SARAJEVO
Miran Kuhar Medžida Mulić
FIZIKALNA GEODEZIJA - skripta -
2009
Predgovor
Zbog nedostatka literature na bosanskom jeziku s područja fizikalne geodezije, su autori pokušali predstaviti dio gradiva koji se predaje u okviru predmeta Fizikalna geodezija na diplomskom studiju (I godina) Geodetskog odsjeka Grañevinskog fakulteta Univerziteta u Sarajevu. Ova skripta nije recenzirana tako da se ne može smatrati udžbenikom. Skripta neka služe studentima kao pomoć pri studiranju i pripremanju izpita, zajedno sa bilješkama, koje student sačini na predavanjima i vježbama. Za potpuniji pregled i studiranje, neka se student posluži literaturom, navedenom na kraju.
Ljubljana, Sarajevo, novembar 2009
Autori
1
2
Sadržaj
1 2
3
4
5
Predgovor ......................................................................................................................... 1 Sadržaj............................................................................................................................... 3 Uvod................................................................................................................................... 5 1.1 Kratak historijski prikaz ......................................................................................... 5 Teorija Zemljinog polja sile teže .................................................................................... 7 2.1 Značaj proučavanja Zemljinog polja sile teže....................................................... 7 2.1.1 Sila gravitacije i potencijal.................................................................................. 7 2.1.2 Gravitacijski potencijal kugle ........................................................................... 11 2.1.3 Osobine gravitacijskog potencijala .................................................................. 14 2.1.4 Centrifugalni potencijal..................................................................................... 15 2.1.5 Sila teže, potencijal ubrzanja sile teže ............................................................. 16 2.2 Geometrija polja sile teže...................................................................................... 19 2.2.1 Nivo plohe i težišnica ......................................................................................... 19 2.2.2 Zakrivljenost nivo ploha i težišnice .................................................................. 21 2.2.3 Analitički prikaz nivo ploha............................................................................... 22 2.2.3 Gradijent ubrzanja sile teže.............................................................................. 22 2.2.4 Sistem prirodnih koordinata............................................................................. 23 2.3 Razvoj gravitacijskog potencijala u red po sfernim funkcijama..................... 25 2.4 Oblik Zemlje ........................................................................................................... 30 2.4.1 Normalno polje sile teže .................................................................................... 31 2.5 Vremenske promjene polja sile teže .................................................................... 33 2.6 Anomalijsko polje sile teže Zemlje....................................................................... 34 2.6.1 Otklon vertikale.................................................................................................. 37 2.6.2 Anomalije sile teže ............................................................................................. 41 Sistemi visina.................................................................................................................. 44 3.1 Morski nivo ............................................................................................................. 54 3.1.1 Srednji nivo morske površine ........................................................................... 54 3.2 Topografija morskog nivoa ............................................................................... 56 3.3 Nivelmanske mreže u BiH ................................................................................ 57 Odreñivanje geoida (kvazigeoida) ................................................................................ 60 4.1 Vrste podataka za odreñivanje geoida (kvazigeoida)......................................... 61 4.2 Metode računanja geoida ...................................................................................... 62 4.2.1 Dinamičke satelitske metode – globalni geopotencijalni modeli ................ 63 4.2.2 Gravimetrijska metoda...................................................................................... 64 4.2.3 Astrogeodetska metoda..................................................................................... 66 4.2.4 Geometrijska satelitska metoda ....................................................................... 71 4.2.5 Satelitska altimetrija ......................................................................................... 73 4.3 Prikaz izračunate plohe geoida (kvazigeoida)..................................................... 74 4.3.1 Interpolacija geoidnih visina iz "grida"............................................................ 78 Gravimetrija.................................................................................................................... 79 5.1 Metode mjerenja ubrzanja sile teže........................................................................... 79 5.2 Apsolutna mjerenja ubrzanja sile teže ................................................................ 79 5.3 Relativna mjerenja ubrzanje sile teže ................................................................. 82
3
5.3.1 Izvori pogrešaka pri relativnim gravimetrijskim mjerenjima...................... 87 5.4 Gravimetrijski premjer ......................................................................................... 89 5.4.1 Dosadašnji gravimetrijski radovi u BiH.......................................................... 90 5.4.2 Gravimetrijske karte ......................................................................................... 93 6 Literatura........................................................................................................................ 95
4
1
Uvod
Prema klasičnoj definiciji F.R. Helmerta iz 1880. godine geodezija je znanost o izmjeri i kartiranju Zemljine površine. Moderna definicija proširuje njen zadatak i kaže da je geodezija znanost, koja se bavi odreñivanjem oblika i vanjskog polja sile teže Zemlje, njene orientacije u prostoru, sve to u funkciji vremena. Na taj se način geodezija ubraja ponajprije, pored inženjerskih znanosti, u geoznanosti. Fizikalna geodezija ima zadatak razmatranaj metoda i istraživanja Zemlje i kao fizikalnog i kao geometrijskog tijela. Zato se često fizikalna geodezija ubraja u geofiziku. Rezultati mjerenja ubrzanja sile teže zajednički su i geofizici i geodeziji. Načelno je razlika u tome da geofiziku (primijenjenu geofiziku) zanimaju vrijednosti ubrzanja na lokalnom nivou (manja područja), gdje se prate promjene ubrzanja na površini Zemlje kao odraz različite gustoće stijena u unutrašnjosti. Geodeziju zanimaju vrijednosti ubrzanja sile teže na globalnom i regionalnom nivou, prije svega sa ciljem odreñivanja plohe geoida.
1.1
Kratak historijski prikaz
Sve do XVI. vijeka je fenomen ubrzanja sile teže bio poznat preko rada Aristotela (IV. v. p.n.e.), prema kome je brzina tijela koje pada proporcionalna njegovoj težini. U XVI. vijeku je Galieo Galiei putem eksperimenata objasnio pojave slobodnog pada i vremena periodičnog gibanja njihala, na osnovu čega je sto godina kasnije Christian Hyugens razvio teoriju matematičkog i fizikalnog njihala. On je bio i prvi koji je konstruirao sat sa njihalom. Govoreći o historiji gravimetrije ne možemo ne spomenuti Isaaca Newtona i njegovih aksioma klasične mehanike i zakona univerzalne gravitacije. Francoski astronom Richer je 1672 godine odkrio razliku u ubrzanju sile izmeñu Pariza i Francuske Gvajane. Njihalo njegovog sata, prilagoñeno za mjerenja u Francuskoj je u Južnoj Americi kasnilo dvije minute in po na dan. Bouguer je iskoristio ta otkrića za odreñivanje oblika i veličine Zemlje (1735–1743). Za mjerenja luka meridijana je upotrebio njihalo konstantne dužine i na taj način prvi put praktično izvršio relativna mjerenja ubrzanja sile teže. H. Kater je 1818. godine konstruirao reverzibilno njihalo. John Herschel je prvi predložio upotrebu gravimetra na principu opruge. Cavendish je prvi odredio gravitacijsku konstantu 1798 godine. Roland von Eötvös je 1896 usavršio djelovanje Coulombove vage i omogoćio odreñivanje vrlo malih promjena ubrzanja sile teže. Takav instrument zovemo Eötvösev variometar. Početkom XX vijeka počela su se u velikoj mjeri koristiti gravimetrijska mjerenja za nalaženje ležišta nafte.
5
Sa teorijskog gledišta moramo spomenuti rad A.C. Clairauta (XVIII vijek) u kojem autor daje dokaz Newtonovog zakona gravitacije i formulira poznati teorem, koji kasnije po njemu dobiva i ime. Razvoju teorije potencijala mnogo su doprinijeli francuski matematičari J.L. Lagrange (1736-1813), P.S. Laplace (1749-1827), A.M. Legendre (1752-1833) i S.D. Poisson (1741-1840).
6
2
Teorija Zemljinog polja sile teže
Rezultati gravimetrijskog premjera imaju velik značaj za fizikalnu geodeziju, satelitsku geodeziju itd., jer se sva geodetske mjerenja obavljaju u polju sile teže. Na primer nehorizontirani instrument znači neupoštivanje utjecaja sile teže na naša mjerenja. Bez poznavanja cjelovite teorije polja sile teže Zemlje naše je geodetsko znanje nepotpuno.
2.1
Značaj proučavanja Zemljinog polja sile teže
Značaj proučavanja polja sile teže Zemlje možemo najkraće rezimirati u sljedećem: • Vanjsko polje sile teže Zemlje predstavlja referentni sistem za veliki broj geodetskih mjerskih veličina. To polje moramo dobro poznavati, ako želimo te veličine reducirati (prevesti) u geometrijski točno odreñen sistem. • U slučaju poznatog rasporeda vrijednosti polja sile teže na površini Zemlje, možemo, u kombinaciji sa drugim geodetskim mjerenjima, odrediti oblik zemljine površine (odrediti plohu, koja u najboljoj mjeri zorno prikazuje oblik Zemlje). • Geoid je najznačajnija referentna ploha za odreñivanje visina i visinskih razlika, i ona nije ništa drugo nego nivo ploha polja sile teže Zemlje. • Proučavanje kretanja umjetnih Zemljinih satelita je osnova satelitske geodezije. Sateliti kruže oko Zemlje kao posljedica djelovanja njene privlačne sile. Opis i računanje putanja gibanja umjetnih Zemljinih satelita nije moguće bez poznavanja gravitacijskog polja Zemlje. • Proučavanje vanjskog polja sile teže Zemlje nam daje i informacije o strukturi i karakteristikama Zemljine unutrašnjosti. Odreñivanjem pojedinih parametara polja sile teže geodezija doprinosi razvoju teorijske geofizike i geologije.
2.1.1
Sila gravitacije i potencijal
Sva tijela se meñusobno privlače silom gravitacije. Ona djeluje i na daljinu i kroz vakuum. Gravitacijska sila tela zavisi od njihove mase i od njihove meñusobne udaljenosti. Što tijela imaju veću masu i što su bliža jedno drugom, to je gravitacijska sila izmeñu njih veća. Zavisnost sile gravitacije od mase tijela i njihove meñusobne udaljenosti tkz. Zakon gravitacije, je prvi izveo engleski znanstvenik Isaac Newton 1687. godine, kada je pojasnio kretanje planeta oko Sunca (ovdje je zakon napisan u skalarnom obliku i daje intenzitet gravitacijske sile): F =G
m1m2 l2
(2.1)
"dva tijela djeluju jedno na drugo silom koja je proporcionalna umnošku njihovih masa, a obrnuto proporcionalna kvadratu njihove meñusobne udaljenosti." Sila djeluje u smjeru spojnice koja povezuje težišta oba tijela. G je konstanta gravitacije i iznosi G=6,67259×10-11m3kg-1s-2, (relativna nesigurnost odreñivanja 128 ppm). Možemo je označiti kao opće svojstvo svake mase. U fizikalnom značenju G predstavlja omjer 7
izmeñu ponašanja neke mase kao izvora privlačenja (gravitacije) i ponašanja te iste mase kao odziva na privlačenje drugog tijela (mase). Prvi je konstantu gravitacije odredio 1798. godine Cavendish pomoću torzijske vage. Znanstvenici pokušavaju sadašnjim istraživanjima poboljšati relativnu točnost odreñivanja konstante, koja trenutno iznosi 10-4. Konstanta gravitacije se ubraja meñu fundamentalne fizikalne konstante. Iako se tijela privlače potpuno simetrično, običaj je da jedno telo zovemo "masa koja privlači" (attracting mass), a drugo tijelo, na koje djeluje privlačenje "privlačena masa", (attracted mass). Sva računanja su mnogo jednostavnija ako je "privlačena masa" jedinična masa, m=1. U vektorskom prikazu sila gravitacije ima smjer, koji je suprotan smjeru vektora l, koji je u smjeru narastanja koordinata (koordinatni početak je postavljen u izvor gravitacije, u tijelu koje privlači). Znak minus znači da sila djeluje u smjeru protiv tijela koje privlači. F = −G
m1m2 l l2
Newtonov zakon gravitacije važi za sva tijela, takoñer i za tijela na Zemljinoj površini. Gravitacijska sila izmeñu tijela je veoma slaba (samo neznatno utječe na gibanje tijela) i možemo je u većini primjera zanemariti u usporedbi sa drugim silama. Ta sila je bitna, samo ako je jedno tijelo astronomskih razmjera, na primjer Zemlja. Newtonov zakon možemo upotrijebiti za planete i Sunce. Njihova veličina je naime mala u odnosu na njihovu meñusobnu udaljenost i zato je potpuno svejedno, odakle mjerimo udaljenost l, koja nastupa u zakonu. Kod tijela na Zemljinoj površini je pitanje, koja je to udaljenost l. Ako tijela nisu mala u odnosu na njihovu meñusobnu udaljenost (znači da nisu točkasta tijela), gravitacijska sila izmeñu njih ovisi i od oblika, veličine i položaja tijela u prostoru. Za takva tijela gravitacijski zakon u obliku (2.1) ne vrijedi. Možemo si pomoći tako, da tijela u mislima razdijelimo na diferencijalno male dijelove, za koje onda vrijedi zakon u obliku (2.1). Izračunajmo pojedinačne gravitacijske sile izmeñu pojedinih parova točkastih dijelova oba tijela i potražimo njihovu rezultantu, koja sada predstavlja celokupnu gravitacijsku silu izmeñu oba tijela. Uzmimo sada Zemlju takvu kakva jeste, sa svom njenom nepravilnom fizičkom površinom in nehomogenom strukturom. Postavimo ishodište pravokutnog, kartezijevog koordinatnog sistema u središte (težište) Zemlje. Os Z neka bude u osi rotacije Zemlje, a osi X in Y se nalaze u ravnini ekvatora (slika 2.1). Točke A i B su dvije materijalne točke, pri čemu je točka A (a,b,c) na površini Zemlje element mase m1=m; točka B (x,y,z) je jedinične mase m2=1 i nalazi se na udaljenosti l od Zemlje. Točka A je tijelo, koje privlači, a točka B je privlačena masa (attracted mass). Uslijed privlačenja izmeñu njih djeluje gravitacijska, sila privlačenja F: F =G
m l2
Gravitacijsku silu možemo predstaviti pomoću vektora F, intenziteta F. To znači da možemo potražiti komponente vektora F u smjeru koordinatnih osi. Njih možemo dobiti, ako vektor pomnožimo sa kosinusima kutova koje vektor obuhvata sa koordinatnim osima:
8
(2.2)
Fx=F cosα
Fy=F cosβ,
Fz=F cosγ
y−b , l
cos γ =
(2.3)
Kosinusi kutova su jednaki: cos α =
x −a , l
cos β =
z−c . l
(2.4)
Z B(1) l
A(dm) O
b c
y
z
Y
a x
X
slika 2.1: Privlačna sila F izmeñu točaka A i B Putem zamjene (2.4) i (2.2) u (2.3) dobijamo (poštivajući da dužinu l izračunamo iz koordinata točaka): x −a l3 y−b Fy = Gm 3 l z −c Fz = Gm 3 l Fx = Gm
l = ( x − a )2 + ( y − b)2 + ( z − c )2
(2.5)
Pošto je gravitacijska sila vektor, znači da u okolini tijela, koje djeluje privlačnom silom na druga slična tijela, djeluje vektorsko polje sile. Polje gravitacijske, privlačne sile zovemo polje gravitacije (gravitacijsko polje). Sva računanja možemo u velikoj mjeri pojednostaviti ako sa vektorskog polja preñemo na skalarno polje. Skalarna funkcija, čije parcijalne derivacije su jednake komponentama vektora gravitacijske sile, nazivamo gravitacijski potencijal (V) odn. potencijal privlačne, gravitacijske sile (Green je tu funkciju nazvao skalarna funkcija, a Gauss samo kratko potencijal): V =G
m l
(2.6)
Fizikalno gledano je potencijal gravitacijske sile u nekoj točki P negativna radnja, koju mora učiniti gravitacijska sila na jedinicu mase, da bi privukla tijelo iz beskonačnosti, gdje je potencijal po konvenciji V = 0, u točku P. Potražimo parcijalne derivacije funkcije (2.6):
9
1
2 l = (x − a ) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2
− 12 1 = (x − a ) 2 + (y − b) 2 + (z − c) 2 l
∂V ∂V ∂l m ∂l = =G 2 = ∂x ∂l ∂x l ∂x m1 = G 2 ( x − a )2 + ( y − b)2 + ( z − c )2 l 2
[
]
− 12
x −a 2( x − a ) = Gm 3 l
(2.7a)
Slično je i za ostale dvije komponente odn. koordinate:
∂V y−b = Gm 3 ∂y l ∂V z−c = Gm 3 ∂z l
(2.7b)
Očigledno je (2.5) jednako (2.7a) i (2.7b) odnosno:
∂V = FX ∂x
∂V = FY ∂y
∂V = FZ . ∂z
Vidimo da su parcijalne derivacije skalarne funkcije gravitacijskog potencijala jednake komponentama vektorske funkcije gravitacijske sile. Pomoću oznaka vektorske analize gornja veza se može prikazati kao: F (FX,FY,FZ) = grad V
(2.8)
Gravitacijska sila je gradijent gravitacijskog potencijala. Često se za gradijent upotrebljava oznaka ∇, operator nabla*. To je simbolički vektor, čije su komponente u koordinatnom sistemu (x,y,z) jednake operatorima deriviranja ∂∂x , ∂∂y , ∂∂z . Veza skalarne potencijalne funkcije i vektora gravitacijske sile je veoma značajna za geodeziju, jer omogoćava da tri komponente sile zamijenimo sa jednom funkcijom. Potencijalnu funkciju ne smijemo pomiješati sa potencijalnom energijom; potencijalna energija naime raste sa visinom, a nasuprot tome potencijal opada. Pored toga je jedinica za potencijalnu energiju [kgm2s-2], a za potencijal [m2s-2] jer je riječ o jediničnoj masi. Vektorska polja, kojima možemo prirediti potencijalnu funkciju, zovemo potencijalna polja. Takva polja su bezvrtložna, što se matematički može zapisati: rot F = ∇×F = 0 Spomenuli smo već da gravitacijska sila izmeñu tijela, koja nisu zanemarljivo mala u poreñenju sa njihovom meñusobnom udaljenošću, zavisi i od oblika, veličine i položaja tijela u prostoru. Ako podijelimo tijelo na male dijelove (točkaste mase) i potražimo utjecaj privlačenja svakog dijelića na dotičnu točku, i potom sve utjecaje zbrojimo, dobijemo konačnu vrijednost privlačne sile odn. potencijala u toj točki:
*
Često ga nazivaju i Hamiltonov operator, jer ga je u matematiku prvi uveo W.R. Hamilton.
10
V =G
n m m m1 m + G 2 + ..... + G n = G ∑ i l1 l2 ln i =1 li
(2.9)
Uz pretpostavku da su točkaste mase (elementi mase) u unutrašnjosti tijela rasporeñene neprekinuto, možemo preći sa elementa mase m na neprekinuto rasporeñene elemente u volumenu v sa gustoćom ρ: ρ=
dm dv
dm je element mase, dv je element volumena. Sumu (2.9) možemo napisati u obliku trostrukog integrala:
V = G ∫∫∫ v
dm ρ = G ∫∫∫ dv l l v
(2.10)
pri čemu je l udaljenost izmeñu elementa mase dm i točke na koju utječe privlačenje. Slično vrijedi i za Zemlju: V =G
dm ρ = G ∫∫∫ dv l l Zemlja Zemlja
∫∫∫
U gornjoj jednadžbi polazimo od toga da nam je poznata funkcija rasporeda gustoće ρ=ρ(r'), (r' je vektor položaja neke točke na površini Zemlje odn. u njenoj unutrašnjosti). U stvarnosti mi gustoću Zemlje poznajemo samo za pojedine gornje slojeve Zemljine kore. Zbog nepoznavanja stvarnog rasporeda gustoće u unutrašnnjosti Zemlje, gornja jednadžba geodetima ne pomaže mnogo u praksi. Zbog toga geodeti pokušavaju potencijal odrediti na drugačiji način.
2.1.2
Gravitacijski potencijal kugle
U prvom približenju možemo Zemlju posmatrati kao kuglu, sa centralno simetričnim rasporedom gustoće. Da bi izračunali gravitacijski potencijal uvedimo sferne koordinate r,θ,λ (slika 2.2), r je radijus vektor, θ polarni kut (kolatituda), λ je sferna dužina. z
P (r,
)
r O
y
x
slika 2.2: Veza izmeñu sfernih i kartezijevih koordinata
11
Izabrani koordinatni sistem je orientiran sukladno geocentričkim kartezijevim koordinatnim sistemom (θ os je jednaka osi Z, koja se opet poklapa s osi rotacije Zemlje; λ os je jednaka osi X i leži u ravnini meridijana Greenwicha; to znači da je sferna dužina jednaka geografskoj dužini). Pri tome vrijedi sljedeća transformacijska relacija:
x sin θ cos λ y = r sin θ sin λ z cos θ
(2.11)
U sljedećim derivacijama će sferni koordinatni sistem biti orientiran tako da se θ os poklapa s spojnicom točaka O i P, u kojoj računamo gravitacijski učinak sferne ljuske (slika 2.3). Točka P ima koordinate (r,θ,λ), položaj ljuske f je odreñen položajem prostorne parcele df odn. točke P'(R,θ',λ'). P(r,θ,λ)
l
λ Rsinθ 'd ' dR
r
P'(r,θ',λ')
df
θ'
λ'
R
Rdθ' θ' d
dλ'
slika 2.3: Gravitacijski potencijal centralno simetrične kugle Potencijal homogene sferne ljuske beskonačno male debljine dR i gustoće σ, radijusa R, zadat je jednadžbom sličnoj jednadžbi (2.10)1:
V ' = G ∫∫ f
σ df l
1
Potencijal površinskog elementa S mase dm, koji djeluje sa privlačnom silom na okolinu, možemo izračunati putem izraza:
V = G ∫∫ S
dm σ = G ∫∫ dS l l S
pri tome je σ površinska gustoća mase (σ = dm/dS); to je masa na jedinicu površine.
12
(2.12)
pri tome se integracija vrši na području površine ljuske f (element df je prostorna parcela df = R2sinθ'dθ'dλ'). Razdvojimo područje integracije sa prostorne parcele df na sferne koordinate θ' in λ' (integriramo na području 0<θ'<π, 0<λ'<2π): V ' = G ∫∫ f
π 2π
π
σ R 2 sin θ' dθ' dλ' R 2 sin θ' dθ' df = G ∫ ∫ σ = 2πGσ ∫ l l l 0 0 0
(2.13a)
Dužinu l izmeñu točke P i sferne ljuske f možemo izračunati pomoću kosinusnog poučka za kutove iz trokuta P0f:
l = R 2 + r 2 − 2Rr cos θ ' Izračun potencijala ljuske f je mnogo pregledniji, ako u jednadžbi (2.13a) uzmemo kao argument dužinu l, nego kut θ'. U izrazu za dužinu l potražimo derivaciju dl/dθ':
dl 2Rr sin θ' Rr sin θ' = = dθ' 2 R 2 + r 2 − 2Rr cos θ' l dl R sin θ' dθ' = r l Stavimo gornji izraz u (2.13a):
odn.
l2
l
dl R2 R V' = 2πGσR ∫ = 2πGρ ∫ dl = 2πGσ (l2 − l1 ) r r l1 r l1
(2.13b)
Moguća su dva slučaja u odnosu na to, gdje se nalazi točka P. U prvom slučaju se točka nalazi izvan ljuske (kugle), a u drugom se točka nalazi u unutrašnjosti kugle. Za prvi slučaj važi: r > R,
θ' = 0° θ '=180°
l1=r–R l2=r+R
l2 – l1 =2R
V'z = 2πGσ
R R2 2R = 4 πGσ r r
(2.14a)
Masa homogene sferne ljuske je: m'=4πσR2. Znači potencijal homogene ljuske za točku koja se nalazi izvan ljuske jednak je: V 'z = G
m' r
(2.14b)
Potencijal homogene sferne ljuske u točki izvan kugle na razdaljini r, jednak je potencijalu koji stvara točkasta masa, čija je masa jednaka masi sferne ljuske. Učinak na točku posmatranja je isti kao kada bi masa ljuske bila koncentrirana u njenom masnom središtu. Jednadžbu možemo bez ograničenja prevesti na gravitacijski potencijal Zemlje–kugle sastavljene iz koncentričnih homogenih ljuski: Vz = G
dm' M =G r r Zemlja
∫∫∫
13
(2.15)
Ako u gornje jednadžbe stavimo vrijednosti za GM = 398,6×1012 m3s-2 (umnožak GM nazivamo geocentrička gravitacijska konstanta) i polumjer Zemlje R=6371 km, dobijamo vrijednost potencijala za točku na površini Zemlje, r=R, V=6,26×107 m2s-2. Taj zaključak možemo uopćiti u sljedećem: ako nas zanima potencijal u nekoj točki izvan tijela, koje vrši privlačenje, ne možemo izvesti zaključak o obliku toga tijela. Homogena kugla, homogena sferna ljuska ili točkasta masa stvaraju jednak potencijal odn. privlačnu silu. Za točku u unutrašnjosti ljuske važi: r < R, θ = 0° l1=R–r θ =180° l2=R+r l2 – l1 =2r V 'n = 2πGσ
R 2r = 4πGσR r
(2.15a)
odn. ako stavimo izraz za masu ljuske: V 'n = G
m' = konst. R
(2.15b)
Potencijal je u tom slučaju konstanta i neovisan je od položaja točke P unutar kugle. Sama gravitacijska sila je nula. Potencijal u unutrašnjosti "Zemlje sastavljene iz homogenih ljuski" tvore dva člana: prvi član uzrokuju mase u untrašnjosti kugle r=const (jednadžba 2.14b); drugi član je potencijal ljuske debljne R–r (R je polumjer Zemlje u tom primjeru):
4 πG Vn = ρR 2dR + 4 πG∫ ρRdR ∫ r 0 r r
R
(2.16)
Za homogenu Zemlju–kuglu (uz pretpostavku da je ρ=const) dobijamo potencijal u unutrašnjosti u obliku: Vn=4/3 πGρr2 + 2πGρ (R2 – r2) = 2πGρ (R2 – r2/3)
2.1.3
(2.17)
Osobine gravitacijskog potencijala
Gravitacijski potencial je jednoznačna, konačna i neprekinuta funkcija u cijelokupnom vanjskom prostoru Zemlje i nestaje u beskončnosti (ponaša se kao funkcija 1/l). To je jasno iz činjenice da pri velikim udaljenostima tijela djeluju kao točkaste mase i rezultat takvog privlačenja je potencijal, približno jednak jednadžbi (2.6). Primjer za to je nebeska mehanika, gdje planete posmatramo kao točkaste mase. Prve derivacije gravitacijskog potencijala V (komponente privlačne sile) su takoñe jednoznačne, neprekinute i konačne funkcije u cjelokupnom prostoru (u vanjskom prostoru Zemlje i u njenoj unutrašnjosti). ∂V x−a = Vx = −G ∫∫∫ dm ... ∂x l3 Zemlja
14
Te osobine ne važe za druge derivacije potencijalne funkcije. Druge derivacije imaju diskontinuitete zbog brzog skoka u gustoći na rubnoj plohi izmeñu atmosfere i čvrste Zemlje.
