Unidad 2 - Análisis de Fourier y Convolución.
Actividad Individual
Presentado por:
Roberto A. Tirado Romero Cód: 17959436 Juan Gabriel Rodríguez Ruales Cód: 15879513 Gustavo Sierra Mendivelso Cód: 17590407 Raquel Sofía Gallo Cód: Fabio Manuel Ibáñez Gámez Cód: 11204837 Grupo: 203042_51
Presentado A:
Ing. Milton Osvaldo Amarillo
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
CEAD José Acevedo y Gómez Fase 2. Aprendizaje basado en problemas aplicado a la Unidad 2 Estudiar y comprender las teorías de Fourier para el análisis de señales y sistemas: si stemas: Bogotá D, C. Abril 14 de 2018
Contenido
Contenido ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................ ...................................... ................ 2 Introducción ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. .................................. ........... 3 Objetivos ............................................. ................................................................... ............................................ ............................................ ...................................... ................ 1 Objetivo General .......................................... ................................................................ ............................................ ............................................. ........................... .... 1 Objetivos Específicos ........................................... .................................................................. ............................................. ......................................... ................... 1 Desarrollo de las actividades Colaborativas .......................................... ................................................................. ........................... .... 2
Estudiante: Roberto Tirado Romero. ........................................................... .................................................................................. ....................... 2 Estudiante: Juan Gabriel Rodríguez Ruales ........................................... .................................................................. ........................... 12 Estudiante: Raque Sofía Gallo ............................................ .................................................................. ............................................ ......................... ... 23 Estudiante: Fabio Manuel Ibáñez Gámez.. ............................................................. ....................................................................... .......... 24 Propuesta colaborativa Seleccionada: ......................................... ............................................................... .................................... .............. 31 Conclusiones ........................................... ................................................................. ............................................ ............................................. ................................ ......... 37 Referencias Bibliográficas .......................................... ................................................................ ............................................ ................................ .......... 38
Introducción
En el presente trabajo colaborativo se abordan los temas relacionados con la convolución en tiempo discreto y continuo, series de Fourier y transformada de Fourier, las cuales por medio de diferentes ejercicios logramos dar solución mediante el planteamientos en un plano cartesiano, el cual es tomado como base para graficar los desplazamientos de las señales requeridas en cada uno de los ejercicios y ecuaciones propuestas para identificar e interiorizar los conocimientos de las diferentes señales según sea el caso, así mismo lograr obtener los resultados propuestos y tener claridad sobre el tema de convolución en tiempo discreto y continuo, series de Fourier y transformada de Fourier.
1
Objetivos
Objetivo General
Desarrollar los diferentes ejercicios de convolución en tiempo discreto y continuo, series de Fourier y transformada de Fourier presentadas en la guía de actividades y rubrica de la misma, teniendo en cuenta los conceptos plasmados en el libro “Ambardar” y demás, que se
encuentra en el entorno de conocimiento del curso.
Objetivos Específicos
Desarrollar claramente los problemas plateados en la guía, aplicando los cuatro pasos de la estrategia de aprendizaje basado en problemas (ABP). Dar solucionar a los dos ejercicios individuales y colaborativos pleteado en la guía sobre los temas de convolución en tiempo discreto y continuo, series de Fourier y transformada de Fourier. Desarrollar la parte práctica de los ejercicios en el Software MATLAB, Scilab o Octave, Octave, que se encuentran en el entorno de aprendizaje práctico.
2
Desarrollo de las actividades Colaborativas
Estudiante: Roberto Tirado Romero Ejercicio No. 1
1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica ), y teniendo en cuenta las propiedades de dicha operación, determine la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación: Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a=4 a= 1
ℎ 2−−
Señales de entrada
2 − ℎ − Sistema
Desarrollo del ejercicio.
ℎ ℎ ℎ −∫ ℎ −∫ ℎ − 2 − 1 ℎ −−− ℎ 1 −∫2 − ∗ −− 1
La convolución de
con
=
*
Se desarrolla la Convolución de forma analítica.
