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PARA CIEIICIAS E INIGEMERIA VolumenII
Paul M. Fishbane UNTT¡ERSITY OF VIRGINIA
Stephen Gasiorowicz
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UNTI¡ERSITY OF MINNESOTA
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Stephen T. Thornton
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UNTVERSITYOFVIRGINIA
TRADUCCION rNG. QUrM. VTRGTLTOG'ONZALEZPOZO Consultor REVISIONTECNICA ALBERTO LIMA SANCHEZ FIS. FísicoUNAM
Universidad
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T.JAVIER DE I-q. RUBIA Dpto. de Física Fundamental Nacional de Educac i6n a Distancia-UNED Madrid-Españ;a
S.A. PRENTICE-TIALL HISPANOAMERICAIYA, MDilCO-ENGI^EIT/OOD CLIFFS-LONDRES-SYDNEY DEJANIIRO TORONTO-NUIVA DELI]I-TOKIO-SINGAPUR-RIO
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SINISSIS DE CONTEN¡-IDO
TOMO II
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22 r c RcAEI^EcrRra\ 23 trt.c.AMpoEtr¡crn¡co
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42 cttANrrz./rcroN ¡)lt v¡t.otrrisDlt
24 L¡rrDEcAUss 25 ForrNctALELEcrRrco
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725
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26 c P clTorusYDrrlrcrnrcos 27 coRruENlEssl¡crRlcAs riN
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46 lr^RTlctrisYcosMor.ocrl
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29 nrtrmos DEl.os cAMPosMAGNgncos Dti Los 30 PRoDUcqoNY PRoPIEDADES
gr2
N)IiNDICI I |jL SISTIiMA IMIüNACIONAI, DIiUMDADIIS
A- l
AIIIiM)ICII IT AI,GUNAS CONSTAN'I'T6 I¡ISICAS rT.,M)AMI1N'IAIIiS
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APTiNDICA UI OTRAS CANTIDADIIS I;IS¡CA.S
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APNNDTCEry MATEMAIICAS
A-7
AI'IIM)ICUV',t'Atil u¡.IiMnNTOS
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¡uAGNETtsMoYMATERTA
NNCINCI.JITOS
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34 coRRTEMEsALTERNAs 35
873 908 936
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36 Lr\LUz 37
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960 982
EcUAc¡oNESDE MoTvT]LLY oNDAs ELECTROMAGNETICAS
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28 clnctrlTos DEcoRTLNTEDrRtrcrA
33 tNDUcTANcr YosüI^eoNEs
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STS'I'TIMA.S DIi I{iRMIONIIS Y BOSONIIS
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3L T¡YDETAnADAY
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CAMPOSMAGNETICOS
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MOMI]NTO ANGUIAN Y üM]RGIA
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I'HUOI)ÍCA DIiI.OS
APDNDICtr vI III]C¡IAS IMPONTANTI6 I1N lrt IüSlOITIA DI! Il TTSICA APIiND¡CE VTI T'A¡}IAS I;N TiI,TIilN'O
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AI'DNDICE VIII RI]CT.]ADRO CON TEXIC) SI'I.I|CCIONADO
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38 rnnTruEnENc¡A 39 DrFRAccroN
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RlisPtJLslAS A I'ROITLnMAS CON NUMtitro IM¡'AIT
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INDICIi
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c. 1
RF.rrrrrvrDADFspticIAL
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CONTEMDO
(46 22 IJ\ cARGA Fr FcTRrcA 22-L l.aspropiedades dela materiaconcetga, &6 y cuantización 22-2 l¡ conservación dela carga, 652 22-3 I-a ley deCoulornb,654 22-4 I¡s fuenasenlasqueintervienen cargas múltipleso continuas, 657 22-S El significado dela interacción eléctrica, 662 preguntas, problemas, Resumen, 663
254 Determinaciónde camposeléctticosa partir de potetrciales eléctricos,737 25-5 Cálculode los potencialesde disFibuciones finitas de carga,740 25-6 Potencialesy camposeléctricosque rodean a conductores,T45 25-7 Potencialeseléct¡icosy campos electrost¡iticos en tecnologla,748 Resumcn,preguntas,problemas,753
26
)
Capacitancia,T6O Energlaen capacitores,764 Energlaen camposeléctricos,766 Capacitoresconectaclos en seriey en paralelo,768 26-5 Dieléctricos,77l 26-6 Descripciónmicroscópicade los dieléctricos, 777 Resunren,preguntas,problemas,780
) ) -)
669
23-L El campoeléctrico,670 23-2 L¡s lfneasdel campoeléctrico,676 23-3 El campocléchico debidoa una disttibucióncontinuade carga,680 23-4 El movimientode una partfculacatgadaen un campoelécttico,685 23-S El dipolo eléctricoen un campoeléctrico exüemo,689 . Resumen,preguntes,problemes,692
)
24 LEYDE GAUss
, I
24-l 24-2 24-3 24-4 *24-S
699
Flujo eléctrico,700 L-eyde Gauss,703 Aplicacionesde la ley de Gauss,707 Conductoresy camposeléctricos,713 ¿Quétan bien conocemosla ley de Gaussy la de Coulomb?716 Resumen,preguntas, problemas,719
25 PoTENcIALFTFcTRIco 25-L Energlapotencialelécttica,726 25-2 Potencial cléchico,728 25-3 Regiónesequipotenciales, 735
725
760
26-l 26-2 26-3 26-4
)
23 EL cAMPo ELEcTRrco
CAPACITORES Y DIELECTRICOS
27
CORRIENTES FI FCTRICAS EN MATERIALES
786
27-L 27-2 27-3 *274
La conienteeléctrica,786 Corrienües eléctricasen materiales,789 Resisüencia,79l Modelo de electroneslibtes para resistividad, 796 *27-5 Aisladores,conductoresy semiconductotes, 799 t'27-6 Superconductores, 803 27-7 Potenciaeléctrica,8M Resumen,preguntas,problemes,807
28 crRcurros DEcoRRTENTE DrREcrA Bt3 28-l Fuenaclectromotriz, 813 28-2 Circuitosdeunaespiray la reglade Kirchhoffparauncircuito,I l7
1"
28-3 Circuitosde variasespirasy la tegla de Kirchhoff paranudos,820 28-4 Instrumentosde medición,826 28-S CircuitosRC,830 Resumen,preguntes,problemas,833
29
EFECTOS DE LOS CAI}ÍPOS MAGNETICOS
J¿-l
842
29-I Imanesy camposmagnéticos,843 29-2 Fuetzamagnéticasobreuna carga eléctrica,845 29-3 Aplicacionesde la fueza magnéticasobre una cargaeléctrica,848 29-4 Fuer¿asmdgnéticassobrecortientes eléctricas,854 29-S Fuerzamagnéticasobreespirascon conienteselécttica,856 29-6 El efectoHall, 862 preguntas,problemas,863 Resumenr' li
I
I
' r ' li' jr :' r
Y MATERIA
936
Propiccladcs lnagrróticas clc In rnatcri¡ crr conj unto,937
32-2 Los átomoscorno imanes,94I 32-3 Femomagnetisrno,945 *32-4 Diamagnetismo,949 *32-5 Paramagnetisrno,950 *32-6 Magnetismoy superconductividad, 95 I *32-7 Resonanciarnagnóticanuclear,952 Resumen,preguntas, problenras,955
33 INDUcTANcTAY oscrLrcroNEs EN ctRcr.rrTos 960 33-l 33-2 33-3 33-4 33-5
Inductancia e inductores.960 Energfaen inductores, 966 Energfaetrcatnposnragnéticos, 968 Oscilaciones en circuitos, 969 EnerglaerrcircuitosRLC,974 Rcsumcn,preguntas,problcrnas, 976 :
30 PRODUCCIONIYPROPIEDADESDE LOS 873 Cá,MPOSMAGnIEfiCOS,,,
3 0 - 1 L e yd eA mp é q4 7 4 '" ,^ '
' 3O:2 Ley dg Gausspad ál óasodel i magnetismo,STg 30-3 Solenoides,882 3O-4 l,ey de Biot-Savart,886 30-5 [a conienüede desplazamiento de Maxwell,895 *30-6 Problemasde consistencia:dependencia de fuerzassegúnel marcode referenciay la terce¡aley de Newton, 898 Resumen,preguntas, problemas,901
3T LEYDEFARADAY
CNETISMO
908
31-1 Michael Faradayy la inducción magnética,908 3l-2 l-ey de Faradayde la inducción,910 31-3 Fuer¿aelecttomotrizde movimiento,9LT 3L-4 Fuelzas,energlay potenciaen la fuerza electromotrizde movimiento,92 I 3l-5 Efectosde camposmagnéticosvatiablesen el tiempo,924 : y motores,926 31-6 Generadores *31-7 Relaciónentrecamposeléctricosy' magnétiqosdesdemarcosde refetenciaen movimierrto,g2S ' Resunibn,iróguntas, problemas,929
34 coRRTENTEsALTtrRNAs
982
34-L Tmnsformadores, 982 34-2 Elementosindividualesen circuitosde CA. 986 34-3 Circuitosde coriente alternacon RLC en serie,990 34-4 Potencia en los circuitosde corrientc altenra,995 34-5 Algunasapiicaciones, 998 Resumen,preguntas,problemas,1002
{ : I
\
35 EcuAcIoNEs DE MAxwELL Y oNDAs ELECTROMAGNETICAS
1009
35-l [¿s ecuaciones dc Maxwell,l0l0 35-2 Propagaciólr de los campos electromagnéticos, 10I i 35-3 Ondaselecttomagnéticas, 1013 35-4 Densidady flujo de energfa,y flujo de calitidad detnovirniellto, I 02I *35-5 Radiación deun dipolo,1025 35-6 Polarización,1028 *35-7 Radiaciolres conro electrotnagnóticas partlculas,1034 1035 Resumen,preguntas,problemas,
36 [-^,LUZ
{ I
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LO42
36-1 La velocidadde Ia luz, 1M3 36-2 ¿Sepropagala luz e-r línearecta?,1046
{ I
\-
3ó-3 Retlexióny refracción,1048 a pafir delprincipio "36-4 Reflexióny refracción deFermat,1055 36-5 Dispersión, 1058 preguntas, problemas, Resumen, 1062
I f
Y sus 37 EsPqJos,LENTES APLICACIONES
'
37-l 37-2 37-3 37-4 37-S *37-6
42 cuANTtzAcroNDEvALoREsDE MOMENTO ANGI,JLI\RY ENERGIA 42-l 42-2 42-3
38-l
J
39 DIFRACCTON
42-4 42-5
43
rt32
I-a diftacciónde la luz, 1133 Rejillas de difracción, I134 Difracciónen rendüaúnica,I140 Difracción y tesoluciónde instrumentos ópticos,I 143 *39-5 Efecto del anchode rendijasobrelas figuras de rejilla, I 147 r'39-6 Difracciónde rayosX, I148 *39-7 Holograffa,1153 Resumen,preguntes,problemas,1156
39-l 39-2 39-3 39-4
; !
l
40 REraTrvrDADEsPEcrAL 40-l 40-2 40-3 40-4
')
I
40-5 40-6 40-7 *40-8
I
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rt62
¿Esnecesarioun éüet?,I 163 lns postuladosde Einstein,I165 Espacio,tiempoy simultaneidad,1167 Dilatacióndel tiempoy contracciónde la lorigitud,1169 Conimiento Dopplerrelativista,1174 Transformaciones de Lormtz, ll80 Cantidadde movimiento y energlaen la relatividadespecial,I 187 Mrís allá de la telatividadespecial,1192 Resumen,preguntee,problemas,1194"
t?t
La naturaleza ondulatoriade la materia, 1202 4l-2 l¿s relacionesde incertidumbrede Heisenberg, 1206 4l-3 L¡ naturaleza corpuscular de la radiación, t2tl 4l-4 Mecánicacu¡inticay probabilida d, L2l7 Resumen,preguntas,problemas,1218
110E
Experimentode Young de la doblerendija, I 108 38-2 lntensidaden el experimentode Young, de la doblerendija,1113 38-3 lnterferencia en la reflexión,ll16 *38-4 Intcrferómetros,ll24 Resumen,preguntes,problemas,1126
FrsrcAcuA¡tTlca, 4l-l
ro6s
y espejos,1069 inrágenes Espejos esféricos, 1072 Reftacción ensuperficies esféricas, 1082 Lenües delgadas,,1090 Instrumentos ópticos,1095 Abenación, 1l0l preguntes,problemas,I 102 Reeumen,
38 ¡rvrsRFERENcrA
4l
12?
Cuantizaciónde la energlay el momento angular,1225 La teodacurinticadel momentoangulary r' espectroverdaderodel hidrógeno,l23L El spin,el principio de exclusióny la estn¡ctutade los átomos,1235 [-a eskucturay los estadosde energlade la, moléculas,l239 Teoria de bandas,1245 Resumen,preguntas,problemas,1247
EFECTOS CUA¡\TTICOS EN GRANDES SISTEMAS DE FERMIONES Y BOSONES
t25
43-l El principio de exclusiónen metalesy estrellas,1254 43-2 Ldsetes:aplicacióndel comportamientode agrupaciónde bosones,1260 43-3,Supetconductividad, L264 y el helio llquido, l27O 43-4 Supetfluidez Resumen,preguntas,problemas,1271
M
INGEI\IIERIA CUANTICA 44-l 44-2 44-3 44-4
].27-
Semiconductores, 1278 Estructurasde semiconductores, 1286 lngenieriade bandasprohibidas,1293 Microscoplade banido, 1298 Resumen,preguntas,problemes,1301
45 FrsrcANUcLEAR
1306
45-l Propiedades est¡iticasde los núcleos,1306 45-2 Fuetzasnuclearesy modelosnucleates, l3t6 45-3 Enetglaen las teaccionesnucleates,1321 45-4 Radiactividad,1323 45-5 Fisióny fusión, 1330 xl
lqtfl'
;
45-6 Aplicacionesde la flsica nuclear;'1332 Resumen,preguntesrpnoblemas,1337
46 penrrcur.r\sYcosMolocra
y '.343
46-l Muñecasrusas,fuerzassubnucleares relatividadespecial,1343 46-2 [,aspartfculasnuevasy lasleyesdela 1347 consetvació,n, 1353 46-3 Repasodelasfue¡zasfundamentales, partfculas, 1356 4H Henarrient¡sdela ffsicade delr¡nivcrso,13fi 46-5 Exponsión momentosdpl universo,1365 46-6 Ins prime¡-os l37L , ..: 46-7 Palabrasfinales, preguntee, Reeumen,; Problem*, 1372 iij,
APEI\DICE I ELSISTTIÍA INTERNACIONALDET'NIDADES APE¡TDICE U E¡TU|VIS CONSTANIES FISICáS TUNDAII{ENÍALES
APEIYDICEM FISICAS
OTRASCAI|ITIDADES
APEIIDICETV
MATEMATICAS : .I
A.-5
.APENDICE V TABIAPtrRIODIC^ DELOSELÉMENTOS APENDICE VI FECIIASIMPORTA¡¡TES ENIAHISTORIADEIAFISICA APENDICEVII
TABr-AsENErli'EC-rO
APENDICEVIU
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O
A-7 A-1.1. A.13 A-15
RECUADROCONTE}(TO
:ETECCToNADO
A PROBLEMAS RESPI,JESTAS '. DE IruMEROIMPAR
A-1
A.L7
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INDICE
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CREDITOS DE FOTbGRAFIAS
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C A P I T UTJ O
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pard comprender los dc la naturalezpdel relómpago Lasinvestigaciones fueron importontes fcnómcnoseléctricos,En cstcgrabado,Bcnjanln Franklinllevaa cabouno de susfamosos publicóentrc 1751y 1753. conla cometa,cuyosresullados cxpcrimcntos
LA CARGA ELECTRICA
Aquf es dondeiniciamosnuest¡oestudiode la electricidady el magnetismo,tema que se ramifica a través de todo el mundo flsico. l,as fuerzas electromagnéticas controlanla estructurade los átomosy de todoslos materiales,ylaluzy otrasondas sonubicuas.La comprensiónde esasfuetzasesuno delos grandes elechomagnéticas éxitos de la ciencia.En este capltulo pfesentaremosla carga eléctrica,propiedad de los átomos,y la ley fundamennueva,pafanosotros,queportanlos constituyentes tal de la interacciónde dos ca¡gasen reposo,que es la ley de Coulomb.Estaley de fuerzaes tan fundamentalcomo la de gravitaciónuniversaly tiene la mismaforma. Sin embargo,la fuerza que describela ley de Coulomb puedeser de atraccióno repulsión.
22-L rá.s pRopIEDADESDE LA MATERIAcoN cARGA La matcria y la catgacléctrica hastaahora,hemoscaracterizadoa la En la mayor patte de nuestrasdescripciones, gmnel, átomosque la forman,medianteun a asl como a los conjunto, en su maüeria Cuando se investiga la estructurade los átomoscon más at¡ibutoúnico: la masa. que por éstos formados electtonesy núcleos,Estosse están detalle,encontramos I
646
f-
II !
puedencaracüerizaf medianteotro atributo:la carge eléctrica, que por lo generalse identifica con q. I-as cargaseléctticas ejetcen fue¡zaselectricasentte sl, proporcionales al producto de sus cargas, de igual modo que las masas ejercen fuetzas gmviüacionalesentre sf, proporcionalesal producto de susmasas.Las fuerzas elécIricasmarrtienenunido al átomo.Sin embario, entraun nuevoelementoen las fuerzas eléctricas,que no sp ptesentaen la gravitación: las cargasson de dos signos y, dependimdodeellos,lasfuerzasentreellaspuedeserderepulsión o biendeatracción. El conjunto de fenómenosrelacionadoscon las fuer¿asentrecatgasestacionatiases el temade la electrostótica,o estudiode la electricid¡d estÁtic¡r.
64', 22-l
I'as prop|c,llzll*:&
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III(AMENDETALIJ\DO Brcvc hlstoda
dcl cstr¡dto dc la clcctrtctdad
y el magnetlsmo
La mayorlade los estudiantcstienenal menoscierto gradodc familiaridadcon las catgas eléctricas,las fuerzasentreellasy el hechode que el magnetismotiene algo que ver con la electricidad.Tan obvios y scncilloscomo pudieranpa¡ecerestosasuntos,la evidencia experimentaly su comprensión,sólo se desa¡rollarona lo largo de mucho tiempo. La palabraelectricidadyoviene de electrum,la palabragriegaparael "ámbar",y Ia primeracita escritaacercade los curiososcfectosdel ámbarfrotadodatadel siglo V a. de C. Con seguridad,muchotiempo anteslas personasobservaronel crujir y chispearde una piel frotada.No fue sino hastael siglo XVII que se llevó a caboel descubrimientocrltico de que las fuerzaspodfanser de atraccióno repulsión.A travésdel tiempo,se desanolló la idea de que una cantidad,que ahora llam'amoscargaeléctrica,estáasociadacon las fuerzaseléctricas.Entrc los muchosnombresimportantesrclacionadoscon csosdescubrimientosestánlos de StephenGray, CharlesDufay y BeqiamfnFranklin. de salóndc los efectoseléctricos,demoda Franklin,fasci¡radocon lasdemostraciones en el siglo XVI[, llevó a caboabundanteinvestigacióncientffica.Su fama principal es su desanollode la idea existentequeasociabalos fenómenoseléctricoscon un tipo de fluido contenidoen la materia.I: repulsióny la atracciónse rclacionabancon cxcesoo defecto del fluido. En estbmodelo, estabaimpllcito lo que ahoraconocemoscomo el fenómenode la conservación de la carga: si el fluido tuviera que salir de un cucrpo, dejada una deficiencia.Franklin introdujo los términos'positiva" y'negativa" paralos dos tipos de carga.Tambiénestablecióla convenciónnormal del sigro, en la cual el electrón,queesla partfculaque realmentese mueve en los conductores,tiene carganegativa.Franklin es famoso,en especialparael púbüco en gencral,por susexperimentosespecüaculare,y muy peügrosos,con los reliimpagos,a los cualesreconociócomo fenómcnoscléctricos.Franklin y su amigo, JgsephPriestley,al igual quc Henry Cavendish,'estánrelacionadoscon cl descubrimiento de que la fuerza fundamental entre las cargaseléctricas es una ley de la inversa del cüadrado.Esta ley fue confirmada'enforma más directa primero por John \obison y despuéspor CharlesCoulomb, cuyosnombresseunénhoy a esalcy, a mediados y a finales,respectivamente, del siglo XVIII. En la primerapartedel siglo XIX, el magnetismo,quesecrefaentoncesun fenómeno sin relacióncon la electricidad,fue objetode experimentacióninte¡siva.[¿ naturalezedel magnetismoy su relacióncon la electricidadcomenzarona aclararsealrededorde 1820, principalrnentepor el trabajode HansCh¡istianOersted,André Marie Ampérey Michael Faraday.Estarelaciónsecomprendióen forma definitiva,y seunificó, con la formulación, en la décadade por parte de JamesClerk Maxwell, de la teorfadel electromagnetismo, 1860. La naturalezarealde la materiaconcargaeléctricasólofue reveladacon la exploración experimentalde los átomos.[¿ mecánicacuánticaesun elementoadicionalque serequiere paraexplicar las propiedadesde los átomos.Todas las propiedadeseléctricasde la materia .sepuedencomprenderhoy dentrodel marcode la teodacuántica.
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648 C¡pitulo
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euperconduclores, Conductores, rlchdorcr y cemiconductore¡
Cer¡a por conducción
>. I-os átomossoneléctricamenteneutros (o simplemente,'neutros");estoes,un átomo en su conjunto no tiene carga eléctrica. Lo sabemosporque las fuerzas eléctricasentreátomossonpegueñas.2 Sin embargo,los electronesdeun átomo,que se representancon una ¿, cadauno, tienen,t¡mbién cadauno, la misma unidadde carganegativr,qacctnjn - -e.I,.oselectronessemuevenen órbitasenregionesparecidas a capasalrededordel núcleo,muchomáspesado,que consistede neutrcnes(repreporp), que tienenuna sentadospor n), quesonneuthles, y protones(tepresentados cargapositivade igualmagnitud,peroopuestaa la deun electrón,qpno{ór, - +¿.Aunque el núcleotieneel 99.95%de la masadeun átomo,el radionucleariólo esla 1O5parte del radiodeun átomo.En un átomoneutralel rrrfunero deelechonesesigual al número de protones,Irós elementosqufmicosse diferencianen el númerode elect¡onesen susátomos,o, de modo equivalente,en el númerc de protonesen susnúcleos.l¡s elechonesque, en promedio,se encuenhanmás cercadel núcleo, son diffciles de tetimr, por la interrsidadde la atracciónhaciaeste.Los elecFonesmásextemosson atrafdosconmenosinte¡sidadhaciael núcleoy seseparande él conmayorfacilidad. La facilidad con la que estosucededetermina,en gran parte,las ptopiedadestanto ffsicascomo qufmicasdel elementoque contieneesoselectrones.Un ótomogueha perdidouno o m¡íselectrones,y pot coisiguiente,que tienecargapositiva,sellama iottpositivo. Un ion negativoesun átotnoqueha gurado electrones. I-a evidenciaquecondujoal descubrimientode la cargaeléctricay de lasfuerzas eléctricas,dependlade las propiedadeseléctricasde la materia a granel y sólo indirecüamente del hechode quela materiaestáformadapor átomos.Poresemotivo, presentaremos una breveperspectivade las propiedadeseléctricasde la matetiaen conjunto. Si los electronesextemos de los átomos,en la materia a gfanel, son especialmente fáciles de retirar (o sea, estándébilmenteenlazadosa su núcleo),se comportancomo si estuvierancasi libres y se puedenmover a travésdel material, casi sin impedimento.Esos rnaterialesson buenosconductores.Los metalesson buenosconductores;algunoscomo el cobre, la plata y el aluminio, son rnejores conductoresqueotros.Determinadaclasede materiales,cuandoseenfrlarra temperaturaslo suficientemente bajas,contienenelectronesque,tealmente,semuevensin tienenotraspropiedades inhibición.Esosmateriales,llamadossuperconductores, parte de dela mayor lossólidosno meuilicos notables,comoveremos.Los electrones que sólidos, incluyen al vidrio,.el hule y los no se muevencon tantafacilidad; esos plásticos,son eisladores.El silicio, el germánioy un númerocadavez mayor de combinacionessintéticas,sonsustanciasquepodemoshacerconductoreso aisladoles res,controlandolasfuerzaseléctricasenellos,o la tempetahrta.A esassustancias tecnologfa. papel la un importante en llamamossemiconductoresy desempeflarr ' La facilidad con la cual se muevenlas cargaspor la materiase relacior¡u estrechamente connuestracapacidadde trarrsferircafgasen uno u otro sentidoentfe materialesdiferentes.Cuarrdolo hacemos,decimosquehemoscargadoo descargado los mate¡iales.Al frota¡un materialen el quelos electronesextemosesténdébilmpnte enlazados,como el ámbar, esos electronespueden'irse a otra parüey terminar depositadosen otro objeto.El materialoriginal, entonces,tiene un excesode carga positiva:ha perdidoelectrones. El objetoal cualsehan üansferidoesoselectrones, tendráun excesode ellosy quedacon un¡ carganegativa.Cuandola catgapasade estemodode un cuerpoa otro,se dice quelos cuelPosse cargan por conducción. Nótesequetantoel materialoriginal comoel objetohan adquiridouna catga. Podemostenerotro medio de control de la cargade un objeto si lo conectamos a tiena por medio de un buenconductor.Cuandose conectaasl un objetocon carga negativacon la tiena, los electronespasur del objeto a la tiera y el objeto queda ,neutral.Si, en lugar de ello, un objetotienecargapositivaen exceso'entoncesllegan electronesde la tierra y lo neutmlizan.¿Porqué fluye la carga?La Tiena mismaes
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2 Sin ombargo,no son prccisamcntcccro, L¡s razoncsaparcccrúntlaspucs'
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un buen conductor.En efecto, el conductorque va del objeto a la tierra permite compartirla cargadel objetocon la de la tiera; perocomoéstaestan$ande,la carga residualen el cuerpono se puededetectar.Sedice que eseobjeto est¡i¡terriz¡do o conectedoa tierrs (figura 22-l). Alcaminar cruzandouna alfombra,un dfa secode inviemo,podemosacumulargmdualmenteunacarga.Cuandonosaüerizamosüoca¡do un conductorconect¡doa la tiera, comoun tubometÁlico,derepenüe descargamos nuestraelect¡icidada la tiera. La chispague resultapuedesernotable. Evidencia dc que las cargas son dc dos ti¡ros
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Se pueden demostra¡algunaspropiedadesimportantesde las cargaseléctricas, medianteexperimentoscon materialesfácilmenteasequiblesen un labontorio de ffsica elemental.Podemostransferir cargaeléctricafroüandouna varilla de teflón , sobreun trozo de piel, o frotandouna varilla de vidrio con sed¡, El teflón adquiere (figun 22-2a).Igualmenüe, unacargay la piel adquiereunacargaigral, peroopuesüe el vidrio adquiereuna carga,y la sedauna cargaigual, pero opuesta(figu¡a 22-2b>, En realidad,el üeflóntieneaho¡aunexcesode electronesy la piel, deficienciadeellos, mientrasque el vidrio tiene deftcienciade electronesy la seda,exceso.Asl, por ejemplo,la va¡illa de üeflónsehacenegativay la de vidrio, positiva.Habla¡emosde trIGITRA 22-l Panrnyc'porttüIct-, esasca¡gascuandodescribamoslos expetimentosmás adelanüe.Sin embargo,los modaal prtnclplo dcl slglo XIX. El signosque hayan adquirido las cargasen particularson i¡¡elevantespa¡a nuestros caballcroostl corrcctadooléctrlc¡nslo ücr¡¡. resulüados. El signodel electrónse llama'negativo'pot convención.El teflóny la piel parecentransferirla cargacon máseficienciaqueen el casodel vidrio y la seda, y con ellos seobtienenefectosmásfiicilmenteobservables. Paraestudiarlos efectosde las fuerzasentte las cargas,usaremosmasaspequeVarill¡ ñas, porque reaccionanmris visiblementehacia las fuerzas.Lo podemoshacer (a) (b) do tcflón empleandopelotitasde corchocubiertascon una pintum conducto¡a,que es la que permiteque la cargasemuevacon facilidadsobrela superficie.Secuelgaunapelota de corcho con un hilo delgadoy aislante(figrrta 22-3a),Si tocamosuna pelota de corchocon una va¡illa de teflón con carganegativa,de inmediatola pelotaseaparta de la va¡illa (figura 22-3b).Si tocamosdos pelotasde cotcho,colgadr" y neutrales, con la varilla de teflón con carganegativa,las peloüasserepelenlnfue¡tementemtre
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FIGITRA 22.2 C\ando (a) n frola tcflón con piol, y O) vldrio c¡¡¡ ¡oda,so budlcrc cargacléctrlca.
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Dcspuésdc tocarsc,la varilla y la pclot¡ sorcpclcn
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L,ascargasdc signo dlstlntoso¡trecn ; .1
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Un¡ v¡rlll¡ do tcllón ccrcargr rcgaüvero ¡cc¡cr porp¡i¡rtrr voza la pclotadocorcho rccrrblorta,ncutnl, qr d prlrclplo ce atníd¡ ¡ l¡ v¡¡llla. Dcspuéedo gr l¡ v¡¡tll¡ toca r la polota,óstr soha crryrdo y ro rtürn vlgorcanranto do h vullla cargrdr. (c) Sl tocann doepolot¡|rr do co¡choh¡cld¡¡s¡lc r¡oulr¡scon r¡m va¡lll¡ do tcfló¡¡ crry¡d¡¡ , ncgatlvanrcntc,las dc pclotllasro rcpclcn cntrosí. Las cargrs lgualoseorpolclr. (d) Si prtncro tocar¡¡o¡r¡u polot¡ doco¡r.ho, l¡rlcl¡lnnnto ¡¡or¡t¡r.cor¡un¡ v¡rllh dotofló¡t con carganogaüva,y rru polotr lgrd oot . r¡¡u v¡rlll¡ do vldrlo con cargr pocltlvr, hr 'dc polotitacsorlncranhod.Il crrgrr distlnt¡s soats¡cr¡. , ¡, . rrl . r: . p l { t j '
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6to Capítulo 22 La carga cléctrlce
flGURA 22-4 Expcrimcntodc Stcphcn Gny, sobrccloctricidadcstritica,cn cl siglo XVIII. El jovon,suspcndido onol aitc, cn crrgadoclcctrostdticamcntc; a contlnt¡aclón, podíaatncr pcdacitosdc papcl.
sf (figura 22-3c),Setieneun comporta¡nientosemejanteentredospelotasde corcho que se hayantocadocon una varilla de vid¡io con cargapositiva.Sin embnrgo,si tocamosuna pelotade corchocon la varilla de teflón, y la otra pelotacon la va¡illa de vidrio, las pelotasseatraenentresf (figura 22-3d). anteriores, llegamosa la conclusiónquelascargaseléctriConlosexperimentos casen las vatillas de teflón y vidrio son distintas,y gue Las cergrs igualee se repelen, les cergra difer^entesse ¡tr¡en
Antcsdo tocarsc, varills Y Polotasoatraen
I'IGURA 22-5 l,a pclotado corchonoutra cs atrrida, al principio, r la varllla cargada do tcflón, porqucalgwroccloctroncscnclla pasanal lado lcja¡¡oa causadc l¡ fucr¿¡ dc rcpulsióndcsdch varilla. Las cargas positivassobrcla pclotacsüin,cn promcdio,Íuis ccrcadc la va¡ill¡, y asila fucr¿ado atracciónsob¡ccüas,dcbidaa la vrrilla, cs mayor quola fucrzadc rcpulsión ¡obrc los clcctroncsdcsplazadoe.
sestrsen. Lescargasigualesserepeleny lascargasdiferentes Esasconclusionesson la explicaciónmás sencillade lo que hemosobservado.Por ejemplo,mientrasla varilla de teflón toca a la pelotade corcho,algo de la carga negativade la varilla pasaa la pelota.Entonces,tantola pelotacomola varilla tienen carganegativa.La pelota,qqeseha cargadopor conducción,de inmediatosaltay se quedanexplicadas, de igualmodo, alejade la va¡illa.Nuestrasdemásobservaciones por la regla de que las cargasigualesse repelen,y las cargasdiferenüesse atraen (ftgura22-4). Cuandolos expetimentosque hemosdescritose llevan a cabo con cuidado, podemosnota¡otro efecto.Antes quela varilla de teflón con ca¡ganegativatoquela pelotadecorchoneutfal,éstaesatraldahaciala vadlla,y no repelidapor ella.Despues de tocarse,se repelenfuertementeentresf, y acabamosde explicat por qué.¿Cómo podemosexplica¡su atracciónmutuainicial? Como hemoscubiertola pelotade corchocon pintuta conductora,hay electronesen movimientosobrela superftciede la pelota. Cuandose acercala varilla de teflón con carganegativa,los electrones móvilessonrepelidosy semuevenhaciael lado lejanode la pelotade corcho(figura 22-5). Esto dejauna cantidadigual de cargapositiva en el ¡i¡eade la pelotacercana a la va¡illa. Esascargaspositivasson at¡afdasa la varilla, con más fuerza que la repulsiónde las cargasnegativaspot la varilla. En otraspalabras,cuandolas cargas positivassobrela pelotade corchoestánmríscercanasa la varilla de teflón, de lo que estánlas cargasnegativasen esapelota,la fuerzanetaes de attacción.La atmcción inicial, por lo tanto,sepuedeexplicarsi la fuetzaeléctricasedebilitacuandoaumenta la distanciaentre las cargas.Al fenómenoen el que se redistribuyenlas cargas eléctricasdentrcdeun objeto,debidoa la presenciadeuna cargaexterna,sele llama polarizaciónde la carga.El hechode quelas fuerzaseléctricassedebilitencon la a é1. esde gran importancia,y regtesaremos distanciaentrelas ca¡gasinteractuantes l-acatgapor inducción Otro experimentoexplica cómo puedenobtenervna carga por inducción,o carga inducida,losconductoresinicialmenteneutrales.Pensemosen dosesferasmet¡ilicas neutras,sostenidascadauna pof un posteaislado,y que estánlado a lado, tocándo-
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22-1 l¡r proplcdadcr
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[,a vnrilla con cargr ncgallvoso acorcoI wra csfcra
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HGURA 22{ (e) Dc osfcrasnr.ltllcer rput¡¡lcs sctcnid.o cn pctcs ¡lsl¡r¡to¡ ¡o tocan (b) Uru vartlle do toflón con cerga rrcgativapolarlzehs csfcrasmctdllces.(c) Sl cstasscscparanmlcntns quola vrrillr do tcflón cslóccrc¡, hs osfcns ücnar cargrs ' opr¡ost¡s.(d) Ctrndo sorotln l¡ va¡lll¡ do tcflór¡,l¡s doecsfons nrtlllcrs rlguor toniccdocargasopucslas.Nótcecquola crrgr total do lrs doecsfonr pcnurnco cn
¡-nscsfcras trrctdl¡cas ¡rnrrnnccencnrgntlas cuando sc quita la v¡rilla
cc¡o,
se(figura22-6a).Si llevamosunava¡illadeteflón,concarganegativa,muy cercade una esfera,los electronesen movimiento en la esferase van al lado opuestode la esferaalejada,dejandocargasopuestasen lasdosesferas(figura 22'6b). l¡s esfetas tienencerocargatotal,pe¡ouna espositivay la otra,negativa.Mientrassiguecerca la varilla de teflón, separamoslas dos esferas,dejrindolascon cargaopuesta(figura 22-6c). Aun cuando quitemos la va¡illa de teflón, las cargasinducidasPor ella pennanecenen las dosesferasmetrilicas(figura 22'6d). Decimosquelasdoscsfems sehancargadopor inducción,EsascargaspuedenPasara pelotasde corchocubiertascon pinturaconductora.La fuerzade at¡acciónentrelas pelotasde corcho,quese petcibeconfaciüdadpor tene¡muy pocopesoesaspelotas,demueshaquelascargasson de signo contra¡io.Nótesequesólo los conductoressepuedencargarpor inducción.
Cergr por lnducclón
Las unidadcs dc carga La cantidadde cargaqueportat.l :lecttón dependede cómosedeñnala escalade la carga.La unidadde cargaen el SI se llama coulomb (C).3Podemosdetermina¡el la magnitudde la fuerzaentredosobjetossepatados valordel coulombespecificarrdo una distanciade I m, cuandocadaobjetotiene I C de carga. La magnitudde la cargadel electrón,la cargamrispequeñaquese encuentraen la naturaleza,se ha medido con g¡an precisión.Una aptoximaciónbastantebuena pafa nuestfosfines es (22-rl
e - t.6dl x lo-re c. en la tabla22-1. Las masasy cargasdel neutrón,protóny electtónaPa¡ecen
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i4l coulomb c¡ lg unlded dc crrS¡ cn cl SI
Ceryr dcl clcctr{n
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MASA Y^CARGA DE CONSITN,.rYENTES A,IOMICOS
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Masa (kg) Neutrón,n hotón,p Electrón,e
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1.6?5x 10-27 1.673'xlo-27 g ,l l x l 0 -rr
Carga (C)
0 1.602x lO-¡e x lo-re -1.602
I El coutomb so dcflno form¡lmortc cn térml¡¡c do corrlcnto, o carga por rnidad dc ticmpo, qrr cn cl SI ticnounldadcs dcarnpcras (A): uncoulorñbce ls cantidaddccrrga qrrcprsa porculquicrsccclóndcr¡¡condrctor cn I ¡. ¡l l¡ con{onto on ol condwtor c¡ I A.
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6sz Cepinrlo 22 Le cargecléctrlce
E J E M P LO 2 2 - | Ur.o.varilla de vidrio, frotada con secla,tiene una carga de + 110nC (1lO x l0-e C). ¿Cuántoselectronesle-faltana esavarilla? SOLUCION:Los elecüonesfueron hansferidosde la va¡illa de vid¡io al frota¡la con la seda,dejandoun excesodecatgapositivaen la varilla. Cadaelechóntiene unacargademagnitude,y por consiguiente,el númerodeelect¡onest¡ansfeddos debeser elect¡onestransferidos -
carga neta carga de cada electrón
1 1 0 xlo -e l L6 x l0-tnf/electrón
- 6.9x l0rr elechones
EJ EM PLO 22 -2 Ia mayormonedade oro con el águilaestadounidense tiene 28.4 g de masa.El númeto atómico del orc, que es el número de protones en el núcleodeun ritomodeoro,es79. Por consiguienüe, el númetode electnones en un átomoneutralde oro tambiénes 79. l¡ masaatómicadel oro es 197,lo cual quiete decir que I mol de oto tiene r¡na masc ñAu - 197 gt ¿C\ríntos elechoneshay en una monedade bro puto? ¿Cbál es la earganegativaque conüenela moneda? SOLUCION:El nrimero de átomosde oro en una masade 28.4 g es mN -=
(28.4É)(6.02x lgzr ¿¡e¡¡es/mof) = 8.68 x 1022átomos,
frAu
siendoN - 6.02 x td3 átomos/molel númerode Avogadro,queesel númerode átomosque hay en 1 mol de cualquiersustancia.Cada átomo de Au neutto contiene79 electrones,de modo que el númerototal de electroneses x ld2átomoc) númerode elect¡ones- (79 elechones/ritomo)(8.68 x 6.85 ld{ electrones. La cargaüotalde esoselechoneses catga total de electrones- (númerode dlecbones)(cargapor elechón) - (6.85 x ldacbct¡e*res)(-1.6 x lo-le C/clect¡e,n) - -1.1 x 10óc. El oro esneut¡o,y por lo tantohay una ca¡gapositivanetade igual magrritud,a causade los protones.Nóteseque el númerode elect¡onestransfe¡idosal frotar la varilla de vidrio en el ejemplo 22-I es 1013vecesmeno¡ que el que contiene una monedade oro,
22-Z r-A.coNsERvAcIoNY CUAI.ITIZACION DE lf,\ CARGA
Con¡crv¡cién de h cergl.
Los experimentossencillosque se describieronen la sección22-1 sugierenmucho que la carga se conserva,Sucedeque estoesuna ley flsica fundamental.Todoslos expedmentosquesehan llevadoa cabodesdesiemprehan demostradoquela carga netaes igual antesy despuesde cualquierinteracción,lo cual esun enunciadode la consbrvaciónde ls csrga. El hechode quela conseryaciónde la cargasedé a nivel microscópico, quictc dcck gue también sepresentaráa nivel tnactoscópico.
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Evidcncia de la conscn'ación de [a carga Veamosalgunasinteraccionesmicroscópicasquellevana la conclusiónquela carga se corsenra. Una de las reaccionesentrenúcleos atómicosque se lleva a cabo en un reactornucleares n + 'z3;U-* r!!Ba + !!Kr + 3r¡+ energfa. En ella,el nrirnerototaldeprotones(92)esel mismoenambos'lados- dela reacción.a Aun cuandoel númerode electroneso protonescambiaduranteunarcacción,la cargatoürlpermanecesin cambio.Asl, otrareacciónquepuedellevarsea caboen un núcleoatómico esla capturade electrón
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e- +P -rn*v' partfcula en la cu¡l v ¡epresenta una neuhallamadaneutrlno,El neutrino,a diferencia del neutrón,no tiene masa,hasüadondeeepuedesaber.En cst¡ teacción,los nri,mcros de protonesy electronescambian,perose sigueconsenrandola carga. por r, con un subfndicc Otro tipo de partfculacargadaas el plón, representado que indica el signo de la cargaque potta.En la reacción Y+P-+n*fi+' wrfotón,I, que esuna forma de radiaciónneutrade muy alüaenergfa,chocacon un protóny produceun neutróny un pión. Hastadondeindica la granexactitudcon la cualsellevana cabolos experimentosqueinvestiganesareacción,la cargaenel pión es exactamenteigual ¡ la del protón. Otras pnrtfculas,llamadaspositrones, sotr prácticamenüe idénticasa los electrones,a excepcióndel signo de la carga,y se mediante ¿'. En la reacción representan y+p-p+e+
+e-,
se produceun electrón,pero sólo en asociacióncon un positrón,cuya cargatiene exacüamente ta mismamagnitud.De hecho,en las reaccionesobservadasen las que intervienenlas llamadaspartfculaselementales,nadie,nunca,ha presencladocaso alguno en el que aparezcao desaparezcauna carga neta. Hemosdadovarios ejemplosde la conservaciónde la catga.[.os deüallesde los ejemplosen particularno importan,al igual que los nombresde las partfculasque intervienen.Lo que importaes el principio de la conservaciónde la carga.Seaplica a cualquier casoen el cual hayatmnsferenciade carga. ¿Esposibleque algo de la cargade un elecüóno de un protón se desvanezca, como si fuera pintura?De nuevo,todaspruebasapuntanal hechode que las cargas del electróny el ptotón siempreson igrrales,sin impottar dóndeni cuándosemidan. Al vet los cuasares,quesonpoderosasfuentesde luz, a miles demillonesde añosluz de distancia,esüamos percibiendola materiaque existfahacemiles de millones de del color de la arios;la luz tardó esetiempo en llegar a la Tiera. Las observaciones precisión, propiedades que, que las de sus con mucha luz emitenlos cuasa¡esindica átomosson idénticasa las propiedadesde los átomosque obsewamosen el laboratorio. Esteresultadoimplica quela cargade los electtonesha permanecidoconstante durantemiles de millones de años. La cuantlzaclón dc la carga Ya hemosindicadoque las cargasparecenestarorganizadasen pequeñospaquetes. El tamañode uno de esospaquetesesel valor de una cargade eleckón (o una carga de protón,de igual magnitud).Las catgasmayotessiempreson múltiplos de los
' El irdtco cn ol símbolodcl clcmcntocs la rusa ¡tómica, quoa su vcz csla srrru dcl nrinrcrodc protorrcs y ncut¡oncscn uri átomo;cl subírdicc cs cl númcrodo protoncs.
22-2
I¡con¡crvrcló"r#; hc¡q¡
Cu¡ntiz¡ción de h cer3r
valoresanteriores.Seconocecomo cuentización de carga al hechode que,dentro la cargasepresentaenmúltiplos enterosde la cargadel de la exactitudexperimenüal, electron,y al hechode quenuncasehafi observadocargasmenoresque la del electrón. Esüehecholo estableciercnen 1909por primeravez los ahotaclásicosexperimentos, entoncespioneros,de RobeftMillikan. Ademris,susexperifnentosfueronlos primeros en los que se midió la carga del electrónen foma directa, y son la basede medicionesde gmn precisiónde esacantidad. Dunnüe las décad"sde 1970 y 1980, algunosflsicos han propuestoque los protonesy los neuttoneses!ánformados por partlculas todavla rnásfundamentales, llamado.querks, cuyascargassehanpoetuladoserdeZel3o -e13,A pesardemuchos experimentos,nuncasehan observadoesascargas,directamente,en el labotatotio. de Ahora,la mayor pattede los flsicos creequesólo sepuedenaislarcornbinaciones quarla con una carganeta que seaun tnúltiplo ehterode e, al igual que obset¡¡atse (figura 22-7).A cualquiercargaque sepuedaaislarla llama¡eindependientemente mos cerga libre. En tesumen,podemosdecir que Ll cerge6econsenv¡¡bsolutemente y que enmúltiplosenterospositivos o negativos dee. La cargrlibre estácusntizede
I'IGURA 22-7 Ihrolhs do portículas cargadns(olcctroncs)qrc pnsur¡>orrut solu mc
22-3 IÁ. LEYDE couLoMB Animadopor BenjamfnFranklin,JosephPdestleyllegó a la conclusión,a mediados del siglo XVIII, y de acuerdocon los propios experimentosde Fmnklin, de que la fuerzaeléctricaent¡edosobjetoscargadosvada de acuerdocon el cuadradoinverso de la distanciaentreellos. Priestleydedujo lo antetior despuesde observarque no hay cargaen la supetficieintema de un recipientemetálicoceffado,o casicerado; toda la cargaestáen la superficieextema;también,que la fuerza sobreun objeto escero.Estoescomoel fenómenoque cargadocolocadodentrode esosrecipienües, gmvitatoriasobreun objeto dentro 12: no hay atmcción describimosen el capltulo uniforme de maieria. En la gravitación,estetesultadoes de un casca¡ónesférico direcüadela natu¡alezal/lde la ley dela fuetza.Poranalogfa,Priestley consecuencia decla que la fuerza eléct¡ica responsablede sus observacionesdebe tener una
**ülffi?l'á*r* coulornbdeterminó enformadirectala leydetuerzadela
El epreto de C¡vendieh sc de¡cribe en el c¡p¡tulo 12.
electrost¡itica. Llevó a cabolos experimentosrelevantescon una balanzade torsión gnvitacional, que semejantea la usóHenryCavendishen 1798paramedirla constanüe (figan22-8). de pequeñas pelotiüas cargadas En el trabajo Coulomb, G reemplazaron lasmasivasdel apatatode Cavendish.Coulombdemosttóquela fuerzaelecttostática escentral;sedirige a lo latgo de la lfneaqueunea lasfuentespuntuales(enestecaso, pelotitas), y varla segrin I F oc -t, r'
(22-2)
en la cual r es la distanciaentte los centrosde las fuentesde carga.Si se cambiala cargadelaspelotas,posiblementecomodijimos enla sección22-!,Coulombdedujo que la fuerzaespro¡rcrcionalal productode las catgash! Qzenlas pelotas: F q qút
(22-3)
Parademostrarlos tesultadosde la ecuación(22-3), podemoscohectara iiena una de las pelotasde corcho,neutralizándola,y cargatotra pelotaidénticaconuna carga netaq (desconocida). Debpuesde tocat entresl las dospelotitas,cadaunatendtáuna
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L,'¡6(¡(//¿../r cel¡tl¡ru¡¡c¡orr ¡¡¡cdll¡¡osla luerz¡re¡¡trecsas dos pclotitas,y dcspués atcrrizalnosulta de nuevo para neutralizotla,y con ella tocatnosa la otra uno vez mrís. coda u¡ra tcndrá cntonccs una carga ql4, y medímos que la fuerza entre ellas ha disrninuido en un factor de 4, pata la misma separación.Este conjunto de resultados es consistentecon la ecuación (22-3): en el primer caso, Fcc (Sl2)(qt}) - q2¡4,y en el scgundo,F cr@l$@l$ - q'|rc. Combinando las ccuaciones(22-2) y (22-3), obtenemosuna primera perspcctiva de la ley de Coulomb, ia ley de la fuerz¿ electrost¿itica. l,a magnitud de la fue¡za es I
.r,'=lJ'4'ltrl ,2 '
(224)
et¡la cual k esunaconstante de proporcionalidad. [,a fuerzaesde atraccióncuarrdo lascargastienensignoscontrarios,y derepulsióncuandotienenel mismosigno. La corutantet desempeña el mismopapelquela conslanteG enln ley deNewton, de la gravitaciónuniversal.La magnitudde ,t dependede las unidadesqueseusen para la carga.Para la gravedad,ya se habla defr¡ridola unidad de mast corno kilogramo,y por lo tanto,lasunidadesde 6 se puedendeterminar haciendoquelas llGt RA 2l¡.8 Li báhru¡ do torúl¿n unidadesde fuerzasearrkg.m/s2.Cavendishtuvo quedetermina¡la magnituáde G tsó Coulombpan ccnprobar h forrnr$ro do conmediciones. Parael casodela ley deCoulomb,la cargasoloaparÉce e¡ interacciones &pcrdrrrtr do la fr¡cr¿¡cq¡ c.lcr¡¡dndo dc l¡ dlst!¡Ei¡ cntrocirt¡s y no sepuededeterminardemodoindependiente, electromagnéticas comoenel c¿sode l¡¡vcrrc cl&üc¡s. la masa,Por consiguiente, esp,osibledehniral coulombosigrrando u¡rvalora &: l., =,l
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enla cual e¡sellama permisividad lacío.sDespués veremosqueel valor del espacio de q esconsecuencia directadel valor definidode la velocidadde la luz, de modo que,en estesentido,€oestÁdefuridaensf rnisma.I-a pemisividadesaproximadamente ()').-(.\ e o : 8 .8 5 4x l 0 -r2 C 2¡N .rn2.
El valordc k, cotrcuatrocifrassignificativas, delasccuacioncs (22-5)y scdeduce (22-6): /c: 8.988 x tOeN. mrlc r. . e 2 -1 ) por lo general,el valorde ft a 9 x lOeN'm2/C2.Ahora En estelibro redondearemos, que hemosasignadoun valor a t, tentativamente podremosdefinir al coulomb.De DefÍnición delcoulomb las ecuaciones(22-4) y (22-7), decimosque cuandolafuerza entre dos cargas deternúnadas separadasI m es igual al valor numéricode k en newtons(8.988x lOe19, csascargcs sonde I C cada una, Nótesequela ley deCoulombexpresa la fuer¿aentreobjetoscatgadospun tuales, (cosaquedemostrareo puntosmateriales cargados. En el capitulo12mencionamos mos en el capftulo24) quecomola fuerzagravitacionaltieneunadependencia l/É parapuntosmateriales, demasaesféricamente simét¡ila fuetzaentredist¡ibuciones de la mismamasacolocadoscn los casesigualquela fuerzaentrepuntosmateriales ce¡rtrosde lasesferas. El mismocomportamiento csválidoparalascsrgaselóctricas, y po¡que las dependencias espacialescomo Ul de las fuerzasgravitacionales eléctricassoniguales.Estoesla causapor la cualCoulombpudomedirla fuerzal/1, Todolo quesenecesita auncuandolos objetosqueusóno fuetonpuntosmateriales. es que la cargade las pelotasqueseusenen el experimentoestédistribuidaen una sobresussuperficies. A formaesfé¡icamente simétrica;por ejemplo,uniformemente su vez, paraevitar polarizaciónde Ia carga,que redistribuirfalas cotgossobrelas pclotitas,éstast¡o deben.¡erconductoras. sellamafuerzade Coulomb,serelaciona La fuerzacléctrica,queconfrecuencia como: conunadireccióny, por lo üanto,esun vector.Estaley sereptesenta
=#l#)u,,, F,z 4nes\ríz / , '"
(22 .ti) LeydeCoutourb
5 N, ¡lcl T,l Tnmbldn¡o lc conococomo corctantedleldctrlcadel cspaclovaclo,
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\\ en la cual F¡2 es la fuerza que ejerce Ia carga puntual q2 sobre la carga punfual ql, al
Yffi,,.estar separadáspoi una distanciar¡2. El vectot unitario i12 se dirige desdeq2 hacia Qyalo largo db la llnea entre las dos catgas (figura 22.9). Nótesequesi Qú 1ztienen signos opuestos,la ecuación (22-8) indica que la fuerza es de at¡acción, por estrara lo largo de -i12. Pero más que recordar los subfndices de F y del vector unitario i, tan sólo recuerde que las.cargasiguales se repelen y las distintas se atraen.
