je nc:nr = flu, tako da bisino rnogli kazati (lie sasvim ispravito) da se kugla "vise skli2e nego se okreee". Vrijedit ee. za takvu rotaciju sa sklizanjern, nejednakost (4-21) Na shear' natin rnolerno uzeti istu kuglu ali sada uc ,je>(u w zarotirati i zatim sauna poloZiti na glatku podlogu. Kugla ee (neko vrijerne bar) na mjestu rotirati dok se postepeno ne pokrene i potne se i kotrljati. pocetku ee, nakon polaganja kugle na podlogu, vrijediti nejednakost lecro < Rut,
(4-22)
tj. kaZemo da se kugla "vise vrti sego kreee". Ako je, međutim postignuto takvo gibanje da toeka dodira trenutatno miruje relativno u odnosu na podlogu, tj. da nisu ispunjene ni jednadiba 4-21 ni 4-22 vee da vri,jedi uvjet kotrljanja (4-23)
VCM =
govorirno o "eistorn kotrljanju".
Slika 4.14 - Kutna kolieina gibanja kotrljajudeg prstena.
RJE.4:NJE Prema slici su radijusvcktor CM, brzina SI jedinicama)
CM i LCM
0.2500i +0.4330 j+ 0.1500 k
Fcio = r n cos 60'i + rn sin GO') + 1CM
(kutna kolieina gibanja CM) jednaki (u
= 0.4j
Tom = ?OM x Mllcm = (0.030k —
0.0181) kgm2 /s.
neke toeke ua rubu Za ratun kutne koliCine gibanja Lo oko CM treba uoeiti sinjer vektora R i brzinu _L R , to kutna kolieina prstena (preina slid). Brzine su tangencijalne na obod prstena pa je uvijek gibanja uvijek "gleda" u — x smjeru. Prema tome je x
= — 10.018 kgm2 /s.
Ckupna kutna koliCina gibanja je
T. = (0.030 k — 0.0367)kg m2 /s.
4 4
Slika 4.15 - SIlkiCt011i vektora brzine ficm, kutne brzine C.; i radijusvektora take dodira pri kotrljanju. Preval,jeni put s prema slier 4.15 ,jednak je duljini opsega koji se "odmota" pri rotaciji, kako je prikazano na slier 4.16. Duljina "odmotariog" opsega jednaka je s = gdje ,je kut rotacije, a kako je, pri jednolikoj rotaciji odnosno kotrljanju = wt , dobijemo da je "odmotani" opseg, odnosno prevaljeni put jednak s = Rwt. Ranije Kr) izveli da ,je vcm = pa je prevaljeni put, odnosno "odmotani" opseg jednak s = ecm • t, tj. to je njedno ridaljenost koju prevail CM pri (jednolikoni) kotrljanju. Ti odnosi prevaljenog puta opsega se ne promijene pri ubrzanoni (usporettont) kotrljanju, jedino su inaternatieki izrazi kojima to iskazujeino razlieiti! Primjer 4.14 Tanka nerustez/jivu nit namotana je na (okruglu) osovinu polumjera r. Osovina je ugraderta u dva kotaea (ploee) polumjera R. Nit je ptebuelerta preko koloture i nu njert je kraj objegen predmet. Ako se predmet spusti za f koliki de put prijedi center niase osovine? Tijelo se po podlozi kotrlja bez trenja! 11..:1;11NrE Ako se CM (okruglog) tijela pornakne za s onda se i uteg spusti za s. Istovremeno se, mcdutim, valjak zakrene za kut 4, (vidjeti sliku) za koji vrijedi da je s = R4, pa se konac odmota za a' gdje .je = r4,. Tada je t = s = R.51)+ 7.0 = ,k(R + r) i = tl(R+ r). Pomak centra mase CM je
s=
R
R+ r
•
4. Botacija krutoy krutog tijela
Str.
1). 'lomat: I,
Sir. 4-
- Mchattika r toplitis
I as
sustavu S na kuglu djeluje silo trenja F, (koja okreCe kuglu, alt u sustavu CM), a to sila daje kugli akceleracija tj. = CM sila trenja F, uzrokuje moment silo loin rot ira kuglu, tj.
F,R = In = (2ms 22 /5)a. (Valja uociti da je krak silo u sustavu CM polmnjer I? Liji vektor pokazuje prelim dolje, pa vektorski produkt tj. moment silo upravo ima smjer ix papira, odnosno, daje rotaciju °brunt° od kazaljke na satu!) Kugla se kotrlja bez sklizanja po plod, pa je uvjet kotrijanja day) ovako a' = Ra, gdjc jc
akceleracija kugle u adrtosu na ploju, tj. a odnosu na (ubrzani - ncinercijalni) suntan
Sl . Akceleraciju a' moXerno izraziti preko akceleracije op i aK, tj.
= oo —
pa jo n r —
= Ro
Ako to uvrstimo u izraz za moment silo trenja dobijemo da je 2
,
— OK),
Ft=
s.R(1)
pa dobijemo daje ak = 2ao/7, Ito vodi na izraz za F, F, =
Slika 4.16 - Prevaljeni put i "odrnotani" opseg poi kotrijanju. Onda je F — F, = mrs,,
2 7
ill F mt. +2711,, /7 .
4 4
4.5.1 Kotrljanje po kosini
Slika .4.17 - Kotrljanje tijela - uz primjer 4.14
4 4 Primjer 4.15 Na glatkom stole left myna piaci mase inp, a na njoj se nalazi Isomogena kugla masc not; . Na plau poene djelovati stalna horizontaina sila F. Kolika je akceleracija ploae, a kolika je akceleracija centra mase CM kugle, ako se kugla kotrlja bez sklizanja po ploti?
Razmotrimo gibanje krutog tijela kru'Znog presjeka polumjera R niz kosinu. Ako su povrgine dovoljno hrapave, neee doei i do sklizanja pretna izrazu (4-21) vee do prave rotacije. Gibanje eemo tretirati u dva koraka: prvo, promotrimo gibanje centra mane u odnosu na mirni suntan S (osi x i y) vezan uz kosinu npr. (vidi sliku 4.19). Sustav S' (osi i y') koji je vezan uz CM je neinercijalni sustav (alt njegove osi, naravno, ne rotiraju s tijelorn). Pailjivo proucimo sliku 4.19: na tijelo djeluju slijedeee site: tekina G koju smo rastavili na komponentu paralelnu s kosinom CI i kornponentu okomitu na kosinu G L . Na tijelo djeluje i sila trenja
F, koja djeluje uz kosinu i koja zajedno s reakcijorn podloge N (koja je po treeem Newtonovorn aksioinu jednaka po iznosu CL ali je suprotnog srnjera) daje, vektorskim zbrajanjern rezultantnu silu FR (koja djeluje na slid nekako lijevo-gore). (Silo N nacrtana je dva puta: drugi puta je njeno hvatite iz CM premjeMeno u totku dodira da laBe konstruiramo rezultantim silo in .) Tijelo rotira (kako pokazuje strelica) pa kutna brzina or iota smjer "u papir" S . to .je prikazano i odgovarajueim simboloin d.
Slika .4.18 uz primjer .4.15
RJFENJE Prvo napisimo, u inercijalnom sustavu S jednadXbu gibanja plo&r: F — F; = moor. U
Slika 4.19 - Kotrljanje rtiz kosinu
4. Rotacija krutog krutog tijela
Str. 4.
25
Gibanje se odeija bez sklizanja, pa u jednom trenutku dodirna toeka tijela i kosine miruje. U sustavu blYIlla le tuck,, I oua je povezaria s brzinorn a IIIII110111 SUSlaVII S G8IlleleV0211 transformacijom = 15. –
(4-24)
m
Stv. 4 - 26
D. Horvat: Fizika I za FER - Mehuniku i tophus
Uvedena je kutna akceleracija, all to nije nova nepoznanica, jer ovdje je ispunjen uvjet kotrljanja (za trenutnu brzinu acm i trenutnu kutnu brzinu w) vcm (t) = Rw(t)
jer je (trenutna) relativna brzina sustava
u udnosu Ira sustav S upravo ,jecinaka 1.1cm. Neka drugs toeka na obodu tijela ima u sustavu S' brzinu = C.; x po iznosu t, = wR. U sustavu S' brzina je jednaka nuli, pa je ij" = –dcm. Nacialje, brzina dodirne toeke i toeke na obodu vo su po iznosu jednake = vo jer see toeke na istoj udaljenosti F od osi imaju istu brzinu. Prema tome, dolazimo do rezultata da ,je
Ito, deriviranjem po t daje
ducivi„dw "CM = — = •n— = dt di
Prema tome, imartro cjelokupni sustav koji opisuje kotrjjanje (bez sklizanja) okruglog tijela tease to i polumjera F niz kosinu nagiba VC Al dt
V
(4-23)
VCs, =
a to predstavlja ranije izeeden uvjet kotrljanja za tijelo okruglog presjeka polumjera I?. koje se vrti (trenutnom) kutnom brzirboun w. S obmrom da se, Li SIISUIV11 S, radi a 111/1/.■1110111 plump, sada val,ja razuwI.ti1,i dill:111111M 1.07c giluoljs! Dinansika kotrljanja tijela po kosini Tekna (vanjska sila) d,jeluje, prema ranijern razrnatranju, u CM (to je ujedno I ishodiSte S'). Na tijelo, u totki dodira djeluje sila PR koja je rezultanta site trenja A koja djeluje uz kosinu i sile /N7 koja je reakcija na okomitu komponentu te2ine Gl, prenta treeern Newtonovom aksiornu. Prema tome, drugi Newtonov aksiom (u inercijahlorn sustavu S) je (4-26)
G' + FH=ne dt
(4-32)
dvcm = Ro dt FtR -= lo
tj. iznos braise bilo koje totke na obodu,jednak je iznosu brzine centra mase CM tijela u inercijahront sustavu S. Na taj natin ponoN•no dolazimo do izuzetno vaknog rezultata, kao i pri kotraljanju po ravtioj podlozi, da je
= mg sin 3 – Ft
0 = A, – rrtg cos 3
(4-25)
= VC A I
(4-31)
Ovdje imaino potpuno rjeke sustav od 4 ,jednad'i.be s 4 nepoznanice: "eel = (Ircki Mt, Ft , FR i o. Moment tromosti .je poznat iz podataka o kakvom se tijelu radi: valjak, kugla, Suplji valjak, itd. U nizu sli, jedecih prindera proueiti 6erno posebne slutajeve gibanja - kotrljanja okruglill tijela po kosini! Prinljer 4.16 S kojom ac akceleracijom sputa guplji valjak niz kosinu nagiba 3 = 300 ako je u poeetku bio na mint, a koeficijenti statiekog i dinamiekog trenja so jednaki i iznose 0.15? Koko izg1eda izraz za kutnu brzinu aka je potion:jet' Oupljey valjka jednak I? = 0.1 TIL, a us poeethu nije votirao? E Jednadiba gibanja CM je (prema optenitoj slid 4.19)
macs, = Trig sin Q – Ft = mg sin 3 – Ps,Drng COS11 mg(sin p – j.2 cos (i), pa ,jc "CM = y(sin Q – p.cosfi) = 3.631 m/s2. Za kutnu brzinu dobijemo iz jeduadThe rotacije
dt
2 M = Ft!? = 10 = KmR . — = tang cos 3R, dt
Vektori su dani ovako dcm = lacm
gcm = ivcm
Gl= –f/G cos
(h• = 1 za suplji valjak - vidi tablicu 4.1) pa je uz potetni uvjet cu(0) = 0
air = SG sin
= –IFt
/Cr = jN
(4-27)
cos
w(t) =
/
12.744 • t.
KR
= po komponentama
mg sin 3i – IF, + jN – :pug cos 3 = im
d vc m. dt
(4-28) Prinajer 4.17 lzvaeunajte akcelevaciju CM za (a) kuglu, (b) goplju kuglu, (c) valjak i (d) Supiji valjak koji se spagtaju bez sklizanja i bez poeetne brzine niz kosinu nagiba 3.
Sto vodi na dvije skalarne jednadthe
N– mg cosQ= 0 mg sin 3 – Ft =
dvcni
(4-29)
R.J ES EN J E Napinlmo prvo moment tromosti razlititill tijela ovako
dt
IA = 711IeKA,
Otigledno gornji sustav nije odmall rjekv jer imamo previe (3) trepoznanica: N. Ft i VCs,. Va.:2110 je prvo uotiti da situ trenja ne možerno izraeunati preko relacije p • N, jer ovdje nemarno trenje sklizanja (niti je koeficijent trenja as zadan). Medutim, ovdje Miaow rotaciju zbog (vanjskog) momenta sile Ft , koji ulazi u jednad2,bu rotacije krutog tijela (u sustavu 5')
gdje A znati slulajeve (a) do (c), a KA ima slijedete vrijednosti 2/5 KA
tL1=
dt
i
= Ft R = dt (1w) = I— = la. dt
(4-30)
=
za (a) - kugla
2/3 za (b) - guplja kugla 1/2
za (c) - valjak
1
za (d) -suplji valjak.
4.
R.otacija krutog krutog tijela
Str. 4 - 27
Morncnt silo daje rotaciju zbog silo trenja Al = In = RF,, a vrijedi (po vrernenti derivirani) uvjet kotrljan,ja arm = Hu, Ito dajc, u jodnadzbi gibanja
Ste. 4- 28
D. lisTvat: Fizika 1 za FER • Adchanika i tophna
gdje je a = 1/2 za valjak, pa uz = 25° dobijemo us = 0.155.
4 4
markt = rag sin 3 — F, = mg sin Q — let/ R, acnt=
l+rc
q sin
= ,),Ag sin ,ft,
a An ima vrijednosti
An
=
5/7
za (a) - kugla
3/5
za (b) - kuplja kugla
2/3
za (c) - valjak
1/2
za (d) - kuplji valjak.
Primjer 4.19 Na kosini nagibu a nalaze se valjak muse mz, i polurnjera /? i kocka muse mk. Za os valjka, koji je postavljen Mic od kocke, vezana je nerastezljivom niti kocka, tako da se, gibaju6 se niz kosinu, valjak kottlja bez sklizanja, a kocka se skliie. Ako je koeficijent statiacog i dinamiacog trenja izmedu tijela i kosine ,iednak it, izranunOte akceloaciju tijela!
Ito dajc odgovarajule akceleracije C31. S obzirom da je aria = dveni/dt = vela (I) = near t, za na dnu dobijemo 5/7 za (a) - kugla 575' za (b) - kuplja kugla cciu = \1271. •
575 za (c) - valjak
1/2
za (d) - kuplji valjak.
Za rotaciju bcz sklizanja potreban jc (statitki) koeficijent trenja koji dobijerno iz izraza za arm g sin /I — pg cos /I, Ito daje p = (1 — AA) • tgfl, pa je potreban koeficijent trenja,jednak
Slika 4.20 uz primjer 4.19
2/7 za (a) - kugla
=
2/5
za (b) - kuplja kugla
1/3
za (c) - valjak
1/2
za (d) - kuplji valjak.
RJEENJE JednadIba gibanja tijela, tj. njibovib centara masa (matcrijalnib totaka) je (uz F,, = tart o g cos a) jednaka „g sin h — tern,.g cos a + mix sin a — µmfg cos a = (m,. + mk)a, a jednadba gibanja valjka (krutog tijela) je
Primjer 4.18 Niz kosinu nagiba Q = 25° felt se spustiti puni valjak tako du se ne skltiie (vee sumo colitis). Koliki je za to potreban statieki koeficijent trenja? RJEENJE JednaclIbc koje opisuju gibanje valjka dane su gornjim izrazima, a situacija je prikazana na slid 4.19. Akceleracija contra ma.sc dana je izrazom 1 = g sin p. arm 1 + K
M = /rr = Iry = RF,„ = pm,.JRcosh
i kako jc
v
uz a = Rz;z, dobijcmo akceleraciju sustava
a—
(rn„ + mi,)g sin n — ',talky cos a 3m,/2 + mk
gdje je tc = 1/2. Da bi se rotacija mogla odvijati bez sklizanja, nuian jc (statieki) koeficijent trenja koji povezuje silu trenja F, i pritisak na podlogu. (Valja se sjetiti da totka dodira valjka i podlogc - kosine mirujc pa se radi o statitkom trenju!). Dakie
F, = pszng cos a odgovarajuei moment site koja pokrcte tijelo na rotaciju je
FIR= errata pszng cos .°
tj.
KrrielR l+ —mgsin 8
Ito daje statieki koeficijent trenja
µs=- 1
K tg 0,
Primjer 4.20 Igraeka zvuna jo-jo sastoji se od dvije kruine plone - disku koje su povezanc s dcbelom osovinom - valjkom, Inks da jc razmak izmedu ploea (tj. vision valjka) oko 5 nim (vidjeti sliku 4.21). Na valjak jc prie'vr'Seurt jcdan kraj niti i nit je zatim nainotana. Slobodni kraj niti drii se Incilo prshinu i jo-jo se push tako du se nit poenc slobodno odmatati, Ito uzrokuje (sve rotaciju jo-jon. Karla so ?zit do kraja odmota i pocnc se namutati u suprotnom srajeru, rukorn se lagaizo cukne wpm gore (da so nadoknadc gubici), pa se time postiie du se nit. do kraja namota ?in valjak, a valjak se ponovno popne do prstifu. Time sve pocinje iznova. Neka je polumjer Plona jednak R = eta, a masa jedne pitiee je M = 50 g. Nadalje, poiumjer-raljka osovine - spojnice je r = 1 cm, a masa mu je ne = 10 g. Duljina niti neka je I = 1 m (obieno je nit duga oko
4. Itotacija krutoy krutog tijela
Sir. 4- 29
Sir. 4- 30
D. Horrat: Fizika 1 za FER - Mehaniku i toplina
opterelenja na kotaee, ua lijevu iii desnu stranu. Svakako, valja pokukati (najeekle u 2. brziui) krenuti s malirn "gasom", da se odmalr pokuka postidi uvjet kotrhanja, kada izmedu kotaea i tla djelujc statieko trenje (koje je vele od dinamiekog), jer dodirna toeka trenutaeno miruje. Druga situacija nastaje kada (na dobroj, sulmj cesti) automobil kota. L tom je slulaju m < nom je velika, a kucna brzina kotaea je mala, tj. umnotiak a 11 je mauji od rem. Clime opec ostavljaju Crag na cesti, no fizikalna situacija je razlieita, ali se i u jednorn i u drugorn shreaju jarha trenje klizanja, tj. dinanaieko trenje!
Za dinamiao rjeAeoje problema kotrljjan jja (okruglog) tijela sa sklizardem. krenemo od 2. Newtonovog aksioma (u inercijjaMom suscavu) primijenjenom na CM
= macm = Slika 4.21 - Igraeka jo-jo -
=la=l d =
Pr .
(4-34)
(Vals ja uvijek uoeiti razliku orkjentacije vektora R u inercijahlorn sustavu S i neinercijalnorn sustavu S'!) Moment tromosti je, prema ranijoj notaciji jednak
RJESENJE Jednadtiba gibanja CM je
injacm = nt j g –T
I = amIe
gdje je ny ukupna masa jo-joa: in; = 2M + rn. Jechradiba rotacije je
mr 2 /2 = MR2 + mr2 /2. Iz gornjih izraza, ehminacijorn T dobijemo akceleraciju CM m +
2M
2A1(1+ R2 /2r 2 ) + 3rn/2
Vrijeme slobodnog pada s visine t je to = traieni omjer jednak t/to = ,0.081= 0.284.
— 0.081 - g.
a jo-jou le trebati t =
(4 -35)
(a = 2/5 za kuglu itd.). lako ne vrijedi uvjet kotrljanja (pa nam zato nedostaje jedna relacija za nalaienje svih nepoznanica problema), sada vrijedi veza site trenja (klizanja) i nornrale na podlogu, tj. imarno (umjesto uvjeta kotrljanja) jednakost Ft = gdje ,je npr. Fl = mg cosf3 za tijelo na kosini nagiba /3, ill samo Fl = mg za tijelo na ravrroj podlozi, itd.
T • r = In =
OCM = 9
— d = x
dt
1 in).
1 = 2 - MR2 /2
(4-33)
gdje .je P, (vektorski) zbroj svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo mase rn. Ovdje je F= Pt , tj. sila trenja je vanjska sila. Nadalje, na tijelo djeluje moment vanjskih sila koji daje tijelu momenta tromosti I kutnu akceleraciju 6. Vaujska sila koja uzrokuje (usporenu) rocaciju je sila trenja, pa imam() (u sustavu vezanom za tijelo)
uz prim:kr 4 - 20.
50 an). Izraeurtajte ornjer rrernena spuJtartja jo-joa (da se odinota tijela nit) i vremenu slobodnog pada (s visine
Uem
= to/ 0.081, pa je
Niz prhujera ko, ji slijede, a koje valja izuzetno palljivo prostudirati, pokazat ee primjenu gornjih razmatranja u razlititirn sicuacijama kotrljanja tijela po horizontalnoj podlozi i ua kosini. Posebno je vain() pall prostudirati vektorske odnose i zapise jednad'Ai! Prirn.jer 4.21 Kugla u kuglani "poloiena" je na relativno glatku stazu bez poeetne kutne brzine, ali s brzinorn CM jednakoin 'uo = 1.8 m/s. Koliku de brzinu irnati kugla 1 sekundu nakon "po/agartja", ako je koeficijent trenja klizanja jednak p = 0.02, a polumjer kugle je 10 cm. Nakon koliko ee se vreinena kugla samo kotrljati (bez sklizanja)? Kolika je njena brzina CM u torn trenutku? Na kuglu djcluje silo trenja sklizanja koja ju usporava. Ujedno, moment silo nascao zbog site trenja u sustavu CM zapotinje rocaciju, uz, ipak djelomieno sklizanje. U poeetku (malo nakon izbaeaja), dakle vrijedi da je rem > Rw, tj. jok nije ispunjen uvjet kotrljanja. Jednadtiba gibanja CM je u suscavu vezanom uz podlogu (uz orijencaciju osi prema slid 4.22)
4.5.2 Kotrljauje krutog tijela uz sklizanje
d dt
111— VCM
Nods nije postignut uvjet kotrljanja da jje u = wk It, tijelo kruZinog presjeka iota kutnu brzinu iii vkM li manju od Wk. daje jaki "gas", gurne Prvi slulaj bi odgovarao "kportskorn" krctanju automobila kada (priglupi) se brzo vrte na mjestu uz jaku kkripu i cviljenje, ah automobil se tek sporo ponnee, sve dok ne "uhvati" uvjet kotrhanja. Fri tome ostaje, zbog velikog trenja na cesti end crag rastopljene guise. Shona situacija nastaje poi krecanju na zaleelenoj cesti kada kotaei "proklizavaju" . Automobil se u cakvoj sitauciji uglavnon: najrnanje mice u tieljenom smjeru vet se uglavuom zanosi, zbog nejednolikog trenja i rasporeda
uz
d dt
= i — VCM =
Ft =
poeetni uvjet iIcrd(0) = vo = Jedrradiba rotacije (u sustavu CM) je /17/ =
d = I— dt
= –kRF1 =
= (-36)x 5
dt
0 x 'ORE,
St, 4 - 31
4. itot.,,cip, krutog krutog tijela
1). norm& Vizilas 1 za PM/ - A1717,s77117, torhaa
Str. 4- 32,
tons tremaku Nakon ti = I shrz77171 je 77(10 = 170 – pg = 1.6714177/s, a kurna je brzina (4741.0 je .ucro(t,) > w(t,) • /7, jer jog 00e postignut uv.Ict kotrljanja kugla se "viIe w(t,) = 4.905 skliZe nego kotrlja". Nakon 12 = 2s, nejednakost jc mak, "nblatena": 5011(1 2) > w(t2) • I?
tj.
1.408 m/s > 0.981 m/s, a nakon 2.5s vrijedi rem (2.5 s) > w (2.5 s) • R t,j Slika 4.22 - uz primjer 4.21
1.310 m/s > 1.226 m/s.
4 4 lea, sm ikoi ndena tsile, (17/ k Inastao, zbog site trenja pokazujc u D p raek.
smjeru, tj. "u papir". To u!ed o pocicti okretati u smjeru kazaljke na satu, tj. i vektor ham. brzincj! di npokazuje jednadibu za valja rijaliti 11z poCetni uvjet 3(0) = 0. "u papir". ,Gornju dif ,gmc jc Za translatorno gibanje vrijedi
Centas. masa :supljeg valjka mase en = 2 kg giba se (nadcsno, prema slici) brzinorn od vo = 2 m/s. Islovremeno, valjak 7Vii111 7L smjens sumptuous od kazaljke 1515 Sabi kulnom brzinorri wo = 5 s 1 . Ako je polurnjer valjka R = 0.1 us i ako je koeficijent stalidkog i dirsartsiekog trenja jednak p = 0.1, odredite kako
Primjer 4.22
se giba valjak!
J dilokr = –igp f dt iii 777c,„,(t) = –Igpt +
o
Ito uz poletni uvjet daje 0CW (t) = 1(00 — pat). Prema tome, sila trenja t.e smanjivati brzinu CM prema brzini vom(tk) kada 6c, nakon vremena tk biti ispunjen uvjet kotrljanja rem (4) = w(tc)R. Svakako, da bi se postigla upravo takva kutna brzina, sila trenja, tj. njen moment dati 6e ubrzanu rotaciju prema ranijem izrazu, tj. 2 2 dui –kRF, = –mR 5 dt Slika 4.23 - Kotrljanje krutog tijela uz sklizanje - uz primjer 4-22.
uz F, = pmg - 5pg ddi(t)= –k — dt, 2/0 Ito nakon integracije daje 0(1) = –k(5pgt/2R)+
Cr,
a poletni uvjet daje C, = 0, pa jc
ri.JEENJE Jednadibri gibanja za translatorno gibanje jc mach = macmi = F, = –IF, = –Spray.
5pg 3(1) = –k— -1. 2R
Integriranjem tc jednadthe po vremenu, dobijemo
Nakon vremena tk kutna brzina po iznosu naraste, tj. post* sve vile ncgativna, sve dok ne dostigne uvjet kotrljanja (pisan, naravno, u sustavu vezanom uz podlogu) ivcm(ti)= (–kw(tk)) x (+3R) = (7 x k) • s7.7((k)R = i • w(tk)R. Valja uociti da smo R orijentirali od toCke dodira (trenuta0na os rotacije koja trenuta0no mirujc) prema CM, jer CM rotira oko toe!ke dodira. Vrijeme tk nademo iz gornje jednakosti
vo –
pg pgtk = —tkR 2R
iii
t, = 2uo — = 2.621 s. 7pg
U tom je trenutku brzina CM jednaka vom (4) = 5v0/7 = 1.286 m/s, a kutna je brzina po iznosu or(4) = 5v0/7R = 12.857 Naravno, ispunjen je uvjet kotrljanja w(tk) • R = 5v0/7 =- 1, C1,1(tk).
rem (t) =
+ CI
i iz po.t. etnog uvjcta vcm (0) = vo dobijemo rjeIenje yew (t) = vo – pgt. Za opis rotacije (u sustavu CM), orijentiramo os vertikalno rivis (s obzirom na podlogu), pa je onda poZetna kutna brzina zadana ovako: dio = kwo, jer os z "gleda" iz papira, prema narna! Moment silo koji usporava rotaciju nastaje zbog site trenja sklizanja F, koja djclujc na kraku iznosa 10, pa piAcmo A1 = (-3 R) x = xmled, - F, = –k km R.'
= 15 = (j x i)RF, = –kRFI tj.
4. Roluelja krutog krutoy tijrlu
St, 4
1)akic, vcktor kutne akccleracije 6 iota smjer suprotan od rru , Sto ZMIC:1 do iniamo .f/SpOre7171 rotaciju zbog silo trenja sklizanja. Svakako, uyjct. kotrljanja oirgledno tic Ino.z., biti ismorjcn jct. se valjak okrcec "krivtan smjeru"! Gurnji izraz za c7. vodi na diferencfialnu jednadZbn
dt (uz n = I
(kw) =
k
u;(0) =
Gornji izrazi vode na
it
v(10 — Ft,gt. = RFtllytr b(t t,= 0.765 s. 2kt, rj
Dakle, od poeetnog trenutka do trenutka kada je poeelo pravo kotrljanja proko je ukupno t„ = 1: + t, = 1.274 s. Trick, sc dalje giba stallion] brzinorn 0(1.) = 0.75 m/s i stalnom kutnom brzinom od 7.5s -
pa uz poeetni uvjet dobijemo
ke(t) =
D. !lomat: Piziku I za PER - Mehartika i tophrta
•S'i, 4 - 74
F4 0411R
za suplji valjak). ItjeSenje to jednadZbe je = -— 1`g t ± C2,
3.7
-
t.
Kako vrijeme prolazi smanjivat ee se i brzina 0(t) i kutna brzina w(t). C trenutku t, ee c.,;(1,) pasti no nulu, i zatim ee rasti (u drugom smjeru) pa ee biti postignut uvjet kotrljanja .,./(1k.)R = 0(1k). Ovdje pretpastavljarno da ee se prije zaustaviti rotacija nego translacija. Obrnut slueaj obraden je u slijedeeem primjeru! Vrijeme prestanka rotacije odredimo iz uvjeta
Piny-pony loptica poluntjera R zurotirurtu je u smjeru suprotnorn od kazaljke na satu (prerna slici 4.24) i u horizontainont je smjeru ithadena brzinorn po horizontalnoj podlozi. lzradunajte brzinu s kojorrt de se loptica vratiti na rajesto ithadaja. Koji uvjeti rrtoraju ispunjeni da se loptica vrati natrag?
Primjer 4.23
Koeficijent trenja klizanja je pD = p. RJEENJE Najveei dio rjeSenja dan je u prethodnom primjeru, osirn Sto za moment tromosti sada valja napisati I = 2MR2 /3 (x = 2/3), pa imamo
tr9
- tigt)
=
C tom ee trenutku brzina biti jednaka
At) = i
v(t,) = v0 - pgt, = 110 - wo R. Nakon toga ec se valjak poeeti okretati zbog silc trenja koja cc irnati isti smjer kao i F1 koja je zaustavila rotaciju i koja je usporavala CM. Ta ista sila trenja jednaka je umnoSku koeficijenta stati6koy trenja trenja p„ i pritiska na podlogu, tj. F; = p.,rray. Ta sila uzrokujc moment silo koji okreee tijelo kutnom brzinorn koju dobijemo iz jednadZbe rotacije (u sustavu S') d, F:11 = rani-12 — vektorski dt
- V • t)
=k
woR
a(t,) -= 0
(vat
- tigt 2 )
Vrijeme zaustavljanja 1: dobijemo 7.z vent(t,) = 0, tj. t, = u4'/pg. lidaljenost koju loptica prijede do zaustavljanja je of
LE(r,) = ;—. 2pg Kutna brzina u trenutku zaustavljanja je
Za gibanje unatrag vrijcde slijedeei izrazi o7(t) = k
0-
2tf' ?`-1 )
(-3R) x (-1F;) = km 11%7 0 = .00,1(t) lz izraza za d:Oldt koji je proporcionalan -k, vidimo da je smjer rotacije u smjeru kazaljke na saw, daklc u smjeru u kojem hi mogao biti postignut uvjet kotrljanja. Brzina i dalje pada p0 istorn zakonu od poeetne brzine 1.5 m/s (nastale nakon vremena t„), tj. to je brzinu tijelo imalo kada se vrtnja u krivom smjeru zaustavila. Soda vrijedi v(t) = 0(1: )- pot, ali sc javfia p, umjesto po, jer dodirna toeka izmedu tijela i podloge nairuje. RjeSenje za kutnu brzinu w(t) je = _Psil t. R Nakon vremena t, postigne se uvjet kotrljanja
-ikor i (- kigt 2 )
E(t)
Sada se vrijeme raeuna od nule, a ukupno vrijeme 1. od poeetka gibanja je 1.= t+1:. Nakon vremena rk doei ee do kotrljanja (prestanak sklizanja), tj. (u sustavu S) iicni(tk) = -ivekt(tk) = (kw(t,,)) x (1R) = (k x j)w(tk)R = -(3 x k),(tOR
nem (t)k. = pgtk =
vem(t4)=- 40(14)11 3u0 n3µy
(j-
2R - 2R 1' )'`
211
v(t.) = Rw(t,.)
ill
3v0 ) = 2 2R )
opg
Stu vodi
- 3v0 airy
To je vrijeme od zaustavljanja do poeetka kotrljanja. ukupno vrijeme od izbaeaja do kotrljanja je
ili vektorski v(t.) = (-L(t,)) x (3R) = -(k x Du(t r)R = x
=
rk
2(no + Rkvo) apg
4
ll'otelrlio Arnim/ lo Tao!, ity
4•
Vrijerrie t„, do se, ad tremirka zaustavljanja pa do poFetnag mjesta vrati loptica dabijenia iz
:to
11
Int 1%,11.,1 I
PrIf • AI,Itioilka
A ko pastaviina kaardinaini slistav Loki, da as
okomita no kosinu prema gore, undo je jednadOba gibanja
1,.‘;
=
2pg
1
2
tj.
2
d
Pfl
1AI — = IG sin + iFe
tophrio
1 ,1, 111•1110
kt1N1110111, cl
ON 1,
kuglice jednoka
Fr = pN
a ukupno vrijeme t, od trenutka izbaeaja je t,„ =
+1,,
21,0 pgg
gdic je Fe silo trenja koja je jeduaka umnaSku koeficijenta trenja sklizanja (dinami(.ki koef.a•ijent lrenja) i = G. pa Fe iz paralelograma silo pritiska na podlogu. Sile N uravnoteOuju tetinu tijela G, tj. vrijedi silo biti
Pri povratku na mjesto izbaeaja loptica ima into brzinu kao i no kraju sklizanja (odnosno na poFetku
2 sin(1/ 2) '
eistog kotrljanja), tj. 3tosi + 2wo
ijow (t, _
5
jcr su site N okonate no stranice ilijeba, a zatvaraju kut A Ato se lab° palate geometrijskom konstrukcijam paralelograma silt. Prema tome je silo trenja jednaka
Poletna kutna brzina wo mora biti takva da se loptica jot vrti "u krivorn smjeru" (no sklizanje) kada se
Fr
CM zaustavi, tj. mora vrijediti do je w(y)It > v(1,) wo >
Sto daje
3vo 2/7
> wk . Krak stir je ve6a od kutne brzine koja ulazi u uvjet v = Itw,„ tj. trenja koja uzrakuje usparenu rataciju jodnak je r (prema slici) gdje jo r = Rsiii(A/2). Dakle, jednatiOlta rotacije izgleda oval,, a poeetna kutna brzina
Ako sada zahtijevamo da se loptica poene prije kotrljati bez sklizanja nego or vrati, mora biti La < t,„ tj. vrijeme od izbaFaja do poFetka kotrljanja mora biti mane od vremena od izbaeaja do povratka, Sto daje 2(vo + lbws) < ana wo < 41 7 iii
spy
P 2 sin 1/2
Silo irenja lizrokuje usparavanje rotacije, jer or ovdje radi o shdaju kada uije iSp1111j0T1 uvjet. kotrljanja,
Al = l o = F -- k
pg
Obadvije nejednakosti zajedno daju
x (i Fr)
Pm 2 sin(A/ 2)
llsin(Al2)— kt` 31 2
— IC = ky1R2 d a
Iz gornje jednadObe dobijerno diferencijalnu jednadOlau za < w° <
d _ Spy dt w 4/?
< 2nwo < 8,30.
koju integrirama, uz poi:ma uvjet do je O(0) = —kwo, pa dobijemo izraz za vektor kutne brzine 0(0= kw(t) = —kwo + ic -1 54g• t. 4R
Kugla polumjera I? = 15 cm rtalazi se na vrhu ilijeba "V" presjeka (vidi sliku) koji je nagnut pod kutom Q = 15°. Kuglica or zarotira oko horizontalne osi na no = 10 okr/s i stavi se u "V" Thiel) gdje or pane spuiftati uz kotrljanje sa sklizanjern. Srnjer poeetne rotacije na crtan je na slici. Ako je koeficijent trenja sklizanja izrnedu kuglice i ilijeba jednak p = 0.1 i ako kuglica tan° na dnu kosine prestane sklizati (pa or sarno kotrlja), izraeunajte du/jinu kosine - ilijeba F. Kut otvora ilijeba Jr = 800 (prema
Primjer 4.24
Integracijom jedriadthe gibanja CM (I) dobijemo vektor brzine CM
Cast =
(g sin d + 2 sirgPA/ 2) ) t (
Nakon (sada jot nepoznatog) vrernena to kugla Fe postiFi uvjet kotrljanja, tj. u(t o ) = rio(to), iii, vektorski iv(to) = (—kw(to)) x r), tj. 33(to) i dalje gleda "u papir" (smjer —4), a f• je u +y smjeru, ad toi:ke dodira so Olijebom promo srediStu, jer kroz to toeku prolazi trenutna os, pa se CM Fija je brzina F(t o ) = r(to); u tom trenutku giba po kruOnici polumjera r. Iz gornieg uvjeta ( g sin +
S Y 9P to — ° — — P to) R sin(A/ 2), 2 sin(A/2)) 4R
lake nademo vrijeme to to =
woR sin(1/ 2) 5 PP g oh" + 2 si„(A/ 2) + 71"sin(A/2)
To je vrijeme za koje Fe poFetna kutna brzina pasti na vrijednost w(to ), a brzina CM Fe narasti na vc,4(ta), take da Fe biti ispunjen uvjet kotrljanja! Za to isto vrijeme, po uvjetima zadatka, tijelo se spusti niz kosinu duljinc e, tj.
Slika 4.24 - Kotrljanje kuglice
u "V"
ilijebu - uz prirnjer 4-24
= ( .9 sin )3 +
9 2 sin(A/ 2)) 2
4. il.oturva krutoy 6,11,9
tocla
Sir.
4-
Str. 4 - 38
D.
Hortlat.. Fizika I za FBI? - ltfeltattika i toplina
lzvrijednjivanjem dobUelno slijedei:e vrijednusti = 2thr S-
fn = 1.481s
= —50.724
r(to) = 4.891 inis
r = 0.096 in
= 3.622 in. (a)
4.5.3 Trenje kotrljanja
(b)
Slika 4.25 Uz objakijenje trenja kotrljanja.
hunt kotaea vjerojatrro spada u jedan od najvelth "telmolokcih" koraka u povijesti eovjeeanstva. Najvjerojatnije su opaZanja da ,je lakSe kotrljati okruglo drvo, kamen i sl. nego ga vuli dovela do ideje kotaea. Glavni raslog prednosti kotata je u manjem otporu pri kotrljanju od otpora pri sklizanju. Razmatrarrje kotrljartja okruglog predineta - kotata po nekoj povrkni vodi na razrnatranje dodirne totke kotaea i povrkne, odnosno do razmatrarrja koeficijenta trenja.
No moment site trenja ,je po iznosu ,jednak = SnrRa/5, tj. moment sile F,v je za 2mRa/5 veli od momenta sile trenja (koji ubrzava rotaciju). Imam°, dakle, usporenu rotaciju!
Neka se kugla polumjera R kotrlja bez sklizanja po ravnoj, horizontalnoj podlozi (trenutaenom) brzinom 6*(0, prema slici 4.25. Chia ee se. u odsustvu vanjske sile koja ubrzava centar mase CM, postepeno usporavati, a razlog torn usporavanju nalazimo u trenju kotrljanja. Ako brzina ima smjer na desno tj. u +x smjeru 11(0 = 10(1), onda sila trenja mora imati suprotan smjer ako Selimo dobiti usporenje, tj. f, = Ft (sila trenja nije prikazarra na Međutim, moment sile trenja M, (u sustavu S', tj. u sustavu tijela) him sada smjer "u papir", tj. M, =- (-3R) x (Po = m, i kako kutna brzina ima također smjer "u papir" onda moment she trenia daje kutnu akceleraciju koja him također smjer "u papir" pa dobijemo ubrzariu rotaciju, Ito je otito u suprotnosti s djelovanjern she trenja na CM, odnosno usporavanje CM! Ako okrenemo smjer sile trenja da dobijemo moment site koji usporava rotaciju, onda sila trenja pomaže gibanju CM i dobijemo ubrzanu translaciju, gto je ponovno paradoks! Taj paradoks moramo ukloniti pail,jivim razmatranjent realistiene situacije.
Koeflcijent trenja kotrljanja Gibanje okruglog tijela stalnom brzinorn po horizontalnoj ravnini možemo opisati tako da uzinemo prema slici 4.25 (b) horizontalnu vanjsku rezultantnu situ F koja djeluje u CM (ukupna sila koja giba tijelo po podlozi), teSinu tijela C i reakciju podloge eija je komponenta FN data moment koji usporava tijelo. Ako je kut pod kojirn djeluje FH jednak a. onda je ontjer iznosa horizontalne kornponente Fry (nije prikazana na slici) i FN jednak Fh /Fiv = tg or, a to ,je pribliSno jednako sin es = dIR. Za ,jednoliko gibanjeje F+ Fh = 0 ili Fry = F. Konstantu proporcionalnosti iznieclu sile otpora Fh i normale na podlogu FN zovemo (i ovd,je) koeficijetat trenja kotrljanja, tj. ph = F,,/FN = d/R. Ogito je koeficijent trenja odredena nrjera deformacije..tijela..(i podloge), tj. on je orojer duljine u kojoj, zbog deformacije djeluje moment sile reakcije lah=dxR=dx FN i polumjera zakrivljenosti tijela. U tablici 4.2 dani su neki koeficijenti trenja kotrljanja is 6ijih je vrijednosti vidijivo cla,je koeficijent trenja yell kiln je vela deformacija (a time i velitina d). Tablica 4.2 K.)eficijenti trenja kotrljanja ps
Paradoks izvire iz pretpostavke da je tijelo koje se kotrlja savr6erro evrsto i da ,je podloga ista takva. Nleclutint, sea se tijela manje iii vise deformiraju, pa to trie0.eirio prikazati na slici 4.25 na ko,jo,j,je deformirano i tijelo i podloga. Zbog deformacije, koja je uzrokovana teSinont kugle,,javl,ja se asimetriena situacija u kojoj tijelo pri rotaciji udara u rub udubljenja ispred jate nego iza, pa time i podloga djeluje na tijelo velorn show FN ispred CM. Ako usurer da su tijelo i podloga tako deformirmh da Jr rub deformacije d daleko od CM (prema slid 4.25 (a)) onda na tijelo djeluje moment site nastao zbog site f t, tj. MN = cix FN. Istovremeno na tijelo djeluje i moment site shot; trenja, tj. ukupni 1110111ellt site da jje tijelll sustavu S') kuttut akceleraciju
la = R x I, +
IN
ili
law =
(4-37)
jednadibu (4-36a) pikrno i ako nema sklizanja. vrijedi da je a = Ra. Ako se tijelo giba kao na slid, onda jednadžbu ovako 16 = ntank
NI = rnafek — klfisl = kM, — kMN .
0.0045 0.0025 0 0.04
4.6 Rad, energija i snaga pri rotaciji Kinetielca energija Pogledajmo kruto tijelo na 4.2 odozgo i uoeimo djelie tijela mase Anti . U jednom trenutku taj djeli/ ima brzinu pa je njegova kinetitica energija jednaka Ekh = Arrt,v?/2, sto je dalje, zbog 11; = a.; x ' = d x i jednako Ek/i = 1
x f.'02 = .arrttc../2 r2 = -1 c../ 2 (.antt(x + y,))
= wzio,
(4-39)
(4-36b)
možemo napisati (za Vidimo da 31, ima smjer kutne brzine rd, tj. taj moment le ubrzavati rotaci,ju. Zato moiemo kuglu I = 2mR2 /5) ca7a. NI = .71t1{- 2(1-1- irtR2 o. = s
pr;
Zclj. kotaid po traelacanaa Celiime kuglice u kugl. leiaju CeliEni kotai, na Eeliku Gummi kotak na beton',
(4-36a)
U mirnom sustavu S vrijedi
ma' = A
Dodirne povrSine
(4-38)
gdje je kao i ranije uveden moment tromosti komadiea mase Ant, oko osi z svih djeliCa tijela debit lento kinetikku energiju rotacije krutog tijela Ek =
2
Ako sada posumiramo preko
(4-40)
4.
4 - .99
Sir.
Rotaclitu krutog krutog tijcla
oko osi z. Pretpostavimo li da os prolazi upravo kroz CM, moiemo napisati da. ,je, u odoosu na inercijalni sustav S u kojem rotira tijelo, brzina djeliea ,jednaka
Sir. 4 - 40
D. lloroa Fiv.ka I .u2 PEI?
i kako su cr i b komplementarni (n + 4r = 7i/2), vrijedi da je cosy = sin b. pa je
a izraz u zagradi je 11 stvari iznos vektorskog produkta site
gdje je god brzina CM u oduosu na mirni, inercijalni sustav, a v; ' je brzina djeliea u odnosu na CM.
Ek =
=
E Ekli =
Ekii =
1
OM; (f02 , a ukupna energija svili djeliea je
+
E Anti (f).
=
(4-42)
to je u stvari iznos (vanjskog) momenta (4-47)
(4-48)
= f M
1
12 0ir,;(v:)2)
Drugi je elan jednak null jer je on jednak umnogku mase i brzine po,jedinog djeliea u odnosu na CM, a to je jednako null. Treei je elan preko relacije (4-39) jednak kinetiekoj energiji rotacije (4-40). Prerna tome, ukupna kinetieka energija tijela mase M je 1
.E5
F. tj.
Dakle, rad pri rotaciji, od nekog potetnog do konae.nog stanja, jednak je
E
1 = -rrtoLi + gcm(E Arnit7:) + E
x
dTP = kV?! db
EAin,(6)2 =
E.Arrt(tIcro)2
(4-46)
If; I sin b) dy'r,
d11' = (4-41)
tid = iicrd + P,
Kinetieka energije i—tog djeliea ,je
Mehanika i toph, a
2 1 2 = - rnvcm + — /civic,' . 2 2
(4-43)
S drage strane je prema jednadkbi rotacije kratog tijela oko osi z Al = 1,6. = 1,(15.Vdt, pa :11o9eino napisati (za z—os) k d,,,z IV p , k = I I z
2
k
= I, p -
'''? 2
k
dcb
(10 = I I` dk.. , — dt
dt•
=I
f cz z dt.),, (4-49)
, u-'!/p
- Iz — .
2
Dobili smo teorem o radu i kinetiekoj energiji rotacije
Dakle, ako se tijelo mase TTE i momenta tromosti I u,jedno i translatira i rotira, onda ,je njegova ukupna kinetieka energija jednaka zbroju kinetieke energije translacije CM plus kinetieka energija rotacije. oko CM! Rad Neka sada na djelie tijela djeluje sila F u proizvoljnom sinjerm prema slici 4.26 i neka se Am; pomakne za dr; pod djelovanjem to site. Onda prema definciji rada, rnoemo napisati:
W = Ek/ k Ek/p
2
2
(4-50)
Teorem jednostavno kale da ee se pocetna kinetieka energija Ek i p promijeniti (smanjiti iii poveeati) za pod djelovanjern momenta site koji ee izvr§iti rad zaokrenuvM tijelo od p do k!
Ek/ k
Primjer 4.25 Na va/jak polurnjera R = 30 ern i muse rn,, = 1 kg prievrge'en je jedan kraj takog /anca muse en = 2 kg, pa je lanac narnotan (jednostruko) oko valjka n = Gyula, tako da slobodno visi sasvirn
rnali komad. Valjak se rnoie bez trenja vrtjeti oko horizontalne osi. Ako se u jednorn trenutku pusti da se lanac pane odrnatati okreeuei istovrerneno va/jak, izraeunajte kutnu brzinu valjka u trenutku kada se lanac potpuno odrnotao.
Slika 4.26 - 11z opis energije rotacije krutog tijela.
dw =
dw= P • dn = !filed • cos a.
Pomak dr=i roo'i,emo, u infinitezimalnoj geometriji napisati ovako d.147 =
Hdr='; cos = fl IF; cos
=
db
(4-44) pa je (4-45)
Si ka 4.27 - Lanac namotan na vatjak - uz primjer 4.25.
4.
Str. 4. 4)
Botaetia Iseutoy kramy ttiela
SIr. 4 - 4 2
13 JI:SENJI .: Kilda se lanac potpuno odinotao, on jc dug L = it • 2/r7 (zanemarujemo ouaj Mali komadd: koji slobodno visi i koji u stvari i pokrene rotaciju!). Ako jc kona brzina valjka u coin trenutku jednaka onda se lanac (uspravni "ravni slap" duljine L) giba brzinom v = 1L., prom, dolje. Njegova jc kinetieka e 2 /2 = energija jednaka E5 11 = / 2, a kinetiaa energija valjka je Ekl , = 1w2 /2 = rn,,R2 w 2 /4. Lanac jc, dok je bio namotan imao potencijahlu energiju koja je jednaka visini contra mase ciji je poloZ.aj na osi valjka, pomnoZ.enoj s tethlon, lanca mo. Os valjka, tj. CM lanca je na visiui H = L/2 iznad tezista odrnotanog lanca duljine L, pa zakon saimvanja energije daje
D. Hamm: Fizika 1 za PER - Meltanika i toplina
gdje imam°, redorn, potencijalnu energiju, kineticku energiju rotacije kugle, kineti6ku energiju rotacije valjka i kinetieku energiju translacije tijela m1 . livrkavanje konkretnih izraza za mornente tromosti dobijemo 17-0911= — 1 1A- caZ + -1- l eb-,' + — Cite' 2 2
1 25
22
11 22
= — —AIR wk + -- mr
Obodna brzina kugle i valjka je ista, tj. vrijedi u = inigH = Mir
(my
2
EA./1
EL", ,
= 2 otil7 -6.,-
ili 1
-4-
w
, ni tgn
2
1 — V2
ILIA. =
+
5
ru,„ pa dobijemo
2
1
22 1 2 c, + — rmt, 2
4
1 2 2'
odakle lako dobijemo 8to daje
vy
4nR7inty
2rnif? + Brzina CS! Ian,
jc
in, It
Za slobodni pad je vo =
veto = 5.16 tzt/s.
2gh
1+
2.411 m/s. 2/1•1/5m, + m/2m,
9 t = 2.801 m/s, pa je omjer
brzina jednak viva =
0.86.
na slijede6 naein: Ca tijelo /to vrijedi
Poin062 jednadebi gibanja problem rijesirno
,ma =
mo —T,
a jednadzba rotacije ea valjak je Pritojer 4.26
llonmyena kuyi- ?WI., Al =
2 ky i pulu,njcrn /7 = I11 ern 7nuzc se
ost (boa leenja). Ida uya lc, 0k0 njettoy "ekvalora " nantatana nit koja
r = 5 cm i
muse nt =
pusti, izraeunajte
0.5 kg povezana
njogovu hrzinu
lije10711 muse ny
jc
vrtjeli oko
pinky kolieeM - kololurc poltmerin
= 3 keg (vidi sliku). Alm
se lijelo tt
jednont
(7', — T2)r
ili
=
7) =
l
a
+ 7'z,
lrenulku
kudu se spuslilo It = -10 cm. Usporedile rezullal s brzinont slobodnoy pada s
dok za kugh, vri,jedi
isle
T2 R 4:vrstimo Tz u T, , a
zatim
75(10. = 10 -'
u jeduadebu gibanja Zit no, dobijemo, uz uvrStavanje ieraza za mothente
tromosti 2 MILL = 711,9 —
•LlteL —
2/n,
pa je
1 +1/1/2,0 + 22 //:,m, liz to akceleraciju tijelo
dobije brzinu spustivSli se s visine It jednaku
29h v t .72—a72 1 -I- 211415TILL
111/22r01 '
dakle, dobili smo isti rezultat Lao i prije!
Sliku 4.28 -
uz printjer
(.26. Seaga Ako izraz
Zadatak demo rijediti na 2 naOna: uz pomoc zakona satuvanja energije i jednadtbarna gibanja. Vidjet demo da se na pry; nakin, bar ko se tide traZenog podatka o brzini, puno br'te dobije rezultat nego na drug, na6ixd
za infinitezirnalni
rad pri rotaciji dbV = R4 dO podijelimo s dt.
dobijemo snagu
P =
t,j. dW d eh P = — -= 114 — = dt Taj
izraz sliean ,je odgovara,jueemo izrazu za snagu P =
li jednont je trenutku potencijatha energija tijela mace m., jednaka noyh. Pri spukanju tijela kugla i valjak - kolotura pokrenu so na rotaciju, pa vrijedi zakon auvanja potencijalne i kinetieke energije
Prirnjer
translacije i rotacije
i
4.27
kola?. (prsten)
Villo nu 11117Laill intu osovinu (vreleno) promieru 2Hk = 90 on i
= IC/ • ;J.
(4- 51)
• v pri polumjera R,, =
20 C711 i 711(1511 nn,, =
5 kg. V2a0 i1I1CL
muse Ink = 4 kg, koji je s osovinom povezan sa des! ihica - tankill
.?tapova duljine 40cm i muse po 500g. Na osovinu je numotano
lake (zartemarive muse) nu
kojem visi
kanta
4, listact,7a krutog kratog theta
,
- 4,7
Si,4 44
D.
lloroaL links / za P8;11 - Alchanika i toplmo
InvrAen rad pretvoren je a proinjenu kineriake energijc rotacije vitla, tj. 422.0 - E(,,Yre, =
A IV = A
1
2 -
1
2
i kako je vitlo krennlo in mirnog polonaja, zoo, = 0, pa jc
Z.,0 = Slika 4.29 - KotaZ vitla i osovina s namotanim uietom.
\i2A147 -= 12.888s-1. /v
Isti rezultat dobio bi se da je rijetlena jednadZba rotacionog gibanja vitla, no rakun preko energije/rada ovdje je kraai. Snaga pri rotaciji jednaka je
s vodom ukupne muse Mk = 15 kg. Izinetinajle: a) akceleraciju kante s vadom koja je puRena (iz mirnog poloiaja) da se. slobodrio spugla, islovremena odmolavajudi uie, b) napelosl u uielu, c) rad koji izvrsi situ napetosli u uietu kada se villa okrene za 81 = 3/4 punog okreta, kutnu brzinu villa na kraju zakrela B, i e) snagu prenesenu na vino u trenutku kada je poslignul knit
P
d —(0110) = It
2z111' = 243.013 \V. /v
RJEENJE Moment tromosti vitla sastoji se od momenta tromosti osovinc (vretena) momenta tromosti kotaaa koji se sastoji od prstcna I„ i ibica Ii . Dakie
valjka i od
= + +
4.7 Zakon saeuvanja kutne kolieine gibanja
Kanta s vodom cc proizvesti moment site zbog napetosti u uietu Fr, pa jc jednadnba gibanja za kantu jednaka
Alo + Pr = A 1
A/09)- FT)= Ma),
(Pri razmatranju gibanja materijalne toeke po krtrimici pokazali smo da je za centralnu silu, tj. za silu koja djeluje du2 spojnice eestice s centrom rotacije, kutna kolieina gibanja saeuvana. tj.
gdjc y-os pokazuje prema dolje (vidjeti sliku). Istovremcno moment site /C,/ zbog silo PT pokrcae vitlo na rotaciju aija je jcdnadnba gibanja jednaka
Lf = 1vEi tj. (R,i) x (FT)) = Ivak,
d
dt L
=
= F X (m— th7) = x
Kada gornju relaciju napi§emo za kruto tijelo, preko momenta van,jske site
tj. moment site pokazuje "u papir". Vrijcdi da je a = R,,a, pa je
= /va = Fr =
Iva
d
=0
odnosno
= konst. = I, = 3.525 m/s2 .
IzvrSen rad pri zakretanju (krutog tijela) je
191=3'12 dB = R,,FT •
(4-54)
= lz/2w, /2 =
Onda je Fr = 94.282N.
• 9,=0
(4-53)
onda je kutna kolieina gibanja (moment kolieine gibanja) saeuvana u odsutnosti vanjskog momenta sile /4„ = 0. To znaei, da je za rotaciju oko osi a
odnosno
Akceleracija je jednaka
vit'= / 91 I/F/Id8 . 0,
L = 111.„,
, odakle je
Mug - Iva = Mka. R,
Mkg
(4-52)
= 88.858 J.
Ovdje pretpostavljamo da postoji mogu6lost mijenjanja momenta tromosti tijela. To je svakako posljedica djelovanja unutarnjili sila Sto onda znati da ee unutarnje site vr,;iti rad, pa energija sustava neee biti saeuvana, dok saeuvanje kutne kolieine gibanja (momenta kolitine gibanja) vrijedi. To nas mora sjetiti npr. raspada materijalne toeke pri translatornom gibanju: tamo takoder nije bila energija saeuvana, ali kolieina gibanja jest!
4.
R.otacija keutoy kratuy tijela
Str.
4 45
D. Horreat: Fizika I za FER - Mehanika i toplina
Ste. 4 - 46
Zakon satuvanja kutne kolitine gibanja ilustritran je pokusom na Prandtlovoin
mole okretati oko vcrtikalne osi (skoro)
11z poiletni uvjet L(0) = mr 2 42. Intcgracija daje L(t) = —M gpR.t+C, a potetni uvjet daje C = mr'w/2, pa je L(t) = —1 rnr 2 Lti — MgjeRt 2
bez trenja. Drugi dio sustava ,je kotail
i nakon vrernena t = t' dobije se da je
stoligu koji zajedno sa studenticom ed Prandtlov stolid se
jedan dio sustava.
na osi koji drZi studentica.
1
L(t') = ini.2‘..4 /2, tj.
—Jni- 2
1 —mr2 — jjpRe =2 inr2wR -= + 2MR2)5.543 s. gp(rnr2 t
2
povegan moment tromosti tako Oa je umjesto zratnice nainotana bakrena giea. Ako je prvi dio sustava (stolid plus studentica) i drugi dio sustava (kotat) na pogetku pokusa mirovao, te je zatirn rukom kotad zarotiran u ,jednom srnjeru i postavljen u polo5aj prema slid , doklo je do rotacije prvog dijcla u suprotnoni smjcru, jer je ukupna kolitina gibanja bila jednaka null. Odgovarajuilom orijentacijom osi kotata
Primjer 4.29
Homogena kugla polurnjera R kotrlja se bez sklizanja pa ravnoj podlozi brzinorn vo. U jednom trenutku aria rtaide na prag (vidi sliku 4.31) viaine h = RI5. Kakav uvjet mama ispurtjaved brzina va i koefiedjent trenja p da bi se kugla popela na vi:su razinu bez sklizanja i bez odbijanja?
mote se zaustaviti rotacija prvog dijcla kao i okrenuti stejer rotacije itd. Slika 4.30 -
Pokus na Peandtiovornt stolidu uz zakon saduVallja kutne kolidine gibanja
okeugla "'Iota muse rn = 2 kg i polumjern r = 15 cm yeti se stainorn kutnorn bezinorn ad 50 okretaja u sekundi oko vetrikalne osi koja prolazi scedigtemplae. Tanki proton muse M = 1 kg i polumjera R = 10 ern nalazi se iznad plode, tako da jot se seediata podudaraju. U jednorn trenutku (mirrti) prsten se spusti na plodu, te se neko vrijente (djelornidno) skliie po 'AM, a onda se nastave zujednidki vetiti (bez eelativnog sklizanja). Ako je koeficijent trenja µ = 0.4, izraaurtajte kojorn se zajednidkom kutnorn bezinorn vete ploda i prsten i nakon koliko je vrentena (od trenutku spukartja prstena) postignuta to brzina
Primjer 4.28
Tanka
RJ E§ENJ E S obzirom da u sustavu djeluje nekonzervativna sila (trenja), mehanigka energija rotacije nije satuvana, ali je satuvana kutna kolitina gibanja. Dakle Lorne =
Epeslije
gdje se "prije-poslije" odnose na trenutak spugtanja prstena na plotu. Dakle = 7117-2b., = ji,vooJiel = Gmr2 +
91R2 /
pa je konatna kiitna brzina jednaka —
trir 2w + 2M/0
217.495s-I
Slika 4.31 -
LA
iii
f dL = —MgpR f dt, Ludwig Prandtl (1875-1953) njemacki fizitar.
X 130 = 1—inA cos 0 + (R — b))] x = (R — h)mvo() x = —k(R — h)mvo.
=
Tada je, uz uvjet kotrljanja ve =
Eprii, = sir
uspinje na "prag" - uz primjer
4.29.
Prije sudara sa "iljkom" praga tijelo ima kutnu kolitinu gibanja oko CM (Lam u relaciji (3-59) plus centra masc oko neke proizvoljne osi. Nakon sudara kugla se podite oko totke A, odnosno kugla rotira oko te totke gto znati da oko te totke kugla ima kutnu kolitinu gibanja, koja, iz zakona satuvanja morn bid jednaka E-u prije sudara, tj. = Lco + EA, gdje je sada LA kutna koligina gibanja contra iLSC CM oko take A
Jednadgba (usporenog) rotationog gibanja je dL = dt
se
R.J E§ENJ E Za rje6enje problema iskoristit demo zakon satuvanja kutne koligine gibanja. Medutim, valja pailjivo odabrati totku kroz koju prolazi os (okomita na nag papir) oko koje cc tijelo imati kutnu kolitinu gibanja koja de biti satuvana.
Do promjene kutne kolitine gibanja ploge dode zbog momenta silt trenja, a taj moment je jednak M, = MgpR.
Kugla
(mvoi)
Rot, — (R — h)mvo =
ills
+ (R — h)mvol J
gmRvo — hmvoi. Poslije sudara vrijedi ErioidJj, = / LOA = — k ( mfe + mR2 ) J./A = 5
—k—mR2wA.
4. Rotacija krutog kr,atog Lijela
Zakona satuvanja L„,;;,
Str. 4 - 4 7
Sir. 4 48
0. lloroat.- Fizika I as PER - Mchanika
Da hi se kugla popela na prag (unviknic), za 6 = 7/2 mora biti e2 > 0, tj. in goruje jednadnbe je
daje Eve 7R
36n
Kada kugla udari u siljak na nju djeluje impuls site N dt okomito na povrciinu kugic
2g 0 7R >
49R.2
Daklc as jc kutna brzina kojom se npr. CM poeinie rotirati oko toCke A. smjeru fiA)
i djeluje impuls tangcncijalne site f'dt. Impuls site Ndt pretvorit ce poectnu kolieinu gibanja u nulu, tj.
pa mora biti ispunjeno da je 154 > 79R. Do sklizanja neee doci ako je sila trenja coca od komponente koja bi mogla sklizati kuglu po rubu (toeki A), tj. mora biti F, > F
N dt = men cos 81-,,A gdje je rq jedinieni vektor koji gleda od CM prema A.
> F, Ito daje
mRB + mg cos B < it(ng sin 0 — m Re2 ).
Impuls silo F dt proizvede kormtnu kolieinu gibanja mficm od potetne mvo sin 0, Gornju nejednakost valja razmotriti sa stanovita promjcnc kuta 8, kutne brziue B i kutne akccicracije B. F dt = mtcm — mvo sin
— mvo sin e
U poctriom trenutku (poL'etak uspinjanja) kut B jc najmanji, pa (u gornjoj jednadnibi) sine raste! Onda cos e pada, a takoder padaju i e i B. Ako uvrstimo u gornju jednadtbu poetnc vrijednosti, tj.
gdje smo uveli uvjct da oko toelce A nema sklizanja, tj. da vrijcdi uvjct kotrljanja v'cm = Roan = 6v0/7.
4 sin e -= 3,
Sila F je tangencijalna sila koja mora biti manja od site trenja da ric bi bilo sklizanja, tj. F < iii
i kako je sin B = (R — h)/R = 4/5 i cos 6 = 3/5, dobijcmo slijedeeM nejednakost 4 3 mvo < p mvo— 5 5
•
five
••
3g
0 = v. ? i= —T ry
dobijemo nejednakost koja odreduje uvjet da nema sklizanja
miLia — taco sine < p(mvo cos B)
6mve
cose. 33 ,
ill
21 < p (98 — 911)
gR
Ta nejednakost ukljueujc u scbi, naravno, uvjet izveden ranije.
2 > 21
Jednadiba gibanja kugle oko tone A (prema slici) je zbog djclovanja tangencijalne site F, tenine
mg i rcakcijc vrha N praga jednaka
Primjer 4.30
Metak mase en = 10 g ispaljen je u drveni valjak tnase M = 3 kg i polumjera R = 15 cm, eija je evrsta os horizontalna. Putanja metka okomita je na os i udaljena je od osi d = 10 ern. Valjak je prije pogotka rnirovao, a nakon pogotka rotira 70 puta tr minuti. Kolika je brzina rnetka ako je rnetak ostas
F — mgcose
praktieki na povrgini drveta?
N — mg sin = —rnitY a jednadiba rotacije je
mg cost) R = —la = — (
3 2 mR2 „re) 7
a
2 db
27 = -To!? = —5,mR e 5 To sto vodi na diferencijalnu jednadCbu Ca B, tj. moRcose de =
•
7 5
Shka 4.32 - an petrojer 4.30
eija integracija daje jednu konstantu integracije C, mg Than B+ C,
= --5-2oR 2 b22
=
inR2 b 2 ,
Da bismo odredili konstantu Ci iskoristimo poectiii uvjet koji kale da je za kut Op za koji je sin do =(R — h)/R = 4/5, kutna brzina jednaka 6v0/7R = Bo, tj. ± c,, = _ 7 7 ThR2,,13: R vg,
C, = mill?. s ( in
7
4 36
4
10 49R2 5 =
m.gR, (b2
pale x
49R
RJE.4:NJE Zakon sainvanja kolidne gibanja daje Lwije
•lor
tj.
l,„“)
gdje je I. moment tromosti valjka l,. = ILIR2/2, a I,,, je moment tromosti metka (materijalne tone) I,,, = mR2 . Brzina metka jc (MR2 /2 + mR2 )to v= — 249.05 m/s.
and
4. Rotactja krutog krutoq tijela
Str- 4 - 49
Sir. 4 - 50
D. Holvat: Fizika 1 za FER - Mehanika i toplina
Dva gonna zakona saeuvmija sadrZe dvije nepoznanice: ,
i ut. Iz gornjeg sustava dobijemo
M - 37n
- 243.788111/s M + Tra 12v 711 — 37.699 sI Af + 3in
52
Stu odgovara 6 okr./s. Valja uoeiti da Sc brzina kuglica Sc se "zalijepiti" za kap.
•
biti jednaka null ako je masa m jednaka M/3, tj.
Sliku 4.33 - Sliku uz prinder 4.31
Primjer 4.31 Stap muse M = 1 kg i duljine f = 80 cm leii nu glutkoj podlozi, probu5'en vertikalnont osi kroz CAI. Oko osi Rap moic rotirati he: tree/a. U sum kraj §tapa pogodi metuk muse rn = 10 g i ostane u njoua. Putanja metka okontita je nu Slap. Nakon pogotka stop se (zajedtto s inetkont) okreC:e 3 putt it
sekundi. Kolika je bilt brzina Tnetka? R J ESENJE. Na sustav djeluju vanjske silo: teline tijela i reakcija na os pri udaru meths. Kjihovi mornenti su oko osi (kroz CM) jednaki null, pa je zato kutna kolieina gibanja saeuvana. Neposredno prije sudara metak jc ilnao kututi koliEiuu gibanja s obzirom nit os jednaku =
2
x
= 1- emv(i
=— 1 e(—)) x 2
2
x )) = — 1 2
a kutna kolieina gibanja Stapa jednaka je null. Nakon sudara Stay ima kutnu kolieirm gibanja jednaku a metak
w 12 k
4.8 Gibanje iiroskopa Do sada smo razmatnli rotaciju krutog tijela tako da smo, uglavnom simetrieno tijelo, promatrali kako rotira oko evrste (ukrueene) osi, koja ,je ujedno bila i os simetrije. Takoder, promatrali smo rotaciju oko CM pri temo se CM translatirao, pa os nije mijenjala orijentaciju u prostoru, tj. promatrali smo kotrljanje u svirn njegovirn aspektima. Ovdje želimo proutiti gibanje - rotaciju krutog tijela pri kojern smjer osi rotacije nije fiksiran, pa niti vektor kutne kolieine gibanja L nije uvijek paralelan s vektororn kutne brzine w. Svakako, to je pooljedica einjenice da moment tromosti tijela iota razaite vrijednosti za razIleito pololene osi rotacije (vidjeti vise o tome u DP4.1 i 2). Za kruto tijelo opeenitog (nesimetrienog) oblika inolento izraeunati moment tromosti oko bilo koje tri medusobno okomite osi (x, y, z) i dobiti komponente momenta tromosti Imo , I s i Ir . Kutna brzina tijela rna2e in prikazatu kao zbroj w = wri+wy j+w,k, pa je kutna koliOna gibanja jjednaka L = 46.'0+ 1,ctzk. Ako je npr. I, X I y , onda oeito L nije paralelan s w (vidjeti sliku 4.34 (a)) dok su u slutaju I = I, = ly vektori L i w paralelni (slika 4.34 (14).
L,,, = (—e ) 2 pa jc iz zakona saeuvanja kutne kolfeine gibanja v = ((Al + 3m)ev./1/61/1 = 259.86714s.
r.41 to..+1 coy )
Primjer 4.32 Pretltodni primjev valja rijegiti uz promjenu: ntetak postage gumena kuglica koja udaii it Rap. Vri/crite udaru je tako kratko da se pri trajanju kontukta innedu kuglice i Stapa Rap ne pokrene. Ako je sudar suvrgetto elastieutt, &Om iztueunati koliko se puts u jednoj sekundi okrene Rap ako su, svi poduci kao u progloin zadatku (osiut, IlarUV710, kutne brzine). Kolika je brzina kuglice nakort sudara?
co„ (a)
E
(b)
Kutna kolieina gibanja kuglice prije sudara je dana ranijim izrazom, a nakon sudara jc
Slika 4.34 - Razlieit odnos vektora L i i pri opcenitoj rotaciji. L„,' =
2 Kinetielca energija tijela je u tom slutaju jjednalca
Za Stap vrijedi iota formula kao i prije. Sada je 1
1
=
-
+
e2
Er'
+ ./y 4 +
=
• L.ri = Lc,: coo n,
(4-55)
k gdje je (vidjeti i sliku 4.34 (a)) a kut izmedu vektora
i a To molerno napisati ovako
S obzirom da je sudar savrSeno clastiean, saeuvana je i mehanitka - kinetieka energija tj. vrijedi 1 (L!, 1
2
1
„
1 5112 2
2 m(v).5
It! ;
. 7± ,
(4-56)
Sir. 4 -
4. Rotacija krutog krutog tijela
.51
SIr. 4 - 52
D. l/orvat: Fizika I za PER - Nichartika i toplina
ako cijelu jednadibu podijelimo s (konstantorn) Er, dobijerno 2
)2
2
(4-57)
= ( V2Er/
)
V2Er/ly
V2EU:r/I,
a to je jednadžba elipsoida eije su poluosi jednake V2E1.°V/x , V2EVY/5 i V2Er //,. Prerna tome, poluosi elipsoida inverzno su proporcionalne drugom korijenu iz odgovarajueeg glavnog momenta inercije. Rotacija tijela poduprtog u centru mase CM R.a.zmotrinto sa.da rota.ciju tijela koje je poduprto u CM i koje rotira tako da nema vanjskilt momenat a (moment od teiine tijela C je takoder jednak 'nth, MG = 0, jer konstantna velieina, pa je i L konst amid je krak do CM .jednak null). Onda je kirtetieka ettergija rotacije vektor. To, nadalje znaei da je i projekcija W na L konstantna, tj. Lw cosa =konst. (vidjeti sliku 4.34 (a)). Prema tome, pri rotaciji kod koje su vanjski momenti sila jednaki null = 0, os vektora L ostaje stalno uperena u jednom smjeru i bilo koja promjena poloiaja CM neee promijeniti njen smjer.
Slika 4.36 - Slikoviti prikaz nutaeije pri kojoj ry rotira oko L.
CM, pa se time post iie da na kotae (cijeli sustav) rnoie djelovati vanjski moment silo oko horizontalne osi kroz totku A, ill ga ne mora biti ako CM padne toenu u totku .4. Cijeli uredaj se inoie slobodno rotirati i oko vertikalne osi. Ako en postavimo tako da je CM u .4, onda ponavljamo situaciju iz ranijeg pododjeljka gdje smo razrnatrali (slobodnu) rotaciju krutog tijela poduprtog u CM. Tada je, podsjetimo se. L neprestano uperen u istorn smjeru!
Slika 4.35 - Rotacija simetrienog tijela poduprtog u CM. Ako je tijelo simetrieno, a os rotacije je ujedno i os simetrije, rotacija ce biti bez promjene orijentacije osi. Kada, medutim, lagano "piknemo" os rotacije (predamo mali impuls) doe) ee do promjene njenog smjera, pa ee L i v zatvarati kut a i doei ee do takvog gibanja pri kojem ce biti stalni kut a izmedu L i w, all ee i neprestano mijenjati smjer. To gibanje zovemo rrutacija i moierno ga zamisliti tako da gledanro dva stoka koja se kotrljaju jedan u drugom, prema slid 4.36. Vektor L uperen je duž osi simetrije jednog stoka (manjeg na slici 4.36), a C.! leži na plaku drugog (veeeg) i veei neprestano obilazi martjeg, naslanjajuei se na njega. Kut otvora man,jeg stotca je 2a. 2iroskop u navigaciji Vidjeli smo da pri rotaciji tijela poduprtog u CM smjer vektora kutne kolieine gibanja L ostaje stalan jer nema vanjskih mornenata da ga poremeti. Zato se iiroskop koristi u navigaciji: kotatrotor relativno velikog momenta tromosti umetnut je u dvostruko pokretni zglob - kardan i postaadjen .je u odredenom smjeru. Trenje u ležajevima zgloba .je vrlo malo pa jednom orijentiran iiroskop zadriava svoj smjer bez obzira na pokretanje iii okretanje kardana koji je npr. vezan za avion. Prema stalnoj orijentaciji kutne kolieine gibanja rotors u svakom se trenutku moie odrediti položaj aviona tj. njego nagib u oduosu na "pravu" vertikalu iii horizontalu. Rotacija tijela poduprtog izvan CM. Precesija Kotat prema slid 4.37 mole rotirati oko osi, pa inta kutnu kolieinu gibanja s obzirom na totku .4. Uteg era moie se pomicati dui osi s tako da se mijenja poloiaj
Slika 4.37 - Tijelo rotira oko vlastite osi, a djeluje i vanjski moment rile M0 koji pokazuje "a" papir i uzrokuje precesiju tijela.
Medutint, sada namjestimo poloiaj utega tako da, prema slid 4.37, desna strana s kotatem (koji rotira i ima vlastitu kutnu kolitinu gibanja "pretegne". Onda oko horizontalne osi kroz A postoji moment site Mc koji dolazi od teiine C koja djeluje u CM. Moment site "gleda" u papir. Taj vanjski moment daje promjenu koliente gibanja
cf, =
,
(4-58)
tj. za vrijetneAt M Se uzrokovati promjenu 4L u smjeru Mc, tj. "u papir" (vidjeti sliku 4.38). Taj smjer je okornit na L, pa se L neee mijenjati po iznosu ve6 samo po smjeru. Zato Se se oko take .4 u horizontalnoj ravnini oko vertikalne osi pornaknuti os s kotaeern i masom 711, odnosno u vremenu A! promijenit Se se kut
4. notacija ktutog krutog tijula
Sty. 4 - 53
Sir. 4 - 54
D. Horvat: Fizika I za PER - Mehanika i toplina
Pontak IL .je postignut za vrijerne dt i odgovara poinaku u kutu dO, tj. dL = L det iii 1 1 GrcNi dry = —dL = —G rcNi dt = dt. Iv
(4-60)
pa je kutna brzina precesije 12 ,jednaka
Sliku 4.38 - Pogled odozgo 11.11 situuciju uu prethodnoj Kutnu brzinu precesijc Il pokazuje u smjeru z osi koja izlazi "iz papira".
=
dill dt
Grcm
(4-61)
i kako kutna brzina rotacije w (spina) pada, kutna brzina precesije D raste.
orijentacije osi za AO, pa ee zbog vanjskog momenta silo loci do rotacije cijelog sustava oko yerlikulne osi kutnom brzinorn f2 = AO/At k. Takvu rotaciju zoverno precesiju. Brzina i smjer precesije ovise o smjeru vanjskog momenta sila i o velieini Svakako, ako je L = 0 kotat ee ,jednostavno slijediti djelovanje momenta i pasti ee dolje. Kada je (noki) \-alijski moment silo M,, razlieit od nule i postoji f, onda se on "troii" na inijenjanje all no nutno sant° una padanje". Ako uteg nt pontaknerno prerna kraju osovine tako da CM prijecTe na drugu stranu od toeke .4, promijenit ee se i smjer precesije. jer ee se promijeniti smjer M0 —a, a time i ~L. smjer precesije mole se promijeniti i promjenom smjera rotacije kotaea, tj. promjenom L po smjeru. Spektakularan .je prikaz precesije kada so kotae (npr. isti onaj it poknsa s Prandtlovim stolieem) jako zarotira i train' objesi na kontad utota. "Umjesto da padne", kotae poene precesirati oko meta a smjeru djelovanja 117/c-a ("u papir" prema slier 4.39).
Zvrk je aksijalno (osno) simetrieno kruto tijelo koje velikont kutriont brzinom W rotira oko svoje osi simetrije.t Neka je smjer rotacije suprotan gibanju kaza.ljke na saw - vidjeti sliku 4.40. Tada vektor "gleda" od mjesta dodira "prema van". Ovdje pretpostavljarno da nema sklizanja mjesta dodira "§i1j1ca" zvrka po podlozi. Priinjeeuje se da os simetrije precesira spore), opisujuei stiac eiji je vrli u totki dodira s podlogoin, a smjer precesije ,je isti kao i smjer rotacije oko osi. Dakle, CM zvrka rotira oko vertikalne osi malotri kutnont brzinom brzinorn precesije. Vektor 12 pokazuje vertikalno prema gore (prema slici 4.40
gdje je f a kutna kolieina gibanja oko CM, a Lena je kutna kolieinagibanja centra masc. Vektor ,je s kutnotti brzinom W (prelim slici 4.34 (b)) jer je zvrk simetriean pa se radijalne komponenta
(4-62) kolinearan dokidaju.
ktorskom umnoiku r'crd i ktm. To, u trenutku prikazanom na Prema slid 4.41 (a) fcm je jedna slici 4.41 ( pokazuje da je L051 okomit na Fcm, tj. on ležt leit "u papiru". Ukupni L, u trenutku prikazanom na slici 4.41 (a) takoder leži leii "u papiru". Zvrk se, prema slid, giba "u papi je ukupni L malo bliii vertikalni od Lo i po iznosu neSto yea od fo.
Sliku 4.39 - Upeeaajiv prikaz precesije kotue:u koji kuo du prkosi sill teii (a). U (b) su prikuzuni (sumo) smjervui vektoru - "neesniku" u procesiji.
Na sustav djeluje i sila u uietu, inedutim ona ne daje moment (krak je jednak null) pa je ovdje lie treba razmatrati. Kako se postepeno kutna brzina rotacije kotaea smanjuje, tako caste kutna brzina precesije. To more no pokazati tako da napiSerno jednadibu rotacije pa je
Firtzmotrimo sada malt) drugadju verziju prethodnog slueaja: govorimo o zvrku, igraeki koja u sebi nosi rriz zaniml, jivih karakteristika prethodnog proueavanja.
+ Lcm
(b)
dL =G"C"' dt dL=Grcr,t dt
4.8.1 Zvrk
Ukupna kutna kolitina gibanja zvrka dolazi zbog brze rotacije kutnont brzinom i u inercijalnom sustavu s isaltodigtein u toeki dodira. Medutint, moranto uraeunati i kutnu kolieinu gibanja zbog precesije kao doprinos ukupnom L—u, prema izrazu (3-59)
G
NIc=
It gornjeg razzinatranja vidimo da je neobiean rezultat da rotirajuei kotat ue padne ,jednostavno razurnjolt: ako je w = 0, tj. ako je L = 0 (u t = 0), onda moment Mc; uzrokuje rotaciju oko hocizorttalne osi. Ta rotacija proizvodi L (u t > 0) u istorn smjeru kao i Mc. Prsti desne ruke po "pravilu desne ruke" pokazuju smjer padanja, a palac pokazuje u smjeru momenta, odnosno u smjeru poveeanje L —a. Ako je v = 0 onda postoji L 0 (u t = 0). MG proizvede AL koji se nadoda postojeeern i rezultantrii L"ne proizvede padanje" vet': !nal° zaokrenutu rotaciju. MG- je uvijek 90° ispred f; —a i on takoder mijeuja svoj smjer brzinorn precesije!
(I,)).
AL
CM
(a)
Zbog precesije ,javlja se i kut itina gibanja f p eiji vektor pokazuje u vertikalnom smjeru, dui meta. Ako je > Il iznos vektora L5 je vrlo malt pa moiemo možemo uzeti da je (i dalje) vektor L horizontalan.
Kako vrijerne prolazi, ravnina (papira) koja sadrži sadrii sva tri vektora L lagano rotira oko vertikalne osi kutnorn brzinom precesije II = k IL Moment sile Mc zbog teiine G je uvijek horizontalan (na slid 4.40 (b) nacrtan je "u kosoj projekciji"). Iz jednadibe gibanja MG = I dt vidi se da je dr. u smjeru M0. Tu jednadibu gibanja moiemo primijeniti je i Mc i L ratunamo u odnosu na istu toeku dodira s podlogom, polcazuje vertikalno gore! Dakle, dL je uvijek za ko,ju ,je vezan inercijalni koordinatni sustav, a eija okomit na ravninu u kojoj se nalazi L, okomit je i na L, pa Mc ne rnijenja iznos L — a vee samo rtjegov
(4-59) Osno simetrieno tijelo ima dva glavna momenta tromosti jednaka Iz =
4. Rotacija krutog krutog tijela
Sir. 4 - 55
Sir. 4 - 56
D. Iloruat: Fizikai I za PIM itl,hanika i topliria
To znati da je L
E0 i u tom slutaje moreino, prema slid 4.41 (b) napisati dL = MG dt =17' cm x di di = rcm log sin (ir — 13) dt = rcpt my sin Q dt
(4-63)
= L sin 3dq, odnosno, kutna brzina precesije . je dy rem mg sill = =
dt L sin = rcnineg _ rcromg
L
(4-64)
1w
Dakle, dobijen je rezultat u skladu s onim od ranije, kod 2iroskopa! Ako, medutim, ne napravimo prctpostavku da je L L. onda se mak pokazati u teoriji opdenitih rotacija krutog tijela, da umjesto izraza (4-65) vrijedi stijededi izraz za kutnu brzinu precesije
Slika 4.40 - Zvrk pri brzoj rotaciji (a). U (1) su prikazani (samo) S7TtierOVi vektora - "ueesnika" u precesiji.
C2
gdjc jc
-
Iry ± /Pug + 4(1 — 11)Ingr cm cos 2(1-11)cos lS
LL moment tromosti oko osi kroz dodirnu toeku okomitc na os rotacijc (simetrije).
smjer (orijentaciju). Ako gibanje razmotrimo "po etapama" koje traju po At, onda vidirno da se na kraju
Primjena i primjer precesije
prve etape E promijenio za dr, i nastao je novi L koji je ,jednak L(dt) = i(o)+ di. Sada ,E(dt) leži u ravnini koja (opet) sadrži FCM i d, ali ,je to ravnina malo zakrenuta u odnosu na ravninu u t = 0. Nakon dt Mc je
Nuk/earna magnetska rezonancija Precesija zvrka .je melianieka pojava koja je sama po sebi vrlo no posebno je zanintljiva i vaZna ekstrapolacija mehaniekill rezultata na druga podrutja fizike: npr. u velini atorna ,jezgra irna vlastitu kutnu kolitinu gibanja (spin), ci,ji ,je vektor paralelan osi simetrije. Jezgra irna i magnetska svojstva koja se o6ituju u postojanju magnetskog momenta, pa se u rnagnetskom polju .javlja moment sile koji ,je okornit na smjer magnetskog momenta koji ,je takoder paralelan s osi simetrije. Prerna tome, nuklearni magnetski moment precesira kao i zvrk, tak i .jednostavnije, jer se toeka dodira 0 (prema slid 4.41) i CM kod jezgre podudaraju. Moment site koji uzrokuje precesije proporcionalan je .jakosti magnetskog pol,ja, pa je i brzina (fiekvencija) precesije proporcionalna toj .jakosti. .lecgra koja precesira u uzorku nekog materijala ma2,e apsorbirati elektrornagnetske valove (fotone) ako je njihova frekvencija jednaka frekvenciji precesije. ,Mjereli frekvenciju apsorpcije znaestvenici mjere frekvenciju precesije, a time, posredno ocireduju s vrlo velikom toenoglu jakostinagnetskog polja koje djeluje na jezgru. Toinagnetsko pol je proizvode elektroni SV0.01-11 rasporedima, pa se na taj satin saznaje o detaljnoj strukturi atoma. Ta metoda istar'i.ivanja cove se nuklearna magnetska rezonancija.
(ponovno) okomit na f(dt), pa on ponovno uzrokuje novi i(dt + dt) = L(dt) + dL itd. Ravnina koja nakon n etapa sadrii i(o • dt) rotira oko osi z, a i MG torn istom kutnom brzinom rotira. Vrh vektora L opisuje krui2nicu I< na slid 4.41 (b). Rotaciju (odnosno ravnine koja sadrži 1„ 7vcm i 61) zovemo precesija, a brzina promjene kuta zakreta zove se kutna brzina precesije fi.
z
Zendjina preecsija
Gibanje Zenilje predstavlja neposredni primjer i realizaciju prethodno opisanog prece-
sionog gibanja..
Slika 4.41 - Prikaz vektora pri rotaciji zvrka (a). U (6) je prikazan vanjski moment v Mc koji je okomit na L, a it smjeru s
Kutnu brzinu precesije rno'2,enio ocijeniti na osnovu pokusa koji pokazuju da je gotovo uvijek >> 13.
Zeinlja rotira oko vlastite osi s periodorn T = 1 dan. Os je nagnuta 23.45' u odnosu na vertikalu na ravninu koja je odredena godi§tijoin putanjoin Zeintje oko Sunca. Ako promotrimo gibanje Zernlje rr referentnom sustavu vezanom za Zeinljin CM, onda vidimo da se Zernlja deformirala zbog rotacije, pa na Zemlju djeluje Mjesec tako da daje moment sile koji po iznosu ovisi o poloaju Ndjeseca, ali koji ima smjer uvije okomit na os rotacije. Na Zeintju djeluje i Sunce koje takoder, zbog nesferienosti "nagnute" Zeinlje daje moment. sile. Taj ukuptii (slain) moment site daje spore precesije vektora kutne kolieine gibanja tiji ,je period oko 25 300 godina. Dallas vektor kutne kolitine gibanja pokazuje totno (minus 1°) prema cvijezdi Sjevernjati (Polaris). Za 13 000 godina "sjevernjata" le biti neka druga zvijezda, ali za slijedelih 13 000 godina ponovno ee sjevernjaea biti Sjevernjata! Za takvo gibanje znali su vee stain zvijczdoznanci: Hiparh iz Nikcjc u Maloj Aziji (oko 190 god. p.n.c.) je otkrio precesiju usporeduju6i svoja mjcrenja poloLija zvijezda s podacirna svojih prcthodnika stoljc/c i pol ranijc. Hiparh jc izra.Cunao (bcz objaAnjenja uzroka) da prccesija iznosi 46" na godinu dok jc
4 lirriactio krutog krutog
trjp (n
4 • 57
St,.
Si, 4 - 58 Sir.
D. Hotuat: Fiziku I as FEE - Mehunika i toplina
LEONHARD EULER 1707-1783 1.1
Slika 4.42 Grai filozof i astronoin Hiparh iz Nikcje.
J. Bernoulli radon je 1667. godine u Baselu Ole roden i L. Euler 1707. godine.
Ptoloniej izraeulla0 vrijednost 36" na godinu. Precesiju je prvi objasnio N. kopernik n sewn djclu De Revolutionibus 1543. godine kada je izraeunao vrijedriost od 50.2". Hiparha Sc Sinatra mzumiteljem trigonometrue, a izriteunao je SUOCi1111 dull do 6 min oenosti, to je napravio prvi kacalog zvijezda koji Sc rabio vise od tisueu godina.
principa, uz odgovarajuea ogranieenja i poeetne i rubne uvjete, izvode se jednadibe gibanja pomoeu Euler-Lagrangeovill jednadZbi varijacija. U ranijoj fazi razvoja analitieke mehanike vain() nijcsio zauzirnaju P. L. M. de Maupertuis i P. S. Laplace:. Svakako ne stone se zaboraviti G. W. von Leibnitza koji je prvi poeco razniatrati gibanje sa stanoviSta kinetieke epergne.
9.9 Princip virtualnog rada Ovdje c'emo formulirati.jedan vrlo koristan princip kojim ino9.eino rjeSavati probleine ravnote9.e - statike inaterijahle Locke i krutog tijela razinatrajtMi samo mognee ill zamisljene pomake sustava. Takve infinitezimalne koji su mogu6i - dozvoljeni prelim datom sustavu sila i momenata i drugih uvjeta i ogranieenja, koji se nuino ne zbivaju vec su potencijalno moguei zoveino virtuulni pomuci of'4, a rad izvrAen dtp2, takvill pomaka zovemo virtuuMi ?Yu/ 1511/,. Radi se dakle o moguCeni - virtualnom radu ko,ji Li izvrSile site laid Li pontaknule tijelo - sustav duz virtualitill pomaka. Princip virtualnog radu lade da je sustav na koji qjeluju site i/ili inomenti sila u ravnotezi ako je virtualni rad primijenjenih sila i mornenata jedriak null. Ako virtualne pomake oznaeimo s i odgovarajae kutove zakreta s 15e;, onda princip virtualnog rada mo'llemo mateniatield formulirati ovako
E f; 154 = 0 za materijalnu toau. odnosno A111501) = 0 za kruto tijelo.
J. L. D'Alembert rodeo je 1717. godine u Parizu; P. S. Laplace je je roden 1749. godine u Beaumont-en-Auge.
•
>(f •
Simbol "6" ima uobieajena svojstva diferenciraMm tako ,je opr. 6(cos 6) = — sin
(4-65)
66 itd.
Princip virtualnog rada , koji onsiguenje provedbu mews' statike materijalmic toelte i krutog tijela uvomlimo tek ovdje jer je bilo tuOno prouciti djelovanje mostenata nit kruto tijelo, It to je tek a potpunosti obradeno u ovum poglavlju. Princip virtualnog rada formulirao je 1. Bernoulli' 1717. godine. Taj princip dio je drugaeijeg pristupa mehanici: za razliku od Newtonovskog pristupa gdje prvo "popisujeirio" site a zatim kroz provedbn drugog i tredeg aksioma, Uz uvjete i ogranitenja rjekvamo jednadibe gibanja, u tzv. analitiekoi raehanici kreeemo od ukuptie epergne sustava i pornoen tzv. d'Alembertovogl principa (poopeenja principa virtualnog rada), koji prolirujc pojam statike i gibanje prikazuje kao poseban slueaj statike i varijacionill Johann Bernoulli (1667-1748) elan je poznate 8vicarske obitelji koja je kroz vise generacija dala 01z poznatill marematitara i fizitara: Daniel (sin) bavio se hidrodinamikoni, Jakob (brat) bavio so diferencijalponi geornetrijonl, Johann 11 (sill) bavio se optikom i toplinom, Johann III (unuk) bavio se reorijom vjerojatnosti itd. I. Jean Le Rond D'Alembert (1717-1783) francuski matematitar i tiziear.
U daljoj provedbi i zaokruienju analitieke mehamike doprinijeli su Hamilton, Jacobi i Poincarre, da spomenemo sumo najistakuutiji?
Formillacija inehanike pomcK9u analitiekili metoda onaigueila je elegantno niatematieko proSirenje Inch:mike na relativistieko podrueje, a posebno a podrueje mikrosvijeta, kroz formalacija kvantlic Inchanike gdje tt potpunosti nestaje pojam silo, a &minimum ulogu imaju kinetieka i potencijahme energija, tj. energija inedadjelovanja.
Primjeri ra'Cuna statiEkih problema pomoCu principa virtualnog rada U slijede6ent nizu primjera primijellit (env, princip virtualliog rada na probleme statike inaterijalne toeke i krutog tijela. Svakako, svaki 0d tili prinijera inoguee ,je rijeSiti i ua "standardan" mein, inedutirm mode se pokazati da u !lieu slueajeva princip virtualnog rada vodi na bitno pojednostavnjenje raeuna. Leonhard Euler (1707-1783) Svicarski matematiear i fiziear; Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) francuski matematiear i fiziear. Pierre Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) francuski matematiear; Pierre-Simon Laplace (1749-1827) francuski matematiear. ' Williams Rowan Hamilton (1805-1865) irski matematiear; Karl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) njemiteki matematiear; Jules Henri Poincare (1854-1912) francuski maternatiear i fiziear.
4. ltotariga krutog krutog tijela
,97
S
St,. 4. no
1). II el, val. Pzzlkil I za
Al lifinika i toplota
GI
Slika 4.43 uz primjer 4.33.
P. L. M. de Maupertuis rodeo ge 1698. godinc u Saint Matou, a J. L. Lagrange je tvden u Torinu 1736. godine.
J I;SENJE Rjeknje problema na "standardan" naCin rastavljanjern sila i izjednatavanjem odgovazajneih komponenti skoro je trivijalno. Ovdje Selimo pokazati kako se problem rje8ava principom virrualnog rada: telina tijela ml mogla bi pokrenuti tijclo niz kosinu i izvrAiti virtualni rad jcdnak 611', = 0, • Sr, =rnigSr, sin al. Na isti mein takav rad bi izvrSila i telina G2, tj. SW2 = O26F2 = ro2g6r2 sin o2. Porto su Sr, .2 su komponente vektora virtualnih pomaka St'1,2 za njih vrijedi uvjet Sr,
6r2 = 0,
Ito, zajedno s principom virtualnog rada Gi•6rI+G2 bF2 =0 i mo6r, sin a, + m2gdr, sin 02 = 0
dr, = —6r2 daje
mig sin crL Sr, — m2gsin 02 Sr i = 0
(mcgsin a, — m2g sin a2 )dr, = 0
uz
odnosno
daje, konaCno
ml sin cr, = m2 sin er2,
W. R. Hamilton rodeo je 1805. godine u Dub linu; K. G. J. Jacobi ruder; je 1804. godine u Potsdamu.
Ito predstavlja tra0eni uvjet ravnoteie sustava.
Princip virtualnog rada pogodan je za rjeavanje problema koloturja: to je sustav pornienih i nepornitrah kolotura (Sije mase u prvom pristupu zanernarMemo) koje sluZ:e za podizanje tereta. Takvim sustavom kolotura maze se s malorn silom savladati velika, no prvi je problem rijeMti statiku takvih situacija. Slijededi primjer obuhvada neke tipitne slutajeve. Primjer 4.34 Rijegite problem. ravnoteie tijela na sustavitna kolotura od (a) do (e) na slici 4.44. Muse kolotura va/ja uvijek zanemariti, a nit - uie je takoder bez mase i nerastezljivo! R.JEEN.IE
PI11.71C(171 7VTIC71. je 1854. godine u Naneyu djelovao je konecptualno
u fizici XX stoljeCa.
Ravnoteia materijalne toeke Prvo demo razmotriti nekoliko primjera ravnoteie materijathe todke. Ti su primjeri gotovo ,jednako tako jednostavno rijesivi i "standardnirn" rnetodama. Medutirn, problem koloturja u "standardnom" pristupu postaje kompliciran, pa se u tim pro idi prednost pristupa ravnoteie ravnoteže preko virtualnog rada. Poslije demo razmotriti i ravnote.Zu krutog tijela - sustava. Primjer 4.33 Na dvostrukoj kosini nagiba a t i a2, prerna slici 4.43 na/aze se dva tijela s rnasama en, i m2 . Tijela su povezana s bezmasenom nerastezljivom niti. PornoCu principa virtualnog rada izvedite uvjet pod kojim su tijela a. ravnot eie.
(a) Slueaj je trivijalan: kolotura sluZi samo za promjenu smjera djclovanja site. To, rnedutirn molerno opisati pomoeu virtualnog rada ovako: virtualni pomak Sr p za koji silo F ponmkne svoje bvatike u smjeru djelovanja jeclnak ,je virtualoom pomaku Sr,,, tijela m nasuprot tunic my , ali u suprotnom srnjeru. Virtualui rad site F .je F•kr, a virtualni rad teline je 5110 = 709.6.r,,. Vrijedi IlViet. + Sr. , = 0, Ito s principom virtualnog rada 6W = 0 = 614,+ 61-VG dajc F 62, + mg lr m = 0 = F6rh. + m9 (—Jr odnosno F = mg. (b) Zarnislimo do silo F spusti svojc hvatike za Sip. To skraemnje niti "s desne strafe- prve koloture izazvat Se isto skraeonje s lijeve stranc, no kako je druga kolotura porniem, 000 (njeno srediStc) Sc se "popeti" za Szk/2. To znaei da je izvrSen virtualni rad nasuprot teiinc tijela rn jednak 6I•Vo = ingkr,„ = rrig(ap12). Virtualni rad site F je SWH = Fbx p i vrijedi da je bx p + = 0. Princip virtualnog rada Sly = 0 = J5Wk + 6WG daje F6x, + mgh,„ = 0
i uz
Sip =
Fbx r + 7ng( -637F12).--- 0
= —62742
odnosno
F=
dobijemo
2 m.y.
