Testes
5+5
MATEMÁTICA A
ANO
CARLOS ANDRADE CRISTINA VIEGAS PAULA PINTO PEREIRA PEDRO PIMENTA OFERTA AO ALUNO
OFERTA AO ALUNO
Testes
5+5
MATEMÁTICA A
ANO
CARLOS ANDRADE CRISTINA VIEGAS PAULA PINTO PEREIRA PEDRO PIMENTA
TESTE 1 Grupo I Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta. 1. Num triângulo isósceles [PQR] sabe-se que o lado [PQ] mede metade de qualquer
um dos outros dois lados do triângulo. Seja x a amplitude do ângulo PQR . Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A)
1 cos x = 2
(B)
1 cos x = 4
(C)
1 sen x = 2
(D)
1 sen x = 4
2. De dois ângulos agudos, de amplitudes
α e , sabe-se que α + = 90o e que
1 cos = . 3 Qual é o valor de sen2 + sen α ? 4 9
(B)
11 9
(D)
(A)
(C)
7 9 13 9
3. Num determinado quadrante, o seno é positivo e decrescente. Nesse quadrante: (A)
o cosseno é crescente e positivo.
(B)
o cosseno é crescente e negativo.
(C)
o cosseno é decrescente e positivo.
(D)
o cosseno é decrescente e negativo. y
4. Na figura ao lado está representado o círculo trigo-
nométrico. O ponto A tem coordenadas (1, 0) . • • As semirretas OB e OC são perpendiculares.
B
• A semirreta O B é o lado extremidade do ângulo • orientado de amplitude α e lado origem OA .
A
O
x
C
Qual das expressões seguintes representa uma amplitude do ângulo orientado de • • lado origem OA e lado extremidade OC ? 3 +α 2
(A)
(C)
2
α + 2
(B)
2 – α
(D)
α – 2
TESTE 1
5. Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico. y Q
R
O
P x
Tal como a figura sugere, O é a origem do referencial, o ponto Q pertence à circunferência e está no 2.o quadrante, P é o ponto de coordenadas (1, 0) e R é o ponto de coordenadas (–1, 0) . A área do triângulo [RQO] , arredondada às centésimas, é 0,46. Qual é o valor da amplitude, em radianos, arredondado às centésimas, do ângulo POQ assinalado na figura? (A)
0,92
(B)
(C)
1,17
1,97
(D)
2,74
Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas as justificações necessárias. 1. O esquema da figura abaixo ilustra as medições feitas para estimar a altura de um
eucalipto. C
a. Determina a altura do eucalipto de acordo com os dados da figura.
Apresenta o resultado em metros, arredondado ao decímetro. Percorre as seguintes etapas: • determina a altura do triângulo [BAC] relativa à base [BC] ; • determina A 苶苶 C; • determina 苶 CD 苶 (altura do eucalipto).
Sempre que em cálculos intermédios fizeres arredondamentos, conserva, no mínimo, duas casas decimais. b. Admite que o eucalipto tem 35 metros de altura.
60° B
8m
71° A
D
Qual é o comprimento da sombra que o eucalipto projeta no solo, quando o ângulo que os raios solares fazem com o solo tem 30o de amplitude? Apresenta o resultado em metros, arredondado às unidades.
3
2. Na figura seguinte está representado um retângulo [ABCD] . Sabe-se que 苶 A苶 B = 3 e que
A 苶苶 C =6. D
P
C
A
B
Considera que um ponto P se desloca ao longo do lado [DC] , nunca coincidindo com o ponto D , nem com o ponto C . Para cada posição do ponto P , seja α a amplitude, em radianos, do ângulo BAP. 2.1 Determina a amplitude, em radianos, do ângulo BAC . 2.2 Determina o valor da tangente de
α quando a área da região representada a
3 sombreado é da área do retângulo. 4 2.3 Seja f a função definida em
. 冥0, 2冤 por f(x) = 9兹苶3 – 2tg x 27
a. Mostra que a área da região representada a sombreado é dada por f(α) , com
α , .
冥 3 2冤
b. Determina o valor da área da região representada a sombreado para o valor de
2兹5 苶 α , que satisfaz sen ( – α) = .
冥 3 2冤
5
c. Determina o valor de cos α , sabendo que a área da região representada a som-
3. breado, para esse valor de α , é 6兹苶 3. 3.1 Determina as amplitudes, x , em graus, compreendidas entre –180o e 360o, que
satisfazem cada uma das equações seguintes. Apresenta, em cada caso, o círculo trigonométrico e os lados extremidade dos ângulos cujas amplitudes são soluções das equações. a. cos x = cos 110o b. sen x = sen (–200o) c. cos x = –cos 35o d. tg x = tg 65o
4
TESTE 1
3.2 Resolve cada uma das equações seguintes, nos conjuntos indicados.
1 2
a. cos x = – ᎏᎏ , em [–, ] e em [0, 2]
1 2
b. sen2 x = ᎏᎏ , em IR
c. cos x = sen x , em IR
d. cos (2x) = sen x , em IR
4. Considera, em IR , a equação sen4 x – cos4 x = 2(sen x + 1)2 . a. Mostra que: ∀x IR , sen4 x – cos4 x = sen2 x – cos2 x . b. Utiliza a igualdade apresentada na alínea anterior para provar que a equação dada
3 é equivalente à equação sen x = –ᎏᎏ . 4 5. O portão de uma quinta abandonada pelos proprietários foi deixado parcialmente
aberto, com as portas na posição ilustrada na figura. Quando, passados vários anos, a quinta foi vendida, o novo proprietário verificou que era impossível movimentar qualquer das portas.
60°
30° 6m
A largura total da entrada é 6 metros. Investiga se é possível fazer passar por esta entrada uma viatura com 2 metros de largura. Utiliza material de desenho para fazeres um esquema que ilustre a tua estratégia para resolver o problema.
5
TESTE 2 Grupo I Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta.
1. Relativamente aos triângulos [ABC] e [PQR] representados na figura seguinte,
sabe-se que os vértices do triângulo [PQR] pertencem aos lados do triângulo [ABC] e não coincidem com os vértices deste triângulo. C
P
 ␥
␣ A
Q
R
B
ˆ Q e θ = PQˆ R . Sejam α = APˆ R , β = CPˆ Q , γ = PR Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? (A)
sen α + sen β = sen γ + sen θ
(B)
sen α + sen β = cos γ + cos θ
(C)
sen (α + β) = sen (γ + θ)
(D)
sen (α + β) = cos (γ + θ)
e v , ambos com norma 2 e não 2. Considera, num referencial o.n. xOy , dois vetores u colineares. •v ? Qual dos valores seguintes não pode ser igual ao produto escalar u (A)
1
(B)
2
(C)
3
(D)
4
3. Num referencial o.n. xOy , seja c a circunferência de equação x2 + y2 = 5 .
Qual das equações seguintes define a reta tangente à circunferência c no ponto de coordenadas (2, 1) ? (A)
y = –2x
(B)
y = –2x + 5
(C)
4. Considera, num referencial o.n. Oxyz , o plano
1 y = – ᎏᎏx 2
(D)
1 y = – ᎏᎏx + 3 2
α de equação 2x + 3y = 4 .