Y*,
'yw,
(ir)
22 -3 Compararla fuerza eléctricay la fuetza gavitacional EJEMPLo para el ptotón y el electrón de un átomo de hidtógeno. Suponer un modelo cl¿isico de ese átomo, en el cual el electrón describe una órbita citcular al¡ededor del protón, que está en el centro. El radio de un átomo de hidrógeno es, aproximadamente,5x 10:ll m. SOLUCION: Primero calculemos Ia fuerza gravitacional, tomando las masas del electróny dcl protón, ñ,y mpde la tabla 22-l.Las fuerzasde gmvitacióny eléctrica son de atracción en este caso, y por lo tanto sólo necesitamoscalcular sus magnitudes,Empleando la ecuación (12-4), tenemosque
*'/"'' (lt
(b) FIGURA 22-9 (a) F¡ cs la fucrza quo cjcrco q, sobrc qr. L¡ fucr¿a ticnc la dirccción dcl vcctor u¡rit¡rio i', cuando las cargasson dcl mismo tipo, y do - i,r cuando las cargasson opucstas.
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()nt"tn,, --t.i*-'
Cuando irrtroducitnos los valores en esta ecuación, vemos que
(6 . 6 7x l0 - ' t N' Ñl} 4 r' )P . t t x l0-'r'ltg)(l.OZx I0-:?k8) ^lJ
(5 x l 0-tr m)2 :4
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La fuerza eléctrica,según la ecuación (22-8), es
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(9 x 10eN.m2lÉ)(1.6x 10-te()(1.6 x 10-'e c)
F-
(5 x l 0-tt* rr)
/.'i (:lt ¡-
t'
=9x10-81,{
La telación entre las dos fuer¿ases
r---_il- - -=-l I{CURA 22-10 Ejcmplo22-4,Un objoto cn cl ospaciopor las poqucñosr¡spendido dc fuerzasigualcs,pcroopucstas, gravitacióny clcct¡lcaqucactúansobrcé1.
*
ff:# s ,* - 2 x r o 3 e de r. Demuestraque,en escalaatómica,la fuerza Esteresultadoesindependiente que la gtavitacional,y justifiea el no teneren cuenta eléctticaes muchomayor la gravitacióna esenivel.
E J E M pLO 2 2 - 4 Secargandos pelotitasde iorcho con 40nCyse colocan a 4 cm de distancia.¿Cuáles la magnitud de la fuerza eléctrica entte ellas?Cada pelota de corcho tiene 0.4 g de masa.Compare la fuerza eléctrica con el peso de la pelotita. SOLUCION:La fuerza eléctrica es k a ,a. fr:-: urL
(9 x lOeN.n(le)@O x 10-e/)(a0 x l}-e g) :0.01N. (4 x l 0-zm)2
El peso de cada pelota de corcho es
W : mg: (0.4x 10-3kgx9.8m/s2¡: 0.004N.
656 Sh,+e***--**
s L, (
658 C.apitulo 22 t¡ carg¡ clk¡lc¡
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L U L i_
U IIIGITRA 22-12 Ejanrplo22'5. So lndicanlas pcicioux do las Úcscargas puntualcs.t-ascargasq, y g, son posiüv8s,m¡ont¡úsquc g, osncgaüva'Sc 'in¿¡"¡n tr" fu"rr""-F¡, y F,¡-sobrcla cargs4¡, y sl¡ rcsult¡ntc, Ft, al ¡g¡¡¿lquo tasfucrzasFr, y Fo sobroIa carg¡ g¡, y su ¡asultanto,F '
\_/ I
{ EJEM PLo 22 - 5 SetienentrescargaspuntualesQt - 4z'' 2'OnC,y Qssobfeqt -3.0 nC, colocadascomo se ve en la figan22-L}. Calcularlas fuerzas Y 4t.
U (-
soLUCION:La fuerza sobre q¡ se debe a la P¡esenciade las cafgash I Qt. qt' Deseamoscalcula¡lasfuerzasvectorialesqueejercenlascargasq2y q3sobre net¿ fuerza la para calcula¡ por sepamdo,y despuessumaflasvectotialmente ,oUrui,. para et cálculo de la fuerzasobreq3se aplicaun métodosemejante. La frierzasobreqr es
(_ ( i
* Fr¡= hl(#;)r,, * (l+)r,.]. F,=Fre De acuerdocon la figura z2'l2,podemos deducitque l¡2 - -i, y que ir¡ - -j. Asf,
p, = (9.0x 10eN.ry{e)Q.o x lo-e l)
(-i)+L-##-q,-,,] . lryou$P
v
= (-9.0 x l0-e N)¡ + (13.5x 10-eN[' La direcciónde la fuerzaF¡ semeustraen la ftgam22-12' La fuerzasobreq3 se calculade modo muy semejante,con la salvedadde + quuJ u""tor unitarioi 132,apuntade q2haciaq3y estádadopor -cos 0l sen0i: n-
f/^\
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* Fr: F¡r* F¡z: ñh L(E;/u.' (;:;/u"J = (9.0x lo, N'ÑlÉ\(-3.0 x ro-e8)
+ t_9á#9 i ¡ffi(-
el)] ei +sen cos
El ringulo0 es45o,o sea,rl4 ¡ad,y entoncesF3 es F¡ : (- 13.5x lo-e N[ + (4.8x lO-e N)i - (4.8x l0-e N[ : (4.8x l0-e N)i - (18.3x l0-e N)j. \J
L: I
{
v l,as dtstribucloncs contlnuas de cargas
659
El hecho de que la catga sea cuantizadano tendrá consecuencias ffsicas cuando manejemoscargasmuchomayoresque e. Esasca¡gas,en realidad,s¿componende gtandesnúmerosde electroneso protones;la carganeüaes e(nrirnerode protones)e(númerode electrones).Puedeser buenaaproximaciónmanejarun gmn conjunto decargaspuntualescomodistribucióncontinuade cargaeléct¡ica.Paraanalizareste caso,podemosseguir el métodoque sugetimosen cl capltulo 12, en el cual sc describieronen forma.brevelas distribucionescontinuasde masa.Primeroveremos la interacciónde una cargapuntual,q, con unadistribucióngrandede cargacontinua (figura22-13),La fuerzaqueocasionael elementodiminutode volumensobreq, que semuestfay que contieneuna catgaAq y estóa una disüanciar' de g, es
^F:h^i?'.
221
l.rt lrtÉrt crgr
ca ll quc Intcrrl--ca núlüplcr o coatl¡r¡¡¡
Dist¡ibución conünu¡
docarsa 1. ",.
(22-n)
Representaremos conp(r') Ia densidaddecargade la distribución,indicandoque,en un puntoubicadoa un desplazamientor' de e, la cargaA4 contenidaen el pequeño volumenLV', es b,q= p(r')AV', En términosde la densidadde cargade la distribucióncontinuade carga,la fuerza debidaal elementode volumenindicadoes
or,. ^F:# '9r,
FIGITRA 22-13 P¡r¡ dotcrmt¡url¡ ñ¡q¡r totnl,robm ruracllrgl pturlual4,doblü I u¡u dlstrlbuclóncontinu do cargr, ro lntcgranlas fucrzrs ¡ob¡o lc ctcns¡ta d¡¡ninutc do c¡rgr, A4. Nótoeoquool voctor l' c¡mbla cuandonosrmvcrnc por le dist¡ibución.
(22-13)
La integraloperasobretodoel volumende la distribuciónde carga.Con frecuencia manejaremosdist¡ibucionesuniformesde carga,en las cualesla cargase distribuye uniformementeenunarcgión.En esoscasos,la funciónp sepuedesaca¡dela integml. Tétrgase en mentequeno esposibleunadistribuciónuniformey fija de cargaconun conductor,dentrodel cual,o sobreel cual,las catgastienenlibe¡tadde movinriento. La distribuciónde cargaen la cual selleva a cabola integtaciónpuedeserenuna dimensión,como cuandola cargaeskírepartidaa lo largo de una lf¡iea.Puedeseren dosdimensiones,cuandola cargase repartesobreuna superfic¡e,o tridimensional, cuandola cargaserepatteen un volumen.En unadimensión,la densidadde cargaes 1,,la cargapor unidadde longitud; en dos dimensiones,es o; la cargapor unidadde área,y en tres dimensiones,es p, la ca.rgapor r¡nidadde volumen,En cadacaso,el argumenüo de la dishibuciónde cargaesel vecüorde pcición r', porquelo quecuenüaes el vectordesplazamientode un elementode la distribuciónde carga,a la cargapuntuat. La integralen la ecuación(22-13),que expresala fueza, bien puedeteneruna respuestasencilla,expresableen términosde funcionessencillas.Siempreayudala simetrfaen estoscasos.A la inversa,la integral puedeser diffcil de calculat, en especialsi no hay simetrla en la distribución.Siemprese puedehacet uso de integmciónnumé¡icaen una computadora,si resultaque la inüegraciónes diflcil de llevar a caboen forma analltica.El ejemplo22-6 muestrauna integraciónnormal,y y cómopuedesirnplificarun problemala simetrla.
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1
I
(22-12)
Lafuerzanetasobrcq eslasumadelostérminoscomoel delaecuación(22-L2), En el llmite,cuandosefragmenta mrisy mríspequeños, la distribuciónenpedazos estasumasetransformc enla integral
, =ft[Mrr.'dv'.
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Exprcelónformd peir le tuerze debld¡¡ un¡ dlctrlbuclóncontlnu¡dc carge,robreunr cnrgrpunturl
r
Por lo tanto, la fuerza eléctrica,de repulsión en estecaso,es lo suficientemente intensa como para levantar la pelota superior, si están colocadus una sobre ot¡a a 4 cm (figura 22'lo), una carga de 40 nc es algo mayor que la que se podrra poner, en un caso real, en una pelota de I cm de diámetro.
tt
I
22-4 LAs FUERZAsEN IAS QUE INTERYIENEN CARGAS MULTIPLES O CONTINUAS si hay varias.cargas!Los experimentosdemuestranque se aplica el ¿Q-uésuced_e principio _desuperposición:la fuerza sóbre cualquiercarga,originudupo, un de otras cargas,es la sumavecto¡ial de las n¡er-"-¿"uida's a cadacarga :olju.n-to individual.A esterespecto,la fuet,a de courombes,nueva¡nente, como la fuerza gravitacional, parala cual tambiénesválidala superposición. En ¡ealidad,la única diferenciatelevanteentrela ley de Coulomby fu ae la gravitaciónuniversal es el hechode que lasfuerzasgravitacionales siempresonde atracción,mientrasquelas de Coulombpuedenserde atraccióno de repulsión. como ejemplo de cómo se aprica ra superposición,vearnos .cuatrocargas, numerad¿s1,2, 3 y 4 (figura 22-rr). La fue¡zatotarsobrela cargaq2 es ra sinta vectorialde lasfuerzasdebidasa lasotrascargasindividuales, Qt, ít y gc: F 2 ,ro r": r F ' 2 r + F23 * F:o.
(22-e)
Si-hayNcargas,Qv 42,,.., q¡, todasactuandosobreuna car1aq,la fuerzatotal, F, sobreella esla sumavectorialde las fuerzasindividuales,F¡,sobrela carga debida 4 a la cargaq¡: -l
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iq' ^ 4 nr o,!r r ?' ' '
(22-t0)
El vector f, es el vector unitario de la carsa Q¡a la carga g. Hemos sacadode la suma al factor común ql4neo.
TECI\rICAS DE SOLUCIO.N DE PROBLEIT{AS
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con frecuencianecesitamos calcularfuerzaseléctricassobreuna cargadeterminada,cuandohay ptesentesottascatgasfijas o distribucionescontinuasde cargas. En esoscasos,téngaseen mentelas siguientestécnicas:
l,
El principio de euperposiciónceeplicr e h ley de Coulomb.
@r,
@r,
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',,7i5,
G
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F - F ,:4 ' :i ,!r" -
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657 I¡s ft¡crzas cn l¡s quc lntcwlcncrr ce¡ger mrúlrlplcr o contlnu¡s
1. Traceun diagramaclaro del caso.Asegúresedehacerla diferenciaen¡e las cargasextemasfijas y las cargassobre las cualesse debencalcula¡ las fuerzas.El diagramadebetenerejescoordenados de referencia. 2. No olvide que la fuerzaeléctricaque achiasobreuna ca¡gaesuna cantidad vectotial, y que cuandose encuentranpresentesmuchascargas,la fuerza neüaesunasumavectorial.con frecuencia, lo másfácil esemplearvectores unitariosen un sistemade coordenadas cartesianas. 3. Busquesimetrfasen la distribuciónde las cargas,que den lugar a la fuerza eléctrica.cuandohayasimetrfas,la fuerzanetaa ro largodeleterminadas direccionesserácero.Por ejemplo,si unacargapuntualestáa la mitadde la distanciaentredos cargasidénticas,sin llevar a cabo cálculoalguno sabemosque la fuerzanetasobreesacargaserácero.
flGURA 22-lt El princtptodo supcrposlclón scaplicaa cargasmüüplcs. l¡ fuor¿¡ total sobrcla cargag, cs l¡ sum¡ vcctorialdc l¡s fucr¿¡sIndivldu¡tcsdcbld¡s 8 lascargasqr, g, y g., sobrcla carga4r.
FIGURA 22-f4 (a) Ejcmplo22.6.Fucrza, solnouru cargapunhralq¡, dcbidaa un anlllo con cargatotal Q. Prtmcro calcr¡lan¡c l¡ fi¡cr¿acntrola cargapunh:al y un scgrErito di¡nlnuto do utillo, con carga d4. (b) Sólo sc nccsit¡ dctcÍr¡¡narcl comporrcntoydc la fucrza,porquolc componcntcs¡y z sc anulana c¡rs¡ do la slmctrí¡.
Véesclo que dice l¡ técnic¡ de ¡olución de pnoblemes¡cerr¡ de l¡ ¡imetria.
E J E M P L o 2 2 - 6 Caclula¡ la fu erzaque ejerceun anillo cargadouniformementeconunaca¡gatotal Q (figrrra22-14),sobreunacargapuntual,q¡, colocada en el eje.El radio del anillo es R,y qt estáa una distanciaZ del centrodel anillo. SOLUCION:El anillo tieneuna distribucióncontinuade carga,pero se extiende en una llnea curva,y por lo tanto,la integación debeseren una dimensión.Un pequeñosegmentodel anillo contienela ca¡gadq (frgura 22-l4a), Todos esos segmentosestánauna distanciar' =,1L¿+É de lo cargaqr, y la lfneade la carga a cualquiersegmentodel arrilloforma un ringulo 0 con'el eje y. de la fuerzasobreqr. Como cada A continuación,veamoslos componentes a la está misma distancia, r' segmentodel anillo , de q¡,la magnitudde la fuerz¿ a cada segmento infinitesimal, esla misma.Estono escierto debida infinitesimal, fuerza sobte segmento dq, en la partesuperiqrdel anillo parala dirección.I-a el (¡ - 0, z- h,es dFan,y esafuerzatienecomponenües en la dirección+) y en la dirección-z (figura 22-L4b),La fuerzadel segmentodg' en la parteinferior del en dirección +y y +2. Si la anillo (¡ - 0, Z - -.R)es dFd{,y tiene componenües rnagnitudde dq esigual a la magnitudde dq',los componentesz de la fuetzase y se sumaf¡in.Los componentes¿ son los anulaninentresf, y los cornponentes del anillo. anulación seráválidaparatodocomPonentie perpendiculares Esta al eje podemos porque considerarquelos elemensiempre perpendicularde la fuerza, pares. por Asf, necesitamoscalcula¡tan sólo el comPonenüe tos de cargaestrin y Fr. El componenüe del elementoque se ve en la ftgura 22-l4a es
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dr,=h*.o, g:hffion.
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La fuerzaneta sólo tiene un componente), y s la suma de los componentes infinitesimalesy:
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r,-Jar,:lhffion,
( (, (
660 b*
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7-
rl coeilclelrre rotal de d{ es corEl¡ulüey se puede sacar del signo integral. Asf,
,,:h#%lon=H#
6r I¡¡ tucrz¡¡cntr¡q.iñffi c|fg¡.
múlt¡Plcr o cortlnr¡¡.
Porúltimo, de acuerdocon la trigonometfla,
co s0 =L . JR z¡ ¡ z' de modo que
r-TtQL v=GWW'
(22-t4\
Como siempre, lo mejor.estener una comprobación,y para esüe¡esultadopodemostenerdos.Cuandola cargapuntual{l estámuy alejadadel anillo, éste deberfacomportaÉe como r¡n punto lejano de cargatotal Q, y la fuena deberla asumirla fo¡ma de Coulomb,qQl(nealfi; lo cual,ciertamenüe, esel lfmite de la ecuación(22-t4) cuandoL >> R, CuandoL - 0, la cargaestáa la mitad del anillo, y, por simetrla,la fuemanetadeberfaserce¡o.Estelfmite tambiénencaja en nuestroresultado.
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E J E M p t o 2 2 - 7 Unavarilla rectade longitudL est¡ialineadacon el ejex y sus estremosest¡ínen ¡ - t Q2 (frgon22-15). La cargatotal de la varilla es cero,pero la detuidadde cargano lo es; est¡idadapor X(r) - 2filLrpositiva a la derechadel origen, negativaa la izquierda.Calcularla fuerzaque se ejerce sobrcunaca¡gaq ubicadaenun punto.r- R sobreel eje.r,a la derechadel ext¡emo detechode la varilla. SOLUCION:Veamos lo que sucedecon r¡na rebanadadelgadade la varilla, ubicadaen un punto.r y cuyo espesoresd¡. La ca¡gaen esarebanadaes dQ = 1ax =2!o 1,6*, L
.1--1I i r= i,.' .'
La ft¡erzai¡rfinitesimalque ejerceesaca¡gasobrela cargaq es
d F :h !* a ,# t , y la fuetza total sobrela cargaes la integralde dF: P=
)
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Ft+'=#,' I::,,Gl+ Io': [-1",e?
#'f:,t-*.a51* .^[-; H'{'[#i#iJ "#]]'
Fuerza dcbtda a una distribuctón esfédcamcntc si¡nétdca dc car1a Una distribución de catgaesféricamente simética es impoftantetanto flsicamente cpmo potque es'fácil de manejar.Esa disFibución es de la forma de una esfe¡a centradaen,digamos,el punto P,y la densidadde cargatieneun valor constantea
IICURA 22-f5 EJcmplo 22.7.Dasldad docarganornlfornrc.
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(b) trIGURA 22-ló (a) Distribwlón do carga osféric¡mcntcsimétrica,dc la cargatotal Q, ccntradacn cl prrrto P. [a fuorzacjcrcida sobrcmr carga4 punnral,fucn do la dist¡ibuciór¡,y ¡ una distanclaR do P, cs lgual quo @) lr fucrra qw socJorccri¡sl t¡r¡¡ cargnpunhnl Q sc colocaracn P. (c) Si g qucda-dcntr,o do la distribuclóq a uru distanclar do P, y sl q' cs la cargatot¡l quc qucdadcntrodo rmacsfcradc radlo r, ccnt¡ad¡cn P, cntonccssicntola mlsm¡ fucrzaquc habría(d) sl hubicraruu carga puntualg' cn P.
Cargatotal donuodel radlor - g'
q'q
(d)
{
unadistanciadadadeP. Nótesequela densidaddecargapuedeva¡iarconla distancia de P, pero que,cuandohai simetrfaesférica,la densidadde cargadebese¡igual en cualquierdirección,vistadesdeP. Estecasosedesctibiódetalladamente enel capftulo 12 parala fuerzagravitacional,Esosresultadosdependentan sólo del hechode que la fuerza varfa inversamentecon.el cuad¡adode la distancia,de modo que aquf podemosusaresosresultados.La fue¡zade una distribuciónde cargaesféricamenüe sirnétricasobreunacargapuntual?, fuerade la distribución(figun22-16a), esigual a la quesetenddasi todala cargade la distribuciónestuvieraconcentrada enP (figura 22-l6b), Si, como en la figura 22-l6c,la cargapunhralq esüidentrode la esfera,en cualquierpartede ella, entoncesla fuerzaq debidoa la partede la distribuciónque quedaafuerade 4 escero (figura 22-I6d).
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22-5 ELsrcNrFrcADoDErA INTERACCION ELECTRICA
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Hemosinuoducido ahorauna segundafuerza básicade la naturaleza;a la ley de por la la gmvitaciónuniversalhemosagregadola interacciónelécfica, representada fuerza de Coulomb. Tanto la fuerza eléct¡ica como la gravitacionaltienen una dependenciade la inversadel cuadtado,con respectoa la distanciaentre objetos puntuales.También,ambasfuerzasson proporcionalesal productode un atributo ca¡acterfstico.de los dos objetos:su masao su carga. En escalacósmic!, la ley de la gravitaciónprevalece.Es la fuerzaquemantiene girandoa la Tierta al¡ededordel Sol y a la Luna girandoal¡ededorde la'Tiema.l¡s razonespor ias cuales la gravitación domina a las fuerzas eléctricasen escala ast¡onómicasondos:primero,los cuerposastronómicostienenmuchamasa.Segunile modo do, los cuelposastronómicossoncasiexacüamente neutrcseléctricamente, que las fuerzasentreellos son relativamentepqqueñas.Sin embargoreri todaslas lasfuerzaseléctticasson,porlo común,mucho escalasmenoresquelasastronómicas, y apartede los efectosditectosde la gravedadde la mayoresquelas gravitacionales, Tierra, nuestraexperienciacotidianadependemuchomásde la fuerzaeléctricaque de la gtavitacional. Comohetnosvisto en el casodel átomodehidrógeno,la fuerzaeléctticadomina a la fuerzade gavitación a escalamicoscópica.Aun cuandola explicacióncompleta necesitade la flsica cuántica,podemosafi¡mar ahoraque la fuerza eléctricaes la responsablede gue: 1. 2. 3. 4. 5.
los electronesse enlacena un núcleopositivo,formandoun átomoestable; los átomosse enlacenenttesl formandomoléculas; los átomoso las moléculasse enlacenentresf formandollquidosy sólidos; sucedantodaslas reaccionesqufmicas,y que sucedantodoslos ptocesosbiológicos.
comola fricción y o[ras La fuerzaeléctricaes&idet¡¿isde fuerzasno fundamenüales, fuerzasde contacto.l,a energlaeléct¡icallega a nuestroshogares,pone en marcha nuest¡osautomóvilesy hacetrabajara nuestrasfáb¡icas.
62
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RE S U M E N La cargaeléctricaesde dostipos,positivay negativa.Las cargasdel mismo signose repelenent¡esl y las cargasde sigro diferentcse atraenenttesf. En unidadesdel SI, la cargasemide en coulombs. Gmn partedel comportamientode los materialesbajo la influencia de las fuerzas eléctricasse caracterizapor la facilidad con la cual los electronesse apartande los átomosy moléculasa los queperteneceny semuevenpor el material.Normalmenüe, losmetalessonbuenosconductoresde la cargaeléctrica,mientrasquela mayorparte de los no meüalesno lo sony se les llama aisladores. La cargaeléctricabrisicaesla del electrón.El electróntienecarga-e, y el protón +e,siendoe - L.602x l0-le C. La cargaeléctricaestácuantizadaen la mateiia,en múltiplos de e y se conservaen todaslas interacciones,lo cual quieredecir que la carganeta antesde una intereacciónes la misma que la carganeta despuesde la interacción. La fuerzaeléctricaentrecargaspuntuales,Qt y Qz,separadas por una distancia f¡2r €S
p',=*(w),,,,
(22-8)
En la cual el factor ll4neaca¡actetizala intensidadde la fuer¿a.Estaecuaciónes la ley de Coulomb. Cuandohay presentes ca¡gasmúltiplesseaplicael principio dela superposición. Las fuerzasdebidasa las demáscargas,que actuansobreuna, se sumanvectorialmente.Paradistribucionescontinuasde cargadebemosintegrarlascargasindividuales,y la fuerzade esadistribuciónsobreuna cargapuntualq es
p=
#-T#?,dV,
(22-t3)
La cantidadp(r') es la densidadde cargaen un punto a una distancia/ de la carga puntual. En todaslas escalas,salvo la astronómica,las fuerzaseléctricastiendena se¡ muchomás intensasque las fuer¿asde gtavitación.La fuer¿aeléctricaesla responsablede la formaciónde átomos,moléculas,sólidosy lfquidoses[ables,y de la producciónde todaslas reaccionesqulmicasy los ptocesosbiológicos.
PREGUNTAS )
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Cuandoel tiempo es húmedo,"bochomoso"(como parece se¡locn los laboratorios,cuandolos profesoresllevana cabo demostraciones),los experimcntosdc electrostáticasalen mal. ¿Puedeustedexplicar por qué es asl? ¿Quéfacilita la producciónde chispasen tiempofrfo? ¿Porqué necesitamoscubrir las pelotitasde corcho en la sección22-1 con pinturaconductora?¿Funcionarfael experimento sin ella?Explique la respuesta. Al caminarpor una alfombrase almacenan,con frecuencia, cargaseléctricaslo suficientementegrandescomo paraprovocar una chispacuandotoca uno la perilla dc una puerta.
En climas secosen invierno, cstc fcnómeno es mucho más común en invicrno quc cn vcrano. ¿Porqué? 4. En la figura 22-6, ¿porqué podemosobtener tan sólo uru cargainducidali¡nitada,auncuandocl númerodc elcct¡oncs gande? móvilesesextremadamente
5. Empleandocl aparatodescritoen la se¡ción22-1, ¿cómosc podrfadeterminarquécargaacumulauno al camifiarporl¡ria alfombradc lana?
6. Los distintos electronesde un átomo circulan alrcdcdordcl núcleo, casi puntual, a distanciasdiferentes.¿Porguó loe electronesintcmoa debcrfanest¡r cnlazadosmásfucrtcmcr tc al núcleoqúc los exlemos?
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t_ l_ t_ t_ a
63
7. Se piensa que los neutronesy los protonesestánformados por dos tipos de partfculas,llamadasquarks,quetienencarga -(U3)ey (213)c,comosemencionóenla sección22-2.Haga una lista de las combinacionesposiblesde sólo tresquárks, queformen neutronesy protones. 8. Algunos materialespierdenelect¡onescon facilidad al frotarlos; entonces,¿por qué muchoedc los objetosque nos rodeanno estáncargadossiempre? 9. El teore¡¡n d¿ furnshow etablece queuna cargapuntual no puedeestaren equilibrio establemientrasactúansobreella fuerzas puramenteelectrostáticas.Veamos un anillo que tiene carga positiva uniforme y r¡na carga positiva en su ccntro.Parecequela cargaccntralsufrcfuerzasde repulsión idénticasde todasdi¡ecciones.¿Cómopuedeser cierto ese teorema? 10. ¿Cómo\esque la existenciade un acumulador,que manda cargasrlgativas hacia afuera, por uno de sus bomes, es de la carga? consisten\econ la consen¿ación 11. Usted tiene una pelota de corcho con ururcargade -4.8 x lO'reC, y trespelotassin carga,tambiénde corcho.¿Puede ustedinventa¡un métodoparaponeren contactolas pelotas entre sf, en una secuenciatal que comuniquea una de las pelotasr¡naca¡gadc -0.8 x 10'teC? 12. Hablamos de generaruna chispa en un dfa de inviemo, cuandotocamosun conductorcon tiena y quedamosaterri-
zados.Los neumáticosde automóvilesson aisladorestan buenos,que la carocerfa de un automóvilquedaaisladade la tierra. ¿Cómose explica la chispaque saltacuandotoca ustedla puertade un vet¡Jculodespuésde haberfrotado la vestidu¡adel mismo? 13. Supongaquela cargaeléctricade unapartlculafundamental como un electrón,dependede la velocidadv de la misma. Entoncese - eoll + (*,]lC)), siendoesla 'cargaen reposode la partfcula,c la velocidadde la luz, y r es un número' muy pequeño.¿Hayalgunarazón experimentalpor la cual r debasermuy pequeño,o cero? 14. ¿Viola necesariamente el principio de que no deberfaser posiblodetectarla volocidadabsolutadeun cuerpomediantc cualquierexperimento,la modificaciónde la cargaeléctrica que sedescribióen la pregunta13? 15. El color de la luz emitida por los cuasa¡eses la pruebade que la cargade los electronesno ha cambiadodesdchacc miles de millones de años.El decir que la cargade los electronesy protonesno ha cambiado,¿esequivalentea afirmar que la ca¡gase conserva? 16. Supongaque loa electronestuvieranla carga-e, y los proto. nes, +e(l + ó), siendo 6 muy pequeño.¿Deberfahaber, necesa¡iamente, una fuerza dc repulsión llP enhela Luna y la Tierra, por ejemplo, que pudiera anula¡ la atracción gravitacionalentreesoscuerpos?
PROBLEMAS Los propiedadesde h materia con carga 1. (I) Una pelota de corcho se carga con +l nC. ¿Cuántos electronesde menostiene en comparacióncon su,número dc protones? 2.. (I) ¿Cuáles la cargatotal de todoslos electronesen I g de Hzo? 3. (II) A unapelotitade corchocubiertaconpinturaconductora y cargadacon -2 x 10-l¡ C la toca otra idéntica,pero sin carga.A continuaciónseseparan.La segundapelotitasetoca con una tercerasin cargay se separan.¿Cuáles la cargade cadapelotitaal f,rruly cuántoselectronesen excesotiene cadaunade ellas? 4. (II) Unapelotade corchocubiertacon pinturaconductorase ca¡gacon -1.6 x 19-tzC. Sc tienen3 pelotasde corcho Describaun métodopara hacer iguales,pero descargadas. que unapelotatengauna cargade -0.2 x 1g-tzg. ¿Necesita Explique su resPuesta. ustedlas trespelotasadiciorrales? 5. (II) Dos pelotasde corcho con 0.5 g de masa,cada una, cuelgandel mismo puntomediantehilos sin masay aisladores,de l0 cm de longitud (figara22-L7).Una cargapositiva total de 2.0 x l0-7 seagregaal sistema.La mitad de esacarga la tomacadaunadelaspelotasy éstasseapafan a unanueva posiciónde equilibrio.(a) Traceun diagama de cuerpolibre paracadapelota.(b) ¿Cuálesla tensiónen los hilos antesde comunicarla cargay cuál es después?(c) ¿Cuáles el valor del ángulo 0 en la figura? A este dispositivo se le llama electrómetro,o electroscopio,i¡strumento Para medi¡ la cargaeléctrica.El ángulo mide la cantidsdde cargaen las
22-I
ü
664 u- _- _
FIGURA22-17P¡oblcm¡ 5.
pelotassi podemosasegurarnosqueserepa¡tepor igual entre ellas. La restricciónse esquivacuandoel electrómetrose hacecon unabandaúnicade materialconductor,colgadade un ganchoen su puntoriredio;asf,la cargasedistribuyepor igual en la banday la mitad de ella repelca la otra mitad. 6. (II) El silicio es el elementomás abundanteen la superficie de la Tierra. (a) Supongaque la tierra estáhechade silicio (28 glmol) y calculeel númerototal de cargasnegativasque contienela Tierra. (b) Cuandoneutralizamosuna bola de corchocon cargade I pC al conectarlaa tiena, ¿quécarga fracciona¡iamanejamosen comparacióncon la carganega. tiva totalde la Tiena?
22-2 La consenacióny la cuantizaciónde la carga 7. (I) Las antipartlculasüenenla mismamasaque sr¡scontrapartcs,pe¡o cargaoFuesta.Por ejcmplo, la a¡rtipartfculadc un electrón,e-, es el positrón, e'. La mayor parte de las antipartfculasserepresentan conruu banasobrela partfcula, de modo queI es la antipartfculadel protón (antiprotón),y tienecarga-e. ¿Cuálesde las reaccionessiguientessatisfacen la conseryaciónde la carga?(a) p + p * e' + e' + e' + e, + z ni( b )¿ ' + e ' 2 p + n + 2 fi (c ) e ' + e - q c++ c- + p *F r Ui( d) n + p -e ' +-p + F ? E. (I) ¿Cuántacargaestácontenidaen I g deprotones? 9. (ID La carga cléctrica dc un cue{po cs independientcdel movimiento dc éste.Supongaquc no fucra cicrto, sino quc la cargade una partfculacomo un electróno un protónque sc mucven a una vclocidad y tuviera la forma c - rofl + Qllól,siendo eola cargade la partfculaen reposo,y c r 3x lOt m/s es la velocidadde la luz. ¿Cuálscrfa la carganeta de un átomode hidrógeno,suponiendoqueel átomoconsiste de un protón en reposoy un elect¡ónen órbita alrededordel protón,a unavelocidadpromedio(ulc)=(lll37)?
22-3 La ley dc Coulomb 10. (l) ¿A qué distanciadebenestardos protonespara quc la fuerzaentresf seaigual al pesode un protónen la superficie de la Tiena? ll. (I) Se suponeque un protón está formado de dos quarks 'a¡riba" de carga +(213)ey uno "abajo" de carga -(ll3)e. Supongague los tres quarksestánequidistantesentrc sf, a una separaciónde 1.5 x lO-ri m. ¿Cuálesson las fuerzas electrostáticasentrc cadapar de los tresquarks? 12.. (I) Dos iones'sodio (al decir iones, queremosdecir que tienen carga),a una distancia de2.3 x lO-em cntre sl, sc repclencon una fuerz¿de 2.3 x l0-¡o N. ¿Cuáles la ca¡ga de cadaion, y cuántoselectroneso protonesrepresentaesa carga? 13. (I) Dos pelotitasde corchoiguales,de 0.05 g de masacada una, tienen una carga, también cada una, de tan sólo un electrón,q - -1.6 x lo-le C. Se sefraran10 cm, lo cual es mucho mayor que sus tamaños.¿Cuálcs la rclación de las magnitudesdc la fue¡zade Coulombentreellas,a la fuerza gravitacionalejercidaentresf?¿Porquéeseresultadoestan distintodel ejemplo22-3? 14. (ID Supongaquefuéramosa medi¡ una cargaen unaunidad nueva,que llama¡emosla esu,definida de tal modo que la ley de Coulomb, en magnitud, fucra F - qrqrlf , y por lo tanto,queF - I dina (10{ N) cuandoqr - 4z - | esu,cuando r - I cm. (a) ¿Cuántasesuhay en I C? (b) ¿Cuálesla carga del eléctrónen esp?(La esu es una unidad real, la unidad elcctrostóticadc carga). á tS. tUl Un electróny un protónseatraenentresf, con unafuerza eléctricaque varla de acuerdocon l/É, justamentecomo la fuerzagravitacional.Supongamosqueun electrónsemueve en órbita circular alrededorde un protón. (a) Si el periodo dcl movimienloci¡culares24 h, ¿cuálesel radiodela órbila? (b) Si el periodoes 4 x 19-tor, como Io es en un átomode hidrógcno,¿cuálcs el radio de la órblta?
16. (ü) Se dividc una carga q cn dos pales, g - q¡ + q2.P¡¡ri,l
elevar al mlüimo la fi,¡erzade Coulomb dc rcpulelón cntrc 8t! 42,¿quéfrección dc lr cargeoriginal g dobontancr g, Y 4z? 17. (tr) Una partlcula alfa (nrlcleo de helio, compuestopor ? protoner y 2 ncutroncs) so dirigc s un dctcrminado nrlclc<, de u¡anio (atU, que tienc 92 protonesy 146 ncutroncs).La paffcule alfa sedetien?y seregresaa unadistenciadc lO-tr m del nücleo. Sin tener cn cuenteloe efcctos dc los clect¡o" nes,y suponiendoquc la partlcula alfa y el nrlcleo dc r¡ranic; son puntoomateriales,¿cuáles la ñ¡er¿¿dc Coulomb sobrc la partfcula alfa en su acercamientomáximo al nrlcleo? (tr) 18. Un clect¡ón gira cn órbita cn movimicnto ci¡cula¡ ru¡i, forme al¡ededor dc un protón mucho más pesado,y, por consiguiente,casi cstaciona¡lo,a una distanciadc J x ¡g-tt m. (a) ¿Cuálesson la magnitudy direccióndc Ia ñ¡crzadc Coulomb quc ejcrcc cl protón sobrc cl elcctrón? O) ¿Cr¡ál cs la velocidaddel clcctrónen su ó¡bita circula¡?(c) ¿Ctrál esla frecuenciadc la órbitacircular?(d) Calculcla constantc de un resortecon un clect¡ón cn su cxtremo, quc tcnga l;r frecuenciaobtenidacn la partc (c). Qtc, (U) Dos paffculas pur¡tualessc colocan a una distancia dc 8.75 cm cnt¡e sf y sc les comur¡icacarga igul. Ia prirncn' partfcula,dc 31.3 g dc masa,ticnc 1.93m/sl dc acclcració, inicial haciala scgundapartfcula.(a) ¿Cuálcs la mas¡ dc la segundapartfcula,si su accleraciónir¡icial haciala p,rimcra c¡ i.36 ¡rVr¡?(b) ¿Qudcugr tlenoc¡ü putfcuh? 20. (U) Dos pclotas dc corcho, dc 0.20 g dc masa cada um, sc cuelgancon hilos aislantcsdc 20.0 crn dc longitu4 de ul punto común. Sc les comunican cargas igualcs, mediantc una va¡illa dc teflón. las pelotas sc repélcn y sc dcsvlan, como se vc cn la frgrra22-18. ¿Quécargaq sc ha comuni cadoa cadapelotita?
¡IGI¡RA Z¿-f8 hoblcm¡ 20.
2t. I.os datos astronómicosnos diccn quc el radio dc la Ticna es ó.3 x 106m, quc su masacs 5.98 x lOu k, quol¡ mlsn dc la lu¡u es 7.36 x l0¿ k€, y quc la scpa¡aclónpromcdio cntre la Tiena y la Lun¡ os 3.8 x 10¡ m. Supongaquc, cn
65
nputras,comocreemos,Ia Tierra 4r 27. (ll) Secolocantres ca¡gaspositivasiguales,de magnitud lugarde sereléctricamente 1.2¡.rCen lasesquinasde un triringuloequiláterode 6 cm do y la Luna tuvieranr¡n exccsodo cargagositiva,cadeuna,dc iado. ¿Cuálcs la fucrza ncta sobrc una c¡¡¡gadc -2 pC quc 5.7 x t0r' C. (a).¿Cu.iles la magnitud;dc.la repulsión se colocacn el punto medio de uno dc los lados? eléctricaentreTiena y Luna? O) ¿Cuáles la relaciónde la . fuerzade repulsión,4 la fuerzagravitacionalde atracción? 28. (II) Cuatro cargaspositivas,+q, estáncn un plar¡o,cn las (c) Si la cargade la Tiena sc distribuycraruriformemcntccn csquinasdc un cuadradocuyos lados miden 4 como cn l¡ su volumen,¿cuálserfala dersidaddel excesode carga,en " frgwaZ?- 19.Una carganegativa,-g; se colocaen la mitad coulombs por metro cúbico (C/ml)? (d) Supongaguc el del cuadrado.(a) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la carga excesode cargapositiva se debea excesode protones,que negativa?(b) ¿Esestableel punlo de equilibrio al ccntro, tienencarga 1.6 x lO-lg.C de cargaeléctrica.Calculela respectoal movimiento de la carganegativaen el planodel densidadde los protones,en protonespor metro crlbico, que cuadrado?(c) ¿Esestablepara el movimiento de la carga correspondea lascondicionesdela parte(c). (e) La,dersidad negativaen direcciónperpendicularal plano del cuadrado? promediode la Tierra es5.52 x 10r k&/m3,y un protóntiene 1,67 x 1g-ztkg de masa.los protonesconstituyenmás o menosla mitad de la masade la Tiena. Calculela densidad de todos los protones de la Tiena y compárelacon su respuestaen la pade (d). 22. (lI) Tres cargasdesconocidas,Qy 8z! gr, ejcrcenñ¡erzas entresf. Cuandog, y g, estána 12.0c¡nde distancia,y g¡ no está,se atraenentre sf con urra fuerza de 0.91 x 10-2N. Cuandogzy % estána 25 cm de distanciaY {¡ no está,se at¡aencon una fuerzade 7.2 x l0'' N. Cuandoqt y gr estrin a 12.0cm dc distancia! Qznocstá,se repelenentresf con una fi¡erzade 5,6 x 104 N. Dcterminela magnitudy signo de cadacarga. 23. (ID Un elect¡óntiene 0.9 x l0-3okg de masay -1.6 x lO-re C de carga.La masade la Tiena es 6 x 1024kg y su radio 6.4 x l0ó m. Supongaque la Tiena tiene una carganeta 28. I'ICURA22-f9 Problcm¡ negativa,Q, en su centro.(a) ¿Deguémagnituddebeser Q q, 2q, -4q y -2g Q es positiva) ocupanlas 29' (II) I¿s ca¡g¿¡s p* qu" la repulsiónde la caiga sóbreel electrónanule la cuatro de un cuad¡adode 2L de lado, centradoen esquinas atraccióngravitacional en la superficie de la Tiena? (b) de coordenadas(figura 22-20). (a) el origen de un sistema Supongaqueesacarganetasedebea unadiscrepanciaentre la carga4, debidaa las otras es la fuerza nela sobre ¿Cuál y positiva, negativa. del electrón, protón, la la carga del (b) una carganueva,Q, que cargas? la fuerza sobre es ¿Cuál Supongaque la mitad dc la masade la Tierra secomponede se coloque el origen? en x protoncsy que cadauno de ellos tiene una masade 1'ó t0-'kg (el restoson neutrones,que se suponeson neutros; los electronesno contribuyenmuchoa la masa).¿Cuálesla mapitud de la discrepanciade la carga,encomparacióncon la cargadel electrón? (III) Use la simila¡idadentrela ley de Coulomby la ley de 24. la gravitaciónunive¡salparacalcular la distanciadel acercamientomáximo entrc una cargapuntual de +10-óC, que parte del infrnito con energfacinética de I J, y una carga puntualfija de + lO-aC. Supongaquela ca¡gaenmovimiento va directamentehacia la carga punhul ftia, (Sugerencb: la similaridadconla gravedadcorsisteenel usodela-qnociones de la energfa.) de la en*gla potencialy la conservación
.
(_ l.
La.sfuerTasen lasque intcrtiencn cargasmúItípleso continuas 25. (II) Una carga de -2q está fija en un plano, en el origen (0, 0) de un sistemade coordenadas ry y una carga-g está +2 debe colocaruna carga (-2 se cm). ¿Dónde cm, fija en de'3q, en reposo,Paraque estéen equilibro (estoes, que pennanezcaen reposo)?¿Esestableescequilibrio? 26. (ll) ¿Cuálesla fuerzatotal sobrecadauno de los tresquarks dol problcma I I, dobldr ¡ lor otro* ds¡? 22-4
29. FIGURA22-20 Problcma 30. (il) Una carga Q se distribuyp uniformementea lo largode una varilla de longitud 2L, qteva de y - -¿ hasta/ -' t (figura 22-21).Se colocauna cargaq en el eje .r, en x ' D, (a) ¿Quédi¡ección tiene la fuerza en q, si Q y q tienen el mismo signo? ft) ¿Cuátes la cargasobreun segmentode la varilla de longitud infinitesimal dy? (c) ¿Cuáles el vector ' fue¡za sobro la earg q dcblda al segmcntopoqueñody?
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Kú b.;,
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38. (il) Unacargatotal dc 3.1pC sc distribuycuniformomcnto enun staÍibrc delgadoy scmlcirculudc 10.0cm dondlo. unacargadc 2.0pC colocadacncl ¿Cuálesla fuerzasob,re ccnt¡odcl cfrculo? 39. (II) Se colocaen el cjc ¡ una sucesióndc n + I cargar positivasy negativas, g, altemadas, enx - 0, .r - d, x - 24 ..,,x - ú. Unacargaaislada, so coloca, comoscvc cnla Q, frgwa22-22,cn cl puntor - D a Brandistanciadel origcn (D >>n¿¡ (a)Formulounaecuación gcneralparala fuerza eléctrica sobrela cargaQ.@)Aproximeelresultado, hsciendo usodc le condiciónD >> nd.Sólotcngacn cuenü¡loc y loc inmcdiato¡cn import¡nci¡.[S¡. térmjnosimportantcs gcrcncia: usc(1+.x)-2= I - 2¡cuandor<<1.]
n
n + | cargas
30. FICURA22-21P¡oblcma i
¡
(d) Deduzcauna integral que describala fuerza total en la di¡ección¡. (e) Calculela integralparadeterminarla fuerza totalen di¡ección¡. 31. (II) Una cargase reparteuniformementea lo largo del ejey, infinitamentelejosen lasdireccionespositivay negativa.La densidadlineal de carga(cargapor unidadde longitud) en el ejc y, es tr. Calculela fuerza que eJcrcesobrc una carga puntualg, colocadaen el cje r en x - r¡.
32. (lI) Una cargase reparteuniformementeen el ejey, desde
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35.(II) Use los resultadosdel ejemplo 22-6 para calcular la
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) ' 0 hastaJ . + cp,I¡ deruidaddc cargacn el eje y as l. Calcule la fuerzacjcrcida sobreuna cargapuntualg, colocadaen el eje.r en ¡ - ro. (II) Una varillalargay delgada,de longitud L, que contiene una dist¡ibuciónuniforme dc la cargaQ, se alcja de una cargapuntual g. h parte más cercanade la varilla está a una distanciadde la cargapunhral.¿Ctúl esla fuerzaeléctrica que ejercela varilla sobrela cargaq? (II) Una cargaQ se distribuyeuniformementcen un anillo delgado,de radio R. Este anillo está en el plano ¡7, I su centro estáen el origen. Determinela fuerza que ejerce sobrc una c^rB q ubicadacn cl origcn y describala estabilidad de su movimiento en el plano ry. ¿Cómose compara t con el cadode una cargapuntual colocadaen el centro de una esfera,cuyasuperficiocstáuniformementecargada? fuerzasobrcuna c¡¡¡gapositiva de2.4 pC, colocadaa 4 cm sobreel centrodc unaplacamacizauniformementecargada, de 6 cm de radio,que tiener¡nacargapositivatotal de l0 ¡tC.lsugerencic.'descompongael disco en anillos concéntricos, use los resultadosdel ejemplo 22-6para caü anillo y sumelas fuerzasdebidasa los anillos.] 36. (II) Catcule la fuerza que ejerce uru lámina plana infinita con densidadsuperficial de carga (carga por unidad de puedeusarlos superfrcie)o, sobreunacargaq. lSugerencia.' del ejemplo22-6.1 ¡esultados 37. (II) Setieneuna láminavertical infr¡ita que tieneurn ca¡ga de lO-aC/m2.Secuelgaunapelotade corchode 5 g demasa, medianteun hilo de 60 cm de longitud,a una distanciade 20 cm de la láminacargada.¿Cuálesla orientacióndel hilo (a) sj la cqrt? q_elalglo_tade corcho es q ' 5 x 10-' C! (b) ¿siesq - -2.4 x 10-eC?
+q - q +q - q r / O "
D>>nd
ts-d--l-d--+-d4 f_r
.
FICURA22-22Problcm¡ 39.
40. (IID ¿Cuál es la fuer¿epor unidad de áreaentre dos placas infinitas, uniformcmentc cargadas,con dcnsidad de carga supcrficial dc +10-' C/mt y -10'' C/m?,rcspcctivüncntc, cuando la distanciacnt¡c las placas cr l0 cm? ¿Y ci rc duplica la distancia cntrc las placas, cuál cs la fucrze? fSugarencia:pucdc ustedcmplearcl rcsultadodcl problcma 36,1 Problcmosgeneralcs 41. (II) ¿Curíntaca¡ga+Q se debedistribui¡ rniformemcntccn una placa cuadraday horizontal,dc 1 m por lado, ¡i dcbc quedarsrspendidaen el ai¡e r¡rr,amasad¿ I I y carta dc I pC a I mm de la superficie de la placa?Tenga en cucntala gravitación en este problema. ¿Cuál serfa la rcspuestasi la pelota debequedar suspendida2 mm sobre laplaca?, en forma cualitafiva, ¿cuálserfael cambio en la respuestasi la pelotatuvieraquc estarsuspendidaa I m sobrcla placa? 42. ('íDUna cargaúnica,q, - +10'7C, cstáfija en la bascdc rur plano quc forma un ángulo 0 con la di¡ección horizontal. En una ¡anu¡alisa y sin fricción del plano, sc colocaunapclotita & m - 2 g de masa,y con un¡ cargade +10-7C; cl plano sc prolongadirectamentchastclacargaflja (frg.22-23).Scpv¡fu mover pendienteaniba o abajo hasla quedara uru distarrcia estable/- l0 cm, dc la cargafija. ¿Cuálcs 0?
FTGURA22-23 Problcrn¡42.
26 protones 43. (II) El nricleode un átomode hienocontiene dentrode unaesferade 4 x 1g-tsm de radio.¿Cuálesla
67
fuerza de Coulomb entredos protonesen los ladosopuestos de estenúcleo?La respueslaa esteproblemademuestra quela fuerzaqueune al núcleo,comparadacon la repulsión de Coulombentresusconstituyentes, dcbeserverdaderamentefuerte. u. (II) Un electrónsemueveen órbita planetariaci¡cula¡alrededordel protón (a) Si la fuerzacentrlpetae.sla deCoulomb, de atracción,¿cuáles la velocidaddel electrónen términos de la cargae y el radio de la órbita circula¡?(b) ¿Cu:iles la cantidaddemovimientoangula¡,tr, del electrónenla órbita? (c) ExprescIa velocidaden términosdc e y L. (d) Exprese el radio de la órbita en términosde e y L. (e) Exprese,en términosde e y L, el tiempo necesarioparaque el electrón ¡econa una vez el cfrculo. (f) Evalúe esascantidades,para t - 1.05 x l0-'4 kg.mtA. Esto conespondea una versión simplificadadel átomodc hidrógeno. 45. QI) Supongaquela cargadel protónfueraligeramentemayor quc la del electrón, {prorri. (1 + ó)e,X q¿"a.¿n - -¿, siendo 0 < 6 << l. (a) Como hay unos 1,25 x lü7 protonesy elecüonesen el Soly aproximadamente L 15 x lOs protones y electronesen la Tierra, ¿cuáles el lfmite superiorpara 6 quc estableccel hechode quela repulsióncléctricaresultante entrcel Sol y la Tierra no puedesertan grandecomopara anularla at¡accióndebidaa la gravedad?I¡ masadel Sol cs aproximadamente 2 x 10skg, la de la Tierra,ó x 1021 k8, y G - 6.7 x lO-rt N'm2/k92.(b) ¿Cómocambia¡fael valor de el pesodc un jugador de ñ¡tbol que tiene 3 x l02Eprotones y elect¡ones? 46. (ID (a) ¿C\ráles la fuerzasobreuna cargaQ, colocadaen el planory,enel punto(.r,0),debidaa la siguientedistribución de cuauocaÍgas:q en (0, 3a),-q en (0, a), -q en (0, -a¡, y q en (0, -3o)? (b) Demuestreque parax ))e, la fuerza decreceen función de l. fsugerencia:Vse (1 + ¿¡'rn'¿'1(3ztl)puaz<< 1.1(c) SupongaquelascargassonQ,-Q,Q,-e, y que estánen los lugaresde la pane (a). respectivamente ¿Cuálserfala fuerzacuando¡ >> c, y por quéestan distinta? gl Dos cargaspositivasfijas, q, estánseparadas una distanQ ü, cia /. Um tercera carga positiva q tiene masa m y está restringidaa moverseen uu rccta entrelas doscargasfrjas (ft1rlr:a22-24).(a) Cuandose colocala terceracargaa una distancia¡ de la cargafija de la izquierda,¿cuáles la fuerza netásobre ella? ¿Dóndees cero esafuerza; esto es, dónde estáel puntode equilibrio?(b) ¿Cuálesla fuerzanetacomo
66s
l-., ¡*"=-F_
l._¡ *__*l
-A--:-ñ-
= @ _ _ _+q_ @ _ _ _ _ : _ _ _+q_ @ :
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[.-----.-.---------....--....-.--.l FIGURA 22-24 Problcma 47.
función del desplazamientode la terceracargarespectoal punto de equilibrio encontradoen la parte (a)? (o) Para valorespequeñosdcl dcsplazamientorespcctoal punto de equilibrio,la terceracargasecomporlacomosi actua¡asobre ella un resorte.¿Cuáles el valor de la frecuenciade oscilación?