Tomamos el valor del escalón y lo igualamos a cero
0
=
*
3
1 1 0 1 − − −− ∫ 2 ∗ − −− −− − ∫ 0.73 0.49 − −− − −− − ∫ 0.73 ∫ 0.49 − −− − −− − 0.73∫ 0.49∫ − −+ − −+ − 0.73∫ 0.49∫ − − − − − 0.73∫ 0.49∫ − − 0.73− ∫ 0.49− ∫ − − − 0.73− ∫ 0.49− ∫ − 1 1 1 1 − − − 0.73 1 0 0.49 1 0 1 1 1 1 − − − 0.73 1 0 0.49 1 0 0.73− 11 − 11 0.49− 11 −− 11 − 0.73− 11 11 0.49− 11 − 11 0.73− 11 11 0.49− 11 − 11
Teniendo los límites, podemos realizar nuestra integral
4
0.173 0.173 0.149 − 0.149 − 0.173 0.173 1.49− 1.49− 0.173 2.122 1.49 0.173 2.122 1.49 La salida de mi sistema para y(t) es:
Ejercicio No. 2
Problemas a resolver: 2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n]
[1, 2̌,,,6] ℎ [ 0.5,0.5]
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=, o b=4 según sea el caso. Verifique si la respuesta del filtro anterior corresponde con la acción esperada por un filtro de promedio móvil, tal y como se ilustra en el ejemplo 7.3 inciso “c” página 174 del libro guía. Explique. Nota: Tenga en cuenta la notación para ubicar correctamente la señal en la escala horizontal (número de muestra) A= 1 B= 6 Señal de entrada
[1,2̌,6,1,6] ℎ [ 0.5,0.5] Í Sistema
5
Í ó ∗ ℎ n
-1
0
h[n]
0.5
0.5
x[n]
1 0.5
y[n]
0.5
1
2
3
4
2
6
1
6
0.5
1
3
0.5
1
3
0.5
3
3
1.5
4
3.5
3.5
3
[.,. , ,. , .,] Se puede analizar que se puede promediar la muestra con la anterior y la muestra previa, por eso se puede decir que es un filtro promediador o de promedio móvil Filtro media móvil
6
Diagrama de Bode Filtro media móvil o Moving Average pasa bajo con N=2 >> %% Filtro de media Móvil - Moving Average N_ma= 2 coeff_ma = ones (1, N_ma)/ (N_ma); hfvt= fvtool(coeff_ma, 'Analysis','freq'); S11_avg= filter (coeff_ma, 1, S11_hp); Filtro FIR Los filtros FIR tienen la gran ventaja por tener una fase lineal. Son filtros estables pero tienen la desventaja de necesitar un orden mayor respecto a los filtros IIR para cumplir las mismas características. Esto se traduce en un mayor gasto computacional2 .
Diagrama de Bode del filtro FIR pasa bajo N=10, Fc = 70Hz
Diagrama de Bode del filtro FIR pasa bajo N=10, Fc = 70Hz
7
La Figura 1 muestra el diagrama de Bode del filtro implementado en donde se puede observar que a partir de 50Hz empieza a atenuar las señales. La Figura 2 muestra el resultado de aplicar el filtro FIR. Al igual que el filtro de media móvil, el filtro FIR genera un retraso de la señal. Ejercicio No. 3
Problemas a resolver: 2. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8) :
a) b)
2∗ 0≤≤1
para para
,
con T=5 con T=4
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=4, o b=4 según sea el caso. Para el ítem “b”, se debe presentar solo una propuesta de solución en el trabajo grupal, en el caso del
8 ítem “a” se deben recopilar las soluciones de todos los integrantes que hayan participado en el trabajo.
A=1 B=6
2 ∗ 6
Se corre 6 unidades a la derecha ya que esta negativa la señal, Se multiplica por 2, en amplitud.
9
Graficas de señales con un T=5
Calculamos el coeficiente
2 ∫ cos2 . 2 5 .∫ 2 2 15
para la serie trigonométrica de Fourier
10
. 2 4 5 ∫. 5 . 1 2 2.5 ∫. 2.5 2.15 2.15 2.5 . 2 2. 5 2.5 ∗ ∫. . 2 ∫. . 2 sin. . 2 1 2.5 . 2 2.15 6.5 2.15 5.5 2 2.15 132 2.15 112
2 135 115
11
12
Estudiante: Juan Gabriel Rodríguez Ruales Ejercicio No. 1
Problemas a resolver: 1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica), y teniendo en cuenta las propiedades de dicha operación, determine la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:
ℎ 2−−
Dónde: Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a=4. Desarrollo del ejercicio: A= 1
13 Señal de Entrada
2 − ℎ − 1
Sistema.
