ˆ Um passeio pela sequencia de Fibonacci e o numero ´ de ouro Reginaldo Leoncio Silva Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB - Campus de Itapetinga ˆ Departamento de Ci encias Exatas e Naturais - DCEN
22 de abril de 2015
˜ Introduc¸ ao ´ Neste Seminario iremos apresentar o seguinte: ´ A biografia do matem atico Leonardo de Pisa (Fibonacci). ˜ matematicas. ´ Suas Su as cont contrribuic ibu ic¸ oes ˆ ˆ A sequencia que leva seu nome (Sequ encia de Fibonacci) e suas propriedades elementares. O numero de ouro. ´ ˜ entre o n´umero ˆ A relac¸ ao umero de ouro e a sequencia de Fibonacci. ˜ da sequencia ˆ Aplicac¸ oes de Fibonacci e do n´umero umero de ouro.
Objetivos ´ Conhecer a historia de Fibonacci e suas principais obras. ˆ Apresentar o problema que deu origem a sequ encia de Fibonacci. ˆ Definir a sequencia de Fibonacci, elucidando suas principais propriedades elementares. ´ Conhecer o n´umero umero de ouro e sua hist oria. Determinar o numero ´ de ouro. ˆ ´ Construir o retangulo e a espiral aurea. ˜ entre o numero ˆ Apresentar a conexao de ouro e a sequencia ´ de Fibonacci. ˜ dos numeros Apresent Apre sentar ar algumas algu mas aplicac apli cac¸ oes de Fibonacci e da ´ ˜ aurea. ´ raz˜ razao
Biografia de Fibonacci e suas principais obras Leonardo de Pisa, Filho de um comerciante italiano chamado Guilielmo dei Bonaccio, por isso ficou conhecido como Fibonacci, viveu entre os anos de 1180 e 1250.
´ Nasceu na cidade Pisa na Toscania (It alia).
´ Iniciou estudando assuntos relacionados a neg ocios e ´ ˜ em comercio mercantil, recebendo parte de sua educac¸ ao ´ Bejaia, norte da Africa, onde seu pai desempenhava uma ˜ alfandegaria. ´ func¸ao ´ A partir da´ı, estudando com professores arabes, estudou ´ Matematica ´ ´ tambem no Egito, Siria e Gr ecia. Assim teve a ˜ oportunidade de conhecer e estudar o sistema de numerac¸ ao ´ indo-arabico.
´ e escreve varios ´ Em 1202 retorna a Italia livros: ´ LIBER ABACI (1202): um livro sobre calculos. Foi revisto em 1228 e nele encontra-se o problema dos coelhos. PRACTICA GEOMETRIAE (1220): livro que aborda a ˜ da algebra ´ ˜ de problemas de Geometria e aplicac¸ao a` soluc¸ao trigonometria. ´ FLOS (1225): obra dedicada ao cardeal di acono Raniero ˜ para os problemas postos por Jo ao ˜ de Capacci, com soluc¸oes Parma. ´ o maior livro que escreveu. LIBER QUADRATORUM (1225): E ˜ diofantinas, dedicado ao Trata de equac¸oes imperador Frederico II.
´ O livro Liber Abaci (Livro do abaco)
´ ´ Mostra seus trabalhos em algebra e aritmetica, tais como: ´ ´ ˜ ´ metodos de calculos com inteiros e frac¸ oes, o calculo de ra´ızes ˜ de equac¸oes ˜ lineares e quadradas e cubicas e a resoluc¸ao ´ ´ quadraticas. ˆ ´ ˆ Tem muito a influencia das algebras de Al-Khowarizmˆ ı e Abuˆ ˆ Kamil. ˜ monetaria ´ ´ Trata de conversao e outros interesses do com ercio e de uma gama de problemas. ˜ dos n´umeros Este livro foi importante para a popularizac¸ ao ´ indo-arabicos.
Sentenc¸a de abertura do Liber Abaci A sentenc¸a de abertura do “Liber Abacci” trazia a seguinte mensagem: “Nouem figure indorum he sunt 987654321 Cym his itaque nouem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appelatur, scribur quilibet numeus, ut inferius demonstratur” ˜ os nove algarismos indianos (Estes sao 987654321 Com esses nove algarismos, e com o sinal 0, que os ´ arabes chamam de zephirum, pode-se escrever qualquer numero, como se demonstrar a´ a seguir.) (EVES, 2004, p. 294)
˜ dos coelhos O problema de reproduc¸ao
De todos os temas e problemas tratados no Liber Abaci o que ˜ e´ o mais se destacou e que ainda hoje cria-se novas aplicac¸ oes ´ ´ problema dos coelhos, elucidado no livro Hist oria da Matematica de Boyer (1974, p. 186): ˜ produzidos num ano, Quantos pares de coelhos sao ˆ gera um novo par comec¸ando com um so´ par, se em cada m es ˆ que se torna produtivo a partir do segundo m es?