48. (II) Demuestreque la fuerzaentredos distribucionesesféricamentesimétricasde cargaesidénticaa la fuerzaentredoe paffculas puntualesque estánen el centro geométricode cadadistribucióny que tienenla misma cargatotal. (Srgerencia: hagauso del hechodeque la fuerzasobreunacarga puntual,debidaa la distribución1, es la misma quc si la distribución I se concentra¡aen su cento,y a continuación useel mismo razonamientoparala distribución2; después, usela terceraley de Newton.) 49. (III) Dos varillas, cada una con longitud 21, se colocan paralelasentrcsf a unadistanciaR. Cadaunatiencunacarga total Q, distribuida ruriformemeuteen la longitud de la va¡illa. Deduzcauna integralparala magrritudde la fuerza entre las varillas, pero no la evalúe. Sin desanollar las integrales,¿puedeustcddeterminarla fuerzaentrclas varillascuandoR>> L? (n (III) Setieneun númeroinlurito Jv' de'cargaspuntualesidénticas,g, colocadas en puntosigualmenteespaciados, encl eje ¡, en los lugares.x^ na (n asumevaloresenterosquevan de -6 a +a). (a) Deduzcaunaecuaciónparala fuerzasobreuna cargaQ, colocadaen,r - 0 y y - R, debidaa todaslascargas puntualesg, c indique la di¡ección de la fuer¿aneta. O) Encuentreel ¡esultadoparael llmite en el cual la distan-cia entrelas cargasrc * 0, y la carga4 0. de tal modo que Qla- 1(una densidadlineal de cargafrja).Demuestrequesu ecuaciónse puede formula¡ como una integral y emplee análisisdimensionalpara determinarla dependenciade la fuerzasobrela cargaQ, con respectoa R.
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Sefornn un campo eléctrico cuando setrota un peine con un trapo, k nuísprobable que los pedacitos de papel sean atraldos al peine porque el campo ha inducido un momcntodipolar cn ellos, y no porque tengan carga neta alguna,
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EL CA}TPO ELECTRICO
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De igual modo que el Sol ínfluye sobrela Tiema,no obst¡nteestara 150millones de kilómetros, una carga puede ejerceruna fuetza sobre otra, aun cuando esten poruna gmn distancia.El conceptode accióna distancia,segrinel cualuna separadas fuerza achia a $avés del espaciovacfo, siempreha parecidodiffcil de acepüar.L,a accióna distanciasugiereque de algunamanerael cuerporesponsablede la fuerza sobreun segundocue¡po lo alcanza,mide la distanciay actúa.Michael Faraday sugirióun modoparaevitarestadificultad conceptual:el primercuerpoinfluye sob're el espacioque lo rodea,estableciendorn campoa su al¡ededor,que estripresente hayao no un segundocúerpo.Cuandoel segundocuerpose localizaen un det$minadopunto,el c¡mpo quehay en dicho punto achiasobreel cuerpo.Estaimportante idea se puededesarollar en forma cuantitativa,y, al igual que todaidea realmenüe buena,cónducea mrísideas,que se alejanmucho del conceptooriginal, en utilidad y perspectiva. En esüecapftulo presentaremosy desanollaremosel concepto del campoeléctricd que producencargaseslriticasy aprenderemosalgunosde los modos en los que nos puedeser útil. Continuaremosempleandoel conceptodel campo,en capltulosposteriores,porque forma la basede la comprensiónde muchosefectos eléctricosy magnéticos.
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Capitulo 23 El campo cléctrlco
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UGURA 23-1 (a) Existc nn campocléctricocn rm punto P dcbidoa las cargassobrola csfcra,{, (b).l¡ cargadc prucba,go,rcpclc a las cargasdc la c.sfcraá. Sc produccun nucvo carnpoolóctrico,E', cn fl por la csfcrar{, porquclas cargascn,{ soh¡n rcdist¡ibuido.(c) la cargado prucba, q, cs ahorat¡n pcqucñ¡,quc casino afcct¡ a las ca¡gascn l¡ csfcra,{. El carnpoclcctrico quc producc.{ cn cl puntoP cs ehoraol mismoquocn la putc (a). En cadacaso,ol campoclcctricosodcbc¡ l¡ cargrdola osfoná.
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23-L EL cAMPo ELEcrRIco Es útil imaginarseque una distribuciónde catgas,positivaso negativas,da lugar a un cempo eléctrico, que actua sobre cualquier carga colocadaen é1.El cempo eléctricopresenteen cualquierpuntodeterminadosepuededescubrircolocandouna una carga de prueba pequeñay positiva,{e¡ ett €selugat,y viendosi experimenta fuerza.Una cargade pruebasólo es un sensor:no produce el campoeléctticoque estamostratandode medir; el camposedebea ottasca¡gas.La cargadepnrebadebe eslafenreposotporque,comovefemospfonto,lascatgasenmovimientoexperimentan fuerzasdiferentes.El campoeléctrico,E, sepuededefrnirmidiendola magnitud y direcciónde la fuer¿aeléctrica,F, queactuasobrela cargadeprueba.La definición del campoes Deflnlción del cempo eléctrico
F E=:-
(23-1)
Qo
La razónde usaruna catgapequeñade pruebaes que una gtandepodria,media¡rte del campoeléctricose su inte¡acciónde Coulomb,hacerquelas cargasresponsables la distribuciónoriginalde cargaque movieran(figum 23-1).Con ello afectarlamos produceal carnpoeléctrico,y por lo tanto,al campomismo.Asf, usaremosunacal€a depruebainfinitesimalmentepequeña,go,y definiremosal campoeléctrico,enfoffia ideal,mediarrte
'E=ümI
(x3-2)
. qo'o Qo
Unidedee SI del cempo eléctricq
I-a fuerzaeléctricaes un vector, y por consiguienteel campo eléctrico tarnbién. Caracterizamospof completo a un vector, como el del campo eléctrico,cuando conocemossu rnagnitud,direccióny sentidoen cadapunto del espacio, De acuerdocon la definición de la ecuaciín (23-2), las unidadesdel c:ampo eléctrico en el SI son newtons pot coulomb (N/C)t. La tabla 23-1 presenlalasr' niagnihJdesde los camposeléctricosparadiversoscasos.
I Vercmos, cn cl capitulo 25, quc cl campo clcctrico sc puede cxprcsar, cn forma altcmatlVa, cn rmidadcs dc volts por mctro, cn cl SI (V/m), ya quc I N/C - I V/rn
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TABLA 23.I I
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67t
VALORES DE AI,GI.]NOS CAMPOS ELBCTA¡COS (N/C)
Espaciointerplanetario Atmósfera en la superficie terrestre,despejada En una tempestadeléctrica Chispaeléctricaen ai¡e seco En un acelerado¡Van de Graaff(') En el acele¡adordel Fermilab(") En los átomos, en interior de la órbita del electrón En la ndiación electromagnética del lásermás intenso A una distanciaigual al doble del radio, del centrode un núcleode uranio
a?l
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ElcrmpoclÉc&lo
ltr 1.2x 107 ld 10t2 5xl om
{ Vcasc capíhrlo 25. rr Véasc sccción 23-4.
[,] canr¡lo cléctdco dc una cafg¡ ¡runhral El ejernplomrissencillode un campoeléctricoesel asociadoconuna cargapuntual, qr. Tenemosdoscargaspuntuales,qr y q0,separadas poruna distanciar (figura23-2). La fuerzade Coulombque ejerceq¡ sobreg0es
paraunacargapuntual:For
#!i,,
¡r,,
4t
@ ;for *
qo
___L___0*Fu,
(2 3 3 ) IICURA 23-2 hrcrzr Fo¡qrnoJorco rrnr
cargapuntul 4¡ sobmla cargapnturl 96
de acuerdocon la ecuación(22-8).si decimosqueqoesnuestracargadeprueba, ambascargrssonpclüvrs. podemos ernplear lasecuaciones (23-l) y (23-3)paradeterminar el campoeléctrico debido a qr: pa¡auna cargapuntual:
t- t:
Fo, r/o
4t o' :únuo;t'
(23 4)
El valor de la cargade pruebaseha anulado,y asl,el procesollmite en la ecuación (23'2) no inttoduci complicaciones.La ecuación(234) especificaque E¡ tiene la mismadirecciónqueFs¡,la del vectorunita¡ioie¡,rpe apuntadeq¡ a qo.Eliminamoe el sublndicede ior en la figura 23-3, que muestmla direcciónde E¡, determinada moviendonuestracargadepruebaa varioslugaresa unadistanciar de qr. Estecampo esradial (figura 2J-3a),y hemosusadoel vectorunitario radial i (medidoa partir de qr) pa¡aespecificarpor complentoel campoeléctricoE debidoa una ca¡gapuntual q (tambiénomitimoslos sublndicesde E¡ y q¡):
(23-s)
(b)
'- . t I l*
¡..".,
FIGIIRA 213 (a) l,e trila qtr flotan c¡r accilo so alkrcrn con cl campo oléctrlco do csta carga punhral. @) t^r diracclón&l campo cléctrico E dobldo a q, c¡ ndial. L¡ carga cs po,sitiva, y la dlrocclón dol campo cs alcjóndco dc clla. (c) I.r carga ce ncgativa, y la dirocctón dol campo cs hacla olla,
,,.El campoeléctrlcodebido. un¡ c¡rgr puntu¡l I oerlcJr dc une cerge posit¡vi y B€diri¡e hrcie un¡ c¡r8¡ neg¡tiv¡.
El campoeléctricose aleja de una cargapositiva,come en la figura zi-gb, cuando la cargaesnegativa,el campoeléctricotienela mismamagnitud,perosu sentidoes opuesto.El campoeléctricodebidoauna carganegativaapuntahacia esaca¡ga, como en la figura23-3c.
i
{
La utilidad del conccpto dcl campo IJnavezconocidoel campoeléctrico,E, producidoporunacargapuntual,q, podemos calcularla fue¡zasobrecualquiercargapuntual,q', colocadaen esecampo,empleando la ecuación(23-L);esto es, F : Q '8 .
\_ \_
(23-6)
Lo mrísimportanteesquecualquierüstribucióndecargas,no sólounacargapuntual, produceun campoeléctricoen el espacio.Usaremosel subfndice'ext" (extemo)en E, pamsubrayarqueel campocléctricoexternocs independiente dela curgaq'sobre la cualnctuala fuerza.Una vezconocidoE"r,,Iafuerzasobrecualquicrcargapuntual q' en el campo,esla genetalización de la ecuación(23-6): Fuerz¡ ¡obre un¡ carS¡ puntual en un crmpo elóctrico
pa¡ar¡naca¡gapunrualen un campoeléctricoextemo: F - q'E"*, (23-7) La ecuación(23-7)esurrresultadogeneralmuy útil. ¿Porqué nos preocupamosen introducir los campos?¿Porqué no manejartan sólo fuerzasentrecargas?Ya hemosmencionadoel papelque desempeña el campo en la tesoluciónde las dificultadesconcepfuales de una accióna distancia.Hay otras razonespor las'cualesel conceptode campoesútil y hastanecesa¡io,Cuandoalguna configutacióncomplicadade cargasactuasobreuna cargade pn:eba,éstasufreuna fuerzaquedependede su ubicación,r. Esafuerzae-sr¡nafunción complicadade los vectoresquemidenel desplazamiento dela cargadepruebacónrespectoa lasdemrís de una ca¡gas.Es mejor determinar vez por todasel campoeléctricoE(r) debidoa las demáscargas,Una vez conocido,es asuntosencillo determinarla fuetza sobre cualquiercargacolocadaen cualquierlugar del campo. El conceptodel camposehaceindispensablecuandoveatnos,en el capltulo25, que el campotiene energfa.Parapreservarla impofianteideade la conservaciónde la energfa,es necesarioel conceptodel campo.Peroel poderreal del conceptodel carnpoaparececuandoesel resultadode cargasenmovimiento.Aun si las cargasen movimientoestánlimitadasa una pequeñaregión,por ejemplo,dentrode los brazos de una antrena, el campoeléctricose extiendepor todo el espacioy la velocidadde propagaciónesla velocidadde la luz, l¿ supernova1987Aestallóhaceunos 163,000 años;los camposeléctricosoriginadospor el bruscomovimientode muchascargas en y alrededorde la estrellaenexplosiónllegatona la Tiena el 23 defebrerode 1987. Esoscamposviajeroshicieronmoversea los electronesen las antenasenla Tierra y fue la señalde que habfaestalladola supemova1987A.La descripcióndel proceso esmuchomásfácil de comprenderquela ideade queexisüeunafuerzaeléct¡icaent¡e las cargasde la supemovay las de un detectottenestre,y que esafuerzano sólo dependede la separaciónentrelas cargas,sino tambiéndel tetrasoentresusmovimientosrespectivos,Una ley de fuetzacon demomde tiempoincluida,quedepende de la distatrciaenhedoscuerposqueinteractuan,esdiflcil de expresaryde rnanejar. l,a noción de un campo es útil en muchasdisciplinas.En la hid¡odin¿imica empleamosun campodevelocidades,quedescribela velocidadv detodoslos puntos en los que se tiene flujo del fluido, como en los tubosde un sistemamunicipal de aguapotable.En el intetcambiode calor se empleaun campode temperatufas,que describela temperaturaen todoslos puntosen un recinto,Y en acústicaempleamos un campo de vatiacionesde densidaddel aire. En los dos últimos casos,no hay direccionalidaddel campo,por lo queserelacionacon una fuerzade un modo más
672
\-{ l
7_
indirectoque en el casodel campoeléct¡icorelacionadocon la fuerzaeléchica.En esoscasos,los camposson escala¡es, en lugat de vectoriales.
673 ElcropoG¡6ctrlo
EJEMPLO 2 3 - I Oeterminarelcampoeléctricodebidoaunacargapuntual q - +1.4 ttC a una distanciade 0.10 m de la carga.¿Curiles la ñ¡e¡z¡ sobrc una cargaq' - -1,2 pC colocadaa esadistanciadc q? SOLUCION: El campoeléctrico deuna cargapuntual estáexptesadodirectamenüe por la ecuación(23-5): t0-6 É)
]':
t''' x
l0óN/c)i.
El campoeléctricose dirige haciaafuera,en direcciónradial,desdeel lugar de la cargade 1.4¡rC (figura 23-3b).Si la cargafueranegativaen lugarde positiva, el camposedirigirla mdialmentehaciaadentro. queel campoeléctricoque Paradeterminarla fuerzasobteg', considerarnos dete¡minamosaniba es un campoextemoy etnpleamosla ecuaciónQ3-7).Ia rnagnitudde la fuerzaes la del campomultiplicadapor la magnitudde q': r = lq'lE= (1.2x to-6 é)0.3 x loó N/d) = 1.5N. El signo de q'es negativo,y entonces,cuandosemultiplica por la magnituddel camporadial haciaafuera,la fr¡e¡z¡ resultantesobreq'achia ¡adialmentehacia adentto.No esde sorprenderque las catgasopuestasseatraigan. En forma alternativa,podemosempleardi¡ectamentela ecuación(23-7), incluyendola noüaciónvectorial.Obtenemos F = (- 1.2x l0ó y')10.3x 106N/¿)il = (- 1.5N)i, que esel mismo resultadoque el anüerior. Si es m¡is de una cargapuntual la rcsponsabledel campoeléctrico,empleamos principio El el de superposiciónparadeiermina¡el campoeléctriconetoo resultanüe. pdncipio de superposiciónestableceque la fuerzaeléctricaneüasobreun cuerpoes la suma vectorial de las fuerzasdebidasa las cargaspuntualesindividuales.Por consiguiente,el'campoeléctriconetoesla sumavectotialde los camposde lascargas individualespresentes.La fuerzanetaqueseejercesobrenuestracargade pruebage, debidaa las demáscargasde la regiónes
f
(2 3 -8 )
Frrr"= Fs¡ * Fe2+ Fo3+ "' = I Fo,' Asf r;do:
Frr," Fo, s"*
Fo, , For , ... so*-+"'
(23-e)
:E ^= t*B ri n r+" ':IE,.
(2 3 -r0 )
En estaúltima ecuación,F¿,por ejemplo,esel campoeléctricodebidosóloa la carga 4t, en el punto en el espacioen el cual hemoscolocadoqo.Empleandola ecuación (23-5)paracadacargapuntualq¡,vemosque
puntuales:E..o: paraungrupodecargas
I \
I
"l
*)#
r,
(23- I l)
En estaecuación,el vectorunitario i, sedirige desdeel lugarde la cargaq¡hasta lugar en dondesemide el camPo.
por un Compoekfttriconetopr.oducldo gmpodc clrgeepunturlco
en llnea:Qt - + 2 pC en EJEMP Lo 23 - 2 Setienentrescargascolocadas = * + + y 3 ¡¡Ceo.Í2- 4 cm; h -2 ¡rCen-r3= + 10cm (frg!tru.23-q. \' -2 crrl qz campoelectricoen el purrtoz{,origendel sisüemade coordenadas. Deüerminar,el
6cm -------l
6crn +.-
l.l. 2c m . l -l'
I I
@ --l-.r-e tt qt
42
SoLUCIoN:La soluciónseobtienepor aplicacióndirectade la ecuaciónQ3'LL). Aunque po¡ lo generales importante üeneren mente que la suma requeridaes vectorial,en estecasotodaslasposicionesquedanenunallnearecta.Colocamos un sistemade cootdenad"scartesianasen el puntoá. El campoeléctricoen el punto.Áes
-----@
E,r:Er+E2+83,
qj
FIGURA 23-{ Ejcrrplo 23-2. El campo clcctico cr¡cl puntoz{ sodcbc a troscargas. [a distancla,r, sonridoa partlr dol punto¿,
endondeE¡ (i = 1,2 o3)esel campodebidoa la catgaqienelpunto.4.Aplicando la ecuación(23-LL)paracarnposeléctricosindividuales,obtenemos
,^:*({P.^#.#)
(23-t2)
Debemosponeratencióna los signos.Los vectoresunitariosti en el Paréntesis indicanla direccióndel vectorunitatio, l¡, de la posiciónde la cargaq/ al punto .,{.La direcciónrealdel campoeléctricoE¡ debidoa la cargaq¡,sin embargo,está determinadapor el producto qiii,y el signo de la cargase debeüeneren cuenta. Por ejemplo,la direcciónde E3 es +i, Porqueel signonegativode la carga93, multiplicadapor (-i) produceuna dirección(+i). La evaluaciónnuméricade la ecuación(23-12)da comoresultado B, : (9 x 10eN'm2/C2)
.
(3
(-2
x 10-óC) . .. , ..1 (r)+ (0r4;t(-r)+ x 10-6Q) t-'r-1 s¡Io.ro L foOf;pf Q x 10-6Q) ...
: (3 x 107N/C)i. El campoeléctricoen el puntoz{ tienela di¡ección+¡, haciala derecha.
Dlpolo electrico
Los dipolos eléctricos y sr¡scamlrs cléctricos Un dipolo eléctrico constade doscafgas,+4 y -q,de igual magnihrdpeto con signo unadistanciatr (figura23-5a).El campodeuna éargadisminuye contrario,sepa¡adas de acuerdocon tlf . Si las dos cargasopuestas(digamos,hY -Qz)no sumanceto, su campotenddala forma (qt - q)lf , Pafar >>l. Si se colocarancafgasigualesy opuestas,precisamenteuna sobte otrá, las dos contribucionesal campo llf se anulariany darfancampoeléctricocero.Perocomolas doscargasigualesy oPuestas de un dipolo no estánuna sobteotfa, el carnPoresultantedisminuye en función de
e-¿----4) -q +q (a) FIGURA 23-5 (a) Un üpolo olcctrico corsisto do cargas igualos, poro opucstas, scparadas poruru distancia l. @) Et campo nclo cn cl punto P, quo cs D, scttl¡ sólo s lo largo do la dirección quo vr de +q a -9' (c) El momcnto dlpol¡r oléctrlco, p, so dirig,c dc la carga ncgatlva a la posltlvl.
674
o +t1 (c)
.P
e
-.1
a a a a a L L L L L L
L L 1L L L Li L L L L L L ,
L l"
L L L L L. L L L
l/É, como vetemos.El campoeléctricodependesólo del productoqL,quese llama momentoeléctricodipolar o momentodel Sipoloeléctricodel parneutro(+q,-q), y setepresentacon la letrap. Hacemosquep - gl seaun vectordefiniendoa L como dirigido de -g hacia +4 (figura 23-6). Asl, el momentodipolar eléctricop es p=qL.
Momento dlpol¡r eléctrlco
(23-t3)
El vector p apuntadesdela carganegativahaciala positiva.
EJEM PLo 2 3 - 3 Determinarelcampoeléct¡icodeldipoloqueseveenla figura 23-5b,en un puntoP a grandistanciar (r >>L) de cadacarga.P estrien el eje perpendicularquebisecüala llnea entrelas doscargas.
SOLUCION:Ios ejes¡ y y se ven en la figura 23-5b y el punto P tiene las (0, y). El campoeléctriconetoen P eskiexpresadopor E - Er + &, coordenadas siendo el campo E¡ debido a la carga +q y el Fz debido a la carga -q. Las magnitudesde los dos camposson iguales,pero E¡ apunüBalejr{ndosede +Q, mientrasqueE2sedirigehacia-q. Lascomponentesy de E¡ y E2seanulanentre sf y sólo nos quedamoacon una componenteneta¡ hacia Ia derecha,que es el doblede la componente¡ del carnpodebidoa cualquierade las cargas:
@ -q nGUItA 23{ Dlpolocléctrlcocuyo morrrnto dipolar oep - qL. [.¡ dlrccclóndo p o s d o - 4 n +q .
E = Eri = (Er, + E2r)¡=2Et,i, en la cual ., = Er,
q
0.
fficos
En la figura 23-5b vemosque cos 0 es
Llz
L
r
2r'
C o S0 = -:-
Asl, el campoeléctricotoüaldel dipolo, a lo largo de la perpendicular,es
,=(##)Gl,:ffi'
(23-l4)
La ecuación(23-14)esel resultado correctoa lo largodela perpendicular, aun cuandola distanciaal pardecargasno seag¡ande.El campoeléctricodemece conr enla formal/1. H campoenlospuntosa Io largodela mediatrizes
E:-a#,
(23-rs)
{
en la cual hemosempleadola ecuación(23-13)del momentodipolat eléctrico, p. Si r >>l, entoncesr ! y y
a lo largodela mediatriz: t = -Ah.
(23-16)
El campoeléctricode un dipolo, en general,no esantiparalelo. al momento dipolar, aunqueen estecasosf lo es.En las ecuaciones(23-15)y (23-16)hemos descritoel camposólo a lo largo de la mediatriz.
L
La lmportancia
L t
En el ejemplo2S-3encontramosque el campodel dipolo eléctrico,a lo largo de la mediahiz,no dependeni de q ni de I únicamente,sinode suproducto.Estoesválido
dc los dipolos cléctricos
L L L,
L L
t¡
675 -.'-.i*.
f..,.-
676
parael campoeléctticodel dipolo én cualquierpuntoeri el espacio.Sólo se puede deüermina¡el productop - ql, a partir del campodeun dipolo eléctrico,y no sepueden deüerminarq ni l, por sepa¡ado. L,os dipolos eléctticos son de gran interes porque se pfeqentancon mucha ftecuenciaen lanaturaleza.Septoduceun campoeléctricoauncuandola cargatotal deun dipolo seacero.Con frecuencia,los camposextemos,inducenseparaciones de cargasen moléculasy materialeseléctricamente neutros,produciendoun excesode DlpoloeelécrricosInducidos y cargapositivao negativadeun lado,o del otro. Por lo tanto,ocasionanun momento p€rmenentes eléctricodipolar inducido (figura 23-7).Tambiénhay ejemplosde configuraciones decargaconmomentoseléctricosdipolarespernanentes (momentosdipolaresque no se inducenpo¡ camposextemos),en la naturaleza.Mu¡has moléculasque tienen estructutadisttibuida,con electronesde catganegativadistribuidosde preferenciaen ciertasregiones,tienenmomentosdipolareseléctricospennanentes. [¿ moléculade agua¡H2O,que tieneforma de V, con el átomode oxfgenoen el véttice de la V, es Dlpolo ol&trico Cargaccrcanaquo ejemplode ellas (figura 23-8). Én casoscomo el de la sal común (NaCl) y el ácido producocl dlpolo lrdr¡cldo (polarir¡do); car¿atotal4- 0 oléctricoinducido clorhfdrico (HCD, una moléculase forrna a partir de electronesque sc agrupande ptefetenciaal¡ededo¡deun átomo,comunic¡indoleunacarganegativa.El otro átomo FIGURA 217 Una cargaccrcanapucdc quedaconunacargapositiva.En esasmoléculas,queestrinunidaspot lo quesellama inducir rna carg¡ polarizadr,y por lo t¡nto, iónico,siemptehayun momentoeléctricodipolarpermanente. enl.azamiento A nivel m dipolo cléctrlco,cn un cucrporrutral. molecular,cuandolos efectosde los camposdipolareseléctricostieneng¡animportanciaflsica, los momentosdipolatespefinanenües siempresonmuchomayoresque H@ los inducidos.Por ejemplo,p - 6 x 10-s C . m parauna moléculade agua,mientras que un átomode hidrógenoen el senode un campomuy intenso,E - 3 x 10óN/C, adquiereun momentodipolarinducidodep = 3 x 10-YC . m. Capitnlo 23 El cempo cléctdco
23-2
.\
\ \ ,,ñ n@
FIGURA ALE I-a nroléculado agtu, HrO, cs un dipolo clcct¡ico porruncnto, AmbG olccboncsdcl hidrógcnosoncompalidos con ol átorio dc oxígcno,crcandoüi fucrto aüaco clcctrico quom¡¡rticnor¡¡ridaa l¡ molccula;cs lo quc sc llsnr crilaco covalcr¡tc.
DEL cA"ilrpoELEcTRrco LAs LTNEAS
El campoeléctricodebidoa una distribuciónde cargay la fuerzaque experimentan partfculascargadasen esecatnpo,se puedenvisualiza¡en Grminosde las líneasde cempo eléctrico. Michael Faradayintrodujo su empleo,a mediadosdel siglo XIX, aun a.ntesde que se comprendieracon claridad el conceptodel campo eléctrico.2 Faradaydecia"lfneasde fuerza".l¿s llneasdel campoeléctricoson continuasen el por un vector distinto espacio,en contrasteal campomismo, que estrirepresentado en cadapunto del espacio. Ya hemosvisto que podemosdesoibir al campoeléctticomoviendouna ca¡ga de pnrebaen el espacio.El camposeexpresacon facilidad en forma algebraicay es la mejor herramientapardobüenerresultadosalgebraicoso numéricosconcernientes a las fuerzaseléctricas.Sin embatgo,eshortible, desdeel aspectovisual,manejatel carnpo.No es fácil trazatuna región en el espacioy en cadapunto (ni siquieraen puntoscercanos)hazatun vectorcuyalongitud y direcciónvariablesfepresentenal campoeléctrico.[¡s llneasde campoeléctricosonuna altemativamrisadecuadaa la visual. reptesenüación Las lfneasde campoeléctricosontrazosuniformesy direccionalesenel espacio, por el campoeléctrico,de acuerdocon dosreglassencillas: determinadas
Líneasde campoeléctrico
1. l,as lfneasde campoeléctricosetrazande tal modo que la tangentea la lfnea del campo,en cadapunto,especifiquela direccióndel campoeléctricoiE, ep esepunto.Estareglarelacionala direcciónde las llneasdel campoeléctrico, con la ditecciónde éste. 2. La densidadespacialde las lfneasdel campoeléctticoen detetminadopunto, esptoporoionala la intensidaddel campoeléctricoen esepunto:
f' ¡,
2 DcspudsFnrudly,quo cm gnn cx¡rcriurcntntlor, pcro ¡ncnosbucnocomo toórico,to dio ¡ dihs w¡, significadorruisfísico quc cl qubticnonenla ach¡alidad.
(
( {
$
(
I l/<
V, -
(b)
Ptopicdadcs dc le¡ líncas dc campo cléctdco Dibujemoslas lfneasdel campoeléctricode una cargapuntualpositiva,q. Sabemos queel campoeléctticosedirige radialmenüe alejándosede unacargapositivaentodo lugardel espacio,,El campotiene la misma magnitud alrededordeuna esferacentrada en la carga,y esamagnitud decece al ar¡mentarla disüanciar, en la forma l/É. l,as llneas del campo electrico son radiales, apuntan hacia afuera de la carga y est¡in distribuidas uniformcrncnüeal¡ededor de ella (figura 23-9a). Podemosemplear la figura 23-9 paramil¡trir susp¡opiedades.
N lincascn totnl g cargr totsl
I|IGI RA 2]9 (a) Rc,prcscntaclóo do l¡s lincasr¡di¡lcs doc¡mpo oléctslcodoun¡ cargr purtual. (b) [Iay nrcnc lircas qr pasanporur árcr dol mlsr¡n tarn¡ib q¡a¡do ostl mls aloJadado la carga.
r tnnrhr I&nlcer pen e¡rdrr* ti¡c¡¡ dcl c¡mlro cléc,lrlco ir
.
cómo reflejan las lfne¿s himeraproptcdad.I,ategla2 anüerior,que establerre decampoeléctricola int€nsidaddel mismo,tequiereexplicación.El campoeléctrico ns cambiaen fotma abruptasu di¡ección al pasarpor una rcgión del espaciolibre de cargas.Asf, en una tegión pequeña,las lfneasdel campoeléctricoson casiparalelas entresl. En estarcgión podemostomarun dfeapequeñaque esteorientadaperpendicula¡a las llneascasi paralelasdel campo.La densidadde las lfneas,entonces,esel númerodelfneasquecruzanesaáteapequeña,dividido enueel valot del á¡ea.Nóüese que la densidades el número de lfneaspor unidad de drea. Srgund;plipUdaa ¿CAmoesta'blecemos el número de lfneasdel campoy la densidadde las mismas?Podemosescogerdibujar las N lfneasde campoque nos convengan,odginárrdoseeri una cargadádaq; N ei cualquiernrimero.Entoncesse dete¡minael nrlmetode llneasquedejanlas otrascargas.En particular,el númerode lfneasque salende una cargapositiva{¡, eFN¡,siendoNt - @¡lq)N,Asl, la mitad de lis lfneasse originarúcn una catgapositivaque tengala mitad de esevalor. Ahom, podemosusarla regla acercade la densidadde las lfneasparademostrarquelasltneas puedeniniciarse'oterminarsóIoen cargasy nuncden el espaciovacfo.Supongamos quese originan¡Vlfneasen la cargapuntualq, en la figura 23-9b,I gue las lfneasni secteanni sédestruyen.Si cgnsideramosel númeto de las lfneasde campoquepasan por un rireadel tamaño de'una moneda,ve¡emos en la figura que pasadanmuchas mrispor esa,órca¡ si el ríteaestuvieracercadéla fuentepuntual,quecuandola misma área está lejoÉ;j,ti no se crean nuevasllneas defuerza al retirarnos de la carga,
_
_
: : _i"l' r__r' -
a
678 Capitulo 2J El cempo clóctrlco
entonces,la de¡rsidadde las lfneasen un radio R a partir de la carga,seráigual a N dividido enbe el ríreade la zuperflrcieperper¡diculara las llneas.Esazuperficieesuna esferade¡adio R, centradaen la ca¡ga,y la densidadde las llneases NlarÉ, Sabemos que la densidadde las lfneases proporcionala la inüer¡sidad del campo,y que estre decreceen función de Uf . Por lo üanto,la relación entrela intensidaddel campoy la densidadde las llneas de campo eléctrico esautomática si éstasni se crean ni se destruyenen regionesen lasqueno hayacargas.Sólohemosdemostradolo anüedor para el caso de r¡na cBrgapuntual única, pero ¡rodemosempleat el principio de superposiciónpara demost¡a¡que esto,en general,es válido. Nótesequer.pa¡auna cargapuntual,laslfneasde campoeléctricosevan al infurito. Estosiemptesucederá cuandohayaun conjuntolocalizadode cargas.A distancias$andes en comparación con las dimensionesde la regióndel espacioquecontienela carga,parececomosi la carganetase localiza¡aen un punto,y las lfneasde campoeléct¡icose dist¡ibuir¿ín uniformementesobreuna esferadisüantequerodeea la carganeta. Tercera propieda.d.Las lfneas de canrpo eléct¡ico se originan en, y conen alejríndosede, las cargasfositivas. Se prolongan hacia, y terminan en, cargas negativas.Ello refleja el'hecho de que,lascargaseléctricasson las fuentesde los camposeléctricos,que apunlanalejríndosede las cargaspositivasy sedirigen hacia las carg'asnegativas. Cuartapropiedad-Nunca-secruzandos lineasde campo.No pueden,porqueel campoeléctricotienemagnitudy direccióndefinidasencualquierpuntoenel espacio. Si se cruzarandos o más lfneasde carnpoen algúnpunto, entoncesla di¡eccióndel campoeléctricoen esepuntoserfaambigua.
FIGLJRA 23-10 Lincos dc campo oléctrico dcbidas a uru carga punhral +q. Nótcsc ol númcro do lincas dc campo quo cruzan cl círculo (csfcra) on cl radio r.
l¡ simetrlapuedeser gufaútil paratrazarlas lfneasde un carnpoeléct¡ico.Una cargapunhralseve igualdesdecualquie¡dirección.Tienesirnetrfaesféricay laslfneas de camposiguenla únicadirecciónquerespelaa estasimetda;estoes,sonradiales. Igualmente,si manejamosunalfneao alambrelargo de carga,hay simetrlaal¡ededor de la lfnea, y las llneas de campo deben proyectarseradialmeñtehacia afuera, partiendode la llnea,perpendiculares a un cilindroquela rodee. Es convenientetrazarlas lfneasde campoeléctricoque qugdanen un plaflo que cortaun espaciocon una o mriscargas.Esteplano es el de la páginasobrela que se trazanlaslfneas.Paraunacargaaislada,esedibujoseverfa comola figura23-10.Es¿ dibujo nuncase debeusar enforma descuidadapara determinarla intersidad del campo. Simplementeno se puedenconta¡ las llneas de campo que cruzan una determinadallneao superficie.La figura23-10muestraun cf¡culode radior, centrado enuna cargapositiva.El númerode lfneasquecruzanestecftculo esN, fijo, y por lo tanto,la densidadde las llneasque cruzanal clrculo esN dividido entrela circunferenciadel ckculo,Nl2tur.Sin embargo,sabemosqueel campodecreceen función de de laslfneas,quedeterminala magnituddel Llf ,y no enfunciónde Llr.La der¡sidad campoeléctrico,es una densidadpor unidadesde área,no pot unidadde longitud. No siempreesfácil visualizarcómo la densidadsuperficialde las llneasvada enun clibujode ellasqueformaun plano.Sin embargo,esosdibujosplanosde lasll¡reasde campoeléctricosesiguenempleandoparaayudamosa visualizarel campoy el efecto que éstetendrfasobteuna cargapuntual.
Algunos ejemplos El modo m¡is fácil de demostratla utilidad de las lfneasde campoeléctticoes examinarvariosejemplos,ademásdel de la cargapuntualaislada.Lasfiguras23-Lla y 23-Llb muest¡anlas.lfneasen un planoque pBsapor doscargaspositivasde igual
ii
-
679 292
Ls linqt
dcl crmpo clóctrloo
FIGLJRA2$tt (a) Lírrcasdc canpo clécdco dobldas¡ d6 c¡¡grs punhu¡cs+q, lrdicadaspor hilos cri ¡colto. (b) Esquana do las lirrcasdocampo,quosovan !l lnflnito, y qrrcparoconrcpclcrsoantrosí.
trIGURA 2}'12 (a) Lirrcasdc campo cléctricodcbid¡s ¡ csrg¡spr¡ntu¡Ics+{ y -1, formrrdo un dlpolo, lndicadaspor hcbr¡s cn accltc.(b) Diagramacsqucrnáticodc las líncasdc campo,tod¡s sc l¡¡icl¡n cn la carga +{ y tcmü¡un cr¡l¡ -fi las qtr p¡¡cccr¡ cshr intcmnnpldss,cn rcalldadcontinrhnr lo lojc dc la carga.
ñ,; magnitud.Toddselladseprolongan al infinito, porqueno hay ca¡gasnegativasen las quepueddl üctmina¡.l¡¡ lf¡¡easCecampoqueseacercanentrc sl, entrelas dosca¡gas positi]ras,pafccen fepele¡se entre sf, lo cual es consecuenciade que dos llneas de camponuncepuedm cruzarse.Si colocrí¡amosuna cargapositiva q' en la tegión que semuestracn la ftgua 23-1lb, las llneasde camponos indicarfanla direcciónde la fuerza sobru la sa¡ga,asf como de la aceleración.Una vez teniendolas llnéasde campo,es fácil ver la dhecciónde la fuerzaque obrarfasobrer¡nacargadadaen el campoeléctticg, Debemossubrayatque, ar¡nqueel campo eléctricomismo tiene significadoffsico, las lfneasde campoeléct¡icosontan sóloun auxiliar paraplasmar el campo,y cómo reacciona¡fauna cafgacuandosecolocaraen esecampo. Las figutas23-L2ay 23-L2bmuestranlasllneasde campodeun dipolo eléctrico. Las cargasüenenigual magnitud, tq, y por consiguiente,a ellas se ftjarr iguales númerosde lfneasde campo, y.toda llnea que se otigina s¡ +q termina en -q. Cetca de cada carga, las llneas de cam¡x) ion sólo radiales, pero se deben desvia¡ de la ditección ¡adial para podet alcanzarla otra carga.Nóteseque las llneasde campoen la figrra 23-l2b son coru¡istenües con el campoE determinadoen el ejemplo23-3 (comparelas figuras 23-l2by 23-5).
E J E M PLO 2 3 - 4 Tracelas llneasde campoeléct¡icopamun sistemaque corrsisüe en,doscargasi,+2qy -q. solUCIoN: [a cargapositivatienevalor dobleque la carganegativa,y, arbitrariamenüe,decidimosindicar 12lfneasque seoriginan en+zq. Entonces,sólo 6
6so (
Capítulo 23 El carnpo clócrrtco
*se,$l¿.
-t-Ltl-ritryrltlA 'a l
r
+2q
?ir-q
(b)
(4,
FIGURA 23-13 Ejcmplo 23-4. (a) Las lincas do carnpo olcctrico ccrcan¡s a cargds purtullcs +2q y -q, son las dc rura carga puntual. (b) b mit¡d dc las l¡nc¡s dcl campo clcctrico quc salcn do +2q tormir¡a.¡r cn -q. (c) l,cjos do las cargaspuntualcs, las linoss dc campo clcctrico son las dc u¡ra carga punnral +4. (d) Lincas dc campo clcctrico para dos cargasdc signo cont¡ario y distint¡ n¡agrütud, rcprcscntadasporh¡los cn accitc.
+
+ t
I
!
j I
!
(c)
lfneastermina¡¿in en -q (figura 23-l3a), Trazamosesaslfneasen dos dimensiones.cerca de las cargaslas trazamosradiales.seis de las lfneasquese ofiginan en +2q debentermin en' q,y ningunade las lfneasde camposepuedencfizat ^r entresl. Por consiguienüe, tomamoslas 6 lineasde +2q máscercanasa -q como las queterminenen -q (figura23-13b).¿Quésucedecon las 6lfneasrestantes quesalende +2q?Aunqueinicialmentesecurvaránh acia*q,nogdarnoscuenta que,muy lejos,parecerán provenirde una carganeüa+1, porque+2q - q - +qi por lo tantosedirigirrinradialmente haciaafuera,a gmndesdista¡rcias. El hecho de quequeden6lineasesconsistente cónnuestraselecciónbriginal de 12lfneas comodensidadde lfnea(figura 23-l3c).
+
1
23-3 EL cAMpo ELEcTRrcoDEBTDoA uNA DrsrRrBUcroN
CONTINUA DE CARGA
P
FIGURA f-f d Pa¡a dctcrmi¡ra¡ cl campo elcctrico debido a uru dist¡ibución continua dc carga, sc suman todos los campos clcct¡icos AE dcbidc a los clcmcntos dc carga 44.
Hastaahoranoshemosconcentmdoen camposeléctricosdebidosa cargaspunfuales, o conjuntosde éstas.Pero tambiénlas distribucionescontinuasde cargaproducen campos,y esasdistribucionesson muy importantesen la práctica.Veremoscargas quesedistribuyenuniformemente enunaregióndel espacio,seaunalfnea,superficie o volumen.Tambiénaquítienenimportancialas distribucionesdondehay simetda. Paralasqueno sonuniformeso no sonsimétricas,el problemadedeterminar'elcampo puedesermáscomplicado. eléct¡icoresulüante Es útil establecerun marco de referenciageneralpara calcular los campos eléctricosdebidosa distribuciones lineales,superficiales o volumétricas. Veamosel cálculodel carnpoeléctricoenun puntoP, debidoa la distribuciónde cafgaque se
I
ve en la fi$¡ra 23-14. Dividimos la distribuciónde cargaen elementosdiminutos, cadauno oon ca¡gaA4. Primerodeterminamosel campoeléctricoAE en un punto exteÍio P, debidoa un elementodiminuto de carga,Aq, cuyadisüanciaa P es r:
:
I
(23-t1)
-3---'.' ^E
4neor'
En ella, i esel vectorunitarioqueapuntaalejándosedel elementode carga.Seaplica la superposiclóny el camPoeléctrico total en P se calcula sumandolos campos infinilesimalesAE: '
(23-r8)
E =IA E. En notacióndife¡encial,la ecuaciónQ3-I7) setra¡sformaen
(23*te)
dE = -!g- ¡. 4n€.6r'
El campoeléctricotoüalse calculaintegrandoen la distribucióntotal de la carga: I
:*l';, an=Jae ó e' o
'tu E = t
(23-20')
lin
Al gunor caooq ct¡t€líllcot
I
[¡ ecuaciónQ3-20l del campo eléctricoes formal. L¡ inüegralse complica por la presenciadel vecüorunitario, l, que carnbiade direcciónal integrarsesobrela carga áis¡ibuida. Además,parapoderlleva¡ a cabola integración,debemosconocercómo sedistribuycla cargaen el espacio.Esteúltimo pasoes necesarioParaconvertir al elementode carga, dg, en un elementode volumen. Podemosllevar a cabo la conversiónpala upa cargadistribuidaunifo¡mementeen regionesde una,dos y tres dimensionesen el espacio,como sigue: dg tccta,si unacarga,q sedis&ibuyeuniformemente ttna dlnittl,ón: ongmcnto la densidad a lo largodeunsegmentoderectade longitudL, enel eje.r'representamos linealde carga(carga/longitud),mediant¿f,:
(23'2t)
'= L'
La cargainfinitesimalcontenidaen una longitud infinitesimal,d'r, es para un segmentode tecta con ca¡ga:
dq = l'. d-r.
Q3-22)
Dosrümenslones:superfici¿. Si la cargaq se distribuyeuniformementesobre la densidadde carga superftcial una superficie de ¡i¡e¡ iotal á, rePresentamos (catga/rirea) medianüeo: q O3 - .
(23-23)
A
La cargainfinitesimal contenidaen una diferencialde rireadS es pafauna superficiecon cafga:
dq - odS.
(23-24)
Tres dlmensiones:volumen. Si la cargaq se distribuyeuniformementePorun mediantep: la densidadvolumét¡icadecarga(carga/volumen) volumen rr,* *,p,T" q
P=v
t:
(23-251
681 2}}
El carnpo d&trlco dcbldo r u¡¡ dlstrlbuclón contlnur dc cergr
682 Capítulo 23 El campo cléctrko
Si dZes una diferencial de volurnen, la carga ilrfr¡itesknal es
paraun volumencon carga:dq
- p dV.
(23-26)
Los ejemplos z3-5 y 23-6 muestran córno se lleva a cabo la integrrdciónpara el campo eléctrico.
EJEM'LO
23 -5 Una varillarectaaisranüe, de rongitud
22, tieheuna de'sidadlinealdecargauniforme,.?,. Determine P, a unadistanciaR dela varilla,a lo largodela rnediutiizG.p"iii"rlar "í"*poite;ililiil; ener puntomedio, figura23-rs).hime¡o determine el campo rr"*t enel cual la va¡illa es muchomáslargaque la dimensiónn1i ,>"nir f¡ Alütinuu"i¿n, determfnelo paraunadistancia muylejanadela vadlia(n ,ri).
S.LUCION: Enestecasoseaplicaraecuación (23-22),porque la distribución de la cargaeslineal'El origenesel puntomedioi" r" ,*iri", e"" ejey.Empleamos lasecuaciones "n "r lza-zo¡y (23-22),coú- lÁ oi"oill*o, -r"n o¡ (figura 23- I5), paraenconttar que
E:
FIGIIRA 2}'15 Ejcmplo 23-5. Cam¡rc clcct¡ico dcbido a r,¡ruv¡¡¡ll¡ dc longírua 2l.guc ticnc rna dcrsld¡d llncal dc carga uniformc l, n la distancia R dc la varillnl
oi - sen oj). "Y(cos La cargad4 a unadistanciay aáajo deleje;r *
I-
(23-27)
originaun cal¡po, dE, queesimagen especular(de espejo)der campo¿p ¿eui¿oa otra carga, dq, a una distanciay a*íba del eje.De estemodo,esperamos queseanuleel Jo''pon"nt"y ael c^mpo, por simetrfa.En estecasolo demostraremosformalmente llevando a cnbo la integración,aunque,nonnalmente,saca¡ernos ventajaa" u ,im"trtu purareduci¡ loscálculosmatemáticos. con frecuencia,osciertoquela craveparallevar a cabo integraciones como la d.e,laecuación(23-27)esdeterminarrasvariabresu¿"cuaaus.En estecaso,lu variable más sencilla que se puedeempleares el ringuro 0. Tanto y como r dependede 0, y debemoscambia¡ravadatrede integra;ón dey u d. Nu"oit"mo, dete¡minarla dependenciadey y r con respectou 0. Tun.mo, quu lr¡nl:!
I
(23-28)
R
y que
cos0
R r
(23-2e)
De acuerdocon la ecuación(23-2g),obtenemos R dy: R d(tan0) = R sec20 dg :;;;r¡
de'
con la ecuación(23-29),lacombinacióndy/f queapareceenra ecuación(23-27) es dylRrF.l
7:Vc"F?o':7@6ao:^oo' El factor l/R es constante y sale de Ia integral, quedando
":
1 I I
oi) d,-' #,^J-," n* gi - sen
Los lfmites-1oy ?osonlos valoresmáximosde 0, que corresponden a los dos exhemosde la lfneade carga.l,as integralesson elernentales. El coeficiente de j, que es el componentedel en la dirección ,, es ;;";;;;;i"; "u-pá
,l
.J
i
/-
@3
cos Oo- cos(-Oo) - O, I, como eslte¡úbamos,no hay componente y del campo. El coeficiente de I es el componente de ¡ 2 fo o I^ l ro
E' =
ll anpo dúctr{co dcbldo ¡ u¡¡ dlstr¡buc¡óa contlo¡¡¡ dc crrgr
odo *n'l-* G.r^=--J-r" "ot - T*F
=#scnoo'
(23-30)
lo deseamos. Podemosemplearsen0o- Il{FN,si Parauna vadlla con longitud Z t?& sen 0s :1, y el componenteE, de la ecuación(23-30)sevl¡elve
pataL R: -; >>--* '
n, = J-.
(23- 3 I
) 2neoR' rrí' La ecuación(23-31)represenü¡al campoeléct¡icoparauna varilla casi infinitamentelarga,o paraun punto muy cctcanoa una varilla finita. l,a di¡eccióndel que campoesperpendicula¡a la va¡illa.Nótesequela ecuación(23-31)esüablece el campoeléctricovarla en función de l/R patauna va¡illa infinitamentelarga, en contrastecon la dependencirde la inversadel cuadrado(l/¡*) en la carga puntual. l¡ razon es que en estecasohay una cantidad infinita de cargaen una vadlla infinita con deruidadfurita de carga.l¡ sumade todoslos camposdebidos a ca¡gasen la varilla, aunaquellosque estÁnmuy alejadosdel puntoen el quese mide el campo, acumulaun camponeto que decrec¿con más lentitud que el campo dc una disttibución finita de carga. Pa¡ael casoen el que R >>1, sen 0s - UR,y la ecuación(23-30)sevuelve
para R>>L:
E,=lki
=
#,
Cempo eléctrlco ccrcr dc un¡ v¡rlll¡ lergr, rcctr, unlformemente cerard¡
(23-32)
caso(R >>l), hemos en la cualQ - 2LL esla cargatotalen la va¡illa.En esüe dela cargapuntual,potqueunava¡illadelongitudfinitase obtenidoel resultado disüancias. vecomoun punto,desdegrandes EJ EMP Lo, 2 3 - 6 Determineel.gampoeléct¡icoa una distanciaR de una lómina plana infinita con densidadsrperfrcial uniforme de catga, 03.
I I
Ir
i
el planoxy en la SoLUCIoN:Veatnosla figura 23-l6a,en la cual establecemos limina plana. Deseamosdetermina¡ cl campo eléctrico en un Punto P a una distanciaR sobre el plano y escogemosel eiez de tal modo que pasepor P. Con ftecuencia,un problemade inüegmciónmúltiple se puedeconsiderar comouna integtal de un resultadode otra intcgraciónsencilla;por ejemplo,una integtal doble sobreun áreasepuedeconsidera¡comouna integal sobrebandas delgadas,y cadaband¿es el resultqdode una integral sencillaa lo largo de su longirud.Comoya hemosdeterminadoE debidoa un alambreinfurito,dividimos el p-lanoen una serie de alambres,o bandasparalelas,alineadasen'ditección del e.!e.r.Cadabandaüeneanchutady. I-a figuta 23-16besla vistaen dheccion'del eje.r. Como o es la cargapor unidad de átea, 2" o dy es la cargapor unidad de longituda lo largodecadaun¡ de lasbandasparalelas.En lafigura 23-16avemos que P egtri a una distancia mfnima r de cada banda, y podemos emplear los resultadosdel ejemplo 23-5 patael campoen el punto P debidoa la bandaque se muesha.,L,aecuaciónQ3-31)rentonces,representael campodE debidoa la banda.Estecampotienemagnitud ody dE: ;-. ¿Tepr I Estocjarplocs tnrpchna porqr¡cscrtl¡ciau conlasplacrscargadas docaplcitoros,quosonolc¡¡rcntc dc ci¡cuitoeclé¿kica.
(a)
(b) FIGURA 2$16 Ejcrnplo23ó. (r) Crmpo cléctrlcocn rurpr¡nroP, a u¡u dlst¡ncl¡ fi sobrcruraplacacargadainñnita; scpualo dotcrmlrur coruidcrandouu ba¡d¡ do anctn dy. @) Anpo cléctico dcbido¡ u¡a bandadcandrcdy.
:,i':i
>_--
684 Crpítulo
23 El cemPo cléctr{co
En la figura 23-16bse muestrala dirección de dE. Podemossepa¡ara dE en comPonent: (seno)ody _ --) 2ne^r ' (cosl,))ody
at,: ji;_.
como en el ejemplo23-5,podemosver, por simetrfa,queel componetitetotal E, la de anchoa) al ouo lado de P anula¡áexactaimente - 0, porquett*b*du determinecesitamos Sólo que estamosconsiderando. de la banda "onfiUu"i¿n narE-Ek: o l" cos0 --*--dv. - | r": ! an,-2ne¡1 : )-., r La inüegraciónse facilita mucho si empleamos0 en lugar de y como variable. Como Jn el ejemplo23-5,tenemos!o telaciónfigonomérica tan 0 'y/R' asf gue,de nuevo,ay - R d(tan o - R sec2odg - Á/cos20 d0. Además,r - R/(cos0), qua la combinaciónque apafecedentto.de la integtal se simplifica á" ^o¿o mucho:
Esrfr
9os0 ,..
I
l :o r:@ fu d n :d o
Necesitamosconocerlos puntoslfmitesde la integraciónen 0, y segúnla figura, +nlZ' Asl, vemosquecuandoy va de -co a +co,Ova de -nl2 a E_=-
o
l " ''
I
/.nts J^n¡2
Ou: t
o
2€o'
o sea, Cempo eléctrico debido r un Pleno grlnde uniformementc cr¡ldo
pa¡aun planouniformementecargado:
s:*r.