Em qual das opções seguintes está definida uma reta perpendicular ao plano α ?
6
(A)
⎧x = 2 ⎨y = 3 ⎩
(B)
⎧ ᎏxᎏ = ᎏyᎏ ⎪2 3 ⎨ ⎪ z=1 ⎩
(C)
x y ᎏᎏ = ᎏᎏ = z 2 3
(D)
x y ᎏᎏ = ᎏᎏ = z 3 –2
TESTE 2
5. O sumo Mormel é composto, exclusivamente, por sumo de melancia e por sumo de
morango na proporção de sete partes de sumo de melancia para três partes de sumo de morango. Seja L(x) o número de litros de sumo de melancia que existem em x litros de sumo Mormel e seja R(x) o número de litros de sumo de morango que existem em x litros de sumo Mormel. Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? x x e R(x) = ᎏᎏ 3 7
(A) L(x) = ᎏᎏ
(B) L(x) = 7x
e R(x) = 3x
(C) L(x) =
7x 3x ᎏᎏ e R(x) = ᎏᎏ 10 10
(D) L(x) =
10 10 ᎏᎏ e R(x) = ᎏᎏ 3x 7x
Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas as justificações necessárias. 1. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. Oxyz , a circunferência de
centro O e raio 1 .
y A
Sabe-se que: • o ponto C é um dos pontos da circunferência que pertence ao eixo Ox ;
␣ O
• o ponto P se desloca sobre o segmento [OC] , nunca coincidindo com O ;
P
C x
• o ponto A e o ponto B são os pontos de interseção da circunferência com a media-
triz do segmento [OP] .
B
Para cada posição do ponto P , • seja
α a menor amplitude positiva, em radianos, do ângulo POA ;
• seja f a função que faz corresponder a cada valor de
losango [OAPB] . a. Determina a amplitude
ponto C .
α僆 ᎏ ᎏ ᎏ , ᎏᎏ
冤3 2冤
a área do
α do ângulo POA , quando o ponto P coincide com o
b. Escreve a equação reduzida da reta OA , no caso em que a reta AB é a reta de equa-
1 ção x = ᎏᎏ . 3 c. Mostra que f(α) = 2 sen α cos α . 4 3
d. Determina a área do losango [OAPB] para o qual se tem sen α + cos α = ᎏᎏ .
7
2. Considera o triângulo [ABC] representado abaixo.
Sabe-se que: • o ponto D pertence ao lado [AC] ; • [BD] é a altura relativa à base [AC] ;
2 3
•A 苶苶 D = ᎏᎏ A 苶苶 C B
A
D
C
1 2
• BD . 2.1 Calcula ᎏᎏ DA • AD = 冨冨AD 冨冨2 . 2.2 Mostra que AB • DC = 2 冨冨DC 冨冨 . 2.3 Mostra que AB 2
2.4 Admite agora que, num referencial o.n. xOy do plano, se tem A(2, –3) e B(5, 1)
e seja c a circunferência de centro no ponto A e que passa no ponto B . a. Mostra que a equação x2 + y2 – 4x + 6y = 12 define a circunferência c . b. Escreve a equação reduzida da reta que é tangente à circunferência c no
ponto B . c. Determina as coordenadas de um ponto E tal que: • o triângulo [ABE ] seja retângulo no ponto A ; • o ponto E pertença à bissetriz do terceiro quadrante.
3. Considera, num referencial ortonormado do plano, duas circunferências que se inter-
setam nos pontos A(1, 2) e B(7, –6) . A distância do centro de cada uma das circunferências ao ponto médio de [AB] é 10. Define analiticamente cada uma das circunferências. Sugestão: Num referencial o.n. do plano, assinala os pontos A e B e localiza, utilizando material de desenho, o centro de cada uma das circunferências.
8
TESTE 2
4. Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um prisma quadrangular regu-
lar [ABCDEFGH] (o ponto H não está representado na figura).
z C G
D
B F O
y
A E x
Sabe-se que: • o ponto A tem coordenadas (14, –7, 4) ; • o ponto B tem coordenadas (16, –4, 10) ; • a equação 3x – 6y + 2z = –6 define o plano GFE . a. Escreve uma condição vetorial da reta AB . b. Escreve uma equação cartesiana do plano ABC . c. Escreve uma equação cartesiana do plano BCG . d. Escreve uma equação da superfície esférica de centro no ponto A e que passa em C . e. Usa o produto escalar para provar que o ângulo BAO é um ângulo obtuso.
• AB = 0 . f. Identifica o conjunto dos pontos P que satisfazem a condição PA g. Determina o volume do prisma [ABCDEFGH] .
Na resolução deste problema deves: • definir, por uma condição, a reta BF ; • determinar as coordenadas do ponto F .
5. Seja [ABCDEFGH] um cubo. Prova que a diagonal espacial [FC] é perpendicular ao
plano BDH . E D
H C
F A
G B
Sugestão: Considera o cubo num referencial ortonormado adequado.
9
TESTE INTERMÉDIO 1 Grupo I
• Os cinco itens deste grupo são de seleção. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta. • Escreve apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares para responder a esse item. • Não apresentes cálculos, nem justificações. • Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Em cada uma das figuras seguintes está representado, no círculo trigonométrico,
a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox . Em qual das figuras esse ângulo pode ter 1,5 radianos de amplitude? (A)
(B) y
y
x
O
O
(C)
x
(D) y
y
x
O
O
x
1 3 1 Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação cos x = ᎏᎏ ? 3
2. Sabe-se que
(A)
α |R é uma solução da equação cos x = – ᎏᎏ .
