departamento de ingeniería telemática
Examen de Comunicación de Datos 20 de mayo de 2015 Nombre:
D.N.I.:
1. (2 puntos) Considere el canal con matriz de probabilidades de transición 1 0 0 Q = p/2 1 − p p/2 . 0 0 1 a) Suponga que la variable aleatoria de entrada X es uniforme. Calcule H(X, Y ) y determine el valor de p que la maximiza. b) Suponga que p = 1 y que son equiprobables los símbolos de X que se transmiten fielmente. Calcule el máximo e I(X; Y ) y determine para qué distribución de X se alcanza. a) H(X, Y ) = H(X) + H(Y | X) = log 3 + 1/3H(p/2, q, p/2). Aplicando la propiedad de partición al segundo sumando 1 H(X, Y ) = log 3 + H(p) + p log 2 . 3 El valor de p que la hace máxima es 1/3. b) Si los símbolos con transmisión fiel son equiprobabbles, como para p = 1 el canal sólo produce dos posibles símbolos de salida y 1 0 0 Q = 1/2 0 1/2 , 0 0 1 estos son equiprobables, es decir, H(Y ) = log 2. Así I(X, Y ) = H(Y ) − H(Y | X) = log 2 − (1 − 2a) log 2 = 2a log 2 donde a es la probabilidad de cada uno de los dos símbolo anteriores. I(X; Y ) es máxima si a = 1/2. 2. (1 punto) Calcule el porcentaje de tiempo dedicado a retransmisiones de tramas en un enlace punto a punto que emplea el envío continuo con rechazo selectivo. En rechazo selectivo (con ventana infinita) el emisor está transmitiendo alguna trama en cualquier instante. La fracción de retransmisiones es —si todas las tramas son de igual tamaño— simplemente p, la fracción de intentos de transmisión erróneos. 3. (1 punto) Considere un sistema Aloha ranurado con n estaciones donde una fracción p de las mismas transmite con probabilidad p1 en cada ranura, mientras que el resto transmite con probabilidad p2 en cada ranura. Obtenga una expresión para el tráfico cursado. Directamente a partir del enunciado S = npp1 (1 − p1 )np−1 (1 − p2 )n(1−p) + n(1 − p)p2 (1 − p1 )np (1 − p2 )n(1−p)−1 . Obviamente si p1 = p2 se tiene la fórmula clásica para una población homogénea. 4. (2 puntos) Estudiemos la familia de códigos lineales cuya matriz generadora es de la forma 1 0 1 ... 1 1 1 0 . . . 1 Gk = Ik . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 ... 0 para k ≥ 3.
a) Obtenga la longitud, dimensión y distancia del código generado por Gk . b) Si se suman un número par de filas de esta matriz —digamos j filas, para j par— se obtiene como resultado un vector de peso 2j; mientras que si se suman un número impar de filas —no importa cuántas—, entonces el resultado es un vector de peso k + 1. Utilice estas dos propiedades para deducir la distribución de pesos de las palabras del código generado por G6 . Ídem para G7 . Observe que si k es un número impar, el código contiene únicamente palabras de peso par. c) Encuentre la distribución de pesos de los errores corregibles con G4 . a) [2k + 1, k, 4] b) A0 = 1, A4 = 62 , A8 = 64 , A12 = 66 , A7 = A8 = 74 + 71 + 73 + 75 + 77 , A12 = 76 .
6 1
+
c) La matriz de comprobación de paridad es 1 1 1 1 I4 + J4
6 3
+
6 3
+
6 5
Para G7 : A0 = 1, A4 =
7 2
,
I5 .
A partir de ella, se deduce con el método habitual que α0 = 1, α1 = 9, α2 = 21, α3 = 1. 5. (2 puntos) Una fuente discreta y sin memoria emite símbolos con una entropía por símbolo de 2 bits. Para transmitir estos mensajes se dispone de dos canales que se pueden utilizar simultáneamente, el primero de ellos ternario de capacidad 2/5 la del ideal y régimen de transmisión 100 símbolos por segundo; y el segundo, binario de capacidad 1/2 bit y régimen de transmisión 1000 símbolos por segundo. a) ¿Cuál es el tiempo mínimo necesario para transmitir de forma fiable un mensaje de longitud n 1? b) Para la transmisión en tiempo mínimo, si el coste por símbolo del primer canal es a euros y por el segundo canal es de b euros, ¿cuánto cuesta la transmisión del mensaje? a) Ese tiempo mínimo es Tm´ın =
2 nH(X) . =n vc1 C1 + vc2 C2 2/5 × 100 × log2 3 + 1/2 × 1000
b) Por el primer canal se transmiten Tm´ın × 100 símbolos y por el segundo Tm´ın × 1000 así que el coste es Tm´ın 100a + 1000b . 6. (2 puntos) Una fuente discreta y sin memoria costa de 50 símbolos de probabilidad a y 50 símbolos de probabilidad 2a. Obtenga la eficiencia de un código compacto binario para esta fuente si sus símbolos se codifican de uno en uno. Como el código es binario, los 50 símbolos de probabilidad a se agrupan de dos en dos y dan lugar a 25 símbolos de probabilidad 2a que, junto con los restantes, constituyen una fuente uniforme de 75 elementos. Un código compacto para esta fuente tiene 53 palabras de longitud 6 y 22 palabras de longitud 7, para una longitud de código L=
6 × 53 + 7 × 22 ≈ 6,29. 75
La longitud del código compacto pedido es, pues, L0 = L +
50 1 =L+ 150 3
ya que a = 1/150 y hay 50 símbolos cuyas palabras del código tienen un bit más. 2