(23-33)
L
a la El resultadofinal tiene al campo eléctrico perpendiculat,en todo lugar, ni E el campo direición: magnitud tanto en lámina, y es cottstanf¿' "omo "n estazonable, plano. Esto punto del Lt¿ tan alejado qué de ,iquiu*i"pende "t catga,se fl"i""tn"nt"; si el plant esinfinito y tieneunadistribuciónuniformede ve igual desdedondesea. -En realidad,no podemostener planos de dimensionesinfinitas"Para los ant¿rioresváiido paradistanciasmuchomásce¡canas planosfuritos,el-resuitado a la orilla del mismo' distancia pl*o finito, quela "t El campo cléctdco cafgas oPucstas
cntrt
dos planos uniformemcnte
cargados'
con
carga positiva, El ejemplo 23-6 demuestra que el campo eléchico Pafaun Plan?.c.on
alejrindosedel ¿" i*.iar¿ superficial unifóme de carga, o, esuniforme y se dirige Si el plano estuvieranegativamer¡te (figura ZZ-n flano en dire""ión perp"ndicular "¡. plano(frgÚa23-l1b). ¿Qué pero dtngidohaciael semejante, cargado,el compo "erta pero con la mismamagnitud opues¡a, planoi dos los ,u"idu si colocamos "*go "o. se ve en sf? entte paralela posición o, en catga, de superficial de densidad lomo exactament'e la figura 23-fi¿,los camposfuera de los planosparalelosse arrula¡án enla figum semuestra tesultante el aditivot. son placas las enhJsl, peroentre ""mpo
L
-
t
( \
7 '¡
*-*ll* g = ol2eo
g=a l \
fl r=oneo
*.ll
ll--*-
'-r¡+-
il--*-
ll-*-
lJ+ (a)
+ E=0
E=
+
+
b)
(d)
¿1
IIGURA Z¡-17 (r) Canpo olóctloo dcbldoa un plam crrgadopoelüvrnrarto;co
el campoeléctricoesceroen d¡rdJ"Jdr¡*. ctpúm;iu¡a a*uo r 23-lld, Paradosplanospatalelos,conca¡gasopuestas, 'n planorngrüvanuüo cugado eodirlgo hach parte,exceptoentrelosplanos,dondeticnela magnitud cualquier para planooparalclos dc cargaopucst¡ uniforme:
^o L=-
I ? 1 _ ?¿t €g
y esüidirigidodesdela placaconcargapositivahaciala placaconcarganegativa. quc la direccióndel campoeléctricosie¡nprees la de li fuerzasobre Recuérdesc nuestracargapositivadepnreba,qo.
cl plam. (c) Con dc plarneparelclc cor cargr lgual, poto do ¡lg¡p coln¡lo, cl crmpo cléctrtcosc enulañrcn do lc pLrrn, pcro cs aditivo cntroollc. (d) El campoan cl l¡ücciorcs o/ra,y sodlrlgo do la placa poslüvr r h rcgaüva.
23-4 ELMovrMrENToDEuNA pAnrrcurJ\ Cá.RGADAEN UN CA}ÍPO ELECTRICO Nos hemos ocupado de la ca¡acüerizacióndel campo eléctrico de deüerminado conjunto de cargas.Veamos ¡hora la fuerza que sentiñin las partlculas cargadasen un campoelécEico ertcrno. La scgunü lcy dc Newton se transformaen
(23-3s) P = 48"r, = lfdO, Érr'? m la cual una partfcula de masa tn y ca¡ga g tiene una acelemción c debida a determinado campo elécüico exüemo,E*r. De aquf manejamoscomo siemprc la segundaley de Newton. El ejemplo 23-7 muestrael procedimicnto.
ll I
t; I
l_, l-' l_ lr) l,) l-t
I, L
L L:
t,'
EJ EM PLo 23 - 7 Se üenendoo placasparalelascon carga¡¡opuestas(figura 23-18).J-amagnituddc la densidadsuporficialde cargaen cadauna üene valorconstañtc,o - l.O x l0-ÚC/ml, y las placasesüina 1.0cm de distancia.(a) Si paÉe del rcposo un protón serca de la placa con cargapositiva, ¿conqué velocid¡d chocanícon la placanegativamentecatgada?(b) ¿Cuálseniel tiempo de reconido del ptotón? SOLUCION:(a) P¡imero calculamosel campo eléctrico y la aceleracióndel protón; a continuación,podemosemplearlasrclacionescinerruiücasparacalcular la velocid¡d y cl tiempo de reconido. Esü¡bleceriosel sisüemade cootdetradas queseve en la figura 23- lE. El campoE sólo tieneuna componentex, Er' ol en, de acuerdocorr la ecuación Q3-34\. Segúrnla ecuación(23-35)' la accleración, as, debidail campocléctrico,es
a¡-=a- =&
-
m
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1.0cm#l
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II
q-'
ll +
+ tl
ftl€o
rl
l0-te
F-
x 10'-6
é)Q.o 0.6 x Él^fl = 1.08x 1013m/s2, (23-36) (1.67x l0-:? kgX8.85 x l0-tz C¿lN.mr) ¿n la¡ cualcr h¿mosamptcadolt catga,{ y mara' ra, conocidas'delprotón.
il +
-|l
tl il-
tl
H H
fIGfrRA2&fE {Janpto23-7,Cargr+9) quosomucvocoboplr cupnlolr s.i '
685"i i,j
5 El poblema es ahora de cinemátiea en una diiuensión, con'acelerdclón , constante.SegúnlasecciónZ-S'rfusiendoag - c,
686 Crptllrto-lf " É crinpo d6ctde
('
t:
u'-u3-Zax'
U ('
Comola velocidadinicial, us,€sc€ro,
(-
(23-3'tl Introducimocel valot de la aceleraciónqueencontramosen la ecuación(23-36), recorida entrelas placas(¡'- l.Qcrn), Pafachcontralque i el de la'disüancia
I
(.-t
x 10;2n)'=2.2 x l0rr'm2'lsz; u2= 2(l:08x l0t3 m/s2x1.0 'u:4.7 x 105m/s.
U IJ (J
(b) Como el protón parte del reposo, el tiempo de recorido se calcula diüidiendola velocidadfinal enttgla aceleración:
lJ
4.7 x l}s xtlx u x l0-8s' [=-=-#=4'3 a , 1"08x l0'" ñl* .[¿s placasacelerana los protoneg,Y Por lo tanto,constituyenunaceleradorde partlculascargadas.
'
U \_¿ i\
(
,Dcflc¡
\-.,'
U (_
U ('
. ,l: l,i * o,::.#r..
l-/ I
¡ de la aceleracidnebcero: Ya quela velocidadsólo esen Nótesequeel componenüe ' (v6 la drrecbión'¡ - u¡i), el vector velocidad es .
Y = u*i+ t)yi= t)oi+É
ü.
(\-)
'(23-3e)
\-, La partfcula cargada viaja una distancia hotizontal L etitte las placas cargadas;en el
t
L '"t
( \_-,
e-
@il
xi
U
,l .t ! t
U
f
I I
Ii
i
U
I
(-
I¡ t
\. (
I
U
I T ÍIGüRA 1119 Una partículasodcsria cuandopasacntroplacaspanlclas con c¡fgaopu6t¡.
(;
\t
I
I
f I
(-,
U (
j
I
i
l'
tiempo ?",deüerminadopor
6s7
=ugT=L;
(23-4f)
Elmovlmlc¡¡to¿.ffi cergrdr cn un
T=L.
-o¡ro
clóctr'¡o
(23-4t)
[¡ desviación,o deflexión,de la p"rtr"ull en la di¡eccióri) es,entonces,
v= | a ,t2 - :# r': ; ##
(23-42)
l,a paffcula cargadasale de las placas en un lugar (ay) deüeminado por las ecuaciones(2340) y Q3a4. La partfcula cargadaquedi, entonccs,libre de Ia influenciade cualquierfuerza,si no se tiene en éuenta-ala gavedad, y sigrre,más allá de las placas,en lfnea recta formando un árrgulo 0 con su ¿i¡eccion iniJi¡:
tano -
u, t)x
=gL-(qtlnü&luq) üe
mufi'
El esquemade la deflexiónde partfculascargadas,que sedesc¡ibióen cl texto,cs la bas¿dcl funcionamiento delosciloscopio(figura Bl-l). Estea¡tefactomide magnitudesy dependencias con respectoal tiempo,de señaleselectrónicasmedianteuna deflexiónobservable deelechones.La figura B1-2 esun esquemade la parte mrisimportanüede un osciloscopio, el tubo de rayos catódicoso TRC (en ingles,C{\ Cathode-RayIltbe). El tubo liene dos conjuntosde placasparadesviaren sentidoveñical y horizontala los elechonesprocedentes dewt cañón dc ¿lectoncs. En cste cuión, loe electrones salende un frlamentocalentado,el cótodory se aceleran a una velocidadinicial vs (véa$ ejemplo23.8). Se didgena una pantallafluorescenüe, quehacevisible la llegadadp electroncs.En fr¡ncionamlentonormal,la señalque se.va a estudiarse conviertea un carnpo eléct¡icoent¡elas placasde deflexiónvertical,queson
(23"-43)
responsablesde la desviaciónen dirección ve¡tical. Nótcseque csat¡placas ¡sonhorizontalesl Oho campo eléctrico, proporcional al tiempo en form¡ line¡I, que sc llama basede tiempo, se estableceent¡e las placasde deflexiónhodzontal.El cambiode la magnitudde la señal (deflexión veftical) como ñrnción del üempo (deflexión horizonüal)se puedenobsen¡a¡entoncesen la panlalladel osciloscopio..
Pant¡ü¡ flr¡o¡rscc¡¡lc
FIGURA Bl-l Aco¡ca¡nlontodol c¡bc¡no dc un cciloscopio.
I¡IGURA B1-2 Diagramadorm tubo dc rayc catódlcc, qrr sot¡si co lc cctlccoplc, tclovlsorcsy muritorce doccnputadon.-La clcchorrc¡so¡rcmltidc dcl cdtodo(puntoe, ur clonuúo c¡ltcnto¡ lc mrlrola la rcjllla (Q; los cnfocr cl ánododo cnfoqrrc(F); y dcspu& la rcclcn (r{) un alto volt¡Jom¡cr¡t¡rssc corformrn (coltmrn¡ cn hacoe rncdlantopcqucrlesebcrtuns.las placasdc dcflcló¡r vcrtlcal, qrrceon horlzont¡lc,s,d.sví¡n cl h¡z cr¡scr¡üdovcrüc¡l do ¡cucrdo con ol volta¡o rpücadooltnoollrs. T¡mbtén son¡rnlnlstr! volt¡Jo! lrs placasdo donox¡ór¡horizor¡t¡l,quoson voriicrtcc, psrabar¡crconio¡rrlrtl¿"¿ ol , h¡z do olcctorrcscruzandola panfatla,can uru npidcz quosopuoao v¡rlar, [.c olcchor¡csllcgan aia oantallay hnccniluo:,o,iccra ic lryarc . dondcllcgan l
' i ., l'i i.l I
h I
4 \/
688 *ntlil",13'tr!
c¡iulro-cléctrlcb
IIGURA 23.20 Ejomplo23.8.Elcct¡óh qrropasscntrcplacasdodcflcrión vcrticál.
# :
EJEMPTO 2 3 - I Uneleótrónáunavelocidad ue- 3 x 106m/sentmala placas deflexión regiónent¡e las de. verticalde un,tubode rayoscatódicosilas, placastienenuna longitud,11- 3 cm (véaseel reeuad¡g'LElosciloscopioli)r,IJna pantallafl,uorescente estácolgoadaa Ia":- L7 cm mas allá.delas placas,Calcule la,deflexiónve¡ticaltotal, en Ia pantalla,lespecto¿,su.direccióninicial;,si,el. cainpoeléotricoentrelas placasapunti,hacia"abdjo oon magnitudE.: 1,01N/C. No hay deflexiónhorizontal.*
'v
SOLUCION:La figura 23-20 muesttaeL caso,Lardeflexión vertical tCtal del . electr{n es la desviacióny1, adquiridaal pasarentrelas placas,al igual que la ' desviabiónadicional,y2,resultadode la trayectoriarectadespuésdehabersalido de las placas.Empleamosla ecuaoión(23.42) pam calcularla deflexiónyr del ., .., . , elecffónnrienirasestá,entre.lasplacas!.. r .,,¡ r,,..n"1r ,", , 1 .. ' lqELl
,l
,,1 .1 ;A
El electtónquedadesviado;despuésde dejarla región entrelas placas,viaja en deüetminado ringulocon respectoa su di¡ecciónoriginal, que se calculacon la ecuación(2343), como tan 0 = qEL¡Jmúo. La deflexióny en la distancial2ala patrtallaes,entonces,
Finalmente;la deflexióntoüales
+¿,) v:t,Tv,:+#.+p ,¡ ryu6..\l ¿ müó müó =*(:¿, /
j
La evaluación numética con un. signo menos para E (ya que E apuhta hacia abdjó) ptoduce
)'
"" :
t t ' ' "i
I
'
(9 . i1 x t o -rt ¡3 1 (3 x 1 0 6 ¡rlg 2 ' r' ri r' x l' + (3 ' x lo ' 2 m)+ (1 2x lo -' -m)I
J
-i
, - 8.0 x l0-2 m.
: O.llm y U aeflexiOñy Deestos8.0cm,ladehexiony, z- 7.lcm.
,)
v
\-z
\
23-5
EL DIpoLo ELEcTRrco EN uN cAMpo
689
ETECTRICOEXTIRNO
El dlpolo clécFlco c¡u¡ -ñ¡ro cléctdcocrtcmo
En la sección23-l ptesentamosel dipolo eléctrico,que tiene una cargatotal cero, peroun centrodecargailositivo y uno negativoseparados unadistancial. los dipolos eléctricospemanentes (por ejemplo, las moléculaspolares como NaCl y HzO) existenen la naturaleza.Además,muchosmaterialesneutrales,como las pelotasde corchoque se describieronen el capftulo22, tienenmomentosdipolaresinducidos cuandoestánen un campoeléctrico.externo.A causade su importancia,deseamos describircómoreaccionurlos dipoloseléctricospermanentes en los camposeléctriI cosexternos. Tencmosel dipoloeléctricopermanente quesedescribióen el ejemplo23-3.Su momentodipolartienecaráctervectotialy asignamossudireccióncomoseindicóen p, esla (23-13).Colocamosal lafigura23-6.La ecuacióndelmomentodipolar, dipolo eléctricoen un carnpoexternouniforme (figura 23-21),Las fuerzassobre+q (F.) y -q (F-) son F* = qE,
FICURA 2:'-21 Dlpolo colocadocn un campocléctrlcooxtcmounlformo.No slonto ñ¡crza¡nl¡, poropucdoachur sobrcél un p8r.
F_=-4E--F+. Notamosque las dos fi.¡erz¡sson igualesy opuestasy por consiguientese anulan. Sobreel dipolo no hayfuerza neta, ,. Sin embargo,existeun par que tiendea hacergirar al dipolo.Paracalcularsu magnitudy rotacióncorrespondientes, debemosseleccionarun puntode referencia, y convieneescogerloa la mitad del dipolo, en el punto O, en la frgan 23-21. El movimientoreal seráindependientede la seleccióndel puntode teferencia.El par r conrespectoa un punto,debidoaunafuerzaqueachiasobreotropuntoa unadistancia r, estáe¡presadopor la ecuación(10-6):
f=rxF,
(23-44).
enla cual r semide desdeel puntoO. El parresultantede lasfuerzassobrecadacarga tiene,por lo üanto,el sentidode las manecillasdel reloj, y la magnitudde cadauno es r+
t-
Recuérdeacquc cn cl crpltulo 10,cl movimlento de un sistem¡ cob¡.ecl cu¡l rctúr un per eeindependientede le elecclóndel origen.
=(l)n'*" ''
Recuerdequc le rcgh dc le mrno derech¡ determin¡ l¡ dlrccclón dc un pr.oduclovectorirl.
=(l)nt *" u'
en las cualeslos subfndices+ / - indican las cargas.Como tar¡tor+ como r- son rotaciones ensentidode lasmanecillasdel reloj, el partotal tambiéntieneesesentido, y sumagnitudes T :f+ * T -= q L E x n 0,
(23-4s)
estaepu,agr.ón del narsobreun dipolo comoel productovectorial Podemos representar de p por E:
;i;#'n,,*;Pri
(23-46) P¡r ¡obrcun dipoloenun cempo cléctrlco
queexpresatanto,lamagnitud(pE sen Q como'la dirección (haciala página,en la figura23-21)del par. (0 - nt2).El El par mríximo(r - pE) se tienecuandop y E sonperpendiculares (0 par tiende p y paralelos (0 antiparalelos r). 0), o El es cero cuando E son inr a girar al d[polo eléct¡ico hasta que p queda paralelo a E. La posición 0 - 0 conespondea un equilibrio estable,pero cuando 0' n, el equilibrio es inestable, po¡queunapequeñadesviaciónharáque el dipolo gire hacia 0 - 0.'
'i..
690 c.ett";r5Tt'carüpo
clécti"lco
TABLA 23.2
Ú¡rw
Campo eléctrico
Par, r
Vclocldadangular a
Máximcj,hacia'lápágina
.,I
Decreciente,hacia la Página
Cero,
Di¡ección invertida, tuera de la Paglna, ' creciente
lraciala Página Creciente,
Máxima¡haciala página
Deereciente,haciala Página
Máxinto,tuerl {l la página Cero
Decreciente,fuera de la Página Direccióninvertida, . creciente,fuera , . de la P{gina,
este oscilará con si no hay un mecanismoque disipe la energfadel diPolo, de cero' Al girar el distinto ¡espectoa 0 - O eternamente,si pate di un valor de I el otro lado' Sin pasa hacia y llegaa I -:0 lipoto fru"iag - 0, guno'tnergfa "inéti"u, del reloj, con lo emba¡go,el par se welve en sentidocontralio al de las manecillas = pasade nuevo y 0 a 0 disminuyesu movimiento,se detiene,regfesa q"" girando en un dipolo un origiout. La tabla 23-2 muestrauna secuenciade ;ihd""i?ip"ri carnpoeléctrico,a travésdel tiempo' exüemoconstanDescargadisruptiv* I¿s fuer¿a:debidasa un campoeléctrico tienden a o.inducidb, de un dipolo, sea peünalrente te, sobre los componentes en eléctrico, campo del desintegrado.El que,u""¿u o no dependecon la intensidad las Para dipolo' al de la interuidadde las fu",,u, quemantienenunido "o.f"i^"iOnde aire (en su mayor pa¡te, de nitrógeno y oxfgeno), se presentauna moliculas x N/c'
3 106 élé"tri"o uptoxi*uaaqenie, "!, "uápo en descomponen se los componentesdei dipolo molecularinducido
Trr*ri7Ai*üi*i¡"*¿"'"i
F'IGURA 23-22 El campo cléctrico cntrc las piczas mctálicas cs tan grandc quc hay una dcscargadisnrpüva on cl aírc: rura chispa.
En estepunto, al campoexterno'Al fragmentosde cargaopuesta,qu9 se separanentresf debido seaceleranpor el aire que resultan cargadas descomponeselasmoiéculas,lL parte_s a.su y chocancon otrasmoltculas, ayudandou d"scómponerlás vez. El resultado'es en movimiento que producenuna chispa(figura 23-22).El d;-;;", ffi;J;; el ejemplofumiiiar, en granescala,de esteproceso' iuio "t
t,
(._ (
I
.\
fl"*
I
{
I
La cncrgía dc un dlpolo cn un cempo cléctrlco crtcrno se.debe efectuar trabaio sob¡e un dipolo eléct¡ico para hacerlo girar en un campo eléctrico-extemo. Por ejemplo,elcampoeléctricoefóctriarabajo fositivo parahacer girar al dipolo desde 0 nl4 hasta g 0. un agenüeextemo tendrfa que efectuar trabajopositivo (y el camPoeléctricoefectuarfatrabajonegativo)parahacergirar al dipolodesde0 - r/4 hastar/2. vimos en la secciónto-o queet tmúajo, 17,efectuado pot el agenteexüernocuandoejerceun par, r, sobreel sistema,y lo nrt¡evedel ángrrlo fthastaeldnguloo'es
69r 215 El dlpolo cléct¡.bo c¡un éFDo cléc.tr{oatcr¡o
W =Jr,.., dW- Jro, t d 0 . Asf,paraun dipoloconmornento dipolarp, w=
It,
pE*n 0 ,J0= pE(cos 0o- cos0),
(23-47)
siendoE el campoeléctricoextemo.El trabajoefectuadopor el agenteextemo se transform¡ en energfapoüencialdel dipolo áéctrico, y asf, cl dc energla "oñuio potencial, U - Uo,6 ^U-
0o- cosúl). (23-48], U - Uo= pE(cos ü Podemos escoger libremente la uoconstantc, y lo hacemos detal modoqueuo - 0 cuando0o- rl2, Asf,la energfapotencial, cuandoel ringuloes0,es g = -pEcos0.
(23-4e)
Nótesequc la ecuación(23-49)esconsistentecon nueshaseleccióndel ce¡oparala energfapotendÍat,porque Uo- -pE cosft, gue es cerocuando0o rl2, La ecuación(2349) se puedeescribir en forma más compacüaernpleandoel productopunto o escalaf,de p y E:
j u;ip1,n i,.pm;m,,4i*m;,
(23-s0)
fuites,describimos la estabilidad del equilibriodel dipoloen un campoeléctrico externo. En la ecuación(23-50),podemos verdi¡ectamenüe quela odentación enla cualp estrialineado conE esunpuntodequilibrioestable, porqueutieneunmfnimo allf, Encontraste, utieneuntn¡iximocuandop esantiparaliloa E,y porconsiguiente esunpuntodeequilibrioinestable.
Encrglr polcnchl dc un dlpolo cn un cempocléctrlcoclcr¡o
EJEMPLo 2 3 - 9 l¡ moléculade agua,H2O,tieneun momentodipolar permanentediep - 6 x lo-s c.m (figura23-8).calcule el parmríximosobre una molécula de agua en un c¡mpo eléctricouniforme de ld N/c. También, calcule su energlapoüencialmfnima, y comprirelacon uria energlamolecular térmicanormal,&r, cuandola moléculaespade de un gasa una tempehturade 400 K. ¿Quépuedededuci¡acercadel alineamientode lasmolécula,cdeaguaen el gas,a esaternperatura? SOLUCION:El cálculo del par mríximoy de Ia energlapotencialmlnima esuna aplicación di¡ecta de nues[os resultados.segrin la ecuación(z3,-4s),el par máximo se tienecuando0 - nl2,y tieneel valor r,nár: pE: (6 x t0-30f .m)(lOsN/f) = 6 x l0-2s N.m. De acuerdocon la ecuación(234g),la energfapotencialmfnima se tiene cuando 0 - 0; estoes,cuandop y E son paralelos: : -:pE: -6 x l0-2s N.m : -6 x l0-2s J, Uorio en la c¡al hemosempleadoel resultadoanteriorpararn¡. como esun punto de equilibrio estable,el momentodipolarde la moléculade aguatendedaa alinearse con E si estuvieraaisladoy sin perturbaciones.
J
t. 'l ,1 ,l -
-
,
r' i i :: i l r, I *-.**r.r+r.¡¡¡¡¡¡"¡*
692 C¡pítu10.23 ¡l.rapo
dfu"rlco
Polota do corcho con rm dipolo indr¡cido
l.os,choques ap¡eciablernenüe molecula¡espueden'peÉurbar a lasmoleculas. A unatemperstura?i la energlacinéticaptomediode uns moléculaesel número de gradosde libertaden su movimiento,multiplicado porkTl2i esel üeorema de la equipartición(véasecapftulo19).Podemosestimar estaenefgfacon la expfesiónk?" Cuando?- 400 K, kT: (138 x l0 'zrl/(X+oo ll = e x l0-2r J. La energfacinéticapromedioesunas 104vecesmayor que la energlapotencial mlnima debida a la inüeraccióndel dipolo con el campo'eléctrico.Asl, las colisionesaleatorias,quedesorientanal dipolo,enhelasmoléculas,conenergfas cinéticas lOa vecesmayoresque las energlasde alineamiento,enmascaranín que üengande aline¿¡secon el campo. cualquierüendencia
F E dc la varilla
El dlpolo cléctrico en qn catnpo no uniforrnc
Varillr dc tcflón f¡91¡¡l,rgon picl
FIG¡ l¡t \ 23-23 Dipolocolocadocn rur capool( rt¡lcooxtcmoy no urüfornrc;puodo cxprc¡inr )ntarr¡r¡afucr¿¡ nct¡. En cstccaso, cl carn¡rr olcctricocrtcÍ¡o ir¡ducoun dipolo onla pclotadc corcho,la cualsicntc cntonccsruu fucrra dcbldaal campo clcctrico.Estocfcctoscpucdocomprcndor mcdiantola lcy dc Coulomb.
.
Si secolocaun dipolo enun campoeléctricoextremono uniforme,entonces,adem¡is del par,puedehaberuna fuerzanetasobreel dipolo. El molimiento resultantese¡la una combinaciónde aceleraciónlineal'y rotación.Los detallesdel movimiento dependen,en forma cdtica, de la configuraciónparticulardel campoeléctrico. El efectode un campoeléctticono unifofme sobteun dipolo inducidoexplicala atracciónqueejerceunavarilla de teflón, frotadacon piel; sóbreüna pelotaneutrade corchocubiertacon pinturaconductora,como se describióen la sección22-L.la varilla cargadade teflón induceun dipolo eléctricoen la pelotade corcho,que está en el campo eléctrico no uniforme de la varilla. Se puede explicar la attacción, tahto con el empleodirectode las fuerzassobreel dipolo, como satisfactodamerite, poila firerziideCcjúlombenttecargasigualesyopuestas(figura23-23);OEoejemplo de la acción de un campo eléctrico no uniformb sobte un dipolo inducido, es la pedazosdepapelporun peinequeseacabadecargarpasrindolo atraccióndepeQueños por el pelo.l,os pedazosde papeltienenmomentosdipolaresinducidosy sonatraldos al peine,en su campono uniforme.
RE S UME N camposeléct¡icosen el espacioquelasrodea. Las distribucionesde cargaesLablecen I.os vectorescampo eléctrico se puedenddscribir moviendo una ca¡gapositiva y pequefra,de prueba,q0,por estecampo.El campo,E, se define como la fuerza,F, sobreesacargade prueba,dividida entreq0:
n :ü m I c u 'o 4 o
El campoeléctricotieneunidadesN/C, o V/m. La fue¡zasobreuna cargapuntualq' en un campoeléctricoexternodadoes F : (' 8" ^r.
(23-7)
I-as lÍneas de campo eléctrico ayudan a visualizar la dirección y magnitud del campo eléct¡ico producido por divetsas configuraciones de carga. Se inician y terminan en cargas positivas y negativas, tespectivamente, pero, apatte de ello, son continuas. En un punto dado, una linea de carnpo eléctrico es tangente al campo en ese punto, y la densidad de las lfneas de campo pot unidad de fuea es proporcional a la intensidad del campo eléctiico.
J
Según la ley de Coulomb, el campo eléctrico debido a una carga puntual g es
E-=-4 ,t. 4n6¡r'
(23sl
693 naÍ¡úca
Los camposeléctricosobedecenal principio de la superposición:
4.,o= E r + E 2+ E r + . . . :
I lir,
( 23 t0)
en la cual E¡ represenüa el campode los componentes queformanunadistribuciónde carga. En su forma mássencilla,un dipolo eléctricoconsisteen una cargapositiva,q, separadade unaca¡ganegativa,'9, poruna distanciaf,. Esacorrfiguración,o unaque seaeléctricamenteneutrapero que tengauna zonade cargapositivay negativa,una al lado de la otra, se presentacon frecuenciaen la naturalezay produceun campo eléctrico.Esecampodisminuyeenfunciónde la distanciar, en la forma llf ,y,para el dipolo sencillo, es proporcionala la magnituddel momentodipolar eléctrico,p, expresadopor , p = ql', (23-r3)
La direcciónde L (y de p) esdela carganegativaa la cargapositiva.üa dirección determina la dependencia angulardelcampodeldipoloeléctrico. El campoeléctr[codebidoa unadistribución continuadecargaes
E=*; ly,
(2 3 -2 0 )
En ella, r es la distanciade un elementod4 de catga,al punto en el que se rnide el campo.Pa¡ausa¡esteresu[tado,esnecesarioconocercómo varfadq en el espacio. El campoeléctricodebidoa un alambrede longitud infinita es radial y perpendicula¡al alambre.Un planocargado,de áreairrfinita,con unacargao por unidadde area,tiene un campo elictrico uniforme y dirigido peryendicularmenteal plano, I siendo
E=
;€"'
(2 3 3 3 )
Ademásde producirun campoeléctrico,un dipoloexperimenta un paren un campoeléctricouniformeexterno: .
t:
p x l_.
(23 461
El dipoloen el campoexternotieneunaenergfapotencialde U= _p.8, PREGUNTAS
(23-s0)
i
l. ¿Porqué las pipasde gasolinaarrastranalambrcsmetálicos por el pavimento? 2. ¿Porqué nuncapuedencn¡arse dos lfncasde campoeléctrico? 3. Hemospresentadoel conceptode un campoeléctrico.¿Por qué podrfaserútil introduci¡un campogravitacionatan'álo8o? 4. Un globo de hule inflado se carga frotándolo con piel. Explique qué sucedecuandoel globo se colocatocando(a) un mr¡rometálico;(b) un muro aislante. 5. Las lfneas de'campo eléctrico comienzanen las cargas positivasy terminanen lasnegativas,comoen el casode las
lfneasdc campodebidoa un dipolo. Estaafirmación,¿contradiccla imagcndc laslfncasdc campodcbidasa unacarga positivapuntualúnica? 6. Un par de cargasigualesy opuestasforma un dipolo, y el campoeléctricode un dipolo no escero.Pero,si tuviéramos quever un dipolo desdemuy lejos,lasdoscatgasparecerfan estaru¡rasob¡ela otray anulaÍse;estoes,no verfamoscarga, y por lo tanto no verfamoscampo.¿Cómoreconciliausted estasafirmaciones?
7. ¿Puedecl dipolo eléctricoinducido en una pelotaesférica, conductora,hacerque éstagire? ¿Y cl dipolo inducidoen' unavarillalarga?
,i'
i
' 11i, :i ri : .
i.:
8. Despuésdepeinarel cabello,el pei¡epuede,confrecuencia' atraerpedaiospequeñosde papel'El actodo peinarsepuede en el peine,peroen sf no afecta induci¡ urrn "tigt "lé.trica al papel.Entonces,¿quées lo quecausala atracción? (HtO) como 9. Explique có¡no actúa la moléculade agua que dosregiohay dado 23-8), (véase figura dipoloeléctrico alrededorde los átomosde H' con carga nes espaciales, negativa. eléctrico 10. Expliquepor quéla técnicade lasllneasde campo de no-r"rjoútil paraunacargapuntual,si los experimentos decreeléctrica que la fuerza huüierandemgstrado Cc,ulomb ce cn funciónde 1/r,o en funciónde l/É'ó' describir 11. El ¡novimientointemo de un lfquido se puede vector.velocique el es medianter¡ncampode velocidades' qué dad del elementóde fluido en un punto'dado' ¿En qué diferense urp..to seasemejaa un campoeléctricoy en ri a'l
cuyo campo 12. ¿Puedeustedinventar'un arreglode cargas estóctirigiclorapialme¡tehacia'unPuntoen deter"jé.,ri.oregiónclclespaciovacfo?La respuesta conectaliene ¡ni¡racla en colocadas cargas de iinpli.t.io'n"t prto it cstabilidad camPoseléctricosestáticos' (+g y 13. Supongaque se colocaun pequeñodipolo eléctrico a' y que es Perpendicular -qj en-algúrrpunto de una recta figura la en se-ve como (+Qy -Q), fljo trisect",a-otrodipolo girar con zi-zq.'si el diiolo.pequel-rotiene libertadde a su centro,¿quéhará? resPecto
-r ,I. I - t_ - - - -
, i
--e
I
+Q
I
(t\ +) +1, FIGURA 23-24 Prcgunta13 en 14. Sc tiene ut Bran ltúlncro dc dipoloq idénticos celtrados con el plano ry y apuntando en dirección z, dispibuidos el lfmite en eléctrico, a"nsi¿a¿ uniforme, ¿Cuál es el campo
en el que los dipoloJforman una distribucióncorltinla? , 15. Una placagrande,plana,con cargapositivay distribución uniformedicarga,ie colocaenel piso'Sesueltaunapfldora la placa'No ..rg. positÑ", partiendodel repoéo,sob¡e^ "on tengaei cuentala iesistenciadel aire' Describa,en forma .uriitotiur, el movimientode la pfldorasegúnla distancia desdela quese dejacacr. cacr 16. Supongaque una pastillacon cargapositivase deja con grande' esfera una de polo norte el sobre anit¡a ¿cs¿e tener Sin carga' de cargapositivay con dlnsidad uniforme pequeñas delaire,ni inestabilidades .n Ju*tu la resistencia que pudierahhaccrque la pfldorase alejarade la vertical' dcscribael movimientodc ella.
PROBLEMAS EI camPoeléctrico 23-I = cm)' cargade 3 ¡rC estáubicadaen (r'y) (0 cm' 3 (I) Una -1. cm)' (4 9 crn' eléctricoen b"t.t*in".t."-p9 eléctricoen el origen' Itbi|" q li campo 2. (I) Calculeel cargas:+q en (x' )) - (a' a)' +q en de distribución riiuiente (Jo, o); -q en.(-a,-a),Y -q en (a' -a)' y estáen el punto1- 0 Y-n" -3. (I) Una cargade ¡12 ¡rC m'-'¿Cuáles t punto g'l el en nC, q 0'5 íg^, i"guna" = " y direccióndel campoeléctrico(a) enx I ,oi t" mrgtti-tud = (d)enx 0'09999 m, (b)eni = 0.11m, (c)enx - 0'1O0Olm'
(II) Calculeet c#po eléctricoen un punto a 3'5 cm vertidel problema4' .ni-.nt" aniba del centrodel cu¿idrado = 6. (II) Una c;u1^-q estáubicada eny -( lL,y,üna segunda *q, eiy = + f l2 (figu¡a 23-26)' G) ¿Cuíl esel campo +q' "ig^, .l¿itl.o in.iorigen? (b) Si la cargaen- I l2 fusra lcuál (b)' parte para (c) la origen? el serfael carnpoeúctrico en determi¡z plano el todo en eléctrico .^rnpo .l ¿."¡f *¡t nadopory-0?
5-
en las 4. (iI) Hay cargasde +2 ltC,-4 pC,-U 1".' .*.8 ¡lC 23-25)' (fig'ara por lado cm 4 esquinasde un cuadraáode Coi.ut. el campoeléctricoen el centrodel cuadrado' --Q 4,;n' 6)=_--
Yn* u.
l-l I rl
-6lrcI
FTGURA23-26 Problcma6' y x ' -a' r ' 7. (II) Se colocan cargas idénticas, Q, en .a en x - 0? eléct¡ico campo el es (a) iespectivamente. ¿Cuál go prueba de (b) Suponga que se coloca urul carga positiva
694
vr* L I, t_ lu
t_
t_ I t_ l-
en¡ - 0. ¿Estará en equilibrioestableo inestable? lsugerencia.'supongaque la cargade pruebasodesplazauna distancia 6 en direcciónpcrpendicular al cjcr. ¿Cuálscrála fuerza netasobrcla cargade pruebacn la nuevaubicación?l 8. (II) Calculeel campoeléctricoa lo largo det eje dewt dipolo, a una distanciar del mismo,como se ve cn la figura 23-5, Describael campoparar >>L. 9. (II) Se colocauna sucesiónde z cargasq positivasy negativasaltemadasa lo largo del cje r, a unádistanciad entresf. El aneglo es simétrico óon respectoal eje y, estandola primeracarga+q en x df2,la primera-q en x -dl2,la segunda-q en3dlZ,lasegunda+q en-3dl2,y asfsucesivamente(figura23-27). ¿Cuálesel campoenun puntodistante y . I, siendo Y >>ü, en el ejey?
t_ t_ I,
t_
a_
a_ L t-
a_
a_
tlcURA 2.1!.27 ltoblcnr¡9.
a_ l_
I, t-. l_ I,
L t_ tl_ t_ I, l-
aL l) l_
1,. I, L L L; l-
tL I
10. (lll) Supongaque la cargapositivade pruebadet problenra 7 estálimitadaa moversesólo a lo largodel ejex. ¿Seráx 0 un.puntode equilibrioestablc?En casoafirmativo,entonces la cargade pruebadeberlaoscilar con ¡espectoa ¡ 0 paradesplazamientoq lo suficientemente pequeños.Si ese fuerael caso,¿cuálserfala frecuenciade oscitaciónde una carga de pruebade masam? lsugerencia..supongaque la ca¡gase desplazaa un punto.r - 6, siendo6 <
Laslíneasdel campoeléctrico
23-3
.
El campoeléctricodebidoa una distribución continua dc carga
14. (I) Calculeel campocléctricodcbidoa unavarilladelgada, infinilamentel¡uga,con cargauniformey densidaddeiarga 4 pClm,a unadistanciade 50 cm dc la varilla. Supongaquc la varillaestáalineadacon el ejer. 15. (I) Una varilla delgadaconcargauniformecon5 ¡C de carga tota¡y l0 cm dc longitud, sc colocacn cl eJe¿,centradaen el origen.Determincel campoeléctricoen (x,y,z) (5 cm, 0 cm,0 cm),y en (0 cm, 5 cm,0 cm). 16. (I) Hagaun esquemade las lfneasde campoeléctricoentre una ca¡gapuntual,Q, y un cuadradoplano uniform"mente cargado,de áreaL2 y catgatotal -e. La cargapuntualestá a unadistanciaI sobreel centrodel plano. 17. (ID Una carganegativaestádistribuidauniformementeen un cascaróncilfndrico largo.Hagaun esquemade las lfneas de campotantoen el interior como en el exteriordel cascarón. No incluya los extremosdel mlsmo. lE. (If'Se tienencargaspositiVasdistribuidasuniformemente, con densidadlineal dc cargal" en un cfrculo de radio R. (a) Con argumentos de simetrfa,deduzcala direccióndel campo cléctrlcocn un punto cn el plano del cfrculo, pero fuera áe é1. (b) ¿Cuál es la magnitud del campo cléctrico a ru¡a distanciaI a lo largo del ojo del chculo, paraI >>R? 19. (II) Se dobla una varilla con una carganegativauniforme, en forma de sermicfrculo.Hagaun esqucmadc las llneasde campoeléctricoen el planode la varilla. 20. (II) Dos placasinfrnitas,con densidaduniformede cargade 3 pClmz,se colocanen el planoyz, pasandounade ellaspor .r - 2 cm, y la otra por ¡ - a cm,Determincel campo eléctricoen (¡, y, z) - (a) (0 cm, 0 cm, 0 cm); (b) (5 cm, 0 cm, 0 cm);(c) (5 cm,2 cm, 3 cm). 21. (II) Dos placasgrandes,planasy verticalesson paratetas entrcsf y cstánseparadas por unadistanciad. Ambastienen densidaduniforme, o, de cargapositiva.¿Cuálesel campo eléctricoen el espacioque las rddea,y entreellas? 22. (ll) El eje de un tubo huecode radio R y longitud t está alineadocon el ejey; la o¡illa izquierdadcl tubobstácny 0, como se ve en la figvt23-28. Tiene una cargatotal g, distribuidauniformenrente en su superhcie.Integrandoel resultadoparaunaespirao cfrculode cargaa lo largode su propioeje (véaseejemplo22-6),determine el campoeléctrico a lo largodel ejey, debidoal tubo,comofuncióndey.
ll. (I) Tracelas llneasde campoeléctricodebidasa cargasde +3 C y +l C, colocadas a 4 cm de distancia. 12. (ID Se tienenlascargasq, colocadas a lo largodel ejex, en x - tut,siendon - 0, tl, *2, t3,. . . , Hagaun esquema de laslfneasde campoeléctrico. 13. (ID En la figura 23-l2b se muestranlas lfneasde campo debidasa un dipoloeléctricop; por definición,la dirección de p va de -q a +q,Hagaun esquema de laslfneasde calnpo para(a) un dipolo -p adyacente y paraleloal dipolo p; (b) un dipolo,p, adyacente y paraleloal dipolop; (c) un dipolo, -p, en el ejede p, a ciefa distanciamásallá de la carga-q; (d) un dipolo,p, en el ejede p, a ciertadistanciamásalláde la carga-q.
l.'¡CllRA2J-2lll,roblcnur 22. 23. (lI) Una cargatotal,Q, se distribuyeuniformemente en una varilla de longitudL. La varilla estáalineadacon el ejex,; con un extremoen el origeny el otro en el punto¡ - ¿: Calculeel canpo eléctricoenun punto(0,D) y compare esle,,¡', resultadocon el cam¡xren el punto(LIZ, Dr. l' , Kt¡q i
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24. QI) Un disco ci¡cular delgado,de radio Jt, estáen el plano rJ, con el centro en el origen. Una carga Q en el disco se distribuyeuniformementeen su superficie.(a) Determine.el campoeléctricodebidoal disco,en el punto z - zeen el eje z. &) Determineel campoen el lfrnitezo- o. (c) Determine el campoenel lfmitecuandoR * o. ¿Sonigualesloslfmites de las partes(b) y (cX t<
(II) Se tiener¡navarilla delgada,con ca¡gauniforme,de 50 cm de longitudy se dobla en semicfrculo.La cargatotal sobrela varillaes2 ¡rC.¿Cuáles sonla magnitudy dirección del campoeléctricoen el centrodel semicfrculo? 26. (II) Una varilla de 80 cm de longitudsecargauniformemente, con una densidadde cargade 40 pC/m. Se colocauna cargade20 ¡rCa 80 cm del puntomediode la varilla,en una a la misma.Calculeel campoeléctrico llneaperpendicular en un puntoa la mitad entrela cargapr¡ntualy el centrode la varilla.
27. (III) Se tiene un punto a ruraaltufa eodirectamentesobreel centrodeun cuadradode lado2L. Esecuadrado, no conductor,tieneunadensidaduniformede cargaiguala o. (a) Con el métododel ejemplo23-6, formule una integralpara el campoeléctricoenzo.(b) ¿Cómosesimplificala integralen el lf¡nite L - *? (c) ¿Enel llmite e * 0? 23-4
El movimientode una parTículacargada cn un campoeléctrlco
2S. (l) Una placainfinita tienc una densidaduniforme de carga o - 6.42 x l0-7 C/m2.Se colocauna pastillade 4.75 g de masa,enreposo,a 0.8óóm de la placa.La pastillatieneuna cuga negativeq - *3.69 x 10-óC. ¿Cuáles su rapidez cuandollega a la placa?Sólo tengaen cuentala fuerzade atracciónelectrostática. 29. (l) Una placa grandey plana,con densidaduniforme desconocidade carga,o, se colocaen una mesahorizontal. Una pelotade corchode 1.55g de mása,con una cargade 4.5 x l0-7C, secolocaen repososobrela placay pe[nanece en reposo.¿Cuátrtovale dl 30. (U) Se tiene un alambreir¡finito con densidaduüforme de car1 , L, a lo largodel ejez. Una paffcula concarganegativa se mueve en un cffculo, en el plano ry, con centro en el alambre.Calculela velocidadde la partfculay demuestre que es independiente del radio del cfrculo.Sólo tengaen cuentalasfuerzasdebidasal alambre.
con velpcidadinicial ceroa 50 m sobreuna pellculauniforme de aguacon cargapositiva,con densidadde car¡;ao. Supongaquetal superficiees inf¡¡rita.¿Cuáldebeser o para que el clavadistatarde 1 min en caerhastala superhciede la hoja? 34. (II) Una pelotade corchode 0.40 g de masase colocaent¡e dosplacashorizontalesgrandes.La placade abajotieneuna der¡sidaduniformede cargade +0.80x l0-ó C/m2,mientras quela superiortienedensidaduniformede cargade -0.50 x l0-ó C¡mz.La pelotade corcho,que tiene una cargadesconocida, se coloca ent¡e las placasy se obseryaque flota inmóvil. ¿Cuálesson el signo y la magnitudde la cargade la pelota?
35. (II) Setieneel tubodc rayos"catódicos delejemplo23-8.Esta vezel electrónentraa la regiónentrelasplacasdedeflexión verticalcon una velocidadtotal de uq- 3.0 x 10óm/s. La di¡ecciónestal quela velocidadtieneun componente vertical a" - + 3.0 x 105m/s.Calculela deflexiónverticaltotal del electrónal alzanzarla pantalla. 36. (II) Una pelotade corchode 5 g de masa,con unacargade -2¡rC, estácolgadade u¡rhilo de I m de longitudsobreuna placahorizontal,uniformemente cargada,con densidadde cargaI FClm'.La pelotasedesplaza de la verticalmediante un ángulopequeñoy se permiteoscilar.Demuestreque la pelotaadquieremovimicntoarmó¡ücosimpley calculela frecuenciaangularde esemoúimiento. 37' (III) Un protónsemuevea una velocidadv - 5 x ld m/s, en di¡ección+x,y entraa determinada región.En ella,un campo cléctricoestáorientadotan¡biénen dirección+¡. La intensidadde ca¡npose reduceen forma lineal respectoa .r: al inicio de la región,x - 0 m, la interuidaddel campoes500 N/C; cuandox - 3 m, la intensidadde campo es cero. ¿Cuántotiempo tarda el protón en atravesaresaregión? La ecuacióndel movimientoserámásfamiliar nSugerencia: en términosde la variable¡' - x - 3.)
23-S El dipolocléctricoen un compoeléctrlcoextcrno 3E. (I) Un dipoloeléctrico consiste opuestas de2 endoscargas pC demagnitud, colocadas a unadistancia de 10cmentre
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31. (II) Una carga negativa,-q, está forzadaa moverseen un planoen el cual hay una lfneacontinuade cargapositivay depidad de carga/,. La carganegativa'de masam, puede pasarlibrementepor la lfnea de cargapositiva. ¿Cuáles la ecuaciónde movimiento de la carganegativa?
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32. (ID Una cargapositiva,q, puedemoverseett órbitacircular con respectoa un alambre negativamentecargado,con densidadlinealde c^rg A..Demuestreque el periodode la órbita es proporcionalal radiode la misma.Comparcestc del periodo de una órbita resultadocon la dependencia circularrespecto al radiodelamisma,paraunacargapunfual queinteractúecon otracargapuntual. # 33. 00 En los JuegosOllmpicosdel año2020,unclavadistade 70 kg demasatieneunacargapositivade I ¡lC y sezambulle
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FIGURA 23-29 Problcma38.
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sl (figura 23-29). El dipolo se encuentraen el senodc un campoeléctricouniformc de l0 N/C a lo largo dcl cjc r, y la di¡ecciónde p forma un ángulode +45" con el ejer en el planory. Determincel par sobreel dipolo. 39. (I) L: magnitud de las dos cargasopucstasque forman un dipolo eléctricodisminnyeen un factor de l0 mientrasque la separaciónentre ellas se reducea la mitad. ¿Cuáles el cambio de n¡agnituddel par sob¡eel dipolo, en un campo eléctricouniforme? (II) 40. Describacl movirniento del dipolo del problema 38. ¿Cuántotrabajoefectúael campoeléctricocuandoel dipolo se muevedesdesu posición inicial hastaquc se alineacon ' el campoeléctrico? 4t. (II) Supongaque los electronesde los átomosde hidrógeno en cl HrO pasanla mitad dcl tiempo en tas csfcrasde los átomos de hidrógeno y oxlgeno. Si el momento dipolar eléctricodel HrOsP - 6 x l0-roC.m,yel ánguloentrelos átomosde hidrógenoy el de oxfgenoes l05o (véasefigura 23-8),¿cuálesla distanciaentre(a)c¡da átomode hidrógcno y el átomo de oxfgeno?(b) ¿los átomosde hidrógeno? lSugerencia:Calcule el campo eléctrico en un punto muy alejadoy obtengauna ecuaciónpa¡ael coeficientede l//.] 42,(II) Una moléculadefluoruro de litio (LiD tieneun momento dipolar pennanente.I¿ moléculase colocaen un ca¡npo eléctricouniforme de lü N/C de intensidad,y la diferencia entrelasenerglaspotencialesmáximay mlnima de la molécula en estecampoes 4.4 x 10-25J. ¿Cuáles el momento dipolareléctricoparala moléculade LiF?
son la magnitud y dirección dcl campocléctrico dcbidoa la¡ dos varillas, en puntos quc qucdan (a) en una rccta quc unc a las dos varillas,y (b) cn una mediatriza esarecta?Tnce una figura para most¡af la confrguración y tcnga en cucnt¡ la simetrla. 49. ([I) ¿Cuálcs la fuer¿¡ porunidad de longitudquc cjcrccuna de las dosva¡illas del problema48, sobrcla otra? 50. (U) Dos placas infinitas uniformcmcntc cargadasticncn deruidaddc carga2 pClm2y-3 pC/mz,sc colocanformando ángulosrectos,la primcra cn cl plano:¿ y la scgundacn el planoyz. Una partfculadc prueba,de I g dc masay 2 x l0-7 C dc carga,sc colocaa unadistanciadc I m do ambosplanos; estoes,su posicióninicial cs (x,y,z)- (l m, I m,0 m). ¿Cuál es la ubicaciónde la partfculade pruebacuandoel tiempo es r?
hoblemas generales
53. (ID [: cargaeléctrica con la magrritudmfnima que s¿F¡ede aislar,es la del electróno'del protón. En 1909,Robert A. Millikan desanollóun métodoclásicoparamcdir esecarga, que sc conocc como expcrimento d¿ Ia gon dc ac¿itcl. Millikan pudo implantar ca¡gas en diminutas gotitas dc aceite,que calana determinadavelocidadtermirul bajo la i¡rfluencia de la gravedady dc la resistcnciadcl ei¡c. Colocando csas.gotitascntrc placas paralelas,horizontalccy cargadas,como cn la f,rgura23-30,elcampo eléctricoenhc
43. (II) Una carga puntual,-9, estáfija en el centro de un conductoresféricqhuecoquetieneunaca¡ga+9. Tracelas llneasdc campoeléctrico,tanto dentrocomo fuera de la esfera. 44. (ID Una carga puntual +g está fija en el centro de un conductoresféricohueco,tambiéncon una caria +9. Trace las lfneasde campoeléctricotanto dentrocomo fuera de la esfe¡a. 45. (D Trace las llneas de campo eléctrico para una carga puntual,+9,cercanaa un alambreinfinitamentelargoy con cargapositiva. 46. (ID Una pelotade corchode 0.5 cm de radioy con unaca¡ga de +5.0 nC, se cubrecon pinturaconductora.¿Cuáles la intensidaddel campoeléctricoinmediatamentc fuerade la superficie?Un núcleode uranio,con un radio de 10-11 m, tiene una cargapositiva de92e. ¿Cuáles la intensidaddel campo eléctrico,inmediatamentefuera de la superficie del núcleo? 47. (II) Una cargade 2 ¡rC se colocaen la posición(¡ y) - (2,0). Una cargade -3 ¡rC estáen (-3,0). Todaslas localizaciones estánen centfmetros. Calcule(a)el campoeléctricoen (0,4) debidoa cadacarga;(b) la fuerzadebidaa cadacarga,sobre una cargade I nC en (0,4). (c) La fuerzatotal sobrela carga de I nC en (0,4);(d) el campoeléctricototalen (0,4). 4E. 0I) Dos varillas infrnitamentelargas,uniformememteca!gadas,con densidades de carga+)'y -1t,respectivamente, por unadistanciaR. ¿Cuáles son paralelasy estánseparadas
51. 0D Dos alambresir¡finitos, con densidadde carga 3 pOlrn, son paralelosal eje z. Uno pasapor (4t) - (2 crn,0 cm); cl otro por (¡ y) - (-2 cm, 0 cm). Calcule(a) el campoeléctrico en cl origen; (b) la fucrza sobrc una carga dc I pC cn cl origen; (c) la fuerzasobrer¡riacargade2 pC ubicadacn (¿ y) - (ó cm, -4 cm). 52. ([I) Un protór¡ con lf cV dc energfacinética, sc disparacn di¡ccción perpendicular a la superficic dc une g¡ari placa mctálica con densidadsuperftcialdc carga o - 5.0 x l0{ C/m2,uniforme. (a) Calculc la magnitudy dirccción dc la fucrza sobre el protón. (b) ¿Cxántotrabajo dcbc cfectuar cl campoeléctricosobreel protón,parallevarlo al rcposo?(c) ¿Desdequé distanciadebcdispararscel protón paraquc sc detengajusto en la superficicde la placa?
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FICURA 2130 Prcblcn¡¡ 53. dc carga,Sncontó ' Mi[ik¡n midió muchasgoütascon distintasca¡¡tidadcs quc hnbíauna cargaminirr¡a;tod¡s las carg¡s $r obscrvócrnn nni,ltiploe cntcrc dc la cargaminima. Millikan inlcrprctó quo la cargeminüru cs la cargadcl clcctron,si la cargacra rrcgativa,o la dcl protórusi orapoeitiva.