˜ Qual o numero de casais de coelhos numa populac¸ ao ´ considerando-se que: 1
ˆ tem-se apenas um casal; No primeiro mes
2
´ o segundo mes ˆ de vida; Casais reproduzem-se somente apos
3
˜ ha´ problemas geneticos ´ Nao no cruzamento cossangu´ıneo;
4
´ Todos os meses, cada casal fertil da´ a` luz um novo casal;
5
Os coelhos nunca morrem.
˜ Soluc¸ao: 1
˜ deste problema gera uma sequ encia ˆ A resoluc¸ao amplamente ´ ˜ na natureza e recheada de estudada com varias aplicac¸oes ˆ inumeras ´ propriedade interessantes. Est a´ sequencia e´ ˆ conhecida como sequencia de Fibonacci.
˜ dos coelhos Figura: Esquema de reproduc¸ao
ˆ A sequencia de Fibonacci
˜ A sequencia ˆ Definic¸ao: de inteiros (F n ) : (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .), onde F 1 = F 2 = 1 e ˆ F n = F n −1 + F n −2 , n 3, n N , recebe o nome de sequ encia de Fibonacci. Seus termos chamam-se n umeros ´ de Fibonacci.
∀ ≥
∈
´ ˆ No Seculo XIX essa sequencia foi devidamente chamada de ˆ ´ ˆ Edouard sequencia de Fibonacci pelo matem atico frances Lucas (1842-1891).
Propriedades elementares ˆ A soma dos primeiros n´umeros da sequencia de Fibonacci e´ igual a F n +2 1.
−
A soma dos primeiros n´umeros de Fibonacci com ´ındices impares e´ igual a F 2n A soma dos primeiros numeros de Fibonacci com ´ındices pares ´ e´ igual a F 2n +1 1
−
(F 1 )2 + (F 2 )2 + (F 3 )2 + . . . + ( F n )2 = F n F n +1 , n
∀ ≥1
˜ primos Quaisquer dois numeros ´ de Fibonacci consecutivos sao entre si. F m +n = F m −1 F n + F n +1 F m , n
∀ ≥ 1, ∀m ≥ 2.
Prova da propriedade 4: ˜ sobre n . Vamos fazer a prova usando induc¸ao Para n = 1, temos que: (F 1 )2 = 12 = 1 .1 = F 1 F 2 . Logo o caso base e´ verdade. Suponhamos agora que (F 1 )2 + (F 2 )2 + (F 3 )2 + . . . + ( F n )2 = F n F n +1 , n 1. Iremos provar que: (F 1 )2 + (F 2 )2 + (F 3 )2 + . . . + ( F n )2 + (F n +1 )2 = F n +1 F n +2 , n 1. ´ ˜ temos que: Usando a hipotese de induc¸ao, (F 1 )2 + (F 2 )2 + (F 3 )2 + . . . + ( F n )2 + (F n +1 )2 = F n F n +1 + (F n +1 )2 = F n +1 (F n + F n +1 ) = F n +1 F n +2 , como quer´ıamos provar.
∀ ≥
∀ ≥
´ Formula de Binnet
´ ´ ˆ Jacques Philippe Marie No seculo XIX, o matematico frances ´ ´ Binet deduziu a formula que permite encontrar o enesimo ´ numero da serie de Fibonacci sem a necessidade de se ´ conhecer os numeros ´ anteriores. Para todo n
≥ 1, tem-se que F n
√ −√ = √ − 1 5
ˆ onde ( F n ) e´ a sequencia de Fibonacci.
1+ 5 2
n
1
5
2
n
,
O numero de ouro ´
˜ O n´umero de ouro, tambem ´ conhecido como Definic¸ao: ˜ aurea, ´ ´ ˜ aurea, ´ ˜ de proporc¸ao numero aureo, secc¸ ao proporc¸ao ´ ´ ouro, e´ um numero ´ irracional, cujo valor e:
√
1+ 5 = 1, 6180339887498948482045868343656 . . . φ= 2 ´ um numero ´ E ´ muito misterioso e enigmatico. ˆ No Egito as piramides de Gize´ foram constru´ıdas usando a ´ raz˜ao aurea. ˜ entre a altura de uma face e a metade do lado da base A razao ˆ da grande piramide e´ igual ao numero ´ de ouro.