ᎏᎏ + α 2
(B)
+α
(C)
2 – α
(D)
2 + α
3. Considera, num referencial o.n. xOy , as retas r e s , definidas por x = –5 e y = 3x ,
respetivamente. Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas retas? (A)
10
30o
(B)
45o
(C)
60o
(D)
120o
TESTE INTERMÉDIO 1
e v dois vetores do plano. Sabe-se que u • v = –20 . 4. Sejam u e v ? Em qual das opções seguintes podem estar representados os vetores u (A)
(B) u
u v v
v
(C)
(D) u
u
v
5. Num certo problema de programação linear pretende-se maximizar a função L = x + 3y ,
sujeita às seguintes restrições:
⎧ x – y ⭐ 10 ⎪ x + y ⭓ 10 ⎪ ⎨ y – 2x ⭐ 10 ⎪ ⎪ 0,5x + y ⭐ 35 ⎩ Numa das opções seguintes está representada a região admissível do problema e assinalado o ponto cujas coordenadas são a solução do problema. Qual é essa opção? (A)
y
30
30
20
20
10
10
0
(C)
(B)
y
10
20
30
x
y
0
(D)
30
20
20
10
10
10
20
30
x
20
30
x
10
20
30
x
y
30
0
10
0
11
Grupo II
Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.
1. Na figura seguinte está representado, num referencial o.n. xOy do plano, uma cir-
cunferência de centro no ponto O e raio 10. Os pontos A , B , C e D pertencem à circunferência e as retas AB e DC são paralelas ao eixo das abcissas. O ponto E é um dos pontos de interseção da circunferência com o eixo das abcissas. y B
A
␣

E
O D
x
C
3 Seja EÔB = α e seja EÔD = β , com 0 < α < ᎏᎏ e < β < ᎏᎏ . 2 2 1.1 Qual é a relação que tem de existir entre α e β para que o polígono [ABCD] seja um retângulo? 1.2 Escreve uma expressão que dê a área do polígono [ABCD] em função de
α e de β .
A Ana e o Pedro responderam a este problema. As suas respostas foram diferentes. Resposta da Ana: Área = 100 (cos α – cos β) (sen α – sen β) Resposta do Pedro: Área = 100 (cos α + cos β) (sen α + sen β) Uma destas respostas está correta. Qual? Justifica. • OD admitindo que 1.3 Determina o produto escalar OB
7 α = ᎏᎏ e β = ᎏᎏ . 3
6
3 4
1.4 Admite agora que tg α = ᎏᎏ . a. Mostra que as coordenadas de A são (–8, 6) . b. Escreve a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto A .
12
TESTE INTERMÉDIO 1
z
2. Na figura ao lado está representada, num referencial
P
o.n. Oxyz , a pirâmide quadrangular regular [OPQRV] .
V
Q
Sabe-se que: O
• o vértice P pertence ao eixo Oz ; x
• o vértice R pertence ao plano xOy ;
y R
• o plano PQV é definido pela equação 3x – 4y – 10z + 100 = 0 ; • a reta que contém a altura da pirâmide é definida pela equação
(x, y, z) = (7, –1, 5) + k(3, –4, 0), k 僆 IR . a. Define por uma condição cartesiana a reta que passa na origem do referencial e é
perpendicular ao plano PQV .
b. Determina a área da base da pirâmide. c. Escreve a equação geral do plano que contém a base da pirâmide. d. Determina as coordenadas do vértice da pirâmide. E
3. Considera um triângulo [ABC] e dois quadrados construídos sobre dois dos seus
F
lados, como se ilustra na figura ao lado. B
e AF são perpendiculares. Prova, recorrendo ao produto escalar de vetores, que EC e AF como soma de vetores e relaciona as Sugestão: Escreve cada um dos vetores EC amplitudes dos ângulos ABC e EBF .
A
C
COTAÇÕES GRUPO I ………………………………………………………………………………………………… 50 pontos GRUPO II 1. 1.1 ……………………………………………………………………………………………………… 10 pontos 1.2 ……………………………………………………………………………………………………… 15 pontos 1.3 ……………………………………………………………………………………………………… 15 pontos 1.4 a. …………………………………………………………………………………………………… 15 pontos b. …………………………………………………………………………………………………… 15 pontos 2. a. ………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos b. ………………………………………………………………………………………………………… 10 pontos c. ………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos d. ………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos 3. …………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos _______________ 150 pontos TOTAL ................. 200 pontos
13
TESTE 3 Grupo I Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta. 1. Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico. O ponto A tem coorde-
nadas (1, 0) . y P
A x
O
Q
O ponto P pertence à circunferência e está no 2.o quadrante. O ponto Q pertence à circunferência e está no 3.o quadrante. A reta PQ é paralela ao eixo Oy . O perímetro do triângulo [POQ] é 3,6. Qual é o valor, em radianos, arredondado às décimas, da amplitude do ângulo AOP assinalado na figura? (A)
0,6
(B)
0,9
(C)
(D)
2,2
2. Considera a pirâmide quadrangular regular repre-
F
sentada na figura ao lado. Em relação a um referencial Oxyz , sejam E1 e E2 equações cartesianas dos planos ADF e BCF e seja E3 uma equação cartesiana do plano mediador de [AB] . Considera o sistema constituído pelas três equações E1 , E2 e E3 . Qual das afirmações é verdadeira?
14
(A)
O sistema tem exatamente uma solução.
(B)
O sistema tem exatamente três soluções.
(C)
O sistema é possível e indeterminado.
(D)
O sistema é impossível.
2,5
D A
C B
TESTE 3
3. A figura ao lado representa um quadrado de lado
兹苶 6.
D
C
A
B
Qual das afirmações é verdadeira? (A)
• CD ⫽ 6 AB
(B)
• BC ⫽ –6 (C) AD
• BD ⫽ 6 AC
• CB ⫽ –6 (D) AC
5 x +1
4. Seja h a função de domínio |R\{–1} definida por h(x) = 3 – ᎏᎏ e seja g a função
definida por g(x) = h(x + a) + b (a, b |R).
Sabe-se que as retas de equações x = –1 e y = 0 são as assíntotas do gráfico da função g . Quais são os valores de a e de b ? (A)
a = 0 e b = –3
(B)
a = –1 e b = 0
(C)
a=0 e b=3
(D)
a = –2 e b = 3
5. Seja f uma função polinomial de grau 3. No referencial da
figura ao lado está representada parte do gráfico da função f .
y
f
Seja g a função de domínio |R definida por g(x) = (x – 1)2 . f Qual é o conjunto dos zeros da função ᎏᎏ ? g (A) {0} (B) {0, 1} (C)
{–1, 0}
(D)
–1
0
1
x
{–1, 0, 1}
Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas as justificações necessárias. 1. A empresa Atésuacasa usa furgonetas e camionetas para entregar os seus produtos
em casa dos clientes. Os produtos são acondicionados em caixas, todas do mesmo tamanho. As furgonetas transportam exatamente 30 caixas e as camionetas transportam 70 caixas. A empresa tem dez motoristas disponíveis. Cada furgoneta demora 10 minutos a carregar e cada camioneta demora 30 minutos a carregar. Só é possível carregar um veículo de cada vez e o tempo de carregamento não deve exceder três horas. Cada veículo e cada motorista vão fazer apenas uma entrega. Qual é o maior número de caixas que podem ser entregues?