697
las placasprocluceuna fuerzasobrela gotitacargada,dirigida hacia aniba, y que puedeanular,en parte,la fuerza gravitacional. Si la masay el tamañodela gotitaseconocen, entonces, determinando la velocidaddo cafdade lasgotitas con y sin campoeléctrico,sepuedemedir la carga. La fue¡zade frenado,o de resistencia,sobreuna gotita de radio r que cae a una velocidadconstantepor el aire,, lambiónsedirigehaciaanibay estáexpresadaporlaley de = 6zr4ru,siendo4 la viscosidaddel aire.(a) S¡oÁes, frct¿u¡lo Demuestre, de acue¡docon la segundaley de Newton,que la velocidadterminal,us,deIa gotasincarga,esus-f,4 pglq, siendop la densidad delaceitey g la aceleración debidaa la (b) Supongaquela cargade la gota,q, espositiva, gravedad. y que el campose dirige verlicalmentehaciaarriba,como en la figura,y que la fuerzaeléctricase dirigehaciaarriba. que la Errrpleando h segundaley de Newton,denruestre carsaes
en la cualu, esla velocidadterminalcuandoexisteel campo quela cargamfnimaes 1.6x l0-re eléctricoE. (c) Suponga C, la densidaddel aceite0.85g/cm3,y el radiode la gotita es2.0 x l0-acm.La gotitatienela cargamfnima.Calculeel valor de E que mantengaestacionaria a la gotita entrelas placas. 54. (II) En el capitulo24 veremosqueel campoeléctricocerca de un conductor debe ser perpendicular a la superficie conductora.Con este hecho, trace las lfneasde campo (a)cargapuneléctricoparalassiguientes configuraciones: y conductor;(b) tual,+9,sobreun planoitrfinito,descargado una cargapuntual,-q, cercade un alambreinfinitamente y conductor;(c) una carga largo, cargadopositivamente, puntual,+q,a unadistancia!2 sobreun planoconductorde áteaL2y car9 +q. (II) El campodebidoa una lfnea co¡rdensidaduniformede carga,l, varfaenfunciónde la distanciaradial,r, de la lfnea, elrforma 1/r. Supongaquesecolocauna cargapuntualq, en reposo,a una distanciaR de la lfnea,y quees de atracción la fuerza sobre la carga puntual,debidaal campo.Con análisisdirnensional, calculecómo dependeel tiernpoque tardala cargaen caeral alamb¡ecargado,de )., q, m, R y eo. 56. (III) Se tieneuna varilla recta,cargadano uniformemente, de longitudL, alineadacon el ejex, con susextremosen
x - xLlZ, del ejemplo22-7.Allf demostra¡nos quela fuerza sobreuna car9aq, colocadaen un puntor = R del ejer, a la derechadel extremoderechode la va¡illa; es
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Qio f ,..fn -'tttzll .[ I ll . + KLR I(¿/a'" :- 2"u"Ll'"LR + (ry2)-l R+ (¿/r)lll'
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Demuestreque,pa¡aR >, L,la fue¡zase reducea la de un dipoloqueactúasobreq,F =(qAoLzll2reoft3)i.¿Cuáles el momentodipolar?lSugerencia:Use las formasaproximadas(1-¡¡-t : 1 + ¡+ .t' + .f + .. . yl n(l + xi - x- ( *12) + (.C/3)- - . . , adecuadas ambaspara;r <<1.]
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57. (IlD El campo de un dipolo eléctrico disminuye en forrna l/d cuando la distancia, r, de un punto dado al dipolo, es nrucho mayor que la scparación entre las cargas.El único modo de arregiar las dos cargas,con una carga total cero, es formar un dipolo. Sin embargo, hay muchos modos de arreglar cuatro cargas con carga total cero, en una foÍna compacta. Un arreglo con un campo eléctrico que se comporta a grarrdes distancias como l//, es un cuadripolo cléctrico. (a) Para cu¡tro cargasalincadasco¡t signo altemo, como + - - + de tal modo que la combinación trabaje como dipolos de orientaciónopuesta,a lo largo de un eje, demuestre que el carnpo en una lfnea perpendicular al eje de las cargasdisminuyc en fonna de l/1, cuandor es mucho mayor que cualquier distancia de separación en el cuadripolo. lSugerencia: use la aproximación | Ir ^ * t) 'l
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FIGURA 23-31Problonra 57.
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LEY DE GAUSS
Lu l"y de Gausses una reexpresiónfundamentalde la ley de Coulotnb.rEn el capítulo 23 aprendimos el significadodel campoeléctricoy cómoemplearla ley de Coulombparacalcularel campodebidoa unadistribuciónestacionaria de cargas.A la vezqueesunaley fundamental del electromagnetismo, la ley de Gaussfacilitaen sirnplificatnuchoel tnuchos casosel cálculode loscamposeléctricos. En particular, cálculode los camposeléctricoscuandohay simetrfaen la distribuciónde la carga. del comportamiento También,la ley de Gaussnos proporcionauna perspectiva de podercalcr¡lary emplearel losconductores. Parausarla ley de Gauss,necesitamos ennuestroestr¡diode flujo flujo elóctrico,cantidadanálogaal flujo queencontramos defluidos.También,examinaremos el gradoal cualsehancomprobado experilnentalmentela ley de Gaussy la de Coulotnb.
I Er¡t¡c las cont¡ibr¡cionesdc Karl Friedrich Garrss,gran matcrnático dcl siglo XIX, a la fisica, cstá¡¡srrs trabajosdc mccánica cclcstc, clcct¡ornagnclis¡no,óptica y la tcoria do los oirorcs,
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'24.'L FLUJo ELEcTRICo
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Sedescribió el flujo cuando estudiamos llujo de fluidos en el capltulo 16,
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El ponceptode fl¡rjo va más allá de su aplicaciónal campoeléctrico.Es rnásfácil comprefiderel flujo eléctricocon el patalelodel flujo del agua.PenSemos en un rio quercolre.Suponemosque el aguafluye tranquilamentecon velocidaduniforme en la direcciónhorizontal,o.r (figura 24-Ia). PodrÍamossumergiren el aguauna espira de alambreen foma de.uncuadradode áreaA : L2.Dependiendode la orientación de nuestraespira,pasarlandistintosvolumenesde aguapor ella, en un tiempodado. Si la bspiraestáorientadaperpendicularmente al flujo, el volumende aguaquepasa por +w, siendo por la espiraen I s est.á representado (lr,u: uLz- uA.
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El volumende aguaqu¿pasapor.unidadd"ttiempoeselflujo.Pasamenosaguapor la espirasi seinclinaparaformarun ángulog conla vertical,comoenla figura24-1b, pqrquela longitudverticalqueda caraa la coffienteseteducede L a L cos 0. Asl, el flujo sereducea (l),,= ¡1lzCOS l,l= u¡l COs0.
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O+, ( b) ¡TIGIJRA 24-l (a) [,lnncorricntctlc ngua cn tnovimicntor cn difccción.r, pass s tr[vós do una espira cuadrarla.(b) Cr¡a¡do sc inclina la cspira, fluyc rncnos agua a travós dc oll¡. on rm fnctor cos 9, El vcctor A c¡ ¡rcr¡rcndicrrlara la cspira.
una direcciónal Podemostencruna fonna másgeneralparael flujo asignando áreade la espira.El árease transfonnaen un vector,A, cuyamagnitudesz{ y su a la espira(figura24-Ib). Tambiénpodemoseliminarla direcciónesperpendicülar restricciónquela velocidadv esteen la di¡ecciónde¡. Comov . A = uA cos0, siendo0 ahoraelringuloqueformaA conla velocidaddel agua,podemosexpfesaral flujo como (D,,: v' A. sino inegularcomomariposa(figura Si la superficieno es planani cuadrad,a, calcular en diferentes lugares,podemoselrtonces 24-2), cuyaorientaciónesdistinta ttavés átea fonna de áreasinfinitesimales,dA. Cada el flujo totalsumandolos flujos a perpendicular plano. los de dA su Sumamos es a un planodiminuto,y la dirección = que dA emplearrdo del agua, integración. Así, el flujo dó,, v ' flujos infinitesimales esel volumenquepasapor unasuperficieS no plana,pot unidadde tiempo,es
=lJ n.dA. .u-=lJ,¿,t,,,
(24-t)
Empleamos el doble sigrro de integral para subrayar que estamosintegrando en una superficie en dos dimensiones.Nótese que en esta ecuación, la velocidad, v, puede ser distinta en cadapunto de la superficie.Podemosindicar que v varla con la posición expresándolacomo función de y y z: v(y,7), Pot ejemplo' suPongamosque el agua fluye en ditección +¡, pero con un valor que depende de y y z. Si Ia superficie, S, a
i IIGURA U-2 la supcrficic a t¡avcs dc la cual fluyc el agua pucdo scr irrcgular, cn la cual cl vector dc oricntación A cambic dc uno a otro lugar- TamPoco ncccsita scr corstantc cl vc,ctorvolocidad.
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o +.\ I
( J"
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travésde la cual secalculael flujo, estáen el planoyz, el áreadife¡encialde sección transversales d.{ - dydz,la direcciónde dA esla direcciónx, de tal modo que v.dA = u Mt y el flujo es-
701 2,1'1 Flufo cléa.trb
(24 2)
[Iay unasfunilaridad entreel flujo de fluidosy el carnpoeléctrico.Sepuedever comparando laslfneasde flujo deun fluido (véasefigura l6-9) y lasllneasde campo eléctrico(figura24-3).Podemosampliarla nociónde flujo al campoeléctrico.El flujo eléctrico,Q, o Q¿,cuardolo necesitemos distinguirdealgúnotro tipo de flujo, sedefinecomo t = , i f E .d A. (24-3) El flujo eléctricohn dernostrado serunacantidadenormemente útil. Podemosusarlo paraayudamosa calcularcamposeléctricos, y apsreceen la formulacióndelasleyes fundamentales de la electricidady el magnetismo. La semejanza entreflujo de fluidosy flujo eléctricono es perfecta.Aunqueel aguacorrientepuedepasarrealmentepor una superficie,los c'amposeléctricosno represehüan a algo quesemuevaflsicamente.Ningúnmovimientofísico estáimpllcito cn elflujo eléctrico.Nótesetambiénquela "superficie"queusamosparacalcularel flujo es,por lo general,itnaginaria.Ningúncuerporealtienequefonnarla superficie. Nosdebemositnaglnarmuchassupcrficiesdistintas,de acuerdoconnuestraconveniencia, Cornodescribirnos enel capftulo23,la magnituddel campoeléctricoesproporcionala la delrsidadde lasllneasde campoa travésdeun dreaperpendicular a éstas. SeaN el númerode lfneasde campoeléctricoquepasanpor unasuperficieS,siendo /1 el áreaperpendiculata E. Paraestecálculosencillo,supongamos que E sea u NIA¡,yN x B4t- Q. Como constanüeetrelri¡eadelasuperficie,detalmodoqueE (24-3)esproporcional el flujo definidoen la ecuación al campoeléctrico multiplicado por el áreaa travésde la cualpasa,esaecuaciónnosdice queelfiujo eléctricoque pasapor una superficieesproporcional al númerode lfneasde campoeléctrico quepasanpor la supcrficie.
Dcflnlclón dcl ÍluJo cléctrlco
FIGURA 24-3 Lirrcasdc canrpo cloct¡ico dcbld¡q a un clllndro conductor cargrdo cor€ano ¡ una placa crrgada con slgrrc contrario, conductora, indicad"s por hoürar cn acoltC,
El nujó electrico quc p¡s¡ por un¡ ruperflclc cr proporclond el númcro dc line¡¡ de crmpo que peeen por éetl.
La sulrcrficic gaussiana Comoveremos,pa¡ausarla ley de Gaussnecesitamos determinarel flujo eléctricoa ttavésde unasuperficiecerrada,Esassuperficies, quepor lo generalseránimaginarias,puedetrtenerla formadeunaesfera,cilindro,o cualquieta ot¡a.A esassuperficies itnaginarias las llamaremos su¡lerficiesgnussianns.r La figuta 24-4 muestrauna superficiegaussiana con llneasde campoeléctricoquepasanhaciaadentroy hacia afuerade ella. El flujo eléctricoque pasapor una superficiecettadatienela misma formaqueel quepasapor unasuperficieabierta,comola quedelimiüanuestraespira de alatnbre,pero con un refinamiento:definimosque la direcciónde un elemento infinitesimalde superficie,dA, de la superficiegaussiana, seapcrpendicular a la superficie,y quc apuntchacia el extcriorde la superficiccerrada,Asl, de acuerdo con la ecuación(24-3),el flujo eléctricoa havésde unasuperficiecerradaes
a través deunasuperficie cenada: o : ffa,rr : ff f . arr,
r+-^. ,
*--"--.,1.\,
*----*----. rl \
O
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o
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(24-41
en la cual el clrculo en la doble integral indica que estamosintegrandoen una superficiecerrada. La{tgura24-4 muestrala direcciónde los elementosde ittea,dA, en cuatropuntos distintosde la superficiegaussiana.Nóteseque para dA¡ y dA2, E y dA eskin orientadosde tal modo que el productode E . dA es negativo;paradA3 y dAa el productopuntoes positivo.El flujo es negativoparala partede la superficieen la cual las llneasde campoeléctricoentrana la superficiecerrada,y positivodonde salenlasllneasde la superficie.El flujo total,parael casoqüeseve en la figura24-4,
\ FIGIjRA 244 Porconvcnción. las dirccciones dolasárcasdA scalcjany son ¡rcrpcndiculrrcsal Árcasupcrflclal.l-*s líncasdo campooléctrico¡rrrctrnn cn la srrpcrficicccrrada.El flujo clcctrtcototd parncstasuporficic,quola ¡rcncmcn quocs furln¡lnarla, ¡rrurlcada ¡rararccor
702 Capitulo
24
lry
dp Gau.rs
I'IGURA 24-5 Ur¡a rc¡l do pc,scaccn'ads dent¡o doi a5¡a c.sun aruilogo mccáúco B un¡ supcrficic gaucsin¡rncnun ca¡npoclcct¡ico. A mcnos que haya una fucnto (rma llavc do agrn) o u¡r sur¡idc¡o (rn drcnajo do agua) dcntro dc la rcd, todn cl agua quc c¡rl¡aa clln dclrc salir.
es cero, pofque todas las lfneasde campo quc entrarra la superficie salen dé ella, No necesitamosllevat a cabola diffc.ilintegraciórrindicadapor la ecuación(24-3)en este i. caso, porque nuesto razonaln¡entoffsico es lnucho rnás fácil. En el capltulo 23 aprendimosque las lfneasde campo cléctrico{cbcn iniciarsey ternlinaren cargas. Si tenemosuna superficie gatrssiann(certada)que no rodee a cargas,entoncesno se puedenoriginarlíneasde campoeléctrico,ni tenninar,dentrode la lnisrna.El rnisrno núrnero de llneas de catnpo que entran áebcn salir, y errtoncesla integral de la ecuaciótr (24-4) debe ser cero. Por consiguiente, si no hay carga dentro de una superficie ccrrada, elflujo eléctrico a trav(is de Ia superficie es cero. Err este caso, nuevalnente, ayuda la analogfa con el flujo de fluidos, Supóngase que nuestra superficie cerradaestáfonnada por una red de pesca,y que la red se coloca en un rfo (figura 24-5). Si no hay fuente (por ejemplo, una llave), o sul'¡'tidero(por ejemplo, un drenaje),dentro de la red, entoncestoda el agua que fluye hacia dentro de la red debe fluir hacia afuera de ella, El agua que coffe en el tlo en el que se coloca la red es análogaal campo eléctrico en la tegión en la cual se coloca la superficie gaussiana. La ley de Gauss se tefiere a la carga neta De nuevo podemosrecurrir a la analogfacon el flujo de fluidos para decir que el flujo por una superficie gaussianatambién es cero si no hay c^rga neta encerradaen la superficie. Imaginemos una canasta cerrada de alambre dentro de un río. Dos manguerasvan al.interior de ella. Por una se bolnbea agua a detennitlado flujo, que entra a la canasta,y por la otra se bombea agua al mismo flujo, para que salga.El rlo que coffe es análogo a un campo eléctrico externo. El extremo de la manguera que llega es análogoa una cargaelécgtricapositiva.El extremode la mangueraque sale toda el aguaqr¡epasahacia es análogoa r¡nacargaeléctricanegativa.N¡.¡evalncnte, dentro de la región encerradapor la canasta,sale de ella, y el flujo de agua a través de ella;escero. Del mismo modo, si una superficie cenada rodea cantidadesiguales de cargapositiva y negativa,entoncesel flujo eléctrico por esasuperficie es cero. La figura24-6 muestra el campo eléctrico debido a un dipolo, que se describió en el
"l
-"*-'u¡rcrfi
cic gaussianai
,,,.'r,
FIGURA 24-6 'lrcs supcrficics garnsiarras imaginnrins,y, ¡x)r lo tn¡rto, purrtcndas, cn cl cnnqroclóclricorlc ttlt di¡xrlo. Para ln su¡rcrficic l, r¡uo r
Su¡rcrficio gaussiana3
Superficio gaussiana2
!, i
I
-L
703
capítulo 23, Irnaginémonosuna serie de superficies gaussianasde cualquier forma conveniente,colocadasdonde escojamos.Por ejemplo, si colocamosuna strperficie gaussianaimaginara (superficie l) alrededor de la carga +4 de un dipolo, todas las llneasde campo eléctrico salen de la superficie gaussiana,y el flujo eléctrico total es positivo. Si colocarnosuna segundasupetficie gaussiana(superficie2) alrededorde la carga -{, todas las líneas del campo eléctrico entran a esa superficie, y el flujo eldctrico es negativo. Cualquier superficie gaussialra,colno la superficie 3, que no rodea a catga alguna, no tiene flujo eléctrico neto a través de ella, porque el mismo riúmero de llneas de campo eléctrico entran y salen de la superficie. Si la superficie gausiannrodca a anbas cargas,ctrtoncesnuevanrcnlecl trúlnerodc lflleasde colrrpo que entrarr y salen de ella es igual, y el flujo total es cero. Esta observación es ilnportatrte.Nuestro resultadose aplica a cualquiersuperficiegnussianr, que rodee una configuraciónde cargas,mientrasno haya cat1aneta.Resumamos: El flujo eléctricoa travésde une supelicie cerr¡de que no encierrecarga neta escero. Recuérdeseque no nos estamos refiriendo a un cuerpo cerrado real que se introduzca en las Iíneas de campo eléctrico. Una superficie gaussianaes sólo una superficie ceúada imaginaria que podemos colocar donde escojamos.El flujo eléctrico a travésde la supetficie cerradadependede si hay o no cargaeléctricaneüadentro de la superficiegaussianay, si la hay, de su magnitudy signo.Es la basede la ley de Gauss.
24-2
24.2 l¿y úcGtttrc
El ñujo elécrico¡ travé¡ de une superllclecerredl cs cero,el le superffcieno encierra carga neta.
LEY DE GAUSS
Hemosvistoqueel flujo eléctricoa travésdeunasuperficiecerradaqueno encierta carganetaes cero,Cuandola superficiesf encienacarganeta,el flujo eléctricoa travésde ella no escero,y la ley de Gaussexpresaeseflujo en términosde la carga encertada. Comenzaremos viendoel flujo por unasuperficiegaussiana queencierra unacargapuntual.La figura24-7muesttaunaesfera(imaginara)gaussiana de radio R, centradaen una cargapuntualesláticaq. Escogemos la esferacentradaporqueel campoeléctticotienemagnitudconstantea una distanciafija de una carga,y será fácil calcularel flujo a travésde la esfera.Paraello, usaremosla ecuación(24-3).El campoeléctricodebidoa una cargapuntual,q, sevio que,segúnla ecuación(23-5), es \' E=( 'J \*nA )'' El campoeléctticoapuntaen direcciónradial,haciaafuerasi q espositiva.Comola direccióndel áreainfinitesimal,dA, de un áreapequeñaen la esfetatambiénapunta haciaafueraen direcciónradial,el productoE . dA - E dA.Debidoa queel campo etéctriqptieneel valor constanteql4nqÉ en cualquietlugar de la esfera,el flujo eléctricoinfinitesimalue pasapor el áreainfinitesimaldr{, es
I'¡GURA 24-7 Uru olccciónscncillado supcrficlcgaussianaparaunacargaptntul q asunacsfcradc radlo R.
do=E dA :4 ; k r d A . Podernos ahora sacar el campo E (consüante)de la integral que tepresenta el flujo total:
or
t' t¡
= = o,a = u** dA: 4#p$o, H Hdo Sn.dAflr Ü
Lt
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=4rÑ. Laintegraldedáenlasuperficiecenada,esjusüamenteeláreadelamisma,á Enton ce s q_ A t rN: L . q (2 4 _ 5 1 A : a: q*ñ €e rreoY ' ' '
I'IGURA 24-8 'loclrs la.ssu¡rcrficics gaussianasquc sc vcn crr la figrra dan ol ¡nismo rcsultado para cl flujo clcctrico. El ntisn¡o númcro dc lüroas dc carrr¡rcclrctrico cruzan ¡rr cada supcrficic.
del radiodenuestraesferagaussiana..El Estetesultadoesindependienüe flujo eléctrico que emanade una cargapunhrales q/q. 'Hemossupuestouna esferacentradaen una carga y ya hemos llegado al sorptendenteresultadoque ei flujo eléctricoes independientedel radio de la esfera. Peto podemosit mucho más allá y demostrarque el flujo a través de cualquier superficiecemadaquerodeea la cargada el mismoresultado.Esassuperficiespuedetr descentradas de la cargnpuntual,o, en realidad,cunlquier set esferasgaussianas superficieinegulat que rdee a la carga(figura 24-B).Calcularel flujo mediante integracióndirectaanallticao numédcaparaesassuperficiespodrÍaseruna tarea monumental.Paraestablecernuesttoresultado,recordemoshaberdemostrado,en la sección24-1, queel flujo a travésde una superficiees proporcionalal númerode llneasde campoeléctricoque pasanpor esasuperfltcie.Ahora bien, como las llneas de campoeléctricose originano terminanen cargas,el númerode llneasde campo eléctricoquepasanpor cualquiersuperficiequerodeenuestracargaaisladaesigual al númerodelfneasde campoeléctricoquepasanporunaesferacentradaenesacatga. es exactamenteel Asf, el flujo a travesde cualquierade esassuperficiesgaussianas mismo,comoseve en la figura 24-8.Por consiguiente, la ecuación(2:4-5)esválida paracualquiersuperficieS gaussiana, siemprey cunndoS rodeea ln cargapuntudlq: El flujo eléctricoa travésde cualquier superficiecerreda que enciernea una carga puntual l, esproporcionel e q.
I
\
(24-6)
fJ'o o :*
3 esun casoen el quela cargaestáfuerade En la figura24-6,1asuperficiegaussiana la superficiegaussiana.En é1,entrantantasllneascomo las que salen,y la cargano da flujo neto a travésde la superficie. Necesitamosgeneralizarla ecuación(24-6) pata el caso de catgaspuntuales continuasde catga.Sabemosquelacargatotal o neta,Q, múltiplesy distribuciones puededescomponerce en un conjuntode catgaspuntuales,Q¡.Y , de acuerdocon el principio de superposición,sabernosque el campoeléctricototal, E, es la sumade los campos,E¡, debidosa cargaspuntualesq¡. El flujo total, Q, a travésde una superficiegaussiana,debidoa la carganeta,es entoncesjustamentela sumade los flujos @¡debidosa las cargasr/¡:
o :It,:fff".dA, : lt o , :
eo-i "
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9_ €o
Nuestro resultadose conoce genetalmentecomo la Iey de Gauss, Ley de Gauss
ffr.oo_ 9
(24-7)
.€g
704
I
La superficiecerradaescualquiersuperficiegaussiana querdee a la carganetaQ, El casoen el que la carganetaes cero est¡icomprend¡do,seaporqueno hayacarga rodeadapor S, o porquehay una carrtidadigual de cargapositivay negativa. Podemoscomprenderahora, con m¿isfacilidad, el ejemplo del dipolo que describimosen la sección24-1. Sabemosahoraque el flujo eléctricoa tmvésde la superficieque sólo rodeaa la carganegativa-Q, es -Qleoisabemosque el flujo a traves de la superficie que sólo rodea a la carga positiva +qr es +q/eo.También conocemospor qué el flujo a travésde cualquierotra superficiecemada,incluyendo las superficiesque rodeanambascargas,escero. Leryesdc Coulomb y de Gauss Nuestro tratamientode la ley de Gaussha sido consecuencia de la ley de Coulomb,porquela deducciónde la ley de Gaussus'óel campoeléctricode la carga puntual, detetminadornediantela ley de Coulomb. Este procedimientose puede invertir,y podemosdeducirla ley de Coulomba partirdela ley deGauss.Parahacerlo, centramosuna esferagaussianaen una carga puntual, q (figura 24-7). El campo eléctrico,E, de la carga,sesuponedesconocido. La ley de Gausssólo nosdice que el flujo eléctricointegradoen la superficiede la esferaes qleo,Sólocon estono podemosdete¡minnrel campo,porqueel flujo a travésde cualquierelemenüo dimitruto de superficiede la esferadependedel valor del campoen esa región. Sin embargo,podemosrecurir a un argumentode simetrla.Todas las direcciones alrededorde una cargapuntualdebenser equivalentes. La únicaconfiguracióndel campoalrededorde utracargaqueno favorecedeterminadn direcciónesun campo ¡adial.El elementode superficie,dA, de una esferagaussiana, tambiénesradial.Si suponemosque,en todoslos lugares,E estría lo largode la direccióndedA, habremos cotnetido,enel peorde los casos,un enor designo,quelo podremosarreglardespues. Asl, E.dA = E dA. Además,la simetrla,o la hipótesisqueno hay direcciónpreferida,tambiénimplica que E tendrála misma magnituden cualquietlugat de la esferacentrada.Entonces podemossacara E de la integralque expresael flujo total a travésde la esfera: .HLfÜ
"
: 0 E .d A : fl r d A: EO¿, : EA: E( 4nr 2¡!, €o JJ JJ
Jl en la cual r es el radio de la esferagaussiana. El último términoen estaigualdades justamentela ley de Gauss.De la ecuaciónsepuededespejarla magnituddel campo eléctrico: E:
4neor2'
Rste resultado es consistentecon la ecuación (23-5), Como E es positivo, escogimosbien la dirección de E, radialmentehacia afr¡eracuando la carga es positiva.La simetrladel casosólo nos dice que el campoeléctricodebeserradial, seahaciaafuerao haciaadentro.La ley de Gaussdeterminaquela orientaciónde E debeserradialmentehaciaafuetea.La ley de Coulombesconsecuencia directade la icuaciónanterior,si colocamosotracarga,q', en el campoeléctrico,y hacemosque F'- 4'E. ' La deducciónde la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss,parauna carga puntual,esuna aplicaciónbastantesencillade la ley de Gaussy de la simet¡la.En el capftulo23, en nuestradescripciónde la utilidadde los campos,dejamosimplfcito quela ley de Coulombsewelve difícil de aplicarcuarrdolascargassemueven,porque en esaley intervienendistanciasenttelas catgas;pero la "infotmación" acercade la distanciasepropagaa unavelocidaddcfinida.De hecho,la ley dc Coulombcomo tal
705 2+2 lryd.C,rrrra,
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F I G lrR,\ 2 4 - 9 E j c m p l o2 4 - 1 .
cesa'de tene¡sentidoparacargas.eir tnovilnientorápido,rnietrtras quela ley deGauss contimiasiendoválida.La ley.deGauss;es má9gene¡alquql4de Coulomb. , Eolos.ejemplos.24'Ly.24-2.hacemos wo del hechoque la ley de Gaussno necesita,queempleemosdeterminadasuperficie en párticular.Esto es i¡nportante, porqueel flujo a travésde una supediciepuedesermuchomásfácil de calcularque a travésde otrar i EJEMPLO 24-l calcule n"¡" eléctricoa travésde rassuperficies gaussianas de la figura 24-9: (a)"i un cubode lado L querodeaa la carga,q; (b) unaesferade radioR querodeaa la carga4; (c) unaesférade radio b querodea a lascargas-2q y *q, SoLUCIoN:(a) No necesitamosllevar a cabo la integracióndirectadel carnpo eléctiicosobreel cubo.Segúnla ley de Gauss,el flujó eléctricototalestansolo g/e¡,potque q es la carganetaencerradapor la superficiegaussianacúbica.La forma de la superficieno importa,ni la posición:,de la cargaen su interior. (b) No importaque la esferagaussianaestádescentrada. El flujo eléctrico totalsiguesiendoqlq. (c) No necesitamos preocupamos de lasposiciones de lasdoscargasdentro del cubo.La carganetatotal,Q, encerrada por la supeqficie gaussian a, es -2q + es Qo -Q, y el flujo eléctricototal,a travésde la superficügaussiana -qlh.
EJEMPLo 4 2 -2 Tenenos unacargapuntualq = I mC,colocada enla efquinadóuncubode 10cmdelado, un E^ialcularel.flujo "n "unpo'eléctrico eléctrico.a travésde cadacaradel.cubo.
FIGURA 24-10 Ejcmplo24-2.
706
SOLUCIbN: El casosemuestraen la figura 24-lo. Esteproblemapareccdifícil, perosi empleamos la simetrÍalo resolveremos con facilidad.Primero,vearnos las tres carasdel cubg que tocan a la carga,Pata cadauna de esascaras,el productoE . A - 0, porqueel cámpoeléctricose diiige a lo largo de esastres caras.El flujo eléctricoa travésde cadaunade lascarasrestantes debeserigual, po: simetrfa,porquenadalasdistingueentresí. otrossiete ¿Cuálesel flujci eléctticototal a travésdel cubo?Senecesitarfan euboscolocadosen la misma otientación,rod'eando por completoa la carga puntualq. como cada.unode los ocho cubos estácolocadosimétricamenie
( t
\
alrcdedordela carga,cadaulrodeloscubostendráun flujo eléctricoiguala 4/8ea. Porlo tanto,cadaunade lastrescarasdel cuboquetocana la cargadebentener un flujo eléctrico igual a ql24€o.Nóteseque el flujo eléctricoa havésde cada cara,al igual que el flujo elécFicototal a travésde todaslas caras,es independientedel tamañodel cubo. Con la evaluaciónnuméricaobteriemos (D"* :
24-j
q 24
to-t /, o 106N'm2/c' " 24(tt.8i-¡0:rz 6z¡¡'¡1¡:i:
ApLrcAcroNEs DE r-A,LEy DE GAUss
La ley de Gausses fundamentalpor derechopropio. También es una henamienüa poderosaparala determinaciónde camposeléctricosen casosen los quehay un alto gtadode simetrfa.Si hay suficientesimetdade modo que el campoeléctricosea constanteen una superficiesencilla,y se puedesacarde la inüegralque expresaal flujo, entoncespodemosdespejarla magnituddel campo,de la ecuaciónqueexpresa la ley de Gauss.Bajo estascondicionesno necesitamos llevar a cabointegraciones complicadas.Mostmremosestatécnicacon varios ejemplosen los que intervienen distribuciones continuasde carga.Setienela llneadecargay la láminaplanacatgada. Esosejemploslos describimosen el capftulo23 y empleamosintegraciónen la distribuciónde cargaparacalcularel campo.Tambiénveremosel cascarónesférico y la esferauniformemente cargada,casosparalos cualescitamoslosresultados enel capftulo23 y (parala gravitación)en el capltulo12.Veternosque la ley de Gauss determinalos camposen forma brevey sencilla.Peroel poderrealde la ley de Gauss en la sección24-4. Alllcalculateserevelarácuandodesoibamosa los conductores moslos casosen casosenteramente nuevos.
TECMCAS DE SOLUCION DE PROBLEMAS
Paraemplearla ley de Gaussen el cálculo de camposeléctricos,dada una pasos: distribuciónde carga,ayudael empleode los siguientes cualquier dela distribucióndecarga.Ayudaráa reconocer 1. Hacetun esquema simettlaadecuada. 2. Identificarcualquiersimetrlaespacialdela distribucióndecargay del campo eléctricoqueproduce.Pot ejemplo,unacargapuntualtienesimetrfaesférica, porquese ve ig¡raldesdetodo el derredorde la esferacentradaen ella. La simetrlaesféricade la cargapuntualimplicaqueel campodebeserradial. queseaadecuada a la simetrfa,Es el paso 3. Escogerutrasuperficiegaussiana más importantepara determina¡los camposeléctricosmediantela ley de Gauss.Unabuenaseleccióndela superficiefacilitala solución.La expetiencia que hemosganadohasüaahora,manejandoy visualizandolos campos eléctricos,nos puedeayudar.Lo másútil esescogerla superficiegaussiana a de tal modo que el camposeaparaleloa (dó¿ - 0) o bien perpendicular (dó¿ - E dA),losdivetsoseletnentos de la superficie,y de tal modoqueel en la partede la superficiea la cual es perpendicular. camposeaconsüante parnuna cargopuntual mdsadecunda Por ejetnplo,la superficiegaussiana esutraesferacentradaen esacarga. 4. Habiendoseleccionadolas superficiesde acuerdoal paso3, debepoderse sacarel campoeléctticode la integralqueexpresael flujo. Entonces,la ley de Gaussse transformaen una expresiónalgebraicade la nngnitud del campo.
707 2,1-3 Apllc¡clonct
dc h lcydc Gru¡¡
708
En los ejernplos24-3 a 24-6 emplearemosesastécnicas,junto con la ley de Gauss, ecuación (24-7), para determinar el campo,
Capitulo 24 Iq&,Glm
.: ,; i
EJEM PLo 2 4 - 3 Línea de carga.Deterinineel campo eléctricodebidoa una varilla infinitamente larga, recta, y cargada con densidad lineal de catga positiva X, constante.
(a)
dA (tapa)
Tr*I í I
ul*l+ 6-""
l.l l+l t1 T l+l t'l
t I ,*i
.dA+ * : [.[-_-B [L"^ E'dA* Ll*,"E' dA.
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J Jlapa
Su¡>crficic gaussiana
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i.l
SOLUCION:La figura 24-Ila muestra el caso. Hemos orientado la varilla a lo largo del eje z. Para determilra¡la superficie gaussianaadecuadadeseatnosver qué nos dice la simetrla,acercade la dirección y magnitud de las lfneasde campo eléctrico. Esas llneas deben salir de la va¡illa con carga positiva y, para ser simétricas,debenptolongarsealejándoseradialmentede la varilla, errel planory (figuta 24-Llb). Las lfneasde campo eléctrico no puedetrtener componentea lo largo de la varilla, porque no hay forma de decidir si el campo estarlaorientado en dirección +z o -2..La direcciórr del catnpo se puede identificar con facilidad visualizando la fuerza sobre una carga de prueba positiva colocada fuera de la varilla; la varilla la repelerá con una fuerza F = qE. Además, nuevamentepor simetda, la magnitud del campo debe ser igual en cada punto de un círculo centrado en la varilla. Asf, la magnitud del campo sólo puede dependerde la dislancia radial a la vatilla. La superficie gaussianaque aprovechala ventaja de la simetda esun cilindto cemadode radio r y alturaft, centradoen Ia varilla (figura 24-llc). Esa superficie nos pennitirá calcular el catnpo a una distancia r de la varilla. Ahora deseamosc¡lcular el flujo a travésdel cilindro. Podemosexpresarese flujo como
,1Aoodo)
dA (fondo)
{ c) FIGIJRA 24-11 (a) Ejemplo24-3.Una lincadecargacstáoricntadaa lo largodcl cjc z. &) Porsimctna,la dircccióndcl campocloctricoIl c.sradialon cl planory. (c) La rncjorsu¡rcrficicgarssianaquc podcmostsar paradctcrminarcl campo cléctricodou¡a cargalincal csru¡cili¡d¡o. Soindicanlasdirc¡cioncsdc lasdrcas,dA cilindro. paralasdiversassupcrficios<1ol
rJ iJlondo
para la tapa y el fondo, nóteseque E es paralelo a esassuperficies,de modo que el elemento de superficié, dA, es perpendiculara E. Por lo tanto, para superficiesde tapa y fondo:
E'dA
: O.
El flujo a través de la tapa y el fondo es cero. Para el lado redondo, el campo eléctrico es perpendiculara la superficie, de modo que
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parasuperficielateral:E' dA : E dA. Esta expresión se debe integrar en la superficie lateral para calcular el flujo a través de la cara cilfndrica. Peto hemos escogido la superficie cilíndrica de tal modo que el campo eléctrico tenga magnitud constanteen ella, y esamagnitud' a una distancia r de Ia varilla, se puede sacarde la integral..Así,
E ff dA. *:L Jl^ n o E.d A= J J lido
La integral que queda para la cara cilÍndrica es justatnente el área lateral de un cilindro recto de alh¡ra lt, que es Znrh. Asl telremos que, para el flujo total a través del cirrlindro,
Ii
< l >:2nrl tl ;. AJroraque hemos calculado el flujo, apliquemos la ley de Gauss.l-a catga ¡ela dentro del cilindro, g, es la carga de una parte de la varilla de longitud /t' Esa cargaes la densidadde carga,1,,multiplicada por la lotrgitud, q = Lh.La ecuación (24-7), que es la ley de Gauss,queda entonces
2nrhE:
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Podemosdespejara E: 24-3 Apllcaclones
E-
dc la lcy dc Gaurs
(24-8)
2neor
La altutaarbitraria,á, seha anulado.En unidadesdel SI, la densidadde cargase da en coulombspor metro. Asf, qE tiene como unidadescoulombspor metro cuadtado,que es lo gue deberfatener. Obtuvimosla ecuación(24-8) con mucha mayor facilidad que la ecuación (23-30),cuandousamosintegracióndirecta.La ecuación(24-8)tambiénexpresael carnpode alambrescargadosde longitudfinita,siemprequela distanciaradial,r del alambte,seamuchofnenotquela distanciaa un extremodel misrno.En estecaso,la lfneaesefectivamente infinita,comolo hicimosnotaren el capftulo23. ¿Potquéno podemosusarla ley de Gaussparadeterminarel campodeunalfnea finita de'carga?La ley de Gausscontinúasiendoválidaparacualquierdistribución decarga,pero,pataunalfneafinita de carga,la simetdaquenospermitedeterminar l¡ direcciónde E y sacarlode la integracióndel flujo, no existe.Si los extremosdel alambteest¡i¡a la vista,constituyenunagufapatacaberdóndeestamosen el alambre; por ejemplo,podemosver que estamosce¡cade uno u otto exttetno.La simetrlaa lo largodel alambtese ha perdido.Esapétdidade simetrlatienedos consecuencias: primero,el campoeléctricotendráun componentea lo largo del alambre,y segundo, la magnituddel campova¡iaráa lo largo de la l{nea. EJ EM PLo 2 4 - 4 Cascarónesférico. Determineelcatnpoeléctricodentro y fueradeun cascarónesféricode radioR quetieneunacargatotalQ distribuida uniformemente sobresu superficieextema. SoLUCION: Mostramosla configuraciónen la figura 24-12a.Primeto,calculamosel campoeléctricofueradel cascarón. Porsimetrla,el campoeléctricodebe dirigitseradialmentehaciaafuera,cuandola cargaQ es positiva,y debetener magnitudconstanteen todoslos puntosa una distanciar. Usaremos una superqueseaesféricade ¡adiory centradaen el cascatón. ficie gaussiana El producto E. dA - E dA,porqueE y dA tienenla mismadirección.La ley de Gausses
*: f f t . dA = nffu
= E4 n r2 .
(24-e)
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flGURA 24-12 (n) Ejcnrplo24-4.La qucso¡ruc
710 Capitulo
24
Í*y_dcG¡t,!6
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Aquf , el área total de la esferagaussiarlaes 4rr2, y la carga total que encierrala esferagaussianaes la carga Q en la superficie del casca¡ón.El carnpo eléctrico fuem del cascarólres, según la ecuación.(24-9),
r > R: fuetadeuncascarónesférico,
o F:: ;7-,
(24-10)
i
Asf, el calnpo eléctrico es igual al de una carga puntual de la misnla magnitud total, Q, en el centro del cascarónesférico. Para un punto dentro de esecascarón,de nuevo tenemos la sünetrÍa esférica, y trazamosotra esferagaussianadentro del cascaró¡r(figura 24-l2b). La integración del flujo eléctrico se lleva a cabo como antes.Sin emmbargo, en estecaso la esfera gaussianano encierra carga alguna, de modo que el lado izquierdo de la ecuación (24-9) debe ser cero. Por consigui ente,el canxpoeléctrico dentro de un cascarón esferico con carga uniforme debc ser cero:
dentrode un cascarón esférico:
r < /t:
I : 0.
( 2 4-n)
. En el capitulo12hicimosnotarqueesoslnismosresultados sonválidospara la fueza de gravedaddebidaa un cascaróirr esféricode rnateria.El problema matemáticoesidéntico,porquela fuerzade gravitacióntienela lnismaformade invetsadel cuad¡adoquela fuerzade Coulomb.En el capitulo12sólopreserrtamos los resultadossi¡r deducidos,porquela técnicade integracióndirectaes bastantecomplicada.La deduccióncon la ley de Gausg,quepresentamos aquf, esmuy sencilla,Es interesante hacetnotarqueNewtondemoróunos20 añosla publicaciótrde su teorfade la gravitaciórrdebidoa que le faltabauna prueba Fi i sencillade esosresultados,¡Si hubieraconocidola ley de Gauss,Newtonse l. , , "i 'ill itrj hubieraahorradomuchotiempo!
i
i l ,, []l
EJEM PLO 2 4 - 5 fsfera maciza.Calculeel campoeléctrico fueray den- i,r; 'li tro de una esferamaciza,no conductora, de radio R, quecontengauna cargaQ i l 'i :f'r uniformemente distribuida. :t\
il
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SOLUCION:Esa distribución de cafga, que se lnuestra en la figura 24-13a, presentala misma simetría que la figara 24-12a: el campo eiéctrico debe ser puramente mdial y sólo puede variar con la distancia, r, al centro de la esfera. Todas las superficies gaussianas,por lo tanto, seránrejor suponer que son esferas centradasen la esfera cargada,y el flujo a través de cualquiera de esas esferas tendni la forma
o:
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J./6IcmC¡l¡
E.dA : ¿' ll
JJeslcn
i.
En estecaso,E es el campo a una distanciar del centro.Al aplicar la ley de Gauss, necesitamosteñer cuidado de la carga que encierre la superficie gaussiana. Primero verernos el campo fuera de la esfera lnaciza (figura 24-l3a). La cargaenceffadapor una esferagaussianaen r > R esjustamente Q y, al igual que paraun casca¡ónesférico,
fuerade unaesferamaciza.
r > 1l:
It: --? =.
( ) 4 _ .1 ) \
4n€,rr"
Dentro de la esfera tnaciza, donde r < R, la situación es distinta. L,a carga pot nuestraesferagaussiana(figura 24-I3b) estáexpresadapor la encerrada Q' densidadvolumétrica de carga,p, multiplicada por el volumen, fnl. La dcnsidad de carga es p = Q/volumen total : Q/1|irIf). Así,
: ,i,#t:n;l Q': P!",'
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7rr 2,T3 Apllc¡cfoncr
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G¡r¡r
FIGURA M-13 (a) Ejcmplo 24-5. l-a mojor supcrfictc gausriian¡ para dotcrminnr cl cam¡ro clccrtrico fucra dc r¡rif, c6fo¡r r¡niformcmcnto cnrgada y no condrrctora. l,a sinptría cs csfórica.(b) l,a mcjorsupcrficic garrqsian¡quc sc pucdo cscogcr para dotcrmi¡ur cl campo clectrico dontro do una osfora uniformcmcnt€ cargadn, no condrrctora, cs u¡u csfcra gaussiana dcniro do la csfcr¿ maclz¡. Sólo la carga dont¡o dc la csfora gaussian¡ contribuyc al campo clóctrico cn r. (c) El campo c¡cctrico dcbido a uru csfcra m cor¡dtrtor¡ y unifonrrcnrcnto cargada,os frrnclón dc la dist¡¡cl¡ al ccnt¡o do la csfora.
De acue¡do con la ley de Gauss,el campo, cuando el radio r < R, es
E=#: o## dentrode unaesferamaciza,r < R:
= h#
Q4-13)
En estecasola cargaaumentacon el mdio en proporcióna É, mientrasque el áreaaumentaen fonna l, de modo eue E o
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7 l? C¡pftúo2ó'
(¡ [cyi&C¡¿ür¡ "
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¡IGIJRA 24-14 Ejcrnplo24-6. Una suporflciogausslan¡cómo& nera un plano tnflnlto unlformcmcntccargadoprcdo sorctulquicr contomoquy6 l¡dc scan al plano y anyalapay fondo soanparalclosal iilano' ¡rcqrcndiculnrcs
t
eléctrico sefá.pefpendiculara é1,y de alejará de é1.PodemOscomp¡obarlo cglocandoUnacargade p¡reba gercadel plano. Lq fuefza,en esacargqsealejani del C al planO.Bambién, la simetdanos dicüaque el o.acerca¡á.directamente carnpoeléctricotengauna fnagnitudqüe sólo dependade la distanciaperpendial'plano, uná buena cular al plano. Como el campoeléctricoes.Perpendiculat por ejemploun como recto, sólido gaussiana es cualquiet supefficie de selección (figura24-14)' plano cargado (rireaá) paralelos al y fondo su suüaPa cilindro, con al campo per,pendicular o paralela gaussiana es superficie de esa Toda la cara e sgpefiof gaussiana superfioie dA, .de .la difefenciales, ¿ireas I¿s eléctrico. dA E producto que el ' de modo plano catgado, del alejan se ta¡nbién inferior
es pamlastressuPerficies
para9l fon{g para el lado:
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U, t
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E.dA . E dA; 'E.dA -' E d , q ; E . d A -0 . .
parala tapa:
(
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de que dA, parael lado, aPuntaen todoslos La úttima ecuaciónesconsecuencia pgryendiculatfi é1. pero E siempiq,'es plano, paralela al lugaresen ditección es la ley de Gauss . La ecuaciónQ4'7) de
. r!n, : jl_"".dA E.dA + lli,-" .on: ff.,'" * ff".dA de la tapay del en ia cualhemosempleadoel hechoqueE esconstanteen el ¿ír'ea : ' gaussiana ' superficie la fondo,z{,de en el plano Ia c,aryatot¿ienceniclapor esasuperficie esla dtrese-énsuent¡a y el rirea encerada o, es de cafga superficial densidad la denhodel cilindro. Como en tmnsfotma annterior se oA.I-^ecuación que tenef esz{,'débemos Q-
t
( (, \-, (
{
Q _oA :zEA; €9
€g
E :+ .
(24'14)
del SI,'.o se mide en cor¡lombspof.meho cuadrado.Asi, las :Eb.,Unidades untdado¡de €o$soñC/il, quc esresultadocomecto.La ecuación(24'14) es el (r
mismo ¡esultadoal que llegamoscon mucharnayor dificultad por integtación ditecta,en el caplhrlo23 [ecuación(23-33)].Nóteseque E es independientede la distanciaal plano. I.a ecuación(24-14)tambiénexp¡esael campoeléctricoen un puntodado, debidoa un planofnito cargado,siemprey cuandola distanciadel punto a los ladosdel plano seamuchomayor que la distanciaperpendicularal plano.
24-4 coNDUcroRESy caMpos Er,rcrRrcos
713 2*{
C,onductocc¡ y crmpor cléclrlcor
,
Un buen conductor,como la plata, el cobre o el aluminio, tiene gran nútnero de "libres,"guesepuedenmoverdentrodelmaterial(eléctricamente electrones neutro). Cualqiuercampoeléctricoquepuedadesanollarsedentrodel metal,comoresultado dela presenciadeun campoeléctricoexüemo,haráquelos electronessemuevan.En menosdeun microsegundo,sereacomodanenunaconfigumciónqueanuleel campo eléctrico dentro del material. Si quedaradentro cualquier campo, harla que los electronesdel conductorsemovieranhastallegaral equilibrio (sele llama equilibrio electroskitico),Losconductoresno tienencampoeléctricoestdticointerno. Nohry crmpoelécrrico esrótico denr¡.o Estapropiedadde los conductoresse muestraen la figura 24-15',Un conducto¡ dcunconductor se coloca en un campo eléctrico externo,espacialmenüe constantey estático,que apuntahacia la derecha(figura 24-l5a), En estecaso,algunoselectronesdel metal semuevenhaciael lado izquierdodel conductor,dejandouna deficienciade electrones del lado detecho del conductot.El arreglo de excesode electronesdel lado izquierdoy falta de electronesdel lado detechoforma un campoeléctricointemo nuevo,que apuntahacia la izquierda.Este campo interno anularáexacüamente al carnpoextemo,de modoqueno hay camponetodentrodel conductor(figura24-15b). , El movimiento de cargas en respuestaa campos eléctricos aplicadosse llama inducción. El hechoqueno hayacamposeléctricosesliticos dentrodelos conductorestiene consecuencias en el comportamientode conductores,cuandose colocancargasen ellos o cercade ellos, o cuandose colocanen camposeléctricosextemos.Este comportamientose dete¡minacon ayudade la ley de Gauss.Veamoslo que sucede cuandoseagregaun excesode cargaa un conductor.En la figuta 24-6 mostramos Su¡rcrlicio
E (a)
l,l ( b )
FIGURA Z-15 C-orxluctorsln carga cn un cam¡n clóctrico cxtcmo. (a) El campo clcctrico antcs do int¡oducir cl conductor. (b) So induccn cargascn h suporficio dol conductor, dc tal modo quo ol campo elcct¡ico dcntro dcl conductor cs ccro. [¡s cargas inducidas modifican al campo fuera dcl conductor, dc modo quc cl campo ya no tionc su forma original.
+r FIGURA 24-16 Para dctcrmi¡u¡ cl cam¡n cléctrico dcntm dc rm conductor dc tffn¡ño y forma indctcrminados, sclcccionamos una srpcrficio gaussia¡u inmcdiata¡ncntc dcntro dc la supcrficio, dc tal modo quo la supcrficio ccrrada no cncicrrc cargas.
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Capit\¡lo 24 ,try rlc Geu*r
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FIGURA 24-17 (a) Espaclo lrucco, no conductor, dcntro dc r¡n conduclor sin ca¡ga cn su intcrior. Toda la carga dcbc cstar cn la supcrficic extoma dcl corductor. (b) Si colocamos una carga dcntro dol cspacio hucco, aparcccni una carga inducida or la supcrficic intcrior dcl conductor, haclcndo quc cl campo clóctrico sc¡ cc¡o dcnl¡o dcl rnstcrlal coruluctor. Unn srtfrcrflcio g,¡lL\siIm tnzn(ls In¡nc(llRlnnrcntc¡fuor¡ do la su¡rcrflcic dcl cspnclo hucco ¡yrrde a dcmostrarcstos result¡dos.
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junto conunaSuperflrcie gaussiatra esé'conductor, inmediatamente enel interiordela a esa supetficiele aplicamoslá lby de Gauss,verernosque, superficiemétálica.Si como,nohay bampo,no hay flujó, y por consi'guienté no hay carganetádentrodel estáel excesode carga?En equilibrioelectrostático, todocicesode metaf.'¿Dónde Lce qargnolibres semuelen lr¡cl¡ ls¡ superficiesexterioreede loe carga estden la silperficieeiterna de u'nconductor. conducto¡'cg unaburbujaquecontenga un mediono conductor,comoaife, denImaginemos que no hay excesode carga lrll ¿ Suporficlc tto de un conductor(figura 24-17a),y supongamos /tlA g¡wslnna denttode la burbuja.Sóloen la superficiede la burbujasepuedeacumula¡esacar- Íli 'tr ga.Una superficiegaussianaque rodeea la burbuja,pero que sc ehcuentredentro il del conductor,no tieneflujo eléctticoa travésdeella,porqueno hly campoeléctrico enel conductor.Asf, no hay carganetaen la superficiede la burbuja.Todoexcesode carga colocadoen un conductor,aun cuandocontcngaburbujasno conductoras,se muevehacia la superficieexteriordel conductor,siemprequeno haya catgadentro de las burbuja'sno conductoras. cuandohay cargadetrttode las burDebemosmodificarnuesttorazonamiento + bujasno conductorasqueseencuentrana su vez dentrodel conductor.Supongamos quehayunaburbujano conductoradentrodeun conductoty quecontieneuna.carga +Q (figuta 24-l7b). De nuevo,trazamosuna superficiegaussiana denttodel.metal üii quetodeea la burbuja.Comodenttodel tngtalno haycarnpo,la carganetaencenada debeserceto.En estecaso,se induciráuna cargad" -Q en la superficieinternadel metal;estoes,sobrela superficiedela burbuja.Estacarganegativainducidamalrtiene IIGURA 24-18 Paradctcrminarcl campo al campoeléctricoen cerodentrodelconductor.