˜ ´ Relac¸oes aureas na pirˆamide
ˆ Figura: Piramide
´ ˜ de ouro na construc¸ao ˜ Os Pitagoricos perceberam a secc¸ ao da estrela pentagonal (ou pentagrama).
Temos que:
CA CD
=
9 51 5 88 , ,
BP = 35 88 ≈ 1, 61 e PE 63 ≈ 1, 61 , ,
Euclides (360-295a.C.) escreveu em seus “Elementos” que ˜ que se repete na natureza. havia encontrado uma proporc¸ ao ˜ ele chamou de “media ´ ˜ esta proporc¸ao e extrema razao”. Em 1509, o monge Luca Paccioli publicou o livro A Divina ˜ com ilustrac¸ oes ˜ de Leonardo da Vinci (1452-1519). Proporc¸ao, ˜ aurea ´ Neste livro Paccioli diviniza a proporc¸ao ligando-a ao Criador.
˜ aurea ´ A sec¸ao ˜ Diz-se que um ponto divide um segmento de reta Definic¸ao: ´ ˜ ou em sec¸ao ˜ aurea, ´ em media e extrema razao se o mais longo ´ ´ dos segmentos e´ media geometrica entre o menor e o ˜ entre o maior segmento e o menor segmento todo. A raz ao ˜ aurea. ´ segmento chama-se razao Entre outras palavras, dado um segmento AB de medida a + b , seja C o ponto entre A e B , tal que, AC = a > CB = b como mostra a figura abaixo.
´ Figura: Segmento aureo
´ Figura: Segmento aureo
Assim temos que: AC BC
=
AB AC
⇒ b a = a +a b ⇒ a 2 = ab + b 2
Dividindo ambos os membros por b 2 , obtemos: a 2 a = b + 1 b 2 a Como φ = b , resulta que:
φ
2
√ ± ˜ φ= 2 5 − φ − 1 = 0, cujas raizes sao: 1
ˆ ´ O retangulo aureo, a sequˆencia de Fibonacci e a ´ espiral aurea
ˆ ´ ˆ ˜ entre as O retangulo aureo e´ um retangulo no qual a razao medidas de seus lados e´ o numero ´ de ouro, ou seja, se x e y ˜ respectivamente, o maior e o menor lado, tem se que: sao,
√
x 1+ 5 = φ = y 2 ´ Por ser considerado uma figura esteticamente agrad avel, este ˆ ˆ ˆ retangulo exerceu enorme influencia em obras arquitetonicas e em pinturas.
˜ da espiral aurea ´ Construc¸ao
´ Passos para a construc¸ ˜ ao da espiral aurea no Geogebra: ˜ de um quadrado de lado 1 Figura: Construc¸ao
˜ de um quadrado de lado 1 Figura: Construc¸ao
˜ de um quadrado de lado 1 Figura: Construc¸ao
Figura: Construindo outro quadrado de lado 1
Figura: Construindo um quadrado de lado 2
Figura: Construindo um quadrado de lado 3
Figura: Construindo um quadrado de lado 5
Figura: Construindo um quadrado de lado 8
Figura: Construindo Figura: Construindo um quadrado de lado 13
Figura: T Figura: Trac rac¸ and ando o a espiral esp iral no qua quadrad drado o INOP
Figura: T Figura: Trac rac¸ and ando o a espiral esp iral no qua quadrad drado o INOP
Figura: T Figura: Trac rac¸ and ando o a espiral espi ral no quadrado quad rado LMNG LMNG
Figura: T Figura: Trac rac¸ and ando o a espiral esp iral no qua quadrad drado o LEJK
Figura: Trac¸ando a espiral no quadrado JDHI
Figura: Trac¸ando a espiral no quadrado CFGH
Figura: Trac¸ando a espiral no quadrado AEFB
Figura: Trac¸ando a espiral no quadrado DABC
˜ entre o numero Relac¸ao de ouro e a sequˆencia de ´ Fibonacci
Se r n =
F n +1 F n
˜ limn →∞ r n = L = φ = entao
√
1+ 5 2
˜ foi estabelecida primeiramente pelo matem atico ´ Essa relac¸ ao ˆ Robert Simpson, em 1753. escoces
Prova: Seja r n = F +F
F n +1 F n ,
n
≥ 2. Como F n +1 = F n + F n −1, temos que: F
1 n −1 r n = n F nn −1 = 1 + F 1 = + r n −1 . n Seja limn →∞ r n = L. Como limn →∞ r n −1 = L, segue-se que: L = 1 + L1 , ou seja, L 2 L 1 = 0. ˜ vem que: Resolvendo √ esta equac¸ao L = 1±2 5 .