1 (x -a )2 ∂ 2V = V = − G dm + 3G xx ∫∫∫ l3 ∫∫∫ l5 dm ... ∂x 2 Zemlja Zemlja Gravitacijski potencijal unutar Zemlja zadovoljava Poissonovu diferencijalnu jednadžbu: ∆V = –4πGρ
(2.18)
U vanjskom prostoru Zemlje gdje je ρ=0, gravitacijski potencijal zadovoljava Laplaceovu diferencijalnu jednadžbu: ∆V = 0
(2.19)
Znak ∆ je tkz. Laplaceov operator i predstavlja operaciju drugog reda, sumu drugih ∂2 ∂2 ∂2 derivacija: ∆= 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z Rješenja Laplaceove diferencijalne jednadžbe su takozvane harmoničke funkcije. To znači da je gravitacijski potencijal harmonička funkcija izvan masa koje privlače tijela, a ne i unutar tih masa. Laplaceova diferencijalna jednadžba nam, zajedno sa rubnim uvjetima, omogućava da u vansjkom prostoru Zemlje odredimo gravitacijski potencijal i njegove derivacije na osnovu rubnih vrijednosti zadatih na površini Zemlje. Pri tome nam nije potrebno poznavat raspored gustoće unutar Zemlje. Da bi riješili Poissonovu diferencijalnu jednadžbu moramo poznavati funkciju rasporeda gustoće unutar Zemlje.
2.1.4
Centrifugalni potencijal
Iz fizike je poznato da prilikom kružnog kretanja tijela sa stalnom brzinom nastupaju dvije sile: centripetalna i centrifugalna sila. Centripetalna sila djeluje u smjeru ka središtu kruženja. Ujedno i tijelo koje kruži, djeluje na okolicu, koja ga tjera u kruženje, sa jednakom silom suprotnog smjera - centrifugalna sila. Na točku P, koja se nalazi na površini Zemlje i zajedno s njom rotira oko osi Z (slika 2.4), djeluje centrifugalna sila. Ta sila djeluje okomito na os rotacije i raste srazmjerno udaljenosti tijela od osi.
15
Slika 2.4: centrifugalna sila Centrifugalno ubrzanje kojeg osjeća tijelo jedinične mase računa se pomoću izraza: f = ω2 p
(2.20)
gdje su ω kutna brzine rotacije Zemlje i p = x 2 + y 2 pravokutna udaljenost točke P od rotacijske osi Z. Kutna brzine rotacije Zemlje je poznata iz astronomije s visokom točnošću: ω=7,292115×10-5 rad/s. Vektor centrifugalne sile ima smjer vektora s koordinatama: p=(x,y,0) okomito na rotacijsku os Zemlje odn.: f = ω2 p = (ω2x, ω2y, 0)
Jednako kao i kod gravitacijske sile, postoji potencijal centrifugalne sile Φ. Naime:
∂Φ ∂Φ ∂Φ f = grad Φ = , , ∂x ∂y ∂z
(2.21)
Φ= ½ ω2 (x2 + y2) = ½ω2p2
(2.22)
odn.
Centrifugalni potencijal ima jednaku dimenziju kao gravitacijski potencijal; on predstavlja energiju koju ima jedinična masa zbog rotacije oko osi Z. Potražimo drugi izvod izraza (2.22) i upotrijebimo Laplaceov operator. Dobijamo: ∆Φ= 2ω2
(2.23)
Gornji izraz nam pokazuje da analitička funkcija Φ, za razliku od V gravitacijskog potencijala nije harmonička funkcija. Za točke na ekvatoru vrijednost centrifugalnog potencijala je Φ=1,1×105 m2s-2, a centrifugalno ubrzanje iznosi f=f=0,034 ms-2 (≈ 0,35% gravitacije). Na polu su potencijal Φ i sila f jednaki nula.
2.1.5
Sila teže, potencijal ubrzanja sile teže
Sila teže djeluje na točkastu masu P na površini Zemlje kao vektorska rezultanta djelovanja centrifugalne i gravitacijske sile (slika 2.5): 16
g=F+f
(2.24)
Z
P
p
F
f
g
S=masno središce Zemlje
slika 2.5: Privlačna sila, centrifugalna sila i sila teže
Sila teže je vektor, što znači da ima svoj smjer i intenzitet. Smjer vektora g je u svakodnevnom životu poznat kao smjer težišnice (što zorno prikazuje smjer vertikalne osi horizontiranog geodetskog instrumenta, odn. smjer viska); intenzitet vektora g =g nazivamo ukratko sila teže.
Intenzitet vektora sile teže – sila teže ima fizikalnu dimenziju ubrzanja. Zato se i govori o "ubrzanju sile teže". U praksi (posebno geodetskoj i geofizikalnoj) je mnogo lakše raditi sa skalarom, zato se umjesto sile, proučava ubrzanje. Prosto tijelo mase m, zbog težine (Q) ubrzano pada (s ubrzanjem sile teže (g)). Iz Newtonovog zakona dinamike slijedi: Q = mg
Jedinica za ubrzanje sile teže u SI sistemu mjernih jedinica je ms-2. Za prikaz odstupanja stvarnog ubrzanja sile teže (Zemlje) od polja normalne sile teže se koriste manje jedinice: 1 µms-2=10-6 ms-2
1nms-2 = 10-9 ms-2
U geodeziji i geofizici odn. gravimetriji se još uvijek koriste pomoćne jedinice: 1 µgal = 10-8 ms-2
1 mgal = 10-5 ms-2
Izvedeni su iz jedinice gal, nazvane po G. Galileu (1 gal=1 cms-2, osnovna jedinica u CGS sistemu mjernih jedinica). Te jedinice u službenoj upotrijebi nisu dozvoljene, ali se još uvijek masovno koriste u znanstvenoj i stručnoj komunikaciji odn. praksi. Donja tabela daje prikaz jedinica SI sistema i jedinica iz gravimetrijske prakse. veličina sila teže (ubrzanje sile teže
SI jedinica jedinice u praksi 10-2 ms-2 1 gal -5 -2 10 ms 1 mgal -8 -2 10 ms 1 µgal 2 -2 10 m s = 1 kgalm potencijal sile teže = 1 g.p.u. Tabela 2.1: mjerne jedinice u gravimetriji 17
Važe sljedeće relacije: • 1 µms-2 = 0,1 mGal oz. 1 µms-2 = 100 µGal • 1 nms-2 = 0,1 µGal Zbog spljoštenosti Zemlje na polovima, promjena u gustoći Zemljine unotrašnjosti i zbog različitog centrifugalnog ubrzanja se vrijednosti ubrzanja sile teže g kreću izmeñu g=9,78 ms-2 (na ekvatoru) g=9,83 ms-2 (na polovima). Srednja vrijednost ubrzanja sile teže na površini Zemlje iznosi g=9,803 ms-2. Pri proučavanju geometrijskih osobina polja sile teže je dovoljno, ako posmatramo samo ubrzanje sile teže. Masa je pri tome samo faktor mjerila polja sile teže. Polje ubrzanja sile teže daje potpunu geometrijsku sliku polja sile teže. Potencijal sile teže se ponekad posmatra kao radnja, koju je potrebno uložiti da bi savladali silu teže mg, koja djeluje na jediničnu masu m. Sama jedinica za potencijal sile teže [m2s-2] ukazuje na odsustvo bilo kakve mase. Potencijal sile teže W, posmatramo kao radnju u kinematičkom smislu, bez uzimanja u obzir mase. Potencijal sile teže dobimo kao sumu potencijala privlačne sile (gravitacijske) i potencijala centrifugalne sile:
W =V +Φ =G
ρ ω2 2 dv p + ∫∫∫ l 2 Zemlja
(2.25)
U matematičkom zapisu je ubrzanje sile teže gradijent potencijala: g = grad W
(2.26)
Potencijal W i njegove prve i druge derivacije su jednoznačne, konačne i neprekinute funkcije kao posljedica osobina potencijala V i Φ, samo u primjerima, koje nas geodete toliko ne interesuju: s porastom r preko svih granica, r → ∞, znači da i potencijal raste Φ → ∞; drugi puta u slučaju kada je g = 0 (smjer težišnice nije jednoznačan). Druge derivacije posjeduju prekide kod skokovitih promjena u gustoći. Najpoznatija ploha u geodeziji, koja sadrži diskontinuitet je fizička površina Zemlje. Njena gustoća se kreće od ρ = 1,3 kgm-3 (gustoća zraka) do ρ = 2700 kgm-3 (srednja gustoća gornjih slojeva Zemljine kore). Iz definicije potencijala sile teže jasno je da privlačni potencijal pada sa udaljavanjem od Zemlje, centrifugalni potencijal nasuprot tome raste sa povećanjem udaljenosti od osi rotacije. Ali ukupni potencijal sile teže (W=V + Φ) djeluje samo na tijela, koja su na Zemlji. Čim se posmatrana točka odvoji od Zemlje, prestaje njena rotacija i centrifugalni potencijal postaje nevažan. Pomoću jednadžbi (2.23) i (2.18) dobijamo generaliziranu Poissonovu diferencijalnu jednadžbu potencijala sile teže: ∆W = –4πGρ + 2ω2
(2.27)
U prostoru izvan Zemlje vrijedi ρ=0 (ako zanemarimo gustoću zraka) gornja jednadžba prelazi u generaliziranu Laplaceovu diferencijalnu jednadžbu: ∆W = 2ω2
18
(2.28)
2.2
Geometrija polja sile teže
Najednostavniji prikaz geometrije polja sile teže je pomoću ekvipotencijalnih ploha (nivo ploha) i njihovih "silnica". Lokalne karakteristike polja sile teže opisuje zakrivljenost nivo ploha i težišnica, a lokalnu geometriju polja odreñuju i prirodne koordinate točke posmatranja.
2.2.1
Nivo plohe i težišnica
Plohe s konstantnim potencijalom nazivamo ekvipotencijalnim plohama odn. nivo plohama: W(x,y,z)=C =(konst.)
(2.29)
V slučaju potencijala sile teže zovemo ekvipotencijalne plohe i geopotencijalne nivo plohe odn. geope. Za kretanje po nivo plohi nije potrebno uložiti nikakvu radnju, znači da su nivo plohe plohe ravnoteže. L. Durang Clay je zadao sljedeću definiciju nivo plohe: "Nivo ploha je ploha koju možemo obići bez uspinjanja ili spuštanja i na kojoj je radnja sile teže za točkastu masu, koja se po njoj kreće, jednaka nuli. Ta ploha je u svim svojim točkama okomita na smjer sile teže. Taj smjer nazivamo vertikala. " Potražimo derivaciju polja sile teže u zadatom smjeru s. Iz vektorske analize slijedi da je derivacija polja u zadatom smjeru jednaka skalarnom produktu gradijenta polja i jediničnog vektora u tom smjeru. Neka je jedinični vektor u smjeri s zadat kao: s=(dx,dy,dz). Derivacija potencijalne funkcije u smjeru s jednaka je: dW=gradW.s = g.s
(2.30)
Derivacija polja u zadatom smjeru jednaka je pravokutnoj projekciji gradijenta na zadati smjer (slika 2.6). Z
gs
s
nivojska ploskev g
Y X
slika 2.6: Derivacija polja sile teže u zadatom smjeru Ako vektor s uzmemo u smjeru nivo plohe W=Wo, gdje je potencijal konstantan, znači da je dW=0. Jednadžba (2.30) tako dobija oblik:
g.s = 0
19
Ako je skalarni produkt dva vektora jednak nuli, znači da su vektori meñusobno okomiti (kut koji vektor zatvaraju je 90°, ∠(g.s)=90°, cos90°=0). S tim smo dokazali poznatu činjenicu da je vektor sile teže okomit na nivo plohe. Polje sile teže je vektorsko polje, zato kod njega važnu ulogu igraju silnice, smjerne krivulje vektorskog polja. Silnice su krivulje u vektorskom polju, za koje vrijedi, da se smjer tangente svake točke krivulje poklapa sa smjerom polja. Silnice se meñusobno ne presijecaju. Grafički možemo predstaviti vektorsko polje i tako da nacrtamo silnice polja.
slika 2.7: Ekvipotencijalne plohe polja sile teže Zemlje Silnice polja sile teže nazivamo težišnice (zorno ih prikazuje smjer viska). Kod polja sile teže je tangenta odreñena silom teže (vertikala). U svakoj svojoj točki vektor sile teže je tangenta na težišnicu. Ako gradijent polja nije nula vektor, onda se poklapa sa smjerom u kojem polje najbrže raste. Pojmovi kao "smjer sile teže" i "vertikala" su sinonimi i imaju skoro jednako značenje. Uvedimo vektor s u smjeru težišnice, u suprotnom smjeru vektora sile teže, tj. u smjeru računanja nadmorskih visina točaka (slika 2.7). Njegov intenzitet (apsolutna vrijednost) je: s = dH
Vektori g i s zatvaraju kut od 180o: g.s = gdH cos(g,dH) = gdH cos180o = –gdH u skladu s definicijom skalarnog produkta, jednadžba (2.30) dobija oblik: dW = –gdH
(2.31)
Jednadžba daje vezu izmeñu visine i potencijala, i predstavlja osnov teorije odreñivanja nadmorskih visina točaka. Prikazuje neodvojivu relaciju, s kojom je obiljeležena geodezija: vezu izmeñu diferencijalne razlike potencijala (koja je fizikalna veličina) i diferencijalne razlike visina susjednih nivo ploha (koja je geometrijska veličina). Uporeñenje jednadžbi (2.30) i (2.31) pokazuje da diferencijalna razlika potencijala sile teže ne zavisi od puta po kojem možemo doći od jedne do druge nivo plohe, već zavisi od projekcije na vertikalu.
20
Drugi oblik jednadžbe (2.31) je: g=−
∂W ∂H
(2.32)
Vidimo da je ubrzanje sile teže negativni vertikalni gradijent potencijala sile teže W, ili vertikalna komponenta vektora grad W. Ubrzanje sile teže je funkcija udaljenosti točke od centra Zemljinih masa, a u blizini Zemljine kore je i funkcija rasporeda površinskih masa. Zbog toga vrijednost ubrzanja sile teže na nivo plohama nije konstantna. Ako se ubrzanje sile teže mijenja na nivo plohama, znači da se u skladu s jednadžbom (2.31) mijenja i udaljenost dH izmeñu susjednih nivo ploha. Posljedica navedene činjenice je neparalelnost nivo ploha (slika 2.8). Slika prikazuje vezu izmeñu ubrzanja sile teže i udaljenosti nivo ploha. Što je ubrzanje sile teže veće, to je druga nivo ploha bliža, jer ubrzanje sile teže predstavlja količnik razlike potencijala dvije beskonačno bliske plohe i njihove udaljenosti (jednadžba 2.32). W=
c on s
t
g g W = co
g
nst
slika 2.8: Ubrzanje sile teže na nivo plohama Vrijednost ubrzanja sile teže raste od ekvatora prema polovima, (razlika iznosi 0,05 ms2 ). Nivo plohe se meñusobno približavaju kako su bliže polu (slika 2.5). Što su meñusobno nivo plohe bliže, tim jače je polje sile teže, odnosno veće je ubrzanje sile teže. Relativno smanjenje razmaknutosti nivo ploha od pola do ekvatora iznosi oko 0,54 %, što znači da meñusobnoj razmaknutosti nivo ploha na ekvatoru od 100 m, odgovara razmaknutost na polovima od oko 99,5 m.
2.2.2
Zakrivljenost nivo ploha i težišnice
Težišnice - silnice u polju sile teže presijecaju sve nivo plohe pod pravim kutom, i nisu pravci, već imaju odreñenu zakrivljenost. Uopćeno, težišnice su prostorne krivulje. Zbog nepravilnosti u zakrivljenosti nivo ploha i promjena u gustoći Zemljine unutrašnjosti, težišnice imaju osim fleksijske zakrivljenosti (koja se takoñe mijenja uzduž točaka na njoj), i torzijsku zakrivljenost. Iako su sve spomenute nepravilnosti težišnica bitne, relativno su male, i možemo ih u većini praktičnih slučajeva zanemariti. Nivo plohe su neprekinute, gladke plohe i nikada se ne sijeku. Nivo plohe su posvuda konveksne, znači da ne sadrže nizine, korita ili doline. Lokalni polumjeri zakrivljenosti nivo ploha se malo mijenjaju od točke do točke (kažemo da je tok promjena gladak).
21
Izuzeci su točke, gdje dolazi do neočekivanih promjena u gustoći, kao na primjer površina Zemlje. Nivo plohe u polju sile teže Zemlje zovemo takoñe i geope odn. geopotencijalne plohe.
2.2.3
Analitički prikaz nivo ploha
Već letimičan pogled na jednadžbu (2.25) za potencijal sile teže nam daje na znanje da je nivo ploha W(x,y,z)=Wo u matematičkom pogledu veoma komplicirana ploha. Nivo plohe, koje se nalaze u potpunosti u vanjskom prostoru Zemlje se mogu predstaviti putem analitičkih funkcija (jer je potencijal sile teže u vanjskom prostoru Zemlje analitička funkcija). To ne vrijedi ako nivo plohe prolaze delimično ili u potpunosti unutar Zemlje. Nivo plohe su tada neprekinute, ali nisu analitičke zbog nepravilnosti u rasporedu masa (gustoće). Takve plohe konstruiramo putem analitičkih funkcija koje odreñujemo po odsječcima. Te dijelove nivo ploha možemo razviti u Taylorev red. Zakrivljenost nivo plohe u nekoj točki je jednaka zakrivljenosti krivulje, koja predstavlja normalni presjek plohe. Za točku na nivo plohi mogu se izračunati polumjeri zakrivljenosti u smjeru severa (azimut A=0°) i u smjeru istoka (azimut A = 90°). Srednja zakrivljenost nivo plohe u točki se računa kao:
1 1 1 1 J= + = − ( WYY + WXX ) 2 RY RX 2g
(2.33)
Srednja zakrivljenost nivo plohe u nekoj točki zavisi od vertikalnog gradijenta ubrzanja sile teže. Do te relacije je prvi došao Bruns 1878 godine: ∂g = −2gJ + 4 πGρ − 2ω2 ∂H
(2.34)
Jednadžba pokazuje teorijsku mogućnost odreñivanja zakrivljenosti uz pomoć gravimetrijskih mjerenja. To je još jedan dokaz neodjelive veze izmeñu geometrijskog i dinamičkog ustroja geodezije. Zakrivljenost težišnice u nekoj točki se može izračunati pomoću sljedećih izraza: f1 = −
WXZ smjer N–S, g
f2 = −
WYZ smjer E–W g
Gornje jednadžbe su potrebne zbog redukcije astronomskih geografskih koordinata na geoid. Vidimo da zakrivljenost nivo ploha i težišnica zavisi od drugih derivacija potencijala sile teže. Poznato nam je da oni sadrže prekide na mjestima iznenadnih skokovitih promjena gustoće.
2.2.3
Gradijent ubrzanja sile teže
U lokalnom astronomskom koordinatnom sistemu vektor ubrzanja sile teže može se izraziti kao: 22
gT=(grad W)T = (WX,WY,WZ)
(2.35)
Totalnim diferenciranjem vektora ubrzanja sile teže dobija se tenzor gradijenta ubrzanja sile teže odn. tkz. Eötvösov tenzor (druge derivacije potencijala sile teže):
Wxx grad g = grad(gradW)= Wyx Wzx
Wxy Wyy Wzy
Wxz Wyz Wzz
(2.36)
Tenzor je linearni operator u vektorskom prostoru koji izvrši preslikavanje jednog vektora u drugi vektor. Pošto u polju sile teže ne postoji vrtložnost, to vrijedi: Wxy=Wyx;
Wxz=Wzx;
Wyz=Wzy
(2.37)
Treća vrsta u tenzoru (2.36) predstavlja gradijent ubrzanja sile teže. To je vektor koji ima smjer u pravcu najvećeg rasta ubrzanja sile teže (pri tome je WZ = –g)
∂g / ∂x Wzx grad g = ∂g / ∂y = − Wzy ∂g / ∂z Wzz
(2.38)
Horizontalni gradijent ubrzanja sile teže čine komponente ∂g/∂x i ∂g/∂y: one su u smjeru najvećeg rasta ubrzanja sile teže u horizontalnoj ravnini. Horizontalni gradijent ubrzanja sile teže odreñuje i zakrivljenost težišnice u nekoj točki posmatranja. Vertikalni gradijent ∂g/∂z=–Wzz odreñuje promjenu ubrzanja po visini. Gradijent ubrzanja sile teže je potreban zbog odreñivanja promjena ubrzanja na jedinicu dužine. Upotrebljava se vrijednovanje i interpretaciju podataka gravimetrijskog premjera, posebno u primijenjenoj geofizici. Horizontalni gradijent ubrzanja sile teže se može odrediti pomoću gradiometra ili torzijske vage. Osnovna jedinica za gradijent ubrzanja sile teže je Eötvös [E], nazvan po znamenitom mañarskom geofizičaru Lorandu von Eötvösu: 1 E = 1×10-9 s-2 = 1 µms-2/km = 0,1 mgal/km
2.2.4
Sistem prirodnih koordinata
Nivo plohe i težišnice možemo uzeti kao osnovu krivolinijskog koordinatnog sistema koji za pojedine geodetske zadatke ima odreñene prednosti. Za razliku od pravokutnih, kartezijevih koordinata x,y,z možemo te koordinate direktno odrediti putem mjerenja. Sistem prirodnih koordinata daje položaj točke u odnosu na dva "prirodna smjera": smjer vertikale i smjer rotacijske osi Zemlje. Sistem prirodnih koordinata tvore: astronomska geografska širina Φ, astronomska geografska dužina Λ, i potencijal sile teže W.
23
Astronomske koordinate možemo odrediti neposredno putem mjerenja, potencijal sile teže se ne može neposredno mjeriti, ali možemo odrediti razlike potencijala pomoću geometrijskog nivelmana u kombinaciji sa gravimetrijskim premjerom. Položaj točke na nivo plohi može se izraziti koordinatama (Φ, Λ). Koordinate možemo predstaviti putem jedinične kugle sa središtem u točki posmatranja. Ako povežemo koordinatni par (Φ, Λ) sa središtem jedinične kugle, dobivamo za svaku točku jedinični vektor n, koji odreñuje smjer vertikale u točki posmatranja; on je funkcija geografskih koordinata Φ i Λ (slika 2.9). Vektor p je projekcija vektora n u ravnini, paralelnoj sa ekvatorskom ravninom. Kut izmeñu vektora p i n je astronomska širina Φ točke P; kut izmeñu vektora p i ravnine Greenwichkog meridijana je astronomska dužina Λ. Z z n
P
Λ
Φ p
y
Greenw ich
x
ekvator
Y
X
slika 2.9: Sistem prirodnih koordinata (smjer vertikale u odnosu na astronomske geografske koordinate) Kako je n=1, p= cosΦ, koordinate vektora p u kartezijevom koordinatnom sistemu su:
cos Φ cos Λ p = cos Φ sin Λ 0 Jedinični vektor duž težišnice n razlikuje se od vektora p samo u koordinati z:
cos Φ cos Λ n = cos Φ sin Λ sin Φ
(2.39)
Vektor sile teže g je gradijent potencijala sile teže, zato možemo njegove koordinate izrazitu u kartezijevom koordinatnom sistemu kao:
24
gT = grad W(x,y,z)T = (WX,WY,WZ)T
(2.40)
Jedinični vektor n se poklapa sa vektorom sile teže g, ali su suprotnog smjera. To znači da vrijedi relacija:
n=−
g g = − oz. g g
g = –gn
Gornja jednadžba u kombinaciji sa (2.39) i (2.40) nam daje:
WX cos Φ cos Λ g = WY = − g cos Φ sin Λ WZ sin Φ
(2.41)
Jednadžba (2.41) pokazuje još jednu zanimljivu vezu izmeñu fizikalnog i geometrijskog pristupa geodezije. Ako polazimo od fizike (potencijal sile teže), možemo odrediti astronomske koordinate Φ, Λ kao i geometriju prostora (n.pr. zakrivljenost Zemljine površine). Ta jednadžba izražava vektor sile teže oz. parcijalne derivacije potencijala sile teže u funkciji astronomskih geografskih koordinata. Suprotna veza astronomskih koordinata u funkciji derivacija potencijala sile teže takoñer vrijedi. Iz (2.41) dobijamo: WX2 + WY2 = g2cos2Φ (cos2Λ + sin2Λ) = g2 cos2Φ i
WZ W +W 2 X
2 Y
=
− g sin Φ = − tan Φ g cos Φ
takoñer
WY = tan Λ WX Na kraju možemo napisati:
Φ = arctan
- WZ WX2 + WY2
Λ = arctan
(2.42)
WY WX
Jednadžba (2.42) pokazuje da je teorijski moguće odrediti astronomske koordinate, ako poznajemo funkciju rasporeda potencijala sile teže.