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clcct¡icofucra do r¡¡¡conductordc t¡¡¡¡año a¡bitrario,sclcccionamos un cili¡rdro circular¡cctocomosupcrficicgarrqsiana. [-8 únicapafc dcl c¡lindro I travcsdc l¡ cual hay ur flujo clcctrico distinto do coro cs la tápacrlonu dcl cilindro, El clmpo elóctricocerc¡ dc ún conductor eeperpendiculer r le eupcrflclc dc &tc
Campos electrostáticos cefca de conductorcs De estadescripción,podemossacardos conclusionesirnporkntesacercade los camposelectrostáticosque rdean a los conductores.La primera es que eI campo de un conductor,debeserperpendiculara la supereléctricoinmediatamentefuera ficíe del conductor. Si hubieraun componerrteparalelo,entonceslas cargasde la y semoverfan,contradiciendo nuestrahipótesisde equilisuperficiereaccionarfan la ley deGauss,podemoscalcularel valorde ese brio. En segundolugar,empleando cercade la superficie,en términosde la densidadde campoeléctticoperpendicular cargaen ella. Parahacerlo,vealnosel conductorque semuestraen la figura 24-L8, y cuya tapaes cuyo lado es perpendicular con una diminutasuperficiegaussiana paralelaa la superficiedel conductor.Es diminutaporquela densidadde carga y sólorlosrcfctircnloso o ctrel punto superficial,o, puedcvar¡arcn el concJuctor, Dentrode la srrperficiemetálica,el campo en el quesetomala superficiégaussiana,
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eléctricoes cero, y es paraleloal lado de la superficiegaussiana. Asf, la única contribuciónal flujo provienede la tapa.si la superficiegaussianaes lo suficienüemenüepequeña, E,queesperpendiculara la tapa,sepuedeconsiderarcomoconstante enella,y
715 2tf-4 C.onducto¡cr y cem¡xr
elértdca
: *: fl' dA EA, siendo/ el áreade la tapade la superficiegaussiana.La cargatotal, Q, encerradapor la superficiegaussiana,es oA, de modo que la ecuaciónanterio¡setransformaen
-( qQ - : 4 : r ¡ . €o El ¡lrease simplifica.El campoeléctticoinmediatamente fuerade la superficiees prootcionala la densidadlocalde carga,o: (, L--
€o
(24-ts)
Esteresultadoesválidosólocercade la superficiedel conductor.Si eso no útil, dependede nuestroconocimientode la densidadde carga,o, y de lá magnituddel campo,que varla en la superficiedel conductor,al variar o. El campoeléctrico sicmpreseráperpendicr¡lar al conductorcercadesusupcrficie(figura24-19).Esirtil cotnprobar esteresultadoconsidera¡rdo un conductorqueseaunaesferade radioR y cargatotalQ. En estecaso,la simehlademandaquela cargasedistribuyauniformementesobrela superficie,y
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Campo eléctrico inmedi¡t¡mente ¡fuer¡ de l¡ superficic dc un conductor
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Parael carnpoinmediatamente afuerade la esfera,la ecuación(24-15)darfaentonces comoresultadoE - Ql4nesÑ,queconcuerda con la ecuación(24-12),resultado que sededujoantes. El campoinmediatamente fueradeun conductor(E - olq) tienedoblemagnitud queel campode un platrono conductorcatgadocon la mismadensidadsuperficial de carga(E - ol24). Esto se puedecomprendercon facilidad.La cargaen una superficiede áread,4es o d,4,y da lugar a determinadonúmerode lfneasde campo. Paraun plano conductor,no hay llneasde campoen el lado conductor,de modo que todaslas lfneasde campodebenemergerdel lado abierto. Podemosresumirlo quehemosaptendidoacercade los conductores,en la forma siguiente: 1. El campoelectros&iticodentrode un conductores cero. 2. El campoelecttosláticoinmediatamente fuera de un conductores perp€ndicular a la superficiede éste,y tieneel valor o/e¡,siendoo la densidad superficialde cargalocal. 3. Un conductoten equilibrio electrostático,aununo que contengaburbujas no conductoras, sólo puedetenercargaen su superficieexterior,siempre que las burbujasno contengancarganeta. Podemosagregarun tesultadoimportantemá.. Supongamosque tenemosuna burbujaenun metal,sin cargadentrode ella.Ahorasabemosqueno haycampodentro delmetaly, esmás,no hay carganetaen la superficieintemadel metalquerodeaa la burbuja.Aun pata casosno simétricos,sepuededemostrarque,mientrasno haya cargadentrode la cavidad,el campoeléctricoescero, en todoslospuntosdentrode la burbuja. El hecho que no haya camposeléctricosdentro de cavidadessin carga,en los metales,tieneaplicaciones prácticas,Con frecuencia,los laboratoriosde investigación cuentancon recipientesformadoscon l¿iminaso mallasde cobre.Esoscuartos
+l \, f'IGURA 24-f 9 Cam¡ncléctricodcntroy al¡cdc
"bliridados"sottne¡esaridsparallcvara'cauonredicionc$electrórricas delicadas,para que no gueden afectadrispor th inlerferencia eléctrica'áxtema (figura 24-20). EL fecinto es una cavldad dentro del sólido metálico fr¡rmado por las nrallas Cc cobre. Dentto del recinto no hay campo eléctrico debido a cualquíer efecto extemo, siempre que'haya carga neta c€ro en el interior. Si hubiera una carga ileta en el interior, se inducirla cargaen et iirterior derlaslnallhs dc cobre,fórzancloa quc cl campo eléctrico dentro del cobre sea cero, y habrla un campo elóctrico derrtrodel recinto. Las consecuenciasde esas'propiedadesválr más állá del laboratorio, El interior del automóvil del lector es un lugar seguro en el caso de una tomrenta elóctrica,pero, por la misma razón, el tadiorreceptor trabaja rnenos bien cuando el vehfculo está "enjaulado" dentro de un puente metálico.
+.
24-5
¿QUETAN BIEN coNocEMos,LA LEY DE GAUSS
Y Ij. DE COULOMB?
La ley de Gaussbquivalen la dc Coulotnb sólo porque istn últinra es unn lcy de cuadrado inverso. La ley de Gausses uno de los bloqtresbásicosde nuestro conociI-IGURA 24-20 Dc ocrrcrdocon la lcy dc miento de electticidad y magnetismo, y debemospreguntar qué tan bien se conoce, Causs,no hny cnm¡xr clcctrico dcntro dc y probarlatan precisamentecólno sea pdsiblc.'Los erroresirnpllcitos en cr:alcluier u¡racavidad vacia dc,nt¡odc r¡rrr¡rctal,l¡x invostigadorcsaprovcchnn csn vcntaja medición de Ia ley de Coulontb estableccnllmites a nr¡est¡oconocinricnto de la ley trabajarrrlorlcntro dc una jaula tnctálica, de Gauss,y esos lfnrites se han tr,ejorado pcr Civersosmedios, cri fotma continua, dont¡o rlc la cual so climina¡r los campos r,l.,ln c,ierrcia el dud¡r eteniamentede hastael presente,Es una de las coracterístic,id dobidcx n l:rs fucntcs cxtcmns. ayer. a cabo porque llevados No es tanto los experimentos los experimentosde ayer porque el podrla sino rc'sultado de aycr ser sólo una aptoximahubieranestadomal, ción, y que, con aparatostnás modemos, se puede llevar a cabo un experimento más exacto. A cotrtinuaciónrepasaremosla precisiótr cotr la cual se han comprobado las precisionesde las ccuacionesdc la electrostática.Presentnrcrnoscorl algo de cletslle una técnica especialmentesensiblepara probar la icy cleGauss, Las prirrreraspruebasse relacio¡ralrcon el
776
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A cotrtinu¡ciónasignólltnites al pariítnetro6, c$nto cn la ial;la 2'i-1. Cu¿;',doÓ - 0, mencr cs cl litniie cic 5, h lt:;' se la lcy de la inversaclelcuadrndo('sexacta.lvlic¡rt¡:¡s tr:n:r rlel.;.c;irrol ililrrtclrlr, Disafot lc',,, e:,ui:".clils il:vclso. accrcatnrisa la del cuaclrario ;t.¡'fL,e,'iiti ll¿s,t¿ i3C1., tiiucho il¡ttescerrdeii'.c, sólo se collocierollen ufra.¡'eunión i' .r,ri:licó ier;.,ilrdcc' :i;r' despuósde la pubiicació¡rcleCoulomb, c,ucRr',1;isoii
El siguientedescubrimientode la ley de coulomb fue hechoen 1773,por Henry Cavendish,personajebasüanteexcéntrico.Por su conocimientode la gravitación, sabfaque la presenciao ausenciade cargaen la superficieintema de un conductor cerado esconsecuencia de lo queahorallamamosley de Gauss,y, por lo tsnto,prueba direetade la ley defuerzal/1. Colocóunaesferaconductoradentródeotra,y ctnecté lasdosmediarrteun alambre,Despuésde colocatunacargaen el aparato,desconectó el alambrey vio si habla quedadoalgunacargaen la esferainterna.Hasüa¿ondele permitió la exactitudde su experimento,no encontróninguna.pudo describir su resultadodiciendo que 6 debe ser'menor que detenninadovalor. Cavendishera todavlapeor que Robison,en lo concernientea la publicaciónde susresultados,que no aparecietonhnpresossino hastadespuesde más de 100años.El experirnentüe cavendishseagrupaahorabajo el nombrede experimentode Ia hielera,de Faraday, en honor de Michael Faraday;es la basede muchasde las pruebasmodemasde la ley de Gauss,con altaprecisión. No fue sino hasüa1785que chades coulomb entróen escen&,peto publicó con prontitudsusresultados,y ahoratieneel créditode la ley de la fuerza.Ensayóesaley directamente,con una balanzade torsión muy semejantea la que empleó H"r,ry Cavendishen I 798paramedir la fuetzadela gtavitación(véasecapftulo l2). El lfrnite de ó de coulomb, de hecho,fue peorqueel de Robisono el de cavendish,comose ve en la tabla 24-1. Hubo mejorasnotablesa los experimentossemejanües al de cavendish,por paf,edeJamesclerkMaxwell en 1873,samuelJ.Plimptony willard E, Lawtonen 1936,y Edwin R. Williams,JamesE. Fallery HenryA. Hill, en 1971. como indicaunamiradaa la tabla24-1,el gradode precisiónde esosexperimentos, quesonpruebasdirectasde la ley de Gauss,es.asombtoso.
717 ¿Qqé tan blcn conoccmm h lcy& Geum yb dc (hrlornb
Un experlmcnto nulo Desoibiremosunaversiónsencilladel experimentodeFaraday,de la cubetadehielo, quesepuedellevara caboen una demostraci6nen conferencia,o en un laboratorio de licenciatura.2El equiponecesarioe.sel electroscopio,detectorde cargalibre
rl.rr
Ar¿ndoladohulo
*2 -Cala
(a)
(b) 2 Posiblcmontc,la "hiclcr¿" cra u¡n cubamcüilica, quo
Sirviócomorccipicntcmoüiücopararodcarla carga.
I'ICURA 24.2f (a) IIn olcctroecoplo, ¡paratoquc dctcctala proscncladc cargr. (b) Esqucmado un oloctrccoplo. Curndoco cargacl conductormcüilico,la hoJadolgada dc oro tarr¡biénsc cargay cs rc¡rclidadolr varillaconductora.
so ¡rodiaconscguircn cl laboratoriodo Faraday.
,: tl \, '
sd|¡¡r¡.b¡¡¡i¡f¡!'
lloja do oro
(figr:m 24-21a). Cuando el electroscopio recibe un exceso de carga, Ia carga se distribuye en todo é1,incluyendo la varilla metálica y la hoja de oro dentro de la caja (figura 24-21b). La hoja es repelidajB la varilla metálica, hasta que el componente vertical de la repulsión electtostáticaqueda equilibrado por la fuerza de la gravedad sobre la hoja. La adición de más carga hace que la hoja de oro se aleje todavía más de la varilla. También se necesitaun recipiente nretálico hueco con un agujero en la parte superior, como se ve en la figr:ra24-22a. Se puede introducir carga al interior del'recipientecon una pequeñabola metálica en el extremo de una varilla aislante.El electroscopiose fija al exterior del recipir:ntey asf indica la cafga en el exterior. A continuación, se pone una carga positiva, +Q, en la bola metálica, que se introducepor el pequeñoagujeroen el recipientecerrado,sin tocarlo (figura 24-22b). La ley de Gaussestableceque no hay carga netadentro del recipiente metálico casi cenado, de modo que se debe inducit una carga -Q en la superficie interna del recipiente3. Como el recipietrtemetálico es neutro, se inducirá una carga +Q en su exterior, y la ind'ca el electroscopio.Si la bola se rnueve,rlo cambia el electroscopio en absoluto,lo cual coincide con la ley de Gauss.Entolrces,la bola de metal toca al interior del recipiente hueco (figura 24-22c). Si la ley de Gauss es conecta, la cargade la bola neutralizala carga -Q inducida en la superficie interior, dejando la carga +Q en la superficie exterior. El electtoscopio lo indica al no cambiar en lo más mlnimo. Cuando la bola de metal se sacadel recipiente,la superftcie extema de éste peremanececargada(figura 24-22d). Si se toca otro electroscopio con la bola de rnetal, podremos comprobar que no lleva carga. La descripción de este experimerrtodemuestra por qué es potencialtnentetan preciso. Si la ley de Gausses correcta, no hay cantbio en la posición de la hoja de orc cua¡rdose toca la superficieinüenra.En forma equivalente,el expetimento de Cavendish comprueba la ausenciade carga en el illterior de closesferas.Experimentos como el de Coulomb, que precisan de pequeños cambios en comparación con efectos menos precisos que otros, colno el de Cavendish,que mayofes,son furhererrüemente buscan pequeñas c rrgas compatadas con ausencia de eféctos. Los expetimentos que buscan pequeñ ,Scotg&s en compatación de cambios ttulos, se llaman expeúmentos nulos. Es nucho lnás fácil efectuar una prueba de precisión de la ley de Gauss,que de la le¡ de Coulomb, porque se puede emplear un experilnento nulo.
La lcy dc Coulorr b es válida para distancias pequeñas y gran
Fl(;I IRA 24-22 Un clcct¡ccopio so fija a la su¡xrrficic cxtcma do ur¡a csfcra co¡xkrclora hucca para dc[iostraf la prc,strncindo cargn. (n) No hny cargn, y la lro.jnrlo oro cuclgn hncir rbnJo. (r) Dcntro dc la csfcra sc coloca una bola cargada cn cl cxl¡crno do r¡na varilla aislada, y sc inducc carga. (c) Si la bola mcuilica toca la superficic intcma dol conductor hucco, toda la carga pasa a la suporñcio oxtoma. [r hoja dc oro dol electroscopio no indica cambio en la carga fuora dcl conductor hucco. (d) Cr¡arxlo la bola n¡ctdlica alslada sc sacaal cxtcriof, la carga pcrmanococn ol oxtcfior dol co¡¡ductor hueeo, y la boh rnoldllc¡ r¡o trcnc cafga.
Sin embargo, ho hr ños llegado al final de la historia, En primer lugar, los experimento5 que hemos citado en la tabla 24-1, sólo prueban las leyes a una distancia aproximada de 1 m. Sin embargo,se suponeque las leyes de la electtodinámicason válidas en sistemasatómicos y a distanciasgalácticas.En segundo lugar, hay otras pmebas a propósito del armazón de las leyes de la fisica, que sugieren fuertemente qu" no et potible una dcsviación de la tcy de Coulonrb que tenga Iafornm llf'6.8n lugar de ello, un modo de catacterizaruna desviaciónrespecto a la ley de Coulomb es empleando la forma aproxímada
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Si la ley de exponencial 2.78...,y p es una constatrte. en la cual ¿ es la constante Coulombescorrecta,el parámetro¡r - 0. Hemosvisto antesla forma exponencial; esuna fi¡nciónque decrececuandoaumentar, en una distanciaque dependede ¡1. Mientrasmayorsea#, con más rapidezdecrecerála exponencial,y mayor serála violación de la ley de Coulomb.Ahora sabemosque cualquierviolación queda conmáspropiedadmediantelfmitesde ¡"r.Podemosdeterminarlos límites fli: expresada p y, por lo tanto,de laspruebasde exactitudde la ley de Coulomb,a partirde los $i. d" tii, ' El agujcro prrcdo haccrsc miis y nuis ¡r4ucño, hasta quc su prcscncia no imlnrtc.
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experimentos citadosanteriormente. Porejemplo,el experimentodeV/illiams,Faller y Hill, implica que p es firenor que 6 x 10-8m-1. Esos limites se puedenampliar observandola dependencia del campomagnéticotenestrecon la distancia,y también delcatnpomagnéticodeJúpiter,medidopor la naveespacialPioneer/0. Aunqueno hemosestudiadoel magnetismo,todavfa,podemosdecir que los lfmitesde ¡r que se detetminanasl son en realidadlos telacionadoscon la ley de Gauss.Las mediciones planetarias,ademásde ser directas,dan valoresde ¡r que son más pequeños,en un ordende magnitudo más,quelos quese.obtienenen experimentosde laboratorio,y tenemosla venüajaadicionalde probarla ley de Gaussa grandesdistancias. Por último, ¿quétan bien conocemosla ley de Gaussa distanciascortas?Loe coloresde la luz, emitidospor los átomosexcitadosde hidtógeno,son indicadores muysensibles de la fuerzade Coulomba disüancias en escalaatómica,de unos10'10 m. La exactitudcon la que se determinala ley de Gauss(y, por consiguiente, la de Coulomb)escompambleenexactituda la delosexperimentos dePlimptony lawton (véasetabla24-l); estoes,aproximadamente de I patteen 1000millones.Hastaa distancias nucleares, deunos 10'15 indicanquehayconsistencia m, los experimentos conla teorfabásicaqueconducea la ley de Coulomb.
7rg Rcrumcn
RESU M EN El flujo eléctricodebidoal campoeléctricoE quepasapor cualquiersuperfitcie es
* : lJ,E.dA.
(24-3)
La ley de Gaussrelacionaal flujo eléctricoa travesde unasuperficiegaussiana queesuhasuperficie por ceffada, itnaginatia cetrada, conlacargatotal,Q,encenada lasuperficie:
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(24-7)
La ley de Gausses equivalente a la de Coulomb para casosestáticos,y, a diferencia de éstn,es vólida aun cuando se manejan camposno estáticos.Pot lo tanto, es una de las ecuacionesfundamentales del electrcmagnetismo. La ley de Gauss también es una hertamienta poderosa para determinat catnpos eléctricosdebidos a distribuciones de carga con alto gtado de simetda. Se pueden usar para deducir, en una fonna sencilla, los campos eléctricos debidos a una ca¡ga rectillneao los debidos a un plano conductor.Parauna distribución generalesféricamente simétrica de carga centradaen el origen de un sistemade coordenadas,la ley de Gausspropotciotrauna deducgiónsencilla del campo a una distanciar del origen. Si g es la carga total contenida dentro de una esferagaussianade radio r, entonces, el campo eléctrico en r es igual al de una carga puntual q en el origen, E = ql(4nt"f). Los conductores teaccionan de modos especiales a los campos y cargas eléctricas:
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1. El campoelectrostáticodentrode un conductores cero. afuerade un conductoresperpen2. El campoelectros!áticoinmediatamente diculara la superficiey tieneel valor o/q, siendoo la densidadsuperfltcial esconstante. de caryalocal, queno necesariamente que contengancarga,un conductoren Si conductores 3. no hay agujetosno puedetenercargasólo en'susuperficieexterior. quilibno elect¡os&itico
720 Capítulo 24 l¡ry&
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la ley de Gauss y su equivalente, la ley de coulolnb' se han zujetado a muchas pruebas experimentáles desde mediados del siglo XVIII. La ley de dependencia fespecto al cuadrado inverso de la distancia se ha comptobado con una precisión que va de una parte en 10ea una en 1016,etidistancias entre 10'10m y 10em.
PNEGUNTA,S 1. Se define un campo de temperaturascuandoseespec-tficala temperaturade todo punto dentrode una regióndel espacio. ¿Esposiblecalcularun flujo rclacionadocon csecampo? 2. En el texto citamosal experimentodc la hielerade Faraday, y describimoscon detalleuna de susvcrsiones'I-a descripción es dc una esferacon un agujeroen clla, y decimc que hay interior y exteriorde esaesferaabierta(f,tgura24'22a)' Sin embargo,una esferaabiertano tiene un interior ni un exterior definidos, potque, a difercncia dc una esferacenada y hueca,se puedcdeformaren forma continuay llegar a ser un plano. ¿Porqué es poeiblehablar del interior y exterior de unaesferaabierta,y por quéla esfcraabiertasecomporta como una esferaccrraday hueca(una burbuja)en el experimento? 3. Con la ley de Oauss,demuestreque las llneas de campo eléctricodebensercontinuas,y sedebcnoriginary terminar cn carSas. 4. Describala fonna en que pudierafalla¡ la ley de Oausssi el campode unacargapuntualtuvieraquedecreceren función de llr y no de l/É. 5. Si una lámina grandey planatienecargapositiva,el campo se cxtiendc en ambasdi¡eccionespartiendode la placa, y tienc una magrritudde o/2ee'Si Una segundakimiru de carga igual,pcro opuesta,secolocaparalelaa la primera,el campo que rodeaa la primera sólo se extiendehaciala segunda,y tieneuna magnitudde o/eo,siendooexactamenteigual que la anterior.¿Cómoreconciliaustcdestescgundocasocon la ley de Oauss? 6. Una primerasuperficiegarssianaesuna esferade radio r, y esferaconcéntricade radior - 6, siendo unasegundá,es]luna 6 muy pequeña.El flujo eléctrico a través de la primera superficic et qP, y sobre la segundasuperficie es cero' ¿Puedeustedllbgar a la conclusiónque,de acuerdocon lo anterior,qüb el espacioentre las supcrficiesestálleno uniformeme¡tg con una catga QI
7. Se tiene un campo eléct¡ico, E, que es cero en todos los puntosde una superñciecerrada,S. ¿Quiercdccir estoque no hay cargasdentrode esasuperficie?Cite un ejemplopara el cual hay cargasdentro dc una superficie, y al mismo tiempo E - 0 sobrela superficie. 8. ¿Cómose veria la ley de Gausspara el flujo de fluidos? ¿Cómose verfa para el campo gravitacional,definido por demasa? fuerza/unidad distribuye unifomrementeenun alambrecircular I: carga se 9. rodeadopor un toro (dona)parael cual el alambreocupael eje.I-a simetrfadelconjunto,¿nospermitedeciralgoacerca del campoeléctricodebidoa la cargadel alambreci¡cular? 10. Una cargapuntualpositiva,y una negativade igual valor, estánf,rjasen la superficiede r¡nconductorde forma a¡bitraria. ¿Quése puededccir,si es que se puede,acercade las lfneasde camporesultantes? ll. Una regiónen el cspaciotienecampoeléctricounifonnc. ¿Quépodemosdecirace¡cade si hay o no cargasdentrode la región? 12. Paradeducirel carnpocléctricode unalfneade cargainfini' enforma tamentelarga,empleamosrurasuperftcicgaussiana dc un cilindrorectocentradoen la.lfnca.¿Porqué,el usode esasuperficie,no nos permitc determinarel campode una lfneade cargade longitudy'rtila? que se conoceel campoeléctricoen determinada Suponga 13. región,y sólo tiene utr comPonente 'r y uno y, y que los componentessólo dependende x y y, pero no de z. ¿Qué puedededucirustedacercade.ladistribuciónde cargaque originaesecampo? i 14. Ti.n" ustedun instrurhentoque mide el campoeléctricoen cualquierpuntodelespacio.Paraunaregiónenla cualusted sabe,en forma independiente,que la densidadde cargaes constante,¿cómopuedeemplearel instnrmentoparamedir esadensidadde carga?
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PROBLEMAS 24-1 Fluio eléctrico 1. (I) Unaplacaffitnitamente grande,delgaday no conductora, tiche una der¡sidaduniforme de carga,o' (a) ¿Curilesel flujo eléctricopor un clrculo de radio R paraleloa la placa?(b) ¿Cuálespl flujo por esccfrculo si el plano del clrculo tiene una inclinacióqtde 30ocon resPectoa su orientaciónoriginal? 2. (I) El campo eléctrico debido a una lfnea de carga infinitamente larga, recta, con densidaduniforme de carga, l, apunt¡ dircótoalejándosede la lfnea,y su magnitudes B - ry2rdr;'sicndor la distanciaal alambre.Calculeel flujo de esecainpoeléctricoa havésde un cillndro ¡ccto de alhua l¡
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y radioR, concéntrico conla lfneacargada'Repitael cálculo paraun cilindrode radio2R. 3. (I) El campo electrico en determinaCaregión del espacio tiene la direcciónde z y su magnitudes E - 4xz, en la cual x y z se miden a partir de ciertoorigcrl.Calculeel flujo de [:1 ' *il esecampoa travésdeun cuadradoperpendicularal ejez; las !:t, esquinaidel cuadradoestánen (x,y,z)- (1,1,3),(1,2,3), l i ; (2,2,3)y(2,1,3).Todoslos campossemidenenN/C, y todas las distancias,en m. E,' -2x, E, 4. (I) Un campoeléctricotienecomponentes través de los lados a flujo eléctrico el Calcule -}y,y E, - 3¿ de un cubo unitario, cuyas esquinasson (¡,y¿) - (0'0'0)'
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(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1)y (0,1,1).Todos los campoese expresanen N/C y las distanciasen m. 5. (II) Un campoeléctricodc direccióncotutanteesperpendicularal planode un clrculo de radioR. La magnitudmáxima del campoen eseplanosc tieneen el ejedel cfrculo.Suponga que la magrútuddel campo eléctrico en el plano decrece desdeun valor axial, en la forma l/r. Determineel flujo eléctricoa travésdel plano del clrculo. 6. (II) Mediantecálculosdirsctos,cstoes,sin cmplearla ley dc Oauss,determineel flujo de un campoeléctricoconstante, E, a travésde una superficiehemisféricadc radio R, cuya baseci¡cular cs perpendiculara la di¡eccióndcl campo.Su resultadodcbc ser igual al del flujo a travésde la supcrficic de la tapade un cilindro cuya basecircular,dc radio R, está orientadaperpendiculara la direccióndel campo.lsugerencia: El árra de una bandainfinitesimal a una latitud 0 y de un qspesorM0 es 2rP sen 0 dt, 0 varfa de 0 en el polo norte,a rl2 enel ecuador.] 7. (II) Una cargag eccolocajusto ariba dcl ccntodo un cfrculo horizontalde radior, y sobrela cargasccolocaun hemisfcrio de eseradio. Calculeel flujo eléctricoa travésde la superficie cerradaque consistcdel hemisferioy cl cfrculo plano (figvra24-23).
FICURA24-23Problcm¡ 7. (III) Se tieneun paralelepfped! infinitesimalubicadoen un punto (r, y, z), cuyosladosson-dr,dyy ü,y estánalineados con los ejes¿ y y z (figura 24-24). Demuestreque el flujo eléctrico del campo E - Ej + Arj + Ek a través de la superficieque limita esevolumen estádadopor
La cantidadentre paréntesis,el coeficientedc d¡ dy dz sc llama la divergenciadel campovectorial E. 24-2
Lcy de Gauss
9. (I) Una carga de 10-3Cse distribuye uniformemente sobrc la superficie de una esferade I crn de radio. Calculc cl flujo eléctrico total a través de una esfera concént¡ica (a) justo dentro de la supcrficic cartada, y (b) jr¡sto afucn do l¡ superficiccergada. 10. (I) Una carga puntual de 5 pC sc coloca inmcdiatamcntc dentrodel centrode una caradc un cubo gaussianoimaginario. ¿Cuálcs el flujo quepasapor la sumadc las sciecaras del cubo? | 1. (t) El fl ujo eléctriconetoquepasepor unasuperficiecerrada dadaes -4 x l0 N.m2/C. ¿Quécargaestácontenldadcntro de la superficie,si éstaes (a) una esferade 3 cm de radio, (b) un cubo de 3 cm de radio, (c) un cilindro ci¡cula¡ rccto de 3 crn de alturay I cm do radio? 12. (II)'Una cargade 3 pC sc colocaen el ccntrodc un cubodo 4 cm de lado. Determineel flujo eléctricoa travésdo cada uno de los lados. 13. (II) Una región dadatiene un campoeléctrico que esla suma de doscontribuciones:la debidaa una cargaQ- 3 x 10-¡0C en el origen, y un campouniforme dc intensidadEo- 50 N/C en di¡ección¡. Calculeel flujo a travésdc cadalado dc un cubo de l0 cm de lado, cuyos lados son paraleloea las direcciones¡, y y z.El cuboestácentradocn cl origcn14. (II)El campogravitaciorul, g, debidoa una masapuntul, M, puedc obtenersepor analogfacon el campo eléctrico, formulandouna ecuaciónparala fuerzagravitacionalsobrc una masadc prucba,y dlvidiéndolacntrc le magnltuddc la masade prueba,m. Demuestreque la ley ¡19Q¿r¡ccpan el campogravitacionales O -f g , dl¡ - - nGM,sicndo G la corÉantegnütaciqnl. Useedc resultadoparacalcularel campo gravitaciaal a una distarrciar dcl ccntro dc una csfcn dc radio Ry densidadunifonne, pa¡ar < Ry pan r > R 15.(II) Una cargapuntual,q, cstáen el centrode un tetracdro de lado L (figura 24-25). ¿Cuál as'el valor promedio del campoeléctricosobreuna caradel tetraedro?
*:(u+**oy *P)0, oro, oz / \ox
FIGU¡IA 2425 koblcma 15.
24-3
FIGLTRA24-24 Problcrna8.
Aplicacionesde la ley ile Gauss
16. (I) Calculeel campoeléctricofuera de un cilindro largo de radio R finito, con una densidadvolumétriceuniformc dc carga p repartida por cl volumen del cilindro.
7Zr
17. Use la ley de Oaüssparademostrarque el campoeléctrico fuera de una placa grande,delgaday no conductora,con densidaduniforme de cargasuperficial o, es E - o lzs.o. lE. (II) Un cilindro infinitamente largo de ¡adio R tiene una densidadvolumétricauniformede cargap. Calculeel campo en todoslos lugarcsen el interior del cilindro. 19. (ID En un dfa claro, en cicrto lugar, el campoeléctricojusto arriba del teneno es 90 N/C, y se dirige hacia el piso. La tiena misma es un conductor razonabley no tiene carga eléctrica. ¿Cuántacarga ncta está en la superficie de un campode mafzde 40 acres(1 acre- 4046.9m2)? 20. (U) Dos casca¡ones cilfndricos,delgadosy largos,de radios r¡ y 12,respectivamente, estánorientadoscoaxialmente.Un cilindro estádentrodelotro y sonconcéntricos. Los cilindros tienen densidadeslinealesde carga iguales,pero de signo contrario,,?' Desc¡ibael campoeléctricoresultantedentro del cilindro menor,entrelos cilindrosy fueradel cilindro mayor. 21. (U) Un globode 30 c¡n de radiotie¡reuna cargade 3 x l0-8 C distribuidauniformementesobresu superficie.¿Cuáles el campo eléctricoa una distanciade 40 crn del centrodel globo?Supongaqueel globoseencogea un radiode 10cm, peroqucno pierdecarga.¿Cuálesel campoeléctricoa una distanciade 40 cm del centro? 22. (ll) Un cascaróncilfndrico dclgado de cobre, dc 4 c¡n de diárnetro,tiene a lo largo de su eje un alambremetálico delgado,cuyo diámetro es 3 x 10-3cm. El alambrey el cilindro tienen cargasiguales,pero de sigfio contrario,de 10-eC/cm, distribuidasuniformemente.Calcule el campo eléctrico en la región entre el alambrey el cilindro, y la magnituddel campoeléctricoen la superficiedel alambre. 23. (ID Un cascaróncilfndrico iargo, de radio interior r, y radio exterior r, tiene una densidadvolumétricade cargauniforme, p. Determineel campoeléctricodebidoa esadistribución dc carga,en todo lugar del esphcio. 24. (Il) Una varilla de teflón de 4.0 cm de radio y 20.0 cm de altu¡a se carga uniformementeen su superficie. ¿Cuánta cargapuedeaguantarsin que el aire que la rodeasufra una descargadisnrptiva,lo cual sucedecuandoel campoeléctrico en el aire es 3.0 x 106 N/C? No tenga en cuenta la probabilidadde descargas en las aristas. 25. (II) Un casca¡ónesféricogrueso,no conductor,con carga total Q distribuidauniformementetiene radio interior .R,y radio exterior R2.Calculeel campo eléctricoresultante,en todo lugar del espacio. 26. (II) Doshojasdelgadasplanas,infinitas,no conductoras, con cargassuperficialesuniformesde 12 ¡rC/mzy -8 ¡rC/m2son paralelasentresl y estána 0.1 m de distancia.¿Cuálesson los camposeléctricosentrelas dos hojas,y fuera de ellas? 27, (Il) Dos hojasinfinitas y planas,exactamentecomo las del problema anterior, se colocanpn ángulosrectos entre sf. ¿Cuálesson los cr¡mposen las cuatro regionesen las que quedadividido el espaciopor los planos? 28. 0D Una placa de material no conductorforma un plano ir¡finito. La placa tiene un espesort y tiene una densidad uniformede cargapositivap. Seorientaparalelaal planory, y su superficiesuperiorestáa z - t/2, y su superficieinferior
722
estáen z - -t12. Con la ley de Gaussdctermineel campo eléctricoaniba y abajode la superficie,al igual que a un valor arbitrariode z en el interiorde la placa. 29. (II) Setieneunlesfera de 4 cm de radio,quetieneuna carga negativade 40 ¡.rC,distribuidauniformemente. La esfera estádentrodé otra mayor, de l0 cm de radio. La esfera exteriortieneuna cargapositivadc 50 !C, distribuidauniformemente.Calculeel campoeléctricocomofunció¡rdel radi or,para0< r< 15cm. 30. (II) Sedistribuyecargaenunaesfera,y la densidadde carga esp - poparar< a, p * p o(r- R)l(a- R) paraa < r < R,y p - 0 paraR < r. Calculeel flujo a travésde las superficies esféricasr i a, r : R, y r - lOR, y calculelos campos eléctricosconespóndientes en esosradios. 24-4
Conductoresy cantposeléctricos
31, (I) Doscascarones permetálicosconcéntricos, conductores fectos,tienenradiosR y 2R,respectivamente. Secolocau¡ra carg q en la esferailttema,y de -2q en la externa.¿Cuáles sonlos carnposeléctricosen todo el espacio,debidosa los doscascarones?
32. (I) Dos placasparalelascon cargasopuestas originanun campode 3 x l0rrN/C entrcellas.Soncuadradas, dc 0.5¡n por lado.¿Cuánta cargadebetenercadaplaca?Supongaque la distribuciónde cargay el campoeléctricosonuniformes, comosi lasplacasfueraninfinitas.Estoesunabuenaaproximaciónsi la distanciaentrelasplacasesmuchomenorque 0.5m. 33. (I) ¿Cuáles la densidadmáxima de cargaque se puede colocaren unaplacaconductoragrande,paraevitarla descargadisruptivaen aire,quesucedecuandoEn¡, - I x 190 N/C?
Supcrf-icic gaussia¡la
¡-IGtlRA24-26Problcna 34.
34. (II) Una esferametálica de radio ¿ está rodeadapor un cascarónmetálicode radio interiorDy radio exteriorR. El flujo por unasuperftciegaussianaesféricaubicadaentrea y b es Qleo,y a travésde una superficiegaussianaesfé¡ica inmediatamenteafuera de la superficie extema es ZQleo (frgura 24-26). ¿Cuálesson las cargastotalesen la esfera intemay en el cascarón? ¿Dóndeestánubicadaslascargas, y cuálessonsusdensidades de carga?
35. (U) El campoeléctricocercade la superficietenestre,cierto dfa,es 100V/m, y apuntaradialmentehaciaadentro.Si esto sucedieraen todoslos lugaresdelmundo,¿cuálserfael signo y la magnitudde la cargatotal de la Tierra?Si se considera a la Tierracomo conductor,¿dóndeestáubicadala carga? ¿Cuáles la densidadde carga? 36. (II) Una cargapuntual,q, secolocaa unadistanciatr/2 sobre el centro de una placa cuadradaconductoradc área12.(a) Tracelaslfneasdecampoeléctricoa ambosladosde la placa, que tiene una carga-4. @) Repita la partc (a) paracuando la cargaen la placaes2q. 37. (ID El centro de una esferaconductoramacizade 4 cm de radioy con2 pC de cargase colocaa lO cm arribay l0 cm alejadodel centrode unaplacaplana,horizontal,conductora y cuadradade 25 cm2de área,que tieneuna cargade I pC. Tracelas lfneasde campoeléctrico. Problentasgencralcs 3fl. (U) Se tieneun cubode ladoa ubicadoel el origen(figura 24-27).Supongaqueun campoeléctricoestápresente,y está descritopor E - üt'i, siendoá constante. Calculeel flujo a travésde cadaladodel cubo,y useel resultadoparacalcular la cargadentrodel cubo.
FIGURA24-27Problcma 38. (II) Repitael cálculodel problema38 paraE - bfi + c¡¿k. Lascantidades ü y c sonconstantes. (II) Repitael cálculodel problema38 paraE - bfi - dxyj + cxzk.Las cantidades b, c y d sonconstantes. (lI) Se ticneuna esferamacizade radioR, con unacargaQ Supongaqueunacargapuntual, distribuidauniformemente. q, de masa¡r¡,con signocontrarioal de Q tienelibertadde movimientodentrode la esferamaciza.Secolocaesacarga en reposoen la superficiede la esferay se suelta.Describa el movimientosiguiente.En particular,¿cuáles el perfodo demovimiento,y cuál esla energlatotal de la cargapuntual? lSugerencia:recuerdelaspropiedadesdel movimientopara el cual la fuerzavarla linealmentecon la distanciaa un punto fijo, queesunafuerzade restauración.] (II) Un campo eléctrico constantese encuentrade un tubo deseccióntransversal cuadrada deladoL, y esparaleloa los ladosde esetubo. Una iuperficie planacorta el interior del
FICURA24-28Problcma 42. tubo formandoun ángulo 0 (figura 24-28),Demuestre, con cálculosexplfcitos,que el flujo por esasuperficiees independientedel ángulo0. ¿Cómodemostmrfaéstosin cálculos explfcitosdel flujo por ta superficic? 43, (II) Una esferaconductorade 0.25 m de radio estácentrada en el origende un sistemade coordenadas, al igual que una esferaconductora,que la rodea,cuyo radio es 0,75 m. La esferainteriortieneunadensidadsuperficialde cargadc 0.l0 mC/m2,y la esferaexteriortieneuna densidaduniformede cargadel doble de esamagnitud. (a) Determineel campo eléctricoa una distanciade 0.30 m dcl origen;(b) a una distanciade 0.50m del origen.(c) ¿Cómoserfanlasrespuestasa las panes(a) y (b) si el cascarónexternono estuviera pres'ente? (d) ¿Cuálesel campoeléct¡icoa unadistanciade 1.0m del origen? 44. (II) Un campoeléctricoconstante, E,queapuntaendirección +2,pasaporun tetraedro cuyabaseestáenel plano equilátero rJ, y cuyos seis lados tienen longitud I (figura 24-25). Calculeel flujo totala travésde los tresladossuperiorcs del tetraedro. 45. (II) ¿Cómovarfacon la distanciaal cent¡ode una esferade radioR la densidadvolumétricade cargaparadarun canrpo radial de magnitudconstantedentro de la esfera?¿Qué sucedeen el origen,y por qué? 46. (II) Un cilindrorecto,macizoy conductor,tieneunacarga de 10 mC. Dentrodel cilindro estáunacargade -3 mC, al centrode un huecoesfórico(frgura24-29).(a) ¿Cuáles la cargaen la superficiedel espacioesféricohueco?(b) ¿Cuál esla cargaen la superficieextemadel cilindro?
FIGURA 24-29 ltoblcma 4ó.
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47. (II) Un conductortien,runa superficieorientadaen el plano y¿,quc es la fronterade una región en la cual hay un campo eléctricoorientadohacia la di¡ección +¡. La intensidadde estesrmpo decrecelinealmente a medida que aumenta¡ de ¡ - 0 m a x - 3 m. Al principio de la región, en.x - 0 m, la interuidadde campoes 500 N/C; en ¡ - 3 m, la intensidad de campo ha bajado a cero. Describa la distribución, en di¡ección¡, de la cargaque produce€secampo. (III) Una esfera de radio R se c¡¡¡ga uniformemente con dcnsidad volumétrica dc carga p. Con la ley de Gauss demuestreque el campoeléctricodentrode la esfera,en un punto P cuyo vector desplazamiento del centrode la esfera es r, estáexpresadopor E - (pl3e')r, Una pequeñaesfera centradaen el punto cuyo desplazamientodel origen es o, sesacade la esfera(figura24-30).Medianteel principiode superposición calculeel campoeléctricodentrode la cavidad.lSugerencra:la cavidadsc puedecrear introduciendo en la csfera original una esferacon densidadopuestade carga,-p, y de radio á, centradaen e.]
49. (lII) Use la ley de Gausspara demostrarque una cargade pruebaen eI campoeléctricodebidoa cualguierdistribución dadade cargaestálicano puedeestaren equilibrioestático. lSugerencia:En un punto de equilibrio, el campocléctrico
724
(
FICIJRA 24-30 Problcmn48.
neto debeser cero. ¿Cuálesdebenser los camposen la cercanlade esepuntoparaqueel equilibrioseaestable?] 50. (III) En un mundo en dos dimensiones,el campoeléctrico debidoa unacargapuntuales radial,y tienemagnitudI Ql2re"r, igual queel campoeléctricodebidoa un alambre inftnito. ¿Quéforma asumela ley de Gaussen el mundo bidimensional?fSugerencia.'Prueberemplazandouna superftciecerradapor un contornocerrado,]
POTENCIAT ETECTRICO
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I
La fuerzaeléctrica(deCoulomb),al igualquela fuerzagravitacional, esconsecuencia de las leyesfundarnentales de la naturaleza,Lafuerzaeléctticaes conservativa, y asf,una colecciónde catgastiene energlapotencial.Esa energfapotencialpuede transformarce en energlncinética,igual que la energlapotencialde una roca en equilibrioal bordedeun acantiladosetrarrsforma enenerglacinéticacuandocae.En estecapltulo describiremosla energfapotencialeléctrica.Los conceptosde fuetzas conservativas,trabajoy energlapotencialsehan desanolladoya en los capftulos6 y 7. Es más,muchosde los resultadosque deducimosaqufson semejantesa los de la gravitación(capltulol2), porquela fue¡zagravitacionaly la ley de Coulombtienen la mismaforma de la invetsadel cuadtado. Las fuerzaseléctricasconciemena la interacciónde una distribuciónde carga con otra carga.Hemos encont¡adoútil el empleodel campoeléctrico,que afslael efectode la distribuciónde cargasolamente,en lugar de la fuerza. La fuerza es el productode la segundacarga por el campoeléctrico.Igualrnente,la energla potencialeléctricaes la energfade la dis$ibuciónde la cargajunto con la de una segundacarga.En estecapitulodeftniremosal potencialeléctrico,medidoen volts, queespropiedadtansólo de la distribuciónde la carga.El.potencialtienela misma relacióncon el campoeléctricoquela quetienela energfapotencialcon la fuerza.
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ENERGTAPoTENcTALELEcrRrcA (
Capítulo 2! Potcncl¡l clóctrlco
Lnepropledndes dele6fuerzes y h energilpotenc¡¡lse conservetivlr estudir¡onenel cepitulo7.
Ya hemosaprendidoqueel conceptodeunaenergladeposición,o energfapotencial, útil. Porejemplo,sabemosqueunamasarn a unaalturañ (mucho esexttemadamente menorqueel radiode la Tierra)sobrela superficieterrestretieneunaenergfapotencial que sepuederepresentarpor U(h) - nrgft.Esto nos ayudaa determinarla velocidad del objetoen cualquietaltura,si conocemossu velocidaden determinadaaltura. Cualquiertuena queseafunción tan sólo de la posiciónesuna fuenaconservativa, lo cual quieredecir que un objeto bajo la influenciade esafuetza tieneuna energla potencialasociada. Esaenetgfapotencialesuna funciónde la posición,y sepuede conveftirenenerglacinéticadeacuerdoconla conservación dela energfa:La energfa total es E - K + U, siendoK la energíacinética.Conservación de la energlaquiere decir que el cambioen E escero,de modo queAE - 0 - AK + AU, o sea,AK - -AU Asl, cualquiercambioen U estarácompersadopor un cambioigual,peroopuesto, de X. , La fuerza eléctricaque ejercela cargaq¡ sobre la catga4, separadaspor una distanciar, es QTo l ^ +neor'
I.:;- - ;f,
( (_
I
( {
(25- l)
(
siendo I el vector unitario que se dirige radialmente hacia afuera, a partit del lugar de q. Esa fuerza tiene una notable semejanzacon la fuerza de gravitación entte una flasa fi6 y una masa til, sepafadaspof una distancia r,
F : - Crrro !, t. r-
a
(2s-2)
La fuerzagravitacionalsiemprees de atracción,mientrasque la fuerzaeléctricaes de atraccióno repulsión,segúnsea gqgpositivo o negativo.Ambas fuerzasson de modo que ambastienenuna energfapoterrcialU. Esa energla conservativas, potencial,queesfunciónde la posición,asumela mismafotma paraamboscasos. Sólo los canúlos de energlapotencialfienensignifioado.De acuerdocon la ecuación(7-9)podemosexpresarel cambiode energfapotencialde nuestrosistema cuandola carga4e(o, en el casode la gtavitación,la masa,me)semuevedeun punto inicialc en posiciónro,a un puntofinal, á, enunaposiciónr¡, pot el desplazamiento manera: s (figura25-1),de la siguiente FIGT RA 25-1 Cr¡andorrnacargadc pnrba, 40,pasadc m prmto¿ a tlfi punto b onprcscnciado unacarga4, fija cn un lugar,la cnergíapotencialdcl sistcrna cambia.
L L L
L
l ? 5 - 'l )
Parafuerzasconservativas,la integral en estaexpresiónes una integtal de lfnea, cuyo valor es independiente de la trayectoria de integración enfte los puntos a y á. Evaluemos ahora el cambio de energlapotencial eléctrica para la carga puntual q en elorigen, y la carga puntual 4o gue se mueve del pünto a al punto á. Iniciamos con el caso más simple (figura 25-2a), en el cual el punto a está en el mismo radio que el punto ó. Seguimos entonces la trayectoria de a a á a lo largo de la linea de puntos que se ve en la ftguta25-2a. Como la fuerza de Coulomb se dirige hacia afuem, a lo largo de la dirección radial que hemos escogido,para nuestrahayectoria F' ds : l - dr' Asl, de acuerdo con la ecuación (25-3), el cambio de energla poténcial cuando la carga {q se mueve de a a D, es (,, eeo f,o r:::dr Fdr:-¡ LIJ:-l )," 4neor' J,"
:#(;-) :-ffi::y:-ffi(+)[:
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727 .
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L L L L L L L
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L L L L L L L L L L L L
L L L L
eléctrlca
FIGURA 25-2 Cambio dc cncrgia ¡ntcncial dcl sistclna do tlos cargas,Q ! Qo cuando la carga qo va dcl punto a al purto ü, cn tórminos dc la intcgral dc linca, indo¡rcndicntcdc la traycctori¡. (a) [.a carga qosc mucvc & lo largo dc un radio. (b) tos dos prntos no cst¡in cn cl ¡¡ús¡noradio. l¿ tmycctorla va radialmcnto lucln lfuora, h¡sta cl radio dcl punto á, y a continturción sigrtc la circunforcncia do cso radio,
-
"
Elner¡,i^ lntcnclal
¿Quépasasi la carga{6 seffiueveent¡edospuntosqueno quedenen el tnismo quese radio,comoen la figura25-2b?En esecasoseguimosla trayectoriapunteada illdica.Recuerde,que el resultadode la integraciónen la ecuación(25-3)es independ¡ente de la trayector¡a. Paraelsegmentol, queva hnciaafuera,radialmente de ¿ a una distanciar¡ del origen,el resultadoes idénticoa la ecuación(25-4).Parael a un¡ disiancinr¡ dcl origcn,In intcgral scgtnento 2, quesigucunacircunferencia es ccro, porque la fuerza es perpendicularnl segrnentode trnyectoria, ds, en parael cambiodeenergfapotencialsiguesiendoel de cualquierlugar.El resultado la ecuación(25-4). quelás Veamosel contenidoffsicode la ecuaciólr(25-4),Primerosupongamos cargasse acercanmás entresf (ro > r¡). si las cargasse repelen(qqoes positivo),el cambiode energlapotencialespositivo.Es comomoverunamasacil¿.tfaarriba pot una montaña.Si las cargasse atraen(qqoes negativo),el sistemapierdeenergfa potencial al acercarselas catgas.Es como mover una masa cuestaabaio pot la montaDa.Como con cualquierenerglapotencial,la energfapotencialeléctricase puede'convertir en energlacinética.Si no hay más fuerzasach:ando,entonceslas cargasdesignosigualessedesaceleran, o pierdenenergfacinética,cuandoseacercan. Igualmente,las cargasde signo contrariose aceleran,o gananenergfacinética,al acercatseentresf. Podemosfehacernuestroanálisiscüandolas cargassealejan(to< r¡). Las cargasque se repelenpierdenenergfapotencialeléctricay, si no hay ohas fuerzas,gananenerglacinética.Las cargasde signocontrario,quese atraen,gánan energlapotencialeléctricacuandose alejan,y pierdenenergfacinéticaen ausencia de ot¡asfuerzas. La ecuación(25-3)muestraque el cambioen energlapotencialeléctricaestá expresadopor la diferenciade dos funciones,U(ru) y U(r,). En el capltulo 7 quesólo tienenconsecuencias flsicaslos cantbiosde energfapotencial. aprendimos tenemoslibertadde escogerque el cerode la funciónde energla Por consiguiente, y natural Puedeserconveniente potencialestéen cualquiervalorde r quequeramos. escogerquela energlapotencialceroseaenel infinito.Lo podemoshacersi hacemos que ra + oo,y que r¡ osufiraun valor generalr en la ecuación(25-4):
Lr ecueción(25{) esel canrbiode energir potenclnleléctrlc¡cu¡ndo l¡ csrSegosenluevedesdecuclquier punlo e r¡n¡ dlsl¡ncl¡ ro dc h cergn g, r cullqulcr olro ¡rurrtoI unn dletrrrcllr¡ de l¡ n¡is¡¡¡¡.
: Lt(r)u (rJl,.-A,u - ffi: Decimosentoncesque la energlapotencialde una carga{s a una distanciar de la cargaq es la difercnciaen energfapotencialentrela quetieneen esepuntoy la que tieneen el infinito. Cuandoinvertimoslos papelesde q y de qo,la energfapotencial a una distanciar de {6 es de nuevoqqd{nesr.Podemosdecir,por lo tanto,que la energlapotencialeléctrica, U(r), paraun sistemade doscargaspuntuales,Q y Qo, Energiepotenclal eléctrica enfredos quele clhgaspuntuales. Seselecciona pot unadistanciar es separadas
I)(r)= 4+7t€.o !q' ! r
(25- 5)
energiapotencialcerose¡enel infinilo.
728 Capítulo 25 Potcnclal cléctrico
En realidad es cierto que U(r) - 0 en el lfmite r *-. Asf , el sistemano tiene energía potencial cuandolas dos cargasestánseparadasporuna distanciainfinita. Nóteseque la energlapotencial de las dos cargastan sólo dependede la distancia r entre ellas, y no de ángr:loalguno. l¡ ecuación(25-5) tiene la misma forma que la ecuación(12-g), deducidaen el capltulo 12 patala energfapotencial gravilacional. Como aprendimos en el capftulo 7, el significado ffsico de la energla potencial es que el valor de la misma, cuando dos cargas tienen una separación finito, es el trabajo necesario para traerlas desde el infinito hasta esa separación.
EJEMPLo [¿ fisión nuclearesuna desintr:gración 25 - | denúcleos,Se tiene fisión de un núcleo pesadodebido a la repulsión de Coulomb entre el gran número de protonescon cargapositiva dentro del núcleo. Mientras más protones hay en un núcleo, más intensaes la repulsión. La fuerza nuclear de atracciónno es lo suficientemente fuerte como para superar la repulsión entre todos los protonesde un núcleo pesado.AI calcular las fuerzasde repulsión entre protones, deseamos determina¡ la energfa potencial entre ellos. Detennine la energía potencial electrost¿itica entre 2 de los 92 protonesde un núcleo de 23óUen el cual los protonesestántan cercanoscotno es posible, a utlos 2 x 19-tsnr de distancia. El radio de un núcleo de uranio es,aproximadamente,8 x l0-15m. SOLUCION:Hacemosque la energlapotencial cléctrica sea cero en el infitrito, y aplicamos la ecuación(25-5) para calcular la cnergfapotencial electrostática.La carga del protón (véasetabla22-L) es 1.6 x 10-reC. Entonces, r,
(+ c)' 4neor
(g x lOeN'm¡/rzzxl.6x t0-t" Q)2
( 2- , + ' * )
¡.r_,1
Es un valor normal de energfa en escalanuclear, y es unas l0) vecesmayor que la energfa que une a un protón y un electtón en un átomo de hidrógeno (véase ejemplo 25-3). Cuando se presentala fisión, esa energía potencial se convierte en energfacinética de los diversosfragmentos.Esa energfacinética, a su vez, es la fuente de enetgla en los reactoresnucleares.