15
2. O Tiago tem um novo treinador de ténis de mesa. Da análise que já fizeram, o treinador
concluiu que a percentagem de eficácia dos serviços do Tiago pode evoluir de acordo 95t + 115 com a função s , dada por s(t) = ᎏᎏ , sendo t o tempo (expresso em horas) de t +5 treino de serviços. Resolve os itens seguintes sem recorrer à calculadora. a. O Tiago completou 7 horas de treino de serviços. De acordo com as previsões do trei-
nador, numa série de 200 serviços que o Tiago efetue, quantos se espera que sejam eficazes? b. A eficácia dos serviços do Tiago está, presentemente, em 75%. Brevemente vai
defrontar um atleta cuja eficácia nos serviços ronda 80%. Quantas horas mais deve o Tiago treinar para se poder equiparar a esse atleta quanto à eficácia dos serviços? c. Um outro jogador consegue, em média, 145 serviços ganhadores em cada 150. Será
que o Tiago irá atingir o mesmo patamar de eficácia? d. De acordo com as previsões do treinador, qual a percentagem de eficácia de serviços
que o Tiago não vai conseguir ultrapassar?
3. No referencial da figura seguinte estão parcialmente representadas as funções f e g .
C
1 3
2 3
• A função f tem domínio |R e é definida por f(x) = –ᎏᎏ x – ᎏᎏ .
y
g
x–4 x+2
• A função g tem domínio |R\{–2} e é definida por g(x) = ᎏᎏ .
D 0 F
x
• Os gráficos das funções f e g intersetam-se nos pontos C e F .
f
• O ponto D pertence a uma das assíntotas do gráfico de g e tem
a mesma ordenada do ponto C .
Resolve os itens seguintes por processos analíticos. a. Resolve a condição g(x) ⭓ f(x) e apresenta o conjunto-solução usando a notação de
intervalos. b. Determina a área do triângulo [CDF] . c. Determina as coordenadas do ponto em que o gráfico da função inversa de g inter-
seta o eixo das abcissas. 5x – 14 x –4 Caracteriza as funções g + h e g ⬚ g apresentando as suas expressões analíticas simplificadas.
d. Seja h a função de domínio |R\{–2, 2} definida por h(x) = ᎏ . 2
16
TESTE 3
4. Na figura seguinte está representado, em referencial o.n. Oxyz , o poliedro
[VNOPQURST ] , que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. z V
O
N Q
y
P x R
U
S T
Sabe-se que: • a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano xOy ; • a aresta [OP] está contida no eixo Ox ; • o ponto U tem coordenadas (4, –4, –4) ; • o plano QTV é definido pela equação 5x + 2y + 2z = 12 . 4.1 Define analiticamente: a. o plano paralelo ao plano QTV que passa no ponto U ; b. dois planos perpendiculares ao plano QTV que passem na origem do referen-
cial e não sejam paralelos entre si; c. a reta que passa por U e é perpendicular ao plano QTV ; d. a reta US ; e. a superfície esférica de centro em N e que passa no ponto T . 4.2 Determina o volume da pirâmide [VNOPQ] .
= e1 – 2e2 . 5. Seja (O, e1 , e2 ) um referencial ortonormado do plano e seja u que passa no ponto de a. Determina a equação reduzida da reta perpendicular a u coordenadas (–1, 3) . . b. Seja A um ponto que pertence à bissetriz do 3.o quadrante e seja B = A – u • OB = 6 . Sabe-se que OA Determina as coordenadas do ponto A . c. Seja c a circunferência de equação (x + 2)2 + y2 = 20 .
Escreve a equação reduzida de uma das retas tangentes à circunferência que são . paralelas ao vetor u Sugestão: Começa por determinar as coordenadas de um vetor perpendicular ao vetor u com norma igual ao raio da circunferência.
17
TESTE 4 Grupo I Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta. 1. Na figura seguinte está representado o círculo trigonométrico num referencial o.n. xOy . y
Sabe-se que:
B
• a reta BT é tangente à circunferência no
ponto T(1, 0) ; • o ponto A pertence à circunferência; • a reta AB passa na origem do referencial;
O
4 5
• o ponto A tem ordenada – ᎏᎏ .
T
x
A
Qual é a ordenada do ponto B ? 4 3
(A) ᎏᎏ
3 2
5 3
(B) ᎏᎏ
7 4
(C) ᎏᎏ
(D) ᎏᎏ
2. Na figura seguinte está representado um cone num referencial o.n. Oxyz .
O cone tem a base contida no plano xOy e o vértice pertence ao eixo Oz . O ponto A pertence ao eixo Oy e o segmento [VA] é a geratriz do cone que está contida no plano α de equação 2y + z = 6 . z V
␣
O
A
y
x
Qual é o volume do cone? (A)
18
9
(B)
18
(C)
27
(D)
36
TESTE 4
3. No referencial seguinte está representada parte do gráfico da função f , de domínio
[0, +⬁[ , definida por f(x) = 兹苶x . y
f
A
D
B
0
C
x
• O ponto A é o ponto do gráfico de f que tem abcissa 10. • Os pontos B e C pertencem ao eixo das abcissas e [ABCD] é um quadrado.
Qual é a área do quadrado [ABCD] ? (A)
10
(B)
25
(C)
(D)
50
100
4. No referencial da figura ao lado está parte do gráfico da função g de domínio |R e
y
derivável em |R . A
A reta r é tangente ao gráfico de g no ponto A e interseta o eixo das abcissas no ponto B . 4 Sabe-se que o ponto A tem coordenadas (–1, 3) e que g’(–1) = ᎏᎏ . 5
3 r
B –1 0
Qual é a abcissa do ponto B ?
x
g (A)
13 –ᎏᎏ 4
(B)
15 –ᎏᎏ 4
(C)
17 –ᎏᎏ 4
(D)
19 – ᎏᎏ 4
5. Seja g uma função de domínio |R e derivável em |R .
No referencial da figura seguinte encontra-se parte do gráfico da função g’ (função derivada da função g ). y
Sabe-se que g(3) = 5 .
g'
Qual pode ser o valor de g(2) ? (A)
3
1
x
0 (B)
3
(C)
4
(D) 6
19
Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas as justificações necessárias.
x 2
2 x
1. Sejam f e g duas funções de domínio |R\{0} . A função f é definida por f(x) = ᎏᎏ – ᎏᎏ
1 e a função g é definida por g(x) = ᎏᎏ . x 2x
a. Mostra que (g ⬚ f)(x) = ᎏ e determina o domínio da função g ⬚ f . x2 – 4 b. Resolve a condição g(x) ⭐ f(x) e representa o conjunto-solução usando a notação
de intervalos. c. Define analiticamente uma função h cujo gráfico, num referencial o.n. xOy , passe
no ponto de coordenadas (2, 5) e tenha as mesmas assíntotas do gráfico da função f . d. Escreve a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 2. e. Determina a inclinação da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa –1.