4. R.otacint krutog krutoy
(a)
(b)
Str. 4 - 61
Str. 4- 62
D. Horvat.• Fizika 1 za FE!? - Mehartika i toplina
(c)
Slika 4.44 uz primjer 4.34
Daklc, 7.Z1 (jednoliko) podizanje predmeta muse rrr Od110S110 tthiTIC rag trcba u sustavu kolotura (b) dvoscuko manja sila F. (a) Prvc dvije koloturc funkaioniraju isto kao i u sustavu (b). Pomak trace (sasvim lijevo na slici) kolocure jednak je potovini pomaka srediSta srednje, pa sila F izv6i virtualni rad 6WF = F6trp, a raj rad je izvrt:en nasuprot teline C dui vircualnog pomaka jednakog (Ox r/2)/2 = 6.tp/4, tj. .= 0 = dx,„ = 0 dobijemo is principa virtualnog rada 611 .6. = ontax,„ i kako Jr 6:0.• trty(-61,,t14), pa je F = itrty, tj. trcba djelovati adorn tnytix,„ = FOxr + OIVG = FOrc jeduakom eater-tint teiine za odrZavanje ravnoceZe, odnosno, jednoliko podizauje fume tn.
Slika 4.45 uz zadatak 4.3 i slika 4.46 - Arhimedovo koloturje, uz zadatak 4.4.
Na osnovu rijedcuiIi primjera mole se vidjeci da de potrelma sila za postizanje rarnoceZe na koloturju bind jednaka oty12" gdjc je II btu] potnituill kolotutu!
Zadatak 9.3 Kolikorn silom mom vojrtik na slici 4.45 vudi kortop da Si bio u ravrtoteii? Masa vojnika zajedrto s opremont je 120 kg. RJESENJE: F = 588.50 N.
Zadatak 9.9 Na 5116 4.46 prikazano je tzv. Arltintedovo koloturje. Printjenont principa virtualnog rada Uvjeti su dani kao i runije: koloture i uie su bez muse i uie je nerastezIjivo. vaija rijegiti problem (a) i R.JI.:SENJE: (a) F = mg/4; (b) F = mg/5.
Ravitoteia krutog tijela L slijededim primjerima primijenjujemo princip virtualnog rada na ravnoteiu krutog tijela u nekoliko jednostavnill situacija. Pritnjer 9.35 Homogene ljestve muse M nuslortjene su na glatki zid. Nu njth djeluje Itorizontalna situ P (Prema sttei rokr.47). Koliki je iznos site P koja drii ljestve u ravuoteii? Radun valja provesti porttor.:u priucipa virtua/uog ruda.
X
-)1
Slika 4.4 7 uz primjer 4.35
FiJF:ENJE Sustav je u ravnoteii, medutim, kada bi sila P pomaknula ljestve, pomak 6.r zbio bi se u negativnom smjeru x-osi, tj, P • 61 = —Pbx = 6W.r . Pri pomaku 6x teiiate Ijestava podigne se za 6y, pa + OW, jednak je rad nasuprot site G = —3.11.1g jednak OW9 = —Mg6y, a ukupni virtualni rad OW = je nuli, tj. OW = 0 = —Pox — Myty.
Rotarija krnt.og krutoy tijcla
Str. 4- 6.5
/finvra.
.57.7. .1- G1
I FH
Mehartika i toptina
Iz slike jc sin 8 = x/e i cone = 2p/e pa ,je (sjetimo se do je "6-operacija" formaluo ista kao diforenciranic)
6x = 6(0 sin 8) = e6(sin 0) = f cos 060
6y =
1
- cos 0) = — e6(cos 0) = — sin 0 00 . 2 2
(2
1<
Uvratavanjern virtualnih pomaka u prvu jednakost dobijcmo —Pecos
1 60 + M g — sin 00 = 0, 2
X
Sli ka 4.49 uz prirnjer 4.37.
odnosno
P= —61gtg O. 2
a
Isti rezultat dobili bismo, naravno, "standardnim" statiekim ratunorn, gdjc bismo osim sila P i morali uvesti, prema 3. Newtonovom aksiomu i site reakcije podloge, tc momente oko neke toeke. Provedba tog raeuna bila bi mnogo dulja.
R.JEEN.11.: Had koji bi izvraio moment site 671 bio bi ncgativan jc bi smanjio kut 8 , pa zato praerno 6I1/8 = —MOO. Pri tonic bi sc toeka C poinaknulau dcsno pa bi sc nasuprot site F izvraio rad 6W, = — F 0x. Uknpni virtualni rad je 611' = OIVa + OW, i on jc po principu virtualnog rada jednak nuti, tj.
4 4
OW = 0 = 6W° + OW, = MbO — F 0x.
Sustav koji se sastoji od dvokrakog zgloba u ravrtoteii je, prerna slid 4.48. Krakovi duljine nernaju masu, zglob .4 je trEvrVert za podlogu, a zglob B je slobodan. Koliku silo P Toole izdriati .silo F da se sustav odrii u poloiaju na
Primjer 4.36
17, slikc jc x = Rcos 8 + e cos , a kut ql molemo izraziti preko kuta 8 ovako sin = E pa jc
y = sin 0 i
sin 8 =
y = Rsin 8 odakle je
pa je
sin 0 = 7 sin 8 odnosno cos 0 = 1 — (— R ) 2sin 2 e To uvrstimo u izraz za x=
R R cos + eV] — (— e
i nadeino Or x
R ) 2 sine 8) 1?t5 (cos 8) + es (\ — (7 Slika 4.48 uz primjer 4.36.
(1-11
= — Rsin 808 e \
ri.JFAENJE Silo F mogla bi pomaknuti toeku C no lijevo, pa bi pri tonic izvriOla virtualni rad jednak 6117, —F 6x. Koko je cos& = x/20 i x = 20 cos 8 dobijcmo 0x = 2E6(cos 0) = —2Esin 8 00. Tokoelor se pri mogutern pornaku 6.r (na lijevo) toeka B podigne uvis nasuprot site P, pa bi se izvraio rad 611'„ —P6p i kako je sine = dobijemo da je by = e cos & 60. Princip virtualnog rada daje
sin cos 0 00 .
— (1) 2 sin 2 8
To uvrstimo u 6II" = 0, pa dobijcmo
2 sin 0 cos 0 —A100 — F (R —Rsin 0 e
6W = 0 = OW, + 611c = 2Fesin 808 — Pt cos 060
00 = 0 odakle je
N/I — (-n 2 sin 2 0 [Rcos0
01 = F R sin 0 I +
odakle dobijcmo dozvoljenu situ P koju cc izdrZati silo F, tj. P = 2Ftg8.
e
—
(5) 2 sin=
4 4 4 4 Primjer 4.37 Sustav s dva zgloba A i B (prema slici 4.49) i dva kraka B i e bez roase nalazi se u rovnoteii. Koliki smije biti m.aksimaini moment sile M oko zgloba A utvrgeenog za podlogu, koji mole podnijeti silo
Primjer 4.38
da sustav bode u ravnoteii?
ravnoteiu? U toeki djelovanja sile P je zglob!
No "A" nosae memo slid 4.50 djeluje odozgo sila P. Kolika je napetost T is n ti koja odriava
4. Rolarija krutoq kr-utoq tticla
So-. 4 - 6,5
Sti. 4 - 66
D. (lomat: Fizika 1 za FE R. Mehanika i toplina
DODACI 4. POGLAVLJU
Dodatak DP4.1 - Poope'ena rotacija Slika 4.50 uz prim:kr 4.38
RJISSENJF, Zbog virtualno rada silo T, i T2 smanjit Se se kut B. Odgovaraju6 moment site zbog site f', je A1, 7 koji je, promo geometriji slike jednak 4/, = — 2 x 3
po iznosu
Al, = 4.7 sin (f + 0) = 3 2 3
cos 0.
S obzirom ua simetriju problema vrijedi 1/, I ---- 1/2I= T, pa je ukupni virtualni rad zbog momenata silo jednak SW, = —(M,60 + A12 60) = —224,68 =
cos 8 60.
(Ncgativni predznak dolazi zbog smanjenja kuta!) Zbog virtualnog smanjenja kuta 0 vrh nosaSa "A", tj. toaa u kojoj djeluje silo P pomaknut Sc sc uvis nasuprot sili P. To znaki da je odgovarajui:i virtualni rad jednak 611/9 = — P6y. Princip virtualnog rada je =0= lz silk,. se vidi da je eiy = y/P, pa je 6y =
+ 61479 = -P Sy - d iT cos 60. sin 860, ko nakon uvrkavanja a SW daje
P P sin 8 68 - 3 fT cos 0 60 ili 3 T = - Pcg 0.
4 4
Slika DP4.1 - Ratacija p kojoj L i (.3 Tiisu kolittearid.
U glavnom tekstu knjige razmatrali sin° vrtnju krutog tijela u posebnim, simetrinim situacijama. Ranije smo takoder isticali da je okenita rotacija tijela vrlo komplicirau fizikalui problem. Ovdje eemo zato samo ukratko opisati poopeenu rotaciju i pripremiti situaciju za opis zanindjivog i va..nog instrumenta - Z*.iroskopa i njegove verzije - zvrka, koji su obradeni u glavuom tekstu. Neka tauki gtap duljine e i mase M rotira tako da je proboden s osi kroz kraj ali os i gtap zatvaraju kut 0, prema slici DP4.1.1 Za ratun momenta tromosti gtapa u takvom polo6aju treba uoeiti da se komadie.gtapa Prije svcga valja se ponovno sjetiti (vidjeti raniju napomenu u odjeljku 4.3) da se L raimna s obzirom na (neku) toi:km a (.0 s obzirom na os!
.
St,. 4. 67
Dodaci 4 poglavlju
rnase dne nalazi na udaljenosti r' od osi rotacije, odnosno na udaljenosti b od probodigta, pa .je = bsiu n i kako je M/e = dm/db rooMemo napisati za moment tromosti (DP1-1) / = . v r'2 dm = sin2 a—m /0 b2 (lb = 1 Me2 sin 2 (Za a = s/2 reproducira se raniji rezultat za moment tromosti oko kra ja gtapa.) Kada uvedemo radijusvektor djeliea dm u odnosu na probodiM,e, onda taj vektor pokazuje ovijek duM ftapa koji rotira, pa odgovarajuei vektor dL s obzirorn na probodi'ke, vektor kutne kolieine gibanja koniadier, nadalje, znaei da ukupni vektor L koji je u istom Sillierll kao i (11 nije dnt "gleda" okomito na :4ap, para/e/an s vektororn kutne brzine (.3 (koji pokazuje dui osi z, na slici). Oeigledno .je L vremenski ovisna velieina, jer on rotira frekvencijorn rotacije S'tapa. Ako promijenimo poloMa j probodiM,a i smjestimo ga u sredigte Stapa (prema slici DP4.2), onda vidiroo da ee viii vektora (pa, dakle i sam vektor rotirati kutnorn brzinom w oko osi z. Kada bismo sada nekako oslobodili os, jasno je da :Stan ne bi nastavio rotaciju kao kada.je os oevrACeria. Otigledno je uuMno primijeniti neku silo na os da se mm odrMi u sorjeru osi z. Da bismo odredili to silu, odnosno moment. site, prirnijenimo .jednadMbo gibanja krutog, tijela na gtap 111 _ d (DP4-2) dt Vektor dL ma koji se Epromijeni u interval,' di usrojeren je tangencijalno na kruMnicu kojo opisoje vrl, L —a, a je polumjer r" ko ji ,je, prema slici, po imnosu jednak r" = L sin(7/2 —a). Zato je dL = Lsirr(712-0)wdl, li, u vektorskom obliku dL = x dt. Onda je vanjski moment koji .je nuMan za odrManje opisane rotacije jednak = 11: = x L. (DP4-3) dt Kada je a = 7r/2. onda so i paralelni jer radijalne kornponente L–a iSeezava ju, i ta j vanjski moment igeemava, tj. ma a = 7/2 nije potrebnino djelovati na os rotacije da bi se rotacija orIrMala! Takvo os moverno slobodna os Toluene. f
St,. 4- 68
D. Horvat: Exzika 1 za PER - MchanIka i toplina
Može se opeenito pokazati da za svako kruto tijelo postoje tri osi, koje prolaze kroz CM, koje su medosobno okomite i koje predstavljajo tri slobodne osi. Takve osi 7-avant° glavne osi rotacije. NalaMenje takvill osi ma proimvoljno kruto tijelo teMak je problem, no za odredena pravilna tijela te se osi poklapa ju s osima sirnetrije. Za tijela s osnom - aksijalnorn sinielrijom (valjak, stoMac) .jedna glavna os kroz CM je fiksna, dok su drugs dvije okomite na njo all proimvoljno orijentirane. Za tijela s centrainom simetrijom (kug,la) bilo koje tri inedusobno okornite osi kroz CM an glavne osi sirnetrije. Dakle, osnovuo svojstvo glavnili osi je da su pri rotaciji oko u, jilr vektor L i vektor 2 kolinearni, a kmistanta proporcionalnosti immedu n, j il, je moment tromosti (oko te osi) (DP4-4) L = 1 v. Pri tome ne ovisi o toeki u odnosu na koju se on odreduje, sve dok se proimvoljne toeke imabiru duž glavne osi rotacije. Dodatak DP4.2 - Tenzor momenta tromosti
Kutnu kolieinu gibanja Scapa prema slici DP4.1 iii DP4.2 a obzirom na probodiMe 0 moMerno za sada zbog jednostavnosti napisati kao sumo preko svilr elementarnih djelica, gdje napravimo zamjenu dm Anti, a radijusvektor spaja djelie mase dirt = ATI1, s probodi.Atem 0, tj. L = E 7; x 15; = E = Aro; (1; x vi) = Arn4e; x x )] (DP9-5) Lt.° um (ormolu ma dvostruki vektorski produkt posta je L = E Aini i1(11 – E ArrtiM • LOVi. (DP4-6) Ranije snm na ovorn mjestu kazali da je 7'; = 0, jer .je, pri simetrienim situacijama koje smo uglavnoin obradivali, uvijek bilo F.; inedutim, to u sadakioj situaciji otigledno ne vrijedi. Dalje moMenio rammotriti samo jedno, npr. x—komponento vektora E. Ona je .jednaka + — E Anti(ziw, + + L, _ EA 711.i (DP4-7) — Ant 4 zi yi wy – Arrti x i zi Lid. E [A,„; (,,,? — Uveclemo li oznake E Anti (r;2 — 4) = E Anti (!/ + z?) /„ = E Am ; (1. – ?Th = E 1.. = E — z;2) = EArni(x7 +y?) (DP4-8) = – E AT/ti:Liyi = — E Arniz i zi = = – EArniyizi=1(5, (4 +
Ixy
Slika DP4.2 Vremenska pronnena
pri poope'enoj rotaciji.
Iy:
Dadaci 4. poglay(ju
Str. 4 - 69
molettio napisati izraz za L a ali i za druge komponente
=
+ +
+
(DP4-9)
Velieine u (DP4-8) zovemo kornponente tenzora momenta tromosti U matematici uvodimo tenzor kao skup elentenata odredenog, tango (recta), to kc-terno da je npr. vektor (u stvari) tenzor prvog ranga, jer rang tenzora odreduje i broj komponenata tenzora izrazorn 3""a, pa vektor into 31 komponenata. Skalar je npr. tenzora ranga 0, jer skalar ima komponenata. Svakako, da bi neki objekt, (odnosno skupina objekata) bio vektor - tenzor, on flora zadovoljavati odredena pravila transformactie, npr. mora se ponagati na toeno odreden naein s obzirom na transformaciju (rotaciju, zrcaljenje) koordinatnog sustava. "Pravi" tenzor, definiran relacijama (DP4-8) ima 3z elernenata, tj. ima devet komponenata. Tenzor (ranga 2) Inc:demo napisati kao kvadratnu sheinu kornponenata - rnatricu (3 x 3), pa nag tenzor momenta tromosti I izgleda ovako lay Ix, ) I vy .1y, Izx I,y Izz
Ixx
1=
(lyx
(DP4-10)
Tenzor je simetriean (./ii = ./ii). a i-komponentu kutne kolitine gibanja inciettio sada napisati ovako 3
L;= E lite
111
1= 1
\
Ixy
= (L 0) L, Nedijagonalni elementi /;.; (i
=
(Ly)
Jo y
=
L,
(DP4-11)
Is,
1„
I„
J
jj) zovu se .1011,71.05C1 (produkti) tromosti (inercije).
Dijagonalne komponente tenzora I su momenti tromosti oko glavuill osi rotacije, odnosno to su momenti tromosti oko osi x (/„), osi y z (I„), kada su to osi ujedno i osi sinietrije tijela. Te elernente tenzora inolerno napisati i ovako 1,; = Iic,i (DP4-12) gdje SILO uveli tzv. Kroneckerov delta - sir/11w/ koji ZI136 slijedece
Sii =
1
ako je 1 = jj
0
ako je I # j.
(DP4-13.)
Tenzor momenta tromosti mo2erno napisati i ovako 3
lii
E Arnk [E(x(i0)x(ik) )6, j k=1
x (0) ).„.(j 0)
(DP4-14)
1=1
gdje smo ponovno upotrijebili Korneckerov simbol. Svi gornji izrazi izvedeni su za sustav od N komadiea tijela. Za kontinuiranu raspodjelu mase kod "pravog” krutog tijela, definiciju momenta tromosti ino2ertio napisati ovako 3
1.
=
f p(71(6ii
0. lloruat: Fizika 1 za FEB. - Mellartika i toplina
gdje je p(F) = (hula' gustoea tijela.
Ixy
L, =
Si,.. 4 - 70
E k=1
_
LE j)
(DP4-15)
Za slueaj rotacije Stapa (kao na slikarna DP4.1 i DP4.2) ustanovili smo da L nije paralelan s (J. Pri rotaciji se, dakle javljaju i komponente L-a koje sadr'i,e i uninogke tromosti j. Postavlja se slijedeee pitanje: kako incenro odrediti orijentaciju osi rotacije, poznavajuei sve komponente tenzora momenta tromosti, tako da L postane paralelan s (.5), tj. da prevederno tenzor tromosti u dijagonalni oblik (DP4-12), gdje ce na dijagonali biti samo momenti tromosti koji se javljaju pri rotaciji oko slobodne osi
L, = Iizi (i = :z' ,y', z') gdje su
(DP4-16)
y', z') koordinate na novim, zakrenutim (zarotiranim) osima. U tom slueaju produkti inercije igeezavaju, a osi simetrije tijela ujedno su i osi rotacije. To je tzv. problem vlastitilt vrijednosti matrice, a usp,jeh nalaženja takvih osi garantiran je time gto je matrica tenzora momenta tromosti simetriena, tj. prema teoremu iz algebre, takvu rnatricu moguee je dijagonalizirati odgovarajueorn tzv. unitarnom transformaciko,ja tam istovremeno daje i orijentaciju novih osi. Taj posebni postupak ostavit eemo za napredno izutavanie rotacije krutog tijela.
Doduci 4. pogluvl ju
St, 4
7!
St, 4- 72 4.14
PREGLED 4. POGLAVLJA 1. Novi fizikalni pojmovi
4.15 4.16
Steinerov poutak
teorem o okomitim osima
kotrljanje
4.17
uvijet kotrljanja
kotrljanje uz sklizanje
trenje kotrljanja
4.18
kinetitka energ. rotacije
satuvanje kutne kol. gibanja
iiroskop
4.19
nutacija
precesija
zvrk
4.20
Zemljina precesija
virtualni pomak
virtualni rad
4.21
koloturje
tenzor momenta tromosti
glavne osi tromosti
4.22
slobodne osi 4.23
‘12
1, = dm ( F'
=
,tt2
,Cr = kM, = dz
4.25
1„1,
- 2. 2 )
dx
S = 1,0 +
= t o + 11'1112
= = Irt -t=dtd L =
dy
LGM
=1 11',,k = f d6 d1V P - =dt 111 dt = ICI • (;.1 L: = konst. = 1,/iw./1 = Ir/2,;:/2 = + Ivwy + I,w!) d6 Grant - dt E 5F, = E(Pi J,Sri + 1V1050;) = 0 3 3 = dt 1, E = f p(F)(5i j E 4 - :rixi)dV A1,.
VCN1 = IL; 1
2
A7/
2
"AlrUem
-+
1
2
ICarwa
-
R x Fr
/(J2
diV = jA7I1d6
•
IW
=
i=1
3. Pitanja (sa zvijezdicom su oznatena [Oa, neobavezna pitanja)
4.1 Napi8ite jednadibe koje opisuju krutno gibanje materijalne totke u nckom incrcijalnom sustavu! OpiAite moguee nadine gibanja krutog tijcla! Izvedite izraz za kutnu kolitinu gibanja materijalne toekc i krutog tijcla! Kako glasi jednacaba rotacijc krutog tijcla oko evrste osi? pokus! Izraeunajte moment tromosti Stapa oko proizvoljne osi. Primijenite zatim Steincrov polleak za to istu proizvoljnu os! Izvedite moment tromosti prstcna oko slobodnih osi! Primijenite teorem o okomitim osima! Sto su glavne osi rotacije tijela? Kada vektor kutne kolieine gibanja ima smjer paralelan kutnoj brzini? Kako glasi Steinerov poueak? DokaZite ga i primijenide ga na slueaj kugle, za os na obodu kugle! Kako glasi tcorcm o okomitim osima? Izvedite sve glavne momente tromosti kruZne plote! OpiAite kotrljanje krutog tijela. Kako glasi uvijet kotrljanja? OpiSite situacije kod kojih ne vrijedi uvijet kotrljanja! Kako izgleda opecnit izraz za kutnu kolieinu gibanja pri kotrljanju? Izvedite ga poopeen jem od sustava eestica! NapiAite dinamieke jednadZbe koje opisuju kotrljanje tijela uz kosinu i niz kosinu! Vodite paZIjivo raeuna o vektorskim odnosima!
4.2
4.3 4.4
4.5
4.6
4.7 (") 4.8 4.9
4.10 4.11
4.12
4.13
rotacijc
4.21 I
drn=Ir•d1= 7de
dy'
dm. EA. =
OpiSite gibanje kugle koja zapoednje gibanje sklizanjem koje s vremenom prijcde u kotrljanje! Kako nastaje trenje kotrljanja? Objasnite paradoks pri kotrljanju! Izvedite izraz za ukupnu kinetieku energiju krutog tijela! Izvedite izraz za rad pri rotaciji i napiSite tcorcm o radu i kinctiekoj energiji rotacijc! OpiSitc snagu kod rotacijc! lisporedite taj izraz s izrazom za snagu kod translacije! Kako glasi zakon saeuvanja kutne kolitine gibanja? OpiSitc pokuse! Sto je iiroskop? Nacrta jtc dijagram mornenata sila i kutnih kolieina gibanja! Pazite na vektorske odnose! Sto je nutacija? Opi8ite pokus s nutacijom i precesijond krutog oko slobodne OpiSite momente sila, kutne kolieine gibanja, kutne brzine i ubrzanja kod osi, ako ,je tijelo poduprto u CM. OpiSite pokus! Opiaite momente sila, kutne kolieine gibanja, kutne brzine i ubrzanja kod rotacijc krutog tijela oko slobodne osi, ako ,je tijelo poduprto CM. Opi;Jite pokus! zvedite izraz za klartu brzinn juuccsije. OpiJ;itc aproksimaciju 11Zet.11 pri tom raelond OpiJ•jare pokus! Sto je zvrk? OpiSite dinamiku gibanja zvrka. Izvedite jednadibu za kutnu brzinu precesije zvrka. Opi8ite pokuse sa zvrkovima! Gdje se u prirodi .javlja precesija? OpiSite precesi,ju Zernlje, njene uzroke i posljedicu. e tenzor momenta tromosti. NapiJ;ite njegovc komponente a matrienorn Kako Sc postiZe da tenzor momenta tromosti sadria samo glavne momente tromosti? izvan
2. Nove relacije 711
D. lioluat: Fizika I zu PER. - Mehuniku i toplina
4.26
4.27 (') 4.28 (")
j
tijcla
5 5. GRAVITACIJA 5.1 Uvod 5.2 Keplerovi zakoni GunjosjeCnice 5.3 Newtonov opei zakon gravitacije Gibanje Mjeseca i Newtonov opei zakon gravitacije Cavendishev pokus 5.3.1 Opei zakon gravitacije i 3. Keplerov zakon za kruZne putanje Priznjeri ratuna gravitacione site 5.3.2 Opei zakon gravitacije i akceleracija site te7ze 5.4 Rad i potencijalna energija gravitacione site 5.4.1 Gravitaciono polje i gravitacioni potencijal Gaussov zakon za gravitaciono polje 5.5 Kinematika i dinamika Keplerovih zakona 5.5.1 Drugi Keplerov zakon i opei zakon gravitacije 5.5.2 Treei Keplerov zakon, eliptiCke putanje i opei zakon gravitacije 5.6 Prvi Keplerov zakon i opei zakon gravitacije Meduplanetno putovanje - Holimannov prijelaz 5.7 Problem dva tijela. Dvojne zvijezde 5.8 Trorna i te§ka masa. Princip ekvivalencije 5.9 Teorija gravitacije i moderna fizika Dodaci 5. poglavlju DP5.1 Povijesna skica: "Sve je poeelo sa zvi.jezdania" DP5.2 Rjeenje jednadibe gibanja u gravitacijskom polju II DP5.3 Neki posebni podaci iz astronotnije, kozmologije i astrofizike Pregled 5. poglavlja 1'5.1 Novi fizikalni pojitiovi P5.2 Nove relacije i formule P5.3 Pitanja
5-1 5-1 5-2 5-7 5-8 5-9 5-10 5-11 5-16 5-17 5-21 5-25 5-28 5-31 5-31 5-32 5-35 5-42 5-44 5-45 5-47 5-50 5-54 5-55 5-55 5-55
Sir,
5-
2
D. Norma:
/ za PER - Mehanika i toplina
Tablica 5.1 12. t)rosinca 2001.
5. GRAVITACIJA
Nikola Kopernik Tycho Brahe Johann Kepler Galileo Galilei Isaac Newton
1473-1543 1546-1601 1571-1630 1564-1642 1542-1727
KruZzio gibanje planeta oko Sunca "Bata podataka" o nebcskim gibanjima Zakoni gibanja iz Braheovih podataka Otkrita tcicskopom podupiru Kopernikanski model Zakoni gibanja izvedeni iz opteg zakona gravitacije
Sudionici "Kopernikanske revolucije" koja je promijenila pogled na ulogu tovjeka u Svemiru, izutavanju nepoznatog. njegov odnos prema nepoznatom i odno
5.1 Uvodt
Gibanje nebeskih tijela oduvijek je zaokupljalo ljude, od najranijih dana peeinskih ljudi do danagnjeg modernog vremena. Sunce, Mjesec, zvijezde, korneti, rneteori, pomrcine, stalna su tuna od crteZa na pee sve do danas.
umjetnosti Maja, Inka, Mezopotarnije, Egipta, Greke, Rima , srednjeg vijeka i novog doba
Pažljivapromatranja gibanja nebeskog svoda pokazala su ljudima da iako je "odgledno" da se oko nas, Pailjiva nage mime Zernhe sve giba, da su nebeska gibanja ipak mnogo zamrgenija. Produljenje Aristotelove fizike u srednji vijek, zaeinjene religioznim dogmama o eovjeku, Zemlji i posebnoj,najvažnijoj, najvainijoj, centralnoj ulozi ovjelca u Svijetu, zadalo je mnogo problema Ijudima - istradvatima, od kojih su neki dali Zivot govored znanstvenu istinu o gibanju planeta. Na samom poetku ove knjige dali smo tek skicu razvoja znanstvene misli koja je dovela do danagnjeg stupnja razvoja znanosti. Ovdje eemo u posebnom dodatku ovom poglavlju jog malo posvetiti vremena opisu povijesnih okolnosti i ljudi koji su zapoeeli ono to moiemo danas nazvati moderna znanost. To je ujedno i pravi poetak moderne civilizacije to je zanimljivo pogledati kako je sve to poeelo, a doista je sve pocelo sa zvijezdarna
Slika 5.1 - Johann Kepler (lijevo) i Isaac Newton (desno) • Dragi Keplerov zakon kale da radijusvektor planeta u jednakim vremenskim razmacima prebrisuje ,jednake povrgine. • Tred Keplerov zakon Ica.ie da se kvadrati ophodnih vremena dvaju planeta oko Sunca odnose kao kubovi njihovih srednjth udaljenosti od Sunca!
J. Kepler je prvi i drugi zakon objavio godine 1609. u svojoj knjizi koja ima prilitno dugatak naslov: Astronomia nova aitiologetos scn phisica ccelestis tradita commentariis de mobitus stellreMartis, ex observationibus C. V. Tychonis Brahe, tiji je prijevod otprilike ovakay. Nova astronomija zasnovana na uzrocima ili na fizici neba izvedena iz istraiivartja gibanja zvijezde Mars a bazirana na promairanjima plemenitog Tycha Brahea. Kratko se to knjiga najteSte naziva jednostavno Astronomia nova. Treti zakon objavio je tek deset godina kasnije (1619. godine), u svojoj drugoj knjizi llarrnonicc mundi. Ti zakoni zahtijevaju i zavreduju komentare i objagnjenja: prvi zakon govori o obliku putanje. Iako su putanje elipse, one se vrlo malo, za vednu planeta na.geg sustava razlikuju od kruZnica. Ravnina Zernljine
5.2 Keplerovi zakoni
Prihvativgi Kopernikov model Sventira, Kepler je poinoeu, kako bismo danas kazali model-Mtn jezikom, goleme baze podataka stvorene od T. Brahea. genijalnorn raeunarskom vjegtinom dogao do opisa zakonitosti gibanja planeta. Keplerovi zakoni opisuju kako se planeti, a s njima i Zemlja, prema Kopernikovoj slici gibaju oko Sunca. Njegovi zakoni ne izviru iv. nekog prirnarnog uzroka, on nema (znanstveno) objagnjenje zagto je to sve tako, ali ti su zakoni u potpunom skladu s (danagnjim) promatranjima. Ubrzo ee ti zakoni hitt izvedeni iz fundamentalnog prirodnog zakona, Newtonovog zakona opce gravitacije, koji ce ugledati svijet. 55 godina nakon izlaska Keplerove knjige. • Prvi Keplerov zakon govori o putanjama planeta: planeti se oko Sunca gibaju po elipsauta, a u jednom Zarigtu elipse nalazi se Sunce. t Vidjeti dodatak ovom poglavlju "Sve je potelo sa zvijczdarna" o zanirnljivom i izuzetno vainern razdoblju stvaranja temelja modernog znanstvcnog pogleda na svijet.
putanje oko Sunca zove se ekliptilca., a podaci pokazuju da su ravnine putanja drugih planeta vrlo malo nagnute u odnosu na eldiptiku, osim planeta Merkura (7°) i Plutona (oko 170). Prvim zakonom nisu iskljneene krnZnice kao mognee state oko Sunca, jer kruZnica je clegenerirana elipsa kojoj su se Zarigta stopila u jednu Watt - sredigte! Do tog je zakona Kepler dogao "fitanjem" (prilagoclboni) podataka cal T. Brahea, pri emu je ustanovio da nikako nije moguee podatke o Marsu pomiriti s Kopernikovom tvrdnjorn da se planeti gibaju oko Sunca po kruZnicarna. Drugi zakon implicitno govori da se planeti brie gibaju kada su bliZe Suncu, pa su, prema slici 5.2 povrgine Pi i P2 "trokida" jednake, jer ,je planet gihajuci se brie kada je bliZe SIIIICII Kogan wet Ink (it isto vrijeme INt) sego kacla .je dalje. Treei Keplerov zakon, koji, uzevgi u obzir da nije postojao nikakav raeunalni stroj jlj naprava, nije bilo lako ernpirijski otkriti, prikazan je u tablicama 5.2 i 5.3 na poda.cima planeta i Jupiterovih satelita (vidjeti i potpuniju tablicu 5.4). Valja, zbog lakge usporedbe, uoeiti razlitite jedinice u kojima su iskazani podaci. unjosjeenice S obzirom na vadtost elipse koja predstavlja putanju planeta oko Sunca. ovdje eerno posvetiti dva prirnjera tunjosjeenica.ma, za koje eerno ka.snije, kada terno razma rad Keplerove zakone preko
5. Gravitacija
Ste. 5- 3
Ste. 5- 4
D. Horvat: Fizika I za FEI? - Mehanika i toplina
T2(0,b)
T,"( -0,0
T,(a,0) 0'
F2(-ae,0)
0=F, (e,0)= Fla E,0)
Sliku 5.2 - Drugi Keplerov zakon o povrginanta.
T2'(0,-b) Slika 5.3 - pararnetri elipse. Vatja uoeiti da na slici postoje dva ishodigta: 0 je ishodigte za Keplerove zakone, pa jc u F, ujedno i Sunce, a 0' je "obieno" ishodigte koordinatnog sustava uz odgovarnjuee koordinate tjernena i fokusa
Tablica 5.2 - Uz tre6i Keplerov zakon Planet
Srednja udaljenost ii od Sunca
Ophodno vrijeme T u Zemaljskim godimuna
013
T2
Merkur Venera ZemIja Mars Jupiter Saturn
0.3871 0.7233 1.0000 1.5237 5.2028 9.5388
0.24084 0.61519 1.00000 1.88080 11.862 29.457
0.05801 0.37845 1.00000
0.05801 0.37846 1.00000 3.53750 140.70 867.70
3.53750 140.83 867.92
pa prethodna jednakost daje 62 = a 2 (1-c2 ). Onda su koordinate fokusa F, (ac, 0) i Ft (-ae, 0). Vektorski dijagram prerxia slid 5.3 daje (uz ishodikte polarnog sustava u desnom fokusu elipse) 1F1 +10 + 201 = 2a ili kto nakon kvadrirauja gornje jednadthe, uz c =
+ 201= 2a - r
ca
0 2 + 40 - + 40 2 = 4a2 - 4ac + r2 vodi na tiff cos + c2 = n 2 - Or. Tablica 5.3 - Podaci o Jupiterovim satelitima koje je otkrio Galileo 1610. godine Broj satelita ime
Ophodno vrijeme (u satima) T
1 - lo 2 - Europa
42.47 85.23 171.75 400.53
3 - Ganirned 4 - Kalisto
Udaljenost od Jupit.
T2
d3
Nakon sredivanja i uz a 2 - et = 62 = op dobijerno
T 2 /d 3
r -
d (u RJ,.,,,it,r ) 6.049 9.623
1803.7 7264.2
221.34 891.11
15.350 26.998
29498.0 160426
3616.8 19679.0
1 +Ecosci,
uz p = 62 /a.
To je polarni zapis jednad2be
8.149 8.152 8.156 8.152
Hiperbola je skup svih to0aka ravnine za koje je razlika udaljenosti od dvije (Nrste toEke stalna 74 =- (PIFIP - F2P = ±2u). Ujedno je, kao i kod elipse, Fl F2 = 2e i e = s/a 2 + 62 , gdje Jo e linearni ekscentricitet hiperbole.
Newtonovog opeeg zakona gravitacije, vidjeti It ravnopravilo Maze a (mist. gibanja planets oko
VrIO
je va uo dobro proukiti posebno elipsu, jer se tie kssnijill razinairanja i problems nadovezuje na altjedeca dva prizujera. Primjer 5.1
lzvedite jednadibe eunjosjeenicu u polarnoj formi!
RJ ES EN J E Elipsa je definirana kao skup svih toilaka ravnine za koje je zbroj udaljenosti od dvije 6vrste to6ke F, i F2 zvane fokusi ill Zarikta, konstantan
E = (PIFI P + F2 P = 2a}. lz gornje definicije za udaljenost vrijedi da je T2F1 = a = F2T) itd., pa je takoder (prema slid 5.3) 62 = a 2 - e2 , gdje e zovemo linearni ekscentricitet, Ekscentricitet (numeritki) elipse definiran je ovako e e = - (< 1),
a
Slika 5.4 - uz definiciju hiperbole.
St.r. 5- 5
5. Gravitacija
- Mchunika i toplina
U. Ilorvai: Pizika I as
Sty. .5- 6
biz definiciju (numeriekog) ekscentriciteta hiperbole a =161/a > 1, slieno kao hod elipse dobijerno
IF + 2F1 —
Planet
ili
Ekscentricitet
Tablica 5.4 - U tablici su dani ekcentriciteti eliptienih putanja pojedinill planets. In podataka vidimo da, je putanja Zemlje gotovo kruZna, jer ekscentricitet "mjeri" odstupanie elipse od krOmice, pa a = 0 znaei da su se fokusi stopili u istu totku - srediMe degenerirane elipse, odnosno krunnice! Najveci ekscentricitet 'malt, Pluton i Merkur. Nledutim, °sin' planeta Suneevoin sustavu pripadaju i kometi koji imaju izuzetno izdunene put anje vidjeti kasniji prilujer s Halleyevim kommoin!
a
4e 2 = r + 4a 2 t Oar, kto vodi na
r 2 + 48'•
±p r
= ±2a.
1 T cos c/)
uz p =.. (e 2 — a 2 )/a.
To je polarni zapis jedliaeabc hiperbole!
Parabola je skup suit, totaka ravuine koje su jednako udaljene od jedne evrste take - fokusa i od pravca koji zovemo ravnalica iii direktrisa:
Merkur
0.21
Venera
0.0068
Zeinlja
0.017
Mars
0.093
Jupiter
0.048
Saturn
0.056
Ursa
0.047
Neptun
0.0086
Pluton
0.25
P = {PPP = PL}. Primjer 5.2 Pokaiile da so u jednadibi
r— Za parabolu je numerieki ekscentricitet jednak e = 1, a iz definicije je FT = p/2.
p 1 + COS
(1)
lltdje su r i polarne koordinate, apie su pozitivne konstante, sadriane jednadibe ennjosjeenica, tj. jednadibe kruinice, elipse, parabola i hiperbole! RJEENJE Sjetimo se da su Kartezijeve i polarne koordinate povezane ovako x= r cos c/),
y= r sin c/),
r =
+ y2 ,
(2)
pa jednadZbu (1) maerno napisati ovako p = r + Ex iii Vx2 + y 2 + ex = p odnosno
Vx 2 +
(3) y2 = p
—
ax.
Kvadriranjem zadnjc jednadibe (3) dobijemo
xl + y 2 = pl—
2pcx
e 2i 2 iii (4)
(1 — a 2 )x 2 + 2pax + y2 = p2 .
Na OVOM Oblikll .jednad.i.be demo se zadriati, razmotrivki neke mogude vrijednosti velitine a. Slika 5.5 - uz definicije parabola. (a)
e =- 1 - Iz ,jeduadZbe (4) dobijcmo da je y 2 = —2px +
(5)
Iz slike vidimo da vrijcdi FP = r i PL = p — r cos c/), pa jednostavno dobijemo polarne sieduadZbu parabole
a to jC
r—
P 1 + cos c/)
(b)
adiba
parabole., toenije, dvostrana jecinadZba parabole sa y > 0 i y < 0 granaina!
e < 1 - Tada je I —el> 0 pa VIVedil110 oznake I —( 2 = I/a i p/V1 — c= = b. Sada 11102,110 napisati jednactZ.hu (4) ovako (1 — e2 ) [x.2 + 2x
Pc 1 — e2
pc/( 1 — e2 )12 + p2 (1 — e2 ) 2
+ V2 =132
y2 2
P 1 — e2
ili
—1
(6)
5. Grand,.Oa
Str. 5- 7
sto uz ramie oznake a= 1
- < 2.
f =
V1
p
- 7: 2
—
- (2
(7)
vodi na jednakost (x
+ oe)2
y2 _ 1 ' b2
u2
(8)
Ato predstavlja jednadibu elipse sa sredintem S(x s, ys) izvan ishodinta (tj. u toeki (x s , ys)) (x - x.s.) 2 02 Vidirno da je sredinte elipse u u F,! (c)
(p - ps)2 b2
(9)
0), u skladu sa slikom prethodnog primjera, gdje je ishodinte
e = 0 - Odmah se vidi iz jednadibe (4) ili, joA bolje iz jednadthe (8) da dobijemo jednadXbu kruin tee x2 y2 = 1 x 2 + 11 2 = +
ur (d)
e
Cvedimo shell° kao ranije A
=
(10)
y2 —
A2
1,
B2
(11)
nto valja usporediti s jednadXbom hiperbole sa srediiitent a toeki S(x s , ys)
- xs) 2 A2
(Y
- Ys)2 _ B2
i La ee silo morati uzrokmati krukesje koje slijedi Keplerove zakone. Dalje, po treeem Keplerovom zakonu, omjer kvadrata ophodnog vremena i kuba srednje udaljenosti (r-a u gornjern izrazu za silu) stalan je. Prema tome vrijedi da ,je T 2 /7-3 = A (konstanta), pa, pigui izraz za silu skalarno, dobijemo Frp
2
4717, 21 211T
4n 42 Trr (5-2a)
Dakle, privlaena sila Sunce-planet opada s kvadratom udaljenosti, a proporcionalna je rnasi planeta. Medutim, po treeern Newtonovom aksiomu, planet 1st= silorn djeluje na Sunce, pa prema tome u konstanti koja se javlja u goihjem izrazu krije se i masa Sunca Ms, tj. gornji izraz valja napisati u shjedeeoj formi (izostav1jamo sada oznaku cp) Mg rrt F = konstanta (5-2b) r2
lzmedu svaka dva tijela u Svemiru javlja se privlaena sila koja je proporcionalna urtinaku njihovih masa, a obrnuto proporcionalna kvadratu njiltovilt udaljenosti, tj.
P- G""m2, , r2
- 1 B = P1Ve 2 - 1. Onda jednakost (6) daje
(x - cA)2
D. Hamar: Fizika I za FER. - Mehanika i toplina
Tako je Newton mogao 1684. godine formulirati svoj opei zakon gravitacije:
= b = p.
>1
.Sir. 5 - 8
(12)
(5-3)
(i objaviti ga 1687. godine). Negativni predznak da,je privlaenost site: ako se ishodigte koordinatnog sustava stavi u tijelo rri, onda sila "gleda" od tijela Trt2 prema tijelu int. Konstanta koja se javlja u gorn,joj jednadthi zove se univerzalna gravitociona konstanta i jednaka je G = 6.673 x 10-11 N rn2 /kg2 . Ta konstanta ovisi o jedinicarna u kojima se mjeri sila, a odredio ju je prvi Cavendish. Matematieki oblik ovisnosti sile o udaljenosti r prula trioguenost da silu nazovemo sila inverznog kvadrata. Zanindjivo je uotiti da istu funkcionalnu ovisnost o udaljenosti posjeduje i elektrostatska (Coulombova) sila izinedu dva elektritki nabijena tijela. Gibanje Mjeseca i Newtonov opel zakon gravitacije Newton je univerzalnost svoje site testirao na problemu gibanja Mjeseca oko Zernlje. Sila, dana izrazom (5-2a), tj.
nto pokazuje da je sredike hiperbole u toeki S(e.4,0), u skladu sa slikom hiperbole iz prethodnog primjera.
422
F =rn. Are
Dakle, pokazali smo da jednadiba (1) predstavlja parabolu (c = 1), clipsu (0 < e < 1), kruZnicu (e = 0) i hiperbolu (c > 1).
(5-2a)
morn odgovarati sill blizu povehine Zond,je Fy = gdje je ekspernnentalno titn.:rdetia vrijednost konstante y, koja je jednalca. 9.81 in/s2 . Hilo je, inedutim, pitanje kakva ,je silo (5-2a) na tijelo blizu Zenilje s obzirom na raspored mase Zemlje. Naime, r u jednadkbi (5-2a) predstavlja udaljenost izrnedu npr. Sunca i Marsa i gotovo je potpuno svejedno, s obzirom na goleme udaljenosti, da li se radi o odaljenosti od povrgina lb od sredigta. Medutirn, blizu povrgine planeta nije bilo sasvim jasno kako izraeunati silu! Tu je Newton primijenio svoj "upravo iclIffiljen" diferencijahti mewl i pokazao je da se i na povriani Zenilje radi o sill izmedu sredigta Zendjine kuyle i (toeltaste) inase. U primjeru 5.7 taj je rezultat izveden u danagnjoj, modernoj, u stvari Leibnitzovoj notaciji diferencijalnog raeuna.
5.3 Newtonov opei zakon gravitacije Newton je predodZbu sue iz svojih aksioma gibanja prenio na svemirske odnose kada je napravio hrabru pretpostavka da je sila univerzalna, tj. da ista sila odreduje gibanje tijela blizu povrtine Zetnlje (slobodni pad jabuke - kao gto hake povijest, iii kosi hitac, itd.) kao i gibanje Jupitera oko Sunca iii M,jeseca oko Zeinlje. Prvo. prema Huygensu ,je uzeo situ - centripetalnu silu - koja djeluje prema sredigtu vrtnje i daje kruZito gibanje, prema prvoin Keplerovom zakonu (jer su i kruknice u stvari elipse - vidi prirnjere 5.1 i 5.2), planeta oko Sunca. Prema tome. znajuei zakon kruknog gibanja, sila Sunce-planet je centralna - centripetalna sila, eiji je oblik jednak F. =
r.
(5-1)
Mjesec se giba oko Zeinlje tako da Una ophodno vrijeme TM ,jednako TM =27 dana 7 sati i 43 minute. Usporedujuei jednadnu (5-2a) i izraz za tekinu tijela vidimo da je 422 "
(5-4)
pri eernu je konstanta A jednaka za sve Zeinljine satelite (kojih, osim Mjeseca. u Newtonovo vrijeme nije bilo). Dakle, za Mjesec vrijedi treei Keplerov zakon: = A, gdje je rm polumjer Mjeseteve staze oko Zen*, a ena je velieina bila poznata u Newtonovo vrijeme rm = 60.1 x az.
9
5. Ural/It ego
.5. /1i
Sty.
4 x 3.142 x 60.13 x 6.378 x 106 in (2.361 x 106 s)2
5.466 x 10" in s2 — 9.81 in/s2 . 5.574 x 1012
toplula
izvodc na suttinski isZanimljivo je da se i danakja moderna mjercnja konstante toj aparaturi kao u Cavendishevorn pokusu: torziona "vaga" sastoji se od kvadratiene ploee (umjesto Sipke s kuglama) objekne na stakleno vlakno. Ploeu privlate eeliene kugle velitine dinje. Ste je kontrolirano raeunalom koje upravlja kuglama i mjeri zakret. Rezultati su precizni do 0.0014 %. Na osnovu tog mjerenja odredena je i masa Zemlje: Mz = (5.97223 ± 0.00008) x 102' kg i masa Sunca: Ms = (1.98843 ± 0.00003) X 1030 kg. I; okviru istog projekta mjerenja konstante G provjeren je i matematieki oblik ovisnosti silt F kao sile inverznog kvadrata, na malim udaljenostima. Do sada (2001. godina) Newtonov opti zakon gravitacije provjeren je do udaljenosti od 150 pm. Vjeruje it do bi odstupanje od zakona inverznog kvadrata na malim udaljenostima moglo ukazati no postojanje vieeg broja dimcnzija prostor-vremena, a to bi onda moglo objasniti zako je gravitation° medudjelovanje tako slabo u risporedbi s ostala tri fundamentaina mcdudjelovanja: prenosnici gravitacionog mecludjelovanja (hipotetski) gravitoni "izgube" se u dodatnirn dinienzijama i na taj naein "rainshiv" gravitacio7171
Ako se konstanta .4 uvrsti u izraz za g dobije se 4n2 r3 = 17z 2 T„ l'21
FlOt
Rezultat Cavendishevog pokusa sa konstantu C bjo je samo nekoliko postotaka drugatiji od " moderne" (mo'l.emo kazati) prave vrijednosti!
Tu vrijednost su aproksimativno znali i stari Grci - vidi dodatak poglavlju D5.2. Prvi podaci kojc je imao Newton o ,- ,-u su bili krivi, pa kad je provco raeun s njimo, nije dobio ono Oto Jr oeekivao i to go je pokolebalo u njegovim nastojanjima da formulira opti zakon silt. Mcdutim, kada je par godina nakon prvog raeuna dobio korigirane rezultate, rezultati su bili u skladu s univerzalnoSeu silt.
g
C. Moral l'Itaa I to
(5-5)
Ta,j je rezultat u skladu s rnjerenjima akceleracije sile tek, tj. akceleracije tijela na koje djeluje univerzalna sila gravitacije kada je tijelo udaljeno RZ od sredifta Zernlje! Prema tome, iz podataka o gibanju Mjeseca i it pretpostavke o univerzalnosti sile izveden je rezultat dobi,jen direktnirn mjerenjern gibanja ti,jela na povrMni Zemlje. Mole se kazati da je taj raeun prvi rezultat teorijske fizike u povijesti znanosti! Cavendishev pokust Cavendish je 1798. godine izveo pokus u kojem je izmjerio vrijednost gravitacione konstante C. Prije Cavendisha je, 1774. godine cngleski astronom Nevil Masi:dyne odrcdio G usporetioMO .silt, kojom Zemlja privlaei visak odnosno silu kojom planina privlati visak. Planinu zgodnog oblika flak° jc u Skotskoj, gdje se u ravnici iznenada izdiZe planina Schichallion, koja ima takav oblik da joj jc jednostavuo izraeunoti volumen i centar mase. Masu planine odredili su mnogiru buSenjima i uzimanjem uzoraka da pronadu (srcdnju) gustou, a pomotu teleskopa odredili su otklon niti viska. Ma.skelyne je izratunao konstantu G koja se oko 20% razlikujc od prave vrijednostil
5.3.1 OpCi zakon gravitacije i treCi Keplerov zakon za kružne putanje Tre6 Keplerov taboo usporeduje karakteristike putanja dva planets eije su mase M1 odnosno M2. Za njih vrijedi da Newtonov opei zakon gravitacije daje eentripetalnu silo koja uzrokuje periodieko gibanje planeta oko Sunca, tj.
Ms 7.2
M•v? ' 7'
(i = 1, 2),
(5-6)
a ophodno vrijeme - period Ti, brzina gibanja v, planeta i oko Sunca i duljina putanje 0; dani su ovako 0;
(i = 1,2)
= 2ra = viTt
(5-7)
pa jednadlba (5-6) s gornjorn daje
C Ms q 4,T2
T2
(i = 1,2) .
(5-8)
Ako izvrijednimo gornji izra.z za i = 1 i i = 2 i podijelilno jednadne, dobijemo TI
T?
T2
Slika 5.6 - Cavendishev pokus odredivanja konstante Uredaj za pokus se sastoji od kvarcne niti T (prema slici 5.6) uevrAeene na jednom kraju. Na drugom kraju niti je objekna Lanka Mplca (duljine 216m u pokusu) na eijirn su krajevima bile male olovne kuglice mase rn = 0.729 kg. Njima se su rnogle pribliziti dvije kugle mase M = 158 kg. Na taj su natin nastali momenti sile koji su zakrenuli §tap s kuglicama i time tordirali i kvarcnu nit. Na niti se nalazilo ogledalo Z koje je nakon refleksije snopa svjetlosti iz izvora L bacalo svijetlu toeku na skalu. Iz zakreta zrcala rnogli su se izratunati momenti (gravitacionih) sila izrnedu kugala, poznavajuai konstantu torzije lice, koja .je ranije bila odredena rnjerenjem titrajnog vrernena torzionog njihala (vidi D. Horvat: Fizika II - torziono njihalo). t Henry Cavendish (1731-1810) cnglcski fiziear i astronom.
T2
(5-9)
tj. izveli sine) it opeeg zakona gravitacije treed Keplerov zakon! Zanirnljivo je pogledati kako rezultati mjerenja parametara gibanja planeta Suneevog sustava slijede treei Keplerov zakon. Podaci su darn u ranijim tablicama 5.2 i 5.3 kao i u tablici 5.5 gdje u zadnjern stupcu vidimo konstantne rezultate omjera (5-9). Srednja udaljenost Zeinlje do Sunca nazvana je I astronornska jedinica - 1 aj - i ova ,je ,jednaka 1 aj=1.496 x lO nrn 1.5 x 10" in. Zadatak 5.1 Oko planeta gastodc p grim se, blizu pot/taint planeta, satelit. Koliko je ophodno Interne satelita? RJEIENJE: T = N/3r/pG.
tl
VicUcti npr. CERN
Courier, July/August 2000, str. 13.
Str. 5- II
5. Gravitari)a
.9.r. 5- 12
D. Horeaf: Fizika za FER Mehanika i toplina
Tablica 5.5 • Planed Sunecvog stmt.a i tred Keplerov calculi Planet
Masa
Srednji
[kg]
polumj.
3.18 x 1023
2.43 x 106
Venera
4.88 x 102 '1
Zendja
5.98 x 1023
Mars
6.42 x 1023
Jupiter
1.90 x 1027
1Jdaljenost ad
isi
Surica
7.60 x 106
5.79 x 101°
2.97
6.06 x 106
1.94 x 10 7
1.08 x 10' 1
2.99
6.37 x 106
3.16 x 107
1.50 x 10"
2.97
:1.37 x 10''
5.94 x 107
2.28 x 10 1 '
2.98
6.99 x 107
3.74 x 108
7.78 x 1U LL
2.97
7'
11
T2 /(0) 3 -191 [10
Period T
R fin]
ENJ
Na rnasu Cr, djeluje kornadie sac Stapa dM siloin dF tan= Newtonovim opeim zakonom
gravitacije dM
dF = Merkur
Saturn
5.68 x 1026
5.85 x 10'
9.35 x 108
1.08 x 1011
2.99
Uran
8.68 x 1026
2.33 x 10'
2.64 x 109
2.87 x 1012
2.95
Ncptun
1.03 x 1026
2.21 x 10'
5.22 x 109
4.50 x 1012
2.99
Pleton
1.00 x 1023
3.00 x 106
7.82 x 109
5.91 x 1012
2.96
Mjesec
7.36 x 1022
1.74 x 106
Sauce
1.99 x 1039
6.96 x 108
prema oznakama na slici. Iz simetrije situacije jasno je da ee "prOivjeti" sanio y koniponenta vektora rile, jer ee as parovi sila u horizontalnoin (x) smjeru ponikiti za parove djeliea masa simetriene u odnosu na ishodike 0. Iz dike vidimo da je r 2 = 62 + x2 , a mokirno uvesti i lineranu gustoeu p = M/e dAd/de , dM/dx. Takoder je cos°. = b/r = bb,/b2 + x 2, pa ukupnu silu u 9 sinjern ino.erno napisati kao zbroj (integral) preko cijele duljine S'tapa, tj. t/2
F, = os 1 dFac .-.-.. I.
t/2
G mill dx 6 _ Gm 0 e 6 2 + x 2 Vb2 + x2
--t/2
-
f dx 1 (02 ± .0 2)3/2
-
-t/2
t/2 Gm Al b x E 6 2 (6 2 + x2)'/2 I -1/2
GrnM 6
-
2 (462 + 02 )1 / 2
Za 6= e = 2a dobijemo GmM 2-17 5a2
Fy Priinjeri raZuna gravitacione site za razliEita tijela U slijedeeim primjerirna izraeunate su sile izmedu tijela razlititih geometrijskill oblika. Pri raeunima je primijenjen Newtonov opei zakon gravitacije tako da je djelie mase nekog tijela dnt proizveo silu dF (u odredenom smjeru), tj. m dF = -G- dm r2
(5-10)
gdje je r udaljenost od M do dm. Pri tome je tijelo djefi6a mase dm imalo takav geometrijski oblik da se rnoie definnati linearna, povr§inska i volumna gustoea, na isti natin kao i ranije, pri raeunima momenata tromosti npr. - vidjeti formule (4-14) do (4-16). Primjer 5.3 lzrueunajte kolikom silom privlaei tunki flap duljine e i mase M toekastu mast, m koja se nalazi na uduljenosti b od srediftu Rapa na okontici koja prolurt srediftern flapa. Uzrntte zutim da je b = = 2a. Nputa: dx /( 22 + x2)3/2 = x /[a2(a2 x2)1/2"
f
Primjer 5.4 Pronaei situ izrnedu tankog hornogenog flaps muse M i duljine e i toekaste muse m koja se nalazi no pravcu no kojern leii flap i udaljena je a od sredifta Itapa. 0
M
dM
'11
x
x
Slika 5.8 uz primjer 5.4.
R.JES ENJE Djeli6 mase Atapa dM izrazimo preko linerane gusto6e dM = pdx = (M/e)dx. Taj djelir je mlaljen od en za r koji je (prema slid 5.8) jednak r = 30/2 - x i on proizvcde silu dF danu formulom (5-4). Ukupnu situ nademo "zbrajanjem" - integracijom dui cijelog gtapa, tj. od ri = 3e/2 do r2 = e/2. Dakle
dx 2 dill =Gym f (30/2
F = f dF =
=
x)2
0
'11 1
b-x a
= -Gym
b(b - e)
!An uz 6= 30/2 daje F=
4 3
mM f2
M x -->1 Slika 5.7 uz printjer. 5.3
Primjer 5.5 /zraeunati situ kojom tanki homogeni prsten polurnjera Po i muse M privlaei todkastu musu ne koja se nalazi nu osi koja je okomita no ruvninu prstena i prolazi njegovirn srediateni! Toekasto tijelo je no udaljenosti in ad ravnine prstenu.
S
5. Gmvitaci.ja
.5 - la
. 5- 1 4
D. !lomat. Pi=1.1..a 1 as PEI? - Mchartzka i toplina
Dakle, sila sc promijcni n
4 4 priv/adi toekastu mast; m koja an nalazi
Primjer 5.7 lzraeunajte situ kojom kugla mast: Al,, i polumjera na odaljenosti r od sredigta kugle.
Slika 5.9 uz prirnjer 5.5.
RJE9ENJE Kao i ranijc, uvedemo linearnu gustoiu p = M/2pcor = dM/de, gdjc je di djelie kruimog luka prstcna. lz gcomctrijc jc di = podO, pa djelie mast dM moiemo napisati ovako dM =
2p077
m di = Il podtk = — dO. 2p077 21r
R.JE?ENJE Silu punt kugle mast M„ na toekastu masu m izratunat demo kao ukupni efekt (beskonatnog) zbroja sila zbog (beskonaenog broja) Ijuski mast Al eija su sredika udaljena r ad trkkaste mast.
Onda je infinitezimalna sila, prcma slid jednaka
dF = G
mdfld r2
no kako sc zbog simctrijc situacije horizontalne komponcntc vcktora silt poniStavaju, ostajc samo komponenta u z smjcru, tj.
= f df; = fdF cosn Cmx M f
Slika 5.10 uz prirnjer 5.7: doprinos sili na tijelo moan rrt od kruine trake mase d1L1, prikazane u projekeiji.
GmMx
r3
(x 2 + 4 )3/2
0
mdM rIF = -G— cos (5.
G f :7 2r-x-dA4 =
GmM
= r3 22a J
Silu zbog pojedine Ijuske mast dobit demo tako da "zbrojimo" - integriramo preko Svlh mogneili kruinih tra.ka prikazanih u presjeku na slici 5.10. Jasno jc iz simctrijc situacijc da do rezufia.ntna sila pokazivati (samo) duZ osi OP. Djelii: silt dF zbog mast kruZne trake mast ddl jc
32
Ako je Ijuska homogena, MOiC1710 uvcsti povrSinsku gustodu
=
4 4
Sl
= dM
dM = —2 sin 0 R27 4/07t
A2 2
sin 8d8,
pa je djelie sile jcdnak
RJE9ENJE Sila izmedu "originalnih" kugala je
Gmild sin cos rk c10. 282
dF 2 ,
a gustoda je p = /V = M/(4/07/3), pa je polumjer kugle jcdnak R = (3/14/47rp)1 / 3 . Kada to uvrstimo u izraz za Ft dobijcmo
C (-2 4 ) 213 M413 = KM213 M213. 3 Ako se mast promijene, tj. M1,2
4/12 7r
gdje smo uveli polumjer kruZne trakc p, a povrSina trake je, u infinitezimalnoj geomctriji, jednaka "opsegxvisina" , tj. (IS = 2prr Rd° i kako je sin 8 = dobijemo
Primjer 5.6 Dvije identiene homogene kugle su u dodiru i privlade se sitom F. Kako de se promijeniti silo ako se mase kugala povedaju n puta? (Gustoda materijala an ne mijenja0
Ft = G
dM = —2,97
nM1,2 dobiijemo
K(nM)213(nm)2/3 = Km4/3n4/3 ,4/3
Ukupna sila F jednaka je F = f dF. Pri toj integraciji valja vidjeti kako sc mijcnjaju 0, i s. Pomodu kosinusovog poueka primijenjenog dva puta na lijevi (vrh 0)i desni (vrh P) trokut prema slici irnamo = R2 r2 - 2Rr cos
R2 =
r2 - 2sr cos rk
i oeito funkcije kutova molemo zamijeniti varijablom s, tj. cos (r 2 + 32 R2)/2rs, pa je
- sin 0 dO -=
-2 -ds rR
= (r 2 + R2 - 82 )/ 2r R i cos =
5. Ginvitacija
Str. 5- 15
i izraz za L1F sada postaje di' =
Str. 5 - 16
D. Horuat: Fizika I za FER - Mehanska i toplina
11z poCetne uvjctc z(0) = R i 1(0) = 0 = ,r(0) = V0). Dakle, drugi Newtonov aksiom daje GrriM r 2 + – 122 s ds – 2s 2 2r s rR
art LM 1.2 ± – , 32 4/-2/2
ds.
Ukupna silo F jednaka je zbroju svih doprinosa pri cemu se s mijenja od miniznalne vrijednosti s i = r – (za 8 = 0) do maksimalne vrijednosti se = r + R (za 8 = r). Sam integral je jednak
1=
f r 2 –R2 + 32
–
r7 – R2
VaISi
—
Z, AIZ ill .
d .G M z
cw z =
= GNIZ
Da bismo integrirali ovu diferencijalnu jednad2bu, valja napraviti transformaciju koju sum i ranije sreli
d _ dz d dt dz dl
=•-•
.d z crz'
= 4R. pa sada molemo napisati
d d 1d ,717, 2 = 2,77 .2 =
G1117 ili
=-
zz
Ukupna sila je F=
GInM
d(i)2 = –2GMz f c1 .72 ,
To je silo zbog kuglaste Ijuske polumjera R i close na tijelo ma-se In koje je na udaljenosti r od sredika ljuske! Oidto se II cc pojavljuje, odnosno dobijen je rezultat kao da je masa cijele ljuske "zguZvana" u toau - sredike, a r je razmak tih dviju totkastili masa! Jasno je da je oath silo F„ zbog puce kugle jednostavno jednaka Gra Al. FL, – 7-2
§to daje
1 i7 = 2GMz – + Gt. Konstantu integracije Ci odredimo iz potetnill uvjeta, tj. 2 2 (0) = 0 = 2G/I.12
To je izuzetno vaZan rezultat koji jc Newton prvi izvco i time onloguirio potpunu formulaciju i primjenu i opireg zakona gravitacije!
i(t) =
dz —
dl
=
z(0 )
+ CI
,
2G 1412 ,
odakle dobijemo C1 –
,, 1 1 – V2Gmz ( z– R
1" /
— R
( R – 2) 1 / 2 , z
pa je
ili
f (12 \1z z R = –VGA 4 1. 2 f dt. Satelit se giba oko Zernije tako da je rteprestano iznud glare proirtatraeu no ekvatoru. Ako satelit u jednorn trenutku izfjubi tangencijainu brzinu inercijabiorn sus/4/ra a kojein i Zonljc4 rotira oko svoje osi) valja izraeunati vrijeme za koje 6e satelit pasti tia Zonlju. (Uputu: posluiite se tablicania za odredenje jednog integralOi Primjer 5.8
U inercijalnom sustavu promatraiz mjeri ophodno vrijeme satelita jednako 24 rata. Cen-
U tablicama integrala nalazimo = –Rarccos ? Ng– Vz(R – z),
f pa
lako dobijemo
tripetalnu silo uzrokujc gravitaciona sila, tj. –Rarccos
i'2/19
V2
211 9M2 = – G R2
– Vz(R – z) =
V2GMz f • at –
jc e R = Cbdz , IlVjuti dail l (.12 = O. Vrijctuc 1/i1.1;111.ja ovisuu 0 vision z jellIlilk0
gdje je ins iiasa satelita, Ale masa Zeinlje, a It je polumjer staze oko Zemlje, tj. 12 = Rz + It, 0 ft je visina satelita izoad Zentlje. Brzina satelita na putanji oko Zendje n povezana jc s ophodnim vremenoin 42r 2
2Re = 'uT
Mz
= konst .
t(z) -=
V2GMz { \/z(R
jc
– z)+ Rarecas
Vrijenie padanja th jc vrijeme od z = R do z = Re = 12– h, tj.
pa smo ovdje u stvari izveli treiS Keplerov zakon iz kojeg moleino odrecliti polumjer putanje 11, tj. G1 /3 = 4.224 x 107 m. R= (T 2 ) 4r 2
th –2GMz
Rarccos
z = 1.487 x 104 s VR
= 4 rata 7 min. 54 s.
Time smo odredili poiretne uvjctc, tj. satelit je t = 0 na z(0) = R ill z(0) = h = 3.586 x 10 7 m. Os z gleda od sredika Zeinlje "uvis". Sada valja razmotriti jednadibu gibanja tijela u iliercijalnom sustavu u kojem Zemlja rotira, a iznad rile se nalazi satelit koji se u jednom trenutku zaustavio (na udaljenosti R od sredigta Zeinlje) i on pada pod djelovanjem gravitacione site
z2
5.3.2 Opei zakon 6ravitacije i akceleracija site teie Izuzetno valan rezultat do kojeg je do8ao Newton (vidjeti primjer 5.7) je taj da je udaljenost r koja se javlja u (Teem zakonu gravitacije u stvari udaljenost
od centara kugli (ako se radi o kuglastim tijelima). Prema tome, Zemlja takoder privlati tijela na svojoj
5. Gravitacija
St, 1- 17
Si,. 5- 18
D. Ilstvst.• Pinks I za PEI? - Mchernika i typhus
povrgini kao da je njena cijela rnasa skupljena u srecligtu. Udaljeriost koja ulazi u opei zakon gravitacije za privlatenje nekog tijela i Zeinlje je polunijer Zerolje R.5 Zato inoi2,erno napisati silu na tijelo litase rn. na povrlini Zemlje (u skalarnom obliku) kao Mz F=G 2•m (5- 11) Rz a to mora biti "naga" poznata teliina tijela FG ciji oblik srno ovako pisali FG = en • g
(5-12) Slika 5.11 - poinak od toeke .1 do toeke B odredenih radijusvektorirna
i eiju smo akceleraciju mjerili i dobili smo g = 9.81 rri/s2! To znati da je to "neobiena" brojka a stvari povezana sa svojstvinia Zernlje i s opeom prirodnorn konstantont G ,
e't i F2. Infinitezimalni pomak (.0dan je pomakom u radijalnom srnjeru k dr i pomakom 11 S171.icru poveeanja Into r
t,j. df = i-,ir +
r do.
likuplm putanju od A do B molemo prikazati kao (beskonaenn) sumn
(5-13a) 1,
Vrijednost akceleracija silo teZe ovisi o polozaju ita Zemlji, a posebno je von ka razlika izinedu vrijorlilosti g na polu i na ekvatoru. gP
=
y, = 9.7805 N/kg
9.8332 N /kg
jeduak je jednostavno fir. Zato u
di-ova. Skalarni produkt
G Al z g =
(5-13b)
a gto smo veil ranije istaknuli pri razinatranju neinercijalnili sustava. Ranije smo (poglavlje 1) uveli izraz kojim se dobro opisuje g u ovisnosti o zemljopisnoj girini 0, a 'SW ovdje molemo dobro aproksirnirati kraeom formulom g(0) _-.-_ 9.7805(1+0.005 29 sine 0). \'rijednost g, (gravitacijskog polja - vidi nine odjeljak 5.4.1) ovisi i o dubini i visini, all i o lokalnim geologkim svojstvima. Moderni instrumenti - gravimetri - mogu rnjeriti relativnu promjenu g do preciznosti 10-8 g. Pri torn se mjerenju uvodi jedinica 1 galileo=-1Gal=1cm/s2 , odnosno 1 mGal=1 x 10-8 N/kg. Prijenosni gravimetri mogu mjeriti iznos lokalnog polja do 0.01mGal. Povedanje visine za 3 m mijenja polje za 1 mGal. Promjene gravitacijskog polja zbog prisutnosti nafte u gupljinama manifestiraju se promjenorn iznosa g - gravitacijskog polja izmedu 0.5 i 5 mGal.
PIP:gr.:1p ostaje pallmstavna integracija po rlr od V j do IF21.
1)01,ili rano vrlo vaZan ali i oil ranije poznat rezultati rail ovisi samo 0 poect nom i konaimom polo-Z:1.1u, a ne o naeinu kako stito prosli od A do B. Preina tome, gravitaciona silo je konze.rvativuo. To znaei da joj 1005e1110 pridruZiti potencijalnu energiju, tako da napigerno da je izvrgeni rad jednak
2 ) - Et ' ) ) = -AEp = -(4 GMrn G Min) Znati da mo'Zemo napisati da u nekoj toeki prostora oko mase energiju jednaku
=
E, u
E =
Rad pri savladavanju gravitacione site, pri premjegtanju tijela mase m u blizini tijela mase M iz pololaja na r 2 , tj. od A do B na slici 5.11 izraZien je u skladu s ranijom definicijom
G M r ra)
Ek +
1 = — 2
(r"
jednaka je zbroju kinetieke i potencijalne energije
if
d 2 Tit (— i') +
G Mru — 11
r
r = r,
Grn
/7-2 , dobijemo da je
1 Galin( (5-IS')
2 r
(5-14) — 7.2
(5-18)
( — G Mnt)—.
h
Uvjet konzervativnosti site moiemo definirati i na dugaeiji naein. Vidjeli smo da za konzervativnu situ moierno definirati potencijalnu energrju preko (ulolenog) rada, U. iz definicije
+ (145)
r, = — G Mnt f
(5-17)
Za kruZne putanje kada .je P.cp = kada molemo napisati da je mv2 /r = env' = GM/r, pa je ukupna energija jednaka E =
-2
G Mn,,
r2
r, di. = 1 G AI m 7
skladu s gornjim rezultatom, jer je radijalna
tj. iz potencijalne energije (5-16) "rekonstruirali" smo gravitacionu silu.
5.4 Rad i potencijalna energija gravitacione sile
•
(5-16)
pa dobjerno
Ukupria energija tijela mase en u podrueju mase
W1,2 = f
tijelo mase m irna gravitacionu potencijalnu
r
kornponenta operatora nabla jednostavno jednaka =
4 4
M
GMm E9(r)
Svakako da je definicija konzervativne site F Zadatak 5.2 Satelit se giba blizu povrgine planets gustode p. Koliko je ophodno vrijemo (period) satclita? RJE I ENJE: T = 131ripG.
(5-15)
r2
t
-GA/m (1 1) rt
r2
117 = f
= —
=- — f di/ (F) = — f dE,„ r,
r,
5. Gravitaeija
St, 5- 19
moAento napisati relaciju
Str. 5- 20
D. /lomat: Fizika 1 za FER Mehanika i toplina
tj. dobili smo 3. Keplerov zakon, odakte jc F • di-- = -d1"(F)
i nju mor.emo invertirati tako da napikimo
rc -
= -VV(F) = -grad V(F),
VGATzT 2 4r2
Izvrkili rad W1 jednak jc
gdjc, dakle, iz skalarne funkcijc V(F) koju zovemo potencijalna energija, mokino izraeunati situ. WI = GMz (
Ako potencijalna energija V(F) = E,,(F)ovisi salmi o iznosu vektora r, tj. V(F) = l'(r), undo je ix 1 .(6) izvedena silo centrunta, tj. F(F) = r f(r) = (Fir) f(r). No to ujedno znaei da konzervativnu zilu
xF= 0
iti
V (r)) = 0, ili rot (grad) V(r) = 0. Da zit centralnu situ vrijcdi gornji izraz, lako se uvjerimo direktnini raeunom u Kartezijevim koordinatama (uz oznake Wax itd.)
l'ri tonic
1110,.C1110
= det
az
a,
f(r)'-rE
f(r) ; .Y
x,
Valje napomenuti da smo uratunati samo rad nasuprot Zemljine privlatne site, a nismo uzeli u obzir privlakenje Mjeseca koje bi dalje promijenilo rezultat.
a, f(r)
4 _ xi ax.
V4 + 4 + 4
r
a 0.r)
=
Or a —
—,
Orj Or
pa vrijcdi npr.
[f(r).rYd =
Zernljin satelit. Koliko je ophodno vrijeme tog Wein? ; ' ‘y-
[-f+ 71 !(Jz = P (T- [1 M
.2;0 =°'
Na isti naein provederno raeun i za druge komponente, to piktno konaeno x
R.JI,S'ENJE Mom so postiei takva brzina koja Fe proizvesti centripetalnu situ - gravitacionu situ na udaljenosti r = Rz, ut112 -r—
= 0,
kao uvjct konzcrvativnosti site F i kaZento do polje centralise silo nema vrtloga! Pritujer 5.9
Da in se, prehacio teret muse II t so Zemlje na Mjesce plus ga se plebaci u yeostacionarnu
urbitu,t a notion toga go se pogalje no Mjesee. Valja izraeurtati i usporediti dva redo nasuprot gratitacionc sole Zemlje 1ZUrg C110 pri tont transyortu. 11.11:SENJ E Vidjeli smo do je izerSen rad jednak (negativnoj) proinjent potencijalne energije W =-cSE7 =
-
rk
=
Mzrn 2 i kako je rk 4r4ir 2 GIVIz T2
odnosno
=
0
2ror
dobije se
T 2 4a2 = GMz ,
t Geostacionarna orbita jest takvo kruienje tijela - satelita oko Zemlje pri kojem je satelit stalno iznad glove nekoon promatraeu (koji nije na polo) - vidjeti primjer 5.8.
Mint r2
tj. It=
Rz
l.z podatke Rz = 6.378 x 108 m, /11z = 5.974 x kg i G = 6.673 x 10-" Nkg-2 m 2 , dobijemo v = 7.91 km/s. Tu brzinu ponekad zovemo "prva kozmieka brzina". Period ili ophodno vrijeme T tijela dano.je ovako T=
2.12z7r
R2 = 2rt \/.8 = 1 sat 24 min 29 s G M2
Ako ne mokimo uzeti aproksimaciju da je r -, Rz onda 3. Keplerov zakon daje opeenitu formulu T -, or x 10 -7r3/ 2 koja daje za h = 200 km, ko je sasvim realistiena visina, 7' = 5.309 x 10' s = 1 sat 28 min 29 s.
pri Ceinu je = -GAlta(1/r,). Za poeetni r, = r„ uzniemo Rz = 6378km, a za koniteni r0 uzmemo onaj za koji Jr ophodno vrijeme jednako ophodnom vremenu Zemlje, tj. 7' = 24 sata= 86 400 s. Polumjer stazc rakete s teretom za koju je T = 24 It dobijemo iz jednakosti gravitacione i centripetalne silo, tj. iz iskaza da je uzrok - izvor rotacije, odnosno centripetalne site upravo gravitaciona silo, tj. 1/1'2, 2
4
Pritnjor 5.10 liraurtajte brzirtu kojorn treba izhaciti tijeto (ruketu) u putanju Mint Zemlje do bi ono postal°
a ay [f(r) fl
Za rad pri drugoj etapi treba uzeti udatjenost do Mjeseca koja iznosi (za kruktu putanju ) rrot = 3.84 x 108 m, uz period od 27.3 dana ili , toenije T = 27 dana 7 sati 43 minute. Rad je jednak W2 = -9.239 x 1010 J. Vidimo da je 114121 < (WI I, iako Jr put od staze oko Zemlje do Mjeseca veei od prvog puta. Razlog tome jc opadanjc silo s kvadratorn udaljenosti.
opeenito izraeunati Or _
1
- --) = -5.837 x 10" J. Hz
rot I = 0,
x
x
1 rr.k
Rad je negativan, ali je promjena potencijalna energije pozitivna, tj. Er, je poveeana, Sto je intuitivno Mekivajuee!
moiemo defintrati i tako da napikmo da vrijcdi
jer vrijcdi identitet do je
= 4.224 x 10 7 m
4 4 Primjer 5.11
Raketa noose 711 isyaljena je vertikakto uvis brzinorn vo s povrairte Zemlje. Kolika mom biti
brzina oc do raketa yobjeyne Zernljinoj privlaenosti? RJES'ENJE Poeetna kinetieka energija rakete je K81 = mvg/2, a poeetna potencijalna energija je
48) = -GrnAlz Hz
5. Gruvitacija
Str. 5- 21
Kako se raketa uspinje, njena potencijalna energija raste, a E;") se smanjuje. Svakako, ukupna energija E. je saeuvana pa vrijedi da je
E. = E1,0 +
E;,." +
gdje je npr. E,;;) kinetiCka energija raketc nakon nekog vremena. C nekom Cc trenutku E1 biti jcdnaka nuli "negdje daleko", gdje !c raketa praktiCki biti slobodna od utjecaja Zemlje, a to neka je u r = cc. ZnaCi da je
E(k ') 41' ) = Ek (V = 0) + Egr = oc) = 0, pa vo =
1
je t
2
= GrnMz
odakle je
Sir. 5- 22
D. floruat: Fizika / za FER - Mchanika i top/ina
i kasati da je sila na tijelo rit 2 indeksa je potpuno proizvoljan i sve sto slijedi vrijedi i za zamijeniene indekse) posljednia dovodenja tijela nr 2 n podrueije n kojeni je tijelo ni l stvorilo gravitaciono poljc 7, , ciji je matematitki zapis jednak =
Grn
(5-20)
To gravitaciono polje . je "svojstvo prostora" oko tijela nt, kao posljedica postojanja mase tog tijela. Silo tijela 2n, na 102 je, onda, jednostavno jednaka
2GMz — 11.18 km/s. Rz
(5-21)
F1,2 = 7om2,
To je too. "druga kozmiCka brzina", kod koje se tijelo oslobodi Zemlje i postane novi slobodni Clan SunCevog sustava.
tj. sila je ,jednaka urnnoltu polja (stvorenog masom on' ) i mase T112. Kako je sila F u (5-19) konzervativna, moliemo prema ranije izvedenom napisati
Gm rn2
=
r
Izraeunajte kojorn bi brzinom vo moral() biti lansirano tijelo s povrgine Zemlje da se ono oslobodi Suneevog sustava i krene "po zvijezdanim stazarna".
Primjer 5.12
R.JESEIJE Da bi se tijelo oslobodilo Zemlje, treba mu 2. kozmiCka brzina 02 izratunata ranije, tj. v2 = V2GMz /Rz = 11.18 km/s. Kada se oslobodi Zemlje, tijelo u odnosu na nju nema nikakvu brzinu (po pretpostavci izvoda 2. kozmitke brzine kao minimalne brzine koju valja imati tijelo da at sant° oslobodi). N1edutim, u odnosu na Sunce tijelo ima Zemljinu orbitalnu brzinu vz koju nademo iz ophodnog vremena Tz i polumjera Zemljine staze oko Sunca Ro = 1 aj = 1.496 x 10" m, tj. vz =
2Rrt
Tz
2 x 1 aj x rr — 369 x 86900s
2 x 1.496 x 10" m x 3.14 = 29.81 km/s. 3.164 x 107 s
iii (5-22)
= [v — 1rn2=7tm2, pa vidimo da gravitaciono polje rno2erno napisati kao gradijent skalarne funkcije koju zovemo gravitacioni potencijal OH, tj. (5-23) odnosno, gravitacioni potencijal tijela mase in na udaljenosti r je definiran ovako
=
Gm
(5-24)
Da bi se tijelo oslobodilo Sunca treba mu brzina vs dana preko analogue relacije za Zemlju, tj.
2GRs
vs =
Mo
-= 42.12 km/s.
Tu brzinu tijelo !e postiCi uz porno! Zemljine orbitalne brzine vz i pomoCu brzine Ov koja mu joS ostane nakon gto je saviadalo Zemljinu privlaCnost, tj. vs = vz + Av, pa je Ov = vs — vz = 12.32 km/s. Na potetku je tijelo imalo kinetiCku energiju Eo = mv(1/2 i to se kinctitka energija dijelom potrogi na savladavanje Zemljinog potencijala, a dijelom ostane za savladavanje Sunca, tj.
Za raeun site izmedu razlieitill tijela razlicitih rasporeda masa u prostoru, trio eesto je lakSle izratunati prvo skalarnu funkciju eb(r), pa onda is nje israeunati gravitaciono polje i konatno gravitacionu situ. Svakako pojavljuje se menu "zbrajanja" - integracije preko prostornog rasporeda masa, sto moSe biti krupan problem, old kao u ranijim ratunima sila odnosno potencijalnili energija! Primjer 5.13 Izraennajte gravitacionu poteneijainu energiju toekastog tijela muse on koje se nalazi u blizini homogenog prstena rouse M polurnjera a. Tijelo je nn osi prstena okornitoj na ravninu prstena. Os prolazi
kroz sredigte prstena, a tijelo je udaljeno x od sredigta.
2 1 2 1 — inve = — nav2 + — m(6,12) 2 gto dajc 2 2 2
v3 -= V24 + (6,21) 2 = 16.64 km/s. Ponekad se to brzina zove trc!a kozmielca brzina.
5.4.1 Gravitaciono polje i gravitacioni potencijal Newtonov opei zakon gravitacije F Gon j ondr2 u potpunosti simetrieno tretira tijela rt, i roz. Medutim, mi moiemo sugestivno napisati taj zakon i ovako =
r) rn2
(5-19)
Slika 5.12 uz prirnjer 5.13.
5. Gruoitartja
Ste. 5- 23
Zbog djeliaa prstena duljine de aija je fruits» tijelo to imat cc potencijalnu energiju jednaku (11/ -GendAl/r, gdje je r udaljenost de ad tn. Tu udaljenost moicmo izraziti preko zadanih veliaina r = i kako je to udaljenost jednaka za SVC dijeliae prstena, nju moicmo izvaditi izvan integrals pri raiMnu ukupnog potencijala, tj.
Gm f + a'
V(x) -
Ste. 5 - 24
D. Iforuat: Fizika I za FER Meltanika i toplina
Onda je
dU = G
mo 2R2 ir sin (18 T1
Ukupnu potencijalnu energiju U dobijemo "zbrajanjem" (integriranjem) svih prstenova. Svakako, r, Sc mijenja pri torn "zbrajanju", tj. r, ovisi o kutu 8, prema kosinusovom pouaku r( = R 2 +1-2 - 2rRcos 8, gdjc je r udaljenost srediSta ljuske do masa en. Umjesto da direktuo uvrstimo r, u izraz za U(r), boljc je prije(li na r, kao novu varijablu. Diferenciranjem gornjeg izraza dobijemo
Prsten je hornogen, pa vrijedi da jc linearna gustoaa konstantna, tj. 2r, dr, = 27-R sin B de,
= M=M de =ado,
dM
.
kako je
moicmo sada napisati dU(r) ovako
= pde = pa dcP = 4a 211 dc5
moicmo napisati
iii
dU(r). -G
o 2Rxm
dr,.
zR
1/(x)=
Gen M f ix 2 + a - 27,
(10 = G
Alm "Zbrajanjc" po prstenovima pri kojem bi kut B itao od 0 do r sada Sc svodi na intcgriranje od 0) = r - R do 7-r"'(.9 = zr) = r R. Prema tome je
a
(8 =
r+R
G o4rR'en
U(r) = i dU(r) = Go2rRm i rd , = r
4 4 Izraeunujte gruvitaaionu potenaijulnu energiju za tunku (fiontogenu) kuglinu Ijusku polumjera R i muse M0 i toekasto tijelo muse nt koje se rtuluzi nu uduljenosti r od sredigtu Ijuske!
Prinkjer 5.14
im
r
je iv: = MR/4R2 r dobijcmo potencijalnu energiju tijela m na udaljenosti T od Ijuske polumjera R
U(r) = -G AIRrn
(r > R).
Ako sada izra6unamo potcncijalnu energiju za r < R, onda vidimo da se granite integracije promijene na (8 = 0) = /Z - 7' do 7-r"'(.9 = zr) = R + r, pa je integral jednak m U( r)
_ _ G o2nRm f
dr, = -Go4erRen
R-r uz definciju
(a)
(b)
Sliku 5.13 - uz ratan poteneijalu kugline Ijuske - primjer 5. 14-
ru EENJE Na tijelo noise lr, prema slici 5.13(a) djeluje djclic 1110:02 tiM koja je na uclaljenosti r,, pa je potencijalna energija jednaka dAl m = -G r, Komadie mace dM je u stvari prsten polumjera p. Kako je Ijuska homogena, vrijedi za povrSinsku gustoau a slijedcae
a
dM MR MR —=—= 4R2 s. dS S
pa je
dM =
4/O rr
(1- < R).
Gravitaciona sila je konzervativna, pa moicmo izvcsti raniji rezultat uzevSi rclaciju F = -VU(r) i kako je U funkcija samo od r (iznosa vektora) onda je (vidjcti u dodatak o vektorima o operatoru V) MR171, /7' = -X±U (r)
dr
r' 0
za r > R za r < R.
Dakle, unutar ljuskc cestica mast m ne osje6, nikakvu silu, a izvan Ijuske na testicu djeluje sila koja bi nastala od toekastog tijela mase MR koje je "stisnuto" u totku, a razmak izmedu to tokke i (toekastog) tijela mast en jc r. To je od ranije dobijen izuzetno vaian rezultat.
dS,
a povrSina dS je djelorniano prikazafia na slici 5.13(6). Kada se povrSina "odrnota" dobije se "pravokuttla" Dalje vrijedi, traka (u infinitezimalnoj geometriji) koja ima jednu stranicu dugu 2pa, a druga je lie = R prema slici 5.13(6) da je sin B = p/R iii p = Rsiu 8, pa je t1S = (2per)de = 2R2 rr sin 8d8 i dobijcmo da jc
dM = • 2112 sin dB.
on
U(r) = -G
4 4 Zadatak 5.3 Izraeunajte poteneijalnu energiju toekaste mase at koja se nalazi na oat koja je okomita na 7'007tinU homogenog tankog prstena muse M i polumjem pa. Os prolazi sredigtem prstena a Ma5a to je udaljena x od ravnine (is ranijeg prirnjera raeuna site).
5. Gmrstacija
Sir. 5- 25
RJESENJE:
= —Grnitt /(17 2 + a) 112.
Sir. 5 26
Mcharaka i toplina
D. Norval: Fizika I za FBI?
U slijedeeem primjeru primijenjen je Gaussov teorem na raeun gravitacione sile unutar masivnog tijela. Tim je raeunorn prireden slijedeei primjer koji pokazuje zaniniljiv rezultat harmoniekog titranja povezanog sa silom gravitacije
Primjer 5.15 Gaussov zakon za gravitaciono polje Za raeun gravitacionog polja. razlieitog (nesimetrienog) rasporeda
hraeunajte situ na tijelo muse m unutar masivne kugle ukupne muse Al i polumjera R. lzraeunajte i i potencijalnu energiju.
masa, integral preko dm najteSee je vrlo teSko analitieki izvrijedniti. Medutim, za pojedine simetriene situacije pogodnoje uvesti, porno& sjednog teorerna iz vektorske analize metodu raeuna koja je vrlo praktiena i vodi do brzili rezultata.
R.JEF,NJE Neka se tijelo m nalazi na udaljenosti r od sredika kugle. Sila kojom djelujc tijelo jcdnaka je umnoktu masc m i gravitacionog polja proizvedenog masom M na mjestu r. Poljc Cemo izratunati pomo6u Gaussovog tcorcma za gravitaciono polje, tj.
U vektorskoj analizi nalazimo integralni teorem poznat pod imenom Gaussov teorem ili teovem divergenciji vektorskog polja (vidjeti dodatak o vektorirna i vektorskoj analizi) koji kade da za opCenitu vektorsku funkciju A(fl prostornili koordinata rrairemo napisati slijedeee
A • dS
= i(DA) • dV.
(5-25)
JS Zatvorcila povrina
1
5 • d.; = —17Gmv,
y.
gdje je me masa unutar volumena l'r koji je odreden Gaussovorn povrinorn - povrianom kugle polumjera r. Kako jai • d.; = (ry(r)) • (r. dS) = g(r)dS, dobijemo
Volutricil v
dS = —47rGmy
g(r)
g(r)47-2 r = —4nGnty .
Prirnijenimo taj teorem na gravitaciono polje g, razmotr vSi prvo slijedeei Tatum Kako ,je kugla homogena, vrijcdi da Jr e7 • dg = —Gmv f dS =
f r 2 dfl = Gmv4 7r, r
r2
V
(5-26)
M _ mv Vk —
V
gdje je mw masa unutar volumena odredenog povrSinorn po kojoj smo integrirali. Tu masu ino'iierno izraeunati tako da izratunamo integral preko gustoee, tj. irty =
p(F) dV,
II _ my 4R3 7/3 4r3 7/3
ill
r - /1/ my = 2
i kada to uvrstimo u izraz za g(r), dobijemo g(r) = — (G /1.0)r, pa je vektor gravitacionog polja unutar tijela ukupne mast i polumjera R na udaljenosti r od sredista (r < R) jednak GM
=
(5-27)
R3
r.
Sila na tijelo m Jr i ako taj izraz uvrstimo u jednakost (5-26), dobijemo
F(r) — Kada se m priblilava povrkni, onda r
il • dS = —47rG f p(rldV,
GrnAl 7'
(r < R)
R3
R pa Jr za r = R (na povrkni)
(5-28) F(R)
i na li,jevu stranu primijenimo Gaussov teorem, pa dobijemo
f.GRM2rn.
Kada,je r > R, onda je row = Si, a Gaussova povrSana je S = 4r2 7r i dobijemo
f g dS= / G • (7 dV = —471-G f p(F) dV V
ill
g(r)4r2 77 = —4rGAI iii
tj. "rekonstruirali" smo opCi zakon gravitacije, tj. rezultat ranijeg zadatka gdje smo dobili da je ails proporcionalna (inverznom kvadratu) udaljenosti sredika tijela, a ne ovisi o velitani kugle lease tl .
C7# = —471-Gp(F).
Umjesto (kornplicirane) vektorske funkcije - gravitacionog polja rj - rrioemo uvesti gravitacioni potencijal d(r) relacijoin (5-23), tj. J. = i kako je V • V = 0, gdje je O Laplaceov operator, dobijemo
Potcncijalnu energiju odredimo iz definicije konzervativnosti site F
AO(F) = 471-Gp(F),
g(r) =G4A , r-
(5-29)
(5-30)
=
—VE,(r) = —r 7 d En (r)
GR M3m r =-
Sto vodi na jednostavne integralc
To je Poissonova jednadiba, eije rjegenje u sebi ukljueuje rjeSenje Laplaceove jednadibe (kada je desna strana jednad2be (5-30) jednaka null). Za njeno rjeSavanje postoji niz analitiekih i numeritkih rnetoda. Ona je vrlo va Z . na u astrofizici i kozmologiji, gdje se razmatra stvaranje gravitacionih potencijala za razlieite rasporede gusto& (zvjezdane ill ineduzvjezdane) tvari
f dEn (r) — E,,(r < ) =
GM ra
f r dr tj.
G Mtn
2R3 r
2
r Ey (r),
5. Gruvitacija
Str. 5 - 27
gdje konstantu C odredimo iz vrijednosti potencijalne energije na r = R. nallijC 81110 izraeunali da jc za r>R =
i dva izraza ra r i r > moraju biti jednaki na r = R, tj. iz E,,(r < = R) = E0 (r> = R) dobijemo G NIzn +C= 2R
CAA nt ili C= R
—
3G 11.1 tn 2R '
G Mtn 3 r ) 2R ( R2 G Alm
EN(r) = ll
D. Horvat.. Fizika I za FER - Mehanika i toplina
Ste. 5 - 28
Pri gibanju planeta oko Sunca (ili nekog mjeseca oko njegovog "roditelja") planet svojom putanjom odreduje ravninu gibanja, a u svakom je trenutku položaj planeta moguee opisati dvjema koordinatarna npr. Kartezijeviln koordinatama (x,y), ili polarnim koordinatama (p, itd. Pri torn opisu jedinilni vektori pripadajueih Kartezijevill koordinata (1, ne mijenjaju se kako se mijenja poloiaj planeta, dok se jedinieni vektori polaruilu koordinata 0) mijenjaju s vrernenorn. Ranije smo opisali vrernensku derivaciju .jednienih vektora i naMi smo slijedeee odnose
pa je
di = =1714 dt (10 = –fw Id4-51=19;1d0
za r < R za r > R.
dt
dlil =Ifi d0 = dt dt 0 _= III dt dt
(5-31)
A A Kroz Ze7nlju je izInden tune! dui njene osi (da se izbjegnu neinercijulne sile). Tijelo muse In ispuReno :je no "yo7-71jein" otvoru. lzra&unajte kako so giba
Primjer 5.16
RJEENJF: Ka udaljenosti r od srediSta, na tijelu mast Tn djelujc silo prema prethodnurn zadatku F
=
pa je jednadTha gibanja
d'r.
rn— i' = —rG d ,
Mx n)
4
r sto vudi na '
r
+
G M7
/4
Slika 5.14 - gibanje planeta u ravnini po krivulji od P1 do P2 brzinom 13.
' r = 0.
Takvu jednadibu rijeSili smo ranije, u prvom poglavlju kada smu razmatrali itranje tijela na opruzit, a jednadiba je bila oblika + = O.
osnovu tilt rezultata ina2,erno napisati izraz za vektor i iznos vektora brzine planeta koji se, prema slici 5.14 giba po putanji od PI do P2
RjeSenje naSe jednadthe je x(t) = Rz cos Let gdje saw z–os uperili prema sjevernom polu. KruXna frekvencija ovdje je dana ovako = VGAIx//t.; = 27/T. Titrajno vrijeme Jo sada
=
dr
dt
+ TLJ(P =
r t.P (-4 i
oz =
r2 ((P ) 2
(5-32)
Onda je ukupna energija E boja je jednaka zbroju kinetieke Ek i potencijalne energije E5(r) jednaka T = 2r
GMi
= 5.069 x 103 s = 1 sat 24 min 29 s.
Ako, undesto da ispustimo tijelo u tune!, bacimo tijelo tako da obilazi Zendju kao satelit (sasvim blizu Zendje), onda dobijerno, prema ranijem primjeru, da je brzina ophodnje = VCAlz /Rk. Za putanju tijela (opseg kri.O.nice) vrijedi 0 = 2R2rr = .uT , pa je T = 2r
E = lniv2 + EN (r) = 1(1' 2 + r 2 (lA) 2 ) + E p (r). 2
Vektor kutne kolieine gibanje (moment kolieine gibanja) je
I=
z
„dr dt
-
-
X Mg = 11 X [in(r— + 7-4,0)] = k
Mz
dakle vrijeme titranja (kroz tunel) jednako je vrernenu ophoda (kao satelit)!
(5-33)
i taj je vektor okomit na ravninu gibanja. Preko kutne brzine
2
(5-34)
L maelno uvesti u izraz za ukupnu energiju
2 E= m 2+ + (r),
A A
2• 0,
2rrer2
(5-35)
pa je kinetieka energija izr0.ena preko radijalnog dijela (doprinosa) mi.2 /2 i rotacionog doprinosa L2 /2mr2 = L2 /210, gdje je 10 moment tromosti centra maw CM. Ponekad se uvodi try. "efektivni potencijar V, f (r) 5.6 Kinernatika i dinarnika Keplerovih zakona t Vidjeti vise o harmoniekom titranju u knjizi D. Horvat: Fizika II
definiran ovako V,/ (7') = Ep(r)+
L2 L2 2mr2 =v' 'r) + 2 /o
(5-36)
5. Gravitarija
Str. 5- 29
Sir.
D. Homo.: Pizika 1 za PER - Melianika i toplina
5- 39
V(r)
0
vo
Slika 5.16 - cfektivni patcncijul i energija planeta, s "to6karna ()Grata" r± , gdje je E = V, f f (7).
Sliku 5.15 - Prikaz ,Mencijalne energije s privlaerrint 1/r) i odbojnirn (— 1/r2 ) doprinosom. Odbojni doprinos . esto se naziva "centrifulgalna barijera".
Drugi doprinos u gornjern izrazu zove se "centrifugalna barijera", jer daje odbojnu kornponentu ukuprioj sili, a u rotirajueem sustavu irna karakteristike centrifugalne (pseudo) site koja djeluje od sredita. li slutaju gravitacionog potencijala Ep (r) = —G m ir izgled efektivnog potencijala prikazan je na slici 5.15 (vidi i sliku 5.16), gdje vidirno da za mali r dominira drugi (odbojni) elan, pa potencijalna energija ima stabilni minimum na r = re. To zna.ei da je planet vezan - ne mote pobjeei iz tagrljaja Sunca. Analognu situaciju imamo na mikroskopskoj razini, gdje se u npr. vodikovom atomu javlja privlaena Coulombova sila - sila invcrznog kvadrata - koja proizvodi potencijalnu energiju koja ima analogni oblik kao gravitaciona, a javlja se isti odbojni elan, centrifugalna barijera, pa potencijalna energija ima isti oblik kao na "gravitacionoj slici". Svakako, mikroskopskoj situaciji doprinose i drugi efekti, poput magnetskili medudjelovanja, dipolnih medudjelovanja, relativistiekih popravki itd. Na razini jezgre, takoder se uvodi odbojni porencijal, odnosno potencijalna energija matematieke ovisnosti N 1/r° gdje je n > 1, a to uvijck osigurava stabilni minimum. Takodcr se slieni odbojni potencijali uvodc u fizici molckula za opis stabilne kristalne rektkci.