Hay una diferenciaimpofianteentre la energlapotencialgravitacionaly la La primemsiemprees de atracciótr,y siemprees energlapotencialelectrostática. negativa,si se defineque su valor en el infinito es cero.Las fuerzasde atmcción Si tienen sólosondeatraccióncuandolascargastienensignosopuestos. electrostática igualsigno,la fuerzaesde repulsión,y la energlapotencialespositivasi su valot en el infinito escero.
25-2 PoTENcIALELEcrRIco Una catgapuntual,q, esla fuentede un campoeléctrico,E, queexisteen el espacio vecino.El campoeléctricoafectaa cualquierc^tE , qo,que se ihtroduzcaen ese por F = espacio,porquehay una fuerza,F, que actúasobre40,gue estáexpresada 4eE.En la sección25-1 vimosque la introducciónde una catfla,Qs,a unadistancia, r, de q, da lugar a la energlapotencialU(r), de acuerdocon la ecuación(25-5).Si escribimosque U(r) - qoV(r),podemoshacerunaafirmaciónanálogaa la del campo un eléctrico:una cargaq es la fuentede un potencialeléctrico(o, simplemente, potencial), V(r), queafectaa cualquiercarga,Qs,a u¡radistanciar de q, creando energlapotencial U(r) = qo(V(r).Hablandocon propiedad,deberfamosmanejat una pequeñacarga de prueba,{s, pafa que su presetrciano perturbeala catgaq, cualquierdisttibuciónmás generalde cargaque origine al potencial o, realmente,
eléctrico.Veremosmás adelanteque la definición del potencialeléctricoesuntraboio por unidad de carga,debido a una distribución de carga' y es, entonces,
Iz(r):
9Í),
(25-6)
8o
en la cual U(r) es la,energla potenciql de la cdrga puntual, Qe¡eñ pfeseñcia de la distribución de Carga.El potencial, Z(r), es independientede {6, de la misma manefa que el campo eléctrico, definido por E . F/qe,es independientede la chrga puntual: . El potencialeléctricosólo es una propiedad de ls distribución de carge que lo produce.
729 25-2 Potcncl¡lclóc&lo
Definición del potenci¡l etéctrico
E| potenciel eléctrico, el igull que el cempo eléctrico, cólo ee une propiedrd de h crr¡rr o crrgee, quc lo prnduce, y no dc le cergr dc prucbe¡ g¡.
Potencial eléctrico de una carga puntual Calculemos el potencial eléctrico del sistemamás sencillo posible, que es el de una cafga puntual. Imaginemos dos cargaSpuntuales, g y q¡, separadasPor una distancia r. Como indica la ecuación(25ó),la energlapotencial{el siqtemaes U(r) - N4nW, Si nos imaginamos eue 4o es una carga de Prueba'entonces Ulqo' ql{nesr. Hetnos calculado el p otencial eléctrico de una carga puntual q a una distancia r de la carga:
V(r) *
I
tl
(2s-7)
4neor
Potenclel eléctrico de unr cerge puntual
En estaecuación(25-7)'hemossuPuestoque la energlapotencialcerose da en el infinito y, en consecuencia,hemossupuestoque el potencialeléctricodebidoa una cargaq en el inrtnituescero.Comoafirmamos,el potencialeléctricosólodepende de la carga4, y no de la cargade prueba,qe. La iiferencia depotencialeléctrico debidoa la car1aq entrelos puntosay b,en es los lugaresro / r¿,lfespectivamente,
]:
L , v : v o - v o = - " 3 =h ( ;- ;)
(2s-8)
En ella hemosabreviadoa V comofunción de ro,o sea,I(ra) como 7o,etcétera. Podemosobtenerotra fotmulaciónde la diferenciade energfapotencial,emF - 4qE: (25-3)y (25-8),y sustituyendo pleandolas ecuaciones rt
rr
LV:wb-"o 4o
f¡ a
- -l
E.ds.
(25-e)
J,"
a
I
la diferenciade energlapotencialse expresacotnouno integral Ladifercnci¡deeucr¡irpolencinl En esaecuBción, de Ia traycctoríadel cámpo eléctrico.No hay teferenciaen esa eléctric¡esun¡integreldelcrntpo independiente eléctrico'' ecuaciónal catnpoeléctricode la cargapuntual.La ecuaciótr(25-3)esel cambiode energfapotencialcuandouna cargade prueba,qo,Pasadel puntoa al puntob en el áe cualquierdisttibuciónde carga.Asf, la ecuación(25-9)esuna expresión "*po generaldela diferenciadepotencialeléctricoenttedospuntos.Cualquierdistribución produceun camPoelectrico,y cualquierdistribuciónde cargatendráun á" "urgu potenciallléctrico.El poténcialeléctricoesun conceptoútil, en parteporqueesuna cantidadescalar.Es mrisfácil manejarloquela cantidadvectorialquela determina, queesel campoelécttico. ' Recordemosqueel cambiode energlapotencialdeun sistemaesigualal negativo moverun objetodel puntoa al puntob' De del trabajoefectuadopot el sistem¿,-al modoeqirivalente,U¿ - Uoesel trabajoefectuadopof un agenteextemoal mover el objeto.lisas relacionessonválidasparalos cambiosen la energlapotencialeléctrica, cuandose mueve una cafga de prueba.Por consiguiente'Podemosinterpretara la que ecuación(25-9) como estableciendo
i5\) Capítulo 2J Potcnclal cléctrlm
.
L¡ dilerencia de potencieleléctrico,Vt - Yo, es el trabajo por unidad de carga que se debeefectuerpsrs mover uns carge de prueba desdeel punto d hasteel punto á sin cembiar su energiecinética,
Este trabajo lo lleva a cabo un agente extemo; por ejemplo, literalmente podemos empujaf a la carga. Si no hay agenteexterno, entonces,un cambio de potencial, que coffesponde a un cqmbio en la energla potencial de la carga de prueba, debe estar acompañadopor un cambio correspondienteen la energfa cinética de esa carga de prueba. Si conocemosel potencial eléctrico, Z(r), debido a una distribución de carga,y conocemosla rnagnitud de una carga de pn¡eba, qo,entoncestambién conocemosla energfapotencial, U(r), cuando go se coloca en un punto a una distancia r:
I
( 25*r0)
U(r) : QoV(r).
Estaecuaciónnos dice que, en ausenciade otrasfuerzas,una cargapositiva de prueba, {e¡ eh preseñciade un potencial eléctrico, se moverá hacia los valores menoresdcl potencial, porque de ese modo decrece la energla potencial. La catga se aceleraal moverce hacia menorespotenciales. Potcncial cléctrico de distintas distribucioncs
I'IGURA 25-3 lil principio dc su¡rcrposicióndctcnnina cl ¡ntcncinl cn cl punto P, dcbi
El campo eléctrico obedeceal principio de superposición.Pot lo tanto, el potencial eléctrico de un sistemade cargastambién se puede determinarmediante el principio de superposición.Este dice que el campo eléctrico de una serie de cargases la suma de los camposeléctricosde cadauna de ellas. Asl, el potencial cléctrico cn un punto P, debido a n carges puntuales, Qt, 42, ..., 4, (la figura 25-3 tnuestra 3 cargas) a distanciasrb 12,.,., rn del punto P esjustamente o, v^ 'r - __::-
4nenr,
Potencialeléctricode un co\iunto de cergespuntuelee
dc cafga
a"
a-
4ttenr,
4neorn
v,::-4n€s , g11, ¡lt .
(25- il )
en la cual r¡ es la distanciade la cargaPuntualq¡ al puntoP. El potencialeléctrico debidoa un conjuntode cargases la sumaescalarde los potencialesdebidosa las cargasaisladas.Estasumaescalatesmuchom¿ísfácil de llevat a caboquela suma vectorialqueexpresael catnpoeléctricodebidoa un conjuntode cargaspuntuales. El cálculodel potencialeléctricodebidoa una distribucióncontinuade catga tambiénesditecto.Debemoscalcularel potencialeléctricod Zen el puntoP, debido a una cargapequeiraAg (Figura25-4).Cornoel potencialeléctricoesuha cantidad escalar,la sumade todos los potencialesdiminutos,dlz, estáexPresada Po¡ una de potencial una distribucíón continua carga debido a el integraciónescalar.Asl, asumela forma sirnbólica
v:lav=*ly Potencialeléctricodebidoe une distribucióncontinuade carga
(2s--12)
La integraciónse debellevar a caboen la distribucióncompletade la catga.En la técnicaspataestecálculo,en casosespeclficos. sección25-5describiremos Unidades del potencial elécttico
I
La dimensióndel potencialeléctticoesenerglapor carga,de¡nodoquesusunidades en el SI sonjoulespor coulomb(ÍC). El potencialeléctricoseusaconfrecuenciay, lasunidadestienennombreespecialen el SI, el volt (V), en honot por consiguiente,
EJ
r¡l í:
t
7_
deAlessandrovolta, quienllevó a caboinvestigaciones al principiodel siglo XIX sobrela nafuraleza de la electricid¡d. lV=¡.¡76.
73r 25.2 Potcncl¡l cléculcro
(25 l3)
Unidedee de polenci¡l eléclrico
Enel capftulo23 mencionamos queel campoeléctricotienecomounidadesvoltspor metro(V/m) comoaltenrativaa newtonspor coulomb(N/c). La ecuación(25-9)nos itrdicael por qué cs asf.El potencialeléctricotienelas dirncnsiones del campo eléctrico multiplicadopor longitud,demodoquelasdimensiones del campoeléctrico debenserlasdel potencialdividido entreunalongitud(unidades de V/m): lN/C:tV/m.
( 2s"- t4)
Enetgia potencial en un sistema dc cargas La ecuación(25-10)expresala energfapotenciat,U(r) - qoV(r),de unn cnrgn de prueba{6 colocada en el potencial eléctrico de una distribución de cargas. Si esa distribución es un conjunto de cargas, entonces el potencial eléctrico, vp, está expresadopor la ecuación (25-l l), y la energla potencial de la carga de prueba es U(r)' qsVp'Pero serlaenóneo llamar a esto la energfapotencialdel sistemacompl;to de cargasQo,4t, Qzr...,q,r,porque el producto qsVptansólo representael trabajó que sedebeefectuarpara traer la carga qe desdeel infinito. No tiene en cuentael trabajo quese debeefectuarpara traer las cargas4¡ Q2,,,..,g, desdeel inifinito. para calcular la energfapotencial de un bonjunto de tres cargas,por ejemplo, armamos las tres, una Potuna.Paratraetla primera,q1,hastael punto P¡¡ ho s€ fl€c€sitaque el agenteextemo efectúetrabajo, si la energla cinética de la carga no cambia. Para traer la segunda catga,Q2,desdeel infinito hasta el punto P2,sf se necesitatrabajo, a causadel potencial debidoa q¡. Para nuestrasdos cargas,el trabajo que debe efectuar e,lagenteextemo paratraer a q2 desdeel infinito, o sea la energlapotencial, estáexpresadopor r|
Ut¡:U¡V,:
- t,
Qúz +ft€.or12
Cnrga totnl
a
FIGURA 254 Para dctc¡min¡rcl potcncial cn cl punto P, dcbido a una cargr conlinus, sc intcgran las cargas . difcrcncialcs, d4, como si cada d4 fucra rura c¡rga pntul,
(2 5 -t 5 )
enla cualr¡2esla distanciaentrelascalgasQtl Qz. ¿Quésucedesi traemosuna terceracarga,q3,desdeel infinito?Tenemosque calcularel trabajoadicionalefectuadopo¡ unafuerzaextemapamello. Estetrabajo por el productode qr por los potenciales estáexpresado eléctricosvty vzdebidoJa el lugar, Asf la contribución potencial adicional a la energla delsistema Qt! 4zen , es QtQt rt , rr Ut3 Í U2 3 :;- - r - ;1 fte o r 13
4zQl 1neor23
( 25- r 6)
siendor13y r23las distancias 4, y qby en:r¡eq¡/ {2, respectivamente.I-a energla "ntr" potencialtotal, U, del sistema, es la suma de IJ¡7,IJpy (Jy: | (a o z ,Q t4t,QzQt\ tr_ " -q n ro \rr - \r)
(2s-17)
Estosepuedegeneralizar paracualquiernúmero " ,r de cargas,y la fórmulaqueresult,a, parala energ{apotencial eléctrica del sistemaes una generalizaciónsencillade la ecuaciónanterior: U:
lQ¡4¡. Y 4nesF¡ r¡;'
Ene.r¡iie potenciel de un sisten¡¡ de
(25- I 8) cersas
enla cualr¡ esla distanciaentrelos lugaresde lascargasQiy 4¡,La sumaen j y enj comprendea todoslos paresde cargasen el sisterna,y la desigualdadi
: , *""¡¡¡bfíü¡.
U: I I
/)¿ Capínrlo 25 Potcncl,¡l cléctrlco
't"ti 4ncor"'
'lí' Ahorala sumano tienerestricción,exceptoquedebemosomitir el casoi :7, queno estáenla sumaoriginal,enla ecuación(25-18).Porconsiguiehte, podemosreformular la ecuación(25-18)como
u: lu,Lffi +),t,L #, * Lr,L #,. :*n,n,*tQzvz *larv.* "'
l'(n l)
(2s-te)
enla cual I/¡ esel potencialeléctricodebidoa lasdemáscargasenel lugardela carga qr, y asl sucesivamente. Se debe subrayarque la energ{apotencialde q¡ en un quieredecirque qlVysepuede potencialdadoIz1siguesiendoq1V1.F,sto convertiren energfacinéticade la partfculaque tienela cargaqr Estaenergfapotencialdebe diferenciarse de la energfapotcncialde la cohfiguracióntotal de la carga,con las (25-18)o (25-l9), Estaúltiinaesla enetgfaquepodrlaestatdisponiblesi ecuaciones queaparecenenel problemahubierandeescaparal infinito. Esdebido todaslascatgas a quela energfapotencialdecualquietotracargadependedel "ambiente"creadopor las demáscargasque la energlapotencialdel sistemano es igual a la sumade las delaspattfculas. potenciales individuales energfas En los ejemplos25-2 y 25-3 mostramostécnicasde cálculopara la energfa potencialeléctricay el potencialeléctricocuandointervienendos o más cargas puntuales.
parainvestigat los efectosde la En un experimento EJEMPLO 25-2 qt - 2 pC y qz * puntuales, colocó dos cargas Benjamin Franklin electricidad, (figura25-5).(a) Determineel -4 ltC, en los puntosP¡ y P2,fespectivamente potencialeléctricoen los puntosa y b debidoa esasdos cargaspuntuales.(á) energfatuvo Calculela diferenciadepotencialentrelospuntosby a. (c) ¿Curinta que suministtarFranklin paracolocaruna terceracatga,de 3 ¡:C, trayéndola desdeel infinito hastael puntoá?
FIGURA 25-5 Ejcmplo25-2,
(a) Usaremosla ecuación(25-11) para determinarel potencial SOLUCION: comoq¡ a la catgade 2 ¡.tC,colocadaen P1,y q2a la eléctrico.Identifiquemos '4 el poüencial en el puntoa' pC en P2,Primero,deüerminamos colocada cargade puntoP2es punto y punto a al punto r¡o 2 la del al P¡ €s Ín, a La distanciadel ,/@lStff potencial Vo, elputrto a, es, mtonces, elécttico, en 4 m. El r- -
n :* ( *
+ i¿) rzo/
,/2x10-69 : (9 x 10eN.mllcr)[ Zr*
*
-4 x 10-6 Q
4m
)=ou'
I
( de nuestroempleodel SI en Las unidadesdel potencialsonvolts, consecttencia la combinación de unidades esN ' m/C - tC este caso, todoslos cálculos.En conro ésta. V. Siempreesútil unacomprobación calculamosel potencialeléctricoen el pürto b. l¡ distancinde A continuación I/¡, 12ó: 1 m. Porconsiguienüe, el poüencial, la catgaq1ab e r¡: 2 m; igualrnente, es
t
-, vn :=L l L' r-'
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4/r€0 \r I r,
733
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= (9 x loeN. rr ¡r¡ /L ,\--i ^,¡gr¡C-:=t!:14 .f
25-2 Potcnclál clÉctrlco
-4 x lo-o q\
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| ,11--
)
: -2.7 x lOaV = -27 kY. (b) La diferenciade potencial,Vu- Vo" -27 kV - 0 kV - -27 kV. Asl, el potencialeléctricoesmayoren el puntoa queen el puntoá. (c) La nuevacargafuncionacomo cargade prueba,Qo- 3 pC.Conocemos ahoraal potencialeléctricodel sistemaoriginal de dos cargas,de modo que usatnosla ecuació¡r(25- l0), Ur - QoVu, paracalcularla energfapotencialde la nuevacargaen el puntob: U¡: QoVt: $ pC)(-27kV) : (3 x l0-o qe27 x l0r V) : -0.08 J. La respuesta estrienjoules,porqughemosusadosiempteunidadesdel SI. El trabajoque hubieraefectiiddoFranklin paratraer a q3 desdeel infinito, esigualal cambiodeenetgfapotencialdelsistema,o sea,- 0.08J. ¿Tienesentido 'esto?El potencialeléctricoenel puntoá esnegativo.La carganuevaespositiva y seráatrafdahaciael potencialnegativo.Franklinno habrlaefectuadotiabajo positivoparatraerla cargaal punto á; al contrario,hubieraefectuadotrabajo negativo,tal como lo hemoscalculado.Habrlaefectuadotrabajopositivosi regresamesa carga de nuevo.al infinito. Es útil irnaginarselo que sucede ffsicamente,en lugar de tan sólo confiar en los signosde las ecuaciones. Es demasiado fácil cometerun er?orde signo.
EJEM PLO 2 5 - 3 El átomode hidrógenoen su configuraciónno'rmal,no excitada,tieneun electrónquegira alrededordeun protóna unadistanciade 5.3 x l0-rrm(figura25-6).Enlaposicióndelelectrón,¿cuáleselpotencialeléctrico debido al protón? Calcule la eneigfapotencialelectroslática entre las dos partlculas. la actividadqufmicade los Esaenergfaesrelevanteparacomprender átomos. SOLUCIONT El potencialeléctrico,Z' debidoal protón,sepuedecalcularconla ecuación(25-7).Tenemosque +p Vo = ---J- = ' .+n
(9 x 10eN.mzlcrxl.6x tO-,'e@¡ =27 Y. 5.3x 10- rl
secalculacon la ecuación(25-15),y simpleLa energlapotencialelectrostática potencial por la cargadel electrón(queesla partlculaen multiplicamos el mente movimiento): U :(-e)Vp-- (-1.6 x 10-teCX 27V): -4.3 x 10-r8J. (25-20)
El ElectrónYolt Con frecuenciacalculamosla energlamultiplicando el voltaje por la carga,como hemoshecho en todos los ejemplos hasta ahora, en este capftulo. Como la carga de un electrón se necesita con tanta frecuencia, una unidad de energfa útil es la de la cargade un electrón (o protón) multiplicada por 1 V. A esa unidad de energfase le llama un electrón volt (eV). El electrón volt no es una u¡ridaddel SL La telación del electrónvolt y el joule, que sl es unidad del SI, es
lcV:
(1.6x l0-t'CXI V): 1.6.xl0-'e J.
@
Protó¡r
\., \,\,
t
i¡--¡7
FICURA 25-6 Ejcmplo25-3. Rcprcscntac¡ón simplistadoturolccl¡ónctr órbitaalrcdcdordcl protóndoun dtomorir; lri
El electrónvolt
734 Capítuloa5
Potcnclalcléctdo
IüGUIIA 25-7 Ejcmplo254. Gconrctría parddctcminar cl potcnc¡alcn cl ptnto P paraun dlpolo clcctrlco. El momcnto dipolarcs¡r.* ql,
'l,a
unidadtienevalor especialparacálculosenff sicaatómica,nucleary departfculas. En el ejemplo,25-\,la energfapotencialelectrostáticaentredos protonescercanos entre es6 x l0] eV, o 0.6MeV. En el ejemplo25-3, la energfapotencialelectrostática el protóny el electtóndel átomode hidrógenoes -27 eV. En ffsica atómicanos encontramoscon quela energfanotmal esdel ordendeun electrónvolt, mientrasque en ffsicanucleates de I MeV (106eV). En la ffsicade partfculas,es'delotdende I GeV (10eeV).
EJEMP llo 25 - 4 Calculeel potencialeléctricodebidoa un dipolocuyo momer¡todipolar tienernagnitudpen un punto arbitrarioP (figura 25-7). SOLUCIoN:Un dipolo constade dos partfculaspunhales, de cargasigualesy opuestas,demodoquela ecuación(25- I 1) determinael potencial,queserácero en el infinito. Seanr la distanciade la carga+q al puntoP,y r + Ar la dista¡¡cia de la carga-q a P. El puntotambiénseespecificaen la figura (25-7)mediante el ringulo0 entrep y la lfneaentrela cúga -q y P. Laecuación(25-ll) da como resuhado
'
+q 4neor'
-q ner(r+ Lr)
ot, + q(r + A,r)- qr : ,Q , .. (2s-21) 4neor(r + Lr) 4ne6r(r* Lr)
Si p es el momentodipolar,la disianciaenttelas cargaso"sf - p/q, y la distancia Ar es pcos0 Lt' :IcoS 0:
q
(25-22)
Cuando esteresultadose sustituye en la ecuación (25-21), tenemos
I I : spcosOf ' 4nroL(,/r+ p.*Ol
(2s - 23)
Como hemosmencionado,la disttibución de carga en un dipolo se presenta repetidamenteen la naturaleza.Por ejemplo, las moléculaspolaresse comportan como dipoloseléctticos.lEl potencialeléctricoexactodel dipolo, deducidoen el I Ar¡¡¡quc csas molcculas (por ojcmplo, dc FI2O) son nculres, ticncn rur cxccso do carga positiva cn un oxtromo, y dc carga ncgativa cn ot¡s. En cl capitulo 26 sc prcsentauna dcscri¡rciónrruis complota.
ejemplo 25-4, asume una forma sencilla aptoximada lejos del dipolo, cuando r >>/. Estacondición equivale a qr >>q/- p, y podemosprescindir del segrrndotérmino del denominador de la ecuación (25-23). El resultado es
para r >>(:
V.: .triar
pcos0 4neor2'
735
Rcgtoncr
-cqrilPotenclslce
(2s-24)
en la cual medimos ahora 0 partiendo de cualquier lugar entte las dos cargas del dipolo. Nótese que el poüencial del dipolo para puntos distantes dec¡ece en función de U f , en comparación de la dependencia l/r para una carga puntual.
25-3 nscroNnsreurpoTnrYcrAlns [:s regionesen lasqueel potencialeléci¡icodeunadistiibucióndecargatienevalores constantes se llaman equipotencieles.Sonde interésespecial,y vale la penainvestigarlas.Supongamosqueun sistetnade cargasprduce detenninadopotencial.Las posicionesen el espacioque tienenel mismo potencialeléctricoforman superficies enttes dimensiones,y llneasen dos dimensiones.Decimosque los lugaresdondeel potencialtienevalor constanteformansuperficiesequipotenciales, en tresdimenejemplo, Como veamoslas siones,o lineesequipotencielesen dos dimensiones. superficies equipoüenciales formadasporunacargapuntual.El potencialeléctricoes proporcional a Llr y tienevalor constanteen cualquierdistanciaradialfija, respecto una esferacentradaen la'cargafo¡ma una superficie a la carga.Pot consiguiente, (figura 25-8). Cualquierotra esfetacentradaen la catgaforma una equipotencial equipotencialdiferente,porqueel potencialvarla en función del radio de la esfera. Las equipotencialesson análogasa las curvasde nivel de un mapatopogtáfico, quesonllneasparalas cualesesconstantela diferenciade elevacióncon respectoal niveldel mar (figura25-9).Debidoa que la enetglapotencialgmvitacionalde una masasólo dependede su elevación,la energlapotencialgtavitacionalno cambia la fuerza cuandouna masasemuevesiguiendouna lfneade nivel. En consecuencia, degravedadno tienecomponentea lo largo de las lfneasde nivel. I-a gtavedadactua endirecciónperpendiculara unallneadenivel, y unapelotaquepaftededetetminada lfneadenivel aceleraráenunadirecciónperpendiculara esallnea,lo quellamarlamos "ditectocuestaabajo" de la montaña.Un esquiadorla llamarfalfneade cafda.lo que
Dellnición de rcgloncr cquipotencl¡lo¡
TIGURA 25-E Supcrficicscqutpotcncirlcs parauna cargapuntual.Soncsfcrasquola rod€an,
I,'IGURA25-9 Líncasdc nivcl cn mrprs topognificoc;sonlínc¡sdc olovación co¡¡stanto.Tambiénsonlincasdc cnorgia pokncial gravitaclonalcorstantc.[¡ fucr¿a dc gravcdadno ücnc componcntcsalo largo dc las lincasdo nivcl. Estcmapa mucsl¡alos nivclcs dc doscimascn las MontañasC¡tskiü, dcl cstadodc Nucv¡ York
es válido para las líneasde nivel es válido tambiénpara cualquiersuPetficieo línea equipotencial.Cualquierfuerza conservalivaactúa-endirecqiónperpendiculara la equipotencial,porque no pr¡edetener componentea lo largo de una equipotencial. -Como la eneigfapotencial tiene exactanlenteel mismo valor en una equipotencial, también así se comporta la enetgla potencial de una carga de prueba' No se efectua trabajo suando la carga de pmeba se mueve a velocidad constanteen una superficie o lfnea equipotencial.Parala cargapuntual que se describióarriba,las equipotenciales son esferascentfadas en la carga (figura 25-8). Una catga de preuba se puede mover libremente con fespectoa cualquierade esassuperficies,sin que el campo eléctrico
736 Capítulo
25 I'otcnclal
clóctrico
Las lineas de campo eléctrico son per¡rendicularcs e las srrperficies equí pot en c i a l c sd c b i d n s e r ¡ ¡ rsiste ¡ ¡ lnd e c¿¡r8ns.
efectuetrabajo. Como la fuerza eléctticano efectuatrabajo cuandouna cafga de pruebasemueve pof una equipotencial, podemos comPrenderpor qué el campo eléctrico no puede tenef una componente a lo latgo de una superficie equipotencial. Si la tuviefa, esa componentedel campo eléctrico efectuarfatrabajo pata mover a una carga sobre la supekicie equipotencial.Esto no es posible. Asl, el campo eléctríco debeser perpen' diiutar en úd; lugar a la superfcie equipotencial. Ademds, como toda la carga en un conductor en equilibrio reside en la superficie, una diferencia de potencial entre dos purrtossobre la superficie serfa igualaclarápidalnetrtepor u¡r flujo de carga libre, el d" niodo queta superficie de un conductor debc ser una equipotcncial. De hecho, al mismo entonces estará completo que conductof el itl¿i"u mismo razonamierrto potencial eléctrico. p^rtirde equipotencialcs ^ entresl seanperpendiculares El hecho que el campo eléctricoy las eqrripotenciales si se siempre, con fre"uencia es útil para determinat.superficies equipotenciales equipolas conocen el campo, y para determinar los camPoseléctricos si se "ono"" Podemosdar un ejemplo de ello paraalgunasconfiguracionesde cargaPafa üenciales. demoslas cualesconozcalnoslos campos. Veamos la carga puntual. Err la figUta 25-8 agregatfamos que las superficiesequipotencialesson esféricas.En la figura 25-10' si la mos laslheas de campo eléctrico, que se prolongan radialmente hacia afuera, esfefas, Por carga es positiva. Las superficies equipotencialesson, necesariatnente' origen' del que emergen vectores o los radios a serlerpendiculares (figurl Veamos las lfneasde campo eléctrico entre dos placascon catga opuesta Si placas cargadas' 23-11),Las superficiesequipoiencialesson planos paralelosa las
Líneas dc campo cléctrico
+l
+ + +
Supcrficies cqui¡ntcncialcs
\/
\lu Planoscquilntoltcialcs
¡'IGURA 25-10 l,as lincas dol campo olc(trico para urur carga puntual positiva (ncgativa) sc prolongan alcjrindose (acircándosc) radialrncnle, ¡rcrpcndicularcsa las cquipotcncialcs.
FIGURA 25-11 L¿s líncas dc campo clcctrico (trazos grucsos)y los planos cqrrif¡tcncialos (cn gris) pam rlos placas paralolascon carg$sopr¡cslas'
737 Dctcmlnaclón dc caiñfns a partk dc potcnclalcs
clóctilcos clóctdcos
(lc lul FICIIRA 25-12 I¡s línoasrlc carnpoolcctricoy las cquit)otcnciírlos rl i ¡xrl ocl crtri co.
lasplacascargadassotrcorlductoras, entoncestambió¡rdebetrsersuperficiesequipoZ¡, Vr, Vy .. ". 2,,entre tenciales. Asl, tenetnosuna seriede rr planosequipotenciales, e incluyendo las dos placascargadas. A continuación veamos las superficiesequipotencialesdebidas a un dipolo eléctrico,como una molécula polar (figura 25-12). Si trazamosnuestrassuperficies equipotencialessiempte perpendicularesa las lfneasde campo eléctrico, llegamos a laslfneasgrises que aparecenen la figura 25-12. Aun sin usar el potencial del dipolo eléctricodeducido en el ejemplo 25-4, acabamosde determinar,visualmente,cómo debeser el aspectode las superficiesequipotenciales.
25 - 4 pnrnnMrNAcroN DE cAMpos ElEcrRrcos A PARTIR DE POTENCIALES ELECTRICOS Como acabamos de ver, si conocemos el campo eléctrico E, la ecuación (25-9) determinala diferencia de potencial, Vt - Voentredos puntos a y á cualesquiera:
vr-vo =,[" o / = - "[.' t.Or , la diferenciade potenciales Comolas fuerzaselectrostáticas con conservativas, independiente de la trayectoriareconidaeritrea y b enlaintegralde llnea,y podemos escogef esatrayectoriade acuerdoa nuestraconveniencia. quepodemosinvertiresteprocedimiento y calcuEn estasecciónaptenderemos análogo larel campoeléctricosi seconoceel potencial.Esecálculoescompletatnente al de la fuerzaentreobjetossi se conocesu energfapotencialcomofunciónde la posición.Tenemosla figuta 25-13,que muesttaun conjuntode líneasde catnpo a pocadistanciaentresí. Esassuperficies eléctricoy dossuperficieseuipotenciales perpendiculares a las líneasde campo.Si la equipotenciales son,por construcción, entoncestambiénserámuy es muy pequeñan distanciaentre las equipotetrciales mediantedZ. Según pequeña la diferenciadepotencialentreellas,querepresentamos la ecuación(25-9),si la distanciaentrelos puntosay b,inicial y final, es infinitesimalmentepequeña,entoncesno estamosintegrandoya en una trayectoriafinita en Jll B . ¿s.El signointegralsepuedeeliminary tenemos
d/ :
738
(2s-2s)
-E ' ds.
Capitulo 25 Potc¡rctal cléctrlco
Lo m¡is sencilloes decir que nuestratrayectotiainfinitesimal seacomo en la figura 25-13,estandods perpendipulat,a.,l,as,dos super,ficies equipotenciales. Comohemos dicho aniba, el campoeléctricotainbiénapuuta'etresadirección,dc modo que la ecuación(25-25)indica d(: &luipotcncial Iz+ dZ
-Eds.
En forma equivalente,
(2s-26)
- dv 'ds
L ---.
Con estaecuaciónse obtienela magnituddel campoeléctricoen términosde la a la equipotehcial en esepunto. rapidezde cambiode Zen direcciónperpendicular orientadahacia La direeccióndel campoesa lo largode la ditecciónperpendiculat, del potencial,En otraspa.labral, los valoresdecrecientes FIGURA 25-13 Doscqui¡rotcncialcs ds,cscn dlflcrcncn d/. El dcsplazamicnto, y dircccióndo E, cntrolascquipotcnci¡lc.s, a cllns. ospcrpcndlcular
hecia .nl campoeléctricocpuntaen la direcciónmáscortadeuna.equipotencial la siguiente. forman esferasconcéntricas,como parauna cargapunCuarrdolas equipotenciales a lo largode un radio..Por lo tanto,el campo tual, la direcciónperpendicular,queda eléctricoapuntaen ditecciónradial,y su magn'itud,es
E: -9!. dr
)
queformancilindrosconcéntricos, l¿ mismaexpresiónesválidaparaequipotenciales pero en estecaso,la variabler esla distanciaal eje cilfndrico. Cómo detcfmina cl potencial al campo en coofdcnadas'cartesianas Podemosver esüaforma desdeun puntode vista difetente,suponiendoqueun vector cartesianas: en coordenadas arbitmdo,ds,sedescompone desplazamiento ds-dxi+dyj+dzk. .t, y y ¿,tespectivafnente, En ella,i, j y k sonlos vectoresunitariosenlasdirecciones (25-25) la en ecuación asume la forma producto escalar Entonces,el dv = -E. ds : -E,dx - Erdy - E,dz,
(2s-27)
en dondehemossepatadoel campoE en componentescartesianos.En general,el V - V(x,y,z),El cambiode V al espaciales, potencialdependedelastrescootdenadas = + * posición yi xi a una nueva'r + ds - (x + d-r)i r posición inicial, pasardeuna ¿k + (y + dy)j + (¿ + dz)k es
: a *+ Y a y+ Y d r . d v:aox oz ov
(2s-28)
Nóteseel uso de derivadasparcialesaquf, que se hacenecesarioPorqueZdepende Reco¡demosqueel usode lásderivadasparciales cartesianas. de lastrescoordenadas parcial con respectoa x, polejemplo, quiete dech que detivada es muy sencillo: la se y y toma la derivadao¡dinariacon tespectoa ¡. Para mientras semantiehenfijas r = dVldx* 27;}Vldy.=0,ydVldz-?-xz. darunejemplo,siV xt,entonces Podemosigualar los coeficientesde d¡, dy Y dz en las ecuaciones(25-27) y (25-28):
u":-ZT,E,:-X, E,:-#'"
t
En forma equivalente,el vector campo eléctrico se expresaen términos de las derivadasdel potencialeléctricomediante (25 -2g)
Cempo eléctrico en términos de l¡s derivades del potenci¡l eléctrico
La ecuación(25-29) presentalos componentescartesianosdel campoeléctricoen términosdel potencial.Hemosencontradoun mododeexpresatun vectorparticular, el campoeléctrico,en tétminosde lasderivadasdeun escalar,el potencialeléctrico.2 La opeteaciónde detivat en la ecuación(25-29)produceun vectorcampoeléctrico que apunüaen direcciónde la mayor disminucióndel potencial.Esadirecciónes perpendicular a lassuperficiesequipotenciales.
E J It M P L o 25 - 5 Ernpleeel potcncialeléctricoder¡nacargnpurrtual, q, para obtetrersu calnpoeléctrico.
':
i
I -i
SOLUCIONT Conocemosel potencialeléctricoy senospide determinarel campo elécttico.En estecaso,el potencialesuna función tan sólo de la distancia.tadial por lo tantó,sonesferas a la carga,V * ql4ftesr,Lassuperficies equipotenciales, a una disüanciaconsüante de la carga.Segúnnuestradescripciónde la ecuación (25-26),el campoeléctricoestá,por consiguiente, dirigido tadialmentehacia y tienela direccióndel potencial afuera;esperpendicular a lasequipotenciales, decreciente. Sumagnitudes q q d(t\, : = -4".. E:.dv_ l*n.,' d, dr \;/ Tan sólo eslamosreproduciendolo queya conocfamosipe¡ola técnicaesútil en los contextosen los que no sepamosya la tespuesta. EJ EM PLo 2 5 -6 Una distribuciónde potencialen el espacioestádescrita por la función V - Axf - Byz,siendoA y B constantes.Determineel campo eléctrico. SoLUCION:En estecasode nuevo se nos da el potencialeléctricoy debemos una aplicaciónsencillade la ecuadeterminarel campoeléctrico,Necesitamos lasderivadaspatciales: ción(25-29).Ptimerodetetminamos
AV ;- : Ay 2 ; 0x AV =- :2 Ax y - B z; dy
Y : - ur . oz Por consiguiente, el campo eléctric.oes
E : - Ay'i - (2Axy- Bz)i+ Byk. Termina¡emosestaseccióncon un comentarioacercadel dipolo eléctrico.La (25-24)da el potencialdel dipblo, que es ptoporcionalal factor cos 0 en ecuación la figura 25-7.8n el eje de la mediatriz,0 - 90o,y como cos 90o- 0, el potencial 2 Unaconvcncióntaquigrríficaparacsasopcracioncsscapücacncstccaso.El cam¡ncléctricocstádcfinido porcl opcrador6radiente,A,quc achiasobrccl polcncial,E - -V( cstaxlo dcfinidocl opcradorgradicntc mcd iaritcV=il+¡ * + l* . ov ox
oz
739
740 Capitulo 2J Potcnclal cléctr¡co
eléctticoseráceto.Sin embargo,estono quieredecir queel carnpoeléctricoseacero en la mediatriz.El campoeléctricose detetminacon las derivadasdel potencialen determinadar o 0. Lo quecuentaparadeterminatel campoes lo rápidoque cambia r sen0. A lo punto.TenemosqueAVIOA el potencial,no si esceroen determinado latgo de la rnediattiz,cuandog = 90o,el campoeléctricoesmáximo.
25-5 cALcuLo Dtr los porriNcrAlns Dtr DrsTruDUcroNEs FINITAS DE CARGA
Técnlceeporc cnlcularpotenciales clóctricos
Sólo raramentetendremosque manejat el campo eléctrico y el potencial de una sola carga puntual; Con más frecuencia, tendremos grupos de cargas esparcidos en regiones del espacio, como cuando una carga se distribuye en la superficie de un metal, o cuando el catnpo de una molécula iónica complicada detennina su comportamicnto qulmico o biológico. Por lo tanto, es necesarioque podamosdetenninar los potencialesde distribucionescontinuas de carga. Esas distribucionespuedenno ser sencillas, y debemos desarrollarestrategiaspara calcular los potencialeseléctticos correspondientes.En estasección resumiremosprimeto las técnicasque se aplican, y a continuación mostraremosr¡naserie de ejemplos de su empleo. I.as formas cualitativas de las superficies equi¡rotencialesdebidas a una distribución de cargase determinancon más facilidad mediantetécnicasgráficas.Pata los cálculos cuantitativos,hastaahorahemos aprendidodos modos distintos de determinar el potencial eléctrico de una distribución de catgas:, l. Si se conoceel carnpoeléctrico,entoncesse puecleetnplearla ecuación(25-9) paradeterminarel potencial:
L v : i,,- vn : - f, u .a r . 2. Si no se conoce el campo eléctrico, podemos calcular el potencial en forma directaempleandouna de las diversasformas:
parauna cargapuntual,ecuación(25-7):
o v : -;-i +fi€or
ecuación(25-11); paramuchascargaspuntuales,
Iz:
l^
t I 9 ': 4 n eo i r ,'
parauna distribucióncontinuade carga,ecuación25-12): , : + 4nes)f+r En un cálculodirectodel potencialeléctricose debetomarla decisiónacercade la ubicacióndel potencialcero.De hecho,la convenciónque el potencialceroesláen el infinito, ya estáimplfcitaen las ecuaciones(25-7), (25-11)y (25-12).Es casi siemprela mejorselecciónparaunadistribucióndecargaqueno seextiendahastael unadiferenclade potencial,no senecesitatomar infinito. Si secalculadirectamente decisiónalgunaaccrcadelnivelcero, Placasparalelas
j( 1-
i r ,_ Veamosprimerola relaciónentteel campoeléctricoy el potencialparadosplacas conductorasparalelas(un capacitordeplacasparalelas,comoveremosmásadelante acercade los mismosen el capltulo26), cadauna de ellasa difetentespotenciales quelasplacasestánlo suficientemente entresi, cercanas (figura25-l4a).Suponemos podamos grandes para que las como tener cuenta no en o quesonlo suficientetnente de las por es una cerca orillas. Este caso, consiguiente, distorsionesdel campo aproximacióna las partescentralesdecapacitoresrealesde placasparalelas.En la
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figura,la placaizquierdaestáa menorpotencialquela derecha. se sabequeel campo eléctticoentreplacasparalelas esconstante, y queva delaspartesdemayorpotencial a lasde menorpotencial;en estecasode derechaa izquierda.En la ecuación(25-9) considcrntnos qucIn trnyectorin csunnrccl¡rdc ln plncnizquierdn n In dercchn, de tnl ntodoqucE esantipnmlelo a ds.Scala direccióndc izquiodaa derccha la qucdefina al ejer, y estéla placaizquierdaen ¡ - 0. Entonces,la diferenciade potencialentre lasplacasestáexpresada en ténninosdel campoEentrelasplacas,y la separación / de lasmismas,por
= -I,l ra ;:. L V = v u ",o *- yr4 u rcn
E.ds= * [íudx= E !{ a*=nr ,
74r Z5-J Cálqtlo & loc potcnclalcr dc ¡ll¡trlbuclonc¡ flnltar dc crraa
Campoelóctrico entrcphcaeprrnlelro
A su vez,el calnpoeléctricoentrelasplacnsparalelas lieneunamagnitud
u-AV :7 .
( 25_30)
La ecuación (25-30) es un resultadopráctico imporiante. Dice que El campoeléctricoconstsnteenlre plecasconductorasperalelasesla diferenci¡ de potencialentre lss placasdividid¡ entre ls distanciaentre ellcs. Este resultado da el campo eléctrico entre dos placas conductoras plano-paralelas cuya diferencia de potencial es az. También podemos usatla para calcular las superficies equipotenciales relaciona das con cualquier campo constante.Esassuperficies son planos perpendicula¡es al ca¡npo, y la diferencia de potencial pam un plano a una distancia / de una equipotencial de referencia varla linealmente con /, LVE/. Nótese el signo: El potencial disminuye a lo largo de la dirección en la que apunta el campo eléctrico.
0v
0.25V
il
il il
ll il ds
,r,[.J
E J E M P L o 2 5 - 7' Dos placasmetálicasparalelas tienen225 cm2de área, cadauna,y esüinseparadas | 0.50 cm. Tienen una diferenciade potencial Wr de 0.25 V (figura 25-l4a). Determineel valor numéricodel campoeléctrico. ¿Cuálesson la densidadde cargay la cargatotal de cadaplaca?Trace las superficiesequipotenciales en 0.10V y 0.20V. OV
SOLUCION; La ecuación(25-30)seaplicadirectamente enestecaso.Conocemos la diferenciadepotencial,AZ, entrelasplacas,al igualquela separación deéstas. Entonces,la magnituddel campoeléctricoes
= 5ov/m, E=+: *:: / 0.0050 m y apunta dederecha (figura25-l4b). a izquierda En el capftulo 23 aprendimosque el campo eléctrico entre las placas es o/q:
E=50 Ylm:e' '
€o-
o = 50eoY l m:
(5 0 V/m)(8 .8 5x l 0 -r2 C 2/N .m2) :4.4 x l 0-t0 C /m2.
La respuestadebe estar en coulombs por metro cuadrado, porque empleamos unidadesSI en forma consistente.Conocemosel áreaenhe las placas,y con ella podemos calculat la carga total en cada placa, que es
Q: oA = (4.4x
= 1.0x l0- '5 C. Clmz)(225cm2)(10-a.m"lttm')
Como el campoeléctricoesconstanteentrelas placasparalelas,
iltl
tl il (b)Ll
0.t0v
0.20 v 0.25V
tl l¡ ,t tl l¡ tl ll
|]
tl
I
I
I
I
a
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
il
il
IIGURA 25-14 (a) Dosplacasparalclas, vlst¡sdc canto,ticncnrm¡ difcrcnciadc potcncialde0.25V. Sc indicam dcsplazamicnto difcrcncialds.(b) Ejemplo 25-7.Eqrripotcnclalcs paraV - 0.1Y y 0.2 V. Lrs placnsonsí soncr¡uipotc¡rclalcs, El campoclcctrico sc dirigc dc dcrcclu a izquicrda,cuandool potcncialdc la placa izquicrdacsmcnorquccl dc h placa dcrccha.
742 Capíarlo
d = 0.La superficieequipotencial, para0.10V es,entoflces, 2l
Pótenc¡e¡
cléctrlco
g r o l- : 0 . 2 0 cm J\) X /M
,t:!:: L
de la placa izquierda. Para O.20 V determinamos igualmente una distancia de 0.40 cm (figura 25-l4b).
EJEMPTO 25-8 Anillo con carga.Determine el potencialeléctrico debidoa un anillouniformemente cargadoderadioR y cargatotal Q enun punto P en el eje del anillo. SOLUCION: Defrnimosla geometrlade estecasocomo en la figura 25-15y calculafemos el potencialelécfico enun puntoP a unadistancia¡ a lo largodel eje del anillo. Esteproblernaes una aplicacióndirectade la ecuación(25-12). Definimosunacargadq,diferencial, a lo largodel anillo,queestáa unadistancia ¿elpunto P. Como r es constante,lo podemossacarde la consüante, , - {p¡p integtalde la ecuación(25-L2),paraobtener FIGURA 25-15 Ejcrnplo 25-8. Gcomcl¡ia para dctorminar cl potcncinl on uri punto P, cn cl cjc dc un anillo cargado dc rndio R, cmplcando una carga difcrcncial, d4.
¡f
=L:-q-:-=--=. v:i-4neor f ¿n: ' 4neor )
4nenrfR2 + x2
(2s-3 r)
Si hubiéramosdeseadodeterminatlo,el campoeléctricoa lo largo del eje se de derivadade la ecuación(25-29)(véase obtendrlaaplicandolas operaciones problema33). Estemétodoes más fácil que el de integracióndirectaque se presentóen el capftulo23 pa:ra. el campoeléctrico.
a EJEM PLo 2 5 - 9 Discocargado.Detetmineelcampoeléctricodebido catgado,deradioR y cargatotalQ, en un discodelgado,planoy unifottnemehte un puntoP en su eje,calculandoprimeroel potencialeléctricoen estepunto. SOLUCION:El casose muestraen la figura 25-16,Paradeterminarel calnpo el potencialeléctrico.Como conocemosel eléctrico,primerodeeterminamos potencialdebidoa un anillo,por el ejemplo25-8,dividimosel discoenunaserie con la intenciónde usarel principiode superposición. de anillosconcéntricos, En la figura25-16dividimosel discoen una seriede anillosde tadio r y ancho decargaenel discoeso- QlnÉ ,y la cargatotalcontenida d¡. t¡ densidadconstanüe
FIGURA 25-16 Ejomplo25-9.Esqucmaparadctcrminarcl potcncialcn rrnplnto cl ¡rctcncial P, eobrccl ojodc un discocargndorlcradioR,Primcrosodctc,rminn sc intcgra. dobidoal a¡üllodc radior y anchodr, y dospués
743
en un anillo de áreadiferencial d¡{ es dq *o
25-5 Cálc¡¡lo dc loe potcnclalcs & dlstrlbuclones fln¡ts dc c.rg¡
dA : o2nr dr.
Empleamos la ecuación (25-31) para el potencial debido al anillo, y a continuación integramostodos los anillos para determinar el potencial del disco:
dV:
dq
lneo$
+ x'
2y'o rdr 4leo jF¡7'
o (^ rdr :2.0 Jo Ñ:2.0 n
o
R6
: ; URr+ x 2 -x ) Vr-l + x-¡o ¿co
=ffiUn'+ x2- x).
(2s-32)
Esta integraciónes más diflcil que la.del ejemplo25-8. Sin embargo,no se necesitamanejodevectores. Como el potencial sólo dependede .r, el campo eléctrico sólo tiene un componenteen¡, E - 4i. El componenteE¡ es
E ,:-ov -ñ:-2*F\7n'+r, -- o 1+-,).
/
que E sólo tengaun componente¡. Por simetrfa,sólo el No debesorprendernos componentexdel campotecibecontribucionesqueno se anulan.Como prueba, se puededemostraresteresultádoen el llmite, cuandor >>R, que se reduce, correctamente, al lfmite de la cargapuntual,Ql4ne"*,
EJEM PLO 2 5 - 10 Líneacon carga.Detennineel potencialeléctrico comofunciónde la distanciaradial,R, a unallneacon densidadlinealuniforme de carga,1. SOLUCION: el campoeléctricoparaunalfneainfinita concarga, Ya determinamos y podemosemplearla ecuación(25-9)paradeterminarel potenciala paÍir del carnpoeléctrico.La ecuación(23-32)nos proporcionael campoeléctrico,que sólo tieneun componente mdial.Integramosa lo largode una direcciónradial, de modoqueds - dr (figura25-17a),La ecuación(25-9)set¡ansformaen
I I fdr L,V: - | E,dr : -^ |¿ÍeoJ r J
P ( r =R )
FIGURA 25-17 Ejemplo 25-10. (a) Una linca infinita, cargada, ticnout cam¡n clcct¡ico radial. Para dctcrmi¡¡ar cl potcnclal cn c¡ prmto P, sc oxamina un dcsplazamicnto,ds, en cl cam¡rc cléclrico E, y sc usa cl campo oléctrico conocido. @) El potcncial resultantc, dclinido como ccro cn r - a, va do infnito positivo, pasaprrr r - 0, y contlnúa hacla lnfurito ncgativo panr r grandc.
/+4 Capítulo 25 Potcnclal cléctrlco
La diferenciade potencialdepende, naturalmente, de l-osllmitesde integración. Digamosqueel potencialceroseencuentreen r - a, de modoque
av : vn- vo: v : -:- i^ t = -=i- ,n "' ,"l*, 2res r 2reo '1"' J"
r :- 3 ¡ n R. ¿fteo
(2s-33)
a
Nótese que, en este caso,no es posible ubicar el potencialcero en el infinito, porque efr fr - 6r el logaritmo es infinito. Ffsicamente,esto es osf porque la llltea misma llega al infinito; nunca nos podemos apartar de ella. Graficamos el potencial de la ecuación(25-33) en la figura 25-l7b,donde hemos supuestoque lacargade la llnea es positiva.
(
I
EJEMPLO 2 5- 11 kfera con carga. Determineel potencialpafaun cascafónesféricode radio R, uniformementecargadocon una cargatotal Q, en lugarestanto en el interior como en el exteriordel cascarón.Establezcael potencialceroen el infinito. SOLUCION:Ya conocemosel campo eléctricodel cascarónesférico,en el ejemplo24-4,y podemosusarla ecuación(25-9)paradeterminarel potencial eléctrico.Comosegundopuntofijo, escogemos r = ooydeüerminamos la diferencia de potencial,AIz,en r, con el potencialenco.Del ejemplo24-4 tenemoslas (24-10)y (24-l l): ecuaciones o
fuera de un cascarónesférico. r > R:
dentrode un cascarónesférico,r ( R:
Distancia
1'
+n€or-
E : 0.
radial,demodoqueenla ecuación(25-9),que El campoeléctticoesúnicamente da la diferenciaclepotencial,integtamosa lo largodeun radio,del infinito a una distanciaradial,r, arbitraria.El elementodiferencial,dr, apunüa aparkindose del origen,demodoqueE . ds = E, ü = E d¡. Parar¡npuntofueradel cascarónesférico,
(a )
f' g : :- ( !- 1 ) : L V: v ( r ) - v( a ) : - f' Ed:r - :-4neo)*r" 4neo\r aJ
JDecimosque lz(co)- 0, y entonces, el potencialV(r) esiguala AZ: fuera del cascafón,r > R:
V:
Q +n€or
O 4neor'
(2s-34)
y el La diferenciaentreel potencialparauna posicióndentrodel óascarón potencialen el infinito es
LV: -(f^ uo**a,+ i ro**,dr). \J. / Jn Distancis (b)
-
FIGURA 25-18 (a) Ejemplo l5-l l. El campo elcctrico, y (b) cl ¡ntcrr;ial clcctrico para un ca-scaróncsfórico de r,rdio R. Aun cuando cl campo clcctrico cs ccro dcnt¡o dcl cascarón,cl potcncial ticnc r¡n valor constantc, igual al de la supcrficic dcl casca¡ón,
Como E¿"n¡o- 0, la segundaintegral desaparecey la integtación es semejantea la anterior, de nuevo con el potencial ceto en el infinito: dentro del cascarón,r 3 R:
: '
#;u:
constante' (25-35)
Aun cuandoel campoeléctticoescerodentrodel cascarón, el potenciaino lo es, si definimosqueseaceroen el infinito.En la figura25-I8a graficamosei iii,,¡.,c esférico,y el potencialen la figura25-18b. eléctricoparael cascaróri
TA r! r.¡
25-t
CAMPOSY
POTENCIAI,NS NI.IiCTTCOS
Magnitud del campoelCctrico
Configuraciónde cargas Cargapuntual
PARA DTVtr,R5AS CONT:TGT'RAC¡()NIIS DI]CJTRGAS
q
4*F
4nerr
a'l
En cualquierlugar
€o
o /JRTT -.\
re\-ffiFl o
Lejos,sóloa lo largo de la mediatriz: p
c.d' Qx 4?t(o(Ri-+-ñtt
o
r>R: ;:, q fi< o r ' ,.R ' .
n
(JRz + x2 - x) Zne¡R"" -J--.
o
r > /{' --:-4nenr
r< R :
r< R :0
Esferamacizano conductora,uniformemente cargadacon radioR
r:a
LV : - E¿ : -":
Cascarón csféricocargado, ,' > ,t' ---:--4nenr' de radioR
Anillo cargadode radioR, a lo largodel eje
@
),' r _;__ In _ tf€o u
Placasparalelascon carga o opuesta, densidad €o uniformede cargao d separación Discocargadode radioR, a lo largodel ejea unadistancia¡
Potencíaleléctrico
,q
1 Lfneainfinita de densidad 2"%, uniformede carga, l,
Ubicación del potencial cero
Q' , 4zcoR'
o 4neoR -::
c,,
üJ
@
[.ejos,errcualquier lugar: pcos0 f,,rrr'
.o
o 4neo.,[nTTF
,> R,- 9-
,
Hemoscalculadoya el campoeléctricoy el potencialpamdiversasdistribuciones queobtuvimoslos resumimosen l¿ tabla25-1, decarga.Los resultados
25-6 porENcrALEsy cAMposElEcrRrcos QUE ROpEAN
A CONDUCTORES
Esprobableque los casosmás importantesde distribuciones continuasdecargase denen los metales;en la sección25-7 presentaremos algunosejemplosprácticos. Fsasdisttibucionesratamenteson uniformes,porque las cargastienen libertad de movimientosobrey dentrode los metales.Sin embargo,partiendode lo que ya sabemos,podemosaprendetuna cantidadsorprendenteacercade los potenciales eléctricos cercade los metales. Ya hemosaprendidoque en la electtostática el campodentrode un material conductofdebesef cefo,quela carganetaenun conductotdebeestarensusuperficie exterior,y queel campoeléctticoinmediatamente fuerade la superficiedel conductor debesernormal a esta.Tambiénhemoshechonotarque,eomono hay componente
745 Potcrrcl¡16 y c¡mpoc clé
Su¡rcrficics c,r¡ri¡rc(cncialcs
Strpcrficicscr¡rripotcncialcs
FIGURA 25-19 (a) Un cnm¡n clcctrico unifonnc, nntosdc colocar cn ól rm conductor sin carga. (b) Dcspucs, cl cam¡rc clóctrico caml¡ia cn fonna drnmÁtica; no hay cnmpo cléctrico dcntro dcl co¡rductor. [,ns cargas inducidas, quc hnccn ccro cl campo cléctrico dcntro rlol condrrctor,aparcccncn la su¡rcrficiccxtcm¡ dcl mismo, Esas cargasafcptan al csnpo clcctrico fi¡cra dcl conrluctor.