− −
Como r n 0, n , podemos concluir que L = quer´ıamos provar.
≥ ∀
√
1+ 5 2
= φ, como
ˆ Potencias de φ ˆ Desenvolvendo as potencias de φ, temos: φ2
√ =
1+
1+ 5 2
√
1+ 5 2
2
=
√
1+2 5+5 4
=
√
1+2 5+4+1 4
=1+
√
2+2 5 4
=
= 1 + φ
φ3 = φ2 φ = (1 + φ) φ = φ + φ2 = φ + 1 + φ = 1 + 2φ φ4 = φ3 φ = (1 + 2φ) φ = φ + 2φ2 = φ + 2 (1 + φ) = φ + 2 + 2φ = 2 + 3φ φ5 = φ4 φ = (2 + 3φ) φ = 2φ + 3φ2 = 2φ + 3 (1 + φ) = 3 + 5φ φ6 = φ5 φ = (3 + 5φ) φ = 3φ + 5φ2 = 3φ + 5 (1 + φ) = 5 + 8φ
................................................ φn = F n −1 + F n φ, n
ˆ de Fibonacci. ≥ 2, onde (F n ) e´ a sequencia
Outras express˜oes que geram o n´umero de ouro
˜ O numero ´ φ pode ser gerado por outras express oes interessant´ıssimas. Vejamos:
φ =1+
φ=
1 1+
1+
1 1+
1+
1 1+
1 1+...
√
1 + . . .
Prova: Fazendo y = 1 + 2
y
1+
1 , obtemos que: y = 1 + y , ou seja,
1 1+
1
1+
1 1+...
√ ± − y − 1 = 0. Resolvendo obtemos: y = 2 5 1
Fazendo y y
1
= + 1
√ = + + + + 1
1
1
1
. . ., obtemos que:
y . Da´ı, y 2 = 1 + y ,√ ou seja, y 2
Resolvendo obtemos: y =
1
±
2
5
− y − 1 = 0.
ˆ A sequencia de Fibonacci e o numero de ouro na ´ natureza
ˆ A sequencia de Fibonacci esta´ intimamente relacionada com a ˜ natureza. Ela aparece em in´umeras situac¸ oes, seja na forma ˆ ´ ´ da espiral de Fibonacci, de sequencia numerica ou atraves ´ como por exemplo, nos troncos de arvores, em folhas, frutos, ˜ animais, etc. A seguir, veremos algumas dessas aparic¸oes.
O numero de ouro e o pentagrama ´
Figura: O pentagrama
˜ entre o segmento AP e PC e´ igual ao numero A razao de ouro. ´ ˜ entre a diagonal e o lado do Em um pentagrama a raz ao ´ pentagono e´ igual ao numero ´ de ouro.
Passos para a construc¸ ˜ ao do pentagrama no Geogebra: Figura: Construindo um c´ırculo
Figura: Inserindo o valor do raio
Figura: C´ırculo de raio 5
Figura: Inserindo um ponto B no c´ırculo
Figura: Inserindo um ponto B no c´ırculo
ˆ Figura: Construindo um angulo de 72o
ˆ Figura: Construindo um angulo de 72o
ˆ Figura: Obtendo os outros angulos de 72o
Figura: Pentagrama
Figura: Pentagrama
˜ do pentagrama na natureza Exemplos de aparic¸oes
´ A galaxia ´ Na figura abaixo, temos a foto de uma gal axia, que apresenta o ´ formato da espiral aurea.
´ Figura: A galaxia
O Nautilus marinho ´ O Nautilus e´ uma especie de molusco oriundo do sudoeste do ´ Oceano Pac´ıfico. Na sua concha aparece a espiral aurea.
Figura: O Nautilus
O ant´ılope Se os chifres deste animal continuassem crescendo indefinidamente, o resultado seria o aparecimento da espiral de Fibonacci.