Polotaji r± odgovaraju tjemenima T, i T' elipse na slici 5.3. Toeke r+ zovemo take obrata. jer motemo kazati da se planet gibao u jednom smjeru (gledajuei projekciju putanje pri kojoj stavimo oko u ravninu gibanja i vidirno da se planet giba samo lijevo-desno) do totke r+ npr., a zatim se, naiaii8i na potencijalnu barijeru koja mu neda da pobjegne, odbio i vraea se natrag do r_, gdje mu se isto dogodi. Te toae obrata predstavljaju totke najmanje i najveee udaljenosti od Sunca. Najmanja udaljenost planeta od Sunca zove se perihel i ona je jednaka r_ = a — c = a(1 — E), a naiveea udaljenost od Sunca zove se afel. Ona je jednaka r+ = a + c = a(1+ Te vrijednosti motemo dobiti i pomoeu koordinata tjemena T, i T1, prerna slid (5.3). Periliel i afel ovise o energiji, a rnotemo jlt izraziti iz .jediradtbe (5-40), tj. iz
k E
2
r; + —r± — 7.± =
= 0 dobijemo
2Ern k [1+ ( 1 + 2EL21121 2E mkt
(5-41)
Stabilni minimum potencijala lako odredimo iz
k 1,2 tj. — — + — — 0 #. re — mr3 rz rrik
7 ( 77 17, 1(r)
(5-37)
-
a vrijednost V1 u 7-0 je nelc2 teJ (ro) = —277. Ovdje sino uveli pokratu k = GAlm. Mo2emo kazati da je planet mase energija ogranieena ovako urk 2 1 < E < 0 ili — 2L2 < E <
7n
u vezanorn stanju, a da mu je (5-39)
Za neke vrijednosti energije (koja je, dakle negativna) unutar gornjih granica motemo razrnotriti izraz za ukupnu energiju: kada se planet giba (po elipsi) onda ee na udaljenostima r± radijalna komponenta brzine biti jednaka nuli, tj. r = 0, pa je u torn slutaju ukupna energija jednaka
E—
r±
(5-40)
OE = T_
(5-42)
k k ( 2EL2 ) I12 - - — — 1+ = a + (LE -a• r4_, 2E 2E mk 2
(5-38)
Vo =
k k ( 2EL2 ) 112 =a— mkt 2E +2E 1+
to daje slijedeae izuzetno vatne relacije
E
(1 + 27E ,kL22 2 ) I/
E=
i L = [mka(1 — E 2 )] I /2.
Energija ovisi samo o velikoj poluosi, a neovisna je o ekscentricitetu
E.
(5-43)
Konstanta k jednaka je k = GmAl.
Odgovarajuea najbliia toeka putanje Zcmljinog satelita zove Sc perigej, a toeka najveee udaljenosti zove se apogej. Opeenito se za elipsu kao analitieku krivulju to toeke zovu pericentur i (woe:en/ay.
5. GrallitaCija
Sir. 5- 31
5.5.1 Drugi Keplerov zakon i opci zakon gravitacije Razniotrimo sada gibanje planets pod utjecajem gravitacione site. Planet Mut ukupnu energiju koju smo upravo razmatrali. Prema slici 5.14 planet ee od P, do P2 doer za vrijeme At gibaju6 se komponentom brzine v u smjeru d, tj
Str. 5- 32
D. Horvat: Fizika 1 za ELT- Mehanika i toplina
uz k = GA,1m. lz gornjeg izraza ,jednostavno izrazimo a a = /T2 GM,4472 = 2.683 x 10' 2 rn. Ekscentricitet je
PtP2 = no elt = rdAt =
(5-44)
Du'inia PI P2 okomita je na r pa je povrtina prebrisana radijusvektororn r pri potnaku 1 — 1 • AS = P2 = – r2 elt, odnosno 2
AS
, – 1 2 Cf) '
P2 jednaka
6 = 1 – r_/a = 0.968, pa je mala poluos jednaka b = as/1 – E 2 = 0.252 a, tj. jednaka je otprilike 1/4 velike, 9to znati da je eliptitka putanja Halleyevog kometa jako izdu5ena.
(5-45)
a to ,je dalje jednako, prema (5-34) 5.6 Prvi Keplerov zakon i opCi zakon gravitacije
AS L At – 2m .
(5-46)
Za centrallie site (tj. za site koje ino2erno napisati ovako F(r) = ±f- f (r)) kutna kolieina gibanja L,je saeuvana, vremenski nepromjenljiva veliOna, pa je prema tome i AS/At –■ dS/dt takoder vremenski nezavisna velieina. To znaei da ce sve povrtine ASi koje radijus vektor planeta prebrite u istirn vremenskim razmacima At biti inedusobno jednake. To je iskaz drugog Keplerovog zakona geornetrijski prikazanog na slici 5.2. 5.5.2 TreCi Keplerov zakon, eliptiae putanje i opCi zakon gravitacije Pri objatnjenju treeeg Keplerovog zakona iz Newtonovog opeeg zakona gravitaci,je, pretpostavili smo u jednorn trenutku da se planet giba po kruZnici. Medutiln, po prvom Keplerovorn zakonu, planeti se giba,ju po el tako da raniji izvod za kružnu kruinu stazu valja korigirati.
Ovdje zelimo odrediti putanju eestice mase rn u gravitacionom polju mase M, pri gibanju koje odgovara gibanju planeta. U izrazu za ukupnu energiju motemo uvesti pokratu r2 tk = L/m = 8, pa je onda d
12!r4 [(11dL) tk + V(r)]
T=
L
(5-50)
(5-51)
du
(5-47) To sada uvrstitno u izraz za ukupnu energiju E, pa dobijemo
nt k
i konaOlo
rrth2 [
( PI) do
+
= E – V(1/u).
(5-52)
Thema tome, problem nalaZenja r(t) sada je preveden no odredivanje funkcije u = (5-48)
T=
= E.
drdr du 1 du = dO du dO u2 dO dr 1 du 2 = – .u7Tk hu =
2 271-nra2 (1 – 0)1 / 2 = 27c/ 3/ 2 [111k(l(i – ( 2)] I /2
(5-49)
Ovdje je dobro uvesti noun varijablu u = 1/r I uz du = (-1/r 2) dr dobijemo
Onda je, uz pomoe jednad2.be (5-43) i rezultata primjera 5.1 29-nabrr
dr it dO 72 '
i izraz za ukupnu energiju posta,je
Vremenska promjena povrtine dana je jednadtbom (5-46), pa je dS = (L/2m) dt. Za jedan cijeli ophod je t = T, a povrtina elipse jednaka je S = atm, gdje su a i b velika i mala poluos elipse (vidjeti sliku 5.3), tj. abrr = —T. 2In
dr dO
dt r = dO dt
Uvedinto sada potencijalnu energiju
27(1312
V(r) = –k/r gdje ,je
Ponovilo je ouljer T2 /a3 jednak konstanti 472 /GM, tj. reproducirali min) treai Keplerov zakon za eliptiene putanje! Primjer 5.17 Halleyevt komet ima period (ophodno vrijerne) 76 godina, a Sur cu se pribliii najvige na udaljenost 0.58a, tj. udaljenost per-dre/a mu je 0.58 a, gdje je a vehka poluos Zero!jine eliptieke putt,* oko Sunca. lzraeunajte ekscentricitet putanje Halleyevog korneta!
k = MrriG
odnosno
1/(1/u) = –ku i uvrstimo to u gornji izraz 2 (du ) + 0 2 2E ± 2k u ill dO) rIt 2 rnh2 – odnosno du 2E ± 2k , rair2 rnh2
J V
(5-53)
RJEk:NJE Ranije smo izveli formulu za eliptieke putanje u obliku 27a3/ 2 T– N/Dc ,1
2mzra 2 (1 – 62 ) l / 2 [mka(1– f 2)P/ 2
Edmond Halley (1656-1742) engleski astronom koji je otkrio i po eijem je imenu dobio ime jedan od najveall i najzanimljivijih kometa Suntevog sustava.
0(u)– f
du
2mE 2km L2 L2
/I
2
Vidjeti dodatak poglavlju 5, gdje je isti rezultat kao u ovom odjeljku dobijen integriranjem jednaclibe gibanja.
5. Gravitacija
Str. 5- 33
I VA +2Bx – x 2
– arccos
_ VB2 + A
(B2 + A > 0)
=
GA1
1 r= 1 + cos 0
(5-56)
1 a(1 – c2)— – 1 r_
= 1,
pa ,je
= 0.
7.04 km/s.
Kod paraboliene putanje e = 1, pa jednacliba putanje dajc
\/1 + 2EL2 /k 2m
Ranije smo pokazali da je nazivnik jednak c (vidi (5-43)) i da vrijedi L2/mk = a(1 – c2 ). Takoder je u primjeru 5.1 uvedena oznaka p = b2 /a = a2 (1 – E2 )/a = a(1 E2 ) = L2 Irrek, pa sada moiemo za = 0 odrediti konstantu koju nazovemo 40
cos 40 =
gdjc je k = GIrtAl i p = Oink. Iz gornjc jednakosti je
(5-55)
i
(km/L2 ) ,\11 + 2EL2 /k2 rn
L2 mk
+ e cos 0
1 r = „7,, (mrv012 pa jc
km L2 + Cr. k2 m2 2rnE V L4 + L2 u
Poeetni uvjeti su: za = 0 r = r_ = a(1 – E), ti planet npr. je u perihelu (najmanjoj udaljenosti od svog sunca), §to daje u – km/L2 (L2 I krn)u – 1
cos(0(u) –
D. Horvat: Fizika 1 za PER • hieltanika i toplina
(5-54)
i vidimo da je A = 2mEIL2 (E < 0) i B = km/L2. Nadalje, mora biti –E < k 2rn/2L2. Da je to doista ispunjeno pogledajrno efektivni potericijal Ile j(r) = L2 /2rnr2 – kir. on ima minimum za ro = L2 Irnk i j (ro ) = –mk212L2. Energija planeta veea je od to vrijednosti (vidjeti sliku 5.16), tj. E > vrijednost rak2 /2L2 , Ito pokazuje da .je uvjet na integral ispunjen. Rjegenje integrala je
0(u) = – arccos
.74
Za kr10.ne stazc numerieki ekscentricitet jednak je nuli e = 0 (vidjeti primjere 5.1 i 5.2) i kako .je kutna koheina gibanja ,jednaka Lair2 0 = rnr(r G) = mrvo, iz jednadibe putanje dobijemo
Zadnji integral pronademo u tablicarna integrala (Bron§tejn, npr.)
x–B
Str.
gdjc jc opet p = L2 /mk, gto vodi (za = 0 prema = 9.96 km/s. Ako jc brzina na vo = veea od gornjc, e ce postati vcei od 1, pa ee satclit napustiti Zemlju po hiperboliekoj putanji.
(5-57) Slijedeer prirnjer je vrlo va;i:an ,jer se u njemu pojavljuje niz ranije uvedenih velieina vrlo va'Znih za razurnijevarrje gibanja planeta, kometa, satelita i sl.
Dakle, putanja planeta r(0) jednaka je cos ¢i(r) = r–
p/r,– 1
ili
p
Komet je u jednorn trenutku udakren 4 aj od Sunca i giba se brzinom od v = 18 km/s. Smjer brzine zatvara kut od a = 25° sa spojnicom komet-Sunce (prema shel). lzraeunajt, ekscentricitet staze, najmanju i rrajverr udaljenost do Sunca (udaljenost perihela i afela), veliku poluos, period i brzine u perihelu i afelu. Primjer 5.19
(5-58)
1 +ccos¢i .
Taj rezultat da,je opeenito gibanje planeta u ovisnosti o c koji je funkcija energije. Ako je c < 1, gto je ispunjeno jer je E < 0 (vid,jeti ,jednadžbu (5-43) i primjere 5.1 i 5.2) onda imarno gibanje po elipsi, dakle dobili smo prvi Keplerov zakon!
Satelit je /ansiran iz rnjesta A na Zemlji (prema slid) i do toeke P postigao je brzinu yo. Udaljenost toeke P do srediata Zernlje S je 8 000km, a brzina u tocki P je okornita no spojnicu SP. Kolika
Primjer 5.18
morn biti brzina
da bi putanja planeta bila kruinica, a koiika da bi tato parabola?
Slika 5.18 - Gibanje kometa oko Sunca, uz primjer 5.19 RJESENJE Kutna kokina gibanja L = mr x v konstanta je gibanja, eiji jc iznos jednak L = mry sin(180° – 25° ) odnosno, ranije uvcdcna konstanta h jc jednaka h = L/m = rosin 155°. U izrazu za (numcrieki) ckscentricitct P
e2 = 1 +
2EL,2 mk-
gdjc jc k = Gm/11
encrgija je jednaka E = rnv2 /2 – Gm11//r iii Elrn = v 2 12 – Ako to uvrstimo u izraz za ekscentricitet, dobijemo 1 + 2 (1,2 CM 1 (rvsini.550)2. r I WC'
Slika 5.17 - Putanja satelita lansiranog iz rnjesta A - uz prirnjer 5.18.
livrkavanjem brojenih podataka dobijcmo e = 0.927, gto pokazujc da se doista radi o elipsi (c < 1), jer je (ukupna) encrgija negativna.
5. Gravituciju
Sir. 5- 35
Iz dva izraza za h = Lint tj. iz Lint = rosin 155° i L 2 /m 2 = MG'a(1 - c
Str. 5 - J6
D. Ramat: Fizika I za FER - Mehanika i toplina
dobijemo izraz za
veliku poluos (rosin 133°)2
=
1.108 x 10" m = 7.407 aj.
MG(1 - (')
Cdaljenosti peribela i afela su u odjeljku 5.6 danc ovako (vidjeti i printiere 5.1 i 5.2): r- = 0.(1 - e) + (), st t ilaje r_ = 0.541;0=8.098 x 101° w i r + = 14.274 aj=2.133 x 10" in. (Polovina zbroja r_ i r+ jednaka je velikoj poluosi ,11)
rt =
U odjeljku 5.5.2 izraeunali slim period T za eliptieke putanje, tj. T=
2ra 312
CM
= 6.360 x 108 s = 20.15 sg.
(sg stoji za siderieku godinu - vidjeti tablicu u dopunu poglaviju DP5,3).
ili
U jednadZbi (5-43) dan je izraz za ukupuu energiju preko velike poluosi E = -k/2a = -GMrnI2a, Elm= -GA-1/2n, a s druge jv stranc ukupna energija jednaka zbro, ju kinetieke i potencijalne energije,
tj. E=
1 2
mu
2 GMAI. . 1 2 CM 111 E lm = - u - — r 2 r
Slika 5.20
i to je velieina konstantna. Za peribel tj. za r = r_ dobijemo brzinu u periliclu u_ i isto za afel. Dakle, 2 Cal _ ,* 2a 2
M ri =
-
Prijelaz 5 mar/je na yee:u stazu Hohntannovorn putanjorn.
1)1 /
ato daje
= N./111 (2 r± a
i
dobijemo da je v i =
, pa je energija jednaka ti, = -p/2r, Brzinu vt valja pove/ati na da se putanja od kru2ne pretvori u eliptitMu (E imnedu A i B) so koju je 2a = + r2 i sa koju je energija. jednaka pericentru)
2.132 krri/s i u_ = 56.212 kin/s.
,2 1,,
Ir
2
r,
in 2[ri
in r1 + r2
r2V2)
(5-61)
dobijemo do je
Methiplanetarito putovaoje - liolunannovi prijelaz l'ri prijelazu it jedne (najeeeie..e kruZne) stave oho
2r 2
nekog planeta na drugu (puno vetM - kru,i,nu) stazu (ili obruuto) koristi se tow. Hohmannova putanja iii prijclaz koji se sastoji od slijedarili mnuevarn kOje (V1110 iikralko opisati sa stanoviSra povehnja broilia
(5-62)
1.1 + '1.2 •
(kolitina gibanja) na odgovarajuenn mjestima: svemirski brod kru2i po pmanji polumjera r1 (prema slid
1<011611a gibanja koju Lreba predati satelitu da bi ou preiruio iz krtrime u eliptUMu stazu je
5.20).
iii
=
-
p
U pericentru (tot'ka A) brzina se poveea na vetM vrijednost pa putanja od kru2nice postane elipso
(5-63)
Ten
E. 1
7'1 (Vri ;8'2
I)
jedne putanje na drugu i oko razlieitih planeta. Oeit za prijelaz na vanjske planete valja prvo poveeati brzinu,
1
dok za prijelaz na unutarnje planets (Venera, Merkur) treba brzinu (u to(ki A npr.) smanjiti. R.a.zmotrimo
kutne kolieine gi banjo
polumjerom r2. Jasno je da se tako mote, kako se pokazuje, najekononknije (po poLro&nji goriva) prijed s
1111.20H pa je
sada taj prijelaz dinamitki: energija (po jedinici nurse) na putanji poluntjera u1 jednaka je
rla
vn
= E1
uz
=
p = CM.
(5-59)
1.2
'Ile brzinu valja prornijeniti na brzinu
Iz izraza za centripetalnu silu (po jedinici rnase) koja je proizvedena gravitacijskorn silom
brzinu (krMilenja) vrijedi vp = 14
rt
; -7
V r2 V r i + r2 .
(5-64)
kojont ee se brod nastaviti gibati kruinom stazom polumjera r2. Za Prornjena kolieine gibanja za taj rnanevar je iSpr = rnv'2 - ncon iii
(5-60)
rn
=1 T 1 (1 \/ 2r1 r2 r I + 1. 2
(5-65)
1 Walter Hohmann (1890-1945) njernaeki inknjer i astronorn-amater. Izraeunao je 1925, godine energijski najekonornieniju putanju za prijelaz iz jedne orbite u drugs. Pri tome je manevru prijelazna putanja tangencijalna
Primjer 5.20 Iz kruirte orbite oko Zernlje sa svernirske stanice treba poslati na Zernlju satelit tako da on
na potetnu i konaenu.
tangencijaluo napusti putanju i u taki P, preina slici, tangencija/no stigne na Zernlju. K0j0771 brzinom treba
Sir. 5- 37
5. Gravitacija
D. Hanle.. Fizika I as HER
Str. 5- 98
Shka Shka 5.19 - Putanja satelita
i kruina
Mchanika i
5.21 Putanja mkete oko Zemlje - uz
toplina
primjer
5.21.
putanja stanice - uz primjer 5.20
U toj teal raketa ima energiju jcdnaku (uz p = GMz) stanica na h = 12600km iznad pavrgine na stanicu.
poslati satelit ako je Zernlju i
u
odnosu
Zemlje? lzrajunajte to
brzinu
u odnosu
na
EB V 2 p En = — = – — = –1.379 x 107 J/kg. m 2 re Pomoeu izraza (5-43) izraeunamo prvo eksccntricitct clipsc
RJEOENJE Izaberimo koordinatni sustav tako da je on apscisom poloien na spojnicu stanice, sredi8te Zemlje i totku P. Iz definicija udaljenosti perigeja i apogeja, tj. ri = a(1 t e) gdje jc r+ = Rz + h i r_. = Rz, dobijemo da je e = 0.497, pa za veliku poluos eliptiene putanje satelita dobijemo da jc = 12 700 km jer je r+ = 19 000 km. Iz izraza za parametar elipsc p = L 2 /mk = b2 /a = a(1 – e7 ) uz L = rery dobijemo za brzinu u apogcju
2EL 2 = (1 +
) 1/2
Zatim odredimo veliku poluos clipsc iz izraza v+ =
la(1— e2 )MzG
3.26 km. – a =
U odnosu na stanicu za raeun brzinc valja uzeti u obzir i brzinu stanice koju nademo iz zahtjeva da .je centripetalnu silu proizvela gravitaciona sila na udaljenosti rG = Rz + h, tj. mu 2 GMzm
Fo
en
tj.
V
=
G
( 2E/30 ) /2 = 1 + =
E = —k/2a,
z=
2E1,
0.598.
odnosno
1.445 x 107 m.
Pcrigcj je od (sredieta) Zeml,je udaljen = a(1 – e) = 5.801 x 10° m, no to je udaljenost mania od Hz, pa cc raketa udariti u Zemlju no povratku, prema slid.
4.68 km/s.
°tit° treba ispaliti satclit u suprotnom smjeru od gibanja stanice da se dobije (mania) brzina v+ , tj. v„, = –1.38 km/s. Primjer 5.22
Oestica je
bac1ena uvis s povreine
Zemlje velikom po6etnom brzinomvo. Koliku Cc maksimalnu
ViSintt II postiCi C:estica? lzvrijednite kona(ni IZMZ za vo =
1 000 m/s uz kut ;mama osi r (Jerrie, shni) jednak
600 . Primjer 5.21 Raketa je iansirana s povrgine Zemlje i u trenutku kada je bila na udaljenosti ri3 = 6500 km (tj. u tolki B na .546 5.21) ona je potrodila sve gorivo i postigla brzinu ve = 9750 m/s. Arjena putanja twirl je zatvorila kut y = 16.4° sa stazom. (Valja uoeiti kako je, uobijajeno pri takvim promeunima, definiran kut v'!) iz gornjih podataka treba izraeunati da li de raketa postati Zeraljin satelit iii ce nn povrtku, pri pokugaju obilaska Zemlje ipak udariti u nju! R.JEENJE Raketa ee postati satclit ako joj staza odredena podacima re , va r_ > Rz. U to6ki B raketa ima kutnu kofieinu gibanja jednaku La = mrovo
sin(90°
ili
ha =
Le
i IP
R.JES'ENJE S obzirom na veliku poeetnu brzinu morarno zadatak rijediti u okviru tcmc ovog poglavlja, a TIC kao "obieni" kosi hitac. Neka su komponcnte poeetne brzinc 170 v.e i v, (promo slici 5.22), a kada testico postigne maksimainu visinu H, Iljellil brzina u vertikalnom smjern jednaka je 1111ii. Putanja koju opisuje Cestica je eonjosjeenica s odgovarajueim pararnetrima. Pri tom je gibanju saeuvana energija i kutna kolieina gibanja s obzirom na sredike Zemlje.
to dopusti, tj. ako je
= rime cos le = 6.080 x 1010 m7/s.
La =
U najvieoj toeki putanje kutna kolieina gibanja je Le = m(Rz + H)ve, a u totki lansiranja jc RznIn i vrijcdi da je L0 = LH , tj. m(Rz + H).un = Rzmv, Sto dajc brzinu Hz v"
Hz + Hv.r.
.Stu. 5 - 39
.5. C/rivitat,Ou
Str. 5- 40
D. Horuat: Fizika I za FER - Mehanika i toplina
Sliku 5.22 - "Kosi !tittle" velikom brzinont u gray lacionorn polju Zemlje - uz primjer 5.22. Sliku 5.23. - Spuitanje na Veneru Hohmunnovorn pulanjorn, uz primjer 5.23. Kuletiaa energija na poCetku je
,(0) = 2
k
'"1..c
..2,
7-
.2 /
__2 2
"`u0,
a potencijalna energija je
KoCenjem brzina se smanjuje na yo i putanja prelazi u elipsu koja predstavlja Hohmannovu krivulju prijelaza. Velika poluos a jednaka je prema slici a = (ro + R0 )/2. Vrijedi, prema formulama (5-43) da je
G 711 Alz
E,(o)
Rz
E
Na visini H odgovaraju& energije su
2a
—
GraMv 2r (o + Rv)/2
—
1 Mll
2
GmAlv
2
*a
pa je
El") pa
2
vrijcdi 1 2
a
GHIA! z Rz
=
E,;')
GmM z, Rz + H'
1 ITLV,2
G'rn z Rz +
2
V 2GMyRy = 3.314 km/s. ro(ro + Rv)
U toai .4 brzinu ociredimo iz zakona saCuvanja krune kohedne gibanja Po elipsi, tj. rooteo = RymoA, pa je va = co(ro/Ry)= 8.901 km/s.
Iz to jednakosti izrazimo Rz + H, tj. dobijemo kvadratnu jednadibu idje je rjeknje
—GM z t V(G Mz ) 2 + (Hz v,vo ) 2 — 2G M z (Rz + H)= 2GAtz /Rz UvrStavanje zachudh podataka daje // = 3.865 x 102 In.
4 4 Putanju sonde poslane no Veneru je parabola (P na slici 5.23). Kada je solider no najroanjoj udaljenosti od (srediStu) Venere (11 toeki B) jednakoj ro = 16 090 km, rakete uspore sonde pa njcita ona tungencijalno dole do Venere. lzrueunajte brzinu sonde vp no putanja postaje elipsu tako da u toeki parubolienoj putanji, brzinu sonde va u toeki B i brzinu vA u toeki A. Po/conjer R0 Venere je 5990 kin, a masa je dana u tablicuma.
Primjcr 5.23
RJEENJE Iz primjera 5.1 za parabolu je e = 1, a iz odjcljka 5.6, formule (5-43) vidimo do je ukupna energija jednaka nuli, pa zakon saCuvanja energije daje
4 4 Dvije Zemljine stanice S i P gibuju se kruinim stazumu K1 i K2, prema slici 5.24 oko Zemlje istim ravninama. Polumjeri stazu su r1 i r2 = 6 ri . Iz stanice S treba poslati ruhela u stanicu P tuko da Holimannovoin pulanjorn raketa tangencijalno napusti Ki i cliptiekom se putanjom tangencijalno .susretne. u toeki B so stunicom P. Kolika je relativnu brzinu rukete u odnosu no slanicu S u trenutku lunsirunja? Ako je a trenutku lunsiranja stanicu P bila a toe5ki A, izraeunujte kut a prema slici. Ruzinotiite i trenutuk susreta rakete i stunice so stunovi&tu brzinu! Printijer 5.24
R.JI•iI{NJE Neka je ishodiAte inercijahlog koordinatnog sustava u srediau Zemlje. Brzinu u toOki Iansiranja rakete dobijemo iz izraza za ukupnu energija, tj.
E —
2a k
GMzin 2(r1 + ,2)/2
ro
Vp =
\I2GMv ro
0
odnosno
GMzm
7r
r,
12mv2A,
gdje je velika poluos (Hohmannove) elipse prema slici 5.24 jednaka a = (r, + r2)/2 = 7+42 Iz gornje jednakosti dobijemo brzinu rakete u inercijalnom sustavu
vA 1 2 GANT', r1Vp
GMzin
=
V12GMz 7r,
Brzina vs stanice S mora biti vs = VGNIzir, (vidjeti primjer 5.10), pa je relativua brzina rakete u — 635.490 km/s.
odnosu na stanicu S jednaka ore, = vn — vs = VGNIzir,(0277 — 1) = vs( 12/7 — 1).
5. Gravitarija
Sfr. 5 - 41
. .5- 42
Mchouti,a i torlurn.
I), II oroat. rtzzl., I zu
Zadatak 5.5 Asteroid ima oinjor udaljenosti afela ; pc, ;ludo jeditak 9:1, a I; Om inn 4 sulerli'ke godtve (.erg) IC011k1 jr CkR(T71.1I11.110. 71111(1111,.? za jednu 7r110111Cly1,. IC RUC NM itdaljonosti do pot-their, (111110,710 RJI:SFAJF: r* = 4.5 aj, r_ = 0 5 aj, c = 0.8.
5.7 Problem dva tijela. Dvojnc zvijozde
Slika 5.24. - Prijelaz od orbite na orbitu Hohmannovorn putanjom, uz prirnjer 5.24.
Raketi od lansiranja do B treba TR/2 gdjc je TR ophodno vrijeme rakete po elipsi velike poluosi a = (ru + r2)/2 oko Zcmljc. Ophodno vrijeme dano jc u odjeljku 5.5.2, formula (5-48), tj. ra3 / 2 _(7r1)3 8GMz . 2 — VU/17/z —
TR
Ophodno vrijeme stanice P dobijemo iz odjeljka 5.3.1, formula (5-8), tj. Tp = 274/ 2 /f0J1 -472.. Za vrijeme tp = TR/2 stanica P prijede put od A do B, a vrijeme tp dobijemo iz omjera tp :a = Ti' 2r, tj. tp =Tp(a/2r). Vrijemc tp ujedno je jednako TR/2, tj.
Do sada srno razntatrali gibanje planeta oko Sunca ili gibanje mjeseca - satelita oko planeta na taj naein da smo uzeli inercijalni sustav sa ishodigtem u sredigtu npr. Sunca i promatrali kako se planet mase tj. kada je masa giba oko izvora gravitacijske sile beskonaene mase Medutim, kada je Af planeta rn usporediva s M, s obzirom na 3. Newtonov aksiom i simetriju gravitacione site, problem moramo prevesti na ranije obraden problem gibanja dva tijela koja, medudjelujuei (unutarnjim) silama izvode slo2eno gibanje oko (zajedniekog ) centra mase (CM). Pri tome je CM ili na miru ili se giba jednoliko po pravcu, kao 'Ato srno naueili u ranijern poglavlju 3, Mehaniku sustava eestica. Vrlo cesto onda sinjetarno ishodike koordinatnog sustava u CM (vidi odjeljak 3.2.2) eija je koordinata odredena jednadžbom (3-5). Poop6enje to relacije vodi za tijela mase M i m ua jednakost (5-66)
Air.2 + ruF, = 0.
Radijusvektor tijela Tre rnjeren u odnosu na M ,je r = r, — r2, a .jedinieni vektor je = 77r = — F2)/r• Prema odjeljku 3.2.2, jednarabe (3-11) i dalje, mo'2,erno napisati .jedriarRbe gibanja za tijela m i Ai ovako
d2 rr
Mm r2 r
rn dt 2
m
d 2 r.2 G = r2 dt 2
'r.
(5-67)
U tim jednad2bama pojavljuju se tri razlieita radijusvektora, ali ako jednadibe oduzmemo, dobijemo slijedeee Tr;
7r 2 crt: 2L 72r, ) 3 v T2R _ vGirmz \/(Ir a to dalje moierno, uz r =
d2 (.112
d2 7'2 12 = (.1
G M m (1 1 ) r2 rri ± M
(5-68a)
— r2 , napisati ovako
Iz gornjeg izraza dobijemo lako kut a, tj. a— U
mM d2r m + M dt 2
( 7rI )"2 = it ( -)"2 = 80.20°. 21'2 1.72 2 Tp VG M z
totki
B raketa ima brzinu odredenu saZuvanjem kutne koligine gibanja vAmr, = vomr2, iii va = V GAlz/ 21r1, a brzina stanice P jc dana izrazom vp = VGMz/r2 = VGMz/6ri, gto je vee:e od pa raketa pri susretu mora "zakotiti" da se mole spojiti sa stanicom P.
Zadatak 5.4 Komet ima period T = 33.5 godina i udaljenost do perihela r_ = 0.97656 aj. Odredite slijedeee velieine: a) veliku poluos, b) ekscentricitet, c) udaljenost afela, d) brzinu u perihelu i e) brzinu u afelu. RJEENJE: a) a = 10.39 aj, b) c = 0.906, c) r+ = 19.8 aj, d) v_ = 41.7 km/s i e) = 2.06 km/s.
GMTn. r2 r
(5-68b)
uz definiciju reducirane mase (3-13) p = mAigire + Al) dobijemo (12 7' G7101 _ — =— dt 2 r2
G(711
)p r2
r.
(5-69)
Dobili smo istu formu .jednadthe kao ranije, iz eega nroemo izvuci slijedeei vrlo va2arr zakhueak: gibanje tijela m u odnosu na tijelo M Inoerno rije§iti tako da rjegavarno problem gibanja tijela mase p oko ishodi4a u kojem se nalazi tijelo mase M + rri. Tako smo problem gibanja dva tijela sveli na ranije obradeni problem jednog tijela. Prema izlaganju poglavlja 3, mo2emo napisati i ukuprru energiju sustav dvije eestice Ica() i njihovu kutnu kolieinu gibanja na ovaj nagin I 2 GrnAl E = — pr — 2
1 — Pr 2
G( Al + m)p
ECM = r x pi',
(5-70)
5. Cluvitacija
Str. 5- 4S
Sto ,je u skladu s jeditad2bont gibanja (5-69). U skladu s gornjim raz.matranjinta, treat Keplerov zakon (5-58)
Str. 5- 44
D. Horvat: Fizika l za FER • Mehanika i top/ma
pa dobijerno
sada postaje w
T2
47 2
u3
G(141 + en) .
Gm =- \ — = 7.306 x 10-9 4r3
(5-71)
T = 2t- /w = 8.600 x 108 s.
Vidimo iz ovog izraza da T2 /u3 u stvari nije konstanta jeditaka za sue planete, medutim, za 118 zvjezdani sustav zbog velike mase Sunca je rn/M << 1, pa su devijacije male. U sventirt, su rtmoge zvijezde dvojne, tj. posto,je parovi zvijezda koje se kree'u pod djelovanjem uzajanme tale gravitacije oko zajedniekog CM, a njihovo gibanje uzrokovano je centripetalnom silom. Neka je talaljenost od CM do mase 51 jedlittka I?., a do mase rrr jednaka r. Onda, prenta ranijem razmatranju, gibanje zvijezda oko CM opisujemo kao gibanje tijela mase p (reducirane mase) oko mase M , koja je sun
u isltodike koordinatilog sustava, tj. -p(r
TO W2 =
Mtn
-
(r + R)2
+ rn)11
C (r + R)2
(5-72)
pa otuda nalazimo npr. period rotacije
T = 2r/u.; =
VG(M + m)/ p3 '
(5-73)
uz p = R + r. Primjer 5.25 Dvije Cestice s rnasama m1 i rn2 privtaee se adorn prerna Newtonovom opeern zakortu gravitacije. lzraeunajte relativnu brzinu eestica.
5.8 Trorna i teOca masa. Princip ekvivalencije U sukini Newtonovog izvodenja Keplerovih zakona i formuliranja opeeg zakona gravitacije krije se odnos dviju rnasa koje se javljaju pri razmatranju gibanja zemaljskilt i nebeskilt tijela, a to su inercijalna
ili fronts masa i teSka iii yravitaciona masa. Troina masa je lidera tromosti nekog tijela - ona predstavlja injeru opiranja tog tijela promjeni stanja gibanja: also tijelo miruje hiercijalna masa mu pokugava sprijeeiti pokretanje, a also se ye! giba nekom brzinom, coda mu ona sprijetava prornjenu brzine (po iznosu, srnjeru, lb oboje). Tegka masa je svojstvo tijela koje uzrokuje privlatenje nekog drugog tijela koje takoder posjeduje telcu masu. Posljedica postojanja teS'ke rnase je sila opisana zakonom opee gravitacije, a to je sila proporcionalna takirn masanta tijela! Te dvije karakteristike tijela, ne inoraju imati nikakvu uzajainnu vezu, iako ill dinarnieki povezu,je sila koja mijenja njihovo stanje gibanja. Ipak, postoji eksperimentalna veza izmedu to dvije fizikalne velitine i rni earn() je ovdje istaknuti i prikazati.
RJEENJE Ukupna energija sustava dvije testice sastoji se od potencijaine i kineti6ke energije. Kinctitka energija sustava drum je preko kineti6ke energije contra rnase CM, gdjc uvodimo reduciranu IMIS11 p preko izraza (vidi 3. poglavlje, odjeljak 3.2.2 i 3.2.3)
0
tut + m2 A ko ncma vanjskill sila, onda vrijedi izraz za ukupuu euergiju (3-23b) a sustavu CM
Zo (b)
1 2
= U(r) + — Pr R • 2 Z Potencijalna energija dana je ovako U(r) = -Ginern2/r, gdje je r udaljenost (srediSta) m, i gornjeg izraza lako izrazimo relativnu brzinu i-R = vR, tj.
(a) Slika 5.25 - Dva riaaria produljenja opruge.
v5 -
\i2G(in +1112) r
2E(m, + m2) mItnz
Razlieitost masa ni&.ellio prikazati oprugom konstante k koja djeluje na tijelo u dva razlieita razinjegtaja.: ako tijelo mirno visi na opruzi u "polju sile rek. e", prema slid DP5.1 (a), onda na njega djeluju dvije sile u ravnote2,i: sila °pee gravitacije Prirnjer 5.28 U sustavu dvije zvijezde, mase su rnedusobno jednake oni = onz = m = 3.2 x 1030 kg. Zvijezde rotiraju oko zajedniakog CM. Udaljenost rnedu zvijezdarna je r = 2.0 x 1012 rn. Kolika je kutna brziria svake zvijezde, a koliko ophodno tifijerne - period T ?
(5-74)
i sila opruge o = kzok
RJE9ENJE Prema gornjem razmatranju gibanje opiSemo kao gibanje jedne zvijezde mase p = m/2 oko i vrijedi
zvijezde mase on na udaljenosti 2r, tj. +mr)2 , p(r + r)w2 - 6 (rm
(5-75)
f, + fo = 0. Produljenje opruge zo nastalo je zbog tegke mase rri, kao "izvora" gravitacijske
sile. Ako sada tijelo i oprugu postavirno prema slid (b) i rastegnemo (rukom) oprugu shorn F tako da je produljenje xo jednako produljenju 20 onda ee na tijelo kada ga pustimo djelovati sila opruge po iznosu
5. Gnavitactja
50.. .5
5
sila pokrenuti tijelo na gibanje, a ono ee se opirati prom,jeni stanja gibanja jednaka Fa = kx0 = kzo. Ta opisivati gibanje tijela u svakom inercija/nom - trornom rnasoin rni , a jednadZba gibanja, eije rjesenje trenu tku je rni d— 2x = –kx. dt2
(5-76)
Masa iz (a) razrnjegtaja i masa iz (b) razmjegtaja nemaju nOino nigta zajednieko, osirn ako neku vezu ne pokaMmo eksperimentalno! Newton je uoeio razliku i izveo je niz pokusa sa (matematiekirn) gjihalorn (vidi D. Horvat, Fizika II) i dogao je do rezultata da je titrajno vrijeme jednako
T = 2ir
e \/rni g my
(5-77)
gdje je e duljina niti njihala i da T ne ovisi o karakteristikatna materijala koje bi ugle u opis tegke iii trome mase. Stoga je zakljutio da su te tnase jednaka, a trornu masu je opisao kao opiranje prondeni stanja gibanja u odnosu na apsolutni prostor u kojem se sve gibanje zbiva. Natlalje, troma masa je isto 0110 SVOiSt,V0 iijela zbog kojeg se masivna tijela medusobno privlaee. Ta tvrdnja o jednakosti trome i tegke mase je jedna od najfundamentalnijih tvrdnji u fizici! Galileo je (lb netko drugi) svojim pokusima s tijelima istog oblika ali razlititih masa (te2ina) 2elio pokazati da Aristotel nije imao pravo. I kada je ustanovio da su tijela istovremeno pala na tlo, on je u stvari pokazao ekvivalenci,ju trome i telke mase. Jer ako ,jedan objekt im dvostruko veer, gravitacionu masu od drugog, onda on ima i dvostruko te2inu. Ta teLna - sila je upravo sila u 2. Newtonovom aksiomu TIL7". = F. Ako dvostruko veaa sila (tthria) daje istu akceleraciju ,jednom ti,jelu kao dvostruko mania sila (tthna) drugom tijelu, to je onda moguee samo ako je troma masa proporcionalna tegkoj, tj. mi cc m9 . Ako obadvije mase rnjerimo u istim jedinicama, onda proporcionalnost postaje jednakost! Eksperiment koji je napravio 1912. Roland Eotvos morao je pokazati ,jednakost trome i tegke mase. Doista, u vrlo rafiniranom pokusu u kojem je rabio torzionu "vagu" slienu onoj u Cavendishevom pokusu, usporedujuei efekt gravitacione site i inercijalne (centrifugalne) sile, Etitvos ,je dobio rezultat da se troma od tegke mase razlikuje manje od 1 prema 109 . Kasniji, tnoderniji eksperimenti to su granicu pomakli na 1 prema 10". Einstein je, krenuvgi dalje od ekvivalentnosti sustava koji se gibaju jedan u odnosu na drugog jednoliko (vidjeti takoder i poglavlje 7) postavio princip ekvivalenci.je kao sredignji aksiom iz kojeg,je izrasla opca teorija relativnosti. On je, u misaonom eksperimentu tvrdio da Ce fizitar (u zatvorenom liftu npr.) izvoditi iste pokuse u situaciji kada ta,j lift miruje u gravitacionotn polju kao i u istom torn liftu koji je daleko od svih gravitacionih utjecaja ali ga ubrzava sila koja mu daje akceleraci,ju ,jednaku akceleraciji slobodnog pada. Dalje objagnjenje stvaranja i djelovanja gravitacionog pol.ja vodilo bi nas na ozbiljni studij °pee teori,je relativnosti! 5.9 Teorija gravitacije i moderna fizika Prva unifikacija - ujedinjenje Nakon Sto je formulirana zakonitost djelovanja sile gravitacije, u sugtini pomoeu tri zakona (aksiorna) gibanja, postalo je.jasno da je "ista fizikalna velieina" odgovorna za sva gibanja. Medutim, jog vainiji rezultat je bio da se svemirska mehanika gibanja nebeskih tijela, npr. vrtnje Europe oko Jupitera objagnjava istorn silom koja je odgovorna za parabolienu putanju baeenog Icamena na povrgini Zeinlje! Ta sinteza, ili drugaeije kazano unifikacija nebeske i zernal.jske rnehanike prvo je ujedinjenje sila u fizici! UniverzaJnost jednog fizikalriog principa, odnosno jedne sile, navels je Ijude kasnijeg vremena da pokugaju ujediniti dva skupa razlieitih pojava - elektromagnetske i gravitacione u jedinstvenu teoriju. Ali, ovdje odmah valja zastati i kazati da se vee u gornjem iskazu elektrornagnetski javlja,jedno ujedinjenje ranije
46
D. Ilorva: P101ka I as Plf
- MdlartIka 1 toplin a
nairne, H. Ch. Oersted ,je eksperimentalno pokazao da postoji djelovanje elektriene struje na magnetsku iglu (vidi D. Horvat, Fizika II). Kasnija eksperimentalna i teorijska istraZivanja M. Faradaya, N. Tesle i drugih, pokazala su da doista postoji pro2imanje elektrienili i magnetskih pojava koje je na briljantan 11110111 11 SVO,i0j teoriji elektromagnetizma konceptualno i rnatematieki ujedinio J. C. Maxwell u svojim ,jednaabaina! Poeetak dva.desetog stoljeCa bio ,je svjedokom jog dvije unifikacije: Einsteinova specijalna teorija relativnosti ujedinila je koncept prostora i koncept vrernena (vidi ka.snije poglavlje) i pokazala je da klasitno, njutnovsko, apsloutno vrijeme, koje za sve nas, za cijeli Svernir jednoliko i uvijek sviina jednako otkucava, nije toena predodtha, vet' daje vrijeme ravnopravna karakteristika prostora i gibanja i da svako tijelo posjeduje svoje vlastito vrijeme ko,je ovisi o nacinu gibanja i injestu. Nadalje, Einsteinova °pea teorija relativnosti, u stvari teorija gravitacije eiji je granitni slutaj upravo gore opisan Newtonov opel zakon gravitacije, znaeila je u stvari ujedinjenje geometrije i fizike, jer Euklidski prostor njutnovske fizike zamjenjuje s lokalnim zakrivljenim prostorom koji ,je takav ,jer se oko masivnih tijela prostor jednostavno ne ponaga Euklidski: ravna linija nije ravna, vet' ,je ravna ali u zakrivljenom prostoru, zbroj kutova u trokutu nije 180° (negto gto je vee velikorn njerna.ekom matematicaru i geodeti K. F. Gaussu bilo sumnjivo, pa 811 ga zacudeni ]Judi znali vidjeti kako na zeinlji crta i injeri kutovc u trokutu) ltd. To je geometrija Riemanna i Lobaeievskog u koju je uronjena fizika °pee teori,je relativnosti too. geornetrodinamika. U ta.kvoj situaciji pokugano je ujedinjenje gravitacije i elektromagnetizma u jednu jedinstvenu teoriju u sredini prve polovine dvadesetog stoljeea. U to vrijeme su te sile bile i jedine poznate. jer mikroskopska teorija tvari u potetku tih nastojanja jog nije postojala, sile u.jezgri ili medu elementarnim eesticarna nisu bile poznate. Pokazalo se da. je ostvarenje ujedinjenja previge zamrgeno i da maternatika i fizika jog nisu dorasle zada.cima koji su sta,jali ispred, prije svega Einsteina, a zatim i mnogih drugih. Povijest je pokazala da je prije doglo do ujedinjenja rnikroskopskih i elektromagnetizma (vidi D. Horvat, Fizika II), a da gravitaciona sila jog i danas odolijeva ukljueenju u drugtvo s ostalim, iako postoji ogroman teoretski, fizikalni i matematieki vapor da se ostvari to ranije nazvana teorija jedistvenog polja ili velika ujedinjujudo teorija - GUT - Grand Unified Theory!
1).i., 4.
Str. 5 - 47
DODACI 5. POGLAVLJU
Str.
5- 4
8
D. Horvat: Fizika I za FEB
Mehanika i teplina
da nije mr uriru. Stovige, Zendja se, ravnopravno s ostalim planetirna, vrti polako oko Sunca, istovrerneno se vrteei oko svoje nagnute osi, dok su zvijezde na nebu na rniru, a njihovo lagano gibanje mora se objasniti vrtnjoin i gibanjern Zernlje! On je knjigu bio posvetio papi Urbanu II i iako je ona izazvala veliku uznernirenost u crkverran krugovirna zbog heretiekill tvrdnji. reakcija crkve odnosno Inkvizicije nije bila previge energieua jer j je Kopernik bio vrlo rniran, tih, povuten i ocIrnjeren eovjek, pa se vjerovalo da ee njegove ideje ostati vjeeno sakrivene izinedu korica njegove knjige. Medutirn, njegovo se ueenje brzo prosirilo i ubrzo je stvoren kopernikariski pogled na svijet koji se suprotstavljao ptolornejskorn - geocentrienom.
Dodatak DP5.1 - Povijesna skica: "Sve je poeelo sa zvijezdarna" U mraenom dobu ranog srednjeg vijeka znanost je njegovana i prenokna gotovo iskljueivo od Arapa koji su dogli u dodir s ueenjima stare Greke i koji su zatim prevodili djela grekih filozofa te ih, s obzirom na njihov (ratnieki) prodor u Europu, prenosili i na europske narocle. Za prihvaeanje je kasnije postojalo plodno tlo i ubrzo su nastali prijevodi, prvo s arapskog, a zatim i s grekog, kornpletnih djela grekih filozofa; naravno, na latinski. Izmedu 1200. i 1225 godine sva Aristotelova djela bila su prevedena na latinski. Iako je postojao jak otpor crkvenill vlasti prema izueavanju starih pisaca, ipak se to nije moglo izbjeei, pa su njihova djela postala dio nauka studenata na sveueiligtima u Europi; prije svega u Bolonji i Parizu. Aristotelova djela bila su izueavana posebno od Alberta Velikog i Sv. Tome Akvinskog. Oni su, uzevgi niz najvaZnijill postavki Aristotelove filozofije prirode i svijeta; zajedno s najvainijim dijelovima Svetog pisrna stvorili jedno intelektualno okruienje koje danas zoverno skolastika, odnosno stvorili su jedno rigidno ueenje o Svijetu, o eovjeku; o njegovoin mjestu u Svijetu i njegovom odnosu prema Prirodi i Bolanskoin. Ipak treba priznati da je Aristotelovom dominacijorn srednjevjekovnorn misli ipak natinjen golem korak prerna znanstvenoj prekretnici koja se trebala zbiti krajem 16. i poeetkom 17. stoljeea. Odnos prema prirodi bio vrlo dobro dogrnatski odreden i bilo je malo "slobodnog prostora" u koji su se mogle ugradivati pojedine trove spoznaje do kojih su dolazili Ijudi koji su postepeno spoznavali da skolastika ne daje odgovore koji su u skladu s promatranjirna svijeta i procesa u svijetu. To se posebno odnosilo na promatranje gibanja nebeskih tijela: Sunca, Mjeseca i zvijezda, te povrernenih korneta. Valja se sjetiti da je iz Greke filozofije naslijeden cijeli niz modela gibanja Sunca i planeta, od kojih su neki bill u suprotnosti sa sluthenorn "znanoku", ali koji su na odreden natin njoj bill superiorniji. Veeina ljudi, zvat eemo ilr ovdje astronorni, koja je prona§la nesklad svojih promatranja sa slutenim turnatenjima nije smatrala da treba odbaciti Bc&ansku komporrentu funkcioniranja svijeta, vee je pokukla preispitati opravdanost tvrdnji da je doista Bog stvorio svijet "ovako", a ne "onako". 1pak, ,jeclan od prvill bio je G. 13runol koji je naueavajuei da postoje i drugi svjetovi °sin: nakg gdje planeti kruk oko svojilt sunaca, zavr:;io ua lontaei Svctc hikvizicije, usput tvrdeei da Bog ionako nije stvorio Svijet. SluZbeni opis gibanja planeta dan Ptolornejeviin' modelom bila je zanirkna kornbinacija gibanja Planeta oko Zemlje i Sunca oko Zernlje i istovremenog gibanja planeta oko Sunca, a da bi se to sve nekako sloZilo s prornatranjem uvodila su se tegko razumljiva retrogradna gibanja s innogo dodatnih parametara. N. Kopernikl je 1543. godine objavio rezultate svo,jih triclesetogodiSnjih prornatranja i istraZivanja u svojoj knjizi "De Revolutionibus 07'bi'LL7f1 Cwiestium" u kojoj ,je iznio tvrdnju da Zemlja nije u sredigtu Svemira i Giordano Bruno (1547-1600) talijanski humanista - astronom. Klaudije Ptolomej (100-170) egipatski astronom i gcograf. Nikola Koperuik (1473-1543) njematki (po ocu) astronom rode!! u ondagnjoj poljskoj Prusiji, praviin imenoni Niklas Koppernigk.
Slika
DP5.I -
Galileo Galilei (lijevo) i Tycho Braila (desno)
Slika DP5.2: slikovit prikaz gibanja Marsa kako ga vidi promatrae na Zemlji: pokazan je niz od gest polotaja Zemlje (Z) i Marsa (M). Ravnina ekliptike Zemlje (oznaka "E" na slici) i Marsa nisu jednake, a i ophodno vrijeme Zemlje je manje. Promatrak na Zemlji, prestiiuki Mars vidi projekciju njegove putanje na zvijezdani pozadinski svod, pri tenni Mars izvodi zainrSeno gibanje, koje je izmedu 3. i 5. poloiaja retrogradno (unazad). Upravo takva gibanja planeta u geocentrikkoj slid svemira prisiljavala su drevne astronome da uvode zamrSena gibanja planeta oko Zemlje po epiciklima npr.
-
Dodaci 4. paglaolju
So. 5 • 49
Str .
D. lloreat... Fizika I za FEB Mchanika i
50
tophno
Vise od 50 godina nakon Kopernika, Galileo je uperio teleskop u nebo na kojem je otkrio Jupiterove rnjesece, Saturnov prsten, otkrio ,je Mjeseteve planine i doline, Sunteve pjege itd.
gibanje pojedinih planeta, kao pool.jedicu njiliovog i Zernljinog gibanja oko Sunca. Takoder su se i ostali planeti gibali po kruZinicama oko Zeinlje.
Teleskop jc u stvari izumio Hans Lippershey iz Middleburga na poluotoku \Valcherenu u Nizozemskoj, kombinirajuei leee. S jednom takvom kombinacijorn uspio ,je dobiti povislanu sliku kokota-vjetrokaza ua crkvenoin tornju, doduk, obrnutu. Za njegovo otkrik zainteresirali su se i vojnieki nastrojcni velikaSi ZeleCi ga iskoristiti u vojnieke svrhe. Vijest o torn otkrieu doAla jc i do Galilca u Padovi, koji jc takoder znao optiku, pa je on uzeo cijev sxiralu od orgulja i kombinirao leee. On je, mcclutim, dodao jo9 jednu lea', pa njegova slika nije bila naopaka (vidi D. Horvat, Fizika II): dobio je tzv. zernaljski i.li Calileiev teleskop. Nadalje, prvi se dosjetio i pogledao u nebo
Godine 1597. T. Brahe je napustio Hven (door kralj je umro) i otigao u mjesto Benatek blizu Praga. Tamo,je, neposredno prije svoje uzeo za pomoenika briljantnog matematieara i astronorna J. Keplera* koji je rano prihvatio Kopernikov model Suntevog sustava.
Zanimljivo je vidjeti kako je otkrivao Jupiterove mjesece: prema njegovom dnevniku 7. sijetmja 1610. godine primijetio je tri totkice oko Jupitera, 8. takoder tri ali s drugs
strane, 9. sijcenja je bilo oblatno, 10. sijeenja vidio jc samo dva, 11. sijeesja dva ali jedna totka je bila izrazito vire:a od drugih, 12. ih je opet bilo tai (bez najvcOe) i , kimaCno, 13. sijeenja vidio je sva ectiri mjcseca! Nadalje, otkrio da je se Suuce takoder vrti, jer su se pjege micalc i mijcnjale, pa je sa svim tim otkrieima postao zanimljiv Inkviziciji koja ga je uhitila i zabranila mu javne istupe, to mu jc sudila. Iako jc sa svojim teleskopom mogao dokazati ave svoje tvrdnjc, veeina suvremcnika nije ni ieljcla "baciti oko" kroz teleskop, tvrdeei da su sve tvrdnje laZnc. Te su tvrdnje, medutim, bile u skladu s kopernikanskim pogledom na gibanje nebeskih tijela, 9to je jo9 vise oteSalo Galileiev poloiaj. Vjcrojatno ga je spasila njegova poodmakla dob u to vrijeme i njegovo pokajanjc 22. Iipnja 1633. godine u kojem odbacuje svoje ukrije.1 Do kraja iivora ostao je u kut!nom pritvoru.
U to ,je vrijeme otprilike, na sjeveru Europe, u Danskoj, astronorn T. Bra.he koji ,je rano pokazao zanimanje za astronorniju (s 26 godina prvi je opazio eksploziju zvijezde - supernovu koja po njernu nosi ime), pa je stjecanjern sretnih okolnosti dobio od svojeg kralja Frederika II, koji je bio zaljubljenik u znanosti i lijepu urnjetnost, cijeli otok - "kraljevsku zeinlju Hven", zajedno sa stanovnicima i slugama. Namjena ,je bila da se napravi "istraživatki laboratorif dakle mjesto gdje ee se izutavati i prornatrati gibanje nebeskih tijela.4 Brahe je izgradio najpreciznije instrumente u ono vrijerne (oko 1576. godine - da.kle, nije jog bilo teleskopa) za promatran,je zvijezda. Pornoou tzv. kvadranta - velike plote s preciznim podjelama, on je sa svojim suradnicirna, decenijama pazžljivo bilje0io pololaje planeta, zvijezda i dnevne polo2aje Sunca i N1jeseca. U stvari, bila su dva nezavisna prornatratka injesta Uraniborg i Stjerneborg, a samo je Bralie sznio pregledavati i uskladivati rezultate. On je, uz same podatke, dao i pogregke proma.tranja, gto je bilo posebno važno za njihovu kasniju uporabu. Rezultat tih promatranja bile su tablice - }catalog 777 zvijezda i dnevni položaji Sunca, Mjeseca i planeta. Brahe je u to vrijeme napravio i svoj model gibanja. planeta koji je bio geocentritan, ali koji je irnao u sebi i gibanje Zemlje, po krugnici, kako bi objasnio retrogra.dno (povremeno) Galileo Galilei (1564-1642) talijanski fizitar, astronom i izumitelj. Poznat je pod svojim imenorn (Galilei mu je prezime), kao i niz drugih njegovih suvremenika - Dante, ili Michelangelo npr. To nije bilo, naravno pravilo, jcr jc Palestrina npr. poznat po selu u kojem se rodio (zvao se Giovanni Pcrluigi), Leonardo se uvijek spominje kao Leonardo da Vinci, a Tasso je npr. sasvim regularno prezime gospodina Torquata! t Prita o njegovoj izjavi "e pur si muove" - ipak se kreee - je romautiena legends, jer sasvim je jasuo da on nije bio u poziciji da pred krvnitkim pogledima Inkvizicijc daje dvosmislene izjave koje bi ga za Sas kokale .Zivota bez obzira na njegov ugled i prijateljstva s uglednicima onog doba. Tycho Brahe (1546-1609) danski astronom. 41 To je vjerojatno jedinstveni poduhvat u cijeloj povijesti civilizacije nenadmaSen do danas, jer je prema procjenama to sve Dansku kokalo oko 10% njcnog ukupnog nacionalnog proizvoda. Danas bismo takav financijski i organizacioni pothvat nazvali "Big Science"!
Kepler ,je paZiljivo proueavao tablice podataka i ubrzo je dogao Braheu sa spozna join da se ne rnogu podaci u tablicama pomiriti s rnodelom kruZnili putanja planeta, a najmanje da je moguee podatke uskladiti s gibanjem Sunca oko Zemlje! Ujedno je i Bralieu objasnio da ni njegov (Bralleov) model tudnog i kopliciranog gibanja Sunca oko Zeirdje ne valja! Kepler je nastavio istraiivanja podataka i nakon vigegodignjeg rada napisao ,je 1609. godine knjigu Astronomia nova u kojoj je iznio rezultate svog istraZivanja. U toj su knjizi ugledali svijet prvi i drugi Keplerov zakon. Osain godina nakon Braheove smrti Kepler je objavio knjigu "Harmonica mundi" u kojoj ,je opisao treei zakon gibanja planeta oko Sunca. Danas su to poznati Kcptervvi zakoni koji su stvoreni na osnovu Ininuciozne preciznosti Braheovih podataka i podataka o pogregkama promatranja. Ljeporri i sklad svojill zakona Kepler je povezivao sa skladom u eetiri podrueja: u georneiriji, glazbi, astrologiji i astronomiji a sve je objagnjavao bolanskim djelom i nije vidio nikakvog razloga sukobu sa sluZbeitim tuinaeenjern gibanja. U godini Galileieve smrti rodio se Isaac Newton koji je postavio temelje moderne mehanike, diterencijalnog ratuna, integralnog raturia, optike, teorije gravitacije i niza drugih dijelova fizike, time je svakako zasluiio da ga se stavi (uz moZda jog neke) na vrli piramide znanosti, znanja i civilizacije.
Dodatak DP5.2 - RjeAenje jednadthe gibanja u gravitacijskom polju II Putanju testice - planeta mase m u gravitacionom polju mase M dobili smo u glavnom tekstu razrnatra juei ukupnu energiju rnase In. Svakako, isto rje9enje molemo dobiti integrirajuei .jednadZbu gibanja u koju ulazi sila opee gravitacije, tj. F =
G Aim 7.2
– In dt2 12-7=.
Za. nalaZenje derivacije jedinienth vektora dobijemo
di– sin (10
di- _ di- dO (10 dt
+ cos et, =
T
dC5 = – cos N i – sin 0j=
dc5 df:' dr .di- Or dr5 = —r + dt = +1 d1.(10 dt tit
=
Tt i=
=
+ dc.5c3' , di
•
• dc)
+ r-trt- + 7'00 + (100+ r07it – r02 )i- + (rj, + 2i- rt);;.
* Johann Kepler (1571-1630) njeinaCki astronom
ric5 dt
4
• 4
d(iidrt dq dt - rQ gto daje
(DP5-I)
Dodaci 4. porilavliu
Sir. 5- 51
Prema tome, komponente akceleracije su
+ er(i, +
Sila je centralna, tj. P(71 = (r) 4, pa se jednadZba gibanja :moo 0+ inar pa kutni i radijalni dio, tj. map = 0 iii nt(c(I., + 240) = 0 ( r)
.in(i'
111
dt inr2 (1) =
d2 u dt 2 u
(DP5-2) i =
f(r) r "raspada" ua dva dijela,
i
ruol i (0) = A cos 0 + B sin 4,
(DP5-4)
Sada uvederno matematitki oblik sile J (r). Ako je (r) gravitaciona silat tj. ako je (r) -= -k/r 2 = —ku2 , onda desna strana jednadžbe (DP5-7) postaje konstanta ink' L2 Za rjeavanje nehomogenih jednadtibi rabe se "probna rjeSenja" tiji je oblik diktiran nehomogenirn tlanom. Sada je taj elan konstanta, pa i probno rjeenje ima istu ovisnost, tj. UPN = C. Uvrkavanje tog izraza u (DP5-7) dobijemo d2
711.
(C) 02
U radijalnu jednadžbu uvrstimo gornju .jednadZbu, pa dobijemo = (r) + L
(DP5-9)
gdje, kao uvijek, konstante integracije odredujerno iz potetnih uvjeta, all tek kad ,je gotovo cijelo ON rjeSenje.
• (r2 (6) = 2/1'0 + 1-2 0 — 0 i kako je
= L oeito je L = konst. i piSento L 7.2 •
(DP5-8)
rijeSili smo ranije razmatrajuti harmonitki oscilator (a vise vrernena tom problemu posveteno je u Fizici II - vidi D. Horvat: Fizika RjeSenje gornje jednad2be je
(DP5-3)
-'r112 ) = f (r).
Nutria jednadZba daje zakon satuvanja kutne kolitine gibanja koji .je ispunjen za centralne site, tj. d
D. !lomat: Fizika I za FER - Mehanika i top/Ma
Hornogenu .jednadZbu
+ np d = (1' —
Mar =
Sly. 5- 52
+C=
rrek
L
ink
tj. C = L
Dakle, °pee rje§enje nehomogene jedna&be je
2
(DP5-5) UON = U011 UpN
= A cosq5+ B sin q5 +
Ovdje (kao i u glavnorn tekstu) uvedemo novu varijablu r = 1/u i dr = -(11u2 )du i dalje ratunarno dr
dt (.12 dt2 r
1 du
1 dr/ du 1 • du u2 dt u2 dt dO '11 2 tic!) L d( du) L d ( du) (Tt CIO )) ( CIO =
1 L du
L du
u7 rrer2 d0
Tido
2 L2 d2 u d02 •
(DP5-6)
1 ink =A+ r_ L2
L2u2
.1.(1/u,¢)
(DP5-7)
ink L2
(DP5-11)
Ako Seliwo razmatrati gibanje planeta, onda orijentiramo osi sustava tako da,je u jednorn trenutku planet u perihelu (najinanje udahen od svog sunca - zvijezde), Ito znati da je = 0 i r = r_, a kada je planet u afelu onda je = 7r i r = r+ . To vodi na odredenje konstante B koja je jednaka null, a za konstantu A dobijemo (vrativgi se na originalnu varijablu r = 1/u)
Clvrtavanjern u radijalnu jednadZbu dobijemo d2u +0= d162 d
(DP5-10)
1 = —A + -ink EF
(DP5-12)
Da doista moiemo eliminirati konstantu B mok:mo uvjerljivije vidjeti tako da opee rjegenje homogene jednadZbe napikmo na slijedeei natin:
To je nehomogena diferencijahra .jednadZba drugog redo s konstantnini koefirijentinia.
'uou = C cos(0 —
k tegke. DiferDiterendjalne jednadZbe su izuzetno vaZan dio matematieke analize all istovremeno su Inc encijalne jednadne se javljaju u svim a_ktivnostima izueavanja prirode all i funkcioniranja ljudske zajed-
gdje smo umjesto dvije (nepoznate) konstante A i B uveli (nepoznate) konstante C i i to tako da smo
nice: ad fizike (jednaclibe stanja, dinamika mikroprocesa, kozmologka stanja i evolucija), kemije (odvi-
napisali A = Ccos 4, i B = Csin>G Ito iz ranijcg oblika Hon vodi na
janje kemijskih procesa), biologijc (dinamika rasta), tehnike (dinamika strujudi krugova, prowl into, macija, naprezanje materijala, dinamika poluvodica i mikrostruktura), pa tak do trgovine obveznicama i
no!, = C cos .4, cos 0 + C sin 4, sin = C(cos 4, cos 0 + sin sin 0) = C cos(0 — 4,).
"gibanju" dionica na burzama. Zbog ovog zadujeg su fizieari u finandjskom svijetu postali vrlo cijenjeni. Za rijegenje ditereneijalnih jednaclibi uglavnoin ne postoje "gotovi recepti" tako da pri pokugaju rjesavanja diterencijalnih jednaclibi vrlo vainu ulogu ima iskustvo. Tako ovdje moida uopee nije jasno zbog tega uzeti upravo supstituciju r = 1/u. Svakako, pragmatical odgovor je: "zato jer vodi na jednostavnu difrencijalnu jedna&bu gornjeg oblika!"
Teorija diferencijalnill jednadibi kale da je opCe rjeienje nehomogene (ON) diferencijalne jednad'ibe ne (PN), tj. 008 = jednako zbroju opdeg rjegenja homogene (OH) i tzv. partikuturnog rjeS'enju troll + ueN. Partikularno rjesenje nehomogene diferencijalne jednadžbe jednadibe ovisi o desnoj strani (nehornogenom tlanu) i uvijek se razmatraju specijalni slutajevi razlititih funkcija.
Sada je sasvim iasno da ako telimo da r bude jednak r_ za 4 = 0 onda i kut 5 mora biti jednak nuli, Ito znaei da je B = 0! Ovdje bismo mogli razmotriti i !Apr. Coulombovu • elektrostatsku situ, koja, sjetimo se, mote biti odbojna ill privlaena. Ratun s odbojnom silom vrlo je valan u povijesti fizike, jer ga je proveo E. Rutherford 1911. godine pri raeunu rasprknja a-testica na jezgrama zlata i iz tog je ratuna stvorio model atoma odnosno jezgre koji i danas sluii kao vizualizacija mikrostrukture tvari. Ovdje taj rem) netemo provesti, (aim on nije kompliciraniji od onog gto slijedi: valjalo bi samo napraviti zamjenu
k
-Q
Q21471-60 na odgovarajutem mjestu!
str.
//pilau! 4. ro,Nhisidii
Dodatak DP5.3 - Neki posebni podaci iz astronomije, kozmologije i astrofizike
Kako je r_ = a(1 - i r+ = a(1 + c) dobijemo da je
A=
(DP.5-12)
a(1 -
Tablica DP5.1
Iz gornjih jednadZbi molemo izraziti i elan desne strane, tj.
Zemlja
1
ere k
(DP5-13)
L2 - a(1 Ranije smo uveli pararnetar p koji je bio jednak (vidi primjer 5.1) bz P=
(1
(1 ,z) =
a
L2 - a(1 - c2 ) = — Talc'
pa Inolerno napisat jedmulihu (1)1'5-11) ()yak° 1 r
all - € 2 )
cos (I)
I00 PE/1 • M challika
IJ. 11071101:
.1'1 . 5- i4
1 -
Masa [kgl Polurnjer Eml GustoCa (srednja) [kg/m3l Akceler. silo tele lm/s21 Period (rot.) Period (revol.) Sredlija nil. oil Sunca/Zemlje [in]
iii (DP5-14)
p 1 + cos (i) gdje je e = (1 + 2EL2 Imk 2) 1 /2 i p = L'Irrtk, a k = GMin za gravitacionu silu. Putanja tijela bit ee elipsa jer ,je c < 1 (vidjeti primjere 5.1 i 5.2), poSto je energija negativna tj. E < 0, prerna slier 5.15 i 5.16 i prema razmatranju u odjeljku 5.6. Dakle, dobili smo .jednadZbu putanje planeta mase rn oko zvijezde rnase M integrirajur.i jednadZbu gibanja!
Sunce
Mjesec
1.99 x 10"
5.98 x 1024 6.378 x 106
7.25 x 10 22 1.74 x 106
6.96 x 106
5 520
3 340
1 410
9.81 23 1156 min 4.098 s 365 dana 611
1.62 27.322 dana 27.3 dana
274 25.04 dana -26 dana
1.50 x 10! '
3.84 x 109
Gravitaciona konst. G = 6.673 x 10- " N 1112 /ke SidcriCka godina sg = 31 558 149.8 s 'Propska godina tg = 31 556 925.2 s Hubbleova konstanta r = 100 . 0.71km/s Mpc-1 li Brzina svjetlosti c = 299 792 458 m s Planckova konstanta h = 6.626 x 10-3 Js Rcducirana Pl. konstanta h/27 = 1.055 x 10-31 is Planckova duljina L17 = (Gh/c3 )'/ 2 = 1.6 x 10-33 rri Planckovo vrijernc Tp = (Gh/c5 ) 1 /2 -.= 5.4 x 10 -°° Planckova masa Mp = (ch/G) 112 = 2.2 x 10 -8 kg Planckova energija Er -= (c 5 h/G) 1 / 2 = 1.2 x 1019 GeV parsek pc = 3.086 678 x 1016 m Astronomska jedinica aj= 1.495 979 x 10" m Svijetljcnje Sunca C = (3.846 ± 0.008) x 10" \V Godina svjetlosti gs= 0.946 x 1016 in Kritihna gustaa p. = 31-f,3/87G = 9.21 x 10-30 g/crn3 Starost svemira to = (11.5 ± 1.5)G godina Temperatura pozadinskog zratenja T = (2.728 ± 0.002) K Vainije i zanindjivije konstante i podaci iz astronomije, astrofizike i kozniologije
Dadari 4. goglueljit
Sir. 5- 55
PREGLED 5. POGLAVLJA 1. Novi fizikalni pojmovi
Str. 5- 56
D. Hort,at: Fizika I za FER - Mehaniku i toplina
5.6 "Jr pararnetarske jednadibe izvedite jcdnaclibu elipse u pravokutnim koordinatama! 5.7 Napikite i opikite Newtonov opti zakon gravitacije! Zakto pridjev "opei" u nazivo tog zakona? 5.8 OpSite Cavendishev pokus! Koliko iznosi gravitaciona konstanta (red velieina)?
Keplerovi zakoni
ekliptika
Newtonov opd zakon gravitacije
Cavendishev pokus
geostacionarnost
gravitaciono polje treba kozmitka brzina
5.9 Opikite gibanje Mjescca i izvcdite silu opee gravitacije it tog gibanja! 5.10 Irvedite treti Keplcrov zakon za kruine stare! Da Ii taj zakon za eliptitnc stare vrijedi u svim situacijama, bez aproksimacije?
prva kozmitka brzina
drugs kozmitka brzina
gravitacioni potencijal
Gaussov zakon
Poissonova jednadiba
Laplaceova jednadiba
centrifugalna barijera
efektivni potencijal
totke obrata
perihel
afel
perigej
apogej
pericentar
5.13 *Irvedite izrar za silu kojorn kugla mase M privlati totkastu masu - primjer 5.7. Po /emu je taj rezultat izuretno vaian?
apocentar
Halleyev komet
astronomska jedinica
5.14 Po ?emu je rezultat ratuna u primjeru 5.7 izuzetno vaian?
Hohmanov prijelaz
troma masa
teika masa
princip ekvivalencije
dvojne zvijezde
5.11 'Irvedite tree! Keplerov rakon za cliptiene stare! Usporedite taj izraz s ratunorn u odjeljku o binarnim zvijezdama i komentiraje univcrzalnost tog zakona! 5.12 Izvedite izraz za silu irmedu ravnog ktapa i totkaste masc - primjeri 5.3 i 5.4!
5.15 Poveiite teiinu tijela i opei zakon gravitacije! Kako se izratuna akceleracija site te2e? 5.16 Polcaiite da je silo op& gravitacije konzervativna! Kako glasi njena potencijalna energija? 5.17 Napigite (barem) dva uvjeta kada jc ncka sila konzervativna!
2. Nove relacije r-
p = 6 2 /a 1+ecos4 G Adz = Rz
-
T=
RI G Mz
f = V(r) TTO
L = inika(1 - e2 )1"2
Rz = I ( ei) • dV rrt
2E L 2 ) 1/1 = (1 + tnk 2 k = GinM
G(M + rrt)g
or + M G(n + M)g t12 1. r2 2 c1t. 2 =
E=
5.19 Opigite gravitaciono polje i gravitation! potencijal. Iskoristite to definicije i izratunajte polje iz potencijala i silo it potencijalne cnergije! 5.20 Izratunajte potencijalnu energiju toekastog tijela blizu homogenog prstena - primjer 5.13. Iz potencijalne energije izratunajte silu prstena na totkastu masu!
2G412
L2
+ V (r) E+ 2 r 21nr 2
= 0)/1- e2
e= 1 - r_ia
=F
E,,(r)
Gin = r
2
2
GMin
- Rz
iNegF) = 47G p(F)
E=1
F =
\IGMz
_Gm, r r2
V`
5.18 Izvedite prvu i drugu korinitku brzinu! to je tree:a kozmitka brzina i kto jog treba u VaSim ratunima da se ona izratuna?
2a
270 2/ 3 T GM T=2a \ /17 g 1 1 1 - - + hl jr 712 4,r2 = G(M + in)
5.21 "Izratunajte potcncijalnu encrgiju kuplje kugle. Kako ee izgledati (samo opikite) sila na materijalnu totku smjegtenu na razlititim udaljenostima od sreditta kugle? 5.22 Napigite Gaussov teorein i opigite njegovu primjenu u elektrostatici i u gravitacije. Napitite Poissonovu jednadthu. 5.23 *Irratunajte silu kojom kuplja kugla djeluje na sitno tijelo mase in unutar kugle! 5.24 Nacrtajte "efektivni potencijal" u kojern se nalazi materijallia totka masa in. Koji dio "potcncijala" daje privlatou a koji odbojnu silu? 5.25 Objasnite izraz "centrifugalna barijera"! 5.26 - Izvedite izraz za ekscentricitet preko energije i kutne kolitine gibanja. Kako ovisi ekscentricitet o energiji za elipsu, parabolu i hiperbolu? 5.27 Irvedite drugi Keplerov zakon iz opteg zakona gravitacije. Gdje smo ranije pokarali da je kutna kolitina gibanja satuvana? Izvedite taj zakon satuvanja! 5.28 'Izvedite putanju planeta oko Sunca iz opteg zakona gravitacije (izaberite jedan od dva opisana natina ill pronadite troll)! 5.29 Opikite Hohniannov prijelaz i skicirajte or. poneku formula kako to radi u slut* prijelara s manje na veto stazu! 5.30 •Izratunajte pod kojim uvjetima tijelo bateno koso uvis (kosi hitac velikom brzinom) nc izvodi parabolitnu putanju!
3. Pitanja (sa zvijezdicom su oznatena teia, neobavezna pitanja)
5.31 Objasnite ponioeu Keplerovill zakona zakto krivulja kosog Inca ponekad (kada?) nije parabola! 5.32 Opikite problem trome i tekke masa. Tko je prvi odredio njihovu ekvivalentnost?
5.1 Kako glace Keplerovi zakoni gibanja palneta oko Sunca? 5.2 Kako se Kepler nakao u situaciji da provede ratline preko kojib je doka.o do svojili zakona?
5.33 Opigite problem dva tijela i njegovu vezu s gibanjern planeta oko sunca! Kako se modificira troll Keplerov zakon u toj situaciji?
5.3 Napikite jednadibu elipse u parametarskom obliku! Opikite elipsu (parametar, fokusi, tjemena, sredigte, polu-
5.34 "Izvedite treei Keplerov zakon ra problem dva tijela. G ?emu jc vainost tog izraza?
osi)! 5.4 - Izvedite jednadibu elipse u parametarskom obliku! 5.5 Koliko iznosi energija za gibanje po paraboli?
6 6. INERCIJALNI I NEINERCIJALNI SUSTAVI
6.1 Uvod 6.2 Galileieve transformacije 6.3 Ubrzani sustavi. Inerci•jalne site i translatorno gibanje Primjer translatornog gibanja I Primjer translatornog gibanja II 6.4 Inercijalne site i rotaciono gibanje. Centrifugalna sila Primjer rotacionog gibanja 6.5 OpC'a pravila transformacija u rotirajueirn sustavima Coriolisova sila Slobodni pad i Coriolisova sila Foucaultovo njihalo Dodaci 6. poglavlju DP6.1 Gibanje projektila u neinercijalnom sustavu Kosi hitac i Coriolisova sila DP6.2 Transformacije koordinata pri rotaciji Pregled 6. poglavkia 1. Novi fizikalni pojmovi 2. Nove relacije 3. Pitanja
6-1 6-2 6-4 6-5 6-6 6-8 6-9 6-11 6-13 6-14 6-16 6-19 6-21 6-21 6-23 6-23 6-23
•
St • 6- 2
D. Hon,at: Fizika 1 za FER
6.2 Galileieve transformacije
6. INERCIJALNI I NEINERCIJALNI SUSTAVI
7. prosinca 2001.
Razmotrimo, prenm slici 6.1 dva koordinatna sustava S i S'. Sustav S rniruje uz odnosu na mintog promatraea (na Zernlji npr.) i u njemu materijalna toeka A mase en ima koordinate (rA, yA, zA ). Koordinatni sustav S' giba se brzinom C/0 u odnosu na S i to tako da su u jednom trenutku t = 0 npr. ishodik.a 0 i 0' Ulla na istom mjestu i da su osi pale jedna na drugu. Gibanje se odvija dui osi x, bez rotacije. (Na slici 6.1 koordinatne osi su malo razmaknute zbog bolje preglednosti!). Na toeku A djeluje sila koja mijenja poloiaj toeke A. Nas zaninta opis djelovanja site u sustavu S', ako znarno opis djelovanja site u sustavu S. Koordinate toeke A u sustavu S i (zutAAS== ' pzto ,A,Av)ezarte su u nekom trenutku t slijedeeim relacijama x :yAA
y r,A'4 + vot
LA = trA — vot YA
(6-1)
zA
( 'A'AA === Relacije (6-1) su Galileieve transformacije izmedu Ova inercijalna sustava. 6.1 Uvod Rada je u prvont poglavlju ove knjige uveden pojam koordinatnog sustava ista.knuto je, a to ponavljamo i ovdje, da tizikalni rezultati ne mogu (ne smiju) ovisiti o izboru ishodiSta i orijentaciji osi koordinattiog sustava. labor koordinatnog sustava a druge strane, vrlo je vaiau i eesto rjeSivost, nekog !noble:11a 1110%(.! ovisiti o tom izboru. Nadalje. kriterij izbora koordinatnog sustava je taj da u "dobrom" koordinatnom SIISUIVII, kako N,sto kaZento referentnom sustavu) moraju vrijediti .'\'ewtonovi a.ksionti. Tu je posebno vaZan prvi Newtonov aksiont, aksiont o tromosti ili inerciji, pa sc i "dobri" koordittatni sustavi zovu inercijalni koordinatni sustavi. Medutitn, ponekad je vrlo maktieno koordinatni sustav "prikvatiti" za tijelo (ili mjesto, vozilo itd.) koje se gibe nejednoliko. To ima za poaljediell "elimittacija" prvog Newtonovog aksionta, It tom koordinatnom sustavu ne vrijedi zakon ustrajnosti. Npr. ako sjedinto a tramvaju ko,ji mintje a odnosu in nekog promatraea koji stoji na stanici i ako se na podu tramvaja lialazi lopta (kuglica. ) to ako u jednont trenutku tranivaj (lagano) krene (a da nil to ni lie osjetim0), kuglica ett se pokronati a soden' soprotnom od smjera pokretanja (akceleracije) tramvaja. Mi vidimo da se kuglica pokreaula (promijenila je svoje stanje gibanja), ali na nju nije djelovala sila! Dakle, prvi Newtonov aksiom ne vrijedi, bar ne u tour "nagern" koordinatnom sustavu vezanom us trartivaj!
U gornjUn pravilima transformacije koordinata izmeclu sustava koji se jednoliko giba po pravcu brzinom 150 i sustava koji rniruje u odnosu na nekog promatraea pojavljuje se i vrijeme (napisano u zagradi). ,lasno je da je to transformacija trivijalna, jer to ujedno znaei da smo ponovili jednu od dvije osnovne prostorno vremenske prctpostavkc Newtonove mehanike: prostor je euklidski , a vrijeme je apsolutno. Ta apsolutnost vremena znaei da postop edits "svjetski - svemirski sat" koji otkucava sekunde jednako i istovremeno za sve dijelove i smjerove prostora i za sve toeka prostora bez obzira na ujihovo gibanje iii rnedudjelovanje.
Naravno, za prornatraka na stanici sve je u redu, jer se u stvari kuglica u odnosu na njega ni nije pomaknula, vek se je powaknuo tranivaj, a kuglica ostaje stahio na istonm mjestu. Svakztko, kuglica ke sc zbog trenja (mato) pornaknuti i za nrirnog promatraka, ali ako zarnishino da kuglica lebdi malo iznad tla trarnvaja, onda ke ona doista ostati no mini u odnosu na miruog promatraka, it Ira kern° vidjeti isti cfckt pornicanja bez site! 1
Slika 6.1 - Gibanje sustava S' u minosu nu sustav S
Druga i trees jednadiba Cetvrta) u (6-1) pokazuju da su "crtane" i "necrtane" velitine jednake, nepromjenljive, iako prelazimo iz sustava u sustay. Za velieine koje se ne mijenjaju pri nekoj transfonnaciji (pretvorbi, prijelazu) kalemo da su inuarijarane a olezirorn na to transforenaciju. Dakle, rekli bismo da su koordinate koje su okomite na smjer gibanja sustava S' invarijarttrie s olezievin Ida Galileieve transformacije. Pojam ilJvari,jantnosti izuzetno ,je vaZ".an, jer se pokazuje da invarijantnost vodi na na zakone zatuvanja, a ti zakoni, kaosto smo vidjeli u ranijim poglavljima, daju dragocjene podatke i uvid u ponekad vrlo komplicirane
-
Str. 6- 3
6. Mercijaini i neniercijaini sustavi
situacije. Invarijantnost i s njom povezani zakoni saeuvanja posebno su vaZni u mikroskopskoj fizici (kvantnoj mehanici, kvantnoj teoriji polja) i njenoj primjeni (fizika atoma, fizika jezgre i fizika elementarnih eestica).
uz pocetne uvjete y'(0) = 0, 00) = v01,, x'(0) = 0, i'(0) = 0. Rezultat integracije je dobijen ranijc, tj. V(t) = voi v t –
Deriviranjem prve jednadZbe po vremenu
d T ( xA=
d
= dl xA +vO
d d , TEYA = vA/v = VA d dt
D. Iforvat: Fizika I za FER
Ste. 6- 4
(6-2)
d ,
( ZA ZA = vA/z = T
dobijemo vezu izmedu brzine totke A u nekom trenutku u sustavu S odnosno u sustavu S. derivacijom po vremenu
Drugorn
d2
d2
(t) = — LA (t) dt2
dt2
d2 d2 - 144(t) = —11 A(t) dt 2 dt 2 d2 d2 ZA (t) = ZA(t)) dt 2 dt2
(6-3)
Promatrae P u inercijalnom sustavu S odmah mote dobiti svoj rezultat ako primijeni Galileieve transformacije, tj. Y(t) = no t, – t2 i x(t) = sot. Njihovom kombinacijom (eliminacijom t) dobijemo parabolu koja opisuje kosi hitac u sustavu S. Prema tome, u jednom inercijalnom sustavu (S') promatrae koji se giba (u odnosu na S) vidi vertikalni hitac. Fizikalni rezultat koji slijedi it tog opisa je npr. vrijeme uspinjanja, vrijeme leta itd. Mind promatrae vidi kosi hitac kamena, ali on dobijc isti fizikalni rezultat (vrijemc Icta, uspinjanja itd.). Prema tome, dva sustava S i S' su ekvivalentni, tj. fizikalni rezultati 71C ovise o izboru rcferentnog sustava. Tu valja dodati komentar koji jc povczan sa zadnjim odjcljkom ovog poglavlja: kamen, gibajuei se gore ili dolje osjetit ee, opecnito, jot jednu sun koja jc posljedica gibanja Zemljc oko njene osi. Taj je efekt, istina, vrlo ma!l ovdje, ali valja ga razmotriti. Ovdjc smo taj cfekt zanemarili pretpostavivti da su sustavi S i S' incrcijalni, tj. da. u njima vrijedi 1. Newtonov aksiom, a tto je u stvari ispunjcno samo aproksimativno!
dobijemo jednakost akceleracija u jednom i drugom sustavu. Zakljuoujerno dakle, da su jednadZbe gibanja 2. Newtonov aksiom - u sustavu S i u sustavu S' identiene sustav S rnA (, 7 d2
+ c2 y„Aj+ d— 2
do
(c-id2 t7 x'Ai+
sustav
do
A
(6-4)
cd2 Z:jc) = 6.3 Ubrzani sustavi. Inercijalne sile i translatorno gibanje
U gornjem razrnatranju pretpostavili smo da je masa eestice mA velitina koja je ista - nepromjenljiva u svim sustavima. Nadalje, invarijantnost zakona mehanike (2. Newtonovog zakona) s obzirorn na Galileieve transformacije mote potaknuti prirodnu Zelju za poopeenjem invarijantnosti i na druge (ave.!) fizikalne zakone. Medutim, lako se pokazuje da npr. Maxwellove jednadthe, dakle, jednadZbe koje u potpunosti opisuju svijet elektromagnetizma 711SU invarijaritne s obzirorn na Galileieve transformacije! To je vrlo uznemiravajtMi (negativni) fizikalni rezultat, jer on u stvari narutava jedinstvo fizikalne slike svijeta, odnosno, naruAava jednakovrijednost svih fizikalnih zakona! Rjeknje tog velikog problema bit /e dano u okviru specijalne teorije relativnosti.
Razmotrimo sada istu sliku 6.1, ali neka se sada sustav S' giba ubrzano u odnosu na mirni sustav S (vezan za Zernlju). Sada transformacije koordinata izgleda,ju ovako (ispatamo sada indeks .4) z (t )
Primjer 6.1 Osoba G vozi se u OtVOTTMOTII vagonu vlaka koji se giba go ravrtirn traenicarna (proves.) staluarn brzinorn od so = 30 km/h. U jednom trenutku vagon pro/Ye pokraj mirttog prornatraea P koji stoji pokrajpiuge, a G u torn trenutku baci vertiklano prerna gore kamen, koji 7/17/ nakon 6.5s padre na glavu. Opihte gibanje kamena u sustavu S koji je vezan uz prornatraea P odnosno u sustavu vezanorn uz G. Iskoristite Galileieve transformacije za povezivanje rezultata jednog i drugog opisa. RJEENJE Baecni kamen u inercijalnom sustavu
izvede ecrtikalni hitac i padne na vagon za 6.5s. imamo jednadtbe gibanja (za "crtane" koordinate)
m dt 2Y
Mg
I
mdtvx = 0,
= x'(t) + ro t +
ti t2 2
y(t) = y'(t) z(t) = z'(t) (t
(6-5)
t' ) .
Deriviranjem po vremenu dobijerno prvo
Za dobro razumijevanje gornjeg razmatranja valja dobro prostudirati slijedeei printjer, koji je u biti vrlo jednostavan po svojem prividnom fizikalnom sadrZiaju (vertikalni i kosi hitac), no on pokozuje duboku vezu izmedu invarijatnosti fizikalnih zakona i neovisnosti fizikalnih rezultata.
(12 ,
A
=
jer kako su lijeve strane jednake, ,jednake su i desne strane. Jasno, poeetni uvjeti vodit 6e na razlieite matematieke opise istih fizikalnih situacija, ali fizikalni rezultati (kaZemo jednostavno "fizika") neee ovisiti o torn opisu!
To znaei da u inercijalnom sustavu
x'(t) = 0.
i
X(t) = X'(1) + 110 + ao t = V(t)
(6-6)
i(t) = .1'(t) i dalje 2,(1) = l'(t)
f
1)(0 = y'(t)
(6-7)
i(t) = 1'(t).
U sustavu S .jedna&i,ba gibanja je kao i prije jednaka rn.7; = F , ali sada je jednadba gibanja u ubrzanom sustavu S' jedna.ka
mi'(t) = F – ratio.
(6-8)
6. Inercijahli i neincrcijairti sustavi
Str. 6- 5
Dakle, pojovila se doclatuo "silo" = 111.(1.0 kuja je posljedica ubrzanjo ao sustava 8' a odnosu ua (inirni) sustav S i zato to nije "prava" silo (inedudjelovanje) see je zoveino "pseudosila" iii thercijaina silo. Iiia'ienio do se u neinerrijulttorn sustavu javljaju inercijalne site. Do bistro dobili istu "fiziku" (2. Newtonov aksiom) i u sustavu S', u jednadzbu gibanja uvodinto inercijalnu silu po "receptu" (izvedenoin gore): u sustavu napiertio istu jedriatDiu gibanja za inasu in Ica() i u sustavu S ali dodairio i inercijalnu silu koja je jednaka uninoSku inase tijela .in i negativne akcelerucije ao koju iota sustav S' u sustavu S, u sustavu S
m.F = F
=F+
u sustavu
=F+
—(7.0
)
tj.
(6-9)
Sir. 6- 6
D. Hoivat: Fizika 1 za FER
l'rema mum je
mao = T sin c.r i my = T cos a ili + g2) = T2 =. T = Vq, g2.
ni 2
Time je opisana "fizika" u sustavu S! U sustavu koji je "prikvaeen" za vagon, prornatrae u vagonu vidi da se prema njemu otklonila nit s kughcom i da kuglica mituje. On V ce napisati, prema ranijem "receptu" uvjet ravnoteie tako da zbroji sve silo koje djeluju (prema sustavu S) u nulu, ali dodat ee i inercijalnu situ tj.
F = Tre(—(70)•
fr,+t+0=0.
je akceleracija sustava u odnosu no (inirni) sustav S. Integracija gornjili jednaabi vodi na "istu fiziku" u inercijalnoin sustavu S i neinercijalnoni sustavu S' u sntislu ranijili razinatrania u odjeljku 6.2. Dva priinjera koji slijede izuzetno su vazni za razunlijevanje suStine inercijalne site i fizike u neinercijaliiiin sustavirna, pa iL valja pakiljivo prostudirati!
On je uveo inercijalnu silu koju izratuna prema "receptu": to sila jednaka je umnolku mase tijela en i negativne akceleracijc tj. = Dijagram tih sila prikazan je na slici 6.2.b, a jednadiba ravnoteZe je —moo+a+/"=-0
(1')
Ta jednadiba je matematieki identiena jednaclibi (1) koju je napisao mirni promatrat, ali njeno fizikalno znaeenje je drugatije: ovdje je to uvjet ravnoteie, a tamo je to bio opis (ubrzanog) gibanja! Po komponentarna jednadiba (1') daje —imao + iT sin a = 0
—jmg + jT cos a = 0. Is gornjih jednadibi dobijemo izraz za T: T = tn sao + g2. Dakle, uvodenjem inercijalne silo dobili smo "istu fiziku" u inercijalnom i neinercijahlom sustavu! U sustavu snsjer zbroja sila + C molemo interpretirati kao "novu okomicu", jer bi u tom smjeru slobodno padalo tijelo kada bismo prerezali nit. Dakle, u takvom vagonu bi se mogao organizirati isti Zivot uz smjer (nove) teline = Pi + o. Okomito na bi se postavila povrlina mime vode, a tijela bi padala (novom) akceleracijom slobodnog pada y' /g2 + a)!
Slika 6.2 - Inercijalni S i neinereijaln sustav U Inir7/07/1 lifts visi opruya konstunte k i ua njuj if! Objege710 lijclu noise nt. Zbog toga je oprugu produljenu ad duljine Lu za Ax i to produljenje izmjere dva prontatranu: jedan u lifts, a drugi sa shone. Na lift pane djelovati silo promo gore i liftu, zajedno s tijelorn i promatradem, daje akceleraciju ao, promo gore. Zbog toga se opruga produlji jog za dx. lzraeunajte konstantu opruge no osnovu mjerenja ukupuoy produljenja! Primjer 6.3
Primjer 6.2 U vagonu so stropa visi no nerastezljivoj niti kuglica muse m. Vagon se pod djelovanjem statue silo ubrzava stalnorn akceleracijom ao (prema slici 6.2). Opthte poloiaj kuglice sa stanovi6ta 1/1i7710.9 prontoMina koji stoji pokruj vagonu (sustav S) odnosno promatraea koji stoji u vagonu (sustav S'). lzra&unajte nupetost niti T!
RJ l'AENJE Mirni prornatral u sustavu S opisuje ubrzano gibanje akceleracijom uo kuglice mase in u liftu tako da napile jednadibu gibanja - 2. Newtonov aksiom. Ako je os x okrenuta prema gore, onda je jednadiba ubrzanog gibanja jednaka
R.JF,SEN'JE Na vagon djcluje sila koja mu daje ubrzanje ao. Preko niti, vagon povlaki za sobom kuglicu mine in pa se kuglica ubrzava istom akceleracijoni 00 kao i vagon. Tu akceleraciju mjeri mirni prornatran u sustavu S vezanom za Zendju. Sustav S je inercijalni sustav i u njeniu prornatran opisuje gibanje (2. Newtonov aksiom) prema dijagramu sila na slici 6.2.a. Dvije site djeluju na kuglicu: napetost niti T i toina tijela C. Vektorski zbroj tilt sila daje silu F koja daje akceleraciju 00, tj. + =
= nado.
Sile moiemo rastaviti po Kartezijevim komponentama (x je horizontalna, a y vertikalna os)
F = imao = T sin a
0
=—jrng+jTcosa.
+ Pw ,= moo ill —img + ik(Ax + 6x) = imao. (1)
(1)
Konstanta opruge je
k=
in
Ax +
(9 + ao).
Promatrat u liftu u (neinercijalnom) sustavu S' vidi da produljenje opruge nije vile samo Ax, nego je Ax + bx, a tijelo music. Produljenje nije posljedica djelovanja silo (medudjelovanja) vee je posljedica
(2)
6. Iner cunt,.
flat
i TICIIIC7r131//01 S11.001/1
ko I.0
pa .je 00 -
F(I1) — (Al + 1)11p, At + rn
Na tijelo m djeluje incrcijalna sila F, koja je nakon 11 s upravo jednaka sili biti jednaka), tj. = — mac, = F,,12 = rfirtir2, pa je 1,2 —
ao
_
(toOnije, upravo prestaje
+ m)gpi
F(11) —
(m + m)g F(u )
P2 - (M +
m)a
p i — 0.6703.
6.4 Inercijalne sile i rotaciono gibanje. Centrifugalna sila
Pri razmatranju jednolikog gibanja po kružnici opisali smo promjenu brzine (samo) po srnjeru i uveli centripetalnu akceleraciju
Slika 6.3 - inercijaini i neinercijalni sustav - lift se ubrzava prema gore!
a„=
gibanja, pa zato on uvodi inercijalnu silu - pseudosilu uvjet ravnoteie ovako G +Pp+F; =
prema receptu F
= m(-ao = -ma.
i Ink
+ -
—img + ik(,Lr + Ox) — ima0 = 0. Gornju jednadibu ravnotete valja usporediti s jednadthom ubrzanog gibanja (1). Matematitki su to jednadthe idcntitnc, no fizikalni je sadriaj razlitit (za razlitite promatrate). Rezultat za konstantu opruge koji slijedi iz gornjih jednadibi identir'an ,je izrazu (2)! Uvodenje inercijalne site u neinercijalnom sustavu dalo je isti fizikalni rczultat!
Primjer 6.4 Tijelo rnase M = 2 kg miruje na podlozi, a na njernu se nalazi tijelo rnase m = 1 kg. Koeficijent (dinamiekog) trenja izmedu M i podloge je pl = 0.4, a koeficijent (statidkog) trenja izrnedu m i M je //2. Na tijelo M pane djelovati horizontalna silo poeetnog iznosa F0 = 15 N, koja linearno raste s vrernenorn , pa se snake sekunde poueea za 10% poeetne vrijednosti. Tijelo rrt se pane sklizati po tijelu M nakon
Koliki je AL2?
gdje je
= (Al +
(6-10)
Zamislirno ploeu koja rniruje i na kojoj se nalazi tijelo mase m prievrkeno za oprugu konstante k koja je okrenuta u radijalnorn srnjeru (vidi sliku 6.4). Knana plota pane rotirati stain= kutnorn brzinom C.3 koja, prema difinidji vektora kutne brzine, "gleda", prema slid 6.4 "iz papira". Situaciju s tijelorn opisujemo u (Iva koordinatna sustava: u inercijalnom sustavu S vezanom uz mirnog promatraea (koji stoji pokraj plote) taj promatrae vidi da je opruga rastegnuta za Ax, tj. na tijelo djeluje sila Fop = prerna sredigtu. Ta sila prisiljava tijelo da se vrti po kružnici polumjera R. To je, prema tome, centripetalna sila koja, prerna ranijem opisu, rnijenja neprestano smjer ali ne i iznos brzine. Dakle
.rn
(6-11)
a centripetalna akceleracija je = --f-v2 /R= Sustav S' je neinercijalni sustav jer promatrat u 5' vidi da je opruga rastegnuta i tijelo rniruje, ali ne zbog rnedudjelovanja yee zbog ubrzanog gibanja. Prornatrat u objaSnjava rastegnutost opruge inercijalnorn siloni F, koju pronalazi prema ranijem "receptu":
13,JEENJE Sila koja djeluje na tijelo ima opOenit oblik F9t) = at + 0, a iz podataka jc F(0) = Fo = 15N = i nakon 1 s je F(1) = a • 1 + Fo = + F0/10, pa je a =- F0/10. Nakao us je F(11) = 31.5 N. U torn trenutku tijela Al + m imaju akceleraciju dobijenu to jednadthe gibanja F(11) — Fr, = ( + m)ao,
---frw2 .