2.3
Razvoj gravitacijskog potencijala u red po sfernim funkcijama
Poznat nam je izraz za potencijal privlačenja izmeñu Zemlje i vanjske točke:
25
V =G
ρ dm = ∫∫∫ dv l l Zemlja Zemlja
∫∫∫
Potencijal se ne može, zbog općenito nepoznate funkcije rasporeda gustoće računati prema toj formuli. Uzmimo element mase dm na površini Zemlje s polumjerom R (slika 2.10). Oznake so sljedeće: R je polumjer Zemlje-kugle, l je udaljenost točke od elementa mase dm, r je radijus vektor posmatrane točke P, ψ je kut izmeñu radijus vektora točke P i elementa mase. Z
l
R
P
r
ψ Y
X
slika 2.10: razvoj recipročne udaljenosti l u red po sfernim funkcijama
Recipročna vrijednost udaljenosti 1/l se može predstaviti u obliku reda2: n
1 1 ∞ R = ∑ Pn (cosψ ) l r n =0 r
(2.43)
Pn(cosψ) je Legendreov polinom. Ako taj red uvrstimo u izraz za potencijal oblika trostrukog integrala i uvedemo sferne koordinate (r,θ,λ) dobijamo potencijal u obliku reda sfernih funkcija (pri tome smo integral zamijenili s beskonačnim redom): ∞
V (r,θ,λ ) = ∑ n =0
1 r n +1
n
∑P
m =0
nm
(cosθ)(Anm cos mλ + Bnm sin mλ )
(3.44)
gdje su Anm i Bnm, koeficijenti reda sfernih funkcija, Pnm (cosθ) pridružene Legendreove funkcije I. vrste stupnja n reda m; r je (geocentrički) radijus vektor posmatrane točke. Taj razvoj vrijedi za točku u vanjskom prostoru Zemlje gdje je potencijal harmonička funkcija. Prvi član u razvoju za n=0 jednak je GM/r, tako da se red (2.44) u literaturi često piše u obliku:
2
Recipročna vrijednost udaljenosti izmedju dvije točke predstavlja najednostavniju harmoničku funkciju (zove se takodjer fundamentalna harmonička funkcija).
26
∞ GM a V (r , θ, λ ) = 1 + ∑ r n =1 r
(cosθ)(Cnm cos mλ + Snm sin mλ )
(2.45a)
n ∞ GM a n V (r ,θ,λ ) = 1 − ∑ ∑ Pnm (cosθ)(Jnm cos mλ + Knm sin mλ ) r n = 2 r m =0
(2.45b)
n
n
∑P
m =0
nm
odnosno u satelitskoj geodeziji u obliku:
pri tome su: M– masa Zemlje i atmosfere, a– ekvatorski polumjer Zemlje (velika poluos geocentričkog elipsoida Zemlje; a=R). Koeficijenti razvoja su u sljedećoj meñusobnoj vezi: Cnm = Anm / GMa
Snm = Bnm / GMa
Jnm = –Anm / GMa
Knm = –Bnm / GMa
U redovima (2.45) je stalni član GM/r (za n=0) srednja vrijednost Zemljinog gravitacijskog potencijala. Takav potencijal bi imala Zemlja kad bi imala oblik kugle. Ostali članovi (koeficijenti) predstavljaju odstupanja potencijala od te srednje vrijednosti. Koeficijenti razvoja gravitacijskog potencijala u red po sfernim funkcijama su integrali mase, odn. funkcije rasporeda Zemljinih masa; drugim riječima, to znači da veličina koeficijenata zavisi od rasporeda masa unutar Zemlje (koji nam na žalost nije poznat). Koeficijenti imaju i fizikalno odn. geometrijsko tumačenje. Geometrijsko tumačenje koeficijenata je odstupanje Zemlje od njene rotacijske simetrije (odstupanje Zemljinog oblika od kugle). Najveće odstupanje Zemlje od sferne simetrije predstavlja njena spljoštenost na polovima i prisutnost njenih ekvatorskih izbočina (ispupčenja). Pošto su koeficijenti u funkciji mase, znači da tamo gdje je potencijal pozitivan, prisutan je višak masa, a tamo gdje je potencijal negativan, prisutan je manjak masa.
27
slika 2.11: Članovi razvoja nižih stupnjeva i oblik Zemlje U fizikalnom tumačenju koeficijenti drugog reda sadrže momente tromosti i centrifugalne momente inercije Zemlje s obzirom na pojedine koordinatne osi (geocentričkog kartezijevog koordinatnog sistema). Za objašnjenje te veze pomoći će nam proizvoljni kartezijev koordinatni sistem, vezan za Zemlju. Točka razmatranja točka sa sfernim koordinatama (r,θ,λ) ima u novom sistemu koordinate (x',y',z'). Na taj način koeficijenti razvoja dobijaju sljedeći oblik: za n=0:
A00 = G
∫∫∫ dm = GM
B00 = 0
Zemlja
Za n=1:
A10 = G
∫∫∫ z'dm Zemlja
A11 = G
∫∫∫ x'dm Zemlja
B11 = G
∫∫∫ y'dm
B10 = 0
Zemlja
Integrali, podijeljeni s masom M predstavljaju koordinate težišta Zemljinih masa. Ako smjestimo ishodište našeg koordinatnog sistema u težište Zemlje (kao što se obično i radi), dobivamo na taj način geocentrički koordinatni sistem, što znači da su koeficijenti za n=1 jednaki nuli. Za n=2:
28
A20 =
B21 = G
G 2 2 2 ∫∫∫ (2z' −x' − y' )dm 2 Zemlja
∫∫∫ y' z' dm
A22 =
Zemlja
A21 = G
∫∫∫ x' z' dm Zemlja
G G ( x ' 2 − y' 2 )dm B22 = ∫∫∫ ∫∫∫ x' y' dm 4 Zemlja 2 Zemlja
Gornji integrali sadrže momente inercije Zemlje s obzirom na pojedine koordinatne osi:
A = ∫∫∫ ( y' 2 + z'2 ) dm B = ∫∫∫ ( x ' 2 + z' 2 ) dm C = ∫∫∫ ( x ' 2 + y' 2 ) dm i centrifugalne momente inercije:
D = ∫∫∫ x ' y' dm
E = ∫∫∫ y' z' dm
F = ∫∫∫ x ' z' dm
Centrifugalni momenti inercije su jednaki nuli, ako se koordinatne osi poklapaju sa glavnim osima inercije tijela. Z-os našeg geocentričkog koordinatnog sistema koincidira sa srednjom rotacijskom osi Zemlje (pri tome zanemarimo kretanje Zemljinih polova). Ona koincidira s najdaljom glavnom osi inercije (odreñuje smjer rotacijske osi tijela), to znači da su koeficijenti E i F jednaki nuli. Otuda slijedi da su koeficijenti razvoja A21 i B21 jednaki nuli. B22 je srazmjeran prvom centrifugalnom momentu inercije; bio bi nula samo u slučaju, ako bi Zemlja bila u potpunosti rotacijski simetrično tijelo, ili ako bi bila glavna os inercije u smjeru Greenwichkog meridijana. Sa svim tim pretpostavkama, takav koordinatni sistem postaje koaksijalan sa osnovnim elipsoidom inercije, t.j. sistem postaje tkz. prirodni geocentrički koordinatni sistem. Za koeficijente možemo sada napisati: A00 = GM A10 = A11 = B10 = B11 = 0 A+B A20 = G −C 2 A21 = B21 = 0 A22 = (G/4)*(B – A)
B22 = (G/2)*D
Koeficient A20 (u obliku J2) odreñuje spljoštenost Zemlje (razlika izmeñu srednjih ekvatorskih momenata inercije A ≈ B i polarnim momentom inercije); veći je od ostalih koeficijenata za tri razreda veličine (što ukazuje na njegovu važnost). Poznat je i pod imenom "dynamical form factor" (taj koeficijent je jedan od definicijskih parametara geodetskih referentnih sistema). Točan izraz za J2 je: J2 =
1 A+B −C a M 2 2
29
Za geodetski referentni sistem GRS 80, koji je skoro identičan sistemu WGS–84, iznosi vrijednost J20=1082,7×10-6. Koeficijenti A22 (J22) i B22 (K22) predstavljaju odstupanje rasporeda masa Zemlje od njene rotacijske simetrije (tkz. eliptičnost ekvatora). Koeficijent A30 (J3) prouzrokuje trokutasti oblik Zemlje. Koeficijent A40 (J4) prouzrokuje četverokutni oblik Zemlje; zbog toga je Zemlja kruškolikog oblika (slika 2.11). Iz svega nabrojanog se vidi da razvoj u redu (2.45) praktično počinje s članom n=2. Takav prikaz Zemljinog gravitacijskog potencijala se obično naziva globalni geopotencijalni model. Zašto nam je uopće potreban razvoj potencijala u red po sfernim funkcijama? U redovima (2.44) odn. (2.45) su nepoznanice koeficijenti razvoja. Ako uporedimo potencijal u obliku reda i potencijal u obliku trostrukog integrala (jednadžba 2.10), vidimo da je lakše odrediti nepoznate koeficijente razvoja, nego riješiti integral sa nepoznatom funkcijom rasporeda gustoće. Nepoznate koeficijente razvoja možemo odrediti pomoću podataka satelitskih opažanja, satelitske altimetrije i gravimetrijskog premjera.
2.4
Oblik Zemlje
Oblik Zemlje možemo predstaviti putem jedne nivo plohe potencijala sile teže, jer su sva dogañanja na fizičkoj površini Zemlje tijesno povezana sa silom teže. U fizikalnom smislu se obliku Zemlje najbolje prilagoñava nivo ploha, zvana geoid. To je po Gaussu potencijalna ploha Zemljinog tijela, zorno prikazana sa srednjom plohom svjetskih mora i u mislima produžena ispod kontinenata. Geoid je zadat s jednadžbom: W = W(x,y,z) = Wo Geoid je zatvorena, neprekinuta nivo ploha, koja se djelimično širi unutar, a delimično izvan Zemlje. Geoid je prikladan za proučavanje potencijala sile teže (odreñivanje potencijalnih i visinskih razlika putem nivelmanskih i gravimetrijskih mjerenja), a nije prikladan za geodetska računanja (odreñivanja položaja točaka), jer se geoid ne možemo predstaviti pomoću jednostavnih matematičkih izraza. Potencijal sile teže je veličina koja se ne može neposredno izmjeriti, a geoid je upravo definiran putem potencijala. Geoid, kao referentna ploha za odreñivanje visinskih razlika točaka na Zemlji, je tkz. nulta nivo ploha. Geoid možemo predstaviti sa srednjim nivoom svjetskih mora, koji odstupa od trenutne nivo plohe za vrijednosti od ±1 do ±2 m.
30
slika 2.12: Zemlja, geoid, elipsoid U matematičkom pogledu obliku Zemlje najbolje odgovara dvoosni rotacijski elipsoid, koji je ujedno izabran za referentnu plohu za odreñivanje položaja točaka na Zemlji. Iako Zemlja nije idealan elipsoid, elipsoidno polje sile teže ima veliki praktički značaj za proučavanje realnog Zemljinega polja sile teže. Polje sile teže elipsoida se može matematički izraziti putem jednostavnih jednadžbi i njegova odstupanja od polja realne sile teže su jako mala, tako da ih možemo uzeti kao linearna. Rastavljanje polja sile teže Zemlje na "normalno" polje i preostali mali deo, tkz. "poremećajno" polje, u velikoj mjeri pojednostavljuje njegovo odreñivanje. Problem bi bilo skoro nemoguće riješiti na drugi način.
2.4.1
Normalno polje sile teže
Za odreñivanje “normalnog” polja sile teže potrebno je obezbijediti nekakav referentni "normalni" model Zemlje. To je rotacijski elipsoid, čija je ploha ekvipotencijalna ploha vlastitog polja sile teže. Takav elipsoid zovemo nivo-elipsoid. Potencijal normalnog polja sile teže nivo-elipsoida može se izraziti jednadžbom: U = U(x,y,z)
(2.46)
Nivo-elipsoid je ploha jednakog potencijala Uo=konst., kao što je i geoid Wo=konst., to znači da vrijedi relacija: Uo = W o Nivo-elipsoid normalnog polja sile teže je u potpunosti odreñen sa parametrima rotacijskog elipsoida: • geometrijskim: • velika polusa a, • spljoštenost f; • fizikalnim parametrima: • masa M (jednaka masi Zemlje i uključujući atmosferu) • ugaonom brzinom rotacije ω (koja je jednaka Zemljinoj). Sa zadatom masom M odreñen je i normalni potencijal U. Detaljno poznavanje rasporeda gustoće unutar elipsoida, koji proizvodi privlačni potencijal, nije potrebno, jer Stokes-Poincaré teorema omogućuje njegovo odreñivanje. Teorema tvrdi:
31
"ako tijelo mase M rotira s konstantnom brzinom ω oko fiksne osi i ako je S nivo ploha njegovog potencijala sile teže takva, da u potpunosti obuhvata njegovu masu M, onda je potencijal sile teže u spoljašnjosti plohe S jednoznačno odreñen". Pošto poznajemo kutnu brzinu ω možemo izračunati normalni potencijal sile teže: U =V +
1 2 2 ω (x + y2 ) 2
(2.47)
Kod odreñivanja normalnog polja sile teže potrebno je zadati vezu izmeñu fizikalnih parametara polja (nivo-elipsoid) i geometrijskih parametara rotacijskog elipsoida. Polazimo od poznate veze izmeñu vektorskih i skalarnih funkcija. Vektor normalne sile teže je gradijent normalnog potencijala sile teže:
γ = grad U
(2.48)
Veličina vektora normalne sile teže je ubrzanje normalne sile teže. Najvažniji parametri normalnog polja sile teže su vrijednosti ubrzanja normalne sile teže na ekvatoru γa i na polu γb. Vektor normalne sile teže je okomit na nivo-elipsoid i njegova vrijednost (intenzitet - ubrzanje) na elipsoidu se može izračunati pomoću poznatog izraza (Somiglianna, 1929): γ0 =
aγ a cos 2 φ + bγ bsin 2 φ a 2 cos 2 φ + b2 sin 2 φ
(2.49a)
pri čemu su a i b velika i mala poluos elipsoida, φ elipsoidna (geodetska) širina. Često se ubrzanje normalne sile teže na ekvatoru in na polovima obilježava sa γe, γp. Jednadžba Somiglianne, prireñena za numeričko računanje ima oblik: γ = γe
1 + k sin 2 φ 1 − e 2sin 2 φ
(2.49b)
pri tome je k: k=
bγ p aγ e
−1
Teorema Clairauta (1738) daje vezu izmeñu geometrijskih f i fizikalnih parametara nivo-elipsoida f*, m: f + f* =
5 m 2
Teorema drugim riječima tvrdi da je moguće odrediti geometrijsku spljoštenost Zemlje putem gravimetrijskih mjerenja (jednadžba je napisana u svom izvornom, obliku, koji je matematički približan). Spomenute veličine su sljedeće: a −b f = geometrijska spljoštenost elipsoida, a γ − γa f* = b gravimetrijska spljoštenost, γa
32
(2.50)
m=
ω2 a 2b GM
pomoćna kratica.
Ako jednadžbu pišemo u strogom obliku, moramo uvesti i elipsoidne članove višeg reda i uzeti u obzir odstupanja realnog polja sile teže od normalnog. Napišimo (bez izvoñenja) jednadžbu za računanje ubrzanja normalne sile teže elipsoidne visine h: 2 γ( φ , h ) = γ 0 1 − (1 + f + m − 2 fsin 2 φ)h a
(2.51)
Za neka računanja dovoljna je jednadžba u prvom približenju (ekvatorialni polumjer elipsoida smo pri tome zamijenili sa srednjim polumjerom Zemlje R; a=R): γ( φ, h ) = γ o − 2
γ h R
(2.52)
Jednadžba, gdje nastupaju i članovi viših redova ima oblik: 2 3 γ( φ, h ) = γ o 1 − (1 + f + m − 2 fsin 2 φ)h + 2 h 2 a a
(2.53)
Prosječna vrijednost ubrzanja normalne sile teže u sistemu GRS 80 je: γprosj = 9,797 645 ms-2. Nivo plohe u normalnom polju sile teže nazivamo sferope ili sferopotencijalne plohe.
2.5
Vremenske promjene polja sile teže
Na promjene sile teže utječu sljedeći faktori: • vremenske promjene gravitacijske konstante G, • promjene u rotaciji Zemlje, • Zemljini plimni valovi (Zemljine mijene), • promjene sile teže zbog razmještanja Zemljinih masa. Francuski fizičar Dirac (1938) je na osnovu svojih svemirskih istraživanja pretpostavio mogućnost sekularnog (stoljetnog) umanjenja univerzalne gravitacijske konstante. Do danes eksperimenti to nisu potvrdili. Zemljina rotacija sadrži sekularne, periodične i neperiodične promjene, što posledično mijenja centrifugalni potencijal Φ. Zbog malih promjena kutne brzine Zemlje (LOD "Length of day" - dužina dana, promjene su reda veličine [ms]) ubrzanje sile teže se na površini mijenja manje od 0,01 mgal. Plimni valovi su periodičan odgovor čvrste Zemljine kore, atmosfere i voda na promjene u polju sile teže, koje prouzrokuju privlačne sile Mjeseca i Sunca, a u veoma maloj mjeri i najbliže planete. Utjecaji se pokazuju (očituju) kao plimni valovi mora
33
odnosno oceana ("ocean tide") i plimni valovi čvrste Zemlje, ("tides of the solid Earth"), koji su posljedica elastičnosti Zemljine unutrašnjosti. Ubrzanja plimnih valova čvrste Zemlje kraće nazivamo i plimna ubrzanja. Utjecaj Sunca je približno jednak polovini Mjesečevog utjecaja. Veličina plimnih valova nije stalna, već se mijenja s vremenom. Najveće plime se pojavljuju, kad se utjecaji Mjeseca i Sunca saberu. Do toga dolazi kada Sunce, Mjesec i Zemlja leže na istom pravcu, a to se dogaña dva puta mjesečno: kada je pun mjesec i kada je mlad mjesec. U meñuvremenu privlače Sunce i Mjesec svako na svoju stranu i učinak je uvijek umanjen. Veličina plimnih valova zavisi i od godišnjih doba. Najveće razlike se javljaju kada nastupe proljećna i jesenja ravnodnevnica (ekvinokcij), kao posljedica nagiba Zemljine rotacijske osi u odnosu na ravninu ekliptike. Za čvrstu Zemlju se učinak plimnih valova u nekoj točki na površini Zemlje može odrediti iz Newtonovog zakona gravitacije i efemerida (koordinata) Mjeseca odn. Sunca. Računanje se izvodi posebno za svaki sistem dva tijela (Sunce, Mjesec), i to kao rezultanta djelovanja obje sile. Amplitude plimnih ubrzanja su do 0,24 mgal; to znači da bi tijelo teško 1 t, promjenilo težinu za 0,24 g. To su tkz. astronomske plimne sile. Ako bi Zemlja bila idealno čvrsto tijelo, tih promjena ne bi bilo. Plimske sile mijenjaju vrijednosti mjerenog ubrzanja sile teže i veličinu otklona vertikale (mada manje nego što je točnost odreñivanja). Utjecaj plimnih valova čvrste Zemlje se mora uzeti u obzir kod svih gravimetrijskih mjerenja. Utjecaj promjena ubrzanja sile teže zbog razmeštanja masa Zemlje je sekularan (dugovjekovni). Ti utjecali su posljedica: postledenodobnog dizanja kore Zemlje, topljenje snijega na ledenicima, promjene nivoa mora zbog globalnog otopljavanja, lagano kretanje kore Zemlje, toplotna konvekcija u plaštu. Uopćeno, te promjene ne prevazilaze vrijednosti 10–9 do 10–8 g, pri čemu su promjene geoida manje od 1 mm/godinu.
2.6
Anomalijsko polje sile teže Zemlje
Stvarno polje sile teže Zemlje odstupa od normalnog polja nivo-elipsoida. Razliku izmeñu stvarnog potencijala Zemlje W i normalnog potencijala U nazivamo anomalija potencijala odn. poremećajni potencijal (engl. "disturbing potential", njem. "Störungspotential"); u geodetskoj literaturi se označava sa T. Za poremećajni potencijal vrijedi relacija: W(x,y,z) = U(x,y,z) + T(x,y,z)
(2.54)
Za odreñivanje stvarnog polja sile teže Zemlje (W) potrebno je poznavati vrijednosti poremećajnog polja odn. potencijala (T); normalno polje sile teže nivo-elipsoida odn. normalni potencijal se može izračunati pomoću odgovarajućih matematičkih izraza, jer se on odnosi na pravilnu matematičku plohu. Stvarni i poremećajni potencijal se ne mogu direktno izmjeriti, ali postoji mogućnost da T izrazimo putem veličina, koje se mogu neposredno ili posredno izmjeriti.
34
Uporedimo sada dve referentne plohe: geoid W(x,y,z)=Wo i referentni elipsoid: U(x,y,z)=Uo s jednakim potencijalom Wo=Uo. Ako kroz točku P na geoidu povučemo normalu na elipsoid dobijemo točku Q na elipsoidu. Udaljenost PQ izmeñu geoida i elipsoida se naziva geoidna visina ili geoidna undulacija (angl. "geoidal height, undulation", njem. "die Geoidhöhe") i označava sa N (slika 2.12). Uporedimo sada vektor ubrzanje sile teže g u točki P i vektor ubrzanja normalne sile teže γ u točki Q. Njihova razlika nam daje vektor anomalije ubrzanja sile teže ∆g, koji je definiran kao: ∆g = gP –γQ
(2.58)
n n'
geoid W=Wo
P
N g
P
ref. elipsoid U=WQ
Q
γ
Q
slika 2.12: Nepravilnosti polja sile teže Zemlje Vektor ima svoj smjer i intenzitet (dužinu). Razlika intenziteta dva vektora je anomalija ubrzanja sile teže (engl. "gravity anomaly", njem. "Schwereanomalie"): ∆g = gP – γQ
(2.59)
razlika u smjeru je otklon vertikale (engl. "deflection of the vertical", njem. die Lotabweichung"). Vratimo se na sliku 2.12. Vektore g i γ možemo uporediti i u točki P na geoidu. To poreñenje nam daje vektor "poremećajnog" ubrzanja sile teže δg (angl. "gravity disturbance vector"): δg = gP – γP
(2.60)
Analogno izrazu (2.54) je razlika u intenzitetu ta dva vektora "poremećajno" ubrzanje sile teže: δg = gP –γP Razlika u smjeru ta dva vektora je jednaka kao u prošlom slučaju, a to je otklon vertikale, jer se smjerovi γP i gP skoro podudaraju.
35
(2.61)
Geoidna undulacija, anomalija ubrzanja sile teže i otklon vertikale su veličine koje se mogu odrediti putem geodetskih mjerenja. Kakva je njihova veza sa poremećajnim potencijalom? Najvažnija veza je čuvena Brunsova jednadžba: TP = γQ NP
(2.62a)
ili u drugom obliku:
NP =
TP γQ
(2.62b)
Brunsova jednadžba povezuje geoidnu visinu, poremećajni potencijal i ubrzanje normalne sile teže. Brunsova jednadžba u drugom obliku definira vezu izmeñu geometrijske veličine N i fizikalne veličine T. (Uporedi gornju jednadžbu sa jednadžbama 2.31 i 2.32 iz poglavlja 2.2.1). Dokaz: Zbog ∂U UP = UQ + N = U Q − γN ∂n Q vrijedi: WP = U P + TP = U Q − γN + T
jer je: WP = UQ =W0 i konačno dobijamo: T = γN Bez izvoñenja napišimo još parcijalnu diferencijalnu jednadžbu prvog reda, koju nazivamo fundamentalna jednadžba fizikalne geodezije: ∂T 1 ∂γ =− T + ∆g = 0 ∂h γ ∂h
(2.63)
Izraz je tako nazvan zbog veze izmeñu mjerene vrijednosti anomalije ubrzanja sile teže ∆g i nepoznatog poremećajnog potencijala T. Odreñivanje poremećajnog potencijala T u gornjoj jednadžbi je u neposrednoj vezi sa rešavanjem Laplaceove i Poissonove diferencijalne jednadžbe. Sve te jednadžbe su tkz. parcijalne diferencijalne jednadžbe i njihovo rešavanje predstavlja matematičko rješavanje trećeg rubnog problema, tkz. geodetski rubni problem. Područje riješenja je ovdje zatvorena ploha – kugla, Zemlja sa svojom unutrašnjošću i vanjskim prostorom oko nje. Rubni problem je naći harmoničku funkciju (podsjetimo se: svako riješenje Laplaceove diferencijalne jednadžbe je harmonička funkcija), koja predstavlja riješenje diferencijalne jednadžbe, i koja na rubu područja (Zemlja–kugla) zadovoljava dodatne uvjete. Rezultat rešavanja rubnog problema je T, koji nam opet preko Brunsove jednadžbe omogućava izračunavanje geoidne undulacije, sigurno najvažnije veličine u fizikalnoj geodeziji.
