FUNDAMENTOS NUMERICOS
TRABAJO DE FUNDAMENTOS NUMERICOS
Rodrigo Oyarce Vilches Universidad UNIACC MARJORIE DAPHNE CALDERA CALVERT 19 de Marzo de 2018
Pregunta 1: El costo de producir 40 máquinas es de $25000 dólares, mientras que el costo de producir 100 máquinas del mismo tipo es de $55000 dólares, suponiendo un modelo de costo lineal, determinar: a) Función de costo.
Para determinar la función de costo primero debemos establecer un sistema de ecuaciones para determinar los valores de a y b, suponiendo el modelo de costo lineal. f(c) = ac + b
→
para f (40)
=
Para f (100) =
25000 = 40 a +b
* (-1)
55000 = 100 a +b - 25000 = -40 a - b 55000 = 100 a +b 30000 = 60 a 500 = a
Ahora reemplazando el valor de a en ecuación 1 resulta: 25000 = 40(500) + b 25000 = 20000 +b 25000 – 20000 = b b = 5000
Ya definiendo los valores de a y b respectivamente podemos establecer la función costo como: f(c) = 500c + 5000 b) El costo de producir 75 máquinas.
f(75) = 500 (75) + 5000 f(75) = 42500 El costo de producir 75 máquinas es de $ 42.500.- dólares.
c) Esbozar la gráfica.
Funcion Costo fabricacion de maquinas
f(c) = 500c + 5000 $60,000 $55,000 $50,000 $42,500
$40,000 $30,000
$30,000 $25,000
$20,000 $10,000 $5,000 $0
20
40
60
80
100
120
x
y
40
25000
75
42500
100
55000
Pregunta 2: Las ganancias G (q) en millones de pesos por producir “q” artículos en miles, está dada por: G(q) = −q2 + 210q − 5400
a)
¿Cuántos artículos se deben producir para tener una ganancia de $3600?
G (q) = −q2 + 210q − 5400 3600 = −q2 + 210q − 5400 0 = −q2 + 210q – 9000 Ahora para encontrar los valores de x utilizamos la ecuación cuadrática
donde a = -1; b = 210 y c = -9000 y reemplazamos:
−∗−∗− = − ±√ ∗−
x1 =
−+√ − −+ = − = 60 −
x2 =
−−√ − −− = − = 150 −
Para obtener una ganancia de $ 3.600 millones - se deben producir 60.000 unidades o 150.000 unidades respectivamente. b) ¿Cuántos objetos hay que producir para obtener la ganancia máxima? Para calcular el mínimo o máximo de una función cuadrática, utilizaremos la siguiente ecuación del vértice: Xv = -b / 2 a Si a es positivo la función tiene un mínimo en x v Si a es negativo la función tiene un máximo en x v
Para la función en cuestión a es negativo por lo tanto la función tiene un máximo en xv cuyo resultado representa la cantidad de objetos a producir para obtener una ganancia máxima. Xv = -b / 2 a
donde a = -1; b = 210 y c = -9000
Xv = -210 / -2 = 105 Para obtener una ganancia máxima se deben producir 105.000 unidades del producto. c) ¿Cuál es la utilidad máxima? Conociendo la cantidad de producción que necesitamos para obtener una ganancia máxima es posible obtener este resultado. Para esto reemplazamos el valor de q, por 105 según resultado obtenido en ítem b del presente ejercicio obtenemos: G(q) = −q2 + 210q − 5400 G(105) = −(105)2 + 210(105) − 5400
G(105) = -11025 +22050 -5400 G(105) = 5625.La utilidad máxima es de $ 5.625 millones
Pregunta 3: El GRUPO QUANTUM decide colocar a la venta cierto porcentaje de sus acciones en la Bolsa de Santiago. Este prestigioso grupo estima que el precio de sus acciones, en miles de dólares, estará dado por ( ) = 2158 − 13 , donde q representa la cantidad de acciones vendidas en un periodo. Este prestigioso grupo económico lo contrata a usted con el fin de obtener: a) La función que modele los ingresos por la venta de acciones. Los ingresos se calculan mediante la multiplicación entre el precio de venta y unidades vendidas cuya función seria la siguiente I (q) = P(x) x q donde I(q) es el ingreso por venta; P(x) es el precio de venta y por ultimo q que representa la cantidad de acciones vendidas, al reemplazar P(x) obtenemos: I (q) = (2158 − 13 ) x q I (q) = 2158q − 132 b) A cuanto ascenderán los ingresos del GRUPO QUANTUM durante un periodo si se venden 140 acciones. I (q) = 2158q − 132 I (140) = 2158(140) – 13(140)2 I (140) = 302120 - 254800 I(140) = 47320.Los ingresos al vender 140 acciones será de US$47.320.