Cercede un conductor,laesuperficies equlpotenc¡eles son per¡lclas a h superficiede éste.
del campo eléctrico a lo latgo de la superficie conductora,óstadebeser, en sf lnisma, una equipotencial. Como el campo eléctrico en todo punto dentro de un material conductores cero, el potencial interior debe tener el mismo valor que en la superf"rcie. Hemos visto ya un efecto de estanaturalezaen el ejemplo 25-ll,el cascarónesférico cargado.El potencial en la superficie, y en todo punto dentro del .cascarón,tiene un valor conslante;(esto es, es una tegión equipotencial). También podemosdecir algo acercadel potencial eléctrico fuera de un conductor, esté o no cargado. Si está cargado, el hecho de que el campo eléctrico sea p€rpendiculara la superficiequieredecir que las equipotencialescetcade la supetficie debenserparalelasa ésta,Esto sereáválido aun cuandoel conductornoestécargado, Por ejemplo, parael campo eléctricoque se ve en la figura 25-19a,debido a dos placas paralelas (que no se muestran), si colocamos un conductor rto cargado de tamaño arbitrario en é1,se modificará mucho ese campo (figura 25-I9b), Se inducirá carga en el exterior del conductor en equilibrio, induciendocon ello el campo eléctricopara. que seanormal a la superficie conductora,y, nuevamente, lassuperficiesequipotenciales cerca de un conductor deforna arbitraria debenser paralelas a la super/icie d e l n ti s n rc . En el capltulo 24, calculamos la magnirud del campo eléctrico cerca de la superficie de un conductor en términos de la densidad de carga en ese punto. Sin embargo, la densidad de carga puedee variar para una superficie irregular. Aqul veremos cómo el conceptode potencial nos permite decir más acercade la densidad de carga y, por lo tanto, de los campos cerca de conductoresde forma iregular.
El papcl dc puntos agüdos en supcrficies
conductoras
Veamos el conductor irregular de la figura 25-20. El lado izquierdo tiene una configuración más aguzada que el derecho. Podemos catacterizar esos dos lados inscribiendo esferas en los extremos y midiendo sus radios respectivos. La parte
746
izquierda es más cufva que la derecha, y rt < rz. Modelaremos este conductor en un procesode dos etapas.Primeto, consideraremos los dos conductores esféricos que se ven en la figuta 25-2La. Los tamaños de esas esferas coinciden con los de los dos extremos de nuestro conductor inegular de la figura 25-20. Las cargas q y q' se colocan en las dos esferas. Los potenciales eléctricos en ellas son, respectivamente,
747 25-6 Potcncldcs y campc tlcctdoc quc rodcan e conduclorc¡
C-arE^Q
Q V,: ' 4nenr,
vz:
4neor,
Ahora conectemoslas dos esferascon un alambreconductor(figura 25-2lb). El quela cargafluya rápidamente sistemacompletollegaráal mismopoteúcialdespués entrelasdosesferas.Estepotenciales 4t
'
4n
Conductor (supcrficlo c<¡uipotcncial) FIGURA 25-20 Un conductordo fonm irrcgularscmodclamcdlantccsfcrasdo radioer, y r, onsr¡scxt¡cm6.
Qz
-
4n
siendo h y Qz las catgas en equilibtio en las dos esferas. Cargas'y radios estrin relacionadosmediante
r,. \;/
!!L:!2. rr
12
Comosólo hemosempleadoel hechoque el sistemacompletoestáa un potencial único, este cálculo también se aplicaráa nuestroconductorinegular de la figura 25-20,Las esfefasconectadasforman un modelo para el tamañorelativo de los camposeléctricosen los dos extremosdel conducto¡.Nótese que q y 4' ya no aparecen; todo lo quequedaesel requisitode conseivaciónde la carga,qüeq + q' =
Carga g, potoncial vl
Cuga q', potonclallzt (a)
Q t + 42. La densidad superficial de catga, o, en una esfeta, queda determinada por la carga de la esfera y por.el área de su superficie:
^= +.
Trparanuestrasdosesfefas,la ecuación4 tlr t - q2J r, es Porconsiguiente,
o,ilr4 o.ll1 /z' 4 Oytl:
O 2l '2.
.
¡rctcncial fz (b)
(25-36)
El campoeléctrico,E¡, inmediatamentefuera de cadaesferaconductota,es igual a o sea o¡les,de modo que podemosremPlazaro, Por eeE¡.Asf, eiE¡r1' ejE2r21 Errr:
E rrr;
EL
rz
Ez
rl
Carga42,
FIGURA 25-21 (a) Dos conductoros, al principio, cstrin a distintoe potcncialcs, quc dcpcndon dc srs cargas rospcctivas. (b) Sl los conducto¡as so concct¡n ¡rrilantc u¡r alambrc, dcbc pasar cargr par¡ igualr lc potcncialcs on todos los prmtc.
(2s-31)
Loscamposeléctricosserelacionaninversamentea los radios.Para un radio menor, El cempo eléctrico cerc¡deun esmeyorcercrderegionee songrandes. conductor la densidadsuperficialde cargay eI campoeléctricocorrespondientes El efecto que acabamosde describit es impotante en conductotescon puntas dcmuch¡curv¡tur¡. agudas(figura 25-22).Aun si el conductorestáa un potencialeléctricobajo, algunas de la superficie,con pequeñosradiosde curvatura,pueden regionesdetermihadas gtandes camposeléctricosen su cercanla.Cuandoun campoeléctticoes lo tener grandecomoparavencerla attacciónentteionesy electrones,se suficientemente
748 Cnpítrrlo25
D
r f 4 {+{+
lrotc¡rcl¡lclóctrlco
tttttt
Wt
.¡-
I
i\
Conductor con carga
FIGLTRA25-22 El campoelectricocorcadc radiosde curvahra pcquoños puodoscrbastantograndc,comosc vc parsla prnta dc unangujacargada.
presentala descargade corona,a corono.Los electronesse deseprenden de las moléculas,quesedice entoncesqueestánionizadas.En el aire,estosucedecuando los camposson del ordende 3 x 106V/m. La ionizaciónde las moléculasde aire originaun brillo verdoso.Los marinerossiemptehanvistoesosbrillosen laspuntas de susmástilesy palos,y al fenómenole llamaronfitego de SanTclmo.En tierra,el comodescargadisruptiva(veasefigura23-22 fenómenoseconocemásgeneralmente y la primemfotografladel capftulo26). por los grandes Las moléculasionizadas,con ca¡ga¡rositiva,son aceleradas de Ia descarga Asf, despues camposeléctricosy sealejande la regiónde la descarga. disruptiva,el aire,de hecho,se vuelveconductorquesacael excesode carga.Esto derayos bajael potencialeléctricoalrededordel conductororiginal.En lastormentas hay grandesdiferenciasde potencialentre la tierra y las nubes,a causade una acumulaciónde cargasen éstas(véaseIa primerafotograffade estecapftulo).Los disruptivaslocalesy bajanla diferenciade potencial paraffayosprovocandescargas y lasnubes.Esospararrayosno atraenlos rayos;al disminuirla entreel pararrayos diferenciade potencial,evitanqueel rayocaigaen suscetcalrÍas.3 esféricos,el potencialy el campoeléctricoen la superficiese Paraconductores disruptivasepuedeproducir relacionanmedianteV * RE.De estemodo,la descarga El bajo en conductores cou puntasaguzadas. colocandoun potencialrelativamente potencialmáximoquesepuedecomunicara un metalsin queseioniceel airees /n6, : R(3 x t0ÓV¡m¡. Parala puntade unaaguja,conradiode curvatutaR : 0.1 mm, el potencialmáximosóloesde 300 V, peroparaunaestructuraesférica,con R - 3 m' 107V. esaproxitnadamente
25-7 poTENcrALEsELEcrRIcos y cAMPos ELECTROSTATICOS EN TTCNOLOGIA partedenuesttoestudiodel unapequeña sólorepresenta Aun cuandola electrostática brevemencionaremos importantes. En fon¡a aplicaciones tiene electromagnetismo, ponet cómo se puede a trabajar en la pfácticael pata indicar aqul, de ellas algunas adquirido. conocimiento
Acclerador Van de Graaff Si colocamosuna cargaen cualquierpartede un conductof,se moveráhacia la superficieextetior;el carnpodentrode él serácero.RobertVan de Graaffaprovechó esteconcepto,en L931,paraconstruirun acelerador,apatatoqueproducepartlculas
3 Al rcvcs, ¡n objcto allo, aislado, como u¡r árbol o rm cdificio alto, pucdc corstituir una traycctorir hacia tiorra qr¡c ncccsitc mcnos oncrgía; e'sosbbjclossufrcn con frecuencia la acción dc los r¡ryos.
I
\sz '|-
Motorimpulsor (b) I'ICURA 25-23 (a) Diagramrcv¡ucmáücodc rm accloradorVan de Gr¡aff so¡plllo.L¡ cargasode.posita cn la bandatrarsportadora,cn supa¡toinfcrior, y pasaa la prfc supcrior. [.a cargapasaa la superficiccxtcmadel conductor,y cl potcncialcontinrinc¡rclc¡do h¡st¡ ¡lcaruar valorrs altos. El simbolo cn l¡ partc lpforlor dorcchalrdlca quo t¡ brso dol acolcradorscheconcctadoa tlcrra, (b) I-c nlf,osquotocsnGsogcrior¡dorV¡n dc Gnaff so somctcna t¡rialto potcncialcléctrico.[.os cabolloslndivldualcssccomportanconn trs hoJas dc rurclcctroscopio.
t
catgadas muy energéticas, Esaspartfculasseusanrentreottascosas,comosensofes microscópicos de la materia,y en tratamientosde cáncer.Van de Graaff usó un aparatosemejanteal que se ve esquemáticamente en la figuta 25-23a,Una bandao cadenaaislada,en forma continua,lleva cargaal interiorde un conductorhueco, dondehay escobillasque sacanla cargade la banda.Como los portaescobillas es!án conectados conun alambteal conductorhueco,la catgade la bandaseguirádesdelas bandas,por el conductory hastala superficieextemadel conductor.El potencial eléctticoen la superficieconductoraesféricaaumentaa medidaque la cargallega a susuperficie(V - qlaxenR¡, Unafuente.deiones,ubicadaen el interior del conductorhuecoproduceátomos cargados del mismo signo que el del potencial.Esosátomoscargadosson repelidos de la región de alto potencial,y asf son acelerados. A los apamtosse les llama ¡celeradoresVen de Graaff, o generadoresVen de Graaff (fi gura25-23b).Hay aparatos semejantes,llamadostándems,que tienenun alto potencialpositivo en su centro;los átomosnegativos,attafdosal poüencialpositivo, partende un potencial ceroy pierdendoso máselectronesdentrodel conductothueco,al passrporunhueco delgado.Los átomospositivosseaceletanentonces,de nuevo,al serrepelidospor el alto potencial, de nuevo a cero, ganando energla adicional. Si se rodea al aceleradorcompleto mediantetanquesgrandesde alta presión llenos de gases que tesistandescargasdisruptivas,se han alcanzadopotencialeshasta de 25 millonesde volts.
749
APHCACION
I
E[ mlcroscopto dc carripo-ioiics' , ,¡ r , El fenómenoen el que los camposgmndessedesarollan en puntosagudosde un conductofse lleva a su extremo en la microscopiade'rampoy iones,dondelosgmndes camposeléctricosnos permitenptoducir imágenesde átomosindividualeselrla estructumcrislalinade la punta deun metal.Seprepatauna puntadel materialcristalino, sumetgiendouna puntaconformada normalmenüe en un electrolito,queesuna sustancia mecánicamente quedisuelveátomosdel extrerno.Seprepatanpuntas del metaly hastade 200 nm de diámetro,dependiendo nm, la punta de 200 del cristal que se traten.En la escala
se ve lisa, pero a nivel subatómico.sig,resiendo muy áspera.Se inttoduce en un recipiente al vacfo, y se aplica un gran potencial, de vários kilovolls (figura B1-1). El extremo de la punta se alisa todavla más, al salir del metal los puntos agudos a escala atómica, en fotma de iones positivos, a causade los grandescampos.El procesode pulido deja una punta como la de las figuras Bl-2a y B1-2b, dependiendode la orientación precisa del ctistal. Un ejemplo familiar de la estructuraposible de una punta ser{ael de natanjas apiladasen capas'en una estructutasemipitamidal (figura B1-2c).
Al crióstato
Pantalla -\:.. fluorcsccntc -'l
Lic¡uiclo cnfriador Mt¡cstra a nltovolta¡o
/r I
I l I I
I
IüGURA B1-1 Diagrama csqucrruittco do trn microscopio de campo-ion. El crióstato nranticno rma tomporatr¡ra uniformc y baja dcntro dc la cámara.
Dista¡cia variablc
t\
tllt
A la bontba do vacio
Gas rcvolador Q-Ico Nc)
Xerografia en variasetapasde la aprovechanla electrostática Las máquinasfotocopiadoras El ptocesose inicia con una placa con carga *u"og"nfin, o fotorreproducción. Es un materialbuenconductota la luz, de matedalfotoconductor. positlva, "ubi.ttu como el selenio(figum 25-24a),La luz reflejadadel pero malo en la oscuriclad, lentey llegaa la placacargada,dondelas¡ireasoscutas por un pasa por copiar tdginal p"ro enlasáreasdondeserecibeluz, las cargaspasana la parte p"rírr*"""n "uiguJur, infurior de la pláca (figura 25-24b).La imagenresultantede las zonasoscurasestá Seagfega"tonef",concarganegativa'Esun por lascafgastemanentes' representada ingtedientesesresinatermoplástica.Esetonerva a la placa pol,ron"gro, üno d" "uyát positiva, dejandolas áreasoscurasoriginalescubiertascon toner ne9to "urgá "on (figuraáSi+").En el siguientepaso,el papel,quetambiénseha cargadopositiva*át", se colocasobrela placay atraeal tonernegto,con cafganegativa(figura 25-24d).seagregacalofpafafundirel toner,yconé1,la imagen,y adherirloal papel. Esto es la causade que las copiasteciénsalidasse sientencalientes(figuta 25-24e), y a vecestodavlaesténcatgadasal salirde la fotocopiadora'
750
I-
0.1u (a)
FIGT RA Bl-2
(a) hmta dc hicrro aun¡cntada. @) Las e.sfcrasrtprrscntan átomos indiüdt¡alcs do una punta dc loncs dc campo.
En la siguienteetapa,se introduceun gasdiluido, comohelio o neón,llamadogas rcvelador,en la cámara quecontienela punta.Seaumentael potencialpositivo, denuevohastavarioskilovolts, hastaque comienzana los átomosde gas.Estosucedesólocuandoel ionizarse sobrelos átomosde campoesmáximo: inmediatamente la punta.El campoeslo suficientementeintensocomo paraionizar el gas.Los ionesde gassalenalejrindosede la punta,siguiendolas llneasdel campoeléctricoque salende los átomosde la punta,hastauna pantalla a tiena, en la cual los ionesde gasque chocan conectada dejanuna huella visible. La imagenque seforma conesponde a la posiciónde los átomosindividualesde la punta,que asl séhacenvisiblesen una foto, como la 'de esútil la figuraB1-3. La microscoplade campo-iones enla observaciónde estn¡cturascristalinasy los efectos deimpurezasy defectosen cristales.Hastaalgunos coneste no cristalinospuedeninvestigarse mate¡iales
I
apafato.
I
¡ It
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I
F
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+++++++++++ +++++++++++ +++++++++++ +++++++++++ +++++++++++, * + + t + + + .+t + + + *. + + + + + + + + + + + l+ t + + i+ + + T + + i . + + . + . + : +r+ + + + + + '
t. t, I
Se agrcga tóncr ala placl
Pa¡rcI scpnrdndosc dc la placa (e)
(c)
original W )i
a -l
+++
(a)
I B
P
Placa fotoconductora carga
ITIGURA Rl-3 Microfotogralra por campo-lon do una pmta dc lrldio. I.os ¡itomos individr¡¡les produccn las figuras.
.-\ \ .//-,Ff+* ++++++++: C----l
(b)
+.+ .+ .+ .+ .+ .+ .+ .+ \+', +',+1+1+1+1+T+
L:rttc Placa fotoconductora cargada
(d)
dc la FIGURA 25-24 Diagramacsqucnuitico Papct con xcrografia.(a)unapla'cafotocónductora concDrga cargapcitiva. (b) [a luz clclaszon¡sbla¡¡cas dol origlrul ncutraliz,alas cargaspositivason la placa.(c) El tdnarconcerganogativaesat¡aido Tónere¡ a la cargapositiva.(d) El papol,con carga la placa positiva,tomacl ldn¿r.Mcdia¡rtccalorsc ñ¡ndc estccn el papcl,(c) quosc dcsprcndcdc la placa.
751
752 Capitulo 25 Potcncl¡l clécrrlco -rh
Ilancra original dc ¡ntcncial Nucva barrcr¿ dc potcncial
Encrgia total dcl clcctrón [norgía totrü dcI clcctrón
I}rcrgía potcncial dcbida a la distribució¡rcxln.nadc cargas (a) Í'IGURA 25-25 Encrgia dc los olcctro¡rcs cn fur¡ción dc lá distancia dc la suporficic cxtoma dc ur mctal. (a) l,os clcctroncs sc ¡nnnticnen cn cl irrtcrior dc un mctal nlcdiantc r¡na barrcra dc potcncial ccrca do la su¡rcrficic. Si la barrcra cs m,iisalta quc la cncrgia total dc los clccl¡oncs, óstossolo puc
I'IGURA 25-26 (a) Cabozadc ba¡rido, de un microscopio olcct¡onico do barrido tt¡¡tcl. (t) Diagrama csquon¡Áticodo uri microscopio dc barrido t(urcl. l,a aguja do punta fina cn ¡a caboza dc barrido Iloga a 1 n¡n dc distancia de la mucstm; osa distancia cs cl cspacio dc túnol. l-a corriontc do pcnctración a travós dc csc cspacio rMntionc constsntc el cspacio, al barrcr la su¡rcrficio con la punta, con lo quo so ticno un mapa do la supcrficie. El voltajc dc basc prcccdc a la corricntc dc lrcnctración, quo sc pucdc cmplcar para foÍnar cl voltajo dc ilnpulsión. Estc voltajc dc impulsión muovc a la punta mcdiantc piozoclcctricidad, fcnómcno cn cl cual sc aplica un voltÍjc y con ól se muovo rm cristal.
Distancia
Distancia
(b)
Potencialeseléctricose ingenieria cuánt¡ca I",oselectronesse fijan a sus respectivosátonios, dentro de un metal, pof atracciones electrostáticas.Esas fuerzas se pueden representaren física clásica mediante una barrera de potencial que no pueden cru?.arlos electrolres.La figura 25-25a es un diagra'made energfapotencial de un electrón al igual que su energfatoüal,constante. En ffsica clásica,el electrón no puede entrar a la región en Ia que su energlatotal sea menor que su energfa potencial. Sin embargo, como dijimos en el capftulo 7, el electión tiene ciefia probabilidad,muy pequeña,de penetratla banera, como si fuera potun túnel,debido a ef'ectoscuánticos. Algrin objeto con carga positivo que se acetquea la supefficie metálica tira de los electrones.El objeto tiene un potencial eléctrico con respecto al metal, y un electrón tiene una energlapotencialdebida al objeto extenro (figuta 25-25b)' Cuando la energfapotencial debida al objeto extemo se surna a la energlapotetrcial original que sujeta al electron al metal, se reduce' de hecho, la barrera. Aun cuando el potencial extrerr¡oseademasiadodébil para bajat la energfapotencial máxima por debajo de la energfapotencial,parapermitir que los electronesescapencomo dice la ffsica clásica, el hecho que baje la barera facilita que los electronesatraviesenel túnel a tmvés de la barrera. Esta "penetración ayudada por potencial", o tunelización ayudada por potencial, se usa en el microscopio de barrido túncl (figuta25-26a). Se coloca un potencialpositivo débil en una agujaultrafina de tungstenlo.Esa agujabame,o recotte, la superficie de una muestra, y suministra el potencial necesario para ayudat a los
Inrpulsor píozoclictrico
Voltajcrlc impulsión
Ag¡ja Espacio dc .,'t"
l)c¡rcracron ;
'frayoctoria do la aguja Sulxrficio dc la ¡¡rucst¡a
Voltaje dc polarización
(b)
t*
I t
¡'IGURA 25-27 Microfotografindc ba¡ridotúncl,con falsoscoloros,do la supcrficiodc u¡u mucst¡ado grafito. Son cvldcnf.es las figurasrcgularcs formadaspor los átomosindlvldualcs.
F IGURA 25-28 Atomos individualos do xcnón, cuyo tama¡1oas rlcl onlcn dc las dCcimas dc nanómotro; so han movido para colocarlos c¡¡ rn¡ fila,
electronesa escaparde la muestra,por penetracióno tunelización.Esoselectrones sonattafdosa la agujay fo¡rnanunacomienteque la recoffe,cuyamagnituddepende dela distanciaenttela agujay la superftcie(figura 25-26b).Esteefectoseempleaen dosformas: 1. Se puedeinstalarun mecanismode retroalimentación que reposicionaen forma continuala agujaparaque la conienteseaconstante. La distancia entfela puntade la agujay la superficiede la muestta,por consiguiente, es constante. La reubicaciónse puedemedir,y con ello se puedecartografiar la topograffade la superficie(figuta 25-27). 2. El potencialde la aguja puedeejercerun ligeto tirón sobrelos átomos completos.Aun cuandolos átomosseanneutros,los electtotres con carga negativa,y los núcleoscon catgapositiva,formanun dipolo inducido.El mismo mecanismoque peffniteque un peine,cargadoal pasarlopor la cabellerasecaen un dfa invenralseco,atraigaeléctricamente a pedazosde papelneutro,atraelos átomosde determinado materialdemuestra.De este modo,sepuedendesprender átomosa lo latgodela superficiede la muestra, unopor uno,y colocarlosen nuevasposiciones(figura25-28),Esteefecto prometepermitir la formaciónde nuevasmoléculas,y circuitoslógicos ultrapequeños, o circuitosde conmut¡ciónde computadoras. La cornbinay la mecánicacuánticase estátransformando ción de la electrostática con ingenicríacuátttica, cuyonombte,adecuado,es rapidezenunahenamienüa,
RE SU M E N La fuerzade Coulombesconservativay, por consiguiente,una energlapotencial(la energfapotencialeléctrica)estáasociadacon ella. Si una catfla,Qs,de prueba,pasa deun puntoa aun puntob enpresenciadeunacargapuntual,q, enel origen,el cambio por de energfapotencialestáexpresado
^u=ffi(*-)
(2s-4)
La diferenciadepotencialeléctricodebidoa cualquierdistribucióndecargaentrelos
753
/ >zl Capítulo25
Potcncla¡eléctr¡co
puntos a y b se define como el cambio de energlapotencialdividido entrela magnitud de una carga de"prueba,qel
LV=va-vo=""*:
- l. " r . o t
(25-e) l_
E esel campoeléctricodebidoa la distribucióndecarga.La integral En estaecuación, de la ecuación(25-9)esindependiente dela trayectoria entrelospuntosinicialy final. La diferenciadepotencial,Vu- Vo,esel trabajoqueefectúa,por unidaddq carga,un agenteextemo al mover una cargade pruebadesdeel punto a hastael punto b, sin cambiarsu energiacinética.El potenciales.iqdependiente,de la cargade prueba. El potencialeléctricose puededetenninarcon los siguientes métodos,además de losmétodosgráficos: 1. Si seconoceel carlpocléctrico, elrtotlces sepuedeusarla ecuación (25-9). el catnpoeléctrico;por lo generales más fácil calcularen 2. Si se desconoce algunade lassiguientes formadirectael potencial,empleando fonnas:
v:'l
para una carga puntual:
o s -'l\
:
4neor'
! j;
para muchas cargaspunfualés:
v : !_,
para una distribución continua de carga:
v- *- _t*' -
4nen7 r¡ ,fl
I
IO(/
4neoJ r
(2 5 _ l l )
(2s-t2)
En cada uno de estoscasos,se escogepotencial cero ell el infiiito. I.a unidad del SI para potetrcialelécttico es el volt (V); 1 V - | \C. Una unidad útil de energlapara sistemasatólnicosy subatómicoses el electrón volt (eV); I eV 1 .6 x 1 0 -reJ . Se puededeterminat el campo eléctrico si se conoceel potencial,en términos de las derivadasde éste:
E: - !!0x i - a0y:¡ - a0:!t,
l r 5 _? q )
por la y estáexpresado El campoeléctricoentredosplacaspamlelases constante, diferenciade potencialdivididaentrela distanciaentrelasplacas: r_
"-
AV /
(25-30)
El campo eléctrico y el potencial, para divetsas configuracionesde catga, aparecen en la tabla 25- I . l,as superficies equipotencialesson aquellas que están a un potencial fijo. El campo eléctrico es perpendiculat a las equipotenciales.Las superficies de los conductoresforman equipotenciales,y los potencialesdentro de conductoresen equilibrio son iguales, en todos los puntos, al potencial en la superficie. Los campos eléctticos inmediatamente en el exterior de los conductores son invefsatnente ptoporcionales al radio de curvatuta, de modo que hay campos eléctricos gtandes cerca de puntas aguzadasen conductofes, aun cuando éstos se encuentren a bajos potenciales. Las aplicaciones de la electrostática comptenden el acelerador Van de Graaff, el microscopio de campo-iones,la xerografíay el conttol de los fenómenosde penettación (tunelización).
r.;
J
i, ,ii .;:
,:
PREGUNTAS 1. ¿Cuántosjoules hayen 1 V.C? 2. Un planoinfinito tienecargapositivauniforme,de densidad supcrficial o. ¿Cómo usarfa usted una carga dc prueba i negativaparamedir o? 3. ¿Cómocrearfaustedun campoeléctricodentrcidel espacio huecode un cascarónmetálicoesférico? 4. En buen tiempo, el campo eléctrico en la atmósferainferior es,aproximadamente,100V/m, y apuntahaciaabajo.¿Qué sucedecuandose plantauna varilla metálicade 3 m en el teneno? 5. Cuandoun campo eléctrico mueve una carga,efectuando , trabajosobreella, ¿cuáles la fuentede enrgfaparapoderlo efectuar?¿Dedóndeprovino originalmenteesaenergfa? 6. Al describir la diferencia de potencial.como trabajo por unidadde carga,paramover una cargade prueba,agfegamos la frase"sin mover la energlacinética" (véaruelas negritas en la página730) ¿Porqué es importanteésto? 7. Siempreseráequipotencialun conductor?Si no, ¿bajoqué circunstanciasno seráequipotencial? E. Con la ecuación(25-29), explique por qué al cambiar la ubicacióndel polencialcerono seafectael valordel campo elécttico. 9. Un pequcño aceleradorVan de Graaff se puedeemplear como aparatodc demostraciónen co¡iferencias.Si una personatocala esfera,su cabellosc eriza(véascfigura 25-23b), Expliquc'porqué. ¿Porqué la pcrsonadcbcpararsccn un cojfn aislantcduranteesademostración? 10. La Tierra,normalmente,se defrnecomo con potencialcero. ¿Significaesoque ta Tiena no puedatenercarganeta?Si la como Tiena tienecarganeta,¿puedeseguirconsiderándosp con potencialcero? : , 11. Si conocemosel potencialeléctricoen determinadopunto, ¿tambiénconocemosel campo eléctrico?¿Quépodemos conoceracercadel campoeléctrico,si conocemosel potencial eléctricoen dospuntosarbitrariamentecercanosetresf? 12. ¿Esla energfapotencialde un sistemade cargaspuntuales independientedel ordenen el que se forme el sistema?
I¡IGURA25-29Prcgunta 13.
13. ¿Porqué hay tantassuperficiescurvasen el generadorVan de Oraaff de la figura 25-29?
14. ¿Cómosabemosen realidadque las fuerzaseléctricasson conservativas?
15.En el potencialasociadoa una cargapuntual,elegirnosal potencial cero como cstandoinfinitan¡cnto alojado do la carga.¿Quécambiarfac¡r nuestrasprediccloncsde cargas eléctricassi hubiéramoselegidoque el potencialfueracero en r - 10-¡ontde la carga? 16. Si comenzamoscon cargaspuntuales,paracadauna de las cualesel potencialcero estáen el infinito, ¿esposibleque una superposiciónde cargastengaun potencialceroqueno estéen el infinito? 17. El potencialde una configuraciónde cargaspuntualeses cero en determinadospuntos.¿Sigrifica estoqu€ la fuerza sobreuna cargade pruebaescero en esospuntos? 18. ¿Esposibleaneglarlas cargasde tal modo que el potencial seaceroen una región contiguafinita?
PROBLEMA^S Energíapotencial eléctrica (I) 1.' Una carga de 2.0 x 10-1C estáfda en el origen de un En una pasacon 1.0 g de mq¡a sq sistemade coordenadas. colocauna cargade 2.0 x 10-6C. La pasase acerca,desde muy lejos, hastaun punto a 45 crn del origen. ¿Cuáles la energlapotencialeléctricadel sistema? 2. O Supongaque la pasadel problema1 se suelta,partiendo del reposo,desdesu lugar a 45 cm del origen. Si no actúan otrasfuerzassobrela pasa,¿haciadóndese moverá?¿Cuál serásu energfacinéticafinal? 3. (I) Se trae del infinito una cargade 3-¡rC,y se fija en el (a) ¿Cuántotrabajose origende un sistemade coordenadas.
25-I
efectúa?@) Del infrnito se traeunasegundacargade 5 ¡.tC, y se coloca a l0 cm de distanciade la primera. ¿Cuánto trabajoefectúael campoeléctricode la primeracargacuando se trae la segundacarga?(c) ¿Cuántotrabajoefectrlael agenteextemoparatraerla segundacarga,si éstasemueve con energfacinéticainvariable? 4. (I) Se colocancargas4r - 6.0 x 10-5C, I Qz- - 4.0 x 10-l C en reposoy a 0.50.m de distancia.¿Curíntotrabajodebei efectuarun agenteextemopa¡amover lentay uniformemen- | te esascargashastaque quedena 0.40m dc distancia. ' l 5. (II) Se colocauna cargapositiva de 5.0 x l0-5 C a 1.0cm i sobreel origen de un sistemade coordenadat,y u" ",tj",
negativade la mismamagnitudsecolocaa 1.0cm abajodel origen;'ambas en el eje e. ¿Cuáles la energlapotencialde unacargapositivade 4.0 x 10-6C, colocadaenla posición (x,y, z) * (10 cm, 0 cm, 15 cm)?_¿y en (10 cm, 0 cm, 0 cm)? 6. (II) Repitael cálculodel problema5 parael casoen que(a) ambascargasen el eje z seanpositivasy la terceracargasea negativa;(b) los signosy magnitudesde todaslas cargas seaniguales. 7. (II) Secolocauna cargade 4 pCenel puntor =2,! = 3,2 Calculeel trabajo - 0 (todaslas distanciasen centfnretros). efectuadoparapasarunacargade - 8pC desdex - 2, y - 15, que z * -30, hastael punto* - 2,1 " 12,z - 6, suponiendo la cargasemuevea velocidaduniforme. 8. (II) Con argumentosde energlapotencial,demuestrequelas cargasdel mismo signono puedenformar un sistemacon unaórbitacircularcerrada.
25-2
Potencialeléctrtco
9. (I) Secolocandoscargasigualesde - 4 ¡tCa lo largodel eje y, en -3 mm y 4 mm, respectivamente. ¿Dóndees ceroel potencialeléctrico? 10. (I) Secolocandoscargasen el ejex: 4 pC en? cm;y -2 ¡tC en 4 cm. Determinelos puntosen el eje de las ¡ dondeel potencialseacero. tl. (I) Un protón pasadel puntoz4al punto B bajo la influencia única del campoeléctrico,perdiendovelocidadal hacerlo, desdeu, * 3 x lOam/s hastauu- J x 10r m/s. ¿Cuá1es la dife¡enciade potencialentrelos dospuntos?
12. (I) Una fuerza extem. .u"u" uniformementeuna carga a puntualde +10-6C de unaplacacargada negativamente, Las placassongrandesy parauna cargadapositivamente. lelas,y la de carganegativatieneun potencialde -20 kV, trabajoefectúa mientrasquela positivade + l0 kV. ¿Cuánto la fuerzaextema?
13.(I) Setienendos cilindroscoaxialesmuy largos,quetienen
t7. (II) El origende un sislemade coordenadasestáér'rel punto de intersección de lasmediatrices'de un triánguloequilátero de l0 cm de lado. Calculeel potencialen el origen, debidoa trescargasidénticasde 0.8 ¡.rCcolocadasen los vérticesdel triángulo. 18. (II) Setieneun cuadrado de20 c¡ndelado.Socolocancargas ensusvértices comosigue:12 x 10-2¡rC en (0 cm, 0 crn); -24 x l0-2 ¡:C en (0 cm, 20 cm); 36 x lQ -2¡rQe¡r(20 cm, 20 cm); -24 x 1Q-zpQ en (20cm, 0 cm), ¿Cuálesel potencial en el punto(40 cm, 40 cm)? 19. (II) Una cargade 2-pC estáfija en (r, y) - (2 mm, 3rnm), unade -4 ¡tCen (2 mm, 6 mm) y unade -5 -¡¡C en (5 mm, 3 mm). ¿Cu:iles la energfapotencialdel sistema?Irnporta el ordenen el quesetraenlascargas,dcl infinito? paralelasse llevana una dife20. (II) Dos placasconductoras ¡enciade potencialde 3000V, y una pequeñapastillade 2 mg demasa,quetieneunacargade 10-7C seacelera desde el reposoen un¡ de lasplacas.¿Conquévelocidadllegaráa la otraplaca?
z l. (II) UnacargaQ estádistribuidaurúformemente en la superficie de un casca¡ónesféricode radioft. ¿Cuántotrabajose necesitaparamoveresascargasa un cascaróncon la ¡nitad delradio?Lascargasterminandistribuidas uniformemente. )t
(III) Calculeel potencialdentroy fueradeum csfer:¡deradio R y cargaQ, el la cualla cargasedistribuyeuniformemente en el volumen.(Sugerencia: se debeescogerla constante aditivaparael potencialdenttode unaesferacargada, detal modo que los dos potenciales, en el exteriory el interior, seanigualescuandor = R.
25-3
equipoleneiales Regiones
tlc (a) un disco 23. (I) Trace las supcrhciesequipotenciales delgadocon carga superficialuniforme,y (b) un anillo cargado. 24. (I) Trace cuatro superficies equipotencialespara las cargas que se ven en la figura 25-30.
El cilindro interior,con carganegativa,se cargasopuestas. encuentra a un potencialde -20 kV, mientrasqueel cilindro exterior,con cargapositiva,a +10 kV. Una fuerzaexterna desde mueveunaca¡gapuntualde +10-óC, uniformemente, el cilindro negativoal positivo.¿Cuántotrabajoefectúala fue¡zaexterna? 14. (ID Tres cargasestánen reposoen el ejez,la q, - 2 mC en z - 0 m; l a q, - 0. 5m C en z = 1 m,y l a q , - -1 .5 mC e n ¿= -0.5 m. ¿Cuáles la energfapotencialde estesistema? 15. (D Se colocancargas+q, -Q, +Q y -q en las esquinas sucesivas de un cuadradoen el planoxy. Grafiquetodoslos lugaresdel plano.rrydondeel potencialseacero. 16. (ID Se tienendoscargas,de24 x t0-2 pC Y -10 x 10-2¡rC, respectivamente, en los ext¡emosopuestosdel diámetrode un clrculode 25 cm de radio,(a) ¿Cuálesel potencialen un puntodel cfrculo,queestéa 30 cm de la cargapositiva?(b) ¿Cuántotrabajoserequiereparatraerunacargade -2.0 ¡tC desdeel infinito hastacsepuntodel cfrculo?
756
FICURA 25'30 Problom¡ 24.
1
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25. (l) I{aga un esquemade las superficiesequipotenciales para las cargasqr¡ese mueslranen la figura 25-31. Supongaque la varilla es ais lant e.
30. (II) Dos placasinfinitas,cadauna cargadauniformemente condensiclad superficial o, secolocanen ángulorectoentre sf,y casisetocan.¿Cuáles sonlassuperficies equipotenciales?¿Cuálesson esassuperficies, si unade lasplacastiene densidad de carga-o?
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25-4 Deterntinación de cantpos eléctricos apartir de p ol en ciale s eIéctric os
3t. (l) El potencialeléctricode unadistribucióride cargadentro de unaregióndel espacioes V(x,y,z)- Ql4ne...t. Calculeel campoeléctricoen esaregión.
32. (l) Dctcrnrinccl c:uupocléctricodc una distribuciónde cargn,si el potcncialelóctricode la distribuciónesV - Alz + IJyzz2 + C, sicndo/, B y C corstantes.
I¡IGtJRA25-31 l)roblcn¡n 2.5
33. (II) Partiendode la solucióndel ejemplo25-8,dcl potcncial debidoa un anillo cargadouniformemente, empleederivadasen la ecuación(25-29)paradeterminarel campoeléctrico a lo largodel ejedel anillo.
26. (I) Hagaun esquemade los camposeléctricosy lasequipoparala distribución tenciales de cargaqueseve en la figura quela varilla,de longitudinfinita,esaisla25-32.Suponga dora. ),
r *l
tr
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tl
tl
+ +
+ + fl I - Ll rl
26. I'IGURA25-32Problc¡na ",1
(lI) Una varilla metálicacon cargauniformese colocaen direcciónparalelaa unaplacametálicainfinita,sin carga. enun planop€rp€nI{agaun csquema de lasequipotenciales diculara la placay a la varilla,y en un planoperpendicular a la placa,peroparaleloa la varilla.
en el planory, 28. (II) Hagaun esquemade lasequipotenciales q, idéntidebidasa un númeroinfinito de cargaspuntuales, por unadiscas,quequedanen unallneay estánseparadas de lascargaspuntanciaa, de tal modoquelascoordenadas t uales s on x n =n o ,y )n = 0 ,s i e n d o n= 0 , * l , t 2,t 3,...
29. (II) Dos cargasde igual magnitud,perode signoconlrario,
lI I
It
34. (II) Determineel campoeléctricoa unagrandistancia,sobrela mediatriz,de un dipoloeléctrico,a partirdel potencialde la ecuación(25-4).
a una distanciaL entresl. Hagaun esquema se encuentran equipotenciales superficies de lasequipotenciales. ¿Cuáles tendránpotencialcero cuandolos potencialesseparados paralasdoscargas,se escogencomoceroen el infinito?
(II) Determinada distribuciónde cargasestáticas en el espacio produceun potencialeléctricode la forma V(x,y,z)- a, + a{z+ arz2,siendoconstantes los coeficientes4,.Determine el campoeléctrico,E, en el origeny en el punto(x,y,z)I (0nr,0m, l m).
36. (lI) Setieneunacargadistribuidaen un cilind¡o infinitamente largo de radio R, cuyo eje es el ejez. La distribuciónde cargasólo dependeclela distancia,¡', al eje e. El potencial está expresado,para r < R, por V(r) = (Ql2trdlA(r/N + B(r/R)2+ Q, siendoconstantes,4, B y C. ¿Cuálesel campo eléctricodentrode la varilla?¿Cuáles el valor de C si se defineal potencialcomoceroen la superficiedel cilindro? 37. (II) El potencial,I(r), deunadistribucióndecargaesféricamente simétrica,estáexpresado por Z(r) = (Q/+nq'R)ts- 4(r/R)') pan r < &ypor V(r)= Ql{reor,pa.ra rt R.(a)Determineel campoelectrico.@)¿Dóndeestála carga,y cómosedistribuye? Paradeterminar la carga,utilicela ley deGauss lSugerencia: paradiferentesvaloresde rl. 3fl. flID El potencial,en el planory, de ciertadistribuciónde carga,es
.a
vl x, y): -
x
+neoL
-,.*,""(i) *"*,""¡#a)], [.*,."(*a)
Demucstrequeel cempo siendoL y o¡ longitudesconstantes. elé.ctrico,cuandolas distancias¡ >>ao,y >>aoesproporcional a an,y determinesudependencia de.ry y. Expresesurespuesta en términosde r, la distanciaal origen,y 0, el ánguloque forma la lfneadel origenal punto(.r,y)con el eje¡.
/> /
25-5
Cálculo depotcucialesde cargasdistribuidas
39. (I) Dos placasparalelas,metálicas,grandes,tienen una difcrenciade potencialde 50 kV, y el campoeléctricoentre ellastieneunamagnitudde 105V/m. ¿Cuáles Ia distancia entreesasplacas? 40. (I) En buentiempo,hay un campoelóct¡icoconstante cerca de la superficiede la tierra,cuyamagnitudes aproximadamente l0O V/m, dirigido hacia abajo. (a) Determineel potcncialasociadoconesecampo.(b) ¿Cuálesel puntomás paralenerpotencialcero?(c) ¿Cómocambiala convenJente energfapotencialde una cargade pruebacercade la tierra, en comparacióncon la energlapotencialde gravedad?(d) ¿Cuántacarganegativatendrlaquecolocarseenunapersona de 50 kg de masaparahacerquela fuerzaeléctricaquedara en equilibriocon la gravedad? 41. (II) Determineel potencialcomo función de la distancia perpendicular,R, a una lfnea infinita de densidadlineal i¡niformede carga,empleando la ley de Oaussy la ecuació¡r
(25-e). 42. (lI) Hay cargas
758
agenleextemoparamoverlentay continuamente la cargaa unadistanciade 120cm, tambiénmedidasobreel eje? 47. (I) Se colocanlasnrisnrascargasen dos gotasidénticasde mercurio.Lasgotasestánaisladas, y asumenformasperfectarnenteesféricas; el potencialeléctricoen la superficiede cadagotaes9OOV. Lasgotascoalescen en unagotamayor, con carganeta doble de las cargasseparadas anteriores. ¿Cuálesel potencialen la superÍrciede estacargamayor? 48. (I) Seconectan dosesferas conductoras dedistintostamaños, medianteun ala:nbreconductordelgado.El ¡adiodela esfera mayores tresvecesel de la menor.Si se colocauna carga total Q en eseconjunto,¿quéfracciónde Q quedaen cada esfe¡a? 49. (I) Un campoeléctricode 3 x 106V/m es suficientemcnte grandecomoparacausarchisporroteo en el aire.Detemrine el mayorpotencialal cualse puedeelevarun conductcr de I 0 cm de radioiin quesepresente descarga disruptiva:nel airequelo rodea.Supongaqueel potencialceroseton a en cl infinito. 50, (I) Dos cascaroites nrctdlicosconcóntricos, perconductorcs fectos,tienenradiosR y 2R,rcspectivamente. Secoloc¡una carg q en el cascaró¡r interno,y urn -2q en el extern<. (a) ¿Cuálessonlos camposelóctricosen todoel espacio,r iebidos a los dos cascarones? (b) ¿Cuáles Ia diferencir de polencial entrelosdoscascarones? (c) Si un alambred .lgado, conductor,unea los doscascarones, ¿cómose red stribuyeIa carga? 51. (II) Dosconductores esféricos, de20mmy lO0mmder rdio, se conectanmedianteun alambredelgado,y tienenc: rgas qr y q2,rcspectivamente. Si secortael alambre,y losce rtros de las esferasestána 250 mm de distancia,hay una uerza de repulsiónde 3.5 N entreellas.Con estainforma'ión, calcule(a) q, y az,f b) los camposeiéctricosen lass perficiesde los conductores. cuandoestánconectados r >rel alarnbre. 52. (lI) Un globode20cn,deradiosepintaconuirtecubrinr ento metálico,de modo que su superflciees conductorr. Se colocaen su superficieunacargade 4 x 10-tC. (a) ¿O ál es el potencialsobrela superficiedel globo?(b) Supong, que salealgode áiredel globo,y quesu radioseacortaa I t I cm. del glok ? (c) ¿Cuáles el nuevopotencialen la superficie ¿Quésucedecon la energlareiacionadacon el cambo de energlapotencial? 25-7
Potencialeseléctricosy camposelectrostáticos en tecnología
53. (I) Un protónseacelerapartiendodel reposo,en un acelerador Van de Oraaff,a travésde un potencialde 5.5 x 10óV. (a) ¿Quéenergfatiene el protón, en electrónvolts y en joules?(b) ¿Cuáles la velocidadfinal del protón? 54. (I) Un pequeñogeneradorVan de'Graaffsc emplcapara demostrarlos efectosdel alto potencial.El aparatotieneun radiode I I cm y seusaal aire.¿Cuálesel potencialmáximo y cuántacargapuedete¡rerla esfe¡a? 55. (U) Los primerosaceleradores Van de Graaff se const¡ulan paratrabajaren aire,sin gasesa alta presión.(a) ¿Cuánto voltaje¡rodrfatenerun aceletador con unaesfctade I nr de
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radio?(b) ¿Cuántaenerglacinéticapodrfantenerlos protoporeseacelerador? nesproducidos (c) ¿Cuálesla cargatotal en la esferadel acelerador,cuandose alcanzael campo máximo? ProblemasGenerales 56. (I) Setieneunafuentedealtovoltajecapazdeproducir5,000 V, y deseamos ionizarmoléculasde aire entreplacasparalelas.¿Quéseparaciónde placasnos dará una descarga disruptiva? 57. (II) Deduzcaunaexpresiónparala energfatotaldedoscargas puntuales, una positivay de magnitudQ, fija en ei origen; la segunda, negativay de magnitudq y masanr,ubicadaa unadistanciar del origen.¿Cuáles la energfa,si la cargaq semueveen órbitacircularde radior, alrededorde la carga@ 58. (II) Una esferano conductorade radioR tieneunacarga+Q, distribuidauniformementepor su voh¡men.¿Cuáles la energfapotencialdeunacargapuntual,-{, a ur? distanciar (r < it), del centrode la esfera?Demuestrequeq oscilacomosi estuviera frjo a un resorle,y determinela constante del resofle. 59. (lI) Treselectrones estánen el ejex, en posiciones-2 nun, 0 mm y 2 mm, respectivamente, energfaseneccsitó ¿Cuánta paramovera cadaunodc ellos,por tumos,dcsdeel infinito? ¿Importael ordenen quefuerontrafdos? 60. (lD Calculccl potencial encl punto(¡,)) debidoal dipolodc la figura 25-33.Eldipolo consitede unacarga+q colocada en (0, a) y una carga -q colocadaen (0, -a). Use este potencialpara calcularel campo eléctricoen ese punto. ¿Cuáles la magnituddel campoen el puntoP, que estáa unadistancia3a del puntomediodel dipolo,a lo largode unalfneaqueformaun ángulode 45ocon el ejedel dipolo?
62. (II) Un positrón,de carga+e,sesueltapartiendodel repos;, a una distanciaro = lQ-tom de un protón,de carga+c.1 positrónacele¡ay se alejadel protón,debidoa la fuerzatl Coulomb,de repulsión.¿A qué distanciadel protóntendr el positrónexactamente la mismavelocidadde un electrór quetienela mismamasaqueel positrón,perocargacontl. ria, si el protónestuvieramovióndoseen órbitacircularr; radioro,alrededordel protón?Supongaqueel protónest; masivoquesepuedeconsiderar comofijo.
63. (II) Un electrónsemueveen el campode un núcleodehel, (númeroatómico,Z * 2).¿Cuál es el cambioen encr¡ potencialdel protón,cuandopasade unaórbitacircularri 3 x 19-tom de radio,a otrade 2 x 19-tom de radio?¿Cu, es el cambiode energlacinética?¿Cuáles el cambio,i energfatotaldel electrón?Estecambiode energfasedisi¡ por la luz emitidapor el electrón. 64. (II) Un dipolo eléctrico,frjo en el espacio,consitede ul' catSa+q en el puntox - - I m, y unacarga*g en cl punto - +1 ñ, en dondeq - 3C,Una cargade prucba,rro- 0.01t se hacemoverunifonnemente desdeel punto¡ - +10 ¡r hasta el punto .r - -5 m, describiendouna trayectori de 7,5m de radio,quchaccpasara la cargatl semicircr¡lar pruebapor el ejey. ¿Cuántotrabajosenecesitaparáfilovr la cargade prueba?
65. (II) Se cuelgandos pelotasidénticasde corcho,con cart' 2.0pCcadauna,del mismopunto,mediantehilosdelgadc, de 0.80m de longitud.(a) Calculela masade laspelotasci, corcho,si los hilosformanun ángulode 30oconla vertical (b) Calculela energfapotencialdelsistemadelasdospelot:' debida a la presenciade cargasy a la presenciadc I gravedid,comofuncióndel ángulo0 que fonnanlos hilo con la vertical.Defina la energfapotencialgravitacion:r comocerocuando0 - 0. 66. (II) Un planogrande,cuadrado, de ladoL, paraleloal platr, y ubicado ¡r, una dersidad superficialde cargao , en tiene 1z Un planoigual,ubicadoen rr, tienedensidadde cargao¿Cuántotrabajose debeefectuarparacolocaral segund, planoa una distanciaa del primero?No tengaen cuent; los efeclosextremos;estoes,calculeloscamposcomosi lo, planosfueraninfrnitos.
67. (II) Un cilindroinfinitamentelargo,de radioR, sellenacor, una densidadvolumétricauniformede cargap. Calculecl potencialdentroy fueradel cilindro.
6O. I-IGURA25-33 Problcrna (II) Determineel campoeléctricoa lo largo del eje de un cargado,de radio R y cargatotal Q, anillo uniformemente en el ejemel potencialdeterminado de¡ivandolo necesario plo 25-8. Maneje el problemaempleandolas técnicasde en el capftulo23. Compare integracióndirectapresentadas las dificultadesde los dos métodosde cálculodel campo eléctriuo.
68. (II) El ¡adio interiorde un casca¡ónesfé¡icodieléctricoe: l0 cm, y el radio exteriores 12 cm, El cascaróntieneun:r cargade 10-8C, distribuidauniformemente. Hagaun bos quejo de la forma del potencialparatodoslos valoresde r. y evalúeloen el centro)' la distanciaal centrodel cascarón, en los radiosinternoy extemo. 69. (II) Una esferamaciza,de radio R, tiene una deruidarl volumétricauniforme,p, decarga.Calculela energlapotencial total determinando la energfanecesa¡iaparatraerun cascarónesféricode espesordr y densidadde cargap, desdc el infinito hastaunadistanciar del centrode la esfera,en el potencialdebitlo ¡ una esferauniformementecargada,de radior.
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