36
2.6.1
Otklon vertikale
U prošlom poglavlju smo definirali otklon vertikale kao razliku smjera dva vektora: vektora realne sile teže i vektora normalne sile teže. Geometrijski, otklon vertikale je kutna razlika izmeñu smjera normale na elipsoid i smjera vertikale (tangenta na zakrivljenu težišnicu) na geoid. Uporeñenje normale i vertikale je moguće na više načina: 1.
Helmertov otklon vertikale. Helmert je uporeñivao smjer normale i smjer vertikale na fizičkoj površini Zemlje (slika 2.13). Otklon vertikale je pri tome kut Θ na površini Zemlje izmeñu smjera vertikale (težišnice) i elipsoidne normale kroz točku P. Točka Qo je pridružena točki P sa definicijom normale na elipsoid. Realno odn. normalno polja ubrzanje sile teže izmeñu točaka P i Qo nije potrebno poznavati.
slika 2.13: Helmertov otklon vertikale 2.
Pizzetiev otklon vertikale. Pizzeti je uporedio oba smjera na samom geoidu (slika 2.14).
slika 2.14: Otklon vertikale po Pizzetiu i Molodenskom
37
Otklon vertikale je kut Θo na geoidu izmeñu vertikale i elipsoidne normale kroz točku Po na geoidu. Točka Po je pridružena točki P na površini Zemlje preslikavanjem po težišnici. Pri tome elipsoid mora imati jednak potencijal Wo kao i geoid. Udaljenost PoQo je visinska razlika izmeñu elipsoida i geoida i naziva se geoidna visina odn. geoidna undulacija (N). 3.
Otklon vertikale po Molodenskom. Otklon vertikale je kut ΘN na površini Zemlje izmeñu smjera vertikale i smjera normale u točki P na sferopotencijalnoj plohi, koja ima isti potencijal WP, kao i geopotencijalna ploha kroz točku P (slika 2.14). Ploha za koju vrijedi da je u svakoj njenoj točki Q ispunjen uvjet UQ=WP, se po Hirvonenu naziva teluroid. Visinska razlika izmeñu teluroida i fizičke površine Zemlje ζ se naziva anomalija visine (engl. "height anomaly", njem. "die Höhenanomalie"). Pri tome valja napomenuti da teluroid nije nivo ploha, već je teluroid geometrijsko mesto točaka, za koje vrijedi UQ=WP.
Otklon vertikale Θ je prostorni kut, i zato ga možemo rastaviti na dvije meñusobno okomite komponente; odstupanje u smjeru meridijana (sever – jug) ξ i odstupanje u smjeru prvog vertikala (istok – zapad) η. Komponente otklona vertikale proizlaze neposredno iz geografskih koordinata točaka na površini Zemlje (astronomskih i geodetskih). Smjer težišnice (n) neposredno definira astronomske geografske koordinate: astronomsku dužinu i astronomsku širinu. Označavaju se kao: astronomska širina - Φ i astronomska dužina - Λ. Odreñuju se putem astronomskih opažanja nebeskih tijela i Sunca. Elipsoidne koordinate, definirane smjerom normale na elipsoid (n'), označavamo: elipsoidna (takoñe geodetska) širina φ i elipsoidna (geodetska) dužina - λ. Rezimirajmo (slika 2.15a): normala na geoid n → astronomske koordinate Φ, Λ; normala na elipsoid n' → geodetske koordinate φ, λ.
slika 2.15a: Otklon vertikale prikazan na jediničnoj kugli sa središtem u P
38
Potražimo sada vezu izmeñu astronomskih i geodetskih koordinata. Pri tome polazimo od dvije pretpostavke: mala poluos referentnoga elipsoida je paralelna sa srednjom rotacijskom osi Zemlje i nulti meridijan elipsoidnog koordinatnog sistema je paralelan sa Greenwichkim meridijanom. Osi smo putem malih pomaka doveli do poklapanja. Kroz točku P na površini Zemlje postavimo kuglu sa jediničnim radijusom. Oznake sa slike 2.15b su sljedeće:
slika 2.15b: Komponente otklona vertikale točka N je presjek rotacijske osi i kugle (nebeski pol); Θ je sferna udaljenost izmeñu točaka na kugli, koje odgovaraju astronomskom zenitu Za i geodetskom zenitu Zg. Komponenta otklona vertikale u ravnini astronomskog meridijana je ξ (pozitivna kada je Za severno od Zg). Komponenta otklona vertikale u ravnini prvog vertikala je η (pozitivna kada je Za istočno od Zg). Iz odnosa u pravokutnom sfernom trokutu slijede relacije (Napierevo pravilo): cos (90°–φ) = sin(90°–η) sin[90°–(90°–Φ+ξ)] sin{90°–[90°–(Φ–ξ)]} sinφ = sin(Φ–ξ) cosη cos(90°–η) = sin(90°–φ) sin(Λ–λ) sinη = sin(Λ–λ) cosφ Pošto znamo da su kutovi ξ,η i ∆λ=(Λ–λ) mali, možemo sa dovoljnom točnošću umjesto kutova uzeti približenja za kutove: cosη ≈ 1, sinη ≈ η,
cos(90°–∆λ) = sin∆λ ≈ ∆λ
Na taj način dobijamo komponente otklona vertikale u obliku: ξ = Φ –φ
(2.64)
η = (Λ–λ)cosφ
Pomoću Laplaceove jednadžbe, koja daje vezu izmeñu astronomskog i geodetskog azimuta: A–α=(Λ–λ)sinφ, možemo napisati još jednu jednadžbu za komponentu otklona u smjeru prvog vertikala: A – α = ηtgφ 39
(2.65a)
Jednadžba je veoma korisna, jer omogućava računanje komponente otklona η pomoću mjerenih astronomskih azimuta. U prošlosti su se astronomski azimuti odreñivali mnogo lakše i tačnije nego astronomske geografske dužine. Komponenta ε: ε = ξcosα + ηsinα
(2.65b)
je komponenta otklona vertikale u smjeru azimuta α. Gornja izvoñenja vrijede za Helmertov otklon vertikale. Razlike izmeñu Pizzetijevog i Helmertovog otklona su veoma male, reda veličine 0,"01, što je mnogo manje od točnosti odreñivanja astronomskih geografskih koordinata Φ in Λ. S obzirom na izbor elipsoida na kojeg se odnose geodetske koordinate, možemo otklone podijeliti u dve skupine: a) Apsolutni otkloni vertikale se odnose na srednji Zemljin rotacijski elipsoid. On je geocentričan i njegovi fizikalni parametri (masa, gravitacijski potencijal, kutna brzina) su izabrani tako da odgovaraju stvarnim parametrima Zemlje. Ti elipsoidi so osnova za uspostavu globalnih geodetskih referentnih sistema (GRS 80, WGS 74, WGS 84 itd.). b) Relativni otkloni vertikale se odnose na relativno orijentirane referentne elipsoide, čiji parametri su bili odreñivani u različita vremena sa različitim instrumentima na osnovu više ili manje ograničenih regionalnih mjerenja (Bessel, Hayford, Krasovski itd.). Male poluosi tako odreñenih elipsoida, su naime paralelne sa rotacijskom osi Zemlje, ali ipak parametri tih elipsoida odražavaju pojedine sistematske karakteristike područja. Zato se ti referentni elipsoidi izmeñu sebe razlikuju, a njihov oblik je dobro približenje samo za dijelove površine Zemlje. Ovakve elipsoide obično smo zvali najprikladniji elipsoid za odabrana područja. Općenito na nastanak otklona vertikale utječu reljef i unutrašnji sastav Zemlje. Prirodna površine Zemlje ostvaruje višak odn. manjak masa u odnosu na okolinu točke, i to ima za posljedicu otklon (privlačenje) sile teže u smjeru povećane mase. Najveći dio otklona prouzrokuju topografske mase i raspored masa različite gustoće u veoma širokoj okolici točke posmatranja. Otklone vertikale možemo odrediti i računskim putem, i takve otklone zovemo topoizostsatski otkloni. Oni su sastavljeni su iz topografskih, koji su rezultat privlačne sile masa u okolini i izostatski otkloni, koji se računaju na osnovu odgovarajuće teorije izostazije (dosta su manji od topografskih). Izostatske otklone možemo posmatarti kao korekcije topografskih, jer uzrokuju sistematske anomalije sa dosta manjim varijacijama od prvih. Još u XIX vijeku su ustanovili da su računski topografski otkloni bili veći od onh dobivenih iz stvarnih mjerenja (i to u visokim planinama, kao na primjer Himalaji). Pretpostavljali su da se ispod višeg reljefa kriju mase sa manjom gustoćom. To je tkz. pojava izostazije, a hipotezu je kasnije potvrdilo i sistematsko ponašanje anomalija sile teže (Bouguerovih). Znači da su višak masa (brda) ili manjak masa (oceani) barem delimično kompenzirani rasporedom gustoće. Ako pretpostavimo da čvrsti dio Zemljine 40
kore pliva u istopljenoj masi, znači da postoji ploha, na kojoj dolazi do izjednačenja hidrostatičkih pritisaka – izostatska ploha (ploha kompenzacije, hidrostatičke ravnoteže, izjednačavajućeg pritiska).
2.6.2
Anomalije sile teže
U poglavlju 2.5 anomaliju sile teže definirali smo kao razliku intenziteta vektora stvarne (realne) sile teže i vektora normalne sile teže (uporeñujemo na nivou geoida). ∆g = gP – γQ
Intenzitet vektora stvarnog ubrzanja sile teže je mjerena vrijednost ubrzanja, koju možemo dobiti, bilo putem apsolutnih, bilo putem relativnih gravimetrijskih mjerenja. Vrijednosti ubrzanja sile teže odn. njihovih razlika mjerimo na fizičkoj površini Zemlje, na različitim nadmorskih visinama i u različitim geografskih širinama. Na taj način, mjerene vrijednosti ubrzanja nisu meñusobno neposredno uporedive. Mjerenja vrijednosti ubrzanja se meñusobno razlikuju u vremenskom i prostornom smislu. U različitim vremenskim periodima mjerene vrijednosti ubrzanja sile teže se meñusobno razlikuju zbog vremenskih promjena polja sile teže i zbog neravnomjernog djelovanja gravimetra. Prostorno se ubrzanje sile teže mijenja s geografskom širinom i nadmorskom visinom točke na kojoj vršimo opažanja. Na svakoj točki je prisutan i utjecaj okolnih topografskih masa i razlike u gustoći tih masa. Prostorne promjene ubrzanja sile teže koriste u svojim istraživanjima i geodezija i geofizika. Geodezija ih koristi za odreñivanje odstupanja pravog oblika Zemlje od njenog elipsoidnog oblika. Geofizika koristi prostorne promjene ubrzanja za odreñivanje promjena u gustoći stijena u Zemljinoj kori i gornjem plaštu (tkz. radijalni kontrast gustoće), sa namjerom dobijanja podataka o geologiji podzemnih slojeva. Zato obje struke pristupaju (na sličan pa ipak različit način) redukciji mjerenih vrijednosti ubrzanja sile teže na referentnu plohu. Cilj redukcije vrijednosti ubrzanja sile teže je dobiti t.i anomalijske vrijednosti ubrzanja koje će odražavati geofizikalni odn. geodetski problem (kontrast gustoće odn. oblik Zemlje). Redukciju mjerenih vrijednosti ubrzanja sile teže postižemo uvoñenjem različitih popravaka (korekcija). Općenito se prostorne korekcije mjerenih vrijednosti ubrzanja sile teže dijele u dve skupine: izostatske i neizostatske. Kod prvih se prilikom redukcije uvažava jedna od teorija izostazije, a kod drugih ne. Neizostatske korekcije su: 1. korekcija slobodnog zraka; 2. Bouguerova korekcija; 3. korekcija reljefa; 4. korekcija Poincarre – Praya 5. Helmertova kondenzacijska korekcija; 6. Rudzkijeva inverzna korekcija.
41
Korekcija Poincare–Praya se računa ako su mjerenja izvršena ispod razine mora ili u rudarskih oknima i zbog toga je potrebno izračunati utjecaj masa iznad točke mjerenja. Poslednje dvije korekcije se računaju samo u visoko točnim istraživanjima polja sile teže. Korekcija slobodnog zraka (δgFA) predstavlja smanjenje mjerene vrijednosti ubrzanja sile teže zbog nadmorske visine stajališta, drugim riječima korekcija je direktna redukcija ubrzanja na plohu geoida, bez razmatranja topografskih masa koje se nalaze izmeñu površine Zemlje i geoida. Korekcija je uvijek pozitivna. Za praktičnu upotrebu zadovoljava već približna jednadžba, koju možemo dobiti pomoću aproksimacije vertikalnog gradijenta normalnog ubrzanja sile teže (jednadžba 2.52) : δgFA = 0,3086 H(m) mGal
pri čemu smo u jednadžbi γ( φ, h ) = γ o − 2
(2.66)
γ h zamijenili γ i R sa njihovim prosječnim R
vrijednostima. Utjecaj okolnih topografskih masa odstranjujemo pomoću topografske korekcije. Tu korekciju možemo dalje podijeliti na: korekcija za Bouguerovu ploču (dgB) i korekcija reljefa (terena) (δgR). Bouguerova korekcija proizlazi iz činjenice da se izmeñu stajališta P na površini Zemlje i referentne plohe u stvarnostii nalaze mase, čije privlačenje treba uzeti u obzir. To privlačenje obično računamo jednostavno kao utjecaj masa koje aproksmiramo homogenom, beskonačnom pločom konstantne gustoće (tkz. Bouguerove gustoće) i debljine HP. Bouguerova ploča ne može zamijeniti stvarni reljef u okolišu točke. Zato uvoñenjem korekcije reljefa pokušavamo u najvećoj meri otkloniti nepravilnosti reljefa (slika 2.16). Korekciju za Bouguerovu ploču možemo izračunati kao: δgB = 2πGρHP = 0,04191ρHP(m) mGal
(2.67)
slika 2.16: korekcije mjerene vrijednosti ubrzanja sile teže Korekcija za Bouguerovu ploču je uvijek negativna, jer mase ispod stajališta povećavaju vrijednost mjerenog ubrzanja. Korekcija reljefa ima nasuprot tome uvijek pozitivan predznak, bez obzira kakav je stvarni reljef u okolici stajališta (neovisno postoji li višak odn. manjak masa). Mase iznad visine stajališta (HP) privlače nagore,
42
smanjuju utjecaj Bouguerove ploče (smanjuju vrijednost ubrzanja); Bouguerovu korekciju moramo povećati. Nasuprot tome manjak masa (doline, vrtače), smanjuju masu Bouguerove ploče. Na taj način moramo opet Bouguerovu korekciju povećati. Računanje korekcije za reljef je vrlo zahtjevno. Prilikom praktičkog računanja se za pojedine točke (stajališta) na Zemlji okoliš točke razdijeli na mrežu pravilnih kvadrova (prstenova). Nekada su korekcije reljefa računali ručno, putem različitih dijagrama (poznati su Hammerovi dijagrami), a danas pomoću numeričke integracije upotrebom digitalnih modela terena (visina). S obzirom na to, koje korekcije smo dodali mjerenoj vrijednosti ubrzanja sile teže, nastupaju sljedeće anomalije ubrzanja sile teže: Anomalija slobodnog zraka ("free air anomaly", "Freiluftanomalie")*: ∆gFA = gmer + δgFA – γ
(2.68)
∆gB = gmer + δgFA – δgB + δgR – γ
(2.69)
Bouguerova anomalija:
Anomalije slobodnog zraka su srazmjerne visini područja, znači što je viša točka, tim je anomalija veća. Zato se ove anomalije koriste za izračunavanje plohe geoida. Bouguerove anomalije se koriste u istraživanjima primjenjene geofizike, jer su one odraz promjena u gustoći unutarnjih slojeva Zemlje. U brdovitim krajevima su uglavnom negativne, a na morskim površinama su pozitivne. U slučaju da smo pravilno ocijenili gustoću Bouguerove ploče, anomalije su korelirane sa topografijom površine Zemlje. Bouguerove anomalije imaju veliki indirektni učinak. Taj učinak nastane, jer se odstranjivanjem i premještanjem vidnih masa mijenja i polje sile teže, što ima za posljedicu promjenu potencijala, odn. potencijala na samom rezultirajućem geoidu.
*
Nekada su se anomalije slobodnog zraka u geodetskoj i geofizikalnoj praksi zvale i Fayeove anomalije. U današnje vrijeme se pojam "Fayeove anomalije" veoma rijetko sreće u geodetskoj literaturi.
43
3
Sistemi visina
Položaj točke u tridimenzionalnom prostoru je odreñen sa tri koordinate. Koordinate možemo izraziti na različite načine, ali su svi ti načini načelno meñusobno neovisni. Iako su koordinate neovisne, mi u svakodnevnom živout razlikujemo položaj i visinu. Ako želimo neki predmet podići na odreñenu visinu, potrebna je mnogo veća sila, nego da taj isti predmet pomaknemo horizontalno. Razlog tomu je u sljedećem: položaj je geometrijski definiran, a visina fizikalno. Ranije smo naučili da je visina srazmerna razliki potencijala, u suštini je neraskidivo povezana sa poljem sile teže Zemlje. I visine možemo definirati geometrijski. To su na primer tridimenzionalne kartezijske koordinate X, Y, Z, koju mogu biti izražene kao elipsoidne (geodetske koordinate φ, λ, i h, pri čemu je h elipsiodna visina. To je vertikalna udaljenost točke na površini Zemlje od referentnog elipsoida, računato po normali na elipsoid. Elipsoidne visine su za svakidašnju upotrebu i za izvoñenje tehničkih projekata neupotrebljive, jer točke sa istim elipsoidnim visinama odstupajo od nivo ploha (geopa) i do ±100 m. U brdovitim područjima odstupanja na razdaljini 10 km dostižu i 1 m. Prilikom izbora odgovarajućeg sistema visina moramo uzeti u obzir zahtjeve različitih korisnika, zahtjeve znanosti i pojedinih struka. Na taj način dolazimo do niza uvjeta, koje mora zadovoljiti teoretsko besprijekoran visinski sistem. Ti uvjeti se nažalost u odreñenoj mjeri i meñusobno isključuju. Najvažniji uvjeti su: 1. Visine točaka moraju biti jednoznačno definirane i moraju se odrediti neovisno od puta niveliranja. Nivo plohe polja sile teže meñusobno nisu paralelne i pošto su vrhunjenje libele i položaj kompenzatora nivelira u uskoj vezi sa poljem sile teže, taj uvjet nije ispunjen za visine točaka, odreñenih na osnovu rezultata geometrijskog nivelmana. 2. Visine točaka bi trebale biti odreñene na osnovu mjerenja izvedenih na površini Zemlje i pri tome bi trebalo uzeti u obzir što manje različitih hipoteza (na primer hipoteza o gustoći i rasporedu masa u unutrašnjosti Zemlje). 3. Popravke mjerenih visinskih razlika, zbog usvojenog visinskog sistema, moraju biti tako male, da ih možemo zanemariti kod nivelmanskih mreža nižih redova, koje su vezane na nivelmanske mreže viših redova. 4. Visine točaka moraju biti izražene u metrima i za visine bi morala postojati geometrijsko tumačenje. 5. V zadnje vrijeme se javlja zahtjev - potreba da postoji jednostavna veza izmeñu izabranog visinskog sistema i elipsoidnih visina. Ta veza bi trebala omogućiti jednostavan prijelaz iz elipsoidnih visina, odreñenih putem GNSS mjerenja u fizikalne visine. Pored toga dobro je ako za referentnu plohu (izhodišnu plohu računanja visina) postoji fizikalno tumačenje. Pogledajmo primjer sa slike (3.1). Geometrijski nivelman je izvršen od točke Po (koja se nalazi na nivou mora – geoidu) do točke Pi na vrhu brda. Nivo plohe nsiu paralelne, što je očito i sa slike 3.1.
44
slika 3.1: princip geometrijskog nivelmana Pretpostavka je da smo izvršili nivelman sa obje strane brda. Bez obzira na smer niveliranja visinska razlika na stajalištu (δh) jednaka je razlici očitavanja na letvama naprijed i nazad. "Nadmorsku visinu" točke Pi dobijamo kao sumu djelimičnih visinskih razlika. Na taj način dobijamo dve visine točke Pi: prvi put kao sumu visinskih razlika sa lijeve strane brda i drugi put kao sumu djelimičnih visinskih razlika sa desne strane. Očito je da su to dvije različite vrijednosti visine točke Pi: sa desne strani brda je razmaknutost nivo ploha veća nego sa leve strane. Koliko neparalelnost nivo ploha utječe na rezultat geometrijskog nivelmana? Ako zanemarimo razliku izmeñu stvarnog i normalnog polja sile teže, napišimo približnu jednadžbu za razmaknutost sferopotencijalnih plohi (nivo plohe u normalnom polju sile teže), koja odgovara srednjoj visini nivelmanske linije hm i odgovarajućoj srednjoj geografskoj širini φm: ∆h ≈ –0,0053 hm ∆φ sin2φm
Numerička konstanta –0,0053 je gravimetrijska spljoštenost f* za nivo-elipsoid GRS80. Za dužinu nivelmanske linije 50 km (što odgovara razlici geografskih širina početne i završne točke linije ∆φ=0,008 rad) i srednju visinu linije hm=500 m, dobijamo ∆h ≈ 0,02 m. To je vrijednost koja je veća od uobičajene pogreške na km niveliranja na takvoj razdaljini. Vidjeli smo da utjecaj neparalelnosti nivo ploha utječe na konačni rezultat niveliranja. Meñutim, koja visina točke Pi je onda prava? Dvosmislenost možemo ukloniti samo tako da rezultat geometrijskog nivemana izrazimo putem veličine, koja je neovisna od puta niveliranja. Podsjetmo se jednadžbe (2.31) sa početka razmatranja teorije polja sile teže Zemlje i napišimo je u obliku: δW= –gδh
(3.1)
Znamo da kroz neku točku prolazi samo jedna nivo ploha, što znači da toj točki odgovara samo jedna vrijednost potencijala W. Na taj način potencijal sile teže predstavlja jednu mogućnost jednoznačnog predstavljanja visine točke. Označimo sada djelimične visinske razlike izmeñu dvije točke sa δl (slika 3.1); letva zadnja – letva prednja. To je visinska razlika izmeñu točaka Pk-1 in Pk. Ako poznajemo vrijednosti
45
ubrzanja sile teže na točkama, možemo pomoću jednadžbe (3.1) izračunati razliku potencijala izmeñu te dvije točke.
slika 3.2: geopotencijalna kota Razlika potencijala izmeñu dvije točke je neovisna od puta niveliranja. Možemo je izračunati kao integral izraza (3.1): Pi
Pi
W0 − Wi = − ∫ gdl = − ∫ g ' dh' p0
(3.2)
Po '
gdje vršimo integraciju uzduž terena (dl) od geoida do točke Pi, ili uzduž težišnice (dh') točke Pi. Takav nivelman zovemo geopotencijalni nivelman, jer povezuje geometrijski nivelman sa mjerenjima ubrzanja sile teže (koje smo izvršili na površini Zemlje). Geoid ili nulta nivo ploha predstavlja referentnu plohu za odreñivanje razlika potencijala i mjerenih visinskih razlika. Razlike potencijala, reducirane na geoid zovemo geopotencijalne kote (C) ("geopotential number"). Geopotencijalna visina je definirana kao negativna razlika potencijala izmeñu geoida i točke na površini Zemlje: C i = W0 − Wi =
Pi
Pi
Po
Po '
∫ gdl =
∫ g' dh'
(3.3)
Jedinica za geopotencijalnu visinu je tkz. geopotencijalna jedinica ("geopotential unit" – gpu): 10 m2s-2 = 1 gpu = 1 kGalm = 1000 Galm Ako je g ≈ 0,98 kGal, slijedi da je: C ≈ gH ≈ 0,98H Znači, geopotencijalna visina izražena u gpu jedinicama je skoro jednaka visini točke, izraženi u metrima, razlika je manja od 2 %.