c) Cuantas acciones se deben vender en un periodo con el fin de obtener ingresos de US$42.757 42.757 = 2158q − 132 0 = - 42757 + 2158 -13 2
2158 ± √2158 4 ∗ 13 ∗ 42757 = 2 ∗ 13 =
2158 ± √ 4656964 2223364 26
=
2158 ± √ 2433600 26
=
2158 ± 1560 26
1 = −+ − 2 =
= 23
2158 1560 = 143 26
Debe vender 23 o 143 acciones en un periodo para obtener ingresos de US$42.757 d) ¿Cuantas acciones se deben vender para obtener un ingreso máximo por periodo? ¿Cuál sería el ingreso máximo logrado? Xv = - b/2 a para a = -13
y b = 2158 siendo a negativo la función tiene un máximo
en xv. Xv = -2158/ -13 Xv = 83 Para obtener su ingreso máximo en un periodo se deben vender 83 acciones I (83) = 2158(83) – 13(83)2 I(83) =179114-89557= 89557 El ingreso máximo seria US$ 89557
Pregunta 4: Usted hace un tiempo atrás coloco un centro de fotocopiado, y como el negocio a sido fructífero, está pensado en abrir un nuevo local en el barrio universitario. Pero se dio cuenta que primero debe ordenar sus finanzas y tras una pequeña auditoria que usted realizo, determino lo siguiente: Por q fotocopia que rea lice tendrá un costo de $30, además de un valor fijo de $4.000. Por otro lado, su ingreso estará determinado por ()=70−0,01 2 Para abrir un nuevo local requiere saber lo siguiente: a) ¿Cuantas fotocopias debe realizar para que sus ingresos sean mayores que sus costos? De él rango de valores. Costo por fotocopias está dada por la siguiente función: f(q) = 30q +4000 Los ingresos están determinados por la siguiente función: f()=70−0,012 Entonces para establecer el rango realizamos la siguiente operación: 70−0,012 > 30q +4000 f() > -70+0,012 + 30q +4000 f() > 4000-40+0,012
=
40 ± (40) 4 ∗ 0,01 ∗ 4000 2 ∗ (0,01)
=
40 ± √ 1600 160 (0,02)
=
40 ± √ 1440 (0,02)
=
40 ± 37,947 (0,02)
1 = +, = 3,897 (,)
aproximadamente 4
2 = −, = 102,65 (,)
aproximadamente 103
De él rango de valores para que sus ingresos sean mayores que sus costos es de 4 ≤ x ≤ 104 b) La función que representa las utilidades de su negocio La utilidad se representa a través de la diferencia entre los ingresos por venta y los costos U = I – C C = 30q +4000 costos por fotocopia I = 70−0,012 Ingresos por fotocopia U = 70−0,012 - (30q +4000) U = -0,01q 2+40q-4000
c) ¿Cuantas fotocopias debe realizar para que usted tenga utilidades de $11.000? 11000 = -0,01q2+40q-4000 0 = -0,01q2+40q-15000
40 ± 40 4 ∗ 0,01 ∗ 15000 = 2 ∗ 0,01 =
40 ± √ 1600 600 0,02
=
40 ± √ 1000 0,02
1 = −+, = 418,9 −, 2 = −−, = 3581 −,
Debe sacar 419 o 3581 fotocopias para obtener una utilidad de $11.000.-