Figura: Ant´ılope
˜ O camaleao Quando o rabo deste animal est a´ contra´ıdo, percebe-se ˜ mais perfeitas da espiral claramente umas das representac¸ oes de Fibonacci.
˜ Figura: O camaleao
Arranjo de folhas ˜ da No arranjo das folhas de algumas plantas h a´ a descric¸ ao ˆ ˜ sequencia de Fibonacci. Este arranjo e´ relevante na captac¸ ao ´ uniforme de raios solares e no escoamento das aguas das chuvas.
Figura: Espiral na folha
Ramos e troncos de plantas ´ Existem varias plantas que descrevem os n´umeros de Fibonacci no crescimento de seus galhos. A Achillea ptarmica ´ estas caracter´ısticas. e´ um exemplo de planta que det em
Figura: Espiral na folha
´ Petalas de flores ´ Em muitas flores, o numero de petalas e´ um numero de ´ ´ Fibonacci.
Figura: Flores
Sementes Nas sementes da pinha e do girassol, podemos encontrar os numeros de Fibonacci. Na pinha, as sementes crescem e se ´ ˜ em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito dispoe ´ ´ irradiando no sentido hor ario e 13 no anti-hor ario. Ja´ no girassol, suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois ´ conjuntos de espirais: 21 no sentido hor ario e 34 no ´ anti-horario.
´ ˜ Arvore geneal´ogica de um zangao
˜ da sequˆencia de Fibonacci e do n´umero Aplicac¸oes de ouro ˆ ˜ DE MILHAS EM QUILOMETROS CONVERSAO Um milha e´ uma unidade de medida que equivale a 1609 ˆ metros, ou seja, 1,609 quil ometros. Note que este n´umero e´ ´ bem proximo do numero ´ de ouro cujo valor e´ 1,618. Assim, por ˆ exemplo, para converter 5 milhas em quil ometros, basta olhar ´ para o proximo numero de Fibonacci depois do 5, que e´ o 8, ´ pois como sabemos o n´umero 5 e´ um numero ´ de Fibonacci. ˜ 30 quilometros? ˆ Outro exemplo: Quantas milhas s ao Basta decompor o numero ´ 30 como soma dos numeros ´ de Fibonacci. Temos que 30 = 1 + 8 + 21
≈ 1 + 5 + 13 = 19 milhas.
ˆ A sequencia de Fibonacci na F´ısica
´ Na optica dos raios de luz podemos verificar a presenc¸a da ˆ sequencia de Fibonacci. Vamos considerar duas placas de ˜ diferentes, justapostas uma sobre vidro, de ´ındices de refrac¸ao a outra. Sabemos que um raio de luz que incida sobre esse ˜ e desvios. Assim sendo, vamos conjunto pode sofrer reflex oes contar o n´umero de caminhos poss´ıveis de um raio de ˜ nesses luz aumentando gradualmente o n umero de reflexoes ´ caminhos.
˜ da luz Figura: Reflexao
ˆ Triangulo de Pascal ˆ ´ No triangulo de Pascal, a soma dos elementos da n- esima diagonal e´ um numero ´ de Fibonacci.
ˆ Figura: Triangulo de Pascal
ˆ A sequencia de Fibonacci e o Teorema de Pit´agoras A soma dos quadrados de dois n´umeros consecutivos da ˆ ´ sequencia de Fibonacci e´ um numero de Fibonacci, isto e, ´ F 2n +1 = (F n )2 + (F n +1 )2 , n 1
∀ ≥
Figura: Teorema de Pit´agoras
Prova: ´ Vimos que umas das propriedades dos n umeros de Fibonacci e: ´ F m +n = F m −1 F n + F n +1 F m , n 1 e m > 1. Tomando m = n + 1, temos que: F m +n = F (n +1)+n = F 2n +1 = F n F n + F n +1 F n +1 = (F n )2 + (F n +1 )2 , como quer´ıamos provar.
∀ ≥
∀
˜ aurea ´ A proporc¸ao no dia-a-dia Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram respeitar a ˜ divina. proporc¸ao
˜ aurea ´ Figura: Objetos com proporc¸ao
Arte
ˆ Muitos artistas consagrados, como Piet Mondrian, C andido ˜ Portnari, Michelangelo, Leonardo da Vinci, usaram a raz ao ´ aurea em suas obras art´ısticas, com o intuito de obter ˜ Como exemplo, podemos citar a harmonia, beleza e perfeic¸ao. famosa pintura Monalisa do famoso pintor italiano Leonardo da ˜ de varios ´ Vinci, produzido em 1505. Nesta obra, h a´ a aparic¸ao ˆ ´ retangulos aureos, como por exemplo, em torno do rosto, num ˆ ˜ 4,1 por 2,533, cuja raz ao ˜ e´ de retangulo de dimensoes aproximadamente 1,618.