46
U praksi, veličine l i g nisu poznate kao neprekidne, lokalne funkcije. Zbog toga se integral u gornjem izrazu ne može rješavati analitički, već ga moramo zamijeniti sumom: j
C i = W0 − Wi = ∑ g k δlk
(3.4)
k =i
pri čemu su: gk = 12 ( gk −1 + gk ) , δlk mjerena visinska razlika izmeñu dva repera, a gk je mjerena vrijednost ubrzanje sile teže na k-tom reperu. U praksi se često ne mjeri ubrzanje na svakom reperu, već samo na pojedinim, a nedostajuće vrijednosti interpoliramo. Pri tome je bitno da su poznate vrijednosti ubrzanja g zadate (mjerene) sa zadovoljavajućom točnošću. Prednosti geopotencijalnih visina su sljedeće: • neovisne su od puta niveliranja; • svaka točka je u visinskom smislu jednoznačno odreñena sa geopotencijalnom visinom; • geopotencijalne visine su pozitivne iznad geoida, nula na njemu i negativne ispod geoida; • sve točke na istoj nivo plohi imaju jednaku geopotencijalnu visinu; • geopotencijalne visine možemo odrediti na osnovu mjerenja izvršenih na površini Zemlje; • zbog poznate osobine polja sile teže Zemlje da je bezvrtložno, krivolinijski integral po zatvorenoj liniji (cirkulacija polja) jednak je nula:
∫ (K )
dC =
∫ gdl = 0 (K )
Ta jednakost sigurno ne važi za nivelirane visinske razlike. Nažalost su visine, definirane putem geopotencijalnih visina za druge struke neupotrebljive. Glavna mana geopotencijalnih visina je ta da ih ne možemo geometrijski interpretirati i da nisu izražene u metrima. Ali sa druge strane imaju veliki značaj u izravnanju državnih nivelmanskih mreža viših redova, kao i u povezivanju meñudržavnih nivelmanskih mreža. Za većinu ljudi je geometrijska zamisao visina najprimernija. U geodetskoj praksi se koriste tkz. "metričke" visine, to su visine koje su izražene u metrima. Meñu najstarije metričke visine spadaju dnamičke i ortometrijske visine. Ako geopotencijalnu kotu podijelimo sa konstantnom vrijednošću ubrzanja sile teže (na primjer na nivoju elipsioda za neku referentnu geografsku širinu, na primjer φ=45°) dobijamo tkz. dinamičke visine:
HiD =
Ci γ 0ref
U praksi se dinamičke visine računaju na takav način da mjerenoj (niveliranoj) visinskoj razlici izmeñu dva repera dodamo dinamičku popravku (DP):
47
(3.5)
Pj
DPij =
∫ Pi
j gk − γ 0ref gk − γ 0ref δ l = δlk ∑ k γ 0ref γ 0ref k=i
(3.6)
δlk je mjerena visinska razlika izmeñu dva repera i gk je mjerena vrijednost ubrzanja sile teže na k-tom reperu. Kriteriji za vrijednosti ubrzanja sile teže su jednaki kao i za geopotencijalne visine, što znači da se u praksi ne mjeri ubrzanje na svakom reperu, već samo na pojedinim, a nedostajuće vrijednosti interpoliramo.
slika 3.3: dinamičke visine Točke na istoj nivo plohi imaju jednaku dinamičku visinu (slika 3.3). Problem dinamičkih visina je u tome da popravke niveliranih visinskih razlika mogu biti veoma velike i da same visine nemaju geometrijsko značenje. Ne možemo ih povezati sa elipsoidnim visinama (h). Kao ilustraciju, navedimo primjer računanja dinamičke popravke na ekvatoru: vrijednost ubrzanja sile teže iznosi približno g ≈ 9,78 ms-2, normalno ubrzanje sile teže je γ045 = 9,806 ms-2; za visinsku razliku 300 m dinamička popravka iznosi DP=–0,8 m. Dinamičke visine su važne za različite inženjerske projekte (npr. hidrotehničke, gdje je potrebno izračunati točan pad terena zbog proračuna protoka vode). Najstarije i najrasprostranjenije metričke visine su ortometrijske visine H. Ortometrijska visina je udaljenost točke na površini Zemlje od geoida, mjereno po zakrivljenoj težišnici (slika 3.4). Jednadžbu za ortometrijsku visinu možemo napisati u obliku: Pi
H = ∫ dh'
(3.7)
P0
pri čemu integriramo uzduž težišnice. Ako označimo vrijednost ubrzanja sile teže uzduž težišnice sa g' i zamjenom dh' iz jednadžbe (3.1) dobijamo: Pi
dW = g ' i Po
H = −∫
Pi
dC ∫P gi ' = o
Pi
g
∫ g ' dl
Po
(3.8)
i
Jednadžba za računanje ortometrijskih visina slijedi neposredno iz poučka o prosječnoj vrijednosti integrala:
48
Neka je funkcija f(x) na intervalu [a,b] neprekidna; unutar intervala postoji barem jedan broj ξ, takav da vrijedi b
∫ f ( x )dx = (b − a )f ( ξ) a
Geometrijska interpretacija: izmeñu točaka a i b postoji točka ξ, tako da je površina lika ABCD jednaka površin pravokutnika AB'C'D. Broj m je prosječna vrijednost ili aritmetička sredina funkcije f(x) na intervalu [a,b]: b
m=
1 f ( x )dx b − a ∫a
Polazimo od jednadžbe za geopotencijalnu kotu, koju pišemo u malo promjenjenom obliku: 1 C i = W0 − Wi = ∫ gdl = ∫ g' dh' = H i H i Po Po ' Pi
Pi
' g ' dh ' = gi H i ∫P o Pi
Poučak tvrdi da izmeñu geoida i točke Pi na površini Zemlje postoji takva vrijednost ubrzanja sile teže da vrijedi :
Hi =
1 gi'
Pi
∫ gdl
(3.9)
Po
gi ' je srednja vrijednost ubrzanja sile teže uzduž težišnice u integralnom smislu. Konačno za ortometrijsku visinu možemo napisati: Hi =
Ci gi '
(3.10)
gdje je Ci geopotencijalna visina točke Pi. Ortometrijske visine dobijamo tako da "izmjerimo geopotencijalni nivelman izmeñu geoida i točke na površini Zemlje uzduž težišnice". To vrijedi samo teorijski, jer u unutrašnjosti Zemlje ne možemo izvršiti mjerenja. Da bi izračunali prosječnu vrijednost g na dijelu od Po do Pi moramo uvesti hipoteze o rasporedu masa odn. gustoće u Zemljinoj unutrašnjosti.
slika 3.4: ortometrijska visina
49
Ortometrijske visine imaju geometrijsko značenje ali točke sa jednakim ortometrijskim visinama ne leže na istim nivo plohama (osim na geoidu). Veza sa elipsoidnim visinama (h) je preko geoidnih visina N, h = H + N. U praksi se ortometrijska popravka (OP) doda mjerenoj visinskoj razlici i na taj način dobija se ortometrijska visinska razlika:
g j − γ 0ref gk − γ 0ref gi − γ 0ref OPij = ∑ δlk + Hi − Hj γ 0ref γ 0ref γ 0ref k=i j
(3.11)
pri tome su: δlk suma niveliranih visinskih razlika izmeñu repera i i j; g i , g j srednje vrijednosti ubrzanja sile teže uzduž težišnica repera i i j; Hi i Hj su nadmorske (ortometrijske) visine repera; γ 0ref je izabrana vrijednost ubrzanja normalne sile teže za refrentnu geodetsku širinu. Kao što vidimo, popravku tvore tri člana: prvi je dinamička popravka, koja zavisi od puta niveliranja i iznosi od nekoliko centimetara do decimetra: Poslednja dva člana zavise od položaja repera i možemo ih izračunati samo na osnovu hipoteza. I te dvije popravke su u apsolutnom iznosu velike, ali su suprotnog predznaka od dinamičke popravke. Zajednička ortometrijska popravka tako iznosi od par milimetara do centimetra, što znači da je općenito mala. Popravke narastaju sa povećavanjem nadmorskih visina točaka. Pošto se srednja vrijednost ubrzanja sile teže uzduž težiščnice može odrediti samo na osnovu hipoteza o gustoći, u praksi odreñujemo više ili manje točne aproksimacije ortometrijskih visina. Postoji mnogo načina i postupaka kako odrediti što bolju aproksimaciju teorijske srednje vrijednosti ubrzanja sile teže uzduž težišnice. Zbog toga postoji čitava grupa ortometrijskih visinskih sistema, koji se običajno nazivaju po autoru metode njihovog računanja. Sve postupke za računanje ortometrijskih visina možemo svrstati u dvije grupe: a) prva grupa metoda pokušava odrediti vrijednost srednje vrijednosti ubrzanja sile teže uzduž težišnice što egzaktnije i na taj način visinski sistem što bolje približiti teorijskom ortometrijskom visinskom sistemu. Ovdje spadaju metode računanja, koje su predlagali Helmert, Niethammer, Mader i Müller. b) druga grupa metoda pokušava zadržati izračunate ortometrijske visine što bliže niveliranim visinama. Ovdje spadaju jednadžbe koje su predlagali Ramsayer, Ledersteger, Baranov. Točnost odreñivanja ortometrijskih visina zavisi od brojnosti i točnosti podataka o gustoći Zemljine kore, koji nam stoje na raspolaganju. Da bi izbjegli uvoñenje hipoteza o vrijednosti ubrzanja sile teže u unutrašnjosti Zemlje, M.S. Molodenski je 1954. godine predložio uvoñenje tkz. normalnih visina (HN). Normalnu visinu odreñujemo tako da geopotencijalnu visinu podijelimo sa srednjom vrijednošću ubrzanja normalne sile teže na dijelu "normalne težišnice" točke Pi (slika 3.5): N
Hi
C = i γi
1 pri čemu je: γ i = N Hi
50
HN
∫ γ( φ, h)dH 0
N
(3.12)
Srednju vrijednost ubrzanja normalne sile teže tražimo na dijelu težišnice u polju normalne sile teže ("normalna težišnica"), izmeñu točke Qo na nivo-elipsoidu i točke Q na teluroidu. P
geopotencialna ploskev W=W P
ζ Q
sferopotencialna ploskev U=W P
H
N
H H
teluroid (U Q =W P )
N
Po
kvazigeoid ζ
geoid W=W
o
N elipsoid U o =W o Qo
slika 3.5: normalne visine Teluroid je ploha (bolje rečeno geometrijsko mjesto točaka), za koju vrijedi da je u svakoj njenoj točki Q ispunjeno UQ=WP). Teluroid nije nivo ploha, naime njegov oblik zorno prikazuje fizičku površinu Zemlje. "Normalne težišnice" imaju veoma malu zakrivljenost, tako da se u praksi može zamijenit dijelom normale na elipsoid (odstupanje je manje od 0,1 mm). Visinska razlika izmeñu teluroida i fizičke površine Zemlje je anomalija visine ζ. Uopćeno nije prihvatljivo da visinu neke točke predstavlja visina, koja se ne završava u toj točki. Zato je Molodenski postupak okrenuo i definirao novu plohu: kvazigeoid. Ako bi normalne visine svih točaka na površini Zemlje nanjeli na dole, u njenu unutrašnjost, dobili bi plohu kvazigeoida. Na taj način je kvazigeoid za normalne visine to, što je geoid za ortometrijske visine. Kvazigeoid nije nivo ploha, ali su njegova odstupanja od geoida mala, a na morima se te dvije plohe podudaraju. Točnu srednju vrijednost γ na dijelu QoQ možemo izračunati putem integracije, ali je dovoljno da uzmemo vrijednost γ na visini HN/2 i popravimo izračunatu vrijednost iterativnim putem. Ako poznajemo vrijednosti anomalije visine u točki posmatranja, možemo srednjo vrijednost γ izračunati kao sredinu izmeñu vrijednosti ubrzanja normalne sile teže na elipsoidu (Somiglianna izraz, jednadžba 3.49) i vrijednosti ubrzanja normalne sile teže na teluroidu (jednadžba 3.54): HN=h – ζ. Pošto se geopotencijalna visina može odrediti putem geopotencijalnog nivelmana, mogu se normalne visine odrediti bez dodatnih uvjeta i hipoteza.
51
Integracijom jednadžbe (3.12) desno, uzimajući u obzir jednadžbu 2.54 (računanje γ na zadatoj geodetskoj širini i elipsoidnoj visini h) dobijamo jednadžbo za praktično računanje srednje vrijednosti normalnog ubrzanja sile teže u točki: HN HN γ = γ 0 1 − 1 + f + m − 2 f sin 2 φ + 2 a a
(
)
2
(3.13)
Iako same prave vrijednosti normalne visine još ne poznajemo, bez ikakvih ograničenja je možemo zamijeniti s nadmorskom (niveliranom) visinom točke P. Na sličan način kao što računamo dinamičke in ortometrijske popravke, možemo odrediti normalni popravak (NP), kojeg dodamo niveliranoj visinskoj razlici, in na taj način dobijamo normalnu visinu: ref gk − γ 0ref γ i − γ 0ref N γ j − γ 0 NPij = ∑ δlk + Hi − HNj ref ref ref γ γ γ k=i 0 0 0 j
(3.14)
Pošto možemo geopotencijalnu kotu odrediti s geopotencijalnim nivelmanom, možemo normalne visine odrediti bez dodatnih uvjeta i hipoteza. Veza izmeñu normalnih visina i elipsoidnih visina je anomalija visina; h=HN+ζ. U poslednje vreme se naziva i kvazigeoidna visina. Razlike ζ–N su uvijek pozitivne i srazmjerne sa nadmorskom visinom područja i na kontinentima ne premašuju vrijednosti 1 m. Elipsoidna visina predstavlja udaljenost točke na površini Zemlje od referentnog elipsoida. Sistem elipsoidnih visina je geometrijski definiran i podleže utjecajima lokalnog polja sile teže. Elipsoidne visine možemo izraziti putem razlika normalnog potencijala sile teže:
U −UPi hi = 0 γi
1 pri čemu je γ i = hi
P
∫ γdh
(3.15)
Q0
Ako je dotični elipsoid (nivo-elipsoid) geocentričan, riječ je o absolutnim elipsoidnim visinama, u suprotnom primjeru je riječ o relativnim visinama. Takve su takoñe elipsiodne visine, koje se odnose na Besselov referentni elipsoid. Izmeñu elipsoidne, ortometrijske i normalne visine vrijede relacije: h = H + N = HN + ζ
(3.16)
Empirijski vrijedi relacija izmeñu kvazigeoidnih i geoidnih visina: ζ − N = 0,1 H H
[km]
pri tome su H prosječna ort. visina područja i H ortometrijska visina točke posmatranja. Geometrijski se različite visine odnose na dijelove različitih "težišnica". Prije svega nastupa razlika izmeñu vertikale i normale na elipsoid kod ortometrijskih i normalnih
52
visina (strogo uzevši riječ je o normalnoj težišnici, a ne o normali na elipsoid). Razlika izmeñu dijela vertikale i normale je srazmjerna otklonu vertikale (slika 3.6).
slika 3.6: razlika izmeñu dijela vertikale i normale na elipsoid Odgovarajuća visinska razlika je približno jednaka: δh ≈ h sin Θ tan Θ
Razlika je zanemarljivo mala, takoñe i kod ekstremnih vrijednosti otklona (Θ=1' , h=10 000 m), iznosi δh < 1 mm. Znači sve visine, koje imaju geometrijsko značenje se mogu mjeriti uzduž normale na elipsoid. Na kraju spomenimo još tkz. sferoidne odn. normalne-ortometrijske visine (HNO). Te visine su bile u upotebi u prošlosti, kada su bila mjerenja ubrzanja sile teže komplicirana i dugotrajna. U tom slučaju su umjesto izmjerenog ubrzanja sile teže koristili teorijske vrijednosti (ubrzanje normalne sile teže). Sferoidne (normalne) ortometrijske visine se odnose na tkz. normalnu nultu nivo plohu. Iz rezultata geometrijskog nivelmana su računali tkz. normalne geopotencijalne visine CN. odgovarajuća metrička vrijednost visine je dobijena deljenjem normalne geopotencijalne visine sa vrijednošću prosječne vrijednosti normalnog ubrzanja sile teže: NO
Hi
=
C iN γi
Visine se nisu računale na taj način, već su se visinskim razlikama dodavale odgovarajuće popravke. Te su računate po tkz. sferoidnim jednadžbama, po kojima su visine dobile ime. Danas te visine nemaju poseban značaj, ali u stvari to visine, koje su u upotrebi u mnogim evropskim državama. Različita procjena uvjeta koje mora ispuniti odreñeni visinski sistem, je u prošlosti dovela do toga, da u različitim državama upotebljavaju različite visinske sisteme. Nadmorske visine točaka koje su odreñene niveliranjem u XIX. vijeku su preračunate u ortometrijske visine (srednja vrijednost g je računata po Helmertovim jednadžbama). Danas u većini evropskih država prelaze iz sistema ortometrijskih visina na sistem normalnih visina po Molodenskom. U Francuskoj upotrebljavaju normalne visine po
53
Vignalu. Zbog uključivanja u UELN ("United European Levelling Network") imaju mnoge evropske države visine repera date i u geopotencijalnim visinama (kotama).
3.1
Morski nivo
Morski nivo se menja zbog mnogobrojnih vremenskih i prostornih promjena. U dužem vremenskom razdoblju možemo smatrati da je morski nivo ekvipotencijalna ploha. Meñutim i tada se morski nivo menja zbog geoloških procesa. Tektonski procesi unutar Zemljine kore mogu promjeniti morski nivo za nekoliko stotina metara, posmatranao u razdoblju 108 godina. U kraćim vremenskim razdobljima 103–105 let, najveći utjecaj na morski nivo ima izmjena vode izmeñu glečera i okeana. V veoma kratki vremenskim razdobljima (24 časova, odn. dnevne promjene) se morski nivo menja kao posljedica naizmeničnog privlačnog utjecaja Sunca i Mjeseca – morske mijene odn. plima i oseka. Plima i oseka pojavljuju se zbog gravitacijskih sila koje se nalaze izmeñu Zemlje, Mjeseca i Sunca pri njihovom meñusobnom kretanju kroz svemir. Mjesec sa okreće oko Zemlje te zbog svoje privlačnosti prema Zemlji izmeñu njih se javlja privlačna sila koja djeluje na Zemlju a pošto na Zemlji sve osim goleme vodene mase (71% Zemljine površine prekriveno vodom) nije dovoljno fleksibilno da bi ga Mjesec privukao, mjesec privlači prema sebi vodenu masu na velikim površinama (oceani, mora, velika jezera), što uzrokuje povlačenje razine mora na obali te razina mora opada kako utjecaj jača i to zovemo osekom, postupno utjecaj slabi te dolazi do postupnog povećanja razine mora u prvotno stanje a tu pojavu zovemo plimom. Zbog toga što je mjesec glavni pokretač plime i oseke do te promjene dolazi dva puta u neki 25 sati dugom vremenskom razdoblju ili bolje rečeno plima i oseka se izmjene u jednom danu dvaput otprilike svakih 12 sati i 25 minuta.
3.1.1
Srednji nivo morske površine
Morske plimne amplitude i visine točaka na kopnu su definirane u odnosu na srednji nivo morske površine. V prvom približenju možemo srednji nivo morske površine, prosjek trenutnog morskog nivoa za izabrani vremenski period, izjednačiti sa ekvipotencijalnom plohom ili geoidom. Razlike so očite već u tome da rezultat niveliranja izmeñu dva udaljena mareografa uopćeno nije jednak nuli. Razlike nastupajo zbog prostorsnih i vremenskih uzroka: geoid je sam po sebi vremesnki zavisan, a takoñe i definiciju srednjeg nivoa morske površine moramo dati sa većom točnošću. Velike razlike postoje u srednjem nivou mora u plitkim morima pored obala i na otvorenom moru. Tamo struje mogu prouzrokovati sistematske promjene morskog nivoa veličine 10 - 20 cm. Na otvorenom moru pratimo morski nivo pomoću posebnih mjerača vodnog tlaka, koji se postavljajo na morsko dno. Ta mjrenja dopunjujemo podacima o gustoći i salinitetu vode. Pored obala srednji morski nivo registriramo putem posebnih instrumenata mareografi ("tide gauge"). Oni su postavljeni uzduž obala svetskih mora i okeana i neprestano bilježeo trenutni morski nivo. Registracije morskog nivoa je počela u XVIII
54
vijeku. Konstrukcija može biti mehančka, tlačnai, akustičnai ili radarska. Do sada su se najviše upotrebljavali mehanički mareografi (slika 3.7); sama konstrukcija se nije bitno promjenila u zadnjih sto godina.
slika 3.7: mehanički mareograf
Najvažniji faktor pravilne registracije dnevnih promjena njihanja morskog niova je dobro održavanje mareografa. Gornja granica točnosti dnevne registracije iznosi 1 mm. Kao izhodište za računanje nadmorskih visina točaka se obično juzima prosjek srednjeg nivoa mora izračunat u periodu od najmanje 18,6 godina (razdoblje u kojem ravan Mjesečeve orbite puni puni obrtaj, precesijski period mjesečeve orbite).
mehanički mareograf sa satom (Split) radarski mareograf slika 3.8: različite konstrukcije mareografa
55
slika 3.9: princip rada tlačnog mareografa V blizini mareografa se obično nlazi fiksna visinska točka → osnovni mareografski reper, koji se niveliranjem naveže na državnu nivelmansku mrežu. Po dogovoru ima srednji nivo mora odn. nulta nivo-ploha absolutnu visinu nula. Poloaj nultenivo-plohe je definiran sa vertikalnom udaljenošću od tkz. normalnog repera, koji je stabiliziran na području, koja važi kao geološki stabilan. Brojni mareografi po svetu su udruženi u Meñunarodnu službu srednjeg morskog nivoa (PSMSL "Permanent Service for Mean Sea Level"). Sedište službe je u britanskom oceanografskom observatoriju u Liverpoolu. Služba arhivira i istovremeno računa mesečne i goidšnje prosjeke registracija sa više od 1800 mareografa po celom svijetu. Mesečni i godišnji prosjeci koje ta služba izračuna su takoñe u granicama 1 mm. Danas su pojedini mareografi uspostavljaju kao kombinirane geodetske točke, što znači se njim analazi permanentna GPS stanica, periodično se na njej vrše precizna nivelmanska i gravimetrijska mjerenja (po mogućstvu čak absolutna gravimetrijska mjerenja). Lokalna stabilnost antene odn. objekta se prati putem povremenih terestričkih kontrolnih mjerenja.
slika 3.10: kombinirana mareografska stanica
3.2
Topografija morskog nivoa
Sve nepravilnosti koje prouzrokuju odstupanje srednjeg morskog nivoa od ekvipotencijalne plohe zovemo topografija morskog nivoa (SST "sea surface topography"). Na prisutnost topografije morskog nivoa utječu pored spomenutih klimatskih promjena i vrtloženja vode i drugi utjecaji: snažne struje unutar oceanskih
56
voda, razlike u temperaturi i salinitetu (istog mora); dnevne promjene topografije morskog nivoa iznose i do ±1 m. Topografija morskog nivoa se danes odreñuje isključivo putem satelitskih altimetrijskih mjerenja. Pri tome se mjere trenutne visine ("Sea Surface Height") morskog nivoa nad geoidom. One se mijenjaju vremenski i prostorno. Na izmjerene visine morskog nivoa najviše utječu sila teže, morski mijene i oceanske struje. Pri tome sila teže može promjeniti SSH za više desetina metara, struje za nekoliko centimetara. Utjecaj sile teže na SSH je konstantan, a utjecaj morskih mijena periodičan. Izmerjene visine morskog nivoa SSH su manje na područjima manje gustoće i obratno. Na primjer u najdubljem dijelu svetskih oceana - Marijanski jarak (dubina skoro 11 km), se visine SSH smanje za 20 m. Naravno visine morskog nivoa nisu konstantne i zbog utjecaja vetra, morskih struja i Zemljine rotacije. Takve promjene nazivamo dinamička morska topografija (DST).
slika 3.11: SST u odnosu na globalni geoid EGM96
3.3
Nivelmanske mreže u BiH
Geodetski datum je niz proizvoljnih numeričkih ili geometrijskih veličina, koje predstavljaju izhodište za računanje drugih veličina. U geodeziji radije govorimo o referentnim (koordinatnim) plohama, koje čine geodetski datum. Datum je referentna ploha, odreñena svojim oblikom i veličinom. U geodeziji je historija uvjetovala odvojen pristup horizontalnim i vertikalnim datumima (zbog odvojenog odreñivanja položaja i visina točaka). Vertikalni datum predstavlja geoid, a njega materijaliziramo putem srednjeg morskog niova. Strožija definicija kaže da vertikalni datum sačinjavaju fundamentalne visine, koje opet služe kao izhodište za računanje visina repera u državnim nivelmanskim mrežama. Fundamentalne visine su obično visine fundamentalnih odn. normalnih repera.