ℎ ∗ ℎ ℎ ∗ ∗ ∗ −∫ ℎ −∫ ℎ − 2 ℎℎ −− 1 −− 1 − −− 1 ∫2 ∗ − 0 1 1 0 − 1 í ∫ 2 −∗ −−
Decimos que la Salida: Convolución Continua de
con
Desarrollo de la ecuación que se va a utilizar:
Landa Límite Inferior.
Despejamos Landa Límite Superior.
Límite Inferior
.
14
− −− −− − ∫ 2 − −− − −− − ∫ 2 ∫ − −− − −− − 2∫ ∫ − −− − −+ − 2∫ ∫ − − − − − 2∫ ∫ − − 2− ∫ − ∫ − − − 2− ∫ 1− ∫ − − − − 1
2 (1 ) 0 (1 ) 0 1 1 2− (1 ) 0 −(1 −) 0 2− (1 −− −1) −(1−−−−+ 1− ) 2 −(1 − 1 ) −(1 − 1 ) 2 21− 2−1 −1 − 1 2−3− − − − −+ -
-
-
Respuesta de la salida de mi sistema en
-
15
Ejercicio No. 2
Problemas a resolver: 2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n]:
[1, 2̌,,,6] ℎ [ 0.5,0.5]
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=, o b=4 según sea el caso. Desarrollo del ejercicio:
A= 1 B= 3 Señal de Entrada
[1,2̌, 3,1,6] ℎ [ 0.5,0.5]
Sistema.
ℎ ∗ ℎ ℎ ∗
Decimos que la Salida es: Convolución discreta de
con
.
En estas ecuaciones el orden no altera el producto, así; Convulación de Secuencias Finitas, decimos que.
En la práctica, frecuentemente tratamos con secuencias la longitud finita, y su convolación puede encontrarse por varios métodos. Índice de inicio =
1 0311 4 1
Índice de terminación
Para encontrar la longitud utilizamos la siguiente ecuación.
16
5 2 1
Respuesta de Longitud es:
Verifique si la respuesta del filtro anterior corresponde con la acción esperada por un filtro de promedio móvil, tal y como se ilustra en el ejemplo 7.3 inciso “c” página 174 del libro
guía. Explique. Procedemos a realizar la convuloción de
ℎ
ℎ ∗ ℎ ℎ
-1 0.5 1 0.5
0.5
0 0.5 2 0.5 1
1.5
ℎ ∗
.
1
2
3
3
1
6
1 1.5
1.5 0.5
2.5
2
0.5 3 3.5
4
3 3
Ahora procedemos a realizar una comprobación invertido con la convuloción de , toda vez que el orden no altera el resultado. -1 1 0.5 0.5 0.5
Resultado obtenido:
0 2 0.5 1 0.5 1.5
1 3
2 1
3 6
1.5 1 2.5
0.5 1.5 2
3 0.5 3.5
0.5,1.5,2̌.5,2,3.5,3 [1,2̌ ̌, 3,1,6] 0.5,1.5,2.5,2,3.5,3
4
3 3
Resultado del Filtro promediador o de promedio móvil.
De la obtención podemos decir que mi sistema me permitió hacer un promedio entre la muestra actual y la muestra previa, donde mi salida
es el promedio de la muestra actual
y la muestra previa de mi señal de entrada, el cual es un filtro promediador o promedio
móvil.