2. Numa fábrica, o custo total da produção mensal de q centenas de peças, expresso
em milhares de euros, é dado por c(q) = q3 – 12q2 + 21q + 1000 , com q [0, 12] . O custo marginal é dado pela função c’ (função derivada de c ). O custo médio de produção de cada centena de peças é dado, em milhares de euros, c(q) pela função cm , definida por cm(q) = ᎏ , para q ]0, 12] . q Resolve os itens a., b., e c. por processos analíticos. a. Determina o custo marginal para a produção de 600 peças. b. Estuda a variação do custo total no intervalo ]0, 12[ . Qual é o número de peças
que o fabricante deve produzir para que o custo total seja mínimo? c. Qual o custo médio de produção de uma centena de peças quando a produção tem
o seu custo máximo? d. Recorre à calculadora para mostrar que o número de peças a produzir para que
o custo médio de cada centena de peças seja o menor possível, não é igual ao número de peças para qual o custo total de produção é mínimo.
20
TESTE 4
3. Seja [ABC] um triângulo equilátero de perímetro 12. Considera um ponto P que se
desloca sobre o lado [BC] , nunca coincidindo com B nem com C . B
R dc
P x
db A
C
Q
C. Para cada posição do ponto P , seja x a distância de P a C , ou seja, x = P Considera as funções db e dc que a cada valor de x fazem corresponder a distância de P a [AC] e a distância de P a [AB] , respetivamente. a. Determina o domínio e o contradomínio das funções db e dc no contexto da situa-
ção descrita.
3
3
2
2
b. Mostra que dc(x) = x e que db(x) = 23 – x. c. Determina x de modo que o produto das distâncias de P a [AC] e de P a [AB]
seja máximo. d. Determina a área do quadrilátero [ARPQ] quando P é o ponto médio de [BC] .
= e1 – 2e2 . 4. Seja (O, e1 , e2 ) um referencial ortonormado do plano e seja u Determina as coordenadas de um vetor v tal que: • v = 25
∧ v = 60o •u
5. Seja f a função de domínio |R definida por f(x) = ax2 + bx + c , a, b, c 僆 |R , a 0 . a. Sejam x0 e x1 dois números reais. Mostra que:
∀ x0, x1 僆 |R , t.m.v. f, x0, x1 = a(x0 + x1) + b b. Seja g a função definida por g(x) = 4x2 – 3x + 1 .
Recorre ao resultado expresso na alínea anterior para calculares a taxa média de variação da função g no intervalo [–1, 3] .
21
TESTE INTERMÉDIO 2 Grupo I
• Os cinco itens deste grupo são de seleção. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta. • Escreve apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionares para responder a esse item. • Não apresentes cálculos, nem justificações. • Se apresentares mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.
1. Considera, num referencial o.n. Oxyz , a reta r definida por:
(x, y, z) = (0, 0, 1) + λ(1, 2, 3) , λ IR Qual das condições seguintes define um plano paralelo à reta r ? z=1
(B)
x+y=0
(C)
x+y–z=0
(D)
x + 2y + 3z = 0
2. No referencial o.n. da figura ao lado está representado um quadrado [OABC] de
y A
(A)
P
lado 1. Os vértices A e C pertencem aos eixos coordenados.
B
Considera que o ponto P se desloca sobre o lado [AB] . Seja f a função que à abcissa x do ponto P faz corresponder o produto escalar O
C 1
x
• OC . OP Em qual dos referenciais seguintes está representada a função f ? (A)
y
(B)
1
O
1
22
1
x
y (D)
冪苴 2
O
1
O
x
y (C)
y
1
x
冪苴 2
O
1
x
TESTE INTERMÉDIO 2
3. Seja f a função representada graficamente no referencial da figura seguinte e seja
g a função definida em IR por g(x) = x2 . y 3 f
1
–1 0
–2
1
2
x
3
Qual é o contradomínio da função g ⬚ f –1 ? (A)
[0, 4]
(B)
[0, 9]
(C)
[1, 9]
(D)
[4, 9]
4. No referencial da figura ao lado está representada parte do gráfico da função f . Os pon-
tos A e B pertencem ao gráfico da função f , sendo a e b as respetivas abcissas.
y
A f
Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A)
f(a) × f’(a) > 0
(B)
f(b) × f’(b) > 0
(C)
f(a) × f’(b) > 0
(D)
f’(a) × f’(b) > 0
0
a
b x B
5. No referencial da figura seguinte está representada parte do gráfico da sucessão (un) . un
0
1
2
3
4
5
n
Qual das condições seguintes pode definir a sucessão (un) ? (A) un =
(C)
5n + 1 ᎏᎏ n
⎧u1 = 6 ⎪ ⎨ ⎪un + 1 = ᎏuᎏn 2 ⎩
(B) un
=6–n
⎧u1 = 6 ⎨ ⎪un + 1 = un – 3 ⎩
(D) ⎪
23
Grupo II
Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta todos os cálculos que tiveres de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresenta sempre o valor exato.
1. Na figura ao lado está representado um cubo em
z
referencial o.n. Oxyz . O cubo tem aresta 5 e três das suas faces estão contidas nos planos coordenados xOz , yOz e xOy . Os pontos O , P e Q são vértices do cubo.
P
O
Admite que o ponto R se desloca sobre o semieixo positivo Ox .
y
Q
R x
Para cada posição do ponto R , seja α = 0Qˆ R e seja Aα a área da secção produzida no cubo pelo plano PQR .
a. Escreve uma equação cartesiana do plano PQR no caso de
α = . 4
b. Define analiticamente a reta RQ , quando OR =7.
25 cos α
25 sen α
4
2
c. Mostra que Aα = se 0 < α < e que Aα = se < α < .
4
d. Determina a área da secção produzida no cubo pelo plano PQR no caso de
2 sen – α = , com α 僆 0, . 2 2 3
2. Sejam f e g as funções, de domínio IR , definidas por f(x) = x2 – 4 e por g(x) = 2x – 1 ,
respetivamente. Resolve os itens seguintes sem recorrer à calculadora. a. Resolve a condição
g
f (x) 1 . Apresenta o conjunto-solução usando a notação
de intervalos. b. Estuda a função f × g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos. c. No referencial da figura ao lado está representada
y
parte da função h’ , derivada da função h = f 2 . Escreve equações de duas retas tangentes ao gráfico de h que sejam paralelas ao eixo das abcissas.