57
slika 3.12: NAP slika 3.13: visinski datumi u Evropi Evropska nivelmanska mreža UELN ima izhodišnu točku u Amsterdamu → NAP ("Normaal Amsterdam Peil"), reper je na visini 1,4278 m pored amsterdamskog mareografa (tu registruju srednji morski nivo još od 1675. godine). Na području BiH izvedeni su dosad opsežni radovi geometrijskog nivelmana svih redova. Ti su radovi izvoñeni ponekad kontinuirano, ponekad s većim prekidima, tako da danas postoji ogromna količina podataka koja se ne odnosi na jedinstvenu epohu. Prve sustavne radove geometrijskog nivelmana na području BiH izveo je Vojnogeografski institut iz Beča krajem XIX. i početkom XX. vijeka. Te radove uglavnom nazivamo Austrijski nivelman. Taj je nivelman vezan na srednju razinu mora odreñenu u Trstu (Molo Sartorio) iz jednogodišnjeg opažanja umjesto iz 18,6 godišnjeg perioda. Tako odreñena srednja razina mora osjetno se razlikuje od one koja bi odgovarala punom periodu opažanja. Na osnovi tako odreñene srednje razine mora izračunate su nadmorske visine repera Austrijskog nivelmana i dobivene pogrešne (prevelike) vrijednosti. Novija istraživanja vezana uz odreñivanje srednje razine Jadranskog mora pokazuju da razlika iznosi cca 12 cm. Poslije II. svjetskog rata, na području BiH izvedeno je mnogo radova geometrijskog nivelmana svih redova. Kao osnova i temelj svih radova poslužio je Austrijski precizni nivelman. Većina glavnih radova se svrstava u dva tkz. Nivelmana visoke točnosti, koja su izvedena na području čitave bivše SFRJ. Prvi nivelman visoke točnosti (I. NVT) izveden je u periodu izmeñu 1947. i 1954. godine. Kako je nivelman rañen bez dobro pripremeljenog stručnog kadra i pomoću različitih instrumenata, a vjerovatno i zbog pomanjkanja jasnogpristupa obradi ovih mjerenja, nivelman nikad nije izravnat, nego je uklopljen u manje točan precizni Austrijski nivelman. Pri obradi rezultata mjerenja prvog preciznog nivelmana za
58
odreñivanje visinskog sistema nije se mogla direktno koristiti srednji nivo mora, pošto su mjerenja obavljena u periodu kada na mnogim mareografima nije ni započeta registracija. U okviru priprema i predradnji za izvoñenje II. NVT trebalo je riješiti problem osnovne visinske točke. Na području bivše Jugoslavije nije postojala nijedna osnovna visinska točka, normalni reper. naklon opsežnih predradnji, geoloških i seizmičkih mišljenja, tadašnja savezna geodetska uprava je izabrala neposrednu blizinu Maglaja kao mjesto normalnog repera. Drugi nivelman visoke točnosti (II. NVT) izveden je izmeñu 1970. i 1973. godine isključivo instrumentima Wild N3, invarnim centimetarskim letvama i obuhvatila pet mareografa na istočnoj obali Jadrana: Koper, Rovinj, Bakar, Split i Dubrovnik. Bilo je predviñeno da se nadmorska visina normalnog repera u Maglaju računa smo u odnosu namreograf u Splitu i Dubrovniku. Zbog toga su provedena četverostruka mjerenja izmeñu mareografa u Splitu i Dubrovnikupreko Ploča, a od Ploča do Maglaja slijepim nivelmanskim vlakom. Takav način povezivanja zanemario je podatke mareografa u Bakru (najduži period opažanja), Rovinju i Kopru i ne predstavlja optimalno rješenje. Podaci mjerenja nisu bili sreñeni, dok ih nije sredio i objavio Geodetski fakultet Sveučučišta u Zagrebu1986. godine za zapadni dio bivše Jugoslavije (Bosna i Hercegovina, Crna Gora, Hrvatska, Slovenija i Vojvodina). U sedam svezaka obrañena su mjerenja, izravnanje mreže tj. izračunate samo visine čvornih repera s ocjenom točnosti u nekoliko varijanti, a posljednja u odnosu na normalni reper u Maglaju bez četverostrukih mjerenja. Ortometrijski popravci izračunati su pomoću normalnih vrijednosti ubrzanja sile teže. Na visine ove nivelmanske mreže nisu priključeni nikakvi drugi nivelamsnki radovi, a srednji nivo Jadranskog mora na koju je vezan II. NVT razlikuje se od one na koju je vezan austrijski nivelman. U Bosni i Hercegovini su tada usvojene normalne visine sa vertikalnim datumom Maglaj kao zvanične. Ali samo reperi, koji su uključeni u vlakove II NVT imaju visine u sistemu normalnih visina. Preračun odn. priključenje repera nižih redova nije učinjeno. Zbog tih razloga mnogi reperi imaju u zvaničnim dokumentima i dvojne visine.
59
4
Odreñivanje geoida (kvazigeoida)
Odreñivanje geoida (kvazigeoida) znači odreñivanje oblika Zemlje odnosno odreñivanje točno odreñene nivo plohe Zemljinog polja sile teže. Tražimo odgovor na pitanje: da li možemo odrediti polje sile teže Zemlje u spoljnom prostoru, bez poznavanja rasporeda gustoće u njenoj unutrašnjosti, poznavajući samo potencijal na rubu područja (rub područja predstavlja Zemljina površina). Matematički gledano to je rješevanje problema rubnih uvjeta (PRU) iz teorije parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. U slučaju polja sile teže nastupaju Laplaceova diferencijalna jednadžba (koja vodi ka spoljnom PRU) i Poissonova diferencijalna jednadžba (koja vodi ka unutarnjem PRU). Nas zanima samo spoljnji problem. Uopćeno, kod riješavanja PRU poznata je rubna ploha S, ali ne i kod tkz. geodetskog problema rubnih uvjeta (GPRU). Riječ je o tkz. prostom GPRU, gdje moramo pored geometrije rubne plohe S, odrediti i potencijal W. Kod odreñivanja geoida nas u stvarnosti zanima samo rubna ploha S. Rubne uvjete nam tu odreñuje neprekidna rubna funkcija – potencijal sile teže. Potencijal se ne može neposredno izmjeriti, zato ga predstavljamo putem veličina, koje se mogu neposredno izmjeriti. Te veličine su ili tkz. anomalijske veličine polja sile teže ili tkz. poremećajne veličine polja sile teže (anomalija sile teže i poremećajna sila teže, otkloni vertikale (Helmertovi ili Pizzetijevi) i geoidne visine odn. anomalije visina). Sve te veličine se mogu izraziti u linearnom obliku kao derivacije poremećajnog potencijala T i ujedno odreñuju rubne uvjete, čije rješenje je tražena ploha - približni oblik Zemlje. Razlikujemo dva pristupa riješavanju geodetskog problema rubnih uvjeta: tkz. "klasični" pristup, gdje kao riješenje dobijamo geoid i "pristup po Molodenskom", čijim riješenjem dobijamo kvazigeoid. Pristup se uglavnom razlikuju u odnosu na redukciju mjerenih veličina. Kod klasičnog pristupa mjerene veličine reduciramo na nultu nivoplohu (Wo=const) i rješenje je geoid. U suprotnom primjeru, ako upotrebimo mjerene veličine takve kakve jesu (na fizičkoj površini Zemlje), riješenje je kvazigeoid. Kod geoida su "mjerene veličine" anomalijske veličine, kod kvazigeoida su to "poremećajne veličine". U prvom primjeru moramo uzeti u obzir odreñene uvjete. Redukcija mjerenih veličina na geoid predpostavlja uvoñenje hipoteza o gustoći masa unutar Zemlje. Pored toga, redukcija na geoid znači da izvan rubne plohe - geoida ne postoje poremećajne mase (atmosfera i topografija). Pristup po Molodenskom ne zahtjeva uvoñenje hipoteze o rasporedu gustoće, kao što nije potrebno izvršiti nikakve redukcije mjerenih veličina. Ali je sa matematičkog stanovišta taj postupak mnogo komplikovaniji. Konačni rezultat računanja geoida je ploha geoida (kvazigeoida) odreñenog oblika i veličine u odnosu na izabranu referentnu plohu elipsoida. U prostornom smislu, geoid (kvazigeoid) i izabrani referentni elipsoid su povezani preko geoidnih visina (kvazigeoidnih visina odn. anomalija visina). To su odstupanja pravilne plohe elipsoida od nepravilne plohe geoida. Zadatak odreñivanja oblika Zemlje je računanje tih odstupanja. Izračunate geoidne visine (anomalije visina), kao u primjeru otklona vertikale, mogu biti relativne ili apsolutne. Apsolutne se odnose na apsolutni geocentrički elipsoid 60
Zemlje, kao što su GRS 80 i WGS 84. Relativne geoidne visine se odnose na relativno orijentirane referentne elipsoide (važi isto što smo napisali i za otklone vertikala). U kojim praktičnim zadacima geodezije se upotrebljavaju geoidne visine (odn. izračunati geoidni model)? • Relativne geoidne visine su neophodne za povezivanje satelitskih mjerenja (GPS) sa državnim mrežama, razvijenim i izmjerenim pomoću klasične geodetske tehnike. Na primjer, kod zadataka transformacije lokalnih GPS mreža u postojeću državnu geodetsku mrežu. Posebno je to značajno ako se državne koordinate odnose na relativni referentni elipsoid. • Apsolutne geoidne visine su osnova tkz. GPS nivelmana, gdje GPS mjerenja upotrebljavamo za odreñivanje nadmorskih visina točaka (na primjer u planinskim područjima kao zamjena za nivelman). Ako se državna mreža točaka odnosi na geocentrički elipsoid, onda se apsolutne geoidne visine takoñe mogu upotrijebiti za zadatke transformacije koordinata. • I relativne i apsolutne geoidne visine su potrebne ako želimo teoretski ispravno klasično mjerene dužine (pomoću elektronskih daljinomjera) reducirati na nultu nivo-plohu. Geoid (kvazigeoid) se može izračunati na globalnom nivou za čitavu Zemlju, na lokalnom nivou samo za odreñeno područje jedne države ili više država, ili samo za jedno usko područje sa točno odreñenim ciljem (za potrebe geodinamike ili inženjerske geodezije).
4.1
Vrste podataka za odreñivanje geoida (kvazigeoida)
Za račuanje plohe geoida (kvazigeoida) upotrebljavaju se sljedeće geodetske mjerne veličine: 1. Mjerenja ubrzanja sile teže: ubrzanje sile teže igra veoma važnu ulogu u fizikalnoj geodeziji. Upotrebljava se za odreñivanje anomalija ubrzanja sile teže, ortometrijskih visina iz niveliranihvisinskih razlika, u istraživanjima tektonskih pomaka i proučavanju promjena srednjeg nivoa morske površine. Globalni raspored točaka sa izmjerenim ubrzanje sile teže je neujednačen. Postoje područja sa veoma gustom mrežom točaka (Severna Amerika, Evropa, Avustralija), dok južni dio Zemljijne kugle sadrži relativno malo mjerenja ubrzanja sile teže. Pri tome ne smijemo zaboraviti da mora čine 70 procenata površine Zemlje.
2.
3.
Astronomska mjerenja: putem astronomskih opažanja zvijezda i Sunca odreñujemmo astronomske (geografske) koordinate točaka na Zemlji (astronomska širina Φ i astronomska dužina Λ) kao i azimute stranica u državnim mrežama (A). Astronomska opažanja upotrebljavamo za odreñivanje geoida posredno, preko izračunatih komponenti otklona vertikale (iz uporeñenja astronomskih i geodetskih koordinata). Astronomska opažanja su veoma zahtjevna, dugotrajna i skupa, i ograničena su na kontinentalne dijelove Zemlje. Raspored i broj astronomsko odreñenih točaka je najreñi od svih veličina koje se upotrebljavaju za odreñivanje geoida. Koordinate točaka odreñene pomoću metoda satelitske geodezije: Satelitska mjerenja za odreñivanje položaja točaka na Zemlji (GNSS tehnologija) nam daju tridimenzionalne koordinate točaka. Te se odnose na globalni geocentrički
61
4.
5.
koordinatni sistem i globalni Zemljin elipsoid. Uporeñenje elipsoidne visine h sa ortometrijskom visinom, koja se odnosi na geoid, kao nultu nivo-plohu daje nam neposredno undulacije geoida. Jednako važi za normalne visine i anomalije visina. Opažanja do umjetnih Zemljinih satelita i mjerenja izmeñu njih: Praćenjem pravilnosti trajektorija gibanja niskoletećih umjetnih Zemljinih satelita i putem analize dobijenih rezultata, moguće je odrediti model Zemljinog polja sile teže odn. tkz. geopotencijalni model. Najveća slabost tih modela je njihova mala rezolucija, jer oni ne sadrže lokalne, detaljne karakteristike polja. Mjerenja satelitske altimetrije. Osnovu satelitske altimetrije predstavljaju visinomjeri (altimetri), koji se nalaze na krovu niskoletečih satelita. Altimetri šalju (emitiraju), radarske impulse okomito na površinu mora, koji se odbojijaju od morske površine i vraćaju nazad do satelitske antene. Orbite gibanja satelita se tretiraju kao zadane veličine, što znači da je poznata njihova visina nad referentnim elipsoidom. Za svaki trenutak mjerenja moguće je odrediti trenutni položaj morskog nivoa. Ako poznajemo nivo morske površine ("Sea Surface Topography" SST), moguće je neposredno odrediti visine geoida nad elipsoidom.
Sve navedene geodetske veličine se u neposrednom računanju geoida upotrebljavaju u obliku svojih "anomalijskih" komponenti odn. "poremećajnih" komponenti u primjeru odreñivanja kvazigeoida: • Podaci o ubrzanja sile teže su predstavljeni u obliku anomalija ubrzanja sile teže odn. poremećajnih ubrzanja sile teže. • Astronomske koordinate su zadate preko komponenti otklona vertikale, znači sa meridijanskom komponentom ξ i komponentom v smjeru prvog vertikala η. • Tridimenzionalne koordinate točaka, odreñene putem satelitskih mjerenja, zadate su u eliposidnom koordinatnom sistemu, pri čemu je visinska komponenta elipsoidna visina. • Globalni geopotencijalni modeli su predstavljeni putem razvoja poremećajnog potencijala sile teže u red po sfernim funkcijama. • Geometriju nivoa morske površine predstavljaju visine nivo mora nad referentnim elipsoidom.
4.2
Metode računanja geoida
Metode računanja geoida se mogu razvrstati u više grupa, s obzirom na to, koje podatke upotrebljavamo za računanje plohe geoida: 1. U prvu grupu metoda spadaju one, koje upotrebljavaju samo terestričke podatke: 1. gravimetrijska metoda, 2. astrogeodetska metoda, 2. U drugu grupu spadaju tkz. satelitske metode odreñivanja geoida. 3. Treću grupu metoda predstavljaju integrirani pristupi odreñivanja geoida, gdje upotrebljavamo sve podatke koji nam stoje na raspolaganju. Slaba strana svih klasičnih metoda odreñivanja geoida je nepotpun i nehomogen raspored podataka na Zemlji. Od vrste upotrebljenih podataka zavisi i rješenje:
62
• • •
gravimetrijsko rješenje daje veoma dobru lokalnu rezoluciju, ali dugotalasna komponenta polja sadrži sistematsku pogrešku zbog nejednakog rasporeda mjerenih vrijednosti anomalija. Slabost sstrogeodetskog riješenje je malobrojnost podataka, jer su točke sa mjerenim otklonima vertikale na relativno velikim udaljenostima. Samo satelitsko rješenje ima dugotalasnu komponentu polja homogenu i bez sistematskih pogrešaka, ali su detalj odn. lokalna rezolucija slabiji.
Iz praktičnih i teoretskih razloga sve suvremene metode uzimaju u obzir barem tri vrste podataka: globalni geopotencijalni model, terestrička mjerenja (neposredno mjerene anomalije sile teže odn poremećajne anomalije sile teže, ili otklone vertikale i geoidne visine) i na kraju podatke o topografiji. Na taj način su i podaci podijeljeni prema tome, kakav utjecaj imaju na ukupnu geoidnu visinu. Dugovalni utjecaj imaju podaci globalnog geopotencijalnog modela (NGM, valne dužine oko 100 km), terestrički podaci (anomalije sile teže, otkloni i mjerene geoidne visine →Ng) imaju srednjevalni utjecaj (dužine 2–10 km); kratkovalni utjecaj imaju podaci o topografiji koji su dobijeni na osnovu digitalnog modela reljefa (NH), gdje valna dužina zavisi od rezolucije DMV-a. To nam ilustruje slika 4.1.
NGM + N∆g
''detaljni'' geoid
NGM + N∆g + NH NGM ''gladak'' geoid 100km
elipsoid
Slika 4.1: Doprinos pojedinih vrsta podataka kod odreñivanja geoida Naravno, ako želimo odrediti geoid koji pokriva i morska područja, moramo uzeti u obzir i altimetrijska mjerenja.
4.2.1
Dinamičke satelitske metode – globalni geopotencijalni modeli
Praćenjem pravilnosti trajektorija gibanja niskoletećih umjetnih Zemljinih satelita i analizom dobijenih podataka, moguće je odrediti model Zemljinog polja sile teže odn. tkz. geopotencijalni model. Globalni geopotencijalni model predstavlja razvoj poremećajnog potencijala sile teže u red po sfernim funkcijama. Brunsova jednadžba nam daje vezu izmeñu geoidne visine i poremećajnog potencijala sile teže:
NP =
63
TP γQ
Geoidna visina se može predstavitu u obliku reda sfernih funkcija: n
GM ∞ n ae N = ∑ ∑ Pnm (cos θ)(δAnm cos mλ + δBnm sin mλ ) ae γ n = 2 m = 0 r gdje je koeficijent razvoja odreñen kao: δAnm = Anm (koeficijent iz opažanja) δBnm = Bnm (koeficijent iz opažaanja)
(4.1)
– Anm (referentni koeficijent) – Bnm (referentni koeficijent)
Kod razvoja potencijala odn. geoidnih visina u red po sfernim funkcija bitno je odrediti nepoznate koeficijente razvoja. Možemo ih odrediti na više načina. Isključivo pomoću satelitskih mjerenja, ili u kombinaciji satelitskih mjerenja i terestričkih podataka. Samo satelitska mjerenja omogućuju odreñivanje koeficijenata razvoja do stupnja n=20,...36. Na odreñivanje koeficijenata utječe prije svega član (ae/r)n+1. Zbog visina gibanja satelita je r ≥ 600 km), i sa narastanjem član n je sve manji. Kombinacijom različitih podataka moguće je odrediti koeficijente razvoja višeg stupnja, u ovom trenutku sve do stupnja i reda n=360. Taj stupanj razvoja odgovara reprezentaciji područja na Zemlji sa minimalnom valnom dužinom polja sile teže 110 km (360°/n=1°=110 km), odn. rezolucije geoidnih visina 55 km (180°/n). Globalni geopotencijalni modeli imaju veliki značaj zbog svoje upotrebljivosti na području cijele Zemlje, jer nisu ograničeni samo na kontinente odn. oceane. Njihov nedostatak je relativno mala rezolucija u predstavljanju polja sile teže manjih područja na Zemlji. Doskora najrasprostanjeniji globalni geopotencialni model je bio EGM96 ("Earth Gravitational Model"). Zadat je u obliku razvoja u red po sfernim funkcijama gravitacijskog potencijala, do stupnje i reda n=m=360. Statistički pokazatelji geoidnih visina modela EGM96, izračunatih u pravilnoj mreži 15'×15' za cijelokupnu Zemljinu kuglu su sljedeći: • srednja vrijednost: = –0,57 m • st. devijacija = 30,56 m • minimum = –106,99 m • maksimum = 85,39 m Standardna devijacija nam pokazuje tipičnu razliku izmeñu geoida i elipsoida.
4.2.2
Gravimetrijska metoda
Odreñivanje plohe geoida pomoću gravimetrijskih podataka predstavlja matematičko rješevanje problema geodetskoga rubnog uvjeta. Nakon 1849. godine, kada je G.G. Stokes prvi put opisao metodu, pa sve do današnjih dana, gravimetrijska metoda ima najvažniju ulogu u istraživanjima polja sile teže. Još uvijek su to najrealnije metode za odreñivanje geoida (kvazigeoida) na kontinentalnim područjima.
64
Osnova metode je tkz. Stokes-ova jednadžba odn. integral koji daje vezu izmeñu geoidne visine N i anomalije sile teže ∆g u proizvoljnoj točki na geoidu (područje integracije je cjelokupna Zemlja), slika (4.2):
N=
R 4 πγ
∫∫ S(ψ )∆gdσ
(4.2)
σ
gdje je ψ kut izmeñu geocentričkog radijusa površinskog elementa dσ i točke računanja P; R je radijus kugle, na kojoj se nalazi točka; γ je vrijednost normalnog ubrzanja sile teže na kugli; S(ψ) je Stokes-ova funkcija, definirana s jednadžbom: S(ψ) = sin-1(ψ/2)–6sin(ψ/2)+1–5cosψ–3cosψln{sin(ψ/2)+sin2(ψ/2)}
(4.3)
PN α P
ψ dσ dψ sin ψ dα
Slika 4.2: Stokes-ov proces integracije Stokes-ova funkcija S (ψ) zavisi samo od sferne dužine ψ izmeñu točke računanja P i površinskim elementom dσ. Stokes-ova funkcija predstavlja "težinu" odgovarajuće anomalije ubrzanja sile teže (poremećajno ubrzanje sile teže). Za lim→ 0 funkcija postaje singularna odn. S(ψ)→ ∞ (slika 4.3).
Slika 4.3: Stokes-ova funkcija Integracija u jednadžbi (4.2) vrijedi za cjelokupno područje Zemlje. Potrebne su nam vrijednosti anomalija u cjelokupnom području integracije odn. u svakoj točki geoida (površina Zemlje).
65
Rješenje jednadžbe (4.2) u praksi otežavaju odreñeni uvjeti: vrijednosti ∆g moraju biti zadate na geoidu; geoid je kugla (s radijusom R); van geoida nema poremećajnih masa (atmosfera i topografija). Sve nabrojane uvjete možemo uzeti u obzir uvoñenjem odgovarajućih popravaka odn. odgovarajućim načinom redukcije mjerenih podataka, naravno s različitom točnošću. Pristup riješenju geodetskoga rubnog uvjeta po Molodenskom je drugačiji. Tu umjesto ∆g na geoidu koristimo vrijednosti poremećajnih anomalija ubrzanja sile teže δg na Zemljinoj površini. Rezultat integracije su umjesto geoidnih visina, odgovarajuće "kvazigeoidne" visine odn. anomalije visine ζ. U praksi se Stokes-ov integral računa na različite načine: jednom od metoda numeričke integracije, pomoću brze Fourier-ove transformacije (FFT), ili pomoću kolokacije po metodi najmanjih kvadrata. Mjerene anomalije ubrzanja sile teže se mogu upotrebiti za odreñivanje vrijednosti komponenti otklona vertikale pomoću poznate jednadžbe Vening Meinesza:
ξ 1 = η 0 4 πγ
∫∫ σ
dS (ψ ) cos α ∆g dσ dψ sin α
(4.4)
gdje je α azimut strane izmeñu točke računanja i središtem površinskog elementa dσ. S(ψ) je Stokes-ova funkcija. Jednadžba je posljedica veze izmeñu komponenata otklona vertikale i poremećajnog potencijala.
4.2.3
Astrogeodetska metoda
Potražimo vezu izmeñu komponenata otklona vertikale i geoidne visine u nekoj točki. Otklon vertikale je ustvari nagib geoidne ravni u odnosu na elipsoid u posmatranoj točki. Taj nagib se posmatra u dva meñusobno okomita smjera: u smjeru meridijana i smjeru prvog vertikala: (deriviramo na geoidu): ξ=−
1 ∂N , R ∂φ
η=−
1 ∂N R cos φ ∂λ
Slika 4.4: Veza izmeñu komponenata otklona vertikale i geoidne visine
66
(4.5)
R je ovdje srednji radijus Zemlje. Da bi bilo teoretski korektno, morali bismo poznavati otklone na samom geoidu, što znači da moramo mjerene astronomske koordinate reducirati na geoid za utjecaj zakrivljenosti težišnice. Negativan predznak je u skladu s dogovorom o predznacima komponenti otklona. Identična jednadžba povezuje komponente otklona po Molodenskom i kvazigeoidnu visinu ζ, s tim da su derivacije odreñene na površini Zemlje. Uvoñenjem Brunsove jednadžbe dobijamo vezu izmeñu poremećajnog potencijala i komponenti otklona vertikale:
ξ=
T ∂γ 0 1 ∂T , − 2 Rγ 0 ∂φ Rγ 0 ∂φ
η=−
1 ∂T Rγ 0 cos φ ∂λ
(4.6)
Ako zanemarimo utjecaj zakrivljenosti težišnice vidimo da nam astronomske koordinate (Φ, Λ), zajedno sa geodetskim koordinatama (φ, λ) u nekoj točki na površini Zemlje pružaju sve nužne informacije o nagibu plohe geoida u samoj točki: smjer otklona vertikale se poklapa sa smjerom najvećeg nagiba (gradijenta) plohe geoida; veličina otklona odgovara samom gradijentu (slika 4.5). LG
x
pl t as ce ni lo e ln ka ga ge
ξ
da oi
α
θ η
y LG
Slika 4.5: Geometrijsko značenje komponenti otklona vertikale Vrijednost komponente ξ predstavlja nagib geoida u smjeru sever – jug i vrijednost η je nagib geoida u smjeru istok – zapad. Ako je nagib geoida na dole prema severu, tada je vrijednosti ξ pozitivna; ako je nagib na dole prema istoku, tada su vrijednosti η pozitivne i obrnuto. Očito je da se nagibi odreñeni na taj način odnose na geodetski referentni elipsoid, na kojeg se odnose izračunate geodetske elipsoidne koordinate. Ako su astronomske koordinate jednake geodetskim, znači da je nagib geoida nula, i da su plohe geoida i elipsoida u toj točki paralelne. Iz mjerenih komponenti otklona vertikale možemo dobiti vrijednosti razlika geoidnih visina. Slika 4.6 pokazuje presjek plohe geoida i elipsoida sa vertikalnom ravni u smjeru proizvoljnog azimuta. Helmertova jednadžba daje vezu izmeñu otklona vertikale ε0 na geoidu sa prirastom geoidne visine dN na dijelu dužine dS: dN = – ε0 dS
67
(4.7)
geoid
εo
εo εo
geoid
dN
-dN
dS
εo elipsoid
dS
N
dS
elipsoid
Slika 4.6: Princip astrogeodetske metode odreñivanja geoida (astronomski nivelman) Integracijom gornje jednadžbe moguće je odrediti tok plohe geoida izmeñu dvije točke: 2
2
1
1
∆N12 = N2 − N1 = − ∫ ε 0 dS = − ∫ (ξcosα + ηsinα)dS
(4.8)
Ako otklone ε0 prikažemo grafički kao funkciju puta (dužine S), dobijamo odgovarajući integral površine ispod krivulje ε0 = f(s). Kod praktičnog računanja uvijek uzimamo Helmertove otklone na površini Zemlje. Tu metodu odreñivanja geoida je prvi predlagao i praktički izveo Helmert 1880. godine i od tada je poznata pod imenom astronomski odn. astrogeodetski nivelman. Geoid možemo na taj način odreñivati u profilima ili površinski. Bitno je da se na ovaj način odreñuju samo razlike geoidnih visina. U praksi su otkloni vertikale odreñeni samo na nekim točkama (tkz. geoidne točke). Točke sa poznatim otklonima spajamo u profile (slika 4.7).