Porijeklo centripetalne (centralise) site mole biti razlitito: napetost niti, gravitaciono privlatenje, sila trenja, elektrostatska privlaena sila, rnagnetski dio Lorentzove site itd. Ovdje eemo razmotriti krO.no gibanje sa stanovi§ta mirnog promatrata koji se nalazi u inercijalnom sustavu S (na Zemlji npr.) i sa stanoviSta drugog promatrata koji se vrti zajedno s tijelom i za kojeg tijelo miruje, pa se taj drugi promatrat nalazi u neinercijalnom sustavu S'.
= 72( —do )
(6-12a)
gdje je 6o akceleracija sustava S' u odnosu na mirni sutav S, a to akceleracija je centripetalna akceleracija iz (6-11). Prerna tome .je
i!,0
= In(—do ) = F,1 =
m(-1) . ( -f IR) =
frrtv2 R = irriRw2
(6-12b)
Ine,ijalni I ncinrrriyulni su.sta,ri
Str. 6- 9
Sr, 6-
D. Harnett: Fiztka 1 za PER
Slika 6.5 - Uz primjer 6.5. Dijagrain sila odgovara opisu koji daje mirni prornatrael
je jednalca umno9ku muse in 3", = a°, pa je
i
—6o, gdje je ao ubrzanje sustava, a to je centripetalna akceleracija
Slika 6.4 - Vrtnja tijela nu ploci. U zagradi je napisana inercijalna sila koju uvodi promatrue nu plofi!
+0
+ 4 =0.
1 u sustavu S i u
Sila "gleda" od sredii;ta prema van i dobila je vlastito line centrifugalna situ, a odgovarajuea akceleracije je centriluga/na akceleracija. Pomoeu to site promatrae u sustavu opisuje mirovanje tijela Fop + F, = 0, tj. ik.Ax = Ta jednad5ba matematieki identiena jednadZbi (6-11), all tamp .je njom opisano (ubrzano)
dobili smo matematiai isti zapis gibanja! Prema slici je kuglica pri vrtnji udaljena ukupno 72 od srediSta vrtnje, pa je otklon od ravnoteZe jednak JR = ft — R0 . Taj otklon tnolerno izraziti preko kuta a i duljine niti 0: sing = AR/e, pa je AR = (sins. Iz jednadlbi gibanja dobijerno, dijeljenjem jedu adZbi in(flo + AR)w z sin a
mg
7 . ' cos a
tau nakon uvrStavania All vodi na nelinearnu jednadZbu za upr. sins,tj.
gibanje tijela, a ovdje njegova ravnote7,a! Prinder 6.5 Na gramojonskoj pia; nu udaljenosti 10 MI od Sirdigta ploec postuvljen je ma/i stalak s niti duljine In CM nu kojoj visi kuglica muse in. Ako se ploja vrti kutnom b12i70011 valja opisati gibanja kuglice su stanoviRa dr. Patuljka koji se (jedva) drii nu p/oei (vidi sliku 6.5) odnosno su stanovigta (Nevidljivog) mirnog prornatra 'ea su strane. Ako se ploea vrti tako da u loin. naprovi 33.3 okretaja, vaija izraCmnati 701 kojoj udaljenosti od sredigta vrtnje rotira kuglica. RJESTNJE U sustavu S centripetalna sila F,, proizvedena je od site napetosti niti T i teiine tijela
(17,, + s i u „)„,2
!ISM
—
0
siv a n
Ta jednadZba vodi na pOli110111 U sill o 0etvrtog stupnja koji valja rijeSitr numeriCki. Polinom izgleda ovako
eu.,4 sin' a + 2120 0° sin' a + (y 2 — £ 2 ,,z 4 + 12Z,a 4 )sin 2 a — 2R001.,° sin a —
= 0.
prema dijagramu na slici 6.5. Dakle Numerieko rjeSenje (pommlu programa Mathematica npr.) vodi na tretiri rjeSenja (x E sin a)
„=t+0
uz
P51 =
=
.
U polarnim koordinatarna u kojima 0 gleda od sredi6ta prema van, a k' k) je u vertikalnom smjcru (,i na slid) gornja jednacliba gibanja je po komponentama met
= —PT sin a
o = kT cos — krng.
U sustavu S' (ucinercijalni sustav) dr. Patuljak (jedva) vidi da kuglica miruje na koso postavljenoj niti. On pile jeduadibu ravnoteZe, tako da uvede inercijalnu situ
t
+T;=(),
= —0.11 504 — 2.55 284 1 xa = —0.11 504 + 2.55 284 i xa = —0.10 962
x4 = 0.13 970
od kojib je prilwatljivo samo zadnje, pa je a = 8.0306° = 8°1'50", tako da je AR = 0.01397m, pa se kuglica vrti na udaljenosti od 11.4 cm od osi vrtnje.
Ste. 6- 11
6. /nereijalni i neinercija/M sustain
D. Horrat: Fizika / za FER
Ste. 6 - 12
Vremenska derivacija jedinicnog vektora u smjeru polumjera, prornjena .jedina:nog
6.5 Opa pravila transformacija u rotirajuam sustavima
vektora Jr dr, tj. i(t + tit) = r(t)+
Razmotrit eerno ovdje prvo opeenito gibanje rnaterijalne totke po nekoj krivulji i iz opeeg zapisa promjenljivog gibanja izvest eemo izraz za neka posebna gibanja koja anode tijela kada se giliaju u sustavu koji rotira (tj. gibaju se npr. po Zemlji, koja, koko solo veee ranije isticali, nijc inercijalni snstav)!
je (srediSnji) kur jednak dp, a luk Jr jednak umncAku (srediSnjeg) kuta i polumSmjer prirasta dr
jera, tj. jdri =
Cestica se giba po krivulji u ravnini c — y (prerna slid 6.6). Njen pololaj incr'ir,emo opisati pomoen Kartezijevih koordinata (x, y) iii polarnih koordinata (r). Pri tome valja uotiti da se pri opisu totke jer jedinitni vektor e je uvijek pomoeu polarnih koordinata u vremenu mijenjaju i jedinitni vektori r i radi,jalan pa mijenja svoju orijentaciju pri gibanju po krivulji, a ,t3 je uvijek okomit na njega. Vera izrnedu jedinienih vektora dana je ovako (vidi Dodatak D5)
jc okomit na r(t), a to je smjcr jedir it. nog
vektora
Prema tome je
di- =
=
Dijeljenjem jednadibe s dt na lijevoj strain
= icos,p+ =
l'ri-
ra-st vektora dr je "Iuk" u kruinom isj&ku
(6-13)
dobijcmo vremensku derivaciju jedinitnog 6 vektora i ur a = dca/dt dobijcmo
+ jcos yo.
didt
Slika 6.7 - lzvod vremenske derivacije jedinienog vektora r.
Vremenska derivacija. brzine (6-16) je akceleracija di)" dtidf dl?
=
= TiT f E T it Tirt-wr"" ±ri —cii4+1?""711
=
+2R:
+ &DC'S +
(6-17)
(.43
dt
•
Uvrkavanjem vremenskih derivacija jedinicnih vektora (6-15) u gornji izraz dobijemo vektor akceleracije Slika 6.6 - Gibanje materijalne take po krivulji K
c7 =(R— R.co2 )f + (2k..)+ (6-18a)
Vremenska promjena radijusvektora jednaka ,je brzini d d(R6) dR dt dt dt r
d = R6 + (.0 x (C3 x
tj. (6-14)
'rcT .
Vrernensku prornjenu jedinienog vektora 3 ratunali smo vee ranije pri kružnom gibanju Potpun ratun za vremensku derivaciju f-a dan je uz sliku 6.7.
(6-15)
= —sir,
7' = yj
tit
ili
Razmotrimo elan po elan:
-Th.J2 -
to je centripetalna akceleracija a rt,. Njen je predznak negativan, prema ranijem izvodu (vidi pogl. 1).
2/L - to je akceleracija do koje dolazi kada se tijelo giba dui polumjera, a pritom se taj polumjer vrti (stalnom) kutnorn brzinom v.
pa je brzina
r, = lb= + Rixx,3
Akceleracija ima dvije medusobno okornite komponente: jedna je radijalna a r - u smjeru I., a druga tangencijalna at - u smjeru at = — a, =+ (6-18b)
- to je promjena brzine u radijalnorn smjeru. Dakle, testica se udatjava od ishodi/ta (lb mu se pribliava) s promjentjivom brzinom.
Prema tome, vremenske derivacije jedinienih vektora su
dt
+ (2./L, + Rc;))Co.
'LT = fir
x R.
(6-16)
Lijeva strana gornje fonnule predstavlja brzinu u inercijalnota (minion]) sustavu, a prvi elan desne strane je (lokalna) brzine u rotirajueem sustavu, pa inaemo to jednakost napisati i ovako
= t7' + 6 x
(6- 16')
- to ,je akceleracija kao posijedica tangencijalne site koja mijenja kutnu brzinu. Ta akceleracija predstavlja ubrzanu rotaciju. Prema tome, izveli smo brzinu i akceleraciju totke koja se giba po proizvoljnoj krivulji u 27— y ravnini. Taj izraz je izveden za tnirnog prornatrata u ishodiku inercijalnog koordinatnog sustava o odnosu na koji smo raztnatrali gibanje.
6. Irtercijahli i neinercijullai sustavi
SO'. 6- 13
Str. 6- 14
D. Harvat: Fizika 1 za FEn
Coriolisova silat Sada ino2erno razmotriti gibanje toeke koja se giba stalnom brzinom po polumjeru koji rotira stalnom kutuom brzinom w. Ta situacija odgovara gibanja materijalne roeke po krivulji za koje smo upravo izveli akceleraciju u jednadZbi (6-18) za promatraea u inercijalnom sustavu S. Medutim, u toj jednadžbi valja sada staviti I? = 0 (gibanje testice je jednoliko) i RCA) = 0 (radijusvektor I? odnosno sustav S' rotira stalnom kutnom brzinom).
Slika 6.8 - Cibanje 6estice u rotirajude7IL sustavu stalnom b12i710711
.
Cibanje materijalne totke ino2emo opisati i u "njenotn" sustavu (vidi sliku 6.8) tako da neinercijalni sustav S' u trenutku t = 0 smjestimo tako da ishodilta koincidiraju i da se osi poklapaju. Sustav S' zatim potne rotirati stalnom kutnom brzinom 0 oko ishodilta, prema slici 6.8. U torn istom trenutku eestica krene (stalnom) brzinom iznosa R od ishodilta dui osi U sustavu S' materijalna toelca se giba jednoliko pa pravcu stalnom brzinorn R. U sustavu S irnamo ubrzarso gibanje s akceleracijom 05 opisanom gore, tj. clo =
+ 21L, co.
(6-20)
= Fc7 + Pco" gdje smo prema ranijoj definiciji uveli centrifugalisu situ 4.1 eije ,je ubrzanje jeduako negativnojcentripetalnoj akceleraciji, a i uveli smo novo line - Coriolisovu silo eiji je smjer suprotan akceleraciji = 2/1, izvedenoj za inercijalni sustay. Dakle, Coriolisova sila je inercijahra situ u rotirajueem koordinatnom sustavu, a javlja se zbog gibanja tijela u rotirajueem sustavu. Njen maternatieki zapis je F00 ,
fit, ako u sustavu
= -21ttiLic
(6-21a)
uvedemo brzinu gibanja v' = R, dobijemo frcor = 27116' x CO.
(6-21b)
Izraz za Coriolisovu situ (6-21b) vrijedi opeenita, za bilo koje gibanje u neinercijalnorn sustavu. Do sada smo najtelee zvali inercijalni sustav onaj sustav ko,ji je bio vezan za Zernlju. Medutim, rezultati ovog odjeljka pokazuju da mora postojati neki efekt Coriolisove site koji mole ukazati da Zeinlja Gustave Gaspard de Coriolis (1792-1843) francuski fizkar i inienjer.
(sustav vezan uz nju) nije inercijalni sustay. Svakako, izraz za Coriolisovu situ koja,je proporcionalna kutnoj brzini Zemlje wz pokazuje da ee taj efekt biti vrlo mali. Nanne, kutna brzina Zemlje je
(6-19)
U sustavu promatrat (testica) uvodi inercijalnu silu .h; koja upravo poniltava situ u sustavu S koja daje ubrzanje, pa promatrat u S' dobije jednoliko gibanje! Inercijalna sila F, jednaka ,je, prema "receptu", umnolku rnase i negativne akceleracije eio tj. = in(-(70) = rn(I?c,)2 r - 2Rw c7) = m(-0 x (c.0 x di) - 2/durvi]
Slika 6.9 - Coriolisova situ na tijelo koje se giba dui uteridijana. Smjer site je "pavans zupudu" iii (uvijek) "na desno"!
- 86 400 s
= 0.000 073 s-1,
(6-22)
pa ee neposredni efekt site biti telko injeriti. Kuntu/ativni efekt Coriolisove site (zbrajanje malih efekata kroz dulje vrijeme) lakle le biti uoeiti. Sada eerno opisati nekoliko situacija u kojima je Coriolisova sila prepoznatljiva! Prema slici 6.9 Coriolisova sila rota sillier "na zapad" za gibanje po meridijanu od sjevera prema jugu. Kao posl,jedica to site doista se primjeluje da rijeke koje teku sa sjevera prema jugu (na sjevernoj polukugli) vile erocliraju svoju desnu strane od li,jeve. Slieno se primjeeuje i na tralnicarna vlaka u smjeru sjever-jug. U stvari, lako je vidjeti de le uvijek desrta strana (u sinjeru gibanja) biti izlo2enija Coriolisovoj sill od li,jeve (na sjevernoj polukugli). Coriolisova sila javlja se i pri gibanju po ekvatoru, all ue i okomito na ekvator (u podrutju ekvatora) jer je tamo tOz paralelna s Slobodni pad i Coriolisova sila Kada ,je tijelo ispulteno na nekoj visini iznad Zernlje, ono, slobodno paclajnei, izvodi gibanje a rotirajueent sustavu, vodi na pojavu Coriolisove site Na tijelo (u njegovom sustavu, tj. u neinercijarnont sustavu Zeitilje) djeluju tri site: te;iina tijela C (za male visine ne uzirnamo Newtonov opei zakon gravitacije za opis teiine tijela), centrifugalna sila P,f i Coriolisova sila For. Za ocjenu efekta centrifugalne site valja uzeti u ratun zemljopisnu lirinu A (silica 6.10): poluinjer rotacije r koji ulazi u izraz za F 1 je r = nz cos A, pa je (uz Rz = 6 400 kin) aci = I?zwz cos A = 0.034 cos A in/s2. Dakle, efekt centrifugalne site ,je vrlo mali, pa sada rno2erno razmatrati sarno Coriolisovu silo. Ako je brzina tijela ispultenog s visine h jednaka v'(t) = gt, onda iz jednadibe gibanja (vidi dodatak poglavlju DP6.1 za potpuni izvod opeenite putanje) rrti = 2Truiiiv' sin (di/0')
(6-23)
6.
/nercijalni i ncincrcualni
Si,. 6 - 1.5
sustain
D Norval: Fiziku 1 zoo PETS
Sir. 6. 16
Foacaultovo njihalot
Gibanje tijela u sustavu vezanom za Zemlju uzrokuje pojavu inercijalne site -
Coriolisove site, tije je efekte, kao sto smo prikazali prinderirna, vrlo teMco kvantitativuo mjeriti, all tiji se efekti odraZavaju kroz globalne (zernljopisne, meteoroloske) pojave. Kumulativni (zbrojni) efekt Coriolisove site mole se istraZiti pomoen niza uzastopnili gibanja kakva noon mole dati (obitno) njilialo. To je potakrinlo Foucaulta da 1851. godine pokaZe pornotn velikog matematitkog njihala da se Zernlja doista vrti oko svoje osi.
Slika 6.10 - Uz procjenu centrifugalne ado pri slobodnont padu
dobijetno za pomak u smjeru site, tj. Itorizontalni pomak
x(t) =
Prirnjer 6.6
wt3 fi 3
cos A.
(6-24)
lzraeunajte pomak na zapad tijela koje slobodno padne s visine od 100, 150 i 200m, na
(sjevernoj) zemljopisnoj girini A = 45°.
RJEENJE Za pad s visine z' dobijemo da traje tl = 1- Tz7.g, pa prema izrazu (6-24) dobijemo da je za pad s visine pomak prema zapadu na lirini 45° jednak x'(z') =-
/8' -- '2 cos 45°) (z')312 9g—
Slika 6.11 - Proizvoljno gitanje rnaternatiekog njihala u neinercijalnom sustains S'
ili
x'(z') = 1.5479 x 10-5 (i)3/ 2 ,
Zainislirno pokus s matematitkim njihalom (totkasto tijelo mase rn objeSUno na nerastezljivu nit bez mase) na sjevernom polu. Ilavnina u kojoj njise njihalo ostaje cijelo vrijeme mirna a odnosu na (neki) inercijalni sustav (vezan za daleke zvijezde, npr.). To znad da de ravnina rotirati u odnosn na promatrata
Sto daje rezultate x'(100m) = 1.55 cm x'(150 m) = 2.84 cm x'(200 m) = 4.38 cm
koji sjedi na sjevernorn polu u smjeru suprotnom od rotacije Zemlje, a brzina rotacije je ,jednaka 15° na sat (odnosno 360° na dan). ObjaLnjenje to rotacije u sustavu promatrata je u uvodenju Coriolisove sile koja je Zernlje). Sila uvijek djeluje "na desno"
na polu maksimalna (jer je tamo brzina giban,ja tijela okomita na
prema smjeru gibanja i leli u horizontalnoj ravnini (slika 6.12). Coriolisova sila djeluje na njihalo s lijeva na se tijelo udaljava od promatrata (prema slid 6.12), a zatim u
de
tnom smjeru kada se tijelo
pribliiaya promatratu. Rezultat toga jo npr. putanja kao na slici 6.12. Ako se njihalo promatra na zemljopisnoj nrini A, onda se efekt Coriolisove site reducira za faktor sin A, Iz rezultata primjera 6.6 vidimo da bi neposredno mjerenje otklona tijela zahtijevalo izuzetnu preciznost koju je eksperimentalno teS"ko posti6i s obzirom na strujanje zraka i druge smetnje pri mjerenju. Medutim, slitan efekt, s drugim posljedicama, javlja se pri podizanju toplog zraka uvis zbog temperaturne razlikc
jer ako se napi0e kutna brzina po komponentama, ondaje njena radijalna komponenta jednaka w sin A, a tan-
(temperaturnog gradijenta) u atmosferi. Zbog Coriolisove Bile zrak dobije horizontalnu komponentu, a to komponenta, nadalje, uzrokuje Coriolisovu silu koja ponittava uzgon. Tako se dobije krutenje zraka u horizontalnoj ravnini, odnosno javlja se ciklona. Pailjiva primjena vektorskog izraza za Coriolisovu
slici 6.12.
silu pokazuju da je smjer kru5enja zraka u cikloni na sjevernoj polukugli suprotan kazaljki na satu, a na ekvatoru nema ciklone. S druge strane, topli zrak s ekvatora di2e se uvis. On se hladi u vitim slojevima i spugta se na Zemlju negdje na oko 30° zemljopisne 8irine i stvara tzv. suptropski pojas visokog tlaka. Jo tog podruEja prema jugu struje vjetrovi koji zbog Coriolisove site skreCu prema zapadu pa daju vjetrove poznate pod imenom trgovaeki vjetrovi ili pasati koji su pomagali jedrenjacima u protlosti da putuju u smjeru zapada. Iznad suptropskog pojasa vjetrovi pu8u prema sjeveru i zbog istog efekta Coriolisove site skreCe prema istoku i daju za nas u Europi poznata strujanja zraka prema istoku, koja gledarno svakodnevno kroz vremensku prognozu.
gencijalna (paralelna s povr§inom) je w cos A. Tangenctjalna komponenta doprinosi vertikalnoj Coriolisovoj sili (ko,ja neznatno mijenja napetost niti), dok radijalna komponenta w sin A izaziva "precesiju" njihala, prema
Pogledajmo sadajednadžbu jednadibu gibanja matematitkog njihala sa slike 6.11. Napetost niti i težina teiina tijela djeluju u inercijalnom sustavu i opisuju njihanje. U neinercijalnom sustavu (sa slike 6.11) djeluju i dvije inercijalne Bile: centrifugalna sila F,l i Coriolisova sila
P00,
koja nastaje zbog gibanja (njihanja) tijela.
Prerna tome, jednadZba gibanja je
mT= Trig + + Pc , + Pcor nar =mg+T + Fco ,,
ill
t Jean Bernard Leon Foucault (1819-1868) francuski fizitar i inienjor.
(6-25a)
6. Increiyuni i nrinercijahti sustain
Ste. 6- 17
Str. 6- 18
D. Horvat.. Fizika za FER
rjesenje z = deli' (uz nepoznati .1 i 13), cleriviranjern i uvrStrivanjem u gornju jedna&bu dobijemo tzv. korakleristiCreu jeduadileu koja Ce odrediti G . tj.
= 0 Sto daje
02 + 01,2 =
V-(C../92
(6-29) - o.
Dobili solo dva rjegenjo za 0, pa sada moiemo napisati i dva rjeSenja za z, eija je linearna kombinacija takoder rjeSenje jednadibe (6-28), jer je ta jednadžba linearna, tj. Be -6/(,')2 +4,ej
z(t)
(6-30)
Izraz pod korijenom sadrži dvije omege: 4 = yli je otprilike reda velieine 1, jer je y 10m/s2 , a duljina je takoder u pokusu s Foucaultovim njihalorn oko 10111. S druge strane c0' 10-4 , pa zato moieroo napisati V(w92 + 4 7, Lk, i .jedn ada m (6-30) postaje z(t) = Slika 6.12 - Skretanje ravnine njihanja Foucaultovog njihala kako go vide prornatraei u neinercrjalnom sustavu (Tar npr.)
[Ae1 " + Be-`"]
Ako sada iskoristimo Eulerovu formulu e°' = cosp + i sinp i uvedemo C1,2 = z = cos w't[(A
(6-30') B
B) cos wot + i(A - B) sin wot]
- i sin w't [(A + B) cos wot + i(A - B) sin wot] = cos w't [C, cos :Jot + iC2 sin wot] gdje smo (ponovno) zanemarili centrigfugalnu silu.
- i sin w't[C, cos wot + iC2 sin :Jot]
Komponente napetosti niti T jednake su umnoSku iznosa T i kosinusa kutova, koji su .jednaki x'/Q, y'/e i (i - z')/e, pa je
= C, cos (Jot cosw't + C2 sin (Jot sin w't
= -IT ,
- :IT •
+ kT
ez'
•
(6-26)
+ iC2 sin (Jot cos w't - iC, cos cJot sin w't = + iy' i izjednaeirno realne i kompleksne dijelove s x odnosno s y, prema definiciji z, jednadžba (6-27), dobijemo
Diferencijalna jednadiba (jecinadžba gibanja) (6-25a) sada postaje
= C, cos wot Cos t
mr =
- 2Inw(i' cos A - y' sin A)
C2 Sin wot sin w't
= -C, cos :Jot sin w't + C2 sin wot cos cit. (6-25b)
my =
(6-31)
— TT - 2rin.J±' sin A.
Uvedemo z = C1 cos wo t i y = C2 sin wot, pa dobijemo iz (6-32a) = x cos w't + y sin cit
Alatematitko njihalo rjekvarno najteke (vidi Fizika II - inaternatieko njihalo) u aproksirnaciji mall!' amplimg i vremenska prornjena z' (brzina u z' smjeru) je pribliino jednaka tuda (otklona). U tom je slueaju T nuli:
0. Tako dobijemo 9 cr' + 2rraJi sin A e
(6-25c)
y=-Qy' - 2'mwz' sinA. w sin A.) Gornje diferencijalne jednadibe su (Umjesto komponente kutne brzine uvest eemo oznaku vezane ("mijeSaju" se varijable) pa se ne mogu neposredno integrirati. Medutim, možemo uvesti slijedeou transformaciju z=
+ iy',
I = cr' +
=
+ 0',
(6-27)
gdje je i imaginarna jedinica. Ako sada pornonoiimo drugu jednadibu u (6-25c) s i zbrojirno s prvom, uz (6-27) dobijemo (6-28) c4z = 0, + gdje sino uveli 4 = [j/e. (U Fizici II 6emo vidjeti da to jednadžba opisuje prigukno titranje harmonitkog oscilatora, ovdje, medutim, uz imaginarni faktor priguSenja - vidi Fizika II: prigukno titranje.) Uz probno
(8-32a)
(6-32b)
y' = -x sin w't + y cos w't iR, pontoeu rezultata dodatka poglavlju DP6.2 ) - ( cos w't sinu/d) - sin cu't coscJ'
x y) .
(6-32c)
Gornji zapis predstavlja vezu izmedu mirnili koordinata (x,y) i rotirajueill koordinata (x'y'). Pri tome (vidi dodatak poglavlju DP6.2). To pokazuje da rjeknja x(t) = CI cos wot i je kutna brzina rotacije y(t) = C2 sin (Jot koja opisuju harmonitki oscilator (vidi 1. poglavlje i Fiziku II: harmonitki oscilator i Lissajoussove krivulje) rotiraju stainom kutnom brzinom a koja odgovara "lokalnor kutnoj brzini Zemlje w' = wsinA. Govorimo o precesiji (kao kod zvrka) ravnine njihanja Foucaultovog njihala i ona se na sjevernoj polukugli odvija u srnjeru kazaljke na satu. Rjeknja ovise o natinu kako je tijelo zanjihano, pa ona mogu predstavljati elipsu, kružnicu iii pravac (vidi Lissajoussove krivulje, Fizika II). Period precesije = 24/ sin A sati. Na upr. 450 period je vrijeme jednog punog okreta ravnine titranja njiliala) je T = T = 33.94 sati!
*
6.
incrcijaini i neincrcipuni sustavi
Str. 6- 19
Str. 6- 20
D. Norval:
Fizika
za
FER
DODACI POGLAVLJU 6-1 Komponente kutne braise L,1"; u neinercijalnom sustavu S' koji se nalazi na zemijopisos pokazuje u papir (vidi noj girini A. i sliku DP6.1), pa su komponcnte kutne brzine Zemlje jednake
DP6.1 Gibanje projektila u neinercijalnom sustavu eije je ishoditte na zeinljopisnoj R.azmotrimo projektil ispaljen blizu Zemlje u neinercijalnom sustavu je Mrini A (i duZini 11;), prema slid DP6.1. JednadZba gibanja u sustavu
= + rn + F.
=0 co„, =
(DP6-1)
cos L, sin A,
Slika DPG.2 - Poloiaj kaordinatnag sustava S' na zeraljopisnoj air-ini A i kornponente
kutne brzine
Zemlje.
Ako jednadnu gibanja (DP6-3) podijelirno s Inas= in i uvrstimo gore dobijene komponente vektorskog umnoSlca, dobijemo =- —2w(i' cos A — 3/ sin A) (DP6-5)
= —2,...,2' sin A
2' = — g + 2w±' cos A. To je vezani sustav diferencijalnih jednadibi koji ne molemo direktno do kraja integrirati. Medutim, to jednadZbe molemo jednorn integrirati po vremenu pa dobijemo = —2w(z' cos A — y' sin A) 4- i'c, = —2wz' sin A + Y'0
(DP6-6)
1' = — gt + 2wx' cos A + i'o.
Slika DP6.1 - Lokalni, neinercijalni sustav S' na Zerniji.
Konstante integracije io itd. odredene su iz poeetnill uvjeta (za koje se u ovorn trenutku jog nismo odlutili). Te brzine sada moiemo možemo uvrstiti u ,jednadZbe (DP6-5) i time ih djelomitno "razvezati". tj. Ovdje je F sila koja, osim teline, djeluje na tijelo mase in u inercijalnorn sustavu S (koji je npr. nepomiean u odno daleke zvijezde). Ta sila bi mogla biti otpor zraka iii neka druga sila. Inercijalna sila jednaka je umnogku mase i negativne akceleracije sustava u odnosu na sustav S, a to je =
— rnbr, x (Ci x ?),
x
(DP6-2)
2wgt cos A — 4w2 2 cost A — 2wl'o cos A —
sin e A + 2w1A sin A
1.7 = 4w2 (z' cos A — y' sin A) sin A — 2w±', sin A = —
(DP6-7)
— 4w 2 (z' cos A — y'inA) cos A + 2(4)4 cos A.
Ka.o i ranije molerno zanemariti elanove proporcionalne w2 , pa za jer se radi o jednolikoj rotaciji kutnom brzinom J neinercijalnog sustava S' (pa elan s derivacijom po vremenu kutne brzine igtezava). Kutna brzina cp. je po iznosu vrlo mala (vidi (6-22)), pa je centrifugalna sila zanemarivo mala. Zato jednadtha gibanja izgleda ovako
=
—
(wv, -
= 2wgt cos A — 2w(4 cos A — yo sin A).
Tu jedna.dZbu sada. molemo (Antall integrirati, uz pocetni uvjet
(DP6-S)
(0) = xo
(DP6-3)
2mi x
Osi sustava orijentirane su prema slici DP6.1. Komponente kutne brzine Zemlje dane su uz sliku DP6.2, pa je vektorski produkt kutne brzine i (lokalne) brzine jednak
x =
dobijemo
v) +
±' - k'
(DP6-4)
x'(t) = E9 3
cosy—wt(4 2 cos A — Y'o sin A) 4 io t 4
To ,je rjeSenje za komponentu gibanja u neinercijalnom sustavu S'. Sada mo2eruo uz w2 0 dobijemo i)' = sin A20 do daje y'(t) =
— wt2 sin Ax', +14,t + l.t;.
(DP6-9) uvrstiti u f)' i
pa
( DP6-10)
6. lacreijalai i
Shen() dobilemo za z' (ur. w2
sustaei
Str. 6- 21
Str. 6- 22
D. Horvat: Ftztka 1 za FER
0) =
+ 2r..rio cos A k.o daje
z'(t) = — '212-+ r..42 4 cos A + i r t + 2
(DP6-11)
Kosi hitac i Coriolisova sila Zaniislimo sada kosi hitac ispaljen pod kutorn o poCetnom brzinom vs u smjeru sjevera sa zendjopisne shine ),o = 450 , iz ishodika. Time su odredeni potetni uvjeti (L'o ,
= (0,0,0)
i
(4,
= (0, vo cos o. vo sin a).
Slika DP6.3 - Sustav S' rotira u odnosu n stalnom kutnom brzinorn w, pa je a = wt
(DPG-12)
Jednadibe Jednadžbe za y' i z' vode na poznati kosi hitac (valja pripaziti na imena, tj. orijentaciju osi - vidjeti sliku DP6.1) prema sjeveru y'(t) = vot cos a (DP6-13) z'(t) = vot sin a — 2
i ako iskoristimo trigonometrijske formule iz dodatka D2 dobijemo da je r cos 0 cos a + r sin 0 sin a =r =
Jednacitha za 3
cos
— w12 (ce sin( COS
— ■ 10 COS
ash' Au)
(DP6-14)
daje otklon zbog Coriolisove sile! Prvi Ilan (koji je dorninantart) daje skretanje "na desno", u skladu s vektorom site Prinajer DP6.1 otklon projektila!
Ako
RJEENJE 12
se
0 cos a — r cos 0 sin (.7
iii
cosa + y sin a
ispali projektil pod kutorn )io = 45° koji preva/i udaljenost od 5km valja izraeunati
comic pravilo transformacije izmedu trrirriog sustava S i rotiralut.eg sustava S' molemo napisati i u matrienoj formi, tj. x') ( cos a sin a x) (DP6-17a) ) sin a cos a ) y) Gornju relaciju mo2erno napisati simbolitki i ovako
= Rs 1,
(DP6-17b)
= vo sin 2a/g dobije se poetna brzina vo =N./1719 =
izraza za dornet kosog hica
221.47 m/s, pa je vrijeme Iota
(Dr6-16)
= —x cos a + y cos a.
wqt 2 x ' (1) =
S
gdje SII10 uveli rnatricu rotacije R i vektore i =
jednako
Vxt
t, =
itd.
Gore opisana rotacija za kut a = wt mote se shvatiti kao rotacija u trodimenzionalnom prostoru oko osi z, tj. pigerno matricu 13„ i transformaciono pravilo ovako
— 31.928 s,
vs cos 45°
Z' z'
i otklon je jednak Z(ti) = 5.47m!
cos a sin a = — sin a cos a
o
0
0
= R,i.
Ako ishodita koordinatnih sustava S i S' koincidiraju i ako se u t = 0 koordinatne osi poklapaju, y' u nekom trenutku t ako sustav S' rotira oncla rno2orno istraZiti kako su povezane koordinate x, y i (konstantnom) kutnorn brzinom w u smjeru obrnutom od kazaljke na satu, pa je a = wt. Prema slici (DP6.3) totka A ima koordinate (x,y) odnosno (x', y') koje su dane ovako = r cos y
= r cos(0 — a)
y r sin 0
r sin(0 — a)
(DPG-15)
(DP6-17c)
1)
Pri toj transformaciji koordinata z se ne rnijenja, tj. z' = z! transformacija koordinata izrnedu mirnog i rotirajue'eg sustava. DP6.2 Transforrnacije koordinata pri rotaciji
(,xy
(DP6-17d) Time smo odredili pravila (zakonitost)
Str. 6- 27
6. Inereijahti i rteirtcreijalrii sustavi.
Str. 6. 24
I). //moot:
/ za PEI!
6.19 Ocijenite centrifugalnu silu na tijelo na povr6ini Zemlje!
PREGLED 6. POGLAVLJA 1. Novi fizikalni pojmovi
6.20 Opi5ite efekte Coriolisove silt pri gibanju po povrini Zemlje! 6.21 Kakav je utjecaj Coriolisove sila pri slobodnom padu.
Galileieve transformacija
inercijalni sustav
apsolutno vrijeme
6.22 ' Izvedite jednadtbe gibanja za opr"enito gibanje u polju silt teZe!
ubrzani sustav
neinercijalni sustav
inercijalna sila
6.23 Izvedite izraz za otklou tijela pri slobodnom padu!
centrifugalna sila
Coriolisova sila
pasati
6.24 Sto je Foucaultovo 6.25 OpiSite pokus s Foucaultovim njihalom!
Foucaultovo njihalo 2. Nove relacije VoI
XA=
iii
8A = .11A
= m( -5o) Cp = -i. sin yo + jcos:p il•=ki•+sixf? ae =
-
x(t) = `'.
3
J A = Jn
Z A = ZA
ZA = Z A
(IA = (A)
(tA = t A)
Pc 1 = f-mv2 /R = cV" =
= icos cp + jsin cp d
1p
=-,Jr,
dt
ti = t7' +:3 x R nr
PCo= -2mi2rp
xA= xA - vot
a = Rr +
+
Poor = 2rnv' x (.0
x (c1:1 x
= W
+ (2 ittp +
+ 2i?u, CQ
27r - 0.000 073 s7 = 86 400s
1 cos A
3. Pitanja (sa zvijezdicom su ozna0ena te2a, neobavezna pitanja) 6.1 Napitite i objasnitc Galileieve transformacije' 6.2 Sto je inercijalni sustav? 6.3 Objasnite pojam apsolutnog vremena! 6.4 Sto je invarijantnost? 6.5 Sto su ubrzani sustavi? 6.6 .8to je inercijalna sila? 6.7 Kako se matemati2ki opisuje inercijalna sila? 6.8 Opigite (zami§ljeni) pokus s ubrzanim vagonom i matemati6kim njihalom. 6.9 Opigite pokus s kolicima i kosinom! 6.10 Opitite (zamitljeni) pokus s liftom! 6.11 Izvedite vremensku derivaciju jedinienog vektora 6.12 Izvedite vremensku derivaciju jedinienog vektora ■P! 6.13 Izvedite vezu izmedu brzine u mirnom i rotirajuemo sustavu! 6.14 Izvedite izraz za centripetalnu akceleraciju! 6.15 • Izvedite izraz za povrSinu rotirajue.c tekudne! 6.16 Izvedite izraz za akceleraciju u rotiraju6cm sustavu! 6.17 OpiSite Coriolisovu silu! 6.18 Iz opdeg izraza za akceleraciju u rotiraju6em sustavu izvedite izraz za Coriolisovu akceleraciju!
);:p
7 7. Specijalna teorija relativnosti 7.1 Uvod. Galileieva relativnost i Newtonov apsolutni proctor i vrijerne
7-1
7.2 Michelson-Morleyev eksperiment
7-4
7.3 Einsteinovi postulati 7.3.1 Istovremenost i neistovremenost
7-6 7-8
7.4 Lorenizove transformacije 7.1.1 Zbrajanje brzina
7-8 7-10
7.4.2 kontrakcija duiina
7-12
7.4.3 Dilatacija vreinena
7-13
7.5 Relativistika kinematika i dinamika 7.5.1 Relativistii:ka brzina i
7-16 gibanja
7.5.2 Drngi Newtonov aksiom u relativisti0koj dinamici 7.6 Red i energija u specijalnoj teoriji relativnosti
7-16 7-18 7-18
Dodaci 7. poglavlju DP7.1 C".etverovektori i Lorentzove transformacije
0-00
DP7.2 Prostorno-vremenski dijagrerni
0-00 0-00
DP7.3 Transformacije izinedu CM i 1,A13 sestave DP7.4 Elektrodinetnika i specijalna teorija relativiiosti
0-00
1)P7.5 ltazlika faze i razlika 'lode pri interfereeciji valova
0-00
Pregled 7. poglavlja P7.1 Novi lizikalui ponnovi P7.2 Nove relacije i formule
7-21 7-21
P7.3 Pitanja
7-21
P7.3 Dodatna literature uz 7. poglavlje
0-00
D. floroal: Fizika 1 an
Sir. 7- 2
FER
0 (NOSH() Svc i.e (8111 il(1;.. be. II VekLOrSkOIll 01)11101
10. prosinca 2001.
=
5' = — -111
+
= 1!)
7. SPECIJALNA TEORIJA RELATIVNOSTI
Prinajer 7.1
U su.stnvu
Tailor,: sr: rit:a (Inirrin) proutatra'r'io. Pry: ismjer, koortlinate poctka P.npn izrnicri kontylinate kroja sltapa xti = 20 is, yn = 0. sir = 0
It) rn, y a = 0, za = 0 u In:make l a = lO s. trcririau ti, =
15s. Nobka 3c draprio Poi:etak :Lapp neka je In C11111111,11
jedniadZbin
(I' = t)
= 0 in ishodiSlin. On se giba jednoliko pe pr.nrn ez i naravno erijedi Ja je x2 (0) = I. Podad
= vI.. I'lraj 8I.apn inna jedinadZbu are =
kaZin da je ,r,(10) =
10 = 10T,
= 10
x2 (15) = TA = 15e +
1,j.
= 1 Inis
Pa je
20 = 15e + = 5a1.
7.1 Uvocl. Galileieva relativnost i New onov apsolutni prastor i vri,jenac
U tri Newtonova aksiorna sadr2an ,je opis dijela fizike koji zoverno mehanika. Zakoni mehanike, prema razmatranjima prethodnill poglaelja inoga se proue..avati a sustavitna koji se jedan a ochlosa nn &agog gibajn jcdnoliko po prawn, pa govorimo o incrrijolnirn sustavirno i Galileieve transformacije pokazaja da su zakoni mchnike nepromjenljiei s obzirom na prijelaz iz jednog inereijahlog stistae a drngi, tj. zakoni su
Tu seakako ealja naglasiti da osnoena pretpostavka koja. nas a ovom trenutku zanim jest ova o apsalutuoca vrecnena koje jc postaeljeno kao postalat. rr Newtonovaj mehanici. Ponekad nick' antori Lekstnea n inchanici, gam, in Safi, ineode en. Newl.nnev I. 2. i 3. aksionn i Newtonoy nul Li, ccl.vrli i pet' aksiom. Haiti aksionn bi, po Mulls gla_sio:
(maternatiki) isti! Galileieve transform acije, za poeezieanje den sustaes i:ije Sc asi poduclaraja, a sustae S' giba Sc a smjeru osi x izgledaju ovako
PO .9i rip Increvalra Au:Oar!,
IC: Vrg,;nrr. jc apsoltano! Time Od e islakinuti da je Newt ['nova
Pr.04.0rj, npsolularil,
mehanika izgradena ua moga.nosti postaeljanja apsolintnng koordinatnog susta.va in ilpsolanom pro:dor. gibajin sea lije.la i koja apsolutni, svemirski sal, koji
11
odnosin na kojeg se
gibajai se bile gripe i bilo kada n tivemiin,
jednako, istoeremeno otkincava isle sckunde
eremenskini
raznmcima. Takva predodzba iy,.cnhr I ling vrelecna n potpunoS1.1 je a Sklade sa seakodneenim XI col onn I sa semi fizikalnim istr Zi vanji man ok vire (klasii-me) Newtonovske inehanike! A psolarm vrijeine kaze da ("..e se .jeclan doga(blj 1r jednom referent.noin sustavu 5 istourrrucno dogodiLi i II SVIITI
povrzanint sa sustavorn S Galileiceim transforrna.cijama, ali i da ce redoslued dogadaja
sustaeu S bit.i poSttvan i u sviln dragirn sustavitna
Prerna tome, zadnja jednakost. u (7-1). 1j. I = t'
oedjeje deists ilopotrebna. Is
transformacija slijedilo je (In su zakoni gibanja (2. Newtonoe akstorn) nepromjenljiei -
aayavaatra,I.j. in erijedi /7 = /7 ' gdje je
ovdje oznaka za jednadibil gibanja a sustaeu S (S')1.
(Newtonova) mehanika seakako nue jedina fizikalna teorija koja oinsuje lizikalni svijet. Po:plea ye:zone
nz elektrie:cle naboje, magnetska seojstva proctors i materijala i veza izatecia toka naboja - elektrij7ne stuje i magnetizma opisane su dijelom fizike koji zoverno elektrorn.nynetizani. Slikn 7.1 - Etz objognienje
transforrnacija
Cjelokapnost elektromagrictskili
pojava sa2ela je a teoriji kojil je in briljantan nncjn forrnalirao J. C. Maxwell 1860. godine. ilfaxivellove jednadibe, skup od cetiri eektorske diferencijalue (ill integrable) jednadibe opisuju cijeli seijet. elektromag-
netizma, uklia'a'ujtur:i i s\jet.losne pojave - optiku. lz to teorije slijedi da se sejetlost giba brzinorn c koja jc (relatieno) davno adreciena eksperimentalno. styari, Maxwell jc .came '''su In njac" da bi se sejetlost trel,ala gibati brzinom eleklrornagnelskill valova..
=
vi,
I,j. da sejetlost nistinu jest elektrolliagnel ski cal. Dokaz tome pruiio je Hertz' godine 1888. kada je. nazalosl ed.. Maxwell Ho rurtae!
= I/
iii
Zr = z
Seakako, odmall se nalnece pitanje: "a odnosu iia ;o" je brzina sejettosti jednaka
To pitanje
je posebno bilo postal° vi no kada je pokazano da Maxwcllove jednacUbe nisu inearijantne ins Galileicve (I' = t)
Heinrich Rudolf Hertz (1857-1994) njemai,ki fiziar i izumitelj.
7. Spccijaltia Icorija raativuo.411 transforniarijc! Ilustractja Le iieinvarijaninosti ide
Sir. 7- 4
D. Norval: Fizika I za FER
sfernag clektroinagnetskog vala koji se einitira iz
istiodittta koordinatilog sirstava S. Njegova je jednacliba „2 + y2 +
,212
Invarijantimst. zitaei da 1)i Laj isti val !limn) tr .5" ovakitv zapis yo 2
z/2
,21 /2
0.
Medutint, Galileieve transformacije (7-1) daju )2
+ y/2
2/2
z/ 2
St.° znitei da je „2 + y 2 +
c212
x22 +
y/ 2 +
2
e21,2
(7-3)
z/
pa Hems. invarnantitosti! f\1adalje, prortijenljivosi. (iieinvirrijantriost) elektromagnetskili pojava u (Armin, nil Galileieve transforinacije moeerojeduostacrio prikazati i razinatranjem dva tnirua , stacionarna (vremenski nepromjcilljiva) naboja koji se nalaze na udaljenosti 'Herbal od drugogit. Medu njitita vlada elektrostatska Coulombova sila F, = k(21 (2 2 /7.2 gdje je k =1/(47E n ) i aria inn nabojima daje iihrzanje jednako a = P,fot. Ako te isle naboje gleda promatrae tr sustavti
koji se giba brzirioni /1! u odnosu na sustav S (i 11 0111101111 na
Slika 7.2 - Skica mspareda izuorn, errata i interfervmetrim pei Michaelson-Marleyevorn eksperimentu.
riaboje) on ee tr svojein sustavu vidjeti Ilabojekoji se 0)a:iu u sittieru —7, t.j. vidjetee st ruin! Struja, rneclutint prenia Nlaxwelloviin .jeditadibaina (ili prerna Oerstedovarn pokusir) proizvodimagnetsko poljeL pa ee se poj avi Li i magnetska situ (magnetski clio op6enite Lorerrizove silo koje je jednaka
=
+ F,,, = gE,-1-qt7x
Drugi Newtonov aksioni je it sustavu S' dart ovakoi7.' = (I7,+/:,„)/tri = (7+ P„,/m, 1,1. 11 S' fizikalna situacija ui,jejednaka orioj u S!
Jedno rjeSenje Log problenia bilo bj postojanje nekog apsaluttiog sustava u kojern
Michelson i Morley su hijeli iskoristiti veliku brzinu Zernlje (oko 3 x 104 rn/s iii c/10 4 ) u odnosu na apsalulni, mind inter (koji ispunjava cijeli Svemir) i pokazati da postoji razlika a brzini svjeLlosti c kada se izvor giba ir odnosit na inter. Gibanje Zemlje moral() int je da 1/01“1211 gibanje "Liz inter" iii "niz et,er" u ovisnosti a smjert, gibanja Zemlje.
vrijede N-laxwellove jednird2be. Po tutalogiji s nmhanickirn valovinia koji nu2no irebaju (elastieno) sredstvo za Sirertje (zvuk se Siri kroz zrak, dry°, ieljezo ali ne i kroz vakusin), taj apsolutni sustav ispunjen je tajanstvenom tvari koja svojim zgie:111jenjimil i razrjedeninta (kilo zrak za xvireim valove) ornagin1ava t;irenje EM valova. !la tajanstveita tvar dahlia ,je (star()) inie etcr.
litre nije bib dovaljno! Trehalo je otkriti,
nedvosinisleno pokazati Mello postojanje! Tome je posveeen slijedeci odjeljak! 11.1edutint, prije potrage za
Njihav uredaj (skicom prikazan na slici 7.2) sastoji se od niza zrcala, izvora svjetlosti i interferometra (I M) - uredaja kojim se mole na vrlo precizan tiacin odrediti razlika izmedu (geometrijskog) puta dva vala svjetlosti. Prcitia slici 7.2, iz 1ZVO(11 SVj111,10111,i I izlazi val 13Vie1.1014i i (1.11110111i(:110 se reflektira a djelornierto prode kroz poluprozirtio zrcalo Lp p . Stn,jer zrake iz I prelim
suprotan je od srnjera gibanja Zernlje, Li,
u smjerit je gibanja etera ("nizvadno"). Od Zpp jedna zraka prijede udaljenost, ft do zrcala Z1, natrag do
nastala sititacija mogla je rtai'j razrjeSenje a tri sinjera:
i zatim a imerferometar IM. Zraka koja je proAla kroz Z,9, prijede udaljenost £2 od Zpp do zreala Z2 i
(I) Itelativirost ii la Galileo vrijedi (satin)) za inelianikii, a za elektromagnetizarn postoji posehan referentni
natrag do Zvi, i takoder a interferometar.
sustav it kojem je oar na ntiru iii kojern vrijede Nlaxwellove jedriad2be; (2) Maxwellove jeditailALe sir kri ye i valja c a cti pravu taariju elektromagnetizina koja je invarijatitira na
17--\ (1:j
Galileieve transformacije;
-
(b) ■
(3) Zakorie ineltaitike intim (malo) promijeniti, Nlaxwellave jednadZbe sir tome iii Galileieve transformacije treba zamijeniti s nekirn drugim s obzirorn na koje ce svi zakoni prirode biti invarijantrii! t!t¢=(27t/X)A
Drugo rjektine ne izgleda raziunno jer je previ;e dobrjh rezultatit toorije elektromagneLizma bilo u skladu s
r 42n1X) m- r
eksperimentinia. Treee rjeSenje takoder ne izgleda razturma, jer 1,e1;ko jc 2rtvovati zakone mehartike koji su Shim 7.3 - Slaganje values: (a) valour su a fazi; (1,) ualovi su pamaknuli u fazi.
stoljeeimadavali irnpresivrie rezultate, a i Galileieve transformacijesu tr potputiosti u skladu sa svakodnevriiin iskustvoin. Prerna tome, prva maguittiost. izgledala je najrazumnija!
Bads hi see mirovalo (u oduosu na inter) i kada bi vrijedrlo da je ft = £2, arida hi sea interferometru sio2ili svjellostii valovi od Zt i ad 22 t,ako da hi se "poklopile" dvije sitiusne funkcije (slika 7-3(a)) i konaeni rezultat, hi bio val itastao zbrajanjunt (superpozicijorn) dva vala koji se poklapaju, To zovemo konsirukiima
7.2 Michelson-Morleyev eksperianentt
iraerfcrelleij(1, McAul,im, ako je nor. El # £2, d0§10 bi do zaostajanja jednog vala, pa hi valovi bill mak) Albert Abraham
(1852-1531) a Njelliai;koj rodeo
fcii:ar i, Lvrdi se, jedan od
poinakriuti, kao na slid 7-3(b). ltazlika laza (prenna slici) jednaka je
najimIjilL "eksperiluctstalaca" a povijesti lizike, a iljedno i prvi atncrikallat, koji je dobio Nol,elovu nagradtd Edward
je
\ Villiatos klorley (18:18-1911) atticriai cksperimentalili 114k.a.r.
ratlike vreniena
T
(21.r/A)A = (21r/A)c t, gdje
(geotrietrijska) razlika lioda, tj. razlika putova prvog i drugog vala, a Mu opet mo2emo izraziti preko putovanja jednog i drugog vala. Ituzlika vreniena pirtavartja valova mote nastati kao
51r. 7- 5
7. ,Specijalran teorija rchaivraosti
D. Roma: Fi.rika / zn FER
Sir. 7- 6
gleclanja O6 ne mo2e.rno previk toga kazati koliki je nE i da Ij uopCe postoji, jer sigurno se ne mo'ie postiCi
puteva (f t i F.2 ) i razlicitih brzina trcirenja. To razliku vremena (ado ittolarrio zajednii-tiki efekt do Z2 drugi val prods, uz pontoft slaajo gibanja u ()duos]] na eter izra6tinati ovako: irdal.jenost, f 2 od
da ja ft = f2. Medutirm Michelson i Morley so napravili bitan korak: oni su vrlo oprezno i polako po&di
etera za vrijerne tom, tj
okratati cijeli uredaj i usprd. su vrlo pa'idjivo gledali ii interferometru eventualnu prornjenu. Dada je eijeli (7-4a)
F2 = (c + vet)t-,
not vrijerne
t,
oradaj bio zakrenul, za 7r/2, onda je prija§nji prvi val duo uz iii niz eter, a prija§nji drugi val okomito na soder gibanja etera. Nova vremena potovanja valova so
gdje je vE brzina (tiara (ii stvari brzina Zernlja a odnostr na mirrti eter), a za put natrag od 22 do '%1,1, i F2 = (a -
vE)t,,
t'
(7-41)
2f c
l2=
c(I - 4/0)
2(2
eV1 - q/c2
(7-8a)
pa je ukupno vrijeme drugog vala jednako f,
i l,o traba usporediti s izrazima (7-4c) i (7-51). Vramenski interval je sada
'21'2
e2 c — up:
= +1,
(7-4c)
c(I — 1,Vr 2 ) .
Al' =
(Ostale dijelove puts valovi pralaze zajedno. pa ill int irmratim rai:unati.) ako je vp
Vii SC gliOL brzinom c !MAIM zrcala 1 R.
(7-81) "
0, jar je
.77' = ,~1 - ,
a der (seedstvo 11 kojem se, gibanje
odvija) brzimon
ft r; /c
(2 ( VI rkia2
Ocilo ja At'
,
2
2 = (f t + (2)
1
1 (1 ,E/c,
(7-9)
— q/C2)
RemIllantoa.
iva kojmn val prevaljoje
je
=
im je vs <
a,
onda ja
= Cv I — ■1/0 •
Jet —
1 1
- vE/c2
1+
1
I+
VI - rE/C2
2C2
pa Sc dobije
Slika 7.4 - ,Stagortje brzina okonfits no .STIliCr gibanja clans.
Za prvi val od do Zi imamo slo;Ieno gibanje vala brzinom c i zrcala Zt brzinom je prama slid 7-4, vrijerne prams gore t i jednako
vE
Ira destio, pa
V eksperintentir je, bilo f t
1' )
11 m i uz vE(v =z e,„0„)
(7-10)
3 x 101 m/s dobije se. AT = 7.33 x 10-16 s. Takao
A7' prOinTo hi AT' = CAT, pa hi se lien promijenda za 70 = (27/A)(cA7'). be into mitrijevo svjellost it
=
1.2
( 7- 5 a )
eV' - v2/e2
A = 589 ton dobije se pomak od 0.3 Sirine, jednog maksimuma interfarencije. Interfe.rometar je rnoga Injeriti - pokazivati pomake 30 pita manja (preciznije,), tj. pornake od 0.01. Michelson i Morley nisu nikoku porn.ak zbog zookreto urerlaia za 7,12! Ponavljali
a vrijerne nat.rag t j, je into, pa,jc ukupno vrijeme prvog vala jednako 11 = It + t j,
swim smjarovitna i u razlirjta godiSitja
bio (la clara totruct!
2f i
=
SII pokes a
doba, Le na razlieitim visinarna. Promjene nije bilo! Zakljui:ak svilt negativnitt rezultata eksperimenata je (7-51)
cV1 lzmedu prve i druge zrakc (vala) dolazi do zakadnjciija (jedne za drugorn) koje oznaftjrno s Al i 2 ( At =11 2 - 1 t =
r.
7.3 Einst einovi postulati specijalne teorije relativnosti
fl
1 — vE 2 /c2
_ 4,/,2
(7-6)
Zbog zakaAnjenja postoji i razlika hods ,fir = r. Al. (Na slid 7.2 prikazaria je i kompenzacijska ploc-tica SF na putt, druge zrakc koja mora osigurati da valovi prolaze lcroz st,akla zrcala na isti naftin.) Itazlika 11100 „at, jed n „k, j j, (v id,j e t; dodatak poglavlju DP7.5) 27 46 = — A
2 =
A
(c A1).
(7-7)
Ako etera llama, tj. ako ,je vE = 0 i ako je Lr = f2, onda je i At = 0, pa je i O¢ = 0. Tada Le se valovi maksimalno pojaftati preklapajt16 se, prema sliei 7-3(a). Ako je vE, # 0 i (2, 0I1(1a je Ay/ 0. lz Slika 7.5 - Albert Einstein II via:icon; Fads je oirjario sropi specrialnu leortju relatirnosti.
7. Spccijalno horija rriatiurmAti
Sir. 7- 7
Negativni rezultat. Nlichelson-Morleyevog eksperimenta zalitijeva da se priklonimo tree:ern putt, rje:;eina
.c1r. 7
- 8
D Norval.. Fizika /us FER
7.3.1 Istovremenost i neistovremenost
problema: Galileieve transformacije se ne mogu pritnijeniti na elektromagnetske pojave jer npr. to formacije zahtijevain da se relattene brzine zbrajap, i0 odbijai II, OriS110 o Sfajefll gibanja, a pokes pokazuje (la brzina sejetlosti o,tajo ista. Preala tome. Valia konstratrati neke flare transformacije koje cic ostavljati brzint" svjetlosti nepromjenljiva, koje (":.e ostavljati i Maxwellove jednad'i.be nepromjenljive a razlicr:ilitti inercijahlan sustavinta. Svakako. I.o znnci da Se i Inoraju a Skladll Newtollovi zakoni gibmija!
Lillr noviin transformacijarna i reformalirati
Itazmotrinto jedan zarniAljeni pokes tze. G'edonkenexperirricol. Neka so po (rieljeznim) traElticarna giba vagon brzinom v. U vagona se nalazi promatrai: koji opisuje dogadaje u koordinatnom sustavu S'. lovan vagona, nalazi se (mirtii) promatrtn: P koji mjeri dogadaje u mirnoto sustava S. U jednorn trenutku It edamc vagona ',dare, dvije mimic. One prods zidovirna vagona do traemica i in intim) a toaama A i B °stave ortulke. (slower-nen° iz vrhova vagona bljesak se proAiri kroz prostor i stigne do prornatrai:a P i P'. U
jo vrlo velik zahvat a SaIlle OSIIOVC Cljele (klasiime) lizike i trebalo je 'twat
trenatku kada bljesak stigne do promatraEa I" on ozna6 svoj poloiaj, a zatirn izmjeri tabiljenost do oznaka
n hlogo Itrabrosti. "drskosti" i lizikalue intaicijo da se itapravi korak roma "novo] fizici'' a okeirt, koje bi se
koje su ostavile muoje na traiaticanta. Uslanovi da su udaljettosti P do A oduosno B jeduake. On zna (a po slici se vidi daje on jako patrician) da po dragon) postulatu svjetlost ide u seim sustavini istom brzinom c neovisno od brzine izvora ili prontatrai:a, a vrhovi vagona postaju izvori svjetlostiih bljeskova! Stoga on
trebali rod ispuniti gornjih zalitjevi. 'raj je povijesni korak napravio A. Einstein 11 seam radu "Zur Eleklwdynarork bewegler
- "0 elektrodinarnici tijela a gibanju" objavljenorn 1905. godine 1,1 uglednom
C:asopistr Annalen der Physik 17. 'raj naslov krije a sebi specijalmi teorija relativaosti. Ponekad se kale, da je Einstein svojim Cdankorn a Annalen der Physik abio eter kao St. Juraj zmaja (negdje tarn° a grinlja kraj [INK no pornoi., gospodina Fernkorna)! Osimva specijalne teorije relativnosti su des post.tilats koji sami po sebi nisti posebna novost„ ali wet' zajedno rezaltiraja a jedtioj novoj fizici koja prodstavlja konceptualtio novi ['ogled na prostor i vrijerne i koja ima za posljedica viz uovih fenomens koje je valjalo eksperimentaloo aterditi, provjeriti i tigraditi
zak1jin;i: "mitoje su udarile u vrhove vagona istorremeno!" Prornatrae pritnijeti da do njega dode prvo bljesak iz B', a zati01 'IV, A', jer se on giba tako da svojom brzinom v skrati put svjetlosti od B' a istovremerto produlji put iz A'. On zatim izrujeri udalionosti P' do A' i P' do B' i ustanovi da su one jednake. ZnajuCi da vrijedi 2. Einsteinov postulat o nezavinosti brzine svjetlosti, a i za Mega su vrliovi vagona izeori bljeskova, zakljui...aje dale mutija prvo udarila a vrli B', a zatim u A'! Istovremenost dogadaja u sustavu S nije
OII
istovremenost dogadaja a sustavu 5' koji se u odnosu na S giba stalnom brzinom v! Ta neistovremenost dogadaja Il razniin sustavima znaEi da promatriti1 P i P' imaja svaki svoje vrijerne l i 1' i ono je njihovo "elastito" vrijerne, koje nije u skladu s (tiepostojeCim) apsolutnim vrernenom koje hi moralo biti isto i za
postojei:. e znanje i razumijevanje fizikalnill process. Einsteinovi postalati glass
jedriog i za dragog! Malo drugaNint geometrijskim rasporedom promatra'6a mogao se invertirati redoslijed dogadaja, pa je npr. P mogao izrojeriti da je rounja prvo udarila u A a zatim u B, dok je P' mogao izmjeriti
(I) Sri Gzikalui zakoni irnaju isti oblik i daje isle lizikalite rezaltate Ir svim koordintanim
i izrai1unati obrnati redoslijed! Medutim, ni jedan ni drugi promatra nisu mogli tako okrenuti redoslijed da
sustavima koji se ,jedan u °duos', ita drugog gibsju ,jednoliko po prayer,.
sit prvo vidjeli bljesak a onda da je udarila munja. Takao obrat posljedice i uzroka nije mogude konstruirati
(2) Brzina svjetlosti ista je u svirn sustavima: oria ne ovisi o brzini izvom iii prornatraa i avijek
in ositovit Einsteinovill postulata i taj je obrat. sasvini nefizikalan!
je jednaka c! Pre; postulat, zalitijeva univerzaltiost sent zakona lizike bez obzira na izbor inercijahlog koordinatnog sustava.
zalitjev Antall elirninira Galileieve transformacije kao one koje sluze to prijelaze -
7.4 Lorentzove transformacije
prerautrivaine tizikalnilt zakona iz sustava u sustay. Dragi zahijev je a stvari interpretacije MichelsonNlorleyevog (itegativriog) pokusa, iako se
da ,je do tog postalata Einstein clo;mo nezzivisno od pokusa (tie
znajta".." rt njegoe reztiltat). Zanini(jivo je vidjeti kakee su posljedice prirnjone tilt postal:1m a nekim jednoslavnijim
Itezultal, gornjeg Gedankenciperiutento nanieCe zalitjev transforrnaeije i vrernena l u novint zakonima trattsforniacijelmji morajit zamijetriti Galileieve transformacije. Svakako, gornja razinatranja zalitijevaju da
i
prije imp) se potrai.e transform:16,k! koje (":e ontoginTh,i Itimentatii:ka realizacija zahijeva iskazanill postida-
je brziva 0 priliCuo velika (usporcdiva s l,rei IIUIII svjellosti) jor ,jeditio jc lash ritogin's,e injeriti zakaAnjonjit sustavu S'.
Preina tome, nave transformacije odgovarajir prijelazinut iz sustava koji so gibaju velikirn
brzinania. IKad bi syjellost ilia beskoriai..ao brzo (Imo :;to je to "iztinerio" Galileo) onda hi
Cum..
istovronamost, vrijedila i dalje. To znai:i da (I) hove tratisformacije Inman, prijeci a Galileieve kada aZaleala da je relativna brzina v
Nadalje
(2) 'love transforinacije morsjii bit i simetrnale tako (1;1 se vratimo "natrag" ako tizitienio
—0, ,tor su
relativni sustuvi ekvivalentiii i 110 mo2ento uterditi tko se giba a tko miruje. jer je brzina svjetlosti nvijok c. Takoder = + jer je prostor (3) novo transformacije moraju bil.i linearne funkcije koordinata i vremena, tj. izotropan (ima 0 svirn smjerovitna ista svojstva) i homogen (sve to(1ke prostora imaja ista svojstva).
1st° kik° (4) move transformacije moraja (Lai takvo pravila slaganja brzina da a sent sustavima brzinit svjetlosti ()static e! Uziniitio sada tre(11 zalttjee i napiCUrrio x
az' +
= a[z'
(b/a)11 = u(x' + re) =
ve),
(7-11a)
gdje snio iz opc1eg linearnog zakona transforinacije koordinate dobili "Jobii:ajen zakon transforrnacije (izraz u zagradi) uz za sada nepoznatu konstantu a koju smo nazvali
Zahtjev (2) gore kazuje da inoraju vrijediti
isle transforinacije ali za gibanje u obroutorn srnjeru, pa pi.;emo odmah = ry(a: —
S1 ko 7.6 - no objognicolc nci.stourerncoostz a specriolnoj tcoriji 1.01(1140;10th.
(7-11b)
7. Specijaina
Ste. 7- 9
leorija rclatienosti
Sit. 7-
D. Hoerat: F,-ika I zn FER
10
Neka sada prema slici 7.1 ishodiAta koordinatnill sustava tit = 0 = 1' koincidirajo. U torn se trenutkii sustav
postaje I i ostajo Galileieve 1.ransformacije. Invarijaranost. brzine svjetlosti izvodimo n slijedeCem podod-
pokrene brzinom v na desno (u Sin eru osi x) i istoeremeno poktljemosvjetlosni bljesak (signal) di, osi x ta ele adaljenost (odnosno x'). Nakon vrernena t u sustava S signal (..e pro6i odaljermst x = ct, a u sustava
jeljko, nakon nekoliko primjera.
biti
= cl'. firsine svjetlosti so prema postalati, (2) isle! Gornja. jc9 nedoviiena. pravila transformacija
Pokolik do jc jedriod:51,o .J;ferriog cola svictlosti (!2 11 2 — 1.2 — nepromjcnIliva (thvorijorano)s obzimm no korcnizocc tronsformocijc.
1/2 —
Prirnjer 7.2
= 0
,17 c21 2 — (1.)2 = 0
sada dais
. el
7(2' + el') = 7(ce
ve) = -ye (c e) (7-12)
( 3: —
l! ' =
i) = 7(C1 — VI) = •fi
—
,Ntr. Ake iskoristion, transformacije dam! jednadChatna (7-15), dolajcmo li..1ffir,
,a t,2 —
.
= c2 7 2 (1' — 211..r/c2 r,2 1.2 /,2
t' = 7 1 (c— v)
= C 2i 2 —
-(c — v) ( c + v)
ct =
72 , u2 _ z2 (.2 — 1.1)2 —
(7 ,)2 = „2.,2 (t _
lzrazirno iz (huge jedividSbe I' i avrstimo ga a prvil jednadibm
—
—
— 7 2 (1.2 — 7
=
220
,;//c2)
2,2
+ 1.11
z2
=
i2 — 72 .
Prelim I,0111C, &bib solo isti oblik jednadibe vain a obadva stistaval
*
§to nakon krat.kog raCuria dale
7=
(7-13b)
v2/ c 2
Prinder 7.3
Pokoiiie do jc kvodrai infinite:in-In/nog pomoko dcfiniron ovoko ( ds) 2 04,2
Time smo izraCanali pravilo - transforrnaeijo koordinata iz sustava S' a sostav S
x. = 7(2' + vi')
+
(7-19a)
_ v2 /e2
c2 d12
4z 2
e2dt2 (dz,-)2
dy2 dz2
invarVionlon (nepromlerdjiv) s obzirom no LorerItzovc tronsformacijc. itIEENJE Diferenciranjem izraza za r =
it =
1.r7c2 ) i uvr,4avanjem 11 israz Ca 0.02
dobijemo Transforrnacija "mijeAo" prostorne koordinate i vrileme! Preostaje
kako se transformira vrijjeme,
odnosno valja izrasiti "nectrano" vrijeme t preko "crtardli" koordinata. U lednadZia, (7-111)) uvrstimo dobijeni isms za x 1j. (7-14a), pa dobijerno x' = 7[7(x' +
el') — vi] = 72 5,' + 7 2 ve — 714,
(4,,)2 = c3dr 2 = c 2 7 2 [(rie) 2 + (21, /( 2 )4e dr' + (v/c2 ) 2 (d.r')21— — 7 2 (elr')2 — 272 1. de = — la v a (CRY — (dy') 2 — (411 ) 2 (d e )2 + 7 2 2 /,2 )(d,r )2 .1,2(d=,)2 (dy,)2 (,
1:43) vodi na
i ' )2—
= c2 ( 1
= 7(1'
+
tar'/c2 ) =
e+1;x7c2 ,2/,2
NUT
(dz ')2 =
= c2 (d1') 2 — (the1 ) 2 — (dy')2 — (riz') 2 = c 2 (de)2 — (di")2 .
(7-141))
Jl
u2 ic2 )(d.')2
(4,)2 _
Dakle, (c18)2 'ma isl.i oblik a "ertanorn" i "neertanom" sust.avii, I.j. (rls)2 (i ri.q) je invarijantna To znai:i des je i
c2c17 2 = (d.5) 2 takoder invarijantna kombinacija, pa je i dr invarijantna velicina 6ja je dr .je invarijantan (infmitezimalni) vrernenski interval! To je vrlo vat an
dimenzija vrijerne! Prerna tome °stale koordinala se ire mijeitjala tl. vrijjedi
rezultat Ca kasnije rai:une!
Y Transformacije (7-14a,b.c) (ova se
(7-14c)
Lorentz-co+, trarisformacilc
Za prijelas is S' a S:
Nopi§imo jh za obodva prijelaza istovremen
Za prijelas is S u S':
7.9.1 Zbralanle brzina t\leka je 1.r brzino (nekog objekt.a) II sustava S, a tic. brain,, istog objekta a stistava
+ 1, t ' =
x— 1. =
ci
t'
= z' =z v3:'/c2 —
=
=
d
[7(x' + ye)]
, -j(v [7(2., + rt. )].
de
=_
1 dt/de
7(1 + vu'r /(12 )
1,ako je vidjeti da s1. tri salajeva koje valja narnetrititi lia Lorentsove transformacije ispar.jeria: transformacije (—v), one su linearne, a oclmall vidimodes so v
(7-16)
Dcrivacija dt'/(11 izraCanamo is Lorentsove transibrinacije za I,
I— e2/c2 ,2 „2
dl sa simetriCne s obsironi tin
Pornocju
,2/ c2 (7-15)
9=11 z = z'
S'
Lorentsovill transformacija raelmanto le braise
korijtm a nasivoicinia
= 7(1 + vu'r /c2 ).
(7-17)
7. Spece)alon korzja reInnenosti
Za druge komponente brzine uy i
Sir. 7- 11
D. Horeat: FOrika L sn FER
pollovinio i.i.i postupak. Cvrstimo izraze n (7-16) i dobijerno izraze za
komponente brzine a sustavu 5' odia)sno a sustavu
-
=-
- ar4/e2
1 + 1)14/
- 0/e2
ay
=
1.4
VI
- 0/c2 (7-18)
1 -
I 4- C(6/e2
11, =
= c.
5''
+
ur
7.4.2 Kontrakci,ja
donna
a, V1 - / c 2
c2
1 +vrr r/ c2
primjene Loreutzovilt transforniacija na "olni:rie" probleme votli vrlo e:esto na paradokse koji se prol.ise "zdravorn razuniu", Op(1cnito spec:6:111mm 1,corijom relativuosli zapoi:eo proces II voclenja liizikalnilt
1 - (.”',/c2
Sada lako provjertitio da (1() Ham gornje pravilo slagauja brziva (Lai ncpromeuljivosl. brzine sustav
.Str. 7- 12
ucka so ko.j(m) Sr ualaz] izvor svjetlosti Oa( brzirtoin e = (12. It jeduom trenatl:n laj izvor emitira signal
- bljesak. brzinom c naravno, 1
teortja kojiont se napi;la iu1,111 elta razing svakodnevne lizike i prelazi se it podrui:je apstraktnog.
nadalje pitanje postojarija lizikahlog svijeta kakvog Ham go opisuje i predst.avlja aktualua lizikalna Leorija, pi-
Lauje ulogc C/AC:am-1mm latraC:a-cksperinicul.atora i interpretacije rezultata eksperimenta ali i teorije. Posebno se takva pitanja nameai u drug()) velikoj tooriji lizike 20. stoljec1a - t1 kvantnoj Itomotrimo dva prornotrai.a
+ c/2 (1, =
Li( koji je smjegten dui (7-19)
I + c(c/2)/c2
iz
ako S i
brzinorn ostajemo iznenadeni jar soy) svakodnevriorn
navikli
Galileievsko zbrajaine brzina koje
bi nitro jednostavno dalo (k rivi) rezultal. da je a,PrinkjIre 7.4 //r//
.setanteska broda keer!fg se je,lan inertia drogara. l'raamleae: rm
oveog ',oda 0.75e, a drogay
0.80e. /x.ohkr) fi:
5CI1141 iz
ojeri da
je
o
i P' II inercijalnim susl.avima S i
osi. Njegova duljinaje Lo
-
ruiruju jedan 11 odnostt tut drugog. Aka se medutim promatraC:
giba (sa sustavom S')
.6 a
5' i
Pri tome toCalo valja
zstani trenutl,,u. ProlootraO /' raiwria dul,jiuu preula izrazima 11 kojima se ,javljajil izrazi za ft i /.2 vode(11 rm1:1111a o Corm: da je t 1 = l2 . Dakle, iz brzina
buzina drugog broils a odou.su on prong?
Ilzaliala da h.' mirui prumatrar Halazi 11 miruum sustavil
t1d110,11 Ila kojvg sc giba suhlav
-
prvi SVCIlliC,ki trod. 1)111gi hvcruirski ',rod Oda sc 11 udnusu
Irezimmi 0.75c, Sustay
duiine tl
mjerenja (latrine: mjeri se razlika koordillata poi:elka i kraja Titapa, a koordinale su izmjerene
-1(1 - v11) 1{..ir.§ENJE
ima slap duljine
rnjeriti i promatraev P
prams slid 7.1, onda valja 11:4pol-edit) rezullato
odrediti
Promatrai: u
i t.0 istu duljinu
= 7(2'2 - 1)/2 -
=
2 - u/2) 7(.
(7-20)
+ 111 1) = 7(2:2 - 2'1) =
- 7L.
na sustav .5 1,1-zimuu it =- -0.85 c (u suffotnom sm.jeru Ill susLava .5', 1,j. drugog svimlirskug brucla). (11elalivua) brzina drugog broda a oduosu na sus( IV 5' 11110,C SC 11511 1/0111a1I
drugog 1/11.1/1/I a sustavu
Prelim tonic, Toirni protnatrai: koji nljcri pootini stay r1ije je dul,jinn 11 roiritoru sustavu jerinaka L e izmjeri )7(1.apa /,
7.11
jr
-v
-0.85c - 0.75c
L = 1 - Lo = Lo
- 0.977 c.
I - (-0.85 0(0.75 c)/c2
I - w4e/c2
i L < Le, Negativni predznak pakaznje da se drag; [nod giba a sustavu
S izrojeri /con/rah/rani step! Pletion
Lantana da dude
zn Pakfuj totrrozy pramatraia, prolazt jczgra brzinant
0.8x. U
h'SitCC
jedurna Ircoulka (czgra
jc brzina (-!estfce 7.(1 MII11011
brzanno 0.7 e. Orzina je :adorn) u °dna.su na jezgro!) Koltka (Przlna jezgre se ernistjarn
prolaza poker') Zernlje brzinam 0.8 e, panalelno s njenara osi. Kr,liko
oil 111.11,1(1
S
treba
isti put. a sustaou ZeTrille?
S1161,1'11 gibau,jn, sl/11.j111,1
etllum
pwaialraia?
vremena
Sj CI,C111,1111. I ,0h1 do iii j c,i1(1 1111j1d121y JUZ110111 pulnl K0111:0 1,11:1111310 prude
= at.r VI -
= 2R. VrijCIIIC prulaza jr, 111,15
ne promejeni.9
16.1E.ENJE. Neka je sustav
(7-21)
- v 2 /c 2 ,
negativa(an suderll osi
-51
Prilnjor 7.6
Prinkjer 7.5
VI
7
- tr 2 - 0.0319s.
vezan uz lairnog promatrai:a, a sustav S' je vezan uz jezgru. Relativim
b rzina susiava :Jr e = 0.8c. U sustavu
5'
brzina rustic,' jr u, = 0.7e. Brzina
za mimog promatrara
U sustavu Zemlje in Alz =
= 2Rje = 0.053 s.
dobijr se iz pravila za slaganje brzina 0.7 -1- 0.8 c
-1- v
1+ a),./c 2
1+ (0.7 c)(0.8 c)/c'
= 0.962 c.
Z ad at ak 7.2
Mirni prornotror: Lrotjeri duljitau (otiroon) sucotiv,koll brorla jednako L = 100
brad gibn paken] drugog
prootalrot:n brzirloot orl 0.99 c, koliku cc
RJ
Za,latak 71.1
NO,. p.,r /r o, iz norther/ priotjerti r Mill/ fl
gam brztooto 0.8 c. Koliko brzina
,O.soco nzotritto
neutrino ageri ton.," pramanue:?
Itrzattoot c ft i.rlom ett el ern a ko j ciumf: ow,
in. Aka in zniiro
lnj
duljino L ivojeriti tnj prootatno:9 L =
100 HI • VI - 0/c' = 14 m.
Str. 7- /3
7. SperijnInn tborija relatirnosti
Prornalrur. no Zerrilji inn:Jr:or do je risino no kojoj or nalazi stternirski bind koji se pribliiara Zerraji jednoko 11 = 435 rn. Koja rie nisinu izntleoiti pmrnotrar7 no brnda ako se broil giba brzinorn. ad 0,97 o?
Primjer 7.7
Primjer 7.8
Tiloojno roijorne (period) rofiltola je. 3 s u .sustavu koji oniruje. kaliki period iz2njeri prornatrae
.sustara koji se a odnosu nn nlihalo gibo brzinorn ad 0.95c? R,1E§EN.IE Period je vremenski raztnak iemedo dva prostorno-vremenski dogadaja koji so se odigrali imama al = (t, el) i .X2 = (ta, et), a period It mirnom sustant jo To = l 2 - t t . na istom mjestit, , 3-1) i = (t!,, U sustavo koji se giba imamo koordinate tih isrih dogadaja danih ovako: X; = t; odgovma periodo a sustavu koji se kree. Taj vremenski inteval inoiemo vremenski inte.rval T'
Na ist.i nae.in kao i n railijem primjent, mialjenost H skrati se. ea faktor 7, pa imaino - e2 /c2 = 105 rn.
=
5. HortoTh Fiz.iko I za FER
Sir. 7- 14
izraziti picks 1.01,11.7.-1.ransformiranill vremena, (j.
4 4
_ 12- (r(c 2 ),r,
-
T
t ; -(r/c2):2:1 -
VI
— 1,2 /C' Zadatak 7.3 31,:mirskog
Sur rnirski b rod oblika provokutoog ',robot, prolazi pokral niirnoo pl,rnotrae:s brzinorn 0.95c. Ka Irk.
broils kojr, i_rrojeri ntirni pro not tral, ou 25 tic (ri.rina) i 50 nt (dob:jinn ). Kolikr
.rn pro inn 1 rni,n pokroj kojcg
/
12 — tl
V I - r 2/ c
tj 2
T = 7T0 = 9.6 s.
olmnicr ourntirokoy b rods
broil giba?
—
P1,7111,1
Zit 1/1/i1).:1Cil koji sc giba, mgfcfio ILL so njilialo rrjise .sporije!
Visina=25 m. didjina=15.6 m.
4 4 4 4
Primjer 7.9
Astronoat irli otputorati no planota adaljernt 200 sojetiosnih godina on Zcndje. Kojam so
brzinorn, room gibati oko no fain. putt (tomes i notrog) ieli astorjeti sumo 10 goy/inn? ES 7.4.3 Dilatacija vremena
Za miru ng proinatraa na Zernlji, astronaut koji se giba (nepoenatom) brzinom v trebal do
vrijerne t za potovaoje tams i natmg, tj. 2D = et gdje je. D = 200 sg (svjetlosnill godina). Vrijeine l je
Neka se u sustavu S rl loEku xi stavi sat. Ako promatrae u S izrojeri vrijeme 11, onda Ce promatrae u
dilatirano vlastito vrijeme astrorunita t o , koje je povezano s vremenom t relacijom
sustavu 5' koji se a odnosu na S giba brzinorn izraitunati vrijerne koje je jednako
-
1
to
—
— 0 /0
— 1,1711 /e2
(7-22)
V1 - v2 /c2
Negto kasnije promatrae II S izmjeri 12 i izraiitina vremenski interval jednak Al = 12 - ll
Uvrgtavanjem l u izraz za prijerleni pat 2D dobijemo 400c
Prom a t roe ir
= 0.99688 c.
+ (2D/o)2
Ce izoderiti
V At' -
- vxi c 2 2
Primjer 7.10
c
(7-23)
At
Objekt se 5 rain. adaljora brzinorn 9c/5 ad noke tarlo u sustavu S, o onda nogla enijcnjo
brzinu a -4o/5 i tirroIa se a istu loan n S. Kalika vremena za toj put prade abjektu? RJESENJE Vlastito vrijeme fit s je povezano s vremenom dl ovako
V1 - e2/ e2 dto
Prema tome, ako je za promatraea Ir S progado npr.
I sat,, za proilatraea a S'
= V1 - v 2 /c' fit,
progao ,je I
sat/V1 - v2 /c 2 , tj. proglo je vise od jednog sate! Dakle, proinatrae koji se giba zakljueilije des rnjrui satovi
gdje je v = 4o/5 za 1)1,411 5 min. i u = I - 4c/51= 4c/5 za drugih 5 min. Dakle, okupno vlastito vrijeme
idu sporije, do oni kasne. Takes pojavu zoverno dilotootja urernena.
je
11.aspad miona Osnovno pitaide takvog Leorijskog rezultata je, gdje je moginIe a prirodi prona6 toj efekt. odnosno napraviti eksperiment I1 kojeni cc se taj efekt pojaviti.
=
f
2 10 '16 =
0
Brzi protoni iz kozmiekih zraka a stolarn s eesticania atmosfere proizvode pione, ticsrabilne eiestice koje se ubrzo (nakon 10 - "s) raspadrui na visini od oko 30 km na elementarnu
10 0110 "r°
5 to ' 0" 5 4 ) f dt0 = 2 1 — (-
= C1111111.
0
To .1(1 dakle inanje od vremena inje.renog a sustavu 5 na mini, tj. T = 10 min.
mion i njegov antineutrino
(vidi Fizika 11.. za poglavljeo elementarnint eesticama). Mioni su takoder trestabilne eestice i one se, kada jh
4 4
proizvederno u laboratoriju, nakon gto !Mildu oko 2 x10-'s raspadmi (na elektrott, idegov neutrino i mionski neutrino). Ako ,je , dakle, vrijerne Zivota miona jednako
2 x 10' s, undo oni 'flogs, ako se gibajii a
prije nego se raspadnu. prijecii uclaljenost. jednakir s = er„ -L- 600 in, gto znaei do iII no linoleum vidjeti na povrgini Zemije, jer su proizvedeni na 30 kin izood. Mioni sti, medutim, pritnije&ni, a objagojerde des se oni Dist, ranije raspali jest. I, dilataciji vremena. Oni "ridere" svoj livot svojirn 5010111 koji miroje, a Iasi sat,. vidjeli smo, ide sporije za faktor 1/ \/1 - v2 /o2 . Prema tome, vrijerne iivota u njillovorn vlostitom sustavu je
= r,,/(V1 - v2 /c 2 ) :Li' 50 r„, pa je "livorni" prevaljeni put jednak s' =
znaei do rnioni dolazo i do povrgine Zenilje!
= 50 x 600 m=30km. SO)
Prinkjer 7.11
U ineocijolnorn sustavu S jedan sr, dagotlaj adigrao a prostoono-roomenskoj rock, s boor-
dinatanta x = 5 rit I et = 3 rn. Kajoirt se bozinorn morn giboti inerrijolni sustor S' a kajent Jo orerneaska koordinata dogadaja lednaka nali? 11.4E,F,N.IF, I7. lorentzove transfortnacijc t - ex/c2
7. SpcciinInn tcorijo rcIntittnoxli
.Sir. 7
Str. 7- 16
= 0 dobijelno t = (e/c')r, othu,sno, kako je r = 5, i t = 3/c a, dobijemo
D. Horunt: Fisika I so FER Udaljenost nova-Zendja je Ad„:
3 = - s= ( v ).5s,
Ad„ = Vr? + y?, = 4.63 x 10' CS, a svjetInst putoje do ZentIjc At„:
t.j.
= 3c/5! At n
Ari n /c = 4.63 x 108 s.
Eksplozija rove vili se o trenol.ku
Priinjer 7.12
As'tr'on au t a sceatirskom
-6 x 108 s, a,' = 6.2 x IUs Cs, y
4 x 108 is z = 0 (c., Jr adoijc60st koju pci/cdc .,61c11061 za I s). do Soda', bj
Al„ ='2.90 x 108 s.
te.ks =
kojr sr adaljara arl Zcadjc a smjcra osi is brzinant 0.8 c
pranlych ■ .kaplortja nocc a prostorne-urciacirskan koordinalama
ei kokra. :re /rcautha do.qa auk/last Hare
U kap:a) je trcntaku doSia obarijcaL a brad° do Zclalje?
U Sorts
irt tremdku
strialost
*
/101,e
lost,, do Zeralle?
ISJESENJE (a) Udaljenost nova-brad je Al' = \lc" y'' = 7.38 es. Svjetlost putoje At' At' = Ad' /c = 7.38s, a clokzi do broda a trenutko t" = t' + At' = 1.378 x 10" s.
sostavu broda)
(5) Poloi.aj broda u trenutku kadaje poslao signal je = 0;
= 1.38 x 10' s.
Za Zendju je biod a (7,, t), .r ' +17 1 "
r=
- 1.81x10
7.5 Relativistiaa kinematika i dinamika Lorentzove transformacije daju pravila transformacije prostornili (a:, y , z) i vrernenskill komponenti (t) nekog "dogadaja" - Locke a trodimenzionalnorn prostoru s vremenskorn koordinatom t. Cesto govorimo 0 3+1 dimenzionalnorn prostoru s 3 prostorne i 1 vremenskom koordinatom. Zato se uvodi i tzv. eetverovektor prostor-vremena gdje se ujedinjuje 3+1 podatak u jedinstreni objekt (a:, p, z)" " (t) -> (ct, x, y, z) i koji oznai.;avamo ovako -= (ct , x, y, z) = (xn , x l, x 2, x2 ) = (et, r) (it = 1, 2, 3) (7-24) gdje je nulta komponenta a° i;elverovektora jednaka vrernenskoj koordinati = cL (pomuo2enoj sa c da bi sve imalo istu dimenziju duljine), a komponente 1,2,3 u prostorne komponente xt = x , ltd. Pravila transformacijc takvog Ceiverovektora moga se elegantnije napisati u tenzorskoj fount (vidjeti dodatak poglavlju DP7.1). Na slii:an se nai:in formiraju i neki drugi cetvcrovckl.ori (srodnili) fitIkaluiIi veliEina (kao ovdje vrijeme i prostor) udraiujaCi "prostorne" i "vremenske" (write) kompouente. liod svill Cetverovektora nulte at komponente transformiraju isto kao nulta komponema C:etverovektora vrneme), a prostorne komponente se transformiraju kao prostorne komponente
(tj. koordinate).
VI - (V/0'
7.5.1 RelativistiEka brzinu i -
x'
t"
- WM' -
VI - (17/02
t" +
- 2.30 x 10" s.
Vrijenie put ovanja signala ad broda do Zemlje je Al:
At = ,c/c = 1.84 x 108 s,
gibanja
Sada gelitno uvesti brzinu v u tai dimenzije se komponente transformiraju kao prostorne komMeclutim, ako pokuSamo definirati brzinu kao um. Cr = da:/di i oC.ekujemo Mena "dobra" ponente transformaciona svojstva kao x , vidimo da La forma nije dobra, jer Cc se brojrkik (dx) transformirati na pravi ali transform se i nazivnik (dt) i to Ce sve pokvariti! Oe:ito rue valja dl a nazivniku definicije brzine! Zato moramo pronaCi neki vremenski interval koji je invarijantan, a Mega smo pronagli ranije u primjeru podijelirno dx dobit cemo brzinu i ona Ca imati ista transformaciona svojstva kao 7.2! To je dr i kada s di:. Ostaje odrediti Huhu komponentu brzine (koja ulazi a transformacija prostornill komponenata - vidjeti
pa signal dole na ZeIII1j11 td = + At = 1.14 x 10"s.
(7-14a)), Oil ranije dakie imam() c2 dr 2 = c2 d/ 2 - (dr)2 , pa je
(e) Nova se u Zeadjinom :;ustavu nalazi a (r„,
t„).. (1 ,2
_ dt 2 _ t d,12
[i _
k'
+ e — 9
33 x 108 es;
VI - (17/02
e VI - 11//02
I 73 x 10” s.
dr = — dt
i
dt 2 (1 - -x2 ) =
(7-25)
ill
dt 2
y„ =y =4x 108 CS;
1 d 2 (—) 2 di
d
d
lr
l2
•
Str. 7. 17
7. SpecijoIon icorijo relatiynosti
7.5.2 Drugi Newtonov aksioin rr relativistiEkoj dinamici
Komponente vektora brzine koje sada oznaeitno s U„ (1, i U, su dz
U,.
dr
dt
D. Horynt: Find,. I no FEB
Sir. 7- 18
= 7v, = U1
(7-26)
i sliino za druge komponente (ako se transformiraju). NuItir komponentn u° dobijemo deriviranjem nuke komponente eeteerovektora tj. d U° ±zn r, 7— ( c1).--- 7c. (7-27) dr
Itelatieistieki izraz za koheitin gibanja (7-29) ornoguhne nain da ilapiemo 2. Newtonov aksiorn nn imbieajen naelin d d nar7 = F. 13 = di.di VI - e 2 /c-
pa bismo npr. gibanje nabijerie eestice naboja q pod djelovanjem elektriene i magnetske site (Lorentzove rile) jednostaeno napisali ovako
Sada moiemo napisati tick/or eetuernbrzzne
d
Uri = (U n , U) = (7c, 70 = 7(c,
(7-28)
Transformacionasvojstra eieteeroeektora brzine ista su kao transforrnacionasvojstereecteerovektora polo2aja odnosno ista su kao transformaciona seojsteri bilo kojeg rrietveroeektora = (A° , A) koji je konstruiran
(7-33)
(7-34)
it V1 - v 2 /e2 = q(E-
n). Lijeva strana zabtijeva rafmn akceleracije diUdt, a problem rje§avaino standardnim tebnikama integrac.ije diferencijalnill jednadThi. lz tog raemna moglo hi se eidjeti da sila nije uvijek samo u smjerii vektora akceleracije, veC da iota i komponentu a smjert: brzine. To je jot jedna neobiemost. specijalne Morije relativnosti.
it specijalnoj teoriji relativnosti. he prostornog duels eeteerovektera brzine tnoiemo na prirodan na'ein definirati vektor koliearie gibanja jet] nostavnim torioerijern s nepromjerdjivorn veliEinorn en, tj, s mason] r7= mU = 7,7117.
7.6 had i energija 11 specijalnoj teoriji relativnosti
(7-29) Vaina dinarniaa veliciva - kolicina gibanja u specijalnoj teoriji relativnosti izvedena je ranije i jednaka
To je relativistiaa koliEina gibanja i ona se transformira isto kin) koordinate i ill kao O. Seakako, °dirndl se nameCe pitanje nulte komponente koja ulazi 11 pravilo transformacije. Nulls komporienta je, naravno = mU° = m7c, a ako see pomno2inio i podijeliino sa c dobijemo
je (7-35) Drugi Newtonov aksiom je bin clan na "stari" naein F =
2 1 p, 17mc -
(7-30)
gdje smo liven "pokrate" E = 7rnc 2 . 1■ asnije c'etino vieljeti da se radi o ukuprioj relativisriedroj criergiji in sada, mcdutim , moierno napisati tiz gornju oznaku eietverovektor kolieine gibanja kao
7)
=
7
(-1=1 ,17,,F).
Ip=fri• ds
li a Jednoy dunenzni
2 dp = f= — de
(7-31)
1
InirSeni rad pod djeloeanjem takve silo je i
dalje jednak
2 2 dp = 1 — 7. di. = f v dp. di.
Podintegralni izraz ruMierno poriroMi diferencijala napisati ovako d(vp)= pdti+ vdp, t.j. vdp= d(vp)Nadalje, nzel. &alio is sila pokrene tijelo iz rinirmianja tj. 1
pr
(p',
Py = Py 7)0
c
(7-36a)
v)
t,j. 2
= 0 i ribrza ga na neku konaEnu brzinn
= 11. Sada /11M/cm° napisati
(7-32)
Pn 2
,)
E 7 (E.," +
.
W = d(vp)- f pdv= vp " -en f (v),.; do =
Pomocn kolieine gibanja sada rnoiemo napisati i jeclnaclibu gibanja - 2. Newtonov zakoti! Prirnier 7.13
lzroannojie (relativistieku) kolicina gibanja mjonu - elementurne iMstice eijo je mass m r , = 1.9 >c 10-28 kg, a brzino je v = 0.9 c.
dv
= 7nrc 2 - m
- 7rnv 2
MC' 1 - r ,2/ e 2
(7-36h)
\ - V 2 / C2 = 7mc 2 - roe2 = EA.
RJEEN.JE
Relativist
kolicina gibanja jednaka je
7( ,)(m,7 ) —
Preens teorenth o radu i kiiretikoj energiji, desna ;tram% je jednaka kinetiekoj energiji. U zadujem retkir
mil
—u
s ~r2
gorrijeg izraza imam() redom iikupriu energijit Is = 7rnc 2 minus energija mirovanja E0 = enc 2 . Njiliova razlika jednaka je kinetie:koj criergiji. I.j. piAerrio
a !lien je iress jednak p= 1.18 x 10-19 kg in/s. E = En + 7rne2
mc 2 + Ek.
t.j. (7-37)
7 Sm., liallaa NorL.,. 1,1,11sola,,..1, Vidi1uoda
energiju
11102(11110 1111[11,11111 8111110
,c1r. 7- 1.9
kao razlik0 ukupile energue.lenerglie
POZ11111,1
izraz za E k koji je jedaak Ek = we 2 /2 moraniodobiti a limes!, ivalih brzina ellodnosil ua c. Pouiocu izraza
.811. 7- 2n
D. Norval: Fi:lka 1 zn FER
Zadatnk 7.1 Ukapna energiju pro/oral !rostra/co je var. :a oil nicaour. anrraziceurovonja. 0,111,dde (a) brzinu protons, (5) nj,:yora kinclialcu uneryijI ■ i (c)nj,gorm kotiainu gibanja, R.1ESENJE: (a) u= AG/3; (b) Ek = L876 MeV; (c) p = 2 G53 MeV/o.
(I ±.0-1/ 2 -z (uz r
c 2 /c2 ) dobijemo
*
= ne 2
- u 2 /c 2 ) -'/ 2 - me 2 = a( 2(1 + 02 /202 ) - rlC 2
1 1 ruu 2 .
(7-39)
lz izraza zo ukupnu energiju cestiee molemo dobiti orlo koristan izraz za energiju koji je napisan tako da je njegov oblik IS11 u 8111111 k001(1111a1.111111 SUS111\11111a, tj. Laj je izraz ITIVOrljOnlan S ObZItnuri. na Leff:n(201)e transforrnacije. Kvadriranjem izraza za ukupm, energiju E = yrnc 2 i nadopunjavanjern dobijemo
E 2 = (yrrac 2 ) 2 = (7(1)0 2
= (-trne) 9 c 2
=
+ 1 -
=
_)} - 7 --
V-
(7-40)
c2 =
(imv)2 c2 I +
,2
—
2 ,4 C
'/
1.i
7,2„2
gdje je
ukupna energija (-..estice wase 1/1, p
poopi..enje
gibanja p = 71,11, od ranije,
a En je energija mirovonjo Ea = 711C 2 Gornji izraz 111ole se preurediti i slivatil.i koo kvadrot eietuemucklar eaer.)ive i koGrinr gibonja uz oznaku
koji swo liven ranije. Za nultu 1:onipollenta tog vel
oznoka p° = b.:/c, a sada vidiwo do se radi o ukupnoj relativisti(:koj energiji Is. 1
(py
=
(p".! ;
(p0
p!)
0)0 ) 2
02 .
(7-41)
i to je prema (7-40) upravo jednako 171 2C 2 . 1
11102,111110 11111/18111.1
(7-42)
Priinjel' 7.14 Elektlrn se Om brzznorn = 0.85 e. Kohko Jr: kruchau cur:1 p eh:Alcor/a i njegova akupna eneryijo. lzratite rezultal u elektronvollirna! RJESENJE
Uktipna energija ele.kteolia je 0.5111\leV
E ,,ar =
\/1
=0.9751eV.
1 — (0.85 c)=/c2
Kinet.kka energija E k jednaka je raolici ukupue energije E i euergije mirovallja F,o. I. Ek = K — je 50 = E — me = 0.97 MeV — 0.5111\4eV = 0.459 MeV.
pa
*
Si,. 7 - 21
7. Spccijairtn frorijn rola tivranA ti
Sir. 7 - 22
H. Horval:
PREGLED 7, POGLAVLJA
7.10 Kako se injeri d,d,ji rn nekog predineta?
1. Novi fizikalni pojmovi
7.17 Ezvedite izraz za kontrakeiju duZinal
Fi.rika I an F E R
7.18 1
Michelson-Morleyev eksperiment
razlika faza
7.19 lzvedite. izraz za dilatacijii vremena!
Einsteinovi postulati
Lorentzove transformacije
istovremenost i neistovremenost
7.20 Op-site kako dilalacija vremena ubja;mjava snopove iniona na 7,einljnioj povrSini!
kotrakcija dulina
relativistitko zbrajanje brzina
dilatacija vremena
7.21 Za,,ao nvodimo invarnmitni vreinenski interval de pri definiciji rdativistiae brzine.?
raspad miona
t etverovektor koordinate
relativistitka brzina
7.22 *NapiSite i-.etverovektor koordinate i brzine!
t etverovektor brzine
relativistitka kolitina gibanja
relativistitka energija
7.23 *Izrai,iiiajle kvadrat C:el verovektora brzine i pokaZile do i17 7,24 NapiAite izraz za relalivistie:ku kolkinu gibanja!
energija mirovanja
7.25 *apiSie Niizraz za i7eivr.rovek for 2. Nove relacije
k oli/inegibanja i nadite njegov kvadrall
7.26 lz teorema o radii i kinerkkoj energiji izvedite izraz za relativist itku kinelitku energiju! xr
= y( x'-F
7.27 Opi-Site relativistkke energije i njihovo znaenje!
+
et)
f.