–2
–1
0 –8
d. Caracteriza a função f g , apresentando a sua
expressão analítica na forma de polinómio.
24
h'
8
1
2
x
TESTE INTERMÉDIO 2
3. A partir de uma folha de cartolina pretende-se construir uma pirâmide quadrangular
regular. A folha de cartolina é um quadrado com lado 10 e a planificação da pirâmide é do tipo da que se apresenta na figura ao lado. Determina a medida da aresta da base da pirâmide com maior volume que é possível construir nas condições apresentadas. x
Na resolução deste problema percorre as seguintes etapas: • designa por x a aresta da base da pirâmide; • exprime a altura de cada face da pirâmide em função de x ;
10
• exprime a altura da pirâmide em função de x ; • escreve uma expressão que dê o volume da pirâmide em função de x e indica os
valores que x pode tomar; • recorre à calculadora gráfica para obteres o valor de x para o qual o volume da
pirâmide é máximo; • apresenta o gráfico que visualizaste na calculadora. Assinala nesse gráfico o(s)
ponto(s) relevante(s) e respetivas coordenadas (se fizeres arredondamentos, usa uma casa decimal).
COTAÇÕES GRUPO I ………………………………………………………………………………………………… 50 pontos GRUPO II 1. a. ………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos b. ………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos c. ………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos d. ………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos 2. a. ………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos b. ………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos c. ………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos d. ………………………………………………………………………………………………………… 15 pontos 3. …………………………………………………………………………………………………………… 20 pontos _______________ 150 pontos TOTAL .......................... 200 pontos
25
TESTE 5 Grupo I Este grupo é constituído por itens de seleção. Para cada item, seleciona a opção correta.
1. No referencial da figura ao lado está representada
y
parte da função f ’ , função derivada da função f .
f'
Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? 0
(A)
A função f não tem extremos.
(B)
A função f não tem mínimo relativo.
(C)
A função f tem máximo absoluto.
(D)
A função f tem pelo menos dois extremos relativos: um máximo e um mínimo.
x
2. Considera as sucessões (un) , (vn) , (xn) e (wn) assim definidas:
n–1 un = n
3n + (–1)n vn = n
⎧ x1 = 2 ⎪ ⎨ 1 ⎪ xn + 1 = x n ⎩
wn = (–1)n × n + n
Qual destas sucessões é uma sucessão não limitada? (A)
(un)
(B)
(vn)
(C)
(D)
(xn)
(wn)
3. A soma de k termos consecutivos de uma progressão aritmética é 2116. Adicionando
a primeira parcela à última, obtém-se 23. Qual é o valor de k ? (A)
183
(B)
184
(C)
(D)
185
186
1 9
4. Qual das condições seguintes (n IN) define uma progressão geométrica de razão ?
(A) un
(C)
26
n+1 = 9
1 wn = 32n
1
(B) vn
= n9
(D) xn
= –9n
TESTE 5
5. No referencial da figura seguinte está representada parte do gráfico da função f .
As retas de equações x = 0 e y = 0 são assíntotas do gráfico de f . y
f
0
x
Seja (un) uma sucessão. Sabe-se que a sucessão (un) é divergente e que a sucessão (f(un)) é convergente. Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão (un) ? (A)
(–1)n ᎏᎏ n
(B) ᎏᎏ 2
(C)
(–1)n
(D)
1 n
(–2)n
Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresenta o teu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que efetuares e todas as justificações necessárias. 1. Considera as sucessões a seguir definidas pelo termo geral ou por recorrência.
4n – 3 un = ᎏᎏ 2
⎧v1 = 4 ⎪ ⎨ ⎪vn + 1 = –ᎏvᎏn 2 ⎩
⎧ ᎏ10ᎏ ⎪ n wn = ⎨ ⎪22 – 5n ⎩
se n é ímpar se n é par
a. Estuda cada uma das sucessões (un) , (vn) e (wn) quanto à monotonia, indicando
os argumentos necessários a cada uma das conclusões. b. Apresenta, para cada uma das sucessões (un) , (vn) e (wn) o conjunto dos majo-
rantes e o conjunto dos minorantes dos seus termos ou justifica que sejam conjuntos vazios. c. Define (un) por recorrência e mostra que (vn) pode ser definida por (vn) = (–2)3 – n . d. Determina o primeiro termo da sucessão (un) que é maior do que 11 200. e. Determina a soma dos vinte termos consecutivos da sucessão (un) , a partir do ter-
ceiro termo, inclusive. f. Mostra que a soma dos n primeiros termos da sucessão (vn) é dada por:
8 + (–2)3 – n Sn = ᎏᎏ 3 g. Estuda cada uma das sucessões (un) , (vn) e (wn) quanto à convergência e funda-
menta as conclusões que apresentares.
27
2. A Leonor e a Maria vivem em Campo Maior e ofereceram-se para colaborar na organi-
zação da Festa das Flores. Estão a fazer flores de papel e começaram no mesmo dia. No primeiro dia aprenderam a técnica e qualquer delas fez apenas uma flor. A Maria está determinada em fazer, cada dia, mais seis flores do que no dia anterior. A Leonor acha que, com a ajuda dos irmãos, vai conseguir fazer, cada dia, o dobro das flores que fez no dia anterior. a. Mostra que, ao fim de n dias, a Maria já fez 3n2 – 2n flores. b. Num determinado dia, a Maria verificou que já tinha feito, ao todo, 225 flores.
Nesse dia, quantas flores fez a Leonor com a ajuda dos irmãos? ⎧ 5⎫ 360 3. Seja g a função, de domínio |R\ ⎨– ⎬ definida por g(x) = 6 + . 2 2 x+5 ⎩ ⎭ 3.1 Resolve a condição g(x) 8 .
Apresenta o conjunto-solução usando a notação de intervalos. 3.2 Seja f a função definida por f(x) = g(x – 2) – 4 .