P2 α1,2 dS2 αA,1 dS1
P1
P
P
A
B
Slika 4.7: Odreñivanje astrogeodetskog geoida pomoću profila
Računanje na pojedinim profilima je moguće izvjesti putem numeričke integracije (integriramo pomoću razvoja jednadžbe u red): n
N A − NB = −∑ ε i dSi
(4.9)
i =1
gdje su pojedinačni otkloni (izmeñu dvije susjedne točke) zadati sa: εk =
1 (ξ i + ξ j )cosα ij + (ηi + η j )sinα ij 2
68
(4.10)
Profile možemo slično kao i kod nivelmanu ujediniti u mrežu geoidnih točaka i na odgovarajući način izravnati. S odgovarajućim izborom početne točke i s proizvoljno izabranom vrijednošću geoidne visine N0, možemo izravnate visine pretvoriti u konačne geoidne visine. Ako se radi na nivou cijele države, za početnu točku izabere se izhodišna točka državne mreže (triangulacije). Geoidni profil izmeñu dvije date točke možemo aproksimirati s pravcem (slika 4.8). U skladu s jednadžbama (4.9) i (4.10) možemo napisati:
Slika 4.8: Geoidni profil izmeñu dvije točke A i B
∆NAB= –1/2 ( εA + εB )∆s U slučaju da je površina trapeza jednaka površini ispod krivulje, aproksimirana geoidna visinska razlika jednaka je točnom integralnom izrazu.
Slika 4.9: Geoidni profil sa dobro izabranim geoidnim točkama Ako su točke na profilu izabrane tako da nam tetiva u najboljoj mogućoj mjeri aproksimira tok plohe geoida, onda se utjecaj sistematskih pogrešaka poništi, jer su one ravnomjerno rasporeñene pozitivno i negativno. Ako zanemarimo meridijansku konvergenciju, možemo računati u ravnini kartografske projekcije. Azimute (jednadžbe 4.8 i 4.10) zamjenimo sa smjernim kutovima: cosν=
∆Nik = −
xk − xi y − yi sinν= k sik sik
1 [(ξi + ξk )(xk − xi )+(ηi + ηk )(yk − yi )] 2ρ "
Ako ne računamo u projekciji već na elipsoidu, gornja jednadžba ima oblik:
69
(4.11)
∆Nik = −
1 [(ξi + ξk )(φk − φi )M+(ηi + ηk )(λ k − λ i )Ncosφm ] 2ρ "
Ako uzmemo geoidnu visinu jedne točke kao datu, možemo razlike geoidnih visina izravnati po metodi posrednih mjerenja. Znači geoidne visinske razlike se ovdje uzimaju kao mjerenja, nepoznate su u tom slučaju geoidne visine na točkama mreže. Jednadžba mjerenja je: ∆Nik = Nk – Ni
(4.11a)
vik + δNi – δNk = N0k – N0i – ∆Nik
(4.11b)
v + B∆ = f (f = približno – mjereno)
(4.12)
Jednadžba popravki je onda:
odn. u matričnom obliku:
BTB∆ = Btf N=BTB
N∆ = t
t=BTf
∆ = N-1t Helmertova jednadžba za astronomski nivelman u slučaju kvazigeoida i anomalija visina jednaka je izrazu (slika 5.8): dζ =
∂ζ ∂ζ dS + dh ∂S ∂h
(4.13) površje Zemlje
dh
P
W=WP ∂ζ dS ∂S
ε
N
U=WP
dS
Slika 4.10: Astronomski nivelman po Molodenskom Zemljina površ nije nivo-ploha, zato imamo u jednadžbi (4.13) pored horizontalnog člana još tkz. visinski član. Prisutan je zbog promjene visine izmeñu točaka i obično je manji od horizontalnog člana. Horizontalni član jednak je: ∂ζ = −ε ' ∂S
(4.14a)
pri čemu je ε' otklon vertikale na površini Zemlje (po Molodenskom) izračunat iz geodetskih koordinata, koje smo popravili za utjecaj zakrivljenosti normalne težišnice.
70
Vertikalni član možemo izračunati iz relacije normalnog i stvarnog ubrzanja sile teže u posmatranoj točki: ∂ζ ∆g g−γ =− =− ∂h γ γ
(4.14b)
Na kraju dobijamo izraz: dζ = −ε ' dS +
g−γ dh γ
(4.15)
Integracija nam daje jednadžbu sličnu Helmertovoj jednadžbi (4.8): ∆g dh γ A
B
B
ζ B − ζ A = − ∫ ε ' dS − ∫ A
(4.16)
Anomalije ubrzanja sile teže se u gornjoj jednadžbi odnose na površinu Zemlje. Prvi član je ustvari Helmertov integral s otklonima na površini Zemlje, drugi član je popravka Molodenskog za Helmertov integral. Popravka je nužna da bi smo mogli dobiti anomalije visine ζ. Zavisi od vrijednosti stvarnog ubrzanja sile teže na površini Zemlje. Geoidna točka je ona točka, na kojoj smo nekom od astronomskih metoda odredili astronomske koordinate Φ i Λ s srednjom pogreškom manjom od ±1". Udaljenosti izmeñu susjednih geoidnih točaka bi trebalo da budu oko 15-25 km u ravničarskim krajevima, 5-10 km u brdovitim područjima, a čak 3-5 km u veoma brdovitim područjima. Astrogeodetska metoda se upotrebljava prije svega za odreñivanje geoida na manjim područjima. Nedostatak metode su relativno dugotrajna astronomska opažanja, koja su pored toga i dosta skupa i zavisna od vremenskih uvjeta. Astrogeodetska metoda omogoćuva odreñivanje veoma točnog geoida ±0,05...0,1 m na razdaljinama 100 km. Metoda nije pogodna za istraživanja geoida na moru. Veoma često se astrogeodetska mjerenja upotrebljavaju u kombinaciji sa gravimetrijskim i satelitskim podacima za računanje geoida šireg kontinentalnog područja.
4.2.4
Geometrijska satelitska metoda
Poznata je i kao metoda satelitski odreñenih koordinata točaka na Zemlji. Različiti GNSS sistemi omogućavaju odreñivanje trodimenzionalnih geocentričkih koordinata točaka na Zemlji. Ako satelitsko odreñenu elipsoidnu visinu točke (h) uporedimo sa ortometrijskom (ili normalnom) visinom, odreñenu putem geometrijskog nivelmana, možemo u posmatranoj točki izračunati geoidnu (ili kvazigeoidnu) visinu N (ζ): N=h–H
(4.17a)
ζ = h - HN Relacija se može takoñer predstaviti takoñe pomoću razlika visina, koje se odnose na proizvoljno izabranu referentnu točku (slika 4.11):
71
∆N = ∆h – ∆H
(4.17b)
Slika 4.11 prikazuje vertikalni presjek kroz točku Po (referentna točka mreže) i točku P (proizvoljna točka u mreži). Visina točke Po je proizvoljno izabrana tako da kroz nju prolaze obje plohe, paralelne s lokalnim geoidom i referentnim elipsoidom. P ∆H ∆ h
id i geo lokaln
Po
∆N paralela z elipsoidom
Slika 4.11: Veza izmeñu elipsoidne, nadmorske i geoidne visine Sa dovoljno velikim brojem točaka moguće je za neko područje odrediti plohu lokalnog geoida. Tako izračunat geoid je obično dosta homogene točnosti, koja zavisi od točnosti i pouzdanosti elipsoidnih i prije svega nadmorskih visina odn. njihovih razlika. Poznato je da su ortometrijske (i normalne) visine točaka v brdovitim predjelima dosta nepouzdane i manje točnosti nego u ravničarskim područjima. Za manja područja, koja su obuhvaćena nekom GPS mrežom, moguće je analitički predstaviti plohu geoida na sljedeći način. Geoidnu plohu, odreñenu sa izračunatim geoidnim visinama N (iz veze 4.17), posmatramo kao funkciju dvije promenljive: N = N(y,x)
(4.18)
Ovdje su promjenljive y i x projekcijske koordinate točaka mreže. Obično se koordinate daju u lokalnom koordinatnom sistemu, kod nas je to Gauss-Krügerov sistem državnih koordinata. Funkcija N(y,x) predstavlja interpolacijsku plohu. Odreñena je s brojem točaka, na kojima poznajemo obje visine. Za plohu možemo uzeti i običnu ravninu u obliku: N(y,x)= C + Ay + Bx
(4.19)
Ako se promenljve y,x odnose na težište mreže, koeficijenti polinoma imaju odgovarajuće geometrijsko objašnjenje. Koeficijent C predstavlja paralelno odstojanje elipsoida od geoida. Koeficijenti A i B predstavljaju razliku nagiba tangentne ravni na elipsoid i odgovarajuće geoidne plohe u težištu mreže, i to u smjeru koordinatnih osi (A nagib istok – zapad, B nagib sjever – jug). Smjerni kut, izračunat pomoću koeficijenata A i B, nam daje smjer najvećeg nagiba plohe lokalnog geoida. Ako se ograničimo samo na tri linearna člana, predpostavljamo da obje plohe imaju jednaku zakrivljenost, ali su meñusobno nagnute pod odreñenim kutom (slika 4.12). Odreñivanje plohe lokalnog geoida znači odreñivanje nepoznatih koeficijenata ravniine. Potrebne su nam najmanje tri jednadžbe oblika (4.19). Točke u GPS mreži, koje imaju poznate nadmorske i elipsoidne visine zovemo date točke (na njima je moguće neposredno izračunati geoidnu visinu). Ako odredimo nepoznate koeficijente polinoma,
72
možemo izračunati (interpolirati) geoidne visine na točkama, koje imaju poznate samo elipsoidne visine).
geoid dN=F(s)
elipsoid Slika 4.12: Razlika nagiba izmeñu elipsoida i geoida Ako postoji veći broja datih točaka, moguće je nepoznate koeficijente polinoma odrediti po metodi najmanjih kvadrata (jer postoje prekobrojna mjerenja). Rješenje za nepoznate koeficijente ravni su: ∆ = (BTB)-1 (BTf) gdje je ∆ vektor ocjenjenih nepoznanica A, B i C; matrica B je matrica koeficijenata; vektor f sadrži geoidne visine na danim točkama; y, x su Gauss-Krügerove koordinate točaka (preračunate na težište mreže):
A ∆ = B C
y1 y 2 B= y3 yn
x1 x2 x3 xn
1 1 1 1
N1 N f= 2 N3 N n
Nepoznanice A i B odreñuju: gradijent plohe geoida (u našem slučaju maksimalni nagib) izračunate geoidne ravni: grad=√ (A2+B2); smjer maksimalnog nagiba je : tg ν = A/B
4.2.5
Satelitska altimetrija
Na okeanima je moguće neposredno izmjeriti nivo mora pomoću satelitske altimetrije. Altimetri šalju (emitiraju), radarske impulse okomito na površinu mora, koji se odbojijaju od morske površine i vraćaju nazad do satelitske antene. Orbite gibanja satelita se tretiraju kao zadane veličine, što znači da je poznata njihova visina nad referentnim elipsoidom. Altimetrijska mjerenja predstavljaju neposrednu udaljenost satelit – trenutna morska površina (razina). Veza izmeñu geoidnih visina N i altimetrijskih mjerenja a zadata je s jednadžbom: N = hs – a – H
(4.20)
gdje su: hs visina altimetra iznad elipsoida i H je topografija morskog nivoa (slika 4.13).
73
Slika 4.13: Satelitska altimetrija Sateliti sa najnovijim altimetrima na krovu mogu postići točnost mjerenih dužina do morske površi i do ±1 cm.
4.3
Prikaz izračunate plohe geoida (kvazigeoida)
Konačni rezultat odreñivanja geoida (kvazigeoida) su (kvazi)geoidne visine. Plohu geoida možemo prikazati na isti način kako prikazujemo Zemljinu površ: • pomoću mnoštva diskretnih točaka, ili • pretvaranjem tih točaka u točno odreñen matematički zapis (funkcija odn. matematički red). Jedan primjer prikaza geoida pomoću matematičkog reda je globalni geopotencijalni model, gdje gravitacijski potencijal razvijemo u red po sfernim funkcijama. U obliku reda sfernih funkcija možemo predstaviti i geoidne visine, anomalije sile teže ili komponente otklona vertikale (u stvari se veličine koje su ufunkcijskoj vezi sa gravitacijskim potencijalom). Pošto je riječ o matematičkoj funkciji, znači da svakoj izračunatoj geoidnoj visini odgovara točka sa geografskim koordinatama na Zemlji (koordinate mogu biti geocentrička sferna širina i sferna dužina, ili klasične geografske koordinate). Pomoću koeficijenata razvoja reda možemo izračunati geoidnu visinu (interpolirati) u proizvoljnjoj točki na Zemlji.
74
Ako geoid izračunamo u mnoštvu diskretnih točaka, možemo izračunate vrijednosti geoidnih visina i predstaviti u obliku karte, ili to mnoštvo izračunatih točaka preračunati (pretvoriti) u pravilnu točkastu strukturu, ćelijsku mrežu točaka → grid. Uopćeno je "grid" pravilna mreža vertikalnih i horizontalnih koordinatnih linija; može biti zadata u pravokutnim ili geografskim koordinatama. U slučaju prezentacije plohe (geoid, površina Zemlje) potrebno je pored horizontalnih koordinata (X, Y ili φ, λ), zadati i visinsku koordinatu Z odn. H. Postupak računanja grida iz mnoštva diskretno rasporeñenih točaka poznat je pod imenom "gridding". Predstavljanje plohe pomoću grida je iz računske točke gledišta veoma korisnu osobinu: pošto su horizontalne koordinate točaka u gridu zadate na jednakim rastojanjima (udaljenostima), planimetrijski položaj pojedine točke je potpuno odreñen s njenim položajem u matrici grida. U memoriji računara mora se čuvati samo prostorna Z koordinata. Rezolucija grida ("resolution") predstavlja korak s kojim je definirana mreža (može biti jednak u oba smjera, zavisno od veličine i oblika dotičnog područja).
Slika 5.14: Geoid na području Hrvatske i BiH
Rezolucija ćelijske mreže današnjih geoidnih modela je manja od rezolucije odgovarajućih digitalnih modela visina (DMV) odn. reljefa (DMR), prije svega zbog ograničenja računarske memorije i lakše prenosivosti. Trenutno, jedan od zadnjih globalnih geoidnih modela, izračunat na osnovu globalnog geopotencijalnog modela EGM96, je zadat u geografskom "gridu" 15'×15' (tekstualna datoteka veličine 9,30 MB). Regionalni i lokalni geoidni modeli su zadati sa deset puta većom rezolucijom. Na primjer, Evropski gravimetrijski kvazigeoid (EGG97) zadat je u mreži 1,5'×1,5' , pri tome je binarna datoteka veličine 32,3 MB. Prošle, 2008. godine se pojavio najnoviji
75
globalni geopotencijalni modeli EGM2008. Geoidni model je izračunat za celu zemaljsku kuglu i to u rezoluciji 1' × 1'; pri tome je binarna datoteka "grida" veličine 940 MB. Grafički prikaz globalnog geoida iz modela EGM96 prikazan je na posebnoj strani (ekvidistancija izolinija je 2 m). Ploha geoida na području Bosne i Hercegovine prikazana je na slici 5.14 (autor prof. T. Bašić, Zagreb, 2000.)
76
77
4.3.1
Interpolacija geoidnih visina iz "grida"
U slučaju da je ploha geoida predstavljena u ćelijskoj mreži (gridu) i ako želimo izračunati vrijednosti geoidne visine u proizvoljnoj točki područja koje pokriva grid, moramo izvršiti "interpolaciju". Osnovni zadatak interpolacije je naći funkciju, čiji graf prolazi kroz zadati raspored točaka. U slučaju geoidnih gridova, upotrebljavaju se bilinearna interpolacija (manja točnost) ili jednodimenzionalna spline funkcija. Za računanje visine pomoću bilinearne interpolacije pogledajmo sljedeću sliku:
Bilinearna interpolacija geoidne visine u točki P (φ, λ) radi se po jednadžbama: N (φ, λ) = ao + a1X + a2Y + a3XY gdje su: X = (λ – λ1)/(λ2 – λ1)
ao = N 1 a1 = N 2 – N 1 a2 = N 4 – N 1 a3 = N 1 + N 3 – N 2 – N 4
Y = (φ – φ1)/(φ2 – φ1)
Oznake u gornjim jednadžbama su sljedeće: φ,λ ... geodetske koordinate točke P N(φ,λ) ... interpolirana geoidna visina u točki P N1, N2, N3, N4 ... geoidne visine u četiri najbliže gridne točke (slika) Interpolacija po metodi bilinearne interpolacije predstavlja u prostornom smislu odreñivanje hiperboličkog paraboloida kroz četiri visinske točke mreže (grida).
78
(4.21)
5
Gravimetrija
Sama riječ gravimetrija znači mjerenje ubrzanja sile teže. Riječ potiče od latinske riječi "gravis" (težak) i grčke riječi "µετρειν" - metrein (mjeriti). Uže gledano, gravimetrija je grana geofizike koja se bavi proučavanjem metoda mjerenja ubrzanja sile teže i postupcima za računanje i korištenje dobivenih vrijednosti. Gravimetriju možemo posmatrati i šire, kao znanost u kojoj se objašnjavaju teoretska načela, metode rada i instrumenti za odreñivanje ubrzanja sile teže ali i metode vrednovanja dobivenih rezultata mjerenja, bilo u svrhu primijenjene geofizike ili zadataka fizikalne geodezije.
5.1 Metode mjerenja ubrzanja sile teže Iako brojne fizikalne pojave zavise od vrijednosti ubrzanja sile teže, samo neke od njih koristimo za njegovo odreñivanje. Za odreñivanje ubrzanja sile teže koriste se samo dvije fundamentalne veličine vezane za ubrzanje: vrijeme i dužina (to proizilazi i iz jednice za ubrzanje sile teže [ms-2]. Sve postojeće metode mjerenja ubrzanja sile teže možemo podjeliti u dvije skupine: • dinamičke, • statičke metode. Dinamičke metode uzimaju u obzir kretanje tijela pod utjecajem sile teže. Statičke metode uzimaju u obzir promjenu ravnoteže tijela, koja nastane zbog promjene sile teže. Instrumente za mjerenje ubrzanja sile teže nazivamo gravimetri. Bez obzira na to, koju metodu koristimo za njeno odreñivanje, možemo u praksi mjeriti odn. odreñivati apsolutne i relativne vrijednosti ubrzanja sile teže. Apsolutna mjerenja nam daju vrijednost ubrzanja sile teže u punom iznosu, a relativna mjerenja nam daju razlike vrijednosti ubrzanja sile teže izmeñu dvije točke (znači vrijednost g-a relativno u odnosu na neku drugu točku). I same gravimetre možemo podijeliti na: • apsolutne, • relativne. Apsolutni gravimetri odreñuju vrijednost ubrzanja sile teže u apsolutnom iznosu na točki mjerenja. Relativni gravimetri nam daju relativne vrijednosti ubrzanja sile teže izmeñu dvije točke (u odnosu na točku sa poznatom vrijednošću).
5.2
Apsolutna mjerenja ubrzanja sile teže
Apsolutne vrijednosti ubrzanja sile teže odreñuju se isključivo pomoću dinamičkih metoda. Pri tome se koriste: • njihanje tijela pod utjecajem sile teže,
79
•
slobodni pad tijela.
Konstrukcija apsolutnih gravimetara može se izvesti kao: • njihalo, • balistički instrument. Balistički gravimetri su konstruirani na principu slobodnog pada tijela u vakuumu. Danas se za odreñivanje apsolutnih vrijednosti ubrzanja sile teže koriste isključivo balistički instrumenti. Točnost apsolutnog odreñivanja vrijednosti ubrzanja sile teže s slobodnim padom iznosi od ±10-7 do ±10-9 g. Mjerenja sa njihalom bila su u zadnjih 200 godina (sve do sredine prošlog vijeka), prevladavajući način odreñivanja apsolutnih vrijednosti ubrzanja sile teže. Princip rada je zasnovan na teoriji matematičkog njihala. Matematičko njihalo ne postoji u prirodi. To je model materijalne točke koja nema veličinu, a ima masu i može rotirati oko fiksne točke u prostoru. Uz male amplitude, titranje matematičkog njihala je harmoničko. Fizikalno njihalo je svako čvrsto tijelo koje može njihati oko čvrste horizontalne osi koja ne prolazi njegovim težištem. U praksi su fizikalna njihala realizirana kao "njihala na niti" (teška masa na dugoj niti). Za male amplitude period titranja (T) ne zavisi od same amplitude: T = 2π
l g
(5.1a)
gdje je l dužina njihala. Ubrzanje sile teže se može izračunati iz jednadžbe: g = 4 π2
l T2
(5.1b)
Zbog smanjenja sistematskih pogrešaka odreñivanja dužine njihala, Bessel je predlagao njihalo, gdje mjerimo periode istog tijela pri dvije različite dužine njihala. Za odreñivanje ubrzanja sile teže potrebna je samo razlika te dvije dužine: g = 4 π2
l1 − l2 T12 − T22
(5.2)
U praksi su korišteni i gravimetri konstruirani kao reverziono njihalo. Takvo njihalo ima dvije osi njihanja odn. dva centra njihanja. Instrumente na principu matematičkog njihala su konstruirali već početkom XVIII vijeka. Točnost tadašnjeg odreñivanja ubrzanja sile teže u pariskom astronomskom opservatoriju bila je oko ±10-5g. U XIX vijeku su konstruirali lakše, prijenosne njihajne instrumente, koji su svoj vrhunac doživjeli početkom XX vijeka. Problem apsolutnog odreñivanja ubrzanja sile teže njihajnim gravimetrima od samog početka je pravilna procjena brojnih pogrešaka, koje su prisutne prilikom mjerenja. Ako želimo odrediti g s točnošću ±10-7g = 0,1 mGal, s njihalom dužine 1 m i periodom 1
80
s, potrebno je poznavati njegovu dužinu s točnošću ±0,1 µm i izmjeriti periodu s točnošću ±0,1 µs. Takvu točnost možemo postići samo korištenjem posebnih naprava: • mjerenje dužina pomoću laserskih interferometara, • i mjerenje vremena elektronskim brojačima koje upravljaju vremenski signali. Uzevši u obzir sve nabrojano, gornja granica odreñivanja apsolutne vrijednosti ubrzanja sile teže je ±0,3-0,4 mgal (reverziona njihala). Točnost s početka XX vijeka je bila deset puta manja. Razvojem sve preciznijih načina registracije udaljenosti i vremena, metoda slobodnog pada od pedesetih godina prošlog vijeka postepeno potiskuje njihala iz upotrebe, dok je danas to jedina metoda koja se koristi kod apsolutnih mjerenja. Teorijska osnova metode slobodnog pada zasniva se na jednadžbi kretanja tijela u slobodnom padu: mzɺɺ = mg ( z)
ɺɺ z=
d 2z dt 2
(5.3)
m je mjerna masa, z je smjer lokalne vertikalne osi. Savremeni balistički gravimetri koriste princip slobodnog pada tijela odn. vertikalni hitac kao poseban slučaj slobodnog pada. Dvostrukim integriranjem gornjeg izraza dolazimo do jednadžbe slobodnog pada: z = z0 + zɺ0 t +
g 2 t 2
(5.4)
Izraz povezuje položaj z, tijela koje pada u trenutku t sa ubrzanjem sile teže g. Od 1970. godine konstruirano je približno trideset različitih "prijenosnih" apsolutnih gravimetara (na principu prostog pada). Izraz "prijenosni" ovdje koristimo u smislu, da se instrument može rastaviti i ponovno sklopiti na nekoj točki, gdje se izvode mjerenja. Instrumenti se koriste za razvoj i izmjeru fundamentalne gravimetrijske mreže točaka, za istraživanja vremenskih promjena ubrzanja sile teže (višekratnim mjerenjima na istoj točki), istraživanjima na području geodinamike (tektonike), vulkanologije, seizmike, okeanogafije itd.
81
Slika 5.1: Balistički gravimetar FG 5 Točnost odreñivanja apsolutne vrijednosti g s prijenosnim apsolutnim gravimetrima iznosi od 10–8 do 10–9 ms–2. To znači, da je na dužini 0,2 m u vremenu 0,2 s potrebno odrediti put i vrijeme padanja s točnošću ±0,2 nm odn. ±0,1 ns. Dugotrajna stabilnost standarda dužine i vremena se kontrolira povremenom kalibracijom lasera (potrebna je stabilnost frekvencije reda veličine 10–8 do 10–9) Točnost odreñivanja apsolutne vrijednosti ubrzanja sile teže zavisi prije svega od uvjeta na točki prilikom mjerenja. Mjerenja se na točkama izvode po pravilu više dana u serijama od 20 do 50 opažanja. Konačna točnost iznosi oko 1 µgal. Pojedine sistematske pogreške se ne mogu eliminirati, tako da razlike mjerenja izmeñu različitih instrumenata na istoj točki iznose i do 5 µgal.