= -y(t' + ,!x'/02)
- 0 /0 -
+ 1,377c'
= 7(x - et)
= 7(1 - ux/c')
VI: 0
7.30 Komentirajte krivi riaziv za relativistiekti mast], odnosno masu ovisnu o brzini!
/0
- ex/e2
I
-1
u 2 /e 2
'411- ti2 /c., V14/0
- 1,2 /c 2 I - 1../,7 2 dr = dt / -y 11”= ((10
= E/ c E
7.28 Pokaiite kako se mole dobiti nerelativisIkki izraz za kinctiLku energiju iz relativistiEkog izraza! 7.29 NapiSite 2. Newtonov aksiom u relativistiEkom obliku!
- Ilf
+"'m+4,/c2
, -
"0
L. = =
-v t.r4 /
Lao - oio .1, y , z)
11" = -y(c, i7) 1," = (E /v,
= Yana.'
(l,o ) 2 = "'Y
3. Pitanja (sa zvijezdicom su oznatena teta, neobavezna pitanja)
7.1 NapiSite Galileieve Iransformacije.? 7.2 Koji su zakoni invorijontiii (neproinjenljivi) s obziroui na Galileieve transform:v:6e? 7.3 Pokaiite In jednadiba svjetksilog vain nije invarijantria s obzirnin na Colileieve transformarije! 7.4 OpiSite inogi'a rjeSenja problerna lieinvarijaninosti Maxwellovih jednadZbi s obzirom na Galile.ievr transformacije! 7.5 OpiSite Michelson-Morleyev eksperiment! 7.0 Cemit sluff interferninclar
pokusn?
7.7 Noji su bit an korai: napravili Michelson i Morley u svojem pokusu? 7.8 Kako Rinse P..iasiciuovi postulati relativriosti? 7.9 Pokazite do zbog Einsteinovili postulata 11.110 IA:, ISCOV1,111(7.110Si I (II 7,i1IlliqiC1101,1 pokiisii)! 7.10 Kako je resogncc invertirati redoslijed dogadaja a dva referentna stistava? 7.11 Irvedite Lorentzove transformacije.1 7.12 Koje tivjete inorajii zadovoljavati Lorenizove tronsforinacije? 7,13 Stn Jr izoir ropaoslr a .;to homogenost prostora? 7.14 Izvedite izraz za slaganje brzina (1, x sinjeru sarno). 7.15 lzvedile
za
vremenski interval 2e.
4
SO. 8 - 2
8 8. MEHANIKA FLUIDA
8.1 Uvod 8.2 Tekueine i plinovi 8.3 Statika fluida. Tlak 8.4 Hidrostatski tlak Tlak u jednoj toeki fluida Pascalov princip Hidraulieka pre.Sa. (tijesak) Obiena pumpa 8.5 Torricelliev pokus. Atmosferski tlak rednostavni manometar Pokusi s "li" cijevima Hidrostatski paradoks Barometarska formula 8.6 Arhimedov zakon Kartuzijanski ronilac 8.7 Povrginska napetost Laplaceova formula Tlak u injehurieu od sapunice Kapilarnost 8.8 Dinamika fluida. Idealni fluid rednadZba kontinuiteta 8.9 Bernoullieva jednadZba Primjene Bernoullieve jednadZbe (1) Statika fluida (2) Tok u liorizontalnoj cijevi (3) Venturijeva cijev (4) Pitot-Prandtlova cijev (5) Torricelliev zakon istjecanja (6) Venu contracts (7) Obiena sisaljka (8) Sila na avionsko krilo 8.10 Viskoznost Poisseuilleov zakon protjecanja Magnusov efekt
8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-7 8-7 8-9 8-10 8-10 8-11 8-13 8-15 8-18 8-19 8-21 8-23 8-25 8-25 8-28 8-29 8-29 8-29 8-31 8-31 8-31 8-34 8-34 8-35 8-36 8-39 8-41
D. Horvat: Fizika I za PER
Ileynoldsov broj. 'rurbulentno gibairje Dinanneka slienost Otpor sredstva. Stokesov zakon Pregled 8. poglavlja 1. Novi fizikalni pojmovi 2. Nove relacije 3. Pitanja
8-41 8-42 8-43 8-44 8-44 8-44
Sty.
Atehanita
I) Mama: Fink,, I za
• ;.!
8.2 TekuCine i pIinovi 7. prosinca 2001. Veeinu krutih tijela trio'i.emo zantisliti kao prostorne gradevina atoma koji osciliraju oko tvrstiii poloaja u kristalnoj reIetci. Kada zagrijavanjem oni dobiju dovoljnu energiju, medumolekularne site se kidaju i kruto i ne - avaju tijelo prelazi u tekutinu kod koje postoje slabe sile dugog dosega koje ne ograni C 8. MEHANIKA FLUIDA
dr2e lb na jednom injestu, ye(' ih tiglavnom lokalno grupiraju, Dalje zagrijavanje povetlava kinetitku energiju molekula i tekutina na temperaturi vreliIta prelazi u plin. Kod tekueina su, clakie. srecinje udaljenosti atorna/molekula manje od onih kod plinova, pa su tekueine telko stlative, tj. velitina B povezana s promjenom volurnena zbog prirnijenjene sile na jedinicu povrIine (vidi F-II, poglavlje o elastftnosti) koju zovemo yofuntni rnodul elastierrosti B=
1
17
a(
av
17
(8-1)
al av ai
je vrlo velika. Zbog toga tekuOna slobodno tete ako na nju primbeninio tangencijalnu silu, tj. ona se ne odupire tangencijalnom naprezanju (ko,je Mate dovodi do torzije), all djeluje na stjenke posude statitkom silorn koja dolazi od feline tekutine. 8.1 Uvod
Tabtica 8.1 Svojstva nekih teku6ina (na 20° C) Vol. model
Koeficijent
Koef. pov.
Gustaa
elastienosti B
viskoznosti ri
napetosti a
kg/m'
N/m3 x 109
Ns/m3 x 103
N/m3 x 10-3
880
1.035
0.655
29.2
678
-
0.29
-
Mehanika fluida bavi se statikom i dinamikom fluida. Fluid moemo opisati kao nakupinu tvari kod koje se osnovni gradivni elementi - atonti/molekule mogu (skoro) slobodno gibati jedni u odnosu na druge.
Teku6ino
Zbog toga oni poprima,ju oblik posude u kojoj se nalaze, a Ito je posljedica djelovanja gravitacione sile. Za je posljedicajakih meduatomnih sila. Fluide tine razliku od njih, krute tvari imaju odreden, stalni oblik
Benzcn Benzin
tekutine i plinovi, a ponekad ih zoverno i zajednitkim imenom kapljevine.
Etilni al.
790
1.2
1.2
21.9
Glicerin
1 260
4.34
861.0
62.9
Podrutje izutavanja i primjene fluida je goletno: od gibanja brodova i aviona, naftovoda, vodovoda, brana, vjetrova, prognoze vremena, sve do disanja, toka krvi i plivanja, totenja piva u tate, izli,jevan,ja meda
Masi. ulje
910
1.59
84.4
33.6
iz žlice, kovitlanja olujnih oblaka, jedrenja, Iirenja smrdljivog cigaretnog dima itd. Povijesno je mehanika
Tcrpcntin
860
-
1.49
26.2
fluida oduvijek zanimala ljude: valja se sjetiti grtkih imena poput Arhirneda i Herona, rirnskih vodovoda,
ligljieni 26.2
Leonarda da Vincija, Fausta Vrantita, Isaaca Newtona, Evangelista Torricellia, Daniela Bernoullia, Gabriela
tetraklorid
1 590
1.10
0.975
Stokesa, Lorda Bayleigha i Ludwiga Prandtla. Problematika fluida je bitno vezana uz svakodnevni
Voda
1 000
2.07
1.0
73.0
modernu tehniku i tehnologiju all i fundamentalne probleme od mikrofiiiike do astrofizike i kozmologi,je. Posebno je zaniml,jivo i važno to Ito se rnetode i rezultati mehanike fluida mogu neposredno primijeniti na mnoga druga podrutja fizike/znanosti kao npr, fiziku jezgre, na astrofiziku i astronorniju. To je posl,jedica
Ziva
13 600
26.2
1.55
51.0
toga Ito se mehanika fluida bavi sustavom golemog broia testica (1g— 1022-23 molekula), a takav sustav opisan je pomotu makroskopskih velitina Ica() IIto su tlak, temperatura ill gustoCa, bez ulaii.enja (najteIte) u
Kod (idealnih) plinova velitina koja odgovara inverznom modulu stlativosti B zone se koeficijent izoterrnne kompresibilnosti. On je ,jednak
suItinsko (mikroskopsko) porijeklo tih pararnetara. Prva fisija jezgre izratunata je u rnodelu kapljice tekutine i iako je to bila gruba aproksimacija, model je vrlo dobro opisao taj proces.
1
1 A17
1
B
17 tip
p
(8-2)
Problemi mehanike fluida vjerojatno su najte2i u cijeloj primijenjenoj find i telmici i za njilrovo rjeIenje danas se, uz vrlo rafinirane metode matematike (kompleksna analiza, konformno preslikavanje, parci,jalne
tj. za sve plinove ima istu vrijednost! Zanitnljivo je ovdje spornenuti, imajuti u vidu veliku kinetitku energiju
nelinearne diferencijalne jednadthe, itd.) robe najmotnija ratunala s rafiniranirn programima za proratune
(veliku brzinu) molekula plina da ,je flamansku rijet gas (koja u njematkom glasi Gas ill u engleskorn Bass) alkemitar van Belmont dobio (1620. godine) transliteriranjem grtke rijeti kaos.
i simulacije.
Zadatak 8.1
Kolika je ukupna mash Zernijine atnrosfere ako pretpostavirno da je svuda flak na povrgini
Zerraje jednak 1 x 105 N/In2 ? (q je svuda konstanta!)
RJEIENJE: m = 5.3 x 1028 kg.
S. Mehanika
Str. 8- 3
.5tr. 8- 4
Tablica 8.2 Srojstva nail( plinevo (no 200 C i Hahn 1p,„,)
tophriu
Tablica 8.3 Neke zonimIjire rrijednosti tlakova
C lestau
Aduabat. Lyrist.
kg/m'
a
Dukik
1.250
1.4
17.6
28.0
Zemlja (11 srediktu)
4 x 1011
Helij
0.179
1.66
19.7
4.0
Laboratorij (maks.)
1.5 x 1010
Kisik
1.429
1.4
20.2
32.0
Ocean (na dnu)
1.1 x 108
Metan
0.668
1.31
13.4
16.0
Siljak 1.enske cipele
J-. 10'
Atmosfera - Venera
90 x 105
2.926
1.27
11.68
64.0
1'I171
,,
Cr/C,.
Koeficijoit elskamosti ti
D. Throat. Firiku / zu FER - Mellartsku i
N4111 2
x
10 -6
Aioinu
(Pa)
01101
Sume (11 srediktu)
Surnporni dioksid
lznos anka
Mjesto
masa
Lgljicni
2 x 1016
- Zemlja
1 x 105
- Mars
:-, 700
1.977
1.28
14.7
44.0
Vodik
0.09(1
1.4
9.05
2.02
(10km)
26 x 103
Vodena para
0.747
1.33
10.1
18.0
(100 km)
0.1
Zrak
1.294
I.4
18.1
29.0
dioksid
Atmosfera - Zemlja (1km)
90 x 103
8.4 IT idrostatski tlak 8.3 Statika fluida. Tlak Zbog teiine fluida javlja se sila na odredetiorn mjestu, odnosno na odreclenu povrSinu. Ako definiramo S obzirom na golem broj eestica fluida nemoguee ,je opisati njegovo stanje gibaiija pomoeu 2. Newtonovog zakona za svaku eesticu, to rijesiti takav sustav medudjelujueili eestica, uz neke zadane poeetne uvjete. Zato fluid opisujenlo parametrima eije eenio porijeklo (u molekularno-kinetitkoj teoriji) mod razum-
mem' povrgine = iiS gdje n uvijek "gleda" okomito na djelie povrine "prema van" tj. iz volurnena, onda moiemo razmotriti ravnotezu "komada" fluida (vidi sliku 8.2a) u torn istom fiuidu. Taj komadie je
jeti na inikroskopskoj razini.
dolaze zbog njegove tattle dG i zbog tattle okolnog fluida. Dakle, prerna slici 8.2a pigerno uvjet ravnote2e
Llmjesto site, ovdje uvodimo silu nu jedinienu povr.qinu S, tj. uvodimo fizikalnu velieinu flak p _ 11 = gdje je
f, okomita komponenta site na povrSinu S. dF
u ravnote2i, Ato znati da je vektorski zbroj svih sila ko,je na njega djeluju ,jednak null, a site na "kornadie" (u y sinjeru: +y os "gleda" prema gore) ovako P(y) + (y + dy)+ ad = 0
(8-3)
(8-5)
etejžina Takve site zovemo site pritisku i opisujemo ill ovako gdje ,je dO = dm g = (S dy)pg tejiina "komadiea". Odgovarajuee tlakove uvodimo tako da orijentiramo (8-4a)
= pdg = pluiS,
Sto nmoženjem nmoienjem sit daje (vidi sliku 8.1) -dF1 = paS
povrine S tj. S(y) = hS = - jS
i
g(y + dy) = ILS = 35,
(8-6)
pa je .fi." (y) = - 1)(Y)g i f(y + dy) = -p(y + dy)S(y + ay). Tlak na mjestu y + dy inojiento napisati ovako (prema Taylorovom razvo,ju - vidi Dodatak 1)
tj. (8-4b)
P
as
dp +- +•••= dydY
1)(71 + dY) =
+ dP.
(8-7)
=1Pa=1 N/n12, je skalarna velitina. Tlak, eija je jedinica 1 paskal, Ato vodi na ,jednaabu ravitoteji,e jp(y)S - j(p(y) + dp)S - jpgS dy = 0 tj.
dp = - pg dy
f dp = - y p dy.
(8.8a)
Integracijom gornje jedriadibe uz poeetni uvjet da je na mjestu y, tlak jednak p1 i da vrijedi da je fluid nestlaeiv, tj. da je gustoea fluida p konstantna pa je molerno izvaditi ispred integrala, P2
Slika 8.1 - Uz definiciju auka nu
pow:Sine (LS.
f a= -py f dy P1
Y1
(8-8b)
5.
Al chanika
finnia
F(y+dy)
y
St, 8 • 6
11 I orvat. Ptzil,•11 / za 1,1•,71 • It 4 e•htatzl,” i t67,1171
S(y+dy)
S(y) p
Slika 8.3a - Tlak u jednoj toaki ft/Lida
Silica 8.2a - 1?avnoteia "kornadida" fluida
py dz dobijemo Pi + P9yr = 92 + pgy2.
(8-9) P, dy di
Valja uotiti da udaljenosti ovdje ratunamo od dna prema gore. Iz gornje relacije dobijemo tlak p (ili prirast rialto Ap) kako idemo od povrifine u dubinu fluida h, tj. Ph = Pgh
r Pe
4
2+dz
2
(8-10)
gdje je pn tlak na dubini h. Dakle, dobili smo izraz za hidrostatski flak homogenog fluida gustoee p na dubini h, koji dolazi od teiine teku6ine, tj. (8-11) pg P(h) = Ppov h predstavlja visinu stupca fluida iznad toeke u kojoj rnjerimo tlak p(h) i odgovara telini stupca tog fluida volumena AV = Sit; tj. AC = Arng = pAVg = pShg. Ako se, nadalje, na povrgini razmatranog fluida nalazi jot ,jedan fluid gustoee p' i visine stupca h', (a fluidi se ne mijetaju) onda fie na granici dva fluida vladati tlak p' jednak p' = p'gh' (vidi sliku 8.2b). Tu 6e, svakako, valjati uzeti u obzir i atomsferski tlak (vidi kasniji odjeljak)!
Slika 8.31 - Prikaz tiakova - uz sliku 8.3a
koje okomito djeluju na stranice u odgovarajueim srnjerovima. Za y smjer je, prema dijagramu djelovanja sila (slilta 8.3b) py • dz • dx = dxV(dy)2 + (dz) 2 sin B po i zato jer je sin 0 = dz/V(dy)2 + (dz)2 , dobije se da je py =
p, • dx • dy = dx (dy)2 + (dz)2 cos B )99 h'
(8-13a)
Slitno se dobije i za z—smjer (8-13b)
i uz cost) = dy/ V(dy) 2 + (dz) 2, dobije se da je p, = pt), pa je Py = Pt = Pe,
(8-14)
tj. svi tlakovi koji u "razlieitim smjeroviina djeluju" u jednoj totki su jednaki. Pod navodnicima stoji tvrdnja koja sada postaje besmislena, jer tlakovi su skalarne velitine. Taj rezultat ne vrijedi samo kada fluid rniruje vee vrijedi i kada imarno gibanje idealnog fluida (vidi kasniji odjeljak). Slika 8.26 - Tlakovi u fiuidima koji se ne niijegaju
Tlak u jednoj toad fluida 'Flak je skalarna velieina koja, dakle, nema smjer (Ica° sila npr ). Da to i neposredno pokaZerno. razmotrirno "klin" tekueine, prema slici 8.3a. Klin je u ravnoteli kao posljeclica ravnoteZe sila = p, • (dx • dy). (dz • dx) i F9 = p9d2 \NW (dz)2 (8-12) =
Pascalov principt Pascalov princip (ponekad nazvan i Pascalov zakon) kale da ako se u nekoj totki nestlativog, mirnog fluida tlak prornijeni za neki iznos, onda se tlak promijeni svuda u fluidu za taj isti iznos. Prema Pascalovom principu sada molemo napisati da je zbog dodatnog sloja fluida (vidi sliku 8.2b), tlak na dubini h jednak p(h) = pgh + (8-15) t Rlaisc Pascal (1623-1662) francuski prirodoznalistvcnik i filozof.
8. Ilikhanika fluida
Str. 8 -
Sri.. 8-
D. Norval: Fizika I za FER - Mehaniku i toplina
Slika 8.4 - Hidruulieku ;mega
je dalje s jednako p(h) = pgit + p'gh'. Slika 8.5 - Obierta pampa u fazi istiskivanja vode/fluida
HidrauliCka prega (tijesak)
definicije tlaka, a na osnovu Pascalovog principa i zakona.oeuvanja energije moaenio razumijeti kako radi tzv. hidraulieka preaa, odnosno uredaji koji rude na njenom principu.
Credaj prema slici 8.4 prikazuje posudu s fluidom (tekueinoin) s dva dijela raalititih presjeka u kojima se nalaze klipovi - pornieni eepovi povrMria presjeka S1 ,2. Kada na desni klip djeluje sila Ft onda se u fluidu javi tlak p, jednak p, = FI /Si . Po Pascalovoin principu taj se tlak prenosi u svaku toeku fluida, pa tako tlak djeluje i na stjenke posude ali i na povr§inu S2 drugog klipa. Tamo se javlja sila P2 eiji je ianos jednak F2 = p2 S2 i jer je pr = p2, dobije se S2 F2 = (8-16) SI
Objanjenje rezultata Torricellievog pokusa nalazi se u istorn principu primijenjenom na U cijev (vidi kasnije razmatranje): tlak je (vidi sliku 8.6) u toekarna B i C jednak. No dok na totki C "sjedi" cijela atmosfera, tj. pc = p.rm = iznad totke B je "samo" stupac live. Kako su tlakovi u toekama B i C jecinaki, tj. pe = pc i kako je pB = pa ggh = pligg • 760 mm dobijemo vrijednost atmosferskog tlaka (kada je stupac visok 760mm), tj.
pa je otito F2 > Ft jer je S2/S, > 1! Sila F2 je statieka sila, no ako se klip St pomakne za Ax1 , onda sila iavr§i rad jednak 1Vt = F, Ax, , a taj rad, po zakonu oeuvanja energije, flora biti jednak radu W2 koji ee iavrMti sila F2 na putu dz2 , tj. WI
= F,dx, = 1V2 = F2Ax2,
(8-17)
jer je fluid nestlaeiv, pa se cijeli rad W, pretvori u 1V2. Uredaji su tako napravljeni da je itpr. kod kotnica reda velitine centimetra, a (rnala) sila F, odgovara sili vozateve noge. Pornak Axe je reda velitine inilimetra, a velika sila F2 djeluje na koeione plote i lako zaustavl,ja automobil.
Pa = Pli ggh
= 13.5955 x 103 kg/m3 -
(8-18)
9.80636 m/s' - 0.76 in ObiCna purnpa Prema slici 8.5 na osnovu Pascalovog principa radi i obiena purnpa koja izinjenienim zatvaranjem tepova prenosi tlak pornicanjem klipa gore dolje u manji odnosno veei spremnik i tako "podiae" vodu (fluid).
9to izvrijednjeno za to "standardnu visinu" five daje vrijednost atornsferskog tlaka p, = 101 325 Pa.
8.5 Torricellievt pokus. Atrnosferski tlak Pokusi s vaganjem zrakoprazne posude i iste posude sa zrakom pokazuju da, naravno, zrak inia teainu, Ito, preko do sada kazanog navodi da se u "posudi" koju zovemo Zernlja, odnosno njena atinos(era, takoder javlja hidrostatski tlak i da se on "pona..a" po istim zakonitostima ko,je smo prona§li as tekueine/plinove u posudi. E. Torricelli je prvi dc&i,o na ideju da iamjeri taj, nazovinio ga sada attnosferski tluk. On uzeo (neobieno dugu) epruvetu od 1 in, napunio je aivoni, zatvorio, uronio u posudu sa živom s otvorom piers t Evangelista Torricelli (1608-1647) talijanski fizitar i prirodoznanstvenik.
(8-19)
Sliku 8.6 - Torricelliev pokus su iiV0711.
dolje i odeepio. Ziva se spustila za dvadesetak centimetara, toenije; zaustavila se na visini od (oko) 760 ruin! Na osnovu tog podatka Torricelli ,je izraeunao atmosferski tla.k (vidi sliku 8.6). Primjer 8.1
Nu koju maksititulnu visinu male crpka crpiti vodu iz bunara?
il.JE4:NJE Ako crpka uspije napraviti vakuurn u visokoj cijevi, onda ee taj vakuurn ispuniti voda iz bunara, sve dok se no izjedna?i tOina stupca vode i atmosferski tlak. S obziroma da je ps = 101 325 Pa,
Mr. 8- 9
8. Mehanika fluida
pu = lt m p,.g
P'.9
•
D. I orvat: Pr ika / an PEP
10
Mrhunikn i toplina
Pokusi s "U"-cijevima Svojevrsno poopeenje Pascalovog principa daje oars zakonitost pc kojoj je tlak u istom fluidu na istoj razini svuda jednak. Na OSIIOVII jednakosti (8-8a) inoeitio razinotriti pololaj fluida u tzv. "U"-cijevi (vidi npr. sliku 8.8), all kad .je u njoj samo jedan fluid. Jasno je, na OSIIOVII gornjeg, da su tlakovi u totlikaina AiBi tlakovi u toekaina C i D jednaki: pA = psi i pc = pn. .Ako, meautim, imamo ra.zlitite fluide gusto& pi i p2 koji se ne mijeL-tju (ulje i voda npr.) (vidi sliku 8.8), orida je
to znaEi da je maksimalna visina h n.r dana u jednakosti
h e, =
Si,.
tj
= 10.131n.
PA = Pn
(8-21a)
Pc=Pn
(8-21b)
Pt;#
(8-21c)
Pp
Zadatak 8.2 Koliku bi du/firm morala irnati epreveta kada bi se umjesto sa zivorn Torricelliev pokus napravio s vodom? RJEENJE: h > 10.13 m. P.
Kao rezultat Torricellievog pokusa napravljen je i mjerni instrument - barometar koji mjeri tlak. Tako je i dugo vremena bila u uporabi .jedinica "milimetri live", koja je danas zarnijeniena paslcalinia. Nadalje, test° se rabi i jedinica 1 bar=105 Pa, a i u uporabi je ostala i jedinica atmosfera, tj. 1 atm=101 325Pa. yc
Jednostavni manometar Prema gornjem razmatranju mo2emo opisati jednostavan uredaj za mjerenja tlaka - tlakomjer ill manometar, prema slid 8.7. "U"-cijev je ovdje otvorena na jednom kraju i u toeki A vlada atmosferski tlak pa , tj. pA = p„, a u toeki B tlak je jednak pp = (h, — It2)pg + p, gdje je p tlak koji belimo izmjeriti, a koji vlada u posudi, lijevo. p je gustoea fluida u "U" cijevi! Kako su toeke A i B totke u istom fluidu, onda su tlakovi, prema ranijem razmatranju, medusobno jednaki p„ = p+ (hi — h2)pg = p+ pg4h
ill
p = p„ — pg4h,
(8-20)
pa oeitavanjem 4h molemo odmah otitati tlak u posudi, poznavajuei gustDeu tekueine p i atmosferski tlak
Slika 8.8 - Tlakovi u "U" cijevi u tekuoinama koje se ne mijeaaju Za tlakove na mjestu C odnosno D vrijedi PC = (1/1
1/C)Pi 9 Pi
i
PD = (:,12
D)P2g
P2,
(8-22)
gdje su pi i p2 tlakovi na povrSinama lijevog odnosno desnog kraka "U" cijevi i oni su jednaki. Onda iz druge jednadthe (8-21b) molerno napisati da je (yi — Yz)P1 = — YD)p2. Poznavajuei gustoeu P, lako neposrednim mjerenjem visina i razlika razing odredirno gustoeu p2, tj. P2 = Pr
Y1
— Y2
(8-23)
y2 YD
ill ako svedemo sve na istu nultu razinu na mjestu D (yD = 0, yr .jednostavan izraz A/t i P2 PI Ahi
Ahl, y2 —■ 4h2 = A/t i + 4h, dobijemo
(8-24)
gdje je ,A/t, visina stupca poznate tekueine pr iznad granite (toeke D), a Ah. je visina stupca tekueine 2 iznad razine tekueine 1.
h,
Slika 8.7 - Prikaz jedrzostawmg barornetra
Za toCku D molemo kazati da je istovremeno u obje teku6ine - fluids, pa na nju djcluic jcdna sila odozgo zbog fluida 2, odnosno druga sits odozdo zbog fluida 1. Kako jc to6ca D na miru, znarn da su sile jednake, pa su i tlakovi jednaki!
Hidrostatski paradoks Pokus s posudarna raznill oblika (slika 8.9) pokazao bi da flak na dubini h ne ovisi o obliku posude, tj. ne ovisi o obliku stupca tekueine koji tlati totku na dubini h. Takav je pokus izveo
8. Alehorliko
Sty. 8- 11
D. Horvatt Ftztko 1 ZO PEP-
Mehunika i toplats
Mectutim, pliuovi su, za ra.zliku od tekueina kompresibilni (vidi tablicu 8.1 i jednadflm (8-2)) i zato rnorarno naei ovisnost gustoee o tlaku. Ako pretpostavimo izoterninu atrnosferu (ko je toeno za dio atrnosfere iznad 11ktti, as taw. sbutosferu - vidi sliku 8.11), onda iz jedriadfbe idealnog plina
(
---
Sty. 8. 12
1,1' = 'BHT
(8-26)
dobi,jemo da je po oht =
p
p = po p
P
Po
Slika 8.9 - Hidrostatski paradoks.• tlak je u svim posudarna nu iStOi (bez obzira no oblik tekuoine) jednak
(8-27)
PO
sto vodi na diferencijalnu jednadthu dp = - 9P° d(r, uz pocetni uvjet P Po
(8-28)
P(ho) = Ps. Stevinusl s razlieirim oblicima posuda, a rezultat se test° zove hidrostatski paradoks jer, povrAno gledano, na odreden je naein iznenadujuei. Objakijenje tog paradoksa inoferno dati tako da razinotrimo tlakove u botici neobieriog oblika, u rokailla .4. 13, C i D, na slici 8.10. U toeki A tlak je .jednak PA = pgitA i on je inanji od tlaka u totki 13 za iznos Afrpp, tj• PA = Pu p1.1=111. U svini totkania koje su za udaljene od dna tlak je ,jednak tlaku u prelim relaciji (8-9) pi + P1.1111 = Vs + PPY2 uz yi = 1/2 , U totki C tlak je jednak u sviin sinjerovinia, toeki
Integracijoin dobijemo In p = -
it + C,
(8-29)
Po
a potetni uvjet dale C = InPo + (llPoiPo)ho, pa je konatno rjeAenje P(h) = Poe-*(h-ho) •
(8-30)
kako prema dolje tako i na srranu, a i prelim gore. Prenia gore, dakle, djeluje sila jednaka tlaku u toeki C poninofenom s povr'Sinoni posude na iijestu C. Po 3. Newtonovom aksioinu stjenka djeluje na fluid prema dolje istom silom (na jedinicu povrgine). Ta se sila na jedinienu povrSinu, dakle Oak, prenosi kroz fluid po Pascalovom principu i u tocki D iniamo tlak zbog stupca [11/ plus tlak koji vla.da na rnjestu .4 odnosno C,
tj. PD =
pgAIL + PC
= pgAh + PA = PgAil
+ Pf/h.4 = Pu •
8(m)
(8-25) IS
21000 hA
SS
A.
C
11000
TS
B,
D. -56.5
Slika 8.10 - Uz objaanjenje hidrostatskog paradoksa
Time sin° pokazali da je za tlak vafira dubina ispod (tiajvi§e) razine, a ne oblik stupca. Da se uvjerimo da doista tekueina djeluje prema gore u totki C rtrofemo na tom mjestu probukti posudu: fluid ee u "vodoskoku" izlaziti vertikalno gore! Barometarska formula Visina stupca five bitno ovisi o rneteoroloktim uvjetima podrueja gdje se izvodi Torricelliev pokus, a posebno ovisi o nadmorskoj visini 11, prema diferencijalnoj jednadfbi (8-8a) dp -pg
-
t Simon Sievinus (1548 1620) Ilamanski prirodoznanstvenik.
0 +15
°c
Slika 8.11 - Ovisnost temperature o visini: TS = troposfera, SS = stratosfera, IS = ionosfera.
Medutim, prema slici 8.11 koja prikazuje ovisnost temperaturi o visini, do visine od oko 11km, u troposferi, ternperatura pada lineartio s visinom, a tek onda je izoternma! Standardne vrijednosti su uzete za temperaturu na rnorskoj razini da je to = 15°C, a na visini od 11 kin je -56.5°C. Na taj natin moferno izraeunati koeficijent pravca = to - k • k=
- 56.5°C - 15.0°C1/11 kin
= 0.006.5 °C/In.
(8-31)
8. Mehanika fluids
St,. 8- 13
Ako se vratimo na izvornu jednadibu (8-8a) i ako u .jednadlibi idealnog plina zadOirno temperaturu, tj. TTE
pV = TIRT = — RT
iii
(8-32)
p= Alp
i p uvrsthno u (8-8a) dobijemo
–
dh dh gM R .1 t o – R J T Poeetni uvjet je p(h = 0) = go , pa integracija gornje jednadthe vodi na dp p
gM
kh p(h) = po (1 – — to
D. Throat: Piziku I za PER. • Aleltartzka i toplitut
Str. 8- 14
Prema slid 8.13 volume!' tijela je jednak V, = S(h, — h 2 ) = SAlt, a njegova je gust otla p, = To,/1 o u fluid gustoee pl. Na dubini h, djeluje tlak pi =,h,p fg, pa prema gore djelu Tijelo ,ie u p f gSL Na dubini imamo silu F2 (prelim dolje) F2 = jp2 S = ift2PigS. Te dvije site, = — ipi S = zajedno s t&.inorn tijela C uravnoteli.uju silu opruge F', tj. + P2 +
+
(8-33)
(8-36)
= 0,
zliku izniedu teine G i prividne teiine C', tj.
i oeito site (P, + P2 ) tine
g M/Hk
=
(8-34)
+
+ P2 .
(8-37)
To ,je formula za ovisnost tlaka p o visini h za troposferu, tj. za 0 < h < 111.m. Eksponent mozemo izvrijedniti uz M = 28.96 g/mol i k izratunat u (8-31), tj. gM/Rk = 5.257. Na tu ,jednadnu vaija "za:§iti" jednadnu (8-30) koja vrijedi sa 11 < h <20.1 km, tj. u stratosferi. U ionosferi temperatura ponovno la gano raste. Na visini od oko 30km tlak ,je skoro jednak nuli! h 21 ht
Ah
8.6 Arhimedov zakon
—S
l Ako napravimo pokus s tijelom koje je objet eno na opruzi - mjernom instrumentu zvanom dinamometar, vidimo da se, nakon §to tijelo uronimo u fluid (tekuelinu) gusto& pi (vidi sliku 8.12) promijeni vrijednost site koja rasteže rasteie oprugu, tj. teiina težinauronjenog tijela prividno se smanjila. Pojavila se, otigledno, neka sila koja "po "pomaie" maže" sili opruge op ,jer je (a) prije uranjanja
– Pop = o –
=o
iii
– Ax' = 0 i kako je Ax' < Ax, °tit° je
< 101.
I
a
Slika 8.13 - Uz izvod Arhimedovog zakona
iii
jG – jkAx = 0 (b) poslije uranjanja
Pt
(8-35)
Za sile
+ F2 uvodinio oznaku U i tu silu nazovemo uzgon U = P, + F2 = –jhi pigS + jh2 pigS = –i(hi – h2)Spig = –jVi pig
(8-38')
= eiji ,je iznos ,jednak težini volurnenom tijela istisnute tekuCline U=Vt pi g.
(8-38)
Prema tome, moiemo možemo formulirati Arhimedov zakon koji kale da je dodatna sila - uzgon, (koja je pomogla opruzi) iednaka tthrii (volurnenom tijela) istisnute tekueine, odnosno da tijelo prividno izgubi na teiini onoliko koliko teii volumenorn tijela istisnuta tekne.ina:
= — O.
Slika 8.12 - Prividan gubitak teiine pri uranjanju u teku6nv
(8-39)
uzgon djeluje, dakle, suprotno od te'Zine, a njegovu velieinu eksperimentalno moemo odrediti tako da staviino posudu s uronjenim tijelorn na vagu. Ako je va ga prije uranjanja bila u ravnot0,i, onda se ravnote2a nakon uranjanja poremetila: posuda je postala teza , prema 3. Newtonovom zakonu, jer onoliko jako koliko tekueina istiskuje tijelo prema gore (uzgon), toliko face posuda prititte podlogu. Dodavanjeni rnase utega na vagu da bi se povratila ravnotelia, odredujerno i velieinu uzgona.
8. MelLanika fluids
Sty. 8- 15
.5t,.
- 16
D. Honest: Ftztka I za FER - Mehantka i toplitta
liazmatranjem odnosa teline tijela i uzgona dodemo do rezultata da (a) I lick) pliva ako je
>
ijpll iy > ne,y = p,V rg
iii (8-40a)
>
(nije uu uo da je za gornji slireaj cijelo tijelo uronjeno u fluid pa je, opi.enito, Vt'(uroujeni V); V,(ukuinii 11, (b) tijelo lebdi (V/ =
ako ,je U =
tj. P v;'9
=1,1111 = 10411
iii (8-40b)
PI = Pr, Slika 8.15 - Uz primjer 8.2 (c) tijelo tone (V7 = V,) ako ,je 0 < G , tj. < mr0 = Pri zr0
iii (8-40c)
PI < Pr •
Kartezijanski ronilac Arilitnedov zakon, povezan sa stla e . ivosti plinova i uvjetom lebdenja testo se pokazuje pornolm (igraiike) tzv. kurtezijanskoy ronioca. 0(1110S kulii.inn vode i zraka u roniocu - tikvici (prima slid 8.14) namjeAten je tako da ronilac upravo lebdi u vodi. Posuda ,je napunjena vodoin do vrila i zatvorena elastiCrtoin [OVA!' (gumom um.), tutu starinska staklenka s pekniezcan. Kada se folija pritisne, tlak u vodi poraste, a time se zrak u roniocu malo komprirnira, pa inanji uzgon djeluje na ronioca i Oil potinje tonuti. Kada se popusti pritisak, zrak ekspandira, uzgon naraste i ronilac nastavi lebdjeti!
Pri tome je G = pa gV = pa g(SL) i U = p, g(Sx). Uz gornji uvjet ravnoteie sila valja uvesti i uvjet ravnoteie momenata, pa, npr. oko take 0 (u kojoj djeluje sila 15 ) imamo = 0 = A;fe + •f G • Moment /Cif, jednak je vektorskom umno8ku kraka Z/2 i site U. JednadZba kraka i je — = i(r/2) cos 9 + )(x/2) sin 0, 2 pa je Mu -=
cos() + :pine) x 2
(.9 kf p,.g(Sx)cos(1. 2
Moment /17/c, je /i7/6, = (icos 0 + jsin 0) x (—)G) = pa uvjet ravnoteie daje
2
G cos° = —k
2
pag(S L) cos 0,
x2 L2 — f4Sg cos° — — paSy cos° = 0 2
ili
x 2 p, = L 2 pa a x = Lir = 8 m. Poinoeu clulsjine x odmali odredimo i kut B, tj. sin 0 = d/x, pa je S = 48.6°.
a a
Slika 8.14 - Kartezijanski 7217lible
Primjer 8.2 Tanks hornoyerea (hyena gredu duljine L = 10 rre yusto6e 640 ky/cre 3 jednini je krujern porniareo (zylobno) povezuna s (Inoue bazena (pruner, slier 8.15) u kojern se nalazi soda do Twine d = 6 in. Pod kojirre kutorn 0 6e se postaviti !recite u rattoteii? RJESENJE Greda je hornogena pa telina ima hvatiSte :la L/2, a uzgon na 42. To su dvije vertikathe site u ravnoteii sa silorn P nastale zbog (zglobnog) povezivanja grede s doom bazena, tj.
0+0+15 —o.
Primjer 8.3
U otvorerioj valjkastoj posudi poturnjera Gaze 15 cm nalazi se teku6na gusto& 1 200 kg/cre 3 do
visine 20 On. U tekuciinu se stavi ieljezna kocka crease 20 kg i gusto& 7 800 ky/rre 3 koja "sjedne" tako na dno da izireedu kocke i dna nema teku6ine! Kolikorre Alone valja djelovati pieties gore da se kocka pokrene? Koliki je °neje,. to site i site Lojorri treks pokrenuti kocku ako izneedu dna i kocke ima nal() leku6ine? RJESENJE Kocka ima brid a cija je duljina a = NYV i kako je p = tnIV dobijerno a = 13.7cm. U posudi se nalazi tekue'ina do visine 20 cm, a kada se u posudu stavi kocka, razina tekueine se podigne na = 26.6 cm. Kada Jo kocka sasvim na dnu, na nju djeluje teiina visinu h', tj. Vr + Vt, = r 2 irh' pa je
8. Mehanika fluids
17
Itorsa1 Plzarl I zet 1,Elt •
8 - 18
A I 1.1117111..IL
tol,lo,
C = mtg = 196.2 N, i djeluju dvije silt F0 = p,S = ph a2 = 1 898.2 N i Fp = p,ghtS = poltka 2 = 21.9 N. Silo Fo djeluje zbog atmosferskog tlaka, a sila Fp djcluje zbog hidrostatskog tia.ka. Svc tc site djeluju
8.7 PovrAinska napetost
istorn smjeru kao tains, tj.
U unutrahnjosti fluids na jednu molekulu djeluje niz drugih, susjednih molekula, prerna slid 8.17, a ako je molekula dublje u tekueini od dosega meelionolekularnih sila (ro c 10-9 m), rezultantna sila jednaka je nuli. No na molekulu blue povr§ini djeluju site njenilt susjeda s donje strane. Ako bismo Zeljeli izvaditi to molekuM, morali bismo upotrijebiti situ nasuprot site kojom je vezana ta molekula. sto znati da povrAinska molekula ima vedu potencijalnu energiju od molekule u unutraAnjosti fluida. Za pove6onje povr§ine fluida potreban ,je prema tome rad jer to znati dovoditi molekule iz unutraAnjosti na povrAinu, a za to poveeanje potreban je rad OW. Za opts povr§inske napetosti, tj. site koja nate2e povr6inu fluida i stvara pojavu slitnu opni, uvodimo koeficijent povrairtske napetosti a, koji je jednak (slobodnoj) energiji potrebnoj za poveeanje povrhine, tj. A1V (8-41) OS —
F. -= + Fo + Fp = 2 116.3N. Tolikom silom valja djclovati ua kocku da bi ju pokrcnuli. Ta sila odgovara "efektivnoj" masi (iia suborn) od oko 216 kg! Ako, medutim, uspijcmo "ugura.ti" tckuCinu izmedu kocke i dna, sila F0 onda djeluje i no promo gore gornju i no donju plohu kocke, pa so njcno djelovanje ponfttava. Urnjesto silo Fr, djelovat uzgon U = pr Vtg = 30.2 N, pa je ukupna sila jednaka
FO = - U = 166.0 N, i omjer je Fh /F:, = 12.75.
Primjer 8.4 Kocka stranice a = 10 cm i mase 8 kg nafazi se na dun posude s tekue'inout gustode 1 200 kg/m3 i razine 25 cm. Kooks je sasvim priljubljerta uz ravnu stjenku posude (sasvim bez tekueine) pri (:C7 fat se javlja trenje izmedu stjenke i kocke uz koeficijent trenja a = 0.3. Ispod dna kocke nalazi se sloj tekudine koji uzrokuje uzgon (prema gore). Koliku vertikalnu situ valja upotrijebiti za vertikalno podizanje kocke?
O
R.JEENJE
Na vertikalnu stranicu kocke djcluje atmosferski tlak ph i hidrostatski tlak ph koji ovisi dubini. Zbog to dva tlaka, kocka pritike stranicu posude i javlja se trenje. Situ na dubini x (prema slici 8.16 ishodidte je na povr.84ni) ozna.eimo s dF(x) i ta sila raste s dubinom, tj.
dF(x) = [po + p(x)]dS = (ph + pegx)a dx = pe a dx + poax dx, gdje je ph atmosferski tlak, a p(x) = pox je hidrostatski tlak na dubini x. Ncka je xi = d - a i x2 = d, onda je ukupna sila
f dF(x) = pe a f dx + pigs Ix dx x2 21
-2= ;20 az
22
= pu o.2 + m gad - i poa 2. 2 Na kocku djeluju taina, uzgon i sila tronja. Dakle, za podizanjo troba rezultantna sila FR
Slika 8.17 - Medumolckularne site za raznc poloiaje molekula
-I- ptgarx:
+
- U = 441.32 N.
To molemo prikazati tako da razrnotrirno, prema slid 8.18, pravokutnu povrginu S = C • x koju silo F (djelujuei na desno) nasuprot site povrSinske napetosti FP" poveea za AS. Medutim, valja odmah uoeiti da u stvari postoje dvije povr h ine koje omeduju (tanku) °prim pa sila poveeava ukupnu povrMnu jednaku AS = 22Ax i koeficijent povrMnske napetosti jednak je
4
X
►
Slika 8.18 - Uz definiciju povrSinske napetosti
Slika 8.16 - Slika uz prirnjer 8.4
a=
FA.x F 22Ax 2COx 2e.
(8-42)
Si,. 8 - 19
8. Mchuntka
Sir. 8 - 20
D. Hama: Fizika 1 za FER Mehanika i toplina
Koeficijimt pocrSinske napctosti mit& sc, u stvari, opisati i kao sila po jedinici duljine krivuljc koja Sc nalazi qua poyMini, Ta jc definicija u skladu s izrazom (8-42) jer jc d14'
Fd.c i ako je dS = e dx, onda omjcir rada i poyMine upravo daje F/r! ciji
Na toj se defiui-
i pokus za mjerenje a koji je she-
matski prikazan na slici
Prvo se izmjcri
telina prstena P u zraku oCitavanjexn polo2aja
Sliku 8.20 - U manjern (isle zakrivljettorn balonu) poveginsku napetost je vela.
kazaljke na skill, M. Zatim se zakretanjcm kotaea G podig-ne podloga D sve dok prsten nije "uhvaeen" od fluida. Zatim se postepeno
D ponovno spuka i pa2ljivo se mien sila pri kojoj se prsten otrgne od poerSine. Mjerenja
zbog unutarnjeg tlaka rezultantna sila zbog napetosti povrtine u smjeru sila \72 i rezultantna sila zbog napetosti povrtine u smjeru N i + (prema slici). Kako je povrtina orijentirana "prema van", tj. u smjeru jedinienog vektora n, onda prve dvije site mo'Zemo napisati ovako
duljinc (opsega) prstena i sill (oCitavanjem skale) daju koeficijent povMinske napctosti a.
Sliku 8.19 - Eksperitnetitalno odregivanje koefictijcitta pourginske napctosti. Tablica 8.4 - Koeficjenti povrSinske napetosti
Fluid Voda
Glicerin
Temp. r [° C]
a
0
0.0756
10
0.0749
20
Fluid
[N/m]
Temp. t
a
[° C[
[N
Ziva
18
0.471
20
0.465
0.0728
Benzol
18
0.0290
40
0.0696
Belize,'
20
0.0286
100
0.0589
Maslin. ulje
20
0.0320
20
0.063
Etilni alk.
20
0.0223
Zakrivljena povrtina tekueine ponata se uvijek kao da se s udubljene strane javija dodatni tlak. U mjehurieu od sapunice taj tlak uravnoteiuje uravnotežuje sile povrtinske napetosti koje pokutavaju stisnuti mjehurie "u (Lulu". Jednostavan pokus s mjehurcan od sapunice napuhanirn kroz cijev pokazuje da de se balon ubrzo ispuhati. Ako otvor cijeeice zatvorinlo, balon ostaje stabilau. Can je manji polumjer zakrivijenosti povrtine, site povrtinske napetosti su veee, pa je i tlak u mjehurieu veei. To ee potvrditi i pokus s dva balona (vidi sliku 8.20), jednim veeim i jednim manjim. Manji balon ispuhat ee se napuhavajuei istovremeno veei balon. Laplaceova formula Rannotrirno sada opeenitu zakrivljenu tanku povMinu dS po iznosu jednaku dx•dy di, • d12, (koja catteduje neki volumen). Zbog sila povrtinske napetosti to ee povrtina dobiti npr. ()bilk kao sila ira slici 8.21a. Ako je povrtina mirna onda se u ravnote2i nalaze eetiri sile: sila zbog vanjskog tlaka
Sliku 8.21u - Uz izvod Lapluceove formule
=
dS i
fr, = hp, dS.
(8-43)
Sile N1 dati ee calgovarajuee rezultantne sile koje ee "gledati" prema sredittima zakrivijenosti C1. Iz slike nayZemo konstruirati tako da clobijemo (jer su N, = /Cf:) 8.216 vidnno da npr. rezultantu fi2 = —higr2i(102 i analogno za drugu rezultantu.
(8-44)
R. Al cluoixA•a
JIntda
),
S • I?;),
Ira PHU • Al chilmAti i h ■ plIna
Ilror
(negativan predznak se javlja iz istili razloga kao i gore). Razlika i lakova je Ap = Ap, —
Kako je de; = ridd); (i = 1,2) i iz definicije koeficijenta povrsinske napetosti
djo
g
je p,
tlak a sarnoj saponici! o dS = ode, •de2 = dW =11C121de2 =
Pei,
(8-45)
rad site povnqinske napetosti na unutarrtjej opni
17 1 =
= —Ap' S eir
=
dobijemo izraz za rezultantnu silu R i
del
=
=
a
a del dC2 = —ft—dS
=
2o
Or
(8-46)
(8-48c)
= —8a Rtr Or.
r
(negativan predzna.k se javlja iz istih razloga kao i gore). Ra.zlika tlakova je Ap = Ap„ — p,. i analogno za drugu rezultantu. Sada sve izraeunate sile uvrstimo u jednadthu ravnot0,e sila
rod unutarnje site OW„ = 144.„. Of' =
P +
+ 171 + 172 = 0
tj.
dS + ftpu dS — ft-a—dS — ft-a—dS = 0 ri
T2 T
/1
= a (—
Pu
ri
S or
(8-48d)
= p.„ 4R27 Or. tto da,je
1
—) •
Za ravnotezu je zbroj svih virtualnih radova (8-48a-d) jednak null, tj. (8-47)
To je Laplaceova formula za razliku tlakova koja nastaje zbog zakrivljene povtine: unutarnji tlak pu zbog zakrivljenosti povrtine ved je za desnu stranu jednadne (8-47)! Ako je zakrivljena povrtina kuglasta, onda je 7-1 = r2 pa gornja formula daje 2a (8-47') Pu Pv = r
—p,AR2 7 Or — 16crRir
Or + p„4R21-Or = 0,
ili
(8-49)
p,, — p„, = Ti 4a
odnosno Ap =
4a
(8-50)
Ako imamo npr. mjehurie zraka u tekueini, onda nestaje faktor 2 u brojnikn, 2a
Pmj"
=
(8-51)
T?
,jer nemamo u torn slueaju vise dvije povrtine, kao kod sapunice. Gornja formula odmah objatnjava situaciju predstavljenu na slid 8.20!
Slika 8.21b - flezuttantna silo dviju napetosti
Tlak u mjehuriCu od sapunice Da bismo kvantitativno opisali tlak u mjehurieu od sapunice, razmotrimo sliku 8.21c. Stabilnost mjehuriea od sapunice mo2emo opisati kao ravnotO,u sila koje djeluju izvana zbog vanjskog tlaka p„, sila napetosti (dvije!) povrtine i unutrajtnje site zbog unutrakijeg tlaka. Najjednostavnije je razmotriti virtualne radove koje hi izvrtile site u ravnoteiji, tj.
Slika 8.21c - Stabilnost mjehuriea od sapunice zbog tri tlaka: vanjskog, u sapunici i unutarnjeg.
- rad vanjske sue
DWv = F. Dr -=
Dr =
—N4R27rOr;
(8-48a)
Zadatak 8.3
lzra6unayte nadtlak
unutar
kapljice five promyera 4mm (pri temperaturi od 20° C). RJES ENJE:
(negativan predznak dolazi zbog orijentacije vanjske povrtine prema slid i smjera vanjske site prema sredijttu mjehuriea)
= 465 Ps.
- rad sile pevrginske napetosti rta vanjskoj opni (prema Laplaceovoj formuli (8-47)) =
Uredaj za stvaranje umjetnog dinta-magle pretvara fluid povr.§inske napetosti a = 0.0365 N/m u kapljice promjera /pm. Koliki je tlak u svakoj kapljici? Kolika je snaga uredaja (bez gubitaka) ako on
Primjer 8.5
= Ap S Or
2o = — — 4R27 Or = —8a R7r Or.
(8-4814
pretvara 5001 tekue'ine za jedan sat u kapljice?
8. Mehanika fiuida
Stn. 8- 23
Sir. 8 - 24
D. Hanuat: Pizika 1 za PER - Mehanika i typhus
"Flak avatar kapljice je 2a
2 • 0.0365 N/in _
R
10-"
73 kPa.
Svake sekunde uredaj preradi volurnen jednak 17, = 300/3600 = 1.380 x 10 -4 ins , a ukupna broj kapljica je
=
=
.
4/23 zr
/3 — 3.316
x 10' 3 kapljica.
Toni broj kapljica odgovara ukupna povr8ina jednaka
S„
N • Sk = N • 4R2 Ir = 416.67 m2 .
Slika 8.23 - Sile kohezije PK i adhezije Fq na granici fluid - stjenka.
Ukupni rad izvr8en pri tome je
IV= a • S„ = 15.218 J, a kako je sve to izraunato za razdoblje od jedne sekunde, onda je i snaga jednaka
P = Wit = 15.218 W.
4 4
stjenki da private fluid. Rezultantna sila okomita je na zakrivljenu povrSinu, odnosno s vertikalnom stjenkom zatvara kut jednak B + 7r/2. Za kapilarnu elevaciju, slika (8.24), modemo napisati da je tlak nastao podizanjern stupca tekutine jednak, prerna Laplaceovoj forrnuli (8-47)
Kapilarnost Kada a neku tekueinu koja se nalazi u posudi uronano tanku cijeveicu iii dvije ploeice vrlo malog razmaka, pokus ee pokazati da se kod uekih tekueina razina u cjeveici odnosno izniedu plotica podigne iznad razine tekueine u posudi, a kod nekill se razina smanji. Te pojave zoverno kapilarna elevacija - dizanje odnosno kapilarna depresija - spuatanje - slika 8.22. Pailjiva rnjerenja dodirnih povitina stjenke kapilare i
o (1 /7, + R2
gdje su R1,2 (opeenito razlititi) polumjeri zakrivljenosti povrSine. Ako se radi o okrugloj kapilari polumjera R,onda,jeR1 = R2= R
i
tekueine pokazuju da su za razlitite tekueine i za razlieite stjenke kutovi tekueine prema stjenki razlieiti. Po definiciji eemo uzeti da se kut izmettu povrtine fluida i stjenke odre8uje prerna vertikali, uz stjenku prema gore - vidi sliku 8.23. Kada je kut B jednak null onda kademo da tekueina potpuno moei stjenku, a to je situacija kada su u dodiru npr. voda i (eisto) staklo. Na isti natal kademo da tekueina potpuno ne !noel stjenku ako je kut B jednak 1800 (diva staklo npr.). Kut B zoverno okrajni kut.
(8-52)
Ap= a
Op =
T u
=
2;
i cos B =
pa ,je (8-53)
2a cos
a taj tlak uravnotekuje stupac tekueine u kapilari visine It, tj. Op = pgh, pa je
it kap —
2a cos
pgr
Slika 8.22 - Kapitarna depresija i elevacija. ObjaSnjenje to po,jave nalazirno ako uvedenio dvije site (jednu oil kojili smo vee uveli i ranije): to su
kohezija i adhezija. Kohezija
je sila koja se ,javlja izmedu istovrsnill inolekula i koja tekueinu onemogueava
da se slobodno proSiri po prostoru (kao plin). Adhezija PA je sila koja se .javlja izniedu molekula (staklo - voda. metal - diva, ltd.). Prema slikama 8.22 i 8.23, adliezija je dovoljno velika da djeloinieno podigne razinu fluida/tekueine uz rub. Adhezija iota horizontalan smjer, dok kohezija djeluje "prerna fluidu" i neda
Slika 8.24 - Kapilarria elevacija: 7' je polumjer kapilare dok je R polurnjer zakrivljenosti povraine.
(8-54a)
Sir
8. 1141. 11101
Ako se radi o bliskim ploeicarna razrnaknutima za d. onda je r —t d/2 i cos 8 = d/2R, a R2 = co, pa formula (8-24a) "gubi" faktor 2, tj. cos 8 (8-54b) i t = ()rid /2 . Na isti bismo naein opisali i kapilarnu depresiju, gdje je okrajni kut 6 yea od 7r/2, pa je i
< 0!
6
1 zti PPli • Al, hanzko i tophrm
I) /Ions(
volumena Vo jednaka rno. rno(to) = f p(f to) di'. vo
(8-55)
Fluid to medutirn teei kroz povrginu So koja omeduje volumen Vo, pa to se mijenjati masa s vremenoin. Nas to zanimati tok kroz povrginu So ill, toenije zanirna nas djelie mase fluida drn u djelieu volumena odredenom vektorom pours- ine dS (prelim slici 8.1) koji je paralelan s brzinom v (6,, 11 dS) i visinom valjka d( koja je odredena brzinom 6 i djelieem vremena dt, tj.
8.8 Dinamika fluida. Idealni fluid. di/ =- di. • d§ = (11 dt) • d§ Do sada smo razmatrali statieka svojstva fluida gdje smo rabili prije svega flak i gustoeu za opis statitkih situacija. Sada potinjemo razmatrati gibanje fluida, a ono je potpuno odredeno ako znamo brzinu svili djeliea fluida na svakom mjestu (podrueju) gdje fluid prolazi. Za potpuno rjegenje gornjeg problema za najopeenitije uvjete nužno je rijegiti izuzetno komplicirane jednadthe gibanja (tzv. Eulerove odnosno Navier-Stokesove jednadne) uz takoder komplicirane rubne i poeetne uvjete, a to danas znaei ukijutivanje superratunala uz golenro ratunarsko vrijeme. Medutim, pokazalo se da vrlo dobra aproksimativna rjetenja tn&.ento dobiti uz mall broj vrlo razumnih (flzikalnih) pretpostavki koje odjednom znatno pojednostavljuju opis i dobijemo jednostavnu opeu sliku gibanja fluida i svih popratnih efekata. Postepeno neke od pretpostavki elirniniramo i tako dolazimo do sve realistienijeg opisa fluida. Pretpostavke koje prvo napravimo o fluidima su: (1) fluid je nestlaeiv;
(8-56a)
tt torn se volumenu nalazi djelie mase drn dot = per, t)
=p(>', t)vdt dS
(8-56b)
p(1, t)v,, dt dS. Promjena djeliea mase u jedinici VI emelia jednaka je dm dt = p(1,t)v„ dS = p(F, 06 • dS,
(8-57)
a ukuptiu promjenu mase Arn u vremenu At (tj. ukupnu masu koja je npr. istekla) dobijerno "zbrajanjem" po svim dijelovima neke povrgine S koja omeduje neki volumen V, tj.
(2) temperatura je stalna; (3) tok fluida je jednolik, pa brzina i tlak ne ovise o vremenu;
(8-58)
(4) tok je laminaran - slojevit (tj. nije turbulentan - vidi niZe); (5) fluid nije viskozan, tj. nema trenja medu slojevima (laminama) fluida. Te pretpostavke definiraju idealni fluid! Neke od gornjih pretpostavki zahtijevaju objagnjenje. Tu prije svega mislimo na vrstu toka: naime, ako je brzina fluida kroz neki presjek cijevi (ili neki dio kanala i sl.) relativno mala, onda duZ gibanja fluida mo2emo pratiti niz zamigljenih paralelnih putanje po)edinih djeliea fluida. Te putanje zoverno strujnice (na odredeni natin one odgovaraju silnicama elektritnog polja npr.). Strujnice se ne krrZaju pri.jednolikorn toku, jer na tok fluida ne djeluje popretna sila. Za takvo gibanje kajZemo da je laminarno. Takeo je strujanje oko posebne prepreke prikazano na slici 8.25. Kada se, medutim brzina tok fluida poveea do jedne odredene brzine (karakteristiene za fluid), laminarno strujanje iznenada prelazi u turbulentno strujanje pri kojem dolazi do kovitlanja djeliea fluida, pa strujnice prestaju biti paralelne glatke krivulje vet se mijegaju, ispreplieu i vrtlo2e!
Slika 8.26 - Tok fluids kroz povriinu dS iz volumena Va.
Slika 8.25 - Laminarrto - slojevito strujanje fluida oko posebne prepreke. Jednadiba kontinuiteta Ako razmotritno fluid u kretanju eija je gustoea funkcija koordinate i vremena, tj. p = p(x, y, z, i eija je brzina 6 = 6(r, y, z, 0, onda je masa fluids u nekom trenutku to unutar nekog t Ovdje smo otito (privremeno samo) popustili prwu pretpostavku o idealoom fluidu!
Kako je u (nerelativisti(koj) mehanici masa satuvana, gornje razmatranje primijenimo na volumen 1/0 pa je onda promjena mase u nekom trenutku u volumenu Vo jednaka protnjeni mase koja prode kroz poyrginu So koja orneduje volumen Vo prerna slid 8.26, tj.
81
f
t) = f p(F, t)t7 • dS. so
(8-59)
8. Mcliartikti fiv. da
Sir. 8
-
27
Integralm teorent Poznan pod it lienom Gaussov teorent ili leorent o divergenciji vekturskog pat./a (vidi dodatak o vektorima)
f P • d§ = J(V7F)dV S
D.
He nut:
Fizika I za FER - Mehanika i toplina
(Integral po valjkastoj plobi koja omeduje povrginu igtezava,jer brzina tins santo komponentu dui osi " valjka", a jedini(ni vektor povrgine valjkaste plohe "gleda" prema van, tj. okomit je na brzinu.) Za idealni fluid je ilesna strana jedna.dZbe (8-60c) jednaka null (gustoea je neprornjenljiva u vremenu), pa je
V
gdje povrgina S omeduje. volujnen t a V je vektorski operator deriviranja koji smo ranije susreli kod s razmatr anja kon zervativmht4 tava (vidi takoder dodatak o vektorima), omogueuje nabda desnu stranu gornjeg izraza za Prorzvo lj.v°Iumen V odnosno povrginu S transformiranto ovako
f
Sty. 8 - 28
(pil)d§ =
Siva = S2172.
iii
Sv
= konst.
(8-60d)
To je jedriudiba kontinuiteta za idealni fluid! (Brzine v, izagle su ispred integrals ,jer su na svim mjestirna dui presjeka braise stalne, riaravno, samo za idealni fluid!) Ona kaze da ,je protok tj. prornjena volumena u jednici vremena q = dVidt = Sv kroz bilo koju povrginu presjeka toka fluids stalan!
(8-60a) V
S
pa sada zakon saeuvanja mase(8-59) izgleda ovako
8.9 Bernoullieva jednadžba
[ap — + V(pi.1) dV = 0. at
(8-Gob)
Gonda ,jednakost vrijedi, dakle, za proizvoljni volumen, a to znati da je uglata zagrada jednaka nuli tj •
°t
it +
( 07) = 0.
To je poznata .led7Ladiba km`tiT qiitetn. Cesto se uvodi i gusto6a struie fluids postaje
a —p at
Djelle fluids koji se kre(e kroz ci,jev mijenja svoju energiju u ovisriosti o silarna koje djeluju na njega. Ako se radio idealnom fluidu (pri,je svega nestlativom i bez unutranjeg trenja - viskoznosti), onda se promjene energije manifestiraju kao promjene kinetiake energije, tj. promjene braise "komadiea" fluida i promjene gravitacione potencijalne energije prornjenorn visine djeliea fluids.
(8-61)
t)
Q
= p(F,t)17, pa jednadna
= 0.
(8-61')
Jednadiba kontinuiteta susre(c se i u elektromagnetizmu npr. Tamo je p gustoela elektrienog nabojt‘ P = dC2 a d je gustoela elektriene struje, tj. to je kolicina elektrienog naboja koji prude kroz jedinienu ploh u (najtegee povrina popreenog presjeka vodiea) u jedinici vremena: j = (r1C2/dV )tl (dc s dode/de = dQ I S dt. Jednadiba kontinuiteta u elektromagnetizmu tako der tzra.zava zakort satuv anja - zakon saeuvanja elektrienog naboja! Ako sada opeenitu situackt opisanu gore specijaliziranto na gibanje nestlafivog fluida kroz cijev (" valjak" ) prema slici 8.27, onda Pre kna jednadni (8-60a) rno2emo napisati da ,je plogni integral jednak
f pt St
V
a dS — f p2 v2 dS = f — dv. at
(8-60c)
Slika 8.28 - Uz izvod Ber-noullieve jednadibe
Sz
Neka se u .jednorn trenutku djelie idealnog fluids nalazi u cijevi na visini y i (prema slici 8.28) na injestil I'. Onda se povrgina presjeka St tog dijela fluida, zbog djelovanja vanjske silt F, koja uzrokuje tlak p, =F}/S,, giba (stalitom) brzinom vi. Za vrijente At sila P, pomakne fluid za e, = v, At, pa sila izvrti rad W1 = P, • t; = Fie, = pt Si CI = pi Sivi At. Na mjestu Q (prelim slici 8.28) povrgina cijevi je S2, a fluid se giba brzinom v2. Na povrginu S2 djeluje sila F2 je smjer suprotan brzini 752, pa,je suprotan i pornaku 12 = 1-12 At. Rad Ito ga izvrli sila F2 jednak je W2 = F2 e 2 = —F2(2 = —p2s2e2 = — p2S2v2At, ukupni rad
AW .je
Silks 8.2.7 - Tok idealnog fluids kroz cijev - "valjkastu
AW = Wt + W2 = yiSivi At — p2 S2 v2 At.
(8-61)
S obzirom da je fluid nestlativ, moz'terno napisati da je Si fi = S2(2 = AV = isti volumen. Zato rray2emo napisati ukupni rad ovako
er ista masa Am zauzirna
AW = (Pt — P2)AVi
(8-62)
Sir. 8- 29
8. Mchanika fluida
Had izvrkn na fluidu rezultira u prornjeni kinetitke energije djeli/a fluida mase Am i promjeni potencijalne energije zbog podizanja (ill smAtartja) djeflea fluida, tj. (8-63a)
AW = AEk + AE,„,
Sir. 8- 30
IJ. Norval: Fisika I za FEY? Mchanika i toplina
Dakle,
2
2
+ /Yu = P2 + pui P 2
i) v = 82 = V2
(8-66)
daju, npr. brzinu protoka vi, uz izinjerene povrgine presjeka i razliku tlakov-a
a pri tome je 1 AEk = —Arrtv2 — —Arrtv? 2 2 AEp = Amgy2 — Arrigyi.
(8-63b)
Uvr?tavanjem gornjih izraza u (8-63a) dobijemo zakon o/uvanja energije za proces prernjeftailja fluida s položaja P na položaj Q, tj. 1 1 (PI — p2)Ap — Arnv3 — — Arnq + Arrtgyi — Amppi i kako .je 2 2 Am = pAV dobijemo, sredivanjem 1 2 1 2 pi + — pv j + pgyl = P2 + "PV2 + P992 2 2
(8-64)
V1 =
2(Pi — P2) PRS1 /82)2 — 11
(8-67)
Jednadiba (8-66) koja povezuje brzinu protjecanja i tlak izražava tzv. Bernoulliev princip: podrutje ve/e brzine odgovara manjem tlaku i obrnuto! Gustola strujnica je, prerna slici 8.29 povezana s brzinom fluida: tamo gdje su strujnice guke brzina fluida .je vela i obrnuto. Strujnice oko broda/tamca prikazane su na slici 8.30. Možerno kazati, iako to nije stvarno objakjenje, da strujnice bliie trupu broda moraju napraviti ve/i put od onih koje idu dalje (pa nisu "svinute") i zato se moraju djeliei fluida blizu broda gibati brže, a to je prikazano ve/om gustikorn strujnica.
dakle, dobili smo Bernoullievu jednadibu, "jednadibu gibanja" za idealni fluid gustoee p na koji djeluje tlak pi na mjestu i i koji se giba brzinom v. na mjestu i. Bernoullieva jednadžba je u stvari zakon auvanja rnehani/ke energije fluida! Gornju jednadibu možemo napisati takoder ovrko 2 p + — pv + pgy = konst. 2
(8-64')
i možemo kazati da je zbroj tri doprinosa tlaku za nestlativi i neviskozni fluid duž cijevi (kanala, prolaza) konstantan. (Ponekad se doprinos pv2 /2 zove dinamikki tlak.) Zadatak 8.4 Voda (idealni fluid) se giba brzinom od 4 m/s kroz cijev eija je povreina presjcka jednaka 4 cm'. Cijes se spulta za 8m i na kraju ima otvor povraine presjeka 10 cm'. Kolika je brzina vode na izlazu iz cijevi? Ako je tlak na gornjem dijelu cijevi 2x 10' Pa=2 atm, koliki je tlak na donjem kraju? RJEENJE: Vdonji = 2.0 m/s; p2 = 2.8 x 105 Pa=2.8 atm.
Slika 8.30 - flaspored i gustaa strujnica pri gibanju broda//amca kroz vodu Bernoulliev princip (vela-brzina-manji-tlak) poznat je brodarima koji izbjegavaju situaciju prema slid 8.31, u kojoj se zbog velike brzine fluida u malom razmaku brodova stvara manji tlak i brodovi su "usisani" jedan prema drugorn!
Primjene Bernoullieve jednadžbe Sada eemo razmotriti nekoliko tipicnih situacija u kojima nioieino primijeniti Bernoullievu jednadibu za rjeknje problema gibanja fluida. (1) Statika fluids Iz Bernoullieve jednadibe dobijemo neposredno jednadibu za statitki (Indrostatski) tlak, ako stavimo da je brzina fluids jednaka null
p + pgh = konst.
(8-65)
(2) Tok u horizontalnoj cijevi Neka su povrine presjeka cijevi na dva razlieita mjesta 1 i 2 .jednake S1 i 82 (vidi sliku 8.29). S obzirom da je cijev horizontalna onda je pi = 92 pa u Bernoullievoj jednaclžbi (8-64) ostaju po dva elana, koji su, nadalje povezani i jednadžbom kontinuiteta Si vi = 82v2.
sr S2 2 2
1 Slika 8.29 - Tok nestlaeivog i neviskoznog fluids kroz horizontalnu cijev.
Slika 8.31 - "Privlaeenja" brodova zbog Bernoullievog principa.
8. Alchattika fluida
Sir. 8- 31
Str. 8 - 32
(3) Venturijeva cijev Veturijeva cijev koja racli na gornjein prinicipu slu2i za mjerenje brzine (protjecanja) fluida. Pri tome se razlika tlakova injeri razlikom stupaca tekueine poznate gusto6e, prema slici 8.32.
2gAlipt
za
PER • Mehanika i toplina
Brzina vi odgovara brzini slobodne povr§ine, na visini yr . U trenutku kada je razina vode yi, brzina vi je skoro jednaka nub, pa gorilla jednadtha daje
v2 = V2g(y, —
Formula za brzinu (8-67) sada, uz izmjerenu rarliku stupaca tekueine 1h gustoee p r posta,je
PRSI /S2)2 — 1) .
Fizika
Silica 8.33 - Pitot-Prundtlova cijev
Slika 8.32 - Venturrjeva cijev za mjerenje brzine fluida.
=
D. Horuat:
(8-68)
02) = N5--/A/r.
(8-70)
To je Torricelliev zakon istjecanja. Vidirno da je brzina istjecanja tekueine jednaka brzini koju bi dobilo tijelo da slobodno padne s visine Oh, tj. s pove§ine tekueine do otvora. U primjerirna koji sir obradeni su slutajevi uz gornju aproksimaciju all i bez aproksimacije da je yr = 0, pa ill valja dobro proueiti!
Primjer 8.6 Venturijeva cijev napravijena je talco da je prom jer presjelca uieg dijela cijevi jednaka pcdovini promjera presjeka Ako Icroz cijev protjeee voda i ako se razlika raZi/l(l mjeri takoder vodorn te je ona jednaka Alt = 60 7/17/I, izraeuriajte brzinu strujanja fluida a ailt7/1 dijelu cijevi! RJEO ENJE
Iz Bernoullieve jednadibe za horizontalnu cijev dobijemo da je razlika tlakova pi —p2 =
p(1,3 —14)/2, a s druge strane to razlika tlakova drii stupor rode eije Jr razlika visina Ah, pa je pgAh = P(u3 — o))/2 i kako je 52 = Sr/2 iz jednadne kontinuiteta Slur = S2v2 dobijemo da je 02 = 4v,, pa je pAh = v)(16 — 1)/2 ili = 0.0785 ko daje 15 yr = 0.28 m/s.
tr =
Slika 8.34 - Uz Torricelliev 4 4 (4) Pitot-Prandtlova cijevi Pitot-Prandtlova cijev sluZi za mjerenje brzine u fluida. Cijev je konstruirana prema slici 8.33. U totki 1 vlada vanjski tlak fluida koji se u odnosu na Pitot-Prandtlovu cijev giba U podrueju 2, tj. sve od usta cijevi dolazi do zastoja fluida, pa ,je brzina u torn poclrutju brzinom jednaka nub, a tlak je zato u torn podrueju veei, te se stupac tekueine koja slu2i za mjerenje razlike tlakova (pi ) postavi prema slici. Bernoullieva ,jednadna postaje pr + pl y? = 12 , a razlika tlakova ,je Deltap = AIipr g Oeitavanjem razlike stupaca Alt i baalarenjeln, mole se direktno otitavati brzina v i = V2gAlipt /pi l U• (5) Tor-rice/lieu zakon istjecanja Bernoullievu ,jednadZbu ovdje primjenjujemo na testu situaci,ju istjecanja tekueine iz posude, prema slici 8.34. Neka na slobodnu (horizontalnu) povrginu eljeluje atmosferski tlak p“, a isti tlak djeluje i u totki 2, gelje tekueina istjeee. Bernoullieva jednakiZba (8-64) napisana za te dvije toeke je 1 2 1 2 (8-69) Pa + — pui + P9r/i = Pa + Pu2 + P3g2. 2
t Henri Pilot (1623-1662) francuski liziear i
2
zakon
istjecanja
Primjer 8.7 U vagonu masa 500 kg nalazi se sprernnik s vodorn eiji je otvor na okomitoj stjenki Sin ispod gorn je povrgine node. Promjer otvora je 20 cm, a masa spremnika s vodorn je 4 tone. Ako se u jednom trenutku sprertinik otvori i coda istjeee I s, kolikom le se brzinom pokrenuti vagon, ako se mole zarternariti
(statieko) trenje? Prerna Torricellievorn zakonu istjecanja (8-70) coda istjete brzinom u = iz spremnika. Za vrijerne ad At = is istete volumen vode jednak AV = SAE = rarcriAt, pa je masa vode jednaka Am = pAV = pr'nvAt. Pri tome voda ima koliCinu gibanja Ap,. = Amu = pr2ne2 At. Iz zakona saeuvanja kolitine gibanja, ukupna kolitina gibanja je satucana, tj. zbroj kolitine gibanja vagona i kolitine gibanja code jednak je null RJ F:ENJ E
AP + Apr
= o,
ti.
— Am)AV = pr 2 rtn 2 t1t, gdje je - Am ukupna masa vagona, spremnika i vode minus iscurila coda, a Al' je brzina vagona. Dakle, dobijemo prvo da je Am = 241.02 kg i u = 7.67 m/s, pa je AV — v
Am — 43.4 cm/s. M — Am
8. Mchaniku fiuida
Sir.
8 - 35
4 4
D. Ronal Pizika za PER • Wheorika i Oplina
St.r. 8 - .14
6,je .10 rjeknic za vrijeme prainjenja
Primjer 8.8 U spremniku valjkastog oblika promjera 80 cm nalazi se coda do visine h = 120 cm, PH 501110111 dnu napruv/jen je otvor promjera 2 cm. Ako je u jednom trenutku donji otvor otvoren, izraeunajte vrijeme pruinjenju spremnika. flazmotritc konaenu formulu s obziront na orrijer vetie-ine presjcka. RJEENJE Prema Bernoullievoj jednadibi (8-64) napisanoj, prema slici 8.34, za gornju situaciju, uz vertikalnu y–os s ishodigtem na dnu spremnika
\/
Izragunavanjern povrgina i uvrgtavan em razine dobijemo vrijel 10 prainjenja tp = 791.3908 s. Ako, mcdutim uzmemo a obzir da je Si /52 = 16 000 iii da je (51/S2)2 = 2 560000, onda je oelto da molcmo zanernariti 1 prema gorujiin brojevima, pa dobijemo aproksimativnu formulu za vrijeme istjecanja 2h t' = — (St/S2)
1 2
1 2
1,0 + – pv2 = p, + – Pt,' (y1) + Pgyi 2 2 dobijemo brzinu istjecanja 02(0 u nckom trenutku 1, kada je razina tekugine y (1)
(t) = 02 (y) + 2gy.
791.3910 s, dakle aproksimativna i to6na formula daju gotovo identiene rezultate! lzraz pod koja daje korijenom aproksimativne formule je u stvari vrijeme potrebno tijclu (materijalnoj togki) da (slobodno) padne s visine 0. Faktor uz korijen daje broj komada vode svaki od kojih ima povrginu presjeka Sr i visinu h da padne s visine 0!
4 4
Jednadiba kontinuitcta daje L'2 S2 = 0(5) Si, pa je v2 = (Si /52)v(g), a Si odnosno 52 izratunamo prema zadanim promjerima/polumjcrima. Brzina na visini y odgovara vremenskoj promjeni te visine, tj. dy
v(y) -=
a ncgativni predznak dolazi zbog smanjcnja brzine s promjcnom visine. Gornje izraze uvrstimo u Bernoullievu jednadibu (1), pa dobijemo v(y) –
2h [(Si /52)2 – 11.
1/2
dy
2gy
dt
(.5,/ S2)2 – 1
r
1/2
2g
dt,
rr
j 10 – [( 51/52)2 – 1
a clementarna integracija (vidi dodatak o difcrencijalnom i integralnom ratunn) daje 1/2
– [ 9) 51/.5 G 2.2 2 – 1
(8-71)
Q = (SV2gAir,
To je diferencijalna jednadtha prvog reds, a njcn ee rezultat biti rjelcnje s jednom nepoznatom (integracionom) konstantom, koju odredujemo iz potetnog uvjeta, koji ovdje opisuje razinu u po6ctuom trenutku t = 0, tj. y(0) = h. Dakle, dy
(6) Tierra contracta Pri istjecanju vode uvijek dolazi do suženja mlaza, tj. stvara se tzv. vertu contracta. To staenje posljedica je vrtIoZnog gibanja u blizini nagle promjene tlaka unutar tekueine i tlaka slobodnog prostora u koji istjeee fluid, te unutarnjeg trenja (viskoznosti) fluids. Mjerenja su pokazala da tekueina istjeee kao da je povi-Mna otvora manja od 60 do 62%, tj. ako definiramo normalni protok Q = S dakle, volumen vode (fluida) koja protege u sekundi kroz .jedinienu povrAinu, onda uvodimo koeficijent kontrokcije mlaza i gornja formula postaje
•t
gdje je
0.62.
(7) Mena sisaljka Pri pretakanju viva i sl. rabi se obikna sisaljka ("zaug"). Da bismo razumjeli kako ona radi valja razmotriti tlak u toeki B na slici 8.35, totnije, nab lijevo PLO odnosno 'nal° desno pon od toeke B. Cijev se prvo uroni u posudu (na lijevo na slici 8.35), a zatim se ustima kratko povuke (kratko, ako se radi o benzinu, a malo sporije ako se radi o vinu) zrak na drugom kraju i zatim ga se spusti na razinu take C ispod razine take A! Malo lijevo od toeke B vlada atmosferski tlak minus hidrostatski tlak pghl , tj. poll = pa – pgh i , a malo desno od toeke B vlada tlak ppn = pa – pgIt2. Razlika tlakova lijevo-desno je 4p = PLO – Pnti = pg(02 – Il l ) i upravo to razlika tlakova. prema Bernoullievoj .jednadZbi tjera tekueinu prema taki C!
Pogetni uvjet odreduje konstantu C, tj. –2 VI/ -=
–2 -s.3)
C = –2f,
y(t) –
2g (.51/.52)2 – 1
h1
1/2
- 0 + C,
pa
pa je
h2
/to, nakon kvadriranja vodi na
2gh 2((.51 / 52) 2 – lj t 2
\/(51 /52)2 –
t ± h.
Gornji izraz daje vremensku ovisnost razine tekugine u posudi povrline slobodne povrgine 51 i otvora povrgine 52 kroz koji curi tekugina. Fogetna razine tekugine je h. Nakon vremena prainjenja t„ razina tekueine je jednaka nuli, p(t„) = 0, pa iz gornje jednadibe dobijemo kvadratnu jednadibu za t,
9(tr) = 0
=
2)(SI /52)2 –
2gh
t ))
(S1 /52)2
tP +
C
p
Slika 8.35 -
Obierta sisaljka za
pretakanje fluida - "zaug"
8. Mchanika fluida
Sir. 8- 35
.Sir . 8 - 36
D. Horvat: Fizika 1 za FER
Mehanika i roy/ina
( 8 ) Situ no avionsko krito Prerna slim 8.36 (gdje je prikazan presjek sasvim jedriostavnog rnodela avionskog krila) strujnice su guke s gornje strane krila sbog ojegovog asimetrienog oblika, pa je to podrueje manjeg tlaka, a s donje strane vlada (skoro) atmosferski tlak. Zato se javl,ja vertikalna sila tsv. uerodinurnigki uzgon, koja djeluje promo gore! Iako gornja slika polo samo laminarno strujanje fluida oko krila, stvarno gibatije fluida je vrlo kornplicirano posebno zbog turbulencija koje se takoder javljaju! Rasliku tlakova izmedu donje i gornje povrgine krila koja, uz posnavanje povrgine krila daje vertikalnu situ koja ocirgaea avion (ill pticu npr.) u zraku, moSemo aproksimativno odrediti is Bernoullieve jednadthe ako znamo odrediti razliku brzina strujanja zraka na gornjoj odriosno donjoj povrgini. Dakle, is Bernoullieve jednadSbe (za yy c I'd us oznaku g =gore i d =dolje) 1
2
1
Pu + Pvu = PY
(8-72)
Pus,
dobijemo aerodinamieki uzgon
Rezultantna sila na avionsko krilo dobije se vektorskim zbrajanjem "aerodinamiekog uzgona" (okomito na krilo) i site otpora sredstva (vidi kasniji odjeljak) koja ima sillier suprotan (rclativnom) gibanju u fluidu. Na taj natin, rezultantna sila "gleda" koso prcma gore, a njena velieina moie se atijenjati nagibom krila u odnosu na (horizontalne) strujnice. Ovo razmatranje potpuno je primjenljivo i na npr. jedrenje na vjetru, "klizanjc" na zmaju itd. Vrlo dobri elanci koji no jezgrovit naein opisuju nix drugih zanimljivih podataka o aerodinamiekom uzgonu su: K. Weimer: A comparison of explanations of the aerodynamic lifting force, American Journal of Physics 55, 50 (1987) i Ch. Waltham: Flight without Bernoulli, Physics Teacher 36, 457 (1998), kao i (struenc) knjigc E.L. Houghton i P.W. Carpenter, Aerodynamics for Engineerging Students, Arnold Ltd, London, (1993) i M. Pefornik, Tehnidka mehanika ftuida , gkolska knjiga, Zagreb, (1985).
(8-73a)
Ovdje je zanimljivo razmotriti kako (apsolutna) velitina ulazi u razmatranje uvjeta letenja. Vee smo ranije naglasili da razmatranja o avionskim krilima moiemo primijeniti
I jedna i druga brzina proporcionalne su brzini zraka daleko od krila, pa zato razliku till brzina molerno
napisati ovako vg — va = Civ 2 , gdje je uvedena konstuntu uzgona C1, koja se uglavnom odreduje
na bilo koji "predmet" koji se giba u fluidu, pa tako i na ptice. Pri lebdenju na istoj visini (brzinom u) sila aerodinamitkog uzgona mora biti jednaka taini ptice eija je teiina proporcionalna njenom voluinenu, tj. G x V = lz omjera site i telinc tijela dobijemo
eksperimentalno, a ono ovisi o obliku-presjeku krila i o kutu krila prelim strujnicama. Prelim tome je
proporcionalnost
F„„ = SAp = S(pg — pd) =
— 41).
va el/2 F„,„, = CIS5e 2 .
(8-73b) Taj rezultat kazuje da velika ptica ima veeu minimalnu brzinu v od manje ptice, pa tako vidimo da npr. vrabac isti eas poleti, nakon par zamaha krilima, dok labud (roda, pelilcan)
Gore opisana silo djelujc i na trkaee automobile koji su konstruirani tako da bi se eim lak0e gibali kroz
treba dulje (dugo!) vrernena da poleti, pa Se ponekad i odgurava od povrtine zemlje Ili vode.
zrak. Medutim, sila
Npr. izmjerena minimalna brzina (dubrovatke) elope je oko 21 km/h, pa ako se usporedi velitina tiope i noja, onda je omjer ve /vno; 2 /e)12 , sto, iz omjera velitina ptica daje broj 1/5, pa je v„,,j = 105 km/h. lz toga je jasno je da noj sigurno uece nilcad poletjeti!
mote u jednom trcnutku izazvati premalo trenje o cestu, pa se zato stavljaju
"spojleri" (od engl. rijeei spoil - pokvariti) koji kvare laminarno strujanje, izazivaju turbulencije, i time srnanjuju uzgon, to poveeavaju " leianje" automobila na cesti!
Usporedbi vcliciva i hidrodinarniekog ponaganja vratit demo se u slijededem odjcljku (vidi opis dinarnieke slienosti). Nedavna istraiivanja su pokazala da se bitno mole reducirati otpor pri letenju ako se pomodu posebnih crpki usisava stacionarni sloj zraka koji se "slijepi" na krila pod djelovanjem adhezionili silo (vidi slijedeei odjeljak o viskoznosti), kroz velik broj sitnih rupica napravljenih Sliku 8.36 - Lantinarno strujunje zraka oko uvionskog krila
Zadatak 8.5 Brzina zraka ispod krila kod nekog aviona je /00 m/s. AerodinamiCki uzgon je jednak 1000 Pa. Ako je gustoea zraka 1.3 kg/m3 , kolika je brzina zraka na gornjoj povrgini krila?
no krill'.
8.10 Viskoznost
11.JF,ENJE: v,= 107 m/s.
4 4
Kada idealni fluid pustimo da teee kroz horizontalnu cijev promjenljivog presjeka, onda nam ranija razinatranja pokazuju kako se ponioeu Bernoullieve ,jednadthe mole opisati pona.ganje fluida. Takva je situacija opisana us sliku 8.29. Medutim, ako doista napravimo pokus i mjerenje prema slid.' 8.37, vidimo da se na mjestu 3 dogodilo negto gto nam ne daje Bernoullieva jednadlba: na mjestu 3 razina fluida bi morals
Priiiijer 8.9 Svoko krilo aviona ima pOVV.§i711 od S = 12 in', Pri odredenoj brzini uvionu, zruk preko gornje m/s. Ako alliOn lett stulnont pour:sine krilu struji brzinom od 50 m/s, a preko donje povr§ine brzinom od brzinom rm istoj visini, izradunajte teiinu aviona. Gustoda zraka iv 1 kg fm3 RJESENJE Pornoeu Bernoullieve jednadibe molerno naei silu aerodinamiekog uzgona koja je jednaka =- LNp2S = p S(v y2 — v,)). Ta sila je pri stalnoj brzini na istoj visini upravo jednaka telini aviona, tj. F.. = my odaklc dobijemo da je on = 1.1 x 10° kg.
bill jednaka razini na mjestu 1, ali pokus (mjerenje) pokazuje da .je ruzinu Mid! Bernoullieva jedriadžba je matematieki iskaz zakona saeuvanja mehanigke energije fluida, a slika 8.37 kazuje da je na mjestu 3 ukupna (mehanieka) energija manja! To znaei da su prisutne disipativne (nekonzervativne, nepotencijalne) site koje "jedu" mehanieku energiju fluida i pretvaraju je u neki drugi oblik energije! livodimo, dakle, unuturnje trenje u fluidu. Nairne, moSerno kazati, prema razrnatranju koje je napravio jog I. Newton, da se fluid, pri jednolikom gibaniju giba u slojevirna, koji se, za idealni fluid, giba,ju jedan uz
Str. 8- 37
8. Mehanika fluids
Str. 8- 38
D. llorvat: Fizika I as PEI?. - Mehanika i toplina
S 2
/
Slika 8.37 - Tok viskoznog fluids kroz horizontalnu cijev.
Slika 8.39 uz primjer 8.10 - odredivanje koeficij rata viskoznosti drugoga potpuno slobodno. Medutim, kada Zelirno situaciju pribliziti stvarnosti (a stvarnost ,je pokazana na slici 8.36), onda knemo da se medu slojevima - laminama, javlja trenje. Za istra2ivanje tog tren,ja opi.5tino pokus prikazan na slici 8.38.
Primjer 8.10 Metarta ploea povrairte 0.15 m2 poloiena je na podlogu i preko niti i koloture povezana 5
Neka se fluid nalazi izmedu dvije paralelne horizontalne stjenke razmaknute za d od kojih donja miruje, a gornju povlaeimo silom
P.
Zbog adhezije sloj fluida tik uz stjenke "slijepljen" ,je uz Mill, pa se
povlatenju
gornje plote sloj fluida giba s n,jom. Susjedni niii niži sloj osjeea manju silu adhezi,je, all osjeea silu "trenja" medu slojevima - viskoznost, pa se on zanosi (giba)
don,ju stjenku se ne giba. Pokusi pokazuju da je velieina site
P
(na sl
8.38) proporcionalna povr§ini ploee
i ovisi promjeM brzine duž dui razmaka meth] ploearna, tj.
i
debijine Ay = 0.3 nail, prams slici 8.39. Kada se uteg pusti, ploea se poeinje gibati jednoliko, brzirtorn od 8.5 cm/s. Koliki je koeficijent viskoznosti tekuoine?
stom sm,jeru kao i gornji sloj, all neko sporije. Od
njega niži niii sloj osjeoa jots slabiju silu adhezije, no zbog viskoznosti i on se giba itd. Najdonji slo,j koji je uz
S
utegom koji pada prema tlu. Masa utega je 8 9, a izmedu podloge i place se nalazi tanki sloj viskozne tekuoine
Av 'x
c/v Az = iz •
(8-74)
Jasno je da iznos site F ovisi i o vrsti fluida, pa dvije proporcionalnosti molerno prevesti u ,jednakost ako uvederno velieinu koja opisuje fluid s tog stanovigta, tj. uvodimo koeficijent viskoznosti iii , toenije, koeficijent
RJESENJE Pod djelovanjcm site napctosti niti ploea se krete jednoliko §to znaei da na nju djclujc i sila viskoznosti koja je jednaka du F,, dy gdjc jc rl kocficijcnt viskoznosti, S je dodirna povrMna, a dv/dy jc promjcna brzinc s popretnom udaljenogtu, do koje dolazi zbog trenja mcdu (zamigljcnim) slojcvima fluida protivno smjeru gibanja. Pretpostavlja sc da je promjcna brzine s poprceom udaljenatu lincarna. Sila koja povlaei tijclo po podlozi jednaka jc sib napctosti niti koja je jednaka taini utega T = mg, a njoj jc po iznosu jednaka sila viskoznosti, pa je T = mg = F,j =S+t
dinarnieku viskoznosti 0 to pi-servo dv Fn = nS,T .
Dy
odnosno
= rngAg = 5.53 x 10-3 N • s/m 2 . Sv
(8-75)
Fluidi za koje vrijedi da je F/S = n(riv/dz) zovemo newtonovski fluidi i za njih su dani podaci u tablici 8.5.
Vidimo da kocficijcnt viskoznosti jako ovisi o tcmperaturi. Za plinovc mote sc napisati
F
aproksimativna formula II= rio(T/T0)", gdjc je go kocficijcnt viskoznosti na tcmperaturi To (obitno se uzirna To = 273 K), a konstanta n se odredujc iz cksperimenta (za zrak je ona jednaka ^ 0.7). Za tckueinc sc formula za ovisnost kocficijenta viskoznosti o tcmperaturi obitno parametrizira °yak°. g = r/oe(b /n, ill
,70, A + -4 X
4-C 17'
-
gdjc se 1,, odnosno .4, B i C ponovno odreduju iz eksperimenta. Zbog takvc tomperaturne ovisnosti se npr. smola grije prije nano§enja. Takodcr jc dobro pokriti toplim pokrivatcm
Slika 8.38 - Odredivanje site trenja men slojevima ,fluida
ozlijedenog koji jc u kiku, jer tcmperatura udova pada zbog smanjcnog rada area, a to dovodi do payee:110a viskoznosti krvi
samo dabc pogorkiva stanje!
8. Mehanika fluida
Tablica 8.5 - Koeficijenti Fluid
Voda
Temp. c r CI
0 IN.s/In 2 I
Fluid
Ser. 8- 39
Temp. t I0 CI
ri IN.s/m 21 0.002 08 0.001 38
100
0.000 282
Kry
37
0.001 002 0.000 32
Krv. plazula
37
Cheerio
0.001 53 1.49
Vodik Vodena para Helij
20 100 20
Benzin Ulje Etilni alk.
20 20 25
0.0006 0.11-0.66 0.001 095
Zrak Kisik
20 20 20
Aceton
D. Horvat: Fizika I za FER - Mehanika i toplina
viskoznosti
20 20 25 20
2im
Sty. 8- 40
Metan
Dobili smo diferencijalou jednadZbu prvog reda za ovisnost brzine o polunkjeru, koja Ce dati jednu neodredenu konstantu. Nju kao i uvijek odredimo iz rubnog uvjeta koji ovdje daje vrijednost brzine na rubu tj. v(R) = 0. Preina tome je
f do = –
0.000 009 0.000 013 0.000014 0.000 018 0.000 020
f r dr,
v(r) = 471L
0.000 020
ili
(R2 – r2 ),
o(r)
iii
= -AP r2 + C 4riL
v(r)= vo (1–
r2
,
(8-79)
uz vo = o(0) = ApR2 /47)L. Ovisnost o brzini je parabolicna, kao sto je to prikazano na slid 8.41. Brzina uz sainu stjenku cijevi (na r = R) jednaka je null!
R
v (0)
Slika 8.41 - Parabotienn ovisnost brzine a udatjenosti ad sredine cijevi Slika 8.40 - Uz Poisseouilleov zakon protjecanja
Poiseuilleov zakon protjecanjat Poiseuille je godine 1835. napravio niz pokusa kojima je odtedio LA() se viskozni fluid giba kroz uske cijevi. Motiv je bio sasviin jasan, jer iz tablice 8.5 vidimo da je key i krvna plaz=a fluid s velikom viskoznogeu.t Razmotrimo situaciju prikazanu na slid 8.40, gdje su u cijevi polunkjera R nalazi fluid koji teCe stalnom brzinom. Fluid predstavljamo nizoin koncentritnili valjaka, koji na taj natio prestavljaju slojeve koji se larninarno gibaju, kao i pri definiciji sile viskoznosti, (8-75). Ako je polumjer valjka koji uoChno na slid jednak r onda je njegova povrgina na koju se odnosi sila viskoznosti jednaka S = 2r7rL, prelim slici 8.40, pa je sila viskoznosti jednaka
dv
Fn = –ri(2r7L) dr . Fluid se kreee zbog sile nastale zbog razlike tlakova koji djeluju na povrbinu bate valjka
F = Ap • r2 7.
(8-76) So = 7'
7r tj. (8-77)
Tok fluida q, kroz cijev izraCuriat Cern° tako da pogledarno prvo djelid volumena dV fluida koji protete kroz cijev u vremenu dt. Taj volumen je jednak volumenu (debelog) plata valjka polumjera bate r i debljine dr (vidi sliku 8.42) puta vision valjka jednaka de. Dakle = dS dC = 2r7r dr dC = 2r7r dr v(r) dt, a talc
fluida
(8-80)
dq„., je jednak volumenu fluida koji protete u nekom vremenu, tj. dq, =
dV
= 2r7rv(r) dr, a to je uz (8-79) dt 7rp = —(R2 – r2 )r dr.
(8-81)
2r1L.,
Ukupni tok q, preko cijele povrAine cijevi dobijerno "zbrajanjeni" doprinosa preko cijelog presjeka cijevi, tj. od 0 do R
Dvije site su u ravnoteii (fluid se giba stalnorn brzinom, bez akceleracije)
Fv = F
tj.
Op • 7'2 Tr =
„dv dr
=
(8-78)
t Jean Marie Poiseuille (1799-1869) francuski lije0nik - fiziolog i I Tu valja naglasiti da se u stvari samo krvna plaz=a poniOa kao newtonovski fluid, dok kry bas i ne sasvind
f = 7 AP f R2 – r2)r dr 2TiL,
0
q=
AP Ra . 8riL
(8-82)
8. Mebanika fluida
Str. 8. 4/
,5'lr, 8 • 4;!
I).
11°11,0. hinter I zit PEI( • Alchrolika i toplino
Slika 8.42 - Presjek cijevi polurnjera R kroz koji tede fluid
Izveli smo Poiseuille zakon (laminarnog) protjecanja viskoznog fluida kroz cijev duljine L, gdje je qv kolieina (volurnen) fluida - protok - koji u jedinici vremena protece kroz cijev polumjera R. Na krajevima cijevi vlada razlika tlakova Ap. a q je (kinematieka) viskoznost fluida. Tu ,je va'ao uoeiti ovisnost protoka o eetvrtoj potenciji prolumjera cijevi! Poinoeu gornjeg tiara eesto se eksperimentalno odreduje koeficijent viskoznosti.
Slika 8.4.4 - Pr jelaz s laminarnog na turbulentno gibanje
Protok qv molerno opisati i tako da uvederno srednju brzinu v kojorn protite fluid kroz cijev, pa je onda
strujanje prijcei u turbulentno gibanje fluida. To je gibanje pri kojem strujnice vise nisu glatke linije, pa se brzine djeliCa fluida kaotieno inijerijaju i nemamo jednolik protok. To je slikovito prilcazano na slici 8.44 za laminarno i turbulentno gibanje fluida oko kugle.
V =Svt=Rz irvt i
qv =
(8-83)
Magnusov efekt Viskoznost fluida manifestira se Ica() ovisnost brzine o mjestu u cijevi (prerna slici 8.41 i formuli (8-79) i (8-82)). Zbog viskoznosti fluida odnosno njegovog zanotenja dolazi do efekta ko,ji je 1852. godine otkrio Magnus,( a prikazan je na slici 8.43. Rotirajuea lopta npr. (ill rotirajuei valjak) zanosi zbog viskoznosti fluid sa sobom, pa je u jednom podrutju (gore na slici) brzina veea nego u drugorn (donjem). Po Bernoullievom principu javlja se razlika tlakova pa se i javlja sila koja uzrokuje test° neobiene i neoeekivane putanje rotirajuee ("rezane" - "felt") lopte u zraku, posebno kod stolnog tenisa, baseballa iii tenisa.