Identifica o domínio e o contradomínio da função f . 3.3 A Leonor ferveu um litro de leite e, depois de o deixar a arrefecer durante algum
tempo em cima da bancada da cozinha, colocou-o no frigorífico. Admite que a temperatura do leite, em graus Celsius, x horas depois de ser colocado no fri+ gorífico, é dada pela função t definida em |R 0 por t(x) = g(x) . a. Calcula a taxa média de variação de t no intervalo [0, 5] . Qual é o significado
do valor obtido no contexto da situação? t(2,5 + h) – t(2,5) h
b. Calcula lim e interpreta o valor obtido no contexto da situação h→0
descrita. c. Faz uma estimativa da temperatura média no interior do frigorífico. Justifica
a tua resposta. d. A Leonor gosta de beber leite a uma temperatura entre 35 oC e 45 oC. Se a Leo-
nor tiver colocado o leite no frigorífico às 9 h, entre que horas o deve retirar para o beber a uma temperatura que lhe agrade? Resolve este item recorrendo à calculadora. Apresenta o(s) gráfico(s) em que baseaste a tua resposta e assinala os pontos relevantes e as respetivas coordenadas arredondadas às centésimas (no caso de ser necessário fazer arredondamentos). Dá a resposta em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades. Em cálculos intermédios conserva, no mínimo, três casas decimais.
28
TESTE TESTE AAA 5
4. Na figura seguinte está representada, num referencial o.n. xOy , parte do gráfico da
1 função f , de domínio |R +, definida por f(x) = ᎏᎏ . x y
f
r A P
O
a
B
x
O ponto P é o ponto do gráfico de f com abcissa a . A reta r , também representada na figura, é a reta tangente ao gráfico de f no ponto P . A reta r interseta os eixos coordenados nos pontos A e B . a. Mostra que os triângulos [OPA] e [OPB] são isósceles e têm áreas iguais. Sugestão: Escreve a equação reduzida da reta r e determina as coordenadas dos pontos A e B. b. Seja g a função que dá a área do triângulo [OAB] em função da abcissa a do
ponto P . Justifica a afirmação seguinte: ∀a IR + , g’(a) = 0 . 5. Na figura ao lado está representada parte de um referencial o.n. Oxyz .
z
Cada um dos pontos A , B e C pertence a um dos semieixos positivos do referencial. O ponto P pertence ao plano ABC e move-se nesse plano, de tal modo que as suas coordenadas se mantêm positivas e é sempre vértice de uma pirâmide quadrangular regular com a base contida no plano xOy . Um dos vértices da base da pirâmide coincide com a origem do referencial e dois dos outros três vértices da base pertencem aos semieixos positivos Ox e Oy . O plano ABC é definido pela equação 5x + 5y + 8z = 40 .
C P
O
B
y
A x
a. Seja a a medida da aresta da base da pirâmide (a ]0, 8[).
Mostra que o volume da pirâmide é dado, em função de a , por: 5 5 V(a) = ᎏᎏ a2 – ___ a3 3 24 b. Sem recorrer à calculadora, estuda a função V quanto à monotonia e determina
o valor de a para o qual o volume da pirâmide é máximo. c. Define por uma condição cartesiana a reta que passa no ponto A e é perpendicular
ao plano ABC .
29
SOLUÇÕES TESTE 1 Grupo I 1. (B)
2. (C)
3. (D)
4. (C)
5. (C)
Grupo II 苶苶 C ≈ 36,31 ; 苶 CD 苶 ≈ 34,3 m 1. a. h[BC] ≈ 6,93 ; A b. 61 m 2.1 ᎏᎏ 3 2.2 2兹苶 3
é perpendicular ao Portanto, o vetor FC plano BDH .
2兹苶 3苶1 c. ᎏ 31
TESTE INTERMÉDIO 1 Grupo I
2 2 3.2 a. x = –ᎏᎏ ∨ x = ᎏᎏ , em [– , ] e 3 3 2 4 x = ᎏᎏ ∨ x = ᎏᎏ , em [0, 2] 3 3 b. x = ᎏᎏ + k ᎏᎏ , k ZZ 4 2 c. x = ᎏᎏ + k , k ZZ 4 2 d. x = ᎏᎏ + kᎏᎏ , k ZZ 3 6 5. É possível. Pode passar uma viatura de largura não superior a 2,19 metros.
1. (C)
2. (B)
3. (A)
4. (B)
5. (A)
Grupo II 1.1 β – α = 1.2 A resposta correcta é a da Ana: 苶 B = 20 cos α , 苶 D苶 C = –20 cos β e a altura A苶 do trapézio é dada por 10(sen α +(–sen β)) = 10(sen α – sen β) . 3 1.3 –50兹苶 4 50 1.4 b. y = ᎏᎏx + ᎏᎏ 3 3 x y z 2. a. ᎏᎏ = –ᎏᎏ = – ᎏᎏ 3 4 10 b. 100
TESTE 2
c. 3x – 4y = 0
Grupo I
d. V(–2, 11, 5) 3. (B)
4. (B)
5. (C)
Grupo II 1. a. ᎏᎏ 3
= EB + BC e AF = AB + BF 3. Tem-se: EC Então: •AF = (EB + BC )•(AB + BF ) = EC
b. y = 兹苶 8x
•AB + EB •BF + BC •AB + BC •BF = EB
7 d. ᎏᎏ 9
e AB , e também BC e BF , Como EB são perpendiculares, tem-se EB •AB = 0
ABˆC + EBˆ F = 180o e, portanto, •BF = 冨冨 EB 冨冨 × 冨冨 BF 冨冨 × cos (180o – EBˆF) = EB = 冨冨 EB 冨冨 × 冨冨 BF 冨冨 × cos (ABˆC) •AF = EB •BF + BC •AB = Assim, EC 冨冨 × 冨冨 BF 冨冨 × cos (ABˆC) – = 冨冨 EB 冨冨 × 冨冨 EB 冨冨 × cos (ABˆC) = 0 – 冨冨 BF •AF = 0 , conclui-se que os vetores De EC EC e AF são perpendiculares.
TESTE 3 1. (C)
2. (C)
2. a. 130
c. Não.
b. 6
d. 95%
b. Por exemplo: –2x + 5y = 0 e y = z x–4 y+4 z+4 c. ᎏᎏ = ᎏᎏ = ᎏᎏ 5 2 2 d. x + y = 0 ∧ z = –4 e. x2 +(y + 4)2 + z2 = 48 4.2 16 1 7 5. a. y = ᎏᎏx + ᎏᎏ 2 2 b. A(–2, –2) c. y = –2x + 6 ou y = –2x – 14
TESTE 4
•AF = EB •BF + BC •AB . Portanto, EC
1. (A)
3. (x – 12)2 + (y – 4)2 = 125 e (x + 4)2 + (y + 8)2 = 125
•AB = 冨冨 BC 冨冨 × 冨冨 AB 冨冨 × cos (180o – ABˆC) = BC
4. a. (x, y, z) = (14, –7, 4) + k(2, 3, 6) , k |R b. 3x – 6y + 2z = 92 c. 2x + 3y + 6z = 80 d. (x – 14)2 + (y + 7)2 + (z – 4)2 = 98
•BF = 冨冨 EB 冨冨 × 冨冨 BF 冨冨 × cos (180o – EBˆF) e EB 冨冨 × 冨冨 AB 冨冨 × cos (ABˆC) = = –冨冨 BC 冨冨 × 冨冨 EB 冨冨 × cos (ABˆC) = –冨冨 BF
5. (C)
3. a. [–8, –2[ [1, +∞[ b. 9 c. (–2, 0) x–3 d. Dg + h = |R \{–2, 2} , (g + h)(x) = ᎏᎏ x–2 x+4 Dg ⬚ g = |R \{–2, 0} , (g ⬚ g )(x) = – ᎏᎏ x 4.1 a. 5x + 2y + 2z = 4
Grupo I
Por outro lado,
4. (A)
1. 460 caixas.
•BF = 0 . e BC
冣
3. (D)
Grupo II
2.1 0 3 19 2.4 b. y = –ᎏᎏx + ᎏᎏ 4 4 6 6 c. E –ᎏᎏ, –ᎏᎏ 7 7
冢
30
Atendendo a que os ângulos ABE e CBF são ângulos retos, tem-se
Grupo I
3.1 a. –110o, 110o e 250o b. 20o e 160o c. –145o, 145o e 215o d. –115o, 65o e 245o
2. (D)
5. Num referencial o.n. de origem F e tal que A(1, 0, 0) , G(0, 1, 0) e E(0, 0, 1), tem coordenadas (1, 1, 1) e o vetor FC e BH têm coordenadas os vetores BD (0, –1, 1) e (–1, 0, 1) , respetivamente. • BD = 0 e FC • BH = 0 . Tem-se FC
36兹苶 3 – 27 2.3 b. ᎏ ᎏ 4
1. (C)
= –31 ; como o produto escalar • AO e. AB é negativo e os vetores não são colineares, o ângulo BAO é obtuso. f. Plano perpendicular a AB que passa no ponto A ; é o plano AED . g. F(10, 8, 6) O volume é 686.
2. (B)
3. (A)
4. (D)
5. (D)
Grupo II 1. a. Dg ⬚ f = |R \{–2, 2, 0} 6, 0关 关兹苶 6, +∞关 b. C.S. = 关–兹苶 x 8 c. h(x) = ᎏᎏ + ᎏᎏ , D = |R \{0} 2 x d. y = x – 2 e. 135o
SOLUÇÕES
2. a. c’(6) = –15 b. c é crescente em ]0, 1[ e em ]7, 12[ e é decrescente em ]1, 7[ . Para que o custo total seja mínimo devem produzir-se 700 peças. c. 104,(33) milhares de euros por centena de peças. d. O número de peças a produzir para que o custo total seja mínimo é 700 e, para que o custo médio de cada centena de peças seja o menor possível, devem produzir-se, aproximadamente, 1050 peças.
x 3. Altura de cada face: 5 – ; 2
(wn) é divergente, a subsucessão dos termos de ordem par tende para –∞ e a subsucessão dos termos de ordem ímpar tende para 0.
altura da pirâmide: 2 5–5x ; 1 V(x) = x2 2 5–5x , x ]0, 5[ 3 y
2. b. 256
(4; 11,9)
3.1 C.S. = ]–∞; –2,5[ [87,5; +∞[
12 10
⎧ 1⎫ 3.2 Df = IR\ ⎨– ⎬ ; D’f = IR\{2} ⎩ 2⎭
8 6
3.3 a. t.m.v. = –9,6 ; nas primeiras cinco horas, depois de o leite ser colocado no frigorífico, a sua temperatura baixou, em média, 9,6 oC por hora. b. –7,2; a temperatura do leite desce à taxa de 7,2 oC por hora, duas horas e meia depois de o leite ser colocado no frigorífico. c. 6 oC é o valor para que tende a temperatura do leite no frigorífico ao fim de «muito, muito tempo». d. y
4 2
3. a. Ddb = Ddc = ]0, 4[ e
0
D’db = D’dc = ]0, 2 3[
1
2
3
4
5
x
É 4.
c. x = 2 d. 3 3
TESTE 5
→
4. v (1 + 2 3 , –2 + 3) ou
Grupo I
→
1. (D)
3 , – 2 – 3) v (1 – 2
4. (C)
5. (D)
35
1. a. (un) é monótona crescente; un + 1 – un = 2 , portanto, ∀ n IN , un + 1 – un > 0 (vn) não é monótona; v1 = 4 , v2 = –2 , v3 = 1 (wn) não é monótona; w1 = 10 , w2 = 12 ,
Grupo I 3. (B)
4. (C)
Grupo II
TESTE INTERMÉDIO 2 2. (A)
3. (B)
45
5. b. t.m.v.g, – 1, 3 = 4(–1 + 3) – 3 = 5
1. (C)
2. (D)
5. (C)
10 w3 = 3
Grupo II
0
b. (un) Conjunto dos majorantes: ∅
1. a. x + y = 5
1 Conjunto dos minorantes: –∞, 2
7 75 d. 7
(vn) Conjunto dos majorantes: [4, +∞[ Conjunto dos minorantes: ]–∞, –2]
b. f × g é crescente em ]–∞, –1[ e em
4 4 , +∞ e é decrescente em –1, . 3 3
4 f(–1) é máximo e f 3
é mínimo.
c. y = 0 e y = 16 d. Df g = |R ; (f g )(x) = 4x2 – 4x – 3
(wn) Conjunto dos majorantes: [12, +∞[ Conjunto dos minorantes: ∅
4. a. A equação da reta tangente ao gráfico 1 2 no ponto P é y = – 2 x + . a a 1 2 P a, , A 0, , B(2a, 0) e, portanto, a a
A =P O e P O =P B . A área de qualquer P um dos triângulos é 1. b. A função g é constante: ∀a |R+ , g(a) = 2
1 c. ⎧u1 = 2
⎨ ⎩un + 1 = un + 2 ,
x
3,71
Entre as 11 h 7 min e as 12 h 42 min.
x–7 y b. = – ∧ z = 0 7 5
2. a. C.S. = ]–2, –1] ]2, 3]
2,12
∀ n IN
d. u5601 = 11 200,5 e. 470 g. (un) é divergente, un → +∞ . (vn) é convergente, vn → 0 .
5. b. V é crescente em cente em
0, 3 e é decres16
3, 8 ; o volume é máximo 16
16 para a = . 3 x–8 y z c. = = 5 8 5
31
Este caderno é uma oferta com o projeto Y, 11.o ano, não podendo ser vendido separadamente.
ISBN 978-972-47-4405-6
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