´ de Leonardo da Outro exemplo, e´ a Santa Ceia, obra tambem Vinci.
Figura: A Santa Ceia
Arquitetura
˜ Com o mesmo objetivo de obter harmonia, beleza e perfeic¸ao, ˜ muitos arquitetos usaram em suas construc¸oes o numero ´ de ´ ouro. Um dos exemplos mais ilustres e´ o Partenon, na Gr ecia, que foi obra do Grego F´ıdias (Phidias - 490 a.C. a 430 a.C), que era considerado um dos mais brilhantes arquitetos da ´ ˜ do Grecia Antiga. Nesta obra, percebe-se in umeras aparic¸ oes ´ ˆ ´ retangulo aureo em sua estrutura.
Figura: O Partenon
´ Outro exemplo, e´ a torre de Toronto, no Canad a.
Figura: Torre de Toronto
Outro exemplo, e´ a Catedral de Notre Dame em Paris
˜ aureas ´ Razoes no corpo humano ˜ de medidas em O numero ´ de ouro aparece como raz ao inumeras ´ partes do corpo humano. Como exemplo, citaremos as seguintes: ˜ A altura do corpo humano e a medida do umbigo at e´ o chao. ˆ A altura do cranio e a medida da mand´ıbula ate´ o alto da cabec¸a. ´ A medida da cintura ate´ a cabec¸a e o tamanho do torax A medida do ombro a` ponta do dedo e a medida do cotovelo a` ponta do dedo. Tamanho dos dedos e a medida da dobra central at e´ a ponta. ˜ e a medida do seu joelho at e´ A medida do seu quadril ao ch ao ˜ o chao.
˜ anatomicas ˆ Essas proporc¸oes foram bem representadas pelo ”Homem Vitruviano”, obra de Leonardo Da Vinci, que e´ baseado numa famosa passagem do arquitecto romano ´ Marcus Vitruvius Pollio na sua serie de dez livros intitulados de “De Architectura”.
Figura: O homem vitruviano
˜ Conclusao
´ Este seminario possibilitou um conhecimento sobre a ˆ sequencia de Fibonacci e o n umero de ouro, bem como sua ´ ˜ e propriedades, mostrando v arias ´ ˜ no mundo relac¸ao aplicac¸oes material. Esperamos que o mesmo seja fonte de pesquisa para ˆ muitas pessoas que queiram conhecer tal sequ encia e que venha a ser trabalhado em sala de aula, devido a sua vasta riqueza.
Referˆencias B. H. Gundlach. Numeros ´ e numerais: T ´ opicos de Hist ´ oria da Matem ´ atica para sala de aula . Trad. Hygino H. Domingues. ˜ Paulo: Ediora Atual,1992. Sao ˜ a Hist ´ ˜ H. Eves. Introduc¸ao oria da Matem ´ atica . Traduc¸ao: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004. ˜ Elza F. Gomide. C. B. Boyer. Hist ´ oria da Matem ´ atica . Traduc¸ao: ˜ Paulo: Editora Edgard Blucher LTDA, 1974. Sao ˜ Aritm ´ ˜ E. de A. , Filho. Func¸oes eticas: N ´ umeros not ´ aveis . Sao Paulo: Nobel, 1988. A. Ferreira. Sequ ˆ encia de Fibonacci . Osasco, 2007. ´ R. M. Queiroz. Raz ˜ ao Aurea . Londrina, 2007.
´ ˜ Aurea F. M. Freitas. A Proporc¸ao e curiosidades hist ´ oricas ligadas ao desenvolvimento da ci ˆ encia , 2008. VOROBIOV, N. N. N ´ umeros de Fibonacci: Lecciones populares ˜ Carlos Vega. Moscou: Editoral de matem ´ aticas. Traduc¸ao: MIR, 1974. ZAHN, Maur´ıcio. Sequ ˆ encia de Fibonacci e o N´ umero de Ouro. ˆ Rio de Janeiro: Ciencia Moderna Ltda., 2011. CONTADOR, P. R. M. A matem ´ atica na arte e na vida. 2. ed. ˜ Paulo: Livraria da F´ısica, 2011. rev.. Sao