17
Diagrama de Bode Filtro media móvil o Moving Average pasa bajo con N=4 >> %% Filtro de media Móvil - Moving Average N_ma= 4 coeff_ma = ones (1, N_ma)/ (N_ma); hfvt= fvtool(coeff_ma, 'Analysis','freq'); Filtro FIR
Los filtros se basan en su respuesta de impulso. ¿Pero qué es una respuesta de impulso? La respuesta de un filtro a una entrada que es un impulso (
= = y
para toda
≠0
) se le
llama respuesta de impulso de un filtro. La Transformada de Fourier de la respuesta de impulso se conoce como respuesta de frecuencia de un filtro (observe figura). La respuesta de frecuencia de un filtro dice cuál va a ser la salida del filtro en diferentes frecuencias. En otras palabras, te da la ganancia del filtro en diferentes frecuencias. Para un filtro ideal, la ganancia debiera ser 1 en la pasa banda y 0 en detiene banda. De manera que, todas las frecuencias en la pasa banda pasan como son a la salida, pero no hay salida para las frecuencias en detiene banda.
Figura: fuente (Procesadoinsvirtual, 2017) Practica en el Software MATLAB.
18 Si la respuesta de impulso de un filtro cae a cero después de un tiempo finito, se conoce como filtro de Respuesta de Impulso Finita (FIR). De todas maneras, si la respuesta de impulso existe indefinidamente, se conoce como filtro de Respuesta de Impulso Infinita (IIR). Dependiendo de si la respuesta de impulso en finita o no (es decir, si el filtro es FIR o IIR) depende se calcule la salida. La diferencia más básica entre los filtros FIR e IIR es que para los filtros IIR, la salida solo depende de la corriente y de los valores de entrada pasados, mientras que en los filtros IIR, la salida depende no solo en la corriente y valores de entrada pasados sino que también en los valores de salida pasados.
Ejercicio No. 3
Problemas a resolver: 3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8): c) d)
2 ∗ 0≤≤1 para para
,
con T=5 con T=4
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la
constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=4, o b=4 según sea el caso. Para el ítem “b”,
19 se debe presentar solo una propuesta de solución en el t rabajo grupal, en el caso del ítem “a”
se deben recopilar las soluciones de todos los integrantes que hayan participado en el trabajo. Desarrollo del ejercicio:
B= 3 a)
2 ∗ 3 para
con T=5
Inicio de mi señal Rectangular, el cual tiene una altura de 1 en el eje y, que va de -0.5 a 0.5 en el eje x, así;
Después me dice que desplace mi señal 6 unidades hacia la derecha sobre el eje x.
Posteriormente lo multiplico en amplitud por 2 sobre hacia el eje y para obtener mi señal rectangular.
20
Teniendo encuentra esta señal también es una señal periódica, el cual le debemos aplicamos una señal periodo de esta señal será infinita.
5
de acuerdo a los datos del ejercicio planteado, el cual
Ecuación trigométrica de Fourier.
∑ cos2 s i n 2 =
Coeficiente de la seria trigométrica de Fourier a utilizar.
. 2 5 .∫ 2cos2 15 . 2 4 5 .∫ 2cos5
21
Despejamos
. 2 5 .∫ 2cos2 15 12 12 2 . 2 2 5 .∫ cos . 2 5 5 ∗ .∫ cos . 2 .∫ cos 3. 5 2 sin 2.5 3.5 4 1 sin5 2.5 2 1 1 sin5 3.5sin5 2.5 2 sin15 72sin15 52 2 sin10 7 sin10 5 2 sin75 2 sin55 de la siguiente manera.
Procedemos a evaluar el límite superior y el límite inferior con la siguiente ecuación.
Reemplazamos valores de en los límites .
Comprobación del resultado obtenido en el Software Matlab. Línea de comando.
22
Resultado del problema.
23 Estudiante: Raque Sofía Gallo Ejercicio No. 1
1) Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica), determine analíticamente la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:
ℎ 2− (2 ), ℎ −− − ∗ ℎ ∫ (2 ) ⋅−− > 0 1 ≤ 1 − ∫ (2 )⋅−− − 2 =− − |= 2 +|=− = 1 0.74 1.66− 0.33− Re expresamos las ecuaciones como: Hacemos la convolución,
Los escalones unitarios me ponen las restricciones de mi integral, , pero también
para que
para que
, para cualquier otro caso los
escalones, y por ende la expresión, serán cero.
En nuestro caso
, por ende, al reemplazar y reducir, encontramos que,
Ejercicio No. 2
2) Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n]
[1,2̂,4,1,6] ℎ [ 0.5,0.5]
Hacemos la tabla para realizar la convolución por suma de columnas
24
Ejercicio No. 3
3) Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8): a)
2 ∗ 4 5 x[n]
1
2
h[n]
0,5
0,5
0,5 y[n] -2.5
y[n]={
0,5 -1.5
4
1
6
1
2
0,5
3
0,5
1
2
0,5
3
1,5
3
3,5
3
- 0.5
↓ 1,5
2,5 0.5
1.5
2 ∫cos2 1 ∴ 15 0.2 . 2 5 ∫−.2 ∙ cos0.4 . . 0,5
3
2,5
3,5
3
}
Estudiante: Fabio Manuel Ibáñez Gámez. Ejercicio No. 1
1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica), y teniendo en cuenta las propiedades de dicha operación, determine la Convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:
− ℎ 2 − Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, si este digito es cero, utilice a=4. Solución del Ejercicio:
25
1
Grupo De Trabajo: 203042_51 corresponde
para nuestro caso la constante
xt 2 e−ut ht e−ut a
Señal de entrada:
Sistema:
A continuación remplazamos los valores y posteriormente definimos lo limites como se observa a continuación:
− 2 ℎ −− 1 0 < 0 ℎ 0 > 1
Posteriormente remplazamos datos
− ∫ (2− )∗ −− 1 − ∫ (2 − )∗ − ∗ λ1 − ∫ (2− )∗ − ∫−(2− − ) 13 ∫− ∫−−
Luego realizamos la sustitución por la
Sustituimos por a
13 ∫− 13 14 13 − 14 − 1 12 (4 3)− −
A continuación reemplazamos los valores iniciales
26 Ya evaluando en los límites tenemos:
112 (− 3−+ 4−)
Ejercicio No. 2
2 Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta ), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n]
[1, 2̌,,,6] ℎ [ 0.5,0.5]
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=, o b=4 según sea el caso.
Verifique si la respuesta del filtro anterior corresponde con la acción esperada por un filtro de promedio móvil, tal y como se ilustra en el ejemplo 7.3 inciso “c” página 174 del libro guía. Explique. SOLUCION DEL EJERCICIO:
Grupo De Trabajo: 203042_51 Documento de identidad: 11204837 Para mi caso las constantes corresponden
ab
1 7
[1, 2̌,2,5,6,7] ℎ [ 0.5,0.5] ÍÍndindicecededeteirminicinoaci ó1n 30 11 4 Ly L Ly 1 5 2 1 6
Tomamos como base el ejemplo 7.3 el cuadro del texto de Ambardar:
27
Se realiza la Convolución: Por lo tanto
0.5 1.5 1 2 2 3.5 3 5.5 4 3 5 [0.5, 1.5,2,3.5,5.5,3]
[1, 2̌,2,5,6] [0.5,1.5,2,3.5,5.5,3]
Filtro promediador o de promedio móvil
n
-1
0
h[n]
0.5
0.5
x[n]
1
2
0.5
0.5
Entrada / Respuesta δ[n] h[n] 2δ[n-1] 2h[n1] 2h[n2δ[n-2] 2] 5δ[n-3] 5h[n3] 6h[n6δ[n-4] 4] suma x[n] Suma y[n]
1
1
2
3
2
5
7
1 1
1 2.5
0.5
1.5
2
3.5
2.5 3
3
5.5
3
Ejercicio No. 3
3) Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier a)
1 4 7
4
28
Desarrollo Realizar una lluvia de ideas respecto al escenario del problema LLUVIA DE IDEAS
Convolución: La Convolución continua señales ‘analógicas’ y discreta señales ‘digitales’). Se presenta a
menudo en la realidad por ejemplo al escuchar un eco de un sonido que yo produzco se devuelve y lo oigo de nuevo retrasado. Básicamente la Convolución en la que nos centramos es en la discreta ya que la práctica de los sistemas son de tipo digital. La respuesta impulsiva son los rebotes que existen en las paredes o montañas donde siempre hay sonidos, replicas Ejemplo
Eco único: El caso de un eco pero nos permite avanzar paso a paso. La señal se replica retrasada y se superpone a sí misma
Como observamos anteriormente decimos que el Eco es equivalente a pensar que la señal se replica, o que cada instante de la señal más tarde se suma con la señal original. Lo que nos lleva inmediatamente a pensar en implementaciones Series de Fourier: De acuerdo al termino se basa puntualmente a una función periódica y continua a trozos o por partes, donde, constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en
29 una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras. Transformada de Fourier: Es una transformación matemática empleada para transformar señales entre el dominio del tiempo a el dominio de la frecuencia, que tiene muchas aplicaciones en la física y la ingeniería. En el caso de la transformada de Fourier se puede simplificar para el cálculo de un conjunto discreto de amplitudes complejas, llamado coeficientes de las series de Fourier. Ellos representan el espectro de frecuencia de la señal del dominio-tiempo original. Paso 2: Hacer un listado de variables conocidas y desconocidas, y un listado de los métodos que Pueden permitir la solución del problema.
