OPOSICIONES DE SECUNDARIA EXÁMENES por lo que: 1 m1 ... mk 1 mk 1 ... mr 1 0 lo cual es imposible (por tratarse de números naturales), por lo que este caso no se puede dar.
Veamos que 2 p1 (2 p 1 ) es un número perfecto (par está claro que lo es) si 2 p 1 es primo. Para ello, calcularemos todos sus divisores propios: 1,2,2 2 ,...,2 p1 , 2 p 1, 2(2 p 1 ), 2 2 (2 p 1 ),...,2 p2 (2 p 1 ) y los sumaremos: S 1 2 2 2 ... 2 p1 2 p 1 2(2 p 1 ) 2 2 (2 p 1 ) ... 2 p2 (2 p 1 )
Sea 2 p 1 es un número primo. Vamos a hacer la demostración por reducción al absurdo, suponiendo que p no es primo. Entoces: Entoces: m, n Œ, m, n 1 p mn
por lo que: 2 p 1 2 mn 1 (2 m ) n 1 (2 m 1 )(2 m(n1 ) 2 m(n2 ) .... 2 m 1 ) y, por tanto, 2 p 1 no sería un número primo.
Según hemos probado en el primer apartado, todo número perfecto par es de la forma 2 p1 (2 p 1 ) con hemos probado en el segundo apartado, todo número perfecto par es de 2 p 1 primo, por lo que, según hemos p1 ( p la forma 2 2 1 ) con p primo. Por tanto, cualquier número número perfecto par es de la forma p1 ( p 2 2 1 ) siendo:
