Fallas Asimétricas. Profesor Camilo Andrés Cortés Guerrero Análisis de Sistemas de Potencia 20 de octubre de 2016
1.
Para el el sist sistem ema a de la la figur figura a Figura 1: Sistema de potencia a analizar
Los datos de cada elemento se muestran en el cuadro 1 Cuadro 1: Parámetros de los elementos de SEP
Elem Elemen ento to S[MV S[MVA] A] V[k V[kV] X 1 [p.u.] X 2 [p.u.] X 0 [p.u.] Generadores sincronos G1 100 25 0.2 0.2 0.05 G2 100 13.8 0. 0.2 0.2 0.05 Transformadores T1 100 25/230 0.05 0.05 0.05 T2 100 13.8/230 0.05 0.05 0.05 Lineas de transmisión TL12 100 230 0.1 0.1 0.3 TL13 100 230 0.1 0.1 0.3 TL23 100 230 0.1 0.1 0.3
1.1. 1.1.
Dibu Dibuje je las redes redes de secue secuenci ncia a para el siste sistema ma en P.U P.U..
Las redes de secuencia positiva, negativa y cero se muestran en las imágenes 2, 3 y 4 respectivamente.
1
Figura 2: Red de secuencia positiva
Figura 3: Red de secuencia negativa
Figura 4: Red de secuencia cero
Figura 5: Red de secuencia positiva reducida
1.2.
Halle las matrices de impedancia nodal de cada secuencia.
Teniendo en cuenta que se esta analizando un sistema con pocos nodos es conveniente usar la matriz de admitancias nodales e invertirla, pues el proceso es mas sencillo que usando las reglas usadas para calcula directamente la matriz de impedancias nodales.
2
Figura 6: Red de secuencia negativa reducida
Figura 7: Red de secuencia cero reducido
1.2.1.
matriz de impedancia nodal de secuencia positiva
Teniendo como referencia la red de la figura 2 encontramos que la matriz de admitancia nodal estara conformada por los elementos: Y nn : es la suma de todas las admitancias conectadas al nodo n, esto es Y 11 = Y 22 =
1 2 + = − j 24 j 0,2 + j 0,05 j 0,1 1 2 + = − j 24 j 0,2 + j 0,05 j 0,1 2 Y 33 = = − j 20 j 0,1
Y ij : es el negativo de la admitancia conectada entre el nodo i y el nodo j; como las
impedancias conectadas entre cada par de nodos es de igual valor, se tiene Y 12 = Y 21 = Y 13 = Y 31 = Y 23 = Y 32 =
1 = j 10 j 0,1
−
entonces
j24 = j 10 −
Z n(1)
j 10
j 10 − j 24 j 10
j 10 j 10 − j 20
1
−
j0,139706 = j 0,110294 j 0,125
3
j 0,110294 j 0,125 j 0,139706 j 0,125 j 0,125 j 0,175
1.2.2.
matriz de impedancia nodal de secuencia negativa
Siguiendo el procedimiento anterior y teniendo como referencia la red de la figura 3 tenemos Z n(2)
j 0,139706 = j 0,110294
j 0,110294 j 0,125 j 0,139706 j 0,125 j 0,125 j 0,175
j 0,125
1.2.3.
matriz de impedancia nodal de secuencia cero
En esta ocasión usamos la red de la figura 4 de donde se obtiene
j11,9298 = j 3,3333 −
Z n(0)
j 3,3333
2. 2.1.
j 3,3333 − j 26,6667 j 3,3333
j 3,3333 j 3,3333 − j 6,66667
−
1
j 0,107954 = j 0,021591
j 0,021591 j 0,064773 j 0,044318 j 0,032954 j 0,064773 j 0,032954 j 0,198865
Usando el sistema de potencia descrito en el punto anterior, halle Sucede una falla rígida línea a tierra en el nodo 2. Calcule la corriente de falla en el nodo y las tensiones en los nodos 1, 2 y 3. Halle además la corriente que circula por la línea 1-2.
Para esto se hallan los circuitos equivalentes en secuencia cero, secuencia positiva y secuencia negativa vistos desde el nodo 2. que es donde ocurrió la falla, dichos circuitos equivalentes se pueden observar en las figuras 8, 9 y 10. Figura 8: Circuito equivalente de secuencia cero, nodo 2
Ya que en este caso ocurre una falla rígida entre la línea a y tierra se modela el circuito de la figura 11. De esta forma se pueden calcular las corrientes de falla en el dominio de las secuencias (0) (1) (2) I 2a = I 2a = I 2a Entonces, I 20a = I 21a = I 22a =
V f Z 20
+
Z 21
+
Z 22
=
1∠0 = 3,08899∠−90 P.U. j 0,139706 + j 0,139706 + j 0,044318 ◦
4
Figura 9: Circuito equivalente de secuencia positiva, nodo 2
Figura 10: Circuito equivalente de secuencia negativa, nodo 2
Con esta corriente en el dominio de las secuencias se puede despejar la corriente de falla en la línea a, y las demás corrientes de falla serán 0. I f a = 3 ∗ I a0 = 9,26698∠ − 90 P.U. Ahora para hallar las tensiones en el dominio de las secuencias para cada nodo se usan las matrices de impedancias nodales de cada secuencia de la siguiente manera ◦
V 10a =
0 0 Z 12 ∗ I 2a =
(0,021591)(− j 3,08899) = 0,06669∠180 P.U.
−
◦
−
1 1 ∗ I V 11a = V 1 − Z 12 2a = 1∠0 − ( j 0,110294)(− j 3,08899) = 0,659302P.U.
V 12a =
2 2 ∗ I = Z 12 2a
( j 0,110294)(− j 3,08899) = 0,3407∠180 P.U.
−
◦
−
Y de la misma forma para los demás nodos V 20a =
0 0 ∗ I Z 22 2a =
(0,044318)(− j 3,08899) = 0,13689∠180 P.U.
−
◦
−
1 1 V 21a = V 2 − Z 22 ∗ I 2a = 1∠0 − ( j 0,139706)(− j 3,08899) = 0,56845P.U.
V 22a =
2 2 ∗ I Z 22 2a =
−
V 30a =
( j 0,139706)(− j 3,08899) = 0,43155∠180 P.U. ◦
−
0 0 Z 23 ∗ I 2a =
−
(0,032954)(− j 3,08899) = 0,1018∠180 P.U. ◦
−
1 1 ∗ I = 1∠0 − ( j 0,125)(− j 3,08899) = 0,613876P.U. V 31a = V 3 − Z 23 2a
V 32a =
2 2 ∗ I = Z 23 2a
−
( j 0,125)(− j 3,08899) = 0,386124∠180 P.U. ◦
−
5
Figura 11: Circuito componentes de secuencia falla línea-tierra
Y para encontrar las tensiones reales en los nodos se usa la relación
V 1 V = 1 a
0
V a V
1
1
a2 1 a a2
b
V c
a
1
a
V a2
Al operar dichas matrices para cada nodo se tiene que: Tensiones en el nodo 1: 0,251908 V 1a V 1b = 0,895029∠ − 104,6 V 1c 0,895029∠104,6
Tensiones en el nodo 2:
◦
◦
V V = 0,89
0
2a 2b
103,3 ◦
−
0,89∠103,3
V 2c
Tensiones en el nodo 3:
∠
◦
V 0,1259 V = 0,8924 103,9 3a
∠
3b
◦
−
0,8924∠103,9
V 3c
◦
Con esto se pueden hallar las corrientes que circulan por las líneas en el dominio de las secuencias de la siguiente manera: 0 I 12
=
V 10a − V 20a 0 Z 12
=
0,06669 + 0,13689 = − j 3,2513P.U. j 0,021591
−
6
1 I 12 2 I 12
=
2 I 13
1 I 23
V 10a − V 30a
V 12a − V 32a
=
=
V 20a − V 30a 0 Z 23
V 21a − V 31a 1 Z 23
V 22a − V 32a 2 Z 23
0,3407 + 0,386124 = − j 0,3634P.U. j 0,125
−
=
2 Z 13
=
0,659302 − 0,613876 = − j 0,3634P.U. j 0,125
=
1 Z 13
0,06669 + 0,1018 = − j 0,542P.U. j 0,064773
−
=
0 Z 13
V 11a − V 31a
=
0,3407 + 0,43155 = − j 0,82371P.U. j 0,110294
−
=
2 Z 12
=
0 I 23
2 I 23
V 12a − V 22a
=
0,659302 − 0,56845 = − j 0,82117P.U. j 0,110294
=
1 Z 12
=
0 I 13 1 I 13
V 11a − V 21a
= =
0,13689 + 0,1018 = j 1,065P.U. j 0,032954
−
0,56845 − 0,613876 = j 0,3634P.U. j 0,125 0,43155 + 0,386124 = j 0,3634P.U. j 0,125
−
=
Y por último se procede a encontar las corrientes reales por las líneas usando:
I 1 I = 1
1
ija
a2 1 a a2
ijb
I ijc
0
I a I 1
ij
1
ij
2 I ij
Al operar dichas matrices para cada línea se tiene que: corrientes por la línea 1-2: − j 4,896 I 12a I 12b = − j 2,4288 − j 2,4288 I 12c
I I =
Corrientes por la línea 1-3: 13a 13b
I 13c
j 1,2688 − j 0,1786 − j 0,1786 −
Corrientes por la línea 2-3:
I j1,7918 I = j0,7016 23a 23b
j 0,7016
I 23c
2.2.
Sucede una falla línea a línea en el nodo 3. con una impedancia Z f = j 0,2P.U. Calcule la corriente de falla en el nodo y las tensiones en los nodos 1, 2 y 3. Halle además la corriente que circula por la línea 2-3.
Hallamos nuevamente los circuitos equivalentes para cada red de secuencia vistos desde el nodo en donde ocurre la falla, en este caso el 3.
7
Por comodidad, para hallar los equivalentes Thevenin de las redes de secuencia, nos basamos en las redes reducidas que se muestran en la figuras 5, 6 y 7. Figura 12: Circuito equivalente de secuencia positiva, nodo 3
Figura 13: Circuito equivalente de secuencia negativa, nodo 3
Debido a que es una falla línea-línea se puede modelar de la siguiente forma: Figura 14: Circuito componentes de secuencia falla línea-línea
Asumiendo que la falla ocurre entre las faces b y c, se puede afirmar que: I f a = 0 I f b =
I f c
−
8
V kb
−
V kc = I f b Z f
De donde se obtiene que (1)
I f a =
(2)
I f a
−
1∠0 = (1) = = − j 1,81851[ p.u.] (2) Z 3 + Z 3 + Z f j 0,17495 + j 0,17495 + j 0,2 V f
◦
Con este resultado se puede obtener la corriente de falla real así:
0 1 I = 1
1
0 a I 1
1
a2 1 a a2
fb
I f c
fa
I f2a
Realizando la operación matricial se obtiene
0 I = fb
I f c
0 −3,1497 3,1497
Ahora para hallar las tensiones en el dominio de las secuencias para cada nodo se usan las matrices de impedancias nodales de cada secuencia de la siguiente manera V 10a = 0 1 1 V 11a = V 1 − Z 12 ∗ I f a = 1∠0 − ( j 0,110294)(− j 3,1497) = 0,652607P.U.
V 12a =
2 2 ∗ I Z 12 f a =
−
( j 0,110294)( j 3,1497) = 0,3474∠180 P.U. ◦
−
Y de la misma forma para los demás nodos V 20a = 0 1 1 ∗ I V 21a = V 2 − Z 22 f a = 1∠0 − ( j 0,139706)(− j 3,1497) = 0,55997P.U.
V 22a =
2 2 Z 22 ∗ I f a =
( j 0,139706)( j 3,1497) = 0,44∠180 P.U.
−
◦
−
V 30a = 0 1 1 V 31a = V 3 − Z 23 ∗ I f a = 1∠0 − ( j 0,125)(− j 3,1497) = 0,6063P.U.
V 32a =
2 2 ∗ I Z 23 fa =
−
( j 0,125)( j 3,1497) = 0,3937∠180 P.U. ◦
−
Y para encontrar las tensiones reales en los nodos se usa la relación
V 1 V = 1 a b
V c
1
0
V a V 1
a2 1 a a2
a
1
a
V a2
Al operar dichas matrices para cada nodo se tiene que: Tensiones en el nodo 1: 0,3052 V 1a V 1b = 0,87937∠ − 100 V 1c 0,87937∠100
◦
◦
9
Tensiones en el nodo 2:
V 0,11997 V = 0,868 93,9 2a
∠
2b
0,868∠93,9
V 2c
Tensiones en el nodo 3:
◦
−
◦
V 0,2126 V = 0,8725 96,99 3a
∠
3b
◦
−
0,8725∠96,99
V 3c
◦
Con esto se pueden hallar las corrientes que circulan por las líneas en el dominio de las secuencias de la siguiente manera: 0 =0 I 23 1 I 23 =
V 21a − V 31a
2 I 23 =
1 Z 23
=
V 22a − V 32a 2 Z 23
0,55997 − 0,6063 = j 0,37064P.U. j 0,125
=
0,44 + 0,3937 = j 0,3704P.U. j 0,125
−
Y por último se procede a encontar las corrientes reales por las líneas usando:
I 1 I = 1 ija
1
a2 1 a a2
ijb
I ijc
0
I a I 1
ij
1
ij
2 I ij
Al operar dichas matrices para la línea 2-3 se tiene que:
I j0,741 I = j0,3705 23a
2.3.
23b
−
I 23c
−
j 0,3705
Sucede una falla línea-línea-tierra en el nodo 1. con una impedancia Z f = j 0,5P.U. Calcule la corriente de falla en el nodo y las tensiones en los nodos 1, 2 y 3. Halle además la corriente que circula por el transformador 1.
Al igual que en los casos anteriores , se calculan las redes equivalentes vistas desde el nodo 1 Figura 15: Circuito equivalente de secuencia cero, nodo 1
10
Figura 16: Circuito equivalente de secuencia positiva, nodo 1
Figura 17: Circuito equivalente de secuencia negativa, nodo 1
Ya que se trata de una falla línea-línea-tierra se puede modelar el circuito de como lo muestra la figura 18. Figura 18: Circuito componentes de secuencia falla línea-línea-tierra
Asumiendo que las fases b y c fallan conjuntamente a tierra, se afirma que I f a = 0 (0)
V kb = V kc = (I f b + I f c )Z f = 3Z f I f a
De donde se obtienen: V f
(1)
I f a =
(1)
Z kk +
(2)
(0)
Z kk ( Z kk +3 Z f ) (2)
(0)
=
1∠0 j 0,139706 +
Z kk + Z kk +3 Z f
11
◦
j 0,139706( j 0,107955+3 j 0,5) j 0,139706+ j 0,107955+3 j 0,5
= 3,72799∠ − 90
◦
(1) (1)
(2)
I f a =
−
V f − Z kk I f a (2)
Z kk
=−
1∠0
I f a =
−
V f − Z kk I f a (0)
Z kk + 3Z f
−
j 0,139706 ∗ 3,72799∠ − 90
◦
= 3,4299∠90
j 0,139706
(1) (1)
(0)
◦
=−
1∠0
◦
−
j 0,139706 ∗ 3,72799∠ − 90 j 0,107955 + 3 j 0,5
◦
= 0,298∠90
Con este resultado se puede obtener la corriente de falla por cada fase:
I I I I I
fa fb
fc
fa fb
I f c
0
1 1 1 I = 1 a a I 1 a a I 0 = 6,215 4,1
fa
1
2
2
∠
−
fa
2
fa
◦
6,215∠ − 175,8
◦
Asi, la corriente de falla a tierra sera I f = I f b + I f c = 12,43∠ − 180
12
◦
◦
◦