Turbulentno giban,je uzrokuje vrlo jak otpor gibanju predmeta (automobila, aviona, brodova) kroz fluid, pa je vrlo va&o opisati i upoznati njegovo javljarije. Reynolds je 1883. godine ustanovio da se gibanje fluida kroz neku cijev ill kanal, odnosno gibanje nekog predmeta u fluida mole sa stanovitta turbulentnog gibanja opisati pomoeu bezdimenzionalne velieine - broja, try. Reynoldsovog broja Re =
fiv e -
(8-84)
gdje je p gustoea fluida, v je prosjeena brzina fluids (8-83), p je koeficijent dinamieke viskoznosti, a C je karakteristiena dirnenzija koja odreduje povrtinu presjeka cijevi/kanala iii dimenziju tijela koje se giba kroz fluid (za kuglu u viskoznom fluida je C = 2R). Cesto se uvodi i kinematielca viskoznost v = 77/ p pa je Re=vi/v. Ako je Re mall gibanje ,je larninarno, a turbulentno gibanje odredeno.je tzv. kritienirn Reynoldsovim brojem R.ek. Pokusi pokazuju da je kritieni Reynoldsov broj ,jednak 2000!
8.11 Kroz cijev promjera 2.5 cm protjae fluid gustoCe 900 kg/r0 i viskoznosti 0.05 Pa s. Koliki je Reynoldsov broj ako je protok jednak 0.5 e/s, a duljina cijevi je 100m? Pri kojoj de brzini laminarno strujanje prijedi u turbulentno?
Primjer
H.JEriENJI1 Is izra.za za srednju brzinu v protoka q,. (8-83) nadcmo v = 1m/s, pa jc R.cynoldsov broj jednak
Slika 8.43 - Magnusov efekt - rotirajtiCa lopta u struji fluida
Re = Pt72R = 450 Prenia tonic, strujanje jc laminarno, a za kriticni R.cynoldsov broj 2000, brzina je v = 4.44 m/s.
Reynoldsov broj.t Turbulentno gibanje Poisseuilleov zakon (8-82) izveden je uz pretpostavku larninarnog strujanja. Ako se, medutim, brzina protoka postepeno poveeava, u s jednorn ee trenutku laminarno Heinrich Gustav Magnus (1802-1870) njematki fizitar. t Osborne Reynolds (1842-1912) britanski
DinamiElca slianost Pri istraiivanjirna u fizici fluids vrlo eesto se postavlja pitanje: pod kojim ee se uvjetima fluid gibati/ponatati na isti natin u dvaina rarliEitim ali geornetrijski sfienim dijelovima uredaja?
8. Mehtinikn ffuidu
Stc. 8- 43
Kada su ti (za sada nepoznati) uvjeti ispunjeni, govoritno o dinurnielta slicnivi sustuvimu! Dinandeka slienost je posebno vzOtria pri izgradnii Inodela. Npr. strujanja code kroz kanal koji spaja dvije rijeke mode se istraZiti poinoeu modela kanala eija se upr. clubina u odnosu na stvaritu dubinu odnosi isto kao S . iritta Iftodela kanala prema stvarnoj Sirini. Dakle, "uredaji" su geornetrijski slieni. Da bi se ostvarila (priblilina) dinantieka slienost (tj. isto ponaSanje fluida) pokazalo se da Reynolclsovi brojevi dviju situacija (model i "original") moraju biti jednaki Re(model)=Re(original).
St
PREGLED 8. POGLAVLJA 1. Novi fizikalni pojmovi
To, usput, znaei da ni fluidi ne moraju biti ituZno isti da hi se postigla dinatnieka slienost!
li praksi se uvode jos neke bezdimenzionalne kombinacije karakteristienih velitina (parametara) za fluid i za uredaj. Ti brojevi (npr. Proudeov, Prandtlov, Macho') takoder mogu posluZiti za ispitivanje dinamieke slienosti. Otpor sredstva. Stokesov zakon. Ako se tijelo giba kroz idelani fluid onda laminarno strujanje ne daje nikakvu stlu otpora to gibanju (slika (8-25) npr.). Meitutim, viskoznost, i iturbulencije uzrokuju silu otpora sredstva koja ovisi o brzini gibanja u fluidu, kao i o geometriji tijela to o viskoznosti fluida. Za vrlo sporo gibajueu kuglu polumjera R u fluidu viskoznosti p Stokes'. je 1851. godine naSao formulu za silu otpora sredstva koja je proporcionalna brzini i koja je ,jednalut
= 677/ it v.
(S-85)
Gornja formula, koja vrlo dobro radi za vrlo male brzine, poseban je slurabj ois'inite forinule zo silo otpora sredstva oblika F,, = -CdpS•v2 , (8-86) gdje je Cd koeficijent otpora, koji na vrlo kompliciran naein ovisi o Reynoldsovont broju, za razlieite raspona brzina. Za male vrijednosti R.e gouda formula !nom prijeei u Stokesovu formulu (8-85), a to je ispunjeno za Ca = 24/Re, jer je Re=peolzi = 2pRolzh pa je Ca = 12111NR, i uz S = /12 7 dobije se Stokesova sila (8-85). smo u poglavlja 1, gdje smo sve Gibanje pod djelottanjem sile otpora proporcionalne brzini paranetre koji se ovdje eksplicitno javljaju ukl,jueili u konstantu k, tj. irnali smo (vidi 1.3.3 i 1.3.4) F -kinv.
24
6
Re +
2
tlak
kompresibilnost
hidrostatski tlak
Pascalov princip
hidraulitka pre9a
Torricelliev pokus
atmosferski tlak
1 atmosfera
manometar
"U"-cijes
hidrostatski paradoks
barometarska formula
Arhimedov zakon
uzgon
Kartezijanski ronilac
povrlinska napetost
medumolekularne site
(8-87)
Laplaceova formula
kapilarna depresija
kapilarna elevacija
adhezija
okrajni kut
jednadtha kontinuiteta
Bernoullieva jednad2ba
dinamitki tlak
Venturieva cijev
Pitot-Prandtlova cijev
Torricelliev zakon istjecanja
Vena contracta
koeficijent kontrakcije
obitna sisaljka
avionsko krilo
aerodinamitki uzgon
viskoznost
Poisseuilleov zakon
protok
laminarno strujanje
turbulentno gibanje
Magnusov efekt
Reynoldsov broj
dinamitka slitnost
otpor sredstva
Stokesov zakon
koeficijent otpora 2. Nove relacije
P=
dS
PI
+ p0yi
Y(h) Poe- zAg.(h-")
=p ( -1
_ a - 7.7 9
F
4o
S v = konst. v(r) = v (1 - ;42 )
Za veee vrijednosti Re (veee brzine) clorninantan je treeu elan u (8-87) pa sila otpora postaje F„ = 61ry Ra 5
(8-88)
Prema tome, sila otpora sada je proporcionalna kvadratu brzine. I to situ smo ranije razmotrili u prvoin poglavlju (vidi 1.3.5 i 1.3.6), a taj oblik najvjernije opisuje situ otpora pri paclanju kuglice u zraku (osim u prvih par trenutaka kada je F a v).
p2 + pgyo
o
k SM/ at kh\ T o
=7 Itoi =
o cos B pgdI2
1 2 p + - pv + pgy = konsr. 2 =
AP ”4 8tiL 24
2 6 — + Re 1 + VRe a
3. Pitanja (sa zvijezdicom su oznatena teia, neobavezna pitanja)
8.1 Definirajte tlak! 8.2 lzvedite izraz za hidrostatski tlak!
4 4 4 4 Georg Gabriel Stokes (1819-1903) engleski fiziear i matematiear.
8.3 Opiite tlak u jednoj weld i objasnite skalarni karakter tlaka! 8.4 Kako glasi Pascalov princip? 8.5 OpiSiite kako radi hidraulieka press! 8.6 OpiSite kako radi obiena pumpa!
• = 101 325 Pa U=Vt pl y •
—
1
p,„ = a (— +
1 ) —
rl
°
F, = _1 p7R2,4„2 .
vektor povrline
kohezija
AP=
Za brzine koje vode na Re u rasponu od 0
D. Horvat: Fizika I za FER - Mehanika i topline
8 - 44
at
p+C71=0
• = Re=
Fr,
2gd.hih pr(S1152) 2 - 11 pif • 2 1 7 pirR2v 3
8. Mchuniku
8.7 Kako je Torricelli odredio atmosferski tlak? lzraeunajtc ga! 8.8 Opi8ite jednostavni manometar! 8.9 Opiqv site pokuse s "U"-cijevi! Izratunajtc gustoCu tckudine u "U"-cijevi! 8.10 Sto je hidrastatski paradoks? Objasnitc 8.11 Izvedite baronletarsku forrnulu za izotermnu atmosferu! 8.12 lzvcdite barornetarsku forrnulu za temperaturno ovisnu atmosferu! 8.13 Kako glasi Arhimedov zakon? Izvedite izraz za uzgon. 8.14 Koji uvjcti moraju biti ispunjeni da tijclo pliva, tone ili lebdi u fluidu? 8.15 Objasnite kako radi Kartuzijanski ronilac! 8.16 Sto jc povrainska napetost? 8.17 Opi8ite pokus ntjercnja kocficijcnt povrainske napetosti! 8.18 'Izvedite Laplaceovu formulu! 8.19 Izvedite izraz za tlak u mjehuru od sapunice i u kapljici fluida! 8.20 Opi8ite silo kohezije i adhczijc. Kako sc one manifestiraju u statici fluida? 8.21 Sto jc kapilarnost? Izvedite izraz za kapilarnu elevaciju i depresiju! 8.22 Koja je razlika izrnedu clevacije kod kapilare i kod bliskih plotiva? matematitki zapis. 8.23 Koje su pretpostavke koje opisuju idealni fluid? 8.24 Izvedite jcdnadibu kontinuiteta! 8.25 Izvedite Bernoullievu jednadibu! 8.26 Primijenite Bernoullievu jednadibu na opis toka fluida u horizontalnoj cijevi! 8.27 Opiaite Bernoulliev princip i navedite nekoliko situacija u kojima se on javlja! 8.28 Primijenite Bernoullievu jednadibu na Venturievu i Pitot-Prandtlovu cijeN! 8.29 Izvedite Torricelliev zakon istjecanja. Kako se izraeunava vrijeme istjecanja? 8.30 Sto je vena contracta? Koje su tipiarc vrijednosti koeficijenta kontrakcijc mlaza? 8.31 Kako radi obitna sisaljka? 8.32 Opiaite aerodinamitki uzgon! 8.33 Kako se obja-anjava viskoznost? Objasnite silu viskoznog trenja! Kako se mo8e ona mjeriti? 8.34 Izvedite ovisnost brzinc protjecanja o r! 8.35 'Izvedite Poisscuillcov zakon protjecanja! 8.36 Sto je Magnusov efckt? 8.37 Sto je Reynoldsov broj? PokaZite da je on broj bez dimenzije! Opiaite kritini Re! 8.38 Sto je dinamitka slitnost? 8.39 Sto je Stakesova sila? Kada ona vrijedi? 8.40 Opiaite ovisnost koeficijenta otpora o Re! 8.41 'Izvedite brzinu kod padanja tijela u fluidu s otporom!
St •
- 45
Str. 9 - 2
Sadriaj 9. poglavija
9.8.1 Entropija idealnog plina 9.8.2 Entropija i ireverzibilni procesi Pregled 9. poglavlja P9.1 Novi fizikalni pojmovi P9.2 Nova relacije i formula P9.3 Pitanja
9. TOPLINA I TERMODINAMIKA 9.1 Uvod 9.2 Nulti zakon termodinamike. Temperatura. Termometri Termometri Plinski termometar pri stalnom volumenu 9.2.1 Termodinamitka temperatura - apsolutna temperatura 9.3 Toplinsko §irenje krutih i tekueih tvari 9.3.1 Linearno Airenje krutih tijela 9.3.2 PovrAinsko i volumno rmtezanje Objaktjenje toplinskog Airenja na inikroskopskoj razini Anomalija vode 9.4 Plinski zakoni. Avogadrov zakon Boyle-Mariotteov zakon Gay-Lussacov zakon Charles-Gay-Lussacov zakon 9.4.1 Standardni uvjeti. Jednadžba stanja idealnog plina 9.5 Kalorimetrija. Toplinski kapaciteti 9.5.1 Specifitni toplinski kapaciteti Molarni toplinski kapaciteti Dulong-Petitovo pravilo Toplinski Impaciteti plinova 9.5.2 Fazni dijagrami 9.5.3 Agregatna stanja. Latentne topline 9.5.4 Prijenos topline Konvekcija iii strujanje Zratenje iii radijacija Vodenje iii kondukcija 9.6 Unutarnja energija. Prvi zakon termodinamike 9.6.1 Prvi zakon termodinamike 9.6.2 Mayerova relacija II 9.6.3 Jednaclžba adijabate 9.6.4 Rad idealnog plina u raznim procesima 9.7 Kružni termodinamitki procesi. Drugi zakon termodinamike 9.7.1 Kružni procesi 9.7.2 Drugi zakon termodinamike 9.7.3 Carnotov kruini proces 9.7.4 Toplinska pumps i hladnjak 9.7.5 Reverzibilni i ireverzibilni procesi. Carnotov teorem 9.7.6 Drugi toplinski reverzibilni kružni procesi Ottoov kruini proces Dieselov kružni proces 9.8 Entropija
9-1 9-1 9-2 9-3 9-4 9-6 9-6 9-8 9-10 9-10 9-11 9-11 9-11 9-12 9-13 9-16 9-16 9-17 9-18 9-19 9-19 9-21 9-24 9-24 9-25 9-25 9-30 9-30 9-32 9-33 9-34 9-37 9-37 9-40 9-41 9-43 9-44 9-45 9-45 9-47 9-48
9-50 9-52 9-54 9-54 9-55
9- 2
Sfr.
9. TOPLINA 1 TERMODINAMIKA
9, nplirta i
termodinantika
nema izmjene energije. Osnovni kriterij toplinske (termieke) ravnoteže dva sustava je jednakost temperatura. Dakle, ako imamo tri sustava A, B i C, jedan od kojih (C npr.) je termometar, onda kažemo da su sustavi A i B u toplinskoj ravnoteži ako pri uspostavljenom toplinskom kontaktu prvog (A) s termometrom C, u toplinskoj ravnoteži proeitamo istu temperaturu kao i pri toplinskoj ravnoteži sustava B s termometrom C. Motemo formulirati tzv. nulls zakon termodinamike ovako: ako su dva sustava (tijcla) odvojeno u toplinskoj ravnoteii s trceim sustavom, onda su i oni medu sobno u toplinskoj ravnoteii.
9.1 Uvod
Izutavanju toplinskih svojstava tvari pristupamo s dvije razine: makroskopski i mikroskopski. Na prvoj razini, toplinske pojave, tj. prijenos energije izmedu tijela razlitite temperature opisujemo preko (makroskopskih) parametara poput tlalca (p), temperature (T), volumena (V), mase (rn), gustote (p), ltd., bez ulatenja u pravu fizikalnu pozadinu tih parametara. Ta razina, koja u sebi ukljutuje dijelove fizike poput kalorimetrije ill termodinamike vrlo dobro opisuje (makroskopsku) izmjenu topline, zagrijavanje tijela, toplinske strojeve, toplinske pumpe ltd. S druge strane, ako telimo istratiti pravu fizikalnu pozadinu parametara s kojima opisujemo sustav (p iii T npr.) i ako telimo na fundamentalnoj razini razumjeti toplinske procese, moramo se spustiti na razinu mikroskopske strukture tvari i medudjelovanja i pomoeu osnovnih zakona doei do odgovora koji to mikroskopski mehanizmi podupiru termodinamieke procese koji se manifestiraju na makroskopskoj Tu razinu zovemo kinetieko molekularna teorija topline. U ovom tem° poglavlju prikazati i istratiti pojam temperature, njenog mjerenja, zatim posljedice dovodenja i odvodenja topline (izliranom) termodinamiekom sustavu. Opisat oemo toplinsko girenje tijela, vodenje topline i zagrijavanje tijela uz prijelaze agregatnih stanja. Nadalje, opisat tem° toplinske kapacitete koji sa stanovigta termodinamike vrlo dobro opisuju svojstva plinovitih, tekuoih i krutih tijela. Njihov karakter i objagnjenje istratit earn° preko kinetitke teorije topline u okviru koje eerno pronati objagnjenje i za temperaturu i tlak. Ovo je tek uvodno poglavlje koje te moot poslutiti Ica° uvod u cjelovit studij termodinamike.
To nam omogutava da uvedemo temperaturu kao svojstvo koje odreduje da li su dva sustava u toplinskoj ravnoteii. Dakle dva su sustava (tijela) u toplinskoj ravnoteii ako imaju iste temperature. Prijelaz topline s tijela na tijelo, odnosno sa sustava na sustav nije lako (bilo) shvatiti s mehaniekog stanovigta, jer energija je sama po sebi apstraktna predodžba, i kako mehanilca uklju6uje najeegoe premjegtanje (gibanje) tijela, promjena temperature pokugala se u 18. stoljeeu objasniti prijelazom tajanstvene tvari zvane kalorik. Apsorpcija kalorika vodila je do poveaanja temperature, a emisija do hladenja. Medutim, kalorik je bio bez težine (toplo i ugrijano tijelo teiilo je isto), bez mirisa, bez okusa (topla i hladna juha istog su taut) i nevidljiv. Postepeno je postalo jasno, posebno pri promatranju obrade materijala uz trenje, da je mogute proizvoditi neogranitene kolieine kalorika, odnosno, da se ne radi o misterioznoj tvari koja prelazi, vee se radi o obliku energije tije se prisustvo u sustavu propoznaje kroz vi9u ill nižu temperaturu. Jouleovi pokusi, s vrlo patljivim proratunima toplinskih gubitaka, pokazali su kako se mehanitka energija mote pretvoriti u toplinu tije "prisustvo" prepoznajemo kroz poveeanje temperature, kako je to (vrlo shematski) prikazano na slici 9.1. Te pokuse pagivo je proutavao i Thomsont koji je postavio teoretske osnove i uveo naziv termodinamilca. Mayerb je 1842. godine formulirao zakon satuvanja energije, koji su lcasnije Helmholtzt i Clausiust u termodinamici formulirali kao prvi zakon termodinamike. Prema tome vidimo da su razmatranja toplinskih sustava dovela su do niza fundamentalnih otkriea koja nadilaze ne samo okvire termodinamike yea i fizike.
9.2 Nulti zakon termodinamike. Thmperatura. Termometri
Predodtba hladnog i toplog povezana je s prijelazom oblika energije koju bez dubljih objagnjenja ovdje zovemo toplinska energija. Posljedica tog povetanja energetskog sadriaja nekog tijela (kojem dovodimo toplinu) manifestira se u promjeni makroskopskog parametra tog tijela - temperature. Motemo takoder kazati da se dovodenjem topline povetava tzv. unutarnja energija tijela, a posljedica tog je porast temperature. Pravi karakter i znaeenje unutarnje energije ostavljamo za kasnije dijelove poglavlja, a ovdje motemo kazati da unutarnja energija predstavlja ukupnu energiju atoma/molekula koji eine tvar koju zagrijavamo iii hladimo. Ovdje eerno razmatrati toplinski sustav koji definiramo kao konaeni dio prostora koji sadrži fizikalne objekte koji se istraiuju i razmatraju sa stanovigta njihovih toplinskih svojstava. Okviri/granice tog sustava mogu biti stvarne (stjenke posude - spremnika) iii zamigljene. U uvodnim razmatranjima u termodinamici najeegee za (toplinski) sustav uzimamo idealni plin u spremniku odredene zapremnine V. Stanje idealnog plina odredeno je parametrima poput temperature T, volumena V, tlaka p, kolieine tvari n, mase m ltd. Sustav mote biti u toplinskom dodiru s okolinom odnosno s drugim spremnikom i tako sponatno izmjenjivati toplinu, no mote biti i potpuno izoliran adijabatskim (toplinski nepropusnim) stjenkama. Za razumijevanje toplinskih pojava moramo razumjeti pojam toplinskog dodira i toplinske ravnoteie. Kaiemo da su dva tijela (sustava) u toplinskom dodiru ako mogu izmjenjivati energiju bez da jedan vrgi rad nad onim drugim. Dva su objekta iii sustavu u toplinskoj ravnoteii ako postoji toplinski dodir all
Slika 9.1 - Shematski prikaz Jouleovog pokusa pri kojem se mehanieha potencijalna energija utega pretvara u toplinsku energiju "prepoznatu" po poyedanju temperature. Termometri su uredaji koji na osnovu (nekog) termometrijskog svojstva mjere temperaturu sustava na taj natin da se nalaze u toplinskoj ravnoteži s tim sustavom. Termometar mora biti dovoljno mall da ne poremeti sustav koji se mjeri. Materijal za gradnju termometra relativno je lako nati jer je girenje (linearno i volumno, vidi slijedeei odjeljak) za vetinu tvari linearno proporcionalno temperaturi. Na taj je natin potrebno odrediti dvije karakteristiene temperature (odnosno natiniti dvije oznake na temperaturnoj skali) i zatim jednostavnom interpolacijom i ekstrapolacijom nademo cijeli temperaturni interval koji ee se mjeriti takvim termometrom. Boyle, Hooke i Huygens predlagali su da se uzme ledigte vode odnosno vreligte vode kao referentna temperatura. Onda je C. Renaldini godine 1694. uzeo obadvije take relativno dosta velikog temperaturnog razmaka i time je standardizirao temperaturu, osim gto je propustio to cijelu skalu podijeliti na 100 (najlogienijih) dijelova. G. D. Fehrenheit je 1717. godine uzeo za gornju granicu temperaturu tijela i oznaeio t William Thomson, lord Kelvin (1824-1907) irski fizitar. b
Julius Robert von Mayer (1814-1878) njernaeki fiziear.
11
Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) njematki fiziolog, fizitar i izumitelj. Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822-1888) njematki fizitar.
D. Horvat: Fizika I za FER - Mehanika t toplina
Str. 9- 3
ju je s 96, najvjerojatnije zato jer je to broj djeljiv lako s 12 (pa i s 3 i 4 itd.). Donju granicu postavio je tako da je, želeti izbjeti negativne temperature kod "obiEnih" uvjeta, izabrao najniZu temperaturu koju je on postigao mijelajai vodu led i morsku sol. Tako je temperatura taljenja leda postala 32°F - farnhajta, a temperatura kljaanja vode je 212°F. A. Celsius je 1742. godine uzeo Rinaldinijeve fiksne take, all je podijelio cijelu skalu na sto dijelova Eiji se jedan dio, dakle, zove celzijus ill stupanj celzijusa. Prvo je, dodule, nulom nazvao vrelilte vode a 100 mu je oznatavalo ledilte vode, all to je ubrzo promijenio. Veza izmedu farnhajta i celzijusa dana je formulom tF = 32 +
9 5
odnosno
tc =
5 9
— 32).
(9-1)
Str. 9 - 4
9. Toplina i termodinamika
komponenta uredaju, prema slid 9.2b. Dodatna cijev B mote se podizati i spuitati, time se mote postiti da razina u cijevi C uvijek bude ista (p1M zauzima uvijek isti volumen). Jasno, razine u cijevi A i B su uvijek medusobno iste, all mjenjaju se u ovisnosti o tlaku p. Time je dobijen termometar pri stalnom volumenu. Zajedno sa standardiziranom skalom (Celsiusovom, npr.) dobijen je dragocjeni fizikalni mjerni instrument. Manje precizar all vrlo test za mjerenje visokih temperatura je termotlanak (vidi tablicu 9.1) prikazan na slid 9.3. Taj termometar koristi tzv. Seebeckovt efekt nastajanja EMS u krugu u kojem se nalaze dva metala (u obliku Tice), a tija se spojilta nalaze na dvije razlitite temperature. Ako se jedna temperatura održava stalnom (npr. mjelavina leda i vode tj. 0°C), onda je mogude, razrezavli jednu žicu (od bakra, na slid) i umetnuvli voltmetar, nakon baždarenja, dobiti dobar mjerni instrument. Krivulja ovisnosti temperature o razlici potencijala obitno nije linearna!
Obadvije skate daju jednake vrijednosti na -40!
Cu
Slika 9.2a i 9.2b - Plinski termometar pri stalnom volumenu
(lijevo) osnovna izvedba i (desno) popravljena verzija. Tablica 9.1 - Termometri i njihove Icarakteristike Termometar
Termornetrijsko svojstvo
Opis i uporaba
Idealni OM Zivina kuglica Brinetalna traka Otporni termometar
Ovisnost p i V o T V = V(T) t1,2 = f(T) R = R(T)
Termoaanak
Inducirana EMS=F(T)
Paramagnet
Magnetska svojstva materijala Boja ernitirane svjetlosti
Univerzalni termom. Ograniten raspon T PrekidaC Unutar krute faze materijala NajCe5ci termometar u industriji Ekstrerrino risks temperature Visoke temperature
Optitki pirometar
Slika 9.3 - termodlanak za mjerenje temperature - spojate 82 mjeri temperature!
Neke zanimIjivije svakodnevne temperature dane su u tablici 9.2a. Tabliea 9.2a - Neke zanimIjivije temperature Temperature r CI Elektritna i arulja (nit) PeC u kojoj se pete pizza Gorenje papira (film "Farenheit 451") KljuCanje vode Tjelesna temperatura Gripe Sinrzavanje vode Sinrzavanje five Sinrzavarije alkohola Apsolutna nula
1930 288 233 100 36.6 37-41 0 -38 -130 -273
Raspon tempera ura u prirodi i u laboratoriju dan je u tablici 9.2b. Medutim, za razumijevanje to tablice moramo uvesti jedinicu temperature koju rabi to tablica! Plinski termometar pri stalnom volumenu ima ne samo praktitnu ved i sultinsku-teorijsku vanost. koji zauzima plin Prema slid 9.2a odredena kolitina plina nalazi se u tikvici pod tlakom p. Ukupni vmožemo jednak je volumenu tikvice plus dio volumena gumene cijevi koja spaja tikvicu i U-cijev, plus dio volumena u U-cijevi. Tlak unutar tikvice mogae je direktno protitati iz razlike visina h, poznavajai gustodu tekudine u U-cijevi. Ako tikvicu (termodinamitki sustav) dovedemo u toplinski dodir sa spremnikom vile temperature npr., toplina de prelaziti u tikvicu i h Ee se povedati Ito znati da tlak p raste. Prema tome, moiemo povezati promjenu tlaka s promjenom temperature, odnosno promjenu stupca tekutine s promjenom temperature. Na taj nain maemo odrediti praktiEnu temperaturnu ljestvicu. Problem je ovdje, medutim da se ovdje ipak mijenja i volumen plina, a da se to izbjegne, tj. da se dobije direktna ovisnost p o T, uvede se dodatna
9.2.1 Termodinarniaa temperatura - apsolutna temperatura Otito su dvije temperaturne skale koje smo opisali plod slutajnog (alt i logitnog) izbora referentnih totaka. Ipak, niz prirodoznanstvenika trail° je neko uporilte u definiciji temperature koja bi bila vezana s nekim fundamentalnim svojstvom (termometrijske) tvari. t Thomas Johann Seebeck (1770-1831) njernatki fizitar i izumitelj koji je prvi otkrio terrnoelektritnost.
D. Horvat: Fizika I za FER - Mehaniku i topltna
Str. 9- 5
9. Toplina i terrnodinarnika
Str. 9 - 6
Tablica 9.2b - Rasponi temperatura u prirodi
Tada apsolutna nula ostaje, naravno, na -273.15°C, a temperature iskazane kelvinima oznatavaju se velikim slovom T. U na§im raeunima uglavnom tem° ignorirati decimale iza decimalne totke i uzimati da je apsolutna nula na OK ili -273°C. Nadalje, kada demo izraiavati izražavatipojedine velitine eija jedinica ukljueuje sarno razliku temperatura, rabit temo kraticu st - stupanj za kelvin K ill stupanj celzijusa °C.
Temperatura [K]
Ftztkalnt sustav Najniia T u laboratoriju Temperatura pozadinskog zratenja Tekuei helij na 1 atm Najhladnije mjesto na Zemlji Prosjetna temperatura na Marsu Temperatura trojne totke vode Smrzavanjc vode Ljudsko tijelo Najtoplije mjesto na Zemlji Kljutanje vode Taljenje zlata Povr§ina Sunca Unutra§njost Sunca Fuzija helija Unutra§njost zvijezde Svemir 3 min. nakon Velikog praska Svemir 1 s nakon Velikog praska Svemir 10-8 s nakon Velikog praska Svemir 10'2 s oak= Velikog praska
^,' 10-8 3 4.2 185 218 273.16 273.15 310 331 373 1335 6000 10' 10' 109 5 x 108 1010 10" 1018
Tablica 9.3 Materijal Voda CO2 Amonijak Duhik Kisik Neon Dcutcrij Vodik
Temperatura 71t [KJ
Tlalc pt, ikPal
273.16 216.55 195.9 63.18 59.36 29.57 18.63 13.89
0.610 517.00 6.07 12.5 0.152 93.2 17.1 7.04
Temperature i tlakovi trojne totke materijala.
sko §irenje krutih i tekueih tvari Dovodenjem topline tijelu mijenja mu se temperatura. Zakonitost te promjene istra2it demo malo Icasnije. Ovdje nas zanima svojstvo krutog tijela odnosno tekueine spomenuto vet ranije u fezi s termometrijskim svojstvima (tablica 9.1): zanima nas toplinsko §irenje tijela. 9.3.1 Linearno iirenje krutih tijela
0
Razmotrimo tanki §tap od nekog materijala (metala npr.) koji je na odredenoj temperaturi t i ima duljinu P na toj temperaturi. Ako ga zagrijavamo, njegova te se duljina mijenjati, a to promjena duljine At ovisi o promjeni temperature At (odnosno o dovedenoj toplini). Takoder, At je proporcionalna originalnoj duljini i , a pokusi pokazuju da se razlititi materijali razlieito rasteiu. Gornje razmatranje motemo ugraditi u9jednadžbu jednu jednadibu (9-3) At = at At,
t [°C]
Slika 9.4 - ovisnost tlaka p o temperaturi t za razne plinove P1, P2, Ps. G. Amontons je oko 1702. godine vrtio pokuse s razlieitim plinovima u uredajima koji su slitili termometru sa slike 9.2. Ustanovio je da se produljenjem pravaca ovisnosti tlaka o temperaturi za raztieite plinove dole uvjek do iste temperature (vidi sliku 9.4). Kada je vrtlio slitne pokuse s promjenama volumena s temperaturom dobio je istu granienu temperaturu. To ga je navelo da to temperaturu proglasi "granitnom vrijednoku hladnote". Tek dosta-predložlo kasnije je W. Thomson (lord Kelvin) 1848. godine predloilo uvodenje apsolutne temperaturne skate koja krete od totke nadene od Amontona, a koja se nalazi na -273.15°C. "Koraci" - velieina stupnja te skate, isti su kao stupnjevi celzijusa. DanaAnja definicija jednog kelvina K u sebi ukljueuje jednu (u laboratoriju) lako reproducibilnu totku tzv. trojnu todku vode. To je toeka (u faznom dijagramu vode - vidi kasniju sliku i komentare) u kojoj su sve tri faze - agregatna stanja u ravnoteii, a promjena bilo kojeg parametara koji opisuju to stanje, tj. tlaka koji je pttv = 610.62 Pa i temperature tt,„ = 0.01°C dovode pretvaranje (cijele) vode iii u tekutinu, iii u paru ili u led! T trojne totke razlieitih materijala toeno se odreduju i dane su u tablici 9.3. (One su fiksne, reproducibilne totke i pomotu njih je takoder mogute difinirati jedinicu kelvin.) Tako je sada mogute definirati jedan kelvin K kao 273.16-ti dio temperature trojne totke vode, tj. 1 K - lim
0-40
trb.,
- to
273.16
(9-2)
gdje smo uveli velitinu a - koeficijent linearnog toplinskog rastezanja koji je Icarakteristiean za materijal i koji se eksperimentalno odreduje, a vrijednosti su mu za razne materijale dane u tablici 9.4. Gornji izraz postaje diferencijalna jednadtha za infinitezimalni prirast duljine di pri promjeni temperature za dt. Potetni uvjet uzima se na to = 0°C i odreden je duljinom §tapa (predmeta) na to , tj. i(0°C) = Po. Gornja jednakost daje di = adt, e
(9-4)
a integracija daje In
= at + C.
(9-5)
Konstantu C odredimo iz poeetnog uvjeta, tj. In Po = a • 0 + C
pa je
In
i(t) = ioecd .
= at + In to
to daje (9-6)
Mjerenja pokazuju da je a vrlo mala velitina za sve materijale (a - 10-5/stupanj) pa moiemo napisati e at a--_• 1 + at, to daje i(t) = io(1 + at). (9-7)
D. Horvat: Fizika I za FER - Meltanika i toptina
Str. 9- 7
Str. 9- 8
9. Toplina i termodinamika
Tablica 9.4 Materijal
Koeficijent linearnog rastezanja a ( °C -1 j
Koeficijent volumnog rastezanja 7 1°C - ' ]
gdje je k = 0.9. Ako zanernarirno kvadrate koeficijenata, dobijerno At -
Ovreta tvar Alurninij Mesing 2eljezo Srebro Bakar Olovo Staklo (Pyrex) Staklo (obitno) Kvarc Beton Mramor
25 x 10-6 19 x 10-6 12 x 10-6 19 x 10 -6 17 x 10-6 29 x 10" 3 x 10-6 9 x 10-6 0.4 x 10-6 12 x 10 -6 1.4 - 3.5 x 10-6
75 x 10-6 56 x 10-6 35 x 10' 56 x 10' 51 x 10-6 87 x 10' 9 x 10-6 27 x 10-6 1 x 10-6 36 x 10' 4 - 10 x 10'
2h 2 = 400°C 11,a, (1 - k)
Zadatak 9.1 Za koliko se produlji ieljezni€ka traenica od eelika duljine 20 m ako joj se promijeni temperatura od -15° C no 35° C9 RJE§ENJE: At = 1.1cm
Tekudine
Benzin 2iva Alkohol Glicerin Voda PlInovi Zrak i vedina plinova
950 x 10" 180 x 10-6 1100 x 10-6 500 x 10-6 210 x 10-6
9.3.2 Povriinsko i volumno rastezanje lz zakona linearnog rastezanja (pri temu smo mogli zanemariti promjenu §irin ljine iltapa) lako dobijemo zakon povrtinskog Airenja predmeta (tanke plote npr.). Ako je predmet pravokutna ploea dimenzije ao x bo (na 0°C) onda je povrtfina na 0°C jednaka So = ao • bo, a na temperaturi t je S(t) = a(t). b(t) = ao (1 + at)b0 (1 + at) = a0 b0 (1 +a t)2 =
3400
x
10-6
= (aobo)[1 + 2at + (at) 2] So[l + (2a)t] = + fit),
(9-8)
=
Kocficijenti toplinskog rastezanja (na 20°C)
To je zakon toplinskog Airenja tijela duljine to na temperaturi 0°C. a N zove koeficijent toplinskog linearnog rastezanja. Produljenje zbog zagrijavanje za temperaturu t je At = toat. Primjer 9.1 Tri komada metala na C sloiena su prema slici 9.5. Cornja due (kratka) komada izradena su od istog metala 6iji je koeficijent linearnog rastezanja jednak a = 2 x 10-5 sr' . Za drugi komad metala duljine 1 m taj je koeficijent 10% manji. Nakon zagrijavanja dolazi do promjene oblika prema slici, jer 82t atapovi na krajevima povezani. Ako je visina nastalog trokuta 2 cm, izraunctjte za koliko je porasla temperatura. (Koeficijenti linearnog rastezanja su vrlo male ueli6ine €ije kvadrate moiemo zanemariti.)
gdje smo prvo zanemarili elan s (a)2 jer je jako mall, a zatim smo uveli koeficijent povrainskog toplinskog €irenja fi = 2a. Ovdje odmah treba naglasiti da se tijela Aire "fotografski" , tj. ako u materijalu postoji rupa, onda to se i ona poveeati kao i ostali dio materijala, kaiemo, kažemo,kao na fotografskom poveeanju! Na isti nein dobijemo i zakon volumnog Airenja ako uzmemo prizmu dimenzije ao x bo x co (na 0°C) i volumena V0 = ao • bo ' ao na toj temperaturi. Na temperaturi t volumen je V (t) = ao (1 + at)60 (1 + at)co(1 + at) = Vo (1 + at)3 = Vo [ 1 + (30]= Vo(1 + ryt)
(9-9)
gdje smo zanemarili (kao i ranije) elanove s (a)2 i (a)3 i uveli koeficijent volumnog toplinskog direnja ry = 3a. Vrijednosti tog koeficijent dane su za neke materijale u tablici
10
Primjer 9.2 spremnik za gorivo zapmmnine 70€ ispunjen je do vrha benzinom na 20° C. Ako temperatura naraste na 50°C koliko to benzina iscuriti iz spremnika? (rytelik = 35 x 10-6 00-1; Ybendn = 950 x 10-6 00-1). RJEtENJE lz izraza za volumno Airenje V = Vo(1 + 7&t )
1 2
Slika 9.5 uz primjer 9.1 RJEtENJE Neka su duljine pojedinih metalnih komada na 0°C jednake 10• lz geornetrijc zagrijanih kornada dobijerno da jc h2 =1? - (12/2)2 . Ako izrazimo duljine zagrijanih kornada preko 10 dobijerno
dobijemo da jc povedanje volumena benzins (uz At = 30°C) jednako 2t. 1 spremnik se Airi, pa je njegovo poveoanje volutnena jednako V. = 0.076 t. lz spremnika, dakle, iscuri 1.88 e.
12 12 h2 = 1(1 + al At)2 - -1(1 + a2At)2
4
4
= 1(1 + CTIAt) 2 — 1n2
4
4
kaiAt)2
Primjer 9.3 lzra€unajte gusto& iive kod 0° C i kod 100° C, ako je kod 10° C gusto& jednaka 13.57 g/cm3 . = 18.2 x 10-5 (st)-' )
D. Horvat: Fizika I za FER - Mehanska i toplina
Ser. 9- 9
9. 7'oplina i terrnadinarnika
Str. 9- 10
V(r) IllE§ENJE Masa live m kod temperature 0°C ima volumen Vo. Molemo napisati za temperaturu t odnosno temperaturu 0°C m = Vi • pc = Vo • po pa je Vo Pr
= PO
14
Volumen se mijenja s temperaturom ovako Vi = V0(1 +-rt), pa je
E2
Vo = Po Vo(1+7t) 1 +7t .
E,
Pe = Po Sada moiemo napisati gustoa! na 0°C
pa = mo(1 + 7.10°C) = 13.59 g/cm3.
Slika 9.6 - Potencijalna energija V(r) i srednje udaljenosti od ravnoteinog poloiaja za dvije energije.
i gustoEu na 100°C: moo = po(1 +7•100°C)-' = 13.35 g/cm3.
* * Prirnjer 9.4 Termometar je napunjen vodom. Izraiunajte za koje de temperature termometar pokazivati isle urijednosti izmedu 0°C i 10°C, ako se volumen mijenja s temperaturom po zakonu
V(t)= -V0(1 + at + be), gdje je a = 6.105 x 10 -5(4-1 b = -7.733 x 10-6(80 -2, a Vo je volumen node na 0°C.
Objalnjenje toplinskog lirenja na mikroskopskoj razini Za objalnjenje toplinskog lirenja krutog (kristalnog) tijela moiemo zamisliti da se kristalna struktura sastoji od atoma/molekula koji su vezani elastitnim silama ("oprugama") u sva tri prostorna smjera, a atomi (lagano) titraju oko nekog srednjeg poloiaja Eiji vilekratnik daje odred položaja nziju tijela. Srednji polotaj ovisi o energiji, koja s druge strane ovisi o temperaturi (vidi slijedeee poglavlje). Prema slici 9.6 je energija .E1 na nekoj temperaturi T1, a Fi je odgovarajuei srednji pololaj atoma u kristalu. Kada energija (zagrijavanjem) naraste na T2, odgovarajuda vela energija je E2, a zbog asimetrije potencijalne energije V(r) (prikazane na slid 9.6) srednja udaljenost r2 veda je od Fr, tj. dimenzija tijela se poveeala. Anomalija vode Pri opisivanju i izvodenju zakonitosti linearnog, povrMnskog i volumnog toplinskog lirenja tijela, pretpostavili smo (linearnu) proporcionalnost promjene temperature i dimenzija tijela. To je doista istina za vedinu krutih i tekudih tvari. Medutim, nas najvainija tvar - voda, upravo odstupa od "normalnog" ponalanja i to pojavu zovemo anomalija vode.
RJEENJE Ako je volumen jednak na dvije temperature ti i t2, onda iz V(t1 ) = V(to) rnoiemo napisati V( t,) V(t2) 1= = at 2 + + bt? Vo
Vo
a razlika tih izraza je a(t2 - t,) + b(t3 - t?) = 0 pa je prvo rjelenje t, = to, a drugo dobijemo iz a + b(to + t,) = 0, Ito, uz brojkane podatke daje to = 7.8947 - t,. ti i to se priblilavaju maksimumu koji je na tm.k. = 3.94737°C. U zadatku je u stvari opisana tzv. anamatija vode tj. neobikno ponalanje vode oko temperature +4 °C - vidjeti kasniji odjeljak!
Tablica uz primjer 9.4 t 1 [°C] 0 2 3 4
t2 [°C] 7.89 6.89 5.89 4.89 3.89
Slika 9.7 - Skica ovisinosti volumena vode oko temperature +4° C. Toplinsko rastezanje vode slijedi linearni zakon od vrelilta prema niskim temperaturama, all kako se temperatura pribli2ava +4°C pravac postaje parabola, tije je tjeme (minimum) smje§teno upravo na +4°C (vidi skicu na slici 9.7). Daljim smanjenjem temperature volumen ponovno potinje lagano rasti. Ako volumnu ovisnost vode prevedemo u ovisnost gustoee, tj. p(t) = m/V(t), možemo moiemo kazati da je voda najgukea na Ostali podaci dani su u tablici 9.5. Parabolitna ovisnost upueuje da bi se mogla nail prilagodba ("fit") krivulje tree% reda podacima tablici 9.5. Doista, uz vrlo velik koeficijent korelacije gusto& se mole ovako parametrizirati u okolini +4°C '9(0 = p0(1 + at + bt2)
a= 6.105 x 10 -5/st
uz i
b = -7.733 x 10-6 /(st)2.
(9-10)
Prema tome, hladenjem vode ispod +4°C gusto& pada i hladnija voda odlazi na povrlinu. Priblilavanjem null, najhladnija voda je na povrlini i s povr§ine potinje smrzavanje, dok je rjeda i toplija voda blite dnu. Time je omogueen (razvoj opstanak tivota na Zemlji. Dalje smrzavanje ide sporije zbog lose toplinske vodljivosti leda (vidjeti kasniji odjeljak i tablicu toplinskih vodljivosti).
D. Rorvat: Fizika 1 za FER - Mehanika i toplina
Ste. 9- 11
Sir. 9- 12
9. Toplina i terrnodinomika
p
Tablica 9.5 t [ °C]
p [kg/m1
0 1 2 3 4 5 6 7
0.999 841 0.999 900 0.999 941 0.999 965 0.999 973 0.999 965 0.999 941 0.999 902
Podaci uz anomaliju
0
V
Slika 9.8
- Izoterme u p — V ravnini.
9.4 Plinski zakoni. Avogadrov zakon Za razliku od tekudina, plinovi u potpunosti ispunjavaju posudu - spremnik u kojem se nalaze. Za opis plina prije svega uzimamo volumen V posude u kojoj se plin nalazi ikažemo kaiemo da "plin ima volumen V". Osim toga, za potpun opis stanja plina moiemo izmjeriti njegov tlak p, ternperaturu T, masu m, kolitinu plina n i broj destica plina N = n NA (gdje je NA Avogadrov broj, tj. konstanjednadžbeaje broj Cestica plina u jednom molu). Montilla tvari je n = m/M gdje je M relativna rnolna masa. Sve velitine nisu medusobno nezavisne i zato traZimo jednakosti koje ih povezuju, jednakosti koje zovemo jednadibe stanja.
(V, h g ad pmg/S..konst. ht
Slika 9.9
Ovdje demo razmotriti idealni plin, za koji vrijede pretpostavke iz poglavlja 8. Plin de biti slidan idealnom plisadrže je njegova gustoda mala odnosno tlak vrlo nizak, a istovremeno dosta visoka temperatura. Avogadrovt zakon Prema Avogadrovom zakonu, isti volumeni razlititih plinova pod istim tlakom i na istoj temperaturi sadrie isti broj destica. Prema tome, za danu kolidinu plina n, njegovo stanje opisat demo porno& tri pararnetra - podatka: pomodu tlalca p, temperature T i volumena (posude u kojoj se nalazi On) V. Da bismo nagli matematitku vezu to tri parametra, kreni mpirijskih plinskih zakona otkrivenih u XVII, XVIII i XIX stoljeau. Boyle-Mariotteovt zakon - izotermne prornjene stanja idealnog plina Ako se promatraju promjene stanja plina tako da se temperatura plina održava odriava stalnom, dakle izotermne pro da Boyle-Mariotteov zakon kaie da vrijedi P1 V1 = P2 V2 = • • •
iii
pV = konst.
(9-I1)
Grafitku ovisnost tlaka o volumenu molemo prikazati u p — V dijagramu (ravnini). Otito ovisnost p =konst./V vodi na jednadibu jednadž buhiperbole, koje su, dakle, krivulje ovisnosti tlalca o volumenu pri stalnoj temperaturi. Te krivulje zovemo izoterme, a vain oditi na slici 9.8 kako se izoterme "udaljavaju" od ishodigta kako raste temperatura! Gay-Lussacovi zakon - izobarne prornjene stanja idealnog plina Ako mijenjamo volumen plina (posude u kojoj se nalazi) i držimo driimo plin na stalnom tlaku (porno& pomidnog klipa iii slidno, prerna slici 9.9 npr.), a mijenjamo mu temperaturu, dolazimo do zakonitosti izobarnih promjena stanja plina opisanih Gay-Lussacovim zakonom Vt
V2
-
"•
iii
V
= konst.
(9-12)
- Promjene stanja plina uz stalni tlak p.
Ako se uzme da je na temperaturi To (0°C) volumen neke kolitine plina Vo, onda je pokusima otkriven zakon toplinskog 6irenja u skladu s Gay-Lussacovim zakonom, koji motemo napisati ovako V (T) = Vo[1 + cr(T
(9- 13)
gdje je za sve (idealne) plinove koeficijent toplinskog Airenja jednak a = 1/To = 1/273.15/st. Chariest' - Gay-Lussacov zakon - izovolumne prornjene stanja idealnog plina Ako se uz staini volumen plina mijenjaju tlak i temperatura, ovako npr. (POI VO To
1 Iso124no (p o,Vi
Ixot2.17no (
dobije se Vo To
vo
T,
J
Vr
7 r
Pt PI —=—=
PO V1 = P1 VO
(9-14)
ili (9-15)
ili
T1 T2
= konst.
gto predstavlja Charles-Gay-Lussacov zakon izovolumne iii izohorne promjene stanja idealnog plina. Uz pomod dijagrama (9-14) i jednakosti (9-13) dobijemo / 0- = po [l Pr = Po 7
t Lorenzo Romano Arnadco Avogadro (1776-1856) talijanski prirodoznanstvenik. I Robert Boyle (1627-1691) engleski kemiear i izumitclj, prozvan i "otac kernije". Edide Mariotte (1620-1684) francuski kanitar. I Joseph Louis Gay-Lussac (1778-1850) francuski fiziear i kcinitar.
— To)],
cr(T
— To)]
(9-16)
b Jacques Alexandre Cesar Charles (1746-1823) francuski fiziear I letat balonom. Neka svoj zapalanja promjena stanja plina pri Ictu balonom prcnio jc Gay-Lussacu koji jc nakon niza pokusa i ratuna do6ao do zakona koji se ponekad, tvrdi se, sasvirn neopravdano zove Charlcsov zakon.
D. Norma: Pizika I za PER - Meltanika i loplina
Sir. 9- /3
9. Thplina i termodinarnika
Sir. 9 - 14
Kako je n = rn/M i N = nNA, možemo napisati
uz istu vrijednost a Ica° i gore! 9.4.1 Standardni uvjeti. Jednactžloa stanja idealnog plina
(9- 21)
N— = NkB NA
nR=
Tri parametra p, V i T koji opisuju stanje idealnog plina mogu poprimiti proizvoljne ali medupovezane vrijednosti. Medutim, tzv. standardm uvjeti SU (ili normalni uvjeti NU) definirani su kao vrijednost tlaka po = 1 atm=101 325Pa i temperature (0°C) To = 273.15K. Ako uzmemo 1 mol idealnog plina, on ee na SU imati volumen Vo = 22.413 83 g. Ako sada jednom molu takvog plina prvo izobarno
gdje smo uveli novu (fundamentalnu) konstantu tzv. Boltzmannovu konstantu kB koja ima vrijednost kB = 1.3806 x 10'3 J/K. Na taj natin jednadžbu stanja idealnog plina možemo napisati i u ovakvom zapisu (9-22)
pV = N kBT, Vo
—= V — #. To T'
Vo
V' = —T, To
(9-17a)
gdje je N broj eestica (atoma/molekula) plina na temperaturi T, pri claku p i u volumenu V. Zadatak 9.2 Procijenite koliko ima eestica plina u sobi dimenzije 4 x 6 x 3 m3, na sobnoj temperaturi t, = 20°C i na standardnom tlaku po = 1 atm=101 325 Pa.
a zatim izotermno promijenimo stanje po V' = pV
Vo po — T = pV, To
RJEENJE: N = 1,803 x 10" testica.
(9-17b)
dobijemo (za 1 mol) pV
poVo = (HT. To
(9-17c)
No, izraz u zagradi u gornjoj relaciji ima toeno odredenu vrijednost, tj.
Prirnjer 9.5 p = 4 atm?
Kolika je masa 40€ uranovog heksafluorida UF6 na temperaturi t = 500°C i pri tlaku od
RJEENJF: Iz jednadZbe stanja idealnog plina jc
polio = 8.31441 J/mol K, To
(9- 18)
pa uvodimo univerzalnu plinsku konstantu R s gornjom vrijednoku R = 8.31441 J/mol K.
n=
RT
= 2.522 mol.
Masa 1 mol tvari jc m = 238.03 g+6 . 19 g=352.03 g, pa jc masa sadriana u 2.522 mola jcdnalca (9- 19)
m = n• M = (2.522 mol) . (352.03 g/mol) = 887.809 g.
Za n molova idealnog plina možemo napisati jednadžbu pV = nRT,
(9-20)
koju zovemo jednadibu stanja idealnog plina. Prikaz meduovisnosti pararnetara dan je na slid! 9.10, gdje prepoznajemo izoterme s ranije slike u projekciji na p - V ravninu.
(NH3
Prirnjer 9.6 Koliki volumen zauzima 1 g amonijaka ) na standardnim uvjetima - SU? Koliki volumen zauzima na temperaturi od 100°C i pri tlaku od 1.2 atm? RJEAENJE Molarna masa amonijalca jc M(NH3) = M(N) + 3 . M(H) = 17.03 g/mol. U 1g arnonijalca ima n molova tvari, tj. n = 1 g/M(NH3 ) = 0.0587 mol. Volumen na SU jc
V
= nRTo — = n • Vo = (0.0587 mol) • (22.4 t/mol) = 1.3 t. Po
Iz jcdnacHbc stanja idcalnog plina je volumcn na zadanim vrijednostima temperature i tlalca jednak V= nRT = 1.51.
Prirnjer 9.7 Spremnik na standardnim uvjetima ima zapremninu od 10 m3. Kolika je masa kisika 02 koji se nalazi u spremnikta RJE§ENJE Po4to na SU (standardnim uvjctima) 1 mol (idealnog) plina zauzirna 22.4 t, u zadanom volumenu ima =
Slika 9.10 - p - V - T meduovisnost za idealni phn.
1 0 1113
22.4 x 10-3 m3/mol
-
446 rnol.
D. Norval: Fizika I za FER - Mellartika i toplina
Str. 9- 15
Jedan mol 02 Una 32 g, pa se u spremniku nalazi rn = rt • M = 14.3 kg kisika.
Str. 9- 16
9. Toplina i termodinarniko
Zadatak 9.3 Odredite gustoeu duhka na 120°C i tlaku od 66 000 Pa, RJEENJE: p = 0.571 kg/m3
4 4 4 4
Prirnjer 9.8 Na koju se temperaturu mom ugrijati uzorak plina temperature 0°C i na atmosferskom tlaku da bi mu se udvostrueio volumen na istom tlaku? RJEENJE Iz jcdnadibc stanja idcaJnog plina pV = nRT imarno prcma podacirna: p, = p2, V2 = 2V1 i = 273 K,
nRT1 nRT2
T2 = 2TI tj. T2 = 546 °C.
2V1
4 4
Prirnjer 9.9 U autobusnoj gumi je tlak promijeni, koliki je flak p2 na t3 = 40° C.
= 2.4 atm na temperaturi od 10°C. Ako se volumen gume ne
9.5 Kalorimetrija. Toplinaki kapaciteti Jouleovi pokusi (slika 9.1) pokazali su da je toplina u stvari energija koju je mop& odgovarajueim uredajima dobiti iz drugih oblika (npr. mehanieke) energije. Dovodenjem toplinske energije tijelu njegova se temperatura povetava i ovdje telimo istraiti zakonitosti tog povetanja. kolitina topline i promjene temperature pri takvim prijelazima i mijdanjima tijela razlititih temperatura i karakteristika zovemo kalorimetrija. 9.5.1 SpecifIZni toplinski kapacitet Promjena temperature nekog tijela AT proporcionalna je dovedenoj toplini
FIJEENJE Iz jednadibc jednadžbcstanja idealnog plina jc PI V = nRT■
i
1/2= V2 tj.
WU, nItT2 PI
AT cx AQ,
(9-23a)
AT a I.
(9-23b)
p2
a obrnuto proporcionalna masi pa lako dobijcmo Tx
P2 = pi • — . Kako Jr T, = 283 K i 712 = 313K, lako dobijerno traicni tlak: p2 = p, • 1.106 = 2.64 atm.
AQ
4 4
AT = K —
Tablica 9.6 PIM
m [kg]
Vodik Helij Dutik Zrak (prosj.) Kisik Argon CO2 Ozon
0.002 0.004 0.028 0.029 0.032 0.090 0.099 0.098
Mase 1 rnola razlititih plinova
Prirnjer 9.10 Kolika je gusto6a kisika na temperaturi t = 20°C i na tlaku od p = 5 atm? RJEENJE Trebamo odrcditi p = m/V. Kako 1 mol zauzirna V litara, tj.
„ nRT V = — =9.8 z p
i jcr 1 cool ima 32 g kisika, gusto/a jc p = 6.65 kg/m3.
Pokusi pokazuju da nije svejedno da li se zagrijava 1 kg vode iii npr. 1 kg teljeza iii kamena. To znati da u gornje odnose valja uvesti specifitnost materijala koji grijemo, Sto vodi na relaciju (9-23c)
gdje ee K opisivati tvar koja se zagrijava. Medutim, uobitajeno je matematitki urediti gornju jednadtbu ovako AniQ = KmOT ili (9-24) LIQ = cmAT, gdje je uvedena velitina c nazvana specifieni toplinski kapacitet koja karakterizira toplinski svojstva matedjala, a jednaka je kolitini topline (energije) potrebne da se 1 kg tvari ugrije za 1 stupanj (K iii °C), c=
1 dQ m dT
(9-25)
Za razlitite materijale c —ovi su dani u tablicama 9.7a,b. Pri pokusima odredivanja specifitnog toplinskog Icapaciteta, kao i kod raznih drugih procesa mije8anja iii uranjanja tijela razlititih masa., svojstava i temperatura, tijela se dovode u toplinski dodir i toplinska energija prelazi tako dugo dok nije postignuta toplinski ravnoteia koju prepoznajemo po tome da je temperatura svih dijelova (tijela, smjese) ista i stalna. Mjerenje konaene temperature odreduje "smjer" prijelaza topline, jer toplina spontano prelazi samo s tijela vise temperature na tijelo nine. Pri tome valja voditi ratuna o tome da su takvi pokusi izuzetno osjetljivi, jer toplinu je te0ko kontrolirati, pa su toplinski gubici neprestano prisutni i uvijek ih se mora uratunavati u konatne proraeu ne rezultata. Rezultat Jouleovog pokusa (vidi sliku 9.1) pri kojem (mehanieki) rad prelazi u toplinu svodi se na promjenu temperature At tekueine prema jednakosti mgh = AQ = mtc,At gdje je ct specifieni toplinski kapacitet tekueine, a rn, je njena masa.
(9-26)
U. norvat: Pisan / za TER - Mehanika i toplina
Str. 9. 17
9. Toplina i termodinamika
Str. 9- 18
Tablica 9.7a Tvar
c [J/kg KI
Tvar
c [J/kg IC]
Tvar
c IJ/kg IC]
Aluminij Bakar Drvo Mrarnor Srebro Sumpor
886 387 2 390 880 234 682
A zbest Beton Led Olovo Staklo Zlato
836 920 2 090 130 779 127
Bizmut Cink Mesing Pluto Samot Zeljezo
129 380 372 2 050 840 482
ravilo Iz tablice 9.8 vrijednosti molarnih toplinskih kapaciteta za krute tvari (metale) Dulong-Peti vidi se da se vrijednost "vrti" oko 25 J/mol K. Tu pravilnost primijetili su Dulong i Petal i 1819. godine su formulirali pravilo (ponekad preambiciozno nazvano zakonom) po kojem su toplinski kapaciteti krutih tijela (na sobnoj temperaturi) jednaki 3R. Prema ranijem razmatranju promjena stanja pri stalnom volumenu, tlaku iii temperaturi, dovodenje topline pri stalnom tlaku iii stalnom volumenu za kruta tijela manifestira se Možemo uvesti zato ipak) razlici toplinskih (specifitnih iii molarnih) molarnih) kapaciteta. kapaciteta. Moiemo u sasvim maloj dQ
cp,v =
Cp y p, V
Specifitni toplinski kapaciteti c krutih tvari
1 / dQ) (9-29) n p, V
gdje indeksi p, te "pri stalnom tlaku p", odnosno "pri stalnom volumenu V". Za kruta tijela je cp CV (Cp ^ CV ), §to je razumijivo jer se pri stalnom volumenu tijela dovedena toplina troti na poveeanje temperature, a pri stalnom tlaku se tek mall dio troti na toplinsko Mrenje. To pona.tanje vidljivo je i na slici 9.11.
Tablica 9.7b C 4
Tvar
c (20°C) [J/kg K1
Tvar
c (20°C) [J/ kg K1
Tvar
c (20°C) [J/kg IC]
Alkohol Gliccrin H2SO4 Voda (0°) Voda (40°) 2iva (0°C)
2 500 2 430 3 500 4 221 4 174 140.5
Benzen HCI Uljc maslin. Voda (5°C) Voda (50°C) 2iva (20°C)
1 700 2 930 1 970 4 204 4 176 139.6
Eter HNO3 Uljc paraffin. Voda (20°C) Voda (90°C) 2iva (200°C)
2 340 3 420 2 140 4181.6 4 204 134.0
C„
3R
D-P
C,,
-Ti T,
Spccifitni toplinski kapaciteti c tekudina
Slika 9.11 - Dulong-Petitovo pravilo (na visokim temperaturama), i T3 ponaganje na niskim! Podaci za vodu iz tablice 9.7b pokazuju da je potrcbno oko 4 186 J da bi se ugrijao 1 kg vode za 1 stupanj. Ranije se taj iznos cnergija zvao 1 kilokal (kcal), tj. 4 186 J=1 kcal. Ta se jedinica vibe sluibeno nc rabi u fizici i tchnici iako se i danas mote nadi na omotima namirnica (mlijeko nosi natpis: "Energijska vrijednost 100 nit mlijcka je 268 kJ=64 kcal") i nutricionisti i pisci kuharica je i dalje rain!
Tablica 9.8 Toplinski kapacitet Metal
Zadatak 9.4 Kolika mora biti masa metalne kugle specifitnog toplinakog kapaciteta 700 J/kg K, ako se ieli ugrsjati It vode temperature 6° C na temperaturu 20° C, tako da se kugla premjesti iz k(jutale vode u hladnu? RJE§ENJE: rn = 1.0465 kg.
Molarni toplinski kapaciteti Umjesto mace (u kg) predmeta tija toplinska svojstva razmatramo, moiemo možemo izraziti promjenu temperature 1 mola tvari, tj. AQ = mcAt = nCAt,
(9-27)
gdje sada definiramo molarni toplinski kapacitet C kao kolitinu topline potrebne da se 1 mol neke tvari ugrije za 1 stupanj. S obzirom da je n = m/M, gdje je M molarna masa, dolazimo do veze molarnog i specifienog toplinskog kapaciteta C = Mc.
(9-28)
Al Ag Au Cu Fe Pb Sn
Sobna temp. (300 K) J/g K
J/rnol K
0.904 0.235 0.129 0.387 0.450 0.128 0.222
24.4 25.3 25.4 24.6 25.1 26.5 26.3
Niska temp. (25 K) J/g K
J/mol K
0.0175 0.0287 0.0263 0.016 0.0075 0.0681 0.058
0.473 3.100 5.18 1.00 0.42 14.1 6.9
Eksperirnentalne vrijednosti toplinskih kapaciteta rnetala na sobnoj temperaturi (D-P pravilo) i na niskoj temperaturi T 3 ponaknje). Medutim, Dulong-Petitovo pravilo nepruža pruia objatnjenje zatto se C-ovi ovako ponataju a posebno ne daje odgovor o ponatanju molarnih toplinskih kapaciteta na niskim temperaturama, gdje oni padaju s T3. U molekularno-kinetitkoj teoriji (slijedeee poglavlje) D-P pravilo C 3R vrlo lako se izvodi iz teorije, medutim t Pierre Louis Dulong (1785-1838) francuski fizitar i kemitar i Alexis Therese Petit (1791-1820) francuski fizitar.
D. Rorvat: Fizika 1 za FER - Mehartika i toplina
Str. 9 - 19
Str. 9- 20
9. Toplina i terrnodinamika
Tablica 9.9
ni molekularno kinetielca teorija ne daje T3 ponaMnje za male temperature. Tek de to kvantna teorija krutog tijela objasniti u potpunosti. Toplinski kapaciteti plinova Kod plinova postoji znatajna razlika izmedu cp i cv (Cp i Cv). Tu demo razliku objasniti u kinetitko-molekularnoj teoriji (slijedede poglavlje), a ovdje je mobemo objasniti ovako: (proces zagrijaVanja plina pri stalnom tlaku prikazan je na slid 9.12.) dovodenjem topline A Q temperatura se poveda, a iz jednadžbe stanja idealnog plina pV = nRT vidimo da de dodi i do promjene volumena, tj. AV = (nR/MAT, bto se manifestira podizanjem klipa i utega (bez trenja) za A h, tj. A V = SZlh. Medutim, to znati da je pri procesu dovodena toplina (djelomitno) potrobena na AT ali i na rad AW =-F-Ah =pSAh =pAV,
(9-30)
pa za zagrijavanje (tj. za AT) treba vibe topline AQ i cp > cv. Za cv treba manje topline, upravo onoliko koliko je potrobeno za AV, pa mobemo sada napisati
Plin
cp
(.1/kg IC) 532 1 090 670
1.667 1.401 1.24
985 890 1 040 2 040
1.41
NH3
1.324 1.400 1.305
NO Metan Zrak
N20 Kisik
Vod. para
cv =
cp - cv =
TT,
-
CO2 Etilcn
cp
PC.
=
P/kg Kj
cp/cv
1 250 845 1 530
1.306 1.264
2 180 974 2 220 990
1.40
1.336 1.394 1.313 1.402
Specifitni toplinski kapaciteti cp plinova pri stalnom tlaku i adijabatske konstante m = cp /cv
Tablica 9.10
AQ = A W = pAV bto uz CP
Benzen
Argon
1 AQ - ( -a--T- ) v
1 m nR
Plin
CO CS, Duaik
cv
1 pA V
PC. = cp /cv
pA V AT = nR daje
Plin
Cp
(9-31) i konadno
1
Cv
Cp - Cv
Pc = Cp/Cv
Monoatomni plinovi Helij Argon
20.78 20.78
H2
28.73
N2
29.06 29.40 29.31 34.67
12.46 12.46
8.32 8.32
1.67 1.67
Dvoatomni plinovi
Uz n = m/M i C = Mc, dobijemo tzv. Mayerovu relaciju
1-Cp - Cv = R,
(9-32)
koja je u stvari mjera prijelaza toplinske energije u rad idealnog plina. 0 Mayerovoj relaciji bit de job govora nakon formulacije prvog zakona termodinamike!
02 CO C12
20.41 20.74 21.08 20.99 25.72
8.32 8.32 8.32 8.32 8.95
1.41 1.40 1.39 1.40 1.35
Vikatomni plinovi CO2 SO2
h
H2O CH4
36.92 40.35 35.38 35.50
28.43 31.36 27.01 27.10
8.49 8.99 8.36 8.41
1.30 1.29 1.31 1.31
Molarni toplinski kapacitet. plinova Cp,v, Mayerova relacija i adijabatske konstante tc = Cp/Cv; (na T = 300 K)
Slika 9.12 - Zagrijavanje plina pri stalnom tlaku dovodi do poyeeanja volumena plina AV = SZlh. U tablicarna 9.9 i 9.10 dane su vrijednosti toplinskih kapaciteta raznih plinova. Te iste tablice razlavlju lOgdje demo dati i mikroskopsko objakjenje vrijednosti cp i cv. Ovdje motrit demo pono napominjemo samo da c-ovi ovine o molekularnoj strukturi plina, a adijabatsku konstantu uvest demo malo kasnije! 9.5.2 Fazni dijagrami Krivulje koje opisuju izotermnu promjenu stanja plina dobijemo iz jednadžbe jednadibe stanja idealnog plina pV = nRT =konst. Njih smo prilcazali na [die! 9.8. Valja uoditi kako se krivulje prernjebtaju dalje od ishodibta kako ternperatura raste. Medutim, lskustvo nas uti da snibavanje temperature plinu (vodenoj pari npr.) vodi
do promjene od plinovitog u tekude stanje. Takve promjene odigravaju se kod odredene temperature, ali i to temperatura ovisi o tlaku. Grafitki prikaz prijelaza jedne faze (plin, tekudina, kruto) u drugu zovemo fazni dijagram. Na slid 9.13 prikazan je u p - T ravnini fazni dijagram vode. lstaknuta je trojna totkii B koja je odredena "koordinatama" (Te,Pr). Te vrijednosti ved smo spominjali kod odredivanja fiksnih totalca za odredenje temperaturne skate! Krivulja AB je krivulja sublimacije, gdje plin snibenjem temperature direktno prelazi u led (kada huknemo u ledenom automobilu na staklo gdje se odmah uhvate kristali leda). Krivulja BD je obidna granica leda i vode jednako laic Ito je i BC granica tekudine i plina. Ono bto je, medutim zanimljivo jest "nagib" krivulje BD prema natrag, ato znati da materna, pri stalnoj temperaturi prijedi iz krute u tekudu fazu povedanjem dales (vertikalna crtkana linija r na slid). To omogudava npr. sklizanje po ledu. U "tri" dimenzije fazni dijagram vode (ili vodi slitne tvari) prikazan je na slid 9.14. Fazni dijagram nebto razlitite tvari od vode - ugljidnog dioksida CO2 prikazan je na slici 9.15. Valja uoditi drugadiji nagib krivulje BD koja dijeli krutu od tekride faze. Trodimenzionalni prikaz ovisnosti CO2 i njemu slitne tvari dan je na slid 9.16.
1). Horvat: Fizika 1 za FER - Mehanika i toplina
Str. 9- 21
9. Toplina i termodinamika
Sir. 9 - 22
P
Pc
Slika 9.19 - Fazni dijagram vode s karakteristienim totkarna i prijelaznim krivuljama. • P
V • Slika 9.16 - p — V — T prikaz faznog dijagrama CO2.
dovodenje topline Q mijenjati temperaturu leda, uz nagib pravca u podrueju A odreden s ckd = 2 090 J/kg K. Medutim, u jednom se trenutku potinje dogadati negto neotelcivano: dovodenjem topline temperatura leda se ne mijenja (podrudje B na slid 9.17). Dovedena toplina ne proizvodi uobitajen efekt AT vee se dogodi neAto fundamentalno: led potinje prelaziti u vodu, na stalnoj temperaturi 0°C. Dakle, dovedena toplina troti se na razgradnju ledene kristalne regetke. Kada dovedemo upravo kolitinu topline Pt (ako je masa leda upravo 1 kg), tada se cijeli led pretvori u vodu. Dovedenu toplinu Pt zovemo latentna toplina taljenja i onaje jednalca toplini potrebnoj da se 1 kg leda (krute tvari) na temperaturi taljenja potpuno pretvori u tekueinu - vodu iste temperature. Za led je to kolitina toplinske energije jednalca 4 = 334 000 J/kg. Za obrnut proces skrudivanja kruta tvar otpu9ta istu kolitinu toplinske energije.
V Slika 9.14 - Prostorni prikaz razlititih faza za vodu. P D
C
PC
PL.
1, Tc
Slika 9.15 - Fazni dijagram CO2 u p — T ravnini.
Obadva trodimenzionalna dijagrama pokazuju neke zajednitke karakteristike: izoterma (3 projicira se u totku B. Za izoterme iznad -r nalazimo se u podrudju idealnog plina i d je tipiena izoterma s p — V dijagrama idealnog plina, slika 9.8.
1,
Slika 9.17 Promjene temperature po faznim prijelazima za vodu ili slienu tvar. Daljim dovodenjem topline (dio C na slid) temperatura raste, a nagib tog pravca odreden je s specifidnim toplinskim kapacitetom cv.as (podaci iz tablice 9.7b). Ponovno se u jednom trenutku temperatura vode prestane mijenjati (dio D na slici) iako i dalje dovodimo toplinu! To je situacija sliena onoj u B dijelu, osim gto sada imamo prijelaz voda—)para. Toplina potrebna za taj prijelaz, na temperaturi vrenja (100°C na normalnom tlaku) zove se latentna toplina isparavanja Ona je za vodu jednalca ti = 2 200 000 J/kg. Ta se ista toplina oslobada kada dolazi do obrnu tog procesa, do kondenzacije.
9.5.3 Agregatna stanja. Latentne topline
U E dijelu imamo zagrijavanje vodene pare, a nagib je odreden s cp,Lra prema odgovarajuoim podacima iz tablice.
Dovodenje topline mijenja temperaturu tvari uglavnom linearno, prema zakonu AT = (1/mc)AQ. Ako taj proces razmotrimo na vodi (kroz sve tri faze) prema slici 9.17 i ako krenemo od take A onda ee
Sa stanovitta lcalorimetrije i mijeganje sustava razlititih faza, valja uzeti u obzir sve izmjene topline pri zagrijavanju i faznim prijelazima. Nekoliko slijededih prirnjera posveeeno je tim problemima.
D. Horvat: Fizika I za FElt - Mehanika i toplina
Sir. 9- 23
Primjer 9.11 "Dva deci gemilta" temperature t, = 18°C leli se ohladiti, pa se u "gernis°t" doda kockica leda maze mi = 10 g i temperature 0°C. Kolika je konatna temperatura "gemeRa" tk? Kolika je konatna temperatura, ako se umjesto leda doda voda nastala taljenjern leda (temperature 0° C)? (tied = 335 000 J/kg, c, = 4180 J/kg K) RJE§ENJE Led to se prvo rastaliti u vodu, a za to treba kolitina toplinc
Sir. 9- 24
9. Toptina i terrnodinamika
To je aproksirnativni rezultat jer temperatura pare je 100 °C, all to para izlazi u okolni zrak koji ima temperaturu 20 °C. Preostala kalitina toplinc Q2 = Mn. Cm (T100 — Tk) potro4i se na zagrijavanje masa vodc s temperature T20 na ncpoznatu temperaturu Tk. Dakle rn„,c,i, (Two — Tk) =
Qi = ruled • el„,,
koju led dobije od vodc ("gemitta"). Nakon taljenja dobijcna voda se zagrije na (traienu) tcrnperaturu Tk. Ukupna toplina koju jc predala voda ("gemilt") jc Q2, tj.
Tk
— T5) = Q1 + miodc,,(Tk — To)
Q2 =
rns,c,,Ts, nnkaa,,To — Mled fled = 286.33 K rak.aci, + mpe„ t k = 13.3 °C.
maieniTioo + rrivt.T2o = 294.08 K 771.,Cv mmcm tk = 21.08 °C k
ill
Ako se umjesto leda ulijc voda onda je
4 4
= tn,c„T, + rm,ticcTo = 74 290.14 K rot lcdcv + 7719C,,
iii
t4 = 17.14 °C,
tto pokazuje da "ledena voda" bat ne parriaie pima (vet mole samo pokvariti "gemitt"!).
4 4 Zadatak 9.5 "Dva deci gentina" temperature T., = 18° C fell se °Nadia, pa se u "gemi.§t" dada kockica leda mate mi = 10g i temperature -4° C. Kolika je konadna temperatura "gemiffta"? (eled = 335 000 J/kg, c„ = 4180 J/kg K) RJEENJE: Tk = 286.24 K; t k = 13.24 °C
4 4 Primjer 9.12 Komad teljeza maze m„, = 50 g i temperature t„, = 200 ° C stavi se u vodu temperature t„ = 20°C i maze rn„ = 400 g. Kolika je konatna temperatura vode i teljeza? Koliki je volumen vodene pare nastao isparavanjem? Pretpostaviti da se leljezo tako polako uranja u vodu da se zagnje i ispari jedan dio node pri hladenju teljeza do temperature 100° C. Nakon toga se jednostavno teljezo (temperature 100°C) = 4186 J/kg K; uront (bez isparavanja). = 460 J/kg K; Pia p. = 2 260 kJ/kg.) RIEENIE Din toplinc koji se potroti na isparavanje oznatimo s Q. Ta toplina jcdnaka je Q, = oe). Ona se potro8i na zagrijavanjc (ncpoznatc) mase rat vodc a 20 °C na 100°C i na
mmcm (Taoo —
isparavanje iste mast ml, tj. Q, = mmcm (T200 — T100) = MI Cu (T100 — T20) + MI Iz gornje jednadibe lako dobijemo masu mi 7711 = mm
c,,,(T200 — Two) = 0.8864 g. cv leo — T20) + C.
S obziram da je molna rnasa vodc jednaka M(H20) = 18g/mal, dobije se da u masi mi iota n = m/M = 0.0492 mola. Iz jednadibe stanja idcalnog plina (uz tlak od 1 atm) dobijerno da jc V =
pa Jo
+ — )e,,T2o (m„ — 7111)Ck mmcm = 294.09 K tk = 2100 ° C.
Kad ne bismo uzeli u obzir isparavanje wide, konatna temperatura bila bi
gdje je To = 273 K. lz gornje jednadibe se dobijc konatna temperatura Tk: Tk —
— mi )e.(Tk — T20)
Ik=
nRT373 p
— 0.0015 in3 = 1.5 e.
Zadatak 9.6 Komad od mm = 50g metala temperature t,,, = 200 ° C uroni 8e u vodu maze mp = 400g i temperature t„ = 20 °C. Kolika je specifidni toplinski kapacitet metala ako je konatna temperatura 22.4 ° C? Ne treba uzeti u obzir isparavanje node! RJEENJE: Cm = 452.54 ..1/kg K
4 4 9.5.3 Prijenos topline Do sada nismo razmatrali kako dovodimo toplinu sustavu, vee smo pretpostavili toplinski dodir pri kojetn dolazi do izmjene topline zbog razlike temperatura, bez vr9enja rada. Ovdje ielimo istraiiti dinamiku i namedovodenja ill odvodenja topline. Ako stanemo ispred ugrijane peel i okrenemo dlanove prema peat, osjedamo "toplinu". Do dlanova nam toplina dolazi na dva na?ina tj. konvekcijom - strujanjem i radijacijom - zradenjem, eve dok ne polotimo ruke na pee Ito bi uklju?ilo i treei nein prenolenja topline, a to je vodenje iii kondukcija. Svaki od spomenutih na?ina uklju?uje izuzetno puno empirijskih podataka i zakona, a mi demo najvile istraiti ovdje vodenje topline. Veli6ina koja nas pri prenolenju topline zanima jest gurtoda toplinskog toka q 6ija je jedinica ..1/m2 6. Ona predstavlja (toplinsku) energiju prenesenu u 1 sekundi kroz jedinienu povrlinu. Gusto& toplinskog toka q povezana je a toplinskim tokom koji je jednak (toplinskoj) energiji prenesenoj u jedinici vremena. Konvekclja iii strujanje Prijenos topline konvekcijom svodi se na kretanje (prirodno iii prisilno) Auida (plina, tekueine) koji je u dodiru s povrlinom na koju iii s koje Zeihno prenesti toplinu. Prijenos topline kovekcijom opisan je Newtonovim zakonom konvekcije q=
—T f),
(9-33)
gdje je koeficijent konvekcije - empirijska veli?ina koja ovisi o karakteru povrline i fluids. Tp je temperatura 6vrste plohe (povrline), a T1 je temperatura fluids. Odgovarajuei toplinski tok je dan ovako (uz AT = — T11) (9-34) 0, = q S =
D. Horvat: Fizika 1 za FER - Mehanika i toplina
Str. 9- 25
Onda je prenesena toplina proporcionalna povrhini S i vremenu prenohenja t, tj.
Ako shvatimo 45o kao "struju topline", onda "Ohmov zakon" konvekcije moiemo napisati ovako AT AT 95` = = Rc (1/hcS)'
9. Toplina i termodinamika
Str. 9- 26
AQ
(9-35)
gdje smo uveli konvektivni toplinski otpor 1=1, = 1/1t,S. Moderni prozori koji moraju dobro izolirati prostoriju imaju dvostruka stakla izmedu kojih je "vakuum", todnije razrijedeni zrak diji je koeficijent konvekcije vrlo mali jer gotovo nema slobodne konvekcije, pa su toplinski gubici zbog konvekcije kod takvih prozora vrlo mali. Takoder, pri izvodenju krovnih povrlina, konstrukcije se tako postavljaju da omoguduju vedi protok zraka, tzv. ventilirajuda kroutata to tako konvekcijom odvode topli zrak i smanjuju pretjerano zagrijavanje tavanskih prostora. Zrad'enje iii radijacija "Toplinske zrake" koje nas griju izlazedi iz usijane spirale pedi ill koje peku hranu u peenicama su elektromagnetski valovi valnih duljina ne jako razlititih od valnih duljina crvene vidljive svjetlosti: one spadaju u infracrveni dio spektra i, naravno, pona8aju se po zakonima elektromagnetskog zratenja. Intenzitet zratenja 1 je velitina koja odgovara velicini gc definiranoj kod razmatranja konvekcije. Intenzitet 1 zratenja je dan Stefan-Boltzmannovim zakonom zratenja (apsolutno crnog tijela) 1 = aT 4 ,
S
i
Qat
(9-40a)
i takoder je proporcionalna razlici temperatura AT = jTi — T2I, a obrnuto proporcionalna debljini sloja materijala Ox, tj. AQ cc AT i
Q
1 —x . O
(9-40b)
Svakako, iskustvo uti da materijali razlitito prenose toplinu (drvene rutke na tavama iii posudama za kuhanje. itd.), pa gornje proporcionalnosti možemo ujediniti u jedan izraz AT Q= A— S t, Ax
(9-41)
gdje smo uveli velitinu A zvanu koeficijent topl'nske vodljivosti materijala. Ona je dana za razlitite materijale u tablici 9.11. Izraz (9-41) je zakon vodenja topline, koji demo primijeniti na niz primjera koje valja dobro proutiti.
(9-36) Tablica 9.11
gdje je T apsolutna temperatura, a a je Stefan-Boltzmannova konstanta. S obzirom da realna tijela nemaju karateristike apsolutno crnog tijela (vidi D. Horvat: Fizika II - valovi, optika i moderna fizilca), uvodi se velitina zvana emisiunost koeficijent emisivnosti) a dija je vrijednost u rasponu 0 < e < 1, a Icarakteristitna je za pojedina tijela. Ona ovako ulazi u zakon zratenja 1 = eaT 4 .
(9-37)
Stefan-Boltzmannov zakon je eksperimentalno uspostavljen u XIX stoljedu, a M. Planck je svojom kvantnom hipotezom 1900. godine omogudo da se Stefan-Boltzmannov zakon izvede iz fundamentalne relacije za spektralnu gustodu zratenja, koja je dana ovako f(A,T) =
22rhc2
1
As ehoA„
1
(9-38)
a koja integrirana po svim valnim duljinama daje upravo intenzitet, tj. Stefan-Boltzmannov zakon oo
r
1 .=
f(A,T)
(9-39)
Planckov zakon zratenja omogudo je analititki ratun konstante a. Zakonima zratenja posvetit demo uvodni dio dijela fizike koji zovemo moderna fizika. Taj uvodni dio povezan je sa stvaranjem kvantne teorije, kao jedne od temeljnih teorija suvremene fizike. Vodenje iii kondukcija topline Vodenje iii kondukcija topline povezana je s neposrednim prenoeenjem topline kroz materijal. Nelca je prema slici 9.18 T1 > 7'2 i pretpostavimo da toplina ne izlazi bodno (lateralno), ved se samo prenosi s lijeva na desno.
Tvar Alkohol Amonijak Azbest Beton Cink Granit Kvarcno staklo Kota Mcsing Mrarnor Papir Pcrje Pluto Platina Pjaltanik Snijeg Stiropor Ugljitni dioks. Zlato Zcljezo
Kocf. toplinske vod. A [W/m K] 0.18 0.024 0.60 = 0.90 7 100 =2.80 1.36 =0.15 384 2.96 0.125 0.002 0.05 69.5 =2 0.209 0.008 0.014 293 47.7
Tvar Aluminij Anilin Bakar Benzen Drvo Kisik Klor Led Mctan Olovo Paraf. uljc Platina Porcelan Srcbro
PVC Staklo Samot Ugljik Zrak Ziva
Kocf. toplinske vod. A [W/m Kl 209 0.17 385 0.14 =0.1 0.024 0.007 2.23 0.027 35 0.125 69.5 1.05 422 0.17 422 0.04 0.167 0.034 8.4
Kocficijenti toplinskc vodljivosti A
Izraz AT/Ax za infinitezimalne promjene moiemo napisati i ovako dT/dx (u smjeru x osi), odnosno kao iznos opdenitijeg vektora Igrad TI = IVTI za proizvoljni smjer vodenja topline. Taj izraz nam govori a toplinskom gradijentu tj. a (infinitezimalnoj) promjeni temperature s (infinitezimalnom) promjenom poloiaja - smjera. Toplinski tok pri vodenju topline moiemo napisati ovako
Slika 9.18 - Vodenje topline - smjer toplinskog toka je odreden iznosima temperatura T1 i 72.
Q AT =— =A S, t x
(9-42)
D. Throat: Fizika za FER - Mehanika i toplina
a gusto6a toplinskog toka q, je
Str. 9- 27
sbo Q
q, = — = — = A S St Ax
(9-43)
Kao i ranije, toplinski tok rnožemo interpretirati kao "struju topline" koja nastaje zbog "razlike potencijala" (ternperatura) AT, pa onda pitemo ponovno "Ohmov zakon" za toplinsko vodenje ovako
Str. 9- 28
9. Toplina i termodinamika
Primjer 9.19 Dvije ploee, jedna drvena a draga aluminijska, line toplinsku izolaciju nekog spremnika. Debljina drvene ploee je Ld = 2 cm, a alumini jske L. = 1 cm. Koliko topline po jedinici poor-tine "iscuri" za 1 sat iz spremnika ako je temperatura unutar spremnika = -3°C, a vani to = 20°C. Za koliko se postotaka promijeni toplinski tok po jedinici povreine ako se izmedu drveta i aluminija umetne guma debljine 1 cm? (Ad = 8 x 10 -4 J/s cm° C; A. = 2.4 J/8 cm ° C; R9= 500 m2 ° CO) RJE"kNJE Toplinski tok q kroz prvu ploeu dan jc ovako
;ATE
= Ax/AS
(9-44)
R,
= - = Ai S T - T, , L
gdje smo uveli toplinski otpor vodenja topline Ax
(9-45)
Ovisnost toplinskog otpora o S, Ax i A je sasvim oCekivana i razumljiva. Ako promatramo vodenje topline kroz nekoliko slojeva (razliCitog) materijala, onda ce ukupni otpor vodenja topline biti jednak Az; Axi 1 (9-46) Ru = ERvii
2=
gdje jc T temperatura dodirnc povrline prvog i drugog matcrijala. Toplinski tok kroz drugi materijal jc
q2 = Qt
Pri ravnotcinom prijenosu, toplinski tokovi su jednaki, tj. q, = q2, pa je
,„ "T L,
T= IATI
(9-47)
Rv/2
IA TI IATI R R, +
L2TI A2L1T2
At L2 + A2LI
Tu tcmperaturu uvrstimo u izraz za toplinski tok pa dobijemo
T2 - Ti q- = S t 1..11A,± L21A2 .
Ako osim vodenja razmatramo i konvekciju, onda je ukupni toplinski tok jednak Cb = Cbc + Cbv =
(9-48)
Za urnetanjejoi jednog materijala gornji izraz motemo poopoiti a q s
U slijedeeim primjerima gornja razmatranja primijenjujemo na nekoliko zanimljivih situacija. Primjer 9.13 Zid od betona (b) debljine 10 cm valja s jedne strane obloiiti drvenom oblogom (d) da bi se smanjio toplinski gubitak za p = 20 %. Koliko mom biti debeo sloj drveta? (rAb = 8 x 10-3 J/s cm ° C; Ad = 8 x 10 -4 J/scm°C)
_ AT = s AT 9= q .5•A Ra Axe
Iz gornjcg izraza lako dobijerno debljinu drveta Axe
Axd = Axe •
Ad,1 Ab
- 1.2 = Z.3 rnrn.
T1 EL/A,
T2 -T, ER;
gdje su uvcderd toplinski otpori za i-ti materijal. Uvrgaavanjern odgovarajuoih podataka za sluCaj aluminija i drveta, dobijemo za guatoeu toplinskog toka
Za 1 sat to "iscuriti" 33.114 J/m2 . Ako se umetne i gurna, dobijemo
gdje jc uvcdcn toplinski otpor betona Taj sc tok icli smanjiti za 20% na q', tj. s faktororn R koji jc jednak R = (1 - p/100) = 0.8 valja pornnoiiti q da sc dobijc q'. Dakle, sa slojern drveta debljine Axe imam() toplinski tok jednak
AT AT AxeRe + Ad/Ad - Re + Rd AT AT - R Re U. q' =K9 ± Rd
na q = s T2 IA, b2/ A2+ L3/A3
_ AT = 0.0092.1/m2s. S S(R„ + Rd)
RiE§ENJE Toplinski tok kroz zid od betona jednak je
=S
2s T2 -T L2
i iz gornjcg izraza rnoiemo pronali tcmperaturu dodirnc povriiinc T
gdje se suma proteže po svim materijalima. Toplinski tok je jednak
= R„
AIST2112 T
AT S S(R. + Ra + a za 1 sat iscuri 27.596 J/rn2. Srnanjenje iznosi oko 17%!
i Primjer 9.15 Kutija od stiropora ima ukupnu povreinu jednaku 0.8 m2, a stijenke su joj debele 2cm. Temperatura unutar kutije je 5°C, a izvana je 25° C. U kutiji 8e nalazi 5 kg Leda koji se nakon 8 sati rastopi. Koliki je koeficijent toplinske vodijivosti stiropora? (Mole se uzeti da se sva dovedena toplina troei na taljenje Leda, jer je temperatura unutrainjosti kutije stalnal)(11.d = 339 kJ/kg) RJE§ENJE Za taljenje leda rnase m treba Q, topline, tj. Q, = m • tie. 'Pa toplina udc iz okolinc u kutiju za 8 sati, tj.
AT = SA— t, Ax
U. Horvat: Fizika / zu PER - Melianika i toplinu
Sir. 9- 29
9. Thplina i terrnodinarnika
Sir. 9- 30
Za stacionarnu sitauciju, kada je
pa je
A
mtAx StAT
= 7.3 x 10-4 J /sern ° C.
4 4 Iglu oblika polukugle ima unutarnji polumjer R = 2.5 m. Debljina leda je Ox = 30 cm. Koliko jaka grijalica mom biti ukljueena u igluu ako se ieli odriati temperatura od 5° C. Vanjska temperatura je -40° C. (A1,,d = 1.67 J/m 8 G° ).
Prirnjer 9.16
RJEtENJE Toplinski tok koji izlazi iz iglua mora biti jednak onom koji mora dati grijalica. lz formulc za toplinsku vodljivost dobijemo za toplinski tok koji izlazi iz iglua q = —Algid
4/rrr 5°C — (-40 °C) — 2 Ox
q
konstantan imamo ca,
=
q dr 2rrAL r
To je diferencijalna jednadiba u kojoj ne znarno q, a pojavit de se i integraciona konstanta. Imat demo dvijc nepoznanice, ali rubni uvjeti nam daju upravo dva potrebna podatka, tj. T(R1) = Tr i T(R2) = T2. Dakle, intcgracija gornje jednadibc daje T(r) =
2L -2
rr A
In r + C.
Gornji uvjeti daju
T(R,) = =
2: AL In RI + C
T(R2) — T2 =
q R2 + C. 2L 7r A In
11kW. Oduzimanjcm dobijcmo
Dakle, grijalica mora irnati 11 kW ("obitni" kalorifer ima oko 2 kW!).
Ti —
T2
=
(I
2rrAL
In
R2
pa jc
4 4
q
2rrAL(T2 —
T,)
In(R2/Iii)
Primjer 9.17 Odredite kako se gubi toplina pri vodenju topline kroz stjenke (debele) cijevi duljine 2 km kroz koju se prenosi omen voda temperature T1 = 383 K=110°C. Vanjska temperatura je T2 = 273 K--,0°C, a cijev ima unutarnji polumjer R1 = 15 cm i vanjski R2 = 20 cm. Materijal od kojeg je nadinjena cijev ima koeficijent toplinske vodljivosti jednak A = 0.6 W/m K. Odredite raspored temperature u obtozi, tj. T(Ri < r < R2).
lzratunajte vrijednost T(r = (R1 + R2)/2)!
— 1.441 x 103 J/s.
Integraciona konstanta jc
C = T — (T2 — T1)
In RI In(R2/RI )
i ovisnost T(r) izgleda ovako T(r) = Tr+ (T2
TI)
1
In(R2/R1)
In(r/R1) =
= 383 — 382.37 • In(r/0.15), 5to daje T(r = 17.5 cm) = 324.06 K.
4 4
9.6 Unutarnja energija. Prvi zakon termodinamike
Slika 9.19 - Presjek cijevi kroz koju prolazi vruda voda iz primjera 9.17.
RJEIENJE Jednadiba vodenja topline je dT OQ = —AS—
dx
pa je toplinski tok jednak q=
dQ dT
dT = —AS
Valja uotiti negativni predznak koji se javlja zbog prijelaza topline s vibe temperature na Miu pa je dT < 0, a AQ mora biti (ovdjc) pozitivan, pa negativan predznak kompenzira negativnost dT! Povr$ina kroz koju prolazi toplina dQ (u jedinici vremen dt) je povr$ina valjka duljine L, tj. S = 2rrrL, pa gradijent temperature pitemo dT/dx -4 dT/dr. Onda je OQ
Dt
— q = AS
dT = dr
A2rirLdT dr
Dovodenjem toplinske esadržaj toplinskom sustavu rekažerno u promjeni temperature tog sustava. S torn promjenom mi povezujemo energetski sadriaj toplinskog sustava i kaierno da je dovedena toplinska energija poveeala ukupnu toplinsku energiju sustava i to energiju zovemo unutarnja enenjija. Medutim, promjene stanja termodinamitkog sustava koji se sastoji od idealnog plina pokazuju da se prilikom zagrijavanja plin mae liriti, a time, prema defmožemo i rada u fizici, i vrbiti rad! Taj rad je posljedica zagrijavanja (dovodenja toplinske energije) sustava, pa moiemo kazati da se "dovedena toplinska energija pretvorila u rad". Zadatak termodinamike je pronadi odnos izmedu dovedene (ili odvedene) topline toplinskom sustavu, promjene unutarnje energije i izvrbenog rade, i to odnose izraziti preko makroskopskih parametara (p, V, T) kroz minimalni skup (empirijskih) zakona! Dva zakona termodinamike u potpunosti odreduju fizikalne okvire svih procesa pretvorbe toplinske energije u rad i obrnuto. Ti su zakoni u potpunosti bazirani na iskustvu, njih je nemogu6e dokazati, a njihovu ispravnost pokazuje ogroman raspon fizikalnih situacija koje ti zakoni s uspjehom reguliraju i odreduju. 9.6.1 Prvi zakon termodinamike
Uzet eemo kao toplinski sustav odredenu kolitinu idealnog plina (maze m iii kolitine n) opisanog s tri parametra (p, V, T). Dovodenje topline u sustav rezultira u povedenju temperature, a odvodenje topline
D. Horvat: Fizika 1 za FER - Mehanika i toplina
Str. 9- 31
dovodi do smanjenja temperature sustava. Prema tome, korisno je definirati pobliže AQ, dovedenu iii odvedenu toplinu, da odmah moiemo znati o kojem se procesu rado. To jednostavno postižemo s predznakom AQ (ili dQ). KaZemo da je AQ > 0 kada toplina ulazi u sustav, a kada toplina izlazi iz sustava. AQ < 0 Takoder, promjena volumena plina dovodi do, recimo, pomicanja klipa, S to znati da se plin mole (ekspandirati) iii skupljati (komprimirati), pa plin mote wait! rad. Definiramo zato, u skladu s gornjim razmatranjem predznak rada A W i kažemo da je AW>0
kada plin vdi rad (ekspanzija), a
AW < 0
kada se (izvana) na plinu vrti rad (kompresija).
Rezultati eksperimenata polcazuju da je razlika dovedene/odvedene topline AQ i izvrgenog rada AW uvijek jednaka, bez obzira kao je izmijenjena toplina AQ i kako je izvden rad AW, aim je poeetno stanje p i konatno stanje k isto, tj. razlika (AQ — aw)(,,k) ne ovisi o procesima, vet; samo o p i k. Madutim, AQ — A W je razlika izmedu (recimo) doveden topline i (recimo) izvrtenog rada, tj. ta razlika je energija koja je ostala u sustavu, pa možemo napisati AQ — OW = AU (9-49)
Str. 9 - 32
9. Toplina i termodinamika
U; .p. = U(T).
9.6.2 Mayerova relacija II
Ranije smo pokazali da se molarni toplinski kapaciteti Cp i Cv idealnog plina razlikuju za R, tj. izveli smo iz opeeg razmatranja Mayerovu relaciju Cp = Cv + R. Pogledajmo sada kako možemo povezatio toplinske kapacitete s prvim zakonom termodinamike d'Q = dU + d'W = dU + pdV.
Up,
(9-50)
nC,, dT = nC v dT + nR dT
iii
d'Q = dU + d'W
(9-54)
Ato odmah nakon dijeljenja s dT daje Mayerovu relaciju
tj. AU je funkcija stanja, a ne ovisi o procesima! Gornje jednakosti možemo napisati ovako AQ = AU + AW
(9-53)
Ako toplinu idealnom plinu dovodimo uz stalan volumen, onda je pdV = 0 pa je dovedena toplina jednaka d'Q = dU = nCv dT • Za izobarni proces je Q = nCp dT, a iz jednadibe stanja idealnog plina je pdV = n R dT , pa sve to moiemo staviti u izraz (9-53)
gdje je AU, prema definiciji unutarnje energije, upravo promjena unutarnje energije nakon St° je sustavu dovedena toplina i on je izvrtio rad i vrijedi AU = Uk
(9-52)
To znati npr. da se pri izotermnoj promjeni stanja plina njegova unutarnje energija ne mijenja! Pornoeu prvog zakona termodinamike izvest eemo sada neke fundamentalne relacije i jednakosti koje Cern° kasnije rabiti pri razmatranju termodinamiekih procesa.