Listado de Variables: 1. Sumatoria de Convolución en tiempo discreto
ñ ñ 0 ℎ 2. Integral de Convolución
3. Propiedades
∗ ℎ ℎ ∗ ∗ ℎ ∗ ℎ ∗ ℎ∗ ℎ ℎ ∗ ℎ ℎ ∗ ℎ ∗ ℎ ∗ ℎ
Conmutativa:
Asociativa:
Distributiva:
4. Variables de Fourier
Series de Fourier
30
2 ∑∞ cos 2 sin 2 1
Si es periódica en toda la recta real, la aproximación por series de Fourier también será válida en todos los valores de . Luego la serie de Fourier asociada a es:
~ 2 =∑ cos2 sin2 2 2 2 2 2 cos 2 2 2 2 sin 2 2
∫ ∫ ∫
Transformada de Fourier
La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a una función con otra función definida de la manera siguiente:
+ − 1 √ 2 −∫
∞ 1 ∗ √ 2 ∞∫ ∗
Estas identidades se demuestran por un cambio de variables o integración por partes. En lo que sigue, definimos la Convolución de dos funciones y en la recta de la manera siguiente:
∗ ∗
Nuevamente la presencia del factor delante de la integral simplifica el enunciado de los resultados como el que sigue: si y son funciones absolutamente integrables, la convolución también es integrable, y vale la igualdad:
31
Propuesta colaborativa Seleccionada:
Ejercicio Propuesto: Estudiante Roberto Agustín Tirado Problemas a resolver: 3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8) :
e) f)
2∗ 0≤≤1
para para
,
con T=5 con T=4
Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice a=4, o b=4 según sea el caso. Para el ítem “b”, se debe presentar solo una propuesta de solución en el trabajo grupal, en el caso del ítem “a” se deben recopilar las soluciones de todos los integrantes que hayan participado en el trabajo.
A=1 B=6
1 0 ≤ ≤ 1 ,
Señal resultante
con T=4
32
2 ∫sen2 1 1 14 1 2 ∫ 1 ∗ sen2 1 2 ∫ sen12 1sen2 1 2 ∫ sen 2 1∫ 1sen2 1 2 ∫ sen 2 1∫ sen2 4 2 1cos 2 2 2 4 2 22 1 cos 2 1 22 22
33
1 22 22 2
Grafica Practica en octave.
34
35
36
37 Conclusiones
Por parte de los estudiantes del grupo y de acuerdo a las indicaciones de la guía de actividades y rubrica de la misma, así como las conceptos descritos en el libro de Ambardar, se pudo comprender la naturaleza y la operación de convolución en tiempo discreto y continuo, series de Fourier y transformada de Fourier desarrolladas en cada ejercicio consignados en el presente informe, al igual que realizar operaciones en entornos gráficos, analíticos y computacionales, alimentar el conocimiento aprendizaje de los estudiantes. También se realizar la práctica de los ejercicios en la herramienta Software MATLAB y Octave, el cual fue muy importante su utilización en el desarrollo de los ejercicios, con el fin de graficar en ellas las diferentes ecuaciones de las señales continuas y discretas descritas en la guía, se diseñaron diferentes graficas de señales según el código aportado por el estudiante y ultimo digito del grupo.