5.3
Relativna mjerenja ubrzanje sile teže
Kod relativnih mjerenja ubrzanja sile teže senzor gravimetra omogućava posredno ili neposredno opažanje vremena ili dužine. To je neodreñen problem, koji možemo riješiti opažanjem vremena ili dužine na jednom mestu, pri čemu drugu, nepoznatu veličinu (koju nismo opoažali) uzimamo kao fiksnu (datu). Razliku vrijednosti ubrzanja sile teže izmeñu dvije točke možemo izračunaati iz opažanih razlika vremena ili dužine. Relativna mjerenja ubrzanja sile teže izvode se brže i ekonomičnije od apsolutnih mjerenja. Relativna mjerenja ubrzanja sile teže se mogu obaviti pomoću dinamičkih odn. statičkih metoda. Za dinamička relativna mjerenja upotrebljavaju se gravimetri na principu njihala. Princip bazira na mjerenju dvije periode njihala T1 i T2 s konstantnom dužinom na dva
82
različita stajališta. Veza izmeñu dvije vrijednosti ubrzanja sile teže i periode njihanja je: g2 T12 = g1 T22
(5.5)
Ako nam je poznata vrijednost g1, možemo izračunati nepoznatu vrijednost g2 pomoću izmjerenih perioda njihanja. Razliku ubrzanja g2–g1 možemo izračunati bez kalibracije: 2
g2 T2 − (T2 − T1 ) T2 − T1 = = 1 − g1 T2 T2
2
(5.6a)
odn. ∆g1,2 = g2 − g1 = −2 g1
T2 − T1 (T − T ) 2 + g1 2 2 1 T2 T2
(5.6b)
Razvojem u red gornje jednadžbe dobivamo izraz: ∆g1,2 = −2 g1
T2 − T1 (T − T ) 2 + 3 g1 2 2 1 − ... T1 T1
(5.7)
Drugi član gornjeg reda je veličine 0,1 mgal. Sistematske pogreške koje su neovisne od položaja i vremena se poništavaju u razlici ubrzanja. Točnost odreñivanja razlike ubrzanja od 0,1 mgal zahtjeva odreñivanje periode njihanja s relativnom točnošću boljom od ±5×10-8. U praksi su se upotrebljavala njihala dužine l = 0,25 m s periodom T = 1 s; za te instrumente je zahtjevana točnost odreñivanja vremena ±0,05 µs i odreñivanja dužine s točnošću ±0,025 µm (konstantnost dužine njihala). U drugoj polovini XIX. vijeka rañena su relativna mjerenja u kombinaciji s apsolutnim. Austrijski geodeta R. von Sterneck je 1887. godine konstruirao poseban njihajni gravimetar, kojim su izvedena brojna mjerenja po čitavoj Evropi. Njihajni relativni gravimetri bili su u upotrebi do tridesetih godina XX. vijeka. Poslije su ih zamijenili tkz. "mehanički" gravimetri, koji relativna mjerenja ubrzanja sile teže izvode statičkim metodama. "Mehanički"gravimetri rade u biti kao izuzetno osjetljive vage s oprugom. Princip rada mehaničkih relativnih gravimetara (danas u upotrebi) zasniva se na produženju opruge koja je opterećena probnom masom. Pri promjeni ubrzanja sile teže, mijenja se i sila koja djeluje na probnu masu, pa se opruga produžuje, odnosno skraćuje, zavisno od toga da li se g povećava ili smanjuje. Masa se zatim vraća u prvobitni položaj djelovanjem sile kontrolirane mjernim sistemom gravimetra, a upravo iznos te sile predstavlja mjeru promjene ubrzanja sile teže. Princip odreñivanja ubrzanja sile teže statičkom metodom prikazuje slika 5.2. Promjena ubrzanja ∆g proporcionalna je promjeni dužine opruge (pera) ∆x.
83
Slika 5.2: Princip rada statičke metode relativnih mjerenja ubrzanja sile teže
Položaj ravnoteže uzima se kao osnova za mjerenje gravimetra. Konstrukcijski se ravnoteža uspostavlja uz pomoć sile elastičnog pera (opruge). Promjena sile teže koja nastaje promjenom mjesta ili trenutka opažanja uzrokuje promjenu povratne sile koja sistem drži u ravnoteži. Povratnu silu je moguće uz pomoć kalibracijske funkcije preračunati u jedinice ubrzanja sile teže. Postoje dva osnovna tipa konstrukcije relativnog gravimetra: • Vertikalna vaga na oprugu - translacijski sistem. • Vaga na oprugu s polugom - rotacijski sistem. Sama konstrukcija ravnoteže može biti izvedena na dva načina: • astazirani ili nestabilni gravimetri (naziv potiče od grčke riječi "astate" nestabilan), • stabilni gravimetri. Astaziranje je povećanje osjetljivosti sistema, koje se može ostvariti istovremenim smanjenjem stabilnosti. Kod astaziranih gravimetara, zahvaljujući stanju bliskom nestabilnoj ravnoteži, postiže se velika mehanička osjetljivost. Astaziranje se postiže ugrañivanjem stabilizirajućeg ureñaja: elastičnog pera ili torzione žice. Stabilni gravimetri su jednostavnije mehaničke izvedbe, ali zahtijevaju mnogo preciznije odreñivanje položaja probne mase.
84
Slika 5.3: Shema delovanja gravimetara Scintrex (lijevo) i LaCoste Romberg (desno) Moderni gravimetri ne mjere pomak opruge (pera) ∆x neposredno (slika 5.2), već ga ponište s nekim lakše mjerljivim pomakom. Najpoznatije konstrukcije savremenih gravimetara su sljedeće: Scintrex gravimetar (kremenova opruga) i LaCoste–Romberg gravimetar (čelična opruga).
Slika 5.4: Relativni gravimetri: Scintrex (lijevo), LaCoste Romberg (desno) Bitan dio svakog instrumenta je ureñaj za čitanje. Mogu biti izvedeni kao: • optički, • elektronski. 85
Optički ureñaji za čitanje su jednostavnije konstrukcije i nemaju mogućnost registriranja finih pomaka kao elektronski, pa se koriste kod astaziranih gravimetara, gdje se najčešće primjenjuju ureñaji s mikroskopom i mikrometrom. Optički ureñaji za čitanje mogu biti izvedeni u kombinaciji s fotoosjetljivim elementom, koji, kad na njega padne zraka svjetlosti, proizvede foto-električni signal. Takav signal je mjera promjene ubrzanja sile teže, koji se može mjeriti galvanometrom. Elektronski ureñaji za čitanje pretvaraju signal položaja u električni signal. Kapacitivni indikator položaja je ureñaj za čitanje s rezolucijom bar 10 puta većom od optičkih ureñaja. Rezultati mjerenja gravimetra su izraženi u različitim jedinicama njegovog mjernog mehanizma (senzora). Da bi se te jedinice mogle pretvoriti u jedinice ubrzanja sile teže, potrebno je uraditi kalibraciju gravimetra. Kalibracija je postupak odreñivanja tkz. kalibracijske funkcije, koja omogućuje gore pomenuto pretvaranje merskih jedinica. Uopćeno se kalibracijska funkcija definira kao:
g = F ( z)
(5.8)
pri čemu je z brojčano čitanje (C.U. "counter units", jedinice mjernog senzora gravimetra). Nastoji se dizajnirati (modelirati) linearna relacija izmeñu z i g. Meñutim, javljaju se nelinearnosti uslijed upotrebe mjernog pera (promjene dijametra pera, konstanta pera je funkcija istezanja pera) ili sistema za dovoñenje opruge s masom u nulti položaj.
Mora se napomenuti da je teško postići linearnu kalibracijsku funkciju, jer je funkcija obično zbroj dugovalne i periodične komponente. Kalibracija se može izvjesti na dva načina: 1. putem mjerenja na otvorenom → mjerenje na točkama s poznatim vrijednostima ubrzanja sile teže; 2. putem laboratorijskih mjerenja → kalibracija promjenom inklinacije: promjenom nagiba (inklinacije) mjernog senzora u odnosu na smjer težišnice, registriraju se nastale odgovarajuće male promjene ubrzanja sile teže δg kao promjene čitanja (u jedinicama gravimetra C.U.). Za kalibraciju na otvorenom prostoru koriste se gravimetrijske linije - baze, koje tvore točke na kojima su poznate vrijednosti ubrzanja s visokom točnošću. Pri tome se zahtjevana promjena ubrzanja sile teže može postići putem horizontalne ili vertikalne kalibracijske linije. Horizontalna kalibracijska baza sadrži promjene ubrzanja s geografskom širinom (∆φ = 10° ⇒ ∆g = 9×105 µgal), dok se vertikalna kalibracijska baza temelji na promjeni ubrzanja s visinom (H > 1000 m ⇒ 2 × 105 µgal).
86
5.3.1
Izvori pogrešaka pri relativnim gravimetrijskim mjerenjima
Sve izvore pogrešaka koje nastupaju pri izvoñenju relativnih gravimetrijskih mjerenja možemo podijeliti u dvije grupe: • pogreške vezane uz instrument → instrumentalne pogreške, • pogreške uzrokovane vanjskim faktorima. Instrumentalne pogreške uzrokuje sama konstrukcija gravimetra. U ovu grupu spadaju: • pogreška očitanja: sastoji se od nesigurnosti odreñivanja nultog položaja (opruge s masom) i netočnosti čitanja skale. Kod novijih tipova gravimetra (Scintrex) gdje se očitanje neposredno dobija na ekranu instrumenta drugi dio ove pogreške otpada. • pogreška horizontiranja zavisi od osjetljivosti libela. • efekat elastične histereze se javlja nakon resetiranja (aretiranja) izmeñu mjerenih točaka, a nakon oslabañanja mjernog senzora (sistema), te imaju karakter kratkotrajnog hoda (drifta) instrumenta. • pogreška u kalibracijskoj funkciji se prenose u razlike ubrzanja sile teže sistematski i na različite načine, ovisno o njihovom tipu i veličini. Meñu pogreške uzrokovane vanjskim faktorima spadaju promjena vanjske temperature, promjene atmosferskog tlaka i utjecaj magnetnog polja. U ove pogreške ubrajamo i promjene očitanja instrumenta koja nastaju uslijed udaraca (stresova) instrumenta prilikom transporta. Pri stacionarnom i terenskom radu s gravimetrom dolazi do promjena u ravnoteži mjernog sistema (senzora). Zbog toga se mijenja nulti položaj senzora ("zero position"); mijenjaju se očitanja u nultom položaju. Ova pojava naziva se hod gravimetra ("gravimeter drift"). Kada gravimetar mjeri na istom mjestu kroz duži vremenski period, čitanja se mijenjaju umjesto da budu jednaka. Do pojave hoda dolazi zbog promjena nemodeliranih vanjskih utjecaja i popuštanja napetosti sistema opruga (pera). Ukupni utjecaj hoda se može podijeliti na: • • •
Stacionarni hod: odreñuje se pred odlazak na teren. Transportni hod: utjecaj transporta gravimetra na rezultate. Dnevni hod: rezultat prethodna dva. Modelira se prilikom obrade gravimetrijskih mjerenja.
Posebnim načinom rada i uvoñenjem odgovarajuće popravke za mjerene vrijednosti ubrzanja možemo otkloniti utjecaj hoda mjerenja, prije svega u dužem vremenskom razdoblju. Dnevni hod se obično modelira polinomskom funkcijom. Uslov su postojanje ponovljenih mjerenja na istim točkama tokom radnog dana.
87
Slika 5.4: Modeliranje dnevnog hoda polinomskom funkcijom
Tabela 5.1 prikazuje tipove relativnih gravimetara, koji se trenutno koriste u svijetu.
Tabela 5.1: Tipovi relativnih gravimetara u upotrebi danas LaCoste & Romberg Model G Rezolucija
Model D
Scintrex Autograv CG-3
CG-3M
CG-5
~0,1 µms-2 ~0,01 µms-2 0,05 µms-2 0,01 µms-2 0,01 µms-2
Točnost
0,15 µms-2 0,05 µms-2 0,1 µms-2 0,05 µms-2 0,05 µms-2 Mjerni raspon 700µms-2 20 µms-2 700 µms-2 700 µms-2 800 µms-2 Stacionarni hod
< 0,33 µms-2/dan
Dimenzije
18 × 20 × 25 cm
Dim. baterije
7 × 15 × 12 cm
Masa
3,2 + 2,3 kg (baterija)
< 0,2 µms-2/dan (uz primjenu korekcije) 24 × 31 × 32 cm 21×20×34cm baterija je integrirana u instrumentu 11 kg s baterijom 9 kg s bat.
88
Točnost relativnog odreñivanja ubrzanja sile teže je od ± 20 do ± 30 µgal. Veoma strogim postupcima mjerenja, možemo povećati točnost odreñivanja na ±10 µgal pa i više. Relativna mjerenja mogu se izvoditi posvuda. Za izvoñenje mjerenja na moru i u zraku koriste se posebno prireñeni gravimetri. Točnost tih mjerenja je manja od točnosti mjerenja izvedenih na kopnu s klasičnim instrumentima.
5.4
Gravimetrijski premjer
Gravimetrijski premjer možemo podijeliti u odnosu na udaljenosti koje postoje izmeñu točaka, ili u odnosu na zahtjevanu točnost (konačna točnost koja se traži). Točke s izmjerenim vrijednostima ubrzanja sile teže su povezane u gravimetrijske mreže. Mreže možemo podijeliti u globalne, regionalne i lokalne mreže gravimetrijskih točaka. Postoji i detaljni gravimetrijski premjer za potrebe specifičnih geodetskih, geodinamičkih ili geofizičkih istraživanja, koji se nadovezuje na postojeće mreže. Hijerarhija razvijanja gravimetrijskih mreža je slična razvijanju klasičnih geodetskih mreža: od većeg ka manjem. Gravimetrijske mreže tako odreñuju: • jedinstveni referentni nivo sa vrijednostima ubrzanja sile teže (izmjerenih na točkama gravimetrijske mreže); • definirano mjerilo ubrzanja sile teže sa odreñenim vrijednostima razlika ubrzanja izmeñu točaka gravimetrijskih mreža. Jedinstveni referentni nivo i mjerilo ubrzanja sile teže možemo označiti kao gravimetrijski datum (datum ubrzanja sile teže). Kroz historiju je postojalo nekoliko gravimetrijskih datuma: • Bečki sistem, 1900 – 1909. Vrijednost ubrzanja odreñena je na točki u Beču; točnost je preoptimistički ocjenjena na ±10 mgal. • Potsdamski sistem ubrzanja sile teže, zasnovan na odreñivanju ubrzanja u točki u Potsdamu (Njemačka) 1909. godine. • Oba spomenuta sistema u stvari predstavljaju samo nivo ubrzanja, jer se baziraju na jednoj točki. • IGSN71 – “International Gravity Standardization Net 1971” je globalni datum ubrzanja sile teže koji se bazira na: 10 apsolutnih mjerenja, 12000 relativnih mjerenja sa njihalima, 12 000 relativnih mjerenja sa LCR gravimetrima, 11700 relativnih mjerenja sa gravimetrima drugih tipova. Meñunarodna Unija za geodeziju i geofiziku (IUGG) je IGSN71 usvojila kao zvanični globalni datum ubrzanja sile teže. Danas absolutna mjerenja na točkama odreñuju datum (mjerenja bar na dvije točke na nekom području). IAGBN “International Absolute Gravity Basestation Network” je globalna gravimetrijska mreže 0. reda. Sačinjavaju je točke na kojima je vrijednsot ubrzanja odreñena putem apsolutnih mjerenja. Pored apsolutnih točka mreže IAGBN
89
postoji još mnoštvo točaka odreñenih pomoću apsolutnih mjerenja u mnogim područjima svijeta. Obično te točke tvore mreže nultog reda pojedinih država. U Evropi postoji i UEGN02 - “Unified European Gravity Network 2002”. To je evropska nadgradnja sistema IGSN71 i tvore je sve kvalitetno odreñene točke pojedinih evropskih država, koje su se uključile u taj projekat.
5.4.1
Dosadašnji gravimetrijski radovi u BiH
Svi dosadašnji gravimetrijski radovi u Bosni i Hercegovini vezani su na radove gravimetrijskih mreža nekadašnje države SFRJ. Gravimetrijska mreža I reda rañena je 1952. i 1953. godine i sastoji se iz 15 točaka rasporeñenih na teritoriji SFRJ. Mreža je postavljena u vidu centralnog sistema kojeg sačinjava 14 zatvorenih trokuta kojima je centralna točka Zemun aerodrom. Radove na ovoj mreži izveo je Vojnogeografski institut iz Beograda u suradnji sa stručnjacima Rudarsko-geološkog fakulteta iz Beograda i Zavoda za geološka i geofizička istraživanja iz Beograda. Merenje razlike ubrzanja sile Zemljine teže izvedeno je gravimetrima tipa "Worden" s velikim limbom kalibriranim na francuskim bazama. Da bi se merenja izvela u što kraćim vremenskim razmacima, korišten je avionski prevoz. Iz mjerenja su odstranjene sistematske pogreške velikog limba, a izravnanje je izvršeno metodom najmanjih kvadrata. U BiH nalazila se samo točka u Sarajevu. Za potrebe razvoja mreže prvog reda, gravimetri su kalibrirani na kalibracijskim bazama u Francuskoj. Za daljnje radove zasnovane su kalibracijske baze na području bivše države. Obzirom na konstrukcijska riješenja tadašnjih gravimetara, bilo je neophodno osnovati dvije kalibracijske baze. Kalibracijska baza Zemun – Skopje, koja je ujedno i strana u mreži prvog reda, svojim velikim rasponom (344,0 mgal) služila je za kalibraciju velikog limba gravimetra, dok je za mali limb ustrojena baza na brdu Avala (50 mgal).
90
Slika 5.5 : Gravimetrijska mreža I reda u zapadnom dijelu SFRJ Tačke gravimetrijske mreže II reda odreñivale su sledeće organizacije: Vojnogeografski institut - Beograd, Poduzeće za primijenjenu geofiziku "Geofizika" Zagreb, Zavod za geološka i geofizička istraživanja - Beograd, Geološki zavod Ljubljana, a Savezna geodetska uprava - Beograd, odredila je točke tzv. osnovne gravimetrijske mreže. Navedena gravimetrijska mreža II reda mjerena je, u principu, step metodom s osloncem na točke gravimetrijske mreže I reda, odnosno formiranjem zatvorenih poligona sa čvornim točkama. Zatvoreni poligoni su dužine od 150 do 250 km, sa točkama na svakih 10 km, a pogreška zatvaranja ne prelazi veličinu mgal, gde je n broj točaka u poligonu. "Geofizika" - Zagreb postavila je mrežu II reda na teritoriji SR Hrvatske i SR Bosne i Hercegovine. Mreža je postavljena u vremenu od 1958. do 1960. godine i korištena je za sve vrste gravimetrijskih radova koje je izvodila "Geofizika" na ovom dijelu teritorija SFRJ. Zavod za geološka i geofizička istraživanja - Beograd, postavio je mrežu II reda duž velike baze Subotica - Bitola, zatim tačke drugog reda u Kraljevu, Trsteniku, Kruševcu, Stalaću, Drenovcu, Dragobraći, Gruži, Stanovu i Kragujevcu. Za radove u Crnoj Gori i delu Hercegovine takoñe je Zavod postavio tačke II reda u Trebinju, Bileći, Stolcu, Domanoviću, Metkoviću i Mostaru.
91
Kao što je već spomenuto, Savezna geodetska uprava izvršila je od 1964. do 1967. godine, sa gravimetrom "North American" AGL-156, mjerenja na formiranju tzv. osnovne gravimetrijske mreže u zemlji. Cilj ovih radova bio je postavljanje jedinstvene i dovoljno guste mreže precizno odreñenih točaka u cijeloj zemlji, koja bi objedinila sve izvršene radove i služila kako za praktične, tako i za znanstvene namjene. Ova mreža se sastoji od 55 zatvorenih poligona, približno jednakog obima (oko 370 točaka), ukupne dužine oko 12 000 km. Glavne točke ove mreže (350 točaka) nalaze se na meñusobnom rastojanju od oko 30 km, a izmeñu njih se nalaze pomoćne točke (oko 1150) na rastojanju od oko 10 km. Glavne točke stabilizirane su betonskim stubovima dimenzija 0,5 x 0,5 x 1,0 m, čije su gornje površine 5 cm iznad terena sa utisnutim slovima GT orijentiranim u pravcu severa. Za svaku točku postoji detaljan položajni opis sa koordinatama položaja na karti 1 : 50000, visinom, itd. Mjerenja su izvršena step metodom, a mreža je u celini izravnata po poligonima metodom uvjetnih opažanja. Srednja pogreška jednog raspona iz izravnanja mreže iznosi 0,026 mgal (slika 5.6). Vrijednosti ubrzanja sile teže na točkama Osnovne gravimetrijske mreže iskazane su u starom Potsdamskom sistemu iako su tri točke, od kojih je jedna u Zagrebu, a dvije u Beogradu, vezane na IGSN1971.
Slika 5.6: Osnovna gravimetrijska mreža SFRJ (zapadni dio)
92
5.4.2
Gravimetrijske karte
1974. godine su "Geofizika" - Zagreb i Zavod za geološka i geofizička istraživanja Beograd završili izradu karte Bouguerovih anomalija u mjerilu 1: 500 000. Za izradu su korišteni i podaci, regionalnog i lokalnog gravimetrijskog premjera. Za računanje Bouguerovih anomalija sile teže uzeta je gustoća 2670 kgm3, a za Panonski bazen i prelaznu zonu i gustoća 2000 kgm3. Osnovna ekvidistancija iznosi 4 mgal, a izostavljeni su svi oni detaljni oblici anomalija, koje ne može da primi karta ovog mjerila. Radi bolje preglednosti veličine anomalija i plastičnog efekta, plohe izmeñu izoanomala prikazane su crvenom (pozitivne anomalije) i plavom (negativne anomalije) bojom u pet nijansi. Vojnogeografski institut iz Beograda je na osnovu raspoloživih podataka mjerenja izradio kartu Fayeovih anomalija u mjerilu 1 : 200 000 (gledaj poglavlje 2.6.2). Fayeove anomalije su na ovim kartama prikazane izoanomalama na 1, 2, 5 ili 10 mgal, u zavisnosti od razuñenosti terena. Pored ove karte izrañena je i pregledna karta srednjih vrijednosti Fayeovih anomalija u mjerilu 1 : 1 500 000. Na žalost dostupnost ovih karata nije poznata autorima. Kao ilustraciju gravimetrijske karte, prilažemo kartu Bouguerovih anomalija sile teže Slovenije, koju je izradio Geološki zavod Slovenije (slika 5.7).
Slika 5.7: Karta Bouguerovih anomalija sile teže za Sloveniju
93
V slučaju da smo pravilno ocijenili gustoću Bouguerove ploče, su anomalije korelirane sa topografijom površine Zemlje. Daju nam zrcalnu sliku reljefa što je očito sa slike, jer su anomalije negativne u područjim gdje su nadmorske visine najveće (severozapadni dio Slovenije u području Alpa).
94
6
Literatura
Bašić T. 1989. Fizikalna geodezija I, Geodetski fakultet, Sveučilište u Zagrebu, skripta. Bašić T., Hećimović Ž. 2005. Latest Geoid Determinations for the Republic of Croatia, Newton's bulletin 3. 82-91. Bilajbegović A., Hečimović Ž., Bačić Ž. 1991. Istraživanje o izboru sistema visina za NVT SFRJ s obzirom na točnost ubrzanja sile teže, Geodetski list, 4-6, 97–106. Ducarme B. 2002. Earth tides, materijal sa letnje škole gravimetrije, Catholic University Louvain-la-Neuve, Belgija. Heiskanen W.A., Moritz H. 1967. Physical Geodesy, (reprint izdanje) TU Graz. Hofmann-Wellenhof B., Lichtenegger H., Collins J. 1992. GPS theory and practice, Springer Verlag, Wien New York. Ilk K.H. 2000. Astronomische und Physikalische Geodäsie, skripta s TU Bonn. Kladnik R. 1985. Visokoškolska fizika, 1. dio, DZS, Ljubljana. Klak S. 1974. Gravimetrija, Sveučilište u Zagrebu, Geodetski fakultet, Zagreb. Lambeck K. 1988. Geophysical Geodesy, Clarendon Press, Oxford. Mišković D. 1985. Določitev geoidnih točk z metodo astrolaba v Karavankah, diplomska naloga, FAGG, Ljubljana. NOAA 1985. Geodesy for the Layman, NOAA, NOA. SAD. Pellinen L, Deumlich F. 1982. Theoretische Geodäsie, VEB Verlag für Bauwesen, Berlin. Rummel R. 2003. Erdmessung 1, 2 i 3, skripta sa TU München. Schwarz K.P. 1996. Fundamentals of Geodesy, skripta sa University Of Calgary, Faculty of Geomatics Engineering, Kanada. Starčević M. 1991. Gravimetrijske metode istraživanja, Nauka, Beograd. Svečnikov N. 1955. Viša geodezija, knjige I., II., III., Savezna geodetska uprava, Beograd. Torge W. 2001. Geodesy, Walter de Gruyter, New York, 2. izdanje. Torge W. 1989. Gravimetry, Walter de Gruyter, New York. Vaníček P., Krakiwsky E. 1986. Geodesy: the Concept, Elsevier, Amsterdam (2. izdanje).
95