Cp — Cv = R. (9-51)
i to je matematieki zapis prvog zakona termodinamike, koji kage da se dovedena toplina sustavu djelomieno pretvori u promjenu unutarnje energije, a djelomieno potrok na izvrgeni rad. Crtice na diferencijalima d'Q i d'W nag upozoravaju da izmjena topline i izvrteni rad bitno ovise o natinu kako je dodo do promjena, da to promjene nisu (samo) funkcije stanja vet da su funkcije procesa! To Cam° malo kasnije prikazati na nizu najvainijih promjena stanja idealnog plina. Prvi zakon termodinamike jc u stvari (sasvirn jednostavan) zakon saeuvanja energije, gdje sada razmatramo i toplinu, koju smo u mehanici jednostavno ignorirali i Zak smo izbjegavali problcme pretvorbe mchanieke cncrgije u toplinsku, jer tame jog nismo znali kako kontrolirati i ratunati taj "gubitalc" energije. Ovdje narn jc primarna zada& izratunati koliko se rada "izgubi" u okolinu u obliku toplinske cncrgije, a koliko se manifestira u promjeni temperature. To je povezano s vrlo tetkim eksperimentalnim zadacima mjcrcnja ukupne toplinske cncrgije i njenog djelomienog "bijega" iz sustava! Definicija unutarnje energije i relacija kojom je ona izragena ne govori nam o kojim parametrima ovisi ta funkcija stanja. Razmotrimo zato slijedeei pokus (koji je napravio Joule) prema slici 9.20: n molova idealnog plina nalazi se u lijevom spremniku koji je ventilom odvojen od desnog. Obadva spremnika su potpuno toplinski izolirani od okoline. Katemo da to se procesi odvijati adijabatski, tj. adijabatski procesi su oni kod kojih nema izmjene topline s okolinom. Ako otvorimo ventil, plin se ragiri u cijeli spremnik i tlaJcovi se izjednadee. Izuzetno vagan ekspoerimentalni rezultat jest: slobodno tirenje plina, nakon Ato je uspostavljena ravnoteia, ne mijenja temperaturu plina! Iz toga moiemo zakljutiti slijedeee: so obzirom da nema izmjene topline s okolinom AQ = 0. Takoder, rad nije izvrten, pa je LW = 0. Prema tome, iz prvog zakona termodinamike je AU = AQ — A W = 0, tj. ni unutarnja energija plina se nije promijenila, iako mu se promijenio volumen. Dakle, unutarnja energija sigurno nije funkcija volumena! Ostaju, medutim jos tlak p i temperatura T. Ako iz jenadibe stanja idealnog plina izrazimo, recimo, tlak pomoeu V i T, onda se ovisnost U svodi samo na ovisnost o T, jer pokazali smo da U ne ovisi o V! Dakle, za idealni plin je
(9-55)
Uobieajeno je uvesti omjer C—ova, tj. definiramo adijabatsku konstantu idealnog plina Cp K =
Cv
C = -2. >
cv
K
1.
kao (9-56)
Sada C—ove možemo izraziti preko I R Cv =
K -1
i C„ = KR k —1
(9-57)
ObjaAnjenje i kvantitativni izraz za adijabatsku konstantu rate! Cern° u molekularno-kinetiekoj teoriji (slijedeee poglavlje), a ovdje možemo kazati da K ima slijedeee teoretske vrijednosti • - za jednoatomni plin K = 5/3 i 5 Cv = — R i Cp R (9-58a) 2 = 2 • - za dvoatomni plin
K =
7/5 i Cv = — R 2
• - za troatomni plin
K =
i
Cp =
7
(9-58b)
4/3 1
8 Cv = R i Cp = —R 2 2 U tablici 9.10 su vet ranije dani molarni kapaciteti plinova.
(9-58c)
di () je funkcija procesa Pomoeu Mayerove relacije sada moiemo dokazati tvrdnju da d'Q doista mora imati "crticu" na d, tj. da prenesena toplina nije jednaka izmedu istog poeetnog i konaenog stanja za dva razlitita procesa. • Proces a na slici 9.21 (za n = 1 mol idealnog plina): prenesena toplina jednaka je AQp = (izohorno) + (izobarno) = 7', = f Cy
70 Slika 9.20 - Slobodno eirenje plina nakon otvaranja ventila. Posude su toplinski izolirane od okoline pa nema izmjene topline.
= (Cp
Ta
d7' + f Cp dT = Cv (T1 — To ) + Cp (To — T1) = 7',
CO(To — Tr) =
JIM
—Tr).
(9-59)
D. Horoat: Fizika I za FER -
Me hanika i toplina
Str. 9- 33
Str. 9- 34
9. Toplina i terrnodinarnika
p Ako se sjetimo definicije akijabatske konstante K = Cp/Cv, onda gornju diferencijalnu jednadthu rnožemo integrirati ovako P2
V2
dp fp
V
f V v,
ill
Pi
KlnV v~ =
v,
-Inp P~
(9-65)
stodaje
pi V" = p2V" = pV =
konst.
V
Zadnja jednakost je jednadžba adijabate i kako je K > 1, krivulje su strmije od hiperbole - izoterme (p1/1 = konst.), fto je prikazano na slici 9.22.
mogueih
Slika 9.21 - Dva od bezbroj putova - procesa izmedu a podetnog P i konnog K stanja idealnog plina
p
• Proces C3 na slici 9.21 (za n = 1 mol idealnog plina);prenesena toplina jednaka je =
(izobarno) + (izohorno)
Cp(7,2 = f C p dT f Cv dT =_- TO) ± CV (TO - T2) = 7.2 ro = (C p C V)( T2 - TO) = R(T2 T0 ). S obzirom da je
T2 > TO >
(9-60)
7'1 otito je AQa
4Qa
(9-61)
pa izmijenjena toplina u a i procesu nije ista, iako smo krenuli od istog potetnog i dal do istog konatnog stanja.
V
pV" =c i izoterme pV =c'. Iz jednadžbe stanja idealnog plina pV = nRT možemo jednadžbu adijabate napisati i pomothl parametara, tj. iz Slika 9.22 - Adijabate
9.6.3 Jednadiba adijabate Adijabatski proces slobodnog Airenja plina je.jedan od niza adijabatskih procesa koje je vaino razmotriti u termodinamici. Po© sto je d = 0 kod adkjabatskjh procesa, prvi zakon termodinamike kale da je rad izvrAen na ratun unutarnje energije Ato rezultkra.snizenjern temperature, jer smo pokazali daje U = U(T). Plin prolazi kroz (beskonatni) niz ravnotežnih.staaja odredehih jednadžbom stanja idealnog plina, medutim svalca se dva susjedna stanja razlikuju u sva tr ■ parametra P, V i T. Pogledajmo koju "putanju" opisuje niz stanja u pv ravnini. Dakle, prvi zakon termodinamike daje 0 = dU + pc117
nRT - (nR)TV" =
nRT,
dobijemo da je p dV +V dp
konst. iii (9-66)
= konst. dobijemo jednadžbu adijabate u gornjem obliku. Dalje, umjesto volumena možemo iz jednadžbe stanja idealnog plina izraziti tlak p, 3to vodi na tred oblik jednadžbe adijabate pi-" T" =
(9-62)
no za idealni plina je dU = nCv dT, pa je nCv dT = -P dV i kako pV nRdT iii + dT dp
V i T
konst.
(9-67)
9.8.4 Rad idealnog plina u raznim procesima Rad je u fizici definiran ovako
(9-63)
W=f
P • cif;
(9-68a)
6to vodi na Cv p dv pdV = Cv dp
R Cv + R
Cv pdV = _-V
iii
dp, pa uz M ayerovu relaciju dobijemo
dV Cp -7" 1 =
CV ciP
a ako uredaj - spremnik - cilindar s klipom (koji se mote micati bez trenja) složimo prema slici 9.23, onda gornji izraz, uz p = FIS, izgleda ovako (9-64) W=ipS dx
= f p dV.
(9-68b)
D. Ramat: Fizika I za FER - Mehanika i taplina
Str.
95
Str. 9- 96
9. Toplina i terrnodinamika
As
Slika 9.23 - Rad idealnog plina poue6anjem bolumena cilindra zbog potnicanja klipa.
TP vp
To je opei izraz za rad koji eemo rabiti u termodinamici. Kako je tlak p opeenito funkcija volumena i temperature, rad od p do k moramo ratunati za razlitite ovisnosti, tj. za raztieite promjene stanja idealnog plina. Rad pri izotermnoj prornjeni stanja idealnog plina Kod izotermne promjene stanja n mola idealnog plina moiemo napisati k
k
W.ot = f p dV = f P
k
nR7'
f
dV V
. n RT In V
P
Slika 9.25 Rad izvrien izobarnom ekspanzijom idealnog plina. Rad izvegen pri izbarnoj ekspanziji jednak je povrtini pravokutnika ispod "krivulje" (pravca) ovisnosti tlalca p o volumenu V. Na slici su ucrtane i pripadne izoterme potetnog i konaenog stanja. Rad pri izohornoj prornjeni stanja idealnog plina Kod izohorne - izovolumne promjene stanja n mola idealnog plina nema promjene volumena dV = 0, pa je i izvrteni rad jednak null
k
3,
ili, konaeno
(9-71)
WI.OV = 0. (9-69)
Wi.ot =
V
Pk
Vk
nRT In —
Rad pri adijabatskoj prom jeni stanja idealnog plina Kod adijabatske promjene stanja n mola idealnog plina moiemo napisati
VP .
Wadi = pdV = .1"
'-
dV = nR .1" T T-,
(9-72)
i sada moramo uzeti u obzir da se temperatura mijenja po zakonitosti iskazanoj jednadtbarna (9-66,67). Iz jednadibe (9-66) TV" =konst. diferenciranjem dobijemo
dT
+ T(n. - 1)V"-2 dV = 0 ili dT
(9-73)
dV = (1 — a)—
V
i to uvrstimo u (9-72) k
Warn =
nR fnR dT = —(Tk -Tv) i konatno
1 — PC
1 — IS
(9-74)
P
vp
V
vk
Waal =
R
1 (Tp — Tk).
Slika 9.24 Rad izvrien izoterrnnom ekspanzijom idealnog plina. To je izraz za izvr4eni rad pri izotermnoj ekspanziji n molova plina od poi etnog volumena Vp do konatnog volumena Vk. Rad je pozitivan, s obzirom na prvi zakon termodinamike, pri izotermnoj promjeni unutarnja se energija ne mijenja, pa je rad izvrAen na osnovu dovedene topline AQ = Wi.oc• Na slici je rad jednak povrAini ispod krivulje - izoterme. Hladenjem plina, tj. odvodenjem topline plinu bi se smanjivao volumen, rad bi bio negativan i govorimo o izotermnoj kompresiji.
=konst. lc- 1 TV mkoast
PV
Rad pri izobarnoj prornjeni stanja idealnog plina Kod izobarne promjene stanja n mola idealnog plina moiemo napisati k
k
Wieob = f p dV = p
Tp
dV = pVl k iii , konaeno
Tk
(9-70) Wieob = P(Vk
Vp).
vp
rk
V
Slika 9.26 Rad izvrien adijabatskom ekspanzijom idealnog /Ana.
D. Horvat: Fizika I za FER - Mehanika i toplina
Str. 9- 37
Na slici 9.26 prikazane su dvije izoterme koje povezuje adijabata dui koje je izvrkn rad. Treba uotiti da je adijabatskom ekspanzijom izvrkn pozitivan rad za situaciju (na slid) kada je potetna temperatura veta od konatne, tj. Tp >
9. Toplina i terrnodinamika
Str. 9- 38
Primjer 9.18 p
Razmatranja prethodnik odjeljaka vode nas na zakljutak da i rad izvr6en na razne natine (kroz razne procese) ovisi ne samo o potetnom i konatnom stanju, vet i o procesu kojim je rad izvrkn. Situacija je, dakle analogna onoj s izmjenjenom toplinom, te i ovdje nalazimo opravdanje "crtice" na d u d'W! Na slid 9.27a,b prikazana je slikovito to situacija ovisnosti kolitine izvrknog rada o procesu, a izmedu istih potenih i konatnih stanja.
Silica lijevo predstavlja proces u kojcm sudjeluju 3 mola jednoatomnog idcalnog plina u kruinom procesu izmedu dvije izoterme i dvije izohorc. lzratunajte ukupnu toplinu predanu plinu, ukup nu toplinu oduzctu plinu, ukupnu izmijenjcnu toplinu i kocficijcnt iskoriAtcnja q. (To = 400 K)
37; To Ys
2Vp
Slika 9.28 uz primjer 9.18 RJE9ENJE Za prijelaz 1-42 izvr9eni rad je =
V2
nR3T0 In v = 3nRT0 In 2.
To je ujedno i toplina Q1,2 izotermno predana plinu na temperaturi 37'0. Za dio 2 —■ 3, izohorna promjena (dV = 0) znati smanjenje unutarnje energijc uz predaju topline okolini, tj.
Slika 9.27 - Dva od beskonaeno puno proem prevodenja idealnog plina iz po2etnog P u kona2no K stanje uz izvrieni rad W. Na slici 9.27(a) prikazan je prvo izohorni proces uz stalni volumen V9, zatim izobrani proces do adijabate i zatim adijabatski proces do konatnog stanja K. Tamnija povr6ina je izvrkni rad. Izmedu istog potetnog i konatnog stanja na slid 9.27(b) prikazana je prvo izobarna ekspanzija na stalnom tlaku p9 , zatim izovolumno hladenje, izotermna ekspanzija, izhorno hladenje i konatno adijabatska ekspanzija do konatnog stanja. Tamnija povr6ina - izvaieni rad u torn nizu procesa bitno je razlitita od povr6ine u (a)!
dU = I dQ = ncv Q2,9 = MCV (TO
—
J
dT,
3T0) =
ili
— 2mc„To
Za jednoatomni plina je ro = 5/3 i Cv = RI(n. — 1) = 3R/2, pa je predana toplina jednaka Q2,9 = —3nRTo. U dijelu procesa 3 -s 4 imamo izotermnu promjenu stanja pri ternu sc na sustavu vr9i rad, koji jc negativan, tj. BT4) = nRT0 In = —nRT, In 2,
9.7 Kruini termodinamieli procesi. Drugi zakon termodinamike U prethodnom odjeljku istražili smo natine kako idealni p1M u nekom termodinamitkom procesu mole izvrtiiti rad. Prvi zakon termodinamike omogutava nam da izratunamo i kolitinu prenesene topline koja je potrebna ill koja se dobije u tim procesima. Posebno je vaino istaknuti da se ti procesi mogu odigravati i tako da zamijenimo potetno za konatno stanje i obrnuto, odnosno mogute je izvesti proces u jednom smjeru i taj isti proces ponoviti u drugom smjeru i nad se u potetnom poloiaju. Takve procese zovemo reverzibilni procesi i oni su izuzetno vaini u praktitnim proratunima toplinskih strojeva i toplinskih pumpi koje team obraditi u ovom odjeljku. 9.7.1 Kruitil procesi
a s obzirom da pri izotermnoj promjeni nema promjcnc unutarnje cncrgije, rad WV, an izvr9i uz predaju topline Q3 ,4 = Prijclaz 1 -4 4 odgovara prijelazu 2 -4 3 osim &to je poveCanje unutarnje energije postignuto dovodenjem topline QI,4 tj. QI,4 = +3nRTo. Ukupna predana toplina je
= Q3,4 + Q2,3
=
—nRT0 In 2 — 3nRTo
= —3.68 x 10° J. a ukupna dovedena toplina je Qdu = Q1,2 t Q4,, =
3nRT0 In 2 + 3nRT0
= 5.07 x 104 J.
Niz (parcijainih) procesa koje smo obradili navode na ideju da se uzme sustav i da u kruinom procesu, dovodeti i/ill odvodeei sustavu toplinsku energiju, dobijemo koristan rad, tj. pomotu tzv. toplinskog stroja iz topline dobijemo rad! Takoder, pomoau rada možemo hladiti sustav ispod temperature okoline pomotu toplinske pumpe ili hladnjaka. Svakako, ogranitenje na provedbu te ideje daje prvi zakon termodinamike koji nam odmah, uz pomoo prije priredenih retina za rad idealnog plina u raznim procesima, daje ukupnu bilancu uloiene topline i dobijenog rada ill uloženog rada i izvutene topline. Pogledajmo sada nekoliko primjera kruinih procesa koje valja vrlo pailjivo prostudirati!
Bilanca topline je AQ = 2nRT0 In 2 = 1.383 x 10° J. Kocficijent iskorigtenja je ornjcr izmedu dobijenog rada i uloicne (dovedenc) topline, tj. IV,k, _ W1(9 — .2 + Qdo Q ■ ,2 + Q4,1 21n 2 — 0.2729 ili 27.3% 3(In 2 + 1)
D. Norval: Fizika 1 za PER - Mehanika i toplina
Sir. 9- 39
Sir. 9- 40
9. Toplina i terrnodsnamska
Silica lijevo predstavlja proccs u kojem sudjeluju 3 mola idcalnog plina u kruinom procesu. PIM se prvo (1 2) izohorno Wadi s tlalca od 3 atm na standardne uvjete, a zatirn se izobarno zagrije (2 3). Adijabatskim komprirniranjern (3 1) plin se vrati u potetno stanje. Kolika jc ukupna priniljena/predana toplina, a koliki ukupni dobijcni/ulo-tieni rad? (C, = 25 J/rnol K)
TB V Slika 9.30 uz primjer 9.20 Ukupna bilanca toplinc je
= 2.19 kJ i ukupni rad je
6 6
Slika 9.29 uz primjer 9.19
RJEENJE U totki 2 plin se nalazi na standardnim uvjctima (SU), a to znati da je pa = 101 325 Pa=1 atm i Ti = 273K i V1 = 3 • 22.41 = 31/0. 1: toga moierno izratunati ternperaturu
T1, tj. pi = nR7',
T, =
818.98 K.
12 jcdnadibc adijabate koja povezuje totku 1 i 3 imarno j92 1/,' gdje
= —5.19 kJ.
= po q
V3 =
Primjer 9.20 Idealni plin adijabateke konetante is = 1.4 mijenja se u procesu prikamnom no shot 9.30, pri demu se u (1) on adijabateki rastede od 110 = 0.61, zatim se u (2) izotermno komprimira i izohomo au u (3) vra6a u podetno stanje a po = 1.8 atm. /zratunajte koliki rad izvrai u torn kruinom procesu. RJE§ENJE Prvi dio process (1) je adijabatski dui adijabate tija je jednadiba p01/0' = pa(3Va)', pa jc P B = pu/3", a rad koji izvrti plin je
= pdV = poVcr
3v°
dV
=
adijabatsku konstantu dobijemo iz zadanog molarnog kapaciteta Cp = rcR/(n — 1), tj. 1
Cp C
—
R
1.498.
- K-1-11W°
= Po v oK 1— — v va
=
(1 —
1
=
97.286J.
U izoterninom procesu (2) plin je komprimiran i rad je jednak Molarni lcapacitet Cv dobijemo iz Maycrovc relacijc koja dajc R Cv = C„ — R = — = 16.69 J/rnol K. R -1 Onda jc V3 = 139.901 i T3 = p2V3 /nR = 568.34 K. Time smo odredili sve totkc u p — V dijagramu, pa InOierf10 ratunati toplinc i radovc: [1 —* 21 - tu se prcdaje toplina (Q1,2 < 0), pa je Q1,2 = —nCv
[2
W( s ) =
dV pdV = nRTB — = nRTH In(1/3) = — nRTB In 3. 3vo V
Tariperaturu TB motiemo izraziti preko odgovarajudeg tlaka i volurnena, jer je pir(3V0)= riRTB, pa jc W(2) = —Po Vo3I In 3 = —77.471 J.
— T2) = 27.33 kJ.
Rad u procesu (3) jednak je null, pa je rad Tito ga je izvr6io plin jednak W=
- tu sc prima toplina uz p =konst. i vr2i sc rad. Daklc, Q2,3 > 0 i W2,3 > 0, pa je Q2,3 = rgCp (T3 — T2) + ( V3 — VI) = 22.15 kJ + 7.37 kJ =
6
= 29.52 kJ.
[3
11 -radi se o adijabatskoj promjeni dQ = 0 i dW = — dU < 0, pa je vop ) 31
= nR (T3 /C — 1
= —12.55 kJ.
+ W(2) = 19.815 J.
9.7.2 Drugi zakon termodinamike Iz gornjih primjera vidimo da u procesu u kojem krenemo od nekog potetnog stanja odredenog s (pp, Vp,Tp) kroz niz process dodemo do istog stanja, all da je konatna bilanca energije i rada razlitita od
D. Horvat: Fizika I za FER - Mehanika i toplina
9. Toplina i terrnadinamika
Str. 9- 42
Str. 9- 41
nule. Iskustvo s toplinskim strojevima i toplinskim pumpama, odnosno a opeuti termodinamielcim procesima pokazuje da postoji stroga zakonitost i stroga ogranieenja po kojima se rad mole dobiti iz topline iako prvi zakon teromdinamike pa energijskoj bilanci (zakonu satuvanja energije) ne hajavljuje" takvo ogranibenje. Tu strogu zakonitost pretvorbe topline u rad i rada u toplinu (pr)opisuje clfugi zakon termodinamike. Formulaciju drugog zakona termodinamike potinjemo prisjeeanjem prvog zakona: on kale da se dovedena toplina djelomiEno potrobi na pove6anje unutarnje energije sustava kealnog plina), a dio se mole pretvoriti u (korisni) rad. Dakle, po tom bi zakonu bilo mogude uzeti jedan (veliki, beskonaeni) spremnik topline i u nekom kružnom procesu (jednom od onih iz gornjih primjera) dubivati rad u toplinskom stroju. Medutim, upravo to pretvaranje regulira drugi zakon tremodinamike koji, u Ovoj (tzv. Kelvin-Planckovoj) formulaciji glasi: Nemoguee je napraviti toplinski stroj koji bi, ponavljajuei korbni proces, svu toplinu iz jednog spremnika pretvorio u rad.
Slika 9.92 - Toplinski stroj u kruinom procesu izmedu dva spremnika razlii itih tempennum.
Stroj koji samo uzima toplinu iz spremnika i pretvara je u kružnom Prkesu u rad zove se perpetuum mobile druge vrstet. Prema tome, "skraeena" verzija drugog zakona termoduUunike glasi: Perpetuum mobile druge vrste je nemogue. Slikovito moiemo to prikazati na slici 9.31.
p
Proces odvodenja topli0 iz jednog spremnika S temperature T i njerl° hotpuno pretvaranje u kruinom procesu toplin9k°1/4 stroja (siva kruinica) u rad W. Taj proces zabranjen prvim zakonom termodinamike, energija je satuvana u procesu. Medutim, taj ruces - perpetuum mobile druge erste - zabrarlAe drugi zakon termodinamike!
V
Slika 9.91
Na slici 9.31 S predstavlja toplinski spremnik, a sivi krug simbolitki predstavlja toplinski stroj u kružnom procesu. Prema tome, Mika 9.31 zabranjena je drugim zakonom termodinamike!
Slika 9.99 - Carnotov kruini proces.
[1
9.7.3 Carnotov kruini proces Drugi zakon termodinamike nije eliminirao ideju dobivanja korisnog rada u kruinom procesu, veb drugi zakon upueuje Ato treba poduzeti da se to postigne. Jedno rjeienje jeU Vodenje jots jednog spremnika topline koji omogubuje (oponatajud rijeEima drugi zakon) toplinski stroj ponavljajudi kružni proces toplinu iz jednog spremnika pretvorio djelomidno u rad, a djelomidno je precia° drugom spremniku. Svakako, drugi spremnik, koji prima toplinu, mora biti na temperaturi niioj od prvog 013r mnilca. Taj dozvoljeni proces prikazan je na slid 9.32. Postoji vibe provedbi takvog dozvoljenog (moguEeg) kružnog procesa: a posebno je zanimljiv i vaian Carnotovt kružni proces. Carnotov kružni proces koji radi na principu slike 9.32, je kruini pfuues s n molova idealnog plina adijabatske konstante a. Proces se odvija izmedu dvije izoterme i dvije adijfil:%e (prema slid 9.33). Pri tome temperatura T1 odgovara temperaturi toplijeg spremnika sa alike 9.32, a T2 odgovara spremniku S2. Kruini proces odreden je talcama 1-2-3-4 (na slici) i poEinje u totki ktija je odredena parametrima TO• ToElca 2 ima parametre (732, V2, T1), a toEka 3 je odredena s (p3,174, T2) i, konaEno, toElca 4 ima (Pi parametre (p.4,114, T2)• Perpetuum mobile prve vrste je stroj koji narbava prvi zakon termodinaillik - zakon satuvanja energije. t Nicolas Leonard Sado Carnot (1796-1832) francuski znanstvenik i vojni irOcrkjer koji je postavio znanstvene temelje termodinamike.
2] - izotermna promjena: s obzirom da se radi o izotermnom procesu (dT = 0) onda je dU = 0, pa prvi zakon termodinamike AQ = AU + AW kaie da be plin, Eireei se i vrEeei rad od 1 do 2, taj rad obaviti na rabun primljene topline Qi iz toplijeg spremnika temperature T1. Prema tome, prema jednadžbi (9-69) 2 2 Q1 =
[2
f dQ = f dW = nRT1 in 1 1
Jasno je da je W1(12 > 0 i Q1 > 0, tj. dobijen je rad i toplina je uila u sustay. 3] - adijabataka promjena: adijabatski proces znabi da je dQ = 0, a s obzirom da plin vrii rad OW = 1,1773) > 0, iz prvog zakona termodinamike vidimo da je 1,1773) = —AU1 tj. doElo je do smanjenja unutarnje energije, ito znaEi da se sustavu - idealnom plinu - smanjila temperatura s T1 na T2. IzvrEeni rad pri adijabatskoj promjeni je (prema (9-74)) w (a ) = nR — (T1 — T2). 23 K 1
[3
(9- 75)
(9-76)
4] - izotermna promjena: promjena unutarnje energije jednaka je nuli, izvrbeni rad dub izoterme temperature T2 je negativan (V4 < V3), tj. vi W(3'),1 = nRT2In — =Q2 (< 0)
(9-77)
D. Harvat: Fizika I za FER - Mehanika i toplina
[4
Str. 9 - 43
Str. 9- 44
9. Toplina i termodinamika
i on je izvrgen tako da se plinu smanjuje volumen izotermnom kompresijom, a istovremeno se odvodi - predaje toplina Q2 hladnijem spremniku temperature T2. If - adijabatska promjena: izvrgeni rad je negativan T
(9-78)
— (T2 - ), = ±4 : RI
jer je plin adijabatski komprimiran. Prvi zakon termodinamike daje promjenu unutarnje energije AU2 =
= -111,1°,) > 0
(9-79)
koja je pozitivna, Sto znati da se plin adijabatskom kompresijom grije, sve dok ne postigne temperaturu potetnog stanja. Bilanca rada i topline: ukupni izvrgeni rad jednak je
+ 1,v°3) +
w=
= nRT1 In
V2 V1
Slika 9.34
+ 14,1; =
+ 11 3' = 461 (> 0) + Q2(< 0) =
=
Proccs izvlaeenja topline Q1 iz hladnijeg spremnika SI pornot'u toplinske purnpc u kruinorn proemu i predaja tc topline Q2 = QI toplijem spremniku S2 na temperaturi T2 > T1. Taj proces nijc zabranjcn prvim zakonorn termodinamikc, medutim, drugi ga zakon zabranjuje!
(9-80)
v, + nRT2 In — = V3
= IQII —1Q21= Q1 — 1Q21. Medutim, V1 i V4 nalaze se na istoj adijabati, kao i V2 i V3. Zmožemo T moiemo napisati (prema (9-66)) opeenito To V„K -I = TbVri , § to za slutaj gornjih parova volumena daje V2"-1T1 =
-1 T2
i
-17'2 =
,
(9-81)
pa dijeljenjem tih relacija dobijemo valan omjer V1 /V2 = V4/V3, gto daje ukupni rad W = nRT, In
V2 V2 + nRT2In = nR(T, - T2)In — v, V2
Slika 9.35 - Toplinska pumpa koja je u skladu s drvgim zakonom termodinamike. (9-82)
U procesu smo "zaradili" rad W! "Ulolena" je toplina Qt = W = nRT1 In(V2/ VI), a predana toplina Q2 = nRT2 In(V4 /V3 ) = nRT2 In(v2/v2 ) ili 1Q21 = -nR7'2 In(V2/V1). Omjer "zaradeno/u1oleno" zovemo koeficijent iskoriJtenja i oznatavamo ga s rj. Pigemo, dakle, uz tic =
nO
-
Dobijeno Had - Utrogena toplina Uloieno W = IQil -1W = Qi
Qi
Tic =, 1
1Q21 Ql
nR(Ti - T2)1n(V2/1/1) nR7'1 In(V2/1/1 )
(9-83) UT =
T1
no vaian rezultat: koeficijent iskorigtenja Car Dobili smo ivažan temperaturi toplog i hladnog spremnika!
kružnog procesa kruinog
Prema tome, slitno kao i ranije, sliku 9.39 zabranjuje drugi zakon! Popravka slijedi na slitan natin kao i kod toplinskih strojeva: ukljutuje se vanjski rad W, pa toplinska pumpa radi prema slici 9.35. Toplinska pumpa mole biti inverzni Carnotov proces, gdje se procesi odigravaju u suprotnom smjeru od onih sa slike 9.33. Koeficijent iskorigtenja Carnotovog procesa definiran u (9-83) zamjenjuje se kod toplinske pumpe koeficijentom efikasnosti. Za slutaj toplinske pumpe koja treba dovesti toplinu spremniku S2 definiramo koeficijent efikasnosti a ovako Prenesena toplina Q2 = (> 1). lzvrgeni rad
(9-89)
Ako, medutim ielimo pumpom izvudi toplinu iz spremnika St (a ne grijati 52) onda govorimo o hladnjaku I koeficijent efikasnosti je jednak ovisi sumo 0
9.7.9 Toplinska pumpa i hladnjak kruinom procesu i koji prenosi toplinu s jednog mjesta (spremToplinska pumpa je uredaj kojikružnom nika) na drugo. Drugi zakon termodinamnike daje okvire za rad toplinske pumpe i on zabranjuje proces sa ruinica) izvlati toplinu iz spremnika S, koji je na niZoj temperaturi slike 9.39, gdje toplinska pumpkružnica) T1 i predaje je toplijem spremniku S2 na temperaturi T2, uz T2 > T1 . Drugi zakon termodinamike (u tzv. Clausiusovoj formulaciji) glasi: kruinom procesu izvlatiti Nemogute je konstruirati toplinsku pumpu kokružnom toplinu iz hladnijeg spremnika i predavati je toplijem.
nN Odvedena toplina = Q, (> 1). = Rad
(9-85)
9.7.5 Reverzibilni i lreverzibilni procesi. Carnotov teorem. Procesi koji su prevodili idealni plin od potetnog do konatnog stanja u Carnotovom kruinom procesu su bili takvi da je plin u svakom trenutku zadovoljavao svoju jednadibu stanja, tj. to su bili, kako se ponelcad kaie gotovo ravnotani procesi: plin je infinitezimalnim promjenama parametara stalno bio u ravnotegi prolazio ravnotežna vnoteina stanja. Takve procese smo nazvali reverzibilni procesi, pri kojima nema disipacije energije, vet se sve odigrava prema jednom od ranije opisanih procesa (odjeljak 9.6.9)
Sir. 9- 45
D. Horvat: Fizika I za FER - Mehanika i toplina
9. Toplina i terrnodinarnika
Str. 9- 46
p
V Slika 9.36 - Reverzibilni proces (C) i ireverzibilni proces (D) izmedu dva stanja A i B.
V
Slika 9.37 - Ottoov kruini proces izmedu dvije adijabate i dvije izohore. to, proces je ireverzibilan - neobratljiv, ako sustav i njegovu okolinu nakon procesa ne možemo moiemo vratiti u potetno stanje. Jednostavan primjer je sklizanje predmeta po hrapavoj podlozi: !coda se predmet zaustavi, podlozi i njemu je povedana temperatura, tj. povedala se unutarnja energija. Povratak na po je mogul "izvlaienjem" topline i sklizanjem tijela pomodu te topline natrag na potetni položaj. poloiaj. Prema slid 9.36 sustav prelazi iz stanja A u stanje B. Dui putanje C sustav (idealni plin npr.) prolazi kroz niz dobro definiranih stanja i taj je proces reverzibi jer uvijek je mogude na osnovu ranijih ratuna provesti proces u suprotnom smjeru. Prijelaz duž dui "putanje" D je ireverzibilan, jer stanja nisu dobro definirana, tj. govorimo o nestacionarnim stanjima. Carnotov kruini proces je upravo takav idealan proces - reverzibilni proces, a radun koeficijenta iskoriSten kružni pokazuje da je od svih reverzibilnih process izmedu istih temperatura T1 i Tx , Carnotov kruini proces upravo najefikasniji, tj. on je efikasniji i od bilo kojeg realnog - ireverzibilnog procesa izmedu istih temperatura. To je tvrdnja Carnotovog teorema koji se dokazuje u teoretalcoj termodinamici, a koji je jedan od fundamentalnih empirijskih zakona prirode! Efikasnost Carnotovog procesa jednaka je null za T1 = Tx , Sto motemo i odekivati prema drugom zakonu termodinamike (spremnici se ne razlikuju, tj. imamo u stvari samo jedan spremnik topline - s .31). Koeficijent iskoriStenja postaje jednak i za T2 = 0. Medutim, kaki ni jedan kruini kružni proces ne mole biti efikasniji od Carnotovogkružnog kruinog procesa, znati da nije mogude postiii apsolutnu nulu. Prema tome, postizanje apsolutne nule znadilo bi kr6enje zakona termodinamike! 9.7.6 Drugi toplinski reverzibilni kruini procesi
Uveli smo oznaku za minimalnu temperaturu T1 E Tm. [2 -/ 3] - izohomo grijanje: OW = 0 i podizanje temperature tj. promjena unutarnje energije AU > 0 posljedica je izgaranja plinova tj. dovodenja topline AQ koja je jednaka AQ = Q2,3 = nCV AT = nCv (T2 - T2) =
[3
gdje smo uveli oznaku za maksimalnu temperaturu u procesu T3 = TM . 4] - adijabatslca ekspanzija: ovdje motor doista radi, tj. "daje snagu" i idealni plina se Siri od V2 = V3 = Vi /r do volumena V4 = . Rad ii73°2 jednak je promjeni unutarnje energije (koja se smanjila), tj. WP:41 = -AU = -nCviT = -nCv(T4- T3) = = nC
1
(PI
, TI) ,
2
(p2, V2, Tx),
3 -1 ( 93, 172, Ts),
Rad 7/0 = Utrobena toplina -1
(41 (4) W12 4- W3,4 Q2,3
Wit°2) = -AQ = -nCv AT = -nCv(T2 - T1) = = -nCv (T2-Tm).
(9-89)
Temperature TM i T4 , te Tm i T2 su na istim adijabatama, tj. vrijedi TM i
T4)
i vrijedi da je TM = T3 > 7'4 > 7'2 > Ti = Tm . Nadalje, uvodi se omjer kompresije r E Vi /V2. [1 2] - adijabatska kompresija: dQ = 0 i rad izvr6en na plinu jednak je
- n CV (T2- T,,,) + nCv (TA4 - T4) TICV (TM - T2)
T4 - Tm TM - T2
= T2 V2K = T2 4 -1 (194,
(9-88)
- T4).
[4 -/ 1] - izohorno hladenje: izgoreni plinovi izlaze van (parametri su im u principu nepoznati), a proces podnje ponovno uzimanjem goriva temperature Tm u totki 1. Koeficijent iskoriatenja 4/0 ratunamo kao i prije
Osim Carnotovog kružnog kruinog procesa za kojeg znamo, na osnovu Carnotovog teorema, da je najefikasniji (s najvedim koeficijentom iskorigtenja 41), postoje drugi procesi koji su vaini u primjenama. Ovdje demo razmotriti sa stanoviSta reverzibilnih kruinih procesa neke od njih. Opisat demo karakteristike tih procesa unati koeficijente iskori6tenja. Ottoov kruini proces Jedan od idealnih - reverzibilnih kružnih kruinih pr e Ottoovt proces. To je u stvari motor automobila - idealni toplinski stroj koji radi u kruinom kružnom procesu s n molova idealnog plina izmedu dvije izohore i dvije adijabate, prema slid 9.37. Ciklus poeinje u totki 1, !coda u cilindar ulazi mje6avina goriva. Todke imaju koordinate
(9-87)
nCv (TM - T2),
=TM V; = T4 V,'
( 1.1 ) K
(9-90a)
gto dalje daje T2 Tm = r" (9-86)
t Nikolaus August Otto (1832-1891) njerna6ki inienjer koji je 1876. godinc patcntirao motor s unutarnjim sagorijcvanjcm.
14 =
TM
r"-1
(9-90b)
pa je
tlo = 1 - 1/r"- .
(9-91)
Dobili smo vrlo jednostavan rezultat: koeficijent iskoriatenja za Ottoov ciklus ovisi samo o omjeru kompresije r = VI /V2. Najviai praktieni omjer kompersije je oko 10. Za vedi omjer mote dodi do samozapaljenja smjese
E. floret& Fizika I za FER - Mehanika i toplina
Str. 9- 47
pri procesu 1 - 2, a to se djelomieno regulira oktanskom vrijednoSeu goriva. Za stvarne Otto motore je po od 0.15 do 0.35, tj. od 15%-35%! Usporedba s Carnotovim procesom je moguea tako da iz adijabatskih odnosa temperatura i volumena ( 172
=Tm= T4 T2 TM
Str. 9- 48
[4 - 1] - izohorno hladenje: izgoreni plinovi izlaze van, temperatura pada s T4 na T,n i u 1 ponovno ulazi zrak. Predana toplina Q2 jednaka je Q2 = - T4) = AU (< 0). Jednadibe adijabata daju T2 = Tm r' , V3 = e V1, V2 = 1— 11
(9-92) TM
napiScrno rlo = 1 -
T,,,
9. Toplina i termodinamika
1 Tm,
P3 =
,
(9-97)
T4 = p'T,„
ito daje =1-
(9-89')
Qi = nCpr'' (p
TM 2 i ako uzmemo niz temperatura po velitinama od ranije, onda bi rIC bio veei kada bi radio izmedu T,,, i Ty, tj. T„, , T„, TIC = 1 > 1= 7)0, (9- 93) TM
- 1)Tm
I
Q2 = nCV (1
IP)
Tm.
(9-98)
Ukupna promjena unutarnje energije u jednom cijelom ciklusu (1c) jednaka je nuli, pa je AQI , = AW1,, Sto daje izraz za koeficijent iskoriitenja rim Dieselovog kružnog procesa
T2
1Q21 -1 = - —
u skladu s Carnotovim teoremom.
Ql
1 T3 - T„, ?C TM -T2
- 1 1 p" - 1 r.-1 (p - 1)'
Dieselov kruini proces Veei omjer kompresije postiže se u dizel-stroju, tj. u Dieselovomt kruinom procesu - ciklusu, gdje n molova idealnog plina radi u reverzibilnom kružnom procesu izmedu dvije adijabate, izobare i izohore, prema slici 9.38. 1 ovdje vrijedi: Ty = T3 > T4 > T2 > T1 =
(9-99)
pa dobijemo za realistiene vrijednosti r = 18, p = 2 i ro = 1.4 (dvoatomni plin) rip = 0.63 ili 63%. 9.8 Entropija
AQ
Entropija je funkcija stanja u termodinamici, Ica° i unutarnja energija (dok su prenesena toplina d'W funkcije procesa). Entropija S je definirana oval()
d'Q i rad OW
AQ AS = —
d iii dS = 'Q
(9-100)
i ona je mjera koliko se topline ne mote pretvoriti u korisni rad u toplinskom stroju koji radi u kruinom procesu. Za Carnotov reverzibilni kruini proces vrijedi omjer 12i1 = T1
V Slika 9.38 - Dieselov kruini proces izmedu dvije adijabate, izobare i izohore. [1 - 2] - adijabatska kompresija zraka koji je uiao u cilindar u toeki 1: kao i kod Otto-ciklusa adijabatskom /r, tj. poveeana je temperatura s temperature kompresijom volumen je smanjen s V1 na V2 = U totki 2 ubrzigano je gorivo! Izvrieni rad je T1 = T„, na T2, uz T2 > 14(11.2) = -AU = -nCv(T2 -
= -nCv(T2 - Tm) (< 0).
(9-94)
[2 - 3] - izobarna ekspanzija: izgaranje kao posljedica samozapaljenja poveeava temperaturu s T2 na Ty i plin se Sir' s V2 = 171/r na V3. Ovdje uvodimo i omjer ekspanzije p = V3/V2 > 1. U sustav ulazi toplina Q1. Rad i dovedena toplina pri tom procesu su Wt) = P2(V3 V2)
1 Q1 = nCp(TM - T2)
(9-95)
[3 - 4] - adijabatska ekspanzija: motor "korisno radi" i volumen raste s V3 na V1 . Izvrieni rad jednak je negativnoj promjeni unutarnje energije OW = 41/°,,) = -AU (> 0) i plin se hladi s Ty na T4. lzvrieni rad je (9-96) 14/4) = nCv (TM - T4) t Rudolf Christian Karl von Diesel (1858-1913) njernakki inienjer koji jc 1893. godinc patcntirao dizel-stroj.
ili
Qi = _Q i 7 :4 1
(9.101)
i Q2 je toplina "izgubljena" u procesu, predana hladnijem spremniku temperature T2. Prema definiciji entropije (9-100) sada uvedemo Q (9-102) S1 = — kao entropiju povezanu s toplinom uvedenom u sustay. Izratunajmo sada ukupnu promjenu entropije u Carnotovom reverzibilnom kruinom procesu, prikazanom na slid 9.33. Prornjena entropije za prijelaz 1 -/ 2 (prema slid 9.33) je St, jednadiba (9-102), a dui puta 2 -> 3 S2 = 0, jer je d'Q = 0 za adijabatski proces. Dui 3 -4 4 S3 = Q2 /T2 i ponovno je za 4 -/ 1 S4 = 0. Ukupna promjena entropije u jednom cijelom Carnotovom ciklusu (1c) je Q1 Q2 dS = + S3 = + = OStc = T1 T2 (9-103)
_ _ 1Q21 - T1 T2
i kako je
= Qi (T2/T1) dobijemo Q i 1 Ti T2 T1' T2 AS1, = 0.
(9-104)
D. Horvat: Pisa° I za FER - Mehanika i toplina
Sir. 9- 49
Za podatkc iz primjera dobijerno
Vrijedi, dakle da je u reverzibilnom kruinom procesu ukupna promjena entropije jednaka nuli, tj.
dS = 0,
9. Toplina i terrnodinarnika
Str. 9- 50
AS = 2c,,ds In
(9-105)
L.
,./7Y 7 2
— 101.53 J/K.
tj. S je doista funkcija stanja! To odgovara situaciji kada smo uveli potencijalnu energiju za konzervativne site i kada smo definirali konzervativen silt kao silo kod koji jc izvrIeni rad po zatvorenoj krivulji bio jednak nuli! To je znatilo da rad ne ovisi o putu vet` samo o poeetno i konatnom poloiaju. Nadalje, potcncijalna cncrgija se uvodi kao razlika cncrgija dva polcdaja iii stanja i vrijednost potencijalne energiji u nekoj toeki jc proizvoljna, a smisao ima samo razlika potencijalnih energija. Sve to isto vrijedi i za funkcija stanja entropiju S!
Valja odmah istaknuti da smo iza relacije (9-104) povukli zakljutak o reverzibilnim procesima, ispustivti pridjev "Carnotov"! To je posljedica toga Ito svaki reverzibilni kruini proces moiemo aproksimirati kao (beskonatni) niz Carnotovih procesa (tj. niz izmjenienih adijabatskih i izotermnih procesa), pa je tvrdnja da vrijedi (9-105) tans i za bilo koji reverzibilni proces! Vidimo, nadalje, da je promjena entropije za adijabatske procese jednaka nuli, tj. entropija se ne mijenja dui adijabate! Takve procese zovemo izentropski procesi. Sada Carnotov proces moiemo prikazati u T – S ravnini, prema slici 9.39.
Prikaz Carnotovog reverzibilnog kruinog procesa u T — S dijagramu: "ad" stoji za adijabatsku, a "it" za izotermnu promjenu stanja. Adijabatska promjena stanja jc izentropska, tj. A Sad = 0 na isti nein kao Ito jc za izoterninu prornjenu AU1, = 0 ill za izohornu (ih) promjenu AW1h = 0.
Primjer 9.22 lzraeunajte promjenu entropije pri taljenju 1 kg leda na temperaturi 0°C. RJE§ENJE Taljenje Leda je reverzibilni proces kod kojeg je temperatura To = 273K konstantna i promjena entropije je AS = f
T
'=
f j
=
7 c n+fied
= 1223.4 1/K. Procos je moguee vratiti unatrag, tako da se ista ona toplina uzeta iz okolinc (iz toplijeg spremnika) "izvute" iz sustava (vode ternperature 273 K) tako da ga se dovede u toplinski dodir s hladnijim spremnikom. Toplina 6e (spontano) gotovo ranotetno prelaziti u okolinu (spremnik) i sustav be prela2.iti u poeetno ("smrznuto") stanje! Ukupna promjena entropije (sustav plus spremnik) onto je jednaka null (u jednorn iii drugom smjeru)!
Primjer 9.23 lzraeunajte promjenu entropije I kg vode koju zagrijavamo na plameniku od 10° C do 90° C. RJEENJE Proces se odigrava pri stalnorn tlaku (izobarno), a reverzibilan je, pa je dovedena toplina vodi jednaka dQ = m„c,,dT. Prornjena entropije je 2
2 dQ =
OS
T
dT _
T
S
=
Slika 9.59
U slijedeeim primjerima ratunamo promjenu entropije u razlititim situacijama i procesima, a rezultati to nam pomodi u izvodenju opeih zakljutalca o promjeni entropije i njenoj interpretaciji. Primjer 9.21 lzraCunajte promjenu entropije pri mijetianju I kg vode temperature T1 = 273 K i iste muse vode all temperature T2 = 373 K.
9.8.1 Entropija idealnog plina U izraz za entropiju dS = d'Q/T uvrstimo matematitki zapis prvog zakona termodinamike d'Q = dU + d'W i raeunamo promjenu entropije za prijelaz izmedu stanja 1 i 2, tj.
RJEgENJE Iz opeenite kalorimetrijske jednadibe za tvari 1 i 2 imamo AQ, = AQ2 tj.
(Tf —Ti)= m2c2 (7'2 — —
T1)
odakle je
In(363/283) = 1042.13 J/K.
As =
2 2 2 = f Q = di f p T dV
(9-106)
+ rnzc2T2
rni ci + rn3c3
Kako je za idealni plin dU = nCv dT i p = nRT/V, dobijemo
Promjena entropije je Q AS = AS1 + AS2 = f Tr
=
j. 7,
+
rf
dT + rn2c3 /
f
J
2 _ —
22
2
AS = rECV j. dv7 — dT + nR J ±
iii (9-107)
=
7'2 AS = m1 c1 In(Ti IT]) + m2e2In(T1 IT2).
AS = nCy In(T2 I
+ nRIn(1/2/VO•
To je izraz za opeenitu promjenu entropije idealnog plina izmedu stanja 1 i stanja 2!
D. Horvat: Fizika 1 za FER - Mehanika i toplina
Str. 9- 51
Str. 9- 52
9. Toplina i termodinomika
Adijabatski proces je izcntropski proces (dS = 0 zbog d' Q = 0) pa jc AS2 = prornjenu je dQ = nC,dT, pa jc, prema ratunu za izohornu promjenu
AS3 = ASib = nCv111
T3
Temperature T1 i T3 moierno povezati preko jeduakosti za izobarni proces adijabate, tj. p21/' =p11/3" ill
Slika 9.40 - Dva plina odvojena toplinski propusnom pregradom.
(1
pi
RJEENJE Plinovi de izmijcniti late kolitine topline, a kako su obadva jednoatomna, toplinski kapaciteti su im isti (vidjeti odjeljak 9.6.2) i koli vcine su istc, pa vrijedi npr.
AQ A = AQB tj. naCv (TA –
7',
T
ASH, = nCv In T1i ukupna promjena entropije
T „ v in ,,
—
i
In2,
je
AS = AS1+ AS2 + AS3 = ASH,
= (TA 1- T13)12.
Ti
ASA = f 4 = rACv f— = 7
/F
pa je za izobarni proces promjena entropije jednaka
= naCv(T. – TB)
gdje smo pretpostavili da je npr. TA > TB , tj. TA > Tk > TB. Odmah dobijerno da je Tk Za prornjenu d'Q kod stalnog volurnena prornjena entropije to biti (za plina A)
= Vs/T3 i jednadibe
`1
V3 = (P2) 11'
Primjer 9.24 Dva razWita idealna plina A i B nalaze se u posudi tako da su razdvojeni pregradom koja je propusna (samo) za toplinu. Plinovi su jednoatomni, istih su kolitina tj. nA = nB, a temperature su im na paean TA i TB. Kolika je promjena entropije kada se uspostavi toplinski raunoteta?
= 0. Za izobarnu
—nCv In 2 +
ASit, = —nCv In 2 +C n—v In 2 =
nCp = nCv In 2 + nCv In 2 =0. C p/Cv
Promjene entropije koje Sc dokidaju, za jednoatomni plin (a = 1.4, Cv = RAPE — 1) = 20.785 J/rnol K) imaju vrijednost ASIb = 14.407 J/K.
TA
TA
T.
dQn T
ASo = f — = neCv f dT — = riCv In — T
TA
TB
TB
AS = Cv In j„ T l A TS TA 1-TB
AS = 3nR In
Primjer 9.28 lzra6unajte promjenu entropije pri slobodnom iirenju I mob jednoatomnog idealnog plina,
Atka 9.20, kada volumen Vo naraste na
a ukupna prornjena entropije je AS = ASA + AS B, tj.
uz
Cv = 3R/2
RJE§ENJE Pri slobodnorn kirenju temperatura idelanog plina se ne promijeni. (Kod realnih plinova tcrnperatura pada i to se zove Joule-Thomsonov efekt.) Promjena entropije dana je jednadibom (9xx2), a kako je T2 = Ti onda je (za. n = 1) AS = R In 2.
(> 0).
2 TATS
Valja uotiti da je promjena entropije pozitivna za ireverzibilni proces
9.8.2 Entropija i ireverzibilni procesi Primjer 9.25 Jednom molu idealnog plina izohorno se smanji Clair na polovinu potetne vrijednosti, a zatim se adijabatskom kompresijom tlak poveda na paetnu vrijednost. Izobarnom ekspanzijom plin se vroti u paetno stanje. lzraunajte promjenu entropije za pojedine promjene stanja i ukupnu promjenu entropije. lzvrijednite
na kroju rezultate za dvoatomni idealni plin.
U gornjim primjerima smo pokazali da je promjena entropije za ireverzibilne (ali stacionarne) procese uvijek pozitivna i da je promjena entropije u reverzibilnom kruinom procesu jednaka null! Zanimljivo i vain° je pogledati promjenu entropije za neki proizvoljni, molds i ireverzibilni proces. Za ratun OSi rev prema slid 9.36 dui ("razmazanog") puta D moiemo potetno i konatno stanje povezati s bilo kojim reverzibilnim procesom (putanjom C npr.) i napisati
RJEENJE Iz prvog zakona termodivamike d'Q = dU +pdV vidimo da je izrnijeujena toplina u prvorn procesu (izohorua - izovolurnna promjena) jednaka prornjeni unutarnje energije dU 6to je povezano s promjenom temperature (i tlaka). Iz jednadibe stanja idealnog plina pV = nRT dobijerno za izohornu prornjenu
= p2 Vi
pa je Ti = 2T2 i
T2 2T2 d' Q = dU = nCv dT.
T1
AS'irov = f dS = f dS.
A/D
Za reverzibilni kruini proces AS = 0. Tu smo uzeli ukupnu izmjenu topline izmedu sustava i okoline. Ovdje uvodimo uobitajen termin "Svemir" Icao "zbroj" sustava i okoline, tj.
Promjena entropije u torn dijclu proccsa je
Svemir = sustav + okolina
2
as, = as,,fdQV f = nCv
(9-108)
AIC
T2
T dT, = nCv In — = —nCv In 2.
i motemo napisati ASsvemir = 0
(za reverzibilne procese).
(9-109)
D. Horvat: Fizika I za PER Mchanika i !opting
Str. 9 - 58
PREGLED 9. POGLAVLJA 1. Novi fizikalni pojmovi
Medutim, za realne procese, tj. za ireverzibilne procese, entropija Svemira se poveeava iii ASsvenuc > 0
(za ireverzibilne, realne procese).
(9-110)
Gornji zapis promjene entropije Svemira jol je jedan, alternativni zapis drugog zakona termodinamike. Taj zapis pokazuje u stvari smjer odvijanja procesa u prirodi. Ako npr. pomijelamo vodu i tintu, talcav proces je jednosmjeran (ireverzibilan) i uredeniji sustav (posebno voda, posebno tinta) postaje manje ureden, tj. payees.° se nered u sustavu. Procesi tee poveeanju entropije, odnosno povecanju nereda. Into takvo poyeeanje nereda je taljenje kristala (primjer 9.22), kada se "uredna" kristalna reketka raspada i sustav prelazi u "neuredno" gibanje molekula tekueine! Zavrlit demo ovo poglavlje s dvije reeenice koje ostavljamo znatiiehnima da ih eventualno dalje istraie i saznaju Ato znati toplinska smrt Svemira! Energija Svemira je konstantna! Entropija Svemira Taste prema maksimumu!
9. Mplina i icrmodinarnika
Sir. 9- 54
temperatura
toplinski dodir
toplinska ravnotela
toplinski sustav
temperatura
termometrijsko svojstvo
apsolutna temperatura
kelvin
trojna totka
toplinsko rastezanje
anomalija vode
Avogadrov zakon
izotermna promjena
izohorna promjena
izobarna promjena
Boyle-Mariotteov zakon
Gay-Lussacov zakon
Charlesov zakon
standardni (normalni) uvjeti
univerzalna plinska konstanta
Boltzmannova konstanta
kalorimetrija
specifitni toplinski kapacitet
molarni toplinski kapacitet fazni dijagram
Dulong-Petiteovo pravilo
Mayerova relacija
agregatno stanje
latentna toplina
konvekcija
radijacija
kondukcija
toplinska vodliivost
gustota toplinskog toka
toplinski otpor
unutarnja energija
prvi zakon termodinamike
slobodno tirenje
adijabatska promjena ireverzibilni proces
krufni proces
reverzibilni proces
Carnotov proces
Ottoov proces
Dieselov proces
Toplinski stroj
toplinska pumpa
hladnjak
drugi zakon termodinamike
entropija
Svemir
2. Nove relacije
9 5 5(1) = So(1 + fit)
tt = 32 + — c V
= konst. (t) = po[l + a(T — To )]
At = atAt
£(t) = to(1 + at)
V(t)= Vo (1 + ryt)
pV = konst.
V (T) = Vo[l
P— = konst.
pV = nRT
pV = NkBT
AQ = mt ct At
AQ = nC At
1 (dQ cp,v = — — in \dT p,v
Cp,v
q = hc (71, — T1)
d'Q = dU W
= 8.314 41 J/mol K 1 dQ m dT C = Mc
1 Q (I
= (T it
(bc =
Q = A AT st Az = IATI R.
a(T — To)]
PoK = 8.314 41 J/mol K To
AT
IATI Ax/AS Co Cv Cv —
K-1
— Cv = I = caT 4 R"
Az = AS
C -= Mc Cp =
K
KR
D. Horvag: Fizika I za FER Mehanika i toplina
Str. 9- 55
Str. 9- 56
9. Toplina i termodinamika
9.31 Izvedite jednadibu adijabatc. Izvedite izraz za rad idealnog plina pri adijabatskoj prornjcni. = konst.
= konst.
Vk Wizot = nR7' In V„ R (T, - Tk) Wad, =
- T2
Oc =
, T4
70 = 1
'In =1
-T„,
TM -
1 T3
- Trn
K TM
- T2
AS = rtCv In(T2IT,) + nRIn(V2 1 VI)
p i a" 7." = konst.
9.32 lzvedite izraze za rad idealnog plina u raznim procesima. 9.33 Sto su to toplinski strojevi. Opikite kruini proccs!
Wirob = p(Vk - V0 )
IVizov
=0
Dobijcno Tic = - 1 (221 tic = Ulozcno C21 Prenescna toplina Odvcdena toplina oz.!, = -Izvrkcni rad Rad 1 p" -1 90 = 1 1/r" TR) - 1 r" -'(p - 1)' AQ AS= dS = 0
ircv
ASSvemir = 0
SSvernir > 0
9.34 Skicirajtc ncki kruini proms i naznatite kako bike izratunali njegov koeficijent iskoriktenja. 9.35 Opiaitc Carnotov kruini proces. lzvedite koeficijent iskoriktenja. 9.36 Po t emu je poseban Carnotov kruini proces? Opikite Carnotov tcorem. 9.37 Opikite Ottoov kruini proccs i skicirajte kako bistc ratunali koeficijent iskoriktenja. 9.38 Kako radi Dieselov kruini proces? Pokaiite da je njegov koeficijent iskoriktenja manji od Carnotovog! 9.39 Kako glasi drugi zakon termodinarnike? Opikite tim zakonom zabranjcne procese i kako ih "popravljamo" da postanu dozvoljenil 9.40 Opikite toplinsku pumpu i hladnjak. Kako se ovdje definira kako dobro uredaj radi? 9.41 gto jc entropija? Pokaiite da jc kod Carnotovog kruinog proccsa cntropija funkcija stanja. 9.42 lzratunajte promjenu entropije idealnog plina. 9.43 lzratunajtc promjenu cntropijc pri taljcnju leda i mijc8anju dvije tekuoine. Kakvi su to procesi?
3. Pitanja (sa zvijezdicom su oznatena teta, neobavezna pitanja)
9.44 Opiaitc kada jc promjena cntropijc jednalca null, a kada nije. Kako Sc definira Svcrnir?
9.1 Opiaitc razliku izmcdu rnakroskopskog i mikroskopskog opisa toplinskill proccsa! 9.2 Dcfinirajtc toplinski sustav! 9.3 Sto jc toplinski dodir? 9.4 Kako Sc prcpoznajc toplinska ravnoteia? 9.5 S kojim se paramctrima opisujc toplinski sustav? 9.6 Kako glasi nulti zakon termodinamike? 9.7 Sto jc tcrmornctrijsko svojstvo? Navedite nckc prirnjere! 9.8 Opiaitc plinski terrnornetar pri stalnom volumenu! 9.9 gto jc Seebeckov cfckt? 9.10 Kako sc mjerc ekstremno niske a kako ekstremno visoke temperature? 9.11 Opikite kako se dolazi do temperature apsolutne nule! 9.12 Sto je trojna totka? 9.13 Izveditc zakon lincarnog i volumnog kirenja tijela! 9.14 Objasnitc toptinsko kirenje tijela na mikroskopskoj razini! 9.15 Sto je anomalija vodc. Opikite ju preko volumcna i gusto6e! 9.16 Formulirajte tri plinska zakona i napikite odgovarajute izrazc! 9.17 Izvedite jednadibu stanja idealnog plina i izratunajte univerzalnu plinsku konstantu! 9.18 Dcfinirajtc standardnc (norrnalne) uvjete. Kaki) glasi Avogadrov zakon? 9.19 Dcfinirajtc specifitni i molarni toplinski kapacitet. 9.20 Kako glasi Dulong-Petitovo pravilo? Kako klasitna fizika opisuje D-P pravilo? 9.21 Izvcditc Maycrovu rclaciju na dva natina: razrnatrajuoi rad i pomodu prvog zakona terrnodinarnike! Kako se definira adijabatska konstanta? 9.22 Opiaite fazni dijagram vodc i CO2. lstaknite osnovne razlikc. 9.23 Opiaitc ciklus prijelaza leda u vodcnu paru. Sto su latentnc toplinc? Koliko one iznosc za vodu (red vclitina)? 9.24 Opiaitc natine prijenosa topline. Kako glasi zakon vodcnja toplinc? 9.25 Sto je toplinski otpor? Ilustrirajte "Ohrnov" zakon za sustav od dva toplinska sloja! 9.26 Opiaitc funkcijc stanja i funkcijc proccsa. Kako glasi prvi zakon termodinarnike? 9.27 Opiaitc proces slobodnog kircnja idealnog plina. Koji sc zakljutak izvlati iz tog proccsa? 9.28 Kako sc ponaka rcalni plin pri slobodnorn 8ircnju? Kako sc zove taj cfekt? 9.29 Pokaiite da prijcnos toplinc ovisi o proccsu. Provcditc potpuni ratun. 9.30 Polcaiitc da izvrkeni rad s idealnim plinorn ovisi o proccsu. Provcditc potpuni ratun.
6 6 6 6
0 10. MOLEKULARNO KINETIKA TEORIJA PLINOVA
10.1 Uvod 10.2 Idealni plin u molekularno-kinetiekoj teoriji 10.3 Tiak idealnog plina. Unutarnja eriergija. Temperatura 10.4 Toplinski kapaciteti plinova u molekularno-kineti6coj teoriji 10.5 Molarni kapaciteti krutih tijela 10.6 Prijenosne (transportne) pojave 10.7 Maxwellova raspodjela po brziriaina Funkcija raspodjele Maxwellova raspodjela po brzinama Energija aktivacije Ratuni karakteristieni velitina Maxwell-Boltzrnannova funkcija raspodjele 10.8 Realni plinovi. Van der Waalsov plin Bertholletov phi) Virijalni koeficijenti Napornena o medumolekularnim silama
10-1 10-1 10-2 10-6 10-8 10-10 10-13 10-13 10-16 10-19 10-19 10-22 10-22 10-24 10-24 10-25
Dodaci poglavlju 10 DP10.1 Izvod Maxwellove raspodjele po brzinama DP10.2 R.asprSenje molekula i relativna brzina
10-26 10-28
Pregled 10. poglavlja P10.1 Novi fizikalni pojrnovi P10.2 Nove relacije (formule) P10.3 Pitanja
10-31 10-31 10-31
Str. 6 2
10.
Molekularno-ktnetieka teorija plinova
relaksacijc (vidi kasniji odjeljak), a prosjeena duljina puta prijedena izniedu dva sudara cove se stednji slobodni put (vidi takoder kasniji od jjeljak); (•) cbogsamo savreno elastienil, sudara vri,jedi zakon 010uvanja kolieine gibanja i zakon oduvanja kinetieke energije. 10. MOLEKULAR.NO-KINET1aK A TEOR.1.1 A PLINOVA
(•) smjerovi brzina su porpinio proicvoljni, ,jednaka 21111i. 13. prosinca 2001.
je xrcrinja brcina pojedine molekule (u sv)nt smjerovima)
pa
(•) vrijeme sudara (raspr:senja) canernarivo je u odnosu na vrijeme (slobodnog) gibanja izinedu dva sudara ; tj. u odnosu na vrijeme relaksacije. (•) sve eestice istog plina imaju istu mast', a srednja gustoda testica se ne rnijenja u vrernenu. Bealni plinovi ispunjavaju gornje uvjete (te ih molemo tretirati kao idealne plinove) kada je tlak plina vrlo urali, jer u torn slutaju mo2emo zanemariti medudjelovanje inolekula. Primjer 6.1
lzraJunaj ntolnu
?I IOSU
vode. Koliko molova node inns u 1 kg node? Kolika je masa jedne
molekule vode? 10.1
Uvod
ovorn demo poglavlju prostudirati mikroskopsku racinu, odnosno pozadinu niza pojava i parametara koji se uvode u termodinarniekom razinatranju toplinskih pojava, a koji se taino prihvaeaju kao (mjedjive) fizikalne velieine eiju vrijednost znamo odrediti iz pokusa iii injerenja ali u eiju fizikainu sugtinu tamo ne ulaznno. Takvi tipicni parametri su tlak iii temperatura. Prema tome, temperatura iz termodinamnike npr. u kinetiekoj teoriji nalazi svoje (rnikroskopsko) objaSnjenje. Temelje molekularno-kinetieke teorije postavio je D. Bernoullit joS" 1738. godine, no njegov je rad bio zaboravljen, a kasniji pokuaji u duhu njegovih ideja bili su dugo vremena odbacivani kao nepriltvatIjivi. Ipak, konaenu afirnaciju ideja kinetieko-molekularne teorije postigli su Joule, Clausiusi, Maxwell i Boltzmann°, a nakon njih otkrivene su Bernoullijeve ideje, te je an prilivaten kao osnivat kinetieko-molekularne teorije.
molarna masa Me vode jednaka je 18, pa je rnolarna masa vode jednaka M 18 g/mot. U m = 1 kg ima n = m/M molova tj. n = 55.6 mola. Masa (jedne) molekule vode je rem,,, = = 18 • 1.66 x 10-27 kg=2.99 x 10_ 26 kg, a je unificirana atomska jedinica muse Broj molekula Nurn=1g vode dan je preko Avogadrovog broja NA , tj.
RJEOENJE Relativna
N = aN A = nNA = 0.056 mol • 6.023 x 1023 /mol = 3.33 x 1022 . Masu jedne molekule vode moiemo izratunati i tako da se sjetimo da u 1 molu tvari ima molekula/atoma, a kako 1 mol vode ima 1118511 od 18 g, onda je masa jedne molekule jednaka rm„ =
Za opis (termodinamiekog) sustava, raniju optu predoddbu zvanu idea/ni plin sada, preina Bernoulliju, opisujemo kao nakupinu molekula toeno odredenill svojstava, koje se nalace u posudi - spreinniku i koje interagiraju tnedusobno i sa stjenkama posude. lz skupa tih pretpostavki o plinu i njegovom inedudjelovanju, us ranije odredene jednadthe stanja i promjena, mogude je na fundamentalnoj radio) razumjeti cijeli spektar termodinamitkih procesa, zajedno s parametrirna koji ih opisuju.
iv A
=
NA
2.99 x 10 23 g.
4 4
10.3 Tlalc idealnog plina. Unutarnja energija. Temperatura 10.2
Idealni plin u molekularno-kinetiamj teoriji plinova
Mao (termodinanneki) sustav koji demo racmatrati uzet demo idealni plin koji se sastoji od odredenog broja (Inikroskopskih) atoma-molekula, a pretpostavke koje taj plin eine idealnint su slijedede: (•) volumen molekula/atoma inoiemo canemariti u odnosu us volume!' posude/sprenurika u kojo jj se nalazi plin; (•) medudjelovanje eestica zanemarujemo, tj. ako jedna eestica plina inns ukupnu energiju U koja je opeenito jednaka zbroju kinetieke i potencijahle energije onda je U = Ek, tj. potencijalna energija jednaka jje nuli. Jedine sile koje se javljaju su (impulsne) sile koje (trenutaeno) djeluju prilikorn (savreno) elastienih sudara molekula s molekulom odnosno molekula i zidova spremnika. Kao posl,jedica toga, molekule se gibaju po isprekidanim pravcirna. Vrentenski razmak izmedu dva sudara cove se vrijeme
Neka se A° molekula (ili n molova) idealnog plina (gdje,je N = To' NA = NA(T0/14), a NA je Avogadrov broj i Al je inolna masa) nalaci u posudi - kocki stranice a i neka je masa molekule jednaka nt„, (vidi sliku 10,1). Ako uoeimo jednu (i-tu) molekulu i razinotrimo komponente njenog gibanja dud osi z, onda je Mena kolieina gibanja (x komponenta) prije udara u stjenku jednaka t7„, = rn„,r1„ a poslije (elastienog) sudara ,jednaka je = pa ,je iznos prornjene kolieine gibanja (ca i—tu testicu) jednak
pp,/, = 2itt„,mii •
Gibajudi se brzinom tnolekula udaljenost a (duljinu brida kocke) prijede za vrijeme t, tj. a = v,/i t. To mat) da de vrijeme izniedu dva sudara u istu stjenku bit) t2 = 2a/m/,, a broj udara u jednoj sekundi je b = is/t2 = tt,/i/2a. To znaei da za vrijeme At testica prenese na (istu) stjenku ukupnu kolitinu gibanja Ap, kcja je jednaka
Ap = b. App At = t Daniel Bernoulli (1700-1782) tvicarski 6zi6ar i matematitar. At.
I Rudolf Julius Emanuel Clausius (1822-1888) njema6ki fizitar. Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906) austrijski fizitar.
(10-1)
a
2rttn,v,ii • At (10-2)
D.
Fizika I za PER - Melionika i topliria
Ste. 6- 3
Sir.
6
- 4
JO. Molckulaeno - kinctieka tcorija plinova
Sve molekule neniaju istu brzinu. pa, unev,Si u obzir pretpostavke o brninaina, maiemo uvesti srednju vrijednost kvadrata brzine svill molekula 11 a:— snijeru (10-7)
= /7 Ev/,. i=1
= 0.
Ovdje se valja podsjetiti osnovnill pretpostavki inolekularno-kinetitke reorije in kojih je jjasno da je S obnirom na kaotitno gibanje molekula, svi su smjerovi brzina ravnopravni, pa je
= Sliku 10.1 - ideatra pfin u posudi i elastitni sudari molekula plina sa stjenkarna posude.
=7 =7 3 .
(10-8)
Zato molemo napisati tlak ovako 11=
(10-3)
mm
v
-
N
3
i=1
N • 2 C.ra 17) = — 2N = 31" 2 "' 31(
Sila to molekule 'la stjenku je jednaka vreinenskoj promjeni kolitine gibanja (2. Newtonov aksioin), tj. 711 V 2 Op P m ./t – At – a
y
(10-9)
Ek,
gdje smo uveli srednju kinetitku energiju molekula Ek. Ako gornju jednadZbu 2NpV = —Ek. 3
a ukupna sila od svih testica je i=N
m
Fr =
N
(10-4)
(10-10)
poveZemo sjednadžborn jednadiborn stanja idealnog plina pV = nRT, dobijemo dva izuzetno vaZna rezultata: Ek
Zbog ranijih pretpostavki o plinu. impu/sna sila testice na stjenku ima specifitan oblik, prema slici 10.2.
=
3 — kT
T
=
2 — Ek. 3k
(10-11)
Relacije (10-10) i (10-11) opisuju na fundamentalni natin karakter flab i temperature: tlak, odnosno lemperatura je (u stvari) srednja kinetitka energija molekula, odnosno ternperatura je mjera srednje brzine molekula. Nadalje, iz izraza (10-9) možemo moiemo izratunati brzinu gibanja pojedine molekule, totnije. uvodimo srednju kvadratnu brzinu
F
(10-12a)
Vskb =
i iz (10-9) ona je jednaka Uskb
J
Primjer 10.2
\
6— 12
Kolika je srednja kvadratna brzina molekule kisika na sobnoj temperature (20° C)?
RJESENJE Masa molekule kisika jc (vidi primjcr 10.1) tn,„ = M,.tn„ = 5.312 x 10725 kg, pa jc srednja kvadratna brzina jed
Slika 10.2 - impuisne sile kojima djeluje destica plina na stjenke posude u razrnacima At = t2. Srednja sila takoder je prikazana.
t,kb
Tlak na stjenku okomitu na smjer osi x .je p= Fr /S, odnosno
P = a2
(10-12b)
= 13mkn., T.
mazE,v2.1, =
mmE,vx2 It
a3
(10-5)
Gledajuei po kornponentama 1
1 1 1 1 1 v2 = – kT – rnmv2 = – kT i –mm v? = –kT 2 2 2 1 1 — — — (11 1 – tri„,v2 = – mn.,(q + t,12, + ?JD = – + – + – ) kT. 2 2 2 2 2 Tri m
P
z-
vz
= 478 m/s.
4 4
iii
rnm
`/ mm m,
(10-6)
jer je (10-13)
D. florvaL Fizika I za PER
Mehanika i toplina
.Si,. 6- 5
ciilinur da je za svaki translatorni doprinos kinetitkoj energiji (translacije) doprinos jednak kT/2. Katerno da je bnt , j ■ luprinusa tikupnoj (ovdje santo kinetitkoj) energiji jednak broju stupnjeva slobode. tj. broj stupujeva slobode je broj podataka koje moramo znati da bismo potpuno odredili ukuptin energiju. Kod jednoatomne molekule (plemeniti plinovi npr.) ukupna kinetieka energija ,jednaka je (sanio) kinetitkoj energiji translacije, a za njeno odredenje noranto znati tri komponente brzine (translacije).
Mote se innate pakazati poinou jednostavaili kvantno-niehaniCkili ra_zinatranja da rotaciona kineti(:.ka /2 alone irnati najnina vrijednost 1 .
2
(10-14)
8, h21
gdje je ft Planckova konstanta, a 1 jc moment inercije (tromosti). Taj loran dobijemo in UV Bohrovog kvaTaltog uvjetu koji ingleda ovako ,t 2 a = art
(71 = 1, 2, 3.
Tu je uvedena toe. reducirana Planckova konstanta
10. Molckularno-kinetiCka teorija plinova
To znati da dvoatounia inolekula ima ukupno pet stupujeva slobode, pa je i ukupna energija U jednaka 'Ammon' broju stupnjeva sloboda poinolenoin s eneryijom po stupnju slobode 2kT. tj. 5
U2 at. = - kT 2
No troatomni odnosno vieatoinni plin postoji doprinos i od rotacije oko a osi, slobode .jednak test. Sada je ukupna energija (jedne molekule) jednaka
energija Eh-" t) =
2
St,. 6. 6
je ukupan broj stupnjeva
-kT = 3kT.
U3
2
( 10- 17 )
It gornjih razmatranja motemo forinulirati teotent o ekvipurticiii citeryije koji je formulirao L. Boltzmann: energija sustava u toplinskoj ravuoteti jednoliko je podijeljena na sve stupnjeve slobode. Za N testica i i stupnjeva slobode, odnosno n rnolova. uz Nk = nr?, ukupna ,je energija ,jednaka
)
rt. it/27r, a nt je (glavni) kvantni broj a Bohrovom
=
modelu atorna. Kako je kinetKla energija rotacije za neku os oko koje je moment tromosti jednak 1
jednaka EA
(10-16)
2
kT
(10-18)
gdje je k Boltzmanova konstanta jednaka k = 1.3807 x 10-23 .1/K, a T s je apsolutna temperatura.
= 2 /w2
10-14 in (polumjer jezgre) i ako uzniemo da je inolna masa M = 100 g/inol, onda je masa (jedne) eesticc jednaka en = M/NA = 1.7 x 10-25 kg. Na je Avogadrov broj. Onda je kinetitka energija rotacije jednaka 10-15 J. U slutaju molekule plina manje molne mase rotaciona energija bit 6e jot ve&!. Istovremeno je srednja kineticka energija translacije Ha temperacuri T jednaka eht..r) Ts 2 x 10-23 T J. Oeigledno dobijerno iz L = ia, izraz (10-14). Ako uzinemo da je atom kuglica polumjera R
. ) >> 4` ) , tto znaei da na podrutju temperatura gdje su molekule pobudene na translaciju je E(h'"" jednostavno nema dovoljno energije da as eestica pobudi na rotaciju. Dakle, kod jednoatouniog pinta nemamo doprinos ukupnoj energiji od energije rotacije!
Osim translacione i rotacione energije, atomi vezani u molekulu mogu imati i vibracionu energiju (energiju titranja). Na ta,j se natin mogu pojaviti jog dva stupnja slobode koji odgovaraju kinetiekoj energiji titranja (1) i potencijahloj energiji titranja (1). Vibracioni stupnjevi slobode javljaju se kod visokili temperatura T >103 K, pa na tim temperaturania govorirno o unutarnjoj energiji jednakoj UT >
7 K -2 kT.
(10-19)
Na temperaturaina ispod 103 K vibrationi stupnjevi slobode su "stiirznuti" (nisu pobucleni) pa imamo i = 5 (santo) za dvoatomnu molekulu, tj. UT
(10-20)
10.4 Toplinski kapaciteti plinova u molekularno kinetiekoj teoriji
Jedna od vrlo vaznih velieina pri razmatranju toplinskill pojava jest toplinski kapacitet odnosno specifieni ill molarni toplinski kapacitet, koji je vee' ranije definiran u termodinamici, tj.
c„
Slika 10.3 - Durislatorno gibanje (dvoatomne) TT olekttle (njenog centra masa - CM) i rotaciju oko dvije osi kroz CM.
No ako imarno dvoatomnu molekulu, tada se broj stupnjeva slobode pove6ava zbog kinetieke energije rotacije: dvoatomna molekula mote rotirati oko dvije osi koje su (medusobno) okomite na spojnicu atoma. Rotacija (vrtnja) oko treee osi (osi z npr.) koja prolazi spojnicom atoma nije pobudena kaosto je to kvantitativno poicazano kod jednoatomnih plinova. Prema tome, za kinetikku energiju rotacije (jedne molekule) imamo dva doprinosa E(rat) = 11,2 + 11, j 2 K
2 = 2 v.
(10-15)
57 _1,v = 1 (au
(10-21)
Poznavajai, dakle, unutarnju energiju lako izrakunamo eksperimentalno mjerljivu velieinu Cv. Ovdje se voila sjetiti i Mayerova relacije koja ,je uvedena u termodinamici i koja povezuje razliku molarnih/specifienih toplinskih kapaciteta kod stalnog tlaka odnosno kod stalnog volumena (za jedan mol): Cp - Cv = R
iii
cp - cv = R. 111,
(10-22)
Fizikalna pozadina Mayerove relacije, odnosno nejednakost C-ova opisana je u termodinamici, a predstavljena je i na slici 10.4, gdje horizontalni pomak (P -4 K1) odgovara Cr-u, a vertikalni (P -4 K2) Cv-u.
Str, 6- 7
D. Roma: Fizika I za FER - Alchanika i toplina
10. Alolckularno-kineWku tepri)a pltnova
Str. 6- 8
4R -2-
p
CV 3R —
V
2R —
R
R
T
T+dT T 100
V
Jasno je da ce za "horizontalan" prijela2 trebati vise energije ,jer se pri tome vrti i rad, pa je i Cp vedi! Promjena temperature je ista u oba smjera i jednaka je dT. Ako sada uzinerno opeenit izraz za unutarnju energiju izrwženu preko broja stupnjeva slobode (10-18) (za jedan mol plina), odmah dobijemo, deriviranjern unutarnje energi,je po temperaturi, da je (uz Nk = nR) i
C p = (1 +
R,
t
Slika 10.5 - Ovisnost motarrlog toplinskog kapaciteta (vodika) o temperaturi. T - translacija, I? - rotacija, V - vibracija.
Slika 10.4 - Mayerova relacija prikazana u p, V dijagrantu.
Cv = IR 2
/0000
1000
(10-23)
100K biti pobudeni sarno translacijski stupnjevi slobode (Cv — 3R/2) a izmedu 1001< i 1000K pobudeni su i rotacijski stupnjevi slobode. Iznad 1000I< javljaju se doprinosi i vibracijskih stupnjeva slobode, pa ,je Cv = 7R/2. Ekstrapolacija ovdje danih razmatranja vodi na"pravu" teoriju - kvantnu teoriju, koja zalnijeva rafiniran matematieki aparat ali i potpuno novi fizikalno-filozofijski pristup razmatranju mikroskopske strukture tvari i medudjelovanja.
pa je adijabatska konstanta K Cp/Cv onda jednaka n =1
2 7.
(10-24) Broj stupnjeva
CV
K
P/mol KI
1 + 2/i
4R = 12.47 z R = 20.79
1.667
5 6
3/? = 24.95
1.333
7
iR= 29.11
1.286
slobode i
Jednostavan ratun daje (vidi i tablicu 6.1)
3
jednoatomni plin : Cp = - R 2 dvoatonini plin : 7 Cp = —R 2 troatomni plin : s Cp = — R. 2
Cv = — R 2
K1 = 1.667
Cv = — R 2
K2=1.400
Cv = 3R
K3 = 1.333.
(10-25)
Usporedba s eksperimentalnim vrijednostima (tablica 10.2) daje uglavnom izvrsno slaganje s gornjim teoretskim rezultatom! Odstupanje eksperimentalnih rezultata od teoretskih vrijednosti pokazuje, medutirn, da valja oprezno prihvaeati rezultate ovdje opisane klasierre teorije plinova. Sasvim ,je .jasno da predocltha atoma plina kao kuglice koja se elastieno sudara sa svojim susjedima itd. predstavlja pojednostavljenje koje sigurno ne moie opisati niz fundarnentalnih procesa na mikroskopskoj razini. Takva silica ne opisati ovisnost toplinskog kapaciteta o temperaturi, kao §to je to (za vodik) prikazano na slici 10.5. Kvalitativno moZ..erno razumjeti sliku 10.5 tako da ocijenimo energiju potrebnu za pobudenje pojedinih stupnjeva slobode. Prema slici (eija je apscisa prikazana u logaritarnskom injerilu) .jasno je da ee na ternperaturama ispod
=
1.400
Tablica 10.1 - Teoretske vrijednosti molarnih kapaciteta Cv i adijabatskih konstanti K za razlitite brojeve stupnjeva slobode i. Te vrijednosti valja usporediti s eksperimentalnim vrijednostima iz tablice 10.2. kao i s vrijednostima iz tablice 5.
10.5 Molarni kapaciteti krutih tijela Od ranije znamo da je za kruta tijela razlika izmedu (specifienih) toplinskih kapaciteta pri stalnom tlaku i stalnom volumenu vrlo mala i da toplinski kapaciteti aproksimativno slijede Dulong-Petitovo pravilo na temperaturama bliskim sobnoj temperaturi (vidi sliku 10.6). Da bismo u kinetieko molekularnoj teoriji plinova dobili izraz za toplinski kapacitet moramo opisati unutarnju energiju krutog tijela. Za razliku od
D. It oz vat. l'AzzA-Az I zu PEI? - M chart tku i toplizzu
Plin
Brnj
Mol. kapacitet
amnia
CS 1.1/111.11q
Stz. 6. 9
.St r. 6- III
I0. Mulekularno-kinetieka teorija phnuvu
Adijubatska Inner.
Toplinski kapaci tut
6 Metal
Ar
1
12.47
1.667
Sobna temp. (300 K)
Niska temp. (25 K)
He
1
12.47
1.667
.1/g1K
J/mol K
112
2
20.30
1.403
Al
0.904
24.4
0.0175
0.473
11 CI
2
21.39
1.400
Ag
0.235
25.3
0.0287
3.100 5.18
.1/g K
.1/uml K
N2
2
20.64
1.401
Au
0.129
25.4
0.0263
Or
2
21.10
1.396
Cu
0.387
24.6
0.016
1.00
Cl2
2
24.82
1.355
Fe
0.450
25.1
0.0075
0.42
CO2
3
28,26
1.300
Pb
0.128
26.5
0.0681
14.1
Sn
0.222
26.3
0.058
6.9
Tablica 10.2 - Eksperimentalne vrijeclnosti topfivakd kapaciteta i adijabatskih konstanti plinova. Te rezultate valja usporediti s teoretskim vrijednustima iz tablice 10.1.
Tablica 10.3a - Eksperimentathe vrijednosti tupliuskih kapaciteta metala na sobnoj ternperaturi (D-P pravilo) i na niskoj ternperaturi T 3 ponaanje),Vidi i tablicu 10.3b.
idealnog Mina, ovdje ne rno-,1eltro zanemariti medudjelovanje molekula, odnosno, uroramo u okviru nekog modela krutog tijela izraeunati ukupnu (kinetieku i potencijalnu) energiju. Kruto (kristalno) tijelo predstavljamo kao skup harmoniekill oscilatora, tj. atorni su smjeSteni unutar pravilnih struktura i one titraju odredenint (vlastitim) frekvencijama oko ravnoteinih poloaja u kristalnoj reSeci. Pri tome je kinetieka energija dana preko tri doprinosa, ti.
Et; =
1
2
,
. = -in (1/' + 1/ 2 + V,2 ), 2 " -
C 3R D-P
(10-26a)
pa na taj naein kintieka energija doprinosi s tri stupnja slobode ukupnoj unutarnoj energiji tijela.. Potencijalna energija harmoniekog oscilatora u jednoj dimenziji je Ey = kx2 /2, a ukupna potencijalna energija jednaka je 1 2 1 2 2 2 E2 -kr = - k(x + y + ), (10-261)) 2 2
7.3
T Sliku 10.6 - Molurni toplinski kapacitet krutog tijela
pa still brojem tri doprinosi i potencijalna energija ukupnorn broju stupnjeva slobode. Prema tome, za jednu molekulu imarno , 3 + 3 ,„„ uri = -IC] , 2
(10-27a)
ee pravo rijeSenje problems valjati potraliti u kvantnoj teoriji evrstog tijela, koja ee dati pravo ponaSanje molarnog toplinskog kapaciteta - C pada s treeom potencijom (apsolutne) temperature T. tj. C T 3.
a za n inolova, odnosno N eestica ukupna unutarnja energija s jednalca je U = 3N kT = 3n1?T;
(10-27b) 10.6 Prijenosne (transportne) pojave
t.cr odmah vodi na molarni toplinski kapacitet (za jedan mot) at/ C -= = 31?, OT
(10.28)
Sto je upravo Dulong-Petitovo (D-P) pravilo! Eksperintentalna krivulja, redutim, pokazuje porra.;anje molarnog toplinskog kapaciteta na niskint temperaturama koje se drastieno razlikuje od (ove) teorije, tj. od D-P 0, §to ova (klasiena) teorija krutog tijela ne rnr:de objasniti. Ponovno pravila: krivulja pada na nulu za T
Razmatranje plina kao nakupine rnolekula eija su svojstva odredena prerna zahtjevirna idealnog plina dovelo .je do objaknjenje temperature i tlalca preko mikroskopskilt svojstava pojedine molekule i poopeenja till svojstava na sve molekule, usrednjenjem preko svih njih. Ovdje eemo pa4ivije istra2iti dirtarniku gibanja pojedine molekule Sto ee, nakon poopeenja na cijeli plin voditi na objanjenje pojava poput Sirenja rnirisa, obja§njenje toplinske vodljivosti, viskoznosti, difuzije ltd. Te pojave zajednitki zoverno prijenosne, odnosno, transportne pojave. Takoder bi se u okviru tog istraiivanja moglo objasniti i odvijanja kernijskili reakcija poput H2 +12 --12H itd.
D. Norval. Piziku t zo PER. - Mehanau i toplina
Nruta tvar
[K)
T
Al Au Jod Pb Fosfor Ag
400 300 240 300 300 400
Stn. 6- 11
10. Molckularito-kiiictir'ku tconija pliriova
Str. 6- 12
Tablica 10.36 - Toplinski kapacitcti
C
krutih tvari na (rclativno) visokim tern3.05 R. 2.99 R 3.09 R 3.09 R 2.96 R 3.06 R
2R
peraturama. Svc tvari vrlo dobro shjede Dulong-Petiteovo pravilo, no to prestaje biti tako na niskim temperaturarno gdjc C pada kao T 3 . PonaAanje C-a na Mskim temperaturama objaSujava samo kvantna fizika. (Vidi i tablicu 10.3a.)
Slika 10.8 - Urlarn i presjek
Tina N molekula. onda (v. jednadCbu (10-121)) i primjer 10.1) u vremenu t = ls. Ako unutar volumena "na.Aa" molekula doCivi N surlara u 1 = 1 s. Znati da izmedu dva sudara prole r = 1 s/N vremena, tj. Razrnotrimo sada gibanje istovrsnih molekula !Ana). Molekule se gibaju slobodno (po pravcitna) izmedu dva savrgeno elastiena sudara. prelim slier 10.7. Nadalje, uzet demo da se giba samo "naS'a" molekula, dok druge miruju.
T=
1S
prito
=
1
1
ppia (v .1s)
pNovskb
(10-30)
Pri tome uzimamo da se "naga" molekula giba sredujorn kvadratnom brzinom V.kb = N.7 2 (dok druge molekule miruju). Vrijerne r zvano je vrijeme relaksacije i ono je dano gornjom formulorn. Ta je formula nepotpuna ,jer ne uzima u obzir gibanje i drugih molekula. Ako izratunamo relativnu brzinu molekula (iz Maxwellove raspodjele - vidi kasniji odjeljak i dodatak poglavlju 10) onda je formula za vrijeme relaksacije ,jednalca 1 (10-31) =
1./pNatii
je srednja brzina molekula, pN je gustoda molekula, definiran ranije.
broj molekula u 1 in3 , a o je udarni presjek,
Inverzna vrijednost vremena relaksacije jednaka je broju sudara u sekundi, odnosno frekvenciji sudara ko,ja je jednaka
vr = Ifio-TpN. Slika 10.7 - Slobodno gibanje molekula plina izmedu dva savrgeno elastiena sudara.
Za vrijeme r eestica se giba slobodno (,o proven - slika 10.7), a udaljenost koju prijede izmedu dva sudara (za vrijeme 7) cove se srednji slobodni j ut koji je jednak
Srednja udaljenost izmedu dva sudara zove se srednji slobodni put. Do sudara molekula dolazi kada se one nalaze "preblizu", a to je odredeno njihovom velieinom i razmakorn: kada se molekula giba ona "prebrisuje" valjak polumjera baze 2R, gdje je R polum,jer molekule (kuglice), a molekule de se sudariti ako su razmaci izmedu njihovih sredigta manji od 211, odnosno ako se srediAta nalaze unutar valjka polumjera baze 2R (vidi sliku 10.8). Unutar valjka volumena V, nalazi se N molekula, tj.
N = PN • VO = PN e • SB = pN • P(2R)2 7 = PN
(10-32)
(10-29)
67 E17
gdje smo, uz gustodu destica p N uveli i udarni presjek, odnosno povrbinu baze valjka op = (2R)2 71- unutar koje dolazi do sudara testica. je volumen koji prebri§e molekula gibajudi se srednjorn kvadratnom brzinom To jc poscbniji slueaj od onog gdjc bi se, prelim gornjoj napomeni, gibale npr. molekule vodika i joda.
e
=
1 1./p Na
(10-33)
Gornji rezultat je kvalitativno jer kaCe da je razinak koji prijede eestica plina bez sudara obrnuto proporcionalan gustodi eestica i udarnom presjeku. Primjer 6.3 Izrajunajte srednji slobodni put molekule duhka na temperaturi 20' C i pri tlaku od 1 atm, to frekvenciju sudara. Polurnjer molekule neka je 2 x 10-1° m. (Tlak od 1 atm jednak je tlaku na standardnim uvjetirna tj. 101 325 Pa. RJEENJE Uz pretpostavku da. jc plin idealan moSemo izratunati gustodu broja molekula pN, tj. in
pV = nRT = NkT dobijemo N
p
101325Pa
V
kT
1.38 x 10-24 3/K ... 293 K
2.5 x 1025 /m5.
Os I as FEB.
- Mclranika i toplirtu
Str. 6 - /3
St, 6 - 14
10. Molekularno- ki7tr.tieku teorija
pfinova
Ouda je srednji slobodni put jednak
=
1
A,Nct
— 2.25 x 10 — m.
Srednju kvadratnu brzinu izratunamo iz (10-126)
coo, =
30'
= 510.9 in/s,
pa je frekvencija sudara
= — = 2.27 x 109 Hz, e
sto
05
znati da se rnolekule sudaraju, pri gornjirn (tipitnim) uvjetima oko 2 ruilijarde puta u sekundi!
25
5Q c 75
100
Bodovi
B shk. 10.9 -
Graf-Lai prikaz
podataka (histogram) uz primjer 10.4
10.7 Maxwellova raspodjela po brzinama Do sada snro pri razmatranju svojstava plina u molekularrro-kinetitkoj teoriji uzirnali uvijek srednju
Na najjednostavniji natin srednju ocjenu T3 (srednji broj bodova) izratunali bismo tako da izraeunamo ukupan zbroj bodova i podijelimo s ukupnim brojem studenata N. Dakle
brzinu iii srednju kvadratnu brzinu gibanja molekula. S obzirom na pretpostavke o idealnorn plinu, za
F E, B, E, 71,
otekivati je da molekule plina mogu irnati cijeli raspon iznosa brzina "na raspolaganju", od rule do, forrnalno,
1 1 72 0 _ 218
76
—a
beskonatnosti. Ovdje Zelimo istraZiti kako se raspodjeljuju molekule po brzinama, t,j. koliki broj molekula irna brzinu unutar nekog intervala brzina (izmedu 500 m/s i 501 m/s, npr.). Dakle, ini traZlino
raspodjele
funkciju
Medutim, ITIOieM0 uvesti funkciju raspodjele f(B) npr. koja govori koliko studenata boa odreden broj bodova, tj. kako su bodovi raspodijeljeni po studentima. Nadaljc, to funkcija raspodjele za odredenu vrijednost broja bodova Bi kale kolika je vjerojatnost da ex nasumee odabran student imati taj broj
po brzinama.
Funkcija raspodjele Za razurnijevanje pojma funkcije raspodjele razmotrimo slijedea primjer.
bodova. Pomotu funkcije raspodjele, gornji raeun postaje
Primjer 10.4 Kontrolnoj zadaei (iz fizike) pristupilo je 218 studenata. Za potpuna iii djelontiena Tjeknja
dobivalo se po 5 bodova, s tim da je niuksimaini broj bodova utogao biti 100. Postignuti rezultati dani su tablici. liraeunajte srednju ocjenu (srednji broj bodova), srednju kvadratnu ocjenu, najvjerojatniju ocjenu i srednje k-vadratno odstupanje (standardnu devijaciju) i standardmi devijaciju artirnetieke sredine.
j=21
B
=
E B,f (Bt)—
100 • 4 + 95 • 2 + 90 • 6 +
N
= 53.76.
Srednju kvadratnu ocjenu mogli bismo izradunati ponovno na dva natina: direktno ratunajuti srednju vrijednost zbroja kvadrata broja bodova
B —-2- _ 1002 + 952 +902 + Bro)
Broj
Broj
Broj
Broj
stud.
bodova
stud.
bodova
stud.
bodova
4
100
14
65
8
30
2
95
20
60
6
25
6
90
30
55
8
20
8
85
28
50
4
15
12
80
20
45
2
10
2
75
16
40
0
5
16
70
10
35
2
0
3 286.24,
N
Broj
in tega sada izratunamo srednu kvadratnu ocjenu
B.k = VET =
57.33.
Vidirno neznatnu razliku izmedu srednjeg kvadratnog broja bodova B ,k i srednjeg broja bodova Pomotu funkcije raspodjele gornji ratun postaje
B,k =
E f (13, )13; =
57.33.
Tablica us primjer 10.5, Resultati kolokvija
To nam pokazuje univerzalnost funkcije raspodjele pri raOunima srednjih vrijednosti.
B.
D. /lomat: Fizika I za FEB. -
Mehanika i
toplina
Sir. 6- 15
Standardna devijacija prikazuje odstupanje (devijaciju) od srednje vrijednosti. Jasno je npr. da je rezult at (prema gornjem printjern) kaila svill 280 studenata postigne 50 bodova (od 100 mogueih) sasvim razheit ml situacije kada bi polovica srudenata imala 0 bodova, a druga polovica 100. Srednja vrijednost broja bodova ista .je u oba slueaja, a standardna devijacija de pokazati da u drugom slueaju postoji veliko odstupanje od prosjeka, dok ga u prvom neee
Standardnu devijacuu broja bodova ora izraZunanto prema izrazu
/ B2 - T32 = 19.90.
an =
Standardna devijacija pokazuje koliko jako rezultati odstupaju od srednje vrijednosti. Gornji raCun lako bismo napisali porrioa ranijib izraza a funkcijom raspodjele!
Diskretnu varijahlu - broj bodova, zamijenit de u nizu slueajeva kontinuirana varijabla x ("7 = v 11 naaent slIta(u), pn gortije lQrlsuIe vise neee imati zbrajanje preko diskretnilt vrijednosti vet= "zbrajanje" preko kontinutuna vrijednosti. tj. Mint eettio integriranje preko podrueja vrijednosti 1 varijable. Dakle.
Standardna devijacija artmcwhe svcdme ass jednaka je
au
ens =
-
10. Molckularno•kinetiaa tearlya ,Iirt ova
Sir. 6- 16
0.09,
Vn(rr — 1)
E
= 1 —›
f (x)
1.
(10-39)
a relativna pogregka dana .je ovako = San s
=
Ta jednakost ujedno kale da .je ukupna vjerojatnosr . jednaka 1, s obzirom da funkcija raspodjele f (x0) daje vjerojat !lost da se Oat vari varijabla xrr . Ukupan broj N jednak je
100 = 0.5%.
N= Iz primjera valja uotiti daje broj bodova rasporeden "u koracima" po 5, tj. ka2erno da je taj broj diskretne. Za razliku od broja bodova, brzine se mijenjaju kontinuirano. Zato de i funkcija raspodjele brzina biti neprekinuta i glatka funkcija brzine, ill , totnije, iznosa brzine or 117.
n(7) dx
(10-40)
a srednja vrijednost velieine (varijable) x je
(10-41)
= f x ./(x)dx.
Opda svojstva funkcije raspodjele Ms) diskretne (ne-kontinuirane) varijable s od N objekata jest Srednja kvadratna vrijednost varijable x je E/i(s)=1=E-. --i N -r =r
n J=N,
=t (10-35)
=E
uz
(10-42)
Vrijednost funkcije raspodjele Ms) za i = io kale kolika je vjerojatnost da de se realizirati varijabla Jasno je da je zbroj vrijednosti funkcije raspodjele preko cijelog niza vrijednosti jednak 1, gto kale da je ukupna vjerojatnost jednaka 1 (tj. 100%). Oplenito, za neku funkciju g(s) diskretne varijable si srednja je vrijednost dana ovako
g(s) = E g(s,)f,(s), i=i
(10-36)
pa ako je npr. g(s) = .92, onda je srednja vrijednost kvadrata s jednaka
=E
I = f r 2 f (x) dx
siL •
s;fi(s).
(10-37)
Standardna devijacija i dalje je dana izrazorn (10-38) gdje se sada za njen ratun rabe formule (10-41) i (10-42). Maxwellova raspodjela po brzinama Razmotrirno sada n rnolova idealnog plina u posudi volurnena V, koji se nalazi na nekoj temperaturi T i pri tlaku p. Zelimo istraiiti, ako ima N testica plina , kakva je funkcija raspodjele po brzinama, tj. koliko de eestica (od ukupnog broja N) imati brzinu izmedu npr. brzine v1 i brzine v2 = v1 + Dv. Valja se sjetiti da eestice u idealnom plinu sudjeluju (samo) u savr.aeno elastienim sudarima, kroz koje one rnogu poprimiti brzine od nule do velikih vrijednosti. Takoder, oeekujemo da de se eestice po brzinama grupirati oko neke srednje brzine koju demo odrediti iz funkcije raspodjele, prelim izrazu 10-41. Maxwell je 1859. godine pokazao da se molekule plina po brzinama rasporeduju prema funkciji
Standardna devijacija za varijablu s je
raspodjele N(v) koja je dana ovako (vidi dodatak poglavlju 10 za izvod te formule)
]1/ 2 a, = E(s, _ 7)2 fi(s)
.=i a
dN,, = N(v„ vv , u„)(117 =
iii
dv, = Ae-'(''°.+11■,+14) (11. dv,„ dv .
(10-43)
(10-38)
=
Znaeenje te funkcije je slijedede: aria daje broj testica eije se brzine nalaze izmedu v i 'yr
- 52 ) 1 /2 .
i v, i v0 + dv.. Poznavanje forrnalne funkcionalne zavisnosti funkcije raspodjele o brzini dN,,
i
+ ostavlja
D. llorTut: Piziku I zu FER Mckunika i topliva
za sada neodredenim dvije konstante .4 i vest ica N u volunlenu 1'. tj.
1
Str. 6- 17
/
=N=Af
v, )
10. Molekularno-kinctiaka teoriya ptinova
Zbrajanie” (integracija) po svim brzinarna daje ukupan broj
dv y
(10-44)
a radin srednje vrijednosti brzine ,joS je jedan uvjet koji odreduje konstante 1:artezijevini komponentama brzine dana ovako dA'„ = N(v,,
Str. 6- 18
dey dv, =
(2
rn
i vs, pa je funkcija riN„ u
) 312 e--"` (`'> +' +' ) / 2k7' do, clo y do,
(10-45)
4
= N f (v,,o y ,1),) du., du, du, . L'InnoZiak de, do, do, molerno shvatiti kao diferencijalni element volutnena dl.'„ u Kartezijevont prostoru
Slika
brzina. Ako pr9jedento na iznos brzine v = Vt92, + (9,2, + onda taj isti element volumena molenio napisati sfernim koordinatama ovako dl,"„ = = sin 0 dO cic5u2 du, (10-46) gdje je dfl diferencijalni element prostornog kuta (u prostoru brzine v) brzine, funkciju raspodjele r/N„ ino2ento napisati ovako
(10-97)
e2 de,
3
nt
/2
c.a/
2
funkcije raspodjele po brzinarna za razlieite vrijednosti temperature.
Temperatura ulazi u funkciju raspodjele kao dodatni parametar i za razlieite vrijednosti temperature funkcija raspodjele je prikazana na slici 10.10.
gdje je f (v) funkcija gustoe'e vjerojatnosti, odnosno to je Maxwellova funkcija raspodjele po brzinarna =
V
- Maxwellove
= 47. IzraZenu preko iznosa
dAT„(v) = N(v) dv = 47N ( ÷ 27 ki,T ) 32 e-m"' / 2'T v2 dv N f(v)
10.10
Eksperimentalni uredaj kojim se mote odrediti raspodjela testica po brzinarna prikazan je na slici 10.11. Iz poznate kutne brzine w more se uz poznatu kutnu razliku izmedu dvije pukotine na rotirajudin diskoviina, odrediti brzina testica koje izadu iz ped P i kolintirane (ustnjerene) pukotinama (kolimatorixna) K dodu, progavS1 kroz dvije pukotine na rotoru I?, do detektora D. Detektor broji Festive odredene brzine. Zatim se promijeni kutna brzina (ili kut tnedu zarezima) i rnjerenje se ponovi. Rezultati u potpunosti slijede krivulju prikazanu na slici 10.10.
12k
(10-98)
27kT
Primjer 6.5 Koliki moat biti kut izmedu ketaea na rotoru R (permit, surer 10.11) aka se icli propustiti ST1Op eestica brzine 400 rn/s? Kotaei as okre6u stalnorn brzinom od 4800 okr./Tain, a razmak izmedu kotaea je
Ta funkcija ima svojstvo funkcije raspodjele uvedene ranije (vidi (10-35)), tj.
60 cm. SC
(v)d 3v = 47 f f
f
(11)v 2 du = Tr. f
dNy = 1,
(10-49)
pa
dNv dw = — = f (v) • d3o = f (v) • 47 v2 N
f dw = 1
(10-50)
predstavlja vjerojattiost da eestica ima brzinu u rasponu v, v + dv (v E [0, +co)). Funkcija raspodjele f po Kartezijevim komponentama brzina dana je ovako
f(v,v5,))
4 ) 3/2 e -air,!Hr:+,?)/zrr ( 27T
(10-51)
gdje je sada npr. v, E (-DO, +DO). Za slut'aj rotacionog gibanja molekule momenta tromosti I, broj molekula koje imaju kutnu brzinu izmedu w i w + jednak je dArw = 47N
) 3/2 w2e-1w2/2krdw (-1 2kT ir
(10-47b)
Slika 10.11 - Skica uredaja za eksperimentalno utvrdivanje raspodjele eestica po brzinarna.
RJEENJE Cestica prijede razinak d izmedu dva kotadt za vrijerne td, koje je jednako td =
V
D. Horpat. Flzika I za FEI? Alchanika i toplina
Str. 6- 19
o = Lid a
phnova
lutegrali sit tz.r. Caussovog tips i u.jiliove su vrijednosti dare u tablici 10.4. l'rvi integral je integral neparne funkcije po simetrienom podrueju. pa je on jednak null. Prelim tome ii. = 0. To je. narartio, od rattije poznat rezultat ovdje provjeren potrioh, izvedene funkcije raspodjele.
Za to or vrijelneinora zakremai rotor Ca kut a da hi ('estica mogla prai kroz drug.: morez, tj. pa je
td,
10. Molckularno-k/l,dtka trotdja
Str. 6- 20
odnosno
Srednju
'11
vrijednost (inosa) brzine
naderno na slitan satin, pomoen tablice 10.4:
LLIti Cr = _<•0
Uvrttavanjem podataka dobijemo
>=
v f (v) dv = 47r
(27rnk'T )
312 f
v
• e—n,,/2k7' • •r2 dv (10-53)
96r (t = — = 43.20° -= 43°12'. 2 (2kT 2kT ) 1/2 — —) /2 1.13 (— Nil In
Energija aktivacije Kemijske reakcije se odvijaju vrlo eesto u otopinama Jr kojima sit brzine molekula ras.poredene prema N.taxwellovoj raspodjeli. Do kemijske reakcije /e loci samo ako molekule ititant dovoljno kinetitke energije koja rnora biti visa od 711.inint(2171C energije crane entlyija aktivacrje, a koja .le karakteristiena ca. pojedinu reakciju. Ia prakse je poznato da ee se reakcija odvijati brie ako je temperatura (otopine) vita, a iz slike 10.12 vidljivo je i ob jjalnjenje: ako je ternperatura vita, krivulja raspodjele pomiee se nadesno, a to znati da ima vile molekula s energijorn vedom od energije a.ktivacije, pa tako him vile molekula koje stupaju u kemijsku reakciju. (Broj tilt rnolekula prikazan je povrlinom ispod krivulje u podrutju apscise veee od energije aktivacije!)
Nv
e -b v2
Nv
v.
V
Slika 10.13 - Maxwellova funkcija raspodjele po brzinatna. Prikazane su i maksimaina srednja v i srednja kvadratna vsK brzina.
Za srednju vrijednost kvadrata brzine Ino.emo ponoviti gorn.ji ratun uz v integrala vodi na izraz za srednju kvadratnu brzinu izvedenu ranije, tj.
vekn
Da
dN,, j N
rn 2akT)
3/2
f
(2kT 1/2 rn )
(10-54)
Ovdje jje zanindjivo iz funkcije raspodjele izratunati najvjerojatniju brzinu v,,,, tj. brzinu za koju funkcija raspodjele ima maksimurn:
npr. moiemo izratunati na slijedeei satin dv — f (v)
—=< >= f f (v„ v,„ v)dv
=
2
2kT)I/2 vAb = 1.22 (-
RaEuni IcarakteristiEnih velkina Poznavajuei funkciju raspodjele f (v) odnos-no funkciju dN„, rnolemo prema ranijem razmatranju primjera 10.1 izratunati srednje vrijednosti funkcija brzine. Srednju vrijednost neke komponente brzine,
= v =
2
Slika 10.12 - Maxwellova funkcija raspodjele po brzinarria - uz objalnjenje energije aktivacije.
v2 , lto, uz drugu vrijednost
(10-52)
= 0 = —(v 2 dv
ikT
2kT Urn = — rn
—rn,,!/zer dv, f f e — m(`'■,+`'! ) /2kT dvy dv, Prema tome izrnedu tri karakteristiene brzine postoji ovakav odnos
=0 (10-55)
V. florvut: Pizika I zu FER Mehunika toplina
sredija brzina:
najvjerojatnija brzina:
Sir. 6. 21
Sir. 6 - 22
10. Alolekularno-kinetiaka teorija
oo Tablica integrala I„ = .I x"c -"' (Is o
srednja kv. brzina:
Vrijednost integrala
it s
IET (kT) I/2 = - —
(kT) l/' \, Tit I
IT
0
( )'l2
)
111
1
2 = 1 - ,/
/2
kT
=
kT ) 1 / 111
kT I / 2 1.13 f (—)
= 1.224 (E) 1/2
itt )
(10-56) 2
lit
I(, " 7 ) 112
i 7,7 t (,., .) 1/2
3 'Urn
:17 :
Vs kb =
dl
4
1 : 1.13: 1.22.
Za raeun prosjeene vrijednosti kinetieke energije u npr. x -sinjeru piIemo
= I
phnova
E(v)f(1,,„v,,v,; )dv.,clvy cluz =
I — 2 f
5
,÷7
2n-1-1
—VT-r
2n
1-3. 5.., Z-1) ( : ) I/ 2
Tablica 10.4: Vrijednosti cestih integrala kod Maxwellove raspodjele
(10-54a)
i pomo6u integrala iz tablice 10.6 lako dobijetno
EK1
=
(10-54b)
2kT,
ne u skladu s teoremom o ekviparticiji energije. Za ratun srednje vrijednosti ukupne kinetieke ene molekule, dobro je prijeei s varijable v na varijablu E, a pri tome se Inolemo rukovoditi opeim pravilom kako napraviti zamjenu varijabli kod funkcija raspodjele: (•) Valja pronaei matematieku vezu izmedu stare i nove varijable (npr. E = mv2 /2); (•) Valja diferencirati gornju jednadžbu jednadibu i dobiti vezu izmedu diferencijala (npr.
dE = myth,
Maxwell-Boltzmannova funkcija raspodjele Rezultat zamjene varijabli v -4 Ek doveo je do funkcije raspodjele po (kinetitkoj) energiji (translacije). Odmali se name& pitanje, kako se taj rezultat mote poopeiti na ukupnu energiju, tj. na situaciju kada medu molekulama plina djeluje neka (konzervativna) sila, pa molekule posjeduju i potencijalnu energiju (a ne samo kinetieku kao Ito je to bio do sada slueaj za idealni plin). U situaciji kada je prisutna i potencijalna energija Muzwell-Boltztriaratova raspodjelu zadriava tzv. Boltzrnartnov faktor e-E/k7. , medutim, normalizacioni faktor je razlitit, a i znatenje funkcije raspodjele valja reformulirati. Naime, funkcija raspodjele
ritTE 2. civ);
IMB dE = AN/Te-E/kT riE
(•) Valja supstituirati novu varijablu (prelim prvoj totki) i njen diferencijal (prema drugoj totki).
daje vjerojatnost da eestica plina ima energiju izmedu E i E + dE. Konstanta nornializacije opeenito ee ovisiti o rnnogo faktora poput gusto& i temperature.
Dakle, za rueun srednje vrijednosti kinetieke energije imamo Ek
1 = -mv2 ;
dEk = my dv;
2
(Ek)dEk
Potnoeu to funkcije raspodjele lako
-
unamo
civ -
dEk
y2treEk
• (10-55)
1 Vr'ke E. /kT dEk Vir(kT)3
2
10.9 Realni plinovi
"^-
49-4(
C1-‘,..LAN
le, pretpostavki o idealnom plinu izveli stno niz vainih važnih odnosa koji su razotkrili vezu makroskopskih rnedutim, napuste neke parametara i inikroprocesa u plinu, odnosno medu njegovirn molekulama. pretpostavke idealnog plina, pokusi pokazuju da "lijepe" parabole p = A/V u p - V dijagramu, poprimaju sasvirn drugaeiji oblik, prema slici 10.9.
Etc ,
.171-( kT)3
e-"/kT Ek3/2 dEk.
(10-56a)
Nadalje, javljaju se U tom podrueju vile ne moiemo možemozanemariti volumen molekula plina. medudjelovanja molekula plina ali i stjenki i molekula, pa i medudjelovanje moramo ugraditi u jednadibu (realnog) plina. Te je popravke ugradio u plinsku jednadžbu jednadibu van der Waalst tj.
Gornji integral moleino svesti na poznati oblik ako uvederno novu varijablu y = Vrk".. Rezultat je takoder V —■ V - rabw
poznat od ranije: Ek t=-
(10-57
2kT
(10-56b)
t Johan Diderik van der Waals (1837-1923) nisoseniski fisitar. Nobclova nagrada 1910. godine.
(10-58)
Sir. 6-
Meltartaa i loplm a
D 11”7-110. Fxzlka I
Si,'. 6.
24
11L Moickulamio • 1, itch/ Let I e'll111(1 7,117101'll
PIM
T„. [K]
p, [atm)
1, Hl/mol]
p,1',/RT,
He Ne Ar Kr
5.3 44.5
2.26 25.9
151.0 210.6
48.0 54.2
57.7 41.6 75.2 92.0
Xe H2
290.0 33 126.0
57.9 12.8 33.5 49.7 77.7
0.300 0.296 0.291 0.290 0.293 0.304 0.292
N-2 02 SO2 CH, Met. alkohol
V
V
Et. alkohol Et. alkohol
Slika 10.1.4 - p - V dijagranr realnog plina.
Aceton
154.3 430.0 190.6 513.1 516.0 516.0 508.0
120,2 65.0 90.0 74.4 123.0 98.8 117.5 167.0 167.0
45.8 78.7 63.1 63.1 47.0
0.292 0.271 0.290 0.221 0.250 0.250
216.0
0.243
Tablica 10.5 KritiCni parametri plinova
gdje je n broj molova, a brc je (za sada) nepoznata konstanta koju valja odrediti iz eksperimenta za dani plin. Takoder je uveo popravku zbog medudjelovanja ovako
p p+
n'are V
(10-59) livrttenje gornjih izraza u van der Waalsovu jednad2,u daje
pa van der Waalsova jednadiba stanja realnog plina izgleda ovako
+ n' aw ) (V - nbw) = rIRT. V2
Pozitivne velitine (konstante) aw i bn,, tzv. virijalni koeficijenti odredit to se na osnovu .jednadZbe stanja realnog plina u okolini tzv. kritiene take u kojoj oznatujerno parametre stanja plina ovako
p,,V,, T,
p, V, T
L, + 3 (1',1 (1. )lc
(10-60)
[ p,
Bertholletov plint
T T,
31 )
(10-66)
Na shear' natin kako je to utinio van der \Vaals, Berthollet je modificirao jednadZbu
stanja idealnog plina na slijedeei nacin, dobiti Bertholletovu jednadibu stanja realnog plina
(10-61)
r/ 2273., ) (17 ++
- nbB) = nRT.
(10-67)
i to velitine odreduju se iz eksperimenta. Na osnovu ponatanja realnog plina na izotermi (T,) koja prolazi kritienom toekom (prerna slier 10.9), vrijede dvije uvjetne jednadtbe
82P - o av2
aP - o av
V,
aB = 30,V,2 T„,
(10-62)
jer je kritiena toeka za izot jednadžbueka infieksije.
(10-68)
Bertholletova jednadZba gotovo jednako dobro opisuje realni plin kao van der Waalsova jednad2ba
Van der Waalsovu jednadibu za 1 mol plina motemo napisati i ovako
RT P
Iz istih uvjetnih jednad2,bi mogu se dobiti Bertholletove konstante ap i by:
Virijalni koeficijenti
aw
(10-63)
V - bw
Opeenito se jednadZba stanja plina 'note razviti u red ovako PV
nRT
- 1+ B(T) v n C(T)
n
(11)2 + T (T) ( T) V
2
+
(10-69)
pa uvjetne jednadZbe (u kritrenoj toeki) postaju
ap
av ,
_
RT,
2aw
v., - bw +
V,3
-=
82 p 0
2RT,
I8v2 „ - - kw
6aw V4
0 •
(10-64)
RjeAenja gornjih jednadžbi jednadibi za van der Waalsove konstante su
bw =
aw =
3p V2 .
gdje koeficijente razvoja B(T), C(T), zoverno virijalni koeficijenti i opcenito, ovine o temperaturi. Raspisivanja van der Waalsove jednadThe stanja realnog plina vodi, usporedivanjern, na slijedeeu vezu izrnedu virijalnih koeficijenata i van der Waalsovih konstanti
B(T) = bw - 7±;., (10-65)
C(T)
/ Claude Louis Graf you Bertliollet (1748-1822) irancuski kerniear.
=14.
(10-70)
D.
00,at: Pizika I za FEB. - Mehattika i toptitat
Str. 6. 25
Str.
- 26
Dodaci 10. poglavlju
Dakte. drugi viri. jalui koeficijent ovdje ue ovisi o temperaturi! Slieno za Bert holletov plin dobijerno B(T) = on -
au RV
(10-71)
C(T) = 6 21,
DODACI 10. POGLAVLJU
Nljerenja pokazuju da Bertholletovi koeficijenti belje opisuju B(T) mega van der 1Vaalsove konstante. GOrld1111 su prikazirna samo skicirani neki pokul;aji opisa roaluili plinova. Apr. tzv. Dietcrici-jcva jedrladiba slanja realnog Ono izgleda onako pe naD/V
RT - iib„) = nRT
(10-72)
li Baettie-Thidgernan-ova jednadiba stanja realnag plina PV ( nRT
Iicnn old0 n 2 1,13,3130 nAo 1+ VT') ( V RTV 1 V2
mums V
(10-73)
gdje su konstante ann, bnmenn, Ao i Bo odredene iz eksperimenata za velik broj plinova, posebno za vaZne situacije visokih Lemperatura i visokill tlakova (pri kernijskim reakcijama sinteza neorganskih i organskih spojeva, izgaranju plinova raketnih all i obienill rnotora, ltd).
Dodatak 10.1Izvod Maxwellove funkcije raspodjele po brzinama
Napomena o medumolekularnirn silama U razinatranju veza medu molekulama javljaju se razni tipovi ruedudjelovanja. Jedna vrlo slaba sila je tzv. van der Waalsova silo koja se javlja zato IIto rnolekule imaju dipolni moment (vidi poglavlje o elektrienirn pojavama u Fizici I), tj. molekula se mole zarnisliti kao ob,jekt sastavljen od dvije nakupine medusobno razrnaknutih nakupina suprotnih elektrienih naboja. Elektrostatsko 1/r3 ), a potenci,jalna energi,ja polje E takve dipolne molekule opada s treeom potencijom udaljenosti 1/r6 . Iz potencijalne dva dipola proporcionalna je s kvadratom polja (E) 2 (vidi poglavlje 4), tj. E p energije dobije se (deriviranjem po r sila koja je proporcionalna s 1/r7 . To je van der Waalsova sila, a medumolekularna veza je van dar Waalsova veza. Eenrgija ,je, prema tome, proporcionalna s 1/r6 =
Razinotrimo N molekula idealnog plina u sprenmiku volumena V i na temperaturi T. S obzirom na kaotieno gibanje molekula, svi su smjerovi brzina jednakovrijedni, a iznosi brzina, s obziroin na savrleno elastiene sudare koji se odigravaju innerly molekula, poprirna,ju vrijednosti izmedu rule i, praktitki, beskonaeno. Ovdje nas zanirna pronaei raspodjelu molekula po brzinama, tj. len= odrediti bro,j molekula dN„„ koje imaju (iznos) brzine izrnee/u v i v + do. Vjerojatnost da molekula ima brzinu u gornjern rasponu ne mole ovisiti o komponentama brzine vim , vy , v,, odnosno Icalemo da su komponente brzine statistitki nezavisne. Nelca je funkcija raspodjele za komponentu jednaka f (v), tj.
(1/r3 )(1/r3 ) = I/V2 , tj. upravo onako kao Ito se javlja u van der Waalsovoj jednadlbi za realni plin. (Dimenzija uninoka pV je upravo A/L2 T -2, Ito odgovara dirnenziji energije odnosno jedinici
(11V„. = (v,)(11);,
(DP10- 1.1)
d/V,, je upravo bro,j molekula koje irnaju x-kornponentu brzine v, izmedu v, i v, + dv,. Ista funkcija raspodjele opisuje vy i v, komponente brzine. To znati da ce funkcija raspodjele za proizvoljno gibanje molekule biti jednaka (DP10-I.2) = f (v.r) (tut • l(vy) dvw • (v,)(1v,
i
No kako funkcija raspodjele ne mole ovisiti o smjeru (vee o iznosu) brzine, unrnolak f (v,)f (vv ) f (v,) molerno mipisati kao jednu funkciju ko,ja ovisi santo o iznosu brzine v2 , t.j. (v:,)f (vy ) f (v,..) = F(v2 )F(1.,! + v y2 + v?)
(DP10-1.3)
sada cilj odrediti oblik funkcije f (u2 ). Ovdje, dakle, slijedi ru n rnaternatiekih koraka povrerneno zaeinjeuill fizikalnini zahtjevima. .je
Ako stavimo da su dvije komponente brzine jednake null
= 0 = v,), onda dobijemo jednakost
f (vD[f(0)12 =F(u!) ,
(DP10-I 4)
pa je F(v! + vi2„ +
= f(.1) +
+ v!.)Lf (0)]2 ,
(DP10-1.5)
f (v!) f (1),2„).f (vD = f (v! + vy + vD11(0)12
(DP10-1.6)
kada to uvrstimo u (DP10-1.3), dobijeino
Str. 6- 27
D. Horvat: Fizika I za FER - Wyman i toptina
+ 'a?) + 21n f (0),
+ In f (vD = In f (v2 +
ecl(a2r ) = et'(v.2, + ov2 + cD,
l/2
q = 0113 /2 tr 1 2a
(DP10-1 Sa)
2
(1 3
0 = ct,"(v1 + vv2 + vD.
(DP10-1.814
Dakle, druga derivacija funkcije q(v2 ) jednaka je nuli. To znati da funkciju inolerno prikazati kao linearnu tj. funkciju varijable (DP10-1.9) cl/(eD = In f (v2 ) = ao - a1 ur. Negativni predznak ispred linearilog dat) opravdan je odinali malo oblik funkcije f (vD
Antilogaritiniranjern clobijemo (DP10-1.10)
.1.( v1) =
Odmah je jasno da predznak ispred a1 flora biti negativan jer bin protivrican funkcija raspodjele za velike (beskonatne) brzine postala beskonatna, to ne bi rnogla zadovoljiti uvjet vjerojatnosti, tj. da integral preko cijelog raspona varijable mora biti jednak jedinici! Cijeli gornji ratan moiemo ponoviti za druge dvije komponente brzine, pa dobijemo uvrgtavanjem u (DP10-1.3) fo„Df(t,v2)f(v2ie3a0e-,,,o,!+,,,-H,,°). (DP10-1.11) Dvije za sada nepoznate konstante ac, i a1 moiemo odrediti iz dva uvjeta od kojih jedan predstavlja ratan ukupnog broja testica, tj.
a, =
rn
dux f 0-'"41v
e3 a°
71
a,
e3"
N (L c7 )312
7., '+■ ,'+ ■ ,'
ra )3/2 0 = (—
I (1,,)1(7) 01(0,) (l'o do y
-
2trkT
kT
.
v2x f (v,) dux
f
vxe
a
(DP10-1.1S)
Za funkciju raspodjele vrijedi
f
f (v,)f (vy )f (v,) dvr dry dv, = 1,
(DP10-1.19)
pa izraz pod integralom predstavlja gusto6u vjerojatnosti nalaZenja testice unutar volumena df.T.
pod-
jelu brzina po iznosu moramo prijeei iz Kartezijevih komponenti brzina na iznos brzine v = \/ti + vv + Sada ,je volumen dc7 jednak
dcb,, = v2 (Iv d121,.
d14, = v2 dv sin Bo Funkcija raspodjele f ne ovisi o kutovirna, pa po dobijerno funkciju raspodjele pa brzinarna
(DP10-1.20)
moiemo integrirati po cijelom prostornom kutu, pa
f(v)dv=4a ( ra ) 3/2 2trkT
-mt,'/2kT v2 dv.
(DP10-1.20)
f e a dvv f e a dv
Dodatak 10.2 Raspr§enje molekula i relativna brzina
Ovdje eerno razrnotriti savrkno elastieni sudar dvije rnolekule plina. Molekule irnaju mace nl1 i rri2 i giba,ju se brzinama i 62 , u odnosu na mirni sustay. To je poopeenje situacije koju smo itnali kada srno razrnatrali prijenosne pojave gdje smo gledali gibanje samo ,jedne, "nak" molekule, dok su druge mirovale. Vjerojatnost da prva molekula ima brzinu t7, i da druga ima brzinu 172 jednaka ,je urnnosku vjerojatnosti, tj. d'w, , 2 = d'W (1102 (DP10-2.1) ( no )3 / 2 e dvi nt2 ) 3 /2 e - rri,t, j/2kT dye
(DP10-1.15)
Za dvije testice inokino definirati pololaj centra mase (CM) na uobita jell naein
f f(vv)dv, f f (v)
OC
= ((,) 3
dr,
(DP10-1.14)
Taj rezultat moiemo sada izratunati pomoeu funkcije raspodjele, tj.
„71.Aq
25T
(DP10-1.13)
Konstantu a, moiemo možemo odrediti samo tako da uvedemo neki nezavisno izraeunati, od ranij epoznati rezultat. Tu ee poslutiti srednja kvadratna brzina izvedena na potetku ovog poglavlja, iz kinematike i dinamike gibanja molekula plina, tj.
= 2v2 =
Kartezijevim komponentaina)
f
3/2
ill
(DP10-1.17)
pa imaino konaeni oblik Maxwellove funkcije raspodjele po brzinama
(DP10-1.12)
pomoen tablice 10.4, gornje integrale molerno jednostavno izvrijedniti, pa dobijerno da je ukupan broj eestica jednak
N
(DP10-1.10)
kT
= N =f f (v!)f (vD f(v!) dvx dvv dv, = 03rd f
\ '/2
)
Usporedba s (DP10-1.13) daje vrijednost konstante al
a deriviranje gornje jednakosti po a daje nalu, tj.
f
I /2
I /2
(DP10-1 7)
paryijahain derviranjem goride jednakosti po yr dobijerno
= In f
i ako uvedemo pokrata
Tog/ay/7u
Dodact
sto daje az poinoe tablice 10.4
Logaritmiranjem gornje jednadibe dobijerno
f(v!) + In f
Str. 6 - 28
.27rkT
2trkT
7, c NI
rn1
+
77/27=2
Int + 7//2
(DP10-2.2)
D. Ilorvat: Fizika I
Sir. 6 29
- 1.,:e1,171.n.(1 i .011.lila
F ISH
Deriviranjein gorrjeg izraza po vreinenu dobijenlo brainu centra muse. Dakle, poinoeu braina 311.2 UVO(IiI110 ratan/TOL brZ1Till 311,.1 i bl'ZIILIA centin muse Vero 17i-ei = 171 -172;
+ 102 02 101 + "12
MCC!
gcio =
Doducz 10. pogluvlju
Str. 6- 110
Na taj naein snlo iaraeunali srednju vrijednost relativne braille gibalIja dvije testice iste inase preko srednje brzine dobijone poinoeu Maxwellove raspodjele po brainaina. Tu je, dakle, porijeklo faktora f u formulaina (10-30) i (10-31).
(DP10-2 3)
1:inetieku energiju sustava od to dvije esttce i nozeino napisati ponioeu braille Jcio, ti. EK/cm
ut2 )''--rbu
(1161
(DP10-2.4)
Poinoeu gore uvedenili brzina Inoleino napisati ab rosi kinettail, outi rgija eestica 1 i 2, t,j. (pisano bee faktora 1/2)
'a
(MI ± '02)"1.1 ? (Tni + ne -I- 112 ( 7 /11 171 + in2 11'2) 2 zni rn2(fq + fr.; - 25.1372) 1/61 + 112
ni072 +10262
+ /112)
=
(DP10-2.5)
+ rti2f52) 2 + 11/i /112 ?in] + 1/12 i"I 11E2
_ g2 )2
CNI = MfP
gdje sin° uveli ukupnu
masu 3-1
i reduciranu m use µ ovako 1
1111162
Al = 111 +1/12
mu,
p
+ 112
(DP10-2.6)
1112
Za ratun vjerojatnosti dw1,2 iaražen iaraien pr eko novill braina moratno izraeunati jakobijan transforrnacije preina standardnoin izrazu (DP10-2.7) (13.71 • d132 = I9jd''iciu • vro. Jakobijan raeunanio ovako act
a11„, = 802
au
aye,
112
1
Till +11-12
7112
avre ,
(DP10-2.8)
= 1. 1
711 + '1112
Sada ino'/,etrio u noviln varijablaina vjerojatnost napisati ovako M
) 3/2
da' l
( 2rrkT )
\27rkT = dwr,i •
3/2
1,1
d'l7C M
e
(DP10-2.9)
dwcm.
Ako su !rime eestica iste (kao Sto 5100 pretpostaviii u prvoin dijelu raarnatratija prijenosnih pojava), onda je = 2m, pa je m/2 i
p=
dwrei =
_ ) 3/2 e -,“'r./ 41T diTrei. 4 /rIcT) Sada nioleino izraeunati srednju vrijednost relativne brzine: 7rel = I dWrel 'Orel =
(DP10-2.10)
4 4
Tri ) 3 /2 I vrele -mu,,,/ 41T„?ei dvr od12,, 47kT
4
4
4
4
4
(DP10-2.11)
= =
3/2 ( --T—) 47kT
1140 e -No,,,/elkir dere,
4
1 zn 1-W11. - Mchana.u. i
U. 110,ut:
SI,
l /ma
-
110‘10, Ill. poglery1p,
10.32 IC* uvjctc zadovoljava .jednaciZba stanja realnog plina a kritienoj
PREGLED 10. POGLAVLJA 1. Novi fizikalni pojmovi
10.33 NapiSite jednadbu stanja van der Waalsovog realnog 10.34 Izvedite izraze za van der Waalsove konstante no- i
srednja kvadratna brzina
ekviparticija energije
preko paramerara u krititnoj totki.
stupanj slobode
10.35 NapiSite jeduadthu stasis Bertholletovog plina i usporedite je s van der Waalsovim
prijenosne pojave
vrijeme relaksacije
frekvencija sudara
10.36
srednji slobodni put
funkcija raspodjele
standardna devijacija
10.33 Sto Jr frekvencija sudara. Kolika je tipiena frekvencija sudara molekula plina?
diskretna varijabla
kontinuirana varijabla
realni plin
10.33 Sto je frekvencija sudara. Kolika je tipiena frekvencija sudara molckula plina? 10.33 Sto je frekvencija sudara. Kolika je tipiena frekvencija sudara molekula plina?
2. Nove relacije
10.12 • Izvedi elektrieno polio dipola! N
=
114
NA,
2N pV = 3 Ek = 1
to AI
-
3kT
U = -NkT
,,s1th =
Cv
C,
2 1
=
nlrn
2
v, = V-2.ar,ps
1
E-
Ni2V,scr;
n
1
N,/
2p a
3. Pitanja (sa zvijezdicom su oznatena tefa, neobavezna pitanja) 10.1 Usporedite termodinamiku i molekularno-kinctitku teoriju plinova. 10.2 OpiAite svojstva idealnog plina. 10.3 Izvedite izraz za tlak idealnog plina. 10.4 Opigite impuLsne silo. 10.5 Kako je definirana srednja kinetitka energija? 10.6 Opitite vezu apsolutne temperature i srednje kinetitke energije. 10.7 Sto je srednja kvadratna brzina? 10.8 Sto je stupanj slobode. 10.9 Formulirajte teorem o ekviparticiji energije. 10.10 Opi6ite postupak ratuna broja stupnjeva slobode jednoatomnog, dvoatomnog i vi6eatomnog idealnog 10.11 Za6to pojedini stupnjevi slobode ostaju "smrznuti"? 10.12 Opgite temperaturnu ovisnost toplinskog kapaciteta vodika. 10.13 Iz Mayerove relacije izvedite izraze za toplinske kapacitete u ovisnosti o broju stupnjeva slobode. 10.14 Objasnite adijabatsku konstantu preko broja stupnjeva slobode. 10.15 Objasnite kako se javlja Dulong-Petitovo pravilo u kinetitko-molekularnoj teoriji. 10.16 Sto je udarni presjek? 10.17 Sto je srednji slobodni put? Izvedite formulu za srednji slobodni put. 10.18 Sto je vrijeme relaksacije? Izvedite formulu za vrijeme relaksacije. 10.19 Sto je frekvencija sudara. Kolika je tipiena frekvencija sudara molekula plina? 10.20 Sto je to diskretna a Ato kontinuirana varijabla? 10.21 Sto je funkcija raspodjele? 10.22 Sto je standardna devijacija? Napigitc njen matematitki zapis. 10.23 Opi6ite kako se moAe pokusom dobiti rasporcd pc, brzinama molekula idealnog 10.30 Uz koje popravke idealni plin "postaje" realan? 10.31 Nacrtajte p - V dijagram realnog plina i opigite krititnu totku.
DODACI
[D1] Derivacija i integral [D21 Vektori
D1-1 D2-1
D1-9 D2-19
[D3] Trigonometrijske funkcije
D3-1
D3-6
[D4] Eksponencijalna i logaritamslca funkcija
D4.1
D4-6
[D5] Prirodne konstante i broji•ani podaci
D5-1
D5-2
Dodatak DI- Derivacija i integral
Sir. DI - 2
DODATAK Dl. DERIVACIJA I INTEGRAL
11.
to
t
Slika D1.1 Uz definiciju derivacije
U ovom dodatku dati eemo kratki pregled diferencijalnog i integralnog ratuna uz niz primjera iz kinematike i dinamike, gdje se i prvi puta susreee derivacija kroz problem uvodenja (prave - trenutne) brzine.
RJE§ENJE Elongacija tijela je x(t) = Ao sin(wt + 0) a brzina je
d d v(t) = — x(t) = — (A0 sin(cdt + 0)) dt dt
Derivacija
Definicija srednje brzine =
(D1-1)
At
govori o omjeru prijedenog puta i vremena potrebnog da se prijede taj put. To vrijeme mote znatiti vremenski razmak od jednog sata (pri putovanju automobilom npr.) ill desetak sekundi (pri utrci atletitara) ltd. Postavlja se pitanje koliku brzinu promatrani objekt tiju brzinu mjerimo ima u jednom odredenom trenutku, u trenutku prolaska kroz kritanje iii dolaska na cilj. Odgovor na to pitanje daje nam trenutna ill prava brzina. Naime, to je brzina koju tijelo ima u jednom trenutku, u jednom malom djelieu vremena, na jednom malom djelieu puta. Da bismo opisali takav mall vremenski interval uvodimo matematitki simbol limesa - graniene vrijednosti, tj. pitemo gprava, trenutna
$
= li M
L‘2. =
A t -,0 At
dt
dv a=
(D1-4)
v(0) = 24{)w cos(cd • 0 + 77
(D1-5)
= 2irAo cos - = 0, 2 a nakon npr. t = 0.25 s je v(0.25) = Ao 2ir cos(2ir • + ;) =
(D1-6)
Ao ,
tj. brzina je maksimalnog iznosa, a tijelo se giba u negativnom smjeru osi x. Akceleraciju odredimo kao (prvu) derivaciju brzine po vremenu d dt
d
a(t) = — v(t) = — (Aocd cos(cdt + 0)) = -Aoco2 sin(cot + 0),
d (dx) d2 x 7i dt ) = dt 2
dt
(D1-7a)
odnosno kao drugu derivaciju puta po vremenu
tj. uvodimo drugu dcrivaciju i kaiemo da je akccicracija druga dcrivacija puta po vrernenu. Na isti natin dcfiniranc su i vie derivacije.
a(t) =
Ako grafitki prikatemo ovisnost x o t (dakle, nezavisna varijabla t dolazi na apscisu, a x na ordinatu), onda možemo vidjeti da je omjer eiu stvari koeficijent smjera k tangente povueene u toeki krivulje (to, x(to )) k = dl dt t=to
flow cos(cdt + 0)
(Iskoristili smo einjenicu da je derivacije funkcije sinus jednaka cosinus (vidi Tablicu D1.1).) Brzina je (opet) funkcija vremena t. Valja se sjetiti da su amplituda Ao , (Icruina) frekvencija w i faza poznate (zadane) konstante. Ako je npr. = or/2 (tijelo je u poeetnom trenutku maksimalno udaljeno od položaja ravnotete) iar nu io je w = 27. 8-1 (tj. titrajno vrijeme T = 1 s), onda vidimo da je brzina u potetnom trenutku jednaka
(D1-2)
gdje smo uveli oznaku vremenske derivacije pomoeu totke iznad velitine koju deriviramo. Katemo da je brzina prva derivacija puta po uremenu. Na sfitan natin smo definirali pram akceleraciju kao prvu derivaciju brzine po vrernenu. No kako jc brzina ujedno derivacija puta po vrernenu onda je
=
2 d2 (A0 sin(cot + 0)), x(t) = — (d1 = ± dt2 dt dt d
(D -7b)
Ito vodi do gornjeg rezultata u (D1-7a).
4 4 (D1-3)
Pri tome nam x(t) predstavlja funkcionalnu ovisnost puta o vremenu (vidjeti npr. izraz (1-8b), ili x(t) = Aa sin(wt + 0)). S obzirom da je prva derivacija (opeenito) ponovno funkcija od t, to znati da je i brzina funkcija vremena. Primjer 1 Valja izmiunati brzinu i akceleraciju tijela koje harrnoniiki titra dui osi x amplitudom Ao i (krutnom) /rekvencijom w.
Primjer 2 Razmotrimo stazu, brzinu i akceleraciju kod tzv. kosog hica. RlEgENJE Kosi hitac dobijemo kada tijelo (materijalnu totku) bacimo pod (zadanim) kutom a, potetnom
brzinom iznosa vo u polju ete. Tijelo izvodi sloieno složeno gibanje koje j naclibama za x (horizontalna udaljenost) i y (vertikalna udaljenost - visina): naclžbama
tama opisano jedjed-
x(t) = (vo cos a) •
Y(t) = (vo sin cz) • t - 2 t2 .
(D1-8)
D. Horvat: Firtka I za FBI?
Str. DI - 3
Str. DI -
4
Dodatak DI- Derivacija
Brzinu u smjeru osi x dobijemo derivacijom x-a po vremenu
i integral
Tablica D1.1 Derivacije nekih elementarnih funkcija
d v‘(t) = — x(t) = vo cos a, dt
d — (konst.) = 0
(D1-9a)
d — (e") = ae"
tj. v‘ovdje ne ovisi o vremenu (imarno jednoliko gibanje po pravcu u horizontalnom srnjeru). Brzina u smjeru osi y je d v y (t) = — y(t) = yo sin a - gt, dt
d — dx
dx
a
dx
(sin ax) = a cos ax
(D1-9b)
tj. imarno u potetku jednoliko usporeno gibanje u vertikalnom smjeru, a nakon fto tijelo dostigne maksimalnu visinu, ono se zaustavi (u vertikalnom srnjeru samo) i zatim se giba jednoliko ubrzano (slobodni pad). Akceleracija je u horizontalnom smjeru jednaka nuli, tj.
dx
(tg ax) -
(e") = naxa("-1)
A (In ax) = dx x d — (cos ax) = -asinax dx d ,
dx kvx) =
cos' ax
Vrlo je esto ebno derivirati zbroj iii umnoiak funkcija. Ovdje dajemo n ravila deriviranja najCeSeih kombinacija funkcija: 1. Derivacija umnoeka konstante i funkeije Pravila deriviranja
d
a(t) = — (v‘(t)) = — (no cos a) = — (constanta) = 0, dt dt dt
(D1-10a)
a u vertikalnom srnjeru je
d
d
ay(t) = — (vy(t)) = -g, dt
(D 1-10b)
tj. na tijelo djeluje sila teža teia d = mg' = -mg3, koja ga usporava. Ako izrazimo t iz prve jednadibe jednadžbe u (D1-8) i uvrstimo ga u drugu, dobijemo krivulju koja opisuje kosi hitac, dakle ovisnost y o x: y(x) = x•tga
g x2 2v,3 cost a
(D1-11)
dt
d [k • Pt)] = k • — f (t). dt
(D1-12)
Npr. dt
d ( Ao cos wt) = Ao • — (cos wt) dt --= -Aow sin wt.
2. Derivacija zbroja iii razlike funkcija
= -Bx2 + Ax, gdje je A = tg a i B = g/ 2vo cost a. Vidimo da je krivulja po kojoj se giba tijelo parabola, "okrenuta prema dolje" i prolazi kroz ishodiAte.
d — (f(t) ± g(t)) —f (t)± —g(t). dt dt dt
(D1-13)
Npr.
dt
(A0 sin 12.at + Bo cos 137rt) = 12/rAo cos 12/rt - 137rBo sin 137rt.
3. Derivacija umnoeka funkcija
Na osnovi definicije derivacije (D1-2) možemo moiemo izvesti derivacije razlititih funkcija. Derivacije funkcija od x dane su u tablici D1.1.
f (t)) g(t)h(t) + f (t) ( g(t)) h(t) + f (t)g(t) ( h(t)) . dt If(t)g(t)h(t)1 = ( dt Wi dt
(D1-14)
Npr. dt [(Ape-6' ) (cos 12/rt)] =
[a (A0e-ot)1 cos 12/rt + Aoe-6t ad (cos 127rt)
= -AOC" cos 12/rt - Aoe-6` 12/r sin 127rt. Derivacija slofene funkcije dt 1/(g(h(t)))1 = df
dg dh dt
(D1-15)
Npr. dt
[Noe° at -
No d(e`" At ) d(cos At)
d(cos At) (At) d(At) dt
= Noe" At ( — 1) • sin At . A. Primjena derivacije Deriviranje nam omogueuje da izraaunamo brzinu ako je dana zavisnost puta o we-
vremenu. Geometrijski, derivacija menu, ill da nademo akceleraciju ako znamo brzinu iii zavisnost nam omogueuje nalaZenje tangente u nekoj totki krivulje. Ova zadnja Cinjenica vodi nas na daljnju primjenu derivacije: naime, ako je koeficijent smjera tangente k iz (D1-3) jednak null, tj. kada je kut Ato ga
D. Horvat: Fizika I za FEll
St,. DI - 5
zatvara tangenta s pozitivnom poluosi apscise jednak nuli ("tangenta je horizontalna"), onda funkcija na tom mjestu (to) ima iii (lokalni) minimumu iii (lokalni) maksimum. Dakle, nužan uvjet za ekstrem (minimum ili maksimum) je k = 0 = tga =
dx
Gornji red zove se Taylorov red za funkciju f(t) u okolini take to. Za poseban slueaj kada je to = 0 red se zove Maclaurinov. Valja napomenuti da treba istražiti konvergenciju reda za razvoj oko pojedinih vrijednosti funkcije eiji razvoj u red se promatra. Prirnjer Valja nazi Maclaurinov razvoj funkcije f (t) = e-at COSWt.
u to je minimum
IDE§ENJE
Prema gornjoj formuli ra?unamo prvo derivacije funkcije
(D1-17)
u to je maksimum.
Prim,jer 3 Promotrimo funkciju y = f (x) iz primjera 2 o kosom hicu. Pomoeu mum funkcije y = f (x). RJEhENJE Iz jednadibe jednadžbe kosog hica (D1-11) deriviranje y po x dobijemo:
Dadatak DI-- Derivacija i integral
(D1-16)
dt t=to'
pa se problem nalaženja ekstrema svodi na nalaženje rje§enjajednaclžbe i(to ) = 0, tj. tražimo onaj to za koji ikezava prva derivacija. Da Ii se radi o minimumu iii maksimumu, govori nam drugs derivacija >0 , x(to) Sl < 0
Str. DI - 6
(e dt)
v3 sin g a 2g
d - (cos wt) = -w sin wt dt d2 — (cos wt) = -w2 cos wt dt2 d3 (cos wt) = w3 sin wt
(D1-19)
v3 cos2
< 0.
(cos wtlt=0 = 0 dt c/2 (cos wth=, = -w2 t2 dt
(D1-20)
(t)
cos
= (1 (1
(D1-21)
(D1-22)
Tayl Maclaurinov) red Pomoau derivacije moiemo možemoistraiiti ponaSanje funkcije oko neke vrijednosti nezavisne varijable (t npr.) ako znamo vrijednost funkcije u nekoj d totki (to npr.) i moiemo možemo izraeunati derivacije te funkcije i izvrijedniti ih u toj drugoj totki. Neka je J(t) neprekidna funkcija u okolini totke to . Onda vrijednost funkcije u toad t moiemo možemo izratunati ovako [d 1 [ 2 -P t)] (t - to) + - — f(t)] (t - to ) 2 f(t) = f (to ) + 1! dt 2! dt2 t=to t=f o (D1-23) 1 c/3 i(t - to)3 + {clt-31(t)1 t-to
r
(D1-25)
(cos wths.„ = 0
= 1
at + (a2tr + (a3tr + (60 2 2! at +
(6t)4
002 - (wt)2 2!
(D1-26) (6t)(wt)3 2!
(603 3!
Time su odredene koordinate maksimuma parabola koja opisuje kosi hitac u situaciji kada je zanemaren otpor zraka. Domet kosog hica dvostrukoj udaljenosti Vrijeme leta ti odredi se iz jednadžbe jednadibe horizontalne komponente gibanja ( u smjeru osi 2 • xmax = (vo cos a) • to.
(D1-24)
Uvrstimo te izraze u formulu za razvoj funkcije u Maclaurinov red i dobijemo razvoj
Da se doista radi o maksimumu vidimo odmah iz druge derivacije funkcije f(x): d2y d.z2 -
_63e-6t
- 62 = -63
i to isto napravimo za funkciju cos wt: (D1-18)
Na tom mjestu funkcija y = f(x) ima ekstrem. Odgovarajuaa vrijednost funkcije za zoo.. je ,
=
_ ddd2 (e-611 cris2 t3
dt 3
Izjednatival prvu derivaciju s nulom dobijemo vrijednost varijable x za koju ikezava prva derivacija. Oznatimo taj x s xr„.x lako dobijemo iz (D1-18): vo sin 2a 2g
cfit
dt 2
e odredite maksi-
dy cE = tga - vo cos2 a x.
Yrnax = 1/(Zmax) =
le-60 = _6e-dt ) (e _61) = 62 e-dt
dt
i izvrijednjujemo ih u t = 0:
U tablici D1.2 dani su neki najeeSee potrebni razvoji funkcija u Maclaurinov red.
D. Norval: Fizika 1 za FER
Sir. DI - 7
Str. DI - 8
Dodatak DI- Derivacija i integral
Tablica D1.2 Razvoji u red potencija
sin idt = idt cosidt = 1 -
(idt) 3
3!
(5 wt) 5!
(wt)2 (wt) 4 2! + 4!
e = 1 + wt + (wt) 2 + In(1 + (art) = wt
...
+
PO'
6! (wt
)3 + .. ! .
(wt)2 (wt)3 + 2 3
(wt) ^
4
(konv. za svaki x); (konv. za svaki x); (konv. za svaki x); (konv. za -1 < x < 1;)
(1 + wt)P = 1 + p • (wt) + P(132, 1) (wt) 2 +
p(p - 1)(p - 2) (cdt)3 + ... 3!
Mika D1.2 Odredeni integral funkcije g(t) (konv. za Ix! < 1.)
Integral
lntegriranje motemo shvatiti Ica() inverznu operaciju deriviranju, tj. rijeSiti problem integriranja funkcije g(x)
Otito je da se pri tome raCunu eini velika pogre§ka ako je podjela "gruba" tj. ako smo interval integracije podijelili na malo intervala. lzraz (D1-30) postaje toeniji Sto je podjela finija (At ; -■ 0) i Sto ima vie intervals (N
co), tj. i=N
f g(x)dx
(D1-27)
P = lim
Eg
(ti)At
N—000 i=1
znaCi odrediti onu funkciju f (x) Cija je derivacija jednaka funkciji g(x). Npr. ako moramo odrediti
f g(t) dt = f (2At + Bw sin wt)dt
(D1-29')
Pomo& tzv. Newton-Leibnitzove formule molemo uspostaviti vezu izmedu odredenog i neodredenog integrala. Nelca je f(t) primitivna funkcija funkcije g(t), tj.
znaCi da moramo odrediti f(t) tako da je g(t) = et f(t), a to konkretno ovdje znaCi da je f g(t) dt = f (t) =
- B cos wt + C
d — fit) = g(t) = 2At + fiwsin wt. dt
I
(D1-28a)
I g(t)dz = (t) + C
jer je (D1-28b)
konstanta. Odredeni integral neprekidne funkcije g(t) u granicama t 7 i ts mote se opisati kao povrSina P omedena krivuljom g(t) i osi t to vertikalnim pravcima t1 i ts, kao na slici D1.2, a pile se ovako
I g(t) dt = f(t)
(Dl-29)
Tu povrAinu motemo poku§ati izratunati kao zbroj povrtina N pravokutnika Cija je npr. jedna stranica g(4), a druga je dutina At i na osi t dobijena dijeljenjem intervala integracije [t, , ts j na N dijelova, tj.
f (6)
f (a)'
(D1-32)
Primjer 4 lzradunati potencijalnu energiju tijela na opruzi konstante k kada se opruga rastegne od ravnoteinog poloiaja do amplitude A.
RJEENJE Rad izvilen protiv site opruge Fo (x) = -kx je A
x2 A 1 W= f kxdx=k f xdx=k•— = — kg 2 o 2
Dobijeni rezultat je potencijalna energija tijela E. 4 4
i=N
E g(lo)b.
[f (t)1;
a
A
P=
(D1-31)
onda osnovni teorem integralnog raduria daje
Funkciju f (t) zovemo primitivnom funkcijom funkcije g(t) ili neodredeni integral funkcije g(t) ili antiderivacija. Funkciju g(t) zovemo integrand iii podintegralna funkcija, a Icatemo da "funkciju g(t) integriramo po t". Vaino je uoCiti da pri rjeSavanju gornjeg problema konstanta C ostaje neodredena, tj. rje§enje gornjeg neodredenog integrala je i funkcija At e - B coswt, medutim, funkcija f(t) je najopeenitije rjeAenje. PoCetni uvjeti koji nekom matematiCkom problemu daju fizikalni karakter odreduju konstantu C, koju zovemo integraciona
P = f g(t)dt.
g(t)dt.
(D1-30) Niže su u tablici D1.3 dani neki integrali elementarnih funkcija.
D. Horvai: Fizika I za FER
z n+1
Ixn dx =
n+1
1 (a +dxbx)2 = b(a + bx)
f f
I
+C C
Inx dx =(x In ax) — x + C
1 sin ax clx = — cos a x + C a x sin 2ax I sine ax dx — +C 2 4a
x
Sir. DI 9
=Inx+C
f
e" dx = lean + C a
f
Nidx = —2 x2 /2 + C 3
f cos ax dx = 1sin ax + C cost ax
dx —
xsin 2ax + 2 + 4a
C.
Dodatak D2- Vektori
Str. D2 - 2
DODATAK D2: VEKTORI
Slika D2.2 - Zbrajanje vektora pomodu pravila paralelograma
D 2 .1 Vekt orska algebra Fizikalne velitine kao temperatura, masa, vrijeme iii energija u potpunosti su odredene kada im odredimo mjerni broj, tj. iznos. To su aka/arms velidine, dakle velieine koje su odredene svojim iznosom. Medutim, kada Icalemo da se gibamo (vozimo) brzinom od 30 km/h, nismo u potpunosti opisali situaciju: nismo kazali gdje aemo se naei nakon jednog sata, jer nismo kazali u kojem eerno se smjeru gibati. Kalemo da je brzina odredena ne samo iznosom (30 km/h) vee i smjerom. Takvu velitinu zovemo vektor iii vektorska velidina: to je velitina koja je odredena iznosom i smjerom, a tipieni vektori su sila, brzina, pomak, itd.
-;
Za dva vektora Fir i P2 kaiemo da su kolinearni (iii linearno zavisni) ako postaje skalari A1 i A2 takvi da vrijedi (D2-3) Al P1 + A2 P2 = 0 Vektore moiemo prikazati najbolje tako da uvedemo koordinatni sustav u ravnini odnosno u prostoru. Kartezijev koordinatni sustav je pravokutni sustav cije su osi oznatene (u prostoru) s (x,y,z), odnosno u ravnini s (x, y). Pogledajmo prvo prikaz vektora u ravnini (slika D2.3). Y9), a u prostoru (x, y, z) odredena Neka je toeka A u (x, y) ravnini odredena koordinatama koordinatama (XAIYA,ZA). Onda vektor koji povezuje ishodigte i totku A zovemo radijusvektor totke A i moiemo prikazati porno& njegovih komponenata (x9, YA1ZA) tako da uvedemo oznatimo ga s Vektor moiemo jedinitne vektore u smjeru osi x, y i z tj. i (z), 3 (y) i možemo napisati ovako (u tri . Sada vektor dimenzije - u prostoru) (D2-9) FA = ZA•i + VA • 3 + ZA • k.
AB
Slika D2.1 - Prikaz vektora - usmjerene duiine
prikazujemo dužinama duiinama kojima dodajemo strelicu koja pokazuje smjer vektora (slika D2.1), pa usmjerena duiina AB postaje vektor
koju najteke oznatavamo malim slovom i strelicom iznad slova
= a. Mi 6emo rabiti oznake vektora sa strelicom iznad slova. = a iii masno otisnutim slovom Iznos vektora d oznatavamo ovako j7 i to je pozitivna skalarna velitina, odnosno pozitivni sk (broj). (iznos moie može biti jednak null, ako je vektor nul-vektor). Vrlo testo za iznos vektora u fizici napiaemo jednostavno a. natina), to mnoiiti množitislcalarom (brooduzimati i mnoiiti množiti Vektori se mogu medusobno zb jem). Zbrajanje vektora definirano je pravilom paralelograma (prema slid (D2.2), a pravilo oduzimanja vektora dobijemo iz pravila zbrajanja, tj. iz 5+ I," = c dobijemo razliku vektora d = — b prema istoj slici za zbrajanje vektora. Mnoienje . Množenje vektora skalarom a svodi se na uvodenje vektora istog smjera ali iznosa jednakog A Na taj nein moiemo možemo uvesti jedinidni vektor a ("lcapica" na slovu je oznaka jedinienog vektora) koji odgovar a. Naime, mnoienjem množenjem vektora d reciprotnim iznosom vektora dobijemo vektor eija je duljina jednaka 1: 1 (D2-1) =1 lal = la • ,1.1 1 = Idl • i a=a• 161 Ial Na ta
umnožak njegovog jedinienog vektora i njegovog iznosa možemo rikazati kao umnoiak svaki vektor m =a•
(D2-2)
Slika D2.3 - Prikaz radijusvektora u ravnini
Iz Pitagorinog pouelca lako dobijemo iznos (duljinu) vektora: IF9 = Vx2A + yA = rA
(u ravnini)
1 , 9 = V12,4 + yA + z 2A = rA Kartezijeve komponente vektora nata (alternative Kartezijevim koo xq
tg
(D2-5) (u prostoru.)
VA) u ravnini moiemo izraziti preko ravninskih polarnih koordia za prikaz položaja poloiaja totke u ravnini) (p,0): = p • cos 0
Y A = P sin ¢ gdje je
=* x 4- a
p = rA = Vx2A + y2A .
(D2-6a)
D. Horva
Sir. D2- 3
Fizika / za PER
U prostoru u ci/indrieMm koordinatama (p, 0, z) je xA = p cos (5 tgeP = zli= 1
a
yA = p sin
zA = zA gdje je (D2-6b)
p = rA = Vx2A + y2A + z2A ,
Sir. D2-
Dodatak 1)2- Vsktori
4
RJEIENJE Ovdje nam je ostavljeno da sami odredimo poloXaj i arijentaciju koordinatnog sustava. Ishodilte je nuXno sustava metnemo "u tijelo", a osi demo orijentirati tako da se os x poklopi sa silom P, napomenuti da fizikalni rezultat ne ovisi o izboru koordinatnog sustava (polo2aju ishodiSta i orijentaciji osi). "Fizikalni rezultat" ovdje znadi da je iznos i smjer rezultante nezavisan o izboru koordinatnog sustava. Dakle osi možemo orijentirati i tako da je, npr. os x u smjeru site F2 , ili negdje izmedu, itd. Dakle, mica je
a u sfernim koordinatama (r, 0, 0)
F, =
x A = r sin cos (P VA = r sin sin tg0
yA
xA
, r = Vx2A + y2A + z2A ,
a tgO —
(D2-6c)
x 2A + y2A
zA
(U daljem demo pisanju ponekad izostaviti jedinicu N!) Onda je (vidi sliku D2.4)
• P2 = iF2/2 3F2h, = —iF2 sin 30° + j F2 cos 30°
Veze jedinienih vektora u cilindridnim koordinatama i Kartezijevim koordinatama dane su ovako + cos 8 CO8
— sin duiS
,r3_ii•2 • - + r 2 ' 2
sin sin Of + cos sin
± COS c64
= (-30i + 301'3.3) N.
= sin cos
j
+ 3F, /, i • 50N + . ON.
zA = r cos Ogdje je
k = cos Of — sin 96 Rezultanta /7 je onda jednalca
i obratno = sin cos Oi + sin sin 03 + cos Ok = cos cos oi + cos sin
= P1 P2 = (F11
— sin sk
(16 = — sin (Pi + cos cp3.
Prinijer 1 U ravnini je zadan vektor = 5i — 7j. Odredite njegove Kartezijeve kompanente, njegov iznos i kut koji vektor zatvara a osi x. RJEIENJE Komponente vektora 17 su u = 5 i uy = —7. Njegov iznos je It71 = ,/52 + (-7)2 = 74. Kako je t/ = 1171ms q5 i uy = sin (P, onda je tg = —7/5, pa je 0 = arctg(-7/5) = —0.9505 = —57°27'44".
(F115 + F210)
= (20i + 300-3) N, a njen je iznos R=~R'~= ✓
+Rr= 1/5155N.
Kut koji vektor zatvara s + osi x je tg = Rv =
Zbrajanje vektora se sada svodi na zbrajanje odgovarajudih komponenata, tj. ako je FA = Ai ± VA; i B = xyi YB), onda je + Fa = i(XA + 13) + j(YA + y13). Poopdenje na tri dimenzije je odigledno!
F2/y)i
= Rj. + Ry3
Ako zadržimo smjerove sila dan na slici D2.5.
209
= 0.3674 = 21°3'06".
i P2 kao na slici D2.4, onda je drugi "praktidni" izbor orijentacije osi
Prinijer 2 lzraettnajte rezultantnu silo na tijelo na koje djeluje silo F, iznosa 50 N i sila P2 iznosa 60 N, a kut to ga zatvaraju site je 120°.
Slika D2.4 - Uz primjer 2
Slika D2.5 - Uz primjer 2 - drugi izbor orijentacije osi
D. Horvat: Fizika I za FER
Ser. D2- 5
Prema Slici D2.5 je P2 = (60i') N, a P2 = (-25i' – 25/3-3)N, dakle sasvirn novi brojevi. Rezultanta je = + P2 = ( -35i' – 254P) N,
S tr. D2 - 6
Dodatak D2- Vektort
Ako izrazimo vektore u njihovim Kartezijevim komponentama (koordinatama), npr.
= F.i + Fy; + F.k i
takoder novi brojevi! Medutim, iznos rezultante je
= x ai + YA
zA
(D2-13)
onda skalarni produkt vektora dobijemo tako da pomnožimo "svakog sa svakim". Pri tome odmah vidimo da vrijedi i•i= i.3=o i•k= o
= 0-35)2 + (-2542 =
3.3=1 3. = o
tj. rezultat isti! ToCnim crtanjem rezultante u prvom i drugom izboru koordinatnog sustava dobili bismo isti vektor R u odnosu na vektore i F2! To je, dakle ono, u jednostavnom prikazu, gto zovemo "neovisnost fizikalnih rezultata o izboru koordinatnog sustava"!
(D2-14)
k = 1 pa skalarni produkt vektora F i PA postaje vrlo jednostavan
6 6
P • FA = F. • XA Mnoienje vektora skalarom odredeno je množenjem skalara i komponenata (u ravnini) rA = i(A xa) + 3(A • yA).
(D2-7)
Vektor PA mo2emo prikazati kao umnožak jedinienog vektora i i iznosa vektora, tj. PA = r= • +-A = a jedinieni vektor (u ravnini) je dan pornodu kuta ¢ i jedinitnih vektora i i j: r" A = i cos ¢ + j sin 0; VA I = Vcos2 + sin' ¢ = 1.
(D2-8)
Fy •
YA +
F, ZA,
(D2-15)
tj. skalarni je produkt dva vektora jednak zbroju umnaalca istih komponenti. Slcalami produkt vektora "sa samim sobom" je = 1.pI2 (D2-16) lz gornjeg zapisa skalarnog produkta lako mo2erno odrediti kut izmedu vektora F i PA. Naime, s jedne je strane skalarni produkt dan izrazorn (D2-11), a s druge strane izrazom (D2-15). Izjednatavanjem tih izraza dobijemo
cos( z P / FA) = Poopdenje na tri dimenzije je jednostavno: vektor F prikazujerno ovako
IFI
I PA I
F. • x + Fs, • y -I-
f = + F53 +
(D2-9)
gdje je k jedinieni vektor u smjeru osi z. lznos P je
V F1 + FL? + F;
(D2-10) cos =
+ y2A z2A
=— IP! P• Fy cosp = = iFl IF'
cos ex = F. cos 0 = — i cos ry = —• IPI
pa vektor F možemo onda napisati pomodu tik kuteva ovako
= F • (i cos + 3cosfi+ k cos -.).
Primjer 3 Tijelo se gibs u smjeru vektom P = — 33 + 4k) a na njega djeluje silo F = + 33 — k) N. (a) Pod kojim kutem 9 u odnosu na smjer gibanja djeluje silo? (b) Koliki je iznos stile? (c) Koje kuteve 8 koordinatnim osima zatvara silo ? (d) Napiiite jedini6ni vektor f. RJE§ENJE (a) Iz formule (D2-17) dobijemo kut izmedu vektora
5-E=E-5 ci(6+0=a•E+a.e, a, • (Ai)) = An. • = ma • E),
(D2-19)
(D2-11)
tj. jednak je umnogku iznosa vektora i kosinusa kuta izmedu njih. Ako su dva vektora okomita alto je njihov i su slijedeaa (nije nužno pisati skalarni umnožak jednak null. Svojstva skalarnog produkta vektora totku izmedu vektora, medutim, ponekad je pilemo zbog preglednosti)
a•6 = 0 ako i samo ako je 5*- = 1 51 ' 1(71 cos = 1512 = a2.
(D2-18)
cosry = — = ifl IF'
Mnoienje vektora - skalarni umnoiak Umnožak vektora s vektorom definiran je na dva natina: jedan umnožak se zove skalarni umnoiak (produkt) i rezultat tog množenja je skalar, a drugi je vektorski umnafak i rezultat je ponovno vektor! Skalarm produkt dva vektora P i P definiran je ovako: cos(Z P
P
1F1
a kutovi (a, (i, -r) koje vektor f zatvara s koordinatnim osima su dani preko njihovih kosinusa, tj.
=
(D2-17)
Skalarnirn produktom lako mažm° odrediti kutove (a, fi, -r) koje vektor zatvara s koordinatnim osima
= F = JF2+ +
P
ZA
(D2-12)
cos(L / = cos 9 = — 9,-406
9 = arccos
= 116°31'47".
406 J
1). Norval:
Pizika
St, 1)2. 7
I za 1,231
(b) Iznos site trebao je za izratunavanje kosinusa kuta, tj. IFI = V171 N. (c) Iz formule (D2-18) imamo = arccos
(
Sada molemo direktno retuned vektorski produkt dva vektora tako da ponovno mnoZimo "svakog sa svakim". Dobijemo (D2-23) F X FA = (F5ZA FaA)i. (F a XA - F.ZA)3 + (FXYA F52A)1C.
= 143°18'03".
To moiemo možemo zgodnije, pomoeu determinante napisati ovako
2i — 3j + 4k VD229 ) 3
(
F
k j F5 F
ZA
VA
i
FxPA =
( 429 )
329) + k
Lako je pokazati da je
(D2-22)
jxi—ic .9x3.0
= 36°41'57"
=i • cos(6eir55") —3 .cos(56o08'44”) 2
ixk=-3 3xk=i. kx3=---i kxic=c)
"ix3=ic
ixi=0
vektor r je prema (D2-1) jednak 77
Jedinieni vektori Kartezijevih koordinata zadovoljavaju
F = 57o 41 18
arccos
or i
Ihnlatak
1)2- 8
IFI
= arccos
(d) J
SO
+ k • cos(42°01'52").
i ako razvijemo determinantu po elementima prvog retka, dobijemo slijedeee
doista jedinieni vektor
Px Fig = •
=( 3 ) 2 vvD-) \0§)
4 _1 \ 07 2 —
(
.F; ZA
VA
F F.
umnoialc vektora P Mnoienje vektora - vektorski umnoiak Vektorski umnožalc
pikmo ovako (sjetimo se, rezultat je ponovno vektor, recimo fa): M = P x PA, a raeunamo tako da odredimo iznos vektora M i njegov smjer. Iznos iii duljina vektora M je
r
+j .
I; F ZA ZA
F
F5
ZA
VA
(D2-20)
ZA
= F s • ZA - Fy • ZA
•
JP? Koliki je iznos momenta site? Koliki je kut 8 izmedu RJEgENJE Prema formulama za skalarni produkt imamo (ne pikmo svuda jedinice zbog jednostavnosti zapisa) k
3
x 7r= 4 –6 5 3 2 –7 = (32i+ 433 + 26k) Nm.
A? =
Iznos momenta site M je
IMI = 60Nm. Iz definicije vektorskog produkta je ifif = IPH,1 • sin Slika D2.6 - Uz definiciju vektorskog produkta
sine —
x = 0 alto je d 11 g.
ei x d = 0,
= NFF7 • N/62- • sin 0,
pa je
Iz definicije vektorskog produkta (D2-20) mole se vidjeti da vektorski produkt ima slijededa svojstva (D2-21)
(D2-26)
Prim.jer 4 Moment site M oko take A jednak je vektorskom produktu site i vektora udatjenosti hvatigta 6j + 5k) N i 77 = (3i + 2j – 7k) m, izratunajte vektor momenta site M. = site od take A. Ako je
PA. Smjer vektora AI je odreden jedinienim vektorom ft, koji je okomit na ravninu u kojoj lete vektori Njegov smjer odredujemo "pravilom desne ruke": desnu ruku stavimo na ravninu u kojoj lek F i PA. Prsti desne ruke idu od prvog vektora u vektorskom produktu (to je u nakm slutaju F) prema drugom (PA ). Palac pokazuje smjer vektora il, odnosno smjer vektora M.
x 6= —6 x d (antikomutacija),
(D2-25)
tto daje toeno (D2-23), jer se subdeterminante (2 x 2) ratunaju npr. ovako
ZA
IMI = I i.177A . sin(CP/PA).
(D2-24)
ZA
IMI N/77'7 • 1/6 -
9 = 59°33'52".
iii
Str. D2- 9
D. Throat: Fizika 1 za FER
D2.2 Vektorska analiza
MjeAoviti umnotak Za skalarni umnoiak vektoradi vektora r'=gxe vrijedi a„
a, a„
0 •r= a"• ( - x6)= b., by b., Co
(D2-27)
e„
lz svojstva detertninanti slijedi da se rezultat neee promijeniti ako vektori ciklicki zamijene rnjesta, tj. x
Dodatak D2- Vektori
Str. D2- 10
= a(a x = Re x d).
(D2-28)
= g(a • — e(a • g),
(D2-29a)
Komponente vektora su, opeenito, funkcije koordinata. To znati da se mote postaviti prirodno pitanje, kako se to kornponente mijenjaju ako se (infinitetimalno) mijenjaju koordinate. Odgovor je dan pomodu niza pravila vektorske analize. Ta se pravila neposredno izvode iz pravila matematieke analize funkcija vie varijabli. Deriviranje vektora Neka je zadan vektor svojim komponentama u prostoru (u Kartezijevim, i sfernim) komponentama
Za dvostruki vektorski produkt vrijedi A. = x
x
A=
a kako je vektorski produkt antikomutativan, imamo (a x (;) x e = Rd • 6) -
• al.
z)i +
+ il(x,y,z)k
= A y (p, z) + Ao (p, z) + A ,(p, z) 8, el)) i + Am (r, 8, (0) (1; + Ae(r, 8, (0) e
(Kart.) (cilindr.)
(02-30)
(sfer.)
(02-29b)
4 4 4 4
Slika D2.7 - Koordinatni sustavi u prostoru
Onda je derivacija vektora As obzirom na promjenu bilo koje od varijabli dana (parcijalnom) derivacijom pojedinih komponenata vektora, npr. "derivacija po x"
dx
-4
= -5
(x ,y , z)i +
+ --a;A„(x,y,z)k.
(D2-31)
Osim gornje, "obiene" derivacije vrlo se test() pojavljuje "usmjerena derivacija", koja je izratena vektorskim operatororn nabla V. Pojam operata-a je vrlo test u rnatematici (i fizici): on oznaaava da taj operator djeluje najteke na logaritmiranje log itd. ono to mu slijedi s desna. Operator je, npr. derivacija po vremenu
U Kartezijevim koordinatama vektorski operator nabla je V
-
- a -8 — + — +k ax 8y 8z
(D2-32)
Str. D2 - 11
D. Norval: Fizika / za FER
Taj operator mote djelovati na neku vektorsku funkciju poput gornjeg vektora A ili na neku skalarnu funkciju 4)(x, y, z) koja ovisi o tri prostorne koordinate. Rezultat djelovanja vektorskog operatora ovisi o objektu na koji djeluje. Naime, kao vektor on mote djelovati na skalarnu funkciju - to djelovanje onda zovemo gradijent skalarne funkcije grad 4> i rezultat tog djelovanja je vektor. No kao vektorski operator, nabla mote djelovati (osim 3to derivira funkciju) tako da se skalarno iii vektorski pomnoti s vektorskom funkcijom A npr. Rezultat skalarnog mnotenja (i deriviranja) zovemo divergencija vektorske funkcije divA E VA i to je skalarna funkcija. Rezultat vektorskog mnotenja zovemo rotacija vektorske funkcije V x A =rot A i to je ponovno vektorska funkcija.t Takoder se nabla mote skalarno pomnotiti sama sa sobom tj. V • V = A, a rezultat je novi operator zvan Laplasov operator A ili laplasijan.
Dodatak D2 Vaktori
Sir. D2 - 12
Sferne koordinate 1 (94) .„ 1 34) i5 r 39' 4- rsine 0 4' ar 1 aoine Ao 1 a(r2 A,) 1 aA0 Divergencija: VA – r sin e ae r2 ar r sin e ao 1 r a(sine A0 ailoi 7, Rotacija: VxA= r sin ao ae r aA, a(r A0 )]
Gradijent:
V4) =
r sin am or + 1 r a frAo) aA,
Kartezijeve koordinate
(D2-35a)
r ar ae 34),a4). Gradijent: i+ vq, = ax ay az v = aA0 + aA, Divergencija: ax ay 4- az v x = (aA= _aA„) i (aA0 Rotacija: ay az ) lax – ax ) 1 (3A, 11 Ox ay ) Laplasijan:
Element duljine:
02
a2
+
(D2-33a)
de = i= dr + fr sin MX + era
dS = r2 sine de Element volumena: dV = r2 sine dr de d0.
Operator nabla mote djelovati na kombinacije vektorskih i skalarnih funkcija odnosno mote vikstruko djelovati na neku kombinaciju skalarnih i vektorskih funkcija. Slijedi niz korisnih teorema koji opisuju takvo djelovanje operatora nabla
dt= idx + jdy + icdz
hi
dS= dy dz
(D2-33b)
• cf
V (fi (r) + f2 (r)) = V fi (r) + Vf2(r) V(Ai + A2) = VA' (r) +
Cilindriene koordinate
A2(r)
VX
34) 1 (94).. 34) k + — ap p 04) Oz v = 13(pA p) + 1 aA0 Divergencija: pap p 80 + az ( l aA,_8Am1 raA p Vx = Rotacija: A ip ao ax P az Gradijent:
op
v • (A, x A2) = A2 • (v x
Laplasijan:
r ar r ar
X A) + (Vf)
x A;
(D2-36a)
– A, • (v x if2)
v x A) = A(v x A) – if(v x v
x (A X = A(VA) — Ei(VA) + (AV)A — (AV )A V(A•
ap
A) =
(D2-34a)
.v)/c +(A.v)A + x (V
= A(V •
dzip i
oil) J k
v(v f)
A) +
(D2-36b)
X A) + if X (V X A)
A(V • A) + (A X V) X A+ (if X V) X
= (V • V)f = (Xf
v(v x = 0 1 a ( a)
f(vA)+ (v.f)•
(f A)= f(V
Ax (V x A) = 2V(A2 ) – (A• V)A
v x(A,+ A.2) = X A1 + V A2
P
(D2-35b)
Element povraine:
= oxz-- + az 2
+ 1 ra(pAo )
02
r2 sine e ao2
1 a i(s7 ea) r2 sin eaen ae)
Element duljine:
a2
Element povraine: dS = dx dy ili dS = dxdz Element volumena: dV = dx dy dz
1
A = 1 a (,2 a 779-- ( dr)
Laplasijan:
V x V xii= V(V • – v x (fVf) =0
(D2-36c)
1 02 02 +——+ r2 302 az2 Integralni teoremi Neka je A(x, y, z) vektorska funkcija Kartezijevih koordinata, a di= idx + jdy + icdz
fidp + pd0 + izdz Element povraine: dS = pdp (10 ilidS = pd0dz iii dS = dp dz Element volumena: dV = pdp dz Element duljine:
cif =
t U engleakoj literaturi rotacija vektorskog polja pie se i curl
• - Linijski integral (D2-34b)
Linijski integral vektorske funkcije A po putanji C koja je odredena potetnom totkom a i konatnom totkom 6 dan je ovako
f
dir= f
AAx + f Av dy + / A=dz
(D2-37)
I). Horvat: Nizikn 1 za PIM
Sir. 1)2- IS
Ako je A = V f, gdje je f skalarna funkcija koordinata, onda je - integral po otvorenoj krivulji
f V f• di -
(D2-38a)
= 0.
(D2-38b)
• - Povr5inski integral Pri raeunanju povrMnskog integrala javlja se vektor povrMne S koji je definiran kao umnožak umnoiak iznosa povrtine S i jedinitnog vektora koji je okomit na povrginu i "gleda" prema van ako je povrgina zatvorena. Dakle, S -=- S • ft, iii dS -= dS • it. - Tok skalarnog polja
gdje je npr.
A• di = f(Az dx + dy + 1 dz) c
= f (—ay— —) dy dz + f a
- integral po zatvorenoj krivulji
P=
Dodatak D2- Vektori
U Kartezijevim koordinatama
nezavisan o krivulji
Vf
Str. D2- 14
(rig =i f dy dz + f dx dz + k f dx dy
(D2-39a)
.s,_ . ± r aAv j ax ay .5s-5 je ravnina paralelna x - y ravnini! s - Teorem o gradijentu skalarnog polja:
a
f
V V (r)
V(b) - V(a).
ravnina paralelna s ravninom x - y, itd.
=f
dy dz + f
dx dz + fA, dx dy.
(D2-39b)
• - Gaussov teorem iii teorem o diveryenciji vektorskog polja A: skalarni tok vektorskog polja A kroz zatvorenu povr§inu S jednak je volumnom integralu (preko volumena odredenog poveSinom S) diver-
* 4
gencije vektorskog polja tj. integralu od VA:
4 4 4 4 A•d.
= f (V A) • dV.
(D2-40)
4 4
Zatvorena povertina s Volumen v
U Kartezijevim koordinatama
i A•dg= f dy dz + f dx dz +s._,f .s._,
a + ) dx dy dz. = f aiL ax a Ay az
dx dy D2-41)
• - Stokesov teorem iii teorem o rotaciji vektorskog polja
cirkulacija (strujanje) vektorskog polja oko zatvorene krivulje C jednaka je integralu (preko povrtine odredene krivuljom C) rotacije vektorskog polja tj. integralu od V x (D2-42) Zatvorena krivulja C PovItina s
(D2-43)
dx dy.
- Tok vektorskog polja = if • dg,
— –a--) dz dx
(D2-44)
1)odatak 1)3 Trig onornctriyikc
Str. 1)3 - 2
funkcije
DODATAK D3: TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
Rica D3.2 - 'Prigonometrijska kružnica i funkcije sinus i cosinus
U ovom dodatku demo dati kratki pregled trigonometrijskih odnosa u pravokutnom i kosokutnom trokutu i na geometrijskoj kruinici. Takoder demo dati niz trigonometrijskih identiteta kao i razvoj funkcija u Taylorov red. Vise demo se koncentrirati na funkcije sinus i cosinus, a manje a tangens i cotangens. Definirati i opisati demo i inverzne funkcije trigonometrijskim funkcijama.
Za funkcije zbroja i razlike kutova odnosno zbroja i razlike funkcija vrijedi sin(o ± 0) = sin a cos 0 ± cos a sin 0
(D3-4)
cos(a ± (i) = cos a cos /3 sin a sin 0 Trigonometrijske funkcije u pravokutnom trokutu U pravokutnom trokutu 1.4BC na slid D3.1, sa stranicama a, b (katete) i c (hipotenuza) definiramo trigonometripke funkcije sin 3 =
cos = a
sin 0 b tg/3 = = cos 0 a
ctg/3 =
a cs o 0 b = si n /3
(D3-1)
sin a ± sin 0 = 2 • sin (a 219) COS ( a 2 11 2 19 ) cos ( a — 2 19 ) cos h + cos = 2 • cos ( a + cos a — cos (i = —2 • sin ( a °) sin (a
(brp-5)
219)
Za funkcije dvostrukog i polovitnog kuta vrijedi 2tga 1 + tg2 a cos 2a = cost a — sin2 a = 2 cost a — 1 = 1 — 2 sin2 a sin 2a = 2 sin a cos a =
tg2a =
a
2tga 1 — tg2a
t n.a = V1 — cos a 52 1 + cos a
sin a = 1 V1 — cos a 2 2
Silica D3.1 - Pravokutni trokut - uz definiciju trigonometrijskih funkcija
cos
(brp-6)
a = 41 + cos a 2 2
Iz definicija na trigonometrijskoj kruZnici lako vidimo da je funkcija sinus neparna a cosinus parna: Iz definicije trigonometrijskih funkcija i Pitagorinog poutIca izlaze slijededi identiteti sine x + cos2 x = 1
sin( — x) — sin x
tgx • ctgx = 1
sin x — , tgx V1 + tg2 x
(D3-2)
Trigonometrijske funkcije na trigonometrijskoj kruinici Na trigonometrijskoj krutnici (jedinitnoj krutnici sa srediStem u ishodiStu koordinatnog sustava) sinus kuta je ordinata totke u kojoj drugi krak kuta sijete trigonometrijsku kružnicu (prvi krak kuta je os x). Cosinus je apscisa totke u kojoj drugi krak kuta sijete trigonometrijsku krutnicu. Time je poopeena definicija trigonometrijskih funkcija na kutove vede od 7/2. Tako dolazimo do slijedeeih veza sin(a ± 7/2) = ± cos a cos(a ± 7 /2) = sin a (D3-3) sin(a ± = sin a cos(a ± = sin a
cos( — x) = cos x
(brp-7)
Nadalje, funkcija y(x) = sin x je perioditka s periodom 27. Naime, funkcija je perioditka ako je y(x) = y(x+ T), a T se naziva period funkcije. Funkcija sinus je ogranitena maksimalnom vrijednoteu +1 i minimalnom vrijednoSeu —1. Njen je graf dan na slid D3.3. Funkcija y(x) = cos x razlikuje se od funkcije sinus za fazu (kut) 7/2, tj. graf funkcije cos x dobijemo od grafa funkcije sinus tako da "premjestimo" ishodiSte koordinatnog sustava za 7/2, pa funkcija cosinus "kreeen od maksimalne vrijednosti +1 za x = 0 i pada na nulu za x = 7/2, itd. Funkcija tangens je perioditka s periodom a, kao i funkcija cotangens. Kosokutan trokut U kosokutnom trokutu sa slike brp.4 vrijedi sinusov poutak sin a = sin 0 = sin y
(brp-8)
D. Norval: Fiziku I zu FER
Str. D3 - .9
Str. D3- 4
Dodotak D3- Trigonornetrijske funkcije
sin(x) pa dobijenio da je
1 cos x = - (e'' + e') 2
1 sin x = - (e'' 2i
(D3-14)
Inverzne trigonometrijske Funkcije Razmotrirno funkciju y(x) = sin x na intervalu [Air, fir]. Podrutje vrijednosti funkcije je interval na osi y. Slika D3.3 - Ftinkcija y(x) = sin x sin(z)
a
Slika D3.5 - Graf funkcije y(x = sin x na intervalu
Slika D3.4 - Kosokutan trokut Inverzna funkcija funkcije sinus y(x) = arcsin x i cosinusov poutak a2 = b2 + c2 - 2bc cos b2 = c2 + a2 — 2ac cos
Prema tome vrijedi
(D3-9)
f
Za mali kut x (u radijanima) vrijede aproksimativni izrazi: sin x
(D3-15a)
ima, prema tome, podrutje definicije [-1,1], a podrutje vrijednosti [-fir,
x - -x3 ... cos x^ 1 6 1 , 1 tgx x + -x- • • ctgx 2 — 3
1 -x2 .. 2 1 3x
arcsin(sin 0) = 9 za -err < 9 < lir sin(arcsin x) = x za - 1 < x < 1.
(D3-10)
(D3-15b)
arcsin(x)
a razvoji u redove su: 1 1 1 sin x = x - - + - x- - -x7 + 7! 3! 5! 1 1 1 COS = 1 — — x2 + - - - + . . 2! 41x4 6! 1 , 2 17 7 tgx = x + - x- + x- + + 3 15 315x' 1 1 1 , 2 ctgx = - - x x- + — + 3 45 945x-
(D3-11)
Slika D3.6 - Graf funkcije y(x) = arcsin
Kako za eksponencijalnu funkciju (vidi dodatak o eksponencijalnoj i Iogaritamskoj funkciji) vrijedi 1 1 1 a' = 1 + - + - + 21x2 3!x3 4! možemo uz zamjenu x
ix (i je imaginarna jedinica i =
+
(D3-12)
dobiti Eulerovu formula
= cos x f i sin x,
(D3-13)
Neke vrijednosti funkcije arcsin su 1 arcsin 1 = - zr 2 1 1 arcsin - = - zr 6
1 arcsin( -1) = - zr
arcsin 0 = 0
arcsin( - N/) = - 71 1 zr
1 1 arcsin( - 0) = -1r. 2 3
(D3-16)
Str. 1)3- 5
D. Norma: Fizika I za FER
PoSto je funkcija sin x neparna, neparna je i inverzna funkcija arcsin: arcsin(-x) = - arcsin x. Inverzna funkcija funkcije cos x je arccosx. Neke vrijednosti funkcije arccosx su arccos 1 = 0 1 arccos1 = 57T
arccos(-1) = IT
arccos 0 =
1
arccos(-
=
arccos(x) 3
Slika D3.7 - Graf funkcije y(x) = arccosx
Dvije korisne relacije s funkcijom arccos su ff
1 arcsin x + arccos = - 7T. 2
(D3-18)
Prema tome vidimo da je funkcija arccosx ve6 odredena kada je definirana funkcija arcsin x. Inverzna funkcija funkcije tangens je y(x) = arctgx
(D3-19)
i prikazana je na slici D3.8. arctg(x)
Slika D3.8 - Graf funkcije y(x) = arctgx
Vidimo da je x
1 limco arctgx = IT
a neke vrijednosti funkcije y(x) = arctg x su
1 lim arctgx = - - 7, - co 2
1 -3"
1 arctg I = — 7r 1
arctg 4
1 arctg (- v3) = 6 7T 3
arctg (-1) = - IT .
1
* * * *
Funkcija y(x) = arccos x prikazana je na slid D3.7
arccos x + arccos(-x) =
arctg 0 = 0 arctg (- V3)
ff
(D3-17) arccos(2 V) = 1 IT
Dodatak 1)3 Vri,ronnincirijAkc funkcije
Sty. 1)3- 6
(D3-20)
= -13- ir
Str. D4 - 2
Dodatak
Ekvonencijalna i logaritarnska funkcija
onda motemo pomotu derivacije izratunati kako se strmo to funkcija penje. To nam omogutuje formula (vidi dodatak 4) f l (r) = DODATAK D4: LOGARITAMSKA I EKSPONENCIJALNA FUNKCIJA
iim h(x + h) — f(x) =
2h 11. 1 lima 2h
h
(D4-5)
i ako redom ratunamo h (recimo 0.5, 0.25, 0.125, itd.) dobijemo otprilike da je 0.7 • 2',
fi(x)
(D4-6a)
Sto uzeto u x = 0 daje koeficijent smjera tangente (nagib krivulje) u ishodibtu 11 (0)
0.7.
(D4-6b)
Ako sada uzmemo drugu funkciju f 2 (x) = 3' i ponovimo postupak, dodemo do slijedeteg rezultata Uvod U fizici, u težnji da opibeino promatrana pojave kvantitativno i uz odredenu dozu apstrakcije matematielci prikaiemo ponabanje jedne fizikalne velitine u ovisnosti o drugoj (ili drugima), nailazimo na razlitite matematitke veze medu fizikalnim velitinama. Jedna vrlo testa veza jest eksponencijalna ovisnost jedne fizikalne velitine o drugoj. Zato u ovom dodatku telimo skicirati eksponencijalnu i (njoj inverznu) logaritamsku funkciju. Bez ulaženja u stroge macematitke definicije, motemo kazati da je funkcija (matematitko) pravilo uputa, po kojem jednoj velitini - nezavisnoj varijabli, pridrutujemo drugu velitinu - vrijednost funkcije. To onda pitemo ovako x H f(x) ill (D4-1) x H y = f(x), gdje je x nezavisna varijabla, a (x) je funkcija, dalcle, "recept" po kojem vrAimo pridrutivanje. Funkcija mote biti zadana (najtebee, posebno u fizici) formulom, tablitno i grafitki. Ako je funkcija zadan tabli6no iii grafitki, najeckc sc ipak ic1 nati odgovarajaa formula koja opisujc vczu izmcdu x i f (x). Zato pristupamo opisivanju parova totaka (21, f (xi)) formulom. Taj sc postupak zove prilagodba krivulje todkama, a ratunska mctoda na kojoj jc baziran taj postupak zove sc metoda najmanjih kvadrata.
f(x) = 2x + 1
f(x) = e' = f (x) = e' lim e h h, 1 - 1 e'
(D4-7)
(D4-8)
Gornja relacija je definicija broja e, tj. lim
eh
h-o0
1 h
(D4-9)
Broj e koji zovemo baza prirodnog logaritma (vidjet aemo kasnije tato) je definiran i limesom 1 "
e= lim (1 + —) n—oco
n
(vidi tablicu D4.1).
e = 2.718 281 828.
2t
kvadratna funkcija 2 primjer iz fizike
(D4-2)
trigonometrijska funkcija x H f (x) = 4 cos x itd. t H x(t) = Ao cosPt + 0) primjer iz fizike.
Ako je nezavisna varijabla u eksponentu realnog broja koji je yeti od nule a y = f(x) =
1.1 • 3'
primjer iz fizike
f (x) = 2x2 + 3x — 1
Eksponencijalna funkcija
h
1.1.
Vidimo da negdje izmedu broja (baze) 2 i broja 3 postoji neki broj , nazovimo ga e, za koji vrijedi da je, uz
linearna funkcija
t H v(t) = vo + at
razlitit od 1, tj. ako je
f;(0)
3h — 1
(D4-10)
Ako napravimo tablicu izratunatu pomoeu cltepnog kalkulatora, vidimo da vrijednost e ide prema broju
Primjeri funkcija zadanih formularna su
t H s(t) = so + va t +
f2(x) = 3' lima
e
(a > 0, a 1, a E
(D4-3)
onda govorimo o eksponencijalnoj funkciji. Grafove funkcija danas lako crtamo jer nam cliepna ratunala omogutavaju brzo ratunanje vrijednosti ") funkcija f(x) za zadani x. Zato ako pogledamo funkciju (vibe ne pigemo simbol
fi (x) = 2',
(D4-4)
n
e = 1im„....(1 + 1/n)"
1 10 50 100 1 000 10 000 1 000 000 109
2.000 000 000 2.593 742 460 2.691 588 029 2.704 813 829 2.716 923 932 2.718 145 927 2.718 280 469 2.718 281 827
Tablica D4.1 Ratun broja e
(D4-11)
D. Horvat: Flzika I za FER
St, 1)4- 3
Str. D4 - 4
Dodatak D4 - Eksponencijalna i logaritamska furacija
Slika D.4.3 - Graf funkcije e
• sin x
Slika D4.1 - Grafovi funkcija e' i
(11) Razvoj u Maclaurinov red
es
f(x) = e3
f(0) = 1
f(x) =
/(0) = 1
f"(x) =
e no) = 1
x2 x3 x4 = 1+x+- +3 i + —+ 2!
Za x = 1 dobijemo (ako zbrojimo 12 Clanova) e = 2.718 281. (12) Grani&le vrijednosti e3 — +co za x +pc x" xn • e -3 -■ 0 za x +co.
Slika D.4.2 - Graf funkcije e-32
(D4-14)
(D4-15)
Logaritamska funkcija Funkcija y = e3 je rastuea funkcija i ima svoju inverznu funkciju, ijaje jednadžba Svojstva eksponencijalne funkcije
x = el'.
(1) e3 je uvijek pozitivna funkcija; (2) e3 je uvijek rastuoa funkcija; 0 za x - co i e3 -■ +co za x +co; (4) e3 <1 za x < 0, = 1, e3 > 1 za x > 0; (5) e3 • ev = e3+v;
Po definiciji, logaritam broja x je eksponent kojim treba potencirati bazu (e) da se dobije logaritmand, tj.
(3)e
log, x = y,
y = In x q ev = x.
(8) Grafovi funkcija e3 , e-3, e-32 i e-3 • sin x dani su na slikama D4.1-3. (9) Derivacija
Svojstva logaritamske funkcije
df(x) =
f(x) = ev(.)
(D4-17)
a uobitajeno je za bazu e umjesto log pisati In, tj.
(6) e3 : el' = e3-1" = e3 /ev; (7) e-3 = 1/e3; (e3 )v = el";
f(x) =
(D4-16)
dx dg(x) f (x) = e dx dx
(D4-12)
(10) Integracija
f eA3 dx = -1eA3 + C.
(D4-13)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
In x ima podrueje definicije (dozvoljene vrijednosti x) za x > 0; lnx< 0,za 0 0 za x > 1; ln e = 1 In x je rastuea funkcija; In(x • y) = In x + In y; In(x/y) = In x - In y;
(D4-18)
D. Norval: Fizika I za FER
Str. D4 - 5
Str. D4 - 6
Dodatak D4- Eksponencijalna i logardamska funkcija
(13) Graniene vrijednosti In x x' xn
>0
za
—> +oo In x xn • In x —> 0 1 xn In x
Slika 144 - Graf funkcije In x
(8) ln(0) = v • ln u; In(1/x) = — ln x; (9) Graf funkcije In x dan je na slid D4.4 (10) Derivacija f( x )
df(x) A dx x
In(Ax)
(x) = g'(x) dx g(x)
f(x) = In(g(x))
(D4-19)
(11) Integracija
f Inxdx =
u = In x; dv = 1; dx
1 du = —; v = x x dx
=x•Inx— f (1)xdx
(D4-20)
= x Inx—x+C. (12) Razvoj u red - funkciju In x ne motemo razviti u Maclaurinov red jer ona nije definirana u x = 0. No smijemo razviti funkciju f (x) = In(1 + x). Dakle f(x) = ln(1 + x) f' (x) = f "(x) = f'"(x) —
1 1+x (1 + x)2 2 (1 + x)3
f(0) = In 1 = 0 t(0) = 1 f"(0) = —1
(D4-21)
f (0) = 2
pa je 1 1 1 In(1 + x) = x — — x2 + — x3 — — el + . . . 2 3 4 za — 1 < x < 1.
(D4-22)
x —> +cc
za x —> +oc za x —> 0 (x > 0)
cc za
x —> 0
(x > 0).
Dodatak 1)5 - Prirodym km-ohmic i bruj(!ani podaci
Str. 1)5 2
D5.2 Prirodne konstante
DODATAK D5: PRIRODNE KONSTANTE. BROJCANI PODACI
Konstanta
Simbol
Brzina svjetlosti
c
2.998 x 108 m/s
Elementarni naboj
e
1.602 x 10-'9 C
Gravitaciona konstanta
D5.1 Neki vainiji broRani podaci i odnosi
VeRina
Simbol
Polumjer Zemlje Rz Masa Zemlje Mz Udaljenost Sunce Zemlja D Masa Sunca Ms Ubrzanje sile tee Brzina zvuka u zraku (0°)
9
Gusto& suhog zraka (0°) Srednja gustoea Zemlje
Psr
Rydbergova konstanta Elektron-volt Rydbergova energija Atmosfera
R
Pz
eV E0 atm
Bohrov magneton Konjska snaga
BroRana vrijednost 6378.14 km 5.974 x 1024 kg 1.496 x 1011 km 1.989 x 1030 kg 9.8067 ms2 331 m/s 1.29 kg/m3 5.52 kg/m3 1.097 x 107 m -'
6.672 x 10-I1 m3 kg-1
Atomska jedinica mase
u = masa(12 C)/12 u = masa(12 C)/12
1.661 x 10-27 kg
Masa elektrona
m,
9.109 x 10-3' kg
931.502 MeV/c2
me
0.511 MeV/c2
Masa protona
m, mp
1.673 x 10-27 kg
Omjer masa my /m, Masa neutrona
my/me mp
Masa vodikovog atoma Masa helijevog atoma
771'He
m' H
938.280 MeV/c2 1836.153 1.675 x 10-27 kg 1.0087 u 4.0026 u
Omjer naboja i mase elektrona
e/me
1.759 x 1011 C/kg
Planckova konstanta
h
6.626 x 10-34 J • s
"Reducirana" Planckova konst. Avogadrov broj
h=
Boltzmannova konstanta
NA k
Stefan-Boltzmannova konst.
a
Univerzalna plinska konstanta Molarni volument
R V„,/0
Bohrov polumjer
rB
Permitivnost vakuuma
Eo 1/47r60
Permeabilnost vakuuma
PO
Univerzalna plinska konstanta
R
1 eV = 1.6022 x 10-'9 J 13.6058 eV 1 atm = 1.013 x 105 Pa
Vrijednost
1.055 x 10-34 J • s 6.022 x 1023 mol -1 1.381 x 10-23 J/K 5.671 x 10-8 W/m2 •K4 8.314 J/mol•K 22.4 e 5.292 x 10-11 m 8.854 x 10-72 C2 /N • m2 8.99 x 109 kg • m3 /82 • C2 47r x 10-7 T • m/A 8.314 J/mol•K
9.274 J/T KS
1 Ks = 0.746 kW
(
LITERATURA
[1] P.
Ku'Ale, Mehanika i toplina, Skolska knjiga, Zagreb, 1991.
[2] V. Hent-Bartolie i P. KuliSie, Valovi i optika, Skolska knjiga, Zagreb, 1991. [3] J. B. Marion, Physics and The Physical Universe, 3. izdanje, John Wiley & Sons, New York, 1980. [4] J. B. Marion, Physics in The Modern World, 2. izdanje, Academic Press, New York, 1981. [5] R. A. Serway, Physics for Scientists and Engineers, 2. izdanje, Saunders College Publ., Philadelphia, 1986. [6] K. B. Krauskopf i A. Beiser, The Physical Universe, 5. izdanje, McGraw Hill, New York, 1986. [7] D. Horvat, Fizika - odabrana poglavlja, Hinus, Zagreb, 1999. [8) S. Gartenhaus, Physics - Basic Principles, Holt, Rinehart and Winston, New York, 1977. [9] S. Wolfram, Mathematica - A System for Doing Mathematics by Computer, Addison-Wesley Pub. Comp., Redwood City, 1988. [10] D. C. Giancoli, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, Prentice Hall Int., Englewood Cliffs, 1988. [11] P. M. Fishbane, S. Gasiorowicz i S. T. Thornton, Physics for Scientists and Engineers, progireno izdanje, Prentice Hall Int., Englewood Cliffs, 1993. [12] D. Halliday, R. Resnick i J. Walker, Fundamental of Physics - Extended with Modern Physics, 4. izdanje, John Wiley & Sons, New York, 1993. [13] S. L. Glashow, From Alchemy to Quarks, Brooks/Cole Publ. Comp., Pacific Grove, 1993. [14] J. W. Rohlf, Modern Physics - from ct to Z°, John Wiley & Sons, New York, 1994.
